La résolution du problème va donc s'appuyer essentiellement sur la recherche de relations arithmétiques entre les nombres proposés dans l'énoncé, sans lien avec l'expérience physique dont il est question.

Le coefficient de proportionnalité entre le volume d'eau versé et le niveau d'eau dans l'aquarium n'est pas donné directement mais par le couple (4 litres, 2 cm). Dans les deux premières questions, le volume est donné et l'élève doit chercher le niveau. Pour la première, la valeur numérique choisie pour le volume (8 litres) permet aux élèves d'utiliser soit le coefficient de proportionnalité ( 2 ), soit la propriété de linéarité en multipliant par le scalaire 2 puisque 8 cm est le double de 4 cm. Pour la deuxième question, le volume connu est 6 litres, les élèves peuvent également utiliser plusieurs procédures : utilisation du coefficient de proportionnalité, utilisation des deux propriétés de linéarité en cherchant par exemple le niveau pour 2 litres et en multipliant ensuite par 3, soit en ajoutant le niveau de 2 litres à celui de 4 litres, etc.

La troisième question pose le problème réciproque. Le texte donne le niveau d'eau dans l'aquarium et la question porte sur la recherche du volume d'eau correspondant. La valeur numérique choisie pour le niveau 14 cm permet aux élèves d'utiliser ici aussi les deux types de procédures : reconnaissance du coefficient de proportionnalité entre le niveau et le volume (x2), ou propriété de linéarité puisque 14 correspond justement à 8 + 6, ou à 7 x 2.

L'énoncé est donc tout à fait adapté pour permettre aux élèves de mobiliser leurs connaissances sur la question ou de découvrir de nouvelles procédures de résolution par une confrontation entre diverses propositions.

## 2. Reconstitution de la séance

Dans ce paragraphe nous présentons les différentes phases de la séance à partir de l'observation en classe et de l'étude de la transcription.

### Première phase : "rencontre individuelle et silencieuse avec le problème" (3 minutes)

Sur le tableau, l'enseignante écrit :

* Mathématiques

* La proportionnalité.

Elle distribue dans le silence la fiche à chaque élève au fur et à mesure qu'ils ont terminé de corriger leur dictée. Elle ne donne pas de consigne, elle dit simplement que les élèves qui auront fini feront les multiplications (deuxième exercice de la feuille distribuée). Les élèves se mettent au travail.

### Deuxième phase : travail individuel tutoré par la maîtresse (17 minutes)

Le travail individuel sur cette fiche dure pendant 17 minutes pratiquement sans bruit (on entend même parler la maîtresse de la classe voisine) et sans aucun commentaire à haute voix de la part de la maîtresse. Celle-ci est appelée par les élèves en permanence, et elle va de l'un à l'autre. Elle explique et aide individuellement chaque élève. Par moment les élèves chuchotent un peu plus bruyamment, mais ce qu'ils disent est inaudible, la maîtresse n'intervient pas à ce sujet.

Après 17 mintes, la maîtresse s'enquiert de savoir si tous les élèves ont bien eu la fiche, aucun élève ne répond.

### Troisième phase : "présentation collective du problème" (3 minutes)

Le texte du problème est lu à haute voix par une élève (Sathia) et commenté par la maîtresse par un jeu de questions fermées concernant la forme de l'aquarium.

P<fnref n="1" /> bien, un parallélépipède ça a quelle forme

<footnote n="1">¹ Nous désignerons le professeur par la lettre P, un élève non identifié par la lettre E, des élèves parlant ensemble</footnote>
E ça a la forme de l'aquarium tout simplement

P ça a la forme de l'aquarium ça c'est clair, ça a cette forme un parallélépipède (geste de la maîtresse)

Bien en plus ce parallélépipède il est rectangle parce que les côtés sont des...

les côtés sont comment les côtés sont des

E des angles droits

P Les formes des côtés

E Rectangle

E rectangulaire

P voilà tout simplement ce sont des rectangles ////

Les trois questions sont redites par la maîtresse.

## Quatrième phase : Travail individuel tutoré par la maîtresse (18 minutes)

La maîtresse rappelle que ceux qui auront fini feront les multiplications.

Pendant cette période, les enfants appellent la maîtresse (on dénombre 25 interpellations "maîtresse") qui se déplace de l'un à l'autre. Certains enfants l'informent qu'ils ont fini (dès la minute 22) mais la maîtresse ne tient pas compte de ces interventions. Sathia demande 4 fois si elle peut se lever, la maîtresse ne répondra jamais et Sathia ne se lèvera pas.

La bande audio ne permet pas de savoir avec précision la nature des interventions privées de la maîtresse avec chacun des élèves, car la maîtresse parle très bas, mais les quelques éléments audibles concernent des reprises des questions, des exhortations à réfléchir, des indications matérielles ("colle ta feuille") ou de gestion de classe (Abdala « tu t'assieds s'il te plaît »).

Pendant cette phase, les élèves sont calmes, mais chuchotent entre eux, appellent la maîtresse, ce qui donne l'effet d'un très léger brouhaha.

## Cinquième phase : correction publique (13 minutes)

La maîtresse annonce le moment de correction par la phrase :

"Christopher va au tableau"

"Bien, vous allez écouter vos camarades pour voir un peu comment ils ont fait aussi"

### Correction de la première question (2 minutes)

La première phrase du problème est relue par Nahel, puis la première question est posée par la maîtresse « à la cantonade ».

On entend plusieurs réponses différentes : « 4 », « 8 », (sans mention de l'unité)

Christopher au tableau donne la bonne : « 4 »

L'enseignante demande pourquoi à plusieurs reprises.

Christopher, après avoir répondu par des heu, finit par dire "quand il verse 4 cm", il est alors repris par la maîtresse « 4 litres », et reprend "oui 4 litres, il trouve 2 cm, quand il verse 8 litres il trouve 4 cm".

Cette explication suffit à la maîtresse qui enjoint Christopher d'écrire au tableau juste 4 cm

### Correction de la deuxième question (3 minutes)

La maîtresse demande à Sofia la réponse à la question 2 qu'elle relit juste après. Un élève répond « 3 », la maîtresse demande pourquoi et l'élève répond "c'est toi qui l'as dit", ce qui sans doute fait référence à l'aide que la maîtresse lui a apportée, un autre propose "on divise par 2".

A la suite de cette proposition, on assiste à un échange de morceaux de phrases entre plusieurs élèves et la maîtresse, sans qu'aucune justification soit apportée et même sans que la réponse

<footnote>par Es, les élèves identifiés par leur prénom. Les silences seront mentionnés par plusieurs ///.</footnote>
soit clairement redonnée.

P Pourquoi on divise par 2///

E ben Comme heu comme heu (inaudible), il y a 2 cm

P oui

E, ben y a la moitié

P oui ///

E Voilà///

P Maroua, tu as entendu ce qu'elle a dit ? /// comment elle a fait pour trouver 3 cm, elle, Maroua

E euh, elle a divisé par 2

P il vient d'où ce 6 /// Pourquoi

Maroua : elle a divisé par 2

P Pourquoi elle a divisé par 2

Maroua : parce que parce que pour savoir heu le niveau inaudible

E comme il monte

E Parce que c'est en cm

E c'est dans la consigne

P Parce que dans la consigne, Qu'est ce qui y a Maroua

Maroua C'est écrit quand il verse 4 litres

P Quand il verse brouhaha

E Maîtresse s'il vous plaît

P Abba

Brouhahah

P Bien, Tiens Brahim tu nous lis le /// Brouhaha /// Brahim Combien de litres doit-il verser pour que le niveau monte de 14 cm

## Correction de la troisième question (8 minutes)

Cette partie consiste en une série d'interventions au cours desquelles les élèves proposent des nombres ou des opérations. On assiste à un mélange permanent entre l'utilisation du coefficient de proportionnalité entre hauteur et volume (× 2), de celui entre volume et hauteur (× 2), et l'utilisation, par la maîtresse, des propriétés de linéarité.

P Pour 2 cm le niveau il monte de combien

brouhaha

E avec 4 litres

P le niveau il monte de

E 2cm

P à 2cm

E 8

P non

E à 3 cm on a eu combien de litres

P Combien de litres pour 3 cm

E plusieurs réponses dont 6

[...]

P Bien, maintenant il a reversé, il est arrivé à 14 cm, combien il a versé de litres ?

E 28, maîtresse

Es 28

P à 2 cm, il y en a // 4 d'accord, à 4 cm, il y en a

Es 8

P 8

P Par exemple, s'il verse 16 litres, le niveau il montera de combien ?

Es 8, 8, 8, 8 cm

P Pourquoi ?

E ben, On divise par 2

E on divise

P 16 cm, 16 litres, 8 cm ////// Comment on a trouvé ?

E maîtresse

E 8 cm, 8 cm

P 8 par rapport à 4, comment on fait pour trouver 8 par rapport à 4

E deux fois

P 2 fois 4, donc on a multiplié
E par 2

P par 2, Et 16 par rapport à 8, 8 c'est combien

E la moitié

P 16, si on a 8 pour trouver 16, comment on va faire ?

E On divise par 2

E ou on multiplie

P On multiplie par

E 2

E par 4

P puisqu'on a 14 comment on va faire ?

E on multiplie par 2

P 14 par rapport à tous les cm, par rapport à tous les cm que tu as là /// comment on peut faire pour trouver 14 soit par rapport à 2, par rapport à 3 ou par rapport à 4, comment on peut faire pour trouver 14 par rapport , 14 cm par rapport par rapport aux autres cm, comment on va faire pour trouver 14 par rapport soit à 2, soit à 3, soit à 4 /\\/

Pendant qu'elle questionne les élèves, l'enseignante trace un premier graphique sur lequel elle place les cm en ordonnée, rien en abscisse et les litres sur une autre échelle verticale en vis à vis des centimètres. Elle ne commente pas le graphique et n'en parle pas aux élèves qui ne posent aucune question à son sujet. Puis elle efface ce graphique 5 minutes après pour en construire un autre sur lequel cette fois elle place les cm en abscisse et le litres en ordonnée, en disant "quand on a les cm ici, ici on a les litres".

## Sixième phase : conclusion (2 minutes)

La maîtresse demande aux élèves : « Vous vous souvenez comment on appelle [...] ce graphique ?"

Un élève répond "la proportionnalité", un autre "un tableau de proportionnalité".

L'enseignante demande "pourquoi est-il proportionnel ?". En l'absence de réponses à cette question, la maîtresse engage les élèves sur la voie suivante : "Parce que quand on fait tous les points entre les cm et les litres, quand on trace une droite, qu'est-ce qui se passe ?". Un élève propose "ils sont tous sur cette droite", phrase reprise par le professeur et modifiée par un élève " sur la même ligne", expression reprise à son compte par le professeur qui clôt la séance de mathématiques en invitant les élèves à coller la fiche sur le cahier bleu.

*(Aucun rappel à l'ordre)*

# 3. Des traits caractéristiques de la pratique du professeur

## 3.1. Un scénario qui est construit autour de la résolution individuelle d'un exercice.

Le professeur ne présente pas l'exercice en début de séance, les élèves vont rencontrer le travail à faire, les uns après les autres, lorsqu'ils auront fini de corriger leur « autodictée ». Ils le découvriront sur une fiche photocopieée et devront lire l'énoncé et se mettre au travail sans intervention du professeur. La seule indication est fournie par le titre inscrit silencieusement par le professeur sur le tableau : « La proportionnalité ». Nous pensons que cette inscription au tableau de la notion en jeu dans le problème est un geste professionnel caractéristique de ce professeur. En effet par cette simple inscription, la maîtresse signale le registre de connaissances à utiliser pour résoudre le problème. Certains élèves peuvent ainsi s'emparer de cette information pour mobiliser leurs connaissances sur cette notion.

17 minutes vont s'écouler pour laisser le temps à tous les élèves de se mettre au travail sur cet exercice. A priori ce choix peut être justifié didactiquement. Il est en effet intéressant de laisser un temps de recherche individuelle aux élèves pour leur permettre de se confronter à la question posée et de mobiliser tout seuls les connaissances nécessaires à la résolution du problème. En fait dans le cas du professeur observé, cette phase a aussi pour fonction de gérer
le temps en permettant à tous les élèves de terminer à leur rythme le travail précédent.
Pendant ce temps, le professeur apporte déjà une aide individuelle à certains élèves.

Lorsque tous les élèves sont enfin prêts à travailler sur le problème, le professeur fait lire l'énoncé à une élève qui travaille déjà depuis un moment sur ce problème. Cette lecture s'accompagne de quelques commentaires du professeur sous forme d'un jeu de questions auxquelles elle répond essentiellement elle-même et qui ont pour objet, non la connaissance dont l'apprentissage est visé, mais des précisions sur le contexte.

La phase suivante est analogue à la première, c'est-à-dire que les élèves vont travailler individuellement et attendre la venue du professeur soit pour comprendre ce qu'ils doivent faire, soit pour recevoir de l'aide, soit pour contrôler leur travail.

## 3.2. Une forme d'étayage permanent

Durant les 34 minutes pendant lesquelles les élèves sont censés travailler sur le problème proposé, l'enseignante passe constamment derrière chacun, de manière presque systématique, rangée par rangée. Pour les premiers, l'aide porte davantage sur la reprise de l'énoncé et sur les pistes à suivre en terme de « comment faire », puis, au fur et à mesure que le temps passe, sur la correction de ce que les élèves ont écrit sur leur fiche. Quelques élèves sont sans doute mis sur la voie par le titre de la leçon, d'autres le sont par la maîtresse comme on le voit lors de la correction par la réponse de l'un d'eux à sa demande de justification : « c'est toi qui l'as dit ». La maîtresse parle à voix très basse, et ne répond pratiquement jamais aux appels répétés des élèves (« maîtresse »), mais elle rappelle à l'ordre les élèves au moindre manquement. Les élèves sont très disciplinés, ils restent assis à leur table, la plupart attendent généralement assez passivement le passage de l'enseignante pour faire quelque chose. Certains terminent le travail précédent, d'autres font directement les multiplications inscrites sur la fiche sous le problème, d'autres sortent un livre ou une BD, d'autres parlent à voix très basse avec leur voisin, d'autres enfin ne font rien et se distraient en remuant un crayon ou un autre objet. Quelques uns s'intéressent au problème à résoudre et parfois échangent leurs résultats avec d'autres.

## 3.3. Une correction publique qui ne concerne que quelques élèves et qui met en évidence de nombreux malentendus entre le professeur et ces élèves

Nous avons vu dans la reconstitution de la séance que le professeur, 39 minutes après le début de la séance, annonce la phase de correction en envoyant un élève (Christopher) au tableau et en disant « bien, vous allez écouter vos camarades pour voir un peu comment ils ont fait aussi ».

La correction se déroule sous forme d'un questionnement portant sur les valeurs numériques à trouver. A aucun moment la situation n'est étudiée en tant que situation expérimentale pouvant être modélisée par la proportionnalité, même si le contexte est rappelé. Dès que la bonne réponse à la première question est dite par un élève, la maîtresse s'en empare et demande à l'élève concerné « comment tu as fait ? ». En fait, cette demande d'explicitation semble tout à fait formelle, car le professeur se contente de la répétition de la réponse et propose immédiatement de passer à la correction de la seconde question sans évoquer la proportionnalité entre le volume d'eau et la hauteur de l'eau dans l'aquarium. Sur le tableau figure seulement la réponse numérique sous la forme : « 1) 4 cm ».

Pour la seconde question, la correction se déroule de la même façon entre le professeur et quelques élèves, les autres continuent à travailler sur leur fiche, et à faire les multiplications qui se trouvent sous le problème.

Les échanges entre le professeur et les quelques élèves qui sont sollicités pour la correction portent encore sur la recherche de relations arithmétiques entre les nombres en jeu dans le problème et non sur le phénomène de proportionnalité « On divise par 2 » la maîtresse demande « pourquoi on divise par 2 ? », et l'élève répond « ben y a la moitié », ce qui semble
suffire à la maîtresse qui exhorte Maroua à écouter cette explication qui s’appuie sur l’analogie avec la première question en utilisant le coefficient de proportionnalité « : 2 » : « pour 8 on trouvait 4, donc pour 6 on trouve 3 ». Notons bien que ces nombres ne sont pas identifiés clairement comme représentant respectivement un volume exprimé en litres et une hauteur exprimée en cm. De ce fait, lorsque l’on passe à la correction de la troisième question, l’absence de référence à la situation engendre un certain nombre de malentendus puisque, cette fois-ci, ce qui est connu c’est la hauteur et ce qui est à chercher c’est le volume. Le professeur est donc, à ce moment-là, obligé de reprendre les réponses aux questions précédentes en affectant les nombres obtenus des unités correspondantes. Cette reprise s’effectue en partie dans la confusion : « pour 2 cm, le niveau monte de combien ? » un élève comprend tout de même le sens de la question et répond : « 4 litres », mais un autre énonce « 8 », et le professeur recentre avec le cas des 3 cm « quand le niveau est à 3 cm, ça veut dire qu’il a versé combien de litres ? », les élèves semblent enfin sur la voie car plusieurs répondent « 6 » et d’autres « 6 litres ». Le professeur peut alors enchaîner « bien maintenant il a reversé, il est arrivé à 14 cm, combien il a versé de litres ? » et plusieurs élèves répondent le « 28 » attendu. Curieusement, contrairement à son habitude, l’enseignante n’approuve pas immédiatement. Cette absence d’approbation nous semble un indice de l’état d’incertitude sur la réponse exacte dans laquelle se trouve la maîtresse elle-même. Elle reprend alors le cas de 2 cm, de 4 cm, et effectue un nouveau basculement entre les données hauteur et volume : « par exemple, s’il verse 16 litres, le niveau montera de combien ? ». Plusieurs élèves suivent bien et répondent « 8 », « 8 cm ». A la demande de justification du professeur, un élève propose « on divise par 2 ». A ce moment, le professeur ne semble plus très bien savoir dans quel sens fonctionne le coefficient de proportionnalité, et repart du « 8 » des élèves qui correspondait à 8 cm, pour le considérer comme 8 litres et le mettre en relation avec 4 : « comment on a fait pour trouver 8 par rapport à 4 ? », question qui ne s’est jamais posée puisque ce qui était connu dans la première question, c’était justement le volume 8 litres et ce qui était à chercher c’était la hauteur (4 cm). Mais le professeur obtient la réponse qu’il voulait entendre : « deux fois » et reprend « 2 fois 4, donc on a multiplié ». La suite des échanges porte sur les relations entre les nombres, certains élèves restent sur la division par deux, d’autres sur la multiplication par deux qui en fait correspondent au coefficient de proportionnalité entre volume et hauteur d’eau ou réciproquement. Mais au lieu d’éclaircir ce point, le professeur change de mode de résolution du problème et cherche maintenant à faire utiliser une propriété de linéarité : « 14 par rapport à tous les cm, par rapport à tous les cm que tu as là, comment on peut faire pour trouver 14 soit par rapport à 2, par rapport à 3 ou par rapport à 4, comment on peut faire pour trouver 14 par rapport, par rapport aux autres cm, comment on va faire pour trouver 14 par rapport soit à 2, soit à 3, soit à 4 ? ». Seul Brahim semble comprendre ce qui se passe et, après avoir donné à nouveau la réponse correcte 28, satisfait le professeur en disant « 14 c’est 7 multiplié par 2 ». Le professeur manifeste son soulagement par un « très bien » et reprend sa procédure utilisant une des propriétés de linéarité : « parce que 14 par rapport à 2 c’est 7 fois 2, donc puisqu’on a multiplié les 2 par 7, les centimètres, on va multiplier les litres par ? » et là plusieurs élèves répondent « par 2 », ce qui montre qu’ils sont restés sur l’utilisation du coefficient de proportionnalité, et c’est le professeur qui devra annoncer « par 7 ».

On sent là une incompréhension complète entre le professeur et les quelques élèves qui participent à l’échange, Brahim excepté. Nous devons rappeler que sur le tableau figure un graphique cartésien réalisé par le professeur au début de la correction de la troisième question, sur lequel figurent en ordonnée les hauteurs en cm, aucune donnée en abscisse, et les volumes à côté des hauteurs. Pendant tout l’échange aucune référence n’est faite à ce « graphique », et rien n’est écrit au tableau ni par un élève, ni par l’enseignante. C’est seulement à la fin de l’échange, au moment où, sans doute, elle prend conscience de l’incompréhension des élèves,
<table><thead><tr><th>phase</th><th>durée</th><th>fonction</th><th>Nombre d'interventions de la maîtresse</th><th>Nombre moyen de mots de l'intervention</th><th>Nombre de rappels à l'ordre</th><th>Nombre d'interventions des élèves</th><th>Nombre moyen de mots de l'intervention</th></tr></thead><tbody><tr><td>Première phase</td><td>3 min</td><td>Première rencontre, individuelle et silencieuse</td><td>1</td><td>7 mots</td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr><tr><td>Deuxième phase</td><td>17 min</td><td>Travail individuel</td><td>0</td><td></td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr><tr><td>Troisième phase</td><td>3 min</td><td>Présentation collective du problème</td><td>10</td><td>4 phrases de 30 à 53 mots reprise de l'énoncé) et 6 interventions courtes (moyenne 9 mots)</td><td>3</td><td>9</td><td>Lecture de la consigne (25 mots) 8 autres interventions (moyenne 3 mots)</td></tr><tr><td>Quatrième phase</td><td>18 min</td><td>Travail individuel</td><td>0 publique 10 audibles adressées à un élève</td><td>moyenne 5 mots</td><td>1</td><td>30 dont 25 interpellations "maîtresse"</td><td>moyenne 5 mots</td></tr><tr><td rowspan="4">Cinquième phase</td><td rowspan="4">13 min</td><td>Correction publique</td><td>14</td><td>3 phrases de 10 à 24 mots (reprise de la question ou demande d'explication) et 12 interventions courtes (moyenne 3 mots)</td><td>1</td><td>14 (6 de Christopher qui est au tableau) et 5 interpellations "maîtresse")</td><td>3 interventions de 11 à 16 mots et 14 interventions courtes (moyenne 3,5 mots)</td></tr><tr><td>Première question 2 min</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Deuxième question 3 min</td><td>11</td><td>3 phrases de 12 à 19 mots et 8 interventions courtes (moyenne 2,5 mots)</td><td>1</td><td>13 (dont 4 de Maroua)</td><td>3 interventions de 9 à 11 mots, et 11 interventions courtes (moyenne 4 mots)</td></tr><tr><td>Troisième question 8 min</td><td>21</td><td>1 phrase de 73 mots 2 de 29 mots, 42 de 5,7 mots en moyenne</td><td>0</td><td>18</td><td>1 phrase de 14 mots (la lecture de la question), et 46 interventions courtes de 2,3 mots en moyenne</td></tr><tr><td>Sixième phase</td><td>2 min</td><td>conclusion</td><td>9</td><td>1 phrase de 25 mots (question) et 8 interventions courtes (5 mots en moyenne)</td><td>0</td><td>9</td><td>3 mots en moyenne</td></tr></tbody></table>
## 4.1. Le maintien de l'ordre dans la classe

Durant la totalité de la séance, nous comptons seulement six rappels à l'ordre, et à chaque fois très brefs. Les élèves sont très sages, relativement silencieux, très disciplinés et respectueux envers leur maîtresse qui ne tolère aucun manquement. Pendant la phase de travail individuel, quelques élèves bavardent, mais à voix basse.

Le travail sur fiche géré de manière individualisé permet ce mode de maintien de l'ordre et de la discipline, même dans des classes d'élèves plutôt agités.

## 4.2 Les interactions verbales

La maîtresse a prononcé publiquement 605 mots en 92 interventions (moyenne globale 6,5 mots par intervention, les élèves ont prononcé publiquement 384 mots (sans compter les 25 injonctions « *Maîtresse* » de la phase 4) en 97 interventions (moyenne globale 4 mots par intervention).

Pendant les 41 premières minutes, l'enseignante est intervenue 10 fois dont 3 fois pour des rappels à l'ordre en interpellant les élèves par leur prénom. Les enfants n'ont pas parlé publiquement sinon pour lire les consignes ou appeler « *maîtresse* ».

