# Histoire de la gamme, toute une aventure

Gerard Baudin

► To cite this version:

Gerard Baudin. Histoire de la gamme, toute une aventure. Music Passion, Ecole de Musique de Gramat qui fait partie du groupement des Ecoles de Musique du Nord du Lot J'y enseigne la flûte traversière, l'accordéon et la musique d'ensemble et j'y exerce une activité de recherches sur l'histoire de la musique et sur les méthodes pédagogiques, dans le cadre d'un contrat à durée indéterminée (métier ELCATS) de quelques heures. Je suis titulaire d'une HDR dans un domaine scientifique; je suis retraité du CEA depuis 2022. 2025. hal-05125958

HAL Id: hal-05125958

https://hal.science/hal-05125958v1

Submitted on 10 Jul 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
# Histoire de la gamme, toute une aventure.

Gérard Baudin

baudin.grard@gmail.com

Music Passion école de musique de Gramat
4 rue d'Alsace, 46500, Gramat

## Introduction

La musique a existé dès la présence de l'homme sur la Terre, la **voix humaine** étant l'instrument privilégié. La musique est dotée d'une aura magique qui a incité l'homme à l'utiliser dans ses divers rituels. Les découvertes anthropologiques font apparaître l'existence d'instruments de musique sur tous les continents de la Terre dès la **Préhistoire : instruments à percussions, tambourins, flûtes en os, trompettes primitives** qui prouvent l'existence de mélodies instrumentales dans les civilisations anciennes dès 35000 ans avant Jésus Christ (av. J.C.) [1, 2, 3, 14] ; une flûte incomplète de 35000 ans av. J.C. a été découverte en Allemagne, dans la grotte de Hohle Fels. Une flûte complète moins ancienne, datant de 6000 ans av. J.C. découverte en Chine, est munie d'une perce constituée de 7 trous permettant de produire, à minima 8 notes. En France, une flûte complète avec une perce de 5 trous, datée de 2400 ans av. J.C., a été découverte dans l'Aveyron. La reconstitution de flûtes anciennes montre que leur perce n'est pas quelconque, on retrouve des notes similaires à celles de notre gamme actuelle.

Il semblerait que les **instruments à cordes** soient apparus plus tard que la flûte [3, 14]. Les plus anciens découverts datent d'environ 4000 ans av. J.C. sur des représentations mésopotamiennes. Ce sont des **harpes** et des **lyres**. Il est cependant possible que les hommes préhistoriques utilisaient déjà la lyre, sa conservation dans le temps étant difficile, aucun instrument de cette époque n'a été retrouvé. La présence d'instruments à anches apparaît sur des représentations grecques d'environ 600 – 500 ans av. J.C. sous une forme appelée **aulos**, l'ancêtre du hautbois et non de la flûte comme souvent dit dans la littérature. Le **sheng, orgue à bouche**, est présent dans cette période [3, 14] sur des représentations chinoises. La **flûte de pan** est apparue dans la même période sur des représentations égyptiennes et grecques. Des **cors antiques** ont été représentés sur des bas-reliefs romains dans cette même période. Quant aux **instruments à clavier, l'hydraulle**, l'ancêtre de l'orgue, il est représenté sur une mosaïque romaine datant de 246 av. J.C.

Les instruments des familles des flûtes, des cordes pincées, des anches, des cuivres (trompettes et cors) et des claviers sont apparus successivement entre 35000 ans et 246 ans av. J.C. Leurs accords étaient réalisés à l'oreille pour produire des sons mélodieux. Ce savoir-faire était transmis de façon orale, au moins jusqu'à 3300 ans av. J.C, date à laquelle les premiers écrits apparaissent en Mésopotamie : les sumériens utilisaient des roseaux taillés en pointe pour tracer des signes sur des tablettes en argile. La plus ancienne partition a été découverte en Syrie, à Ougarit, et date de 2600 ans av. J.C. C'est une collection de trente-six chants hourrites gravés en écriture cunéiforme sur des tablettes en argile. En Inde, une notation syllabique analogue au solfège, les **svara**, toujours en usage aujourd'hui, existait au Vème siècle av. J.-C. Dans les textes de la Grèce antique, les premières traces de partitions sont Oreste et Iphigénie à Aulis d'Euripide : elles sont transmises sur des papyrus datés de 360 – 350 av. J.C.
La Grèce antique a été d'une grande influence sur la musique chantée et instrumentale. Le mot musique tire son origine du terme grec *musikè*, « l'art des Muses », les Muses étant des déesses grecques inspiratrices de la musique, de la danse, de l'astronomie et de la poésie.

On peut récapituler l'histoire des instruments préhistoriques et antiques sous la forme de la frise musicale présentée Tableau 1. Les apparitions successives de la « gamme primitive », puis de la « gamme théorique » entre 582 et 496 ans av. J.C. attribuée à **Pythagore de Samos** sont reportées sur cette frise musicale. C'est cependant une notion plus ancienne puisque les flûtes, les harpes et les lyres étaient accordées de façon à produire des sons répartis dans une quarte juste (dite pure dans la Grèce antique) et l'octave. La notion de quinte juste fut probablement déduite de l'octave et de la quarte juste ; elle représente le complément de la quarte à l'octave.

<table><caption>Tableau 1 – Frise historique</caption><thead><tr><th></th><th>35000</th><th>4000</th><th>2600</th><th>600-500</th><th>360-350</th><th>246</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">Dates (ans av. J.C.)</th><td>flûte</td><td>harpe, lyre, trompette</td><td></td><td>aulos, sheng, flûte de pan, cor</td><td></td><td>hydraulle</td></tr><tr><th scope="row">Instruments</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th scope="row">Partitions</th><td></td><td></td><td>36 chants hourrites (Syrie)</td><td></td><td>Oreste, Iphigénie à Aulis d'Euripide (Grèce)</td><td></td></tr><tr><th scope="row">Apparition de la gamme</th><td></td><td>gamme primitive</td><td></td><td>582-496 av. J.C. : Pythagore (Grèce)</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

La quarte juste et le tétracorde, dont les découvertes remontent probablement à au moins 4000 ans av. J.C., furent d'une importance capitale dans la musique grecque. Avec seulement la harpe et la lyre, une gamme peut être constituée par une succession de quartes justes ou par succession de tétracordes disjoints. On verra que les Pythagoriciens l'ont finalement constituée par une succession de quintes justes. A cette époque, les Grecs utilisaient leur alphabet pour nommer les notes des instruments. La dénomination actuelle est apparue au moyen-âge, de même que la portée à 4 lignes utilisée pour le chant grégorien. La portée à 5 lignes utilisée pour la musique instrumentale fut inventée au XIIᵉ siècle.

