# Comparaison d'approches temporelle et fréquentielle dans la modélisation des vibrations non linéaires à l'origine du crissement roue/rail en courbe

Jacobo Arango Montoya, Olivier Chiello, Jean-Jacques Sinou, Rita Tufano

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Jacobo Arango Montoya, Olivier Chiello, Jean-Jacques Sinou, Rita Tufano. Comparaison d'approches temporelle et fréquentielle dans la modélisation des vibrations non linéaires à l'origine du crissement roue/rail en courbe. CFA 2025 - 17e Congrès Français d'Acoustique, Société Française d'Acoustique (SFA), Apr 2025, Paris, France. hal-05363657

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17ᵉ Congrès Français d'Acoustique

27-30 avril 2025, Paris

Comparaison d'approches temporelle et fréquentielle dans la
modélisation des vibrations non linéaires à l'origine du crissement
roue/rail en courbe

J. Arango Montoya <sup>a,b,c</sup>, O. Chiello <sup>b</sup>, J.-J. Sinou <sup>c</sup> et R. Tufano <sup>a</sup>

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<footnote><sup>a</sup> Vibratec, Business Unit Ferroviaire, 28 Chemin du Petit Bois, 69131 Ecully Cedex, France</footnote>

<footnote><sup>b</sup> Université Gustave Eiffel, CEREMA, Univ Lyon, UMRAE, F-69675 Lyon, France</footnote>

<footnote><sup>c</sup> Ecole Centrale Lyon, LTDS, UMR 5513, 36 Avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully, France</footnote>
Le crissement en courbe est un bruit tonal gênant produit par les véhicules ferroviaires dans les courbes de faible rayon, principalement attribué au glissement latéral à l'interface roue/rail. Il est souvent étudié en première approche par le biais d'une analyse de stabilité, au cours de laquelle les forces de contact roue/rail sont linéarisées. Cependant, les forces de frottement étant fortement non linéaires, ce type de méthodes ne permet pas de calculer les vibrations auto-entretenues (ou cycles limites) à l'origine du bruit de crissement émis. Pour cela, l'intégration des équations dynamiques dans le domaine temporel (calcul transitoire) est généralement utilisée, mais la question de la dépendance des cycles limites obtenus aux conditions initiales est rarement abordée. La présente étude met en évidence cette influence sur la base d'un modèle vibratoire multimodal de roue déstabilisée par une force de frottement latérale. En complément, une méthode d'équilibrage harmonique est proposée pour calculer directement des cycles limites périodiques dans le domaine fréquentiel. La méthode conduit à un gain considérable en temps de calcul mais en revanche ne permet plus de relier les cycles aux conditions initiales. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec le calcul transitoire et les avantages et inconvénients des deux méthodes sont discutés.

# 1 Introduction

Le phénomène du crissement ferroviaire s'inscrit dans le domaine plus large des vibrations induites par frottement et sa compréhension constitue un enjeu important pour les ingénieurs et la communauté scientifique, compte tenu de la gêne qu'il occasionne. S'agissant d'un phénomène vibratoire lié à des instabilités, deux types d'études sont souvent réalisées. Premièrement, une analyse de stabilité est effectuée afin de déterminer l'occurrence des vibrations auto-entretenues à l'origine du bruit crissement. Une méthode temporelle couramment utilisée est l'analyse des valeurs propres complexes du système [4], ce qui permet de déterminer les modes instables de la structure, mais il existe également des méthodes fréquentielles, comme celle présentée dans [2], permettant de déterminer les fréquences instables du système via le critère de Nyquist.

Puisque l'analyse de stabilité est basée sur la linéarisation des efforts non-linéaires au contact roue/rail, elle ne permet pas de déterminer les niveaux de vibration du système soumis à des fortes non-linéarités, comme c'est le cas du crissement. Pour cela, la seconde étude souvent réalisée est celle de l'évolution temporelle des vibrations, allant jusqu'au calcul des vibrations auto-entretenues en régime stationnaire (cycle limite) et pour laquelle deux familles de méthodes sont souvent employées : celles basées sur l'intégration (typiquement numérique) des équations dynamiques du système dans le domaine temporel [4, 10] et celles impliquant une recherche directe de cycle limite dans le domaine temporel [3] ou dans le domaine fréquentiel, comme c'est le cas de la méthode d'équilibrage harmonique (HBM) [5].

