Les objets du travail personnel en mathématiques des étudiants dans l'enseignement supérieur. Comparaison de deux institutions, universités et classes préparatoires aux grandes écoles.

Corine Castela

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Corine Castela. Les objets du travail personnel en mathématiques des étudiants dans l'enseignement supérieur. Comparaison de deux institutions, universités et classes préparatoires aux grandes écoles.. IREM de Paris. IREM de Paris, 40, 2002, Cahier de DIDIREM, Michèle Artigue, 2-86612-222-4. hal-02142453

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

40
AVRIL 2002

CAHIER DE DIDIREM

LES OBJETS DU TRAVAIL PERSONNEL EN
MATHEMATIQUES DES ETUDIANTS DANS
L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR :

COMPARAISON DE DEUX INSTITUTIONS, UNIVERSITES ET CLASSES
PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES.

CORINE CASTELA

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
CAHIER DE DIDIREM

LES OBJETS DU TRAVAIL PERSONNEL EN
MATHEMATIQUES DES ETUDIANTS DANS
L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR :

COMPARAISON DE DEUX INSTITUTIONS, UNIVERSITES ET CLASSES
PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES.

CORINE CASTELA
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Sommaire

<table><thead><tr><th></th><th>Page</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présentation du contenu du cahier</td><td>5</td></tr><tr><td>A. Présentation de la recherche</td><td></td></tr><tr><td>A.I. Questionnement initial</td><td>6</td></tr><tr><td>A.II. Elaboration de la problématique de recherche</td><td></td></tr><tr><td>1. Les connaissances sur le fonctionnement mathématique</td><td>8</td></tr><tr><td>2. Pourquoi s'intéresser spécifiquement aux connaissances sur le fonctionnement mathématique ?</td><td>10</td></tr><tr><td>3. Le fonctionnement mathématique dans les objets du travail personnel des étudiants</td><td>12</td></tr><tr><td>4. La problématique de recherche</td><td>12</td></tr><tr><td>A.III. Présentation des deux institutions d'enseignement comparées</td><td>13</td></tr><tr><td>B. Méthodologie de la recherche.</td><td></td></tr><tr><td>B.I. Présentation de la question ouverte</td><td></td></tr><tr><td>1. Formulations</td><td>15</td></tr><tr><td>2. Conditions de passation</td><td>16</td></tr><tr><td>3. Objectifs</td><td>16</td></tr><tr><td>B.II. Méthodologie d'exploitation des réponses.</td><td></td></tr><tr><td>1. Méthodologie qualitative spécifique du traitement de la question ouverte</td><td>17</td></tr><tr><td>2. Méthodologie quantitative de comparaison commune aux deux volets de l'enquête</td><td>18</td></tr><tr><td>B.III. Présentation du deuxième volet de l'enquête : questions fermées.</td><td></td></tr><tr><td>1. Questionnaire destiné aux étudiants issus de l'université</td><td>19</td></tr><tr><td>2. Questionnaire destiné aux élèves de classes préparatoires</td><td>21</td></tr><tr><td>3. Conditions de passation</td><td>21</td></tr><tr><td>4. Mise en œuvre de la méthodologie</td><td>21</td></tr><tr><td>B.IV. Présentation des populations étudiées.</td><td></td></tr><tr><td>1. Première population : étudiants préparant le Capes</td><td>23</td></tr><tr><td>2. Deuxième population : élèves de classes préparatoires</td><td>24</td></tr><tr><td>C. Dépouillement du volet n°1 de l'enquête : question ouverte.</td><td></td></tr><tr><td>C.I. Première approche du travail effectué.</td><td></td></tr><tr><td>1. Types de connaissances dont le niveau d'utilité fait l'objet d'une cotation</td><td>26</td></tr><tr><td>2. Analyse a priori des items</td><td>27</td></tr><tr><td>3. Une différence notable de comportement vis à vis du questionnaire entre étudiants de Capes et élèves de Spéciales</td><td>29</td></tr><tr><td>C.II. Groupe 1 : Items concernant les énoncés institutionnalisant les définitions et résultats mathématiques.</td><td></td></tr><tr><td>1. Définitions</td><td>30</td></tr><tr><td>2. Théorèmes</td><td>31</td></tr><tr><td>3. Propriétés, Propositions, Résultats, Critères</td><td>33</td></tr></tbody></table>
4. Lemmes, Corollaires 35

5. Formules 36

6. Eléments de synthèse 37

C.III. Groupe 2 : Autres items concernant le texte du savoir savant. 39

1. Démonstrations 42

2. Exemples 44

3. Contre-exemples 44

4. Applications 44

5. Structure du cours 45

C.IV. Groupe 3 : Items concernant les savoirs sur le fonctionnement mathématique. 46

1. Méthodes 49

2. Astuces 50

3. Exercices types 53

4. Erreurs 53

5. Synthèse 53

C.V. Groupe 4 : Items concernant l'activité mathématique des étudiants 54

C.VI. Bilan des observations. 58

1. Récapitulatif des écarts significatifs mis en évidence 59

2. Principaux résultats 59

D. Dépouillement du volet n° 2 : questions fermées.

D.I. Analyse et mise en relation des items proposés dans les questions I et II....

1. Question II : les objets dont l'étude est considérée comme utile à la réussite 63

2. Analyse des items de la question II non directement liés à la résolution de problèmes 64

3. Question I : le rapport des étudiants aux exercices 66

4. Analyse des items de la question II concernant les exercices et problèmes ; mise en relation avec ceux de la question 67

D.II. Question I : étude de la hiérarchie des items dans les différentes populations. 69

1. Principaux résultats 69

2. Comment sont situés les uns par rapport aux autres les différents items proposés ? 71

D.III. Question I : recherche des écarts entre institutions et entre niveaux. 74

1. La résolution d'exercices comme jeu intellectuel 74

2. La contribution des exercices à l'assimilation du cours 74

3. La résolution de problèmes considérée dans une perspective d'apprentissage 75

4. Une source d'idées à retenir 78

5. Synthèse 80

D.IV. Question II : étude de la hiérarchie des items dans les différentes populations. 82

1. Principaux résultats 82

2. Comment sont situés les uns par rapport aux autres les différents objets d'étude proposés 83
D.V. Question II: recherche des écarts entre institutions et entre niveaux

1. Objets d'étude liés au texte du cours.................................................. 86

2. Commentaires du ou des enseignants.................................................... 89

3. Objets d'étude liés à la résolution de problèmes.................................... 89

4. Synthèse.................................................................................................... 92

D.VI. Question III : travail effectué à propos de la correction d'un exercice

1. Analyse des items proposés.................................................................... 98

2. Principaux résultats.................................................................................. 98

3. Comment sont situés les unes par rapport aux autres les différentes formes de l'étude proposées ? ........................................................................ 100

4. Recherche des écarts entre institutions et entre niveaux......................... 102

5. Synthèse.................................................................................................... 108

E.Conclusions.

E.I. Le rapport au cours.

1. De la connaissance du cours vers la résolution de problèmes.................. 112

2. De la résolution d'exercices vers l'apprentissage du cours...................... 114

3. Lien avec la conjecture initiale.................................................................. 115

E.II. Le rapport à la résolution de problèmes.

1. La réussite vue comme une question d'entraînement.................................. 116

2. La réussite vue comme une question de maîtrise des exercices corrigés. 116

3. La réussite vue comme une question de connaissances sur le fonctionnement mathématique et de transfert................................................ 120

4. Lien avec la conjecture initiale.................................................................. 121

E.III. Limites de la recherche et perspectives

1. Limites.................................................................................................... 123

2. Perspectives de recherche.................................................................... 123

Bibliographie.................................................................................................... 124

Annexe I : texte des réponses à la question ouverte.................................... 125

Annexe II : Items marginaux de la question ouverte

1. Prise en compte des *Hypothèses*.................................................... 132

2. *Rappels, Prolongements et Liens avec d'autres secteurs*.................... 132

3. *Remarques*.................................................................................... 133

4. *Figures*.................................................................................................. 134

5. *Professeur*.......................................................................................... 134

6. *Apprendre*.......................................................................................... 135

7. *Comprendre*.......................................................................................... 136

Annexe III : résultats des questions fermées.

1. Question I.................................................................................................. 137

2. Question II.................................................................................................. 139

3. Question III.................................................................................................. 144
Les objets du travail personnel en mathématiques des étudiants dans l'enseignement supérieur : comparaison de deux institutions, Université et Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles.

Corine Castela, Equipe Didirem Paris 7 et Iufm de Haute-Normandie<fnref n="1" />

Présentation du contenu du cahier.

Le travail présenté dans ce cahier est consacré à une comparaison des formations en mathématiques dispensées dans deux institutions de l'enseignement supérieur français, l'université d'une part et les classes préparatoires aux grandes écoles d'autre part.

A l'origine de la recherche se trouve un constat réalisé sur plusieurs années à l'Iufm<fnref n="2" /> de Rouen : les étudiants ayant effectué une partie de leur scolarité post-baccalauréat dans une classe préparatoire réussissent mieux au Capes<fnref n="3" /> de mathématiques que ceux dont le cursus a été entièrement universitaire. Prenant comme références, au niveau général, la théorie anthropologique du didactique et, à un niveau plus spécifique, la problématique concernant les connaissances en jeu dans la résolution de problèmes présentée dans Castela 2000, nous formulons la conjecture suivante : les classes préparatoires favorisent plus que l'université la construction par les étudiants de certaines connaissances qui jouent un rôle important dans les épreuves écrites du Capes. Nous présentons ici la première phase d'une recherche visant à mettre à l'épreuve cette conjecture.

L'approche choisie s'appuie sur une double hypothèse : a. une grande partie des connaissances considérées ne constituant pas des enjeux explicites d'enseignement, leur acquisition dépend largement du travail personnel accompli par les étudiants, des objets et des modalités de ce travail ; b. l'institution didactique influence de manière décisive le travail personnel, même si celui-ci est susceptible de variations individuelles importantes ; par ce biais, elle favorise plus ou moins l'acquisition de connaissances non directement enseignées.

Dans cette perspective, nous avons entrepris une étude comparative du travail personnel des étudiants dans les deux institutions, celui-ci étant analysé selon trois dimensions, objets, formes et enjeux de connaissance reconnus par les étudiants ; dans le cadre de l'hypothèse a, les éléments ainsi obtenus sont interprétés en terme de potentialités de construction de connaissances utiles pour la résolution de problèmes. L'outil d'investigation utilisé est un questionnaire soumis à deux populations issues respectivement de classes préparatoires et de l'université ; le dépouillement vise à mettre en évidence des écarts statistiquement significatifs entre les deux groupes, ceux-ci étant considérés comme des indicateurs de différences institutionnelles (hypothèse b). Cette méthode est également appliquée au sein de chaque population à deux sous-ensembles déterminés suivant un critère de réussite en mathématiques dans le

<footnote n="1">¹ Cette recherche a bénéficié du soutien de l'Iufm de Haute-Normandie qui s'est traduit par la mise à disposition de différentes facilités dont un soutien humain pour le dépouillement du questionnaire et le prêt du logiciel Sphinx, ainsi que par le financement de ma participation aux Séminaires et Ecoles d'été de didactique des mathématiques.</footnote>

<footnote n="2">² Institut Universitaire de Formation des Maîtres : en première année, les étudiants y préparent les concours de recrutement des professeurs d'école ou de collège et lycée ; la deuxième année, réservée aux admis aux concours qui sont alors professeurs stagiaires, est consacrée à une formation plus directement professionnalisée qui doit conduire à la titularisation.</footnote>

<footnote n="3">³ Capes : concours de recrutement des professeurs de collège et lycée.</footnote>
cadre de l'institution : nous cherchons ainsi à comparer sur le plan du travail personnel les étudiants les plus performants aux plus faibles. Pour des raisons de taille de la population, cette partie de l'étude est de portée limitée pour la classe préparatoire.

Quels types de résultats<fnref n="4" /> avons-nous ainsi obtenus ? Une première façon de lire cette recherche consiste à retenir que, par delà les différences entre institutions, elle donne, pour les trois dimensions retenues, une description en terme de grandes tendances du travail personnel des étudiants en mathématiques, révélant des éléments qui sont objets d'un consensus important, positif ou négatif, et d'autres à propos desquels les positions sont nettement plus partagées. Si l'on s'intéresse au contraire aux écarts mis en évidence, le faisceau des résultats obtenus est compatible avec la conjecture énoncée plus haut : les connaissances particulières évoquées ci-dessus apparaissent plus présentes en classes préparatoires qu'à l'université, avec dans la première institution un style de travail que nous analysons comme favorable à leur construction ; à l'université où des écarts significatifs concernant les modalités de l'étude ont été mis en évidence entre les sous-groupes de niveau, la réussite semble être accessible à différents styles de travail non équivalents du point de vue des connaissances construites.

La première partie de ce cahier définit la problématique de la recherche. Ceci nous conduira à revenir sur les réflexions développées dans Castela 2000 et notamment sur la notion de « connaissances sur le fonctionnement mathématique » qui sera illustrée par des exemples liés aux épreuves d'écrit du Capes. Nous donnerons ensuite une description succincte des deux institutions qui sont l'objet de la comparaison.

La deuxième partie présente le questionnaire utilisé, lequel comporte une question ouverte et trois questions fermées et la méthodologie d'exploitation adoptée. Les deux parties suivantes sont consacrées aux résultats obtenus, les différentes questions étant dépouillées séparément en commençant par le volet ouvert de l'enquête. Enfin, une mise en relation des éléments obtenus précédemment permettra de formuler un certain nombre de conclusions et de définir les perspectives ultérieures de la recherche compte tenu des limites du travail présenté dans ce cahier.

# A. Présentation de la recherche.

## A.I. Questionnement initial.

Comme nous l'avons dit plus haut, l'origine du travail présenté dans ce document réside dans une observation qui ne peut pas laisser indifférent un enseignant engagé dans la préparation au Capes de Mathématiques. Pendant les années universitaires 97-98, 98-99 et 99-2000, 258 étudiants inscrits à l'Iufm de l'Académie de Rouen ont passé l'écrit du concours, 69 ont été admissibles à l'oral et 29 définitivement admis à l'issue de l'ensemble des épreuves. Ceci représente un taux d'admissibilité de 27 % et d'admission de 11 %. Si l'on se restreint à la population des étudiants suivant réellement la préparation proposée dont l'effectif peut être estimé à un minimum de 180, les taux s'élèvent alors respectivement à 38 % et 16 % (ceci est un maximum puisque l'on a supposé pour ce calcul que tous les admis appartenaient à ce groupe). Parmi les inscrits assidus à la préparation, 29 étudiants étaient d'anciens élèves de

<footnote n="4">⁴ La notion de résultat est évidemment utilisée dans les limites liées à la méthodologie adoptée.</footnote>
classes préparatoires aux Grandes Ecoles<fnref n="5" /> (CPGE), ayant au moins effectué l'année de Mathématiques Supérieures<fnref n="6" />. Parmi eux, 20 ont été admissibles et 15 admis, soit des taux d'admissibilité et d'admission de 69 % et 52 % respectivement<fnref n="7" />. Alors qu'il ne représente que 11 % des inscrits à l'Iufm, ce groupe fournit plus de la moitié des admis. Ce résultat établi pour trois années quantifie une tendance qualitativement observée sur une période plus longue.

Comment interpréter ces performances au concours des anciens élèves de CPGE ?

Une première explication peut être avancée : dotées d'une réputation de prestige, les classes préparatoires qui ont un recrutement très sélectif, accaparent une bonne partie des bons élèves scientifiques à l'issue de la Terminale ; les universités accueillent au contraire tous les bacheliers qui le souhaitent, elles ont donc un public beaucoup plus diversifié ; le phénomène décrit ci-dessus résulterait donc d'une inégalité originelle dans le recrutement. Sans tenir cet élément d'interprétation pour négligeable, nous considèrerons a priori qu'il ne détermine pas à lui seul la différence de résultats observée entre les anciens élèves de CPGE et les autres étudiants. Autrement dit, nous supposons que les formes de l'enseignement post-baccalauréat peuvent exercer une influence, positive ou négative, sur les performances des étudiants aux différents types d'épreuves qu'ils sont susceptibles de rencontrer en mathématiques. Plus précisément, nous plaçant dans le cadre de la théorie anthropologique d'Y.Chevallard (1992), nous supposons que pour un sujet en formation, y compris s'il s'agit d'un adulte, les apprentissages individuels sont fortement influencés par les exigences des institutions didactiques : celles-ci déterminent un champ de possibles qui sont ou non actualisés pour un individu donné selon son histoire et ses ressources personnelles. Cette perspective nous conduit à rechercher dans une comparaison des deux institutions que constituent l'université d'une part, les classes préparatoires d'autre part des éléments qui pourraient contribuer à la différence notable de performances au Capes que nous avons constatée.

Cette option étant posée, il nous faut maintenant préciser sous quel angle nous décidons d'attaquer un problème en l'état beaucoup trop vaste, d'autant que ce sujet n'a jusqu'à présent guère été abordé en didactique des mathématiques<fnref n="8" />.

## A.II. Elaboration de la problématique de recherche.

L'écrit du Capes demande aux candidats de résoudre dans un temps limité (5 heures) un problème en général unique relevant d'un domaine donné, l'analyse pour la première épreuve, l'algèbre et la géométrie pour la seconde. Dans chaque cas, le programme qui fixe les principaux concepts et théorèmes pouvant être impliqués dans la solution des problèmes proposés est vaste, englobant plusieurs secteurs du domaine mathématique en jeu. Il est en même temps peu détaillé, l'ensemble des résultats susceptibles d'être utilisés n'est pas décrit de manière précise. Notre questionnement revient donc à

<footnote n="5">⁵ Nous décrirons un peu plus loin cette institution tout à fait particulière qui relève de l'enseignement supérieur non universitaire. Le cursus y comprend deux années (classes de Mathématiques Supérieures puis de Mathématiques Spéciales).</footnote>

<footnote n="6">⁶ Parmi les étudiants restants, 6 ont suivi une école d'ingénieurs dont 4 ont été admissibles et 2 admis ; pour les autres, l'intégralité du cursus post-baccalauréat s'est déroulée à l'université.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Les écarts avec les pourcentages correspondants signalés ci-dessus sont significatifs au seuil de 1 %.</footnote>

<footnote n="8">⁸ A.Robert et J.Pian développent des travaux sur les connaissances en mathématiques des étudiants préparant le Capes (voir par exemple, Pian 1999).</footnote>
rechercher ce qui peut dans les deux institutions considérées plus ou moins bien préparer les étudiants à réussir ce genre de tâches<fnref n="9" />.

Nous avons choisi d'inscrire le questionnement défini ci-dessus dans le cadre de la problématique globale de recherche développée dans Castela 2000 dont nous résumons ici les éléments impliqués dans la conception du présent travail.

# 1. Les connaissances sur le fonctionnement mathématique.

Partant de l'hypothèse selon laquelle de nombreuses connaissances ne relevant pas du savoir savant mathématique sont en jeu dans la résolution<fnref n="10" /> de problèmes, nous nous intéressons à un domaine particulier de ces connaissances, celles qui portent sur les formes d'intervention des objets mathématiques, concepts et théorèmes, dans les solutions apportées aux différents problèmes. L'objet de connaissance ainsi défini est lié au corpus des problèmes résolus donc à l'institution I qui pose les problèmes et valide les solutions ainsi qu'à l'avancée des travaux dans I donc au temps, nous dirons qu'il s'agit du « fonctionnement mathématique dans I au moment t ». L'institution considérée peut être la communauté des mathématiciens<fnref n="11" /> aussi bien que toute autre institution à orientation professionnelle ou didactique ayant affaire aux mathématiques. Dans la présente recherche, nous nous situons dans le dernier cas. Les propos précédents seront illustrés par des exemples de connaissances sur le fonctionnement mathématique dans l'institution « Préparation au Capes »<fnref n="12" />, c'est-à-dire qu'ils renvoient à des façons de faire présentes dans les solutions des problèmes normalement rencontrés par les étudiants dans cette préparation (ou pendant les années de leur formation universitaire proche) :

* (C1) : il est possible de traduire dans le cadre des nombres complexes les relations mettant en jeu des angles orientés de vecteurs ; ce changement de cadre met à disposition les ressources de la structure de corps de C et offre souvent des solutions algébriques efficaces à des problèmes géométriques.

* (C2) : pour démontrer qu'un déterminant est nul, on peut le développer, on peut aussi montrer que ses vecteurs colonnes ou ses vecteurs lignes sont liés.

* (C3) : pour démontrer que trois droites sont concourantes, on peut introduire le point d'intersection de deux d'entre elles et montrer qu'il appartient à la troisième (voir concours des hauteur).

* (C4) : pour démontrer qu'une quantité est différente de 0, on se ramène souvent à raisonner sur la nullité de cette quantité, les propriétés de la relation = facilitant le travail ; pour ce faire, il est fréquent de procéder par contraposition ou par un raisonnement par l'absurde.

Ces exemples mettent en évidence certains aspects de la diversité du contenu des connaissances sur le fonctionnement mathématique : **fonctions outils** des concepts et

<footnote n="9">⁹ Une analyse plus fouillée de ce « genre de tâches » devra être développée, ce sera l'objet d'un travail ultérieur.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Nous distinguons les termes « résolution » et « solution », le premier désigne l'activité de recherche auquel donne lieu une question mathématique, le second le produit fini écrit sur lequel débouche la résolution.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Nous réserverons à ce cas l'expression non spécifiée « Fonctionnement mathématique », considérant que tous les autres cas sont transposés de cet objet de référence.</footnote>

<footnote n="12">¹² Les connaissances évoquées ici peuvent toutes être mises en jeu lors de la résolution du problème d'algèbre et géométrie posé en 1998 à l'écrit du Capes. Il s'agit d'un sujet sur les points isogonaux relativement à un triangle et les triangles orthologiques.</footnote>
théorèmes, **types de problèmes**<fnref n="13" /> de caractère plus ou moins restreint, **techniques de** traitement associées. Notons que ces techniques ne sont pas en général des algorithmes de résolution : d'une part, il est possible qu'elles ne soient pas efficaces pour tous les problèmes d'un type (C2 et C3) ; d'autre part, même si leur mise en œuvre est parfois nécessaire au succès, elle ne le garantit pas tant leur portée peut être réduite au regard de l'ensemble de la solution (C3 et C4). Nous pouvons également remarquer que, si certaines techniques sont très directement liées, en tant qu'applications, à des concepts et des théorèmes (C1, C2) et renvoient donc à des chapitres précis du texte du savoir, ce n'est pas le cas de toutes : C3 peut, si l'on y tient vraiment, être vue comme une application de l'associativité de l'intersection, il est quasiment certain que ce n'est pas à ce titre qu'elle pourra être mobilisée dans une résolution mais bien plutôt en tant que connaissance sur les problèmes de concours (de droites) ; C4 donne lieu à des considérations analogues, ce sera souvent le cas lorsque les types de problèmes en jeu sont généraux.

Les connaissances sur le fonctionnement mathématique sont également diverses sur le plan de la forme. Celles que nous avons citées plus haut sont explicitées sous une forme **décontextualisée** et concernent des types de problèmes c'est-à-dire qu'elles possèdent un certain degré de généralité ; c'est pourquoi elles ne donnent qu'une idée partielle du domaine des connaissances sur le fonctionnement mathématique considéré dans son développement. Un exemple, par la force des choses moins dépersonnalisé, permettra de diversifier cette évocation :

* (C5) Au sein du problème de géométrie du Capes Interne de 1999, une question porte sur l'image d'un cube par projection orthogonale sur un plan, il s'agit de savoir si les images des différentes faces peuvent être des losanges. Lorsque j'ai cherché ce problème, j'ai immédiatement lié la question posée à un exercice de Terminale S rencontré dans le cadre de la préparation à l'épreuve orale professionnelle du Capes ; celui-ci concernait la projection orthogonale d'un angle droit, je n'avais en tête ni le résultat ni les détails de la solution mais les souvenirs contextualisés que j'en avais m'ont permis de résoudre la question du Capes<fnref n="14" />.

