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# Alignement de particules auto-propulsées, transitions de phase et contraintes géométriques

Amic Frouvelle

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Amic Frouvelle. Alignement de particules auto-propulsées, transitions de phase et contraintes géométriques. Mathématiques [math]. Université Paris-Dauphine PSL, 2023. tel-04034643

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Submitted on 17 Mar 2023

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Open licence - etalab
# Alignement de particules auto-propulsées, transitions de phase et contraintes géométriques

## Présentation des travaux par

**Amic FROUVELLE**

Le 13 mars 2023

## Discipline

**Mathématiques**

## Composition du jury :

**Jean DOLBEAULT**
Directeur de Recherche,
Université de Paris-Dauphine PSL

**Coordinateur**

**Vincent CALVEZ**
Directeur de Recherche,
Université Claude Bernard Lyon 1

**Rapporteur**

**Francis FILBET**
Professeur des Universités,
Université Paul Sabatier Toulouse III

**Rapporteur**

**Frédéric HÉRAU**
Professeur des Universités,
Université de Nantes

**Rapporteur**

**Pierre DEGOND**
Directeur de Recherche
Université Paul Sabatier Toulouse III

**Membre du jury**

**François BOLLEY**
Professeur des Universités
École Normale Supérieure de Rennes

**Membre du jury**

**Stéphane MISCHLER**
Professeur des Universités
Université Paris-Dauphine PSL

**Membre du jury**

**Francesco SALVARANI**
Associate Professor
Università degli Studi di Pavia

**Membre du jury**
Mis en page avec la classe thesul.
Remerciements

Voici venu le temps des remerciements. Je suis aussi serré sur les délais pour les écrire (avant d'envoyer ce manuscrit au service repro) que lors de la rédaction du mémoire (avant envoi aux rapporteurs), alors je me permets d'ores et déjà de remercier l'ensemble — presque sûrement non vide — des personnes que j'aurai oubliées dans les lignes qui suivent, alors qu'elles méritent largement d'y figurer.

La rédaction de ce mémoire avait été prévue pour mon année de délégation à Poitiers en 2020-2021, pour que je puisse avoir le temps de le faire de façon sereine et organisée. Ce serait peu me connaître que d'imaginer que le plan a été respecté à la lettre, malgré une année de plus de CRCT, je me suis retrouvé à tout faire dans l'urgence au dernier moment. Je commencerai donc par un grand remerciement à Vincent Calvez, Francis Filbet et Frédéric Hérau d'avoir accepté de relire et de faire un rapport sur ce manuscrit, malgré le timing assez serré. Vos travaux, les exposés que je vous ai vu donner, et les discussions que nous avons pu avoir ont toujours été d'une grande richesse pour moi, et je pense que l'impact de vos contributions sur la communauté mathématique est conséquent. Je suis donc très touché de l'intérêt que vous avez porté à mes travaux, et ravi que vous puissiez participer à la soutenance.

Je tiens également à exprimer toute ma reconnaissance à Jean Dolbeault pour la coordination de cette habilitation. En plus de ton incroyable efficacité (au vu de mon démarrage tardif), je retiendrai surtout les échanges toujours passionnants et toutes les anecdotes qui m'ont permis de prendre un peu de recul sur l'exercice de la rédaction d'un tel mémoire (et sur tout ce qui va avec). Je sais que j'apprendrai toujours quelque chose à ton contact, que ce soit mathématiquement ou humainement, et je suis vraiment très honoré que tu aies pris bien plus qu'un rôle de simple coordinateur.

Merci à Stéphane Mischler, François Bolley et Francesco Salvarani d'avoir bien voulu faire partie de ce jury. Vous avez toujours été très accueillants tout au long de mon parcours mathématique. Je me souviens de Stéphane m'initiant aux EDP (avant ma thèse), de votre accueil enthousiaste (Stéphane et François, avec Jean) lors de mon arrivée au CEREMADE. Merci François de m'avoir fait confiance en me transmettant une partie de la responsabilité du séminaire; malgré l'absence de nouveau François dans l'organisation (on avait pourtant réussi à tenir plusieurs passations en respectant la règle), il me semble que le bon esprit de ce séminaire y est toujours! Depuis Porto Ercole 2008 (avant même ma thèse également), j'ai toujours eu conscience du lien fort entre les communautés italiennes et françaises sur des mathématiques qui me passionnent; il me semble Francesco que tu es un des éléments moteurs de ce lien. Je l'ai déjà écrit dans ce mémoire, mais merci encore de m'avoir invité à Rome et d'avoir réussi à me faire écrire un compte-rendu de mon exposé (il en faut pourtant de la patience pour un tel exploit).

Le dernier membre du jury, Pierre Degond, mérite bien une mention particulière. Merci de m'avoir lancé dans ce monde de l'étude mathématique des comportements collectifs, depuis le mémoire de M2 jusqu'à la direction de ma thèse, et bien au-delà. Je ne crois pas exagérer en considérant que tu as su faire émerger une génération de mathématiciens·nes sur des sujets nouveaux et passionnants, et je suis admiratif de la capacité que tu as de faire réellement interagir la communauté mathématique avec les biologistes sur ces thèmes. Je ne désspère pas d'y parvenir un jour, malgré ma dérive irrémédiable vers la géométrie et des choses plus abstraites. Je te suis très reconnaissant d'avoir fait appel à moi pour débloquer ces histoires de matrices de rotation, ce qui a ouvert plein de pistes par la suite. Merci de m'avoir fait confiance sur le coencadrement de la thèse d'Antoine (et celui, il y a bien longtemps, du stage de M2 de Marion, qui me vaut encore une quantité incroyable de demande de reviews sur la MHD, que je ne maîtrise plus du
tout). Je suis conscient qu'il n'est pas forcément très optimal pour l'avancement de sa carrière d'avoir comme collaborateur principal son directeur de thèse, mais je suis très heureux que tu continues à bien vouloir travailler avec moi et avec mon inefficacité, même sur des projets qui traînent depuis quelques années ; quand on les déterre on trouve parfois des pépites !

Je tiens maintenant à remercier justement (et à peu près dans l'ordre chronologique) tous les collaborateurs et collaboratrices qui ont eu la patience et l'énergie de supporter ma névrose orthotypographique et ma tatillonnerie. En premier lieu duquel Jian-Guo Liu, dont la jovialité et l'enthousiasme sont inébranlables ; c'est vraiment un grand plaisir et toujours un étonnement de travailler ensemble. Je garde un excellent souvenir des séjours à Duke et à Tsinghua (il est loin le temps où je pouvais m'absenter plusieurs mois). Merci à Gaël Raoul de m'avoir poussé à jouer avec des mesures et des distances de Wasserstein, je ressens encore le plaisir que j'ai eu sur cette collaboration (en plus de l'histoire rigolote qui m'y a inclus), et je suis très content que vous ayez eu la patience avec Pierre de me laisser partir dans mes généralisations à outrance en courbure quelconque. Merci à Sara Merino-Aceituno pour les nombreuses collaborations sur les matrices de rotations, et pour tous les moments passés entre l'Angleterre, la France, l'Écosse, l'Autriche (comment ça, on n'a pas encore travaillé ensemble en Espagne ?). C'est un peu grâce à toi et ton invitation à Vienne (ainsi qu'à l'enthousiasme de Francis et Vincent à cette occasion) que j'ai enfin véritablement réussi à trouver du temps pour me mettre à la rédaction de ce mémoire<fnref n="1" />, alors merci infiniment. Je dois un moment Eurêka assez magique (et quaternionique) à Ariane Trescases, dans un train de retour (Londres-Paris ?) d'une session de travail où l'équivalence des modèles d'alignement matrices-quaternions nous est apparue. Je pense qu'une partie conséquente de ce mémoire n'aurait pas vu le jour sans ça, alors merci ! J'ai eu le privilège, pour mon premier coencadrement de thèse, de travailler avec Antoine Diez. La barre est haute pour les suivants·e·s ! Je pense manquer de superlatifs pour décrire ton travail et tes qualités mathématiques et humaines, et je suis évidemment bluffé par ta diabolique efficacité. Plus qu'un étudiant, tu as vraiment été dès le début un collaborateur, et j'espère que cela continuera. Merci à Laura Kanzler et Christian Schmeiser de m'avoir présenté ce problème de retournement de myxobactéries, que j'ai immédiatement saboté en le plaçant dans un cadre métrique abstrait. Ça a vraiment été très agréable de travailler avec vous sur ce sujet, ce qui a donné, selon les mots de Christian, ce "strange, but funny paper" qu'on en a tiré. J'espère surtout que l'on pourra continuer en incluant l'alignement.

Je change de paragraphe pour remercier ici chaleureusement Émeric Bouin. J'aurais bien aimé te mettre dans le paragraphe des collaborateurs officiels avant la soutenance, toutes mes excuses pour ne pas avoir réussi faire une version *arXiv*able de notre travail au long cours. Mais finalement tu mérites bien de figurer dans un nouvel alinéa, tant j'ai d'autres raisons de te remercier, en particulier pour avoir bien voulu prendre ma suite dans la responsabilité du L3, pour l'organisation impeccable (dans notre style particulier) des journées Maths-Bio à Dauphine, du séminaire du labo, pour le projet avec les biologistes ariégeois (un jour, on le reprendra), pour l'inspiration et la motivation que tu m'as données pour l'écriture de ce mémoire, et pour toute l'énergie que tu insuffles dans le labo et le département. Et pour tous les moments hors du cadre du labo (comme pour les œufs Kinder®) ! Cécile Taing aussi aurait dû mériter de figurer dans la liste précédente, ce n'est plus qu'une question de jours avant que notre travail sorte du plmLab, encore quelques *git push/pull* et on y est ! Encore un grand merci pour cette collaboration poitevine.

À propos de *git*, c'est ici que je dois remercier Sébastien Motsch. J'ai menti quelques para-

<footnote n="1">1. Procrastination oblige, je n'ai en fait vraiment réussi à démarrer mon `.tex` qu'au moment de prendre le train de nuit de retour, mais le fichier a été créé à (la gare de) Vienne, donc ça compte !</footnote>
graphes au-dessus, c'est vraiment toi mon grand-frère, mon premier collaborateur. Mais comme tu me ressembles trop, notre article finira par gagner le concours du plus beau déterrage. Dans cette liste des gens avec qui j'ai beaucoup discuté, pas mal usé de craies et de stylos, parfois bien avancé mais encore rien publié, qu'il me soit permis d'inclure et de remercier François Bolley et José Antonio Carrillo; Daniel Han-Kwan et Ning Jiang; Helge Dietert, Bastien Fernandez et David Gérard-Varet; ainsi que Thomas Rey. Je ne vous oublie pas, des bouts de fichiers .tex sont sur mon ordinateur, de ci, de là, des simulations numériques, et des scans de notes manuscrites, qui sait, peut-être un jour en tirera-t-on quelque chose ?

Pour faire de la recherche en mathématiques, l'environnement et le cadre de travail au CEREMADE est tout simplement merveilleux, je mesure la chance que j'ai eue d'avoir été recruté ici en 2012. Pour cela je souhaite remercier vivement Isabelle, César, Anne-Laure, (et Marie), Gilles, Thomas (et même Michel à l'époque de mon arrivée), ainsi que les trois directeurs Olivier, Vincent et maintenant Mathieu. Merci à toutes les collègues (ou ancien·ne·s collègues) qui, autour d'un thé (apparemment certain·e·s d'entre vous prennent une autre boisson, je ne préfère pas tester), d'un repas (à une époque bénie où on se retrouvait en nombre, avec des chaises et des tables), ou simplement d'une discussion, rendent ce laboratoire plein de vie. Je commencerai évidemment par François H., avec qui j'ai partagé un téléphone fixe pendant de nombreuses années, et qui a supporté l'entropie diaboliquement croissante<fnref n="2" /> de mon bureau, alors que le sien était tellement impeccable tous les soirs qu'il se sentait obligé de compenser avec des immenses tours de boîtes de capsules de café. Je ne pense pas pouvoir oublier ces années, qui j'espère m'auront fait prendre plus d'accent belge que parisien. Ensuite, et pêle-mêle, merci à François B. (il y aura des doublons — et des oublis), François S., Jimmy, Alessandra, Robin, Daniela, Joseph, Julien P., Laure, Cyril, Paul G., Pierre L., Michele, Yannick, Irène, Émeric, Djalil, Justin, Alexandre, Benjamin, Guillaume V., Boris, Isabelle B., Julien S., Angelina, David, José : vous avez survécu (et souvent avec enthousiasme) à ma lubie culinaire de faire un cassoulet annuel avec des gens du labo. Les suivants·e·s n'ont pas eu ce privilège<fnref n="3" />, et la dégustation commence à nécessiter un peu de voyage maintenant (vous êtes évidemment bienvenu·e·s à Poitiers), mais merci également à Maxime, Marc, Olivier, Jacques, Guillaume L., Vincent R., Paul P., Yating, Béatrice, Cristina, Jean, Éric, Mathieu, Maria, Pierre C., Patrick, Stéphane, Guillaume C., Antonin, Isabelle C., Madalina, Stefano, Christian, Katia, Imen, Miquel, Patrice, Nejla, Bruno, Juliette, Idriss, Anna, Clément, Philippe, et Vincent D., pour les petites et grandes discussions qui donnent de l'ambiance et de la vie dans notre lieu de travail. Merci aux doctorant·e·s aussi, qui font l'effort de venir de temps en temps discuter un peu en salle café du 6e pour animer le labo.

J'ai ensuite aussi une pensée pour le côté enseignement de notre travail. Les deux années passées sans enseignement m'ont fait réaliser que d'une part, c'était une chance d'avoir pu éviter ces deux années difficiles, et que d'autre part c'est quand même quelque chose qui me tient vraiment à cœur, et je suis revenu enseigner cette année avec beaucoup de plaisir. J'exprime ma plus profonde gratitude à Jacques pour tout le travail réalisé, et pour m'avoir donné un service particulièrement adapté à la rédaction de ce mémoire, le mois de décembre sans enseignement était tout simplement parfait. Merci donc aux enseignants avec qui et pour qui j'ai essayé de faire vivre des cours, je pense en particulier à Halim, Jacques, François-Xavier, Gaspard, Éric, Justin, Daniela et maintenant Olivier. Merci à Samira (et en règle générale à toute l'équipe administrative de MIDO), et aux étudiants de L3 qui pendant 3 années m'ont supporté en tant que responsable pédagogique. J'en garde un bon souvenir même si j'étais heureux de laisser la

<footnote n="2">2. Oui, il est un peu physicien.</footnote>

<footnote n="3">3. Ou alors mes archives ne sont pas assez précises, je me suis d'ailleurs peut-être déjà trompé dans la liste précédente.</footnote>
main, et je sais qu'Émeric a pris la suite avec brio et mérite bien de se reposer à son tour!
Merci à Dauphine pour les goodies de qualité offerts lors de mes participations aux journées des
lycéen·nes·s, le hoodie (malheureusement plus trop blanc maintenant) est tout simplement le plus
confortable pour rédiger un mémoire, en compagnie de la gourde thermos floquée du nouveau
logo, qui a bien dû voir passer une bonne vingtaine de litres de thé tout au long de l'écriture.

Sortons un peu de Dauphine, mais restons dans les maths avec des lycéen·nes·s. J'ai eu la
chance pendant 8 ans d'encadrer des ateliers MATH.en.JEANS dans deux lycées parisiens. J'ai
beaucoup apprécié cette expérience, et j'espère avoir pu un tant soit peu montrer ce que c'était
que la recherche à des jeunes qui n'en ont pas forcément une idée claire. Merci Louis et Philippe
d'avoir animé ça dans vos lycées, et Ariane de l'avoir fait perdurer.

Me voici donc maintenant à Poitiers. Lors de ma première année de délégation avec accueil
au Laboratoire de Mathématiques et Applications de l'Université de Poitiers, je me suis senti
extrêmement bien accueilli malgré la situation compliquée que l'on a tous connue. Je tiens à
remercier ici tous les collègues qui ont participé à cet accueil chaleureux, en particulier Julien M.,
Alessandra, Cécile, Julien D., Philippe, Jocelyne et Léa. Je suis très reconnaissant au LMA (et en
particulier à Boris) de m'avoir ensuite permis d'accéder aux locaux et à un bureau comme invité,
et j'espère que cela pourra continuer, les discussions et les collaborations que j'ai commencées
étant d'une grande richesse.

Merci à tous les amis qui me sont chers et me permettent parfois de réussir à sortir les maths de
mon cerveau. Il y a celles et ceux lié·e·s d'une manière ou d'une autre aux mathématiques : Daniel,
Nicolas, Thibault, Jérémie et Nina depuis l'ENS, Yohann et Nadine, Laurent, Léonard, Alice et
Gilles pendant la thèse. Il y a les anciens de prépa et apparentés, devenus parisiens et hébergeurs
ponctuels pour mes virées hebdomadaires : merci Arnaud, Émilie et les filles de m'accueillir
toujours au dernier moment et toujours avec enthousiasme, merci également à Thierry et Nisita,
à Matou, et merci à Vincent d'avoir en commun avec moi cette vie de nomade, peut-être qu'on
réussira à synchroniser nos emplois du temps pour se voir ! Merci aux Chaussettes Modernes,
éparpillées un peu partout en France maintenant, et avec qui chanter régulièrement était un vrai
bonheur. Cela me manque un peu à Poitiers, mais à la place pour m'occuper, je me suis remis
à jongler (il y a des gens qui disent que c'est pour faire plus de maths). Merci donc à toute
la Mamagabie de m'avoir aussi bien accueilli, et d'accepter mes facéties théoriques de passing
aléatoire et autres joyeusetés jonglistico-mathématiques. Dans la famille de la jongle, j'ai une
pensée particulière pour Thomas, Denis, Raphaele et Mathieu qui partagent mes goûts tordus
de mathématicien, et que je suis toujours heureux de rencontrer au détour d'une convention.

Vient enfin la famille. Mon cher grand-père mathématicien, je pense que je t'ai déjà remercié
dans ma thèse, ce sera encore le cas ici. J'ai finalement suivi ta voie sur pas mal de choses, et je
n'en suis pas peu fier. Il me reste encore à diminuer l'embonpoint, et ce n'est pas la rédaction
de ce mémoire qui m'aura aidé ! Le challenge de rester sur un vélo à ton âge me paraît tout
bonnement inatteignable, mais qui sait ? Merci à ma famille et à ma belle-famille d'essayer
parfois de comprendre mon travail, en tout cas de me soutenir, et de ne pas (trop) me prendre
pour un allumé. Et merci à toi William, maintenant qu'ils ont vu ta thèse, je peux vraiment
prétendre que je fais des maths extrêmement appliquées !

Merci enfin et surtout à mes trois filles Lise, Ada, et Méloé. Ce n'est pas facile tous les jours
d'avoir un papa matheux, surtout quand il s'en va deux semaines en conférences et qu'à son
retour il n'est pas bien plus disponible pendant trois autres pour rédiger un mémoire. Merci
Sandrine pour ton soutien sans faille dans ces moments un peu costauds, merci d'avoir tout géré,
rien de tout cela n'existerait sans toi. Merci. Beaucoup.
À mes trois particules auto<fnref n="4" />-propulsées préférées, et à leur mère

<footnote n="4">4. cyclo?</footnote>
Table des matières

<table><tr><td>5 Hyperbolicité des systèmes de type SOH</td><td>71</td></tr><tr><td>5.1 Lien entre hyperbolicité et paramètres de la transition de phase</td><td>71</td></tr><tr><td>5.2 Hyperbolicité du modèle SOHB</td><td>73</td></tr><tr><td>III Modèles d'alignement sans bruit avec contraintes géométriques</td><td>77</td></tr><tr><td>6 Agrégation simple sur la sphère</td><td>79</td></tr><tr><td>6.1 Un modèle cinétique d'alignement sur la sphère</td><td>80</td></tr><tr><td>6.2 Le système de particules associé</td><td>82</td></tr><tr><td>7 Modèles de point-milieu</td><td>85</td></tr><tr><td>7.1 Modèles de point-milieu sur la sphère et au-delà</td><td>86</td></tr><tr><td>7.2 Le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité</td><td>90</td></tr><tr><td>8 Modèles de retournement de bactéries</td><td>99</td></tr><tr><td>8.1 Un modèle abstrait de retournement de particules</td><td>99</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>105</td></tr></table>
# Introduction

Ce mémoire est une synthèse des travaux de recherche que j'ai effectués depuis la soutenance de ma thèse de doctorat (dirigé par Pierre Degond). J'ai continué à travailler sur des thèmes issus de ma thèse, en particulier sur la dérivation et l'étude de modèles macroscopiques provenant de systèmes de particules décrivant des comportements collectifs. Les trois mots-clés du titre de ce mémoire sont « alignement », « contraintes géométriques » et « transitions de phase », et ont fortement guidé mes recherches depuis 2011. Les phénomènes d'auto-organisation dans les systèmes de particules autopropulsées avec interactions d'alignement sont fascinants, autant du point de vue simplement esthétique des phénomènes que l'on veut modéliser (comme certaines nuées de dizaines de milliers d'étourneaux, complètement hypnotisantes) que de l'étude mathématique, qui amène des questions passionnantes. La modélisation et l'analyse mathématiques de tels phénomènes d'émergence sont des sujets de recherche actifs et en pleine effervescence.

Je me suis en particulier intéressé à des modèles cinétiques où les normes des vitesses des particules considérées sont constantes, ainsi que des modèles d'alignement de corps rigides, où l'alignement ne se fait pas uniquement sur la direction, mais sur toute l'orientation (en tant que rotation par rapport à un référentiel donné) des individus. Des modèles reliés sont les modèles de suspensions de polymères pour l'étude des cristaux liquides (des vecteurs unitaires représentant leur orientation, en identifiant deux vecteurs diamétralement opposés). Une partie de mes recherches a consisté à faire le lien entre ces différents modèles, qui partagent des propriétés et des structures communes. Ces contraintes géométriques impliquent en général l'absence de quantités conservées telles que le moment ou l'énergie des particules, à la différence de systèmes physiques dans lesquels on peut s'appuyer sur de telles conservations pour obtenir des propriétés utiles du point de vue de l'étude mathématique. La compréhension du comportement en temps long des solutions de ces modèles, malgré l'absence de quantités conservées, est une question importante dans de nombreux modèles de mathématiques appliquées (à la biologie ou à bien d'autres domaines). Enfin, la grande majorité des modèles inclut également des phénomènes de diffusion (provenant de termes stochastiques dans les systèmes de particules originaux) qui s'opposent aux phénomènes d'alignement. Cette compétition entre alignement et diffusion implique des phénomènes de transition de phase où, suivant les paramètres du modèle, un des mécanismes l'emporte. La description fine de ces phénomènes de transition de phase a également été un point constant dans une grande partie de mes recherches.

Ce mémoire est divisé en trois parties. La première consiste en l'étude de modèles (essentiellement homogènes en espace) dans lesquels on peut décrire finement la transition de phase et le comportement en temps long des solutions. Une deuxième partie, très reliée, concerne la dérivation et l'étude de modèles macroscopiques à partir des versions inhomogènes en espace des modèles cinétiques étudiés dans la première partie. Enfin, une troisième partie, un peu plus indépendante bien qu'également reliée, se concentre sur l'étude de phénomènes d'alignement en l'absence de bruit, toujours dans le cadre de contraintes géométriques, pour lesquels on s'attend à avoir convergence en temps long autour de solutions concentrées sur une configuration donnée.
Comportement en temps long de modèles cinétiques d'alignement
avec transition de phase

Dans cette première partie, on étudie des modèles présentant une compétition entre phénomènes d’alignement (les « orientations » se rapprochent) et phénomènes de diffusion (exploration de tout l’espace des « orientations » possibles). On s’attend à ce que lorsque le bruit est faible, ou que l’intensité d’alignement est importante, l’état final présente des caractéristiques de concentration autour d’une orientation commune. Inversement, si la diffusion est suffisamment importante ou l’alignement assez faible on s’attend à une convergence vers un état isotrope où aucune orientation particulière n’est prépondérante. La description mathématique de ce phénomène de transition de phase peut se faire dans différentes directions.

Une première étape consiste en la caractérisation des solutions stationnaires. Lorsqu'une fonction de Lyapunov pour le système est disponible, on en recherche donc les points critiques. D'un point de vue mathématique, l'étude de tels points critiques est historiquement associée aux modèles de suspensions de polymères en forme de bâtonnets<fnref n="5" />, pour la description de cristaux liquides [Ons49, Doi81]. La fonctionnelle originale d'Onsager (pour des suspensions de bâtonnets avec contrainte de non-recouvrement) faisait intervenir un potentiel proportionnel à |sin(θ)|, où θ est l'angle entre deux bâtonnets. À ma connaissance, malgré des recherches actives, la description mathématique précise de cette transition est encore un problème ouvert : il n'y a pas en tout cas de solution explicite. Pour remédier à cela, un potentiel proche, en sin²θ, dit de Maier-Saupe [MS58], qui peut s'écrire comme un polynôme et ainsi faisant seulement intervenir un nombre fini de moments, a été bien plus étudié. La détermination des équilibres se fait au travers d'une équation de compatibilité qui est maintenant en dimension finie, et on peut alors caractériser et classifier les équilibres, ce qui a été fait indépendamment par trois équipes différentes dans un laps de temps assez court [CKT04, FS05, LZZ05, ZWFW05]. Le cas du potentiel dipolaire, en sin θ, correspond à l'alignement de vecteurs unitaires (et au modèle de Kuramoto dans le cas de S¹), et la transition de phase est dite du second ordre [F3, GPP12, FS05]. En dessous d'un seuil de transition, seul l'équilibre isotrope (de paramètre d'ordre nul) existe et c'est le minimum de l'énergie, et cet état devient un point selle au-delà du seuil; dans ce cas une famille d'équilibres (les minimiseurs de l'énergie) apparaît et leur paramètre d'ordre varie continûment au passage du seuil. Dans le chapitre 1 on présente cette problématique, dans le cadre de la note [F6] en collaboration avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu dans lequel on montre qu'une légère modification du potentiel dipolaire permet d'obtenir des transitions de phase d'ordre différent, pour le même type d'équilibre. On présente ensuite une partie de l'article [F13], provenant de la thèse d'Antoine Diez (que j'ai codirigée avec Pierre Degond et Sara Merino-Aceituno) dans lequel on classifie tous les équilibres dans le cas du potentiel d'alignement dans SO(3) (à l'aide de quaternions unitaires, en ramenant le problème à un problème de type Maier-Saupe en dimension 4). Il y a également dans ce cas une transition de phase du premier ordre, avec un certain intervalle de paramètres dans lequel plusieurs minima locaux de l'énergie existent. On présente également un travail récent en cours qui étend cette étude dans SO(n) pour n ≥ 4.

La deuxième étape, décrite dans le chapitre 2, consiste alors à comprendre le comportement en
temps long de l'équation d'évolution associée. Lorsque l'état stationnaire est unique (ou que c'est
un minimum local strict), on peut en général espérer faire fonctionner une méthode d'entropie-
dissipation d'entropie, au moins localement. Mais en pratique, au vu des symétries du problème,

<footnote n="5">5. Je n’ai pas trouvé de jolie traduction en français de « rodlike polymers », mais le nom « bâtonnet » semble être plus utilisé que « tige » par exemple.</footnote>
on regarde souvent le comportement en temps long au voisinage d'une variété d'équilibres. Il n'est pas alors simple d'obtenir la convergence vers un équilibre unique. Une méthode qui permet de contourner ce problème est de considérer une variante du problème pour laquelle la dynamique est plus simple à étudier, mais qui présente les mêmes caractéristiques de transition de phase (et peut même avoir la même énergie libre), par exemple en transformant une équation de Fokker-Planck en équation de type BGK. C'est ce que nous avons fait dans l'article [F13], et la dynamique en temps peut alors se ramener à celle d'un flot-gradient en dimension finie, dont on peut caractériser le comportement en temps long. Récemment, dans l'article [F14], je suis parvenu à obtenir le comportement en temps long au voisinage des minimiseurs locaux pour l'alignement dans $SO(3)$ pour le modèle original de Fokker-Planck, en utilisant une entropie relative par rapport à un état non-stationnaire. Je décris également cette méthode et une future extension à un cadre plus général dans ce même chapitre.

