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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Ecole Nationale Supérieure des Industries Chimiques

THESE
Doctorat d'État-Sciences
Présentée pour obtenir le grade de
DOCTEUR ES SCIENCES

Par

Serge REBOUILLAT

CONTRIBUTION A L'ETUDE FONDAMENTALE DE LA DEFORMATION
DE MILIEUX POREUX SATURES

soutenue publiquement le 6 novembre 2002 devant la commission d'examen :

JURY :

Président : M. D. TONDEUR (CNRS-LSGC Nancy)

Rapporteurs : MM. J. HERMIA (Université Louvain-la-Neuve)
D. LECLERC (Université Henri Poincaré Nancy)
J.C. ROUX (EFPG-INPG Grenoble)

Examinateurs :
Mme A. VOILLEY (ENSBANA - Dijon)
M. E. VOROBIEV (UTC - Compiègne)

Invités :
MM. O. CAMPANELLA (PURDUE University - USA)
M. PELEG (University of Massachusetts - USA)

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## Préface

> « J'écris avec facilité et joie ce qui me vient à l'esprit ; mais je reste gêné par la quantité de notes que j'ai prises – durant ces quinze dernières années – et que je ne sais où ni comment intercaler. Seul ce travail de jointoiement est difficile ; les pensées une fois refroidies, sont récalcitrantes et se refusent à la soudure. »

Cet extrait d'une préface d'André GIDE (1942 Théâtre de Goethe) vient à point pour exprimer et amalgamer les deux formidables sensations qui ont dominé mon état d'esprit durant la synthèse et la rédaction de ce travail de recherche scientifique : l'enthousiasme et l'intensité de l'effort fourni durant les périodes de réflexion constamment hachées par des responsabilités toujours croissantes sans rapport direct avec cette tâche. Comment bien lier et bien résumer une démarche scientifique de longue durée, souvent interrompue, en préservant l'essence même de celle-ci qui réside dans sa durée, son évolution et sa diversité ? Tel fût le dilemme associé à cette rédaction de thèse, lequel par la même occasion a été sa principale motivation sachant que l'enthousiasme et l'opiniâtreté ne pouvaient que l'emporter pour que la science s'y retrouve.

Ce mémoire retrace les recherches conduites au laboratoire des Sciences du Génie des Procédés (LSGC) de l'Ecole Nationale Supérieure des Industries Chimiques sous la direction du Professeur Dominique LECLERC et du Directeur CNRS Jean-Claude CHARPENTIER, initialement, puis au département du Génie des Procédés Chimiques et Alimentaires à l'université du Massachusetts sous la direction des Professeurs Henry G. SCHWARTZBERG et M. PELEG. Il va sans dire que, le LSGC restera, en la personne de Dominique LECLERC, la liaison relais, la source de compétences multidisciplinaires, le centre de validation initiale des démarches scientifiques.

C'est à Dominique LECLERC, ci-contre, professeur à l'Université Henri POINCARE de Nancy, que je souhaite rendre hommage, pour avoir établi la Science des Séparations Solides-Liquides à Nancy et m'avoir associé à ce projet avec un sens humain du parrainage scientifique. Je lui dois beaucoup dans mon apprentissage de la recherche et je retiens, entre autres, la confiance et la flexibilité qui, « instaurées » naturellement, stimulent la créativité.

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Jean-Claude CHARPENTIER, Président de la Société Européenne du Génie Chimique et Directeur-créateur de l’Ecole de Chimie-Physique-Electronique de Lyon (CPE), m’a convaincu, dès mon apprentissage à la recherche, de la richesse des liaisons industrielles.

Que le Professeur Pierre LE GOFF trouve ici l’expression de ma reconnaissance pour nous avoir associés à certains de ces projets portant sur l’aspect énergétique que lui seul peut traiter avec autant de génie et d’humanisme.

Dans le même esprit, que Daniel TONDEUR, Directeur de Recherche au CNRS, médaillé du CNRS, soit associé à mes remerciements et accepte l’expression d’une certaine admiration pour demeurer aussi fidèle aux fondements de la Science.

Le regretté Jacques VILLERMAUX ne peut pas être omis par un ancien élève de la section spéciale de l'ENSIC.

J’adresse ma gratitude au Professeur Micha PELEG, de l’Université du Massachusetts. Sa dextérité en matière de publications (plus de 300), ses qualités humaines et son inclinaison pour la communauté internationale sont remarquables. Je me permets de nommer ici un ami commun, Oswaldo CAMPANELLA, Professeur à l’Université de PURDUE, pour la qualité intellectuelle et humaine qu’il investit dans les relations.

Le Professeur Jacques HERMIA, Directeur de l'Unité Procédés de l'Université Catholique de Louvain-la-Neuve, spécialiste international de la séparation solide-liquide trouvera ici toute ma reconnaissance pour avoir fidèlement suivi et supporté les travaux scientifiques du groupe.

Les Professeurs Jean-Claude ROUX (EFPG-INPG), Henri SCHWARTZBERG (UMASS), Andrée VOILLEY (Université de Bourgogne), Eugène VOROBIEV (UTC) m'ont convaincu de la valeur de l'esprit d'équipe dans le domaine de la recherche.

John DODDS, Fernand PLA, Edouard MINERY, Gérard BALUAIS font aussi partie de cette expérience et je les en remercie.

Je ne puis, à ce stade des remerciements, qu’évoquer la mémoire de mon Père dont les traits dominants, habileté manuelle, précision, sens inné de l’ingénierie fiable et durable, conscience écologique et disposition naturelle pour le service gracieux, méritent citation.

Je souhaite aussi remercier, Marie-Claude, mon épouse, dont la maîtrise et la ferveur au quotidien aussi bien que dans l'exceptionnel ont ressourcé ma persévérance, et nos deux filles Emily et Pauline pour avoir contribué à faire renaître la logique des choses simples.

Enfin, et même s'il a souhaité trop modestement ne pas figurer sur cette liste, je remercie cet ami pour avoir accepté de vérifier bon nombre d'équations et de reproduire certaines illustrations.
Sommaire

AVANT-PROPOS P. 1

SOMMAIRE P. 3

RESUME P. 6

ABSTRACT P. 7

INTRODUCTION, CHRONOLOGIE ET METHODOLOGIE P. 8

La séparation solide-liquide dans un contexte de développement technologique durable et soutenable aux plans énergétique, environnemental et économique.

CHAPITRE 1

PRELIMINAIRE THEORIQUE CONCERNANT LA DEFORMATION D'UN
MILIEU POREUX SATURE (SPM)
P. 20

CHAPITRE 2

LA COMPRESSION UNIDIRECTIONNELLE A PRESSION CONSTANTE
(CPC)
P. 31

2.1. RAPPELS THEORIQUES P. 31

2.2 ILLUSTRATION EXPERIMENTALE P. 49

2.3. SENSIBILITE ECONOMIQUE ET ENERGETIQUE P. 50

2.4 CONCLUSION P. 52

CHAPITRE 3
LA COMPRESSION UNIDIRECTIONNELLE A DEFORMATION
CONSTANTE (CDC)

P. 74

3.1 APPAREILLAGE - METHODES - MATERIAUX ET
CONDITIONS OPERATOIRES

3.2 LES RESISTANCES SPECIFIQUES DYNAMIQUES ET
STATIQUES

P. 86

3.3 PROPRIETES MECANIQUES DE MATERIAUX
BIOLOGIQUES ETUDIES

3.4 LE FLUAGE DES TOURBES ET LA RELAXATION APRES
LA COMPRESSION

P. 87

3.5 LA COMPRESSION A DEFORMATION CONSTANTE

P. 99

3.5.1 CDC DANS LE CAS DE LA VARIATION LINEAIRE DU
RAPPORT DE VIDE - SPM NON-LINEAIRE (CDC1)

P. 101

3.5.2 CDC DANS LE CAS DES LARGES DEFORMATIONS - SPM
LINEAIRE OU NON (CDC2)

P. 117

3.5.3 CDC DANS LE CAS DES FAIBLES DEFORMATIONS. -
SPM LINEAIRE (CDC3)

P. 135

3.5.4 ILLUSTRATION EXPERIMENTALE ET COMPARAISON
DES TROIS APPROCHES : CDC1, CDC2 ET CDC3

P. 138

3.6 CONCLUSION GENERALE DE LA CDC

P. 142

CHAPITRE 4

LA COMPRESSION AXIALE AVEC ECOULEMENT RADIAL (CAR) ET LE
PRESSAGE A VIS

P. 144

4.1 THEORIE

P. 146

4.2 ASPECT EXPERIMENTAL

P. 158

4.3 INTERPRETATION ET CONCLUSION

P. 173

CHAPITRE 5

UNE RELATION THERMODYNAMIQUE POUVANT SERVIR DE RELAIS
POUR LES ETUDES FUTURES

P. 176
<table><tr><td>D'AUTRES ORIENTATIONS PROMETTEUSES</td><td>P. 185</td></tr><tr><td>CONCLUSION</td><td>P. 192</td></tr><tr><td>NOMENCLATURE</td><td>P. 197</td></tr><tr><td>REFERENCES CLASSEES</td><td>P. 204</td></tr><tr><td>ANNEXES</td><td>P. 243</td></tr><tr><td>ANNEXES A1</td><td>P. 244</td></tr><tr><td>ANNEXES A2</td><td>P. 261</td></tr><tr><td>ANNEXES A3</td><td>P. 269</td></tr><tr><td>ANNEXES A4</td><td>P. 285</td></tr><tr><td>ANNEXES A5</td><td>P. 290</td></tr><tr><td>ANNEXES A6</td><td>P. 326</td></tr><tr><td>ANNEXES A7</td><td>P. 334</td></tr><tr><td>ANNEXES A8</td><td>P. 337</td></tr><tr><td>ANNEXES A9</td><td>P. 341</td></tr><tr><td>ILLUSTRATION NOSTALGIQUE</td><td>P. 344</td></tr><tr><td>HOMMAGE A DARCY</td><td>P. 345</td></tr><tr><td>AUTORISATION DE SOUTENANCE</td><td>P. 346</td></tr></table>
Résumé

Environnement, énergie et développement durable sont intrinsèquement liés. C'est dans ce contexte que se situent les travaux techniques et scientifiques rapportés dans ce mémoire.

Un potentiel important de réduction de la consommation d'énergie existe encore dans de nombreux secteurs pouvant faire usage des modes mécaniques de séparation de phases. Ce sont par exemple les industries minières, agroalimentaires, papetières, électroniques, pharmaceutiques et biotechnologiques, qui ont toutes à traiter de séparations solides-liquides au combien pesantes, non seulement dans leur bilan économique et énergétique global, mais également au niveau de l'environnement en général et de l'homme en particulier. Le type de séparation solide-liquide qui nous intéresse ici prend en compte des produits et dérivés provenant de ces six secteurs industriels.

Attachés à accroître et à mettre à disposition la compréhension fondamentale et sa composante pratique de la séparation de phases par déformation mécanique multidimensionnelle de milieux poreux saturés, quatre modes de compression sont étudiés sur le plan théorique et illustrés.

Pour cela plusieurs cellules de compression multi-mode (MMCC©) et une unité pilote de pressage à vis (TSPU©) ont été conçues et favorablement testées vis-à-vis de leur compatibilité et de leur potentiel quant à la prédiction de grandeurs caractéristiques de la compression multidimensionnelle.

La compression à pression constante, CPC, et les modèles proposés conviennent mieux à l'étude du comportement des milieux poreux saturés d'origine minérale comme le talc et le kaolin. La durée des expériences n'est pas forcément représentative des pratiques industrielles et la compression secondaire peut paraître quelque peu superflue. L'usage des modèles rhéologiques classiques est à pratiquer avec prudence.

La compression à déformation constante, CDC, sans hypothèse excessivement restrictive concernant les deux paramètres essentiels et caractéristiques de l'écoulement et de la résistance mécanique de la matrice, nous permet de mettre à disposition trois approches théoriques adaptables à une large gamme de situations. Un des apports extrêmement important de la CDC réside dans la rapidité d'exécution des tests.

Les études de la relaxation, qui suit la compression CDC, montrent l'incidence du taux de déformation initial sur les caractéristiques en compression et en relaxation du produit, ouvrant ainsi de nouvelles voies de recherche. Tourbe, pommes, cossettes, protéines lactiques coagulées et airelles suivent une tendance analogue.

En matière de compression avec écoulement multi-axial, sont tout d'abord développés la compression axiale avec écoulement radial central ou périphérique et le cas très général de la compression axiale avec écoulement tridimensionnel puis son extension au cas du pressage à vis. Deux méthodes sont envisagées pour le calcul du temps de séjour à partir des données expérimentales (TSPU©) qui concourent à valider l'approche théorique. On note un bon degré de prévisibilité des performances du pilote à partir de la cellule de laboratoire, MMCC©.

Les trois produits principalement étudiés, viscoélastique non linéaire pour les cossettes, F, semi-solide pour les protéines laitières précipitées, C et semi-liquide pour les airelles, Cr, se distinguent parfaitement dans leur comportement vis-à-vis de cette double résistance, à la perméation et à la déformation. Une base est établie pour l'étude à gradient de pression contrôlé.

Le raffinement de l'exploitation des résultats qui précédent aboutirait à entrevoir d'autres aspects plus spécifiques de la matière SPM traitée et de sa rhéologie. Ceci se situe au-delà de l'objectif défini pour cette étape de travail.

Enfin une application de la thermodynamique statistique de BOLTZMANN et le développement du calcul de l'énergie consommée par unité de volume comprimé semblent très prometteurs.
Abstract

Different types of forces and stress gradients are used to induce compression during the processing of a wide variety of materials. The term expression is generally used when the compression leads to the displacement of a liquid out of a solid-liquid mixture. Most expression processes use the relative movement of solid parts, including inflatable membranes, to transfer the energy required to expel the liquid.

Depending on the geometry of the compression system and the type of movement of the solid parts, which generates the stress gradient inside materials, expression can occur under constant pressure, constant rate or variable pressure / variable rate conditions.

Biological materials, and more generally porous materials containing liquids, are frequently considered as triphasic systems where gas, often air, is trapped into the solid/liquid materials and, sometimes enclosed into the cells. This aspect leads to a complex situation since the air dissipation and the cell rupture mechanism influence the compression behaviour of the mixture. We show that fundamental equations can be rearranged and used to characterize the behaviour of biological materials, such as wastewater sludges and spent sugar beets, undergoing compression under constant applied vertical stress.

After demonstrating that the static filtration characteristics, obtained by permeation through the relaxed cake, are markedly different from the dynamic filtration characteristics calculated from data obtained during the compression test, we show that the compression under constant deformation rate is by far a simpler, quicker and more reliable way to draw more meaningful compression characteristics. Static permeation data, used in the past to predict yields during the dynamic compression of a solid/liquid mixture, are highly suspect in the case of biological materials undergoing active compacting.

This thesis describes a method, which uses a new theory to access the dynamic compression coefficient of biological and food materials. A multi-mode large diameter expression cell has been built to study the dynamic compression characteristics of rather thin layers of materials. The influence of the rate of compression, among other process conditions, is emphasized.

An important theoretical background has been developed regarding multidimensional expression such as the one occurring during axial compression and radial flow. This set of equations is useful to model the expression, which takes place in a screw pilot press designed and instrumented for this study. Both the coefficients of compression obtained during piston-cell compression at the laboratory level and during screw pressing, agree fairly well with each other leading to more meaningful engineering and scientific data.

It has also been shown that the pressure relaxation pattern can be described by simple relationships whose applicability, as well as parameters, can be determined by linear regression. This opens a new area of investigation regarding the possibility to establish correlations between the compression and the relaxation parameters avoiding the controversial use of series of exponentials.

Overall, in this work, a fairly good number of products have been studied such as : kaolin, talc, peat, alfalfa, spent sugar beets, blackcurrant, apples, cranberries, surimi, casein curds, wastewater sludge.

Finally, relationships between the expression parameters and the Arrhenius law are shown to be coherent with the anticipated, nonetheless often disregarded effect of the temperature.

Energy wise the dewatering of bio-products remains a huge potential area for energy saving as being reported in some of the author's publications included in the thesis.
## Introduction, Chronologie et Méthodologie

Dans un contexte - et une volonté affirmée - de développement durable et soutenable, à l'échelle de l'Europe élargie ou de croissance viable - « sustainable growth » - au niveau des Amériques, il est opportun de participer à la consolidation globale des connaissances scientifiques ayant trait aux énergies, à l'environnement et à leurs composantes économiques et humaines.

C'est dans ce cadre que s'insère le mémoire que nous proposons et qui traite des opérations de séparation solide-liquide par compression de milieux poreux saturés selon divers modes unidirectionnels, radiaux, discontinus ou continus. Les produits soumis à l'expérimentation ont plusieurs origines allant des matières premières aux déchets, en passant par des produits semi-ouvrés aux vocations diverses, médicales, alimentaires, électroniques ou purement chimiques ...

Avant de s'attarder sur les aspects scientifiques et technologiques, revenons sur la dimension globale de cette activité de recherche dont le pôle précurseur, d'ancrage puis de liaison, tout au long des recherches conduites, est le Laboratoire des Sciences du Génie Chimique (LSGC) à Nancy. L'équipe de contact permanent et de validation initiale des initiatives conduites, tant au sein de ce laboratoire qu'à l'étranger, est celle animée par D. LECLERC, J. VILLERMAUX, J.C. CHARPENTIER, P. LE GOFF, J.A. DODDS, D. TONDEUR ont eu des rôles essentiels et complémentaires dans l'intégration multidisciplinaire de ce travail au sein de l'environnement de la science des procédés et des nombreuses communautés scientifiques qui s'y rattachent.

Sachant que les deux tiers de l'énergie sont consommés par le quart de la population mondiale, ce rapprochement des connaissances fondamentales, des expertises et des savoir-faire pourrait s'en trouver facilité. Ceci à l'exception des domaines complexes et multidisciplinaires qui se sont quelque peu retrouvés en marge du développement économique et industriel classique. Certaines méthodes de séparation de la matière transformée ou non, comme celle faisant l'objet de ce mémoire, en font parfois partie.

Comme le souligne J. BENDITT, directeur de publication de la revue Innovation du MIT, dans son éditorial de l'édition spéciale « Energy » de février 2002, les nouvelles barrières géopolitiques mises en exergue par la catastrophe du 11 septembre 2001 et l'incontestable impact de notre mode d'utilisation des énergies fossiles sur l'environnement et le climat en particulier, sont des facteurs durables. Et de poursuivre en insistant sur le fait que ces derniers doivent stimuler, même en période de pétrole peu coûteux, la volonté de maintenir un effort de recherche non négligeable dans le domaine de l'innovation en matière d'énergie.

Avec une consommation actuelle mondiale de 10 milliards de tonnes d'équivalent pétrole (tep) par an (United Nations Statistics), devant atteindre 15 milliards de tonnes en 2020, peut-on réellement penser en termes de développement
durable, sachant que non seulement l'énergie disponible mais aussi l'environnement, ozone et dioxyde de carbone inclus, s'inscrivent dans cette notion de pérennité ? Cette question n'est pas aussi incontournable qu'il n'y paraît.

En l'état actuel des connaissances, on peut sans doute compter sur la possibilité de produire environ 3 milliards de tonnes (tep) d'énergie dite renouvelable, non-fossile, à l'horizon 2020. Soyons optimistes et comptons également sur le facteur chance associé à toute découverte ou invention majeure (break-through invention) ; on peut alors ajouter à ces 3 milliards de tep, 2 autres milliards de tep non-fossile et non-nucléaire. Ce scénario conduirait à la situation unique d'une stagnation de la consommation d'énergie fossile et nucléaire. Un tel pari est réaliste. Bien entendu des conditions économiques, politiques, humanitaires et scientifiques s'y rattachent.

Parmi celles-ci il en va du rassemblement des connaissances par les voies traditionnelles mais aussi moins classiques. Il y a bien plus de connaissances à écrire qu'il n'y en a d'écrites. L'industrie, dans un esprit de protection mais aussi de nécessité temporelle et de pyramide des âges, regroupe une base de données technologiques ou scientifiques considérable et pour une grande part non documentée et enregistrée. Les cultures et le savoir-faire non-industriel constituent également des sources diversifiées de données intégrables dans une démarche de « provocation de l'événement majeur » pouvant engendrer le scénario décrit précédemment et la découverte ou l'invention capitale.

C'est dans cet esprit de mise à disposition de la connaissance pratique et purement intellectuelle que nous avons entrepris la démarche de rédaction de ce mémoire, touchant aux préoccupations que nous venons d'évoquer, alors qu'en tant qu'acteur au sein de la grande entreprise, la tâche et les responsabilités s'accroissent jour après jour et sans relâche depuis 16 ans déjà dans un objectif de « sustainable growth ».

La forme de séparation solide-liquide qui nous intéresse ici s'insère parfaitement dans un contexte de développement durable. En effet, les industries minières, - transformation des tourbes par exemple -, agroalimentaires, - production de produits déshydratés pour l'alimentation du bétail et essorage des protéines lactiques coagulées -, papetières, électroniques, - mise en forme des céramiques et du kaolin en particulier -, pharmaceutiques, biotechnologiques, - déshydratation des boues résiduaires -, ont toutes à traiter de séparations solides-liquides au combien pesantes, non seulement dans leur bilan économique et énergétique global mais également au niveau de leur « transférabilité » ; terme difficilement traduisible par le mot mobilité. Des rendements jamais atteints, d'un défaut par million de pièces produites correspondant à l'objectif 6σ des grandes sociétés chimiques et informatiques, et des contraintes de zéro déchet ne font qu'accentuer la nécessité absolue de séparations de phases à la fois simples et performantes. Si l'on inclut dans les opérations de séparation de phases solides-liquides, le compactage de déchets divers domestiques ou industriels, pour leur transport ou leur stockage temporaire, et pourquoi pas la densification des objets volumineux comme les automobiles pour leur recyclage, on peut alors considérer la science des séparations de phases ou de densification de la matière comme essentielle à l'activité humaine actuelle et future.

Sachant que ces dernières consomment 10 à 20 (voire 30) fois moins d'énergie lorsqu'elles sont effectuées par la voie mécanique plutôt que par la voie thermique et qu'elles représentent près du quart de la consommation mondiale en équivalent pétrole, on pourrait aujourd'hui réaliser un gain de 1.5 milliards de tep en convertissant toutes ces opérations thermiques en opérations mécaniques ; ceci tout en réduisant les effets liés aux émissions de dioxyde de carbone. Bien entendu
l'investissement déjà en place et les défis technologiques associés à une telle conversion font partie de la gamme imposante de seuils à franchir.

Les recherches conduites dans le cadre de ce mémoire prennent en compte, sous une forme ou sous une autre, des produits ou des procédés rattachés à au moins quatre des six secteurs industriels clés que nous venons de citer.

Etant donné la cinétique des phénomènes étudiés, nos préoccupations nous éloignent des aspects traditionnels de la mécanique des sols, quant à la prévision de leur stabilité à long terme. Il n'en demeure pas moins important de souligner que la démarche scientifique mise en œuvre présente un intérêt fondamental pour la caractérisation des écoulements hydrodynamiques, des déformations et du comportement des structures affectées par les catastrophes « dites naturelles » ; ces dernières étant souvent influencées par la main de l'homme du fait des infrastructures qu'il a dessinées durant le siècle dernier.

Attachés à accroître et à mettre à disposition la compréhension fondamentale et sa composante pratique de la séparation de phases par déformation mécanique multidimensionnelle de milieux poreux saturés, nous avons pensé qu'il serait utile de procéder de façon chronologique et thématique. En effet la démarche scientifique a ici une importance significative car les travaux effectués en divers endroits ont toujours été menés dans un esprit de complémentarité et d'amélioration des connaissances déjà développées à cet endroit précis ou correspondant à une certaine culture locale, celle du génie des procédés à Nancy ou celle du génie alimentaire à l'université du Massachusetts ou encore celle du génie civil au sein du laboratoire militaire du Génie de l'Air. L'expérimentation a pris une grande place dans la démarche puisque pas moins de 4 cellules de compression « multimode » et une unité pilote de pressage par vis ont été construites.