Certaines connaissances sur le fonctionnement mathématique prennent la forme d'exemples dont la solution est mémorisée de manière plus ou moins précise. Ces exemples sont parfois retenus en tant que **prototypes représentatifs d'un type**, ils ont à ce titre une valeur de généralité (c'est ce que signifie la référence au concours des hauteurs dans C3), mais ils dispensent plus ou moins d'une explicitation décontextualisée de la ou des techniques en jeu. Ils peuvent également occuper, à un moment donné, **une position isolée** : ayant attiré l'attention pour des raisons diverses, souvent leur efficacité et/ou leur ingéniosité, ils sont retenus en prévision d'un réinvestissement aléatoire.

Comme les exemples précédents l'ont laissé entrevoir, le domaine des connaissances sur le fonctionnement mathématique dans une institution donnée peut être extrêmement vaste et divers, tant sur le contenu que sur la forme. Les concepts et

<footnote n="13">¹³ Nous considérons que l'élaboration d'un type de problèmes relève d'un processus de connaissance ; sur le rôle attribué aux types de problèmes voir Castela 2000 p. 351-354</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Ces souvenirs avaient un fort accrochage visuel : mémoire vague de la figure et surtout des symbolismes utilisés : emploi d'un vecteur normal n, relation entre les points initiaux A et B et leurs projetés A' et B'. A cela ajoutons l'idée erronée, probablement due au chapitre accueillant l'énoncé, que cet exercice utilisait le produit vectoriel. Signalons que le résultat sur la projection d'un angle droit permet de traiter la question du Capes en l'appliquant aux diagonales des faces du cube.</footnote>
théorèmes permettent d'en organiser une partie selon une structure compatible avec celle du texte du savoir mathématique (tel théorème peut permettre de traiter tels types de problèmes, voire tels problèmes, de telles façons). Autour des types de problèmes se construit une seconde organisation (tel type de problèmes peut être résolu de telles façons, éventuellement avec tels théorèmes) dont la portée s'étend bien au-delà de ce que la précédente peut ordonner (cf C3 et C4). Les connaissances associées aux types de problèmes sont en grande partie transversales aux différents chapitres d'un cours, voire à différents domaines mathématiques pour les types les plus généraux. Là où ils coexistent, ces deux modes de structuration ne coïncident pas car un même concept, un même résultat permettent souvent de traiter plusieurs types de problèmes et un même type peut être abordé avec plusieurs outils. Concepts et théorèmes d'un côté, types de problèmes, voire problèmes, de l'autre jouent donc des rôles d'égale importance dans l'objet de connaissance que nous avons nommé le fonctionnement mathématique, nous en donnerons donc une nouvelle définition plus symétrique que celle que nous avions introduite en début de cette partie : le fonctionnement mathématique est l'ensemble des rapports noués dans les solutions entre les objets et les problèmes mathématiques<fnref n="15" />.

En résumé, alors que nous nous intéressons aux performances en situation de résolution de problèmes, nous proposons de focaliser l'attention sur les solutions, c'est-à-dire sur les produits finis des pratiques de résolution. Quelles raisons justifient ce choix ?

## 2. Pourquoi s'intéresser spécifiquement aux connaissances sur le fonctionnement mathématique ?

### Des raisons liées à l'activité de résolution de problèmes.

En premier lieu, nous pensons que les connaissances sur le fonctionnement mathématique jouent un rôle important dans l'activité de résolution. En effet, si les textes de démonstrations ne sont pas des récits rapportant les différentes démarches heuristiques suivies par leur auteur, ils ne sont pas totalement muets sur la recherche puisqu'ils présentent les principales initiatives efficaces du chercheur (introduction d'objets nouveaux, changement de cadres, reformulation d'une propriété ou d'une expression algébrique, choix d'un outil, d'une méthode ou d'un théorème). Or ces façons de faire (ou d'avoir fait) ne sont pas sans avenir dans la mesure où il est extrêmement rare qu'un problème à traiter ne puisse pas être relié, à divers moments de la résolution, à d'autres problèmes déjà traités ; les connaissances construites dans la production ou l'étude des solutions de ces derniers sont alors susceptibles d'outiller, d'inspirer la recherche en cours<fnref n="16" />.

En ce qui concerne plus précisément l'écrit du Capes, l'analyse des connaissances en jeu dans deux épreuves récentes d'algèbre et géométrie (1998, 2001) nous conduit aux constatations suivantes :

* les problèmes posés n'utilisent qu'un nombre limité de théorèmes relevant du programme du concours, une grande partie des résultats nécessaires étant produits par les questions intermédiaires ;

<footnote n="15">¹⁵ Ne relève pas en revanche du domaine considéré ce qui concerne l'activité de résolution proprement dite, prise dans son déroulement. Savoir qu'il peut être utile de s'arrêter périodiquement dans une recherche pour faire le point de l'avancée du travail (voir pour de nombreux exemples Schoenfeld 1985) n'est pas une connaissance sur le fonctionnement mathématique mais sur l'activité humaine de production de mathématiques.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ Castela 2000, p.351-354.</footnote>
* par contre, de nombreuses connaissances, non nécessairement liées à des théorèmes remarquables du programme et portant sur des types de problèmes classiques plus ou moins transversaux, sont utiles, leur mobilisation étant souvent à la charge du candidat et conditionnant la mise en fonctionnement dans la solution des quelques théorèmes en jeu.

Même si cette analyse demande à être étendue à d'autres épreuves du Capes et à d'autres concours, nous retiendrons en tant qu'hypothèses les éléments suivants : dans le cadre d'un programme étendu comme celui du Capes, le corpus des théorèmes finalement exigibles dans chaque secteur est restreint, correspondant à une maîtrise généraliste (par opposition à une spécialisation dans un domaine particulier) ; par contre, des connaissances nombreuses et diversifiées sur le fonctionnement mathématique sont en jeu dans les problèmes. Contrairement à ce qui se passe dans une épreuve portant sur un programme d'enseignement limité comme c'est le cas des examens universitaires, le champ des connaissances potentiellement utiles (savoir savant et savoir sur le fonctionnement mathématique) est donc très étendu. Or la détermination du domaine mathématique dont relèvent les connaissances à mobiliser<fnref n="17" />, éventuellement variable suivant les parties du problème, est régulièrement à la charge de l'étudiant ; dans ces conditions, une approche plus ou moins explicite des questions en termes de types de problèmes (re)connus peut constituer un instrument d'orientation décisif. Ceci nous conduit à considérer que la double organisation des connaissances évoquée précédemment (autour des concepts et théorèmes d'une part, des types de problèmes d'autre part) joue un rôle primordial dans ce type d'épreuves<fnref n="18" />.

*Des raisons liées à l'apprentissage et à la perspective d'un enseignement des connaissances sur le fonctionnement mathématique.*

Les connaissances sur le fonctionnement mathématique nous informent donc indirectement sur la pratique de résolution de problèmes, même s'il est clair qu'elles n'en épuisent pas la réalité. La deuxième raison pour laquelle nous leur accordons une priorité tient au mode d'existence de leur objet qui offre à la connaissance des ressources non disponibles lorsque l'objet à connaître est une activité. Alors que celle-ci s'évanouit pour une large part à mesure que l'action se déroule et doit être observée de l'extérieur (toute la partie strictement mentale étant dans ce cas invisible) ou vécue de l'intérieur en temps réel (et éventuellement revécue dans les limites des processus métacognitifs), le fonctionnement mathématique, donné à voir dans les textes de démonstration, est émancipé du corps d'autrui et libéré de la flèche du temps. Son étude bénéficie des spécificités de l'accès à l'écrit analysées par R.Duval<fnref n="19" /> :

> « Les conditions d'intermittence<fnref n="20" /> et de simultanéisation (modalité visuelle) ouvrent la possibilité d'un traitement global, ainsi que de tous les retours en arrière et tous les délais de réflexion dont le sujet, en position d'écriture ou de lecture, peut avoir besoin. »
>
> La question de l'apprentissage ne se pose donc pas a priori dans les mêmes termes pour les connaissances sur le fonctionnement mathématique et pour ce que l'on pourrait appeler des savoir-faire, techniques ou plus globalement compétences de résolution quasiment indissociables de la mise en œuvre de l'action.

<footnote n="17">17 Nous faisons ici référence aux tâches nécessitant une mise en fonctionnement de connaissances disponibles c'est-à-dire que l'utilisation de la connaissance en question n'est pas demandée dans le texte, il s'agit de savoir résoudre ce qui est proposé sans indications. (A. Robert (1998) p.139-189)</footnote>

<footnote n="18">18 Dans l'article cité dans la note précédente, A.Robert associe également disponibilité des connaissances et organisation (voir par exemple P.155-156 et 168).</footnote>

<footnote n="19">19 Duval 1998, p.86-88.</footnote>

<footnote n="20">20 Possibilité de différer l'appréhension de ce qui suit, par opposition à la fluence du discours oral et de la pratique.</footnote>
Enfin, nous faisons l'hypothèse que les connaissances sur le fonctionnement mathématique ont une certaine légitimité au sein de la communauté des mathématiciens professionnels qui peuvent officiellement utiliser, exprimer, discuter de telles connaissances dans certains dispositifs institutionnels. Cette présence au sein de l'institution « Recherche en mathématique » constitue un point d'appui intéressant si l'on envisage une prise en compte plus explicite que ce n'est le cas actuellement de ces connaissances dans l'enseignement.

### 3. Le fonctionnement mathématique dans les objets du travail personnel des étudiants.

Quel est le sort réservé aux connaissances sur le fonctionnement mathématique dans les différentes institutions didactiques<fnref n="21" /> ? Hormis certaines techniques classiques, elles n'apparaissent pas dans les programmes en tant qu'enjeux explicites. En revanche, les élèves, les étudiants se voient offrir de multiples occasions de construire des connaissances sur le fonctionnement mathématique. Certaines d'entre elles leur sont présentées au sein même du cours sous une forme généralement contextualisée, il s'agit notamment des intitulés classiques « Exemples » et « Applications » du texte du savoir qui sont donc a priori organisés autour des concepts et des théorèmes ; dans le prolongement de cette approche institutionnalisée, les travaux de résolution proposés mettent en évidence certains exercices-types et organisent d'une manière plus ou moins insistante l'apprentissage des techniques associées. Mais ces rencontres relativement mises en évidence par l'institution sont loin d'épuiser le domaine que nous avons défini. D'une part, nombre de techniques sont présentées subrepticement dans le cadre d'utilisation isolée qui ne sont l'objet d'aucune décontextualisation. D'autre part, les connaissances transversales sur les types de problèmes, particulièrement les types les plus généraux, sont négligées parce qu'incompatibles avec la structuration usuelle du texte du savoir mathématique en chapitres centrés sur des concepts et des théorèmes. Pourtant ces aspects du fonctionnement mathématique peuvent être présents dans le corpus des textes auxquelles ont affaire les étudiants, dans les démonstrations que comporte le cours, dans les solutions aux problèmes qui leur sont posés<fnref n="22" />. Moyennant un travail personnel non prescrit, ils ont a priori matière à construire un ensemble de connaissances beaucoup plus vaste que celui dont l'apprentissage est sous des formes plus ou moins expresses institutionnellement organisé.

### 4. La problématique de recherche.

Considérant donc que les connaissances sur le fonctionnement mathématique jouent un rôle décisif dans l'efficacité en situation de résolution de problèmes, nous choisissons de comparer la place que leur accordent les deux institutions étudiées. Un angle d'attaque possible consisterait à étudier les formes de présence<fnref n="23" /> de ces connaissances

<footnote n="21">²¹ Les éléments présentés dans cette partie ne relèvent pas d'une institution particulière. Il s'agit de présenter des catégories tout à fait coutumières de l'enseignement des mathématiques, sans entrer dans des détails qui permettraient d'en distinguer la mise en œuvre suivant l'institution.</footnote>

<footnote n="22">²² Il est clair que les connaissances potentiellement constructibles à partir des solutions dépendent du corpus des problèmes posés.</footnote>

<footnote n="23">²³ Dans la mesure où cette dimension ne sera pas abordée dans cette brochure, aucun développement ne sera ici consacré aux formes de vie d'une connaissance dans une institution. On pourra se référer à Castela 2000 p. 335-338 et surtout aux Actes du séminaire national de didactique des mathématiques à paraître.</footnote>
au sein des deux organisations didactiques. Dans quelle mesure certaines d'entre elles sont-elles institutionnalisées dans le texte du savoir ? Existe-t-il des dispositifs où ces connaissances sont exprimées publiquement et par qui le sont-elles ? Jusqu'à quel point sont-elles en jeu dans les épreuves d'évaluation ? Quelle importance leur accorde les enseignants ? Toutes ces questions devront être examinées dans la suite de la recherche, elles ne le seront pas dans cette brochure puisque, comme cela a été dit en introduction, nous avons choisi d'initier ce travail en nous intéressant aux étudiants et à leur travail personnel ; celui-ci conditionne en effet largement l'acquisition des connaissances considérées qui, pour l'essentiel, ne sont pas directement enseignées.

### Quelles sont les connaissances reconnues utiles par les étudiants d'une institution pour la résolution des problèmes mathématiques qu'ils ont à résoudre dans cette institution ?

A quels objets consacrent-ils leur travail personnel et sous quelles formes en mènent-ils l'étude ? En particulier, savent-ils qu'il y a dans les textes de solutions qu'ils ont à leur disposition quelque chose d'utile à apprendre dont l'acquisition peut nécessiter pour certains une étude a posteriori ?

Telles sont les questions que nous aborderons dans la suite en nous situant dans une perspective anthropologique : nous chercherons à mettre en évidence des phénomènes que nous pouvons raisonnablement interpréter en termes d'influence des institutions d'enseignement.

## A.III. Présentation des deux institutions d'enseignement comparées.

Les deux institutions, université d'une part, classes préparatoires aux grandes écoles d'autre part, que nous projetons de comparer se différencient très nettement sur plusieurs points :

*   **Le recrutement** : Les classes préparatoires sélectionnent sur dossier leurs élèves parmi les meilleurs éléments de Terminale S(cientifique) alors que l'université accueille sans sélection un public très varié de bacheliers issus de différentes sections.

*   **Les enseignants** : A l'université, les enseignants sont également statutairement chercheurs, ils sont recrutés par les commissions de Spécialistes de l'université sur la base de leurs travaux en mathématiques ; en CPGE, les enseignants ont un service complet d'enseignement, ils sont recrutés par des commissions nationales dépendant de l'Inspection Générale de Mathématiques.

*   **L'organisation des études et de l'évaluation** : A l'université, l'enseignement est subdivisé en unités semestrielles correspondant à des domaines différents dont le programme est déterminé localement<fnref n="24" /> ; pour chacune d'entre elles, l'enseignement comprend d'une part un cours magistral destiné à l'ensemble des inscrits et consacré à l'exposé du savoir, d'autre part des Travaux Dirigés (TD) par groupes restreints (au maximum 36 étudiants) voués à la résolution d'exercices (en général 2 heures de TD pour chaque heure de cours). L'équipe d'enseignants de chaque unité, est constituée d'un chargé de cours et de plusieurs chargés de TD<fnref n="25" />. L'évaluation est, pour chaque unité d'enseignement, assurée au niveau de l'université par un examen terminal et certains éléments de contrôle continu ; l'usage n'est pas, dans les établissements dont sont issus les étudiants interrogés du moins, de demander, en dehors des partiels et

<footnote n="24">²⁴ La structure globale de la formation doit être habilitée au niveau national.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Dans quelques cas, cours et TD sont assurés par le même enseignant.</footnote>
examen, des productions écrites qui feraient l'objet d'une correction par les chargés de
TD. Les sujets des épreuves d'évaluation sont élaborés par le responsable du cours
magistral. La réussite au diplôme (Deug après deux années puis Licence en fin de
troisième année) dépend des résultats aux différentes unités, les résultats positifs étant
capitalisables en cas de redoublement.

Pour le Deug en général suivi par les étudiants qui se spécialisent en mathématiques au niveau de la licence<fnref n="26" />, chaque semestre comporte deux ou trois unités de mathématiques (1ère année : algèbre, analyse et en option géométrie, 2ième année : algèbre, analyse et en option probabilités). L'horaire hebdomadaire global est au maximum de 25 heures dont en deuxième année une moyenne de 12 heures de mathématiques. En licence de mathématiques, toutes les unités sont consacrées aux mathématiques et à leurs applications (4 unités par semestre), l'horaire est de 22 heures par semaine.

En classes préparatoires, les élèves<fnref n="27" /> sont répartis en classes stables d'environ 40 ; pour chacune d'entre elles, l'enseignement de mathématiques est assuré par un unique intervenant pendant toute l'année. Le cycle des études est de deux ans avec sélection à la fin de la première année ; seule la deuxième année peut être redoublée. En Mathématiques Spéciales (Bac+1 ou +2 pour les redoublants), l'évaluation repose avant tout sur les concours aux grandes écoles dont les épreuves sont nationales. Les problèmes posés s'inscrivent dans le cadre d'un programme global non différencié en unités (pour la plupart des principales écoles, le concours comporte deux épreuves comme le Capes, une d'analyse et une d'algèbre). Pendant l'année, les élèves sont confrontés à des travaux écrits en temps limité ou à la maison corrigés par l'enseignant responsable de la classe ainsi qu'à des interrogations orales hebdomadaires (« colles » par groupes de 3).

L'horaire total en Spéciales MP, toutes disciplines confondues, s'élève à 30 heures, 12 heures sont consacrées aux mathématiques dont 2 heures de TD, dispositif qui dans cette institution renvoie à des séances en demi-classes. Ce qui est nommé « Cours » désigne les 10 heures restantes qui, en classe entière, alternent phases de cours magistraux et phases d'exercices.

Nous nous en tiendrons ici à cette description succincte mais une exploration beaucoup plus fouillée des conditions de l'enseignement des mathématiques dans ces deux institutions est impérative compte tenu du cadre théorique où nous nous sommes situés. Elle sera l'objet des développements ultérieurs du travail ; ceux-ci devront notamment interroger les hypothèses mettant en jeu le fonctionnement institutionnel que les résultats présentés dans ce cahier nous ont conduits à formuler.

<footnote n="26">²⁶ Deug MIAS (Mathématiques, informatique et applications aux sciences)</footnote>

<footnote n="27">²⁷ Si en français, le terme *étudiant* est utilisé pour l'enseignement supérieur, il est fréquent de désigner sous le terme d'élèves les étudiants des classes préparatoires et des écoles d'ingénieurs.</footnote>
## B. Méthodologie de la recherche.

Dans la mesure où, comme cela a été dit précédemment, la recherche vise à mettre en évidence dans les comportements des étudiants des phénomènes imputables à l'influence des institutions d'enseignement, nous avons choisi de commencer ce travail par un questionnaire de façon à pouvoir interroger deux populations issues respectivement de l'université<fnref n="28" /> et d'une classe de Mathématiques Spéciales, de taille suffisamment importante pour que les écarts mis en évidence soient assez tôt significatifs. Nous présentons dans ce cahier les résultats obtenus et les interprétations auxquelles ils donnent lieu.

Le questionnaire comporte deux volets, le premier est constitué d'une question ouverte, le second de trois questions fermées. Dans cette section, nous commencerons par analyser le premier volet de l'enquête, puis nous décrirons à son propos la méthodologie quantitative d'exploitation utilisée pour l'ensemble des questions, nous présenterons ensuite le second volet et nous terminerons en décrivant les deux populations interrogées.

### B.I. Présentation de la question ouverte.

#### 1. Formulations.

Pour les étudiants préparant le Capes, la question était formulée de la façon suivante :

Supposons que, peu de temps avant l'examen final d'une UV de licence, à une date où vous considérez vos révisions comme achevées, on vous demande d'établir une liste des éléments se rapportant à l'UV que vous avez en mémoire (la votre, pas celle d'une machine !), quelles différentes catégories de "choses" figureraient dans votre liste ?

Pour chaque catégorie, vous attribuerez une note de 1 à 4 selon l'échelle suivante :

Pour résoudre un problème relevant du domaine mathématique au programme du devoir, cette catégorie de souvenirs est

4 = indispensable 3 = souvent utile 2 = plutôt inutile 1 = superflue

(Problème est à prendre au sens usuel de "problème de maths")

Exemples : Théorèmes (3), anecdotes concernant le cours (4)............

On vous demande de répondre en toute généralité. Mais si vous ne pouvez pas répondre sans prendre en compte le domaine mathématique concerné, répondez séparément pour 2 domaines qui vous paraissent très différents (dans ce cas, précisez clairement de quels domaines il s'agit).

La formulation destinée aux élèves de classes préparatoires était identique à la première phrase près :

Vous effectuez périodiquement des devoirs en classe pour lesquels votre professeur de mathématiques vous donne un programme de révision portant

<footnote n="28">²⁸ Les étudiants interrogés sont à quelques exceptions près issus des universités de Rouen et du Havre.</footnote>
sur un certain nombre de chapitres du cours. Supposons que, le matin du
devoir en classe, on vous demande d'établir une liste des éléments se
rapportant aux programmes de révision que vous avez en mémoire (la votre,
pas celle d'une machine!), quelles différentes catégories de "choses"
figureraient dans votre liste ?

2. Conditions de passation.

Le travail s'est déroulé en classe ; les étudiants ont disposé du temps qui leur semblait nécessaire (environ 15 minutes). Il leur a été demandé de répondre individuellement, sans échanger entre eux. Ils n'avaient évidemment pas eu connaissance du questionnaire fermé qui leur a été proposé lorsqu'ils ont eu répondu à ce volet de l'enquête.

3. Objectifs.

La question porte directement sur les connaissances que l'étudiant reconnaît posséder et
sur le niveau d'utilité qu'il leur attribue, ce ne sera pas le cas des trois questions du
volet fermé qui concerneront les objets et les modalités de l'étude. Elle se situe donc a
priori au niveau de ce que dans l'article Castela 2000 déjà cité nous désignons à la suite
de F.Conne comme des savoirs personnels<fnref n="29" />.

Le caractère ouvert et personnalisé de la formulation a évidemment comme premier objectif de minimiser l'encadrement des réponses. En demandant un jugement du niveau d'utilité, en donnant l'exemple des anecdotes, nous avons voulu inciter les étudiants à sortir du domaine convenu des contenus classiques du cours, espérant que la recherche d'éléments qu'ils pourraient juger négativement les entraînerait sur des terrains plus ouverts abritant à la fois de l'utile et de l'inutile, susceptibles de faire apparaître des catégories non prévues a priori à ce stade de la recherche (et c'est ce qui s'est passé).

Par ailleurs, la forme ouverte du questionnement introduit une position « catégorie non citée » par définition inaccessible dans une question fermée, on peut supposer que ceci donne lieu à une radicalisation des réponses. Alors qu'un étudiant hésitera parfois à juger superflu un objet proposé explicitement par l'enquête, il ne pourra pas dissimuler le fait qu'il n'a pas pensé à l'inclure parmi les éléments qu'il aura cités et évalués dans sa réponse à la question ouverte. Cette question vise donc à atténuer les effets de compromis entre l'opinion personnelle (influencée par l'institution) et le cadre créé par l'enquête dont les questions du volet fermé sont nécessairement marquées.

