où $p = 2\{n(n+1)+m-1\}+u$ est un indice agrégé, $P = 2N_{VSH}(N_{VSH} + 2)$, $Q = 2P$, $H_q = \Re\{H_p\}$ (ou $H_q = \Im\{H_p\}$) pour $t = 1$ (ou $2$), et $q = 2(p-1)+t$, et $\mathbf{X}$ est un vecteur aléatoire représentant la variabilité antennaire. Les coefficients modaux réels $H_q$ sont ensuite sélectionnés selon leur poids énergétique $W_q = H_q^2/(4\pi \cdot P_{rad})$, avec $P_{rad} = \frac{1}{4\pi} \iint_{4\pi} \|\mathcal{H}(\mathbf{X}, \hat{\mathbf{r}})\|^2 d\Omega \approx \frac{1}{4\pi} \sum_{q=1}^{Q} H_q^2$ la puissance rayonnée (normalisée à 1 W), formant un sous-ensemble $\mathcal{J}_d$ d'indices des modes dominants (avec $\text{Card}(\mathcal{J}_d) \le Q$); on a alors : $\mathcal{H}(f, \hat{\mathbf{r}}, \mathbf{X}) \approx j \sum_{q \in \mathcal{J}_d} (-j)^{\text{mod}(q, 2)} H_q(f, \mathbf{X}) \hat{\psi}_{\lfloor q/2 \rfloor}(\hat{\mathbf{r}})$. Lorsque l'on souhaite augmenter la précision à partir d'une précision initiale donnée – en pratique fixée par la puissance collectée (par ex. pour un seuil $E_{th} = 99.9\%$) – le nombre total de coefficients réels du « développement creux » croît ainsi moins vite (parfois significativement) que $Q = 4N_{VSH}(N_{VSH} + 2)$ avec le degré de développement $N_{VSH}$. Le caractère aléatoire de l'antenne est pris en compte dans une seconde étape. L'espace stochastique d'entrée est représenté par un vecteur aléatoire $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_M)^T$ – dont les variables sont supposées indépendantes –, de densité de probabilité conjointe $f_X$ supposée connue. Les coefficients modaux réels $H_q(f, \mathbf{X})$ peuvent être développés sur une base de polynômes de chaos $H_q(f, \mathbf{X}) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^M} |\alpha|_{\parallel} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^M} y_{\alpha}^{q}(f) \Phi_{\alpha}(X)$ où $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_M)^T$ est un indice multiple, $N_{PCE}$ est le degré maximal du développement polynomial, $\{\Phi_{\alpha}(X)\}$ est une base orthonormale multivariée dans l'espace de Hilbert $L_{p_X}^2(\mathbb{R}^M, \mathbb{R})$ muni du produit scalaire $\langle u, v \rangle = \int_{\mathbb{R}^M} u(x)v(x) f_X(x) dx$ et les $y_{\alpha}^q(f)$ sont les coefficients scalaires, déterministes, du modèle à déterminer. Ce double développement permet donc de représenter les FTA sous la forme d'un modèle d'abstraction statistique extrêmement parcimonieux :

$$ \tilde{\mathcal{H}}(f, \hat{\mathbf{r}}, \mathbf{X}) = j \sum_{q=1}^{Q} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^M} |\alpha|_{\parallel} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^M} (-j)^{\text{mod}(q, 2)} y_{\alpha}^{q}(f) \Phi_{\alpha}(X) \hat{\psi}_{\lfloor q/2 \rfloor}(\hat{\mathbf{r}}) \quad (4.2) $$

Plusieurs approches sont possibles pour tenir compte du comportement fréquentiel de manière également parcimonieuse. La solution retenue dans la thèse de Jinxin Du pour modéliser le comportement d'une antenne tissue a été de considérer la fréquence dans la bande d'intérêt (en l'occurrence la bande ISM autour de 2.45 GHz) comme une « variable aléatoire » d'entrée, donc intégrée au vecteur $\mathbf{X}$. Parmi les différentes techniques permettant de calculer les paramètres du modèle, c'est la méthode H-LARS (Hybrid Least Angle Regression Sampling) proposée dans [R49] qui a été adoptée car elle présente plusieurs avantages<fnref n="69" />. D'une part, la méthode LARS offre une représentation creuse car elle est fondée sur une sélection adaptative des éléments de base « dominants » représentant au mieux la réponse (en pratique les éléments les « plus corrélés » au résidu courant, d'une itération à la suivante), et elle requiert des plans d'expérience (ED, Experimental Design) de taille réduite par rapport aux méthodes concurrentes. D'autre part, le caractère itératif du LARS offre une grande souplesse dans la construction du plan d'expérience dont la taille n'a pas à être fixée a priori. La précision du modèle peut être