Enfin, les modèles qui nous intéressent concernent souvent de l'alignement en vitesse pour des particules cinétiques. On considère donc des équations d'évolution qui ne sont plus homogènes en espace, et le terme de transport qui apparaît complique grandement la situation, en particulier si l'alignement n'a lieu que localement en espace. On est typiquement dans un cadre où on souhaite appliquer des techniques d'hypocoercivité : l'opérateur en vitesse a des équilibres locaux en espace, et ce n'est qu'avec l'effet du transport que l'on obtient la convergence vers un équilibre global, qui est constant en espace. Dans le chapitre 3, je présente un travail récent [F20] avec Émeric Bouin (en cours de finalisation) dans lequel on réussit à obtenir la stabilité locale du profil constant jusqu'au seuil de transition de phase pour un modèle d'alignement local de particules autopropulsées de type Vicsek. Le phénomène d'hypocoercivité est un peu plus subtil que dans le cas classique : le commutateur entre le gradient sur la sphère et l'opérateur de transport ne couvre pas toutes les directions en espace, et on doit utiliser des commutateurs d'ordre supérieur (d'une manière différente de la méthode classique présentée dans le mémoire de Villani [Vil09], qui ne fonctionne pas directement dans notre cas) si on veut par exemple comprendre la régularisation en temps court de l'opérateur linéarisé. Pour traiter la non-linéarité, on doit monter en ordre de dérivation en espace, mais on montre qu'on peut seulement garder une dérivée en vitesse, et ainsi obtenir un résultat de stabilité en norme $H^{s,1}$, sur $\mathbb{R}^d$ ou sur le tore en espace (pour lequel on obtient alors convergence exponentielle vers l'équilibre).

## Dérivation et étude de modèles macroscopiques

Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la dérivation de modèles macroscopiques à partir de modèles cinétiques inhomogènes en espace, lorsqu'un paramètre $\varepsilon$ devient petit. Cela peut typiquement correspondre à un paramètre de changement d'échelle (limite dite « hydrodynamique »), ou simplement traduire le fait que les différents paramètres du modèle ont des ordres de grandeurs différents. L'équation que l'on considère s'écrit, de manière générique, sous la forme $T f^{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon} C(f^{\varepsilon})$ où $T$ est l'opérateur de transport $\partial_t + v \cdot \nabla_x$ et l'opérateur de collision $C$ (en général non linéaire) n'agit essentiellement que sur la variable de vitesse $v$ (cela correspond aux opérateurs homogènes en espace que l'on a étudié dans la première partie). Formellement, lorsque $\varepsilon \to 0$, on s'attend à avoir une limite $f^0$ qui soit donc telle que $C(f^0) = 0$, c'est à dire un équilibre local, qui s'écrit de la forme $f^0 = \rho M_Y$ où les quantités macroscopiques $\rho$ et $Y$ dépendent de $(t, x)$. Pour l'équation de Boltzmann (le plus emblématique des modèles cinétiques [Bol72, CIP94, Max67], et historiquement le premier modèle décrit comme tel), $M_Y$ correspond à une Maxwellienne, et $Y$ correspond au couple $(u, \theta)$ de la vitesse et de la tempérament macroscopiques. La question de la dérivation d'un modèle fluide consiste à savoir déterminer
## Introduction

l'évolution en temps de telles quantités $\rho$ et $Y$, et donc de traiter la singularité en $\frac{1}{\epsilon}$ apparaissant devant l'opérateur de collision.

En théorie cinétique, il y a classiquement deux méthodes pour dériver des modèles fluides. La méthode du développement de Hilbert [Caf80, Cha16, Ens17, Hil12] consiste à écrire $f^\epsilon$ sous forme de développement selon les puissances de $\epsilon$: $f^\epsilon = f^0 + \epsilon f^1 + O(\epsilon^2)$, d'insérer cette expression dans l'équation et d'annuler séparément chaque puissance de $\epsilon$. À l'ordre principal on obtient $C(f^0) = 0$, puis à l'ordre suivant on obtient $\mathcal{L}_0 f^1 = Tf^0$ où $\mathcal{L}_0$ est l'opérateur linéarisé de $C$ au voisinage de $f^0$. L'existence d'une solution pour $f^1$ impose que $Tf^0 \in (\ker \mathcal{L}_0^*)^\perp$. On obtient donc des relations de la forme $\int Tf^0 \psi = 0$ pour des fonctions $\psi$ dans le noyau de $\mathcal{L}_0^*$ (l'adjoint de $\mathcal{L}_0$). En déterminant une base de ce noyau (comme $v \mapsto 1, v, |v|^2$ pour l'équation de Boltzmann), ces relations donnent alors l'évolution des quantités macroscopiques, et on obtient un système fermé lorsque la dimension de $\ker \mathcal{L}_0^*$ correspond à la dimension des paramètres $\rho, Y$ définissant les équilibres locaux (comme dans le cas de Boltzmann). Une méthode plus directe consiste à obtenir directement des invariants collisionnels : des fonctions $\psi$ telles que $\int C(f)\psi = 0$ pour toute fonction $f$ (cela correspond à des relation de conservation au niveau microscopique), et en multipliant l'équation par $\psi$ et intégrant, le terme en $\frac{1}{\epsilon}$ disparaît et on obtient $\int Tf^0 \psi = 0$. Pour revenir à l'équation de Boltzmann, on a que $1, v$ et $|v|^2$ sont de tels invariants collisionnels, ce qui donne l'évolution de $\rho, u, \theta$ (des « moments » de $f^0$ par rapport à $v$, d'où le nom de méthode de moments [BGL91, Mel10] pour ce type de dérivation). Cette méthode présente également d'autres avantages : pour obtenir des convergences rigoureuses, on a souvent besoin de moins de régularité qu'avec la méthode du développement de Hilbert (comparer par exemple [BGL93] avec [Caf80]), d'autre part elle permet naturellement de développer des méthodes numériques efficaces [Gra49, Lev96]. Cependant, elle ne fonctionne que lorsque l'on dispose de suffisamment d'invariants collisionnels. Dans les modèles avec contraintes géométriques qui nous intéressent (lorsque la variable de vitesse est sur la sphère, ou qu'elle provient d'une matrice de $SO(3)$), on n'a en général que la conservation de la masse. Pour contourner ce problème, les invariants collisionnels généralisés ont été proposés par Degond et Motsch [DM08], en relaxant la contrainte : plutôt que d'imposer que $\int C(f)\psi = 0$ pour tout $f$, on cherche à satisfaire cette conditions pour une classe réduite de fonctions $f$ (dont on met par exemple des contraintes sur certains moments). Ceci permet de dériver formellement des modèles fluides dans l'esprit de la méthode de moments (et ainsi mettre en évidence certaines structures géométriques du problème). Cette méthode a été appliquée ensuite avec succès dans de nombreux modèles de comportements collectifs [DM11, F2, Nav13, F4, DDMW15, DN15, DMAVY19, DMA20]. Les articles présentés dans cette partie comportent souvent une grande quantité de calculs assez techniques. On essaye autant que possible de les éviter et de présenter surtout les concepts importants.

Dans le chapitre 4, on présente rapidement cette méthode, dans la section 4.1, à l'aide du modèle de type Vicsek étudié dans [F8]. On obtient un modèle fluide appelé SOH (pour « Self-Organized Hydrodynamics »), dont les coefficients dépendent de la densité $\rho$. Dans la section 4.2, on résume la série de travaux [F9, F10, F11, F13, F17], dans des collaborations avec Pierre Degond, Antoine Diez, Sara Merino-Aceituno et Ariane Trescases, où on adapte la méthode des invariants collisionnels généralisés pour obtenir un nouveau modèle fluide d'alignement de corps rigides (dans diverses situations, respectivement : pour une équation de Fokker-Planck dans $SO(3)$, dans les quaternions unitaires, pour une équation de type BGK dans ces deux espaces de « vitesses », puis avec transition de phase dans $SO(3)$ et enfin en toute dimension dans $SO(n)$, toujours pour le modèle BGK) appelé SOHB (pour « Self-Organized Hydrodynamics of Body attitude »). Dans la section 4.3, on présente l'article [F15], en collaboration avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu, dans lequel on utilise cette méthode pour dériver la limite d'un modèle cinétique de cristaux liquides (équation de Doi avec potentiel de Maier-Saupe pour la suspension de polymères
en forme de bâtonnets, couplée avec Navier-Stokes pour le fluide) vers le modèle macroscopique de Ericksen-Leslie, dans la limite d'un petit nombre de Deborah (notre $\varepsilon$). Cette dérivation avait été précédemment faite dans le cadre du développement de Hilbert [EZ06, WZZ15], on montre qu'on peut obtenir la même chose avec une méthode de moments, qui permet également de généraliser le résultat dans deux directions : le cas d'une densité de polymères non uniforme, et le cas de dimensions supérieures à 3.

Dans le chapitre 5, on étudie les modèles SOH et SOHB du point de vue de l'hyperbolicité. J'avais déjà montré dans le cadre de ma thèse [F2] que lorsque le paramètre d'ordre des équilibres dépend de la densité $\rho$, cela mène à un modèle SOH (à coefficients dépendants de $\rho$ également) qui peut présenter une perte d'hyperbolicité. Dans l'article [F8], en collaboration avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu, présenté dans la section 5.1, on établit un lien entre les paramètres de la transition de phase (transition continue ou discontinue, exposant critique) et l'hyperbolicité du modèle. En particulier lorsque la transition est discontinue, le modèle n'est pas hyperbolique au voisinage de la discontinuité. Une façon de contourner ce problème est de considérer une échelle différente pour le noyau d'interaction : lorsque les particules interagissent avec celles situées dans un rayon d'ordre $\sqrt{\varepsilon}$ (et non pas $\varepsilon$ comme dans le changement d'échelle hyperbolique), un terme diffusif supplémentaire apparaît dans l'équation limite, qui pourrait permettre au modèle obtenu d'être alors bien posé. Dans la section 5.2, on présente le travail récent [F16] dans lequel on montre l'hyperbolicité du modèle SOHB (à coefficients constants). Cependant, même si le modèle est hyperbolique, il est par nature non-conservatif, ce qui ne permet pas de donner facilement un sens à des solutions discontinues. On discute alors deux approches pour s'attaquer à ce problème : comme dans [MN11], on peut approcher le système SOHB par un système conservatif avec un terme de relaxation d'une part, et d'autre part, on considère également la dérivation d'un terme de viscosité supplémentaire, comme dans la section précédente, à l'aide d'une échelle différente pour le noyau d'interaction.

## Modèles d'alignement sans bruit avec contraintes géométriques

Dans cette dernière partie, on étudie des équations liées à des modèles d'alignement sans bruit. Typiquement, lorsque le coefficient $\sigma$ de bruit angulaire dans les modèles étudiés dans les deux premières parties tend vers 0, les équilibres locaux stables sont des distributions de von Mises avec grand paramètre de concentration, proches de masses de Dirac autour d'une « phase » (vitesse, rotation, ou direction) donnée. On s'attend à ce que le modèle sans bruit se comporte similairement, mais on n'a pas accès en général à la limite $\sigma \to 0$. Lorsque $\sigma = 0$, on n'a plus de phénomène de régularisation par le bruit, mais les modèles sont en général bien posés dans des espaces de probabilités et on peut se poser la question de leur comportement en temps long, par exemple en distance de Wasserstein. Dans le chapitre 6, basé sur l'article [F12], on étudie le modèle d'alignement sur la sphère correspondant à une équation d'agrégation avec potentiel $V(v, v') = -v \cdot v'$. On y caractérise le comportement en temps long pour toute condition initiale, ainsi que celui du modèle de particules associé.

Dans le chapitre 7, on présente le mécanisme d'alignement sur la sphère de Bertin, Droz et Grégoire [BDG06] : un modèle de saut où deux particules choisies uniformément au hasard se placent au point milieu de la géodésique joignant leur deux orientations. Dans l'article [F7], en collaboration avec Pierre Degond et Gaël Raoul, on montre la convergence en distance de Wasserstein, avec un taux exponentiel (optimal) pour toute solution suffisamment proche initialement d'une masse de Dirac en distance $W_2$ (en particulier il peut y avoir de la masse partout initialement, on ne suppose pas un support restreint). On étend également ce modèle et ces résultats sur
## Introduction

une variété Riemannienne quelconque<fnref n="6" />. Pour le cas de $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^d$), ce modèle conserve le centre de masse, et cela correspond (entre autres) à un modèle d'économie étudié par Pareschi, Toscani et Matthes [MT08, PT06] pour lequel on peut montrer la convergence vers un profil autosimilaire (à queue lourde) dans une distance de type Fourier. Il se trouve que l'opérateur associé est le même que l'opérateur infinitésimal de Fisher apparaissant dans des modèles de dynamiques de populations sexuées, dans la limite de variabilité nulle. Dans l'article [F19] en collaboration avec Cécile Taing, on considère un tel modèle de dynamique des populations sexuées, qui partage avec les modèles sur la sphère le fait que le centre de masse n'est pas conservé. Et on montre, comme dans le cas du modèle d'alignement sur la sphère, la stabilité locale (en distance de Wasserstein) des masses de Dirac en des points pour lesquels la différence de mortalité avec la mortalité minimale est inférieure à $\frac{1}{2}$. Dans ce cas on étend également les résultats de convergence vers un profil autosimilaire à queue lourde.

Enfin, le chapitre 8 est quelque peu différent, mais a pour origine un modèle similaire d'alignement de myxobactéries [HKMS21], qui peuvent également se retourner lorsque leurs voisines ont une orientation essentiellement opposée. Dans ce modèle, le terme d'alignement est le même que celui étudié dans le chapitre 7, et on pourrait espérer obtenir le même genre de stabilité locale. Cependant l'opérateur de retournement introduit des difficultés structurelles : par exemple, même pour une condition initiale concentrée en support autour d'un équilibre (deux Diracs diamétralement opposés), la convergence peut se montrer grâce à une combinaison de deux énergies, faisant penser à de l'hypocoercivité. Dans l'article [F18], en collaboration avec Laura Kanzler et Christian Schmeiser, nous nous sommes donc concentrés sur l'opérateur de retournement seul. Il n'y a plus d'alignement à proprement parler, mais la compréhension de ce phénomène de retournement pourra sans doute être utile pour comprendre la combinaison avec l'alignement. Dans un cadre très général de modèle de retournement, on y décrit les états stationnaires en fonction de notions de connectivité de graphes d'interaction. Et on montre la convergence exponentielle vers un état stationnaire, déterminé explicitement par la condition initiale.

Dans tout ce mémoire, j'ai essayé autant que faire se peut d'avoir des notations cohérentes et unifiées. On notera génériquement $d$ (parfois $n$) la dimension d'espace, $(e_i)_{1\le i\le d}$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$. On travaille souvent sur la sphère unité de $\mathbb{R}^d$, que l'on notera $\mathbb{S}$, pour des variables liées à l'espace des vitesses. On normalisera toujours la mesure sur la sphère de sorte que $\int_{\mathbb{S}} dv = 1$. Pour un vecteur unitaire $v \in \mathbb{S}$, on note $P_{v\perp}$ la projection sur l'hyperplan orthogonal à $v$.

Une partie conséquente de ce mémoire concerne des travaux n'étant pas encore sous forme de prépublications au moment du dépôt de ce mémoire (en particulier les sections 1.3, 2.3, le chapitre 3, et la section 7.2). La réalisation de ce mémoire aura été l'occasion de bien avancer sur leur rédaction<fnref n="7" />, et j'ai essayé autant que possible de donner un peu plus de détails sur ces parties (en particulier sur certaines preuves) dans ce mémoire, en espérant ne pas les avoir rendues trop longues.

Enfin, un axe de recherche qui me tient à cœur depuis ma thèse<fnref n="8" />, mais qui n'est pas présenté dans ce mémoire, concerne l'influence de la géométrie du domaine spatial sur des modèles de particules autopropulsées. En effet de nombreuses structures, telles que les bandes de forte concentration se propageant au-dessus d'une zone de faible densité, présentent un lien fort avec la géométrie du domaine (périodique en espace) et l'objectif est de comprendre, au moins numériquement, à quel point ces structures peuvent apparaître dans d'autres géométries. Le travail

<footnote n="6">6. Techniquement, avec rayon d'injectivité strictement positif et à courbure sectionnelle bornée.</footnote>

<footnote n="7">7. Procrastination structurée : http://www.structuredprocrastination.com</footnote>

<footnote n="8">8. Cela constituait même un chapitre, en collaboration avec Sébastien Motsch, qui n'a toujours pas fait l'objet de publication, mais je ne désespère pas, le sujet étant toujours d'actualité !</footnote>
d'Antoine Diez dans sa thèse [Die21], permettant de faire des simulations de grand nombre de particules en utilisant des calculs sur GPU, m'a poussé à reprendre cette exploration (déjà laissée de côté puis reprise de nombreuses fois) qui j'espère fera enfin un jour l'objet d'une publication.
Liste de Publications

[F1] ✷ Marion Acheritogaray, Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Jian-Guo Liu. Kinetic formulation and global existence for the hall-magneto-hydrodynamics system. *Kinet. Relat. Models*, 4(4):901–918, 2011.

[F2] ✷ Amic Frouvelle. A continuum model for alignment of self-propelled particles with anisotropy and density-dependent parameters. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 22(7):1250011, 40, 2012.

[F3] ✷ Amic Frouvelle and Jian-Guo Liu. Dynamics in a kinetic model of oriented particles with phase transition. *SIAM J. Math. Anal.*, 44(2):791–826, 2012.

[F4] ✷ Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Jian-Guo Liu. Macroscopic limits and phase transition in a system of self-propelled particles. *J. Nonlinear Sci.*, 23(3):427–456, 2013.

[F5] Pierre Degond, Amic Frouvelle, Jian-Guo Liu, Sébastien Motsch, and Laurent Navoret. Macroscopic models of collective motion and self-organization. *Sémin. Laurent Schwartz, EDP Appl.*, 2012-2013:ex, 2014.

[F6] Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Jian-Guo Liu. A note on phase transitions for the Smoluchowski equation with dipolar potential. In F. Ancona, A. Bressan, P. Marcati, and A. Marson, editors, *Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications — Proceedings of the 14th International Conference on Hyperbolic Problems held in Padova, June 25-29, 2012*, pages 179–192. AIMS, 2014.

[F7] Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Gaël Raoul. Local stability of perfect alignment for a spatially homogeneous kinetic model. *J. Stat. Phys.*, 157(1):84–112, 2014.

[F8] Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Jian-Guo Liu. Phase transitions, hysteresis, and hyperbolicity for self-organized alignment dynamics. *Arch. Ration. Mech. Anal.*, 216(1):63–115, 2015.

[F9] Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Sara Merino-Aceituno. A new flocking model through body attitude coordination. *Math. Models Methods Appl. Sci.*, 27(06):1005–1049, 2017.

[F10] Pierre Degond, Amic Frouvelle, Sara Merino-Aceituno, and Ariane Trescases. Quaternions in collective dynamics. *Multiscale Mod. Simul.*, 16(1):28–77, 2018.

[F11] Pierre Degond, Amic Frouvelle, Sara Merino-Aceituno, and Ariane Trescases. Alignment of self-propelled rigid bodies: from particle systems to macroscopic equations. In G. Giacomin, S. Olla, E. Saada, H. Spohn, and Stoltz G., editors, *Stochastic Dynamics Out of Equilibrium. IHPStochDyn 2017*, volume 282 of Springer proceedings in mathematics and statistics, pages 28–66. Springer, 2019.

[F12] Amic Frouvelle and Jian-Guo Liu. Long-time dynamics for a simple aggregation equation on the sphere. In G. Giacomin, S. Olla, E. Saada, H. Spohn, and Stoltz G., editors, *Stochastic Dynamics Out of Equilibrium. IHPStochDyn 2017*, Springer proceedings in mathematics and statistics, pages 457–479. Springer, 2019.

[F13] Pierre Degond, Antoine Diez, Amic Frouvelle, and Sara Merino-Aceituno. Phase transitions and macroscopic limits in a BGK model of body-attitude coordination. *J. Nonlinear Sci.*, 30(6):2671–2736, 2020.
[F14] Amic Frouvelle. Body-attitude alignment: first order phase transition, link with rodlike polymers through quaternions, and stability. In F. Salvarani, editor, *Recent Advances in Kinetic Equations and Applications*, volume 48 of Springer INdAM Series, pages 147-181. Springer, Cham, 2021.

[F15] Pierre Degond, Amic Frouvelle, and Jian-Guo Liu. From kinetic to fluid models of liquid crystals by the moment method. *Kinet. Relat. Models*, 15(3):417-465, 2022.

[F16] Pierre Degond, Amic Frouvelle, Sara Merino-Aceituno, and Ariane Trescases. Hyperbolicity and non-conservativity of a hydrodynamic model of swarming rigid bodies, 2022. accepté dans Quarterly of Applied Mathematics.

## Prépublications et travaux non publiés présentés dans ce mémoire

[F17] Pierre Degond, Antoine Diez, and Amic Frouvelle. Body-attitude coordination in arbitrary dimension, 2021. arXiv:2111.05614.

[F18] Amic Frouvelle, Laura Kanzler, and Christian Schmeiser. Reversal collision dynamics, 2022. arXiv:2209.11413.

[F19] Amic Frouvelle and Cécile Taing. On the Fisher infinitesimal model without variability. en cours de finalisation, 2023.

[F20] Émeric Bouin and Amic Frouvelle. Hypocoercivity around constant equilibria in non-linear alignment models of self-propelled particles. en préparation, 2023.

Les travaux [F1, F2, F3, F4], identifiés avec une étoile ⋆ sont issus de ma thèse et ne sont pas présentés (mais parfois cités). Le compte-rendu [F5] du séminaire Laurent Schwartz inclut des travaux issus de ma thèse, et n'est également pas présenté dans ce mémoire. On résume ci-dessous la correspondance entre articles présentés et sections concernées dans ce mémoire.

<table><thead><tr><td>Articles</td><td>Sections</td></tr></thead><tbody><tr><td>[F6]</td><td>1.1</td></tr><tr><td>[F7]</td><td>7.1</td></tr><tr><td>[F8]</td><td>1.1 - 4.1 - 5.1</td></tr><tr><td>[F9, F10, F11, F17]</td><td>4.2</td></tr><tr><td>[F12]</td><td>6.1 - 6.2</td></tr><tr><td>[F13]</td><td>1.2 - 2.1 - 4.2</td></tr><tr><td>[F14]</td><td>1.2 - 2.2</td></tr><tr><td>[F15]</td><td>4.3</td></tr><tr><td>[F16]</td><td>5.2</td></tr><tr><td>[F18]</td><td>8.1</td></tr><tr><td>[F19]</td><td>7.2</td></tr><tr><td>[F20]</td><td>3.1 - 3.2 - 3.3</td></tr></tbody></table>
Première partie

Comportement en temps long de
modèles cinétiques d’alignement avec
transition de phase
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Transitions de phase du point de vue des équilibres

### Contenu

1.1 Un modèle de type Vicsek avec intensités d'alignement et de bruit variables .................................... 15

1.2 Les orientations de corps rigides : des polymères en dimension 4 17

1.3 Rotations en dimensions supérieures .................................... 21

1.3.1 Des points critiques obtenus par des considérations de symétries .. 22

1.3.2 Encore des quaternions pour $SO(4)$ .................................... 24

1.3.3 Perturbation au voisinage du seuil critique pour $n \ge 5$ ........................ 26

On s'intéresse à des équations de type Fokker-Planck :

$$ \partial_t f + \nu \nabla_v \cdot (\nabla_v (J_f \cdot v)f) = \sigma \Delta_v f, \quad J_f = \int_S v f dv, \qquad (1.1) $$

où $f(t, \cdot)$ est une mesure de masse totale $\rho > 0$ sur un ensemble $S$ de configurations (« orientations ») notées $v$, avec $S$ inclus dans un espace $M$ de dimension finie $m$. On a typiquement $v \in S^{d-1}$, avec $m = d$ (mais de nombreux modèles peuvent également se mettre sous cette forme, comme on le verra plus tard). Cette équation modélise la compétition entre un phénomène d'alignement d'intensité $\nu$ (les particules d'orientation $v$ subissent une force d'alignement tendant à maximiser $J_f \cdot v$, qui est la moyenne des $v' \cdot v$, dont le maximum est obtenu quand $v$ est « aligné » avec $v'$), et une diffusion de coefficient $\sigma$. Comme on ne suppose pas $\rho = 1$, pour être plus précis l'intensité d'alignement est également proportionnelle à $\rho$ ici, puisque $J_f$ l'est. De façon générique, on peut écrire l'équation sous la forme

$$ \partial_t f = \sigma \nabla_v \cdot \left( M_{\sigma}^{\nu} J_f \nabla_v \left( \frac{f}{M_{\sigma}^{\nu} J_f} \right) \right), $$

où $M_Y(v) = \frac{\exp(v \cdot Y)}{Z(Y)}$ est une distribution de type von Mises sur $S$ pour un paramètre $Y \in M$, où le coefficient de normalisation est donné par $Z(Y) = \int_S \exp(v \cdot Y) dy$. On voit alors que les équilibres recherchés sont de la forme $f = \rho M_Y$ où $Y = \frac{\nu}{\sigma} J_f$. On obtient donc l'équation de compatibilité suivante (non-linéaire, dans l'espace $M$ de dimension $m$) :

$$ Y = \frac{\rho \nu}{\sigma} J_{MY}, $$
Chapitre 1. *Transitions de phase du point de vue des équilibres*

et sa résolution permet de décrire les états stationnaires possibles suivant les valeurs des para-
mètres ρ, ν et σ. Une première étape est en général de réduire la dimension de ce problème en
utilisant les symétries.

Lorsque $\mathcal{S}$ est la sphère $\mathbb{S}^{d-1}$, on obtient le modèle étudié dans [F3] dans le cadre de ma thèse, aussi appelé dans la communauté « cristaux liquides » équation de Smoluchowski avec potentiel dipolaire [FS05], ou correspondant au modèle de Kuramoto avec oscillateurs identiques dans le cas $d=2$ [GPP12]. En écrivant $Y = \kappa\Omega \in \mathbb{R}^d$ avec $\kappa \ge 0$ et $\Omega \in \mathbb{S}^{d-1}$, l'équation de compatibilité devient une équation scalaire sur $\kappa$ (indépendante de $\Omega$, qui peut être choisi arbitrairement). La transition de phase est du second ordre :

- Pour $\frac{\nu\rho}{\sigma} \le d$, un seul état stationnaire : la distribution uniforme sur la sphère.

- Pour $\frac{\nu\rho}{\sigma} > d$, deux types d'équilibres : la distribution uniforme, et une famille d'équilibres de la forme $\rho M_{\kappa\Omega}$ (des distributions de von Mises), concentrées autour de $\Omega \in \mathbb{S}^{d-1}$, avec $\kappa > 0$ (dépendant de $\frac{\nu\rho}{\sigma}$), et dont le paramètre d'ordre $c(\kappa)$ converge vers 0 lorsque $\frac{\nu\rho}{\sigma} \to d$.

Les physiciens ont longtemps débattu pour savoir quel était l'ordre de la transition de phase dans le modèle de Vicsek<fnref n="9" />. Dans la note [F6] (suivie de l'article [F8], qui sera présenté dans la partie suivante pour la dérivation de modèles macroscopiques), en collaboration avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu, nous avons montré qu'un simple changement faisant varier les coefficients $\nu$ et $\sigma$ en fonction de $|J_f|$ pouvait donner lieu à de nombreux diagrammes de phase différents, ce que nous présentons dans la section 1.1.

En plus du cas de la sphère, où $v$ représente une vitesse de norme 1, les deux exemples qui nous intéressent ici sont :

- les polymères en forme de bâtonnets, avec le potentiel de Maier-Saupe : tout élément de $\mathbb{S}^2/\{\pm 1\}$ peut être représenté par la matrice $q \otimes q - \frac{1}{3}I_3$ où $q \in \mathbb{S}^2$. L'ensemble $\mathcal{S}$ de telles matrices (appelées *Q*-tenseurs uniaxiaux) est donc inclus dans l'ensemble $\mathcal{M}$ (de dimension 5) des matrices symétriques de trace nulles (appelées *Q*-tenseurs). En utilisant les symétries, l'équation de compatibilité peut être réduite en dimension 2 en conséderant seulement des matrices diagonales de trace nulle. Cette équation a été résolue dans [FS05, LZZ05, ZWFW05] : toutes les solutions sont axisymétriques (seulement deux valeurs propres pour la matrice diagonale), et on se ramène donc à un problème scalaire. La transition est du premier ordre, avec deux seuils (disons $\rho_* < \rho_c$ si on prend pour paramètre la densité $\rho$). Lorsque $\rho < \rho_*$, il n'y a que l'équilibre isotrope, entre $\rho_*$ et $\rho_c$ il y a en plus des familles d'équilibres de la forme $\rho M_{\kappa \pm (q_0 \otimes q_0 - \frac{1}{3}I_3)}$ avec $0 < \kappa_- < \kappa_+$ (équilibres appelés « prolate »<fnref n="10" />) et pour $\rho > \rho_c$ le signe de $\kappa_-$ devient négatif (l'équilibre devient « oblate »<fnref n="11" />). Ces résultats ont été étendus dans [WH08] en dimension $d \ge 3$ : cette fois-ci on a toujours seulement deux valeurs propres pour la matrice diagonale, et pour chaque dimension possible de sous-espace propre, on a une équation de compatibilité scalaire.

