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# Constitution d'un portefeuille et espérance non-additive de gains : suggestions prescriptives pour la combinaison optimale d'actifs financiers

Jean-Pascal Gayant

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## To cite this version:

Jean-Pascal Gayant. Constitution d'un portefeuille et espérance non-additive de gains : suggestions prescriptives pour la combinaison optimale d'actifs financiers. 1997. halshs-04654185

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CAHIERS ECO & MATHS

97.01

CONSTITUTION D'UN PORTEFEUILLE
ET ESPERANCE NON-ADDITIVE DE GAINS :
SUGGESTIONS PRESCRIPTIVES POUR
LA COMBINAISON OPTIMALE D'ACTIFS FINANCIERS

Jean-Pascal GAYANT

CEME
**Constitution d'un portefeuille et espérance non-additive de gains :
Suggestions prescriptives pour la combinaison optimale d'actifs
financiers.**

**Résumé :**

Dans le modèle d'espérance non-additive d'utilité (Schmeidler (1989)), l'hypothèse de sous-additivité de la mesure de vraisemblance subjective du décideur permet de mettre en évidence un comportement de diversification d'un portefeuille d'actifs financiers sans que l'utilité marginale du décideur ne soit nécessairement décroissante. Lorsque le portefeuille est constitué de deux actifs au plus, la règle optimale de diversification est de combiner des actifs "anti-comonotones". Lorsqu'il s'agit de combiner plus de deux actifs, la règle devient trop complexe pour être applicable. Nous examinons dans cet article comment un processus de détermination séquentiel de la combinaison optimale permet d'atteindre le meilleur portefeuille ou, à défaut, un optimum relatif très acceptable. Cette étude est menée avec l'objectif de suggérer des prescriptions concrètes aux praticiens de la finance.

**Mots-clés** : Espérance non-additive d'utilité, Choix de Portefeuille, Diversification, Aversion pour l'incertitude.

**Portfolio design and Choquet expected value :
Prescriptions for the optimal combination of financial assets.**

**Abstract :**

In the Choquet Expected Utility model (Schmeidler (1989)), under the hypothesis of sub-additivity of the subjective probability measure, a decision maker may diversify a portfolio of financial assets even without decreasing marginal utility. When there is not more than two assets the optimal diversification rule is to combine "anti-comonotonic" assets. When more than two assets are at stake, the applicability of the rule becomes too complex. In this paper, we examine how a sequential process provides the absolute optimal combination, or, at least an acceptable relative optimum. The aim of this study is to suggest concrete prescriptions for the finance practicers.

**Keywords** : Choquet Expected Utility, Portfolio Theory, Diversification, Uncertainty Aversion.
# Constitution d'un portefeuille et espérance non-additive de gains : Suggestions prescriptives pour la combinaison optimale d' actifs financiers .

## 1 Introduction

Le modèle d'espérance non-additive d'utilité, également connu sous la dénomination Choquet Expected Utility (CEU) (Schmeidler (1989)), généralise le modèle d'Espérance Subjective d'Utilité (SEU) (Savage (1954)) en autorisant une éventuelle non-additivité de la mesure de vraisemblance subjective du décideur. Cette généralisation permet de distinguer l'éventuelle décroissance de l'utilité marginale pour la richesse et l'aversion pour l'incertitude, auparavant confondues dans le cadre du modèle SEU ; la propriété d'aversion pour l'incertitude est essentiellement relative aux caractéristiques de la mesure de vraisemblance ou capacité de Choquet.

Le modèle d'espérance non-additive d'utilité permet de modéliser le comportement d'un gestionnaire de portefeuille de manière plus précise et plus concrète. En abandonnant l'hypothèse de décroissance de l'utilité marginale, sans abandonner l'hypothèse d'aversion pour l'incertitude, il devient possible de focaliser l'analyse sur les réelles motivations d'un comportement de diversification du portefeuille i. e. la volonté d'obtenir une position relativement sûre. En retenant une fonction d'utilité linéaire, nous serons en mesure d'isoler les effets propres aux caractéristiques de la mesure subjective du décideur (Cette démarche n'interdit en rien de prendre en compte, par ailleurs, l'existence possible d'effets spécifiques dus à une éventuelle décroissance de l'utilité marginale). Quant à la mesure de vraisemblance du décideur, nous ferons l'hypothèse de sous-additivité, assimilée à de "l'aversion pour l'incertitude" par Dow & Werlang (1992). Avec
de semblables hypothèses, ces derniers mettent en évidence l'existence d'un écart entre le prix d'achat et le prix de vente d'un actif, en l'absence de coûts de transactions ; cet écart est d'autant plus important qu'est intense l'aversion du décideur pour l'incertitude. Nous allons, quant à nous, envisager le problème de l'achat d'une combinaison d'actifs et de la détermination de la part optimale de chaque actif dans ce cadre.

La majeure partie des analyses théoriques du problème de la combinaison optimale d'actifs est envisagée dans le cadre de l'incertain probabilisé (ou risque). Le reproche que l'on peut leur adresser est qu'il est irréaliste de considérer que les probabilités de survenance de chaque état de la nature puissent être connues. Le cadre plus général de l'incertain non nécessairement probabilisé est plus conforme à la réalité. Cependant, ce que la formalisation retenue suggère, c'est que les agents connaissent avec précision l'ensemble des conséquences ou résultats d'un acte, et qu'ils sont en mesure d'affecter des vraisemblances subjectives à tous les événements possibles. Cette hypothèse, par son caractère excessif, hypothèque elle aussi les chances de tirer de l'analyse des recommandations prescriptives pertinentes.