<footnote n="69">⁶⁹ Notamment par rapport aux méthodes de quadrature, par exemple utilisées en collocation stochastique, qui sont très efficaces pour des problèmes de dimensionnalité $M$ et de degré $N_{PCE}$ faibles, mais qui requièrent sinon des plans d'expérience imposants croissant rapidement avec $M$ et/ou $N_{PCE}$, donc un coût de calcul élevé voire prohibitif.</footnote>
prédite avec un indicateur de validation croisée $e_{LOO}$ appelé *Leave-One-Out error* qui a l'avantage d'être plus robuste au phénomène « d'overfitting »<fnref n="70" /> que l'erreur quadratique moyenne. Il est donc possible de générer itérativement plusieurs modèles, en partant d'un *ED* de taille relativement modeste, puis d'améliorer la précision (en contrôlant la convergence via $e_{LOO}$) par enrichissements successifs des *ED*. On peut ainsi choisir à tout moment le compromis coût/précision répondant le mieux au besoin. En pratique, l'*ED* initial a été généré par la méthode de l'hypercube latin (LHS, Latin Hypercube Sampling), et la technique du *maximin*<fnref n="71" /> a été utilisée pour son enrichissement. Les *ED* numériques ont été obtenus par simulation EM avec le logiciel CST MWS. Par ailleurs, le problème considéré étant « multi-entrées – multi-sorties », donc relativement complexe, de nouveaux indicateurs globaux de convergence ou de performance ont été définis, notamment « l'erreur LOO totale pondérée » (*weighted total Leave-One-Out error*) par la puissance relative de chaque coefficient modal : $e_{WTLOO} = \sum_{q \in I_D} e_{LOO}^{(q)} \cdot W_q$. Un deuxième indicateur de précision $e_{Sup}$ (*Supremum error*) est défini par : $e_{Sup}(\mathbf{x}) = \max_{(\theta, \varphi) \in \Omega_m(\mathbf{x})} \left\{ \left| G_{r,d\mathbf{B}}(\mathbf{x}, \theta, \varphi) - \hat{G}_{r,d\mathbf{B}}(\mathbf{x}, \theta, \varphi) \right| \right\}$ à partir des gains réalisé initial $G_r(\mathbf{x}, \theta, \varphi) = \| \mathcal{H}(\mathbf{x}, \theta, \varphi) \|^2$ et reconstruit $\hat{G}_r = \| \hat{\mathcal{H}} \|^2$ à partir du modèle, où $\Omega_m(\mathbf{x})$ représente un angle solide de rayonnement principal pour un seuil ajustable $\Delta G_{r,d\mathbf{B}}$ (par ex. $\Delta G_{r,d\mathbf{B}} = 10$ dB), soit $\Omega_m(\mathbf{x}) \triangleq \{(\theta, \varphi) | G_{r,d\mathbf{B}}(\mathbf{x}, \theta, \varphi) \geq \max_{(\theta, \varphi) \in [0, \pi] \times [0, 2\pi]} [G_{r,d\mathbf{B}}(\mathbf{x}, \theta, \varphi)] - \Delta G_{r,d\mathbf{B}}\}$.

Nous donnons quelques exemples de résultats concernant une antenne *patch* textile opérant dans le bande ISM autour de 2.45 GHz. Les déformations aléatoires appliquées à cette antenne, réalisée avec du tissu en jean fin (d'épaisseur $h \sim 0.85$ mm et de permittivité relative $\epsilon_r \sim 1.78$), associent courbure (*bending*) et froissement (*crumpling*). Les paramètres $h$ et $\epsilon_r$, ainsi que la fréquence sont également considérés comme des variables aléatoires.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**Figure 4.4.** Antenne patch en jean : (a) plan, (b) courbé et froissé, (c) prototype plan, (d) coefficient de réflexion simulé et mesuré (cas planaire).</figcaption></figure>

En considérant un degré maximal $N_{VSH}$ de développement en $VSH$ (donnant une erreur de troncature négligeable) et $N_0$ coefficients modaux dominants réels (correspondant à un seuil de puissance collectée $E_{th}$), plusieurs modèles $\hat{\mathcal{H}}^{(i)}$ dont la précision a été progressivement améliorée ont été obtenus par enrichissement successif des plans d'expériences ED (le plan d'expérience LHS initial ED₀ comprenant 200 échantillons). L'évolution des deux indicateurs de précision est donnée à la Figure 4.5.

<footnote n="70">⁷⁰ L'erreur quadratique moyenne *empirique* décroît systématiquement lorsque le nombre d'éléments de base augmente, alors que l'erreur théorique peut augmenter. Il faut alors augmenter la taille de l'ED.</footnote>

<footnote n="71">⁷¹ Consistant à ajouter itérativement des échantillons qui maximisent la distance euclidienne minimale aux échantillons existants dans l'espace stochastique d'entrée.</footnote>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>**Figure 4.5.** (a) Evolution de l'erreur $e_{WTLOO}$ en fonction de l'enrichissement de l'ED ; (b) Distribution de l'erreur $e_{Sup}$ ($A = \{ \mathcal{X}_{i,A} \subset \mathcal{X}_i \mid e_{Sup} \le 1 \text{ dB} \}$, $B = \{ \mathcal{X}_{i,B} \subset \mathcal{X}_i \mid 1 < e_{Sup} \le 1.5 \text{ dB} \}$, $C = \{ \mathcal{X}_{i,C} \subset \mathcal{X}_i \mid 1.5 < e_{Sup} \le 2.5 \text{ dB} \}$) en comparant l'erreur de deux modèles d'abstraction successifs $\mathcal{H}^{(i-1)}(\mathcal{X}_i)$ et $\mathcal{H}^{(i)}(\mathcal{X}_i)$, pour $i = 1,...,5$. $N_{VSH} = 5$, $E_{th} = 99\%$ correspondant à 27 coefficients modaux réels dominants $H_q$ (sur un total de 140). Le modèle « compact » $\mathcal{H}^{(5)}$ compte 3217 coefficients ($N_{PCE} = 10$) alors qu'il faut augmenter l'ordre des PC jusqu'à $N_{PCE} = 13$ pour le modèle « précis » $\mathcal{H}^{(13)}$.</figcaption></figure>