Les solutions obtenues avec des méthodes d'intégration temporelle dépendent fortement des conditions initiales utilisées, mais leur choix n'est généralement pas justifié, car il est assumé implicitement que le cycle limite en est indépendant. Cependant, des travaux antérieurs ont mis en évidence l'existence de cycles limites différents en fonction des conditions initiales : par exemple, Chiello et al. [4] ont démontré qu'en favorisant un mode particulier dans les conditions initiales, en lui imposant une contribution modale non nulle, on obtient un cycle limite différent de celui que l'on obtiendrait avec des contributions modales similaires pour tous les modes instables et a souligné l'influence des

modes harmoniquement liés sur les fréquences apparaissant dans le cycle limite final.

L'objectif de ce papier est d'étudier l'influence des conditions initiales sur les cycles limites, ainsi que de comparer ceux obtenus par intégration temporelle avec ceux obtenus directement par équilibrage harmonique. Cette étude est effectuée sur un modèle de crissement ferroviaire en courbe utilisant une représentation modale de la roue obtenue par éléments finis et comportant un degré de liberté au contact, à savoir, la direction tangentielle.

# 2 Formulation du problème

## 2.1 Définition des repères

Le système étudié est le contact roue/rail correspondant à la roue intérieure d'un essieu menant dans une courbe à droite, comme représenté dans la figure 1. L'angle d'attaque $α$ entre la direction du mouvement du véhicule, $X$, et la tangente au rail, créé par le non-alignement de l'essieu par rapport au rail, est positif dans le repère eulérien XYZ attaché à la roue interne.

Le modèle représenté dans la figure 2 prend en compte un décalage latéral $Δy_c$ du point de contact roue/rail réel par rapport au point de contact nominal, ainsi qu'une inclination $β$ du plan tangent, de telle façon qu'une transformation de coordonnées est nécessaire pour passer du repère XYZ au repère LTN (directions longitudinale, tangente et normale).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Essieu menant d'un bogie ferroviaire dans une courbe à droite.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Repère du contact roue/rail.</figcaption></figure>

Dans ce modèle, la voie est considérée infiniment rigide et, par conséquent, les fluctuations de la force normale sont négligées, de sorte que le modèle étudié ne comprend que le degré de liberté de contact tangentiel. La roue, quant à elle, est considérée élastique et sa base modale est obtenue à l'aide d'un modèle par éléments finis.

Le glissement $s$ de la roue par rapport au rail est défini comme la vitesse de glissement latérale, appelée $\Delta V_y$, normalisée par la vitesse de roulement $V_0$. Cette vitesse a une composante quasi-statique $\Delta V_y \approx \alpha V_0$, ainsi qu'une composante dynamique, $\dot{u}$, qui est liée à la réponse vibratoire de la roue.

$$s = \frac{\Delta v_y}{V_0} = \frac{\Delta V_y + \dot{u}}{V_0} \approx \alpha + \frac{\dot{u}}{V_0}, \quad (1)$$

## 2.2 Forces de contact

Les efforts au contact roue/rail sont considérés ponctuels et, à partir de l'hypothèse permettant de négliger la dynamique normale, l'effort normal est une charge statique constante $N$ qui correspond au poids du véhicule appliqué sur une roue. En revanche, l'effort de frottement qui se produit dans la direction tangente est décrit par la théorie du frottement en roulement [8] et dépend de la vitesse latérale relative de la roue par rapport au rail. Pour de faibles glissements roue/rail, cette dépendance est quasi-linéaire, tandis que pour des valeurs plus élevées, les non-linéarités apparaissent et un régime saturé est atteint, où le coefficient de frottement équivalent $\mu_0$ est égal au coefficient de Coulomb.

