D'autres étudiants distinguent le niveau d'utilité suivant l'institution de rencontre des exercices :

n° 84 (L-) : « Les exercices traités en TD [4]. Annales [3] (exercices fréquemment tombés). »

n° 85 (L-) : « Exercices vus en TD [4]. Exercices de livres personnels [3]. »

n° 88 (L-) : « Les exercices du TD [4] (éléments importants introduits par un exercice). Les exercices pris dans des livres [3]. Les examens [3]. »

n° 71 (L-) : « Exercices d'entraînement [4] (dans les livres). Annales d'examen [2]. »

n° 73 (L-) : « Les corrigés des examens antérieurs [4]. Les exercices traités en TD [2] (tout dépend de la coordination entre le prof des Cours Magistraux et les profs de TD). Des exercices de livres se rapportant à la matière [1]. »

Notons que parmi les deux étudiants qui ne privilégient pas l'institution TD l'un justifie sa position relativement négative en faisant allusion à l'insuffisante liaison entre progression du cours et exercices abordés en TD.

Une réponse introduit une distinction suivant l'UV concernée :

n° 100 (L-) : « En géométrie : faire des figures [4], étude des cas particuliers [3]. En analyse numérique : maîtrise du calcul numérique [4], connaissance d'algorithmes [3]. En algèbre, Théorèmes [4], TD [4]. En mesure, TD [2]. »

Une autre différencie sa cotation suivant le type de tâches en jeu :

n° 92 (L-) : « Les exercices : Connaissances du cours [4], Méthodes de résolution [3], Bachotage [2], Exercices faits en TD [3]. Les problèmes en lien avec les autres UV : Connaissances de cours d'une seule UV [2], Connaissances de cours de plusieurs UV [4], Méthodes de résolution [2], Exercices tout faits [2]. »

Enfin, un étudiant de L+ (n° 7) attribue les niveaux [4], [3], [2] ou [1] aux exercices selon les cas sans préciser plus avant sa pensée.

Trois élèves de Spéciales citent plusieurs éléments, on remarquera que, si pour les deux premiers, avoir une certaine mémoire des exercices ou de certains exercices est jugé comme indispensable ou souvent utile, la même attitude vis à vis des corrections des problèmes est considérée comme superflue :

n° 114 (MP+) : « Exercices corrigés [3]. Colles [3]. Problèmes corrigés [1]. »

n° 138 (MPo) : « Exercices classiques d'application du cours [4]. Corrections d'exercices [2]. Correction de devoirs faits à la maison [1]. »

n° 170 (MP-) : « Exercices [4]. TD [3]. »

## C.VI. Bilan des observations.

### 1. Récapitulatif des écarts significatifs mis en évidence.

Le tableau ci-dessous récapitule les items pour lesquels nous avons repéré des différences significatives. La deuxième colonne reprend les relations observées avec la convention suivante : L>MP signifie que les étudiants du groupe L sont proportionnellement plus nombreux que ceux de MP à avoir explicitement accordé une certaine importance à l'item considéré. La troisième colonne concerne la proportion des réponses mentionnant l'item par rapport au nombre total de réponses, la quatrième la proportion du niveau d'utilité [4] (sauf précision explicite d'un autre choix) par rapport au nombre d'occurrences ; dans la case correspondante, nous indiquons, lorsqu'il est inférieur à 15 %, le seuil de significativité de l'écart observé entre les deux groupes et nous faisons figurer la mention « Non testé » dans le cas où le test statistique n'a pu
être effectué faute d'effectifs suffisants, la valeur de l'écart est alors donnée entre parenthèses.

Les lignes portant un astérisque ne correspondent pas à des items mais à une étude particulière menée à propos d'un item donné.

<table><thead><tr><th>Item</th><th>Comparaison</th><th>Réponses</th><th>Niveau d'utilité</th></tr></thead><tbody><tr><td>Définitions</td><td>L>MP<br>MP+<MP-<br>L+MP+<L- MP-</td><td></td><td>2 %<br>Non testé (38 %)<br>4 %</td></tr><tr><td>Théorèmes</td><td>L<MP<br>MP+<MP-</td><td></td><td>4 %<br>Non testé (24 %)</td></tr><tr><td>Propositions, Propriétés ...</td><td>L>MP</td><td>5 %</td><td></td></tr><tr><td>Etudiants différenciateurs*</td><td>L>MP<br>L+>L-<br>L+>L-Lo<br>L+MP+>Reste</td><td>4 %<br>12 %<br>9 %<br>2 %</td><td></td></tr><tr><td>Etudiants non différenciateurs *</td><td>L+<L-<br>L+MP+<Reste</td><td>Non testé (31,2 %)<br>4 %</td><td></td></tr><tr><td>Formules</td><td>L<MP<br>L+>L-<br>MP+<MP-</td><td>11 %<br>Non testé (19 %)<br>Non testé (12 %)</td><td></td></tr><tr><td>Démonstrations</td><td>L>MP</td><td>1 %</td><td>Niveaux [3/4] 15 %</td></tr><tr><td>Exemples</td><td>L+>Lo+L-<br>MP+<MPo+MP-</td><td>8 %<br>9 %</td><td></td></tr><tr><td>Structure du cours</td><td>L>MP</td><td>7 %</td><td></td></tr><tr><td>Méthodes, Techniques</td><td>L<MP<br>L+Lo>L-</td><td>4 %</td><td>7 %<br>4 %</td></tr><tr><td>Astuces</td><td>L<MP<br>MP+>MP-<br>L+MP+>L- MP-</td><td>3 %<br>6 %<br>7 %</td><td></td></tr><tr><td>Exercices-Types</td><td>MP+>MP-</td><td>6 %</td><td></td></tr><tr><td>Exercices, Examens, Devoirs</td><td>L+Lo<L-<br>L+<L-</td><td>7 %<br>11 %</td><td></td></tr></tbody></table>

Remarque : les comparaisons mettant en jeu le regroupement L+ ∪ MP+ ont été retenues exclusivement dans les cas où les sous-groupes L+ et MP+ ont le même comportement par rapport aux sous-groupes faibles, l'un des deux écarts n'étant pas significatif ou ne pouvant faire l'objet d'un test.

## 2. Principaux résultats.

* Concernant le texte du savoir donné en cours.

Définitions et théorèmes sont dans les deux institutions cités par une large majorité des étudiants ; les autres types d'énoncés sont beaucoup plus rarement mentionnés (un quart des réponses). Les étudiants du groupe L considèrent significativement plus souvent que ceux de MP la connaissance des définitions comme indispensable, c'est l'inverse pour les théorèmes.

Parmi les élèves de Spéciales, le sous-groupe MP+ se distingue nettement des autres en accordant moins d'importance à ces deux items, cette tendance apparaît également de manière atténuée dans L+ pour les définitions. Prolongeant cette observation, une étude détaillée des réponses a mis en évidence une différence commune aux deux institutions
entre les étudiants des sous-groupes forts et faibles : les premiers sont plus nombreux à relativiser l'importance accordée aux divers énoncés du texte du savoir en introduisant parmi eux une certaine hiérarchie, les seconds ont au contraire plus tendance à placer explicitement sur le même pied l'ensemble des résultats du cours<sup>70</sup>.

Les formules sont plus citées dans MP que dans L (respectivement 20 % et 11 % des réponses) ; mais les sous-groupes de niveau ont des comportements opposés dans les deux institutions, les apparitions de cet item correspondant à plus de 20 % des étudiants dans L+, MPo et MP- et moins de 10 % dans MP+, Lo et L-.

Les démonstrations sont citées par près de 70 % des étudiants de L et 40 % de ceux de MP, cet écart est significatif et trouve un certain écho au niveau des cotations d'utilité.

* Concernant les savoirs sur le fonctionnement mathématique.

Méthodes et techniques sont citées par près d'un tiers des étudiants de L et près de la moitié de ceux de MP ; cette différence est significative, elle est répercutée au niveau des cotations d'utilité, plus de 60 % des occurrences de cet item dans MP le situant au niveau « Indispensable », position minoritaire dans L. Les réponses font également référence à la notion « d'astuces » interprétée comme renvoyant à des façons de faire de portée plus réduite que les méthodes mais ayant néanmoins fait la preuve de leur efficacité ; cet item cité par 7 % des réponses dans L apparaît significativement plus souvent dans MP (19 %).

Ces items différencient les deux institutions mais aussi dans chacune d'entre elles les sous-groupes de niveau. Les étudiants de L+ sont plus nombreux que ceux de L- à juger indispensable la connaissance de méthodes ; dans les deux institutions, les astuces sont plus citées par le sous-groupe fort que par le faible (particulièrement dans MP+). Cette différence de comportement suivant le niveau est prolongée par les items concernant des connaissances moins décontextualisées mais manifestant une certaine sélection, à savoir les exemples et les exercices types. Dans les deux institutions, les premiers sont cités par un peu plus du tiers des étudiants, les seconds par un cinquième. Avec 38 % d'apparitions (soit autant que pour « astuces »), MP+ accorde nettement plus d'importance aux exercices types que MP- mais fait moins souvent référence aux exemples ; L+ se différencie du reste des étudiants de L en mentionnant au contraire plus fréquemment les exemples (cités dans près de 50 % des réponses) ; ceux-ci sont également plus souvent considérés comme utiles mais l'écart n'est pas significatif.

* Concernant l'activité mathématique des étudiants

Les exercices et autres termes renvoyant aux différentes activités de résolution de problèmes rencontrées par les étudiants sont cités également dans les deux institutions, par près des deux tiers des étudiants. Nous avons vu que l'idée d'une certaine sélection de ce corpus à travers la notion d'exercices types différencie le sous-groupe MP+.

Nous retiendrons pour finir un dernier résultat significatif : dans L, les étudiants de L- font plus souvent référence aux exercices que les autres et sont proportionnellement un plus nombreux à n'expliciter aucune idée de sélection dans ce

<footnote n="70"><sup>70</sup> L'attitude différenciatrice est également plus présente dans L que dans MP. Mais plusieurs interprétations de ce résultat sont possibles : 1. les élèves de MP citent beaucoup moins les énoncés secondaires (éventuellement par faible investissement dans l'enquête) et ont donc moins l'occasion de différencier au sein de leurs réponses ; 2. les théorèmes sont particulièrement mis en exergue dans le cours et les autres formes d'énoncés sont majoritairement négligés au point de n'être pas cités.</footnote>
corpus. Cette attitude fait écho aux observations réalisées à propos des énoncés du cours (moindre attitude différenciatrice) mais aussi des connaissances décontextualisées sur les problèmes (moindre importance accordée aux méthodes) : les étudiants en difficulté auraient plus que les autres tendance à viser un apprentissage exhaustif.

Les deux institutions considérées se distinguent donc au niveau du cours par une plus grande importance accordée aux définitions et aux démonstrations dans L, aux théorèmes dans MP, au niveau de la résolution de problèmes par la place attribuée aux savoirs sur le fonctionnement mathématique relativement décontextualisés, méthodes et astuces, plus valorisés dans MP que dans L, résultat qui constitue un élément de validation de notre conjecture.

Sous des formes non strictement identiques dans les deux institutions, les sous-groupes de niveau sont différenciés aux deux niveaux : par une attitude plus sélective et hiérarchisante vis à vis de l'ensemble des énoncés du cours dans les sous-groupes forts, les étudiants les plus faibles ayant plus tendance à viser un apprentissage de l'ensemble des résultats ; par une attention plus marquée pour les premiers aux méthodes, astuces prolongée par le repérage d'exercices types (dans MP+) ou d'exemples significatifs (dans L+).

L'analyse qualitative des réponses nous conduit à envisager la présence, dans L, de deux formes de travail sur les différents éléments pris en compte.

Certains étudiants s'appuieraient sur une dialectique étude des démonstrations/étude des exercices pour dégager à la fois les résultats les plus importants à retenir, les méthodes et les exemples significatifs ou les exercices-types. Comme nous l'avons envisagé dans nos analyses initiales, ces étudiants semblent construire des connaissances sur le fonctionnement mathématique à partir des démonstrations et solutions dont ils disposent. Nous retiendrons que le travail sur un ensemble de ces textes, par les interactions permises, est de nature à favoriser les acquisitions.

En revanche, d'autres étudiants s'attacheraient à un apprentissage détaillé du cours appuyé sur l'étude des démonstrations les plus accessibles et la connaissance d'exemples et d'exercices simples ; par ailleurs, dans la perspective de la résolution de problèmes, ils poursuivraient une visée d'exhaustivité par un travail sur le corpus entier des exercices prescrits ou recherchés dans des annales ou livres personnels, sans démarche particulière de décontextualisation ou de repérage de généricité.

Ces deux profils sont bien sûr à considérer comme des idéaux-types dont les formes d'actualisation effective sont à étudier. Les éléments obtenus jusqu'à présents semblent localiser plutôt le premier profil chez les étudiants les plus à l'aise, le second chez ceux qui sont en difficulté. Ce résultat est compatible avec nos hypothèses générales : le premier style de travail nous paraît favorable à la réussite comme producteur des connaissances sur le fonctionnement mathématique ; le second, centré sur le cours, ne nous semble pas de nature à produire une économie des connaissances orientée vers la résolution de problèmes, ce qui constitue à nos yeux un facteur d'échec. De plus, il est prévisible que la confiance nécessaire pour s'autoriser à laisser de côté certains apports institutionnels est plus répandue chez les étudiants qui réussissent que chez ceux qui peinent. Ceci étant, les éléments que nous avons rassemblés ne nous permettent aucunement de circonscrire précisément le domaine de présence de ces idéaux-types.
Pour ce qui est de la classe de Spéciales MP, un style de travail aux traits marqués apparaît nettement dans MP+ avec un intérêt très relatif à l'étude du cours magistral et à la connaissance des énoncés et au contraire une importance particulière accordée aux connaissances sur le fonctionnement mathématique sous les formes plus ou moins décontextualisées de méthodes, d'astuces et d'exercices types. Ce style se trouve sous des formes affaires dans les différents groupes de niveau, il constitue peut-être un idéal-type caractéristique de l'institution « Classes Préparatoires ».
## D. Dépouillement du volet n° 2 : questions fermées.

Nous abordons dans cette partie le volet fermé du questionnaire. Nous commencerons par analyser les items des deux premières questions ; ceci nous permettra de montrer en quoi la question I qui traite des finalités attribuées par les étudiants au travail sur les exercices permet une exploration plus fouillée de certains éléments abordés dans la question II, celle-ci s'intéressant pour sa part aux différents objets de l'étude. Nous présenterons ensuite les résultats obtenus pour ces deux questions et ce en deux temps : description par population de la hiérarchie des items puis étude comparative entre institutions et entre niveaux. Nous terminerons par la présentation des réponses à la question III qui s'intéresse aux formes de l'étude a posteriori des solutions d'exercices. Pour chaque question, nous rapprochons les résultats obtenus de ceux qui ont été précédemment mis en évidence de façon à faire émerger des faisceaux d'indices convergents.

### D.I. Analyse et mise en relation des items proposés dans les questions I et II.

#### 1. Question II : les objets dont l'étude est considérée comme utile à la réussite.

La question posée est la suivante : « Que trouvez-vous utile pour réussir un examen (groupe L) ou un devoir en classe (groupe MP) ? » ; les items proposés sont dans l'ordre du tableau les suivants :

* Connaître les **définitions** (Déf<fnref n="71" />) ; Connaître les **théorèmes** (Théo)

* Etudier les **démonstrations** du cours (Dém) ; Connaître des **exemples** (Exem) ;

* Comprendre les commentaires de l'enseignant (Enst<fnref n="72" />) ;

* **Résoudre** soi-même beaucoup d'exercices (Rés) ;

* Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et **trouvés** (Ex Tr) ; Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et **pas trouvés** (Ex NTr) ; Etudier les corrections d'exercices qu'on a **peu ou qu'on n'a pas cherchés** (Ex NCh) ; Réfléchir aux **erreurs qu'on a commises** (Err).

Les quatre réponses proposées sont : Indispensable, Souvent utile, Plutôt inutile, Superflu. Il est par ailleurs demandé aux étudiants de classer les propositions de la plus utile (10) à la moins utile (1).

L'objectif de cette question est de déterminer à quels objets les étudiants jugent utiles de consacrer leur travail dans la perspective d'une réussite dans l'institution dont ils relèvent. Les items commencent par un verbe qui réfère à une activité de l'étudiant directement (étudier, résoudre, réfléchir) ou à son résultat (connaître, comprendre)<fnref n="73" /> sans chercher à spécifier particulièrement les modalités du travail évoqué. Ce point est étudié par la question III pour ce qui concerne l'étude a posteriori des solutions de problèmes, nous n'aurons pas d'informations plus précises au niveau de l'ensemble de la population pour les autres objets.

<footnote n="71">⁷¹ Entre parenthèses, l'abréviation utilisée dans les tableaux de résultats pour désigner l'item en question.</footnote>

<footnote n="72">⁷² Voir Note 36</footnote>

<footnote n="73">⁷³ Nous prenons acte dans cette phase de la forme que nous avons donnée aux items au moment de l'élaboration du questionnaire ; il aurait certainement été plus cohérent de remplacer connaître et comprendre par des verbes renvoyant à l'activité plutôt qu'à son résultat.</footnote>
Par ailleurs, si l'on excepte le contexte global qui situe les réponses dans la perspective de la réussite aux examens, les formulations utilisées ne cherchent pas à déterminer véritablement ce que sont les objectifs attribués par les étudiants aux travaux en question ; en particulier, seuls les items « connaître des définitions, des théorèmes, des exemples » font explicitement référence à l'acquisition d'une connaissance. Or, le projet global de la présente recherche est d'interroger notre conjecture initiale (« l'enseignement des CPGE est plus favorable à la construction des connaissances sur le fonctionnement mathématique que l'enseignement universitaire »), nous devons donc mettre en relation les objets considérés et les connaissances potentiellement constructibles via le travail qui leur est consacré. C'est vers quoi sont orientés les développements qui suivent ; ceux-ci s'appuieront sur les hypothèses déjà formulées lors de l'examen des items de la question ouverte (p.27) ainsi que sur les réflexions issues du dépouillement des réponses à cette partie du questionnaire.

* Pour les cinq premiers items (Définitions, Théorèmes, Démonstrations, Exemples, Commentaires), le volet fermé de l'enquête ne permet pas de questionner nos hypothèses, nous ne pourrons donc aller au-delà de ce que le volet ouvert nous a déjà apporté.

* Il n'en est pas de même pour les cinq derniers items. En effet, ceux-ci sont centrés sur la résolution et les activités d'étude des corrections et l'objectif de la question I est de préciser ce que les étudiants visent à travers les exercices et problèmes. Les différentes propositions soumises aux étudiants dans cette question émanent directement des analyses que nous consacrons aux cinq derniers items de la question II.

C'est pourquoi, après avoir traité des cinq premiers items de la question II, nous rappellerons le contenu de la question I que nous mettrons ensuite en relation avec les items restants de la question II.

## 2. Analyse des items de la question II non directement liés à la résolution de problèmes.

Les quatre premiers objets considérés (définitions, théorèmes, démonstrations et exemples) sont des éléments renvoyant au texte du cours<sup>74</sup>. Nous avons considéré a priori que le travail personnel centré sur ce texte était en premier lieu orienté vers l'assimilation du savoir savant présenté et débouchait sur des connaissances naturellement structurées par les concepts et théorèmes et spontanément peu dirigées vers la résolution de problèmes. Nous n'avons absolument pas exclu que dans l'étude des objets considérés ici soient construites des connaissances sur le fonctionnement mathématique organisées autour de types de problèmes plus ou moins transversaux mais nous avons supposé que ces élaborations étaient incertaines. Le dépouillement du volet ouvert ne contredit pas ces hypothèses : si certains étudiants s'appuient sur l'étude des démonstrations, souvent en interaction avec les activités de résolution, pour repérer des méthodes et/ou des exercices-types, nous avons également vu émerger un style de travail mobilisant démonstrations, exemples et exercices au service de l'assimilation du cours, avec une centration particulière sur le plus simple.

Le ou les items concernant les commentaires de l'enseignant diffèrent des autres propositions en ce que l'objet considéré est (quasi)exclusivement communiqué de

<footnote n="74"><sup>74</sup> Le dépouillement de la question ouverte a confirmé l'hypothèse selon laquelle les exemples considérés par les étudiants étaient plutôt orientés vers l'illustration du cours.</footnote>
manière orale, or l'usage est très inégalement répandu chez les étudiants scientifiques de prendre en note des éléments de discours. Il est donc possible que cet item soit souvent interprété comme référant à une dimension du travail personnel qui a lieu pendant les heures d'enseignement ou peu de temps après, essentiellement sur la base d'une mémorisation peu ou pas du tout étayée par un écrit. Dans ces conditions, la compréhension évoquée n'est pas nécessairement associée à l'acquisition de connaissances spécifiques retenues à long terme. Ceci peut expliquer que seules 15 réponses sur 163 (14 sur 99 dans la population L, 1 sur 64 pour MP) aient fait mention du professeur dans le premier volet de l'enquête<sup>75</sup>.

Ceci étant, nous supposons que la prise en compte des commentaires de l'enseignant peut contribuer à la construction de connaissances qui dans la question ouverte ont été envisagées dans d'autres items et ce dans les deux plans que nous avons été amenés à distinguer, celui de la présentation du savoir savant et celui de la résolution de problèmes<sup>76</sup>.

Par ses réflexions, l'enseignant peut favoriser la compréhension des résultats enseignés, contribuer à une certaine prise de recul par rapport au texte du cours (en mettant par exemple en évidence certains *Théorèmes*, *Exemples*, *Contre-exemples* ou *Applications*, en faisant apparaître des liens<sup>77</sup>); ses interventions peuvent également jouer un rôle au niveau de la mémorisation du cours (ainsi deux des étudiants faisant référence au professeur considèrent comme souvent utiles « les anecdotes dites par le professeur pour se souvenir d'un théorème ou d'une erreur »).

Au niveau de la résolution de problèmes, les commentaires de l'enseignant nous semblent particulièrement importants dans la mesure où ils sont susceptibles de formuler certains savoirs sur le fonctionnement mathématique<sup>78</sup>, leur conférant une légitimité sans pour cela les institutionnaliser dans le texte du cours : en tant que « résolveur » expérimenté, le professeur est en position d'attribuer un surplus de valeur à une façon de faire présente dans les solutions d'exercices ou dans les démonstrations de théorèmes que les étudiants n'ont pas forcément les moyens de considérer comme non anecdotique<sup>79</sup>. Nous faisons donc l'hypothèse d'une présence de l'enseignant en arrière-plan des items « *Méthodes* », « *Astuces* », « *Exercices types* ». Ceci pourrait expliquer au moins en partie l'absence de référence explicite à l'enseignant dans les réponses des élèves de Spéciales au premier volet de l'enquête, celui-ci apparaissant en filigrane dans les items du groupe 3, particulièrement cités dans cette population.

