Etant donnée une famille d'ensembles $X_ξ \subset \mathcal{C}$, avec $ξ \in \mathbb{E}$, ap-
pelons résultat de l'opération $\mathcal{N}$, effectué sur les ensembles $X_ξ$, la
somme

$$
S = \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi}
$$

(la famille $G_ξ$ étant considérée comme fixe).

Théorème. L'opération $\mathcal{N}$ est additive, multiplicative et, dans
le cas où $\mathcal{C}=\sum_{\xi} K_{\xi}$, soustractivee.

Démonstration. L'additivité de l'opération $\mathcal{N}$ est immédiate:
elle signifie que l'égalité $X_{\xi} = \sum_{\alpha} X_{\xi}^{\alpha}$ (où $\alpha$ parcourt un ensemble
d'indices arbitraire) entraîne

$$
(3) \quad \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} \sum_{\alpha} X_{\xi}^{\alpha} K_{\xi} = \sum_{\alpha} \sum_{\xi} X_{\xi}^{\alpha} K_{\xi}.
$$

Pour démontrer que l'opération $\mathcal{N}$ est multiplicative, posons
$X_{\xi} = \prod_{\alpha} X_{\xi}^{\alpha}$. Il vient <fnref n="1" />), en vertu de (2)

$$
(4) \quad \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} \prod_{\alpha} X_{\xi}^{\alpha} K_{\xi} = \prod_{\alpha} \sum_{\xi} X_{\xi}^{\alpha} K_{\xi}.
$$

Enfin, en posant $X_ξ = \mathcal{C} - X'_ξ$, il vient

$$
(5) \quad \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} (K_{\xi} - X'_{\xi}) = \sum_{\xi} K_{\xi} - \sum_{\xi} K_{\xi} X'_{\xi},
$$

car, d'une part

$$
K_{\xi} = K_{\xi} X_{\xi} + K_{\xi} X'_{\xi}, \quad \text{d'où} \quad \sum_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} K_{\xi} X_{\xi} + \sum_{\xi} K_{\xi} X'_{\xi}
$$

et d'autre part, selon (2)

$$
(K_{\xi} X_{\xi}) \cdot (K_{\eta} X'_{\eta}) = 0, \quad \text{d'où} \quad \left( \sum_{\xi} K_{\xi} X_{\xi} \right) \cdot \left( \sum_{\xi} K_{\xi} X'_{\xi} \right) = 0.
$$

Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-séparables.

Par

Casimir Kuratowski (Warszawa).

Dans la note précédente <fnref n="1" />), M. Montgomery a étendu à l'aide
d'une méthode très intéressante plusieurs théorèmes qui n'étaient
établis jusqu'à présent que pour les espaces séparables aux espaces
métriques les plus généraux: séparables ou non. Dans le même
ordre d'idées je vais établir quelques résultats nouveaux et je vais
démontrer, en me servant des symboles logiques, plusieurs énoncés
de M. Montgomery d'une façon qui me paraît bien simple. En
outre, je vais étudier de plus près quelques problèmes non résolus
concernant les espaces non-séparables. A cette occasion je vais dé-
montrer que tout espace métrique borné se laisse prolonger en un
espace vectoriel normé et complet (ce qui implique — du moins
pour les espaces bornés — le théorème bien connu de M. Hausdorff
sur le prolongement des espaces métriques en espaces complets).

1. L'opération $\mathcal{N}$, considérée par M. Montgomery.

Soit {$G_ξ$} une famille de sous-ensembles d'un ensemble donné $\mathcal{C}$
(l'espace), l'indice $ξ$ parcourant un ensemble ordonné $\mathbb{E}$. Posons,
pour abréger

$$
(1) \qquad K_{\xi} = G_{\xi} - \sum_{\eta < \xi} G_{\eta}, \\
\text{d'où}
$$

$$
(2) \quad K_{\xi} K_{\eta} = 0 \quad \text{pour } \xi \neq \eta.
$$

<footnote n="1">¹) d'après la règle générale suivante: si quels que soient $\alpha, \beta$ et $\eta \neq \xi$, on a
$A_{\xi,\alpha} \cdot A_{\eta,\beta} = 0$, alors $\sum_{\xi} \Pi_{\alpha} A_{\xi,\alpha} = \Pi_{\alpha} \sum_{\xi} A_{\xi,\alpha}$.</footnote>