L'ambition de cet article n'est pas d'établir les principes généraux de détermination d'un portefeuille optimal, mais de faire valoir les avantages du modèle d'espérance non-additive dans la prise en compte des spécificités de la situation d'incertitude non nécessairement probabilisée, et de suggérer des prescriptions concrètes à destination des praticiens de la finance. Nous verrons en effet, sur un exemple, que la détermination de la combinaison optimale d'actifs peut se faire par étapes, en choisissant une séquence particulière de combinaisons des actifs deux à deux. L'identification de cette séquence particulière pourra être obtenue en observant, par exemple,
l'historique des rendements passés des différents actifs (la formalisation retenue s'inscrit d'ailleurs dans cette optique : les résultats envisagés pour chaque actif seraient la plus basse valeur, la valeur moyenne et la plus haute valeur historiquement observée). Le modèle d'espérance non-additive conduit à prendre en compte un lien entre les actifs plus fin que la simple corrélation positive ou négative : l'observation du "degré de comonotonie" entre les actifs va nous enseigner quelle séquence de combinaisons est préférable, y compris lorsque notre aptitude à affecter des vraisemblances subjectives aux divers événements est imparfaite.

Après avoir brièvement présenté le modèle CEU, nous envisagerons le cas d'un portefeuille constitué de deux actifs, puis le cas d'un portefeuille constitué de trois actifs ou plus. Nous engagerons enfin une discussion sur le problème de la détermination séquentielle des parts optimales d'actifs et de son lien avec la comonotonie (ou la non-comonotonie) des actifs.

## 2 Le modèle CEU

Soit S un ensemble fini d'états de la nature s. Un événement est un sous-ensemble de S. Soit $\mathcal{X}$ un ensemble de conséquences ou résultats. Un acte est une fonction $f: S \to \mathbb{R}$ qui associe à tout état $s \in S$ une conséquence $f(s) = x$, $x \in \mathcal{X}$. Nous supposerons ici que $\mathcal{X} = \mathbb{R}$.

Un acte $f$ est donc une séquence de n couples : $(x_1,A_1 ; x_2,A_2 ; ... ; x_n,A_n)$ notée $f = (x_i,A_i)$ où $x_1 < x_2 < ... < x_n$ et $(A_i)$ est une partition de S. L'ensemble des actes est noté $\mathcal{F}$.

Les préférences du décideur sont représentées par une relation de préordre total $\succsim$ ("préféré ou indifférent à"). L'objectif de tout modèle de décision est de construire une fonction valeur $V$ représentant les préférences sur $\mathcal{F}$, c'est à dire $V: \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ telle que : $\forall f, g \in \mathcal{F}, f \succsim g \Leftrightarrow V(f) \geq V(g)$.
Définissons maintenant une capacité (Choquet (1953)). Notons $\Sigma$ l'ensemble de tous les sous-ensembles de $S$ ($\Sigma= 2^S$). Une capacité est une mesure $C: \Sigma \to [0;1]$, telle que :

i) $C(\emptyset) = 0$

ii) $C(S) = 1$

iii) $\forall A, B \in \Sigma, A \subset B \Rightarrow C(A) \leq C(B)$ (Monotonie)

*Une capacité n'est donc pas nécessairement additive.*

Une capacité est dite sous-additive si :

$$ \forall A \in \Sigma, C(A) + C(\overline{A}) \leq 1. $$

Une capacité est dite convexe ou monotone à l'ordre 2 si :

$$ \forall A, B \in \Sigma, C(A \cup B) \geq C(A) + C(B) - C(A \cap B). $$

Sous les axiomes du modèle CEU (Schmeidler (1989), Sarin & Wakker (1992) (1994), Wakker & Tversky (1993)), il existe, pour tout décideur, une capacité $C$ et une fonction $u: X \to \mathbb{R}$, continue, croissante et définie à une transformation affine positive près, telle que, pour tout $f = (x_i, A_i)$ :

$$ V(f) = \sum_{i=1}^{n} \pi_i u(x_i) \\ \text{où} \quad \pi_i = C(A_i \cup \dots \cup A_n) - C(A_{i+1} \cup \dots \cup A_n) \quad i=1,\dots,n-1 \\ \pi_n = C(A_n). $$

Le modèle SEU (Savage (1954)) est immédiatement le cas particulier du modèle CEU où la mesure $C$ est additive. En effet, dans ce cas, $\forall i=1,...,n-1$, $C(A_i \cup \dots \cup A_n) - C(A_{i+1} \cup \dots \cup A_n) = C(A_i)$ et ainsi $V(f) = \sum_{i=1}^{n} C(A_i) u(x_i)$.

Enfin, pour les raisons que nous avons motivées dans notre introduction, nous allons supposer la *linéarité de u*. Par souci de simplicité, nous supposerons que :
$$ \forall i=1,...,n, u(x_i) = x_i. $$
### 3 Cas d'un portefeuille constitué de deux actifs.