Les échanges effectifs sont concentrés pendant les 15 dernières minutes correspondant à la phase de correction publique et à la conclusion. Pendant ces deux phases, le rapport du temps de parole de la maîtresse à celui des élèves est de 3/2. C'est la maîtresse qui « dirige » l'échange. Les interventions sont de deux sortes pour la maîtresse comme pour les élèves : des interventions relativement longues qui correspondent à la relecture de l'énoncé ou des questions, et des interventions très brèves qui consistent en la donnée d'une valeur numérique, une demande d'explication, ou la reprise d'un morceau de question. Nous ne repérons aucun discours construit autour de la notion en jeu dans le problème ou des procédures à mettre en œuvre pour le résoudre. Finalement les seuls « discours mathématiques » sont la lecture de l'énoncé et des questions.

## 5. Conclusion

Finalement, aucune connaissance, ni relative au phénomène physique, ni relative aux procédures de résolution d'un problème relevant de la proportionnalité n'ont été convoquées publiquement par l'enseignante au cours de cette séance. Mais nous avons mis en évidence un geste professionnel assez sophistiqué qui consiste à noter silencieusement au tableau au début de la séance l'objet mathématique de référence pour « aiguiller » certains élèves, puis à donner individuellement des aides et éventuellement la réponse. Ce geste permet à cette enseignante d'obtenir certains apprentissages chez certains élèves. Il la dédouane peut-être à ses propres yeux de l'absence d'institutionnalisation puisque le savoir officiel a été exhibé par son nom par un affichage publique. Il lui permet peut-être aussi de ne pas se sentir susceptible d'être taxée de pédagogie magistrale puisqu'elle ne dit rien et ne montre rien.

Mais même si certains élèves peuvent apprendre quelque chose de cette manière, il est prévisible qu'à moyen et long terme, seuls quelques élèves très autonomes dans la construction de leurs savoirs peuvent bénéficier de cette forme d'enseignement. La majorité des élèves de cette classe semble s'être installée dans une attitude de passivité vis à vis de l'apprentissage, attendant seulement l'aide de la maîtresse tout en se pliant à ses exigences de discipline. Cette attitude d'attente silencieuse leur procure l'assurance d'obtenir de « bonnes notes » que la maîtresse n'hésite pas à distribuer sur les fiches de chacun pour les encourager.
## 2. UN EXEMPLE DE DERIVES SUCCESSIVES DANS LA CORRECTION PUBLIQUE D'UN PROBLEME (GENRE 2)

L'énoncé suivant a été proposé à des élèves d'une classe de CM1 de ZEP :

Enoncé :

Les 387 élèves de l'école partent en voyage en fin d'année. Il y aura 18 accompagnateurs. Combien faudra-t-il louer de cars s'il y a 55 places dans chacun d'eux ? (texte souligné par l'enseignante)

Il s'agit d'un problème de division euclidienne avec reste, dont le contexte et la question posée conduisent à prendre en compte le quotient par excès.

De façon générale, les situations de division peuvent être modélisées par une écriture de type :

$$a = b \times q + r \text{ avec } 0 \le r < b \text{ ou } b \times q \le a < b \times (q+1),$$

où a, b, q et r sont respectivement le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de la division.

Les principales variables didactiques généralement prises en compte concernent le type de problème (quotition ou partition), la taille des nombres, la présence d'un reste. La gestion de ce reste peut être source d'échec dans la résolution de certains problèmes selon le contexte, la formulation de l'énoncé, la question posée.

Dans les problèmes de division euclidienne, l'accent est généralement mis sur la variété de procédures dont peut disposer l'élève. Les phases de synthèse doivent favoriser l'évolution de ces procédures, en mettant l'accent sur l'efficacité de certaines. Les écritures précédemment citées permettent en particulier la validation de ces procédures.

Une analyse succincte de la tâche de l'élève nous amène à dire que, pour réussir la résolution de ce problème, l'élève doit :

- se poser une question intermédiaire sur le nombre de passagers : $387 + 18 = 405$

- résoudre le problème de division. En début de CM1, l'écriture canonique associée est alors : $405 = (55 \times 7) + 20$

- Interpréter le reste en fonction du contexte, et donner le quotient par excès 8.

Après un court temps de recherche individuelle, l'enseignante a invité deux élèves à formuler leur réponse au tableau. Ces deux élèves y produisent les écrits suivants :

<table><thead><tr><th>Joseph</th><th>Aïsha</th></tr></thead><tbody><tr><td>☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐</td><td>55</td><td>385</td></tr><tr><td>55 55 55 55 55 55 55</td><td>× 7</td><td></td></tr><tr><td>Il en faudra 7</td><td>----</td><td></td></tr><tr><td></td><td>385</td><td></td></tr></tbody></table>

A priori, on ne sait pas si le dividende approché est 405 ou 387. On s'attend donc à ce que la validation porte sur une explicitation claire de ce dividende.

Les deux procédures affichées sont bien distinctes. Celle de Joseph prend appui sur le dessin où les carrés symbolisent les cars, avec un comptage de 55 en 55, avec contrôle sur le dividende, suivi d'un comptage du nombre d'itérations de 55. Celle de Aïsha correspond à une approche du dividende par des multiples du diviseur. Elle est traditionnellement visée du fait de son efficacité et de sa proximité avec la technique usuelle de la division. Les
connaissances mises en œuvre dans ces deux procédures correspondent à un degré de maîtrise différent de la multiplication et pourraient faire l'objet d'une discussion dans la classe.

Notons aussi que Joseph exprime clairement sa réponse, ce qui n'est pas le cas de Aïsha qui la formule oralement après interpellation de l'enseignante.

Notre analyse concerne la partie du protocole relative à la correction qui suit cette phase de formulation.

La maîtresse choisit de ne pas faire comparer les procédures, mais d'amener les élèves à remettre en cause le nombre de 7 cars proposé. Par une série de questionnements, elle accepte des propositions de dividendes différents de 405, valeur normalement attendue à partir du problème initial, afin de justifier la nécessité d'un huitième car. Ceci se traduit finalement par la résolution de différents énoncés.

- Premier énoncé résolu par les élèves : 387 élèves dans des cars de 55 places, avec une gestion du reste de deux plus proche de leur vécu.

- Deuxième énoncé : 385 (7 × 55) élèves et leurs 18 accompagnateurs dans des cars de 55 places. Ici deux élèves de l'énoncé sont oubliés.

- Troisième énoncé : 403 (387 + 18) personnes dans des cars de 55 places. Le total de 403 est une réponse fournie par un élève pour l'addition de 387 et 18, réponse inexacte mais validée par la maîtresse.

Nous allons préciser comment s'effectue le passage d'un énoncé à l'autre.

Les élèves ayant trouvé 7 cars à partir du premier énoncé justifient ce résultat par des arguments sociaux. Les deux élèves restants peuvent soit être répartis dans les autres cars, soit être transportés par des enseignants dans leur voiture personnelle. Ces solutions sont rejetées par le professeur à l'aide d'autres arguments sociaux comme le montre l'extrait ci-dessous :

M<fnref n="2" /> Vous savez qu'il y a un règlement ; on n'a pas le droit et là vraiment le règlement est strict, on n'a pas le droit de mettre plus d'élèves dans un car si le car n'en accepte que 55.

Aïsha Ben alors, on n'a qu'à prendre une voiture.

M Les élèves ne peuvent pas être transportés dans des voitures privées.

E Pourquoi ?

M Il y a un problème d'assurance

E Un taxi ?

M Ça coûterait peut-être trop cher

Le deuxième énoncé émerge de cette résistance des élèves à accepter la nécessité d'un huitième car pour transporter deux élèves.

M Ils courent après le car. **Bien, dites les CM1, est-ce que les élèves ils partent seuls en voyage ?**

E Non, avec les maîtresses

Aïsha Avec, avec 18 accompagnateurs

M Et vous avez tenu compte des accompagnateurs dans vos calculs ?

M Alors combien de personnes partent en tout ?

Fatima On fait 385 plus 18

Aïsha Moi, maîtresse, je peux venir la faire

M Alors, Aïsha, si tu veux
(Au tableau, Aïsha pose l'addition 385 + 18 = 403)

M Donc 403 personnes partent.

On assiste donc à un nouveau changement d'énoncé :

“ 385 enfants avec 18 accompagnateurs dans des cars de 55 places ”.

<footnote n="2">² Dans cette transcription le professeur est désigné par la lettre M.</footnote>
Le huitième car transporte les accompagnateurs.

Le troisième énoncé intervient à la suite d'une tentative de la maîtresse de justifier la solution de huit cars à l'aide d'une écriture mathématique.

M Mais comment être sûr qu'il vous faut bien 8 cars, Aïsha, qu'est-ce que tu fais ?

Aïsha On fait 55 fois 8

E Maîtresse, ça fait 440

E 540

E 440, je l'ai fait là, tiens

Aïsha Non, c'est les cars, là ça fait 440 et là 403

La proposition d'Aïsha : "on fait 55 × 8" est validée par la maîtresse qui la reproduit au tableau : "55 × 8 = 440". Ceci provoque une nouvelle crise. Quel sens donner à cette écriture ? Pour Aïsha, il semble que tout multiple de 55 soit un nombre de personnes transportées, et non un nombre de places disponibles. C'est sur la base de cette ambiguïté que se déroule le débat : "non, c'est les cars, là ça fait 440 et là 403". Donc 8×55 ne convient pas car on ne peut transporter plus de personnes qu'il n'y en a. Pour régler cette crise, la maîtresse va tenter de reconstruire le problème initial et d'accorder un statut à certains des nombres.

M (elle écrit au tableau 55 × 8 = 440.)
Alors mettez vous d'accord. Il faut 7 cars ou 8 cars ?

Aïsha 7

M Dans 7 cars combien de personnes peut-on mettre ?

E 55

M Non, mais dans 7 cars

E 55

Aïsha Non, dans 7 cars on peut mettre 385

M Et combien de personnes partent ?

Aïsha Euh,

E 385

M Non, combien de personnes partent en tout ?

Aïsha Maîtresse, 440 ?

M Non

Fatima Maîtresse, 305

E 310

E 440, attendez

Aïsha 403

M Ah

E 385

M Combien de personnes partent faire ce voyage ?

Aïsha (et autres élèves) 385

M Elèves, plus 18 accompagnateurs

On assiste à une confusion chez les élèves : A quoi correspondent 385, 403 et 440 ? Ces nombres n'ont pas de signification précise, aucune écriture au tableau ne permet d'identifier leur statut. Le questionnement accorde un statut aux nombres 385 et 403, mais pas à 440 et les réponses hasardeuses des élèves dénotent plutôt une perte de sens.

L'enseignante tente de revenir au problème initial en recherchant la valeur du dividende :

M Ce n'est pas 385 élèves qu'il y a dans l'école. Relisez bien votre .. vos données

Babacar 387

M Il y a 387 élèves. Combien d'accompagnateurs ?

E 18

M Alors combien de personnes partent ?
E Silence

M Combien de personnes partent en tout en voyage ?

Aïsha 403

M 403, c'est ce que tu as calculé Aïsha

Le silence affiché par les élèves montre un certain désarroi. Rappelons qu'au tableau, les seules écritures sont :

- les résultats initiaux des élèves où apparaissent 55, 7 et 385.

- $385 + 18 = 403$

- L'écriture $55 \times 8 = 440$

Le nombre 387 n'a plus de statut puisqu'il est acquis que seuls partent 385 élèves dans 7 cars et leurs 18 accompagnateurs dans un 8ème car. Le silence se comprend aussi par le fait que la somme de 387 et 18 n'a pas été calculée. Aïsha propose 403, réponse inexacte mais que l'enseignante valide. 403 n'est plus repéré comme 385 + 18 mais comme 387 + 18.

La phase suivante consiste en une tentative de synthèse :

E Il y a 8 cars

Aïsha Ouais, mais t'es bête aussi s'il y aurait 8 cars c'est pour 440 euh personnes

M Alors ce qui veut dire que s'il y a 8 cars, est-ce que le 8ème car sera complet ?

E Non, non

M Non, mais s'il y a 7 cars, est-ce que tout le monde peut partir en voyage

E Non

M Non, donc il faut louer 8 cars, tant pis même si un car n'est pas complet, il faut louer 8 cars

Aïsha n'est pas convaincue par la nécessité de 8 cars. Le statut de 440 n'est pas explicité, et on comprend qu'Aïsha continue à s'interroger sur celui de 8 dans l'écriture $8 \times 55 = 440$.

La conclusion est amenée par la maîtresse : "donc il faut louer 8 cars, tant pis même si le huitième car n'est pas complet", sous-entendu s'il ne contient que 18 personnes, d'après le dernier énoncé qui est, il faut le rappeler, 7 cars de 55 élèves, un 8ème car pour leurs 18 accompagnateurs.

L'analyse de cette phase de correction nous amène aux résultats suivants qui illustrent une pratique relevant du second genre dominant :

- Une absence de phase de synthèse

Les hypothèses sur lesquelles reposent la validation et l'argumentation ne sont pas stables, de nombreux malentendus ne sont pas levés : le problème est résolu non par une approche notionnelle, mais par une approche reposant sur des connaissances sociales.

Le but de la maîtresse semble être d'obtenir le quotient par excès, réponse au problème, d'une manière ou d'une autre. De ce fait, ses interventions modifient profondément les conditions de fonctionnement du savoir mathématique, ici la division euclidienne<fnref n="3" /> et le traitement du reste dans une situation dont le contexte nécessite de prendre en compte le quotient par excès.

<footnote n="3">³ Les changements d'énoncés s'accompagnent d'un changement de statut des concepts.</footnote>

<footnote>Le dividende : la valeur de ce dividende, 405, n'intervient pas dans la séance, alors que c'est la condition essentielle d'un partage de la signification du bon problème. D'autres dividendes sont pris en compte, 385, 387 et 403, sans que l'ambiguïté sémantique soit levée (élèves, personnes ou places de cars ?)</footnote>

<footnote>le quotient euclidien : la valeur 7 n'acquiert aucune signification tout au long de la négociation. Il est constamment rejeté par la maîtresse.</footnote>
Le basculement initié par l'enseignante permet aux élèves d'envisager des solutions proches du vécu. Ces changements, loin de favoriser l'émergence d'écritures mathématiques telles que l'écriture canonique de la division euclidienne, provoquent une dilution du savoir visé qui ne permet pas aux élèves en fin de séance d'identifier ni une stratégie efficace de résolution, ni des écritures généralisantes.

## - Une correction publique

Les échanges oraux montrent les tentatives de certains élèves de suivre cette résolution collective mais en fait, seuls quelques-uns y participent. On peut même affirmer qu'il s'agit d'une prise en compte d'une élève dans ce déroulement. Dans cet extrait, Aïsha qui est la meilleure élève, d'après l'enseignante, est interpellée de nombreuses fois et on note que sur 44 interventions, cette élève intervient 22 fois.

Aïsha est en général la référence de l'enseignante dans le rythme des séances. On a vu la confiance qu'elle lui accorde pour déterminer le résultat de $387 + 18$. " 403, c'est ce que tu as calculé, Aïsha ".

Ces dérives successives observées au cours du déroulement ne permettent pas de lever les incertitudes des élèves, de leur fournir un appui pour mener seuls la résolution ultérieure de problèmes isomorphes. Cette autonomie pourrait pourtant être favorisée par la mise en évidence d'écritures mathématiques communes à partir de procédures diverses, en cohérence avec le problème résolu et la notion sous-jacente.

# 3. UN EXEMPLE DE NEGOCIATION A LA BAISSE EN GEOMETRIE (GENRE 2)

La séance de géométrie que nous décrivons a pris place après de nombreux échanges avec les enseignants sur les activités à conduire dans les classes. C'est une étape de la progression sur l'étude des figures planes qui avait été en partie élaborée lors des séances de travail dans le cadre de la formation par accompagnement qui sera décrite dans le paragraphe suivant.

## 3.1. Analyse de la séance

### Phase 1 : identification des polygones ( 2 minutes )

1. M Des figures géométriques au tableau, (elle découvre la partie cachée), parmi ces figures, il y a deux intrus

2. E Je les connais

3. E Moi aussi

4. E Maîtresse, il a triché maîtresse

5. M Chut

6. E Maîtresse, moi aussi

7. M 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (M compte pour obtenir le calme)

8. M Alors, Mam

9. Mam Parce que le A parce qu'il est arrondi, le G parce qu'il n'est pas fermé

10. M A quelle famille n'appartiennent pas ces deux figures, Omar ?

Le reste euclidien : il n'existe qu'à partir du problème initialement reconnu par les élèves, est énoncé oralement (il reste deux élèves) sans être clairement identifié dans une écriture et prend un statut de concept quotidien qui est à traiter en relation avec les contraintes sociales. Notons que plusieurs valeurs sont acceptées par la maîtresse : 2, puis 18. Elles servent son but : trouver un quotient par excès. Le dividende étant incorrect, le reste de 20 n'apparaît pas.

Le quotient par excès, solution recherchée par la maîtresse, est considéré comme devant intervenir en conclusion dans une écriture mathématique. Cependant la maîtresse ne propose pas l'encadrement du dividende par deux multiples consécutifs du diviseur.
11. Mam Parce que ce sont des polygones

12. Ha Maîtresse, ce sont tous des quadrilatères

13. M Alors, parmi tous ces polygones, l'un n'appartient pas à la famille des quadrilatères (a effacé les non polygones)

Analyse de la tâche :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Pour réussir dans leur tâche, les élèves doivent identifier les attributs présents dans certains objets géométriques, et qui permettent de les différencier des deux autres objets qui sont les intrus, balayer visuellement le tableau en regardant un à un les éléments pour repérer si ces attributs sont présents ou non et enfin localiser les intrus. A priori, les élèves pourraient s'intéresser à différentes propriétés.

La convexité permet de considérer G et H comme des intrus.

Le fait d'être un polygone permet d'éliminer G et A.

Les élèves connaissent aussi la notion d'angle droit, d'axe de symétrie, de parallélisme, autant de critères qu'ils pourraient prendre en compte pour caractériser certaines des figures et éliminer d'autres. Le fait qu'ils n'aient à se fier qu'à la perception visuelle, les figures étant représentées au tableau, réduit cependant le nombre de caractéristiques possibles.

La question posée est en apparence ouverte et peut être considérée comme à haut risque si les élèves tentent d'explorer l'ensemble des connaissances géométriques éventuellement rencontrées au cours des séances précédentes.

La réponse immédiate de Mam (L.9), accompagnée d'une justification (L.11) indique que dans cette classe, les élèves ont été entraînés récemment à identifier des polygones, mais aussi à justifier leur réponse. Mais la justification de Mam, bien que correcte, ne cite pas les attributs caractéristiques des polygones : figure fermée constituée de segments. Elle porte sur ce qui différencie G et A des polygones (ligne non fermée, ou ligne courbe). Un autre critère est pris en compte par Aï : le nombre de côtés, ce qui l'amène à considérer la famille des quadrilatères en y incluant probablement le pentagone H.

Dans la même phrase, l'enseignante valide la réponse correcte de Mam en citant le terme « polygone », sans reformuler les attributs spécifiques d'un polygone. Elle décide de prendre aussi en compte la réponse de Aï en demandant d'identifier parmi les polygones celui qui n'est pas un quadrilatère. Les non polygones sont effacés.
## Phase 2 : identification des quadrilatères (3 minutes)

13. M Alors, parmi tous ces polygones, l'un n'appartient pas à la famille des quadrilatères (M a effacé les non polygones)

14. M Une, deux, trois (compte les doigts levés)

15. E Il y en a deux, maîtresse

16. E Non

17. M Lequel n'appartient pas à la famille des quadrilatères ? quatre, cinq

18. E Moi, maîtresse

19. M Cinq, six, attendez, je vois Ka qui cherche

20. M Sept, To, tu as trouvé ?

21. To Non

22. E Maîtresse, il y en a deux qui font pas d'angle droit

23. M Gra, est-ce que tu as trouvé ? Lequel n'appartenait pas à la famille des quadrilatères ?

24. Aï Moi, maîtresse

25. M Alors, Ha

26. Aï Le H, parce qu'il a cinq côtés (d'autres élèves répondent H en même temps)

27. M Est-ce que tu es d'accord, Gra ? Tu as d'autres soucis dans la tête. Combien de côtés le polygone H a-t-il ?

28. Gra 5 (d'autres élèves crient 5)

29. M 5 côtés. Est-ce que c'est un quadrilatère ? (à Gra)

30. E Non

31. M Est-ce que c'est un polygone ?

32. E Non

33. E Si (plusieurs élèves)

34. M Est-ce qu'il appartient à la famille des polygones, Gra ?

35. E Oui, oui (de nombreux élèves répondent)

36. M Parce qu'il a des côtés, des sommets. Alors, parmi nos quadrilatères, j'inscris un petit nom ici (dans sa main) et en posant des questions vous devez deviner lequel

L'enseignante a effacé les figures qui ne sont pas des polygones. A priori, la question posée est fermée. Il ne s'agit plus de trouver un intrus parmi des objets géométriques en comparant des similarités et des différences. La différence est repérée. On cherche un intrus parmi des quadrilatères. Pour trouver la réponse, l'élève est censé savoir qu'un quadrilatère est un polygone ayant 4 côtés. Il lui suffit de dénombrer les côtés de chaque polygone et de localiser celui qui ne possède pas 4 côtés. La difficulté est autre si l'élève ignore la signification du terme quadrilatère. Les éléments diffèrent les uns des autres par de nombreux attributs : présence ou non de côtés parallèles ou perpendiculaires, obliques, orientation, dimensions, convexité, nombre de côtés... Il faut sélectionner un attribut parmi ceux cités, examiner chacun des éléments à tour de rôle pour vérifier la présence de cet attribut, éliminer ceux qui ne le possèdent pas en gardant en mémoire l'idée que l'on ne recherche qu'un intrus. Ainsi, s'il s'agit de figures connues, l'élève peut considérer que les quadrilatères quelconques H, E et C sont des intrus puis abandonner ce critère (il y a trois possibilités), considérer la présence d'angles droits, comme dans D (rectangle), H et E, abandonner cet attribut, s'intéresser à la convexité, et répondre H car c'est le seul polygone non convexe. Mais il y a aussi le parallélisme, B et D ont des côtés parallèles, la présence d'axes de symétrie comme dans D (rectangle) et F (cerf-volant), le nombre de côtés. Répondre H ne garantit pas que l'élève sait identifier un quadrilatère.

Un élève semble d'ailleurs considérer le critère angle droit.

« il y en a 2, maîtresse » (L. 15), « il y en a deux qui n'ont pas d'angle droit » (L.22), réponse que la maîtresse choisit d'ignorer. Il est vrai qu'il est difficile de savoir si l'élève considère toujours la consigne de la phase 1 qui consistait à rechercher deux intrus, ou s'il procède selon la stratégie décrite en sélectionnant, parmi les connaissances récemment rencontrées, le critère
de l'angle droit.

Le comptage des doigts levés montre que l'enseignante considère que l'identification des quadrilatères devrait être une connaissance partagée dans la classe, l'interpellation d'élèves de CE2 qui semblent chercher, l'insistance de la maîtresse qui reformule deux fois la question (L17 et L.23) confirment son attente sur le fait que ceci devrait être accessible à tous.

Le terme « quadrilatère », s'il est connu, n'est pas redéfini.

Aï, élève de CM1, répond en justifiant sa réponse : « *le H, parce qu'il a cinq côtés* » (L 33).

Cette réponse exprime qu'un polygone à 5 côtés n'est pas un quadrilatère, mais ne permet pas aux élèves en échec de connaître les attributs essentiels d'un quadrilatère. L'enseignante ne repère pas cette absence de définition. Elle interpelle l'une des élèves en difficulté, Gra : « *Est-ce que tu es d'accord, Gra ? Tu as d'autres soucis dans la tête* ».

Pour l'enseignante, les difficultés de Gra sont rattachées à des soucis particuliers qui ne lui permettent pas pour l'instant de s'intégrer à l'activité collective qui se déroule et de répondre aux questions. La série de questions posées à Gra sur le nombre de côtés de la figure H, sur la famille à laquelle il n'appartient pas n'est qu'une reprise de ce qui s'est déroulé pendant que Gra était prise par « ses soucis ». Les réponses des autres élèves confirment ce qui vient d'être établi : H a cinq côtés et n'est pas un quadrilatère. L'enseignante permet à Gra de savoir qu'un polygone à 5 côtés n'est pas un quadrilatère, sans lui donner les attributs qui font d'un polygone un quadrilatère, mais décide par contre de lui donner une description d'un polygone : « parce qu'il a des côtés, des sommets ».(L.43). Elle suppose que les deux termes, côté et sommet, ont une signification pour cette élève, mais aussi pour d'autres qui pourront se servir de ces attributs pour caractériser des polygones ou justifier leurs réponses. Notons que cette synthèse locale est énoncée oralement, et que le tableau ne comporte que les polygones de départ.