Un premier modèle ($\mathcal{H}^{(5)}$) offre un comprom satisfaisant entre coût et précision. A titre d'exemple, deux observables secondaires (les largeurs de lobes à -10 dB dans deux plans de coupe en polarisation principale, et le gain réalisé maximal $G_{r\theta}$) obtenues à partir d'un échantillon de Monte Carlo (MC) indépendant des ED, et comprenant 2000 réalisations, sont considérées afin d'évaluer la précision de ce modèle $\mathcal{H}^{(5)}$. Leurs fonctions de répartition empiriques calculées (sur l'échantillon de MC) à partir du modèle et directement à partir des simulations EM sont comparées à la Figure 4.6, montrant un accord satisfaisant. A partir de ce même échantillon de MC, les fonctions de répartition des coefficients modaux dominants calculés avec le modèle $\mathcal{H}^{(13)}$ sont comparées à celles des coefficients initiaux directement calculés à partir des simulations EM. Un test de Kolmogorov-Smirnov (K-S) a été effectué afin d'évaluer la précision statistique du modèle. Le test conclut à la consistance des échantillons pour tous les modes à un niveau de risque $\alpha = 0.01$, et pour quasiment tous les modes pour $\alpha = 0.05$ (Figure 4.6).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Figure 4.6.** Comparaison des fonctions de répartition (a) des ouvertures angulaire à -10 dB dans 2 plans de coupe principaux, (b) du $G_{r\theta}$ maximal, calculées à partir d'un échantillon de Monte Carlo indépendant de 2000 réalisations, de manière directe, et avec le modèle « compact » $\mathcal{H}^{(5)}$ ; (c) des 27 coefficients VSH dominants ($N_{PCE} = 13$) calculées à partir du même échantillon de MC, de manière directe, et avec le modèle $\mathcal{H}^{(13)}$.</figcaption></figure>

Enfin, toujours dans le cadre de la thèse de J. Du, une méthodologie analogue de représentation parcimonieuse comprenant deux étapes a été appliquée à la modélisation du coefficient de réflexion $S_{11}(f, \xi)$ d'antennes déformables. Deux méthodes de réduction d'ordre ont été utilisées afin de modéliser la réponse en fréquence (ou en Z) : 1. Une
modélisation de type ARMA $S_{11}(z, \xi) = \sum_{m=0}^{M} b_m(\xi)z^{-m} / \sum_{n=1}^{N} a_n(\xi)z^{-n} + \varepsilon(z, \xi)$, la méthode d'identification reposant sur l'algorithme de Levy, et 2. Une interpolation polynomiale des parties réelles et imaginaires des $S_{11}$. La méthode PCE étaient ensuite appliquée aux coefficients de ces modèles paramétriques [29]. Les résultats obtenus sont dans l'ensemble très encourageants, même si ce sujet mériterait un approfondissement.

### 4.2.2. Analyse et modélisation conjointe antenne-canal

Les premiers travaux portant sur ce thème ont été initiés dans le cadre des projets Ultrawaves et Pulser I – dans le contexte des communications ULB – sous l'impulsion d'Alain Sibille.

Les antennes sont habituellement considérées comme des objets déterministes et leurs performances évaluées de manière intrinsèque, in abstracto. Dans le contexte ULB, notamment en radio impulsionnelle, il est moins légitime (voire douteux dans certains cas) de considérer indépendamment les propriétés des antennes et du canal car leurs interactions sont plus complexes qu'en bande étroite, le signal reçu résultant d'une convolution entre leurs réponses temporelles respectives. Il est ainsi plus approprié d'évaluer les performances des antennes ULB en tenant compte des conditions d'usage, in concreto, à savoir les caractéristiques du canal et de la couche physique (forme d'onde, type de récepteur). On notera que la caractérisation statistique des antennes est un peu particulière dans ce cas, puisque la variabilité ne provient ni des antennes elles-mêmes – encore considérées comme des objets déterministes –, ni de leur environnement immédiat (cet aspect n'étant pas considéré ici), mais de l'interaction plus ou moins forte entre les antennes et le canal. Ce type d'approche résulte donc de ce qui peut être qualifié de problème aux interfaces. On pourra trouver dans [21] une analyse assez approfondie, considérant différents types d'antennes (omni/directives, dispersive ou non) et de canaux (LOS/NLOS, dense ou non).