Considérons le choix d'un décideur susceptible d'acquérir deux actifs incertains X et Y ; nous supposerons par souci de simplicité que le rendement de chacun de ces actifs ne peut prendre que trois valeurs sur les mêmes états de la nature. Ainsi, il existe une partition $(E_i)_{i=1,...,3}$ de l'ensemble des états de la nature ($S = E_1 \cup E_2 \cup E_3$). Le résultat $x_i$ (respectivement $y_i$) est le résultat obtenu si le véritable état de la nature appartient au sous-ensemble $E_i$ de S ($i=1,...,3$). La restriction à des actifs à trois conséquences distinctes (seulement) est sujette à la critique d'un degré de généralité insuffisant. Néanmoins, cette hypothèse est suffisante pour mettre en évidence les difficultés engendrées par le calcul d'une espérance non-additive de rendement. Pour le praticien, il correspond à des titres dont on conjecture, au vu de l'information passée, que le rendement peut prendre une valeur basse, une valeur moyenne ou une valeur haute (par exemple, comme suggéré dans l'introduction, respectivement égales à la plus basse valeur, la valeur moyenne et la plus haute valeur historiquement observées). C'est à ces trois catégories de résultats que le gestionnaire va affecter des vraisemblances subjectives (non-additives). La difficulté principale de l'évaluation de l'espérance non-additive réside alors dans la détermination de l'ordre des résultats. Ce problème est trivial lorsque l'on considère un actif seul, mais nécessite de distinguer plusieurs cas lorsque l'on combine deux actifs. Nous supposerons, comme référence fixe de l'analyse, que $x_1 < x_2 < x_3$. Pour considérer l'ensemble des situations possibles, nous distinguerons six cas quant à l'ordre des $y_i$. Ces six cas distincts seront regroupés en quatre catégories :

(i) X et Y sont comonotones, c'est à dire, en pratique, $y_1 < y_2 < y_3$.
(ii) X et Y sont non-comonotones en conséquence d'une "permutation unique".

Ce cas regroupe deux sous-cas : $y_1 < y_3 < y_2$ (ii.1) et $y_2 < y_1 < y_3$ (ii.2).

(iii) X et Y sont non-comonotones en conséquence d'une "double permutation".

Ce cas regroupe deux sous-cas : $y_2 < y_3 < y_1$ (iii.1) et $y_3 < y_1 < y_2$ (iii.2).

(iv) X et Y sont anti-comonotones, c'est à dire, en pratique, $y_3 < y_2 < y_1$.

Ecrivons d'abord l'espérance non-additive des actifs X et Y considérés séparément, avant d'envisager leur combinaison.

L'espérance non-additive de X est égale à :

$$V(X) = [1 - C(E_2UE_3)] x_1 + [C(E_2UE_3) - C(E_3)] x_2 + C(E_3) x_3.$$

L'espérance non-additive de Y est égale à :

Cas (i) : $V(Y) = [1 - C(E_2UE_3)] y_1 + [C(E_2UE_3) - C(E_3)] y_2 + C(E_3) y_3$

Cas (ii.1) : $V(Y) = [1 - C(E_2UE_3)] y_1 + C(E_2) y_2 + [C(E_2UE_3) - C(E_2)] y_3$

Cas (ii.2) : $V(Y) = [C(E_1UE_3) - C(E_3)] y_1 + [1 - C(E_1UE_3)] y_2 + C(E_3) y_3$

Cas (iii.1) : $V(Y) = C(E_1) y_1 + [1 - C(E_1UE_3)] y_2 + [C(E_1UE_3) - C(E_1)] y_3$

Cas (iii.2) : $V(Y) = [C(E_1UE_2) - C(E_2)] y_1 + C(E_2) y_2 + [1 - C(E_1UE_2)] y_3$

Cas (iv) : $V(Y) = C(E_1) y_1 + [C(E_1UE_2) - C(E_1)] y_2 + [1 - C(E_1UE_2)] y_3$

Envisageons maintenant la constitution d'un portefeuille T, combinaison d'une part $\alpha$ de l'actif X ($\alpha \in [0;1]$), et d'une part $1-\alpha$ de l'actif Y (nous noterons $T = \alpha X + (1-\alpha) Y$. Afin de déterminer $\alpha^* = \underset{\alpha}{\operatorname{ArgMax}} V[\alpha X + (1-\alpha) Y]$, nous allons au préalable caractériser les différents modes de calcul de $V(T)$ selon l'ordre des $t_i = \alpha x_i + (1-\alpha) y_i$ ($i=1,...,3$).

