<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Fig. 3.15: Exemple de répartition de mission par la gestion fréquentielle</figcaption></figure>

parties : la partie P<sub>HF</sub> correspond aux fréquences supérieures et la partie P<sub>BF</sub> correspond aux basses fréquences.

$$
\left\{
\begin{aligned}
P_{BF}(s) &= \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot F_{SC}}{2 \cdot \pi \cdot F_{SC} + s} \right) \cdot P(s) \\
P_{HF}(s) &= P(s) - P_{BF}(s) = \left( \frac{s}{2 \cdot \pi \cdot F_{SC} + s} \right) \cdot P(s)
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.11)
$$

La mission P<sub>HF</sub> est directement dirigée vers le pack de supercondensateurs. La mission P<sub>BF</sub>
est partagée entre le groupe Diesel et les batteries de la façon suivante : le groupe Diesel
est supposé opérer à son régime nominal et le reste de la mission est envoyé aux batteries.

$$
\left\{
\begin{aligned}
P_{GE}(s) &= P_{GEN} \\
P_{SC}(s) &= P_{HF}(s) \\
P_{BT}(s) &= P_{BF}(s) - P_{GEN}
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.12)
$$

Ces équations peuvent être implantées dans Matlab\Simulink ou directement programmées en .m, .c ou .cpp (voire dans un tableau type excel).

La figure 3.15 montre les résultats de la simulation du système d'équations Eq.3.11 et Eq.3.12, pour un échantillon de mission de desserte locale<sup>(1)</sup>. Le groupe Diesel est choisi de sorte que sa puissance nominale coïncide avec la puissance moyenne de la mission (≈ 220 kW); la fréquence de filtrage est fixée à 3 mHz. Les courbes de puissance P<sub>SC</sub>(t) et P<sub>BT</sub>(t) se différencient assez nettement. La mission du pack capacitif présente des dynamiques rapides alors que celle des batteries évolue assez lentement. De plus, sur un même intervalle de temps, les supercondensateurs subissent une multitude de cycles<sup>(2)</sup> contre un nombre nettement plus faible de cycles pour les batteries. D'après la caractérisation des sources, il y a visiblement compatibilité entre parts de mission et sources mise en face.

<footnote>(1) Rappelons que la puissance représentant la mission intègre les pertes du système de traction et la consom-
mation des auxiliaires.</footnote>

<footnote>(2) alternance de charges et de décharges</footnote>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Fig. 3.16: Intégration des missions P<sub>SC</sub>(t) et P<sub>BT</sub>(t)</figcaption></figure>

Nous pouvons aller encore plus loin dans la démonstration de cette compatibilité. En effet, lorsque nous calculons l’intégrale des missions<sup>(1)</sup> P<sub>SC</sub>(t) et P<sub>BT</sub>(t), nous observons davantage les différences en nombre de cycles<sup>(2)</sup> et en dynamique des deux missions (voir figure 3.16). De plus, le calcul de l’énergie utile issue des intégrales de puissance et le relevé des puissances maximales, nous donne :

$$ \left\{ \begin{array}{l} |P_{SC}|_{\max} = 441 \text{ kW} \\ Eu_{SC} = 4.1 \text{ kWh} \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} |P_{BT}|_{\max} = 307 \text{ kW} \\ Eu_{BT} = 74.5 \text{ kWh} \end{array} \right. \qquad (3.13) $$

Pour chacune des deux missions, le rapport de la puissance crête sur l’énergie utile (homo-gène à une fréquence) est une caractérisation du type de stockage qui est le mieux adapté à cette mission. Dans le cas de nos deux missions de stockage, nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} f_{\rho,sc} = \frac{|P_{SC}|_{\max}}{Eu_{SC}} = 30 \text{ mHz} \\ f_{\rho,bt} = \frac{|P_{SC}|_{\max}}{Eu_{SC}} = 1.1 \text{ mHz} \end{array} \right. \qquad (3.14) $$

Comme le montre la figure 3.17, le repérage de ces deux fréquences sur la projection du plan de Ragone confirme clairement la compatibilité entre la mission P<sub>BT</sub>(t) et le stockage électrochimique d'une part, et la mission P<sub>SC</sub>(t) et le stockage capacitif d'autre part.

### 3.3.4 Conclusion

Dans cette section, nous avons présenté le principe de la gestion énergétique fréquentielle basé sur les caractéristiques intrinsèques des sources d’énergie et de puissance. En croisant une vision fréquentielle des sources – telle qu’elle se déduit par projection du plan de Ragone – et une vision fréquentielle des missions, la gestion fréquentielle assure la compatibilité entre chaque élément de stockage et la part de mission qui lui est destinée. Elle permet aussi l’optimisation de l’efficacité énergétique et de la pollution en sollicitant,

<footnote><sup>(1)</sup>Le calcul de la courbe de variation de l’énergie associée à une courbe de puissance est une simple intégrale. Nous explicitons ce calcul plus bas, à la section §3.5.1, page 71</footnote>

<footnote><sup>(2)</sup>C’est plus de la concentration des cycles qu’il est question.</footnote>
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Fig. 3.17: Compatibilité entre parts de mission et sources</figcaption></figure>

en permanence, le groupe Diesel à sa puissance nominale. Le chapitre 4, consacré à l'analyse des configurations possibles, revient plus largement sur les avantages de la gestion fréquentielle.

## 3.4 Modèles en flux de puissance pour la synthèse énergétique

La modélisation en flux de puissance est un moyen efficace permettant de simplifier au maximum le processus de dimensionnement énergétique de la locomotive hybride. Il permet de dimensionner les sources d'énergie sans se préoccuper, ni de la disposition en série ou en parallèle des cellules de batteries et de supercondensateurs, ni de la complexité électrique de ces éléments. Comme le montre la figure 3.18, le modèle en flux de puissance de la locomotive est basé sur un bilan de puissance détaillé prenant en considération les pertes énergétiques du système. Les éléments intervenant dans ce bilan de puissance sont la mission constituée des moteurs de traction et des auxiliaires, le groupe Diesel, le pack de batteries et le pack de supercondensateurs. Le bilan de puissance au nœud énergétique(1) s'écrit :

$$P = P_{GE} + P_{BT} + P_{SC} \qquad (3.15)$$

La mission se réduit à la simple donnée de la puissance enregistrée P(t). Cette puissance intègre a priori les pertes dans les convertisseurs de traction, les convertisseurs des auxiliaires, les moteurs de traction et les transmissions mécaniques. Nous détaillons les autres éléments du modèle dans les sous-sections qui suivent.

<footnote>(1) Le nœud énergétique est le point de rencontre des flux de puissance assignés par la gestion à chacune des sources. C'est la traduction symbolique du bus de tension de l'architecture électrique de la locomotive (figure 3.2)</footnote>
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Fig. 3.18: Bilan de puissance de la locomotive hybride</figcaption></figure>

3.4.1 Groupe Diesel

Le groupe Diesel est modélisé comme un transformateur qui traduit, en débit de fuel C<sub>S</sub> (consommation spécifique) exprimé en litre par heure, la puissance en sortie P<sub>GE</sub>. La cartographie de cette relation est établie à l'aide d'essais et intègre donc l'ensemble des pertes énergétiques dans le moteur thermique et l'alternateur. Le rendement du redresseur (commandé ou non) est le seul dont il sera tenu compte dans le modèle du groupe Diesel. La puissance réellement "consommante" P<sub>GE</sub><sup>rel</sup> s'écrit :

$$
P_{GE}^{rel} = P_{GE} + \text{pertes}_{GE} \qquad (3.16)
$$

En introduisant un rendement moyen rd<sub>GE</sub> qui représente essentiellement les pertes dans
le redresseur en aval de l'alternateur du groupe, nous pouvons écrire :

$$
P_{GE} = rd_{GE} \cdot P_{GE}^{rel} \qquad (3.17)
$$

Soit :

$$
\text{pertes}_{\text{GE}} = \left( \frac{1}{\text{rd}_{\text{GE}}} - 1 \right) \cdot \text{P}_{\text{GE}} \quad (3.18)
$$

Globalement, nous considérons un rendement moyen entre 94% et 97% pour les conver-
tisseurs statiques. 94% pour les convertisseurs à découpage et 97% pour les redresseurs à
diodes. Nous avons préconisé un redressement non commandé pour le groupe Diesel donc
$rd_{GE}$ vaut approximativement 97%. La consommation est calculée à partir de la puissance consommante $P_{GE}^{rel}$. Nous reviendrons plus largement sur le calcul de la consommation de gasoil au chapitre 4.

### 3.4.2 Batteries et supercondensateurs

Rappelons la convention de signe relative aux puissances des éléments de stockage. Comme le montre la figure 3.18, le signe positif correspond à la décharge et le signe négatif à la charge(1). Sauf mention contraire, cette convention est adoptée dans l'ensemble de ce rapport. Les pertes énergétiques sont toujours positives et peuvent se déduire, selon les cas, de la puissance fournie par le reste du système au dispositif de stockage ou de la puissance délivrée par le dispositif de stockage.

Dans le modèle en flux de puissance, les deux dispositifs de stockage batteries et supercondensateurs ont des structures identiques. Nous ne discutons donc que du pack de batteries. Néanmoins, les équations concernant le pack de supercondensateurs sont listées. Deux types de pertes énergétiques interviennent entre la mission vue du nœud énergétique ($P_{BT}$) et la puissance réellement intégrée(2) $P_{BT}^{rel}$. Il s'agit notamment des pertes dans les convertisseurs statiques ($pertes_{CVS}$), des pertes joules dans les résistances série des cellules ($pertes_{BT}$). Nous n'impliquons pas le phénomène d'auto-décharge dans le modèle de dimensionnement pour une raison simple : l'auto-décharge n'a aucun effet direct sur les flux de puissance. Mais c'est plutôt un phénomène perceptible dans la durée. De fait, il a une importance relativement faible dans un contexte d'hybridation où les cycles de charges et de décharges sont assez rapprochés. D'après la convention de signe, le bilan de puissance s'écrit :

$$P_{BT}^{rel} = P_{BT} + \text{pertes}_{CVS} + \text{pertes}_{BT} \quad (3.19)$$

En introduisant un rendement moyen $rd_{BT}$ qui représente l'ensemble des pertes du pack, nous pouvons écrire :

$$P_{BT}^{rel} = \begin{cases} \frac{1}{rd_{BT}} \cdot P_{BT} & \text{si } P_{BT} \ge 0 \text{ (décharge)} \\ rd_{BT} \cdot P_{BT} & \text{si } P_{BT} < 0 \text{ (charge)} \end{cases} \quad (3.20)$$

Ce qui donne :

$$\text{pertes}_{CVS} + \text{pertes}_{BT} = \begin{cases} \left(\frac{1}{rd_{BT}} - 1\right) \cdot P_{BT} & \text{si } P_{BT} \ge 0 \text{ (décharge)} \\ (rd_{BT} - 1) \cdot P_{BT} & \text{si } P_{BT} < 0 \text{ (charge)} \end{cases} \quad (3.21)$$

Le rendement moyen $rd_{BT}^{(3)}$ est en fait le produit du rendement du convertisseur DC/DC (à découpage) et du rendement de la batterie. Nous fixons le rendement du convertisseur à

<footnote>(1) Convention signe générateur.</footnote>

<footnote>(2) La puissance réellement transformée en énergie</footnote>

<footnote>(3) Notons que cette notion de rendement, propre au modèle en flux de puissance, est approximative car les pertes $pertes_{CVS}$ et $pertes_{BT}$ varient en pratique selon des proportions assez différentes. Cette approximation sera affinée dans les modèles d'analyse du chapitre 4, mais reste suffisante à ce stade du processus de conception.</footnote>
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Fig. 3.19: Modèle de synthèse en flux de puissance avec prise en compte des pertes</figcaption></figure>

94% et celui de la batterie à 85% [3]. Le rendement $rd_{BT}$ vaut alors 80%. Ces chiffres sont difficilement justifiables car le rendement varie selon les constructeurs et les technologies. Dans le cas présent, nous avons choisi un rendement de 85% pour la cellule NiCd, sur la base des informations que nous a fournies Hoppecke.

Pour ce qui concerne les supercondensateurs, le rendement de l'élément est de 95%, donc le rendement moyen du pack de supercondensateurs $rd_{SC}$ vaut 91%. Nous retenons, à l'instar du pack de batteries (Eq.3.19, Eq.3.20 et Eq.3.21), les relations suivantes :

$$P_{SC}^{rel} = P_{SC} + \text{pertes}_{CVS} + \text{pertes}_{SC} \quad (3.22)$$

$$P_{SC}^{rel} = \begin{cases} \frac{1}{rd_{SC}} \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} \ge 0 \text{ (décharge)} \\ rd_{SC} \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} < 0 \text{ (charge)} \end{cases} \quad (3.23)$$

$$\text{pertes}_{CVS} + \text{pertes}_{SC} = \begin{cases} \left(\frac{1}{rd_{SC}} - 1\right) \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} \ge 0 \text{ (décharge)} \\ (rd_{SC} - 1) \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} < 0 \text{ (charge)} \end{cases} \quad (3.24)$$

Le modèle de synthèse en flux de puissance, intégrant les pertes énergétiques, est donné à la figure 3.19. La figure 3.20 montre les missions vues par le nœud énergétique et les missions réellement transformées en énergie. Le bon rendement du pack de supercondensateurs fait que la puissance $P_{SC}$, vue par le nœud énergétique se confond presque avec la puissance réellement transformée en énergie capacitive $P_{SC}^{rel}$. Concernant le pack de batteries, la différence entre $P_{BT}(t)$ et $P_{BT}^{rel}(t)$ est nette. Les pertes dans les convertisseurs ajoutées au rendement relativement faible(1), font que la courbe de la puissance réelle $P_{BT}^{rel}(t)$ est très détachée de la puissance $P_{BT}$ vue par le nœud énergétique.

<footnote>(1) 85% est un excellent rendement certes, mais comparativement au 95% des supercondensateurs, nous pouvons parler de rendement relativement faible.</footnote>
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Fig. 3.20: Prise en compte des pertes énergétiques dans la chaîne de stockage</figcaption></figure>

### 3.4.3 Conclusion

Dans cette section, nous avons présenté le modèle de synthèse en flux de puissance de la locomotive hybride. Ce modèle est complet car il est basé sur un bilan de puissance complet et rigoureux. Le phénomène d'auto-décharge, perceptible dans la durée, n'a aucun effet immédiat sur les flux de puissance, ce qui nous permet de négliger son implication dans le modèle de dimensionnement énergétique. Les puissances réelles ayant servi au dimensionnement des éléments de stockage sont les puissances $P_{SC}^{rel}$ et $P_{BT}^{rel}$ obtenues après application des rendements des différents éléments traversés par les flux de puissance.

Deux entrées (paramètres de la stratégie de gestion) permettent de balayer les configurations possibles : il s'agit de la puissance nominale du groupe Diesel $P_{GEN}$ et de la fréquence de filtrage $F_{SC}$. Comme nous l'avons souligné plus haut, le choix de la fréquence de filtrage suffit pour déterminer la mission du pack de supercondensateurs et donc son dimensionnement. Le dimensionnement des batteries dépend par contre à la fois de la fréquence de filtrage $F_{SC}$ et de la puissance nominale du groupe Diesel $P_{GEN}$.

## 3.5 Dimensionnement du pack de supercondensateurs

Les supercondensateurs admettent la même limitation de puissance en charge qu'en décharge, ce qui constitue un avantage par rapport aux batteries. En faisant varier la fréquence de filtrage $F_{SC}$, nous modifions directement la mission du pack de supercondensateurs et donc son dimensionnement. Nous établissons ainsi un tableau de correspondance entre la fréquence de filtrage et le nombre $N_{SC}$ de supercondensateurs à embarquer.
Dans cette section, nous abordons le dimensionnement du pack capacitif. Dans la sous-section 3.5.1), nous abordons le calcul des caractéristiques dimensionnantes, à partir de la mission de puissance destinée au pack capacitif. Dans la sous-section 3.5.2, nous montrons en premier lieu l'effet surdimensionnant des pertes énergétiques, puis nous proposons une technique de compensation qui permet d'optimiser le dimensionnement des supercondensateurs. Le dimensionnement du pack capacitif est présenté à la sous-section 3.5.3, puis l'analyse des résultats obtenus pour le démonstrateur LHyDIE est proposée à la sous-section 3.5.4. La dernière sous-section (§3.5.5) vient conclure le dimensionnement des supercondensateurs.

### 3.5.1 Puissance et énergie dimensionnantes

Nous savons maintenant que la puissance réellement transformée en énergie est la mission $P_{SC}^{rel}$. L'étape suivante consiste à déterminer l'évolution du niveau d'énergie dans le pack capacitif.

$$E_{SC}(t) = - \int_{0}^{t} P_{SC}^{rel}(\tau) d\tau \quad (\text{convention décharge positive charge négative}) \quad (3.25)$$

$E_{SC}(t)$ représente une valeur indifféremment positive ou négative, car il s'agit d'une valeur relative du niveau de l'énergie stockée et non d'une quantité réelle d'énergie. La différence entre les extrema positif et négatif de $E_{SC}(t)$ donne l'énergie utile nécessaire à la mission.

$$Eu_{SC} = \max_{t} (E_{SC}(t)) - \min_{t} (E_{SC}(t)) \quad (3.26)$$

Mais l'énergie utile $Eu_{SC}$ ne représente pas la capacité totale de stockage du pack. En effet, pour une utilisation optimale(1), il convient d'utiliser le pack de supercondensateurs entre 25% et 100% de sa capacité totale de stockage. Ce qui correspond à une profondeur de décharge de 75%. Généralement, la profondeur de décharge est désignée par $DoD_{SC}$ signifiant en anglais "depth of discharge". La capacité totale de stockage du pack est alors donnée par :

$$Etot_{SC} = \frac{Eu_{SC}}{DoD_{SC}} \quad (3.27)$$

En plus de cette capacité totale de stockage dont doit disposer le pack de supercondensateurs, il y a aussi la puissance maximale imposée par la mission, qui intervient dans le dimensionnement du pack. Elle est donnée par :

$$P_{scmax} = \max_{t} (|P_{SC}(t)|) \quad (3.28)$$

Le dimensionnement du pack de supercondensateurs consiste donc à déterminer le nombre $N_{SC}$ de supercondensateurs qu'il faut pour stocker une quantité $Etot_{SC}$ d'énergie et pour délivrer une puissance maximale de $P_{scmax}$.

<footnote>(1) Optimale au sens de la durée de vie, mais aussi pour une variation restreinte de la tension du pack $\Delta V \le 50\%$.</footnote>
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Fig. 3.21: Effet des pertes énergétiques sur le dimensionnement des supercondensateurs</figcaption></figure>

### 3.5.2 Compensation des pertes énergétiques

Malgré le bon rendement de la chaîne de stockage capacitive, les pertes énergétiques constituent un handicap significatif au dimensionnement et à l'utilisation optimale des supercondensateurs [41]. Afin de bien mettre en évidence l'effet des pertes énergétiques sur l'utilisation des supercondensateurs, nous avons choisi une mission réelle d'assez longue durée (6 h 30 min).

La figure 3.21 montre l'évolution du niveau d'énergie dans le pack capacitif. Nous distinguons deux cas séparés. La première courbe du niveau relatif de l'énergie stockée est obtenue avec la puissance $P_{SC}$ donc sans les pertes. La deuxième vient de l'intégration de $P_{SC}^{rel}(t)$ donc avec les pertes. Nous observons qu'en présence des pertes, l'énergie stockée, en plus de sa variation rapide au rythme de la dynamique de la mission, subit une chute progressive à mesure que la mission dure. Nous enregistrons un surdimensionnement d'environ quatre fois, dû à la prise en compte des pertes : $Eu_{SC}^{rel} > 4 \times Eu_{SC}$. Nous proposons dans le paragraphe suivant une explication à ce phénomène.

En effet, l'écart entre $E_{SC}^{rel}(t)$ et $E_{SC}(t)$ s'explique par l'accumulation des pertes en charge et en décharge, qui se déduisent implicitement de la réserve d'énergie du pack et entraînent

<footnote>(1) Le symbole "rel" signifie réel c'est-à-dire avec les pertes et non relatif.</footnote>
la chute progressive(1) de son état de charge. Essayons d'établir une relation mathématique entre $E_{SC}^{rel}(t)$ et $E_{SC}(t)$.

Rappelons l'équation Eq.3.22 liant $P_{SC}(t)$ et $P_{SC}^{rel}(t)$.

$$ P_{SC}^{rel}(t) = P_{SC}(t) + \underbrace{\text{pertes}_{CVS}(t) + \text{pertes}_{SC}(t)}_{|p^{+}(t)| \ge 0} \qquad (3.29) $$

En introduisant le calcul des intégrales et en mettant en évidence le fait que les pertes sont toujours positives, nous avons :

$$ \int_{0}^{t} P_{SC}^{rel}(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} P_{SC}(\tau) d\tau + \int_{0}^{t} |p^{+}(\tau)| d\tau \qquad (3.30) $$

Soit, d'après la définition Eq.3.25 :

$$ \underbrace{- \int_{0}^{t} P_{SC}^{rel}(\tau) d\tau}_{E_{SC}^{rel}(t)} = \underbrace{- \int_{0}^{t} P_{SC}(\tau) d\tau}_{E_{SC}(t)} - \underbrace{\int_{0}^{t} |\text{pertes}(\tau)| d\tau}_{e^{+}(t)} \qquad (3.31) $$

Ou plus simplement :

$$ E_{SC}^{rel}(t) = E_{SC}(t) - e^{+}(t) \qquad (3.32) $$

Notons que la fonction $e^{+}(t)$ est l'intégrale d'une quantité positive, donc une fonction croissante du temps. L'équation Eq.3.32 justifie pleinement l'observation du phénomène de la figure 3.21 : l'écart entre $E_{SC}^{rel}(t)$ et $E_{SC}(t)$ se creuse à mesure que la mission dure. Par exemple, avec le rendement moyen de la chaîne fixé à 91%, à chaque cycle de charge et décharge complet, le déficit énergétique est de $2 \times 9\%$, au bout de 50 cycles (ce qui est courant sur une mission journalière), le déficit monte à 180%.

Pour remédier au problème de chute de l'énergie stockée, consécutive aux pertes énergétiques, nous proposons de compenser ces pertes. Il convient tout de même de prendre quelques précautions. En effet, d'après le principe de gestion fréquentielle, chacune des sources doit intervenir dans un domaine de fréquence déterminé. Or, les pertes énergétiques, d'après l'équation Eq.3.24 sont proportionnelles à la mission de puissance $P_{SC}$ et sont donc du domaine fréquentiel supérieur. Faire fournir la compensation des pertes, directement par les batteries et le groupe Diesel, reviendrait à violer le principe du "respect" des domaines fréquentiels. La figure 3.22 montre le modèle de dimensionnement énergétique étudié aux sections §3.3.2 et §3.4.2, auquel nous avons ajouté un système de compensation des pertes. La mission $P(t)$ est filtrée et séparée en deux parties : la partie $P_{HF}$ correspond aux fréquences supérieures et la partie $P_{BF}$ correspond aux basses fréquences.

$$ \left\{ \begin{array}{l} P_{BF}(s) = \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot F_{SC}}{2 \cdot \pi \cdot F_{SC} + s} \right) \cdot P(s) \\ P_{HF}(s) = P(s) - P_{BF}(s) = \left( \frac{s}{2 \cdot \pi \cdot F_{SC} + s} \right) \cdot P(s) \end{array} \right. \qquad (3.33) $$

<footnote>(1)Il est très important de noter le caractère progressif de la chute de l'état de charge du pack capacitif car la solution de compensation est en partie basée sur cet aspect.</footnote>
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Fig. 3.22: Compensation des pertes du pack capacitif</figcaption></figure>

Cette fois, contrairement à ce qui était expliqué à la section §3.3.2, la mission $P_{HF}$ n'est pas directement dirigée vers le pack de supercondensateurs. Elle est utilisée pour estimer les pertes énergétiques ($p^+$) qu'occasionnerait son transfert à travers la chaîne de stockage capacitive.

$$p^+ = \begin{cases} \left( \frac{1}{rd_{SC}} - 1 \right) \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} \ge 0 \text{ (décharge)} \\ (rd_{SC} - 1) \cdot P_{SC} & \text{si } P_{SC} < 0 \text{ (charge)} \end{cases} \qquad (3.34)$$

Ces pertes $p^+$ sont ramenées dans le domaine fréquentiel des batteries et du groupe Diesel, par un filtre passe-bas, afin de respecter le principe de base de la gestion fréquentielle.

$$p_f^+(s) = \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot F_{SC}}{2 \cdot \pi \cdot F_{SC} + s} \right) \cdot p^+(s) \qquad (3.35)$$

Les pertes filtrées $p_f^+$ sont ensuite déduites de la mission des supercondensateurs : c'est la compensation. Puis elles sont rajoutées à la mission des batteries et du groupe Diesel pour que le bilan de puissance soit juste.

$$\begin{cases} P_{GE}(s) = P_{GEN} \\ P_{SC}(s) = P_{HF}(s) - p_f^+ \\ P_{BT}(s) = P_{BF}(s) - P_{GEN} + p_f^+ \end{cases} \qquad (3.36)$$

Les résultats de simulation de ce nouveau modèle en flux de puissance sont montrés à la figure 3.23. La simulation a été faite dans les mêmes conditions que celle de la figure 3.21. Nous observons que les pertes $p^+$ sont effectivement du même domaine fréquentiel que la mission des supercondensateurs. Le filtrage a permis d'adoucir ces pertes avant de les compenser. En comparaison à la courbe d'énergie $E_{SC}^{rel}(t)$ obtenue sans la compensation des pertes (figure 3.21, page 72), nous observons cette fois (figure 3.23) un redressement de la courbe d'énergie $E_{SC}^{rel}(t)$. Il s'ensuit une optimisation de l'énergie utile et donc de la capacité totale de stockage. L'énergie utile, dans les mêmes conditions de simulation,
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Fig. 3.23: Compensation des pertes et optimisation du pack capacitif</figcaption></figure>

est passée de 150 MJ (41.7 kWh) en absence de compensation, à 22 MJ (6.1 kWh) avec la compensation.