<footnote>En effet, si $p \in \Pi_{\alpha} \sum_{\xi} A_{\xi,\alpha}$, à chaque $\alpha$ correspond un $\xi_{\alpha}$ tel que $p \in A_{\xi_{\alpha},\alpha}$.
Par hypothèse, tous les $\xi_{\alpha}$ ont une valeur commune $\xi$ (pour $p$ fixe) et il vient
$p \in \Pi_{\alpha} A_{\xi,\alpha} \subset \sum_{\xi} \Pi_{\alpha} A_{\xi,\alpha}$.</footnote>

<footnote n="1">¹) Non-separable metric spaces, ce vol., p. 527.</footnote>
2 a. Cas où l'ensemble $\mathcal{E}$ est bien ordonné. Dans ce cas la propriété d'être un $G_\delta$ est un invariant de l'opération $\mathfrak{A}$.

En effet, les ensembles $K_\xi$, définis par la formule (1), satisfont alors à l'égalité

$$ (7) \quad \sum_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} G_{\xi}, \quad \text{d'où} \quad \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi} = \sum_{\xi} G_{\xi} - \sum_{\xi} X'_{\xi} K_{\xi}, $$
en vertu de (5). L'ensemble $\Sigma X'_{\xi} K_{\xi}$ étant un $F_{\sigma}$ (cf. N° 2, 1°), l'ensemble $S = \Sigma X_{\xi} K$ est un $G_{\delta}$.

*Remarque.* L'hypothèse du bon ordre est essentielle.

Soient, en effet, $X_\xi = \mathcal{E} = \text{l'intervalle } 0 \le x \le 1, \mathcal{E}$ l'ensemble non-dense de Cantor, $G_\xi$ l'intervalle $0 \le x < \xi$. On voit aussitôt que, lorsque $\xi$ n'est pas une extrémité droite d'un intervalle contigu, l'ensemble $K_\xi = G_\xi - \sum_{\eta<\xi} G_\eta$ est vide, tandis que, dans le cas contraire, il coïncide avec cet intervalle contigu (ouvert) augmenté de son extrémité gauche. L'ensemble $S$ est donc somme de tous les intervalles contigus (ouverts) et de leurs extrémités gauches. Evidemment $S$ n'est pas un $G_\delta$ (puisque les extrémités gauches ne constituent pas un $G_\delta$).

La formule (7) conduit à une application intéressante concernant la localisation des propriétés invariantes relativement à l'opération $\mathfrak{A}$ (l'ensemble $\mathcal{E}$ étant supposé bien ordonné). Soit notamment $\mathcal{P}$ une propriété de ce genre et désignons par $E_\rho$ l'ensemble des points $x$ de $\mathcal{E}$ pour lesquels il existe un ensemble ouvert $G(x)$ contenant $x$ et tel que $E \cdot G(x)$ jouit de la propriété $\mathcal{P}$. L'ensemble $E_\rho$ jouit alors de la propriété $\mathcal{P}^1$).

En effet, rangeons tous les ensembles $G(x)$ en une suite transfinie $G_1, G_2, \dots, G_\xi, \dots$ et posons $X_\xi = E G_\xi$. Il vient

$$ E_\rho = \sum_{\xi} E G_{\xi} = \sum_{\xi} E K_{\xi} = \sum_{\xi} X_{\xi} K_{\xi}. $$

L'ensemble $X_\xi$ jouissant de la propriété $\mathcal{P}$, l'invariance de cette propriété par rapport à l'opération $\mathfrak{A}$ implique que $E_\rho$ en jouit également.

