9.7. Soit $\mathcal{F} = \{U \mapsto \mathcal{F}_U\}_{U \in \text{Ob}(\text{Ét}_X)$ un préfaisceau sur $E$ tel que pour tout objet $U$ de $\text{Ét}_X$, $\mathcal{F}_U$ soit un faisceau de $U_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Pour tout objet $U$ de $\text{Ét}_X$, la flèche $\varphi_U : U'_{\bar{\eta}} \to U_{\bar{\eta}}$ est un objet de $\text{Ét}_{f_U/\bar{\eta}}$. Le foncteur $\varphi_{U, \text{fét}}^*$ est donc un foncteur de restriction. On en déduit un isomorphisme canonique de préfaisceaux sur $E^\sharp$

$$ \mathcal{F} \circ \gamma \xrightarrow{\sim} \{U \mapsto \varphi_{U, \text{fét}}^*(\mathcal{F}_U)\}, \qquad (9.7.1) $$

où $\gamma$ est le foncteur (9.2.1). Le faisceau associé à $\mathcal{F} \circ \gamma$ est isomorphe à $\Phi^*(\mathcal{F}^a)$. Le faisceau $\varphi_{U, \text{fét}}^*(\mathcal{F}_U)$ de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$ est muni d'une action de $G$ induite par $\varphi_{U, \text{fét}}^*$ fonctorielle en $U$. D'après 9.6, ils induisent une action de $G$ sur $\Phi^*(\mathcal{F}^a)$ qui coïncide avec celle de $\Phi^*(\mathcal{F}^a)$ induite par $\Phi^*$ (9.3.3).

9.8. On désigne par $\mathbf{P}$ la sous-catégorie pleine de $\text{Ét}_X$ formée des schémas affines. On munit $\mathbf{P}$ de la topologie induite par celle de $\text{Ét}_X$. Les objets de la sous-catégorie $\mathbf{P}$ forment alors une famille topologiquement génératrice du site $\text{Ét}_X$. On désigne par

$$ \pi_{\mathbf{P}}^{\sharp} : E_{\mathbf{P}}^{\sharp} \to \mathbf{P} \qquad (9.8.1) $$

le site fibré déduit de $\pi_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ (9.6.1) par changement de base par $\mathbf{P} \to \text{Ét}_X$. On munit $E_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ de la topologie co-évanescente définie par $\pi_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ et on note $\tilde{E}_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ le topos des faisceaux d'ensembles sur $E_{\mathbf{P}}$. D'après [4, VI.5.21 et VI.5.22], la topologie de $E_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ est induite par celle de $E^{\sharp}$ au moyen du foncteur de projection canonique $E_{\mathbf{P}}^{\sharp} \to E^{\sharp}$ et celui-ci induit par restriction une équivalence de catégories

$$ \tilde{E}^{\sharp} \xrightarrow{\sim} \tilde{E}_{\mathbf{P}}^{\sharp}. \qquad (9.8.2) $$

On désigne par $\tilde{E}_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur $E_{\mathbf{P}}$. Comme $E_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ est une sous-catégorie topologiquement génératrice de $E^{\sharp}$, le foncteur ‘faisceau associé’ sur $E_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ induit un foncteur que l’on note aussi

$$ \tilde{E}_{\mathbf{P}}^{\sharp} \to \tilde{E}^{\sharp}, \quad \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{a}. $$

Soit $\mathcal{G} = \{W \mapsto \mathcal{G}_W\}$ ($W \in \text{Ob}(\text{Ét}_X)$) un préfaisceau sur $E^{\sharp}$, $\mathcal{G}_{\mathbf{P}} = \{U \mapsto \mathcal{G}_U\}$ ($U \in \text{Ob}(\mathbf{P})$) l'objet de $\tilde{E}_{\mathbf{P}}^{\sharp}$ obtenu en restreignant $\mathcal{G}$ à $E_{\mathbf{P}}^{\sharp}$. On en déduit un isomorphisme canonique de $\tilde{E}^{\sharp}$

$$ \mathcal{G}_{\mathbf{P}}^{a} \xrightarrow{\sim} \mathcal{G}^{a}. $$

9.9. Dans la suite de cette section, on suppose, de plus, qu'il existe un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement fini, galoisien et à fibres géométriquement réduites $\varphi : X' \to X_{S'}$ (5.4) tels que, en fixant un $\eta$-morphisme $\bar{\eta} \to \eta'$, $X'_{\bar{\eta}} \simeq C'$
et que $\varphi_{\bar{\eta}} : X'_{\bar{\eta}} \to X_{\bar{\eta}}$ s'identifie au morphisme $\psi$. On pose $\bar{X}' = X' \times_{S'} \bar{S}$ et l'on note

$$ \hbar : \bar{X} \to X \quad \text{et} \quad \bar{\varphi} : \bar{X}' \to \bar{X} \qquad (9.9.1) $$

les morphismes canoniques.

Pour tout $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(\mathcal{E}^\sharp)$, on pose $U' = U \times_X X'$, $\bar{U}' = U' \times_{X'} \bar{X}'$ et $\bar{U}^V$ (resp. $\bar{U}'^V$) la clôture intégrale de $\bar{U}$ (resp. $\bar{U}'$) dans $V$. Comme $\bar{U}'$ est fini sur $\bar{U}$, on a un isomorphisme canonique $\bar{U}'^V \sim \bar{U}^V$. Comme $\mathcal{F}^*$ est le foncteur de restriction, on a $\mathcal{F}^*(\bar{\mathcal{B}})(V \to U) \simeq \bar{\mathcal{B}}(V \to U)$. On en déduit par (7.8.1) un isomorphisme fonctoriel en $(V \to U)$

$$ \bar{\mathcal{B}}^{\sharp}(V \to U) \xrightarrow{\sim} \Gamma(\bar{U}^{\prime V}, \mathcal{O}_{\bar{U}^{\prime V}}). \qquad (9.9.2) $$

Pour tout $U \in \mathbf{Ob}(\mathbf{Ét}_X)$, on pose $\bar{\mathcal{B}}_U^\sharp = \varphi_{U, \text{fét}}^*(\bar{\mathcal{B}}_U)$ (7.8.2) et $\bar{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp = \bar{\mathcal{B}}_U^\sharp / p^n \bar{\mathcal{B}}_U^\sharp$ qui est isomorphe à $\varphi_{U, \text{fét}}^*(\bar{\mathcal{B}}_{U,n})$ (7.8.4). En vertu de (9.9.2), on a un homomorphisme d'anneaux de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$

$$ \mathcal{O}_{\bar{X}'}(\bar{U}') \to \bar{\mathcal{B}}_U^\sharp, \qquad (9.9.3) $$

où la source désigne le faisceau constant de valeur $\mathcal{O}_{\bar{X}', (\bar{U}')}$.$^3$ Comme l'action de $G$ sur $C'$ s'étend en une action de $G$ sur $\bar{X}'$, l'anneau $\mathcal{O}_{\bar{X}', (\bar{U}')}$ est muni d'une action de $G$ telle que l'homomorphisme (9.9.3) soit $G$-équivariant. D'après 7.8 et (9.7.1), l'anneau $\bar{\mathcal{B}}_n^\sharp$ est isomorphe au faisceau sur $\mathcal{E}^\sharp$ associé au préfaisceau

$$ \{U \to \bar{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp\} \quad U \in \mathbf{Ob}(\mathbf{Ét}_X). \qquad (9.9.4) $$

9.10. Comme $\tilde{E}^\sharp$ est isomorphe au topos de Faltings associé au morphisme canonique $C' \to X$, on a un morphisme canonique [4, (VI.10.6.3)]

$$ \beta^\sharp : \tilde{E}^\sharp \to C'_{\text{fét}} \qquad (9.10.1) $$

qui rend commutatif le diagramme (cf. [4, (VI.10.12.6)])

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Soit $n$ un entier $\ge 1$. On désigne par $\beta_n^\sharp : (\tilde{E}_s^\sharp, \bar{\mathcal{B}}_n^\sharp) \to (C'_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n)$ le morphisme de topos annelés défini par le composé $\beta^\sharp \circ \delta^\sharp$ (9.2.3) et le morphisme canonique
$o_n \to \beta_n^*(\overline{\mathcal{B}_n^\sharp})$. Par des arguments similaires à ceux de **8.3**, on en déduit un diagramme commutatif

$$ \begin{array}{ccc} (\tilde{E}_s^\sharp, \overline{\mathcal{B}_n^\sharp}) & \xrightarrow{\phi_n} & (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n) \\ \beta_n^\sharp & \searrow & \beta_n \\ (C'_{\text{fét}}, o_n) & \xrightarrow{\varphi_{\bar{\eta}}} & (C_{\text{fét}}, o_n), \end{array} \qquad (9.10.2) $$

à isomorphisme près, qui commute aux actions de $G$ sur $(\tilde{E}_s^\sharp, \overline{\mathcal{B}_n^\sharp})$ et $(C'_{\text{fét}}, o_n)$.

### THÉORÈME 9.11. Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable, $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$ et $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel sur $\tilde{X} = X \times_S \tilde{S}$ (2.1). Supposons qu'il existe un entier $n \ge 1$, un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement fini, galoisien et à fibres géométriquement réduites $\varphi: X' \to X_{S'}$ tels que, fixant un $\eta$-morphisme $\bar{\eta} \to \eta'$ et reprenant les notations de (9.9.1), $\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)$ soit libre de type fini. Alors, on a un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_n$-linéaire

$$ \gamma_n : \sigma_n^*(\mathcal{F}_n) \xrightarrow{\sim} \beta_n^*(\mathbb{V}_n(\mathcal{F})), \qquad (9.11.1) $$

où $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$ est la $o_n$-représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ associée à $\mathcal{F}$ (6.7), $\sigma_n$ est le morphisme de topos annelés (7.11.4) et $\beta_n^*$ est le foncteur (8.6.1).

### Preuve. Pour tout objet $U$ de $\mathbf{Ét}_X$, on pose $U' = U \times_X X$, $U'_s = U' \times_{S'} s$ et $U'_{\bar{\eta}} = U' \times_{S'} \bar{\eta}$. D'après (9.7.1) et [4, VI.5.34(ii) et VI.8.9], le $\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp$-module $\Phi_n^*(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n))$ est isomorphe au faisceau associé au préfaisceau :

$$ \{U \mapsto \mathcal{F}_n(U_s) \otimes_{\mathcal{O}_{\bar{x}_n}(U_s)} \overline{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp, U \in \mathbf{Ob}(\mathbf{Ét}_X)\}, \qquad (9.11.2) $$

où $\mathcal{F}_n(U_s)$ et $\mathcal{O}_{\bar{x}_n}(U_s)$ sont considérés comme des faisceaux constants de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. D'après (9.9.3), l'anneau $\overline{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp$ de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$ est une $\mathcal{O}_{\bar{x}'_n}(U'_s)$-algèbre. Pour tout objet $U$ de $\mathbf{P}$ (9.8), on en déduit un isomorphisme $\mathcal{G}$-équivariant de faisceaux de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$

$$ \mathcal{F}_n(U_s) \otimes_{\mathcal{O}_{\bar{x}_n}(U_s)} \overline{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp \xrightarrow{\sim} \bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(U'_s) \otimes_{\mathcal{O}_{\bar{x}'_n}(U'_s)} \overline{\mathcal{B}}_{U,n}^\sharp, \qquad (9.11.3) $$

où les actions de $G$ sur $\mathcal{F}_n(U_s)$ et $\mathcal{O}_{\bar{x}_n}(U_s)$ sont triviales, et $\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(U'_s)$ et $\mathcal{O}_{\bar{x}'_n}(U'_s)$ sont considérés comme des faisceaux constants de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$ munis des actions de $G$ induites par $\bar{\varphi}_n^*$. On note $M_U$ le but de (9.11.3).
On pose $\mathbb{L}_n(\mathcal{F}) = \mu_{\bar{x}}(\mathbb{V}_n(\mathcal{F}))$ le $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $C_{\text{fét}}$ associé à $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$ (3.29.2). D'après [4, VI.8.9 et VI.10.9], le $\overline{\mathcal{B}}_n$-module $\Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L}_n(\mathcal{F}))) \simeq (\beta_n^*)^*(\varphi_{\bar{\eta}}^*(\mathbb{L}_n(\mathcal{F})))$ est isomorphe au faisceau associé au pré faisceau

$$ \{U \mapsto h_{U, \text{fét}}^{*}(\varphi_{\bar{\eta}, \text{fét}}^{*}(\mathbb{L}_{n}(\mathcal{F}))) \otimes_{\mathfrak{o}_{n}} \overline{\mathcal{B}}_{U,n}^{*}, U \in \text{Ob}(\text{Ét}_{X})\}, \quad (9.11.4) $$

où $h'_U : U'_{\bar{\eta}} \to C'$ est le morphisme canonique. On pose

$$ N_U = h_{U, \text{fét}}^{*}(\varphi_{\bar{\eta}, \text{fét}}^{*}(\mathbb{L}_n(\mathcal{F}))) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \overline{\mathcal{B}}_{U,n}^{*} $$

qui est muni d'une action de $G$ fonctorielle en $U$ (cf. 9.7).

Comme $\overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)$ est un $\mathcal{O}_{\overline{\mathbb{X}}_n}$-module libre de type fini, d'après (6.7.3) et 6.8, on a un isomorphisme $G$-équivariant de $\mathfrak{o}_n$-modules de $C_{\text{fét}}'$

$$ \overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(X'_s) \simeq \varphi_{\bar{\eta}, \text{fét}}^*(\mathbb{L}_n(\mathcal{F})), \quad (9.11.5) $$

où $\overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(X'_s)$ est considéré comme le faisceau constant de $C_{\text{fét}}'$ muni de l'action de $G$ induite par $\overline{\varphi}_n^*$. On a un isomorphisme $G$-équivariant et fonctoriel en $U$ de $\mathcal{O}_{\overline{\mathbb{X}}_n}(U'_s)$-modules

$$ \overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(U'_s) \xrightarrow{\sim} \overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(X'_s) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \mathcal{O}_{\overline{\mathbb{X}}_n}(U'_s). $$

On en déduit par (9.11.5) un isomorphisme $G$-équivariant et fonctoriel en $U$ de $\mathcal{O}_{\overline{\mathbb{X}}_n}(U'_s)$-modules de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$

$$ \overline{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)(U'_s) \simeq h_{U, \text{fét}}^{*}(\varphi_{\bar{\eta}, \text{fét}}^*(\mathbb{L}_n(\mathcal{F}))) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \mathcal{O}_{\overline{\mathbb{X}}_n}(U'_s). \quad (9.11.6) $$

En vertu de (9.11.3) et (9.11.4), on en déduit, pour tout objet $U$ de $\mathbf{P}$, un isomorphisme $G$-équivariant et fonctoriel en $U$ de $\overline{\mathcal{B}}_{U,n}$-modules de $U'_{\bar{\eta}, \text{fét}}$

$$ M_U \xrightarrow{\sim} N_U. \quad (9.11.7) $$

D'après 9.7 et 9.8, on en déduit un isomorphisme $G$-équivariant de $\overline{\mathcal{B}}_n$-modules

$$ \Phi_n^*(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) \xrightarrow{\sim} \Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L}_n(\mathcal{F}))). \quad (9.11.8) $$

Le théorème résulte alors de 9.5. $\square$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

REMARQUE 9.12. Pour tout entier $1 \le m \le n$, on a un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_m$-linéaire $\gamma_m : \sigma_m^*(\mathcal{F}_m) \xrightarrow{\sim} \beta_m^*(\mathbb{V}_m(\mathcal{F}))$. En vertu de la preuve, les isomorphismes $\gamma_n$ et $\gamma_m$ sont compatibles.
10. Fibrés vectoriels et représentations de Weil-Tate

10.1. Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable, $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$. On reprend les notations de la Section 7 pour $X$. Rappelons que l’on a des morphismes de topos annelés (cf. 7.12 et 7.13)

$$ (X_{s,\text{ét}}, \mathcal{O}_{\bar{X}_n}) \xrightarrow{\sigma_n} (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n) \xrightarrow{\beta_n} (X_{\bar{\eta},\text{fét}}, \mathfrak{o}_n), \quad \forall n \ge 1 \\ (X_{s,\text{ét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathcal{O}_{\tilde{X}}^{\tilde{\mathbb{z}}}) \xrightarrow{\tilde{\sigma}} (\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}, \overline{\mathcal{B}}^{\tilde{\mathbb{z}}}) \xrightarrow{\tilde{\beta}} (X_{\bar{\eta},\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o}^{\tilde{\mathbb{z}}}). $$

On reprend les notations de 8.6 pour les foncteurs $\beta_n^*$, $\tilde{\beta}^*$ et $\tilde{\beta}_Q^*$.

On désigne par $\mathcal{X}$ le schéma formel complété $p$-adique de $\bar{X}$. Rappelons que $\mathcal{X}$ est de présentation finie sur $\mathcal{S} = \text{Spf}(\mathfrak{o})$ et que l'on a un morphisme de topos annelés (7.12.4)

$$ \mathcal{T} : (\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}, \overline{\mathcal{B}}) \to (X_{s,zar}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}). \qquad (10.1.1) $$

Pour tout $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-module cohérent $\mathcal{F}$ de $X_{s,zar}$ et tout entier $n \ge 1$, on note $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/p^n\mathcal{F}$ que l'on considère comme faisceau de $X_{s,zar}$ ou de $X_{s,ét}$. D'après [4, (III.11.1.12)], on a un isomorphisme canonique

$$ \tilde{\sigma}^*((\mathcal{F}_n)_{n \ge 1}) \simeq \mathcal{T}^*(\mathcal{F}). \qquad (10.1.2) $$

Le foncteur $\mathcal{T}_*$ induit un foncteur additif et exact à gauche que l'on note encore

$$ \mathcal{T}_* : \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\overline{\mathcal{B}}) \to \mathbf{Mod} \left( \mathcal{O}_{\mathcal{X}} \left[ \frac{1}{p} \right] \right). \qquad (10.1.3) $$

D'après (4.1.2), le foncteur $\mathcal{T}^*$ induit un foncteur additif que l'on note encore (7.15)

$$ \mathcal{T}^* : \mathbf{Mod}^{\text{coh}} \left( \mathcal{O}_{\mathcal{X}} \left[ \frac{1}{p} \right] \right) \to \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{aff}} \left( \overline{\mathcal{B}} \right). \qquad (10.1.4) $$

DÉFINITION 10.2. (i) Soit $n$ un entier $\ge 1$, $\mathcal{F}_n$ un fibré vectoriel sur $\bar{X}_n$ et $\mathcal{V}_n$ une $\mathfrak{o}_n$-représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ (3.18). On dit que $\mathcal{F}_n$ et $\mathcal{V}_n$ sont $\overline{\mathcal{B}}_n$-associés s'il existe un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_n$-linéaire

$$ \sigma_n^*(\mathcal{F}_n) \xrightarrow{\sim} \beta_n^*(\mathcal{V}_n). \qquad (10.2.1) $$

(ii) Soit $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini (2.9) et $V$ une $\mathbb{C}$-représentation continue de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ (3.18). On dit que $\mathcal{F}$ et $V$ sont $\overline{\mathcal{B}}_Q$-associés s'il existe un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_Q$-linéaire

$$ \mathcal{T}^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \beta_Q^*(V). \qquad (10.2.2) $$
DÉFINITION 10.3. (i) On dit qu’un $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini $\mathcal{F}$ est de Weil-Tate s’il est $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-associé à une $\mathcal{C}$-représentation continue de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$.

(ii) On dit qu'une $\mathcal{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ est de Weil-Tate relativement à $X$ si elle est $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-associée à un $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini.

On désigne par $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ formée des $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-modules de Weil-Tate et par $\mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ formée des $\mathcal{C}$-représentations de Weil-Tate relativement à $X$.

REMARQUE 10.4. On dit qu’un fibré vectoriel $\mathcal{F}$ sur $\tilde{X} = X \times_S \tilde{S}$ (2.1) est de Weil-Tate si le $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module $\mathcal{F}[\frac{1}{p}]$ est de Weil-Tate. D’après (10.1.2), il revient au même de dire qu’il existe une $\mathcal{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ et un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-linéaire

$$ (\check{\sigma}^*((\mathcal{F}_n)_{n \ge 1}))_{\mathcal{Q}} \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V). \qquad (10.4.1) $$

PROPOSITION 10.5. Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable, $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\tilde{X}$ (6.3). Alors, il existe un trait $S'$ fini sur $S$, un $S'$-modèle semi-stable et régulier $X'$ de $X_{\bar{\eta}}$ (10.15) et un $\eta'$-revêtement $\varphi : X' \to X_S$ tels que $\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)$ et $\mathbb{V}_{\bar{\chi},n}(\mathcal{F})$ soient $\bar{\mathcal{B}}_n$-associés, où $(\bar{E}_s', \bar{\mathcal{B}}_n')$ désigne le topos annelé de Faltings associé au schéma $X'$ au-dessus de $S'$ et $\mathbb{V}_{\bar{\chi},n}(\mathcal{F})$ est la $\mathfrak{o}_n$-représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ associée à $\mathcal{F}$ par (6.9.2).

Preuve. Quitte à remplacer $S$ par une extension finie, d’après 5.11(iii), il existe un $S$-modèle semi-stable $X'$ de $X_{\bar{\eta}}$ et un $\eta$-revêtement $\varphi : X' \to X$ tels que $\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)$ soit trivialisé par un $\eta$-revêtement semi-stable, fini et galoisien $Y' \to X'$. D’après 9.11, $\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)$ et $\mathbb{V}_{\bar{\chi},n}(\bar{\varphi}^*(\mathcal{F}))$ sont $\bar{\mathcal{B}}_n$-associés. D’après (5.8), (8.3.13) et (8.3.14), on peut supposer que $X$ est régulier. La proposition s’ensuit alors compte tenu de 6.10(ii). $\square$

PROPOSITION 10.6. Soit $X$ une $S$-courbe propre et lisse, $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$ et $\mathcal{L}$ un fibré en droites de classe appartenant à $\mathrm{Pic}_{\bar{x}/\bar{s}}^0(\tilde{S})$. Pour tout entier $n \ge 1$, on a associé à $\mathcal{L}$ une $\mathfrak{o}_n$-représentation $\mathbb{V}_n(\mathcal{L})$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ (6.7) et une
o-représentation continue $\mathbb{V}(\mathcal{L})$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ (6.10.1). Alors, $\mathcal{L}_n$ et $\mathbb{V}_n(\mathcal{L})$ sont $\overline{\mathcal{B}}_n$-associés ; et $\hat{\mathcal{L}}[\frac{1}{p}]$ et $\mathbb{V}(\mathcal{L})[\frac{1}{p}]$ (3.21) sont $\overline{\mathcal{B}}_Q$-associés.

Preuve. Soit un entier $n \ge 1$. D'après 6.5 et 9.11, on a un isomorphisme

$$ \gamma_n : \sigma_n^*(\mathcal{L}_n) \xrightarrow{\sim} \beta_n^*(\mathbb{V}_n(\mathcal{L})), \qquad (10.6.1) $$

d'où le premier énoncé. En vertu de 9.12, les isomorphismes $(\gamma_n)_{n \ge 1}$ (10.6.1) sont compatibles. La proposition s'ensuit compte tenu de (10.1.2). $\square$

**PROPOSITION 10.7.** Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable et régulière et $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$.

