# Formulation non locale d'un modèle élastoplastique endommageable en gradient d'endommagement et écrouissage isotrope micromorphiques

Mohamed Hamed, Khemais Saanouni

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Mohamed Hamed, Khemais Saanouni. Formulation non locale d'un modèle élastoplastique endommageable en gradient d'endommagement et écrouissage isotrope micromorphiques. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01722082

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# Formulation non locale d'un modèle élastoplastique endommageable en gradient d'endommagement et écrouissage isotrope micromorphiques

Mohamed HAMED*, Khemais SAANOUNI

ICD-LASMIS, Université de Technologie de Troyes. STMR UMR CNRS 6279, France, mohamed.hamed@utt.fr, khemais.saanouni@utt.fr

**Résumé** - Il est bien connu que la présence de phénomène adoucissant (endommagement, thermique) dans les modèles de comportement mécanique conduit à une forte dépendance de la solution numérique vis-à-vis du maillage. Pour régulariser le problème plusieurs travaux sont développés par diverses méthodes se basant essentiellement sur la mécanique locale, soit en introduisant un gradient de variable d'état dans les potentiels d'état ou des dissipations, soit en ajoutant une équations aux dérivées partielles (EDP) supplémentaire gouvernant la variable non locale, soit en modifiant le principe des puissances virtuelles pour obtenir une EDP supplémentaire pour gouverner la variable non locale. D'autres travaux plus rigoureux se basent sur la théorie des milieux continus généralisés pour prendre en compte les variables micromorphiques assurant l'unicité de la solution de PVIL vis-à-vis du maillage. Dans le présent travail, en suivant la démarche générale des milieux micromorphiques, nous développons une formulation thermodynamiquement admissible avec deux variables micromorphiques et leurs premiers gradients associées à l'endommagement et à l'écrouissage isotrope.

**Mots clés** — Endommagement micromorphique, écrouissage isotrope micromorphique, formulation non locale

## 1. Introduction

Il est aujourd'hui bien établi que la résolution de problèmes de valeurs initiales et aux limites (PVIL), ayant des équations constitutives inélastiques avec adoucissement induit par l'endommagement ([1],[2],[3]) conduit à une solution numérique fortement dépendante de la discrétisation spatiale (la taille et le type du maillage) et temporelle (taille du pas de temps) dans le stade postcritique. Pour régulariser ce problème, plusieurs formulations ont été développées. Ces formulations introduisent une longueur interne caractéristique de la microstructure du matériau pour régulariser le PVIL et obtenir une solution indépendante, à convergence, des aspects liés à la discrétisation de l'espace et du temps. Cette longueur interne défini un voisinage fini autour du point matériel qui influence son état mécanique conduisant ainsi à ce qui est appelée mécanique non locale. Il est possible de classer les diverses formulations non locales en deux groupes : les formulations approchées et les formulations dans le cadre de la mécanique des milieux continus généralisés (MMCG).

Les formulations non locales approchées se basent essentiellement sur la mécanique locale des milieux matériellement simples en introduisant, de différentes manières, une équation de Helmholtz qui gouverne l'endommagement non local ([5], [6], [7], [8],[9]). Il a été montré que ces formulations non locales approchées ne peuvent régulariser le PVIL que pour des faibles valeurs de l'endommagement. De ce fait la fissure macroscopique (i.e. zone avec de fortes valeurs d'endommagement), demeure
dépendante du maillage et se concentre dans une seule rangée d'éléments

La MMCG offre un cadre théorique adéquat et naturel pour introduire des longueurs internes représentatives de la microstructure des milieux déformables. Ces théories ont été essentiellement développées pendant les années 60 et 70 ([10], [11], [12], [13]). Elles permettent d'obtenir naturellement des équations de bilan plus riches et plus étendues que la MMCMS. Ces théories ont été réutilisées afin de traiter les problèmes de valeurs initiales et aux limites (PVIL) à adoucissement induit par l'endommagement ([14], [15], [16], [17], [18]).