Comme dans la transition entre la première phase et la deuxième phase, la maîtresse profite de cette synthèse pour aborder la phase 3.

## Phase 3 : jeu de portrait (3 minutes)

36. M Parce qu'il a des côtés, des sommets. Alors, parmi nos quadrilatères, j'inscris un petit nom ici *(dans sa main)* et en posant des questions vous devez deviner lequel

37. E Qu'est-ce qu'il faut faire ?

38. M Voilà, c'est ici *(montrant sa main)*. Je vous écoute. Qui suis-je ?

39. E *(Silence des élèves)*

40. M Donc le but du jeu, c'est de deviner le quadrilatère

41. E Eh, Eh, *(manifestations de compréhension)*

42. M Qui est inscrit, dont le numéro, le nom, la lettre est inscrit dans ma main. Pour cela, il faut poser des questions. Et bien sûr, vous n'avez pas le droit de demander « est-ce que c'est le D ? »

43. Fa Maîtresse

44. M Alors Do

45. Fa Est-ce que c'est un carré ?

46. M Ce quadrilatère n'est pas un carré. Aï ? *(a levé la main)*

47. Aï Combien a-t-il d'axes de symétrie ?

48. M Alors, ce quadrilatère, alors demande « est-ce qu'il a des axes de symétrie ». Je ne réponds que par oui ou non.

49. Aï Est-ce qu'il a des axes de symétrie ?

50. M Ce quadrilatère n'a pas d'axe de symétrie. Si on a trouvé, on lève la main, on vient me le dire dans l'oreille. Ce quadrilatère n'a pas d'axe de symétrie. Monsieur ?

51. Bry *(CE2)* Est-ce qu'il a six côtés ?

52. M Est-ce qu'il a ?

53. Bry 5 côtés ?

54. M Ce quadrilatère n'a pas 5 côtés parce que, Bry, un quadrilatère, tu entends quoi ?

55. E Quatre
56. M Ben oui, quatre côtés, donc ça ne peut pas être celui-ci (en montrant le pentagone H). Alors, ce quadrilatère n'a pas d'axe de symétrie

57. E Maîtresse, j'ai trouvé c'est quoi

58. M Pose une question

59. E Maîtresse

60. M Mam ?

61. Mam Je sais euh

62. M Ah non, tu poses une question

63. Mam Est-ce qu'il a deux côtés égaux ?

64. M Ce quadrilatère....Ah ! (M prend le compas et compare les longueurs des côtés des deux quadrilatères E et C)

65. E Ah, ça y est maîtresse

66. M Je vais pas vous dire lequel (pendant qu'elle continue sa vérification)

67. M Ce quadrilatère a deux côtés consécutifs égaux. Mam, tu as trouvé ?

68. Mam Le E

69. M Do?

70. Fa Le E

71. M D'accord. Et qui plus est, qu'est-ce qu'il a le E ?

72. Mam Deux côtés égaux

73. M Oui, deux côtés égaux

74. E Un angle droit (plusieurs élèves)

75. Fa Il y a même un angle droit

76. M Viens vérifier

77. M Ça vous convient mademoiselle ? Tenez, puisque vous êtes au tableau, vous me tracez les diagonales

Nous assistons à la découverte du jeu de portrait par les élèves. Le silence qui accompagne la première formulation de la consigne (L.39), les exclamations à l'issue de la deuxième formulation (L.40 à 41), la donnée des contraintes du jeu (L.42) confirment cette idée de nouveauté. L'enseignante explique qu'il faut deviner parmi les quadrilatères du tableau, celui qu'elle a choisi et dont le nom est inscrit dans sa main. Pour cela, il faut poser des questions. L'enseignante donne un exemple de question interdite : « et bien sûr vous n'avez pas le droit de demander « est-ce que c'est le D ? » (L. 42).

Nous retrouvons ici une caractéristique de l'enseignante dans cette séance : définir un objet par ce qu'il n'est pas. Un polygone n'a pas de partie arrondie, une ligne non fermée n'est pas un polygone, un polygone à cinq côtés n'est pas un quadrilatère, certaines désignations de l'objet sont proscrites dans un jeu de portrait.

Fa demande « est-ce que c'est un carré ? » (L.45), l'enseignante répond négativement, ce que les élèves doivent interpréter comme une question possible. Ainsi, si l'on désigne une figure par sa lettre, la question est refusée, mais si on la désigne par un terme générique comme carré, alors les règles du jeu sont respectées.

Notons ici qu'il n'y a aucun carré parmi les polygones représentés au tableau, ce que décide d'ignorer l'enseignante probablement pour renforcer l'adéquation de la formulation de Fa avec ses attentes.

De même, elle reformule la question de Aï : « alors demande « est-ce qu'il a des axes de symétrie ? ». Je ne réponds que par oui ou par non » (L.50).

Une remarque s'impose ici. Les élèves ne disposent toujours que de la perception visuelle pour repérer des caractéristiques des figures au tableau. Ils ne peuvent donc pas tenter de repérer des attributs de ces figures à l'aide des instruments pour poser des questions relatives à certaines propriétés et déterminer ainsi le polygone caché. Les caractéristiques intervenant dans les questions sont forcément des indices apparents ou encore des indices prélevés dans les connaissances antérieures des élèves. Ainsi, quand Aï parle d'axe de symétrie, il est difficile de savoir si elle « voit » les axes de symétrie du losange malgré son orientation
inhabituelle, ou ceux du rectangle et du cerf-volant, ou si elle se sert de connaissances acquises sur ces figures, ou encore si elle fait fonctionner la panoplie de propriétés déjà rencontrées dans son histoire scolaire.

L'enseignante ne répond pas par oui ou non, comme elle l'a annoncé précédemment (L.50), mais formule avec précision sa réponse « *Ce quadrilatère n'a pas d'axe de symétrie* » (L.50), renforçant ainsi l'information sur le quadrilatère.

Comment traiter cette information ?

Le losange est dans la position habituelle du parallélogramme, et il n'est probablement pas identifié par les élèves. L'information suppose que les élèves ont une conception de ce qu'est un axe de symétrie et qu'ils vont pouvoir éliminer au moins le rectangle et le cerf-volant dont les axes de symétrie sont verticaux ou horizontaux, et s'intéresser aux deux quadrilatères quelconques E et C, ainsi qu'au losange B.

L'élève de CE2 qui pose une question relative au nombre de côtés (L.51) révèle que de nombreux malentendus subsistent, et montre que les termes géométriques entendus jusqu'ici ne revêtent pas nécessairement une signification pour tous. L'enseignante prend appui sur un moyen mnémotechnique pour définir un quadrilatère : « *Parce que, Bry, un quadrilatère, tu entends quoi ?* » (L.56).

De même, l'élève Mam qui pense avoir trouvé (L.47) montre que certains considèrent effectivement qu'il s'agit d'un jeu de devinettes dans lequel les informations ne jouent aucun rôle. Mam obéit à la consigne donnée par la maîtresse : « *Si on a trouvé, on lève la main, on vient me le dire dans l'oreille* » (L.50). L'enseignante considère à juste titre que les informations sont insuffisantes pour trouver le quadrilatère et rappelle la règle : on doit poser une question (L.58 et 62) avant de proposer une réponse.

La question de Mam va plonger la maîtresse dans l'embarras. « *est-ce qu'il a deux côtés égaux ?* » (L.66).

Il semble que l'enseignante n'ait pas prévu de questions relatives à l'isométrie de côtés. Elle se voit obligée de comparer les longueurs de 2 côtés pour les deux quadrilatères E et C.

De cette manière, en éliminant d'emblée les quadrilatères qui en comportent, elle se prive de savoir si les élèves ont effectivement pris en compte l'information relative aux axes de symétrie. D'autre part, la mise en œuvre même de cette comparaison au compas sur deux figures, suivie de la réponse positive à la question de Mam transforme le projet initial de l'enseignant. Cette activité complexe nécessitait une analyse de figures, une prise en compte de plusieurs indices, leur mémorisation pour éliminer au fur et à mesure les intrus et déterminer la figure cachée. Dans l'activité effective, les élèves n'ont finalement qu'une tâche d'identification : reconnaître parmi deux figures au tableau, en observant l'action de comparaison de longueurs menée par la maîtresse, laquelle comporte deux côtés de même longueur.

On peut penser que l'enseignante avait plutôt prévu une question relative aux angles droits pour identifier le quadrilatère. En effet, les deux côtés consécutifs et de même longueur sont aussi horizontal et vertical. Ceci suggère que l'enseignante comptait sur une détermination visuelle de cet angle droit. On le voit à la question qu'elle pose une fois déterminé le quadrilatère caché : « *Et qui plus est, qu'est-ce qu'il a le E ?* ». Plusieurs élèves répondent « un angle droit », ce qui permet à la maîtresse d'inviter l'une d'eux, Fa, au tableau pour une vérification à l'équerre. On remarque de nouveau la méthode utilisée par la maîtresse pour changer d'activité : « *Tenez, puisque vous êtes au tableau, vous me tracez les diagonales.* » (L.77).
## Phase 4 : les diagonales (5 à 6 minutes)

### Etape 1 : consigne

77. M Ça vous convient mademoiselle ? Tenez, puisque vous êtes au tableau, vous me tracez les diagonales

78. Fa C'est-à-dire ?

79. M Euh, du quadrilatère B

80. Fa C'est-à-dire les diagonales ?

81. M Les diagonales

82. Aï Moi, maîtresse

83. M Aï (Aï vient au tableau et trace les diagonales du quadrilatère B)

Dans cet échange entre Fa, une des meilleures élèves de CM1 et la maîtresse, on voit nettement que la notion de diagonale n'est pas connue de Fa. La question « c'est-à-dire ? » (L.78) de l'élève est interprétée par elle comme une demande d'information complémentaire sur le quadrilatère dont il faut tracer les diagonales, ce qui amène Fa à préciser sa question « c'est-à-dire les diagonales ? » (L.80). L'enseignante décide de ne pas donner de définition, mais de montrer des diagonales. L'intervention de Aï le lui permet et celle-ci vient tracer les diagonales du quadrilatère B.

### Etape 2 : définition des diagonales

84. M Apparemment ces diagonales correspondent aussi à des axes de symétrie. Je peux t'aider ? voilà

85. M Alors, qui vient tracer les diagonales de la figure C ? Mar ?

86. Mar Il n'y en a pas

87. M Il n'y a pas de diagonale en C ? !

88. Mar Oui

89. E C'est quoi les diagonales ?

90. M Ce sont les ..... segments qui joignent les côtés opposés (montrant les sommets concernés)

91. (Mar vient au tableau tracer les diagonales du quadrilatère C)

92. M Voilà

B est un losange dans la position habituelle du parallélogramme. Ses diagonales possèdent des propriétés particulières : elles ont le même milieu, sont perpendiculaires, et sont axes de symétrie. L'enseignante suppose que le tracé des diagonales a permis aux élèves de s'en construire une conception et formule une remarque : « apparemment, ces diagonales correspondent aussi à des axes de symétrie » (L.84). L'effet de ce commentaire est immédiat : certains élèves l'interprètent comme une définition des diagonales, d'autant plus que les axes de symétrie ont été apparemment étudiés récemment dans cette classe, si l'on en croit la question posée par une élève dans le jeu du portrait. C'est probablement cette définition que prend en compte Mar, élève de CE2, en affirmant qu'il n'y a pas de diagonale dans le quadrilatère quelconque C (L.86 à 88). A la question que la maîtresse formule sur un ton révélant son étonnement (« il n'y a pas de diagonale en C ? ! » (L.89)), un élève comprend que cette définition est erronée et demande une précision sur ce que sont des diagonales (L.89). On voit ici que l'enseignante reste convaincue que le tracé des diagonales dans le losange doit être la principale référence des élèves, puisque c'est en les montrant, en pointant les sommets concernés, qu'elle formule une définition inexacte par ailleurs : « ce sont ... (hésitation) les segments qui joignent les côtés opposés » (L.90). C'est en s'appuyant sur la monstration et non sur un discours de l'enseignante que l'élève de CE2, trace les diagonales du quadrilatère C.
### Etape 3 : application des définitions pour tracer les diagonales

93. M Auré, puisque tu es debout, tu viens nous tracer les diagonales de la figure D. Quel nom porte-t-elle, la figure D ? Do, tu t'assieds ?

94. E Un rectangle

95. M Sab ?

96. Ha Un carré, un rectangle

97. Sab Un rectangle

98. M Un rectangle. (Auré vient au tableau et trace les axes de symétrie du rectangle) Est-ce que ces segments passent par les sommets ?

99. E Non (plusieurs réponses)

100. M J'entends ?

101. Auré Non

102. M Est-ce que ce sont des diagonales ? Auré, qu'est-ce que tu nous a tracé là ? Et encore tu t'es ... Je pense que ... qu'est-ce que tu voulais faire ? Qu'est-ce que tu nous a tracé ?

103. Om Un axe de symétrie

104. M Ouais. Parce que des diagonales, Auré, qu'est-ce qu'elles joignent ?

105. Auré Les sommets

106. M Les sommets opposés. Viens-tu tracer les diagonales ? (Auré s'exécute). C'est-à-dire si ton rectangle s'appelle ABCD, tu traces AC et BD (M nomme les sommets du rectangle D par ABCD)

107. E Comme une bande dessinée, BD.

108. M Bien, merci. (on entend la chute d'une règle métallique)

109. M Depuis hier, c'est la 4ème fois ; là, je suis désolée (à Mam). De quoi on a parlé hier ? qu'est-ce qu'on fait ? Alors, maintenant on se concentre. CE2, CM1, Auré, je vous ai demandé ? Qu'est-ce que je viens de vous demander à l'instant ? Qu'est-ce que je vous ai demandé ? Mam ? Qu'est-ce que vous êtes venus tracer au tableau ?

110. Mam Des axes de symétrie (ainsi que d'autres élèves)

111. M Des axes de symétrie ?

112. E Oui

113. M Est-ce que tu penses que dans cette figure il y a des axes de symétrie ? (montrant le quadrilatère quelconque C)

114. E Non

115. M Non, parce que si on les plie, si on les pliait en suivant ces lignes (montre les diagonales), nous n'aurions absolument pas la même figure, enfin l'effet miroir. Qu'est-ce que je vous ai demandé de tracer là, Om, Auré ? Qu'est-ce que tu es venu tracer Auré, au tableau ?

116. E Des diagonales

117. M Des diagonales, des diagonales dans les quadrilatères. Tu es d'accord Fa ou tu préfères sortir ? Parce que là je suis en train de me fatiguer. Qu'est-ce que vous êtes venus tracer, les CM1, au tableau ?

118. E Les diagonales

La précision sur les caractéristiques d'une diagonale n'a pas concerné tous les élèves. Auré persiste à considérer qu'il s'agit d'axes de symétrie, ce qui amène l'enseignante à poser des questions élucidantes. « Est-ce que ces segments passent par les sommets ? » (L.98), « est-ce que ce sont des diagonales ? » (L.102). En même temps, elle s'assure que tous les élèves comprennent que si des segments ne passent pas par des sommets, ils ne sont pas des diagonales d'un quadrilatère (« j'entends ? » (L.100), suivi de la réponse de plusieurs élèves) avant de revenir à Auré et de l'accompagner dans la formulation de la définition des diagonales comme joignant des sommets opposés d'un quadrilatère : « parce que des diagonales, Auré, qu'est-ce qu'elles joignent ? » (L.104). Auré indique le terme « sommets » (L.105), terme que reprend l'enseignante (L.106) en parlant de « sommets opposés ». Elle décide en même temps de donner un moyen à l'élève pour reconnaître les diagonales : « c'est-à-dire si ton rectangle s'appelle ABCD, tu traces AC et BD » (L.106).

Pour renforcer la construction du concept diagonale, l'enseignante décide de transgresser,
sans doute malgré elle, une des règles de la géométrie qui indique que deux objets différents ne doivent pas être désignés de la même manière. Ici, le rectangle est nommé D, et un de ses sommets est aussi désigné par D. Il semble que la maîtresse considère que la définition mathématique qu'elle vient de donner, accompagnée du tracé de diagonales dans deux figures du tableau est insuffisante et doit être renforcée par une procédure de reconnaissance à partir de la désignation des sommets du quadrilatère par les lettres ABCD.

Certains élèves commencent à manifester leur impatience. La chute régulière d'une règle métallique accompagnée de bavardages divers pousse l'enseignante à réagir (L.109). Elle invite les élèves à se concentrer en leur posant une série de questions permettant de préciser le but de l'activité qui se déroule.

L'enseignante réalise que le malentendu persiste. Mam et d'autres élèves de CM1 considèrent que l'activité porte sur les axes de symétrie de quadrilatères. Comment détromper les élèves ?
La maîtresse ne dispose pas de figures prédécoupées pour permettre aux élèves de vérifier que les diagonales du quadrilatère C ne sont pas des axes de symétrie, ou même pour rappeler éventuellement à certains ce qu'on entend par axe de symétrie. Elle est obligée de formuler oralement les raisons pour lesquelles C ne possède pas d'axes de symétrie : « non, parce que si on les plie, si on pliait en suivant ces lignes, nous n'aurions absolument pas la même figure, enfin, l'effet miroir » (L.117). Par cette formulation elle exclut le cas où des axes de symétrie pourraient exister sans être les diagonales du quadrilatère.

Ce commentaire, s'il amène les élèves à accepter l'idée qu'ils se trompent, ne leur permet pas de comprendre la raison de leur erreur. Il permet à la maîtresse de rappeler que l'activité concerne les diagonales tout en faisant une remarque sur le comportement des élèves et ses effets sur elle : « tu es d'accord, Fa ? ou tu préfères sortir ? Parce que là, je suis en train de me fatiguer » (L.117).

## Etape 4 : Les propriétés des diagonales (5 minutes.)

119.M Les diagonales. Est-ce que vous pouvez regarder un petit peu les diagonales de la figure B ?
Qu'est-ce qu'elles ont de particulier ?

120.E (Silence profond)

121.M Si l'on compare les diagonales de cette figure par rapport aux diagonales de celle-ci, quelle est la différence ?

122.E (Silence)

123.M Non, personne ne voit ? J'aimerais bien qu'on trouve. Regardez les diagonales de B et regardez les diagonales de la figure D.

124.San Ce ne sont pas les mêmes.

125.M Ce ne sont pas les mêmes. Qu'est-ce qui change ?

126.E (Silence)

127.M Je vais peut-être vous aider

128.Ai Parce que ceux-là ils sont ..., parce qu'il y a des ... angles droits

129.M Oui, il y en a combien, Aï ?

130.Ai 4

131.M 4 (et marque 4 angles droits à l'intersection des diagonales de B qui est un losange en position non prototypique du losange mais prototypique du parallélogramme). Et pour la figure D ? (rectangle) Allez. Ceux qui veulent, ceux qui discutent et qui nous gênent, vous choisissez, vous avez le choix. Ou bien vous participez, ou bien vous discutez dehors (ouvre la porte). Merci.
Et si on regarde la figure D ?

132.E Silence

133.M Regardez les diagonales ? CM1, oui Bry ? (élève de CE2)

134.Bry Elles ne sont pas tracées à la même place

135.M Elles ne sont pas tracées à la même place. Qu'est-ce que tu entends par là ? Qu'est-ce qu'elles n'ont pas contrairement à celles-ci ?

136.E Déjà il y a une différence

137.Bry (s'explique mais inaudible)

138.M J'ai pas très bien compris parce que je pense qu'Auré et... Il faut que tu sortes, Auré. Je n'ai pas
<table>
  <tr>
    <td>139.E</td>
    <td>Droits</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>140.M</td>
    <td>Droits. Et pour celle-ci ? (M montre D)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>141.E</td>
    <td>Il n'y en a pas (plusieurs réponses)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>142.M</td>
    <td>Beh, c'est à vérifier. (M vérifie à l'équerre) Est-ce que l'on a des angles droits ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>143.Fa</td>
    <td>Là c'est plus serré, que le losange, c'est plus large</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>144.M</td>
    <td>Ah le losange, c'est plus ? Attention !</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>145.E</td>
    <td>Il n'y a pas d'angle droit</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>146.M</td>
    <td>Il n'y a pas d'angle droit</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>147.Fa</td>
    <td>Oui mais le carré il est plus petit, que le losange, il est plus euh il est plus euh</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>148.M</td>
    <td>Le carré ? C'est un carré ça ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>149.E</td>
    <td>Rectangle</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>150.M</td>
    <td>Le rectangle est plus petit que le losange, est-ce que tu peux expliquer ce que tu veux dire ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>151.E</td>
    <td>Silence</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>152.M</td>
    <td>Fa ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>153.Fa</td>
    <td>Quoi ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>154.M</td>
    <td>Qu'est-ce que ça veut dire le losange est plus grand que le rectangle ou que le rectangle est plus petit que le losange ? Je ne comprends pas, là.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>155.Fa</td>
    <td>Ben, déjà le ... le</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>156.Ai</td>
    <td>Mais non, parce que vous ne l'avez pas tracé de la même manière</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>157.M</td>
    <td>C'est-à-dire qu'ici j'ai pris des côtés qui font ... (prend la règle et mesure les côtés) 40 centimètres et ici les côtés font 25 centimètres. (rectangle et losange). Est-ce que tu penses que ça changerait quelque chose pour les diagonales ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>158.Ai</td>
    <td>(va au tableau) Mais non, ici vous n'avez pas tracé les, vous n'avez pas fait pareil (montre les sommets du rectangle : ils sont nommés ABCD, alors que le losange n'est pas nommé)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>159.M</td>
    <td>Comme ça ? Regarde, ce sont bien les sommets ? (M nomme les sommets du losange B par ABCD)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>160.E</td>
    <td>Mais là aussi vous n'avez pas fait pareil. (Ai montre le rectangle)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>161.M</td>
    <td>Là ce sont les sommets opposés.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>162.M</td>
    <td>Je vous ai tracé (s'adresse à l'ensemble de la classe, abandonnant Aï) ... Après, c'est vous qui travaillez. Je vous ai tracé les diagonales de F, comment sont-elles ces diagonales ? (F est un cerf-volant)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>163.E</td>
    <td>(inaudible)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>164.M</td>
    <td>Qu'est-ce qu'elles ont ? « droites », qu'est-ce que ça veut dire ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>165.E</td>
    <td>Silence (mais des bavardages isolés dans la classe)</td>
  </tr>
</table>

La question posée par le professeur est ouverte en ce sens que les élèves doivent trouver des
propriétés d'objets dont ils viennent de découvrir l'existence. Leur silence est d'autant plus
compréhensible que la maîtresse aligne tour à tour des demandes portant sur les diagonales
d'un quadrilatère, puis sur une relation entre celles de deux quadrilatères. Comment comparer
des diagonales de deux quadrilatères ? Quel critère prendre pour les comparer ? quelle
différence voit-on entre ces deux paires d'objets ?

San répond en disant que ce ne sont pas les mêmes, Aï montre le tableau : « parce que ceux-là ils sont... parce qu'il y a des angles droits » (L.128). Mais comment savoir si Aï parle des angles droits entre les côtés du rectangle ou des angles droits entre les diagonales du losange ?
L'enseignante choisit de considérer que Aï détient la bonne réponse : les diagonales de B (losange) forment 4 angles droits.

Il semble que dans cette classe, des droites perpendiculaires ont été découvertes par pliage, et que la définition sous-jacente est que des droites perpendiculaires forment quatre angles symétriques par rapport à elles. Cette découverte se fait normalement en CE1 et en CM1 on peut attendre des élèves qu'ils repèrent que des droites perpendiculaires forment un angle droit. La maîtresse conforte les élèves dans une définition de plus bas niveau puisque la réponse de Aï est validée par la maîtresse par la reprise de cette formulation et par le tracé de 4 symboles de l'angle droit, ceci sans vérification à l'équerre.(L.131).

Mais qu'en déduire pour le rectangle ?

