# Rupture fragile d'une interface en présence de contraintes résiduelles

Sébastien Murer, Carole Henninger, Dominique Leguillon

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Sébastien Murer, Carole Henninger, Dominique Leguillon. Rupture fragile d'une interface en présence de contraintes résiduelles. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01509265

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Submitted on 16 Apr 2017

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Rupture fragile d'une interface en présence de contraintes résiduelles

S. Murer — C. Henninger — D. Leguillon

Laboratoire de Modélisation en Mécanique
Université Pierre et Marie Curie
Tour 55-65, 4e - 5e étage
Case courrier 162
4, place Jussieu
75252 Paris Cedex 05

{murer,henning,leguillo}@lmm.jussieu.fr

**RÉSUMÉ.** En rupture fragile, il a été montré que la nucléation d'une fissure peut être correctement prédite par deux critères qui doivent être vérifiés simultanément : l'un basé sur un bilan d'énergie, l'autre sur une contrainte maximum. L'extension de ce résultat à l'amorçage à l'interface d'un bimatériau sous chargement mécanique et thermique est proposée et illustrée sur trois exemples industriels.

**ABSTRACT.** In brittle fracture, it has been shown that crack nucleation can be accurately predicted by two criteria which have to be simultaneously satisfied : one relies on an energy balance whereas the other one is based upon a maximal tensile stress. It is shown that it is possible to extend this result to the initiation of a crack at the interface of a bimaterial under both mechanical and thermal loading, along with three industrial cases.

**MOTS-CLÉS** : Rupture fragile, contraintes résiduelles, champs singuliers, interface

**KEYWORDS** : Brittle fracture, residual stresses, singular fields, interface
## Introduction

Les concentrations de contraintes liées aux chargements mécaniques et thermiques, susceptibles de causer l'amorçage d'une fissure à l'interface d'un bimatériau, se traduisent en élasticité linéaire par un champ dit *singulier* et un scalaire appelé facteur d'intensité généralisé *K*. Le champ de déplacements peut se mettre sous la forme d'une série de termes caractérisés par un exposant de singularité réel $\lambda$ (compris entre 0 et 1) dépendant de la géométrie locale et des propriétés matériaux, et par *K*, qui dépend de la géométrie globale et du chargement de la structure :

$$ \underline{U}(x_1, x_2) = \underline{U}(O) + Kr^{\lambda}\underline{u}(\varphi) + \dots \quad [1] $$

$(r, \varphi)$ sont les coordonnées polaires ayant pour origine le point singulier $O$. Pour des raisons pratiques, le champ de déplacements est normalisé de manière à ce que la contrainte d'ouverture à l'interface soit égale à 1.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Il a été montré (Leguillon, 2002) que lorsque $K$ atteint une valeur limite $K_c$, il y a création brutale d'une fissure de longueur $l_0$ (petite), la détermination de $K$ est donc essentielle dans cette approche.

## Calcul de $K$, $K_c$ et $l_0$

En présence d'un chargement mécanique, le facteur d'intensité $K$ est déterminé à l'aide de l'intégrale de contour déduite du théorème de Betti (Leguillon et al., 1987) :

$$ H(\underline{U}, \underline{V}) = \int_C (\tilde{\sigma}(\underline{U}).\underline{n}^C \cdot \underline{V} - \tilde{\sigma}(\underline{V}).\underline{n}^C \cdot \underline{U}) \, ds \quad [2] $$

Cette intégrale est indépendante du contour $C$ choisi à condition que $\underline{U}$ et $\underline{V}$ vérifient des conditions d'équilibre homogènes à 0 à l'intérieur et aux bords de la zone délimitée par $C$.

En l'absence de contraintes résiduelles, le champ de déplacements vérifie ces conditions d'homogénéité et le facteur d'intensité $K$ est calculable à l'aide de l'in-
tégrale de contour [2] où $\underline{U}$ est la solution calculée par éléments finis et $\underline{V}$ le mode dual du mode singulier (cf. [1]).

