# TRANSPORT PARALLÈLE ET CORRESPONDANCE DE SIMPSON *p*-ADIQUE

DAXIN XU

Laboratoire Alexander Grothendieck, ERL 9216 du CNRS,
Institut des Hautes Études Scientifiques, 35 route de Chartres,
91440 Bures-sur-Yvette, France;
email: daxinxu@ihes.fr

Received 21 juin 2016; accepted 19 mars 2017

## Résumé

Deninger et Werner ont développé un analogue pour les courbes *p*-adiques de la correspondance classique de Narasimhan et Seshadri entre les fibrés vectoriels stables de degré 0 et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, ils ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe *p*-adique, dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0, une représentation *p*-adique du groupe fondamental de la courbe. Ils se sont posé quelques questions : leur foncteur est-il pleinement fidèle ? La cohomologie des systèmes locaux fournis par celui-ci admet-elle une filtration de Hodge-Tate ? Leur construction est-elle compatible avec la correspondance de Simpson *p*-adique développée par Faltings ? Nous répondons à ces questions dans cet article.

## Abstract

Deninger and Werner developed an analogue for *p*-adic curves of the classical correspondence of Narasimhan and Seshadri between stable bundles of degree 0 and unitary representations of the topological fundamental group for a complex smooth proper curve. Using parallel transport, they associated functorially to every vector bundle on a *p*-adic curve whose reduction is strongly semi-stable of degree 0 a *p*-adic representation of the fundamental group of the curve. They asked several questions: whether their functor is fully faithful; whether the cohomology of the local systems produced by this functor admits a Hodge-Tate filtration; and whether their construction is compatible with the *p*-adic Simpson correspondence developed by Faltings. We answer these questions in this article.

2010 Mathematics Subject Classification: 14H60 (primary); 11G20, 14G20 (secondary)
# 1. Introduction

## 1.1. Narasimhan et Seshadri [36] ont établi en 1965 une correspondance bijective entre l'ensemble des classes d'équivalence de représentations unitaires irréductibles du groupe fondamental topologique d'une surface de Riemann compacte $X$ de genre $\ge 2$ et l'ensemble des classes d'isomorphisme de fibrés vectoriels stables de degré 0 sur $X$. Deninger et Werner ont développé récemment un analogue partiel pour les courbes $p$-adiques [13]. Leur construction est basée sur la notion de fibré vectoriel fortement semi-stable sur une courbe en caractéristique $p > 0$. Rappelons qu'un fibré vectoriel sur une courbe $C$ propre et lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ est dit fortement semi-stable si ses images inverses par toutes les puissances entières du Frobenius absolu de $C$ sont semi-stables.

## 1.2. Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0 de corps résiduel une clôture algébrique d'un corps fini $\mathbb{F}_p$, $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $\mathfrak{C}$ le complété $p$-adique de $\overline{K}$. On note $\mathcal{O}_K$ (resp. $\mathcal{O}_{\overline{K}}$, resp. $\mathfrak{o}$) l'anneau de valuation de $K$ (resp. $\overline{K}$, resp. $\mathfrak{C}$). On pose $S = \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$ et on note $s$ (resp. $\eta$) le point fermé (resp. générique) de $S$ et $\overline{\eta}$ le point géométrique de $S$ associé à $\overline{K}$.

Soit $X$ une $S$-courbe plate et propre à fibre générique lisse et géométriquement connexe, et $\bar{x}$ un point géométrique de $X_{\bar{\eta}}$. On dit qu'un fibré vectoriel $\mathcal{F}$ sur $X \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathfrak{o}$ est de Deninger-Werner si l'image inverse de $\mathcal{F}$ sur la normalisation de chaque composante irréductible de $X_s$ est fortement semi-stable de degré 0. À un tel fibré $\mathcal{F}$, Deninger et Werner associent une représentation du groupe fondamental étale $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ définie comme suit.