Le concept de l'angle est quasi inexistant dans les classes de cycle 3. Il est découvert dans le
cas particulier de l'angle droit et ne fait généralement pas l'objet d'activités spécifiques dans les classes, ceci d'autant plus que les programmes de l'école primaire n'accordent un statut qu'à l'angle droit, en étroite relation avec les droites perpendiculaires. Il n'est donc pas surprenant de voir les élèves de cette classe tenter d'exprimer ce qu'ils perçoivent de loin avec des termes empiriques. S'il s'agit de comparer le rectangle et le losange, la seule réponse possible des élèves serait que les diagonales forment un angle droit dans le dernier, mais pas dans le premier. Ils semblent penser qu'il faut trouver une relation différente, si l'on en croit leurs réponses, et ceci d'autant plus que la maîtresse continue à les interroger alors même qu'elle a fait repérer l'absence d'angle droit entre les diagonales du rectangle (L.142).

- « elles ne sont pas à la même place » (L.135)

- « déjà il y a une différence » (L.137)

- « là, c'est plus serré, que le losange c'est plus large » (L.144)

- « le carré il est plus petit, que le losange, il est plus ... euh » (L.148)

Les deux dernières remarques semblent faire référence à la présence d'angles aigus entre les diagonales du rectangle. La maîtresse tente de faire préciser l'idée de l'élève. « Le rectangle est plus petit que le losange, est-ce que tu peux expliquer ce que tu veux dire ? » (L.151 et 155), mais interprète différemment les commentaires des élèves. Alors que ceux-ci semblent s'intéresser aux angles, elle suppose que la comparaison porte sur les longueurs des côtés. « C'est-à-dire qu'ici j'ai pris des côtés qui font 40 cm et ici les côtés font 25 cm » (L.158). Aï attire son attention sur le codage différent des angles entre les diagonales des deux quadrilatères (L.157), puis sur les sommets (L.157). Le malentendu s'accroît. Dans le rectangle, les diagonales sont désignées par AC et BD, alors que dans le losange, elles ne portent pas de nom. Le professeur décide de reprendre sa définition précédente des diagonales en nommant les sommets du losange de la même manière. Au tableau, on a maintenant deux quadrilatères B et D, qui s'appellent ABCD. De plus la maîtresse code les angles entre les diagonales du rectangle, ce qui introduit un nouveau critère de différenciation entre les deux

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

polygones.

Aï insiste : « là aussi, vous n'avez pas fait pareil » (L.160), en montrant le rectangle. En effet, le codage utilisé par le professeur pour marquer les angles entre les diagonales du rectangle est nécessairement différent, mais apparaît pour la première fois dans cette classe.

Ces échanges semblent indiquer que l'enseignante voudrait qu'en observant les diagonales du rectangle, les élèves repèrent une autre propriété. Mais laquelle ? s'agit-il de l'égalité de longueur ? Les remarques des élèves montrent leur recherche de terme adéquat non disponible pour indiquer la présence d'angle aigu (ou obtus) entre les diagonales du rectangle. Le malentendu persiste car l'enseignante ne comprend pas sur quel critère les élèves comparent les diagonales. Elle décide de ne pas réagir à la remarque d'Aï : « Mais là aussi, vous n'avez pas fait pareil » (L.160) et propose une autre activité.

## Phase 4 : activité individuelle (25 minutes)

### Etape 1 : consigne

166.M

Bien, voilà le but du travail. Les CE2, puisque de toutes les manières, certains font toute autre
<table>
  <tr>
    <td>167.E</td>
    <td>4 (plusieurs réponses)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>168.M</td>
    <td>4 angles droits et que ses deux côtés opposés sont ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>169.E</td>
    <td>Egaux</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>170.M</td>
    <td>Egaux, et que ces deux côtés AD et BC sont ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>171.E</td>
    <td>Egaux, bon.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>172.M</td>
    <td>Les CM1, c'est plus difficile pour vous. Je vais vous demander de chercher des quadrilatères pour lesquels les diagonales forment des angles ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>173.E</td>
    <td>Droits</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>174.M</td>
    <td>Droits. Voilà. Bon, je vais l'écrire. (M n'écrit rien). CM1, tous les quadrilatères dont les diagonales forment des angles droits et CE2 des rectangles de taille différente (en élevant la voix). Aurélien, tu peux sortir, je suis fatiguée de ton attitude, merci (Aur sort) et Fa, si tu as envie de discuter avec lui, tu sors.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>175.M</td>
    <td>Donc tous les quadrilatères dont les diagonales forment des angles droits. (bavardages) et Om, ça vaut pour toi.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>176.M</td>
    <td>Les CE2, là, je vais vous donner autre chose (CE2 de la classe d'une collègue Mme Ba)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>177.E</td>
    <td>Pourquoi ils font autre chose ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>178.M</td>
    <td>Parce qu'ils ne font pas la géométrie</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>179.M</td>
    <td>Rectangles pour les CE2. Pour ces trois fiches, je vous demande au crayon à papier de chercher toutes les valeurs. Au crayon à papier (s'adresse aux élèves de Mme Ba, les autres élèves s'activent, bavardages pendant la distribution de matériel (feuilles), rires au fond,) et Bry, il est ici, Bry, tu viens t'installer ici (élève d'une autre classe de CE2) et pour toutes ces fiches, donc je vous demande de chercher les résultats.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>180.E</td>
    <td>Et tout ça, ça, ça ?</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>181.M</td>
    <td>Oui</td>
  </tr>
</table>

En traçant elle-même les diagonales du cerf-volant, l'enseignante souhaite manifestement montrer un autre exemple de quadrilatère ayant des diagonales perpendiculaires. Mais elle insiste peu face à la réponse incertaine des élèves, et aussi parce que « de toutes les manières, certains font autre chose maintenant » (L.166). La consigne qui suit indique le projet de l'enseignante : amener des élèves à découvrir, sur des cas particuliers que certains quadrilatères ont des diagonales perpendiculaires et en faire chercher d'autres par les élèves de CM1, tandis que les élèves de CE2 ont une activité de construction de rectangles divers. Notons les nombreux rappels à l'ordre qui indiquent l'accroissement de l'agitation dans la classe.

## 3.2. Analyse de la tâche proposée aux élèves de CM1

La tâche proposée à ces élèves a pour but de montrer qu'un quadrilatère ayant des diagonales perpendiculaires n'est pas forcément particulier et donc n'a pas forcément un nom. Les notions de diagonales et d'orthogonalité en sont renforcées. La consigne de l'enseignante est complexe. Elle demande de trouver « tous » les quadrilatères ayant cette propriété, ce qui n'est guère possible. Pour un quadrilatère convexe quelconque ayant cette propriété, et uniquement elle, on a une infinité de solutions ne serait-ce qu'en tenant compte des dimensions des côtés. Les solutions attendues ne peuvent pas être exhaustives. On peut considérer que le but visé est atteint si les élèves mettent en œuvre une procédure efficace telle que le tracé de segments perpendiculaires qui sont les diagonales d'un quadrilatère, ou encore une procédure empirique consistant à tracer un quadrilatère, puis à tester si la propriété est vérifiée, et ajuster l'un des sommets pour que la propriété soit vérifiée. Il est probable que les élèves testeront des quadrilatères connus, et ceci d'autant plus que l'enseignante a pris appui sur le losange et le cerf-volant, cas particuliers, pour faire découvrir la propriété. Il faudra les inciter à en trouver d'autres. Voici ci-dessous quelques exemples de propriétés que peuvent vérifier des quadrilatères convexes répondant à la question :
- des diagonales de même longueur,

- des diagonales de même milieu (losange)

- des diagonales de même longueur et de même milieu (carré)

- des diagonales de même longueur et deux côtés perpendiculaires

- deux côtés perpendiculaires

- deux paires de côtés perpendiculaires

- une diagonale médiatrice de l'autre

- une diagonale médiatrice de l'autre et deux côtés perpendiculaires

- une diagonale médiatrice de l'autre et deux paires de côtés perpendiculaires

### 3.3. Etude des échanges entre la maîtresse et certains élèves sur cette activité

#### Echange avec San (première minute)

182.M Oui, San ? Est-ce que c'est les diagonales de ça ? ( San s'est déplacée)

183.San Je fais un losange

184.M Tu fais un losange ? et ensuite tu vas vérifier que les diagonales forment des ?

185.San Angles droits

186.M D'accord

San intervient très rapidement pour montrer son travail dès que la consigne est donnée. Mais comment comprend-elle cette consigne ? S'agit-il pour elle de reproduire certains des quadrilatères du tableau qui vérifient la propriété ? Le losange est celui qui a été repéré comme respectant les contraintes sur les diagonales. Le professeur confirme la procédure de l'élève en lui demandant de vérifier la propriété.

#### Echanges avec Aï et Fa

##### Premier échange ( 4 minutes )(21ème minute depuis le début)

204.Aï Maîtresse, je ne me rappelle plus qu'est-ce qu'on doit tracer

205.M Les diagonales et il faut qu'elles soient ... il faut qu'elles aient ?

206.Aï 4 côtés égaux

207.M 4 côtés égaux ? Non

208.Fa Euh euh

209.Aï 4 angles droits

210.M Ou bien on va dire qu'il faut qu'elles soient per... ?

211.Aï Perpendiculaires (première fois que le terme apparaît dans la séance)

212.Aï Maîtresse, comme ça ?

213.M Voilà

(à côté, bavardages divers ; elle se dirige vers le groupe de Mme Ba, auquel To a été associé et qui aide ses camarades de l'autre classe à calculer les résultats des fiches, tout en construisant ses rectangles. Ils remplissent ensemble les fiches, s'interpellent pour tel ou tel résultat)

##### Deuxième échange ( 7 minutes ) (24min.)

247.M Attention, il faut que ça soit les diagonales, est-ce que ce sont les diagonales ? Là tu as fait des axes de symétrie. Les diagonales, elles joignent les côtés opp... ?

248.E Opposés

249.M Opposés, à ce moment-là vous appelez A, B, C, D, le quadrilatère et vous joignez AC et BD. (M nomme elle-même les sommets sur la figure de l'élève Aï ou Fa assises ensemble)

250.San Maîtresse, elle est où, ma feuille ?

251.M Ah, mais je l'ai donnée (me reprend la feuille pour la rendre à l'élève)

252. (beaucoup de bruit. En particulier on entend les élèves de Mme Ba auxquels se sont rajoutés d'autres élèves, faire des calculs à voix haute et discuter sur les résultats)

253.Aï Maîtresse, j'ai (inaudible)

254.M Alors, voici les diagonales du carré est-ce qu'elles forment des angles droits ?
255.E Oui

256.M Est-ce que le rectangle-là a des diagonales qui forment des angles droits ?

257.E Non

Troisième échange ( 11 minutes ) (28 min.)

280.Fa Maîtresse, j'en ai fait trois, là

281.M Est-ce que les diagonales sont perpendiculaires ?

282.Fa Non

283.M Non, parce que le rectangle

284.Ai Maîtresse, j'ai essayé le rectangle tout à l'heure et

285.M Essaie le losange ou le cerf-volant

286.Ai Je vais essayer le cerf-volant

Quatrième échange ( 14 minutes )(31 min.)

306.Fa Maîtresse, maîtresse ?

307.M Oui ? Alors comment s'appelle cette figure ? ( à Do)

308.Fa Le losange

309.M Ah,

310.Fa Un cerf volant

311.M Parce que le losange il a combien de côtés égaux ?

312.Fa 4

Cinquième échange ( 16 minutes ) (33 min.)

326.Ai Maîtresse

327.M (à Oui ? Et comment tu fais pour tracer ces figures avec des diagonales ? perpendiculaires ?

Aï)

328.M Tu traces d'abord les droites comme ça ou les diagonales ?

329.Ai Je trace un trait comme ça (une verticale) et un trait comme ça(une horizontale)

330.M Tu as commencé par les côtés ou les diagonales ? Ah toi tu as commencé comme ça ?

Aï et Fa sont considérées par la maîtresse comme les meilleures élèves de la classe de CM1. Le premier échange montre que ces élèves n'ont pas compris la consigne. On note ici que c'est avec elles que le professeur décide pour la première fois d'utiliser le terme perpendiculaires pour préciser la consigne. Au cours des séances de travail que nous avons menées, les collègues du cycle 3 ont indiqué qu'elles privilégiaient le terme « angle droit » à la place de « côtés perpendiculaires » car les élèves avaient tendance à faire des confusions avec le terme « parallèles » alors que « angle droit » était sans ambiguïté. Le deuxième échange montre que même les bonnes élèves sont restées sur la confusion signalée plus haut, celle concernant « diagonales » et « axes de symétrie ». Il lui faut reprendre avec ces élèves des explications, ce qu'elle fait en formulant de nouveau de manière erronée la définition des diagonales comme joignant des côtés opposés, tout en nommant la figure de l'une des élèves, et en reprenant l'astuce : « à ce moment là, vous appelez ABCD le quadrilatère et vous joignez AC et BD ». On voit ensuite que ces élèves essaient d'abord de s'approprier le concept de diagonale, sans s'intéresser à leurs propriétés. Le carré et le rectangle ont des angles droits, c'est donc aussi sur cette propriété que semblent prendre appui les élèves pour tracer des quadrilatères. La consigne semble interprétée autrement : tracer des quadrilatères ayant des angles droits, ainsi que leurs diagonales, ces diagonales étant prises pour des axes de symétrie. On voit ici le professeur réduire finalement ses exigences en proposant à ces bonnes élèves de tester le cerf-volant ou le losange (troisième échange), figures qui ont pourtant déjà fait l'objet d'étude lors de la phase collective. Le quatrième échange concerne des connaissances déclaratives. Il s'agit de distinguer le losange et le cerf-volant.

L'enseignante fait le pari qu'une fois explorées les figures connues, les élèves pourront alors s'engager dans la recherche de quadrilatères quelconques. Et d'ailleurs, après passage auprès de plusieurs élèves, elle annonce : « Alors, on peut essayer avec des quadrilatères
quelconques, hein ! » . Elle fait aussi une remarque sur le fait qu’aucun élève n’essaie de partir de diagonales perpendiculaires. Le dernier échange avec Aï montre que cette élève a tenté de suivre ce conseil en traçant d’abord des diagonales perpendiculaires.

### Echange avec Sam ( 6 minutes ) (23)

225. Sam Maîtresse, maîtresse, maîtresse, je fais les diagonales ?

226. M Il faut qu’elles soient perpendiculaires

227. Sam C’est à dire

228. M Elles forment des angles droits, ah non, il faut qu’elles forment des angles droits.

229. E Maîtresse

230. M Et Sam, tu codes tes angles droits.

231. Sam C’est-à-dire ?

232. M C’est-à-dire est-ce euh (montre le codage) et en dessous tu écris rectangle.

L’échange avec Sam montre d’autres difficultés. Cette élève ne se rappelle manifestement pas ce que l’on appelle perpendiculaire, ni l’expression « coder des angles droits ». On voit avec Mam dans l’échange ci-dessous que la maîtresse prend en compte le fait que certains élèves ont besoin du rappel de ces termes géométriques.

Apparemment, Mam a tracé des quadrilatères dont les diagonales ne respectent pas la contrainte. Alors qu’elle a aidé Aï et Fa en leur demandant de tester des quadrilatères particuliers, elle attend de Mam plus d’effort pour trouver tout seul la solution.

Joa fait partie des élèves qui continuent à considérer que les diagonales d’un quadrilatère sont les axes de symétrie de ce quadrilatère. Il commet de plus une erreur en considérant l’autre médiane du trapèze isocèle comme un axe de symétrie. On voit le professeur reprendre la stratégie utilisée pour Aï et Fa pour préciser la notion de diagonale : formulation erronée, peut-être à l’origine de la procédure de Joa en ce qui concerne les côtés opposés, désignation du quadrilatère pour montrer un exemple.

### Echange avec Mam ( 15 minutes ) (32 min.)

300. Mam Maîtresse, maîtresse

301. M Oui, alors ; elles sont comment ces diagonales ?

302. Mam Des angles droits

303. M Est-ce que les diagonales sont perpendiculaires ? Perpendiculaires, ça veut dire elles forment des angles ?

304. Mam Droits

305. M Ben tu essaies de trouver un petit peu tout seul

### Echange avec Joa ( 20 minutes ) (37 min.)

360. M Ah ! intéressant, mais les diagonales ? A, B, C, D. (M nomme les sommets du quadrilatère de Joa)
Les diagonales sont ?

361. M à moi Ils me font euh... Joachim, il me fait bien le quadrilatère et ils n'ont pas encore fait la notion de diagonale, eh bien il me fait des axes de symétrie (M me montre les médianes du trapèze isocèle tracées par Joa) et il trouve que c'est perpendiculaire ! Mais non (se tournant vers Joa) les diagonales, elles joignent les côtés opposés, par contre, c'est très intéressant

### Echange avec Gra

#### Premier échange ( 8 minutes ) (25 min.)

258. M Gra, je viens te voir

259. M Est-ce qu'il faut le faire ... Attends, je vais te faire le début, tu regardes, d'accord ?

260. Gra D'accord

261. M Je vais essayer de t'aider
## Deuxième échange ( 14 minutes ) (31 min.)

290. Gra Maîtresse

291. M Mademoiselle ? Ah attends, on va voir ça

292. M Viens avec moi, Gra
(Bavardages divers dans la classe, les élèves échangent sur leur travail, interpellent M)

293. M Ah, est-ce que c'est un quadrilatère ? 1, 2, 3, 4, 5. C'est un quadrilatè, c'est un ... C'est une figure qui a combien de côtés ?

294. Gra Cinq

295. M Et aussi elle a ?

296. Gra Inaudible

297. M Et tu vas avoir fait des diagonales là. Alors ça n'est ni un, ça n'est ni un quadrilatère, ni une figure, les 4 côtés des diagonales font des angles ?

298. E Droits

299. M Ben voilà, ça ne va pas

## Troisième échange ( 17 minutes ) (34 min.)

333. M Oui, il y a 4 côtés, bon, maintenant, où sont les diagonales ? Est-ce qu'elles ont des angles droits ? Non, ah mais oui, ça on l'a déjà fait, j'en veux plus de ça. Moi, je veux des diagonales qui aient des angles droits. Et c'est le losange.

## Quatrième échange ( 25 minutes ) (42 min.)

368. M Ah ! mademoiselle, tu ne m'as pas fait les diagonales, tu m'as fait des axes de symétrie, parce que les diagonales, elles joignent les côtés ?

369. Gra Opposés (a tracé un carré et ses médianes)

370. M Opposés, AC et BD, et là, c'est la même chose, A, B, C, D, il faut joindre AC, DB alors tu me fais ces diagonales et vérifie qu'elles sont perpendiculaires.
(vacarme dans la classe, rires...)
Euh, euh, j'ai des petits doutes là-dessus. Tu as commencé par les diagonales ou tu as fait la figure ?

371. Gra (inaudible) (Bavardages, bruits divers)

372. M Ah ! C'est bien, tu vois c'est tout sur les diagonales, il y a des axes de symétrie, il y a des diagonales, ça va pas tout ça. Donc qu'est-ce que ça veut dire si ça ne va pas ?

373. Gra (inaudible)

374. M Malheureusement on doit recommencer, avec le sourire en plus !

375. Gra Deux ?

376. M Beh oui, tu as fait un rectangle et un carré, et en plus le rectangle euh...

Gra est l'une des élèves les plus en difficulté dans cette classe.

Dans le premier échange, l'enseignante manifestement montre un exemple à cette élève. Elle fait ainsi l'hypothèse qu'en regardant, Gra comprendra qu'il s'agit d'un quadrilatère, qu'elle repérera ce qu'on entend par diagonale, ainsi que la contrainte visée sur ces diagonales. Le deuxième échange montre que Gra ne sait pas ce qu'est un quadrilatère. Rappelons que cette méconnaissance a été relevée au cours de l'échange collectif portant sur l'identification du non quadrilatère et que ne lui ont pas été données les caractéristiques d'un quadrilatère. Gra a donc dessiné un pentagone. Les explications peu claires sur les diagonales ne lui permettent pas de savoir en tracer. On voit dans les troisième et quatrième échanges que Gra trace des axes de symétrie dans le carré. Le professeur tente aussi de lui donner l'exemple du losange (troisième échange), remarque que l'élève ne prend pas en compte. Il lui faut tout recommencer, alors même que l'on arrive à la fin de la séance.

La maîtresse à toute la classe ( 18 minutes ) (35 min.)
348.M Je n'entends personne. Ken, je sais que t'as travaillé. Les CM1, quels sont les quadrilatères qui ont des diagonales qui forment des angles droits. Qu'est-ce que vous avez trouvé comme quadrilatères ?

349.E Le cerf-volant

350.M Le cerf-volant, je suis d'accord

351.E Le losange

352.M Le losange, d'accord, et, est-ce que le rectangle a des angles droits ?

353.E Oui

354.M Des diagonales, pardon

355.E Non

356.M Et vous avez également, allez, une figure très connue, certains l'ont faite. (bavardages, M est obligée d'élever la voix)

357.Ha Un carré

358.M Un carré a aussi des diagonales qui forment des angles droits. Chuut

La synthèse locale initiée par l'enseignante au bout de 18 minutes de recherche est orale et consiste à nommer des quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires. Il est certain que seuls les quadrilatères particuliers seront nommés : cerf-volant, losange et carré, les deux premiers ayant été ainsi caractérisés avant cette phase. La consigne initiale qui consistait à rechercher des quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires se voit transformée, interprétée d'une autre manière. Il s'est agi de trouver, parmi les quadrilatères particuliers, ceux dont les diagonales vérifient cette propriété.

Comment expliquer cette modification ?

Elle a plusieurs sources.

Les élèves ont découvert le concept de diagonale par leur tracé dans des figures dessinées au tableau, en suivant les indications peu précises de la maîtresse. Les explications tout au long de la séance ont assimilé des diagonales à des axes de symétrie, à des segments joignant les côtés opposés, aux segments AC et BD une fois le quadrilatère nommé, ce qui a renforcé l'instabilité cognitive des élèves. Parmi les exemples au tableau, seuls des quadrilatères particuliers dont le losange et le cerf-volant vérifiaient la contrainte. En l'absence d'un exemple de quadrilatère quelconque, ou de procédure consistant à tracer d'abord les diagonales, il était certes difficile pour ces élèves d'envisager une stratégie efficace. Nous avons vu que c'est à la suite d'une remarque sur cette stratégie que Aï, la bonne élève de la classe, va explorer cette méthode mais elle n'est pas encouragée à chercher d'autres possibilités.

Nous avons pu noter l'importance des échanges entre le professeur et certains élèves, en particulier le couple Aï et Fa, les meilleures, ainsi qu'avec Gra, une élève en grande difficulté. On relève cinq échanges avec les deux premières, 4 échanges avec la dernière, échanges qui permettent de préciser la consigne, la notion de diagonale, une procédure efficace pour trouver des solutions et des exemples de solutions au problème à résoudre. Ces interventions ont lieu régulièrement, et en général à l'initiative des élèves dès les premières minutes de l'activité (quatrième minute pour le couple Fa et Aï, huitième minute pour Gra). Les autres élèves ont souvent eu droit à une seule intervention de la maîtresse, négative de surcroît, et ne sont pas sollicités pour trouver d'autres solutions. Notons que ces élèves, même quand ils ont sollicité la maîtresse au début de l'activité comme Sam, ne l'interpellent plus, et leurs travaux ne font alors pas objet d'attention de la part de M. D'autres encore comme Joa attendent longtemps ( 20 minutes ) avant d'oser montrer leurs travaux où il apparaît que la notion de diagonale n'est pas encore comprise. Un autre élève de CM1, Auré, ne fera l'objet de l'intervention de la maîtresse que pour un rappel à l'ordre.

On peut considérer que pour les élèves pris en charge par la maîtresse, le concept de diagonale a plus de sens à la fin de la séance, tandis que pour d'autres, c'est celui de quadrilatère, ou de perpendiculaire qui s'est trouvé renforcé. Il semble aussi que, dans cette classe, le vocabulaire
géométrique ait fait l'objet d'activités spécifiques mais le décalage de niveau entre les élèves dans des notions relevant du cycle 2 est peut-être aussi à l'origine des multiples formes d'explications que tente de mettre en place la maîtresse, et qui l'amènent à transformer une activité initialement de niveau complexe en un exercice de tracé simple et d'identification de propriétés. Nous avons pu noter tout au long de la séance la distance cognitive existant entre les élèves. Il semble alors que le professeur, en proposant cette activité, cherche plutôt à faire acquérir d'autres notions par certains élèves, en laissant de côté ceux pour lesquels ces notions semblent acquises.