- les matrices de rotation, introduites dans [F9] pour modéliser l'alignement de corps rigides (on présentera cet article, en collaboration avec Pierre Degond et Sara Merino-Aceituno, dans la partie suivante pour la dérivation d'un modèle macroscopique). La version homogène en espace du modèle original, légèrement différente du cadre présenté ici (qui correspond, lui à l'article [F14]), ne présente pas de transition de phase (la moyenne $J_f$ est remplacée par la partie orthogonale de sa décomposition polaire), mais le mécanisme d'alignement est essentiellement le même. On a ici $\mathcal{S} = \text{SO}(3)$ et $\mathcal{M}$ est simplement l'ensemble

<footnote n="9">9. Leur principale difficulté étant de s'entendre sur le modèle en lui-même...</footnote>

<footnote n="10">10. Ballon de rugby.</footnote>

<footnote n="11">11. Smarties®.</footnote>
1.1. Un modèle de type Vicsek avec intensités d'alignement et de bruit variables

des matrices carrées de taille 3. Dans une partie de l'article [F13], en collaboration avec Pierre Degond, Antoine Diez et Sara Merino-Aceituno, on résout complètement l'équation de compatibilité, en transformant le problème via les quaternions unitaires, et se ramenant à un problème de polymères en dimension 4. C'est ce que l'on présente dans la section 1.2. Pour les rotations en dimensions supérieures, j'ai trouvé un moyen de résoudre complètement l'équation de compatibilité en dimension 4, toujours en passant par les quaternions, ainsi qu'en dimension 5 ou plus, mais seulement au voisinage du seuil de transition, avec des considérations de symétries. Cela ne fait pas encore l'objet d'une publication, mais j'en présente les idées dans la section 1.3.

1.1 Un modèle de type Vicsek avec intensités d'alignement et de bruit variables

Dans [F6, F8], on considère l'équation

$$
\partial_t f + \nu(|J_f|) \nabla_v \cdot (\nabla_v (\Omega_f \cdot v) f) = \sigma(|J_f|) \Delta_v f, \quad J_f = \int_{\mathbb{S}} v f dv, \quad \Omega_f = \frac{J_f}{|J_f|},
$$

où cette fois-ci les coefficients d'alignement et de diffusion dépendent de la norme de la quantité
de mouvementua $J_f$. Lorsque $\nu(|J_f|) = \nu_0|J_f|$ et $\sigma(|J_f|) = \sigma_0$, on retrouve (1.1). On impose aux
fonctions $\nu$ et $\sigma$ d'être $C^1$, avec $\sigma > 0$ et $\nu(0) = 0$, de sorte que le modèle n'est pas singulier,
et pour des raisons de simplicité, on suppose que $|J| \mapsto k(|J|) = \frac{\nu(|J|)}{\sigma(|J|)}$ est croissante (lorsque
que $|J|$ augmente, autrement dit lorsque $f$ se concentre autour de $\Omega_f$, le phénomène d'alignement
est renforcé par rapport à la diffusion). On note alors $j$ la réciproque de cette fonction, de sorte
que $\kappa = k(|J|) \Leftrightarrow |J| = j(\kappa)$. En notant $\Phi$ une primitive de $k$, on peut relier l'équation à un
flot-gradient (pour la distance de Wasserstein $W_2$) de l'énergie suivante

$$
\mathcal{F}(f) = \int_{\mathbb{S}} f \ln f \, dv - \Phi(|J_f|),
$$

dont la dissipation $\mathcal{D}(f) = -\frac{d}{dt}\mathcal{F}(f)$ est donnée par

$$
\mathcal{D}(f) = \sigma(|J_f|) \int_{\mathbb{S}} f |\nabla_v (\ln f - k(J_f) \Omega_f \cdot v)|^2 dv.
$$

On a alors plusieurs caractérisations des états d'équilibre, dont la détermination se ramène à
la résolution d'une équation scalaire.

**Proposition 1.1.** *Les conditions suivantes sont équivalentes :*

(i) État stationnaire : $f \in C^2(\mathbb{S})$ et $\nabla_v \cdot \left( M_{k(|J_f|)}\Omega_f \nabla_v \left( \frac{f}{M_{k(|J_f|)}\Omega_f} \right) \right) = 0$.

(ii) *Pas de dissipation* : $f \in C^1(\mathbb{S})$ et $\mathcal{D}(f) = 0$.

(iii) $f$ est un point critique de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse totale $\rho$.

(iv) $f = \rho M_{\kappa\Omega}$ pour $\Omega \in \mathbb{S}$ et $\kappa \ge 0$ vérifiant l'équation de compatibilité suivante :

$$
j(\kappa) = \rho c(\kappa),
$$

où le « paramètre d'ordre » $c(\kappa) = |J_{M_{\kappa\Omega}}| \in [0, 1]$ (indépendant de $\Omega$) est donné par

$$
c(\kappa) = \frac{\int_{0}^{\pi} \cos \theta e^{\kappa \cos \theta} \sin^{d-2} \theta d\theta}{\int_{0}^{\pi} e^{\kappa \cos \theta} \sin^{d-2} \theta d\theta}.
$$
Chapitre 1. Transitions de phase du point de vue des équilibres

On voit donc que le diagramme de phase (l'ensemble des familles possibles d'équilibres en fonction de la valeur de $\rho$, une fois les fonctions $\nu$ et $\sigma$ fixées) dépend du comportement de la fonction $\kappa \mapsto \frac{j(\kappa)}{c(\kappa)}$. On peut alors définir deux seuils $\rho_*$ (le minimum de cette fonction) et $\rho_c$ (sa limite en 0, supérieure à $\rho_*$, pouvant éventuellement être la même). Pour $\rho < \rho_*$, la seule solution est $\kappa = 0$, correspondant à l'équilibre uniforme. Dès que $\rho \ge \rho_*$, on a des familles d'équilibres non-isotropes de la forme $\rho M_{\kappa\Omega}$ pour des solutions $\kappa > 0$ de l'équation de compatibilité. Et lorsque $\rho$ traverse le seuil $\rho_c$, alors le nombre de telles familles change (sous des hypothèses de non-dégénérescence, on passe d'un nombre pair à un nombre impair). On ne peut rien dire de plus a priori sur la fonction $\kappa \mapsto \frac{j(\kappa)}{c(\kappa)}$, on peut en fait avoir des diagrammes de phase assez arbitraires. Par contre on peut montrer que le seuil $\rho_c$ correspond à la valeur pour laquelle l'équilibre isotrope cesse d'être un minimum local strict de $\mathcal{F}$ (sous contrainte de masse totale $\rho$). Et on obtient également que le sens de variation de cette fonction $\frac{j}{c}$ permet de déterminer la nature du point critique associé à une famille d'équilibres de von Mises : lorsque $(\frac{j}{c})'(\kappa) > 0$, l'équilibre $\rho M_{\kappa\Omega}$ est un minimum local (non strict, puisque tout équilibre $\rho M_{\kappa\tilde{\Omega}}$ avec $\tilde{\Omega} \in S$ est un point pour lequel $\mathcal{F}$ prend la même valeur), et ce n'est plus le cas lorsque $(\frac{j}{c})'(\kappa) < 0$.

On a alors un cas générique de transition de phase du second ordre lorsque $(\frac{j}{c})'(\kappa) > 0$ pour tout $\kappa > 0$ (par exemple pour $\nu(|J|) = \nu_0|J|$, $\sigma(|J|) = \sigma_0$): dans ce cas il n'y a qu'un seuil $\rho_* = \rho_c$, et qu'une famille d'équilibres non-isotropes (qui correspond au minimum global de $\mathcal{F}$) lorsque $\rho > \rho_c$, et la valeur du paramètre d'ordre associé au minimum global de $\mathcal{F}$ varie continûment, passant de 0 pour $\rho \le \rho_c$ à $c(\kappa(\rho))$ pour $\rho > \rho_c$, où $\kappa(\rho)$ est la seule solution positive de l'équation de compatibilité. On montre alors que ce paramètre d'ordre se comporte comme $\alpha(\rho - \rho_c)^\beta$ lorsque $\rho \stackrel{>}{\longrightarrow} \rho_c$, l'exposant critique$^{12}$ $\beta$ pouvant a priori prendre toutes les valeurs possibles dans $[0, 1]$ suivant les choix des fonctions $\nu$ et $\sigma$.

Un autre cas typique est le cas où $\frac{j}{c}$ est décroissante puis croissante. C'est par exemple le cas lorsque l'alignement est de la forme $\nu(|J|) = \nu_0|J|$ et le coefficient de diffusion de la forme $\frac{\sigma_0}{1+|J|}$ (la figure 1.1 illustre ce phénomène, avec le calcul numérique du diagramme de phase pour le cas $\nu_0 = \sigma_0 = 1$). Cela peut être relié au « vectorial noise » de [CGGR08], appelé parfois bruit extrinsèque [ALV09], où le bruit est présent dans l'évaluation de la vitesse moyenne de chaque voisin : si les voisins sont bien alignés, les termes bruités se compensent lors de la normalisation pour calculer l'orientation moyenne. Dans ce cas on a seulement l'équilibre uniforme pour $\rho < \rho_*$, puis deux familles d'équilibres de von Mises pour $\rho_* < \rho < \rho_c$ (l'une étant un minimum local pour $\mathcal{F}$, l'autre non), l'équilibre uniforme restant un minimum local, et enfin une seule famille de distributions de von Mises pour $\rho > \rho_c$ (réalisant le minimum global de $\mathcal{F}$), l'équilibre uniforme n'étant plus un minimum local. On a alors un phénomène d'hystérésis. Partant d'un équilibre uniforme pour $\rho < \rho_*$, si on augmente $\rho$, cet équilibre (avec paramètre d'ordre 0) reste un minimum local jusqu'à ce que $\rho$ dépasse $\rho_c$, et alors le paramètre d'ordre (commun) des minima locaux est proche de $c(\kappa(\rho_c)) = c_c$ : il y a une discontinuité du paramètre d'ordre. Puis si l'on diminue $\rho$ partant de $\rho > \rho_c$, cette fois-ci l'équilibre de type von Mises reste un minimum local jusqu'à sa disparition en $\rho = \rho_*$, le paramètre d'ordre passe cette fois-ci de $c_* = c(\kappa(\rho_*))$ à 0, avec une deuxième discontinuité. Cette transition de phase est discontinue, dite de premier ordre$^{13}$.

On présentera dans le chapitre 5.1 un lien entre ces différents types de transitions de phase et l'hyperbolicité du modèle macroscopique dérivé formellement comme limite hydrodynamique du modèle inhomogène en espace associé.

<footnote n="12">12. Une partie du débat chez les physiciens : l'exposant critique est-il bien strictement inférieur à $\frac{1}{2}$, décrit à l'origine comme « a novel type of phase transition » par Vicsek [VCBJ+95]?</footnote>

<footnote n="13">13. Une partie de la réponse au débat : lorsqu'on change de type de bruit, donc de modèle, la transition n'est pas forcément la même...</footnote>
## 1.2. Les orientations de corps rigides : des polymères en dimension 4

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Diagramme de phase du modèle avec hystérésis, dans le cas où $\nu(|J|) = |J|$ et $\sigma(|J|) = \frac{1}{1+|J|}$, en dimension 2 et 3. Les lignes pleines (resp. interrompues) correspondent à des équilibres minimisant (resp. ne minimisant pas) localement $\mathcal{F}$.</figcaption></figure>

## 1.2 Les orientations de corps rigides : des polymères en dimension 4

Dans [F14], on considère un modèle d’alignement de matrices de rotation, notées $A \in SO(3)$. On a alors, pour reprendre l’introduction de ce chapitre, $S = SO(3)$ et $M = M_3(\mathbb{R})$. En normalisant de nouveau la mesure sur $SO(3)$ comme une mesure de probabilité, l’équation de Fokker-Planck s’écrit donc (en prenant $\nu = \sigma = 1$) :

$$ \partial_t f + \nabla_A \cdot (\nabla_A (J_f \cdot A)f) = \Delta_A f, \quad J_f = \int_{SO(3)} A f dA. $$

On a fait le choix de prendre ici $A \cdot B = \frac{1}{2}\text{Tr}(AB^\top)$ comme produit scalaire sur $M$, pour lequel la distance géodésique entre une rotation d’angle $\theta$ et l’identité vaut $\theta$.

Dans la figure 1.2, des simulations numériques du modèle de particules associé mettent en évidence un phénomène de transition de phase du premier ordre, tel que dans la section précédente, avec deux seuils $\rho_*$ et $\rho_c$. On lance 500 simulations d’un système de 500 particules, avec diverses configurations initiales pour lesquelles on trace le paramètre d’ordre $c$ correspondant à $\sqrt{\frac{3}{2} \frac{\|J_f\|}{\rho}}$ (qui vaut 0 pour une distribution uniforme, et 1 lorsque la distribution est concentrée autour d’une matrice de rotation $A_0$ donnée)$^{14}$. En temps grand, on observe que le paramètre d’ordre reste proche de 0 lorsque $\rho$ est plus petit qu’un seuil $\rho_*$, qu’il se concentre autour d’une valeur positive (croissante avec $\rho$) lorsque $\rho$ est plus grand qu’un deuxième seuil $\rho_c$, et qu’entre les deux,

<footnote n="14">14. Pour une meilleure illustration, le paramètre $\rho$ et le paramètre d’ordre $c$ ne sont pas initialement tirés uniformément, de façon à obtenir plus de points dans les régions d’intérêt.</footnote>
Chapitre 1. Transitions de phase du point de vue des équilibres

certaines configurations voient leur paramètre d'ordre rester proche de 0 alors que d'autres ont leur paramètre d'ordre proche d'une valeur positive, dépendant de $\rho$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Illustration numérique du phénomène de transition du premier ordre.</figcaption></figure>

Comme dans la section précédente, on peut obtenir une énergie libre $\mathcal{F}$ similaire, qui décroît au cours du temps: $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(f) = -\mathcal{D}(f)$, avec

$$ \mathcal{F}(f) = \int_{SO(3)} f \ln f \, dA - \frac{1}{2} |J_f|^2, \quad \mathcal{D}(f) = \int_{SO(3)} f |\nabla_A (\ln f - J_f \cdot A)|^2 \, dA. $$

On a de même, comme dans la proposition 1.1, équivalence entre $f$ solution stationnaire de l'équation de Fokker-Planck, $\mathcal{D}(f) = 0$, $f$ point critique de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$, et $f$ de la forme $f = \rho M_Y$ où $Y \in \mathcal{M}$ est solution de l'équation de compatibilité suivante :

$$ Y = \rho J_{M_Y}, \quad \text{où } M_Y(A) = \frac{\exp(A \cdot Y)}{\mathcal{Z}(Y)}, \quad \text{avec } \mathcal{Z}(Y) = \int_{SO(3)} \exp(A \cdot Y) \, dA. \quad (1.2) $$

Cette équation, à résoudre dans $\mathcal{M}$ de dimension 9, ne peut pas se ramener directement à une équation scalaire : il n'y a aucune raison a priori que $Y$ soit proportionnel à une matrice de rotation. On peut cependant utiliser les symétries du problème pour se ramener au cas de $Y$ diagonale, en écrivant $Y = PDQ$ avec $P, Q \in SO(3)$ et $Y$ diagonale, et on a alors $D = \rho J_{M_D}$ par invariance à gauche et à droite de la mesure de Haar sur $SO(3)$. On obtient donc une équation de compatibilité dans un espace de dimension 3, mais cela ne suffit pas pour résoudre le problème simplement.

Dans [F13], en collaboration avec Pierre Degond, Antoine Diez et Sara Merino-Aceituno, nous résolvons cette équation de compatibilité<fnref n="15" />, grâce au lien entre ce modèle et le modèle de polymères avec potentiel de Maier-Saupe en dimension 4. En effet, en notant $\mathbb{H}_1$ l'ensemble des quaternions unitaires (qui s'identifie à $\mathbb{S}^3$), on a une identification entre $\mathbb{H}_1/\pm 1$ et $SO(3)$ par l'application suivante : à un quaternion $q$ on associe l'application $\mathbf{u} \mapsto q\mathbf{u}q^*$ qui envoie un quaternion imaginaire pur (vu comme un élément de $\mathbb{R}^3$) vers un quaternion imaginaire pur de même norme, correspondant donc à une matrice orthogonale de dimension 3, c'est même une rotation, que l'on note $\Phi(q)$. En pratique, si $q = \cos(\frac{\theta}{2}) + \sin(\frac{\theta}{2})\mathbf{n}$, où le quaternion imaginaire

<footnote n="15">15. Cet article considère une équation de type BGK plutôt que Fokker-Planck pour simplifier le problème de convergence en temps long, mais les équilibres sont les mêmes, et on doit résoudre la même équation de compatibilité. On verra même dans le chapitre 2 que la même énergie $\mathcal{F}$ est décroissante.</footnote>
## 1.2. Les orientations de corps rigides : des polymères en dimension 4

pur **n** est identifié à un vecteur unitaire de $\mathbb{R}^3$, la rotation $\Phi(q)$ associée est la rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe dirigé par **n**. Réciproquement toute rotation peut s'écrire de cette forme (le quaternion $q$ étant unique au signe près). Cette analogie était le point de départ de l'article [F10], où nous utilisons les quaternions pour décrire des modèles d'alignement de corps rigides (et dont le modèle macroscopique associé est décrit dans le chapitre 4), et elle se révèle très utile pour comprendre la solution de l'équation de compatibilité, en la transformant en une équation de compatibilité pour le modèles des polymères avec potentiel de Maier-Saupe, qui a été résolue dans [WH08]. En effet, à tout quaternion unitaire on peut associer le $Q$-tenseur $q \otimes q - \frac{1}{4}I_4$, qui ne change pas lorsqu'on change $q$ en $-q$. Ces deux plongements de $\mathbb{H}_1/\{\pm 1\}$ sont en fait les mêmes à travers un isomorphisme linéaire entre $M$ et les $Q$-tenseurs d'ordre 4 (l'ensemble $S_4^0(\mathbb{R})$ des matrices symétriques de trace nulle et de taille 4, également de dimension 9), qui a de bonnes propriétés :

**Proposition 1.2.** Il existe un isomorphisme linéaire $\phi$ entre $M = M_3(\mathbb{R})$ et $S_4^0(\mathbb{R})$ (tous deux de dimension 9) avec les propriétés suivantes :

$$ 
\begin{array}{l}
\forall q \in \mathbb{H}_1, \quad \phi(\Phi(q)) = q \otimes q - \frac{1}{4}I_4, \\
\forall Y \in M_3(\mathbb{R}), \forall q \in \mathbb{H}_1, \quad \frac{1}{2}Y \cdot \Phi(q) = q \cdot \phi(Y)q = \phi(Y) \cdot (q \otimes q - \frac{1}{4}I_4).
\end{array}
$$

Les produits scalaires apparaissant étant respectivement celui que l'on prend sur $M$, puis le produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}^4$, et enfin le produit scalaire $\mathrm{Tr}(Q\tilde{Q})$ pour $Q, \tilde{Q} \in S_4^0(\mathbb{R})$. De plus, l'isomorphisme $\phi$ préserve la structure diagonale: $Y \in M_3(\mathbb{R})$ est diagonale si et seulement si $\phi(Y)$ est diagonale dans $S_4^0(\mathbb{R})$.

On peut donc obtenir toutes les solutions de l'équation de compatibilité.

**Proposition 1.3.** Les solutions de l'équation de compatibilité 1.2 sont les suivantes:

- La matrice $Y = 0$,

- les matrices de la forme $Y = \alpha A_0$ avec $A_0 \in SO(3)$ et où $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ est solution de l'équation de compatibilité scalaire

$$ \alpha = \rho c_1(\alpha), \quad (1.3) $$

- les matrices de la forme $Y = \alpha\sqrt{3}\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}$ où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont deux vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^3$ et où $\alpha > 0$ est solution de l'équation de compatibilité scalaire

$$ \alpha = \rho c_2(\alpha), \quad (1.4) $$

avec les fonctions $c_1$ et $c_2$ données par

$$ c_1(\alpha) = \frac{\int_0^\pi \frac{1}{3}(2 \cos \theta + 1) \sin^2(\frac{\theta}{2}) \exp(\alpha \cos \theta) d\theta}{\int_0^\pi \sin^2(\frac{\theta}{2}) \exp(\alpha \cos \theta) d\theta}, $$

$$ c_2(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\int_0^\pi \cos \varphi \sin \varphi \exp(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha \cos \varphi) d\varphi}{\int_0^\pi \sin \varphi \exp(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha \cos \varphi) d\varphi}. $$

En étudiant les variations des fonctions $\alpha \mapsto \frac{\alpha}{c_1(\alpha)}$ (décroissante, jusqu'à un $\alpha_* \approx 1.9395$, puis croissante), et $\alpha \mapsto \frac{\alpha}{c_2(\alpha)}$ (croissante), on peut alors démontrer l'existence des deux seuils de la transition de phase du premier ordre :

$$ \rho_* = \frac{\alpha_*}{c_1(\alpha_*)} \approx 4.5832, \quad \rho_c = \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha}{c_1(\alpha)} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha}{c_1(\alpha)} = 6. $$

On peut alors décrire complètement le diagramme de phase, représenté dans la figure 1.3.
Chapitre 1. *Transitions de phase du point de vue des équilibres*

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Diagramme de phase du modèle d’alignement sur SO(3), décrit en détail ci-dessous. Les lignes pleines correspondent aux minima locaux de F sous contrainte de masse ρ.</figcaption></figure>

— Lorsque $\rho < \rho_*$, la seule solution est $Y = 0$, correspondant à l'équilibre uniforme sur SO(3), qui est le minimum global de l'énergie sous contrainte de masse $\rho$. Le paramètre d'ordre vaut 0 (trait plein sur la figure 1.3).

— Lorsque $\rho_* < \rho < \rho_c$, l'équilibre uniforme reste un minimum local. On a deux familles supplémentaires de solutions, $Y = \alpha_+(\rho)A_0$ où $A_0 \in SO(3)$ et $0 < \alpha_-(\rho) < \alpha_+$ sont les deux solutions non nulles de (1.3). Cela donne deux familles d'équilibres (chacune de dimension 3, homéomorphe à SO(3)) de la forme $\rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}$ (concentrés autour de la matrice de rotation $A_0$), les équilibres associés à $\alpha_+(\rho)$ sont des minima locaux, ceux associés à $\alpha_-(\rho)$ ne le sont pas. Les paramètres d'ordre de ces deux familles sont $c_1(\alpha_+(\rho))$ (trait plein pour $\alpha_+$, trait interrompu pour $\alpha_-$ sur la figure 1.3).

— Lorsque $\rho > \rho_c$, l'équilibre uniforme n'est plus un minimum local (en pointillé sur la figure 1.3). Les solutions non-nulles de (1.3) s'écrivent $\alpha_-(\rho) < 0 < \alpha_+(\rho)$, on a toujours deux familles d'équilibres, et il se rajoute une troisième famille d'équilibres (de dimension 4, homéomorphe à $S^2 \times S^2/\{\pm 1\}$) associée à l'unique solution $\alpha_2 > 0$ de (1.4).

— Un équilibre associé à $\alpha_+(\rho)$, de la forme $\rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}$ correspond au minimum global de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$. Le paramètre d'ordre est $c_1(\alpha_+(\rho))$ (trait plein sur la figure 1.3) et tend vers 1 lorsque $\rho \to +\infty$ : l'équilibre s'approche de la masse de Dirac autour de $A_0$.

— Pour un équilibre associé à $\alpha_-(\rho) < 0$, de la forme $\rho M_{\alpha_-(\rho)A_0}$, le paramètre d'ordre vaut $|c_1(\alpha_-(\rho))|$ (en trait interrompu sur la figure 1.3), et l'équilibre n'est pas un minimum local de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$. La densité de la distribution est maximale pour les rotations de la forme $A_0R$, où $R$ est une rotation d'angle $\pi$ autour d'un vecteur unitaire quelconque. On peut également les voir comme les rotations de la forme $(-A_0)S_u$ où $S_u$ est la réflexion autour de l'hyperplan orthogonal à $u$,
pour un vecteur unitaire quelconque $u$. Cet ensemble de rotations forme une variété de dimension 2, isométrique à $\mathbb{S}^2/\{\pm 1\}$ (à une dilatation près), et la distribution se concentre autour de cette variété lorsque $\rho \to +\infty$, le paramètre d'ordre tendant alors vers $\frac{1}{3}$.

— Un équilibre associé à $\alpha_2(\rho)$, de la forme $\rho M_{\alpha_2(\rho)\sqrt{3}\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}}$ avec $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ dans $\mathbb{S}^2$ n'est pas non plus un minimum local de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$, et le paramètre d'ordre vaut $c_2(\alpha_2(\rho))$ (trait mixte sur la figure 1.3). La densité de la distribution est maximum pour les rotations envoyant $\mathbf{b}$ sur $\mathbf{a}$. Cet ensemble de rotations forme une variété de dimension 1 isométrique à $\mathbb{S}^1$, autour de laquelle la distribution se concentre lorsque $\rho \to +\infty$, et le paramètre d'ordre tend vers $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

## 1.3 Rotations en dimensions supérieures

Se pose alors la question naturelle de savoir si on peut généraliser ce résultat en dimension supérieure. À cela on oppose tout de suite la réplique « mais pourquoi donc vouloir généraliser ceci en dimension supérieure »<fnref n="16" />? En terme d'application il n'y a pas à ma connaissance de besoin actuel d'étudier de l'alignement-diffusion sur $SO(4)$ et plus, mais sait-on jamais<fnref n="17" />... Dans tous les cas, obtenir des résultats en dimensions supérieures apporte parfois un éclairage sur les dimensions plus petites (on le verra également dans le chapitre 4). Et je dois avouer que le résultat sur les polymères en toute dimension de [WH08] nous a bien aidés pour comprendre l'alignement dans $SO(3)$ (je ne sais toujours pas comment le montrer directement sans passer par cette interprétation), alors j'espère que le travail que je présente dans cette section pourra servir un jour ! Ces résultats ne font pas encore l'objet d'une publication, la rédaction est en cours, avec le soutien précieux de Pierre Degond et Antoine Diez<fnref n="18" />.

On se place donc dans $SO(n)$, avec $n \ge 3$. On prend ici le produit scalaire $A \cdot B = \text{Tr}(AB^\top)$ sans le coefficient $\frac{1}{2}$. On cherche comme précédemment les états stationnaires de l'équation de Fokker-Planck (1.1) avec $\nu = \sigma = 1$, et $S = SO(n)$ (on normalise la mesure de Haar de telle sorte que ce soit une probabilité). Cela revient à résoudre l'équation de compatibilité

$$ Y = \rho J_{M_Y}, \quad \text{où } M_Y(A) = \frac{\exp(A \cdot Y)}{\mathcal{Z}(Y)}, \quad \text{avec } \mathcal{Z}(Y) = \int_{SO(n)} \exp(A \cdot Y) dA. \quad (1.5) $$

avec $Y \in \mathcal{M} = M_n(\mathbb{R})$. On a également comme précédemment $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(f) = -\mathcal{D}(f)$, avec

$$ \mathcal{F}(f) = \int_{SO(n)} f \ln f \, dA - \frac{1}{2} |J_f|^2, \quad \mathcal{D}(f) = \int_{SO(n)} f |\nabla_A (\ln f - J_f \cdot A)|^2 \, dA. $$

Le premier résultat que l'on obtient c'est que l'équilibre uniforme (correspondant à $Y = 0$) est un minimum local de l'énergie $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$ lorsque $\rho < \rho_c = n$, et ce n'est plus le cas lorsque $\rho > \rho_c$ (la différence avec la section précédente où on avait $\rho_c = 6$ pour $n = 3$ provient du changement de produit scalaire). On s'intéresse donc aux solutions non-nulles, qui peuvent être caractérisées comme points critiques de la fonction de partition $\mathcal{Z}$ sous contrainte de norme constante :

<footnote n="16">16. Argument spontané, celui qui vient du cœur : « parce qu'on aime les maths ».</footnote>

<footnote n="17">17. Argument marketing, celui qu'on doit mettre dans les appels à projets : « exploration de configurations particulières en grande dimension ⇒ intelligence artificielle, data science ».</footnote>

<footnote n="18">18. sans qui mes vieilles notes « vague thoughts on compatibility equations » de 2018 traîneraient encore dans la poussière (numérique).</footnote>
# Chapitre 1. Transitions de phase du point de vue des équilibres

**Proposition 1.4.** Si $Y \neq 0$ est une solution de l'équation de compatibilité (1.5), c'est alors un point critique de $\mathcal{Z}$ sous contrainte de norme constante. Et réciproquement, si $Y \neq 0$ est un tel point critique, il existe alors $\rho > 0$ tel que $Y$ soit une solution de l'équation de compatibilité (1.5).

