# Calcul d'une intégrale au moyen de la suite Xn = An.
## Évaluation de l'erreur

Jean Paul Bertrandias

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To cite this version:

Jean Paul Bertrandias. Calcul d'une intégrale au moyen de la suite Xn = An. Évaluation de l'erreur. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.335-357. hal-04092946

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Submitted on 9 May 2023

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# CALCUL D'UNE INTÉGRALE AU MOYEN
DE LA SUITE $X_n = A_n$. ÉVALUATION DE L'ERREUR

Jean Paul BERTRANDIAS

Si on utilise la méthode de Monte-Carlo pour calculer l'inte-
grale

$$
J = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \tag{1}
$$

on est conduit à étudier la limite lorsque N augmente indéfiniment
de

$$
J_n = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f(x_n) \quad (2)
$$

où $x_n$ est une suite de "nombres aléatoires".

On obtient une convergence de $J_n$ vers $J$ en $\frac{1}{\sqrt{N}}$, la conver-
gence étant prise, bien entendu, du sens du calcul des probabilités.

Dans un article paru précédemment, M. Bass [1] utilise dans
(2) une suite de nombres bien déterminés par des procédés arith-
métiques et la convergence de $J_n$ est donnée par les théorèmes de
H. Weyl [4].

M. Bass étudie plus particulièrement le cas de la suite $\mathcal{A}_n$
(parties fractionnaires des multiples successifs d'un nombre réel
$A$). Nous nous proposons de préciser ses conclusions et de montrer
que dans des cas assez généraux, l'erreur commise est inférieure
à $\frac{S}{N}$, S étant un nombre que l'on peut calculer numériquement lors-
que A admet un développement en fraction continue simple.

Ce travail a été effectué avec l'aide de M. Guilloud pour la
partie numérique. De nombreux calculs de moyennes ont été faits
sur machine à calculer électronique et quelques unes des courbes
les plus caractéristiques sont reproduites et commentées ici.
# I - MAJORIZATION DE LA DIFFERENCE $|J - J_N|$ -

Le développement de $f(x)$ en série de Fourier dans l'intervalle $(0,1)$ est de la forme :

$$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{2i\pi kx} \text{ avec } c_{-k} = \bar{c}_k \quad (3) $$

On suppose qu'il existe deux nombres strictement positifs $M$ et $\lambda$ tels que la série $c_k$ admette comme majorante la série

$$ \gamma_k = \frac{M}{|k|^{\lambda+\gamma}} \quad (4) $$

La différence entre l'intégrale $J$ et sa valeur approchée $J_N$ est :

$$ I_N = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{2i\pi k An} = \frac{1}{N} \sum_{k \neq 0} c_k \frac{e^{2i\pi k AN} - 1}{e^{2i\pi k A} - 1} \quad (5) $$

$$ = \frac{1}{N} \sum_{k \neq 0} c_k \frac{\sin \pi k A N}{\sin \pi k A} e^{i \pi k A (N-1)} \quad (6) $$

On peut majorer $|I_N|$ par $\frac{2}{N} \gamma$ avec

$$ \gamma = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{|c_k|}{|\sin \pi k A|} \quad (7) $$

En tenant compte de (4) et de l'inégalité

$$ | \sin \pi k A | \ge 2 || k A || \quad (8) $$

où $||kA|| = \text{minimum de } kA \text{ ou } 1 - kA$
on obtient :

$$ |I_N| < \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\gamma_k}{||kA||} \quad (9) $$

On peut enfin appliquer à cette majoration la transformation d'Abel :

$$ |I_N| < \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{\infty} (\gamma_j - \gamma_{j+1}) \sigma(j) = \frac{S}{N} \quad (10) $$
avec

$$ \sigma (j) = \sum_{k=1}^{j} \frac{1}{\| kA \|} \quad (11) $$

Nous nous proposons de montrer que lorsque A est un nombre algébrique, $I_N$ est de l'ordre de $\frac{1}{N}$, c'est-à-dire que la série S intervenant au second membre de (10) est convergente. Pour cela, il suffit de trouver une borne supérieure assez précise de $\sigma(j)$ en fonction de j.

## II - ETUDE DE $\sigma(j)$ -

Nous utiliserons le développement de A en fraction continue, Rappelons d'abord quelques définitions et quelques propriétés classiques.

