# Méthode de Volumes Finis H.O. sur des maillages non structurés d'ordre géomètrique élevé. Formulation couplée RANS sur les grilles superposées cell-centered, cell-vertex, diamant

Jean-Marie Le Gouez

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Jean-Marie Le Gouez. Méthode de Volumes Finis H.O. sur des maillages non structurés d'ordre géomètrique élevé. Formulation couplée RANS sur les grilles superposées cell-centered, cell-vertex, diamant. Journées CEA GAMNI, Jan 2025, Paris Institut Henri Poincaré, France. hal-04941529

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Submitted on 11 Feb 2025

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# Méthode de Volumes Finis H.O. sur des maillages non structurés d'ordre géométrique élevé. Formulation couplée RANS sur les grilles superposées cell-centered, cell-vertex, diamant.

Jean-Marie LE GOUEZ, Synapsis,

jm.legouez@synapsis-ag.net

Calculs effectués sur Adastra au CINES : Accès dynamique 2024 GENCI CT2A / CAD15478

Al

## Base du projet et motivation :

### Montée en ordre d'une méthode de Volumes Finis (1 degré de liberté par cellule et par équation)

2D et 3D. Nécessite des algorithmes de reconstruction polynomiale de degré élevé k (méthode k-exacte) sur les éléments volumiques, des projections stables de ces polynômes sur les interfaces (dominance diagonale) et des formules d'intégration des flux normaux sur des surfaces gauches précises.

Extensions multi-D et d'ordre élevé des schémas standard de type MUSCL (1D, reconstructions linéaires).

Les méthodes courantes pour la Mécanique des Fluides basées sur les éléments (Galerkine Discontinu, Reconstruction de Flux, SUPG) ont montré la nécessité d'associer la montée en ordre des schémas d'intégration spatiale à celle de la représentation géométrique des éléments (maillages à faces courbes, dits H.O.).

Le préprocesseur spatial (géométrie et opérateurs discrets) est découplé.

Divers solveurs VF utilisent ses résultats pour traiter leurs propres équations de conservation.

## Etapes du projet (Méthode NXO) :

Le présent projet, initié à l'Onera et poursuivi dans une société indépendante de développement logiciel, vise à la réalisation d'un **solveur prototype FV 3D** d'ordre élevé sur maillages non structurés multi-éléments (**tetra, prismes, pyramides, hexaèdres**) d'ordre géométrique **Q2/Q3** et leurs **3 duaux centrés nœuds, arêtes, faces**.

Des solveurs précédents 2D ont été utilisés dans les Workshops ordre élevé pour la CFD aéronautique : « High Order CFD Workshops », où ils ont démontré des propriétés de précision par degré de liberté proches, et par occasion, supérieures aux méthodes 'element-based'.

De nombreuses validations ont été effectuées, sur des cas académiques et d'autres plus proches des applications.

Ce prototype a été utilisé récemment (2021-2023) pour participer au Workshop Boeing / NASA portant sur le calcul de l'écoulement autour d'un avion en configuration hypersustentée « High Lift prediction workshop ». Cette définition géométrique partagée, le CRM High Lift, a permis la réalisation de maquettes testées dans plusieurs souffleries, et la création d'une base de données expérimentale extensive.

### Formalisme Volumes Finis d'ordre élevé :

A/ reconstructions polynomiales sur base complète de degré 1 à 4 dans une cellule, à partir des valeurs moyennes des champs dans les cellules environnantes (stencil VF).

B/ évaluation des polynômes reconstruits en moyenne de surface sur les interfaces d'échange de flux ou sur celles de frontière. Pour un champ vectoriel reconstruit, évaluation de l'intégrale de flux curviligne de ce vecteur, avec une normale unitaire variant sur la surface.

