## 4.2 Modèles macroscopiques pour l'alignement de corps rigides

### 4.2.1 Le modèle SOHB et son interprétation via les quaternions

Dans l'article [F9], en collaboration avec Pierre Degond et Sara Merino-Aceituno, nous introduisons un nouveau modèle d'alignement de corps rigides, avec pour but de pouvoir faire fonctionner la machinerie des GCI afin de dériver un modèle macroscopique. Un corps rigide autopropulsé est décrit par sa vitesse (unitaire) mais également par son orientation dans l'espace. On décrit donc un tel corps par une matrice de rotation $A \in SO(3)$ dont le premier vecteur $Ae_1$ est également sa vitesse. L'équation cinétique décrit l'évolution en temps d'une densité $f(t, x, A)$ où la position $x$ est dans $\mathbb{R}^3$ et l'orientation $A$ est une matrice de rotation $SO(3)$ :

$$ \partial_t f + A e_1 \cdot \nabla_x f + \nu \nabla_A \cdot (f \nabla_A (A \cdot PD(J_f^K))) = \sigma \Delta_A f, $$

où comme précédemment $J_f^K = K * J_f$ avec $K$ un noyau d'observation et $J_f = \int_{SO(3)} A f dA$ le « flux local » des orientations. Comme dans [DM08], on normalise le terme d'alignement, au sens où chaque individu aligne son orientation avec une « orientation moyenne » qui est elle-même dans $SO(3)$ et non en sommant des forces d'alignement pour chacune des interactions binaires. C'est pour cela qu'on fait apparaître $PD(J_f^K)$, la décomposition polaire de $J_f^K$, qui est une matrice de rotation lorsque $\det(J_f^K) > 0$, qui maximise la quantité $J_f^K \cdot A$ (c'est en quelque sorte la matrice de rotation la plus «alignée» avec $J_f^K$). Le principal intérêt de cette normalisation (en dépit de sa singularité) est qu'elle supprime le phénomène de transition de phase, il n'y a qu'une famille d'équilibres de la forme $M_{\kappa\Lambda}$ avec $\Lambda \in SO(3)$ et $\kappa = \frac{\nu}{\sigma}$, (pas d'équation de compatibilité). Au moment de la rédaction de cet article, nous n'avions en effet aucune idée de la solution du calcul des équilibres décrit dans la section 1.2. Pour être complet, dans [F9] on permet à $\nu$ de dépendre de $A \cdot PD(J_f^K)$ (toujours dans l'esprit de [DM08]), ce qui permet d'avoir des forces d'alignement un peu plus génériques, mais complexifie légèrement les calculs. On présentera ici seulement les résultats dans le cas où $\nu$ est constant.

Comme dans la section précédente, on fait un changement d'échelle hydrodynamique et on étudie donc

$$ \partial_t f^{\epsilon} + A e_1 \cdot \nabla_x f^{\epsilon} = \frac{\sigma}{\epsilon} \nabla_A \cdot \left( M_{\kappa\Lambda f^{\epsilon}} \nabla_A \left( \frac{f^{\epsilon}}{M_{\kappa\Lambda f^{\epsilon}}} \right) \right) + O(\epsilon), $$

où $\Lambda_{f^{\epsilon}} \in SO(3)$ est la décomposition polaire de $J_{f^{\epsilon}}$ (que l'on suppose de déterminant positif), qui joue le rôle du $\Omega_{f^{\epsilon}}$ de la section précédente. Le fait qu'il n'y ait pas d'équation de compatibilité vient du fait que $\Lambda_{\rho M_{\kappa\Lambda f^{\epsilon}}} = \Lambda_{f^{\epsilon}}$ dans tous les cas. On a même en fait $J_{M_{\kappa\Lambda}} = c_1(\kappa)\Lambda$ dès que $\Lambda \in SO(3)$ (où le coefficient $c_1$ est le même que dans la section 1.2). On procède donc comme précédemment, en supposant que $f^{\epsilon} \to f^0 = \rho M_{\kappa\Lambda}$ avec $\rho(t, x) \ge 0$ et $\Lambda(t, x) \in SO(3)$ des quantités macroscopiques dont on veut connaître l'évolution. On définit alors, pour $\Lambda \in SO(3)$ l'opérateur $\mathcal{L}_{\Lambda}$ par la formule

$$ \mathcal{L}_{\Lambda}(f) = \sigma \nabla_A \cdot \left( M_{\kappa\Lambda} \nabla_A \left( \frac{f}{M_{\kappa\Lambda}} \right) \right), $$

(de sorte que l'opérateur de collision appliqué à $f^{\epsilon}$ correspond à $\mathcal{L}_{\Lambda}$ lorsque $\Lambda_{f^{\epsilon}} = \Lambda$) et l'ensemble $C_{\Lambda}$ des GCI associés à $\Lambda$ :

$$ C_{\Lambda} = \left\{ \psi \left| \int_{SO(3)} \mathcal{L}_{\Lambda}(f) \psi \, dA = 0, \forall f \text{ telle que } P_{T_{\Lambda}} J_f = 0 \right. \right\}, \quad (4.5) $$
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

où $P_{T\Lambda}$ est la projection orthogonale (dans l'ensemble des matrices $3 \times 3$) sur l'espace tangent de $SO(3)$ en $\Lambda$. De nouveau, si $\psi$ est un GCI pour $\Lambda$, alors pour toute fonction $f$ telle que $\Lambda_f = \Lambda$, l'intégrale de $\psi$ contre l'opérateur de collision est nulle.

On obtient alors que les GCI sont de la forme $C + h_\kappa(\Lambda \cdot A)(\Lambda P) \cdot A$ où $P$ est une matrice antisymétrique arbitraire et $h_\kappa$ est encore une fois une solution d'une équation elliptique. On a donc un espace d'invariants de dimension $1+3$, ce qui correspond au nombre de paramètres macroscopiques ($SO(3)$ est de dimension 3) dont on veut connaître l'équation d'évolution. On applique donc la même méthode en écrivant que pour tout $P$ antisymétrique

$$ \int_{SO(3)} (\partial_t f^\varepsilon + v \cdot \nabla_x f^\varepsilon) h_\kappa(\Lambda_{f^\varepsilon} \cdot A)(\Lambda_{f^\varepsilon} P) \cdot AdA = O(\varepsilon), $$

puis en passant à la limite en supposant que $f^\varepsilon \to \rho M_{\kappa\Lambda}$. Après quelques calculs assez techniques (en utilisant la formule de la mesure de Haar sur $SO(3)$ provenant de la décomposition axe-angle), on obtient l'équation d'évolution de $\Lambda$.

Pour obtenir la forme du modèle tel qu'énoncé dans [F9], on a besoin de quelques notations. Pour un vecteur $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3$, on note $[\mathbf{u}]_\times$ la matrice antisymétrique correspondant au produit vectoriel avec $\mathbf{u}$ : pour $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$, $[\mathbf{u}]_\times = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$. Le produit scalaire que l'on a choisi sur les matrices (avec coefficient $\frac{1}{2}$, comme dans la section 1.2) a ceci de pratique que $[\mathbf{u}]_\times \cdot [\mathbf{v}]_\times = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$. Pour une fonction $\Lambda \in C^1(\mathbb{R}^3, SO(3))$, il existe une (unique) matrice $\mathcal{D}_x(\Lambda)$ telle que pour tout vecteur $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^3$, on ait

$$ (\mathbf{w} \cdot \nabla_x)\Lambda = [\mathcal{D}_x(\Lambda)\mathbf{w}]_\times\Lambda. $$

On définit alors les opérateurs différentiels $\delta_x(\Lambda) = \text{Tr}(\mathcal{D}_x(\Lambda))$ (lié à une sorte de divergence) et $\mathbf{r}_x(\Lambda) = \mathcal{D}_x(\Lambda) - \mathcal{D}_x(\Lambda)^\top$ (une sorte de rotationnel).

**Théorème 4.1.** Si $f^\varepsilon \to \rho M_{\kappa\Lambda}$ lorsque $\varepsilon \to 0$, avec $\Lambda$ et $\rho$ suffisamment régulières (et une convergence suffisamment forte), alors elles satisfont le système suivant d'équations aux dérivées partielles d'ordre un (appelé SOHB, pour « Self-Organized Hydrodynamics of Body attitude ») :

$$ \partial_t \rho + \nabla_x \cdot (c_1 \rho \Lambda \mathbf{e}_1) = 0, \quad (4.6) $$

$$ \rho \left( \partial_t \Lambda + c_2 ((\Lambda \mathbf{e}_1) \cdot \nabla_x) \Lambda \right) + [(\Lambda \mathbf{e}_1) \times (c_3 \nabla_x \rho + c_4 \rho \mathbf{r}_x(\Lambda)) + c_4 \rho \delta_x(\Lambda) \Lambda \mathbf{e}_1]_\times \Lambda = 0, \quad (4.7) $$

où $c_1$ est donnée dans la section 1.2, et les coefficients $c_2, c_3, c_4$ s'écrivent au moyen d'expressions similaires, faisant intervenir la fonction $h_\kappa$.

On peut exprimer l'évolution de $\Lambda$ sous une forme différente :

**Proposition 4.1.** En écrivant $\Omega = \Lambda \mathbf{e}_1$, $\mathbf{u} = \Lambda \mathbf{e}_2$, $\mathbf{v} = \Lambda \mathbf{e}_3$, on a

$$ \delta_x(\Lambda) = [(\Omega \cdot \nabla_x)\mathbf{u}] \cdot \mathbf{v} + [(\mathbf{u} \cdot \nabla_x)\mathbf{v}] \cdot \Omega + [((\mathbf{v} \cdot \nabla_x)\Omega) \cdot \mathbf{u}], \quad (4.8) $$

$$ \mathbf{r}_x(\Lambda) = (\nabla_x \cdot \Omega)\Omega + (\nabla_x \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} + (\nabla_x \cdot \mathbf{v})\mathbf{v}. \quad (4.9) $$

Par conséquent, on obtient les équations d'évolution suivantes pour $\Omega$, $\mathbf{u}$, et $\mathbf{v}$, correspondant à l'équation d'évolution de $\Lambda$ donnée en (4.7) :

$$ \rho D_t \Omega + P_{\Omega \perp} \left( c_3 \nabla_x \rho + c_4 \rho \left( (\nabla_x \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} + (\nabla_x \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v} \right) \right) = 0, $$

$$ \rho D_t \mathbf{u} - (c_3 \mathbf{u} \cdot \nabla_x \rho + c_4 \rho \nabla_x \cdot \mathbf{u}) \Omega + c_4 \rho \delta_x(\Omega, \mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{v} = 0, $$

$$ \rho D_t \mathbf{v} - (c_3 \mathbf{v} \cdot \nabla_x \rho + c_4 \rho \nabla_x \cdot \mathbf{v}) \Omega - c_4 \rho \delta_x(\Omega, \mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{u} = 0, $$

ou $D_t := \partial_t + c_2(\Omega \cdot \nabla_x)$, et $\delta_x(\Omega, \mathbf{u}, \mathbf{v})$ est l'expression $\delta_x(\Lambda)$ donnée par (4.8).
## 4.2. Modèles macroscopiques pour l’alignement de corps rigides

Ces expressions permettent d'interpréter les différents mécanismes du modèle macroscopique et le comparer par exemple au modèle SOH. On remarque (et c'est attendu) que ces équations préservent le fait que $\Lambda \in SO(3)$.

Le terme correspondant au coefficient $c_3$ donne l'influence du gradient de pression $\nabla_x\rho$ sur l'orientation $\Lambda$. Il a l'effet de la faire tourner autour du vecteur dirigé par $(\Lambda\mathbf{e}_1) \times \nabla_x\rho$ à une vitesse angulaire $\frac{c_3}{\rho} \|(\Lambda\mathbf{e}_1) \times \nabla_x\rho\|$, de sorte à aligner $\Omega$ (la direction du mouvement) avec $-\nabla_x\rho$. L'influence de ce gradient de pression sur $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ est aussi une rotation, simplement de manière à garder le repère $(\Omega, \mathbf{u}, \mathbf{v})$ orthonormal.

De même, le terme correspondant au coefficient $c_4$ dans l'équation de $\Omega$ a pour effet de relaxer la direction du mouvement $\Omega$ vers le vecteur $-\mathbf{r}_x(\Lambda)$ (on a $c_4 > 0$). Sans ce terme, on obtiendrait un découplage de $\Omega$ et $\mathbf{u}, \mathbf{v}$, et le modèle correspondrait alors au modèle SOH dérivé dans la précédente section (à coefficients constants).

Enfin les derniers termes dans les équations sur $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ ont pour effet de les faire tourner autour du flot donné par $D_t$ à une vitesse angulaire $c_4\delta_x(\Lambda)$.

Dans l'article [F10], en collaboration avec Pierre Degond, Sara Merino-Aceituno et Ariane Trescases, la motivation initiale était la perspective future de simulations numériques de ce type de modèles. Nous voulions obtenir un modèle similaire en utilisant les quaternions unitaires pour représenter les rotations plutôt que des matrices (pour des raisons de simplicité d'implémentation). Comme nous voulions aligner des quaternions sans tenir compte de leur direction, nous avons élaboré un modèle d'alignement nématique similaire aux modèles de suspensions de polymères. Et encore une fois, pour éviter les phénomènes de transition de phase, l'idée était de normaliser le $Q$-tenseur moyen pour obtenir un $Q$-tenseur uniaxial (correspondant donc à une unique matrice de rotation).

Nous avons pu mettre en œuvre la même méthode, et ainsi obtenir un modèle hydrodynamique similaire, qui faisait également intervenir des coefficients $c_1, c_2, c_3$ et $c_4$. Nous avons alors compris que les modèles étaient en fait équivalents, et on peut en fait remonter l'équivalence jusqu'au système de particules associés. Finalement, le fait de ne pas avoir réussi à créer de nouveau modèle a été le point de départ de la compréhension du lien fin entre modèles de polymères de dimension 4 et modèles d'alignement sur $SO(3)$, ouvrant la voie à la résolution de l'équation de compatibilité présentée dans la section 1.2.

### 4.2.2 Dérivation à partir de BGK, et dimensions supérieures

Dans les notes de cours [F11], rédigées en collaboration avec Pierre Degond, Sara Merino-Aceituno et Ariane Trescases à l'occasion du programme thématique *Stochastic Dynamics Out of Equilibrium* (IHP, 2017), nous avons voulu présenter la méthode, ainsi que le lien entre rotations et quaternions unitaires, en incluant un cadre plus simple pour les calculs : le cas où l'opérateur de collision est de type BGK. Il avait déjà été noté [DM16] que ce cadre simplifiait grandement les calculs pour le modèle de type Vicsek : en effet les invariants collisionnels généralisés sont alors de la forme $A \cdot v$ avec $A \perp \Omega$, il n'y a plus de fonction $h_\kappa$. On obtient presque un invariant collisionnel : on multiplie l'équation par $v$ et on intègre, on n'obtient pas 0, mais quelque chose de proportionnel à $\Omega$, et comme on n'est intéressé que par la dynamique tangentielle puisque $\Omega$ est contraint sur la sphère, on a bien l'évolution voulue. D'autre part, les modèles de type BGK correspondent dans une certaine manière à une version plus proche du modèle de Vicsek original [VCBJ+95] dans lequel les sauts en vitesse synchrones à intervalle de temps $\Delta t$ fixé$^{25}$ sont remplacés par des sauts asynchrones à taux constant $\nu$.

<footnote n="25">25. et n'ayant rien à voir avec une discrétisation en temps, on a plutôt $\Delta t = 1$ que $\Delta t \to 0$.</footnote>
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

Dans [F11], on présente la dérivation du modèle de BGK à partir d'un système de N particules sous forme de Processus de Markov Déterministe Par-morceaux (PDMP) : chaque particule, de position $X_k$ est liée à une horloge Poissonnienne, et entre deux sonneries, la particule suit une ligne droite à vitesse constante, donnée par $A_k e_1$ (resp. $q_k e_1 q_k^*$) où $A_k \in SO(3)$ est l'orientation (resp. $q_k$ le quaternion unitaire) associée à la particule. Lors d'un saut, la nouvelle orientation (resp. quaternion unitaire) de la particule est tirée selon une distribution de von Mises $M_{\kappa \bar{A}_k}$ (avec $\kappa > 0$ fixé) autour de l'orientation moyenne $\bar{A}_k = PD(J_k^K)$ : la décomposition polaire de la moyenne $J_k^K = \frac{1}{N} \sum_i K(X_i - X_k)A_i$ (cela correspond à l'expression $J_{\mu N}^K(X_k)$ de la sous-section précédente où $\mu^N$ est la distribution empirique des particules, on a une une formule similaire dans le cas des quaternions). Le modèle cinétique associé est le suivant

$$ \partial_t f + A e_1 \cdot \nabla_x f = \rho_f M_{\kappa \Lambda_f^K} - f, $$

où $\Lambda_f^K$ est la décomposition polaire $PD(J_f^K)$ du « flux d'orientations » (ou plus précisément le maximiseur de $A \cdot J_f^K$, unique et correspondant à la décomposition polaire dès que $\det(J_f^K) > 0$). On a le même genre d'équation pour les quaternions, où ici le $Q$-tenseur uniaxial jouant le rôle de $\Lambda_f^K$ est celui qui maximise $(q \otimes q - \frac{1}{4}I_4) \cdot J_f^K$ où cette fois-ci $J_f^K$ est la moyenne pondérée des $Q$-tenseurs des particules voisines (une matrice symétrique de trace nulle, le quaternion $q$ maximisant ce produit scalaire est alors un vecteur propre relié à la plus grande valeur propre de cette matrice). Et on montre que ces modèles sont équivalents, essentiellement par la proposition 1.2 que l'on a déjà rencontrée dans la section 1.2. Lorsqu'on fait le changement d'échelle hydrodynamique, on obtient le même modèle localisé :

$$ \partial_t f^{\varepsilon} + A e_1 \cdot \nabla_x f^{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon} (\rho_{f^{\varepsilon}} M_{\kappa \Lambda_{f^{\varepsilon}}} - f^{\varepsilon}) + O(\varepsilon). \quad (4.10) $$

On définit alors les GCI comme en (4.5), avec cette fois-ci $\mathcal{L}_{\Lambda}(f) = \rho_f M_{\Lambda} - f$. La détermination en est grandement simplifiée : un GCI est simplement une fonction de la forme $C + \Lambda P \cdot A$, où $P$ est une matrice antisymétrique. On obtient alors les mêmes modèles macroscopiques que ceux dérivés dans [F9, F10], à définition des constantes $c_2, c_3$ et $c_4$ près (il suffit de remplacer $h_{\kappa}$ par 1 dans les formules).

Dans le cadre du doctorat d'Antoine Diez, coencadré avec Pierre Degond et Sara Merino-Aceituno, nous l'avons fait travailler sur la dérivation rigoureuse du modèle de BGK à partir du système de PDMP. Je lui ai en particulier proposé d'adapter les résultats de type « interaction modérée » [Oel85, JM98] dans ce cadre. On a besoin, pour pouvoir passer à la limite, d'enlever la singularité induite par la décomposition polaire. On considère alors plutôt le modèle avec transition de phase, où les orientations sont distribuées à chaque saut comme $M_{J_f^K}$ (avec éventuellement $K$ dépendant de $N$ pour traiter le cas de l'interaction modérée). Les résultats d'Antoine font l'objet de l'article [Die20] dans lequel il montre qu'on peut à la limite obtenir directement l'équation localisée en espace :

$$ \partial_t f + A e_1 \cdot \nabla_x f = \rho_f M_{J_f} - f. $$

Dans l'article [F13], toujours dans le cadre de sa thèse, en plus de déterminer les solutions de l'équation de compatibilité présentées dans la section 1.2, nous appliquons également la méthode de moments pour dériver un modèle SOHB au voisinage de la variété d'équilibres de von Mises stables. Il y a peu de différences avec la version présentée dans cette sous-section, si ce n'est que l'on doit prendre en compte, comme dans la section 4.1, le fait que le coefficient $\kappa$ de concentration dépend de la densité $\rho$. On obtient la même expression pour les coefficients $c_2$ et $c_4$ (qui dépendent
## 4.2. Modèles macroscopiques pour l’alignement de corps rigides

de $\kappa$, donc de $\rho$). Pour l'expression de $c_3$, un nouveau terme apparaît, faisant apparaître la dérivée de $\kappa$ par rapport à $\rho$. C'est à travers ce terme que l'on voit l'influence du phénomène de transition de phase. Au voisinage de la distribution uniforme, comme dans la section 4.1, il n'y a qu'un paramètre macroscopique $\rho$, et à l'ordre principal on obtient $\partial_t \rho = 0$. On peut donc également regarder l'ordre supérieur et obtenir que formellement l'équation d'évolution de $\rho$ est une diffusion (non-linéaire) de coefficient $\frac{\varepsilon \rho_c}{3(\rho_c - \rho)}$.

Enfin, la considération de l'équation de BGK dans les notes [F11] avait également pour but caché de pouvoir dériver un modèle de type SOHB en dimension supérieure à 3 (en particulier pour comprendre quels termes sont spécifiques à la dimension 3, avec le produit vectoriel et la formule de Rodrigues de représentation des rotations qui n'est plus généralisable en dimension supérieure, et parce que parfois le cadre de la dimension supérieure permet d'apporter un éclairage sur la structure géométrique du modèle). C'est ce que nous avons récemment fait dans [F17], en collaboration avec Pierre Degond et Antoine Diez. Le modèle cinétique peut être défini exactement de la même manière (dans le cas du modèle sans transition de phase, avec normalisation par la décomposition polaire), par contre si on regarde l'expression du modèle macroscopique, l'expression $\mathbf{r}_x(\Lambda)$ donnée en (4.9) semble se généraliser immédiatement en dimension supérieure, alors que celle pour $\delta_x(\Lambda)$ donnée en (4.8) a l'air spécifique de la dimension 3. De même, l'expression (4.7) ne semble pas se généraliser simplement à première vue.

