# Formulation analytique de la dynamique de déploiement d'un hexapode spatial

Gwenaelle Aridon, Ahmad Al Majid, Didier Remond, Régis Dufour

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Gwenaelle Aridon, Ahmad Al Majid, Didier Remond, Régis Dufour. Formulation analytique de la dynamique de déploiement d'un hexapode spatial. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01504285

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# Formulation analytique de la dynamique de déploiement d'un hexapode spatial

Gwenaëlle Aridon * — Ahmad Al Majid ** — Didier Rémond * — Régis Dufour *

* LaMCoS, INSA-Lyon, CNRS UMR5259, F-69621, France

gwenaelle.aridon@insa-lyon.fr

** University of Aleppo, Aleppo, Syria

RÉSUMÉ. Les nouveaux enjeux de l'activité spatiale nécessitent le développement de structures déployables : leur encombrement réduit et leur faible masse sont des atouts lors du lancement et accroissent l'agilité lors de leur fonctionnement. Pour les applications optiques et dans un souci d'optimisation des performances en terme d'exactitude et de stabilité, la dynamique du déploiement doit être maîtrisée. Ce papier présente une nouvelle formulation d'un modèle dynamique direct dont le but est d'être un outil efficace de prévision du comportement d'un hexapode déployable. Le nombre de changement de coordonnées est réduit grâce à l'utilisation de six modèles phénoménologiques décrivant les actionneurs. De plus, la notation tensorielle condense l'écriture des équations du modèle basé sur une formulation Lagrangienne.

ABSTRACT. New deals of spatial engineering requires the development of deployable structures as their small volume and their light mass are appreciable advantages during the launch. Moreover, their agility is increased in space. In order to use them for optical applications and to optimize their deployment accuracy and dynamic stability, the deployment dynamics must be controlled. This paper presents a new formulation of a direct dynamic model for predicting with efficiency and reliability hexapod deployment. Using six phenomenological models for the actuators reduces the number of coordinate changes. Furthermore, the tensor notation condenses the equation expressions of the model established with a Lagrangian formulation.

MOTS-CLÉS : Robot parallèle, modèle dynamique direct, modèle de force de restitution.

KEYWORDS: Parallel robot, dynamic forward model, restoring force model.
# 1. Introduction

Les structures déployables de par leur masse et encombrement réduit sont avantageuses pour des applications spatiales où gain de place pendant le lancement et agilité en fonctionnement sont recherchés. Par ailleurs, l'hexapode est un manipulateur parallèle de plus en plus utilisé lorsque est exigée une commande des six degrés de liberté (DDL) de la charge utile attachée à la plate-forme supérieure (simulateurs de conduite ou de vol, robots médicaux, machines-outils, télescopes, ...) (Merlet, 1997). Par conséquent, les hexapodes sont des moyens efficaces pour positionner précisément des systèmes de toutes tailles. Ainsi, pour répondre aux nouveaux enjeux spatiaux, Alcatel Alénia Space s'est inspiré d'une architecture parallèle pour concevoir un hexapode déployable et contrôlable selon six DDL (Blanchard et al., 2005).

La recherche en robotique se concentre sur l'établissement de modèles dynamiques inverses (MDI) et directs (MDD) pour la commande de robots rapides. Le MDI lie les forces articulaires à l'accélération de la plate-forme. La réciproque est le MDD. La difficulté réside dans la résolution analytique du MDD en raison de la structure à géométrie fermée et des contraintes cinématiques. Trois approches principales se distinguent pour résoudre la dynamique des structures parallèles : le formalisme de Newton-Euler dans lequel chaque pièce du robot est considérée comme un sous-système, le principe des travaux virtuels qui fait intervenir la relation cinématique entre liaisons et espace de travail (Liu et al., 2000) et l'approche Lagrangienne qui implique un lourd calcul de dérivées partielles (Lee et al., 1998). La réduction des temps de calcul a motivé d'autres travaux (Kim et al., 1992) (Reboulet et al., 1991) (Khalil et al., 2004).

Cet article présente un modèle dynamique 3D du déploiement d'un hexapode basé sur une formulation matricielle avec l'approche Lagrangienne afin de disposer d'un outil de simulation pour prévoir et par la suite maîtriser le comportement du déploiement. Le nombre de changements de coordonnées est réduit en raison de l'utilisation d'un modèle phénoménologique décrivant chaque actionneur. En outre, la notation tensorielle est adoptée pour condenser l'écriture des équations. Le résultat final est comparé à celui provenant du formalisme de Newton-Euler.