## Le critère de rupture

Pour qu'une fissure s'amorce, il est nécessaire de vérifier simultanément deux critères : l'un en énergie, l'autre en contrainte (Leguillon, 2002).

Le premier est obtenu grâce à un bilan d'énergie sur la structure avant et après l'amorçage d'une fissure de longueur $l_0$ : le taux de restitution d'énergie incrémental, défini par $G = -\delta W_p / \delta S$, doit être supérieur à la ténacité du matériau $G_c$, $\delta W_p$ étant la variaton d'énergie potentielle élastique et $\delta S$ la variation de surface de fissure. L'expression de $\delta W_p$ est obtenue suite à un développement asymptotique par rapport à la longueur de fissure $l_0$. La condition en énergie s'écrit alors :

$$K^2 A l_0^{2\lambda-1} \geq G_c \quad [3]$$

où $A$ est un facteur fonction de la géométrie locale et de la direction de rupture. Comme $K$, il est calculé numériquement à l'aide de l'intégrale $H$ [2].

Le critère en contrainte stipule quant à lui que la contrainte d'ouverture en pointe de fissure doit être supérieure à la résistance en traction $\sigma_c$ de l'interface. D'après la relation [1], cette condition s'écrit

$$K l_0^{\lambda-1} \geq \sigma_c \quad [4]$$

La combinaison des critères [3] et [4] fournit un critère unique d'amorçage de fissure, régi par deux paramètres : la ténacité $G_c$ et la résistance $\sigma_c$.

$$l_0 = \frac{G_c}{A \sigma_c^2} \quad \text{et} \quad K_c = \left(\frac{G_c}{A}\right)^{1-\lambda} \sigma_c^{2\lambda-1} \quad [5]$$

## Prise en compte de l'aspect thermique du problème

Les contraintes résiduelles induites par une sollicitation thermo-mécanique présentent une difficulté technique supplémentaire, les conditions d'homogénéité à 0 énoncées précédemment n'étant plus satisfaites. Pour lever cette difficulté, un terme supplémentaire $\Delta\Theta r\underline{v}(\varphi)$ est pris en compte dans le développement de la solution :

$$\underline{U}(x_1, x_2) = \underline{U}(0, 0) + K r^{\lambda} \underline{u}(\varphi) + \Delta\Theta r \underline{v}(\varphi) + \dots \quad [6]$$

où $\Delta\Theta$ est l'amplitude de température du chargement thermique supposée constante dans toute la structure. Le coefficient $K$ intègre désormais, en plus de la
composante mécanique $K^m$, une composante thermique $K^\Theta : K = K^m + \Delta\Theta K^\Theta$. L'intégrale de contour [2] est alors toujours utilisable à condition d'utiliser le champ modifié $\underline{U} - \Delta\Theta r\underline{v}$, qui, lui, vérifie des conditions homogènes. La longueur d'amorçage et le critère s'écrivent alors :

$$l_0 = \frac{G_c}{A(\sigma_c - \Delta\Theta\bar{\sigma})^2} \quad \text{et} \quad K_c = \left(\frac{G_c}{A}\right)^{1-\lambda}(\sigma_c - \Delta\Theta\bar{\sigma})^{2\lambda-1} \quad [7]$$

Ici, $\bar{\sigma}$ est la composante de traction du champ de contrainte $C : (\nabla\underline{v}(\varphi) - \alpha\underline{I})$, elle modifie la valeur critique du facteur d'intensité de contrainte.

## Applications

La mise en oeuvre de cette approche est illustrée ci-dessous sur plusieurs applications à caractère industriel en cours.

### Exemple 1 : Rupture d'une interface dans une cellule élémentaire de pile à combustible SOFC

La température de fonctionnement relativement élevée (800°C) des piles à combustible de type SOFC (Solid Oxide Fuel Cell) est responsable de l'apparition de contraintes importantes au voisinage des extrémités (cf. fig. 1).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** Schéma de la cellule élémentaire</figcaption></figure>

La structure est constituée de trois couches de matériaux de type céramique et céramique-métal de quelques dizaines à quelques centaines de microns d'épaisseur.