**Pythagore** utilisait les mathématiques pour justifier l'emploi des intervalles de quarte, de quinte et d'octave pures pour créer un système de notes de musique fournissant un cadre à la phrase mélodique élémentaire. Ses disciples, surtout **Philolaos de Crotone** (ou de Tarente) et **Archytas de Tarente** qui vécurent à la fin du Vᵉ siècle et au début du IVᵉ siècle av. J.C., poursuivirent ses travaux et aboutirent aux notes naturelles et altérées de la gamme créées par la succession de quintes pures. Là aussi, aucun texte écrit de cette époque ne nous est parvenu. Le texte le plus ancien de l'antiquité grecque qui nous est parvenu est celui d'**Aristoxène de Tarente** [7]. Il est daté du début du IVᵉ siècle av. J.C (vers 330 ans av. J.C.) et connu sous le nom de « Eléments harmoniques ». Il est presque complet et présente une science musicale indépendante des mathématiques en se référant à deux critères, la sensation auditive et la pensée rationnelle. Aristoxène fait pourtant un large usage des mathématiques dans son ouvrage. Entre autre, il décrit la vision de la théorie de la musique selon Pythagore et ses disciples.

Après Aristoxène, presque quatre siècles de silence sur la théorie musicale s'écoulent. C'est au début de l'ère chrétienne que reviendra un intérêt pour la théorie musicale qui divisera les musicographes en néo-pythagoriciens et néo-aristoxéniens, les figures les plus marquantes étant Cléonide, Thrasylle
de Mendès au 1er siècle, Nicomaque, Gaudence, Aristide Quintilien, Claude Ptolémée, Théon de Smyrne au IIème siècle, puis Bacchius et Alypius au IVème siècle. La théorie grecque s'interrompt au Vème siècle, relayée par la langue latine, notamment par Boèce. **Théon de Smyrne**, un philosophe platonicien originaire d'Asie mineure qui a vraisemblablement vécu au début du IIème siècle, nous a laissé un **traité intitulé « Les lois numériques de la musique »** [6, 10] qui se réfère largement aux traités d'Aristoxène [7], de Cléonide [5] et de Thrasylle de Mendès. Un autre point de repère historique est le **traité intitulé « Harmoniques »** écrit par **Ptolémée** au IIème siècle après J.C.

Le traité de Théon de Smyrne a été traduit du Grec vers le Français par **Jean Dupuis** en 1892 [6], puis par **Isabelle Gauchet** en 1992 dans son mémoire de Maîtrise à l'Université de Limoges [10]. Ce mémoire de Maîtrise, offre une analyse détaillée de la théorie de la musique grecque ancienne. Il complète l'« Histoire et théorie de la musique de l'antiquité » écrit par **Fr. Aug. Gevaert** édité en 1875 [8], ainsi que l'ouvrage de **Jacques Chailley**, « La musique grecque antique » édité en 1979 [9].

Il faut signaler que de 200 ans avant J.C. jusqu'au VIème siècle après J.C., la musique instrumentale fut délaissée en Europe et les pays voisins, au profit de la voix humaine [1, 11]. Seul le chant *a cappella* (sans accompagnement instrumental) hérité de la tradition juive était autorisé par les Romains qui dominaient cette région du globe terrestre. L'oppression romaine cesse en 311 ans après J.C. avec le règne de Constantin. L'édit de Milan en 313 reconnaît le culte chrétien. Ce culte impose, lui-aussi, ses formes de chant à ses fidèles qui vont devenir de plus en plus nombreux. Les instruments de musique étaient alors interdits par l'Eglise qui les considérait comme des instruments évoquant le diable. En raison de l'oppression romaine, puis chrétienne, les instruments se sont peu améliorés en Europe et il n'y a pas eu de réelles innovations durant cette longue période de huit siècles. L'Eglise perd progressivement son influence sur la création musicale entre le VIème et XIème siècle.

C'est à la fin de cette époque, en 1030, que le moine **Guido d'Arezzo** invente la **portée à 4 lignes** et introduit la **notation ut, ré, mi, fa, sol, la**, puis **si** ultérieurement. Auparavant, les premières lettres de l'alphabet étaient utilisées pour désigner les notes, notation utilisée dans la Grèce antique. Pendant cette longue période, le chant n'est pas polyphonique. Il le deviendra au XIIème siècle après le déclin du chant grégorien apparu au VIème siècle. La **portée à 5 lignes** que nous utilisons aujourd'hui apparaît au XIIème siècle.

Comme déjà signalé, la première gamme théorique est attribuée à **Pythagore** et ses disciples. Mais, qui est cet homme ?

**Pythagore (582-496 av. JC)** est né sur l'île grecque de Samos. Il réalisa un long voyage d'apprentissage en Egypte et en Mésopotamie. Il y recueillit une expérience et des idées qui l'ont incité à fonder une école de pensée où cohabitent des disciplines scientifiques, esthétiques et philosophiques. Fort des compétences acquises en Egypte et en Mésopotamie, Pythagore et ses disciples réalisèrent d'importantes recherches dans divers domaines comme l'arithmétique, la géométrie, l'acoustique, la musique et l'astronomie. On lui attribue la paternité du théorème de Pythagore, et de la gamme dite pythagoricienne. L'idée des sons planétaires (inaudibles pour un être humain) provient clairement de la civilisation égyptienne. Cette idée sera mise en défaut par Kepler en 1619 dans son traité « L'Harmonie des Mondes ».

L'école pythagoricienne de la gamme a été créée au Vème siècle av. J.C. En s'appuyant sur l'idée égyptienne des sons planétaires, Pythagore et ses disciples, **Philolaos de Crotone**, **Damon d'Athènes**, **Archytas de Tarente** et **Hippase de Métaponte**, ont tenté d'expliquer l'harmonie de l'Univers en considérant des nombres et leurs rapports comme une expression ultime de cette harmonie. Ils tentaient de construire des modèles astronomiques, acoustiques et musicaux. La musique et l'arithmétique étaient étudiées ensemble. Ils exploitaient l'idée égyptienne des mouvements des
planètes engendrant des vibrations harmoniques : la musique des sphères. Mais ces vibrations étant inaudibles par une oreille humaine, comment le vérifier ?

Au retour de ses voyages, Pythagore et ses disciples se sont attelés à l'étude des vibrations d'une corde vibrante qui a débouché sur l'élaboration d'un modèle de gamme appelé « **gamme pythagoricienne** ».

## La genèse de la gamme diatonique

La harpe et la lyre étaient utilisées dès 4000 ans av. J.C. comme en attestent leurs représentations de la Grèce antique. Les Grecs et les Romains utilisaient des instruments à cordes et à carapace de tortue comme boîte de résonnance. Elles étaient accordées de façon à produire des sons agréables à l'oreille.

La lyre primitive comportait sept cordes correspondant à deux tétracordes descendants enchainés avec une note fixe commune [8, 10]. Les cordes étaient accordées selon une gamme descendante de ré à mi. Les deux tétracordes comprennent 4 notes dont la distribution des tons et demi-tons n'est pas identique ; ils ne sont pas symétriques comme le montre le Tableau 2.