Ceci étant, il faut analyser plus précisément ce à quoi nous pouvons ainsi
accéder. Pour figurer dans une réponse, un savoir personnel doit pouvoir être catégorisé
et désigné ce qui n'est pas nécessairement le cas de toute connaissance reconnue par un
sujet. Une partie des savoirs personnels est donc hors de portée de ce type d'enquête,
même si la consigne a été exprimée de façon à orienter les réponses vers des
formulations succinctes dont on peut penser qu'elles permettent d'évoquer des éléments
difficilement explicitables dans les détails. De plus, nous faisons l'hypothèse que la
nécessité de nommer est une contrainte qui pousse les étudiants à utiliser des catégories
classiques utilisées institutionnellement. Nous interpréterons les réponses données par
les deux populations en terme de résultats sur les catégories de savoirs vivant

<footnote n="29">²⁹ Castela p.336</footnote>
officiellement<fnref n="30" /> dans les deux institutions d'enseignement. Ceci est conforme à l'objectif fixé, c'est-à-dire la mise en évidence de phénomènes institutionnels.

Une autre dimension du questionnement va dans le même sens : la formulation fait référence dans les deux cas à une situation d'évaluation ; même si ce n'est pas explicite dans la question, on peut supposer, vu le contexte, que les connaissances citées sont liées à l'épreuve elle-même et que leur utilité est estimée par rapport à l'enjeu que constitue la résolution des problèmes posés. Sous une forme légèrement différente, une des questions fermées revient sur ce dernier aspect en se situant cette fois formellement dans une perspective de réussite à l'examen ou au devoir en classe. Nous pensons avoir ainsi orienté les réponses dans le sens d'une expression de ce que les étudiants perçoivent des normes institutionnelles : les épreuves d'évaluation jouent en effet un rôle essentiel dans le processus d'assujettissement des étudiants à l'institution, particulièrement au niveau d'enseignement qui nous intéresse où, conditionnant un accès plus ou moins proche au monde du travail, la réussite acquiert un caractère tout à fait décisif<fnref n="31" />. Dans cette perspective, le fait que certains étudiants aient, comme c'est souvent le cas, orienté leurs réponses dans le sens d'une conformité à la coutume de l'institution n'est pas un biais, puisque c'est comme telle que nous interprétons les réponses.

Enfin, le choix d'introduire pour l'analyse des réponses une différenciation des étudiants selon leur réussite en mathématique dans l'institution participe de la même ligne directrice : les étudiants les plus performants sont a priori considérés comme les plus adaptés aux attentes institutionnelles, donc les plus susceptibles de les exprimer. Nous verrons que cette hypothèse n'est peut-être pas pertinente pour la classe préparatoire dans le cas des questions fermées, il est en effet possible qu'une partie des meilleurs élèves aient cherché dans leurs réponses à donner d'eux-mêmes une image flatteuse de facilité et de créativité par opposition à ce qu'ils ont pu ressentir comme une valorisation du travail et de la mémoire par les items proposés. Les résultats du dépouillement de la question ouverte conduisent à penser qu'elle est relativement indemne de ce biais, il est vraisemblable que cela soit lié à son caractère ouvert.

## B.II. Méthodologie d'exploitation des réponses.

### 1. Méthodologie qualitative spécifique du traitement de la question ouverte.

Dans un premier temps, les réponses ont été analysées à l'aide du logiciel Sphinx qui nous a permis de repérer les termes ayant donné lieu à une cotation du niveau d'utilité. En rapprochant dans certains cas des noms considérés comme voisins<fnref n="32" />, nous

<footnote n="30">³⁰ En parlant de vie officielle des savoirs, nous envisageons que certaines connaissances peuvent vivre dans une institution sans y avoir été institutionnalisées ; par l'existence de certains dispositifs, l'institution reconnaît que ces connaissances doivent être possédées, acquises ou encore utilisées par certains de ses sujets. Nous avons proposé de parler alors de savoirs de sujets. Pour plus de précision, voir Castela 2000 p. 335-338 et surtout les Actes du séminaire national de didactique des mathématiques à paraître.</footnote>

<footnote n="31">³¹ Pour les élèves de CPGE, l'évaluation interne à l'institution conditionne en première année l'admission en deuxième année qui n'est pas automatique, un échec se traduisant par une exclusion du système puisque le redoublement n'est pas autorisé ; en deuxième année, elle ne détermine pas directement la réussite de l'année ; cependant, on peut faire l'hypothèse que chaque devoir en classe constitue une petite répétition des concours, d'autant que la compétition entre élèves préfigure à moindre échelle celle qu'il faudra livrer en vraie grandeur à la fin de l'année. A l'université, en deuxième et troisième années, c'est l'obtention des diplômes (DEUG puis Licence) qui dépend directement des partiels et examens.</footnote>

<footnote n="32">³² Par exemple, « Erreurs », « Difficultés », « Bêtises » sont associés à l'item *Erreurs*.</footnote>
avons constitué une liste de ce que nous désignerons dans la suite comme des items.
Ceux-ci seront notés en italique de façon à les différencier des mots auxquels ils sont
associés, mots dont l'emploi dans une réponse ne suffit pas à constituer, pour l'étude
quantitative, la présence de l'item. Ainsi dans l'extrait suivant :

« Théorèmes qui revêtent une importance particulière [4] ; je m'explique, théorèmes
nominatifs, théorèmes dont la démonstration n'est pas triviale ... », l'item *Démonstrations* n'est pas considéré comme présent dans la mesure où le mot « Démonstrations » ne fait pas l'objet de la cotation mais sert à préciser l'item coté, ici *Théorèmes* ; selon le même principe, les différentes apparitions du terme « Théorème » dans le discours explicatif ne sont pas décomptées.

Cependant, dans quelques cas difficiles à trancher, plusieurs items ont été pris en compte pour une seule cotation : ainsi, pour la déclaration « Exercices types c'est-à-dire Méthodes enseignées [4] », les items *Exercices* et *Méthodes* ont été comptabilisés ; de même, la formulation « Exercices d'application directe [4] », a été prise en compte pour les deux items *Exercices* et *Applications*.

Pour chacun des items ainsi repérés, l'analyse comporte une dimension qualitative qui s'intéresse plus précisément au contenu des réponses. Celles-ci sont la plupart du temps laconiques, ceci peut être considéré comme un effet de la formulation de la question, effet prévu et recherché (cf B.I.3). Néanmoins, un certain nombre d'étudiants sont un peu plus prolixes, nous prenons en compte les éléments apportées par leurs réponses dans le but d'affiner nos hypothèses concernant l'influence des objets et modalités du travail personnel sur la construction des connaissances en jeu dans la résolution de problèmes, notamment des connaissances sur le fonctionnement mathématique. Cette dimension de l'étude n'a aucune portée statistique, ni dans un sens ni dans un autre ; en particulier, compte tenu de la question posée qui rend contingente l'apparition de réponses argumentées, le fait qu'une déclaration n'apparaissse qu'une ou deux fois ne permet en aucun cas de conclure à la rareté de la position développée. Dans cette phase du travail, nous retenons indépendamment de leur fréquence les éléments qui peuvent s'intégrer dans le cadre théorique choisi, moyennant un développement des analyses.

## 2. Méthodologie quantitative de comparaison commune aux deux volets de l'enquête.

Pour les quatre questions que comprend l'enquête, l'étude quantitative vise à comparer deux à deux différentes populations : tout d'abord le groupe des élèves de CPGE à celui des étudiants issus de l'université, puis au sein de chacun de ces groupes, deux sous-groupes formés respectivement des étudiants les plus performants et des plus faibles (voir B.IV. pour la description des différents groupes).

Dans le cas de la question ouverte, cette démarche concerne la proportion d'étudiants ayant mentionné un item donné parmi ceux qui ont répondu à ce volet de l'enquête ainsi que la répartition des niveaux de cotation au sein de l'ensemble des occurrences de l'item considéré. L'objectif est de repérer, au moyen d'un test bilatéral d'homogénéité, les écarts statistiquement significatifs<fnref n="33" /> existant pour ces différentes fréquences entre les populations comparées.

<footnote n="33">³³ Pour les tests d'homogénéité, nous avons pris comme hypothèse que la loi normale est une approximation correcte de la loi binomiale lorsque la somme des effectifs des deux échantillons est supérieure ou égale à 30. Il est clair que la qualité du test effectué est très approximative dans les cas où l'un des échantillons est de taille inférieure à 30, c'est-à-dire pour les comparaisons entre sous-groupes de niveaux dans MP, particulièrement pour les comparaisons MP+/MP-.</footnote>
Un exemple nous permettra de présenter plus clairement la démarche utilisée et le type de résultat obtenu :

76 étudiants du groupe représentant l'université mentionnent l'item *Définitions*, 69 d'entre eux lui attribuant le niveau 4 d'utilité (Indispensable) soit une proportion de 0,908.

Pour le groupe représentant les classes préparatoires, le nombre d'occurrences est de 45, avec 33 cotations au niveau 4 soit une proportion de 0,733.

L'écart entre les deux proportions est significatif au seuil de 2 % (t = 2,551).

Nous retenons que dans la première institution, les étudiants considèrent significativement plus souvent que dans la seconde la connaissance des définitions comme indispensable<fnref n="34" />.

Cette démarche est appliquée aux questions fermées que nous allons présenter maintenant.

## B.III. Présentation du deuxième volet de l'enquête : questions fermées.

Le questionnaire comportent trois parties concernant respectivement le rapport des étudiants aux exercices (Question I), les objets sur lesquels peut éventuellement porter le travail personnel (Question II) et les modalités de l'étude des corrigés de problèmes ou d'exercices (Question III).

### 1. Questionnaire destiné aux étudiants issus de l'université.

I. Tout au long d'une UV, vous êtes amenés à chercher un certain nombre d'exercices et de problèmes ; ces exercices et ces problèmes sont-ils pour vous

<table><thead><tr><th></th><th>Toujours</th><th>Souvent</th><th>Parfois</th><th>Jamais</th><th>Classement</th></tr></thead><tbody><tr><td>un jeu intellectuel</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>un entraînement à la résolution de questions mathématiques</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Une occasion de vérifier si vous avez bien compris le cours</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Un apport d'exemples qui illustrent le cours</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Une aide à la résolution d'autres exercices</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Une source d'idées à retenir</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Des prototypes proches de ceux qui seront posés à l'examen</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Par ailleurs, le test n'est pas utilisé si pour la proportion p obtenue par réunion des deux échantillons de taille respective $n_1$ et $n_2$, l'un au moins des produits $n_i p_i$, $n_i(1-p_i)$ est strictement inférieur à 5.

Pour chaque comparaison, nous relevons le seuil de significativité dès lors qu'il est inférieur à 15 %.

Cf Brousseau. 1993 p. 63-65

<footnote n="34">³⁴ Les deux fréquences comparées sont des probabilités conditionnelles $P([4]/L)$ et $P([4]/MP)$ où L désigne la première population et MP la seconde; si la première de ces probabilités est supérieure à la seconde, on a également $P(L/[4]) > P(L/non[4])$ et $P(MP/[4]) < P(MP/non [4])$ (dans ces probabilités, on considère le niveau [4] dans la réunion des deux groupes L et MP). *Démonstration simple*.</footnote>

<footnote>Donc si nous établissons que les étudiants de L sont proportionnellement plus nombreux que ceux de MP à attribuer le niveau [4], nous savons également qu'au sein de la réunion des deux populations, L est proportionnellement plus présent parmi les étudiants qui attribuent le niveau [4] que parmi ceux qui choisissent l'un des autres niveaux.</footnote>
Pour chaque proposition, mettez une croix dans la case qui correspond le mieux à votre opinion

Dans la dernière colonne, classez les différentes propositions (7 = ce que les exos et problèmes d'une UV sont le plus pour vous jusqu'à 1 = ce qu'ils sont le moins pour vous).

Vous ne devez pas avoir d'ex aequo.

## II. Que trouvez-vous utile pour réussir un examen?

Pour chaque proposition, mettez une croix dans la case qui correspond le mieux à votre opinion.

Dans la dernière colonne, classez sans ex aequo les propositions du plus utile (11) au moins utile (1)

<table><thead><tr><th></th><th>Indispensable</th><th>Souvent utile</th><th>Plutôt inutile</th><th>Superflu</th><th>Classement</th></tr></thead><tbody><tr><td>Connaître les définitions</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Connaître les théorèmes</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Etudier les démonstrations du cours</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Connaître des exemples</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Comprendre les commentaires de l'enseignant chargé du cours</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Résoudre soi-même beaucoup d'exercices</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et trouvés</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices qu'on a vraiment cherchés et pas trouvés</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Etudier les corrections d'exercices qu'on a peu ou pas cherchés</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Réfléchir aux erreurs qu'on a commises</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Comprendre les commentaires de l'enseignant chargé des TD</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

## III. En général, quelle est votre attitude par rapport à un exercice non trivial, une fois qu'il a été corrigé ?

Pour chacune des propositions suivantes, attribuez une note de 1 à 4 suivant l'échelle suivante :

4 = correspond à quelque chose que je fais systématiquement

3 = quelque chose que je fais souvent

2 = quelque chose que je fais rarement 1 = je ne fais jamais cela

Dernière colonne, classez sans ex aequo les propositions du plus fréquent (10) au plus rare (1)
<table><tr><td>Il fait partie du passé, je ne reviens pas dessus</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>Je relis grossièrement la correction</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>Je cherche à comprendre dans le détail la solution</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>Je le refais cahier fermé</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>J'essaie de voir où ont servi les hypothèses</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>Je dégage le plan de la solution</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>J'étudie particulièrement la solution apportée aux points que je n'ai pas su résoudre</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>J'essaie de dégager des idées à retenir</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>Je mémorise grossièrement la situation étudiée</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr><tr><td>J'oublie assez rapidement l'exercice</td><td>4 3 2 1</td><td></td></tr></table>

Entourez la note que vous attribuez

## 2. Questionnaire destiné aux élèves de classe préparatoire.

Cette version diffère sur quelques points du questionnaire précédent.

Première question :

* Les deux premières lignes changent : « Tout au long d'une année de prépa, vous êtes amenés à chercher un certain nombre d'exercices et de problèmes ; ces exercices et ces problèmes sont-ils pour vous ... »

* Le dernier item est formulé différemment : « Des prototypes proches de ceux qui seront posés dans le devoir en classe ».

Deuxième question :

* La partie introductive ne fait pas mention d'un examen mais d'un devoir en classe.

* Le tableau ne contient qu'un item consacré à l'enseignant puisqu'il n'y a pas lieu de distinguer Cours et TD : « Comprendre les commentaires de l'enseignant ». Des dispositions spécifiques ont été prises pour faire face aux conséquences de cet aménagement pour le traitement statistique (voir note 36).

Troisième question : aucune différence.

## 3. Conditions de passation

Ce questionnaire a été remis aux étudiants après qu'ils ont eu rendu le document concernant la question ouverte ; ils l'ont rempli chez eux, cette modalité ayant été adoptée dans le but de laisser un temps suffisant à la réflexion nécessitée par les tâches de classement.

## 4. Mise en œuvre de la méthodologie.

Comme on l'aura vu, chaque question comprend deux parties : les étudiants doivent situer les items proposés sur une échelle à quatre degrés puis ils doivent les classer.

Pour la première demande, le nombre de valeurs proposées a été choisi de façon à offrir la possibilité de nuancer les avis tout en interdisant le refuge dans la valeur médiane que permet une échelle à trois degrés. Ceci étant, pour les trois questions, nous
avons reconstitué une variable binaire en regroupant les deux avis à connotation « positive » d'une part, les deux avis à connotation « négative » d'autre part ; la méthodologie de comparaison décrite dans B.II.2. a été appliquée à la fréquence F1 d'apparition de l'avis dit positif (Toujours/Souvent pour la question I, Indispensable/Souvent utile pour la II et Systématiquement/Souvent pour la III). L'analyse est ensuite affinée en prenant en compte la fréquence F2 de l'avis le plus « positif » (Toujours pour la question I, Indispensable pour la II et Systématiquement pour la III). Pour les deux premières questions, l'avis le plus négatif est rare, nous ne l'avons donc pas systématiquement pris en compte. Par contre, dans la question III, la position « Je ne fais jamais cela » est plus présente, sa fréquence F3 est donc également l'objet de l'étude comparative.

Le classement des items est une demande qui vise à obtenir des étudiants une
différenciation des propositions qui leur sont faites ; il est clair qu'elle produit
nécessairement une radicalisation, c'est le but recherché, mais l'indicateur que nous en
tirons est à interpréter avec prudence. Le rang attribué à un item est traité comme une
variable numérique dont nous calculons la moyenne et l'écart-type. Or, l'écart entre
deux rangs successifs n'est certainement pas invariant d'un étudiant à un autre et même,
pour un étudiant donné d'un niveau à l'autre de la classification. Pour tenir compte de
cette objection, nous nous intéresserons exclusivement à des comparaisons de rang.
Dans ce cas, dire que tel item I a dans telle population P un rang moyen supérieur à
celui de tel autre item I' a bien un sens, dans les limites incontournables de toute
moyenne. Il en est de même si nous comparons le rang moyen d'un item dans deux
populations selon la méthodologie définie précédemment<fnref n="35" />.

Ce troisième indicateur sera employé pour les deux premières questions<fnref n="36" /> en
appui des résultats observés à partir de l'étude comparative de F1 et F2, il se révèlera
utile dans quelques cas où, par insuffisance de certains effectifs les tests de
significativité ne pourront être appliqués aux fréquences. Par contre, le nombre des
étudiants n'ayant pas classé les items dans la dernière question étant trop élevé, nous ne
ferons pas intervenir le rang moyen dans cette partie de l'étude.

Nous n'analyserons pas dans cette partie le contenu des trois questions fermées dans la
mesure où nous souhaitons intégrer à l'analyse les enrichissements issus de l'étude
quantitative des réponses à la question ouverte. On se reportera donc pour cette partie
du travail à la partie D.

<footnote n="35">³⁵ Il s'agit ici d'un test de comparaison des valeurs moyennes d'une variable numérique sur deux populations.</footnote>

<footnote n="36">³⁶ Pour les items concernant les enseignants dans la question II du questionnaire destiné aux étudiants de l'université, le dépouillement a été effectué de la façon suivante : un seul item Enseignant a été constitué en retenant pour les deux parties de la question la cotation la plus favorable ; par exemple, pour une réponse attribuant Parfois et un rang 5 à la compréhension des commentaires du chargé de cours, Souvent et un rang 7 à la compréhension des commentaires du chargé de TD, nous avons retenu pour l'item Enseignant le couple (Souvent, 7) ; l'item en question se trouve donc surévalué dans cette population.</footnote>

<footnote>Pour ce qui est du classement, les rangs attribués par les étudiants issus de l'université varient de 1 à 11 quand l'échelle va de 1 à 10 pour les élèves de classe préparatoire. De façon à rapporter les réponses dans les deux populations à des bases comparables, le rang moyen et l'écart type ont été divisés par 1,1 dans le premier groupe.</footnote>
## B. IV. Présentation des populations étudiées.

### 1. Première population : étudiants préparant le Capes.

Les étudiants interrogés sont inscrits à l'Iufm pour préparer le Capes. Ils sont au minimum titulaires d'une licence de mathématiques ce qui correspond à un cursus post-baccalauréat d'au moins 3 ans.

Deux cohortes successives ont été interrogées, en Octobre 97 et 98 (la préparation au Capes étant commencée depuis environ un mois). Dix redoublants ont rempli le questionnaire en 97 et 98 ; seule leur première réponse a été prise en compte. Malgré cette disposition, 25 réponses proviennent d'étudiants ayant déjà préparé au moins une fois le Capes.

L'enquête n'a pas touché la totalité des inscrits à l'Iufm mais seulement ceux des étudiants de la préparation qui suivaient un module intitulé « Compléments de Géométrie du Second Degré », ce qui correspond en général à ceux qui sont le plus investis dans la formation proposée par l'Iufm, avec une légère sous-représentation des redoublants.

Certains étudiants ayant rempli de manière trop incomplète la partie fermée du questionnaire, leurs réponses n'ont pas été prises en compte. Nous avons donc recueilli 69 questionnaires exploitables en 97, 41 en 98, ce qui correspond respectivement à 65,1 % et 48,8 % des inscrits Iufm<fnref n="37" />. Ces 108 étudiants forment un groupe qui dans la suite sera désigné comme le groupe L<fnref n="38" />.

Dans la population L, 82 étudiants ont effectué la totalité de leurs études post-baccalauréat à l'université ; 10 étudiants ont suivi une année de classes préparatoires puis sont passés à l'université pour un cursus d'au moins deux ans (Deug et licence) ; 16 étudiants ont effectué un cycle complet d'au moins deux ans en classes préparatoires avant de préparer la licence. Pour 85 % de la population L, le cursus post-baccalauréat (d'au moins 3 ans) s'est effectué, à un an près pour certains, à l'université. Nous faisons donc l'hypothèse que les réponses fournies par ces étudiants nous informerons sur le travail personnel dans le cadre de l'institution universitaire.

Comme nous l'avons annoncé précédemment, le travail de comparaison a également été appliqué dans chacune des deux populations à des échantillons de niveau mathématique différent. Pour ce faire, nous avons constitué pour chaque population trois sous-groupes déterminés selon un critère lié aux performances mathématiques des étudiants ; les sous-groupes extrêmes, sur lesquels porte la comparaison, sont ainsi bien différenciés sur le plan mathématique.

Pour les étudiants préparant le Capes, les trois sous-groupes ont été constitués sur la base des résultats à la licence :

* L+ rassemble les étudiants ayant obtenu leur licence en un an (Juin ou Septembre) avec une mention Bien ou Assez Bien (effectif 13), ceux qui ont eu leur licence en Juin sans mention (effectif 30) ; L+ a donc un effectif de 43 étudiants. 20 d'entre eux sont d'anciens élèves de classes préparatoires, 11 ayant suivi le cycle des deux années.

<footnote n="37">³⁷ En 98, 51 étudiants ont rempli le questionnaire, soit 60,7 % des inscrits Iufm mais 10 redoublants ne sont pas pris en compte dans le dépouillement.</footnote>

<footnote n="38">³⁸ L pour Licence</footnote>
* Lo est formé des 20 étudiants qui ont eu leur licence en un an à la session de Septembre.

* L- réunit les 45 étudiants ayant mis au moins deux ans pour réussir leur licence. Quatre d'entre eux ont effectué un passage en classes préparatoires, 2 seulement pendant deux ans, soit 4,4 % du sous-groupe alors que c'est le cas d'un quart des étudiants de L+. Il est clair que cet aspect est un élément de différenciation entre L+ et L-, les modalités du travail personnel pouvant être durablement influencées par le cursus au sein de l'institution CPGE.

Après la session de Juin 2000, 23 étudiants ont été admis au concours (16 appartiennent à L+, 2 à Lo et 5 à L-) soit 21,3 % de l'échantillon (37,2 % de L+, 10 % de Lo et 11,1 % de L-). Le pourcentage d'admis parmi les inscrits Iufm des années 97-98, 98-99 et 99-2000 est de 10,6 %, le taux plus élevé de réussite parmi les étudiants interrogés, dû aux performances du sous-groupe L+<fnref n="39" />, constitue une spécificité de la population L étudiée.