L'expression du facteur d'intensité généralisé critique $K_c$ permet d'isoler la variation de température critique $\Delta\Theta_c$. Nous avons ainsi pu estimer une valeur du refroidissement, à partir de la température d'élaboration, susceptible de provoquer la décohésion des couches $\Delta\Theta_c = -531°C$ (négative), mais avec une fissure se propageant non pas le long de l'interface cathode-électrolyte, mais à l'intérieur de
l'électrolyte (à partir d'une étude paramétrique sur la direction de propagation).

Des études sont également en cours concernant d'autres géométries de cellules élémentaires.

Exemple 2 : Rupture d'un joint de colle epoxy

Des éprouvettes composées de deux substrats d'aluminium réunis par une couche adhésive en epoxy d'épaisseur *e* sont testées en traction uniaxiale *T*, après avoir subi une variation en température de $\Delta\Theta = -100^{\circ}\text{C}$ (Qian *et al.*, 1998). Différentes orientations du joint ont été testées ($\psi = 90^{\circ}$, $105^{\circ}$ et $120^{\circ}$). La rupture a lieu au point *O* (le plus singulier). L'analyse est menée sur l'interphase seule, les substrats ayant un comportement essentiellement rigide par rapport à la couche d'adhésif.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

La figure 2 montre les résultats expérimentaux (Qian *et al.*, 1998) et numériques pour $\psi = 90^{\circ}$ et $\psi = 105^{\circ}$. Les contraintes à rupture obtenues en négligeant les contraintes résiduelles (CR) dépassent largement les mesures expérimentales et justifient la correction du critère [5]. Le critère [7] fournit des résultats en bon accord avec l'expérience.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 2.** Contrainte à rupture (MPa) en fonction de l'épaisseur du joint *e* (mm)</figcaption></figure>
Exemple 3 : Rupture d'un assemblage dans le bouclier thermique d'un tokamak

Le bouclier thermique du tokamak Tore Supra (CEA Cadarache) étudié est composé de tuiles composites à base de fibres de carbone (CFC) posées sur une structure métallique formée essentiellement de cuivre (cf. fig. 3).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 3.** Vue schématique du bouclier thermique d'un tokamak</figcaption></figure>

Cet ensemble subit un refroidissement d'environ 450°C pendant la fabrication. Le critère [7] ne prévoit pas l'amorçage de fissures pour un tel refroidissement. En effet, le terme supplémentaire $\bar{\sigma}$ induit par la présence de contraintes résiduelles est négatif, ce qui tend en réalité à renforcer l'interface.

L'analyse thermo-élastique a donc été enrichie par la prise en compte des contraintes dues à la plasticité du cuivre, qui sont importantes pour les variations de température considérées. L'analyse proposée est toujours valable à condition de supposer que les déformations résiduelles plastiques restent approximativement constantes au voisinage du point considéré. Sous ces hypothèses, le critère [7] ne prévoit pas non plus l'amorçage de fissures pour un refroidissement de -450°C. On peut également supposer une variation des déformations plastiques selon une loi en puissance de type Ramberg-Osgood (Rice et al., 1968). Cette étude est en cours.

Bibliographie

Leguillon D., « Strength or toughness ? A criterion for crack onset at a notch », *Eur. J. Mech. A/Solids*, vol. 21, p. 61-72, 2002.

Leguillon D., Sanchez-Palencia E., *Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity*, J. Wiley, New-York and Masson, Paris, 1987.

Qian Z., Akisanya A. R., « An experimental investigation of failure initiation in bonded joints », *Acta Mater.*, vol. 46, n° 14, p. 4895-4904, 1998.

Rice J. R., Rosengren G. F., « Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material », *J. Mech. Phys. Solids*, vol. 16, p. 1-12, 1968.