# 2. Géométrie de l'hexapode

L'hexapode est composé d'une plate-forme supérieure supportée par six actionneurs originaux constitués d'enrouleurs à rubans déployables. Dans cette étude, les articulations sont sphériques à l'instar d'une plate-forme de Gough (Merlet, 1997). Les lieux d'attache des actionneurs sont les points $A_i$ de la plate-forme supérieure de rayon $r$ et $B_i$ de la base de rayon $R$. S'agissant d'un hexapode, la symétrie cyclique $2\Pi/3$ est exploitée. Les points sont définis dans le repère de référence $O, z_1, z_2, z_3$. Un repère local $C, X_1, X_2, X_3$, est lié au centre d'inertie de la plate-forme supérieure, et le repère $C, x_1, x_2, x_3$ est colinéaire à $O, z_1, z_2, z_3$.
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1. Définition des notations</figcaption></figure>

<caption>Figure 2. Boucle d'hystérésis d'un actionneur</caption>

### 3. Développement des énergies

Les équations finales du mouvement vont être exprimées à partir du vecteur $\vec{v}$ des coordonnées généralisées de la plate-forme, $\vec{v} = (u_3, u_3, u_3, \phi_1, \phi_2, \phi_3)^T$. La plate-forme de l'hexapode mue par six actionneurs dont chacun se compose d'une butée de fin de course, d'un enrouleur et fournit une force de restitution.

#### Plate-forme

L'énergie cinétique de la plate-forme $T_P$ prend en compte l'accélération de Coriolis et le couplage des trois rotations $\phi_1, \phi_2, \phi_3$.

$$T_P = \frac{1}{2} m \dot{u}^2 + \frac{1}{2} (I_h + I_d)(\dot{\phi}_1^2 + \dot{\phi}_2^2) + \frac{1}{2} I_p \dot{\phi}_3^2 + [(-I_d + I_h)\phi_1 \dot{\phi}_2 + (I_d - I_h)\phi_2 \dot{\phi}_1] \dot{\phi}_3 \quad [1]$$

où $I_d = \frac{1}{4}mr^2$, $I_p = \frac{1}{2}mr^2$, $I_h = \frac{1}{12}mh^2$ et h l'épaisseur de la plate-forme.

#### Forces de restitution des actionneurs

Les actionneurs présentent un comportement hystérétique (Fig.2) avec une force de déploiement inférieure à la force de repliement. Le modèle de force de restitution d'Al Majid [6] basé sur le modèle de Dahl généralisé permet de modéliser ce comportement. Ainsi, l'hexapode déployable est modélisé par une plate-forme mue par six forces de restitution $R_i$ fournies par les actionneurs et orientées selon $A_i B_j$ et appliquées sur $A_i$ (Fig. 1). Elles sont décrites par l'équation différentielle suivante :

$$\dot{R}_i = \beta \cdot \dot{w}_i \cdot (h(w_i, \dot{w}_i) - R_i \cdot \operatorname{sgn}(\dot{w}_i)) \quad [2]$$

L'élongation des actionneurs $w_i$ est définie comme la projection de $\overrightarrow{A_0A}$ sur $\vec{e}$ le vecteur unité de $\overrightarrow{AB}$. Le paramètre $\beta$ agit sur l'enveloppe de la boucle d'hystérésis.
La fonction affine $H$ borne la boucle d'hystérésis. Ces paramètres nécessitent une caractérisation expérimentale des actionneurs (Aridon et al., 2006). L'intégration analytique de ces forces permet d'établir l'énergie potentielle $U_F$. Celle-ci est exprimée en utilisant l'approche d'Einstein en calcul tensoriel (convention de sommation sur les index répétés) :

$$U_F = -\int R_i dw_i \qquad [3]$$

## Butées de fin de course des actionneurs

Les butées de fin de course sont modélisées par des ressorts (de raideur $K$) et amortisseurs (d'amortissement $a$) longitudinaux inactifs tant que la longueur de la jambe est inférieure à la longueur maximale $L_{lim}$. Ceci est réalisé grâce à une fonction d'erreur $erf$.