<table><caption>Tableau 2 – Lyre à 7 cordes, accordée selon 2 tétracordes enchainés avec une note fixe commune (la)</caption><thead><tr><th>ré</th><th>1 ton</th><th>do</th><th>½ ton</th><th>si</th><th>1 ton</th><th>la</th><th>1 ton</th><th>sol</th><th>1 ton</th><th>fa</th><th>½ ton</th><th>mi</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="12">Tétracorde 1 (quarte ré - la)</td></tr><tr><td colspan="12">Tétracorde 2 (quarte la - mi)</td></tr></tbody></table>

La lyre qui lui succéda comportait huit cordes correspondant à deux tétracordes enchainés en laissant un ton entre eux [8, 10]. Les cordes étaient accordées selon une gamme descendante de mi à son octave inférieure.

<table><caption>Tableau 3 – Lyre à 8 cordes accordée selon 2 tétracordes descendants</caption><thead><tr><th>mi</th><th>1 ton</th><th>ré</th><th>1 ton</th><th>do</th><th>½ ton</th><th>si</th><th>1 ton</th><th>la</th><th>1 ton</th><th>sol</th><th>1 ton</th><th>fa</th><th>½ ton</th><th>mi</th></tr></thead><tbody><tr><td>nète</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>mèse</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>hypate</td></tr><tr><td colspan="12">Tétracorde 1 (quarte mi - si)</td></tr><tr><td colspan="12">Tétracorde 2 (quarte la - mi)</td></tr></tbody></table>

Pour les Grecs, les intervalles essentiels étaient la quarte pure (juste selon les termes d'aujourd'hui) et l'octave. Sur cette lyre à huit cordes, la « nète » correspondait au son le plus aigu, l'« hypate » au son le plus grave et la « mèse » à notre « la » note de début du second tétracorde [8, 10]. Les deux tétracordes sont symétriques et comportent deux tons suivis d'un demi-ton, d'où le nom de gamme diatonique. Selon une tradition grecque, la lyre de Mercure aurait été accordée de cette façon [10]. L'accord était réalisé à l'oreille. Aucun texte écrit de cette époque ne nous est parvenu, cet historique résulte de plusieurs textes dont le plus ancien est celui d'Aristoxène de Tarente daté de 330 av. J.C., dont la traduction [10] nous apprend que les musiciens de la Grèce Antique raisonnaient par modes. Théon de Smyrne, au IIème siècle après J.C., en cite trois : dorien (mode de mi dans notre dénomination actuelle), phrygien (mode de fa), lydien (mode de sol). Il faut signaler que leurs appellations ont été modifiées plusieurs fois au cours des siècles [1]. **L'invention de la gamme remonterait donc à environ 4000 ans av. J.C. et les noms des notes étaient les lettres de l'alphabet grec.**

Le tétracorde constitue la cellule fondamentale des systèmes de cordes équipant les lyres. Le système de cordes de Lyre à 7 cordes est un heptacorde constitué de deux tétracordes joins, alors que celui de la lyre à 8 cordes est un octocorde constitué de deux tétracordes disjoins. Ces deux systèmes initiaux
ont subi des évolutions. L'heptacorde a reçu dans le grave un tétracordre supplémentaire en-dessous duquel fut ajoutée une note à la distance d'un ton, de façon à obtenir onze notes de « ré » aigu à « la » grave. L'octocorde a subi les mêmes additions avec un quatrième tétracorde ajouté à l'aigu de façon à obtenir quinze notes de « la » aigu à « la » grave.

Il faut remarquer qu'une succession de quartes justes descendantes et ascendantes, en partant de la note « mi », fournit la succession suivante des notes:

$$fa# \leftarrow si \leftarrow mi \rightarrow la \rightarrow ré \rightarrow sol \rightarrow do \rightarrow fa \rightarrow sib.$$

Toutes les notes de la gamme de mi sont ainsi définies, ainsi que toutes leurs altérations (dièses et bémols), si on poursuit la succession des quartes justes. On voit qu'en modifiant l'accord d'une seule corde de la lyre à 8 cordes (fa ou si) les musiciens de la Grèce Antique avait facilement accès aux trois gammes mi majeur, sol majeur et fa majeur dans notre dénomination actuelle. Une succession de tétracordes disjoins et séparés d'un ton aboutit aux gammes majeures telles qu'on les connait aujourd'hui. Les accords seront cependant différents si on réalise le calcul arithmétique des vibrations des notes selon la méthode des Pythagoriciens que l'on verra plus loin dans cette communication.

On constate que l'art musical a débuté par la culture des instruments à cordes comme la harpe et la lyre. Leur accord fait découvrir aux Grecs trois consonances primitives : l'octave, la quarte pure contenant deux tons et un demi-ton et la quinte pure (justes en terme d'aujourd'hui) contenant trois tons et un demi-ton (Tableau 4).

<table><caption>Tableau 4 – La lyre à 8 cordes et les consonances primitives</caption><thead><tr><th>mi</th><th>1 ton</th><th>ré</th><th>1 ton</th><th>do</th><th>⅕ ton</th><th>si</th><th>1 ton</th><th>la</th><th>1 ton</th><th>sol</th><th>1 ton</th><th>fa</th><th>½ ton</th><th>mi</th></tr></thead><tbody><tr><td>nète</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>mèse</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>hypate</td></tr><tr><td colspan="6">Quarte pure descendante mi - si</td><td colspan="6">Quarte pure descendante la - mi</td></tr><tr><td colspan="6"></td><td colspan="6">Quinte pure descendante si - mi</td></tr><tr><td colspan="12">Octave descendant de mi aigu à mi médium.</td></tr></tbody></table>

C'est ce qui a amené Pythagore et ses disciples à étudier les vibrations d'une corde vibrante et à quantifier les intervalles de quarte pure, de quinte pure et d'octave par des nombres rationnels, seules nombres connus de l'arithmétique de l'antiquité grecque.

# La gamme pythagoricienne

## Etude des vibrations d'une corde vibrante et construction d'une gamme

Pour étudier les vibrations d'une corde vibrante Pythagore et ses disciples ont utilisé un instrument, le **monocorde**, dont une reconstitution est donnée Figure 1.
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1- Monocorde de Pythagore (reconstitution à partir de croquis) [14, 15]</figcaption></figure>

La longueur de la corde était modifiée d'une manière semblable à celle dont on presse la corde d'une guitare en utilisant un capodastre et le son est obtenu en pinçant la corde. Plus la corde est courte, plus le son de la note est aigu ou « haut ». En changeant la longueur de la corde, différentes notes de musiques pouvaient être ainsi créées et étudiées. De façon méthodique, ils ont comparé par paires, les sons produits par différentes longueurs de cordes.

Pythagore, au Ve siècle av. J.C., a exploré les sons produits par son monocorde en diminuant la longueur de la corde d'un facteur $\frac{1}{2'}$, $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4'}$, qu'il estimait agréables à l'oreille humaine, et les qualifient de consonants. La longueur de la corde, notée $L$, était raccourcie en la pressant aux distances $\frac{1}{2}L$, $\frac{2}{3}L$, $\frac{3}{4}L$. Il est probable que Pythagore ait réalisé ses observations en partant de la note « mi » de notre gamme actuelle, puisque la lyre à 8 cordes était accordée de « mi » à « mi ». On remarquera qu'il est possible de réaliser les mêmes observations avec une corde de guitare accordée pour produire la note de départ. Ses observations l'ont amené à établir un modèle mathématique du phénomène physique préservant la dimension esthétique des notes de musique créées.