Dans ce travail, nous proposons une formulation thermodynamiquement-consistante dans le cadre de la MMCG, en introduisant le premier gradient de l'écrouissage isotrope et l'endommagement micromorphiques dans le principe des puissances virtuelles et dans l'expression de l'énergie libre. Dans cette formulation, la variable d'endommagement ductile est fortement couplée avec les variables de l'écrouissage mixte non linéaire isotrope et cinématique et avec les variables micromorphiques. Les variables d'écrouissage isotrope et d'endommagement micromorphiques sont ajoutées aux déplacements comme degrés de libertés (ddl). Ainsi, deux équations aux dérivées partielles (EDP) additionnelles avec leurs conditions aux limites découlant du principe des puissances virtuelles sont obtenues. Ainsi l'équation d'équilibre classique et les équations supplémentaires forment un PVIL à trois formes faibles avec comme ddl, le vecteur déplacement, l'endommagement et l'écrouissage isotrope micromorphiques. Par ailleurs, ces deux variables micromorphiques et leurs premiers gradients sont rajoutés à la liste des variables d'état dans le potentiel d'état permettant ainsi de généraliser les équations de comportement dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.

Un nouvel élément fini avec deux (ddl) additionnels ainsi que le modèle de comportement sont implémentés dans le code de calcul ABAQUS/EXPLICIT respectivement via les routines VUEL et VUMAT. Des exemples sont traités pour montrer la capacité de la modélisation micromorphique proposée à régulariser le PVIL et d'obtenir une solution indépendante du maillage même pour de très fortes valeurs de l'endommagement (fissures macroscopiques).

## 2. Formulation d'un modèle micromorphique élastoplastique endommageable

Parce que le couplage fort comportement-endommagement induit un adoucissement qui se trouve être à l'origine de la dépendance vis-à-vis de la discrétisation spatiale du PVIL, nous décidons que les phénomènes micromorphiques à modéliser sont l'endommagement ductile et l'écrouissage isotrope auquel nous attachons les variables micromorphiques $\tilde{D}$ et $\tilde{r}$ comme ddl (ou variables nodales) à utiliser dans le principe des puissances virtuelles. De même les couples de variables d'état $(\tilde{D}, \tilde{Y})$, $(\tilde{\nabla}\tilde{D}, \tilde{Y})$, $(\tilde{r}, \tilde{R})$ et $(\tilde{\nabla}\tilde{r}, \tilde{R})$ seront introduits comme nouvelles variables d'état dans le potentiel d'état et des dissipations.

### 2.1. Principe des puissances virtuelles pour les solides micromorphiques

Nous utilisons $\{\tilde{u}, \tilde{D}, \tilde{r}\}$ comme variables cinématiques indispensables à la définition des puissances virtuelles dont le principe de conservation s'écrit :

$$ P_{\text{int}} \left( \int_{\Omega} \delta u \, d\Omega, \int_{\Omega} \delta v \, d\Omega, \int_{\Omega} \delta w \, d\Omega \right) \quad \forall \delta u \text{ et } \delta v \text{, C.A.} \quad (1) $$

La puissance virtuelle des efforts intérieurs s'écrit alors sous la forme :

$$ \delta P_{\text{int}} = - \int_{\Omega} (\sigma : \text{vda}) u \, ds_2 \int_{\Omega} (\kappa \partial_t u + \kappa \partial_t v) u \, ds_2 \int_{\Omega} (Y \delta D + Y \nabla \delta D) \, d\Omega \quad (2) $$

La puissance virtuelle des efforts extérieurs est elle donnée par :
$$ \delta P_{ext} = \int_{\Omega} (F \cdot \delta \vec{u}) d\Omega + \int_{\Gamma_F^u} (F^r \delta r) ds + \int_{\Gamma_F^r} (F^D \delta D) ds \quad (3) $$