$$\bar{K}_{ii} = \frac{1}{2}(K + \operatorname{erf}(\sigma_K(w_i - L_{\lim}))) \quad \text{et} \quad \bar{a}_{ii} = \frac{1}{2}(a + \operatorname{erf}(\sigma_a(w_i - L_{\lim}))) \qquad [4]$$

Les énergies de déformation $U_B$ et dissipative $\mathfrak{R}_B$ sont fonctions de $w_i$ et $\dot{w}_i$ :

$$U_B = \frac{1}{2} \bar{K}_{ij} w_i w_j \quad \text{et} \quad \mathfrak{R}_B = \frac{1}{2} a_{ij} \dot{w}_i \dot{w}_j \qquad [5]$$

## Enrouleurs des actionneurs

La rotation des enrouleurs, modélisés par des cylindres de rayon $r_b$ et d'inertie $I_b$, gouverne la longueur déployée des actionneurs. Avec $\delta_{ij}$ symbole de Kronecker :

$$T_E = \frac{1}{2} \frac{I_b}{r_b^2} \dot{w}_i \dot{w}_j \delta_{ij} \qquad [6]$$

# 4. Equations de mouvement

Il s'agit d'appliquer les équations de Lagrange par rapport à $\vec{v}$, coordonnées généralisées de la plate-forme en prenant en compte la participation des énergies cinétique, de déformation et de dissipation. Les énergies cinétiques donnent :

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial (T_p + T_E)}{\partial \dot{v}_i} \right) - \frac{\partial (T_p + T_E)}{\partial v_i} = (\bar{M}_{lj} + M_{lj}^b) \ddot{v}_j + \left( C_{lj}^c + \left( C_{ljk}^{b1} - \frac{1}{2} C_{lkj}^{b2} \right) \dot{v}_k \right) \dot{v}_j \quad [7]$$

$\bar{M}$ et $C^c$ sont les matrices de masse et de Coriolis de la plate-forme :

$$\bar{M} = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & I_d + I_h & 0 & (I_d - I_h)\phi_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & I_d + I_h & -(I_d - I_h)\phi_1 \\ 0 & 0 & 0 & (I_d - I_h)\phi_2 & -(I_d - I_h)\phi_1 & I_p \end{pmatrix} C^c = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2(I_d - I_h)\dot{v}_6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2(I_d - I_h)\dot{v}_6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad [8]$$
D'autre part, la matrice jacobienne inverse de l'hexapode $g_{jl} = \frac{\partial w_j}{\partial v_l}$ intervient dans la définition de $\gamma_{ilk} = \frac{\partial g_{il}}{\partial v_k}$, $C_{lkj}^{b1} = \frac{I_b}{r_b^2}(\gamma_{ilk} g_{ij} + \gamma_{ijk} g_{il})$, $C_{lkj}^{b2} = \frac{I_b}{r_b^2}(\gamma_{ikl} g_{ij} + \gamma_{ijl} g_{ik})$ et $M_{lj}^{b} = \frac{I_b}{r_b^2} g_{il} g_{ij}$.

Les énergies de déformation donnent :

$$ -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial(U_F + U_B)}{\partial\dot{v}_l}\right) + \frac{\partial(U_F + U_B)}{\partial v_l} = -g_{jl}R_j + K_{lj}v_j \quad [9] $$

avec $K_{lj} = \bar{K}_{ik} g_{kl} g_{ij}$. Le terme $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U_F}{\partial \dot{v}_l}\right)$ est négligé devant $\frac{\partial U_F}{\partial v_l}$ car les actionneurs sont indépendants de la vitesse d'élongation. Enfin, l'énergie de dissipation donne:

$$ \frac{\partial \mathcal{R}_B}{\partial \dot{v}_l} = a_{lj} \dot{v}_j \quad [10] $$

avec $a_{lj} = \bar{a}_{ik} g_{kl} g_{ij}$ et en prouvant que $\frac{\partial w_j}{\partial v_l} = \frac{\partial \dot{w}_j}{\partial \dot{v}_l}$ car :

$$ \dot{w}_j = \frac{dw_j}{dt} = \frac{\partial w_j}{\partial v_k} \frac{dv_k}{dt} = g_{jk} \frac{dv_k}{dt} = g_{jk} \dot{v}_k \quad \text{et} \quad \frac{\partial \dot{w}_j}{\partial \dot{v}_l} = \frac{\partial (g_{jk} \dot{v}_k)}{\partial \dot{v}_l} = g_{jk} \frac{\partial \dot{v}_k}{\partial \dot{v}_l} = g_{jk} \delta_{kl} = g_{jl} \quad [11] $$