C'est à E. MINERY que l'on doit la réalisation en 1979, sous la direction de D. LECLERC, de la première cellule de compression-perméabilité au sein du LSGC-Nancy pour l'étude de la filtration et de la déshydratation par compression mécanique des suspensions industrielles floculées ou non. On se doit de reconnaître la qualité exceptionnelle de cette pièce, d'un point de vue du génie mécanique. Il faut aussi souligner la démarche scientifique de départ et l'initiative de D. LECLERC d'intégrer au sein du laboratoire des Sciences du Génie Chimique une facette nouvelle de la séparation solide-liquide et d'en fournir non seulement les moyens mais la continuité du suivi scientifique sur une période de plus de vingt ans. Cette première cellule limitera le champ d'étude à la compression mécanique à pression constante, s'agissant de la pression appliquée au sommet du piston de la chambre de compression. D'un diamètre de 85 mm, donc un rapport géométrique L/D (hauteur/diamètre) déjà favorable à la réduction des forces de friction, comparativement aux cellules de H.G. SWARTZBERG et I. KORMENDY, elle servira de base à nos premiers travaux puis elle sera modifiée. Equipée par nos soins en 1981 de glissières en Teflon®, pour réduire davantage les forces de friction, de capteurs de force et de déplacement reliés à un enregistrement automatisé et continu, cette cellule sera dans un premier temps utilisée pour l'analyse des limites des modèles de M. SHIRATO développés sur la base de la mécanique des sols. Pour cela, des poudres minérales, telles que le kaolin et le talc entrant dans la fabrication de céramiques, seront utilisées afin de bien respecter l'une des hypothèses majeures de ces modèles, à savoir l'incompressibilité de la matrice solide. D'intéressantes situations expérimentales seront découvertes lors de l'étude de boues semi-solides constituées à partir de kaolin floculé donc d'une matrice solide incompressible. Cependant, c'est seulement par le biais des couches minces, tant attendues par D. LECLERC, que l'on pourra adapter ces modèles à des situations
encore rarement étudiées, comme la compression mécanique des agrumes, des pulpes de betterave, de la luzerne, des boues résiduaires floculées ou non. Il faudra malgré tout faire appel à des modèles semi-empiriques et phénoménologiques pour souligner les aspects techniques et scientifiques entrant dans l'étude de la sensibilité des coefficients de compression et de perméabilité du milieu étudié en fonction des variables thermodynamiques courantes. Ce type d'approche sera poursuivi par G. BALUAIS et D. LECLERC avec une nouvelle gamme de produits et en particulier les drêches de brasserie ayant des comportements rhéologiques bien spécifiques et des teneurs massiques faibles. Dans le rapport final de G. BALUAIS (1987), la diffusivité matérielle du liquide dans la masse poreuse, ici traitée en couches minces, apparaît comme une grandeur unique de fonctionnement de l'opération globale de filtration et de compression. Comme nous le verrons dans le second chapitre, illustré par nos quatre premières publications (P1, P2, P3) sur le sujet en 1981, 1982(2), et 1985, la théorie de M. SHIRATO, la plus citée dans le domaine, souffre de difficultés expérimentales fondamentales, à savoir la recherche du taux de compression infini, valeur purement théorique, et la mesure de la masse volumique du solide qui n'est qu'une grandeur virtuelle lorsque l'on s'intéresse aux produits biologiques. Cette masse volumique est cependant indispensable dans le choix particulier fait par M. SHIRATO de coordonnées de type lagrangiennes ramenées à la matière solide, donc mobiles et rapportées à la hauteur de solide par unité de surface drainante, coordonnées qui font sans doute l'attractivité initiale de cette approche. Seulement dans le cas de couches minces, ce qui réduit l'impact de cette masse volumique dans les calculs, on peut exploiter plus largement des modèles de M. SHIRATO et, avec beaucoup de précautions, les adapter aux systèmes biologiques à forte compressibilité et à courte durée de vie. L'utilisation des modèles rhéologiques a été et demeure une tendance qui ne peut pas échapper au chercheur fidèle à une analyse bibliographique précise. Les derniers travaux de ce type sont ceux de J.L. LANOISELLE en 1995. Nous donnons dans ce chapitre 2 les bases théoriques afférentes à l'usage des modèles rhéologiques linéaires ou visco-élastiques en tentant par l'exemple d'en cerner les limites évidentes et rémanentes associées à leur faible degré de spécificité.

A ce stade, il devenait nécessaire d'admettre les limites de la compression mécanique à pression constante - s'agissant de la contrainte par unité de surface du piston - du fait principalement de l'accessibilité des paramètres ultimes définissant l'état d'équilibre du système. Y-a-t-il une asymptote de compression infinie et une valeur limite de compression infinie pour les matériaux biologiques ? Sans doute pas étant données les dégradations enzymatiques ou d'autres natures qu'elles subissent dans une échelle de temps réduite. Toutefois ne négligeons pas l'apport essentiel de la compression mécanique à pression constante dans la recherche des caractéristiques de compression suite à une phase significative de filtration. La compression suivant une phase de filtration présente l'avantage fondamental d'éviter d'imposer de façon brutale un gradient de déformation incontrôlé dès le début de la phase de compression ; lequel gradient peut, en particulier sur les produits biologiques, causer des effets d'hystérésis importants rendant la suite du processus de déformation encore moins prévisible.

La compression à régime imposé et contrôlé, pas encore exploitée à l'échelle de la recherche fondamentale en Europe, beaucoup plus naturelle pour les ingénieurs de la science des matériaux et plus rarement pour ceux du génie civil, représentait certes un atout scientifique mais avant tout un challenge. Il n'y avait pas encore de thèse doctorale portant sur la compression mécanique à taux de déformation constante. Cependant combien d'opérations industrielles de séparations solides-
liquides en continu sont réalisées à régime imposé et contrôlé plutôt qu’à gradient constant. A ce sujet, il est utile de préciser que le pressage sur machine à papier correspond à une compression sous une série d’impulsions de pression constante correspondant plus ou moins aux injections-impulsions de type Dirac utilisées par J. VILLERMAUX pour l’étude des réacteurs. Les travaux de K.B. JEWETT, de J-C. ROUX et de J-F. BLOCH constituent des bases incontournables qui cependant ne traitent pas du problème directement sous l’angle proposé ici lorsqu’il s’agit de taux de déformation constant. Nous avons réalisé les premiers essais d’orientation de compression mécanique à déformation constante au laboratoire de génie civil, au sein d’un régiment de l’armée du génie de l’air. Des résultats fort prometteurs, rapportés dans notre thèse de Docteur Ingénieur en 1983, portant sur l’incidence de la vitesse de déformation sur la compressibilité de produits agroalimentaires, nous encouragerons à poursuivre cette voie. Ce rapport reprend également des éléments d’optimisation économique que nous ont permis de publier (P4, P5, P6) séparément P. LEGOFF et J. HERMIA dans leurs initiatives d’études des impacts énergétiques de ce type de séparation. D. LECLERC intègre alors nos résultats expérimentaux dans un modèle technico-économique alors que nous développons une voie d’optimisation applicable à l’industrie de valorisation des pulpes de betteraves à sucre. Bien entendu, la chance de pouvoir prendre en compte rapidement ces aspects et de les exposer au processus de revue de la communauté scientifique, donne à une démarche de recherche scientifique une dimension très valorisante.

Le troisième chapitre de ce mémoire débute par l'approfondissement de la voie « régime imposé et contrôlé », c'est à dire compression à taux de déformation imposé ou à déformation constante. En rejoignant en 1984 pour un séjour post-doctoral l'équipe des professeurs H. G. SCHWARTZBERG et M. PELEG du département de génie alimentaire et chimique de l'université du Massachusetts, tout en maintenant une liaison permanente avec le LSGC et en particulier avec l'équipe du professeur D. LECLERC, des possibilités nouvelles d'extension des recherches conduites précédemment se présentaient. Bien entendu nous devions garder à l'esprit l'idée de poursuivre la compréhension fondamentale de la compression mécanique sous régime imposé et contrôlé de produits agroalimentaires divers aux structures toujours plus complexes. En 1978, H. G. SCHWARTZBERG a initié un programme sur l'élimination d'eau par exprimage. Ce terme en français est généralement réservé au textile mais en anglais il se trouve étendu à d'autres substances desquelles on extrait la phase liquide en exerçant une pression. H. G. SCHWARTZBERG faisait pour cela usage d'une cellule piston d'un diamètre de 2.5 cm. Très rapidement nous serons de nouveau confrontés au problème de friction excessive pouvant dans ce cas précis absorber jusqu'à 80% des forces appliquées. Ceci conduit rapidement à la décision de construire une nouvelle cellule dénommée « MMCC© », « Multi-Mode Compression Cell », cellule de compression multimode ; ceci pour insister sur le caractère plus universel de cet équipement pouvant fonctionner sous une pression constante ou variable, sous un gradient de pression ou à un taux de déformation constant ou variable. Equipée aussi bien au niveau du piston que de la surface drainante de capteurs de forces et de pressions, également disposés le long de la chambre de compression à diverses hauteur du gâteau, cette cellule est toujours unique. L'évolution de la hauteur du milieu comprimé peut être imposée ou suivie et mesurée avec précision et directement informatisée. La chambre de compression est équipée d'un dispositif de régulation de température, trop rare dans ce domaine de recherche, alors que le traitement de produits biologiques le rende indispensable. Au total équipé de 9 capteurs de pressions hydrauliques, de 3 capteurs de force et de 2
capteurs de distance et de déplacement, le dispositif MMCC© demeure l'une des cellules les plus instrumentée. Une deuxième génération, MMCC© II, sera construite plus tard avec la possibilité d'effectuer de la compression axiale avec un écoulement radial.

## Multi-Mode Compression Cell - II

### MMCC II©
Compression Cell

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Drainage
plates</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Load
Transfer
Insert</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Piston</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Permeation
plate</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Central
radial
drainage</figcaption></figure>
Ayant résolu les problèmes expérimentaux associés à des frictions trop grandes et ayant créé la première cellule MMCC©, d'un diamètre de 133 mm favorisant encore davantage la compression de couches minces, puisque d'une surface drainante environ 1.5 fois plus grande que celle du dispositif MINERY-REBOUILLAT, nous étions en mesure d'entreprendre la création d'une nouvelle banque de données expérimentales concernant un nouveau mode de compression mécanique. Dans un souci permanent de toujours réduire « le bruit de fond » que peuvent causer les frictions, nous avons adopté un système flottant au niveau de la surface drainante afin de désolidariser complètement la chambre de compression de la base de la cellule et ainsi de réduire les frictions à un niveau zéro lorsque les pièces mobiles sont lubrifiées, ceci à la précision des mesures près. Aujourd'hui à l'échelle du laboratoire, la surface drainante de la cellule MMCC© demeure la plus grande sachant que seul un pilote industriel de 200 mm de diamètre a été expérimenté dans le cadre de recherches à pression constante menées par l'université technologique de Compiègne.

Jusqu'à présent, le critère hydrodynamique le plus fréquemment utilisé pour caractériser l'écoulement du fluide exprimé du milieu poreux au cours de la déformation demeurait, pour des raisons d'accessibilité expérimentale, la résistance spécifique de filtration mesurée par perméation statique puisque réalisée sur le milieu déformé à l'équilibre. De nombreuses expérimentations conduites auparavant avec D. LECLERC nous servent de base pour apprécier les exigences expérimentales et construire un dispositif de mesure optimisé de la perméation. Il s'agit là d'une illustration de la nécessité du lien permanent avec le LSGC. A titre d'exemple, très tôt dans ce travail les aspects de capillarité et de remouillage ont été écartés de nos préoccupations grâce aux études de J.A. DODDS qui soulignent bien que ces préoccupations sont bien plus actuelles lors de la compression de milieux insaturés comme ceux rencontrés dans l'industrie du papier. En ce qui concerne l'évolution de nos recherches proprement dites, il paraît logique de s'affranchir de toute incertitude concernant l'usage d'un paramètre statique. Puisque le dispositif MMCC© permet aussi d'accéder à la résistance spécifique dynamique mesurable au cours de l'opération de compression, nous avons, à l'aide d'un modèle mathématique simple, corrélé les deux types de résistances. Pour la première fois, l'usage du paramètre statique pouvait être remis en cause car il diffère dans un nombre de situations non négligeable, avec sa composante dynamique. Cette mise en évidence est l'objet de la sixième publication (P6) produite dans le troisième chapitre de ce travail.

L'étude de produits humides divers d'origine organique ou biologique est d'autant plus complexe que leurs propriétés mécaniques de base sont rarement disponibles dans la littérature et qu'elles peuvent varier considérablement selon leur origine. Dans ce troisième chapitre, nous présentons deux séries d'études, ayant fait l'objet des septième et huitième publications (P7, P8) rapportées dans ce mémoire, portant sur la mesure de propriétés mécaniques utiles à la caractérisation du comportement de ce type de produits lors de leur compression libre, c'est à dire non frettée. Il s'agit des modules de compressibilité, des relations contrainte-déformation, de l'influence du taux de déformation sur ces relations, des contraintes et déformations à la rupture et de l'évolution des ces propriétés durant la phase de relaxation suivant la compression. Ce sont davantage des expériences de fluage dont les paramètres s'apparentent aux paramètres de compression secondaire que nous avons étudiée lors de nos premières expériences au LSGC-Nancy. Grâce à M. PELEG, nous avons pu préciser le comportement de la tourbe traitée ou non et caractériser une douzaine de catégories de pommes. Ce type d'approche, plus
couramment utilisée par les scientifiques des polymères et des matériaux en général, est sans doute insuffisamment exploité dans le domaine du génie des procédés. Nous n'avons pas encore trouvé de travaux portant sur la compression mécanique qui relatent des propriétés mécaniques des produits étudiés sous l'angle purement mécanique du type - résistance des matériaux.

A l'aide de la première cellule MMCC©, divers fruits, pommes (Rdap et Gdap) et airelles (Cr) sectionnées, des protéines de lait précipitées par voie chimique (C ou Cc), des pulpes de betteraves (Fp ou F) et des protéines de poisson (Fs), destinées à la fabrication de surimi par extrusion, servent de base à la définition d'un plan d'expériences et à la conduite de nombreuses mesures de compression.

D'un point de vue fondamental partant du théorème de la divergence et faisant usage de quatre systèmes de coordonnées, à savoir lagrangiennes, donc fixes, eulériennes, donc mobiles, dites matérielles selon S. SHIRATO, donc mixtes, et radiales, il est possible de dériver toutes les situations de compression à partir d'une équation globale établie selon la base du scénario le plus large. Cette équation globale, en tête du résumé joint, figure 1, repose sur un bilan vectoriel des flux, sur la loi de Darcy généralisée et les lois de comportement du système étudié. Tous les modes de compression déjà envisagés précédemment mais aussi la compression radiale, centrale ou périphérique, sont mis en équation à partir de cette relation centrale. La situation des couches minces, comparée à celle des larges déformations de couches intermédiaires, est prise en compte dans ce schéma directeur théorique. La nature des contraintes, faibles ou élevées, et les relations contrainte-déformation raisonnablement envisageables sont incluses dans cette série de modèles représentés sur la figure 1. Ces différentes approches font l'objet des deux autres publications, P9, P10, et de présentations aux 6th et 7th congrès mondiaux de la filtration de 1993 et de 1996. Ces publications sont également insérées au chapitre 3. Il est utile de préciser que la compression à déformation imposée et contrôlée est mise en équation selon trois approches, celle des couches minces, celle des fortes déformations et selon une variante mixte, en faisant usage d'au moins trois des produits cités au paragraphe qui précède. D'intéressantes corrélations sont établies entre les trois séries de modèles qui démontrent la pertinence du mode opératoire. Les coefficients de consolidation ou de compression, de compressibilité et de perméabilté sont bien séparés pour montrer leur contribution respective et souligner la validité des hypothèses relatives à la variation du coefficient qui les englobe. Du point de vue du développement mathématique de chacune des théories, un résumé est proposé dans chaque sous-chapitre et le développement complet est annexé à cet ouvrage. Nous prions le lecteur de nous excuser pour la longueur des développements mathématiques que nous avons voulus très détaillés afin d'offrir la base la plus compréhensible possible, sachant que l'avènement de la mathématique informatisée tend parfois à occulter la démarche et la valeur cruciale des hypothèses. Dans ce chapitre apparaissent également les phénomènes de relaxation consécutifs à la compression, ceci selon deux modélisations indépendantes supportées par des exemples sur tourbes (P8), fruits et produits agroalimentaires (P10).

Lors de ce séjour post-doctoral au sein des équipes des professeurs H.G. SCHWARTZBERG et M. PELEG du département de génie alimentaire et chimique de l'université du Massachusetts, nous avons également conçu une unité pilote de pressage par vis. Cette unité est élaborée de manière à apprécier les phénomènes de compression axiale à évacuation radiale du liquide. Une photographie de cette unité est fournie ci-dessous. C'est également l'occasion de faire connaissance avec l'auteur, à cette époque ...
Screw Press Pilot Unit (TSPU©) – Unité Pilote de Pressage à vis

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
Deux sortes de vis centrales ont été conçues, l'une à faible coefficient de compression axiale, LCR « Lower compression ratio », et l'autre à fort coefficient de compression axiale, HCR « Higher Compression Ratio ». La collecte du liquide peut être fractionnée grâce à un dispositif de séparation du fluide lors de sa sortie périphérique, ceci donnant accès aux performances et caractéristiques de compression des secteurs sélectionnés le long de la vis. Des capteurs de pression étant disposés à la périphérie de chaque secteur, la pression exercée par le solide en sortie de presse et son débit étant mesurés et enfin la pression et le débit imposés à l'entrée étant également connus, nous disposons de toutes les données nécessaires à la modélisation globale du comportement de la presse. D'un diamètre externe de 8 cm environ, d'une longueur de vis de 45 cm et pouvant tourner à une vitesse utile de 50 rotations par minute, cette presse à vis est capable d'un débit d'environ 0.5m³/heure. Elle constitue un pilote unique pour l'étude de la compression en continu avec un écoulement radial.

L'approche théorique et l'illustration expérimentale de la compression radiale font l'objet du quatrième chapitre de ce mémoire. Deux types de modélisation sont proposés, prenant en compte une évacuation du liquide centrale ou périphérique. Le calcul des coefficients de compression et de perméabilité est rendu possible en traitant chaque secteur de compression séparément et en le considérant comme équivalent à une unité piston bien définie. Les matériaux étudiés pour le pressage à vis, au nombre de cinq, étant identiques à ceux utilisés pour la compression axiale à déformation constante, d'intéressantes corrélations sont rendues possibles et interprétables.

Le cinquième chapitre regroupe les approches moléculaires et thermodynamiques de la compression sur la base de l'énergie d'activation définie selon la loi d'Arrhenius. Il est intuitivement concevable qu'atomes, molécules, particules, agrégats et couches participent au processus de déformation et aux différents déplacements associés. Pour cela ils doivent acquérir une énergie d'activation suffisante pour franchir les barrières de potentiel leur permettant de passer d'un état d'équilibre à un autre de moindre énergie. La thermodynamique statistique peut dans ce cas remplacer avantageusement les multiples tentatives de mise en adéquation de phénomènes supposés, physiques, biologiques ou purement mécaniques, à des modèles rhéologiques dont on sait que l'accumulation judicieuse en série ou en parallèle fournira de toute façon une relation théorique superposable au comportement expérimental. Dans l'esprit de l'avancement d'une réaction chimique, selon les travaux bien connus de J. VILLERMAUX et O. LEVENSPIEL, on peut dans notre cas définir un taux d'avancement, « process rate », de la compression ou plus généralement de la déformation. En reprenant la relation empirique définie par Arrhenius, on peut établir par exemple la dépendance vis-à-vis de la température du processus global de compression ou des étapes de relaxation, de fluage, de diffusion et d'écoulement hydrodynamique qui l'accompagnent. Nos premières tentatives, dans le cadre de la compression unidirectionnelle et radiale, sont particulièrement prometteuses et ouvrent la voie à une approche complémentaire des phénomènes de déformation par le biais de la thermodynamique et de la mécanique statistiques. Ces résultats ne valident pas directement une théorie globale mais ils démontrent bien que la déformation de certains matériaux est « activée » par la température. C'est pourquoi nous avons choisi de faire figurer cette approche en dernier chapitre car il s'agit d'une voie d'ouverture issue des recherches que nous avons menées.

Classées par disciplines ou par domaines d'application, environ 700 publications afférentes au sujet traité constituent la dernière partie de ce mémoire. Les références proprement dites et directement utilisées dans le texte ou dans les publications sont reprises en fin de mémoire ou dans les publications elles-mêmes.
Concernant la nomenclature, nous comptons sur l'indulgence du lecteur qui
pourra constater l'existence d'un double symbolisme du fait de l'antériorité de
certaines publications. Le symbolisme qui est homogène pour l'ensemble du mémoire
est régulièrement rappelé dans le texte. Il se trouve également regroupé en fin de
mémoire. Pour ce qui est des publications, les notations choisies sont également
fournies en fin de publication comme il est d'usage. Dans l'ensemble du mémoire,
nous nous référons au milieu soumis à la compression par l'abréviation SPM
(« Saturated Porous Material – son équivalent serait en français MPS pour Milieux
Poreux Saturés dont nous ne faisons pas usage. »), sauf dans les cas où la
dénomination spécifique est indispensable à la compréhension.

Enfin étant donné qu'une grande partie des recherches ont été effectuée aux
Etats-Unis et que la plupart des travaux ont été publiés en Anglais, nous pensons que
le lecteur nous accordera une nouvelle fois des circonstances atténuantes pour avoir
maintenu quelques paragraphes de cet ouvrage en Anglais. S'agissant des
développements mathématiques, cet aspect devrait être peu encombrant pour le
lecteur francophone. Quant aux autres parties ou aux publications, nous fournissons la
traduction et le résumé des éléments essentiels de ces travaux.
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Summary Figure 1
Résumé</figcaption></figure>

S. Rebouillat - Etude Fondamentale de la Déformation de Milieux Poreux Saturés - Introduction
Chapitre
un

# Préliminaire Théorique concernant la Déformation d'un Milieu Poreux Saturé (SPM)

Pour la bonne compréhension des diverses approches théoriques, il est essentiel de fournir quelques éléments de base en ce qui concerne les quatre repères utilisés et le développement de l'équation globale servant de support à l'ensemble des autres formulations théoriques. Pour ce qui est du détail des calculs théoriques, une attention toute particulière a été portée lors du report précis en annexe de toutes les étapes de calcul.
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
# 1. Les coordonnées

Les coordonnées lagrangiennes ou spatiales, fixes dans l'espace ou parfois qualifiées d'externes, sont mathématiquement simples et utiles lorsque l'on considère de faibles déformations, celles correspondant à la compression de couches minces par exemple.

Les coordonnées euleriennes ou convectives, mobiles ou parfois qualifiées d'internes, sont plus adaptées aux déformations importantes, celles correspondant à la compression de couches intermédiaires pour laquelle les frontières varient significativement en fonction du temps.

Les schémas ci-dessous sont les descriptions simplifiées de chacun des repères.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 1.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 1.1 et Figure 1.2 : Les descriptions simplifiées de chacun des repères</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 1.2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
A l'état initial $t = 0$, un élément $\delta a$ est constitué d'une unité de volume de solide et de liquide selon le rapport de vide $e_0$. Au temps $t$, le volume de solide reste inchangé et le rapport de vide est $e$ qui est différent de $e_0$, Fig. 1.2. Ainsi le rapport $\partial\xi$ sur $\partial a$ est :

$$ \frac{\partial \xi}{\partial a} = \frac{1+e}{1+e_0} \qquad \text{Eq. 1.1} $$

avec

$$ 1+e = \frac{V_T}{V_s}, \quad \text{et} \quad 1+e_0 = \frac{V_T}{V_s} $$

Les coordonnées lagrangiennes rapportées au volume de solide par unité de surface drainante, dites coordonnées matérielles ou réduites.