La loi de frottement/glissement $F_T = -\mu(s, N)N$ de Shen-Hedrick-Elkins [11] est utilisée, avec la particularité qu'un coefficient de frottement décroissant par rapport au glissement $s$ est modélisé via une fonction de la forme $\mu_0(1 - \lambda e^{-\kappa|s|})$, comme proposé dans [7], où $\lambda$ est le paramètre qui contrôle le taux de décroissance. Cette dernière caractéristique est celle qui introduit les instabilités à l'origine des vibrations auto-entretenues dans le modèle utilisé ici.

## 2.3 Equations du mouvement

Le système de la figure 2 est décrit par l'équation différentielle (2), en utilisant une description modale de la roue :

$$\mu \ddot{q}(t) + c \dot{q}(t) + \gamma q(t) = \Phi^T N (\mu_{st} - \mu(s, N)) \quad (2)$$

Où $\mu, c, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ sont les matrices généralisées de masse, d'amortissement et de raideur de la roue, respectivement, $q(t) \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ représente le vecteur de déplacement généralisé et $\Phi \in \mathbb{R}^{1 \times n}$, le vecteur des déformées modales au point de contact dans la direction tangentielle. Il est à noter que l'équation (2) est exprimée en termes relatifs à l'équilibre quasi-statique, pour lequel le coefficient de frottement $\mu_{st} = \mu(\alpha, N)$.

## 2.4 Analyse de stabilité

L'analyse de stabilité permet de déterminer si le système est instable ou non dans les conditions d'équilibre quasi-statique et, le cas échéant, d'identifier quels sont les modes de roue instables. Étant basée sur l'étude des valeurs propres complexes, elle nécessite une linéarisation de la force non-linéaire (soit du coefficient de frottement $\mu(s, N)$) autour de l'équilibre quasi-statique $(\alpha, N)$. L'équation du mouvement (2) linéarisée s'écrit comme suit :

$$\mu \ddot{q}(t) + c_{\text{lin}} \dot{q}(t) + \gamma q(t) = 0 \quad (3)$$

Avec

$$c_{\text{lin}} = c + \frac{N}{V_x} \left( \frac{d\mu(s, N)}{ds} \right)_{st} \Phi^T \Phi \quad (4)$$

Le problème des valeurs propres associé à l'équation linéarisée (3) satisfait à l'équation (5), où $\hat{q}$ représente les déformées modales complexes et $\lambda$ les valeurs propres complexes associées. Ce problème quadratique est ensuite résolu par transformation au problème aux valeurs propres généralisé.

$$(\lambda^2 \mu + \lambda c_{\text{lin}} + \gamma) \hat{q} = 0 \quad (5)$$

Il est intéressant de remarquer dans l'équation (4) que c'est la pente $\frac{d\mu(s, N)}{ds}|_{st}$ qui contrôle directement l'apparition ou non des instabilités dans le système, en produisant un amortissement équivalent $c_{\text{lin}}$ négatif, pour un coefficient de frottement décroissant.

# 3 Formulation des conditions initiales

La résolution de l'équation du mouvement (2) requiert l'utilisation de conditions initiales $(q_0, \dot{q}_0)$. Afin de fixer ces conditions initiales, deux approches sont proposées : premièrement, l'approche physique, où les vecteurs $(q_0, \dot{q}_0)$ sont déduits à partir d'une condition soit en vitesse soit en déplacement au point de contact et, deuxièmement, l'approche modale, dans laquelle un ou plusieurs modes de la structure sont excités en condition initiale.
## 3.1 Conditions initiales physiques

Mathématiquement, une vitesse initiale $\dot{u}_0$ imposée au point de contact est équivalente à appliquer une impulsion en force $F_0\delta(0)$ au système. Pour déduire $\dot{q}_0$ en fonction de $\dot{u}_0$, on intègre l'équation du mouvement (2) entre 0⁻ et 0⁺ en introduisant l'impulsion dans le côté droit de l'équation (les détails de la démarche peuvent être retrouvés dans [1]). De plus, en exprimant la vitesse initiale imposée $\dot{u}_0$ en tant qu'une perturbation $\epsilon$ de la vitesse de glissement roue/rail quasi-statique de sorte que $\dot{u}_0 = \epsilon\alpha V_0$, on obtient l'expression suivante :

$$ \dot{q}_0 = \epsilon\alpha V_0 \frac{\mu^{-1} \Phi^T}{\Phi \mu^{-1} \Phi^T} \quad (6) $$

Une condition initiale nulle est donnée dans ce cas à $q_0$.

