# Choix optimal des matériaux

M.L.M. François

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M.L.M. François. Choix optimal des matériaux. Master. Module XMS2PE621 Choix optimal des matériaux, Nantes, France. 2025, pp.53. hal-05457470

HAL Id: hal-05457470

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Submitted on 14 Jan 2026

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Choix optimal des matériaux

## Module XMS2PE621

Master 1 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures
Faculté des Sciences et techniques
Nantes Université

Version du 13 janvier 2026
## Objectifs de ce cours

* Connaître le principales caractéristiques mécaniques des matériaux

* Connaître quelques caractéristiques physiques des matériaux

* Savoir poser et résoudre un problème d'optimisation sur un critère

* Savoir poser et résoudre un problème d'optimisation à plusieurs critères

* Savoir lire et exploiter les cartes d'Ashby et Jones<fnref n="1" />

* Savoir utiliser le logiciel CES Granta

## Pré-requis

* Cours sur les barres et les poutres

* Cours de mécanique des milieux continus

* Notions générales de physique

<footnote n="1">1. Materials selection in mechanical design. Cambridge, U.K.</footnote>
## Motivations

* Loi de Pareto : 80 % des conséquences sont dues à 20 % des décisions

* L'ingénieur qui postule un matériau *avant* de faire les calculs va dont limiter sa capacité d'innovation...

* Le choix commence à être difficile. Aujourd'hui l'ingénieur a le choix d'environ 160 000 matériaux.

* en 1900 pas de polymères artificiels, aujourd'hui plus de 45 000

* en 1900 presque pas d'alliage légers, aujourd'hui plusieurs milliers

* en 1900 pas de composites, aujourd'hui plusieurs centaines

* La méthode d'Ashby et Jones, qui permet un choix optimal, est aujourd'hui de plus en plus utilisée dans l'industrie.
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Importance relative des matériaux au cours du temps (Cours de G. Racineux, Centrale Nantes)
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Les grandes familles de matériaux (Ashby & Jones)</figcaption></figure>
Optimiser quoi ?

* On veut rarement optimiser la performance pure (souvent la masse minimale) indépendamment du prix (spatial, militaire, sports...)

* La plupart du temps on veut un compromis entre un critère de performance et le critère prix

* On a souvent des contraintes autres que mécaniques (électriques, chimiques, température, esthétique...) à respecter

* Le choix optimal requiert une mise en équation astucieuse, qui permet de trouver le matériau optimal pour une classe de problèmes et non pour un seul cas

* Tout cela s'entant en garantissant bien sûr le bon fonctionnement de l'appareil, avec la fiabilité souhaitée

* Comme la sous-qualité, la sur-qualité n'a pas d'intérêt et fait perdre des marchés. Que feriez-vous d'une voiture neuve de 1900 ? Que vous auriez acheté le prix d'une maison ?
## Plan

1. 1 Optimisation sur un critère

1.1 Le câble le plus léger

2. 2 Compléments sur les cartes d'Ashby

3. 3 Liens avec la géométrie

4. 4 Autres caractéristiques mécaniques

5. 5 Optimisation multi-critères

6. Biblographie
# 1 Optimisation sur un critère

## 1.1 Le câble le plus léger

Exemple : quel matériau pour un câble le plus léger possible ?

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Les **grandeurs imposées** sont : ($M$, $g$, $L$) Les équations disponibles depuis la théorie des barres et la physique sont :

$$ 
\begin{align*}
\sigma &= \frac{F}{S} \\
\sigma &\le \sigma_r \\
m &= \rho S L
\end{align*}
$$
* S est une **grandeur libre**

* $\sigma_r$ et $\rho$ sont des **grandeurs matériau**

Posons le terme à minimiser, en éliminant les grandeurs libres :

$$m = \frac{\rho FL}{\sigma_r} \qquad (\text{EQMA})$$

On minimise par rapport aux grandeurs matériau :

$$m_{opt} = FL \min \left( \frac{\rho}{\sigma_r} \right)$$

Le meilleur matériau est celui qui aura le plus grand indice de performance<fnref n="2" />.