Cas (i) : L'ordre des $t_i$ est nécessairement $t_1 < t_2 < t_3$. Ainsi, $\forall \alpha \in [0;1]$ :

$$V(T) = [1 - C(E_2UE_3)] t_1 + [C(E_2UE_3) - C(E_3)] t_2 + C(E_3) t_3$$
Cas (ii.1) : Selon la valeur de $\alpha$, l'ordre des $t_i$ peut être soit $t_1 < t_2 \le t_3$, soit $t_1 < t_3 \le t_2$. Nous distinguerons donc :

ii.1.1 : $\alpha \ge \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_1 < t_2 \le t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (i).

ii.1.2 : $\alpha \le \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_1 < t_3 \le t_2$. Il vient :

$$V(T) = [1 - C(E_2 \cup E_3)] t_1 + C(E_2) t_2 + [C(E_2 \cup E_3) - C(E_2)] t_3$$

Cas (ii.2) : Selon la valeur de $\alpha$, l'ordre des $t_i$ peut être soit $t_1 \le t_2 < t_3$, soit $t_2 \le t_1 < t_3$. Nous distinguerons donc :

ii.2.1 : $\alpha \ge \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$, alors $t_1 \le t_2 < t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (i).

ii.2.2 : $\alpha \le \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$, alors $t_2 \le t_1 < t_3$. Il vient :

$$V(T) = [C(E_1 \cup E_3) - C(E_3)] t_1 + [1 - C(E_1 \cup E_3)] t_2 + C(E_3) t_3$$

Cas (iii.1) : Selon la valeur de $\alpha$, l'ordre des $t_i$ peut être soit $t_1 \le t_2 < t_3$, soit $t_2 \le t_1 \le t_3$, soit $t_2 < t_3 \le t_1$. Nous distinguerons donc :

iii.1.1 : $\alpha \ge \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$, alors $t_1 \le t_2 < t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (i).

iii.1.2 : $\frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)} \ge \alpha \ge \frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)}$, alors $t_2 \le t_1 \le t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (ii.2.2).

iii.1.3 : $\alpha \le \frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)}$, alors $t_2 < t_3 \le t_1$. Il vient :

$$V(T) = C(E_1) t_1 + [1 - C(E_1 \cup E_3)] t_2 + [C(E_1 \cup E_3) - C(E_1)] t_3$$
Cas (iii.2) : Selon la valeur de $\alpha$, l'ordre des $t_i$ peut être soit $t_1 < t_2 \le t_3$, soit $t_1 \le t_3 \le t_2$, soit $t_3 \le t_1 < t_2$. Nous distinguerons donc :

iii.2.1 : $\alpha \ge \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_1 < t_2 \le t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (i).

iii.2.2 : $\frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)} \le \alpha \le \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_1 \le t_3 \le t_2$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (ii.1.2).

iii.2.3 : $\alpha \le \frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)}$, alors $t_3 \le t_1 < t_2$. Il vient :

$$V(T) = [C(E_1 \cup E_2) - C(E_2)] t_1 + C(E_2) t_2 + [1 - C(E_1 \cup E_2)] t_3$$

Cas (iv) : Selon la valeur de $\alpha$, l'ordre des $t_i$ peut être soit $t_1 \le t_2 \le t_3$, soit $t_2 \le t_1 \le t_3$, soit $t_2 \le t_3 \le t_1$, soit $t_3 \le t_1 \le t_2$, soit $t_1 \le t_3 \le t_2$, soit $t_3 \le t_2 \le t_1$. Nous distinguerons donc :

iv..1 : $\alpha \ge \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$ et $\alpha \ge \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_1 \le t_2 \le t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (i).

iv..2 : $\frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)} \ge \alpha \ge \frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)}$, alors $t_2 \le t_1 \le t_3$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (ii.2.2).

iv..3 : $\frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)} \ge \alpha \ge \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_2 \le t_3 \le t_1$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (iii.1.3).

iv..4 : $\frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)} \ge \alpha \ge \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$, alors $t_3 \le t_1 \le t_2$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (iii.2.3).

iv..5 : $\frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)} \ge \alpha \ge \frac{y_1 - y_3}{(y_1 - y_3) + (x_3 - x_1)}$, alors $t_1 \le t_3 \le t_2$. Le calcul de $V(T)$ est identique à celui du cas (ii.1.2).

iv..6 : $\alpha \le \frac{y_1 - y_2}{(y_1 - y_2) + (x_2 - x_1)}$ et $\alpha \le \frac{y_2 - y_3}{(y_2 - y_3) + (x_3 - x_2)}$, alors $t_3 \le t_2 \le t_1$. Il vient :

$$V(T) = C(E_1) t_1 + [C(E_1 \cup E_2) - C(E_2)] t_2 + [1 - C(E_1 \cup E_2)] t_3$$
Une fois connu le mode de calcul de V(T), il devient alors possible de calculer $\alpha^*$ la part optimale de l'actif X dans le portefeuille. Nous allons maintenant démontrer que cette part optimale peut être différente de 0 ou 1, contrairement au cas additif (SEU), où la linéarité de l'utilité exclut toute possibilité de diversification.

Remarquons, tout d'abord, que dans le cas additif, $\forall i, j \in \{1;2;3\}, i \neq j$, $C(E_i \cup E_j) - C(E_j) = C(E_i)$. Ainsi, pour l'ensemble des cas (i) à (iv.6), il vient :

$$V(T) = C(E_1) t_1 + C(E_2) t_2 + C(E_3) t_3$$

V(T) étant linéaire en $\alpha$, son maximum sera nécessairement atteint en 0 ou 1. Ce résultat trivial apparaît aussi en considérant l'équivalence :

$$ \begin{cases} V(T) > V(X) \\ V(T) > V(Y) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (1-\alpha^*)[C(E_1)(y_1-x_1)+C(E_2)(y_2-x_2)+C(E_3)(y_3-x_3)] > 0 \\ \alpha^*[C(E_1)(y_1-x_1)+C(E_2)(y_2-x_2)+C(E_3)(y_3-x_3)] < 0 \end{cases} $$

Il n'existe aucune valeur de l'intervalle $]0; 1[$ susceptible de vérifier simultanément ces deux inégalités ; la préférence stricte d'un portefeuille diversifié est impossible.