En conclusion, nous avons mis en évidence, dans cette sous-section, le fait que des pertes énergétiques de la chaîne de stockage capacitive entraînent un surdimensionnement trop large (4 fois plus dans l'exemple de la mission de 6 h 30 min étudiée). Nous avons mis en œuvre la compensation de ces pertes, sans violer le principe de base de gestion fréquentielle, et obtenu une optimisation de la capacité totale de stockage du pack capacitif.

### 3.5.3 Dimensionnement du pack capacitif

Dans les sous-sections précédentes, nous avons procédé au calcul des paramètres dimensionnants $Etot_{SC}$ et $P_{scmax}$. Dans cette sous-section, nous allons mettre en œuvre le calcul du nombre de cellules de supercondensateurs nécessaire pour satisfaire ces paramètres.

Dans le cadre de ce projet, une étude préalable sur l'état de l'art des supercondensateurs a permis d'identifier un élément intéressant. Il s'agit du supercondensateur B49410B2506Q000 (5000 F/2.5 V) fabriqué par EPCOS. Les caractéristiques complètes de ce supercondensateur sont données à l'annexe C.3. Le tableau 3.1 est un extrait simplifié de la fiche technique de cet élément. L'énergie totale que peut stocker cet élément est donnée par :
<table><caption>Tab. 3.1: Extraits des caractéristiques du supercondensateur EPCOS 5000 F/2.5 V</caption><tr><td>Capacité C<sub>R</sub> (Rated capacitance)</td><td>5000</td><td>F</td></tr><tr><td>Tension nominale V<sub>R</sub> (Rated Voltage)</td><td>2.5</td><td>V</td></tr><tr><td>Résistance série ESR<sub>DC</sub> (element series resistance)</td><td>350</td><td>μΩ</td></tr></table>

$$E_{SC}^{0} = \frac{1}{2} \times C_{R} \times V_{R}^{2} \quad \text{soit :} \quad E_{SC}^{0} = 15.625 \text{ kJ} \qquad (3.37)$$

D'après les spécifications du fabricant (cf. §C.3), la puissance maximale disponible par élément est donnée par la relation :

$$P_{SC}^{0} = \frac{0.12 \times V_{R}^{2}}{ESR_{DC}} \quad \text{soit :} \quad P_{SC}^{0} = 2.142 \text{ kW} \qquad (3.38)$$

La puissance et l'énergie étant des grandeurs sommables(1), un pack de N<sub>SC</sub> éléments est caractérisé par :

$$\begin{cases} P_{SC}^{\text{pack}} = N_{SC} \times P_{SC}^{0} \\ E_{SC}^{\text{pack}} = N_{SC} \times E_{SC}^{0} \end{cases} \qquad (3.39)$$

Pour que les N<sub>SC</sub> éléments satisfassent à la mission caractérisée par (Etot<sub>SC</sub> et P<sub>scmax</sub>), il faut que les conditions suivantes soient respectées :

$$\begin{cases} P_{SC}^{\text{pack}} \geq P_{scmax} \\ E_{SC}^{\text{pack}} \geq Etot_{SC} \end{cases} \qquad (3.40)$$

Soit, d'après l'équation Eq.3.31 :

$$\begin{cases} N_{SC} \times P_{SC}^{0} \geq P_{scmax} \\ N_{SC} \times E_{SC}^{0} \geq Etot_{SC} \end{cases} \qquad (3.41)$$

Ou plus simplement :

$$N_{SC} \geq \max \left( \frac{P_{scmax}}{P_{SC}^{0}}, \frac{Etot_{SC}}{E_{SC}^{0}} \right) \qquad (3.42)$$

Dans cette dernière équation, les contraintes de puissance et d'énergie sont simultanément prises en compte. Nous allons montrer sur un exemple de mission réelle que cette précaution est indispensable. Pour cela, considérons la mission de la figure 3.24a. Pour différentes valeurs de la fréquence de filtrage F<sub>SC</sub>, nous estimons la capacité totale de stockage nécessaire Etot<sub>SC</sub> et la puissance crête P<sub>scmax</sub> imposée au pack de supercondensateurs. Nous introduisons la notion de butée de puissance. La butée de puissance P<sub>butée</sub> correspondant à la puissance limite que peut offrir un pack de capacité totale de stockage Etot<sub>SC</sub>. La

<footnote>(1) Au sens mathématique du terme</footnote>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Fig. 3.24: Prise en compte simultanée des contraintes de puissance et d'énergie.</figcaption></figure>

relation $P_{butée} \Leftrightarrow Etot_{SC}$ est basée sur une simple "règle de trois". Un unique supercondensateur offre $P_{SC}^0$ en puissance et $E_{SC}^0$ en énergie, la butée de puissance d'un pack offrant $Etot_{SC}$ d'énergie s'écrit alors :

$$P_{butée} = \frac{Etot_{SC} \times P_{SC}^0}{E_{SC}^0} \qquad (3.43)$$

Nous avons tracé ces trois caractéristiques en fonction de la fréquence de filtrage, à la figure 3.24b.

Nous observons que pour les fréquences $F_{SC}$ allant de 0.1 mHz à 32 mHz, la butée de puissance $P_{butée}$ est largement supérieure à la puissance crête $P_{scmax}$ imposée par la mission. Dans cette gamme de fréquence, c'est donc la capacité de stockage $Etot_{SC}$ qui est dimensionnante. Par contre, pour les fréquences $F_{SC}$ supérieures à 32 mHz, la butée de puissance
passe en dessous de la puissance crête imposée par la mission et c'est alors cette dernière
qui est dimensionnante. D'où la prise en compte simultanée des contraintes de puissance
et d'énergie dans l'équation Eq.3.42.

3.5.4 Analyse du dimensionnement du pack capacitif

Nous avons réitéré le calcul du nombre de supercondensateurs, tel que formulé par l'équation Eq.3.34, pour chacune des quinze missions spécifiées pour LHyDIE. La figure 3.25 montre le résultat de ces calculs. Remarquons que, pour toutes les missions, le nombre de supercondensateurs augmente de façon exponentielle(1) à mesure que la fréquence de filtrage diminue. En effet, réduire la fréquence de filtrage revient à grossir le contenu énergétique de la mission du pack capacitif et donc le nombre d'éléments. Nous observons également que les courbes N<sub>SC</sub>(F<sub>SC</sub>) se différencient assez nettement d'une mission à l'autre. Ainsi, comme le montre la figure 3.25, pour la valeur de la fréquence de filtrage fixée à 20 mHz, le nombre de supercondensateurs varie de 100 à 500 selon la mission. De même, pour le nombre de supercondensateurs fixé à 500 éléments, la fréquence de filtrage varie de 2 à 20 mHz selon la mission. Cette observation nous a permis de développer le contrôle auto-adaptatif de la fréquence de filtrage présenté au chapitre 5. En effet, une fois le dimensionnement du pack figé, il convient d'optimiser l'utilisation des supercondensateurs en adaptant la fréquence selon les missions.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Fig. 3.25: Dimensionnement du pack capacitif pour chacune des missions</figcaption></figure>

<footnote>(1) Sur la figure, les courbes sont pratiquement linéaires, mais les axes sont à l'échelle logarithmique.</footnote>
### 3.5.5 Conclusion

Dans cette section, nous avons présenté de façon complète le dimensionnement des supercondensateurs. Nous avons notamment présenté le calcul de la capacité totale de stockage du pack de supercondensateurs à partir de sa mission de puissance, la compensation des pertes énergétiques de la chaîne de stockage capacitive pour un dimensionnement optimal. Nous avons aussi procédé au dimensionnement du pack capacitif pour les différentes missions spécifiées dans le cahier des charges. Ce dimensionnement nous a permis d'observer une grande disparité entre les missions. Nous avons retenu pour la suite, qu'une fois le dimensionnement fait, il faudra ajuster la fréquence de filtrage selon les missions pour optimiser l'utilisation du pack de supercapacités.

## 3.6 Dimensionnement du pack de batteries

Le dimensionnement des batteries est très différent de celui des supercondensateurs sur plusieurs aspects. En effet, les batteries, contrairement aux supercondensateurs, n'admettent pas les mêmes limitations de courant en charge qu'en décharge. La prise en compte de cette particularité constitue une difficulté supplémentaire dans le processus de dimensionnement des batteries. A contrario des supercondensateurs, la question de la compensation des pertes énergétiques est complètement transparente dans le processus de dimensionnement des batteries. En effet, la gestion fréquentielle vise par principe à maintenir les batteries au niveau de charge le plus élevé possible. Cela se fait implicitement par le maintien, le plus souvent possible, du groupe Diesel à son régime nominal(1). De fait, la compensation des pertes du pack électrochimique n'est pas nécessaire(2).

Dans cette section, nous abordons le dimensionnement du pack électrochimique. Dans une sous-section introductive (§3.6.1), nous rappelons, en référence à la nouvelle approche de la classification et de la caractérisation des missions ferroviaires proposée à la section 2.4.3 (page 46), les deux missions les plus "sévères" du cahier des charges. L'objectif de ce rappel est de montrer, à travers le dimensionnement des batteries, le bien fondé de cette approche. Ensuite, dans cette même sous-section introductive, nous explicitons la synthèse de la mission du pack de batteries, avec la prise en compte des pertes et la compensation de celles du pack capacitif. Dans la sous-section 3.6.2, nous proposons un balisage dans le plan énergie – puissance des zones de dimensionnement valides, sur la base des limites technologiques inhérentes aux accumulateurs électrochimiques. Dans la sous-section 3.6.3, nous abordons, comme pour les supercondensateurs, le calcul de la capacité totale de stockage du pack de batteries, à partir de la mission destinée à ce dernier. Le couplage des limites technologiques et des besoins en énergie, permet de générer

<footnote>(1) La question de la participation du groupe Diesel sera clarifiée plus loin dans ce rapport. En réalité, le groupe ne peut pas toujours rester à son régime nominal. Lorsque les batteries sont pleines et que la mission est faible (voire nulle), le groupe ne peut que tourner au ralenti ou être éteint. La mission du groupe Diesel n'est véritablement connue qu'après le dimensionnement des batteries.</footnote>

<footnote>(2) Attention, nous ne compensons pas les pertes comme pour les supercondensateurs certes, mais elles sont prises en compte dans la mission du pack de batteries et donc dans son dimensionnement</footnote>
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Fig. 3.26: Les deux dessertes locales dimensionnantes</figcaption></figure>

le graphe de dimensionnement des batteries que nous étudions dans la sous-section 3.6.4. Les résultats du dimensionnement sont analysés dans la sous-section 3.6.5. La dernière sous-section (§3.6.6) vient conclure le dimensionnement des batteries.

## 3.6.1 Introduction au dimensionnement des batteries

Nous avons proposé au chapitre 2 une nouvelle approche de la notion de mission. L'application de cette approche nous a permis d'identifier sur la quinzaine de triages et de dessertes locales du cahier des charges de LHyDIE, deux missions dominantes $m_8$ et $m_{11}^{(1)}$. L'intérêt de l'étude préalable des missions au chapitre 2 est de réduire le nombre de missions au minimum nécessaire et donc de simplifier le processus de dimensionnement de la locomotive. Néanmoins, nous pouvons recourir à l'une ou à l'ensemble des autres missions chaque fois qu'il nous semble utile, notamment pour valider la classification établie au chapitre 2 ou pour mettre en évidence les singularités d'une mission particulière. La figure 3.26 montre les deux missions dominantes (dimensionnantes). La mission $m_8$ est une desserte locale de 46 min qui nécessite en moyenne 200 kW. La mission $m_{11}$ est une mission journalière de 6 h 32 min qui consomme en moyenne 125 kW.

**Remarque:** Afin d'éviter toute surcharge inutile, source de confusion, les notations $P$, $P_{BT}$ et $P_{BT}^{rel}$ pourraient se rapporter à une mission quelconque. En d'autres termes, nous évitons les notations comme $P_{11}$, $P_{BT,11}$ ou $P_{BT,11}^{rel}$ pour signifier que le calcul concerne la mission $m_{11}$ par exemple. Nous indiquons, dès que nécessaire, la mission concernée par une valeur ou un calcul donné.

La figure 3.27 montre, pour la mission de desserte locale $m_8$, l'évolution des différents flux de puissance relatifs au pack de batteries. Notons l'écart relativement important$^{(2)}$ entre le flux de puissance vu depuis l'extérieur du pack ($P_{BT}$) et le flux de puissance réellement transformé en énergie ($P_{BT}^{rel}$). Cet écart est dû aux pertes énergétiques de la chaîne de stockage électrochimique (convertisseurs compris). La figure 3.27 montre aussi l'effet de la

<footnote>$^{(1)}$Nous conservons dans tout ce rapport la même identification des missions qu'à l'annexe A</footnote>

<footnote>$^{(2)}$Le rendement global du pack est estimé à 80%, donc l'écart est de 20%.</footnote>
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Fig. 3.27: Synthèse de la mission des batteries ($F_{SC}$ = 3 mHz, $P_{GEN}$ = 200 kW)</figcaption></figure>

compensation des pertes du pack capacitif sur la mission de la batterie. Étant donné que le groupe Diesel est sollicité systématiquement à sa puissance nominale $P_{GEN}$, la compensation des pertes du pack capacitif est entièrement assurée par le pack de batteries(1). Ceci étant, la compensation des pertes du pack capacitif a un impact relativement limité sur la mission du pack de batteries.

Traditionnellement, les batteries sont utilisées dans des applications où c'est la capacité de stockage et le courant de décharge nominal qui importent. Le courant de charge nominal est très rarement un facteur déterminant. Mais dans une application de véhicule hybridé par du stockage, tous ces paramètres sont déterminants. De plus, il existe des couplages entre certains de ces paramètres. Le processus de dimensionnement des batteries se trouve alors bien plus complexe, dans un contexte d'hybridation, que dans une application classique. Nous proposons, dans la suite de cette section, une technique de dimensionnement qui permet de découpler les différents paramètres dimensionnants et d'optimiser le résultat du processus de dimensionnement.

### 3.6.2 Limites technologiques des batteries

Dans le cadre de ce projet, deux types de batteries ont été envisagées. Dans un premier temps, la SNCF a envisagé d'utiliser la cellule Ni-Zn produite par la société SCPS. Cette cellule est très intéressante pour ses excellentes caractéristiques et son faible impact environnemental (cf. Annexe C.2.2). Mais la production en série de cette technologie a

<footnote>(1) D'où l'intérêt du filtrage des pertes, pour garder la cohérence des domaines de fréquence et éviter de "brusquer" les batteries.</footnote>
été retardée et n'était plus compatible avec le calendrier du projet PLATHEE. La SNCF s'est alors rabattue sur la technologie Ni-Cd dont elle a déjà une grande expérience et ce, malgré un impact écologique problématique (présence du cadmium en particulier) (1). Même si l'étude a été réalisée pour les deux technologies de batterie, nous n'abordons dans ce rapport que le dimensionnement du pack de batteries Ni-Cd. Les caractéristiques de la technologie Ni-Cd sont données à l'annexe C.2.1. Le tableau 3.2 est une version simplifiée de la fiche technique de cet élément. L'énergie totale que peut stocker cet élément est

<table><caption>Tab. 3.2: Extraits des caractéristiques de cellule FNC 1502 HR de Hoppecke</caption><tr><td>Capacité nominale C<sub>5</sub> (à 20°C)</td><td>135</td><td>Ah</td></tr><tr><td>Tension nominale V<sub>0</sub></td><td>1.2</td><td>V</td></tr><tr><td>Courant de décharge nominal I<sub>5</sub></td><td>27</td><td>A</td></tr><tr><td>Courant de charge nominal</td><td>40.5</td><td>A</td></tr></table>

donnée de façon approximative par :

$$E_{BT}^{0} \approx C_{5} \times V_{0} \quad \text{soit :} \quad E_{BT}^{0} \approx 162 \text{ Wh} \qquad (3.44)$$

Les courants nominaux de décharge et de charge spécifiés sont ceux d'une utilisation "nomminale". Pour un véhicule hybride, la batterie est sollicitée dans des limites plus "sévères", ce qui entraîne un vieillissement plus rapide. En accord avec la société Hoppecke, la SNCF a choisi d'utiliser les batteries dans les limites $2.5 \times C_5$ en décharge et $1 \times C_5$ en charge(2), soit, avec la convention générateur :

$$\begin{cases} I_{dch}^{0} = 2.5 \times C_{5} \times h^{-1} \\ I_{ch}^{0} = -1 \times C_{5} \times h^{-1} \end{cases} \qquad (3.45)$$

Soit $I_{dch}^{0} = 337.5 \text{ A}$ et $I_{ch}^{0} = -135 \text{ A}$. En faisant l'approximation de la tension constante(3), les limitations en puissance de décharge et de charge peuvent s'écrire :

$$\begin{cases} P_{dch}^{0} = I_{dch}^{0} \times V_{0} \\ P_{ch}^{0} = -I_{ch}^{0} \times V_{0} \end{cases} \qquad (3.46)$$

Soit $P_{dch}^{0} = 405 \text{ W}$ et $P_{ch}^{0} = -162 \text{ W}$.

<footnote>(1) L'hybridation de LHyDIE avec des batteries NiCd doit être vue comme une étape intermédiaire vers des couples électrochimiques plus respectueux de l'environnement, notamment le NiZn ou le Li-ion</footnote>

<footnote>(2) La notation $n \times C_5$ correspond normalement à une capacité (Ah), mais l'usage veut qu'il s'agisse d'un courant. La notation la plus juste devrait être $n \times C_5/(1 \cdot h)$. La notation $C_5$ est aussi un usage des spécialistes. Elle équivaut à C</footnote>

<footnote>(3) La tension de la batterie varie en fonction de l'état de charge, mais cette variation est tellement faible qu'il est possible de l'assimiler à une tension constante $V_0$ avec une erreur relative de moins de 5% (cf. Annexe C.2.1).</footnote>
Considérons une batterie dimensionnée à une capacité de stockage $E_{BT}$. Les contraintes technologiques imposent une limite en puissance de charge $P_{ch}$ et de décharge $P_{dch}$. Nous allons introduire deux variables $\mu_{dch}$ et $\mu_{ch}$ représentant respectivement le temps minimum de décharge(1) et le temps minimum de charge(2). En considérant un courant de décharge maximum à $2.5 \times C \cdot h^{-1}$ et un courant de charge maximum à $1 \times C \cdot h^{-1}$, nous avons $\mu_{dch} = 0.4 \text{ h}$ et $\mu_{ch} = 1.0 \text{ h}$. Ce sont ces deux nouvelles variables qui lient les puissances et la capacité de stockage(3) (attention à la convention des signes).

$$ \begin{cases} \mu_{dch} \le E_{BT} \times (P_{dch})^{-1} \\ \mu_{ch} \le E_{BT} \times (-P_{ch})^{-1} \end{cases} \qquad (3.47) $$

Soit :

$$ \begin{cases} E_{BT} \ge \mu_{dch} \times P_{dch} \\ E_{BT} \ge -\mu_{ch} \times P_{ch} \end{cases} \qquad (3.48) $$

Ces inéquations délimitent une région dans le plan énergie – puissance, que nous appelons le domaine de validité du dimensionnement des batteries. Nous parlerons de graphe des contraintes technologiques, pour se référer à l'ensemble du plan énergie – puissance contenant le domaine de validité du dimensionnement des batteries. Ce graphe est représenté à la figure 3.28. L'exemple marqué sur le graphe correspond à une batterie de 100 kWh qui peut être — avec les limites en courant de charge et de décharge précédentes — chargée à -100 kW et déchargée à 250 kW.

### 3.6.3 Optimisation de la capacité de stockage du pack de batteries

Dans une mission de batterie, il est important de faire la différence entre les phases de charge et les phases de décharge. Pour le pack de batteries, l'expression "passer la mission" ne signifie pas l'intégration de la mission entière, mais simplement que le pack fournit toute la puissance demandée pendant les phases de décharge (partie positive d'après la convention de signe). Les phases de charge sont certes utiles pour éviter de trop "creuser" l'état de charge des batteries en cours de mission mais leur prise en compte n'est pas une obligation. Cette remarque est très importante car dans les configurations où la puissance nominale du groupe Diesel est élevée, la prise en compte sans discernement de toute l'énergie "stockable" peut conduire à un surdimensionnement excessif du pack de batteries. Pour illustrer ce phénomène, nous allons considérer la mission théorique de batterie $b(t)$ de la figure 3.29(4). Il s'agit d'une mission à moyenne négative, donc à bilan énergétique

<footnote>(1) Le temps minimum de décharge correspond à la durée de décharge à la puissance maximale de décharge, la batterie étant initialement pleine.</footnote>

<footnote>(2) Le temps minimum de charge correspond à la durée de charge à la puissance maximale de charge, la batterie étant initialement vide.</footnote>

<footnote>(3) Les inéquations viennent de l'expression "temps minimum"</footnote>

<footnote>(4) Les symboles ut,up,ue signifient respectivement "unité de temps", "unité de puissance" et "unité d'énergie". Et $ue=5 \times up \times ut$</footnote>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Fig. 3.28: Graph of the constraints technological of the batteries</figcaption></figure>

positif, selon la convention de signe utilisée dans ce rapport. Le calcul of l'énergie (relative) associée à b(t) par integration simple s'écrit :

$$E(t) = - \int_{0}^{t} b(\tau) d\tau \qquad (3.49)$$

L'énergie utile Eu déduite vaut alors 6ue (figure 3.29). Remarquons que le niveau d'énergie initial est plus bas que le niveau final. Cela est dû au bilan énergétique positif de la mission intégrée : toute l'énergie stockée n'a pu pas être utilisée. En d'autres termes, l'énergie utile Eu de 6ue est potentiellement surdimensionnée. Pour un dimensionnement optimal, l'objectif du stockage n'est pas de stocker de l'énergie tant que possible, mais d'en stocker le minimum nécessaire pour passer la mission dimensionnante. Or, le calcul de l'énergie par intégration simple fait exactement le contraire. Mais le surdimensionnement que nous soupçonnons ne transparaît pas de façon évidente sur la courbe de l'énergie E(t) de la figure 3.29. Il est plutôt dissimulé dans cette courbe sans qu'il ne soit vraiment possible de l'identifier de façon visuelle. C'est d'ailleurs toute la subtilité de la question du surdimensionnement que nous essayons de montrer. Nous observons que le niveau final de l'énergie n'est pas ni le plus haut, ni le plus bas atteint, ce qui implique qu'a priori, le fait que ce niveau soit supérieur au niveau initial n'intervient pas dans l'estimation de l'énergie utile (donc dans le dimensionnement) qui ne dépend que des extremums du niveau d'énergie. Et pourtant il y a surdimensionnement. Une seconde piste confirme nos doutes. En effet, l'observation de la courbe de E(t) montre qu'à aucun moment le pack de batteries n'est considéré saturée (plein). Tout se passe comme si toute l'énergie disponible doit être stocké. Or, en pratique, il peut arriver que le pack de batteries soit plein et donc qu'il ne soit plus possible de le charger. L'absence de la prise en compte de la capacité, nécessairement limitée, du pack de batteries est à l'origine du surdimensionnement.
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Fig. 3.29: Calcul de l'énergie par intégration simple</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Fig. 3.30: Calcul de l'énergie par intégration saturée</figcaption></figure>

Nous proposons un calcul plus complexe et plus complet que l'intégration simple qui tient compte, d'une part, du caractère limité de la capacité du pack à dimensionner et d'autre part, du fait qu'il ne sera stocké que l'énergie utile minimale nécessaire à la mission. Pour cela, nous considérons que le dispositif est plein au début de la mission, c'est-à-dire que le niveau de charge initial est le plus élevé possible. Ce niveau est arbitrairement fixé à zéro, dans le cas de notre exemple de la figure 3.30(1). De fait, le niveau de l'énergie ne peut plus dépasser le niveau zéro. Ensuite, pendant la mission, toute demande de puissance

<footnote>(1) Comme il s'agit d'un niveau relatif, sa valeur la plus élevée est quelconque du moment qu'elle est supérieure à tout niveau. C'est l'amplitude crête à crête de la courbe d'énergie qui importe.</footnote>
est satisfaite et entraîne une décharge du pack. La puissance de charge est absorbée tant que le niveau d'énergie est plus bas que le niveau plafond (zéro). Mais lorsque le niveau d'énergie est au plafond (zéro), les phases de charge sont ignorées, jusqu'à ce que le niveau redescende à nouveau, suite à une décharge. Ce processus minimise l'énergie utile sans faillir à la mission. L'algorithme de ce processus est donné à l'annexe B.1, et est symbolisé de la façon suivante :

$$E(t) = - \int_{0 \text{ sat}}^{t} b(\tau) d\tau \qquad (3.50)$$

L'énergie utile calculée avec ce nouvel opérateur est deux fois plus petite que la précédente. Ce qui justifie qu'il y avait surdimensionnement.

