encadrant $\hat{T}(z)^{58}$ négligé la contribution du terme $G_0(z)$ d'évolution libre sous la condition $|\mathbf{q}' - \mathbf{q}_0| \gg \Delta q$, et enfin posé $A_{\text{fi}}(E) = \langle \text{f} | \hat{T}(E + i\eta) | \text{i} \rangle$ avec l'état $|\text{i}\rangle \equiv |\phi : \mathbf{q}, \gamma : \mathbf{k} = \mathbf{k}' + \mathbf{q}' - \mathbf{q} \rangle$ d'énergie $E_i^{(0)}$ et $\eta \to 0^+$. Les préfacteurs du cosinus et du sinus cardinal sont des fonctions continues et bornées de $E_i^{(0)}$ ; on peut les remplacer par leur valeur au centre du paquet d'onde ($E_i^{(0)} \approx \bar{E}_i^{(0)}$) si leur échelle de variation $E_{\text{pref}}$ satisfait à la condition (voir la note 59)

$$ \frac{\hbar}{t} \gg \frac{\text{Var } E_i^{(0)}}{E_{\text{pref}}} \quad \text{avec } E_{\text{pref}} \approx \hbar c q_0 \quad \text{et} \quad \text{Var } E_i^{(0)} \approx (\hbar c \Delta q)^2 \qquad (\text{A.18}) $$

Ici $\bar{E}_i^{(0)}$ et $E_i^{(0)}$ sont la moyenne et la variance de $E_i^{(0)} \approx \hbar c q + \epsilon_{\mathbf{k}=\mathbf{k}'+\mathbf{q}'-\mathbf{q}}$ pour $\mathbf{q}$ distribué selon la loi gaussienne $c(\mathbf{q}, \mathbf{k}'+\mathbf{q}'-\mathbf{q})$. Dans le calcul de la moyenne du cosinus et du sinus cardinal sur la variable $\mathbf{q}$, la même condition (A.18) permet de supposer que $E_i^{(0)}$ aussi suit une loi gaussienne,<fnref n="59" /> auquel cas

$$ \left\langle \cos \frac{(E_i^{(0)} - E_f^{(0)}) t}{2\hbar} \right\rangle_{\mathbf{q}} = \exp[-t^2 \text{Var} E_i^{(0)} / 8\hbar^2] \cos \frac{(\bar{E}_i^{(0)} - E_f^{(0)}) t}{2\hbar} \qquad (\text{A.19}) $$

$$ \left\langle \frac{\sin \frac{(E_i^{(0)} - E_f^{(0)}) t}{2\hbar}}{E_i^{(0)} - E_f^{(0)}} \right\rangle_{\mathbf{q}} = \frac{(\pi/2)^{1/2}}{\Delta E_i^{(0)}} \exp \left[ - \frac{(E_f^{(0)} - \bar{E}_i^{(0)})^2}{2 \text{Var } E_i^{(0)}} \right] \text{Re} \Phi \left( \frac{\Delta E_i^{(0)}}{2\hbar\sqrt{2}} + i \frac{|E_f^{(0)} - \bar{E}_i^{(0)}|}{\sqrt{2}\Delta E_i^{(0)}} \right) \qquad (\text{A.20}) $$

$$ \approx \begin{cases} \frac{(\pi/2)^{1/2}}{\Delta E_i^{(0)}} \exp[-(E_f^{(0)} - \bar{E}_i^{(0)})^2 / 2 \text{Var } E_i^{(0)}] & \text{si } |E_f^{(0)} - \bar{E}_i^{(0)}| < t \text{Var } E_i^{(0)} / 2\hbar \\ \frac{\sin \frac{(\bar{E}_i^{(0)} - E_f^{(0)}) t}{2\hbar}}{\bar{E}_i^{(0)} - E_f^{(0)}} \exp[-t^2 \text{Var } E_i^{(0)} / 8\hbar^2] & \text{sinon} \end{cases} \qquad (\text{A.21}) $$

où $\Delta E_i^{(0)}$ est l'écart-type (racine carrée de la variance) et $\Phi(z) = (2/\sqrt{\pi}) \int_0^z du \exp(-u^2)$ est la fonction erreur.<fnref n="60" /> Choissons par exemple $\Delta q \propto \Delta k \propto q_0^3 \approx T^3$ (ce qui donne une précision suffisante sur $q$, voir la note 28) et un temps de diffusion $t \propto q_0^{-4}$, et faisons tendre $q_0$ et la température du gaz vers zéro à $k_0$ fixé. Alors les conditions (A.16) et (A.18) sont asymptotiquement vérifiées, et tout se passe comme si la matrice $S$ était donnée par l'expression