En pressant la corde à la distance $\frac{1}{2}L$, il obtient une note située à une octave supérieure. Dans cette communication, il a été fait le choix de présenter la gamme pythagoricienne en considérant que la longueur totale de la corde est telle qu'elle fournit un « do » ; on obtient alors le « do » suivant situé à l'octave. Plutôt que d'utiliser le facteur $\frac{1}{2}$ qui représente une longueur de corde, Pythagore utilise son inverse, le rapport $\frac{2}{1}$, de sorte que

$$ \frac{L_{do_1}}{L_{do_2}} = 2 $$

les indices 1 et 2 indiquant à quelle octave la note « do » se situe.

En pressant la corde à la distance $\frac{2}{3}L$, il obtient alors le « sol » situé dans l'octave de $do_1$ ; ce son est représenté par le rapport $\frac{3}{2}$, de sorte que

$$ \frac{L_{do_1}}{L_{sol}} = \frac{3}{2} $$
En pressant la corde à la distance $\frac{3}{4}$ L, il obtient alors le « fa » ; ce son est représenté par le rapport $\frac{4}{3}$, de sorte que

$$ \frac{L_{do_1}}{L_{fa}} = \frac{4}{3} $$

Des résultats identiques ont été obtenus avec des vases vide et rempli au quart, tiers et moitié, ainsi qu'avec des instruments à vent comme la flûte de pan et l'aulos.

L'intervalle de quarte do – fa comprend alors deux tons et un demi-ton, appelé à l'époque « diésis » ou « limma », qui plus tard permettra de définir le dièse. Le diésis ou le limma était alors défini comme l'intervalle de quarte moins deux tons, c'est-à-dire, selon le rapport

$$ \frac{4}{3} + \left(\frac{9}{8}\right)^2 = \frac{4}{3} + \frac{64}{81} = \frac{256}{243} $$

Il semblerait que ce soit Philolaos qui découvrit ce rapport. C'est ainsi qu'est définit le tétracorde constitué des notes do – ré – mi – fa qui sera qualifié de diatonique, car il contient deux tons et un demi-ton. Les Pythagoriciens définiront également un tétracorde chromatique comparé au tétracorde diatonique sur la Figure 2.

<table><caption>Figure 2- Qualification des tétracordes : diatonique, chromatique, enharmonique [10]</caption><tr><td>Diatonique</td><td colspan="2">Demi-ton</td><td>Ton</td><td>Ton</td></tr><tr><td>Chromatique</td><td colspan="2">Demi-ton</td><td>Demi-ton</td><td>Trihémiton</td></tr><tr><td>Enharmonique</td><td>¼ ton</td><td>¼ ton</td><td colspan="2">Diton</td></tr></table>

Il faut signaler qu'Aristoxène a également défini le tétracorde enharmonique, également présent sur la Figure 2, en utilisant des quarts de ton qu'il appelait diésis, à ne pas confondre avec le demi-ton pythagoricien. Ce genre, considéré comme le plus beau, car organisé harmonieusement, par Aristoxène est reconnu comme le plus difficile à chanter. Il fut abandonné quelques siècles plus tard.

Selon la référence [7], ce fut Archytas qui découvrit le rapport $\frac{5}{4}$ associé à la tierce pure, dite majeure dans notre dénomination actuelle. Eratosphène découvrit ensuite le rapport $\frac{6}{5}$ associé à la tierce mineure. Ces découvertes tombèrent ensuite dans l'oubli. Gioseffo Zarlino les remettra en lumière au XVIᵉ siècle.

La note « mi » issue de la tierce à partir de la note « do » est donc représentée par le rapport $\frac{5}{4}$, de sorte que

$$ \frac{L_{do_1}}{L_{mi}} = \frac{5}{4} $$

La chronologie des découvertes, issue des textes existants, conduit à penser que Pythagore n'avait pas fait la relation entre la longueur de la corde et la tierce. Il semblerait également qu'il n'ait pas défini le ton comme la différence entre les intervalles de quarte et de quinte. Par contre, ce sont les découvertes de Pythagore qui ont conduit à l'émergence d'un modèle selon lequel les intervalles de sons reliés par des fractions de forme

$$ \frac{n+1}{n} $$

sont harmoniques et agréables à l'oreille, c'est-à-dire consonants selon la terminologie grecque ancienne, n étant un nombre entier positif (0, 1, 2, 3, 4, ...).
Un peu de théorie de la vibration des cordes [4, 12] :

Le pincement d'une corde tendue entre ses deux extrémités fixes produit des ondes transversales soumises à des réflexions aux extrémités fixes de la corde. Des ondes transversales stationnaires de la corde se produisent pour des longueurs d'ondes

$$ \lambda_n = \frac{2L}{n + 1} $$

n étant un nombre entier positif. La longueur d'onde de la vibration fondamentale obtenue pour $n = 0$ est

$$ \lambda_0 = 2L $$

Sa fréquence est

$$ f_0 = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{c}{2L} $$

où c représente la vitesse à laquelle se propage l'onde sur la corde. Elle dépend de la masse linéique de la corde, donc de son diamètre, et de sa tension. Si on utilise une seule et même corde la vitesse c s'élimine en faisant des rapports de fréquences.

Le rapport $\frac{L_{do1}}{L_{do2}} = 2$ s'écrit

$$ \frac{L_{do1}}{L_{do2}} = \frac{f_{0do2}}{f_{0do1}} = 2 $$

et

$$ f_{0do2} = 2f_{0do1} $$

Le rapport $\frac{L_{do1}}{L_{sol}} = \frac{3}{2}$ s'écrit $\frac{L_{do1}}{L_{sol}} = \frac{f_{0sol}}{f_{0do1}} = \frac{3}{2}$ et $f_{0sol} = \frac{3}{2}f_{0do1}$.

Le rapport $\frac{L_{do1}}{L_{fa}} = \frac{4}{3}$ s'écrit $\frac{L_{do1}}{L_{fa}} = \frac{f_{0fa}}{f_{0do1}} = \frac{4}{3}$ et $f_{0fa} = \frac{4}{3}f_{0do1}$.

Le rapport $\frac{L_{do1}}{L_{mi}} = \frac{5}{4}$ s'écrit $\frac{L_{do1}}{L_{mi}} = \frac{f_{0mi}}{f_{0do1}} = \frac{5}{4}$ et $f_{0mi} = \frac{4}{5}f_{0do1}$.