La formule essentielle que l'on utilise est la formule d'intégration de Weyl$^{26}$ : pour $p \ge 0$, on définit $u_{2p}$ and $u_{2p+1}$, de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ par

$$u_{2p}(\theta_1, \dots, \theta_p) = \frac{2^{(p-1)^2}}{p!} \prod_{1 \le j < k \le p} (\cos \theta_j - \cos \theta_k)^2, \quad (4.11)$$

$$u_{2p+1}(\theta_1, \dots, \theta_p) = \frac{2^{p(1-p)}}{p!} \prod_{1 \le j < k \le p} (\cos \theta_j - \cos \theta_k)^2 \prod_{j=1}^{p} (1 - \cos \theta_j), \quad (4.12)$$

et on a alors la proposition qui suit (sans rentrer dans les détails de ce qu'est une « fonction de classe », mais essentiellement c'est une fonction qui ne dépend que de la classe de conjugaison, comme par exemple la trace).

**Proposition 4.2** (Formule d'intégration de Weyl [Sim96], Théorèmes IX.9.4 & IX.9.5, une fois la typo corrigée dans le cas $n = 2p+1$). *Soit $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$. Soit $p \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2p$ ou $n = 2p+1$. Pour toute « fonction de classe » $f$, intégrable sur $SO(n)$, on a*

$$\int_{SO(n)} f(A) \, dA = \frac{1}{(2\pi)^p} \int_{[0,2\pi]^p} f(R_{\theta_1 \dots \theta_p}) u_n(\theta_1, \dots, \theta_p) \, d\theta_1 \dots d\theta_p,$$

où $u_n: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ est définie par (4.11) (dans le cas $n = 2p$) ou (4.12) (si $n = 2p + 1$), et $R_{\theta_1 \dots \theta_p}$ représente la matrice diagonale par blocs représentant des rotations d'angle $\theta_1, \dots, \theta_p$ dans $\mathbb{R}^2$ (avec un dernier coefficient diagonal 1 si $n$ est impair).

On utilise l'identification du produit extérieur $X \wedge Y$ avec la matrice $(X_i Y_j - Y_j X_i)_{1 \le i,j \le n}$ (correspondant à la dérivée extérieure de $X$, vue comme une 1-forme). On dérive alors le modèle suivant :

**Théorème 4.2.** Si la solution de (4.10) vérifie $f^\varepsilon \to \rho M_{\kappa\Lambda}$ lorsque $\varepsilon \to 0$, où $\rho = \rho(x, t)$ et $\Lambda = \Lambda(x, t)$ sont des fonctions suffisamment régulières de $\mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ vers $(0, \infty)$ et $SO(n)$

<footnote n="26">26. Il y a même un peu de théorie des représentations dans l'article, comme quoi on trouve de tout dans les maths « appliquées » !</footnote>
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

respectivement (avec une convergence suffisamment forte), alors elles sont solutions du système suivant, où on a noté $\Omega_k = \Lambda e_k$ :

$$ \partial_t \rho + \nabla_x \cdot (c_1 \rho \Omega_1) = 0, \quad (4.13) $$

$$ \rho(\partial_t + c_2 \Omega_1 \cdot \nabla_x)\Lambda = \mathbb{W}\Lambda, \quad (4.14) $$

où

$$ \mathbb{W} = F \wedge \Omega_1 - c_4 \rho \nabla_x \wedge \Omega_1, \quad (4.15) $$

$$ F = -c_3 \nabla_x \rho - c_4 \rho \mathbf{r}, \quad (4.16) $$

$$ \mathbf{r} = \sum_{k=1}^{n} (\nabla_x \cdot \Omega_k) \Omega_k, \quad (4.17) $$

On a $c_3 = \frac{1}{2\kappa}$, et les constantes $c_1, c_2$ et $c_4$ sont exprimées (comme fonctions de $\kappa$) via des moyennes de fonctions sur $[0, 2\pi]^p$ (des polynômes en $(\cos \theta_i)_{1 \le i \le p}$) pour $n = 2p$ ou $n = 2p + 1$, pondérées par $\exp(\kappa \sum_p \cos \theta_p)u_n(\theta_1, \dots, \theta_p)$, où $u_n$ est donné par (4.11) ou (4.12).

De plus, la fonction $c_1$ est croissante de $\mathbb{R}_+$ dans $[0, 1[$, avec $c_1(0) = 0$ et $\lim_{\kappa \to \infty} c_1(\kappa) = 1$.

On ne voit plus directement dans ce modèle un terme correspondant à $\delta_x(\Lambda)$. On peut le faire réapparaître en transformant l'expression du modèle : si on note $\Delta_{ijk}$ la formule (4.8) où on a remplacé $\Omega$, $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ par $\Omega_i, \Omega_j, \Omega_k$, on peut définir la matrice antisymétrique $\Lambda$ par

$$ \Lambda = \sum_{k, \ell=1}^{n} \Delta_{1k\ell} \Omega_k \otimes \Omega_\ell, $$

et enfin la modification $\tilde{\mathbb{W}}$ de la matrice $\mathbb{W}$ comme suit :

$$ \tilde{\mathbb{W}} = F \wedge \Omega_1 + c_4 \rho \Lambda. $$

On a alors la proposition suivante :

**Proposition 4.3.** *L'équation d'évolution (4.14) est équivalente à*

$$ \rho(\partial_t + (c_2 - c_4) \Omega_1 \cdot \nabla_x)\Lambda = \tilde{\mathbb{W}}\Lambda. \quad (4.18) $$

On peut donc retrouver une expression similaire à la sous-section précédente, en réexprimant (4.18) comme des équations pour $\Omega_1, \dots, \Omega_n$ :

$$ \begin{aligned} \rho(\partial_t + (c_2 - c_4) \Omega_1 \cdot \nabla_x)\Omega_1 &= -c_3 P_{\Omega_1^+} \nabla_x \rho - c_4 \rho \sum_{k \neq 1} (\nabla_x \cdot \Omega_k) \Omega_k, \\ \rho(\partial_t + (c_2 - c_4) \Omega_1 \cdot \nabla_x)\Omega_j &= (c_3(\Omega_j \cdot \nabla_x)\rho + c_4 \rho (\nabla_x \cdot \Omega_j))\Omega_1 \\ &\quad - c_4 \rho \sum_{k \notin \{1, j\}} \delta(\Omega_1, \Omega_j, \Omega_k) \Omega_k, \quad j = 2, \dots, n. \end{aligned} $$

On obtient donc pour $n = 3$ la même équation que dans [F9], où le coefficient d'advection $c_2$ correspond à $c_2 - c_4$ dans [F17]. La formulation en toute dimension a donc donné une autre formulation, qui donne un éclairage différent sur la structure de l'équation. On étudiera ce modèle dans cette nouvelle formulation dans la section 5.2.
## 4.3 Méthode de moments pour des modèles de cristaux liquides

Dans cette section, on présente l'article [F15] dans lequel on dérive le modèle de cristaux liquides nématiques d'Ericksen-Leslie à partir du modèle de Doi-Navier-Stokes. Le modèle de Doi, dans un régime semi-dilué [Doi81, KD83, EZ06, WZZ15] décrit l'évolution de molécules de polymères en forme de sphéroïdes allongées, sous la forme d'une densité $f(t, x, \omega)$ de particules de position $x \in \mathbb{R}^d$, et d'orientation $\omega \in \mathbb{S}/\{\pm 1\}$ — ou, de façon équivalente, en prenant $\omega \in \mathbb{S}$ et en imposant $f(t, x, \omega) = f(t, x, -\omega)$. Ces particules sont diluées dans un solvant fluide (modélisé par les équations de Navier-Stokes) qui les transporte et exerce sur elles des forces de rotation (dues aux gradients du fluide). En retour, les molécules en suspension ont une influence sur le fluide à travers des termes additionnels dans le tenseur des contraintes, dont l'expression dépend de la densité $f$. En passant rapidement sur la modélisation, lorsqu'on adimensionne le modèle, on obtient :

$$ \partial_t f + \nabla_x \cdot (uf) + \nabla_\omega \cdot (f(\Lambda P_{\omega\perp} E - W)\omega) = \frac{1}{\text{De}} \nabla_\omega \cdot (\nabla_\omega f + f \nabla_\omega U_f^K), \quad (4.19) $$

avec $U_f^K = K * U_f$, où $K$ est un noyau de pondération (positif, de masse 1) décrivant l'influence des molécules voisines (suivant [EZ06, WELZ02]), lié au potentiel de Maier-Saupe

$$ U_f = \alpha \rho_f \left[ - (\omega \cdot Q_f \omega) + \frac{d-1}{d} \right], $$

où on a noté

$$ \rho_f = \int_{\mathbb{S}} f(t, x, \omega) d\omega \quad \rho_f Q_f = \int_{\mathbb{S}} (\omega \otimes \omega - \frac{1}{d} I_d) d\omega. $$

La matrice symétrique $Q_f$, de trace nulle, est appelée Q-tenseur, et a ses valeurs propres $\lambda$ dans $[-\frac{1}{d}, \frac{d-1}{d}]$, on a ainsi $U_f \in [0, \rho_f]$. Le vecteur $u(t, x) \in \mathbb{R}^d$ est la vitesse locale du fluide, les tenseurs $E$ et $W$ sont les parties symétriques et antisymétriques du gradient de vitesse:

$$ E = \frac{1}{2}(\nabla_x u + \nabla_x u^\top), \quad W = \frac{1}{2}(\nabla_x u - \nabla_x u^\top). $$

Les trois quantités sans dimension dans (4.19) sont donc $\alpha > 0$ (le coefficient d'alignement relativement à la diffusion angulaire), $\Lambda \in [-1, 1]$ (un paramètre dépendant de la forme des particules, valant $-1$ pour des disques, $0$ pour des sphères, et $1$ pour des bâtonnets), et $\text{De}$, le nombre de Deborah.

Le fluide $u$ est alors décrit par les équations de Navier-Stokes

$$ \left\{ \begin{array}{l} \partial_t u + u \cdot \nabla_x u + \nabla_x p = \frac{1}{\text{Re}} \nabla_x \cdot (\tau_u + \frac{1}{\text{Er}} \mathcal{T}_{f,u}) + \frac{1}{\text{Re Er De}} (\nabla_x \cdot \sigma_f^K + F_f^K), \\ \nabla_x \cdot u = 0, \\ \tau_u = 2E, \quad \mathcal{T}_{f,u} = \zeta \int_{\mathbb{S}} \omega^{\otimes 4} f d\omega : E, \end{array} \right. $$

où « : » désigne la contraction des tenseurs par rapport à deux indices (peu importe quels indices au vu de la symétrie, $\mathcal{T}_{f,u}$ est donc une matrice symétrique). Pour une matrice $S$ (un tenseur $d \times d$), on note $\nabla_x \cdot S$ le vecteur $(\sum_i \partial_{x_i} S_{i,j})_{1 \le j \le d}$.

Le tenseur des contraintes additionnel $\sigma_f^K$ est donné par

$$ \begin{align*} \sigma_f^K &= d\Lambda\rho_f Q_f + \int_{\mathbb{S}} \left[ \frac{\Lambda+1}{2} \omega \otimes \nabla_\omega U_f^K + \frac{\Lambda-1}{2} \nabla_\omega U_f^K \otimes \omega \right] f \, d\omega. \\ &= \text{De} \frac{\Lambda}{2} \rho_f [\Lambda(EQ_f + Q_f E) + Q_f W - WQ_f + \frac{2\Lambda}{d}E - 2\Lambda \mathbb{T}_f : E - D_t Q_f] \\ &\quad + \frac{1}{2} \int_{\mathbb{S}} (\omega \otimes \nabla_\omega U_f^K - \nabla_\omega U_f^K \otimes \omega) f \, d\omega, \end{align*} $$
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

la deuxième équation provenant de l'équation de Doi (4.19) intégrée contre $\omega \otimes \omega - \frac{1}{d}I_d$, où on a noté $D_t = \partial_t + u \cdot \nabla_x$ la dérivée matérielle.

Le terme de force $F_f^K$ est donné, en notant $\mu_f^K = \ln f + U_f^K$ (appelé potentiel chimique), par

$$F_f^K = - \int_S \nabla_x \mu_f^K d\omega.$$

Les trois paramètres supplémentaires sans dimension$^{27}$ apportés par l'équation de Navier-Stokes sont donc les coefficients $\zeta$, Re et Er, ces deux derniers étant les nombres de Reynolds et d'Ericksen.

L'introduction des termes $\sigma_f^K$ et $F_f^K$ dans le couplage entre les équations de Navier-Stokes et l'équation de Doi suit en fait un raisonnement de consistance thermodynamique. En effet, on a une identité de dissipation d'énergie libre totale $\frac{d}{dt}\mathcal{E}^K + \mathcal{D}^K = 0$, où l'énergie libre totale (celle du fluide et celle des polymères) est

$$\mathcal{E}^K = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^d} |u|^2 dx + \frac{1}{\text{Re Er De}} \mathcal{A}^K,$$

avec l'énergie libre des polymères donnée par

$$\mathcal{A}^K = \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (f \log f - f + \frac{1}{2} U_f^K f) dx d\omega.$$

La dissipation est alors donnée par

$$\mathcal{D}^K = \frac{1}{\text{Re}} \int_{\mathbb{R}^d} |\nabla_x u|^2 dx + \frac{1}{\text{Re Er}} \zeta \int_{\mathbb{R}^d} \rho_f \mathbb{T}_f : (E \otimes E) dx + \frac{1}{\text{Re Er De}^2} \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} f |\nabla_\omega \mu_f^K|^2 dx d\omega,$$

où la contraction « : » est faite ici sur les 4 indices, et avec la norme de Frobenius pour les tenseurs $d \times d : |S|^2 = \text{Tr}(S^\top S)$.

L'objectif est donc d'obtenir la limite de ce modèle lorsque le nombre de Deborah, que l'on notera désormais $\varepsilon$, est petit (les autres paramètres restant fixes). Un dernier paramètre caché est l'échelle spatiale du noyau de moyennisation $K$. On choisit de prendre ce noyau dépendant de $\varepsilon$, en posant $K^\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon^d}} K(\frac{x}{\sqrt{\varepsilon}})$ pour un noyau $K$ donné (suivant [EZ06, WZZ15], ce qui correspond au changement d'échelle faiblement non-local du modèle de Vicsek proposé dans [DLMP13] que l'on rencontrera également dans le chapitre 5). Si l'on note $\beta = \frac{1}{2d} \int_{\mathbb{R}^d} |x|^2 K(x) dx$ (et qu'on suppose $K$ radial), après développement en $\varepsilon$, on cherche donc à étudier la limite du système suivant lorsque $\varepsilon \to 0$ :

$$T_{u^\varepsilon}(f^\varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon} C(f^\varepsilon), \qquad (4.20)$$

$$\partial_t u^\varepsilon + u^\varepsilon \cdot \nabla_x u^\varepsilon + \nabla p^\varepsilon = \frac{1}{\text{Re}} \left\{ \Delta_x u^\varepsilon + \frac{1}{\text{Er}} \left[ \zeta \nabla_x \cdot (\rho_{f^\varepsilon} \mathbb{T}_{f^\varepsilon} : E^\varepsilon) + \nabla_x \cdot \sigma_{f^\varepsilon}^1 + F_{f^\varepsilon}^1 \right] \right\}, \quad (4.21)$$

$$\nabla_x \cdot u^\varepsilon = 0, \qquad (4.22)$$

où on a défini l'opérateur de transport $T_u(f)$ (pour un champ de vecteurs dépendant du temps $u$ donné) et l'opérateur de collision $C(f)$ par

$$T_u(f) = \partial_t f + \nabla_x \cdot (u f) + \nabla_\omega \cdot (f (\Lambda P_{\omega\perp} E - W)\omega) + 2\alpha \beta \nabla_\omega \cdot (f P_{\omega\perp} \Delta_x (\rho_f Q_f)\omega), \quad (4.23)$$

$$C(f) = \nabla_{\omega} \cdot (\nabla_{\omega} f + f \nabla_{\omega} U_f) = \nabla_{\omega} \cdot \left( e^{\alpha \omega \cdot (\rho_f Q_f)\omega} \nabla_{\omega} (f e^{-\alpha \omega \cdot (\rho_f Q_f)\omega}) \right), \quad (4.24)$$

<footnote n="27">27. dans le régime dilué en dimension $d=3$, le coefficient $\zeta$ vaut $\frac{1}{2}$ [DE99], mais dans le régime semi-dilué que l'on considère ici, sa valeur peut être différente de $\frac{1}{2}$, d'autre part la dérivation nécessite d'utiliser le tenseur d'Oseen qui a une dépendance en la dimension, on considère donc ici $\zeta$ comme un paramètre libre sans dimension.</footnote>
### 4.3. Méthode de moments pour des modèles de cristaux liquides

et les termes supplémentaires $\sigma_{f\epsilon}^1$ et $F_{f\epsilon}^1$, dont on ne détaillera pas l'expression, sont d'ordre 0 en $\epsilon$. Lorsque l'on suppose que la densité $f^\epsilon$ converge vers un équilibre local, le calcul de la limite formelle $\epsilon \to 0$ dans (4.21)-(4.22) ne pose donc pas de problème, et on a simplement besoin de comprendre le modèle macroscopique correspondant à l'équation cinétique (4.20).

On reconnaît dans l'opérateur de collision (4.24) le modèle décrit dans l'introduction du chapitre 1 correspondant aux polymères avec potentiel de Maier-Saupe. On connaît la forme des équilibres locaux, de la forme $\rho M_Y$ où $Y$ est une matrice symétrique de trace nulle, avec

$$M_Y(\omega) = \frac{\exp(\omega \cdot Y\omega)}{\mathcal{Z}(Y)} \quad \mathcal{Z}(Y) = \int_{\mathbb{S}} \exp(\omega \cdot Y\omega) d\omega.$$

Il est conjecturé (et vrai en dimension 2, 3, 4) que les seuls équilibres (non-isotropes) stables pour le modèle homogène en espace sont de la forme $\rho M_Y$, pour $\rho > \rho_*$ et $Y = \eta A_\Omega$ un tenseur uniaxial ($A_\Omega = (\Omega \otimes \Omega - \frac{1}{d}I_d)$ pour $\Omega \in \mathbb{S}$), où $\eta$ est la plus grande solution positive d'une équation de compatibilité scalaire de la forme $\eta = \alpha \rho S_2(\eta)$ (on a $Q_{M_\eta A_\Omega} = S_2(\eta)A_\Omega$).

On suppose donc que $f^\epsilon$ converge vers $f^0 = \rho M_{\eta(\rho)A_\Omega}$ où $\rho > \rho_*$ et $\Omega \in \mathbb{S}$ (en fait on peut penser $\Omega \in \mathbb{S}/\{\pm 1\}$ puisque $A_{-\Omega} = A_\Omega$), et on veut définir un bon espace de GCI (dépendants d'un paramètre $S$), à l'aide d'un opérateur $\mathcal{L}_S$ et de contraintes linéaires sur les moments de $f$, comme précédemment dans (4.3) ou (4.5) :

$$\mathcal{C}_S = \left\{ \psi (\text{paire}) \middle| \int_{\mathbb{S}} \mathcal{L}_S(f) \psi \, d\omega = 0, \forall f \text{ satisfaisant les contraintes} \right\},$$

de telle sorte qu'on ait les propriétés suivantes (qui sont satisfaites et utiles pour appliquer la méthode des GCI dans les cas considérés précédemment) :

- l'opérateur $\mathcal{L}_{S_f}(f)$ doit correspondre à $C(f)$ pour un paramètre $S_f$ défini à partir de $f$, qui satisfait alors les contraintes pour ce paramètre,

- l'espace des GCI associés au paramètre $S$ est de dimension $1 + (d-1)$ (et bien défini dans un voisinage de $S_{\rho M_{\eta(\rho)A_\Omega}}$),

- lorsque $f^\epsilon \to \rho M_{\eta(\rho)A_\Omega}$ alors les GCI associés au paramètre $S_{f^\epsilon}$ défini à partir de $f^\epsilon$ convergent vers des fonctions « faciles à caractériser ».

Le dernier point (qui correspond à dire que l'on connaît bien la forme des GCI pour $S_{\rho M_{\eta A_\Omega}}$) est celui qui permet d'obtenir des expressions tractables pour la limite.

Il n'y a pas, à notre connaissance, de méthode systématique (même si on s'en approche) pour savoir comment choisir le bon paramètre $S$, le bon opérateur $\mathcal{L}_S$ et les bonnes contraintes de sorte à avoir ces bonnes propriétés. Dans l'article [F15], on montre qu'on peut prendre, pour $S$ une matrice symétrique de trace nulle, l'opérateur donné par $\mathcal{L}_S(f) = \nabla_\omega \cdot (M_S \nabla_\omega (\frac{f}{M_S}))$, et comme contrainte sur $f$ le fait que, en notant $\Omega_S$ le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de $S$ (en supposant qu'elle soit simple), on ait $P_{\Omega_S^\perp} Q_f \Omega_S = 0$. Si on prend alors $S_f = \alpha \rho_f Q_f$, on obtient bien les propriétés demandées.