Pour tout entier $n \ge 1$, quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe un morphisme propre $\varphi : X' \to X$ tel que $\varphi_\eta$ soit étale fini, que $X'$ soit une $S$-courbe semi-stable et que l'image réciproque de $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/p^n\mathcal{F}$ par la réduction modulo $p^n$ de $\varphi$ soit triviale (6.2). Le ‘transport parallèle’ permet alors de construire une représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ sur la fibre de $\mathcal{F}_n$ en $\bar{x}$ (cf. 6.9). Par passage à la limite projective, on obtient une $\mathfrak{o}$-représentation continue $p$-adique de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$.

## 1.3. Soit $C$ une $\overline{K}$-courbe propre, lisse et connexe, $\check{C} = C \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$ et $\bar{x}$ un point géométrique de $C$. On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $\check{C}$ est de Deninger-Werner si, quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle propre et plat $X$ de $C$ et un fibré vectoriel de Deninger-Werner $\mathcal{F}$ sur $X \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathfrak{o}$ de fibre générique $F$. On note $\mathfrak{M}^{\text{DW}}_{\check{C}}$ la catégorie de tels fibrés et $\text{Rep}_{\mathfrak{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ la catégorie des $\mathfrak{C}$-représentations continues $p$-adiques de $\pi_1(C, \bar{x})$ sur des $\mathfrak{C}$-espaces vectoriels de dimension finie (cf. 3.18). La construction de Deninger-Werner induit alors un
foncteur (6.14.1)

$$V : \mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\mathrm{DW}} \to \mathrm{Rep}_{\mathcal{C}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})). \qquad (1.3.1)$$

Inspérés par le cas complexe, Deninger et Werner ont posé quelques questions concernant ce foncteur : est-il pleinement fidèle ? La cohomologie des systèmes locaux fournis par celui-ci admet-elle une filtration de Hodge-Tate ? Leur construction est-elle compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings [17] ? Le but de cet article est de répondre à ces questions.

1.4. Simultanément, Faltings a développé une correspondance pour les systèmes locaux p-adiques sur les variétés définies sur des corps p-adiques, inspiré par les travaux de Simpson dans le cas complexe. Rappelons que ce dernier a étendu le résultat de Narasimhan et Seshadri aux représentations linéaires quelconques du groupe fondamental topologique d'une variété complexe projective et lisse. Pour ce faire, on a besoin de la notion de fibré de Higgs : si $X$ est un schéma lisse de type fini sur un corps $F$, un fibré de Higgs sur $X$ est un couple $(M, \theta)$ formé d'un fibré vectoriel $M$ sur $X$ et d'un morphisme $\mathcal{O}_X$-linéaire $\theta : M \to M \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega_{X/F}^1$ tel que $\theta \wedge \theta = 0$ (cf. 2.10). Le résultat principal de Simpson [43] établit une équivalence de catégories entre la catégorie des représentations linéaires de dimension finie (à valeurs complexes) du groupe fondamental topologique d'une variété complexe projective et lisse $X$ et celle des fibrés de Higgs semi-stables de classes de Chern nulles sur $X$.

1.5. La construction de Faltings, appelée classiquement correspondance de Simpson p-adique, utilise sa théorie des extensions presque étales et prolonge ses travaux en théorie de Hodge p-adique, en particulier ceux qui concernent la décomposition de Hodge-Tate pour une variété propre et lisse sur un corps p-adique [15, 16]. L'objet principal d'étude est la notion de représentation généralisée, qui étend celle de représentation p-adique du groupe fondamental géométrique. Ce sont, en termes simplifiés, des représentations semi-linéaires p-adiques continues du groupe fondamental géométrique dans des modules sur un certain anneau p-adique muni d'une action continue du groupe fondamental géométrique. Faltings construit un foncteur de la catégorie de ces représentations dans la catégorie des fibrés de Higgs [17]. Nous utiliserons la variante développée par Abbes et Gros [3], qui s'applique à une classe de représentations généralisées vérifiant une condition d'admissibilité à la Fontaine, dites de Dolbeault. Nous introduisons dans le même esprit une autre condition d'admissibilité, plus forte que celle de Dolbeault, que nous qualifions de Weil-Tate. Elle correspond aux fibrés de Higgs à champ de Higgs nul dans la correspondance de Simpson p-adique.
Par ailleurs, en s'inspirant de la construction de Deninger-Werner, nous associons à certaines représentations généralisées, qualifiées de *potentiellement libres de type fini*, des représentations continues p-adiques du groupe fondamental géométrique. Les fibrés vectoriels de Deninger-Werner définissent naturellement des représentations généralisées potentiellement libres de type fini, et on retrouve ainsi le foncteur de Deninger-Werner. Les représentations généralisées de Weil-Tate sont aussi potentiellement libres de type fini. La principale question est de comparer ces deux sous-catégories. Notre principal résultat est que les représentations généralisées fournies par les fibrés vectoriels de Deninger-Werner sont de Weil-Tate. Ce résultat nous permet de répondre aux trois questions de Deninger et Werner.