(i) La restriction du foncteur $\mathbf{T}^*$ (10.1.4) à $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ se factorise à travers la sous-catégorie pleine $\mathbf{Mod}_Q^{\mathrm{pltf}}(\overline{\mathcal{B}})$ (8.5) de $\mathbf{Mod}_Q^{\mathrm{att}}(\overline{\mathcal{B}})$.

(ii) Pour tout objet $\mathcal{F}$ de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$, on a un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_Q$-linéaire, canonique et fonctoriel

$$ \mathbf{T}^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_Q^*(\mathcal{W}_Q(\mathbf{T}^*(\mathcal{F}))), \qquad (10.7.1) $$

où $\mathcal{W}_Q : \mathbf{Mod}_Q^{\mathrm{pltf}}(\overline{\mathcal{B}}) \to \mathbf{Rep}_Q^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ est le foncteur (8.14.2).

Preuve. Soit $\mathcal{F}$ un objet de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$. Choisissons un objet $V$ de $\mathbf{Rep}_Q^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ et un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_Q$-linéaire

$$ \tau : \mathbf{T}^*(\mathcal{F}) \simeq \check{\beta}_Q^*(V). \qquad (10.7.2) $$

L'assertion (i) résulte alors de 8.7. D'après 8.17(ii), on a un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_Q$-linéaire canonique et fonctoriel

$$ \check{\beta}_Q^*(V) \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_Q^*(\mathcal{W}_Q(\check{\beta}_Q^*(V))). \qquad (10.7.3) $$

On en déduit, compte tenu de (10.7.2) et (10.7.3), un isomorphisme $\overline{\mathcal{B}}_Q$-linéaire

$$ \mathbf{T}^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_Q^*(\mathcal{W}_Q(\mathbf{T}^*(\mathcal{F}))). $$

Montrons que cet isomorphisme ne dépend pas des choix de $V$ et de l'isomorphisme $\tau$ et qu'il est fonctoriel en $\mathcal{F}$. Il suffit de démontrer que,
pour tous objets $V$ et $V'$ de $\mathrm{Rep}_\mathcal{E}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ et tout morphisme $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-linéaire
$\theta : \tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V) \to \tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V')$, le diagramme

$$
\begin{tikzcd}
\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "\theta"] & \tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(\mathcal{W}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V))) \arrow[d, "\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(\mathcal{W}_{\mathcal{Q}}(\theta))"] \\
\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V') \arrow[r, "\sim"] & \tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(\mathcal{W}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}(V')))
\end{tikzcd}
\qquad (10.7.4)
$$

est commutatif. D'après la pleine fidélité du foncteur $\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}$ (8.8), $\theta$ est l'image d'un morphisme $\vartheta : V \to V'$ de $\mathrm{Rep}_\mathcal{E}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$ par $\tilde{\beta}^*_{\mathcal{Q}}$. La commutativité de (10.7.4) résulte alors de la fonctorialité de (10.7.3). $\square$

COROLLAIRE 10.8. Sous les hypothèses de 10.7, pour tout objet $\mathcal{F}$ de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$, la $\mathcal{C}$-représentation continue $\mathcal{W}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{T}^*(\mathcal{F}))$ est de Weil-Tate relativement à $X$. On désigne par $\mathcal{V}_X$ le foncteur

$$
\mathcal{V}_X : \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}} \left( \mathcal{O}_X \left[ \frac{1}{p} \right] \right) \to \mathbf{Rep}_\mathcal{E}^{\mathrm{WT}/X} (\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \quad (10.8.1) \\
\mathcal{F} \mapsto \mathcal{W}_\mathcal{Q}(\mathcal{T}^*(\mathcal{F})).
$$

Alors, $\mathcal{V}_X(\mathcal{F})$ et $\mathcal{F}$ sont $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-associés.

PROPOSITION 10.9. Soit X une S-courbe semi-stable et régulière. On note
$\mathbf{LP}^{\mathrm{tf}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ formée des $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-modules localement projectifs de type fini.

(i) Pour tout objet $\mathcal{F}$ de $\mathbf{LP}^{\mathrm{tf}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$, le morphisme d'adjonction (cf. [4, III.12.1])

$$
\mathcal{F} \to \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F})) \quad (10.9.1)
$$

est un isomorphisme.

(ii) La restriction du foncteur $\mathcal{T}^*$ (10.1.4) à $\mathbf{LP}^{\mathrm{tf}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ est pleinement fidèle.

Preuve. (i) D’après [4, III.12.4(ii)], on a un isomorphisme déduit du morphisme d’adjonction

$$
\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]} \mathcal{T}_*(\mathcal{B}_{\mathcal{Q}}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F})). \quad (10.9.2)
$$

L'isomorphisme (10.9.1) résulte alors de l'isomorphisme [4, III.11.8]

$$
\mathcal{O}_X \left[ \frac{1}{p} \right] \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}_* \left( \mathcal{B}_Q \right). \qquad (10.9.3)
$$
(ii) Soit $\mathcal{G}_1$ et $\mathcal{G}_2$ deux $\mathcal{O}_X$-modules cohérents de $X_{s,zar}$ tels que $\mathcal{G}_1[\frac{1}{p}]$ et $\mathcal{G}_2[\frac{1}{p}]$ soient localement projectifs de type fini. Notons $\mathcal{G} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2)$. Alors, $\mathcal{G}[\frac{1}{p}]$ est aussi localement projectif de type fini (2.9). Comme $\mathcal{G}_1$ est de présentation finie, on a un isomorphisme canonique

$$ \mathcal{T}^*(\mathcal{G}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\tilde{\mathcal{B}}} (\mathcal{T}^*(\mathcal{G}_1), \mathcal{T}^*(\mathcal{G}_2)). \quad (10.9.4) $$

Considérons le morphisme composé

$$ f : \Gamma(X_{s,zar}, \mathcal{G}) \to \Gamma(X_{s,zar}, \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{G}))) \xrightarrow{\sim} \Gamma(\tilde{E}_s^{[n_p]}, \mathcal{T}^*(\mathcal{G})). \quad (10.9.5) $$

D'après (i) et 5.16(i), le morphisme $f \otimes_Z \mathbb{Q}$ est un isomorphisme. On en déduit la pleine fidélité de $\mathcal{T}^*$.
□

**PROPOSITION 10.10.** Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable et régulière, et $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$. Pour toute $\mathcal{C}$-représentation $V$ de Weil-Tate relativement à $X$, le $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module $\mathcal{T}_*(\check{\beta}_Q^*(V))$ est de Weil-Tate. De plus, on a un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-linéaire, canonique et fonctoriel

$$ \check{\beta}_Q^*(V) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\check{\beta}_Q^*(V))). \quad (10.10.1) $$

*Preuve.* Soit $V$ une $\mathcal{C}$-représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ de Weil-Tate relativement à $X$. Choisissons un $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module de Weil-Tate $\mathcal{F}$ et un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-linéaire

$$ \tau : \check{\beta}_Q^*(V) \simeq \mathcal{T}^*(\mathcal{F}). \quad (10.10.2) $$

D'après (10.9.1), $\mathcal{T}_*(\check{\beta}_Q^*(V))$ est de Weil-Tate.

En vertu de (10.9.1), on a un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-linéaire, canonique et fonctoriel en $\mathcal{F}$

$$ \mathcal{T}^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F}))). \quad (10.10.3) $$

On en déduit, compte tenu de (10.10.2) et (10.10.3), un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_Q$-linéaire

$$ \check{\beta}_Q^*(V) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\check{\beta}_Q^*(V))). $$

Montrons que cet isomorphisme ne dépend pas des choix de $\mathcal{F}$ et de l'isomorphisme $\tau$, et qu'il est fonctoriel en $V$. Il suffit de montrer que, pour tous $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-modules localement projectifs de type fini $\mathcal{F}$, $\mathcal{F}'$ et tout morphisme
$\tilde{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}$-linéaire $\theta : \mathcal{T}^*(\mathcal{F}) \to \mathcal{T}^*(\mathcal{F}')$, le diagramme

$$ \begin{tikzcd} \mathcal{T}^*(\mathcal{F}) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "\theta"] & \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F}))) \arrow[d, "\mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\theta))"] \\ \mathcal{T}^*(\mathcal{F}') \arrow[r, "\sim"] & \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F}'))) \end{tikzcd} \qquad (10.10.4) $$

est commutatif. D'après la pleine fidélité du foncteur $\mathcal{T}^*$ 10.9(ii), $\theta$ est l'image d'un morphisme $\vartheta : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ de $\mathcal{L}\mathcal{P}^{\text{ft}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ par $\mathcal{T}^*$. La commutativité de (10.10.4) résulte alors de la fonctorialité de (10.10.3) en $\mathcal{F}$. $\square$

COROLLAIRE 10.11. Sous les hypothèses de 10.10, pour toute $\mathcal{C}$-représentation $V$ de Weil-Tate relativement à $X$, le $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module $\mathcal{T}_*(\check{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}^*(V))$ est de Weil-Tate. On désigne par $\mathcal{T}_X$ le foncteur

$$ \begin{gathered} \mathcal{T}_X : \mathrm{Rep}_\mathcal{C}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \to \mathrm{Mod}^{\mathrm{WT}}\left(\mathcal{O}_X\left[\frac{1}{p}\right]\right) \quad (10.11.1) \\ V \mapsto \mathcal{T}_*(\check{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}^*(V)). \end{gathered} $$

Alors, $V$ et $\mathcal{T}_X(V)$ sont $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}$-associés.

PROPOSITION 10.12. Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable et régulière, et $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$. Les foncteurs $\mathcal{V}_X$ (10.8.1) et $\mathcal{T}_X$ (10.11.1) sont des équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre.

Preuve. D'après 10.7(ii), pour tout objet $\mathcal{F}$ de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$, on a un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}$-linéaire, canonique et fonctoriel

$$ \mathcal{T}^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \check{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}^*(\mathcal{V}_X(\mathcal{F})). \quad (10.12.1) $$

Composant l'isomorphisme canonique (10.9.1) et l'image de (10.12.1) par $\mathcal{T}_*$, on en déduit un isomorphisme fonctoriel

$$ \mathcal{F} \to \mathcal{T}_X(\mathcal{V}_X(\mathcal{F})). \quad (10.12.2) $$

D'autre part, d'après (10.10.1), pour tout objet $V$ de $\mathrm{Rep}_\mathcal{C}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}))$, on a un isomorphisme $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}$-linéaire, canonique et fonctoriel

$$ \check{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}^*(V) \to \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_X(V)). \quad (10.12.3) $$
Composant l'isomorphisme canonique $V \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\beta}_{\mathcal{Q}}^{*}(V))$ (8.17(ii)) et l'image de (10.12.3) par $\mathcal{W}_{\mathcal{Q}}$, on en déduit un isomorphisme fonctoriel

$$V \xrightarrow{\sim} \mathcal{V}_{\mathcal{X}}(\mathcal{T}_{\mathcal{X}}(V)). \qquad (10.12.4)$$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

10.13. Soit $X$ une $S$-courbe semi-stable et régulière, $(S', \eta')$ un trait fini sur $(S, \eta)$ et $\varphi: X' \to X_{S'}$ un $\eta'$-revêtement semi-stable et régulier. Soit $\bar{x}$ un $\bar{\eta}$-point de $X_{\bar{\eta}}$ et $\bar{x}'$ un $\bar{\eta}$-point de $X'_{\bar{\eta}}$ au-dessus de $\bar{x}$. On fixe un $\eta$-morphisme $\bar{\eta} \to \eta'$ et par suite un $S$-morphisme $\bar{S} \to S'$. On désigne par $\mathcal{X}'$ le schéma formel complété $\mathcal{P}$-adique de $X \times_{S'} \bar{S}$ et par $\mathfrak{g}: \mathcal{X}' \to \mathcal{X}$ le morphisme de schémas formels induit par la projection canonique $X' \to X_{S'}$. Reprenant les notations de 8.3 pour $\varphi$, on désigne par

$$\mathcal{T}' : (\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \tilde{\mathcal{B}}') \to (X_{s,\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}'}) \qquad (10.13.1)$$

le morphisme (10.1.1) relatif à $X'$. On a alors un diagramme commutatif à isomorphismes près (cf. (8.3.14) et [4, III.(9.11.15)])

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
(X'_{s,\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}'}) \arrow[r, "\mathcal{T}'", "\sim"] & (\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \tilde{\mathcal{B}}') \arrow[r, "\tilde{\beta}'", "\sim"] & (X_{\bar{\eta},\mathrm{f\'et},\mathfrak{o}}^{\mathcal{N}^0}, \mathfrak{o}) \arrow[d, "\mathfrak{g}", "\sim"] \\
(X_{s,\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \arrow[r, "\mathcal{T}", "\sim"] & (\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \tilde{\mathcal{B}}') \arrow[r, "\tilde{\beta}", "\sim"] & (X_{\bar{\eta},\mathrm{f\'et},\mathfrak{o}}^{\mathcal{N}^0}, \mathfrak{o}). \arrow[d, "\varphi_{\bar{\eta}}", "\sim"]
\end{tikzcd} \qquad (10.13.2)$$

L'homomorphisme canonique $\pi_1(X'_{\bar{\eta}}, \bar{x}') \to \pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ induit un foncteur

$$\mathrm{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \to \mathrm{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X'_{\bar{\eta}}, \bar{x})). \qquad (10.13.3)$$

**PROPOSITION 10.14.** *Conservons les notations de 10.13. Alors :*

(i) l'image inverse d'un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}]$-module de Weil-Tate par $\mathfrak{g}$ est un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}'}[\frac{1}{p}]$-module de Weil-Tate;

(ii) toute $\mathfrak{C}$-représentation continue de Weil-Tate relativement à $X$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ définit par restriction (10.13.3) une $\mathfrak{C}$-représentation continue de Weil-Tate relativement à $X'$ de $\pi_1(X'_{\bar{\eta}}, \bar{x}')$;
(iii) on a des diagrammes commutatifs à isomorphismes près

$$
\begin{equation} \tag{10.14.1}
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}[\frac{1}{p}]})(\nu_{\mathcal{X}}) \arrow[r, "\nu_{\mathcal{X}}"] & \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \arrow[d, "g"] \\
    \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}'[\frac{1}{p}]})(\nu_{\mathcal{X}'}) \arrow[r, "\nu_{\mathcal{X}'}"] & \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{WT}/X'}(\pi_1(X'_{\bar{\eta}}, \bar{x}')) \arrow[d, "g"]
\end{tikzcd}
\end{equation}
$$

et

$$
\begin{equation} \tag{10.14.2}
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \arrow[r, "\mathcal{T}_{\mathcal{X}}"] & \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}[\frac{1}{p}]}) \arrow[d, "g"] \\
    \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{WT}/X'}(\pi_1(X'_{\bar{\eta}}, \bar{x}')) \arrow[r, "\mathcal{T}_{\mathcal{X}'}"] & \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}'[\frac{1}{p}]})
\end{tikzcd}
\end{equation}
$$

où $\mathcal{V}_{\mathcal{X}'}$ et $\mathcal{T}_{\mathcal{X}'}$ sont les foncteurs (10.8.1) et (10.11.1) relatifs à $\mathcal{X}'$.

Preuve. Soit $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}[\frac{1}{p}]}$-module de Weil-Tate et $V$ une $\mathcal{C}$-représentation de Weil-Tate associée. Il existe donc un isomorphisme $\check{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-linéaire

$$
T^*(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V). \qquad (10.14.3)
$$

En vertu de (10.13.2), on en déduit un isomorphisme $\check{\mathcal{B}}'_\mathcal{Q}$-linéaire

$$
T^*(g^*(\mathcal{F})) \xrightarrow{\sim} \check{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V), \qquad (10.14.4)
$$

d'où les assertions (i) et (ii).

Comme $\mathcal{V}_X = T^* \circ \mathcal{W}_\mathcal{Q}$, la commutativité du diagramme (10.14.1) résulte de 8.15 et (10.13.2). La commutativité du diagramme (10.14.2) s'ensuit par 10.12, d'où l'assertion (iii). $\square$

10.15. Dans la suite de cette section, on fixe une $\overline{K}$-courbe propre et lisse $C$ et un point géométrique $\bar{x}$ de $C$. On pose $\check{C} = C \otimes_{\overline{K}} \mathcal{C}$. Soit $S'$ un trait fini sur $S$. Un $S'$-modèle de $C$ est la donnée d'un $S$-morphisme $\bar{S} \to S'$ et d'une $S'$-courbe propre $X$ munie d'un isomorphisme $C \simeq X \times_{S'} \bar{\eta}$. Soit $X$ un $S'$-modèle semi-stable et régulier de $C$. Reprenant les notations de 5.14, on a un foncteur pleinement fidèle en vertu de (5.15)

$$
j_X : \mathbf{L}^{\mathrm{tf}} \left( \mathcal{O}_X \left[ \frac{1}{p} \right] \right) \to \mathrm{Vect}_{\check{c}}. \qquad (10.15.1)
$$
**DÉFINITION 10.16.** (i) On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $\tilde{\mathcal{C}}$ est de Weil-Tate s’il existe un trait $S'$ fini sur $S$ et un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ et un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}]$-module de Weil-Tate $\mathcal{F}$ tels que $J_{\mathcal{X}}(\mathcal{F}) \simeq F$ (10.15.1).

(ii) On dit qu'une $\mathcal{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ est de Weil-Tate s'il existe un trait $S'$ fini sur $S$, un $S'$-modèle semi-stable $X$ de $C$ tels que $V$ soit de Weil-Tate relativement à $X$.

On désigne par $\mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Vect}_{\tilde{\mathcal{C}}}$ formée des fibrés vectoriels de Weil-Tate et par $\mathrm{Rep}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ formée des $\mathcal{C}$-représentations continues de Weil-Tate. Soit $X$ un $S$-modèle semi-stable et régulier de $C$. La restriction du foncteur $J_{\mathcal{X}}$ (10.15.1) à $\mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}])$ induit un foncteur pleinement fidèle que l'on note encore

$$ J_{\mathcal{X}} : \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}\left(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}\left[\frac{1}{p}\right]\right) \to \mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}. \quad (10.16.1) $$

Soit $S'$ un trait fini sur $S$ et $X'$ un $S'$-modèle semi-stable et régulier de $C$ dominant $X_S'$. Reprenons les notations de 10.13. En vertu de 10.14(i) et de la définition de $J_{\mathcal{X}}$ (5.14.2), on vérifie que le diagramme

$$ \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}]) & & \\
    \mathbf{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}'}[\frac{1}{p}]) \arrow[r, "J_{\mathcal{X}'}"] & \mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}} \arrow[l, "J_{\mathcal{X}}"] & \\
    & &
  \end{tikzcd} \quad (10.16.2) $$

où $J_{\mathcal{X}'}$ désigne le foncteur (10.16.1) relatif à $X'$, est commutatif.

**LEMME 10.17.** (i) Pour tout morphisme $f$ de $\mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}$, il existe un trait $S'$ fini sur $S$ et un $S'$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ tels que $f$ soit contenu dans l'image du foncteur $J_{\mathcal{X}}$ (10.16.1).

(ii) Pour tout morphisme $f$ de $\mathrm{Rep}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x}))$, il existe un trait $S'$ fini sur $S$ et un $S'$-modèle semi-stable $X$ de $C$ tels que $f$ provienne de la sous-catégorie pleine $\mathrm{Rep}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}/X}(\pi_1(C, \bar{x}))$ de $\mathrm{Rep}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x}))$.

*Preuve.* (i) Soit $F$ et $F'$ deux fibrés vectoriels de Weil-Tate sur $\tilde{\mathcal{C}}$. D'après 5.8, il existe un trait $S'$ fini sur $S$ et un $S'$-modèle $X$ semi-stable et régulier de $C$ tels que $F$ et $F'$ soient les images des $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}]$-modules localement projectifs de type fini par $J_{\mathcal{X}}$ (10.16.1). L'assertion résulte alors de la pleine fidélité de (10.16.1).

En calquant la démonstration de (i), on vérifie l'assertion (ii). $\square$
10.18. En vertu de **10.14** et **10.17**, les foncteurs $\mathcal{V}_X$ fournissent un foncteur

$$ \mathcal{V}_\check{C} : \mathfrak{M}_\check{C}^{\mathrm{WT}} \to \mathrm{Rep}_\check{C}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x})). \qquad (10.18.1) $$

De même, les foncteurs $J_X \circ \mathcal{T}_X$ fournissent un foncteur :

$$ \mathcal{T}_\check{C} : \mathrm{Rep}_\check{C}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x})) \to \mathfrak{M}_\check{C}^{\mathrm{WT}}. \qquad (10.18.2) $$

**THÉORÈME 10.19.** *Les foncteurs $\mathcal{V}_\check{C}$ (10.18.1) et $\mathcal{T}_\check{C}$ (10.18.2) sont des équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre.*

*Preuve.* Pour tout objet $V$ de $\mathrm{Rep}_\check{C}^{\mathrm{WT}}(\pi_1(C, \bar{x}))$, quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ tel que $V$ soit de Weil-Tate relativement à $X$. D'après (10.12.4), on a un isomorphisme

$$ V \xrightarrow{\sim} \mathcal{V}_\check{C}(\mathcal{T}_\check{C}(V)). \qquad (10.19.1) $$

Il résulte de la fonctorialité de (10.12.4) et de 10.17(ii) que celui-là est fonctoriel en $V$.

De même, pour tout objet $F$ de $\mathfrak{M}_\check{C}$, quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ et un objet $\mathcal{F}$ de $\mathrm{Mod}^{\mathrm{WT}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ tels que $F \simeq J_X(\mathcal{F})$. D'après (10.12.2), on a un isomorphisme

$$ F \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}_\check{C}(\mathcal{V}_\check{C}(F)). \qquad (10.19.2) $$

Il résulte de la fonctorialité de (10.12.2) et de 10.17(i) que celui-là est fonctoriel en $F$. $\square$

**THÉORÈME 10.20.** *Tout fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\check{C}$ est de Weil-Tate. De plus, la restriction du foncteur $\mathcal{V}_\check{C} : \mathfrak{M}_\check{C}^{\mathrm{WT}} \to \mathrm{Rep}_\check{C}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ (10.18.1) à la sous-catégorie $\mathfrak{M}_\check{C}^{\mathrm{DW}}$ s'identifie au foncteur de Deninger-Werner $\mathfrak{V}_\check{C}$ (6.14.1).*

On présentera la démonstration dans **14.5** et **14.6**.

**COROLLAIRE 10.21.** *Le foncteur de Deninger-Werner $\mathfrak{V}_\check{C}$ (6.14.1) est pleinement fidèle.*

*Preuve.* Cela résulte de **10.19** et **10.20**. $\square$

**PROPOSITION 10.22.** *Soit $\pi : C' \to C$ un revêtement étale connexe, $\bar{x}'$ un $\bar{\eta}$-point de $C'$ au-dessus de $\bar{x}$, $\check{C}' = C' \otimes_{\bar{K}} \mathbb{C}$ et $\check{\pi} = \pi \otimes_{\bar{K}} \mathbb{C}$. Alors :*
(i) l'image inverse d'un fibré vectoriel de Weil-Tate sur $\tilde{\mathcal{C}}$ par $\tilde{\pi}$ est de Weil-Tate sur $\mathcal{C}'$;

(ii) toute $\mathcal{C}$-représentation continue de Weil-Tate de $\pi_1(C, \bar{x})$ définit par restriction (10.13.3) une $\mathcal{C}$-représentation continue de Weil-Tate de $\pi_1(C', \bar{x}')$;

(iii) le morphisme $\pi$ induit des diagrammes commutatifs à isomorphismes près

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Cela résulte de 10.14.