On montre que les GCI pour les équilibres (lorsque $S = \alpha \rho S_2(\eta(\rho))A_\Omega = \eta A_\Omega$) sont de la forme $C + h_\eta(\omega \cdot \Omega)V \cdot \Omega$ pour $V \perp \Omega$, avec de nouveau une fonction $h_\eta$ solution d'une équation elliptique. On peut alors appliquer la méthode et obtenir l'équation limite pour l'évolution de $\Omega$ (ainsi que l'équation de conservation de masse, qui est elle associée à l'invariant collisionnel constant):

$$\partial_t \rho + \nabla_x \cdot (\rho u) = 0,$$

$$\partial_t \Omega + u \cdot \nabla_x \Omega + W\Omega - c P_{\Omega \perp} \left(E\Omega + \frac{2\beta}{\Lambda} \Delta_x(\eta\Omega)\right) = 0,$$
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

où le coefficient $c$ est défini (dépendant de $\eta(\rho)$) comme une moyenne faisant intervenir la fonction $h_\eta$. La limite de l'équation de Navier-Stokes (pour laquelle on n'a pas besoin des GCI) prend la forme suivante

$$ \left\{ \begin{array}{l} \partial_t u + u \cdot \nabla_x u + \nabla p = \frac{1}{\text{Re}} (\Delta_x u + \frac{1}{\text{Er}} \nabla_x \cdot \sigma), \\ \nabla_x \cdot u = 0, \end{array} \right. $$

où le tenseur des contraintes supplémentaires $\sigma = \sigma_L + \sigma_E$ dépend des paramètres macroscopiques $\rho$ et $\Omega$ (via seulement la dérivée matérielle de $\Omega$ pour le tenseur de Leslie $\sigma_L$, avec des coefficients dépendant de $\eta$, et via les gradients propres en espace de $\Omega$ et $\rho$ pour le tenseur d'Ericksen $\sigma_L$). Le système obtenu est appelé modèle d'Ericksen-Leslie.

On établit également dans [F15] un lien entre les GCI et le noyau de l'adjoint du linéarisé de l'opérateur de collision, mais seulement sur la variété des équilibres, et qu'en général ce n'est pas le cas en dehors de cette variété.

**Perspectives** La dérivation de modèles macroscopiques permet d'obtenir un éclairage intéressant sur les modèles microscopiques sous-jacents. Dans le cas du modèle SOHB, dans un travail récent [DDN22] les auteurs montrent que des solutions particulières du modèle SOHB avec conditions périodiques sont spécifiques de ce modèle d'orientation de corps rigides : on ne pourrait pas les obtenir avec le modèle simple d'alignement de Vicsek. Et à partir de ce modèle macroscopique, les simulations numériques du modèle de particules mettent en évidence des phénomènes de stabilité / métastabilité de structures correspondant aux solutions particulières du modèle SOHB.

Dans le cadre des modèles avec transition de phase, on a également obtenu formellement au voisinage de l'état isotrope (sous le seuil de la transition de phase) des équations de diffusion (non-linéaires). Avec les résultats d'hypocoercivité décrits dans le chapitre 3, on peut s'attendre à dériver plus rigoureusement ces limites de diffusion, dans un changement d'échelle approprié.

Quelques travaux (voir par exemple [JXZ16]) se sont attaqués à la dérivation rigoureuse des modèles de type SOH. Le genre de résultats obtenus est le suivant : on montre l'existence d'une famille particulière de solutions de l'équation cinétique pour $f^\epsilon$ qui convergent vers $f^0$, en partant d'une solution régulière de l'équation macroscopique (il faut donc pour cela bien comprendre l'équation macroscopique, et c'est l'objet du chapitre suivant). Ces méthodes sont souvent faites à partir de développements de Hilbert. Il serait intéressant de voir à quel point on peut obtenir des résultats similaires par méthodes de moments.

Une question qui se pose également est la dérivation du modèle SOHB avec transition de phase (pour Fokker-Planck, en dimension $d \ge 3$ et pour BGK en dimension $d \ge 4$). Pour les modèles de type BGK, la combinaison de [F17] et [F13] devrait pouvoir se faire sans problème. Pour le modèle de Fokker-Planck, c'est en fait beaucoup plus compliqué (excepté en dimension 3 où on peut espérer adapter les résultats de [F9]): la détermination des GCI est bien plus subtile. Nous avions commencé à y réfléchir avec Pierre Degond et Antoine Diez, mais pour l'instant nous n'avons pas réussi à obtenir des expressions tractables.
Chapitre 5. Hyperbolicité des systèmes de type SOH

on observe que ce n’est donc plus seulement le paramètre de concentration $\kappa$ qui entre en jeu, mais bien la forme globale du diagramme de phase (via la dérivée de la fonction $\kappa(\rho)$). On a la conjecture suivante (numériquement claire dans tous les cas testés, en particulier en dimensions 2 et 3, ainsi que théoriquement en toute dimension lorsque $\kappa \to 0$ et $\kappa \to \infty)$ :

**Conjecture 5.1.** *Pour tout $\kappa > 0$, on a $0 < \tilde{c}(\kappa) < c(\kappa)$.*

On voit donc que le signe de $\Theta$ n’est a priori pas connu. Dans [F8], nous étudions le comportement de $\Theta$ dans les deux cas typiques : transition de phase continue (où $\dot{j}_c$ est une bijection croissante de $[0, \kappa_{\max}]$ dans $[\rho_c, +\infty[$, avec $\kappa_{\max}$ pouvant valoir $+\infty$) et transition de phase discontinue (la fonction étant régulière, décroissante sur $[0, \kappa_*$] et croissante sur $[\kappa_*, \kappa_{\max}]$). Lorsque la transition est discontinue, avec $\kappa_* = \kappa(\rho_*)$ la dérivée de $\kappa$ au voisinage de $\rho_*$ tend vers l’infini, et la conjecture nous donne donc que le modèle n’est pas hyperbolique.

Pour la transition de phase continue, on peut développer les coefficients lorsque $\kappa \to 0$, ce qui correspond au voisinage du seuil critique $\rho_c$, et on obtient un lien entre l’exposant critique et l’hyperbolicité du modèle.

**Proposition 5.1.** *On suppose que la transition de phase est continue au voisinage du seuil critique $\rho_c$, et qu’on a $c(\kappa(\rho)) \sim \alpha(\rho - \rho_c)^\beta$ lorsque $\rho \stackrel{>}{\longrightarrow} \rho_c$ (et qu’on a également l’estimation correspondante pour la dérivée). Alors*

(i) Si $\beta < \frac{1}{2}$, alors $\Theta(\rho) < 0$ pour $\rho$ proche de $\rho_c$. Le modèle SOH n’est pas hyperbolique.

(ii) Si $\beta > \frac{1}{2}$, alors $\Theta(\rho) > 0$ pour $\rho$ proche de $\rho_c$. Le modèle SOH est hyperbolique.

(iii) Si $\beta = \frac{1}{2}$ et $\alpha \neq \sqrt{\frac{4(d+2)}{5d\rho_c}}$, alors $\Theta(\rho)$ est du signe de $\sqrt{\frac{4(d+2)}{5d\rho_c}} - \alpha$, au voisinage de $\rho_c$.

On caractérise également l'hyperbolicité lorsque $\rho \to +\infty$ (les équilibres stables sont alors proches de masses de Dirac). Il y a une coquille dans [F8, Proposition 5.6] (inversion de $b$ et $\frac{1}{b}$), on donne la version corrigée ici :

**Proposition 5.2.** *On suppose $k(|J|) \sim a|J|^b$ lorsque $|J| \to \infty$ (avec $a, b > 0$, ainsi que l’estimation correspondante au niveau de la dérivée). On considère le modèle SOH associé à une branche d’équilibres stables.*

(i) Si $0 < b < 1$, alors pour $\rho$ suffisamment grand, $\Theta(\rho) > 0$ et le modèle SOH est hyperbolique.

(ii) Si $b > 1$, alors pour $\rho$ suffisamment grand, $\Theta(\rho) < 0$ et le modèle SOH n’est pas hyperbolique.

(iii) Si $b = 1$, si on suppose que $k(|J|) = a|J| + r + o(1)$ et $k'(|J|) = a + o(|J|^{-1})$ lorsque $|J| \to \infty$, avec $r \neq \frac{d+1}{6}$, alors pour $\rho$ grand, $\Theta(\rho)$ est du signe de $r - \frac{n+1}{6}$.

On peut déjà avec ces propositions avoir une idée des plages de densité $\rho$ pour lesquelles le modèle est ou n’est pas hyperbolique. Par exemple le modèle le plus simple avec transition de phase où $\nu(|J|) = |J|$ et $\sigma = 1$ étudié dans [F4], dont la version localisée en espace est celle que nous avons traitée dans le chapitre 3 (pour l’hypocoercivité au voisinage des équilibres isotropes), se trouve à chaque fois dans les cas limite (iii) des deux propositions précédente (et n’est pas hyperbolique). Une très légère modification du modèle peut donc conduire à un modèle hyperbolique. Et pour le modèle avec bruit extrinsèque $\sigma = \frac{1}{1+|J|}$ dont on sait qu’il n’est pas hyperbolique au voisinage de la discontinuité en $\rho_*$, on obtient aussi qu’il n’est pas hyperbolique pour $\rho \to +\infty$. Dans [F8], on donne des exemples où on peut quand même obtenir des modèles intéressants avec transition de phase, qui soient hyperboliques pour toutes les plages de densité $\rho$.
On y présente également un changement d'échelle approprié (dans l'esprit de [DLMP13]) pour le noyau d'observation permettant d'obtenir des termes diffusifs dans le modèle macroscopique, et ainsi pouvoir espérer contourner le problème de perte d'hyperbolicité : l'idée est de considérer, comme dans la section 4.3, que le noyau d'observation est radial avec une échelle spatiale d'ordre $\sqrt{\epsilon}$ (au lieu de $\epsilon$ dans le changement d'échelle hyperbolique classique), et alors le terme en $O(\epsilon)$ dans (4.1) devient un terme d'ordre 0 faisant apparaître un Laplacien en $x$. On obtient alors un terme supplémentaire de la forme $P_{\Omega^{\perp}} \Delta_x (\rho c \Omega)$ dans l'équation d'évolution de $\Omega$.

## 5.2 Hyperbolicité du modèle SOHB

Dans cette section, on présente l'article récent [F16], en collaboration avec Pierre Degond, Sara Merino-Aceituno et Ariane Trescases. Nous y démontrons l'hyperbolicité du modèle SOHB en toute dimension, dont on rappelle l'expression (4.13)-(4.17) ici :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\partial_t \rho + \nabla_x \cdot (c_1 \rho \Omega_1) = 0, \\ 
\rho(\partial_t + c_2 \Omega_1 \cdot \nabla_x) \Lambda = W\Lambda, \\ 
W = F \wedge \Omega_1 - c_4 \rho \nabla_x \wedge \Omega_1, \\ 
F = -c_3 \nabla_x \rho - c_4 \rho \mathbf{r}, \\ 
\mathbf{r} = \sum_{k=1}^n (\nabla_x \cdot \Omega_k) \Omega_k. 
\end{array} 
\right. 
$$

Encore une fois, l'utilisation d'une dimension quelconque a permis de dégager la structure propre au modèle et de comprendre comment montrer l'hyperbolicité, ce que nous n'arrivions pas à faire simplement en dimension 3 (en utilisant par exemple la décomposition axe-angle d'une rotation quelconque, les calculs prennent vite de la place). La clé est d'observer les invariances suivantes (on renvoie à [F16] pour la signification précise de ces invariances) :

**Proposition 5.3.** Le modèle SOHB est invariant par changement orthonormal de repères, à la fois pour le repère définissant la rotation $\Lambda$, que l'on notera $(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)$, et pour celui définissant les coordonnées spatiales, noté $(\mathbf{f}_1, \dots, \mathbf{f}_n)$.

On linéarisé alors le système SOHB au voisinage d'un état $\rho_0$, $\Lambda_0$, constant en espace. En changeant de repère, on se ramène donc au cas $\Lambda_0 = I_n$. En écrivant $\rho = \rho_0 + \delta\sigma$ et $\Lambda = \exp(\delta A)$ avec une matrice $A$ antisymétrique (pour $\delta$ petit), on obtient, en écrivant $\omega_k = A\mathbf{e}_k$, le système SOHB linéarisé suivant

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\partial_t \sigma + c_1(\mathbf{e}_1 \cdot \nabla_x)\sigma + c_1\rho_0(\nabla_x \cdot \omega_1) = 0, \\ 
\rho_0(\partial_t A + c_2(\mathbf{e}_1 \cdot \nabla_x)A) = -c_3\nabla_x\sigma \wedge \mathbf{e}_1 - c_4\rho_0 \sum_{k=2}^n (\nabla_x \cdot \omega_k)\mathbf{e}_k \wedge \mathbf{e}_1 - c_4\rho_0\nabla_x \wedge \omega_1. 
\end{array} 
\right. 
$$

Ce système linéarisé présente en fait moins d'invariances que le système non-linéaire, mais il reste quand même invariant par changement de repère, de $(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)$ vers $(\mathbf{e}'_1, \dots, \mathbf{e}'_n)$ dès lors que $\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}'_1$.

Lorsqu'on écrit ce système linéarisé en variable $\xi$ de Fourier, en notant $\nu = \frac{\xi}{|\xi|}$, on obtient un système de la forme

$$ \frac{1}{i|\xi|} \partial_t U + MU = 0, $$

où $U = (\hat{\sigma}, (\hat{A}_{ij})_{1\le i<j\le n})^\top$ est le vecteur des inconnues et la matrice $M$ dépend de $\nu$ (et des différents paramètres $\rho_0$ et $c_1$ à $c_4$). On rappelle que le système SOHB est hyperbolique si et seulement si $M$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$ pour tout $\nu \in \mathbb{S}$ et tout $\rho_0 \ge 0$ (et tout $\Lambda_0$, mais
Chapitre 5. Hyperbolicité des systèmes de type SOH

le changement de repère a fait qu'on a seulement besoin de le montrer pour $\Lambda_0 = I_n$). On dit également qu'il est strictement hyperbolique si toutes les valeurs propres sont simples.

En utilisant l'invariance, on peut faire tourner le repère $(e_2, \dots, e_n)$ de façon à ce que $e_2$ soit dans le plan engendré par $e_1$ et $\nu$. On écrit alors $\nu = \cos \theta e_1 + \sin \theta e_2$ et la matrice $M$ du système linéarisé devient diagonale par blocs de taille au plus 2, le système se découle. On obtient les systèmes suivants :

— un système<fnref n="28" /> pour la paire $(\hat{\sigma}, \hat{A}_{12})$, dont les valeurs propres correspondantes pour $M$ sont données par

$$ \lambda_{\pm} = \frac{1}{2} \left\{ (c_1 + c_2 - 2c_4) \cos \theta \pm \left( (c_1 - (c_2 - 2c_4))^2 \cos^2 \theta + 4c_1 c_3 \sin^2 \theta \right)^{1/2} \right\}, $$

— des systèmes pour les paires $(\hat{A}_{1k}, \hat{A}_{2k})$ où $3 \le k \le n$, avec valeurs propres

$$ \mu_{\pm} = (c_2 - c_4) \cos \theta \pm c_4, $$

— des équations scalaires pour $\hat{A}_{k\ell}$ lorsque $3 \le k < \ell < n$, avec valeur propre $\beta = c_2 \cos \theta$.

On a en fait $c_1$ et $c_3$ strictement positifs (dans la dérivation de la section 4.2, version normalisée en prenant la décomposition polaire). Et donc les valeurs propres $\lambda_{\pm}$ sont réelles, et distinctes (à moins que $c_1 = c_2 - 2c_4$ et $\theta = 0$, dans ce cas le système concerné est diagonal). Les valeurs propres $\mu_{\pm}$ sont également distinctes (à moins que $c_4 = 0$, pour lequel le système concerné est aussi diagonal). Ces deux valeurs propres sont alors de multiplicité $n-2$. Enfin la valeur propre $\beta$ est de multiplicité $\frac{1}{2}(n-2)(n-3)$.

On obtient donc le théorème suivant :

**Théorème 5.1.** Le système SOHB (4.13)-(4.17) est hyperbolique. En dimension $n \ge 4$ il n'est pas strictement hyperbolique.

Dans le cas $n = 3$ les valeurs propres $\lambda_{\pm}$, $\mu_{\pm}$ sont distinctes deux à deux sauf pour des combinaisons spéciales des coefficients, et pour un ensemble discret d'angles $\theta$.

Dans [F16], nous discutons également du fait que le modèle SOHB, tout comme le modèle SOH, est par essence non-conservatif. En particulier, d'éventuelles ondes de choc ne sont pas définies de manière unique (il manque donc des informations provenant du modèle cinétique, qui ont été perdues au passage à la limite), et nous proposons deux pistes pour traiter ce problème. À la manière du cas de SOH, nous montrons que l'on peut écrire le modèle SOHB comme limite de relaxation d'un modèle conservatif, dont les inconnues sont dans un espace plus grand (l'ensemble des matrices plutôt qu'uniquement les matrices de rotation, le terme de relaxation étant de la forme $-\frac{\ell}{\alpha}(MM^\top - I_n)M$, qui relaxe la matrice $M$ vers sa décomposition polaire). En effet, il a été observé dans le cadre du modèle SOH [MN11] qu'une telle approximation peut donner des résultats numériquement assez proches de ceux donnés par le modèle de particules initial. Avec des arguments de réduction de dimension, nous montrons que le modèle de relaxation obtenu peut être utilisé pour obtenir plusieurs telles approximations pour le modèle SOHB en dimension 2 (qui correspond à un modèle SOH). La deuxième piste que nous proposons est la même que dans la section précédente : on fait un changement d'échelle différent pour le noyau d'observation lors de la dérivation du modèle macroscopique, ce qui fait apparaître un terme de diffusion dans l'équation, de la forme $\alpha P_{T_\Lambda} \Delta_x(\rho\Lambda)$ (où $P_{T_\Lambda}$ est la projection sur l'espace tangent de $SO(n)$ au point $\Lambda$).

<footnote n="28">28. ce système est le seul qui fait intervenir $\rho_0$, mais les valeurs propres correspondantes n'en dépendent pas.</footnote>
**Perspectives** Le phénomène de perte d'hyperbolicité dans le modèle SOH à coefficients variables ouvre de nombreuses questions ouvertes, qui à ma connaissance n'ont pas encore été étudiées. La première chose à faire serait un panorama des comportements des modèles de particules (ou cinétiques) pour ces modèles à coefficients variables, pour comprendre si le fait que le modèle correspondant au niveau macroscopique est hyperbolique ou non a de l'influence sur ces comportements. Je suspecte que c'est en effet le cas, et des simulations numériques de l'équation cinétique sont en cours avec Émeric Bouin, Quentin Griette et Sébastien Motsch (suite à leur étude [GM19]) pour obtenir une vue d'ensemble des comportements typiques. On n'a également pas fait les calculs déterminant le caractère hyperbolique dans le cadre du modèle BGK plutôt que Fokker-Planck. Il se trouve que dans le cas simple où l'opérateur est $ρM_{Jf} - f$, le calcul donne que le terme de pression vaut exactement zéro. C'est probablement une simple coïncidence, mais les implications de l'absence de ce terme de pression n'ont pas été étudiées à ma connaissance.

Dans le cadre du modèle SOHB, on a vu que l'hyperbolicité dépend du signe du coefficient $c_3$, qui est variable dans le cas du modèle avec transition de phase dérivé dans [F13], et on s'attend probablement, comme dans le cas du modèle avec transition du premier ordre, que le modèle ne soit pas hyperbolique au voisinage du seuil critique. Je ne sais pas s'il l'est lorsque $ρ \to +\infty$, c'est encore à explorer.

Enfin, comme on l'a vu, on peut obtenir un modèle avec diffusion sur l'équation d'évolution de l'orientation. Est-ce que ce terme pourrait compenser la perte d'hyperbolicité dans le cadre de l'étude du problème de Cauchy associé ? À ma connaissance, il n'y a pas de résultat connu dans cette direction.
Chapitre 5. Hyperbolicité des systèmes de type SOH
Troisième partie

Modèles d’alignement sans bruit avec
contraintes géométriques
<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# Chapitre 6

## Agrégation simple sur la sphère

### Contenu

6.1 Un modèle cinétique d'alignement sur la sphère . . . . . . . . . . . 80

6.2 Le système de particules associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

On s'intéresse au modèle d'alignement de vitesses sur la sphère $\mathbb{S}$ de $\mathbb{R}^d$, sans bruit angulaire. Pour le système de particules, il s'agit donc de $N$ équations différentielles couplées pour les vitesses $(v_i)_{1\le i\le N}$ :

$$ \frac{dv_i}{dt} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_v (v \cdot v_j)|_{v=v_i} = P_{v_i \perp} J, \quad \text{avec } J = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} v_j. \qquad (6.1) $$

Comme décrit dans les chapitres précédents, ces équations expriment le fait que chaque particule $v_i$ tend à s'aligner avec la direction de leur vitesse moyenne $J$. Au niveau cinétique, on étudie l'équation d'agrégation correspondante, décrivant l'évolution d'une mesure de probabilité $f(t, \cdot)$ :

$$ \partial_t f + \nabla_v \cdot (P_{v\perp} J_f f) = 0, \quad \text{avec } J_f = \int_{\mathbb{S}} v f dv. \qquad (6.2) $$

Ces deux équations sont liées dans le sens où si $\mu^N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \delta_{v_i(t)}$ est une mesure empirique de particules, alors $\mu^N$ est une solution faible de (6.2) si et seulement si $(v_i)$ est une solution du système (6.1). Le modèle dans le cas $d = 2$ correspond au modèle de Kuramoto avec phases identiques, et une partie des résultats que l'on présente a été indépendamment décrite dans [BCM15] dans ce cadre$^{29}$. De tels genres de modèles ont été proposés comme modèles de formation d'opinion [AMPD17, CLP15, MTG18]. On peut également noter les travaux sur la généralisation des oscillateurs de Kuramoto en dimension supérieure (les oscillateurs de Löhe) pour lesquels des résultats similaires peuvent être obtenus [HKR18].

Dans ce chapitre, basé sur l'article [F12] en collaboration avec Jian-Guo Liu, on décrit le comportement en temps long des modèles (6.2) et (6.1).