Le « sol » issu de la quinte du « do₁ » vibre à la fréquence $f_{0sol} = \frac{3}{2}f_{0do1}$, le « fa » issu de la quarte du « do₁ » vibre à la fréquence $f_{0sol} = \frac{4}{3}f_{0do1}$. Le lien proportionnel entre les fréquences de deux notes permet, à partir d'un son de fréquence connue, d'en calculer un autre situé à la distance de l'intervalle désiré, en multipliant le premier par le facteur correspondant.

Ce calcul peut s'enchainer plusieurs fois en multipliant les facteurs correspondants. A titre d'exemple, le « ré » est la quinte du « sol » :

$$ f_{0ré2} = \frac{3}{2}f_{0sol} = \frac{33}{22}f_{0do1} = \frac{9}{4}f_{0do1} $$
Ce « ré » est à l'octave supérieure, c'est un « ré₂ ». Pour obtenir la fréquence du « ré » de l'octave en-dessous, il faut diviser la fréquence par deux, opération appelée procédé de réduction d'octave :

$$f_{0\text{ré}} = \frac{13}{22} f_{0\text{sol}} = \frac{133}{222} f_{0\text{do}_1} = \frac{9}{8} f_{0\text{do}_1}$$

La fréquence de la note « fa » issue d'une quinte en-dessous de « do₁ » se calcule en divisant par le facteur correspondant :

$$f_{0\text{ré}} = 2\frac{1}{3}f_{0\text{do}_1} = \frac{4}{3}f_{0\text{do}_1}$$

Pour simplifier, et revenir aux calculs de Pythagore et de ses disciples, désignons les fréquences des notes par leurs noms. Les pythagoriciens ne connaissaient pas cette notion de fréquence ; c'étaient des sons définis comme la percussion de l'air environnant la corde. Ils avaient déduit ces facteurs de leurs observations acoustiques et construit un modèle de gamme en normalisant à 1 le son d'une des notes de la gamme.

Forts de cette expérience, les pythagoriciens organisèrent leur gamme en se basant sur ces rapports numériques entre les différents sons. La gamme pythagoricienne est structurée sur deux intervalles : l'octave de rapport $\frac{2}{1}$, et la quinte de rapport $\frac{3}{2}$. Ils obtiennent ainsi les diverses sons de la gamme en enchaînant les quintes et en faisant appel à la réduction à l'octave pour situer les notes au rang souhaité.

Ainsi, $do_2 = 2do_1 = 2$, $sol = \frac{3}{2}do_1 = \frac{3}{2}$, $mi = \frac{4}{5}do_1 = \frac{4}{5}$ et $fa = \frac{4}{3}do_1 = \frac{4}{3}$. En partant du « do » de notre gamme actuelle, on calcule le rapport de la première quinte ascendante pour obtenir le « sol », avec le rapport $\frac{3}{2}$. A partir du « sol », on obtient le « ré ». A partir du « ré », on obtient le « la ». A partir du « la », on obtient le « mi ». A partir du « mi », on obtient le « si ». A partir du « do », si on calcule le rapport de la première quinte descendante, on obtient le « fa ».

On obtient ainsi les 7 notes de la gamme :

$$fa \leftarrow do \rightarrow sol \rightarrow ré \rightarrow la \rightarrow mi \rightarrow si$$

Si on poursuit l'enchainement des quintes, on atteint les 12 sons de l'échelle chromatique de la gamme, qui forme ce qu'on appelle le cercle des quintes représenté Figure 3.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 3- Cercle des quintes (b : bémol, # : dièse)</figcaption></figure>

Maintenant que les 12 notes sont obtenues, le procédé de réduction à l'octave permet de situer les sons de la même gamme au niveau d'une seule octave [12].

Effectuons les calculs de l'accord de chaque note par enchaînement des quintes et réductions à l'octave en divisant ou multipliant par 2 pour que leurs « fréquences relatives » se trouvent toujours entre 1 (le « do ») et 2 (le « do » suivant). La méthode est présentée dans la référence [12]. Normalisons à 1 le son de la note « do ».

Commençons par le « sol » qui est la quinte du « do » normalisé à 1, représenté par le rapport $\frac{3}{2}$ :

$$sol = do \times \frac{3}{2} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

Le « ré » est la quinte du « sol », en multipliant par $\frac{3}{2}$, puis en le réduisant d'une octave en le multipliant par $\frac{1}{2}$ :

$$ré = sol \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$$

La distance de « do » à « ré » s'appelle un « ton » qui équivaut à deux « demi-tons ».

Le « la » est à la quinte du « ré » :

$$la = ré \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{27}{16}$$

Le « mi » est la quinte du « la », en multipliant par $\frac{3}{2}$, puis en le réduisant d'une octave en le multipliant par $\frac{1}{2}$ :

$$mi = la \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{27}{16} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{81}{64}$$
Enfin, le « si » est à une quinte du « mi » et le « fa » à une quinte sous le « do » en le montant d'une octave en multipliant par 2.

En résumé, en prenant le « do » à la valeur normalisée à 1, on obtient le Tableau 5.

<table><caption>Tableau 5- Rapport des fréquences par rapport au do pour chacune des notes de la gamme Pythagore</caption><thead><tr><th>Note</th><th>do</th><th>ré</th><th>mi</th><th>fa</th><th>sol</th><th>la</th><th>si</th><th>do</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>1</td><td>9/8</td><td>81/64</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>27/16</td><td>243/128</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Ce procédé peut se poursuivre pour obtenir les accords des bémols/dièses en descendant par quintes depuis le « fa » et en calculant de « fa# » qui est à une quinte du « si » : $fa# = si \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{243}{128} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{729}{512}$. On obtient le Tableau 6.

<table><caption>Tableau 6- Rapports des fréquences par rapport au do pour les notes bémolisées</caption><thead><tr><th>Note</th><th>sib</th><th>mib</th><th>lab</th><th>réb</th><th>solb<br>fa#</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>16/9</td><td>37/27</td><td>128/81</td><td>256/243</td><td>1024/729</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>719/512</td></tr></tbody></table>

Les Grecs utilisaient leur alphabet pour les notes des instruments et les lettres ioniques pour le chant. La notation instrumentale semble avoir précédé la notation vocale. Les travaux de Pythagore et de ses disciples est une véritable innovation pour l'époque. Mais la gamme pythagoricienne ainsi établie présente quelques inconvénients que l'on va maintenant aborder.