3. Un théorème sur les fonctions propositionnelles de deux variables. Soit $\mathcal{E}$ un espace métrique arbitraire. Imaginons le bien ordonné en une suite transfinie $p_1, p_2, \dots, p_\xi, \dots$. Soit $G_1, G_2, \dots, G_\xi, \dots$ une suite d'ensembles ouverts tels que $\mathcal{E} = \sum_{\xi} G_\xi$. A chaque point $x$ de l'espace faisons correspondre l'indice minimum $\xi(x)$ tel que $x \in G_{\xi(x)}$. Posons $w(x) = p_\xi(x)$. On a donc l'équivalence:

$$ (8) \quad \{p_\xi = w(x)\} = \{x \in G_\xi - \sum_{\eta<\xi} G_\eta\} = \{x \in K_\xi\}. $$

Soit $\mathcal{P}$ une propriété d'ensembles invariante par rapport à l'opération $\mathfrak{A}$ (l'ensemble $\mathcal{E}$ étant supposé bien ordonné) et par rapport à la multiplication cartésienne <fnref n="1" />) par l'espace $\mathcal{E}^2$). Les applications à la Théorie des fonctions faites par M. Montgomery de sa méthode reposent, au fond, sur le théorème suivant:

*Théorème.* Étant donnée une fonction propositionnelle $\varphi(x, y)$ de deux variables (parcourant l'espace $\mathcal{E}$), si quel que soit $x$, l'ensemble $\mathcal{E} \varphi(x, y)$ jouit de la propriété $\mathcal{P}$, l'ensemble $\mathcal{E}_{xy} \varphi[w(x), y]$ en jouit également.

*Démonstration.* En employant, comme d'habitude, l'opérateur logique $\Sigma$ dans le sens : „il existe un $\xi$ tel que...”, on a les équivalences :

$$ \varphi[w(x), y] = \sum_{\xi} \varphi(p_{\xi}, y) [p_{\xi} = w(x)] = \sum_{\xi} \varphi(p_{\xi}, y) \left[ x \in \left( G_{\xi} - \sum_{\eta<\xi} G_{\eta} \right) \right]. $$

Il vient <fnref n="3" />)

$$ \begin{aligned} \mathcal{E}_{xy} \varphi[w(x), y] &= \mathcal{E}_{xy} \sum_{\xi} \varphi(p_{\xi}, y) \left[ x \in \left( G_{\xi} - \sum_{\eta<\xi} G_{\eta} \right) \right] = \\ &= \sum_{\xi} \left\{ \mathcal{E}_{xy} \varphi(p_{\xi}, y) \cdot \mathcal{E}_{xy} x \in \left( G_{\xi} - \sum_{\eta<\xi} G_{\eta} \right) \right\} = \\ &= \sum_{\xi} \left\{ \mathcal{E}_{xy} \varphi(p_{\xi}, y) \cdot \mathcal{E}_{xy} (x \in G_{\xi}) - \sum_{\eta<\xi} \mathcal{E}_{xy} x \in G_{\eta} \right\}. \end{aligned} $$

<footnote n="1">¹) Cf. Montgomery, I, cit. et S. Banach, Fund. Math. 16, p. 395 (localisation de la notion de première catégorie).</footnote>

<footnote n="1">¹) Le „produit cartésien“ $A \times B$ des ensembles $A$ et $B$ se compose par définition des couples $(a, b)$ où $a \in A$ et $b \in B$. Voir par ex. Topologie I, p. 7.</footnote>

<footnote n="2">²) Telles sont en particulier les propriétés 1º—4º du N 2 (cf. 1, cit. p. 140, III et 161). Cependant la propriété de Baire *au sens restreint* n'est pas invariante par rapport à la multiplication cartésienne par l'espace (du moins si l'on admet l'hypothèse du continu). Cf. W. Sierpiński, Fund. Math. 22, p. 54.</footnote>

<footnote n="3">³) Pour les règles du calcul avec l'opérateur $\Sigma$, d'ailleurs très simples, voir par ex. Topologie I, §§ 1 et 2.</footnote>
Posons $E\varphi(p_{\xi}, y) = X_{\xi}$ et $E x \in G_{\xi} = G_{\xi}^*$.

Par conséquent $X_{\xi} = \mathcal{A} \times E\varphi(p_{\xi}, y)$ et $G_{\xi}^* = \mathcal{A} \times G_{\xi}$, d'où on conclut que $G_{\xi}^*$ est un ensemble ouvert (dans l'espace $\mathcal{A} \times \mathcal{A}$) et que $X_{\xi}$ jouit de la propriété $P$.