Les *quotients incomplets* $a_i$ sont définis par

$$ \begin{gathered} A = \hat{A} + \frac{1}{u_1}, \qquad u_1 > 1 \\ u_1 = a_1 + \frac{1}{u_2}, \quad a_1 = \hat{u}_1, \qquad u_2 > 1 \end{gathered} \quad (12) $$

$$ u_1 = a_1 + \frac{1}{u_{1+1}}, \quad a_1 = \hat{u}_1, \qquad u_{1+1} > 1 $$

le symbole $\hat{u}$ désignant la partie entière du nombre u. Si A est irrationnel, $u_1$ existe toujours et $a_1 \ge 1$ quel que soit i. L'ensemble des $a_i$ définit ce qu'on appelle le développement de A en fraction continue.

La *réduite d'ordre i* est la fraction $\frac{P_i}{Q_i}$ obtenue en remplaçant $u_i$ par sa partie entière :

$$ \frac{P_i}{Q_i} = \hat{A} + \frac{1}{\hat{u}_1 + \frac{1}{\hat{u}_2 + \frac{1}{\hat{u}_3 + \dots}}} \quad (13) $$

Elle représente une approximation de A par un nombre rationnel.

Les $P_i$ et les $Q_i$ vérifient les relations suivantes :
$$ 
\begin{aligned}
Q_1 &= a_1 Q_{1-1} + Q_{1-2} \\
P_1 &= a_1 P_{1-1} + P_{1-2}
\end{aligned} 
\qquad (14) 
$$

avec

$$ Q_0 = 1 \qquad Q_1 = a_1 $$

et

$$ P_0 = a_0 = \hat{A} \qquad P_1 = a_0 a_1 + 1 $$

En éliminant $a_1$ de ces relations :

$$ 
\begin{aligned}
P_1 Q_{1-1} - Q_1 P_{1-1} &= -(P_{1-1} Q_{1-2} - P_{1-2} Q_{1-1}) \\
&= (-1)^{1-1} [P_1 Q_0 - P_0 Q_1] = (-1)^{1-1}
\end{aligned} 
$$

D'où :

$$ \frac{P_1}{Q_1} - \frac{P_{1-1}}{Q_{1-1}} = \frac{(-1)^{1-1}}{Q_1 Q_{1-1}} $$

Puis, comme A est compris entre deux réduites successives :

$$ 
\begin{aligned}
\lim_{Q_1} \frac{P_1}{A} &= A = \frac{P_0}{Q_0} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{P_n}{Q_n} - \frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}} \right) \\
A &= \hat{A} + \frac{1}{Q_0 Q_1} - \frac{1}{Q_1 Q_2} + \dots
\end{aligned} 
\qquad (15) 
$$

Les autres propriétés des fractions continues sur lesquelles nous nous appuierons sont les suivantes :

**Propriété I** - Pour tous les entiers positifs $k$ inférieurs à $Q_{\nu+1}$, on a :

$$ \|kA\| \ge \|Q_\nu A\| = \delta_\nu \qquad (16) $$

$$ \delta_\nu = \frac{1}{Q_{\nu+1}} - \frac{Q_\nu}{Q_{\nu+1} Q_{\nu+2}} + \frac{Q_\nu}{Q_{\nu+2} Q_{\nu+3}} - \dots \qquad (17) $$

l'égalité n'ayant lieu que pour $k = Q_\nu$.

**Propriété II** - Les $Q_\mu$ points d'affixes

$$ 
\begin{aligned}
& e^{2i\pi(m-0\mu+1)A}, \quad e^{2i\pi(m-0\mu+2)A}, \dots, e^{2i\pi m A} \\
& (m < Q_{\nu+1}, \quad \mu < \nu)
\end{aligned} 
$$
sont, sur la circonférence $|z| = 1$, les sommets d'un polygône convexe $P_\mu^\nu$ de $Q_\mu$ cotés. Les arcs sous-tendus par les plus petits cotés sont égaux à $2\pi\delta_{\mu+1}$.

La propriété I est une propriété classique des fractions continues exprimant que les $\frac{P_1}{Q_1}$ sont d'une certaine façon les "meilleures" approximations rationnelles de A (voir par exemple [3] théorème 182). La formule (17) se démontre facilement à partir de (15) et la propriété II est une conséquence immédiate de I.

