# Sur l'analyse factorielle des proximités

J. P. Benzécri

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J. P. Benzécri. Sur l'analyse factorielle des proximités. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (4), pp.235-282. hal-04085239

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# SUR L'ANALYSE FACTORIELLE DES PROXIMITÉS

J. P. BENZÉCRI

## I - Introduction

L'objet de l'analyse factorielle est d'élaborer et de figurer géométriquement, dans un espace euclidien de faible dimension, les informations les plus diverses. D'un ensemble de points (nous dirons un "nuage") d'un espace euclidien de dimension élevée, on passe à une figure approximativement isométrique, par projection orthogonale sur le sous-espace engendré par les premiers axes principaux d'inertie du "nuage". Nous étudions ici un nouveau domaine d'application de l'analyse factorielle.

Il arrive que l'expérimentation permette de définir, entre deux éléments quelconques i et j d'un ensemble fini I, un indice de proximité $r(i, j)$ : e. g. la probabilité que deux objets soient confondus. La fonction $r(i, j)$ se comporte à l'inverse d'une distance : elle décroft quand i et j s'éloignent : il est naturel de chercher à définir sur I une vraie distance $d(i, j)$ satisfaisant à l'inégalité du triangle et telle que :

$$ \forall (i, j, i', j') : r(i, j) < r(i', j') \iff d(i', j') < d(i, j). $$

Pour la représentation intuitive de cette distance, il est avantageux qu'elle puisse être ainsi définie : sur une droite, ou à défaut dans un plan, dans l'espace à 3 dimensions, ... on a des points $M_i$, ($i \in I$), dont les distances $||M_i M_j||$, varient en sens inverse des proximités $r(i, j)$.

Des recherches sur ce problème ont conduit R. N. Shepard (cf. [1], [2], [3]) à une remarquable découverte géométrique, qu'il a publiée sans démonstration, mais avec un grand nombre d'exemples à l'appui : soit une figure (de la droite, du plan, de l'espace,
ou plus généralement de $E^p$) comprenant un assez grand nombre N de points $M_i$ (N grand vis-à-vis de n) : il est possible de retrouver approximativement (à un coefficient près) les distances entre les $M_i$, d'après la seule connaissance des inégalités entre ces distances : i, e. si l'on sait pour tout i, j, i', j' laquelle des deux inégalités est satisfaite

$$ \| M_i M_j \| < \| M_i, M_j, \| \text{ ou } \| M_i, M_j, \| < \| M_i, M_j, \| $$

Shepard donne une construction qui permet, étant donné les inégalités, de reconstruire complètement (approximativement) la figure des $M_i$ et même de retrouver la dimension p, si celle-ci est inconnue.

En appliquant cette construction à un système d'inégalités (provenant par exemple de mesures de proximité, et non d'une figure euclidienne), Shepard obtient en général une figure de faible dimension, qui satisfait, à quelques exceptions près, aux inégalités de départ.

Voici le lien de la construction avec l'analyse factorielle : on part d'une figure de points $M_i$, satisfaisant aux inégalités données, mais située dans un espace de dimension élevée ; par de petites déformations successives, on aplatit le nuage des $M_i$, en conservant à peu près les inégalités : on fait alors une analyse factorielle du nuage, qui est projeté sur le sous-espace engendré par les premiers axes factoriels.

Nous exposons ici la théorie de Shepard, en démontrant une partie des propriétés qu'il a remarquées, ce qui fournit aussi une construction plus simple. Etant donné, pour une figure de N points $M_i$ dans $E^n$, les rangs $r_{ij}$, de 1 à $N(N-1)/2$, des distances $\| M_i M_j \|$ (rangées par ordre décroissant) on a une formule (approchée !) pour calculer (à un coefficient constant près) les $\| M_i M_j \|$ en fonction des $r_{ij}$. Ceci permet, en général, étant donné les $r_{ij}$ d'une figure plane, de reconstruire à peu près cette figure, en peu de temps, avec un compas. L'on peut même, étant donné un nuage de quelques points dans $E^n$, en construire la projection sur le plan des deux premiers axes factoriels, à l'aide des seuls rangs $r_{ij}$ des distances : on a ainsi des résultats de l'analyse factorielle une première approximation.

Voici le plan de cet article : Le § II a un caractère technique ; on reprend la théorie des axes principaux d'inertie dans le cas général, non-classique, où la forme quadratique donnant la métrique de l'espace ambiant peut être dégénérée. Le n° 5 du § II, étudie un problème d'approximation, qui intervient dans la suite. Le § III expose, aussi complètement qu'il nous est possible, la théorie
de Shepard. Le n° 5 du § III annonce deux théorèmes de nature probabiliste qui sont actuellement la justification la plus précise comme du succès de l'analyse factorielle des proximités. On en déduit au n° 6 du § III une construction très simple, illustrée de deux exemples. Les démonstrations de nos deux principaux théorèmes seront publiées ultérieurement dans cette même revue : il y sera fait usage du n° 5 du § II.

## II - Préliminaires algébriques

### 1. Notations et rappel.

Dans la suite, un élément d'un espace vectoriel sera appelé indifféremment point ou vecteur et noté soit d'une lettre : M, x,..., soit de deux lettres surmontées d'une flèche : $\overrightarrow{AB} = B - A$.

Le dual $X^*$ d'un espace vectoriel X est l'ensemble des formes linéaires sur X ; si X est de dimensions finie, on a : $X^{**} = X$. Une forme quadratique(1), ou forme bilinéaire symétrique s sur X

$$s(x, y) = s(y, x)$$

définit une application, notée aussi s, de X dans $X^*$ ; la forme linéaire $s(x)$ est caractérisée par

$$\forall y \in X : s(x, y) = s(x) (y).$$

s est dite positive si, quel que soit x, $s(x', x) \ge 0$ ; s est définie si, quel que soit x, $s(x) \ne 0$. x et y sont dits s-conjugués si $s(x, y) = 0$ ; deux sous-espaces A et B sont s-conjugués si tout $a \in A$ est s-conjugué de tout $b \in B$.

### 2. Nuage et facteurs.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur R. Un système fini de masses ponctuelles positives, ou "nuage" dans E, est un ensemble fini de points $M_i \in E$, affectés de masses positives $m_i$ ; on le note

$$\{M_i, m_i\}_{i \in I} \subset E$$

<footnote>(1) Nous nous écartons de la notation commune qui appelle forme quadratique la fonction $s(x, x)$ sur X.</footnote>
où I est un ensemble d'indices. On définit :

- la masse totale du nuage

$$m = \sum_{i \in I} m_i$$

- le centre de gravité du nuage

$$G = \frac{1}{m} \sum_{i \in I} m_i M_i ; \text{ i. e. } \vec{OG} = \frac{1}{m} \sum_{i \in I} m_i \vec{OM}_i$$

- le support affin A du nuage : c'est le plus petit sous-espace linéaire (ne contenant pas nécessairement O) de E, qui contienne tous les $M_i$ ; on a : $G \in A$.

- la direction S du support affin : c'est le sous-espace vectoriel de E, mené par l'origine parallèlement à A. Les vecteurs $\vec{GM}_i$ engendrent S.

- la forme quadratique d'inertie du nuage, forme quadratique sur $E^*$

$$\forall u, v \in E^* : \mu(u, v) = \sum_{i \in I} m_i u(\vec{GM}_i) v(\vec{GM}_i)$$

$$\forall u \in E^* : \mu(u) = \sum_{i \in I} m_i u(\vec{GM}_i) . \vec{GM}_i \in S \subset E.$$

$\mu(u)$ et $\mu(u, v)$ sont bien déterminés si on connaît les restrictions à S des formes linéaires u et v. Notons $\rho$ l'application restriction de $E^*$ sur $S^*$, on définit la forme quadratique $\hat{\rho}$ sur $S^*$

$$\forall u, v \in E^* : \hat{\rho}(\rho u, \rho v) = \mu(u, v)$$

$$\forall u \in E^* : \hat{\rho}(\rho u) = \mu(u) \in S$$

$\hat{\rho}$ est définie positive ; on a les équivalences

$$(\mu(u, u) = 0) \iff (\mu(u) = 0) \iff (\hat{\rho}(\rho u) = 0) \iff (\rho u = 0).$$

$\hat{\rho}$ n'est autre que la forme quadratique d'inertie du nuage dans S

$$\{\vec{GM}_i, m_i\}_{i \in I} \subset S$$

Si E est un espace euclidien, il s'identifie canoniquement à son dual : à un vecteur $x \in E$, correspond la forme linéaire : produit
scalaire par x. Cette identification faite, μ est une application linéaire de E dans E. Soient u, v deux vecteurs unitaires ; notons encore u, v les formes linéaires correspondantes ; et notons H, K les deux hyperplans d'équation u(x) = 0 et v(x) = 0. Le scalaire μ(u,u) (resp. μ(u,v)) est le moment d'inertie (resp. produit d'inertie) du nuage par rapport à H (resp. à H et K). Soit

$$u \text{ unitaire ; } \mu(u) = \lambda y,$$

u définit un axe principal d'inertie du nuage, relatif au moment principal d'inertie λ. On appelle u un vecteur axial factoriel, et la forme linéaire u(x), un facteur du nuage. E peut être rapporté à une base orthonormée de vecteurs axiaux factoriels (base unique au signé près des vecteurs si les valeurs propres de μ sont simples) : les coordonnées relatives à cette base sont des facteurs du nuage.

Si E est muni d'une forme quadratique q, non-nécessairement définie ni positive, on pose : s est vecteur axial factoriel relatif au moment principal λ si

$$\mu \circ q(s) = \lambda s ; q(s, s) = 1 ;$$

u est un facteur du nuage, relatif à λ si

$$q \circ \mu(u) = \lambda u ; \mu(u, u) = \lambda.$$

Un vecteur axial factoriel relatif à $\lambda \neq 0$ est inclus dans S

$$s = \frac{1}{\lambda} \mu \circ q(s) \in S.$$

Un facteur u relatif à $\lambda \neq 0$ (i. e. un facteur $\neq 0$) est déterminé par sa restriction $\rho u$ à S

$$u = \frac{1}{\lambda} q \circ \hat{\mu}(\rho u) ;$$

Un tel facteur u est nul pour tout vecteur x q-conjugué de S

$$(\forall y \in S : q(x, y) = 0) \implies (u(x) = \frac{1}{\lambda} q(\mu(u), x) = 0).$$

Il est équivalent de rechercher les facteurs ou les vecteurs axiaux factoriels (relatifs à $\lambda \neq 0$)
$$ (\mu \circ q(s) = \lambda s \neq 0) \implies (q \circ \mu(q(s)) = \lambda q(s) \neq 0) $$

$$ (q \circ \mu(u) = \lambda u \neq 0) \implies (\mu \circ q(\mu(u)) = \lambda \mu(u) \neq 0). $$

Soit la suite des valeurs propres non-nulles de $\mu \circ q$ (ou de $q \circ \mu$)

$\mu_1, \dots, \mu_h, \dots, \mu_p ; \text{ et } : r_1, \dots, r_h, \dots, r_p,$

leurs ordres de multiplicité. Notons $E_h$ le sous-espace propre de $\mu \circ q$ relatif à la valeur propre $\mu_h$ ; notons

$$ S_o = \{x \mid x \in S ; \forall y \in S : q(x,y) = 0\}. $$

On a la décomposition en somme directe

$$ S = S_o \oplus E_1 \oplus \dots \oplus E_h \oplus \dots \oplus E_p. $$

(On le démontre en considérant dans $S$ la forme quadratique définie positive $\hat{\alpha}^{-1}$, et la forme quadratique $\hat{q}$-restriction de $q$).