1.6. Pour définir la notion de représentation généralisée, nous avons besoin du topos de Faltings. Soit $X$ un S-schéma de type fini à réduction semi-stable tel que $X_{\bar{\eta}}$ soit connexe. On désigne par $E$ la catégorie des morphismes de schémas $V \to U$ au-dessus du morphisme canonique $X_{\bar{\eta}} \to X$ tels que le morphisme $U \to X$ soit étale et que le morphisme $V \to U_{\bar{\eta}}$ soit fini étale (7.1). On équipe $E$ de la topologie co-évanescente engendrée par les recouvrements $\{(V_i \to U_i) \to (V \to U)\}_{i \in I}$ des deux types suivants :

(v) $U_i = U$ pour tout $i \in I$ et $(V_i \to V)_{i \in I}$ est un recouvrement.

(c) $(U_i \to U)_{i \in I}$ est un recouvrement et $V_i = U_i \times_U V$ pour tout $i \in I$.

Le site $E$ ainsi défini est appelé *site de Faltings de $X$*. On désigne par $\widetilde{E}$ et l'on appelle *topos de Faltings de $X$* le topos des faisceaux d'ensembles sur $E$.

Pour tout schéma $Y$, on note $\mathring{\mathcal{E}}_{t/Y}$ (resp. $\mathring{\mathcal{E}}_{t/Y}$) la catégorie des schémas étales (resp. finis et étales) au-dessus de $Y$ munie de la topologie étale et $Y_{\acute{e}t}$ (resp. $Y_{\acute{f}_{\acute{e}t}}$) le topos des faisceaux d'ensembles sur $\mathring{\mathcal{E}}_{t/Y}$ (resp. $\mathring{\mathcal{E}}_{t/Y}$). Les foncteurs

$$ \mathring{\mathcal{E}}_{t/X_{\bar{\eta}}} \to E \quad V \mapsto (V \to X) \qquad (1.6.1) $$

$$ \mathring{\mathcal{E}}_{t/X} \to E \quad U \mapsto (U_{\bar{\eta}} \to U) \qquad (1.6.2) $$

sont continus et exacts à gauche. Ils définissent donc deux morphismes de topos

$$ \beta : \widetilde{E} \to X_{\bar{\eta}, \acute{e}t}, \qquad (1.6.3) $$

$$ \sigma : \widetilde{E} \to X_{\acute{e}t}. \qquad (1.6.4) $$

Pour chaque objet $(V \to U)$ de $E$, on note $\overline{U}^V$ la clôture intégrale de $\overline{U} = U \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathcal{O}_{\overline{K}}$ dans $V$. On désigne par $\mathcal{B}$ le préfaisceau d'anneaux sur $E$ défini pour tout $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(E)$ par

$$ \mathcal{B}(V \to U) = \Gamma(\overline{U}^V, \mathcal{O}_{\overline{U}}^V). $$
En fait, celui-ci est un faisceau sur $\mathcal{E}$ [4, III.8.16]. Les représentations généralisées sont essentiellement les $\tilde{\mathcal{B}}$-modules de $\tilde{E}$. Cependant, pour tenir compte de la topologie p-adique, nous travaillons avec le système projectif des anneaux $\mathcal{B}_n = \mathcal{B}/p^n\mathcal{B}$, $n \ge 1$.