Terminons cette présentation par une réflexion sur la constitution des trois sous-groupes. Le critère choisi peut être contesté puisque la durée du cursus s'explique chez certains étudiants par des raisons personnelles n'ayant rien à voir avec les compétences mathématiques. C'est ainsi que 5 étudiants de L- ont obtenu une mention Assez Bien (dont 2 ont été reçu au concours), il aurait pu être envisagé de les comptabiliser dans le sous-groupe L+ ; ce n'est pas le choix qui a été fait dans la mesure où nous ne disposions pas d'informations permettant de discriminer les autres étudiants ayant un cursus de deux ans. Il est possible que cette décision ait atténué le contraste entre les sous-groupes L+ et L-. Pour pallier à cet inconvénient, dans l'exploitation du volet fermé du questionnaire, le dépouillement statistique a également été appliqué au sous-groupe (noté L--) de L- formé en éliminant les étudiants ayant obtenu la licence avec une mention et les reçus au Capes (effectif 37) ; mais ceci n'a pas donné lieu à des observations réellement différentes.

## 2. Deuxième population : élèves de classes préparatoires

Nous avons interrogé en Janvier 98 et Janvier 2000 les élèves d'une même<fnref n="40" /> classe de Mathématiques Spéciales MP. Précisons que la section MP n'est pas destinée aux meilleurs éléments autorisés à passer en deuxième année de classes préparatoires.

Ces étudiants sont dans leur deuxième ou troisième année après le baccalauréat alors que ceux de la population L en sont au minimum à leur quatrième année. Il est possible que cet écart se traduise chez certains par une différence de maturité influençant les formes du travail personnel ; il s'agit d'un élément qu'il faut garder à l'esprit dans l'analyse de nos résultats. Par contre, nous ne prendrons pas en compte les variations dans l'organisation de l'enseignement secondaire qui ont eu lieu pendant la période concernant les étudiants interrogés ; nous faisons l'hypothèse qu'il n'y a pas eu de changement notable sur le plan du travail personnel dans la dernière décennie et surtout que c'est avant tout le cursus post-baccalauréat qui a déterminé la forme du travail personnel au moment où les étudiants sont interrogés, pour le groupe L du fait de la durée, pour le groupe MP du fait de la pression exercée par l'institution et de la densité de la formation.

<footnote n="39">³⁹ L'écart entre les proportions d'admis dans L+ et dans la réunion de Lo et de L- est significatif à 99 %.</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰ Nous parlons ici de « la même classe » dans la mesure où c'est le même enseignant qui dans les deux cas assure le cours de mathématiques.</footnote>
En 98, nous avons recueilli 38 réponses exploitables sur un effectif de 43 élèves. Cet échantillon a été divisé en trois sous-groupes de taille sensiblement égales en nous basant sur la moyenne du premier trimestre en mathématiques, la moyenne de la classe étant de 8,3 : le sous-groupe MP+ est constitué des 12 élèves ayant une moyenne supérieure ou égale à 9 (de 15,1 à 9) et MP- des 14 élèves de moyenne inférieure ou égale à 7 (de 7 à 5,3); MPo, sous-groupe médian compte donc 12 éléments.

En 2000, sur une classe de 33 élèves, 28 questionnaires ont été retenus. A partir d'une moyenne de 8,4, les mêmes critères ont permis de constituer un sous-groupe MP+ de 10 éléments (14,1 à 9,9), MPo de 8 et MP- de 10 (6,1 à 4,6).

Au total, nous disposons donc d'une population MP de 66 élèves répartis en trois sous-groupes : MP+, effectif 22, MPo, effectif 20 et MP-, effectif 24⁴¹.

MP compte 18 redoublants, 15 dans MP+, 1 dans MPo et 2 dans MP-

Nous avons choisi de ne pas exploiter les réponses recueillies en 99 pour la raison suivante : dans la classe de 99, sur 31 questionnaires recueillis, 13 provenaient d'élèves déjà interrogés en 98 et ne pouvaient donc être prises en compte, selon le principe utilisé pour le groupe L. Or ces redoublants représentaient 10 des 13 éléments susceptibles d'appartenir au sous-groupe MP+ ; la campagne 99 contribuait donc de manière totalement déséquilibrée à l'échantillon en apportant 3 élèves à MP+ pour 9 à MP-.

<footnote n="41">⁴¹ Dans l'échantillon étudié, les sous-groupes MP+, MPo et MP- représentent respectivement 33%, 30% et 36,4% de l'effectif ; si l'on considère la totalité des élèves des deux classes, la répartition entre les trois catégories utilisées pour créer les sous-groupes +, o et - est : 32,9% pour +, 32,9% pour o et 34,2% pour - ; (chi² : 0,228).</footnote>
### C. Dépouillement du volet n°1 de l'enquête : question ouverte.

Dans cette partie, nous présentons tout d'abord la liste des catégories de connaissances dont le niveau d'utilité a fait l'objet d'une cotation dans les réponses, ce que nous appelons des items. Ceux-ci sont regroupés en quatre groupes constitués sur la base de l'approche théorique adoptée, ces groupes sont abordés successivement dans les parties C.II. à C.V. Pour chaque item, le texte comprend une étude quantitative comparative portant sur le nombre de citations et la répartition des niveaux d'utilité et une étude de contenu. En C.VI., nous dressons un bilan des observations réalisées en donnant notamment un tableau récapitulatif des écarts significatifs mis en évidence.

#### C.I. Première approche du travail effectué.

##### 1. Types de connaissances dont le niveau d'utilité fait l'objet d'une cotation.

Le tableau ci-dessous donne la liste des items rencontrés, suivis de leur nombre d'apparition (il ne s'agit pas d'un nombre d'étudiants car un même item peut apparaître plusieurs fois dans une réponse).

<table><tr><td>Théorèmes</td><td>163</td><td>Exercices*</td><td>129</td><td>Définitions</td><td>121</td><td>Démonstrations</td><td>105</td></tr><tr><td>Exemples</td><td>65</td><td>Méthodes*</td><td>67</td><td>Propriétés*</td><td>37</td><td>Anecdotes</td><td>32</td></tr><tr><td>Applications</td><td>27</td><td>Structure*</td><td>26</td><td>Formules</td><td>25</td><td>Astuces</td><td>20</td></tr><tr><td>Remarques*</td><td>21</td><td>Corollaires</td><td>16</td><td>Contre-exemples.</td><td>15</td><td>Histoire*</td><td>16</td></tr><tr><td>Figures*</td><td>10</td><td>Résultats*</td><td>9</td><td>Lemmes</td><td>9</td><td>Erreurs*</td><td>9</td></tr><tr><td>Examens*</td><td>8</td><td>Hypothèses</td><td>5</td><td>Devoirs*</td><td>5</td><td>Prolongements</td><td>5</td></tr><tr><td>Rappels</td><td>5</td><td>Liens avec<br>autres secteurs</td><td>5</td><td>Cas particuliers</td><td>5</td><td></td><td></td></tr></table>

Les items suivis d'un astérisque ont été obtenus par regroupement de termes cotés considérés comme voisins :

* Exercices* regroupe Exercices (nombre d'occurrences : 118)<fnref n="42" />, TD (10) et Colles (1);

* Méthodes* : Méthodes, Techniques (5), Raisonnements (1), Méthodologie (1)

* Propriétés* : Propriétés (21), Propositions (16)

* Résultats* : Résultats (8), Critères (1)

* Remarques* : Remarques (19), Conseils (1), Mise en garde (1)

* Histoire* : Histoire, Historique, Dates (2), Culture générale (1)

* Figures* : Figures (3), Graphiques (2), Images (2), Schémas (2), Dessins (1)

* Examens* : Examens (5), Partiels (2), Annales (1)

* Erreurs* : Erreurs (6), Difficultés (2), Bêtise (1)

* Devoirs* : Devoirs (2), Problèmes (3)

* Prolongements : Approfondissements, Prolongements, Extrapolation du cours au niveau supérieur, Aboutissements, Limites du programme.

* Rappels : Souvenirs de Deug (1), Bases de Deug (1), Rappels (3).

* Liens avec d'autres secteurs des mathématiques : Rapport avec d'autres thèmes du programme, d'autres UV.

<footnote n="42">⁴² La convention suivante sera utilisée dans tout le texte : entre parenthèses, le nombre d'occurrences d'un item donné dans une population donnée ; entre crochets, le niveau d'utilité attribué à un item.</footnote>
L'item *Structure* regroupe des termes assez divers correspondant à une idée de structuration du cours et/ou de prise de recul à un niveau général (cf C.III.5. pour plus de précision).

Par ailleurs, trois items ont été constitués d'une manière un peu différente puisque les termes qui y sont pris en compte ne font pas systématiquement l'objet d'une cotation mais interviennent dans certaines réponses au sein des commentaires.

L'item *Professeur*\* (16) concerne les différentes apparitions des termes « Professeurs » ou « Enseignants » (cf Annexe II.).

L'item *Apprendre* (14) regroupe les passages dans lesquels des étudiants expriment certaines idées concernant leurs méthodes d'apprentissage.

Enfin certaines réponses expriment l'importance accordée à la compréhension, elles sont regroupées dans l'item *Comprendre* (7) que nous prolongerons par quelques termes apparus une seule fois qui marquent sans doute une certaine réticence par rapport au poids donné par la question elle-même à la mémoire : *Facteur chance* [4], *Improvisation* [3], *Intuition* [3].

On remarquera que ces derniers items ne constituent pas réellement des réponses à la question formulée, ce qui explique sans aucun doute leur faible fréquence ; que dans ce contexte les étudiants aient tenu à les formuler constitue un indicateur de l'importance qu'ils leur accordent personnellement.

## 2. Analyse a priori des items.

Dans la liste des items cités précédemment, nous définissons plusieurs catégories qui seront étudiées successivement.

Les deux premiers groupes constitués comprennent les items que nous analysons a priori comme renvoyant à des rubriques usuelles du texte du savoir mathématique tel qu'il apparaît dans les manuels de l'enseignement supérieur, la plupart fort peu différents des manuels de synthèse rédigés sur un domaine donné à l'intention des mathématiciens, ces rubriques évoquent donc l'organisation classique du texte du savoir savant :

* Groupe 1 : *Définitions, Théorèmes, Propositions, Propriétés, Lemmes, Corollaires, Résultats, Formules*;

* Groupe 2 : *Démonstrations, Exemples, Contre-exemples, Applications*.

Le premier groupe rassemble les items référant aux énoncés institutionnalisant des définitions et des résultats mathématiques, il s'agit clairement d'éléments de savoirs communiqués par l'enseignant dans le dispositif d'enseignement appelé *Cours* en classe préparatoire et *Cours magistral* à l'université, des éléments qui vont prendre place dans ce que l'on appelle usuellement le cours, noté par les étudiants, et que nous désignerons par l'expression « *texte du cours*^43».

Les items du groupe 2 sont plus ambigus, ils peuvent renvoyer à des connaissances issues de la pratique propre des étudiants (ainsi, un exemple peut avoir été rencontré dans un exercice). Néanmoins, nous faisons l'hypothèse que les catégories considérées sont largement alimentées par le cours ; ceci nous conduit à supposer que leur fonction

<footnote>^43 Précisons que, conformément à l'usage courant, le texte du cours est dans certains cas une partie seulement des écrits consignés par l'étudiant dans le cadre du dispositif « Cours » dans la mesure où celui-ci ne consiste pas nécessairement en un exposé continu de l'enseignant et peut comprendre des phases de résolution d'exercices, c'est en particulier le cas en classe préparatoire.</footnote>
première est vraisemblablement l'assimilation du savoir savant exposé et qu'elles sont d'abord organisées autour des objets centraux du texte du cours que sont les concepts et les théorèmes (Groupe 1). Ainsi, on parlera de la démonstration d'un théorème et plutôt de la solution d'un problème ; les exemples et contre-exemples viseront à cerner le contenu d'une définition ou à pointer la portée et les limites d'un théorème ; quant aux applications, si elles sont bien a priori orientées vers l'investissement dans des problèmes, il reste qu'elles sont étiquetées par le théorème qu'il s'agit d'appliquer.

Les analyses développées dans la section A.II. nous conduisent à considérer que ce mode de structuration n'est pas suffisant pour aborder des épreuves comme celles du Capes pour lesquelles les connaissances évoquées doivent être envisagées dans une perspective pratique de résolution, réinterprétées en tant que connaissances sur des problèmes et des types de problèmes. Or, notre hypothèse est que cette relecture et cette réorganisation ne sont guère favorisées par le cadre institutionnel, qu'elles reposent largement sur le travail personnel des étudiants et sont donc inégalement réalisées selon les individus.

En résumé, le groupe 2 réunit des connaissances44 dont nous soupçonnons a priori que, primitivement orientées vers la compréhension du cours, elles peuvent, chez de nombreux étudiants, ne pas avoir été mises « en bon ordre de marche » pour affronter des épreuves de type Capes.

Les items considérés dans les deux derniers groupes sont d'origine liés à la résolution de problèmes ce qui les différencie des précédents :

* Groupe 3 : il s'agit des items *Méthodes et Astuces* à la suite desquels nous nous intéresserons aux apparitions, comptabilisées au sein de l'item *Exercices*, de termes renvoyant à l'idée d'Exercices-types et aux *Erreurs*.

* Groupe 4 : *Exercices, Examens, Devoirs*.

Les éléments du groupe 3 font référence à des **connaissances sur le fonctionnement mathématique**. Selon nos hypothèses, ces connaissances ne sont que fort peu insérées dans le texte du savoir élaboré dans les cours ce qui les distingue des items des groupes 1 et 2, elles sont en majorité présentées aux étudiants à travers des résolutions et leur intervention est plus ou moins mise en évidence<fnref n="45" />. Pour chacune des catégories envisagées, les termes utilisés marquent que la connaissance en jeu est explicitement distinguée, extraite de l'une ou l'autre des solutions où elle a pu être mise en œuvre, par décontextualisation pour les méthodes et astuces, par attribution d'une valeur générique dans le cas des exercices-types. Les connaissances ainsi évoquées sont clairement considérées dans une perspective de réinvestissement et portent la marque d'une

<footnote n="44">44 D'autres items peuvent également être associés au texte du cours : *Hypothèses, Remarques, Figures, Prolongements, Rappels, Liens avec d'autres secteurs de mathématiques, Structuration du cours* ; seul le dernier apporte quelques éléments intéressants, il sera examiné à la suite des items du groupe 2, les autres, peu cités, seront abordés dans l'annexe II où l'on trouvera également les citations concernant les items *Professeur, Apprendre et Comprendre*.</footnote>

<footnote n="45">45 Nous pensons que la non prise en charge par le texte du cours des connaissances sur le fonctionnement mathématique prend à l'université la forme renforcée d'une non prise en charge par le Cours magistral lui-même, l'organisation pédagogique (dichotomie cours/TD avec enseignants distincts, importance horaire des TD par rapport au cours) favorisant une focalisation exclusive du cours magistral sur le savoir savant ; la situation est différente en classe préparatoire où deux heures seulement sont réservées à des TD, les 10 heures restantes considérées comme Cours ne sont pas exclusivement consacrées à l'exposé du savoir, elles comprennent des phases d'exercices : nous faisons l'hypothèse qu'une telle organisation est susceptible de favoriser la mise en évidence par l'enseignant de connaissances sur le fonctionnement mathématique.</footnote>
certaine organisation du champ des problèmes. Sont-elles assez diversifiées pour affronter l'écrit du Capes ? Nous n'en savons rien : les types de problèmes peuvent être plus ou moins restreints, plus ou moins liés à des résultats du cours, les méthodes sélectionnées peuvent être plus ou moins algorithmiques. Les items du groupe 3 restent cependant ceux qui évoquent le plus nettement les connaissances sur le fonctionnement mathématique<sup>46</sup> dont nous mettons en avant le rôle dans les épreuves du Capes.

Les items du dernier groupe ont pour trait commun d'évoquer de manière globale l'activité mathématique propre des étudiants ou les solutions d'exercices, de devoirs ou d'examens. Ils sont peu explicites et peuvent donc aussi bien renvoyer aux types de connaissances évoquées dans le groupe 3 qu'à des connaissances beaucoup plus locales et conjoncturelles, finalisées par des épreuves d'examens aux formes relativement circonscrites<sup>47</sup>.

### 3. Une différence notable de comportement vis à vis du questionnaire entre étudiants de Capes et élèves de Spéciales.

Avant d'en venir à l'analyse des différentes catégories d'items définies ci-dessus, nous devons signaler une différence entre les étudiants préparant le Capes et les élèves de la classe préparatoire (que nous désignerons désormais comme Spéciales MP) qui devra être prise en compte dans toutes les interprétations. Elle concerne le nombre moyen d'items cotés par réponse qui est nettement plus élevé dans le premier groupe :

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><td>Non-réponses.</td><td>6</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><td>Réponses</td><td>37</td><td>19</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>99</td><td>64</td><td>63</td></tr><tr><td>Nbre moyen d'items cotés</td><td>6,76</td><td>5,79</td><td>6,93</td><td>5,43</td><td>5,45</td><td>5</td><td><strong>6,65</strong></td><td><strong>5,28</strong></td><td>6,11</td></tr></tbody></table>

(Entre L et MP, différence significative au seuil de 0,01%<sup>48</sup>).

Dans la suite de l'étude, nous verrons que, parmi les items relativement fréquents, plusieurs sont effectivement moins cités par les étudiants de Spéciales MP (*Propositions et Propriétés, Démonstrations*) mais le phénomène inverse existe également (*Formules, Méthodes*). Par contre, les items rares apparaissent surtout chez les étudiants de Capes.

Plusieurs éléments d'interprétation doivent être envisagés. Il est possible que le fort encadrement en vigueur en classes préparatoires conduisent les élèves à une concentration sur un petit nombre d'objets liés au travail prescrit alors que la plus grande autonomie laissée aux étudiants à l'université favorise la diversification des sources de réflexion et corrélativement des modes de travail ce qui pourrait expliquer la présence d'items plus variés mais relativement peu représentés.

Mais nous ne pouvons exclure un certain biais lié à la relation des étudiants interrogés avec l'auteur de l'enquête. Pour les élèves de Spéciales MP, il s'agit d'une enquête présentée par le professeur de mathématiques de la classe certes mais venue de l'extérieur de l'institution. Pour les étudiants préparant le Capes, le questionnaire est proposé par une enseignante intervenant dans la préparation au concours. Cette différence peut avoir provoqué chez les seconds une plus grande implication dans la

<footnote n="46"><sup>46</sup> L'item *Erreurs* est également considéré dans ce groupe pour la raison suivante : en réfléchissant sur ses propres erreurs, l'étudiant est amené à analyser certains points spécifiques du fonctionnement mathématique, mis en exergue par l'échec.</footnote>

<footnote n="47"><sup>47</sup> Ce point sera précisé par la question II du volet fermé.</footnote>

<footnote n="48"><sup>48</sup> Pour L, écart type = 1,986, pour MP, écart-type = 1,527 ; t = 4,291</footnote>
recherche d'items à citer que chez les premiers. Cette interprétation nous impose une
certaine prudence dans les analyses qui vont être maintenant développées ; elle nous
conduira en particulier à ne tirer aucune conclusion de la quasi-absence de certains
items rares en Spéciales MP.

C.II. Groupe 1 : Items concernant les énoncés institutionnalisant les définitions et résultats mathématiques.

1. Définitions (121, 121)<fnref n="49" />

Pour cet item, les étudiants n'ont jamais fourni de réponses multiples : le nombre d'occurrences est donc ici un nombre d'étudiants.

* Etudiants ayant mentionné l'item *Définitions*

Le tableau ci-dessous donne en Ligne 2 le nombre d'étudiants ayant répondu effectivement à ce volet de l'enquête, en Ligne 3 le nombre d'étudiants mentionnant l'item *Définitions* ; la fréquence figurant en dernière ligne est le rapport de la troisième ligne à la deuxième (comparaison aux étudiants ayant répondu).

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><th>Réponses</th><td>37</td><td>19</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>99</td><td>64</td><td>163</td></tr><tr><th>Avec Def</th><td>31</td><td>14</td><td>31</td><td>14</td><td>14</td><td>17</td><td>76</td><td>45</td><td>121</td></tr><tr><th>Fréquence</th><td>0,838</td><td>0,737</td><td>0,721</td><td>0,667</td><td>0,7</td><td>0,739</td><td>0,768</td><td>0,703</td><td>0,742</td></tr></tbody></table>

* Importance accordée à l'item *Définitions* lorsqu'il est mentionné.

Le tableau de gauche ci-dessous contient le nombre d'occurrences des différents niveaux de cotation pour l'item *Définitions* ; la dernière colonne est obtenue en sommant les quatre précédentes. Celui de droite donne la proportion de chaque niveau d'utilité<fnref n="50" /> par rapport au nombre total d'occurrences dans la population considérée (dernière colonne du tableau de gauche) ; la contribution de chaque population au nombre total d'occurrences figure en proportion dans la dernière colonne.

Autrement dit, si $n_{i,j}$ (resp $f_{i,j}$) est le terme de la ligne i et de la colonne j du premier (resp. second) tableau, on a, pour $j = 2,...,5$, $f_{i,j} = n_{i,j} / n_{i,6}$ et $f_{i,6} = n_{i,6} / n_{10,6}$.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>27</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>31</td><th>L+</th><td>0,871</td><td>0,129</td><td>0</td><td>0</td><td>0,256</td></tr><tr><th>Lo</th><td>13</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>14</td><th>Lo</th><td>0,929</td><td>0</td><td>0,071</td><td>0</td><td>0,116</td></tr><tr><th>L-</th><td>29</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>31</td><th>L-</th><td>0,935</td><td>0,032</td><td>0</td><td>0,032</td><td>0,256</td></tr><tr><th>MP+</th><td>7</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>14</td><th>MP+</th><td>0,5</td><td>0,429</td><td>0,071</td><td>0</td><td>0,116</td></tr><tr><th>MPo</th><td>11</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>14</td><th>MPo</th><td>0,786</td><td>0,214</td><td>0</td><td>0</td><td>0,116</td></tr><tr><th>MP-</th><td>15</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>17</td><th>MP-</th><td>0,882</td><td>0,118</td><td>0</td><td>0</td><td>0,140</td></tr><tr><th>L</th><td>69</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>76</td><th>L</th><td>0,908</td><td>0,066</td><td>0,013</td><td>0,013</td><td>0,628</td></tr><tr><th>MP</th><td>33</td><td>11</td><td>1</td><td>0</td><td>45</td><th>MP</th><td>0,733</td><td>0,244</td><td>0,022</td><td>0</td><td>0,372</td></tr><tr><th>Tous</th><td>102</td><td>16</td><td>2</td><td>1</td><td>121</td><th>Tous</th><td>0,843</td><td>0,132</td><td>0,017</td><td>0,008</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<footnote n="49">⁴⁹ Le premier nombre donné entre parenthèses est le nombre d'étudiants mentionnant l'item considéré, le second est le nombre total d'occurrences ; cette convention sera utilisée pour tous les items étudiés dans la suite.</footnote>

<footnote n="50">⁵⁰ Rappel : 4 : indispensable ; 3 : souvent utile ; 2 : plutôt inutile ; 1 : superflu.</footnote>
## Eléments de comparaison<fnref n="51" />

L cite plus cet item que MP, L+ plus que L- et MP+ moins que MP- mais il n'y a pas de différence significative.

Parmi ceux qui ont cité l'item, les élèves de Spéciales considèrent significativement moins souvent la connaissance des *Définitions* comme indispensable que les étudiants préparant le Capes : MP < L. On retrouve cette même différence de comportement entre les sous-groupes forts et faibles : L+ ∪ MP+ < L- ∪ MP-.