Ici :

$$IP = \frac{\sigma_r}{\rho} \qquad (\text{IPCA})$$

<footnote n="2">2. Le matériau optimal n'est pas forcément le plus léger, c'est à dire celui avec $\rho$ min comme on pouvait le penser</footnote>
M. Ashby et C. Jones on regroupé sur des graphes Log-Log les couples de caractéristiques physiques de tous les matériaux solides. Par exemple, la carte (simplifiée) densité ρ – contrainte ultime σ<sub>r</sub> est :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Sur cette carte, les **iso—IP** sont le lieux des couples $(\sigma_r, \rho)$ tels que :

$$IP_0 = \frac{\sigma_r}{\rho}$$

soit, en **Log** :

$$\text{Log}(\sigma_r) = \text{Log}(\rho) + \text{Log}(IP_0)$$

Les matériaux situés sur des droites :

* de pente 1

* d'ordonnée à l'origine $\text{Log}(IP_0)$

auront **même performance**, les matériaux concernés donneront ici un câble de même masse.
Par exemple, le verre A, le bois B et le métal C, bien que très différents, donneront un câble de même masse. Ils seront plus performant que n'importe quel polymère ou mousse.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Le meilleur matériau sera celui qui a la plus grand IP. Ici, ce sera le diamant, avec $IP_1 \approx 300$. Ce câble sera donc $IP_1/IP_0 \approx 30$ fois plus léger que le câble en verre, quelles que soient les grandeurs imposées (m, L).

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Depuis les formules (EQMA) et (IPCA) on peut calculer cette masse à partir de l'IP :

$$m_0 = \frac{FL}{IP_0}$$

Pour un autre IP, on a directement le rapport des masses depuis le rapport des IP, quel que soit les paramètres (ici F et L) du problème :

$$\frac{m_1}{m_0} = \frac{IP_0}{IP_1}$$
Pour trouver le matériau optimal d'un problème avec un unique critère d'optimisation

* Poser les équations

* Éliminer les grandeurs libres

* Identifier l'IP sur les grandeurs matériaux

* Trouver dans la table d'Ashby les matériaux avec le meilleur IP
# Plan

1. Optimisation sur un critère

2. Compléments sur les cartes d'Ashby
* 2.1 Mesure précise

* 2.2 Quelques cartes d'Ashby

3. Liens avec la géométrie

4. Autres caractéristiques mécaniques

5. Optimisation multi-critères

6. Bibliographie
# 2 Compléments sur les cartes d'Ashby

## 2.1 Mesure précise

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

### Example

Mesurer la masse volumique et la résistance à rupture du verre A.
## 2.2 Quelques cartes d'Ashby

### Exemples :

* Contrainte limite – densité

* Module d'Young – densité

* Contrainte limite– coût (dépendant des marchés financiers)

* Ténacité (que l'on expliquera plus tard) – module d'Young

* Coefficient de dilatation thermique – conductivité thermique

D'autres grandeurs, physique ou environnementales, par exemple :

* Limite élastique – coût écologique

* Module d'Young – coût énergétique (équivalent CO₂)

Les cartes existent sous différentes formes :

* Avec différent niveaux de détails

* Gratuites ou payantes

* Les industriels peuvent demander que leur nouveau matériau y figure
Contrainte limite – densité

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
Module d'Young – densité

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Contrainte limite – coût

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
Ténacité – module d'Young

<figure><img src="image_12.png" /></figure>
Coefficient de dilatation thermique – conductivité thermique

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
Limite élastique – coût écologique

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
Module d'Young – coût énergétique (équivalent CO₂)

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Plan

1. Optimisation sur un critère

2. Compléments sur les cartes d'Ashby

3. Liens avec la géométrie

* 3.1 Présentation

* 3.2 Approche RDM poutres

* 3.3 Flambement d'Euler

4. Autres caractéristiques mécaniques

5. Optimisation multi-critères

6. Bibliographie
3 Liens avec la géométrie

3.1 Présentation

Souvent, le choix de matériaux restreint les géométries possibles :

• pour des raisons de fabrication

• pour des raisons d'échelle

or, la géométrie conditionne la performance autant que le choix de
matériau.
## 3.2 Approche RDM poutres

Supposons que l'on veut concevoir une poutre en flexion rigide et légère.

* Les équations en présence :

$$M_f = EI\gamma$$

$$m = \rho SL$$

où $\gamma$ est la variation de courbure ($\gamma \simeq v''$ pour les poutres droites).

* La rigidité de la poutre $k$ est :

$$k = \frac{M_f}{\gamma} = EI$$

où $(k, L)$ sont des grandeurs imposées.

* Problème : on ne peut pas éliminer les grandeurs libres $S$ et $I$ :

$$S = \iint_S dS$$

$$I = \iint_S y^2 dS$$
* Elles sont liées par la **géométrie** de la section droite.

* Posons :

$$ \Phi = \frac{4\pi l}{S^2} $$

le rapport de performance des section, sans unité. Il ne dépend que de la géométrie.