### 3.6.4 Complexité du problème : étude de cas

Dans cette section, nous allons procéder à l'étude de trois cas réels. Ces cas sont délibérément choisis afin de mettre en évidence toute la complexité du problème de dimensionnement d'un pack de batteries pour la traction hybride. Dans les trois cas, le rendement du pack rd<sub>BT</sub> est estimé à 81% et la profondeur de décharge Do<sub>BT</sub> est fixée à 50%. Généralement, les batteries embarquées sur des véhicules hybrides sont sollicitées entre 20 et 40% en profondeur de décharge [10, 16, 17]. Une profondeur de décharge de 50% peut donc paraître excessive, mais il y a une raison à cela. En fait, sur les quinze missions du cahier des charges seules les missions m<sub>8</sub> et m<sub>11</sub> que nous avons identifiées comme étant les plus sévères (cf. 2.4.3, page 46), entament le pack de batteries jusqu'à 50%. Les autres missions ont une sollicitation beaucoup plus faible. Nous revenons sur cette question au chapitre 4.

#### ♦ Premier cas

Dans le premier cas, nous considérons la mission m<sub>8</sub> filtrée à 3 mHz. La puissance nominale du groupe Diesel est de 120 kW. La figure 3.31 montre l'évolution des différentes puissances dimensionnantes et de l'énergie stockée. La question de savoir laquelle des deux puissances P<sub>BT</sub> ou P<sub>BT</sub><sup>rel</sup> est choisie pour définir les extrema de puissance en décharge et en charge, n'est pas évidente<sup>(1)</sup>. Remarquons que P<sub>BT</sub> est pénalisante en charge alors que P<sub>BT</sub><sup>rel</sup> devient pénalisante en décharge. Nous tranchons la question en considérant le pire des cas :

$$ \begin{cases} P_{\text{dch}} = \max_{t} (P_{\text{BT}}^{\text{rel}}(t)) \\ P_{\text{ch}} = \min_{t} (P_{\text{BT}}(t)) \end{cases} \qquad (3.51) $$

Soit P<sub>dch</sub> = 486 kW et P<sub>ch</sub> = -120 kW.

La courbe de l'énergie E<sub>BT</sub>(t) est déterminée avec l'algorithme de l'intégration saturée

<footnote><sup>(1)</sup>La véritable puissance devant servir à cette définition est celle qui transite entre les convertisseurs et les éléments de batteries. Or, P<sub>BT</sub> est la puissance en amont des convertisseurs et P<sub>BT</sub><sup>rel</sup> est interne aux batteries, c'est-à-dire en aval de la résistance interne des éléments de batteries.</footnote>
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Fig. 3.31: Cas 1 : Mission $m_8$, $F_{SC} = 3$ mHz, $P_{GEN} = 120$ kW</figcaption></figure>

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Fig. 3.32: Cas 1 : Dimensionnement contraint par l'énergie utile</figcaption></figure>

introduite ci-dessus. Nous obtenons une énergie utile $Eu_{BT}$ de 99 kWh. La capacité totale de stockage s'en déduit par :

$$Etot_{BT} = \frac{Eu_{BT}}{DoD_{BT}} \qquad (3.52)$$

Soit $Etot_{BT} = 198$ kWh.

Reportons maintenant ces valeurs sur le graphe des contraintes établi à la sous-section 3.6.2. La figure 3.32 montre que les limites de puissance -198 kW en charge et 495 kW en
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Fig. 3.33: Cas 2 : Mission $m_{11}$, $F_{SC} = 3$ mHz, $P_{GEN} = 350$ kW</figcaption></figure>

décharge ne sont jamais atteintes. Le dimensionnement énergétique couvre donc les besoins en puissance : nous parlons de dimensionnement contraint par l'énergie utile. C'est le cas le plus sain(1) et le plus optimal(2). Mais, dans le cadre de ce projet où nous explorons l'ensemble des configurations possibles en faisant varier sur une large plage la taille du groupe Diesel, d'autres cas se présentent qui sont plus délicats à traiter.

## ♦ Deuxième cas

Dans le deuxième cas, nous considérons la mission $m_{11}$ filtrée à 3 mHz. La puissance nominale du groupe Diesel est de 350 kW. La figure 3.33 montre l'évolution des différentes puissances dimensionnantes et de l'énergie stockée. $P_{dch}$ et $P_{ch}$ valent respectivement 228 kW et -350 kW. L'énergie utile vaut 33 kWh soit 66 kWh de capacité totale de stockage (à 50% de profondeur de décharge). Reportons ces nouvelles valeurs sur le graphe des contraintes. La figure 3.34 montre que les limites de puissance -350 kW en charge et 228 kW en décharge ne sont pas couvertes par les 66 kWh de capacité de stockage. En d'autres termes, le dimensionnement énergétique ne permet de franchir les seuils de puissance de charge et de décharge imposés par la mission. Comme nous l'avons expliqué plus haut, la décharge est la part de mission la plus contraignante. Il est impératif que la puissance de décharge puisse passer. Nous augmentons donc la capacité de stockage de 66 à 91 kWh afin de passer la puissance crête de 228 kW (228 kW = 91 kWh × 2.5h⁻¹), tout en restant dans la zone de validité du dimensionnement des batteries. À 91 kWh de capacité de stockage, le pack couvre les pics de décharge. Nous parlons alors de dimensionnement contraint par la puissance de décharge. Il reste néanmoins à résoudre le problème de la puissance de charge,

<footnote>(1)Il est logique que la batterie, qui est plutôt le véritable réservoir d'énergie sur la locomotive hybride, soit dimensionnée par le besoin en énergie.</footnote>

<footnote>(2)Nous verrons qu'il difficile de faire mieux.</footnote>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Fig. 3.34: Cas 2 : Dimensionnement contraint par la puissance de décharge</figcaption></figure>

car à 91 kWh de capacité de stockage, le pack ne peut admettre une charge à -350 kW. Ce problème est abordé dans l'exemple qui suit.

### ♦ Troisième cas : correction de la mission du pack de batteries

Le troisième cas ressemble, à une légère différence sur le groupe Diesel près, au deuxième. Nous considérons la même mission $m_{11}$ filtrée à 3 mHz. La puissance nominale du groupe Diesel est réduite à 300 kW au lieu de 350 kW. La figure 3.35 montre l'évolution des différentes puissances dimensionnantes et de l'énergie stockée. $P_{dch}$ et $P_{ch}$ valent respectivement 290 kW et -300 kW. L'énergie utile vaut 59 kWh soit 118 kWh de capacité totale de stockage (à 50% de profondeur de décharge). Reportons ces nouvelles valeurs sur le graphe des contraintes. La figure 3.36 montre que la limite de puissance 295 kW en décharge disponible dans un pack de 118 kWh couvre les besoins en puissance de la mission. Par contre, le point A obtenu (relative à la charge) n'est pas dans la zone de validité. En d'autres termes, le dimensionnement énergétique ne permet pas la charge du pack à la puissance de -300 kW telle que supposée dans la mission. Nous venons ainsi de dimensionner un pack satisfaisant les besoins en énergie et en puissance de décharge mais dont la limitation en puissance de charge ne couvre pas la puissance de charge de la mission.
La première question qui surgit est de savoir s'il est opportun, à l'instar du deuxième cas, d'augmenter la capacité de stockage du pack pour couvrir les puissances crêtes de charge. Cela ferait 300 kWh de capacité de stockage, soit une augmentation de 150%. Sachant que la puissance de charge n'est pas une contrainte absolue, une telle augmentation nous paraît excessive.

La seconde possibilité est d'ignorer les crêtes de puissance et d'écrêter la charge à la limite de -118 kW admissible par le pack de 118 kWh. Mais cette solution, simple en apparence, a
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Fig. 3.35: Cas 3 : Mission $m_{11}$, $F_{SC} = 3$ mHz, $P_{GEN} = 300$ kW</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Fig. 3.36: Cas 3 : Dimensionnement contraint par la puissance de charge</figcaption></figure>

une conséquence immédiate. En effet, en réduisant$^{(1)}$ la puissance de charge nous augmentons l'énergie utile nécessaire. Le pack étant moins chargé en cours de mission, sa capacité

<footnote>$^{(1)}$Attention, la puissance de charge est une grandeur négative. Les verbes "réduire" et "augmenter" utilisés relativement à ce paramètre désignent une action sur sa valeur absolue. Exemple : réduction de -300 à -118 kW. En toute rigueur, nous devrions écrire : augmentation de -300 à -118 kW, mais cela pourrait prêter à confusion.</footnote>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Fig. 3.37: Correction de la mission par écrêtage de la puissance de charge à -118 kW</figcaption></figure>

de stockage doit augmenter pour compenser l'énergie manquante(1).

La figure 3.37 montre l'impact de l'écrêtage à -118 kW de la puissance de charge sur la capacité de stockage. En corrigeant la mission pour prendre en compte la limitation de puissance de charge, nous passons de 59 kWh à 80 kWh en énergie utile, soit 160 kWh au lieu de 118 kWh en capacité de stockage. Finalement, avec une capacité de stockage de 160 kWh, nous passons la mission en limitant la puissance de charge à -118 kW. Nous obtenons alors le point B bien situé dans la zone de validité (figure 3.38).

Mais il subsiste, "en toute subtilité", un léger problème. Comme le montre la figure 3.38, désormais à 160 kWh de capacité de stockage, le pack de batteries couvre largement les puissances de charge écrêtées -118 kW et les puissances de décharge. Mais le point de dimensionnement B obtenu n'est pas optimal car il se situe trop loin de la zone frontalière(2). Concrètement, avec une capacité de stockage à 160 kWh, les possibilités de charge peuvent monter jusqu'à -160 kW. Or nous avions écrêté la charge à -118 kW. Si nous décidons de rehausser les limitations en charge de -118 kW à -160 kW, la capacité de stockage va se réduire(3). Nous pourrions jouer à ce jeu longtemps avant de converger vers un point de dimensionnement optimal.

La situation est résumée à la figure 3.39. Au point A la capacité de stockage $E_A$ n'est pas suffisante car elle correspond à une puissance de charge beaucoup plus élevée (en valeur absolue) qu'elle ne peut admettre. Au point B, la capacité de stockage $E_B$ est suffisante mais pas nécessaire. De fait, il est certain que le point de dimensionnement optimal X se situe entre les points A et B. La caractéristique du point X est la suivante :

<footnote>(1)La règle est simple : plus nous chargeons en cours de mission, moins de batteries nous avons besoin d'embarder.</footnote>

<footnote>(2)Comme dans tout problème d'optimisation, les zones frontalières sont les plus optimales.</footnote>

<footnote>(3)Rappelons la règle : plus nous chargeons en cours de mission, moins de batteries nous avons besoin d'embarder.</footnote>
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Fig. 3.38: Dimensionnement issu de l'écration de la puissance de charge</figcaption></figure>

Lorsque les phases de charge de la mission sont écrêtées à $P_X$, la capacité totale $E_X$ est telle que le point X de coordonnées ($P_X$, $E_X$) se situe dans la zone de validité au plus près de la ligne frontalière. La question qu'il reste à résoudre est de savoir comment déterminer le point X. La détermination du point X passe par une formalisation informatique du problème, puis par l'élaboration d'un algorithme de recherche dichotomique. Ce problème est traité à l'annexe B.3.

Dans cette sous-section, nous avons mis en évidence la complexité du problème de dimensionnement du pack de batteries pour la traction hybride. Les exemples traités nous ont permis d'identifier trois cas possibles. Le premier, le plus simple, est le cas de dimensionnement contraint par l'énergie utile. En l'occurrence, c'est le besoin en énergie qui dimensionne les batteries. C'est le cas le plus fréquent. Le deuxième cas est moins conventionnel que le premier. En effet dans le deuxième cas, le dimensionnement énergétique(1) ne permet pas de couvrir les crêtes de puissance de décharge imposées par la mission. Lorsque l'écart entre la puissance de décharge disponible et celle imposée par la mission est relativement faible, la solution qui s'impose est de rehausser la capacité de stockage jusqu'à satisfaction des contraintes de puissance de décharge. Si, par contre, l'écart entre la puissance de décharge disponible et celle imposée par la mission est trop élevé, il convient de se poser la question de l'adéquation de la mission et du type de stockage (2). Le troisième cas pose un problème beaucoup plus subtil. En effet, la recharge du dispositif de stockage en cours de mission est très précieuse dans un véhicule hybride car elle compense

<footnote>(1) Sur la base du besoin en énergie.</footnote>

<footnote>(2) La prédominance des contraintes de puissance sur le besoin énergétique suppose la nécessité d'aller vers des systèmes de stockage plus denses en puissance comme les volants d'inertie ou les supercondensateurs.</footnote>
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Fig. 3.39: Recherche du dimensionnement optimal</figcaption></figure>

en temps réel l'énergie utilisée et réduit donc les besoins en énergie stockée. Nous avons montré que l'interdépendance entre la capacité de stockage et la limitation en puissance de charge complexifie énormément la recherche du dimensionnement optimal et nécessite un algorithme de recherche opérationnelle.

### 3.6.5 Algorithme de dimensionnement du pack de batteries

Sur la base des différents cas étudiés à la section précédente, nous avons élaboré l'algorithme de dimensionnement des batteries. Comme le montre la figure 3.40, nous avons simplifié au maximum l'algorithme en encapsulant les processus complexes.

**CEUPIS** : Calcule l'énergie utile par intégration saturée. Cet algorithme est étudié à l'annexe B.2. Il permet de calculer l'énergie utile minimum nécessaire pour assurer une mission donnée. Ce processus retourne la capacité de stockage minimum nécessaire qui est proportionnelle, à la profondeur de décharge près, à l'énergie utile.

**COR** : Réalise la correction des missions par simple écrêtage de la puissance de charge à une valeur donnée, comme le montre la figure 3.37. Dans le cas de l'algorithme de la figure 3.40, $P_{BT}^{rel}$ est la mission à corriger et $P_B$ ($P_B<0$) est la puissance maximale de charge.

**RDDO** : Recherche dichotomique du dimensionnement optimal. Cet algorithme résout le problème de l'interdépendance entre la limitation en puissance de charge et la capacité de stockage du pack de batteries. Cet algorithme est abordé à l'annexe B.3.

Nous distinguons globalement trois branches principales conformément aux trois cas étudiés plus haut. Les marquages en "cercles numérotés" nous permettent de décrire les
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Fig. 3.40: Algorithme du dimensionnement des batteries</figcaption></figure>

différents "chemins" de l'algorithme. Les données d'entrée sont : la mission m, la fréquence de filtrage F<sub>SC</sub> et la puissance nominale du groupe Diesel P<sub>GEN</sub>. Dans la partie commune (0) à tous les "chemins", nous faisons la synthèse de la mission du pack de batteries, sur la base des équations Eq.3.33 et Eq.3.36 (page 74). Puis, nous calculons la capacité de stockage avec l'algorithme CEUPIS et les puissances de charge et de décharge maximales.

- Le cas 1 correspond au "chemin" 0 → 1 → 2. La capacité de stockage calculée suffit pour couvrir les besoins en puissance de décharge et en puissance de charge.

$$ \begin{cases} E_{BT} \geq \mu_{dch} \times P_{dch} \\ E_{BT} \geq -\mu_{ch} \times P_{ch} \end{cases} $$

Le processus prend alors fin et E<sub>BT</sub> est retenue comme étant le dimensionnement du pack. C'est le cas de dimensionnement contraint par l'énergie utile.
- Le cas 2 correspond au "chemin" $0 \to 4 \to 5$. La capacité de stockage calculée ne suffit pas pour couvrir la puissance de décharge imposée par la mission.

$$E_{BT} < \mu_{dch} \times P_{dch}$$

Dans ce cas, la capacité de stockage est augmentée jusqu'à couvrir la contrainte de décharge. La nouvelle valeur de la capacité de stockage suffit pour couvrir les besoins en puissance de charge.

$$\begin{cases} E_{BT} = \mu_{dch} \times P_{dch} \\ E_{BT} \geq -\mu_{ch} \times P_{ch} \end{cases}$$

Le processus prend alors fin et $E_{BT}$ est retenue comme étant le dimensionnement du pack. C'est le cas de dimensionnement contraint par la puissance de décharge.

- Le cas 3 correspond au "chemin" $0 \to 1 \to 3$. La capacité de stockage calculée suffit pour couvrir la puissance de décharge imposée par la mission mais ne permet pas de conserver la puissance de charge disponible dans la mission.

$$\begin{cases} E_{BT} \geq \mu_{dch} \times P_{dch} \\ E_{BT} < -\mu_{ch} \times P_{ch} \end{cases}$$

C'est le cas le plus subtil. Retenons que, dans ce cas, nous recherchons par itérations dichotomique la limitation de la puissance de charge qui permet de réduire au mieux la capacité de stockage (cf. Annexe B.3).

Il y a une connection entre les cas 2 et 3 qui peut se produire lorsque l'augmentation de la capacité dans le cas 2 ne résout pas le problème de la puissance de charge. En fin de dimensionnement, la traduction de la capacité de stockage $E_{BT}$ en nombre $N_{BT}$ de cellules de batterie se fait par la relation :

$$N_{BT} \leq \frac{E_{BT}}{E_{BT}^0} < N_{BT} + 1 \qquad (3.53)$$

### 3.6.6 Analyse des résultats du dimensionnement

La figure 3.41 montre l'organisation des données en entrée et en sortie de l'algorithme donné à la figure 3.40. Nous disposons d'un classeur de quinze missions, d'une table de fréquence de valeurs allant de 0.1 mHz à 100 mHz suivant une échelle logarithmique et d'une table de groupes Diesel (puissance nominale) évoluant par pas de 25 kW entre 25 et 600 kW. En sortie du processus, nous obtenons un classeur de quinze tableaux à deux dimensions contenant le nombre de cellules de batterie en fonction de la fréquence de filtrage $F_{SC}$ et de la puissance nominale du groupe Diesel $P_{GEN}$. L'analyse des résultats nous permet, d'une part, de confirmer les conclusions du chapitre 2 sur l'identification des missions $m_8$ et $m_{11}$ comme étant les missions dimensionnantes du cahier des charges, et d'autre part, de comparer l'impact des paramètres $F_{SC}$ et $P_{GEN}$ sur la taille du pack de batteries.
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Fig. 3.41: Données en entrée et en sortie du processus de dimensionnement des batteries</figcaption></figure>

Nous avons étudié à la section §2.2, une nouvelle approche de la notion de mission. Nous avons proposé une application de cette approche, aux missions ferroviaires. Cette application nous a permis d'identifier les missions $m_8$ et $m_{11}$ comme étant les missions dimensionnantes du cahier des charges de la plate-forme de démonstration LHyDIE. Nous avons même pu établir que la mission $m_{11}$ domine quasiment l'ensemble des missions du cahier des charges. La figure 3.42 montre l'évolution du nombre de batteries pour chacune des missions du cahier des charges, en fonction du groupe Diesel pour une fréquence de filtrage de 6.1 mHz(1). Nous notons une dominance globale des dessertes locales sur les triages conformément aux conclusions de la section 2.4.3 (page 46). Il apparaît clairement que les missions $m_8$, $m_{11}$ dominent véritablement les autres missions (surtout $m_{11}$ dont le dimensionnement s'impose aux autres missions). Ces résultats viennent confirmer l'étude de la section 2.3 (page 31). Nous pouvons désormais poursuivre le dimensionnement énergétique à l'aide de la seule mission $m_{11}$.

La figure 3.43 montre, pour la mission dimensionnante $m_{11}$, l'évolution du nombre de batteries(2) en fonction de la puissance nominale du groupe Diesel pour trois valeurs de la fréquence de filtrage 1 mHz, 2 mHz et 100 mHz. La réduction de la puissance nominale du groupe Diesel entraîne une croissance quasi-exponentielle du nombre de batteries. Par contre, la fréquence de filtrage a une influence relativement faible, surtout pour les petits groupes Diesel. Il y a plusieurs raisons à cela : d'une part, le contenu en énergie de la mission filtrée (les harmoniques de fréquences supérieures) reste relativement limité donc la quasi-totalité du contenu en énergie de la mission est assurée par les batteries ; d'autre part, la prédominance du pack de batteries pour les petits groupes Diesel justifie le faible effet de la fréquence de filtrage. L'effet de la fréquence de filtrage est plus perceptible pour les grands groupes Diesel, car la prédominance du pack de batteries se réduit alors.

<footnote>(1) Par souci de simplification, nous nous sommes limités à une seule fréquence de filtrage, mais pour n'importe quelle autre fréquence de filtrage, les positions relatives des courbes restent quasiment les mêmes.</footnote>

<footnote>(2) Attention, afin de provoquer l'écartement des courbes et de faciliter la lisibilité, nous utilisons une double échelle logarithmique (log-log).</footnote>
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Fig. 3.42: Missions dimensionnantes : $F_{SC}$ = 6.1 mHz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Fig. 3.43: Influence des paramètres $F_{SC}$ et $P_{GEN}$ sur $N_{BT}$</figcaption></figure>

### 3.6.7 Conclusion

Nous avons abordé, dans cette section, le dimensionnement du pack de batteries. Nous avons montré la complexité du problème de dimensionnement des accumulateurs électrochimiques, due aux multiples contraintes liée à cette technologie. Les résultats du dimensionnement montrent que, des deux paramètres d'entrée, la puissance nominale du groupe influe nettement plus que la fréquence de filtrage, sur le nombre de batteries.
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Fig. 3.44: Dimensionnement de la plate-forme de démonstration LHyDIE</figcaption></figure>

## 3.7 Dimensionnement de la plate-forme de démonstration LHyDIE

Dans cette section, nous faisons une synthèse du dimensionnement de la locomotive hybride LHyDIE. Nous avons traité jusqu'ici, de façon isolée, le dimensionnement du pack de supercondensateurs et celui des batteries. Le choix de la fréquence $F_{SC}$ détermine le nombre $N_{SC}$ de supercondensateurs à embarquer. Mais c'est le choix, à la fois, de la fréquence $F_{SC}$ et de la puissance nominale $P_{GEN}$ du groupe Diesel qui détermine le nombre $N_{BT}$ de batteries à embarquer. Il est donc possible de lier le triplet ($N_{SC}$, $N_{BT}$, $P_{GEN}$). En d'autres termes, le choix de deux quelconques des membres du triplet ($N_{SC}$, $N_{BT}$, $P_{GEN}$) détermine le troisième et donc une configuration possible de la locomotive. La figure 3.44 montre l'évolution du nombre de batteries en fonction de la puissance nominale du groupe Diesel et du nombre de supercondensateurs.

Nous retenons globalement que le nombre de batteries à embarquer augmente de façon exponentielle(1) lorsque la taille du groupe Diesel décroît.

Précisons quelques points clés, correspondant tous au même nombre de supercondensateurs embarqués, à savoir 1525 :

- avec 300 kW de puissance Diesel, il faudra environ 790 cellules de batteries.

- En passant à 250 kW de puissance Diesel, le nombre de cellules de batteries monte à 1300. Entre le premier point et celui-ci, 50 kW de moins en puissance Diesel, entraîne 510 éléments de batteries en plus;

- avec 200 kW de puissance Diesel, le nombre de batteries s'élève à 2200, soit une augmentation de 900 cellules pour 50 kW de puissance Diesel en moins;

- avec 150 kW de puissance Diesel, soit deux fois moins que le premier point, le nombre de batteries s'élève à 3060 soit 4 fois celui du premier point.

<footnote>(1) L'axe des $N_{BT}$ de la figure 3.44 est à l'échelle logarithmique.</footnote>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Fig. 3.45: Influence énergétique des supercondensateurs sur le reste du système</figcaption></figure>

Nous notons globalement que l'influence des supercondensateurs sur le dimensionnement énergétique des autres sources est relativement faible, surtout pour les petits groupes Diesel. Pour appuyer cette observation, considérons les trois points mis en évidence sur le graphe de la figure 3.44 :

- le point A est caractérisé par : 300 kW de puissance Diesel, 890 batteries et 255 supercondensateurs;

- le point B est caractérisé par : 300 kW de puissance Diesel, 570 batteries et 9700 supercondensateurs;

- et le point C est caractérisé par : 370 kW de puissance Diesel, 570 batteries et 255 supercondensateurs;

Les points A et B correspondant à la même puissance diesel, les comparer entre eux nous permet d'obtenir l'influence des supercondensateurs sur les batteries. Entre les points A et B, nous observons une variation $\Delta N_{BT}$ de 320 éléments de batteries pour $\Delta N_{SC}$ de 9445 éléments de supercondensateurs. soit un rapport :

$$ \frac{\Delta N_{BT}}{\Delta N_{SC}} \approx 34\%/00 $$

Même si ce chiffre n'est rigoureusement valable que localement, il traduit tout de même la faible influence du nombre de supercondensateurs sur le nombre de batterie(1).

Les points B et C correspondant au même nombre de batteries, les comparer entre eux nous permet d'obtenir l'influence des supercondensateurs sur la taille du groupe Diesel.

<footnote>(1)Il n'y a pas de concurrence possible entre supercondensateurs et batteries, en tout cas pas à l'état actuel de l'avancement de ces technologies.</footnote>
Entre les points B et C, nous observons une variation $\Delta P_{GEN}$ de 75 kW pour $\Delta N_{SC}$ de 9445 éléments de supercondensateurs. Il ne fait aucun doute que le nombre de supercondensateurs influe très peu sur la taille du groupe Diesel. La figure 3.45 renforce l'idée que, pour la mission dimensionnante (desserte locale) sur le plan de l'énergie et de la puissance, la présence des supercondensateurs n'a quasiment pas d'influence sur le dimensionnement des autres sources. Pour les petits groupes Diesel (< 250 kW) le nombre de batteries reste quasiment constant, quel que soit le nombre de supercondensateurs. Lorsque les groupes deviennent conséquents (≥ 300 kW), le nombre de batteries se réduisant, l'influence des supercondensateurs devient perceptible.