La puissance virtuelle des efforts d'inertie s'écrit sous la forme :

$$ \delta P_a = \int_{\Omega} (\rho \ddot{u} \cdot \delta \dot{u}) d\Omega + \int_{\Omega} \rho (\zeta_r \delta_D D \delta D) d\Omega \quad (4) $$

où $\vec{f}$ est le vecteur des forces de volume classiques, $\vec{F}$ est le vecteur des forces imposées sur la frontière $\Gamma_F$, $F^D$ est une force surfacique micromorphique appliquée sur $\Gamma_F^D$ et $F^r$ est une force micromorphique appliquée sur $\Gamma_F^r$. $\ddot{r}$ et $\ddot{D}$ sont respectivement les quantités d'accélération associées à l'écrouissage isotrope, et l'endommagement ; $\zeta_r, \zeta_D$ sont des paramètres de proportionnalité, homogène à une longueur au carrée(mm²), reliant la densité locale aux densités micromorphiques $\rho_r = \zeta_r \rho$ et $\rho_D = \zeta_D \rho$.

L'application du principe des puissances virtuelles dans ce cas, conduit aux équations classiques d'équilibre et à des équations additionnelles des bilans micromorphiques :

* Les équations classiques d'équilibre :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \operatorname{div}(\underline{\sigma}) + \rho \dot{\vec{f}}^u = \rho \ddot{u} & \text{dans } \Omega \\ \underline{\sigma} \cdot \vec{n} = \vec{F}^u & \text{sur } \Gamma_{F^u} \\ \vec{u} = \vec{u}_i & \text{sur } \Gamma_u \end{array} \right. \quad (1) $$

* Les équations de bilan relatif à l'endommagement micromorphique :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \operatorname{div}(\vec{Y}) - \vec{Y} = \rho \zeta_D \ddot{D} & \text{dans } \Omega \\ (\vec{Y}) \cdot \vec{n} = F^D & \text{sur } \Gamma_{F^D} \end{array} \right. \quad (2) $$

* Les équations de bilan relatif à l'écrouissage isotrope micromorphique :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \operatorname{div}(\vec{R}) - \vec{R} = \rho \zeta_r \ddot{r} & \text{dans } \Omega \\ (\vec{R}) \cdot \vec{n} = F^r & \text{sur } \Gamma_{F^r} \end{array} \right. \quad (3) $$

## 2.2. Thermodynamique des milieux micromorphiques

Soit un solide élastoplastique (en hpp pour simplifier $(\underline{\epsilon}^e, \underline{\sigma})$, à écrouissage isotrope $(r, R)$ et cinématique $(\underline{\alpha}, \underline{X})$, et à endommagement local ductile isotrope $(D, Y)$. A ces couples de variables locales nous ajoutons les couples de variables micromorphiques et leurs premiers gradients $(\tilde{D}, \tilde{Y})$ et $(\tilde{\nabla} \tilde{D}, \tilde{Y})$, $(\tilde{r}, \tilde{R})$ et $(\tilde{\nabla} \tilde{r}, \tilde{R})$. Pour des raisons de simplicité nous nous limitons au cas isotherme, et nous considèrons que le potentiel d'état dans l'espace des déformations (énergie libre de Helmholtz) est une fonction convexe de ses arguments $\rho\psi(\underline{\epsilon}^e, r, \underline{\alpha}, D, \tilde{D}, \tilde{\nabla} \tilde{D}, \tilde{r}, \tilde{\nabla} \tilde{r})$. Alors l'expression de l'inégalité de Clausius-Duhem prend la forme suivante :

$$ \underline{\sigma} : \dot{\underline{\epsilon}} + \frac{1}{D} \nabla \cdot \mathbf{V} + \mathbf{R} \cdot \nabla (\underline{\sigma} \cdot \underline{\epsilon}) + \frac{1}{D} \nabla \cdot \mathbf{V} + \mathbf{R} \cdot \nabla (\underline{\alpha} \cdot \underline{\epsilon}) = 0, \quad (4) $$
Si l'on suppose que seul le taux des déformations totales est décomposable en parties élastique et plastique $\dot{\varepsilon} = \dot{\varepsilon}^e + \dot{\varepsilon}^p$ mais pas les variables micromorphiques, une démarche classique permet de décomposer cette inégalité en plusieurs relations d'état définissant les variables forces :