Ces algorithmes sont synthétisés dans des tables de coefficients de combinaison linéaires par stencil : réduction dimensionnelle d'un champ et des composantes de ses gradient et Hessien, depuis le champ discret dans le volume du stencil vers une intégrale de surface "à travers" une base de reconstruction. Ces tables sont préparées dans le préprocesseur, elles peuvent être utilisées pour de nombreux solveurs d'équations de conservation... Plusieurs schémas VF, centrés, amont par caractéristiques, convectifs amont utilisent ces tables.

D/ Préprocesseur géométrique d'ordre élevé pour des reconstructions HO (degré 2 à 4) sur base 3D complète, pour des maillages Q2 multi-élément.

E/ Optionnellement : création de 3 maillages duaux Q2, médian par nœud, diamant par arête et par face, évaluation de leurs métriques d'ordre élevé, calcul de leurs tables de combinaison linéaire stencil à face.

F/ Solveur RANS gaz parfait : expression sur 1 à 4 maillages Q2 recouvrant (primal, duaux), couplage fort des solutions par des stencils de reconstruction "composites" mélangeant les cellules les plus proches des différents maillages.

### Spectres des opérateurs de convection et de diffusion sur un carré périodique :

A/ Convection par une vitesse constante inclinée à 30 degrés. A chaque interface, le flux transporte la valeur de face amont du champ, combinaison linéaire des moyennes de cellule dans le stencil de la cellule 'amont' : Matrice d'amplification du schéma. Polynômes k1 à k4. Visualisation des vecteurs propres projetés sur le maillage.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Eigenvalues of the convective operator</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Real part of a numerical eigenvector found close to</figcaption></figure>

B/ Laplacien. A chaque interface, le flux diffusif utilise l'expression du gradient normal, combinaison linéaire des valeurs des moyennes de cellule dans l'union des stencils gauche et droite. Matrice d'amplification du schéma. Polynômes k1 à k4. Visualisation des vecteurs propres projetés sur le maillage.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Eigenvalues k1 to k4 of the Laplacian close to -(i²+j²). Numerical eigenvectors (right: close to cos(8x-y).cos(8y+x))</figcaption></figure>

Slight offset of the numerical eigenvalue from nearest i²+j²: (n+m)²+(n-m)² for cos(nx+my)*cos(ny-mx)

Participation aux ateliers HO CFD Workshop, 2012-2018 Equations d'Euler: Ecoulement de RINGLEB sur des maillages d'ordre 4 (quartiques) imposés, La solution analytique est connue, obtenue par transformation hodographique.

La précision de notre méthode (NXO) est comparable aux solutions de différences finies SBP et Galerkine Discontinu d'ordre 3 et 4 formulées sur ces cellules d'ordre géométrique Q4.

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<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Champ de pression analytique et reconstruit (un polynôme par cellule)</figcaption></figure>

Variante : 5 projections du polynôme reconstruit sur des sous-faces Q4

Ordre de convergence en maillage entre 3 et 4

<table><thead><tr><th>Grid</th><th>L2-Error (ro)</th><th>L2-Error (roU)</th><th>L2-Error (roV)</th><th>L2-Error (roEt)</th><th>L2-Error (s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 (16*48)</td><td>1.07e-3</td><td>4.83e-4</td><td>4.12e-4</td><td>1.78e-3</td><td>3.06e-4</td></tr><tr><td>cvg index</td><td>-3.74</td><td>-3.64</td><td>-3.82</td><td>-3.65</td><td>-3.90</td></tr><tr><td>4 (32*96)</td><td>8.02e-5</td><td>3.88e-5</td><td>2.93e-5</td><td>1.42e-4</td><td>2.05e-5</td></tr><tr><td>cvg index</td><td>-3.48</td><td>-3.00</td><td>-3.04</td><td>-3.44</td><td>-3.53</td></tr><tr><td>5 (64*192)</td><td>7.20e-6</td><td>4.85e-6</td><td>3.57e-6</td><td>1.31e-5</td><td>1.77e-6</td></tr></tbody></table>

D'autres travaux de qualification / validation Navier-Stokes : THI (turbulence homogène et isotrope), Taylor-Green Vortex sur tétra et prismes, sillages instationnaires de profils oscillant en translation et rotation (Workshop HO CFD)

Références : AIAA Papers, Proceedings d'ECCOMAS CFD Glasgow 2018 (Chairman de session CFD High Order).