Pour tout entier $n \ge 1$, $\tilde{\mathcal{B}}_n$ est un objet de la fibre spéciale $\tilde{E}_s$ de $\tilde{E}$, c'est-à-dire du sous-topos fermé de $\tilde{E}$ complémentaire de l'ouvert $\sigma^*(X_\eta)$ (7.10). Celui-ci s'insère dans un diagramme commutatif à isomorphisme canonique près

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

où $a$ est l'injection canonique, $\delta$ est le plongement canonique et $\sigma_s$ est induit par $\sigma$.

Les systèmes projectifs d'objets de $\tilde{E}_s$ indexés par l'ensemble ordonné des entiers naturels $\mathbb{N}$ forment un topos que l'on note $\tilde{E}_s^{\mathbb{N}\circ}$. On le munit de l'anneau $\tilde{\mathcal{B}} = (\tilde{\mathcal{B}}_n)_{n \ge 1}$ de $\tilde{E}_s^{\mathbb{N}\circ}$. On dit qu'un $\tilde{\mathcal{B}}$-module $(M_n)_{n \ge 1}$ est adique si, pour tout entier $i \ge 1$, le morphisme $M_{i+1} \otimes_{\tilde{\mathcal{B}}_{i+1}} \tilde{\mathcal{B}}_i \to M_i$, déduit du morphisme de transition $M_{i+1} \to M_i$, est un isomorphisme.

On note $\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}}(\tilde{\mathcal{B}})$ la catégorie des $\tilde{\mathcal{B}}$-modules à isogénie près (2.16). Si $X$ est propre sur $S$, d'après le principal théorème de comparaison de Faltings (7.19) (cf. [16, Theorem 8], [3, 2.4.16]), l'image réciproque associée au morphisme $\beta$ induit un foncteur pleinement fidèle (8.8)

$$ \mathrm{Rep}_{\mathbb{C}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})) \to \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}}(\tilde{\mathcal{B}}). \qquad (1.6.5) $$

1.7. Supposons que $X$ soit une $S$-courbe semi-stable et posons $C = X_{\bar{\eta}}$. Soit $\bar{x}$ un point géométrique de $C$ et $n \ge 1$ un entier. Si $X'$ est une $S$-courbe semi-stable, $(\tilde{E}', \tilde{\mathcal{B}})$ le topos annelé de Faltings associé à $X'$ et $\varphi: X' \to X$ un $S$-morphisme propre, alors $\varphi$ induit par fonctorialité un morphisme de topos annelés $\Phi_n : (\tilde{E}_s', \tilde{\mathcal{B}}_n') \to (\tilde{E}_s, \tilde{\mathcal{B}}_n)$. On dit qu'un $\tilde{\mathcal{B}}_n$-module $M_n$ est potentiellement libre de type fini s'il est de type fini et si, quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe un $S$-morphisme propre $\varphi: X' \to X$ tel que $X'$ soit une $S$-courbe semi-stable, $\varphi_\eta$ soit fini étale et qu'avec les notations précédentes $\Phi_n^*(M_n)$ soit un $\tilde{\mathcal{B}}_n$-module libre. Par 'transport parallèle', on associe à tout $\tilde{\mathcal{B}}_n$-module potentiellement libre de type fini une représentation de $\pi_1(C, \bar{x})$ (8.10).