Les erreurs sont aussi parfois objets de commentaires, ce point est dans la question ouverte abordé par deux étudiants (n<sup>o</sup>841 et 78) qui situent ce type d'intervention à deux niveaux tout à fait différents : explications portant sur une erreur effectivement commise par l'étudiant pour l'un, sur des erreurs récurrentes rencontrées lors des examens des années précédentes pour l'autre. Dans le second cas, le thème de l'erreur est intégré par l'étudiant à une thématique plus générale qu'il nous semble percevoir dans 5 des 15 réponses (toutes dans L) faisant référence au professeur : on s'intéresse de très près à

<footnote n="75">⁷⁵ cf. Annexe II.5.</footnote>

<footnote n="76">⁷⁶ Plusieurs thèses dirigées par A.Robert ont analysé différentes dimensions du discours de l'enseignant au collège et au lycée (travaux les plus récents : C.Hache, C.Ben Salah).</footnote>

<footnote n="77">⁷⁷ Voir en Annexe II les références à ce que nous avons résumé sous la dénomination *Structure du cours* dans les réponses à la question ouverte.</footnote>

<footnote n="78">⁷⁸ On pourra reconnaître ici une des dimensions du point de vue développé autour d'A.Robert sur le rôle du « méta » dans l'enseignement, méta qui est dans les travaux en question très souvent pris en charge par le discours des enseignants.</footnote>

<footnote n="79">⁷⁹ L'officialisation de telles connaissances peut passer par des rituels tout à fait installés. Ainsi, dans les années 70, au lycée Corneille de Rouen, les élèves de Spéciales clamaient-ils en chœur « Astussss » lorsque l'enseignant montrait une façon de faire particulièrement habile.</footnote>
ses façons de faire (méthodes de résolution, style de correction d'exercices, manière de
rédiger) parce qu'il corrige l'examen et qu'il faudra donc faire en sorte de s'adapter à
ses préférences de façon à ne pas être pénalisé. Cette dimension n'est pas présente chez
les élèves de Spéciales. Il est clair que cette différence n'a aucune portée statistique
mais nous ne la négligeons pas dans la mesure où notre cadre théorique permet de lui
attribuer une signification : nous voyons dans le comportement exprimé par certains
étudiants un effet d'adaptation à un contrat didactique (considéré comme) déterminé
localement par une institution incarnée par l'enseignant qui est aussi chargé de
l'évaluation ; en classe préparatoire, il y a dissociation des rôles puisque l'enseignant de
la classe n'est pas celui qui corrige les épreuves de concours, le contrat didactique
installé est surdéterminé par l'institution « Concours aux Grandes Ecoles », c'est bien
lui que doivent s'attacher à percevoir les élèves à travers les éventuelles (mais
certainement très limitées) interprétations personnelles qu'en donne le professeur. Nous
faisons l'hypothèse que cette différence influence le rapport des étudiants aux
commentaires de l'enseignant<sup>80</sup> et renforce, dans chaque institution, les effets déjà
signalés de l'organisation de l'enseignement et de l'évaluation : l'enseignement
universitaire favoriserait l'acquisition de connaissances contextualisées, pour certaines
peu dépersonnalisées, supposées directement utilisables à l'examen<sup>81</sup> ; les classes
préparatoires seraient plus propices à la recherche de connaissances transversales,
dotées d'une légitimité au niveau de l'institution « Concours » et susceptibles d'outiller
la résolution de problèmes relativement imprévisibles.

En résumé, nous supposons que les commentaires des enseignants ne provoquent pas les mêmes acquisitions dans les deux institutions parce que les étudiants n'y ont pas les mêmes intérêts du fait des modalités respectives de l'évaluation.

Le contenu des discours tenus par les enseignants est-il lui-même influencé
par les spécificités de chaque institution et en quoi ? C'est un point qui devra être
abordé dans les développements ultérieurs de la recherche dans la mesure où nous
attribuons un rôle important à cette dimension de l'activité enseignante dans
l'officialisation des connaissances sur le fonctionnement mathématique<sup>82</sup>.

3. Question I : le rapport des étudiants aux exercices.

La question posée est la suivante : « Tout au long d'une UV (groupe L) ou tout au long d'une année de prépa (groupe MP), vous êtes amenés à chercher un certain nombre d'exercices et de problèmes ; ces exercices et ces problèmes sont-ils pour vous :

un jeu intellectuel (Jeu);

un entraînement à la résolution de questions mathématiques (Entraîner)

une occasion de vérifier si vous avez bien compris le cours (Comprendre)

un apport d'exemples qui illustrent le cours (Exemple)

une aide à la résolution d'autres exercices (Aide)

une source d'idées à retenir (Idées)

des prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen (L) ou dans le
devoir en classe(MP). (Examen) ? »

<footnote n="80">⁸⁰ Il est vraisemblable que cette différence aient également des conséquences sur le contenu même du discours de l'enseignant, c'est une question qu'il faudrait étudier.</footnote>

<footnote n="81">⁸¹ En tout cas, chez les étudiants qui se situent dans une logique de réussite sans trop se soucier des apprentissages.</footnote>

<footnote n="82">⁸² Plusieurs facteurs peuvent jouer un rôle : outre les différences envisagées ci-dessus au niveau de l'évaluation, la séparation Cours magistral/TD en vigueur à l'université est à considérer a priori comme un élément pouvant influencer le contenu des commentaires et leur prise en compte par les étudiants.</footnote>
Quatre réponses sont proposées : Toujours, Souvent, Parfois, Jamais. Il est par ailleurs demandé aux étudiants de classer sans ex æquo les items ( 7 = ce que les exos et problèmes sont le plus pour vous jusqu'à 1 = ce qu'ils sont le moins pour vous).

4. Analyse des items de la question II concernant les exercices et problèmes ; mise en relation avec ceux de la question I.

Le premier des items de la question II restant à traiter (« Résoudre soi-même beaucoup d'exercices ) porte spécifiquement sur l'activité de recherche de l'étudiant et, contrairement aux quatre autres, n'évoque aucune posture réflexive. Nous le considérons comme l'expression du point de vue usuel selon lequel en mathématiques l'important est de chercher. Cette position prend chez certains la forme d'un activisme peu enclin à tirer explicitement les leçons de l'expérience ; dans ce cas, on compte avant tout sur une pratique répétée pour provoquer l'apprentissage.

Dans les trois items suivants de la question II (« Etudier les corrections d'exercices qu'on a 1. vraiment cherchés et trouvés, 2. vraiment cherchés et pas trouvés, 3. peu ou pas cherchés »), l'objet de l'étude est la solution d'un exercice ; comme nous l'avons dit dans la partie A, nous considérons que le fonctionnement mathématique étant donné à voir dans les solutions, un travail sur celles-ci peut faciliter la construction de certaines connaissances susceptibles d'être réinvesties dans des résolutions ultérieures.

Nous ne considérons pas qu'une telle étude sera nécessairement stérile si l'exercice en question n'a pas été véritablement cherché au préalable, cependant nous pensons qu'elle sera alors moins aisée à mener et moins efficace que dans le cas contraire. Or, ce contexte est fréquent : on le rencontre dans le fonctionnement usuel des Travaux Dirigés lorsque l'enseignant donne un exercice à chercher en séance pendant un temps court ou lorsque les étudiants ne cherchent pas les exercices qu'ils doivent préparer chez eux. On peut supposer que dans ce cas l'étudiant visera d'abord à savoir faire lui-même l'exercice en question en s'appuyant sur le corrigé et qu'il n'aura pas le recul nécessaire pour en tirer des leçons un tant soit peu génériques.

Lorsque l'exercice a fait l'objet d'un véritable travail, nous distinguons deux situations suivant que l'étudiant a ou non résolu lui-même l'exercice. Selon les hypothèses constructivistes, le meilleur des cas dans une perspective d'acquisition de connaissances devrait être celui où l'étudiant a lui-même inventé une façon de faire efficace. Dans ce contexte, la construction de connaissances sur le fonctionnement mathématique peut résulter d'épisodes réflexifs non formalisés pendant la résolution elle-même ou pendant la rédaction de la solution définitive. Mais il paraît raisonnable de supposer que ceux qui accordent un certain temps au retour sur cette classe d'exercices se situent dans une perspective de généralisation et/ou de décontextualisation (caractériser un type d'exercices, mémoriser une façon de faire typique ou dégager des méthodes) ou d'amélioration (étudier les astuces du professeur). Inversement, le retour sur la solution devrait paraître superflu (sauf peut-être dans le cas d'une plus grande efficacité de la correction) si c'est l'exercice lui-même qui est considéré comme important, point de vue envisageable lorsqu'on prévoit que l'examen comprendra des exercices voisins de ceux qu'on a déjà rencontrés.

Reste enfin le cas des exercices cherchés mais non trouvés auxquels on associera d'ailleurs le dernier item concernant la réflexion sur les erreurs : il s'agit de situations d'échecs pour l'étudiant. On peut s'attendre à ce que, quel que soit le point de vue adopté sur les exercices (source d'idées plus ou moins décontextualisées à retenir ou prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen), l'étude a posteriori soit
considérée comme importante. Donc, si nous considérons qu'un tel travail peut être propice à l'acquisition de connaissances dotées d'une valeur plus ou moins globale lorsque l'étudiant situe ses apprentissages à ce niveau (l'incapacité à surmonter certaines impasses met en exergue les questions non résolues et sensibilise aux façons de faire proposées par la solution), nous devons aussi envisager que certains s'en tiennent à un apprentissage ponctuel (il s'agit de savoir faire cet exercice).

En résumé, du point de vue de la construction de connaissances sur le fonctionnement mathématique,

1. nous distinguons comme potentiellement moins efficace le travail sur les exercices non cherchés ;

2. nous avons des raisons de penser que les étudiants déclarant accorder de l'importance à un retour sur des exercices qu'ils ont su résoudre le font plutôt dans une perspective d'apprentissage qui intègre l'exercice en question dans une perspective plus large et favorise l'acquisition de connaissances dotées d'un minimum de généralité ;

3. en revanche, nous pensons que ce point de vue ne préside pas nécessairement au travail a posteriori auquel donnent lieu les échecs et erreurs dont la finalité peut être ponctuelle.

Nous avons mis l'accent sur la construction de connaissances directement orientées vers la résolution de problèmes puisqu'elles sont au centre de notre conjecture mais nous n'oublions pas que l'activité de résolution et les travaux réflexifs auxquels elle donne lieu contribuent à la compréhension du savoir savant. On peut envisager dans cette perspective les retours sur les échecs, notamment sur les erreurs, en considérant que par le questionnement provoqué, ils favorisent certains approfondissements, certaines remises en cause.

Nous avons également rencontré dans le volet ouvert une approche que nous n'identifions pas à la précédente dans la mesure où elle semble orienter le travail de certains étudiants vers le plus simple, le moins problématique : les exercices sont considérés comme sources d'illustration et aides à la mémorisation du cours. Le retour sur les exercices résolus peut être interprété selon ce point de vue.

## Comment la question I se situe-t-elle par rapport à ces analyses ?

Le premier item (les exercices sont « un jeu intellectuel ») réfère à une idée de plaisir et ne se situe pas dans une perspective d'apprentissage.

La contribution de la résolution de problèmes à l'assimilation du cours est prise en charge dans les deux dimensions évoquées ci-dessus par les propositions suivantes : les exercices sont « une occasion de vérifier si vous avez bien compris le cours », « un apport d'exemples qui illustrent le cours ». Notons que l'aspect « aide à la mémorisation » n'y est pas explicité.

Trois items se situent dans une perspective d'amélioration des capacités de résolution ; il s'agit des propositions a. « un entraînement à la résolution de questions mathématiques », b. « une aide à la résolution d'autres exercices », c. « des prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen ». Le premier de ces items est plus particulièrement porteur de la conception de l'apprentissage basée essentiellement sur une pratique abondante que nous avons évoquée plus haut. Les deux autres expriment quant à eux l'existence de liaisons entre pratique présente et pratique future. La proposition c réfère plus précisément au cas où le futur est envisagé comme une quasi répétition du présent, situation que nous considérons comme encourageant
apprentissage ponctuel peu propice à la recherche de généricité et encore moins sans doute à la construction de connaissances décontextualisées. Quant à la proposition « *une aide à la résolution d'autres exercices* », elle est très allusive mais permet d'obtenir certaines informations par comparaison avec d'autres items. Ainsi, elle permet de dénombrer les étudiants pour qui les exercices sont toujours ou souvent une aide à la résolution d'autres exercices mais seulement parfois ou jamais des prototypes proches des examens, c'est-à-dire ceux pour qui le réinvestissement ne se réduit pas à une simple reproduction. Inversement, les avis Parfois et Jamais mettent en évidence les étudiants pour qui les exercices à résoudre sont déconnectés les uns des autres ; dans cette perspective, la notion d'entraînement se comprend comme une façon d'apprendre à affronter la nouveauté qui peut se dispenser de revenir sur les actes accomplis. Nous considérons que ce point de vue est peu favorable à la construction de types de problèmes et de connaissances sur le fonctionnement mathématique. Notons qu'il peut aller de pair avec une utilisation des exercices simples pour l'apprentissage du cours.

Le dernier item envisage les exercices comme « *une source d'idées à retenir* ». Il renvoie explicitement à une mémorisation avec un certain effort de décontextualisation qui peut concerner différents aspects orientés vers le cours ou vers la résolution d'autres exercices : la situation étudiée, le résultat établi, l'exemple d'application d'un résultat du cours, les méthodes et astuces de résolution. Une comparaison des répartitions de réponses concernant cet item et l'item « *Aide à la résolution* » peut informer sur la présence d'étudiants retenant surtout des éléments concernant plutôt le savoir savant ou échouant finalement souvent à réinvestir les idées dégagées dans d'autres problèmes, ce qui peut être l'effet d'une difficulté à repérer des éléments suffisamment dégagés du contexte particulier des exercices.

## D.II. Question I : étude de la hiérarchie des items dans les différentes populations.

Nous donnons dans cette partie les résultats numériques retenus pour l'analyse<sup>83</sup> puis nous présentons une description synthétique de l'importance accordée aux différents points de vue sur les exercices proposés dans la question.

### 1. Principaux résultats.

* Effectifs $L^+ : 43$ ; $Lo : 20$ ; $L^- : 44$ ; $L : 107$ ; $L^- : 36$<sup>84</sup>

* MP$^+$ : 22 ; MP$^-$ : 20 ; MP$^-$ : 24 ; MP : 66

Un étudiant de L-n'a pas rempli cette partie du questionnaire.

Les tableaux suivants donnent respectivement les éléments suivants : fréquence<sup>85</sup> F1 des avis Souvent (3) et Toujours (4) réunis, fréquence F2 des avis Toujours, rang moyen R attribué à un item donné<sup>86</sup>.

<footnote n="83"><sup>83</sup> On trouvera dans l'annexe III les résultats complets, effectifs et fréquences pour les 4 avis possibles d'une part, rangs moyens et écarts type d'autre part.</footnote>

<footnote n="84"><sup>84</sup> Rappel : L--est constitué des éléments de L- qui n'ont pas eu de mention à la licence et qui n'ont pas été reçus au Capes. Nous donnons les résultats obtenus par L-- pour information mais ils n'ont finalement pas conduit à des différences dans les analyses.</footnote>

<footnote n="85"><sup>85</sup> Dans la suite de ce travail, nous utiliserons souvent les pourcentages au lieu des fréquences, P1 et P2 désignant respectivement le pourcentage correspondant à F1 et F2.</footnote>

<footnote n="86"><sup>86</sup> On trouvera pour chaque question une représentation graphique permettant de mettre en vis à vis, par paire de populations comparées, les valeurs des deux indicateurs fréquentiels pour l'ensemble des items. Cet outil est destiné à faciliter la lecture des analyses comparatives, nous suggérons au lecteur de photocopier la page en question de façon à ce qu'elle puisse accompagner sa lecture.</footnote>
<table><thead><tr><th>F1</th><th>Jeu</th><th>Entraîner</th><th>Comprendre</th><th>Exemple</th><th>Aide</th><th>Idées</th><th>Examen</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,233</td><td>0,953</td><td>0,954</td><td>0,675</td><td>0,535</td><td>0,651</td><td>0,512</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,300</td><td>0,900</td><td>0,800</td><td>0,850</td><td>0,500</td><td>0,650</td><td>0,300</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,204</td><td>0,863</td><td>0,909</td><td>0,637</td><td>0,454</td><td>0,659</td><td>0,409</td></tr><tr><td>L--</td><td>0,195</td><td>0,862</td><td>0,945</td><td>0,694</td><td>0,473</td><td>0,666</td><td>0,389</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,364</td><td>0,636</td><td>0,773</td><td>0,590</td><td>0,546</td><td>0,636</td><td>0,227</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,200</td><td>0,800</td><td>0,950</td><td>0,700</td><td>0,500</td><td>0,900</td><td>0,150</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0,167</td><td>0,750</td><td>0,959</td><td>0,500</td><td>0,625</td><td>0,833</td><td>0,334</td></tr><tr><td>L</td><td>0,233</td><td>0,907</td><td>0,907</td><td>0,692</td><td>0,496</td><td>0,654</td><td>0,430</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,242</td><td>0,727</td><td>0,894</td><td>0,591</td><td>0,560</td><td>0,788</td><td>0,242</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,237</td><td>0,838</td><td>0,902</td><td>0,654</td><td>0,520</td><td>0,705</td><td>0,358</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>F2</th><th>Jeu</th><th>Entraîner</th><th>Comprendre</th><th>Exemple</th><th>Aide</th><th>Idées</th><th>Examen</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,047</td><td>0,465</td><td>0,442</td><td>0,233</td><td>0,093</td><td>0,093</td><td>0,070</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,150</td><td>0,450</td><td>0,350</td><td>0,300</td><td>0,050</td><td>0,050</td><td>0</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,045</td><td>0,318</td><td>0,432</td><td>0,205</td><td>0,068</td><td>0,159</td><td>0</td></tr><tr><td>L--</td><td>0,028</td><td>0,306</td><td>0,417</td><td>0,250</td><td>0,056</td><td>0,194</td><td>0</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0</td><td>0,318</td><td>0,182</td><td>0,045</td><td>0,091</td><td>0,318</td><td>0</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,100</td><td>0,350</td><td>0,400</td><td>0,050</td><td>0,150</td><td>0,300</td><td>0</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0</td><td>0,333</td><td>0,292</td><td>0,083</td><td>0,125</td><td>0,250</td><td>0,042</td></tr><tr><td>L</td><td>0,065</td><td>0,402</td><td>0,421</td><td>0,234</td><td>0,075</td><td>0,112</td><td>0,028</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,030</td><td>0,333</td><td>0,288</td><td>0,061</td><td>0,121</td><td>0,288</td><td>0,015</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,052</td><td>0,376</td><td>0,370</td><td>0,168</td><td>0,092</td><td>0,179</td><td>0,023</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>R</th><th>Jeu</th><th>Entraîner</th><th>Comprendre</th><th>Exemple</th><th>Aide</th><th>Idées</th><th>Examen</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>2,209</td><td>5,256</td><td>5,651</td><td>3,884</td><td>3,698</td><td>4,186</td><td>3,140</td></tr><tr><td>Lo</td><td>3,100</td><td>5,600</td><td>5,250</td><td>4,300</td><td>3,150</td><td>3,850</td><td>2,750</td></tr><tr><td>L-</td><td>2,295</td><td>4,773</td><td>5,568</td><td>3,886</td><td>3,909</td><td>4,568</td><td>3,000</td></tr><tr><td>L--</td><td>2,333</td><td>4,722</td><td>5,583</td><td>3,889</td><td>3,972</td><td>4,500</td><td>3,000</td></tr><tr><td>MP+</td><td>3,045</td><td>4,864</td><td>4,727</td><td>3,500</td><td>3,727</td><td>4,500</td><td>2,364</td></tr><tr><td>MPo</td><td>2,050</td><td>4,550</td><td>5,200</td><td>4,400</td><td>4,100</td><td>4,950</td><td>2,600</td></tr><tr><td>MP-</td><td>1,792</td><td>5,083</td><td>4,917</td><td>3,875</td><td>4,458</td><td>5,000</td><td>2,792</td></tr><tr><td>L</td><td>2,411</td><td>5,121</td><td>5,542</td><td>3,963</td><td>3,682</td><td>4,280</td><td>3,009</td></tr><tr><td>MP</td><td>2,288</td><td>4,848</td><td>4,939</td><td>3,909</td><td>4,106</td><td>4,818</td><td>2,591</td></tr><tr><td>Tous</td><td>2,351</td><td>4,989</td><td>5,282</td><td>3,920</td><td>3,822</td><td>4,460</td><td>2,833</td></tr></tbody></table>
Question I

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

L/MP

L/L+/L-

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

MP/MP+/MP-
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
## 2. Comment sont situés les uns par rapport aux autres les différents items proposés ?

Les comportements des différents sous-groupes de L sont suffisamment voisins pour que nous puissions proposer une description commune des réponses tant au niveau des valeurs prises par les indicateurs F1 et F2 que de la hiérarchisation des items par le rang moyen. Tel n'est pas le cas pour la population MP au sein de laquelle on relève entre autres des écarts importants entre les pourcentages d'avis Toujours/Souvent et/ou Toujours dans les différents sous-groupes<sup>87</sup> ; nous présenterons donc séparément les comportements de MP+ et MP-.

### a. Dans la population L.

La description donnée ci-dessous est valide pour la population L ainsi que les deux sous-groupes L+ et L-.

L'examen des valeurs de F1 fait apparaître 4 groupes d'items clairement différenciés.

Les exercices sont considérés par plus de 85 % de la population comme étant Toujours ou Souvent une occasion de vérifier la compréhension du cours et un entraînement à la résolution. Le pourcentage d'avis Toujours varie aux alentours de 40 % (la valeur la plus basse -32 %- concerne l'item Entraînement dans le sous-groupe L-)<sup>88</sup>. Ces deux items se distinguent nettement des suivants.

Environ 65 % des étudiants attribuent les avis Toujours ou Souvent aux items « apport d'exemples illustrant le cours » et « sources d'idées à retenir », la valeur de P2 se situe entre 20 % et 25 % pour le premier, entre 9 % et 16 % pour le second.

Pour les trois items restants, P2 prend des valeurs faibles (inférieures à 7 % sauf dans un cas).

Les exercices sont considérés comme constituant Toujours ou Souvent une aide à la résolution d'autres exercices et des prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen dans des proportions situées entre 40 % et 55 % des populations concernées.

Enfin moins de 25 % des étudiants voient toujours ou souvent dans les exercices un jeu intellectuel.

L'examen des rangs moyens confirme cette organisation à une exception près : dans L-, l'item Aide a un rang moyen très légèrement supérieur à celui d'Exemples.

<footnote n="87"><sup>87</sup> Pour les questions I et II, on observe dans MP+ une certaine minoration des valeurs de F1 et F2 (les valeurs de ces indicateurs sont 10 fois sur 16 inférieures dans MP+ à ce qu'elles sont dans MP- pour la question I, 13 fois sur 20 pour la question II). Autrement dit, le sous-groupe MP+ exprime une réticence par rapport aux conceptions des exercices proposés dans la question I et relativisent plus que les autres l'importance accordée aux objets d'étude proposés dans la question II. On peut y voir un effet de la surreprésentation des redoublants dans cette population (15 sur 22), on peut aussi considérer qu'un certain « snobisme » a pu jouer, ces élèves cherchant à donner d'eux-mêmes une image flatteuse minorant le rôle d'un travail considéré comme un bachotage un peu trop trivial.</footnote>

<footnote n="88"><sup>88</sup> On remarquera que les valeurs maximales de F2 ne sont pas aussi élevées que dans la question II. Ceci est facile à interpréter : compte tenu de la diversité des exercices mathématiques, il est normal qu'un étudiant hésite à considérer qu'ils vérifient tous une proposition donnée.</footnote>
## b. Dans la population MP.

### Comportement de MP+

Nous distinguons en premier lieu un groupe formé de trois items : **Comprendre le cours, Entraînement à la résolution et Sources d'idées à retenir**. Le premier se détache avec 77 % d'avis Toujours/Souvent contre 64 % pour les deux autres mais cet écart ne se retrouve pas pour les deux autres indicateurs (P2 : la position relative est inversée avec 18 % et 32 % respectivement, les rangs moyens sont très voisins).

Les deux items suivants, **Exemples illustrant le cours et Aide à la résolution**, correspondent à des valeurs de P1 se situant entre 54 % et 60 % avec moins de 10 % d'avis Toujours ce qui différencie ces deux propositions des précédentes. Le rang moyen confirme cette position relative.

36 % des élèves considèrent que les exercices sont souvent **un jeu intellectuel**, 23 % qu'ils sont souvent **proches des sujets qui seront posés au devoir en classe**. Pour ces deux items, l'avis Toujours n'apparaît jamais. Quant au rang moyen, il confirme la position relative issue de P1.