Archive personnelle sur Researchgate LeGouez

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2 stencils centrés sur chaque cellule de part et d'autre d'une interface : rouge/vert

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Ecoulement de Ringleb, maillage de degré 4, Equations d'Euler

Champ de pression reconstruit (1 polynôme par cellule) qui sert pour l'intégrale de force sur les faces et champ analytique

### FV NXO method : Reconstruction and projection

$$ \phi_a(X, Y, Z) = a_{ijk} X^i Y^j Z^k $$

$$ \psi = \sum_{s=1}^{n_s} \sigma_s \left( \Omega_{c(s)} \bar{\phi}_c(s) - \int_{\Omega_{c(s)}} \phi_a(X, Y, Z) dV \right)^2 $$

Reconstruction error functional ns = Stencil size : nb of monomials + 50%

1/ Reconstruction in Left stencil centred on L

$$ \frac{\partial \psi}{\partial a_{ijk}} = \sum_{s=1}^{n_s} \sigma_s \left( -2\Omega_{c(s)} \mathfrak{R} \left( a_{ijk} \bar{\phi}_c(s) + 2 \mathfrak{R} \left( a_{ijk} \right)^2 \right) + 2 \mathfrak{R} \left( a_{ijk} \right) \sum_{\{ijk\}=\{ijk'\}} \mathfrak{R} \left( a_{ijk'} \right)^2 \right) = 0 $$
$$ M_{ijk},_{c(s)} \bar{\phi}_c(s) + A_{ijk},_{i'j'k'} a_{ijk'} = 0 \quad \Rightarrow \quad a_{ijk} = \kappa_{ijk},_{c(s)} \bar{\phi}_c(s) $$

$$ \hat{\phi}_L = \frac{1}{S_{LR}} \int_{\partial \Omega_{LR}} \phi_a(X, Y, Z) dS = \frac{\int_{\partial \Omega_{LR}} a_{ijk} = v_{ijk} a_{ijk}}{S_{LR}} $$

$$ \hat{\bar{\phi}}_L = \frac{1}{S_{LR}} \int_{\partial \Omega_{LR}} \bar{\phi}_a(X, Y, Z) dS = (i v_{i-1,jk} \bar{e}_X + j v_{j-1,ik} \bar{e}_Y + k v_{k-1,jl} \bar{e}_Z) a_{ijk} = \bar{n}_{ijk} a_{ijk} $$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

$$ \hat{\phi}_l = \sum_{c=1}^{n_s} \lambda_c \bar{\phi}_c $$

$$ \hat{\bar{\phi}}_l = \sum_{c=1}^{n_s} \bar{\mu}_c \bar{\phi}_c $$

$$ \mathfrak{R} \left( a_{ijk} \right)^2 = \int_{\Omega_c} X^i Y^j Z^k dV $$

Volume moment of order ijk

$$ \hat{\phi}_L = v_{ijk} a_{ijk} = v_{ijk} K g_{ijk}, c \bar{\phi}_c = \lambda \bar{\phi}_c $$
$$ \hat{\bar{\phi}}_L = \bar{n}_{ijk} a_{ijk} = \bar{n}_{ijk} K g_{ijk}, c \bar{\phi}_c = \bar{\mu} \bar{\phi}_c $$

Également l'intégrale de surface curviligne du flux d'un vecteur $[F, G]^T$ s'écrit comme une combinaison linéaire des champs discrets intégraux VF (Option : schéma centré de reconstruction de densités de flux).

$$ \hat{\phi} = \int_{S} (F v_{X} + G v_{Y}) dS = \sum_{c \in S} (\lambda_{x,c} \bar{F}_{c} + \lambda_{y,c} \bar{G}_{c}) $$

Solveur couplé RANS sur maillages Q2/Q3 superposés : primal & duaux fusionnés, stencils composites.