## 3.8 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté la synthèse du dimensionnement et de la gestion énergétique d'une locomotive hybride. Dans un premier temps, nous avons présenté la caractérisation des différentes sources impliquées dans ce projet. Puis, nous avons proposé une stratégie de gestion dite "fréquentielle" qui permet d'assurer une bonne comptabilité entre les parts de mission et la nature des sources mises en face. Ensuite, nous avons présenté le modèle de synthèse en flux de puissance de la locomotive hybride. Ce modèle basé sur un bilan de puissance complet permet de prendre en compte les pertes du système. Enfin, nous avons présenté les techniques de dimensionnement qui ont permis de procéder au dimensionnement énergétique de la locomotive hybride.

L'approche par synthèse, à l'aide du modèle systémique en flux de puissance et à travers les paramètres de la gestion fréquentielle, nous a permis de balayer une panoplie de configurations possibles du démonstrateur LHyDIE. Mais elle ne fournit aucune indication sur la faisabilité économique et écologique de ces solutions et ne suffit donc pas pour faire le choix de la meilleure configuration. Le chapitre qui suit, aborde l'étude de faisabilité selon les critères de volume, de dégradation temporelle des missions, de coût, de durée de vie et de consommation de fuel.
# Chapitre 4

## Conception systémique séquentielle d'une locomotive hybride : analyse

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté une démarche de synthèse appliquée à la conception d'une locomotive hybride. Cette étude, appliquée au démonstrateur LHyDIE, nous a permis de générer un ensemble de configurations ($N_{SC}$, $N_{BT}$, $P_{GEN}$) susceptibles d'assurer les missions du cahier des charges. Dans ce chapitre, nous présentons la démarche inverse de la synthèse, l'analyse, qui permet d'une part de valider les résultats de la phase de synthèse et d'autre part de finaliser le dimensionnement du démonstrateur LHyDIE. Nous présentons, dans un premier temps, le modèle d'analyse en flux de puissance qui permet de "jouer" les missions du cahier des charges, avec les différentes configurations issues de la synthèse. Une étude de faisabilité est présentée qui permet d'identifier les meilleures configurations selon un jeu de critères. Pour la configuration choisie par la SNCF, nous présentons, à travers un modèle électrique, une analyse plus étoffée qui nous a permis de proposer un dimensionnement plus précis du démonstrateur, par le choix de la tension de bus, le calcul des nombres de cellules de stockage (batteries et supercondensateurs) en série et en parallèle et le dimensionnement des convertisseurs.

Ce chapitre est organisé en plusieurs sections. Dans la première (§4.1), nous présentons le modèle d'analyse en flux de puissance des différentes composantes de la locomotive hybride, puis nous étudions quelques résultats de simulation. La section 4.2 présente les critères de faisabilité considérés dans cette étude. Il s'agit notamment du volume et du coût d'investissement du système, de la dégradation temporelle des missions, de la durée de vie des batteries et de la consommation de fuel. Une étude de faisabilité est ensuite présentée à la section 4.3 qui permet d'identifier les meilleures configurations selon ces critères. A l'issue de cette étude de faisabilité, nous présentons la configuration du démonstrateur choisie par la SNCF. A la section 4.4, nous présentons le calcul des nombres de cellules de stockage en série et en parallèle et le choix de la tension du bus continu, le dimensionnement
des convertisseurs statiques et des éléments passifs associés. Vient ensuite la section 4.5 qui conclut cette phase d'analyse.

## 4.1 Modèle d'analyse en flux de puissance

Dans cette section, nous présentons les modèles d'analyse en flux de puissance des principales composantes de la locomotive. Il s'agit essentiellement du groupe Diesel, du pack de batteries, du pack de supercondensateurs ainsi que de la gestion énergétique. Ces modèles partiels sont ensuite intégrés dans le modèle d'analyse global de la locomotive. Nous présentons aussi, sur la base de simulations, une analyse comportementale du modèle global.

### 4.1.1 Modèle d'analyse en flux de puissance du groupe Diesel

Comme nous l'avons expliqué à la section 3.2.1 (page 54), le modèle comportemental du groupe Diesel admet en entrée, la puissance fournie $P_{GE}$ et la vitesse de rotation du moteur thermique N (tr/min), et en sortie, la consommation spécifique $C_s$ (L/h ou g/kWh) et les émissions polluantes ($CO_2$, $NO_x$, HC, CO et les particules) émises. Les difficultés d'accès aux cartographies, nous ont contraints à limiter notre étude à la consommation et aux émissions de $CO_2$.

Le modèle d'analyse du groupe Diesel est calqué sur le modèle comportemental présenté à la section 3.2.1 (page 54). La présence des batteries permet d'éteindre le groupe Diesel lorsque celui-ci n'est plus sollicité, ce qui réduit les phases de ralenti où la consommation et la pollution sont très mauvaises. De plus, le fonctionnement en marche/arrêt du groupe Diesel permet de réduire les nuisances sonores. Il convient tout de même de prendre quelques précautions pour la mise en oeuvre d'une telle stratégie. En effet, des arrêts et redémarrages trop rapprochés peuvent entraîner l'effet contraire et accélérer le vieillissement de certaines pièces du groupe Diesel(1). Dans ce chapitre, nous considérons que le groupe fonctionne à régime constant, car ce régime est plus facile à mettre en oeuvre(2). Comme le montre la figure 4.1, il y a deux consignes en entrée du modèle : $P_{GE}$ et $MA_{GE}$ représentant respectivement la consigne de puissance et la consigne de marche/arrêt. La consigne de puissance $P_{GE}$ est écrêtée à l'aide d'un bloc de saturation, pour prendre en compte la puissance maximale disponible $P_{GEM}$. Notons que, de façon générale pour un groupe Diesel de puissance nominale $P_{GEN}$, la puissance maximale disponible vaut :

$$P_{GEM} = 1.1 \times P_{GEN} \qquad (4.1)$$

En sortie de cette saturation, nous obtenons la puissance $P_{GE}$ fournie par le groupe Diesel au reste du système. L'intégration de cette puissance nous donne l'énergie totale $E_{GE}$ fournie par le groupe Diesel. L'application du rendement $rd_{GE}$ à la puissance fournie $P_{GE}$

<footnote>(1)Nous y revenons à la section 4.1.4 (à la page 105).</footnote>

<footnote>(2)La mise en oeuvre d'un fonctionnement à régime variable nécessite des cartographies plus complexes dont nous ne disposons pas. Néanmoins, au chapitre 5 où nous développons la gestion énergétique en temps réel du démonstrateur LHyDIE, nous allons présenter un pilotage à régime variable du groupe Diesel.</footnote>
<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>**Fig. 4.1: Modèle d'analyse en flux de puissance du groupe Diesel**</figcaption></figure>

donne la puissance réellement "consommante" $P_{GE}^{rel}$. Le calcul de la consommation se fait à partir de la cartographie de consommation, qui traduit le flux de puissance $P_{GE}^{rel}$ en débit de fuel $C_s$ (L/h). Ce débit de fuel est ensuite traduit par intégration, en quantité de fuel $Q_{fuel}$ (L), ce qui permet de calculer la quantité de CO₂ émise $Q_{CO2}$ (kg).

Par ailleurs, la consigne $MA_{GE}$, ne prenant que deux valeurs possibles (0/1), permet soit de valider ou soit de geler les flux de puissance ou de fuel.

Pour simuler ce modèle, nous avons besoin de connaître la cartographie de consommation. Mais l'accès à une telle cartographie, même pour un seul groupe Diesel, est un véritable "parcours du combattant". Nous ne disposons, dans le cadre ce projet, que de deux cartographies de consommation : celle d'un groupe nouvelle génération de 215 kW et celle d'un groupe plus ancien de 610 kW. Nous présenterons à la section 4.2.4, une extrapolation à partir de ces deux cartographies permettant de contourner le problème des cartographies manquantes.

**Remarque:** Notons que le flux de puissance $P_{GE}^{rel}$ qui correspond à la puissance réellement "consommante" n'est pas une sortie du modèle. En effet cette puissance n'est pas visible de l'extérieur et n'a absolument aucun intérêt en dehors du modèle du groupe Diesel. Par contre, la puissance $P_{GE}$ correspond à la réponse du groupe Diesel à la consigne $P_{GE_{ref}}$.

<footnote>(1) En effet, il est important que ce soit la puissance fournie $P_{GE}$ qui serve au calcul de l'énergie fournie au reste du système et que ce soit la puissance $P_{GE}^{rel}$, intégrant les pertes internes du sous-système groupe Diesel, qui serve au calcul de la consommation. En fait, les pertes internes au sous-système groupe Diesel ne sont pas perçues de l'extérieur, mais se traduisent plutôt par un excès de consommation.</footnote>
### 4.1.2 Modèles d'analyse en flux de puissance du pack de batteries

La cellule de batterie étant caractérisée par sa capacité de stockage $E_{BT}^0$, sa puissance maximale de décharge $P_{dchmax}^0$ et sa puissance maximale de charge $P_{chmax}^0$ (cf. §3.6.2, page 81), les paramètres du pack de $N_{BT}$ batteries se déduisent par :

$$ egin{cases} 
\text{Etot}_{\text{BT}} = N_{\text{BT}} \times E_{\text{BT}}^0 \\ 
\text{P}_{\text{chmax}} = N_{\text{BT}} \times P_{\text{chmax}}^0 & \text{sachant que : } (P_{\text{chmax}}^0 < 0) \\ 
\text{P}_{\text{dchmax}} = N_{\text{BT}} \times P_{\text{dchmax}}^0 
\end{cases} 
\quad (4.2) $$

Le modèle d'analyse en flux de puissance du pack de batteries est donné à la figure 4.2. En entrée, le pack reçoit la consigne de puissance $P_{BTref}$. Cette consigne subit une première saturation liée aux limites technologiques du pack, de façon à ne pas dépasser les limitations de puissance $P_{dchmax}$ et $P_{chmax}$. A l'issue de cette saturation, la mission est séparée en deux parties exclusives et complémentaires : la puissance de charge ($P_{ch}$) d'un côté et la puissance de décharge ($P_{dch}$) de l'autre. A chacune de ces deux parties, est appliqué un contrôle par hystérésis qui permet d'arrêter la charge, lorsque l'état de charge du pack atteint 99% (la charge n'est ré-autorisée qu'en dessous de 97% soit une largeur d'hystérésis de 2%) et d'arrêter la décharge lorsque l'état de charge du pack atteint 30% (la décharge n'est ré-autorisée qu'au-dessus de 32% soit une largeur d'hystérésis de 2%). La sommation des deux flux de puissance permet d'obtenir la puissance $P_{BT}$ fournie par le pack au reste du système. Ensuite, vient l'application du rendement du pack permettant de calculer la puissance $P_{BT}^{rel}$ réellement transformée en énergie. L'énergie stockée $E_{BT}$ est obtenue par intégration de la puissance $P_{BT}^{rel}$.

$$ E_{\text{BT}}(t) = E_{\text{BT0}} - \int_{0}^{t} P_{\text{BT}}^{\text{rel}}(\tau) d\tau \quad (4.3) $$

$E_{BT0}$ est l'état de charge initial du pack(1). L'état de charge $edc_{BT}$ du pack est donné par le rapport de l'énergie stockée $E_{BT}$ sur la capacité totale de stockage $Etot_{BT}$.

Dans ce modèle, il y a deux types de butées : une butée de puissance et une butée d'énergie. La butée de puissance est liée aux limitations de puissance dues aux limites technologiques du pack. Elle est mise en oeuvre à travers le bloc de saturation en entrée du modèle. La butée d'énergie est liée aux limitations de puissance dues à l'état de charge. Elle est mise en oeuvre à travers le contrôle par hystérésis de la charge et de la décharge, en fonction de l'état de charge du pack.

**Remarque:** Comme pour le modèle du groupe Diesel, la puissance $P_{BT}^{rel}$ est interne au modèle et n'est pas visible de l'extérieur. Par contre, la puissance $P_{BT}$ correspond à la réponse de la batterie à la consigne $P_{BTref}$.

### 4.1.3 Modèle d'analyse en flux de puissance du pack capacitif

Le modèle d'analyse en flux de puissance du pack capacitif est pratiquement identique à celui du pack de batteries. La cellule de supercondensateur étant caractérisée par sa capacité

<footnote>(1)Attention, ne pas confondre l'état de charge initial $E_{BT0}$ et la capacité de stockage par cellule $E_{BT}^0$.</footnote>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Fig. 4.2: Modèle d'analyse en flux de puissance du pack de batteries</figcaption></figure>

cité de stockage $E_{SC}^0$ et sa puissance maximale $P_{scmax}^0$ (cf. §3.5.3, page 75), les paramètres du pack de $N_{SC}$ éléments se déduisent par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} Etot_{SC} = N_{SC} \times E_{SC}^0 \\ P_{scmax} = N_{SC} \times P_{scmax}^0 \end{array} \right. \qquad (4.4) $$

Le modèle d'analyse en flux de puissance du pack de supercondensateurs est donné à la figure 4.3. En entrée, le pack reçoit la consigne de puissance $P_{SCref}$. Cette consigne subit une première saturation liée aux limites technologiques du pack, de façon à ne pas dépasser les limitations de puissance $P_{scmax}$ et $-P_{scmax}$. A l'issue de cette saturation, la mission est séparée en deux parties exclusives et complémentaires : la puissance de charge d'un côté et la puissance de décharge de l'autre. A chacune de ces parties est appliqué un contrôle par hystérésis qui permet, pour la puissance de charge, d'arrêter la charge lorsque l'état de charge atteint 99% (la charge n'est ré-autorisée qu'en dessous de 97% soit une largeur d'hystérésis de 2%). Pour la puissance de décharge, elle est mise à zéro lorsque l'état de charge atteint 20% (la décharge n'est ré-autorisée qu'au-dessus de 22% soit une largeur d'hystérésis de 2%). La sommation des deux flux de puissance permet d'obtenir la puissance $P_{SC}$ fournie par le pack au reste du système. Ensuite vient l'application du rendement du pack pour calculer la puissance $P_{SC}^{rel}$ réellement transformée en énergie. L'énergie stockée $E_{SC}$ est obtenue par intégration de la puissance $P_{SC}^{rel}$. L'état de charge $edc_{SC}$ du pack est donné par le rapport de l'énergie stockée $E_{SC}$ sur la capacité totale de stockage $Etot_{SC}$. Comme pour les batteries, il y a deux types de butées : une butée de puissance et une butée d'énergie.

### 4.1.4 Modèle d'analyse en flux de puissance de la gestion

Sur le principe, le modèle d'analyse en flux de puissance de puissance de la gestion énergétique est similaire à son équivalent utilisé pour la synthèse (cf. §3.22, page 74). Nous conservons le principe du filtrage de la mission et le système de compensation des pertes du pack supercapacitif. Mais contrairement au modèle de synthèse, le modèle d'analyse doit gérer, en plus, la consigne de marche/arrêt du groupe Diesel. La figure 4.4 montre
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Fig. 4.3: Modèle d'analyse en flux de puissance du pack capacitif</figcaption></figure>

le modèle d'analyse en flux de puissance de la gestion énergétique. Nous ne reviendrons pas sur les parties communes au modèle de synthèse étudié au chapitre 3. Focalisons-nous sur le bloc "Gestion du groupe Diesel". Ce bloc présente, en entrée, la puissance $P_{BT,GE}$ à partager entre le groupe Diesel et le pack de batteries, et l'état de charge $edc_{BT}$ du pack de batteries. En sortie, le bloc "Gestion du groupe Diesel" produit la consigne $MA_{GE}$ de marche/arrêt du groupe Diesel et le signal de fin de mission FM. La présence du signal de fin de mission nous renvoie, encore une fois, à la problématique de "dégradation temporelle des missions", à laquelle nous avons fait référence au début du chapitre 3 : les batteries devant retrouver leur état de charge initial en fin de mission, le bloc "Gestion du groupe Diesel" prolonge la mission au-delà de sa durée réelle, par une phase de recharge à l'arrêt des batteries. Le signal FM indique la fin de cette phase et donc la fin effective de la mission. Nous revenons plus largement sur cette problématique à la section 4.2.2 de ce chapitre. Malgré la simplicité de son interface avec le reste du système, le bloc "Gestion du groupe Diesel" n'en est pas moins complexe.

La figure 4.5 montre le processus contenu dans le bloc "Gestion du groupe Diesel". Nous qu'en plus des entrées et sorties, il y a quelques variables utiles à la compréhension de l'algorithme de gestion du groupe Diesel.

$t$ contient l'information du temps;

$P_{dchmax}$ est la puissance de décharge maximale admissible par le pack de batteries;

$tmax$ est la durée réelle de la mission en cours;

$dmf$ est la durée minimale de marche avant arrêt (10 min);

$dma$ est la durée minimale d'arrêt avant redémarrage (1 min);

$edc_{BT,i}$ est l'état de charge initial des batteries. Il est fixé à 95%;

$tempo$ variable intermédiaire.

$mar$ variable intermédiaire.

Le processus est constitué de deux étages : un étage de décision et un étage de temporisation. L'étage de décision prend les décisions de mise en marche ou d'arrêt du groupe Diesel et repère la fin effective de la mission. L'étage de temporisation permet d'assurer un fonctionnement cohérent du groupe Diesel, en temporisant les décisions de marche/arrêt de façon à satisfaire les délais nécessaires entre les arrêts et les démarrages successifs.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Fig. 4.4: Modèle d'analyse en flux de puissance de la gestion énergétique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Fig. 4.5: Bloc de gestion du groupe Diesel</figcaption></figure>

L'étage de décision comprend quatre états principaux. Initialement, le processus est dans l'état E0 où le groupe est éteint et la consigne de fin de simulation est mise a zéro. Le processus reste dans cet état jusqu'à ce que l'une des conditions suivantes se produise :

$$C 1 : (t < t_{\text{max}}) \text{ et } (P_{\text{BT,GE}} > P_{\text{dch}} \text{ ou } edc_{\text{BT}} < 90\%) \qquad \text{mar} = 1, \text{FM} = 0 \quad (4.5)$$

$$C 2 : (t \geq t_{\text{max}}) \text{ et } edc_{\text{BT}} < edc_{\text{BT,i}} \qquad \text{mar} = 1, \text{FM} = 0 \quad (4.6)$$

$$C 3 : (t \geq t_{\text{max}}) \text{ et } edc_{\text{BT}} \geq edc_{\text{BT,i}} \qquad \text{mar} = 0, \text{FM} = 1 \quad (4.7)$$
La première condition traduit le fait que, d'une part, la durée réelle de la mission n'est pas encore atteinte et d'autre part, soit le besoin en puissance dépasse la capacité des batteries, soit les batteries sont déchargées en dessous de 90%$^{(1)}$. Cette condition provoque le passage dans l'état E1, où est demandée la mise en marche du groupe Diesel, à travers la variable intermédiaire mar.

De l'état E1, le processus passe à l'état E0 si la mission réelle court encore, si le besoin de puissance passe en dessous de la capacité des batteries et si le niveau de charge des batteries est passé au-dessus de 97% = 90% + 7%. L'hystérésis de 7% permet d'assurer la stabilité de l'algorithme$^{(2)}$.

De l'état E1, le processus passe directement dans l'état final End, si la mission réelle est arrivée au bout et si l'état de charge des batteries passe au-dessus de sa valeur initiale $edc_{BT,i}$.

La deuxième condition traduit le fait que la mission réelle est terminée mais que les batteries sont encore en dessous de leur état de charge initial. Dans ce cas, le processus passe dans l'état E2 où est demandée la mise en marche du groupe Diesel, à travers la variable intermédiaire marche. Dès que l'état de charge initial des batteries est atteint, le processus passe directement à l'état final End.

La troisième condition traduit le fait que la mission réelle est terminée et que les batteries ont retrouvé leur état de charge initial. Le processus passe alors dans l'état final End. Cette branche n'est jamais empruntée à l'initialisation, sauf en cas de mission nulle. Notons que, dans l'état End, le signal de fin de simulation MF est activé (mis à 1).

Le deuxième étage assure la cohérence de la consigne marche/d'arrêt du groupe Diesel perçue à l'extérieur. Il garantit, par un réseau de pétri de temporisation, le respect des temps minimums d'arrêt et de fonctionnement du groupe Diesel. A chaque basculement du réseau de pétri, un compteur permet d'assurer l'écoulement du temps dma (entre le passage de l'état "arrêt" à l'état "marche") et du temps dmf (entre le passage de l'état "marche" à l'état "arrêt"), avant le prochain basculement. Concrètement, le réseau de pétri est initialisé à l'état "arrêt". Lorsque le temps d'arrêt dma s'est écoulé et qu'une demande de mise en marche est initiée par l'étage de décision, c'est-à-dire :

$$ \text{si } t - d > \text{dma et } \text{mar} == 1 \qquad (4.8) $$

le réseau de pétri bascule dans l'état "marche", en faisant l'action :

$$ d = t \text{ et } MA_{GE} = 1 \qquad (4.9) $$

<footnote>(1) Ce niveau de charge peut paraître trop élevé, mais il n'en est rien. En effet, pour ne pas laisser creuser l'état de charge des batteries, nous estimons qu'il faut réagir à partir de 90%. Mais cela ne veut pas dire que la gestion énergétique réussit à maintenir le niveau de charge des batteries au-dessus de 90%, pour toutes les missions, loin de là. Pour une mission difficile, malgré le seuil de réaction de 90%, les batteries se vident quand même, jusqu'à 30%. Par ailleurs, ce seuil permet de recharger régulièrement les batteries, en cours de mission, pour ne pas avoir à les recharger trop en fin de mission et aggraver la dégradation temporelle de la mission.</footnote>

<footnote>(2) Sans l'hystérésis, l'étage de décision peut présenter un "affolement" incontrôlé en basculant rapidement et continûment de l'état E1 à E0, puis de E0 à E1.</footnote>
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Fig. 4.6: Modèle d'analyse en flux de puissance global</figcaption></figure>

De l'état "marche", si le temps de fonctionnement dmf s'est écoulé et qu'une demande de mise en arrêt est initiée par l'étage de décision, c'est-à-dire :

$$ \text{si } t - d > \text{dmf} \text{ et } \text{mar} == 0 \qquad (4.10) $$

le réseau de pétri bascule dans l'état "arrêt", en faisant l'action :

$$ d = t \text{ et } MA_{GE} = 0 \qquad (4.11) $$

### 4.1.5 Modèle d'analyse en flux de puissance global

Le modèle d'analyse en flux de puissance global de la locomotive est présenté à la figure 4.6. Chacun des blocs "sources" reçoit une consigne de puissance de référence, plus la consigne de marché/arrêt pour le groupe Diesel. En sortie, le modèle des packs de stockage produit la puissance fournie par le pack et son état de charge. Le modèle du groupe Diesel produit en sortie la puissance et l'énergie totale fournies par le groupe Diesel, la consommation de fuel et la quantité de CO₂ émise. Le bloc de gestion énergétique prend en entrée la mission de puissance et l'état de charge des batteries, pour calculer les consignes de puissance à l'endroit des sources. En comparaison au modèle de synthèse en flux de puissance de la figure 3.23 (page 75), le modèle d'analyse est bâti sur le même principe. Cependant, le modèle d'analyse semble plus complet et plus riche du fait de la présence des blocs de limitation des flux de puissance et surtout de la complexité du pilotage du groupe Diesel. En fait, les limitations des flux de puissance sont intégrées au processus de synthèse à travers la fonction de correction des missions mise en œuvre à la section 3.6.4 (86) et l'utilisation du processus de calcul de l'énergie par intégration saturée (cf B.2, 218). Par contre, il y a une différence notable entre la gestion du groupe Diesel dans le modèle de synthèse et celle mise en œuvre dans le modèle d'analyse. Cela s'explique par le fait
que certaines données telles la capacité de stockage des batteries, finalités du processus de synthèse, sont indispensables à la mise en œuvre d'une gestion affinée du groupe Diesel. A travers des exemples ciblés, nous proposons, dans cette sous-section, de discuter quelques aspects du comportement du modèle d'analyse.

### ♦ Butée d'énergie du pack de supercondensateurs

Une différence entre la consigne $P_{SCref}$ et la sortie $P_{SC}$ traduirait le fait que la fréquence de filtrage $F_{SC}$ est trop faible et a entraîné une sur-sollicitation des supercondensateurs, qui ont donc failli. Comme le montre la figure 4.7, nous enregistrons des "défaillances" dans la réponse du pack de supercondensateurs. Il s'agit essentiellement de "défaillances" pour cause de butée d'énergie, car avec leur excellente densité de puissance, les supercondensateurs n'atteignent quasiment jamais leur butée de puissance.

### ♦ Butée d'énergie du pack de batteries

La figure 4.8 met en évidence quelques phénomènes intéressants. Il s'agit de la simulation de la mission $m_{11}$ avec la configuration suivante : groupe Diesel choisi à 175 kW nominal de Diesel (soit 193 kW maximal), 2000 supercondensateurs et 1000 batteries. Théoriquement, cette configuration est trop juste pour passer la mission, mais elle permet de mettre en évidence certains comportements du système. La mission $P_{fref}$ représentée est la version filtrée à 2.8 mHz de la mission $m_{11}$ c'est-à-dire la part de mission revenant au groupe Diesel et aux batteries. Dans l'ensemble, avec cette configuration, la mission est plus ou moins passée, sauf aux alentours de la 100ième minute où une portion de la mission n'est pas passée. En effet, cette défaillance s'explique chronologiquement de la façon suivante :

- Comme le montre l'état de charge du pack de batteries, ces dernières ont été sollicitées pendant toute la première phase de la mission. Ce qui fait qu'aux alentours de 100 minutes de mission, l'état de charge des batteries a atteint la limite de 30%. En conséquence, les batteries arrêtent de participer à la mission globale.