A la fin de la séance, Val déclare que pour elle, cette séance est réussie dans la mesure où tous les élèves se sont investis dans la recherche de solutions. Elle remet à la séance suivante la découverte de quadrilatères quelconques aux diagonales perpendiculaires, en reprenant les propositions des élèves au cours de cette séance. Notons que les tracés des élèves nous sont fournis, ce qui suppose que Val ne renverra pas les élèves à leurs travaux.

## 3.4. Notre bilan sur cette séance de géométrie

### 3.4.1. Reconstitution du projet de l'enseignante et analyse a priori de ce projet

#### Une succession d'activités riches a priori

Nous relevons dans cette séance une succession d'activités riches a priori, dans une articulation intéressante.

Une première phase permet de distinguer les polygones des non-polygones, une deuxième phase permet de distinguer, parmi les polygones, les quadrilatères des non-quadrilatères. Pour ces deux phases, la perception visuelle suffit. Les objets géométriques représentés au tableau sont en nombre relativement petit. Le nombre d'intrus est donné par le professeur (deux, puis un), ce qui facilite leur recherche. De plus, à chaque étape, ces intrus sont éliminés du tableau, ce qui permet d'aller rapidement vers la principale activité de la séance. Ces deux phases constituent un rappel de ce qui a été vu précédemment

La troisième phase permet de mettre en évidence le fait que l'on peut décrire et identifier un quadrilatère à partir de propriétés relatives aux côtés, aux axes de symétrie, à l'orthogonalité, à l'isométrie, ... et relève du traitement de l'information à l'oral, ce qui nécessite pour les élèves de mémoriser les informations à traiter. Cette phase permet d'introduire la notion de diagonale, et de montrer que certains quadrilatères ont des diagonales perpendiculaires. Enfin, la dernière phase donne un vrai problème à résoudre aux élèves de CM1. La finalité de ce problème devrait conduire à la mise en évidence de l'existence de plusieurs solutions, et de conclure que le carré, le losange, le cerf-volant sont des cas particuliers de quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires.

#### Une alternance de formes de travail permettant a priori de maintenir les élèves en constante activité

Les trois premières phases sont collectives, mais en même temps elles se distinguent par le rôle du maître. Dans les deux premières, c'est le professeur qui pose des questions pour lesquelles il dispose de la réponse, et valide les réponses des élèves. Dans la troisième phase, les rôles sont partiellement inversés. Ce sont les élèves qui posent des questions au professeur. Cependant, c'est toujours le professeur qui contrôle l'activité. Il peut faire reformuler les questions, il peut en refuser certaines. Il formule des réponses qui n'ont pas à être validées par les élèves, mais prises en compte par eux pour d'autres questions.

La dernière phase est individuelle et prend en compte la différenciation au sens large. Les élèves de CE2 ont une tâche différente de celle des CM, construire des rectangles variés, tâche
qui ne relève ni de la distinction des figures planes, ni de leur description. En outre, des élèves de CE2 d'une autre classe ayant participé aux phases collectives ont à exécuter une autre tâche qui ne relève pas de la géométrie, puisqu'il s'agit d'effectuer des calculs afin de concevoir des cartes de jeux.

### 3.4.2. Décalage entre le projet présumé et la séance effective

Nous allons relever les décalages importants par rapport aux buts visés, qui amènent les élèves à effectuer une autre tâche que celle initialement visée, décalages dus pour l'essentiel au professeur.

#### Décalage lié à la préparation matérielle

Les figures représentées au tableau permettent effectivement d'exécuter rapidement les tâches de classement en se fiant à la perception visuelle, cette modalité de présentation s'avère gênante pour la suite des activités. Le jeu du portrait qui prend place sous cette forme oblige les élèves à poser des questions en se fiant soit à la perception visuelle, soit à la panoplie de propriétés géométriques qu'ils ont mémorisées, sans pouvoir par ailleurs traiter effectivement certaines réponses du professeur pour éliminer des figures. Mais surtout, il semble que le professeur n'ait pas réellement mené une analyse a priori de ces figures. En effet, la tâche, riche au départ, se ramène finalement à choisir, parmi deux figures sur lesquelles le professeur effectue des comparaisons de longueur au tableau, celle qui a deux côtés de même longueur. L'exemple choisi, un cerf-volant, pour montrer que les diagonales d'un quadrilatère peuvent être perpendiculaires apparaît comme une première source des malentendus qui vont se produire entre la tâche prescrite par le professeur et la tâche effectivement réalisée par les élèves, et ceci à deux niveaux. D'une part, une diagonale de ce quadrilatère est axe de symétrie, ce qui peut conduire à des confusions entre les notions de diagonale et d'axe de symétrie, d'autre part, ce quadrilatère semble usuel pour les élèves de la classe, ce qui peut induire une redéfinition de la tâche, la nouvelle tâche consistant pour ces élèves à chercher, parmi les quadrilatères connus, ceux qui ont des diagonales perpendiculaires.

#### Décalage lié au discours du professeur

Comme nous l'avons signalé, la dernière phase individuelle est une phase de résolution de problème. La tâche de l'élève consiste à chercher des quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires. Pour s'approprier le problème, les élèves doivent savoir ce qu'est un quadrilatère, ils doivent savoir en construire des diagonales. L'intérêt de l'activité réside aussi en la possibilité d'une auto-évaluation. L'élève doit pouvoir contrôler à l'aide d'une équerre que les diagonales du quadrilatère construit forment des angles droits. Nous ne nous attarderons pas sur le cas des élèves qui ignorent encore au début de la recherche ce qu'est un quadrilatère et qui vont l'apprendre au cours de la séance.

Une autre source des malentendus qui vont se produire entre le professeur et les élèves est relative à la définition de diagonale à partir de l'exemple du cerf-volant. En effet, de nombreux élèves ne vont pas pouvoir s'approprier le problème à cause d'une succession de définitions peu précises, ou incorrectes d'une diagonale. La diagonale est définie comme pouvant être un axe de symétrie, justement à cause de cet exemple, puis comme reliant des côtés opposés d'un quadrilatère. De plus, quand la définition précise est formulée, elle est énoncée sous la forme d'un texte à trou entre le professeur et un élève, chacun en énonçant une partie. De fait, pendant toute la séance, aucune définition d'un polygone, d'un quadrilatère ou d'une diagonale n'est écrite au tableau. Le professeur s'appuie sur le tracé d'une diagonale sur la feuille des élèves lors de son passage dans les rangs pour en installer la définition.
La tâche proprement dite de recherche de quadrilatères ayant des diagonales est dénaturée par le professeur qui dès la première minute approuve la stratégie d'un élève ayant tracé un losange, puis ses diagonales. Cette distorsion est renforcée par la demande à d'autres élèves de tracer des quadrilatères particuliers aux diagonales perpendiculaires, et d'en tracer les diagonales. Cette redéfinition par le professeur de la tâche prescrite apparaît finalement comme une décision d'accepter toute autre redéfinition de la tâche initiale par les élèves eux-mêmes.

Finalement, à l'issue de cette activité, on constate que les élèves se sont redéfini une tâche
qui a pu être pour certains le tracé de quadrilatères, pour d'autres, le tracé de diagonales de
quadrilatères, pour d'autres encore la recherche de quadrilatères ayant des axes de symétrie,
sans oublier ceux qui recherchent des quadrilatères ayant des angles droits. Pour un dernier
petit groupe d'élèves, la tâche redéfinie par eux a consisté à chercher, parmi les quadrilatères
connus, ceux qui ont des diagonales perpendiculaires.

Un décalage entre les tâches effectuées par la majorité des élèves et la synthèse qui ne reprend que le travail de quelques élèves

La synthèse ou mise en commun faite oralement ne tient compte que de deux ou trois élèves ayant recherché parmi les quadrilatères connus, ceux qui ont des diagonales perpendiculaires. Finalement les solutions trouvées existent pour certaines au tableau (cerf-volant et losange) depuis le début de la recherche, le carré étant alors la seule autre figure testée par ces élèves.

**3.4.3. Décalage entre l'analyse à chaud de la séance et la séance effective**

Signalons enfin que le professeur effectue un bilan très positif sur cette séance « car les élèves ont travaillé ». Effectivement, la séance a duré le temps réglementaire. Ce bilan ne porte pas sur l'activité mathématique initialement prévue, ni sur toutes les tâches effectives des élèves, mais sur la gestion de la séance qui s'est déroulée sans heurt.

**3.5. Conclusion**

Ces éléments nous incitent à une certaine vigilance quant à l'analyse des données recueillies dans une recherche. Les préparations écrites de l'enseignante, son discours sur les activités géométriques menées, sur le travail des élèves, la présentation par elle de certaines de leurs productions laissaient supposer une certaine adéquation entre les décisions prises collectivement lors de nos séances de travail avec elle et relatives aux finalités de ces activités de géométrie plane. L'analyse de ce corpus semble montrer une distorsion profonde entre ces finalités initiales, et celles que l'enseignante s'est appropriée, sans que l'on puisse attribuer ces distorsions uniquement aux élèves concernés par ces activités.

Nous avons pu montrer que malgré des activités riches a priori, les décalages repérés se traduisent in fine par une négociation à la baisse tout au long de la séance. Par ailleurs, l'absence de phase de synthèse, l'individualisation privilégiée des apprentissages dont ne bénéficient pas toujours les élèves en difficulté, sans oublier la prédominance d'un oral non structuré ne permettant pas, malgré les nombreuses confusions chez les élèves d'élucider le concept de diagonale, suggèrent des résistances relativement fortes à une tentative de modification des pratiques de cette enseignante sur des éléments pouvant avoir une incidence sur les apprentissages de ses élèves.
# 4. LES EFFETS D'UNE FORMATION PAR ACCOMPAGNEMENT SUR UN TEMPS LONG SUR LES PRATIQUES DE PROFESSEURS CONFIRMES (EQUIPE DE ROUEN)

Nous présentons ici une formation sous forme d'un accompagnement à la mise en place d'un projet pédagogique en mathématiques et quelques effets repérés de cette formation sur les pratiques.

Cet accompagnement se caractérise par son origine, le cadre (lieu, partenaires, moyens..) et le contenu que nous allons présenter succinctement.

## 4.1. Présentation succincte de l'accompagnement

### 4.1.1. L'origine

Il s'agissait d'une initiative locale et non d'une réponse à des injonctions institutionnelles. L'équipe d'enseignantes du cycle 3 d'une école de ZEP demandait une aide pour l'élaboration et la mise en place du projet qu'elles avaient conçu pour remédier aux difficultés en mathématiques de leurs élèves. Les formes prises pour cette aide ont évolué au cours du temps. Ainsi, cette aide qui au départ portait essentiellement sur la mise en place des ateliers de jeux mathématiques s'est transformée peu à peu en une formation plus profonde sur des points spécifiques des programmes et contenus à enseigner.

### 4.1.2. Le cadre

La formation s'adressait donc à l'équipe des enseignantes ayant conçu le projet d'ateliers de jeux mathématiques. Elle se déroulait dans l'école elle-même. Les différents partenaires étaient les enseignantes du cycle 3 de l'école, dont la directrice, l'équipe de circonscription (IEN, conseiller pédagogique, coordinateur du REP), les chercheurs de l'équipe (formateurs d'IUFM en mathématiques).

Rappelons que toute intervention ou formation auprès d'enseignants d'une école nécessite l'accord de l'IEN de circonscription, du réseau et de la direction de l'école.

Dans le cas que nous relatons, un soutien important du REP au projet des maîtres s'est manifesté sur divers points. En effet, au début, les réunions préparatoires à la mise en place du projet étaient prises sur le temps libre des enseignantes de l'école et des chercheurs, formateurs à l'I.U.F.M.. Puis le REP a décidé de soutenir le projet des enseignantes en accordant d'autres moyens. Les enseignantes ont d'une part été dispensées des animations pédagogiques de circonscription, les réunions étant considérées comme des animations sur site. Les nombreuses réunions qui ont eu lieu ne compensaient certainement pas en heures cet avantage, mais correspondaient pour ces collègues à une reconnaissance par l'institution de leurs actions. L'IEN de la circonscription a d'autre part octroyé une semaine de stage sur site pendant deux ans aux enseignantes investies dans le projet. Ces stages se sont déroulés chaque année en trois sessions d'un jour et demi sur temps scolaire, les élèves étant pris en charge par des professeurs remplaçants. Un conseiller pédagogique de la circonscription participait à ces sessions. Ce dispositif permettait un travail plus approfondi. Par ailleurs, la circonscription a octroyé un poste d'aide-éducateur supplémentaire à l'école (cette aide s'est avérée précieuse lors de la mise en place des ateliers de jeux), et a accepté l'accueil de stagiaires IUFM dans les classes de l'école pour la mise en place de séances préparées dans le cadre d'une option sur l'enseignement en ZEP concernant plusieurs disciplines.

### 4.1.3. Le contenu de cette formation par accompagnement

Les contenus proposés ont été des réponses à des besoins exprimés par les enseignantes pour améliorer les apprentissages de leurs élèves. Si, dans un premier temps, les demandes étaient
extrêmement liées à la mise en place du projet d'ateliers de jeux mathématiques, très vite les enseignantes ont manifesté le désir de travailler des questions mathématiques et didactiques et ont senti la nécessité de réfléchir à une articulation étroite entre les séances de mathématiques ordinaires et quotidiennes et les ateliers de jeux mathématiques.

Du côté des chercheurs, soutenir le projet des enseignantes était un détour nécessaire pour étudier les pratiques des maîtres en ZEP en faisant de nombreuses observations dans les classes, tout d'abord uniquement pendant les ateliers de jeux, puis au cours des séances ordinaires.

## 4.2. Analyse descriptive de la mise en oeuvre de cette formation sous forme d'accompagnement

Comme nous l'avons dit, les premières demandes des enseignantes concernaient essentiellement et pratiquement la mise en place de leur projet autour des ateliers de jeux mathématiques. Elles avaient de nombreuses idées sur des types de jeux à proposer aux élèves (jeu de bataille, de domino, jeux de questions, etc.). Mais malgré notre demande, elles n'ont dressé ni une liste de savoirs mathématiques intervenant dans les jeux, ni une liste de compétences en mathématiques qui pourraient être développées par la pratique de ces jeux. Par ailleurs, mettre ensemble des élèves de plusieurs niveaux sur des jeux, visant des notions non travaillées en parallèle par tous, a très vite mis en évidence la nécessité de repenser la définition d'une équipe de cycle par l'élaboration d'un outil de référence commun : la programmation des notions mathématiques sur l'année. Là encore, les professeurs n'ont pas voulu s'atteler à cette tâche qui leur paraissait être en dehors de leurs compétences. Nous avons donc décidé de proposer une progression sur l'année, sous forme d'un tableau mettant en parallèle les trois niveaux du cycle ainsi qu'une liste des compétences qui devaient servir pour la conception et l'évaluation du dispositif "ateliers de jeux mathématiques" et pour les préparations des séances ordinaires à articuler avec les jeux. Cette progression globale a été complétée au cours de la seconde année par des progressions relatives à certains thèmes particulièrement travaillés pendant les sessions de formation : la division, les problèmes additifs, la reproduction de figures planes, l'étude des figures planes usuelles, l'étude des énoncés de problèmes, etc.

Pour évaluer les effets de ce projet sur les apprentissages des élèves, il avait été convenu de mettre en place une évaluation diagnostique avant la mise en place du projet, des évaluations ponctuelles dans chaque classe dans les domaines travaillés et enfin, une évaluation générale concernant tous les élèves en fin d'année. Ces évaluations sous forme écrite, étaient doublées d'une évaluation reposant sur les observations des élèves en classe. Cette observation in situ s'est avérée difficile à mener de manière régulière par les enseignantes elles-mêmes qui avaient beaucoup de mal, lorsque les chercheurs n'étaient pas là, à être à la fois observatrices, et enseignantes. De plus, l'organisation matérielle prévue au départ pour contrôler le passage des élèves aux différents ateliers et noter les observations n'a pas été mise en place de manière suffisamment rigoureuse, ce qui ne permettait pas de déterminer les jeux auxquels les élèves avaient participé, de cerner les erreurs qu'ils commettaient régulièrement et de repérer l'évolution des compétences qu'ils mobilisaient.

Comme nous l'avons déjà dit, le contenu de l'accompagnement a très vite évolué en raison de la prise de conscience par les enseignantes de la nécessité d'articuler les activités mathématiques centrées sur le projet de jeux aux activités mathématiques quotidiennes. Mais si cette nécessité a été ressentie par la majorité des enseignantes, certes à des degrés très différents, la manière de concevoir cette articulation était loin d'être claire.

Les observations menées l'année précédente nous avaient fait prendre conscience du fait que les difficultés des élèves pouvaient être en partie liées aux difficultés des enseignantes sur
différents points : leurs propres connaissances en mathématiques, leurs connaissances des mathématiques à proposer à leurs élèves, leurs connaissances actuelles relatives aux aspects didactiques et pédagogiques de l'enseignement des mathématiques.

Le contenu de l'accompagnement a donc évolué en prenant en compte ces éléments, sans perdre de vue que les enseignantes étaient tiraillées dans un conflit permanent entre deux préoccupations : rechercher les moyens les plus efficaces pour diriger le processus d'apprentissage et rechercher les moyens les plus efficaces pour maintenir un environnement favorable à la mise en place de ce processus. Nous avions en effet déjà constaté que la gestion quotidienne des problèmes relationnels pouvait devenir prioritaire dans la définition même du travail de l'enseignant. Par ailleurs, les différences importantes de niveau entre élèves d'une même classe se manifestaient plus nettement dans les situations de recherche et de résolution de problèmes, ce qui entraînaient les enseignantes à éviter ce type de situations.

En accord avec les enseignantes, nous avons finalement privilégié deux thèmes :

- la classification des problèmes arithmétiques et les techniques opératoires associées aux différentes opérations<fnref n="4" />

- les activités géométriques

Lorsque nous avons proposé aux collègues de préciser des critères sur lesquels reposaient le choix des problèmes qu'elles proposaient à leurs élèves, nous avons constaté qu'en dehors des opérations sous-jacentes et du contexte, les enseignantes ne disposaient pas d'autres critères. Nous leur avons proposé de faire des choix d'énoncés de problèmes additifs et multiplicatifs dans plusieurs manuels de cycle 3. Ce travail leur a paru intéressant mais en partie inutile car elles nous ont dit considérer que les énoncés des manuels étaient trop difficiles pour leurs élèves pour diverses raisons : des contextes inappropriés, des formulations complexes, des valeurs numériques trop importantes. Elles nous ont ainsi expliqué que très souvent elles faisaient elles-mêmes les textes des problèmes qu'elles donnaient à leurs élèves. Pour cela elles s'inspiraient d'énoncés qu'elles trouvaient dans des livres d'un niveau inférieur à celui de la classe dans laquelle elles enseignaient, en les adaptant aux "préoccupations des élèves, à leur vécu".

Les difficultés créées en partie par des contextes trop proches du quotidien des élèves ont fait l'objet de nombreux débats. Ainsi, dans un contexte de partage d'objets sécables comme les gâteaux, problème choisi par une enseignante de CM1 pour introduire la division euclidienne, le traitement du reste par les élèves relevait de la logique de la réalité quotidienne. On pouvait en donner plus à un enfant, ou continuer à morceler ce reste. Pour les enseignantes, ces réponses étaient considérées comme traduisant la maîtrise du sens de la division euclidienne par les élèves. Il nous a été très difficile de leur faire admettre l'existence de différentes "divisions" liées à la fois aux contextes concernés et aux ensembles de nombres en jeu.

Pour effectuer les soutractions, les enseignantes utilisaient dans leur classe des techniques différentes (par translation ou par emprunt), ou similaires mais avec différentes formulations orales pour accompagner le procédé. Le travail en commun leur a permis de repérer les raisons pour lesquelles certains de leurs élèves disposaient de techniques différentes, et l'intérêt d'homogénéiser leurs pratiques sur ce point pour éviter les confusions inévitables chez ceux dont aucune technique n'était encore suffisamment affermie. La construction des

<footnote n="4">⁴ Nous avons proposé la classification de G. Vergnaud sur les structures additives et multiplicatives, nous avons listé les procédures les plus courantes mises en œuvre par les élèves dans des problèmes relevant de la division euclidienne et de la soustraction en particulier, celles qui sont à valoriser lors des phases d'institutionnalisation. Nous avons rappelé, dans le cas de la division euclidienne, les différents éléments sur lesquels peuvent porter la question (quotient, quotient par excès, reste, etc.). Le travail a également porté sur l'élaboration par les enseignantes d'énoncés de petits problèmes oraux susceptibles de participer à la consolidation des différents sens des opérations arithmétiques. Enfin, à la demande des enseignantes, nous avons fait un point sur différents aspects du traitement de l'information.</footnote>
techniques opératoires dans la classe a été mise en liaison avec les procédures des élèves lors de la résolution des problèmes, le rôle des variables usuelles sur le changement de procédures chez les élèves a été pointé.

Le domaine géométrique s'est avéré celui où les connaissances mathématiques des enseignantes semblaient avoir subi le plus d'érosion. Nous avons immédiatement constaté un grand flou sur les propriétés des quadrilatères particuliers, notamment celles suffisantes pour les caractériser. Pour tenter d'aider les enseignantes à revisiter ces questions, nous leur avons proposé des situations de recherche de quadrilatères vérifiant diverses conditions (relatives à l'orthogonalité, au parallélisme, à l'isométrie des côtés ou des diagonales, etc.), situations qu'elles pouvaient réinvestir en classe en les adaptant. Nous leur avons proposé de construire des figures complexes faisant intervenir des figures usuelles (deux puis trois figures) en faisant évoluer les éléments géométriques intervenant dans ces figures (sommet, centre de carré, diagonales...). Ces figures devaient servir soit pour des activités de reproduction ou de construction à main levée ou non et des dictées de figures, soit pour des situations de communication. A cette occasion, nous avons précisé le rôle des instruments et des supports ainsi que les différents types de situations (reproduction, construction, description, représentation) à proposer aux élèves.

Les enseignantes ont été très enthousiastes de la variété et de la richesse des situations qui pouvaient être proposées aux élèves et semblaient prêtes à essayer de les mettre en œuvre dans leurs classes.

## 4.3. Les effets de cette formation sur l'image de l'école et des professeurs

### 4.3.1. Des effets externes

Nous avons déjà signalé plus haut la reconnaissance par la circonscription des efforts déployés par les enseignantes de l'école. Cette reconnaissance s'est traduite aussi par d'autres points. Plusieurs enseignantes ont été invitées à de nombreuses reprises à exposer leur projet devant des collègues d'autres écoles de la circonscription. L'IEN de la circonscription a choisi cette école pour une inspection par l'inspection générale. A cette occasion, le projet d'ateliers de jeux mathématiques a été présenté. L'intérêt de l'Inspecteur Général s'est manifesté également par sa décision d'emporter la progression élaborée par nos soins. L'école a été choisie pour représenter l'académie de Rouen lors du colloque sur les ZEP qui devait se tenir à Strasbourg (annulé par la suite). Les délégués des élèves sont intervenus à l'IUFM auprès des stagiaires pour montrer leurs jeux. L'IUFM, en la personne de son directeur, a attribué un « diplôme » à chaque élève du cycle 3 de l'école. Une brochure relatant la mise en œuvre du projet a été publiée par l'IREM de Rouen.

Ces effets ont été très valorisants pour les professeurs et pour l'école qui faisait partie des écoles considérées de manière très négative par l'opinion.

### 4.3.2. Des effets sur les progressions sur chaque notion

Les enseignantes ont très diversement intégré à leur travail de préparation quotidien les apports de la formation. Une enseignante (Val) a réellement essayé de repenser en partie les activités qu'elle proposait à ses élèves. Cette enseignante, très motivée, a même commencé à envisager de passer le CAFIPEMF. Elle a conquis progressivement une place de leader dans l'équipe pédagogique. Parmi les autres enseignantes, nous avons pu constater tous les degrés d'investissement dans ce travail de réflexion sur les contenus à enseigner et les moyens de le faire, jusqu'au cas de l'une qui a rejeté complètement et systématiquement toutes les propositions que nous faisions.
Nous donnons ici des exemples de modifications dans les progressions mises en œuvre par Val, exemples relevés à partir de ses préparations et des cahiers d'élèves.