Objectifs : Robustesse, compacité en mémoire, solutions multiples décalées couplées.

Structure HPC modulaire MPI / OpenMP / AVX, partitionnement du maillage fusionné.

Participation au workshop « High Lift Prediction » 4 (2021-2022). Utilisation en VF k-exact (1 ddl/eqn) de maillages Q2 prévus pour les codes par élément : DG, FR/CPR (8 à 27 ddl/eqn). 3 à 30 Millions de cellules (norme pour les codes VF 2nd ordre : 300 à 500).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Maillage « primal » multi-éléments</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Cas-test CRM High Lift</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Trace sur l'aile des maillages Q2 duaux, respectivement par arête, nœud, face</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Blocs superposés de mailles de 2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Convergence des efforts simultanée sur 4 maillages</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Champ de nombre de Mach affiché sur le maillage dual cell-vertex : incidences 7° et 19.47°</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Coupe à travers les 4 maillages actifs : Vorticité (si ω>4)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Solutions simultanées sur 4 maillages</figcaption></figure>

<caption>Champs d'entronie à la paroi pour 2 incidences : 7° et 19.47°. Valeurs élevées : iso rounds.</caption>

## Métriques d'ordre élevé : Intégrales curvilignes de volume et de surface des monômes de la base de reconstruction (4 à 35 monômes pour les degrés 1 à 4). Nécessaires pour la reconstruction par moindres carrés pondérés.

Les cellules peuvent avoir des formes très complexes (en particulier les maillages duaux centrés nœuds, arêtes, faces). La représentation informatique dite NGON (nombre arbitraire de faces tri ou quad curvilignes). **Seules les intégrales de surface** sont calculées numériquement, les intégrales de volume en sont déduites par le théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) : si n=i+j+k,

$$ \mathfrak{R} \left( a_{ijk} \right)^2 = \int_{\Omega_c} X^i Y^j Z^k dV \quad \text{est égal au bilan du flux des monômes de degré} $$

$$ \text{supérieur } n+1 \text{ (i=i+1 ou j= j+1 ou k=k+1) : } \quad \tilde{M} \{ijk\} = \iint_{\partial \Omega_{lr}} X^i Y^j Z^k \bar{v} dS $$

Quantification des erreurs dues aux expressions non linéaires des flux en fonction des champs de variables conservatives reconstruits.

Convection du vortex isentropique de Yee, solution analytique.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Convergence en maillage et avec le degré de reconstruction de l'erreur quadratique sur les intégrales de flux normaux. A partir des expressions analytiques, on calcule numériquement avec une grande précision les valeurs moyennes par cellule des variables conservatives et les intégrales de flux normaux sur chaque interface.

Les tables de coefficients de combinaison linéaire par stencil fournissent les champs de variables conservatives moyennes par interface, les fonctions de flux fournissent alors les flux numériques moyens sur ces interfaces. Participation au Workshop HO CFD 3.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Ordre de réduction de l'erreur sur un maillage modes</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Convergence en maillage reconstruction k5</figcaption></figure>

<caption>Décomposition de la solution reconstruite en</caption>

Formulation **chimère d'ordre élevé** utilisant le même formalisme : Projection en volume d'un maillage recouvrant sur un autre.

Projet SAFRAN « Cœurs numériques 2020 » : Vortex de Yee avec maillages partiellement mobiles

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Profil de pression instationnaire sur les sondes, degrés</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Champ de pression final, moyen par cellule et reconstruit, sur maillage grossier et moyen</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Champ final de vecteurs vitesse reconstruit k1 et k7</figcaption></figure>