<footnote n="58">⁵⁸Dans l'approximation d'ordre deux en l'interaction, $\hat{T}(z) \approx \hat{V} + \hat{V}G_0(z)\hat{V}$, qui suffit ici, il est facile d'inclure la contribution des pôles $\epsilon_n$ de $\langle \text{f} | \hat{T}(z) | \text{i} \rangle$, ce qui ajoute entre les accolades de l'équation (A.17) la somme $\sum_{n=1}^4 (\epsilon_n - E_i^{(0)})^{-1}(\epsilon_n - E_f^{(0)})^{-1}Z_n \exp[-i t (\epsilon_n - ((E_i^{(0)} + E_f^{(0)})/2))/\hbar]$, où $\epsilon_1 = \epsilon_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^{(0)} = \epsilon_{\mathbf{k}'+\mathbf{q}'}^{(0)}$, $\epsilon_2 = \hbar\omega_{\mathbf{q}}^{(0)} + \hbar\omega_{\mathbf{q}'}^{(0)} + \epsilon_{\mathbf{k}-\mathbf{q}'}^{(0)}$, $\epsilon_3 = \hbar\omega_{\mathbf{q}'}^{(0)} + \hbar\omega_{\mathbf{q}+\mathbf{q}'}^{(0)} + \epsilon_4 = \hbar\omega_{\mathbf{q}'}^{(0)} + \hbar\omega_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}^{(0)}$ (soit les énergies des états intermédiaires des diagrammes b2 à b5 de la Figure 3) et les résidus de $\langle \text{f} | \hat{T}(z) | \text{i} \rangle$ associés $Z_n$ sont des fonctions régulières de $\mathbf{q}, \mathbf{q}', \mathbf{k}'$. Si l'on prend soin d'exclure dans les directions d'observation du phonon émergent un cône autour de la direction $\hat{\mathbf{q}}_0$ du phonon incident, c'est-à-dire d'imposer $|\hat{\mathbf{q}}' \cdot \hat{\mathbf{q}}_0| < \cos\theta_c$ avec $0 < \cos\theta_c < 1$ fixé, pour éviter que le processus de Beliaev dans le terme $\mathcal{T}_4$ ou celui de Landau dans $\mathcal{T}_5$ soit résonnant, on trouve toujours que les différences d'énergie $|\epsilon_n - E_i^{(0)}|$ et $|\epsilon_n - E_f^{(0)}|$ sont approximativement supérieures à $\hbar c q$ ou $\hbar c q'$, et l'on a toujours $\hbar c q/2 \lesssim |\epsilon_n - (E_i^{(0)} + E_f^{(0)})/2|$. La contribution des pôles de $\langle \text{f} | \hat{T}(z) | \text{i} \rangle$ est donc une fonction oscillante du temps, que la moyenne sur $\mathbf{q}$ écrase et rend négligeable par un facteur gaussien en temps $\approx \exp[-(c\Delta q t)^2/2]$, tout comme dans l'équation (A.19).</footnote>

<footnote n="59">⁵⁹Supposons pour simplifier que la quasi-particle $\gamma$ est fortement subsonique, $|v_{\mathbf{k}'}/c| \ll 1$, et développons le déphasage pendant $t$ en puissances des fluctuations $\delta\mathbf{q} = \mathbf{q} - \tilde{\mathbf{q}}$, $[E_i^{(0)} - \bar{E}_i^{(0)}]t/\hbar = c t \hat{\mathbf{q}}_0 \cdot \delta\mathbf{q} + O(ct(\delta q)^2/q_0)$. Le terme linéaire a une distribution gaussienne ; le $O$ est non gaussien mais négligeable sous la condition (A.18). Inversement, si $E_i^{(0)}$ est une variable gaussienne, il est facile d'obtenir la condition (A.18) de variation négligeable des préfacteurs dans (A.17), en supposant que ces derniers varient linéairement avec $E_i^{(0)}$.</footnote>

<footnote n="60">⁶⁰On fait apparaître la fonction erreur en utilisant $\sin x/x = \int_{-1}^{1} du e^{iux}/2$ et en intervertissant les intégrations sur $u$ et sur l'énergie. Les formes approchées dans (A.21) découlent du comportement asymptotique de la fonction erreur dans le premier quadrant : si $z = \rho \exp(i\theta)$ et que $\rho$ tend vers $+\infty$ à $\theta$ fixé, alors $\Phi(z) \sim 1$ si $\theta \in [0, \pi/4]$ et $\Phi(z) \sim -\exp(-z^2)/(z\sqrt{\pi})$ si $\theta \in ]\pi/4, \pi/2[$.</footnote>
habituelle $\langle \text{f} | S | i \rangle = \langle \text{f} | i \rangle - 2i\pi \langle \text{f} | \hat{T} (E_i^{(0)} + i\eta) | i \rangle \delta(E_f^{(0)} - E_i^{(0)})$ : c'est évident pour le premier cas de l'équation (A.21), que l'on peut retrouver par la substitution habituelle $\sin(\epsilon t/2\hbar)/\epsilon \to \pi\delta(\epsilon)$; le second cas de (A.21) et l'équation (A.19) ne correspondent pas à un Dirac de conservation de l'énergie mais ceci importe peu car ils sont exponentiellement supprimés. Comme le temps de diffusion $t$ est infiniment plus court que la durée de vie $\approx q_0^{-5}$ des phonons incident et émergent, on peut à juste titre négliger leur instabilité de Beliaev, c'est-à-dire leur émission réelle plutôt que virtuelle de phonons, dans le calcul de l'amplitude de diffusion sur une quasi-particule $\gamma$ à l'ordre dominant en $q$.

**Diffusion dans la matière.** Comme la diffusion du phonon **q** sur la quasi-particule $\gamma$ se produit en fait dans un gaz thermique de phonons, il semble incorrect, pour les applications de la Section 4, de calculer l'amplitude de diffusion dans le vide et de ne pas tenir compte de l'émission stimulée des phonons internes des diagrammes b4 et b5 de la Figure 3 dans les modes de vecteurs d'onde **q**–**q'** et **q'**–**q** déjà peuplés. À première vue, il faudrait donc corriger les deux derniers termes du résultat (23) comme suit :

$$ \mathcal{T}_4 \xrightarrow{?} (1 + \tilde{n}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'} ) \mathcal{T}_4 \quad \text{et} \quad \mathcal{T}_5 \xrightarrow{?} (1 + \tilde{n}_{\mathbf{q}'-\mathbf{q}} ) \mathcal{T}_5 \qquad (A.22) $$