Notons

$$ E_+ = \bigoplus_{h=1,...,p} E_h $$

$$ E_o = \{x \mid \forall y \in E_+ : q(x,y) = 0\}. $$

La restriction de $q$ à $E_+$ étant définie, $E_o$ est un supplémentaire de $E_+$ ; on a

$$ \mu \circ q(E_o) \subset S_o ; \mu \circ q \circ \mu \circ q(E_o) = 0. $$

$E$ est somme directe de $E_o$, et des $E_h$, de dimension $r_h$. De même

$$ E^* = \bigoplus_{h=0,...,p} E_h^* $$

$$ E^* = \{u \mid (x \in E_+) \implies (u(x) = 0)\} $$

$$ E_h^* = q(E_h) ; h = 1, \dots, p. $$

Les $E_h^*(h \neq 0)$ sont sous-espaces propres de $q \circ \mu$ relatifs aux valeurs propres $\mu_h$ et

$$ \mu \circ q \circ \mu (E_o^*) = 0 ; \mu(E_o^*) \subset S_o. $$
Dans chaque $E_h$ (resp $E_h^*$), $h \neq 0$, on peut choisir une base de vecteurs axiaux factoriels $s_{h,1}, \dots, s_{h,r_h}$ (resp. de facteurs $u_{h,1}, \dots, u_{h,r_h}$) ; avec

$$q(s_{h,k}) = u_{h,k}; \mu(u_{h,k}) = \mu_h \cdot s_{h,k}.$$

Dans le n° suivant q est supposée positive (non-nécessairement définie).

### 3. Une propriété extrémitale.

On appelle *moment d'inertie total* du nuage (pour la forme quadratique $q$) la somme $\mu_T$

$$ 
\begin{align*}
M_T &= \sum_{i \in I} m_i q(\vec{GM}_i, \vec{GM}_i) \\
&= \frac{1}{2m} \sum_{i \in I, j \in I} m_i \cdot m_j \cdot q(M_i \vec{M}_j, M_j \vec{M}_i) \\
&= \sum_{h=1, \dots, p} r_h \mu_h
\end{align*}
$$

Soit $u_{h,k}$ un facteur relatif au moment $\mu_h$ ; on a

$$\mu_h = \sum_{i \in I} m_i (u_{h,k} (\vec{GM}_i))^2,$$

autrement dit, $\mu_h$ est le moment d'inertie total du nuage

$$\{u_{h,k}(M_i), m_i\} \subset \mathbb{R},$$

pour la forme quadratique : carré du module.

Notons

$$r = \sum_{h=1, \dots, p} r_h ;$$

et réindexons en

$$u^1, u^2, \dots, u^m, \dots, u^r$$

la suite ordonnée de facteurs

$$u_{1,1}, \dots, u_{1,r_1}, \dots, u_{h,k}, \dots, u_{p,p},$$

(suite unique à une "rotation" près de ceux qui correspondent au même moment $\mu_h$). De plus
si $\overline{u}^l = u_{h,k}$ on posera $\mu^l = \mu_h$.

Soit $f^m$ l'application de $E$ dans $R^m$ définie par

$$f^m(x) = (u^1(x), \dots, u^l(x), \dots, u^m(x));$$

$R^m$ étant muni de la norme euclidienne usuelle, $\| \cdot \|$ on a

$$\forall x \in S : \| f^m(x) \|^2 \le q(x, x).$$

Le nuage $\{f^m(M_i), m_i\} \subset R^m$, a pour vecteurs axiaux factoriels les vecteurs de la base canonique de $R^m$, avec pour moments d'inertie principaux des $\mu^l$ ($l = 1, \dots, m$). Le moment d'inertie total du nuage est

$$\mu_r^m = \mu^1 + \dots + \mu^m.$$

Pour toute application linéaire $f$ de $E$ dans $R^m$ telle que

$$\forall x \in S : \| f(x) \|^2 \le q(x, x)$$

le moment d'inertie total du nuage $\{f(M_i), m_i\} \subset R^m$, est inférieur ou égal à $\mu_r^m$.

Si les $r_h$ sont égaux à 1 (ou seulement si le moment $\mu^m$ est différent de $\mu^{m+1}$) l'application $f^m$ qui réalise l'extremum est l'unique à le faire, à une isométrie près de $R^m$. Sinon, l'on dépend du choix des bases $u_{h,k}$ dans $E_h^*$.

Pour $m=r$, l'application $f^r$ est une isométrie du nuage des $M_i$ ; l'on a

$$\forall i, j \quad \| f^r(\overrightarrow{M_i M_j}) \|^2 = q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j}),$$

Ainsi, quand $m$ varie de 0 à $r$, l'application $f^m$ révèle progressivement, et à chaque pas, le mieux possible compte tenu de la dimension imposée $m$, la structure métrique du nuage (pour la semi-norme $\sqrt{q(x, x)})$. Quand, par le calcul numérique, on détermine la suite des $u^l$, dans l'ordre décroissant des moments $\mu^l$, on extrait, en quelque sorte, cette structure : d'où le nom d'extraction des facteurs qui désigne communément ce calcul.
### 4. Méthodes de calcul.

Pratiquement, l'espace ambiant E, muni de coordonnées, est identifié à $\mathbb{R}^n$. Les points $M_i$ sont donnés par leurs coordonnées

$$M_i = (x_i^1, \dots, x_i^n).$$

D'où le centre de gravité G et la matrice de forme quadratique d'inertie, $\mu$

$$G = (x_G^1, \dots, x_G^n); \quad m_i x_G^k = \sum_{i \in I} m_i x_i^k;$$

$$\mu^{kl} = \sum_{i \in I} m_i (x_i^k - x_G^k) (x_i^l - x_G^l).$$

La forme quadratique q est donnée par une matrice $q_{kl}$.

Pour déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice $q \circ \mu$, on procède classiquement par itération simple pour le premier, itération et orthogonalisation par rapport à q pour les suivants. $u^0$ étant un vecteur initial quelconque, on construit la suite $u^n = (q \circ \mu)^n u^0$, et l'on s'arrête pour normaliser quand la suite des $u^n$ est stationnaire en direction en posant

$$\tilde{\mu}_1 = \sqrt{\frac{\mu(u^n, u^n)}{\mu(u^{n-1}, u^{n-1})}} ; \quad \tilde{u}_1 = \frac{u^n}{V_\mu(u^{n-1}, u^{n-1}) \cdot \mu(u^n, u^n)}.$$

Les s premiers facteurs : $\tilde{u}_1, \dots, \tilde{u}_s$ étant extraits, on construira, pour déterminer le suivant, la suite des $v^n$ :

$$w^n = q \circ \mu (v^{n-1}) ; \quad v^n = w^n - \frac{\mu(\tilde{u}_1, w^n)}{\tilde{\mu}_1} \tilde{u}_1 - \dots - \frac{\mu(\tilde{u}_s, w^n)}{\tilde{\mu}_s} \tilde{u}_s$$

Il peut arriver que les points $M_i$, peu nombreux, soient donnés dans un espace $\mathbb{R}^n$ de dimension très élevée : le support S étant de dimension au plus égale au nombre des $M_i - 1$, on a avantage à calculer dans S ; toutefois, par raison de symétrie, on peut préférer une autre méthode qui repose sur la remarque suivante.

Soit $l$ une application linéaire de E', muni d'une forme quadratique q', dans E muni d'une forme quadratique q. On considère deux nuages, image l'un de l'autre par $l$

$$\{M_i^l ; m_i\} \subset E' ; \{M_i\} = l(M_i^l) ; m_i\} \subset E,$$

et leurs formes quadratiques d'inertie, $\mu'$ et $\mu$. Si l'on a
$$ \forall i, j \in I : q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j}) = q'(\overrightarrow{M_i' M_j'}, \overrightarrow{M_i' M_j'}) $$

(quel que soit, en dehors des directions S et S' des supports de nuages, le comportement des formes quadratiques q et q'), alors les vecteurs axiaux factoriels s et s', et les restrictions ρu' et ρu aux supports des facteurs u, u' des nuages se correspondent par

$$ l(s') = s' ; \forall x' \in S' : u'(x') = u(l(x')). $$

Considérons donc dans $R^I$ le nuage des points $e_i$ (vecteurs de base)

$$ \{e_i ; m_i\}_{i \in I} \subset R^I, $$

et la forme quadratique q' (non positive)

$$ \forall i, j \in I \times I : q'_{ij} = q(e_i, e_j) = -\frac{1}{2} q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j}) ; $$

q' est choisie aussi simple que possible et telle que

$$ \forall i, j \in I \times I : q'(e_i - e_j, e_{i-} - e_{j-}) = q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j}) . $$

Il suffit de considérer l'application linéaire $l$

$$ l(e_i) = M_i ; l(0) = 0 $$

de $R^I = E'$ dans E, pour voir d'après la remarque, que les facteurs du nuage des $M_i$ correspondent à ceux du nuage des $e_i$ ; facteurs dont la détermination est simple car

$$ \mu'^{ij} = - \frac{m_i m_j}{m} \quad \text{si } i \neq j ; \quad \mu'^{ii} = m_i^2 - \frac{m_i^2}{m} $$

Si les $\tilde{u}_h'$ sont les facteurs extraits pour le nuage des $e_i$, on aura pour les $M_i$

$$ \tilde{u}_h(\overrightarrow{GM_i}) = \tilde{u}_h'(e_i - g) ; \text{où } mg = \sum_i m_i e_i . $$

Notons qu'en vue de calculer la valeur d'un facteur u en un point $x \in E$, l'on pourra librement ajouter à x un vecteur y q-conjugué de S, i. e. tel que

$$ \forall i, j : q(\overrightarrow{M_i M_j}, y) = 0. $$
Il importe enfin de savoir quand arrêter l'extraction des facteurs ;
en l'absence de test, il n'y a pas de règle absolue : on peut s'arrê-
ter au plus petit entier m tel que

a) $\mu_T^m$ diffère peu de $\mu_T$

b) $\mu^{p+1}$ soit notablement inférieur à $\mu^m$.

On sait alors que $f^m$ (cf. N° 3) rend bien compte de la métrique du nuage, et que l'extraction d'un m+1-ème facteur apporterait moins d'information que n'en a apporté le m-ème. On peut aussi, en dehors des mathématiques, considérer l'interprétation éventuelle des facteurs dans le domaine auquel on applique l'analyse factorielle.

**5. Un problème d'approximation.**

Soit dans $\mathbb{R}^p$, muni de la norme euclidienne usuelle, m points $M_i$ dont les distances mutuelles $d_{ij} = M_i M_j$, soient approximativement connues par des nombres $d_{ij}'$. L'analyse factorielle permet une reconstruction (approchée) de la figure des $M_i$, à partir des $d_{ij}'$. Soit dans un espace vectoriel $E$, muni d'une forme quadratique $q$, m points $N_i$ tels que

$$ \forall i, j \ ! \ (d'_{ij})^2 = q(N_i, N_j, N_j, N_i) ; $$

le nuage des $N_i$, chacun affecté de la masse 1, est analysé. Soit $G$ le centre de gravité de ce nuage ; $u^1, \dots, u^s, \dots, u^p$ les p premiers facteurs extraits ; on pose

$$ M_i' = (u^1(\overrightarrow{GN_i}), \dots, u^s(\overrightarrow{GN_i}), \dots, u^p(\overrightarrow{GN_i})) \in \mathbb{R}^p, $$

la figure des $M_i'$ est approximativement égale à celle des $M_i$.

L'objet de ce numéro est d'évaluer cette approximation,
moyennant des hypothèses sur les $d_{ij}$, $d_{ji}$. Posons la

**Définition** : Supposons que le centre de gravité du nuage des $M_i$, chacun affecté de la masse 1, soit l'origine $O \in \mathbb{R}^p$. On dit que l'analyse factorielle des $d_{ij}'$ fournit une approximation d'ordre $\eta$ de la figure des $M_i$. Si l'on peut trouver dans $\mathbb{R}^p$ une base orthonormée $h_1, \dots, h_s, \dots, h_p$ telle qu'en posant

$$ \overrightarrow{OM_i''} = \sum_{s=1}^{p} u^s(\overrightarrow{GN_i}) \cdot h_s $$

on ait

$$ \forall i : \| \overrightarrow{M_i M_i''} \| \le \eta (1 + \| \overrightarrow{OM_i} \|). $$
Nous démontrons, au moyen d'une suite de lemmes, le

**Théorème 1**<sup>(1)</sup>: Disons que les points $M_i$ et les $d'_{ij}$ satisfont à la condition $(\epsilon, p, a, A)$ (où $a > 0$) si

$$ \forall i, j : |d'_{ij} - d_{ij}| < \epsilon $$

$$ \forall j : m a \le \mu^s \le m A $$

(où $\{\mu^s\}$ est la suite des moments d'inertie principaux du nuage des $M_i$, chacun affecté de la masse 1).