Il vient, en même temps,

$$E_{xy} \varphi[w(x), y] = \sum_{\xi} (X_{\xi} G_{\xi}^* - \sum_{\eta < \xi} G_{\eta}^*)$$

et la propriété $P$ étant invariante par rapport à l'opération $\mathcal{A}$, elle appartient à l'ensemble $E_{xy} \varphi[w(x), y]$.

**4. Applications à la Théorie des fonctions.** Considérons, à présent, le cas où $G_{\xi}$ est la sphère (ouverte) de centre $p_{\xi}$ et de rayon $1/n$. Désignons par $w_n(x)$ la fonction $w(x)$ de la formule (8). On a évidemment

$$(9) \quad |w_n(x) - x| < 1/n \quad \text{d'où} \quad \lim_{n \to \infty} w_n(x) = x.$$

Nous établirons, à présent, les deux théorèmes de M. Montgomery.

1) Toute fonction de deux variables $f(x, y)$, continue par rapport à $x$ et de classe $\alpha > 0$<fnref n="1" />) par rapport à $y$<fnref n="2" />), est de classe $\alpha + 1$ (par rapport à $x, y$).

Il s'agit de démontrer que, $F$ étant un ensemble fermé, l'ensemble $E_{xy} \{f(x, y) \in F\}$ est de classe $\alpha + 1$ multiplicative.

Or, désignons par $S_n$ la sphère ouverte de centre $F$ et de rayon $1/n$.

D'une façon générale, si la suite $z_1, z_2, \dots$ converge vers $z$, on a l'équivalence <fnref n="3" />)

$$\{z \in F\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_n \mathop{\mathrm{\Sigma}}\limits_k z_{n+k} \in S_n.$$

Donc, en posant $z = f(x, y)$ et $z_n = f[w_n(x), y]$ et en tenant compte de l'égalité $\lim_{n \to \infty} f[w_n(x), y] = f[\lim_{n \to \infty} w_n(x), y] = f(x, y)$, qui résulte de la

continuité de la fonction $f$ par rapport à $x$ et de l'égalité (9), — il vient

$$\{f(x, y) \in F\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_n \mathop{\mathrm{\Sigma}}\limits_k f[w_{n+k}(x), y] \in S_n,$$

d'où

$$E_{xy} \{f(x, y) \in F\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_{n=1}^{\infty} \mathop{\mathrm{\Sigma}}\limits_{k=1}^{\infty} E_{xy} \{f[w_{n+k}(x), y] \in S_n\}.$$

Posons dans le théorème du N° 3

$$\varphi(x, y) = \{f(x, y) \in S_n\}.$$

L'ensemble $E\varphi(x, y)$ étant, pour chaque $x$, de classe $\alpha$ additive (puisque la fonction $f$ est de classe $\alpha$ par rapport à $y$), il en est de même de l'ensemble $E\varphi[w_{n+k}(x), y]$. L'ensemble $E_{xy}\{f(x, y) \in F\}$ est donc de classe $\alpha + 1$ multiplicative, c. q. f. d.

D'une façon analogue, toute fonction de deux variables, continue par rapport à une et jouissant de la propriété de Baire (au sens large) <fnref n="1" />) par rapport à l'autre, jouit de la propriété de Baire.

2) La fonction $f(x)$ étant de classe $\alpha$, l'ensemble $I = E_{xy}\{y = f(x)\}$ est de classe $\alpha$ multiplicative.

En effet, l'inégalité (9) entraîne l'équivalence

$$\{a = b\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_n |w_n(a) - b| \le 1/n,$$

d'où

$$\{y = f(x)\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_n |w_n(y) - f(x)| \le 1/n,$$

et

$$I = E_{xy} \{y = f(x)\} = \mathop{\mathrm{\Pi}}\limits_{n=1}^{\infty} E_{xy} \{|w_n(y) - f(x)| \le 1/n\}.$$

Posons dans le théorème du N° 3

$$\varphi(x, y) = \{|y - f(x)| \le 1/n\}.$$

L'ensemble $E\varphi(x, y)$ étant, pour chaque $y$, de classe $\alpha$ multi-

<footnote n="1">¹) Pour $\alpha = 0$, voir Topologie I, p. 181.</footnote>

<footnote n="2">²) Une fonction $y = f(x)$ est dite de classe $\alpha$, lorsque l'ensemble $E_x f(x) \in F$ est de classe $\alpha$ multiplicative (c. à d. $F_\alpha$ ou $G_\alpha$ suivant que $\alpha$ est pair ou impair), quel que soit l'ensemble fermé $F$ situé dans l'espace des $y$.</footnote>

