Ensemble de non-synthèse uniforme dans les algèbres $A_p(G)$

par

N. LOHOUE (Grenoble et ORSAY)

**Introduction.** On a rassemblé ci-dessous quelques définitions utiles à la compréhension du texte.

$G$ désigne un groupe abélien localement compact, non discret, muni d'une mesure de Haar $dx$. $\Gamma$ est le groupe dual de $G$ muni de la mesure de Haar normalisée $d\gamma$. $L^p(G)$ est l'espace de Banach classique associé au couple $(G, dx)$, $p \ge 1$.

Un convoluteur de $L^p(G)$ est un opérateur de $L^p(G)$ dans $L^p(G)$ qui commute avec les translations. A un convoluteur $T$ on sait associer ([3], p. 4) un élément $\hat{T}$ dit multiplicateur de $\mathcal{F}L^p(G)$, tel que pour toute fonction $f$ de $L^p(G) \cap L^2(G)$ on ait $T(\hat{f}) = \hat{T} \cdot \hat{f}$ (ê f étant la transformée de Fourier de $f$).

On note $CV_p(G)$ l'algèbre de Banach des convoluteurs de $L^p(G)$ (la norme $\|T\|CV_p(G)$ d'un élément $T$ de $CV_p(G)$ étant sa norme d'opérateur).

On dit qu'une fonction $f$, définie sur $G$, à valeurs complexes, appartient à $A_p(G)$, si elle s'exprime de la façon suivante ($*$ est le symbole de convolution):

$$ \forall \omega \in G, \quad f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} f_i * g_i(x) $$

($f_i \in L^p(G)$, $g_i \in L^q(G)$, $q$ étant l'exposant conjugué de $p$), avec

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \|f_i\|_{L^p(G)} \times \|g_i\|_{L^q(G)} < \infty. $$

On munit $A_p(G)$ de la norme suivante:

$$ \|f\|_{A_p(G)} = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} \|f_i\|_{L^p(G)} \times \|g_i\|_{L^q(G)} \right\}. $$

$A_p(G)$ est alors une algèbre de Banach pour le produit ponctuel (Th. C. Herz, voir [1]). Son dual est isomorphe et isométrique à $CV_p(G)$ (Th. A. Figa-Talamanca, voir [2]). Si $T$ est un convoluteur, la forme
linéaire associée est définie comme suit:

$$ \forall f \in A_p(G) (f = \sum_{i=1}^{\infty} f_i * g_i), \quad \langle T, f \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} T(f_i) * g_i(0). $$

On montre que $A_2(G)$ est l'algèbre de Banach des transformées de Fourier des éléments de $L^1(\Gamma)$ munie de la norme provenant de $L^1(\Gamma)$, et qu'elle est incluse dans $A_p(G)$ pour tout $p$ (voir [1]).

Dans cet article on se propose de mettre en évidence un sous-ensemble fermé du groupe $G$ qui n'est de synthèse pour aucune algèbre $A_p(G)$, $p \neq 1$.

Pour résoudre le problème on va montrer qu'il existe une fonction $f$ de $A_2(G)$ qui engendre dans chaque $A_p(G)$ un idéal fermé non auto-adjoint.

On établira ce résultat pour un groupe compact infini et on le généralisera à l'aide du théorème de structure.

I. THÉORÈME. Si $G$ est un groupe abélien compact infini, alors il existe une fonction $f$ de $A_2(G)$ qui engendre dans chaque $A_p(G)$ un idéal fermé non auto-adjoint.

Démonstration. On va utiliser la construction de P. Malliavin [4] et ses variantes classiques.

On désigne par $\Omega$ le produit dénombrable d'intervalle$[0,1]$; les coordonnées d'un point $\omega$ de $\Omega$ sont $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots, \omega_n, \dots$.

On note $d\omega$ la mesure sur $\Omega$ produit des mesures de Lebesgue sur chaque intervalle, $\varphi_k(\omega)$ une suite de variables aléatoires, gaussiennes, normales, indépendantes sur l'espace de probabilité $\Omega$.

D'après [5], 7.7, on peut choisir une suite $(\gamma_k)$ d'éléments de $\Gamma$ telle que les trois conditions ci-dessous soient vérifiées.