* Pour une section $S$ donnée, $l$ est maximal en regroupant la matière aux y les plus grands, et inversement :

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Le premier correspond au cas d'une tôle fine. On s'en sert pour faire des charnières souples. Le second cas est théorique : le phénomène de flambement de coque (vu en master 2) se produit très rapidement.
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Charnière souple (à g.) et nappe de téléphone (à d.)

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Flambement de coque sur une section à paroi très mince

<table><caption>Table – Quelques rapports de performance de section</caption><tr><td></td><td>-</td><td>■</td><td>●</td><td>○</td><td>I ↑</td></tr><tr><td>Φ</td><td>0</td><td>4π/12</td><td>1</td><td>(1+α²)/(1-α²)</td><td>∞</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>D = αd</td><td></td></tr></table>
## 3.3 Flambement d'Euler

### Force critique d'Euler [1744]

Pour une barre homogène :

$$F_c = \frac{\pi^2 EI}{KL^2}$$

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Buckling case 2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Buckling case 3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Buckling case 4</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Le flambement correspond à une bifurcation et
à une perte d'unicité de la solution

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Divers dispositifs sont prévus pour éviter le flambement : réduire L
(structure treillis à gauche) ou augmenter localement L (à droite)
# Plan

1. Optimisation sur un critère

2. Compléments sur les cartes d'Ashby

3. Liens avec la géométrie

4. Autres caractéristiques mécaniques

* 4.1 Motivation

* 4.2 Mécanique de la rupture

* 4.3 Dureté

* 4.4 Prix

5. Optimisation multi-critères

6. Bibliographie
# 4 Autres caractéristiques mécaniques

## 4.1 Motivation

En Master 1, vous ignorez encore :

* la mécanique de la rupture

* la notion de dureté et l'usure

* le prix des matériaux

Ces points sont important pour le choix de matériaux et nous allons les aborder (superficiellement) ici.
## 4.2 Mécanique de la rupture

Charpy (Centrale Paris, [1850]) a introduit la notion de résilience $K_c$. Il s'agit de l'énergie $W$ nécessaire à produire une surface de rupture de surface $S_0$. On la mesure avec un mouton de Charpy.

$$K_c = \frac{W}{S_0}$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Puis Griffith [1920] a affiné l'approche et les essais de propagation quasi-statique de fissure ont commencé. Westergaard et Mushkelishvili [1950] on trouvé le champ de contrainte autour d'une fissure.

$$ \sigma_{xx} = \frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\left(1 - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\right)\right) + T $$

$$ \sigma_{yy} = \frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\left(1 + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\right)\right) $$

$$ \sigma_{xy} = \frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{3\theta}{2}\right)\right) $$

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

avec $T = \sigma_{xx} - \sigma_{yy}$. En pointe de fissure, le champ de contrainte tend vers l'infini. On pose

Facteur d'intensité des contraintes

$$ K_1 = \sigma_{yy} \sqrt{\pi a} \qquad (\text{PROP}) $$
## Critère de propagation d'une fissure

Une fissure se propage à dès que :

$$K_1 = K_{1c}$$

où $K_{1c}$ est la ténacité du matériau (Pa√m).

a. en mode 1

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Naufrage de l'Erika [1979] (g.) et accident de Brétigny [2013] (à d.)
Ténacité – module d'Young

<figure><img src="image_28.png" /></figure>
* La condition de propagation (en mode 1) (PROP) implique que, pour fissure de longueur *a* donnée, il faut une contrainte :

$$ \sigma_{yy} = \frac{K_{1c}}{\sqrt{\pi a}} $$

* Mais la contrainte ne peut pas dépasser la contrainte à rupture $\sigma_r$ du matériau massif. On en déduit la longueur critique de fissure :

$$ a_c = \frac{K_{1c}^2}{\pi \sigma_r^2} $$

Une fissure $a < a_c$ n'entraîne pas de baisse de résistance.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Inspection d'une aile d'avion</figcaption></figure>
4.3 Dureté

Un corps A est plus dur que B si A raye B.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Échelle de Mohs des minéraux

Une mesure précise de la dureté est fournie par un duromètre. On mesure la taille de l'empreinte laissée par diamant sous une force donnée.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Empreinte Vickers (g.) et machine de dureté Vickers (d.)
La dureté conditionne la vitesse d'usure $V_u = K_a p V$ des matériaux, où $p$ est la pression et $V$ la vitesse de glissement.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
4.4 Prix

Les prix des matières premières (et donc des matériaux transformés) sont très dépendant des cours boursiers.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>
# Plan

1. Optimisation sur un critère

2. Compléments sur les cartes d'Ashby

3. Liens avec la géométrie

4. Autres caractéristiques mécaniques

5. Optimisation multi-critères

* 5.1 Motivation

* 5.2 Front de Pareto

* 5.3 Constante d'échange

6. Bibliographie
# 5 Optimisation multi-critères

## 5.1 Motivation

Le second critère peut être une contrainte dure. Par exemple, le câble de l'exemple (1.1) peut être choisi transparent ou conducteur. Dans ce cas, il suffit de filtrer les résultats de recherche à cette sous-famille.