<footnote n="29">29. Pour être précis, leur résultat a été publié avant le nôtre, même si notre travail avait été fait durant mon postdoctorat en 2012, et présenté à diverses reprises. Ma légendaire efficacité de finalisation de rédaction nous a fait perdre la primeur du résultat pour le cas $d = 2$, mais le reste de nos estimations constituait bien de nouveaux résultats.</footnote>
## 6.1 Un modèle cinétique d'alignement sur la sphère

On commence par observer que le modèle (6.2) est bien posé dans l'espace des mesures de probabilité.

**Proposition 6.1.** Pour $T > 0$ et $f_0 \in \mathcal{P}(\mathbb{S})$, il existe une unique $f \in C([0, T], \mathcal{P}(\mathbb{S}))$ qui soit solution faible de l'équation (6.2) avec condition initiale $f_0$.

*Démonstration.* Cela se fait par exemple en se donnant une fonction $\mathcal{J} \in C([0, T], \mathbb{R}^d)$ et en résolvant l'équation linéaire $\partial_t f + \nabla_v(P_{v\perp}\mathcal{J}f) = 0$, dont la solution est donnée par $\Phi_t^{\mathcal{J}} \# f_0$, où $\Phi^{\mathcal{J}}$ est le flot associé à l'équation différentielle $\frac{d}{dt}v = P_{v\perp}\mathcal{J}(t)$. Si on note $\Psi(\mathcal{J}) = J_{\Phi_t^{\mathcal{J}} \# f_0}$, rechercher une solution de (6.2) revient à trouver un point fixe de $\Psi$. Pour une distance appropriée on obtient que $\Psi$ est contractante sur $C([0, T], \mathbb{R}^d)$. $\square$

On peut également montrer que l'équation est bien posée dans n'importe quel espace de Sobolev par des méthodes standard de Galerkin, en utilisant la décomposition en harmoniques sphériques, c'est ce que nous avions fait avec Jian-Guo Liu pendant ma thèse [F3].

Remarquons que si $J_{f_0} = 0$, alors $f_0$ est une solution stationnaire de (6.2), donc on supposera désormais $J_{f_0} \neq 0$. Lorsqu'on calcule la dérivée en temps de $J_f(t)$, en écrivant $M_f = \int_{\mathbb{S}} P_{v\perp} f dv$, qui est une matrice symétriques dont les valeurs propres sont dans $[0, 1]$, on obtient

$$ \frac{1}{2} \frac{d|J_f|^2}{dt} = J_f \cdot M_f J_f \geq 0, $$

ce qui montre que $|J_f|$ est croissante au cours du temps, et que donc on peut définir l'orientation moyenne $\Omega(t) = \frac{J_f}{|J_f|}$ pour tout temps. Comme $|J_f|^2$ est bornée, et que sa dérivée seconde est également bornée, on obtient que sa dérivée tend vers 0, c'est à dire $|J_f|\Omega \cdot M_f\Omega \to 0$. On obtient alors

$$ \dot{\Omega} = P_{\Omega\perp}(M_f\Omega) \to 0. $$

Cependant, ceci ne dit pas que l'orientation moyenne converge vers une valeur fixe (on a seulement que $\dot{\Omega} \in L^2(\mathbb{R}_+)$, on aimerait avoir $L^1(\mathbb{R}_+)$). C'est l'objet du théorème suivant, qui caractérisé également la convergence de $f$ en temps long.

**Théorème 6.1.** Soit $f_0$ une mesure de probabilité sur $\mathbb{S}$, et $f \in C(\mathbb{R}_+, \mathcal{P}(\mathbb{S}))$ la solution de (6.2) avec condition initiale $f_0$ telle que $J_{f_0} \neq 0$. Alors il existe $\Omega_\infty \in \mathbb{S}$ tel que $\Omega(t) = \frac{J_{f(t,\cdot)}}{|J_{f(t,\cdot)}|}$ converge vers $\Omega_\infty$ lorsque $t \to +\infty$.

Enfin, il existe alors une unique vitesse $v_{\text{back}} \in \mathbb{S}$ telle que la solution de l'équation différentielle $\frac{dv}{dt} = P_{v\perp} J_f(t)$ avec condition initiale $v(0) = v_{\text{back}}$ vérifie que $v(t) \to -\Omega_\infty$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Alors, si on note $m$ la masse du singleton $\{v_{\text{back}}\}$ pour la mesure $f_0$, on a $m < \frac{1}{2}$ (on ne peut pas avoir trop de masse à « l'arrière ») et $f(t, \cdot)$ converge faiblement vers la mesure $f_\infty = (1-m)\delta_{\Omega_\infty} + m\delta_{-\Omega_\infty}$ lorsque $t \to \infty$.

*Stratégie de la démonstration.* On calcule en fait la dérivée seconde de $\Omega$ en temps. Et en posant $y = |\dot{\Omega}|$, on arrive à montrer que $y' = y + g$ où $g \in L^1(\mathbb{R}_+)$ et où $y$ est bornée. Ceci donne alors grâce à la formule de Duhamel qu'il n'existe qu'une condition initiale $y_0$ telle que $y$ soit bornée et dans ce cas on obtient alors $y \in L^1(\mathbb{R}_+)$ (en fait comme $y \geq 0$, on peut également le montrer directement, mais la version avec la formule de Duhamel permet de l'obtenir même si $y = O(e^{(1-\epsilon)t})$, pas seulement pour $y$ bornée, et on utilisera ce genre d'argument par la suite).

Pour la deuxième partie, on étudie le flot $\Phi$ de l'équation différentielle $\frac{d}{dt}v = P_{v\perp} J_f(t, \cdot)$, sachant que $J_f(t, \cdot)$ converge vers $\lambda\Omega_\infty$. On montre que toute solution $v(t)$ converge soit vers $-\Omega_\infty$.
## 6.1. Un modèle cinétique d'alignement sur la sphère

soit vers $\Omega_\infty$ et que dans ce cas la convergence est uniforme en temps dans un petit voisinage de $v_0$. En définissant $v_{\text{back}}^n$ comme la condition initiale telle que la solution vaut $-\Omega_\infty$ au temps $t_n$ (on renverse le temps dans l'équation différentielle), on montre que $v_{\text{back}}^n$ a une sous-suite convergente, et dont la limite $v_{\text{back}}$ est telle que la solution de l'équation différentielle avec condition initiale $v_{\text{back}}$ converge vers $-\Omega_\infty$. Pour montrer qu'un tel $v_{\text{back}}$ est unique, on utilise un phénomène de répulsion entre deux solutions $v$ et $\tilde{v}$ qui convergeraient vers $-\Omega_\infty$ :

$$ \frac{d}{dt} \|v - \tilde{v}\|^2 = \gamma(t) \|v - \tilde{v}\|^2, $$

avec $\gamma(t) \to 2\lambda > 0$ lorsque $t \to \infty$. Comme $\|v - \tilde{v}\|$ est bornée, la seule solution est $\|v - \tilde{v}\| = 0$. Pour le comportement de $f$ en temps long, on utilise la formulation $f = \Phi_t \# f_0$, et on obtient en fait

$$ W_1(f(t, \cdot), f_\infty) \le m |\Phi_t(v_{\text{back}}) + \Omega_\infty| + \int_S \mathbf{1}_{v \ne v_{\text{back}}} |\Phi_t(v) - \Omega_\infty| f_0(v) \, dv. $$

et comme on connaît le comportement du flot $\Phi$, cela se traduit directement sur $W_1(f(t, \cdot), f_\infty)$ par convergence dominée. On obtient également que $J_f \to (1 - 2m)\Omega_\infty = \lambda\Omega_\infty$ avec $\lambda > 0$, ce qui montre que $m < \frac{1}{2}$. $\square$

Le théorème 6.1 ne dit rien du taux de convergence. En fait on peut montrer qu'il n'y a pas d'espoir d'obtenir un taux de convergence en distance $W_1$ sans supposer une certaine régularité de la condition initiale, en s'appuyant sur des calculs dans le cas où on a une certaine symétrie faisant que $\Omega(t)$ reste constant au cours du temps :

**Proposition 6.2.** Étant donnée une fonction continue et décroissante $t \mapsto g(t)$ convergeant vers 0 (lentement) lorsque $t \mapsto +\infty$, et telle que $g(0) < \frac{1}{2}$, il existe une densité de probabilité $f_0$ (donc sans atome) telle que la solution $f(t, \cdot)$ associée converge faiblement vers $\delta_{\Omega_\infty}$, mais telle que $W_1(f(t, \cdot), \delta_{\Omega_\infty}) \ge g(t)$ pour tout $t \ge 0$.

D'autre part si $f_0$ a une densité par rapport à la mesure de Lebesgue avec $m \le f_0(v) \le M$ pour tout $v$ (où $0 < m < M$), avec $J_{f_0} \ne 0$ et telle que $\Omega(t) = \Omega_\infty$ soit constant au cours du temps, alors on a

$$ \begin{align*} W_1(f(t, \cdot), \delta_{\Omega_\infty}) &\asymp \begin{cases} (1+t)e^{-t} & \text{si } d=2, \\ e^{-t} & \text{si } d \ge 3, \end{cases} \\ W_2(f(t, \cdot), \delta_{\Omega_\infty}) &\asymp \begin{cases} e^{-\frac{1}{2}t} & \text{si } d=2, \\ \sqrt{1+t}e^{-t} & \text{si } d=3, \\ e^{-t} & \text{si } d \ge 4. \end{cases} \end{align*} $$

Ces calculs s'appuient sur la projection stéréographique par rapport à $\Omega$, qui fournit des calculs quasi-explicites (ne dépendant que de la donnée de $|J_f|(t)$) si $\Omega$ est constant $^{30}$. De façon intéressante, les taux de convergence dépendent de la dimension de l'espace, et de la distance de Wasserstein considérée. En fait, toute la vitesse de convergence est gérée par la répartition de la densité autour de $v_{\text{back}}$. On peut s'attendre à ce que ces estimations de convergence soient toujours valides lorsque $\Omega$ n'est plus constant. Et dans ce cas, comme on va le voir dans la section suivante, on s'attend même à ce que le taux de convergence de $\Omega$ soit plus grand que le taux de convergence vers la distribution $f_\infty$.

<footnote n="30">30. En fait, l'équation $\frac{d}{dt}v = P_{v\perp}\Omega$ s'écrit $z' = -z$ si $z$ est la projection stéréographique de $v$ par rapport à $\Omega$.</footnote>
## 6.2 Le système de particules associé

Lorsque deux particules sont initialement au même endroit, elles le restent indéfiniment. On peut donc en fait associer des poids à chaque particule et considérer qu'elles sont initialement à des positions distinctes. On considère donc le système

$$ \frac{dv_i}{dt} = P_{v_i^\perp} J, \text{ avec } J(t) = \sum_{i=1}^{N} m_i v_i(t), \qquad (6.3) $$

où les masses $m_i$ sont N réels strictement positifs tels que $\sum_{i=1}^N m_i = 1$, et où les conditions initiales $v_i^0 \in \mathbb{S}$ (pour $1 \le i \le N$) sont telles que $v_i^0 \ne v_j^0$ pour tout $i \ne j$. Alors la mesure empirique $\mu = \sum_{i=1}^N m_i \delta_{v_i(t)}$ est solution de l'équation d'agrégation (6.2) si et seulement si les $v_i$ satisfont le système (6.3). On connaît donc le comportement d'après la section précédente, mais on peut en fait raffiner et obtenir des taux de convergence précis (et même un développement asymptotique lorsque $t \to \infty$). Comme précédemment, on suppose $J(0) \ne 0$, et on a une dictiontomie suivant le cas où $v_{back}$ est une des positions initiales des particules ou pas. Dans tous les cas, le taux de convergence de $\Omega$ vers $\Omega_\infty$ est trois fois celui de chaque particule qui converge vers $\Omega_\infty$ (et si une particule converge vers « l'arrière », son taux est également de trois fois le taux de chacune des autres particules).

**Théorème 6.2.** Si $J(0) \ne 0$, il existe $\Omega_\infty$ tel que $\Omega(t) = \frac{J(t)}{|J(t)|}$ converge vers $\Omega_\infty$ lorsque $t \to +\infty$, et on a uniquement deux types de régimes asymptotiques possibles, décrits ci-dessous.

(i) Tous les vecteurs unitaires $v_i$ convergent vers $\Omega_\infty$. Alors la convergence a lieu à taux exponentiel 1, et $\Omega$ converge vers $\Omega_\infty$ à un taux exponentiel 3. Plus précisément, pour $1 \le i \le N$, il existe des $a_i \in \{\Omega_\infty\}^\perp \subset \mathbb{R}^n$ tels que $\sum_{i=1}^N m_i a_i = 0$, et tels que l'on ait les développements suivants, lorsque $t \to +\infty$:

$$ \begin{aligned} v_i(t) &= (1 - |a_i|^2 e^{-2t}) \Omega_\infty + e^{-t} a_i + O(e^{-3t}) \quad \text{pour } 1 \le i \le N, \\ \Omega(t) &= \Omega_\infty + O(e^{-3t}). \end{aligned} $$

(ii) Il existe $i_0$ tel que $v_{i_0}$ converge vers $-\Omega_\infty$. Dans ce cas on a $m_{i_0} < \frac{1}{2}$ (une fois de plus, on ne peut pas avoir trop de masse « à l'arrière ») et en notant $\lambda = 1 - 2m_{i_0}$, le vecteur $v_{i_0}$ converge exponentiellement vite vers $-\Omega_\infty$ à un taux 3λ. De plus, tous les autres vecteurs $v_i$ pour $i \ne i_0$ convergent vers $\Omega_\infty$ à un taux λ, et $\Omega$ converge vers $\Omega_\infty$ à un taux 3λ. Plus précisément, pour $i \ne i_0$, il existe des $a_i \in \{\Omega_\infty\}^\perp \subset \mathbb{R}^n$, tels que $\sum_{i \ne i_0} m_i a_i = 0$ et tels que l'on ait les développements suivants, lorsque $t \to +\infty$:

$$ \begin{aligned} v_i(t) &= (1 - |a_i|^2 e^{-2\lambda t}) \Omega_\infty + e^{-\lambda t} a_i + O(e^{-3\lambda t}) \quad \text{pour } i \ne i_0, \\ v_{i_0}(t) &= -\Omega_\infty + O(e^{-3\lambda t}), \\ \Omega(t) &= \Omega_\infty + O(e^{-3\lambda t}). \end{aligned} $$

**Éléments de démonstration.** Ces développements asymptotiques reposent sur une première estimation pour obtenir un taux de convergence de $|J|^2$ vers $\lambda$, puis de réutiliser cette information dans l'équation d'évolution de $\Omega$ et de chaque $v_i$, plus précisément en calculant la dérivée seconde de $v_i$. Pour le cas de $v_{i_0}$ dans la deuxième situation, il faut faire un peu différemment, en montrant d'abord que $-v_{i_0}$ est dans le cône convexe engendré par les autres $v_i$ (pour contrôler sa distance à $-\Omega_\infty$), puis en utilisant la même astuce que dans la section précédente : si $y' = y + O(e^{-\beta t})$ et que d'autre part $y$ est bornée, alors on doit avoir $y = O(e^{-\beta t})$. $\square$
**Perspectives** Une extension naturelle de ces résultats serait de les généraliser pour les autres modèles étudiés dans les deux premières parties : les alignements de corps rigides ou de polymères en forme de bâtonnets (en remplaçant $\mathbb{S}$ par $SO(n)$ ou $\mathbb{S}/\{\pm 1\}$). Une manière de voir les choses est de considérer ces variétés comme des sous-variétés de sphères de dimensions plus grande (dans les matrices pour $SO(n)$, dans les matrices symétriques à trace nulle pour $\mathbb{S}/\{\pm 1\}$). On peut alors voir le modèle comme le flot-gradient de l'énergie $-\frac{1}{2} \sum_{i,j} m_i m_j ||v_i - v_j||^2$ (réminiscent du fait que l'équation d'agrégation (6.2) est également un flot-gradient de la fonctionnelle $-\frac{1}{2} |J_f|^2$ pour la distance de Wasserstein $W_2$), donc on a convergence de l'énergie vers un minimum local. La première difficulté est que l'on n'a pas $J_f = \lambda\Omega$ où $\Omega$ est un élément de la variété qui nous intéresse, donc même si $J$ converge, il ne converge pas forcément vers un élément pour lequel le flot de l'équation différentielle est facile à comprendre. En particulier les points « arrière » correspondant à $v_{\text{back}}$ ne sont plus uniques. On n'a plus également ce phénomène de « répulsion » à l'arrière. Une approche intéressante serait d'abord de mieux comprendre le cas de la sphère à l'aide de vocabulaire de systèmes dynamiques, il est en effet probable que des théorèmes généraux déjà existant puissent s'appliquer !

Un autre axe de développement concernant ces modèles avec alignement sans bruit concerne la dérivation de modèles fluides pour les modèles inhomogènes en espace. Cette thématique a récemment été l'objet de beaucoup d'attention pour les modèles de type Cucker-Smale [KMT15, DKRT18, FK19], et à ma connaissance il y a peu de résultats pour des modèles avec contrainte géométrique. Lorsqu'on cherche des solutions monocinétiques de la forme $f(t, x, \cdot) = \delta_{u(t,x)}$, on obtient des dynamiques proches de gaz sans pression. Lorsqu'on suppose que le noyau d'observation converge vers un Dirac, on obtient même formellement un découplage entre la densité et l'orientation, qui satisfait une équation de Burgers sur la sphère. Des discussions sont en cours avec Thomas Rey dans cette thématique$^{31}$.

<footnote n="31">31. Thomas, si tu lis ce mémoire, cette note de bas de page est pour toi !</footnote>
Chapitre 6. Agrégation simple sur la sphère
# Chapitre 7

## Modèles de point-milieu

### Contenu

7.1 Modèles de point-milieu sur la sphère et au-delà . . . . . . . . . . 86

7.2 Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité . . . . . . . . . . . 90

7.2.1 Stabilité locale de certaines masses de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2 Amélioration des taux de convergence des moments . . . . . . . . . . . 93

7.2.3 Convergence en temps long vers un profil auto-similaire . . . . . . . . 94

Le point de départ de ce chapitre<fnref n="32" /> est le modèle d'alignement de particules autopropulsées de Bertin, Droz et Grégoire [BDG06] : des particules, aux positions $x_i$ et avec vitesses $v_i \in \mathbb{S}$ interagissent par paires. Lorsque deux particules $i$ et $j$ interagissent, leur vitesse devient $\frac{v_i+v_j}{|v_i+v_j|}$ avec un bruit angulaire. Le modèle et sa limite cinétique ont été étudiés dans [CDW13, CCDW13, CCDW15]. La détermination des équilibres locaux pour un bruit quelconque, et ainsi la dérivation formelle de limites hydrodynamiques, comme dans les deux premières parties de ce mémoire est à ma connaissance encore un problème ouvert. Cependant, lorsqu'il n'y a pas de bruit angulaire, pour le modèle homogène en espace, on peut s'attendre comme dans le chapitre précédent à la convergence vers une masse de Dirac. C'est l'objet de la première section de ce chapitre, basée sur l'article [F7], en collaboration avec Pierre Degond et Gaël Raoul.

En notant $\mathcal{M}$ l'espace des configurations (typiquement $\mathcal{M} = \mathbb{S}$, l'ensemble des vitesses, mais on notera $x$ les éléments de $\mathcal{M}$), on considère un modèle cinétique où deux particules $x_*, x'_*$ tirées uniformément au hasard à taux constant interagissent et se retrouvent à une position donnée par le tirage d'un $x \in \mathcal{M}$ selon une loi de probabilité $K(\cdot, x_*, x'_*)$ (que l'on peut supposer symétrique en ses deux dernières variables par échangeabilité). L'équation cinétique correspondante est la suivante, pour une mesure de probabilité $\rho$ dépendant du temps, notée abusivement $\rho(t, x)dx$ même si elle n'a pas de densité :

$$ \partial_t \rho(t, x) = \int_{\mathcal{M} \times \mathcal{M}} K(x, x_*, x'_*) \rho(t, x_*) \rho(t, x'_*) dx_* dx'_* - \rho(t, x). \quad (7.1) $$

Cette équation sous forme générique recouvre de multiples modèles. Lorsque $\mathcal{M} = \mathbb{R}^d$ (vu comme un espace de vitesses), elle peut par exemple être reliée à de nombreux modèles collisionnels apparaissant en physique (Boltzmann inélastique [BCG00, CCT09, MM09], Kac inélastique [BLM11, GR12, PT04]), dans des modèles de formation d'opinion [BS09, GGS82] ou

<footnote n="32">32. La traduction française de « midpoint models » n'est pas de la meilleure sonorité, mais je ne pouvais pas sincèrement traduire « modèles du milieu » malgré l'attachement que j'ai à la Terre du même nom.</footnote>
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

des modèles économiques de redistribution de richesse [PT06, MT08, BST09, Che11, CJM21],
ou en biologie (échange de protéines entre cellules [HLFMW09, PGBL+12], ou effet de recombi-
naison dans les modèles de reproduction sexuée, en particulier le modèle dit « infinitésimal » de
Fisher [BEV17, Bul80, Fis19, TB94]). Dans la plupart de ces cas, la loi de probabilité $K(\cdot, x_*, x'_*)$
conserve le centre de masse, et on peut alors définir une énergie adaptée qui décroît pour toute
condition initiale. Il est même possible d'utiliser des méthodes de Fourier pour obtenir une des-
cription précise du comportement en temps long (on peut renvoyer aux notes de cours [CT07]
pour une description de ces méthodes). Dans le cas de la sphère, il n'y a plus de conservation
de tel moment, et l'objectif est de réussir à obtenir une énergie décroissante au moins locale-
ment au voisinage de masses de Dirac. Un autre cadre qui nous intéresse est le cas où la masse
totale n'est pas conservée, comme dans les modèles de biologie où l'opérateur de collision K
représente les naissances d'individus et où le taux de mortalité n'est pas constant en espace.
Par exemple lorsque K est une gaussienne centrée au milieu de $x_*, x'_*,$ on obtient le modèle
infinitésimal de Fisher avec sélection, où les $x$ représentent les traits, transmis par reproduction
sexuée [CGP19, Pat20]. Lorsque la variabilité est nulle, on retombe sur un modèle de point-milieu
pour le terme de reproduction, avec un taux de mortalité dépendant du trait. C'est ce modèle,
que nous avons étudié dans l'article en cours de finalisation [F19], en collaboration avec Cécile
Taing, qui est présenté dans la deuxième section de ce chapitre.