## Exemples en géométrie

### Activités de Géométrie en 99 avant le mini-stage repérées dans les cahiers d'élèves

- Parmi plusieurs polygones :

- Identifier ceux qui ont 3, 4, 5 ou 6 côtés

- Identifier ceux qui ont des angles droits, des côtés parallèles, deux côtés de même longueur, tous les côtés de même longueur

- Colorier des triangles, des carrés dans un tangram

- Nommer les sommets ou les côtés d'un polygone

- Reproduire :

- Des polygones quelconques

- Des polygones usuels : carré, rectangle, triangles particuliers

- Construire :

- Un rectangle, un polygone à 5 côtés, 7 côtés, (production libre)

Dans l'ensemble, nous constatons des activités relativement pauvres, qui relèvent plutôt du cycle 2.

### Activités de géométrie en 2000-2001 après le mini stage repérées dans les cahiers d'élèves

- Identifier : des triangles isocèles, réguliers, rectangles parmi plusieurs triangles, des carrés et des rectangles parmi plusieurs polygones

- Reproduire une figure complexe : la figure de base est un rectangle ou un carré, les éléments à prendre en compte concernent les diagonales, les médianes.

- Retrouver dans une figure complexe les traits ayant servi à la construire mais qui ont été effacés : diagonales et médianes dans le carré ou le rectangle, notion de milieu et de sommet - Construire un triangle équilatéral ou rectangle dont deux sommets sont donnés

- Ecrire un programme de construction (situation de communication) : reprise des figures qui sont intervenues dans les activités préparatoires. La figure de base est toujours un carré.

Exemple :

Consigne : choisis l'une des figures ; écris un programme de construction, pour que quelqu'un qui n'aurait pas la figure sous les yeux, puisse la construire avec les mêmes dimensions.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Ainsi dans les figures A, B et C ci-dessus, le carré est la figure de base. Dans A interviennent le centre du carré, et les diagonales. Dans B, les notions de diagonale, médiane, milieu et centre interviennent ainsi que dans C.

La tâche de l'élève consiste donc à prolonger des segments pour repérer ces éléments, à comparer des longueurs, à les reporter etc.

Les élèves ont donc eu à résoudre un vrai problème de géométrie.
## Intitulé de la fiche : Stage Math Géométrie / Dictée

### Objectifs :

* Mémoriser

* Comprendre ;

* Utiliser un vocabulaire précis ;

* Tracer.

### Progression / Situation d'apprentissage :

D : type de dictées proposées.

* D1 Situation de découverte : dictée orale ; l'élève dispose de figures géométriques prédécoupées

* D2 Dictée orale ; l'élève dispose d'une feuille avec les différentes figures ; il doit choisir la bonne

* D3 Dictée orale ; l'élève dispose d'une feuille où apparaissent déjà quelques éléments. Il peut ainsi continuer la dictée

* D4 Dictée orale : avec 1 élément ; deux éléments ; x éléments à tracer à main levée

* D5 Dictée orale : l'élève réalise la figure avec différents outils : équerre, règle, compas.

Une progression sur les figures planes établie à partir du stage, à partir des fiches de préparation

- carte d'identité de figures établie et formulée dans un aide-mémoire en particulier sur les quadrilatères et les triangles

- sur le cercle : comment déterminer son périmètre ? notion de rayon et pi

- les programmes de construction à établir, des associations programmes/figures, des programmes à suivre, des analyses de figures pour pouvoir reproduire une figure

## Exemples dans le domaine numérique

Nous avions fait le constat que les problèmes donnés aux élèves étaient simplifiés de différentes manières :

- contexte quotidien pour amener les élèves à résoudre les problèmes selon des méthodes proches de la réalité

- taille des nombres réduite pour favoriser le recours au dessin

- problèmes simples ne faisant généralement intervenir qu'une étape de résolution.

Voici un exemple de fiche de problèmes d'évaluation donnés par Val à ses élèves au mois de juin 2001.

1) Nicolas, qui a 9 ans, fait une collection de timbres qu'il colle dans un album pouvant en contenir 500. Il a déjà collé 150 timbres. On lui en offre 50 et il commande 4 pochettes de 25 timbres chacune. Combien de timbres Nicolas possèdera-t-il en tout ?

2) Pierre a reçu 150 F pour son anniversaire. Il s'achète 2 ballons à 23 F l'un, 3 petites voitures à 12 F pièce, 4 paquets de billes à 9 F le paquet. Aura-t-il encore assez d'argent pour s'acheter une bande dessinée à 43 F ?

3) Le réfectoire d'une cantine est prêt pour accueillir les 176 élèves qui mangent à l'école. Des tables de 8 ont été préparées. Combien de tables y a-t-il en tout ?

## Analyse succincte de ces énoncés

Le problème n° 1 fait intervenir des données inutiles à la résolution, l'âge de Nicolas et la capacité de l'album. On peut donc évaluer la capacité des élèves à trier les données utiles à la résolution. Pour réussir sa tâche, l'élève doit reconnaître une situation d'addition et de multiplication. Il peut procéder en plusieurs étapes : faire la somme de 150 et 50, trouver 200, faire le produit de 25 par 4, trouver 100 et enfin additionner 200 et 100 pour trouver le
nombre total de timbres, soit 300. Les nombres en jeu sont faciles à utiliser dans les calculs, c'est donc sur le raisonnement que porte essentiellement l'activité.

Le problème n° 2 est plus complexe. Pour réussir sa tâche, l'élève doit :

- résoudre les situations de multiplication en calculant le prix de 2 ballons à 23 F l'un, de 3 voitures à 12 F l'une, et de 4 paquets de billes à 9 F l'un. Il trouve respectivement 46, 36 et 36.

- calculer le prix total en effectuant l'addition des produits intermédiaires, et trouver 118 F
Pour répondre à la question, il lui faut soit ajouter 118 et 43, trouver 161, comparer ce nombre à 150 et répondre « non, il n'a plus assez d'argent », soit soustraire 43 de 150, trouver 107, comparer 107 et 118 et formuler la même réponse. Cette dernière démarche est moins probable. Dans tous les cas, la solution nécessite deux étapes intermédiaires, ainsi qu'une interprétation des calculs effectués. Aucune aide n'intervient dans l'énoncé pour guider l'élève dans le choix de sa procédure.

La taille des nombres pour les multiplications permet le calcul mental, ou des additions itérées. Les additions intermédiaires de nombres à deux ou trois chiffres ne présentent a priori aucune difficulté.

Le problème n° 3 est plus classique en ce qu'il ne fait intervenir ni donnée inutile, ni question intermédiaire. Il s'agit d'un problème de division quotition. A priori, la taille du quotient à deux chiffres (22) devrait décourager des procédures primitives telles que le dessin, mais il reste suffisamment petit pour que des procédures par essais multiplicatifs permettent d'approcher rapidement le dividende 176, en envisageant un ordre de grandeur du quotient. En effet, $8 \times 10 = 80$, $8 \times 20 = 160$, $8 \times 22 = 176$. La technique usuelle permet évidemment de parvenir directement au résultat. Le reste est nul, il n'y a donc pas de difficulté relative à la gestion du reste, qui amènerait à considérer le quotient par excès 23 pour trouver le nombre de tables.

Au-delà de cette analyse mathématique de ces énoncés, on relève aussi que l'enseignante a pris le soin de laisser sur la fiche proposée aux élèves et pour chaque problème, un cadre pour leurs essais, ainsi qu'une ligne pour formuler leur phrase réponse.

Cet aspect méthodologique est à mettre en rapport avec les décisions prises au cours des échanges avec les maîtresses de l'école sur l'importance des procédures mises en œuvre par les élèves lors de la résolution des problèmes, procédures qui doivent faire l'objet d'une attention particulière lors des séances en classe, mais aussi pour l'évaluation des progrès accomplis ou non par les élèves.

Nous présentons également en partie 7 la progression de Val sur les problèmes arithmétiques : énoncés pour le travail oral de résolution de problème servant ensuite aux jeux de cartes, énoncés de problèmes donnés pour travailler sur le texte, énoncés de problèmes faisant intervenir plusieurs étapes de résolution.

### 4.3.3. Des effets sur les pratiques des enseignantes dans leur classe

Notre hypothèse de départ était que cette forme d'intervention, au plus près des préoccupations quotidiennes des enseignants, alternant observations, échanges sur les pratiques et retour en classe, aurait des effets immédiats sur certains points. C'était sans compter sur la résistance des pratiques. Pour étayer nos propos, nous allons prendre appui sur des exemples.
## Un exemple en géométrie

Après le stage relatif aux activités géométriques décrites ci-dessus, nous avons cherché à repérer comment les collègues s'appropriaient les éléments de la formation.

Considérons la situation relative à la recherche de quadrilatères possédant certaines propriétés.

En CM1 les enseignantes ont choisi de travailler sur une propriété par séance, celles de CM2 ont décidé de travailler sur l'ensemble des propriétés des quadrilatères relatives aux angles, aux côtés, aux diagonales, aux axes de symétrie à chaque fois.

La manière d'énoncer l'objectif de l'activité sur les fiches de préparation témoigne du type d'attente de l'enseignante : l'une d'elle utilise l'expression « observer les propriétés des figures », une autre, « maîtriser le vocabulaire géométrique précis et construire des figures simples », les deux autres parlent de « mise en évidence des propriétés et de prise de conscience qu'il n'existe pas que le carré et le rectangle comme quadrilatères ».

Le temps consacré à l'activité est également très variable. La durée des séances varie de 45 minutes à 1 h 15 suivant les classes et les enseignantes ont développé cette activité sur une à sept séances.

Une enseignante de CM2 a envisagé toutes les propriétés en une seule séance, une autre, en CM2 également, a consacré 4 séances pour l'ensemble des propriétés. En CM1, une enseignante a envisagé de travailler sur 4 propriétés (une par séance) en doublant le nombre de séances pour certains élèves, l'autre a consacré 7 séances à ce travail. Mais toutes ont augmenté le nombre de séances de géométrie par rapport au reste de l'année (le nombre de séance de géométrie allant de 2 par semaine, à une séance sur deux).

Les consignes données aux élèves sont relativement proches dans les quatre classes, mais elles ont été données à des moments différents. Dans la classe de CM2 dans laquelle l'enseignante a fait le choix de consacrer une seule séance à ce travail, la recherche portait sur des quadrilatères possédant au moins un angle droit, ceux possédant des diagonales perpendiculaires et ceux possédant des diagonales de même longueur et ceci par chacun des élèves. La maîtresse a tout d'abord questionné les élèves sur ce qu'est un quadrilatère et a rappelé des propriétés avant de demander aux élèves de construire des quadrilatères en respectant les propriétés imposées. Au cours de cette séance, chaque enfant a construit, pour chacun des cas, une seule figure respectant la propriété annoncée, ce qui fait que certains élèves ont construit simplement trois carrés !

Dans l'autre CM2, la consigne de construction de 6 ou 7 quadrilatères répondant à la propriété énoncée est donnée dès le début de la séance.

Dans la classe de Val, les élèves de CM1 ont travaillé sur une seule propriété pendant la séance<fnref n="5" />. A priori, la recherche menée avait plus de chance de respecter l'objectif visé : montrer qu'il existe une infinité de quadrilatères ayant des diagonales perpendiculaires, et que losanges et carrés n'en sont que des cas particuliers. Cependant, cet objectif a été transformé rapidement par l'enseignante. La première consigne donnée était bien : « *Je vais vous demander de chercher des quadrilatères pour lesquels les diagonales forment des angles droits* ».

Mais après quelques minutes, l'enseignante a posé les questions suivantes : « *Voici les diagonales du carré, est-ce qu'elles forment des angles droits ? Est-ce que le rectangle a des diagonales qui forment des angles droits ?* ». La modification quasi immédiate de la consigne de départ a induit une démarche chez les élèves contraire à celle qui était visée. Les élèves ont en effet construit des quadrilatères usuels et ont contrôlé la position des diagonales. Ne disposant d'aucun exemple de quadrilatère quelconque possédant cette propriété, ils ne pouvaient fournir pour solutions que le losange et le carré ("le cerf-volant" pour quelques

<footnote n="5">⁵ Une de ces séances a fait l'objet de l'analyse présentée dans le paragraphe 3 de cette partie.</footnote>
uns). Aucun élève n'a pensé à construire d'abord des diagonales perpendiculaires. L'activité s'est transformée finalement en construction de figures connues, suivie d'une vérification de l'existence de la propriété.

L'enseignante Val, interrogée après la séance, n'a pas semblé sensible à cette modification de l'objectif de la recherche. Pour elle, les élèves avaient été très actifs, s'étaient entraînés à la maîtrise des instruments, avaient produit de nombreuses figures sur lesquelles ils avaient pris des informations, ce qui était le cas. Mais l'enseignante semblait avoir "oublié" l'objectif qu'elle avait fixé, ou bien ne s'être pas réellement approprié les objectifs des activités que nous avions proposées au cours de la formation.

Les enfants ont travaillé avec les instruments usuels de géométrie sur feuille blanche pour les "brouillons" puis suivant les classes sur bristol uni ou quadrillé pour la réalisation des cartes. Pour la validation, l'une des enseignantes dit avoir mené une correction individuelle pour vérifier l'exactitude et la précision des constructions suivie d'une tentative de synthèse collective ayant abouti à la construction d'affiches présentant les diverses propriétés des quadrilatères. Dans l'autre CM2, la validation semble s'être faite par une vérification par un autre élève, vérification donnant le feu vert à la construction de la carte correspondante pour le jeu, mais n'a donné lieu à aucune trace écrite collective ou individuelle deux par deux. Dans les CM2, une des enseignantes parle seulement d'aides individuelles et de rappel individuel des notions et considère que la trace écrite est constituée par les cartes jeu. Dans l'autre CM2, la maîtresse parle d'une correction collective pour valider les figures choisies et considère aussi qu' ce sont les cartes du jeu qui sont la trace écrite de cette correction.

Lors de la discussion ayant suivi ces séances, les éléments qui se dégagent essentiellement sont la question de la précision des tracés et la question de la mise en commun. Plusieurs disent qu'il n'y a pas eu beaucoup de temps pour la mise en commun, mais ne semblent pas penser que ce soit important car "ce qu'il faut c'est que les constructions soient précises puisque c'est de la géométrie, et qu'il faut donc corriger individuellement", et de plus elles ajoutent qu'elles "le feront après" (?) et que "de toutes façons il y aura les jeux". Aucune enseignante n'a considéré utile de faire noter quelque chose sur un éventuel cahier de mathématiques, ou cahier du jour. Celle qui a fait élaborer des affiches les présente, en nous disant qu'elle va les utiliser pour des jeux de portrait et qu'elle les gardera pour l'année prochaine. Nous constatons plusieurs erreurs dans cette affiche. Les brouillons des élèves ont été soit jetés, soit ramassés pour nous les montrer. Les remarques des enseignantes relatives à l'observation de leurs élèves lors des phases de "recherche" montrent leur étonnement devant les réactions des élèves, et les procédures qu'ils essaient d'utiliser. Par exemple un élève demande "un quadrilatère qui n'a pas de nom, est-ce que cela existe ?", de nombreux élèves commencent par construire les côtés du quadrilatère lorsque la propriété imposée concerne les diagonales, de nombreux élèves ne tracent que des quadrilatères particuliers et en positions prototypiques.

Nous constatons un effet immédiat des stages sur les activités proposées aux élèves : toutes les enseignantes (sauf une de CE2 qui dès le départ a précisé qu'elle ne traiterait pas la géométrie parce que les élèves de sa classe avaient trop de problèmes et étaient trop faibles et trop agités pour qu'elle prenne le risque de leur faire de la géométrie avec des instruments et en particulier avec les compas) ont essayé de mettre en place des activités prenant en compte le travail qui leur avait été proposé lors de la formation.

Mais nous voyons aussi que la manière de s'approprier ces éléments de formation est très personnelle.

Une des enseignantes transpose l'activité de recherche en exercice individuel qu'elle va gérer comme elle gère la quasi totalité de ses séances, c'est-à-dire une individualisation totale du
travail précédé d'un temps où tout est dit par l'enseignante ; la recherche n'étant plus qu'une
simple application de ce qui a été dit et qui généralement se trouve encore écrit au tableau.
Dans cette classe, les enfants sont très sages et travaillent en silence, la maîtresse circule entre
les tables et donne à voix basse à chacun des explications ou des conseils. Cette enseignante
ne fait pas de mise en commun qu'elle juge inutile, ce qui se comprend puisque la recherche
avait été court-circuitée dès le départ, par l'apport des informations nécessaires par
l'enseignante. Ici, on peut faire l'hypothèse que cette enseignante se fait une idée a priori des
capacités de ses élèves qu'elle considère comme faibles, et elle souhaite les encourager en leur
permettant de réussir les tâches qu'elle leur propose. Pour ce faire, elle transforme une activité
de recherche en application et centre ses exigences sur la précision des tracés. Les enfants
sont dans une problématique (une dynamique, une logique) du "faire" et non dans une
problématique du "penser". La maîtresse met en place une pédagogie de la réussite de chacun
et non une pédagogie de l'apprentissage. Pour elle, il semble que l'imprégnation suffira aux
élèves pour "apprendre" des résultats mathématiques, la question de leur compréhension n'est
pas vraiment posée.

A l'autre extrême, nous avons une enseignante qui centre son action pédagogique sur le
maintien de la relation entre les élèves et elle-même et qui attache une importance non
négligeable aux échanges verbaux plus ou moins collectifs. Pour cette enseignante, la
question des contenus ne lui pose pas de problème, car elle considère que son bac scientifique
la met à l'abri des difficultés relatives aux contenus. De ce fait, cette enseignante s'appuie plus
sur des souvenirs que sur une éventuelle préparation de la séance (elle demande par exemple
de trouver "tous" les quadrilatères ayant un angle droit") et finalement semble ne pas être
consciente de l'écart entre ce qu'elle propose et ce qui serait à faire. Pour elle, l'important est
de proposer des activités qui ne risquent pas de provoquer des conflits ; de ce fait, elle lance la
recherche, mais presque aussitôt la court-circuite par une question qui, non seulement ferme
complètement cette recherche, mais, de plus, risque même de la rendre impossible. Ainsi
lorsque les élèves avaient à chercher divers quadrilatères ayant des diagonales
perpendiculaires, au bout de trois minutes la maîtresse a dit très fort à l'un d'eux « *tu devrais
essayer avec un losange* ».

Dans son discours, cette enseignante semble avoir intégré les
différentes phases d'une séance : recherche, mise en commun, synthèse et même trace écrite
collective. La question est ici celle de l'adéquation entre ce qui est dit et ce qui est
effectivement fait comme nous le constatons à partir de la retranscription des séances
effectives.

Un exemple sur la résolution des problèmes

Dans la résolution de problèmes algébriques, nous avons noté que les collègues résistaient à
changer les variables qui auraient été susceptibles de conduire leurs élèves à modifier leurs
procédures. Ainsi, après le stage, la taille des nombres choisis permettait toujours des
procédures par le dessin, alors même que certains élèves montraient des dispositions à faire
plus. Les corrections restaient toujours centrées sur la solution sans tenir compte des
procédures. Les contextes tendaient toujours à être proches de la réalité quotidienne des
élèves, ce qui permettait de traiter les problèmes dans un domaine de rationalité proche du
vécu des élèves.

Voici par exemple deux énoncés proposés par Val aux élèves de CM1 :

Enoncé 1. *Eric a acheté à la boulangerie : un pain à 5 F 10, un croissant à 4 F 20 et un chocolat à 5 F. Combien a t-il dépensé ?*

Enoncé 2 : Samedi, Madame B. a acheté un lot de 3 paires de chaussettes. Elle a payé en tout 54 F. <u>Combien coûte une paire de chaussettes ?</u>
Ces énoncés sont conçus par la maîtresse et montrent le souci de rester proche du langage oral (cinq francs dix, quatre francs vingt). Madame B. est la maîtresse de la classe, la dévolution du deuxième problème passe d'abord par des commentaires sur les courses de la maîtresse, certains élèves lui donnant des conseils sur les prix dans des magasins pour qu'elle réalise des économies.

Nous voyons que dans le premier énoncé, les grandeurs prises en compte permettent de travailler sur des entiers (francs et centimes), là où une formulation usuelle des manuels envisagerait l'utilisation de nombres décimaux. Dans le second, d'une part, rien n'indique que les paires de chaussettes sont au même prix et d'autre part, les deux valeurs numériques 3 et 54, permettent aux élèves d'utiliser des procédures proches de la manipulation pour déterminer le prix d'une paire de chaussettes en distribuant par exemple les pièces pour chaque paire de chaussettes. Notons aussi que les questions sont soulignées, sans doute pour aider les élèves à les repérer et pour insister sur le fait que c'est la question et la réponse qui sont privilégiées.

### 4.3.4. Des effets sur les discours des enseignantes

Après le stage consacré aux activités géométriques, les enseignantes signalent des effets positifs de ces activités : « maintenant, les élèves savent que pour construire un cercle, il leur faut un centre et un rayon, ils savent déterminer le centre d'un carré ou d'un rectangle en traçant les diagonales, ils le voient tout de suite, des automatismes se créent, ils apprennent à analyser des figures à formuler et tester des hypothèses (en CM1). Mais en CE2, une enseignante ne fait pratiquement pas de géométrie depuis la rentrée ; la seule activité faite au mois d'avril est une tentative de construction d'un œuf de Pâques à partir d'une bande dessinée. Les élèves ont massivement échoué d'où une correction collective où les élèves devaient avec l'aide de l'enseignante, construire, en imitant ses gestes au tableau, la figure. Au mois de mai, elle commence l'analyse des figures (retrouver à partir d'un réseau de points ceux qu'il faut relier pour obtenir une étoile).

Les enseignantes disent qu'il est difficile dans certaines classes de mettre en œuvre des situations de communication car les élèves sont « pénibles ».

Après le stage consacré à l'étude des problèmes numériques, les mises en œuvre dans les classes semblent d'après les discours très différentes.

Dans la classe de CE2 d'une nouvelle enseignante de l'école, ce sont les élèves les meilleurs qui sont chargés de traiter les problèmes, de les résoudre et de mettre la réponse au dos des cartes problèmes qui serviront ensuite lors des séances de résolution de problèmes oraux. Ce fonctionnement est contradictoire avec les dires de cette enseignante ; pour elle, les élèves en difficulté ont besoin de sa présence pour améliorer leurs performances en calcul (exemple de la soustraction) ; leur donner des problèmes à résoudre alors qu'ils ont du mal avec le calcul par les techniques usuelles contribuerait selon elle à creuser l'écart entre les bons élèves et ces élèves en difficulté, aussi préfère-t-elle donner aux bons élèves des problèmes à résoudre et aux élèves en difficulté des opérations à effectuer. Elle utilise les énoncés de problèmes construits par sa collègue Val.

Des effets positifs sont mentionnés : « la résolution de problèmes oraux selon la structure développe des compétences chez les élèves », selon une enseignante, alors qu'avant face à un problème, de nombreux élèves effectuaient des calculs de manière irréfléchie en agençant ensemble toutes les données, cette proportion a nettement diminué lorsque l'on passe à l'écrit, les élèves fonctionnant par analogie ; mais elle constate que dès que l'on introduit une variable supplémentaire, ces élèves recommencent à faire n'importe quelle opération.

Les enseignantes disent maintenant prendre appui sur la typologie pour élaborer une progression sur la résolution de problèmes alors qu'avant pour elles, seule la variable
informations utiles ou inutiles était leur principal critère de choix de problèmes. Elles proposent d'ailleurs de faire un recueil pour le cycle qui servirait à toute nouvelle enseignante de l'école.

En ciblant des objectifs plus précis sur la résolution des problèmes, objectifs notionnels et méthodologiques, les enseignantes sont désormais capables d'observations plus fines sur les compétences de leurs élèves, sur leurs difficultés, mais aussi sur l'évolution de leurs acquisitions.

La même nouvelle enseignante de CE2 dit être déçue quand elle passe aux problèmes ; les élèves n'arrivent pas à fournir une justification de leur démarche, dit-elle. Dans la classe de l'autre enseignante de CE2/CM1, lorsqu'ils calculent mentalement, les élèves écrivent la réponse dans un petit coin de la feuille, ils ont du mal à formuler une phrase réponse ; certains gomment leurs calculs, et ne laissent que la réponse.