Au niveau des proportions d'étudiants citant *Définitions*, l'écart le plus important concerne L+ et MP+ (L+>MP+) mais les conditions de validité du test d'homogénéité ne sont pas réunies (note 33).

L'écart entre les proportions du niveau [4] dans les groupes MP et L est significatif au seuil de 2% (test bilatéral t = 2,551): MP < L.

Une différence de comportement analogue se retrouve au sein de MP entre les élèves de MP+ et ceux de MP- (MP+ < MP-); l'écart entre les proportions de niveau [4] est net. Un tiers des élèves de MP+ ne mentionne pas l'item considéré, un tiers lui attribue un niveau d'utilité strictement inférieur à 4, autrement dit un tiers seulement des élèves de MP+ reconnaissent spontanément la connaissance des définitions comme indispensable.

Dans L, on observe de manière très atténuée un phénomène analogue (L+ < L-) mais L+ a plus cité cet item que L-. Dans les deux cas, les effectifs des niveaux 3, 2 et 1 sont trop faibles pour pouvoir effectuer un test. Par contre, la différence est significative au seuil de 4% (t = 2,111) pour la réunion des groupes L+ et MP+ opposée à la réunion de L- et MP-.

Nous ne présenterons pas d'analyse qualitative pour cet item dont la formulation est toujours laconique.

## 2. Théorèmes (160, 163)

### a. Etude quantitative

Tous les étudiants sauf 3 mentionnent l'item *Théorèmes*, ce qui n'a rien d'étonnant compte tenu de la formulation de la question posée.

Concernant l'importance accordée à cet item, les tableaux ci-dessous ont la même signification que dans le cas précédent. Remarquons cependant que 3 étudiants de L+ ont fourni des réponses multiples en ce sens qu'ils attribuent à *Théorèmes* plusieurs niveaux d'utilité (voir ci-dessous l'analyse qualitative pour plus de détails), il s'agit donc cette fois de nombre d'occurrences de l'item et non de nombres d'étudiants.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>31</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>38</td><th>L+</th><td>0,816</td><td>0,158</td><td>0,026</td><td>0</td><td>0,233</td></tr><tr><th>Lo</th><td>14</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>18</td><th>Lo</th><td>0,778</td><td>0,222</td><td>0</td><td>0</td><td>0,110</td></tr><tr><th>L-</th><td>34</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>43</td><th>L-</th><td>0,791</td><td>0,209</td><td>0</td><td>0</td><td>0,264</td></tr><tr><th>MP+</th><td>16</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>21</td><th>MP+</th><td>0,762</td><td>0,190</td><td>0,048</td><td>0</td><td>0,129</td></tr><tr><th>MPo</th><td>20</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td><th>MPo</th><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,123</td></tr><tr><th>MP-</th><td>23</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>23</td><th>MP-</th><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,141</td></tr><tr><th>L</th><td>79</td><td>19</td><td>1</td><td>0</td><td>99</td><th>L</th><td>0,798</td><td>0,192</td><td>0,010</td><td>0</td><td>0,607</td></tr><tr><th>MP</th><td>59</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>64</td><th>MP</th><td>0,922</td><td>0,062</td><td>0,016</td><td>0</td><td>0,393</td></tr><tr><th>Tous</th><td>138</td><td>23</td><td>2</td><td>0</td><td>163</td><th>Tous</th><td>0,847</td><td>0,141</td><td>0,012</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<footnote n="51">⁵¹ Dans toutes les phases d'analyse quantitative que comporte cette section C. nous adopterons la présentation suivante : en tête, un résumé des différences significatives mises en évidence puis, en caractères plus petits, les analyses quantitatives elles-mêmes dans les cas où elles sont longues ; ceci devrait permettre au lecteur qui le souhaite de s'en tenir aux principaux résultats.</footnote>
# Eléments de comparaison

Les proportions d'occurrences de l'item considéré au niveau d'utilité [4] par rapport à l'ensemble des occurrences dans L et dans MP peuvent être considérées comme significativement différentes, au seuil de 4% ($t = 2,143$) : $L < MP$.

Dans le groupe L, les proportions sont voisines pour les trois sous-groupes ; dans MP, les sous-groupes MPo et MP- considèrent unanimement la connaissance des théorèmes comme indispensable, c'est seulement le cas de 76 % des élèves de MP+, pourcentage le plus faible des six sous-groupes de niveau.

## b. Etude qualitative

* Comme nous l'avons déjà signalé, 3 étudiants du groupe L+ (n°12, 30 et 42⁵²) attribuent plusieurs niveaux d'utilité à l'item *Théorèmes* :

« *Théorèmes* les plus importants [4]. Autres *Théorèmes* [2] »

« *Théorèmes* la plupart sont indispensables [4], d'autres *Théorèmes* [3]. »

« *Théorèmes* [4]. *Corollaires* ou *Théorèmes* pas utilisés en TD [3]. »

La dernière citation fait apparaître comment l'étudiant s'appuie sur les activités développées en TD pour différencier les éléments donnés dans le texte du cours magistral.

* On retrouve des éléments du même ordre dans des réponses qui, sans attribuer plusieurs niveaux d'utilité, effectuent une sélection dans le corpus des théorèmes (*Théorèmes* (les plus) fondamentaux, (les plus) importants, qui revêtent une importance particulière, les principaux *Théorèmes*). Ceci concerne 10 étudiants<fnref n="53" /> tous dans L.

Citons deux réponses particulièrement intéressantes pour l'aperçu qu'elles nous donnent sur le fonctionnement du travail personnel de l'étudiant.

n° 64 : « Définitions [4]. *Théorèmes* [4] qui revêtent une importance particulière ; je m'explique, théorèmes nominatifs (Dini, Heine, Bolzano-Weierstrass, Cayley-Hamilton, Thalès etc.), dont la démonstration n'est pas triviale et nécessite l'emploi de plusieurs propositions précédemment vues, qui énonce un résultat général non évident. Autres *Propositions* [3]. »

Cet étudiant<fnref n="54" /> s'appuie notamment sur une analyse mathématique pour repérer les théorèmes importants. Il met également en évidence le rôle joué par la dénomination des énoncés grâce aux noms des mathématiciens, élément retrouvé chez un autre étudiant.

La seconde réponse présente un intérêt différent ; elle explicite en quoi le travail d'apprentissage peut être différencié suivant l'importance accordée aux énoncés considérés ; au passage, on voit très bien comment le travail sur les exercices peut être orienté vers l'apprentissage du cours.

n° 98 : « Apprendre les Définitions [4] (afin de savoir de quoi on parle). Retenir les théorèmes : les *Théorèmes* [4] importants : les apprendre [4] et faire quelques exercices d'Applications simples [3] pour pouvoir les utiliser rapidement ou pour repérer leur domaine ou le cadre de leur utilisation plus rapidement ; les théorèmes moins utilisés :

<footnote n="52">⁵² Lorsque nous citons une réponse, nous indiquons le numéro de celle-ci dans la liste des réponses qui figure dans l'annexe I.</footnote>

<footnote n="53">⁵³ Dont le n°12.</footnote>

<footnote n="54">⁵⁴ Le profil de cet étudiant est assez particulier : après trois ans de classes préparatoires, il a mis deux ans pour obtenir sa licence, ce qui fait qu'il est classé dans le groupe L-, mais avec mention Assez Bien ; il est titulaire d'un DEA ; redoublant la préparation au Capes lorsqu'il répond à ce questionnaire, il sera admis au Capes à la fin de l'année. C'est un étudiant très réfléchi qui dès ses débuts dans l'enseignement en seconde année d'Iufm manifestera un intérêt relativement rare pour la didactique.</footnote>
visualiser leur domaine d'action par des exercices types qui permettent en même temps de les retenir sans avoir à apprendre "par cœur" ; les Propriétés [4] : apprendre [4] par cœur les plus utilisées et savoir retrouver [4] à partir d'une propriété, les autres qui en découlent (pour limiter la quantité à apprendre). »

Au total, ce sont 12 étudiants préparant le Capes qui expriment une certaine différenciation du niveau d'utilité à l'intérieur du corpus des Théorèmes (6 dans L+, 1 dans Lo et 5 dans L-). Aucun des élèves de classes préparatoires ne manifeste ce comportement.

L'étude des autres items relevant de la nomenclature usuelle des énoncés mathématiques nous permettra de pousser plus loin la recherche de telles variations dans l'attitude vis à vis du cours magistral.

* Notons pour finir le cas de deux étudiants (n° 95 et 100 dans L-) qui ont répondu en différenciant les UV considérées et ne citent les Théorèmes que pour certains domaines (Mesure et Topologie pour le premier, Algèbre pour le second), se contentant de faire référence aux Exercices ou aux Travaux Dirigés pour les autres (Algèbre, Espace de Hilbert et Analyse de Fourier pour le premier, Mesure pour le second). On remarquera l'absence de position commune sur les UV envisagées.

### 3. Propriétés, Propositions, Résultats, Critères (41,42)

#### a. Etude quantitative.

Nous allons rassembler dans le même tableau les occurrences des items Propriétés, Propositions, Résultats, Critères. Tous les étudiants concernés ont également mentionné l'item « Théorèmes ». Ils sont au nombre de 42 : 3 étudiants citent deux de ces items au même niveau, les réponses en question ne sont comptées qu'une seule fois dans le tableau ci-dessous ; par contre, 1 étudiant de L- attribue une cotation [4] aux Propositions et [2] aux Résultats obtenus en Travaux Dirigés, sa réponse intervient donc deux fois.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>10</td><td>0,270</td></tr><tr><td>Lo</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>0,211</td></tr><tr><td>L-</td><td>11</td><td>5</td><td>1</td><td>0</td><td>17</td><td>0,372</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>0,238</td></tr><tr><td>MPo</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,15</td></tr><tr><td>MP-</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,130</td></tr><tr><td>L</td><td>17</td><td>12</td><td>2</td><td>0</td><td>31</td><td>0,303</td></tr><tr><td>MP</td><td>4</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>11</td><td>0,172</td></tr><tr><td>Tous</td><td>21</td><td>19</td><td>2</td><td>0</td><td>42</td><td>0,252</td></tr></tbody></table>

La dernière colonne donne le rapport du nombre d'étudiants ayant mentionné l'un ou l'autre de ces items au nombre d'étudiants ayant répondu.
## Eléments de comparaison

Dans L, la proportion d'étudiants mentionnant l'un ou l'autre de ces items au sein de ceux qui ont répondu est de 0,303, dans MP, elle est de 0,172. Ces deux proportions peuvent être considérées comme distinctes au seuil de 5 % (t = 1,884)<fnref n="55" /> : L > MP.

Dans le groupe L, les proportions dans L+ et dans Lo sont inférieures à la proportion dans L- mais la différence entre L+ et L- n'est pas significative (entre L+∪Lo et L-, l'écart est faiblement significatif, seuil de 13 %).

### b. Recherche d'une attitude différenciatrice.

Nous nous proposons ici de comparer les niveaux d'utilité attribués par les étudiants aux items *Théorèmes, Propriétés, Propositions, Résultats et Critères* de façon à distinguer ceux qui introduisent une certaine hiérarchie dans l'ensemble des résultats énoncés dans le cours magistral. Ce questionnement nous a été suggéré par certains des éléments déjà présentés : les définitions sont jugées moins souvent indispensables dans les groupes forts, quelques élèves de la population L manifestent une attitude sélective vis à vis des théorèmes mais ils sont également représentés dans L+ et L-. L'apprentissage différencié des résultats énoncés dans le cours est-il un comportement plus fréquent chez les meilleurs étudiants ? Telle est la question à laquelle nous cherchons maintenant à apporter quelques éléments de réponse.

#### * Nombre d'étudiants non différenciateurs

Il s'agit des réponses qui citent deux au moins des items qui nous intéressent maintenant et attribuent à tous la même cotation :
L+ : 5 sur 10 étudiants concernés ; Lo : 2 sur 4 ; L- : 13 sur 16 ; au total dans L : 20 sur 30
MP+ : 1 sur 5 ; MPo : 2 sur 3 ; MP- : 2 sur 3 ; au total dans MP : 5 sur 11.

Si l'on compare les deux groupes L et MP, les deux proportions (0,667 pour L, 0,455 pour MP) ne sont pas significativement différentes.

Par contre, il y a une différence significative entre les sous-groupes de niveau : les étudiants non différenciateurs sont significativement moins nombreux dans L+∪MP+ que dans le reste de la population : L+∪MP+ < Lo∪L-∪MPo∪MP-.

Dans L, les étudiants non différenciateurs sont plus nombreux dans L- que dans la réunion des deux autres sous-groupes (dans L-, 81,2 % de l'effectif de ceux qui ont cité plusieurs items concernant les énoncés pour 50 % dans L+ et Lo). Ces étudiants représentent dans L- 30,2 % des réponses, ce qui constitue une tendance forte, et seulement 13,2 % dans le reste de L.

Dans MP, le sous-groupe MP+ contient moins d'étudiants non différenciateurs que MPo et MP-. Aucun test d'homogénéité ne peut cependant être effectué du fait de l'insuffisance des effectifs.

Par contre, si l'on compare la réunion des deux sous-groupes forts au reste de l'échantillon, l'écart est significatif au seuil de 4 % (t = 2,091) : L+∪MP+ < Lo∪L-∪MPo∪MP-.

Ceci étant noté, il faut néanmoins signaler que les étudiants considérés ne représentent que 10,3 % des réponses dans L+∪MP+ et 18,1 % dans le reste de la population ; l'écart entre ces deux pourcentages n'est plus significatif (t = 1,314).

<footnote n="55">⁵⁵ Si on ne prend en compte que les items *Propriétés et Propositions*, les proportions sont de 0,273 pour L et 0,109 pour MP, significativement différentes au seuil de 2%.</footnote>
* **Nombre d'étudiants différenciateurs**

Dans cette partie de l'étude, nous rassemblons plusieurs types de réponses : d'une part, celles qui mentionnent deux au moins des items étudiés ici, avec des niveaux d'utilité différents (nous y intégrons les étudiants envisagés dans la partie 2.b. qui attribuent plusieurs cotations à l'item *Théorèmes*), d'autre part, les réponses qui sélectionnent une partie du corpus possible. Le résultat de ce travail est donné dans le tableau suivant dont la deuxième ligne donne l'effectif des étudiants ayant mentionné l'item *Théorèmes*, la troisième celui des différenciateurs et la quatrième la proportion de la troisième ligne à la deuxième :

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><td>Citant <i>Théorèmes</i></td><td>35</td><td>18</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>96</td><td>64</td><td>160</td></tr><tr><td>Différenciateurs</td><td>11</td><td>3</td><td>7</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>21</td><td>6</td><td>27</td></tr><tr><td>Fréquence</td><td>0,314</td><td>0,167</td><td>0,163</td><td>0,190</td><td>0,05</td><td>0,04</td><td>0,219</td><td>0,094</td><td>0,169</td></tr></tbody></table>

La proportion des étudiants différenciateurs est significativement plus élevée dans L que dans MP, dans L+ que dans le reste de L. Cette différence entre forts et faibles est également présente dans MP et le regroupement des deux populations conduit à un écart significatif : $L+ \cup MP+ > Lo \cup L- \cup MPo \cup MP-$.

Notons que ces éléments portent sur la quasi-totalité des étudiants interrogés puisque toutes les réponses sauf 3 mentionnent les *Théorèmes*, ils sont donc nettement plus significatifs que les écarts mis en évidence à propos de l'attitude non différenciatrice ; ceux-ci se trouvent néanmoins confirmés par la cohérence des observations.

Entre L et MP, l'écart est significatif au seuil de 4 % (t = 2,068).

Pour le groupe L, la proportion d'étudiants différenciateurs est plus élevée dans L+ que dans la réunion des deux autres sous-groupes (au seuil de 9 %, t = 1,715) ; entre L+ et L-, la relation d'ordre est la même mais avec une significativité moindre (seuil de 12 %, t = 1,579). Signalons que deux étudiants de L seulement (respectivement dans Lo et L-) introduisent une différenciation entre *Théorèmes* et *Résultats* ; dans les deux cas, ils font explicitement référence à « des résultats vus en TD ou trouvés dans des livres », c'est-à-dire que la hiérarchisation ne concerne pas les énoncés du cours magistral. Si l'on s'en tient aux items *Théorèmes*, *Propositions* et *Propriétés*, on constate que la relation d'ordre entre L+ et le reste du groupe L est la même avec une significativité plus élevée (au seuil de 4 %), de même entre L+ et L- (au seuil de 7%).

Enfin, on constate dans MP la même tendance à plus différencier dans MP+ que dans les deux autres sous-groupes de niveau mais les effectifs concernés sont très faibles. Le regroupement de L+ et MP+ d'une part, des quatre autres sous-groupes d'autre part confirme la différence significative de comportement (seuil de 2%, t = 2,456). Si l'on compare $L+ \cup MP+$ à $L- \cup MP-$ l'écart est significatif au seuil de 4 % (t = 2,063).

## 4. Lemmes (9,9), Corollaires (16,16)

Dans le cadre d'un effectif limité de réponses concernées, l'étude des apparitions des items *Lemmes* et *Corollaires* confirme les phénomènes relevés dans la partie 3, c'est-à-dire que ces items apparaissent quasi exclusivement dans les réponses du groupe L et que seuls des étudiants du sous-groupe L- les placent au même niveau d'utilité que les *Théorèmes* :

Dans L, 8 apparitions de *Lemmes* (2 dans L+, 1 dans Lo, 5 dans L-), 1 seule fois au même niveau que *Théorèmes*, dans L- ; 16 apparitions de *Corollaires* (7 dans L+, 1 dans Lo, 8 dans L-), 5 fois au même niveau que *Théorèmes*, uniquement dans L-.
Dans MP : 1 apparition de *Lemmes* (dans MPo, au niveau [4]) et aucune de *Corollaires*.

Sur le plan du contenu, les formulations, très laconiques, ne fournissent guère matière à réflexion. Citons la réponse n° 34 qui relativise l'importance accordée aux *Corollaires* « [2] si ils se déduisent immédiatement du théorème » ; on trouve ici une des rares explicitations d'une stratégie différenciée d'apprentissage.

## 5. Formules (24, 25)

Les étudiants qui mentionnent l'item *Formules* ont tous sauf un mentionné l'item Théorèmes.

Un étudiant (n°61, Lo) apporte une réponse multiple en différenciant les « *formules* mathématiques pouvant être retrouvées [3] des autres *formules* mathématiques [4] » (peut être rapproché de la réponse n°34 qui vient d'être évoquée).

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0,216</td></tr><tr><td>Lo</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,105</td></tr><tr><td>L-</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0,023</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>0,095</td></tr><tr><td>MPo</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>6</td><td>0,3</td></tr><tr><td>MP-</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>5</td><td>0,217</td></tr><tr><td>L</td><td>7</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>12</td><td>0,111</td></tr><tr><td>MP</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>1</td><td>13</td><td>0,203</td></tr><tr><td>Tous</td><td>11</td><td>9</td><td>4</td><td>1</td><td>25</td><td>0,153</td></tr></tbody></table>

La dernière colonne donne la proportion du nombre d'étudiants ayant mentionné l'item considéré par rapport à l'effectif des réponses.

## Eléments de comparaison

La proportion des étudiants citant l'item *Formules* dans l'effectif total des réponses est plus élevée chez les élèves de Spéciales MP, ce qui n'est pas anodin compte tenu de la tendance constatée dans ce groupe à proposer une liste réduite d'items : MP > L au seuil de 11% (t = 1,618).

Sur le plan des sous-groupes de niveau, les deux institutions considérées diffèrent puisque dans L, c'est L+ qui mentionne le plus l'item étudié (la proportion est comparable à celle de MP) alors que dans MP, MP+ est le sous-groupe qui le cite le moins souvent.

Si l'on s'intéresse à la hiérarchisation des items dans les réponses qui mentionnent à la fois *Formules* et *Théorèmes*, on constate que, dans L, 8 des citations sur 12 situent les deux au même niveau (6 sur 8 dans L+) alors que dans MP la proportion est de 2 sur 13 (deux élèves de MP-). La proportion la plus élevée de réponses non différenciatrices se trouve dans le sous-groupe L+.

Donc les élèves de Spéciales MP mentionnent plus l'item *Formules*, surtout dans les deux sous-groupes de niveau MPo et MP-, mais majoritairement relativisent son importance. Les étudiants de Capes citent moins l'item considéré mais sont au contraire proportionnellement plus nombreux à le mettre sur le même plan que
*Théorèmes, ceci étant particulièrement le cas du groupe L+*. Il est possible que cette observation soit liée à une différence entre les institutions Université et Classes Préparatoires quant à la place accordée aux formulaires et à la calculatrice, dans les épreuves d'évaluation notamment.

Terminons en citant les étudiants qui donnent quelques précisions sur les formules qu'ils considèrent :

*n° 2 : « Théorèmes [4]. Formules à se souvenir [4] (ex : D.L. si chapitre sur les Développements Limités, formules de $a_n$ et $b_n$ dans le chapitre des coefficients de Fourier avec formule de Parseval).*

*n° 24 : « Formules utilisables dans plusieurs domaines [3] »*

*n° 109 : « Des Formules [2] (telles que les formules de trigo ...). »*

*n° 138 : « Formules [2] (D.L., Développements en Séries Entières, ...). »*

*n° 156 : « Formules classiques en analyse [4] (trigo, calcul d'intégrales, etc.). »*

Deux réponses (n°61, 151) relativisent l'utilité des « formules faciles à retrouver ».

Enfin 3 étudiants de L précisent sans en dire plus qu'ils appliquent une certaine sélection (« les formules les plus importantes », « des formules »).

# 6. Eléments de synthèse.

## a. Comparaison des groupes L et MP.

*Définitions et Théorèmes* sont les éléments du cours les plus souvent cités par les étudiants : le premier item apparaît dans près de trois quarts des réponses, le second qui apparaissait dans la question, n'est omis que trois fois. Dans les deux groupes, les fréquences d'apparition sont voisines ; c'est au niveau des cotations que L et MP se différencient de manière significative : les étudiants de L considèrent plus souvent que ceux de MP la connaissance des définitions comme indispensable (91 % des occurrences de cet item dans L, 73 % dans MP), c'est l'inverse pour les théorèmes (80 % dans L, 92 % dans MP). Les autres éléments de la taxonomie des énoncés de résultats mathématiques sont mentionnés beaucoup plus rarement (la fréquence maximale d'apparition, pour l'item *Propriétés* dans L, s'élève à 30 %) ; tous sauf l'item *Formules*, sont plus souvent cités par les étudiants préparant le Capes que par les élèves de Spéciales MP.

En prenant en compte les niveaux d'utilité attribués aux différents items étudiés ici, nous avons relevé dans le groupe L une proportion plus élevée que dans MP d'étudiants introduisant une certaine hiérarchie dans les énoncés du cours. Les élèves de classes préparatoires auraient moins que les étudiants préparant le Capes tendance à opérer un apprentissage hiérarchisé des résultats figurant dans leur cours, attitude mise en évidence chez 21,9 % du groupe L et seulement 9,4 % de MP. Le résultat constaté à propos de l'importance accordée aux *Théorèmes* conforte cette interprétation mais ce n'est pas le cas pour l'étude des cotations de l'item *Définitions*. D'autres interprétations doivent être envisagées :

* Nous venons de le rappeler, les élèves de Spéciales MP ont moins que les étudiants du Capes mentionné les items secondaires de la nomenclature des énoncés (à l'exception des *Formules*); or nous n'avons pu exclure qu'un biais dû aux conditions de l'enquête soit au moins en partie à l'origine de la moindre diversité des réponses dans le groupe MP qui aurait donc ainsi été privé de l'occasion d'exprimer la hiérarchisation que nous recherchons. La différence
constatée entre L et MP peut être interprétée comme un effet du dispositif de recherche.