Par contre, dans le cas non-additif, la préférence stricte d'un portefeuille diversifié est possible. Montrons-le à l'aide d'un exemple.

Choisissons des actifs X et Y anti-comonotones (Cas (iv)), tels que :

$$x_1 = 300, x_2 = 360, x_3 = 540, y_1 = 480, y_2 = 420, y_3 = 360.$$

Par ailleurs la capacité du décideur est supposée telle que :

$$C(E_1) = C(E_2) = C(E_3) = 0,3 \quad C(E_1 \cup E_2) = 0,4 \quad C(E_2 \cup E_3) = 0,5 \quad C(E_1 \cup E_3) = 0,6$$

Notons que cette capacité est sous-additive mais non convexe. Tout d'abord, nous pouvons déterminer que :

$$V(X) = 384 \text{ et } V(Y) = 402$$
Existe-t-il des valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $V[\alpha X + (1-\alpha)Y]$ soit strictement supérieur à $\text{Sup}\{V(X); V(Y)\}$ ? Prenons, par exemple le cas (iv.i), c'est à dire le cas pour lequel à la fois $\alpha \ge \frac{1}{2}$ et $\alpha \ge \frac{1}{4}$. On peut mettre en évidence que :

$$ 
\begin{array}{c} 
V[\alpha X + (1-\alpha)Y] > V(X) \\ 
\Leftrightarrow \\ 
V[\alpha X + (1-\alpha)Y] > V(Y) 
\end{array} 
\quad 
\begin{array}{c} 
\left[ 48 (1-\alpha) > 0 \right. \\ 
\left. \quad \right. \\ 
\left[ 48 \alpha < 30 \right. 
\end{array} 
\quad 
\left. \alpha \in ]0; 5/8[ \right. 
$$

Donc, pour toute valeur de $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[1/2; 5/8[$, le portefeuille constitué d'une part $\alpha$ de l'actif X et d'une part $(1-\alpha)$ de l'actif Y est strictement préféré à tout portefeuille homogène.

Quant à déterminer la valeur optimale de $\alpha$, il faut considérer l'ensemble des cas (iv.1) à (iv.6). Ce-faisant, on obtient :

$$ V[\alpha X + (1-\alpha)Y] = \begin{cases} 402 + 48\alpha & \text{si } \alpha \in [0; 1/4] \\ 420 - 24\alpha & \text{si } \alpha \in [1/4; 1/2] \\ 432 - 48\alpha & \text{si } \alpha \in [1/2; 1] \end{cases} $$

C. f. Figure 1

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Dans cet exemple, on obtient donc : $\alpha^* = 1/4$. Mettre en évidence un comportement de diversification est très simple lorsque l'on combine des actifs anti-comonotones. Plus les actifs sont "proches" de la comonotonie, moins la diversification contribue à accroître l'espérance non-additive de
rendement du portefeuille. Enfin, si les deux actifs sont parfaitement comonotones, jamais un portefeuille diversifié ne sera strictement préféré à un portefeuille homogène.

Si les termes du problème sont relativement simples dans le cas d'une combinaison de deux actifs au plus, il n'en va plus de même quand trois actifs au moins sont concernés. Considérons trois actifs X, Y et Z tels que X et Y soient strictement anti-comonotones : Z peut être strictement anti-comonotone avec X (mais alors strictement comonotone avec Y), strictement anti-comonotone avec Y (mais alors strictement comonotone avec X) ou ni l'un ni l'autre. De plus, quel que soit le degré de comonotonie entre X et Z ou Y et Z, nous ne pouvons rien dire, a priori, sur le degré de comonotonie entre $\alpha X + (1-\beta) Y$ et Z. Ce genre de phénomènes contribue à considérablement accroître la difficulté de calcul de l'espérance non-additive de rendement du portefeuille. Afin d'échapper à cette accroissement de difficulté, l'idée d'une séquence de combinaisons des actifs *deux à deux* peut venir à l'esprit. Malheureusement, comme nous allons le montrer sur un exemple simple, ce mode de détermination séquentiel des parts optimales d'actifs n'est pas toujours satisfaisant. En effet, le résultat obtenu peut différer selon la séquence de combinaisons choisie. Par conséquent, l'optimum absolu ne sera pas nécessairement déterminé à l'aide de cette méthode. Néanmoins, nous allons tenter de convaincre le lecteur qu'il doit exister des critères de choix (quant à la séquence) conduisant à l'optimum absolu ou, à défaut, à un optimum relatif très acceptable.

## 4 Cas d'un portefeuille constitué de trois actifs.

Considérons maintenant le choix d'un décideur susceptible d'acquérir trois actifs incertains X, Y et Z ; ici encore, le rendement de chacun de ces actifs ne
peut prendre que trois valeurs. Le résultat $x_i$ (respectivement $y_i$, $z_i$) est le résultat obtenu si le véritable état de la nature appartient au sous-ensemble $E_i$ de S ($i=1,...,3$). Nous supposerons toujours, comme référence fixe de l'analyse, que $x_1 < x_2 < x_3$.