Dans le contexte de l'étude des antennes environnées, une approche plus globale de modélisation conjointe antenne/canal a également été proposée par A. Sibille, notamment dans le cadre du projet URC (portant entre autre sur la radio cognitive). Dans cette démarche, contrairement à « l'approche classique », les effets dus à l'environnement immédiat de l'antenne sont modélisés séparément, et donc exclus de la modélisation du canal, réservée au comportement moyen à grande échelle en distance ($\overline{PL}(d)$) et à moyenne échelle (shadowing). Dans cette modélisation, le bilan s'écrit ainsi :

$$P_{Rx} = P_{Tx} \cdot PG_{LS}(\mathbf{r}, f, \mathbf{r}_{Tx}) \cdot PG_{MS}(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}) \cdot EG_{Loc}(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}, \text{Ter}, \omega_{\text{ter}}) \quad (4.3)$$

où $PG_{LS}$ (resp. $PG_{MS}$) représente le Path Gain à grande échelle (resp. à moyenne échelle), $EG_{Loc}$ est le gain effectif du terminal incluant les effets locaux, $f$ est la fréquence (ou la bande de fréquence si une moyenne en fréquence est effectuée, par ex. pour des RAT à bande étroite), $\mathbf{r}$ et $\mathbf{r}_{Tx}$ représentent les positions du terminal et de l'émetteur dans un référentiel fixe, Env et Ter sont des variables discrètes représentant le type d'environnement ou de terminal considéré, et $\omega_{env}$ (resp. $\omega_{ter}$) est un vecteur aléatoire représentant la variabilité stochastique de l'environnement (resp. du terminal), avec :

$$EG_{Loc} = \sum_{n} \left| A_{n,H}(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}) \right|^2 G_{r,H}(\Omega_n(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}) - \Omega_T(\text{Ter}, \omega_{\text{ter}}), f, \text{Ter}, \omega_{\text{ter}}) \\ + \sum_{n} \left| A_{n,V}(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}) \right|^2 G_{r,V}(\Omega_n(\mathbf{r}, f, \text{Env}, \omega_{\text{env}}) - \Omega_T(\text{Ter}, \omega_{\text{ter}}), f, \text{Ter}, \omega_{\text{ter}}) \quad (4.4)$$
où $A_{n,H}$ et $A_{n,V}$ sont les amplitudes du trajet $n$ incident en polarisation Horizontale et Verticale (soumises à la contrainte de normalisation $\sum_n |A_{n,H}|^2 + |A_{n,V}|^2 = 1$), $\Omega_n = (\theta_n, \phi_n)$ est la direction d'arrivée du trajet $n$, $\Omega_t$ représente l'orientation du terminal dans un référentiel fixe, et $G_{r,H}$ et $G_{r,V}$ sont les gains réalisés polarimétriques des antennes.

Ce type d'approche a notablement contribuer aux travaux ultérieurs de l'équipe dans ce domaine. Selon les besoins et les objectifs, des modèles « en puissance » – comparable au précédent ((4.3), (4.4)) – ou des modèles « en champ » ont été développés. La plupart de ces travaux ont déjà été évoqués plus haut : thèses de F. Guidi et de Z. Mhanna sur les tags RFID ULB dans le contexte du projet SELECT, thèse d'A. Krayni sur l'exposition aux EMF et travaux sur l'évaluation du champ ambiant par des exposimètres dans le contexte du projet SELECT.

Enfin, une première ébauche de modélisation conjointe antenne/canal a été mise en œuvre par J. Du dans la dernière partie de sa thèse sur la modélisation statistique des antennes déformables, l'objectif étant d'étudier l'influence de la variabilité antennaire, in situ. Les observables utilisées pour cela sont des gains effectifs [R12] (comparables à la définition (4.4)) convenablement normalisés (par un gain effectif de référence calculé pour l'antenne non déformée). Même si ces derniers travaux doivent encore être consolidés, l'une des nouveautés réside d'une part dans le recours à des « doubles statistiques » (représentant conjointement la variabilité antennaire et celle du canal), et d'autre part dans l'utilisation des modèles d'abstraction d'antennes déformables précédemment développés (développements VSH/PCE), sans lesquels l'obtention d'échantillons statistiques de tailles suffisantes aurait un coût prohibitif.

Par ailleurs, nous avons aussi adopté des approches conjointes antenne/canal dans l'étude des communications ULB pour les WBAN, mais pour des raisons qui leurs sont propres. Ces questions sont donc abordées dans des sections séparées : le §4.1 pour la caractérisation et la modélisation des antennes perturbées par la proximité du corps humain, et le §4.3 pour la caractérisation et la modélisation du canal BAN.

## 4.3. Etude du canal WBAN ULB

Nos premiers travaux sur les WBAN ont débuté en 2004 dans le cadre du projet PULSERS I et de la thèse d'H. Ghannoum. Dans un premier temps, ce dernier a étudié de manière semi quantitative les interactions antenne/corps en champs proche (adaptation) et lointain (diagrammes), pour différents types d'antennes ULB, distances au corps, polarisations, etc., tant en simulation qu'en mesure. Nous nous sommes également intéressés aux mécanismes de propagation, notamment autour de la tête et du torse.