Pour ces enseignantes, dans l'ensemble, le but d'un problème c'était la solution. Et un élève ayant trouvé la solution avait réussi. En proposant de nouvelles contraintes aux élèves sur la résolution des problèmes, les enseignantes découvrent que l'important ce n'est plus seulement la solution, mais que les procédures des élèves doivent aussi faire l'objet d'une attention particulière de la part du maître. Il y a donc un effet positif sur le regard qu'elles portent à l'activité de l'élève ; on note une évolution de leurs exigences vis à vis des élèves. Une de ces exigences concerne l'explicitation de la démarche ou des calculs ayant conduit à la solution.

Mais ces changements de contrat soulèvent de nouvelles difficultés ; comment apprendre aux élèves à justifier leurs réponses ? Quelles formulations pour cette justification ?

Les enseignants disent que, pour certains élèves, expliciter leur démarche, c'est fournir une phrase réponse de type « 38 francs, c'est le prix de deux compas », là où avant ils écrivaient simplement 38 francs. L'explicitation de la démarche doit donc faire l'objet d'un apprentissage pour ces élèves de CM1.

Ici, il y a confusion chez ces enseignantes entre expliciter sa démarche et justifier sa réponse ou formuler sa réponse par une phrase. Justifier, pour les enseignantes, c'est laisser les traces des calculs ayant conduit au résultat. De nombreux élèves n'écrivent que la réponse, éventuellement sous forme de phrase ; un nouveau contrat doit être établi, qui consiste à leur demander de laisser les traces de leur recherche ; ce nouveau contrat entraîne des difficultés, en particulier lorsque le travail doit s'effectuer dans le cahier du jour (un cahier du jour peut-il comporter des ratures ? si on cherche au brouillon, les traces de la recherche n'apparaissent pas dans le cahier du jour, etc).

Le fonctionnement diffère d'un enseignant à l'autre.

- Si on laisse un cadre sur la feuille polycopiée selon le modèle des cahiers d'évaluation, les élèves font de nombreux essais, ont du mal à gérer l'espace autorisé, écrivent de plus en plus petit, barrent les erreurs ou gomment les calculs de telle sorte qu'il ne reste que des bouts de leurs essais ;

- Si on leur propose d'effectuer d'abord leur recherche au brouillon et de ne recopier que lorsqu'ils sont sûrs d'avoir trouvé la solution, on se prive de leurs traces, d'une part ; d'autre part, ces élèves ont du mal à déterminer à quel moment ils peuvent reporter leurs calculs, si leurs solutions sont celles attendues. Ici, le problème de la gestion du temps se pose, mais aussi celui de l'autonomie de l'élève, de son manque d'assurance ou de capacité à une auto-évaluation. Une enseignante, propose des feuilles de brouillon pour la recherche, feuilles qu'elle ramasse après ; bref, travailler la résolution de problème, c'est mener non seulement un travail cognitif, mais certains aspects méthodologiques qui ne faisaient pas l'objet d'un apprentissage interviennent et peuvent déstabiliser aussi bien l'enseignant que l'élève ; le cahier du jour se transforme rapidement en cahier de brouillon. Les enseignants signalent ici des contradictions qui émergent : si elles insistent sur le soin dans le cahier du jour, alors les traces de la recherche doivent disparaître.
Une autre analyse est possible : les élèves sont habitués à recevoir de l'aide de la part des enseignantes ou de coopérer spontanément entre eux lors de l'exécution des tâches. Or ici, il semble que les enseignantes les obligent à mener seuls une activité, à aller au bout d'une tâche. Il y a donc changement de contrat à plusieurs niveaux (de la tâche, de la consigne, de la forme écrite qui nécessite un contrôle de sa propre activité etc).

La prise en compte de variables didactiques telles que la taille des nombres permet aussi une évolution des observations des enseignantes ; elles notent que certains élèves continuent à utiliser des procédures peu économiques comme des additions itérées face à un problème de multiplication, alors que ces élèves savent effectuer des multiplications. C'est le débat sur les procédures qui suit la mise en commun qui sert alors à montrer qu'il existe des méthodes plus performantes ; il semble donc qu'ici aussi apparaisse une nouvelle phase dans la gestion des activités. La phase de mise en commun a un autre rôle que la correction.

A propos de la calculatrice, une collègue propose maintenant une calculette à ses élèves en particulier lorsque le problème relève de la multiplication, ou une table de multiplication ; selon elle, cela limite les nombreux essais en calcul des élèves.

## 4.4. Conclusion

Nous avons mis en évidence plusieurs types d'effets d'une formation sous forme d'un accompagnement. Les effets sont contrastés. Si nous avons pu mettre en évidence chez une enseignante un réel souci de repenser sa pratique, nous avons vu que même dans son cas, la pratique effective en classe évolue relativement difficilement. Nous avons pu également constater que pour les autres enseignantes, il fallait un temps très long pour que certains éléments de la formation puissent commencer à prendre du sens.

Animées par le souci de voir leurs élèves réussir ici et maintenant, les enseignantes observées semblent convaincues que les contenus proposés dans le cadre de la formation ne concernent pas vraiment les publics de ZEP. Elles disent clairement qu'elles ne pensent pas que les situations de recherche sur lesquelles nous avions travaillé avec elles, soient envisageables dans leurs classes. Délibérément elles simplifient la tâche, la modifient ou même la dénaturent pour plusieurs raisons très mêlées. La volonté de voir leurs élèves en situation de réussite est sûrement un facteur déterminant, mais il n'est pas le seul. Les enseignantes ne font pas vraiment "confiance" à leurs élèves, elles semblent avoir une représentation dépréciative de leurs compétences. Elles semblent elles-mêmes déstabilisées par le temps de recherche nécessaire et veulent réduire ou même supprimer l'incertitude inhérente à toute recherche. Enfin, il nous semble que l'érosion des connaissances en mathématiques des enseignantes avec le temps est plus importante que dans d'autres classes, peut-être en raison d'une moindre exigence personnelle, institutionnelle et parentale.
PARTIE VI : COMMENT LES PROFESSEURS D'ECOLE
CONFIRMES DE REP PRENNENT-ILS EN COMPTE LES
INJONCTIONS INSTITUTIONNELLES
(EQUIPE DE ROUEN)
Nous avons rappelé précédemment que l'institution favorisait et soutenait les innovations pédagogiques proposées par les équipes de circonscription ou d'écoles. Nous allons dans ce chapitre relater l'histoire d'une "innovation" dans le cycle 3 d'une école de REP : la mise en place d'ateliers de jeux mathématiques. Nous avons choisi de présenter ce cas parce qu'il nous semble assez prototypique de ce qui se passe dans de nombreuses écoles et de nombreux collèges de REP, mais aussi de divers autres quartiers. De nombreux enseignants, de nombreux parents et même de nombreux média ont la conviction que si les mathématiques étaient enseignées de manière plus ludique, les élèves s'intéresseraient davantage à cette discipline. Cette conviction incite beaucoup d'enseignants à mettre en place des dispositifs variés : clubs, ateliers, rallyes, défis, concours... Il ne s'agit en aucun cas pour nous de critiquer ce point de vue auquel nous adhérons d'ailleurs en partie, mais de regarder comment certains dispositifs ne permettent pas d'atteindre les objectifs visés.

# 1. LA GENESE DU PROJET DES ENSEIGNANTES RELATIF A LA MISE EN PLACE D'ATELIERS DE JEUX MATHEMATIQUES

Les évaluations nationales dénotant dans l'école un faible niveau d'acquisition de connaissances mathématiques et de maîtrise de compétences élémentaires en mathématiques, les six enseignantes du cycle 3 et la directrice de l'école avaient décidé en 1997-98 de mettre en place des "ateliers de remédiation". Ces ateliers ont fonctionné sous forme de groupes de niveau mélangeant tous les élèves du cycle 3. Les exercices proposés étaient des reprises des exercices travaillés au cours des séances de mathématiques dans les différentes classes.

Le bilan de ces ateliers de remédiation, effectué par l'équipe d'enseignantes, fut réservé. Celles-ci notaient un certain nombre de points faibles relatifs aux problèmes de liaison entre les ateliers (d'où la quasi impossibilité à changer les élèves de groupe de niveau au cours de l'année), au problème des effectifs trop nombreux dans les niveaux faibles. Elles pointaient aussi des problèmes de gestion à l'intérieur même d'un groupe en raison des différences de niveau de classe des élèves, des problèmes de redondance avec les activités ordinaires et surtout la faible motivation des élèves.

Suite à ce bilan, les enseignantes pensèrent qu'il serait intéressant de proposer des "ateliers de remédiation" plus motivants sous forme d'ateliers de jeux mathématiques de type "jeux de société" et sollicitèrent notre accompagnement pour la mise en place de ce projet en 1998-99.

# 2. LES ATELIERS DE JEUX MATHEMATIQUES EN 1998 - 1999

Les objectifs des enseignantes étaient en priorité de remédier aux difficultés des élèves en mathématiques, de combler certaines lacunes (en mélangeant à nouveau les élèves des trois niveaux) et de motiver les élèves grâce à l'aspect ludique des activités proposées. Mais le choix de passer par des jeux de société était également argumenté plus ou moins implicitement par des objectifs transversaux notamment développer la socialisation, l'autonomie, l'entraide, le respect des autres, le respect des règles, des objets.

Plusieurs réunions de travail ont abouti à un certain nombre de décisions concernant à la fois le choix des thèmes sur lesquels porteraient les jeux (numération au premier trimestre, géométrie au second trimestre, logique et problèmes au troisième), l'organisation temporelle des différentes phases de conception et de fabrication des jeux, et l'organisation matérielle des ateliers de jeux.

En ce qui concerne la conception des jeux, à partir des propositions des élèves et éventuellement de leur enseignante, les enfants choisirait les valeurs numériques ou les propriétés géométriques, élaboreraient la règle du jeu, la rédigerait - ce qui permettrait un travail sur la langue - puis ils fabriqueraient les jeux (cartes et plateaux de jeu). Les jeux seraient ensuite testés dans la classe avant d'être proposés en ateliers jeux à tous les élèves du cycle.
Dans les six classes, des jeux ont été ainsi conçus, fabriqués et testés par les élèves puis proposés en atelier<fnref n="1" />.

Au cours de cette année 1998-1999, nous nous sommes tournées vers une étude plutôt "macroscopique" de ce qui se passait dans l'école sur un temps long autour des mathématiques. Il ne s'agissait pas d'utiliser un "zoom" mais un "grand angle". Nous avons recueilli ainsi :

- les notes personnelles des enseignantes relatives à la mise en place des séances de conception et de construction des jeux et leur analyse des compétences travaillées par les différents jeux. Ces notes nous apportent des informations sur la manière dont les enseignantes lient le travail en mathématiques lors des séances ordinaires et des séances consacrées à la conception des jeux.

- les jeux conçus et construits par les élèves. Leur analyse nous renseigne a posteriori sur les choix prioritaires des enseignantes, sur les notions mathématiques qui leur paraissent susceptibles d'être travaillées par des jeux, sur leurs attentes, sur leur degré d'exigence, sur leurs éventuelles lacunes en mathématiques ou sur les difficultés qu'elles rencontrent ou qu'elles évitent.

- les réponses des élèves à une évaluation conçue pour évaluer leurs compétences sur des items relatifs aux notions travaillées par les jeux. L'étude des réponses et des erreurs nous permet de repérer en partie l'impact des jeux sur les compétences des élèves.

- nos notes manuscrites prises pendant les séances de jeux en ateliers et pendant les séances de travail de l'équipe d'enseignantes. Les observations menées lors des séances de jeux nous renseignent en partie sur l'investissement des élèves, sur les procédures qu'ils mettent en œuvre, sur les modes de validation qu'ils utilisent. Les contenus des échanges entre les maîtres au cours des séances de travail de l'équipe nous donnent des informations sur les représentations des enseignantes sur leurs pratiques, sur les apprentissages, sur les mathématiques et leur enseignement.

# 3. QUELQUES RESULTATS<fnref n="2" /> APRES LA PREMIERE ANNEE

Les résultats présentés ici sont une synthèse des observations, de l'analyse des jeux et des résultats à une évaluation de fin d'année dont les questions reprenaient des items de différents jeux.

## 3.1.* Les jeux

Lorsque les enfants conçoivent eux-mêmes des jeux (élaboration des règles, choix des valeurs numériques, etc.), la phase de conception nous a semblé être une activité riche. Cette phase pourrait être susceptible de permettre aux élèves de développer une réelle réflexion mathématique et être sans doute assez facilement articulée avec la progression prévue par le maître.

Cependant nous notons un certain décalage entre les compétences que le maître souhaite développer chez ses élèves par le jeu et celles réellement nécessaires au bon déroulement du jeu effectif. Ainsi, par exemple, la phase de conception ne conduit pas toujours à une négociation avec les élèves de la fonction d'entraînement a priori assignée aux jeux. De ce fait, les valeurs numériques choisies par les élèves ne conviennent pas pour que cette fonction puisse être effective (beaucoup d'enfants proposent des calculs très difficiles pour "piéger" les joueurs<fnref n="3" /> ; lors du jeu effectif, ils n'ont plus du tout envie de faire ces calculs).

<footnote n="1">¹ Un compte-rendu détaillé de cette mise en œuvre est relaté dans la brochure "Géoloie et autres jeux mathématiques à l'école Clément Marot" diffusée par l'IREM de ROUEN et jointe en annexe.</footnote>

<footnote n="2">² Cf. article "L'extraordinaire dans la classe de mathématiques", Peltier Marie-Lise (2000) Actes du 27ème colloque de la COPIRELEM, Chamonix</footnote>

<footnote n="3">³ Dans un jeu de loto les enfants proposent par exemple le calcul de la différence 3146-1788.</footnote>
Nous avons relevé un certain nombre d'erreurs qui n'avaient pas été repérées par les enseignantes et qui traduisent chez elles des confusions ou des oublis dans le domaine de la géométrie<fnref n="4" />, mais également dans celui de la numération (confusions de vocabulaire, méconnaissance des propriétés caractéristiques des quadrilatères<fnref n="5" />, erreurs de raisonnement, etc.).

Les jeux géométriques, bien que variés du point de vue de la forme<fnref n="6" />, sont relativement pauvres au niveau des notions envisagées<fnref n="7" /> et du type de tâche à effectuer par les élèves au moment du jeu<fnref n="8" />.

Nous avons par ailleurs constaté que plusieurs jeux, notamment des jeux géométriques, peuvent se dérouler sans que les compétences prévues soient travaillées, sans que les connaissances visées soient investies.

## 3.2. * Les élèves et les jeux

Lors des phases de jeu, il est difficile de contrôler avec précision ce qui se passe. Certains enfants effectuent beaucoup de calculs ou réfléchissent intensément (souvent, ces enfants calculent pour tous les joueurs, vérifient, animent le jeu), mais d'autres restent très passifs intellectuellement même s'ils donnent l'impression de s'intéresser au jeu.

Les enfants sont relativement peu autonomes, ils jouent assez sérieusement quand un adulte est là, mais certains abandonnent très vite lorsqu'ils sont livrés à eux-mêmes. Très souvent les maîtres considèrent les situations de jeux comme motivantes pour les élèves. Or, très vite, les élèves ne sont pas dupes, ils mesurent rapidement que les stratégies à mettre en œuvre pour gagner nécessitent des connaissances ou des raisonnements très proches de ceux sur lesquels ils sont en échec dans des activités ordinaires ; tout se passe comme si l'enjeu, le désir de gagner, n'était pas suffisamment fort pour provoquer chez eux un effort cognitif coûteux nécessaire à la réussite de la tâche. Les interactions entre élèves peuvent exister, mais il n'y a pas de raison pour qu'un élève quitte son rôle de partenaire de jeu pour jouer au "petit maître" et donner des explications à celui qui ne comprend pas. Les modes de validation prévus lors de la conception (feuilles réponses, calculatrices, etc.) ne sont pas toujours utilisés par les enfants au cours du jeu effectif. Parfois le problème se règle assez bien entre les élèves, mais dans d'autres cas, lorsque les calculs sont plus difficiles, le groupe ne cherche pas à valider et un consensus se fait (souvent autour du leader), même si les résultats sont erronés.

Enfin, après l'attrait du nouveau, nous constatons une obsolescence rapide de l'intérêt des élèves : "on a déjà joué une fois, on ne veut plus jouer à ce jeu-là".

## 3.3. * jeux et apprentissage

La non homogénéité des connaissances des élèves lorsqu'ils conçoivent les jeux a un impact important sur les phases de jeux. Après échange entre groupes d'élèves dans une classe ou entre classes, les jeux conçus par les uns ne sont pas nécessairement adaptés aux élèves des groupes qui les reçoivent pour jouer. A l'inverse, des situations de communication induites par certains jeux géométriques<fnref n="9" /> qui devraient conduire à une certaine maîtrise du vocabulaire et de propriétés simples de figures usuelles se trouvent détournées de leur but. En effet, la

<footnote n="4">⁴ Question d'une enseignante : "les polygones qui ont plus de quatre côtés ont-ils des diagonales ?"</footnote>

<footnote n="5">⁵ Dans un jeu de portrait, on trouve "Je suis un quadrilatère, j'ai deux diagonales égales, qui suis-je ?" avec pour réponse "un rectangle".</footnote>

<footnote n="6">⁶ Ont été proposés des jeux de lotos, de dominos, de mémor et de nombreux jeux de questions avec un support de piste ou de quadrillage de type jeu du "trivial poursuite".</footnote>

<footnote n="7">⁷ La majorité des questions portent sur le vocabulaire.</footnote>

<footnote n="8">⁸ Les élèves ont généralement à répondre oralement à une question, ou bien à identifier oralement une figure dessinée sur la piste, à apparier deux formes identiques, ou deux formes symétriques, ou une figure géométrique et son nom, parfois ils ont à construire une figure dont le nom est donné.</footnote>

<footnote n="9">⁹ Jeu de questions avec un support de type "Qui est-ce ?".</footnote>
proximité cognitive et langagière des élèves leur permettent par exemple d'identifier correctement des figures en utilisant un discours imagé et des propriétés erronées. Du point de vue des apprentissages visés, l'évaluation faite en fin d'année montre un faible transfert des compétences développées par les jeux (conception et jeu effectif) dans des exercices traditionnels "papier crayon" et mettent en évidence de nombreuses confusions dans le vocabulaire géométrique et les propriétés des figures, comme si le flot de vocabulaire rencontré au cours des phases de jeu avait renforcé ces confusions.

L'étude précise de l'évaluation montre qu'un certain type de connaissances ne peuvent être renforcées dans les situations de jeux que pour des élèves les ayant au moins partiellement assimilées. Il s'agit de connaissances suffisamment complexes pour nécessiter des interventions régulières d'un adulte expert ; or dans le jeu, lorsqu'il y a hésitation d'un joueur, la réponse est généralement apportée par un autre joueur, pour accélérer le déroulement, sans qu'il y ait nécessairement justification (ainsi un élève peut terminer la partie et même gagner sans avoir répondu une seule fois).

Les ateliers jeux mis en place dans ces classes n'avaient pas pour objectif d'être le lieu d'acquisitions nouvelles, mais il semble qu'ils n'aient pas permis non plus à des élèves en difficulté d'améliorer leur réussite à des tâches non surmontées dans les séances ordinaires.

Nous relevons là une contradiction. Le professeur souhaite favoriser les apprentissages tout en développant des compétences transversales chez les élèves en difficulté. Pour cela il cherche des situations ludiques et mise sur les interactions entre les élèves. Mais si les connaissances nécessaires pour réussir la tâche suggérée par le jeu et pour échanger avec les pairs ne sont pas disponibles chez certains élèves, l'interaction didactique n'a pas lieu et finalement seuls les élèves pour lesquels les connaissances à utiliser sont suffisamment disponibles peuvent bénéficier de la situation et progresser.

# 4. ANALYSE DES EVALUATIONS

Les évaluations concernent le domaine numérique et le domaine géométrique. Nous avons distingué les niveaux de classes : une évaluation commune concerne les trois niveaux CE2, CM1 et CM2 avec deux classes par niveau, soit 89 élèves. Une autre évaluation concerne uniquement les 60 élèves des 4 classes de CM. Les items proposés sont en annexe. Ils reprennent bien souvent les questions que l'on trouve dans les jeux, valeurs numériques ou objets géométriques compris.

Nous proposons un bilan global par niveau de classe pour chacune des évaluations avec les pourcentages de réussite aux différents items et des erreurs les plus couramment rencontrées (voir annexe). Cette analyse nous permet de réfléchir aux conditions à prendre en compte pour que les jeux permettent d'améliorer les apprentissages.

## 4.1. Trois degrés dans les connaissances et savoir-faire mis en œuvre

Pour étayer notre analyse, nous considérons trois degrés de difficultés relatifs aux connaissances et savoir-faire mis en œuvre. Le terme de connaissances est considéré ici selon le sens que lui attribue André Rouchier<fnref n="10" />.

D'après cet auteur, c'est le savoir visé qui est directement concerné par l'installation du système didactique, qui va faire l'objet d'explicitations, dont on va installer les symboles, les règles de fonctionnement et d'utilisation. « La situation d'interaction contient un certain nombre d'éléments qui sont en rapport avec les objets qui permettent d'instrumenter des réponses, c'est-à-dire de faire évoluer certains éléments de cette situation (en même temps que l'interaction elle-même). Deux grandes catégories d'instruments peuvent être distingués,

<footnote n="10">¹⁰ André Rouchier, in « Recherches en didactique des mathématiques, vol. 16, n° 2, pp 177-196, 1996</footnote>
d'une part ceux qui sont nécessaires à l'entrée dans l'interaction ( mise en relation avec la situation), d'autre part ceux qui sont nécessaires à la prolongation de l'interaction et qui pour la plupart peuvent être lus comme des produits ou des résultats de l'interaction en ce sens ils sont spécifiques de cette interaction et de la situation qui la fonde (ou qui la définit). Ce sont ces instruments que nous aurons tendance à appeler *connaissances*. Il ressort de ces observations qu'un élève construit des connaissances qui ne sont pas toutes lisibles, pour accéder au savoir institué, le système didactique ayant pour rôle de faire évoluer le texte du savoir pour le rendre accessible à l'élève.

La classification que nous proposons devrait nous permettre de dégager les instruments permettant effectivement l'entrée dans l'interaction au cours des jeux, le maintien efficace dans cette interaction et éventuellement ceux pour lesquels l'interaction ne peut plus être efficace au sens où les changements cognitifs individuels attendus par l'enseignant (et éventuellement par l'élève) ne peuvent plus se produire du fait même des conditions liées au contexte.

## a) Niveau 1

Nous attribuons un niveau « 1 » aux connaissances factuelles. Ces connaissances peuvent être considérées comme des connaissances sociales dans une classe de cycle 3, soit parce qu'elles ne nécessitent que la mémorisation, soit parce que le cycle 2 a permis un entraînement suffisant. Elles sont facilement évaluables aussi bien par les maîtres que par les parents. Elles caractérisent le savoir scolaire selon la conception sociale usuelle. Elles recouvrent des éléments langagiers, des conventions, voire des habiletés. Elles s'acquiesrent au contact du milieu social de l'école aussi bien à l'oral qu'à l'écrit, et font partie des savoirs repérés par les Instructions Officielles. Ainsi, en numération, les élèves à l'entrée du cycle 3 doivent connaître la suite orale des nombres, leur écriture littérale et chiffrée, la signification de chacun des chiffres composant ce nombre, le nom des classes (unités, dizaines...). En calcul, ils doivent savoir additionner deux nombres mentalement, réaliser certaines multiplications de tête, ce qui suppose la connaissance des tables de multiplication.

En géométrie, les noms des objets géométriques usuels sont répertoriés dans ces textes officiels : cube, parallélépipède rectangle, carré, rectangle, losange, triangle, et les enfants apprennent à les identifier par simple perception visuelle. Le vocabulaire permettant de les décrire (sommet, côté, angles droits...) est mis en place dès le CE1.

Ces connaissances sont nécessaires car elles facilitent la communication. C'est à ce titre que les symboles usuels des opérations peuvent être considérés de niveau 1.