Pythagore et ses disciples n'ont pas laissé de traces écrites de cette théorie. La connaissance de cette théorie provient de sa description et de sa notation par d'autres auteurs comme Aristoxène de Tarente (IVème siècle av. J.C.) et de Théon de Smyrne (IIème siècle après J.C.) dont la bibliographie est abondante. Pythagore ne connaissait que les intervalles de quarte, de quinte et d'octave qu'il considérait consonants. Le terme utilisé aujourd'hui pour qualifier ces intervalles est « juste ». Il connaissait également la notion de ton et de tétracorde constitué de notes séparées par un demi-ton et deux tons. C'est cette notion de tétracorde qui a donné à la gamme la qualification de diatonique (2 tons). La construction de la gamme telle qu'elle est décrite dans ce document est principalement due à son disciple Philolaos de Crotone (Vème siècle av. J.C.). C'est Aristoxène, vers 250-300 ans av. J.C., qui a défini les huit modes grecs anciens dans son ouvrage « Eléments Harmoniques », un mode étant une succession de notes naturelles (sans dièse, ni bémol) à partir d'une note donnée. Les grecs utilisent ces modes en fonction des sentiments qu'ils veulent exprimer. La nomenclature fut changée au Moyen Âge (Tableau 7).
<table><caption>Tableau 7- Modes selon les nomenclatures grecque et du Moyen-Age.</caption><thead><tr><th>Mode</th><th>Nomenclature grecque</th><th>Sentiments</th><th>Nomenclature du Moyen-Âge</th></tr></thead><tbody><tr><td>Mode de si</td><td>Hypophrygien</td><td>Féminin</td><td>Lorcrien</td></tr><tr><td>Mode de la</td><td>Hypodorien</td><td>Energique et joyeux</td><td>Aeolien</td></tr><tr><td>Mode de la</td><td>Mixolydien</td><td>Solennel</td><td></td></tr><tr><td>Mode de sol</td><td>Lydien</td><td>Majestueux</td><td>Myxolidien</td></tr><tr><td>Mode de fa</td><td>Phrygien</td><td>Enjoué</td><td>Lydien</td></tr><tr><td>Mode de mi</td><td>Dorien</td><td>Viril</td><td>Phrygien</td></tr><tr><td>Mode de ré</td><td>Hypomixolydien</td><td>Retour au calme</td><td>Dorien</td></tr><tr><td>Mode de do</td><td>Hypolydien</td><td>Triste</td><td>Ionien</td></tr></tbody></table>

La gamme pythagoricienne de do est baptisée mode de « do » Hypolydien. La musique utilisant ces modes est dite « **musique modale** ». Le mode de « la » Hypodorien est à l'origine de la **gamme mineure naturelle**, sans altération supplémentaire, relative de « do » majeur.

## Inconvénients de la gamme pythagoricienne

Le « fa# » est à une quinte du « si » en le réduisant d'une octave. Le « fa# » devrait être le même son que le « solb » en atteignant l'autre extrême du cercle des quintes. Aïe, ces deux sons ne sont pas exactement identiques : la différence entre ces deux sons est appelée « **comma pythagoricien** ».

De la même manière, les sons terminaux « fa# » et « réb », après réductions d'octave, ne sont pas à la distance d'une quinte juste. Ils forment un intervalle qui diffère de la quinte juste par un comma pythagoricien. Cette quinte, légèrement inférieure à une quinte juste, s'appelle la « **quinte du loup** ».

Le cycle des quintes comprend l'enchaînement de 12 quintes pour arriver à une note qui est presque la même que celle du début, mais à une distance de 7 octaves. Le comma pythagoricien (CP) est ce « presque » ; on peut calculer sa valeur en partant d'une fréquence $f_0$ et en comparant l'enchaînement des 12 quintes avec l'enchaînement des 7 octaves :

$$CP = \frac{f_0 \times (\frac{3}{2})^{12}}{f_0 \times 2^7} = 1,013643265$$

La différence est d'un peu plus de 1% d'une octave et équivaut à ¼ de demi-ton. Cette différence provient de la fraction $\frac{3}{2}$ qui définit la quinte, qui est incompatible avec celle qui définit l'octave, $\frac{2}{1}$.

Dans la gamme pythagoricienne, l'accord des tierces à partir du « do₁ » s'obtient par un enchaînement de quatre intervalles de quinte, ce qui conduit, en réduisant à l'octave, à un rapport de fréquences de 81:64. L'accord de la tierce pure peut être déterminé plus directement avec le rapport $\frac{5}{4}$, soit $\frac{80}{64}$. On voit bien que là-aussi, il y a un écart entre la tierce calculée par l'enchaînement des quintes et la tierce pure.

Donc, en optant pour un accord par enchaînement de quintes, la gamme pythagoricienne produit des sons incompatibles avec une octave pure et néglige la pureté des tierces pures (majeures dans notre dénomination actuelle) do – mi, fa – la et sol – si.
Vers la gamme diatonique utilisée à l'époque baroque

La voix humaine, les instruments à cordes sans positions fixes (sans frettes) et certains instruments à
vent peuvent respecter un accord pythagoricien. Ils peuvent même permettre de modifier de façon
subtile la hauteur des sons émis, c'est à dire corriger l'accord, pour atteindre une meilleure consonance
entre les notes et, par voie de conséquence, une plus belle harmonie. Les instruments dont l'accord
est fixé n'offrent pas cette possibilité de corriger l'accord pour obtenir une meilleure consonance entre
les notes. Cela a conduit à rechercher une nouvelle façon d'organiser les sons et leurs rapports.
L'aboutissement des recherches a conduit à la **gamme diatonique utilisée à l'époque baroque**.

Quand Guido d'Arezzo invente la portée à 4 lignes et introduit la notation ut, ré, mi, fa, sol, la, si, en 1030 ans après J.C., la gamme utilisée est encore Pythagoricienne. La notation ut sera remplacée par la notation do. Les noms des notes, utilisés aujourd'hui, proviennent de l'hymne de la liturgie des vêpres de la fête de la Naissance de saint Jean-Baptiste, *Ut queant laxis* [1]:

ut UT queant laxis ;

ré REsonare fibris ;

mi MIra gestorum ;

fa FAmuli tuorum ;

sl SOLve polluti ;

la LAbii reatum ;

si Sancte Ioannes.

Selon la référence [14], la gamme diatonique utilisée à l'époque baroque est apparue au XVIème siècle,
en 1558, à l'issue des travaux de Gioseffo Zarlino (1517 – 1590). Ce scientifique a utilisé les rapports 5/4 et 3/2 de la division harmonique pour construire un accord « juste » de la gamme diatonique. En partant du do, cet accord respecte les intervalles de quinte pour calculer les deux notes suivantes fa et sol ; les intervalles do-fa et do-sol sont des quintes justes. Ensuite, en en partant de fa, do et sol, les notes la, mi et si sont calculées pour respecter des tierces pures, dites majeures. L'accord est ensuite complété par le ré accordé comme une quinte juste à partir du sol.

Voici, schématiquement, comment l'accord est réalisé :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Cet accord, réalisé en tierces majeures et quintes justes est plus pur que dans la gamme
pythagoricienne.

Effectuons le calcul des rapports ente les fréquences des notes. A partir du « do » normalisé à la valeur 1, le « fa » s'accorde à une quinte sous le « do » en montant d'une octave en multipliant par 2, ce qui donne 4/3 et le sol s'accorde en 3/2. En partant du « do », le « mi » s'accorde à une tierce, c'est à dire 5/4. Le « la » est à une tierce du fa :

$$
la = fa \times \frac{5}{4} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{3}
$$

Le « si » est à une tierce du sol :
$$si = sol \times \frac{5}{4} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{3}$$

Le « ré » est à une quinte pure du sol, en réduisant d'une octave :

$$ré = sol \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$$

En résumé, en prenant le « do » à la valeur normalisée à 1, on obtient le Tableau 8 suivant.