# 11. Correspondance de Simpson p-adique pour les représentations de Weil-Tate

11.1. On munit $S$ de la structure logarithmique $\mathcal{M}_S$ définie par son point fermé [4, II.6.1], autrement dit $\mathcal{M}_S = j_*(\mathcal{O}_\eta^\times) \cap \mathcal{O}_S$, où $j: \eta \to S$ est l'injection canonique.

On munit $\bar{S}$ et $\tilde{S}$ (2.1) des structures logarithmiques $\mathcal{M}_{\bar{S}}$ et $\mathcal{M}_{\tilde{S}}$, images inverses de $\mathcal{M}_S$ (cf. [4, II.5.10]).

On associe fonctoriellement à toute $\mathbb{Z}_{(p)}$-algèbre $A$ l'anneau (cf. [4, II.9.3])

$$A^b = \lim_{\underset{x \to x^p}{\leftarrow}} A/pA \qquad (11.1.1)$$

et un homomorphisme $\theta: W(A^b) \to \hat{A}$ de l'anneau $W(A^b)$ des vecteurs de Witt de $A^b$ dans le séparé complété $p$-adique $\hat{A}$ de $A$.

On désigne par $\underline{p}$ l'élément de $(\mathcal{O}_{\bar{K}})^b$ induit par la suite $(p^{\frac{1}{pn}})_{n \ge 0}$ (2.1) et l'on pose

$$\xi = [\underline{p}] - p \in W((\mathcal{O}_{\bar{K}})^b), \qquad (11.1.2)$$

où $[\underline{\phantom{A}}]$ est le représentant multiplicatif. On pose

$$\mathcal{A}_2(\mathcal{O}_{\bar{K}}) = W((\mathcal{O}_{\bar{K}})^b)/\mathrm{Ker}(\theta)^2. \qquad (11.1.3)$$

On a une suite exacte [4, II.9.5(iv)]

$$0 \to W((\mathcal{O}_{\bar{K}})^b) \xrightarrow{\xi} W((\mathcal{O}_{\bar{K}})^b) \xrightarrow{\theta} 0 \to 0. \qquad (11.1.4)$$
Elle induit une suite exacte

$$0 \longrightarrow \mathcal{O} \stackrel{\cdot \xi}{\longrightarrow} \mathcal{A}_2(\mathcal{O}_{\overline{\mathcal{K}}}) \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \mathcal{O} \longrightarrow 0, \qquad (11.1.5)$$

où $\cdot \xi$ est induit par la multiplication par $\xi$ dans $\mathcal{A}_2(\mathcal{O}_{\overline{\mathcal{K}}})$. L'idéal Ker($\theta$) est un o-module libre de base $\xi$. On le note $\xi \mathcal{o}$ et on note $\xi^{-1} \mathcal{o}$ le o-module dual de $\xi \mathcal{o}$. Pour tout o-module $M$, on désigne les o-modules $M \otimes_{\mathcal{o}} \xi \mathcal{o}$ et $M \otimes_{\mathcal{o}} \xi^{-1} \mathcal{o}$ simplement par $\xi M$ et $\xi^{-1} M$ respectivement.

On pose

$$\mathcal{A}_2(\bar{S}) = \mathrm{Spec}(\mathcal{A}_2(\mathcal{O}_{\bar{\mathcal{K}}})) \qquad (11.1.6)$$

que l'on munit de la structure logarithmique $\mathcal{M}_{\mathcal{A}_2(\bar{S})}$ définie dans [4, II.9.8]. L'homomorphisme $\theta$ induit alors une immersion fermée exacte [4, II.5.22]

$$i_{\bar{S}} : (\tilde{\mathcal{S}}, \mathcal{M}_{\tilde{\mathcal{S}}}) \to (\mathcal{A}_2(\bar{S}), \mathcal{M}_{\mathcal{A}_2(\bar{S})}). \qquad (11.1.7)$$

11.2. Dans la suite de cette section, on se donne une S-courbe semi-stable et régulière X que l'on munit de la structure logarithmique $\mathcal{M}_X$ définie par sa fibre spéciale $X_s$. Le morphisme de schémas logarithmiques $f : (X, \mathcal{M}_X) \to (S, \mathcal{M}_S)$ est alors adéquat au sens de [4, III.4.7]. On notera que $X_\eta$ est le sous-schéma ouvert maximal de X où la structure logarithmique $\mathcal{M}_X$ est triviale. Pour alléger les notations, on pose

$$\tilde{\mathcal{M}}_{X/S}^1 = \Omega_{(X, \mathcal{M}_X)/(S, \mathcal{M}_S)}^1. \qquad (11.2.1)$$

On munit $\tilde{X} = X \times_S \tilde{S}$ (2.1.1) de la structure logarithmique $\tilde{\mathcal{M}}_{\tilde{X}}$, image inverse de $\mathcal{M}_X$. Posons $\mathcal{T}_{X/S} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\tilde{\mathcal{M}}_{\tilde{X}/S}^1, \mathcal{O}_X)$ et $\mathcal{T}_{\tilde{X}/\bar{S}} = \mathcal{T}_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{\bar{S}}$. Comme X est une S-courbe, on a alors $\mathrm{H}^2(X_\eta, \mathcal{T}_{X/S,\eta}) = 0$ et $\mathrm{H}^2(X_s, \mathcal{T}_{X/S,s}) = 0$. Compte tenu de [35, Section 5, Cor. 2], $\mathrm{R}^2 f_*(\mathcal{T}_{X/S})$ est localement libre de type fini. En outre, on a $\mathrm{R}^2 f_*(\mathcal{T}_{X/S})_\eta = \mathrm{H}^2(X_\eta, \mathcal{T}_{X/S,\eta}) = 0$. On en déduit que $\mathrm{H}^2(X, \mathcal{T}_{X/S}) = 0$ et $\mathrm{H}^2(\tilde{X}, \mathcal{T}_{\tilde{X}/\bar{S}}) = 0$. D'après [29, Prop. 3.14], il existe une $(\mathcal{A}_2(\bar{S}), \mathcal{M}_{\mathcal{A}_2(\bar{S})})$-déformation lisse $(\tilde{X}, \mathcal{M}_{\tilde{X}})$ de $(\tilde{X}, \mathcal{M}_{\tilde{X}})$, c'est-à-dire un diagramme cartésien

$$\begin{tikzcd}
(\tilde{X}, \mathcal{M}_{\tilde{X}}) \arrow[r] \arrow[d] & (\tilde{X}, \mathcal{M}_{\tilde{X}}) \arrow[d] \\
(\bar{S}, \mathcal{M}_{\bar{S}}) \arrow[r, "i_{\bar{S}}"] & (\mathcal{A}_2(\bar{S}), \mathcal{M}_{\mathcal{A}_2(\bar{S})}).
\end{tikzcd} \qquad (11.2.2)$$

On fixe une telle déformation $(\tilde{X}, \mathcal{M}_{\tilde{X}})$ dans la suite de cette section.
11.3. On note $\mathcal{X}$ le schéma formel complété $p$-adique de $\bar{X}$. On désigne par $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$ le complété $p$-adique du $\mathcal{O}_{\bar{X}}$-module $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1 = \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1 \otimes_{\mathcal{O}_{\bar{X}}} \mathcal{O}_{\bar{X}}$ et on pose, pour tout entier $j \ge 0$, $\xi^{-j}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^j = \wedge_{\mathcal{S}}^j (\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1)$. On sous-entend par $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module de Higgs à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$ un $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module de Higgs à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1[\frac{1}{p}]$ (2.10). On désigne par $\mathbf{MH}(\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1)$ la catégorie de tels modules et par $\mathbf{MH}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1)$ la sous-catégorie pleine formée des modules de Higgs dont le $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module sous-jacent est cohérent. On appelle $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-fibré de Higgs à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$ tout $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module de Higgs à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$ dont le $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module sous-jacent est localement projectif de type fini (2.9).

11.4. On reprend les notations de la Section 7 pour le $S$-schéma $X$. Soit $\mathcal{M}$ un $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-module adique et de type fini (7.15) et $\mathcal{N}$ un $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-fibré de Higgs à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$. Dans [4, III.12.10(ii)], Abbes et Gros définissent la propriété selon laquelle $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$ sont associés. On dit que $\mathcal{M}$ est de Dolbeault s'il admet un fibré de Higgs associé et que $\mathcal{N}$ est soluble s'il admet un $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-module associé (cf. [4, III.12.11]).

On désigne par $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{Dolb}}(\tilde{\mathcal{B}})$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{aff}}(\tilde{\mathcal{B}})$ (7.15) formée des $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-modules de Dolbeault et par $\mathbf{MH}^{\text{sol}}(\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1)$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{MH}(\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1)$ formée des $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-fibrés de Higgs solubles à coefficients dans $\xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1$. En vertu de [4, III.12.18], il existe un foncteur

$$ \mathcal{H} : \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{Dolb}}(\tilde{\mathcal{B}}) \to \mathbf{MH}^{\text{sol}}\left(\mathcal{O}_{\bar{X}}\left[\frac{1}{p}\right], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1\right). \qquad (11.4.1) $$

D'après [4, III.12.23], il existe un foncteur dans l'autre sens

$$ \mathcal{W} : \mathbf{MH}^{\text{sol}}\left(\mathcal{O}_{\bar{X}}\left[\frac{1}{p}\right], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\bar{X}/\mathcal{S}}^1\right) \to \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{Dolb}}(\tilde{\mathcal{B}}). \qquad (11.4.2) $$

### THÉORÈME 11.5 [4, III.12.26]. Les foncteurs (11.4.1) et (11.4.2) sont des équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre.

### LEMME 11.6. Soit $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_{\bar{X}}[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini. Alors, le $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-module $\mathcal{T}^*(\mathcal{F})$ (10.1.4) et le fibré de Higgs $(\mathcal{F}, 0)$ sont associés (11.4) et l'on a un isomorphisme canonique et fonctoriel

$$ (\mathcal{F}, 0) \to \mathcal{H}(\mathcal{T}^*(\mathcal{F})). \qquad (11.6.1) $$
Preuve. Démontrons que $T^*(\mathcal{F})$ et $(\mathcal{F}, 0)$ sont r-associés dans le sens de [4, III.12.10(i)] pour tout nombre rationnel $r > 0$. On désigne par $\tilde{\mathcal{C}}^{(r)}$ la $\tilde{\mathcal{B}}$-algèbre de Higgs-Tate d'épaisseur $r$ associée à $(\tilde{X}, \tilde{M}_{\tilde{X}})$ (cf. [4, III.10.31]), par $\tilde{d}^{(r)}$ la $\tilde{\mathcal{B}}$-dérivation universelle de $\tilde{\mathcal{C}}^{(r)}$ définie dans [4, (III.12.7.1)], par $\tilde{\mathcal{E}}^r$ la catégorie des $p^r$-isoconnexions intégrables relativement à l'extension $\tilde{\mathcal{C}}^{(r)}/\tilde{\mathcal{B}}$ (cf. [4, III.6.10]) et par $\tilde{\mathcal{E}}_\mathcal{Q}^r$ la catégorie des objets de $\tilde{\mathcal{E}}^r$ à isogénie près (2.16). Dans la suite, on va construire un isomorphisme canonique fonctoriel

$$T^{r+}(\mathcal{F}, 0) \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}^r(T^*(\mathcal{F})), \qquad (11.6.2)$$

où $\mathcal{S}^r : \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{att}}(\tilde{\mathcal{B}}) \to \mathcal{E}_\mathcal{Q}^r$ et $T^{r+} : \mathbf{MH}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}], \xi^{-1}\tilde{\Omega}_{\tilde{X}/\mathcal{P}}^1) \to \mathcal{E}_\mathcal{Q}^r$ sont des foncteurs [4, (III.12.7.3) et (III.12.7.8)]. En vertu de (4.1.2), il existe un $\mathcal{O}_X$-module cohérent $\mathcal{G}$ tel que $\mathcal{F} \simeq \mathcal{G}[\frac{1}{p}]$. Par définition de $\mathcal{S}^r$ [4, (III.12.7.2)], on a

$$\mathcal{S}^r(T^*(\mathcal{F})) = (\tilde{\mathcal{C}}^{(r)} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}} T^*(\mathcal{G}), \tilde{\mathcal{C}}^{(r)} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}} T^*(\mathcal{G}), \text{id}, p^r \tilde{d}^{(r)} \otimes \text{id})_{\mathcal{Q}}. \qquad (11.6.3)$$

Compte tenu de la définition de $T^{r+}$ [4, (III.12.7.6)], on a

$$T^{r+}(\mathcal{F}, 0) = (\tilde{\mathcal{C}}^{(r)} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}} T^*(\mathcal{G}), \tilde{\mathcal{C}}^{(r)} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}} T^*(\mathcal{G}), \text{id} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}} T^*(\text{id}), p^r \tilde{d}^{(r)} \otimes T^*(\text{id}))_{\mathcal{Q}}. \qquad (11.6.4)$$

On prend pour (11.6.2) l'isomorphisme induit par (11.6.3) et (11.6.4). D'après [4, III.12.17(i)], on en déduit un isomorphisme

$$(\mathcal{F}, 0) \xrightarrow{\sim} \mathcal{H}(T^*(\mathcal{F})).$$

La fonctorialité de (11.6.1) se déduit de celle de (11.6.2). Le lemme s'ensuit. $\square$

**PROPOSITION 11.7.** Soit $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$ et $V$ une $\mathcal{C}$-représentation continue de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ (3.18). Alors, les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le $\tilde{\mathcal{B}}$-module $\tilde{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V)$ (8.6.3) est de Dolbeault (11.4) et le fibré de Higgs $\mathcal{H}(\tilde{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V))$ est de champ de Higgs nul.

(b) $V$ est de Weil-Tate relativement à $X$ (10.3).

De plus, si les conditions sont remplies, on a un isomorphisme canonique fonctoriel de fibrés de Higgs

$$\mathcal{H}(\tilde{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V)) \xrightarrow{\sim} (\mathcal{T}_{\mathcal{X}}(V), 0), \qquad (11.7.1)$$

où $\mathcal{T}_{\mathcal{X}}$ est le foncteur (10.11.1).
Preuve. Supposons d'abord que la condition (a) soit remplie. On note $\mathcal{F}$
le $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini sous-jacent à $\mathcal{H}(\check{\beta}_{\mathcal{Q}}^*(V))$.
D'après 11.6, on a un isomorphisme canonique

$$
(\mathcal{F}, 0) \xrightarrow{\sim} \mathcal{H}(\mathcal{T}^*(\mathcal{F})).
$$

En vertu de **11.5**, on en déduit un isomorphisme de $\check{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-modules

$$
\check{\beta}_{\mathcal{Q}}^{*}(V) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}^{*}(\mathcal{F}),
$$

d'où la condition (b).

Supposons que la condition (b) soit vraie. D'après **10.10**, le $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module $\mathcal{T}_X(V)$ est localement projectif de type fini. De plus, on a un isomorphisme fonctoriel en $V$ (10.10.1)

$$
\check{\beta}_{\mathcal{Q}}^{*}(V) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}^{*}(\mathcal{T}_{\mathcal{X}}(V)).
$$

La condition (a) et l'isomorphisme (11.7.1) résultent alors de **11.6** appliqué à
$\mathcal{F} = \mathcal{T}_{\mathcal{X}}(V)$. $\square$

PROPOSITION 11.8. *Soit C une $\overline{K}$-courbe propre et lisse, $\overline{x}$ un point géométrique de C, V une $\mathfrak{C}$-représentation de Weil-Tate de $\pi_1(C, \overline{x})$ et $\mathcal{T}(V)$ le fibré vectoriel sur $\check{C} = C \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$ associé à V. On a alors une suite exacte*

$$
\begin{align}
0 \to \mathrm{H}^1(\check{C}_{\mathrm{zar}}, \mathcal{T}(V)) \to \mathrm{H}_{\mathrm{cont}}^1(\pi_1(C, \bar{x}), V) \tag{11.8.1} \\
\to \mathrm{H}^0(\check{C}_{\mathrm{zar}}, \mathcal{T}(V) \otimes_{\mathcal{O}_{\check{c}}} (\xi^{-1}\Omega_{\check{c}/\mathcal{C}}^1)) \to 0, \nonumber
\end{align}
$$

où $H_{\text{cont}}^{1}(\pi_{1}(C, \bar{x}), -)$ désigne le groupe de cohomologie continue de $\pi_{1}(C, \bar{x})$ (3.30).

Preuve. Quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-
stable et régulier $X$ de $C$ tel que $V$ soit de Weil-Tate relativement à $X$ (10.3).
Reprenant les notations précédentes pour $X$, on a un isomorphisme canonique de
$\check{\mathcal{B}}_Q$-modules

$$
\check{\beta}_{\mathcal{Q}}^{*}(V) \simeq \mathcal{T}^{*}(\mathcal{T}_{\mathcal{X}}(V)). \qquad (11.8.2)
$$

Reprenant les notations de **2.17** pour le topos annelé $(\widetilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}, \check{\mathcal{B}})$, d'après (3.30) et (7.21), le foncteur $\check{\beta}_{\mathcal{Q}}^*$ (8.6.3) induit un isomorphisme canonique

$$
H_{\text{cont}}^{1}(\pi_{1}(C, \bar{x}), V) \xrightarrow{\sim} H^{1}(\widetilde{E}_{s}^{\mathbb{N}^{0}}, \check{\beta}_{\mathcal{Q}}^{*}(V)). \quad (11.8.3)
$$
Par ailleurs, choisissant un $\mathcal{O}_X$-module cohérent $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{F}[\frac{1}{p}] \simeq \mathcal{T}_X(V)$ (4.1.2), on a une suite exacte

$$H^i(\mathcal{X}, R^j \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{F}))) \Rightarrow H^{i+j}(\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \mathcal{T}^*(\mathcal{F})).$$

Compte tenu de 5.16(i), on en déduit une suite spectrale

$$H^i(\mathcal{X}, R^j \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{T}_X(V))))) \Rightarrow H^{i+j}(\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_X(V))). \quad (11.8.4)$$

D'après (11.7.1) et [4, III.12.34], on a un isomorphisme canonique de $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-modules

$$R^j \mathcal{T}_*(\mathcal{T}^*(\mathcal{T}_X(V))) \simeq \mathcal{T}_X(V) \otimes_{\mathcal{O}_X} \xi^{-j} \tilde{\Omega}_{\mathcal{T}_X/\mathcal{P}}^j.$$

Compte tenu de 5.16(ii), on a un isomorphisme $\mathfrak{C}$-linéaire

$$H^i(\mathcal{X}, \mathcal{T}_X(V) \otimes_{\mathcal{O}_X} (\xi^{-j} \tilde{\Omega}_{\mathcal{T}_X/\mathfrak{P}}^j)) \simeq H^i(\check{\mathcal{C}}_{\text{zar}}, \mathcal{T}(V) \otimes_{\mathcal{O}_{\check{\mathcal{C}}}} (\xi^{-j} \Omega_{\check{\mathcal{C}}/\mathfrak{C}}^j)).$$

Comme $\mathcal{C}$ est une courbe sur $\overline{\mathcal{K}}$, ce dernier est nul si $i \ge 2$. On en déduit par (11.8.4) une suite exacte de $\mathfrak{C}$-espaces vectoriels

$$\begin{aligned} 0 &\to H^1(\check{\mathcal{C}}_{\text{zar}}, \mathcal{T}(V)) \to H^1(\tilde{E}_s^{\mathcal{N}^0}, \mathcal{T}^*(\mathcal{T}_X(V))) \\ &\to H^0(\check{\mathcal{C}}_{\text{zar}}, \mathcal{T}(V) \otimes_{\mathcal{O}_{\check{\mathcal{C}}}} (\xi^{-1} \Omega_{\check{\mathcal{C}}/\mathfrak{C}}^1)) \to 0. \end{aligned} \quad (11.8.5)$$

La proposition s'ensuit compte tenu de (11.8.2), (11.8.3) et (11.8.5). $\square$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

## 12. Faisceaux de $\alpha$-modules

12.1. Pour toute $\mathfrak{o}$-algèbre $A$, on désigne par $\text{Mod}(A)$ la catégorie abélienne tensorielle des $A$-modules. Suivant 2.18, prenant pour $\phi: \mathfrak{o} \to A = \text{End}(\text{id}_{\text{Mod}(A)})$ l'homomorphisme structural, on appelle catégorie des $\alpha$-$A$-modules et l'on note $\alpha$-$\text{Mod}(A)$ le quotient de la catégorie $\text{Mod}(A)$ par la sous-catégorie épaisse des $A$-modules $\alpha$-nuls. On désigne par

$$\alpha : \text{Mod}(A) \to \alpha\text{-Mod}(A), \quad M \mapsto M^{\alpha}, \quad (12.1.1)$$

le foncteur canonique (2.18.1). Pour tous $A$-modules $M$ et $N$, on a un isomorphisme canonique fonctoriel [3, (1.4.7.1)]

$$\text{Hom}_{\alpha\text{-Mod}(A)}(M^{\alpha}, N^{\alpha}) \xrightarrow{\sim} \text{Hom}_{\text{Mod}(A)}(M \otimes_{\mathfrak{o}} M, N). \quad (12.1.2)$$

On désigne par $\sigma_*$ le foncteur

$$\sigma_* : \alpha\text{-Mod}(A) \to \text{Mod}(A), \quad P \mapsto \text{Hom}_{\alpha\text{-Mod}(A)}(A^{\alpha}, P), \quad (12.1.3)$$
et par $\sigma_1$ le foncteur

$$ \sigma_1 : \alpha\text{-Mod}(A) \to \text{Mod}(A), \quad P \mapsto m \otimes_\alpha \sigma_*(P). \qquad (12.1.4) $$

En vertu de (12.1.2), pour tout $A$-module $M$, on a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$ \sigma_*(M^\alpha) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_\alpha(m, M). \qquad (12.1.5) $$

**PROPOSITION 12.2** [3, 1.4.8]. (i) Le foncteur $\sigma_*$ est un adjoint à droite du foncteur $\alpha$ (12.1.1).

(ii) Le morphisme d'adjonction $\alpha \circ \sigma_* \to \text{id}$ est un isomorphisme.

(iii) Le foncteur $\sigma_1$ est un adjoint à gauche du foncteur $\alpha$.

(iv) Le morphisme d'adjonction $\text{id} \to \alpha \circ \sigma_1$ est un isomorphisme.

**COROLLAIRE 12.3** [3, 1.4.9]. Les foncteurs $\alpha$ et $\sigma_1$ sont exacts et le foncteur $\sigma_*$ est exact à gauche.