* Une interprétation différente est encore possible qui voit dans les réponses des élèves de Spéciales MP l'expression d'une hiérarchisation nettement plus radicale : l'item *Théorèmes* renvoie exclusivement à des résultats centraux, tous les autres énoncés étant considérés comme secondaires au point que nombre d'élèves n'y pensent même pas. Plusieurs éléments plaident en faveur de cette hypothèse : d'une part, le professeur de la classe MP affirme n'utiliser la dénomination Théorèmes qu'avec une grande parcimonie, mettant par-là en exergue les résultats ainsi désignés ; d'autre part, sous cette interprétation, l'importance plus grande accordée à l'item *Théorèmes* par le groupe MP manifesterait une certaine tendance à la différenciation des éléments du cours qui serait cohérente avec le moindre intérêt apporté aux *Définitions*.

Il ne semble pas possible dans l'état actuel de cette recherche de trancher entre ces trois interprétations ; il n'est pas exclu qu'elles aient chacune leur domaine de validité suivant notamment le niveau mathématique des élèves auquel semble liée l'attitude différenciatrice étudiée ici comme nous allons le préciser.

## b. Comparaison entre les groupes de niveau.

Au sein du groupe MP, les élèves du sous-groupe MP+ se différencient nettement des autres à propos des *Définitions* dont ils considèrent beaucoup moins souvent la connaissance comme indispensable (50 % des apparitions pour MP+, 84 % pour le reste du groupe). Le même comportement a été mis en évidence à propos des *Théorèmes* unanimement cotés au niveau [4] par MPo et MP- quand c'est seulement le cas de 75 % des réponses dans MP+. Nous ne retrouvons pas cet écart parmi les étudiants préparant le Capes à propos des *Théorèmes*. Par contre, l'item *Définitions* donne lieu dans ce groupe à une différenciation comparable à celle qui a été relevée dans MP bien que moins nette ; nous pouvons retenir que dans les deux institutions, les sous-groupes forts considèrent moins souvent les *Définitions* comme indispensables que les sous-groupes faibles (pour la réunion des deux populations concernées, l'écart est significatif au seuil de 4 %).

Pour les autres items envisagés dans cette partie de l'étude, plus rarement mentionnés, aucun phénomène significatif concernant les fréquences d'apparition n'a pu être mis en évidence. Par contre, l'étude comparative des cotations pour les différents éléments cités permet de confirmer la différence de comportement entre les sous-groupes de niveau qui vient d'être signalée.

Chez les étudiants préparant le Capes, nous observons que les étudiants qui attribuent le même niveau d'utilité aux items étudiés ici sont plus nombreux dans le sous-groupe faible où ils représentent 30 % de l'ensemble des étudiants ayant répondu<sup>56</sup> que dans les deux autres ; au contraire, les réponses différenciatrices sont plus fréquentes dans le sous-groupe fort où elles constituent plus de 30 % de l'effectif citant *Théorèmes*. Rappelons que, contrairement à ce qui se passe pour la comparaison L / MP, les proportions dans L+ et dans L- d'étudiants mentionnant d'autres items que *Théorèmes* ne sont pas significativement différentes, c'est-à-dire que les occasions de différencier ne sont pas plus nombreuses pour L+ (elles sont au contraire légèrement moins fréquentes que dans L-).

<footnote n="56"><sup>56</sup> Plus de 80 % des réponses qui citent au moins deux items concernant les énoncés les situent au même niveau d'utilité.</footnote>
Pour les élèves de Spéciales MP, les effectifs concernés sont toujours faibles. Le regroupement des sous-groupes de même niveau des deux institutions permet d'obtenir des résultats significatifs (au seuil de 5%) qui correspondent exactement à ce que l'on observe dans MP et dans L, à savoir : le sous-groupe « Fort » (L+ ∪ MP+) contient moins d'étudiants non différenciateurs (10,5 %) et plus de différenciateurs (25,9 %) que le reste de l'échantillon Lo ∪ L- ∪ MPo ∪ MP- dans lequel les proportions sont respectivement de 18,1 % et de 11,4 %.

Cette étude fait donc apparaître un élément qui, dans les deux institutions considérées, différencie de manière identique les sous-groupes de niveau : il semblerait que dans les deux cas, les étudiants de meilleur niveau aient plus que les autres une attitude sélective, relativisante ou hiérarchisante dans leur apprentissage du corpus des résultats vus en cours. Ce phénomène est particulièrement net dans la population des étudiants préparant le Capes.

Face à cette différence, plusieurs éléments d'interprétation peuvent être avancés qui vraisemblablement interagissent, tour à tour causes et effets de la réussite : choisir à bon escient les théorèmes retenus nécessite un certain niveau de compréhension de l'ensemble du savoir étudié et une perception de la portée des différents résultats dans une perspective d'utilisation ; minimiser le travail de mémorisation attaché au savoir savant c'est peut-être dégager un espace pour les connaissances plus pragmatiques en jeu dans la résolution de problèmes (rappelons ici le faible nombre des théorèmes sollicités dans les épreuves de Capes) ; enfin s'autoriser à une telle sélection dans le texte du cours suppose sans doute un rapport à l'institution relativement libéré d'une trop grande sujétion et une bonne dose de confiance en soi, ce que ne possèdent vraisemblablement pas la majorité des étudiants en difficultés.

### C.III. Groupe 2 : Autres items concernant le texte du savoir savant.

#### 1. Démonstrations (94, 105)

##### a. Etude quantitative.

94 étudiants mentionnent l'item *Démonstrations* ; parmi eux, 7 réponses dans L et 3 dans MP lui attribuent plusieurs niveaux d'utilité<fnref n="57" />.

Dans le tableau ci-dessous, la troisième ligne donne le nombre d'étudiants ayant cité l'item étudié ici.

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><td>Non-r.</td><td>6</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><td>Réponses</td><td>37</td><td>19</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>99</td><td>64</td><td>163</td></tr><tr><td>Dem.</td><td>29</td><td>11</td><td>29</td><td>8</td><td>8</td><td>9</td><td>69</td><td>25</td><td>94</td></tr><tr><td>Fréquence</td><td>0,784</td><td>0,579</td><td>0,674</td><td>0,381</td><td>0,4</td><td>0,391</td><td>0,697</td><td>0,391</td><td>0,577</td></tr></tbody></table>

Pour les deux tableaux ci-dessous, celui de gauche donne pour chaque groupe le nombre d'occurrences d'un niveau donné, celui de droite la fréquence rapportée aux occurrences de l'item *Démonstrations* dans le groupe considéré.

<footnote n="57">⁵⁷ L+ : 4 étudiants (n° 34, 35, 38, 41) Lo : 1 (n°59) L- : 2 (n° 70 qui attribuent 3 niveaux, 78) ; MP+ : 1 (n° 115) MPo : 2 (n° 133,140).</footnote>
<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>6</td><td>18</td><td>7</td><td>2</td><td>33</td><td>L+</td><td>0,182</td><td>0,545</td><td>0,212</td><td>0,061</td><td>0,314</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0</td><td>9</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td><td>Lo</td><td>0</td><td>0,750</td><td>0,167</td><td>0,083</td><td>0,114</td></tr><tr><td>L-</td><td>1</td><td>19</td><td>9</td><td>3</td><td>32</td><td>L-</td><td>0,031</td><td>0,593</td><td>0,281</td><td>0,094</td><td>0,305</td></tr><tr><td>MP+</td><td>0</td><td>5</td><td>4</td><td>0</td><td>9</td><td>MP+</td><td>0</td><td>0,556</td><td>0,444</td><td>0</td><td>0,086</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>10</td><td>MPo</td><td>0</td><td>0,4</td><td>0,4</td><td>0,2</td><td>0,095</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0</td><td>6</td><td>3</td><td>0</td><td>9</td><td>MP-</td><td>0</td><td>0,667</td><td>0,333</td><td>0</td><td>0,086</td></tr><tr><td>L</td><td>7</td><td>46</td><td>18</td><td>6</td><td>77</td><td>L</td><td>0,091</td><td>0,597</td><td>0,234</td><td>0,078</td><td>0,733</td></tr><tr><td>MP</td><td>0</td><td>15</td><td>11</td><td>2</td><td>28</td><td>MP</td><td>0</td><td>0,536</td><td>0,393</td><td>0,071</td><td>0,267</td></tr><tr><td>Tous</td><td>7</td><td>61</td><td>29</td><td>8</td><td>105</td><td>Tous</td><td>0,067</td><td>0,581</td><td>0,276</td><td>0,076</td><td>1</td></tr></tbody></table>

## Eléments de comparaison

Il y a une différence significative au seuil de 1% (t = 3,865) entre les proportions d'étudiants de L et MP mentionnant le terme *Démonstrations* par rapport à l'effectif des réponses : L > MP. Concernant les niveaux d'utilité, L attribue plus souvent les niveaux [3] et [4] que MP mais la significativité de cette comparaison est médiocre (t = 1,447, seuil de 15 %).

Dans L, *Démonstrations* est plus cité dans L+ que dans les deux autres sous-groupes mais la différence n'est pas significative (seuil de 15 % entre L+ et Lo ∪ L-, plus de 20 % entre L+ et L-). On constate la même homogénéité pour les cotations. Dans MP, les écarts sont encore plus faibles.

## b. Etude qualitative.

* Certaines formulations qui apparaissent essentiellement dans L+ font explicitement apparaître ce qui est recherché dans l'étude des démonstrations :

- **Fonction de repérage et d'apprentissage de méthodes :**

Plusieurs réponses (n° 6, 8, 17, 38 dans L+, n° 84 dans L-) associent l'item *Démonstrations* aux méthodes, techniques, astuces ou raisonnements classiques qu'il faut « savoir réutiliser dans un contexte différent » (n°6), qui sont repérés comme classiques parce qu'« on les retrouve dans certains exercices » (n°38). Pour n° 29, les exercices de TD retenus sont ceux dont « les méthodes de résolution reprennent celles du cours ».

- **Fonction d'aide à l'apprentissage (compréhension et mémorisation) du cours :**

n°34 différencie les démonstrations plaçant à un niveau inférieur d'utilité [2] les démonstrations « trop compliquées qui ne permettent pas de comprendre le théorème ».

n° 26 s'appuie sur les démonstrations pour y repérer « les rappels [4] des définitions de base » qui sont donnés dans le but d'aider à comprendre la démonstration.

n° 31 voit dans les démonstrations « des moyens pour retrouver les principaux résultats et théorèmes du cours ».

La réponse n°64 déjà citée exprime un point de vue voisin lorsqu'il caractérise les théorèmes qui revêtent une importance particulière et sont pour cela cotés [4] ; l'un des critères de sélection est le suivant : « la démonstration n'est pas triviale et nécessite l'emploi de plusieurs propositions précédemment vues ».
Comme nous l'avions supposé dans nos analyses a priori des items, il semble que le terme *Démonstrations* soit plutôt utilisé en référence à des théorèmes du cours et que l'étude et la connaissance des démonstrations soient pour certains étudiants finalisés par l'assimilation et la mémorisation des résultats du cours. L'examen des réponses a cependant mis en évidence qu'elles peuvent également donner lieu à un travail dirigé vers la résolution de problèmes et l'élaboration de connaissances sur le fonctionnement mathématique, fonction envisagée dans la section A.II.3. mais supposée a priori plus rare que la fonction d'apprentissage du cours. Notre enquête ne permettra pas de savoir dans quelle mesure elles sont l'une et l'autre présentes chez les étudiants qui mentionnent cet item.

* Les critères de différenciation conduisant à l'attribution de plusieurs niveaux d'utilité sont les suivants :

- **Le niveau de difficulté** : pour quatre étudiants également répartis entre L+ et L-, les démonstrations sont plutôt inutiles ou superflues si elles sont difficiles :

n° 34 : « *Démonstrations* [2] si elles sont trop compliquées et ne permettent pas la compréhension du théorème, *Démonstrations* [3] sinon.»

n° 38⁵⁸ : « *Démonstrations* [3] utilisant un raisonnement classique (ie qu'on retrouve dans certains exercices). *Démonstrations* [2] longues où le raisonnement est dur à suivre.»

n° 70 : « *Démonstrations* [3] comprises des théorèmes du cours. *Démonstrations* non comprises des théorèmes du cours [2] ou [1].»

n° 78 : « *Démonstrations* [3] de théorèmes et propositions, *Démonstrations* [1] pour les démonstrations trop difficiles.»

- **La qualité mathématique** : (n° 41⁵⁹) les démonstrations sont indispensables si elles sont « détaillées et complètes » ou si on a « la référence à la démonstration dans un livre » ; par contre, les démonstrations du genre « on voit bien que » sont superflues.

- Pour un étudiant (n° 35), l'utilité dépend de l'UV ( [3] en géométrie, [4] en Analyse de Fourier et Espace de Hilbert), pour un autre (n° 59) du type d'examen. Enfin, un élève de Spéciales MP juge superflues les démonstrations hors programme.

Comme pour l'item *Théorèmes*, nous rapprocherons des 10 étudiants attribuant ainsi plusieurs niveaux dans leur réponse les 9 réponses qui manifestent une certaine sélection de l'ensemble des démonstrations envisagées : « *démonstrations* clé aux méthodes particulières », démonstrations « des théorèmes principaux », « *démonstrations* classiques de théorèmes », « certaines *démonstrations* ». Relevons

<footnote n="58">⁵⁸ Cet étudiant a eu la licence en un an en Juin sans mention, il n'a pas été élève de Prépa ; à la fin de la première année de préparation du Capes, il sera reçu. L'attitude visant à ne pas s'attacher aux démonstrations difficiles n'est donc pas réservée à des étudiants peu performants.</footnote>

<footnote n="59">⁵⁹ n° 41 : « Exemples d'Applications d'un théorème pour le retenir [4]. Se faire corriger par un prof, quand on dit une bêtise et quand le prof vous dit pourquoi c'est une bêtise [3]. Exercices types à savoir faire [4] ( ex : diagonalisation d'une matrice ). Contre-exemples [4] ( ex : fonction continue non dérivable). Exercices proposés, non corrigés et jamais corrigés dans l'année [2]. Applications numériques immédiates d'un théorème [4]. Démonstrations détaillées et complètes ou la référence à la démonstration dans un livre [4]. Les Démonstrations graphiques, du genre " on voit bien" [1]. »

Cet étudiant prépare le Capes après avoir préparé sans succès l'Agrégation. Titulaire d'une maîtrise, il a eu la licence en un an en Juin avec mention Passable, sans passer par une classe Prépa. Il sera reçu au Capes à la fin de l'année.</footnote>
enfin deux réponses consistant à attribuer le niveau [3] au fait de connaître des « idées » ou « éléments » de démonstrations.

* Si les étudiants préparant le Capes mentionnent plus souvent l'item *Démonstrations* que les élèves de Spéciales MP, nous venons d'entrevoir que cet intérêt peut être différencié. Terminons en citant deux réponses qui ont tenu à exprimer une position réticente ou négative :

n° 85 : « Apprendre les démonstrations du cours [2 = plutôt inutile] (jusqu'à maintenant) ».

n° 54⁶⁰ : « Jamais de démonstrations ».

## 2. Exemples (63, 65).

### a. Etude quantitative.

63 étudiants mentionnent l'item *Exemples*. Deux d'entre eux appartenant à L+ fournissent des réponses multiples.

Dans le tableau ci-dessous, les colonnes 2 à 5 concernent des occurrences, la dernière donne la proportion des étudiants faisant référence à l'item *Exemples* rapportée aux réponses effectives.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>3</td><td>12</td><td>5</td><td>1</td><td>21</td><td>0,486</td></tr><tr><th>Lo</th><td>0</td><td>5</td><td>0</td><td>1</td><td>6</td><td>0,316</td></tr><tr><th>L-</th><td>1</td><td>10</td><td>2</td><td>0</td><td>13</td><td>0,302</td></tr><tr><th>MP+</th><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td><td>0,238</td></tr><tr><th>MPo</th><td>1</td><td>8</td><td>2</td><td>0</td><td>11</td><td>0,55</td></tr><tr><th>MP-</th><td>0</td><td>8</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td><td>0,391</td></tr><tr><th>L</th><td>4</td><td>28</td><td>7</td><td>2</td><td>40</td><td>0,374</td></tr><tr><th>MP</th><td>1</td><td>19</td><td>5</td><td>0</td><td>25</td><td>0,391</td></tr><tr><th>Tous</th><td>5</td><td>47</td><td>12</td><td>2</td><td>65</td><td>0,380</td></tr></tbody></table>

Les deux groupes citent cet item dans des proportions comparables, il n'y a pas de différence notable dans la répartition des niveaux d'utilité (proportion identique de niveau [4] ou [3] au regard des occurrences : 80 %).

Dans L, un peu plus de la moitié des étudiants de L+ mentionne *Exemples*, proportion significativement supérieure à celle des deux autres sous-groupes ; dans MP, on observe un phénomène inverse : $L+ > Lo \cup L- ; MP+ < MPo \cup MP-$.

<footnote n="60">⁶⁰ n° 54 : « Théorèmes [4]. Difficultés [3] soulevées par des exercices cherchés. Images [3] ou Schémas se rapportant au cours ( ex : en topologie, visualisation des voisinages ). Anecdotes [1] mathématiques rapportées par certains professeurs. ( ex : Galois en algèbre ). Des Idées générales sur les notions abordées par la matière. Des Formules [4] et les procédés de leur mémorisation. L'emplacement [3] des différentes parties du programme dans mon cours. Jamais de Démonstrations [1]. »</footnote>

<footnote>Cette étudiante a eu la licence en un an, en Septembre sans mention ; elle a fait un an de Prépa. Pendant l'année de préparation au Capes, elle a manifesté un fort investissement dans le travail de réflexion sur les mathématiques et une grande curiosité (beaucoup de recherche personnelle bibliographique). Non admissible à la fin de cette première année, elle l'a été l'année suivante alors qu'elle avait assuré des remplacements comme vacataire. Elle n'a pas été reçue. L'attitude totalement négative à l'égard de l'étude des démonstrations se rencontre donc ici chez une étudiante de niveau relativement convenable qui manifeste dans le choix des items cotés une certaine originalité et une tendance réflexive.</footnote>
L'écart au niveau de la fréquence d'apparition est significatif au seuil de 8 % (t = 1,791) entre L+ et le reste de L, au seuil de 9 % (t = 1,747) entre MP+ et le reste de MP. Dans MP, ceci est essentiellement dû au comportement de MPo qui cite *Exemples* avec la plus forte fréquence (MP+ < MPo au seuil de 5 %, t = 2,046).

Dans L, la proportion des niveaux [4] et [3] rapportée aux occurrences est moins élevée dans L+ que dans les autres sous-groupes ; cependant si on rapporte aux réponses, ces niveaux sont plus présents dans L+ que dans le reste de L (37,8 % pour 25,8 %, écart non significatif). La faiblesse des effectifs dans MP ne permet aucun test.

## b. Etude qualitative.

4 étudiants utilisent la notion d'exemples à propos des applications des théorèmes du cours :

n°14 : «Exemples de cas particuliers [2], d'applications directes d'un théorème [3] de méthodes générales [4] »

n° 18 : « Exemples et Contre-exemples types illustrant les propriétés [3] »

n° 36 : « Exemples types et Contre-exemples pour avoir une idée de l'application de l'énoncé (en rapport avec les exemples) [4] »

n° 41 « Exemples d'application d'un théorème pour le retenir [4] »

7 réponses moins explicites parlent seulement d'exemples d'application (n° 19 et 20 dans L+, 119 dans MP+, 158 dans MP-), d'exemples se rapportant au cours (n° 72 dans L- et 110 dans MP+), d'exemples utiles à la compréhension (n° 140 MPo).

7 étudiants (1 dans L-, 6 dans MP) font référence aux exemples vus en cours.

Seuls deux étudiants font un emploi explicitement différent du terme exemples en mentionnant des Exemples de cas particuliers, de méthodes générales (n° 14 plus haut) et enfin d'exercices (n°56).

Il semblerait donc que, conformément à nos analyses a priori, l'item *Exemples* renvoie plutôt aux illustrations des énoncés, particulièrement à celles qui, conformément à la structure usuelle du texte du savoir mathématique sont données par l'enseignant.

Nous terminerons en citant une des deux réponses multiples, elle insiste sur la nécessité d'effectuer une sélection parmi tous les exemples possibles :

n° 37⁶¹ : « *Exemples* (peu mais bien ciblés) [3]. Trop d'*exemples* sur des applications simples [1].»

Cette idée apparaît sous des formes plus ou moins précises chez d'autres étudiants à travers les expressions Exemples types, classiques, caractéristiques (n° 18, 36, 56, 64, 119, 155, 160) ou Exemples parlants (n° 76). A contrario, une réponse fait référence aux « Exemples simples » (n° 44). De même que nous avions vu certains étudiants s'intéresser avant tout aux démonstrations « non triviales » (n°64) quand d'autres rejettent les démonstrations « longues où le raisonnement est dur à suivre » (n°38), nous apercevons ici deux penchants distincts, vers le significatif ou vers le simple ; nous retrouverons ces mêmes tendances à propos des applications (directes ou fondamentales) et des exercices (simples ou classiques).

<footnote n="61">⁶¹ n° 37 : « Hypothèses des théorèmes (ainsi que leurs résultats) [4]. Définitions [4]. Utilisation d'un outil dans différents contextes [3]. Exemples [3] (peu mais bien ciblés). Trop d'exemples sur des applications simples [1]. »</footnote>

<footnote>Cette étudiante a effectué deux ans de classes préparatoires et eu sa licence en un an en Juin sans mention ; préparant pour la première fois le Capes quand elle répond au questionnaire, elle sera admissible à la fin de l'année mais échouera à l'oral ; l'année suivante, elle sera reçue.</footnote>
### 3. Contre-exemples (15,15).

14 étudiants font référence aux contre-exemples, un autre (n° 64) parle d'exemples pathologiques ; 15 occurrences de l'item *Contre-exemples* sont donc comptabilisées, aucune n'est multiple. Le tableau qui suit donne donc des nombres d'étudiants dans les premières colonnes et dans la dernière la proportion d'étudiants ayant cité l'item étudié par rapport aux réponses.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>7</td><td>0,189</td></tr><tr><th>Lo</th><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>0,158</td></tr><tr><th>L-</th><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td><td>0,093</td></tr><tr><th>MP+</th><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0,048</td></tr><tr><th>MPo</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>MP-</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>L</th><td>4</td><td>7</td><td>3</td><td>0</td><td>14</td><td>0,141</td></tr><tr><th>MP</th><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0,016</td></tr><tr><th>Tous</th><td>4</td><td>8</td><td>3</td><td>0</td><td>15</td><td>1</td></tr></tbody></table>

A une exception près, les élèves de Spéciales ne mentionnent pas la notion de contre-exemples. Les étudiants préparant le Capes sont un peu plus nombreux à le faire, dans des proportions qui croissent du simple au double de L- à L+ mais les effectifs concernés restent faibles et la comparaison non significative.

9 des 14 étudiants de L concernés citent à la fois *Exemples* et *Contre-exemples*, toujours au même niveau d'utilité. Pour deux d'entre eux, il s'agit d'illustrer les propriétés vues en cours.