## 1.3.1 Des points critiques obtenus par des considérations de symétries

On peut également utiliser les symétries pour réduire le problème : si on multiplie à gauche et à droite une solution $Y$ par des matrices de rotation $P, Q \in SO(n)$, on obtient de nouveau une solution. Et comme on peut toujours écrire une matrice $Y \in \mathcal{M}$ comme $Y = PDQ$ avec $P, Q$ dans $SO(n)$ et $D = \text{diag}(d_1, \dots, d_n)$ diagonale (on peut même imposer $d_1 \ge \dots \ge d_{n-1} \ge |d_n|$, ce qu'on a appelé décomposition spéciale en valeurs singulières dans [F13]), on se ramène donc à chercher les points critiques de $D \mapsto \mathcal{Z}(D)$ dans l'espace des matrices diagonales (sous contrainte de norme constante). On écrira $\zeta(v) = \mathcal{Z}(\text{diag}(v))$ et on cherche les points critiques de $\zeta$ sur la sphère de rayon $r > 0$ dans $\mathbb{R}^n$. Si on considère la mesure image $\mu$ de la mesure de Haar sur $SO(n)$ par l'application qui à $A \in SO(n)$ associe sa diagonale principale (vue comme un vecteur de $\mathbb{R}^n$), on obtient donc

$$ \zeta(v) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{v \cdot a} d\mu(a). $$

On va maintenant utiliser des symétries supplémentaires de la mesure $\mu$ pour obtenir des points critiques de $\zeta$. Par le théorème de Horn [Hor54, Bor93], on sait déjà que le support de $\mu$ (l'ensemble des diagonales possibles de matrices de rotations) est le demi-hypercube $H_n : \text{l'enveloppe convexe des points de la forme } (\pm 1, \dots, \pm 1) \text{ avec un nombre pair de signes moins. Et on note } D_n \text{ le groupe de Coxeter constitué des matrices de permutation dont on change éventuellement le signe d'un nombre pair de « uns ». C'est un groupe de symétries qui laisse } H_n \text{ invariant, et il se trouve qu'il laisse également } \mu \text{ invariante. On a besoin d'un peu de vocabulaire d'action de groupe :}$

**Définition 1.1.** Pour $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$, et $v$ un élément de $\mathbb{R}^n$, on note $\text{Stab}_G(v)$ son stabilisateur (le sous-groupe des matrices $P \in G$ telles que $Pv = v$). Et si $G$ est un sous-ensemble de matrices, on note $\text{Fix}(G)$ le sous-espace vectoriel des points fixes communs à tous les éléments de $G$.

On obtient alors une famille de points critiques en utilisant seulement ces symétries :

**Proposition 1.5.** La fonction $\zeta$ est invariante sous l'action de $D_n$.

Par conséquent, si $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est tel que $\text{Fix}(\text{Stab}_{D_n}(v)) = \text{Vect}(v)$, alors $v$ (ainsi que tout point dans son orbite par l'action de $D_n$) est un point critique de $\zeta$ sur la sphère de rayon $\|v\|$ centrée en 0.

De plus, les points $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tels que $\text{Fix}(\text{Stab}_{D_n}(v)) = \text{Vect}(v)$ sont exactement les points proportionnels à $\mathbf{d}_0 = (1, \dots, 1)$, $\mathbf{d}_i = (1, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ (avec $n - i$ uns et $i$ zéros) pour $2 \le i < n$, $\mathbf{s} = (1, \dots, 1, -1)$, ou les points dans leurs orbites sous l'action de $D_n$.

Ces points donnent donc des points critiques sur la sphère de n'importe quel rayon $r > 0$. Lorsqu'on observe les points donnés par la proposition 1.5, on peut les voir comme les centres d'éléments particuliers du polytope $H_n : \text{les points dans l'orbite de } \mathbf{d}_0 \text{ sont les sommets, ceux dans l'orbite de } \mathbf{d}_2 \text{ sont les milieux des arêtes, ceux dans l'orbite de } \mathbf{d}_m \text{ pour } m \ge 3 \text{ sont proportionnels aux centres des cellules } m\text{-dimensionnelles qui sont des demi-hypercubes. Il y a un autre type de cellules } m\text{-dimensionnelles dans } H_n, \text{ des simplexes, et leurs centres ne sont pas en général dans la liste des points donnés par la proposition 1.5, sauf dans le cas } m = n - 1, \text{ qui correspond au point } \mathbf{s} \text{ (à une dilatation près).}$
Lorsqu'on revient au problème original, on obtient donc des familles d'équilibres pour l'équation de Fokker-Planck, que l'on peut caractériser grâce à des solutions d'équations de compatibilité scalaire comme dans la section précédente. Lorsque $u \in S^{n-1}$, on note $S_u = I_n - 2u \otimes u$ la réflexion orthogonale qui fixe l'hyperplan orthogonal à $u$. Pour $i=0$ ou $2 \le i < n$, on obtient des fonctions $c_i(\alpha)$, ainsi qu'une fonction $\tilde{c}(\alpha)$, dont on ne précise pas les expressions ici<fnref n="19" />. Et on a la description suivante des solutions de l'équation de compatibilité que l'on obtient, ainsi que des équilibres associés.

**Théorème 1.1.** *Les solutions de l'équation de compatibilité (1.5) correspondant aux points critiques donnés par la proposition 1.5 sont les suivants :*

- Toute matrice de la forme $Y = \alpha \Lambda$ où $\Lambda \in SO(n)$ et $\alpha > 0$ est une solution de l'équation de compatibilité $\alpha = \rho c_0(\alpha)$. Lorsque $\alpha$ est grand, la distribution $M_Y$ est concentrée autour de $\Lambda$.

Cet ensemble d'équilibres est une variété de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$, homéomorphe à $SO(n)$.

- Pour $2 \le i \le n-1$, toute matrice de la forme $Y = \sqrt{\frac{n}{n-i}}\alpha G_{E_{n-i}, F_{n-i}}$, où $E_{n-i}$ et $F_{n-i}$ sont deux sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ de dimension $n-i$, $G_{E_{n-i}, F_{n-i}}$ est la matrice d'une application linéaire $g$ de noyau $E_{n-i}^{\perp}$ et d'image $F_{n-i}$, telle que $g|_{E_{n-i}}$ est une application orthogonale de $E_{n-i}$ vers $F_{n-i}$, et $\alpha > 0$ est une solution de l'équation de compatibilité $\alpha = \rho c_i(\alpha)$. Lorsque $\alpha$ est grand, la distribution $M_Y$ se concentre autour de l'ensemble des matrices de rotation $A$ (vues comme des applications linéaires) dont la restriction à $E_{n-i}$ est égale à $g|_{E_{n-i}}$ (cet ensemble de matrices est isométrique à $SO(i)$).

Cet ensemble d'équilibres est une variété de dimension $\frac{(n-i)(n+3i-1)}{2}$.

- Toute matrice de la forme $Y = \alpha \tilde{\Lambda}$ avec $\tilde{\Lambda} \in O(n) \setminus SO(n)$, où $\alpha > 0$ est une solution de l'équation de compatibilité $\alpha = \rho \tilde{c}(\alpha)$. Lorsque $\alpha$ est grand, la distribution $M_Y$ se concentre autour de l'ensemble des matrices de rotation de la forme $A = \tilde{\Lambda} S_u$ avec $u \in S^{n-1}$ (cet ensemble de matrices est isométrique, à une dilatation près, à $S^{n-1}/\{\pm 1\}$).

Cet ensemble d'équilibres est une variété de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$, homéomorphe à $SO(n)$.

On n'a pas encore caractérisé la nature des points critiques de $\mathcal{F}$ correspondant, même si on n'a pas trop de doute sur ce qu'on espère obtenir : seule la première famille est un minimum local, et seulement lorsque la dérivée de $\alpha \mapsto \frac{\alpha}{c_0(\alpha)}$ est strictement positive. On s'attend également à ce que cette fonction soit décroissante puis croissante, donnant lieu à une transition de phase du premier ordre.

Lorsqu'on observe la résolution dans le cas de $SO(3)$ donnée dans la section précédente, on obtient que tous les équilibres sont présents dans le théorème 1.1, avec $c_0(\alpha)$ correspondant au $c_1(\alpha)$ de la section précédente pour $\alpha > 0$, $c_2(\alpha)$ étant inchangé ($E_1$ et $F_1$ correspondant à $\text{Vect}(\mathbf{b})$ et $\text{Vect}(\mathbf{a})$), et $\tilde{c}(\alpha)$ correspondant à $-c_1(-\alpha)$ pour $\alpha < 0$.

On peut donc se demander si c'est le cas pour $n \ge 4$. Est-ce que le théorème 1.1 contient toutes les solutions de l'équation de compatibilité ? La réponse est non pour $n = 4$ (il est connu que $SO(4)$ est particulier parmi les $SO(n)$, en particulier il n'est pas simple en tant que groupe de Lie, son algèbre de Lie étant isomorphe à $o(3) \oplus o(3)$), et c'est l'objet de la sous-section suivante. Pour $n \ge 5$, on conjecture que c'est le cas, et c'est en effet le cas au voisinage de la distribution uniforme (donc du seuil critique $\rho_c$), ce que l'on explique dans la la dernière sous-section.

<footnote n="19">19. ce sont des moyennes de fonctions de la forme $\omega \cdot a$ contre une mesure proportionnelle à $e^{\alpha \omega \cdot a} d\mu$, pour des points $\omega$ proportionnels aux points donnés par la proposition 1.5.</footnote>
### 1.3.2 Encore des quaternions pour $SO(4)$

Si on regarde le demi-hypercube $H_4$ il est en fait composé de 16 cellules tridimensionnelles : 8 tétraèdres, vus comme des demi-cubes, dont les centres sont dans les orbites de $d_0$ par l'action de $D_4$, et 8 tétraèdres, vus comme des 3-simplexes, dont les centres sont dans l'orbite de $\frac{1}{2}s$. Le demi-hypercube $H_4$ est en fait un polytope régulier (de même que le demi-cube $H_3$ est en fait un tétraèdre régulier), l'hyperoctaèdre (le dual de l'hypercube). Et son groupe de symétrie est donc plus grand que $D_4$: on peut y rajouter des rotations qui envoient les tétraèdres du premier type vers des tétraèdres de l'autre type. La magie est alors que $\zeta$ est également invariant sous l'action de ce nouveau groupe. En faisant agir ce groupe à la place de $D_4$, on obtient donc de nouveaux points, qui n'étaient pas présents dans la proposition 1.5 : les points proportionnels à $\mathbf{s}_2 = (1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$ ou aux points dans leur orbite sous l'action de $D_4$, qui correspondent aux centres des faces de $H_4$. On ne détaille pas la preuve de l'invariance de $\zeta$ par rapport à ce nouveau groupe, parce que ce qui nous intéresse est de montrer que l'on obtient bien l'ensemble des solutions, et que l'on a une méthode plus directe pour cela, qui donnera alors toutes les solutions.

L'idée est d'utiliser de nouveau un lien avec les quaternions. En effet si on considère la multiplication à gauche par un quaternion unitaire $q \in \mathbb{H}_1$, cela correspond à appliquer une matrice de rotation $L(q)$ dans $\mathbb{R}^4$, dite « isocline gauche ». De même pour la multiplication à droite, on obtient $R(q)$ dite « isocline droite ». Il se trouve que toute rotation isocline gauche commute avec toute isocline droite, et que tout élément de $SO(4)$ peut s'écrire sous la forme $L(q)R(\tilde{q})$ (de seulement deux manières, l'autre étant $L(-q)R(-\tilde{q})$). On a donc un isomorphisme entre $SO(4)$ et $(\mathbb{H}_1 \times \mathbb{H}_1)/\{\pm 1\}$, qui nous permet d'avoir une expression simple de la mesure de Haar : pour toute fonction continue $f$ sur $SO(4)$, on a

$$ \int_{SO(4)} f(A)dA = \int_{\mathbb{H}_1 \times \mathbb{H}_1} f(L(q)R(\tilde{q}))dqd\tilde{q}. $$

On peut alors exprimer la fonction $\zeta$ d'une manière assez simple, à l'aide de produits de Schur, et en utilisant une transformation qui envoie l'hypercube $H_4$ sur l'hyperoctaèdre de sommets $\pm \mathbf{e}_i$ pour $1 \le i \le 4$.

**Lemme 1.1.** On identifie $\mathbb{H}$ avec $\mathbb{R}^4$ et on note $\odot$ pour le produit de Schur de deux vecteurs : si $q = a + \mathbf{b}\mathbf{i} + \mathbf{c}\mathbf{j} + d\mathbf{k}$ et $\tilde{q} = \tilde{a} + \tilde{b}\mathbf{i} + \tilde{c}\mathbf{j} + \tilde{d}\mathbf{k}$, alors $q \odot \tilde{q} = a\tilde{a} + b\tilde{b}\mathbf{i} + c\tilde{c}\mathbf{j} + d\tilde{d}\mathbf{k}$.

On introduit la réflexion orthogonale fixant l'hyperplan orthogonal à $\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 - \mathbf{e}_4$, donnée par la matrice

$$ N = S_{\frac{1}{2}}(\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 - \mathbf{e}_4) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. $$

Enfin, pour $u \in \mathbb{R}^4$, on définit

$$ \xi(u) = \int_{\mathbb{H}_1 \times \mathbb{H}_1} e^{u \cdot (q \odot \tilde{q})} d\tilde{q} dq. $$

Alors, pour tout $v \in \mathbb{R}^4$, on a $\zeta(v) = \xi(2Nv)$.

Comme la transformation $N$ est orthogonale, les points critiques de $\zeta$ sous contrainte de norme constante correspondent à des points critiques de $\xi$ sous contrainte de norme constante.
On peut alors utiliser l'expression du gradient de $\xi$, en identifiant de nouveau les quaternions avec $\mathbb{R}^4$ :

$$ \nabla_u \xi(u) = \int_{S_3 \times S_3} (v \odot \tilde{v}) e^{u \cdot (v \odot \tilde{v})} d\tilde{v} dv, $$

ainsi que quelques lemmes de calculs techniques pour montrer que les points critiques de $\xi$ sur toute sphère centrée en 0 sont exactement ceux ayant leurs coordonnées non-nulles de même valeur absolue. Et en appliquant de nouveau la transformation $N$, on obtient donc bien tous les points critiques pour $\zeta$. Au final on obtient donc la caractérisation de tous les équilibres en dimension 4, à l'aide d'une dernière fonction $c_1$.

**Théorème 1.2.** *Les solutions de l'équation de compatibilité (1.5) en dimension $n = 4$ sont les suivantes :*

- La matrice $Y = 0$ (pour tout $\rho > 0$), correspondant à l'état stationnaire uniforme.

- Toute matrice $Y$ décrite dans le théorème 1.1, qui donne 4 familles d'équilibres, avec les relations de compatibilité $\alpha = \rho c_i(\alpha)$ pour $i = 0, 2, 3$, ainsi que $\alpha = \rho \tilde{c}(\alpha)$. Par ailleurs, on a $c_3(\alpha) = \tilde{c}(\alpha)$.

- Toute matrice de la forme $Y = \frac{1}{\sqrt{3}}\alpha(4(\Lambda\mathbf{a})\otimes\mathbf{a}-\Lambda)$ où $\Lambda \in SO(4)$, $\mathbf{a} \in S^3$, et $\alpha > 0$ est une solution de l'équation de compatibilité $\alpha = \rho c_1(\alpha)$. Lorsque $\alpha$ est grand, la distribution $M_Y$ se concentre autour de matrices de rotations $A$ telles que $A\mathbf{a} = \mathbf{a}$ et la restriction de $A$ à $\mathbf{a}^\perp$ est une rotation d'angle $\pi$ autour d'un vecteur unitaire $\mathbf{b}$ orthogonal à $\mathbf{a}$ (cet ensemble de matrices est isométrique à $S^2/\{\pm 1\}$, à dilatation près).

Ces équilibres forment une variété de dimension 9, homéomorphe à $SO(4) \times (S_3/\{\pm 1\})$.

Numériquement, on obtient un diagramme de phase toujours de type « transition du premier ordre », avec deux seuils $\rho_* \approx 3.3894$ et $\rho_c = 4$. (voir la figure 1.4). Contrairement au cas $n = 3$, toutes les branches de ce diagramme ont une dérivée verticale au voisinage de $\rho = \rho_c$.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Diagramme de phase du modèle d'alignement sur $SO(4)$. On s'attend à ce que les lignes pleines correspondent aux minima locaux de $F$ sous contrainte de masse $\rho$.</figcaption></figure>
1.3.3 Perturbation au voisinage du seuil critique pour $n \ge 5$

En dimension supérieure à 5, on n'a pas pour l'instant su exploiter de forme convenable de la mesure de Haar qui nous permette de conclure. Mais on peut effectuer un développement asymptotique de la fonction $\zeta$ sur une sphère de petit rayon $r > 0$, et ainsi essayer de comprendre les solutions de l'équation de compatibilité au voisinage de zéro (ce qui correspond à des équilibres proches de l'uniforme). On peut d'ailleurs montrer que dans ce cas, $\rho$ doit être proche de $\rho_c = n$.

Pour une fonction $\varphi$ dépendant de $a = (a_1, \dots, a_n)$, on note $\langle \varphi(a) \rangle_\mu = \int_{H_n} \varphi(a) d\mu$, et on cherche les points critiques de $\zeta_r(v) = \zeta(rv) = \langle e^{rv \cdot a} \rangle_\mu$ sur la sphère de rayon 1. Ceci correspond à trouver des points $v$ de $S^{n-1}$ tels que $\langle ae^{rv \cdot a} \rangle_\mu = \lambda v$ (on a alors $\lambda > 0$ pour des raisons convexité). On a

$$ \zeta_r(v) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{r^k}{k!} \langle (v \cdot a)^k \rangle_\mu = \sum_{(k_1, \dots, k_n)} \left( \prod_{i=1}^{n} \frac{r^{k_i} v_i^{k_i}}{k_i!} \right) \langle \prod_{i=1}^{n} a_i^{k_i} \rangle_\mu, $$

et on peut réduire l'étude des points critiques de $\zeta_r$ à celle d'une fonction plus simple, avec une expression pratique lorsque $r$ est petit.

**Proposition 1.6.** *Les points critiques de $\zeta_r$ sur la sphère de rayon 1 sont les mêmes que ceux de la fonction $F_r$ donnée par*

$$ F_r(v) = \sum_i v_i^4 + \alpha r^2 \sum_i v_i^6 + r^4 g(r, v) + r^{n-4} (\beta + \gamma r^2) \prod_{i=1}^{n} v_i + r^n h(r, v), \quad (1.6) $$

où :

- la fonction $g$ est un polynôme en les sommes de Newton $s_p = \sum_{i=1}^n v_i^{2p}$ pour $2 \le p \le n$, dont les coefficients sont des fonctions lisses de $r$;

- la fonction $h$ est lisse (et symétrique en les variables $v_i$);

- les coefficients $\alpha, \beta$ and $\gamma$ sont donnés par

$$ \alpha = \frac{\langle a_1^6 - 15a_1^4a_2^2 + 30a_1^2a_2^2a_3^2 \rangle_\mu}{30\langle a_1^4 - 3a_1^2a_2^2 \rangle_\mu}, \quad \beta = \frac{24\langle \prod_{i=1}^n a_i \rangle_\mu}{\langle a_1^4 - 3a_1^2a_2^2 \rangle_\mu}, \\ \gamma = \frac{4\langle a_1^2 \prod_{i=1}^n a_i \rangle_\mu}{\langle a_1^4 - 3a_1^2a_2^2 \rangle_\mu} - \frac{12\langle a_1^4a_2^2 - 3a_1^2a_2^2a_3^2 \rangle_\mu \langle \prod_{i=1}^n a_i \rangle_\mu}{(\langle a_1^4 - 3a_1^2a_2^2 \rangle_\mu)^2}. $$

La partie technique, une fois obtenues les expressions de $\alpha, \beta, \gamma$, consiste à obtenir leur valeur en fonction de $n$. On y arrive en utilisant les symétries de $\mu$. Et en écrivant les multiplicateurs de Lagrange associés au problème de recherche des points critiques de $F_r$ sur la sphère de rayon 1, on obtient$^{20}$ que pour $r$ suffisamment petit et pour $n \ge 5$, les seules solutions correspondent aux solutions obtenues par la proposition 1.5. On voit bien dans l'expression de $F_r$ que le terme en $r^{n-4}$ peut avoir un rôle différent en dimension 4 (et même en dimension 3), et c'est effectivement ce qui fait apparaître des solutions supplémentaires pour $n = 4$.

**Conjecture 1.1.** *Pour $n \ge 5$, les seules solutions non-nulles de l'équation de compatibilité sont celles données par le théorème 1.1.*

<footnote n="20">20. sous réserve de certification des calculs par les autorités compétentes.</footnote>
**Perspectives** La résolution de la conjecture 1.1 n'est peut-être pas la priorité, mais c'est une question intéressante. La preuve de [WH08] pour le cas des polymères en toute dimension pourrait éventuellement être une inspiration, mais ce n'est pas si clair (il reste un peu de magie dans cette preuve, où on voit bien que tout fonctionne dans le cas du potentiel de Maier-Saupe, mais pour laquelle on n'a pas une vue très globale du cadre dans lequel on pourrait l'adapter). Il reste également à déterminer la nature des points critiques de $F$ donnés par le théorème 1.1. En règle générale, la détermination des équilibres pour des modèles présentant des symétries et des contraintes géométriques peut se révéler assez complexe. Il a par exemple été montré, dans le cas du couplage entre le potentiel dipolaire et celui de Maier-Saupe, que les minimiseurs locaux de $F$ sous contrainte de masse $\rho$ constante sont axisymétriques [ZWWF07, WH08], mais à ma connaissance la détermination complète des équilibres n'est pas disponible. On peut également noter le résultat récent [Li21] pour le modèle de Cucker-Smale avec friction (qui joue le rôle d'une contrainte géométrique, bien que l'espace en vitesse soit $\mathbb{R}^d$), où le diagramme de phase, initialement obtenu loin du seuil de transition dans [BCCD16], est décrit pour toutes les valeurs des paramètres.
Chapitre 1. Transitions de phase du point de vue des équilibres
# Chapitre 2

## Comportement en temps long de modèles homogènes en espace

### Contenu

2.1 Équation de BGK pour l'alignement de corps rigides . . . . . . . 30

2.2 Stabilité et convergence exponentielle en entropie relative pour Fokker-Planck sur SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Vers un cadre générique unifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

On s'intéresse maintenant au comportement en temps long des solutions des modèles avec transition de phase étudiés dans le chapitre précédent. Comme on a accès à une énergie libre $\mathcal{F}$ décroissante en temps, on se concentre sur la description au voisinage de familles d'équilibres minimisant localement $\mathcal{F}$ (sous contrainte de masse constante, on note $\mathcal{F}_\infty$ la valeur de $\mathcal{F}$ pour chaque famille d'équilibre considérée).

Pour ce qui est du modèle de type Vicsek avec différents types de transitions de phase, correspondant à la section 1.1, le comportement en temps long est décrit dans [F6, F8], en collaboration avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu, suivant la méthode développée durant ma thèse dans [F3] (voir aussi [FKM18] pour une approche similaire en entropie relative, dans le cas du modèle normalisé sans transition de phase). L'idée est de comparer localement $\mathcal{F} - \mathcal{F}_\infty$ et sa dissipation $\mathcal{D}$ avec une distance en norme $H^s$ entre $f$ et l'équilibre de von Mises $\rho M_{\kappa\Omega(t)}$, où $\Omega(t) \in \mathbb{S}^{d-1}$ est l'orientation moyenne de la distribution $f$ (la direction de $J_f = \int_{\mathbb{S}^{d-1}} v f(v) dv$), et $\kappa$ est la solution de l'équation de compatibilité scalaire associée à $\rho$. On obtient alors que pour les branches d'équilibres minimisant localement $\mathcal{F}$, ces normes $H^s$ convergent exponentiellement vite vers 0. L'idée est alors de contrôler ensuite le déplacement de $\Omega(t)$ par ces normes $H^s$, ce qui donne alors la convergence de $\Omega(t)$ vers un $\Omega_\infty$, avec la même vitesse de convergence (on suspecte en fait que $\Omega(t)$ converge plus vite$^{21}$, de manière analogue à ce que l'on montrera dans le chapitre 6 pour le modèle sans bruit). On obtient donc la convergence exponentielle en toute norme $H^s$ vers un unique équilibre.

Lorsqu'on essaye d'appliquer cette méthode au modèle d'alignement sur SO(3), des difficultés apparaissent. Il faut d'abord choisir l'équilibre (dépendant du temps) que l'on compare à $f$, et les comparaisons avec $\mathcal{F}$ et $\mathcal{D}$ se révèlent plus techniques. Je pense qu'il serait possible d'aller au bout de ces calculs, mais on verra plus tard qu'il y a une meilleure approche.

<footnote n="21">21. nous avions commencé à obtenir des résultats en ce sens avec Jian-Guo Liu, mais la rédaction n'a pas suivi...</footnote>
Chapitre 2. Comportement en temps long de modèles homogènes en espace

Nous avons donc commencé, dans le cadre de la thèse d'Antoine Diez (en codirection avec Pierre Degond et Sara Merino-Aceituno), à regarder le comportement en temps long pour l'équation de type BGK plutôt que Fokker-Planck. Ces deux équations sont liées par le fait qu'elles ont les mêmes types d'équilibres (l'équation de BGK est construite en ce but), mais également parce l'énergie libre $\mathcal{F}$ est également décroissante en temps. La simplification principale de l'étude du modèle de BGK est alors que le moment $J_f$ satisfait en fait une équation différentielle en dimension finie. De plus cette équation est le flot-gradient d'un potentiel $V$ lié à la fonction de partition $\mathcal{Z}$. La connaissance du potentiel permet donc d'obtenir le comportement en temps long de $J_f$, et donc de la distribution $f$. Il y a également une sorte de loi de conservation supplémentaire qui fait que l'on peut déterminer facilement la limite en temps long à partir de la donnée initiale. On présente ces résultats obtenus dans la section 2.1.

J'ai ensuite développé dans [F14] une méthode pour traiter le cas de l'équation de Fokker-Planck<fnref n="22" /> sur SO(3). Plutôt que de comparer $f$ à un équilibre, on le compare à $\rho M_{J_f}$ (qui n'est un équilibre que si $J_f$ est solution de l'équation de compatibilité). En effet, les termes $\mathcal{F}$ et $\mathcal{D}$ font naturellement apparaître l'entropie relative et l'information de Fisher par rapport à cet état $\rho M_{J_f}$. On a alors seulement besoin de comprendre le comportement de $V$ (le même potentiel que pour l'équation de BGK !) pour obtenir la convergence exponentielle vers un équilibre (en contrôlant de même le déplacement de $J_f$). Je présente ces résultats dans la section 2.2.

Inspirés par ce travail sur SO(3), un projet est en cours avec Pierre Degond et Antoine Diez pour appliquer cette méthode dans un cadre unifié. Cela permettrait d'obtenir par exemple des taux de convergence vers l'équilibre pour le cas des polymères avec potentiel de Maier-Saupe, ce qui, à ma connaissance, est un résultat nouveau. On en présente les idées dans la section 2.3.