### Comportement de MP-

Nous retrouvons le même premier groupement que dans MP+ avec cependant des pourcentages d'avis Toujours/Souvent supérieurs : 96 % pour **Comprendre le cours**, 83 % pour **Idées à retenir** et 75 % pour **Entraînement à la résolution**. Pour P2, on trouve des valeurs voisines de celles que nous avons relevées dans MP+, se situant entre 33 % et 25 % ; le rang moyen confirme à la fois le regroupement de ces trois items et une similitude de comportement dans les deux sous-groupes.

62,5 % des élèves considèrent que les exercices sont toujours ou souvent **une aide à la résolution**, ces avis ne représentent que 50 % quand il s'agit de la proposition « une source d'exemples illustrant le cours ». Cet écart est plus marqué que dans MP+, il est confirmé au niveau de P2 et surtout du rang moyen.

Les avis Toujours/Souvent sont attribués par 33 % des élèves à l'item «des prototypes proches de ceux qui sont posés dans le devoir en classe» et par 17 % seulement à l'item « un jeu intellectuel ». Les autres indicateurs confirment la position relative de ces deux items.

Nous résumons donc ces descriptions de la façon suivante :

### Structure des réponses de L.

<table><thead><tr><th>Compréhension, Entraînement</th><th>Exemples, Idées</th><th>Aide, Examen</th><th>Jeu</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1 &gt; 85 %</td><td>60 % &lt; P1 &lt; 70 %</td><td>40 % &lt; P1 &lt; 55 %</td><td>P1 &lt; 25 %</td></tr><tr><td>30 % &lt; P2 &lt; 50 %</td><td>9 % &lt; P2 &lt; 25 %</td><td>P2 &lt; 10 %</td><td>P2 &lt; 10 %</td></tr></tbody></table>
# Structure des réponses dans MP.

## Dans MP+

<table><thead><tr><th>Compréhension, Entraînement, Idées</th><th>Exemples, Aide</th><th>Jeu</th><th>Examen</th></tr></thead><tbody><tr><td>60 % &lt; P1 &lt; 80 %</td><td>50 % &lt; P1 &lt; 60 %</td><td>P1 ≈ 37 %</td><td>P1 ≈ 23 %</td></tr><tr><td>18 % &lt; P2 &lt; 32 %</td><td>P2 &lt; 10 %</td><td>P2 = 0 %</td><td>P2 = 0 %</td></tr></tbody></table>

## Dans MP-

<table><thead><tr><th>Compréhension, Entraînement, Idées</th><th>Aide</th><th>Exemples</th><th>Examen</th><th>Jeu</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1 &gt; 75 %</td><td>P1 ≈ 63 %</td><td>P1 ≈ 50 %</td><td>P1 ≈ 33 %</td><td>P1 ≈ 17 %</td></tr><tr><td>25 % &lt; P2 &lt; 33 %</td><td>P2 ≈ 12 %</td><td>P2 ≈ 8 %</td><td>P2 ≈ 4 %</td><td>P2 = 0 %</td></tr></tbody></table>

Au niveau de la structure, trois éléments différencient MP+ et MP-, il s'agit de la plus forte présence dans MP- des idées d'aide à la résolution et de proximité des exercices avec le devoir en classe et dans MP+ de la dimension Jeu intellectuel. Ceci se traduit au niveau de la population globale MP par une structure constituée de trois sous-groupes, rapprochant Exemples et Aide d'une part, Examen et Jeu d'autre part.

## Tendances communes.

Il est difficile de dégager des éléments véritablement communs aux deux populations L et MP ; ceci constitue un premier résultat qui sera précisé par l'étude comparative. Nous retiendrons seulement que dans les deux institutions

* plus de 70 % des étudiants considèrent les exercices comme étant souvent ou toujours une occasion de vérifier leur compréhension du cours (point de vue le plus répandu) et un entraînement à la résolution de questions mathématiques ;

* le point de vue « Entraînement » est dans tous les cas plus répandu que le point de vue « Aide pour de futurs exercices » ; cet écart établit la présence d'une conception de la résolution de problèmes peu favorable à la capitalisation des leçons de l'expérience ;

* les exercices sont plus souvent considérés comme une source d'idées à retenir que comme une aide à de futures résolutions ; donc, si les idées retenues peuvent constituer pour certains étudiants un vecteur d'aide, ce n'est pas toujours le cas.

* l'idée de jeu intellectuel est tout à fait minoritaire.

## D.III. Question I : recherche des écarts entre institutions et entre niveaux.

Dans ce qui suit nous adoptons la présentation suivante : pour faciliter la lecture, seules les conclusions sont présentées dans le corps du texte ; dans le cas où les comportements de deux populations sont significativement différents, nous donnons en note un tableau où figurent les valeurs des 3 indicateurs pour les deux populations comparées, la valeur de t correspondante<fnref n="89" /> et le seuil de significativité lorsque celui-ci est inférieur à 15 %.

<footnote n="89">⁸⁹ Si deux valeurs sont voisines, t n'a pas été calculé, nous ne renseignons donc pas la case correspondante. Pour le seuil de significativité, la notation NS est utilisée si le seuil est supérieur à 15 %. Enfin, le symbole * dans la colonne t signifie que le test n'a pu être effectué du fait d'une valeur insuffisante de np.</footnote>
Les items seront abordés en quatre groupements correspondant aux éléments de notre analyse a priori : les exercices vus comme jeu, comme contribuant à l'assimilation du cours, dans une perspective d'amélioration des capacités de résolution et enfin comme sources d'idées à retenir, proposition ambiguë pouvant relever des deux points de vue précédents.

## 1. La résolution d'exercices comme jeu intellectuel.

Dans les deux institutions, les étudiants pour qui les exercices ne sont jamais ou sont seulement parfois **un jeu intellectuel** sont très largement majoritaires et le pourcentage d'avis Jamais n'est pas négligeable (11 % dans L, 15,2 % dans MP).

Ce point de vue est dans L indépendant du niveau (on trouve même 16,3 % d'avis Jamais dans L+).

Il n'en est pas de même dans MP⁹⁰. Un peu plus d'un tiers des élèves de MP+ considèrent que les exercices constituent souvent pour eux un jeu intellectuel, il s'agit là de la plus forte proportion de réponses Souvent/Toujours mise en évidence dans les différents groupes ; en outre, MP+ présente le plus faible taux de Jamais. Les résultats sont très exactement inversés pour MP- : les exercices ne sont jamais un jeu intellectuel pour un quart des élèves de MP-, ils le sont souvent pour moins de 20 % de l'effectif. On peut considérer cette différence de points de vue selon le niveau comme significative<fnref n="91" /> : MP+ > MP-.

## 2. La contribution des exercices à l'assimilation du cours.

### a. Compréhension du cours.

Les étudiants sont très majoritairement convaincus que les exercices sont toujours ou souvent une occasion de vérifier leur compréhension du cours. Dans ce contexte, l'étude comparative met en évidence que

* ce point de vue est plus largement mis en avant dans L que dans MP⁹² : L > MP

* les sous-groupes de niveau de L ne se différencient pas sur ce point ;

* en revanche, alors que les réponses des élèves du groupe faible MP- sont voisines de celle du groupe MP entier, les élèves de MP+ sont plus nombreux (près d'un quart) à considérer que cette dimension est assez rare (avis Parfois ou

Nous ne donnerons pas les valeurs de P2 quand elles seront strictement inférieures à 10 %.

⁹⁰ Jeu intellectuel

<table><thead><tr><td>MP+/MP-</td><td>MP+</td><td>MP-</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>36,4</td><td>16,7</td><td>24,2</td><td>1,519</td><td>13 %</td></tr><tr><td>R</td><td>3,045</td><td>1,792</td><td>2,288</td><td>2,286</td><td>4 %</td></tr></tbody></table>

⁹² Compréhension du cours

<table><thead><tr><td>L/MP</td><td>L</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>90,7</td><td>89,4</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>42,1</td><td>28,8</td><td>1,755</td><td>8 %</td></tr><tr><td>R</td><td>5,542</td><td>4,939</td><td>2,223</td><td>1 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="91">⁹¹ Entre MP- et le reste de la population, l'écart au niveau de P1 est significatif au seuil de 14 % (t= 1,495), au niveau de la proportion de réponses **Jamais** il est significatif au seuil de 6 % (t = 1,946) : MP- < Reste.</footnote>
Jamais)<fnref n="93" /> ; si ces constatations ne débouchent pas au sein de MP sur des écarts significatifs (valeur de P1 trop élevée et effectif insuffisant), l'opposition entre MP+ et le reste de la population étudiée (L, MPo et MP-) est très significative<fnref n="94" /> : MP+ < Reste.

### b. Exemples illustrant le cours.

Le point de vue selon lequel les exercices seraient, sinon toujours, du moins souvent une source d'exemples illustrant le cours est moins répandu que le précédent, il reste néanmoins majoritaire dans tous les groupes sauf MP-. On relève les observations suivantes<fnref n="95" /> :

* Dans la hiérarchie globale établie dans la partie D.III, cet item est situé plus haut dans L (3ième) que dans MP (4ième dans MP+, 5ième dans MP-); cette plus faible présence dans MP est confirmée par la comparaison des indicateurs, tous les trois supérieurs dans L avec un écart très significatif du pourcentage d'avis Toujours : L > MP.

* L+ et L- restent de nouveau indifférenciés ; on ne retrouve donc pas ici le plus grand intérêt pour les exemples mis en évidence dans L+ par la question ouverte.

* Le comportement de MP+ est comparable à celui de MP. Par contre, dans MP-, la moitié des élèves seulement considèrent que les exercices sont toujours ou souvent sources d'exemples illustrant le cours, ce qui constitue le plus bas pourcentage relevé dans les différents groupes ; ceci se traduit par un écart significatif avec le reste de la population (L, MP+ et MPo)<fnref n="96" /> : MP- < Reste.

## 3. La résolution de problèmes considérée dans une perspective d'apprentissage.

### a. Entraînement à la résolution.

L'idée selon laquelle les exercices constituent un entraînement à la résolution de questions mathématiques est très présente dans les deux institutions, pratiquement au même niveau que le point de vue mettant en avant la contribution à la compréhension du cours ; on relève cependant des nuances :

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>77,3</td><td>95,9</td><td>90,7</td><td>*</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>18,2</td><td>29,2</td><td>28,8</td><td>0,872</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>4,727</td><td>4,917</td><td>4,939</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>69,2</td><td>59,1</td><td>1,351</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>23,4</td><td>6,1</td><td>2,959</td><td>0,1%</td></tr><tr><td>R</td><td>3,963</td><td>3,909</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<footnote n="93">⁹³ Compréhension du cours.</footnote>

<footnote n="94">⁹⁴ Pour P1, t = 2,175, seuil de 3 % ; pour P2, t = 1,956, seuil de 6 % : MP+ < Reste.</footnote>

<footnote n="95">⁹⁵ Exemples illustrant le cours.</footnote>

<footnote n="96">⁹⁶ Pour P1, l'écart avec MP+ - 9%- n'est pas significatif, avec le reste de la population globale, il s'élève à 17 % ce qui correspond à un seuil de significativité de 9 % (t = 1,698) : MP- < Reste.</footnote>
* Dans le groupe L<fnref n="97" />, l'association exercices-entraînement fait l'objet d'une quasi-unanimité, ce n'est pas le cas chez les élèves de Spéciales MP qui sont significativement plus nombreux à minimiser ce point de vue (plus d'un quart d'avis Parfois ou Jamais). Les deux autres indicateurs sont également inférieurs dans MP mais de peu : L > MP

* Les étudiants de L+ considèrent plus que ceux de L- les exercices comme un entraînement à la résolution<fnref n="98" /> mais aucun écart significatif ne peut être mis en évidence.

* Dans MP, les élèves faibles ont un comportement analogue à celui de l'ensemble du groupe MP. MP+ se distingue à nouveau par une valeur de F1 plus faible (légèrement inférieure à deux tiers), autrement dit un comportement inversé par rapport à celui de L+. Mais comme dans L, les écarts avec le sous-groupe faible ne sont pas significatifs. Par contre, l'écart avec le reste de la population interrogée est très significatif : MP+ < Reste<fnref n="99" />.

## b. Aide à la résolution d'autres exercices.

Les étudiants sont très partagés à l'égard de l'item **Aide à la résolution d'autres exercices** puisque le pourcentage d'avis Souvent et Toujours est dans les deux institutions inférieur à 60 %. L'étude comparative met en évidence les éléments suivants :

* Ce point de vue sur les exercices est plus présent dans MP que dans L mais seul le rang moyen donne lieu à un écart significatif<fnref n="100" /> : L < MP

* On observe que dans MP l'écart entre les valeurs de P1 pour les items Entraînement et Aide est nettement inférieur à ce qu'il est dans L (MP : 16,7 %, L : 40,1 %). Un dépouillement des réponses prenant en compte pour chaque étudiant les avis exprimés pour les items « Entraînement » et « Aide à la résolution » montre que 28,8 % de la population MP et 44,9 % de la population

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>90,7</td><td>72,7</td><td>3,109</td><td>1 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>40,2</td><td>33,3</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>5,121</td><td>4,848</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>95,3</td><td>86,3</td><td>90,7</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>46,5</td><td>31,8</td><td>40,2</td><td>1,404</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>5,256</td><td>4,773</td><td>5,121</td><td>1,264</td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>63,6</td><td>75,0</td><td>72,7</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>31,8</td><td>33,3</td><td>33,3</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>4,864</td><td>5,083</td><td>4,848</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<footnote n="97">⁹⁷ Entraînement à la résolution</footnote>

<footnote n="98">⁹⁸ Entraînement à la résolution</footnote>

<footnote n="99">⁹⁹ Pour P1, MP+ < Reste : t = 2,705, significatif au seuil de 1 %.</footnote>

<footnote>Nous avons donc constaté que le sous-groupe des élèves « forts » de Spéciales MP voient moins que tous les autres étudiants les exercices comme une occasion de vérifier leur compréhension du cours et comme un entraînement à la résolution. Dans L, L+ a inversement une légère tendance à donner plus de poids que L- à l'idée d'entraînement. Pour ces trois observations, le sous-groupe fort renforce la différence observée entre MP et L. Ce n'est pas le cas pour l'item consacré aux exemples.</footnote>

<footnote n="100">¹⁰⁰ Écart entre MP et L pour le rang moyen : t = 1,609, significatif au seuil de 11 %.</footnote>
L choisissent Toujours/Souvent pour le premier point de vue et Parfois/Jamais pour le second. Cet écart est très significatif<fnref n="101" /> et tout à fait signifiant par rapport à notre problématique : il exprime la forte implantation au sein de l'institution universitaire, plus forte que dans l'institution CPGE, d'une conception de la résolution de problèmes que nous avons précédemment<fnref n="102" /> analysée comme peu propice à la construction de types de problèmes et de connaissances sur le fonctionnement mathématique.

* Les sous-groupes L+ et L- se comportent de manière voisine pour cet item.

* Le comportement de MP+ est en tout point comparable à celui de MP. Nous trouvons dans MP- le plus fort pourcentage de réponses Souvent/Toujours et le plus fort rang moyen ce qui nous place cet item en quatrième position dans la hiérarchie élaborée précédemment, devant l'item consacré aux Exemples mais ceci ne débouche sur aucun écart significatif.

### c. Prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen ou au devoir en classe.

Seule une minorité d'étudiants adopte le point de vue exprimé ici d'une forte proximité entre les exercices rencontrés et l'épreuve d'évaluation. Mais les deux institutions se différencient très nettement<fnref n="103" /> :

* Les étudiants de L sont un peu plus de 40 % à considérer les exercices prescrits comme étant souvent ou toujours des prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen. Dans MP, un peu moins de 25 % des élèves exprime un tel rapprochement, ce bien que l'épreuve d'évaluation évoquée soit le devoir en classe, c'est-à-dire une épreuve de programme réduit par rapport aux concours, élaborée par l'enseignant de la classe. Deux des indicateurs sont significativement différents : L > MP.

* On note que pour la population L, l'item considéré ici est peu différencié du précédent ; il l'est au contraire fortement dans MP tant au niveau de P1 que du rang moyen. Plus précisément, il s'avère que les étudiants de Spéciales sont significativement plus nombreux que ceux de L<fnref n="104" /> à répondre que les exercices sont toujours ou souvent une aide à la résolution d'autres exercices mais qu'ils sont seulement parfois, voire jamais, des prototypes proches des épreuves d'évaluation. Nous rapprochons cette observation des résultats obtenus dans la question ouverte à propos des connaissances de type *Méthodes* ou *Astuces*, plus souvent mentionnées dans MP que dans L. Dans cette perspective, il est intéressant de constater que, sur les 10 élèves de MP+ qui ont fait référence aux astuces et aux exercices-types dans la question ouverte, 7 sur 10 considèrent les exercices comme constituant souvent ou toujours une aide à la résolution

<table><thead><tr><td>L/MP</td><td>L</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>43,0</td><td>24,2</td><td>2,497</td><td>2 %</td></tr><tr><td>R</td><td>3,009</td><td>2,591</td><td>1,576</td><td>12 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="101">¹⁰¹ t = 2,107, significatif au seuil de 4 %.
Pour L+, L-, MP+ et MP-, le pourcentage s'élève respectivement à 46,5 %, 45,5 %, 27,3 % et 20,8 %</footnote>

<footnote n="102">¹⁰² cf D.I.4. p.69</footnote>

<footnote n="103">¹⁰³ Proximité aux épreuves d'évaluation</footnote>

<footnote n="104">¹⁰⁴ 40,9 % du groupe MP et 29 % du groupe L : t= 1,615, écart significatif au seuil de 11 %
Pourcentage dans les sous-groupes : L+ 25,6 % ; L- 29,5 % ; MP+ 50 % ; MP- 37,5 %</footnote>
d'autres exercices et seulement parfois des prototypes proches du devoir en classe.

* Le sous-groupe L- se comporte comme L par rapport à l'item étudié. Pour L+, les trois indicateurs prennent des valeurs supérieures, avec notamment 51,2 % d'avis Toujours/Souvent mais aucun élément n'est significatif<fnref n="105" />.

* Dans MP, le sous-groupe MP+ se comporte comme le groupe entier. Le point de vue étudié est légèrement plus présent dans MP- (en particulier, le taux de réponses Souvent/Toujours s'élève à 33 %) mais sans significativité.

## 4. Une source d'idées à retenir.

Plus de deux tiers des étudiants considèrent que les exercices sont une source d'idées à retenir, ces idées pouvant être ainsi que nous l'avons déjà remarqué de contenus variés. Mais cet énoncé général traduit mal les différents comportements :

* L'opinion selon laquelle les exercices constituent souvent ou toujours une source d'idées à retenir est en effet plus largement partagée dans MP que dans L : les trois indicateurs fournissent la même information avec un seuil de significativité important<fnref n="106" /> : L < MP.

* Ce résultat se retrouve au niveau de la hiérarchisation des propositions : dans le groupe L, l'item « Idées à retenir » est beaucoup moins souvent associé aux exercices que les deux points de vue les plus représentés, on ne trouve pas ce décrochement dans MP.

* Le sous-groupe L- semble accorder légèrement plus de place au point de vue traité ici qui, au niveau du rang moyen, est plus proche de l'item Entraînement que de l'item Exemples, ceci n'est le cas ni dans L+ ni dans L. Aucun de ces écarts n'est significatif<fnref n="107" />.

* Dans MP-, la répartition des avis est voisine de celle de MP. Dans MP+, les avis sont plus partagés puisque les réponses Toujours, Souvent et Parfois/Jamais sont également présentes. MP+ est à la fois le sous-groupe de MP pour lequel P1 et le

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>51,2</td><td>40,9</td><td>43,0</td><td>0,962</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>3,140</td><td>3,000</td><td>3,009</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>22,7</td><td>33,3</td><td>24,2</td><td>0,797</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>2,364</td><td>2,792</td><td>2,591</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>65,4</td><td>78,8</td><td>1,873</td><td>7 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>11,2</td><td>28,8</td><td>2,927</td><td>1 %</td></tr><tr><td>R</td><td>4,280</td><td>4,818</td><td>2,003</td><td>5 %</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>65,1</td><td>65,9</td><td>65,4</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,3</td><td>15,9</td><td>11,2</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>4,186</td><td>4,568</td><td>4,280</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<footnote n="105">¹⁰⁵ Proximité aux épreuves d'évaluation</footnote>

<footnote n="106">¹⁰⁶ Sources d'idées à retenir</footnote>

<footnote n="107">¹⁰⁷ Sources d'idées à retenir</footnote>
rang ont la plus petite valeur (on retrouve un pourcentage analogue à ce qui a été observé dans L et ses sous-groupes) et celui pour lequel P2 a la plus grande valeur (notablement supérieure aux valeurs trouvées dans L)$^{108}$. L'opposition de MP+ au reste du groupe MP quant à la proportion d'avis Toujours/Souvent est significative : MP+ < Reste MP. Pour P2, il faut comparer MP+ au reste de la population (L, MPo et MP-) pour obtenir un écart suffisamment accentué : MP+ > Reste.

Ces résultats sont difficiles à interpréter. La différence de comportement mise en évidence entre L et MP va dans le sens des résultats concernant les références aux *Méthodes et Astuces* dans les réponses à la question ouverte. Mais ce rapprochement est mis en question par la répartition des avis dans MP+, population qui, rappelons le, citait significativement plus que MP- les *Astuces* et les *Exercices-types*. Ainsi, il apparaît que, sur les 10 élèves de ce sous-groupe qui ont mentionné les *Astuces* et/ou les *Exercices-types*, la moitié seulement ont ici choisi les avis Toujours ou Souvent. On ne peut pas exclure qu'il y ait là un effet du « snobisme » envisagé dans la note 87 mais ce n'est pas l'interprétation que nous privilégierons et ce pour plusieurs raisons :

* l'examen des réponses à la question III des 10 élèves mentionnés ci-dessus révèle que 9 d'entre eux essaient systématiquement ou souvent de dégager des idées à retenir à partir de l'étude des corrigés d'exercices (cette proportion est de 8 sur 10 dans l'ensemble du sous-groupe MP+), l'écart avec leur réponse à la question I semblerait alors traduire une certaine rareté des idées finalement retenues ;

* le pourcentage de réponses attribuant les avis Toujours ou Souvent à l'item « Idées à retenir » et Parfois/Jamais à l'item « Aide à la résolution » s'élève respectivement à 27,3% dans MP+ et 33,3% dans MP-$^{109}$ : la plus forte valeur de P1 dans MP- peut donc également s'expliquer par le caractère relativement local d'une partie au moins des idées retenues qui pourrait expliquer une efficacité limitée et/ou par une plus forte mise à contribution des exercices dans le processus d'apprentissage et d'enrichissement du cours (mais le traitement par ce sous-groupe de l'item consacré aux exemples crée quelques doutes sur cette hypothèse).

Ces observations conduisent à traiter avec beaucoup de prudence les relations obtenues à propos du point de vue étudié ici : considérer que les exercices sont communément sources d'idées à retenir peut être le résultat d'une attitude trop peu sélective, d'une certaine difficulté à repérer du générique. Le rapprochement avec d'autres résultats nous permettra d'obtenir des interprétations plus précises.

<table><thead><tr><td>MP+/MP-</td><td>MP+</td><td>MP-</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>63,6</td><td>83,3</td><td>78,8</td><td>1,519</td><td>13%</td></tr><tr><td>P2</td><td>31,8</td><td>25,0</td><td>28,8</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>4,500</td><td>5,000</td><td>4,818</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<footnote>108</footnote>

<footnote>P1 Ecart entre MP+ et le reste de MP : $t = 2,129$ seuil de 4 % : MP+ < ResteMP ;</footnote>

<footnote>P2 Ecart entre MP+ et le reste de la population : $t = 1,813$ seuil de 7 % : MP+ > Reste</footnote>

<footnote>$^{109}$ Ce pourcentage s'élève à 30,8 % dans L (27,9 % dans L+, 34,1 % dans L-), 34,8 % dans MP.</footnote>
## 5. Synthèse.