On peut, étant donnés $p, a, A, \eta$ déterminer $\epsilon$ tel que, quel que soit $m$, la condition $(\epsilon, p, a, A)$ implique que l'analyse factorielle fournit une approximation d'ordre $\eta$. (plus précisément, il résultera des calculs que pour $p, a, A$ donnés et $\eta$ assez petit, $\epsilon$ peut être choisi proportionnel à $\eta$ :

$$ \epsilon = \varphi(a, A, p) \quad \eta). $$

Pour démontrer qu'une approximation est d'un certain ordre, nous utiliserons le lemme 2, lui-même corollaire facile du lemme 1.

**Lemme 1 :** Appelons base $\epsilon$-orthonormée une base

$$ \{x(1), \dots, x(s), \dots, x(p)\} $$

de $\mathbb{R}^p$ telle que

$$ \forall r, s : |\langle x(r), x(s) \rangle - \delta_r^s| < \epsilon $$

(où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire ordinaire, et $\delta_r^s$ le symbole de Kronecker nul sauf si $r=s$, cas où il vaut 1). Il existe une constante $K_p$, ne dépendant que de la dimension $p$, telle que pour toute base $\{x(s)\} \in$-orthonormée, on puisse trouver une base orthonormée $h_s$ avec

$$ \forall s : \|h_s - x(s)\| < K_p \epsilon. $$

Le lemme se démontre, par récurrence sur $p$, en construisant $\{h_s\}$ à partir de $\{x(s)\}$ par le procédé d'orthogonalisation de Schmidt.

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(1) Ce théorème joue un rôle fondamental pour justifier l'emploi de l'analyse factorielle dans la théorie de Shepard, exposée au § III. Il y sera fait référence au § III n° 6 et à la fin des démonstrations de nos théorèmes du § III, dans un texte que cette revue publiera ultérieurement.
**Lemme 2 :** On conserve les notations de la définition. Supposons qu'il existe une base $\epsilon$-orthonormée $\{x(s)\}$ telle que

$$ \forall i, s : |u^s(GN_i) - \langle x(s), \overrightarrow{OM_i} \rangle| < \epsilon(1 + \|\overrightarrow{OM_i}\|) $$

L'analyse factorielle fournit une approximation d'ordre

$$ \epsilon \times p \times (1 + K_p). $$

Preuve : Soit $\{h_s\}$ une base orthonormée telle que

$$ \| h_s - x(s) \| < K_p \epsilon ; $$

on a

$$ \forall i, s : |u^1(GN_i) - \langle h_s, \overrightarrow{OM_i} \rangle| < \epsilon(1 + \|\overrightarrow{OM_i}\|) + K_p \epsilon \|\overrightarrow{OM_i}\|. $$

$$ \forall i : \sum_s u^s(GN_i) h_s - \overrightarrow{OM_i} < \epsilon [1 + \|\overrightarrow{OM_i}\|] \times p \times (1 + K_p) $$

D'après la remarque faite au n° 4, l'analyse factorielle faite ne dépend pas du choix particulier de E, des $N_i$, et de q, pourvu que les $q(N_i \overrightarrow{N}_j, N_i \overrightarrow{N}_j)$ soient égaux aux carrés des distances approchées. Pour étudier l'approximation obtenue, nous ferons de E, des $N_i$ et de q un choix qui suppose la connaissance préalable des $M_i$ : ce choix, impossible dans les applications, est commode pour évaluer théoriquement les erreurs faites.

On pose $E = \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^m$ ; et, la base de $\mathbb{R}^p$ (resp. $\mathbb{R}^m$) étant notée $\{a_s\}$ (resp. $\{e_i\}$), on pose

$$ N_i = (M_i, e_i) ; \text{où } M_i = \sum_{s=1}^{p} x_i^s a_s. $$

E est muni d'une forme quadratique q pour laquelle $\mathbb{R}^p$ et $\mathbb{R}^m$ sont conjugués, sa restriction à $\mathbb{R}^p$ étant la norme usuelle, tandis que la norme sur $\mathbb{R}^m$ est choisie pour réaliser les distances entre les $N_i$. On a donc (cf. n° 4)

$$ \forall r, s : q(a_r, a_s) = \delta_r^1 $$

$$ \forall i, s : q(e_i, a_s) = 0 $$

$$ \forall i, j : q(e_i, e_j) = q_{ij} = - \frac{1}{2} [(d_{ij})^2 - (d_{ji})^2]. $$

ou, sous forme matricielle
$$ q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{array}{l} 0 \quad \dots \quad q_{1i} \quad \dots \quad q_{1j} \quad \dots \quad q_{1m} \\ q_{1i} \quad \dots \quad 0 \quad \dots \quad q_j \quad \dots \quad q_m \\ q_{1j} \quad \dots \quad q_{ij} \quad \dots \quad 0 \quad \dots \quad q_{jm} \\ q_{1m} \quad \dots \quad q_{im} \quad \dots \quad q_{jm} \quad \dots \quad 0 \end{array} $$

Pour écrire la matrice d'inertie $v$ du nuage des $N_i$, on suppose que le centre de gravité du nuage des $M_i$, chacun affecté de la masse 1, est à l'origine, et que $R^p$ est rapporté à un système d'axes principaux d'inertie de ce nuage, dont les moments sont notés $\mu^1, \dots, \mu^s, \dots, \mu^p$. En reprenant les calculs du n° 4, il vient

$$ v = \begin{array}{c} \mu^1 \quad 0 \quad x_1^1 \quad \dots \quad x_i^1 \quad \dots \quad x_j^1 \quad \dots \quad x_m^1 \\ 0 \quad \mu^s \quad x_1^s \quad \dots \quad x_i^s \quad \dots \quad x_j^s \quad \dots \quad x_m^s \\ \mu^p \quad 0 \quad x_1^p \quad \dots \quad x_i^p \quad \dots \quad x_j^p \quad \dots \quad x_m^p \\ \hline \dots \quad x_1^s \quad \dots \quad 1 - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \\ \dots \quad x_i^s \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad 1 - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \\ \dots \quad x_j^s \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad 1 - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \\ \dots \quad x_m^s \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad - \frac{1}{m} \quad \dots \quad 1 - \frac{1}{m} \end{array} $$

La matrice de $v \circ q$ (dont la transposée est $q \circ v$) s'écrit
<table><tr><td>μ¹</td><td>O</td><td>α¹</td><td>...</td><td>α¹</td><td>...</td><td>α¹</td></tr><tr><td>O</td><td>μs</td><td>αs</td><td>...</td><td>αs</td><td>...</td><td>αs</td></tr><tr><td></td><td>μp</td><td>αp</td><td>...</td><td>αp</td><td>...</td><td>αp</td></tr></table><table><tr><td>x¹</td><td>...</td><td>x¹</td><td>...</td><td>x¹</td><td>...</td><td>x¹</td></tr><tr><td>xᵢ</td><td>...</td><td>xᵢ</td><td>...</td><td>xᵢ</td><td>...</td><td>xᵢ</td></tr><tr><td>xₘ</td><td>...</td><td>xₘ</td><td>...</td><td>xₘ</td><td>...</td><td>xₘ</td></tr></table>

où les nombres $α_s^j$, $β_i^j$ sont définis par les formules

$$α_s^j = \sum_{i=1}^{m} x_{ij}^s q_{ij}$$

$$β_i^j = q_{ij} - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} q_{kj}.$$

En complétant les notations résultant du choix de E, des $N_i$ et de q, on peut énoncer le

**Lemme 3 :** Soit

$$z = (x ; y) = (x^1, \dots, x^s, \dots, x^p ; y^1, \dots, y^j, \dots, y^m) \in E$$

Nous noterons

$$α = α(z) = α(x) = \sup_{s} |x^s|;$$

$$β = β(z) = β(y) = m \in \sup_j \frac{|y^j|}{(1 + d_j)},$$

où $d_j$ est la distance de $M_j$ à l'origine dans $R^p$ ;

$$\hat{z} = (\hat{x} ; \hat{y}) = (\hat{x}^1, \dots, \hat{x}^s, \dots, \hat{x}^p ; \hat{y}^1, \dots, \hat{y}^j, \dots, \hat{y}^m) = \frac{1}{m} v \circ q(z) ;$$

$$\hat{a} = α(\hat{z}) = α(\hat{x}) ; \hat{β} = β(\hat{z}) = β(\hat{y}).$$

Ceci posé, si est satisfaite la condition $(ε, p, a, A)$, on a, quels que soient m et z
$$a\alpha - B\beta \le \hat{\alpha} \le A\alpha + B\beta ;$$

$$\hat{\beta} \le \varepsilon (\alpha \sqrt{p} + C\beta),$$

où B et C ne dépendent que de A et p

$$B = \sqrt{A}, (1 + 3 \sqrt{A}p + 2 Ap) ;$$

$$C = 2 + 5 \sqrt{A}p + 3 Ap.$$

Preuve : Avec les notations adoptées ici, la condition $(\varepsilon, p, a, A)$ implique les inégalités

$$\forall i, j : |q_{ij}| \le \varepsilon \left( d_{ij} + \frac{\varepsilon}{2} \right) \le \varepsilon (1 + d_i + d_j) ;$$

$$\sum_i d_i^2 = \sum_s \mu_s \le pA_m,$$

d'où par l'inégalité de Schwartz

$$\sum_i d_i < m \sqrt{pA} ;$$

$$\forall s : \sum_i |x_i^s|^2 = \mu_s \le mA ;$$

$$\forall s : \sum_i |x_i^s| \le m \sqrt{A} ;$$

$$\forall s : \sum_i |x_i^s| d_i \le mA \sqrt{p}.$$

Ces inégalités permettent d'évaluer les composantes de $\hat{z}$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$, d'où les lemmes :

$$\hat{x}_s = \frac{1}{m} \left[ \mu^s x^s + \sum_j \alpha_s^j y^j \right]$$

$$a\alpha \le \left| \frac{1}{m} \mu^s x^s \right| \le A\alpha$$

$$\sum_j \alpha_s^j y^j = \sum_{i,j} \alpha_i^s y^j q_{ij}$$

$$\sum_j \alpha_s^j y^j \le \varepsilon \sum_{i,j} (1 + d_i + d_j) |x_i^s| \cdot \frac{\beta}{m\varepsilon} (1 + d_j)$$

$$\le \beta m \sqrt{A} (1 + 3 \sqrt{A}p + 2 Ap)$$
d'où la première des inégalités annoncées.

$$a\alpha - B\beta \leq \hat{\alpha} \leq A\alpha + B\beta ;$$

$$ \text{de même} \qquad \begin{aligned} \hat{y}_i &= \frac{1}{m} \left[ \sum_s x_i^s x^s + \sum_j \beta_i^j y^j \right] \\ \left| \sum_s x_i^s x^s \right| &\le \alpha \sum_s |x_i^s| \le \alpha \sqrt{p} d_i \\ \left| \sum_j \beta_i^j y^j \right| &= \sum_{i,j} q_{ij} y^j - \frac{1}{m} \sum_{j,k} q_{kj} y^k. \end{aligned} \\ \left| \sum_{i,j} q_{ij} y^j \right| \le \varepsilon \sum_j (1+d_i+d_j) \frac{\beta}{m\varepsilon} (1+d_j) \le \beta [1+2A \sqrt{p}+Ap+(1+\sqrt{Ap})d_i] \\ \frac{1}{m} \left| \sum_{j,k} q_{jk} y^j \right| \le \beta [1+2A \sqrt{p}+Ap+(1+\sqrt{Ap})\sqrt{Ap}] \\ \hat{y}_i \le \frac{1}{m} [\alpha \sqrt{p} d_i + \beta(2+5\sqrt{Ap}+3Ap) + \beta(1+\sqrt{Ap})d_i], \end{aligned} $$

d'où la seconde inégalité annoncée

$$\hat{\beta} \le \varepsilon [\alpha \sqrt{p} + \beta(2 + 5 \sqrt{Ap} + 3Ap)].$$

**Lemme 4 :** Posons, en conservant les notations du lemme 3

$$E_{\lambda} = \{z \mid z \in E ; \beta(z) < \lambda \alpha(z)\} :$$

(on a $E_o = R^p$, $E_\infty = R^m$) et introduisons deux nombres, fonctions de $a, A, p$, mais non de $m$

$$D = \frac{a}{2B} ; F = \frac{2\sqrt{p}}{a} + \frac{C}{B}.$$

Soit $z'$ un vecteur propre (non nul) de $v \circ q$ relatif à la valeur propre $v'$ ; si $\varepsilon < D/F$, on a les deux implications

$$(z' \in E_{EF}) \iff (v' > m \frac{a}{2})$$

$$(z' \notin E_0) \iff (|v'| < m \varepsilon \text{ BF} < m \frac{a}{2}).$$
Soit $v_1, \dots, v_h, \dots, v_k$, la suite des valeurs propres de $v \circ q$ supérieures à $m a/2$ ; la somme des multiplicités des $v_h$ est $\ge p$. (On montrera avec le lemme suivant que, pour $\epsilon$ assez petit, cette somme est égale à $p$.)