1. La fonction en la variable $x$

$$ \hat{f}(x, \omega) = \sum_{k \text{ pair}} k^{-2} \varphi_k(\omega) \text{Re}\langle x, \gamma_k \rangle + i \sum_{k \text{ impair}} k^{-2} \varphi_k(\omega) \text{Re}\langle x, \gamma_k \rangle, $$

appartient presque sûrement à $A_2(G)$. (Cette condition est d'ailleurs toujours satisfaite.)

2. Soient $a_\gamma(u, v, \omega) ((u, v) \in \mathbb{R}^2)$ définis par

$$ \sum_{\gamma \in \Gamma} a_{\gamma}(u, v, \omega) \langle \omega, \gamma \rangle = \prod_{k \text{ pair}} \text{Exp} \left( -i \frac{u}{k^2} \cdot \varphi_k(\omega) \text{Re} \langle \omega, \gamma_k \rangle \right) \cdot \\ \times \prod_{k \text{ impair}} \text{Exp} \left( -i \frac{v}{k^2} \varphi_k(\omega) \cdot \text{Re} \langle \omega, \gamma_k \rangle \right) $$

et

$$ B(u, v, \omega) = \sum_{\gamma \in \Gamma} |a_{\gamma}(u, v, \omega)|^4, $$

alors il existe une constante $\delta > 0$ dépendant de $\{\gamma_k\}$ telle que

$$ \int_{\Omega} B(u, v, \omega) d\omega \le 2 \text{Exp}\{-\delta(|u|^{1/2} + |v|^{1/2})\}. $$

3. Soit $\Psi_\omega(\gamma')$ la fonction définie par

$$ \Psi_{\omega}(\gamma') = \int_{\mathbb{R}^2} (u-iv)a_{\gamma'}(u, v, \omega)e^{-i\omega s - ivt} ds dt; $$

alors presque sûrement on a

$$ \Psi_{\omega} \in L^{\infty}(\Gamma), \quad \forall \gamma \in \Gamma, \quad \sum_{\gamma' \in \Gamma} \Psi_{\omega}(\gamma') \bar{f}(-\gamma + \gamma', \omega) = 0 $$

et $\sum_{\gamma' \in \Gamma} \Psi_{\omega}(\gamma')f(-\gamma', \omega) \neq 0$ avec une probabilité positive.

On veut montrer que la fonction $\Psi_\omega$ appartient presque sûrement à $L^2(\Gamma)$ pour tout $s > 2$. Soit $0 < \varepsilon < \delta'$. Si

$$ I = \int_{\mathbb{R}^2 \times \Omega} B(u, v, \omega) \text{Exp}\{\varepsilon(|u|^{1/2} + |v|^{1/2})\} du dv d\omega, $$

par application du théorème de Fubini et en tenant compte de ②

$$ I \le 2 \int_{\mathbb{R}^2} \text{Exp}\{(\varepsilon - \delta)(|u|^{1/2} + |v|^{1/2})\} du dv < \infty, $$

donc

$$ \int_{\mathbb{R}^2} B(u, v, \omega) \text{Exp}\{\varepsilon(|u|^{1/2} + |v|^{1/2})\} du dv \quad \textcircled{4} $$

est presque sûrement finie.

Soit $2 < s < 4$. A cause de ④, l'application répétée de l'inégalité de Hölder montre comme dans [5], 7.8.6, que la série $\sum_{\gamma' \in \Gamma} |\Psi_{\omega_0}(\gamma')|^s$ est presque sûrement convergente.

Soit $\omega_0$ tel que $\Psi_{\omega_0}$ appartienne à $L^s(\Gamma)$ pour tout $s > 2$, $\hat{f}(x, \omega_0)$ appartienne à $A_2(G)$ et tel que ③ soit vérifiée.