<table><caption>Tableau 8- Rapports des fréquences par rapport au do des différentes notes de ma gamme de do majeur.</caption><thead><tr><th>Note</th><th>do</th><th>ré</th><th>mi</th><th>fa</th><th>sol</th><th>la</th><th>si</th><th>do</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>1</td><td>9/8</td><td>5/4</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>5/3</td><td>15/8</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Les intervalles entre les notes de la gamme diatonique suivent une structure dite de la **musique tonale**. Dans la musique tonale, les notes s'organisent autour d'une note principale, appelée tonique, première note de la gamme diatonique considérée : do pour la gamme diatonique de do, dite majeure. Chaque note a une fonction musicale : tonique (do), sus-tonique (ré), médiante (mi), sous-dominante (fa), dominante (sol), sus-dominante (la), sensible (si) ; elles conduisent à un jeu de tensions entre les différentes notes générant le développement du processus musical. Cette fonctionnalité implique que les dièses et les bémols doivent être accordés de façon à respecter ce jeu de tensions entre les notes si on choisit une autre tonalité (une autre note pour la tonique). Ils doivent être accordés de manières différentes suivant le contexte dans lequel ils se présentent. A titre d'exemple, si sol est choisi comme tonique, les notes de la gamme diatonique sont accordées de façon à respecter l'accord en quintes et tierces en normalisant la tonique à 1, donc de la façon exprimée dans le Tableau 9.

<table><caption>Tableau 9 – Rapport des fréquences par rapport au sol et au do des différentes notes de la gamme de sol majeur.</caption><thead><tr><th>Note</th><th>sol</th><th>la</th><th>si</th><th>do</th><th>ré</th><th>mi</th><th>fa#</th><th>sol</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>1</td><td>9/8</td><td>5/4</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>5/3</td><td>15/8</td><td>2</td></tr><tr><td>En multipliant par 3/2</td><td>3/2</td><td>27/16</td><td>15/8</td><td>2</td><td>9/4</td><td>15/6</td><td>45/16</td><td>3</td></tr><tr><td>A partir de la gamme de do</td><td>3/2</td><td>25/15</td><td>15/8</td><td>2</td><td>9/4</td><td>15/6</td><td></td><td>3</td></tr></tbody></table>

Si on choisit fa comme tonique, l'accord sera celui du Tableau 10.

<table><caption>Tableau 10- Rapport des fréquences par rapport au fa et au do des différentes notes de la gamme de fa majeur.</caption><thead><tr><th>Note</th><th>fa</th><th>sol</th><th>la</th><th>si#</th><th>do</th><th>ré</th><th>mi</th><th>fa</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>1</td><td>9/8</td><td>5/4</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>5/3</td><td>15/8</td><td>2</td></tr><tr><td>En multipliant par 4/3</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>5/3</td><td>16/9</td><td>2</td><td>20/9</td><td>5/2</td><td>8/3</td></tr><tr><td>A partir de la gamme de do</td><td>4/3</td><td>3/2</td><td>5/3</td><td></td><td>2</td><td>18/8</td><td>5/2</td><td>8/3</td></tr></tbody></table>

Dans les deux cas, une des notes n'est pas accordée de la même façon que dans la gamme de do. Il n'y a pas qu'un seul et même accord pour les notes des gammes diatoniques centrées sur une tonique différente. Le chant, les instruments à cordes et la flûte traversière, en jouant sur la position de l'embouchure, ont la possibilité de suivre de tels accords. Ce n'est pas le cas des instruments à clavier
ou des instruments à vent dont l'accord est prédéfini à leur fabrication. Un accord possible des bémols, avec le do normalisé à 1, est celui du Tableau 11.

<table><caption>Tableau 11 – Rapports des fréquences par rapport au do des notes bémolisées.</caption><thead><tr><th>Note</th><th>réb</th><th>mib</th><th>solb</th><th>lab</th><th>sib</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rapport de fréquences</td><td>16/15</td><td>6/5</td><td>45/32</td><td>8/5</td><td>16/9</td></tr></tbody></table>

La musique des périodes baroque et classique s'inscrivent majoritairement dans la musique tonale. Elle est même employée dans le folklore occidental, le rock et la musique pop. Cependant, la gamme diatonique a elle-aussi des problèmes d'incompatibilité des intervalles d'octave, de quinte et de tierce. Presque toutes ses quintes sont de $\frac{3}{2}$. La quinte ré-la est plus petite : $\frac{40}{27}$. Des problèmes apparaissent si l'on tente de compléter la gamme avec des bémols ou des dièses, **on retombe sur la quinte du loup**.

La notion de gamme diatonique mineure harmonique, située une tierce mineure en-dessous de sa gamme majeure correspondante est apparue au début de l'époque baroque, en altérant sa dernière note en dièse de façon à la rendre sensible. La gamme mineure naturelle, sans altération de sa dernière note, est identique au mode de la, dit hypodorien, dans l'antiquité grecque, lorsqu'elle est relative à la gamme de do majeure. La gamme de do majeur est appelée mode de do, dit Lydien dans l'antiquité grecque.

Il y a eu plusieurs tentatives visant à résoudre ce problème en modifiant le processus d'accordage des notes. Elles n'ont pas débouché sur un accord plus juste. Le déplacement du centre tonal par le choix d'une tonique différente du do altère les équilibres relatifs entre les notes et modifient légèrement leurs fonctions, ce qui génère un changement de « couleur » dans une mélodie. A titre d'exemple, si on exécute une œuvre composée avec un centre tonal en do sur un instrument accordé à partir de ce do selon la gamme diatonique, cette œuvre est jouée telle qu'elle est conçue. Si on l'interprète avec le même instrument et le même accord un ton plus haut, avec un centre en ré, l'œuvre paraît plus aigüe et désaccordée.

## Vers une gamme tempérée

A l'issue de l'étude de la gamme diatonique, une question se pose : est-il possible de construire une gamme tempérée où tous les rapports entre les notes sont maintenus, quelle-que soit la note du centre tonal ?

Ce problème est insoluble en respectant des intervalles de quinte juste, tierce pure, quarte juste. La seule solution possible est de faire en sorte que l'octave soit constituée de 12 intervalles qui soient tous égaux entre chacune des 12 notes. Ces douze intervalles doivent être des demi-tons égaux. Dès le XVIᵉ siècle, Vicenzo Galilei, le père de Galilée proposa une division d'octave en 12 demi-tons égaux. Il ne fut pas suivi par les musiciens de l'époque. C'est Andreas Werkmeister qui définira la gamme à tempérament égal à la fin du XVIIᵉ siècle selon les références [12, 14]. Appelée **gamme tempérée**, elle sera contestée par les puristes qui la trouvent artificielle et composée de notes fausses par rapport aux harmoniques naturelles. Elle finira par être adoptée dans la musique occidentale à partir du XVIIIᵉ siècle.