- Le groupe étant désormais seul face à une mission qui dépasse sa puissance nominale, la gestion réagit en faisant monter le groupe à sa puissance maximale de 193 kW. Mais, même avec le groupe au maximum, la mission a manqué de puissance, d'où cette défaillance observée.

### ♦ Pilotage en marche/arrêt du groupe Diesel

En second lieu, la figure 4.8 met en évidence un avantage notable de l'hybridation. En effet, sur une locomotive, avec le groupe Diesel comme seule source, ce dernier doit rester en état de marche permanent, même lorsque la locomotive est en arrêt, pour fournir ne serait-ce que la puissance aux auxiliaires. Cela accroît la prédominance des phases de ralenti par rapport aux phases de sollicitations significatives (cf. figure 1.7, page 20). Or, sur une locomotive hybride, le dispositif de stockage introduit une certaine souplesse dans la gestion d'énergie : pendant les phases de faibles demandes avec les batteries pleines, le groupe Diesel est carrément éteint. C'est ce qui se produit aux alentours de 250 minutes de mission sur la figure 4.8. De plus, le groupe Diesel tourne plus souvent à sa puissance nominale, ce qui optimise sa consommation. Cet avantage permet un gain de consommation.
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Fig. 4.7: Butée d'énergie pour fréquence de filtrage inadaptée</figcaption></figure>

tion, de pollution et une réduction des nuisances sonores.

### ♦ La dégradation temporelle des missions

Pour finir avec la figure 4.8, notons qu'en fin de mission, alors que la demande est nulle, le groupe Diesel continue de tourner pour recharger les batteries et les ramener à leur état de charge initial : c'est ce que nous appelons "la dégradation temporelle des missions". Cette problématique est abordée, plus en détails, à la section 4.2.2.

Il nous semble important de préciser que la simulation du modèle d'analyse en flux de puissance se fait avec un pas de calcul d'une seconde (c'est le pas de mesure des missions de puissance) et coûte 1/4000 en temps de simulation, c'est-à-dire que la simulation est 4000 fois plus rapide que le temps réel. Cette rapidité du modèle en flux de puissance nous a permis de simuler pour les 4800 configurations (200 fréquences × 24 groupes Diesel), les 12 heures de missions (les quinze missions du cahier des charges), soit au total 2400 jours de mission, en seulement 15 heures de simulation.

### 4.1.6 Conclusion

Dans cette section, nous avons présenté les modèles d'analyse en flux de puissance du groupe Diesel, du pack de batteries, du pack de supercondensateurs et de la stratégie de gestion. En plus de la prise en compte des pertes, déjà intégrée dans les modèles de synthèse étudiés au chapitre 3, ces modèles sont plus complets et plus détaillés. Ils intègrent notamment, le contrôle statique des niveaux de puissance admissible par les packs, le contrôle dynamique des puissances de charge et de décharge en fonction de l'état de charge des packs, le calcul de la consommation de fuel et des émissions de CO₂, et surtout une version plus détaillée de la gestion énergétique fréquentielle. Les résultats
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Fig. 4.8: Analyse du comportement du groupe Diesel et des batteries</figcaption></figure>

de simulation montrés en exemple témoignent de la cohérence et de la pertinence de ces
modèles. Les résultats de la simulation des configurations issues de la phase de synthèse
nous ont amenés à élaborer les critères de faisabilité ayant permis d'analyser et de comparer
ces configurations entre elles. La section qui suit présente la mise au point de ces critères
de faisabilité.

## 4.2 Critères de faisabilité

Dans cette section, nous présentons les critères de faisabilité selon lesquels ont été ana-
lysées et comparées les différentes configurations issues du dimensionnement énergétique.
Il s'agit, notamment, du volume du système, de la dégradation temporelle des missions, du
coût d'investissement, de la consommation de fuel et de la durée de vie des batteries. Pour
les trois premiers critères, la considération de l'unique mission dimensionnante m₁₁ suffit
à les étudier. Par contre, pour estimer la consommation et la durée de vie des batteries,
nous allons considérer l'ensemble des quinze missions du cahier des charges. Mentionnons
que dans cette section l'utilisation du terme "système"(1) se rapporte aux trois sources
d'énergie et de puissance équipées de leurs convertisseurs et leur "packaging".

<footnote>(1)Ne pas confondre avec le système au sens plus large de la locomotive avec tous ses équipements.</footnote>
### 4.2.1 Volume du système

L'estimation du volume du système intègre les éléments assemblés, les espaces nécessaires entre éléments pour éviter des surchauffes destructrices, les convertisseurs et les systèmes de refroidissement. Nous distinguons les volumes des sous-systèmes groupe Diesel, pack de batteries et pack de supercondensateurs.

#### ♦ Volume du groupe Diesel

Globalement, le volume d'un groupe Diesel (moteur thermique, alternateur et système de refroidissement) dépend de la puissance qu'il peut délivrer. Mais la relation entre le volume et la puissance nominale du groupe Diesel n'est pas linéaire, car il arrive que le même moteur thermique serve à concevoir des groupes Diesel de puissances électriques minimales différentes. Par exemple, le même moteur thermique CURSOR 13 d'IVECO sert à concevoir les groupes Diesel CURSOR 13 TE1 de puissance électrique 263 kW et CURSOR 13 TE2 de puissance électrique 304 kW. Ce qui fait que ces deux groupes, capotés, font le même volume de 8.2 m³. Néanmoins, comme le montre la figure 4.9, une interpolation linéaire est possible avec une erreur relative de moins de 17%. Nous retenons l'équation d'interpolation suivante :

$$Vol_{GE} = 0.03 \times P_{GEN} + 0.09 \qquad (4.12)$$

Le volume VolGE est exprimé en m³ et la puissance PGEN est exprimée en kilowatt. Les données représentées à la figure 4.9 sont issues du catalogue en ligne de 2HEnergy(1).

#### ♦ Volume des packs de batteries et de supercondensateurs

Le volume du pack de batteries compte les NBT éléments de batteries, les convertisseurs et filtres associés et le système de refroidissement. De plus, pour assurer une bonne aération, sans risque de surchauffe, il est conseillé de laisser un espace de quelques centimètres entre les éléments. Une étude prospective auprès des spécialistes d'assemblage de batteries nous a permis d'établir une relation linéaire entre le volume du pack et le nombre de batteries.

$$Vol_{BT} = \lambda_{BT} \times N_{BT} \times Vol_{BT}^{0} \qquad (4.13)$$

$Vol_{BT}^0$ étant le volume d'un élément de batterie. Le paramètre $\lambda_{BT}$ est un coefficient d'assemblage qui prend en compte l'extension de volume due aux espaces inter-éléments, au volume des convertisseurs et au volume du système de refroidissement. $\lambda_{BT}$ peut s'écrire sous forme du produit de deux coefficients :

$$\lambda_{BT} = \lambda_{BT,ass} \times \lambda_{BT,ext} \qquad (4.14)$$

$\lambda_{BT,ass}$ est le coefficient d'assemblage qui tient compte des espaces entre éléments et le volume de matière supplémentaire apportée par le châssis d'assemblage. $\lambda_{BT,ext}$ est le coefficient qui tient compte de l'extension de volume due aux convertisseurs et au système

<footnote>(1) 2HEnergy est une filiale de IVECO Motors. Sur le site www.ivecomotors.com ne figurent que les encombrements du moteur thermique et du système de refroidissement. Nous avons complété ces données en rajoutant les encombrements de l'alternateur.</footnote>
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Fig. 4.9: Interpolation linéaire du volume du groupe Diesel en fonction de sa puissance nominale</figcaption></figure>

de refroidissement. D'après une proposition d'assemblage de Hoppecke(1), 50 éléments de cellules de batteries de type FNC 1502HR (135 Ah) sont stockés dans un châssis d'encombrement 345 mm×1365 mm×792 mm. Sachant que la cellule fait 115 mm×122 mm×309 mm d'encombrement (cf. §C.2.1), nous obtenons :

$$ \lambda_{\text{BT,ass}} = \frac{345\text{mm} \times 1365\text{mm} \times 792\text{mm}}{115\text{mm} \times 122\text{mm} \times 309\text{mm} \times 50} = 1.71 \quad (4.15) $$

L'estimation de $\lambda_{\text{BT,ext}}$ n'est pas évidente, car il est difficile d'estimer le volume des convertisseurs et du système de refroidissement avec les données dont nous disposons à ce stade. En se basant sur l'expérience de la SNCF dans le domaine des batteries, nous avons estimé approximativement ce coefficient à 1.1. En d'autres termes, les convertisseurs et le système de ventilation font 10% du volume des batteries. Ce qui donne :

$$ \lambda_{\text{BT}} = \lambda_{\text{BT,ass}} \times \lambda_{\text{BT,ext}} = 1.71 \times 1.1 = 1.9 \quad (4.16) $$

Quant au pack de supercondensateurs, la détermination de son volume est analogue à celle du volume des batteries. Nous avons établi, avec l'aide de EPCOS(2) qui nous a proposé un pack de 200 éléments de supercondensateurs 5000 F/2.5 V (0.99 L par élément) dans un châssis faisant 468 mm×792 mm×1150 mm, que le coefficient d'assemblage vaut :

$$ \lambda_{\text{SC,ass}} = 2.15 \quad (4.17) $$

<footnote>(1)Producteur de batteries.</footnote>

<footnote>(2)Producteur de supercondensateurs.</footnote>
Sur la base des informations données par ERCTEEL(1), nous avons établi :

$$ \lambda_{SC,ext} = 1.2 \qquad (4.18) $$

D'où :

$$ \lambda_{SC} = \lambda_{SC,ass} \times \lambda_{SC,ext} = 2.15 \times 1.2 = 2.58 \qquad (4.19) $$

Remarquons au passage que les supercondensateurs, du fait de leur forme cylindrique (cf. §C.2.2) ont un coefficient d'assemblage plus important que les batteries qui ont un profil plutôt rectangulaire.

De tout ce qui précède, nous déduisons l'expression du volume du système, pour une configuration ($P_{GEN}$, $N_{BT}$, $N_{SC}$), par :

$$ \mathrm{Vol}_{\Sigma} = \mathrm{Vol}_{GE} + \mathrm{Vol}_{BT} + \mathrm{Vol}_{SC} \qquad (4.20) $$

Soit :

$$ \mathrm{Vol}_{\Sigma} = 0.03 \times P_{GEN} + 0.09 + \lambda_{BT} \times N_{BT} \times \mathrm{Vol}_{BT}^{0} + \lambda_{SC} \times N_{SC} \times \mathrm{Vol}_{SC}^{0} \qquad (4.21) $$

Soit encore, pour des packs de batteries de type FNC 1502HR (135 Ah) faisant 4.33 L l'unité et de supercondensateurs de type EPCOS 5000 F/2.5 V faisant 0.99 L l'unité :

$$ \mathrm{Vol}_{\Sigma}(\mathrm{en} \ \mathrm{m}^3) = 0.03 \times P_{GEN} + 8.2e^{-3} \times N_{BT} + 2.66e^{-3} \times N_{SC} + 0.09 \qquad (4.22) $$

### 4.2.2 Dégradation temporelle

Comme nous l'avons souligné plus haut, l'un des principes du véhicule hybride autonome est que le bilan énergétique du système de stockage est nul, aux pertes près. Ce principe implique que la mission dépend, non seulement du besoin $P(t)$ spécifié par le cahier des charges, mais aussi du recouvrement de l'état initial des éléments de stockage. Ce principe garantit par ailleurs, que toute l'énergie nécessaire à la mission est bien fournie par le groupe Diesel(2). La mise en oeuvre de ce principe entraîne le prolongement de la mission au-delà de sa phase de traction, par une phase passive de recharge des batteries(3). La figure 4.10 est le résultat de simulation de la mission de référence $m_{11}$, avec le jeu de paramètres : $N_{SC} = 3730$ (soit $F_{SC} = 2.2 \text{ mHz}$), $N_{BT} = 3030$, $P_{GEN} = 150 \text{ kW}$. Le pack de batteries est initialement chargé à 95%. Au bout des 6 h 30 min de mission, l'état de charge $edc_{BT}$ est de 67%. La mission se prolonge alors sur plus de 75 min, pendant lesquelles le groupe tourne constamment à 150 kW pour uniquement recharger les batteries et les ramener à leur état initial de 95%. Soit $d_{trac}$ la durée de la phase de traction de la mission et $d_{eff}$ la durée effective, à l'issue de la recharge passive des batteries. L'indicateur de dégradation temporelle s'écrit :

<footnote>(1) Société française spécialisée dans l'intégration des supercondensateurs, pour les systèmes embarqués.</footnote>

<footnote>(2) Cette condition est indispensable à la pertinence de la comparaison des solutions selon le critère de consommation.</footnote>

<footnote>(3) Le retour au niveau initial de l'état de charge des supercondensateurs est automatiquement assuré par la gestion fréquentielle.</footnote>
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Fig. 4.10: Mise en évidence de la dégradation temporelle</figcaption></figure>

$$Ind_{DT} = \frac{d_{eff} - d_{trac}}{d_{trac}} \qquad (4.23)$$

Dans le cas de l'exemple de la figure 4.10, la dégradation temporelle vaut 20%.

### 4.2.3 Coût financier du système

Normalement, le coût financier du système intègre le coût initial des éléments, le coût de développement, l'amortissement des éléments et le coût d'exploitation (carburant compris). Mais à ce stade de la conception, il est difficile de prendre en compte tous ces aspects. Nous y reviendrons plus largement au chapitre 6. Dans ce chapitre-ci, il est question uniquement du coût initial des sources et de l'estimation des coûts de mise en œuvre (assemblage et convertisseurs).

#### ♦ Coût financier du groupe Diesel

Globalement, le coût financier d'un groupe Diesel (moteur thermique, alternateur et système de refroidissement) dépend de la puissance qu'il peut délivrer. En plus du coût catalogue, il faut ajouter les frais de mise en oeuvre (capotage, filtre à particules, modifications pour intégration sur une locomotive,...). Une recherche sur catalogue nous a permis d'établir, par interpolation, comme le montre la figure 4.11, avec moins de 15% d'erreur, la relation suivante, entre le coût standard (sans prestations) et la puissance nominale :

$$Cout_{ge, std} = 0.121 \times P_{GEN} + 6.274 \qquad (4.24)$$
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Fig. 4.11: Coût standard (sans prestations) du groupe Diesel en fonction de la puissance</figcaption></figure>

$Cout_{ge, std}$ est en k€ et $P_{GEN}$ en kW.

En considérant les prestations pour un groupe de 250 kW, le coût complet passe de 36.74 k€ à 85 k€. Nous pouvons alors généraliser l'expression du coût complet par :

$$Cout_{GE} = \alpha_{ge,cout} \times Cout_{ge, std} \qquad (4.25)$$

Avec $\alpha_{ge,cout} = 85000/36740 = 2.31$. D'où :

$$Cout_{GE} = 0.28 \times P_{GEN} + 14.5 \qquad (4.26)$$

Nous précisons que ces relations ne sont valables que localement (entre 50 kW et 600 kW). Il n'est pas question de les généraliser à d'autres gammes de puissance.

### ♦ Coût financier du pack de batteries et du pack de supercondensateurs

Le coût, assemblage compris, d'un pack de 290 éléments de batteries FNC 1502 HR (135 Ah) est de 66.200 k€. Le coût standard, assemblage compris, du pack peut s'écrire :

$$Cout_{bt, std} = 0.228 \times N_{BT} \qquad (4.27)$$

Une estimation sur la base d'un hacheur de trois bras(1) nous a permis d'estimer le coût du convertisseur pour un pack de 290 éléments à 5 k€ environ. Ce qui correspond à une extension de coût, par rapport au pack assemblé sans convertisseur, de $\alpha_{bt,cout} = (66.2+5)/66.2 = 1.07$. Nous pouvons alors écrire :

$$Cout_{BT} = \alpha_{bt,cout} \times Cout_{bt, std} \qquad (4.28)$$

<footnote>(1) IGBT-Dual FF450R12ME3 (3×96€), Driver 2ED300C17ST (3×73€), carte MA-Econodual (3×19.6€), induction (3×500€) : soit 2065€ par convertisseur. En considération une extension de coût de 2.31 pour le développement et l'intégration, nous obtenons 4770€. Grosso modo, nous avons estimé le coût du convertisseur pour un pack de 290 éléments à 5 k€.</footnote>
Soit :

$$ \text{Cout}_{\text{BT}} \text{(en k€)} = 0.244 \times \text{N}_{\text{BT}} \qquad (4.29) $$

De même, en tenant compte du prix unitaire de 140€ du supercondensateur 5000 F/2.5 V, nous avons établi :

$$ \text{Cout}_{\text{SC}} = \alpha_{\text{sc,cout}} \times \text{Cout}_{\text{sc std}} \qquad (4.30) $$

Soit :

$$ \text{Cout}_{\text{SC}} \text{(en k€)} = 0.150 \times \text{N}_{\text{SC}} \qquad (4.31) $$

Le coût global du système ($N_{\text{SC}}$, $N_{\text{BT}}$, $P_{\text{GEN}}$) s'écrit :

$$ \text{Cout}_{\Sigma} = \text{Cout}_{\text{GE}} + \text{Cout}_{\text{BT}} + \text{Cout}_{\text{SC}} \quad \text{avec :} \quad \begin{cases} \text{Cout}_{\text{GE}} \text{(en k€)} = 0.28 \times P_{\text{GEN}} + 14.5 \\ \text{Cout}_{\text{BT}} \text{(en k€)} = 0.244 \times N_{\text{BT}} \\ \text{Cout}_{\text{SC}} \text{(en k€)} = 0.150 \times N_{\text{SC}} \end{cases} \qquad (4.32) $$

Soit :

$$ \text{Cout}_{\Sigma} \text{(en k€)} = 0.28 \times P_{\text{GEN}} + 14.5 + 0.244 \times N_{\text{BT}} + 0.150 \times N_{\text{SC}} \qquad (4.33) $$

Il faut évidemment considérer ces coûts comme des tendances très approximatives. Le développement des filières industrielles (effet de nombre) notamment autour du véhicule électrique pur ou hybride est susceptible d'engendrer de fortes évolutions.

### 4.2.4 Consommation de fuel

L'estimation du critère de consommation pose deux difficultés majeures. D'une part, sur les 24 possibilités de groupe Diesel, nous ne disposons que d'une cartographie de consommation (celle du groupe de 215 kW). D'autre part, contrairement aux autres critères qui ne nécessitent que la prise en compte de la mission dimensionnante $m_{11}$, la consommation n'a de sens que si elle est rapportée à l'ensemble, éventuellement pondéré, des missions. Ce qui implique une simulation pour chacune des quinze missions du cahier des charges, par configuration.

Pour contourner la dernière difficulté, nous considérons que chacune des missions a la même probabilité d'occurrence, ce qui règle le problème de la pondération des missions. Nous simulons séparément chacune des quinze missions, pour 4800 configurations possibles. La consommation totale de fuel $Q_{\text{tfuel}}$ est rapportée à l'énergie totale $Q_{\text{tenj}}$ consommée par les missions, pour donner l'indicateur de consommation de fuel$^{(1)}$.

$$ \text{Ind}_{\text{CF}} = \frac{Q_{\text{tfuel}}}{Q_{\text{tenj}}} \qquad (4.34) $$

<footnote>(1) L'indicateur de consommation de fuel est équivalent à une consommation spécifique, c'est-à-dire le coût en litre (ou en g) de fuel, du kilowatt-heure d'énergie.</footnote>
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Fig. 4.12: Consommation spécifique nominale de quelques groupes Diesel</figcaption></figure>

Reste à résoudre le problème des cartographies manquantes. Pour résoudre ce problème, nous avons procédé à une extrapolation. Notre raisonnement se base sur l'hypothèse suivante :

**Hypothèse:** Nous considérons que le "motif" de consommation spécifique adimensionnel(1) $C_S$(en %$C_{Sn}$) → $P_{GE}$(en %$P_{GEN}$) est commune à tous les groupes Diesel concernés par cette étude. Ainsi, connaissant la cartographie complète d'un groupe et la consommation spécifique nominale des autres, nous pouvons déterminer l'ensembles des cartographies manquantes.

Dans la réalité, les choses sont beaucoup plus compliquées : d'une part, au ralenti, un grand groupe Diesel consomme beaucoup plus d'un petit et d'autre part, lorsqu'on change de technologie ou de réglages, le motif de consommation spécifique adimensionnel des moteur thermique peut changer. Néanmoins, nous pouvons minimiser les effets du changement de technologie en ne considérant que des groupe Diesel d'une même technologie avec des réglages identiques. Par ailleurs, sachant que la gestion énergétique fréquentielle réduit les phases de ralenti du groupe Diesel, nous estimons que l'erreur sur la consommation au ralenti a un effet relativement faible sur la consommation globale.

### ♦ Consommation spécifique nominale

La consommation spécifique nominale d'un groupe Diesel dépend des réglages de ce dernier. Or, selon l'utilisation à laquelle ils sont destinés les groupes Diesel ont des réglages

<footnote>(1)Il s'agit d'une notion que nous avons introduite pour faciliter le traitement du problème des cartographies manquantes. Il s'agit de la cartographie de consommation ramenée à dans un repère adimensionnel. Cette notion est explicitée plus bas.</footnote>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Fig. 4.13: Cartographie de consommation d'un groupe Diesel de 215 kW électrique</figcaption></figure>

très différents : Les locomotives Diesel passant beaucoup de temps au ralenti embarquent des groupes Diesel réglés de façon à optimiser leur fonctionnement au ralenti. Les données disponibles dans les catalogues des constructeurs montrent qu'il n'existe aucune relation entre la taille du groupe Diesel et sa consommation spécifique nominale. Sur le site internet de 2HEnergy(1), pour les moteurs thermiques entre 60 kW et 610 kW, la consommation spécifique nominale évolue de façon dispersée entre 192.2 g/kWh et 212.7 g/kWh. Comme le montre la figure 4.12, nous pouvons considérer une consommation spécifique moyenne de 202.45 g/kWh (avec une erreur relative de 5%).

## ♦ Motif de consommation spécifique adimensionnel

Considérons l'exemple de la cartographie de consommation d'un groupe Diesel de 215 kW électrique. Cette cartographie est donnée à la figure 4.13. Afin d'alléger la démarche d'estrapolation, nous considérons un fonctionnement en régime constant à 1500 tr/min. Les données de la cartographie nous permettent d'établir la courbe de consommation de la figure 4.14. Nous normalisons la consommation spécifique $C_S$ par sa valeur au point nominal ($C_{Sn}$) et la puissance fournie par la puissance nominale. Ce qui donne deux grandeurs adimensionnelles $\gamma_{csr}$ et $\gamma_{pfr}$ que nous appelons respectivement : consommation spécifique réduite et puissance fournie réduite.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \gamma_{csr} = \frac{C_S}{C_{Sn}} \\ \gamma_{pfr} = \frac{P_{GE}}{P_{GEN}} \end{array} \right. \qquad (4.35) $$

<footnote>(1) Filiale d'IVECO : www.ivecomotors.com</footnote>
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Fig. 4.14: Courbe de consommation à régime constant d'un groupe de 215 kW</figcaption></figure>

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Fig. 4.15: Motif de consommation spécifique adimensionnel d'un groupe de 215 kW</figcaption></figure>

La figure 4.15 montre le tracé de $\gamma_{ CSR }$ en fonction de $\gamma_{ Pfr }$ ; c'est cette courbe que nous appelons "motif de consommation spécifique adimensionnel". D'après l'hypothèse faite plus haut, cette courbe est identique pour tous les groupes Diesel concernés par notre étude. Il va de soi que la réalité est légèrement différente, mais cette hypothèse nous permet de contourner le manque de données. Il convient néanmoins de montrer sur quelques autres exemples, que cette hypothèse n'est pas absurde. Notons pour la suite, que le "motif" adimensionnel de la figure 4.16 est assimilable à un polynôme de degré 5.

$$ \gamma_{ CSR } = -5.58(\gamma_{ Pfr })^{5} + 19.72(\gamma_{ Pfr })^{4} - 27.22(\gamma_{ Pfr })^{3} + 18.57(\gamma_{ Pfr })^{2} - 6.44\gamma_{ Pfr } + 1.94 \quad (4.36) $$
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Fig. 4.16: Validation du motif adimensionnel sur deux groupe Diesels témoins</figcaption></figure>

Ou plus simplement : Nous écrivons littéralement :

$$ \gamma_{csr} = \sum_{i=0}^{i=5} b_i \cdot (\gamma_{pfr})^i \qquad (4.37) $$

$$ \text{avec : } b_0 = 1.94, b_1 = -6.44, b_2 = 18.57, b_3 = -27.22, b_4 = 19.72, b_5 = -5.58 $$

Considérons les groupes Diesel d'IVECO N67 TM2A de 125 kW et C13 TE2S de 335 kW, dont nous connaissons les consommations au point de puissance 100%, 80%, et 50%$^{(1)}$. La figure 4.16 montre les écarts entre le motif adimensionnel et les points de consommation de ces deux groupes. Nous obtenons une erreur relative de moins de 2%. En toute rigueur, la validité du motif adimensionnel n'est prouvée que pour des niveaux de puissance entre 50 et 100%. Mais, faute de données complémentaires, nous étendons sans aucune justification supplémentaire cette validité, à l'intervalle 0% à 100%. Nous considérons qu'étant donné que le motif adimensionnel est issu de données réelles concernant un groupe de 215 kW et qu'il coïncide, à 2% près, aux données réelles des groupes Diesel de 125 et 335 kW, ce motif est suffisamment vraisemblable pour être utilisé pour l'estimation de la consommation des groupes étudiés dans ce rapport.