Preuve : On montre, à l'aide du lemme 3, que

$$ (z' \in E_0) \implies (z' \in E_{eF}) (v' > m a/2) $$

$$ (z' \notin E_0) \implies (|v'| < m \in B F < m a/2). $$

On a en effet (en posant $\alpha(z) = \alpha'$, $\beta(z) = \beta$ ;

$$ \alpha(v \circ q(z')) = \hat{\alpha}' = \frac{|v'|}{m} \alpha ; \quad \hat{\beta}' = \frac{|v'|}{m} \beta' $$

$$ \beta' < \alpha' a/2B \implies \hat{\alpha}' > a \alpha'/2 \implies |v'| > m a/2 ; $$

et l'on vérifie que $v' > 0$).

$$ \implies \hat{\beta}' < \varepsilon \left( \alpha' \sqrt{p} + \frac{Ca}{2B} \alpha' \right) $$

$$ \implies \frac{\hat{\beta}'}{\alpha'} = \frac{\beta'}{\alpha'} \le \varepsilon F. $$

$$ \alpha' < \frac{2B}{a} \beta' \implies \hat{\beta}' < \varepsilon \beta' \left[ \sqrt{p} \frac{2B}{a} + C \right] = \varepsilon \beta' BF $$

$$ \implies |v'| < m \in B F < m a. $$

Pour montrer que la somme des multiplicités de $v_k'$ est supérieur ou égale à $p$, il suffit de montrer qu'il existe dans $E_{eF}$ un système de $p$ vecteurs propres de $v \circ q$, deux à deux q-conjugués. Supposons déterminés s tels vecteurs non-nuls ($0 \le s < p$) : l'ensemble des vecteurs q-conjugués de ceux-ci est un sous-espace vectoriel de $E$, qui coupe $E_0 = R^p$ suivant un sous-espace vectoriel $S$ de dimension $\ge p-s$ : par itération de $v \circ q$, à partir d'un vecteur (non nul) de $S$, on a un nouveau vecteur propre de $v \circ q$ inclus dans $E_{eF}$ et conjugué des précédents. D'où par récurrence un système de $p$ vecteurs.

**Lemme 5 :** Soit $\{z(1), \dots, z(s), \dots, z(p)\}$ p vecteurs propres de $v \circ q$, deux à deux q-conjugués et tel que $q(z(s), z(s)) = 1$. Notons $z(s) = (x(s); y(s))$. Le système des $x(s)$ est $\varepsilon'$-orthonormé dans $R^p$ avec
$$ \varepsilon' = \frac{\varepsilon H}{1 - \varepsilon H} ; \quad H = F^2(1 + 4 \sqrt{pA} + 5pA + 2pA \sqrt{pA}). $$

Preuve : Il faut majorer $|\|x(s)\|^2 - 1|$ et $|<x(s), x(s')|$. On a (en posant

$$ \alpha(z(s)) = \alpha(s) ; \beta(z(s)) = \beta(s) $$

$$ q(z(s), z(s)) = 1 = \|x(s)\|^2 + \|y(s), y(s)\| $$

$$ \alpha^2(s) \le \|x(s)\|^2 \le p \alpha^2(s) $$

$$ |q(y(s), y(s))| \le \varepsilon \sum_{i,j} (1 + d_i + d_j) \frac{(1 + d_i)}{m\varepsilon} \times \frac{(1 + d_j)}{m\varepsilon} \times \beta^2(s); $$

$$ \le \frac{\beta^2(s)}{\varepsilon} [1 + 4 \sqrt{pA} + 5pA + 2pA \sqrt{pA}], $$

$$ \le \alpha^2(s) \varepsilon H ; \text{d'où} $$

$$ \alpha^2(s) \le \|x(s)\|^2 \le 1 + \alpha^2(s) H\varepsilon $$

$$ \alpha^2(s) \le \frac{1}{1 - \varepsilon H} ; \quad |\|x(s)\|^2 - 1| \le \frac{\varepsilon H}{1 - \varepsilon H} $$

et de même pour $s \ne r$

$$ |<x(s), x(r)>| = |q(y(s), y(r))| < \frac{\varepsilon H}{1 - \varepsilon H} $$

On voit maintenant pourquoi, si $\varepsilon$ est assez petit, il ne peut y avoir plus de p vecteurs propres de $v \circ q$ deux à deux q-conjugués, inclus dans $E_{\varepsilon F}$ : il en résulterait l'existence dans $\mathbb{R}^p$ d'un système $\varepsilon'$-orthonormé de plus de p vecteurs, ce qui pour $\varepsilon'$ permet être impossible. La somme des ordres de multiplicité des valeurs propres de $v \circ q$, supérieures à m/a/ est donc exactement p ; et le système des z(s) est unique, à une continuation linéaire près entre eux de ceux de ces vecteurs qui sont relatifs à une même valeur propre.

Pour ramener au lemme 2 la démonstration du théorème, il reste à établir le

**Lemme 6** : Dans les hypothèses des lemmes précédents, l'on a quel que soit $i = 1, \dots, n$, et $s = 1, \dots, p$,
reste $R(s, i) = |u^s(\vec{GN}_i) - <x(s), \vec{OM}_i>| \le \frac{\epsilon CF}{\sqrt{1 - \epsilon H}} (1 + d_i)$.

Preuve :

$$\vec{GN}_i = e_i - \sum_j \frac{1}{m} e_j$$

$$u^s(\vec{GN}_i) = q(z(s), \vec{GN}_i) = <x(s), \vec{OM}_i> + q(y(s), (e_i - \frac{1}{m} \sum e_j)).$$

$$|q(y(s), e_i)| \le \sum_{i,j} \epsilon(1 + d_i + d_j) \cdot \frac{\beta(s)}{m\epsilon} (1 + d_j) \\ \le \beta(s) [1 + 2 \sqrt{Ap} + Ap + (1 + \sqrt{Ap})d_i]$$

$$\frac{1}{m} \sum_j |q(y(s), e_j)| \le \beta(s) [1 + 3\sqrt{Ap} + 2Ap]$$

$$R(s, i) \le \beta(s) [2 + 5 \sqrt{Ap} + 3Ap + d_i(1 + \sqrt{Ap})] \\ \le \frac{\epsilon CF}{\sqrt{1 - \epsilon H}} (1 + d_i).$$

Ceci achève la démonstration du lemme 6, donc celle du théorème.

Remarque : on pourrait proposer une définition plus stricte de l'approximation d'ordre $\eta$, en ajoutant la condition suivante :

$$\forall i, j : \| M_i M_j \| - \| M_i'' M_j'' \| < \eta (1 + d_i j).$$

Mais l'on ne pourrait alors démontrer le théorème, comme on le voit sur l'exemple ci-dessous ; donc, si l'analyse factorielle est un procédé systématique pour reconstruire une figure à partir de distances entachées d'erreurs, cette reconstruction peut être moins précise que celle qu'un dessinateur obtiendrait, (si $p = 2$) en tâtonnant avec un compas !

Exemple : La figure des $M_i$ comprend $m$ ($m = 4 + 4q$) points du plan

$$M_1 = (-1, -d) = B$$

$$M_2 = (-1, -d) = C$$

$$M_3 = M_4 = (0, d) = A$$
$$M_5 = \dots = M_{4+q} = (1, 0) = I$$

$$M_{5+q} = \dots = M_{4+2q} + (-1, 0) = K$$

$$M_{5+2q} = \dots = M_{4+3q} = (C, 1) = J$$

$$M_{5+3q} = \dots = M_{4+4q} = (0, -1) = L$$

(pour rendre à l'exemple un caractère naturel, il suffirait de déplacer arbitrairement peu les points en coïncidence ; cela compliquerait beaucoup les calculs, sans rien enlever à la portée de l'exemple).

On suppose que les distances $d'_{ij}$ soient telles qu'elles soient réalisées sur la figure suivante de $R^3$, muni de la forme quadratique $q = x^2 + y^2 - z^2$.

les points $M_1, M_2$ et $M_5... M_{4+4}$ restent dans $R^2$ à leur place ;
$M_3$ vient en $M'_3$ et $M_4$ en $M'_4$.

$$M'_3 = (-1, d, 1);$$

$$M'_4 = (1, d, -1).$$

La distance la plus modifiée est $d_{54}$.

$$(d_{54})^2 = 1 + d^2; \quad (d'_{54})^2 = d^2 - 1,$$

d'où une différence $d_{54} - d'_{54}$ sensiblement égale à $\frac{1}{d}$ si d est grand.

Pour m et d suffisamment grands, (et $d^2$ petit devant m),
on pourra satisfaire à la condition $(\epsilon, 2, 1 - \epsilon, 1 + \epsilon)$, avec $\epsilon$
quelconque ; les deux premiers axes principaux d'inertie de la fi-
gure des $M'_i$ seront avec une très grande approximation ceux de
la figure des $M_i$, les axes Ox et Oy ; en projetant sur ces
axes, $M_3$ et $M_4$ viendront en $M'''_3 = (-1, d)$ et $M'''_4 = (1, d)$,
points séparés par une distance égale à 2, bien que $d_{54} = d'_{54} = 0$.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>figure 1</figcaption></figure>

# III - La théorie de Shepard

## 1. Problème et conjecture de Shepard.

*Définitions:* On appellera, ici, *ordonnance* $\omega$ de $^\circ N$, une structure d'ordre total sur l'ensemble des $\frac{N(N-1)}{2}$ couples (i, j) de deux entiers distincts inférieurs ou égaux à N.

Le rang du couple (i, j) sera noté $\omega(i, j) = \omega(j, i)$ (si éventuellement on a p couples de même rang r, un couple qui les suit immédiatement a rang r + p). Notons qu'il y a $(N(N-1)/2)^2$ ordonnance distincte de $^\circ N$, non comprises celles qui résultent de l'existence de rangs égaux.
Pour comparer deux ordonnances $\omega, \omega'$ on peut former la quantité

$$ \delta(\omega, \omega') = \frac{2}{N(N-1)} \sum_{i<j} (\omega(i, j) - \omega'(i, j))^2 $$

(cette somme est la valeur moyenne du carré de la différence des deux rangs d'un même couple, ces rangs étant réduits à varier entre 0 et 1 par division par le nombre des couples).

Soit $\{M_i\}$ un système fini de N points dans un espace métrique : on appelle ordonnance, $\omega(\{M_i\})$ du système, la structure d'ordre de l'ensemble des $N(N-1)/2$ distances entre les points ; e.g.

$$ \omega(\{M_i\}) (i, j) = 1 $$

si $d_{ij} = d(M_i, M_j)$, est la plus petite de ces distances.

Un système $\{M_i\}$ de N points d'un espace métrique réalise une ordonnance $\omega$ si

$$ \omega(\{M_i\}) = \omega. $$

La dimension $p$ d'une ordonnance est le plus petit entier $p$ tel qu'il existe dans $E^p$ ($R^p$ muni de sa métrique euclidienne) un système réalisant l'ordonnance.

Une ordonnance $\omega$, de dimension $m$, est $\varepsilon$-déterminée, si étant donné dans $E^p$ deux systèmes de diamètre unité réalisant $\omega$, la différence entre deux distances homologues dans les deux systèmes est inférieure à $\varepsilon$ ; on peut écrire

$$ \{M_i\} \subset E^p ; \omega(\{M_i\}) = \omega ; \sup \|M_i M_j\| = 1 $$

et

$$ \{M'_i\} \subset E^p ; \omega(\{M'_i\}) = \omega ; \sup \|M'_i M'_j\| = 1 $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$ \forall i, j \quad \|M'_i M'_j\| - \|M_i M_j\| < \varepsilon $$

Avec ces définitions, nous énoncerons un problème et une conjecture proposés, en substance, par R. N. Shepard

Problème :

a) Soit $\omega$ l'ordonnance de $\Omega$ N d'un système inconnu $\{M_i\} \subset E^p$; on suppose $p$ faible devant N. Retrouver la dimension $m$, et, à une similitude près, le système des $\{M_i\}$ dans $E^p$.
b) Soit $\omega$ une ordonnance. Trouver un système $\{M_i\}$ dans un espace euclidien de dimension aussi faible que possible, dont l'ordonnance $\omega'$ diffère aussi peu que possible de $\omega$.