où les $\tilde{n}$ sont les nombres moyens d'occupation des modes. Mais, si les modes $\mathbf{q}-\mathbf{q}'$ et $\mathbf{q}'-\mathbf{q}$ sont déjà peuplés, il faut tenir compte du fait que des phonons de ces modes peuvent participer transitoirement à la diffusion (ils doivent rester en nombres égaux dans l'état initial et dans l'état final). Ceci introduit deux nouveaux diagrammes. Le premier, d'amplitude $\mathcal{T}'_4 \tilde{n}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}$, décrit l'absorption d'un phonon $\mathbf{q}-\mathbf{q}'$ par la quasi-particule $\gamma$ de vecteur d'onde $\mathbf{k}$ (ce qui la fait passer directement dans son état final $\mathbf{k}'$), puis la désintégration de Beliaev du phonon incident $\mathbf{q}$ en deux phonons $\mathbf{q}'$ et $\mathbf{q}-\mathbf{q}'$, qui fournit le phonon final attendu et rétablit le mode $\mathbf{q}-\mathbf{q}'$ dans son nombre d'occupation initial. Le second, d'amplitude $\mathcal{T}'_5 \tilde{n}_{\mathbf{q}'-\mathbf{q}}$, décrit la fusion de Beliaev du phonon incident $\mathbf{q}$ avec un phonon $\mathbf{q}'-\mathbf{q}$ (ce qui fournit le phonon final $\mathbf{q}'$), suivie de l'émission d'un phonon $\mathbf{q}'-\mathbf{q}$ par la quasi-particule $\gamma$ de vecteur d'onde $\mathbf{k}$, ce qui la fait passer directement dans son état final $\mathbf{k}'$ et repeuple le mode $\mathbf{q}'-\mathbf{q}$ à l'identique. Aucun de ces nouveaux diagrammes n'est connexe, et ce sont les seuls possibles à l'ordre dominant. La bonne correction à appliquer à (23) est donc

$$ \mathcal{T}_4 \rightarrow (1 + \tilde{n}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'} ) \mathcal{T}_4 + \tilde{n}_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'} \mathcal{T}'_4 \quad \text{et} \quad \mathcal{T}_5 \rightarrow (1 + \tilde{n}_{\mathbf{q}'-\mathbf{q}} ) \mathcal{T}_5 + \tilde{n}_{\mathbf{q}'-\mathbf{q}} \mathcal{T}'_5 \qquad (A.23) $$

Sur l'équation (27)[(28)], on constate que $\mathcal{T}'_4 (\mathcal{T}'_5)$ a le même numérateur que $\mathcal{T}_4 (\mathcal{T}_5)$, que son dénominateur d'énergie $\epsilon_k^{(0)} + \hbar\omega_{\mathbf{q}-\mathbf{q}'}^{(0)} - \epsilon_{\mathbf{k}'}^{(0)} (\hbar\omega_{\mathbf{q}}^{(0)} + \hbar\omega_{\mathbf{q}'-\mathbf{q}}^{(0)} - \hbar\omega_{\mathbf{q}'}^{(0)})$ est en général sans rapport avec celui de $\mathcal{T}_4 (\mathcal{T}_5)$, sauf sur la couche d'énergie (21) où il en est l'exact opposé et où $\mathcal{T}'_4 = -\mathcal{T}_4 (\mathcal{T}'_5 = -\mathcal{T}_5)$. Les nombres d'occupation dans la forme corrigée (A.23) se compensent alors exactement,<fnref n="61" /> et le résultat (23) établi dans le vide vaut aussi dans la matière.

## Annexe B. Calcul de la diffusion spatiale à basse température par le théorème de régression

L'équation (86) donne un équivalent à basse température du coefficient de diffusion spatiale de la quasi-particule $\gamma$ dans un gaz de phonons. Dans le cas où la relation de dispersion $\epsilon_k$ de la quasi-particule atteint son minimum en un nombre d'onde $k_0 > 0$, la justification qu'en fournit le texte principal, à l'aide d'un modèle stochastique de Langevin minimal, n'est pas pleinement convaincante. Nous présentons ici une démonstration basée sur le théorème de régression et

<footnote n="61">⁶¹Une compensation similaire apparaît dans la référence [26].</footnote>
sur un développement systématique à basse température de la solution de l'équation de Fokker-Planck correspondante. Nous justifions aussi l'expression (86) dans la zone de transition entre le cas $k_0 \equiv$ et le cas $k_0 > 0$, qui doit faire l'objet d'un traitement à part.

**Théorème de régression.** La connaissance du coefficient de diffusion spatiale passe par celle de la fonction de corrélation $C_{ij}(\tau)$ des coordonnées du vecteur vitesse dans l'état stationnaire, voir les équations (80), (81), (82), (83). Par isotropie, nous nous limitons au calcul de $C_{zz}(\tau)$, $\tau \ge 0$. Dans le cadre de Fokker-Planck, nous disposons alors du théorème de régression suivant :

$$C_{zz}(\tau) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\hbar} \frac{d\epsilon_k}{dk} \hat{k}_z \Pi(\mathbf{k}, \tau) \qquad (B.1)$$

où la distribution $\Pi(\mathbf{k}, \tau)$ a évolué pendant $\tau$ selon l'équation de Fokker-Planck (50) à partir de la condition initiale

$$\Pi(\mathbf{k}, 0) = \frac{1}{\hbar} \frac{d\epsilon_k}{dk} \hat{k}_z \Pi_0(k) \qquad (B.2)$$