Dans un second temps, diverses analyses statistiques ont été effectuées à partir de plusieurs campagnes de mesure ULB (sur une bande de [2,12] GHz), et certains modèles statistiques ont été extraits. L'influence du type d'antennes utilisées (par ex. directive ou non) sur le retard moyen $\bar{\tau}$, l'étalement des retards $\tau_{rms}$ (RMS Delay Spread) et l'atténuation de propagation moyenne $\bar{PL}(d)$ a été étudiée en fonction du positionnement des antennes, de leur distance au corps, de leur orientation, et de la distance inter-antennes, par exemple pour un scénario de propagation sur le torse (de type H2C). Il serait un peu long de fournir ici une synthèse de l'ensemble des résultats obtenus, mais on peut donner quelques tendances [22], [70] : 1. La distance au corps des antennes non résilientes a une influence très significative sur le PL – jusqu'à 10 dB et plus$^{72}$–, ainsi que sur le $\tau_{rms}$ ; 2. L'amélioration du bilan apporté par des antennes directives (telles que des dipôles log-

<footnote>$^{72}$ pour des liens en LOS de type H2C.</footnote>
périodiques planaires PLPDA<sup>73)</sup> peut être significatif dans certains cas ; 3. La RIA peut jouer un rôle significatif sur la CIR (Channel Impulse Response), donc notamment son τ<sub>rms</sub> , si les antennes sont assez dispersives – par ex. des PLPDA – (Fig. 4.7) ; 4. pour des liens en LOS, non masqués par le corps, une loi en puissance du PL moyen en fonction de la distance PL(d) ∝ (d / d<sub>0</sub>)<sup>n</sup> est satisfaisante ; 5. L'influence de la polarisation des antennes (tangente ou normale au corps) sur le PL moyen est très significative (notamment pour les liens en LOS) ; 6. Enfin, l'effet de masquage du corps (body shadowing) sur le PL est également très significatif pour des liens de type H2W (à la fois selon la position du bras – ce qui a été étudié par de nombreuses équipes –, mais également selon l'orientation du poignet – qui a été peu étudiée à notre connaissance).

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>**Figure 4.7.** (a) Configuration de mesure (pour différentes orientations et distances au corps des antennes), (b) τ<sub>rms</sub>, (c) Δt<sub>90</sub> (durée d'intégration de 90 % de l'énergie dans la CIR).</figcaption></figure>

Des modèles de PL moyens le long du torse et autour du tronc de la forme $\overline{PL}_{\text{dB}}(d) = \overline{PL}_{0,\text{dB}} + 10n \log(d/d_0)$ ont été proposés à l'époque [19], [67] (Fig. 4.8). Des exposants de propagation n typiquement compris entre 3.3 et 5 selon la sous-bande ULB considérée ([4,5], [6,9], [3,11] GHz) ont été obtenus pour la propagation sur le torse. Dans ce dernier cas, la variabilité autour de l'atténuation moyenne, due à la fois à la zone du torse considérée et à la distance au corps de l'antenne a également été caractérisée. Cette variabilité est correctement modélisée par une loi log-normale. Concernant la propagation autour du tronc, des exposants de propagation compris entre 5.1 et 7.7 ont été obtenus, selon la bande et la zone considérées (poitrine ou abdomen).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>**Figure 4.8.** (a) Positions de mesure sur le torse (avec des antennes DFMM), (b) Mesures (intégrées sur [3,11] GHz) et PL moyen, (c) PL moyen et modèle ($d_0 = 7.5$ cm, $\overline{PL}_{0,\text{dB}} = 37.1$ dB, $n = 4.4$).</figcaption></figure>

Ces travaux ont été poursuivis, entre autre dans le cadre du projet BANET (ANR). C'est dans ce contexte que nous avons adopté l'approche de type scénario. Un protocole de mesure mis au point en commun par les différents partenaires a notamment permis de

<footnote n="73">73 Planar Log Periodic Dipole Antenna.</footnote>
réduire la grande dispersion des résultats déjà publiés dans la littérature pour le PL [121]. Nous nous sommes plus particulièrement intéressé à l'effet de proximité du corps sur les antennes [46], [51] – ce qui a déjà été présenté au §4.1 – ainsi qu'à l'influence de l'environnement intérieur sur le canal « on-on ». Un travail préliminaire fondé sur plusieurs campagnes de mesure ULB (sur [1,12] GHz) dans le domaine fréquentiel (effectuées à l'ENSTA ParisTech) a été réalisé au cours du stage long de fin d'étude de Daniel Toledano (2008-2009). Les mesures ont été effectuées pour trois liens radio en chambre anéchoïde et dans quelques pièces significativement différentes (petit bureau, grande salle de classe et laboratoire), et plusieurs positions dans chaque pièce (le long d'un parcours). Selon les cas, plusieurs distances antennes/corps, une variation du « micro-positionnement » (par exemple autour d'une position centrale au niveau du sternum pour un lien H2C) ont été considérées, et un ou deux sujets impliqués. Les résultats préliminaires ont permis de dégager des tendances conformes au raisonnement physique, par exemple le fait que le PL augmente avec la taille des pièces [114], [14], [45], [49].