7.1 Modèles de point-milieu sur la sphère et au-delà

On travaille avec la distance de Wasserstein $W_2$ et on note $\mathcal{P}_2(\mathcal{M})$ l'ensemble des mesures de probabilité $\rho$ telles que $\int_{\mathcal{M}} d(x_0, x)^2 d\rho(x) < +\infty$. Alors si $x'_* \mapsto K(\cdot, x_*, x'_*)$ est une application k-Lipschitzienne de $\mathcal{M}$ dans $\mathcal{P}_2(\mathcal{M})$, pour un $k$ indépendant de $x_* \in \mathcal{M}$, le problème (7.1) est bien posé dans $C([0, T], \mathcal{P}_2(\mathcal{M}))$. Ceci se montre par l'équivalence entre une solution et un point fixe de l'application $(\rho_t)_{t \in [0,T]} \mapsto (\rho_0 e^t + \int_0^t e^{s-t} \int_{\mathcal{M} \times \mathcal{M}} K(\cdot, x_*, x'_*) d\rho_s(x_*) d\rho_s(x'_*) ds)_{t \in [0,T]}$.

Lorsque $\mathcal{M} = \mathbb{R}^d$ et $K(\cdot, x_*, x'_*) = \delta_{\frac{1}{2}(x_*+x'_*)}$, on obtient un modèle très simple dont la version unidimensionnelle est étudiée dans [PT06, HLFMW09] dans différents contextes. L'utilisation de la distance $W_2$ n'est pas nouvelle ici [CT07], et avec la préservation du centre de masse $\bar{x}$, comme $W_2(\rho, \delta_{\bar{x}})^2 = \int_{\mathbb{R}^d} |x - \bar{x}|^2 d\rho(x)$, on obtient facilement $\frac{d}{dt}W_2(\rho, \delta_{\bar{x}}) = -\frac{1}{4}W_2(\rho_0, \delta_{\bar{x}})$ ce qui donne la convergence exponentielle vers $\delta_{\bar{x}}$ dans tous les cas.

Le modèle qui nous intéresse est celui où $\mathcal{M} = \mathbb{S}$ et $K(\cdot, x_*, x'_*) = \delta_{x_m}$ où $x_m = \frac{x_*+x'_*}{|x_*+x'_*|}$ est le milieu de la géodésique joignant $x_*$ et $x'_*$ lorsque $x_* \neq -x'_*$. On suppose que le support de $K(\cdot, x_*, x'_*)$ est inclus dans « l'équateur » $x \cdot x_* = 0$ lorsque $x_* = -x'_*.$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Modèle de point-milieu sur la sphère.</figcaption></figure>

La première difficulté qui apparaît est que le modèle n’est pas bien posé. En fait, une petite
perturbation de points proche d’être diamétralement opposés initialement permet de construire
## 7.1. Modèles de point-milieu sur la sphère et au-delà

des solutions qui sont aussi proches que l'on veut l'une de l'autre initialement mais dont la distance au temps $t = 4$ est bornée par en-dessous par exemple. On peut modifier le modèle de telle sorte que l'interaction soit régulière tout en gardant la propriété que la mesure $K(\cdot, x_*, x'_*)$ est concentrée au milieu de $(x_*, x'_*)$ lorsque $x_*$ et $-x'_*$ sont suffisamment éloignés. On décrira de telles généralisations en fin de section, mais on peut quand même obtenir des résultats sur les solutions du modèle initial, en supposant qu'elles existent.

La deuxième difficulté est l'absence de conservation d'un moment autour duquel on peut définir une énergie. Par exemple, pour le cas du cercle, on peut regarder l'angle de la vitesse moyenne, et on s'aperçoit qu'il n'est pas conservé.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – Simulation numérique du modèle de point milieu sur le cercle. À gauche, la solution $x \mapsto \rho(t, x)$ à divers temps (ici $x = e^{i\theta}$). À droite, l'argument $\theta_1(t)$ du centre de masse $\int_{x \in \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{C}} x\rho(t, x) dx$, en fonction du temps $t$.</figcaption></figure>

Pour s'en sortir, on observe ceci : sur $\mathbb{R}^d$, on a

$$ \int_{\mathbb{R}^d} |x - \bar{x}|^2 d\rho(x) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d} |x - y|^2 d\rho(x) d\rho(y), $$

et le terme de droite de cette égalité peut être défini de la même manière sur un espace métrique, et donne un contrôle sur la distance de la probabilité $\rho$ à l'ensemble des masses de Dirac.

**Lemme 7.1. On définit**

$$ E(\rho) = \int_{\mathbb{S} \times \mathbb{S}} d(x, y)^2 d\rho(x) d\rho(y), $$

Si $\rho \in \mathcal{P}(\mathbb{S})$, on a pour tout $x \in \mathbb{S}$,

$$ E(\rho) \le 4 W_2(\rho, \delta_x)^2, $$

et il existe $\bar{x} \in \mathbb{S}$ tel que

$$ W_2(\rho, \delta_{\bar{x}})^2 \le E(\rho). \quad (7.2) $$

Dans ce cas, pour tout $\kappa > 0$, on a les inégalités de type Markov suivantes :

$$ \int_{\{x \in \mathbb{S}; d(x, \bar{x}) \ge \kappa\}} d\rho(x) \le \frac{1}{\kappa^2} E(\rho), \quad \text{et} \quad \int_{\{x \in \mathbb{S}; d(x, \bar{x}) \ge \kappa\}} d(x, \bar{x}) d\rho(x) \le \frac{1}{\kappa} E(\rho). $$

L'idée est alors de calculer la dérivée de $E$ en espérant avoir une estimation de type Grönwall lorsque la solution est proche d'une masse de Dirac en distance $W_2$, ce qui est équivalent au fait que $E$ est petit. L'énergie $E$ est donc une fonction de Lyapunov au voisinage de toute masse de Dirac. Le résultat principal de [F7] est le théorème suivant :
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

**Théorème 7.1.** Il existe $C_1 > 0$ et $\eta > 0$ tels que pour toute solution $\rho \in C(\mathbb{R}_+, P(\mathbb{S}))$ de (7.1) avec condition initiale $\rho_0$ satisfaisant $W_2(\rho_0, \delta_{x_0}) < \eta$ pour un $x_0 \in \mathbb{S}$, alors il existe $x_\infty \in \mathbb{S}$ tel que

$$W_2(\rho_t, \delta_{x_\infty}) \le C_1 W_2(\rho_0, \delta_{x_0}) e^{-t/4}.$$

Ce taux de convergence, le même que dans $\mathbb{R}^d$, est optimal au sens où si on prend une condition initiale supportée sur une géodésique de longueur strictement inférieure à $\pi$, on peut se ramener à un modèle de point-milieu sur un segment de $\mathbb{R}$. Avant de donner la stratégie de la démonstration, on peut observer sur la simulation numérique de la solution donnée dans la Figure 7.2 que la décroissance exponentielle n’est pas immédiate. Il existe même des configurations où l’énergie croît initialement (par exemple si on démarre avec une perturbation de trois distributions de Dirac de même masse aux sommets d’un triangle équilatéral, la solution s’approche d’abord d’un état proche de l’uniforme, pour lequel l’énergie est strictement supérieure).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Énergie $E(\rho(t, \cdot))$ pour la simulation numérique présentée en Figure 7.2 (en échelle semi-logarithmique à droite). On observe que l’énergie décroît lentement lorsque la densité est proche de la distribution uniforme (pour $t \sim 3$, cf. Figure 7.2). Pour $t \gtrsim 10$, l’énergie semble décroître exponentiellement comme $t \mapsto e^{-t/2}$ (ligne pointillée), comme prévu par le Théorème 7.1.</figcaption></figure>

*Ingrédients de la preuve du Théorème 7.1.* On a

$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} E(\rho) = \int_{\mathbb{S} \times \mathbb{S} \times \mathbb{S}} \alpha(x_*, x'_*, y) d\rho(x_*) d\rho(x'_*) d\rho(y).$$

où

$$\alpha(x_*, x'_*, y) = \int_{\mathbb{S}} d(x, y)^2 K(x, x_*, x'_*) dx - \frac{d(x_*, y)^2 + d(x'_*, y)^2}{2},$$

correspond à la variation locale en $y$ de l'énergie provenant de la collision entre deux particules situées en $x_*$ et $x'_*$. La clé pour obtenir une décroissance de l'énergie est d'obtenir de bonnes estimations sur cette quantité $\alpha$. En particulier, si on veut obtenir un taux $\frac{1}{4}$, on espère montrer que $\alpha(x_*, x'_*, y)$ est proche de $-\frac{1}{4}d(x_*, x'_*)^2$. Il se trouve que si on était sur $\mathbb{R}^d$, on a exactement $\alpha(x_*, x'_*, y) = -\frac{1}{4}d(x_*, x'_*)^2$ : c'est le théorème de la médiane (ou théorème d'Apollonius) dans le triangle $(x_*, x'_*, y)$ (voir Figure 7.4) !

On veut donc comprendre à quel point on est loin de cela. On a en fait les deux estimations suivantes (une « locale » qui estime l'erreur par rapport à la formule d'Apollonius lorsque les trois points sont proches, que donc le triangle est proche d'être plan, et une globale, qui utilise
7.1. Modèles de point-milieu sur la sphère et au-delà

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

FIGURE 7.4 – $\alpha(x_*, x'_*, y) = m^2 - \frac{1}{2}(b^2 + b'^2)$, proche de $-a^2 = -\frac{1}{4}d(x_*, x_*)^2$ lorsque les points sont proches.

simplement des inégalités triangulaires) :

$$ \alpha(x_*, x'_*, y) \le -\frac{1}{4}d(x_*, x'_*)^2 + \begin{cases} C_1 \kappa^2 d(x_*, x'_*)^2, & \text{si } \max(d(x_*, y), d(x'_*, y), d(x_*, x'_*)) \le \kappa, \\ 2 d(x_*, x'_*) \min(d(x_*, y), d(x'_*, y)), & \forall x_*, x'_*, y \in \mathbb{S}. \end{cases} $$

L'estimation locale est uniforme en $\kappa \le \kappa_1 < \frac{2\pi}{3}$. On coupe alors l'intégrale triple que l'on veut estimer en différents morceaux dans lesquels on applique l'une ou l'autre des estimations, et en utilisant les inégalités de type Markov et Cauchy-Schwarz pour $\kappa = E(\rho)^{\frac{1}{6}}$, on obtient au final

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} E(\rho) \le -\frac{1}{4} E(\rho) + C_0 E(\rho)^{\frac{4}{3}}, $$

pour une constante $C_0$ explicite, ce qui donne le résultat de décroissance de $E$. Pour passer en distance de Wasserstein, il faut contrôler le déplacement de $\bar{x}$ donné par (7.2), pour cela on montre que $d(\bar{x}(t), \bar{x}(t'))^2$ converge vers 0 à un taux exponentiel lié au taux de convergence de $E$, et on obtient bien le résultat voulu. $\square$

On étend ensuite ces résultats à une variété Riemannienne quelconque par des théorèmes de comparaison, qui permettent d'obtenir de nouveau ces estimations locales de $\alpha$, à partir du moment où la variété a un rayon d'injectivité strictement positif et une courbure sectionnelle bornée par en-dessus, en transférant les résultats d'une sphère de courbure constante $K_{max}$ vers la variété.

L'hypothèse que l'on fait sur le noyau de collision est que dans tous les cas, le support de $K(\cdot, x_*, x'_*)$ est inclus dans les milieux des segments de toutes les géodésiques de longueur minimale joignant $x_*$ et $x'_*.

Enfin, dans une dernière partie de l'article [F7], avec des calculs plus techniques, on étend le résultat (sous conditions de courbure sectionnelle cette fois-ci bornée par en-dessous) à des modèles laissant un peu plus de liberté que les points milieux stricts, mais qui permet quand même d'obtenir convergence vers un Dirac. La propriété de contraction par un facteur $\beta < 1$ dont on a besoin est la suivante : lorsque une particule $x'_*$ interagit avec une particule $x_*$ pour se retrouver en $x$, alors la moyenne de $d(x, x_*)^2$ est inférieure à $\frac{1}{4}(1+\beta)d(x_*, x_*)^2$. On peut montrer
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

que pour $\beta = 0$ c'est équivalent à être au milieu d'une géodésique minimale joignant $x_*$ et $x'_*$. Prendre $\beta > 0$ permet de se laisser un peu de marge et en particulier considérer des modèles plus réguliers. Par exemple le processus de « bruit extrinsèque » qui consiste, pour une particule située en $x_*$, de d'abord bruiter la position $x'_*$ de la particule avec laquelle elle interagit, d'un (petit) facteur proportionnel à $d(x_*, x'_*)$ (cela peut modéliser l'influence de l'environnement, et la difficulté de localiser une particule située loin), puis à prendre le point milieu avec cette particule fictive bruitée. Sur la sphère cela donne un modèle bien posé au sens de la distance $W_2$. On obtient alors (sous des hypothèses additionnelles, techniques mais pas trop restrictives, comme la symétrie de l'interaction par rapport au point milieu lorsque les particules sont proches, ainsi qu'un contrôle d'un moment de $K$ d'ordre $p > 2$) que le même théorème est valable, mais cette fois-ci avec un taux de convergence $\frac{1}{4}(1 - \beta)$.

## 7.2 Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité

Dans cette section, basée sur l'article en cours de finalisation [F19], en collaboration avec Cécile Taing, on étudie un modèle de populations sexuées structurées par un trait phénotypique $x \in \mathbb{R}$. Si $f(t, \cdot)$ est la densité de population au temps $t$, le modèle est le suivant

$$ \partial_t f(t, x) = B_0[f(t, \cdot)](x) - m(x)f(t, x), \quad (7.3) $$

où $B_0$ est l'opérateur de transmission du trait par les parents :

$$ B_0[f](x) := \iint_{\mathbb{R}^2} \delta_0 \left( x - \frac{z_1 + z_2}{2} \right) f(z_1) \frac{f(z_2)}{\int_{\mathbb{R}} f(z') dz'} dz_1 dz_2, \quad (7.4) $$

que l'on interprète comme le nombre de descendants avec trait $x$ par unité de temps. L'opérateur $B_0$ traduit l'hypothèse qu'un descendant hérite exactement du trait moyen de ses deux parents $\frac{1}{2}(z_1 + z_2)$, et inclut une normalisation par la densité totale, pour illustrer le fait que le trait d'un partenaire est choisi uniformément parmi toute la population. Le modèle (7.3) est donc un modèle où chaque individu se reproduit avec un taux 1 et meurt avec un taux de mortalité $m(x)$. On ne suppose pas a priori que $m(x)$ est positif (ce qui pourrait traduire le fait que certains individus se reproduisent également de façon asexuée), mais on suppose que $m$ est bornée par en-dessous (on verra que cela revient au même lorsqu'on s'intéresse à la densité normalisée pour laquelle ajouter une constante à $m$ ne change pas l'évolution).

Lorsqu'on remplace $\delta_0$ dans (7.4) par une gaussienne centrée de variance $\varepsilon^2$, on obtient l'opérateur qui apparaît dans le modèle infinitésimal de Fisher [Fis19, Bul80, BEV17], où les descendants héritent du trait moyen de leurs parents avec une certaine variabilité. D'un point de vue de l'étude mathématique de problèmes similaires à (7.3), l'opérateur infinitésimal de Fisher apparaît dans différents travaux [MR13, Rao17, Dek22, Rao21, CLP21], et notre modèle correspond au cas $\varepsilon = 0$ des articles [CGP19, Pat20], dans lesquels le régime de petite variance est étudié.

Dans le cas où $m = 1$, on retrouve exactement le modèle de point-milieu de la section précédente sur $\mathbb{R}$ : les particules se reproduisant et mourant au même taux 1, cela revient à remplacer deux particules tirées uniformément au hasard par leurs deux descendants avec un trait correspondant au milieu des traits des parents. On peut alors ici préciser un peu les résultats connus [PT06, CT07, MT08] :

- le centre de masse $\bar{x}$ est conservé,

- le second moment $m_2 = \int_{\mathbb{R}} |x - \bar{x}|^2 f(t, x) dx$ est donné par $m_2(0)e^{-t/2}$, donc la solution converge vers la masse de Dirac au point $\bar{x}$ (en distance $W_2$),
## 7.2. Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité

— si on passe en échelle auto-similaire en posant $\gamma(t, x) = \sqrt{m_2(0)}e^{-\frac{t}{4}}f(t, \sqrt{m_2(0)}e^{-\frac{t}{4}}x + \bar{x})$, alors $\gamma$ est une densité centrée et de variance 1 qui converge vers l'unique profil auto-similaire $\gamma_{\infty}(x) = \frac{2}{\pi(1+x^2)^2}$, qui a seulement des moments d'ordre $s$ pour $s < 3$.

La convergence vers le profil auto-similaire a lieu dans l'ensemble des mesures de probabilité, centrées, de variance 1 et avec moment d'ordre $s$ fini pour $s \in ]2, 3[$ et pour la distance de Fourier $d_s(\gamma_1, \gamma_2) = \sup_{\xi \neq 0} \frac{|\hat{\gamma}_1(\xi) - \hat{\gamma}_2(\xi)|}{|\xi|^s}$ (qui rend cet espace complet).

Travailler en Fourier est particulièrement adapté, en effet on a $\hat{B}_0[\gamma](\xi) = \hat{\gamma}(\xi/2)^2$, et l'opérateur $B_0$ est une contraction d'un facteur $2^{1-s}$ dans cet espace: $d_s(B_0[\gamma_1], B_0[\gamma_2]) = 2^{1-s}d_s(\gamma_1, \gamma_2)$. Lorsque $s > 2$, on obtient donc une contraction légèrement meilleure que $\frac{1}{2}$ (qui est par exemple le taux de contraction de $B_0$ dans la distance $W_2$). Et ceci se traduit dans l'équation d'évolution par un taux de contraction $e^{-\lambda_s t}$ entre deux solutions, avec $\lambda_s = 1 - \frac{s}{4} - 2^{1-s} > 0$ pour $s \in ]2, 3[$ (le coefficient $\lambda_s$ est une fonction strictement concave de $s$ qui vaut 0 en 2 et en 3).

L'objectif principal de notre article [F19] est d'étendre ces résultats au cas d'un taux de mortalité variable.

### 7.2.1 Stabilité locale de certaines masses de Dirac

On commence à montrer que le problème est bien posé au sens des mesures. On note $M_+$ l'ensemble des mesures (positives) finies (on notera par abus de notation $f(x)dx$ même si $f$ n'a pas de densité) et on a :

**Théorème 7.2.** Si $m$ est mesurable et bornée par en-dessous, alors pour toute mesure $f^0 \in M_+$, il existe une unique solution faible $f \in C(\mathbb{R}_+, M_+)$ au modèle (7.3), au sens où pour tout borélien $A \subset \mathbb{R}$, on a pour tout $t \ge 0$

$$ \int_A f(t, x)dx = \int_A e^{-m(x)t} f^0(x)dx + \int_0^t \int_A e^{-m(x)(t-s)} B_0[f(s, \cdot)](x)dx ds. $$

De plus si on a pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $\int_{\mathbb{R}} |x|^k f^0(x)dx < +\infty$, alors pour tout $t \ge 0$, $f$ a aussi un moment d'ordre $k$ fini. Plus précisément, si $m \ge -K$ on a

$$ \int_{\mathbb{R}} |x|^k f(t, x)dx \le e^{(K+1)t} \int_{\mathbb{R}} |x|^k f^0(x)dx. $$

Enfin, si $\rho_0 = \int_{\mathbb{R}} f^0(x)dx > 0$, alors pour tout temps on a $\rho = \int_{\mathbb{R}} f(t, x)dx > 0$.

Ce théorème découle du fait que $B_0$ est 3-Lipschitzienne pour la norme en variation totale des mesures, et préserve les bornes sur les moments: $\int_{\mathbb{R}} |x|^k B_0[f](t, x)dx \le \int_{\mathbb{R}} |x|^k f(x)dx$.

On écrit donc $g = \frac{1}{\rho}$ et on s'intéresse à l'évolution de la mesure de probabilité $g$. L'objectif est de pouvoir décrire le comportement en temps long de $g$ si $g_0$ est suffisamment proche d'une masse de Dirac (qui est alors un état stationnaire). On se donne alors une certaine hypothèse de régularité sur $m$ pour pouvoir estimer l'évolution des moments de $g$.

**Hypothèse 7.1.** On suppose qu'il existe une fonction continue et positive $\alpha$ et un $\beta \ge 0$ tels que pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, on ait

$$ |m(x) - m(y)| \le \alpha(y) |x - y| + \beta |x - y|^2. $$

Cette hypothèse est par exemple valide dès que $m$ est Lipschitz ou $C^2$ avec une dérivée seconde bornée. Ceci permet d'inclure dans nos résultats le cas quadratique $m(x) = x^2$.
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

Cette supposition permet alors de calculer l'évolution des moments de g, lorsque $g_0$ a initialement un moment d'ordre 4 (pour pouvoir calculer l'évolution du centre de masse $\bar{x}$, on a besoin d'un moment d'ordre 3 seulement, mais on ne calcule au final que l'évolution des moments impair).