12.4. On appelle $\alpha$-$\mathfrak{o}$-algèbre (ou $\mathfrak{o}^\alpha$-algèbre) un monoïde unitaire commutatif de $\alpha$-$\text{Mod}(\mathfrak{o})$ [3, 1.4.11]. On désigne par $\text{Alg}(\mathfrak{o})$ la catégorie des $\mathfrak{o}$-algèbres et par $\alpha$-$\text{Alg}(\mathfrak{o})$ la catégorie des $\alpha$-$\mathfrak{o}$-algèbres. Le foncteur $\alpha$ étant monoïdal, il induit un foncteur que l'on note encore

$$ \alpha : \text{Alg}(\mathfrak{o}) \to \alpha\text{-Alg}(\mathfrak{o}). \qquad (12.4.1) $$

Compte tenu de l'isomorphisme canonique $A^\alpha \xrightarrow{\sim} A^\alpha \otimes_{A^\alpha} A^\alpha$, le foncteur $\sigma_*(1)$ (12.1.3) induit un foncteur que l'on note encore

$$ \sigma_* : \alpha\text{-Alg}(\mathfrak{o}) \to \text{Alg}(\mathfrak{o}), \quad P \mapsto \operatorname{Hom}_{\alpha\text{-Mod}(A)}(A^\alpha, P). \qquad (12.4.2) $$

En vertu de [3, 1.4.12], celui-ci est un adjoint à droite du foncteur $\alpha$ (12.4.1) et le morphisme d'adjonction $\alpha \circ \sigma_* \to \text{id}$ est un isomorphisme.

12.5. Soit $A$ une $\mathfrak{o}$-algèbre. On pose $A^\alpha = \alpha(A)$ (12.4.1) et on désigne par $\text{Mod}(A^\alpha)$ la catégorie des $A^\alpha$-modules unitaires de $\alpha$-$\text{Mod}(\mathfrak{o})$. Le foncteur $\alpha : \text{Mod}(\mathfrak{o}) \to \alpha$-$\text{Mod}(\mathfrak{o})$ étant monoïdal, il induit un foncteur

$$ \alpha_A : \text{Mod}(A) \to \text{Mod}(A^\alpha). $$

Celui-ci transforme les $\alpha$-isomorphismes en des isomorphismes. Il induit une équivalence de catégories [3, 1.4.13]

$$ \alpha\text{-Mod}(A) \xrightarrow{\sim} \text{Mod}(A^\alpha). $$
On pose $A' = \sigma_*(A^\alpha)$ (12.4.2). D'après 12.4, on a un morphisme canonique de $\mathfrak{o}$-algèbres $\lambda : A \to A'$ qui induit un isomorphisme $A^\alpha \xrightarrow{\sim} A'^\alpha$. Pour tous $\mathfrak{o}^\alpha$-modules $P$ et $Q$, on a un morphisme $\mathfrak{o}$-linéaire canonique

$$ \mathrm{Hom}_{\alpha\text{-}\mathrm{Mod}(\mathfrak{o})}(\mathfrak{o}^{\alpha}, P) \otimes_{\mathfrak{o}} \mathrm{Hom}_{\alpha\text{-}\mathrm{Mod}(\mathfrak{o})}(\mathfrak{o}^{\alpha}, Q) \to \mathrm{Hom}_{\alpha\text{-}\mathrm{Mod}(\mathfrak{o})}(\mathfrak{o}^{\alpha}, P \otimes_{\mathfrak{o}} Q) $$

défini par fonctorialité et composition. Par suite, le foncteur $\sigma_*$ (12.1.3) induit un foncteur

$$ \tau_*' : \mathrm{Mod}(A^\alpha) \to \mathrm{Mod}(A'). $$

Composant avec le foncteur induit par $\lambda : A \to A'$, on obtient un foncteur

$$ \tau_* : \mathrm{Mod}(A^\alpha) \to \mathrm{Mod}(A). \qquad (12.5.1) $$

On désigne par $\tau_!$ le foncteur

$$ \tau_! : \mathrm{Mod}(A^\alpha) \to \mathrm{Mod}(A), \quad P \mapsto m \otimes_o \tau_*(P). $$

Le foncteur $\tau_*$ (resp. $\tau_!$) est un adjoint à droite (resp. à gauche) de $\alpha_A$ et les morphismes d'adjonction $\alpha_A \circ \tau_* \to \text{id}$ et $\text{id} \to \alpha_A \circ \tau_!$ sont des isomorphismes (cf. [3, 1.4.13]).

12.6. Dans la suite de cette section, $\mathcal{C}$ désigne un site, $\hat{\mathcal{C}}$ la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}$ le topos des faisceaux d'ensembles sur $\mathcal{C}$. On note $\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$ (resp. $\mathfrak{m}_{\mathcal{C}}$) le préfaisceau constant sur $\mathcal{C}$ de valeur $\mathfrak{o}$ (resp. $\mathfrak{m}$) et $\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$ (resp. $\mathfrak{m}_{\mathcal{C}}$) le faisceau associé. On désigne par $\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$ (resp. $\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$) la catégorie abélienne tensorielle des $(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$-modules de $\mathcal{C}$ (resp. $(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$-modules de $\mathcal{C}$). Prenant pour $\mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$ (resp. $\mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$) l'homomorphisme canonique, on appelle catégorie des $\alpha$-$\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$-modules (resp. $\alpha$-$\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$-modules) et l'on note $\alpha$-$\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$ (resp. $\alpha$-$\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$) le quotient de $\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$ (resp. $\mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_{\mathcal{C}})$) par la sous-catégorie épaisse des modules $\alpha$-nuls.

12.7. On appelle catégorie des préfaisceaux de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules sur $\mathcal{C}$ et l'on note $\alpha$-$\hat{\mathcal{C}}$ la catégorie des préfaisceaux sur $\mathcal{C}$ à valeurs dans la catégorie $\alpha$-$\mathrm{Mod}(\mathfrak{o})$, i.e. la catégorie des foncteurs de $\mathcal{C}^\circ$ à valeurs dans $\alpha$-$\mathrm{Mod}(\mathfrak{o})$ [3, 1.4.16].

On dit qu'un préfaisceau de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules $F$ sur $\mathcal{C}$ est séparé (resp. un faisceau) si pour tout objet $X$ de $\mathcal{C}$ et tout crible couvrant $\mathcal{R}$ de $X$, le morphisme canonique

$$ F(X) \to \lim_{(Y,u) \in (\mathcal{C}/\mathcal{R})^\circ} F(Y) $$

est un monomorphisme (resp. isomorphisme) (cf. [3, 1.4.21 et 1.4.24]). On note $\alpha$-$\hat{\mathcal{C}}$ la sous-catégorie pleine de $\alpha$-$\hat{\mathcal{C}}$ des faisceaux de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules sur $\mathcal{C}$.
On notera que $\tilde{\sigma}_i$ s'identifie au composé du foncteur $\hat{\sigma}_i$ (12.8.2) et du foncteur 'faisceau associé' a. D'après 12.2, le foncteur $\hat{\sigma}_*$ (resp. $\hat{\sigma}_i$) est un adjoint à droite (resp. à gauche) de $\hat{\alpha}$ (cf. [3, 1.4.19]); les morphismes d'adjonction $\hat{\alpha} \circ \hat{\sigma}_*$ → id et id → $\hat{\alpha} \circ \hat{\sigma}_i$ sont des isomorphismes. Le foncteur $\tilde{\sigma}_*$ est un adjoint à droite de $\tilde{\alpha}$ et le morphisme d'adjonction $\tilde{\alpha} \circ \tilde{\sigma}_*$ → id est un isomorphisme [3, 1.4.35].

LEMME 12.9. (i) Le foncteur $\tilde{\sigma}_i$ (12.8.4) est un adjoint à gauche de $\tilde{\alpha}$ (12.7.2).

(ii) Le morphisme d'adjonction $id \to \tilde{\alpha} \circ \tilde{\sigma}_i$ est un isomorphisme.

Preuve. Soit $M$ un faisceau de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules sur $\mathscr{C}$ et $N$ un $\mathfrak{o}\mathscr{C}$-module. On a $\tilde{\sigma}_i(M) = \mathfrak{a}(\tilde{\sigma}_i(\iota(M)))$.

(i) Par adjonction et (12.7.5), on a des isomorphismes

$$ \begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}}}(\mathfrak{a}(\hat{\sigma}_i(\iota(M))), N) &\simeq \mathrm{Hom}_{\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}}}(\hat{\sigma}_i(\iota(M)), i(N)) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{\alpha\tilde{\mathscr{C}}}(\iota(M), \hat{\alpha}(i(N))) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_{\alpha\tilde{\mathscr{C}}}(M, \tilde{\alpha}(N)). \end{align*} $$

(ii) Le morphisme d'adjonction $\iota(M) \to \hat{\alpha}(\hat{\sigma}_i(\iota(M)))$ est un isomorphisme. Compte tenu de (12.7.5), on a des isomorphismes

$$ M \xrightarrow{\sim} \bar{\mathfrak{a}}(\hat{\alpha}(\hat{\sigma}_i(\iota(M)))) \simeq \tilde{\alpha}(\tilde{\sigma}_i(M)). \quad \square $$

12.10. La donnée d'un monoïde commutatif unitaire de $\alpha$-$\tilde{\mathscr{C}}$ est équivalente à la donnée d'un préfaisceau sur $\mathscr{C}$ à valeurs dans $\alpha$-$\mathbf{Alg}(\mathfrak{o})$ (12.4.1) dont le préfaisceau de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-module sous-jacent est un faisceau (cf. [3, 1.4.40]). On note $\mathbf{Alg}(\alpha\tilde{\mathscr{C}})$ la catégorie des monoïdes commutatifs unitaires de $\alpha\tilde{\mathscr{C}}$.

De même, la donnée d'un monoïde commutatif unitaire de $\mathbf{Mod}(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}})$ est équivalente à la donnée d'une $(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}})$-algèbre de $\tilde{\mathscr{C}}$. On note $\mathbf{Alg}(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}})$ la catégorie des monoïdes commutatifs unitaires de $\mathbf{Mod}(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}})$.

Le foncteur $\tilde{\alpha}$ (12.7.2) étant monoïdal, il induit un foncteur que l'on note encore

$$ \tilde{\alpha} : \mathbf{Alg}(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}}) \to \mathbf{Alg}(\alpha\tilde{\mathscr{C}}). \qquad (12.10.1) $$

Compte tenu de 12.4, le foncteur $\tilde{\sigma}_*$ (12.8.3) induit un foncteur que l'on note encore

$$ \tilde{\sigma}_* : \mathbf{Alg}(\alpha\tilde{\mathscr{C}}) \to \mathbf{Alg}(\mathfrak{o}\tilde{\mathscr{C}}). \qquad (12.10.2) $$

D'après [3, 1.4.40], $\tilde{\sigma}_*$ est un adjoint à droite de $\tilde{\alpha}$; le morphisme d'adjonction $\tilde{\alpha} \circ \tilde{\sigma}_*$ → id est un isomorphisme et le morphisme d'adjonction $id \to \tilde{\sigma}_* \circ \tilde{\alpha}$ induit un isomorphisme $\tilde{\sigma} \xrightarrow{\sim} \tilde{\alpha} \circ \tilde{\sigma}_* \circ \tilde{\alpha}$.
12.11. Dans la suite de cette section, on fixe une $\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$-algèbre $A$ de $\tilde{\mathcal{C}}$. On désigne par $\mathbf{Mod}(A)$ la catégorie abélienne tensorielle des $A$-modules de $\tilde{\mathcal{C}}$. Prenant pour $\varphi : \mathfrak{o} \to \Gamma(\tilde{\mathcal{C}}, A)$ l'homomorphisme canonique, on appelle catégorie des $\alpha$-$A$-modules et l'on note $\alpha$-$\mathbf{Mod}(A)$ le quotient de la catégorie abélienne $\mathbf{Mod}(A)$ par la sous-catégorie épaisse des $A$-modules $\alpha$-nuls.

On pose $A^\alpha = \tilde{\alpha}(A)$ (12.10.1) et on désigne par $\mathbf{Mod}(A^\alpha)$ la catégorie des $A^\alpha$-modules unitaires de $\alpha$-$\tilde{\mathcal{C}}$. La donnée d'une structure de $A^\alpha$-module unitaire sur un faisceau de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules $M$ sur $\mathcal{C}$ est équivalente à la donnée pour tout $X \in \mathbf{Ob}(\mathcal{C})$ d'une structure de $\alpha(A(X))$-module unitaire sur $M(X)$ dans le sens de 12.5 telle que pour tout morphisme $X \to Y$ de $\mathcal{C}$, le morphisme $M(Y) \to M(X)$ soit linéaire relativement au morphisme de $\mathfrak{o}^\alpha$-algèbres $\alpha(A(Y)) \to \alpha(A(X))$, où $\alpha : \mathbf{Alg}(\mathfrak{o}) \to \alpha$-$\mathbf{Alg}(\mathfrak{o})$ est le foncteur (12.4.1) (cf. [3, 1.4.41]).

Le foncteur $\tilde{\alpha}$ (12.7.2) étant monoïdal, il définit un foncteur

$$ \tilde{\alpha}_A : \mathbf{Mod}(A) \to \mathbf{Mod}(A^\alpha). \qquad (12.11.1) $$

Celui-ci transforme les $\alpha$-isomorphismes en des isomorphismes (cf. [3, 1.4.23(iii)]). Il induit une équivalence de catégories [3, 1.4.41]

$$ \alpha\text{-}\mathbf{Mod}(A) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}(A^\alpha). $$

Dans la suite de cette section, pour tout $A$-module $M$, on pose abusivement $M^\alpha = \tilde{\alpha}_A(M)$.

12.12. On pose $A' = \tilde{\alpha}_*(A^\alpha)$ (12.10.2). D'après 12.10, on a un homomorphisme canonique de $\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}$-algèbres $\lambda : A \to A'$, qui induit un isomorphisme $\tilde{\alpha}(A) \to \tilde{\alpha}(A')$. Compte tenu de 12.5, le foncteur $\tilde{\alpha}_*$ (12.8.3) induit un foncteur (cf. [3, 1.4.41])

$$ \tilde{\tau}'_* : \mathbf{Mod}(A^\alpha) \to \mathbf{Mod}(A'). $$

Composant avec le foncteur induit par $\lambda$, on obtient un foncteur

$$ \tilde{\tau}_* : \mathbf{Mod}(A^\alpha) \to \mathbf{Mod}(A). \qquad (12.12.1) $$

On désigne par $\tilde{\tau}_!$ le foncteur

$$ \tilde{\tau}_! : \mathbf{Mod}(A^\alpha) \to \mathbf{Mod}(A), \quad M \mapsto m_{\tilde{\mathcal{C}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}'} \tilde{\tau}_*(M). \qquad (12.12.2) $$

Pour tous $A^\alpha$-modules $M$ et $N$, on pose

$$ \mathrm{Hom}_{A^\alpha}(M, N) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Mod}(A^\alpha)}(M, N), $$

qui est naturellement muni d'une structure de $\Gamma(\tilde{\mathcal{C}}, A)$-module, en particulier d'une structure de $\mathfrak{o}$-module.
12.13. Soit $A \to B$ un morphisme de $\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}$-algèbres. On note $B^\alpha = \tilde{\alpha}(B)$ (12.10.1) et on désigne par $\mathbf{Mod}(B^\alpha)$ la catégorie des $B^\alpha$-modules de $\alpha$-$\mathcal{C}$. On a des diagrammes commutatifs

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

où les flèches verticales sont des foncteurs d'oubli, et $\tilde{\tau}_{B*}$, $\tilde{\tau}_{B!}$, $\tilde{\tau}_{A*}$ et $\tilde{\tau}_{A!}$ désignent les foncteurs (12.12.1) et (12.12.2) relatifs à $B$ et $A$ respectivement. On peut donc omettre les indices $B$ et $A$ dans les notations de $\tilde{\tau}_{B*}$, $\tilde{\tau}_{B!}$, $\tilde{\tau}_{A*}$ et $\tilde{\tau}_{A!}$.

LEMME 12.14 [3, 1.4.23]. (i) Pour qu'un morphisme de $A$-modules $f : M \to N$ soit un $\alpha$-isomorphisme, il faut et il suffit que le morphisme $\mathfrak{m}_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}} M \to \mathfrak{m}_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}} N$ induit par $f$ soit un isomorphisme.

(ii) Pour tous $A$-modules $M$ et $N$, on a un isomorphisme $\mathfrak{o}$-linéaire canonique

$$ \mathrm{Hom}_{A^{\alpha}}(M^{\alpha}, N^{\alpha}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{A}(\mathfrak{m}_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}} M, N). \quad (12.14.1) $$

PROPOSITION 12.15. (i) Le foncteur $\tilde{\tau}_*$ (12.12.1) est un adjoint à droite du foncteur $\tilde{\alpha}_A$ (12.11.1).

(ii) Le morphisme d'adjonction $\tilde{\alpha}_A \circ \tilde{\tau}_* \to \mathrm{id}$ est un isomorphisme.

(iii) Le foncteur $\tilde{\tau}_!$ (12.12.2) est un adjoint à gauche du foncteur $\tilde{\alpha}_A$.

(iv) Le morphisme d'adjonction $\mathrm{id} \to \tilde{\alpha}_A \circ \tilde{\tau}_!$ est un isomorphisme.

Preuve. Les assertions (i) et (ii) sont démontrées dans [3, 1.4.41].

(iii) Soit $M$ un $A$-module et $N$ un $A^\alpha$-module. D'après (ii) et (12.14.1), on a des isomorphismes

$$ \begin{align*} \mathrm{Hom}_{A^{\alpha}}(N, M^{\alpha}) &\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{A^{\alpha}}((\tilde{\tau}_{*}(N))^{\alpha}, M^{\alpha}) \\ &\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{A}(\mathfrak{m}_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\mathcal{C}}} \tilde{\tau}_{*}(N), M) \\ &\xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{A}(\tilde{\tau}_{!}(N), M). \end{align*} $$

(iv) On notera que, pour tout $A^\alpha$-module $M$, le $\alpha$-$\mathfrak{o}$-module sous-jacent à $(\tilde{\tau}_!(M))^{\alpha}$ s'identifie canoniquement à $\tilde{\alpha}(\tilde{\tau}_!(M))$. L'assertion résulte du fait que le morphisme d'adjonction $\mathrm{id} \to \tilde{\alpha} \circ \tilde{\tau}_!$ est un isomorphisme (cf. 12.9(ii)). $\square$
COROLLAIRE 12.16. (i) Les foncteurs $\tilde{\alpha}_A$, $\tilde{\tau}_*$ sont exacts et le foncteur $\tilde{\tau}_*$ est exact à gauche.

(ii) Les foncteurs $\tilde{\alpha}_A$ et $\tilde{\tau}_*$ transforment les objets injectifs en des objets injectifs. En particulier, Mod($A^\alpha$) a suffisamment d'injectifs.

(iii) Le morphisme d'adjonction $\mathrm{id} \to \tilde{\tau}_* \circ \tilde{\alpha}_A$ (resp. $\tilde{\tau}_* \circ \tilde{\alpha}_A \to \mathrm{id}$) induit un isomorphisme $\tilde{\alpha} \to \tilde{\alpha}_A \circ \tilde{\tau}_* \circ \tilde{\alpha}_A$ (resp. $\tilde{\alpha}_A \circ \tilde{\tau}_* \circ \tilde{\alpha}_A \to \tilde{\alpha}_A$).

Preuve. (i) Compte tenu de 12.15, $\tilde{\alpha}_A$ est exact et $\tilde{\tau}_*$ (resp. $\tilde{\tau}_*$) est exact à gauche (resp. à droite). Le $\mathfrak{o}\mathfrak{g}$-module $\mathfrak{m}\mathfrak{g}$ étant plat [6, V 1.7.1], l'exactitude de $\tilde{\tau}_*$ s'ensuit compte tenu de (12.12.2).

(ii) Le foncteur $\tilde{\alpha}_A$ (resp. $\tilde{\tau}_*$) est un adjoint à droite d'un foncteur exact, d'où l'assertion [6, V 0.2].

(iii) En effet, le morphisme composé

$$ \tilde{\alpha}_A \to \tilde{\alpha}_A \circ \tilde{\tau}_* \circ \tilde{\alpha}_A \to \tilde{\alpha}_A, $$

où les flèches sont déduites des morphismes d'adjonction, s'identifie au morphisme identique. L'assertion pour $\tilde{\tau}_*$ s'ensuit compte tenu de 12.15(ii). La démonstration de l'assertion pour $\tilde{\tau}_*$ est similaire. $\square$

REMARQUE 12.17. Le foncteur $\tilde{\alpha}_A$ ne transforme pas les objets projectifs en des objets projectifs. En effet, considérons le topos ponctuel et prenons pour A l'anneau $\mathfrak{o}$. En vertu de (12.1.5), pour tout $\mathfrak{o}$-module $M$, on a un isomorphisme canonique

$$ \mathrm{Hom}_{\mathfrak{o}^{\alpha}}(\mathfrak{o}^{\alpha}, M^{\alpha}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathfrak{o}}(\mathfrak{m}, M). $$

Compte tenu de 3.3, $\mathfrak{o}^\alpha$ n'est pas projectif dans la catégorie $\alpha$-Mod($\mathfrak{o}$).

12.18. On désigne par $\mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A))$ (resp. $\mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A^\alpha))$) la catégorie dérivée de $\mathrm{Mod}(A)$ (resp. $\mathrm{Mod}(A^\alpha)$). Les foncteurs exacts $\tilde{\alpha}_A$ et $\tilde{\tau}_*$ induisent des foncteurs exacts entre catégories dérivées

$$ \begin{aligned} F: \mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A)) &\to \mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A^\alpha)), \\ G: \mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A^\alpha)) &\to \mathbf{D}(\mathrm{Mod}(A)). \end{aligned} \qquad (12.18.1) $$

PROPOSITION 12.19. Le foncteur $G$ est un adjoint à gauche de $F$.
Preuve. D'après [19, 1.1.12], on a des identités triangulaires

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

où $η$ et $ε$ désignent les transformations naturelles d'adjonction. Comme $\tilde{\alpha}_A$ et $\tilde{\tau}_i$ sont exacts, on en déduit des identités triangulaires similaires pour la paire $(G, F)$. La proposition s'ensuit compte tenu de [19, 1.1.14]. □

12.20. Rappelons que la catégorie abélienne Mod(A<sup>α</sup>) a suffisamment d'injectifs (12.16(ii)) et reprenons les définitions de 2.4 pour cette catégorie. Pour tous A<sup>α</sup>-modules M, N et tout entier $i \ge 0$, on pose

$$ \mathrm{Ext}_{A^{\alpha}}^{i}(M, N) = \mathrm{Ext}_{\mathrm{Mod}(A^{\alpha})}^{i}(M, N) $$

qui est muni d'une structure de o-module.

D'après (2.3.1) et 12.19, pour tout A<sup>α</sup>-module M, tout A-module N et tout entier $i \ge 0$, on a un isomorphisme canonique

$$ \mathrm{Ext}_{A}^{i}(\tilde{\tau}_{i}(M), N) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Ext}_{A^{\alpha}}^{i}(M, N^{\alpha}). \qquad (12.20.1) $$

Soit M et N deux A-modules. Le foncteur exact $\tilde{\alpha}_A$ induit un morphisme canonique (2.3.2)

$$ \mathrm{Ext}_{A}^{i}(M, N) \to \mathrm{Ext}_{A^{\alpha}}^{i}(M^{\alpha}, N^{\alpha}). \qquad (12.20.2) $$

Composant avec l'isomorphisme $\mathrm{Ext}_{A^{\alpha}}^{i}(M^{\alpha}, N^{\alpha}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Ext}_{A}^{i}(\tilde{\tau}_{i}(M^{\alpha}), N)$, on obtient un morphisme canonique

$$ \mathrm{Ext}_{A}^{i}(M, N) \to \mathrm{Ext}_{A}^{i}(\tilde{\tau}_{i}(M^{\alpha}), N). \qquad (12.20.3) $$

On notera que celui-là est induit par le morphisme d'adjonction $G \circ F \to \mathrm{id}$. En particulier, il s'identifie au morphisme canonique induit par la flèche d'adjonction $\tilde{\tau}_{i}(M^{\alpha}) \to M$.