La tâche de l'élève dans ce niveau relève souvent de l'association : association entre calcul simple et résultat, écriture littérale ou chiffrée d'un nombre et nom de ce nombre, figure plane dessinée et nom, solide physique et nom de ce solide, position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre et nom de la classe, etc., sans oublier la production de faits mémorisés comme les tables de multiplication.

Si le maître du cycle 3 s'assure de la maîtrise de ces connaissances déclaratives et factuelles, il doit aussi être conscient du fait que leur disponibilité chez les élèves atteste qu'ils les ont rencontrées à un moment ou un autre de leur scolarité, mais ne garantit pas qu'ils en maîtrisent le sens.

Ainsi, nous pensons qu'associer à un nombre donné sa décomposition en chiffres des centaines, dizaines et unités, lorsque ces chiffres sont donnés dans le bon ordre dans une activité de jumelage ne garantit pas que cet élève donne du sens au terme dizaine, tout comme identifier un carré dans une position prototypique ne garantit pas la prise en compte des propriétés caractéristiques du carré.

De nombreux jeux d'association disponibles dans les ateliers mathématiques avaient pour
objectifs l'entretien ou le renforcement de ces connaissances : dominos et loto en sont des exemples usuels.

## b) Niveau 2

Nous attribuons un niveau 2 à des connaissances pouvant être construites à partir d'expériences. A l'issue de multiples interactions avec du matériel, l'élève accumule des savoirs et savoir-faire qu'il peut mettre en doute, tester, valider, sous le contrôle du maître. On pourrait les appeler connaissances instrumentales. Dans ce niveau, l'élève construit ses connaissances et ne les reçoit plus seulement comme des éléments à mémoriser et à restituer. Les connaissances factuelles du niveau 1 vont fonctionner comme des outils : les angles droits peuvent être repérés dans une multitude de figures planes et en particulier servent à construire un carré, mais aussi un rectangle.

Ces connaissances et savoir-faire se construisent sur une longue période au cours des séances ordinaires. Ils doivent faire l'objet d'évaluations régulières dans les classes et correspondent plus aux attentes des professionnels de l'éducation. La prise en compte des difficultés des élèves dans ces activités, les remédiations possibles ont fait l'objet de nombreuses recherches aussi bien en didactique des mathématiques qu'en psychologie cognitive.

Pour réussir une tâche sollicitant ces connaissances et savoir-faire, l'élève doit prendre appui sur des connaissances mémorisées du niveau « 1 », les mettre en action et planifier sa tâche.

Ainsi, en numération et calcul :

- La prise en compte des informations contenues dans l'écriture d'un nombre en terme de nombre de centaines, dizaines et/ou unités pour écrire ce nombre, ou résoudre un problème simple.

- L'utilisation de symboles mathématiques simples : <, >, = pour comparer des nombres ;

- La prise en compte des classes dans la décomposition d'un nombre pour l'identifier ;

- La construction et l'utilisation des algorithmes usuels pour effectuer des calculs ;

- ...

En géométrie, l'élaboration de la carte d'identité de figures planes ou de solides, relève de ce niveau « 2». L'enfant découvre ainsi des propriétés du carré relatives aux côtés, aux angles droits, au parallélisme. Les instruments de la géométrie sont là pour confirmer ou infirmer ses résultats. Il apprend à utiliser ces propriétés pour construire des figures simples. La mise en évidence d'un axe de symétrie ou la construction par pliage du symétrique d'une figure relève aussi de ce niveau 2.

D'autres savoir-faire peuvent relever de ce niveau :

- La prise en compte de la conjonction « et » dans une consigne ;

- La prise en compte de deux tâches dont une implicite : calculer pour comparer des nombres écrits à l'aide de décompositions diverses ou mettre en évidence une règle pour compléter une suite simple.

L'élève du point de vue méthodologique apprend ainsi à planifier sa tâche et s'approprie les conventions enseignées dans le niveau 1, commence à leur donner du sens, à accumuler des méthodes pour contrôler ses résultats. Les caractéristiques de ce niveau 2 supposent une prise de conscience du maître sur la nécessité de permettre à l'élève de construire ses connaissances par son activité. Elles s'opposent à un enseignement traditionnel et le degré d'importance que le maître leur accorde dans sa classe pourrait permettre de repérer ses conceptions de l'apprentissage. Compte tenu des nombreux réajustements qu'elles entraînent, elles exigent de la part du maître de véritables moments de synthèse, la prise en compte d'éléments issus de la recherche en didactique pour une évaluation efficace.

De nombreux jeux ont permis d'exploiter ce niveau 2 dans les ateliers.
### c) Niveau 3

Nous attribuons à ce niveau des connaissances et savoir-faire qui nécessitent un plus haut degré d'abstraction, connaissances favorisant l'initiation au raisonnement déductif. Dans ce niveau, les concepts ne sont plus isolés mais en relation avec d'autres. Ainsi, au niveau 2, on a appris à caractériser un carré par 4 côtés égaux et 4 angles droits. Il faut désormais pouvoir identifier, sans le voir, le quadrilatère qui a 4 côtés égaux et 4 angles droits. On sait que même pour certains adultes, un quadrilatère ayant 4 côtés égaux est un carré. Voilà pourquoi nous parlons d'initier l'élève au raisonnement.

De nombreuses compétences, aussi bien dans le domaine numérique que dans le domaine géométrique, au travers de la résolution de problème permettent de favoriser l'acquisition de ces connaissances et savoir-faire. Ces acquisitions se font sur un plus long terme, l'évaluation ici plus qu'ailleurs est formative.

En général, la tâche de l'élève est plus complexe. On souhaite développer chez lui la capacité à puiser dans ses connaissances les éléments utiles à la réussite de sa tâche, en croisant ces connaissances, en mettant en œuvre des procédures efficaces ainsi que des stratégies de contrôle de ses résultats. Parmi les items proposés, on peut citer quelques exemples relevant de ce niveau « 3 » :

- comparer deux nombres exprimés sous la forme d'une décomposition avec inversion de classes, et nécessitant une opération intermédiaire ;

- identifier un quadrilatère par la donnée de ses propriétés ;

- jeux de portrait en numération et en géométrie ;

- consignes comportant au moins deux implicites ;

- ...

Ces trois degrés de connaissances sont donc repérés non seulement en fonction de la tâche de l'élève, mais aussi en fonction du niveau d'autonomie des élèves qu'ils permettent en particulier dans les ateliers de jeux. Les connaissances de niveau « 1 » sont facilement évaluables, avons-nous dit, et la présence du maître n'est pas nécessaire dans la mesure où de nombreux jeux peuvent comporter des éléments d'auto-correction. Nous émettons l'hypothèse que seules des connaissances de niveau 1 peuvent être exploitées dans ces ateliers de jeu, dans le cas d'une organisation visant l'autonomie des élèves. Ce classement, qui n'est certainement pas exhaustif nous semble utile pour analyser les items proposés dans les jeux et repris dans l'évaluation dont nous faisons le compte-rendu. Il nous permet d'étayer notre réflexion sur les conditions favorables aux apprentissages dans les ateliers mathématiques d'un cycle 3.

## 4.2. Etude de quelques items proposés dans le domaine numérique

Dans l'évaluation proposée en numération, les élèves des trois niveaux ont massivement réussi à l'exercice 1 suivant.

♦ Exercice 1. Relie les deux écritures d'un même nombre.

•A)

<table><tr><td>76</td><td>Deux cent soixante-dix-huit</td><td>362</td></tr><tr><td>204</td><td>Quatre-vingt-cinq</td><td>429</td></tr><tr><td>85</td><td>Soixante-seize</td><td>714</td></tr><tr><td>430</td><td>Deux cent quatre</td><td></td></tr><tr><td>278</td><td>Quatre cent trente</td><td></td></tr></table>

•B)

$$4 + (7 \times 100) + (1 \times 10)$$ $$300 + 60 + 2$$ $$(4 \times 100) + (2 \times 10) + 9$$
•C)

<table><tr><td>2 × 8</td><td>35</td></tr><tr><td>5 × 7</td><td>28</td></tr><tr><td>7 × 4</td><td>16</td></tr><tr><td>6 × 6</td><td>36</td></tr></table>

Dans 1.B, la décomposition canonique de 714 comporte une difficulté supplémentaire à cause de l'inversion des classes, de plus le chiffre 4 apparaît dans deux nombres. Les élèves peuvent réussir la tâche sans remarquer cette difficulté après avoir repéré 429. Seul un élève sur les 89 a commis une erreur ici. On constate que quelques élèves répondent partiellement aux items. Associer une écriture multiplicative au produit correspondant (niveau 1) ne pose pas de difficulté majeure ici. Le taux de réussite élevé (supérieur à 80%) est conforme à nos attentes.

♦Exercice 2. Sur chaque ligne, entourez le nombre le plus grand puis mets le signe > ou <.

<table><tr><td>4 × 2</td><td>..................</td><td>3 × 3</td></tr><tr><td>5 × 7</td><td>..................</td><td>7 × 9</td></tr><tr><td>8 × 7</td><td>..................</td><td>55</td></tr><tr><td>300 + 50 + 2</td><td>..................</td><td>352</td></tr><tr><td>475 - 25</td><td>..................</td><td>225</td></tr></table>

Tâche de l'élève :

- calculer des produits, ou une somme ou une différence

- mémoriser les résultats ou les écrire et comparer

- entourer le nombre le plus grand

- mettre le signe adéquat

- éventuellement, mettre en œuvre la propriété permettant de comparer 2 écritures multiplicatives comportant un terme identique. Ici, l'exploitation de cette propriété nécessite que l'élève mette en œuvre la commutativité de la multiplication, mais la taille des nombres nous permet de penser que des élèves ne chercheront pas à l'appliquer, même s'ils la connaissent.

Ces éléments justifient le choix du niveau « 2 » de notre classification.

Les résultats :

Le signe « = » a volontairement été omis dans la consigne, ce qui n'a guère perturbé les élèves en ce qui concerne la comparaison de 300 + 50 + 2 et 352.

- Lecture de la consigne : La première partie « entourez » n'est pas prise en compte par 26 élèves sur les 89 soit près de 30 %.

- 17 élèves soit environ 20 % échouent à comparer les nombres faisant intervenir des écritures multiplicatives. Faute d'entretien avec ces élèves, nous ne pouvons qu'émettre des hypothèses sur les stratégies utilisées.

Dans un premier temps, on pourrait envisager la méconnaissance des tables ou de la propriété permettant de comparer deux écritures multiplicatives lorsque l'un des facteurs est identique.
Ici, en plus pour « 5 × 7 » et « 7 × 9 », les élèves doivent savoir que « 5 × 7 », c'est la même chose que « 7 × 5 ».

On pourrait aussi envisager que certains de ces élèves ignorent le sens des symboles < et >. Or nous avons pu constater que parmi ceux qui entourent le nombre le plus grand, les réponses erronées sont effectivement entourées. D'autre part, ces élèves réussissent souvent la comparaison d'autres nombres de l'exercice.

Alors qu'ils sont 15 sur 89 à échouer pour comparer « 4 × 2 » et « 3 × 3 », ils ne sont plus que 5 pour « 5 × 7 » et « 7 × 9 » et de nouveau 19 pour « 8 × 7 » et « 55 ».

Nous pensons que certains élèves comparent les deux premiers termes de chaque écriture entre eux. Ainsi, 4 > 3 donc 4 × 2 > 3 × 3. Cette stratégie réussit pour le deuxième couple puisque 5 < 7 et est de nouveau en échec pour la comparaison de 8 × 7 et 55.

Une autre hypothèse est que les enfants effectuent la somme des deux facteurs. Cependant dans la comparaison de « 4 × 2 » et « 3 × 3 », aucun ne met de signe « = ».

De plus, nous constatons que ces erreurs se retrouvent pratiquement dans les mêmes proportions dans les trois niveaux du cycle.

### ♦ Exercice 3. Complète chacune des 3 suites de nombres.

<table><tr><td>A)</td><td>0</td><td>3</td><td>6</td><td>9</td><td>12</td><td>15</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td></tr><tr><td>B)</td><td>48</td><td>44</td><td>40</td><td>36</td><td>32</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>16</td><td>12</td><td>--</td><td>--</td></tr><tr><td>C)</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>60</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td><td>--</td></tr></table>

### Tâche de l'élève :

- Identifier la règle en calculant mentalement.

- Appliquer cette règle pour compléter de proche en proche la suite.

Compter ou décompter de n en n fait partie des activités classiques en calcul mental dans les classes où celui-ci est pratiqué. Mais ici, la raison de la suite n'est pas signalée à l'élève. La présence de cette difficulté nous permet d'envisager un niveau « 2 » pour cet exercice.

### Les résultats

En CE2 et CM1, l'identification de la règle est mieux réussie lorsqu'il s'agit de compter de n en n, n = 3 ou 5 (plus de 90 % des élèves) que de décompter de 4 en 4 (environ 73 %).

D. Butlen et M. Pezard<fnref n="11" /> soulignent qu'en calcul mental, les élèves ont plus de mal pour décompter de n en n que pour compter, les erreurs les plus courantes se situant lors du passage d'une dizaine ou d'une centaine.

- En CE2 et CM1, des élèves ayant reconnu la raison ( - 4 ) font des erreurs de calcul (4 élèves sur 27 en CE2 et 4 sur 34 en CM1).

- Les autres élèves complètent cette liste en changeant la consigne. Ils reprennent la raison (+ 3 ) ou en créent une autre ( + 1, - 2, - 3, + 4 ), ce nouvel opérateur pouvant être appliqué sur une liste personnelle.

<footnote n="11">¹¹ D. Butlen, M. Pezard, calcul mental et résolution de problèmes multiplicatifs, R.D.M., Vol. 12, n°23, pp. 319-368, 1992</footnote>
♦ Exercice 4. Trouve parmi les nombres proposés celui qui convient :

<table><tbody><tr><td>• « J'ai 4 centaines 3 dizaines et 7 unités. Qui suis-je ? » ...</td><td>54</td><td>22</td><td>700</td></tr><tr><td>• « J'ai 15 dizaines et 7 unités. Qui suis-je ? »</td><td>157</td><td></td><td>70</td></tr><tr><td>• « J'ai 7 dizaines. Qui suis-je ? »</td><td>647</td><td>437</td><td>7</td></tr><tr><td>• « J'ai 5 dizaines et 14 unités. Qui suis-je ? »</td><td>64</td><td>473</td><td></td></tr></tbody></table>

Tâche de l'élève

- savoir interpréter des informations relatives à la numération en particulier aux aspects groupements et échanges : dizaine, centaine, nombre de centaines, de dizaines ou d'unités.

- effectuer des additions mentalement ou non.

- repérer parmi les nombres proposés celui qui correspond à ces informations.

Le niveau 2 est justifié par la présence de propositions de solutions permettant des réajustements.

Cet exercice reprend des expressions contenues dans un jeu conçu dans une classe de CE2.

Les résultats

- La première expression correspond à une connaissance de niveau « 1 » selon notre classement et conformément à nos attentes, son interprétation est massivement réussie par les élèves du cycle. Il en est de même pour 15 dizaines et 7 unités. Nous pensons que la présence des 3 chiffres composant le nombre 157 dans l'ordre de leur apparition dans l'écriture du nombre permet aux élèves de faire l'économie de la traduction de 15 dizaines en 150.

- Par contre, le taux d'échec augmente fortement lorsqu'il s'agit de retrouver le nombre correspondant à 7 dizaines : il est de 52 % en CE2, 65 % en CM1 et 43 % en CM2.

42 élèves sur les 89 soit un peu plus de 47 % associent 7 dizaines à 7, cette proportion se retrouvant dans toutes les classes : 44 % en CE2, 62 % et 32 % en CM1 et CM2 respectivement. Les autres réponses sont 700 pour 3 élèves, 64 ou 647 (2 et 2 élèves).

- Le taux d'échec est encore plus important pour l'expression 5 dizaines et 14 unités.

Ici la tâche des élèves est plus complexe. Non seulement il leur faut traduire 5 dizaines en 50 ou 14 unités en 1 dizaine et 4 unités, mais de plus, ils doivent effectuer une addition.

La présence de deux implicites nous permet d'envisager un niveau « 3 » de complexité. Si nous nous intéressons à leurs erreurs, nous notons que 27 élèves sur 89 donnent la réponse 54, présent dans les propositions, tandis que 19 autres sur les 89, dont 13 chez les CE2 répondent 514, absent des solutions proposées.

Dans l'ensemble des items, on trouve chez le même élève de CE2, les réponses 40037, 10057 ou 50014, nombres absents des listes. Cette erreur est courante au cycle 2 pour les nombres à 3 chiffres.
## Comparaison avec les items proposés aux élèves de CM.

Sur les items correspondant au niveau « 1 »

Les items 1.A, et 1.C suivants sont largement réussis.

♦ Exercice 1. Relie les deux écritures d'un même nombre

•A)

<table><tr><td>9003</td><td>Quarante-deux mille cinq cent trente-neuf</td></tr><tr><td>3070</td><td>Trois mille soixante-dix</td></tr><tr><td>42539</td><td>Neuf mille trois</td></tr></table>

•C)

<table><tr><td>7 × 8</td><td>42</td></tr><tr><td>9 × 6</td><td>54</td></tr><tr><td>9 × 8</td><td>56</td></tr><tr><td>7 × 6</td><td>72</td></tr></table>

- Items correspondant au niveau « 2 »

1•B)

<table><tr><td>41 027</td><td>(1 × 10) + 3 + (2 × 100) + (7 × 10 000)</td></tr><tr><td>7 234</td><td>4 + (3 × 10) + (2 × 100) + 7</td></tr><tr><td>70 213</td><td>(4 × 10 000) + (1 × 1 000) + (2 × 10) + 7</td></tr></table>

Dans 1.B, les élèves doivent s'assurer que les écritures proposées correspondent bien aux décompositions. Cet implicite n'est pas suggéré par la consigne et les données, du fait de la présence de trois couples. Les élèves pensent à une correspondance terme à terme. C'est ainsi que 39 élèves sur 60 soit 65 % des élèves associent les deux écritures veuves. On peut penser à une rupture de contrat didactique de notre part puisque dans ce genre d'exercice, à chaque élément d'un ensemble correspond toujours un élément du deuxième ensemble.

A ce niveau « 2 », nous faisons aussi correspondre les exercices 2 et 4.

♦ Exercice 2. Sur chaque ligne, entoure le nombre le plus grand puis mets le signe qui convient : < ou > .

<table><tr><td>51 × 1 000</td><td>5 172</td></tr><tr><td>100 + 1 500</td><td>15 100</td></tr><tr><td>(7 × 1000) - 1</td><td>6 000</td></tr></table>

- 26 élèves sur 60 soit plus de 43 % des élèves n'entourent pas le nombre le plus grand.

- 17 élèves soit près de 30 % de l'effectif considèrent que « 51 × 1000 » est inférieur à 5172.

- La même proportion d'élèves estime que « (7 × 1000) – 1 » est inférieur ou encore est égal à 6000, et que 100 + 1500 est supérieur ou égal à 15 100.

Comme signalé plus haut, les élèves connaissent le sens des symboles. En effet, soit ils
entourent la réponse erronée, soit ils réussissent partiellement l'exercice. Nous ne sommes pas certains non plus qu'une réponse correcte corresponde à une stratégie efficace. En effet, nous disposons de la trace écrite d'un élève de CM1 qui pose la multiplication de 1000 par 51, avec une absence de décalage. En trouvant 6000 au lieu de 51 000, il réussit à entourer le nombre le plus grand.

♦ Exercice 4. Cherche l'intrus qui s'est glissé dans la suite des multiples de 6 et entoure-le.

6 18 40
0 12 36
24 42 30
48

- L'exercice 4 montre que de nombreux élèves considèrent que 0 n'est pas un multiple de 6 (9 élèves). Près de la moitié des élèves de CM2 ne réussissent pas cet exercice, alors que l'un des jeux consistant à trouver des suites de multiples a été conçu dans ces classes.

Nous avons décidé d'attribuer le niveau « 3 » aux exercices 3 et 5 suivants.

♦ Exercice 3. Entoure dans la liste de nombres trois multiples de quatre qui se suivent.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
-- 23 24 --

♦ Exercice 5.

Trouve parmi les nombres proposés, celui qui convient.

J'ai 7 unités et 41 centaines. Qui suis-je ? ............ ............ 417 253 2413
J'ai 5 centaines 14 dizaines et 7 unités. Qui suis-je ? ............ ............ 5147 741
J'ai 24 dizaines et 13 unités. Qui suis-je ? ............ ............ 4107 647

Dans l'exercice 3, les élèves doivent savoir ce qu'est un multiple de 4. Ils doivent repérer dans la liste ordonnée trois de ces multiples. De plus ces multiples doivent se suivre. Il y a donc trois étapes explicitées à l'aide d'une phrase. D'où de nombreuses erreurs correspondant à une lecture partielle de la consigne.

15 élèves sur 60 (25%) entourent tous les multiples de 4 ou des multiples de 4 non consécutifs. Les autres entourent des multiples de 3, ou des multiples de 3 avec ceux de 4.

Ici, nous nous demandons si certaines réponses erronées ne correspondent pas à une méconnaissance du mot multiple : en effet, 8 élèves semblent entourer des nombres de n en n, avec n égal à 1, 2, 3 ou 4, à partir de 10 après avoir complété la liste. De plus 17 élèves (28% environ) ne fournissent pas de réponse. Or dans l'exercice 4, le terme multiple est utilisé.

Cependant dans cet exercice, des élèves peuvent remarquer que les nombres appartiennent à la table de 6 sans s'intéresser au vocabulaire. De plus cet exercice venant après l'exercice 3, les élèves ne reviennent pas en arrière pour corriger leur travail.

D'autre part, l'enseignante de l'une des classes de CM1 conseille habituellement à ses élèves de ne rien écrire lorsqu'ils ignorent la réponse.
Dans l'exercice 5, l'analyse menée plus haut confirme les résultats. Les élèves ne s'intéressent qu'aux chiffres, l'aspect groupement et échange est toujours ignoré par la quasi totalité des élèves de CM.

- A 7 unités et 41 centaines, 29 élèves sur les 60, soit près de 50%, font correspondre 417 ; 22 autres à 741 (37%), la répartition étant équitable entre les CM1 et les CM2.

- A 5 centaines, 14 dizaines et 7 unités, la réponse majoritaire est 5147 (94% des CM1 et 60% des CM2). Il en est de même pour 24 dizaines et 13 unités, où 2413 est la principale réponse. En fait, seul un élève de CM1 et un de CM2 réussissent à trouver les réponses exactes.

### 4.3. Etude de quelques items proposés en géométrie

Que nous apprennent ces évaluations ?

- Un objectif du cycle est de permettre aux élèves d'identifier les figures usuelles quelle que soit leur position. De nombreux jeux mettaient en œuvre cet objectif que nous classons au niveau « 1 ». C'est le cas de l'item 3.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

#### ♦ Exercice 3. Ecris le nom de chacune des figures ci-dessus.

##### Analyse de la tâche

L'exercice 3 suppose des connaissances de niveau « 1 » ou « 2 ». Dans le cas du cercle et du triangle, la perception visuelle suffit pour les identifier (niveau « 1 »). Par contre, la position non prototypique des quadrilatères peut nécessiter la vérification de certaines propriétés à l'aide d'instruments appropriés, soit des connaissances de niveau « 2 », connaissances qui doivent être interprétées convenablement pour identifier la figure.

##### Résultats

On relève des réponses parfois inattendues.

Pour le cercle, en dehors de « rond » proposé par 20 % des élèves du cycle dont une majorité de CE2, on trouve pentagone, parallélogramme, quadrilatère, losange, sphère, monde.

Pour le carré, le cube est la principale réponse erronée.

Pour le parallélogramme, on trouve : losange, rectangle, cube, triangle, pentagone, pavé, quadrilatère, trapèze, « parallépopithèque ».

Pour le rectangle : losange, cube, parallélogramme, carré, losange, pentagone, quadrilatère, trapèze.

Pour le triangle : pyramide, quadrilatère, losange, cube, rectangle, pentagone.

- Un autre objectif du cycle est de classer les figures usuelles par rapport au parallélisme, à la longueur des côtés, aux angles droits afin de les décrire ou de les construire. Nous classons cet objectif au niveau « 2 ». En effet, l'expérience peut confirmer ces propriétés. Ainsi un carré possède 4 côtés égaux et 4 angles droits.