Il est surprenant que le problème a) admette une solution approximative ; Shepard, auteur d'une telle solution, écrit Cf. [2] p. 238.

"... an underlying euclidian configuration, ... can be metrically recovered by an analysis based essentially upon the rank order... This conversion from a non-metric to a metric representation seems to be tantamount to getting something from nothing."

Qu'on puisse résoudre le problème est lié à la

**Conjecture** : Soit m un entier, $\epsilon$ un nombre réel positif. Pour N suffisamment grand, presque tout système de N points dans $E^p$ a une ordonnance $\omega$ qui est de dimension p, et qui est $\epsilon$-déterminée.

Préciser le sens de "presque tout", donner une borne inférieure pour N en fonction de m et $\epsilon$, c'est un problème que nous considérerons dans la suite. Mais supposons la conjecture vraie : a) admet généralement une solution approchée. Quant à b), si l'ordonnance $\omega$ donnée est égale à quelques perturbations près (e.g. des erreurs de mesure) à une ordonnance $\omega'$ de faible dimension, on peut espérer lui donner une solution unique (à un déplacement près suivi d'une petite déformation).

## 2. Un problème connexe.

En déformant un simplexe régulier, Shepard démontre que toute ordonnance $\omega$ de $\mathbb{C}^N$ est au plus de dimension $N-1$. Au lieu de déformer un simplexe, on peut modifier la forme quadratique qui donne la métrique de l'espace ambiant ; ainsi se présente un problème relié à celui de Shepard.

**Proposition 1** : Soit E un espace vectoriel de dimension $N-1$.

$$ \{M_1, \dots, M_i, \dots, M_N\}, $$

le système des sommets d'un N-1 simplexe non désignée (i.e. N points tels que forment une base de E les vecteurs

$$ \overrightarrow{M_1 M_2}, \dots, \overrightarrow{M_1 M_i}, \dots, \overrightarrow{M_1 M_N} $$
Il existe une forme quadratique et une seule $q$ sur $E$ telle que les

$$q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j}) ; (i \neq j),$$

prennent $N(N-1)/2$ valeurs données quelconques.

Preuve : la donnée des $q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j})$ est équivalente à la donnée des

$$q(\overrightarrow{M_1 M_i}, \overrightarrow{M_1 M_i}) ; i = 2, \dots, N, \text{ et des}$$

$$q(\overrightarrow{M_1 M_i}, \overrightarrow{M_1 M_j}) ; i \neq j = 2, \dots, N.$$

Or ce sont les coefficients du développement de la forme quadratique $q$, dans la base formée des $\overrightarrow{M_1 M_i}$.

**Proposition 2 (Shepard) :** Soit $\omega$ une ordonnance de $\circ$ N. $\omega$ est de dimension inférieure ou égale à N - 1.

Preuve : Il suffit de montrer que l'ordonnance peut être réalisée par un système de N points dans un espace vectoriel $E$ (de dimension $N - 1$) muni de la métrique associée à une forme quadratique définie positive.

Fixons dans $E$ le système des points $\{M_i\}$, sommets d'un simplexe non-dégénéré ; ainsi que les carrés des distances $d_{ij}^2$ sont faisant aux inégalités de l'ordonnance $\omega$ ; il existe sur $E$ une forme quadratique unique $q$, telle que

$$\forall i, j : q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_j M_i}) = d_{ij}^2.$$

Reste à faire en sorte que la forme $q$ soit définie positive. Pour cela, il suffit de bien choisir les $d_{ij}^2$. On sait que si les $d_{ij}^2$ sont tous égaux à 1, la forme $q$ est définie positive, car la figure construite n'est autre que le simplexe régulier dont toutes les arêtes sont égales (cf. tétraèdre régulier, etc.). Plus généralement, par continuité, $q$ sera définie positive si les $d_{ij}^2$ sont tous assez voisins de 1, condition compatible avec les inégalités spécifiées dans l'ordonnance. La proposition est ainsi démontrée.

On peut, en terme de formes quadratiques, reformuler le problème de Shepard ; pour cela, on pose la

**définition :** Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $N - 1$, avec un système de N points $\{M_i\}$, sommets d'un simplexe fixé une
fois pour toutes. Une forme quadratique $q$ (sur $E$) réalise une ordonnance $\omega$, de $\mathbb{Q}N$, si les quantités réelles

$$q(\overrightarrow{M_i M_j}, \overrightarrow{M_i M_j})$$

sont non-nulles et satisfont aux inégalités spécifiées par l'ordonnance (pour les $d_{ij}$). D'où le problème équivalent

**Problème** : Etant donnée une ordonnance $\omega$ (de $\mathbb{Q}N$), étudier l'ensemble $Q^+(\omega)$ des formes quadratiques sur $E$ positives, mais non nécessairement définies, qui réalisent $\omega$.

Les formes quadratiques sur $E$ forment un espace vectoriel $Q(E)$ de dimension $N(N - 1)/2$ ; dans $Q(E)$, les formes quadratiques définies positives forment un cône convexe ouvert, dont la frontière est l'ensemble des formes quadratiques positives, mais non définies (i. e., des q telles que : $\forall x$ ; $q(x, x) \ge 0$, mais $\exists x \ne 0$ ; $q(x, x) = 0$) de divers rangs.

Les inégalités spécifiées par l'ordonnance étant linéaires en $q$, l'ensemble $Q^+(\omega)$ est un convexe de $Q(E)$. Soit $Q_m^+(\omega)$ l'ensemble des formes de $Q^+(\omega)$ qui sont de rang nominal $m$, $Q_n^+(\omega)$ est un cône de $Q(E)$, mais ce n'est pas un cône convexe comme $Q^+(\omega)$. Soit $q \in Q_n^+(\omega)$ ; H le noyau de $q$, sous-espace vectoriel de $E$ ensemble des vecteurs $x$ q-isotopes : $q(x, x) = 0$. Sur le quotient $E/H$, $q$ définit canoniquement une métrique euclidienne ; dans l'espace euclidien $E/H$, le système des classes des $M_i$ réalise l'ordonnance $\omega$ ; $m$ est la dimension de $\omega$.

### 3. La construction de Shepard.

Appelons $N - 1$ simplexe normalisé, un simplexe, (dégénéré ou non), à $N$ sommets, dont le centre de gravité est l'origine, et dont la longueur moyenne des arêtes est 1. Etant donnée une ordonnance de $\mathbb{Q}N$, Shepard construit dans $E^{N-1}$ une suite $\{M_i^\circ\}$ de simplexes normalisés.

$\{M_i^\circ\}$ : simplexe régulier de centre 0, d'arête 1.

$\{M_i^{n+1}\}$ : se déduit de $\{M_i^n\}$ par la construction d'un simplexe au-xiliaire non-normalisé

$$\{P_i^{n+1}\} : \overrightarrow{M_i^n P_i^{n+1}} = \sum_j [\alpha(s^n(i, j) - s(i, j)) + \beta(s(i, j) - 0, 5)] \overrightarrow{\frac{M_i^n M_i}{M_i^n M_j}}$$
formule où $\omega$, $\beta$ sont des constantes numériques positives et
$\omega$ = ordonnance donnée ; $\omega^n = \omega(\{M_i^n\})$ ;

$$
s(i, j) = \frac{2\omega(i, j)}{N(N-1)} ; s^n(i, j) = \frac{2\omega^n(i, j)}{N(N-1)} .
$$

$\{M_i^{n+1}\}$ : est le simplexe normalisé homothétique de $\{P_i^{n+1}\}$ dans une homothétie de rapport positif.

Intuitivement l'on peut décrire ainsi la construction de la suite des simplexes : par les termes en $\beta$, on allonge les arêtes qui doivent être les plus longues et on raccourcit les plus courtes ; par les termes en $\alpha$, on corrige les différences entre $\omega$ et $\omega^n$ introduites du fait des déformations successives. Après de nombreux essais numériques faits sur ordinateur IBM 7090, Shepard estime que, si $\alpha$ est faible ($\alpha \le 0,2$) et $\beta$ petit devant ($4\beta \le \alpha$), la suite des simplexes $\{M_i^n\}$ se stabilise à partir de $n = 20$ : l'ordonnance $\omega^n$ diffère alors peu de $\omega(\delta(\omega, \omega^n)$ est petit), l'allongement relatif des plus grandes arêtes donne un simplexe aussi "plat" que le permet $\omega$, c'est-à-dire un simplexe dont tous les sommets sont très voisins d'un sous-espace vectoriel $L$ de $E^{n-1}$, dont la dimension $p$ est celle de $\omega$ (cas a) $n$ est la dimension minima des ordonnances appartenant à un voisinage petit de $\omega$ (cas b).

Reste à déterminer effectivement $p$, et construire dans $E^p$
un système dont l'ordonnance soit (soit à peu près) $\omega$.

Pour cela, on fait l'analyse factorielle du nuage des points
$\{M_i^n\}$, ($n = 20$ par exemple), affectés chacun de la masse 1. (Cf.
§ II, n° 5). Pour le choix de $n$, on procède comme indiqué au § II
n° 4, in fine ; et on prend le système des $\{f^p(M_i)\} \in \mathbb{R}^p$. Si l'or-
donnance de ce système semble trop éloigné de $\omega$, on peut repren-
dre dans $\mathbb{R}^p$ le procédé itératif donné plus haut, jusqu'à parvenir
à un accord satisfaisant (ou en cas d'échec se placer dans $\mathbb{R}^{p+1}$ par
$f^{p+1}$).

4. Quelques exemples.

Démontrons en construisant un exemple a

**Proposition 3** : Quels que soient $p$ et $\varepsilon$, il existe une ordonnance $\omega$, de dimension $p$ et $\varepsilon$-déterminée.

La construction de $\omega$ et la démonstration étant complexes,
nous les décomposons en une suite de points. Sans pouvoir justifier
à priori les choix faits, donnons en l'idée directrice. Il faut qu'une fois fixée l'une des distances (ici $||AB||$), de l'ordre du diamètre, une autre distance (ici $||P_1P_2||$) soit, du fait de l'ordonnance $\omega$, prise entre deux bornes rapprochées. Pour majorer $||P_1P_2||$, on "bourre" la boule ouverte de centre A de rayon $||AB||$, de n points $P_i$: les deux plus rapprochés de ces points (ici $P_1P_2$) sont à une distance inférieure à une borne liée à n. Pour minorer $||P_1P_2||$, on met entre A et B une chaîne de k points $D_i$, dont tous les maillons $||D_iD_{i+1}||$ soient inférieurs à $||P_1P_2||$. Pour que les bornes assignées à $||P_1P_2||$ soient convenables, il faut que k soit assez grand, mais aussi que n et k soient choisis l'un pour l'autre.

### a/ Choix du degré N de $\omega$

Notons $n(\rho, p)$ le nombre maximum de points, distants deux plus de $1/\rho$, que l'on peut inclure dans une boule ouverte de rayon 1 de $E^p$. Etudions sommairement la variation de $n(\rho, p)$. Si $\rho$ est supérieur à 1, on vérifie l'inégalité

$$n(\rho, p) + 2 \le n(\rho, p + 1);$$

la fonction $n$ pour $\rho$ fixé est strictement croissante en $p$. Pour $p$ donné, la fonction $n$ est une fonction croissante de $\rho$ qui tend vers l'infini avec $\rho$ comme $P_p$ ; elle admet une suite infinie discrète de points de discontinuité ; entre deux points de discontinuité consécutifs elle est constante ; en un point de discontinuité elle a même valeur qu'à gauche de ce point. L'on peut trouver un point de discontinuité tel que

1/ Si l'on note $k+1$ le plus petit entier strictement supérieur à r, il n'y a pas de discontinuité sur l'intervalle ouvert )r, k+1(.

$$2/ \frac{2}{k+1} < \varepsilon$$

Notons $n$ la valeur constante de la fonction $n(\rho, p)$ sur l'intervalle ouvert )r, k+1(. On aura

$$n(r, p) < n; n(k+1, p) = n$$

Nous poserons : $N = n + k + 3$.