<footnote n="3">³) Ibid., p. 184 (i).</footnote>

<footnote n="1">¹) Une fonction $f$ jouit de la propriété de Baire, lorsque, pour chaque $F$ fermé, l'ensemble $E\{f(x) \in F\}$ jouit de cette propriété.</footnote>
plicative (puisque $f$ est de classe $\alpha$), il en est de même <fnref n="1" />) de l'ensemble $E \varphi [x, w_n(y)] = E \{|w_n(y) - f(x)| \le \frac{1}{n}\}$.

L'ensemble $I$ est donc de classe $\alpha$ multiplicative.

D'une façon analogue, si $f$ jouit de la propriété de Baire au sens large, $I$ en jouit également.

**5. Problème de la représentation analytique.** Etant donnée une fonction $f(x)$ de $I^{re}$ classe <fnref n="2" />) qui transforme l'espace $\mathcal{C}$ en l'espace $\mathcal{Y}$, existe-t-il un espace $\mathcal{Y}^*$ qui contient topologiquement $\mathcal{Y}$ et une suite de fonctions continues $f_n(x)$ dont les valeurs appartiennent à $\mathcal{Y}^*$ telles que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \ne$

Ce problème n'est résolu jusqu'à présent que dans l'hypothèse que l'espace $\mathcal{Y}$ est séparable: dans ce cas on peut admettre pour $\mathcal{Y}^*$ l'espace de Hilbert <fnref n="3" />). Si la solution du problème est positive, on pourra en déduire que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction de $I^{re}$ classe est de $I^{re}$ catégorie <fnref n="4" />), théorème qui n'est établi que pour $\mathcal{Y}$ séparable <fnref n="5" />).

Il est, peut-être, intéressant de remarquer que le problème considéré se laisse réduire au suivant: étant donnée une fonction $f(x)$ de $I^{re}$ classe qui transforme l'espace $\mathcal{C}$ en sous-ensemble d'un espace $\mathcal{Y}$ vectoriel normé et complet <fnref n="6" />), existe-t-il une suite de fonctions continues $f_n(x)$ dont les valeurs appartiennent à $\mathcal{Y}$ et telles que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \ne$

Cette réduction du problème repose sur le théorème du N° suivant.

**6. Prolongement d'espace métrique en espace vectoriel.**
$\mathcal{C}$ et $\mathcal{Y}$ étant deux espaces métriques arbitraires, on désigne par $\mathcal{Y}^{\mathcal{C}}$ l'espace de toutes les fonctions continues bornées qui transforment $\mathcal{C}$ en sous-ensembles de $\mathcal{Y}$; la distance entre deux fonctions $f$ et $g$ est donnée par la formule:

$$|f - g| = \text{borne supérieure de } |f(x) - g(x)|.$$

Si $\mathcal{Y}$ est complet, $\mathcal{Y}^{\mathcal{C}}$ l'est également <fnref n="7" />). De plus, si $\mathcal{Y} = \mathcal{C} =$

l'ensemble des nombres réels, $\mathcal{Y}^{\mathcal{C}}$ est vectoriel et normé (avec les définitions habituelles de somme de deux fonctions et de multiplication par un coefficient réel).

**Théorème.** Tout espace borné $\mathcal{C}$ est isométrique à un sous-ensemble de l'espace $\mathcal{S}^{\mathcal{C}}$.

Il s'agit de faire correspondre à chaque élément $p$ de $x$ une fonction $f_p$, à valeurs réelles, continue et bornée de façon que l'on ait

$$|p - q| = |f_p - f_q|.$$

Or, posons $f_p(x) = |x - p|$.