Finalement, le déploiement de l'hexapode est gouverné par les équations non-linéaires à coefficients variables suivantes :

$$ M_{lj} \ddot{v}_j + C_{lj} \dot{v}_j + K_{lj} v_j = -P_l + g_{jl} R_j \quad [12] $$

Avec les matrices $M_{lj} = \bar{M}_{lj} + M_{lj}^b$ et $C_{lj} = C_{lj}^c + \left(C_{lkj}^{b1} - \frac{1}{2}C_{lkj}^{b2}\right) \dot{v}_k + a_{lj}$ où l'indice $l$ est dévolu aux six composantes de $\vec{v}$ et $j$ aux six actionneurs. Le vecteur $P_l = (0 \ 0 \ mg \ 0 \ 0 \ 0)^t$ traduit la gravité. L'Equation (11) est le modèle dynamique inverse et prend la forme $M\ddot{v} + C\dot{v} + K\mathbf{v} = \mathbf{F}$. Le modèle dynamique direct s'obtient par inversion :

$$ \ddot{\mathbf{v}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{v}, \dot{\mathbf{v}})(\mathbf{F}(\mathbf{v}, \dot{\mathbf{v}}) - \mathbf{C}(\mathbf{v}, \dot{\mathbf{v}})\dot{\mathbf{v}} - \mathbf{K}(\mathbf{v}, \dot{\mathbf{v}})\mathbf{v}) \quad [13] $$

où $\mathbf{F}(\mathbf{v}, \dot{\mathbf{v}})$ est le vecteur $n \times 1$ tel que : $\mathbf{F} = -\mathbf{P} + \mathbf{g}' \mathbf{R}$

L'élévation du centre d'inertie C de la plate-forme obtenue avec l'approche présentée de Lagrange, Fig. 3, est calculée à l'aide du schéma adaptatif d'Adams-Moulton. La Fig. 4 présente celle obtenue avec la méthode de Newton-Euler et le logiciel Matlab-SimMechanics basée elle aussi sur une plate-forme rigide mue par des forces de restitution. Le comportement général est le même. L'influence de conditions aux limites plus restrictives (liaisons cardans situées en $B_i$ au lieu de liaisons rotules) induit une plus faible accélération (Figure 4).
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 3.** *Elévation pour une configuration rotule-rotule*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 4.** *Elévation pour une configuration cardan-rotule*</figcaption></figure>

**5. Conclusion**

Le modèle dynamique direct de déploiement d'un hexapode proposé est basé sur une approche Lagrangienne, une notation tensorielle qui condense l'écriture des dérivées partielles et un modèle de forces de restitution qui réduit le nombre de changements de coordonnées. Cette association originale devrait permettre une analyse efficace de la sensibilité du déploiement à des paramètres incertains afin de garantir une fiabilité optimale.

Les auteurs remercient Alcatel Alénia Space pour sa participation et son soutien.

**Bibliographie**

Aridon G., Rémond D., Al Majid A., Blanchard L., Dufour R.. « Hysteretic behaviour of tape-spring actuators : Influence on the deployment of a hexapod », *ISMA2006 International Conf. on Noise and Vibration Engineering*, Leuven (Belgium), September 18-20, 2006.

Khalil W., Guegan S., « Inverse and Direct Dynamic Modeling of Gough-Stewart Robots », *IEEE Transactions on Robotics and Automation*, vol. 20, (4), 754-762. Aout, 2004.

Kim S. and Lee S.. « Cartesian space dynamic model of serial-parallel manipulator system and their dynamic performance evaluation ». *Decision and Control*, vol. 1, 327–328. IEEE, 1992.

Liu M.-J., Li C.-X., and Li C.-N.. « Dynamics analysis of the gough-stewart platform manipulator ». *IEEE Transactions on Robotics and Automation*, 16(1), February 2000.

Lee K.-M. and Shah D.. « Dynamic analysis of a three-degrees-of-freedom in parallel actuated manipulator ». *Robotics and Automation*, 4(3), June 1988.

Merlet J.P.. *Les Robots parallèles*. Paris, Hermès, 1997.

Reboulet C. and Berthomieu T.. « Dynamic models of a six degree of freedom parallel manipulators ». *Robots in Unstructured Env.*, vol. 2, 1153–1157. ICAR, 1991.