### b/ L'ordonnance $\omega$

Comme annoncé, les N points seront répartis en plusieurs groupes
A, B et C

$P_1, \dots, P_n$

$D_1, \dots, D_k$

(on notera aussi : $D_o = A$ ; $D_{k+1} = B$).

Ceci posé, les inégalités de l'ordonnance $\omega$ forment 4 classes

1/ La plus grande distance entre deux points quelconques du système est $\|BC\|$ ; le point le plus éloigné de A est B.

2/ La plus petite distance entre deux points $P_i, P_j$ est $\|P_1 P_2\|$

3/ $\forall i = c, \dots, k$ ; $\|D_i D_{i+1}\| < \|P_i P_2\|$

4/ Les autres inégalités seront celles satisfaites par un système particulier de N points, qui satisfait aux inégalités déjà spéciifiées. Nous allons construire un tel système.

c/ Construction d'un système réalisant $\omega$

1/ On fixe A et B dans $E^p$, séparés par la distance 1 : tous les autres points seront dans la boule ouverte de centre A et de rayon 1.

2/ Dans cette boule, on place n points distants deux à deux de plus de $1/(k+1)$ : c'est possible d'après $a/$. Ces points sont appelés $P_1, \dots, P_n$, les deux plus proches étant $P_1$ et $P_2$.

3/ On place ces k points $D_i$ au voisinage des points $D'_i$ qui divisent AB en $(k+1)$ parties égales (l'indice i croît en allant de A vers B) ; il faut que les $\|D_i D_{i+1}\|$ soient tous inférieurs à $\|P_1 P_2\|$, ce qui est possible, $\|P_1 P_2\|$ étant strictement supérieur à $1/(k+1)$.

4/ On place le point C au voisinage du point $B_1$, symétrique de B par rapport à A, de telle sorte que $\|BC\|$ soit la plus grande distance entre deux points de la figure.

En construisant le système A, B, C, $P_i$, $D_i$ nous avons donné un exemple d'ordonnance $\omega$ satisfaisant aux conditions imposées en $b/$. Il faut montrer que $\omega$ est $\varepsilon$-déterminée.
d/ **Lemme 1**

Soit A', B', C', P'_1, D'_1 une réalisation de $\omega$ telle que
$||A'B'|| = 1$ : les autres distances sont connues à 3/k près.

1/ On a les inégalités

$$
\frac{1}{k+1} < \| P'_1 P'_2 \| < \frac{1}{r} \le \frac{1}{k}
$$

Si $||P'_1P'_2||$ était supérieur ou égal à $1/r$, l'on aurait $n(r,p) \ge n$, ce qui n'est pas. Si $||P'_1P'_2||$ était inférieur ou égal à $1/(k+1)$ la suite des points $D'_i$ ne pourrait relier A' à B' par une chaîne dont les $k+1$ maillons seraient strictement inférieure à $1/(k+1)$.

2/ On a les inégalités

$$
2 - \frac{1}{k} < \| B'C' \| < 2.
$$

Il est clair que $||B'C'|| < 2$, car $||A'C'|| < ||A'B'|| = 1$.

Désignons par $B'_1$ le point symétrique de B' par rapport à A';
montrons qu'il y a surement un point $P'_i$ dans la boule de centre
$B'_i$ et de rayon $1/k$ : en effet, sinon, il existerait $B'_2$ tel que

$$
\|A'B'_2\| < 1; \forall_i = 1, \dots, n : \|B'_2P'_i\| > \frac{1}{k+1},
$$

et dans la boule ouverte de centre A' et de rayon 1, il y aurait
n+1 points distants deux à deux de plus de 1/(k+1), ce qui ne se
peut pas. Soit donc $P'_i$ tel que

$$
\| B'_{1} P'_{i} \| < \frac{1}{k} ; \text{ on a } : \| B' P'_{i} \| > 2 - \frac{1}{k} , \text{ donc}
$$

$$
\| B'C' \| > \| B'P'_{i} \| > 2 - \frac{1}{k} .
$$

3/ On a les inégalités

$$
\forall i = 1, \dots, k : \frac{i-1}{k} < \| A' D'_{i} \| < \frac{i}{k}
$$

$$
\forall i = 1, \dots, k : \frac{k+i-2}{k} < \| C' D'_{i} \| < \frac{k+i}{k} .
$$
Les points $D_i^j$ forment de $A'$ à $B'$ une chaîne dont tous les maillons sont strictement inférieurs à $\|P_1'P_2'\|$, donc à $1/k$.

On a donc

$$ \|A'D_i'\| < \frac{i}{k}; \quad \|D_i' B'\| < \frac{k+1-i}{k} $$

or

$$ \|A'D_i'\| + \|D_i' B'\| \ge \|A'B'\| = 1, $$

$$ \text{d'où} \quad \frac{i-1}{k} < \|A'D_i'\| < \frac{i}{k}; \quad \frac{k-1}{k} < \|D_i' B'\| < \frac{k+1-i}{k}. $$

de même

$$ \|C'D_i'\| < \|C'A'\| + \|A'D_i'\| < \frac{k+1}{k} $$

$$ \|C'D_i'\| + \|B'D_i'\| \ge \|B'C'\| > 2 - \frac{1}{k}, $$

$$ \text{d'où} \quad \frac{k+i-2}{k} < \|C'D_i'\| < \frac{k+i}{k}. $$

4/ Les segments $A'D_i'$ et $CD_i'$, de longueurs approchées $i/k$, et $(k+i)/k$, vont permettre de "mesurer" tous les autres. Soit $M', N'$ deux points quelconques du système : $\|M'N'\|$ satisfait à des inégalités, spécifiées par $\omega$. relativement à tous les autres segments joignant deux points du système, et notamment aux

$$ \|A'D_i'\|, \|C'D_i'\|. $$

Donc $\|M'N'\|$ satisfait à une double inégalité de l'une des deux formes :

$$ \|A'D_i'\| < \|M'N'\| < \|A'D_{i+1}'\| \quad (\text{si } \|M'N'\| < \|A'B'\|) $$

$$ \|C'D_i'\| < \|M'N'\| < \|C'D_{i+1}'\| \quad (\text{si } \|M'N'\| > \|A'B'\|) $$

Dans le premier (resp. deuxième) cas, $\|M'N'\|$ est dans un intervalle d'amplitude $2/k$ (resp. $3/k$)

$$ \frac{i-1}{k} < \|M'N'\| < \frac{i+1}{k} $$
$$ \frac{k+i-2}{k} < \|M'N'\| < \frac{k+1+1}{k} $$

e/ Démontrons la proposition à l'aide du lemme

1/ $\omega$ est de dimension $p$ : sinon on pourrait réaliser $\omega$ dans $E^q$, avec $q < p$, par un système $\{A'', B'', C'', P_i'', D_i''\}$. Dans la boule de centre $A''$ et de rayon $\|A''B''\|$, il y aurait n points $P_i''$ deux à deux distants de plus de $\|A''B''\|/k+1$, et l'on aurait $n(q, k+1) \ge n(p, k+1)$, ce qui n'est pas. (puisque $n(n, \rho)$ est fonction strictement croissante de $p$).

2/ $\omega$ est $\Sigma$-déterminée : imposons à un système

$$ \{A'', B'', C'', P_i'', D_i''\}, $$

réalisant $\omega$, d'avoir pour diamètre $\|B''C''\| = 1$. D'après le Lemme (2/) on aura

$$ \frac{1}{2} < \|A''B''\| < \frac{1}{2 - \frac{1}{k}} $$

D'après (d, 4/) un segment $\|M''N''\|$ satisfait à une égalité

$$ \left( \rho - \frac{3}{k} \right) \|A''B''\| < \|M''N''\| < \rho \|A''B''\|. $$

Où $\rho$ est inférieur à 2 : on a donc l'égalité

$$ \frac{k\rho - 3}{2k} < \|M''N''\| < \frac{k\rho}{2k - 1} $$

qui astreint $\|M''N''\|$ à varier dans un intervalle d'amplitude $\alpha$ :

$$ \begin{aligned} & = \frac{k\rho}{2k - 1} - \frac{k\rho - 3}{2k} = \frac{6k + k - 3}{(2k - 1)2k} \\ & < \frac{8k - 3}{(2k + 1)2k} < \frac{2}{k - 1} < \varepsilon \end{aligned} $$

Ce qui termine la démonstration de la proposition.

En corollaire à la proposition 3, énonçons un Lemme qui sera utilisé ultérieurement.
**Lemme 2** : Soit $S_I$ un système fini de points : $S_I = \{M_i\}_{i \in I} \subset E^p$ ; soit $\beta$ un nombre réel positif. On dira que $Q(\beta; S_I)$ si

$$1/ \quad \forall i \in I, \quad \|OM_i\| < 1 + \beta$$

2/ Notons $C(\beta)$ l'ensemble des pavés cubiques de $E^p$ ; dont l'arête est $\beta$, et les sommets ont pour coordonnées des multiples entiers (positifs négatifs ou nuls) de $\beta$. Tout cube de $C(\beta)$, inclus dans la boule unité de centre O, contient au moins un point de $S_I$.

Alors on a l'énoncé

$$\forall \varepsilon, p \quad \exists \beta(\varepsilon, p) : (Q(\beta; S_I) ; \beta > \beta(\varepsilon, p)) = > (\omega(S_I))$$

est de dimension $p$ et $\varepsilon$-déterminé).

*Preuve* : Soit $S = \{N_j\}_{j \in J}$, un système de points de $E^p$ satisfaisant aux conditions suivantes

- S est inclus dans la boule unité ouverte de centre O.

- S est de diamètre supérieur à $(2 - \varepsilon)$.

- $\omega(s)$ est $\varepsilon$-déterminé, de dimension $p$, et S est construit comme dans la démonstration de la proposition 3.

Il est clair qu'il existe $\beta$ tel que tout système S', avec

$$S' = \{N'_j\}_{j \in J} ; \quad \forall j \in J : \quad \|N'_j N'_j\| < \beta,$$

satisfasse aussi aux mêmes conditions que S.

Donc il existe $\beta$ tel que, si $Q(\beta; S_I)$, il existe une injection $i-j)$ de $J$ dans $I$, telle que

$$S_j = \{M_{i(j)}\}_{j \in J}$$

satisfasse aux mêmes conditions que S.

Le Lemme en résulte facilement.

S'opposant à la proposition 3, la proposition 4 affirme l'existence d'ordonnances de degré élevé qui ne fournissent pas d'information métrique très précise.
**Proposition 4** : Quels que soient n, p, q entiers, q ≤ p, on peut trouver une ordonnance ω de ° supérieur à n, de dimension p, telle que

1/ Il existe dans E$^p$ des systèmes de diamètre 1, réalisant ω, et dont tous les points soient à une distance arbitrairement petite d'un sous-espace de dimension q de E$^p$.

2/ ω n'est pas 0,1-déterminée.

Nous construisons un exemple dérivé d'un exemple de Shepard.

a/ L'exemple de Shepard : (Cf. [1] p. 240).

Considérons sur la droite R le système S

$$S = \{N_1\} \cup \{M_i\}_{i \in I} = \{N_1\} \cup S_I$$

où $S_I$ est un ensemble de points dont les abcisses varient entre les valeurs extrêmes -1 et 1, et $N_1$ est le point d'abcisse $x_1$. L'ordonnance $\omega(s)$ ne varie pas quand $x_1$ reste supérieur à 3 ; le rapport du diamètre S au diamètre de $S_I$ peut ainsi varier de 0 à 0,5 sans que ne change l'ordonnance $\omega(s)$ : $\omega(s)$ n'est donc pas $\varepsilon$-déterminée pour $\varepsilon < 0,5$.

b/ L'exemple dérivé

Soit dans E$^p$ un système $S_I$ d'effectif > n, inclus dans la boule unité de centre l'origine O, et tel que $\dim \omega(S_I) = p$.

$$S_I = \{M_i\}_{i \in I}; \forall i : |OM_i| < 1.$$

Notons $N_k$ le point d'abcisse $x_k$ sur le demi-axe OX$_k$ de E$^p$. Notons

$$\omega(k; x_k) = \omega(S_I \cup \{N_k\});$$

On peut trouver d, d > 2, tel que, quel que soit k, $\omega(k; x_k)$ ne change pas quand $x_k$ reste supérieur à d ; en effet $\omega(k; x_k)$ ne change que quand $N_k$ traverse le plan médiateur d'un segment $M_i M'_i$, donc ne change qu'un nombre fini de fois.