Nous désignerons par $\alpha, \beta$ et $1-\alpha-\beta$ les parts respectives des actifs X, Y et Z dans le portefeuille du gestionnaire ($\alpha, \beta \in [0;1]$ et $\alpha+\beta \in [0;1]$). Le problème consiste désormais à déterminer : $(\alpha*, \beta*) = \underset{\alpha, \beta}{\operatorname{ArgMax}} V[\alpha X + \beta Y + (1-\alpha-\beta)Z]$.

La première difficulté réside dans le mode de calcul de $V[\alpha X + \beta Y + (1-\alpha-\beta)Z]$ : il faudrait désormais distinguer 36 cas à l'intérieur desquels, éventuellement, se côtoyeraient plusieurs sous-cas. Notre objectif n'est pas d'établir exhaustivement une typologie du calcul direct de l'espérance non-additive de rendement d'un portefeuille constitué de trois actifs, mais plutôt d'examiner la faisabilité de ce calcul en comparaison d'un calcul indirect. En effet, plus le nombre d'actifs impliqués dans le problème de la détermination des parts optimales est grand, moins le calcul direct de l'espérance non-additive de rendement est envisageable. Dans une perspective d'aide à la décision, cette multiplication considérable des cas et des sous-cas anihile toute possibilité d'établir quelque prescription que ce soit. En effet, le praticien ne possède pas une connaissance aussi nette des événements et des résultats que ce que la formalisation retenue suggère. Au vu, par exemple, de l'historique des valeurs prises par les actifs, de sa connaissance des marchés financiers et de son savoir-faire, il peut tenter de classifier les différents actifs en fonction de leur caractère plus ou moins comonotone (ou anti-comonotone) et affecter une vraisemblance à l'un ou l'autre des événements, tout en essayant d'associer convenablement ces événements aux divers résultats des actifs concernés. Assurément, par la multitude de cas examinés, un calcul théorique direct exhaustif de l'espérance non-additive de rendement n'apporte qu'un "bruit"
supplémentaire dans une optique prescriptive puisqu'il ne contribue pas à la synthèse de l'information, ni ne permet de dégager des règles de décisions optimales. Il faut donc envisager un calcul indirect, plus simple, mais non nécessairement satisfaisant comme nous allons le montrer en nous fondant sur un exemple.

L'idée du calcul indirect de l'espérance non-additive de rendement est la suivante : dans le problème de la détermination des parts optimales de N actifs (N ≥ 3) dans un portefeuille, une première séquence permettrait d'évaluer la combinaison optimale de deux actifs, une seconde séquence permettrait d'évaluer la combinaison optimale d'un troisième actif et de la combinaison des deux premiers, ..., une (N-1) ème séquence permettrait d'évaluer la combinaison optimale du N ème actif et de la combinaison des (N-1) premiers.

Prenons l'exemple des actifs X, Y et Z. Une première séquence permettrait, par la combinaison de X et Y, de déterminer $\mu_1^* = \underset{\mu_1}{\operatorname{ArgMax}} V[\mu_1 X + (1-\mu_1) Y]$.
Une seconde séquence permettrait, par la combinaison de $[\mu_1^* X + (1-\mu_1^*) Y]$ et Z, de déterminer $\mu_2^* = \underset{\mu_2}{\operatorname{ArgMax}} V\{\mu_2[\mu_1^* X + (1-\mu_1^*) Y] + (1-\mu_2) Z\}$. Ainsi, nous obtiendrions des valeurs $\alpha = \mu_2^*\mu_1^*$ et $\beta = \mu_2^*(1-\mu_1^*)$. Malheureusement, ce couple $(\alpha, \beta)$ ne sera pas, de manière générale, égal à $(\alpha*, \beta*)$ tel que défini ci-dessus. Montrons-le à l'aide d'un exemple.

Considérons à nouveau les actifs X et Y définis dans l'exemple de la section 3, et définisons Z comme un actif pouvant conduire aux résultats $z_1 = 420$, $z_2 = 435$ et $z_3 = 405$. Remarquons tout d'abord que Z n'est, avec X comme avec Y, ni comonotone, ni anti-comonotone (tandis que X et Y sont anti-comonotones). Nous savons déjà que $\mu_1^* = \underset{\mu_1}{\operatorname{ArgMax}} V[\mu_1 X + (1-\mu_1) Y]$ est égal à 1/4 (c. f. section 3). Déterminons maintenant $\mu_2^*$ en combinant Z avec le
nouvel actif $\mu_1^* X + (1- \mu_1^*) Y = (405, E_2UE_3; 435, E_1)$. On peut calculer
que:

$$
V\{ \mu_2 [\mu_1^* X + (1-\mu_1^*) Y] + (1-\mu_2) Z \} = \begin{cases} 415,5 - 7,5 \mu_2 & \text{si } \mu_2 \in [0; 1/3] \\ 412,5 + 1,5 \mu_2 & \text{si } \mu_2 \in [1/3; 1] \end{cases}
$$