De manière similaire, la condition initiale en déplacement est dérivée d'une perturbation statique de l'équilibre quasi-statique, telle que $u_0 = \epsilon U_{st}$ (se référer à [1]) pour les détails), permettant de retrouver l'expression suivante :

$$ q_0 = \epsilon \gamma^{-1} \Phi^T N \mu_{st} \quad (7) $$

Une condition initiale nulle est donnée dans ce cas à $\dot{q}_0$.

## 3.2 Conditions initiales modales

Cette approche est basée sur [9] et permet d'exciter un ou plusieurs modes de la structure en imposant des valeurs non-nulles sur les composantes correspondantes dans le vecteur $\dot{q}_0$. Ces composantes non-nulles $\dot{q}_{0,i}$ sont déduites à partir de la loi suivante, $n$ étant le nombre de modes à exciter :

$$ \dot{q}_{0,i} = \frac{\dot{u}_0}{\Phi_i n} \quad \text{avec} \quad \dot{u}_0 = \epsilon \alpha V_0 \quad (8) $$

# 4 Méthode d'équilibrage harmonique (HBM)

Cette méthode fréquentielle vise à déterminer directement dans le domaine fréquentiel des solutions périodiques en régime stationnaire, en utilisant une approximation de la réponse du système par séries de Fourier tronquées à $N_h$ harmoniques et en faisant une condensation au niveau du contact roue/rail. Le déplacement approché au point de contact $\tilde{u}(t)$ peut s'écrire comme suit en fonction de ses coefficients de Fourier $a_k, b_k$, ainsi que de la fréquence fondamentale $\omega_0$ :

$$ \tilde{u}(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{N_h} [a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t)] \quad (9) $$

Le résidu $\mathbf{R}(\mathbf{x}, \omega_0, t)$ non-nul résultant dans l'équation du mouvement (2) est à minimiser via la méthode de Galerkin, en faisant une projection dans l'espace des fonctions de base cosinus et sinus. On obtient l'équation algébrique (10) :

$$ \mathbf{A}(\omega_0)\mathbf{x} - \mathbf{b}(\mathbf{x}, \omega_0) = \mathbf{0} \quad (10) $$

où les inconnues à déterminer sont $\omega_0$ et $\mathbf{x}$, vecteur contenant les coefficients de Fourier $a_k, b_k$, tel que

$$ \mathbf{x} = [a_0 \ a_1 \ b_1 \ \dots \ a_k \ b_k \ \dots \ a_{N_h} \ b_{N_h}]^T \quad (11) $$

Le produit $\mathbf{A}(\omega_0)\mathbf{x}$ représente les efforts internes de la structure et est analogue au côté gauche de l'équation du mouvement (2), tandis que le vecteur $\mathbf{b}(\mathbf{x}, \omega_0)$ est obtenu en faisant une transformée de Fourier discrète des forces de frottement non-linéaires du côté droit de l'équation du mouvement.

L'équation (10) est résolue via la méthode itérative de Newton-Raphson, en utilisant des valeurs d'initialisation $\mathbf{x}^{(0)}$ et $\omega_0^{(0)}$ telles que :

$$ \mathbf{x}^{(0)} = [0 \ \alpha V_0 / \omega_0^{(0)} \ 0 \ \dots \ 0]^T \quad (12) $$

Quant à la pulsation $\omega_0^{(0)}$, l'analyse de stabilité fournit des valeurs des fréquences propres correspondant aux modes instables, qui s'exprimeront potentiellement dans le régime stationnaire final.