LEMME 12.21. Soit M et N deux A-modules de $\tilde{\mathscr{C}}$. Le morphisme canonique (12.20.2) est un α-isomorphisme de o-modules.

Preuve. Il suffit de démontrer que le morphisme (12.20.3) est un α-isomorphisme. En vertu de 12.16(iii), le morphisme canonique $f : \tilde{\tau}_{i}(M^{\alpha}) \to M$ est un α-isomorphisme de Mod(A). D'après 2.19, pour tout $\gamma \in \mathfrak{m}$, il existe un morphisme
A-linéaire $g_γ : M \to \tilde{\tau}_!(M^α)$ tel que $g_γ \circ f = \gamma^2 \mathrm{id}_M$ et $f \circ g_γ = \gamma^2 \mathrm{id}_{\tilde{\tau}_!(M^α)}$. On en déduit que le noyau et le conoyau de (12.20.3) sont annulés par $\gamma^2$, d'où le lemme. $\square$

**COROLLAIRE 12.22.** Le foncteur $\tilde{\alpha}_A$ (12.11.1) induit une équivalence de catégories

$$ \mathbf{Mod}_{\mathbb{Q}}(A) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}_{\mathbb{Q}}(A^{\alpha}), $$

où la source (resp. le but) désigne la catégorie des A-modules (resp. $A^\alpha$-modules) à isogénie près (2.16).

*Preuve.* Par définition, le foncteur est essentiellement surjectif. La pleine fidélité résulte de 12.21. $\square$

12.23. Soit $M$ un $A^\alpha$-module et $N$ un $A$-module. En vertu de 12.15(iv), on a des isomorphismes canoniques et fonctoriels de $A^\alpha$-modules

$$ (\tilde{\tau}_!(M \otimes_{A^\alpha} N^\alpha))^\alpha \xrightarrow{\sim} M \otimes_{A^\alpha} N^\alpha, \quad (\tilde{\tau}_!(M))^\alpha \otimes_{A^\alpha} N^\alpha \xrightarrow{\sim} M \otimes_{A^\alpha} N^\alpha. $$

On en déduit, par 12.14(ii) et 12.15(iii), un isomorphisme canonique et fonctoriel de $A$-modules

$$ \mathfrak{m}_{\tilde{\mathfrak{e}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathfrak{e}}}} \tilde{\tau}_!(M \otimes_{A^\alpha} N^\alpha) \xrightarrow{\sim} \mathfrak{m}_{\tilde{\mathfrak{e}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathfrak{e}}}} \tilde{\tau}_!(M) \otimes_A N. $$

Compte tenu de l'isomorphisme $\mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} \mathfrak{m} \simeq \mathfrak{m}$ et de la définition de $\tilde{\tau}_!$, celui-ci s'identifie à l'isomorphisme

$$ \tilde{\tau}_!(M \otimes_{A^\alpha} N^\alpha) \xrightarrow{\sim} \tilde{\tau}_!(M) \otimes_A N. \qquad (12.23.1) $$

**PROPOSITION 12.24.** *Soit $n$ un entier $\ge 1$ et supposons que $p^n A = 0$. Soit $M$ un $A$-module plat sur $\mathfrak{o}_n$ [6, V 1.7].*

(i) Pour tout $\mathfrak{o}_n$-module $P$ et tout entier $i \ge 0$, on a un isomorphisme canonique

$$ \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^i (\mathfrak{m}/p^n\mathfrak{m}, P) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^i (\mathfrak{m}, P). $$

(ii) Le foncteur $\mathrm{Hom}_A(M, -) : \mathbf{Mod}(A) \to \mathbf{Mod}(\mathfrak{o}_n)$ transforme les objets injectifs en objets injectifs.

(iii) Soit $N_1$ et $N_2$ deux $A$-modules. On a un isomorphisme canonique et fonctoriel

$$ \mathrm{Hom}_A(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathfrak{e}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathfrak{e}}}} N_1, N_2) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathfrak{o}}(\mathfrak{m}, \mathrm{Hom}_A(N_1, N_2)). \quad (12.24.1) $$
(iv) Pour tout A-module N, on a une suite spectrale

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_0^i(m, \mathrm{Ext}_A^j(M, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{i+j}(m_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}} M, N). \quad (12.24.2)$$

Preuve. (i) Le foncteur $\mathrm{Hom}_0(-, P) : \mathrm{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathrm{Mod}(\mathcal{O})$ s'identifie au foncteur composé

$$\mathrm{Mod}(\mathcal{O}) \xrightarrow{-\otimes \mathcal{O}_{\mathcal{O}_n}} \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_n) \xrightarrow{\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_n}(-, P)} \mathrm{Mod}(\mathcal{O}).$$

Comme $- \otimes \mathcal{O}_{\mathcal{O}_n}$ envoie les objets projectifs sur des objets projectifs, on en déduit une suite spectrale

$$\mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_n}^i(\mathrm{Tor}_j^\mathcal{O}(m, \mathcal{O}_n), P) \Rightarrow \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_n}^{i+j}(m, P). \quad (12.24.3)$$

L'assertion résulte alors de la platitude de m.

(ii) Posons $\mathcal{O}_{\mathcal{C},n} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}}/p^n\mathcal{O}_{\mathcal{C}}$. Soit P un $\mathcal{O}_n$-module et $P_{\mathcal{C}}$ le faisceau associé au préfaisceau constant de valeur P sur $\mathcal{C}$. Pour tout A-module N, par adjonction [6, IV 13.4.1], on a un isomorphisme canonique

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{\mathcal{C},n}}(P_{\mathcal{C}}, N) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_n}(P, \Gamma(\mathcal{C}, N)). \quad (12.24.4)$$

Soit I un A-module injectif de $\tilde{\mathcal{C}}$. Pour tout $\mathcal{O}_n$-module P, on en déduit un isomorphisme canonique

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{\mathcal{C},n}}(P_{\mathcal{C}}, \mathrm{Hom}_A(M, I)) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_n}(P, \mathrm{Hom}_A(M, I)).$$

Par ailleurs, on a un isomorphisme canonique [6, IV 12.14]

$$\mathrm{Hom}_A(P_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C},n}} M, I) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{\mathcal{C},n}}(P_{\mathcal{C}}, \mathrm{Hom}_A(M, I)).$$

L'injectivité de $\mathrm{Hom}_A(M, I)$ résulte de celle de I et de la platitude de M.

(iii) En vertu de [6, IV 12.14], on a un isomorphisme canonique et fonctoriel

$$\mathrm{Hom}_A(m_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}} N_1, N_2) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}(m_{\mathcal{C}}, \mathrm{Hom}_A(N_1, N_2)). \quad (12.24.5)$$

Par adjonction [6, IV 13.4.1], on a un isomorphisme canonique et fonctoriel

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}(m_{\mathcal{C}}, \mathrm{Hom}_A(N_1, N_2)) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_0(m, \mathrm{Hom}_A(N_1, N_2)).$$

(iv) D'après (iii), le foncteur

$$\mathrm{Hom}_A(m_{\mathcal{C}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}} M, -) : \mathrm{Mod}(A) \to \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_n)$$

s'identifie au foncteur composé

$$\mathrm{Mod}(A) \xrightarrow{\mathrm{Hom}_A(M, -)} \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_n) \xrightarrow{\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_n}(m/p^n m, -)} \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_n).$$
Comme $\operatorname{Hom}_A(M, -)$ envoie les objets injectifs sur des objets injectifs, on en déduit une suite spectrale

$$ \operatorname{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^i(m/p^n m, \operatorname{Ext}_A^j(M, N)) \Rightarrow \operatorname{Ext}_A^{i+j}(m_{\tilde{\mathcal{C}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}} M, N). \quad (12.24.6) $$

La suite spectrale (12.24.2) s'ensuit compte tenu de (i). □

12.25. Soit $\varphi : (\tilde{\mathcal{C}}', A') \to (\tilde{\mathcal{C}}, A)$ un morphisme de topos annelés. On note $\alpha-\tilde{\mathcal{C}}'$ la catégorie des faisceaux de $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules de $\tilde{\mathcal{C}}'$ (12.7) et on pose $A'^{\alpha} = \tilde{\alpha}(A')$ (12.10.1). On désigne par $\mathbf{Mod}(A'^{\alpha})$ la catégorie des $A'^{\alpha}$-modules de $\alpha-\tilde{\mathcal{C}}'$. En vertu de 12.14(i), le foncteur $\varphi^* : \mathbf{Mod}(A) \to \mathbf{Mod}(A')$ envoie les $\alpha$-isomorphismes sur des $\alpha$-isomorphismes. Il induit donc un foncteur

$$ \psi : \mathbf{Mod}(A^{\alpha}) \to \mathbf{Mod}(A'^{\alpha}) \quad (12.25.1) $$

qui s'insère dans un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} \mathbf{Mod}(A) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \mathbf{Mod}(A') \arrow[d, "\tilde{\alpha}_A"] \arrow[d, "\tilde{\alpha}_{A'}"] \\ \mathbf{Mod}(A^\alpha) \arrow[r, "\psi"'] & \mathbf{Mod}(A'^\alpha). \end{tikzcd} \quad (12.25.2) $$

Compte tenu de 12.15(iv), pour tout $A^\alpha$-module $M$, on a un isomorphisme canonique et fonctoriel

$$ \psi(M) \xrightarrow{\sim} (\varphi^*(\tilde{\tau}_{A'}(M)))^\alpha. \quad (12.25.3) $$

Le morphisme adjoint de cet isomorphisme

$$ \tilde{\tau}_{A'}(\psi(M)) \to \varphi^*(\tilde{\tau}_{A'}(M)) \quad (12.25.4) $$

est un $\alpha$-isomorphisme en vertu de 12.15(iii). C'est même un isomorphisme en vertu de 12.14(ii) et de l'isomorphisme $m \otimes_{\mathfrak{o}} m \simeq m$.

12.26. Conservons les notations de 12.25 et supposons que le morphisme $\varphi$ soit plat, i.e. le foncteur $\varphi^* : \mathbf{Mod}(A) \to \mathbf{Mod}(A')$ soit exact [6, V 1.8]. D'après [20, III.1, Cor. 3], le foncteur $\psi$ (12.25.1) est exact. En vertu de (12.25.2) et (12.25.4), pour tout $A^\alpha$-module $M$, tout $A$-module $N$ et tout entier $i \ge 0$, les isomorphismes (12.20.1) induisent un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} \operatorname{Ext}_{A^{\alpha}}^{i}(M, N^{\alpha}) \arrow[r, "\psi"'] & \operatorname{Ext}_{A'^{\alpha}}^{i}(\psi(M), \psi(N^{\alpha})) \arrow[d, "\cong"] \\ \operatorname{Ext}_{A}^{i}(\tilde{\tau}_{A'}(M), N) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \operatorname{Ext}_{A'}^{i}(\tilde{\tau}_{A'}(\psi(M)), \varphi^*(N)), \arrow[d, "\cong"] \end{tikzcd} \quad (12.26.1) $$
où les flèches horizontales sont les morphismes canoniques induits par les foncteurs exacts $\varphi^*$ et $\psi$ (2.3.2).

12.27. Conservons les notations et les hypothèses de 12.26 et supposons de plus que $p^n A = 0$. Soit $M$ un $A$-module qui est plat sur $\mathfrak{o}_n$ et $N$ un $A$-module. Comme $\varphi^*$ est exact, le $A'$-module $\varphi^*(M)$ est encore plat sur $\mathfrak{o}_n$. On désigne par E (resp. E') la suite spectrale (12.24.2) associée aux $A$-modules $M$ et $N$ (resp. $A'$-modules $\varphi^*(M)$ et $\varphi^*(N)$). Le foncteur exact $\varphi^*$ induit un morphisme de suites spectrales (cf. 15.5)

$$u = (u_r^{i,j}, u^n) : E \to E' \qquad (12.27.1)$$

dont les morphismes

$$u_2^{i,j} : \mathrm{Ext}_\mathfrak{o}^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_A^j(M, N)) \to \mathrm{Ext}_\mathfrak{o}^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_{A'}^j(\varphi^*(M), \varphi^*(N)))$$

$$u^n : \mathrm{Ext}_A^n(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}} M, N) \to \mathrm{Ext}_{A'}^n(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}'} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}'}} \varphi^*(M), \varphi^*(N))$$

s'identifient aux morphismes canoniques induits par $\varphi^*$ (2.3.2). Compte tenu de l'isomorphisme canonique $\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}} \otimes_{\mathfrak{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}} M \simeq \tilde{\tau}_1(M^\alpha)$ et (12.26.1), le morphisme $u^n$ s'identifie au morphisme canonique induit par $\psi$ :

$$\mathrm{Ext}_{A^\alpha}^n(M^\alpha, N^\alpha) \to \mathrm{Ext}_{A^\alpha}^n(\psi(M^\alpha), \psi(N^\alpha)). \qquad (12.27.2)$$

**DÉFINITION 12.28** [3, 1.5.3]. Soit $M$ un $A$-module de $\tilde{\mathcal{C}}$ et $\gamma \in \mathfrak{m}$.

(i) On dit que $M$ est de type $\gamma$-fini s'il existe un raffinement $(U_i)_{i \in I}$ de l'objet final de $\tilde{\mathcal{C}}$ tel que, pour tout $i \in I$, il existe un $(A|U_i)$-module libre de type fini $N_i$ et un morphisme $(A|U_i)$-linéaire

$$N_i \to M|U_i$$

dont le conoyau est annulé par $\gamma$.

(ii) On dit que $M$ est de type $\alpha$-fini s'il est de type $\gamma$-fini pour tout $\gamma \in \mathfrak{m}$.

**DÉFINITION 12.29.** (i) On dit qu'un $A$-module $M$ est plat (resp. $\alpha$-plat) si, pour tout morphisme injectif de $A$-modules $f : N_1 \to N_2$, le noyau de $\mathrm{id}_M \otimes f : M \otimes_A N_1 \to M \otimes_A N_2$ est nul (resp. $\alpha$-nul).

(ii) On dit qu'un $A^\alpha$-module $M$ est plat si, pour tout morphisme injectif de $A^\alpha$-modules $f : N_1 \to N_2$, le noyau de $\mathrm{id}_M \otimes f : M \otimes_{A^\alpha} N_1 \to M \otimes_{A^\alpha} N_2$ est nul.

**LEMME 12.30.** (i) Pour qu'un $A$-module $M$ soit $\alpha$-plat, il faut et il suffit que $M^\alpha$ soit un $A^\alpha$-module plat.
(ii) *Pour qu'un A<sup>α</sup>-module N soit plat, il faut et il suffit que ~τ<sub>1</sub>(N) soit un A-module plat.*

*Preuve.* (i) Supposons que $M$ soit un $A$-module $\alpha$-plat et soit $f : N_1 \to N_2$ une injection de $A^\alpha$-modules. D'après **12.16**(i), $f$ induit une injection de $A$-modules $\tau_1(N_1) \to \tau_1(N_2)$. On en déduit que le noyau de $\text{id}_M \otimes \tau_1(f) : M \otimes_A \tau_1(N_1) \to M \otimes_A \tau_1(N_2)$ est $\alpha$-nul. Comme le foncteur $\widetilde{\alpha}_A$ est exact et commute avec les produits tensoriels, le morphisme $\text{id}_{M^\alpha} \otimes f : M^\alpha \otimes_{A^\alpha} N_1 \to M^\alpha \otimes_{A^\alpha} N_2$ est une injection ; d'où la platitude de $M^\alpha$.

D'autre part, supposons que $M^\alpha$ soit un $A^\alpha$-module plat et soit $f : N_1 \to N_2$ une injection de $A$-modules. Posons $N = \text{Ker}(M \otimes_A N_1 \to M \otimes_A N_2)$. Comme le foncteur $\widetilde{\alpha}_A$ est exact et $M^\alpha$ plat, on a une injection de $A^\alpha$-modules $M^\alpha \otimes_{A^\alpha} N_1^\alpha \to M^\alpha \otimes_{A^\alpha} N_2^\alpha$. On en déduit que $N^\alpha = 0$ ; d'où l'assertion recherchée.

(ii) La suffisance de la condition résulte de (i) et de l'isomorphisme $N \xrightarrow{\sim} (\tilde{\tau}_1(N))^\alpha$ (12.15(iv)).

Supposons que $N$ soit un $A^\alpha$-module plat. En vertu de (i) et de l'isomorphisme $N \xrightarrow{\sim} (\tilde{\tau}_*(N))^\alpha$ (12.15(ii)), $\tilde{\tau}_*(N)$ est $\alpha$-plat. Soit $f : N_1 \to N_2$ un morphisme injectif de $A$-modules. Posons $L = \text{Ker}(\tilde{\tau}_*(N) \otimes_{A^\alpha} N_1 \to \tilde{\tau}_*(N) \otimes_{A^\alpha} N_2)$ qui est $\alpha$-nul. Compte tenu de la platitude de $m_{\tilde{\mathcal{C}}} \text{ sur } o_{\tilde{\mathcal{C}}}$, on a $m_{\tilde{\mathcal{C}}} \otimes_{o_{\tilde{\mathcal{C}}}} L = \text{Ker}(\tilde{\tau}_1(N) \otimes_{A^\alpha} N_1 \to \tilde{\tau}_1(N) \otimes_{A^\alpha} N_2)$. Ce dernier est nul ; d'où la platitude de $\tilde{\tau}_1(N)$. $\square$

LEMME 12.31. *Conservons les notations de 12.25.*

(i) *Pour tout A-module plat M, $\varphi^*(M)$ est un A'-module plat.*

(ii) *Pour tout $A^\alpha$-module plat $N$, $\psi(N)$ est un $A^{\prime\alpha}$-module plat.*

*Preuve.* L'assertion (i) est démontrée dans [6, V 1.7.1]. D'après **12.30**(ii), le $A$-module $\tilde{\tau}_i(N)$ est plat. En vertu de (i), le $A'$-module $\varphi^*(\tilde{\tau}_{A'}(N)) \simeq \tilde{\tau}_{A'}(\psi(N))$ (12.25.4) est plat. La $A^\alpha$-platitude de $\psi(N)$ s'ensuit compte tenu de **12.30**(ii). $\square$

12.32. On note $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ le topos des systèmes projectifs d'objets de $\tilde{\mathcal{C}}$ (2.11). On pose $\mathcal{o}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}} = (\mathcal{o}_{\tilde{\mathcal{C}}})_{n \ge 1}$ (resp. $m_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}} = (m_{\tilde{\mathcal{C}}})_{n \ge 1}$) qui est isomorphe au faisceau associé au préfaisceau constant de valeur $\mathfrak{o}$ (resp. $\mathfrak{m}$) de $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$. Soit $\tilde{A} = (A_n)_{n \ge 1}$ une $\mathcal{o}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}$-algèbre. On note $\mathbf{Mod}(\tilde{A})$ la catégorie des $\tilde{A}$-modules de $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$.

PROPOSITION 12.33. (i) *Soit $M$ un $A$-module de $\tilde{\mathcal{C}}$. On a un isomorphisme canonique fonctoriel (12.12.1)*

$$ \tilde{\tau}_*(M^\alpha) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{o}_{\tilde{\mathcal{C}}}}(m_{\tilde{\mathcal{C}}}, M). \quad (12.33.1) $$
(ii) Soit $M = (M_n)_{n \ge 1}$ un $\mathbb{A}$-module de $\mathcal{C}^{\mathbb{N}^0}$. On a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$ \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}, M) \simeq (\operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}}, M_n))_{n \ge 1}. $$

Preuve. Soit $U$ un objet de $\tilde{\mathcal{C}}$ et $j_U : \tilde{\mathcal{C}}/U \to \tilde{\mathcal{C}}$ le morphisme de localisation de $\tilde{\mathcal{C}}$ en $U$.

(i) On a un isomorphisme canonique fonctoriel $M(U) \xrightarrow{\sim} \Gamma(\tilde{\mathcal{C}}/U, j_U^*(M))$. Comme $\hat{\alpha}$ et $\hat{\sigma}_*$ transforment les faisceaux en des faisceaux (12.7, 12.8), d'après (12.1.5), on a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$ \tilde{\tau}_*(M^\alpha)(U) \simeq \operatorname{Hom}_o(m, M(U)). $$

Par adjonction [6, IV 13.4.1], on a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$ \operatorname{Hom}_o(m, \Gamma(\tilde{\mathcal{C}}/U, j_U^*(M))) \simeq \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}|U}}(j_U^*(m_{\tilde{\mathcal{C}}}), j_U^*(M)). $$

L'assertion s'ensuit.

(ii) Soit $n$ un entier $\ge 1$. On désigne par $\alpha_n : \tilde{\mathcal{C}} \to \tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ le morphisme de topos canonique défini pour tout faisceau $F = (F_n)_{n \ge 1}$ de $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ par $\alpha_n^*(F) = F_n$ [4, (III.7.1.2)]. Le foncteur $\alpha_n^*$ admet un adjoint à droit $\alpha_{n!}$ (cf. [4, (III.7.1.5)]). On en déduit des isomorphismes :

$$ \begin{aligned} \alpha_n^*(\operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}, M))(U) &\simeq \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}, M)(\alpha_{n!}(U)) \quad (12.33.2) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}|_{\alpha_{n!}(U)}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}|_{\alpha_{n!}(U)}, M|_{\alpha_{n!}(U)}). \end{aligned} $$

On note $[n]$ le sous-ensemble ordonné $\{1, 2, \dots, n\}$ de $\mathbb{N}$. On munit $\tilde{\mathcal{C}}/U \times [n]$ de la topologie totale relative au site fibré constant $\tilde{\mathcal{C}}/U \times [n] \to [n]$ de fibre $\tilde{\mathcal{C}}$ [4, VI.7.1] et on désigne par $(\tilde{\mathcal{C}}/U)^{[n]^\circ}$ le topos des faisceaux d'ensembles sur $\tilde{\mathcal{C}}/U \times [n]$ (cf. [4, III.7.1]). Le foncteur d'injection canonique $\tilde{\mathcal{C}}/U \times [n] \to \tilde{\mathcal{C}}/U \times \mathbb{N}$ induit un morphisme de topos [4, III.7.8]

$$ \varphi_n : (\tilde{\mathcal{C}}/U)^{[n]^\circ} \to (\tilde{\mathcal{C}}/U)^{\mathbb{N}^0}. $$

On note $j_{(U,n)} : (\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0})_{/\alpha_{n!}(U)} \to \tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ le morphisme de localisation de $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ en $\alpha_{n!}(U)$. D'après [4, III.7.9], on a une équivalence canonique de topos

$$ h : (\tilde{\mathcal{C}}/U)^{[n]^\circ} \xrightarrow{\sim} (\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0})_{/\alpha_{n!}(U)} $$

telle que $j_{(U,n)} \circ h$ soit le composé

$$ (\tilde{\mathcal{C}}/U)^{[n]^\circ} \xrightarrow{\varphi_n} (\tilde{\mathcal{C}}/U)^{\mathbb{N}^0} \xrightarrow{(j_U)^{\mathbb{N}^0}} \tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}. $$
On en déduit un isomorphisme canonique fonctoriel

$$
\begin{equation} \tag{12.33.3}
\begin{split}
& \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}} |_{\alpha_n(U)} (\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}} |_{\alpha_{n'}(U)}, M |_{\alpha_{n'}(U)})} \\
& \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{o_{(\tilde{\mathcal{C}}_{J/U})^{[n]^0}} (\mathfrak{m}_{(\tilde{\mathcal{C}}_{J/U})^{[n]^0}}, (j_U^*(M_i))_{1 \le i \le n}).}
\end{split}
\end{equation}
$$

D’après [4, VI.7.13], on a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$
\operatorname{Hom}_{o_{(\tilde{\mathcal{C}}_{J/U})^{[n]^0}}} (\mathfrak{m}_{(\tilde{\mathcal{C}}_{J/U})^{[n]^0}}, (j_U^*(M_i))_{1 \le i \le n}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}_{J/U}}} (\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}_{J/U}}, j_U^*(M_n)). \quad (12.33.4)
$$

Compte tenu de (12.33.2), (12.33.3) et (12.33.4), on en déduit un isomorphisme
canonique fonctoriel

$$
\alpha_n^*(\operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}}, M)}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{o_{\tilde{\mathcal{C}}}}(\mathfrak{m}_{\tilde{\mathcal{C}}}, M_n),
$$

d'où la proposition.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

12.34. Conservons les notations de 12.32. On désigne par $\alpha-\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ la catégorie des faisceaux de $\alpha$-$\mathbf{o}$-modules de $\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$ (12.7). Pour tout entier $n \ge 1$, on désigne par $\mathbf{Mod}(A_n^\alpha)$ la catégorie des $A_n^\alpha$-modules de $\alpha-\tilde{\mathcal{C}}$ et par $\mathbf{Mod}(\tilde{A}^\alpha)$ la catégorie des $\tilde{A}^\alpha$-modules de $\alpha-\tilde{\mathcal{C}}^{\mathbb{N}^0}$. On note $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}(A_n^\alpha))$ la catégorie des systèmes projectifs $(M_n)_{n \ge 1}$, où $M_n$ est un $A_n^\alpha$-module et $M_{n+1} \to M_n$ un morphisme $A_{n+1}^\alpha$-linéaire.