Au final, avec la consommation spécifique nominale moyenne estimée avec une tolérance de 5% à $C_{Sn} = 202.45$ g/kWh et avec l'hypothèse du "motif" adimensionnel de consommation spécifique unique, nous pouvons déduire la courbe de consommation pour tous les

<footnote>(1)Ces données sont disponibles sur le site internet de IVECO Motor www.ivecomotors.com.</footnote>
groupes Diesel considérés dans ce projet. D'après les équations Eq.4.35 et Eq.4.37, nous avons :

$$ \frac{C_S (P_{GE})}{C_{Sn}} = \sum_{i=0}^{i=5} b_i \cdot \left( \frac{P_{GE}}{P_{GEN}} \right)^i \qquad (4.38) $$

Soit :

$$ C_S (P_{GE}) = \sum_{i=0}^{i=5} c_i \cdot (P_{GE})^i \qquad (4.39) $$

$$ \text{avec : } c_i = \frac{b_i \cdot C_{Sn}}{P_{GEN}^i} $$

### 4.2.5 Durée de vie des batteries

Les batteries sont les éléments les plus fragiles du système d'une part, à cause de leur durée de vie assez limitée et d'autre part, à cause de leur coût élevé. De plus, l'environnement, surtout la température ambiante, a un effet important sur leur durée de vie [3]. Pour ce qui nous concerne, dans cette phase de conception, nous supposons que les batteries sont équipées de système de ventilation qui garantit une bonne température de fonctionnement. Les limitations de courant de charge et de décharge étant respectées, le seul facteur d'influence de la durée de vie des batteries reste la profondeur de décharge et le nombre de cycles [42, 43, 44, 45].

◆ **Nombre de cycles disponibles en fonction de la profondeur de décharge**
La figure 4.17 montre un réseau de courbes expérimentales donnant le nombre de cycles

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Fig. 4.17: Graph experimental of life of a NIMH cell</figcaption></figure>
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Fig. 4.18: Graph theoretical model of battery life of a NiCd cell</figcaption></figure>

disponibles dans une cellule de batterie de type NiMH, en fonction de la profondeur de décharge des cycles et de la température. Ces courbes sont fournies par un fabricant de batteries<sup>(1)</sup>.

Dans son article "Optimal battery/ultracapacitor storage combination" paru en janvier 2008, William Henson [46] a établi que, quelle que soit la technologie de batterie, le nombre de cycles disponibles $C_F$ ("cycles to failure") pour une profondeur de décharge DoD donnée s'écrit :

$$C_F = a_1 + a_2 \cdot e^{a_3 \cdot \text{DoD}} \quad (4.40)$$

Mais pour des raisons de stratégie commerciale les fabricants refusent de données les paramètres de ce modèle. Le recouplement de données extraites des l'articles de William Henson [46] et A.J. Ruddella [45] et des données disponibles sur le site du distributeur américain DC Battery Specialists<sup>(2)</sup> nous a permis d'établir la courbe théorique de durée de vie d'une cellule NiCd. Cette courbe est montrée à la figure 4.18. La validité de cette courbe n'est pas expérimentalement établie : par exemple le nombre de cycles de 80% disponible sur le graphe est de 1800, ce qui est assez proche des prédictions de 2000 cycles de 80% garanties par Hoppecke. L'erreur relative en ce point est de 10%. La fonction d'interpolation du graphe de durée de vie des cellules NiCd s'écrit :

$$C_F(\text{DoD}) = 966 \times \text{DoD}^{-2.37} \quad (4.41)$$

<footnote><sup>(1)</sup>Pour des raisons de confidentialité, nous tairons le nom du fabricant.</footnote>

<footnote><sup>(2)</sup>DC Battery Specialists : www.dcbattery.com</footnote>
Par exemple, à DoD = 1 (100%), le nombre de cycles disponibles vaut : $C_F$ = 966 cycles. Considérons la notion de "cycle-entier" comme étant l'unité de base de la durée de vie des batteries : 1 cycle-entier vaut un cycle de profondeur DoD = 100%. A partir de la relation Eq.4.41, nous pouvons établir la valeur en nombre de "cycles-entiers" correspondant à une profondeur de décharge donnée.

$$ Pcy(DoD) = \frac{C_F(1)}{C_F(DoD)} = DoD^{2.37} \qquad (4.42) $$

Pcy ("Poids des Cycle") évalue l'importance (la pondération) d'un cycle de profondeur quelconque par rapport à un cycle-entier (cycle de 100%). Par exemple, le poids d'un cycle de DoD = 80% est de Pcy = 0.6 cycle-entier, ce qui signifie qu'un cycle de 80% vaut 60% d'un cycle-entier (et non 80% d'un cycle-entier comme on pourrait penser).

Le calcul du poids des cycles par intervalle de profondeurs de décharge est donné ci-dessous. Signalons que le calcul est fait pour le point milieu de chaque intervalle de profondeurs de décharge.

### ♦ Comptage des cycles

<table><caption>Tab. 4.1: Pondération des cycles selon leur profondeur de décharge</caption><thead><tr><th>Classes i</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><th>Intervalles (DoD)</th><td>[1, 10]</td><td>[10, 20]</td><td>[20, 30]</td><td>[30, 40]</td><td>[40, 50]</td><td>[50, 60]</td><td>[60, 70]</td><td>[70, 80]</td><td>[80, 90]</td><td>[90, 100]</td></tr><tr><th>Poids Pcy<sub>i</sub></th><td>0.001</td><td>0.011</td><td>0.037</td><td>0.083</td><td>0.150</td><td>0.242</td><td>0.359</td><td>0.505</td><td>0.680</td><td>0.885</td></tr></tbody></table>

L'exploitation du tableau de pondération ci-dessus nécessite la connaissance du profil de

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Fig. 4.19: Profils de l'état de charge des batteries pour deux configurations données</figcaption></figure>
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Fig. 4.20: Dénombrement des cycles selon leur profondeur de décharge</figcaption></figure>

l'état de charge des batteries. La figure 4.19 montre, pour deux configurations choisies à titre d'exemples, les profils de l'état de charge des batteries, sur la mission dimensionnante $m_{11}$.

Mais les profils de l'état de charge ne sont pas directement exploitables. En effet, l'utilisation du graphe de prédiction de la durée vie des batteries ( figure 4.18) suppose le dénombrement des cycles selon leur profondeur de décharge. Or, dans les profils de l'état de charge, les cycles sont "enchevêtrés" les uns dans les autres : comme le montre la figure 4.19, un cycle d'une certaine amplitude peut contenir des cycles de plus faible amplitude (microcycles). Le comptage des cycles est donc un problème informatique considérablement complexe : nous avons mis au point et éprouvé par des exemples concrets un algorithme qui résout ce problème. Afin d'éviter de nuire à la clarté de ce rapport, avec un problème informatique, nous avons choisi de traiter cet algorithme complexe en annexe (Annexe D). Retenons ici que cet algorithme fait le dénombrement des cycles selon leur profondeur de décharge d'après le principe suivant : Par exemple, pour estimer le nombre de cycles dont la profondeur de décharge se situe entre 20% et 30%, nous commençons par filtrer le profil de profondeur de décharge en éliminant tous les cycles de moins de 20%, puis nous comptons sans discrimination tous les cycles restant quelle que soit leur profondeur de décharge, ce qui nous donne un nombre $n_{20}$ de cycles. Ensuite, nous refiltrons le profil de profondeur de décharge en éliminant, cette fois, tous les cycles de moins de 30%, puis nous comptons à nouveau sans discrimination tous les cycles restant quelle que soit leur profondeur de décharge, ce qui nous donne un nombre $n_{30}$ de cycles. La différence $n_{30} - n_{20}$ correspond au nombre de cycles recherché.
A l'issue de ce processus, nous obtenons l'histogramme des cycles subis par les batteries. Reprenons les exemples de la figure 4.19 : la figure 4.20 montre pour ces deux configurations le dénombrement des cycles selon leur profondeur de décharge. Ces histogrammes résument le vécu des batteries pendant la mission concernée, compte tenu des configurations choisies.

### ♦ Indicateur de durée de vie

Nous disposons, d'une part, d'un tableau de pondération des cycles selon leur profondeur. D'autre part, nous avons élaboré un algorithme qui identifie selon leur profondeur, le nombre de cycles équivalent subis (Ncy) par chaque cellule de batterie sur une mission donnée. Le croisement de ces deux séries de données permet d'obtenir le tableau de statistiques ci-dessous.

Le nombre total de cycles-entiers subis par chaque cellule de batterie sur cette mission

<table><caption>Tab. 4.2: Pondération des cycles selon leur profondeur de décharge</caption><thead><tr><th>i</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><th>(DoD)</th><td>1, 10</td><td>10, 20</td><td>20, 30</td><td>30, 40</td><td>40, 50</td><td>50, 60</td><td>60, 70</td><td>70, 80</td><td>80, 90</td><td>90, 100</td></tr><tr><th>Pcy<sub>i</sub></th><td>0.001</td><td>0.011</td><td>0.037</td><td>0.083</td><td>0.150</td><td>0.242</td><td>0.359</td><td>0.505</td><td>0.680</td><td>0.885</td></tr><tr><th>Ncy<sub>i</sub><br>(config.1)</th><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>Ncy<sub>i</sub><br>(config.2)</th><td>5</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

s'écrit alors :

$$nce_{cell} = \sum_{i=1}^{i=10} Ncy_i \cdot Pcy_i \quad (4.43)$$

Dans le cas de nos deux exemples de configuration, nous avons :

$$ \begin{cases} nce_{cell}(config.1) = 0.001 \times 6 + 0.011 \times 1 + 0.150 \times 1 = 0.167 \text{ cycle-entier} \\ nce_{cell}(config.2) = 0.001 \times 5 + 0.037 \times 1 + 0.359 \times 1 = 0.401 \text{ cycle-entier} \end{cases} \quad (4.44) $$

Ce résultat paraît cohérent car, visiblement, les batteries de la configuration 2 sont plus sollicitées que celles de la configuration 1. Mais cette information n'est pas suffisante pour donner une indication de durée de vie, donc de coût-batterie(1). L'indicateur de durée de vie reflète l'ensemble des cycles-batteries consommés. En d'autres termes, si 100 batteries subissent 2 cycles-entiers chacune, alors le nombre total de cycles-batteries consommé est égal à 200. Plus encore, sur la base de ce principe, la situation où 100 batteries subissent chacune 2 cycles-entiers est vue comme équivalente à celle où 2 batteries subissent chacune

<footnote>(1) Nous estimons que la notion de durée de vie n'a de sens que si elle est rapportée à un coût. Par exemple, 1000 batteries ayant subi 5 cycles-entiers reviennent plus chères que 500 batteries ayant subi 9 cycles-entiers. En résumé, on pourrait considérer qu'un industriel achète des "cycles-batteries" plutôt que les batteries elles-mêmes.</footnote>
100 cycles-entiers.

L'indicateur de durée de vie (ou du coût-batterie, ou le nombre total de cycles-batteries) s'écrit :

$$Ncyb = N_{BT} \times \left( \sum_{i=1}^{i=10} Ncy_i \cdot Pcy_i \right) \qquad (4.45)$$

Dans le cas de nos deux exemples de configuration, nous avons :

$$\begin{cases} Ncyb(config.1) = 0.167 \times 3000 = 501 \text{ cycles-batteries} \\ Ncyb(config.2) = 0.401 \times 4000 = 1604 \text{ cycles-batteries} \end{cases} \qquad (4.46)$$

La configuration 2 coûte donc plus cher en batteries que la configuration 1.

### 4.2.6 Conclusion

Dans cette section, nous avons présenté les cinq critères de faisabilité. L'évaluation de plusieurs de ces critères est basée sur des modèles analytiques approximatifs. Mais nous avons montré autant que possible la validité de ces modèles analytiques, avec des données réelles. Ces critères seront utilisés pour l'étude de faisabilité, dans la section suivante, puis dans le chapitre sur l'optimisation (chapitre 6).

## 4.3 Etude de faisabilité et choix du démonstrateur LHyDIE

L'étude de faisabilité est une étape essentielle de la conception, car elle seule permet de guider le choix des meilleures configurations. Nous désignons par $\Omega_{config}$ l'univers des configurations admissibles issues de la phase de synthèse. Rappelons qu'avec les paramètres d'entrée (200 fréquences $F_{SC}$ et 24 groupes $P_{GEN}$), l'ensemble $\Omega_{config}$ contient 4800 (200×24) configurations. Deux des critères de faisabilité, à savoir le volume du système et la dégradation temporelle, seront posés en contraintes de faisabilité. Les autres : coût d'investissement, consommation de fuel et cyclage des batteries, seront confrontés les uns aux autres pour identifier les configurations donnant lieu aux meilleurs compromis.

### 4.3.1 Contrainte de volume et de dégradation temporelle

Comme nous l'avons souligné à la section 1.4.1 (Figure 1.10, page 25), le volume total disponible sur le démonstrateur LHyDIE est de 39 m³, dont 7 m³ sont réservés pour accueillir les équipements traditionnels de la locomotive. Il s'agit notamment du compresseur, des bonbonnes d'air et du réservoir de fuel. Le système doit donc tenir dans un volume utile de 32 m³ au maximum. La contrainte de volume s'écrit :

$$\begin{cases} (N_{SC}, N_{BT}, P_{GEN}) \in \Omega_{config} \\ \text{Volume}_{\Sigma}(N_{SC}, N_{BT}, P_{GEN}) \le 32 \text{ m}^3 \end{cases} \qquad (4.47)$$

La figure 4.21 montre l'évolution du volume du système en fonction de la puissance nominale du groupe Diesel et du nombre de supercondensateurs. Au vu de ces résultats, nous
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Fig. 4.21: Evolution de $Volume_{\Sigma}$ en fonction de $P_{GEN}$ et de $N_{SC}$</figcaption></figure>

pouvons d'ores et déjà exclure les configurations dans lesquelles le groupe Diesel fait moins de 150 kW et celles comprenant plus de 6000 supercondensateurs car leur volume excède la limite tolérée.

Quant à la contrainte de dégradation temporelle, nous avons, en accord avec la SNCF, fixé le seuil de dégradation temporelle à 25%, soit un quart d'heure de recharge de batteries, à l'arrêt, au maximum, après une heure de mission difficile. Soulignons que ce seuil, apparemment élevé, est une limite fixée pour le pire des cas de mission dont l'occurrence est plutôt rare. Globalement, à moins de tomber sur une mission extrêmement difficile, la dégradation temporelle est assez faible. La contrainte de dégradation temporelle s'écrit :

$$ \begin{cases} (N_{SC}, N_{BT}, P_{GEN}) \in \Omega_{config} \\ \mathrm{Ind}_{DT}(N_{SC}, N_{BT}, P_{GEN}) \le 0.25 \end{cases} \quad (4.48) $$

La figure 4.22 montre l'évolution de la dégradation temporelle en fonction de la puissance nominale du groupe Diesel et du nombre de supercondensateurs. La dégradation temporelle dépend essentiellement de la puissance nominale du groupe Diesel. Nous notons, tout d'abord, que la présence ou le nombre de supercondensateurs affecte très peu la dégradation temporelle. Plus important, nous notons que la dégradation temporelle est très "mauvaise" pour les petits groupes Diesel (275% pour $P_{GEN} = 50$ kW), puis décroît rapidement, pour s'annuler à partir de $P_{GEN} = 250$ kW. La contrainte de dégradation temporelle impose un groupe Diesel entre 150 kW et 600 kW.

La prise en compte des contraintes Eq.4.47 et Eq.4.48 nous a permis de réduire le nombre total de configurations éligibles de 4800 à 730. Nous obtenons ainsi un univers réduit $\Omega'_{config}$
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Fig. 4.22: Evolution de $Ind_{DT}$ en fonction de $P_{GEN}$ et de $N_{SC}$</figcaption></figure>

de 730 configurations éligibles. Il reste à analyser l'univers $\Omega'_{config}$ à la lumière des critères de coût d'investissement, de cyclage des batteries et de consommation de fuel. Mais la recherche des meilleurs compromis avec trois critères simultanés n'est pas évidente. Nous allons donc commencer par une étude des facteurs d'influence des critères, afin de mieux appréhender les couplages entre les paramètres du système et les critères de faisabilité.

## 4.3.2 Etude des facteurs d'influence des critères de faisabilité

L'étude des facteurs d'influence des critères de faisabilité est basée sur le calcul des cor-
rélations entre paramètres et critères de faisabilité. Il s'agit d'une étude qualitative, pour
dégager des tendances fortes.

### ♦ Corrélations inter-paramétriques

Rappelons que le triplet de paramètres ($P_{GEN}$, $N_{BT}$, $N_{SC}$) présente une interdépendance forte, car le choix de deux de ces paramètres détermine, de façon unique, le troisième paramètre. Ce couplage fort entre les paramètres peut fausser les calculs de corrélation et masquer ou exagérer l'influence de certains paramètres sur les critères de faisabilité. Pour remédier à ce problème, nous allons choisir, pour l'étude des facteurs d'influence des critères de faisabilité, le couple de paramètres qui présente le plus faible couplage. Pour cela nous allons calculer les corrélations entre les paramètres. Soit n le cardinal de $\Omega'_{config}$
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Fig. 4.23: Corrélation inter-paramétriques et couple de paramètres libres</figcaption></figure>

et $P_{GEN_{i,i=1...n}}$, $N_{BT_{i,i=1...n}}$, $N_{SC_{i,i=1...n}}$ les tableaux de paramètres, la corrélation entre $N_{SC}$ et $N_{BT}$ s'écrit :

$$r(N_{SC}, N_{BT}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (N_{SC_i} - \overline{N_{SC}}) \cdot (N_{BT_i} - \overline{N_{BT}})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (N_{SC_i} - \overline{N_{SC}})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (N_{BT_i} - \overline{N_{BT}})^2}} \quad (4.49)$$

La corrélation entre $N_{SC}$ et $P_{GEN}$ s'écrit :

$$r(N_{SC}, P_{GEN}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (N_{SC_i} - \overline{N_{SC}}) \cdot (P_{GEN_i} - \overline{P_{GEN}})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (N_{SC_i} - \overline{N_{SC}})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (P_{GEN_i} - \overline{P_{GEN}})^2}} \quad (4.50)$$

Et la corrélation entre $N_{BT}$ et $P_{GEN}$ s'écrit :

$$r(N_{BT}, P_{GEN}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (N_{BT_i} - \overline{N_{BT}}) \cdot (P_{GEN_i} - \overline{P_{GEN}})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (N_{BT_i} - \overline{N_{BT}})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (P_{GEN_i} - \overline{P_{GEN}})^2}} \quad (4.51)$$

Les valeurs numériques obtenues sont :

$$\begin{cases} r(N_{SC}, N_{BT}) = -26\% \\ r(N_{SC}, P_{GEN}) = 9\% \\ r(N_{BT}, P_{GEN}) = -89\% \end{cases} \quad (4.52)$$

Ces résultats confirment les observations que nous avions faites au chapitre 3.7 (page 98) concernant la faible influence des supercondensateurs sur le dimensionnement des autres sources. La hiérarchisation des corrélations inter-paramétriques, comme l'illustre la figure 4.23, nous conduit à la conclusion que le couple de paramètres présentant le moins de dépendance est le couple $(P_{GEN}, N_{SC})$. C'est donc avec ces deux paramètres que nous allons
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Fig. 4.24: Consommation de fuel en fonction du groupe Diesel</figcaption></figure>

pouvoir étudier les dépendances entre paramètres et critères de faisabilité. Retenons par ailleurs que les variables P<sub>GEN</sub> et N<sub>BT</sub> étant fortement corrélées, elles peuvent se substituer l'une à l'autre en termes d'influence sur les critères.

♦ Facteurs d'influence de la consommation

La réduction de la consommation de fuel est un enjeu économique majeur, surtout dans
le contexte actuel de crise pétrolière. Par ailleurs, comme la consommation de fuel est
directement liée aux émissions de CO₂, elle représente aussi un enjeu environnemental
important. De fait, le critère de consommation présente un intérêt particulier dans le
projet PLATHEE. Connaître les facteurs d'influence de ce critère favoriserait le choix de
solutions, écologiquement et même économiquement, intéressantes.

Le calcul des corrélations entre les paramètres P<sub>GEN</sub>, N<sub>SC</sub> et l'indicateur de consommation de fuel donne :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
r(N_{\text{SC}}, \text{Ind}_{\text{CF}}) = 17\% \\
r(P_{\text{GEN}}, \text{Ind}_{\text{CF}}) = 99\%
\end{cases}
\tag{4.53}
\end{equation}
$$

Ces résultats sont sans appel : la taille du groupe Diesel (et donc le nombre de batteries
embarquées) est le facteur d'influence décisif de la consommation de fuel et donc de la
pollution en CO₂. L'influence des supercondensateurs sur la consommation de fuel est né-
gligeable. Nous retenons donc que, globalement, la réduction de la taille du groupe Diesel
entraîne directement la réduction de la consommation de fuel, ce qui n'a rien d'étonnant
du fait que l'ajout de batteries ne consomme pas de carburant (ou presque). . . La figure
4.24 montre l'évolution de la consommation de fuel en fonction de la taille du groupe
Diesel. Il apparaît que la consommation de fuel peut baisser jusqu'à 68%, pour un groupe
Diesel de 150 kW, par rapport à la locomotive Diesel de référence(1), soit une économie de 32% possible en gasoil et en émission de CO₂.

### ♦ Facteurs d'influence du coût d'investissement

Le critère de coût d'investissement, tel que nous l'avons défini à la section 4.2.3, est très par- tiel car il ne concerne que les dépenses initiales. Rigoureusement, le coût d'investissement devrait englober, sur un horizon de temps donné, le coût des composants (amortissement compris), le coût d'exploitation (fuel, maintenance, changement des batteries ou des super- condensateurs, ...). Néanmoins, le critère $Cout_Σ$ est un indicateur suffisamment pertinent pour cette phase de l'étude.

Le calcul des corrélations entre les paramètres $P_{GEN}$, $N_{SC}$ et le coût d'investissement donne :

$$ \begin{cases} r(N_{SC}, Cout_Σ) = 88\% \\ r(P_{GEN}, Cout_Σ) = -32\% \end{cases} \qquad (4.54) $$

Ces résultats sont assez surprenants : d'une part, la taille du groupe Diesel, donc le nombre de batteries, a une d'influence relativement faible (pas nulle) sur le coût d'investissement et d'autre part, le nombre de supercondensateurs est un facteur d'influence prépondérant sur le coût d'investissement. Pour confirmer la faible influence du groupe Diesel (donc du nombre de batteries) sur le coût d'investissement, nous avons calculé la corrélation entre $N_{BT}$ et $Cout_Σ$ :

$$ r(N_{BT}, Cout_Σ) = 23\% \qquad (4.55) $$

Ce résultat s'explique par le fort couplage entre $P_{GEN}$ et $N_{BT}$. En effet, l'augmentation du nombre de batteries entraîne un surcoût financier, en partie compensé, par la réduction de la taille du groupe Diesel qu'elle provoque par ailleurs. Ainsi, globalement, le coût d'investissement varie relativement faiblement en fonction de la puissance nominale du groupe Diesel. La prépondérance de l'influence du nombre de supercondensateurs sur le coût d'investissement s'explique par le fait qu'aucune des autres sources ne vient contre-balancer l'augmentation du nombre de supercondensateurs.

La figure 4.25 montre l'évolution du coût d'investissement en fonction du nombre de super- condensateurs. Globalement, le coût d'investissement croît avec le nombre de superconden- sateurs. Notons par ailleurs que la réduction de la taille du groupe Diesel (l'augmentation du nombre de batteries) a tendance à aggraver le coût d'investissement.

### ♦ Facteurs d'influence du nombre total de cycles-batteries

Le nombre total de cycles-batteries(2) étant directement proportionnel au nombre de batte- ries, il est évident que ce dernier est son premier facteur d'influence. Ce que nous essayons

<footnote>(1)La locomotive Diesel de référence n'est pas la BB63000 actuelle dont le moteur thermique est d'une génération antérieure aux moteurs actuels, mais plutôt une locomotive 100% Diesel équivalente qui serait équipée d'un groupe Diesel de nouvelle génération.</footnote>

<footnote>(2)Ce nombre doit toujours être associé à une durée de mission. Il s'agit ici des 12 heures de missions de triage et desserte locale du cahier des charges de LHyDIE.</footnote>
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Fig. 4.25: Facteurs d'influence du coût d'investissement</figcaption></figure>

de déterminer ici, c'est l'influence du nombre de supercondensateurs sur le nombre total de cycles-batteries. Le calcul des corrélations donne :

$$ \begin{cases} r(N_{SC}, N_{cyb}) = -27\% \\ r(P_{GEN}, N_{cyb}) = -81\% \end{cases} \qquad (4.56) $$

Comme on pouvait s'y attendre, la taille du groupe Diesel (ou le nombre de batteries) est le premier facteur d'influence du nombre total de cycles-batteries. Dans une mesure relativement plus faible, le nombre de supercondensateurs à une certaine influence sur le nombre total de cycles-batteries. La figure 4.26 montre l'évolution du nombre total de cycles-batteries en fonction de la taille du groupe Diesel : l'accumulation de points verticaux pour un même groupe Diesel correspond à l'influence des supercondensateurs qui varie par ailleurs. Notons que l'influence relative du nombre de supercondensateurs sur le nombre total de cycles-batteries, est d'autant plus significative que le nombre de batteries se réduit.