D'autre part si $Q_\nu \le j < Q_{\nu+1}$, on peut écrire :

$$j = b_\nu Q_\nu + b_{\nu-1} Q_{\nu-1} + \dots + b_0 Q_0 \quad (18)$$

avec

$$0 \le b_\mu \le a_{\mu+1} \quad (19)$$

Alors la sommation (11) donnant $\sigma(j)$ peut se décomposer :

$$\sigma(j) = \sum_{k=1}^{q_\nu} \frac{1}{\|kA\|} + \sum_{q_\nu+1}^{2q_\nu} \dots + \sum_{(b_\nu-1)q_\nu+1}^{b_\nu q_\nu} \\ + \sum_{b_\nu q_\nu+1}^{b_\nu q_\nu+q_\nu-1} \dots + \dots + \sum_{b_\nu q_\nu+\dots+(b_0-1)q_0+1}^{j} \quad (20)$$

Chaque signe $\sum$ porte sur $Q_\mu$ multiples consécutifs de A parmi les j premiers avec $\mu \le v$ et $j < Q_{\nu+1}$. On peut donc associer à chaque somme de (20) un des polygônes $P_\mu^\nu$ défini plus haut et on note la somme correspondante par $\sum_v$. Soit alors $M_\mu^\nu$ une borne supérieure de $\sum_{P_\mu^\nu} \frac{1}{\|kA\|}$ pour tous les polygônes $P_\mu^\nu$ possibles. On a :

$$\sigma(j) < b_\nu M_\nu^\nu + b_{\nu-1} M_{\nu-1}^\nu + \dots + b_0 M_0^\nu \quad (21)$$

D'après la propriété I, le terme le plus grand de $\sum_{P_\mu^\nu} \frac{1}{\|kA\|}$ est inférieur à $\frac{1}{\delta_\nu}$. Il lui correspond un sommet $S_0$ du polygône $P_\mu^\nu$. Si on appelle $S_1, S_2, \dots$ et $S'_1, S'_2, \dots$ les sommets de $P_\mu^\nu$ consécutifs à $S_0$ dans un sens et dans l'autre, et $\Omega$ le point d'affixe 1, on a :

$$\begin{array}{ccc}
\widehat{\Omega S_1} > \widehat{\Omega S_0} & \widehat{\Omega S_1} > \widehat{\frac{S_0 S_1}{2}} \ge 2\pi \frac{\delta_{\mu-1}}{2} & \\
\widehat{\Omega S'_1} > \widehat{\Omega S_0} & \widehat{\Omega S'_1} > \widehat{\frac{S_0 S'_1}{2}} \ge 2\pi \frac{\delta_{\mu-1}}{2} & \text{d'après II}
\end{array}$$
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Les termes de $\sum_{\nu \atop \mu}$ correspondants à S₁ et S'₁ peuvent donc être majorés par
$$ \frac{1}{\delta_{\mu-1}} $$

Toujours d'après II, les termes de $\sum_{\nu \atop \mu}$ correspondants à S₂ et S'₂ peuvent être majorés par $\frac{1}{\frac{1}{2}\delta_{\mu-1} + \delta_{\mu-1}}$ etc.

Finalement :

$$ M_{\mu}^{\nu} \ll \frac{1}{\delta_{\nu}} + \frac{4}{\delta_{\mu-1}} \left[ 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{Q_{\mu-1}^{\nu}} \right] \quad (22) $$

$\epsilon = 2$ si $Q_{\mu}$ est impair

= 1 si $Q_{\mu}$ est pair.

Or d'après (17) :

$$ \frac{1}{\delta_{\mu-1}} < \frac{1}{\frac{1}{Q_{\mu}} - \frac{Q_{\mu-1}}{Q_{\mu} Q_{\mu+1}}} = \frac{Q_{\mu} Q_{\mu+1}}{Q_{\mu} a_{\mu+1}} = Q_{\mu} + \frac{Q_{\mu-1}}{a_{\mu+1}} < 2 Q_{\mu} \quad (23) $$

et d'autre part :

$$ 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{Q_{\mu} - \epsilon} < \frac{1}{2} \left[ \log Q_{\mu} + C + \log 2 + \frac{1}{6 Q_{\mu}^2} \right] \quad (24) \\ < \frac{1}{2} (\log Q_{\mu} + G) $$