Le tableau suivant récapitule les principaux écarts significatifs mis en évidence; il est conçu sur les mêmes bases que celui qui a conclu la partie C<fnref n="110" />.

<table><thead><tr><th>Item</th><th>Comparaison</th><th>P1 :<br>Toujours/Souvent</th><th>P2 : Toujours</th><th>Rang<br>moyen</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Un jeu intellectuel<fnref n="111" /></td><td>MP+ > MP-</td><td>13 %</td><td></td><td rowspan="2">4 %</td></tr><tr><td>MP+ > Reste</td><td>14 %</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Une occasion de vérifier si vous avez bien compris le cours</td><td>L > MP</td><td></td><td>8 %</td><td rowspan="3">1 %</td></tr><tr><td>MP+ < MP-</td><td>Non testé (18 %)</td><td>Non testé (11 %)</td></tr><tr><td>MP+ < Reste</td><td>3 %</td><td>6 %</td></tr><tr><td rowspan="2">Un apport d'exemples qui illustrent le cours</td><td>L > MP</td><td></td><td>0,1 %</td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>MP- < Reste</td><td>9 %</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Un entraînement à la résolution de questions mathématiques</td><td>L > MP</td><td>1 %</td><td></td><td rowspan="3"></td></tr><tr><td>L+ > L-</td><td>Non testé (9%)</td><td>17 %</td></tr><tr><td>MP+ < Reste</td><td>1 %</td><td></td></tr><tr><td>Une aide à la résolution d'autres exercices<fnref n="112" /></td><td>L < MP</td><td></td><td></td><td>11 %</td></tr><tr><td>Des prototypes proches de ceux qui seront donnés à l'examen</td><td>L > MP</td><td>2 %</td><td></td><td>12 %</td></tr><tr><td rowspan="3">Une source d'idées à retenir</td><td>L < MP</td><td>7 %</td><td>1 %</td><td rowspan="3">5 %</td></tr><tr><td>MP+ < Reste MP</td><td>4 %</td><td></td></tr><tr><td>MP+ > Reste</td><td>7 %</td><td></td></tr></tbody></table>

### • Comparaison des groupes L et MP

Plusieurs différences significatives de comportement ont été mises en évidence.

Dans un contexte de consensus important autour des réponses Toujours et Souvent, on constate que les étudiants du groupe L sont plus nombreux que ceux de MP à attribuer aux exercices un rôle permanent dans la compréhension du cours. Bien que les avis soient dans les deux groupes plus partagés que pour l'item précédent, les exercices sont également plus souvent vus dans L que dans MP comme jouant un rôle d'illustration du cours par les exemples qu'ils apportent. Rappelons que dans la partie C, nous avons relevé dans plusieurs réponses émanant d'étudiants de L diverses références à une telle fonction d'aide à l'assimilation du cours.

Dans le groupe L, 9 étudiants sur 10 voient toujours ou souvent dans les exercices un entraînement à la résolution ; par contre, deux tiers seulement de la population considèrent que les exercices constituent une source d'idées à retenir ou d'exemples et une moitié qu'ils sont toujours ou souvent une aide pour aborder de nouvelles questions. Dans MP, cet écart est plus réduit : le consensus autour de l'idée d'entraînement est moins fort que dans L, les points de vue « aide à la résolution de futurs exercices » et « sources d'idées à retenir » sont par contre plus présents ; enfin,

<footnote n="110">¹¹⁰ Voir p.59 : le tableau donne le seuil de significativité et dans le cas où le test n'a pu être effectué par insuffisance de la valeur np, nous indiquons entre parenthèses l'écart entre les deux valeurs de la variable en jeu.</footnote>

<footnote n="111">¹¹¹ Pour cet item, le pourcentage d'avis Jamais donne lieu à un écart significatif au seuil de 6 % : MP- > Reste (Rappel : Reste désigne le complémentaire à l'ensemble de la population interrogée).</footnote>

<footnote n="112">¹¹² Toujours/Souvent pour « Entraînement » et Parfois/Jamais pour « Aide à la résolution » : L > MP (seuil 4 %) ; Toujours/Souvent pour « Aide à la résolution » et Parfois/Jamais pour « Prototypes proches des examens » : L < MP (seuil de 11 %).</footnote>
les étudiants qui mettent l'accent sur l'idée d'entraînement en minorant le rôle des transferts sont nettement moins nombreux dans MP que dans L. Ces éléments nous conduisent à considérer qu'une conception de l'apprentissage centrée sur une pratique fournie de la résolution et peu portée à l'analyse réflexive est plus répandue dans L que dans MP. Rappelons que nous analysons cette conception comme peu favorable à l'acquisition de connaissances sur le fonctionnement mathématique.

Enfin, les élèves de Spéciales MP sont nettement moins nombreux que ceux de L (moins de 25 % contre plus de 40 %) à envisager souvent ou toujours les exercices prescrits comme des prototypes directement liés au contenu de l'épreuve d'évaluation. On peut voir là un effet du fonctionnement de l'évaluation : à l'université, l'examen est perçu comme relativement déterminé par les choix du responsable du cours (plusieurs étudiants ont exprimé en réponse à la question ouverte leur souci de repérer à travers les annales les régularités dans les sujets et de tenir compte des habitudes de l'enseignant), la clé du succès semble être de prévoir correctement les exercices probables. En classes préparatoires, les épreuves véritablement décisives sont les concours, elles sont totalement indépendantes de l'enseignant de la classe et, portant sur un programme transversal, peuvent apparaître comme relativement indéterminées, il s'agit de s'habituer à traiter du nouveau et les devoirs en classe sont abordés dans cette perspective.

Dans ce contexte, un peu plus de 40 % de la population MP et un peu moins de 30 % de la population L voient toujours ou souvent dans les exercices une aide à de futures résolutions sans les considérer comme étant des prototypes des épreuves d'évaluation ; l'idée qu'il existe des possibilités de transfert entre des exercices relativement différents est donc plus présente dans MP que dans L. Or ce point de vue est à la base de la construction de liens entre problèmes donc de types de problèmes et de connaissances les concernant, nous rapprochons le résultat obtenu ici de ceux que nous avons obtenus grâce à la question ouverte concernant les méthodes et astuces.

## • Comparaison des sous-groupes forts et faibles.

Concernant la population L, nous retiendrons l'indéniable proximité des comportements des sous-groupes de niveau de L vis à vis de cette question (invariance dans la structuration, invariance dans les pourcentages).

Les deux sous-groupes MP+ et MP- de MP ont par contre des comportements assez différents pour la plupart des items. Cependant, la taille réduite des deux échantillons concernés ne permet guère de mettre en évidence des écarts véritablement significatifs. C'est finalement par comparaison avec le reste de la population interrogée dans son ensemble que nous avons pu atteindre dans certains cas un seuil de significativité convenable. Les éléments retenus ci-dessous sont donc à considérer avec prudence, comme des tendances à confirmer.

Nous avons constaté dans le sous-groupe MP+ une proportion plus forte qu'ailleurs de réponses Parfois ou Jamais pour les items Compréhension du cours, Entraînement à la résolution et Idées à retenir. Dans les deux premiers cas, ce sous-groupe renforce l'écart du groupe MP avec L. C'est l'inverse pour le troisième mais sur ce point, le groupe MP+ est très hétérogène<fnref n="113" /> puisque les élèves se répartissent à peu

<footnote n="113">¹¹³ C'est également le cas pour l'item Entraînement.</footnote>
près également entre les réponses Toujours, Souvent et Parfois/Jamais ce qui correspond donc aussi à la proportion la plus élevée de réponses Toujours. Nous reviendrons sur ce résultat assez étonnant dans les développements ultérieurs.

MP- est de tous les groupes celui qui associe le moins Exercices et Exemples, il renforce la position de MP par rapport à L.

Enfin, l'item Jeu oppose radicalement les deux sous-groupes et les différencie du reste de la population : les élèves de MP+ sont proportionnellement les plus nombreux à considérer que les exercices constituent souvent un jeu intellectuel, alors qu'ils ne le sont jamais pour un quart de MP-, ce qui constitue la plus forte présence de cette position.

Nous retiendrons surtout de cette comparaison la forte hétérogénéité de MP+ vis à vis des trois items qui dans les autres groupes font relativement consensus, Compréhension, Entraînement et Idées à retenir. Il est possible qu'une certaine aisance, probablement liée au redoublement, autorise une prise de distance par rapport aux modèles dominants de l'étude et débouche sur des styles personnels de travail sur certains points<fnref n="114" /> contradictoires avec l'orthodoxie de l'institution ou ce qui est ressenti comme tel par les autres élèves.

## D. IV Question II : étude de la hiérarchie des items dans les différentes populations.

Nous reprenons ici la démarche utilisée à propos de la question I.

### 1. Principaux résultats.

Effectifs : L+ : 43 ; Lo : 20 ; L- : 45 ; L : 108 ; L-- : 37

MP+ : 22 ; MPo : 20 ; MP- : 24 ; MP : 66

Les tableaux ci-dessous donnent les informations suivantes : le premier la fréquence F1 des avis Indispensables ou Souvent utiles (dits avis positifs dans la suite), le deuxième la fréquence F2 d'avis Indispensables et le dernier le rang moyen R<fnref n="115" />.

<table><thead><tr><th>F1</th><th>Déf</th><th>Théo</th><th>Dém</th><th>Exem</th><th>Enst</th><th>Rés</th><th>Ex Tr</th><th>Ex NTr</th><th>Ex NCh</th><th>Erreurs</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>1</td><td>0,977</td><td>0,814</td><td>0,721</td><td>0,930</td><td>0,884</td><td>0,442</td><td>0,976</td><td>0,559</td><td>1</td></tr><tr><td>Lo</td><td>1</td><td>1</td><td>0,850</td><td>0,750</td><td>0,950</td><td>1</td><td>0,350</td><td>1</td><td>0,400</td><td>1</td></tr><tr><td>L-</td><td>1</td><td>1</td><td>0,778</td><td>0,778</td><td>0,956</td><td>0,911</td><td>0,356</td><td>0,978</td><td>0,555</td><td>0,911</td></tr><tr><td>L--</td><td>1</td><td>1</td><td>0,757</td><td>0,865</td><td>0,946</td><td>0,891</td><td>0,405</td><td>0,973</td><td>0,513</td><td>0,919</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,954</td><td>1</td><td>0,636</td><td>0,636</td><td>0,955</td><td>0,545</td><td>0,500</td><td>0,909</td><td>0,273</td><td>1</td></tr><tr><td>MPo</td><td>1</td><td>1</td><td>0,550</td><td>0,700</td><td>0,855</td><td>0,900</td><td>0,400</td><td>0,850</td><td>0,600</td><td>1</td></tr><tr><td>MP-</td><td>1</td><td>1</td><td>0,750</td><td>0,750</td><td>0,917</td><td>0,917</td><td>0,708</td><td>0,958</td><td>0,417</td><td>0,959</td></tr><tr><td>L</td><td>1</td><td>0,991</td><td>0,806</td><td>0,750</td><td>0,944</td><td>0,917</td><td>0,389</td><td>0,982</td><td>0,528</td><td>0,963</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,985</td><td>1</td><td>0,651</td><td>0,697</td><td>0,909</td><td>0,788</td><td>0,545</td><td>0,909</td><td>0,424</td><td>0,984</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,995</td><td>0,994</td><td>0,747</td><td>0,730</td><td>0,931</td><td>0,868</td><td>0,448</td><td>0,954</td><td>0,489</td><td>0,971</td></tr></tbody></table>

<footnote n="114">¹¹⁴ Un examen des réponses des 22 élèves de MP+ fait apparaître que, selon les items, ce ne sont pas toujours les mêmes éléments qui adoptent une position minoritaire dans MP ou dans l'ensemble de la population interrogée.</footnote>

<footnote n="115">¹¹⁵ Voir Annexe III pour les résultats complets.</footnote>
Question II

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

MP / MP+ / MP-
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<table><thead><tr><th>F2</th><th>Déf</th><th>Théo</th><th>Dém</th><th>Exem</th><th>Enst</th><th>Rés</th><th>Ex Tr</th><th>Ex NTr</th><th>Ex NCh</th><th>Erreurs</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,907</td><td>0,814</td><td>0,163</td><td>0,023</td><td>0,186</td><td>0,419</td><td>0,070</td><td>0,674</td><td>0,326</td><td>0,581</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,950</td><td>0,750</td><td>0,000</td><td>0,050</td><td>0,250</td><td>0,450</td><td>0,100</td><td>0,600</td><td>0,250</td><td>0,550</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,956</td><td>0,933</td><td>0,067</td><td>0,000</td><td>0,156</td><td>0,400</td><td>0,067</td><td>0,622</td><td>0,333</td><td>0,578</td></tr><tr><td>L--</td><td>0,946</td><td>0,946</td><td>0,081</td><td>0,000</td><td>0,135</td><td>0,459</td><td>0,081</td><td>0,649</td><td>0,270</td><td>0,595</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,727</td><td>0,864</td><td>0,091</td><td>0,045</td><td>0,273</td><td>0,227</td><td>0,000</td><td>0,364</td><td>0,000</td><td>0,545</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,900</td><td>1,000</td><td>0,050</td><td>0,100</td><td>0,300</td><td>0,200</td><td>0,050</td><td>0,450</td><td>0,100</td><td>0,550</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0,875</td><td>0,958</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,500</td><td>0,250</td><td>0,458</td><td>0,167</td><td>0,542</td></tr><tr><td>L</td><td>0,935</td><td>0,852</td><td>0,093</td><td>0,019</td><td>0,185</td><td>0,417</td><td>0,074</td><td>0,639</td><td>0,315</td><td>0,574</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,833</td><td>0,939</td><td>0,045</td><td>0,045</td><td>0,182</td><td>0,318</td><td>0,106</td><td>0,424</td><td>0,091</td><td>0,545</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,897</td><td>0,885</td><td>0,075</td><td>0,029</td><td>0,184</td><td>0,379</td><td>0,086</td><td>0,557</td><td>0,230</td><td>0,563</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>R</th><th>Déf</th><th>Théo</th><th>Dém</th><th>Exem</th><th>Enst</th><th>Rés</th><th>Ex Tr</th><th>Ex NTr</th><th>Ex NCh</th><th>Erreurs</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>9,45</td><td>8,879</td><td>5,359</td><td>3,975</td><td>4,780</td><td>6,258</td><td>2,537</td><td>6,280</td><td>3,425</td><td>5,518</td></tr><tr><td>Lo</td><td>9,364</td><td>8,364</td><td>4,818</td><td>4,273</td><td>4,545</td><td>6,909</td><td>3,000</td><td>6,818</td><td>3,318</td><td>5,727</td></tr><tr><td>L-</td><td>9,575</td><td>9,051</td><td>4,324</td><td>3,475</td><td>4,788</td><td>6,869</td><td>3,394</td><td>6,788</td><td>3,676</td><td>5,515</td></tr><tr><td>L--</td><td>9,508</td><td>9,066</td><td>4,521</td><td>3,612</td><td>4,644</td><td>6,855</td><td>3,489</td><td>6,855</td><td>3,489</td><td>5,553</td></tr><tr><td>MP+</td><td>8,909</td><td>9,182</td><td>4,318</td><td>4,045</td><td>5,955</td><td>4,136</td><td>3,682</td><td>5,955</td><td>2,318</td><td>6,318</td></tr><tr><td>MPo</td><td>8,950</td><td>9,100</td><td>3,150</td><td>4,200</td><td>5,150</td><td>5,200</td><td>2,900</td><td>6,100</td><td>3,650</td><td>6,600</td></tr><tr><td>MP-</td><td>8,833</td><td>9,250</td><td>4,042</td><td>3,542</td><td>3,417</td><td>6,250</td><td>4,250</td><td>6,417</td><td>3,083</td><td>5,917</td></tr><tr><td>L</td><td>9,486</td><td>8,855</td><td>4,899</td><td>3,822</td><td>4,747</td><td>6,633</td><td>2,980</td><td>6,591</td><td>3,510</td><td>5,555</td></tr><tr><td>MP</td><td>8,894</td><td>9,182</td><td>3,864</td><td>3,909</td><td>4,788</td><td>5,227</td><td>3,652</td><td>6,167</td><td>3,000</td><td>6,258</td></tr><tr><td>Tous</td><td>9,851</td><td>9,529</td><td>4,810</td><td>4,092</td><td>5,057</td><td>6,511</td><td>3,420</td><td>6,839</td><td>3,534</td><td>6,167</td></tr></tbody></table>

## 2. Comment sont situés les uns par rapport aux autres les différents objets d'étude proposés ?

Comme pour la question précédente, L et ses sous-groupes L+ et L- sont décrits simultanément, MP+ et MP- séparément.

### a. Dans la population L.

6 items sont considérés par plus de 88 % de la population comme indispensables ou souvent utiles : ils concernent la connaissance des résultats du cours (définitions, théorèmes), le retour sur les échecs (exercices cherchés non trouvés, erreurs), la résolution d'exercices et la compréhension des commentaires de l'enseignant. Les deux autres indicateurs introduisent entre eux une certaine hiérarchie :

* Définitions et Théorèmes se distinguent nettement des autres dans la mesure où ils sont unanimement considérés comme souvent utiles ou indispensables (99 % de l'ensemble de la population étudiée) avec une proportion d'avis Indispensable, nettement plus élevée que pour les autres items proposés. Enfin, ils sont le plus souvent classés comme les deux plus utiles.
* Près de 60 % des étudiants considèrent comme indispensable le retour sur les exercices cherchés non trouvés et les erreurs, ce pourcentage est voisin de 40 % pour la résolution d'exercices. Cependant, cette hiérarchie est contestée par le rang moyen qui situe au même niveau le premier et le dernier de ces trois items, devant le deuxième.

* Vient enfin l'item concernant la prise en compte des commentaires de l'enseignant, nettement détaché des précédents avec environ 20 % d'avis Indispensables et un rang moyen plus faible.

Parmi les quatre items restants, ceux qui sont liés au texte du cours (étude des démonstrations et connaissance d'exemples) sont considérés positivement par plus de 70 % de la population. Les indicateurs F2 et R introduisent une certaine hiérarchie : le pourcentage d'avis Indispensable avoisine 10 % pour les démonstrations, il est inférieur à 5 % pour les exemples ; le rang moyen confirme cette hiérarchie, on observe de plus que pour le rang, les items Démonstrations et Enseignants sont très proches, nettement différenciés des Exemples. Ce phénomène résulte du comportement du sous-groupe L+, comme nous le préciserons dans l'étude comparative.

Les avis sont enfin très partagés à propos de l'étude des corrections des exercices non cherchés (légèrement plus de 50 % d'avis positifs, près d'un tiers d'avis Indispensable) et des exercices trouvés (environ 40 % d'avis positifs et moins de 10 % d'avis Indispensables). L'examen des rangs confirme la position relative de ces deux types d'objets. Notons que, pour l'étude des exercices non cherchés la proportion d'avis Indispensable n'est que peu inférieure à ce qu'elle est pour la résolution de problèmes, mais le second de ces items a un rang moyen nettement plus élevé que le premier.

## b. Dans la population MP.

### Comportement de MP+

Le groupe des items considérés positivement par plus de 90 % de la population ne comporte que cinq éléments : définitions, théorèmes, exercices cherchés non trouvés, erreurs, commentaires de l'enseignant :

* Comme dans L, définitions et théorèmes se différencient nettement par les valeurs de P2 (entre 70 % et 80 %) et R

* Pour les trois autres items, le pourcentage d'avis Indispensable varie de 55 % pour les erreurs à 27 % pour les discours de l'enseignant ; les rangs moyens sont très proches.

Viennent ensuite trois objets qui sont considérés positivement dans des proportions variant de 64 % pour les deux premiers à 54 % pour le dernier : il s'agit de l'étude des démonstrations, de la connaissance d'exemples et de la résolution d'exercices. Les rangs moyens de ces items sont voisins, nettement inférieurs à ceux des précédents. Le pourcentage d'avis Indispensable s'élève à un peu plus de 20 % pour la résolution alors qu'il est inférieur à 10 % pour les démonstrations et les exemples.

Les deux derniers items se différencient nettement l'un de l'autre. Le retour sur les exercices trouvés est considéré positivement par la moitié de la population mais n'est jamais jugé indispensable et son rang est inférieur à celui des items précédents.
L'étude des corrections d'exercices non cherchés est nettement dévalorisée avec tout juste un peu plus d'un quart d'avis Souvent utiles et aucun avis Indispensable.

## Comportement de MP-.

Dans cette population, 6 items sont jugés positivement par plus de 90 % de la population, ce sont les mêmes que dans L : **définitions, théorèmes, erreurs, exercices cherchés non trouvés, résolution d'exercices et commentaires de l'enseignant.**

Pour les cinq premiers, le comportement de MP- est analogue à celui de L à ceci près que le pourcentage d'avis Indispensable se situe entre 45 % et 55 %.

Par contre, la prise en compte des commentaires de l'enseignant est relativement dévalorisée : aucun étudiant ne la considère comme indispensable ; quant au rang moyen, c'est l'avant dernier (seul l'item consacré aux exercices non cherchés a un rang inférieur). Ceci conduit à rapprocher cet item de ceux qui concernent l'étude des démonstrations, la connaissance d'exemples et le retour sur les exercices trouvés (P1 = 75 %, P2 = 0 % pour les deux premiers, P1 = 70 %, P2 = 25 % pour le troisième) Les rangs moyens sont voisins.

Enfin, l'étude des exercices non cherchés n'est jugée positivement que par une minorité (42 %) avec 17 % d'avis Indispensable.

Nous résumerons les descriptions obtenues de la façon suivante :

### Structure des réponses dans L

<table><thead><tr><th>Déf, Théo</th><th>Exos NTr, Erreurs, Rés</th><th>Enst, Dém, Exem</th><th>Exos NCh</th><th>Exos Tr</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2 &gt; 80 %</td><td>P1 &gt; 85 %<br>40 % &lt; P2 &lt; 70 %</td><td>P1 &gt; 70 %<br>P2 &lt; 20 %</td><td>P1 &asymp; 50 %<br>P2 &asymp; 30 %</td><td>P1 &lt; 40 %<br>P2 &lt; 10 %</td></tr></tbody></table>

### Structure des réponses dans MP

#### Dans MP+

<table><thead><tr><th>Déf, Théo</th><th>Exos NTr, Erreurs, Enst</th><th>Rés, Dém, Exem</th><th>Exos Tr</th><th>Exos NCh</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2 &gt; 70 %</td><td>P1 &gt; 90 %<br>25 % &lt; P2 &lt; 55 %</td><td>50 % &lt; P1 &lt; 65 %<br>P2 &lt; 25 %</td><td>P1 = 50 %<br>P2 = 0 %</td><td>P1 &asymp; 27 %<br>P2 = 0 %</td></tr></tbody></table>

#### Dans MP-

<table><thead><tr><th>Déf, Théo</th><th>Exos NTr, Erreurs, Rés</th><th>Enst, Dém, Exem, Exos Tr</th><th>Exos NCh</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2 &gt; 80 %</td><td>P1 &gt; 90 %<br>45 % &lt; P2 &lt; 55 %</td><td>P1 &gt; 70 %<br>P2 &lt; 25 %</td><td>P1 &asymp; 42 %<br>P2 &asymp; 17 %</td></tr></tbody></table>

Entre les deux sous-groupes de niveau de MP, la différence essentielle en terme de structure concerne donc la position relative de la résolution de problèmes et de la compréhension des commentaires de l'enseignant ; ceci se traduit au niveau de la population MP par des variations suivant les indicateurs au niveau de la position relative des deux items en question qui définissent alors un sous-groupe intermédiaire entre le deuxième et le troisième.
## Tendances communes.

Nous voyons clairement apparaître des phénomènes communs à la population L et au sous-groupe MP- :

* La connaissance des résultats mathématiques, définitions et théorèmes, est considérée comme indispensable par une forte majorité (P2 > 80%).