Initialement définies par K. TERZAGHI (1923) et quelque peu abandonnées par l'usage, puis reprises par A. McNABB (1960) et par M. SHIRATO (1970), l'originalité de ces dernières reposent sur le fait que la variable géométrique, $z$ ou $w[\frac{m^3}{m^2}]$, s'exprime par le rapport du volume de solide sur la surface drainante soit en [L] cm. La figure 1.3 représente cette situation dans le cas de la compression unidimensionnelle :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 1.3 : Les coordonnées lagrangiennes rapportées au volume de solide par unité de surface</figcaption></figure>
La variable z peut aussi s'exprimer en volume de solide par unité de surface filtrante et donc devient une fonction de a selon les relations suivantes :

$$ \frac{\partial a}{1+e_0} = \frac{\partial \xi}{1+e} = \frac{\partial z}{1} $$

$$ z(a) = \int_{0}^{a_0} [1 - n(a,0)] da \qquad \text{Eq. 1.2} $$

$$ n \text{ est la porosité } \left( \frac{V_f}{V_T} \right) $$

Comme $a, z$ est indépendant du temps,

$$ \frac{\partial a}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial t} = 0 $$

Il est plus aisé d'utiliser le rapport de vide $e$, c'est à dire :

$$ e = \frac{n}{1-n} \qquad \text{Eq. 1.3} $$

et l'Eq. 1.2 devient

$$ z(a) = \int_{0}^{a_0} \frac{1}{1+e(a,0)} da = \int_{0}^{a_0} \frac{V_s}{V_T} da \qquad \text{Eq. 1.4} $$

$$ \text{avec } \frac{dz}{da} = \frac{1}{1+e_0} \qquad \text{Eq. 1.5} $$

et $e_0$ est le rapport de vide au temps $t=0$.

On retrouve l'Eq. 1.5 dans les travaux de M. SHIRATO en remplaçant la variable $a$ par $x$ et $z$ par $w$ soit :

$$ \frac{dw}{dx} = \frac{1}{1+e_0} $$

Les coordonnées cylindriques ou polaires sont habituellement définies comme suit :

$$ x = r \cos \theta $$

$$ y = r \sin \theta $$

$$ z = z $$

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 1.4 : Les coordonnées cylindriques ou polaires</figcaption></figure>
## 2. Le théorème de la divergence dans le contexte de la compression

Selon le principe de la conservation de masse, le flux net massique sortant de l'élément de volume doit être égal à la variation de masse dans cet élément. Ce principe est souvent associé ou confondu avec le théorème de la divergence.

Ainsi le flux total à travers $S$ est donné par l'intégrale surfacique de $\vec{v}$ sur $S$ :

$$ \Phi_s(\vec{v}) = \oint_S \vec{v} \cdot \vec{N}_u \, dS, \text{ le symbole } \oint \text{ indique que l'intégration est faite sur} $$

l'ensemble d'une surface fermée selon la figure 1.5. L'unité de flux s'exprime en $[m \cdot s^{-1} \cdot m^2]$.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 1.5 : Le théorème de la divergence dans le contexte de la compression</figcaption></figure>

En projetant un élément de surface $dS$ sur le plan de référence $xoy$, on a alors :

$$ \oint_S \vec{v} \cdot \vec{N}_u \, dS = \oint_{S_{\text{project}}} \vec{v} \cdot \vec{N}_u \frac{dxdy}{\cos(\alpha)} = \oint_{S_{\text{project}}} \vec{v} \cdot \vec{N}_u \frac{\frac{dxdy}{e_3 \cdot \vec{N}_u}}{\| e_3 \cdot \vec{N}_u \|} \quad \text{Eq. 1.6} $$

L'Eq. 1.6 est équivalente à :
$$ \Phi_s(\vec{v}) = \oint_S \vec{v} \cdot \vec{N}_u \, dS = \oint_{V_T} \nabla \cdot \vec{v} \, dV_T = \oint_{V_T} (\mathrm{div} \, \vec{v}) \, dV_T = \frac{dV}{dt} \qquad \text{Eq. 1.7} $$

avec :

$S$ : la surface de l'élément $[m^2]$

$\vec{v}$ : la vitesse du fluide $[m \cdot s^{-1}]$

$\alpha$ : l'angle entre $\vec{e}_3$ et $\vec{N}_u$ [radian]

$\vec{N}_u$ : le vecteur unitaire sortant normal à la surface de l'élément [-]

$\vec{e}_3$ : le vecteur unitaire normal à la surface projetée sur le plan $xoy$ [-]

$V$ : le volume de liquide contenu dans l'élément $[m^3]$

$V_T$ : le volume total de l'élément $[m^3]$

$t$ : le temps $[s]$

Prenons le cas d'une surface fermée $S$, par exemple une sphère, de centre $A$, et de rayon $r$, limitant un domaine $V_T$, on considère un point $M \in V_T$.

$$ \oint_S \vec{v} \cdot \vec{N}_u \, dS = \oint_{V_T} (\mathrm{div} \, \vec{v}) \, dV_T \\ \text{si } r \to 0, M \to A, \text{ alors } V_T \to 0, V_T \approx V $$

Selon la moyenne de l'intégrale triple :

$$ \oint_S \vec{v} \cdot \vec{N}_u \, dS = \mathrm{div} \, \vec{v}(M) * \mathrm{Volume}(V_T), \text{ avec } M \in V_T \qquad \text{Eq. 1.8} $$

$$ \mathrm{div} \, \vec{v}(M) = \frac{\Phi_s(\vec{v})}{V_T} \qquad \text{Eq. 1.9} $$

$$ \mathrm{div} \, \vec{v}(M) = \lim_{r \to 0} \frac{\Phi_s(\vec{v})}{V_T} = \frac{1}{V} \frac{dV}{dt} \qquad \text{Eq. 1.10} $$

$$ \text{Sachant que } \frac{dV}{V} = d\varepsilon \qquad \text{Eq. 1.11} $$

et $\varepsilon$ étant la déformation volumique de l'élément [-].

$$ \nabla \cdot \vec{v}(M) = \mathrm{div} \, \vec{v}(M) = \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) = \frac{1}{V} \frac{dV}{dt} = \frac{d\varepsilon}{dt} \qquad \text{Eq. 1.12} $$

A ce stade et dans le contexte de la compression d'un matériau poreux, seules trois hypothèses sont nécessaires :

- Le milieu poreux soumis à la déformation est saturé.
- Le liquide et le solide sont tous deux incompressibles, comparativement au matériau poreux saturé (SPM ou MPS).

- La loi de Darcy est applicable.

Nous verrons que la loi de Darcy doit être utilisée avec précaution quant à sa formulation. Prenons en première approche sa forme habituellement considérée :

$$ \vec{v} = -K \nabla \frac{P_f}{\gamma_f} = -K \overline{\text{grad}} \frac{P_f}{\gamma_f} = -\frac{K}{\gamma_f} \left( \frac{\partial P_f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial P_f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial P_f}{\partial z} \vec{k} \right) \qquad \text{Eq. 1.13} $$

avec :

$K$ : coefficient de perméabilité dans la direction $z$ [$m \cdot s^{-1}$]

$P_f$ : la pression hydraulique [N/m²]

$\gamma_f$ : poids volumique du liquide.

Pour l'eau à l'ambiante : $\gamma_f = 9.81$ [kN/m³] (kg/m³.m/s²)

L'Eq. 1.12 prend alors la forme suivante :

$$ \begin{gathered} \nabla \cdot \left( -K \nabla \frac{P_f}{\gamma_f} \right) = \nabla \cdot \left( -\frac{K}{\gamma_f} \left( \frac{\partial P_f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial P_f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial P_f}{\partial z} \vec{k} \right) \right) \\ \nabla \cdot \left( -K \nabla \frac{P_f}{\gamma_f} \right) = \frac{1}{V} \frac{dV}{dt} = \frac{d\varepsilon}{dt} \qquad \text{Eq. 1.14} \end{gathered} $$

Respectant la forme générale des équations de la diffusion, on peut aussi utiliser la

nomenclature suivante : $\frac{d\varepsilon}{dt} = \text{div} \left( -K \overline{\text{grad}} \frac{P_f}{\gamma_f} \right)$ selon J. CRANK(1973).

Dans le cas d'une déformation unidirectionnelle selon l'axe $z$, l'Eq. 1.14 s'écrit :

$$ \nabla \cdot \left( -\frac{K}{\gamma_f} \left( \frac{\partial P_f}{\partial z} \vec{k} \right) \right) = -\frac{K}{\gamma_f} \left( \frac{\partial^2 P_f}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 P_f}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 P_f}{\partial z^2} \right) $$

$$ \frac{\partial P_f}{\partial x} = Cte \Rightarrow \frac{\partial^2 P_f}{\partial x \partial z} = 0, \quad \frac{\partial P_f}{\partial y} = Cte \Rightarrow \frac{\partial^2 P_f}{\partial y \partial z} = 0, $$

pour aboutir à :

$$ \frac{\partial}{\partial z} \left( -\frac{K}{\gamma_f} \frac{\partial P_f}{\partial z} \right) = \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} \qquad \text{Eq. 1.15} $$

C'est à ce stade que le principe de transfert de la contrainte globale de déformation, pouvant inclure l'effet gravitationnel de la matière poreuse déformée, sur les différentes composantes des pressions et contraintes solide-liquide, intervient. Notons
qu'aucune hypothèse n'est effectuée quant à la réponse linéaire ou non du milieu déformé et quant à ses propriétés de résistance à l'écoulement du fluide.

Ces équations de base étant établies, il est utile pour la compréhension des divers cas de déformation étudiés de tenter d'aboutir à une formulation aussi générale que possible de l'équation de comportement dans le temps et dans l'espace du milieu déformé (SPM) ; ceci en réduisant au minimum le nombre d'hypothèses initiales. Ainsi de cette équation centrale, on pourra dériver la plupart des cas envisagés allant de la compression axiale à écoulement co-linéaire à la déformation, à la compression axiale à écoulement radial ; ceci selon divers modes de compression à pression ou à déformation constante de couches minces ou intermédiaires constituées d'une matrice solide dont la relation contrainte-déformation est linéaire ou non-linéaire.

### 3. Recherche d'une équation globale du comportement dans le temps et dans l'espace du matériau poreux saturé soumis à la compression

#### L'équation de Darcy généralisée

Revenons sur la loi de Darcy, dont l'usage conduit parfois à l'omission de certains aspects spécifiques aux expériences conduites par H. DARCY en 1856. Soulignons également que A. E. SCHEIDEGGER (1957) a établi la forme généralisée de la loi de Darcy associée à l'écoulement à travers un milieu poreux anisotrope et compressible. Quelques considérations simples d'ordre essentiellement physique permettent de replacer la loi de Darcy dans le contexte de la compression.

Considérons la figure 1.3. Au niveau du piston, aucun gradient hydraulique n'existe ; cependant le fluide et le solide se déplacent à la vitesse du piston ; la loi de Darcy se trouverait-elle donc invalidée ? Certainement, sauf, si l'on considère la vitesse apparente du fluide relative au solide. Dans ce cas :

$$n(\tilde{v}_f - \tilde{v}_s) = -\frac{K}{\gamma_f} \frac{\partial P_f}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.16}$$

$\tilde{v}_f$ étant la vitesse réelle du fluide, $\tilde{v}_s$ étant la vitesse réelle du solide. Celles-ci s'expriment par rapport aux vitesses apparentes, $v_s$ et $v_f$, selon :

$$\tilde{n}v_f = v_f \qquad \text{Eq. 1.17}$$

et

$$(1-n)\tilde{v}_s = v_s \qquad \text{Eq. 1.18}$$

ainsi l'Eq. 1.16 devient :

$$(v_f - n(v_f + v_s)) = -\frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_f}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.19}$$

#### Les équations de continuité de la phase solide et de la phase liquide

- *au niveau du solide*
$$v_s(a) - v_s(a + da) = \frac{\partial}{\partial t} [(1-n)da] \quad [m \cdot s^{-1}] \qquad \text{Eq. 1.20}$$

où n est la porosité.

Lorsque $da \to 0$, l' Eq. 1.19 devient :

$$\frac{\partial v_s}{\partial a} + \frac{\partial(1-n)}{\partial t} = 0 \qquad \text{Eq. 1.21}$$

D'une façon plus générale :

$$\mathrm{div} \vec{v}_s + \frac{\partial(1-n)}{\partial t} = 0 \Rightarrow \frac{\partial v_s}{\partial a} + \frac{\partial(1-n)}{\partial t} = 0 \quad (\text{pour la compression unidirectionnelle}).$$

- au niveau du liquide

de manière similaire au cas de la phase solide :

$$\frac{\partial v_f}{\partial a} + \frac{\partial n}{\partial t} = 0 \qquad \text{Eq. 1.22}$$

et plus généralement :

$$\mathrm{div} \vec{v}_f + \frac{\partial(n)}{\partial t} = 0 \Rightarrow \frac{\partial v_f}{\partial a} + \frac{\partial n}{\partial t} = 0 \quad (\text{pour la compression unidirectionnelle}).$$

En combinant les Eqs. 1.20 et 1.21, on obtient une relation entre les vitesses apparentes du solide et du liquide sous la forme :

$$\frac{\partial}{\partial a}(v_s + v_f) = 0 \qquad \text{Eq. 1.23}$$

Une équation globale et générale de comportement du SPM dans le temps et dans l'espace.

Selon le principe de répartition de la contrainte effective et de la pression
hydraulique :

$$P = P_s + P_{f1} \qquad \text{Eq. 1.24}$$

La pression hydraulique se décompose selon :

$$P_{f1} = P_f + P_{fh} \qquad \text{Eq. 1.25}$$

où $P_{fh}$ est la pression hydrostatique. Il en résulte que :

$$\frac{\partial P_f}{\partial a} = \frac{\partial P}{\partial a} - \frac{\partial P_s}{\partial a} - \frac{\partial P_{fh}}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.26}$$

La contrainte totale au sein d'une couche du SPM comprend deux composantes, celle associée au poids et celle associée à la contrainte appliquée $P_o(a,t)$. De ce fait :

$$\frac{\partial P}{\partial a} = -\frac{1}{1+e} \left( \frac{\gamma_s}{\gamma_f} + e \right) \gamma_f + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.27}$$
lorsque $a$ est orienté à l'opposé de la gravité et en supposant que dans le rapport

$\frac{\gamma_s}{\gamma_f} = G_s$, le poids spécifique du solide reste constant durant la compression.

Le gradient de pression hydrostatique s'exprime sous la forme :

$$ \frac{\partial P_{\eta}}{\partial a} = -\gamma_f \qquad \text{Eq. 1.28} $$

d'où :

$$ \frac{\partial P_f}{\partial a} = -\frac{\partial P_s}{\partial a} - \frac{1}{1+e}(\gamma_s - \gamma_f) + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.29} $$

En l'absence d'effets secondaires strictement associés au temps, la contrainte effective est fonction du rapport de vide seulement. Ceci est particulièrement vrai pour les opérations industrielles dont le temps de séjour est inférieur à une centaine de minutes et plus particulièrement dans le cas des produits biologiques dont la durée de vie sans altération est courte. Il est possible, comme nous le ferons ultérieurement, d'intégrer une variation de la contrainte effective en fonction du temps, parfois qualifiée de compression secondaire. Nous l'éviterons à ce stade par souci de clarté mathématique. Ainsi :

$$ \frac{\partial P_s}{\partial a} = \frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} \qquad \text{Eq. 1.30} $$

En dérivant l'Eq.1.19 par rapport à $a$ et en utilisant les relations Eq.1.22 et 1.23,

$$ \frac{\partial v_f}{\partial a} = -\frac{\partial n}{\partial t} \quad (\text{Eq. 1.22}), \quad \frac{\partial}{\partial a}(v_s + v_f) = 0 \quad (\text{Eq. 1.23}) $$

$$ \text{on obtient, } \left( \frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial n}{\partial a}(v_f + v_s) \right) = \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_f}{\partial a} \right] \qquad \text{Eq. 1.31} $$

Que la zone drainante soit mobile ou fixe (à l'aide d'un changement de variable adéquate dans ce dernier cas), l'Eq.1.31 devient :

$$ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_f}{\partial a} \right] \qquad \text{Eq. 1.32} $$

En substituant les Eqs. 1.29 et 1.30 dans l'Eq. 1.32 on obtient en terme de porosité $n$ la relation générale :

$$ \begin{aligned} \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \left\{ -\frac{\partial P_s}{\partial a} - \frac{1}{1+e}(\gamma_s - \gamma_f) + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \right\} \right] \\ \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \left\{ -\frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} - \frac{1}{1+e}(\gamma_s - \gamma_f) + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \right\} \right] \end{aligned} $$
$$ \frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} \right) - \frac{K}{\gamma_f} \frac{\partial}{\partial a} \frac{1}{(1+e)^2} (\gamma_s - \gamma_f) + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \right] + \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_0^2(a,t)}{\partial a^2} $$

$$ \frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} \right) - K \frac{\partial}{\partial a} (1-n)^2 (G_s - 1) + \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \right] + \frac{K}{\gamma_f} (1-n) \frac{\partial P_0^2(a,t)}{\partial a^2} $$

$$ \frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} \right) - \left\{ (G_s - 1) K \frac{\partial}{\partial a} (1-n)^2 - \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial a} \frac{\partial}{\partial a} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \right] \right\} + \frac{K}{\gamma_f} (1-n) \frac{\partial P_0^2(a,t)}{\partial a^2} $$

$$ n = \frac{e}{1+e}, \text{ ainsi } \frac{dn}{da} = \frac{\frac{de}{da}(1+e) - e \frac{de}{da}}{(1+e)^2}, \quad \frac{dn}{da} = \frac{1}{(1+e)^2} \cdot \frac{de}{da} \text{ et finalement :} $$

$$ \frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{K}{\gamma_f} (1+e) \frac{\partial P_s}{\partial e} \frac{\partial n}{\partial a} \right) - \left\{ (G_s - 1) K \frac{\partial}{\partial n} (1-n)^2 - \frac{\partial P_0(a,t)}{\partial n} \frac{\partial}{\partial n} \left[ \frac{K}{\gamma_f} \frac{1}{(1+e)} \right] \right\} \frac{\partial n}{\partial a} + \frac{K}{\gamma_f} (1-n) \frac{\partial P_0^2(a,t)}{\partial a^2} $$

Eq. 1.33

L'équation 1.33 est la plus générale. Aucune hypothèse concernant l'amplitude de la déformation, la nature linéaire ou non des matériaux constitutifs, la perméabilité du SPM n'a été nécessaire. Seules la saturation du milieu SPM, l'absence de compressibilité du solide et du fluide comparativement à la matrice poreuse et l'applicabilité de la loi de Darcy généralisée ont été utilisées. L'homogénéité de la couche SPM est également implicitement incluse, ce qui dans le cas d'opérations industrielles traditionnelles est une condition fréquemment rencontrée sachant que l'on cherche à obtenir une alimentation du procédé aussi homogène que possible. Cette homogénéité de la couche SPM demeure-t-elle durant la compression ? Nous verrons comment prendre en compte cet aspect ultérieurement.

Il est important de souligner que cette équation peut être exprimée :

1- Dans tous les systèmes de co-ordonnées fixes, mobiles ou réduites.

2- En fonction de la porosité, du rapport de vide ou de la déformation volumique sachant que :

$$ e = \frac{n}{1-n} \text{ et } \partial\epsilon = \frac{\partial e}{1+e} $$

3- Ou encore en fonction du volume spécifique local du SPM défini par :

$$ v = \frac{1+e}{\rho_s} = \frac{V_T}{M_s} $$

Cette grandeur est particulièrement utile lors de l'analyse de matériaux biologiques pour lesquels la masse volumique du solide n'est peut être pas une donnée réaliste et accessible.

Comme on peut le voir dans le tableau de la figure 1, sous réserve d'un traitement mathématique adapté et cohérent par rapport aux réalités physiques des systèmes étudiés, cette équation peut être utilisée pour dériver tous les scénarios de compression : unidirectionnelle ou radiale, couche mince ou épaisse, matériaux linéaires ou non, à perméabilité constante ou variable, sous forte ou faible contrainte effective ... Nous reviendrons en détail sur chaque cas.
Chapitre
deux

La Compression Unidirectionnelle à Pression
Constante (CPC)

Il s'agit dans ce chapitre de résumer et de compléter, à partir de cinq publications faisant suite au DEA et à la thèse de Docteur Ingénieur, nos travaux de recherche portant principalement sur la compression à pression constante de matériaux poreux saturés, pour la plupart d'origines minérales et biologiques. Ces derniers servent de transition aux études ultérieurement. Les bases théoriques sont rappelées puis détaillées en annexe A1.

Un autre objectif de ce chapitre est de montrer les limites des approches traditionnelles sur les plans expérimental et théorique et de souligner l'importance d'une approche plus large des phénomènes associés à la compression que ce soit au niveau des sciences des matériaux ou des sciences du génie des procédés, voire de la thermodynamique traditionnelle.

Dans ce mémoire venant compléter notre thèse de Docteur-Ingénieur, nous tenons à
insister sur l'aspect fondamental de nos recherches et à éviter autant que possible la
redondance. C'est pourquoi nous développons certains aspects théoriques plus
longuement que dans d'autres chapitres. En effet, la plus citée des théories de base a
rarement fait l'objet de démonstrations mathématiques complètes en particulier dans
le domaine du génie chimique où SHIRATO l'a rendue populaire. Les démonstrations
mathématiques que nous faisons sont absentes de cette littérature et sont encore
aujourd'hui sous-exploitées quant aux possibilités qu'elles offrent dans les cas
spécifiques que nous traitons.

Enfin on ne peut pas les considérer comme des théories classiques de la mécanique des sols. Non seulement ce n'est pas le cas mais n'oublions pas non plus que la mécanique des sols essaie de traiter de phénomènes lents selon des méthodes de laboratoire aussi rapides que possible et que dans le domaine du génie des procédés nous essayons de prendre en compte des phénomènes beaucoup plus rapides.
## 2.1 RAPPELS THEORIQUES DES EQUATIONS DE BASE

### 2.1.1 La théorie classique fondée sur les bases établies par K. TERZAGHI

Il est bien connu que TERZAGHI, à travers sa théorie de la consolidation, a apporté en 1923 la quatrième dimension – le temps – dans le domaine de la mécanique des sols. L'idée de la contrainte effective et de son transfert durant l'écoulement de la phase liquide, couplé à la déformation de la matrice solide-liquide, a marqué la naissance de la mécanique des sols moderne. Ce processus de déformation au cours du temps est gouverné par la compressibilité de la matrice – qui contrôle la déformation totale possible – et la perméabilité qui détermine la vitesse d'écoulement du liquide lequel permet à la déformation de prendre place. Le taux et l'amplitude de la déformation s'en trouvent ainsi prévisibles.

Dans l'état actuel des connaissances, on retrouve dans ce concept des éléments fédérateurs du génie des procédés, des sciences des matériaux, de la rhéologie et de la thermodynamique statistique. Cependant la prudence s'impose car dans le cas qui nous intéresse, le gradient de changement d'état est provoqué par l'opérateur. Ceci nous amène à souligner que toutes les théories développées dans ce mémoire le sont dans ce cadre multidisciplinaire – procédés-matériaux-rhéologie-thermodynamique – et qu'il serait de ce fait réducteur de les classer dans le domaine de la mécanique des sols, même si les équations finales s'y apparentent parfois. A titre d'illustration, l'une des faiblesses de la mécanique des sols traditionnelle est de ne pas suffisamment faire la distinction entre la déformation ou la consolidation, gouvernée par l'écoulement du liquide – flow controlled – et celle dictée par la résistance mécanique de la matrice – compression controlled – ou encore celle influencée simultanément par les deux, de plus parfois en fonction du temps. Les papetiers, ayant à faire à des processus d'impulsions très rapides, y sont très sensibles. D'un autre côté les études du procédé de déshumidification du papier ont tendance à trop ne pas prendre en compte les équilibre, le système étant constamment en régime transitoire.