avec $\Pi_0(k)$ la solution stationnaire normalisée, invariante par rotation, de cette même équation (50), et $\hat{k}_z = k_z/k$. Comme $\Pi(\mathbf{k}, \tau)$ est de moment cinétique un, porté par l'axe Oz, nous pouvons poser $\Pi(\mathbf{k}, \tau) = \Pi_1(k, \tau) \hat{k}_z$ et obtenir l'équation du mouvement

$$\frac{\partial}{\partial \tau} \Pi_1(k, \tau) = - \frac{2F(k)\Pi_1(k, \tau)}{\hbar k} - \frac{1}{\hbar} \frac{\partial}{\partial k} [F(k)\Pi_1(k, \tau)] + \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2}{\partial k^2} [D(\parallel k)\Pi_1(k, \tau)] \\ + \frac{1}{\hbar^2 k} \frac{\partial}{\partial k} \{[4D(\parallel k) - 2D_{\perp}(k)]\Pi_1(k, \tau)\} + \frac{1}{\hbar^2 k^2} [2D(\parallel k) - 4D_{\perp}(k)]\Pi_1(k, \tau) \quad (B.3)$$

L'équation (72) permettrait d'exprimer $\Pi_0(k)$ en termes de la force moyenne $F(k)$ et des coefficients de diffusion en impulsion $D_{\parallel, \perp}(k)$. Nous trouvons plus éclairant de l'écrire sous la forme $\Pi_0(k) = \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k)/Z$, où $Z$ est un facteur de normalisation, et d'éliminer au contraire la force $F(k)$ au profit de la relation de dispersion effective $\tilde{\epsilon}_k$. Comme nous l'apprend d'ailleurs la comparaison des équations (72), (73), celle-ci est soumise à la contrainte $\tilde{\epsilon}_k - \epsilon_k = O(T^2)$ lorsque $T \to 0$ avec $k - k_0 = O(T^{1/2})$, donc on peut, comme la vraie relation de dispersion $\epsilon_k$, la développer autour de la position $\tilde{k}_0$ de son minimum (par convention égal à $\Delta_*$), nulle si $k_0 \equiv 0$, dépendant de la température mais très proche de $k_0$ si $k_0 > 0$, avec des coefficients dépendant eux aussi faiblement de la température :$^{62}$

$$\tilde{\epsilon}_k = \Delta_* + \frac{\hbar^2(k - \tilde{k}_0)^2}{2\tilde{m}_*} + \frac{\hbar^2(k - \tilde{k}_0)^3\tilde{b}}{3\tilde{m}_*} + \frac{\hbar^2(k - \tilde{k}_0)^4\tilde{\ell}^2}{4\tilde{m}_*} + O(k - \tilde{k}_0)^5 \quad (B.4)$$

En d'autres termes, il ne faut pas croire aux prédictions tirées de l'équation de Fokker-Planck (une approximation de l'équation maîtresse (47) dans la limite (3)) si elles dépendent du faible écart entre les masses effectives $m_*$ et $\tilde{m}_*$, entre les longueurs $b$ et $\tilde{b}$, entre les nombres d'onde minimiseurs $k_0$ et $\tilde{k}_0$, ou de la longueur $\tilde{\ell}$ ou des coefficients d'ordre supérieur dans le développement (B.4). Effectuons une dernière transformation : l'opérateur sur les fonctions de $k$ défini par le second membre de l'équation (B.3) n'est pas autoadjoint, mais peut l'être rendu par le changement de fonction $\Pi_1(k) = k^{-1} \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k/2) \psi(k)$. Après intégration temporelle formelle,

<footnote>$^{62}$ Si l'on admet que l'amplitude de diffusion $\phi-\gamma$ (31) possède un développement en puissances entières de $q$ à $k$ fixé, alors $F(k), D_{\parallel, \parallel}(k)$ et $\tilde{\epsilon}_k$ possèdent un développement en puissances entières de $T$ à $k$ fixé, et l'on a $\tilde{k}_0/k_0 = 1 + O(T^2)$, $\tilde{m}_*/m_* = 1 + O(T)$, $\tilde{b}/b = 1 + O(T)$, $\tilde{\ell}/\ell = O(1)$.</footnote>
nous aboutissons pour $\tau \ge 0$ à la belle écriture (le facteur 3 au dénominateur vient de l'intégration angulaire) :

$$
C_{zz}(\tau) = \frac{\langle \psi_S | \exp(-\mathcal{H}_1 \tau) | \psi_S \rangle}{3\hbar^2 \int_0^{+\infty} dk k^2 e^{-\beta \tilde{\epsilon}_k}} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{|\langle \psi_S | \phi_n \rangle|^2 e^{-\omega_n t}}{3\hbar^2 \int_0^{+\infty} dk k^2 e^{-\beta \tilde{\epsilon}_k}} \quad \text{avec} \quad
\begin{cases}
\mathcal{H}_1 = -\frac{d}{dk} \frac{D_{\parallel}(k)}{\hbar^2} \frac{d}{dk} + U_1(k) \\
\langle k | \psi_S \rangle = k \frac{d\epsilon_k}{dk} e^{-\beta \tilde{\epsilon}_k / 2}
\end{cases}
\tag{B.5}
$$

Nous avons introduit la décomposition spectrale du hamiltonien fictif $\mathcal{H}_1$ autoadjoint pour le produit scalaire unidimensionnel $\langle\phi_a|\phi_b\rangle = \int_0^{+\infty} dk \phi_a^*(k)\phi_b(k)$, l'état propre $|\phi_n\rangle$ de valeur propre $\omega_n$ étant normalisé. Le potentiel vaut

$$
U_1(k) = \frac{1}{\hbar^2} \left[ \frac{1}{4} D_{\parallel}(k) \left( \beta \frac{d\tilde{\epsilon}_k}{dk} \right)^2 - \frac{1}{2} D_{\parallel}(k) \beta \frac{d^2\tilde{\epsilon}_k}{dk^2} - \frac{1}{2} \frac{dD_{\parallel}(k)}{dk} \beta \frac{d\tilde{\epsilon}_k}{dk} - \frac{D_{\parallel}(k)}{k} \beta \frac{d\tilde{\epsilon}_k}{dk} + \frac{1}{k} \frac{dD_{\parallel}(k)}{dk} + \frac{2D_{\perp}(k)}{k^2} \right] \quad \text{(B.6)}
$$