Nous nous sommes parallèlement intéressé aux conditions sous lesquelles le canal BAN instationnaire peut être caractérisé dans le domaine fréquentiel avec un VNA rapide. Une étude assez systématique des paramètres de mesure impliqués (bande de résolution, bande de mesure, fenêtre temporelle, temps de latence des protocoles de communication, etc.) effectuée par D. Toledano a permis de conclure qu'une précision acceptable (donc une dynamique de mesure et une fenêtre d'observations suffisantes) peut être obtenue pour une allure de marche (typiquement à ~ 1 m/s) sur la bande [3, 5] GHz (correspondant à un décalage Doppler maximal de ~ 17 Hz). En revanche, la bande Doppler pour une vitesse de course semble trop large. Des travaux préliminaires ont été menés dans ce contexte durant le stage de M2 de M. Sacko (mesures en chambre anéchoïde, puis analyses du PL, $\tau_{rms}$, spectre Doppler, statistiques de 2^nd^ ordre, etc.), mais n'ont malheureusement pu donner lieu à publication faute de poursuite en thèse.

L'influence de l'environnement intérieur sur la composante dense (composantes diffuses et non résolues) de la réponse du canal BAN a été étudiée par Y. Wei dans sa thèse, dans le cadre d'une approche légèrement modifiée de la théorie « room electromagnetics » de J. B. Andersen [R50]. A partir des campagnes de mesures évoquées précédemment (réalisées à L'ENSTA ParisTech), et de nouvelles mesures réalisées dans différentes salles de classe à Télécom ParisTech avec le fantôme corps entier déjà mentionné (« Kevin »), le temps de réverbération – c'est-à-dire le temps de relaxation de l'énergie diffuse moyenne injectée dans l'environnement – théoriquement donnée par le modèle de Eyring [R51] $\tau_{Eyr} = -4V/\{Ac \ln(1-\eta)\}$<sup>74</sup> a pu être estimé, et comparé au « rapport de forme » V/A des pièces considérées (Fig. 4.9) [34]. Des valeurs crédibles du coefficient d'absorption effectif des parois η (typiquement entre 0.3 et 0.6 selon le type d'environnement) en ont été déduites (valeurs essentiellement indépendantes du type de lien radio considéré – H2C, H2W ou H2T – comme attendu).

<footnote n="74"><sup>74</sup> V étant le volume des pièces, A l'aire des parois (sol et plafond compris), et η leur coefficient d'absorption effectif.</footnote>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>**Figure 4.9.** (a) Dispositif de mesure, (b) Durée de réverbération en fonction du rapport V/A ([34]).</figcaption></figure>

**5. Antennes à diversité pour communications à hauts débits**

Le développement de ce thème, initié au milieu des années 90 [23], [26], [84]-[89], [96]-[98], [100], [144], a fortement contribué au lancement d'une collaboration avec Thales Communications et à notre participation à notre premier projet européen du FP4 ADAMO, dédié aux communications à hauts débits en intérieur (HIPERLAN, WiFi) [140]-[143]. L'un des objectifs était notamment de démontrer que les techniques de diversité d'antennes adaptatives, au niveau des terminaux<sup>75</sup>, permettent de réduire la complexité des égaliseurs et/ou des types de modulation, par exemple en réduisant le niveau d'interférence inter-symboles (ISI) par filtrage spatial.

Les travaux concernés étant assez anciens, je ne présenterai que deux exemples d'antennes à commutation, à six états de diversité. La première est un réseau circulaire de monopôles à commutation de faisceau par commutations de charges, opérant à 5.1 GHz [84]. Deux des six monopôles de la 1<sup>re</sup> couronne sont alimentés tandis que les quatre autres sont chargés par des réactances commutables (grâce à des FET froids<sup>76</sup>), ce qui permet de dépointer le faisceau tous les 60 degrés (Fig. 5.1). Le monopôle central court-circuité joue un rôle de réflecteur. Les six monopôles de la 2<sup>nd</sup> couronne – qui sont chargés par des réactances fixes – ont été ajoutés dans cette version afin d'améliorer le contrôle de la forme du diagramme en azimut (et notamment l'ouverture angulaire), en jouant un rôle d'éléments directeurs.

Cette antenne a été utilisée dans plusieurs campagnes de mesure de canal intérieur au laboratoire et en Allemagne (IMST, autre partenaire d'ADAMO) [85]. Les résultats ont montré que la diversité d'antenne permet de réduire l'étalement des retards du canal (par rapport à l'utilisation d'une antenne omnidirectionnelle), ceci de manière très significative pour certains environnements.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>**Figure 5.1.** Antenne à diversité angulaire à 13 monopôles ; (a) Schéma de principe, (b) Réseau de monopôle d'un prototype, (c) Circuit d'alimentation RF et de commutation à FET froids ([84]).</figcaption></figure>

<footnote n="75"><sup>75</sup> Cette option était prévue par le standard HIPERLAN 2, jusqu'à 8 états de diversité.</footnote>

<footnote n="76"><sup>76</sup> ce qui permet de réduire la consommation d'énergie par rapport à des commutateurs à diode PIN.</footnote>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**Figure 5.2.** Antenne à diversité angulaire à 13 monopôles ; (a) Coefficients de réflexion mesurés, (b) Coupes coniques (au maximum en élévation), (c) Coupes en élévation, pour les 6 configurations à 5.1 GHz ([84]).</figcaption></figure>