N'ayant pas pu trouvé dans la littérature de développement exhaustif de la théorie de TERZAGHI (1923), nous avons entrepris cette démarche mathématique dans l'esprit indiqué précédemment et nous proposons en annexe le détail de l'établissement des équations et des solutions principales.

Il est intéressant de noter que cette théorie souvent assimilée à celle des petites déformations a été à l'origine développée en termes de coordonnées matérielles ou réduites ce qui lui confère la possibilité de prendre en compte les grandes déformations. Cet aspect a été complètement occulté par l'usage. La restriction de la portée de cette théorie est en partie régénérée par les traitements mathématiques de McNABB (1960) repris par SHIRATO (1970). En effet dans une publication intitulée « Principles of final soil classification. » en 1927, K. TERZAGHI fait référence à son choix déterminé d'usage des coordonnées réduites en ces termes : « In the computations concerning the consolidation theory we are obliged to refer everything to the reduced dimensions of the samples; that means to the thickness the samples would have if the space occupied by the voids were reduced to zero. » Dans l'ouvrage rédigé par A. FROHLICH en 1936, le système de coordonnées matérielles n'est pas repris, puis ceci s'est reproduit faisant de la théorie de TERZAGHI celle des petites déformations.

En résumé voici les éléments de cette théorie vue sous l'angle de l'approche classique du génie des procédés : conservation de masse, équilibre des forces en chaque point du système, loi d'écoulement généralisée de Darcy.
Les hypothèses sont les suivantes :

- Saturation et homogénéité du milieu poreux.

- Solide et liquide demeurent incompressibles comparativement à la matrice qui ne se déforme que dans la direction de l'application de la force de compression et selon la variation de volume du liquide lié à l'écoulement s'effectuant selon la loi de Darcy.

- Le coefficient de compression, qui englobe la perméabilité de la matrice et son coefficient de compressibilité, est constant.

Selon la démarche mathématique complète fournie en annexe A1, l'équation générale de la pression hydraulique $P_f$ au sein du SPM prend la forme de l'équation Eq. 2.1 :

$$P_f = \sum_{n=1}^{n=\infty} \left( \frac{1}{Z_0} \int_0^{2Z_0} P_{fi} \cdot \sin \frac{n\pi z}{2Z_0} dz \right) \cdot \sin \frac{n\pi z}{2Z_0} \cdot \exp\left(\frac{-n^2\pi^2 T_v}{4}\right) \quad \text{Eq. 2.1}$$

$$T_v = \frac{C_v t}{Z_0^2}$$

$T_v$ : temps réduit

avec les conditions aux limites suivantes :

1. Au temps $t = 0$, $P_f = P_{fi}$

2. $P_f = 0 \text{ à } z = 0$

3. $P_f = 0 \text{ à } z = Z_t = 2Z_0$ (la hauteur totale du SPM)

2 et 3 correspondent à deux surfaces drainantes selon l'annexe 1.

Il est alors intéressant de considérer les solutions correspondant à divers profils de pression, dont les détails de calcul sont aussi fournis en annexe A1.

### 2.1.1.1 La pression hydraulique $P_{fi}$ est invariante

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 2.1 : $P_{fi}$ est invariante au sein du SPM</figcaption></figure>

Selon la Fig.2.1 :

$P_{fi} = P_{f0}$ et l'Eq. 2.1 devient

$$P_f = \sum_{n=1}^{n=\infty} \left( \frac{2P_{f0}}{n\pi} (1 - \cos n\pi) \right) \cdot \sin \frac{n\pi z}{2Z_0} \cdot \exp\left(\frac{-n^2\pi^2 T_v}{4}\right) \quad \text{Eq. 2.2}$$
La simulation correspondante, Fig. 2.2

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 2.2 : $P_f = f(T_v, z)$</figcaption></figure>

Le taux de compression pour tout z est défini selon :

$$U_z = \frac{P_{f1} - P_f}{P_{f1}} = 1 - \frac{P_f}{P_{f1}} = \frac{P_s}{P_{f1}} = \frac{P_s}{P_{f0}} = \frac{\text{pression hydraulique dissipée}}{\text{pression hydraulique initiale}} \qquad \text{Eq. 2.3}$$

d'où

$$U_z = 1 - \sum_{m=0}^{m=\infty} \frac{2}{M_i} \cdot \sin \frac{M_i z}{Z_0} \cdot \exp(-M_i^2 T_v) \qquad \text{Eq. 2.4}$$

avec $M_i = (2m+1) \cdot \frac{\pi}{2}$, $m \in [0,+\infty[$ est un entier.

La simulation correspondante, Fig. 2.3

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 2.3 : $U_z = f(z, T_v)$</figcaption></figure>
Le taux moyen pour l'ensemble de la couche :

$$ U_{av} = \frac{\left(\frac{1}{Z_t}\right) \int_0^{Z_t} P_{f1} dz - \left(\frac{1}{Z_t}\right) \int_0^{Z_t} P_{f2} dz}{\left(\frac{1}{Z_t}\right) \int_0^{Z_t} P_{f1} dz} = \frac{\text{compression à t}}{\text{compression maximale}} \qquad \text{Eq. 2.5} $$

prend la forme de la Fig. 2.4 sur laquelle figure aussi les simulations à partir du modèle de SIVARAM et SWAMEE (1977) :

$$ \frac{U_{av} \%}{100} = \frac{\left(\frac{4T_v}{\pi}\right)^{0.5}}{\left[1 + \left(\frac{4T_v}{\pi}\right)^{2.8}\right]^{0.179}} \qquad \text{Eq. 2.6} $$

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 2.4 : Comparaison des Eq. 2.5 et 2.6 $T_v$</figcaption></figure>

### 2.1.1.2 Variation linéaire de la pression hydraulique $P_{f1}$

Selon la Fig. 2.5

$$ P_{f1} = P_{f1} - P_{f2} \cdot \frac{Z_0 - z}{Z_0} $$

avec:

$P_{f1}$ = valeur initiale à $z = Z_0$

et $P_{f1} = P_{f1} + P_{f2}$ à $z = 2Z_0$

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 2.5 : Variation linéaire de $P_{f1}$ au sein du SPM</figcaption></figure>
En substituant dans l'Eq. 2.1

$$P_f = \sum_{n=1}^{n=\infty} \left( \frac{1}{Z_0} \int_0^{2Z_0} \left( P_{f1} - P_{f2} \cdot \frac{Z_0 - z}{Z_0} \right) \sin \frac{n\pi z}{2Z_0} dz \right) \sin \frac{n\pi z}{2Z_0} \exp \left( \frac{-n^2 \pi^2 T_v}{4} \right) \quad \text{Eq. 2.7}$$

La simulation correspondante, Fig. 2.6

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 2.6 : $P_f = f(z, T_v)$</figcaption></figure>

### 2.1.1.3 Variation sinusoidale de la pression hydraulique $P_{f1}$

Selon la figure 2.7 :

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 2.7 : Variation sinusoidale de $P_f$ au sein du SPM</figcaption></figure>

$$P_{f1} = P_{f3} \cdot \sin\left(\frac{\pi z}{2Z_0}\right) \qquad \text{Eq. 2.8}$$

Par substitution de $P_f$ dans l'Eq. 2.1, on obtient :

$$P_f = \sum_{n=1}^{n=\infty} \left( \frac{1}{Z_0} \int_0^{2Z_0} P_{f3} \cdot \sin\left(\frac{\pi z}{2Z_0}\right) \sin\frac{n\pi z}{2Z_0} dz \right) \sin\frac{n\pi z}{2Z_0} \exp\left(\frac{-n^2 \pi^2 T_v}{4}\right) \quad \text{Eq. 2.9}$$
La simulation correspondante, Fig. 2.8

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 2.8 : $P_f = f(T_v, z)$</figcaption></figure>

Le taux de compression moyen selon l'Eq. 2.5 se réduit à :

$$U_{av} = 1 - \exp\left(\frac{-\pi^2 T_v}{4}\right) \qquad \text{Eq.2.10}$$

correspondant à la simulation graphique, Fig. 2.9 :

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 2.9 : Représentation graphique de l'Eq. 2.10</figcaption></figure>
En résumé pour $T_v = 0.01$ (gauche) et $T_v = 0.05$ (droite)

la relation $P_f = f(z)$ pour les trois cas de figure envisagés précédemment :

**Constant : Simulation**

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 2.10 : La pression hydraulique $P_n$ est invariante</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 2.11 : Variation linéaire de la pression hydraulique $P_n$

**Linéaire : Simulation**</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 2.12 : Variation sinusoïdale de la pression hydraulique $P_n$

**Sinusoïdal : Simulation**</figcaption></figure>
Et pour $U_{av} = f(T_v)$:

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 2.13 : Comparaison de la variation de $U_{av} = f(T_v)$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 2.14 : Comparaison de la variation de $U_{av} = f(T_v)$ – échelle logarithmique</figcaption></figure>

### 2.1.2 Son adaptation au génie chimique par M. SHIRATO

M. SHIRATO, (voir publications P1 et P2), en reprenant les travaux mathématiques de A. McNABB (1960), en redéfinissant des coordonnées matérielles sur la base du volume de solide par unité de surface drainante et en les transposant dans les équations précédentes, a permis un transfert direct des fondements de TERZAGHI dans le domaine du génie chimique.
Le rapport $w\left[\frac{m^3}{m^2}\right]$ pour lequel $\frac{dw}{dx} = \frac{1}{1+e_0}$ requière la connaissance précise $\rho_s$.

Nous avons déjà défini ce type de coordonnées dans le préliminaire théorique, chapitre 1.

### 2.1.3 Les approches basées sur la modélisation de courbes expérimentales à partir de modèles rhéologiques

#### 2.1.3.1 Comportement linéaire

Conformément au principe de superposition de Boltzmann, une matrice solide-liquide aura un comportement dit linéaire si la déformation globale qu'elle subit sous une contrainte globale est identique à la somme des déformations élémentaires qu'elle subit lorsqu'elle est soumise séparément à chaque composante élémentaire de la contrainte globale.

On peut ainsi assimiler la matrice concernée à l'assemblage série-parallèle suivant :

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 2.15 : Modèle rhéologique</figcaption></figure>

La déformation totale $\varepsilon$ est la somme $\varepsilon_H$ de l'élément de Hooke et de $\varepsilon_K$ de l'élément de Kelvin.

$$ \varepsilon = \varepsilon_H + \varepsilon_K \qquad \text{Eq. 2.11} $$

Le module de compression linéaire du ressort ‘a’ est A, on note $a = 1/A$, ($\varepsilon_H = (1/A)P_s(t)$)

Le module de compression linéaire du ressort ‘b’ est B, on note $b = 1/B$

Le coefficient de viscosité de l'amortisseur 'λ' est $\eta$, on note $\lambda = 1/\eta$

Selon les développements mathématiques fournis en annexe 2 (A2) :

$$ \varepsilon = \varepsilon_H + \varepsilon_K = \frac{1}{A} P_s(t) + \frac{1}{\eta} \int_0^t P_s(\tau) \cdot \exp\left(\frac{B}{\eta}(\tau-t)\right) d\tau \qquad \text{Eq. 2.12} $$

Dans ce cas $\tau$ n'est pas une contrainte mais un temps de retard utile à l'usage du théorème de convolution (voir A2).

$$ \text{Sachant, selon Eq. 1.33 que : } \frac{K}{\gamma_f} \frac{\partial^2 P_f}{\partial z^2} = \frac{1}{1+e} \frac{\partial e}{\partial t} = -\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} \qquad \text{Eq. 2.13} $$
et selon les conditions aux limites définies sur la Fig. 2.16.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 2.16 : Les conditions aux limites</figcaption></figure>

En combinant les Eq. 2.12 et Eq. 2.13 et en utilisant la transformée de Laplace (détails en A2), on obtient la solution générale :

$$P_f(z,t) = \frac{4}{\pi} \left(1 + \frac{A}{B}\right) P_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)} \left[ \frac{x_1 \left( \frac{B}{A+B} - \frac{x_2}{K_1} \right)}{x_1 - x_2} \cdot \exp(-x_1 t) - \frac{x_2 \left( \frac{B}{A+B} - \frac{x_1}{K_1} \right)}{x_1 - x_2} \cdot \exp(-x_2 t) \right] \sin \frac{(2n+1)\pi z}{2Z_0} \quad \text{Eq. 2.14}$$

$$\text{avec : } x_1(\text{sol.+}) \equiv \frac{(\alpha + K_1) \pm \sqrt{[(\alpha + K_1)^2 - 4\beta K_1]}}{2} \equiv x_2(\text{sol.}-)$$

$$K_1 = \frac{(2n+1)^2 \pi^2 C_v}{4Z_0^2} \qquad \text{Eq. 2.15}$$

$$\alpha = \frac{A+B}{\eta} \quad \text{ou} \quad \alpha = \lambda \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \qquad \text{Eq. 2.16}$$

$$\beta = \frac{B}{\eta} \quad \text{ou} \quad \beta = \frac{\lambda}{b} \qquad \text{Eq. 2.17}$$

$$C_v = \frac{KA}{\gamma_f} \quad \text{ou} \quad C_v = \frac{K}{a\gamma_f} \qquad \text{Eq. 2.18}$$

$$K_c = \frac{B}{A+B} K_1 \quad \text{ou} \quad K_c = \frac{a}{a+b} K_1 \qquad \text{Eq. 2.19}$$

Il est utile, à titre comparatif seulement, de visualiser la variation de la pression hydraulique donnée par l'Eq. 2.14 en fonction des divers paramètres des modèles rhéologiques.

Dans les simulations nous ne donnons pas toujours les unités choisies car il s'agit d'illustrations mathématiques pour lesquelles la cohérence des unités doit être respectée, comme nous l'avons fait, mais dont le choix est laissé libre car il s'agit de comparaisons. Les variations des paramètres n'ont pas toujours été sélectionnées par rapport à une réalité physique mais surtout pour valider certains choix mathématiques ou pour montrer l'absence de sensibilité d'un modèle ou ses similarités avec d'autres. Ceci est vrai pour l'ensemble du mémoire, sachant que l'auteur insiste sur la validation expérimentale la plus pertinente et pas forcément la plus diverse en conservant le caractère avant tout fondamental de ce travail. Le dispositif expérimental étant la deuxième facette privilégiée pour ainsi fournir à nos successeurs des bases solides de validation à partir de situations diverses.
* variables A, B

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 2.17 : La variation de $Pf = f(A,B)$ pour le modèle rhéologique ci-contre</figcaption></figure>

* variables B, $\eta$, ($n = \eta$)

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 2.18 : La variation de $Pf = f(\eta, B)$ pour le modèle rhéologique ci-contre</figcaption></figure>

* variables A, $\eta$, ($n = \eta$)

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 2.19 : La variation de $Pf = f(\eta, A)$ pour le modèle rhéologique ci-contre</figcaption></figure>
On peut comparer, pour la situation représentée sur la Fig. 2.16, la figure correspondant à l'Eq. 2.14 et la figure correspondant à l'Eq. 2.1, établie selon les bases de TERZAGHI ou de façon plus générale selon l'Eq. 1.33 provenant du bilan matière et de l'équilibre des forces au sein d'un élément SPM, à savoir :

$$P_f(z,t) = \frac{4}{\pi} P_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)} e^{-\frac{(2n+1)^2 \pi^2 C_0 t}{2Z_0^2}} \sin \frac{(2n+1)\pi z}{2Z_0} \quad \text{Eq. 2.20}$$

Sous forme adimensionnelle et pour $Ta \approx Tv$

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>CPC modèle classique
Eq.2.20</figcaption></figure>

Figure 2.20

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Modèle rhéologique
Compression Secondaire
→ 0, b→ 0</figcaption></figure>

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Modèle rhéologique
SPM → Hooke
λ → 0</figcaption></figure>

Figure 2.21

Figure 2.22
Il n'est pas surprenant de constater l'usage fréquent des modèles rhéologiques qui se conforment bien à la théorie classique, en occultant peut-être certains aspects sur lesquels nous reviendrons.

### 2.1.3.2 Comportement non-linéaire

La démarche d'insertion de composants non-linéaires, bien que conceptuellement simple, peut vite devenir très lourde, en voici les grandes lignes. Nous verrons son usage partiel au chapitre 3.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 2.23 : Diverses configurations de modèles rhéologiques à partir d'éléments linéaires ou non</figcaption></figure>

La configuration mixte ci-dessus peut être exploitée selon l'Eq. 1.33, à partir de l'équation suivante :

$$ \frac{K(1+e) \partial^2 P_f}{\gamma_f \partial z^2} = \frac{\partial e}{\partial t} \qquad \text{Eq. 2.21} $$

Dans le cas non linéaire on rencontrera la situation suivante Fig. 2.24 :

Or $\Delta P = \Delta P_s + P_f$, $\Delta P_s = f(ressort, amortisseur)$ en configuration parallèle
$\tau$ est équivalent à $P_s$ (amortisseur)

$$ \frac{e_1 - e_2}{a_v} = \frac{e_1 - e}{a_v} + P_f + \tau \qquad \Delta e = -a_v \Delta P_s \qquad \text{Eq 2.22} $$

ou

$$ \frac{e_1 - e_2}{a_v} = \Delta P_s = \text{Contrainte effective totale} $$

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 2.24 : Variation non linéaire $e = f(P_s)$</figcaption></figure>

Par un choix convenable de relations entre la contrainte effective et la vitesse de déformation on pourra alors résoudre, numériquement le plus souvent, l'Eq. 2.21.
Voici quelques fonctions dont certaines seront utilisées par la suite :

$$
\begin{align*}
\tau &= A \cdot \sin^{-1}\left(\frac{\dot{\varepsilon}}{C}\right) & \text{Prandtl} \\
\tau &= \frac{\dot{\varepsilon}}{B} + C \cdot \sin\left(\frac{\dot{\varepsilon}}{A}\right) & \text{Eyring} \\
\tau &= \varepsilon A + B \cdot \sinh^{-1}\left(C \frac{\dot{\varepsilon}}{\varepsilon}\right) \quad [16] & \text{Powel-Eyring} \\
\tau &= \frac{\dot{\varepsilon} A}{B + \varepsilon} + C \frac{\dot{\varepsilon}}{\varepsilon} & \text{Williamson} \\
\tau'' &= B \frac{\dot{\varepsilon}}{\varepsilon} \quad \text{avec } n > 1 & \text{Ostwald} \\
\dot{\varepsilon} &= B \cdot f\left(\frac{\partial \tau}{\partial t}\right)^{\prime\prime\prime} \quad \text{sinh}(a\tau) \quad \text{équation générique} & \text{Keedwell}
\end{align*}
$$

avec $\varepsilon$ = la déformation et $\dot{\varepsilon} = \frac{d\varepsilon}{dt}$ et $d\varepsilon = \frac{de}{1+e}$

et à titre d'exemple :

$$
\tau = -b \left(\frac{\partial e}{\partial t}\right)^{1/n} \quad \text{or} \quad \frac{\partial e}{\partial t} = \left(-\frac{\tau}{b}\right)^{n} \quad \text{avec } n > 1.
$$

Le taux de compression s'exprimant sous la forme :

$$
U_z = \frac{e_1 - e}{e_1 - e_2} \quad \text{et définissant } \lambda = 1 - U_z = \frac{e - e_2}{e_1 - e_2} = \frac{e'}{a_v \Delta P_s} \qquad \text{Eq 2.23}
$$

on obtient la solution suivante :

$$
\frac{\partial^2}{\partial \bar{z}^2} \left\{ \lambda + \left( R_s \frac{\partial \lambda}{\partial T_v} \right)^{1/n} \right\} = \frac{\partial \lambda}{\partial T_v} \quad \text{avec } R_s = \frac{C_v \bar{\eta}}{Z_0^2} \text{ et } b = \bar{\eta}
$$

Seule une approche numérique est alors envisageable. Etant donnée la portée
régellement minime des modèles rhéologiques vis-à-vis des produits traités dans ce
mémoire, nous nous limiterons à cette approche qui sera utile pour la suite.

2.1.3.3 Comportement de Maxwell généralisé

La base de ce modèle est constituée par un ressort connecté en série à un amortisseur.
La déformation totale ε est la somme de la déformation, ε<sub>H</sub>, du ressort et de la
déformation de l'amortisseur ε<sub>D</sub> :

$$
\epsilon = \epsilon_H + \epsilon_D \tag{Eq. 2.24}
$$

Le module de compression linéaire du ressort est noté 1/J.

Le coefficient de viscosité de l'amortisseur est noté $\eta$.

Avec

$$
P_{s1}(t) = \frac{1}{J} \varepsilon_H \quad \text{ou} \quad \varepsilon_1 = J \cdot P_{s1}(t) \quad \text{loi de Hooke} \qquad \text{Eq. 2.25}
$$

et pour l'amortisseur

$$
P_{s2}(t) = \eta \frac{d\epsilon_D}{dt} \quad \text{ou} \quad \frac{d\epsilon_2}{dt} = \frac{P_{s2}(t)}{\eta} \qquad \text{Eq. 2.26}
$$
et pour l'association en série, Fig. 2.25

$$P_s = P_{s1} = P_{s2}$$

$$\epsilon = \epsilon_1 + \epsilon_2$$

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 2.25 : Assemblage type Maxwell</figcaption></figure>

Sous forme différentielle :

$$\frac{d\epsilon}{dt} = \frac{d\epsilon_1}{dt} + \frac{d\epsilon_2}{dt} \qquad \text{Eq. 2.28}$$

$$\frac{d\epsilon}{dt} = J \cdot \frac{dP_s(t)}{dt} + \frac{P_s(t)}{\eta} \qquad \text{Eq. 2.29}$$

En fin de compression $\frac{d\epsilon}{dt} = 0$, alors :

$$J \cdot \frac{dP_s}{dt} + \frac{P_s}{\eta} = 0 \qquad \text{Eq. 2.30}$$

$$J \cdot \frac{dP_s}{dt} = -\frac{P_s}{\eta} \\ -J \cdot \eta \cdot \int_{P_{s0}}^{P_s} \frac{1}{P_s} dP_s = \int_{0}^{t} dt \qquad \text{Eq. 2.31}$$

$$J \cdot \eta [-\ln(P_s) + \ln(P_{s0})] = t + Cte$$

Or à $t = 0$, $P_s = P_{s0}$, alors $Cte = 0$

$$\ln(P_s) = -\frac{t}{J \cdot \eta} + \ln(P_{s0})$$

$$P_s = \exp\left(-\frac{t}{J \cdot \eta} + \ln(P_{s0})\right)$$

ou,

$$P_s = P_{s0} \exp\left(-\frac{t}{J \cdot \eta}\right) \qquad \text{Eq. 2.32}$$

Cette relation décrit aussi le phénomène de relaxation :

$$P_s = P_{s0} \exp\left(-\frac{t}{J \cdot \eta}\right) + P_s(t \to \infty) \qquad \text{Eq. 2.33}$$
Et pour la combinaison en parallèle d'éléments de Maxwell :

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 2.26</figcaption></figure>

$$P_s(t) = \sum_{i=1}^{n-1} G_i \cdot e^{-\frac{t}{\theta_i}} + G_n \qquad \text{Eq. 2.34}$$

Prenons le cas simple de deux éléments.

On peut donc écrire :

$$P_s(t) = G_1 \cdot e^{-\frac{t}{\theta_1}} + G_2 \cdot e^{-\frac{t}{\theta_2}} + G_3 \qquad \text{Eq. 2.35}$$

et trouver les différentes caractéristiques rhéologiques à partir des relations contrainte-temps.

A titre d'exemple, nous utilisons l'un de nos tests de compression-relaxation (CDC) durant lequel la pulpe F2 est déformée à une vitesse constante de 0.254 cm/min (voir chapitre 3 pour les conditions opératoires).