C. f. Figure 2

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

Dans cet exemple, on obtient donc : $\mu_2^* = 0$. En conséquence, $\mu_1^*\mu_2^* = 0$, $\mu_2^*(1-\mu_1^*) = 0$ et $1-\mu_2^* = 1$. En d'autres termes, les parts optimales des actifs X, Y et Z seraient respectivement 0, 0 et 1. A première vue, ce résultat ne semble pas incohérent. En effet, puisque $V[\mu_1^*X + (1-\mu_1^*)Y] = 414$ et que $V(Z) = 415,5$ il est tout à fait possible que le gestionnaire préfère un portefeuille uniquement constitué d'actif Z. Pourtant, si le calcul indirect d'espérance de rendement avait été mené en combinant dans un premier temps X et Z, puis dans un second temps Y et la combinaison optimale de X et Z, le résultat eut été le choix d'un portefeuille diversifié.

$$
\text{Notons } \lambda_1^* = \underset{\lambda_1}{\operatorname{ArgMax}} V[\lambda_1 X + (1-\lambda_1) Z].
$$

On peut calculer que :
$$V[ \lambda_1 X + (1 - \lambda_1) Z ] = \begin{cases} 415,5 + 46,5 \lambda_1 & \text{si } \lambda_1 \in [0; 1/17] \\ 421,5 - 55,5 \lambda_1 & \text{si } \lambda_1 \in [1/17; 1/7] \\ 418,5 - 34,5 \lambda_1 & \text{si } \lambda_1 \in [1/7; 1] \end{cases}$$

Il est immédiat d'établir que $\lambda_1^* = 1/17$. Combinons maintenant Y et $\lambda_1^*X + (1-\lambda_1^*)Z$. Notons $\lambda_2^* = \underset{\lambda_2}{\operatorname{ArgMax}} V\{\lambda_2[\lambda_1^*X + (1-\lambda_1^*)Z] + (1-\lambda_2)Y\}$.

On peut calculer que :

$$V\{ \lambda_2 [\lambda_1^* X + (1 - \lambda_1^*) Z] + (1 - \lambda_2) Y \} = \begin{cases} 402 + 216/17 \lambda_2 & \text{si } \lambda_2 \in [0; 17/22] \\ 390 + 480/17 \lambda_2 & \text{si } \lambda_2 \in [17/22; 1] \end{cases}$$

Ainsi, $\lambda_2^*=1$. En conséquence, $\lambda_1^*\lambda_2^* = 1/17$, $1-\lambda_2^* = 0$ et $\lambda_2^*(1-\lambda_1^*) = 16/17$.

En d'autres termes, les parts optimales des actifs X, Y et Z seraient respectivement 1/17, 0 et 16/17. Cette combinaison est-elle meilleure que la précédente ? Puisque, $V(1/17 X + 16/17 Z) = 418,235$ et $V(Z) = 415,5$ il est évident que le portefeuille diversifié est préféré au portefeuille uniquement constitué d'actif Z. Ces parts optimales sont-elles optimales dans l'absolu ? Autrement dit, sont-elles respectivement égales à $\alpha^*, \beta^*$ et $1-\alpha^*-\beta^*$ ? Déterminons donc $\alpha^*, \beta^*$ et $1-\alpha^*-\beta^*$. Le calcul de $V[\alpha X + \beta Y + (1-\alpha-\beta)Z]$ est bien entendu fastidieux. Nous le résummerons en mentionnant que six cas sont à considérer :

(i) $\beta \ge 1/5 + 3/5 \alpha$ et $\beta \ge -1 + 7 \alpha$

(ii) $\beta \ge -1/7 + 17/7 \alpha$ et $\beta \le -1 + 7 \alpha$

(iii) $\beta \ge 1/5 + 3/5 \alpha$ et $\beta \le -1/7 + 17/7 \alpha$

(iv) $\beta \le 1/5 + 3/5 \alpha$ et $\beta \le -1 + 7 \alpha$

(v) $\beta \le -1/7 + 17/7 \alpha$ et $\beta \ge -1 + 7 \alpha$

(vi) $\beta \le 1/5 + 3/5 \alpha$ et $\beta \ge -1/7 + 17/7 \alpha$

Nous pouvons représenter graphiquement ces six cas comme six zones d'un triangle unitaire rectangle isocèle où $\alpha$ figure en abscisse et $\beta$ en ordonnée. Tout point du triangle représente une combinaison particulière des actifs X, Y et Z. Les trois sommets du triangle représentent les portefeuilles homogènes
(c'est à dire les portefeuilles constitués d'un seul type d'actif). Les six zones sont représentées sur la figure 3. Elles possèdent un point commun qui est le point ( 3/16 ; 5/16 ).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 3</figcaption></figure>