$G < 1,3121$ si $Q_{\mu} > 1$

(21) devient alors :

$$ \sigma(j) < 2 Q_{\nu+1} \sum_{\mu=1}^{\nu} b_{\mu} + 4 \sum_{\mu=1}^{\nu} b_{\mu} Q_{\mu} (\log Q_{\mu} + G) \quad (25) $$

En tenant compte de (19) et (20) :
$$ \sigma (j) < 2 Q_{\nu+1} \sum_{\mu=1}^{\nu+1} a_{\mu} + 4 j (\log j + G) \quad (26) $$

### III - EVALUATION DE L'ERREUR |I<sub>M</sub>|

#### a) A est un nombre irrationnel quadratique

A est une racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients entiers. On montre que son développement en fraction continue est périodique, c'est-à-dire que la suite $a_0, a_1, a_2, ...$ est périodique à partir d'un certain rang. (Théorème de Lagrange : [3] Théorème 177). Il existe donc un nombre B tel que :

$$ a_1 \le B $$

D'après (14) on a :

$$ Q_{\nu+1} < (B+1) Q_{\nu} < (B+1) j \quad (27) $$

et

$$ Q_{\nu} > 2 Q_{\nu-2} > 2^2 Q_{\nu-4} > \dots > 2 Q_{\nu-2}^{\frac{\nu}{2}} \text{ ou } 2^{\frac{\nu-1}{2}} Q_{\nu-1} $$

c'est-à-dire dans tous les cas :

$$ \frac{\nu - 1}{2} \log 2 < \log Q_{\nu} < \log j \quad (28) $$

$$ \text{donc :} \quad \sum_{\mu=1}^{\nu+1} a_{\mu} \le B(\nu+1) < \left\lfloor \frac{2 \log j}{\log 2} + 2 \right\rfloor B \quad (29) $$

(26) donne alors :

$$ \sigma (j) < 4 j \log j \left[ \frac{B+1}{\log 2} + 1 \right] + 4 j \left[ B+1+G \right] \quad (30) $$

$$ \sigma (j) = O(j \log j) \quad (31) $$

Or d'après (4)

$$ \gamma_j - \gamma_{j+1} < \frac{M(1+\lambda)}{j^{2+\lambda}} = O\left(\frac{1}{j^{2+\lambda}}\right) \quad (32) $$

La série S intervenant dans (10) est donc convergente et l'on obtient bien :
$$I_N < \frac{K}{N} \qquad (33)$$

où K est un nombre que l'on peut calculer facilement en fonction de B, M et $\lambda$ d'après (30) et (32).

On voit que la périodicité du développement de A n'intervient pas directement : le résultat est le même si A est un nombre dont les quotients incomplets sont bornés par B.

b) A est un nombre irrationnel algébrique quelconque.

Nous démontrerons simplement que la série S est convergente sans chercher à obtenir une majoration de sa somme.

D'après le théorème de Roth ([2] chapitre VI) l'inégalité

$$| QA - P | > \frac{1}{Q^{1+\delta}} \qquad \delta > 0 \qquad (34)$$

est valable sauf pour un nombre fini de valeurs de P et Q. D'autre part d'après (16) et (17), il existe un nombre $P_n$ tel que

$$| Q_n A - P_n | < \frac{1}{Q_{n+1}} \qquad (35)$$

On en déduit que

$$Q_{n+1} < Q_n^{1+\delta} \qquad (36)$$

sauf peut-être pour un nombre fini de valeurs de n.

De (14) et (36) :

$$a_{\mu} < Q_{\mu-1}^{\delta}$$

$$\sum_{\mu=1}^{\nu+1} a_{\mu} < \sum_{\mu=1}^{\nu+1} Q_{\mu-1}^{\delta} < 2 [Q_{\nu}^{\delta} + Q_{\nu-2}^{\delta} + \dots] < 2 Q_{\nu}^{\delta} [1 + \frac{1}{2^{\delta}} + \frac{1}{2^{2\delta}} + \dots] < \frac{2^{\delta+1}}{2^{\delta}-1} Q_{\nu}^{\delta}$$

Donc :

$$\sum_{\mu=1}^{\nu+1} a_{\mu} = O(j^{\delta}) \qquad (37)$$

et par conséquent :

$$\sigma(j) = O(j^{1+2\delta}) \qquad (38)$$
Comme on peut choisir $\delta$ inférieur à $\frac{\lambda}{2}$, on voit que la série S est convergente et que $I_N$ est bien de l'ordre de $\frac{1}{N}$ lorsque A est un nombre irrationnel algébrique dès que $\lambda$ est positif.