Ce cas a été choisi pour illustrer l'usage des modèles rhéologiques tout en établissant une transition avec le chapitre 3, à savoir la CDC. Il convient de souligner qu'il est aisé de calquer un exemple CPC sur le cas étudié car ce type de modélisation est malheureusement peu spécifique comme le souligne davantage ce qui suit.
<figure><img src="image_55.png" /></figure>

La Fig. 2.27 montre la variation de la pression solide en fonction du temps et permet d'apprécier la qualité du modèle de Maxwell à deux éléments.

Les coefficients sont :

$$T1 = \frac{1}{\theta_1} = -2.15 \text{ min}^{-1}$$

$$T2 = \frac{1}{\theta_2} = -21.57 \text{ min}^{-1}$$

$$G1 = 0.019 \text{ N/cm}^2$$

$$G2 = 1.909 \text{ N/cm}^2$$

$$G3 = -1.34 \text{ N/cm}^2$$

avec un coefficient de corrélation de : $r^2 = 0.997$.
## 2.2 ILLUSTRATION EXPERIMENTALE DE LA CPC

### 2.2.1 Publication 1, (P1)

Etablie sur la base du DEA soutenu en 1981 à l'INPL, cette communication scientifique a fait l'objet du congrès « Mathematical Models and Design Methods in Solid-Liquid Separation ». Elle illustre avant tout l'usage et l'exploitation de la théorie développée dans ce chapitre. La version complète est accessible en annexe A5.

LECLERC D. & REBOUILLAT S. *Mathematical Models and Design Methods in Solid-Liquid Separation: Dewatering by compression.* NATO ASI Series, 356-391, (1982-1985).

### 2.2.2 Publication 2, (P2)

Cette seconde publication est reproduite dans son intégralité à la fin de ce chapitre car elle présente l'avantage de replacer le sujet dans un contexte industriel. Les produits humides divers traités demeurent d'intérêt majeur dans les secteurs de l'alimentation et de l'environnement. Les modèles purement théoriques et phénoménologiques mis en œuvre dans des situations diverses sont cohérents et peuvent être utilisés pour l'appréciation rapide des cinétiques de compression. Le calcul des valeurs des paramètres de compression est plus délicat.

REBOUILLAT S., LECLERC D. & BALUAIS G. *La déshydratation par filtration-pressage. Modélisation de la compression unidirectionnelle.* Entropie 121, 13-29, (1985).

On comparera utilement les données du Tableau 2.1 avec celles fournies aux chapitres 3 et 4.

<table><caption>Tableau 2.1 (sur la base des Fig. 14 et 18 de la publication P2) Variation de Ce en fonction de la pression totale et de la quantité initiale de SPM</caption><thead><tr><th>Produit</th><th>Pression CPC (bar)</th><th>ω<sub>0</sub> [cm]</th><th>ν<sub>0</sub> [cm<sup>3</sup>/g]</th><th>Ce [cm<sup>2</sup>/s]</th></tr></thead><tbody><tr><td>Kaolin</td><td>2</td><td>0.818</td><td>1.0</td><td>4.4 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Kaolin Floculé</td><td>2</td><td>0.510</td><td>2.0</td><td>3.0 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Kaolin Floculé</td><td>4</td><td>0.221</td><td>1.6</td><td>5.1 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Kaolin Floculé</td><td>4</td><td>0.510</td><td>1.7</td><td>5.5 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Kaolin Floculé</td><td>4</td><td>1.021</td><td>1.8</td><td>7.2 10<sup>-4</sup></td></tr></tbody></table>
## 2.3 SENSIBILITE ECONOMIQUE ET ENERGETIQUE

Environnement, énergie et développement durable sont intrinsèquement liés. Nous citons trois publications qui établissent le lien entre nos préoccupations techniques et scientifiques et leurs impacts économiques et énergétiques. Deux d'entre-elles, P3, P4, figurent en annexe séparée et sont disponibles sur demande. La troisième, P5, figure en annexe A6 en totalité car elle n'a fait l'objet que d'un séminaire et demeure d'actualité si l'on considère les données suivantes :

1. Au cours des vingt-cinq dernières années la consommation mondiale de sucre a augmenté de 45% et de 16% environ durant les dix dernières années.

2. L'Europe, UE, produit 18% de la consommation mondiale et se place en seconde position des producteurs de sucre.

3. L'Europe, UE, est le premier producteur mondial de sucre de betterave représentant 45% de la production mondiale soit 17 millions de tonnes.

4. Une tonne de betterave contient en moyenne 16% de sucre, soit environ 140 kg de sucre produit par tonne de betteraves.

5. Le traitement d'une tonne de betteraves donne 500 kg de pulpes à 90% d'humidité. Ceci représente une quantité considérable d'eau à éliminer pour aboutir à un produit surpressé à 25% de matières sèches (MS) ou déshydraté à 88% de MS.

6. On consomme encore aujourd'hui au moins 175 g de fioul par kg de pulpe sèche produite. Cette consommation peut être réduite de près de 30% si l'on augmente la siccité de la pulpe de 5 points avant séchage thermique. Il faut souligner que si entre 1970 et 1980 la consommation spécifique de fioul est passée de 330 g/kg de pulpe sèche produite à 200g/kg, on enregistre une stagnation à un niveau proche de 190 g/kg entre 1980 et 1995. Ces chiffres sont fournis par la Confédération Générale des Betteraviers (CGB). Ce constat semble supporter le fait que lorsque le baril de pétrole est moins coûteux, la préoccupation diminue. Le concept de développement durable trouve sa pleine justification pour palier de tels réflexes.

7. Au niveau européen (UE) une augmentation par voie mécanique de 5% de la siccité des pulpes avant leur séchage thermique, engendrerait une économie d'énergie de plus 80 000 tep/an soit l'équivalent de la consommation moyenne annuelle pour le chauffage domestique de près de 150 000 habitants vivant en France ; ceci si l'on se réfère aux statistiques de l'Observatoire de l'Energie (CEREN et CREDOC) établies sur 18 années entre 1982 et 1999.

Si au niveau européen (UE) et selon un raisonnement analogue, les trois plus grandes catégories d'industries « éliminatrices d'eau par voie thermique », à savoir les laiteries, les sucreries et les brasseries, réduisaient également de 5% le taux d'humidité des produits soumis au séchage thermique, cela représenterait l'équivalent de la consommation annuelle en énergie de chauffage de 500 000 habitants demeurant en France. Ces trois secteurs représentent environ les 2/3 de la consommation d'énergie de l'industrie agroalimentaire, principalement dans des activités d'élimination d'eau.

En 1983, thèse de Docteur-Ingénieur, et 1985, publication P5, nous avons proposé un modèle de calcul des optimums économiques et énergétiques de la déshydratation des pulpes qui mettait en évidence une harmonie des coûts énergétiques et économiques pour une siccité de 25%. Aujourd'hui le taux de MS des pulpes avant séchage est de
26% en moyenne alors qu'il était de 17% en 1970. Notre approche mériterait d'être actualisée, elle semble avoir un certain degré de prédictibilité. Nous verrons ultérieurement qu'un taux de MS de 30% est atteignable dans des conditions de pressage en couches minces sans optimisation particulière. Un potentiel important de réduction de la consommation d'énergie existe encore dans ce domaine industriel.

### 2.3.1 Publication 3, (P3)

LECLERC D. & REBOUILLAT S. *Economic Optimization Strategy in Solid/liquid Separation Processes: Mechanical Dewatering of Flocculated Sludges – Theoretical evaluation of energetic and economic optima*. Int. Symp., Louvain-la-Neuve, Belgium, SBF Ed., 283-313, Nov. (1985).

En annexe séparée disponible sur demande.

### 2.3.2 Publication 4, (P4)

LECLERC D. & REBOUILLAT S. *Déshydratation des suspensions solide-liquide par filtration-séchage*. Energétique industrielle, Tome 3, Technique et Documentation, Lavoisier, Paris, (1982).

En annexe séparée disponible sur demande.

### 2.3.3 Publication 5, (P5)

REBOUILLAT S., LECLERC D. & BALUAIS G. *La déshydratation par filtration-pressage. Incidence des adjuvants de pressabilité sur le pressage des pulpes de betteraves*. Société Française de Filtration, Bulletin Technique n° 10, 72-84, (1985).

Version complète en annexe A6.

Etablie sur la base du chapitre « Recherche d'Optima Techniques, Economiques et Energétiques d'Opérations de Pressage » de la thèse de Docteur-Ingénieur soutenue à l'INPL en 1983, cette publication est une synthèse de la méthode développée à cette époque.
## 2.4 CONCLUSION

Des travaux conduits sur la compression à pression constante, et qui sont largement discutés et illustrés dans les publications P1 et P2, nous dégageons les conclusions suivantes :

1. Les modèles décrits précédemment suivent bien le comportement des SPM d'origine minérale, comme le Kaolin. Nos résultats sur le Kaolin floculé demeurent intéressants, en ce sens que l'on peut rendre un comportement linéaire et se rapprocher des distributions théoriques correspondantes.

2. Ces modèles sont d'usage plus limité lorsqu'il s'agit de traiter des matériaux biologiques comme les agrumes, la luzerne, les boues résiduaires et les pulpes de betteraves. Il faut alors faire appel à des modèles plus empiriques ce qui limite et rend difficile la recherche de paramètres de compression spécifiques et comparables entre eux.

3. La durée des expériences n'est pas représentative des pratiques industrielles qui se limitent à des durées inférieures à la seconde dans le cas du pressage du papier, inférieures à plusieurs minutes dans le cas de la filtration pressage continue ou semi-continue et inférieures à l'heure dans la plupart des cas. On note dans nos expériences CPC des durées de tests de plusieurs heures parfois. On a relevé des temps de séjour allant jusqu'à 7 heures dans les travaux sur la compression des produits oléagineux, comme les graines de colza, rapportés par LANOISELLE (1995). Ceci n'ôte rien à la valeur de ces travaux pour la connaissance du comportement de certains produits dans le temps mais reste d'usage plus limité à l'échelle du dimensionnement des équipements.

4. Cet aspect rend quelque peu superflue l'analyse de la phase de compression secondaire sachant que dans peu d'opérations industrielles, le fluage prend place dans les conditions étudiées au laboratoire où par nécessité scientifique la notion d'équilibre est essentielle. Il faudrait peut-être substituer ces expériences longues par des analyses en relaxation comme nous l'avons illustré dans nos publications P8 et P10 sur la base des travaux de PELEG.

5. L'effet choc que peut exercer sur le produit l'application d'une pression soudaine est aussi un facteur à surveiller tout en gardant à l'esprit que la phase préliminaire de filtration tend à atténuer ce phénomène ; encore faut-il qu'elle existe.

6. Soulignons aussi, pour les produits biologiques, la difficulté d'apprécier la densité réelle du solide, ce qui rend les coordonnées matérielles reprises par SHIRATO difficiles d'usage pour la compression de ces produits.

Tentons d'illustrer certaines des expériences qui ont conduit à une évolution significative de nos travaux.

La figure 2.27 donne bien toute la dimension des méthodes de lissage de courbes à partir de fonctions mathématiques ; dans le cas présent, celles correspondant aux modèles rhéologiques classiques. Il est toujours possible, à partir d'un nombre plus ou moins grand d'éléments placés en série ou en parallèle, de faire coïncider une série de points expérimentaux à une courbe dite théorique. L'interprétation des paramètres de lissage devient alors complexe. LANOISELLE (1995) et VOROBIEV démontrent bien la complexité de cet exercice.

Dans l'une des plus cohérentes études sur le sujet, M. PELEG (1980 - J of Rheo, 1982 - Rheol Acta, 1983 - Jour. Texture Studies), démontre les conséquences du manque de
précaution. Il souligne «the large number of rheological exponential equations, derived from various series of mechanical analogues such as the Maxwellian and Kelvin-Voigt models, or combination thereof, should be very cautiously used in the field of solid bio-materials». Ces produits ont en plus une durée de vie courte, ce qui remet en cause les tests de longues durées nécessaires à l'appréciation de conditions aux limites.

Dans un article de PELEG (1977), la démonstration de ce qui précède se trouve parfaitement illustrée. A partir de la relation déformation-contrainte suivante :

$$P(t) = K_0 \cdot \log_e \left( \frac{b}{b-t} \right) + \sum_{i=1}^{m} \left[ K_i \exp[a_i \cdot (b-t)] \cdot \left\{ \log_e \left( \frac{b}{b-t} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a_i)^n (b^n - (b-t)^n)}{n \cdot n!} \right\} \right]$$

avec $a_i = \frac{K_i}{n_i}$ et $b = \frac{Z_0}{dZ/dt}$ on obtient les courbes de la Fig. 2.28,

qui démontrent que pour trois modèles rhéologiques différents on obtient, pour une vitesse de déformation suffisante, les mêmes lissages.
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 2.28 : Incidence de la vitesse de déformation sur la modélisation à partir des modèles rhéologiques</figcaption></figure>

Dans le même esprit, les expériences réalisées à titre d'orientation, au laboratoire du génie de l'air et que nous avons rapportées dans notre mémoire de thèse de Docteur-Ingénieur, prennent toute leur signification quant à l'incidence de la vitesse de déformation sur les paramètres de compression. Réalisées à l'aide d'une presse hydraulique manuelle et d'enregistreurs spécialement instrumentés pour le suivi de profils de vitesse choisis, ces tests montrent l'incidence majeure de la vitesse de déformation sur la siccité des pulpes soumises à ce type de compression. De ce fait, la compression à pression constante, si elle n'est pas précédée d'une phase de filtration, peut être remise en cause si l'incidence des vitesses de déformation n'est pas suffisamment bien connue et maîtrisée.
Les figures 2.29 et 2.30 illustrent cet aspect.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 2.29 : Dispositif et mesures de compression à différentes vitesses de déformation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 2.30 : Incidence de la vitesse de déformation sur le pressage des pulpes</figcaption></figure>
Cette expérience a très largement influencé l'orientation de nos recherches vers la compression en régime imposé et contrôlé du type de la compression à déformation constante, sachant que les propriétés intrinsèques du SPM seraient mieux prises en compte. De plus la compression de produits biologiques serait moins sujette aux aléas des mesures faites après un choc de pression.

P2

REBOUILLAT S., LECLERC D. & BALUAIS G. *La déshydratation par filtration-pressage. Modélisation de la compression unidirectionnelle*. Entropie 121, 13-29, (1985).
<figure><img src="image_59.png" /></figure>
S. REBOUILLAT, D. LECLERC, G. BALUAIS

Laboratoire des Sciences du Génie Chimique
CNRS - ENSIC
1, rue Grandville - 54042 NANCY Cedex F.

Article reçu le 21/05/84 - Accepté le 23/11/84

Une courte revue des équipements de filtration-pressage est faite afin de dégager les technologies les plus rencontrées dans divers domaines industriels et leurs performances respectives. Les fondements de la compression unidirectionnelle sont ensuite rappelés, ainsi que les différents modèles qui en résultent. On montre alors que le phénomène de consolidation peut être divisé en deux étapes qualifiées de compression primaire (phase hydrodynamique) et de compression secondaire (phase de fluage du matériau). Une méthodologie est développée à partir d'essais réalisés sur une cellule de filtration-compression de laboratoire afin de valider ces modèles ainsi que des modèles simplifiés plus utilisables pour le dimensionnement des dispositifs de pressage industriels. Nous présentons les résultats obtenus avec des argiles (kaolin), des boues résiduaires urbaines et des produits agro-alimentaires (cassis broyé, pulpes de betteraves, luzerne broyée).

Dehydration by filtration pressing : one direction compression modelling.— A short review of filtration-pressing equipments has been made in order to bring out the most usual technologies in different industrial fields and their achievements. The bases of one-direction compression are recalled as well as the different models which are derived from them. It can be shown that the stiffening phenomenon can be divided into two steps, one of primary compression (hydrodynamical phase) and one of secondary compression (creeping phase). A methodology has been developed from tests in a laboratory filtration-pressing cell to get a validation of these models and of simplified models more useful for the scaling-up of industrial systems. Results obtained with clays kaolin sewage sludges and food products (crushed blackcurrant, beet pulp, crushed lucerne).

Die Entwässerung durch Druckfiltration.
Modellierung der Kompression.—
Anhand einer kurzen Übersicht über die
Druckfiltrationsgeräte werden die meist
verwendeten Technologien beschrieben
und ihre Eigenschaften verglichen. Dann
werden die Grundlagen der unidirektion-
nellen Kompression und die sich daraus
ergebenden Modelle beschrieben. Es wird
gezeigt, dass man in der Verfestigung
zwei Phasen unterscheiden kann, die
Primärkompression (hydrodynamische
Phase) und die Sekundärkompression
(Kriechphase). Anhand der in einer
Druckfiltrations-Zelle im Labormasstab
gewonnenen Ergebnisse wird eine
Methode zur Überprüfung der Modelle
entwickelt; ausserdem werden verein-
fachte Modelle zur Auslegung von
technischen Pressen vorgeschlagen. Die
vorgestellten Ergebnisse betreffen die
Druckfiltration von Lehmen (Kaolin),
Abwasserschlämmen und von landwirt-
schaftlichen Produkten (schwarze
Johannisbeeren, Zuckerrübenpülpe,
geschrotete Luzerne).

Deshitratación por filtración-prensado.
Modelización de la compresión.— Se pasa
en revista los diferentes equipos de filtra-
ción-prensado, con el objeto de determi-
nar las tecnologías utilidadas en diversos
campos de aplicación industriales y sus
características. En seguida se recuerdan
los fundamentos de la compresión uni-
direccional y los modelos tirados de ella.
Luego se muestra que el fenomeno de
consolidación puede ser dividido en dos
eítapas calificadas de compresión prima-
ria y compresión secundaria. Se desarolla
una metodología tomando como basé
los ensayos realizados sobre una celda de
filtración-compresión de laboratorio, con
el objeto de validar los modelos así que
los modelos simplificados mas utilidados
en el dimensionamiento de dispositivos
de prensado industrial. Se muestran
los resultados obtenidos con arcillas
(caolin), lodos residuales urbanos y
productos agro-alimenticios (pulpa de
remolacha y frutas molidas).

A desidratação por filtração- prensagem.
Modelização da compressão.— Uma pe-
quena revisao dos equipamentos de fil-
tração-prensagem é feita a fim de apre-
sentar as tecnologias mais frequentes
em varios domínios industriais e seus
desempenhos respectivos. Os funda-
mentos da compressão unidirecional sao
em seguida realizados assim como seus
diferentes modelos resultantes. Em se-
guida, é mostrado entao que o fenômeno
da consolidação pode ser dividido em
duas etapas : de compressão primária
(fase hidrodinâmica) e de compressão
secundária. Uma metodologia é desem-
volvida a partir de experiências realizadas
sobre uma célula de filtração-compressao
de laboratório, a fim de validar estes
modelos, assim como os modelos sim-
plificados. Sendo estes últimos os mais
utilizados para o dimensionamento dos
dispositivos de prensagem industrial. Os
resultados obtidos com argilas (kaolin),
barros residuais urbanos e produtos
agro-alimentares sao apresentados.

mots-clés * keywords

déshydratation * filtration-pressage * compression unidirectionnelle *

deshydratation * filtration-pressing * one direction compression modelling *
# INTRODUCTION

Les techniques d'élimination d'eau par voie mécanique répondent aux exigences d'économies d'énergie car elles ne mettent en œuvre que des transferts de quantités de mouvements, tout en apportant des solutions aux problèmes d'environnement. Sur le plan technologique, des dispositifs variés sont apparus sur le marché, associant le plus souvent la filtration à la compression mécanique.

La compression unidirectionnelle, qui correspond à un concept très ancien utilisé essentiellement en mécanique des sols, est reprise dans ses fondements théoriques pour réaliser une approche systématique de la cinétique de déshydratation de suspensions et de produits humides divers. A partir de ces concepts et à travers un protocole opératoire simple, on propose une méthodologie d'approche du pressage. Les exemples illustrant celle-ci sont issus du traitement, au moyen d'une cellule de laboratoire, de produits rencontrés dans les secteurs du traitement des minerais, de l'environnement et de l'industrie agro-alimentaire.

## 1 REVUE DES TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES ACTUELLES

Le mécanisme de déshydratation par pressage peut être représenté par le diagramme de la figure 1 a. Le choix du dispositif permettant le double transfert de quantité de mouvement et de masse est essentiellement guidé par la fluidité et le comportement du produit considéré dans les éventuels systèmes de pompage. Il est rare, en effet, que la nature de l'eau à éliminer (libre, liée, occluse) soit prise en compte pour la réalisation d'un procédé de compression. Par contre, la nature fibreuse, spongieuse ou gélatineuse du produit

détermine la faisabilité d'un processus de déshydratation par pressage. Nous adopterons donc la classification simplificatrice de la figure 1b pour l'examen des matériels. La figure 1c schématise, compte tenu de l'alternative précédente, le processus global de pressage sans préjuger du ou des constituants précieux : solide et/ou liquide pouvant être valorisables.

### 1.1. Filtres à chambres fixes ou variables pour traitement des suspensions pompables [1]

Les dispositifs à volume fixe représentés par les filtres à cadres sont surtout utilisés pour les opérations de filtration pure, la compression éventuelle étant réduite à celle provoquée par l'alimentation forcée. Limitant notre propos aux seuls processus de déshydratation par filtration compression ou par expression, nous ne donnons que quelques performances comparées de ces dispositifs.

La planche 1 visualise un ensemble d'équipements permettant d'effectuer les opérations successives de filtration-compression. Généralement, les caractéristiques de fonctionnement sont les suivantes : une pression de 10 bars, une durée de pressage de 15 minutes mais qui peut aller jusqu'à 1 heure, et une charge telle que l'épaisseur du gâteau soit voisine de 30 mm.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Fig. 1b. Diagramme de classification des matériels.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Fig. 1a. Analyse du mécanisme de pressage.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Fig. 1c. Processus global de pressage.</figcaption></figure>
## PLANCHE 1 : TRAITEMENT DES SUSPENSIONS POMPABLES
PRESSE HYDRAULIQUE
FILTRE PRESSE VERTICAL
FILTRE PRESSE CYLINDRIQUE
FILTRE PRESSE TUBULAIRE

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Fig.2. Principe des filtres à membrane de compression.</figcaption></figure>

### DONNEES COMPARATIVES

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Domaine</th><th>MS</th><th>Temp. °C</th><th>Durée du cycle en mn</th><th>Capacité en MS Kg/m².h</th><th>% humidité résiduelle</th><th>Autres équipements</th><th>Capacité en MS Kg/m².h</th><th>% humidité résiduelle</th></tr></thead><tbody><tr><td>Produits</td><td>%</td><td>pression bar</td><td></td><td></td><td></td><td>Type de filtre</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="9">FILTRE PRESSE VERTICAL</td></tr><tr><td>Céramique</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>- Kaolin</td><td>50</td><td>16b</td><td>16</td><td>36-40 140</td><td>28-30</td><td>Filtre presse à plateaux chambrés</td><td>7-8</td><td>33-34</td></tr><tr><td>- Talc</td><td>45</td><td>16b</td><td>16</td><td>120-150 210</td><td>15-18</td><td>Filtre presse à plateaux et cadres</td><td>8-12</td><td>20-22</td></tr><tr><td>Traitement des eaux usées</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>- Boues</td><td>4</td><td>20°C 16 b</td><td>17,5</td><td>14-17</td><td>42-56</td><td>Filtre presse à plateaux et cadres</td><td>6-9</td><td>55-65</td></tr><tr><td>Agro-alimentaire</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>- Jus, industrie du sucre</td><td>13,6</td><td>60°C 16 b</td><td>10</td><td>65-75 144</td><td>40-43</td><td>Filtre à tambour sous vide</td><td>35-40</td><td>50-51</td></tr></tbody></table>

PLANCHE 1 - Tableau 1.