Notons

E$^q$, le sous-espace de E$^p$ engendré par les q premiers axes.
$$S_q = \{N_1, \dots, N_k, \dots, N_q\}; S = S_I \cup S_q; S_q^o = S_q \cup \{O\}.$$

$$\omega(x_1, \dots, x_q) = \omega(s); \omega^o(x_1, \dots, x_q) = \omega(S_q^o).$$

Supposons satisfaites les trois conditions

$$\forall k : x_k > d; \forall k \neq k' ; |x_k - x_{k'}| \geq 2$$

$$\forall k, k', k'' : |N_k N_{k'}| > 1 + x_{k''}.$$

Alors $\omega(s)$ est complètement déterminé par $\omega(S_q^o)$ : en effet, les distances entre points de S forment des groupes séparés, ordonnés en eux et entre eux de façon déterminée : il y a d'abord, en allant en croissant, le groupe des distances $|M_i M_i'|$ ; puis les q groupes des distances d'un point $N_k$ aux $M_i$, groupes ordonnés en eux par $\omega(k; x_k)$ et entre eux comme les $x_k = ON_k$. (Ces groupes ne se mêlent pas parce que $|x_k - x_{k'}| > 2$) ; enfin les distances $|N_k N_{k'}|$ qui sont les plus grandes.

Soit des $x_k$ satisfaisant aux trois conditions ci-dessus, et soit $\lambda > 1$ ; on a

$$\omega(\lambda_{x_1}, \dots, \lambda_{x_q}) = \omega(x_1, \dots, x_q) \quad \text{car} \\ \omega^o(\lambda_{x_1}, \dots, \lambda_{x_q}) = \omega^o(x_1, \dots, x_q) \quad \text{(homothétie).}$$

L'on en déduit immédiatement le point 1/ de la proposition 4. Soit $D > d$, et grand vis à vis de $q$ : considérons les valeurs suivantes des $x_k$

$$x_1 = D + 1, \dots, x_{q-1} = D + 2q - 1; x_q \in (D + 4q, D\sqrt{2} - 1);$$

On vérifie que les trois conditions sont satisfaites (car un $|N_q N_k|$ est supérieur à tout $|N_k N_{k'}|$ lui-même supérieur à tout $M_i M_k$ ou $M_i N_q$ (avec, ici, $k, k' \neq q$)).

D'autre part, le rapport de $|M_i N_q|$ au diamètre $|N_{q-1} N_q|$ de S, peut varier de $\frac{1}{\sqrt{3}}$ à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sans que ne change l'ordonnance (s) (pour le voir prendre D assez grand vis à vis de q). Or

$$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} > 0,1,$$

D'où le 2/ point de la proposition 4.
## 5. Problèmes, conjonctures et théorèmes.

On peut adopter deux points de vue : ou bien sur l'ensemble des $n!$ ordonnances de degrés $n$, chercher la proportion de celles qui sont de dimension $p$ donnée, de celles qui sont $\epsilon$-déterminées etc. ou bien, étant donné un système de $n$ points dans $E^p$, déterminer avec quelle probabilité son ordonnance est de dimension $q \le p$, $\epsilon$-déterminée etc.. Nous considérerons successivement ces deux points de vue.

### a/ Etude de l'ensemble des ordonnances de $\underline{n}$

Notons

$$K(n; p; \epsilon)$$

le nombre des ordonnances de $\underline{n}$ et de dimension $p$ qui sont $\epsilon$-déterminées. ($K(n; p; 1)$ est le nombre total des ordonnances de $\underline{n}$ et de dimension $p$).

On a démontré les résultats suivants

### Proposition 2

$$\sum_{p=1}^{n-1} K(n; p; 1) = n! ; p \ge n \Rightarrow K(n; p; 1) = 0.$$

### Proposition 3

$$\forall p, \forall \epsilon, \exists n : K(n; p; \epsilon) \neq 0$$

### Proposition 4

$$\forall p, \exists n : K(n; p; 0, 1) \neq K(n; p; 1)$$

On voit combien ces résultats sont incomplets ; en particulier, il serait intéressant d'évaluer

$$p(n) = \sup p : K(n; p; 1) \neq 0 ;$$

On sait que $p \le n-1$ : il est vraisemblable que $p(n) \ne n-1$, et qu'il lui est fort inférieur. Une borne inférieure de $p(n)$, probablement d'un ordre de grandeur équivalent à lui, est fournie par le plus petit $p$ tel que (cf. 4 prop. 3a)

$$n(1, p) \ge n.$$
(En effet, soit S un système formé de (n-1) points distants deux à deux de plus de 1, et d'un point, distant de moins de 1 de tous les autres : $\omega(S)$ est de $\approx n$ et de dimension p). Mais, s'il est facile de montrer que $n(1,p)$ croît au plus exponentiellement avec p, il n'est pas facile, à ce que nous savons de minorer son ordre de croissance.

b/ Etude de l'ensemble des systèmes de n points dans $E^p$

Pour énoncer des résultats de nature probabiliste relativement à cet ensemble, on impose deux conditions de normalisation

1/ Le centre de gravité du système $S = \{M_i; \dots, M_n\}$ est l'origine.

$$2/ \sum_{i=1}^{n} |OM_i|^2 = \text{n. p.}$$

Ainsi, le système S devient un point d'une variété de dimension (n-1)p-1, variété qui est la sphère de rayon $\sqrt{n.p.}$, du sous-espace vectoriel de $(E^P)^n = E^{pn}$ défini par la condition $1/$. Sur cette sphère, il y a une mesure invariante (par rotation) unique de masse totale 1 ; c'est par rapport à cette mesure que nous énoncerons des résultats probabilistes : la probabilité d'une propriété donnée de S (ou de $\omega(S)$) sera la mesure de l'ensemble des systèmes S possédant cette propriété.

On a les deux théorèmes suivants(1)

**Théorème 1** : $\forall \eta, \varepsilon, p$, on peut trouver $n$ tel que soit supérieure à $(1-\eta)$ la probabilité qu'un système S de n points de $E^p$, ait une ordonnance de dimension $p \in \text{déterminée}$.

**Théorème 2** : $\forall \eta, \varepsilon, p$, on peut trouver $n_0$ tel que les $N = \frac{n(n-1)}{2}$ distances $|M_i M_j|$ d'un système de n points ($n > n_0$) soient, avec une probabilité $\ge (1-\eta)$, toutes égales à $\varepsilon$ près à une fonction bien déterminée de leur rang $\omega(i,j)$

$$\text{Prob} \left\{ \forall i,j : \left| M_i M_j \right| - S_{p\sqrt{2}} \left( \frac{2\omega(i,j) - 1}{2N} \right) < \varepsilon \right\} \ge 1 - \eta.$$

<footnote>(1) Les démonstrations de ces deux théorèmes seront publiées ultérieurement dans cette même revue.</footnote>
La fonction $S_{p\sqrt{2}}$ est ainsi définie : tout $y \in (0,1)$ est la probabilité qu'un $\chi^2$ à p variables ait une valeur inférieure ou égale à $1/2 [S_{p\sqrt{2}}(y)]^2$.

Les théorèmes 1 et 2 sont démontrés dans un paragraphe qui sera publié ultérieurement dans cette revue : l'idée de la démonstration est la suivante : au lieu de prendre un système S normalisé par les conditions 1/ et 2/, on prend un échantillon d' effectif n d'une loi normale sphérique dans $E^p$ : ainsi les $M_i$ deviennent des variables aléatoires indépendantes, ce qui facilite les calculs ; cependant, pour n grand, le centre de gravité de l'échantillon et son moment d'inertie par rapport au centre sont des variables aléatoires presque certaines, ce qui ramène aux conditions 1/ et 2/. On conçoit que si les $M_i$ sont un échantillon d'une loi normale p-dimensionnelle, les $|M_i M_j|^2$ soient un échantillon d'une loi de $\chi^2$ à p variables.

Il serait intéressant de déterminer, pour n et p donnés, l'espérance mathématique $\varepsilon(n,p)$ de la quantité

$$ \sup_{i,j} \left| M_i M_j \right| - S_{p\sqrt{2}} \left( \frac{2\omega(i,j) - 1}{2N} \right) $$

D'après l'exemple construit pour démontrer la proposition 3, on pourrait conjecturer que, pour p donné et n tendant vers l'infini

$$ \varepsilon(n,p) \sim K(p) n^{-\frac{1}{p}}, $$

(où $K(p)$ est un nombre qui ne dépend que de p).

De même, on pourrait étudier (toujours pour n, p donnés) l'espérance mathématique $\varepsilon'(n,p)$ du plus petit $\varepsilon'$ tel que (S) soit $\varepsilon'$-déterminé ; pour cette fonction $\varepsilon'$ (n, p) la même conjecture se présente que pour $\varepsilon(n,p)$.

Nos démonstrations des théorèmes 1 et 2 sont rigoureuses, mais peu satisfaisantes en ce que les n dont on démontre l'existence sont grossièrement surestimés, surtout si $\varepsilon$ et $\eta$ ne sont pas trop petits (e. g. $\eta = \varepsilon = 0,05$, cas pratique intéressant). Mais sans en bien évaluer la valeur, le théorème 2 légitime la solution très simplifiée que nous donnons au n° 6, pour le problème de Shepard.
## 6. Une construction simple.

La solution du problème de Shepard comprend trois parties : choix de la dimension p de l'espace euclidien où réaliser l'ordonnance $\omega$ donnée ; choix des valeurs approchées des distances ; et construction d'un système réalisant $\omega$.

### a/ Choix de la dimension p

On peut, si p est inconnu, essayer successivement $p = 1, p = 2, \dots, \text{jusqu'à ce que la suite de la solution puisse se poursuivre de façon satisfaisante, i. e. donner un système dont l'ordonnance soit } \omega \text{ avec une bonne approximation. On peut aussi rechercher des groupes de 3 (resp. 4, resp. 5) indices } i, j, k \text{ (resp. } i, j, k, 1, resp. i, j, k, 1, m), tels que les rangs } \omega(i, j), \omega(j, k), \omega(k, i) \text{ (resp. tous les rangs des couples formés de deux des indices } i, j, k, 1, resp. i, j, k, 1, m) \text{ soient voisins de } N/2 \text{ : à un tel groupe correspond un triangle à peu près équilatéral (resp. un tétraèdre à peu près régulier, resp. un simplexe à 5 sommets dont les arêtes diffèrent peu entre elles) dont les dimensions sont grandes vis à vis des erreurs, ce qui indique qu'un système réalisant } \omega \text{ est une figure de dimension } \ge 2 \text{ (resp. } \ge 3, \text{ resp. } \ge 4).

### b/ Les valeurs approchées des distances $|M_i M_j|$

On applique la formule du théorème 2

$$| M_i M_j | = S_p \sqrt{2} \left( \frac{2\omega(i, j) - 1}{2N} \right)$$

éventuellement, on peut multiplier toutes les distances par une même constante pour la commodité du dessin ou du calcul.

### c/ Construction du système S

Si $p = 2$, on peut tâtonner en utilisant un compas : on met d'abord en place les trois sommets du triangle à peu près équilatéral (cf. a) et l'on place les autres points aussi près que possible des cercles (centrés aux points déjà placés) où ils devraient se trouver, en s'assurant que l'on ne modifie pas trop les inégalités que doivent vérifier les distances. L'expérience nous a montré (cf. infra exemples) que si l'on part de l'ordonnance $\omega$ d'une figure plane de 8 ou 9 points seulement, on retrouve cette figure, à une similitude près, avec une approximation qui surprend. A noter, pour ceux qui voudraient faire des expériences personnelles, que la figure reconstruite a une chance sur deux d'être déduite (approximativement) de la figure initiale par une similitude inverse : pour évi-
ter cela, on peut se donner le sens du premier triangle que l'on
met en place, ou travailler sur un papier translucide et retourner,
si besoin est, la figure reconstruite pour la comparer à la figure
initiale !

Si $p = 1$, même jeu de compas que pour $p = 2$.