Le second exemple est une antenne à diversité mixte de polarisation et angulaire [84]. L'antenne est constituée de 3 panneaux (assemblés en cylindre à base triangulaire) donnant la sectorisation angulaire (c'est-à-dire 3 états de diversité angulaire). La diversité de polarisation (ainsi qu'un léger dépointage en site) est obtenue au moyen d'un réseau de deux *patchs* circulaires excités dans le mode fondamental en polarisation circulaire (droite ou gauche, selon l'état de commutation du circuit de contrôle RF). Le circuit RF d'alimentation et de contrôle est constitué de 4 panneaux : le premier, horizontal, est principalement constitué d'un diviseur en étoile à six voies, alimenté en son centre par sonde coaxiale ; les trois autres, verticaux, contiennent entre autre, un double coupleur hybride 90° alimenté par deux voies latérales commutables et 4 transistors RF (deux en série pour la commutation de voie et deux pour l'adaptation de l'accès non alimenté). L'antenne est totalement intégrée, les circuits RF des panneaux verticaux alimentant les *patchs* par des trous métallisés à travers un plan de masse commun (Fig. 5.3).

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>**Figure 5.3.** Antenne à diversité mixte [96] ; (a) Schéma de principe, (b) Schéma éclaté du circuit d'alimentation RF et de commutation à FET froids, (c) Diagramme 3D mesuré (polarisation circulaire gauche du panneau 1).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>**Figure 5.4.** Antenne à diversité mixte [96] ; (a) Diagrammes en azimut pour les 6 états (polarisations principales et croisées), (b) Diagrammes en site pour $\varphi = 0$ ; Polarisations principale (—) et croisée (—).</figcaption></figure>
IIIe Partie
Perspectives et conclusion

Il y a quelques années à peine, la modélisation du comportement des antennes par des approches statistiques – notamment de (petits) terminaux, de smartphones, de capteurs, voire d'antennes relais de petites cellules – était encore relativement marginale<fnref n="77" />. Cependant, ces dernières années, la forte évolution des systèmes et réseaux de communications radio – plus complexes et plus nombreux –, des technologies, des simulateurs (à divers niveaux du modèle OSI), et des usages, a induit, entre autre, une raréfaction du spectre, une demande en forte croissance des flux de données, un phénomène de « pollution radioélectrique », etc. L'augmentation des contraintes et des besoins en performances requiert notamment l'amélioration des outils d'évaluation, de prédiction et de planification. Cela est particulièrement crucial dans la modélisation du canal de propagation et dans l'appréhension et la gestion des incertitudes dans les bilans. Le besoin de modéliser plus finement des objets communicants toujours plus divers, plus complexes pour certains, ou opérant dans des environnements variés donc incertains (capteurs disséminés par exemple), ou intrinsèquement variables (objets déformables par exemple), et plus nombreux, paraît avéré aujourd'hui dans cette tendance globale. La synthèse de modèles d'abstraction de ces objets, par exemple utilisables dans la modélisation conjointe antenne/canal, et/ou destinés aux simulateurs de plus haut niveau (simulateurs asymptotiques – GO/UTD –, du lien radio, de la couche MAC, etc.), est une approche dont l'intérêt apparaît renforcé par ces évolutions.

En d'autres termes, il s'agit ici de contribuer à la maîtrise des performances des réseaux émergeants et futurs (« 5G and Beyond ») en fournissant des outils d'évaluation fondés sur le développement de modèles d'abstraction stochastiques d'antennes et/ou de canal. Ce type d'approche a notamment pour objectif de faciliter l'évaluation d'indicateurs de performance clés (KPI – Key Performance Indicators) à différents niveaux d'abstraction (taux d'erreur binaire ou de paquet, débits, temps de latence, consommation, etc.).

Concernant les antennes, la modélisation statistique peut apporter une réelle valeur ajoutée dans diverses directions. Ses déclinaisons sont assez variées, les cinq axes suivants me paraissant à la fois intéressants, pertinents et utiles :

* La modélisation du comportement des antennes dites « environnées », c'est-à-dire perturbées par leur environnement immédiat (diffuseurs proches, supports, montures, utilisateur) ; l'antenne est dans ce cas un objet a priori déterministe, la variabilité étant extrinsèque ; cet axe inclue les systèmes multi-antennes (MIMO, SIMO, etc.),

* La modélisation du comportement des antennes déformables : ce sujet est particulièrement d'actualité à l'heure du développement de « l'électronique molle » (intégrée par ex. dans des matrices de silicone), des substrats souples, de l'intégration d'objets communicants sur – voire dans – des matériaux courants de l'industrie (textiles, papiers, etc.) ; ce thème peut évidemment être associé au précédent, les sources de variabilité étant alors à la fois intrinsèques et extrinsèques ; en outre, principalement dans ce contexte, je souhaite également développer une activité de conception d'antennes déformables,

* La modélisation conjointe antenne/canal avec des modèles d'abstraction statistiques d'antennes,

<footnote n="77">⁷⁷ A l'exclusion notable de l'estimation conjointe antenne/canal des performances des téléphones mobiles avec la définition du MEG (Mean Effective Gain) qui date de 1990 [R52].</footnote>
* Le développement de « modèles génériques » d'antennes « typiques » (notamment ULB) pour petits terminaux ou capteurs, par exemple dans le cadre de l'IoT,

* L'optimisation d'antennes (voire d'autres dispositifs EM) par l'intermédiaire de modèles d'abstraction extraits de plans d'expérience réduits grâce à l'utilisation de méthodes statistiques d'interpolation évoluées (polynômes de chaos par exemple).