### EXEMPLES

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Fig.3. Filtre presse à plateaux KRAUSS MAFFEI ®</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Fig.4. Filtre à chambre annulaire variable VC FILTER ®</figcaption></figure>

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Fig.5. Filtre automatique à débatissage simultané LAROX ®</figcaption></figure>

<footnote>* Source : LAROX.</footnote>
## 1.2. Equipements de pressage

Différents procédés permettent la mise en œuvre de produits semi-solides et correspondent de ce fait à la notion classique de compression due aux mouvements réciproques des parois de la chambre où l'expression est réalisée. Hormis les procédés de pressage discontinus qui n'ont pas un réel impact industriel, les planches 2 et 3

donnent un certain nombre d'exemples d'équipements industriels de pressage dans deux principaux domaines d'utilisation de ces dispositifs, les boues résiduaires et les produits agroalimentaires [2]. Dans ces deux secteurs l'empirisme est encore grand, aussi est-il difficile de dégager des conditions opératoires précises, chaque dispositif ayant, semble-t-il, été mis au point pour une application spécifique.

# PLANCHE 2 : TRAITEMENT DES BOUES RESIDUAIRES FILTRES A BANDES PRESSEUSES HORIZONTALES, VERTICALES PROCEDES PARTICULIERS

<table><thead><tr><th rowspan="2">Performances</th><th colspan="2">Filtre Presse</th><th colspan="2">Filtre à bandes</th></tr><tr><th>Classique</th><th>Squeezor</th><th>Horizontales</th><th>Verticales</th></tr></thead><tbody><tr><td>Domaine de résistance spécifique (m/Kg)</td><td>5.10<sup>2</sup> - 8.10<sup>13</sup></td><td>5.10<sup>12</sup> - 8.10<sup>13</sup></td><td>1.10<sup>10</sup></td><td></td></tr><tr><td>Capacité de production (KgMS/m<sup>2</sup>.h)</td><td>5-15</td><td>40-50</td><td>150-140</td><td>15-30</td></tr><tr><td>Siccité (%)</td><td>35-55</td><td>35-45</td><td>20-30</td><td>20-30</td></tr><tr><td>Consommation d'énergie (KWh/T.MS)</td><td>15-40</td><td>90-170</td><td>5-20</td><td>5-20</td></tr></tbody></table>

EXEMPLE :

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Fig. 6. Vue schématique du procédé SQUEEZOR®</figcaption></figure>

## 2 DEFINITION ET EQUATION GENERALE DE LA COMPRESSION UNIDIRECTIONNELLE

### 2.1. Pressage et compression unidirectionnelle

Le pressage est un procédé mécanique simple de séparation solide-liquide utilisé traditionnellement pour la production des jus de fruits. A la différence de la filtration qui est gouvernée par les pressions hydrauliques, le pressage est dû au mouvement des parois qui réalise la compression et provoque l'évacuation du liquide. Cette opération est conditionnée par de nombreuses variables, telles que le temps, la température, la pression et la texture du produit considéré.

La compression unidirectionnelle est le concept qui correspond au terme de pressage utilisé au niveau industriel. Cette opération consiste à comprimer une boue placée dans une chambre cylindrique au moyen d'un piston, le frettage latéral provoquant une déformation unidimensionnelle et donc le drainage (figure 9). La théorie de la déshydratation par compression unidirectionnelle fait appel aux fondements de la mécanique des fluides et des sols. En effet, il est nécessaire d'une part,

de préciser l'aspect hydrodynamique de l'écoulement des fluides à travers le milieu poreux et, d'autre part, de prévoir la compression et le fluage de la structure solide.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Fig. 9. Principe de la cellule de filtration-compression.</figcaption></figure>
# PLANCHE 3 : TRAITEMENTS DES PRODUITS AGRO-ALIMENTAIRES PRESSES A VIS (SIMPLE, DOUBLE) PRESSES PARTICULIERES

## EXEMPLES :

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Fig. 7. Presse à vis simple KRIMA CELLWOOD®</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th rowspan="2">Performances *</th><th colspan="2">Presse à vis</th><th rowspan="2">Presse Rietz</th></tr><tr><th>simple</th><th>double</th></tr></thead><tbody><tr><td>siccité :<br>initiale</td><td>0,08</td><td>0,15</td><td>0,17</td></tr><tr><td>finale</td><td>0,24</td><td>0,31</td><td>0,24</td></tr></tbody></table>

* Luzerne verte.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Fig. 8. Représentation schématique de la presse RIETZ®.</figcaption></figure>

## position respective des 2 roues

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

## 2.2. Équations générales

### 2.2.1. Degré de compression

D'un point de vue pratique l'efficacité du pressage qui caractérise l'appauvrissement réel en liquide du mé- lange solide-liquide peut être exprimée par le rapport : $U_c$ = appauvrissement réel / appauvrissement maximal et prend donc la forme d'une efficacité de transfert [3]. Dans le cas de la compression unidirectionnelle, ce rapport s'écrit :

$$U_c = \frac{\frac{\text{variation du volume au temps } t_c}{\text{variation finale du volume}} = \frac{\text{variation de hauteur au temps } t_c}{\text{variation totale de hauteur}}}{\text{produit pressé}}$$

soit avec

$$U_c = (L_1 - L) / (L_1 - L_\infty) \quad (1)$$

$L_1$ épaisseur initiale

$L$ épaisseur au temps $t_c$

$L_\infty$ épaisseur théorique finale à compression infinie

Les expressions analytiques du taux de compression s'obtiennent à partir de l'expression de la vitesse de compression. Cette dernière n'est accessible qu'à partir

des hypothèses simplificatrices suivantes :

- saturation complète du milieu considéré

- écoulement unidirectionnel du fluide et compression unidimensionnelle de la substance à essorer

- propriétés du solide invariantes avec la pression

- Loi de Darcy applicable.

### 2.2.2. Bilan de matière

La variation de volume est donnée en fonction de la variation de la vitesse d'écoulement par la relation :

$$(\partial V / \partial t_c) \cdot dt_c = A \cdot (\partial u_x / \partial x) \cdot dx \quad (2)$$

A étant la surface de drainage.

Si $V_s$ est le volume des grains et $e_x$ l'indice de vide, $V$ est donné par :

$$V = V_s (1 + e_x) \quad (3)$$

avec $e_x = \epsilon_x / (1 - \epsilon_x)$ dans laquelle $\epsilon_x$ est la porosité.

Les équations (3) et (2) conduisent à :

$$(\frac{\partial V}{\partial t_c}) \cdot dt_c = V_s \frac{\partial e_x}{\partial t_c} \cdot dt_c = \frac{V}{(1 + e_x)} \frac{\partial e_x}{\partial t_c} \cdot dt_c \quad (4)$$

En égalant les équations (2) et (4), il vient :

$$\frac{\partial e_x}{\partial t_c} = (I + e_x) \frac{\partial u_x}{\partial x} \quad (5)$$
Un bilan de continuité conduit immédiatement à une relation analogue :

$$ \frac{\partial u_x}{\partial w_x} = - \frac{1}{\rho_s} \cdot \frac{\partial e_x}{\partial t_c} \qquad (6) $$

avec $\rho_s$ masse volumique du solide et $w_x$ masse de solide deposé par unité de surface jusqu'à l'épaisseur $x$.

### 2.2.3. Loi d'écoulement

La loi de Darcy donne la vitesse d'écoulement du fluide $u_x$ à travers une masse infinitésimale :

$$ u_x = - \frac{1}{\alpha_x \cdot \mu} \frac{\partial P_\ell}{\partial w_x} \qquad (7) $$

dans laquelle $\alpha_x \cdot dw_x$ représente la résistance hydraulique de la couche considérée et $\mu$ la viscosité dynamique du filtrat.

### 2.2.4. Loi de consolidation

L'analogie de Terzaghi [4] illustre de façon simplifiée l'aspect physique du problème (figure 10). Durant la phase de compression, le gâteau est assimilé à un ressort placé dans un cylindre initialement rempli d'eau et sur lequel on applique une pression $P_s$ par l'intermédiaire d'un piston.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Fig. 10. Analogie piston ressort de Terzaghi (1925).</figcaption></figure>

1. En absence de contrainte le système est en équilibre.

2. Le système étant ouvert, le solide absorbe une partie croissante de la contrainte au détriment de la pression hydraulique.

3. Lorsque la totalité de la contrainte est supportée par le solide, la pression hydraulique est nulle. Le réarrangement subséquent des grains permet une expulsion supplémentaire de liquide intersticiel. Ce phénomène est appelé compression secondaire ou « effet séculaire », en mécanique des sols.

L'analogie de Terzaghi visualise utilement les aspects physiques du problème de compression ; néanmoins, celle-ci présente un point faible qui réside dans le fait que la pression hydraulique est constante à travers toute la hauteur du cylindre alors qu'en réalité la compression commence au niveau de la surface de drainage et progresse graduellement dans la masse pour produire en fin d'opération seulement, c'est-à-dire à l'équilibre, un gâteau uniformément comprimé.

Selon cette analogie du ressort linéairement élastique, tout accroissement de la pression du solide $P_s$ est égal à la diminution de la pression hydraulique $P_\ell$ d'où :

$$ \frac{\partial e_x}{\partial P_s} = - \frac{\partial e_x}{\partial P_\ell} $$

On définit alors le coefficient de changement de volume par la relation :

$$ m_V = - \frac{1}{1 + e_x} \cdot \frac{\partial e_x}{\partial P_s} = \frac{1}{1 + e_x} \cdot \frac{\partial e_x}{\partial P_\ell} \qquad (8) $$

En différentiant l'équation (7) et en substituant dans la relation (6), on obtient :

$$ \frac{\partial e_x}{\partial t_c} = \frac{\rho_s}{\alpha_x \cdot \mu} \frac{\partial^2 P_\ell}{\partial w_x^2} \qquad (9) $$

Les équations fondamentales (6), (7), (8), (9) permettent, selon le développement qui suit, d'aboutir aux équations différentielles dont la résolution donne l'expression de la grandeur $U_c$.

$$ a) \quad \frac{\partial P_\ell}{\partial w_x} = \frac{\partial P_\ell}{\partial e_x} \frac{\partial e_x}{\partial w_x} $$

d'où d'après les équations (7) et (8) :

$$ u_x = \frac{-1}{\alpha_x \cdot \mu \cdot m V \cdot (1 + e_x)} \cdot \frac{\partial e_x}{\partial w_x} $$

puis en différentiant et en combinant à (6) :

$$ \frac{\partial e_x}{\partial t_c} = \frac{\rho_s}{\alpha_x \cdot \mu \cdot m V \cdot (1 + e_x)} \frac{\partial^2 e_x}{\partial w_x^2} = C e \frac{\partial^2 e_x}{\partial w_x^2} \qquad (10) $$

$C$ appelé coefficient de compression, est assimilé à une constante.

b) un changement de variables suivant la relation :

$$ \frac{\partial e_x}{\partial t_c} = \frac{\partial e_x}{\partial P_\ell} \cdot \frac{\partial P_\ell}{\partial t_c} $$

conduit à une forme analogue :

$$ \frac{\partial P_\ell}{\partial t_c} = C e \frac{\partial^2 P_\ell}{\partial w_x^2} \qquad (11) $$

Les équations (10) et (11) sont des équations différentielles du second ordre de type parabolique. Elles sont semblables à l'équation caractéristique de la diffusion et peuvent être résolues par la transformée de Laplace. Leurs solutions aboutissent au taux de compression $U_c$, cette grandeur étant liée aux variables $e$ et $P_\ell$ par les relations :

$$ U_c = \frac{(e_o - e_x)}{(e_o - e_\infty)} = 1 - \frac{P_\ell}{P_\ell_o} \qquad (12) $$

Les solutions des équations (10) et (11) sont :

- pour une distribution sinusoidale des pressions hydrauliques initiales créée par une phase préliminaire de filtration de la forme :

$$ (P_\ell/P)_x = \sin \left( \frac{\Pi}{2} \frac{A \cdot w_x}{M} \right) \qquad (13) $$

$$ U_c = 1 - \exp \left| \frac{-\Pi^2 T_c}{4} \right| $$

avec

$$ T_c = \frac{i^2 \cdot A^2 \cdot C e \cdot t_c}{M^2} $$
et

i = 1 ou 2, nombre de surface de drainage

A, surface totale de drainage

M, masse totale de solide déposé

- pour une distribution linéaire de la pression hydraulique :

$$U_c = 1 - \sum_{N=1}^{\infty} \frac{8}{\pi^2 (2N-1)^2} \exp \left[ - \frac{(2N-1)^2 \pi^2}{4} \cdot T_c \right] \quad (14)$$

avec N entier positif.

## 3 REPRESENTATION DES CINETIQUES DE FILTRATION-COMPRESSION A PARTIR DE MODELES THEORIQUES ET PHENOMENOLOGIQUES

### 3.1. Dispositif expérimental et conduite des essais

L'ensemble des résultats présentés sont obtenus sur une cellule classique de filtration-compression dans laquelle la pression est transmise au milieu à essorer par l'intermédiaire d'un piston dont le déplacement est assuré par un vérin hydraulique. Cet appareillage (figure 11), correspond à la cellule œdémétrique utilisée en mécanique des sols. A partir de ces équipements et automatismes, cette cellule permet d'obtenir les courbes de variation de la hauteur du produit étudié en fonction du temps.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Fig. 11. Cellule de filtration-compression.</figcaption></figure>

### 3.2. Processus de filtration-compression

La décomposition simplificatrice du processus de déshydratation par compression d'une boue plus ou moins concentrée en deux phases successives se justifie par les faits expérimentaux et permet de modéliser

commodément chacune d'entre elles. Notons toutefois que dans le domaine de la mécanique des sols, la tendance actuelle est d'analyser globalement le phénomène grâce à la théorie de superpositions de Boltzmann en pratiquant une analyse numérique par la méthode des différences finies [6]. Selon la voie traditionnelle, les étapes prises en compte sont les suivantes :

- phase de filtration :

L'application d'une pression $\Delta P$ par l'intermédiaire du piston de la cellule de filtration-compression provoque une augmentation brutale de la pression hydraulique. Cette pression atteint la valeur de la pression appliquée et sa distribution à travers le gâteau est uniforme. Le processus de déshydratation débute donc par une phase de filtration à pression constante.

- phase de compression :

Durant cette étape, le mécanisme de déshydratation est caractérisé par une décroissance continue de la pression hydraulique à travers le gâteau. La diminution du volume du gâteau associée à ce phénomène se poursuit généralement à faible vitesse lorsque la pression hydraulique s'est dissipée. Ce processus paraît être la conséquence d'un réajustement plastique des particules et de l'eau absorbée sous l'effet de la contrainte exercée.

Globalement, l'étape de compression peut être divisée en deux phases : la compression primaire et la compression secondaire du gâteau par filtration. Ces deux phases ont lieu simultanément et se distinguent par leur cinétique respective et par le fait que la compression secondaire caractéristique du milieu considéré se poursuit à pression hydraulique nulle.

### 3.3. Accès aux courbes de variation du taux de compression en fonction du temps

L'efficacité du transfert telle que nous l'avons définie à l'équation (1), fait intervenir une variable opératoire $L$ et deux grandeurs limites $L_1$ et $L_\infty$.

- Epaisseur $L1$ au début de la phase de compression

Dans le cas de boues semi-solides la phase de filtration préliminaire est inexistante et donc $L_1$ est donnée par la valeur initiale de l'épaisseur. Pour les suspensions moins concentrées, $L_1$ caractérise la transition filtration-compression. Cette grandeur est accessible à partir de la loi de filtration classique.

$$L = V/A = at^2 \quad (15)$$

en supposant négligeable la résistance due au support de gâteau. Tant que l'on reste dans la phase de filtration :

$$\Delta L / \Delta\sqrt{t} = a = cte$$

La décroissance rapide du rapport précédent marque la transition $(t_1, L_1)$ entre la phase de filtration et la phase de compression, comme le montre la figure 12.

- Détermination de l'épaisseur théorique finale $L2$

La grandeur théorique $L_\infty$ caractérise la déshydratation maximum du milieu. Pour accéder à cette grandeur, Taylor [7] propose de substituer $L_\infty$ par $L_2$, valeur obtenue par la méthode dite « de la racine carrée
du temps » qui consiste à exploiter graphiquement les
propriétés des courbes théoriques correspondant aux
équations réduites (13) et (14). De façon succinte la
méthode est explicitée à la figure 13.

$\frac{\Delta L}{\Delta V_{\text{c}}} [\text{cm s}^{-1}]$ Détémination graphique du point de compression

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Fig. 12. Détermination graphique du point de compression.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Fig. 13. Méthode graphique de détermination de l'épaisseur théorique de la couche infiniment comprimée.</figcaption></figure>

Pour un profil sinusoidal des pressions hydrauliques, ce qui correspond au cas de la compression d'un gâteau de filtration, c'est-à-dire une courbe $U_c = f(\sqrt{t_c})$ en forme de S, on démontre que la tangente passant par l'origine intercepte la ligne d'abscisse $U_c = 0.9$ en définissant les segments AB et AC dans un rapport :

$$ \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = 1.08 \qquad (16) $$

Cette caractéristique reste valable pour les courbes $(L_1 - L) = f(\sqrt{t_c})$. $L_2$ est donné par :

$$ L_2 = L_1 - \left[ (L_1 - L)_{U_c=0.9} \right] / 0.9 \quad (17) $$

Pour un profil linéaire des pressions hydrauliques (cas des boues semi-solides), des considérationss analogues conduisent au rapport :

$$ \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = 1.15 \qquad (18) $$

### 3.4. Interprétation à partir des modèles rhéologiques

Dans de nombreux domaines, les éléments analogiques simples (ressort, amortisseur, piston) et leurs combinaisons en série-parallèle sont utilisés pour reproduire le comportement des systèmes réels. Dans le domaine de la mécanique des sols, les travaux de Terzaghi ont initié ce courant. Toutefois l'insuffisance du modèle de Terzaghi pour simuler le processus global a conduit au schéma rhéologique de Taylor [7] représenté à la figure 14. Ce schéma permet d'interpréter la notion de compression primaire et secondaire que nous avons introduite et que l'on peut qualifier de façon plus précise de compression hydrodynamique et de fluage.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Fig. 14. Modèles rhéologiques de la consolidation.</figcaption></figure>

#### 3.4.1. Adaptation du modèle de Terzaghi à l'aide du modèle analogique de Kelvin-Voigt

A un instant $t_c$ la variation $\Delta e$ de l'indice de vide est la somme d'une composante primaire $\Delta e_p$ et d'une composante secondaire $\Delta e_s$ :

$$ \Delta e = \Delta e_p + \Delta e_s \qquad (19) $$

Dans ce cas, le bilan de matière prend une forme composée. En insérant dans cette nouvelle équation l'expression de la loi de Darcy [7] puis en combinant cet ensemble dans l'équation d'état du système analogique Terzaghi-Kelvin-Voigt on aboutit à l'équation suivante introduite par Shirato et al. [9] :
$$Ce \frac{\partial^2 P_s}{\partial w^2} = \frac{\partial P_s}{\partial t_c} + \beta \eta \frac{\partial}{\partial t_c} \int_0^{t_c} (P_s - P_s(o)) \exp[-\eta(t_c - \tau)] d\tau \quad (20)$$

dans laquelle :

$$\beta = \frac{1}{m_v E}; \quad \eta = \frac{E}{G}; \quad Ce = \frac{\rho_s}{\mu \cdot \alpha_x m_v (1 + e_x)} \quad (20')$$

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation (20) et en utilisant le théorème de convolution, on aboutit, pour une distribution initiale sinusoidale des pressions hydrauliques, à une solution simplifiée donnant le taux de compression moyen sous la forme :

$$U_c = \frac{(L_1 - L)}{(L_1 - L_2)} = B \cdot [1 - \exp(-\eta t_c)] + (1 - B) \cdot \left| 1 - \exp\left[-\frac{i^2 \cdot \pi^2 \cdot A^2 Ce}{4 M^2} \cdot t_c\right]\right| \quad (21)$$

Un réarrangement de l'équation (21) permet d'identifier le terme issu du modèle de Terzaghi et d'attribuer le terme $B \exp(-\eta t_c)$ à l'effet de compression secondaire explicité par les considérations rhéologiques de Voigt :

$$U_c = 1 - (1 - B) \exp \left| - \frac{i^2 \cdot \pi^2 \cdot A^2 \cdot Ce}{4 M^2} t_c \right| - \frac{B \exp(-\eta t_c)}{\begin{array}{c} \text{modèle de Terzaghi} \\ \text{modèle de Kelvin-Voigt} \end{array}} \quad (21')$$

Pour une distribution initiale uniforme des pressions hydrauliques, la solution de l'équation (20) conduit à l'expression du taux de compression suivante :

$$U_c = (1-B) \cdot \left| 1 - \sum_{N=1}^{\infty} \frac{8}{\pi^2 (2N-1)^2} \exp \left[ -\frac{(2N-1)^2}{4} \pi^2 \cdot T_c \right] + B \cdot [1 - \exp(-\eta t_c)] \right| \quad (22)$$

dans laquelle N est un entier positif et $T_c$ une grandeur réduite exprimée sous la forme suivante :

$$T_c = i^2 A^2 \cdot Ce \cdot t_c / M^2 \quad (23)$$

L'équation (22) correspond au comportement à la compression des boues semi-solides schématisées par la figure 15. Dans le cas de suspensions moins concentrées, le phénomène de compression intervenant après la phase de filtration intiale est décrit par l'équation (21).

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Fig. 15. Modèles de comportement à la compression des suspensions et des produits semi-solides.</figcaption></figure>

### 3.4.2. Illustration expérimentale

#### - Gâteau de filtration

L'exploitation des résultats est illustrée par la figure 16 et repose sur les approximations suivantes :

$$- \text{pour } t_c \text{ grand} \qquad U_c \approx 1 - B \exp(-\eta t_c)$$

$$- (U_c) \text{ corrigé} = \frac{(L_1 - L) - B (L_1 - L_2) \cdot \left| 1 \cdot \exp(-\eta t_c) \right|}{(1 - B) (L_1 - L_2)} = 1 - \exp\left| -\frac{i^2 \pi^2 A^2}{4 M^2} Ce \cdot t_c \right| \quad (24)$$

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Fig. 16. Détermination graphique des caractéristiques de la consolidaion secondaire (B, η) et du coefficient de compression primaire Ce.</figcaption></figure>

L'accord entre les résultats expérimentaux et le modèle de Terzaghi-Kelvin-Voigt est visualisé aux figures 17 à 20, l'insuffisance du seul modèle de Terzaghi étant soulignée aux figures 17 et 19, [10].

#### - Produit semi-solides

En utilisant l'équation (18), le calcul du coefficient $Ce$ est possible au moyen de l'équation suivante :

$$Ce = 0.848 M^2 / i^2 \cdot A^2 \cdot t_{c,90}$$
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Fig. 17. Validité des modèles élastiques et visco-élastique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Fig. 18. Validité du modèle visco-élastique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Fig. 19. Comparaison des modèles élastique et visco-élastique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Fig. 20. Modélisation du pressage du cassis broyé conservé par congélation.</figcaption></figure>
La figure 23 illustre la simulation de la cinétique de pressage du kaolin floculé et montre que l'écart entre l'approche initiale de Terzaghi et la modélisation complète est faible.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Fig.23. Comparaison des deux modèles (empirique et visco-élastique) pour du kaolin floculé.</figcaption></figure>

## 3.5. Les modèles semi-théoriques

### 3.5.1. Introduction

La relative complexité des équations de base de la compression limite leur utilisation pour le calcul prévisionnel des installations industrielles.

Sivaram et Swamee [11] ont mis au point, sur des considérations semi-théoriques, un modèle utilisable en mécanique des sols. En ajoutant un paramètre à ce dernier, Shirato [12] l'a rendu utilisable pour le processus de filtration-compression.

Ce modèle empirique est facile à introduire dans le cas de boues semi-solides présentant un profil linéaire des pressions hydrauliques. Il peut être mis en œuvre dans le cas d'un profil sinusoïdal en introduisant la notion de gâteau fictif à porosité uniforme.