On note $\bar{x} = \int_{\mathbb{R}} xg(t, x)dx$ le centre de masse, et on définit les quantités suivantes (les moments centrés de g, et des moments pondérés par m, qui sont nuls si m est constant) :

$$ 
\begin{aligned}
M_k(t) &= \int_{\mathbb{R}} (x - \bar{x}(t))^k g(x)dx, \\
S_k(t) &= \int_{\mathbb{R}} (x - \bar{x}(t))^k (m(x) - m(\bar{x}(t)))g(x)dx.
\end{aligned}
$$

On note également $M_k^0 = M_k(0)$ les moments de $g_0$. On a alors $M_0 = 1$, $M_1 = 0$ et $\frac{d}{dt}\bar{x} = -S_1$. Et pour tout $k \ge 0$, si $g_0$ a un moment d'ordre $k+2$, l'évolution de $M_k$ s'écrit:

$$ \frac{d}{dt} M_k = -(1 - \frac{1}{2^{k-1}})M_k + \frac{1}{2^k} \sum_{i=2}^{k-2} \binom{k}{i} M_{k-i} M_i - S_k + S_0 M_k + k S_1 M_{k-1}. $$

En pratique, pour $k \ge 4$ pair, on peut même utiliser cette équation d'évolution pour obtenir une inégalité dans le cas où $g_0$ a seulement un moment d'ordre $k$, le seul terme éventuellement mal défini étant $-S_k$, qui peut valoir $-\infty$. Comme on s'intéresse à des majorations, c'est suffisant. L'évolution des moments d'ordre 2 et 4 s'écrit donc

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} M_2 &= -\frac{1}{2} M_2 - S_2 + S_0 M_2, \\
\frac{d}{dt} M_4 &= -\frac{7}{8} M_4 + \frac{3}{8} M_2^2 + 4S_1 M_3 - S_4 + S_0 M_4.
\end{aligned}
\qquad (7.5) $$

On voit donc que si on démarre suffisamment proche d'un Dirac, on peut espérer avoir $S_0 \ll 1$, mais pour avoir $S_2 \ll M_2$ et ainsi obtenir une convergence exponentielle de taux $\frac{1}{2}$ comme dans le cas $m$ constant, ce n'est pas aussi simple. La seule estimation que l'on peut faire en utilisant la borne de $m$ par en-dessous, c'est $-S_2 \le (m(\bar{x}) - \inf_{\mathbb{R}} m)M_2$. On peut donc s'attendre à de la convergence exponentielle lorsque $m(\bar{x}) - \inf_{\mathbb{R}} m < \frac{1}{2}$, et c'est effectivement avec ce critère que l'on va montrer tous nos résultats de stabilité et de convergence. On note

$$ \eta(x) = \inf_{\mathbb{R}} m + \frac{1}{2} - m(x), $$

qui est une quantité dans $[0, \frac{1}{2}]$. On montre alors que les masses de Dirac en $\bar{x}_0$ pour les quelles $\eta(\bar{x}_0) > 0$ sont stables :

**Proposition 7.1.** Si initialement $\eta(\bar{x}_0) > 0$, alors pour tous $\delta, \delta_0$ tels que $0 < \delta < \delta_0 < \eta(\bar{x}_0)$, si $M_4^0$ est suffisamment petit, on a pour tout $t > 0$ :

$$ 
\begin{aligned}
\eta(\bar{x}(t)) &\ge \delta_0, \\
M_2(t) &\le M_2^0 e^{-\delta t}, \\
M_4(t) &\le M_4^0 e^{-\delta t}.
\end{aligned}
$$

De plus, dans ce cas, $\bar{x}(t)$ converge exponentiellement vite vers un $\bar{x}_\infty \in \mathbb{R}$. Par conséquent, cela signifie que si $g$ est initialement suffisamment proche d'une masse de Dirac en $\bar{x}_0$ (pour $W_4$), alors elle converge exponentiellement vite vers une masse de Dirac en un point $\bar{x}_\infty$.
## 7.2. Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité

La preuve consiste à regarder les équations d'évolution de $M_2$, $M_4$ au voisinage de 0 en utilisant le fait que $S_2 \ge (\eta(\bar{x}) - \frac{1}{2})M_2$ et $S_4 \ge (\eta(\bar{x}) - \frac{1}{2})M_4$, puis en les combinant avec celle du centre de masse $\bar{x}(t)$ pour contrôler son déplacement, et ainsi rester dans un voisinage dans lequel $\eta(\bar{x}(t)) \ge \delta_0$.

Les taux de convergence ne semblent pas optimaux comparés au cas où $m$ est constant, mais on voit que le taux obtenu s'approche de $\frac{1}{2}$ lorsque la mortalité associée à la position initiale $\bar{x}_0$ du centre de masse est proche de la mortalité minimale. On peut remarquer également que si on suppose que $m$ est globalement Lipschitz, on a seulement besoin d'un moment d'ordre deux initialement, ainsi que seulement de l'évolution de $M_2$, pour obtenir donc une stabilité locale pour la distance $W_2$. Si on suppose moins de contrôle de $m$ (par exemple une croissance polynomiale), il faudrait alors considérer plus de moments, au prix d'une technicité plus élevée, mais la méthode peut fonctionner de la même manière.

### 7.2.2 Amélioration des taux de convergence des moments

Lorsqu'on cherche à établir la convergence vers un profil autosimilaire, on verra dans la prochaine sous-section qu'on a besoin d'estimations précises sur les taux de convergence des moments $M_2$, $M_4$, et $M_6$. Celles obtenues dans la Proposition 7.1 ne sont pas suffisantes, et on peut d'ailleurs voir qu'elles ne sont pas optimales en observant que le contrôle que l'on utilisait pour $S_2$ (qui utilisait une borne globale sur $m$) peut maintenant être raffiné avec la connaissance du fait que $M_4$ converge exponentiellement vers 0. On a en effet par Cauchy-Schwarz $|S_2| \le \alpha(\bar{x})\sqrt{M_2M_4} + \beta M_4$. Et ceci montre que si on a un taux de convergence amélioré $\lambda_4$ pour $M_4$, alors $\min(\frac{1}{2}, \lambda_4)$ est un taux de convergence pour $M_2$. Mais comme on a aussi un taux de convergence, disons $\lambda_2$ pour $M_2$, le terme en $M_2^2$ dans (7.5) peut également être estimé grâce à cela. Et on obtient que $\min(\frac{3}{8} + \delta_0, 2\lambda_2)$ est également un taux de convergence pour $M_4$. En itérant ce processus on obtient des taux de convergence nettement améliorés pour $M_2$ et $M_4$. Pour être précis on aura besoin de contrôler les constantes dans les estimations de convergence, qui sont également souvent de la forme « pour tout $\tilde{\lambda} < \lambda$, on a décroissance à taux $\tilde{\lambda}$ ». On adopte alors la définition suivante :

**Définition 7.1.** On dit qu'une quantité positive $y$ (qui peut dépendre de plusieurs paramètres) a une décroissance contrôlée par un paramètre $\sigma$ avec un taux presque $\lambda$ si pour tout $\tilde{\lambda} < \lambda$, il existe une constante $C(\sigma)$ convergeant vers 0 lorsque $\sigma \to 0$, et telle que pour tout $t > 0$ on ait $y(t) \le C(\sigma)e^{-\tilde{\lambda}t}$.

**Proposition 7.2.** Sous les mêmes hypothèses que 7.1, $M_2$ and $M_4$ ont des décroissances contrôlées par $M_4^0$ et avec des taux presque $\min(\frac{1}{2}, \frac{3}{8} + \delta_0)$ et presque $(\frac{3}{8} + \delta_0)$.

Ces taux sont considérablement améliorés par rapport à la proposition 7.1, en particulier ils ne convergent pas vers 0 lorsque l'on est proche de la limite au-delà de laquelle on ne sait pas si les masses de Dirac sont stables (on suspecte en fait qu'elles ne le sont pas génériquement, mais par exemple on sait qu'elles sont stables par perturbation à support compact, puisqu'à ce moment-là comme le modèle conserve le support, il suffit de modifier le minimum de $m$ sans changer sa valeur dans le support, et ainsi retrouver le résultat de stabilité de la proposition (7.1)).

Mais encore une fois, on s'aperçoit que ces taux ne sont pas suffisants pour l'étude de la convergence vers le profil auto-similaire. Comme on ne désespère pas, on regarde alors les moments d'ordre supérieur (on verra de toute façon qu'on a besoin de contrôler $M_6$), et on s'aperçoit que la technique d'amélioration entre $M_2$ et $M_4$ fonctionne aussi entre $M_4$ et $M_6$, puisqu'on peut alors contrôler $S_4$ grâce à $M_6$: $|S_4| \le \alpha(\bar{x})\sqrt{M_4M_6} + \beta M_6$. Une fois qu'on a amélioré le taux
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

pour $M_4$, alors cela améliore également le taux pour $M_2$. On peut ensuite faire marcher ceci entre $M_6$ et $M_8$ et ainsi de suite. La bonne manière est d'abord d'obtenir un taux amélioré pour $M_{2k}$ à partir simplement de la proposition (7.2) par récurrence montante sur $k$, puis lorsqu'on arrive à un $2k_0$ suffisant, de faire une récurrence descendante pour revenir à $M_2$. Et on voit alors bien ici quels sont les taux optimaux que l'on peut espérer :

**Proposition 7.3.** *Sous les mêmes hypothèses, si $M_{2k_0}^0$ est fini, alors pour tout $k \le k_0$, $M_{2k}$ a une décroissance contrôlée par $M_{2k_0}^0$ et avec un taux presque $\min(1 - \frac{1}{2^{2k-1}}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2k_0-1}} + \delta_0)$.*

On sait que l'on ne peut pas avoir mieux que $1 - \frac{1}{2^{2k-1}}$ pour le taux de convergence de $M_{2k}$, ce qui correspond au cas où $m$ est constant. Cependant, on voit que si on accès à un moment $k_0$ assez grand, le taux que l'on obtient est en fait proche de $\min(1 - \frac{1}{2^{2k-1}}, \frac{1}{2} + \delta_0)$. En particulier pour $M_2$ on obtient le taux $\frac{1}{2}$ correspondant au cas où $m$ est constant !

C'est donc sur les moments d'ordre supérieur, si $\delta_0$ est petit (c'est à dire que l'on n'est pas proche du minimum de $m$), que l'on voit qu'on n'a pas un taux correspondant au taux du cas où $m$ est constant. Cependant on obtient quand même un taux de convergence strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ pour les moments à partir de $M_4$, et c'est essentiel pour la suite.

Le dernier petit problème que l'on a, c'est qu'en fait on aura besoin de contrôler $\frac{M_4}{M_2}...$. Donc on n'a pas seulement besoin de montrer que le taux de $M_4$ est strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ mais aussi que $M_2$ se comporte asymptotiquement comme $e^{-\frac{t}{2}}$, comme dans le cas où $m$ est constant. Pour cela on a besoin d'une hypothèse supplémentaire : qu'initialement un des moments $M_{2k_0}$ soit petit devant $M_2$.

**Proposition 7.4.** *Sous les mêmes hypothèses, si $\frac{1}{2^{2k_0-1}} < \delta_0$ et si $\frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0}$ est suffisamment petit, alors $\frac{M_{2k_0}}{M_2}$ a une décroissance contrôlée par $\frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0}$ et avec un taux presque $(\delta_0 - \frac{1}{2^{2k_0-1}})$.*

*De plus, dans ce cas, il existe $C_{k_0}(\frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0})$, convergeant vers 1 lorsque $\frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0} \to 0$, et tel que*

$$M_2(t) \ge C_{k_0} \left( \frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0} \right) M_2^0 e^{-\frac{t}{2}}.$$

*Par conséquent, pour tout $k \ge 2$ (avec $k \le k_0$), $\frac{M_{2k}}{M_2}$ a une décroissance contrôlée par $\frac{M_{2k_0}^0}{M_2^0}$ et avec un taux presque $\min(\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2k-1}}, \delta_0 - \frac{1}{2^{2k_0-1}})$.*

Cette proposition se démontre également en utilisant la Proposition 7.3, mais on a besoin de raffiner un lemme d'inégalités différentielles (linéaires) que l'on utilisait de nombreuses fois, en le remplaçant par un lemme non-linéaire, et c'est ici que la condition « $\frac{M_{2k_0}}{M_2}$ suffisamment petit » apparaît.

Cette condition n'est pas forcément satisfaite pour toute solution suffisamment proche en distance de Wasserstein d'une masse de Dirac. Mais c'est le cas si on se donne un profil arbitraire et qu'on le change d'échelle autour de $\bar{x}_0$ par un facteur $\varepsilon$ petit : tout moment $M_{2k}$ est alors multiplié par un facteur $\varepsilon^{2k}$. Au prix d'une notion de stabilité un peu plus faible, cela permet quand même d'obtenir une convergence vers un profil auto-similaire, comme on va le voir dans la sous-section suivante.

### 7.2.3 Convergence en temps long vers un profil auto-similaire

On s'intéresse maintenant au comportement en échelle auto-similaire, en posant

$$\gamma(t, x) = \sqrt{M_2 g(t, \sqrt{M_2}x + \bar{x})}.$$
## 7.2. Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité

On a donc une probabilité centrée, avec une variance 1. Et on travaille donc avec la distance de Fourier $d_s(\gamma_1, \gamma_2) = \sup_{\xi \neq 0} \frac{|\hat{\gamma}_1(\xi) - \hat{\gamma}_2(\xi)|}{|\xi|^s}$, pour $s \in ]2, 3[$.

Après manipulations, on obtient l'équation suivante pour $\gamma$ :

$$ \partial_t \gamma = Q(\gamma) + R(t, \gamma). $$

où, en posant $\varepsilon(t, x) = m(\sqrt{M_2}x + \bar{x}(t)) - m(\bar{x}(t))$ (qui est petit si $M_2$ l'est), on a noté

$$ \begin{aligned} Q(\gamma) &= B_0[\gamma] - \gamma - \frac{1}{4}(\gamma + x\partial_x\gamma), \\ R(t, \gamma) &= (S_0 - \varepsilon)\gamma + \frac{1}{2}\left(S_0 - \frac{S_2}{M_2}\right)(\gamma + x\partial_x\gamma) - \frac{S_1}{\sqrt{M_2}}\partial_x\gamma. \end{aligned} $$

Le terme de reste $R$ vaut 0 lorsque $m$ est constant, c'est ce terme qu'on espère contrôler. On sait que le terme $Q$ donne de la contraction pour la distance $d_s$ lorsque $s \in ]2, 3[$. Comme on connaît a priori le profil autosimilaire $\gamma_\infty$ (c'est l'unique solution de $Q(\gamma) = 0$), on a simplement besoin d'estimer la distance entre $\gamma$ et $\gamma_\infty$, et pour faire marcher l'estimation de type Grönwall, on a simplement besoin de contrôler $\sup_{\xi \neq 0} \frac{|\widehat{R(t, \gamma)}(\xi)|}{|\xi|^s}$:

**Proposition 7.5.** On pose $\gamma_\infty(x) = \frac{2}{\pi(1+x^2)^2}$, donné également par $\hat{\gamma}_\infty(\xi) = (1 + |\xi|)e^{-|\xi|}$, qui vérifie $Q(\gamma_\infty) = 0$. On prend $s \in ]2, 3[$ et on pose $\lambda_s = 1 - \frac{s}{4} - 2^{1-s}$ (on a $\lambda_s > 0$ par stricte concavité). On suppose qu'il existe $K > 0$ and $c > 0$ tels que $|\widehat{R(t, \gamma)}(\xi)| \le |\xi|^s K e^{-ct}$ pour tout $\xi \in \mathbb{R}$ et tout $t \ge 0$ (on suppose sans perte de généralité que $c < \lambda_s$).

Alors pour tout temps, on a

$$ \begin{gathered} d_s(\gamma, \gamma_\infty)(t) \le d_s(\gamma_0, \gamma_\infty)e^{-\lambda_s t} + \tilde{K}e^{-ct}, \\ \text{avec } \tilde{K} = \left( \frac{1}{\lambda_s - c + 2^{1-s}} + \frac{2^{1-s}}{(\lambda_s - c + 2^{1-s})(\lambda_s - c)} \right) K. \end{gathered} $$

*Démonstration.* On écrit tout en Fourier, en une formulation de type Duhamel (et en repassant avec les variables « presque » originales, on remet $e^{-t/4}$ à la place de $\sqrt{M_2}$) :

$$ e^t \hat{\gamma}(t, e^{-t/4} \xi) = \hat{\gamma}_0 + \int_0^t e^\tau \hat{\gamma}(\tau, e^{-\tau/4} \xi/2)^2 d\tau + \int_0^t e^\tau R(\tau, \gamma(\tau, \cdot))(e^{-\tau/4} \xi) d\tau. $$

En l'écrivant pour le profil autosimilaire (avec $R = 0$), on a aussi

$$ e^t \hat{\gamma}_\infty(e^{-t/4} \xi) = \hat{\gamma}_\infty + \int_0^t e^\tau \hat{\gamma}_\infty(e^{-\tau/4} \xi/2)^2 d\tau. $$

Après manipulations, on arrive à l'estimation de Grönwall suivante (ne faisant plus apparaître les variables originales ici à l'intérieur de $\gamma$, puisqu'on a pris un supremum sur les $\xi$) :

$$ e^{(1-s/4)t} d_s(\gamma, \gamma_\infty)(t) \le d_s(\gamma_0, \gamma_\infty) + 2^{1-s} \int_0^t e^{(1-s/4)\tau} d_s(\gamma, \gamma_\infty)(\tau) d\tau + K' e^{(1-s/4-c)t}. $$

avec $K' = \frac{K}{1 - \frac{s}{4} - c} = \frac{K}{\lambda_s - c + 2^{1-s}}$. La résolution de cette inégalité de Grönwall donne bien le résultat attendu. $\square$
Chapitre 7. Modèles de point-milieu

Il reste donc à obtenir une estimation de $\widehat{R}(t, \gamma)$. En écrivant les dérivées successives (par rapport à $\xi$) en 0, et en remarquant que $\widehat{R}(t, \gamma)(0) = \widehat{R}(t, \gamma)'(0) = \widehat{R}(t, \gamma)''(0)$, on obtient des estimations suivantes

$$ 
\begin{aligned}
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le \left(\frac{1}{2}\|\widehat{\varepsilon\gamma}\|_{\infty} + \|\widehat{\varepsilon\gamma}'\|_{\infty} + \|\widehat{\varepsilon\gamma}''\|_{\infty}\right)|\xi|^2, \\
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le \left(\frac{1}{12}(\|\widehat{\varepsilon\gamma}\|_{\infty} + 3\|\widehat{\varepsilon\gamma}''\|_{\infty})\|\widehat{\gamma}'''\|_{\infty} + \frac{1}{2}\|\widehat{\varepsilon\gamma}'\|_{\infty} + \frac{1}{6}\|\widehat{\varepsilon\gamma}'''\|_{\infty}\right)|\xi|^3,
\end{aligned}
$$

Et on montre qu'on peut borner les normes infinies par des expressions en fonction des différents moments :

$$ 
\begin{aligned}
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le \frac{5}{2}\left(\alpha(\bar{x})\sqrt{\frac{M_4}{M_2}} + \beta\frac{M_4}{M_2}\right)|\xi|^2, \\
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le \left(\alpha(\bar{x})\frac{M_4}{M_2^{\frac{3}{2}}} + \beta\frac{\sqrt{M_4 M_6}}{M_2^{\frac{3}{2}}}\right)|\xi|^3.
\end{aligned}
$$

On peut alors y intégrer les résultats de la sous-section précédente : si $\frac{M_{2k_0}}{M_2}$ est suffisamment petit initialement pour $k_0$ assez grand, on a pour tout $\delta < \min(\frac{3}{8}, \delta_0 - \frac{1}{2^2k_0-1})$, l'existence de constantes $C_2$ et $C_3$ telles que

$$ 
\begin{aligned}
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le C_2 e^{-\frac{\delta}{2}t}|\xi|^2 \\
|\widehat{R}\gamma(\xi)| &\le C_3 e^{(\frac{1}{4}-\delta)t}|\xi|^3.
\end{aligned}
$$

Et donc pour $s \in ]2, 3[$ en posant $c = (3-s)\frac{\delta}{2} - (s-2)(\frac{1}{4} - \delta)$ on obtient

$$ |\widehat{R}\gamma(\xi)| = |\widehat{R}\gamma(\xi)|^{(3-s)+(s-2)} \le C_2^{3-s} C_3^{s-2} e^{-ct} |\xi|^s. $$

Donc pour $s < 2 + \frac{\delta}{2-\delta}$, on a bien $c > 0$ et la Proposition 7.5 s'applique. On a donc bien convergence vers le profil auto-similaire, à taux exponentiel. Lorsque $\delta \ge \frac{1}{4}$, on a cette convergence pour toutes les distances $d_s$ avec $s \in ]2, 3[$, alors que si $\delta < \frac{1}{4}$, on l'a seulement pour $s \in ]2, 2 + \frac{\delta}{2-\delta}[$ (donc de moins en moins de $s$ si $\delta$ devient petit, ce qui revient à dire pour la distance de Fourier, que l'on contrôle de moins en moins de moments).

**Perspectives** Lorsque nous avons écrit l'article [F7] sur les modèles de point-milieu sur la sphère, nous n'avions pas exploré la convergence vers un profil auto-similaire. Au vu de l'étude sur le modèle infinitésimal sans variabilité, il apparaît naturel d'essayer d'appliquer ces techniques de distances de Fourier même dans des cas où le centre de masse n'est pas conservé, et on s'attend à obtenir les mêmes types de profils autosimilaires à queue lourde. Une question toujours ouverte à ma connaissance pour le modèle de point-milieu sur le cercle consiste à comprendre globalement le comportement dans toutes les situations. En particulier on observe dans toutes les simulations numériques une première phase d'homogénéisation où toutes les irrégularités sont gommées pour obtenir une distribution unimodale (pouvant être très proche de l'uniforme si la condition initiale est proche d'être symétrique), puis ce mode est amplifié et on a alors convergence vers un Dirac. Peut-on montrer que dans tous les cas on converge soit vers un Dirac soit vers la distribution uniforme ? Ce n'est pas très clair étant donné que le problème n'est pas forcément bien posé, mais on peut se poser la question pour un modèle légèrement bruité (avec l'intensité du bruit décroissant linéairement avec la distance des particules interagissant). En particulier, avec un tel
bruit, on peut imaginer que l'équilibre uniforme soit stable, mais à ma connaissance ce sont des
directions qui n'ont pas encore été explorées.