Par contre, on peut avoir besoin d'optimiser un second critère.

* Le second critère est souvent le prix à minimiser

* On se doute que la solution n'est alors plus unique !
Reprenons l'exemple du (1.1), cherchons un matériau pour un câble léger et peu cher.

* On reprend le premier indice de performance (IPCA) :

$$IP_m = \frac{\sigma_r}{\rho}$$

* et le coût $C(\epsilon)$ est :

$$ 
\begin{align*}
C &= c_m \rho S L \\
S &= F / \sigma_r \\
C &= \frac{\rho c_m}{\sigma_r} F L \tag*{(EQCO)}
\end{align*} 
$$

où $c_m$ est le coût massique du matériau (/kg).

* On pose

$$IP_c = \frac{\sigma_r}{\rho c_m}$$
## 5.2 Front de Pareto

Avec le logiciel CES-Edu, on peut tracer une carte $IP_c-IP_m$, regroupant tous les matériaux.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Les matériaux optimaux sont sur le front de Pareto. Les autres, offrent au moins un IP inférieur et sont donc à rejeter.
Par exemple, supposons que l'on veut acheter une voiture rapide et pas chère (Cours de G. Racineux).

<figure><img src="image_35.png" /></figure>
## 5.3 Constante d'échange

### La constante d'échange $\alpha$ (€/kg)

indique ce qu'on est prêt à payer pour obtenir une performance supérieure $^a$

a. différent en général du coût par kg

Exemple, sur les moyens de transport :

<table><thead><tr><td>Moyen de transport</td><td>α (€/kg)</td></tr></thead><tbody><tr><td>Voiture familiale</td><td>0,5 à 1,5</td></tr><tr><td>Camion</td><td>5 à 20</td></tr><tr><td>Aviation civile</td><td>100 à 500</td></tr><tr><td>Aviation militaire</td><td>500 à 2 000</td></tr><tr><td>Navette spatiale</td><td>3 000 à 10 000</td></tr></tbody></table>

On minimise alors :

$$Z = \alpha m + C$$
Reprenons l'exemple du (1.1). Depuis (EQMA) et (EQCO) :

$$
\begin{align*}
Z &= \alpha \frac{\rho FL}{\sigma_r} + \frac{\rho c_m}{\sigma_r} FL \\
&= FL \frac{\rho(\alpha + c_m)}{\sigma_r}
\end{align*}
$$

Ce qui revient à maximiser un nouvel $IP_\alpha$ :

$$
\begin{align*}
IP_{\alpha} &= \frac{\sigma_{r}}{\rho(\alpha + c_{m})} \\
\frac{1}{IP_{\alpha}} &= \frac{1}{IP_{c}} + \frac{\alpha}{IP_{m}}
\end{align*}
$$

* Par rapport à l'ancien $IP_c$, on a juste augmenté le coût massique de la valeur d'échange.

* Si $\alpha \to \infty$, le coût massique n'a plus d'importance, on se retrouve à minimiser $IP_m$.

* Si $\alpha \to 0$, on retrouve $IP_c$, où seul le coût compte 3

3. néanmoins en garantissant la tenue en service
On peut alors obtenir le matériau optimal du front de Pareto avec :

$$ \frac{1}{IP_c} = \underbrace{\frac{1}{IP_\alpha}}_{\text{min}} - \alpha \frac{1}{IP_m} $$

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Un grand $\alpha$ (cher) conduit naturellement à un plus grand $IP_c$ (meilleure performance mécanique).
En échelle Log le graphe apparaît sous cette forme :

<figure><img src="image_37.png" /></figure>
# Plan

1. 1 Optimisation sur un critère

2. 2 Compléments sur les cartes d'Ashby

3. 3 Liens avec la géométrie

4. 4 Autres caractéristiques mécaniques

5. 5 Optimisation multi-criteres

6. Bibiliographie
Biblographie

* Jones, D. R. H. et Ashby, M. F. Matériaux - Tome 1 Propriétés, applications et conception *Dunod*

* Ashby, M. F. Choix des matériaux en conception mécanique *l'usine nouvelle*

* Ashby, M. F. Matériaux et environnement. Choix éco-responsable en conception *l'usine nouvelle*

* Racineux, G. Cours de choix de matériaux. École Centrale de Nantes.