Nous attachons une importance particulière à l'influence des supercondensateurs sur le nombre total de cycles-batteries. En effet, sachant que l'augmentation du nombre de supercondensateurs fait "exploser" le coût d'investissement et que les supercondensateurs ont très peu d'influence sur la consommation, le seul critère qui pourrait justifier leur utilisation dans le cadre de ce projet(1) reste la durée de vie des batteries.

<footnote>(1) Rappelons que dans le cadre de ce projet, la locomotive hybride est destinée à des missions de desserte locale et de triage. S'il ne s'était agi que de triages, les influences des différents paramètres n'auraient pas été du même ordre. Il n'est donc pas question de rejeter définitivement l'utilisation des supercondensateurs dans l'hybridation ferroviaire.</footnote>
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Fig. 4.26: Facteurs d'influence du nombre total de cycles-batteries</figcaption></figure>

Soit $\chi_{sc}$ le nombre de supercondensateurs qu'il faut pour améliorer (réduire) de 1% le nombre total de cycles-batteries (ou le coût des batteries). Le calcul de $\chi_{sc}$ est assez complexe.

Pour un groupe $P_{GEN}$ donné, nous déterminons les variations maximales $\Delta N_{SC}(P_{GEN})$ et $\Delta N_{cyb}(P_{GEN})$.

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\Omega_{pgen}(P_{GEN}) &= \{ (N_{SC_i}, N_{BT_i}, P_{GEN}) \in \Omega'_{config} \} \\
\Delta N_{SC}(P_{GEN}) &= \max_{\Omega_{pgen}} (N_{SC_i}) - \min_{\Omega_{pgen}} (N_{SC_i}) \\
\Delta N_{cyb}(P_{GEN}) &= \max_{\Omega_{pgen}} (N_{cyb_i}) - \min_{\Omega_{pgen}} (N_{cyb_i})
\end{aligned}
\right. 
\qquad (4.57) 
$$

$\Omega_{pgen}(P_{GEN})$ représentant l'ensemble des configurations ayant le groupe $P_{GEN}$. Ainsi, une amélioration $\Delta N_{cyb}(P_{GEN})$ du coût-batterie (ou cycle-batterie) est obtenue pour une variation $\Delta N_{SC}(P_{GEN})$ du nombre de supercondensateurs et ceci pour un groupe $P_{GEN}$. $\chi_{sc}$ s'écrit alors :

$$ \chi_{sc}(P_{GEN}) = \frac{0.01 \times \Delta N_{SC}(P_{GEN})}{\Delta N_{cyb}(P_{GEN})} \qquad (4.58) $$

$\chi_{sc}$ est défini en fonction de $P_{GEN}$, mais, avec le fort couplage entre $P_{GEN}$ et $N_{BT}$, il est possible de l'étudier en fonction de $N_{BT}$. La figure 4.27 montre l'évolution du nombre de supercondensateurs nécessaires pour améliorer de 1% la durée de vie des batteries en fonction du nombre de batteries. Il apparaît que $\chi_{sc}$ évolue de façon exponentielle en fonction de $N_{BT}$. Plus concrètement, plus il y a de batteries (donc moins il y a de Diesel), plus faible est l'impact (positif) des supercondensateurs sur la durée de vie des batteries. Par
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Fig. 4.27: Influence des supercondensateurs sur la durée de vie des batteries</figcaption></figure>

exemple, pour une configuration avec 900 batteries, il faut 250 supercondensateurs pour améliorer de 1% la durée de vie des batteries. Dès que le nombre de batteries passe à 3100, $\chi_{sc}$ passe à 4100 éléments.

Finalement, pour une locomotive hybride destinée à un segment de dessertes locales et de triages, les supercondensateurs, à travers l'absorption des microcycles, ont un impact positif sur la durée de vie des batteries. Mais cet impact reste relativement faible tandis que le surcoût système engendré est conséquent. Cette analyse ne tient pas compte des aspects liés à la dynamique des courants. En effet, le filtrage des missions épargne aux batteries les courants de fortes dynamiques. Il est admis que ce filtrage de la mission des batteries pourrait prolonger leur durée de vie, mais cette hypothèse n'est pas établie de façon expérimentale [45].

### 4.3.3 Configurations optimales au sens de Pareto

Dans cette sous-section, nous présentons les meilleures configurations selon nos trois critères de faisabilité. Pour cela, nous n'allons conserver que les configurations non dominées,
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Fig. 4.28: Représentation des configurations optimales au sens de pareto</figcaption></figure>

au sens de Pareto(1) [47, 48]. Plus concrètement, soit $\Omega_{pareto}$ l'ensemble des configurations non-dominées, $\Omega_{pareto}$ se définit mathématiquement de la façon suivante :

$$ \Omega_{\text{pareto}} = \Omega'_{\text{config}} - \left\{ \begin{array}{l} \text{cfg}_i \in \Omega'_{\text{config}} \text{ tels que } \exists \text{cfg}_j \in \Omega'_{\text{config}} \text{ et} \\ \quad (\text{Ncyb}(\text{cfg}_i) < \text{Ncyb}(\text{cfg}_j)) \lor (\text{Cout}_{\Sigma}(\text{cfg}_i) < \text{Cout}_{\Sigma}(\text{cfg}_j)) \quad (4.59) \\ \quad \lor (\text{Ind}_{\text{CF}}(\text{cfg}_i) < \text{Ind}_{\text{CF}}(\text{cfg}_j)) \end{array} \right\} $$

$\Omega_{pareto}$ contient une trentaine de configurations qui constituent les meilleurs compromis possibles. La figure 4.28 montre, dans l'espace paramétrique, les configurations de l'ensemble $\Omega_{pareto}$. Alors que le nombre de batteries évolue entre 0 et 3300 éléments, le nombre de supercondensateurs ne dépasse pas 930 éléments. Cela confirme que, avec le critère de durée de vie des batteries tel que nous l'avons défini(2) et avec l'association dans le cahier des charges des dessertes locales et des triages, les supercondensateurs ont un intérêt relativement faible pour la locomotive hybride.

Maintenant, nous allons représenter l'ensemble $\Omega_{pareto}$ dans l'espace des critères de faisabilité. La figure 4.29 montre l'évolution, pour les configurations de $\Omega_{pareto}$, de la consommation de fuel en fonction du coût d'investissement. Notons qu'il y a antagonisme entre ces deux critères : la réduction de la consommation de fuel provoque l'explosion du coût d'investissement. Concernant les paramètres, l'augmentation du nombre de batteries, même si elle est suivie d'une réduction de la taille du groupe Diesel et donc d'un gain financier

<footnote>(1)Il s'agit des configurations qu'il n'est pas possible d'améliorer suivant les trois critères de faisabilité, de façon simultanée.</footnote>

<footnote>(2)Sans prendre en compte les aspects liés à la dynamique des courants.</footnote>
sur ce dernier, entraîne quand même l'augmentation du coût d'investissement(1) car les batteries coûtent spécifiquement plus cher que le groupe Diesel. Sur le graphe de la figure 4.29, nous distinguons trois zones :

- Une zone (R) où l'amélioration de la consommation se fait à moindre coût mais où la consommation reste globalement élevée : ce qui justifie l'appellation de "zone rouge".

- Une zone (V) à l'opposé de la zone (R) où l'amélioration de la consommation coûte extrêmement cher. Cette zone présente une consommation globale très faible : ce qui justifie l'appellation de "zone verte".

- Une zone (B) se situe entre les deux zones précédentes. Cette zone fait le compromis entre le coût d'investissement et la consommation de fuel : nous parlons de "zone bleue".

Notons que cette analyse reste assez partielle, même si elle nous permet dans cette phase d'évaluer les différentes configurations et de faire le choix du prototype LHyDIE. En effet, il y a couplage entre le critère de consommation et celui du coût système. Par exemple, les configurations de la zone rouge peuvent s'avérer économiquement moins intéressantes qu'il n'y paraît, le coût d'exploitation, à cause de la forte consommation de fuel, venant atténuer le gain financier initial. De la même façon, les solutions vertes, apparemment très chères peuvent, grâce aux gains de fuel, s'avérer plus intéressantes à l'exploitation. Au chapitre 6 sur l'optimisation, nous reviendrons sur ces aspects ; nous présenterons notamment une association plus efficace des critères de faisabilité.

La figure 4.30 montre l'évolution, pour les configurations optimales, de la consommation de fuel en fonction du nombre total de cycles-batteries. A l'instar de l'antagonisme consommation – coût d'investissement, l'économie de fuel se paye par un nombre de cycles-batteries plus élevé. Cette observation renvoie également à l'antagonisme fondamental entre critère écologique et critère économique(2). Nous présentons à la figure 4.31 une confrontation entre coût d'investissement et nombre total de cycles-batteries. Comme on pouvait s'y attendre ces deux critères varient dans le même sens. Normal, puisque le nombre total de cycles-batteries a une incidence directe sur le coût d'investissement.

Globalement, pour la locomotive hybride destinée aux missions de triage et de desserte locale du cahier des charges de ce projet, les configurations optimales comprennent un nombre très faible de supercondensateurs. La réduction de la consommation de fuel est contre-balancée par l'augmentation simultanée du coût d'investissement et du nombre de cycles-batteries. Les meilleurs compromis entre coût d'investissement et nombre de cycles-batteries d'une part, et consommation de fuel d'autre part, dépendent du dosage entre la quantité de batteries et la taille du groupe Diesel. Le choix de la configuration est basée en partie sur cette analyse.

<footnote>(1) Cette conclusion semble contredire l'étude des facteurs d'influence où nous avions noté la prépondérance de l'influence du nombre de supercondensateurs et la faible influence du nombre de batteries (Eq.4.55, page 133), sur le coût système. Signalons que cette étude est faite sur l'ensemble global $\Omega'_{config}$ des configurations éligibles et qu'en réduisant cet ensemble à $\Omega_{pareto}$ des configurations optimales au sens de Pareto, nous provoquons une modification des influences.</footnote>

<footnote>(2) Consommer moins (ou polluer moins) demande un investissement initial colossal.</footnote>
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Fig. 4.29: Consommation de fuel et coût d'investissement</figcaption></figure>

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Fig. 4.30: Consommation de fuel et nombre de cycles-batteries</figcaption></figure>

### 4.3.4 Choix du démonstrateur LHYDIE

La SNCF ambitionne de pouvoir réaliser une réduction de la consommation de fuel et des émissions de CO₂ d'au moins 30%, ce qui situe le groupe Diesel entre 150 kW et
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Fig. 4.31: Coût système et nombre de cycles-batteries</figcaption></figure>

250 kW d'après la figure 4.24 (page 132). Nous avons donc proposé, parmi les configurations optimales, un jeu de 5 configurations que nous montrons dans le tableau 4.3.

<table><caption>Tab. 4.3: Jeu de configurations proposées pour le démonstrateur LHyDIE</caption><thead><tr><th rowspan="2">Caractéristiques</th><th colspan="5">Configurations</th></tr><tr><th>Cfg1</th><th>Cfg2</th><th>Cfg3</th><th>Cfg4</th><th>Cfg5</th></tr></thead><tbody><tr><td>Puissance Diesel : P<sub>GEN</sub> (kW)</td><td>150</td><td>175</td><td>200</td><td>225</td><td>250</td></tr><tr><td>Nombre de batteries : N<sub>BT</sub></td><td>3071</td><td>2607</td><td>2156</td><td>1721</td><td>1289</td></tr><tr><td>Nombre de supercondensateurs : N<sub>SC</sub></td><td>827</td><td>630</td><td>856</td><td>514</td><td>299</td></tr><tr><td>Volume du système : Volume<sub>Σ</sub> (m<sup>3</sup>)</td><td>32</td><td>28</td><td>26</td><td>22</td><td>19</td></tr><tr><td>Coût d'investissement : Cout<sub>Σ</sub> (k€)</td><td>930</td><td>794</td><td>725</td><td>575</td><td>444</td></tr><tr><td>Nombre total de cycles-batteries : Ncyb</td><td>1425</td><td>1220</td><td>805</td><td>702</td><td>558</td></tr><tr><td>Consommation de fuel : Ind<sub>CF</sub> (g/kWh)</td><td>205</td><td>208</td><td>211</td><td>215</td><td>218</td></tr></tbody></table>

Après étude de ce tableau, la SNCF a choisi la configuration Cfg4 comme configuration de base : un groupe Diesel de 225 kW, 1721 batteries et 514 supercondensateurs. Avec cette configuration, le coût d'investissement est de 575 k€ et la consommation de fuel est globalement de 205 g/kWh.

La SNCF a révisé cette configuration à la baisse en acceptant une légère dégradation (au
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Fig. 4.32: Configuration retenue pour LHyDIE</figcaption></figure>

sens énergétique) de la mission dimensionnante $m_{11}$. Le nombre de batteries fut alors fixé à 1200 éléments. Par ailleurs, la SNCF, voulant expérimenter l'impact des supercondensateurs sur la durée de vie des batteries, a choisi d'embarquer 1600 supercondensateurs au lieu des 514 de la configuration de base. La figure 4.32 montre la configuration énergétique choisie et les flux maximums de puissance disponibles. LHyDIE embarque 194 kWh de batteries pouvant admettre -194 kW en charge et 485 kW en décharge. Le pack de supercondensateurs compte 6.94 kWh de capacité de stockage totale et 3.4 MW de puissance limite. Le groupe Diesel standard le plus proche de la solution choisie est un CURSOR 8 de 2HEnergy de 215 kW nominal (236 kW maximum).

Avec cette nouvelle configuration, nous avons relancé l'ensemble des processus d'évaluation des critères de faisabilité. Nous obtenons pour les 12 heures de mission du cahier des charges, les résultats suivants :

$$ \begin{cases} P_{GEN} = 215 \\ N_{BT} = 1200 \\ N_{SC} = 1600 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Cout_{Σ} = 607 k€ \\ Ind_{CF} = 213.6 g/kW \\ Ncyb = 711cycles-batteries \end{cases} \quad (4.60) $$

La figure 4.33 situe la configuration du démonstrateur LHyDIE dans l'espace des critères de faisabilité. Notons que ce choix est assez optimisé sur le plan de la consommation de fuel, du coût d'investissement et du nombre total de cycles-batteries. Pour les 12 heures de missions du cahier des charges, le nombre total de cycles-batteries vaut 711. En raisonnant sur la base de 8 heures de mission par jour (soit $8 \times 360 h/an$), sachant que le NiCd offre
environ 900 cycles (à 100%) (nombre théorique) par cellule, la durée de vie des 1200 batteries peut être estimée à :

$$ 
\text{Durée de vie} = \frac{900 \text{ (cycles/batterie)} \times 1200 \text{ batteries} \times 12}{8 \times 360 \text{ (heures/an)} \times 711 \text{ cycles}} \quad (4.61)
$$

$$ 
\text{Durée de vie} = 6.3 \text{ ans} \quad (4.62)
$$

Il s'agit là d'une estimation assez approximative de la durée de vie des batteries. Nous reviendrons sur cette technique de calcul au chapitre 6. Signalons qu'au vu des missions du pack de batteries, Hoppecke a garanti une durée de vie de 5 ans. Notre estimation ne semble pas "farfelue".

Maintenant que la configuration du démonstrateur est décidée, il convient d'analyser le comportement de cette locomotive particulière sur quelques missions typiques du cahier des charges. Dans la sous-section qui suit, nous allons simuler la locomotive LHyDIE sur une mission de triage puis sur une mission de desserte locale, afin d'étudier le comportement de la locomotive selon la nature de la mission réalisée.

### 4.3.5 Comportement de LHyDIE selon la mission réalisée

Cette sous-section vient en complément de l'étude comportementale initiée à la sous-section 4.1.5 où nous avions mis en évidence quelques aspects du fonctionnement de la locomotive hybride. Dans cette sous-section, l'étude est plus précise car nous ne considérons désormais que la configuration choisie pour le démonstrateur LHyDIE.

#### ♦ LHyDIE sur la mission de triage $m_1$

La figure 4.34 montre l'évolution de la locomotive LHyDIE sur une mission de triage. Sur cette mission le rôle des supercondensateurs a été prépondérant : les batteries ont été déchargées d'à peine 5%, le groupe Diesel est resté éteint la moitié du temps, les supercondensateurs ont absorbé presque la totalité de la mission fluctuante.

#### ♦ LHyDIE sur la mission de desserte locale $m_{11}$

La figure 4.35 montre l'évolution de la locomotive LHyDIE sur une mission de desserte. Contrairement au cas de triage, la desserte sollicite énormément les batteries. L'état de charge des batteries est descendu jusqu'au seuil de 30%. De plus, sur certaines phases de la mission, le groupe est monté à sa puissance maximale de 236 kW. Quant aux supercondensateurs, ils ont subi un grand nombre de cycles qui sont autant de microcycles épargnés aux batteries.

### 4.3.6 Conclusion

Dans cette section, nous avons fait une étude de faisabilité complète, sur la base de deux contraintes (volume et dégradation temporelle) et trois critères de faisabilité (consommation, coût d'investissement et durée de vie des batteries). Cette étude nous a permis de
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Fig. 4.33: Situation de la configuration du démonstrateur dans l'espace des critères</figcaption></figure>

repérer les configurations de locomotives hybrides les plus intéressantes, vis-à-vis du cahier des charges de ce projet. Nous avons notamment montré que l'association, dans le cahier des charges, des missions de triage et de desserte locale n'est pas favorable aux configurations à grand nombre de supercondensateurs. A l'issue de cette étude, le choix de
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Fig. 4.34: LHyDIE sur la mission de triage m₁</figcaption></figure>

configuration du démonstrateur fut décidé. La simulation de cette configuration sur une mission de triage montre une participation assez prépondérante des supercondensateurs qui ont permis une économie de cycles-batteries. Mais sur une desserte locale, malgré une forte absorption des microcycles par les supercondensateurs, les batteries ont été vidées en dessous de 60% de leur capacité de stockage. Ces deux exemples distincts montrent l'importance de la mission par rapport au dimensionnement système.

Après le dimensionnement énergétique, il reste le dimensionnement électrique, c'est-à-dire le calcul de la disposition série/parallèle des éléments de stockage, le choix de la tension de bus et le dimensionnement des convertisseurs. La section qui suit aborde le dimensionnement électrique du démonstrateur LHyDIE.
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Fig. 4.35: LHyDIE sur la mission de desserte locale $m_{11}$</figcaption></figure>

### 4.4 Dimensionnement électrique du démonstrateur LHyDIE

A la section précédente, nous avions présenté la configuration choisie par la SNCF pour le démonstrateur LHyDIE : un groupe de puissance nominale 215 kW, un pack de 1200 batteries de type FNC 1502 HR (135 Ah, 1.2 V) et un pack de 1600 supercondensateurs de type EPCOS 5000 F/2.5 V. Cette section aborde le dimensionnement électrique de LHyDIE. Nous présentons notamment la détermination de la disposition série/parallèle des packs de stockage, le choix de la tension du bus continu et le dimensionnement des convertisseurs. Mais ces trois problématiques présentent des interdépendances fortes qui rendent leur résolution très difficile. Une première sous-section d'analyse de la mission, ramenée à la cellule de stockage, servira de tremplin vers un dimensionnement électrique plus aisé.

#### 4.4.1 Modèles électriques et analyse à l'échelle de la cellule de stockage

Nous montrons, dans cette sous-section, qu'il est possible à l'aide de modèles électriques statiques, de ramener à l'échelle de la cellule la mission de puissance destinée aux packs de stockage. Le modèle électrique moyen statique est un modèle très proche du modèle en flux de puissance, à la différence près qu'il traduit en grandeurs électriques (courant, tension) les flux de puissance échangés par les packs. Le qualificatif "moyen" traduit le temps de base de ce modèle, qui est égal à celui de la mesure de puissance consommée
(issue de la mission), c'est-à-dire une seconde. Ce modèle est statique par le fait qu'il n'intègre aucun élément physique dynamique ni d'organe de régulation ou de contrôle : les consignes de courant ou de puissance sont subies sans temps de réponse ni retard. L'objectif de ce modèle est la détermination des courants et tensions du système, afin de décider de la disposition des éléments de stockage et de calibrer les convertisseurs. Pour cela, nous avons ramené la mission à l'échelle de la cellule de stockage et mis en évidence les courants et tensions au niveau de l'élément de stockage. Ces données sont ensuite utilisées pour le dimensionnement électrique du démonstrateur LHyDIE.

La donnée de base, dans cette sous-section, est la mission de puissance dimensionnante de chacun des packs de stockage. La figure 4.36 montre les parts de missions des packs de stockage obtenues pour le démonstrateur LHyDIE sur la mission dimensionnante $m_{11}$. Les niveaux de puissance atteints sont :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
P_{dchmax} = 380 \text{ kW} \\
P_{chmax} = -192 \text{ kW} \\
P_{scmax} = 475 \text{ kW}
\end{array}
\right. 
\qquad (4.63) $$

## ♦ La cellule de batterie

En négligeant les pertes dans les convertisseurs, la puissance échangée par cellule de batterie vaut :

$$ p_{bt} = \frac{1}{N_{BT}} P_{BT} \qquad (4.64) $$

Cette puissance est tracée à la figure 4.37. Considérons un modèle électrique simplifié du type R,E de la cellule de batterie. Il s'agit d'une résistance $r_{bt}$ en série avec une source de tension $e_{bt}$. L'annexe C.2 fournit les caractéristiques des batteries étudiées dans ce rapport. En particulier, la cellule de batterie FNC 1502 HR de 135 Ah, concernée dans ce chapitre est exposée à la section C.2.1 (page 226). Dans son modèle électrique, la résistance $r_{bt}$ et la tension $e_{bt}$ varient toutes deux en fonction de l'état de charge $q$ (0 à 1) de la cellule. La figure 4.38 montre le modèle R,E et les cartographies de la résistance et de la tension$^{(1)}$. L'interpolation des points de mesures fournis par le fabricant nous a permis d'établir les équations suivantes :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
r_{bt}(q) = 2.83 - 12.88q + 24.88q^2 - 20.83q^3 + 6.28q^4 \\
e_{bt}(q) = 0.99 + 1.06q - 1.82q^2 + 1.11q^3
\end{array}
\right. 
\qquad (4.65) $$

La figure 4.39 montre le format mathématique du modèle électrique de la cellule de batterie. La puissance $p_{bt}$ est divisée par la tension $v_{bt}^{(2)}$ pour calculer le courant $i_{bt}$, d'après la relation :

$$ i_{bt} = \frac{1}{v_{bt}} p_{bt} \qquad (4.66) $$

<footnote>(1) L'orientation du courant $i_{bt}$ respecte la convention de signe (générateur) utilisée dans ce rapport.</footnote>

<footnote>(2) Dans le modèle mathématique, la tension $v_{bt}$ permet d'avoir le courant $i_{bt}$ qui, par la suite, permet de déterminer la tension $v_{bt}$ : cela constitue une boucle algébrique insoluble. Pour éviter cela, la tension $v_{bt}$ est retardée d'un pas de calcul et devient $v_{bt}^*$. Néanmoins, pour ne pas alourdir inutilement la rédaction, nous utilisons $v_{bt}$ à la place $v_{bt}^*$.</footnote>
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Fig. 4.36: Répartition de la mission dimensionnante $m_{11}$ aux packs de stockage de LHyDIE</figcaption></figure>

Le courant $i_{bt}$ est ensuite intégré pour calculer la capacité $Q_{bt}$ correspondante. Nous désignons par $C_5^{(1)}$ la capacité nominale de la cellule (dans notre cas elle vaut 135 Ah). La capacité $Q_{bt}$ calculée est normalisée et devient $q$.

$$q(t) = q_0 - \frac{1}{C_5} \int_{0}^{t} i_{bt}(\tau) d\tau \qquad (4.67)$$

<footnote>(1) Notation standard utilisée par les spécialistes des batteries.</footnote>
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Fig. 4.37: Mission de puissance ramenée à la cellule de batterie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Fig. 4.38: Circuit électrique équivalent de type RE d'une cellule de batterie</figcaption></figure>

Nous utilisons ensuite les cartographies $r_{bt}(q)$ et $e_{bt}(q)$ pour estimer la résistance $r_{bt}$ et la tension $e_{bt}$. La tension de la cellule se déduit alors, conformément à la convention signe utilisée dans ce rapport, par :

$$v_{bt} = e_{bt}(q) - r_{bt} \times i_{bt} \qquad (4.68)$$

La simulation du modèle de la figure 4.39 avec la mission de puissance $m_{11}$ ramenée à la cellule de batterie ($p_{bt}$), nous donne, à la figure 4.40, les courbes de tension $v_{bt}(t)$ et de
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Fig. 4.39: Format mathématique du modèle électrique d'une cellule de batterie</figcaption></figure>

courant $i_{bt}(t)$ sur la cellule de batterie. Les courants maximum de charge et de décharge valent :

$$ \begin{cases} i_{dchmax} = \max(i_{bt}) = 415 \text{ A} \\ i_{chmax} = \min(i_{bt}) = -156 \text{ A} \end{cases} \qquad (4.69) $$

Ces valeurs dépassent les limitations de base $2.5 \times C_5$ (337.5 A) et $-1 \times C_5$ (-135 A) que nous avons fixées au chapitre 3 (§3.6.2, page 81). Notons que nous avons dû repousser les limitations de courants de charge et décharge pour passer (en simulation) cette mission. Cela est dû au fait qu'il n'y a que 1200 batteries au lieu de 1721 batteries. Sachant que ces limitations ne sont violées que pour cette mission particulièrement difficile, dont l'occurrence n'est pas régulière(1), une légère dégradation de cette dernière suffit pour respecter les limitations de courants. Néanmoins, pour parer à toute éventualité, nous utiliserons les maxima de courants donnés ci-dessus pour le dimensionnement des convertisseurs. En plus des maxima de courant, les maxima de tension interviennent dans le dimensionnement électrique de la locomotive.

$$ \begin{cases} v_{btmax} = \max(v_{bt}) = 1.59 \text{ V} \\ v_{btmin} = \min(v_{bt}) = 1.05 \text{ V} \end{cases} \qquad (4.70) $$

### ♦ La cellule de supercondensateur

Nous appliquons la même démarche aux supercondensateurs. La puissance par cellule est représentée à la figure 4.41. Considérons le modèle électrique simplifié de type R,C de la cellule de supercondensateur : il s'agit d'une résistance $r_{sc}$ en série avec une capacité $C_R$, comme le montre la figure 4.42. L'annexe C (§C.3, page 234) fournit les caractéristiques du supercondensateur EPCOS 5000 F/2.5 V étudié dans ce rapport.