La question se pose également de la dérivation de modèles fluides pour ces modèles d'alignement sans bruit, lorsque l'on considère une version inhomogène en espace, comme décrit dans les perspectives du chapitre 6.

Pour ce qui est du modèle de populations sexuées, la question naturelle est d'essayer de comprendre ce qui se passe au voisinage de masses de Dirac situées dans des régions de mortalité strictement supérieure à la mortalité minimale plus un demi. Voit-on émerger des masses de Dirac dans la zone de mortalité faible ? En pratique, le comportement générique pour des taux de mortalité simples comme $|x|$ ou $x^2$ reste une question peu explorée pour ce modèle sans variabilité, même numériquement.
Chapitre 7. Modèles de point-milieu
# Chapitre 8

# Modèles de retournement de bactéries

## Contenu

### 8.1 Un modèle abstrait de retournement de particules . . . . . . . . 99

Le point de départ de ce chapitre est le modèle cinétique d'alignement-retournement de myxobactéries proposé dans [HKMS21]. La motivation biologique est l'étude du phénomène d'ondulation [IMW$^+$01] dans ces colonies de bactéries de forme allongée. Le modèle est un modèle cinétique décrivant des particules (dans $\mathbb{R}^2$) dont la vitesse est constante (sur $S^1$) et qui interagissent par paires lors de collisions (les particules sont modélisées comme des segments de longueur constante ne se recoupant pas). Lorsque les deux particules ont des vitesses dont l'angle est inférieur à $\frac{\pi}{2}$, elles s'alignent comme dans le modèle de point-milieu présenté au chapitre 7. Et lorsque l'angle est supérieur à $\frac{\pi}{2}$, elles effectuent un retournement : chaque particule garde la même orientation mais change de sens de déplacement. Une limite de type Boltzmann-Grad permet d'obtenir un modèle cinétique collisionnel. Dans [HKMS21], la version spatialement homogène de ce modèle est étudiée, et la convergence vers l'équilibre (consistant en deux masses de Dirac diamétralement opposées, possiblement de masses différentes) est obtenue pour certaines conditions initiales (avec des supports dans deux quarts de cercles opposés). La compréhension du mélange des opérateurs d'alignement et de retournement pour une condition initiale quelconque représente un défi intéressant : on pourrait s'attendre à une convergence telle que celle pour le modèle de point-milieu, mais un phénomène de type hypocoercivité apparaît : l'opérateur d'alignement aurait tendance à concentrer exponentiellement vite autour de deux masses de Dirac, sans qu'elles soient parfaitement diamétralement opposées. C'est l'opérateur de retournement (jouant le même rôle que la partie transport dans les cas classiques d'hypocoercivité) qui impose alors cette condition en temps long.

Dans ce chapitre, on décrit les résultats obtenus dans [F18], en collaboration avec Laura Kanzler et Christian Schmeiser sur un modèle où on étudie le retournement seul, dans un cadre et pour des conditions initiales génériques.

## 8.1 Un modèle abstrait de retournement de particules

On considère un espace métrique compact $S$ représentant les configurations $x$ des particules (penser au cercle unité, représentant les vitesses des myxobactéries, mais l'objectif initial était de pouvoir l'étendre à la sphère pour des bactéries allongées en dimension 3). On travaillera avec des solutions mesure (pour la tribu Borélienne de $S$).

On se donne alors une involution (mesurable) $x \mapsto x^\downarrow$ représentant le retournement (par
Chapitre 8. Modèles de retournement de bactéries

exemple $\varphi \mapsto \varphi + \pi$ dans $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ comme dans [HKMS21], ou $x \mapsto -x$ sur la sphère), et pour un ensemble $A \in S$ on note $A^\downarrow = \{x^\downarrow, x \in A\}$ son retourné. De même, pour une mesure $f$ sur $S$, on note $f^\downarrow$ sa retournée (la mesure image par l'involution).

On se donne enfin un noyau de collision $b: S \times S_+$ représentant le taux $b(x, x_*)$ selon lequel deux particules en $x$ et $x_*$ effectuent un retournement pour se retrouver en $x^\downarrow$ et $x_*^\downarrow$. On considère les particules échangeables, donc on impose $b(x, x_*) = b(x_*, x)$, et on veut que la dynamique soit invariante par l'involution (vu du point de vue des particules, elles n'ont pas un état «standard» et un état «retourné» différents) donc on impose également que $b(x, x_*) = b(x^\downarrow, x_*^\downarrow)$. Pour le modèle de myxobactéries [HKMS21], cela revient à prendre $b(\varphi, \varphi_*) = 0$ lorsque $d(\varphi, \varphi_*) < \frac{\pi}{2}$, et $b(\varphi, \varphi_*) = 1$ (appelées «myxos Maxwelliennes») ou $|\sin(\varphi - \varphi_*)|$ (correspondant à l'interaction apparaissant dans la limite de Boltzmann-Grad pour des segments rigides, ce qui est relié au potentiel de Onsager pour polymères en forme de bâtonnets) lorsque $d(\varphi, \varphi_*) > \frac{\pi}{2}$. Sur la sphère, l'objectif initial était de pouvoir traiter le cas où $b(x, x_*) = 0$ lorsque l'angle entre $x$ et $-x_*$ est plus grand qu'un certain angle $\alpha$ (pas de collision si les particules ne sont pas déjà un peu opposées), et $b(x, x_*) > 0$ si l'angle est plus petit que $\alpha$. On remarque que dans ces cas on a toujours $b(x, x^\downarrow) > 0$, mais on ne fera pas a priori cette hypothèse. Lorsqu'elle est vérifiée, on verra que la description du comportement en temps long est simplifiée, mais garde la même structure.

L'équation de type Boltzmann que l'on étudie est donc la suivante, pour une probabilité $f$ (en utilisant l'abus de notation $f(t, x)dx$ même si elle n'a pas de densité) décrivant la répartition des particules sur $S$ en fonction du temps :

$$ \partial_t f = \int_S b(x, x_*) (f^\downarrow f_*^\downarrow - f f_*) dx_*, $$

où, comme il est d'usage en théorie cinétique, on a noté $f_* = f(x_*)$, et les densités pré-collisionnelles $f^\downarrow = f(x^\downarrow)$ et $f_*^\downarrow = f^\downarrow(x_*^\downarrow)$.

Si on note $f_I$ la condition initiale, on obtient que pour toute solution $f$, la mesure $\frac{1}{2}(f + f^\downarrow)$ est constante au cours du temps, égale à $\mu = \frac{1}{2}(f_I + f_I^\downarrow)$. Et comme l'équation conserve la masse, quitte à effectuer un changement d'échelle de temps, on peut toujours considérer que $f_I$ est une mesure de probabilité. On a d'abord que le problème est bien posé au sens des mesures (en fait on peut le ramener à un problème dans $L^\infty(\mu)$ pour $h$, la dérivée de Radon-Nikodym de $f$ par rapport à $\mu$).

**Théorème 8.1.** Pour $f_I$ une mesure de probabilité sur $S$, on pose $\mu = \frac{1}{2}(f_I + f_I^\downarrow)$, et on suppose que le noyau de collision $b \ge 0$ est mesurable et borné sur $S \times S$.

Alors il existe une unique solution mesure $f$ sur $[0, \infty)$ avec condition initiale $f_I$, au sens où pour tout borélien $A \subset S$, l'intégrale $\int_A df(t)$ est continue en temps avec valeur initiale $\int_A df_I$, et différentiable sur $]0, +\infty[$, satisfaisant

$$ \frac{d}{dt} \int_A df = \iint_{A^\downarrow \times S} b(x, x_*) df \, df_* - \iint_{A \times S} b(x, x_*) df \, df_* \text{ sur } ]0, +\infty[. $$

Cette solution s'écrit sous la forme $f = (1+h)\mu$, où $h \in C([0, \infty), L^\infty(\mu))$ est solution de

$$ \partial_t h = -2 \int_S b(x, x_*) (h + h_*) d\mu(x_*) . $$

On a de plus $-1 \le h \le 1$ sur $S \times [0, \infty)$.
## 8.1. Un modèle abstrait de retournement de particules

Si on n'impose rien de plus sur $b$, la solution n'est pas nécessairement continue par rapport à la condition initiale pour la convergence faible (par exemple en distance de Wasserstein), mais on peut montrer que c'est le cas si $b$ est Lipschitz.

La fonction $h$, vue comme la composante antisymétrique (par rapport à $\mu$) de la densité $f$, est la quantité dont on veut comprendre le comportement en temps long. Par exemple, sa norme $L^2$, donnée par $\mathcal{H}[f] = \frac{1}{2} \int_S h^2 d\mu = \frac{1}{4} \iint_{S \times S} (h - h_*)^2 d\mu d\mu_*$ (c'est la variance de la partie antisymétrique de $f$) est décroissante en temps :

$$ \frac{d}{dt} \mathcal{H}[f] = - \iint_{S \times S} b(x, x_*)(h + h_*)^2 d\mu d\mu_* =: -\mathcal{D}[f]. $$

On voit alors qu'à l'équilibre, deux particules en $x$ et $x_*$ qui interagissent ($b(x, x_*) > 0$, on dit que $x$ et $x_*$ sont des partenaires de collision) doivent avoir une valeur de $h$ opposée, et donc si deux particules ont un partenaire de collision commun, la valeur de $h$ est la même. On considère alors le support $\mathcal{K}$ de $\mu$ vu comme un graphe $\Gamma$, avec $x \in \mathcal{K}$ et $y \in \mathcal{K}$ adjacents si et seulement s'ils ont un partenaire de collision commun $x_* \in \mathcal{K}$. Pour une partie $\mathcal{T} \subset \mathcal{K}$, on note $\mathcal{T}_*$ l'ensemble des partenaires de collision d'éléments de $\mathcal{T}$. Alors si on regarde les composantes connexes $\mathcal{T}$ de $\Gamma$, elles sont soit constituées de points isolés (qui n'ont donc aucun partenaire de collision, $\mathcal{T}_* = \emptyset$), sur lesquels $f$ est constante en temps, soit on a $\mathcal{T}_* \neq \emptyset$ et dans ce cas les parties $\mathcal{T}$, $\mathcal{T}^\downarrow$, $\mathcal{T}_*$, et $(\mathcal{T}_*)^\downarrow$ sont des composantes connexes de $\Gamma$ qui sont ouvertes dans $\mathcal{K}$, vérifiant $(\mathcal{T}_*)_* = \mathcal{T}$ et $\mathcal{T}_*^\downarrow := (\mathcal{T}_*)^\downarrow = (\mathcal{T}^\downarrow)_*$; de plus, en notant $\mathcal{A} := \mathcal{T} \cup \mathcal{T}^\downarrow \cup \mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}^*\downarrow$, alors $f|_{\mathcal{A}}$ est une solution de la même équation de retournement sur $\mathcal{A}$. On peut donc se restreindre à l'étude sur un tel $\mathcal{A}$, composé de une, deux ou quatre composantes connexes selon si certaines sont confondues ou pas. On peut alors décrire les états stationnaires :

**Proposition 8.1.** Si $\mathcal{T}$ est une composante connexe du graphe $\Gamma$, et si $\mathcal{T}_*$ est non vide, on pose $\mathcal{A} := \mathcal{T} \cup \mathcal{T}^\downarrow \cup \mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}_*^\downarrow$. Alors

(i) La masse de chacune des quatre parties composant $\mathcal{A}$ est strictement positive, en particulier $\rho := \int_{\mathcal{T}} d\mu > 0$ et $\rho_* := \int_{\mathcal{T}_*} d\mu > 0$. Et la moyenne $\langle h \rangle_{\mathcal{T}} = \frac{1}{\rho} \int_{\mathcal{T}} h \, d\mu$ vérifie que la quantité

$$ \eta_{\mathcal{T}} := \frac{\rho\langle h \rangle_{\mathcal{T}} - \rho_*\langle h \rangle_{\mathcal{T}_*}}{\rho + \rho_*} = \frac{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} h \, d\mu}{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} d\mu} = \frac{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} d f_I}{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} d\mu} - 1 \in [-1, 1] $$

est indépendante de $t$.

(ii) Les conditions suivantes sont équivalentes :

- $f|_{\mathcal{A}}$ est un état stationnaire de la dynamique de retournement sur $\mathcal{A}$,

- $\mathcal{D}_{\mathcal{T}}[f] := \iint_{\mathcal{T} \times \mathcal{T}_*} b(x, x_*)(h + h_*)^2 d\mu d\mu_* = 0$,

- $h = \eta_{\mathcal{T}}$ sur $\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow$ et $h = -\eta_{\mathcal{T}}$ sur $\mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}^\downarrow$, $\mu$-presque partout.

D'après cette proposition, on s'attend donc à ce qu'en temps long, $f$ converge vers l'équilibre suivant :

$$ f_{\infty} := (1 + h_{\infty})\mu := \begin{cases} f_I & \text{sur tout } \mathcal{T} \text{ avec } \mathcal{T}_* \text{ vide,} \\ (1 + \eta_{\mathcal{T}})\mu & \text{sur tout } \mathcal{T} \text{ avec } \mathcal{T}_* \text{ non-vide,} \\ 0 & \text{sur } \mathcal{S} \setminus \mathcal{K}, \end{cases} \qquad (8.1) $$

où

$$ \eta_{\mathcal{T}} = \frac{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} d f_I - \int_{\mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}^\downarrow} d f_I}{\int_{\mathcal{T} \cup \mathcal{T}_*^\downarrow} d f_I + \int_{\mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}^\downarrow} d f_I}, \qquad \mu = \frac{f_I + f_I^\downarrow}{2}. $$
Remarquons que dans certains cas, par exemple si $\mathcal{T} = \mathcal{T}_*$ ou $\mathcal{T} = \mathcal{T}^{\downarrow}$, on obtient automatiquement $\eta_{\mathcal{T}} = 0$.

On restreint l'analyse à un ensemble de la forme $\mathcal{A} = \mathcal{T} \cup \mathcal{T}^{\downarrow} \cup \mathcal{T}_* \cup \mathcal{T}_*^{\downarrow}$ comme précédemment, pour lequel on considère l'entropie relative suivante

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{H}_{\mathcal{T}}[f] &= \frac{1}{2} \int_{\mathcal{T}} (h - \eta_{\mathcal{T}})^2 d\mu + \frac{1}{2} \int_{\mathcal{T}_*} (h + \eta_{\mathcal{T}})^2 d\mu \\
&= \frac{1}{2} \int_{\mathcal{T}} h^2 d\mu + \frac{1}{2} \int_{\mathcal{T}_*} h^2 d\mu - \frac{1}{2} (\rho + \rho_*) \eta_{\mathcal{T}}^2,
\end{aligned}
$$

avec $\rho$ et $\rho_*$ comme dans la Proposition 8.1. Cette quantité contrôle la distance $L^2(\mu)$ entre $h|_{\mathcal{A}}$ et l'état stationnaire associé, et sa dérivée donne de nouveau

$$ \frac{d}{dt} \mathcal{H}_{\mathcal{T}}[f] = -2 \iint_{\mathcal{T} \times \mathcal{T}_*} b(h + h_*)^2 d\mu d\mu_* =: -\mathcal{D}_{\mathcal{T}}[f]. $$

L'objectif est alors de montrer que cette dissipation $\mathcal{D}_{\mathcal{T}}[f]$ contrôle l'entropie $\mathcal{H}_{\mathcal{T}}[f]$ pour obtenir la convergence exponentielle. C'est le cas lorsque $b$ est minorée par une constante strictement positive sur $\mathcal{T} \times \mathcal{T}_*$, grâce à l'estimation suivante :

$$ 2 \min(\rho, \rho_*) \mathcal{H}_{\mathcal{T}}[f] \le \iint_{\mathcal{T} \times \mathcal{T}_*} (h + h_*)^2 d\mu d\mu_* . $$

Il se trouve que cette condition de minoration de $b$ peut être supprimée lorsque $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}_*$ sont compacts, au moyen d'une amélioration de notion de connectivité sur $\mathcal{T}$. On n'entre pas dans les détails ici, mais l'idée est de recouvrir $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}^*$ par des « cellules » qui forment un graphe biparti, une cellule $T_i$ de $\mathcal{T}$ étant adjacente à une cellule $T_{*,j}$ de $\mathcal{T}_*$ si $b \ge \beta > 0$ sur $T_i \times T_{*,j}$. Lorsque $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}^*$ sont compacts, on peut trouver un tel $\beta > 0$ et un recouvrement par un nombre fini de telles cellules. Lorsque $b$ est semi-continue inférieurement et bornée, si tout élément de $\mathcal{K}$ a un partenaire de collision (qu'il n'y a donc pas de point isolé), alors toutes les composantes connexes sont compactes et en nombre fini, et on obtient donc le théorème suivant.

**Théorème 8.2.** Soit $f_I$ une mesure de probabilité sur $\mathcal{S}$ et $\mu = \frac{1}{2}(f_I + f_I^{\downarrow})$, de support $\mathcal{K}$. Supposons que le noyau de collision $b$ est semi-continu inférieurement, et que $\mathcal{K} = \mathcal{K}_*$.

Alors le graphe $\Gamma$ a un nombre fini de composantes connexes, toutes compactes, et la solution $f(t)$ de la dynamique de retournement donnée par le Théorème 8.1 converge exponentiellement en distance de variation totale vers $f_{\infty}$ donné par (8.1) lorsque $t \to \infty$: il existe $C, \lambda > 0$, tels que

$$ \sup_{A \in \sigma(\mathcal{S})} \left| \int_A df(t) - \int_A df_{\infty} \right| \le C e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0. $$

Lorsque chaque particule interagit avec sa « retournée », c'est à dire que $b(x, x^{\downarrow}) > 0$, comme c'est le cas pour les modèles de myxobactéries, on a forcément $\mathcal{K} = \mathcal{K}_*$ puisque $\mathcal{K}$ est symétrique, et donc le théorème s'applique. D'autre part on a alors toujours $\mathcal{T}_* = \mathcal{T}^{\downarrow}$, donc les ensembles de la forme $\mathcal{A}$ ne peuvent prendre que deux formes : soit il s'agit d'une seule composante connexe avec $\mathcal{T} = \mathcal{T}_* = \mathcal{T}^{\downarrow}(= \mathcal{T}_*^{\downarrow})$ (et dans ce cas on a $\eta_{\mathcal{T}} = 0$), soit de deux composantes connexes si $\mathcal{T}(= \mathcal{T}_*^{\downarrow}) \ne \mathcal{T}_* = \mathcal{T}^{\downarrow}$ (et $\eta_{\mathcal{T}}$ peut être arbitraire). Dans ce cadre on peut par exemple décrire tous les cas possible sur le modèle initial du cercle. Dans l'article [F18] on inclut également des simulations numériques pour illustrer les différents cas et la convergence vers l'équilibre. On peut montrer que le taux de convergence ne dépend pas seulement de $b$ et du support $\mathcal{K}$, mais bien de toute la mesure $\mu = \frac{1}{2}(f_I + f_I^{\downarrow})$ (il ne dépend pas par contre de la valeur de $h_I$), en construisant des conditions initiales ayant le même support mais dont le taux de convergence associé dégénère lorsqu'un petit paramètre tend vers 0.
8.1. Un modèle abstrait de retournement de particules

**Perspectives** L'objectif est d'utiliser ces résultats pour essayer de comprendre le comportement du modèle où l'alignement est présent. Le problème est assez ouvert, et nous avons pour l'instant peu de pistes concrètes pour avancer dans cette direction. On peut également conjecturer que la solution converge en temps long vers un profil auto-similaire, comme dans le modèle de point-milieu sur $\mathbb{R}$. La construction d'une solution symétrique valide pour tout $t \in \mathbb{R}$, comme pour un profil auto-similaire, peut être une première étape.
Chapitre 8. Modèles de retournement de bactéries
Bibliographie

[ALV09] Maximino Aldana, Hernán Larralde, and Bertha Vásquez. On the emergence of collective order in swarming systems: A recent debate. *Int. J. Mod. Phys. B*, 23(18):3459-3483, 2009.

[AMPD17] Aylin Aydoğdu, Sean T. McQuade, and Nastassia Pouradier Duteil. Opinion dynamics on a general compact Riemannian manifold. *Netw. Heterog. Media*, 12(3):489–523, 2017.

[BCC12] François Bolley, José A. Cañizo, and José A. Carrillo. Mean-field limit for the stochastic Vicsek model. *Appl. Math. Lett.*, 3(25):339–343, 2012.

[BCCD16] Alethea B. T. Barbaro, José A. Cañizo, José A. Carrillo, and Pierre Degond. Phase transitions in a kinetic flocking model of cucker–smale type. *Multiscale Mod. Simul.*, 14(3):1063–1088, 2016.

[BCG00] Alexander V. Bobylev, José A. Carrillo, and Irene M. Gamba. On some properties of kinetic and hydrodynamic equations for inelastic interactions. *J. Statist. Phys.*, 98(3-4):743–773, 2000.

[BCM15] Dario Benedetto, Emanuele Caglioti, and Umberto Montemagno. On the complete phase synchronization for the Kuramoto model in the mean-field limit. *Commun. Math. Sci.*, 13(7):1775–1786, 2015.

[BDG06] Eric Bertin, Michel Droz, and Guillaume Grégoire. Boltzmann and hydrodynamic description for self-propelled particles. *Phys. Rev. E*, 74:022101, 2006.