La valeur de $V[ \alpha X + \beta Y + (1-\alpha-\beta) Z ]$ est donnée par :

$$
\text{Cas (i)} : 412,5 + 37,5 \alpha - 10,5 \beta
$$

$$
\text{Cas (ii)} : 421,5 - 25,5 \alpha - 1,5 \beta
$$

$$
\text{Cas (iii)} : 421,5 - 25,5 \alpha - 1,5 \beta
$$

$$
\text{Cas (iv)} : 418,5 - 34,5 \alpha + 13,5 \beta
$$

$$
\text{Cas (v)} : 421,5 - 55,5 \alpha + 16,5 \beta
$$

Cas (vi) : $415,5 - 46,5 \alpha - 25,5 \beta$

On obtient donc $\alpha* = 1/17$, $\beta* = 0$ et $1 - \alpha* - \beta* = 16/17$, soit le résultat déjà obtenu en combinant X et Z dans un premier temps, puis Y et la combinaison optimale de X et Z dans un second temps. Dans les figures 4 et 4 bis, on représente $V[ \alpha X + \beta Y + (1-\alpha-\beta) Z ]$ dans un repère à trois dimensions extension du repère à deux dimensions où figurait le triangle rectangle unitaire.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 4 bis</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
Dans l'exemple ci-dessus, il nous a été possible de déterminer l'optimum
absolu en combinant X et Z dans une première étape, puis Y et la
combinaison optimale de X et Z dans une seconde étape ; par contre en
procédant de même avec X et Y dans un premier temps, puis Z dans un
second temps, nous n'y sommes pas parvenus. Cela signifie non seulement
que le choix de la séquence va conditionner le résultat obtenu, mais encore
que nous ignorons si l'optimum absolu sera atteint par le calcul indirect
même en envisageant toutes les séquences de combinaisons des actifs deux à
deux. Un argument graphique évident nous permet de comprendre les raisons
pour lesquelles une séquence particulière ne conduit pas nécessairement à
l'optimum absolu. En effet, la combinaison optimale de deux actifs
quelconques nous conduit, à l'issue de la première séquence, à considérer un
point situé sur l'un des côtés du triangle unitaire. La seconde et dernière
séquence nous conduira à déterminer un point situé sur le segment reliant le
point considéré et le dernier sommet du triangle. Autrement, si la
combinaison optimale est un point intérieur, il n'est pas certain que la
combinaison optimale des deux premiers actifs positionne le segment de la
séconde séquence sur le trajet de ce point.

C. f. Figure 5.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 5</figcaption></figure>
En fait, dans le cas d'une combinaison de trois actifs au plus, en envisageant toutes les séquences de combinaisons des actifs deux à deux (X et Y puis Z, X et Z puis Y, Y et Z puis X) et en calculant de plus l'espérance non-additive de rendement du portefeuille situé à l'intersection de toutes les zone du triangle unitaire ventilant les couples (α;β) selon le mode de calcul de cette espérance, nous obtiendrons, au plus, quatre points candidats, parmi lesquels se trouve l'optimum absolu. En effet, le processus d'optimisation séquentiel nous fournit nécessairement les meilleurs candidats pour chacun des côtés du triangle, et seul le point d'intersection intérieur est susceptible d'être un optimum meilleur que les trois candidats précédents.

Dans le cas d'une combinaison de plus de trois actifs, même s'il était possible d'établir une règle du type de celle proposée ci-dessus, le nombre de séquences de combinaisons à considérer deviendrait bien vite tel que, là encore, l'exhaustivité de cet examen n'apporterait qu'un "bruit" supplémentaire dans une optique prescriptive. Il faut donc tenter de déterminer une méthode de sélection des séquences de combinaisons d'actifs, afin d'aboutir, sinon à l'optimum absolu, tout du moins au meilleur des optima relatifs obtenus par ce genre de séquences.

**5 Discussion-conclusion.**

Si nous reprenons l'exemple de la section précédente, nous constatons qu'en combinant initialement deux actifs anti-comonotones nous sommes parvenus à un résultat moins satisfaisant qu'en combinant initialement deux actifs non-comonotones en conséquence d'une "double-permutation" seulement. En combinant de prime abord des actifs anti-comonotones, on obtient certes un actif pour lequel l'incertitude sur le rendement est réduite, mais on restreint considérablement les possibilités de parvenir, par la
combinaison de ce nouvel actif et d'un troisième, à une situation préférable. Si, au contraire, on combine d'abord des actifs "presque" comonotones, l'incertitude sur le rendement ne sera que peu réduite, mais la séquence suivante ouvrira l'opportunité d'une nouvelle réduction de l'incertitude, et ainsi de suite en combinant au fur et à mesure des actifs de "moins en moins" comonotones avec l'actif initial. Sans affirmer que ce mode de sélection des séquences nous conduira à l'optimum absolu, nous pressentons qu'un résultat de second rang sera atteint. Dans une optique prescriptive, grâce à la connaissance des fluctuations passées du rendement des actifs qui nous informe qualitativement sur leur caractère plus ou moins comonotone (i.e. positivement corrélé), nous pouvons établir le meilleur mode de diversification du portefeuille : il consiste à sélectionner séquentiellement les actifs comme prescrit ci-dessus, à partir de l'information qualitative sur leur degré de corrélation.

Néanmoins, il reste à établir formellement cette intuition. Ceci suppose, d'une part la construction d'une théorie complète de la détermination séquentielle des parts optimales d'actifs, et d'autre part l'élaboration d'un outil qualitatif et quantitatif destiné à concrétiser les prescriptions théoriques de ce modèle dans le domaine de la finance appliquée. De plus, la prise en compte de l'éventuelle non-linéarité de la fonction d'utilité permettrait de généraliser l'analyse. Il s'agit d'une tâche ambitieuse mais qui conforte l'intérêt des nouvelles théories de la décision dans l'incertain pour les applications à la finance.
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