On dit qu'un $\tilde{\mathcal{B}}$-module $M = (M_n)_{n \ge 1}$ est potentiellement libre de type fini s'il est adique de type fini et si, pour tout entier $n \ge 1$, $M_n$ est potentiellement libre de
type fini. On désigne par $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{pltf}}(\tilde{\mathcal{B}})$ la catégorie des $\tilde{\mathcal{B}}$-modules potentiellement libres de type fini à isogénie près. La construction précédente induit un foncteur (8.14.1)

$$ \mathcal{W} : \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{pltf}}(\tilde{\mathcal{B}}) \to \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})). \quad (1.7.1) $$

Celui-ci généralise le foncteur $\mathcal{V}$ (1.3.1). En effet, notons $\text{Vect}_{\tilde{\mathcal{C}}}$ la catégorie des fibrés vectoriels sur $\tilde{\mathcal{C}} = C \otimes_{\bar{\mathcal{K}}} \mathcal{C}$. L'image réciproque associée au morphisme $\sigma$ induit un foncteur (cf. (5.14.2) et (7.12.4))

$$ \text{Vect}_{\tilde{\mathcal{C}}} \to \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\mathcal{B}}). \quad (1.7.2) $$

La restriction de ce dernier à $\mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\text{DW}}$ se factorise à travers $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{pltf}}(\tilde{\mathcal{B}})$. Le foncteur $\mathcal{W}$ induit alors le foncteur $\mathcal{V}$ (8.21).

Par ailleurs, le foncteur (1.6.5) se factorise à travers la sous-catégorie $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\text{pltf}}(\tilde{\mathcal{B}})$ de $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\mathcal{B}})$. Le composé de ce dernier et de $\mathcal{W}$ est isomorphe au foncteur identique (8.17(ii)).

On dit qu'un fibré vectoriel sur $\tilde{\mathcal{C}}$ et une $\mathcal{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ sont $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-associés si leurs images par les foncteurs (1.7.2) et (1.6.5) dans $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\tilde{\mathcal{B}})$ sont isomorphes (cf. 10.2).

1.8. Soit $C$ une courbe propre et lisse sur $\bar{K}$, $\bar{x}$ un point géométrique de $C$ et $\tilde{\mathcal{C}} = C \otimes_{\bar{K}} \mathcal{C}$. On dit qu'un fibré vectoriel $F$ sur $\tilde{\mathcal{C}}$ est de Weil-Tate si, quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe un $S$-modèle semi-stable $X$ de $C$ et une $\mathcal{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ tels que $F$ et $V$ soient $\tilde{\mathcal{B}}_{\mathcal{Q}}$-associés dans le topos annelé de Faltings relatif à $X$. On définit symétriquement la notion de $\mathcal{C}$-représentation continue de Weil-Tate de $\pi_1(C, \bar{x})$. On note $\mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\text{WT}}$ (resp. $\mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{WT}}(\pi_1(C, \bar{x}))$) la catégorie de tels fibrés (resp. telles $\mathcal{C}$-représentations). On montre le résultat suivant.

**THÉORÈME 1.9** (cf. 10.19). *Il existe des équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre*

$$ \mathcal{V} : \mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\text{WT}} \to \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{WT}}(\pi_1(C, \bar{x})) \quad \text{et} \quad \mathcal{T} : \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{WT}}(\pi_1(C, \bar{x})) \to \mathfrak{M}_{\tilde{\mathcal{C}}}^{\text{WT}}. \quad (1.9.1) $$

Notre principal résultat est le suivant.

**THÉORÈME 1.10** (cf. 14.5). *Tout fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\tilde{\mathcal{C}}$ est de Weil-Tate.*
La condition de Deninger-Werner peut se voir comme une condition d'admissibilité à la Fontaine. Elle présente toutefois des différences notables avec la condition d'admissibilité de Weil-Tate. D'une part, le fibré est trivialisé par une courbe semi-stable au-dessus de $X$ qui est finie et étale au-dessus de $C$, mais qui n'est *a priori* pas finie au dessus de $X$. D'autre part, on a besoin d'une infinité de tels revêtements, un pour chaque réduction modulo $p^n$, $n \ge 1$. La première difficulté peut être surmontée grâce à un résultat de Raynaud sur le quotient d'une courbe semi-stable par un groupe fini (5.11(iii), cf. aussi [38]). La seconde difficulté est plus sérieuse. On la surmonte grâce à la théorie des déformations des presque-modules dans le sens de Faltings (13.7).