La puissance $p_{sc}$ est divisée par la tension $v_{sc}^{(2)}$ pour calculer le courant $i_{sc}$, d'après la

<footnote>(1)LHyDIE est prioritairement destinée aux triages et aux dessertes légères.</footnote>
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Fig. 4.40: Evolution du courant et la tension sur une cellule de batteries</figcaption></figure>

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Fig. 4.41: Mission de puissance ramenée à la cellule de supercondensateur</figcaption></figure>

relation :

$$i_{sc} = \frac{1}{v_{sc}} p_{sc} \qquad (4.71)$$

<footnote>(2) Dans le modèle mathématique, la tension vsc permet d'avoir le courant isc qui par la suite permet de déterminer la tension vsc : cela constitue une boucle algébrique insoluble. Pour éviter cela, la tension vsc est retardée d'un pas de calcul et dévient vsc. Néanmoins, pour ne pas alourdir inutilement les calculs, nous utilisons vsc à la place vsc.</footnote>
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Fig. 4.42: Modèle électrique de type RC d'un supercondensateur</figcaption></figure>

Le courant $i_{sc}$ est ensuite intégré pour calculer la tension $v_c$ aux bornes de la capacité.

$$v_c(t) = v_0 - \frac{1}{C_R} \int_0^t i_{sc}(\tau) d\tau \qquad (4.72)$$

La prise en compte de la résistance interne permet d'avoir la tension $v_{sc}$.

$$v_{sc} = v_c(t) - r_{sc} \times i_{sc} \qquad (4.73)$$

La simulation du modèle de la figure 4.42 avec la mission de puissance ramenée à la cellule de supercondensateur $p_{sc}$ nous donne, à la figure 4.43, les courbes de tension $v_{sc}(t)$ et de courant $i_{sc}(t)$ sur la cellule de supercondensateur. Le courant maximum, charge et décharge confondues, vaut :

$$i_{scmax} = \max(|i_{sc}|) = 173 \text{ A} \qquad (4.74)$$

Ce courant est bien inférieur au maximum disponible dans le supercondensateur (> 800 A). En plus de ce courant, les maxima de tension interviennent dans le dimensionnement électrique de la locomotive.

$$\begin{cases} v_{scmax} = \max(v_{sc}) = 2.51 \text{ V} \\ v_{scmin} = \min(v_{sc}) = 1.32 \text{ V} \end{cases} \qquad (4.75)$$

Dans cette sous-section, nous avons développé de nouveaux modèles électriques statiques, que nous avons couplés avec les missions des packs stockage issues du modèle d'analyse en flux de puissance de la locomotive. Ces modèles électriques statiques, nous ont permis de ramener la mission du pack, à l'échelle de l'élément. Nous voulons insister sur le caractère indispensable de cette sous-section dans la démarche de conception. En effet, il est difficile, voire impossible, sans avoir déterminé l'organisation des éléments, de convertir le flux de puissance en grandeurs électriques (courant, tension). Le fait de ramener le problème à l'échelle de la cellule de stockage nous permis de contourner cette
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Fig. 4.43: Evolution du courant et la tension sur un élément supercondensateur</figcaption></figure>

difficulté. Les courants et tensions calculés pour une cellule nous permettrons de remonter aux packs, dans la sous-section suivante, pour dimensionner la disposition série/parallèle des éléments de stockage et les convertisseurs associés.

## 4.4.2 Tension du bus continu et disposition des éléments

La figure 4.44 montre, pour le pack de batteries, le schéma d'organisation des éléments. Les N<sub>BT</sub> batteries sont rangées en Np<sub>BT</sub> modules parallèles, constitués chacun de Ns<sub>BT</sub> éléments en série. Chaque module dispose de son hacheur<sup>(1)</sup>. Théoriquement, N<sub>BT</sub> est le produit de Ns<sub>BT</sub> par Np<sub>BT</sub><sup>(2)</sup>. Chaque élément de batterie conduit un courant i<sub>bt</sub> et admet une tension v<sub>bt</sub> (calculés à la section précédente). Virtuellement, le courant total I<sub>BT</sub> circulant dans le pack et la tension totale V<sub>BT</sub> du pack sont donnés par :

$$ egin{cases} I_{BT} = Np_{BT} \times i_{bt} \\ V_{BT} = Ns_{BT} \times v_{bt} \end{cases} \qquad (4.76) $$

<footnote><sup>(1)</sup>Pour éviter des problèmes de déséquilibre de courant, nous avons choisi d'éviter un regroupement de modules en parallèle sous le même hacheur. Par ailleurs, même pour un seul module, le hacheur peut être constitué de plusieurs bras parallèles entrelacés. Nous abordons en détail la structure des convertisseurs à la sous-section suivante.</footnote>

<footnote><sup>(2)</sup>Théoriquement seulement, car en réalité il est difficile de réaliser l'égalité systématique entre un entier et le produit de deux autres entiers. Nous allons procéder comme si ces variables étaient des réels, en les arrondissant au besoin.</footnote>
Par ailleurs, afin de profiter de toute la plage de variation de l'état de charge des packs, surtout du pack de supercondensateurs dont la tension varie dans de larges proportions, les convertisseurs sont abaisseurs, du bus aux éléments(1), ce qui impose que :

$$V_{BUS} > V_{BT} \qquad (4.77)$$

Plus encore, nous avons choisi de borner le rapport cycle des hacheurs entre $\alpha_{min}$ (7%) et $\alpha_{max}$ (93%)(2). Ces valeurs sont couramment pratiquées et leur justification ne nous paraît pas indispensable. Retenons qu'il est toujours possible de réajuster ces limitations de rapport cyclique, si cela s'impose par la suite. De fait,

$$\alpha_{min} V_{BUS} \le V_{BT} \le \alpha_{max} V_{BUS} \qquad (4.78)$$

Soit, d'après Eq.4.76 :

$$\alpha_{min} V_{BUS} \le Ns_{BT} \times v_{bt} \le \alpha_{max} V_{BUS} \qquad (4.79)$$

Plus concrètement, la condition Eq.4.78 s'écrit :

$$\frac{\alpha_{min}}{v_{btmin}} V_{BUS} \le Ns_{BT} \le \frac{\alpha_{max}}{v_{btmax}} V_{BUS} \qquad (4.80)$$

Les variables $v_{btmin}$ et $v_{btmax}$ sont respectivement les bornes inférieure et supérieure du profil de tension $v_{bt}(t)$ calculé pour un élément de batterie. Elles sont introduites à la section précédente. Désignons par $Ns_{BTmin}$ et $Ns_{BTmax}$, les valeurs limites du nombre de cellules en série.

$$\left\{ \begin{array}{l} Ns_{BTmin} = \frac{\alpha_{min}}{v_{btmin}} V_{BUS} \\ Ns_{BTmax} = \frac{\alpha_{max}}{v_{btmax}} V_{BUS} \end{array} \right. \qquad (4.81)$$

Avec les valeurs numériques établies à la section précédente : $v_{btmin} = 1.05$ V et $v_{btmax} = 1.59$ V, et avec la limitation du rapport cyclique entre 7% et 93%, il est facile, une fois la tension de bus choisie, de calculer grâce à l'équation Eq.4.81, les valeurs limites du nombre d'éléments en série dans le pack de batteries.

En entreprenant la même démarche avec les supercondensateurs, nous avons établi :

$$\left\{ \begin{array}{l} Ns_{SCmin} = \frac{\alpha_{min}}{v_{scmin}} V_{BUS} \\ Ns_{SCmax} = \frac{\alpha_{max}}{v_{scmax}} V_{BUS} \end{array} \right. \qquad (4.82)$$

<footnote>(1) L'utilisation de convertisseurs élévateurs, du bus aux éléments, limiterait la plage de variation de la tension des supercondensateurs.</footnote>

<footnote>(2) Le choix de ces limitations est motivé par la considération du temps mort entre les commutations des IGBTs et des fréquences de découpage traditionnellement pratiquées dans des applications similaires. Ces limitations ont été obtenues par ajustage a posteriori.</footnote>
<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Fig. 4.44: Disposition des cellules de batteries dans le pack</figcaption></figure>

Avec les valeurs numériques établies à la section précédente : $v_{scmin} = 1.32$ V et $v_{scmax} = 2.51$ V, et avec la limitation du rapport cyclique entre 7% et 93%, il est possible, une fois la tension de bus choisie, de calculer grâce à l'équation Eq.4.82 les valeurs limites du nombre d'éléments en série dans le pack de supercondensateurs.

Notons par ailleurs, pour des raisons de sécurité, que les autorités de la SNCF nous ont imposé que le démonstrateur reste de classe 3, c'est-à-dire qu'aucune tension à bord de l'engin ne dépasse la valeur limite de 750 V(1). De fait la tension du bus doit rester en dessous de 750 V. En prenant une marge(2) de 100 V par rapport à cette tension limite, nous avons :

$$V_{BUS} \le 650 \text{ V} \qquad (4.83)$$

En considérant que le groupe Diesel embarqué délivre une tension alternative normalisée de 380 volts entre phases, la SNCF a décidé que la tension du bus continu doit correspondre à la tension composée 380 V redressée (double alternance), soit 540 V continu. Ce choix, pratiquement arbitraire, n'est pas vraiment l'idéal. Nous montrons au chapitre 6 sur l'optimisation que ce choix n'est pas optimal, selon le critère de volume des convertisseurs. L'idéal serait de prendre la valeur maximale possible, c'est-à-dire 650 V pour la tension de bus, afin de minimiser les pertes dans les convertisseurs et de réduire la taille

<footnote>(1)Au-delà de 750 V et jusqu'à 2000 V, la locomotive passe dans la classe 4 et sa maintenance nécessiterait des précautions spécifiques.</footnote>

<footnote>(2)Une marge de 100 V garantit, sauf accident grave, que même en cas de surtension, la tension de bus continu reste dans les limites fixées par la norme.</footnote>
des dissipateurs thermiques. Néanmoins, nous continuons la conception sur la base de ce choix. D'après les équations Eq.4.81 et Eq.4.82, avec une tension de bus continu régulée à 540 V, nous avons :

$$ \begin{cases} 37 \le N_{s_{BT}} \le 366 \\ 4 \le N_{p_{BT}} \le 33 \\ N_{s_{BT}} \times N_{p_{BT}} \approx 1200 \end{cases} \quad \begin{cases} 31 \le N_{s_{SC}} \le 200 \\ 8 \le N_{p_{SC}} \le 52 \\ N_{s_{SC}} \times N_{p_{SC}} \approx 1600 \end{cases} \quad (4.84) $$

Le choix de la tension de bus de 540 V impose un nombre maximum de modules en série, soit un nombre minimum de modules en parallèle fixé à 4 pour le pack de batteries et 8 pour le pack de supercondensateurs. La SNCF a choisi la configuration :

$$ \begin{cases} N_{s_{BT}} = 300 & N_{p_{BT}} = 4 \\ N_{s_{SC}} = 200 & N_{p_{SC}} = 8 \end{cases} \quad (4.85) $$

La figure 4.45 montre la configuration électrique de LHyDIE. Le démonstrateur embarque 8 modules de supercondensateurs et 4 modules de batteries équipés chacun de son hacheur. Les contraintes de courant et de tension sont illustrées sur la figure 4.45. Au vu de ces résultats, la SNCF a décidé de standardiser les convertisseurs pour faciliter la production, cette solution permettant par ailleurs une grande modularité et interchangeabilité des modules(1). De fait, le seul hacheur dimensionné est celui subissant la plus forte contrainte : il s'agit du hacheur de modules batteries intercalé entre une tension de bus de 540 V et une tension de module variant entre 315 V et 477 V. Le courant en sortie de ce hacheur est de 415 A en décharge et -156 A en charge. Ces données sont utilisées pour le dimensionnement des convertisseurs et des éléments passifs associés.

### 4.4.3 Dimensionnement des hacheurs et les éléments de filtrage

La conception et le développement des hacheurs de stockage ont été confiés à l'INRETS, sur la base des courants et tensions caractéristiques que nous avons calculés à la sous-section précédente. Néanmoins, pour les besoins de la phase d'optimisation, nous avons abordé en détails, au chapitre 6, les questions de dimensionnement pour la conception optimale des convertisseurs. Dans ce chapitre-ci, en l'occurrence, dans la présente sous-section, nous présentons quelques détails relatifs au dimensionnement des convertisseurs.

#### ♦ Hacheurs entrelacés

La figure 4.46 montre la structure du hacheur de stockage à trois bras entrelacés, proposé par l'INRETS. Chaque bras de hacheur est muni d'une inductance de lissage de courant (L) et d'une capacité de découplage (C) en entrée. Les courants par bras sont $(i_{sj})_{j=1,2,3}$ et la somme des courants fait :

$$ I_s = \sum_{j=1,2,3} i_{sj} \quad (4.86) $$

<footnote>(1)LHyDIE étant une locomotive de démonstration, des évolutions futures sont prévisibles. Une standardisation des hacheurs permettrait des remplacements entre modules de supercondensateurs et modules de batteries. Par ailleurs, la standardisation est aussi un gain de temps de développement. Mais elle est loin d'être optimale.</footnote>
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Fig. 4.45: Configuration électrique du démonstrateur LHyDIE</figcaption></figure>

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Fig. 4.46: Structure du convertisseur de stockage à plusieurs bras entrelacés</figcaption></figure>

L'intérêt de l'entrelacement est la réduction des ondulations de courant obtenue par décalage angulaire (ici $2\pi/3$) des signaux de commande, d'un bras à l'autre [49]. Comme le montre la figure 4.47, la fréquence de découpage apparente du courant $I_s$ vaut trois fois celle réelle des courants de bras ($i_{sj}$)$_{j=1,2,3}$. A l'aide de modèles électriques instantanés, nous avons établi que la réduction des ondulations de courant :

$$r_{ond} = \frac{\Delta I_s}{\Delta i_s} \qquad (4.87)$$

évolue en fonction du rapport cyclique $\alpha$ (figure 4.47). Sachant que la tension du pack du module de batteries varie entre 315 V et 477 V ($\alpha$ évolue entre 0.58 et 0.88), nous établissons que le gain maximal d'ondulation vaut $r_{ond}=0.75$ (pour le pire des cas, c'est-à-dire $\alpha =$
<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Fig. 4.47: Courants dans un hacheur à trois bras entrelacés</figcaption></figure>

0.88). Ce gain est assez faible pour un entrelacement à trois bras. C'est, encore une fois, le choix de la tension de bus et du nombre d'éléments en série qui est en cause. Au chapitre 6, nous montrerons que ces choix doivent s'inscrire dans une démarche d'optimisation globale.

### ♦ Ondulations de courant et de tension

La proposition de l'INRETS pour le dimensionnement des hacheurs de stockage est la suivante :

- Le bras de hacheur est un IGBT Dual FF450R12ME3 (1200 V, 450 A) de EUPEC-Infineon (cf. §C.4);

- Les inductances de lissage font (L) 600 µH chacune;

- Les capacités d'entrée font (C) 600 µF chacune;

- La fréquence de découpage vaut ($F_{dec}$) 2 kHz.

Normalement, l'ondulation de courant est maximale pour $\alpha = 0.5$. Étant donné que $\alpha$ évolue entre 0.58 et 0.88, l'ondulation maximale est obtenue pour la valeur critique $\alpha_{cr} = 0.58$. L'ondulation maximale de courant par bras vaut [49] :

$$ \Delta i_s = \frac{\alpha_{cr}(1 - \alpha_{cr})V_{BUS}}{L \times F_{dec}} = \frac{0.58 \times 0.42 \times 540}{600e^{-6} \times 2e^{3}} = 110 \text{ A} \qquad (4.88) $$

L'ondulation maximale du courant global vaut :

$$ \Delta I_s = r_{ond} \times \Delta i_s = 0.75 \times 110 \text{ A} = 83 \text{ A} \qquad (4.89) $$
Lorsque le courant global prend sa valeur maximale de 415 A, le courant maximal par bras est de :

$$i_{smax} = \frac{1}{3}I_{smax} + \frac{1}{2}\Delta i_s = \frac{1}{3} \times 415 + \frac{1}{2} \times 83 = 180 \text{ A} \qquad (4.90)$$

Ce courant est bien inférieur à la limite de 450 A admissible par les IGBTs.

L'ondulation maximale de tension en entrée de chaque bras vaut(1) :

$$\Delta V_{BUS} = \frac{\alpha_{cr}(1 - \alpha_{cr})i_s}{C \times F_{dec}} = \frac{0.58 \times 0.42 \times 415/3}{600e^{-6} \times 2e^3} = 28 \text{ V} \qquad (4.91)$$

### 4.4.4 Conclusion

Dans cette section, nous avons procédé au dimensionnement électrique du démonstrateur LHyDIE. Nous avons présenté notamment la détermination de la disposition série/parallèle des packs de stockage et notre contribution au choix de la tension du bus DC ainsi au dimensionnement des convertisseurs. Quelques valeurs clés liées au dimensionnement des convertisseurs ont été présentées.

### 4.5 Conclusion

Ce chapitre vient compléter le chapitre 3 consacré à la synthèse du dimensionnement énergétique et de la gestion de la locomotive hybride. Nous avons présenté le modèle d'analyse en flux de puissance de la locomotive hybride. Ce modèle combiné à un jeu de cinq critères de faisabilité nous a permis d'évaluer et d'analyser les solutions issues de la phase de synthèse. A l'issue de cette analyse, nous avons présenté le choix de la configuration du démonstrateur LHyDIE. Nous avons aussi abordé dans ce chapitre un modèle plus détaillé que le modèle en flux de puissance, le modèle électrique statique, qui a permis, à partir des résultats des modèles en flux de puissance, d'aller plus loin dans la conception et de procéder au dimensionnement électrique du démonstrateur LHyDIE. Nous avons notamment déterminé la disposition série/parallèle des cellules de stockage et contribué au choix de la tension de bus continu ainsi qu'au dimensionnement des convertisseurs.

<footnote>(1) Normalement, il y a un effet bénéfique de l'entrelacement sur les ondulations de tension [49]. Nous raisonnons dans ce rapport, par souci de simplification, comme si les bras de hacheurs étaient complètement indépendants, du moins pour ce qui concerne les ondulations de tension.</footnote>
# Chapitre 5

## Développement du contrôle-commande et de la gestion en temps réel

Au chapitre 3 de ce mémoire, nous avons synthétisé le dimensionnement et la gestion énergétiques de la locomotive hybride. A l'issue de cette première phase de synthèse, un ensemble $\Omega_{config}$ de 4800 configurations possibles a été retenu. Dans le chapitre 4, l'analyse de ces configurations, à travers une étude de faisabilité et de performance, nous a permis de réduire $\Omega_{config}$ à un ensemble $\Omega_{pareto}$ d'une trentaine de configurations optimales au sens de Pareto. A la suite de cette analyse, un choix de configuration a été fait : un groupe Diesel de 215/236 kW, 1200 batteries de type FNC 1502 HR et 1600 supercondensateurs de type EPCOS 5000 F/2.5 V, pour le démonstrateur LHyDIE. Ensuite, nous avons présenté le dimensionnement électrique de LHyDIE : choix de la tension du bus continu, disposition des éléments de stockage, dimensionnement des convertisseurs et des filtres associés.

Dans ce chapitre, nous abordons la dernière phase de la conception séquentielle par le développement du contrôle-commande et la mise en œuvre de la gestion en temps réel. Ce chapitre est organisé en plusieurs sections. La première (§5.1) fait l'état des lieux de quelques problématiques liées au contrôle-commande de la locomotive et à la mise en œuvre de la gestion en temps réel. Au nombre de ces problématiques, nous pouvons citer : la difficulté à estimer l'état de charge des batteries, l'auto-adaptation de la fréquence de filtrage des missions, la mise en œuvre de la compensation des pertes dans les supercondensateurs, etc. La deuxième section (§5.2) présente le modèle électrique dynamique moyen des modules de stockage et des convertisseurs associés. La section 5.3 présente l'architecture électrique globale, le calcul des régulateurs et le choix des bandes passantes. La section 5.4 aborde la gestion énergétique en temps réel. Nous présentons notamment les algorithmes décisionnels relatifs au pilotage du groupe Diesel et l'auto-adaptation du filtre des missions. Quelques résultats de simulation seront analysés à la section 5.5, puis vient la conclusion (§5.6).
## 5.1 État des lieux

Cette section fait l'état des lieux de quelques problématiques liées au contrôle-commande de la locomotive et la mise en œuvre de la gestion en temps réel. Nous présentons en 6 sous-sections les problématiques impliquées dans la mise au point du contrôle-commande et le développement de la gestion en temps réel. Afin de garder une clarté dans la rédaction de ce chapitre, plusieurs aspects seront simplifiés pour ne laisser paraître que les points critiques nécessaires à la compréhension de notre démarche.

### 5.1.1 Estimation de l'état de charge des batteries

Dans le modèle d'analyse en flux de puissance et le modèle électrique moyen statique développés au chapitre 4, nous avons supposé connu l'état de charge exact des packs de stockage. D'ailleurs, plusieurs fonctions telles que le contrôle dynamique de la charge et de la décharge ou encore la gestion du groupe Diesel sont basées sur la connaissance de l'état de charge des packs de stockage. En pratique, la mesure de la tension du pack de supercondensateurs permet d'en estimer l'état de charge, avec une faible erreur relative. Mais, dans le cas des batteries, la situation est beaucoup plus compliquée. En effet, pour une large plage de son état de charge (30% à 90%), la tension d'une batterie reste quasi-stationnaire (voir figure 4.38, page 148)⁽¹⁾, ce qui rend difficile l'estimation de l'état de charge des batteries à partir de la mesure de leur tension. De plus, la température a une influence sur la capacité et la tension des batteries. Plusieurs algorithmes existent qui permettent d'estimer l'état de charge des batteries à partir de l'historique du courant, de la tension et de la température [50, 51]. Mais ces algorithmes sont très complexes et demandent un paramétrage différent selon les technologies de batteries. Par conséquent, nous n'envisageons pas de les utiliser pour cette application. En général, on estime l'état de charge des batteries en calculant en temps réel l'énergie stockée, sur la base du modèle R,E de la batterie. Le calcul est réinitialisé à chaque fois que l'on repère la fin de charge (grâce à la tension de la batterie). Cette technique souffre de quelques insuffisances : d'une part, elle ne tient pas compte de la température ; d'autre part, l'estimation des pertes étant nécessairement approximative, plus on s'éloigne du point de repérage de la pleine charge, plus on s'écarte de l'état de charge réel des batteries. Pour prendre en compte cette incertitude sur l'estimation des états de charge, tous les étages de décision basés sur cette estimation prennent en compte le taux d'imprécision : par exemple 85% ±2% (soit 83% à 87%).

### 5.1.2 Auto-adaptation de la fréquence de filtrage

Nous avions mis en évidence, à la section 3.5.4 (page 78), que la fréquence de filtrage des missions, pour un nombre donné de supercondensateurs, varie selon la nature de la mission. En particulier, comme le montre la figure 5.1, avec les 1600 supercondensateurs du démonstrateur LHyDIE, la fréquence de filtrage évolue, selon la mission, entre 1 mHz

<footnote>⁽¹⁾Les caractéristiques des batteries étudiées dans ce rapport sont données à l'annexe C.</footnote>
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Fig. 5.1: Evolution de la fréquence de filtrage en fonction de la mission</figcaption></figure>

et 10 mHz. Il est possible de figer cette fréquence définitivement à 10 mHz et passer l'ensemble des missions sans "taper" dans les butées énergétiques des supercondensateurs$^{(1)}$. Mais, dans ce cas, les supercondensateurs seront sous-utilisés lors des missions de triage. Pour optimiser, quelle que soit la mission, l'utilisation des supercondensateurs, il convient d'adapter la fréquence à cette mission. En outre, il peut arriver que l'un ou plusieurs des 8 modules de supercondensateurs soient défaillants. Dans ce cas, il est nécessaire, pour le bon fonctionnement de la locomotive, d'adapter la fréquence de filtrage aux modules de supercondensateurs restants.

Pour remédier à tous ces problèmes, nous avons développé un processus d'auto-adaptation de la fréquence de filtrage dont le but est d'une part de prendre en compte l'état de marche ou de défaillance des modules de supercondensateurs et d'autre part d'observer sur les modules en état de marche l'évolution de leur état de charge afin d'adapter en temps réel la fréquence de filtrage des missions. Ce processus est étudié à la section 5.4.2.

### 5.1.3 Compensation des pertes du pack de supercondensateurs

Rappelons que, dans les modèles de synthèse et d'analyse en flux de puissance, la compensation des pertes du pack de supercondensateurs est basée sur une estimation de ces dernières (cf. §3.5.2, page 72). Cette estimation est rendue possible par le fait que, dans ces modèles, les pertes énergétiques sont modélisées par des rendements moyens constants.

<footnote>(1) Il y a deux butées énergétiques : butée inférieure à 22% d'état de charge, butée supérieure à 97% d'état de charge.</footnote>