## 2.1 Équation de BGK pour l'alignement de corps rigides

Dans [F13], en collaboration avec Pierre Degond, Antoine Diez et Sara Merino-Aceituno, on considère l'équation de type BGK suivante

$$ \partial_t f = \rho M_{J_f} - f, $$

où, comme dans (1.2), on a

$$ M_Y(A) = \frac{\exp(A \cdot Y)}{\mathcal{Z}(Y)}, \quad \text{avec } \mathcal{Z}(Y) = \int_{SO(3)} \exp(A \cdot Y) dA. $$

On observe donc qu'un équilibre doit être de la forme $\rho M_Y$ avec $Y = \rho J_{M_Y}$, c'est à dire exactement une solution de l'équation de compatibilité (1.2). Il se trouve que l'on a également décroissance de la même énergie : $\frac{d}{dt}\mathcal{F} = -\tilde{\mathcal{D}}(f)$, avec

$$ \mathcal{F}(f) = \int_{SO(3)} f \ln f \, dA - \frac{1}{2} |J_f|^2, \quad \tilde{\mathcal{D}}(f) = \int_{SO(3)} (f - \rho M_{J_f}) (\ln f - \ln(\rho M_{J_f})) \, dA. $$

Si on écrit $Y(t) = J_f(t, \cdot)$ on obtient que $Y$ satisfait une équation différentielle de type flot-gradient :

$$ \frac{d}{dt}Y = \rho J_{M_Y} - Y = -\nabla_Y V, \quad V(Y) = \frac{1}{2}|Y|^2 - \rho \ln \mathcal{Z}(Y). \qquad (2.1) $$

<footnote n="22">22. L'idée de départ était simplement, dans le cadre d'un compte-rendu d'un workshop à Rome, de présenter les résultats sur BGK, de montrer les différences avec Fokker-Planck, et d'expliquer pourquoi on n'arrivait pas à le faire pour Fokker-Planck, et finalement l'article de revue s'est transformé en un joli théorème. Je ne remercierai jamais assez Francesco Salvarani de m'avoir poussé à écrire ce papier !</footnote>
## 2.2. Stabilité et convergence exponentielle en entropie relative pour Fokker-Planck sur SO(3)

La particularité de ce potentiel est qu'il est invariant par multiplication à gauche et à droite par une matrice de rotation. Ainsi si initialement $Y(0) = P_0 D_0 Q_0$ avec $P, Q \in SO(3)$ et $D_0$ une matrice diagonale $\text{diag}(d_{1,0}, d_{2,0}, d_{3,0})$ (où $d_{1,0} \ge d_{2,0} \ge |d_{3,0}|$, il est toujours possible de décomposer $Y(0)$ de la sorte, ce qu'on appelle la décomposition spéciale en valeurs singulières), alors pour tout $t \ge 0$, on a $Y(t) = P_0 D(t) Q_0$ avec $D(t) = \text{diag}(d_1(t), d_2(t), d_3(t))$ satisfaisant la même équation différentielle que $Y$ (on a également $d_1(t) \ge d_2(t) \ge |d_3(t)|$ pour tout temps). On est donc ramené à un flot-gradient dans $\mathbb{R}^3$ (identifié à l'ensemble des matrices diagonales), pour lequel les points critiques, déterminés dans la section 1.2, sont en nombre fini. On peut montrer que dans tous les cas la solution converge vers un de ces points critiques (et donc la solution $f$ converge vers un unique équilibre, dont les paramètres peuvent être simplement déterminés à partir des matrices $P_0$ et $Q_0$).

**Proposition 2.1.** On a les trois possibilités suivantes, en fonction de la valeur de $\rho$ (les notations sont celles de la section 1.2):

(i) Si $\rho < \rho^*$, alors $D(t) \to 0$ et $f(t, \cdot)$ converge vers la distribution uniforme lorsque $t \to +\infty$.

(ii) Si $\rho^* \le \rho \le \rho_c$, il y a trois familles d'états stationnaires (dont deux sont confondues lorsque $\rho = \rho^*$ ou $\rho = \rho_c$), et $f(t, \cdot)$ converge vers l'un de ces états, lorsque $t \to +\infty$:

- soit $D(t) \to 0$, et $f(t, \cdot)$ converge vers la distribution uniforme,

- soit $D(t) \to \alpha_+(\rho)I_3$, et $f(t, \cdot) \to \rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}$, où $A_0 = P_0Q_0$,

- soit $D(t) \to \alpha_-(\rho)I_3$, and $f(t, \cdot) \to \rho M_{\alpha_-(\rho)A_0}$, où $A_0 = P_0Q_0$.

(iii) Si $\rho > \rho_c$, il y a une famille additionnelle d'états stationnaires, et lorsque $t \to +\infty$, on a :

- soit $D(t) \to 0$, et $f(t, \cdot)$ converge vers la distribution uniforme,

- soit $D(t) \to \alpha_+(\rho)I_3$, et $f(t, \cdot) \to \rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}$, où $A_0 = P_0Q_0$,

- soit $D(t) \to \alpha_-(\rho) \text{diag}(-1, -1, 1)$, et, en notant $A_0 = P_0 \text{diag}(-1, -1, 1)Q_0$, la solution $f(t, \cdot)$ converge vers $\rho M_{\alpha_-(\rho)A_0}$,

- soit $D(t) \to \alpha_2(\rho) \text{diag}(\sqrt{3}, 0, 0)$, et $f(t, \cdot)$ converge vers $\rho M_{\alpha_2(\rho)\sqrt{3}\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}}$, avec $\mathbf{a} = P_0\mathbf{e}_1$ et $\mathbf{b} = Q_0^\top\mathbf{e}_1$.

Enfin, lorsque $V$ est restreint aux matrices diagonales, on peut obtenir la signature de sa Hessienne aux points critiques, et donc on obtient que les points critiques correspondant aux minima locaux de $\mathcal{F}$ sous contrainte de masse $\rho$ sont asymptotiquement stables (avec taux de convergence exponentiel). On peut même avoir une description plus précise du comportement des solutions de l'équation différentielle à l'aide du théorème de la variété stable (lorsque $\rho \ne \rho_*$ et $\rho \ne \rho_c$, tous les points critiques sont hyperboliques).

## 2.2 Stabilité et convergence exponentielle en entropie relative pour Fokker-Planck sur SO(3)

Dans [F14], on s'intéresse au comportement en temps long de l'équation de Fokker-Planck sur SO(3):

$$ \partial_t f + \nabla_A \cdot (\nabla_A (J_f \cdot A)f) = \Delta_A f, \quad J_f = \int_{SO(3)} A f dA. $$

On rappelle la décroissance de l'énergie libre au cours du temps: $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(f) = -\mathcal{D}(f)$, avec

$$ \mathcal{F}(f) = \int_{SO(3)} f \ln f \, dA - \frac{1}{2} |J_f|^2, \quad \mathcal{D}(f) = \int_{SO(3)} f |\nabla_A (\ln f - J_f \cdot A)|^2 \, dA. $$
Chapitre 2. Comportement en temps long de modèles homogènes en espace

Une des difficultés majeures par rapport à la section précédente est l'absence de quantité conservée, on ne peut pas déterminer l'équilibre final simplement à partir de la condition initiale $f_0$. Cependant l'étude de l'équation de BGK et du potentiel V associé, défini en (2.1), s'avère utile pour avoir une meilleure compréhension de l'énergie libre $\mathcal{F}$, qui est également une fonction de Lyapunov pour l'équation de BGK.

**Proposition 2.2.** Pour $Y \in \mathcal{M} = M_3(\mathbb{R})$, on note $W(Y) = \mathcal{F}(\rho M_Y)$. Alors $Y$ est solution de l'équation de compatibilité $Y = \rho J_{M_Y}$ si et seulement si $\nabla_Y W(Y) = 0$, ce qui est équivalent à $\nabla_Y V(Y) = 0$. D'autre part, en de tels points critiques, les Hessiennes de $W$ et $V$ ont la même signature, et plus précisément, les Hessiennes de leurs restrictions $\bar{V}$ et $\bar{W}$ aux matrices diagonales ont la même signature.

On a donc une nouvelle description de solutions de l'équation de compatibilité comme points critiques de $W$ (ou $V$). Et la connaissance de $V$ permet alors d'obtenir des informations sur la nature des points critiques de $\mathcal{F}$ (indépendamment de l'équation d'évolution que l'on considère). En particulier on voit directement que les points critiques qui ne sont pas des minima locaux pour $W$ ne le sont pas pour $\mathcal{F}$, mais on a également que si la Hessienne de $\bar{V}$ est définie positive en un point critique $D$, alors la famille d'équilibres associée est un minimum local strict pour $\mathcal{F}$. En effet, les familles d'équilibres étant isolées les unes des autres, partant d'un autre point dans le voisinage, on sait que la solution de l'équation de BGK correspondante fait strictement décroître l'énergie, et qu'elle converge vers la famille donnée. Pour être précis, c'est grâce à ce fait que l'on a pu obtenir la détermination de la nature des points critiques donnée dans le chapitre 1.

Pour l'étude du comportement en temps long, on utilise l'entropie relative et l'information de Fisher pour des mesures de masse $\rho$, ainsi que des inégalités classiques qui leur sont associées :

**Proposition 2.3.** Si $f, g$ sont deux fonctions mesurables positives sur $SO(3)$, de masse totale $\rho$, avec $g > 0$, on définit l'entropie relative et l'information de Fisher par

$$ \mathcal{H}(f|g) = \int_{SO(3)} f(A) \ln \left( \frac{f(A)}{g(A)} \right) dA, \quad \mathcal{I}(f|g) = \int_{SO(3)} f(A) \left| \nabla_A \ln \left( \frac{f(A)}{g(A)} \right) \right|^2 dA. $$

Pour deux telles fonctions, on a alors l'inégalité de Csiszár-Kullback-Pinsker :

$$ \int_{SO(3)} |f(A) - g(A)| \, dA \le \sqrt{2\rho \mathcal{H}(f|g)}. $$

Enfin, on a les familles d'inégalités de Sobolev logarithmiques (à poids) suivantes: il existe une constante $\lambda > 0$ telle que pour tout $Y \in M_3(\mathbb{R})$ avec $|Y| \le \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\rho$, et pour toute fonction mesurable positive $f$ de masse totale $\rho$, on a

$$ \mathcal{H}(f|\rho M_Y) \le \frac{1}{2\lambda} \mathcal{I}(f|\rho M_Y). $$

L'observation principale de [F14] est le lien entre l'énergie libre $\mathcal{F}$, la dissipation $\mathcal{D}$, le potentiel $V$ étudié dans l'étude de l'équation de BGK, et des entropies relatives et informations de Fisher bien choisies :

**Proposition 2.4.** Soit $f_{eq}$ un état stationnaire, on note $Y_{eq} = J_{f_{eq}}$ la solution de l'équation de compatibilité associée. Pour toute fonction $f$ mesurable positive de masse totale $\rho$, on a

$$ \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{eq}) = \mathcal{H}(f|\rho M_{J_f}) + V(J_f) - V(Y_{eq}), \quad (2.2) $$

$$ \mathcal{H}(f|f_{eq}) = \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{eq}) + \frac{1}{2}|Y_{eq} - J_f|^2, $$

$$ \mathcal{D}(f) = \mathcal{I}(f|\rho M_{J_f}). $$
## 2.3. Vers un cadre générique unifié

En notant $E_\infty$ l'ensemble des solutions de compatibilité associées à une même famille d'équilibres, et $V_\infty$ la valeur du potentiel $V$ sur $E_\infty$, le dernier ingrédient dont on a besoin est le suivant : un voisinage $U$ de $E_\infty$ sur lequel on ait $\eta > 0$ tel que pour tout $Y \in U$, on a l'existence d'un $Y_{\text{eq}} \in E_\infty$ tel que pour tout $Y$ dans $U$, on ait

$$ \frac{\eta}{2} |Y - Y_{\text{eq}}| \le V(Y) - V_{\infty} \le \frac{1}{2\eta} |\nabla V(Y)|^2 = \frac{1}{2\eta} |Y - \rho J_{M_Y}|^2. \quad (2.3) $$

On peut montrer (en utilisant la décomposition spéciale en valeurs singulières) que l'on a un tel voisinage lorsque $E_\infty$ correspond aux deux familles d'équilibres minimisant localement $\mathcal{F}$ : l'équilibre isotrope pour $\rho < \rho_c$, et les équilibres de la forme $\rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}$ pour $\rho > \rho_*$.

Une fois muni de ces ingrédients, on obtient alors le résultat principal de [F14], qui donne la stabilité asymptotique des deux familles d'équilibres, avec convergence exponentielle en entropie relative :

**Théorème 2.1.** Supposons $\rho > \rho^*$ (resp. $\rho < \rho_c$).

On définit l'ensemble $\mathcal{E}_\infty = \{\rho M_{\alpha_+(\rho)A_0}, A_0 \in SO(3)\}$ (resp. $\mathcal{E}_\infty$ réduit à la distribution uniforme sur $SO(3)$ de masse totale $\rho$).

Alors il existe $\delta > 0$, $\tilde{\lambda} > 0$ et $C > 0$ tels que pour toute fonction mesurable positive $f_0$ de masse $\rho$, s'il existe $f_{\text{eq},0} \in \mathcal{E}_\infty$ telle que $\mathcal{H}(f_0|f_{\text{eq},0}) < \delta$, alors il existe $f_\infty \in \mathcal{E}_\infty$ telle que pour tout temps $t \ge 0$, on ait

$$ \mathcal{H}(f(t, \cdot)|f_\infty) \le C e^{-2\tilde{\lambda}t} \mathcal{H}(f_0|f_{\text{eq},0}). $$

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé du théorème, mais on obtient bien que plus l'entropie relative initiale par rapport à $f_{\text{eq},0}$ est faible, plus l'équilibre final $f_\infty$ est proche de $f_{\text{eq},0}$. La clé de la démonstration réside dans l'utilisation de l'entropie relative $\mathcal{H}(f|\rho M_{J_f})$, dans l'expression (2.2), pour contrôler la différence d'énergie libre. On note bien que ce n'est pas une entropie relative par rapport à un équilibre. C'est ensuite le contrôle du déplacement de $J_f$ qui permet d'obtenir que $J_f$ converge bien vers une solution de l'équation de compatibilité.

## 2.3 Vers un cadre générique unifié

Dans un travail en cours avec Pierre Degond et Antoine Diez, on a pour objectif d'adapter la méthode de la section précédente dans un cadre général. En effet, si on prend comme dans le début du chapitre 1 une équation de Fokker-Planck de la forme

$$ \partial_t f + \nabla_v \cdot (\nabla_v (J_f \cdot v)f) = \Delta_v f, \quad J_f = \int_S v f dv, $$

avec les mêmes notations, si $Y_{\text{eq}}$ est une solution de l'équation de compatibilité $Y = \rho J_{M_Y}$, en notant $f_{\text{eq}} = \rho M_{Y_{\text{eq}}}$ l'équilibre associé, on obtient directement les mêmes relations que dans la proposition (2.4) :

$$ \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) = \mathcal{H}(f|\rho M_{J_f}) + V(J_f) - V(Y_{\text{eq}}), $$

$$ \mathcal{H}(f|f_{\text{eq}}) = \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) + \frac{1}{2}|Y_{\text{eq}} - J_f|^2, $$

$$ \mathcal{D}(f) = \mathcal{I}(f|\rho M_{J_f}). $$

L'objectif de notre travail est de pouvoir traiter à la fois les modèles de type Vicsek (avec alignement dépendant de $|J_f|$), les modèles de polymères (avec potentiel de Maier-Saupe, ou
Chapitre 2. Comportement en temps long de modèles homogènes en espace

combinaison de Maier-Saupe et dipolaire pour lequel on connaît les équilibres stables), et l'ali-
gnement sur SO(n). Le cadre qui semble fonctionner pour l'instant est le suivant : on considère
une variété S et ψ : S → ℝm (correspondant à l'injection S ⊂ M dans les cas précédents) ainsi
qu'une fonction Γ convexe de ℝm dans ℝ. On note γ(Y) = ∇Y Γ et Jf = ∫S ψ(v)fdv, et on
s'intéresse à l'équation de Fokker-Planck

$$
\partial_t f + \nabla_v \cdot (\nabla_v(\gamma(J_f) \cdot \psi(v))f) = \Delta_v f.
$$

On pose également $M_Y = \frac{\exp(\gamma(Y)\cdot\psi(v))}{\mathcal{Z}(Y)}$ où $\mathcal{Z}(Y) = \int_S \exp(\gamma(Y)\cdot\psi(v))dv$. Et on a alors dissipation de l'énergie $\frac{d}{dt}\mathcal{F} = -\mathcal{D}$ comme précédemment, avec

$$
\mathcal{F} = \int_S f \ln f \, dv - \Gamma(J_f), \quad \mathcal{D}(f) = \mathcal{I}(f | \rho M_{J_f}).
$$

Les équilibres sont toujours caractérisés comme points critiques de l'énergie sous contrainte de
masse ρ, ou de la forme ρM_Y avec Y solution de l'équation de compatibilité Y = ρJ_{MY}. Et ces
solutions peuvent être également vues comme points critiques du potentiel V : ℝ^m → ℝ suivant :

$$
V(Y) = Y \cdot \gamma(Y) - \Gamma(Y) - \rho \ln \mathcal{Z}(Y).
$$

On obtient alors les mêmes expressions de $\mathcal{F}$ faisant intervenir l'entropie relative et le potentiel $V$ que dans la proposition 2.4 :

**Proposition 2.5.** *Si $Y_{eq}$ est une solution de l'équation de compatibilité, et $f_{eq} = \rho M_{Y_{eq}}$ l'état stationnaire associé, pour toute fonction $f$ mesurable positive de masse totale $\rho$, on a*

$$
\mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) = \mathcal{H}(f|\rho M_{J_f}) + V(J_f) - V(Y_{\text{eq}}), \quad (2.4)
$$

$$
\mathcal{H}(f|f_{\text{eq}}) = \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) + \int_{0}^{1} \text{Hess}(\Gamma)_{Y_{\text{eq}}+s(J_f-Y_{\text{eq}})}(J_f - Y_{\text{eq}}, J_f - Y_{\text{eq}})ds. \quad (2.5)
$$

Démonstration. Pour $Y \in \mathbb{R}^m$ quelconque, on a

$$
\begin{align}
\mathcal{H}(f|\rho M_Y) &= \int_S f \ln f - \int_S \gamma(Y) \cdot \psi(v) f(v) dv + \rho \ln \mathcal{Z}(Y) - \rho \ln \rho. \nonumber \\
&= \mathcal{F}(f) + \Gamma(J_f) - \gamma(Y) \cdot J_f + \rho \ln \mathcal{Z}(Y) - \rho \ln \rho. \tag{2.6}
\end{align}
$$

En particulier pour $Y = J_f$, on obtient

$$
\mathcal{H}(f|\rho M_{J_f}) = \mathcal{F}(f) - V(J_f) - \rho \ln \rho. \quad (2.7)
$$

Et donc si $f_{\text{eq}} = \rho M_{Y_{\text{eq}}} = \rho M_{J_{\text{feq}}}$ (avec $Y_{\text{eq}}$ une solution de l'équation de compatibilité), on obtient

$$
0 = \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) - V(Y_{\text{eq}}) - \rho \ln \rho,
$$

ce qui donne une expression de ρ ln ρ, que l'on utilise dans (2.7) pour obtenir (2.4). On peut aussi
l'utiliser dans (2.6) pour obtenir

$$
\mathcal{H}(f|f_{\text{eq}}) = \mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(f_{\text{eq}}) + \Gamma(J_f) - \gamma(Y_{\text{eq}}) \cdot J_f - \Gamma(Y_{\text{eq}}) + \gamma(Y_{\text{eq}}) \cdot Y_{\text{eq}},
$$

qui correspond exactement à la formule de Taylor (2.5).

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
Sous condition que les fonctions $v \mapsto 1$ et $v \mapsto \psi(v) \cdot e_i$ pour $1 \le i \le m$ soient linéairement indépendantes, que l'on dispose d'une inégalité de Sobolev logarithmique sur $S$, ainsi que d'une estimation similaire à (2.3) au voisinage d'une variété de points critiques de $V$ (c'est ici que l'on a besoin de bien connaître le diagramme de phase du modèle considéré), on obtient alors le même résultat de décroissance exponentielle de l'énergie.

On devrait pouvoir appliquer ce résultat au modèle de polymères avec potentiel de Maier-Saupe, mais aussi à des extensions de ce modèle, lorsque l'on considère par exemple un écoulement donnant une force extérieure d'élongation, ou le cas d'un potentiel dipolaire additionnel.

**Perspectives** Comme on connaît le diagramme de phase du modèle d'alignement sur $SO(4)$ (et plus), on doit pouvoir, comme dans la section 2.1, obtenir le comportement en temps long du modèle de BGK associé (en déterminant la signature de la Hessienne de $V$), et ainsi également obtenir la convergence exponentielle pour l'équation de Fokker-Planck. On pourra essayer de voir si cette méthode est applicable au résultat pour le modèle de Cucker-Smale avec friction et force de propulsion [Li21], pour lequel les résultats de convergence au voisinage des équilibres non-isotropes ne sont disponibles que pour des conditions initiales présentant des symétries (et pour lesquelles on connaît donc a priori la limite en temps grand).

Dans le cadre du mémoire de maîtrise de Charles Elbar (coencadré avec Pierre Degond et Antoine Diez), nous avons également étudié le modèle « Persistent turning walker with alignment », présenté initialement dans [DM11] (alors sans transition de phase). On étend le modèle en dimension 3 (et plus) et on ne normalise pas l'alignement, afin de retrouver un modèle avec transition de phase. Les trajectoires du modèle de particules associé sont plus lisses, le bruit intervenant seulement sur leur courbure. Dans le modèle homogène en espace, on garde un phénomène d'hypocoercivité (le terme d'alignement étant un hamiltonien, la diffusion agissant seulement sur la variable de courbure), mais avec toujours le même diagramme de phase pour les équilibres locaux (une transition du second ordre, avec une équation de compatibilité très similaire à celle pour les modèles de type Vicsek). On espère pouvoir combiner ces méthodes d'entropie relative par rapport à des distributions bien choisies (qui ne sont pas forcément des équilibres) avec des méthodes d'hypocoercivité pour caractériser le comportement en temps long.

Enfin, une dernière piste de réflexion, maintenant que l'on comprend le temps long pour le modèle cinétique, est de revenir au système de particules dont il est tiré. En effet l'équation de Fokker-Planck est une limite de champ moyen d'un système d'un grand nombre de particules $N$, qui prend la forme d'une loi des grands nombres. On s'attend donc à des fluctuations de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{N}}$. En pratique on obtient des estimations de la distance entre la mesure empirique du système de particules et la solution de l'équation de Fokker-Planck avec des bornes telles que $\frac{e^{Ct}}{\sqrt{N}}$ pour $t \in [0, T]$. Si l'on veut des temps grands, on ne peut pas espérer mieux que des temps de l'ordre de $\ln N$. Toutefois, puisque les équilibres sont exponentiellement stables, les fluctuations qui pousseraient la distribution empirique loin de la famille d'équilibres stables sont alors compensées par la dynamique de l'équation de Fokker-Planck. Les seules fluctuations restantes seraient dans les composantes tangentielles de la famille d'équilibres. Cette approche a été rendue rigoureuse dans [BGP14] pour le cas d'oscillateurs de Kuramoto identiques (qui correspond à un modèle de type Vicsek en dimension 2) : la solution reste proche de l'ensemble des états d'équilibres jusqu'à un temps de l'ordre de $N$, avec « l'orientation moyenne » $\Omega(t)$ qui suit alors un mouvement brownien sur le cercle dans ces échelles de temps. Dans notre cas, par exemple sur $SO(3)$, on s'attend à ce que, proche de la famille stable d'équilibres de la forme $\rho M_{\alpha_+(\rho)A}$ avec $A \in SO(3)$, la mesure empirique des particules au temps $t = sN$ soit proche de $\rho M_{\alpha_+(\rho)A(s)}$, où $s \mapsto A(s)$ est un mouvement Brownien sur $SO(3)$.
Chapitre 2. Comportement en temps long de modèles homogènes en espace
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

une seule en vitesse.

Lorsque l'espace des positions est $\mathbb{R}^d$, comme on n'a pas de confinement donné par le modèle, on arrive seulement à montrer de la stabilité (alors que sur le tore, l'inégalité de Poincaré nous donne également la convergence exponentielle vers l'équilibre). On pourrait espérer obtenir au moins des taux algébriques (correspondant à une équation de diffusion sur $\mathbb{R}^d$, qui est en fait une limite d'échelle du modèle autour de l'équilibre uniforme; on en parlera également dans le chapitre 4). Cependant, la perturbation que l'on considère n'a pas a priori de bonnes bornes en norme $L^1$, ne nous permettant pas d'utiliser une approche de type inégalité de Nash, comme dans [BDM$^+$20].

## 3.1 Un modèle d'alignement local de particules autopropulsées.

On s'intéresse à l'équation de Vlasov-Fokker-Planck suivante :

$$ \partial_t f + v \cdot \nabla_x f + \nabla_v \cdot (\nabla_v (J_f \cdot v) f) = \Delta_v f, \quad J_f = \int_{\mathbb{S}} v f \, dv, \qquad (3.1) $$

où $f(t, x, v)$ représente la densité de particules à la position $x \in \mathbb{R}^d$ ou $\mathbb{T}^d$ ayant la vitesse $v \in \mathbb{S}$. Cette équation peut être dérivée comme limite du système de particules suivant, dit en interaction « modérée » :

$$ \left\{ \begin{array}{l} dX_k = V_k dt, \\ dV_k = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\varepsilon_N^d} K(\frac{1}{\varepsilon_N}(X_i - X_j)) \nabla_{V_k} (V_i \cdot V_k) dt + P_{V_k^{\perp}} \circ dB_{t,k}, \end{array} \right. $$

où les interactions se font à une distance d'ordre $\varepsilon_N$, convergeant vers 0 lorsque $N \to \infty$, via le noyau d'interaction $K$, de masse totale 1. Les méthodes utilisées pour obtenir ce genre de limite vers une équation locale en espace nécessitent d'avoir un système limite bien posé (voir par exemple [Oel85, JM98, Die20, CDHJ21, CD22]).

La densité $f$ n'est pas supposée de masse totale finie (si $x \in \mathbb{R}^d$), et en particulier on s'intéresse au comportement autour de la solution stationnaire constante $f = \rho$. Lorsque $\rho < d$, c'est la seule solution stationnaire homogène en espace, et on sait qu'elle est stable pour l'équation homogène associée (c'est un résultat de ma thèse [F3], qui correspond au cas $\nu(|J|) = |J|$ et $\sigma(|J|) = 1$ du modèle de la section 1.1). L'équation (3.1) ne contient aucun paramètre, et on peut toujours s'y ramener par changements d'échelle (si l'intensité de l'alignement est $\nu_0|J|$ et le coefficient de diffusion angulaire $\sigma$, le seuil de transition est alors à $\frac{\nu_0\rho}{\sigma} = d$). À ma connaissance, peu de résultats sont disponibles pour cette équation. On montre d'abord le caractère localement bien posé en temps du problème dans $L^\infty$ :

**Théorème 3.1.** *Pour une condition initiale $f_0 \in L^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$ positive, il existe une unique solution faible de (3.1) dans $C([0, T], L^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}))$ pour tout $T < \frac{1}{(d-1)\|f_0\|_\infty}$. Elle est positive et vérifie l'estimation suivante (principe du maximum) :*

$$ \|f(t)\|_{\infty} \le \|f_0\|_{\infty} + (d-1) \int_{0}^{t} \|J_f(s)\|_{\infty} \|f(s)\|_{\infty} \, ds. $$

*Stratégie de preuve.* On commence par résoudre l'équation linéaire en remplaçant $J_f$ par une fonction $J \in L_\infty([0, T] \times \mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)$ donnée, et pour $f_0 \in L^2 \cap L^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$, on peut procéder par exemple comme dans l'appendice de [Deg86], avec bien moins de difficulté (malgré les subtilités
## 3.2. Estimées d'hypocoercivité-hypoellipticité pour le mouvement brownien sphérique en vitesse

de calcul différentiel sur la sphère) puisque l'on n'a pas besoin de tronquer en vitesse. On obtient alors l'estimée suivante, provenant du principe du maximum :

$$ \|f(t)\|_{\infty} \le \|f_0\|_{\infty} + (d-1) \int_0^t \|\mathcal{J}(s)\|_{\infty} \|f(s)\|_{\infty} \mathrm{d}s. $$

On note $\mathcal{A} = \{\mathcal{J} \in L_{\infty}([0, T] \times \mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d), \forall t \in [0, T], \|\mathcal{J}(t, \cdot)\|_{\infty} \le \frac{1}{\|f_0\|_{\infty}^{-1}(d-1)t}\}$, on obtient alors que toute solution $f$ de cette équation linéaire pour $\mathcal{J} \in \mathcal{A}$, vérifie $\|f(t)\|_{\infty} \le \frac{1}{\|f_0\|_{\infty}^{-1}(d-1)t}$. Comme $|J_f(t, x)| \le \|f(t)\|_{L_x^{\infty}(L_v^2)} \le \|f(t)\|_{\infty}$, on obtient que $\mathcal{A}$ est stable pour $\mathcal{J} \mapsto J_f$. Avec une distance appropriée, cette application est contractante et a un unique point fixe. Pour obtenir une solution dans $L^{\infty}$, on peut tronquer en espace en utilisant que l'information ne se propage qu'à vitesse finie. $\square$

On note bien le fait que l'estimée que l'on obtient est légèrement meilleure que quadratique en norme infinie, puisque $\|J_f\|_{\infty} \le \|f - \Pi f\|_{L_x^{\infty}(L_v^2)}$ (où $\Pi f = \int_{\mathbb{S}} f \mathrm{d}v$ est la masse locale de $f$), et ce point est crucial pour la suite, nous permettant de considérer seulement des estimées d'hypocoercivité d'ordre élevé en $x$ mais seulement d'ordre 1 en $v$.