## IV - EXEMPLES NUMERIQUES -

Nous allons étudier plus particulièrement le comportement de $I_N$ en fonction de N pour deux fonctions $f_1(x)$:

$$f_1(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \le x \le \frac{1}{2} \\ 1 - x & \text{si } \frac{1}{2} \le x \le 1 \end{cases}$$

$$f_2(x) = \frac{a(1 - a^2)}{1 + a^2 + 2a \cos 2\pi x} \quad \text{avec } a = \frac{1}{4}$$

et pour trois nombres A :

$$A_1 = \sqrt{2}; \quad A_2 = \pi; \quad A_3 = \frac{22}{7}$$

$f_1(x)$ est une fonction continue mais dont la dérivée a une discontinuité de première espèce. Sa série de Fourier converge donc assez lentement :

$$f_1(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{\pi^2} \sum_{h=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(2h+1)^2} e^{2i\pi(2h+1)x} \quad (39)$$

$f_2(x)$ est une fonction indéfiniment dérivable dont la série de Fourier converge très rapidement :

$$f_2(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{4^k} e^{2i\pi kx} \quad (40)$$

Les planches 1 et 2 donnent l'allure des courbes représentant $I_N$ en fonction de N jusqu'à N = 250.

Sur les planches 3 à 8 ont été représentées en coordonnées logarithmiques :

1) Les valeurs de $I_N$ en fonction de N pour chaque valeur de N inférieure à 30. Lorsque cela a été possible sans embrouiller la figure, les points ont été joints.

2) Les valeurs de $I_N$ pour certaines valeurs de N supérieures
à 30, en principe les valeurs correspondantes aux points d'abscisse exacte (ou un point voisin lorsque $I_N$ sort de la figure).

3) Les majorations obtenues dans les paragraphes suivants :

4) Sur les planches 3 et 5, les majorations obtenues par M. Bass dans la référence [1].

$$ \text{a) Etude du cas } A_1 = \sqrt{2}. $$

$A_1$ est un nombre algébrique quadratique dont le développement en fraction continue est très régulier :

$$ \hat{A} = 1 \text{ et } a_1 = a_2 = \dots = 2 $$

D'après les résultats obtenus au §III-a, les séries S et $\mathfrak{S}$ sont convergentes. Donc si on appelle $S^*$ la plus petite des bornes supérieures de $N|I_N|$ :

$$ S^* = \limsup N|I_N|, $$

on est sûr que $S^*$ existe. A l'aide de (10) et de (30) qui donne :

$$ \sigma(j) < 21,3 \quad \text{j log j} + 17,3 \quad \text{j,} \quad (41) $$

on peut obtenir un premier majorant $M_0$ de $S^*$.

La majoration (41) étant assez grossière, on peut avoir un meilleur majorant $M_1$ en calculant directement la somme de la série $\mathfrak{S}$, ne se servant des transformations (9) et (10) et de (41) que pour évaluer le reste de la série $\mathfrak{S}$.

Lorsque la fonction périodique de période 1 qui coincide avec $f(x)$ dans l'intervalle $(0, 1)$ est paire, (ce qui est le cas pour $f_1$ et $f_2$), on peut encore améliorer facilement la majoration. On décompose (5) en deux sommes :

$$ I_N = \frac{1}{N} \left[ \sum_{k \neq 0} \frac{c_k}{e^{2i\pi k A} - 1} e^{2i\pi k AN} - \sum_{k \neq 0} \frac{c_k}{e^{2i\pi k A} - 1} \right] \quad (42) $$

La première somme est majorée par $\mathfrak{S}$. La seconde somme est égale à :

$$ - \sum_{k=1}^{\infty} c_k = - \frac{f(0) - c_0}{2} \quad \begin{cases} = 0,125 & \text{pour } f_1 \\ = 0,05 & \text{pour } f_2 \end{cases} $$
Un troisième majorant de S* est donc

$$M_2 = \mathfrak{S} + \left| \sum_{k=1}^{\infty} c_k \right|$$

Pour la fonction $f_2$, le calcul de $\mathfrak{S}$ est facile : il suffit de
calculer les six premiers termes et la majoration du reste donne :