Dans le cas $k_0 > 0$. Pour prendre la limite de basse température dans le cas $k_0 > 0$, nous effectuons un changement d'échelle adapté sur le vecteur d'onde et le temps en posant $k - \tilde{k}_0 = xk_*$, $\tau = \tilde{\tau}/\tilde{\Gamma}$, et donc $\mathcal{H}_1 = \tilde{\mathcal{H}}_1 \tilde{\Gamma}$, $\omega_n = \tilde{\omega}_n \tilde{\Gamma}$ et $\phi_n(k) = k_*^{-1/2} \tilde{\phi}_n(x)$, avec le nombre d'onde thermique $k_* = (\tilde{m}_* k_B T)^{1/2}/\hbar$ et le taux $\tilde{\Gamma} = D_{\parallel}(\tilde{k}_0)/(\tilde{m}_* k_B T)$ construit sur le modèle du taux $\Gamma$ de l'équation (88). Il reste à développer $\tilde{\mathcal{H}}_1$ en puissances de $k_*$ à x fixé (x décrit $\mathbb{R}$ dans cette limite), puis à traiter les ordres successifs par la théorie des perturbations :

$$
\tilde{\mathcal{H}}_1 = - \frac{d}{dx} \frac{D_{\parallel}(\tilde{k}_0 + xk_*)}{D_{\parallel}(\tilde{k}_0)} \frac{d}{dx} + \frac{\hbar^2 k_*^2}{D_{\parallel}(\tilde{k}_0)} U(\tilde{k}_0 + xk_*) \underset{k_* \to 0}{\stackrel{x \text{fixé}}{=} \tilde{\mathcal{H}}_1^{(0)} + \tilde{\mathcal{H}}_1^{(1)} + \tilde{\mathcal{H}}_1^{(2)} + \dots} \quad (B.7)
$$

On aura besoin aussi de développer la fonction d'onde source à l'ordre sous-dominant et le dénominateur de $C_{zz}(\tau)$ dans l'équation (B.5) à l'ordre dominant :

$$
\begin{align}
\langle k | \psi_S \rangle &\stackrel{x \text{fixé}}{=} \frac{\hbar^2 \tilde{k}_0 k_*}{\tilde{m}_*} e^{-\beta \Delta_* / 2} x e^{-x^2 / 4} \left[ 1 + x \left( \frac{k_*}{\tilde{k}_0} + k_* \tilde{b} \right) - \frac{1}{6} k_* \tilde{b} x^3 + O(k_*^2) \right], \tag{B.8} \\
\int_0^{+\infty} dk \, k^2 e^{-\beta \tilde{\epsilon}_k} &\sim \tilde{k}_0^2 k_* e^{-\beta \Delta_*} \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, x e^{-x^2 / 2} \nonumber
\end{align}
$$

À l'ordre zéro en $k_*$, on tombe sur un hamiltonien d'oscillateur harmonique unidimensionnel réduit (masse égale à 1/2, constante de Planck réduite égale à 1, pulsation d'oscillation égale à 1) et de spectre $\tilde{\omega}_n^{(0)} = n$ :

$$
\tilde{\mathcal{H}}_1^{(0)} = - \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{2} = \hat{a}^\dagger \hat{a} \quad \text{avec} \quad \hat{a} = \frac{1}{2} x + \frac{d}{dx} \hat{a}^\dagger = \frac{1}{2} x - \frac{d}{dx} \hat{a}, \quad [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 \quad (B.9)
$$

À l'ordre dominant, la fonction d'onde source est donc proportionnelle à la fonction d'onde $\tilde{\phi}_1^{(0)}(x)$ du premier état excité de l'oscillateur harmonique. La contribution des états excités $n > 0$ dans l'équation (B.5) est ainsi dominée par $n = 1$ et l'on garde

$$
C_{zz}^{n \neq 0}(\tau) \stackrel{\text{fixé}}{\sim} \frac{k_B T}{3 \tilde{m}_*} e^{-\tilde{\tau}} \quad (B.10)
$$