$$ \underline{\sigma} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \underline{\varepsilon}^e}, \quad R = \rho \frac{\partial \psi}{\partial r}, \quad \underline{X} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \underline{\alpha}}, \quad Y = \rho \frac{\partial \psi}{\partial D} $$

$$ \bar{Y} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{D}}, \quad \bar{Y} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{\nabla} \bar{D}}, \quad \bar{R} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{r}}, \quad \bar{R} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{\nabla} \bar{r}} \qquad (9) $$

et d'une inégalité résiduelle définissant la dissipation intrinsèque :

$$ \underline{\sigma} : \dot{\underline{\varepsilon}}^p - R\dot{r} - \underline{X} : \dot{\underline{\alpha}} + Y\dot{D} \geq 0 \qquad (10) $$

L'équation (10) indique clairement que la dissipation est purement locale conformément à l'hypothèse adoptée ci-dessus. Notons qu'il est possible de tenir compte des dissipations micromorphiques si des informations physiques viables sur ces phénomènes dissipatifs sont disponibles [3].

Le potentiel d'état est choisi sous la forme suivante :

$$ \rho\psi(\underline{\varepsilon}^e, r, \underline{\alpha}, D, \bar{r}, \underline{D}, \bar{r}, \underline{D}) = \frac{1}{2}(1-D)\underline{\varepsilon}^e : \underline{\Lambda} : \underline{\varepsilon}^e + \frac{1}{2}(1-D)Qr^2 + \frac{1}{3}(1-D)C\underline{\alpha} : \underline{\alpha} + \frac{1}{2}\underline{Q}((1-D)r)\underline{Q} + \frac{1}{2}\underline{Q}_g\nabla r \cdot \nabla r + \frac{1}{2}H_g\nabla D \cdot \nabla D \qquad (11) $$

où $\underline{\Lambda}$ est le tenseur des propriétés d'élasticité, $\underline{Q}$ est le module d'écrouissage isotrope, $C$ est le module d'écrouissage cinématique, $\bar{H}$ est le module de l'endommagement micromorphique, $\bar{H}_g$ est celui de son premier gradient, $\bar{Q}$ est le module de l'écrouissage isotrope micromorphique et $\bar{Q}_g$ est celui de son premier gradient. Les relations d'état **Erfour ! Source du renvoi introuvable.** conduisent aisément à :

$$ \underline{\sigma} = (1-D)\underline{\Lambda} : \underline{\varepsilon}^e \qquad (5) $$

$$ R = \rho \frac{\partial \psi}{\partial r} = \sqrt{(1-D)}[\sqrt{(1-D)}(\underline{Q} + \bar{\underline{Q}})r - \bar{\underline{Q}}] \qquad (6) $$

$$ \underline{X} = \frac{2}{3}(1-D)C : \underline{\alpha} \qquad (7) $$

$$ Y = \frac{1}{2} \underline{\varepsilon}^e : \underline{\Lambda} : \underline{\varepsilon}^e + \frac{1}{2} Qr^2 + \frac{1}{3} C\underline{\alpha} : \underline{\alpha} + \frac{1}{2} \underline{Q} \left( \sqrt{(1-D)}r - r \right) \frac{r}{\sqrt{1-D}} - H(D-D) \qquad (8) $$

$$ \bar{R} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{r}} = -\bar{\underline{Q}}(\sqrt{(1-D)}r - \bar{r}) \qquad (9) $$

$$ \bar{\bar{R}} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{\nabla} \bar{r}} = \bar{\underline{Q}}_g(\bar{\nabla} \bar{r}) \qquad (10) $$

$$ \bar{Y} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial D} = -\bar{H}(D - \bar{D}) \qquad (11) $$

$$ \bar{\bar{Y}} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \bar{\nabla} \bar{D}} = \bar{H}_g(\bar{\nabla} \bar{D}) \qquad (12) $$