* Le retour sur les échecs (erreurs et exercices non trouvés bien que cherchés) fait l'objet d'un large consensus positif (P1 > 85%) avec une proportion d'avis Indispensable importante (P2 > 40%). On retrouve ces mêmes caractéristiques par rapport à la nécessité d'une pratique personnelle de résolution.

* La compréhension des commentaires du ou des enseignants, l'étude des démonstrations et la connaissance d'exemples sont jugées positivement par une majorité importante (P1 > 70%) mais seule une petite minorité les considèrent comme indispensables (P2 < 25%).

Pour ce qui concerne MP+, si l'on prend en compte le fait que les pourcentages P1 et P2 sont minorés dans cette population (cf note 87) on peut considérer qu'à une translation près, la description produite ci-dessus reste valide pour les items concernant le texte du cours (définitions, théorèmes, démonstrations, exemples) et le retour sur les échecs.

En revanche, MP+ se distingue par son comportement vis à vis de la résolution et des commentaires de l'enseignant.

Pour les deux items restants, les avis négatifs sont nettement plus représentés mais L d'une part, MP- et MP+ d'autre part, se comportent de manière différente en négligeant dans le premier cas l'étude des corrections d'exercices trouvés et dans le second l'étude des corrections d'exercices non cherchés.

L'étude comparative permettra de préciser les éléments différenciateurs que nous venons de repérer.

## D.IV. Question II : recherche des écarts entre institutions et entre niveaux.

### 1. Objets d'étude liés au texte du cours.

#### a. Connaître les définitions et les théorèmes.

Dans un contexte tout à fait prévisible de large consensus sur l'utilité de la connaissance des énoncés du cours, l'étude comparative met en évidence quelques nuances :

* Les populations L et MP se distinguent assez nettement quant à la position relative de ces deux éléments, L accordant plus d'importance à la connaissance des définitions qu'à celle des théorèmes, MP ayant un comportement inverse. Ceci se concrétise par des écarts significatifs entre les deux populations<fnref n="116" />, les

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>100</td><td>98,5</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>93,5</td><td>83,3</td><td>2,140</td><td>3%</td></tr><tr><td>R</td><td>9,486</td><td>8,894</td><td>2,750</td><td>1%</td></tr></tbody></table>

<footnote n="116">¹¹⁶ Définitions</footnote>
définitions étant plus valorisées dans L que dans MP, les théorèmes dans MP que dans L. Ceci corrobore les résultats de la question ouverte.

* Dans les deux institutions, le sous-groupe fort considère moins souvent que le sous-groupe faible la connaissance des définitions comme indispensable. Ce phénomène est bien marqué dans MP avec un écart de 15 % entre les deux sous-groupes ce qui renvoie aux résultats de la partie C (un tiers des élèves de MP+ seulement considérait spontanément les définitions comme indispensables tandis qu'un tiers ne faisait aucune référence à ce type de connaissance). Dans L, l'écart est plus réduit. Par réunion de L+ et MP+ d'une part, L- et MP- d'autre part, nous obtenons un résultat faiblement significatif mais il fait écho à ce que nous avons obtenu pour la question ouverte avec une significativité plus marquée¹¹⁷ : L+ ∪ MP+ < L- ∪ MP-.

* Par rapport aux théorèmes, on observe la même différence de comportement¹¹⁸. L'écart est significatif entre L+ et L-, il est plus faible entre MP+ et MP- mais la question ouverte avait mis en évidence un décalage plus marqué entre ces deux sous-groupes. La réunion des sous-groupes de même niveau débouche sur un écart très significatif : L+ ∪ MP+ < L- ∪ MP-. Ceci est un élément de comparaison qui ne ressortait pas du dépouillement de la question ouverte et qui vient conforter les observations portant sur la hiérarchisation des énoncés : représentation plus importante dans les sous-groupes forts de la tendance à hiérarchiser les différents résultats du cours et inversement présence moindre des réponses les situant explicitement au même niveau.

Nous sommes donc en présence d'un faisceau d'indicateurs convergeant vers la même conclusion : indépendamment de l'institution, les meilleurs étudiants ont plus que les autres tendance à relativiser l'importance accordée à la connaissance des énoncés du cours, définitions comme théorèmes.

### Théorèmes

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>99,1</td><td>1</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>85,2</td><td>93,9</td><td>1,756</td><td>8%</td></tr><tr><td>R</td><td>8,855</td><td>9,182</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

¹¹⁷ Définitions

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2</td><td>90,7</td><td>95,6</td><td>93,5</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2</td><td>72,7</td><td>87,5</td><td>83,3</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

Aucun test de significativité ne peut être appliqué si l'on s'en tient aux sous-groupes d'une même institution ; par regroupement, écart significatif au seuil de 14 % (t = 1,493) ; pour la question ouverte, nous avons obtenu cette même relation avec un écart significatif au seuil de 4 %.

¹¹⁸ Théorèmes

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2</td><td>81,4</td><td>93,3</td><td>85,2</td><td>1,692</td><td>10%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P2</td><td>86,4</td><td>95,8</td><td>93,9</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

Entre la réunion des sous-groupes forts et la réunion des sous-groupes faibles, écart significatif au seuil de 5 % (t = 2,041).
b. Etudier les démonstrations du cours et connaître des exemples.

Pour les deux items considérés et dans les deux groupes, les avis positifs sont largement majoritaires mais il s'agit avant tout du jugement « Souvent utile ». Néanmoins un groupe non négligeable d'étudiants (aux alentours de 20 % dans L, de 30 % dans MP) considère ces aspects du travail comme superflus ou plutôt inutiles.

* Pour l'item Exemples, les écarts entre L et MP sont faibles ; on ne repère pas non plus de différence significative entre les sous-groupes de niveau<fnref n="119" />.

* Ce n'est pas le cas pour le second item : l'étude des démonstrations occupe une place plus importante dans le groupe L que dans le groupe MP¹²⁰ : L > MP. Ceci renvoie très exactement à l'un des résultats obtenus avec la question ouverte, les étudiants de L ayant spontanément plus cité les démonstrations que ceux de MP. Dans L, les items Démonstrations et Enseignant ont des rangs moyens très proches, nettement supérieurs à celui d'Exemples ; dans MP, Démonstrations et Exemples sont placés au même niveau, sensiblement au-dessous de l'item Enseignant. On peut donc penser que les commentaires de l'enseignant sont plus souvent privilégiés par rapport à l'étude des démonstrations dans MP que dans L.

* Pour cet item, les trois indicateurs sont dans L- inférieurs à ceux de L+ avec une valeur particulièrement marquante du rang moyen qui dans L+ situe l'étude des démonstrations au même niveau que la réflexion sur les erreurs, nettement devant l'item Enseignant¹²¹: L+ > L-. Il semblerait donc que, comme nous l'avions relevé sous une forme plus atténuée dans la question ouverte, la tendance consistant à considérer l'étude des démonstrations comme un élément important du travail à effectuer soit mieux représentée dans L+ que dans L-.

* MP+ et MP- ont un comportement voisin de celui de MP vis à vis de cet item comme du précédent : les élèves sont plus nombreux dans MP- que dans MP+ à juger ces deux éléments comme souvent utiles ou indispensables mais, pour les deux autres indicateurs, c'est dans MP+ que les valeurs sont les plus grandes.

¹²⁰ Démonstrations

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>80,6</td><td>65,1</td><td>2,268</td><td>3 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,3</td><td>4,5</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>4,899</td><td>3,864</td><td>3,094</td><td>1 %</td></tr></tbody></table>

¹²¹

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>81,4</td><td>77,8</td><td>80,6</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>16,3</td><td>6,7</td><td>9,3</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>5,359</td><td>4,324</td><td>4,899</td><td>2,340</td><td>2 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="119">¹¹⁹ Pour la question ouverte, les réponses des groupes L et MP n'ont fait apparaître aucune différence significative à propos de l'item Exemples, L+ le mentionne plus que L- sans toutefois lui accorder significativement plus souvent les deux cotations les plus élevées d'utilité, MP+ cite moins les exemples que le reste de MP. Dans la question I, MP considère moins souvent que L et MP- que le reste de MP les exercices comme sources d'idée à retenir.</footnote>
## 2. Commentaires du ou des enseignants.

La compréhension des commentaires des enseignants est à plus de 90 % dans les deux groupes considérés positivement mais moins de 20 % des étudiants seulement la jugent indispensable. Il s'agit donc d'une position nuancée, commune aux deux institutions entre lesquelles on ne repère pas de différence significative ; les sous-groupes L+ et L- se comportent comme l'ensemble des étudiants de L.

Dans MP, MP+ et MP- se différencient nettement<fnref n="122" />. Plus du quart des élèves de MP+ juge indispensable cette dimension de l'étude (valeur de P2 la plus élevée) tandis qu'aucun élève de MP- n'est de cet avis ; dans la mesure où les élèves de MP+ ont plus que les autres tendance à modérer leurs avis, l'écart constaté ici peut être considéré comme doté de sens même s'il ne peut être évalué au plan statistique. Entre les rangs moyens, l'écart est hautement significatif ce qui se traduit au niveau de la hiérarchie des propositions : dans MP+, l'item « Enseignant » se situe derrière les items « Définitions », « Théorèmes » et « Erreurs » mais au niveau de l'item « Exercices non trouvés », nettement devant « Démonstrations », « Résolution » et « Exemples » ; dans MP-, seul l'item « Exercices non cherchés » a un rang moyen plus petit. Bien que nous n'ayons qu'un seul écart significatif, il semble raisonnable de retenir que les élèves de MP+ sont plus nombreux à accorder de l'importance aux commentaires de l'enseignant que ceux de MP- : MP+ > MP-

## 3. Objets d'étude liés à la résolution de problèmes.

### a. Revenir sur les échecs.

Nous nous intéressons ici aux items « Réfléchir aux erreurs qu'on a commises » et « Etudier les corrections des exercices qu'on a vraiment cherchés et pas trouvés ». Si l'on excepte les définitions et théorèmes, ces objets d'étude sont ceux autour desquels se noue le consensus le plus marqué.

* Pour le retour sur les erreurs, les indicateurs P1 et P2 prennent des valeurs très voisines dans tous les groupes, plus de la moitié de l'effectif considérant le retour sur les erreurs comme indispensable. Souvenons-nous que 9 réponses seulement ont mentionné les erreurs dans le volet ouvert de l'enquête ; on peut penser que cette dimension du travail personnel est considérée comme une occasion de réflexion et pas de mémorisation. Le seul écart significatif concerne le rang moyen qui est nettement inférieur dans L à ce qu'il est dans MP<fnref n="123" />, il s'agit là d'une différence au niveau de l'importance relative accordée aux deux objets d'étude examinés ici ainsi qu'à la résolution de problèmes.

* La population L accorde plus d'importance au retour sur les exercices non trouvés qu'à la compréhension des erreurs (les valeurs des trois indicateurs sont supérieures), c'est l'inverse dans MP. Dans un contexte commun d'avis positifs quasi unanimes, nous relevons chez les élèves de Spéciales une position un peu plus nuancée vis à vis de l'étude a posteriori des solutions d'exercices non

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>95,5</td><td>91,7</td><td>90,9</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>27,3</td><td>0</td><td>18,2</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>5,955</td><td>3,417</td><td>4,788</td><td>3,935</td><td>0,1 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="122">¹²² Commentaires de l'enseignant</footnote>

<footnote n="123">¹²³ « Erreurs » : dans L, R = 5,555 ; dans MP, R = 6,258 ; t = 2,175, écart significatif au seuil de 3 %.</footnote>
trouvés malgré une véritable recherche<fnref n="124" />. Ceci se concrétise par un écart très net au niveau du pourcentage d'avis Indispensable : L > MP.

* Dans L, pour les deux items considérés, les sous-groupes L+ et L- ont des comportements voisins.

* De même, l'item Erreurs donne lieu à des valeurs quasi identiques des trois indicateurs dans MP+ et MP-. Concernant l'étude des Exercices cherchés mais non trouvés, on observe des différences cohérentes mais non significatives : P1, P2 et R prennent des valeurs supérieures dans MP-.

### b. Résoudre soi-même beaucoup d'exercices.

Cet item renvoie à une pratique personnelle de résolution, dépassant éventuellement le travail prescrit.

* Les deux institutions sont ici nettement différenciées<fnref n="125" /> : le groupe L accorde plus d'importance que le groupe MP à une résolution personnelle abondante : L > MP. On note que l'item étudié ici est celui qui dans L obtient le plus fort rang moyen après ceux qui concernent les résultats du cours et que dans MP, il se situe au contraire nettement au-dessous des propositions concernant le retour sur les échecs. Cette observation qui concerne la hiérarchie des items est corrélée à ce que nous avons constaté à propos de l'item « Erreurs » : les élèves de L sont vraisemblablement plus nombreux à privilégier la résolution de beaucoup d'exercices par rapport au retour sur les erreurs alors que c'est l'inverse dans MP.

* Les sous-groupes de L ont à nouveau ici des comportements analogues.

* Par contre, cet item est l'objet d'une opposition tranchée entre MP+ et MP-, avec des écarts tout à fait significatifs pour les trois indicateurs<fnref n="126" /> : MP+ < MP-. Nous constatons dans MP- un comportement très proche de celui de L, y compris au niveau de la position relative par rapport au retour sur les échecs. Dans MP+ en revanche, à peine plus de la moitié des élèves considère comme souvent utile ou indispensable de résoudre beaucoup d'exercices, l'avis Indispensable représentant moins d'un quart de l'effectif ; ces pourcentages sont de beaucoup les plus faibles observés pour cet item. Le rang moyen est non seulement inférieur à ceux des items précédemment étudiés mais également à

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>98,2</td><td>90,9</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>63,9</td><td>42,4</td><td>2,765</td><td>1%</td></tr><tr><td>R</td><td>6,591</td><td>6,167</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>91,7</td><td>78,8</td><td>2,268</td><td>2%</td></tr><tr><td>P2</td><td>41,7</td><td>31,8</td><td>1,299</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>6,633</td><td>5,227</td><td>3,623</td><td>0,1%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>54,5</td><td>91,7</td><td>78,8</td><td>2,864</td><td>0,1%</td></tr><tr><td>P2</td><td>22,7</td><td>50,0</td><td>31,8</td><td>1,914</td><td>6%</td></tr><tr><td>R</td><td>4,136</td><td>6,250</td><td>5,227</td><td>2,600</td><td>2%</td></tr></tbody></table>

<footnote n="124">¹²⁴ Etudier les corrections des exercices cherchés et non trouvés</footnote>

<footnote n="125">¹²⁵ Résoudre soi-même beaucoup d'exercices.</footnote>

<footnote n="126">¹²⁶ Résoudre soi-même beaucoup d'exercices</footnote>
ceux des items consacrés aux démonstrations et aux commentaires de l'enseignant<fnref n="127" />. Ce comportement contribue largement à l'écart constaté entre L et MP mais il n'en est pas le seul responsable puisqu'on retrouve dans MPo certains des traits de MP+. Est-il ou non utile de résoudre soi-même beaucoup d'exercices ? Cette question ne fait visiblement pas consensus dans MP, les élèves de MP+ ayant nettement plus tendance que ceux de MP- à répondre par la négative.

### c. Revenir sur les exercices qu'on a trouvés et sur ceux qu'on n'a pas cherchés.

Les deux populations sont très partagées à propos de ces items qui recueillent entre 40 % et 60 % d'avis positifs et obtiennent les rangs moyens les plus faibles. Ceci étant, L et MP se distinguent nettement :

* Dans L, un peu plus de la moitié des étudiants considèrent positivement l'étude de la correction des exercices qu'on a peu ou pas cherchés, un tiers est d'avis qu'un tel travail est indispensable. Pour les exercices cherchés et trouvés, les avis négatifs sont cette fois majoritaires, la réponse Indispensable est très rare. L'examen des rangs moyens confirme cette priorité accordée aux exercices non cherchés sur les exercices trouvés. Dans MP, le comportement est inversé à ceci près que dans les deux cas, les valeurs de P2 sont voisines de 10 %.

* Pour les exercices non cherchés, L se distingue avant tout de MP par la présence d'un groupe relativement important d'étudiants qui voient dans l'étude des exercices non cherchés un aspect indispensable de leur travail<fnref n="128" /> : L > MP. Dans MP, cette dimension est plus souvent considérée comme moins utile qu'un retour sur les exercices cherchés et trouvés.

* Les étudiants qui accordent une certaine importance au retour sur les exercices que l'on a soi-même résolu sont significativement plus nombreux dans MP que dans L<fnref n="129" /> : L < MP. Notons que pour MP, le rang moyen de l'item considéré est de peu inférieur à ceux des items « Démonstrations » et « Exemples », on peut penser que la position relative dans le classement demandé de ces trois items est relativement variable suivant les élèves.

* L+ et L- ne se différencient pas à propos des exercices non cherchés.

* Pour les exercices trouvés, les différents indicateurs donnent à propos de L+ et L- des informations contradictoires ; seul l'écart portant sur le rang moyen est significatif : le rang est plus élevé dans L- que dans L+. Dans L-, les items

<table><thead><tr><td>L/MP</td><td>L</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>52,8</td><td>42,4</td><td>1,325</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>31,5</td><td>9,1</td><td>3,405</td><td>0,1%</td></tr><tr><td>R</td><td>3,510</td><td>3,000</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><td>L/MP</td><td>L</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>38,9</td><td>54,5</td><td>2,014</td><td>5%</td></tr><tr><td>P2</td><td>7,4</td><td>10,6</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>2,980</td><td>3,652</td><td>1,860</td><td>7%</td></tr></tbody></table>

<footnote n="127">¹²⁷ Dans la mesure où les réponses de MP+ sont marquées d'une tendance à relativiser qui minore la valeur de P2, il est important que le rang moyen R confirme ici de manière tout à fait nette le résultat obtenu pour le deuxième indicateur.</footnote>

<footnote n="128">¹²⁸ Etudier les corrections des exercices non cherchés</footnote>

<footnote n="129">¹²⁹ Etudier les corrections des exercices cherchés et trouvés</footnote>
« Exemples » et « Exercices Trouvés » ont des rangs moyens tout à fait proches, ce n'est pas le cas dans L+, ceci conduit à penser que la position respective de ces deux items est plus fluctuante dans L-¹³⁰.

* Vis à vis de l'étude des exercices qui n'ont pas fait l'objet d'une réelle recherche personnelle, MP et MP- se comportent de manière voisine. Le sous-groupe MP+ quant à lui renforce la différence entre L et MP : les trois indicateurs prennent dans MP+ des valeurs inférieures à celles de MP- mais aucun écart n'est significatif ¹³¹ (la comparaison de MP+ au reste de MP est plus probante au niveau de P1 : MP+ < Reste MP). Il semblerait que l'étude des exercices non cherchés soit plus souvent considérée négativement dans MP+ que dans le reste de MP.

* MP+ ne se différencie guère de MP à propos des exercices que l'on a soi-même résolus, si ce n'est par un pourcentage P2 égal à 0. On observe en revanche dans MP- des valeurs nettement plus élevées que dans MP+ et MP des trois indicateurs¹³² mais il faut de nouveau comparer au reste de MP pour obtenir un écart significatif au niveau de P1 : MP- > Reste MP. On peut noter que dans MP-, l'item Exercices Trouvés a un rang moyen supérieur aux items Démonstrations et surtout Exemples, ce n'est pas le cas dans MP+. Il semble donc que l'étude des exercices que l'on a soi-même résolus ait dans MP- plus d'importance que dans le reste de MP. Remarquons que nous sommes conduits dans les deux institutions à envisager que les étudiants des sous-groupes faibles soient plus nombreux que ceux des sous-groupes forts à privilégier le retour sur les exercices trouvés par rapport à la connaissance d'exemples.

## 4. Synthèse.

### a. Tableau récapitulatif

Le tableau suivant récapitule les écarts significatifs mis en évidence, il est établi sur les mêmes bases<fnref n="133" /> que ses prédécesseurs des parties C et D.III.

<table><caption>¹³⁰ Etudier les corrections des exercices cherchés et trouvés</caption><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>44,2</td><td>35,6</td><td>38,9</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>7,0</td><td>6,7</td><td>7,4</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>2,537</td><td>3,394</td><td>2,980</td><td>1,860</td><td>7%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>¹³¹ Etudier les corrections des exercices non cherchés</caption><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>27,3</td><td>41,7</td><td>42,4</td><td>1,023</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>0</td><td>16,7</td><td>9,1</td><td>*</td><td>NS</td></tr><tr><td>R</td><td>2,318</td><td>3,083</td><td>3,000</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

Pour la comparaison MP+/Reste MP au niveau de P1 : t = 1,761, significatif au seuil de 8 %.

<table><caption>¹³² Etudier les corrections des exercices cherchés et trouvés</caption><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>50,0</td><td>70,8</td><td>54,5</td><td>1,446</td><td>15%</td></tr><tr><td>P2</td><td>0,0</td><td>25,0</td><td>10,6</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>3,682</td><td>4,250</td><td>3,652</td><td>0,763</td><td>NS</td></tr></tbody></table>

Pour la comparaison MP- /Reste MP au niveau de P1: t = 2,008, significatif au seuil de 5 %.

<footnote n="133">¹³³ Voir page 54</footnote>
<table><thead><tr><th>Item</th><th>Comparaison</th><th>P1 : Tjs/Souvent</th><th>P2 : Toujours</th><th>Rang moyen</th></tr></thead><tbody><tr><td>Connaître les définitions</td><td>L &gt; MP<br>L+ &lt; L-<br>MP+ &lt; MP-<br>L+ U MP+ &lt; L- U MP-</td><td></td><td>3 %<br>Non testé (5 %)<br>Non testé (15 %)<br>14 %</td><td>1 %</td></tr><tr><td>Connaître les théorèmes</td><td>L &lt; MP<br>L+ &lt; L-<br>MP+ &lt; MP-<br>L+ U MP+ &lt; L- U MP-</td><td></td><td>8 %<br>10 %<br>Non testé (9 %)<br>5 %</td><td></td></tr><tr><td>Etudier les démonstrations du cours</td><td>L &gt; MP<br>L+ &gt; L-</td><td>3 %</td><td>Non testé (9 %)<br>Non testé (10 %)</td><td>1 %<br>2 %</td></tr><tr><td>Connaître des exemples</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Comprendre les commentaires de l'enseignant</td><td>MP+ &gt; MP-</td><td></td><td>Non testé (27, 3 %)</td><td>0,1 %</td></tr><tr><td>Réfléchir aux erreurs qu'on a commises</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et non trouvés</td><td>L &gt; MP</td><td></td><td>1 %</td><td></td></tr><tr><td>Résoudre soi-même beaucoup d'exercices</td><td>L &gt; MP<br>MP+ &lt; MP-</td><td>2 %<br>0,1 %</td><td>6 %</td><td>0,1 %<br>2 %</td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices peu ou pas cherchés.</td><td>L &gt; MP<br>MP+ &lt; Reste MP</td><td>8 %</td><td>0,1 %</td><td></td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et trouvés</td><td>L &lt; MP<br>MP+ &lt; MP-<br>Reste MP &lt; MP-</td><td>5 %<br>15 %<br>5 %</td><td>Non testé (25 %)</td><td>7 %</td></tr></tbody></table>

b. Résultats concernant les objets d'étude liés au texte du cours et le discours de l'enseignant.

Comme on pouvait s'y attendre, les étudiants considèrent presque unanimement qu'il est indispensable de connaître les **définitions** et les **théorèmes** mais les deux groupes n'ont pas le même comportement vis à vis des deux items : la connaissance des définitions est moins souvent considérée comme indispensable par les élèves de Spéciales que par les étudiants de l'université, les théorèmes plus souvent. Les écarts mis en évidence sont significatifs et recoupent exactement les résultats obtenus dans les réponses à la question ouverte.