Soient par ailleurs $1 < p < 2$, $s_0 = 2p/(2-p)$; $\Psi_{\omega_0} \in L^s(\Gamma)$; $\Psi_{\omega_0} = \Psi_{\omega_0} * \delta_0$, $\delta_0$ étant la masse de Dirac de l'élément neutre de $\Gamma$. Du fait que $\delta_0 \in L^1(\Gamma)$ ($r \ge 1$) et d'après [6], $\Psi_{\omega_0}$ est un multiplicateur de $\mathcal{F}L^p(G)$.
Il en est de même pour tout $p \ge 2$, voir [2].

D'autre part, d'après ⑤ et [3], p. 8, si $T_{\psi_{\omega_0}}$ est le convoluteur associé à $\Psi_{\omega_0}$ alors pour tout $\gamma \in \Gamma$

$$ \langle T_{\psi_{\omega_0}}, \hat{f} \gamma \rangle = \sum_{\gamma' \in \Gamma} \Psi_{\omega_0}(\gamma') \bar{f}(-\gamma + \gamma') = 0; $$

$$ \langle T_{\psi_{\omega_0}}, \hat{f} \rangle = \sum_{\gamma' \in \Gamma} \Psi_{\omega_0}(-\gamma') f(\gamma') \neq 0. $$

Par conséquent, $\hat{f}$ n'est pas dans l'idéal fermé de $A_p(G)$ engendré par $\bar{\hat{f}}$.
## II. THÉORÈME.
Si $G$ est un groupe abélien localement compact non discret, la conclusion du théorème précédent est encore valable.

**Démonstration.** D'après le théorème de structure, ([5], 2.4.1), $\Gamma = \mathbb{R}^n \times \Gamma_0$ ($n \ge 0$, $\Gamma_0$ contenant un sous-groupe compact et ouvert).

(a) Si $n > 0$ alors $\Gamma$ contient un sous-groupe discret $\Gamma_1$. Désignons par $\Psi_1$ et $\hat{f}_1$ les fonctions associées à $\Gamma_1$ par le théorème I. Soit $W$ un voisinage compact, symétrique de l'élément neutre $\hat{0}$ de $\Gamma$ tel que $2W \cap \Gamma_1 = \hat{0}$. Soient $X_w$ la fonction caractéristique de $W$, $d\Psi_1$ la mesure associée à $\Psi_1$, $\hat{f}_1$ la mesure associée à $\hat{f}_1$. Posons $f = \hat{f} * X_w$, $\Psi = d\Psi_1 * X_w$. On vérifie facilement que $\Psi * L^s(\Gamma)$, $\forall s > 2$ et que $f \in L^1(\Gamma)$. Par ailleurs si $\hat{f}(\gamma) = \hat{f}(-\gamma)$ on voit aisément, d'après le choix de $\Psi_1$ et $f_1$ que $\Psi * \hat{f} = 0$ et que $\Psi * \hat{f}(\hat{0}) \ne 0$.

Il existe par conséquent une fonction continue à support compact $h$ telle que $\Psi * f * h(\hat{0}) \ne 0$ et $\Psi * \hat{f} * h = 0$.

Comme $h \in L^r(\Gamma)$, $\forall r \ge 1$, d'après $V$, $\Psi * h$ est un multiplicateur de $\mathcal{F}L^p(G)$ pour tout $p > 1$.

Par ailleurs $\hat{f} = \hat{f}_2$; $\hat{f}$ n'est donc pas dans l'idéal fermé de $A_p(G)$ engendré par $\hat{f}$.

(b) Si $n = 0$, alors $\Gamma$ contient un sous-groupe compact et ouvert $\Gamma_2$, dont la mesure $m(\Gamma_2)$ est par conséquent finie, non nulle.

Soient $k$ l'application naturelle de $\Gamma$ dans $\Gamma/\Gamma_2$, $\Psi_2$, $\hat{f}_2$ les fonctions appartenant l'une à $L^s(\Gamma/\Gamma_2)$ l'autre à $A_2(G)$ obtenues par le théorème I.

Posons $\Psi = \Psi_2 \circ k$; $\hat{f} = f_2 \circ k$.