$$0,103 < \mathfrak{S} < 0,104$$

Donc

$$0,206 < M_1 < 0,208$$

et

$$0,153 < M_2 < 0,154$$

Pour la fonction $f_1$, la série $\mathfrak{S}$ converge très lentement ; le
calcul a été fait pour les treize premiers termes :

$$0,154 < \mathfrak{S}_{13} < 0,155$$

Le terme d'erreur est encore très grand :

$$\mathcal{R}_{13} < 0,88$$

On obtient donc :

$$N |I_N| < 2,07$$

ou un peu mieux

$$N |I_N| < 1,16. \quad (\text{Voir Note à la fin})$$

Sur la planche 3 ont été tracées les hyperboles $H_m$, majorations obtenues dans [1]. Les courbes sont régulièrement disposées et correspondent à une majoration de la forme

$$|I_N| < \frac{K}{\sqrt{N}}$$

b) Etude du cas $A_2 = \pi$

A est un nombre transcendant dont on ne connaît que les premiers termes du développement en fraction continue.

$$\hat{A} = 3, a_1 = 7, a_2 = 15, a_3 = 1, a_4 = 292, \dots$$

Ce développement est assez irrégulier et les quotients incomplets sont relativement grands.

On ne sait pas si les séries S et $\mathfrak{S}$ convergent. On peut quand
même utiliser les résultats du §II pour trouver une majoration de $I_N$. On sépare $I_N$ en plusieurs morceaux :

$$I_N = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} c_k \sum_{n=0}^{N-1} e^{2i\pi k An} + \sum_{|k|>q_m} c_k \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{2i\pi k An} \quad (43)$$

Le second terme $\alpha_1$ peut être majoré par :

$$\sum_{|k|>q_m} |c_k| = \varepsilon_m$$

qu'on peut rendre petit en choisissant $Q_m$ assez grand. Le premier terme peut être encore décomposé puis majoré comme en (7) et (8). On obtient :

$$\begin{aligned} |I_N| < & \varepsilon_m + \frac{2}{N} \left[ \sum_{k=1}^{k_0} \frac{|c_k|}{|\sin \pi k A|} + \sum_{j=k_0+1}^{a_1-1} [\gamma(j) - \gamma(j+1)] \sigma(j) + \sum_{q_1}^{q_2-1} + \dots + \sum_{q_m-1}^{a_m-1} [\gamma(j) - \gamma(j+1)] \sigma(j) \right]. \quad (44) \end{aligned}$$ $$= \varepsilon_m + \frac{2}{N} [\alpha_2 + \alpha_3 + \dots + \alpha_{m+2}]$$

Le premier terme $\alpha_2$ se calcule directement et les autres termes se majorent en utilisant la formule (25) correspondant à chaque somme.

Pour le calcul numérique, on a pris $k_0 = Q_1 = 7$ et $Q_m = Q_2 = 106$. On obtient :

$$\text{pour } f_1 = \quad |I_N| < \frac{3,17}{N} + 0,000965 \quad (\text{Voir Note à la fin})$$

$$\text{pour } f_2 = \quad |I_N| < \frac{0,347}{N} + 10^{80}$$

$$\text{c) \underline{Etude du Cas } A_3 = \frac{22}{7}$$

$A_3$ est un nombre rationnel qui représente la première "bonne" approximation rationnelle de $\pi$.

Lorsque $A$ est rationnel, la moyenne $J_N$ ne tend en général pas vers l'intégrale $J$. $I_N$ tend vers un nombre 1 différent de 0. Ici :

$$1 = \frac{1}{7} \sum_{n=0}^{6} f\left(\frac{22}{7} n\right) - J \quad (45)$$
ce qui donne :

$$ \text{pour } f_1 = l_1 = \frac{12}{49} - \frac{1}{4} = -0,0051 \dots $$

$$ \text{pour } f_2 = l_2 = 0,2499694 \dots - 0,25 = -0,0000305 \dots $$

Le nombre 1 a aussi pour valeur :

$$ l = \sum_{h=1}^{\infty} c_{7h} \qquad (46) $$

La manière dont se fait la convergence de $I_N$ vers 1 est facile à étudier exactement ; par exemple pour $f(x) = f_1(x)$ :

$I_N = l_1 = -0,0051 \dots \text{ si } N \equiv 0 \text{ módulo } 7$

$$ = l_1 - \frac{12}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 1 \text{ "} $$

$$ = l_1 - \frac{17}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 2 \text{ "} $$

$$ = l_1 - \frac{15}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 3 \text{ "} $$

$$ = l_1 - \frac{6}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 4 \text{ "} $$

$$ = l_1 + \frac{3}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 5 \text{ "} $$

$$ = l_1 + \frac{5}{49} \frac{1}{N} \qquad \text{si } N \equiv 6 \text{ "} $$

Ces courbes ont été tracées sur les planches 7 et 8. Sur la figure 8 ce sont presque des droites car $l_2$ est très petit.