On justifie ainsi le premier terme entre crochets dans l'équation (85), compte tenu de la note 62. La contribution de $n = 0$ est plus délicate à obtenir. En effet, le recouvrement de $\psi_S$ avec l'état fondamental $\tilde{\phi}_0$ est nul à l'ordre de $\tilde{\mathcal{H}}_1^{(0)}$, comme la pulsation propre $\omega_0$ de l'état fondamental, ce qui conduit à une forme indéterminée 0/0 après intégration de $C_{zz}(\tau)$ sur le temps comme dans l'équation (83). Il faut aller à l'ordre un en $k_*$ pour obtenir un recouvrement non nul,
$$
\begin{align*}
\mathcal{H}_1^{(1)} &= k_* \frac{d D_{\parallel}^2}{d k} (\tilde{k}_0) \left( -\frac{d}{d x} x \frac{d}{d x} + \frac{1}{4} x^3 - x \right) + k_* \tilde{b} \left( \frac{1}{2} x^3 - x \right) - \frac{k_*}{\tilde{k}_0} x \\
&= \left( \frac{k_* \frac{d D_{\parallel}^2}{d k} (\tilde{k}_0)}{D_{\parallel} (\tilde{k}_0)} + \frac{3}{2} k_* \tilde{b} \right) (\hat{a}^{\dagger 2} \hat{a} + \hat{a}^{\dagger} \hat{a}^2) + \frac{1}{2} k_* \tilde{b} (\hat{a}^{\dagger 3} + \hat{a}^3) + \left( \frac{1}{2} k_* \tilde{b} - \frac{k_*}{\tilde{k}_0} \right) (\hat{a} + \hat{a}^{\dagger}) \\
&\Rightarrow |\tilde{\phi}_0\rangle_{k_* \to 0} = |\tilde{\phi}_0^{(0)}\rangle - \left( \frac{1}{2} k_* \tilde{b} - \frac{k_*}{\tilde{k}_0} \right) |\tilde{\phi}_1^{(0)}\rangle - \frac{k_* \tilde{b}}{\sqrt{6}} |\tilde{\phi}_3^{(0)}\rangle + O(k_*^2) \\
&\Rightarrow \frac{|\langle \psi_S | \phi_0 \rangle|^2}{3 \hbar^2 \int_0^{+\infty} d k \, k^2 e^{-\beta \tilde{\epsilon}_k}} \sim \frac{k_B T}{3 \tilde{m}_*} \left( \frac{2 k_*}{\tilde{k}_0} \right)^2 \tag{B.11}
\end{align*}
$$

et à l'ordre deux en $k_*$ pour obtenir une pulsation propre non nulle dans l'état fondamental :

$$
\begin{align}
\mathcal{H}_1^{(2)} &= \frac{k_*^2 \frac{d^2 D_{\parallel}^2}{d k^2} (\tilde{k}_0)}{2 D_{\parallel} (\tilde{k}_0)} \left[ -\frac{d}{d x} x^2 \frac{d}{d x} + \frac{1}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 \right] + \frac{k_*^2 \frac{d D_{\parallel}^2}{d k} (\tilde{k}_0)}{D_{\parallel} (\tilde{k}_0)} \left[ \frac{\tilde{b}}{2} (x^4 - 3x^2) + \frac{1 - x^2}{\tilde{k}_0} \right] \nonumber \\
&\quad + \frac{1}{4} k_*^2 \tilde{b}^2 x^4 + \frac{1}{2} k_*^2 \tilde{\ell}^2 (x^4 - 3x^2) + \frac{k_*^2}{\tilde{k}_0^2} (1 - \tilde{k}_0 \tilde{b}) x^2 + \frac{2 k_*^2 D_{\perp} (\tilde{k}_0)}{\tilde{k}_0^2 D_{\parallel} (\tilde{k}_0)} \nonumber \\
&\Rightarrow \tilde{\omega}_0 \sim \tilde{\omega}_0^{(0)} \langle \tilde{\phi}_0^{(0)} | \mathcal{H}_1^{(2)} | \tilde{\phi}_0^{(0)} \rangle + \sum_{n>0} \frac{|\langle \tilde{\phi}_n^{(0)} | \mathcal{H}_1^{(1)} | \tilde{\phi}_0^{(0)} \rangle|^2}{-n} = \frac{2 k_*^2 D_{\perp} (\tilde{k}_0)}{\tilde{k}_0^2 D_{\parallel} (\tilde{k}_0)} \tag{B.12}
\end{align}
$$

sachant que $\langle x^2 \rangle = 1$, $\langle x^4 \rangle = 3$ et $\langle (d/dx)x^2(d/dx) \rangle = -3/4$ où la moyenne est prise dans $|\tilde{\phi}_0^{(0)}\rangle$. On justifie ainsi le second terme entre crochets dans l'équation (85) et donc, au total, l'équivalent (86) du coefficient de diffusion spatiale.<fnref n="63" />,<fnref n="64" />

<footnote n="63">⁶³Il existe une façon rapide et élégante de retrouver ces résultats. En restreignant l'équation de Fokker-Planck dépendant du temps aux distributions invariantes par rotation, puis en appliquant le même changement de fonction qu'à $\Pi_1(k)$, on fait apparaître le hamiltonien fictif autoadjoint $\mathcal{H}_0$. Dans ce secteur isotrope, l'équation de Fokker-Planck admet une solution stationnaire non nulle $\Pi_0$. L'état fondamental $|\psi_0\rangle$ de $\mathcal{H}_0$ est donc connu, $\psi_0(k) = \mathcal{N}_0 k \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k / 2)$ avec $\mathcal{N}_0 = \int_0^{+\infty} dk \, k^2 \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k)^{1/2}$, et sa valeur propre est exactement nulle. Or, le calcul le montre, on a simplement $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_0 + 2D_{\perp}(k)/(\hbar k)^2$, si bien que $\mathcal{H}_1$ diffère de $\mathcal{H}_0$ par un terme du second ordre $2k_*^2 D_{\perp}(\tilde{k}_0 + xk_*) / [D_{\parallel}(\tilde{k}_0)(\tilde{k}_0 + xk_*)^2]$. L'état fondamental de $\mathcal{H}_1$ coïncide donc avec $|\psi_0\rangle$ à l'ordre sous-dominant, et l'on a $\langle \psi_S | \phi_0 \rangle \sim \langle \psi_S | \psi_0 \rangle$; au même ordre, on peut remplacer $\epsilon_k / dk$ par $\tilde{\epsilon}_k / dk$ dans $\langle k | \psi_S \rangle$. Une simple intégration par parties (il faut intégrer $(d\tilde{\epsilon}_k / dk) \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k)$ et dériver $k^2$), puis le remplacement des facteurs lentement variables $k$ au numérateur et $k^2$ au dénominateur par $\tilde{k}_0$ et $\tilde{k}_0^2$, redonnent alors l'équivalent du recouvrement de l'équation (B.11). De même, à l'ordre dominant, la pulsation propre $\omega_0$ de l'état fondamental de $\mathcal{H}_1$ s'obtient en traitant l'écart de $\mathcal{H}_1$ à $\mathcal{H}_0$ au premier ordre de la théorie des perturbations, $\omega_0 \sim \langle \psi_0 | 2D_{\perp}(k) | (\hbar k)^2 | \psi_0 \rangle = \int_0^{+\infty} dk \, 2D_{\perp}(k) \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k) / \int_0^{+\infty} dk \, (\hbar k)^2 \exp(-\beta \tilde{\epsilon}_k)$. En approximant les facteurs lentement variables $2D_{\perp}(k)$ et $(\hbar k)^2$ par leur valeur en $\tilde{k}_0$, on retrouve l'équivalent de $\omega_0$ donné dans l'équation (B.12).</footnote>