## 3.2 Estimées d'hypocoercivité-hypoellipticité pour le mouvement brownien sphérique en vitesse

Lorsqu'on enlève le terme $\nabla_v \cdot (\nabla_v (J_f \cdot v)f)$ d'alignement, l'équation de Vlasov-Fokker-Planck obtenue, donnée par

$$ \partial_t f + v \cdot \nabla_x f = \Delta_v f, $$

est celle de la loi du mouvement brownien sphérique en vitesse, qui correspond au processus stochastique suivant:

$$ \begin{cases} dX = Vdt, \\ dV = P_{V\perp} \circ dB_t, \end{cases} $$

étudié par Baudoin et Tardif [BT18] (dans un cadre plus général de variété Riemannienne en espace également). À l'aide d'estimations à base de $\Gamma$-calcul généralisé, ils obtiennent une estimation quantitative de régularité hypoelliptique (non-optimale en temps). Pour pouvoir traiter le cas de l'alignement (avec sa non-linéarité), nous avons besoin d'estimées à l'ordre supérieur, et on peut en fait rester dans le cas classique de fonctionnelles quadratiques de type Sobolev, sans déployer la machinerie du $\Gamma$-calcul.

### 3.2.1 Première approche par hypocoercivité

Une première approche standard est la suivante, en copiant ce qui fonctionne pour l'équation de Vlasov-Fokker-Planck classique, avec vitesse dans $\mathbb{R}^d$ [Vil09] : en notant $\langle \cdot, \cdot \rangle$ le produit scalaire $L^2$ (pour des fonctions ou des vecteurs de $\mathbb{R}^d$), on prend une énergie de la forme

$$ \mathcal{F} = \|f\|_2^2 + \alpha \|\nabla_v f\|_2^2 + 2\beta \langle \nabla_v f, \nabla_x f \rangle + \gamma \|\nabla_x f\|_2^2, $$

équivalente à la norme $H^1$ au carré pour $\beta < \alpha\gamma$. On obtient

$$ \frac{d\mathcal{F}}{dt} = -2\|\nabla_v f\|^2 + 2\alpha\langle\nabla_v f, \nabla_v(\Delta_v f)\rangle + 2\beta\|P_{v\perp}\nabla_x f\|_2^2 + 2\gamma\langle\nabla_x f, \nabla_x(\Delta_v f)\rangle \\ - 2\alpha\langle\nabla_v f, \nabla_x f\rangle - 2\beta[(d-1)\langle\nabla_v f, \nabla_x f\rangle - 2\langle\nabla_v f, \nabla_x(\Delta_v f)\rangle], $$
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

et un bon choix de coefficients permet de contrôler les termes de la deuxième ligne par ceux de la première, qui semble à première vue ne pas être exactement équivalente à une norme $H^2$ pour les fonctions à moyenne nulle (ce serait le cas s'il n'y avait pas le terme de projection $P_{v\perp}$, c'est ce que l'on obtient classiquement pour l'équation de Vlasov-Fokker-Planck sans contrainte de vitesse). Le terme manquant à obtenir est $\|\nabla_x f\|^2 - \|P_{v\perp} \nabla_x f\|^2 = \|v \cdot \nabla_x f\|^2$. En notant $\Pi$ la projection sur les fonctions constantes en vitesse, on peut calculer $\|P_{v\perp} \nabla_x \Pi f\|^2 = \frac{d-1}{d} \|\nabla_x (\Pi f)\|^2$, de sorte que $\|v \cdot \nabla_x \Pi f\|^2$ est contrôlé par $\|P_{v\perp} \nabla_x \Pi f\|^2$ (donc par $\|P_{v\perp} \nabla_x f\|^2$ et $\|\nabla_x (f - \Pi f)\|^2$). Par l'inégalité de Poincaré on peut également contrôler $\|\nabla_x (f - \Pi f)\|^2$ par $-\langle \nabla_x f, \nabla_x (\Delta_v f) \rangle$ (et donc on contrôle aussi $\|v \cdot \nabla_x (f - \Pi f)\|^2$). Au final on a bien que $\|v \cdot \nabla_x f\|^2$ est contrôlé par $\|P_{v\perp} \nabla_x f\|^2$ et $-\langle \nabla_x f, \nabla_x (\Delta_v f) \rangle$. Donc de nouveau en jouant sur les coefficients, on a bien une quantité équivalente au carré de la norme $H^2$ (pour les fonctions à moyenne nulle) dans la dérivée de l'énergie. Cela donne la décroissance de l'énergie, et le fait que la solution converge exponentiellement vite vers une constante sur le tore, par l'inégalité de Poincaré en espace. Dans tout l'espace, c'est plus compliqué si on regarde une solution de la forme $\rho + g$, avec une petite perturbation $g$. On n'a pas a priori de borne $L^1$ sur $g$ par exemple pour appliquer une inégalité de type Nash.

Cette méthode peut en fait fonctionner pour monter en ordre, en rajoutant des termes similaires où $f$ est remplacée par $\Delta_x^k f$, et elle fonctionne également en incluant la linéarisation du terme d'alignement, ce qui permet ainsi d'obtenir des estimations d'hypocoercivité en norme élevée (disons $H^{s,1}$ avec $s$ dérivations en $x$ et une en $v$). On peut alors contrôler la non-linéarité, au prix d'une condition de petitesse initiale dans une norme assez contraignante (et des calculs assez fastidieux). On ne détaillera pas plus ces calculs parce que la méthode présentée aux sous-sections suivantes implique ces résultats (et donne une meilleure compréhension) avec des calculs plus facilement présentables.

Lorsqu'on veut cette fois-ci partir d'une condition de petitesse plus faible, il faut utiliser le caractère régularisant de l'équation, et si on veut le faire de manière quantitative, on peut utiliser une fonctionnelle avec des poids dépendant du temps, à la Hérau [Hé07]. Ici, le simple copier-coller des coefficients ne fonctionne plus : le contrôle de $\|v \cdot \nabla_x f\|^2$ par d'autres termes ne fait pas intervenir la bonne puissance de $t$. Comme noté dans [BT18], c'est en fait quelque chose d'attendu : le commutateur des opérateurs $v \cdot \nabla_x$ et $\nabla_v$ n'est pas suffisant à lui seul pour engendrer toutes les directions dans la condition d'hypoellipticité d'Hörmander [Hör67]. Ceci est dû au fait que la diffusion en vitesse n'a en fait lieu que dans le plan tangent à $v$, et donc ne permet d'explorer à cet ordre qu'un espace de dimension $d-1$. Il faut donc une fonctionnelle faisant intervenir plus de commutateurs et des puissances de $t$ plus élevées. Une méthode en ce sens est détaillée dans le mémoire de Villani [Vil09], mais se base sur des propriétés de commutation qui ne sont pas valides dans notre cas.

Pour prendre un exemple simple, en dimension 2 on réécrit l'équation en notant $v = (\cos \theta)$, avec $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. En notant $T = (\cos \theta) \cdot \nabla_x$ et $A = \partial_\theta$, on obtient

$$ \partial_t f + T f = A^2 f. $$

La chaîne de commutation de Villani consisterait à écrire $C_0 = A$, $C_{i+1} = [T, C_i]$ et espérer obtenir les directions manquantes. Mais en notant $S = [T, A] = (\sin \theta) \cdot \nabla_x$, on obtiendrait alors $C_1 = S$ et $C_2 = 0$. Cette chaîne de commutateurs ne couvre pas toutes les directions requises pour la condition d'hypoellipticité d'Hörmander; pour la satisfaire on ne doit pas considérer $[S, T]$ (qui est nul) mais $[S, A] = -T$, en commutant de nouveau avec $A$. En dimension plus grande que 2, les gradient, divergence et Laplacien sphériques engendrent une difficulté supplémentaire, et le paragraphe suivant offre un cadre d'opérateurs qui permet de fonctionner comme
### 3.2. Estimées d'hypocoercivité-hypoellipticité pour le mouvement brownien sphérique en vitesse

en dimension 2, en particulier avec des opérateurs en vitesse qui commutent avec l'opérateur de Laplace-Beltrami (ce qui n'est pas le cas du gradient sur la sphère).

### 3.2.2 Un cadre algébrique pratique pour les opérateurs sur la sphère

On commence par un lemme permettant d'écrire le Laplacien grâce à un opérateur « vecto-riel » $A = (A_{i,j})_{1\le i<j\le d}$ qui se comporte comme le gradient, mais avec des meilleures propriétés de commutation.

**Lemme 3.1.** Pour $1 \le i < j \le d$, on note $A_{i,j} = [e_i \cdot \nabla_v, e_j \cdot \nabla_v]$. C'est un opérateur différentiel de degré 1 sur la sphère (en tant que commutateur de deux tels opérateurs) qui correspond au générateur infinitésimal de la rotation dans le plan engendré par $e_i$ et $e_j$, envoyant $e_i$ sur $e_j$. On note $v_i = e_i \cdot v$ et on a les propriétés suivantes, en notant $A^2 = \sum_{i<j} A_{i,j}^2$ :

(i) L'opérateur $A_{i,j}$ est antiadjoint sur $\mathbb{S}$.

(ii) Pour $1 \le k \le d$, on a $[A_{i,j}, v_k] = \delta_{jk}v_i - \delta_{ik}v_j$.

(iii) Si $F \in C^1(\mathbb{R}^d)$, $A_{i,j}F(v_1, \dots, v_n) = -v_j \partial_i F(v_1, \dots, v_n) + v_i \partial_j F(v_1, \dots, v_n)$.

(iv) Si $f, g \in C^1(\mathbb{S})$, alors $\nabla_v f \cdot \nabla_v g = \sum_{i<j} A_{i,j} f A_{i,j} g$. En conséquence si $f \in C^2(\mathbb{S})$, alors $\Delta_v f = A^2 f$.

(v) Pour $1 \le k < l \le d$, si $k \notin \{i, j\}$ et $l \notin \{i, j\}$, alors $[A_{i,j}, A_{k,l}] = 0$. Et pour $1 \le k \le d$, si $k \notin \{i, j\}$, alors $[A_{i,k}, A_{j,k}] = A_{i,j}$. Et on a donc $[A_{i,j}, A^2] = 0$.

*Outils de preuve.* La formule d'intégration par parties sur la sphère

$$ \int_{\mathbb{S}} f \nabla_v g dv = \int_{\mathbb{S}} g [(d-1)vf - \nabla_v f] dv, $$

donne $(e_i \cdot \nabla_v)^* = -e_i \cdot \nabla_v + (d-1)v_i$, et permet de montrer que $A_{i,j}$ est antiadjoint. Pour les autres identités, on utilise la formule $e_i \cdot \nabla_v v_k = e_i P_{v \perp} e_k = \delta_{ik} - v_i v_k$, qui donne (ii) et (iii) en utilisant $\nabla_v F = \sum_i P_{v \perp} e_i \partial_i F$, ce qui permet alors d'obtenir (iv). De (iii), on obtient alors par calcul le dernier (et très utile) résultat. $\square$

D'après (iii), on peut donc voir $A$ comme le produit extérieur $v \wedge \nabla_v$ (en identifiant les produits extérieurs comme des matrices antisymétriques). On parlera d'opérateurs « vectoriels » pour de tels opérateurs indexés par $i < j$. Comme précédemment on note $T = v \cdot \nabla_x$ et l'équation s'écrit donc

$$ \partial_t f + Tf = A^2 f. \qquad (3.2) $$

Pour un opérateur linéaire $X$ et une fonction $C^\infty$ à support compact $f$ de $\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}$ dans $\mathbb{R}$ on définit la quantité quadratique

$$ Q_X(f) = \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} f X f, $$

que l'on notera simplement $Q_X$ si le contexte est clair (et qui ne dépend donc que de la partie autoadjointe de $X$). Si $f$ est une solution $C^\infty$ de (3.2), on a

$$ \frac{d}{dt} Q_X(f) = Q_{\Phi(X)}(f), $$

où on a noté

$$ \Phi(X) = A^2 X + XA^2 + [T, X] = 2AXA + [A[A, X]] + [T, X]. \qquad (3.3) $$
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

On voit donc apparaître naturellement les commutateurs qui nous intéresseront par la suite. De manière générale, on travaille essentiellement avec des opérateurs scalaires, mais souvent écrits sous forme condensée : si on a des opérateurs vectoriels $B = (B_{i,j})_{i<j}$ et $C = (C_{i,j})_{i<j}$ on écrit BC pour l'opérateur $\sum_{i<j} B_{i,j}C_{i,j}$, en utilisant des parenthèses pour supprimer d'éventuelles ambiguïtés. Ainsi $(BC)(CB) = BC(CB) = (BC)CB \neq BC^2B$, et la forme $[A[A, X]]$ de la deuxième expression de $\Phi$ est bien définie comme un opérateur scalaire sans ambiguïté, lorsque $X$ est un opérateur scalaire. Lorsqu'un opérateur (vectoriel) commute avec son « carré » (scalaire), comme $A$, on peut donc définir sa puissance $k$-ième sans ambiguïté (scalaire ou vectorielle selon la parité de $k$).

On introduit donc $S = [T, A]$. Et on obtient grâce au Lemme 3.1 (ii), que $S_{i,j} = -v_i \partial_{x_j} + v_j \partial_{x_i}$, que l'on peut écrire $S = v \wedge \nabla_x = v \wedge P_{v\perp} \nabla_x$. Par un calcul direct, on obtient :

$$S^2 + T^2 = \Delta_x, \qquad (3.4)$$

ce qui donne que $S^2 = \Delta_x - (v \cdot \nabla_x)^2 = \nabla_x \cdot (P_{v\perp} \nabla_x)$. Comme $S$, $A$, et $T$ sont antiadjoints, on a que $TA^2 = (S + AT)A$ a la même partie autoadjointe que $SA$ (et que $AS$), dont on obtient une formule simple par intégration. En effet, on a

$$ \begin{aligned} Q_{SA}(f) = Q_{AS}(f) = Q_{TA^2}(f) &= - \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} v \cdot \nabla_x f \Delta_v f = \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \nabla_v (v \cdot \nabla_x f) \cdot \nabla_v f \\ &= \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \nabla_v f \cdot \nabla_x f + \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \nabla_v \cdot (P_{v\perp} \nabla_x f) v \cdot \nabla_v f \\ &= - \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} f \nabla_v (P_{v\perp} \nabla_x f) = - \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \nabla_x \cdot (\nabla_v f) f, \end{aligned} $$

de sorte que par polarisation, on obtient que $(SA + AS)f = -\nabla_x \cdot (\nabla_v f) - \nabla_v \cdot (P_{v\perp} \nabla_x f)$. Toutes les quantités de la forme $Q_X(f)$, où $X$ est un opérateur scalaire autoadjoint constitué de $A$, $S$ et $T$, auront une telle formulation simple sous forme intégrée mettant en jeu les opérateurs $v$, $\nabla_x$, $\nabla_v$, $\Delta_x$ et $\Delta_v$ seulement, mais on garde cette notation avec $A$, $S$ et $T$ qui sera bien plus légère.

Les opérateurs $S$ et $T$ commutent, mais on a $[A_{i,j}, S_{i,j}] = v_i \partial_{x_j} + v_j \partial_{x_i}$ et en sommant sur $i < j$ on trouve que $[A, S] = (d-1)T$. En utilisant (3.4), la condition d'hypoellipticité de Hörmander est donc bien satisfaite, et on cherche à obtenir des estimations quantitatives de régularisation en temps.

On associe des poids de Hörmander aux différents opérateurs : à $A$ on attribue le poids $\frac{1}{2}$, à $S$ le poids $\frac{3}{2}$ et à $T$ le poids 2. À un opérateur $X$ composé comme un produit des $A, S, T$ on associe le poids total $w_X$ correspondant à la somme des poids de chaque opérateur élémentaire le composant, et à $\Delta_x = T^2+S^2$ on associe le poids 4, comme $T^2$. Le lemme suivant, qui se démontre par récurrence sur le nombre de facteurs dans $X$ permet de comprendre le comportement de ces poids après commutation avec $T$.

**Lemme 3.2.** Si $X$ est un opérateur de poids total $w_X$, composé comme produit d'opérateurs $A, S$ et $T$, alors $[T, X]$ (et donc également $\Phi(X)$) peut s'écrire comme une somme de tels opérateurs ayant chacun un poids total au plus $w_X + 1$.

La stratégie générale est alors la suivante.

— On écrit une fonctionnelle d'énergie sous la forme

$$\mathcal{F}(\tau, f) = \sum_{X \in F} a_X \tau^{w_X} Q_X,$$
### 3.2. Estimées d'hypocoercivité-hypoellipticité pour le mouvement brownien sphérique en vitesse

avec $\mathcal{F}$ équivalent au carré d'une norme de Sobolev (dépendant du paramètre $\tau$), avec des opérateurs $X$ étant seulement composés comme produits de $A$, $S$ et $\Delta_x$ (ce qui fait que $\Phi(X)$ est également de cette forme).

- Sa dissipation (à $\tau$ fixé) étant donnée par $a_X \tau^{w_X} Q_{\Phi(X)}$, on l'écrit sous la forme $-2\mathcal{D} + \mathcal{B}$, où $\mathcal{D} \ge 0$ regroupe des termes dans les termes de plus haut poids dans les $\Phi(X)$ (donc de poids $w_X + 1$ à chaque fois).

- Le premier « mauvais » terme $\mathcal{B}$ consiste en les autres termes dans les $\Phi(X)$, et s'écrivant tous de la forme $\tau^\omega Q_Z$, avec une puissance de $\tau$ au plus égale à $w_Y - 1$, et que l'on contrôle par $\varepsilon\mathcal{D}$ pour un $\varepsilon > 0$ (indépendant de $\tau$) et par un choix judicieux des coefficients $a_X$.

- Le deuxième « mauvais » terme apparaît dans le calcul de la dissipation de l'énergie à poids dépendants du temps $\mathcal{F}(t, f(t, \cdot))$: on obtient les termes de la forme $w_X a_X \tau^{w_X-1} Q_X$. On peut également choisir les coefficients (toujours indépendamment de $\tau$) de telle sorte qu'on contrôle ce mauvais terme par $\varepsilon\mathcal{D}$, et ceci pour tout $\tau \le 1$. On obtient alors la décroissance de l'énergie $\mathcal{F}(\min(t, 1), f(t, \cdot))$ (et la décroissance exponentielle si une inégalité de Poincaré est disponible entre $\mathcal{F}$ et $\mathcal{D}$ par exemple).

En pratique, comme on a besoin d'une seule dérivée en vitesse on utilisera uniquement des opérateurs $X$ ayant une forme assez simple$^{23}$ :

**Définition 3.1.** On définit $\mathcal{F}_0 = Q_{\text{Id}} = \|f\|_2^2$ et

$$ \mathcal{F}_1(\tau, f) = \alpha \tau Q_{-A^2} + \beta \tau^2 Q_{SA+AS} + \gamma \tau^3 Q_{-S^2} + \delta \tau^4 Q_{-\Delta_x}, $$

qui s'écrit aussi $\mathcal{F}_1(\tau, f) = \alpha \tau \|\nabla_v f\|_2^2 + 2\beta \tau^2 \langle \nabla_v f \cdot \nabla_x f \rangle + \gamma \tau^3 \|P_{v\perp} \nabla_x f\|_2^2 + \delta \tau^4 \|\nabla_x f\|_2^2$. Pour $k \ge 1$, on pose alors

$$ \mathcal{F}_k(\tau, f) = \nu_k \tau^{4(k-1)} \mathcal{F}_1(\tau, (-\Delta_x)^{\frac{k-1}{2}} f) = \nu_k \tau^{4(k-1)} \sum_{|m|=k-1} \binom{k-1}{m} \mathcal{F}_1(\tau, \partial_x^m f), $$

où on note $|m| = \sum_{i=1}^d m_i$ le degré d'un multi-indice $m = (m_i)_{1\le i \le d}$ (on écrit $\partial_x^m = \partial_{x_1}^{m_1} \dots \partial_{x_d}^{m_d}$, et $(|m|) = \frac{|m|!}{m_1! \dots m_d!}$). On définit alors l'énergie totale

$$ \mathcal{F}(\tau, f) = \sum_{k=0}^{s} \mathcal{F}_k(\tau, f). $$

On définit également, pour les mêmes coefficients, $\mathcal{D}_0 = Q_{-A^2} = \|\nabla_v f\|_2^2$ et

$$ \mathcal{D}_1(\tau, f) = \alpha \tau Q_{A^4} + \beta \tau^2 Q_{A^2 SA+ASA^2} + \gamma \tau^2 Q_{-S^2} + \delta \tau^4 Q_{A\Delta_x A}, $$

puis comme précédemment

$$ \mathcal{D}_k(\tau, f) = \nu_k \tau^{4(k-1)} \mathcal{D}_1(\tau, (-\Delta_x)^{\frac{k-1}{2}} f) = \nu_k \tau^{4(k-1)} \sum_{|m|=k-1} \binom{k-1}{m} \mathcal{D}_1(\tau, \partial_x^m f), $$

$$ \text{et enfin } \mathcal{D}(\tau, f) = \sum_{k=0}^{s} \mathcal{D}_k(\tau, f). $$

<footnote n="23">23. Dans une première version de ce travail, on considérait n'importe quel opérateur $X$ sous la forme d'un mot composé de $A$, $S$ et $T$, avec un code (buggé...) pour calculer $\Phi(X)$, il s'avère qu'il n'y avait pas besoin de faire aussi compliqué !</footnote>
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

Une première étape est le calcul des $\Phi(X)$ pour les opérateurs qui nous intéressent.

**Proposition 3.1.** On a

$$ \Phi(\mathrm{Id}) = 2A^2, \tag{3.5} $$

$$ \Phi(-A^2) = -2A^4 - (AS + SA), \tag{3.6} $$

$$ \Phi(AS + SA) = 2S^2 + 2(A^2SA + ASA^2) - (d-1)(AS + SA), \tag{3.7} $$

$$ \Phi(-S^2) = -2AS^2A - 2(d-1)\Delta_x + 2dS^2. \tag{3.8} $$

On note $\mathcal{B}_0(\tau, f) = 0$ et

$$ \mathcal{B}_1(\tau, f) = -(\alpha\tau + \beta(d-1)\tau^2)Q_{AS+SA} + 2\gamma\tau^3[(d-1)Q_{-\Delta_x} - dQ_{-S^2}], \tag{3.9} $$

et comme précédemment

$$ \mathcal{B}_k(\tau, f) = \nu_k \tau^{4(k-1)} \mathcal{B}_1(\tau, (-\Delta_x)^{\frac{k-1}{2}} f). $$

Pour toute solution $f$ de l'équation (3.2) qui soit $C^\infty$ à support compact (ce qui est le cas si $f^0$ est à support compact), et pour tout $k \ge 0$, on a donc

$$ \frac{d}{dt} \mathcal{F}_k(\tau, f(t, \cdot)) = -2\mathcal{D}_k(\tau, f(t, \cdot)) + \mathcal{B}_k(\tau, f(t, \cdot)). $$

**Démonstration.** On utilise $[A, T] = -S$ pour obtenir (3.6). Avec la première expression de $\Phi$ dans (3.3), on vérifie que l'on a

$$ \Phi(AS + SA) = 2S^2 + 2(A^2SA + ASA^2) + A[A, [A, S]] + [A, [A, S]]A, $$

et on utilise $[A, S] = (d-1)T$ pour obtenir (3.7). Enfin on a $[T, S^2] = 0$ et $[A, S^2] = 2TS$ (attention à la non associativité ici, on a $[A, S^2] \neq [A, S]S + S[A, S]$, mais on utilise le fait que $[A, T^2] = T[A, T] + [A, T]T = -2TS$ et que $A$ commute avec $\Delta_x = T^2 + S^2$, pour conclure). On a ensuite

$$ [A, TS] = [A, T]S - T[A, S] = -S^2 + (d-1)T^2 = (d-1)\Delta_x - dS^2, \tag{3.10} $$

et avec la deuxième expression de $\Phi$ dans (3.3), cela donne (3.8). Comme $\Delta_x$ commute avec $A, S$ et $T$, les expressions (3.5)-(3.8) permettent de calculer $\Phi(X)$ pour tous les opérateurs qui nous concernent, ce qui permet d'obtenir la dérivée de $\mathcal{F}_k(\tau, f(t, \cdot))$ pour tout $k$. $\square$

On peut alors énoncer le théorème principal de ce paragraphe.

**Théorème 3.2.** On note $\|f\|_{\dot{H}^{s,m}} = \|(-\Delta_v)^{\frac{m}{2}} (-\Delta_x)^{\frac{s}{2}} f\|_2$ la semi-norme de Sobolev ayant s dérivées en espaces et m dérivées en vitesse. Si $\beta^2 < \alpha\gamma$, alors $\mathcal{F}_k(\tau, \cdot)$ est équivalente au carré d'une semi-norme de type Sobolev, plus précisément il existe des constantes $c$ et $C$ telles que pour tout $\tau > 0$ et pour toute fonction $f \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$,

$$ c \nu_k \tau^{4k-2} (\|f\|_{\dot{H}^{k-1,1}}^2 + \tau^2 \|f\|_{\dot{H}^{k,0}}^2) \le \mathcal{F}_k \le C \nu_k \tau^{4k-2} (\|f\|_{\dot{H}^{k-1,1}}^2 + (\tau+\tau^2) \|f\|_{\dot{H}^{k,0}}^2). \tag{3.11} $$

De même $\mathcal{D}_k(\tau, \cdot)$ est équivalente au carré d'une semi-norme de type Sobolev à travers les estimations suivantes (avec des constantes $\tilde{c}, \tilde{C} > 0$ indépendantes de $\tau \ge 0$):

$$ \forall \tau > 0, \quad \mathcal{D}_k \le \tilde{C} \nu_k \tau^{4k-2} (\|f\|_{\dot{H}^{k-1,2}} + \tau \|f\|_{\dot{H}^{k,0}} + (\tau + \tau^2) \|f\|_{\dot{H}^{k,1}}), \tag{3.12} $$

$$ \forall \tau \le 1, \quad \mathcal{D}_k \ge \tilde{c} \nu_k \tau^{4k-2} (\|f\|_{\dot{H}^{k-1,2}} + \tau \|f\|_{\dot{H}^{k,0}} + \tau^2 \|f\|_{\dot{H}^{k,1}}). \tag{3.13} $$
### 3.2. Estimées d'hypocoercivité-hypoellipticité pour le mouvement brownien sphérique en vitesse

Enfin, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe des coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ (avec $\beta^2 < \alpha\gamma$) et $\nu_k$ tels que pour tout $\tau \le 1$ et pour toute fonction $f \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$,

$$|\mathcal{B}(\tau, f)| \le \varepsilon \mathcal{D}(\tau, f), \\ |\partial_\tau \mathcal{F}(\tau, f)| \le \varepsilon \mathcal{D}(\tau, f),$$

où $\mathcal{B}(\tau, f)$ est donné par la proposition 3.1.

**Démonstration.** Il suffit de montrer les équivalences de semi-normes pour $k = 1$, au vu des définitions de $\mathcal{F}_k$ et $\mathcal{D}_k$.