Soit $M = (M_n)_{n \ge 1}$ un objet de $\mathbf{Mod}(\check{A})$ et $f = (f_n)_{n \ge 1}$ un morphisme de $\mathbf{Mod}(\check{A})$. Pour que $M$ soit $\alpha$-nul, il faut et il suffit que, pour tout $n \ge 1$, $M_n$ soit $\alpha$-nul dans la catégorie $\mathbf{Mod}(A_n)$. Par suite, le morphisme $f$ est un $\alpha$-isomorphisme si et seulement si, pour tout entier $n \ge 1$, le morphisme $f_n$ est un $\alpha$-isomorphisme de $\mathbf{Mod}(A_n)$. Par suite, le foncteur

$$
a : \mathbf{Mod}(\check{A}) \to \mathbf{P}(\mathbf{Mod}(A_{\bullet}^{\alpha})) \quad (M_n) \mapsto (M_n^{\alpha}) \qquad (12.34.1)
$$

envoie les $\alpha$-isomorphismes sur des isomorphismes. Il induit donc un foncteur

$$
b : \mathrm{Mod}(\check{A}^{\alpha}) \to \mathrm{P}(\mathrm{Mod}(A_{\bullet}^{\alpha})). \qquad (12.34.2)
$$

Les foncteurs $(\tilde{\tau}_{A_n^*} : \mathrm{Mod}(A_n^\alpha) \to \mathrm{Mod}(A_n))_{n \ge 1}$ (12.12.1) induisent un foncteur

$$
t : \mathbf{P}(\mathrm{Mod}(A_{\bullet}^{\alpha})) \to \mathrm{Mod}(\check{A}) \quad (M_n) \mapsto (\tilde{\tau}_{*}(M_n)). \qquad (12.34.3)
$$

On désigne par

$$
s : \mathbf{P}(\mathrm{Mod}(A_{\bullet}^{\alpha})) \to \mathrm{Mod}(\check{A}^{\alpha})
$$

le composé du foncteur $t$ et du foncteur canonique $\widetilde{\alpha}_{\check{A}} : \mathbf{Mod}(\check{A}) \to \mathbf{Mod}(\check{A}^{\alpha})$.
Les isomorphismes $\widetilde{\alpha}_{A_n} \circ \widetilde{\tau}_{A_n^*} \xrightarrow{\sim} \mathrm{id}$ (12.15(ii)) induisent un isomorphisme

$$
b \circ s \xrightarrow{\sim} \mathrm{id}.
$$
D'après **12.33**, le foncteur composé

$$t \circ a : \mathrm{Mod}(\check{A}) \to \mathrm{Mod}(\check{A})$$

s'identifie au foncteur composé $\tilde{\tau}_{\check{A}*} \circ \tilde{\alpha}_{\check{A}}$. En vertu de **12.16**(iii), le foncteur $\tilde{\alpha}_{\check{A}} : \mathrm{Mod}(\check{A}) \to \mathrm{Mod}(\check{A}^{\alpha})$ est isomorphe au foncteur composé

$$\mathrm{Mod}(\check{A}) \xrightarrow{a} \mathrm{P}(\mathrm{Mod}(A_{\bullet}^{\alpha})) \xrightarrow{t} \mathrm{Mod}(\check{A}) \xrightarrow{\tilde{\alpha}_{\check{A}}} \mathrm{Mod}(\check{A}^{\alpha}).$$

On en déduit un isomorphisme

$$\mathrm{id} \to s \circ b.$$

Par suite, $b$ et $s$ sont des équivalences de catégories, quasi inverses l'une de l'autre.

## **13. Déformations des faisceaux de $\alpha$-modules**

Dans cette section, on se donne un topos $T$. On considère toujours $T$ comme muni de sa topologie canonique [6, II 2.5], qui en fait un site.

**13.1.** Rappelons d'abord la théorie des déformations pour les modules sur un topos annelé suivant [27, IV 3]. Soit

$$p : A \to A_0$$

une surjection de $\mathfrak{o}$-algèbres de $T$ dont le noyau $I$ est de carré nul. Soit $M_0$, $J$ deux $A_0$-modules et

$$\tilde{M} = (0 \to J \to M \to M_0 \to 0) \qquad (13.1.1)$$

une extension de $A$-modules. On a alors un diagramme commutatif

$$\begin{tikzcd}
& & I \otimes_A M \arrow[r] & & M \arrow[r] \arrow[d] & & M \otimes_A A_0 \arrow[r] \arrow[d] & & 0 \arrow[d] \\
0 \arrow[r] & J \arrow[r] \arrow[d] & M \arrow[r] \arrow[d] & & M_0 \arrow[r] & & 0 \arrow[d] & &
\end{tikzcd} \qquad (13.1.2)$$

La flèche verticale de gauche induit un morphisme de $A_0$-modules

$$u(\tilde{M}) : I \otimes_{A_0} M_0 \to J. \qquad (13.1.3)$$
En vertu de (13.1.2), $u(\tilde{M})$ est un épimorphisme si et seulement si le morphisme canonique $M \otimes_A M_0 \to M_0$ est un isomorphisme. La correspondance $\tilde{M} \mapsto u(\tilde{M})$ définit un homomorphisme (cf. [27, IV 3.1.1])

$$u : \operatorname{Ext}_A^1(M_0, J) \to \operatorname{Hom}_{A_0}(I \otimes_{A_0} M_0, J). \qquad (13.1.4)$$

On a une suite exacte (cf. [27, IV 3.1.4]):

$$\begin{aligned} 0 &\to \operatorname{Ext}_{A_0}^1(M_0, J) \to \operatorname{Ext}_A^1(M_0, J) \\ &\xrightarrow{u} \operatorname{Hom}_{A_0}(I \otimes_{A_0} M_0, J) \xrightarrow{\partial} \operatorname{Ext}_{A_0}^2(M_0, J), \end{aligned} \qquad (13.1.5)$$

où la première flèche est le morphisme défini par restriction des scalaires.

### THÉORÈME 13.2 [27, IV 3.1.5].
Soit $M_0$, $J$ des $A_0$-modules et $u_0 : I \otimes_{A_0} M_0 \to J$ un morphisme $A_0$-linéaire. Alors :

(i) il existe une obstruction

$$\partial(u_0) \in \operatorname{Ext}_{A_0}^2(M_0, J) \qquad (13.2.1)$$

dont l'annulation est nécessaire et suffisante pour l'existence d'une extension de $A$-modules $\tilde{M}$ de $M_0$ par $J$ telle que $u(\tilde{M}) = u_0$ (13.1.4);

(ii) lorsque $\partial(u_0) = 0$, l'ensemble des classes d'isomorphismes de telles extensions $\tilde{M}$ est un torseur sous $\operatorname{Ext}_{A_0}^1(M_0, J)$.

### LEMME 13.3 [27, IV 3.1.1].
Supposons que le topos $T$ ait suffisamment de points. Soit $\tilde{M} = (0 \to J \to M \to M_0 \to 0)$ une extension de $A$-modules telle que le morphisme canonique $M \otimes_A M_0 \to M_0$ soit un isomorphisme. Alors, pour que $M$ soit plat sur $A$, il faut et il suffit que $M_0$ soit plat sur $A_0$ et que $u(\tilde{M})$ (13.1.3) soit un isomorphisme.

*Preuve.* Comme $T$ a suffisamment de points, on peut se ramener au cas où $T$ est le topos ponctuel. L'assertion résulte alors du critère de platitude [24, 0.10.2.1]. □

### REMARQUE 13.4.
La suite exacte (13.1.5) peut s'établir par un calcul direct (cf. [27, IV 3.1.12]). L'isomorphisme de Cartan

$$\mathbf{R}\operatorname{Hom}_A(M_0, J) \xrightarrow{\sim} \mathbf{R}\operatorname{Hom}_{A_0}(M_0 \otimes_A^L A_0, J) \qquad (13.4.1)$$

induit une suite spectrale

$$E_2^{i,j} = \operatorname{Ext}_{A_0}^i(\mathcal{F}\operatorname{or}_j^A(M_0, A_0), J) \Rightarrow \operatorname{Ext}_A^{i+j}(M_0, J). \qquad (13.4.2)$$
Comme $M_0$ est un $A_0$-module, on a alors un isomorphisme canonique $\mathcal{Tor}_1^A(M_0, A_0) \xrightarrow{\sim} I \otimes_{A_0} M$. La suite exacte des termes de bas degré de (13.4.2) fournit la suite exacte (13.1.5) (cf. [27, IV 3.1.13]).

13.5. Soit $\varphi : (T', A') \to (T, A)$ un morphisme plat de topos annelés [6, V 1.8]. On pose $A'_0 = \varphi^*(A_0)$ et $I' = \varphi^*(I)$. On désigne par

$$ 
\begin{align*}
E_2^{i,j} &= \mathrm{Ext}_{A_0}^i(\mathcal{Tor}_j^{A'}(\varphi^*(M_0), A'_0), \varphi^*(J)) \Rightarrow \\
E^{i+j} &= \mathrm{Ext}_{A'}^{i+j}(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J))
\end{align*}
$$

la suite spectrale (13.4.2) associée aux $A'_0$-modules $\varphi^*(M_0)$ et $\varphi^*(J)$. Le faisceau $\mathcal{Tor}_A^j(M_0, A_0)$ est calculé par une résolution plate de $M_0$. En vertu de 12.31(i) et de l'exactitude du foncteur $\varphi^*$, on a un isomorphisme canonique

$$ \varphi^*(\mathcal{Tor}_A^j(M_0, A_0)) \simeq \mathcal{Tor}_{A'}^j(\varphi^*(M_0), A'_0). $$

Le foncteur exact $\varphi^*$ induit un morphisme de suites spectrales (cf. 15.7)

$$ u : E = (E_2^{i,j}, E^n) \to E' = (E_2^{i',j}, E^m) \qquad (13.5.1) $$

dont les morphismes

$$ 
\begin{align*}
u_2^{i,j} : \mathrm{Ext}_{A_0}^i(\mathcal{Tor}_j^A(M_0, A_0), J) &\to \mathrm{Ext}_{A_0}^i(\mathcal{Tor}_{A'}^{A'}(\varphi^*(M_0), A'_0), \varphi^*(J)), \\
u^n : \mathrm{Ext}_A^n(M_0, J) &\to \mathrm{Ext}_{A'}^n(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J))
\end{align*}
$$

s'identifient aux morphismes canoniques induits par $\varphi^*$ (2.3.2). Les termes de bas degré du morphisme $u$ induisent un diagramme commutatif

$$ 
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  0 \arrow[r] & \mathrm{Ext}_{A_0}^1(M_0, J) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \mathrm{Ext}_A^1(M_0, J) \\
  0 \arrow[r] & \mathrm{Ext}_{A_0}^1(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \mathrm{Ext}_{A'}^1(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \\
  \mathrm{Ext}_A^1(M_0, J) \arrow[r, "u"] & \mathrm{Hom}_{A_0}(I \otimes_{A_0} M_0, J) \arrow[d, "\varphi^*"'] & \\
  \mathrm{Ext}_{A'}^1(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \arrow[r, "u'"'] & \mathrm{Hom}_{A_0'}(I' \otimes_{A_0'} \varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \arrow[d, "\varphi^*"'] & \\
  \mathrm{Hom}_{A_0}(I \otimes_{A_0} M_0, J) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \mathrm{Ext}_{A_0}^2(M_0, J) \arrow[d, "\varphi^*"'] & \\
  \mathrm{Hom}_{A_0'}(I' \otimes_{A_0'} \varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \arrow[r, "\varphi^*"'] & \mathrm{Ext}_{A_0'}^2(\varphi^*(M_0), \varphi^*(J)) \arrow[d, "\varphi^*"'] &
\end{tikzcd}
\quad (13.5.2) $$
Cela signifie que la théorie de la déformation est fonctorielle par rapport au morphisme plat $\varphi$.

13.6. On note $\alpha$-$T$ la catégorie des $\alpha$-$\mathbf{o}$-modules de $T$ (12.7) et l'on pose $A_0^\alpha = \tilde{\alpha}(A_0)$ et $A^\alpha = \tilde{\alpha}(A)$ (12.10.1). Soit $M_0$ et $J$ deux $A_0^\alpha$-modules. D'après 12.15(iv), (12.20.1) et (12.23.1), on a des isomorphismes canoniques

$$ \begin{align*} \mathrm{Ext}_A^1(\tilde{\tau}_!(M_0), \tilde{\tau}_!(J)) &\to \mathrm{Ext}_{A^\alpha}^1(M_0, J), \\ \mathrm{Ext}_{A_0}^2(\tilde{\tau}_!(M_0), \tilde{\tau}_!(J)) &\to \mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^2(M_0, J), \\ \mathrm{Hom}_{A_0}(I \otimes_{A_0} \tilde{\tau}_!(M_0), \tilde{\tau}_!(J)) &\to \mathrm{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0, J). \end{align*} $$

On définit des morphismes

$$ \begin{align*} u^\alpha : \mathrm{Ext}_{A^\alpha}^1(M_0, J) &\to \mathrm{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0, J) \\ \partial^\alpha : \mathrm{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0, J) &\to \mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^2(M_0, J), \end{align*} $$

par les morphismes $u$ et $\partial$ relatifs aux $A_0$-modules $\tilde{\tau}_!(M_0)$ et $\tilde{\tau}_!(J)$ (13.1.5). On en déduit par (13.1.5) une suite exacte

$$ \begin{align} 0 &\to \mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^1(M_0, J) \to \mathrm{Ext}_{A^\alpha}^1(M_0, J) \notag \\ &\xrightarrow{u^\alpha} \mathrm{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0, J) \xrightarrow{\partial^\alpha} \mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^2(M_0, J), \tag{13.6.1} \end{align} $$

où la première flèche est le morphisme défini par restriction des scalaires.

### THÉORÈME 13.7. Conservons les notations de 13.6. Soit $M_0$, $J$ des $A_0^\alpha$-modules et $u_0 : I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0 \to J$ un morphisme $A_0^\alpha$-linéaire. Alors :

(i) il existe une obstruction

$$ \partial^\alpha(u_0) \in \mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^2(M_0, J) \tag{13.7.1} $$

dont l'annulation est nécessaire et suffisante pour l'existence d'une extension de $A^\alpha$-modules $\tilde{M}$ de $M_0$ par $J$ telle que $u^\alpha(\tilde{M}) = u_0$ (13.6.1);

(ii) lorsque $\partial^\alpha(u_0) = 0$, l'ensemble des classes d'isomorphismes de telles extensions $\tilde{M}$ est un torseur sous $\mathrm{Ext}_{A_0^\alpha}^1(M_0, J)$.

13.8. Conservons les notations de 13.5. On note $\alpha$-$T'$ la catégorie des faisceaux de $\alpha$-$\mathbf{o}$-modules de $T'$ (12.7) et l'on pose $A'^\alpha = \tilde{\alpha}(A')$ et $A_0'^\alpha = \tilde{\alpha}(A_0')$ (12.10.1). Le foncteur exact $\varphi^* : \mathrm{Mod}(A) \to \mathrm{Mod}(A')$ s'étend en un foncteur exact $\psi :$
Mod($A^{\alpha}$) $\rightarrow$ Mod($A^{\prime\alpha}$) (12.26). D'après (12.26.1) et (13.5.2), on a un diagramme commutatif (2.5.3)

$$
\begin{tikzcd}
  0 \arrow[r] \arrow[d, "\psi"] & \operatorname{Ext}_{A_0^\alpha}^1(M_0, J) \arrow[r] \arrow[d, "u^\alpha"] & \operatorname{Ext}_{A_0^\alpha}^1(M_0, J) \arrow[d, "\psi"] \\
  0 \arrow[r] & \operatorname{Ext}_{A_0^{\prime\alpha}}^1(\psi(M_0), \psi(J)) \arrow[r, "u^{\prime\alpha}"] & \operatorname{Ext}_{A_0^{\prime\alpha}}^1(\psi(M_0), \psi(J))
\arrow[d, "\psi"] & \operatorname{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0} M_0, J) \arrow[d, "\psi"] \\
  \operatorname{Ext}_{A_0^{\prime\alpha}}^1(\psi(M_0), \psi(J)) \arrow[r, "u^{\prime\alpha}"] & \operatorname{Hom}_{A_0^{\prime\alpha}}(I^{\prime\alpha} \otimes_{A_0^{\prime\alpha}} \psi(M_0), \psi(J)) & \operatorname{Ext}_{A_0^{\prime\alpha}}^2(M_0, J) \arrow[d, "\psi"] \\
  \operatorname{Hom}_{A_0^\alpha}(I^\alpha \otimes_{A_0^\alpha} M_0, J) \arrow[r, "\partial^\alpha"] & \operatorname{Ext}_{A_0^\alpha}^2(\psi(M_0), \psi(J)), & \operatorname{Hom}_{A_0^{\prime\alpha}}(I^{\prime\alpha} \otimes_{A_0^{\prime\alpha}} \psi(M_0), \psi(J)) \arrow[r, "\partial^{\prime\alpha}"] \arrow[d, "\psi"]
\end{tikzcd}
\qquad (13.8.1)
$$

où les flèches horizontales sont induites par le foncteur exact $\psi$ (2.3.2). Cela signifie que la théorie de la déformation pour les $\alpha$-modules est fonctorielle par rapport au morphisme plat $\varphi$.

13.9. Soit $A$ une $\alpha$-algèbre (ou $\mathcal{O}_{\bar{K}}$-algèbre) plate de $T$. Pour tout entier $n \ge 1$, on pose $A_n = A/p^n A$ et $I_n = p^n A/p^{2n} A$ qui est un idéal de $A_{2n}$. Le morphisme de multiplication par $p^n$ induit, pour tout entier $n \ge 1$, un isomorphisme canonique de $A_n$-modules $I_n \stackrel{\sim}{\rightarrow} A_n$. Pour tout entier $n \ge 1$, on pose $A_n^\alpha = \tilde{\alpha}(A_n)$ (12.10.1).

Soit $n$ un entier $\ge 1$, $M_n$ un $A_n$-module et $N_n$ un $A_n^\alpha$-module. L'isomorphisme $I_n \stackrel{\sim}{\rightarrow} A_n$ induit un isomorphisme canonique de $A_n$-modules (resp. $A_n^\alpha$-modules)

$$
v : I_n \otimes_{A_n} M_n \xrightarrow{\sim} M_n \quad (\text{resp. } w : I_n^\alpha \otimes_{A_n^\alpha} N_n \xrightarrow{\sim} N_n). \qquad (13.9.1)
$$

On appelle déformation de $M_n$ sur $A_{2n}$ (resp. déformation de $N_n$ sur $A_{2n}^\alpha$) toute extension de $A_{2n}$-modules (resp. $A_{2n}^\alpha$-modules)

$$
\begin{equation} \tag{13.9.2}
\begin{split}
& \tilde{M} = (0 \rightarrow M_n \rightarrow M_{2n} \rightarrow M_n \rightarrow 0) \\
& \text{(resp. } \tilde{N} = (0 \rightarrow N_n \rightarrow N_{2n} \rightarrow N_n \rightarrow 0) \text{)}
\end{split}
\end{equation}
$$

telle que $u(\tilde{M}) = v$ (resp. $u^\alpha(\tilde{N}) = w$) (13.9.1).
13.10. Pour toute déformation $0 \to M_n \to M_{2n} \to M_n \to 0$ de $M_n$ sur $A_{2n}$, il est clair que $0 \to M_n^\alpha \to M_{2n}^\alpha \to M_n^\alpha \to 0$ est une déformation de $M_n^\alpha$ sur $A_{2n}^\alpha$. D'autre part, si $0 \to N_n \to N_{2n} \to N_n \to 0$ est une déformation de $N_n$ sur $A_{2n}^\alpha$, la suite exacte $0 \to \tilde{\tau}_!(N_n) \to \tilde{\tau}_!(N_{2n}) \to \tilde{\tau}_!(N_n) \to 0$ est une déformation de $\tilde{\tau}_!(N_n)$ sur $A_{2n}$ en vertu de 12.16(i) et (12.23.1).

LEMME 13.11. *Supposons que le topos T ait suffisamment de points et soit un entier $n \ge 1$.*

(i) *Soit $M_n$ un $A_n$-module plat. Une déformation de $M_n$ sur $A_{2n}$ est équivalente à la donnée d'un $A_{2n}$-module plat $M_{2n}$ et d'un épimorphisme $A_{2n}$-linéaire $g : M_{2n} \to M_n$ tels que le morphisme canonique $M_{2n} \otimes_{A_{2n}} A_n \to M_n$ soit un isomorphisme.*

(ii) *Soit $N_n$ un $A_n^\alpha$-module plat (12.29(ii)). Une déformation de $N_n$ sur $A_{2n}^\alpha$ est équivalente à la donnée d'un $A_{2n}^\alpha$-module plat $N_{2n}$ et d'un épimorphisme $A_{2n}^\alpha$-linéaire $g : N_{2n} \to N_n$ tels que le morphisme canonique $N_{2n} \otimes_{A_{2n}^\alpha} A_n^\alpha \to N_n$ soit un isomorphisme.*

*Preuve.* (i) Soit $0 \to M_n \to M_{2n} \to M_n \to 0$ une déformation de $M_n$ sur $A_{2n}$. Comme $v$ est un isomorphisme, le morphisme $M_{2n} \otimes_{A_{2n}} A_n \to M_n$ est un isomorphisme (cf. 13.1). D'après 13.3, $M_{2n}$ est plat sur $A_{2n}$.