<footnote n="64">⁶⁴Nous avons aussi vérifié avec succès la validité à basse température du coefficient de diffusion spatiale prédit par l'approximation de Fokker-Planck en résolvant numériquement l'équation maîtresse (47) avec l'amplitude de diffusion $\phi-\gamma$ microréversible (74) pour le modèle simple $\epsilon_k = \Delta_* + (\hbar^2/2m_*)[(k^2-k_0^2)/2k_0]^2 (m_* > 0, k_0 > 0)$ et $R_k(u, u', w) = (1-\eta u^2)(1-\eta u'^2)$, dans lequel $\alpha = (32/1575)(3\eta^2-10\eta+15)(15\eta^2-42\eta+35)$, $D_{\perp}(k_0) = (32/1575)(3\eta^2-10\eta+15)(3\eta^2-14\eta+35) \neq \alpha$ et $(d/dk)D_{\parallel}(k_0) = 0$ donc la force moyenne $F(k_0)$ est non nulle à l'ordre $T^9$ (sauf si $\eta = 0$). L'erreur commise par Fokker-Planck sur $D_{\perp}^{\text{spa}}$ est <10% pour tout $\eta \in [0,3]$ dès que $k_* / k_0 < 1/20$. Le calcul utilise le théorème de régression quantique pour accéder à la fonction de corrélation de la vitesse, que l'on reporte ensuite dans l'expression (83) de $D_{\parallel}^{\text{spa}}$. Dans le secteur de moment cinétique nul, l'équation maîtresse s'écrit $\partial_t \Pi_0(k, t) = -\gamma(k) \Pi_0(k, t) + \int_0^{+\infty} dk' \gamma_0(k' \to k) \Pi_0(k', t)$; en pratique, on assure la conservation de la probabilité totale en calculant numériquement tous les taux d'alimentation $\gamma_0(k' \to k)$ puis en déduisant les taux de départ de la relation $\gamma(k) = \int_0^{+\infty} dk' (k'/k)^2 \gamma_0(k \to k')$. Dans le secteur de moment cinétique un, l'équation maîtresse s'écrit $\partial_t \Pi_1(k, t) = -\gamma(k) \Pi_1(k, t) + \int_0^{+\infty} dk' \gamma_1(k' \to k) \Pi_1(k', t)$ (les taux de départ sont inchangés). La microréversibilité impose $k^2 \exp(\beta \epsilon_k) \gamma_n(k' \to k) = k^2 \exp(\beta \epsilon_{k'}) \gamma_n(k \to k')$, $n=0$ ou 1, ce qui permet de se ramener à des opérateurs intégraux à noyaux symétriques (numériquement avantageux) par le changement de fonction $\Pi_n(k) = k^{-1} \exp(-\beta \epsilon_k / 2) \psi_n(k)$. L'expression (B.5) s'applique alors, pourvu que l'on y remplace $\tilde{\epsilon}_k$ par $\epsilon_k$ et $-\mathcal{H}_1$ par l'opérateur intégral reliant $\partial_t \psi_1$ à $\psi_1$.</footnote>
Entre les cas $k_0 \equiv 0$ et $k_0 > 0$. Au point de transition entre ces deux cas, la masse effective $m_*$ est infinie, $1/m_* = 0$, la relation de dispersion $\epsilon_k$ varie quartiquement en nombre d'onde au voisinage de son minimum, et aucun des calculs du coefficient de diffusion spatiale présentés jusqu'ici dans ce travail ne s'applique. Pour raccorder les deux cas limites (par exemple lorsque la densité $\rho$ varie), il faut utiliser une approximation de degré 4 pour la relation de dispersion,

$$ \epsilon_k \approx \Delta_0 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m_{\text{eff}}} + \frac{\hbar^2 k^2}{4m} (kl)^2 \quad (\text{B.13}) $$

où la longueur $l$ est essentiellement constante mais où la variation de la masse effective $m_{\text{eff}}$ en $k=0$ (à ne pas confondre avec celle $m_*$ à l'endroit du minimum) décrit le passage d'une relation de dispersion atteignant son minimum en $k=0$ (cas $1/m_{\text{eff}} > 0$) à une relation de dispersion atteignant son minimum en un nombre d'onde non nul (cas $1/m_{\text{eff}} < 0$). On fait ensuite un grossissement autour du point de transition, en regardant dans l'espace des $1/m_{\text{eff}}$ et des $k$ à des échelles $T^V$ telles que les deux derniers termes de l'équation (B.13) soient du même ordre de grandeur $\approx k_B T$. Nous introduisons donc le nombre d'onde adimensionné $\kappa$ et le paramètre sans dimension $\delta$ qui pilote la transition :

$$ \kappa = k \left( \frac{\hbar^2 l^2}{m k_B T} \right)^{1/4} \quad \text{et} \quad \delta = \frac{m}{m_{\text{eff}}} \left( \frac{\hbar^2}{m k_B T l^2} \right)^{1/2} \quad (\text{B.14}) $$