On note $\|Bf\|_2^2 = \sum_{\ell<m} \|B_{\ell,m}f\|_2^2$ lorsque $B = (B_{\ell,m})_{\ell<m}$ est un opérateur vectoriel, et on a donc

$$Q_{-S^2} = \|Sf\|_2^2, \quad Q_{-A^2} = \|Af\|_2^2.$$

On observe par Cauchy-Schwarz que $|Q_{SA+AS}| \le 2\sqrt{Q_{-A^2}Q_{-S^2}}$, ce qui permet d'assurer la positivité de $\mathcal{F}$ dès que $\beta < \sqrt{\alpha\gamma}$. On obtient en fait que

$$(1 - \frac{\beta}{\sqrt{\alpha\gamma}}) \tilde{\mathcal{F}}_1 \le \mathcal{F}_1 \le (1 + \frac{\beta}{\sqrt{\alpha\gamma}}) \tilde{\mathcal{F}}_1,$$

où $\tilde{\mathcal{F}}_1$ correspond à $\mathcal{F}_1$ où on a retiré le terme « croisé » $Q_{AS+SA}$ :

$$\tilde{\mathcal{F}}_1 = \alpha\tau Q_{-(-\Delta_x)^k A^2} + \gamma\tau^3 Q_{-S^2} + \delta\tau^4 Q_{-\Delta_x}.$$

De la même manière on obtient que $|Q_{A^2SA}| = |Q_{ASA^2}| \le \sqrt{Q_{A^4}Q_{(AS)(SA)}}$ par Cauchy-Schwarz, et en faisant attention aux subtilités de parenthèsages (et en utilisant le fait que $S_{i,j}$ et $S_{k,l}$ commutent, et de nouveau Cauchy-Schwarz et Young), on obtient que

$$\begin{align}
Q_{(AS)(SA)} &= \sum_{i<j} \sum_{k<\ell} Q_{A_{i,j}S_{i,j}S_{k,\ell}A_{k,\ell}} = \sum_{i<j} \sum_{k<\ell} Q_{A_{i,j}S_{k,\ell}S_{i,j}A_{k,\ell}} \nonumber \\
&\le \sum_{i<j} \sum_{k<\ell} \sqrt{Q_{A_{i,j}S_{k,\ell}^2 A_{i,j}}} \sqrt{Q_{A_{k,\ell}S_{i,j}^2 A_{k,\ell}}}, \nonumber \\
&\le \sum_{i<j} \sum_{k<\ell} \frac{1}{2} (Q_{A_{i,j}S_{k,\ell}^2 A_{i,j}} + Q_{A_{k,\ell}S_{i,j}^2 A_{k,\ell}}) = Q_{AS^2A}, \tag{3.14}
\end{align}$$

et on a donc aussi

$$(1 - \frac{\beta}{\sqrt{\alpha\gamma}}) \tilde{\mathcal{D}}_1 \le \mathcal{D}_1 \le (1 + \frac{\beta}{\sqrt{\alpha\gamma}}) \tilde{\mathcal{D}}_1,$$

avec

$$\tilde{\mathcal{D}}_1 = \alpha\tau Q_{A^4} + \beta\tau^2 Q_{-S^2} + \gamma\tau^3 Q_{AS^2A} + \delta\tau^4 Q_{A\Delta_x A}.$$

Comme $S^2 + T^2 = \Delta_x$, on a alors $Q_{-S^2} \le Q_{-\Delta_x}$. Ceci permet d'obtenir les estimations (3.11) sur $\mathcal{F}_1$ et la majoration de $\mathcal{D}_1$ donnée par (3.12), mais pas tout à fait la minoration (3.13), puisqu'on aurait besoin du terme $Q_{-\Delta_x}$ avec un facteur $\tau^3$, alors qu'on a seulement $Q_{-S^2}$ dans $\tilde{\mathcal{D}}_1$. C'est là le point crucial qui correspond à ce qui avait été fait pour contrôler $\|v \cdot \nabla_x f\|^2$ par $\|P_{v\perp} \nabla_x f\|^2$ et $-\langle \nabla_x f, \nabla_x (\Delta_v f) \rangle$ dans le paragraphe précédent$^{24}$. L'astuce est d'utiliser le commutateur calculé précédemment en (3.10) :

$$\mathrm{ATS} - \mathrm{STA} = (d - 1)\Delta_x - d S^2.$$

<footnote n="24">24. C'est à dire dans notre formalisme contrôler $Q_{-T^2}$ par $Q_{-S^2} + Q_{A\Delta_x A}$. Cela ne suffisait pas pour obtenir la bonne puissance de $\tau$, alors qu'en contrôlant comme on le fera en (3.15) par $Q_{-S^2}$ et $\sqrt{Q_{A\Delta_x A}Q_{-S^2}}$ on obtient la bonne puissance.</footnote>
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

En écrivant, par Cauchy–Schwarz:

$$
|Q_{ATS}| = |Q_{STA}| \le \sqrt{Q_{AT^2A}Q_{-S^2}} \le \sqrt{Q_{A\Delta_x A}Q_{-S^2}},
$$

on obtient ainsi

$$
(d - 1)Q_{-\Delta_x} \le d Q_{-S^2} + 2\sqrt{Q_{A\Delta_x A}Q_{-S^2}} \le \frac{d \tilde{D}_1}{\tau^2 \beta} + \frac{\tilde{D}_1}{\tau^3 \sqrt{\beta \delta}} \quad (3.15)
$$

On obtient donc bien que $\tau^3 Q_{-\Delta_x}$ est contrôlé par $\mathcal{D}_1$, uniformément en $\tau \in [0, 1]$, ce qui termine la preuve de l'estimation (3.13).

Pour contrôler $\mathcal{B}$ et $\partial_{\tau} \mathcal{F}$, on contrôle les termes un par un. On a, pour $k \ge 1$:

$$
Q_{(-\Delta_x)^{k-1}A^2} = Q_{A(-\Delta_x)^{k-1}A} \le \frac{\tilde{D}_{k-1}}{\tau^{4(k-1)}\delta\nu_{k-1}}, \quad (\text{ou } \le \tilde{D}_0 \text{ pour } k=1)
$$

$$
|Q_{(-\Delta_x)^{k-1}(AS+SA)}| \le 2\sqrt{Q_{-(-\Delta_x)^{k-1}A^2} Q_{-(-\Delta_x)^{k-1}S^2}} \le \frac{2\sqrt{\tilde{D}_{k-1}\tilde{D}_k}}{\tau^{4k-3}\sqrt{\beta\delta\nu_{k-1}\nu_k}},
$$

$$
Q_{-(-\Delta_x)^{k-1}S^2} \le \frac{\tilde{D}_k}{\tau^{4k-2}\beta \nu_k},
$$

et on contrôle $Q_{(-\Delta_x)^k}$ comme en (3.15) :

$$
(d - 1) Q_{(-\Delta_x)^k} \le d Q_{-(-\Delta_x)^{k-1} S^2} + 2 \sqrt{Q_{A(-\Delta_x)^k A} Q_{-(-\Delta_x)^{k-1} S^2}} \le \frac{d \tilde{D}_k}{\tau^{4k-2} \beta \nu_k} + \frac{\tilde{D}_k}{\tau^{4k-1} \sqrt{\beta \delta \nu_k}}.
$$

On obtient que des conditions suffisantes sur les coefficients pour avoir $\partial_{\tau} \mathcal{F}_k \ll \tilde{\mathcal{D}}_k + \tilde{\mathcal{D}}_{k-1}$ sont alors

$$
\alpha\nu_1 \ll 1, \quad \alpha\nu_k \ll \delta\nu_{k-1}, \quad \beta\nu_1 \ll 1, \quad \beta\nu_k \ll \delta\nu_{k-1}, \quad \gamma \ll \beta, \quad \delta \ll \beta.
$$

De même, avec la définition (3.9), des conditions suffisantes pour avoir $\mathcal{B}_k \ll \tilde{\mathcal{D}}_k + \tilde{\mathcal{D}}_{k-1}$ sont

$$
(\alpha + \beta)\sqrt{\nu_1} \ll \sqrt{\beta}, \quad (\alpha + \beta)\sqrt{\nu_k} \ll \sqrt{\beta\delta\nu_{k-1}}, \quad \gamma \ll \min(\beta, \sqrt{\delta\beta}).
$$

En résumé, on veut donc

$$
\delta \ll \beta, \quad \gamma \ll \sqrt{\delta\beta}, \quad \nu_1 \ll \min\left(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{\beta}{(\alpha+\beta)^2}\right), \quad \frac{\nu_k}{\nu_{k-1}} \ll \min\left(\frac{\delta}{\alpha}, \frac{\delta}{\beta}, \frac{\beta\delta}{(\alpha+\beta)^2}\right).
$$

Ces conditions peuvent être vérifiées tout en gardant $\beta < \sqrt{\alpha\gamma}$, il suffit de construire pas à pas,
on peut prendre par exemple $(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (1, \beta, 2\beta^2, \beta^2)$ et $\nu_k = \beta^{4k-2}$ avec $\beta \ll 1$, et cela
termine la preuve.
$\square$

On peut donc obtenir la décroissance de l'énergie, pour $\tau = \min(t, 1)$.

**Corollaire 3.1.** Pour $\varepsilon < \frac{1}{2}$, et des coefficients $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ et $\nu_k$ judicieusement choisis, si $f$ est une solution de l'équation (3.2) avec condition initiale $f_0 \in L^2$, alors l'énergie $\mathcal{F}(\min(t,1), f(t, \cdot))$ est décroissante. Sur le tore, il existe alors une constante $\lambda > 0$ (indépendante de $f_0$) telle que si $f_0$ est de moyenne nulle, alors pour $t \ge 1$, $\mathcal{F}(1, f(t, \cdot)) \le \|f_0\|_2^2 e^{-\lambda(t-1)}$.
### 3.3. Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

La preuve dans le cas du tore est une application directe de l'inégalité de Poincaré en espace et des estimations fournies par le Théorème 3.2.

Dans le cas de $\mathbb{R}^d$, on peut appliquer une inégalité de type Nash dans le cas où $f_0 \ge 0$, grâce à la conservation de la masse (la norme $L^1$) pour avoir un résultat similaire. Ce n'est cependant pas le cas qui nous intéresse : par la suite on considérera $f = \rho + g$, où la perturbation $g$ n'a pas de signe (il n'y a alors aucune raison que la norme $L^1$ de $g$ soit conservée).

**Remarque 3.1.** Ces estimations auraient également pu s'obtenir en ne faisant que la comparaison $L^2-H^1$ (en prenant $s = 1$), et en itérant plusieurs fois. On verra par la suite que le contrôle de tous les termes en même temps est utile pour traiter la non-linéarité. On n'a cependant pas traité tous les termes possibles, on peut par exemple montrer qu'en temps court, des termes de la forme $Q_{(-1)^k S^{2k}(-\Delta_x)^\ell}$ décroissent comme $t^{-3k-4\ell}$ par rapport à la norme $L^2$ initiale (ces termes n'apparaissent pas dans $\mathcal{D}$, on peut les contrôler grâce à $Q_{(-\Delta_x)^{k+\ell}}$, mais pas avec la même puisance de $t$ en temps court).

**Remarque 3.2.** Pour obtenir les estimations de régularité dans [BT18], si on retraduisait leur approche de $\Gamma$-calcul généralisé dans notre cadre, cela reviendrait à utiliser la fonctionnelle suivante:

$$Q_{\mathrm{Id}} + at^2Q_{-A^2} + 2bt^4Q_{SA} + ct^6Q_{-S^2} + \hat{a}t^4Q_{A^4} + 2\hat{b}t^6Q_{TA^2} + \hat{c}t^8Q_{-T^2}.$$

Cela correspond à un choix de poids $t$, $t^3$ et $t^4$ pour les opérateurs $A$, $S$, et $T$. On a vu ici que l'on pouvait prendre des poids $t^{\frac{1}{2}}$, $t^{\frac{3}{2}}$ and $t^2$ à la place, et notre fonctionnelle dans le cas $s = 1$ s'écrit avec moins de termes:

$$Q_{\mathrm{Id}} + \alpha t Q_{-A^2} + 2\beta t^2 Q_{SA} + \gamma t^3 Q_{-S^2} + \delta t^4 Q_{-T^2-S^2}.$$

D'après ce que je comprends, la présence du terme $Q_{A^4}$ est là dans [BT18] simplement pour assurer que la fonctionnelle est positive en prenant comme critère $\hat{b}^2 < \hat{a}\hat{c}$. Mais on a en fait vu que $Q_{TA^2} = Q_{SA}$, donc on n'a pas besoin de ce terme (qui est le même qu'un terme déjà existant, avec un poids plus faible). Je ne sais pas si dans le cadre d'une variété Riemannienne également en espace, ce qui est le cas dans [BT18], notre simple approche fonctionnerait (il se peut qu'il y ait plus de termes avec la courbure de la variété, dans notre cas on a par exemple utilisé que $\Delta_v$ et $\Delta_x$ commutent).

## 3.3 Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

On étudie maintenant l'équation complète (3.1) sur une perturbation $g = f - \rho$ où $0 \le \rho < d$. L'équation s'écrit

$$\partial_t g + v \cdot \nabla_x g - (\rho + g)(d-1)v \cdot J_g + J_g \cdot \nabla_v g = \Delta_v g, \quad J_g = \int_{\mathbb{S}} v g \, dv. \quad (3.16)$$

Pour garder le cadre algébrique précédent, on définit l'opérateur $U$ par $Ug = dv \wedge J_g$. C'est un opérateur « vectoriel » au sens où on le notera $(U_{i,j})_{i<j}$, avec $U_{i,j}g = -dv_j e_i \cdot J_g + dv_i e_j \cdot J_g$ mais ce n'est plus un opérateur différentiel. On a $\int_{\mathbb{S}} v_i^2 dv = \frac{1}{d}$, donc $J_{U_{i,j}g} = -e_j e_i \cdot J_g + e_i e_j \cdot J_g$, de sorte que l'on obtient $U_{i,j}^2 g = -d(v_i e_i \cdot J_g + v_j e_j \cdot J_g)$, donc on trouve $U^2 g = -(d-1)dv \cdot J_g$ en sommant sur $i < j$. On observe donc que cet opérateur $U^2$ se comporte comme la composée de la projection sur les harmoniques sphériques de degré 1 (qui à $g$ associe $dv \cdot J_g$) et du Laplacien $A^2$ (dont la valeur propre associée aux harmoniques sphériques de degré 1 vaut $-(d-1)$).
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

En fait, par le Lemme 3.1 on a également $A_{i,j}U_{i,j}g = -d(v_i e_i \cdot J_g + v_j e_j \cdot J_g)$, donc on obtient aussi $AU = U^2$. On vérifie que $U$ est antiadjoint et on a donc aussi $UA = AU = U^2$, ce qui permet par exemple d'avoir $A^2 - U^2 = (A - U)^2$. Enfin, on a

$$AU^2 = U^2 A = A^2 U = U A^2 = U^3 = -(d-1)U. \quad (3.17)$$

Dans ce cadre on peut également écrire $J_g \cdot \nabla_v g = (v \wedge J_g)(v \wedge \nabla_v g) = \frac{1}{d} \sum_{i<j} U_{i,j} g A_{i,j} g$ et donc le terme non-linéaire de l'équation (3.16) peut aussi s'écrire sous forme condensée :

$$\begin{aligned} \partial_t g + Tg &= A^2 g - \frac{\rho + g}{d} U^2 g - \frac{1}{d} U g A g \\ &= (A^2 - \frac{\rho}{d} U^2) g - \frac{1}{d} (A(gUg)). \end{aligned}$$

Pour alléger les notations, on note $L = A - (1 - \sqrt{1 - \frac{\rho}{d}})U$, de sorte que $L^2 = A^2 - \frac{\rho}{d}U^2$. L'opérateur $L^2$ a les mêmes propriétés spectrales que $A^2$ dès que $\rho < d$: il a en fait les mêmes vecteurs propres (les harmoniques sphériques) et valeurs propres (qui valent $-(\ell(\ell+d-2))$ lorsque $\ell \neq 1$ est le degré de l'harmonique sphérique), sauf la valeur propre associée aux harmoniques sphériques de degré 1, qui vaut $-(d-1)$ pour $A^2$ et $-(d-1)(1-\frac{\rho}{d})$ pour $L^2$. Par contre les propriétés de commutation avec les opérateurs $T$ et $S$ ne sont plus tout à fait les mêmes. Cependant, en plus de (3.17), on a que $U$ (et donc $L$) commute avec toute dérivée en $x$.

Lorsqu'on étudie la même fonctionnelle $\mathcal{F}(\tau, g(t, \cdot))$ que dans la section précédente, de nouveaux termes apparaissent dans la dissipation. De façon générique, on a pour un opérateur $X$ autoadjoint composé comme précédemment, en notant toujours $Q_X(g) = \int gXg \, dv$ (et en omettant la dépendance en $g$ si le contexte est clair) :

$$\frac{d}{dt} Q_X = Q_{\Phi^\rho(X)} + R_X,$$

où cette fois-ci

$$\Phi^{\rho}(X) = A^{2}X + XA^{2} - \frac{\rho}{d}(U^{2}X + XU^{2}) + [T, X] = L^{2}X + XL^{2} + [T, X],$$

et où le terme non-linéaire est

$$R_X(g) = \frac{1}{d} \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (AXg)(Ug) g \, dv dx.$$

Il faut tout d'abord adapter l'étude de la partie linéaire avec ces termes supplémentaires, puis ensuite contrôler le terme non-linéaire. On calcule donc, grâce à la Proposition 3.1 :

$$\begin{aligned} \Phi^{\rho}(\mathrm{Id}) &= 2L^2 \\ \Phi^{\rho}(-A^2) &= -2A^2L^2 - (SA + AS) \\ \Phi^{\rho}(AS + SA) &= \Phi(AS + SA) - \frac{\rho}{d}(U^2(AS + SA) + (AS + SA)U^2) \\ &= \Phi(AS + SA) - \frac{\rho}{d}(U^2SA + ASU^2) + \frac{\rho(d-1)}{d}(US + SU) \\ &= 2S^2 + (A^2 + L^2)SA + AS(A^2 + L^2) - (d-1)[(AS + SA) - \frac{\rho}{d}(US + SU)], \\ \Phi^{\rho}(-S^2) &= \Phi(-S^2) - \frac{\rho}{d}(U^2S^2 + S^2U^2) \\ &= -2AS^2A - 2(d-1)\Delta_x + 2dS^2 - \frac{\rho}{d}(U^2S^2 + S^2U^2). \end{aligned}$$
### 3.3. Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

On voit donc qu'on obtient essentiellement les mêmes termes, et que les propriétés spectrales de $L^2$ joueront le même rôle que celles de $A^2$ dans la section précédente. On peut donc prendre une fonctionnelle similaire pour $\mathcal{F}$, mais une première modification que l'on fait, qui rendra l'étude du terme non-linéaire plus simple, est de prendre $\sum_i (-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k-2}$ à la place de $(-\Delta_x)^{k-1}$ pour les termes d'ordre plus élevé (ce qui est équivalent en terme de semi-normes de Sobolev que l'on considère) :

**Définition 3.2.** On définit l'énergie totale $\mathcal{F}^\rho(\tau, g) = \sum_{k=0}^s \mathcal{F}_k^\rho(\tau, g)$, avec $\mathcal{F}_0^\rho = Q_{\text{Id}} = \|g\|_2^2$ et où pour $k \ge 1$ on a posé

$$ \mathcal{F}_k^\rho(\tau, g) = \nu_k \sum_{i=1}^d \alpha \tau^{4k-3} Q_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} A^2} + \beta \tau^{4k-2} Q_{(-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k-2} (SA+AS)} \\ + \gamma \tau^{4k-1} Q_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} S^2} + \delta \tau^{4k} Q_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k}}. $$

On définit également, pour les mêmes coefficients, $\mathcal{D}^\rho(\tau, g) = \sum_{k=0}^s \mathcal{D}_k(\tau, g)$, avec $\mathcal{D}_0^\rho = Q_{-A^2+\frac{\rho}{d}U^2}$ et pour $k \ge 1$

$$ \mathcal{D}_k^\rho(\tau, g) = \nu_k \sum_{i=1}^d \alpha \tau^{4k-3} Q_{(-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k-2} A^2 L^2} + \beta \tau^{4k-2} Q_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} \left[ \frac{1}{2} [(A^2+L^2)SA+AS(A^2+L^2)] \right]} \\ + \beta \tau^2 Q_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} S^2} + \gamma \tau^{4k-1} Q_{(-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k-2} AS^2 A} + \delta \tau^{4k} Q_{(-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k} L^2}. $$

Le résumé des calculs précédents de $\Phi^\rho(X)$ pour les opérateurs qui nous intéressent permet donc d'écrire la dissipation sous une forme similaire, en modifiant légèrement le « mauvais » terme $\mathcal{B}$ et incluant le terme non-linéaire :

**Proposition 3.2.** On note $\mathcal{B}_0^\rho(\tau, g) = 0$ et pour $k \ge 1$

$$ \mathcal{B}_k^\rho(\tau, g) = (-1)^k \nu_k \sum_{i=1}^d \alpha \tau^{4k-3} Q_{\partial_{x_i}^{2k-2}(AS+SA)} + \beta \tau^{4k-2}(d-1) Q_{\partial_{x_i}^{2k-2}[(AS+SA)-\frac{\rho}{d}(US+SU)]} \\ + \gamma \tau^{4k-1}[2(d-1)Q_{\partial_{x_i}^{2k-2}\Delta_x} - 2d Q_{\partial_{x_i}^{2k-2}S^2} + \frac{\rho}{d}Q_{\partial_{x_i}^{2k-2}(U^2S^2+S^2U^2)}], $$

et on pose également $\mathcal{R}_0^\rho = R_{\text{Id}}$ et, pour $k \ge 1$,

$$ \mathcal{R}_k^\rho(\tau, g) = \nu_k \sum_{i=1}^d \alpha \tau^{4k-3} R_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} A^2} + \beta \tau^{4k-2} R_{(-1)^{k-1} \partial_{x_i}^{2k-2} (SA+AS)} \\ + \gamma \tau^{4k-1} R_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k-2} S^2} + \delta \tau^{4k} R_{(-1)^k \partial_{x_i}^{2k}}. $$

Alors, pour toute solution $g$ de l'équation (3.16) qui soit $C^\infty$ à support compact (ce qui est le cas si $g^0$ est à support compact), et pour tout $k \ge 0$, on a

$$ \frac{d}{dt} \mathcal{F}_k^\rho(\tau, g) = -2 \mathcal{D}_k^\rho(\tau, g) + \mathcal{B}_k^\rho(\tau, g) + \mathcal{R}_k^\rho(\tau, g). $$

On peut donc effectuer les mêmes calculs que dans la preuve du Théorème 3.2 pour contrôler $\mathcal{B}_k^\rho(\tau, g)$. La condition pour que $\mathcal{D}_k^\rho$ contrôle (le carré de) la bonne semi-norme de Sobolev est cette fois-ci $\beta^2 Q_4^{1/2}(A^2+L^2)^2 < Q_{A^2L^2} \alpha \gamma$ ce qui équivaut à $\beta^2 < \frac{1-\frac{\rho}{d}}{(1-\frac{\rho}{2d})^2} \alpha \gamma$ (on peut peut-être légèrement améliorer ce critère au prix de l'inclusion d'autres termes dans $\mathcal{B}_k^\rho(\tau, g)$ si on veut être un peu plus fin sur les constantes).
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

**Proposition 3.3.** Si $\frac{\rho}{d} < 1$ et si $\beta^2 < \alpha\gamma$, il existe des constantes $c, C > 0$ telles que pour tout $\tau > 0$ et pour toute fonction $g \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$, on a

$$c \nu_k \tau^{4k-2} (\|g\|_{\dot{H}^{k-1,1}}^2 + \tau^2 \|g\|_{\dot{H}^{k,0}}^2) \le \mathcal{F}_k^\rho \le C \nu_k \tau^{4k-2} (\|g\|_{\dot{H}^{k-1,1}}^2 + (\tau + \tau^2) \|g\|_{\dot{H}^{k,0}}^2).$$

De même, si $\beta^2 < \frac{1-\frac{\rho}{d}}{(1-\frac{\rho}{2d})^2}\alpha\gamma$, il existe des constantes $\tilde{c}, \tilde{C} > 0$ telles que

$$\begin{align*}
\forall \tau > 0, \quad \mathcal{D}_k^\rho \le \tilde{C} \nu_k \tau^{4k-2} (\|g\|_{\dot{H}^{k-1,2}} + \tau \|g\|_{\dot{H}^{k,0}} + (\tau + \tau^2) \|g\|_{\dot{H}^{k,1}}), \\
\forall \tau \le 1, \quad \mathcal{D}_k^\rho \ge \tilde{c} \nu_k \tau^{4k-2} (\|g\|_{\dot{H}^{k-1,2}} + \tau \|g\|_{\dot{H}^{k,0}} + \tau^2 \|g\|_{\dot{H}^{k,1}}).
\end{align*}$$

Enfin, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe des coefficients $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ (avec $\beta^2 < \frac{1-\frac{\rho}{d}}{(1-\frac{\rho}{2d})^2}\alpha\gamma$) et $\nu_k$ tels que pour tout $\tau \le 1$ et pour toute fonction $g \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathbb{S})$,

$$\begin{align*}
|\mathcal{B}^\rho(\tau, g)| &\le \varepsilon \mathcal{D}^\rho(\tau, f), \\
|\partial_\tau \mathcal{F}^\rho(\tau, g)| &\le \varepsilon \mathcal{D}^\rho(\tau, f),
\end{align*}$$

où $\mathcal{B}^\rho(\tau, f)$ est donné par la proposition 3.2.

**Démonstration.** On procède exactement de la même manière que dans la preuve du Théorème 3.2. Les termes rajoutés dans $\mathcal{B}_k^\rho(\tau, g)$ ne fournissent pas de difficulté supplémentaire. En effet, le terme $|Q_{SU+US}| \le 2\sqrt{Q_{-S^2}}\sqrt{Q_{-U^2}}$ peut se contrôler de la même manière que $Q_{AS+SA}$ qui était déjà présent, et on a

$$|Q_{S^2U^2+U^2S^2}| \le 2\sqrt{Q_{-S^2}}\sqrt{Q_{-U^2S^2U^2}} \le 2\sqrt{Q_{-S^2}}\sqrt{Q_{-U^2\Delta_x^2U^2}} \le 2(d-1)\sqrt{Q_{-S^2}}\sqrt{Q_{-\Delta_x^2}}.$$

Donc comme on devait déjà contrôler $|Q_{(-1)^{k-1}\partial_x^{2k-2}\Delta_x^2}|$ et $|Q_{(-1)^{k-1}\partial_x^{2k-2}S^2}|$ pour la même puis-
sance de $\tau$ ($4k-1$) et le même coefficient $\gamma\nu_k$, on obtient les mêmes conditions suffisantes sur les coefficients, que l'on peut satisfaire de la même manière tout en ayant $\beta^2 < \frac{1-\frac{\rho}{d}}{(1-\frac{\rho}{2d})^2}\alpha\gamma$. $\square$

On peut donc maintenant contrôler le terme cubique, provenant de la non-linéarité de l'équa-
tion (3.16). L'idée est de réussir à contrôler chaque terme par $\sqrt{\mathcal{F}\mathcal{D}}$, pour avoir décroissance
de l'énergie $\mathcal{F}$ si elle est initialement petite. On verra qu'on ne peut pas forcément cette fois-ci
contrôler la régularité en prenant $\tau = t$ (sauf dans un cas très particulier), mais on garde la dé-
pendance en $\tau$ dans les estimations pour illustrer le problème. On commence par des estimations
faisant entrer en jeu les normes $L_x^\infty(L_v^2)$ de $g$ et de ses dérivées :

**Proposition 3.4.** On suppose que les coefficients vérifient $\beta^2 < \frac{1-\frac{\rho}{d}}{(1-\frac{\rho}{2d})^2}\alpha\gamma$, et que les $\nu_k$ sont fixés. On note $\|g\|_{\infty,2} = \sup_x \|g(x, \cdot)\|_{L_v^2}$, et on a les estimations suivantes (où C désigne une constante générique, variant de ligne à ligne, dépendant des coefficients mais pas de $\tau \le 1$) :

$$\mathcal{R}_0^\rho(\tau, g) \le C (\|J_g\|_\infty + \|\Pi g\|_\infty) \mathcal{D},$$

et pour tout $k \ge 1$ :

$$\mathcal{R}_k^\rho(\tau, g) \le C \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{2m} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} (\tau^{2m-1} \|\partial_{x_i}^{m-1} A g\|_{\infty,2} + \tau^{2m} \sum_{j=1}^{d} \|\partial_{x_i}^{m-1} \partial_{x_j} g\|_{\infty,2}) \right) \mathcal{D}.$$
### 3.3. Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

*Démonstration.* On a les contrôles suivants :

<table><tr><td>$$ \|\partial_{x_i}^k A g\|_2 \le C \tau^{-2k} \sqrt{\mathcal{D}} $$</td><td>pour $0 \le k \le s$,</td></tr><tr><td>$$ \|\partial_{x_i}^{k-1} S_{j,l} A g\|_2 \le C \tau^{-2k+\frac{1}{2}} \sqrt{\mathcal{D}} $$</td><td>pour $1 \le k \le s$,</td></tr><tr><td>$$ \|\partial_{x_i}^k g\|_2 \le C \tau^{-2k+\frac{1}{2}} \sqrt{\mathcal{D}} $$</td><td>pour $1 \le k \le s$,</td></tr><tr><td>$$ \|\partial_{x_i}^{k-1} S g\|_2 \le C \tau^{-2k+1} \sqrt{\mathcal{D}} $$</td><td>pour $1 \le k \le s$,</td></tr><tr><td>$$ \|\partial_{x_i}^{k-1} A^2 g\|_2 \le C \tau^{-2k+\frac{3}{2}} \sqrt{\mathcal{D}} $$</td><td>pour $1 \le k \le s$.</td></tr></table>

On va également utiliser les contrôles suivants :

$$ |\partial_{x_i}^m U g(x, \cdot)| \le C |J_{\partial_{x_i}^m g}(x)| \le \begin{cases} C \|Ag(x, \cdot)\|_{L_v^2} \le C \sqrt{\mathcal{D}} & \text{pour } m=0, \\ C \|\partial_{x_i}^m g(x, \cdot)\|_{L_v^2} \le C \tau^{-2m+\frac{1}{2}} \sqrt{\mathcal{D}} & \text{pour } 1 \le m \le s, \end{cases} \quad (3.18) $$

ainsi que, pour $m \ge 1$:

$$ \begin{aligned} |\partial_{x_i}^{m-1} S_{j,l} U g(x, \cdot)| &\le C(|J_{\partial_{x_i}^{m-1} \partial_{x_j} g}(x)| + |J_{\partial_{x_i}^{m-1} \partial_{x_l} g}(x)|) \le C \tau^{-2m+\frac{1}{2}} \sqrt{\mathcal{D}}, \\ |\partial_{x_i}^{m-1} A U g(x, \cdot)| &\le C |J_{\partial_{x_i}^{m-1} g}(x)| \le C \tau^{-2m+2} \sqrt{\mathcal{D}}. \end{aligned} $$

On a même un facteur $\tau^{-2m+\frac{5}{2}}$ lorsque $m \ge 2$ mais on n'en aura pas besoin.