# 5 Résultats

La présente étude est déroulée sur un modèle de roue en acier monobloc de 0.86 m de diamètre, dont la base modale, contenant 37 modes, est obtenue par éléments finis pour la gamme de fréquences de 0 à 6250 Hz. Les facteurs d'amortissement de la plupart des modes supérieurs à 400 Hz sont fixés à $1 \times 10^{-4}$, tandis que ceux des trois premiers modes, liés au comportement de l'essieu, ont été fixés à 0.8. La vitesse de roulement du véhicule dans la courbe est de $V_0 = 30$ km/h, avec une charge normale de $N = 51$ kN appliquée à la roue, et l'angle d'attaque $\alpha$ entre la direction du mouvement et la tangente du rail est de 11 mrad. Les paramètres de la loi de frottement $\mu(s, N)$ ont été choisis de sorte à ce que des instabilités puissent avoir lieu dans le système (cf. équation (4)).

La figure 3 montre le taux d'amortissement équivalent du mode $i$ donnée par l'analyse de stabilité, qui mesure le degré d'instabilité de celui-ci. Un amortissement équivalent négatif indique que le mode en question est instable et donc est susceptible de générer des vibrations auto-entretenues et donc de s'exprimer dans le cycle limite. Un total de 10 modes sur 37 ont été identifiés comme instables, dont 8 correspondent à des modes axiaux sans cercle nodal, appelés "0Ln", $n$ étant le nombre de diamètres nodaux. Plus précisément, il s'agit des modes 0Ln avec $n \in \{0, 2, 3, \dots, 8\}$; les deux autres modes de roue (modes 1L2 et R6) ayant été identifiés comme instables présentent un taux d'amortissement équivalent très faible. Ce sont donc les premiers qui font l'objet des conditions initiales modales, détaillées dans le tableau 1.

Le tableau 1 résume les deux types de conditions initiales étudiés dans ce papier : physiques (en vitesse ou déplacement imposé au point de contact) et modales. Les valeurs de la perturbation $\epsilon$ pour les conditions en vitesse ont été choisies de façon à avoir des glissements roue/rail
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Analyse de stabilité : taux d'amortissement équivalent en fonction de la fréquence propre</figcaption></figure>

<table><caption>TABLEAU 1 – Conditions initiales (C.I.)</caption><thead><tr><th>C.I.</th><th>q<sub>0</sub></th><th>dot</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="3">Conditions initiales physiques</td></tr><tr><td>Vitesse<br>("V_ε")</td><td>0</td><td>dot = εαV<sub>0</sub> μ<sup>-1</sup>Φ<sup>T</sup><br>∀ε ∈ {-1, -0.5, 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 1}</td></tr><tr><td>Déplacement<br>("U_ε")</td><td>q<sub>0</sub> = εγ<sup>-1</sup>[Φ]<sup>T</sup>Nμ<sub>st</sub><br>∀ε ∈ {-0.5%, 0.5%}</td><td>0</td></tr><tr><td colspan="3">Conditions initiales modales</td></tr><tr><td>"0Li"</td><td>0</td><td>dot<sub>0,i</sub> = εαV<sub>0</sub> Φ<sub>i</sub><br>∀i ∈ {0L0, ..., 0L8}</td></tr><tr><td>"Tous_instab"</td><td>0</td><td>∀i ∈ modes instables</td></tr></tbody></table>

couvrant la zone linéaire autant que la zone non-linéaire de la loi de frottement; quant au déplacement, les valeurs de ε ont été choisies empiriquement en considérant un ordre de grandeur typique du déplacement. D'autre part, les conditions modales visent à exciter dans un premier temps tous les modes instables d'un coup, puis chacun des modes 0Ln de façon individuelle, en imposant une vitesse initiale de 0.1αV₀ au point de contact.

Une intégration temporelle est menée numériquement pour chacune des conditions initiales du tableau 1, et ce pour une durée totale de 2 secondes. La méthode utilisée est celle de Newmark déclinée au cas non-linéaire [6], méthode particulièrement adaptée aux équations différentielles de second ordre. Un pas de temps assez fin de Δt = 1 × 10⁻⁶ s et un schéma d'accélération moyenne constante (γ = 1/2, β = 1/4) inconditionnellement stable, ont été utilisés.