D'après [5], 2.7.3, on voit immédiatement que, d'une part $\Psi \in L^s(\Gamma)$, $f \in L^1(\Gamma)$ et d'autre part,

$$ \Psi * f(\hat{0}) = \text{mes}(\Gamma_2) \times (\Psi_2 * f_2)(k(\hat{0})) \neq 0, $$

$$ \Psi * \hat{f}(\gamma) = \text{mes}(\Gamma_2) \times (\Psi_2 * \hat{f}_2)(k(\gamma)) = 0. $$

Un raisonnement analogue à celui fait à la fin de (a) montre que $\hat{f}$ n'est pas dans l'idéal fermé de $A_p(G)$ engendré par $\hat{f}$.

## III. COROLLAIRE.
Tout groupe $G$ contient un sous-ensemble fermé qui n'est de synthèse pour aucune algèbre $A_p(G)$ ($p \ne 1$).

Il suffit de prendre $\hat{f}^{-1}(0)$, $\hat{f}$ étant donnée par le théorème II. $\hat{f}^{-1}(0)$ ne sera de synthèse pour aucune algèbre $A_p(G)$ puisque $\hat{f}$ n'est pas dans l'idéal fermé de $A_p(G)$ engendré par $\hat{f}$.

Les ensembles de synthèse uniforme $E$, sont étroitement liés aux éléments $f$ de $A_2(G)$ tel que $\hat{f}^{-1}(0) = E$, plus précisément on a le résultat suivant:

## IV. THÉORÈME.
Si $E$ est un fermé $G_5$ et si $E$ est de synthèse uniforme, il existe une fonction $h$ de $A_2(G)$ telle que $h^{-1}(0) = E$ et que pour tout $p$ l'idéal de $A_p(G)$ constitué des fonctions qui s'annulent sur $E$ est engendré par $h$.

**Démonstration.** $E$ étant de synthèse uniforme il suffit de construire une fonction $h$ de $A_2(G)$ telle que $h^{-1}(0) = E$. Comme $E$ est $G_5$, son complémentaire $E'$ est un ouvert $F_5$: $E' = \bigcup K_n$, $K_n$ compact et $K_n \subset E'$. Comme $K_n \cap E$ est vide il existe un voisinage $W_n$ de $K_n$ et un voisinage $V_n$ de $E$ tel que $W_n \cap V_n = \emptyset$; alors d'après [5], 2.6.2, il existe une fonction $h_n$ de $A_2(G)$ telle que $h_n \equiv 1$ sur $K_n$, $h_n \equiv 0$ en dehors de $W_n$ et $0 \le h_n \le 1$.

Soit

$$ x_m = \sum_{i=1}^{m} 2^{-n} \frac{h_n}{\|h_n\|_{A_2(\sigma)}}; $$

$x_m$ converge vers un élément $h$ de $A_2(G)$.

D'après le choix des $h_n$, $E \subset h^{-1}(0)$.

Soit par ailleurs $\alpha \in E$, alors il existe $n_0$ tel que $\alpha \in K_n$, par le choix des $h_n$, $h_{n_0}(a) = 1$ et comme $0 \le h_n \le 1$ on a $h(a) \ne 0$ et par conséquent $h^{-1}(0) = E$.

Remarque. On peut utiliser la construction ci-dessus conjointement avec la courbe de Eymard [1] pour mettre en évidence une fonction $h'$ telle que

$$ \|h'\|_{A_p(\mathbb{R}^n)} < \|h'\|_{A_{p_1}(\mathbb{R}^n)} \quad \text{si } n \ge 3 \text{ et } p < p_1 \le 2. $$

### Travaux cités

[1] P. Eymard, Séminaire sur les convoluteurs, Nancy 1968-69.

[2] A. Figa-Talamanca, On multipliers of p-integrable functions, Bull. A. M. S. 70 1964.

[3] N. Lohoue, Analyse harmonique dans les espaces de multiplicateurs, Thèse de 3e Cycle, Grenoble 1969.

[4] P. Malliavin, Sur l'impossibilité de la synthèse spectrale dans les groupes abéliens localement compactes, Publications I. H. E. S. 1959.

[5] W. Rudin, Fourier analysis on groups, New York - London 1962.

[6] V. L. Shin-Hann, On multipliers of p-integrable functions, Trans. Amer. Math. Soc. 128 (1967), p. 321-329.

Reçu par la Rédaction le 25. 5. 1969