[BDM$^{+}$20] Émeric Bouin, Jean Dolbeault, Stéphane Mischler, Clément Mouhot, and Christian Schmeiser. Hypocoercivity without confinement. *Pure Appl. Anal.*, 2(2):203–232, 2020.

[BEV17] Nicholas H. Barton, Alison M. Etheridge, and Amandine Véber. The infinitesimal model: definition, derivation, and implications. *Theor. Popul. Biol.*, 118:50–73, 2017.

[BGL91] Claude Bardos, François Golse, and David Levermore. Fluid dynamic limits of kinetic equations. I. formal derivations. *Journal of statistical physics*, 63(1):323–344, 1991.
[BGL93] Claude Bardos, François Golse, and C. David Levermore. Fluid dynamic limits of kinetic equations. II: Convergence proofs for the Boltzmann equation. *Commun. Pure Appl. Math.*, 46(5):667–753, 1993.

[BGP14] Lorenzo Bertini, Giambattista Giacomin, and Christophe Poquet. Synchronization and random long time dynamics for mean-field plane rotators. *Probab. Theory Related Fields*, 160(3-4):593–653, 2014.

[BLM11] Federico Bassetti, Lucia Ladelli, and Daniel Matthes. Central limit theorem for a class of one-dimensional kinetic equations. *Probab. Theory Related Fields*, 150(1-2):77–109, 2011.

[Bo172] Ludwig Boltzmann. Weitere studien über das wärmegleichgewicht unter gasmolekülen. *Wien. Ber.*, 66:275–370, 1872.

[Bor93] Alberto Borobia. Diagonals of rotation matrices. *Linear Algebra Appl.*, 186:227–233, 1993.

[BS09] Laurent Boudin and Francesco Salvarani. A kinetic approach to the study of opinion formation. *M2AN Math. Model. Numer. Anal.*, 43(3):507–522, 2009.

[BST09] Marzia Bisi, Giampiero Spiga, and Giuseppe Toscani. Kinetic models of conservative economies with wealth redistribution. *Commun. Math. Sci.*, 7(4):901–916, 2009.

[BT18] Fabrice Baudoin and Camille Tardif. Hypocoercive estimates on foliations and velocity spherical Brownian motion. *Kinet. Relat. Models*, 11(1):1–23, 2018.

[Bul80] Michael G. Bulmer. *The mathematical theory of quantitative genetics*. Oxford science publications. Clarendon Press, 1980.

[Caf80] Russel E. Caflisch. The fluid dynamic limit of the nonlinear Boltzmann equation. *Commun. Pure Appl. Math.*, 33:651–666, 1980.

[CCDW13] Eric Carlen, Robin Chatelin, Pierre Degond, and Bernt Wennberg. Kinetic hierarchy and propagation of chaos in biological swarm models. *Phys. D*, 260:90–111, 2013.

[CCDW15] Eric Carlen, Maria C. Carvalho, Pierre Degond, and Bernt Wennberg. A Boltzmann model for rod alignment and schooling fish. *Nonlinearity*, 28(6):1783–1803, 2015.

[CCT09] José A. Carrillo, Stéphane Cordier, and Giuseppe Toscani. Over-populated tails for conservative-in-the-mean inelastic Maxwell models. *Discrete Contin. Dyn. Syst.*, 24(1):59–81, 2009.

[CD22] Louis-Pierre Chaintron and Antoine Diez. Propagation of chaos: a review of models, methods and applications. II: Applications. *Kinet. Relat. Models*, 15(6):1017–1173, 2022.

[CDHJ21] Li Chen, Esther S. Daus, Alexandra Holzinger, and Ansgar Jüngel. Rigorous derivation of population cross-diffusion systems from moderately interacting particle systems. *J. Nonlinear Sci.*, 31(6):38, 2021. Id/No 94.
[CDW13] Eric Carlen, Pierre Degond, and Bernt Wennberg. Kinetic limits for pair-interaction driven master equations and biological swarm models. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 23(7):1339–1376, 2013.

[CGGR08] Hugues Chaté, Francesco Ginelli, Guillaume Grégoire, and Franck Raynaud. Collective motion of self-propelled particles interacting without cohesion. *Phys. Rev. E*, 77(4):046113, 2008.

[CGP19] Vincent Calvez, Jimmy Garnier, and Florian Patout. Asymptotic analysis of a quantitative genetics model with nonlinear integral operator. *J. Éc. Polytech.*, Math., 6:537–579, 2019.

[Cha16] Sydney Chapman. The kinetic theory of simple and composite monatomic gases: viscosity, thermal conduction, and diffusion. *Proc. Roy. Soc. London A.*, 93(646):1–20, 1916.

[Che11] Jiahang Che. A kinetic model on portfolio in finance. *Commun. Math. Sci.*, 9(4):1073–1096, 2011.

[CIP94] Carlo Cercignani, Reinhard Illner, and Mario Pulvirenti. *The mathematical theory of dilute gases*, volume 106 of *Appl. Math. Sci*. New York, NY: Springer-Verlag, 1994.

[CJM21] Fei Cao, Pierre-Emmanuel Jabin, and Sebastien Motsch. Entropy dissipation and propagation of chaos for the uniform reshuffling model, 2021. arXiv:2104.01302.

[CKT04] Peter Constantin, Ioannis G. Kevrekidis, and Edriss S. Titi. Asymptotic states of a Smoluchowski equation. *Arch. Ration. Mech. Anal.*, 174(3):365–384, 2004.

[CLP15] Marco Caponigro, Anna Chiara Lai, and Benedetto Piccoli. A nonlinear model of opinion formation on the sphere. *Discrete Contin. Dyn. Syst.*, 35(9):4241–4268, 2015.

[CLP21] Vincent Calvez, Thomas Lepoutre, and David Poyato. Ergodicity of the fisher infinitesimal model with quadratic selection, 2021. arXiv:2107.00383.

[CT07] José Antonio Carrillo and Giuseppe Toscani. Contractive probability metrics and asymptotic behavior of dissipative kinetic equations. *Riv. Mat. Univ. Parma*, 6:75–198, 2007.

[DDMW15] Pierre Degond, Giacomo Dimarco, Thi Bich Ngoc Mac, and Nan Wang. Macrosopic models of collective motion with repulsion. *Commun. Math. Sci.*, 13(6):1615–1638, 2015.

[DDN22] Pierre Degond, Antoine Diez, and Mingye Na. Bulk topological states in a new collective dynamics model. *SIAM Journal on Applied Dynamical Systems*, 21(2):1455–1494, 2022.

[DE99] Masao Doi and Samuel Frederick Edwards. *The Theory of Polymer Dynamics*, volume 73 of *International Series of Monographs on Physics*. Oxford University Press, Oxford, 1999.
[Deg86] Pierre Degond. Global existence of smooth solutions for the Vlasov-Fokker-Planck equation in 1 and 2 space dimensions. *Ann. scient. Éc. Norm. Sup.* (4), 19(4):519-542, 1986.

[Dek22] Léonard Dekens. Evolutionary dynamics of complex traits in sexual populations in a heterogeneous environment: how normal? *J. Math. Biol.*, 84(3):61, 2022. Id/No 15.

[DFGV18] Helge Dietert, Bastien Fernandez, and David Gérard-Varet. Landau damping to partially locked states in the Kuramoto model. *Commun. Pure Appl. Math.*, 71(5):953-993, 2018.

[Die20] Antoine Diez. Propagation of chaos and moderate interaction for a piecewise deterministic system of geometrically enriched particles. *Electron. J. Probab.*, 25:Paper No. 90, 38, 2020.

[Die21] Antoine Diez. SiSyPHE: A python package for the simulation of systems of interacting mean-field particles with high efficiency. *Journal of Open Source Software*, 6(65):3653, 2021.

[DKRT18] Tam Do, Alexander Kiselev, Lenya Ryzhik, and Changhui Tan. Global regularity for the fractional Euler alignment system. *Arch. Ration. Mech. Anal.*, 228(1):1-37, 2018.

[DLMP13] Pierre Degond, Jian-Guo Liu, Sebastien Motsch, and Vladislav Panferov. Hydrodynamic models of self-organized dynamics: derivation and existence theory. *Methods Appl. Anal.*, 20(2):89-114, 2013.

[DM08] Pierre Degond and Sébastien Motsch. Continuum limit of self-driven particles with orientation interaction. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 18:1193-1215, 2008.

[DM11] Pierre Degond and Sébastien Motsch. A macroscopic model for a system of swarming agents using curvature control. *J. Stat. Phys.*, 143(4):685-714, 2011.

[DM16] Giacomo Dimarco and Sébastien Motsch. Self-alignment driven by jump processes: Macroscopic limit and numerical investigation. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 26(07):1385-1410, 2016.

[DMA20] Pierre Degond and Sara Merino-Aceituno. Nematic alignment of self-propelled particles: from particle to macroscopic dynamics. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 30(10):1935-1986, 2020.

[DMAVY19] Pierre Degond, Sara Merino-Aceituno, Fabien Vergnet, and Hui Yu. Coupled self-organized hydrodynamics and Stokes models for suspensions of active particles. *J. Math. Fluid Mech.*, 21(1):36, 2019. Id/No 6.

[DN15] Pierre Degond and Laurent Navoret. A multi-layer model for self-propelled disks interacting through alignment and volume exclusion. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 25(13):2439-2475, 2015.

[Doi81] Masao Doi. Molecular dynamics and rheological properties of concentrated solutions of rodlike polymers in isotropic and liquid crystalline phases. *J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed.*, 19(2):229-243, 1981.
[Ens17] David Enskog. Kinetische Theorie der Vorgänge in mäßig verdünnten Gasen. I. Allgemeiner Teil. (Inaugural-Dissertation.). Upsala: Almqvist & Wiksells, IV u. 160 S. 8° (1917)., 1917.

[EZ06] Weinan E and Pingwen Zhang. A molecular kinetic theory of inhomogeneous liquid crystal flow and the small Deborah number limit. *Methods Appl. Anal.*, 13(2):181–198, 2006.

[Fis19] Ronald A. Fisher. The correlation between relatives on the supposition of Mende-
lian inheritance. *Transactions of the Royal Society of Edinburgh*, 52(2):399–433,
1919.

[FK19] Alessio Figalli and Moon-Jin Kang. A rigorous derivation from the kinetic Cucker-Smale model to the pressureless Euler system with nonlocal alignment. *Anal. PDE*, 12(3):843–866, 2019.

[FKM18] Alessio Figalli, Moon-Jin Kang, and Javier Morales. Global well-posedness of the spatially homogeneous Kolmogorov-Vicsek model as a gradient flow. *Arch. Ration. Mech. Anal.*, 227(3):869–896, 2018.

[FS05] Ibrahim Fatkullin and Valeriy Slastikov. Critical points of the Onsager functional on a sphere. *Nonlinearity*, 18:2565–2580, 2005.

[GGS82] Serge Galam, Yuval Gefen, and Yonathan Shapir. Sociophysics – A new approach of sociological collective behavior I. Mean-behaviour description of a strike. *J. Math. Sociol.*, 9(1):1–13, 1982.

[GM19] Quentin Griette and Sebastien Motsch. Kinetic equations and self-organized band formations. In *Active particles, Volume 2. Advances in theory, models, and applications*, pages 173–199. Cham: Birkhäuser, 2019.

[GPP12] Giambattista Giacomin, Khashayar Pakdaman, and Xavier Pellegrin. Global attractor and asymptotic dynamics in the Kuramoto model for coupled noisy phase oscillators. *Nonlinearity*, 25(5):1247–1273, 2012.

[GR12] Ester Gabetta and Eugenio Regazzini. Complete characterization of convergence to equilibrium for an inelastic Kac model. *J. Stat. Phys.*, 147(5):1007–1019, 2012.

[Gra49] Harold Grad. On the kinetic theory of rarefied gases. *Commun. Pure Appl. Math.*, 2:331–407, 1949.

[Hil12] David Hilbert. Begründung der kinetischen Gastheorie. *Math. Ann.*, 72:562–577, 1912.

[HKMS21] Sabine Hittmeir, Laura Kanzler, Angelika Manhart, and Christian Schmeiser. Kinetic modelling of colonies of myxobacteria. *Kinet. Relat. Models*, 14(1):1–24, 2021.

[HKR18] Seung-Yeal Ha, Dongnam Ko, and Sang Woo Ryoo. On the relaxation dynamics of Lohe oscillators on some Riemannian manifolds. *J. Stat. Phys.*, 172(5):1427–1478, 2018.

[HLFMW09] Peter Hinow, Frank Le Foll, Pierre Magal, and Glenn F. Webb. Analysis of a model for transfer phenomena in biological populations. *SIAM J. Appl. Math.*, 70(1):40–62, 2009.
[Hor54] Alfred Horn. Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix. Amer. J. Math., 76:620-630, 1954.

[Hör67] Lars Hörmander. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math., 119:147-171, 1967.

[Hé07] Frédéric Hérau. Short and long time behavior of the Fokker-Planck equation in a confining potential and applications. J. Funct. Anal., 244(1):95-118, 2007.

[IMW+01] Oleg A. Igoshin, Alex Mogilner, Roy D. Welch, Dale Kaiser, and George Oster. Pattern formation and traveling waves in myxobacteria: theory and modeling. Proceedings of the National Academy of Sciences, 98(26):14913-14918, 2001.

[JM98] Benjamin Jourdain and Sylvie Méléard. Propagation of chaos and fluctuations for a moderate model with smooth initial data. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat., 34(6):727-766, 1998.

[JXZ16] Ning Jiang, Linjie Xiong, and Teng-Fei Zhang. Hydrodynamic limits of the kinetic self-organized models. SIAM J. Math. Anal., 48(5):3383-3411, 2016.

[KD83] Nobu Kuzuu and Masao Doi. Constitutive equation for nematic liquid crystals under weak velocity gradient derived from a molecular kinetic equation. Journal of the Physical Society of Japan, 52(10):3486-3494, 1983.

[KMT15] Trygve K. Karper, Antoine Mellet, and Konstantina Trivisa. Hydrodynamic limit of the kinetic Cucker-Smale flocking model. Math. Models Methods Appl. Sci., 25(1):131-163, 2015.

[KS21] Laura Kanzler and Christian Schmeiser. Kinetic model for myxobacteria with directional diffusion, 2021.

[Lev96] C. David Levermore. Moment closure hierarchies for kinetic theories. J. Stat. Phys., 83(5-6):1021-1065, 1996.

[Li21] Xingyu Li. Phase transition and asymptotic behavior of flocking Cucker-Smale model. Multiscale Model. Simul., 19(4):1760-1783, 2021.

[LZZ05] Hailiang Liu, Hui Zhang, and Pingwen Zhang. Axial symmetry and classification of stationary solutions of Doi-Onsager equation on the sphere with Maier-Saupe potential. Commun. Math. Sci., 3(2):201-218, 2005.

[Max67] James Clerk Maxwell. On the dynamical theory of gases. Philos. Trans. Roy. Soc. London, 157:49-88, 1867.

[Mel10] Antoine Mellet. Fractional diffusion limit for collisional kinetic equations: a moments method. Indiana Univ. Math. J., 59(4):1333-1360, 2010.

[MM09] Stéphane Mischler and Clément Mouhot. Stability, convergence to self-similarity and elastic limit for the Boltzmann equation for inelastic hard spheres. Comm. Math. Phys., 288(2):431-502, 2009.

[MN11] Sébastien Motsch and Laurent Navoret. Numerical simulations of a non-conservative hyperbolic system with geometric constraints describing swarming behavior. Multiscale Mod. Simul., 9(3):1253-1275, 2011.
[MR13] Sepideh Mirrahimi and Gaël Raoul. Dynamics of sexual populations structured by a space variable and a phenotypical trait. *Theor. Popul. Biol.*, 84:87-103, 2013.

[MS58] Wilhelm Maier and Alfred Saupe. Eine einfache molekulare Theorie des nematischen kristallinflüssigen Zustandes. *Z. Naturforsch.*, 13:564-566, 1958.

[MT08] Daniel Matthes and Giuseppe Toscani. On steady distributions of kinetic models of conservative economies. *J. Stat. Phys.*, 130(6):1087-1117, 2008.

[MTG18] Johan Markdahl, Johan Thunberg, and Jorge Gonçalves. Almost global consensus on the *n*-sphere. *IEEE Transactions on Automatic Control*, 63(6):1664-1675, June 2018.

[Nav13] Laurent Navoret. A two-species hydrodynamic model of particles interacting through self-alignment. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 23(6):1067-1098, 2013.

[Oel85] Karl Oelschläger. A law of large numbers for moderately interacting diffusion processes. *Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb.*, 69(2):279-322, 1985.

[Ons49] Lars Onsager. The effects of shape on the interaction of colloidal particles. *Ann. N. Y. Acad. Sci.*, 51(Molecular Interaction):627-659, 1949.

[Pat20] Florian Patout. The cauchy problem for the infinitesimal model in the regime of small variance, 2020. arXiv:2001.04682.

[PGBL$^{+12}$] Jennifer Pasquier, Ludovic Galas, Celine Boulange-Lecomte, Damien Rioult, Florence Bultelle, Pierre Magal, Glenn Webb, and Frank Le Foll. Different modalities of intercellular membrane exchanges mediate cell-to-cell P-glycoprotein transfers in MCF-7 breast cancer cells. *J. Biol. Chem.*, 287(10):7374-7387, 2012.

[PT04] Ada Pulvirenti and Giuseppe Toscani. Asymptotic properties of the inelastic Kac model. *J. Statist. Phys.*, 114(5-6):1453-1480, 2004.

[PT06] Lorenzo Pareschi and Giuseppe Toscani. Self-similarity and power-like tails in nonconservative kinetic models. *J. Stat. Phys.*, 124(2-4):747-779, 2006.

[Rao17] Gaël Raoul. Macroscopic limit from a structured population model to the Kirkpatrick-Barton model, June 2017. arXiv:1706.04094.

[Rao21] Gaël Raoul. Exponential convergence to a steady-state for a population genetics model with sexual reproduction and selection, 2021. arXiv:2104.06089.

[Sim96] Barry Simon. *Representations of finite and compact groups*, volume 10 of *Grad. Stud. Math*. Providence, RI: AMS, American Mathematical Society, 1996.

[TB94] Michael Turelli and Nicholas H. Barton. Genetic and statistical analyses of strong selection on polygenic traits: what, me normal? *Genetics*, 138(3):913-941, 1994.

[VCBJ$^{+95}$] Tamás Vicsek, András Czirók, Eshel Ben-Jacob, Inon Cohen, and Ofer Shochet. Novel type of phase transition in a system of self-driven particles. *Phys. Rev. Lett.*, 75(6):1226-1229, 1995.

[Vil09] Cédric Villani. *Hypocoercivity*, volume 950. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2009.
[WELZ02] Qi Wang, Weinan E, Chun Liu, and Pingwen Zhang. Kinetic theory for flows of nonhomogeneous rodlike liquid crystalline polymers with a nonlocal intermolecular potential. *Phys. Rev. E*, 65(5):051504, 2002.

[WH08] Hongyun Wang and Patricia J. Hoffman. A unified view on the rotational symmetry of equilibria of nematic polymers, dipolar nematic polymers and polymers in higher dimensional space. *Commun. Math. Sci.*, 6(4):949–974, 2008.

[WZZ15] Wei Wang, Pingwen Zhang, and Zhifei Zhang. The small Deborah number limit of the Doi-Onsager equation to the Ericksen-Leslie equation. *Commun. Pure Appl. Math.*, 68(8):1326–1398, 2015.

[ZWFW05] Hong Zhou, Hongyun Wang, M. Gregory Forest, and Qi Wang. A new proof on axi-symmetric equilibria of a three-dimensional Smoluchowski equation. *Nonlinearity*, 18:2815–2825, 2005.

[ZWWF07] Hong Zhou, Hongyun Wang, Qi Wang, and M. Gregory Forest. Characterization of stable kinetic equilibria of rigid, dipolar rod ensembles for coupled dipole-dipole and Maier-Saupe potentials. *Nonlinearity*, 20:277–297, 2007.
<figure><img src="image_16.png" /></figure>
# RÉSUMÉ

Ce mémoire est une synthèse des travaux de recherche effectués depuis ma thèse. Les contributions concernent des modèles cinétiques de comportements collectifs, obtenus comme limites de systèmes de grand nombre de particules autopropulsées. Une caractéristique commune de ces modèles, due aux contraintes géométriques, est l'absence de quantités conservées. On décrit en particulier de façon fine des phénomènes de transitions de phase pour des modèles d'alignement-diffusion avec contraintes géométriques, telle que l'alignement de corps rigides modélisés par des matrices de rotation. On s'intéresse également à la dérivation et l'étude de modèles macroscopiques à partir de modèles cinétiques sous-jacents (pour l'alignement de corps rigides, et les suspensions de polymères pour des modèles de cristaux liquides). Enfin on s'intéresse à l'étude de modèles d'alignement seul, toujours dans le cadre de contraintes géométriques, pour lesquels on montre la stabilité locale de masses de Dirac.

**Mots-clés** : Alignement, particules autopropulsées, équations cinétiques, transitions de phase, comportement en temps long, limites hydrodynamiques, contraintes géométriques

# ABSTRACT

This memoir is a summary of the research work conducted since my PhD defence. The contributions concern kinetic models of collective behaviour, coming as limits of systems of large number of self-propelled particles. Due to the geometrical constraints, a common feature of these models is the absence of conserved quantities. In particular, we give a fine description of phase transition phenomena for models of alignment-diffusion with geometrical constraints, such as rigid body attitude coordination, modeled through rotation matrices. We are also interested in the derivation and study of macroscopic models from underlying kinetic models (for alignment of rigid bodies, and suspensions of rodlike molecules of polymers in liquid crystal models). Finally we study models of alignment only, still in the context of geometrical constraints, for which we show the local stability of Dirac masses.

**Keywords** : Alignment, self-propelled particles, kinetic equations, phase transitions, long-time behavior, hydrodynamic limits, geometrical constraints