Pour les grandes valeurs de p, on peut, comme Shepard à
la fin de sa construction, avoir recours à l'analyse factorielle dont
le théorème 1 du § II n° 5 légitime ici l'emploi.

7. Exemple d'application de la construction précédente(1).

Des exemples donnés ci-dessous, l'un est emprunté à Shepard,
l'autre a été ainsi construit : les 8 points sont les $x$ et les $z$
d'une page de texte imprimé en français ! Nous avons indiqué en
face de leurs rangs les couples $(i, j)$, leurs distances initiales, les
distances approchées calculées et les distances mesurées sur la fi-
gure reconstruite au compas. Pour faciliter les comparaisons, les
distances ont été réduites à avoir pour moyenne 100.

<footnote>(1) Ces exemples ont été traités par Monsieur P. Leroy.</footnote>
1er exemple
SHEPARD (9 points)

<table><thead><tr><th>N°</th><th>Nom</th><th>d<br>mesurée</th><th>d<br>norma-<br>lisée<br>dx 100</th><th>χ<br>mesuré</th><th>χ<br>norma-<br>lisé<br>χ = 100</th><th>d<br>expéri-<br>mentale</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>6-9</td><td>67</td><td>182</td><td>146</td><td>235</td><td>175</td></tr><tr><td>2</td><td>1-9</td><td>66</td><td>180</td><td>125</td><td>201</td><td>172</td></tr><tr><td>3</td><td>3-9</td><td>64</td><td>174</td><td>115</td><td>185</td><td>165</td></tr><tr><td>4</td><td>1-8</td><td>57</td><td>155</td><td>109</td><td>175</td><td>158</td></tr><tr><td>5</td><td>1-6</td><td>56</td><td>153</td><td>102</td><td>164</td><td>158</td></tr><tr><td>6</td><td>2-9</td><td>53,5</td><td>146</td><td>98</td><td>158</td><td>136</td></tr><tr><td>7</td><td>4-6</td><td>52</td><td>142</td><td>93</td><td>148</td><td>136</td></tr><tr><td>8</td><td>2-6</td><td>48,5</td><td>132</td><td>89</td><td>143</td><td>130</td></tr><tr><td>9</td><td>1-7</td><td>48</td><td>131</td><td>85</td><td>137</td><td>121</td></tr><tr><td>10</td><td>6-7</td><td>47,5</td><td>130</td><td>81</td><td>130</td><td>124</td></tr><tr><td>11</td><td>5-9</td><td>46</td><td>125</td><td>77</td><td>124</td><td>123</td></tr><tr><td>12</td><td>2-8</td><td>45</td><td>123</td><td>74</td><td>119</td><td>121</td></tr><tr><td>13</td><td>8-9</td><td>44</td><td>120</td><td>71</td><td>114</td><td>117</td></tr><tr><td>14</td><td>3-7</td><td>42,5</td><td>116</td><td>68</td><td>109</td><td>105</td></tr><tr><td>15</td><td>1-4</td><td>38,5</td><td>105</td><td>66</td><td>106</td><td>102</td></tr><tr><td>16</td><td>3-4</td><td>38,5</td><td>105</td><td>64</td><td>103</td><td>102</td></tr><tr><td>17</td><td>1-5</td><td>37</td><td>101</td><td>62</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td>18</td><td>3-8</td><td>37</td><td>101</td><td>60</td><td>97</td><td>99</td></tr><tr><td>19</td><td>4-8</td><td>36</td><td>98</td><td>57</td><td>92</td><td>97</td></tr><tr><td>20</td><td>2-7</td><td>34</td><td>93</td><td>55</td><td>89</td><td>82</td></tr><tr><td>21</td><td>3-6</td><td>29,5</td><td>81</td><td>53</td><td>85</td><td>81</td></tr><tr><td>22</td><td>4-9</td><td>29</td><td>79</td><td>51</td><td>82</td><td>70</td></tr><tr><td>23</td><td>7-8</td><td>27,5</td><td>75</td><td>48</td><td>77</td><td>78</td></tr><tr><td>24</td><td>1-3</td><td>27</td><td>74</td><td>46</td><td>74</td><td>78</td></tr><tr><td>25</td><td>5-6</td><td>27</td><td>74</td><td>44</td><td>71</td><td>72</td></tr><tr><td>26</td><td>2-5</td><td>25</td><td>68</td><td>41</td><td>66</td><td>66</td></tr><tr><td>27</td><td>4-5</td><td>25,0</td><td>68</td><td>39</td><td>63</td><td>66</td></tr><tr><td>28</td><td>2-4</td><td>24,5</td><td>67</td><td>37</td><td>60</td><td>66</td></tr><tr><td>29</td><td>6-8</td><td>24,5</td><td>67</td><td>34</td><td>55</td><td>61</td></tr><tr><td>30</td><td>5-7</td><td>24</td><td>65</td><td>31</td><td>50</td><td>60</td></tr><tr><td>31</td><td>2-3</td><td>23</td><td>63</td><td>29</td><td>47</td><td>60</td></tr><tr><td>32</td><td>7-9</td><td>22,5</td><td>61</td><td>25</td><td>40</td><td>60</td></tr><tr><td>33</td><td>5-8</td><td>20,5</td><td>56</td><td>22</td><td>35</td><td>57</td></tr><tr><td>34</td><td>3-5</td><td>19</td><td>52</td><td>18</td><td>29</td><td>50</td></tr><tr><td>35</td><td>1-2</td><td>14</td><td>38</td><td>14</td><td>23</td><td>39</td></tr><tr><td>36</td><td>4-7</td><td>12</td><td>33</td><td>8</td><td>13</td><td>23</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Fonction de répartition

F(x) 2 degrés de liberté

Utilisation dans le cas de 9 points
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>1er Exemple SHEPARD (9 points).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
2e exemple
(8 points)

<table><thead><tr><th>N°</th><th>Nom</th><th>d<br>mesurée</th><th>d<br>norma-<br>lisée<br>d = 100</th><th>χ<br>mesuré</th><th>χ<br>norma-<br>lisé<br>χ = 100</th><th>d<br>expéri-<br>mentale</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1-8</td><td>96</td><td>218</td><td>142</td><td>229</td><td>214</td></tr><tr><td>2</td><td>4-8</td><td>90</td><td>205</td><td>120</td><td>193</td><td>203</td></tr><tr><td>3</td><td>6-8</td><td>83</td><td>193</td><td>110</td><td>177</td><td>194</td></tr><tr><td>4</td><td>5-8</td><td>74</td><td>168</td><td>103</td><td>166</td><td>144</td></tr><tr><td>5</td><td>2-8</td><td>66</td><td>150</td><td>97</td><td>156</td><td>140</td></tr><tr><td>6</td><td>7-8</td><td>62</td><td>141</td><td>91</td><td>147</td><td>133</td></tr><tr><td>7</td><td>3-6</td><td>57</td><td>130</td><td>85</td><td>137</td><td>131</td></tr><tr><td>8</td><td>3-4</td><td>52</td><td>118</td><td>81</td><td>130</td><td>118</td></tr><tr><td>9</td><td>2-6</td><td>52</td><td>118</td><td>76</td><td>122</td><td>117</td></tr><tr><td>10</td><td>3-8</td><td>52</td><td>118</td><td>72</td><td>116</td><td>116</td></tr><tr><td>11</td><td>1-3</td><td>50</td><td>114</td><td>69</td><td>111</td><td>111</td></tr><tr><td>12</td><td>1-7</td><td>44</td><td>100</td><td>66</td><td>106</td><td>106</td></tr><tr><td>13</td><td>2-4</td><td>43</td><td>98</td><td>63</td><td>101</td><td>98</td></tr><tr><td>14</td><td>3-5</td><td>42</td><td>96</td><td>60</td><td>97</td><td>92</td></tr><tr><td>15</td><td>3-7</td><td>41</td><td>93</td><td>57</td><td>92</td><td>92</td></tr><tr><td>16</td><td>2-7</td><td>40</td><td>91</td><td>54</td><td>87</td><td>90</td></tr><tr><td>17</td><td>1-2</td><td>37</td><td>84</td><td>51</td><td>82</td><td>85</td></tr><tr><td>18</td><td>1-6</td><td>36</td><td>82</td><td>48</td><td>77</td><td>80</td></tr><tr><td>19</td><td>2-5</td><td>36</td><td>82</td><td>45</td><td>72</td><td>79</td></tr><tr><td>20</td><td>4-7</td><td>30</td><td>68</td><td>42</td><td>68</td><td>79</td></tr><tr><td>21</td><td>1-5</td><td>29</td><td>65</td><td>39</td><td>63</td><td>69</td></tr><tr><td>22</td><td>6-7</td><td>23</td><td>52</td><td>36</td><td>58</td><td>62</td></tr><tr><td>23</td><td>1-4</td><td>19</td><td>43</td><td>33</td><td>53</td><td>41</td></tr><tr><td>24</td><td>4-6</td><td>17</td><td>39</td><td>29</td><td>47</td><td>40</td></tr><tr><td>25</td><td>5-6</td><td>16</td><td>36</td><td>26</td><td>42</td><td>39</td></tr><tr><td>26</td><td>4-5</td><td>16</td><td>36</td><td>22</td><td>35</td><td>41</td></tr><tr><td>27</td><td>2-3</td><td>15</td><td>34</td><td>12</td><td>19</td><td>26</td></tr><tr><td>28</td><td>5-7</td><td>15</td><td>34</td><td>9</td><td>15</td><td>39</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>2ème Exemple (8 points)</figcaption></figure>
NOTE 1 : Voici, sans justification théorique rigoureuse, une modification de la construction donnée dans ce n° pour le cas où les points $M_i$ sont affectés de masses inégales $m_i$. On pose

$$N(m) = \sum_{i,j} m_i m_j \quad (\text{somme à N} = \frac{n(n-1)}{2} \text{ termes distincts})$$
$$r(i, j) = \sum_{i', j'} m_{i'} m_{j'}$$
$$\omega(i, j') < \omega(i, j)$$

et l'on a pour distances approchées

$$|M_i M_j| = S_p \sqrt{2} \left( \frac{2r(i, j) + m_i m_j}{2N(m)} \right)$$

On vérifie que cette formule coïncide avec celle de b si les $m_i$ sont tous égaux entre eux. Pour une justification heuristique, considérer les $|M_i M_j|$ comme un échantillon pondéré par les $m_i m_j$ de la loi de $\chi$ (racine carrée d'un $\chi^2$ à p variables).

La construction modifiée fournit une solution approchée au problème de l'analyse factorielle : soit un nuage de points $M_i$, affectés de masses $m_i$, les distances $M_i M_j$ étant connues. On peut pour représenter le nuage, e. g., dans un plan, extraire deux facteurs (cf. § II). Il est plus simple, sinon aussi rigoureux, de n'exploiter que la connaissance des masses m et des inégalités entre les distances, pour restituer, par la formule en $r(i, j)$ et $N(m)$, les distances approchées d'une figure plane, que l'on construit rapidement au compas par tâtonnements. (cf. c).

NOTE 2 : Supposons que la figure de n points que l'on cherche à reconstruire d'après son ordonnance soit un échantillon de la distribution de densité uniforme sur le disque de rayon 1 (ou sur un autre domaine, e. g., un rectangle) : la distribution des distances interponctuelles ne sera évidemment pas une loi de $\chi$, mais une autre loi, facile à déterminer d'ailleurs ; les écarts seront d'autant plus sensibles que l'on aura plus de points dans l'échantillon, la loi de $\chi$ tendant alors à donner au diamètre de la figure une valeur supérieure au diamètre du disque ! On peut, dans certains cas pratiques, avoir à modifier la reconstruction suivant la remarque faite ici, mais, en général, la loi de $\chi$ est, pour des raisons théoriques, celle à laquelle on aura recours naturellement.
BIBLIOGRAPHIE

[1] SHEPARD (R.N.) : The analysis of proximities : Multidimensional scaling with an unknown distance function I, *Psychometrika* 27 (1962), 125-140.

[2] SHEPARD (R.N.) : idem II, *Psychometrika* 27 (1962), 219-246.

[3] SHEPARD (R.N.) : Analysis of proximities as a technique for the study of information processing in man, *Human Factors* 5 (1963), 33-48.

Faculté des Sciences
Rennes

Reçu le 20 mai 1964