### 4. Applications (27,27).

#### a. Etude quantitative.

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>9</td><td>0,243</td></tr><tr><th>Lo</th><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,158</td></tr><tr><th>L-</th><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>0</td><td>7</td><td>0,163</td></tr><tr><th>MP+</th><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0,095</td></tr><tr><th>MPo</th><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,15</td></tr><tr><th>MP-</th><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,130</td></tr><tr><th>L</th><td>4</td><td>11</td><td>3</td><td>1</td><td>19</td><td>0,192</td></tr><tr><th>MP</th><td>3</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0,125</td></tr><tr><th>Tous</th><td>7</td><td>16</td><td>3</td><td>1</td><td>27</td><td>0,166</td></tr></tbody></table>

27 étudiants font référence à la notion d'application, parfois dans des expressions de la forme *Exemples d'application* qui ont été prises en compte pour les deux items *Exemples* et *Applications*. Un étudiant mentionne deux fois l'item considéré : « *Exemples d'application* d'un théorème pour le retenir [4], *Applications* numériques immédiates d'un théorème [4]. » (n° 41 L+); il n'a été compté qu'une seule fois selon le principe utilisé jusqu'ici puisqu'il attribue aux deux occurrences le même niveau d'utilité. Il n'y a donc pas de réponses multiples. La dernière colonne du tableau ci-
dessus donne la proportion des étudiants ayant cité le mot Applications parmi les étudiants ayant répondu.

L'item *Applications* est un peu plus cité dans L que dans MP, dans L+ que dans les deux autres sous-groupes de L (voir les deux items précédents), un peu moins dans MP+ que dans MPo et MP- mais les écarts ne sont pas significatifs. C'est dans L+ que cet item apparaît le plus et dans MP+ qu'il apparaît le moins, comme pour l'item *Exemples*.

## b. Etude qualitative.

On retrouve ici les principaux éléments de l'analyse développée à propos de l'item *Exemples*. Ainsi les applications considérées peuvent être spécifiées par les qualificatifs simples (2 fois), directes (5 fois), classiques ou fondamentales (3 fois). Elles sont pour certains étroitement liées aux théorèmes (5 fois). qu'elles peuvent aider à mémoriser (2 fois). Par contre, on peut noter qu'elles sont peut-être moins que les exemples fournies par l'enseignant dans le texte du cours magistral ; en effet, si 3 réponses font mention des « applications se trouvant dans le cours », 4 autres renvoient aux exercices avec des variations allant des exercices d'applications directes ou classiques dont on peut imaginer qu'ils sont éventuellement vus dans le cadre du cours aux applications dans le cadre d'un problème. Peut-être cette moindre inscription dans le texte institué explique-t-elle que les applications soient dans tous les cas moins citées que les exemples, elles sont moins considérées comme des connaissances à mémoriser.

Un étudiant (n° 106) fait un usage tout à fait différent du terme étudié en envisageant les applications du domaine étudié.

## 5. Structure du cours (23, 26).

Nous avons intégré dans cet item unique différents termes marquant une certaine prise de recul par rapport à l'ensemble du texte du cours ; il nous semble pouvoir y distinguer trois nuances :

- termes référant au plan du cours : Plan (5), Agencement, Architecture, Nom des différents chapitres, Organisation, Schéma d'un chapitre, Structure générale du cours (chaque expression apparaît une fois).

11 étudiants sont concernés (n°s 11, 15, 18, 26 dans L+, n°s 65, 71, 87, 88, 89, 96, 106 dans L-), 9 d'entre eux situent l'item considéré au niveau [2], les autres à un niveau supérieur.

- termes exprimant une recherche de liaisons entre différents éléments : Lien (6), Enchaînement (2).

Les 8 réponses se répartissent comme suit : n°s 26, 31 dans L+, n°s 64, 108 dans L-, n°s 144 dans MPo et n°s 165, 166, 172 dans MP-.

Tous les élèves de MP considérés font mention « des liens entre les chapitres » et même dans un cas « des liens entre les différentes parties des maths » ; ils attribuent à cet item un niveau [3] ou [4]. Deux étudiants de L parlent de liens « entre les différentes propriétés » (L+, [1]), « entre les différentes questions » (L-, [3]). Les deux emplois du mot Enchaînement concernent « l'enchâinement, la progression des idées du cours » (L+, [3] ; L-, [1]).

- termes exprimant une prise de recul à un niveau général : Problématique générale, Vision globale, Idées générales, Cadre général, Grandes lignes, chacune de ces expressions apparaissant une seule fois.
5 étudiants sont concernés (n° 9 et 29 dans L+, n° 49, 60 dans Lo et n° 115 dans MP+), quatre fois aux niveaux [3] ou [4], une au niveau [2].

Le tableau suivant donne le nombre d'occurrences des différents niveaux d'utilité pour l'item *Structure du cours* :

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>3</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><th>Lo</th><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><th>L-</th><td>2</td><td>2</td><td>5</td><td>1</td><td>10</td></tr><tr><th>MP+</th><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>MPo</th><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>MP-</th><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><th>L</th><td>5</td><td>5</td><td>9</td><td>2</td><td>21</td></tr><tr><th>MP</th><td>2</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><th>Tous</th><td>7</td><td>7</td><td>9</td><td>2</td><td>26</td></tr></tbody></table>

3 réponses dans L sont multiples. Ce sont en fait 18 étudiants dans L et 5 dans MP qui sont ici concernés ce qui, rapporté à l'ensemble des réponses, donne une fréquence de 0,182 pour L et de 0,078 pour MP, soit une différence significative au seuil de 7 % (t = 1,857) : L > MP.

Dans L, les deux sous-groupes L+ et L- mentionnent dans des proportions très voisines l'un ou l'autre des termes rassemblés dans l'item *Structure du cours*.

Cet item témoigne de la diversité des éléments abordés dans le groupe L, il en est de même de ceux qui sont abordés dans l'annexe II (*Hypothèses, Rappels, Prolongements, Liens avec d'autres secteurs, Remarques, Figures*) qui contribuent à ce que le nombre moyen d'items y soit plus élevé que dans MP. Ce n'est pas le cas des items auxquels nous allons consacrer l'étude dans la partie suivante.

### C.IV. Groupe 3 : Items concernant les savoirs sur le fonctionnement mathématique.

#### 1. Méthodes (63, 67).

Sont regroupés dans l'item *Méthodes* les termes suivants : méthodes (60 fois), techniques (5), raisonnements (1), méthodologie (1).

##### a. Etude quantitative.

63 étudiants mentionnent l'item *Méthodes* dont 3 avec plusieurs niveaux d'utilité (n°s 84, 92, 119). Ce qui donne un total de 67 occurrences.

Les trois tableaux donnés ci-après sont analogues à ceux que nous avons rencontrés dans les parties précédentes. La quatrième ligne du premier donne donc le nombre d'étudiants ayant mentionné l'item étudié, les deux autres tableaux concernent la répartition des occurrences par niveaux :
<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><th>Non-r.</th><td>6</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><th>Réponses</th><td>37</td><td>19</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>99</td><td>64</td><td>163</td></tr><tr><th>Méthodes</th><td>12</td><td>8</td><td>12</td><td>11</td><td>9</td><td>11</td><td>32</td><td>31</td><td>63</td></tr><tr><th>Fréquence</th><td>0,324</td><td>0,421</td><td>0,279</td><td>0,524</td><td>0,45</td><td>0,478</td><td>0,323</td><td>0,484</td><td>0,387</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>7</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>12</td><th>L+</th><td>0,583</td><td>0,417</td><td>0</td><td>0</td><td>0,179</td></tr><tr><th>Lo</th><td>4</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>8</td><th>Lo</th><td>0,5</td><td>0,375</td><td>0</td><td>0,125</td><td>0,119</td></tr><tr><th>L-</th><td>3</td><td>8</td><td>4</td><td>0</td><td>15</td><th>L-</th><td>0,2</td><td>0,533</td><td>0,267</td><td>0</td><td>0,224</td></tr><tr><th>MP+</th><td>7</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>12</td><th>MP+</th><td>0,583</td><td>0,333</td><td>0,083</td><td>0</td><td>0,179</td></tr><tr><th>MPo</th><td>7</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>9</td><th>MPo</th><td>0,778</td><td>0,222</td><td>0</td><td>0</td><td>0,134</td></tr><tr><th>MP-</th><td>6</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>11</td><th>MP-</th><td>0,545</td><td>0,455</td><td>0</td><td>0</td><td>0,164</td></tr><tr><th>L</th><td>14</td><td>16</td><td>4</td><td>1</td><td>35</td><th>L</th><td>0,4</td><td>0,457</td><td>0,114</td><td>0,029</td><td>0,522</td></tr><tr><th>MP</th><td>20</td><td>11</td><td>1</td><td>0</td><td>32</td><th>MP</th><td>0,625</td><td>0,344</td><td>0,031</td><td>0</td><td>0,478</td></tr><tr><th>Tous</th><td>34</td><td>27</td><td>5</td><td>1</td><td>67</td><th>Tous</th><td>0,507</td><td>0,403</td><td>0,075</td><td>0,015</td><td>1</td></tr></tbody></table>

## Eléments de comparaison

Les proportions d'étudiants mentionnant l'item *Méthodes* par rapport à la population des étudiants ayant répondu dans L et dans MP sont significativement différentes :

L < MP. Donc, malgré un nombre moyen d'items cités inférieur à celui de L, le groupe des élèves de Spéciales MP cite plus les termes étudiés ici que les étudiants préparant le Capes.

La comparaison de la fréquence du niveau [4] d'utilité rapportée à l'ensemble des occurrences confirme le résultat précédent : dans MP, la proportion de niveau [4] est nettement supérieure à celle de niveau [3], c'est l'inverse dans L où ces deux proportions prennent des valeurs voisines ; les élèves de MP considèrent plus souvent la connaissance de méthodes comme indispensables que ceux de L.

Concernant la fréquence d'apparition, il n'y a pas d'écart significatif entre les sous-groupes de niveau. Notons néanmoins que MP+ est de tous celui qui cite le plus cet item (plus de 50 %) et L- celui qui cite le moins (28 %).

Pour le niveau d'utilité, MP+ et MP- ont un comportement comparable ; en revanche on observe une différence marquante entre L+ et Lo d'une part et L- d'autre part, les premiers attribuant plus souvent le niveau [4] que les seconds : L- < L+ ∪ Lo (Lo < L+).

Pour le nombre de citations, la différence entre L et MP est significative au seuil de 4 % (t = 2,063), pour les citations au niveau [4] au seuil de 7 % (t = 1,840) : L < MP.

Concernant le niveau d'utilité, on remarque que MPo se différencie de MP+ et MP- en attribuant plus souvent le niveau [4], cependant la proportion d'élèves mentionnant *Méthodes* y est la plus faible des trois sous-groupes de MP. Dans L, la différence entre L+ et Lo d'une part et L- d'autre part est significative au seuil de 4 % (mais la taille de l'effectif total concerné -35 occurrences-relativise beaucoup la valeur du test).

Remarquons enfin que les anciens élèves de classes préparatoires présents dans L+ citent moins les méthodes que le sous-groupe dans son ensemble (5 étudiants sur 18 réponses soit 27,7 %) ; par contre sur les 5, 4 les considèrent comme indispensables. Ceci va dans le sens de nos hypothèses concernant le poids de l'institution sur le travail des étudiants.
## b. Etude qualitative

### * Etudiants attribuant plusieurs niveaux d'utilité aux méthodes.

Dans la réponse n° 84⁶² (L-), le terme *méthodes* est d'abord mentionné dans une expression qui spécifie la notion de Démonstrations clé : « Démonstrations clé aux méthodes particulières [4] » puis il est repris en référence au goût de l'enseignant : « Les méthodes de résolution et le style de correction d'exercices préférés par le prof [3] (voire [2] selon). »

Pour le n° 92⁶³ (L-), l'étudiant a distingué le cas des exercices de celui des problèmes en lien avec d'autres UV ; méthodes est situé au niveau [3] dans le premier cas, [2] dans le second, les exercices de TD sont de même cotés respectivement [3] puis [2]. Cette réponse laisse entrevoir une possible différence d'attitude dans la façon de travailler selon qu'il s'agisse d'un examen universitaire lié à une unité de formation particulière ou d'un concours portant sur un programme transversal ; notons qu'il s'agirait de minorer l'importance accordée aux méthodes dans le second cas, ce qui va à l'encontre de nos analyses sur les connaissances en jeu dans les problèmes du Capes (on peut penser que la notion de méthodes renvoie ici à des types de problèmes spécialisés).

Enfin, un élève de Spéciales (n° 119 MP+) différencie la cotation suivant qu'il s'agisse de « méthodes théoriques [3] ou de méthodes calculatoires [4] ».

### * Où s'apprennent les méthodes ?

5 étudiants préparant le Capes (n°s 6, 8, 38, 71 et 84) associent méthodes et démonstrations (cf B.IV.1.b) : « techniques de démonstrations », « démonstrations clé aux méthodes particulières [4] », « démonstrations utilisant un raisonnement classique (ie qu'on retrouve dans certains exercices) [3] ». La dialectique démonstrations-exercices exprimée dans la dernière citation (n° 38) se retrouve dans la réponse 29 pour définir ce que sont « les principaux exercices vus en TD », considérés comme indispensables, ce sont ceux « dont les méthodes de résolution reprennent celles du cours ».

La liaison démonstrations-méthodes apparaît donc quelques fois, toujours chez des étudiants de la population L. Mais l'idée de méthodes est plus largement associée à celle d'exercices puisqu'on trouve 19 fois (14 dans L, 5 dans MP) l'expression méthodes de résolution d'exercices (parfois de problèmes) ; la formulation « méthodes de résolution » moins explicite est utilisée 9 fois (4 dans L, 5 dans MP). Les méthodes s'apprendraient plus dans la résolution d'exercices, en TD que dans l'étude des démonstrations. Dans cette perspective, on peut repérer dans certaines réponses une interaction plus précise entre méthodes et exercices types ou classiques (7 fois dans L) : « Exercices types c'est-à-dire méthodes enseignées [4]» (n° 20), « Techniques de résolution d'exercices classiques [4] » (n° 96). Nous nous pencherons plus loin

<footnote n="62">⁶² N° 84 : « Taux de réussite des autres années et de passage à l'oral [2]. Annales [3] (exercices fréquemment tombés). Bases de Deug [3] (comme DL et dérivées). Démonstrations clé aux méthodes particulières [4]. Les exercices traités en TD [4]. Théorèmes [3]. Quelques exemples et contre-exemples [3]. Les méthodes de résolution et le style de correction d'exercices préférés par le prof [3] (voire [2] selon). » Cette étudiante a eu la licence en 2 ans sans mention, n'est pas passée par une Prépa ; préparant pour la première fois le Capes, elle sera admissible en fin d'année mais sera collée à l'oral. Elle n'a pas redoublé.</footnote>

<footnote n="63">⁶³ Cette étudiante a eu la licence en deux ans avec mention passable, sans passer en prépa ; elle ne sera pas admissible en fin d'année ni l'année suivante.</footnote>
(C.IV.3.) sur les occurrences de l'idée d'exercices types considérée comme un prolongement contextualisé des notions de méthodes ou de techniques.

* Que recouvrent les termes méthodes, techniques ?

Les formulations utilisées, souvent laconiques, ne permettent pas de savoir avec précision ce que veulent dire les étudiants.

Pour certains d'entre eux, l'usage des mots en question est restrictif et renvoie essentiellement à des méthodes algorithmisées : « *Techniques de calcul* [4]» (n°s 135, 137), « *Techniques de manipulation (analyse)* [4]» (n° 159), « *Méthodes de recherche classique* (ex : recherche de vecteurs propres, inversion de matrices, étude de fonctions, séries...) [1]» (n° 59). Comme nous l'avons vu, d'autres étudiants associent méthodes et démonstrations ou résolution d'exercices, ceux-ci font vraisemblablement un usage plus large des termes considérés ici (voir par ex n°119 : « *Méthodes de résolution d'exercices* : [3] théoriques, [4] si calculatoires »).

## 2. Astuces (19,20).

L'item *Astuces* est cité deux fois dans une même réponse avec des cotations différentes (n° 124 MP+) ; le tableau ci-dessous donne donc des nombres d'occurrences mais, comme cela a déjà été le cas pour les items faiblement cités, la dernière colonne contient la proportion d'étudiants mentionnant l'item étudié au regard de l'effectif des réponses :

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td><td>0,108</td></tr><tr><td>Lo</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>L-</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,070</td></tr><tr><td>MP+</td><td>3</td><td>5</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td><td>0,381</td></tr><tr><td>MPo</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0,05</td></tr><tr><td>MP-</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,130</td></tr><tr><td>L</td><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>7</td><td>0,071</td></tr><tr><td>MP</td><td>3</td><td>9</td><td>1</td><td>0</td><td>13</td><td>0,187</td></tr><tr><td>Tous</td><td>5</td><td>13</td><td>2</td><td>0</td><td>20</td><td>0,117</td></tr></tbody></table>

## Eléments de comparaison

La proportion d'étudiants citant l'item *Astuces* dans L (7/99 = 0,071) est significativement différente de celle de MP (12/64 = 0,187) au seuil de 3% (t = 2,269) : $L < MP$.

Il en est de même au seuil de 6% (t = 1,916) si l'on compare MP+ à MP- (avec les restrictions inhérentes à la taille de la population concernée)<fnref n="64" /> : $MP+ > MP-$ ; L+ cite également plus que L- l'item *Astuces* mais l'écart est plus faible ; entre la réunion des deux sous-groupes L+ et MP+ et la réunion de L- et MP-, l'écart est significatif au seuil de 7% (t = 1,829) : $L+ \cup MP+ > L- \cup MP-$. Notons que 38 % des élèves de MP+ considèrent les astuces comme indispensables ou souvent utiles. Enfin, il est intéressant de signaler que parmi les 4 étudiants de L+ citant les astuces, un seul est passé par une classe préparatoire.

<footnote n="64">⁶⁴ La comparaison de MP+ et du reste de MP est impossible car pour MP+, np est inférieur à 5.</footnote>
L'item *Astuces* est donc plus souvent cité par les élèves de Spéciales MP que par les étudiants préparant le Capes et par les sous-groupes « forts » que par les « faibles ».

Quel sens est donné au terme *Astuces* ?

Il est 4 fois associé à la notion de calcul (n° 32, 42 dans L, n° 130, 161 dans MP) ; un étudiant précise notamment : « *Astuces* à connaître pour résoudre un problème en évitant de trop lourds calculs » (n° 32).

6 étudiants lient astuces et résolution d'exercices ou TD (n°s 17, 27, 32, 105 et 107 dans L, n° 127 dans MP) : « *Astuces* vues dans les démonstrations de théorèmes ou dans les exercices de TD pour la résolution de problèmes précis, particuliers [4] » (n° 17) ; « *Astuces* permettant de résoudre certains cas [3] » (n° 105) ; « *Astuces* vues en TD pour une résolution plus rapide [3] » (n° 107) ; « *Astuces* de quelques exercices (souvent du cours) [3] » (n° 127).

Deux connotations du terme *Astuces* semblent émerger de ces quelques citations : d'une part, une astuce est reconnue parce qu'elle fait la preuve de son efficacité (résolution moins longue) au regard de ce qu'a pu trouver l'étudiant lui-même ; d'autre part, *Astuces* renvoie à des façons de faire ressenties<fnref n="65" /> comme de portée plus réduite (soit dans l'étendue des cas d'applications, soit dans la portée au sein de la démonstration) que ne le sont les *Méthodes et Techniques* mais néanmoins perçues comme importantes à connaître (18 niveaux [3] ou [4] sur 20 occurrences)<fnref n="66" />. Cet item peut donc être considéré comme renvoyant à une catégorie de connaissances sur le fonctionnement mathématique que nous avons évoquée dans la section A.II.1. comme des connaissances occupant à un moment donné une position isolée, en attente d'un éventuel réinvestissement. Cette notion nous paraît essentielle dans une perspective d'apprentissage autonome : elle confère une place à des connaissances non reconnues par l'institution.

### 3. Exercices types.

Nous allons nous intéresser ici aux apparitions des expressions Exercices types, typiques, classiques, standard, de base. Comme nous avons pu déjà le voir certains étudiants ont utilisé l'une ou l'autre en liaison avec les items *Méthodes* ou *Techniques*, ces réponses ont été à nouveau prise en compte dans le dénombrement donné dans le tableau ci-dessous qui ne comporte aucune réponse multiple :

<footnote n="65">⁶⁵ Le fait qu'une méthode soit considérée lors de la première rencontre comme une astuce peut renvoyer à une analyse insuffisante des raisons théoriques de l'efficacité, le statut d'astuce ouvre la voie à des réemplois ultérieurs par l'étudiant et à une évolution de la compréhension.</footnote>

<footnote n="66">⁶⁶ Cette dernière interprétation n'est pas sans évoquer l' item *Cas particuliers* qui apparaît 5 fois, uniquement dans L (n° 14, 23, 58, 82, 100). Or par 3 fois, cet item est considéré comme souvent inutile, alors que les mêmes réponses attribuent aux *Méthodes* ou *Exercices types* un niveau [3] ou [4]. Les items *Astuces* et *Cas Particuliers* ne semblent pas identiquement connotés, le premier étant plutôt positif, le second plutôt négatif. Pour les deux apparitions cotées au niveau [3], l'une identifie *Cas particuliers* et *Exercices* (n° 23), l'autre est située dans un texte particulier « En géométrie : faire des figures [4], étude de *Cas Particuliers* [3] » (n° 100), on ne peut exclure que l'étudiant fasse ici référence aux divers cas particuliers qu'il peut être nécessaire d'envisager dans une démonstration de géométrie.</footnote>
<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th>Fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><td>L+</td><td>3</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>7</td><td>0,189</td></tr><tr><td>Lo</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>0,263</td></tr><tr><td>L-</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0,186</td></tr><tr><td>MP+</td><td>1</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0,381</td></tr><tr><td>MPo</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0,1</td></tr><tr><td>MP-</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0,130</td></tr><tr><td>L</td><td>9</td><td>11</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td><td>0,202</td></tr><tr><td>MP</td><td>4</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>13</td><td>0,203</td></tr><tr><td>Tous</td><td>13</td><td>20</td><td>0</td><td>0</td><td>33</td><td>0,202</td></tr></tbody></table>

La dernière colonne donne la proportion rapportée au nombre de réponses.

## Eléments de comparaison

Les expressions considérées sont citées dans des proportions très voisines dans les deux institutions L et MP d'une part, dans L+ et L- d'autre part. L'écart entre Lo et le reste de L n'est pas significatif. En revanche, le groupe MP+ cite significativement plus l'item étudié que MP- ; dans les limites dues à la taille de l'effectif concerné, l'écart est significatif au seuil de 6 % (t = 1,916). Rappelons que c'était déjà le cas pour Astuces.

## Comparaison avec les items Méthodes et Astuces.

Pour L comme pour chacun de ses sous-groupes de niveau, les étudiants font plus souvent mention des Méthodes que des Exercices types, ceux-ci étant plus présents que les Astuces (particulièrement dans Lo et L-). Sur 20 réponses citant les Exercices types, l'item Méthodes apparaît seulement 3 fois de manière dissociée, les Astuces une seule fois. Rappelons que 7 étudiants associent dans une même expression méthodes et exercices types ou exercices classiques.