D'autre part, soit $M_{2n}$ un $A_{2n}$-module plat et $g : M_{2n} \to M_n$ un morphisme tel que $M_{2n} \otimes_{A_{2n}} A_n \xrightarrow{\sim} M_n$. Par platitude de $M_{2n}$, on en déduit un isomorphisme $I_n \otimes_{A_{2n}} M_{2n} \xrightarrow{\sim} \text{Ker}(g)$, d'où l'assertion.

(ii) Soit $0 \to N_n \to N_{2n} \to N_n \to 0$ une déformation de $N_n$ sur $A_{2n}^\alpha$. D'après 12.30(ii), $\tilde{\tau}_!(N_n)$ est $A_n$-plat. En vertu de (i) et 13.10, $\tilde{\tau}_!(N_{2n})$ est $A_{2n}$-plat et l'on a un isomorphisme $\tilde{\tau}_!(N_{2n}) \otimes_{A_{2n}} A_n \simeq \tilde{\tau}_!(N_n)$. On en déduit par 12.15(iv) un isomorphisme $N_{2n} \otimes_{A_{2n}^\alpha} A_n^\alpha \simeq N_n$. La platitude de $N_{2n}$ résulte de 12.30(i).

D'autre part, soit $N_{2n}$ un $A_{2n}^\alpha$-module plat et $g : N_{2n} \to N_n$ un morphisme tel que $N_{2n} \otimes_{A_{2n}^\alpha} A_n^\alpha \xrightarrow{\sim} N_n$. Par platitude de $N_{2n}$, on en déduit un isomorphisme $I_n^\alpha \otimes_{A_{2n}^\alpha} N_{2n} \xrightarrow{\sim} \text{Ker}(g)$, d'où l'assertion. $\square$

13.12. Dans la suite de cette section, on se donne un schéma connexe $X$ et un point géométrique $\bar{x}$ de $X$. Soit un entier $n \ge 1$. On note $X_{fét}$ le topos fini étale de $X$ et $\mathfrak{o}_n$ le faisceau constant de valeur $\mathfrak{o}_n$ de $X_{fét}$. Le foncteur fibre en $\bar{x}$

$$ \mathrm{Mod}(X_{f\acute{e}t}, \mathfrak{o}_n) \to \mathrm{Mod}(\mathfrak{o}_n), \quad \mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}_{\bar{x}} \quad (13.12.1) $$

induit une équivalence de catégories (2.14.3)

$$ \mathrm{Mod}(X_{f\acute{e}t}, \mathfrak{o}_n) \to \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(\pi_1(X, \bar{x})), \quad (13.12.2) $$
où le but désigne la catégorie des $\mathfrak{o}_n$-représentations de $\pi_1(X, \bar{x})$ (3.18). On désigne par $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n)$ la catégorie des $\mathfrak{o}_n$-modules $\alpha$-plats de type $\alpha$-fini de $X_{\text{fét}}$ (12.28, 12.29).

LEMME 13.13. (i) Pour qu’un $\mathfrak{o}_n$-module $\mathbb{L}$ de $X_{\text{fét}}$ soit $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini, il faut et il suffit que sa fibre $\mathbb{L}_{\bar{x}}$ (13.12.1) soit un $\mathfrak{o}_n$-module $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini.

(ii) Le foncteur (13.12.2) induit une équivalence de catégories (3.23)

$$ \mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(X, \bar{x})). \qquad (13.13.1) $$

*Preuve.* (i) Comme le foncteur (13.12.1) est conservatif, la $\alpha$-platitude d'un $\mathfrak{o}_n$-module de $X_{\text{fét}}$ est équivalente à la $\alpha$-platitude de sa fibre en $\bar{x}$.

Si $\mathbb{L}$ est de type $\alpha$-fini, sa fibre $\mathbb{L}_{\bar{x}}$ est évidemment de type $\alpha$-fini. Supposons que $\mathbb{L}_{\bar{x}}$ soit de type $\alpha$-fini et montrons que $\mathbb{L}$ est de type $\alpha$-fini. Pour tout $\gamma \in \mathfrak{m}$, il existe un $\mathfrak{o}_n$-module libre de type fini $M$ et un morphisme $\mathfrak{o}_n$-linéaire $u : M \to \mathbb{L}_{\bar{x}}$ dont le noyau est annulé par $\gamma$. Soit $e_1, \dots, e_m$ une base de $M$. L'assertion recherchée étant locale pour $X_{\text{fét}}$, quitte à remplacer $X$ par un revêtement étale, on peut supposer que $\pi_1(X, \bar{x})$ fixe les éléments $u(e_1), \dots, u(e_m)$ de $\mathbb{L}_{\bar{x}}$. Munissant $M$ de l'unique $\mathfrak{o}_n$-représentation de $\pi_1(X, \bar{x})$ telle que $e_1, \dots, e_m$ soient fixes, l'homomorphisme $u$ est alors $\pi_1(X, \bar{x})$-équivariant. Par suite, $\mathbb{L}$ est un $\mathfrak{o}_n$-module de type $\alpha$-fini de $X_{\text{fét}}$.

(ii) Cela résulte de (i).

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

13.14. On désigne par $\alpha-X_{\text{fét}}$ la catégorie des $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules de $X_{\text{fét}}$ (12.7). Soit un entier $n \ge 1$. On pose $\mathfrak{o}_n^\alpha = \tilde{\alpha}(\mathfrak{o}_n)$ (12.10.1) et l'on désigne par $\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha)$ la catégorie des $\mathfrak{o}_n^\alpha$-modules de $\alpha-X_{\text{fét}}$ (12.11). On a un foncteur canonique (12.7.2)

$$ \tilde{\alpha} : \mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n) \to \mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha). $$

On désigne par $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha)$ l'image essentielle de la catégorie $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n)$ dans $\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha)$.

LEMME 13.15. Soit $\mathcal{L}$ un objet de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha)$.

(i) Le $\mathfrak{o}_n^\alpha$-module $\mathcal{L}$ est plat (12.29).

(ii) Toute déformation de $\mathcal{L}$ sur $\mathfrak{o}_{2n}^\alpha$ (13.11(ii)) est un objet de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{2n}^\alpha)$.

*Preuve.* (i) Cela résulte de 12.30(i).
(ii) Soit $\mathbb{L}$ un $\mathfrak{o}_n$-module $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini de $X_{\text{fét}}$ tel que $\mathbb{L}^{\alpha} \simeq \mathcal{L}$. On en déduit par adjonction (12.15(iii)) un $\alpha$-isomorphisme $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L}) \to \mathbb{L}$; d'où la $\alpha$-finitude de $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L})$. D'après 12.30(ii), $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L})$ est $\mathfrak{o}_n$-plat. Soit $\mathcal{L}'$ une déformation de $\mathcal{L}$ sur $\mathfrak{o}_2^n$. En vertu de 13.10 et 13.11(i), $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L}')$ est une déformation de $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L})$ sur $\mathfrak{o}_2^n$ et est donc $\mathfrak{o}_2^n$-plat. Par ailleurs, on a une suite exacte de $\mathfrak{o}_2^n$-modules

$$0 \to \tilde{\tau}_1(\mathcal{L})_{\bar{x}} \to \tilde{\tau}_1(\mathcal{L}')_{\bar{x}} \to \tilde{\tau}_1(\mathcal{L})_{\bar{x}} \to 0.$$

On en déduit par 3.7 et 13.13(i) la $\alpha$-finitude de $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L}')$. Par suite, $\tilde{\tau}_1(\mathcal{L}')$ appartient à $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{2n})$. L'assertion résulte alors de l'isomorphisme $\mathcal{L}' \xrightarrow{\sim} (\tilde{\tau}_1(\mathcal{L}'))^{\alpha}$ (12.15(iv)). $\square$

13.16. On note $X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ le topos des systèmes projectifs d'objets de $X_{\text{fét}}$ (2.11) et $\mathfrak{o}$ l'anneau $(\mathfrak{o}_n)_{n \ge 1}$ de $X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$. On désigne par $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o})$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o})$ formée des $\mathfrak{o}$-modules $(\mathbb{L}_n)_{n \ge 1}$ tels que, pour tout entier $n \ge 1$, $\mathbb{L}_n$ soit un objet de $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n)$ et que le morphisme canonique $\mathbb{L}_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to \mathbb{L}_n$ soit un $\alpha$-isomorphisme. Compte tenu de 3.23, les foncteurs (13.13.1) induisent une équivalence de catégories

$$\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o}) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(X, \bar{x})). \quad (13.16.1)$$

On désigne par $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$ la catégorie des systèmes projectifs $(\mathcal{L}_n)_{n \ge 1}$, où $\mathcal{L}_n$ est un $\mathfrak{o}_n^{\alpha}$-module de $\alpha$-$X_{\text{fét}}$ et $\mathcal{L}_{n+1} \to \mathcal{L}_n$ est un morphisme $\mathfrak{o}_{n+1}^{\alpha}$-linéaire (12.34). Rappelons que le foncteur canonique

$$\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o}) \to \mathbf{P}(\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha})) \quad (\mathbb{L}_n)_{n \ge 1} \mapsto (\mathbb{L}_n^{\alpha})_{n \ge 1} \quad (13.16.2)$$

induit une équivalence de catégories (12.34.2)

$$\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o}^{\alpha}) \xrightarrow{\sim} \mathbf{P}(\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha})). \quad (13.16.3)$$

On désigne par $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$ la sous-catégorie pleine de $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$ formée des systèmes projectifs $(\mathcal{L}_n)_{n \ge 1}$ tels que, pour tout entier $n \ge 1$, $\mathcal{L}_n$ soit un objet de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n^{\alpha})$ (13.14) et que le morphisme canonique $\mathcal{L}_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}^{\alpha}} \mathfrak{o}_n^{\alpha} \xrightarrow{\sim} \mathcal{L}_n$ soit un isomorphisme. On note $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))_{\mathbb{Q}}$ la catégorie des objets de $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$ à isogénie près. On désigne par $\mathbb{L}^{\text{tf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o})$ (resp. $\mathbb{L}_{\mathbb{Q}}^{\text{tf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o})$) la catégorie des $\mathfrak{o}$-modules localement libres de type fini de $X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ (resp. $\mathfrak{o}$-modules localement libres de type fini de $X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ à isogénie près).

LEMME 13.17. La catégorie $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$ est l'image essentielle de la catégorie $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathfrak{o})$ par le foncteur (13.16.2).
Preuve. Il est clair que l'image essentielle de $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}})$ est contenue dans $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$. Soit $\mathcal{L} = (\mathcal{L}_{n})_{n\ge 1}$ un objet de $\mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))$. En vertu de la preuve de 13.15(ii), $\tilde{\tau}_{i}(\mathcal{L}_{n})$ est $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini. L'isomorphisme canonique $\mathcal{L}_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}^{\alpha}} \mathfrak{o}_{n}^{\alpha} \xrightarrow{\sim} \mathcal{L}_{n}$ induit un isomorphisme $\tilde{\tau}_{i}(\mathcal{L})_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_{n} \xrightarrow{\sim} \tilde{\tau}_{i}(\mathcal{L}_{n})$ (12.23.1). L'assertion résulte alors de l'isomorphisme $(\mathcal{L}_{n})_{n\ge 1} \xrightarrow{\sim} ((\tilde{\tau}_{i}(\mathcal{L}_{n}))^{\alpha})_{n\ge 1}$ (12.15(iv)). $\square$

LEMME 13.18. Le foncteur canonique

$$ \mathbf{LL}^{\text{tf}}(X_{\text{fét}, \check{\mathfrak{o}}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \to \mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}, \check{\mathfrak{o}}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \quad (13.18.1) $$

induit une équivalence de catégories

$$ \mathbf{LL}_{\mathbb{Q}}^{\text{tf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \xrightarrow{\sim} \mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))_{\mathbb{Q}}. \quad (13.18.2) $$

Preuve. D'après 3.26, 3.27, (3.29.4) et (13.16.1), le foncteur (13.18.1), qui correspond au foncteur canonique $\mathrm{Rep}_{\check{\mathfrak{o}}}^{\text{ltf}}(\pi_1(X, \bar{x})) \to \mathrm{Rep}_{\check{\mathfrak{o}}}^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(X, \bar{x}))$, induit une équivalence de catégories $\mathbf{LL}_{\mathbb{Q}}^{\text{tf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}_{\mathbb{Q}}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}})$, où le but désigne la catégorie des objets de $\mathbf{Mod}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}})$ à isogénie près. L'équivalence de catégories $\mathbf{Mod}_{\mathbb{Q}}^{\alpha\text{ptf}}(X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \simeq \mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{\bullet}^{\alpha}))_{\mathbb{Q}}$ résulte de 12.22 et 13.17. $\square$

## 14. Déformations des représentations et déformations des $\alpha$-modules de Faltings

14.1. Soit $X$ un $S$-schéma propre à réduction semi-stable de fibre générique géométrique connexe et un entier $n \ge 1$. On note $(\tilde{E}, \overline{\mathcal{B}})$ (resp. $(\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n)$) le topos annelé de Faltings (resp. la fibre spéciale du topos annelé de Faltings) associé au $S$-schéma $X$ (7.11). On désigne par $\alpha-X_{\overline{\eta}, \text{fét}}$ (resp. $\alpha-\tilde{E}_s$) la catégorie des $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules de $X_{\overline{\eta}, \text{fét}}$ (resp. $\tilde{E}_s$) (12.7). On pose $\mathfrak{o}_{n}^{\alpha} = \tilde{\alpha}(\mathfrak{o}_{n})$, $\overline{\mathcal{B}}_{n}^{\alpha} = \tilde{\alpha}(\overline{\mathcal{B}}_{n})$ (12.10.1) et l'on désigne par $\mathbf{Mod}(X_{\overline{\eta}, \text{fét}}, \mathfrak{o}_{n}^{\alpha})$ la catégorie des $\mathfrak{o}_{n}^{\alpha}$-modules de $\alpha-X_{\overline{\eta}, \text{fét}}$ et par $\mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_{n}^{\alpha})$ la catégorie des $\overline{\mathcal{B}}_{n}^{\alpha}$-modules de $\alpha-\tilde{E}_s$ (12.11).

Comme $\overline{\mathcal{B}}_n$ est plat sur $\mathfrak{o}_n$ [4, III.9.2], le foncteur $\beta_n^* : \mathbf{Mod}(X_{\overline{\eta}, \text{fét}}, \mathfrak{o}_n) \to \mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n)$ (7.13.1) est exact et il induit un foncteur exact (12.26) que l'on note

$$ b_n : \mathbf{Mod}(X_{\overline{\eta}, \text{fét}}, \mathfrak{o}_n^\alpha) \to \mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n^\alpha). \quad (14.1.1) $$

Pour tout entier $i \ge 0$ et tous $\mathfrak{o}_n^\alpha$-modules $\mathcal{L}, \mathcal{L}'$ de $X_{\overline{\eta}, \text{fét}}$, celui-là induit un morphisme canonique (2.3.2)

$$ \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n^\alpha}^i(\mathcal{L}, \mathcal{L}') \to \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_n}^i(b_n(\mathcal{L}), b_n(\mathcal{L}')). \quad (14.1.2) $$
**PROPOSITION 14.2.** *Soit $\mathcal{L}$ et $\mathcal{L}'$ deux $\mathfrak{o}_n$-modules localement libres de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Posons $\mathcal{L} = \mathcal{L}^\alpha$ et $\mathcal{L}' = \mathcal{L}'^\alpha$. Alors le morphisme (14.1.2) est un isomorphisme si $i = 0, 1$ et un monomorphisme si $i = 2$.*

Preuve. Le foncteur exact $\beta_n^*$ induit, pour tout entier $i \ge 0$, un morphisme canonique (2.3.2)

$$ \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^i(\mathcal{L}, \mathcal{L}') \to \mathrm{Ext}_{\mathcal{B}_n}^i(\beta_n^*(\mathcal{L}), \beta_n^*(\mathcal{L}')). \quad (14.2.1) $$

Comme $\mathcal{L}$ est un $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $X_{\text{fét}}$, on a un isomorphisme canonique

$$ \beta_n^*(\operatorname{Hom}_{\mathfrak{o}_n}(\mathcal{L}, \mathcal{L}')) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\mathcal{B}_n}(\beta_n^*(\mathcal{L}), \beta_n^*(\mathcal{L}')). \quad (14.2.2) $$

D'après (2.9.1) et (14.2.2), le morphisme (14.2.1) s'identifie au morphisme canonique induit par $\beta_n^*$

$$ \mathrm{H}^i(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}, \operatorname{Hom}_{\mathfrak{o}_n}(\mathcal{L}, \mathcal{L}')) \to \mathrm{H}^i(\tilde{E}_s, \beta_n^*(\operatorname{Hom}_{\mathfrak{o}_n}(\mathcal{L}, \mathcal{L}))). \quad (14.2.3) $$

On notera que $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{o}_n}(\mathcal{L}, \mathcal{L}')$ est un $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Le morphisme (14.2.3) est donc un $\alpha$-isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un $\alpha$-monomorphisme pour $i = 2$ en vertu de 7.20. Par suite, il en est de même de (14.2.1).

Comme $\mathcal{L}$ est localement libre de type fini, on a deux suites spectrales (cf. 12.27)

$$ \begin{aligned} \mathrm{E}_2^{i,j} &= \mathrm{Ext}_0^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^j(\mathcal{L}, \mathcal{L}')) \Rightarrow \mathrm{E}^{i+j} = \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^{i+j}(\mathcal{L}, \mathcal{L}') \\ \mathrm{E}_2^{i,j} &= \mathrm{Ext}_0^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_{\mathcal{B}_n}^j(\beta_n^*(\mathcal{L}), \beta_n^*(\mathcal{L}))) \Rightarrow \mathrm{E}^{i+j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{B}_n}^{i+j}(b_n(\mathcal{L}), b_n(\mathcal{L}')) \end{aligned} $$

et les foncteurs exacts $\beta_n^*$ et $b_n$ induisent un morphisme de suites spectrales

$$ u = (u_r^{i,j}, u^m) : E \to E'. $$

D'après 3.2(iii)-(iv), le morphisme canonique induit par (14.2.1)

$$ u_2^{i,j} : \mathrm{Ext}_0^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_n}^j(\mathcal{L}, \mathcal{L}')) \to \mathrm{Ext}_0^i(\mathfrak{m}, \mathrm{Ext}_{\mathcal{B}_n}^j(\beta_n^*(\mathcal{L}), \beta_n^*(\mathcal{L}))) \quad (14.2.4) $$

est un isomorphisme si $j = 0, 1$ et un monomorphisme si $i = 0$ et $j = 2$. D'après 2.6, le morphisme canonique $u^m$ (14.1.2) est un isomorphisme si $m = 0, 1$ et un monomorphisme si $m = 2$. $\square$

**PROPOSITION 14.3.** *Soit un entier $m \ge 1$ et $\mathcal{L}_m$ un objet de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}, \mathfrak{o}_m^\alpha)$ (13.14) tels que le morphisme (14.1.2) induit par $b_m$*

$$ \mathrm{Ext}_{\mathfrak{o}_m}^i(\mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \to \mathrm{Ext}_{\mathcal{B}_m}^i(\mathfrak{a}(b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m))) \quad (14.3.1) $$
soit un isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un monomorphisme pour $i = 2$. Supposons qu'il existe une déformation $M$ de $b_m(\mathcal{L}_m)$ sur $\overline{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha$ (12.31(ii), 13.9). Alors :

(i) il existe une déformation $\mathcal{L}_{2m}$ de $\mathcal{L}_m$ sur $\mathcal{O}_{2m}^\alpha$ telle que $b_{2m}(\mathcal{L}_{2m})$ soit isomorphe à $M$ en tant que déformation ;

(ii) le morphisme (14.1.2) induit par $b_{2m}$

$$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_{2m}^{\alpha}}^{i}(\mathcal{L}_{2m}, \mathcal{L}_{2m}) \to \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}^{\alpha}}^{i}(b_{2m}(\mathcal{L}_{2m}), b_{2m}(\mathcal{L}_{2m})) \quad (14.3.2) $$

est un isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un monomorphisme pour $i = 2$.

Preuve. (i) On pose $I = p^m \mathcal{o} / p^{2m} \mathcal{o}$ et $I' = p^m \overline{\mathcal{B}} / p^{2m} \overline{\mathcal{B}}$. En vertu de 13.8, le foncteur $b_{2m}$ induit un diagramme commutatif

$$
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_m^\alpha}^1(\mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \arrow[r] \arrow[d, "b_m"] & \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_{2m}^\alpha}^1(\mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \arrow[d, "b_{2m}"] \\
0 \arrow[r] & \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha}^1(b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m)) \arrow[r] \arrow[d, "b_{2m}"] & \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha}^1(b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m)) \arrow[d, "b_m"] \\
\mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha}^1(b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m)) \arrow[r, "u_2"] & \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_m^\alpha}(I^\alpha \otimes_{\mathcal{O}_m^\alpha} \mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \arrow[d, "b_{2m}"] & \\
\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_m^\alpha}(I^\alpha \otimes_{\mathcal{O}_m^\alpha} \mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \arrow[r, "\partial_1"] & \mathrm{Ext}_{\mathcal{O}_m^\alpha}^2(\mathcal{L}_m, \mathcal{L}_m) \arrow[d, "b_m"] & \\
\mathrm{Hom}_{\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha}(I^{\prime\alpha} \otimes_{\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha} b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m)) \arrow[r, "\partial_2"] & \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha}^2(b_m(\mathcal{L}_m), b_m(\mathcal{L}_m)) \arrow[d, "b_m"] &
\end{tikzcd}
\quad (14.3.3)
$$

où la première (resp. seconde) ligne est la suite exacte (13.6.1) associée aux $\mathcal{O}_m^\alpha$-modules $\mathcal{L}_m$ et $\mathcal{L}_m$ (resp. $\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha$-modules $b_m(\mathcal{L}_m)$ et $b_m(\mathcal{L}_m)$). Notons $w_1$ (resp. $w_2$) l'isomorphisme (13.9.1) associé au $\mathcal{O}_m^\alpha$-module plat $\mathcal{L}_m$ de $X_{\overline{\eta}, \text{fét}}$ (resp. $\overline{\mathcal{B}}_m^\alpha$-module plat $b_m(\mathcal{L}_m)$). On a alors $b_m(w_1) = w_2$.