La différenciation relevée ci-dessus entre les populations L et MP n'est pas reproduite par les sous-groupes de niveau qui sont partagés de la même façon par les deux items : dans les deux institutions, les sous-groupes forts accordent moins d'importance que les faibles à la connaissance de ces deux types d'énoncés mathématiques.

L'étude des démonstrations, la connaissance d'exemples et la compréhension des commentaires de l'enseignant sont également considérées positivement par une majorité mais de manière moins unanime et plus nuancée (plus d'avis Souvent Utile et d'avis négatifs). Seule la première donne lieu à des écarts notables entre les deux institutions : l'étude des démonstrations est une modalité du travail qui semble occuper une place plus importante chez les étudiants de L que chez ceux de MP. Ceci croise un résultat obtenu lors du dépouillement de la question ouverte : dans leurs réponses, les étudiants de L citent spontanément les démonstrations plus souvent que ceux de MP. Seul le travail sur les démonstrations différencie les sous-groupes de niveau de L : il est plus répandu chez les meilleurs étudiants que chez les plus faibles. En Spéciales, MP+
et MP- ne se distinguent que par leur position vis à vis des commentaires de l'enseignant, sensiblement plus valorisés dans MP+. On peut penser que les élèves les plus forts, presque tous redoublants, sont plus disponibles pour entendre ce qui vient nécessairement en sus du texte du cours.

## Interprétation.

Si nous rapprochons les observations réalisées dans les différentes questions (I, II et volet ouvert), nous constatons qu'à l'exception de ce qui concerne la connaissance des théorèmes, tous les écarts significatifs mis en évidence entre les deux institutions pour les items liés au cours<sup>134</sup> vont dans le sens d'une plus grande importance accordée chez les étudiants de la population issue de l'université au travail sur les différentes dimensions du texte de cours. Ceci pourrait être interprété comme la trace au niveau des étudiants d'une position différente des deux institutions à l'égard du savoir savant mathématique : but en soi à l'université, instrument au service d'autres disciplines en classes préparatoires. Plusieurs éléments (finalités professionnelles de la formation, spécificités des enseignants) rendent cette hypothèse vraisemblable<sup>135</sup>. Le résultat obtenu quant à la connaissance des théorèmes peut s'intégrer à ce cadre interprétatif : il est possible que le professeur de la classe de Spéciales MP fasse un emploi très sélectif de la dénomination « Théorème » visant à pointer les résultats importants du point de l'utilisation ; à l'université, dans une perspective d'exploration d'un domaine particulier, l'enseignant adopterait un point de vue plus détaillé et moins différencié.

Nous sommes donc amenés à envisager que les caractéristiques respectives des deux institutions étudiées, maintes fois mentionnées dans ce cahier, se traduisent par des structurations différentes du texte du savoir (mettant en avant des faits saillants dans le cas du programme annuel, s'attardant sur les détails dans le cas des UV spécialisées), c'est l'une des dimensions que pourrait aborder une étude comparative de deux enseignements effectifs.

Il est intéressant de constater que dans ces deux contextes distincts, l'attitude consistant à relativiser et à hiérarchiser (voir question ouverte) l'importance attribuée aux différents résultats du cours est plus répandue chez les étudiants qui réussissent le mieux aux épreuves d'évaluation (celles-ci reposent, rappelons-le, sur la résolution de problèmes, à l'exclusion de questions de cours) ; on peut penser que cette prise de distance par rapport au savoir savant exposé est dialectiquement liée à l'acquisition de connaissances sur le fonctionnement mathématique (une sélection des concepts et des théorèmes sur critère d'utilité pour la résolution de problèmes est une modalité de telles connaissances, elle est peut-être une condition nécessaire à la mémorisation de connaissances non formulées dans le texte du cours, voir p. 39).

<footnote n="134"><sup>134</sup> Entre autres, les deux items de la question I exprimant une contribution des exercices à l'étude du cours.</footnote>

<footnote n="135"><sup>135</sup> Nous n'excluons pas un autre niveau d'explication : l'attention particulière portée au cours serait rendue nécessaire par la difficulté qu'auraient de nombreux étudiants à comprendre le cours au moment où il est exposé ; la forme usuelle des exposés magistraux en amphithéâtre en vigueur à l'université, du moins pendant les premières années, pourrait constituer un obstacle à une communication adaptée aux étudiants.</footnote>
### c. Résultats concernant les objets d'étude liés à la résolution de problèmes.

Si l'on excepte la réflexion sur les erreurs, tous les items concernant les exercices différencient les deux institutions. Dans un contexte commun d'avis très majoritairement positifs, résoudre soi-même beaucoup d'exercices et étudier les corrections d'exercices cherchés mais non trouvés sont des activités considérées comme plus importantes dans L que dans MP ; il en est de même pour l'item plus controversé consacré à l'étude des solutions d'exercices qui n'ont pas été véritablement cherchés. Seul le cas des exercices cherchés et trouvés donne lieu à une position relative inverse.

Au sein de la population L, les résultats concernant ces items sont indépendants du niveau. Dans le groupe MP, les sous-groupes sont très nettement différenciés par l'item « Résoudre soi-même beaucoup d'exercices » ; MP+ accorde beaucoup moins d'importance à cette dimension du travail personnel que MP- dont le comportement est analogue à celui de L. Le même phénomène s'observe, de manière atténuée, pour les trois items consacrés à l'étude des corrections d'exercices que les élèves de MP+ sont à chaque fois moins nombreux que ceux de MP- à juger positivement (des écarts significatifs sont mis en évidence sauf pour le cas des exercices cherchés mais non trouvés).

### Interprétation

Concernant les différences repérées entre les deux institutions, nous avancerons les interprétations suivantes.

A l'université, le travail prescrit institutionnellement et obligatoire est réduit. Dans ces conditions, les étudiants doivent chercher eux-mêmes plus d'exercices que ce qui leur est imposé, à commencer par les exercices qui leur sont proposés dans les fiches de préparation des TD (certains étudiants prolongeant éventuellement ces travaux grâce à des livres d'exercices ou à des annales comme nous l'avons vu dans quelques réponses à la question ouverte). Or cette attitude n'est pas spontanément répandue au début de la scolarité universitaire<fnref n="136" />. On peut considérer que les étudiants de la population L ont exprimé à travers leur choix sur l'item « Résoudre soi-même beaucoup d'exercices » le résultat d'une prise de conscience personnelle de ce qu'il faut faire (ou de ce qu'il faudrait faire) pour réussir. En classes préparatoires en revanche, les prescriptions sont beaucoup plus abondantes et pressantes (en mathématiques et dans les autres disciplines) ; il est plausible que dans ces conditions les élèves centrent leur activité sur les exercices proposés par l'enseignant, considérés comme suffisants (en accordant même une importance toute relative à ce qui n'est pas ressenti comme l'essentiel du cours, par exemple aux démonstrations)<fnref n="137" />. Par ailleurs, nous avons vu dans la question I qu'était plus présente dans la population L la conception d'un apprentissage de la résolution de problèmes par un entraînement relativement déconnecté de l'idée de transfert ; dans cette perspective, la réussite est naturellement associée à une pratique personnelle intensive, ce que nous trouvons ici est donc cohérent avec la différence mise en évidence par la question précédente.

<footnote n="136">¹³⁶ Sur 78 étudiants ayant répondu au questionnaire institutionnel d'évaluation de l'enseignement du DEUG Sciences de la Matière en 2001 (université de Rouen), plus de 80 % disent ne pas préparer les TD à l'avance. Bien sûr, ceci concerne des étudiants de fin de première année, on peut penser qu'en licence, cette position serait moins représentée.</footnote>

<footnote n="137">¹³⁷ Nous reviendrons plus loin sur le comportement de MP- qui accorde la même importance que L à la résolution de beaucoup d'exercices ; les élèves faibles semblent plus nombreux à se sentir obligés de travailler dans toutes les directions.</footnote>
Ceci étant, l'importance accordée à l'étude des solutions d'exercices non cherchés par plus de la moitié des étudiants de l'université laisse à penser que pour un certain nombre d'entre eux, l'intention louable « Résoudre soi-même beaucoup d'exercices » n'est pas toujours traduite dans les faits. Il est notamment vraisemblable que persiste chez certains l'attitude consistant à ne pas chercher avant la séance les fiches d'énoncés distribuées en vue des Travaux Dirigés ; or, la forme de travail usuelle consiste à corriger les exercices après un temps de recherche court sinon directement, ce qui a pour conséquence de confronter les étudiants à l'étude des solutions d'exercices qu'ils n'ont pas véritablement cherchés. Ce travail se justifie particulièrement dans le cas où les exercices rencontrés sont considérés comme très voisins de ceux qui seront posés à l'examen, point de vue dont nous avons montré qu'il était plus répandu dans la population L. Inversement, il est vraisemblable que la pression au travail<fnref n="138" />, les formes du travail prescrit lui-même en classe préparatoire sont tels que le corpus des exercices véritablement cherchés, particulièrement par les meilleurs élèves, est assez étendu pour rendre inutile (mais aussi difficile, compte tenu de la masse des choses à faire) la prise en compte d'exercices non cherchés. Ce point de vue s'explique d'autant mieux que les épreuves d'évaluation sont envisagées comme des confrontations à des problèmes que l'on ne peut escompter avoir déjà traité.

Les mêmes éléments permettent d'interpréter le résultat concernant les exercices cherchés et résolus. Revenir sur leur solution n'est guère motivé lorsque l'examen est envisagé comme constitué de questions à peu de choses près déjà rencontrées ; plus généralement, cette forme de l'étude passe à l'arrière-plan si d'autres sont tenues pour essentielles. Elle peut au contraire occuper une certaine place dans le cadre d'une exploitation maximale du travail prescrit et ce d'autant qu'un enjeu d'apprentissage dépassant l'exercice lui-même est attribué au retour sur la correction. Or, si la contribution des exercices à la compréhension et à l'illustration du cours est plus forte dans L, nous avons vu que la conception « exercices : source d'idées à retenir » était plus répandue dans la population MP et surtout que les élèves y étaient plus nombreux à envisager la possibilité de transferts entre des exercices qui ne soient pas nécessairement très voisins. Ces deux derniers résultats présentent donc une nette cohérence avec celui que nous obtenons ici à propos de l'étude des solutions d'exercices résolus.

Enfin, comme nous l'avions prévu, le travail consacré aux échecs d'une pratique effective de résolution est un objet de très fort consensus, quasiment indépendant de l'institution. Cette unanimité pose comme une dimension incontournable de notre recherche l'étude des conditions dans lesquelles les étudiants sont amenés à chercher eux-mêmes des problèmes de manière approfondie<fnref n="139" /> ; les éléments que nous avons déjà évoqués sur les conditions respectives de l'enseignement à l'université et en CPGE nous conduisent à considérer a priori que les deux institutions ne sont pas équivalentes sur ce point.

Les différences de réussite ne correspondent pas dans la population universitaire à des comportements distincts vis à vis des exercices. Dans la classe préparatoire étudiée, tous les écarts mis en évidence entre MP+ et MP- vont dans le sens déjà rencontré : les élèves les plus forts relativisent le rôle des objets d'étude présentés dans le

<footnote n="138">¹³⁸ Une comparaison du nombre des travaux écrits prescrits par les deux institutions est à mener.</footnote>

<footnote n="139">¹³⁹ On peut ainsi par exemple différencier a priori les travaux de résolution selon la nature des problèmes proposés (analyse des niveaux de mise en fonctionnement des notions – A.Robert 1998-) selon qu'ils donnent ou non lieu à une rédaction destinée à autrui, qu'ils sont ou non effectués en temps limité, que les erreurs sont pointées par l'enseignant ou appréciées par l'étudiant au regard d'un corrigé trouvé dans un manuel ou donné par un enseignant.</footnote>
Question III L / MP

MP / MP+ / MP-

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
Le premier tableau donne la fréquence F1 des opinions « Quelque chose que je fais systématiquement » ou « Quelque chose que je fais souvent », le second tableau la fréquence F2 de la première des deux. La valeur de F1 étant faible pour plusieurs items, nous avons pris en compte la fréquence F3 de l'avis « Je ne fais jamais cela » dans l'analyse, elle figure dans le troisième tableau.

<table><thead><tr><th>F1</th><th>Passé</th><th>Relect</th><th>Détail</th><th>Refaire</th><th>Hyp</th><th>Plan</th><th>Echec</th><th>Idées</th><th>Mém</th><th>Oubli</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,023</td><td>0,186</td><td>0,884</td><td>0,674</td><td>0,814</td><td>0,628</td><td>0,907</td><td>0,883</td><td>0,605</td><td>0,116</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,100</td><td>0,400</td><td>0,800</td><td>0,400</td><td>0,800</td><td>0,650</td><td>0,950</td><td>0,900</td><td>0,550</td><td>0,100</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,067</td><td>0,356</td><td>0,822</td><td>0,466</td><td>0,733</td><td>0,400</td><td>0,934</td><td>0,844</td><td>0,667</td><td>0,222</td></tr><tr><td>L--</td><td>0,081</td><td>0,324</td><td>0,810</td><td>0,486</td><td>0,729</td><td>0,378</td><td>0,946</td><td>0,838</td><td>0,676</td><td>0,243</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,227</td><td>0,363</td><td>0,727</td><td>0,318</td><td>0,772</td><td>0,455</td><td>0,681</td><td>0,864</td><td>0,545</td><td>0,546</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,050</td><td>0,350</td><td>0,950</td><td>0,250</td><td>0,700</td><td>0,450</td><td>0,900</td><td>0,900</td><td>0,500</td><td>0,300</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0,042</td><td>0,292</td><td>0,834</td><td>0,500</td><td>0,792</td><td>0,458</td><td>0,875</td><td>0,917</td><td>0,750</td><td>0,292</td></tr><tr><td>L</td><td>0,055</td><td>0,297</td><td>0,842</td><td>0,537</td><td>0,777</td><td>0,537</td><td>0,926</td><td>0,871</td><td>0,620</td><td>0,158</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,106</td><td>0,333</td><td>0,833</td><td>0,364</td><td>0,758</td><td>0,455</td><td>0,818</td><td>0,894</td><td>0,606</td><td>0,379</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,074</td><td>0,310</td><td>0,839</td><td>0,471</td><td>0,770</td><td>0,506</td><td>0,885</td><td>0,879</td><td>0,615</td><td>0,241</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>F2</th><th>Passé</th><th>Relect</th><th>Détail</th><th>Refaire</th><th>Hyp</th><th>Plan</th><th>Echec</th><th>Idées</th><th>Mém</th><th>Oubli</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,000</td><td>0,023</td><td>0,326</td><td>0,093</td><td>0,372</td><td>0,233</td><td>0,488</td><td>0,395</td><td>0,093</td><td>0,023</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,050</td><td>0,050</td><td>0,400</td><td>0,050</td><td>0,250</td><td>0,250</td><td>0,350</td><td>0,300</td><td>0,050</td><td>0,000</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,000</td><td>0,089</td><td>0,311</td><td>0,044</td><td>0,333</td><td>0,133</td><td>0,467</td><td>0,222</td><td>0,067</td><td>0,044</td></tr><tr><td>L--</td><td>0,000</td><td>0,108</td><td>0,324</td><td>0,054</td><td>0,324</td><td>0,135</td><td>0,432</td><td>0,270</td><td>0,054</td><td>0,054</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,091</td><td>0,045</td><td>0,182</td><td>0,091</td><td>0,227</td><td>0,091</td><td>0,136</td><td>0,455</td><td>0,136</td><td>0,182</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,000</td><td>0</td><td>0,250</td><td>0,050</td><td>0,450</td><td>0,150</td><td>0,300</td><td>0,350</td><td>0,000</td><td>0,000</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0,000</td><td>0,042</td><td>0,167</td><td>0,083</td><td>0,250</td><td>0,208</td><td>0,417</td><td>0,375</td><td>0,000</td><td>0,042</td></tr><tr><td>L</td><td>0,009</td><td>0,056</td><td>0,333</td><td>0,065</td><td>0,333</td><td>0,194</td><td>0,454</td><td>0,306</td><td>0,074</td><td>0,028</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,030</td><td>0,030</td><td>0,197</td><td>0,076</td><td>0,303</td><td>0,152</td><td>0,288</td><td>0,394</td><td>0,045</td><td>0,076</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,017</td><td>0,046</td><td>0,282</td><td>0,069</td><td>0,322</td><td>0,178</td><td>0,391</td><td>0,339</td><td>0,063</td><td>0,046</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>F3</th><th>Passé</th><th>Relect</th><th>Détail</th><th>Refaire</th><th>Hyp</th><th>Plan</th><th>Echec</th><th>Idées</th><th>Mém</th><th>Oubli</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>0,588</td><td>0,186</td><td>0,023</td><td>0,070</td><td>0,023</td><td>0,070</td><td>0,023</td><td>0,023</td><td>0,047</td><td>0,163</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0,500</td><td>0,100</td><td>0,000</td><td>0,100</td><td>0,100</td><td>0,050</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,100</td></tr><tr><td>L-</td><td>0,333</td><td>0,067</td><td>0,000</td><td>0,200</td><td>0,044</td><td>0,200</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,044</td><td>0,200</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0,182</td><td>0,045</td><td>0,091</td><td>0,364</td><td>0,045</td><td>0,318</td><td>0,045</td><td>0,000</td><td>0,091</td><td>0,091</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0,400</td><td>0,050</td><td>0,000</td><td>0,200</td><td>0,000</td><td>0,250</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,200</td><td>0,200</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0,417</td><td>0,042</td><td>0,000</td><td>0,083</td><td>0,042</td><td>0,208</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,208</td></tr><tr><td>L</td><td>0,454</td><td>0,120</td><td>0,009</td><td>0,130</td><td>0,046</td><td>0,120</td><td>0,009</td><td>0,009</td><td>0,037</td><td>0,167</td></tr><tr><td>MP</td><td>0,333</td><td>0,045</td><td>0,030</td><td>0,212</td><td>0,030</td><td>0,258</td><td>0,015</td><td>0,000</td><td>0,091</td><td>0,167</td></tr><tr><td>Tous</td><td>0,408</td><td>0,092</td><td>0,017</td><td>0,161</td><td>0,040</td><td>0,172</td><td>0,011</td><td>0,006</td><td>0,057</td><td>0,167</td></tr></tbody></table>
### 3. Comment sont situées les unes par rapport aux autres les différentes formes de l'étude proposées ?

#### a. Dans la population L+

Quatre modalités de l'étude apparaissent comme des pratiques à la fois très répandues et usuelles, il s'agit de la compréhension détaillée, du retour sur les échecs, de l'analyse du rôle des hypothèses et de la recherche d'idées à retenir : plus de 80 % des étudiants déclarent y recourir systématiquement ou souvent (entre 30 % et 50 % pour la première de ces positions).

Dégager le plan de la solution, refaire cahier fermé et mémoriser grossièrement la situation sont des pratiques un peu moins courantes (P1 entre 60 % et 70 %, P2 voisin de 25 % pour la première modalité, inférieure à 10 % pour les deux autres), elles semblent avoir néanmoins une certaine légitimité puisque rares sont les étudiants qui déclarent ne jamais y avoir recours.

Enfin les trois propositions correspondant à une faible prise en compte des corrections sont, comme on pouvait s'y attendre, très minoritaires, P2 étant inférieur à 20 % c'est-à-dire que plus de 80 % de la population choisissent les positions « Jamais» ou « Rarement »<fnref n="145" />. L'affirmation « Il fait partie du passé, je n'y reviens pas » est particulièrement rejetée puisqu'à son propos, P3 frise les 60 % (un peu moins de 20 % pour les deux autres). Donc dans L+, une majorité déclare que cela ne leur arrive jamais de ne pas revenir un minimum sur les corrections d'exercices.

#### b. Dans la population MP+.

La proposition « J'essaie de dégager des idées à retenir » se distingue nettement des autres ; elle est l'objet d'un fort consensus (P1 : plus de 80 %, P2 : plus de 40 %). Viennent ensuite les trois formes de l'étude déjà rencontrées en tête des pratiques dans L+ (P1 : entre 65 % et 80 %, l'avis Systématique représentant toujours moins d'un quart de la population).

Par rapport au second groupe d'items distingué dans L+, MP+ présente un comportement relativement différent, minorant la place attribuée aux formes de l'étude concernées. Mémoriser grossièrement la situation étudiée est une attitude qui recueille une petite majorité d'avis systématiquement ou souvent dont environ 15 % pour la première position, la réponse Jamais est rare. Les deux propositions « Je dégage le plan de la solution » et « Je refais cahier fermé » sont beaucoup plus contestées puisqu'une minorité d'élèves (un tiers environ pour la seconde) déclarent y recourir systématiquement ou souvent, la réponse Jamais représentant par contre presqu'un tiers du groupe.

Parmi les items correspondant à une certaine négligence, on trouve une valeur de P1 supérieure à 50 % pour « j'oublie assez rapidement l'exercice » qui est donc une attitude assez répandue, systématique pour près de 20 % de MP+. Une relecture grossière est une forme de retour sur l'exercice pratiquée systématiquement ou souvent

<footnote n="145">¹⁴⁵ On peut donc penser que cette proposition est bien interprétée dans le sens « je me contente de relire grossièrement la correction » et non comme une première étape d'une étude plus approfondie. Le caractère négatif du terme « grossièrement » est semble-t-il pris en compte.</footnote>
par environ un tiers des élèves, son rejet absolu est très rare. Enfin, la position la plus radicale de non retour est adoptée fréquemment par un peu plus de 20 %, l'avis Jamais apparaît dans la même proportion.

### c. Dans les populations L- et MP-.

Les étudiants des deux sous-groupes faibles donnent des réponses proches de celles que nous avons trouvées dans L+ pour les quatre formes de l'étude les plus répandues ainsi que pour la proposition « je mémorise grossièrement la solution », à quelques écarts près : moindre importance accordée aux items consacrés aux hypothèses et aux idées à retenir dans L-, aux hypothèses et à la compréhension détaillée dans MP- ; au contraire, valorisation de la mémorisation, surtout dans MP-.

Par contre, refaire cahier fermé et s'intéresser au plan sont des modalités de travail rares pour environ 60 % des étudiants, le pourcentage de ceux qui n'y recourent jamais n'étant pas du tout négligeable.

Le consensus autour du rejet des trois dernières attitudes est moins net que dans L+ mais n'est pas autant contesté que dans MP+ ; cette position intermédiaire entre les deux sous-groupes forts présente des variations, elle est proche de MP+ pour « Je relis grossièrement la correction », de L+ pour les deux autres.

## Structure des réponses

### Dans L+

<table><thead><tr><th>Echec, Idées, Détail, Hyp</th><th>Refaire, Plan, Mémoriser</th><th>Relecture, Oubli, Passé</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1 > 80 %</td><td>60 % < P1 < 70 %</td><td>P1 < 20 %</td></tr><tr><td>30 % < P2 < 50 %</td><td>5 % < P2 < 25 %</td><td>P2 < 5 %</td></tr><tr><td></td><td>P3 < 10 %</td><td>20 % < P3 < 60 %</td></tr></tbody></table>

### Dans MP- et L-

<table><thead><tr><th>Echec, Idées, Détail, Hyp</th><th>Mémoriser</th><th>Refaire, Plan, Relecture, Oubli</th><th>Passé</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1 > 70 %</td><td>P1 ≈ 70 %</td><td>20 % < P1 < 50 %</td><td>P1 < 10 %</td></tr><tr><td>15 % < P2 < 50 %</td><td>P2 < 10 %</td><td>P2 < 20 %</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>P3 < 20 %</td><td>30 % < P3 < 45 %</td></tr></tbody></table>

### Dans MP+

<table><thead><tr><th>Idées</th><th>Echec, Détail, Hyp</th><th>Mémoriser, Oubli</th><th>Plan, Relecture, Refaire</th><th>Passé</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1 > 80 %</td><td>65 % < P1 < 80 %</td><td>P1 ≈ 55 %</td><td>30 % < P1 < 50 %</td><td>P1 ≈ 25 %</td></tr><tr><td>P2 ≈ 45 %</td><td>10 % < P2 < 25 %</td><td>P2 ≈ 15 %</td><td>P2 < 10 %</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>P3 < 10 %</td><td>P3 < 40 %</td><td>P3 ≈ 20 %</td></tr></tbody></table>
## Tendances communes

* Le retour sur les exercices est une attitude largement majoritaire<fnref n="146" /> puisque moins de 10 % des étudiants déclarent considérer que la plupart du temps les exercices déjà résolus font partie du passé et ne sont donc pas l'objet d'un travail a posteriori.