En Spéciales MP, les Méthodes apparaissent plus fréquemment que les deux autres items qui figurent dans des proportions quasi identiques mais il y plus souvent présence simultanée avec des cotations dissociées que dans L et ce notamment dans MP+: sur 13 réponses comportant l'idée d'Exercices types dans MP, 6 mentionnent les Méthodes ; dans MP+, sur les 8 élèves citant les Exercices-types, 4 mentionnent les Méthodes et 6 les Astuces (ce qui n'est le cas d'aucun élève dans le reste du groupe MP).

Il apparaît donc que pour certains étudiants particulièrement représentés dans la population MP+ les trois items étudiés dans cette partie occupent des places spécifiques qui justifient de les distinguer. En revanche, et c'est un phénomène que l'on trouve plus dans L que dans MP, la référence à des Exercices types semble parfois se substituer à la connaissance de méthodes.

## Comparaison avec l'item Exemples.

Nous venons de mettre en relation les résultats obtenus pour les items du groupe 3, considérés comme évoquant des connaissances sur le fonctionnement mathématique plutôt orientées vers la résolution de problèmes ; prolongeons ces comparaisons en revenant à un élément du groupe 2, l'item Exemples. Exemples et exercices types ont en commun d'évoquer des connaissances non décontextualisées, sont-ils également
présents ? La réponse à cette question nous intéresse particulièrement puisque nous avons considéré dans notre analyse a priori que les items des groupes 2 et 3 ne sont pas d'égal intérêt dans la perspective d'épreuves de type Capes (cf .C.I.2.)

Notons pour commencer que les *Exemples* sont plus cités que les *Méthodes* dans L ainsi que dans les sous-groupes L+ et L- ; ce classement est inversé dans MP, MP+ et MP-.

Le tableau ci-dessous rapporte au nombre de réponses effectives d'une part le nombre d'étudiants ayant mentionné l'item *Exemples* (Ligne 2) et d'autre part le nombre de ceux qui ont cité l'item *Exercices Types* (Ligne 3) :

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><th>Exemples</th><td>0,486</td><td>0,316</td><td>0,302</td><td>0,238</td><td>0,55</td><td>0,391</td><td>0,374</td><td>0,391</td><td>0,380</td></tr><tr><th>Ex. types</th><td>0,189</td><td>0,263</td><td>0,186</td><td>0,381</td><td>0,1</td><td>0,130</td><td>0,202</td><td>0,203</td><td>0,202</td></tr></tbody></table>

Rappelons que ces deux items ne différencient pas les populations L et MP.

Les *Exemples* sont plus cités que les *Exercices types* dans tous les cas sauf pour MP+.

Dans MP, MP+ est le sous-groupe mentionnant le moins les *Exemples* et le plus les *Exercices types* (l'écart avec MPo ∪ MP- est significatif au seuil de 9 % dans le premier cas, l'écart avec MP- au seuil de 6 % dans le second).

Dans L, il n'y a pas d'écart significatif à propos des *Exercices types*, les fréquences dans L+ et L- étant même quasi identiques. Par contre, L+ mentionne plus l'item *Exemples* que le reste de L (l'écart avec Lo ∪ L- est significatif au seuil de 8 %). Il faut cependant rappeler que l'écart se réduit si l'on s'intéresse seulement aux étudiants qui considèrent les *Exemples* comme indispensables ou souvent utiles.

Seuls 9 étudiants citent à la fois *Exemples* et *Exercices types* (6 au même niveau, 3 dans L+, 2 dans Lo et 1 dans MP-, les autres placent les exemples à un niveau inférieur, 1 dans L+, 1 dans L- et 1 dans MPo). On trouve 6 fois la formulation « *Exemples types* » qui semble participer des deux items, l'une parlant plus précisément d'«*exemples types d'exercices*».

Nous retiendrons que dans les deux institutions le groupe fort se distingue en accordant un poids plus élevé que le reste de la population à un des deux items évoquant des connaissances contextualisées : *Exercices types* dans MP, *Exemples* dans L. Pour la classe préparatoire, l'item différenciateur évoque explicitement une valeur générique et l'activité de résolution. Ce n'est pas le cas de la dénomination *Exemples* : si certains étudiants du groupe L font référence à la significativité des exemples sélectionnés (cf n° 37), d'autres semblent plutôt rechercher la simplicité ; par ailleurs, les éléments de contenus relevés étayent l'hypothèse d'une liaison forte entre exemples et texte du cours<fnref n="67" /> qui nous a conduit à minorer a priori l'efficacité de cette catégorie de connaissances pour les épreuves de concours, le résultat obtenu dans la population MP+ allant dans le sens de cette analyse. En revanche, l'intérêt accordé par les étudiants qui réussissent à l'université aux *Exemples* peut certainement être interprété dans le sens d'une utilité pour les examens universitaires.

<footnote n="67">⁶⁷ Ainsi mis en exergue par leur place au sein du texte officiel du savoir savant, les *Exemples* seraient plus facilement considérés comme devant être connus, ce qui peut expliquer que tous les groupes étudiés, à l'exception de MP+, citent plus cet item que les *Exercices types* et que les *Applications*.</footnote>
### 4. Erreurs (9,9).

7 étudiants de L (4 dans L+, 2 dans Lo et 1 dans L-) ainsi qu'un élève de MP+ font référence aux erreurs qu'ils ont commises eux-mêmes ou qui ont été signalées par un enseignant :

n° 15 (L+) : « Des *Erreurs* [2] commises dans des exercices. »

n° 31 (L+) : « Les mises en garde concernant certaines difficultés [3]. »

n° 35 (L+) : « Pièges à éviter [3]. *Etourderies, Erreurs déjà faites* [4]. »

n° 41 (L+) : « Se faire corriger par un prof, quand on dit une *Bêtise* [3] et quand le prof vous dit pourquoi c'est une bêtise. »

n° 54 (Lo) : « Difficultés soulevées par des exercices cherchés [3]. »

n° 60 (Lo) : « Anecdote : j'ai déjà fait cette *Errore* [2]. »

n° 65 (L-) : « La "Contre performance" au tableau pendant un TD ( ne pas refaire la même *Errore* [3]). »

n° 78 (L-): « Remarques du professeur à propos des copies des années précédentes [3] (*Erreurs* [3] souvent commises, ... ). »

n° 114 (MP+) : « *Erreurs* [3] à éviter. »

On ne peut que constater ici le faible nombre d'apparitions de cette référence à un regard réflexif sur sa propre pratique antérieure.

### 5. Synthèse.

Nous avons étudié dans cette partie des items que nous considérons comme renvoyant à des savoirs relatifs aux solutions de problèmes non pris en compte par les théorèmes ou autres formes d'énoncés du savoir savant, ce que nous identifions comme des **savoirs sur le fonctionnement mathématique**. Deux de ces items, *Méthodes et Exercices Types*, sont porteurs d'une certaine généralité mais le premier évoque un niveau de décontextualisation plus élevé que le second. Le troisième, *Astuces*, semble évoquer des connaissances d'efficacité avérée mais plus circonscrite, du moins aux yeux des étudiants ; les astuces sont liées à des exercices précis, leur niveau de décontextualisation est probablement variable.

Notre étude fait apparaître que les items considérés différencient les deux institutions, les savoirs sur le fonctionnement mathématique étant plus présents dans MP que dans L. L'item *Méthodes* est mentionné par 32 % des étudiants de L, 48 % de ceux de MP, *Astuces* par 7 % dans L et 19 % dans MP. Dans les deux cas, l'écart est significatif au seuil de 5 %. De plus, les élèves de MP considèrent plus souvent les méthodes comme indispensables que les étudiants de L. On ne relève pas cette différence de comportement à propos des *Exercices types* qui sont cités dans 20 % des réponses dans les deux groupes.

Concernant les sous-groupes de niveau, plusieurs écarts significatifs ont été mis en évidence, ils vont tous dans le même sens : **le sous-groupe fort accorde plus d'importance à l'item considéré que le faible.** Ainsi, parmi les étudiants du groupe L mentionnant les *Méthodes*, ceux de L+ sont nettement plus nombreux que ceux de L- à lui attribuer le niveau [4]. Les *Exercices types* sont cités par 38 % des élèves de MP+, il en est de même des *Astuces*, ceci est dans les deux cas, significativement plus que dans MP- (29 % des élèves de MP+ citent deux items, ce qui n'est le cas d'aucun autre élève
de Spéciales MP et d'un seul étudiant de L). Enfin, la réunion de L+ et MP+ fait plus souvent référence aux *Astuces* que la réunion de L- et MP-.

Nous avons donc en particulier relevé donc la présence en proportion non négligeable dans le sous-groupe MP+ d'un profil d'élèves accordant de l'importance à un couple, voire un triplé, *Méthodes* et/ou *Exercices types*, *Astuces* dont on peut penser qu'il leur permet de tirer au mieux parti des exercices et problèmes auxquels ils ont été confrontés.

### C.V. Groupe 4 : Items concernant l'activité mathématique des étudiants.

Dans l'étude quantitative qui suit seront regroupés dans un seul item à condition qu'ils aient fait l'objet d'une cotation du niveau d'utilité, les termes Exercices, TD, Colles, Examens, Partiels, Annales, Devoirs et Problèmes, des termes qui dans le tableau présenté en C.I.1. ont donné lieu à trois items *Exercices*, *Examens* et *Devoirs*. Le dénombrement est effectué de la façon suivante : si deux mots sont situés au même niveau d'utilité, ils sont comptés pour un, sinon ils sont comptés séparément. Ceci donne **130 occurrences pour 109 étudiants**.

Les apparitions des termes considérés comme compléments de nom ou dans des relatives spécifiant le sens attribué aux items *Méthodes*, *Techniques*, *Astuces* et *Erreurs* ne sont pas prises en compte dans ce dénombrement.

#### 1. Etude quantitative.

109 étudiants sont concernés. Compte tenu du mode de dénombrement adopté pour constituer cet item synthétique, le nombre de réponses multiples est assez élevé : une réponse est multiple si elle attribue plusieurs niveaux au même terme ou à des termes différents du regroupement ; par contre, si elle attribue le même niveau au même terme ou à des termes différents, elle n'est pas considérée comme multiple. Dans ces conditions, le nombre total d'occurrences est de 130.

<table><thead><tr><th></th><th>L+</th><th>Lo</th><th>L-</th><th>MP+</th><th>MPo</th><th>MP-</th><th>L</th><th>MP</th><th>Tous</th></tr></thead><tbody><tr><th>Non-r.</th><td>6</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><th>Réponses</th><td>37</td><td>19</td><td>43</td><td>21</td><td>20</td><td>23</td><td>99</td><td>64</td><td>163</td></tr><tr><th>Exercices</th><td>22</td><td>11</td><td>33</td><td>15</td><td>14</td><td>14</td><td>66</td><td>43</td><td>109</td></tr><tr><th>Fréquence</th><td>0,595</td><td>0,579</td><td>0,767</td><td>0,714</td><td>0,7</td><td>0,609</td><td>0,667</td><td>0,672</td><td>1</td></tr></tbody></table>

La troisième ligne du tableau ci-dessus donne le nombre d'étudiants ayant attribué un niveau d'utilité à l'un au moins l'un des termes cités plus haut. Les tableaux suivants ont la signification habituelle :

<table><thead><tr><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>Total</th><th></th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><th>L+</th><td>9</td><td>15</td><td>2</td><td>1</td><td>27</td><th>L+</th><td>0,333</td><td>0,556</td><td>0,074</td><td>0,037</td><td>0,208</td></tr><tr><th>Lo</th><td>2</td><td>9</td><td>2</td><td>0</td><td>13</td><th>Lo</th><td>0,154</td><td>0,692</td><td>0,154</td><td>0</td><td>0,1</td></tr><tr><th>L-</th><td>17</td><td>19</td><td>6</td><td>1</td><td>43</td><th>L-</th><td>0,395</td><td>0,441</td><td>0,140</td><td>0,023</td><td>0,331</td></tr><tr><th>MP+</th><td>2</td><td>9</td><td>4</td><td>1</td><td>16</td><th>MP+</th><td>0,125</td><td>0,562</td><td>0,25</td><td>0,062</td><td>0,123</td></tr><tr><th>MPo</th><td>5</td><td>9</td><td>1</td><td>1</td><td>16</td><th>MPo</th><td>0,312</td><td>0,562</td><td>0,062</td><td>0,062</td><td>0,123</td></tr><tr><th>MP-</th><td>4</td><td>8</td><td>3</td><td>0</td><td>15</td><th>MP-</th><td>0,267</td><td>0,533</td><td>0,2</td><td>0</td><td>0,115</td></tr><tr><th>L</th><td>28</td><td>43</td><td>10</td><td>2</td><td>83</td><th>L</th><td>0,337</td><td>0,518</td><td>0,120</td><td>0,024</td><td>0,638</td></tr><tr><th>MP</th><td>11</td><td>26</td><td>8</td><td>2</td><td>47</td><th>MP</th><td>0,234</td><td>0,553</td><td>0,170</td><td>0,043</td><td>0,362</td></tr><tr><th>Tous</th><td>39</td><td>69</td><td>18</td><td>4</td><td>130</td><th>Tous</th><td>0,3</td><td>0,531</td><td>0,138</td><td>0,031</td><td>1</td></tr></tbody></table>
## Eléments de comparaison

Les proportions d'étudiants ayant cité l'un au moins des termes retenus ici par rapport aux étudiants ayant répondu dans L et dans MP sont très voisines et correspondent aux deux tiers de l'effectif.

Dans L, l'écart entre L+ ∪ Lo et L- est significatif au seuil de 7% (t = 1,864) :
L- > L+ ∪ Lo ; la relation est dans le même ordre pour L- et L+ avec une significativité moindre (t = 1,622, seuil de 11%) : L- > L+. Pour MP, la différence entre MP+ ∪ MPo et MP- n'est pas significative mais les proportions observées sont ordonnées en sens inverse.

Les proportions d'occurrences des différents niveaux par rapport au nombre total d'occurrences dans L et MP ne sont pas significativement différentes. Il en est de même entre les sous-groupes.

## 2. Etude qualitative.

Comme nous l'avons fait pour l'item Théorèmes, nous allons maintenant nous intéresser aux spécifications apportées par certains étudiants à l'item synthétique Exercices.

Dans les différents sous-groupes de L ainsi que dans MP+ et MP-, une proportion d'environ 30 % des étudiants<fnref n="68" /> qui abordent cet item le font de manière totalement laconique : ils mentionnent seulement les Exercices, TD ou Exercices de TD à l'exclusion des autres termes regroupés dans l'item étudié ici ; ils n'expriment aucune sélection dans le corpus des exercices considérés ; ils n'attribuent qu'un seul niveau d'utilité à cet item. La proportion s'élève à 50 % dans MPo.

### * Spécification du contenu des exercices considérés.

Nous avons étudié en C.V.3. les apparitions d'expressions restreignant le corpus envisagé aux exercices types (exercices typiques, classiques, standard, de base). Peuvent leur être associées deux réponses qui expriment une sélection basée sur la notion de méthodes :

n° 29 : « Les principaux exercices vus en TD dont les méthodes de résolution reprennent celles du cours [4] »

n° 95 : « Certains exercices dont les méthodes de résolution sont les mêmes (utilisation du point essentiel du cours) [2] »<fnref n="69" />

Ces deux citations font jouer des interactions déjà rencontrées, entre repérage des méthodes et étude du cours d'une part, repérage des méthodes et repérage des exercices types d'autre part (voir III.1.b. et IV.1.b.). Pour deux autres étudiants, les exercices faits en cours sont considérés comme particulièrement intéressants puisque c'est dans ce corpus qu'on trouve les exercices types (n° 79) ou qu'on apprend les astuces (n° 127). On voit ici apparaître un principe de sélection des exercices basé sur les liens avec le cours. C'est une idée que nous rencontrons 5 fois sous des formes subtilement variables : « Exercices mettant en œuvre les points importants du cours [3] » (n° 74 L-), « Exercices classiques d'application du cours. [4] » (n° 138 MPo), « Exercices d'application directe du cours [4] » (n° 12 L+), « Exercices utilisant directement les notions du cours [4] » (n° 75 L-), « Retenir les théorèmes ; les théorèmes importants [4] : les apprendre et faire quelques exercices d'application

<footnote n="68">⁶⁸ De 26,1 % pour MP- à 29,7 % pour L+.</footnote>

<footnote n="69">⁶⁹ L'intégration de ces deux réponses au dénombrement effectué en V. 3. ne modifie pas les conclusions qui ont pu être formulées.</footnote>
simples [3] pour pouvoir les utiliser rapidement ou pour repérer leur domaine ou le cadre de leur utilisation plus rapidement » (n° 98 L-). Il nous semble distinguer une graduation dans ces réponses correspondant à l'apparition des expressions « application directe » puis « application simple », idée de simplicité également présente dans la réponse n° 31 : « Exercices simples reflétant le sujet abordé [3] ».

Si nous considérons l'ensemble des étudiants qui, depuis la notion d'exercices types jusqu'à celles d'applications simples, sélectionnent une partie des exercices, deux points de vue déjà rencontrés à propos des Démonstrations, Exemples, des Applications émergent de l'étude :

- les exercices sont choisis pour « les éléments importants qu'ils introduisent » (n° 88), apports méthodologiques, voire astuces ;

- les exercices sont sélectionnés pour aider à la compréhension du cours et/ou à sa mémorisation (la réponse n° 98 citée dans II.2.b. qui n'envisage les exercices que dans leur fonction d'apprentissage du cours est très explicite sur ce point, de même que la réponse n° 34 « Exercices pour permettre de comprendre le cours [3] » ; on peut interpréter dans le même sens la position dans la réponse n° 12 de l'item « Exercices d'application directe du cours » au sein des items concernant le cours alors que « Exercices et Problèmes récapitulant plusieurs notions » clôt la liste). Dans ce cas, les exercices simples peuvent être privilégiés, l'item Exercices se différencie alors difficilement des items Exemples et Applications.

Ces deux points de vue ne sont pas a priori exclusifs l'un de l'autre ; ainsi, nous trouvons dans la réponse n° 12 un niveau [4] pour « les exercices d'application directe du cours » et [3] pour « les exercices et problèmes récapitulant plusieurs notions ». Mais inversement certaines réponses peuvent donner à penser qu'une partie des étudiants centre le travail sur le cours et accorde aux exercices une position seconde, sinon secondaire, du moins au niveau de la mémorisation.

Examinons pour finir les occurrences des expressions Problèmes et Devoirs en temps libre que nous considérons comme introduisant une spécification portant sur le contenu du travail par comparaison avec les Exercices. Dans L, Problèmes apparaît deux fois dans L+, au niveau [3] (en particulier, n° 12 citée ci-dessus) et une fois dans Lo au niveau [4] (n° 60 « Exercices « j'ai mal à la tête » [2] -mais où on est content d'avoir fini-. Discussions sur des problèmes posés à l'oral [4]») ; le point de vue est donc plutôt positif. Dans MP, il y a trois occurrences, deux fois au niveau [1], il s'agit alors plus précisément des corrections de problèmes ou de devoirs faits à la maison (n°s 114 et 138), une fois au niveau [2] (n° 157). Le jugement est donc cette fois négatif ; chacune de ces réponses considère certains exercices ou applications directes comme souvent utiles ou indispensables.

* Spécification du dispositif institutionnel dans lequel sont rencontrés les exercices.

Les expressions TD et Exercices de TD apparaissent 26 dans L (6 fois dans L+, 3 fois dans Lo et 17 fois dans L-). Compte tenu de l'organisation du travail à l'université, on peut faire l'hypothèse que la référence aux TD est implicite dans les réponses qui n'introduisent aucune spécification. Dans MP, TD se rencontre 3 fois (1 dans MPo et 2 dans MP-); deux étudiants (1 dans MPo et 1 dans MP-) mentionnent en les situant au même niveau [3] les exercices faits en cours et les exercices faits en révision.

On trouve 8 fois, dans L exclusivement, une cotation d'utilité pour l'une ou l'autre des expressions Examens, Partiels ou Contrôle continu des années antérieures et Annales (2 dans Lo, 6 dans L-). Dans MP, aucun de ces termes n'apparaît, on relève 2
références aux Devoirs faits à la maison (1 dans MPo 1 dans MP-), aux Colles (1 dans MP+ et 1 dans MP-) et enfin une allusion aux « méthodes utilisées dans les précédents Devoirs Surveillés ». Les annales de sujets de concours ne sont jamais citées.

Enfin, dans L- uniquement, 5 étudiants citent des Exercices pris dans des livres personnels se rapportant à la matière, 4 d'entre eux leur attribuant au moins le niveau [3]. L'un d'entre eux fait allusion à leur propos à l'idée d'entraînement que l'on retrouve une autre fois dans Lo. Deux autres réponses de L- (n°s 97, 106) mentionnent également des sources extérieures aux cours et TD, le travail effectué étant considéré comme souvent utile par l'une et plutôt inutile par l'autre. Dans MP, les deux élèves qui citent, au même niveau d'utilité, les Exercices faits en cours et les Exercices de révision, font peut-être ainsi référence au travail personnel effectué en vue du devoir en temps limité dont il est question dans l'enquête.

Sans pouvoir à nouveau prétendre à une quelconque significativité de ces observations, nous relevons chez certains étudiants préparant le Capes, essentiellement dans le sous-groupe faible, **une tendance à dépasser le travail prescrit institutionnellement en puisant dans des annales ou autres livres personnels. On ne constate ce comportement ni dans les réponses des élèves de MP ni dans celles du sous-groupe L+**.

* Réponses multiples.

14 étudiants préparant le Capes et 3 élèves de Spéciales MP mentionnent plusieurs des termes considérés dans cette partie de l'étude (Exercices, TD, Colles, Examens, Partiels, Annales, Devoirs et Problèmes) en les considérant comme inégalement utiles. Examinons pour commencer les réponses du groupe L.

Certains étudiants privilégient (niveau [4]) une catégorie d'exercices fondée sur le contenu (caractère typique, lien directe avec le cours, problèmes) :

n° 12 (L+) : « Exercices d'application directe [4]. Exercices, problèmes récapitulant plusieurs notions [3] »

n° 59 (Lo) : « Types d'exercices classiques [4]. Exercices de TD [2] ou [3], cela dépendant des exercices. »

n° 78 (L-) : « Exercices de TD [3] (voire [4] pour les exercices de base). »

n° 60 (Lo) : « Discussions sur des problèmes posés à l'oral [4]. Exercices « j'ai mal à la tête » [2] - mais où on est content d'avoir trouvé - . »

n° 41 (L+) : « Exercices types à savoir faire [4]. Exercices proposés, non corrigés [2]. »

n° 75 (L-) : « Exercices utilisant directement les notions du cours [4]. Exercices à la limite du programme [2]. »

On peut remarquer dans les trois dernières réponses ce qui peut paraître comme une volonté d'explicitier une catégorie particulière d'exercices jugés plutôt inutiles. L'une insiste sur les limites d'un dispositif assez fréquemment utilisé en TD lequel consiste à donner des listes d'exercices dont la partie non traitée en séances ne fait jamais l'objet de corrections. Une autre explicite une sélection très directement finalisée par l'UV qui peut conduire à minorer l'étude des exercices plus transversaux. Elle apporte un certain éclairage sur l'attitude que nous avons précédemment relevée chez certains étudiants de L- consistant à subordonner assez directement le travail sur les exercices à l'étude du cours. Il est clair que la question qui faisait allusion à l'examen final d'une UV pouvait induire ce style de réponses ; il n'en reste pas moins que pointe ici peut-être une limite du travail provoqué par le fonctionnement universitaire qui ne soumet jamais les étudiants qu'à des épreuves adaptées à un programme relativement étroit.