S'agissant d'une dissipation parfaitement locale, nous choisissons une fonction de charge de type von Mises et un potentiel plastique comme dans [3] qui conduisent aux relations de comportement suivantes :
$$
\dot{\underline{\epsilon}}^p = \dot{\lambda} \underline{n} = \dot{\lambda} \frac{\underline{N}}{\sqrt{1-\underline{D}}} \quad \text{avec} \quad \underline{N} = \frac{3(\underline{\sigma}^{\text{dev}} - \underline{X})}{2\|\underline{\sigma} - \underline{X}\|} \qquad (13)
$$

$$
\dot{r} = \frac{\dot{\lambda}^p}{\sqrt{(1-D)}} \left( 1 - b \left( \sqrt{(1-D)} \frac{(Q+\tilde{Q})}{Q} r - \frac{\tilde{Q}}{Q} \dot{r} \right) \right) \quad (14)
$$

$$
\dot{\underline{\alpha}} = \dot{\underline{\epsilon}}^p - a \dot{\underline{\lambda}} \underline{\alpha} \qquad (15)
$$

$$
\dot{D} = \frac{\dot{\lambda}}{(1-D)^{\beta}} \left( \frac{\langle Y - Y_0 \rangle}{S} \right)^s = \dot{\lambda} Y^* \qquad (16)
$$

où (b,Q) et (a,C) sont respectivement les paramètres de non linéarité de l'écrouissage isotrope et
cinématique, (S,s,β,Y₀) sont des paramètres caractéristiques de l'endommagement local, N est la
normale à la surface de charge dans l'espace des contraintes effectives. Remarquons que si l'on
remplace les expressions des forces micromorphiques ⃗Y (11), ⃗Ỹ (12) et ⃗R (9), ⃗R̃ (10),
respectivement dans les équations de bilan micromorphiques (2) et (3), et dans le cas particulier où
les forces volumiques micromorphiques sont négligées, nous obtenons:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\bar{H}_g \Delta \bar{D} + \bar{H} (D - \bar{D}) = \rho \zeta_D \ddot{\bar{D}} \quad \text{dans } \Omega \\[1em]
\bar{H}_g \vec{\nabla} \bar{D} \cdot \vec{n} = F^D \quad \text{sur } \Gamma_F^D
\end{array}
\right.
\qquad (17)
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\bar{Q}_g \mathrm{Lap}(\vec{r}) + \bar{Q} \left( \sqrt{(1-D)}r - \vec{r} \right) = \rho \zeta_r \ddot{\vec{r}} \quad \text{dans } \Omega \\[1em]
(\bar{Q}_g \bar{\nabla} \vec{r}) \cdot \vec{n} = F^r \quad \text{sur } \Gamma_{F^r}
\end{array}
\right.
\qquad (18)
$$

2.3. Résolution numérique du PVIL

En introduisant les fonctions test $\delta\dot{u}$, $\delta\ddot{D}$ et $\delta\dot{r}$, les formes faibles associées aux formes fortes (1) pour l'équilibre et (17) et (18) pour l'endommagement et l'écrouissage isotrope micromorphiques dans laquelle les forces de contact micromorphiques sont négligées ($F^D = 0, F^r = 0$), s'écrivent :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
-\int_{\Omega} \underline{\sigma} : \delta \dot{\underline{\epsilon}}^e d\Omega + \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \delta \vec{u} \, dud\Omega \quad \forall \delta u \, . C.A \ (a) \\[1em]
-\int_{\Omega} \vec{H}_g \nabla \vec{v} \cdot \delta \vec{u} \, d\Omega \, d\Omega_2 = \int_{\Omega} \rho \zeta_D^e D \delta D d\Omega \quad \forall \delta D \ C.A \ (b) \\[1em]
-\int_{\Omega} \vec{Q}_g \vec{\nabla} \cdot \delta \vec{v} \, d\Omega \, d\Omega_2 = \int_{\Omega} \rho \zeta_r^e r \delta r d\Omega \quad \forall \delta r \ C.A \ (c)
\end{array}
\right.
\qquad (19)
$$