* Quatre formes de l'étude sont l'objet d'un fort consensus, trois correspondent à une reprise approfondie de la correction sans objectif explicite de mémorisation, la quatrième consiste en un travail de repérage d'éléments à retenir. Notons que conformément à ce que nous avons systématiquement trouvé dans les autres questions, le retour sur les échecs personnels de l'activité de recherche de l'étudiant est une dimension plébiscitée.

* Enfin, les différents groupes ont des comportements assez semblables vis à vis d'une mémorisation approximative de la situation, attitude adoptée par un peu plus de la moitié des étudiants.

Les quatre items restants (dégager le plan, refaire cahier fermé, relire grossièrement la correction, oublier assez rapidement l'exercice) sont par contre l'objet de variations importantes, y compris pour la première fois entre les sous-groupes de niveau de L.

## 4. Recherche des écarts entre institutions et entre niveaux.

### a. Les formes de travail visant une étude détaillée de la correction.

#### « J'étudie particulièrement les points que je n'ai pas su résoudre »

Cette proposition renvoie aux items « Réfléchir aux erreurs qu'on a commises » et « Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et pas trouvés » de la question II.

* La pratique en question ici fait moins nettement consensus dans MP que dans L<fnref n="147" /> : L > MP. Ceci confirme une différence de comportement déjà constatée dans la question II à propos du second des deux items rappelés ci-dessus.

* Les sous-groupes L+ et L- se comportent exactement comme L.

* Le sous-groupe MP+ accentue le comportement observé dans MP, il en est en réalité le principal responsable. Les deux pourcentages observés dans MP+ sont de loin les plus bas relevés dans les différents sous-groupes ; par contre, MP- (comme MPo) se rapproche de L : P2 donne lieu à un écart significatif (MP+ < MP-). Dans la question II, les trois indicateurs donnent cette même relation pour l'item consacré aux exercices non trouvés bien que cherchés, sans écart significatif.

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>92,6</td><td>81,8</td><td>2,162</td><td>3 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>45,4</td><td>28,8</td><td>2,175</td><td>3 %</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>68,1</td><td>87,5</td><td>81,8</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P2</td><td>13,6</td><td>41,7</td><td>28,8</td><td>2,109</td><td>5 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="146">¹⁴⁶ Du moins, cette attitude est-elle ressentie comme attendue par l'institution, souhaitable ; il est clair que nous ne savons pas jusqu'à quel point les déclarations sont conformes aux actes.</footnote>

<footnote n="147">¹⁴⁷ J'étudie particulièrement les points que je n'ai pas su résoudre.</footnote>
## « Je cherche à comprendre dans le détail la solution. »

* L et MP se différencient significativement sur le pourcentage d'avis Systématiquement¹⁴⁸ qui représente un tiers de la population dans L et un peu moins de 20 % dans MP : L > MP. Les étudiants de L sont plus nombreux que ceux de MP à viser systématiquement une compréhension détaillée des corrections d'exercices.

* Dans L, les deux sous-groupes ont des comportements voisins, proche de celui de L.

* MP+ est le groupe pour lequel la valeur de P1 est la plus faible ; par contre, il ne se distingue pas de MP- pour le pourcentage d'avis Systématiquement, il n'est donc pas particulièrement responsable de l'écart relevé ci-dessus entre L et MP.

## « J'essaie de voir où ont servi les hypothèses ».

Cette proposition ne donne lieu à aucune différence notable. Les populations L et MP, MP+ et MP- ont des comportements très voisins. Entre L+ et L-, on remarque que les indicateurs P1 et P2 sont supérieurs pour le sous-groupe fort mais les écarts ne sont pas significatifs.

## « Je dégage le plan de la solution ».

La forme de travail évoquée dans cette proposition est beaucoup moins répandue que les précédentes, l'attitude des étudiants à son propos est assez diversifiée avec une présence non négligeable des avis extrêmes.

* Dans ce contexte, L et MP se distinguent par le pourcentage d'avis « Je ne fais jamais cela » (P3) nettement plus élevé dans MP où cette pratique apparaît donc comme plus ignorée que dans L¹⁴⁹ : L > MP<fnref n="150" />.

¹⁴⁸ Je cherche à comprendre dans le détail la solution

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>84,2</td><td>83,3</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>33,3</td><td>19,7</td><td>1,940</td><td>6%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>72,7</td><td>83,4</td><td>83,3</td><td>*</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>18,2</td><td>16,7</td><td>19,7</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

L'écart au niveau de P1 ne peut être testé par insuffisance d'effectif (np <5) y compris si l'on compare MP+ au reste de MP.

¹⁴⁹ Je dégage le plan de la solution

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>53,7</td><td>45,5</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>19,4</td><td>15,2</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>12,0</td><td>25,8</td><td>2,324</td><td>1%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>62,8</td><td>40,0</td><td>53,7</td><td>2,137</td><td>4%</td></tr><tr><td>P2</td><td>23,3</td><td>13,3</td><td>19,4</td><td>1,206</td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>7,0</td><td>20,0</td><td>12,0</td><td>1,779</td><td>8%</td></tr></tbody></table>

<footnote n="150">¹⁵⁰ Nous utilisons la notation employée jusqu'à présent pour signifier qu'une institution accorde plus d'importance qu'une autre à un item, alors même que dans le cas présent c'est à une relation P3(L) < P3(MP) que nous devons notre conclusion.</footnote>
* Cette fois, les sous-groupes de L sont différenciés par cet item, ceux de L+ étant plus nombreux que ceux de L- à effectuer ce genre de travail : L+ > L-.

* Pour cet item, on relève à nouveau une certaine minoration de ce type d'étude dans MP+ où le pourcentage d'avis Systématiquement, inférieur à 10 %, est le plus bas de tous les groupes et le pourcentage d'avis Jamais avec plus de 30 % le plus élevé. Cependant aucun écart significatif n'est mis en évidence. Notons que tous les sous-groupes de MP ont des valeurs de P3 supérieures à celles de L, l'écart entre les deux institutions n'est donc pas uniquement le fait du comportement de MP+<fnref n="151" />.

## b. Les formes de travail visant une certaine mémorisation.

### « J'essaie de dégager des idées à retenir ».

Cet item est directement lié à l'item « Une source d'idées à retenir » de la question I à propos duquel nous avons éprouvé certaines difficultés d'interprétation des résultats trouvés. On peut également évoquer les items concernant les exemples dans les questions I et II.

* Dans un contexte de large recours à cette forme de travail, on ne relève pas d'écart significatif entre L et MP, même si l'avis Systématiquement est plus présent en Spéciales<fnref n="152" />. On peut remarquer que dans MP cet item obtient les plus fortes valeurs de P1 et P2, ce n'est pas le cas dans L. Il y a donc une certaine convergence avec ce qui a été constaté dans la question I (L < MP avec trois indicateurs significativement différents) mais avec un rapprochement indéniable des comportements.

* Alors que la question I n'avait donné lieu à aucune différence significative suivant le niveau dans L (les trois indicateurs étaient cependant légèrement supérieurs dans L-), on constate que les étudiants de L+ sont significativement plus nombreux que ceux de L- à essayer systématiquement de dégager des idées à retenir à partir des solutions d'exercices : L+ > L-. Ce résultat peut être rapproché de certains indices relevés dans l'analyse de la question ouverte étayant l'hypothèse d'une plus grande attention aux méthodes, aux astuces et aux exemples dans L+ que dans L-.

* « J'essaie de dégager des idées à retenir » est le seul item qui a dans MP+ un pourcentage P1 supérieur à 80 %, voisin de celui de L et de MP ; 45 % des élèves disent se livrer systématiquement à cette pratique, ce qui représente la

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>45,5</td><td>45,8</td><td>45,5</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,1</td><td>20,8</td><td>15,2</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>31,8</td><td>20,8</td><td>25,8</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>87,1</td><td>89,4</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>30,6</td><td>39,4</td><td>1,194</td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>88,3</td><td>84,4</td><td>87,1</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>39,5</td><td>22,2</td><td>30,6</td><td>1,760</td><td>8 %</td></tr></tbody></table>

<footnote n="151">¹⁵¹ Je dégage le plan de la solution</footnote>

<footnote n="152">¹⁵² J'essaie de dégager des idées à retenir.</footnote>
plus forte valeur de P2 de toutes les populations envisagées. Cette forme de travail échappe donc à la défiance exprimée par ce sous-groupe vis à vis de la plupart des propositions de notre enquête. Comme pour l'item correspondant de la question I, P1 est plus grand dans MP- que dans MP+ et P2 plus petit mais MP+ se distingue ici moins nettement du reste de MP.

Une des raisons du rapprochement des deux sous-groupes de niveau de MP tient au comportement des 10 élèves de MP+ dont nous avons plus précisément examiné les réponses parce qu'ils ont fait référence aux astuces et/ou aux exercices-types dans la question ouverte : alors que la moitié d'entre eux considère dans la question I que les exercices sont seulement parfois des sources d'idées à retenir, la même proportion choisit ici la réponse Systématiquement et 4 sur 10 la réponse Souvent ; dans cet échantillon, la pratique étudiée est donc très présente. Considérer que les exercices ne sont que parfois une source d'idées à retenir ne signifie donc pas nécessairement un dés intérêt a priori pour les apports des exercices résolus, on peut y voir l'expression d'un constat a posteriori lequel ne se traduit cependant pas par l'abandon de la pratique visant à dégager les leçons de la correction. Cette interprétation conduit à relativiser les écarts constatés entre L et MP à propos de l'item « Idées à retenir » dans la question I, elle offre une possibilité d'explication au resserrement constaté entre les deux groupes ainsi qu'à l'inversion des relations entre L+ et L- dans la présente question.

Nous obtenons cette fois un résultat tout à fait intéressant : dans les deux institutions, le sous-groupe fort a un pourcentage d'avis Systématique plus élevé que le sous-groupe faible<fnref n="153" /> : L+ ∪ MP+ > L- ∪ MP-. Essayer systématiquement de dégager des idées à retenir apparaît donc comme une pratique plus présente chez les élèves forts que chez les faibles. Ce résultat est tout à fait cohérent avec ceux que nous avons mis en évidence dans la question ouverte concernant les méthodes, astuces, exercices-types et exemples.

## « Je mémorise grossièrement la situation étudiée »

La pratique considérée ici est beaucoup moins répandue que la précédente.

* L et MP obtiennent à son propos des résultats voisins.

* Entre les sous-groupes de niveau, on constate dans L comme dans MP la même tendance : le pourcentage d'avis Systématiquement/Souvent est plus élevé dans le sous-groupe faible ; cet écart est relativement marqué dans MP avec un écart significatif si l'on compare MP- au reste de MP (MP- > Reste MP), plus atténué dans L<fnref n="154" />.

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>60,5</td><td>66,7</td><td>62,0</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,3</td><td>6,7</td><td>7,4</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>54,5</td><td>75,0</td><td>60,6</td><td>1,455</td><td>15 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>13,6</td><td>0</td><td>4,5</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

<footnote n="153">¹⁵³ P2 vaut 41,5 % pour la réunion L+ ∪ MP+, 27,5 %, pour L- ∪ MP-, l'écart est significatif au seuil de 9 % (t = 1,706).</footnote>

<footnote n="154">¹⁵⁴ Je mémorise grossièrement la situation étudiée.</footnote>

<footnote>P1 : MP- / Reste MP, t = 1,809, au seuil de 8 %. Entre la réunion de L- et de MP- et la réunion de L+ et MP+, l'écart n'est pas significatif (t = 1,339).</footnote>
## « Je refais cahier fermé »

Le travail consistant à vérifier que l'on sait faire un exercice en le refaisant sans regarder la correction divise les populations étudiées, il est totalement exclu par un pourcentage non négligeable d'étudiants.

* Cette pratique est plus répandue dans L que dans MP<fnref n="155" /> : L > MP.

* Dans L, le sous-groupe fort y a nettement plus souvent recours que le sous-groupe faible : L+ > L-.

* Dans MP, le sous-groupe faible a vis à vis de cet item une position voisine de celle de L, c'est-à-dire intermédiaire entre L+ et L- ; en particulier, la moitié des élèves déclarent se livrer fréquemment à cette forme d'étude. MP+ a un comportement bien différent avec une valeur de P1 proche de 30 % et plus d'un tiers d'avis Jamais. La comparaison entre MP- et le reste de MP donne lieu à des écarts significatifs : MP- > Reste MP ; parmi les élèves de Spéciales, refaire cahier fermé est donc plutôt le fait des élèves en difficulté.

### c. Items correspondant à un certain dés intérêt vis à vis des corrections d'exercices.

## « Je relis grossièrement la correction »

Cet item n'est pas dépourvu d'ambiguïté, une relecture grossière pouvant constituer un préalable à une étude détaillée. Les résultats obtenus semblent indiquer que les étudiants l'ont interprété dans le sens « Je me contente de relire grossièrement la correction », néanmoins cette approximation de la formulation relativise nettement la portée des données obtenues pour cet item.

* L et MP ont des comportements très proches : les avis Systématiquement/Souvent représentent environ un tiers des populations, très peu d'étudiants affirment que cela ne leur arrive jamais ; pour une majorité, cela peut donc arriver mais rarement.

* Les étudiants de L+ sont moins nombreux que ceux de L- à choisir les avis Systématiquement ou Souvent et ils répondent plus souvent qu'ils n'ont jamais

<table><thead><tr><td>L/MP</td><td>L</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>53,7</td><td>36,4</td><td>2,223</td><td>3 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>6,5</td><td>7,6</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>13,0</td><td>21,2</td><td>1,436</td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><td>L+/L-</td><td>L+</td><td>L-</td><td>L</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>67,4</td><td>46,6</td><td>53,7</td><td>1,966</td><td>5 %</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,3</td><td>4,4</td><td>6,5</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>7,0</td><td>20,0</td><td>13,0</td><td>1,779</td><td>8 %</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><td>MP+/MP-</td><td>MP+</td><td>MP-</td><td>MP</td><td>t</td><td>Significatif au seuil de</td></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>31,8</td><td>50,0</td><td>36,4</td><td>1,251</td><td>NS</td></tr><tr><td>P2</td><td>9,1</td><td>8,3</td><td>7,6</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>36,4</td><td>8,3</td><td>21,2</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

Entre MP- et le reste de MP, l'écart pour P1 est significatif au seuil de 9 % (t = 1740), pour P3 au seuil de 6 % (t = 1,934)

<footnote n="155">¹⁵⁵ Je refais cahier fermé.</footnote>
recours à cette forme d'étude<fnref n="156" /> : L+ < L-. Notons que cette relation est cohérente avec les résultats déjà obtenus pour plusieurs des pratiques conduisant à une étude attentive des solutions, plus présente dans L+ que dans L- ; cette unité étaye l'hypothèse d'une interprétation de l'item dans le sens « Je me contente de relire grossièrement la correction ».

* Les sous-groupes MP+ et MP- ne sont pas différenciés.

## « Il fait partie du passé, je n'y reviens pas ».

Cet item exprime une version plus radicale de l'attitude précédente. Sans surprise, les avis Systématiquement ou Souvent sont quasi inexistants, les populations se distinguent donc essentiellement par la proportion d'étudiants qui déclarent ne jamais adopter une telle attitude, signifiant donc qu'ils reviennent toujours sur les exercices.

* Cette position est plus présente dans L que dans MP où par ailleurs le pourcentage P1 est légèrement plus élevé<fnref n="157" /> : ainsi le retour sur les corrections d'exercices est une habitude plus répandue dans L.

* Elle l'est également plus dans L+ que dans L-, près de 60 % des meilleurs étudiants choisissant la réponse Jamais. Dans le sous-groupe L-, les différents pourcentages sont très voisins de ceux de MP.

* Dans MP-, l'avis Jamais représente 42 % de la population ce qui constitue un pourcentage intermédiaire entre celui de L+ et celui de L-. Le sous-groupe MP+ se distingue nettement de tous les autres avec près d'un quart des étudiants qui affirment adopter systématiquement ou souvent l'attitude en question ici et seulement 18 % qui disent ne jamais y avoir recours. Ce résultat fait écho à ceux qui ont été mis en évidence dans la question II concernant les trois items centrés sur l'étude des corrections d'exercices qu'ils aient été cherchés ou non, trouvés ou non. Il est également cohérent avec les observations réalisées à propos des divers items de la présente question. MPo ayant un comportement analogue à celui de MP-, l'écart constaté entre L et MP résulte essentiellement des réponses de MP+.

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>18,6</td><td>35,6</td><td>29,7</td><td>1,784</td><td>8%</td></tr><tr><td>P2</td><td>2,3</td><td>8,9</td><td>5,6</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>18,6</td><td>6,7</td><td>12,0</td><td>2,535</td><td>2%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>5,5</td><td>10,6</td><td></td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>45,4</td><td>33,3</td><td>1,567</td><td>12%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>2,3</td><td>6,7</td><td>5,5</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>58,8</td><td>33,3</td><td>45,4</td><td>2,122</td><td>4%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>22,7</td><td>4,2</td><td>10,6</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>18,2</td><td>41,7</td><td>33,3</td><td>1,729</td><td>9%</td></tr></tbody></table>

L'écart entre MP+ et le reste de la population ne peut être testé pour P1, il est significatif au seuil de 3 % pour P3 (t = 2,309).

<footnote n="156">¹⁵⁶ Je relis grossièrement la solution</footnote>

<footnote n="157">¹⁵⁷ Il fait partie du passé, je n'y reviens pas.</footnote>
## « J'oublie assez rapidement l'exercice ».

* Ce dernier item distingue également nettement les deux groupes, dans un sens cohérent avec ce que nous venons de voir pour l'item précédent<fnref n="158" />: les étudiants de MP sont plus nombreux que ceux de L à déclarer qu'oublier assez rapidement les exercices leur arrive systématiquement ou souvent ; L < MP.

* Les sous-groupes de L ne sont pas véritablement différenciés par cet item mais le fait que les étudiants de L- soient deux fois plus nombreux que ceux de L+ à choisir les réponses Systématiquement ou Souvent renvoie aux écarts observés précédemment dans cette question.

* Dans le groupe MP, la valeur de P1 est dans tous les sous-groupes supérieure à celle de L-, l'écart entre L et MP ne s'explique donc pas cette fois uniquement par le comportement des meilleurs élèves. Néanmoins, ceux-ci se distinguent en choisissant majoritairement les réponses Systématiquement ou Souvent, le premier de ces avis étant présent de manière non négligeable. MP+ et le reste de MP ont des comportements très contrastés : MP+ > MP-.

Nous devons remarquer que dans MP+ deux items apparemment contradictoires recueillent une majorité d'avis Systématiquement/Souvent, il s'agit de « Je mémorise grossièrement la situation étudiée » et de « J'oublie assez rapidement l'exercice ». Des élèves ont donc nécessairement émis le même type de réponse pour ces deux items. Il est possible qu'une distinction court terme/ long terme soit en jeu ici, éventuellement doublée d'une différence d'attitude quant à la sélection des éléments retenus (mémorisation détaillée dans la première hypothèse, sélection d'éléments saillants dans la seconde).

## 5. Synthèse.

### • Tableau récapitulatif

Nous avons fait figurer l'indicateur P3 dans ce tableau ; rappelons que la relation > notée dans la colonne Comparaison correspond effectivement à la relation > entre les valeurs de P1 ou P2 et à la relation < pour P3 : si on retient qu'un groupe accorde plus d'importance qu'un autre à un item donné, cela peut être parce que le pourcentage d'avis « Je ne fais jamais cela » y est inférieur.

<table><thead><tr><th>L/MP</th><th>L</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>15,8</td><td>37,9</td><td>3,311</td><td>0,1%</td></tr><tr><td>P3</td><td>16,7</td><td>16,7</td><td></td><td>NS</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>L+/L-</th><th>L+</th><th>L-</th><th>L</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>11,6</td><td>22,2</td><td>15,8</td><td>1,321</td><td>NS</td></tr><tr><td>P3</td><td>16,3</td><td>20,0</td><td>16,7</td><td>NS</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>MP+/MP-</th><th>MP+</th><th>MP-</th><th>MP</th><th>t</th><th>Significatif au seuil de</th></tr></thead><tbody><tr><td>P1</td><td>54,6</td><td>29,2</td><td>37,9</td><td>1,746</td><td>9%</td></tr><tr><td>P2</td><td>18,2</td><td>4,2</td><td>7,6</td><td>*</td><td></td></tr><tr><td>P3</td><td>9,1</td><td>20,8</td><td>16,7</td><td>*</td><td></td></tr></tbody></table>

<footnote n="158">¹⁵⁸ J'oublie assez rapidement l'exercice</footnote>
<table><thead><tr><th>Item</th><th>Comparaison</th><th>P1 : Systématique/Souvent</th><th>P2 : Systématique</th><th>P3 : Jamais</th></tr></thead><tbody><tr><td>J'étudie particulièrement la solution apportée aux points que je n'ai pas su résoudre</td><td>L > MP<br>MP+ < MP-</td><td>3 %<br>Non testé (19,5 %)</td><td>3 %<br>5 %</td><td></td></tr><tr><td>Je cherche à comprendre dans le détail la solution.</td><td>L > MP<br>MP+ < MP-</td><td>Non testé (10,7 %)</td><td>6 %</td><td></td></tr><tr><td>J'essaie de voir où ont servi les hypothèses</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Je dégage le plan de la solution</td><td>L > MP<br>L+ > L-</td><td>4 %</td><td></td><td>1 %<br>8 %</td></tr><tr><td>J'essaie de dégager des idées à retenir</td><td>L+ > L-<br>MP+ U L+ > MP- U L-</td><td></td><td>8 %<br>9 %</td><td></td></tr><tr><td>Je mémorise grossièrement la situation étudiée.</td><td>MP+ < MP-<br>Reste MP < MP-</td><td>15 %<br>8 %</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Je refais cahier fermé</td><td>L > MP<br>L+ > L-<br>MP+ < MP-<br>Reste MP < MP-</td><td>3 %<br>5 %</td><td></td><td>8 %<br>Non testé<br>(28,1 %)<br>6 %</td></tr><tr><td>Je relis grossièrement la correction</td><td>L+ < L-</td><td>8 %</td><td></td><td>2 %</td></tr><tr><td>Il fait partie du passé, je n'y reviens pas.</td><td>L < MP<br>L+ < L-<br>MP+ > MP-<br>MP+ > Reste MP</td><td>Non testé (18,5 %)</td><td></td><td>12 %<br>4 %<br>9 %<br>3 %</td></tr><tr><td>J'oublie assez rapidement l'exercice</td><td>L < MP<br>MP+ > MP-</td><td>0,1 %<br>9 %</td><td></td><td>Non testé<br>(11,7 %)</td></tr></tbody></table>

## Comparaison des groupes L et MP

Sur les dix items proposés dans cette question, six différencient significativement L et MP : « j'étudie particulièrement la solution apportée aux points que je n'ai pas su résoudre », « je cherche à comprendre dans les détails la solution », « je dégage le plan de la solution », « je le refais cahier fermé », « il fait partie du passé, je n'y reviens pas », « j'oublie assez rapidement l'exercice ». Tous les écarts vont dans le même sens : la tendance à revenir de manière approfondie sur les corrections est plus présente chez les étudiants de L ; de manière cohérente, les attitudes d'oubli ou de non retour sont au contraire plus répandues chez les élèves de MP.