### 3.5.2. Le modèle empirique de Sivaram et Swamee

Dans le cas de boues semi-solides, la courbe donnant le taux de consolidation moyen en fonction de $\sqrt{t_c}$ présente deux caractéristiques principales :

- lorsque $t_c$ est petit, c'est-à-dire lorsque la consolidation secondaire est négligeable, la courbe est linéaire ;

- elle tend asymptotiquement vers 1 pour les valeurs importantes de $t_c$. Sivaram et Swamee proposent l'équation empirique :

$$ U_c = \frac{L_1 - L}{L_1 - L_\infty} = \left| \frac{\frac{4}{\pi} \cdot T_c}{\left[ 1 + \left( \frac{4}{\pi} \cdot T_c \right)^{2,8} \right]^{1/2,8}} \right|^{0,5} \quad (25) $$

Cette équation permet de simuler avec une bonne précision la phase de compression primaire parfaitement décrite par l'équation (14) réduite issue de la théorie de Terzaghi.

Comparativement à l'équation (15), la relation (25) est d'une forme très simple et permet, connaissant uniquement $C_e$, de prévoir la totalité du phénomène de compression primaire.

Le point faible de cette relation réside dans l'impossibilité de simuler le phénomène de consolidation secondaire. Afin de pallier cette imperfection, Shirato propose l'adaptation suivante du modèle semi-théorique.

### 3.5.3. Adaptation du modèle de Sivaram et Swamee à l'étude de la compression des boues « semi-solides »

Lorsque la consolidation secondaire n'est pas négligeable, on observe une décroissance moindre du taux de compression moyen en fonction du temps $t_c$. Néanmoins, globalement, la courbe conserve une formie analogue à celle dictée par les équations (14) et (22).

En remplaçant la constante 2,8 par le paramètre $\nu$, Shirato et al [12] généralise l'équation simplifiée de Sivaram et Swamee qui prend la forme :

$$ U_c = \left| \frac{\frac{4}{\pi} T_c}{\left[ 1 + \left( \frac{4}{\pi} T_c \right)^{\nu} \right]^{1/\nu}} \right|^{0,5} \quad (26) $$

avec

$$ T_c = \frac{i^2 \cdot A^2}{M^2} \cdot C_e \cdot t_c = \frac{\pi}{4} \cdot K_e \cdot t_c \quad (27) $$

soit

$$ K_e = \frac{4 i^2}{\pi w^2} C_e $$

La validité de ce modèle sera illustrée par des faits expérimentaux.

La figure 21 montre l'influence du paramètre $\nu$ qui met en évidence l'incidence plus ou moins grande du phénomène de consolidation secondaire sur le processus global de déshydratation.

### 3.5.4. Modélisation semi-théorique du pressage de produits « semi-solides »

Le coefficient $K_e$ nécessaire à la simulation est accessible à partir de l'approximation suivante :

$$ - \text{pour } t_c \text{ petit } U_c \approx \sqrt{K_e} \cdot \sqrt{t_c} $$

Les figures 22 à 25 montrent l'adéquation entre les résultats calculés et mesurés pour différents produits [2], [14].
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Fig.21. Modèle empirique : diagramme théorique $U_c = f(T_c^{0.5})$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Fig.22. Illustration expérimentale de l'équation semi-théorique $U_c = f (tc^{0.5})$. Modélisation du kaolin floculé.</figcaption></figure>

## 3.6. Approche phénoménologique

Les précédents modèles bien que rigoureux dans leur forme sont d'une utilisation pratique difficile car ils nécessitent de poursuivre l'expérimentation pendant la phase de compression secondaire ce qui présente peu d'intérêt lorsque l'on cherche une déshydratation rapide. Dans ce cas, nous proposons [2] une représentation phénoménologique globale de la forme :

$$U_c = 1 - \exp(-K_c \cdot t_c)^{\nu'} \quad (28)$$

un développement en série de Taylor limité au 1er terme donnerait pour $t_c$ petit :

$$U_c \approx K_c t_c^{\nu'}$$

Il est clair que pour les valeurs de $t_c$ petites, la formulation (28) inclut le modèle semi théorique précédemment développé, issu des considérations initiales de Sivaram et Swamee. La généralisation de ce modèle conduit aux expressions établies sur les bases théoriques de Terzaghi et de Taylor lorsque l'on prend $\beta = 1$.

### 3.6.1. Partie expérimentale

Le pressage dans les Industries Agricoles et Alimentaires est souvent une étape de pré-déshydratation qui facilite la phase de séchage ultérieure. Par exemple, l'opération de compression de la luzerne permet de réduire d'environ 28 % la quantité d'eau à éliminer [15]. Le traitement des boues résiduaires domestiques ou industrielles comprend également dans de nombreux cas, une opération de pressage. Nous avons considéré trois types de produits : de la luzerne broyée, de la pulpe de betteraves et des boues résiduaires floculées. Le modèle phénoménologique, équation (28), dans ces trois cas (figures 24 à 26) représente de façon satisfaisante la cinétique de pressage. Les figures 24 et 25 permettent d'établir la comparaison entre les résultats calculés avec les deux modèles.

## 4. LE COEFFICIENT DE COMPRESSION COMME GRANDEUR PREVISIONNELLE

Le plus souvent, à l'échelle industrielle, l'opération d'élimination d'eau est limitée à la phase de compression primaire. A priori, cette phase semble suffisamment bien modélisable pour la représentation :

$$U_c = \sqrt{K_e} \cdot \sqrt{t_c}$$

ce qui revient à négliger la compression secondaire. La déshydratation secondaire, représentée par les queues de courbes $U_c = f(\sqrt{t_c})$ est très longue et conduit à un gain de siccité très faible.

Aussi, on comprend que l'utilisateur puisse négliger en première approximation la fraction d'humidité éliminée par compression secondaire.
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Fig. 24. Modélisation du pressage des boues résiduaires digérées : modèles empiriques.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Fig. 25. Modélisation du pressage des pulpes de betteraves.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Fig. 26a. et 26b. Modélisation du pressage de la luzerne broyée.</figcaption></figure>

## 4.1. Les diverses formes explicites du « coefficient de compression »

Incontestablement, cette grandeur a été initialement introduite en mécanique des sols sous le nom de coefficient de consolidation, noté $C_V$ et explicité par Terzaghi [5]. En s'inspirant des considérations de Terzaghi [4] et de Gibson [16], Shirato [8] propose un

coefficient de consolidation modifié noté $C_e$, équivalent à $C_V$. Plus récemment, Kormendy [17] dans une théorie du pressage tridimensionnel définit un coefficient de pressage dont l'expression s'écarte peu des deux précédentes.

Le tableau 4 permet d'établir une comparaison des diverses expressions des coefficients mentionnés ci-dessus.
<table><thead><tr><th>Variables</th><th>Coefficient de Pressage<br>Kormendy 1974</th><th>Coefficient de Consolidation<br>Terzaghi 1925</th><th>Coefficient de Consolidation<br>modifié ; Shirato 1970</th></tr></thead><tbody><tr><td>ε<sub>x</sub></td><td>C = - <sup>1-ε<sub>x</sub></sup>&frasl;<sub>μα</sub> [ <sup>1-ε<sub>x</sub></sup>&frasl;<sub>1-ε<sub>o</sub></sub> ]<sup>2</sup> &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>dε<sub>x</sub></sub></td><td>C<sub>v</sub> = - <sup>1-ε<sub>o</sub></sup>&frasl;<sub>μα</sub> &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>dε<sub>x</sub></sub></td><td>C<sub>e</sub> = - <sup>ρ<sub>s</sub><sup>2</sup> (1-ε<sub>x</sub>)<sup>3</sup></sup>&frasl;<sub>μα</sub> &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>dε<sub>x</sub></sub></td></tr><tr><td>e<sub>x</sub></td><td>C = - <sup>1 + e<sub>o</sub></sup>&frasl;<sub>μα</sub> [ <sup>1 + e<sub>o</sub></sup>&frasl;<sub>1 + e<sub>x</sub></sub> ] &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>de<sub>x</sub></sub></td><td>C<sub>v</sub> = - <sup>1 + e<sub>x</sub></sup>&frasl;<sub>μα</sub> &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>de<sub>x</sub></sub></td><td>C<sub>e</sub> = - <sup>ρ<sub>s</sub><sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>μα (1 + e<sub>x</sub>)</sub> &middot; <sup>dp<sub>s</sub></sup>&frasl;<sub>de<sub>x</sub></sub></td></tr><tr><td>dimension</td><td>cm<sup>2</sup> s<sup>-1</sup></td><td>m<sup>2</sup> s<sup>-1</sup> m<sup>2</sup> h<sup>-1</sup></td><td><sup>cm<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>s</sub> &middot; <sup>[g/cm<sup>3</sup>]</sup>&frasl;<sub>[cm<sup>3</sup>]</sub></td></tr></tbody></table>

Source : [17].

<caption>Tableau 4. Expressions des coefficients de consolidation et de pressage relevées dans la littérature.</caption>

## 4.2. Approche simplissime

Dans la représentation $Uc$ vs $\sqrt{t_c}$ des résultats expérimentaux, $\sqrt{Ke}$ est la pente de la tangente à l'origine de la loi $Uc = \sqrt{Ke} \cdot \sqrt{t_c}J$ A 10 % près, toute relation expérimentale entre deux grandeurs mesurables, dans un domaine de variation limité, peut être représentée par une fonction puissance [18]. La généralisation de cette méthode permet d'écrire :

$$K_e = \dot{C}te \cdot (\Delta P)^j \cdot (\mu)^k \cdot (w)^l \quad (29)$$

Ce modèle est un modèle simplissime local si l'on considère l'évolution du système autour de l'état caractérisé par l'indice 1. Dans ce cas, on écrira :

$$\frac{K_e}{K_{e1}} = \left( \frac{\Delta P}{\Delta P_1} \right)^j \cdot \left( \frac{\mu}{\mu_1} \right)^k \cdot \left( \frac{w}{w_1} \right)^l \quad (30)$$

Cette méthode a été appliquée à la compression des boues résiduaires floculées, prélevées à la station d'épuration de Nancy-Maxéville ; le conditionnement est réalisé par injection d'un polyélectrolyte cationique Floerger FO 115 suivi d'un égouttage de 10 minutes sur toile métallique de maille de 400 µm. La boue égouttée est ensuite déshydratée dans la cellule de compression (figure 11) suivant le plan d'expériences présenté au tableau 5.

<table><caption>Tableau 5. Plan d'expérience et modélisation du pressage de boue résiduaire digérée (Ke → modèle empirique de Sivaram et Swamee ; Kc → modèle empirique proposé).</caption><thead><tr><th>Essai</th><th>ΔP (Pa)</th><th>w (kg/m<sup>2</sup>)</th><th>μ (Pa.s)</th><th>√K<sub>e</sub> (s<sup>-1/2</sup>)</th><th>ν</th><th>K<sub>c</sub> (s<sup>-ν</sup>)</th><th>ν'</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>1</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub>C<sub>1</sub></td><td>4.10<sup>5</sup></td><td>2,61</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>1,56.10<sup>-2</sup></td><td>0,65</td><td>2,20.10<sup>-2</sup></td><td>0,44</td></tr><tr><td>P<sub>2</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub>C<sub>1</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>2,66</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>1,75.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>2,01.10<sup>-2</sup></td><td>0,44</td></tr><tr><td>P<sub>3</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub>C<sub>1</sub></td><td>16.10<sup>5</sup></td><td>2,79</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>1,92.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>3,27.10<sup>-2</sup></td><td>0,40</td></tr><tr><td>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub>C<sub>1</sub>P<sub>2</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>2,52</td><td>1,02.10<sup>-3</sup></td><td>1,92.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>2,73.10<sup>-2</sup></td><td>0,43</td></tr><tr><td>d<sub>3</sub>T<sub>1</sub>C<sub>1</sub>P<sub>2</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>2,38</td><td>1,12.10<sup>-3</sup></td><td>1,67.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>1,29.10<sup>-2</sup></td><td>0,51</td></tr><tr><td>T<sub>2</sub>C<sub>1</sub>P<sub>2</sub>d<sub>2</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>2,42</td><td>0,83.10<sup>-3</sup></td><td>1,27.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>2,59.10<sup>-2</sup></td><td>0,43</td></tr><tr><td>T<sub>3</sub>C<sub>1</sub>P<sub>2</sub>d<sub>2</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>2,26</td><td>0,60.10<sup>-3</sup></td><td>2,50.10<sup>-2</sup></td><td>0,60</td><td>3,21.10<sup>-2</sup></td><td>0,42</td></tr><tr><td>C<sub>2</sub>P<sub>2</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>4,12</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>1,14.10<sup>-2</sup></td><td>0,65</td><td>1,00.10<sup>-2</sup></td><td>0,51</td></tr><tr><td>C<sub>3</sub>P<sub>2</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub></td><td>8.10<sup>5</sup></td><td>6,93</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>0,72.10<sup>-2</sup></td><td>0,70</td><td>0,65.10<sup>-2</sup></td><td>0,51</td></tr><tr><td>P<sub>3</sub>d<sub>2</sub>T<sub>1</sub>C<sub>2</sub></td><td>16.10<sup>5</sup></td><td>4,85</td><td>1,05.10<sup>-3</sup></td><td>0,99.10<sup>-2</sup></td><td>0,70</td><td>1,20.10<sup>-2</sup></td><td>0,48</td></tr></tbody></table>
Ke théo x 10⁻⁴

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Fig.27. Corrélation entre les coefficients de compression mesurés et calculés de la boue résiduaire digérée.</figcaption></figure>

Les paramètres opératoires sont : la pression P, la température T, la charge C et la dose de floculant d. Les valeurs prises par ces paramètres sont précisées à la figure 27.

Par régression linéaire, le traitement des données du tableau 5 permet de déterminer les valeurs des exposants j, k, l et de la constante de l'équation (29). La relation de proportionnalité entre $K_e$ et les grandeurs opératoires s'écrit alors :

$$K_{e'téo} = 9,4 \times 10^{-9} \cdot \frac{1}{\Delta P^{-0,4} \cdot \mu \cdot w^2} \quad (31)$$

L'adéquation entre les valeurs de ce coefficient $K_e$ calculé et les coefficients $K_e$ mesurés est représentée à la figure 27.

Les valeurs des exposants et de la constante de l'équation (29) peuvent être approchées, par ailleurs, au moyen des théories de filtration et de compression [8]. En utilisant les approximations conventionnelles généralement admises en filtration :

* variations de l'indice de vide local [4] :

$$e_x = e_1 - e_2 \ln P_s \quad (32)$$

* variations de la résistance spécifique locale [19]

$$\alpha_x = \alpha_{x1} P_s^n \quad (33)$$

avec une résistance spécifique globale pour les gâteaux compressibles [20] :

$$\bar{\alpha} = (1-n) \alpha_x = \alpha_1 \cdot P_s^n \quad (34)$$

En substituant dans l'équation (20') $m_v$ donné par (8) et $e_x$ fourni par (32), le coefficient de compression primaire $Ce$, supposé constant, prend la forme :

$$Ce = \frac{\rho_s P_s}{\mu \cdot \alpha_x \cdot e_2} \quad (35)$$

expression de $Ce$ qui néglige totalement la compression secondaire.

En considérant que la pression appliquée sur le

gâteau correspond à la pression du solide ($\Delta P \equiv P_s$), la combinaison des relations (35), (33) et (34) conduit à :

$$Ce = \frac{\rho_s \cdot \Delta P \cdot (1-n)}{\mu \cdot e_2 \cdot \alpha} = \frac{- \rho_s (n-1)}{\mu \cdot e_2 \cdot \alpha_1 \Delta P^{(n-1)}} \quad (36)$$

soit d'après l'équation (27) :

$$K_{e'téo,2} = \frac{4 i^2}{\pi \cdot w^2} \cdot \frac{\rho_s \cdot \Delta P \cdot (1-n)}{\mu \cdot e_2 \cdot \bar{\alpha}} \quad (37)$$

L'équation (37) peut s'écrire aussi :

$$k_{e'téo,2} = \frac{4 i^2 \rho_s (1-n)}{\pi \cdot e_2 \cdot \alpha_1} \cdot \frac{1}{\mu \cdot w^2 \cdot \Delta P^{n-1}} \quad (37')$$

L'identification des équations (31) et (37') fournit $n-1 \equiv j \equiv -0,4$ soit $n = 0,6$ ce qui est une valeur de l'indice de compressibilité tout à fait admissible pour des boues digérées [21].

Par contre, la valeur de la résistance spécifique qui peut être approchée à l'aide de l'équation (37) :

$$\bar{\alpha} = \frac{4i^2}{\pi w^2} \cdot \frac{\rho_s \cdot \Delta P \cdot (1-n)}{\mu \cdot e_2 \cdot K_{e'téo,2}} \quad (38)$$

donne par exemple pour l'essai $P_1 d_2 C_1 T_1$ où :

$$P_1 = 4 \times 10^5 \text{ Pa} ; C_1 = W = 2,5 \text{ kg/m}^2 ; e_2 = 0,4 ; \mu = 10^{-3} \text{ Pa.s}$$

$$\rho_s = 2420 \text{ kg/m}^3 ; n = 0,6 ; K_e = 2,6 \times 10^{-4} \text{ s}^{-1} ; \text{la valeur } \bar{\alpha} = 7,6 \times 10^{14} \text{ m/kg.}$$

Cette valeur ne correspond pas à celles attendues pour des boues digérées floculées car, avant compression, nous avons obtenu, sur cellule de filtration classique, $\bar{\alpha} \approx 10^{11} \text{ m/kg}$ sous 0,5 bar. Par contre, cette valeur de résistance spécifique convient tout à fait pour des boues digérées non floculées [21].

Cette constatation est à rapprocher des observations déjà réalisées sur la compression de suspensions de bentonites et d'eau résiduaires industrielles. En effet, Leclerc et al [22] ont observé qu'après une phase rapide de « précompression » le coefficient $Ce$ correspondant aux boues floculées prenait la valeur de celui des boues non floculées. Ceci semble confirmer l'hypothèse selon laquelle la compression à pression relativement forte détruit les flocs. La déshydratation des suspensions diluées floculées se ferait donc en deux temps : un égouttage sous faible pression pour bénéficier de la forte perméabilité des amas de flocs non comprimés, suivi après élimination du maximum de liquide par une déshydratation d'une boue à structure semi-solide, l'opération étant gouvernée par une forte résistance spécifique caractéristique des gâteaux de particules non floculée ou défloculées.

La résistance spécifique $\alpha$ calculée à partir de l'équation (38) correspond à une détermination de $K_e$ dans les premiers instants de la compression ($\sqrt{K_e}$ est la pente à l'origine de la représentation $U_c$ vs $\sqrt{t_c}$), par conséquent, le phénomène de défloculation se produit très rapidement.

D'un point de vue pratique, les résultats de compression peuvent, grâce à la relation (38), donner rapi-
dement accès à la résistance spécifique de la boue déflo-
culée. Nous disposons ainsi d'une méthodologie pour
déterminer ce paramètre indispensable pour rechercher
l'amélioration de la compression.

CONCLUSION

La modélisation de la déshydratation par pressage
à partir de la combinaison d'éléments analogiques
(ressort, amortisseur, frotteur) rend bien compte du
phénomène de compression des gâteaux de filtration et
des produits semi-solides. Ces modèles directement issus
de la mécanique des sols, sont d'un emploi peu com-
mode en filtration où l'on recherche généralement un
pressage rapide caractérisé essentiellement par la phase
de compression hydrodynamique (primaire). C'est
pourquoi les chercheurs dans le domaine de la filtration
ont développé depuis une dizaine d'années des modèles
simplifiés permettant un accès aisé au coefficient de
compression primaire et à la résistance spécifique de la
boue floculée. Cette dernière grandeur qui n'est pas
accessible par filtration (boues semi-solides) correspond
à un état de défloculation qui se produirait dès le début
de la compression. Cette approche réalise un progrès
dans la voie de l'amélioration des conditions de pressa-
bilité de telles boues car elle peut fournir une évaluation
rationnelle de l'efficacité des adjuvants de compression.■

NOMENCLATURE

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>Symboles et unités usuelles</th>
      <th>dimensions</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>A</td>
      <td>aire de la surface filtrante (m²) L²</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B</td>
      <td>fraction du taux de compression obtenu par<br>compression secondaire (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C</td>
      <td>charge par unité de surface de drainage (M.L.<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>e</sub></td>
      <td>coefficient de compression (m<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>) (L<sup>2</sup>.T<sup>-1</sup>).(M.L<sup>3</sup>)<br>ou (L<sup>2</sup>.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>v</sub></td>
      <td>coefficient de consolidation (L<sup>2</sup>.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>d</td>
      <td>dose d'adjuvant (kg/tMS)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e<sub>1</sub></td>
      <td>constante dans la relation e = f (ΔP) (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E</td>
      <td>constante de raideur ; corps idéal de<br>KELVIN-VOIGT (M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e<sub>2</sub></td>
      <td>constante dans la relation e = f (ΔP) (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e</td>
      <td>indice de vide (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e<sub>o</sub></td>
      <td>indice de vide initial (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e<sub>∞</sub></td>
      <td>indice de vide à compression infinie (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G</td>
      <td>coefficient de frottement visqueux - élément de<br>KELVIN-VOIGT (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>g</td>
      <td>accélération de la pesanteur (L.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>i</td>
      <td>nombre de surfaces de drainage (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>j</td>
      <td>exposant dans la relation n° 29 (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>K</td>
      <td>coefficient dans la loi de filtration de Ruth (L<sup>2</sup>.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>K<sub>e</sub></td>
      <td>coefficient de compression (T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>K<sub>c</sub></td>
      <td>coefficient de compression moyen (T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>k</td>
      <td>exposant dans la relation n° 29 (-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L</td>
      <td>épaisseur de produit soumis à la compression (cm) (L)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L<sub>o</sub></td>
      <td>épaisseur initiale de produit soumis à la<br>compression (cm) (L)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L<sub>1</sub></td>
      <td>épaisseur réelle à t<sub>c</sub> = 0 (cm) (L)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L<sub>2</sub></td>
      <td>épaisseur théorique finale (cm) (L)</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>L<sub>∞</sub></td>
      <td>épaisseur à compression infinie (cm)</td>
      <td>(L)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>l</td>
      <td>exposant dans la relation n° 29</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>M</td>
      <td>charge initiale</td>
      <td>(M)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>m</td>
      <td>rapport massique gâteau humide/gâteau sec</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>m<sub>v</sub></td>
      <td>coefficient de changement de volume (Kg.m.s)</td>
      <td>(M.L.T.)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>n</td>
      <td>coefficient de compressibilité</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ΔP ou P</td>
      <td>pression appliquée (Pa)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>P<sub>s</sub></td>
      <td>pression du solide (Pa)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>P<sub>so</sub></td>
      <td>pression initiale du solide (Pa)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>P<sub>Q</sub></td>
      <td>pression du liquide interstitiel (Pa)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>P<sub>Qo</sub></td>
      <td>pression initiale du liquide interstitiel (Pa)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>s, s<sub>i</sub></td>
      <td>teneur massique de la suspension en matières solides</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>T</td>
      <td>température (°C)</td>
      <td>(K)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>T<sub>c</sub></td>
      <td>variable réduite correspondant à t<sub>c</sub></td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t</td>
      <td>temps (s)</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t<sub>c</sub></td>
      <td>temps de compression (s)</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t<sub>f</sub></td>
      <td>temps de filtration (s)</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t<sub>o</sub></td>
      <td>temps initial (s)</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t<sub>1</sub></td>
      <td>temps correspondant à la transition filtration-compression</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>t<sub>∞</sub></td>
      <td>temps infini</td>
      <td>(T)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>U<sub>c</sub></td>
      <td>taux moyen de compression exprimé en fonction de L<sub>1</sub></td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>u<sub>L</sub></td>
      <td>vitesse d'écoulement du liquide</td>
      <td>(L.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>u<sub>x</sub></td>
      <td>vitesse d'écoulement du liquide interstitiel</td>
      <td>(L.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V</td>
      <td>volume total</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V<sub>s</sub></td>
      <td>volume de solide</td>
      <td>(L<sup>3</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>w</td>
      <td>masse de solide déposé par unité de surface filtrante</td>
      <td>(M.L<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>w<sub>x</sub></td>
      <td>masse de solide par unité de surface filtrante à la distance x du support filtrant</td>
      <td>(M.L<sup>-2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="3"><strong>Lettres grecques</strong></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>α</td>
      <td>résistance spécifique</td>
      <td>(L.M<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>α&#773;</td>
      <td>résistance spécifique moyenne</td>
      <td>(L.M<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>α<sub>x</sub></td>
      <td>résistance spécifique du liquide interstitiel</td>
      <td>(L.M<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>α<sub>1</sub></td>
      <td>résistance spécifique</td>
      <td>(L.M<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>β</td>
      <td>coefficient de compression secondaire</td>
      <td>≡ <sup>1</sup>/<sub>m<sub>v</sub>.E</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e</td>
      <td>porosité</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e<sub>x</sub></td>
      <td>porosité à l'épaisseur x</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>η</td>
      <td>coefficient de consolidation secondaire</td>
      <td>(T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>μ</td>
      <td>viscosité dynamique du filtrat (Pa.s)</td>
      <td>(M.L<sup>-1</sup>.T<sup>-1</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ν</td>
      <td>indice de compression secondaire</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ν'</td>
      <td>indice moyen de compression</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>π</td>
      <td>constante classique</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ρ</td>
      <td>masse volumique du filtrat</td>
      <td>(M.L<sup>-3</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ρ<sub>L</sub></td>
      <td>masse volumique du liquide</td>
      <td>(M.L<sup>-3</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ρ<sub>s</sub></td>
      <td>masse volumique du solide</td>
      <td>(M.L<sup>-3</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ</td>
      <td>constante d'intégration</td>
      <td>(-)</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
BIBLIOGRAPHIE

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<figure><img src="image_92.png" /></figure>
# La Compression Unidirectionnelle à Déformation Constate (CDC)

De la CPC à la CDC les motivations et les objectifs sont :

1. La nécessité de prendre en compte la vitesse de déformation du milieu saturé.

2. L'imprévisibilité de l'effet de « choc » engendré par l'application d'une pression soudaine.

3. Le superflu de la phase de compression secondaire lors de la compression de produits biologiques et plus généralement pour les opérations industrielles.