Le domaine de résolution Ω étant discrétisé en Nᵉ éléments finis chacun ayant un volume élémentaire Ωᵉ, en utilisant la méthode classique de Galerkine, nous arrivons aux formes faibles discrétisées sur un élément typique sous la forme (notation matricielle) :

$$
\left\{
\begin{aligned}
J_u^e &= ([M^e]\{\ddot{u}_I^e\} + \{F_{int}^e\} - \{F_{ext}^e\}) \\
J_{\bar{D}}^e &= ([\bar{M}_{\bar{D}}^e]\{\ddot{D}_I^e\} + \{\bar{F}_{int \bar{D}}^e\} - \{\bar{F}_{ext \bar{D}}^e\}) \\
J_r^e &= ([\bar{M}_r^e]\{\ddot{r}_I^e\} + \{\bar{F}_{int \bar{r}}^e\} - \{\bar{F}_{ext \bar{r}}^e\})
\end{aligned}
\right.
\qquad (20)
$$

Avec les matrices de masse élémentaires :

$$
[M^e] = \int_{\Omega^e} \rho [N_I^e]^T [N_I^e] d\Omega^e \qquad (21)
$$
$$[\tilde{M}_D^e] = \int_{\Omega_r} \rho \zeta_D [\tilde{N}_D^e]^T [\tilde{N}_D^e] J_v^e d\Omega_r \quad (22)$$

$$[\tilde{M}_r^e] = \int_{\Omega_r} \rho \zeta_r [\tilde{N}_r^e]^T [\tilde{N}_r^e] J_v^e d\Omega_r \quad (23)$$

et les vecteurs forces élémentaires ;

$$\{F_{\text{int}}^e\} = \int_{\Omega^e} [B^e]^T \{\sigma^e\} d\Omega^e \quad (24)$$

$$[F_{\text{ext}}^e] = \int_{\Omega^e} [N^e]^T \{f^e\} d\Omega^e + \int_{\partial\Omega_r^e} [N^e]^T \{F\} d\partial\Omega^e \quad (25)$$

$$\{F_{\text{int } D}^e\} = \int_{\Omega_r} [H_g[\tilde{N}_D^e][\tilde{N}_D^e] + H[\tilde{N}_D^e]^T[\tilde{N}_D^e]] \{D^e\} J_v^e d\Omega_r \quad (26)$$

$$\{\tilde{F}_{\text{ext } D}^e\} = \int_{\Omega_r} \tilde{H} D^e [\tilde{N}_D^e]^T J_v^e d\Omega_r \quad (27) \quad \{[\tilde{H}, \tilde{D}, \tilde{Q}, [\tilde{N}_r^e]^T[\tilde{N}_r^e]]\} \{r^e\} J_v^e d\Omega_r \quad (28)$$

$$\{\tilde{F}_{\text{ext } r}^e\} = \int_{\Omega_r} \tilde{Q} \sqrt{1-D^e} r^e [\tilde{N}_r^e]^T J_v^e d\Omega_r \quad (29)$$

Après assemblage sur tous les éléments de la structure et introduction des conditions aux limites de Dirichlet, nous aboutissons à chaque incrément de charge $[t_n, t_{n+1} = t_n + \Delta t]$ au système global suivant :

$$J_u = ([M]\{\ddot{U}\} + \{F_{\text{int}}\} - \{F_{\text{ext}}\}) = \{0\} \quad \forall \delta U, C.A \quad (a)$$

$$J_D = ([\tilde{M}_D]\{\ddot{\tilde{D}}\} + \{\tilde{F}_{\text{int}}\} - \{\tilde{F}_{\text{ext}}\}) = \{0\} \quad \forall \delta \tilde{D}, C.A \quad (b)$$

$$J_r = ([\tilde{M}_r]\{\ddot{r}\} + \{\tilde{F}_{\text{int}}\} - \{\tilde{F}_{\text{ext}}\}) = \{0\} \quad \forall \delta r, C.A \quad (c)$$