Il reste à passer à la limite $T \to 0$ à $\kappa$ et $\delta$ fixés. On approxime la force moyenne et les coefficients de diffusion en impulsion par leur ordre dominant au point de transition, c'est-à-dire sous la forme réduite (53) par $\mathcal{F}(k) \approx -\alpha_0 e_k$ et $\mathcal{D}_{\perp}(k) \approx \mathcal{D}_{\parallel}(k) \approx \alpha_0$, où $\alpha_0$ est le coefficient de frottement réduit à la transition.<fnref n="65" /> Il reste à introduire le temps réduit

$$ \theta = t/t_0 \quad \text{avec} \quad t_0 = \frac{\hbar}{mc^2} \frac{15}{\pi^5} \left( \frac{mc^2}{k_B T} \right)^{17/2} \frac{(\hbar\rho^{1/3}/mc)^6}{\alpha_0 mcl/\hbar} \quad (\text{B.15}) $$

pour que la marche au hasard de la quasi-particule $\gamma$ dans l'espace de Fourier soit décrite par un processus stochastique adimensionné universel à un paramètre $\delta$ et de même bruit gaussien que l'équation (59),

$$ d\mathbf{k} = -d\theta \mathbf{grad}_{\mathbf{k}} \varepsilon(\mathbf{k}) + \sqrt{2} d\theta \eta \quad \text{avec} \quad \varepsilon(\mathbf{k}) = \frac{1}{2} \kappa^2 \delta + \frac{1}{4} \kappa^4 \quad (\text{B.16}) $$

Pour en extraire le coefficient de diffusion spatiale au sens de l'équation (83), nous passons par le théorème de régression et l'équation de Fokker-Planck comme au début de cette Annexe B et obtenons (en posant $\varepsilon' = d\varepsilon(\kappa)/d\kappa$)

$$ \begin{gathered} \mathcal{D}^{\text{spa}} \frac{\delta \text{fixé}}{T \to 0} \frac{\hbar}{m} \frac{\alpha_0^{-1} \Delta^{\text{spa}}(\delta)}{\frac{\pi^5}{15} \left( \frac{mc}{\hbar \rho^{1/3}} \right)^6 \left( \frac{k_B T}{mc^2} \right)^7} \quad \text{avec} \quad \Delta^{\text{spa}}(\delta) = \frac{\langle s | \hat{h}^{-1} | s \rangle}{3 \int_0^{+\infty} d\kappa \kappa^2 e^{-\varepsilon(\kappa)}} \quad \text{et} \\ \left\{ \begin{array}{l} \hat{h} = -\frac{d^2}{d\kappa^2} + \frac{2}{\kappa^2} + \frac{1}{4} \varepsilon'^2 - \frac{1}{\kappa} \varepsilon' - \frac{1}{2} \varepsilon'' \\ \langle \kappa | s \rangle = \kappa \varepsilon' e^{-\varepsilon(\kappa)/2} \end{array} \right. \end{gathered} \quad (\text{B.17}) $$

Nous avons ici intégré formellement sur le temps la fonction de corrélation de la vitesse écrite comme dans l'équation (B.5), ce qui a fait apparaître l'inverse de l'opérateur hamiltonien fictif $\hat{h}$. Il se trouve que l'on sait déterminer analytiquement l'action de $\hat{h}^{-1}$ sur le vecteur source $|s\rangle$ (c'est facile à vérifier en faisant agir $\hat{h}$ sur le résultat) :

$$ \langle \kappa | \hat{h}^{-1} | s \rangle = \kappa^2 e^{-\varepsilon(\kappa)/2} \Rightarrow \Delta^{\text{spa}}(\delta) = \frac{\int_0^{+\infty} d\kappa \kappa^3 \varepsilon' e^{-\varepsilon(\kappa)}}{3 \int_0^{+\infty} d\kappa \kappa^2 e^{-\varepsilon(\kappa)}} \quad (\text{B.18}) $$

<footnote n="65">⁶⁵On vérifie en effet dans l'équation (40) que, pour la relation de dispersion (B.13) et pour une limite finie de $d(m/m_{\text{eff}})/d\rho$ à la transition $\delta = 0$, $R_k(u, u', w) \to (1/2)(\tilde{\epsilon}_{x,0} + w\tilde{\epsilon}_{\rho,0})$ où $\tilde{\epsilon}_{x,0}$ et $\tilde{\epsilon}_{\rho,0}$ sont les valeurs en $\delta = 0$ de $\tilde{\epsilon}_x$ et $\tilde{\epsilon}_{\rho}$ définis par l'équation (45). C'est bien ce qu'on obtient en prenant $m/m_* = 0$ dans l'équation (46).</footnote>
Une simple intégration par parties au numérateur de (B.18) conduit alors au résultat remarquable $\Delta^{\text{spa}}(\delta) \equiv 1,^{66}$ en accord parfait avec la prédiction (86), qui vaut donc partout dans la zone de transition entre les cas $k_0 \equiv 0$ et $k_0 > 0$.

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<footnote>$^{66}$On l'aura compris, cette conclusion est indépendante de la forme particulière de la relation de dispersion réduite $\epsilon(\kappa)$.</footnote>
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