Un seul élément s'oppose à ces constatations ; la pratique consistant à essayer de dégager des idées à retenir est plus systématique dans MP, l'écart n'est pas ici significatif mais il fait écho à la différence marquée de comportement relevée dans la question I montrant que les exercices sont plus souvent considérés comme une source d'idées à retenir par les étudiants de MP que par ceux de L. De plus, la hiérarchie des différents items confirme la position privilégiée accordée en Spéciales à cette pratique.

## Comparaison des sous-groupes forts et faibles.

Alors que dans les deux questions précédentes nous avons constaté une grande similitude des comportements des sous-groupes L+ et L-, nous relevons ici des écarts significatifs à propos de la moitié des items proposés : « je dégage le plan de la solution », « j'essaie de dégager des idées à retenir », « je refais cahier fermé », « je relis grossièrement la correction », « il fait partie du passé, je n'y reviens pas ». Les différences relevées sont cohérentes : lorsque l'item concerné renvoie à une pratique
d'analyse de la solution ou de mémorisation, c'est-à-dire pour les trois premiers, les étudiants de L+ sont plus nombreux que ceux de L- à déclarer y avoir systématiquement ou souvent recours, l'avis Jamais étant pour le deuxième et le troisième items plus présent dans L- ; c'est l'inverse pour les deux items correspondant à un dés intérêt vis à vis des corrections.

Nous avons de même constaté dans MP des comportements nettement différenciés des sous-groupes de niveau même si la faiblesse des effectifs en jeu limite fortement la significativité des écarts mis en évidence. La comparaison de MP+ et de MP- débouche sur des résultats en tout point analogue à ceux que nous avons obtenus à propos de MP et L : le sous-groupe MP+ accorde globalement moins d'importance que le sous-groupe MP- au travail a posteriori sur les corrections d'exercices (ceci confirme la tendance observée dans la question II à propos des trois items consacrés au retour sur les exercices) mais le travail consistant à dégager des idées à retenir échappe à la défiance manifestée par les meilleurs élèves vis-à-vis des formes de l'étude proposées. Il s'agit là du seul point de convergence dans cette question des deux sous-groupes forts : revenir systématiquement sur les solutions d'exercices dans le but d'y trouver des idées suffisamment dignes d'intérêt pour qu'on les retienne constitue une pratique significativement plus répandue parmi les étudiants performants des deux institutions. Nous rapprochons ce résultat des suivants : dans la question ouverte, L+ fait plus référence aux méthodes, aux astuces et aux exemples que L-, MP+ aux astuces et exercices-types que MP-.

Interprétation

Comme dans les questions précédentes, nous nous heurtons à un soupçon qui oblitère la portée des résultats : les réponses d'un certain nombre d'élèves du sous-groupe MP+ ne seraient pas sincères, ils auraient adopté une pose minorant le rôle du travail a posteriori et de la mémoire dans la résolution de problèmes. Dans ces conditions, les écarts entre L et MP, particulièrement ceux que nous avons analysés comme étant essentiellement dus au comportement de MP+ (retour sur les questions non résolues, non retour sur les corrections et oubli rapide de l'exercice) sont à manipuler avec prudence. Par contre, les observations réalisées dans les questions I et III à propos des idées à retenir reçoivent pourrait-on dire un surcroît de significativité puisqu'elles vont à contre-courant des phénomènes décrits ci-dessus.

Ceci étant, voyons dans quelle mesure les écarts constatés peuvent prendre sens dans le cadre des analyses que nous avons déjà développées et des résultats antérieurs.

Il apparaît que trois des quatre formes d'étude précises de la solution figurant dans le questionnaire ainsi que l'objectif de savoir refaire totalement l'exercice (refaire cahier fermé) sont plus répandus chez les étudiants de l'université qui ont également plus tendance que ceux de Spéciales à essayer de garder, au moins à moyen terme, une certaine mémoire de l'exercice (voir l'item « J'oublie assez rapidement l'exercice). Ceci se comprend bien si l'on considère que les examens sont constitués d'exercices déjà rencontrés. Or nous avons vu dans la question I que cette conception est plus présente à l'université<fnref n="159" />. Il semble, aux vues des écarts mis en évidence que la forme de travail évoquée ci-dessus soit plus présente dans L+ que dans L- et dans MP- que dans MP+, ce qui laisse à penser qu'elle est relativement adaptée aux épreuves universitaires mais

<footnote n="159">159 Elle est également plus répandue dans MP- que MP+ mais sans significativité.</footnote>
faiblement efficaces en CPGE. De tels résultats sont tout à fait compatibles avec les hypothèses que nous avons formulées à propos des spécificités de l’évaluation dans les deux institutions.

Si nous retenons maintenant qu’oublier assez rapidement les exercices est une attitude plus répandue chez les étudiants de MP que chez ceux de L et qu’inversement les premiers semblent accorder plus d’importance que les seconds à la recherche d’éléments à retenir issus des solutions d’exercices, aux connaissances de type « Méthodes » et « Astuces », nous voyons émerger un style de travail à dimension analytique, focalisant la mémorisation sur certains éléments extraits de l’expérience globale. Ce style est plus présent dans MP que dans L, peut-être également dans MP+ que dans MP-<fnref n="160" />, ceci est cohérent avec notre analyse des épreuves de concours.

Restent à considérer les items exprimant une prise en compte faible (« je relis grossièrement la correction ») ou nulle (« je n’y reviens pas ») des corrigés. Que ces deux attitudes soient plus fréquentes chez les étudiants de L- que chez ceux de L+ est un résultat conforme à notre approche générale qui attribue un rôle important aux transferts d’un exercice à l’autre ainsi qu’aux hypothèses spécifiques formulées sur la nature des examens universitaires. Ce résultat conduit à relativiser la portée de l’un des écarts mis en évidence par la question ouverte : si les étudiants de L- citent les exercices plus souvent que les autres, on peut penser que la connaissance des exercices à laquelle il est ainsi fait référence est chez certains fort approximative.

Quant au nombre non négligeable d’élèves de Spéciales déclarant qu’ils ne reviennent pas en général sur les exercices (7 élèves dont 5 dans MP+), c’est un fait qui ne s’inscrit pas aussi directement dans le cadre de nos analyses. Nous pouvons bien sûr minorer cette contradiction en l’attribuant à une pose des élèves de MP+, en mettant en avant la faible taille de la population MP ; nous pouvons également signaler que sur les 7 élèves concernés, 4 se contredisent dans le cadre même de la question III en déclarant recourir souvent à l’une des pratiques d’étude a posteriori proposées, que deux autres attribuent l’avis souvent utile à l’item « Etudier la correction des exercices cherchés et non trouvés » dans la question II. Le dernier étudiant minore de manière cohérente dans les questions II et III l’importance accordée à l’étude des corrections, par contre, il considère comme souvent utile la connaissance de méthodes, la réflexion sur ses erreurs et il déclare qu’il essaie souvent de dégager des idées à retenir. Néanmoins, il nous paraît intéressant de prendre pleinement acte de cette réponse, elle nous rappelle que les connaissances sur le fonctionnement mathématique ne se construisent pas nécessairement par l’étude a posteriori des solutions, elles peuvent être élaborées de manière plus ou moins consciente dans le cours même de l’activité de résolution.

<footnote n="160">¹⁶⁰ Nous référons ici à la plus forte présence des astuces et exercices-types dans MP+ pour la question ouverte ainsi qu’aux résultats des questions I et III : les élèves de MP+ sont plus nombreux à choisir la réponse Systématique à propos des deux items concernant les idées à retenir.</footnote>
## E. Conclusions.

Dans cette synthèse, nous rapprochons les résultats obtenus à partir des deux volets de l'enquête et les interprétations que nous en proposons ; nous montrons comment, dans le cadre des hypothèses formulées dans les parties C.I.2 et D.I.2/4, nous obtenons un faisceau d'indices plaidant en faveur de notre conjecture initiale, à savoir « les classes préparatoires favorisent plus que l'université la construction de connaissances sur le fonctionnement mathématique ».

### E.I. Le rapport au cours.

Nous prendrons en compte ici d'une part les éléments qui concernent l'importance accordée à l'étude du cours dans une perspective de réussite aux examens, d'autre part ceux qui abordent réciproquement la contribution des exercices à l'apprentissage du cours. Les premiers sont issus de la question ouverte et de la question II du volet fermé, les seconds de la question ouverte et de la question I.

#### 1. De la connaissance du cours vers la résolution de problèmes.

##### • Résultats énoncés dans le cours

Plus de 88 % des étudiants considèrent comme indispensables (pour réussir aux examens) de connaître les définitions et les théorèmes<fnref n="161" />. Ce consensus n'a rien de surprenant mais nous avons mis en évidence plusieurs nuances.

A deux reprises<fnref n="162" />, il apparaît que les deux institutions n'ont pas exactement le même comportement vis à vis de ces deux types d'énoncés, le groupe L accordant plus d'importance aux définitions, le groupe MP aux théorèmes. Dans la question ouverte, les élèves de MP font peu référence aux énoncés secondaires du texte du cours (Propositions, Propriétés...) cités par près d'un tiers des étudiants de L<fnref n="163" />. Il est possible que le poids attribué aux théorèmes dans les réponses de MP corresponde à une structuration institutionnelle très différenciée des résultats, la désignation comme Théorème, utilisée avec parcimonie selon les déclarations de l'enseignant de la classe, manifestant clairement la nécessité pour les élèves de connaître ces énoncés.

Par ailleurs, nous nous sommes intéressés aux manifestations dans la question ouverte de ce que nous avons considéré comme des comportements de différenciation vis-à-vis du corpus des résultats établis dans le cours<fnref n="164" /> : expression d'une sélection dans l'ensemble des théorèmes, différenciation des niveaux d'utilité attribués aux théorèmes et aux autres énoncés. Le groupe L contient plus d'étudiants différenciateurs que MP mais il peut difficilement en être autrement puisque les élèves de MP, citant moins les énoncés secondaires, ont moins l'occasion de différencier. L'apprentissage des énoncés du cours est-il plus sélectif dans MP (focalisation radicale sur un petit nombre de résultats mis en exergue comme théorèmes) ou dans L (hiérarchisation du niveau d'utilité) ? Cette question reste ouverte.

<footnote n="161">161 Dans cette synthèse, nous indiquerons en note les parties du texte dont sont extraits les résultats évoqués, ici D.V.1.</footnote>

<footnote n="162">162 C.II.1/2 ; D.V.1.</footnote>

<footnote n="163">163 C.II.3.</footnote>

<footnote>Cependant, nous ne pouvons exclure que cette faible présence des résultats secondaires en Spéciales soit un effet des conditions de l'enquête (voir C.I.3.).</footnote>

<footnote n="164">164 C.II.3.</footnote>
Par contre, plusieurs éléments convergents plaident en faveur de l'hypothèse suivante : indépendamment de l'institution, les étudiants des sous-groupes forts ont vis à vis de la connaissance du cours une position plus nuancée que ceux des sous-groupes faibles (moindre importance accordée aux définitions et théorèmes, moindre présence de l'attitude non différenciatrice qui place au même niveau tous les énoncés et inversement proportion plus élevée de réponses différenciatrices dans L+ ∪ MP+ que dans L- ∪ MP- ; pour les deux derniers aspects, le phénomène est particulièrement présent dans L avec une forte représentation des étudiants non-différenciateurs dans L- et des différenciateurs dans L+).

Interprétation

Dans la mesure où l'évaluation repose exclusivement sur des résolutions de problèmes,
il est possible que différencier le savoir savant présenté en repérant les résultats les plus
souvent en jeu dans les solutions soit un atout pour la réussite. En premier lieu, on peut
penser que dans le cas d'une épreuve à programme étendu comme en classes
préparatoires ou au Capes visant plutôt une maîtrise généraliste<fnref n="165" />, un apprentissage très
détaillé est une tâche difficile et sans doute inutile. De manière plus générale, c'est-à-
dire y compris pour des examens plus spécialisés comme à l'université, une sélection
des résultats retenus dégage un espace pour des connaissances plus pragmatiques sur le
fonctionnement mathématique (dont le repérage des théorèmes efficaces fait d'ailleurs
partie). Encore faut-il que l'étudiant s'autorise à prendre ainsi ses distances par rapport
au savoir enseigné et qu'il sache choisir à bon escient les éléments retenus, deux
dimensions qui font sans doute plus ou moins défaut aux étudiants en difficulté.

• Démonstrations

L'étude des démonstrations du cours est considérée comme indispensable ou souvent utile (cette deuxième modalité est de loin la plus présente) par 80 % du groupe L, 65 % de MP. Cet écart est significatif, il est confirmé par la question ouverte, les étudiants de L citant spontanément plus souvent que ceux de MP les démonstrations. Au sein du groupe L, on trouve également une différence entre sous-groupes de niveau, L+ renforçant la position de L<fnref n="166" />.

Dans la question ouverte, quelques étudiants<fnref n="167" /> de la population L donnent certains
détails sur le rôle joué par l'étude des démonstrations : conjuguée avec un travail a
posteriori sur les solutions des exercices rencontrés, celle-ci peut constituer un point
d'appui pour le repérage et l'apprentissage de méthodes, on se situe alors dans la
perspective de futures résolutions de problèmes ; elle peut également être finalisée par
l'apprentissage du cours, aidant à comprendre et à mémoriser les résultats.

On trouve par ailleurs une différenciation de l'intérêt suivant le niveau de difficulté :
pour certains étudiants, une démonstration ne doit pas « être trop dure à suivre » pour
remplir l'un ou l'autre des rôles signalés précédemment ; inversement, la complexité de
la preuve apparaît dans une réponse comme une mesure de l'importance du théorème.
Nous rencontrons ici une première fois une opposition simple/complexe que nous
retrouverons dans ce qui suit.

<footnote n="165">165 Voir analyse des connaissances en jeu dans les problèmes de Capes A.II.2 ;</footnote>

<footnote n="166">¹⁶⁶C.III.1. ; D.V.1.
Dans cette synthèse, nous nous contentons de récapituler les différences significatives mises en évidence.
Dans le cas où il n'en existe pas entre deux groupes, nous ne le mentionnons pas explicitement.</footnote>

<footnote n="167">167 Ces réponses sont très rares, nous les utilisons comme indicateurs de possibles tendances dont la présence réelle devrait faire l'objet d'études ultérieures.</footnote>
• Exemples

La notion d'exemples ne renvoie pas nécessairement au texte du cours, les exercices pouvant être considérés comme une source d'exemples ainsi que le montrent les réponses à la question I du volet fermé. Cependant, nous intégrons ici les résultats qui concernent l'intérêt de connaître des exemples pour réussir aux examens en considérant que traditionnellement le cours est le premier pourvoyeur d'exemples et d'applications des notions et résultats présentés. Cette position est confortée par les formulations utilisées pour l'item *Exemples* dans le volet ouvert.

Les deux institutions ne se distinguent pas de manière significative : dans la question II du volet fermé<fnref n="168" />, 75 % du groupe L et 70 % du groupe MP considèrent que connaître des exemples pour réussir aux examens est au moins souvent utile, l'avis indispensable étant marginal dans les deux cas ; dans la question ouverte, l'item *Exemples* est cité de la même manière. Entre les sous-groupes de niveau, un seul phénomène notable a été mis en évidence : dans le volet ouvert de l'enquête, près de la moitié des étudiants de L+ mentionne spontanément les exemples, ce qui est significativement plus que dans le reste de la population L<fnref n="169" />, le pourcentage d'avis Indispensable/Souvent utile représentant 38 % des réponses de L+, 26 % des deux autres sous-groupes de L.

Comme pour les démonstrations, la question ouverte fait apparaître deux tendances que l'on peut considérer comme opposées : mémoriser des exemples significatifs ou des exemples simples.

2. De la résolution d'exercices vers l'apprentissage du cours.

90 % des étudiants considèrent dans les deux institutions que les exercices constituent toujours ou souvent une occasion de vérifier leur compréhension du cours. Les deux populations se différencient à propos de la fonction d'illustration puisque 69 % des étudiants de L et seulement 59 % de ceux de MP voient toujours ou souvent dans les exercices une source d'exemples illustrant le cours. Pour ces deux propositions concernant l'apport des exercices à l'étude du cours, l'avis toujours est significativement plus présent dans L que dans MP<fnref n="170" />. Nous avons également constaté que les étudiants préparant le Capes considèrent plus souvent les exercices comme apports d'exemples pour le cours que comme sources d'idées à retenir (l'écart est faible pour le pourcentage d'avis Toujours/Souvent, un peu plus conséquent pour l'avis Toujours) ; les élèves de MP ont un comportement opposé avec des écarts plus conséquents.

Les sous-groupes de niveau de L ont des comportements analogues vis à vis des points abordés ici. Par contre, MP+ se distingue du reste de la population en minorant la fonction d'aide à la compréhension : on peut penser que la forte représentation des redoublants dans le sous-groupe MP+ joue ici un rôle. MP- est le sous-groupe qui considère le moins les exercices comme source d'exemples.

L'idée selon laquelle les exercices joueraient un rôle important dans la compréhension et la mémorisation du cours est explicitée dans quelques réponses du groupe L à la question ouverte<fnref n="171" />. Certains privilégient nettement cette fonction, au

<footnote n="168">168 D.V.1.</footnote>

<footnote n="169">169 C.III.2</footnote>

<footnote n="170">170 D.III.2.</footnote>

<footnote n="171">171 C.V.2.</footnote>
groupe L à la question ouverte<fnref n="171" />. Certains privilégient nettement cette fonction, au point parfois de ne citer les exercices que pour une telle contribution à l'apprentissage, ce qui les différencie alors très peu des exemples et applications donnés par l'enseignant<fnref n="172" /> ; comme pour les démonstrations et les exemples, cette perspective conduirait certains étudiants à privilégier les exercices simples, les applications les plus directes des théorèmes, du moins au plan de la mémorisation.

### Interprétation

Exception faite de ce qui concerne la connaissance des théorèmes, les différents résultats que nous venons de rappeler ici vont tous dans le même sens : l'apprentissage du cours est un enjeu qui est plus mis en avant par la population universitaire que par les élèves de Spéciales. Il est possible que ceci résulte d'une certaine inefficacité de l'enseignement en amphithéâtre tel qu'il est dispensé à l'université, au moins pendant les deux premières années, le travail nécessaire à la compréhension du cours étant dans ces conditions plus conséquent, c'est un point que nous ne négligeons pas. Nous envisageons également que ce phénomène soit l'expression d'une différence dans le rapport des deux institutions au savoir mathématique. En classes préparatoires, celui-ci est largement envisagé dans une perspective d'application aux autres disciplines scientifiques (il s'agit de préparer à des écoles d'ingénieurs), ce qui dans la classe de mathématiques oriente l'attention vers la résolution de problèmes. A l'université, les finalités professionnelles sont beaucoup plus lointaines ; les enseignants sont pour une large part des chercheurs en mathématiques pour lesquels le savoir savant a un intérêt en soi, on peut penser qu'ils contribuent par leur discours à installer les étudiants dans un rapport qui valorise le cours. D'autres dimensions, telle par exemple l'organisation de l'enseignement (séparation de l'exposé du savoir en cours et de ses mises en œuvre en TD à l'université, imbrication des deux en CPGE ; nature de l'examen plus ou moins constitué d'applications directes du cours) concourent vraisemblablement à créer cette différence entre les deux institutions.

## 3. Lien avec la conjecture initiale.

Comme nous l'avons précisé lors de l'analyse des items de la question ouverte (cf p.29), nous considérons que l'apprentissage du cours n'est pas spontanément producteur des connaissances sur le fonctionnement mathématique auxquelles nous conférons un rôle décisif pour la résolution. D'une part, il n'est pas nécessairement orienté vers l'utilisation dans les problèmes ; d'autre part, il est naturellement inducteur d'une organisation centrée sur les concepts et théorèmes et débouche plus difficilement sur une structuration autour des types de problèmes et sur des connaissances transversales. Nous ne contestons nullement qu'il soit possible à travers l'étude de l'ensemble du cours, notamment des démonstrations, d'acquérir des connaissances tout à fait élaborées, mais nous faisons l'hypothèse que ceci n'est pas le lot de la majorité des étudiants ; nous avons vu que des objectifs de compréhension, d'illustration et de mémorisation pouvaient favoriser la sélection des éléments les plus simples dont la portée est en général limitée sur le plan de la résolution de problèmes.

Que l'apprentissage du cours soit une préoccupation plus centrale chez les étudiants de la population L que chez ceux de MP nous semble un élément allant dans le sens de notre conjecture.

<footnote n="171">¹⁷¹ C.V.2.</footnote>

<footnote n="172">¹⁷² C.III.2/4</footnote>
## E.II. Le rapport à la résolution de problèmes.

Il s'agit ici d'envisager le rapport que les étudiants entretiennent avec les activités de résolution de problèmes auxquels ils sont confrontés en tant que sujets de l'institution où ils étudient, activités qui déterminent la réussite ou l'échec. Dans cette perspective, nous nous intéresserons plus précisément aux différentes stratégies que peuvent avoir les étudiants pour améliorer leurs capacités à résoudre les problèmes posés par l'institution<fnref n="173" />. Toutes les questions de l'enquête apportent des éléments d'information sur ce point.

### 1. La réussite vue comme une question d'entraînement.

L'idée selon laquelle pour réussir aux examens, résoudre soi-même beaucoup d'exercices<fnref n="174" /> est pour le moins souvent utile est dans tous les sous-groupes de niveau sauf un partagée par près de 90 % des étudiants. MP+ fait exception avec un pourcentage réduit à 54,5 %, il s'en suit un écart significatif entre L et MP. On retrouve un phénomène analogue dans la question I du volet fermé<fnref n="175" /> : les exercices sont plus souvent considérés comme un entraînement à la résolution de questions mathématiques dans L que dans MP ; ce point de vue est nettement moins présent dans MP+ que dans les autres sous-groupes mais cette fois, MP- et MPo font écho, de manière atténuée, au comportement de MP+. Les sous-groupes L+ et L- ne sont pas différenciés par ces items.

Plus précisément, nous avons constaté que les étudiants issus de l'université sont nettement plus nombreux que ceux de Spéciales à considérer que la résolution est avant tout une affaire de pratique, sans transfert d'un exercice à l'autre. Cette position, peu propice aux postures réflexives visant à tirer les leçons des expériences antérieures, est pour nous tout à fait défavorable à l'acquisition de connaissances sur le fonctionnement mathématique.

### 2. La réussite vue comme une question de maîtrise des exercices corrigés.

Plusieurs items des questions I et II ainsi que la question III explorent l'importance accordée par les étudiants à un travail a posteriori sur la solution des exercices qui leur ont été proposés (ou qu'ils ont rencontrés dans des annales ou livres d'exercices corrigés).

Nous avons pu constater dans les deux institutions que l'utilité d'un retour sur les exercices véritablement cherchés et qui ont été l'occasion d'échecs ou plus encore d'erreurs fait très largement consensus (plus de 90 % d'avis Indispensable ou Souvent utile, plus de 50 % d'avis Indispensable) ; par contre, les avis sont nettement plus partagés sur les exercices que l'étudiant a cherchés et su résoudre lui-même d'une part, sur les exercices qui n'ont pas été l'objet d'un travail personnel préalable conséquent

<footnote n="173">¹⁷³ Un seul item se situe peut-être dans une perspective plus générale, il concerne l'éventuelle dimension de jeu intellectuel attribuée aux exercices (cf. D.III.1.). Rappelons qu' aussi bien dans L que dans MP, près de 80 % des étudiants répondent que les exercices ne sont jamais ou sont au mieux parfois un jeu intellectuel ; mais si cette position est dans L indépendante du niveau de performance, ce n'est pas du tout le cas dans MP où les sous-groupes MP+ et MP- se différencient nettement, la dimension jeu étant plus présente dans le premier et plus radicalement absente dans le second.</footnote>

<footnote n="174">¹⁷⁴ D.V.3.</footnote>

<footnote n="175">¹⁷⁵ D.III.3.</footnote>