Le système (37) est résolu sur chaque intervalle $[t_n, t_{n+1} = t_n + \Delta t]$ par un schéma dynamique explicite en utilisant les matrices de masse diagonales conformément à la procédure séquentielle préconisée dans ABAQUS/EXPLICIT. On commence par résoudre le problème mécanique (37a) à endommagement et écrouissage isotrope micromorphiques constants égale à $\tilde{D}_n \tilde{r}_n$. Aussitôt les inconnues mécaniques nodales détérminées (i.e. $\tilde{u}_{n+1}$) on calcule par intégration locale les variables d'état en chaque point d'intégration : les contraintes $(\underline{\sigma}_{n+1}, R_{n+1}, \underline{X}_{n+1}, Y_{n+1})$ et les déformations $\underline{\epsilon}_{n+1}^p, r_{n+1}, \underline{\alpha}_{n+1}, D_{n+1}$ comme discuté en détail dans [3]. Sur le même intervalle $[t_n, t_{n+1} = t_n + \Delta t]$ on résout alors le deuxième problème (37b) pour calculer $\tilde{D}_{n+1}$ en tous les nœuds à écrouissage isotrope micromorphique constant $\tilde{r}_n$. De même on résout (37c) pour calculer $\tilde{r}_{n+1}$ en tous les nœuds sur $[t_n, t_{n+1} = t_n + \Delta t]$.

Ce modèle a été implémenté dans le code de calcul par éléments finis ABAQUS/EXPLICIT en utilisant les sous-programmes VUMAT pour implémenter le modèle de comportement et VUEL pour implémenter les éléments finis à deux ddl additionnel.

## 2.4 Application à une éprouvette en traction

Considérons une éprouvette 2D de dimension (50*150) soumise à une traction uniaxiale en supposant l'hypothèse des déformations planes. Les paramètres du matériau choisi sont définis comme suit : $E = 210000MPa$, $v = 0.29$, $\sigma_y = 400MPa$, $Q = 1000MPa$, $b = 50$, $\beta = 1$, $S = 0.8$, $s = 1$, $Y_0 = 0$ et
$\tilde{H} = \tilde{H}_g = 1000$, $\tilde{Q} = \tilde{Q}_g = 50$. La plaque est encastrée sur un coté et un déplacement est imposé sur l'autre coté. Trois maillages réguliers (au moins sur la partie centrale) de taille h=5mm, h=2.5 mm et h=1.5 mm sont utilisés avec des éléments triangulaires linéaires à 3 nœuds.

La figure 1 montre une comparaison entre les isovaleurs de l'endommagement obtenues avec le modèle purement local et le modèle non local pour les trois maillages considérés. On note bien que la zone totalement endommagée (lieu des points où $D=1$) est répartie sur plusieurs rangées d'éléments pour la formulation non locale, alors que pour la formulation locale la zone totalement endommagée est toujours limitée à une seule rangée d'éléments. A notre connaissance ce résultat est original car dans les autres modélisations non locales cette indépendance vis-à-vis du maillage n'apparait que pour de faibles valeurs de l'endommagement bien plus faibles que l'endommagement critique $D=1$. Ce résultat d'indépendance de la solution du PVIL vis-à-vis de la taille du maillage est confirmée par les courbes force-déplacement présentées sur la (figure 2).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Distribution de l'endommagement pour les 3 maillages (h=5, h=2, h=1 mm) en local et en non local avec $\tilde{H} = \tilde{H}_g = 1000$ $\tilde{Q} = \tilde{Q}_g = 50$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Courbes Force-déplacement pour les trois maillages avec les deux formulations locale et non locale</figcaption></figure>

Références

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