4. La difficulté, pour les produits biologiques, d'apprécier la densité réelle du solide.

## 3.1 APPAREILLAGE – METHODES – MATERIAUX ET CONDITIONS OPERATOIRES

### 3.1.1 APPAREILLAGE

#### 3.1.1.1 Les cellules de compression multi-mode MMCC© et MMCC©-II

Deux cellules de compression ont été construites dans le cadre de ce travail. Les figures 3.1 et 3.2 en donnent une représentation schématique. Leurs caractéristiques sont fournies dans le paragraphe qui suit.

La cellule MMCC© a été utilisée pour toutes les expériences rapportées dans ce mémoire. La cellule MMCC©-II a été construite pour la compression axiale à écoulement radial central qui ne pas fait l'objet de ce mémoire. Seule la compression radiale à écoulement périphérique en continu, c'est à dire en unité pilote, TSPU©, est rapportée au chapitre 4.
C'est dans le cadre de notre séjour post-doctoral à l'université du Massachusetts que nous avons construit une nouvelle cellule dénommée « MMCC© », « Multi-Mode Compression Cell© », cellule de compression multi-mode; ceci pour insister sur le caractère plus universel de cet équipement pouvant fonctionner sous une pression constante ou variable, sous un gradient de pression ou à un taux de déformation constant ou variable. Equipée aussi bien au niveau du piston que de la surface drainante de capteurs de forces et de pressions, également disposés le long de la chambre de compression à diverses hauteurs du gâteau, cette cellule est toujours unique. L'évolution de la hauteur du milieu comprimé peut être imposée ou suivie et mesurée avec précision et directement informatisée. La chambre de compression est équipée d'un dispositif de régulation de température, encore rare dans ce domaine de recherche, alors que le traitement de produits biologiques le rende indispensable. Au total équipé de 9 capteurs de pressions hydrauliques, de 3 capteurs de force et de 2 capteurs de distance et de déplacement, le dispositif MMCC© demeure l'une des cellules parmi les plus instrumentées. Une deuxième génération, MMCC© II, a été construite plus tard avec la possibilité d'effectuer de la compression axiale à écoulement radial.

Ayant ainsi résolu les éventuels problèmes expérimentaux associés à des frictions trop grandes et ayant créé la première cellule MMCC©, d'un diamètre de 133 mm favorisant encore davantage la compression de couches minces, puisque d'une surface drainante environ 1.5 fois plus grande que celle du dispositif MINERY-REBOUILLAT, nous sommes en mesure d'exploiter une nouvelle banque de données expérimentales concernant un nouveau mode de compression mécanique. Dans un souci permanent de toujours réduire « le bruit de fond » que peuvent causer les frictions, nous avons adopté un système flottant au niveau de la surface drainante afin de désolidariser complètement la chambre de compression de la base de la cellule et ainsi de réduire les frictions à un niveau zéro lorsque les pièces mobiles sont lubrifiées, ceci à la précision des mesures près. Aujourd'hui à l'échelle du laboratoire, la surface drainante de la cellule MMCC© demeure la plus grande sachant que seul un pilote industriel de 200 mm de diamètre a été expérimenté dans le cadre de recherches à pression constante menées par l'université de Compiègne.
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 3.1 : MMCC© - Multi-Mode Compression Cell©
Cellule de Compression Multi-Mode</figcaption></figure>
<figure><img src="image_94.png" /></figure>

MULTI-MODE COMPRESSION CELL

<caption>Figure 3.2 : MMCC© II – Multi-Mode Compression Cell© II
Cellule de Compression Multi-Mode© II</caption>
3.1.1.2 L'unité pilote de pressage à vis (TSPU©)

Lors de ce séjour post-doctoral au sein des équipes des professeurs H.G. SCHWARTZBERG et M. PELEG du département de génie alimentaire et chimique de l'université du Massachusetts, nous avons également conçu une unité pilote de pressage par vis. Cette unité est élaborée de manière à apprécier les phénomènes de compression axiale à évacuation radiale du liquide. Deux types de vis centrale ont été conçus, l'un à faible coefficient de compression axiale, LCR « Lower compression ratio », et l'autre à fort coefficient de compression axiale, HCR « Higher Compression Ratio ». La collecte du liquide peut être fractionnée grâce à un dispositif de séparation du fluide lors de sa sortie périphérique, ceci donnant accès aux performances et caractéristiques de compression des secteurs sélectionnés le long de la vis. Des capteurs de pression étant disposés à la périphérie de chaque secteur, la pression exercée par le solide en sortie de presse et son débit étant mesurés et enfin la pression et le débit imposés à l'entrée étant également connus, nous disposons de toutes les données nécessaires à la modélisation globale du comportement de la presse. D'un diamètre externe de 8 cm environ, d'une longueur de vis de 45 cm et pouvant tourner à une vitesse utile de 50 rotations par minute, cette presse à vis est capable d'un débit d'environ 0.5m³/heure. Elle constitue un pilote unique pour l'étude de la compression radiale en continu. Une photographie est fournie dans l'introduction de ce mémoire et la Fig. 3.3 en donne une représentation schématique (une version agrandie de cette figure se trouve au chapitre 4).

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 3.3 : (TSPU©) – Test Screw Press Unit©
Unité pilote d'extrusion-pressage à vis</figcaption></figure>
### 3.1.1.3 Equipement de perméation

Pour cette étude, les mesures classiques de perméation sont généralement effectuées directement à partir de la cellule MMCC©. Cependant un équipement spécifique de perméation a été mis au point. Nous en présentons un schéma ci-dessous, Fig. 3.4.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 3.4 : Dispositif expérimental de perméation</figcaption></figure>

Alors que nous venons de voir l’illustration des trois principaux équipements utilisés lors de ces travaux de recherche, je souhaite remercier Dick KOLOSEWICZ, ci-contre, technicien de l’université du Massachusetts, pour m’avoir été d’une aide précieuse lors de la réalisation de ces pièces maîtresses. Les heures que nous avons passées ensemble, pour leur conception, leur fabrication (tournage, fraisage, assemblage...) et leur évaluation, demeurent inoubliables.

<figure><img src="image_97.png" /></figure>
### 3.1.2 MATERIAUX

Cinq types de matériaux ont été utilisés. Ce sont tous des produits biologiques. Leur choix n'a pas été laissé au hasard. Une description complète de leurs caractéristiques est disponible dans les publications P6, P7, P8, P19 et P10. Un résumé des propriétés des trois principaux produits utilisés est fourni dans la section suivante. Voici quelques éléments supplémentaires :

#### Protéines laitières coagulées : notations C ouCc

- Les protéines laitières coagulées sont produites selon la méthode brevetée du Professeur ROSENAU, à l'époque membre de notre équipe de recherche à l'université du Massachusetts. Ce procédé permet la fabrication de fromage à usage diététique et médical. Le précipité obtenu a une forte teneur en solide de 35% environ ce qui en fait un semi-solide très adapté à la caractérisation au niveau de sa résistance structurelle davantage qu'au niveau de sa résistance hydrodynamique vis-à-vis de l'écoulement. Les notations adoptées pour ce produit sont C pour l'étude en cellule-piston et généralement Cc pour les études en pressage à vis. Ce sont bien entendu les mêmes produits.

#### Pulpes de betteraves : notation F

- Les pulpes de betteraves se présentent sous forme de parallélépipèdes relativement minces indépendants et sans jus libre entre ces éléments, seul le liquide intercellulaire est exprimé. Leur structure est très élastique, d'où leur sélection pour notre programme en tant que matériaux viscoélastiques. Leur teneur en solide est d'environ 12% au départ. C'est un produit de grand intérêt quant à sa résistance structurelle et à l'aspect hydrodynamique.

#### Airelles : notation Cr

- Les airelles, petites baies rouges très populaires aux Etats-Unis pour la fabrication de jus de fruits riches en vitamine C et pour l'accompagnement de la dinde, plat de célébration des premiers immigrants (Thanksgiving), ont été utilisées, soit divisées en deux pour l'étude en cellule piston, soit broyées pour l'étude en continu par pressage à vis. Leur tendance à produire beaucoup de jus en fait un produit idéal pour l'aspect résistance à l'écoulement hydrodynamique en tant que semi-liquide. Sa teneur en solide au départ est de 10% environ.

Ont également été étudiées les pommes et la tourbe dont les propriétés à la relaxation sont intéressantes et discutées dans la publication P8.

Les trois principaux produits étudiés sont représentés sur la palette photographique ci-dessous (Photo. 3.1).
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Photo. 3.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Produit F, pulpes de betteraves (cossettes)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Produit C ou Cc : Protéines laitières coagulées</figcaption></figure>
### 3.1.3 METHODE

Ci-dessous, nous reproduisons les éléments essentiels de la conduite des expériences.
Cet extrait de notre présentation au 6ème congrès mondial de la filtration tenu au Japon
a été volontairement maintenu en anglais pour préserver l'esprit global de ce travail et
de ses origines. Nous comptons sur la compréhension du lecteur.

A schematic drawing of the new expression cell is shown in Fig. 3.1. It consists of a
133.4 mm internal diameter, jacketed high performance acrylic cylindrical cell, a
loading piston with a double O-ring low-friction seal system, an insertable drainage
base and a perforated filter support plate.

The drainage assembly is also fitted with O-rings to prevent the sample extrusion
along the inner surface of the chamber. An additional perforated distributor can be
installed into the cell between the piston and the sample for permeability tests. The
piston assembly contains a feed line for the injection of liquids during permeation
tests; this line can also be used to drain the expelled liquid when a double or upper
drainage test is conducted. The compaction chamber is jacketed to receive a coolant
or a heating fluid for the expression of biological materials at controlled temperature
or for heat accelerated tests. Three transducer ports are available at the top of the
piston to measure the hydraulic pressure at the impervious plate level (here also
referred as the no-flow surface), three additional miniature pressure sensors can be
fitted at the bottom of the cell to measure the fluid pressure just above the filtration
membrane. Transducer ports are also available on the periphery of the cell to measure
that pressure along the vertical presscake axis. The compaction cylinder is mounted
on a tripod; when frictional forces are recorded, one leg is replaced by a stress cell.
An additional stress transducer can be fitted underneath the mobile drainage assembly
to measure the bottom solid pressure. The advantage of mounting two stress
transducers in the pedestal and the loading piston is to directly and independently
measure stresses at both end of the specimen, which provides among other things a
good reading of the friction and a second indirect measurement of the fluid pressure.
The specimen is placed between the piston and the bottom drainage plate. This sample
can be subjected to loading at constant pressure or at a constant rate of deformation of
the upper surface. For this study, constant rates of strain were selected. Vertical
deformation of the test specimen is produced by the movement of the ram drive of a
rheometer, which is capable of providing a well controlled and wide range of speeds.
The drive is fitted with a load cell capable of measuring forces up to 22.4 kN which
corresponds to a vertical pressure of 1603 kPa at the piston level. Deformation of the
sample during the expression is measured by the displacement transducer of an
Instron® unit. All output signals are recorded and computerized using a graphic
digitizing tablet or directly with a computer interface.

#### Testing Procedure

Before the sample was introduced into the cell, the inner surface, the piston O-rings and the drainage assembly O-rings were covered with a thin film of silicone vacuum grease in order to minimize frictions between the moving parts and the static cylinder. For all the expression tests, a plain weave nylon filter cloth, with calibrated 0.5 mm openings, was used to cover the perforated drainage plate to prevent direct extrusion and clogging. The compression-relaxation behavior of the empty cell was periodically recorded (see typical recording in publication P10) in order to take into account
potential deflection. No corrections had to be applied since the deflection was always negligible.

To insure accurate measurements of the fluid pressures, the following precaution was taken: - the base, the transducer port channels and the piston feed line were filled with water and purged as soon as fluid was expelled from the specimen undergoing compression at the beginning of the test. The miniature transducers, used in the aero-spatial industry, present very small dead volumes which can be easily deaired by flushing.

A constant rate of expression was induced by displacing the piston with the rheometer vertical ram drive set at a given speed. During the test, the vertical applied stress at the top of the sample, the frictional forces, and the fluid pressures, at the top of the specimen and above the bottom filter cloth, were recorded continuously. Vertical compaction of the test sample during compression was also measured.

At the end of each experiment the presscake relaxation curve was recorded. The presscake physical characteristics were also measured, such as the residual humidity level, relaxed thickness...

## Materials description and samples preparation

Three types of biological (food and agricultural) materials have been tested in this study: commercial cranberries, experimental casein curds, and spent sugar beet pulps. Commercial cranberries (see Photo. 3.1) from the state of Massachusetts were selected. (For juice production these berries are usually vine-ripened and deep frozen for several months before processed. Good quality cranberries can be kept frozen with minor moisture loss.) About one pound of thawed cranberries were washed and halved parallel to the major axis. (This fruit is a prolate spheroid). The average diameter of the selected population was 10.5 mm (cov. 9%) and its average length measured along the major axis was 12.5 mm (cov. 7%). The average solid content of the selected batch was 10.5% (cov. 12.5%).

Wet acid casein curds (see Photo. 3.1), used to manufacture low sodium and low fat process cheese, were included in this study in order to determine their compressibility characteristics. The curds were prepared according to known art using a patented process (US 4,066,800, Rosenau et al., 1978). About 85 lb of skim milk was acidified under laminar stirring to pH 4.6 with diluted hydrochloric acid (10 parts of acid to 90 parts of water). The batch of acidified milk was gradually heated to 77 °C using a steam jacketed vat. The heating lasted about 20 min. Then, the mixture was cooled to 52 °C within 10 min. under periodic slow stirring. This procedure provides rather uniform small casein curds, easily drainable prior to pressing. About 1 lb of drained curds were used for each test. The batch selected for this study had an average particle diameter of 4.2 mm with a fairy large coefficient of variation of 30%. The average solid content of the drained curds was 35% (cov. 11.5%). (In industry belt presses are used to remove whey, leading to a presscake containing about 50% moisture).

Spent sugar beet pulp samples (see Photo. 3.1) used in the present study were obtained from a sugar beet extraction plant. The exhausted cossettes were submitted, as received, to the compression analysis. The de-sugared cossettes were parallelepipeds with a squared section of 1.5 x 1.5 mm (cov. 30%) and an average length of 23 mm (cov. 29%). The average solid content was 13.3% (cov. 13%).

### 3.1.4 CONDITIONS OPERATOIRES - RESUME

(Tous les données expérimentales utilisées dans ce mémoire se trouvent en annexe A3.)
### 3.1.4.1 Pressage à vis (TSPU©)

<caption>Tableau 3.1</caption>

Pressage Vis
Conditions Expérimentales

<table><thead><tr><th>Number</th><th>Reference</th><th>Material</th><th>temperature [°C]</th><th>Screw</th><th>rotation [rpm]</th><th>P feed [kPa]</th><th>P out [kPa]</th><th>Out-liquid mass Flow QI [g/s]</th><th>Out-solid mass Flow Qs [g/s]</th><th>Dry content before process [%]</th><th>Dry content after process [%]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>RDAP6-T26</td><td>RDAP</td><td>26</td><td>HCR</td><td>6</td><td>75.8</td><td>63.2</td><td>21.8</td><td>6.7</td><td>8.1</td><td>17.8</td></tr><tr><td>2</td><td>RDAP6-T26</td><td>RDAP</td><td>26</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>90.5</td><td>9.1</td><td>2.6</td><td>8.1</td><td>19.1</td></tr><tr><td>3</td><td>RDAP6-T26</td><td>RDAP</td><td>26</td><td>HCR</td><td>21</td><td>0</td><td>73.1</td><td>11.4</td><td>6.3</td><td>8.1</td><td>15.6</td></tr><tr><td>4</td><td>RDAP6-T26</td><td>RDAP</td><td>26</td><td>HCR</td><td>36</td><td>0</td><td>73.1</td><td>11.3</td><td>7.7</td><td>8.1</td><td>14.7</td></tr><tr><td>5</td><td>RDAP6-T26</td><td>RDAP</td><td>26</td><td>HCR</td><td>0.8</td><td>0</td><td>96.3</td><td>2.04</td><td>0.34</td><td>8.1</td><td>22.1</td></tr><tr><td>6</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>11</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>12</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>13</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>14</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>15</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>16</td><td>RDAP</td><td>RDAP</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>17</td><td>F6-T18</td><td>F</td><td>18</td><td>HCR</td><td>6</td><td>75.8</td><td>136</td><td>3</td><td>8</td><td>10.3</td><td>13.5</td></tr><tr><td>18</td><td>Cc6-T38</td><td>Cc</td><td>38</td><td>HCR</td><td>6</td><td>48.3</td><td>132.6</td><td>1</td><td>1.2</td><td>33.5</td><td>51.1</td></tr><tr><td>19</td><td>Cc21-T37</td><td>Cc</td><td>37</td><td>HCR</td><td>21</td><td>48.3</td><td>92.9</td><td>6.3</td><td>14.2</td><td>26.7</td><td>43.9</td></tr><tr><td>20</td><td>Cc6-T11</td><td>Cc</td><td>11</td><td>HCR</td><td>6</td><td>48.3</td><td>119.4</td><td>1.8</td><td>4.3</td><td>33.5</td><td>41.7</td></tr><tr><td>21</td><td>Cc6-T32</td><td>Cc</td><td>32</td><td>HCR</td><td>6</td><td>75.8</td><td>169.1</td><td>0.9</td><td>1.1</td><td>29.3</td><td>43.9</td></tr><tr><td>22</td><td>Cr6-T27</td><td>Cr</td><td>27</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>109.5</td><td>3.8</td><td>2.3</td><td>9.8</td><td>16.4</td></tr><tr><td>23</td><td>Cr21-T27</td><td>Cr</td><td>27</td><td>HCR</td><td>21</td><td>0</td><td>109.5</td><td>6.5</td><td>7</td><td>9.8</td><td>15.6</td></tr><tr><td>24</td><td>Cr</td><td>Cr</td><td>27</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>139.3</td><td>3.6</td><td>2.7</td><td>9.8</td><td>17.6</td></tr><tr><td>25</td><td>GDAP6-T22</td><td>GDAP</td><td>22</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>116.1</td><td>9.2</td><td>4.3</td><td>8.8</td><td>16.3</td></tr><tr><td>26</td><td>GDAP6-T22</td><td>GDAP</td><td>22</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>141</td><td>7.7</td><td>4.4</td><td>8.8</td><td>16</td></tr><tr><td>27</td><td>GDAP6-T24</td><td>GDAP</td><td>24</td><td>LCR</td><td>6</td><td>0</td><td>109.5</td><td>9.9</td><td>4.4</td><td>8.8</td><td>17.2</td></tr><tr><td>28</td><td>GDAP6b-T24</td><td>GDAP</td><td>24</td><td>LCR</td><td>6</td><td>0</td><td>139.3</td><td>9.5</td><td>4</td><td>8.8</td><td>17.4</td></tr><tr><td>29</td><td>MIAP</td><td>MIAP</td><td>24</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>112.8</td><td>10.8</td><td>3.1</td><td>7.7</td><td>17.8</td></tr><tr><td>30</td><td>MIAP</td><td>MIAP</td><td>24</td><td>HCR</td><td>6</td><td>0</td><td>140.9</td><td>12.2</td><td>2.6</td><td>7.1</td><td>18.4</td></tr></tbody></table>

### 3.1.4.2 Compression en cellule piston (MMCC©)

#### Produit C (Protéines lactiques coagulées)

#### Données et Résultats Bruts

<table><caption>Tableau 3.2</caption><thead><tr><th>rate [cm/min]</th><th>sample number</th><th>vi Vinitial [cm3/g]</th><th>vf Vfinal [cm3/g]</th><th>T[C]</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.254</td><td>C1</td><td>3.42</td><td>1.37</td><td>40-45</td></tr><tr><td>0.254</td><td>C2</td><td>3.46</td><td>1.3</td><td>40-45</td></tr><tr><td>0.762</td><td>C3</td><td>3.45</td><td>1.15</td><td>45</td></tr><tr><td>0.254</td><td>C4</td><td>3.55</td><td>1.29</td><td>26</td></tr><tr><td>0.254</td><td>C5</td><td>3.56</td><td>1.19</td><td>26</td></tr><tr><td>0.254</td><td>C6</td><td>3.58</td><td>1.49</td><td>11</td></tr><tr><td>0.254</td><td>C7</td><td>3.54</td><td>1.51</td><td>11</td></tr><tr><td>2.54</td><td>C8</td><td>3.45</td><td>1.36</td><td>45</td></tr></tbody></table>

#### Produit F (pulpes de betteraves)

#### Données et Résultats Bruts

<table><caption>Tableau 3.3</caption><thead><tr><th>rate [cm/min]</th><th>sample number</th><th>vi Vinitial [cm3/g]</th><th>vf Vfinal [cm3/g]</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.254</td><td>F1</td><td>11.69</td><td>1.57</td></tr><tr><td>0.254</td><td>F2</td><td>11.72</td><td>1.78</td></tr><tr><td>0.762</td><td>F3</td><td>11.4</td><td>3.15</td></tr><tr><td>0.762</td><td>F4</td><td>11.48</td><td>2.38</td></tr><tr><td>2.54</td><td>F5</td><td>11.6</td><td>4.28</td></tr><tr><td>2.54</td><td>F6</td><td>11.66</td><td>4.08</td></tr><tr><td>7.62</td><td>F7</td><td>11.62</td><td>4.58</td></tr><tr><td>7.62</td><td>F8</td><td>11.27</td><td>4.38</td></tr></tbody></table>