Notons x le rapport des fréquences que doivent garder deux demi-tons consécutifs pour que 12 intervalles de x soient égaux à une octave. De façon algébrique, cela se traduit par l'équation
$$x^{12} = 2$$

donc

$$x = \sqrt[12]{2} = 1,05946...$$

Cette valeur de x permet, par définition, une octave parfaite, avec un comma pythagoricien réparti équitablement sur toutes les notes de la gamme.

Le calcul de l'accord avec ce système s'effectue en enchaînant autant de demi-tons que nécessaire pour chacun des intervalles à partir de la tonique. Un intervalle de quinte pure est composé de 7 demi-tons et son accord est le suivant :

$$x^7 = 1,05946^7 = 1,49830708$$

En appliquant cette règle, on obtient l'accord pour les 12 notes de la gamme chromatique représenté dans le Tableau 12.

<table><caption>Tableau 12 – Accord de la gamme tempérée par rapport au do.</caption><thead><tr><th>Notes</th><th colspan="2">Valeurs des intervalles</th></tr></thead><tbody><tr><td>Do</td><td>1,05946309<sup>0</sup></td><td>1</td></tr><tr><td>Do#/Réb</td><td>1,05946309<sup>1</sup></td><td>1,05946309</td></tr><tr><td>Ré</td><td>1,05946309<sup>2</sup></td><td>1,12246205</td></tr><tr><td>Ré#/Mib</td><td>1,05946309<sup>3</sup></td><td>1,18920712</td></tr><tr><td>Mi/Fab</td><td>1,05946309<sup>4</sup></td><td>1,25992105</td></tr><tr><td>Fa/Mi#</td><td>1,05946309<sup>5</sup></td><td>1,33483985</td></tr><tr><td>Fa#/Solb</td><td>1,05946309<sup>6</sup></td><td>1,41421356</td></tr><tr><td>Sol</td><td>1,05946309<sup>7</sup></td><td>1,49830708</td></tr><tr><td>Sol#/Lab</td><td>1,05946309<sup>8</sup></td><td>1,58740105</td></tr><tr><td>La</td><td>1,05946309<sup>9</sup></td><td>1,68179283</td></tr><tr><td>La#/Sib</td><td>1,05946309<sup>10</sup></td><td>1,78179744</td></tr><tr><td>Si/Dob</td><td>1,05946309<sup>11</sup></td><td>1,88774863</td></tr><tr><td>Do/Si#</td><td>1,05946309<sup>12</sup></td><td>2</td></tr></tbody></table>

Un très bel exemple d'utilisation de la gamme tempérée est « Le clavier bien tempéré » composé par Jean-Sébastien Bach en 1722 pour le volume 1 et en 1740 pour le volume 2. Il a été un des premiers compositeurs mettant en application cette nouvelle gamme pour l'éprouver [2].

C'est cet accord qui fut utilisé pendant les périodes ultérieures à l'époque baroque, et bien évidemment, l'époque contemporaine de la musique dite classique.

## Conclusion

Avec la gamme tempérée, tout le monde est content, ou presque. Les musiciens spécialisés en musique baroque vont préférer l'accord diatonique construit à partir de quintes justes et de tierces pures (tierce majeur de 2 tons). C'est ainsi que les puristes de la musique baroque accordent leurs instruments. Il y a aussi quelques groupes de musique pop-rock qui utilisent cet accord diatonique, et même l'accord pythagoricien, conférant ainsi une couleur particulière à leur musique.
Il n'y a pas de solution parfaite, un accord pythagoricien respecte les quintes justes, ce qui conduit à des tierces pures légèrement fausses et des problèmes sur les notes extrêmes du cercle des quintes, la quinte du loup. L'accord diatonique basé sur des quintes justes et des tierces pures, conduit lui-aussi à certains intervalles légèrement faux et à la quinte du loup. De plus, l'accord des instruments à accords prédéfinis est problématique. Seuls les instruments à cordes frottées, la flûte taversière et les voix arrivent à respecter cet accord selon le centre tonal choisi. Dans la gamme tempérée, toutes les notes de la gamme sont légèrement fausses, mais offrent une consonance acceptable pour l'oreille humaine.

On peut construire toute une panoplie de gammes comme, par exemple, la gamme par quarts de ton utilisée dans la musique orientale, la gamme par ton utilisée dans la musique chinoise et de Debussy, ce qui confère une ambiance musicale particulière aux mélodies.

Le lecteur désireux d'approfondir la constitution des gammes trouvera des documents qui ont servi à cette étude dans la liste des références. Une approche de mathématique appliquée moderne des notes de la gamme est proposée par F. Dubois [13] dans une publication éditée par la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles dans le journal Matapli.

## Bibliographie

1. T. Bernardeau, M. Pineau, La musique, éditions Nathan, collection Repères pratiques, 1998.

2. Histoire de la musique, vol. 1 et 2, Encyclopédie de la Pleidade, 1960.

3. La petite encyclopédie de la musique, Cité de la musique, Réunion des Musées Nationaux, Editions du Regard, 1997.

4. H. Stöcker, F. Jundt, G. Guillaume, Toute la Physique, 2ème édition, Dunod, 2007.

5. Cléonide, L'introduction harmonique, La division d'Euclide le géomètre, Canons harmoniques de Florence, traduction du Grec en Français par Gh.-Em. Ruelle, Librairie de Firmin Didot et Cie, 1884.

6. Théon de Smyrne, Exposition des connaissances de Mathématiques utiles pour la lecture de Platon, Les Lois Numériques de la Musique, traduction du Grec en Français par J. Dupuis, Ed. Hachette et Cie, 1892, disponible sur le site https://remacle.org/bloodwolf/erudits/theon/musique.htm.

7. Aristoxène de Tarente, Eléments Harmoniques, livres I, II et III, disponibles sur le site https://remacle.org/bloodwolf/erudits/aristoxene/livre1.htm.

8. Fr. Aug. Gevaert, Histoire et théorie de la musique de l'antiquité, Editions Gand, 1875.

9. J. Chailley, « La musique grecque antique », Editions Les belles lettres, 1979.

10. I. Gauchet, Les lois numériques de la musique, mémoire de maitrise en lettres classiques, Université de Limoges, 1992.

11. A. Bélis, Les Musiciens dans l'Antiquité, Editions Hachette, 1999.

12. J. Arbonés, P. Milrud, L'harmonie est numérique : musique et mathématique, Le monde est mathématique, collection présentée par Cédric Villani.

13. F. Dubois, Pourquoi la gamme a sept notes ? Une mathématique des notes et des gammes, Matapli, numéro 131, pages 51-89, juin 2003, édition du 4 octobre 2023.

## Deux sites web :

14. https://classic-intro.net/introductionalamusique.html

15. https://edutheque.philharmoniedeparis.fr/la-gamme-pythagoricienne.aspx, La Gamme Pythagoricienne, Ressources musicales pour l'enseignement, Philharmonie de Paris.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>