Les trois quantités d'intérêt pour l'analyse de l'évolution temporelle des vibrations du système sont le déplacement et la vitesse relatifs entre la roue et le rail, ainsi que la force de frottement dans leur interface. Les figures 4 et 5 représentent tous les cycles limites obtenus pour les conditions initiales

physiques et ceux obtenus pour les conditions modales, respectivement. On observe l'existence de deux grandes familles de cycles limites (auxquels les deux types de conditions initiales confondus aboutissent) : d'un côté, des régimes basse-énergie, avec une amplitude crête-à-crête modérée, à hauteur d'environ 0.1172 m/s, et de l'autre côté, des régimes haute-énergie, avec une amplitude d'autour de 0.2042 m/s, soit presque le double, et ayant des portraits de phases plus complexes.

Une analyse spectrale de chacun des cycles limites a permis d'identifier que la première famille correspond à des cycles à régime périodique, c'est-à-dire avec une seule fréquence fondamentale, accompagnée de ses harmoniques, tandis que la deuxième famille correspond à un régime quasi-périodique, soit avec trois fréquences fondamentales et leurs harmoniques respectifs. En tout cinq cycles limites uniques ont été identifiés, dont quatre présentent un régime périodique et le dernier, un régime quasi-périodique (cf. tableau 2). Les cycles limites périodiques ont été appelés en raison du mode de roue dont la fréquence propre est proche de la fréquence fondamentale du cycle.

Quant au cycle quasi-périodique, les trois fréquences fondamentales f₀, f₁, f₂ qui dominent son spectre de vitesse sont proches des fréquences propres des modes 0L2, 0L7 et 0L8, respectivement, tandis que les pics importants aux harmoniques f₂ - f₁ et 2f₁ - f₂ correspondent aux modes 0L3 et 0L6, respectivement, ce qui met en évidence une forte corrélation harmonique entre les modes de la structure. Une analyse approfondie est présentée dans [1].

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Portait des phases des cycles limites obtenus pour des conditions initiales physiques. Rouge : « V_-1.0 », bleu : « V_-0.5 », noir : toutes les autres conditions initiales physiques.</figcaption></figure>

La figure 6 montre le portrait de phases des cycles limites périodiques obtenus via la méthode d'équilibrage harmonique pour chacune des fréquences fondamentales f₀ utilisées lors de l'initialisation de l'algorithme de solution itérative et avec un nombre d'harmoniques Nₕ = 10. Ce dernier a convergé correctement pour 9 sur les 10
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Portait des phases des cycles limites obtenus pour des conditions initiales modales. Rouge : « 0L4 », magenta : « 0L5 », vert : « 0L6 », noir (les courbes se superposent) : « 0L3 » / “0L7” / “0L8” / “Tous_instab”, bleu (les courbes se superposent) : toutes les autres conditions initiales modales.</figcaption></figure>

fréquences instables identifiées préalablement dans l'analyse de stabilité, les fréquences fondamentales retrouvées étant légèrement plus basses que celles de la stabilité, avec un écart de moins de 0.2 Hz. Le cas où $f_0 = 4561.5$ Hz (mode de roue R6), qui converge à la solution triviale, est à investiguer dans le futur, car il s'agit probablement d'un problème numérique dans la résolution de l'équation (10), lié au faible degré d'instabilité retrouvé dans l'analyse de stabilité (taux d'amortissement équivalent de l'ordre de $-1 \times 10^{-7}$).

Ces résultats montrent que pour ce système il existe bien un cycle limite périodique associé à chacun des modes instables et qui peut être facilement déterminé à l'aide d'une méthode directe de recherche de cycles limites. En revanche, avec l'intégration temporelle, seuls les cycles périodiques 0L2, 0L4, 0L5 et 0L6 (cf. tableau 2) ont pu être retrouvés, malgré le fait que des conditions initiales modales visant à exciter les modes instables aient été employées. Dans certains cas, un mode différent de celui excité en conditions initiales a même été retrouvé (à savoir, le mode 0L2), ce qui n'est pas le cas avec la méthode directe. Il est probable que ces cycles limites soient instables, ce qui expliquerait pourquoi il n'est pas possible de les retrouver via l'intégration temporelle, le mode 0L2 prenant le contrôle des vibrations du système. Cela reste à investiguer dans le futur.