Il est intéressant d'appliquer au cas $A = A_9$ la méthode utilisée en b). On prend $\dot{Q}_m = 7$ et $k_0 = 6$.

$$ |I_N| < \frac{2\alpha_2}{N} + |\alpha_1| $$

$$ |\alpha_1| < \varepsilon_m = \sum_{k=7}^{\infty} |c_k| $$

qui est bien supérieur à 1.

$$ 2\alpha_2 = \begin{cases} 0,500 & \text{pour } f_1 \\ 0,330 & \text{pour } f_2 \end{cases} $$
Donc :

$$ \text{pour } f_1 = |I_N| < \frac{0,501}{N} + 0,0169 $$

$$ \text{pour } f_2 = |I_N| < \frac{0,331}{N} + 0,000041 $$

### d) Remarques.

1) La régularité de la fonction $f(x)$ ne paraît pas avoir beaucoup d'influence sur la forme des courbes $I_N$ en fonction de $N$, ni sur la valeur de

$$ S^* = \limsup_N |I_N| $$

Elle paraît influer davantage sur la manière dont cette valeur est approchée.

2) La formule (42) montre que $NI_N$ est une fonction périodique de la variable continue $N$. Une étude plus approfondie montrerait que la fonction continue ayant pour valeur $NI_N$ lorsque $N$ et entier et variant linéairement entre les points d'abscisses entières est une fonction presque périodique. Un système de presque-périodes est l'ensemble des dénominateurs $Q_m$. On trouve ainsi l'explication de l'allure des courbes $I_N$ en fonction de $N$ (planches 1 et 2).

$$ - \text{Allure irrégulière pour } A_1 = \sqrt{2}. $$

Les périodicités sont peu apparentes car les presque-périodes sont très rapprochées :

$$ Q_1 = 2, Q_2 = 5, Q_3 = 12, Q_4 = 29, \dots $$

- Périodicités très apparentes pour $A_2$ et $A_3$.

car les presque-périodes sont bien séparées. Pour $A_3$ il y a une période exactement égale à 7 et pour $A_2$ la presque-période de longueur $7 = Q_1$ se superpose à la presque-période de longueur $106 = Q_2$ cette dernière visible surtout pour $f = f_1$ (planche 1).
REFERENCES

[1] J. BASS - Nombres aléatoires. Suites arithmétiques. Méthode de Monte-Carlo. Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris. Vol. IX - Fas. 3, p. 289-325.

[2] J.W.S. CASSELS - An introduction to diophantine approximations. Cambridge University Press. (1957).

[3] G.H. HARDY and E.M. WRIGHT - An introduction to the theory of numbers. Oxford Clarendon Press. (1938).

[4] H. WEYL - Über die Gleichverteilung von Zahlen modulo Eins (Math. Annalen, 77, 1916, p. 313-352).

Note : Résultats du calcul numérique.

$$f(x) = f_1(x) \quad A_1 = \sqrt{2}$$

Le maximum de $N|I_N|$ pour $N < 5.10^5$ est 0,25758..., valeur atteinte 216 fois, la première fois pour $N = 5916$, la dernière pour $N = 491448$.

$$f(x) = f_1(x) \quad A_2 = \pi$$

Le maximum de $N|I_N|$ pour $N < 6,5.10^5$ est 0,48552..., valeur atteinte 30 fois, la première fois pour $N = 8272$, la dernière pour $N = 638574$.
PLANCHE I

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PLANCHE II

PLANCHE 2

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<figure><img src="image_6.png" /></figure>

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A = √2

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A = 3

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A = 22/7

50

100

150

200

250
PLANCHE III

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PLANCHE IV

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Avec des axes x et y sur les abscisses et une division logarithmique.
PLANCHE V

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PLANCHE VI

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PLANCHE VII

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Avec des courbes en use des courbes 6 directe logarithmique
PLANCHE VIII

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

N° 134

Avec ordonnées et une abcisse o deviation logarithmique.