Il vient, d'après la „règle du triangle“:

$$|f_p(x) - f_q(x)| = |x - p| - |x - q| \le |p - q|, \text{ d'où } |f_p - f_q| \le |p - q| \text{ et, d'autre part, } |f_p(x) - f_q(x)| = |p - q|, \text{ d'où la formule (10).}$$

Chaque espace métrique étant homéomorphe à un espace borné, on a le

**Corollaire.** Tout espace métrique est homéomorphe à un sous-ensemble d'un espace vectoriel normé et complet.

**7. Fonctions ponctuellement discontinues sur tout ensemble fermé** <fnref n="1" />). $y = f(x)$ étant une fonction de ce genre et $F$ un ensemble fermé et ouvert (dans l'espace des $y$), l'ensemble $E = E \{f(x) \in F\}$ est développable en une série alternée (transfinie) d'ensembles <fnref n="2" />) fermés décroissants.

Notre théorème sera démontré dès que nous aurons établi que, pour chaque ensemble fermé $X$, l'égalité $X = \bar{X}E \cdot \bar{X} - \bar{E}$ entraîne $X = 0$ <fnref n="3" />).

Or, supposons que $X \ne 0$. Il existe alors, par hypothèse, un point de continuité $p$ de la fonction partielle $g = f/X$. Par conséquent l'inclusion $X \subset \bar{X}E$ implique que $g(p) \in F$, donc que $f(p) \in F$.

<footnote n="1">¹) Nous admettons que $\alpha > 0$. Pour $\alpha = 0$ la démonstration est immédiate.</footnote>

<footnote n="2">²) Bien entendu, le même problème peut être formulé pour une classe $\alpha$ arbitraire.</footnote>

<footnote n="3">³) Cf. *Topologie I*, p. 187, IX.</footnote>

<footnote n="4">⁴) Ibid., p. 189.</footnote>

<footnote n="5">⁵) Ce qui impliquerait la solution positive du problème posé par M. Montgomeray à la fin de sa Note.</footnote>

<footnote n="6">⁶) Pour la définition, voir S. Banach, *Théorie des opérations linéaires*, Monogr. Matem. 1 (1932), p. 53.</footnote>

<footnote n="7">⁷) Voir *Topologie I*, p. 199.</footnote>

<footnote n="1">¹) Une fonction $f$ est dite ponctuellement discontinue sur l'ensemble $A$, lorsque les points de continuité de la fonction partielle $f/A$ (c. à d. de la fonction $f$ dont les arguments sont restreints à l'ensemble $A$) constituent un ensemble dense dans $A$.</footnote>

<footnote n="2">²) c. à d. en un ensemble de la forme $A_0 - A_1 + A_2 - A_3 + \dots + A_{2^k} - A_{2^k+1} + \dots$</footnote>

<footnote n="3">³) Voir *Topologie I*, p. 61, V, 1°.</footnote>
Par raison de symétrie, on conclut que l'inclusion $X \subset \bar{X} - \bar{E}$ implique que $f(p) \in \mathcal{Y} - \bar{F}$ et, comme $\bar{F}$ est ouvert, il en résulte que $f(p) \in \mathcal{Y} - \bar{F}$, ce qui est incompatible avec $f(p) \in \bar{F}$.

Le théorème que nous venons d'établir se rattache au problème de l'invariance de la séparabilité. Nous en déduirons, notamment que la séparabilité de l'espace est invariante par rapport aux transformations $f$ ponctuellement discontinues sur tout ensemble $G_\delta^{1)}$.

Supposons, en effet, que l'espace $\mathcal{Y} = f(\mathcal{D})$ ne soit pas séparable. Il convient alors un ensemble $\mathcal{Y}^*$ fermé, isolé et de puissance $N_1: y_1, y_2, \dots, y_\xi, \dots$ ($\xi < \Omega$)<fnref n="2" />).

Posons

$$ \mathcal{D}^* = \mathbb{E}_x f(x) \in \mathcal{Y}^* \text{ et } F_\xi = (y_1, y_2, \dots, y_\xi). $$

L'ensemble $\mathcal{D}^*$ étant un $G_\delta$ (puisque $f$ est de $I^{\text{re}}$ classe)<fnref n="3" />), la fonction partielle $f^* = f/\mathcal{D}^*$ est ponctuellement discontinue sur tout ensemble fermé (dans $\mathcal{D}^*$, même sur tout $G_\delta$). L'ensemble $F_\xi$ étant fermé et ouvert dans $\mathcal{Y}^*$, on conclut du théorème précédent que l'ensemble $A_\xi = \mathbb{E}_x f^*(x) \in F_\xi$ est développable en une série d'ensembles décroissants fermés (dans $\mathcal{D}^*$). On parvient ainsi, en faisant varier l'indice $\xi$, à une famille bien ordonnée et indénombrable d'ensembles $A_\xi$ développables croissants. $\mathcal{D}^*$ ne peut donc être séparable<fnref n="4" />); il en est de même de $\mathcal{D}$, c. q. f. d.