Je compte poursuivre les activités des 4 premiers axes, sur lesquelles nous travaillons depuis plus d'une dizaine d'années, en développant l'utilisation de méthodes statistiques « avancées » comme nous l'avons fait depuis 2015 dans le cadre de la thèse de Jinxin Du sur la modélisation des antennes déformables à partir de polynômes de chaos. Un projet ANR liés aux trois premiers axes a par exemple été soumis en 2018 (en cours d'évaluation à ce jour). Je souhaite de plus initier une nouvelle activité avec le 5ᵉ axe, qui a déjà fait l'objet de travaux préliminaires avec Jinxin Du. En outre, je compte notamment orienter ces différents axes vers les systèmes multi-antennaires. Par exemple, à ma connaissance, la question de la prise en compte des interactions entre éléments rayonnants dans le contexte d'analyses conjointes antenne/canal de type MIMO semble avoir été relativement peu étudiée dans la littérature. Enfin, je souhaite développer certains de ces axes vers la montée en fréquence, dans le contexte du développement des standards de communication émergeants et futurs. Les bandes envisagées dans la 5G – quasi millimétrique (26-28 GHz), millimétriques (autour de 40 et 60 GHz), voire au-delà de 100 GHz (bandes dites « sub-THz ») – soulèvent des questions spécifiques, entre autre liées à la gestion des incertitudes, particulièrement intéressantes pour la recherche académique appliquée (en connexion avec le monde industriel). Le domaine millimétrique reste difficile, notamment expérimentalement : j'envisage donc cette orientation avec prudence, même si elle pourra notamment s'appuyer sur les moyens expérimentaux du laboratoire, disponibles jusqu'à 110 GHz aujourd'hui.

J'ai brièvement évoqué la question de la pertinence de la modélisation statistique des antennes dans l'introduction de la 2ᵉ partie. Entendue au sens des besoins, on peut me semble-t-il la considérer comme avérée, notamment pour les systèmes de communication émergeants et futurs, comme je l'ai évoqué précédemment. Cependant, l'une des difficultés de ces approches stochastiques tient à leur pertinence, cette fois-ci au regard de leur représentativité. On peut considérer qu'il s'agit encore d'un verrou pour certains des thèmes évoqués (tels que le développement de modèles statistiques « génériques »). Sur le plan pratique et/ou technique, le problème de l'accès à la statistique de l'espace d'entrée, et notamment aux éventuelles corrélations entre ses paramètres, constitue souvent une difficulté notable voire majeure. D'autres questions importantes telle que celle du compromis complexité/performance (représentativité et précision) se posent également, mais il s'agit d'un problème plus « classique », rencontré en modélisation statistique du canal radio par exemple.

Par ailleurs, je poursuivrai également une activité « antenne/canal » dans le domaine des communications « centrées sur l'utilisateur », notamment pour les réseaux corporels sans fil, en partie liée au 1er axe déjà mentionné. Une thèse sur le sujet (influence de l'environnement en intérieur, recours à des méthodes statistiques performantes, etc.) a par exemple débuté en octobre 2017.
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# Annexe
## Sélection d'articles

1. **Jinxin Du and Christophe Roblin**, "Stochastic Surrogate Models of Deformable Antennas based on Vector Spherical Harmonics and Polynomial Chaos Expansions: Application to Textile Antennas," *IEEE Transactions on Antennas and Propagation*, vol. 66, n° 7, July 2018, pp. 3610-3622.

2. **Francesco Guidi, Alain Sibille, Christophe Roblin, Valerio Casadei, and Davide Dardari**, "Analysis of UWB tag Backscattering and Its Impact on the Detection Coverage," *IEEE Transactions on Antennas and Propagation*, vol. 62, n° 8, August 2014, pp. 4292-4303.

3. **Christophe Roblin**, "A statistical assessment of ambient electromagnetic field using body-worn multiaxial sensors," *Comptes Rendus Physique (Académie des Sciences / Elsevier Masson)*, vol. 16, n° 9, November 2015, pp. 802-818.

4. **Anis Krayni, Abdelhamid Hadjem, Alain Sibille, Christophe Roblin, Joe Wiart**, "A novel methodology to evaluate uplink exposure by personal devices in wireless networks," *IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility*, vol. 58, n° 3, June 2016, pp. 896-906.

5. **Yun-fei Wei and Christophe Roblin**, "Multislot Antenna with a Screening Backplane for UWB WBAN Applications," *International Journal of Antennas and Propagation*, Hindawi Publishing Corporation, 2012.

6. **Hassan Ghannoum, Christophe Roblin & Xavier Begaud**, "Investigation and Modeling of UWB On-Body Propagation Channel," *Wireless Personal Communications, Special Issue on Latest Trends in Wireless Communications* (Springer), Vol. 52, Issue 1, Jan 2010, p. 17.

7. **Christophe Roblin**, "Ultra Compressed Parametric Modelling of UWB Antenna Measurements (solicited)," First European Conference on Antennas and Propagation, EuCAP 06, Nice, 6-10 Nov., 2006.