Pour le cas $k=0$ on obtient, en utilisant l'inégalité de Poincaré sur $\mathcal{S}$ :

$$ \begin{aligned} |R_{\mathrm{Id}}| &= \frac{1}{d} \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (Ag)(Ug)g \right| \le C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (Ag)(Ug)(g - \Pi g) \right| + C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (Ag)(Ug)\Pi g \right| \\ &\le C \int_{\mathbb{R}^d} \|J_g\|_{\infty} \int_{\mathcal{S}} |Ag(x, v)||g(x, v) - \Pi g)| dv dx + C \left| \int_{\mathbb{R}^d} \Pi_g \int_{\mathcal{S}} g A U g dx \right| \\ &\le C \|Ag\|_2^2 \|J_g\|_{\infty} + C \left| \int_{\mathbb{R}^d} \Pi_g |J_g|^2 dx \right| \le C (\|J_g\|_{\infty} + \|\Pi g\|_{\infty}) \mathcal{D}. \end{aligned} $$

Pour le cas $k \ge 1$, on commence par traiter le cas de $R_{\partial_{x_i}^{2k}}$, en utilisant la formule de Leibniz, et le fait que si $0 \le m \le k$, soit $m$ soit $k-m$ est inférieur à $\frac{k}{2}$ et alors l'autre est supérieur ou égal à 1, ce qui permet d'utiliser (3.18) (avec $m \ge 1$):

$$ \begin{aligned} |R_{\partial_{x_i}^{2k}}| &= \frac{1}{d} \left| \sum_{m=0}^{k} \binom{k}{m} \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (\partial_{x_i}^k A g) (\partial_{x_i}^m U g) \partial_{x_i}^{k-m} g \, dv \, dx \right| \\ &\le C \sum_{m=0}^{k} \int_{\mathbb{R}^d} \|\partial_{x_i}^m g(x, \cdot)\|_{L_v^2} \|\partial_{x_i}^k A g(x, \cdot)\|_{L_v^2} \|\partial_{x_i}^{k-m} g(x, \cdot)\|_{L_v^2} \, dx \\ &\le C \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+\frac{1}{2}} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty, 2} \mathcal{D}. \end{aligned} $$
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

Puis, en utilisant que $AS^2 = S^2A + 2TS$, on a de la même manière

$$
\begin{align*}
|R_{\partial_{x_i}^{2k-2} S^2}| &= \frac{1}{d} \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{2k-2} AS^2 g)(Ug)g \right| \\
&\le C \left( \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{2k-2} TSg)(Ug)g \right| + \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \sum_{j<\ell} \partial_{x_i}^{2k-2} S_{j,\ell} Ag(S_{j,\ell}(Ug)g + UgS_{j,\ell}g) \right| \right) \\
&\le C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{k-1} Tg) \sum_{m=1}^k (\partial_{x_i}^{m-1}(SUg)\partial_{x_i}^{k-m}g + \partial_{x_i}^{k-m}Ug\partial_{x_i}^{m-1}Sg) \right| \\
&\quad + C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} \sum_{j<\ell} \partial_{x_i}^{k-1} S_{j,\ell} Ag \sum_{m=1}^k (\partial_{x_i}^{m-1} S_{j,\ell}(Ug)\partial_{x_i}^{k-m}g + \partial_{x_i}^{k-m}Ug\partial_{x_i}^{m-1}S_{j,\ell}g) \right|.
\end{align*}
$$

Et en utilisant que $\|Tg\|_{L^2} \le \|\nabla_x g\|_{L^2}$, on obtient pour $\tau \le 1$

$$
\begin{align*}
|R_{\partial_{x_i}^{2k-2} S^2}| &\le C \tau^{-2k+\frac{1}{2}} \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+\frac{1}{2}} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+\frac{1}{2}} \sum_j \|\partial_{x_i}^{m-1} J_{\partial_{x_j} g}\|_{\infty} \right. \\
&\qquad \left. + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+\frac{1}{2}} \|\partial_{x_i}^{m-1} Sg\|_{\infty,2} + \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+1} \|\partial_{x_i}^m J_g\|_{\infty} \right) \mathcal{D} \\
&\le C \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+1} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+1} \sum_j \|\partial_{x_i}^{m-1} \partial_{x_j} g\|_{\infty,2} \right) \mathcal{D}.
\end{align*}
$$

On procède de même pour $R_{\partial_{x_i}^{2k-2}(AS+SA)}$, en utilisant que $AS + SA = 2SA + (d-1)T$ :

$$
\begin{align*}
|R_{\partial_{x_i}^{2k-2}(AS+SA)}| &= \frac{1}{d} \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{2k-2}(2SA + (d-1)T)g) A((Ug)g) \right| \\
&\le C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{k-1} SAg) \sum_{m=1}^{k} (\partial_{x_i}^{m-1}(AUG)\partial_{x_i}^{k-m}g + \partial_{x_i}^{k-m}Ug\partial_{x_i}^{m-1}Ag) \right| \\
&\quad + C \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}} (\partial_{x_i}^{k-1} Tg) \sum_{m=1}^{k} (\partial_{x_i}^{m-1}(AUG)\partial_{x_i}^{k-m}g + \partial_{x_i}^{k-m}Ug\partial_{x_i}^{m-1}Ag) \right|.
\end{align*}
$$

En faisant de nouveau attention aux parenthèses comme en (3.14), on obtient pour $\tau \le 1$:

$$
\begin{align*}
|R_{\partial_{x_i}^{2k-2}(AS+SA)}| &\le C \tau^{-2k+\frac{1}{2}} \left( \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+\frac{1}{2}} \|J_{\partial_{x_i}^{m-1}g}\|_{\infty} + \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+2} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} \right. \\
&\qquad \left. + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m)+\frac{1}{2}} \|\partial_{x_i}^{m-1} Ag\|_{\infty} + \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-2(k-m-1)} \|J_{\partial_{x_i}^m g}\|_{\infty} \right) \\
&\le C \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+\frac{5}{2}} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+1} \|\partial_{x_i}^{m-1} Ag\|_{\infty,2} \right) \mathcal{D}.
\end{align*}
$$
### 3.3. Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

Le dernier terme à traiter est $R_{\partial_{x_i}^{2k-2}A^2}$, qui est très similaire.

$$ egin{aligned} |R_{\partial_{x_i}^{2k-2}A^2}| &= \frac{1}{d} \left| \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (\partial_{x_i}^{2k-2} A^2 g) A((Ug)g) \right| \\ &\le C \left| \sum_{m=0}^{k-1} \int_{\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}} (\partial_{x_i}^{k-1} A^2 g) \sum_{m=1}^{k} (\partial_{x_i}^{m-1}(AUg)\partial_{x_i}^{k-m}g + \partial_{x_i}^{k-m}Ug\partial_{x_i}^{m-1}Ag) \right| \\ &\le C \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+\frac{7}{2}} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} + \sum_{m=1}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor} \tau^{-4k+2m+2} \|\partial_{x_i}^{m-1} Ag\|_{\infty,2} \right) \mathcal{D}. \end{aligned} $$

En sommant toutes ces estimations avec les puissances de $\tau$ associées, on obtient le résultat voulu. On remarque que dans tous les termes sauf $R_{\partial_{x_i}^{2k-2}S^2}$, on obtient au moins un facteur $\tau^{1/2}$ supplémentaire pour les termes de type $\|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2}$. Les termes $(SU)g$ sont estimés par $\|\nabla_x J_g\|$ dans tous les cas (que ce soit pour l'intégrer à une norme $L_x^\infty(L_v^2)$ ou à une norme $L^2$), et ce sont seulement ces cas qui empêchent d'obtenir ce facteur $\tau^{1/2}$ additionnel. $\square$

On veut maintenant transformer ces estimations à l'aide de l'énergie $\mathcal{F}$. On a les contrôles suivants :

$$ egin{array}{ll} \|\partial_{x_i}^k g\|_2 \le C\tau^{-2k}\sqrt{\mathcal{F}} & \text{pour } 0 \le k \le s \\ \|\partial_{x_i}^{k-1} Ag\|_2 \le C\tau^{-2k+\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{F}} & \text{pour } 1 \le k \le s. \end{array} $$

En particulier, pour $m \ge 0$, et $m \le k \le s$, on a pour $\tau \le 1$

$$ egin{aligned} \|\partial_{x_i}^m g\|_{H^{k-m,0}} &\le C\tau^{-2k}\sqrt{\mathcal{F}}, \\ \|\partial_{x_i}^{m-1} Ag\|_{H^{k-m,0}} &\le C\tau^{-2k+\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{F}}. \end{aligned} $$

On utilise $|\partial_{x_i} \|g(x, \cdot)\|_{L_v^2}| \le \|\partial_{x_i} g(x, \cdot)\|_{L_v^2}$ et les injections et interpolations de Sobolev pour obtenir, pour $0 \le m < s - \frac{d}{2}$

$$ egin{aligned} \|\partial_{x_i}^m g\|_{\infty,2} &\le C \|\partial_{x_i}^m g\|_{H^{\frac{d}{2}+\varepsilon,0}} \le C \|\partial_{x_i}^m g\|_{H^{s-m,0}}^{\frac{\frac{d}{2}+\varepsilon}{s-m}} \|\partial_{x_i}^m g\|_{H^{0,0}}^{\frac{s-m-\frac{d}{2}+\varepsilon}{s-m}} \\ &\le C\tau^{-2m\frac{s-m-\frac{d}{2}+\varepsilon}{s-m}-2s\frac{\frac{d}{2}+\varepsilon}{s-m}} \sqrt{\mathcal{F}} = C\tau^{-2m-d-2\varepsilon}\sqrt{\mathcal{F}}, \end{aligned} \quad (3.19) $$

et de même pour $1 \le m < s - \frac{d}{2}$ :

$$ egin{align} \|\partial_{x_i}^{m-1} Ag\|_{\infty,2} &\le C\tau^{-2m+\frac{3}{2}-d-2\varepsilon}\sqrt{\mathcal{F}}, \tag{3.20} \\ \|\partial_{x_i}^{m-1} \partial_{x_j} g\|_{\infty,2} &\le C\tau^{-2m-d-2\varepsilon}\sqrt{\mathcal{F}}. \tag{3.21} \end{align} $$

On peut donc obtenir la stabilité de l'équilibre homogène isotrope, en norme $H^{s,1}$ suffisamment élevée.

**Théorème 3.3.** On fixe $\tau = 1$, et on prend $s \ge d$ si d'impair ou $s \ge d+1$ si d'pair, ainsi que des coefficients donnés par la Proposition 3.3. Alors il existe $\eta > 0$ telle que pour toute condition initiale $g_0 \in L^\infty(\mathbb{R}^d \times \mathcal{S}) \cap H^{s,1}(\mathbb{R}^d \times \mathcal{S})$ vérifiant $\mathcal{F}(1, g_0) < \eta$, la solution $f$ de l'équation (3.1) avec condition initiale $f_0 = \rho + g_0$ est globale, et l'énergie $\mathcal{F}(1, f - \rho)$ est décroissante en temps. Sur le tore, si $\rho$ est la moyenne de $f_0$, alors l'énergie est exponentiellement décroissante.
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

Démonstration. On a ⌊s/2⌋ < s − d/ 2, donc d'après les estimations (3.19)-(3.21) et celles de la proposition 3.4, on obtient pour τ = 1

$$
\mathcal{R}_k^\rho(\tau, g) \le C\sqrt{\mathcal{F}}\mathcal{D}.
$$

On a donc d'après les Propositions 3.2 et 3.3, on a

$$
\frac{d}{dt} \mathcal{F} \le -(2 - \varepsilon - C\sqrt{\mathcal{F}})\mathcal{D},
$$

ce qui assure la décroissance de l'énergie si elle est initialement assez petite. Ceci donne alors une borne sur F et ainsi sur ‖ J$_{g}$ ( t, · ) ‖ = ‖ J$_{f}$ ( t, · ) ‖ ∞ par injections de Sobolev, ce qui fait que la norme infinie de f ne peut pas exploser en temps fini, par l'estimation du théorème 3.1. La convergence exponentielle sur le tore découle de l'inégalité de Poincaré en espace.

Sur R $^{d}$, on n'a pour l'instant pas de critère pour obtenir une vitesse de convergence vers l'équilibre : sans contrôle de la norme L 1 de g , on ne peut pas appliquer l'inégalité de Nash pour obtenir une décroissance en t − d 2 comme on pourrait s'y attendre.

On n'a pas non plus utilisé ici la régularisation en temps court : les injections de Sobolev font apparaître des puissances de τ qui ne sont pas intégrables. Cependant, on peut, dans le cas où la condition initiale ne dépend que d'une variable, obtenir une régularité H 1 à partir de condition initiale L ∞ ∩ L 2 suffisamment petite :

**Théorème 3.4.** *Si* f₀ ne dépend que d'une dimension d'espace, alors il existe η > 0 telle que *si* ‖f₀ − ρ‖₂ et ‖f₀ − ρ‖_∞ sont suffisamment petites, alors la solution de l'équation (3.1) avec condition initiale f₀ est globale, et l'énergie F (min(t, 1), f(t, ·) − ρ) est décroissante en temps. Sur le tore, si ρ est la moyenne de f₀, alors l'énergie est exponentiellement décroissante pour t ≥ 1.

Idée de la preuve. La première chose à faire est d'obtenir des estimations en norme L∞ directement pour g = f₀ − ρ, en utilisant le principe du maximum pour (3.16). On obtient alors que pour ‖ g₀ ‖∞ suffisamment petit, alors ‖ g ‖∞ reste petit pour tout t ∈ [0 , 1]. Comme les estimations sur R 0 et R 1 sont contrôlées par ‖ g ‖ L∞ x ( L 2 $_{v}$) D, c'est suffisant pour avoir la décroissance de F pour t ∈ [0 , 1]. Et alors à partir de t = 1, on a que ‖ g ‖ L∞ x ( L 2 $_{v}$) est contrôlée par F (par injections de Sobolev). Si initialement F est suffisamment petite (c'est-à-dire ‖ g ‖ 2 petite), ce contrôle suffit pour assurer également la décroissance de F pour t ≥ 1 sans avoir besoin de borne sur ‖ g ‖∞ . Et à partir de t ≥ 1 cela donne donc une borne sur ‖ J$_{g}$ ‖∞ uniforme en temps, ce qui suffit pour obtenir l'existence globale d'une solution (pas forcément uniformément bornée en temps pour la norme infinie). Si on a accès à une inégalité de Poincaré, alors l'énergie est exponentiellement décroissante (et donc ‖ J$_{g}$ ‖∞ aussi), ce qui assure également que ‖ g ‖∞ reste bornée uniformément en temps.

**Perspectives** Ce travail est une première approche pour la compréhension du comportement en temps long du modèle inhomogène. L'objectif était d'obtenir des résultats de convergence vers l'équilibre pour un modèle d'alignement purement local. Lorsque Jf est remplacé par K * Jf où K est un noyau d'observation (ce qui correspond à une limite de champ moyen pour le système de particules), on peut utiliser la régularité de K pour obtenir des estimations sur K * Jf , et ainsi obtenir directement l'existence globale de solutions (et alors également leur régularité instantanée en temps court, par les estimations d'hypoellipticité). On peut alors se demander ce qui se passe dans le cas intermédiaire, en fonction de la singularité de K. On peut comparer notre travail avec l'article [KS21], où l'alignement est également local (mais avec un autre mécanisme correspondant
### 3.3. Stabilité non-linéaire de l'équilibre isotrope jusqu'au seuil de transition de phase

à ceux étudiés dans les sections 7.1 et 8.1, sans terme de gradient en $v$). Si j'ai bien compris, leur analyse nécessite d'être suffisamment loin du seuil de transition et est traitée avec une norme $H^2$ en dimension $d = 2$. Dans notre cas, on aurait a priori besoin de $H^{3,1}$, avec trois dérivées en $x$ et une seule en $v$, et on traite le cas de tous les équilibres uniformes jusqu'au seuil de transition. Plusieurs axes sont possibles pour améliorer les estimations que nous obtenons. On peut probablement obtenir une amélioration par régularisation comme on l'a fait pour le cas du théorème 3.4, dans des dimensions plus grandes que 1, en considérant des poids variables à partir seulement d'un certain degré (et en partant d'une solution plus régulière que $L^2 \cap L^\infty$). On a également cherché, sans succès pour l'instant, à inclure des effets de type lemmes de moyennes cinétiques (notre cadre de vitesses contraintes sur la sphère est parfaitement adapté pour cela) qui ont vraisemblablement des chances de donner de meilleures estimations pour $J_f$ par exemple.

La question naturelle suivante est de comprendre ce qui se passe au voisinage de solutions de type von Mises. On a alors toujours le même problème de la non-unicité de l'équilibre. Lorsqu'on est sur le tore, il y a également des effets dûs à la géométrie (on n'a pas invariance par rotation par exemple). La présence de structures périodiques en temps long dans les simulations numériques (voir la figure 3.1, voir aussi [CGGR08, GM19]), pour des conditions initiales plus concentrées, ou une densité supérieure au seuil critique, est également une indication de la difficulté supplémentaire lorsqu'on cherche à étendre ce travail au voisinage de solutions de type von Mises. Des travaux en cours en collaboration avec Anton Arnold, Sara Merino-Aceituno, Christian Schmeiser et Raphaël Winter visent comprendre les mêmes phénomènes d'hypocoercivité pour l'équation d'alignement de type BGK, on s'intéresse en particulier à la bifurcation au voisinage du seuil critique.

Le modèle étudié dans ce chapitre, dans le cas de la dimension 2, est également lié au modèle de Kuramoto (la version homogène en espace est la même) pour lequel des approches de type amortissement Landau ont été récemment proposées [DFGV18]. Des discussions ont eu lieu avec Helge Dietert, Bastien Fernandez et David Gérard-Varet à ce sujet, et il est probable que ces approches pourraient être fructueuses dans ces modèles de particules autopropulsées. J'ai aussi commencé à travailler dans cette direction avec Daniel Han-Kwan et Ning Jiang pour le modèle d'alignement de type BGK avec normalisation.

En règle générale, les phénomènes en temps long dans une équation cinétique de ce type sont encore très mal compris, et en pratique on n'a pas encore un panorama de solutions numériques permettant au moins de distinguer les différents types de comportements en temps long que l'on peut espérer obtenir. Nous travaillons actuellement avec Émeric Bouin, Quentin Griette et Sébastien Motsch à obtenir des simulations numériques typiques, en particulier en dimension 1 d'espace sur $\mathbb{R}$ (avec par exemple deux équilibres lorsque $x \to -\infty$ et $x \to +\infty$). La difficulté est que les comportements peuvent changer avec des petites modifications du modèle (comme on va le voir dans la section 5.1 pour l'hyperbolicité des modèles macroscopiques associés), et nous espérerions pouvoir avoir un panorama des comportements différents pour une classe raisonnable de modèles (comme ceux présentés dans la section 1.1 pour différentes fonctions $v$ et $\sigma$). Deux cas qui ont l'air d'avoir un comportement assez stable sont les suivants :

- un équilibre uniforme (de masse $\rho_L < \rho_c$) en $x \to -\infty$, et de même lorsque $x \to +\infty$ (de masse $\rho_R < \rho_c$); on s'attend à ce que la solution converge vers un profil autosimilaire en échelle diffusive,

- un équilibre uniforme (de masse $\rho_L < \rho_c$) en $x \to -\infty$, et un équilibre de von Mises, dont la direction de concentration est dirigée vers les $x$ positifs; dans ce cas on observe un profil asymptotique se propageant à vitesse fixe et laissant derrière lui une densité constante $\rho_B < \rho_c$, a priori pas reliée à $\rho_c$.
Chapitre 3. Vers les modèles inhomogènes : hypocoercivité et stabilité de l'équilibre isotrope

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Illustration d’un phénomène d’apparition de solutions périodiques. Le modèle présenté dans ce chapitre est simulé (par différences finies) pour une distribution initiale proche d’une distribution de von Mises (modérément concentrée, on a $\kappa = 3$ ici, autour d’un angle proche de 0) constante en espace, qui est un équilibre stable pour le modèle homogène en espace. On suppose ici que la solution ne dépend que d’une variable d’espace $x \in [-5, 5]$ avec conditions périodiques au bord. Après une première phase de régularisation en temps très court, on observe l’apparition d’instabilités qui prennent la forme de « bandes » concentrées se déplaçant sur une zone de densité inférieure à $\rho_c$ (et pour laquelle la distribution est proche de l’uniforme). Les bandes finissent souvent par se regrouper en une seule. En bleu, on trace la densité $\rho_f$, en vert la première coordonnée de $J_f \in \mathbb{R}^2$. Le graphique de droite représente la densité en $x, \theta$ où $\theta \in [-\pi, \pi]$. Les bandes se propagent environ à vitesse 1, le deuxième graphique correspond donc à l’état après une douzaine de « traversées » du domaine, le troisième après une quarantaine.</figcaption></figure>
# Deuxième partie

## Dérivation et étude de modèles macroscopiques
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Chapitre 4. Méthodes de moments pour la dérivation de modèles fluides

Après changement d'échelle $(t, x) \rightsquigarrow (\varepsilon t, \varepsilon x)$ on considère alors l'équation

$$
\begin{align}
\partial_t f^\varepsilon + v \cdot \nabla_x f^\varepsilon &= \frac{1}{\varepsilon} (-\nu(|J_{f\varepsilon}|)\nabla_v \cdot (\nabla_v(\Omega_{f\varepsilon} \cdot v)f^\varepsilon) + \sigma(|J_{f\varepsilon}|)\Delta_v f^\varepsilon) + O(\varepsilon) \nonumber \\
&= \frac{\sigma(|J_{f\varepsilon}|)}{\varepsilon} \nabla_v \cdot \left( M_{k(|J_{f\varepsilon}|)\Omega_{f\varepsilon}} \nabla_v \left( \frac{f}{M_{k(|J_{f\varepsilon}|)\Omega_{f\varepsilon}}} \right) \right) + O(\varepsilon), \tag{4.1}
\end{align}
$$

où $\Omega_{f\varepsilon} = \frac{J_{f\varepsilon}}{|J_{f\varepsilon}|}$, $k(|J_{f\varepsilon}|) = \frac{\nu(|J_{f\varepsilon}|)}{\sigma(|J_{f\varepsilon}|)}$, et le terme en $O(\varepsilon)$ provient du second moment de $K$ (et du fait que son premier moment est nul) : à l'ordre principal, l'opérateur de collision est local en espace (c'est celui que l'on a étudié dans la section 1.1) et on connaît ses équilibres. Ce sont des fonctions de la forme $\rho M_{\kappa(\rho)\Omega}$, où $\kappa(\rho)$ est une solution de l'équation de compatibilité scalaire $j(\kappa) = \rho c(\kappa)$ présentée dans la section 1.1. On cherche donc, en supposant que la fonction $f^\varepsilon$ converge vers une telle fonction $f^0 = \rho M_{\kappa(\rho)\Omega}$ avec $\rho$ et $\Omega$ dépendant de $t$ et $x$, à déterminer les équations d'évolution de $\rho$ et $\Omega$. On a un invariant collisionnel naturel (la conservation de la masse) qui donne l'évolution de $\rho$ :

$$
\partial_t \rho + \nabla_x \cdot (\rho c(\kappa(\rho))\Omega) = 0. \quad (4.2)
$$

On n'a par contre pas d'autre invariant qui donnerait l'évolution de Ω. On procède alors
similairement à l'article [DM08] dans lequel les invariants collisionnels généralisés (GCI) ont été
introduits (ou plus précisément, comme dans [F2] où dans le cadre de ma thèse, j'avais adapté
la méthode au cas de paramètres dépendant de ρ). On définit, pour κ > 0 et Ω ∈ S (avec les
notations de la section 1.1) l'opérateur linéaire LκΩ par la formule

$$
\mathcal{L}_{\kappa\Omega}(f) = -\nu(j(\kappa))\nabla_v \cdot (f \nabla_v(\Omega \cdot v)) + \sigma(j(\kappa))\Delta_v f = \sigma(j(\kappa))\nabla_v \cdot \left( M_{\kappa\Omega} \nabla_v \left( \frac{f}{M_{\kappa\Omega}} \right) \right)
$$

(qui correspond à l'opérateur de collision lorsque $\kappa = k(|J_f|)$ et $\Omega = \Omega_f$) et l'ensemble $C_{\kappa\Omega}$ des
GCI associés à $\kappa$ et $\Omega$ :

$$
C_{\kappa\Omega} = \left\{ \psi \mid \int_{S} \mathcal{L}_{\kappa\Omega}(f) \psi \, dv = 0, \forall f \text{ telle que } P_{\Omega^{\perp}} J_f = 0 \right\}. \quad (4.3)
$$

Ainsi, si $\psi$ est un GCI pour $\kappa$ et $\Omega$, alors pour toute fonction $f$ telle que $k(|J_f|) = \kappa$ et $\Omega_f = \Omega$, l'intégrale de $\psi$ contre l'opérateur de collision est nulle. On obtient que les GCI sont de la forme $C + h_\kappa(v \cdot \Omega)v \cdot A$ où $h_\kappa$ est la solution d'une équation elliptique, et $A$ est un vecteur arbitraire orthogonal à $\Omega$ (on obtient bien un espace de même dimension que le nombre de paramètres macroscopiques dont on recherche l'évolution). En écrivant $\psi_{\kappa\Omega}(v) = h_\kappa(v \cdot \Omega)P_{\Omega\perp}v$, on obtient que l'intégrale de $\psi_{k(|J_{f\varepsilon}|)\Omega_{f\varepsilon}}$ contre l'opérateur de collision est nulle, ce qui donne

$$
\int_{\mathbb{S}} (\partial_t f^\varepsilon + v \cdot \nabla_x f^\varepsilon) \psi_{k(|J_{f\varepsilon}|)\Omega_{f\varepsilon}} \, dv = O(\varepsilon).
$$

En supposant que $f^\varepsilon \to \rho M_{\kappa(\rho)\Omega}$, on obtient formellement à la limite l'équation d'évolution pour $\Omega$, qui s'écrit

$$
\rho (\partial_t \Omega + \tilde{c} (\Omega \cdot \nabla_x) \Omega) + \Theta P_{\Omega \perp} \nabla_x \rho = 0, \quad (4.4)
$$

où $\tilde{c}$ et $\Theta$ sont des fonctions (définies à l'aide de la fonction $h_\kappa$) qui dépendent uniquement de $\kappa(\rho)$. Le modèle (4.2)-(4.4) est appelé modèle SOH (pour « Self-Organized Hydrodynamics ») et correspond au modèle dérivé initialement dans [DM08], avec des coefficients dépendants de $\rho$. Cette méthode fonctionne pour une branche d'équilibres pour lesquels $\kappa > 0$. Pour l'équilibre isotrope, il n'y a qu'un paramètre $\rho$, dont l'équation d'évolution à la limite est $\partial_t \rho = 0$. Pour avoir plus d'informations, on peut pousser le développement à l'ordre supérieur, et on obtient que la correction d'ordre $\varepsilon$ est une diffusion (non-linéaire) de coefficient $\frac{\varepsilon \rho_c}{(d-1)d\sigma(0)(\rho_c - \rho)}$ (qui n'est de signe positif qu'en dessous du seuil critique $\rho_c$).