Comme il existe une déformation $M$ de $b_m(\mathcal{L}_m)$ sur $\overline{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha$, $\partial_2(w_2)$ est nul d'après 13.7(i). La dernière flèche verticale de (14.3.3) est injective. Par suite, $\partial_1(w_1) = 0$. Compte tenu de 13.7(i), il existe une déformation de $\mathcal{L}_m$ sur $\mathcal{O}_{2m}^\alpha$. En vertu de 13.7(ii), l'assertion résulte du fait que la première flèche verticale du diagramme (14.3.3) est un isomorphisme.
(ii) Posons $\mathbb{L}_m = \tau_1(\mathcal{L}_m)$ et $\mathbb{L}_{2m} = \tau_1(\mathcal{L}_{2m})$. D'après (12.25.4) et (12.26.1), l'hypothèse revient à dire que le morphisme induit par $\beta_m^*$

$$ \mathrm{Ext}_{\mathbb{L}_m}^i(\mathbb{L}_m, \mathbb{L}_m) \to \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_m}^i(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \beta_m^*(\mathbb{L}_m)) \quad (14.3.4) $$

est un isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un monomorphisme pour $i = 2$. De même, il suffit de démontrer la même propriété pour le morphisme induit par $\beta_{2m}^*$

$$ \mathrm{Ext}_{\mathbb{L}_{2m}}^i(\mathbb{L}_{2m}, \mathbb{L}_{2m}) \to \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}^i(\beta_{2m}^*(\mathbb{L}_{2m}), \beta_{2m}^*(\mathbb{L}_{2m})). \quad (14.3.5) $$

Comme $\tau_1$ est exact, $\mathbb{L}_{2m}$ est une extension de $\mathbb{L}_m$ par $\mathbb{L}_m$. Par dévissage, il suffit de démontrer que le morphisme induit par $\beta_{2m}^*$

$$ \mathrm{Ext}_{\mathbb{L}_m}^i(\mathbb{L}_m, \mathbb{L}_m) \to \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}^i(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \beta_m^*(\mathbb{L}_m)) \quad (14.3.6) $$

est un isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un monomorphisme pour $i = 2$. Rappelons que l'on a deux suites spectrales (13.5)

$$ E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathbb{L}_m}^i(\mathcal{Tor}_j^{\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m}(\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m), \mathbb{L}_m) \Rightarrow $$

$$ E^{i+j} = \mathrm{Ext}_{\mathbb{L}_{2m}}^{i+j}(\mathbb{L}_m, \mathbb{L}_m), $$

$$ E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_m}^i(\mathrm{Tor}_j^{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \overline{\mathcal{B}}_m), \beta_m^*(\mathbb{L}_m)) \Rightarrow $$

$$ E^{i+j} = \mathrm{Ext}_{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}^{i+j}(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \beta_m^*(\mathbb{L}_m)) $$

et que le foncteur $\beta_{2m}^*$ induit un morphisme de suites spectrales

$$ u = (u_r^{i,j}, u^n) : E \to E'. $$

Comme $I \simeq \mathcal{O}_m$, $I' \simeq \overline{\mathcal{B}}_m$, on en déduit, pour tout entier $j \ge 2$, des isomorphismes

$$ \mathrm{Tor}_j^{\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m}(\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m) \simeq \mathrm{Tor}_{j-1}^{\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m}(\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m), $$

$$ \mathrm{Tor}_j^{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \overline{\mathcal{B}}_m) \simeq \mathrm{Tor}_{j-1}^{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \overline{\mathcal{B}}_m). $$

Pour $j = 1$, on a $\mathrm{Tor}_1^{\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m}(\mathbb{L}_m, \mathcal{O}_m) \simeq \mathbb{L}_m$ et $\mathrm{Tor}_1^{\overline{\mathcal{B}}_{2m}}(\beta_m^*(\mathbb{L}_m), \overline{\mathcal{B}}_m) \simeq \beta_m^*(\mathbb{L}_m)$. Le morphisme $u_2^{i,j} : E_2^{i,j} \to E_2^{i,j}$ s'identifie alors au morphisme (14.3.4). D'après 2.6 et l'hypothèse, le morphisme $u^i$ (14.3.6) est un isomorphisme si $i = 0, 1$ et un monomorphisme si $i = 2$ ; d'où l'assertion. $\square$

**THÉORÈME 14.4.** Soit $C$ une courbe propre et lisse sur $\overline{K}$, $\tilde{C} = C \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$ et $F$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\tilde{C}$ (6.12(i)). Alors, il existe un trait $S'$ fini sur $S$, un $S'$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ (10.15) et un fibré vectoriel de Deninger-Werner et de Weil-Tate $\mathcal{F}$ sur $\tilde{X} = X \times_{S'} \tilde{S}$ tel que $\mathcal{F}_{\tilde{\eta}} \simeq F$ (6.3, 10.4).
Preuve. On fixe un entier $n \ge 1$. D'après **10.5**, quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ et un fibré vectoriel de Deninger-Werner $\mathcal{F}$ sur $\bar{X}$ de fibre générique $F$ tel que l'on ait un isomorphisme

$$ \gamma_n : \sigma_n^*(\mathcal{F}_n) \xrightarrow{\sim} \beta_n^*(\bar{V}_n(\mathcal{F})), \qquad (14.4.1) $$

où $\bar{V}_n(\mathcal{F})$ est la $\mathfrak{o}_n$-représentation de $\pi_1(C, \bar{x})$ associée à $\mathcal{F}$ (6.7). On note $\mathbb{L}_n$ le $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $C_{\text{fét}}$ associé à $\bar{V}_n(\mathcal{F})$ (cf. (3.29.2)) et l'on pose $\mathcal{L}_n = \mathbb{L}_n^\alpha$.

On va démontrer par récurrence que pour tout entier $m \in \{2^l n | l \ge 0\}$, il existe un objet $\mathcal{L}_m$ de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(C_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_m^\alpha)$ vérifiant l'hypothèse de **14.3** et un isomorphisme de $\bar{\mathcal{B}}_m$-modules

$$ \gamma_m : (\sigma_m^*(\mathcal{F}_m))^\alpha \xrightarrow{\sim} b_m(\mathcal{L}_m) \qquad (14.4.2) $$

tels que les isomorphismes $(\gamma_m)$ soient compatibles. L'assertion pour $m = n$ résulte de **14.2** et (14.4.1). Supposons que l'assertion soit vraie pour $m \ge n$ et démontrons-la pour $2m$.

Le $\bar{\mathcal{B}}_{2m}$-module $\sigma_m^*(\mathcal{F}_{2m})$ est une déformation de $\sigma_m^*(\mathcal{F}_m)$ sur $\bar{\mathcal{B}}_{2m}$ (13.11(i)). On l'identifie à une déformation de $b_m(\mathcal{L}_m)$ sur $\bar{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha$ via le $\alpha$-isomorphisme $\gamma_m$ (14.4.2). D'après **14.3**(i), il existe une déformation $\mathcal{L}_{2m}$ de $\mathcal{L}_m$ sur $\mathfrak{o}_{2m}^\alpha$ et un isomorphisme de $\bar{\mathcal{B}}_{2m}^\alpha$-modules

$$ \gamma_{2m} : (\sigma_{2m}^*(\mathcal{F}_{2m}))^\alpha \xrightarrow{\sim} b_{2m}(\mathcal{L}_{2m}) $$

compatible avec $\gamma_m$. En vertu de **13.15**(ii) et **14.3**(ii), $\mathcal{L}_{2m}$ est un objet de $\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(C_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_{2m}^\alpha)$ et il satisfait l'hypothèse de **14.3**.

Pour tout entier $m \ge 1$, choisisons un entier $l \ge 0$ tel que $2^{l-1}n < m \le 2^l n$ et posons $\mathcal{L}_m = \mathcal{L}_{2^l n} \otimes_{\mathfrak{o}_{2^l n}^\alpha} \mathfrak{o}_m^\alpha$. On en déduit des isomorphismes compatibles

$$ \gamma_m : (\sigma_m^*(\mathcal{F}_m))^\alpha \xrightarrow{\sim} b_m(\mathcal{L}_m). \qquad (14.4.3) $$

On désigne par $\alpha-C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ (resp. $\alpha-\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}$) la catégorie des $\alpha$-$\mathfrak{o}$-modules de $C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ (resp. $\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}$) (12.7). On pose $\tilde{\mathfrak{o}}^\alpha = \tilde{\alpha}(\tilde{\mathfrak{o}})$ (resp. $\tilde{\mathcal{B}}^\alpha = \tilde{\alpha}(\tilde{\mathcal{B}})$) (12.10.1) et l'on désigne par $\mathbf{Mod}(C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \tilde{\mathfrak{o}}^\alpha)$ la catégorie des $\tilde{\mathfrak{o}}^\alpha$-modules de $\alpha-C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}$ et par $\mathbf{Mod}(\tilde{\mathcal{B}}^\alpha)$ la catégorie des $\tilde{\mathcal{B}}^\alpha$-modules de $\alpha-\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}$ (12.11). Posons $\tilde{\mathcal{F}} = (\mathcal{F}_m)_{m \ge 1}$ et $\mathcal{L} = (\mathcal{L}_m)_{m \ge 1} \in \mathbf{P}(\mathbf{Mod}^{\text{ptf}}(C_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_m^\alpha))$ (13.16) que l'on considère aussi comme un objet de $\mathbf{Mod}(C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \tilde{\mathfrak{o}}^\alpha)$ (cf. **12.34**). Le foncteur $\tilde{\mathfrak{B}}^*$ induit un foncteur que l'on note (12.25)

$$ b : \mathbf{Mod}(C_{\text{fét}}^{\mathbb{N}^0}, \tilde{\mathfrak{o}}^\alpha) \to \mathbf{Mod}(\tilde{\mathcal{B}}^\alpha). $$
Par l'équivalence de catégories Mod($\tilde{\mathcal{B}}$) $\xrightarrow{\tilde{\mathcal{B}}^\alpha}$ P(Mod($\overline{\mathcal{B}}$)) (12.34.2), le $\tilde{\mathcal{B}}$ - module $b(\mathcal{L})$ correspond au système projectif ($b_m(\mathcal{L}_m)_{m \ge 1}$). En vertu de 12.34, les isomorphismes compatibles (14.4.3) induisent un isomorphisme de $\tilde{\mathcal{B}}$ - modules

$$ \gamma : (\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}}))^\alpha \xrightarrow{\sim} b(\mathcal{L}), \qquad (14.4.4) $$

où $\check{\sigma}$ est le morphisme de topos annelés (7.12.1). En vertu de 13.18, il existe un $\check{\mathcal{O}}$-module localement libre de type fini $\mathbb{L}$ de $C_{\text{fét}}^{\mathcal{N}^\alpha}$ tel que $\mathbb{L}_{\mathcal{Q}} \simeq \mathcal{L}_{\mathcal{Q}}$ dans la catégorie Mod$_{\mathcal{Q}}(C_{\text{fét}}^{\mathcal{N}^\alpha}, \check{\mathcal{O}})$. En vertu de 12.22, on en déduit par (14.4.4) un isomorphisme de $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-modules

$$ (\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}}))_{\mathcal{Q}} \xrightarrow{\sim} (\check{\beta}^*(\mathbb{L}))_{\mathcal{Q}}, $$

d'où le théorème.

□

COROLLAIRE 14.5. *Tout fibré vectoriel de Deninger-Werner sur Č est de Weil-Tate* (10.16).

**PROPOSITION 14.6.** *La restriction du foncteur* (10.18.1)

$$ \mathcal{V}_{\check{c}} : \mathfrak{M}_{\check{c}}^{\text{WT}} \to \text{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})) $$

à la sous-catégorie $\mathfrak{M}_{\check{c}}^{\text{DW}}$ s'identifie au foncteur de Deninger-Werner $\mathcal{V}_{\check{c}}$ (6.14.1).

*Preuve.* Soit $F$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\check{C}$. D'après 14.4, quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$, et un fibré vectoriel de Deninger-Werner et de Weil-Tate $\mathcal{F}$ sur $\tilde{X}$ de fibre générique $F$. En vertu de 8.21, on en déduit un isomorphisme de $\mathcal{C}$-représentations continues de $\pi_1(C, \bar{x})$ :

$$ \mathcal{V}_{\check{c}}(F) \xrightarrow{\sim} \mathcal{V}_{\check{c}}(F). \qquad (14.6.1) $$

Il reste à démontrer que celui-ci est fonctoriel en $F$. Soit $f : F \to F'$ un morphisme $\mathfrak{M}_{\check{c}}^{\text{DW}}$. En vertu de 5.8 et 14.4, quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable et régulier $X$ de $C$ et deux fibrés vectoriels de Deninger-Werner et de Weil-Tate $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$ sur $\tilde{X}$ tels que $\mathcal{F}_{\check{\eta}} \simeq F$ et $\mathcal{F}_{\check{\eta}}' \simeq F'$. D'après (5.13.1), $f$ s'étend en un morphisme de $\mathcal{F}$ à $\mathcal{F}'$. La fonctorialité de (14.6.1) résulte alors de 8.21. □
15. Appendice

15.1. On se donne une catégorie abélienne $\mathcal{A}$ ayant suffisamment d'injectifs, un complexe borné inférieurement $K^\bullet$ de $\mathcal{A}$ et un objet $X$ de $\mathcal{A}$. Choisissons $L^{\bullet, \bullet}$ une résolution injective de Cartan-Eilenberg de $K^\bullet$. La suite spectrale d'hypercohomologie [24, (0.11.4.3.2)]

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^i(X, H^j(K^\bullet)) \Rightarrow E^{i+j} = H^{i+j}(\mathrm{RHom}_{\mathcal{D}(\mathcal{A})}(X, K^\bullet)) \quad (15.1.1)$$

est la suite spectrale du bicomplexe $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(X, L^{\bullet, \bullet})$ associée à la filtration canonique $F_{\mathrm{II}}^l = (\sum_{i+j=n,l \ge i} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(X, L^{\bullet, \bullet}))_{n \in \mathbb{Z}}$ [24, 0.11.3.2]. Rappelons la construction de cette dernière. Pour la page 0, on a [47, 5.6.2]

$$E_0^{i,j} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(X, L^{j,i}) \quad (15.1.2)$$

et le morphisme $d_0^{i,j} : E_0^{i,j} \to E_0^{i,j+1}$ est induit par la différentielle $L^{j,i} \to L^{j+1,i}$.

Notons, pour tous entiers $i$ et $l$, $Z_1^l(L^{\bullet,i})$ (resp. $B_1^l(L^{\bullet,i})$, resp. $H_1^l(L^{\bullet,i})$) le l-ième sous-groupe des cocycles (resp. des cobords, resp. groupe de cohomologie) du complexe $(L^{j,i})_{j \in \mathbb{Z}}$. Le complexe $(Z_1^l(L^{\bullet,i}))_{i \ge 0}$ (resp. $(B_1^l(L^{\bullet,i}))_{i \ge 0}$, resp. $(H_1^l(L^{\bullet,i}))_{i \ge 0}$) est une résolution injective de $Z^l(K^\bullet)$ (resp. $B^l(K^\bullet)$, resp. $H^l(K^\bullet)$) (cf. [24, 0.11.4.2]). On a alors [47, 5.6.2]

$$E_1^{i,j} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(X, H_1^j(L^{\bullet,i})). \quad (15.1.3)$$

Le morphisme $d_1^{i,j} : E_1^{i,j} \to E_1^{i+1,j}$ est induit par la différentielle $H^j(L^{\bullet,i}) \to H^j(L^{\bullet,i+1})$. On en déduit

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^i(X, H^j(K^\bullet)). \quad (15.1.4)$$

15.2. On se donne de plus une catégorie abélienne $\mathcal{A}'$ ayant suffisamment d'injectifs et un foncteur exact $F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$. Soit $K^\bullet$ un complexe borné inférieurement de $\mathcal{A}'$ et $g : F(K^\bullet) \to K^\bullet$ un morphisme de complexes. On désigne par $E'$ la suite spectrale d'hypercohomologie

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}'}^i(F(X), H^j(K^\bullet)) \Rightarrow E^{i+j} = H^{i+j}(\mathrm{RHom}_{\mathcal{D}(\mathcal{A}')}(F(X), K^\bullet)).$$

Choisissons une résolution injective de Cartan-Eilenberg $L^{\bullet, \bullet}$ de $K^\bullet$. On notera que $F(L^{\bullet, \bullet})$ est encore une résolution de Cartan-Eilenberg de $F(K^\bullet)$ (mais pas nécessairement injective). Le morphisme $g$ s'étend en un morphisme de bicomplexes ([24, 0.11.4.2], cf. aussi [9, XVII 1.2])

$$G : F(L^{\bullet, \bullet}) \to L^{\bullet, \bullet}. \quad (15.2.1)$$
On en déduit par le foncteur $F$ un morphisme de bicomplexes

$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X, L^{\bullet, \bullet}) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}'}(F(X), L'^{\bullet, \bullet}) \quad (15.2.2) $$

et par suite un morphisme de suites spectrales [24, 0.11.2.3]

$$ u = (u_r^{i,j}, u^n) : E \to E'. \quad (15.2.3) $$

15.3. Le morphisme $G$ (15.2.1) s'identifie au morphisme $(u_0^{i,j} : E_0^{i,j} \to E_0^{i,j})_{i,j}$ de $u$ (15.1.2) et il induit, pour tout entier $j$, un morphisme de complexes

$$ (F(H_1^j(L^{\bullet,i})))_{i \ge 0} \to (H_1^j(L'^{\bullet,i}))_{i \ge 0}. \quad (15.3.1) $$

Le morphisme composé, induit par celui-ci et le foncteur exact $F$,

$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X, H_1^j(L^{\bullet,i})) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}'}(F(X), F(H_1^j(L^{\bullet,i}))) \\ \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}'}(F(X), H_1^j(L'^{\bullet,i})) $$

s'identifie au morphisme $u_1^{i,j}$ de $u$ (15.1.3). Les morphismes $(u_1^{i,j})_{i,j}$ induisent le morphisme $u_2^{i,j}$ (15.1.4)

$$ \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^i(X, H^j(K^\bullet)) \to \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}'}^i(F(X), H^j(K'^\bullet)). \quad (15.3.2) $$

En outre, le morphisme de complexes $g$ (15.2) induit, pour tout entier $j$, un morphisme de groupes de cohomologie

$$ F(H^j(K^\bullet)) \simeq H^j(F(K^\bullet)) \to H^j(K'^\bullet). \quad (15.3.3) $$

Rappelons que le complexe $(H_1^j(L^{\bullet,i}))_{i \ge 0}$ (resp. $(H_1^j(L'^{\bullet,i}))_{i \ge 0}$) est une résolution injective de $H^j(K^\bullet)$ (resp. $H^j(K'^\bullet)$). Le morphisme de complexes (15.3.1) étend le morphisme (15.3.3). Le morphisme $u_2^{i,j}$ (15.3.2) s'identifie alors au morphisme composé

$$ \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^i(X, H^j(K^\bullet)) \to \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}'}^i(F(X), F(H^j(K^\bullet))) \to \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}'}^i(F(X), H^j(K'^\bullet)), $$

où la première flèche est le morphisme canonique (2.3.2) induit par le foncteur exact $F$ et la seconde flèche est induite par (15.3.3).

15.4. Le morphisme $g$ et le foncteur exact $F$ induisent, pour tout entier $n$, un morphisme (2.3.2)

$$ E^n = \operatorname{Ext}_{\mathcal{D}(\mathcal{A})}^n(X, K^\bullet) \to E'^n = \operatorname{Ext}_{\mathcal{D}(\mathcal{A}')}(F(X), K'^\bullet), $$

qui n'est autre que le morphisme $u^n$ de $u$.
15.5. Reprenons les notations de 12.27. On considère le cas où $\mathcal{A} = \mathcal{A}' = \mathbf{Mod}(\mathcal{O})$ et on prend pour $F$ le foncteur identique et pour $X$ le $\mathcal{O}$-module $\mathfrak{m}$. Choisissons $I^\bullet$ (resp. $I'^\bullet$) une résolution injective de $N$ (resp. $\varphi^*(N)$) et posons $K^\bullet = \mathrm{Hom}_A(M, I^\bullet)$ et $K'^\bullet = \mathrm{Hom}_{A'}(\varphi^*(M), I'^\bullet)$. On a alors un morphisme de complexes $\varphi^*(I^\bullet) \to I'^\bullet$ et par suite un morphisme de complexes $g : K^\bullet \to K'^\bullet$. On notera que, dans ce cas, la suite spectrale (12.24.2) s'identifie à la suite spectrale (15.1.1). Appliquant ce qui précède, on en déduit le morphisme de suites spectrales $u$ (12.27.1) et la description des morphismes $u_2^{i,j}$ et $u^n$.

15.6. On considère le cas dual de 15.2. On se donne deux catégories abéliennes $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}'$ ayant suffisamment d'objets projectifs, un foncteur exact $F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ et $X$ un objet de $\mathcal{A}$. Soit $K^\bullet$ un complexe borné supérieurement de $\mathcal{A}$, $K'^\bullet$ un complexe borné supérieurement de $\mathcal{A}'$ et $g : K'^\bullet \to F(K^\bullet)$ un morphisme de complexes. En remplaçant les résolutions injectives par les résolutions projectives, on construit un morphisme $u : E \to E'$ entre les deux suites spectrales d'hypercohomologie

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{S}\mathcal{A}}^i(\mathrm{H}^j(K^\bullet), X) \Rightarrow \mathrm{H}^{i+j}(\mathrm{R}\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}(\mathcal{S}\mathcal{A})}(K^\bullet, X)), \quad (15.6.1)$$

$$E_2^{i,j} = \mathrm{Ext}_{\mathcal{S}'\mathcal{A}'}^i(\mathrm{H}^j(K'^\bullet), F(X)) \Rightarrow \mathrm{H}^{i+j}(\mathrm{R}\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}(\mathcal{S}'\mathcal{A}')}(K'^\bullet, F(X))).$$

De même, les morphismes $u_2^{i,j}$ et $u^n$ s'identifient aux morphismes canoniques induits par le morphisme $g$ et le foncteur exact $F$.

15.7. Reprenons les notations de 13.5. On considère le cas où $\mathcal{A} = \mathbf{Mod}(A)$ et $\mathcal{A}' = \mathbf{Mod}(A')$ et on prend pour $F$ le foncteur exact $\varphi^*$ et pour $X$ le $A$-module $J$. Choisissons $P^\bullet \to A_0$ (resp. $P'^\bullet \to A'_0$) une résolution projective de $A$-modules (resp. $A'$-modules) et posons $K^\bullet = M_0 \otimes_A P^\bullet$ et $K'^\bullet = \varphi^*(M_0) \otimes_{A'} P'^\bullet$. Comme $A'_0 = \varphi^*(A_0)$, on a alors un morphisme de complexes $P'^\bullet \to \varphi^*(P^\bullet)$. Il induit un morphisme de complexes $g : K'^\bullet \to \varphi^*(K^\bullet)$. On notera que, dans ce cas, la suite spectrale (13.4.2) s'identifie à la suite spectrale (15.6.1). Appliquant ce qui précède, on en déduit le morphisme de suites spectrales $u$ (13.5.1) et la description des morphismes $u_2^{i,j}$ et $u^n$.

## Remerciements

Ce travail fait partie de ma thèse préparée à l'université Paris-Sud. Je remercie sincèrement mon directeur de thèse Ahmed Abbes pour les nombreuses discussions, ainsi que pour ses commentaires et suggestions sur des versions préliminaires de ce texte. Je remercie Bhargav Bhatt de m'avoir signalé une erreur dans une version préliminaire de cet article. Je remercie également Michel Gros, Takeshi Tsuji et un rapporteur anonyme pour leurs commentaires et suggestions.
Ce travail a bénéficié du soutien du programme ANR Théorie de Hodge *p*-adique et développements (ThéHopadD) ANR-11-BS01-005.

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