Le problème s'impose d'étendre le théorème précédent aux fonctions de classe $\alpha \ge 1$.

Or la solution est positive s'il en est ainsi de la solution du problème de la représentation analytique (du N° 5). En effet, la condition $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ entraîne l'inclusion $f(\mathcal{D}) \subset \bar{\Sigma}_n f_n(\mathcal{D})$. Donc, si $f_n(\mathcal{D})$ est séparable, il en est de même de $\bar{\Sigma}_n f_n(\mathcal{D})$ et de $f(\mathcal{D})$. De plus, si $f_n$ est continue, $f_n(\mathcal{D})$ est séparable.

Il est aussi à remarquer que l'on obtiendrait la solution positive du problème considéré, si l'on savait démontrer que chaque espace séparable indénombrable contient un ensemble non-borelien<fnref n="5" />). Considérons, en effet, l'ensemble $\mathcal{Y}^* = (y_1, y_2, \dots, y_\xi...)$

de la démonstration précédente et faisons correspondre à chaque $\xi$ un $x_\xi$ tel que $f(x_\xi) = y_\xi$. L'ensemble $A = (x_1, x_2, \dots, x_\xi, \dots)$ est donc indénombrable. S'il contient un ensemble non-borelien (relativement à lui), la fonction $f$ ne peut être de classe $\alpha$, car, autrement — chaque sous-ensemble de $\mathcal{Y}$ étant fermé — chaque sous-ensemble de $A$ serait borelien (de classe $\alpha$).

## 8. Autres problèmes non résolus.

1) Une fonction $f$ de classe $\alpha$ est-elle limite d'une suite uniformément convergente de fonctions $f_n$ de classe $\alpha$ telles que l'ensemble des valeurs de la fonction $f_n$ soit isolé?

2) Etant données deux fonctions $x(t)$ et $y(t)$ de classe $\alpha$ (resp. à propriété de Baire), la fonction $z(t)$, où $z = (x, y)$, est-elle de classe $\alpha$ (resp. à propriété de Baire)?

3) Etant donnée une fonction $f$ jouissant de la propriété de Baire sur l'espace $\mathcal{D}$, existe-t-il un ensemble $P$ de $I^{\text{re}}$ catégorie tel que la fonction partielle $f(x/X - P)$ soit continue?

Tous ces problèmes se laissent résoudre positivement dans l'hypothèse que les espaces considérés sont séparables<fnref n="1" />).

<footnote n="1">1) Si l'espace $\mathcal{D}$ est complet et $\mathcal{Y}$ séparable, ces transformations coïncident avec les fonctions de $I^{\text{re}}$ classe, donc avec les fonctions ponctuellement discontinues sur tout ensemble fermé.</footnote>

<footnote n="2">2) Voir *Topologie I*, p. 254, 3.</footnote>

<footnote n="3">3) Cf. Montgomery, p. 533.</footnote>

<footnote n="4">4) d'après un théorème de M. Zalcwasser, Fund. Math. 3 (1922), p. 44. Cf. *Topologie I*, p. 207.</footnote>

<footnote n="5">5) Cette dernière proposition résulte facilement de l'hypothèse du continu.</footnote>

<footnote>Sans restreindre la généralité on peut admettre que l'espace est contenu dans l'intervalle, puisque chaque espace séparable est une image continue d'un sous-ensemble de l'intervalle. On rapprochera ce dernier problème de celui de M. Hausdorff: étant donné un ensemble $E$ de puissance $N_1$, démontrer que, pour chaque suite infinie d'ensembles $A_1, A_2, \dots$, il existe un sous-ensemble de $E$ qui n'est pas la limite supérieure d'une suite extraite de la suite donnée (Fund. Math. 20, p. 286).</footnote>

<footnote n="1">1) Cf. *Topologie I*, pp. 186, 182, 194 et 192.</footnote>