## 6 Conclusion

Dans cette étude l'impact des conditions initiales sur les cycles limites obtenus par intégration temporelle est évalué pour un modèle de crissement en courbe en proposant deux types de conditions initiales : physiques et modales. En tout, cinq cycles limites uniques ont été retrouvés pour

<table><caption>TABLEAU 2 – Cycles limites uniques obtenus par intégration temporelle.</caption><thead><tr><th>Cycle limite</th><th>Fréq. fondamentale</th><th>Conditions initiales</th></tr></thead><tbody><tr><td>0L2</td><td>385 Hz</td><td>"0L0", "0L1", "0L2" "Tous_instab", "V_0.01", "V_0.1", "V_0.2", "V_0.3", "V_0.5", "V_1.0", "U_-0.5", "U_0.5"</td></tr><tr><td>0L4</td><td>1855 Hz</td><td>"0L4"</td></tr><tr><td>0L5</td><td>2775 Hz</td><td>"0L5"</td></tr><tr><td>0L6</td><td>3750 Hz</td><td>"0L6"</td></tr><tr><td>Quasi-périodique</td><td>f<sub>0</sub> = 384.5 Hz<br>f<sub>1</sub> = 4763.2 Hz<br>f<sub>2</sub> = 5792.8 Hz</td><td>"0L3", "0L7", "0L8", "V_-1.0", "V_-0.5"</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Cycles limites obtenus par la méthode d'équilibrage harmonique.</figcaption></figure>

chacune des conditions initiales, dont quatre présentent un régime périodique, avec des fréquences fondamentales correspondant à des modes 0Ln spécifiques, et le dernier présente un régime quasi-périodique et avec une amplitude plus importante. Dans ce dernier, les trois fréquences fondamentales, ainsi que des composantes fréquentielles importantes, correspondent également à des modes 0Ln spécifiques, ce qui met en évidence une forte interaction harmonique entre les modes de la structure.

Les résultats ont montré que les deux types de conditions initiales permettent d'atteindre les deux familles de cycles limites, mais que pour les conditions physiques, les vibrations auto-entretenues stabilisent soit autour d'un même cycle limite périodique, soit autour du cycle quasi-périodique; de plus, il semble que le fait de stabiliser sur l'un ou l'autre dépend de la valeur de la condition initiale physique utilisée. En revanche, le fait d'exciter un mode instable via des conditions initiales modales peut mener à des cycles limites périodiques où ce mode en particulier s'exprime, à des cycles limites où un mode différent de celui-ci s'exprime, ou bien, à un cycle limite quasi-périodique.
Il est pourtant difficile de prédire a priori sur lequel en particulier vont stabiliser les vibrations du système.

Par ailleurs, ces résultats temporels ont été comparés avec ceux obtenus via la méthode d'équilibrage harmonique, qui permet de déterminer directement des cycles limites périodiques dans le domaine fréquentiel. Tandis qu'avec cette dernière il est possible d'associer un cycle limite périodique unique à chacun des modes instables identifiés par l'analyse de stabilité, avec l'intégration temporelle il est difficile d'établir un lien direct entre le mode instable excité en condition initiale et le mode qui s'exprime finalement dans le cycle limite : certains cycles limites retrouvés via l'équilibrage harmonique n'ont pas été identifiés avec l'intégration temporelle. Il est intéressant d'investiguer cet aspect dans le futur en effectuant une analyse de stabilité des cycles limites.

## Remerciements

Ce travail a été réalisé dans le cadre du LABEX CeLyA (ANR-10-LABX-0060) de l'Université de Lyon, dans le cadre du programme "Investissements d'Avenir" de l'Agence Nationale de la Recherche (ANR).

## Références

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