**PROPOSITION 1.11 (cf. 14.6).** La restriction du foncteur $\mathcal{V}$ à $\mathfrak{V}^{\text{DWの}}$ s'identifie au foncteur $\mathcal{V}$.

On en déduit la pleine fidélité du foncteur de Deninger-Werner (1.3.1).

1.12. On démontre que pour qu'une $\mathfrak{C}$-représentation continue $V$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ soit de Weil-Tate, il faut et il suffit que son image, par le foncteur (1.6.5), soit de Dolbeault et que le fibré de Higgs associé par la correspondance de Simpson $p$-adique soit muni du champ de Higgs nul (cf. 11.7). De plus, le fibré vectoriel sous-jacent à ce fibré de Higgs est donné par $\mathcal{T}(V)$ (1.9.1). Cela signifie que l'équivalence de catégories $\mathcal{T}$ (1.9.1) n'est autre que la correspondance de Simpson $p$-adique pour les fibrés de Higgs à champ de Higgs nul. Dans 11.8, on démontre l'existence d'une filtration de Hodge-Tate pour la cohomologie des représentations de Weil-Tate.

1.13. Il est utile de noter que Faltings mentionne dans le premier paragraphe de la section 5 de [17] que l'on peut généraliser la construction de Deninger et Werner pour certains fibrés de Higgs en comparant les déformations des vraies représentations et celles des représentations généralisées.

1.14. Après avoir fixé les notations générales dans la section 2, nous développons dans les sections 3 à 5 quelques préliminaires utiles pour la suite de cet article. La section 3 est consacrée à rappeler et étudier les *presque-algèbres* et les *presque-modules* développés par Faltings dans son approche de la théorie de Hodge $p$-adique. Pour alléger, nous avons choisi dans cet article de substituer au préfixe presque le préfixe $\alpha$ suggéré par le *almost* anglais. Dans la section 4, nous rappelons la fidélité du foncteur GAGA pour les modules cohérents sur un $\mathfrak{C}$-schéma de type fini. La section 5 contient des rappels et des compléments sur les courbes relatives. Dans la section 6, nous rappelons les résultats de Deninger et
Werner. Suivant [4, III et VI], nous présentons le topos annelé de Faltings dans la section 7. Ensuite, nous rappelons le principal théorème de comparaison de Faltings et nous donnons quelques corollaires. Nous finissons cette section par la description du topos annelé de Faltings associé à un trait (7.26). Dans la section 8, nous présentons la construction du foncteur $\mathcal{W}$ (1.7.1) et ses propriétés. Nous établissons un résultat de descente galoisienne pour le topos de Faltings dans la section 9. Grâce à ce résultat, nous démontrons une variante modulo $p^n$ du théorème 1.10 (cf. 9.11). Dans la section 10, nous introduisons les notions de fibré vectoriel de Weil-Tate et de $\mathcal{C}$-représentation continue de Weil-Tate. Nous construisons les foncteurs $\mathcal{V}$ et $\mathcal{T}$ (1.9.1) et nous démontrons le théorème 1.9. Dans la section 11, nous comparons la correspondance de Simpson $p$-adique et la correspondance $\mathcal{T}$ (1.9.1). Dans la section 12, nous rappelons la notion de faisceaux de $\alpha$-modules suivant [3, 1.4]. Nous développons ensuite une théorie de déformations des faisceaux de $\alpha$-modules suivant l’approche d’Illusie [27] dans la section 13. Nous étudions la relation entre les déformations des représentations du groupe fondamental et les déformations des $\alpha$-$\mathcal{B}$-modules et nous démontrons le théorème 1.10 dans la section 14.

## 2. Notations et préliminaires

2.1. Dans cet article, $p$ désigne un nombre premier, $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0 dont le corps résiduel $k$ est une clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$ et $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$. On note $\mathcal{O}_K$ l’anneau de valuation de $K$ et $\mathcal{O}_{\overline{K}}$ la clôture intégrale de $\mathcal{O}_K$ dans $\overline{K}$. On désigne par $\mathfrak{o}$ le séparé complété $p$-adique de $\mathcal{O}_{\overline{K}}$, par $\mathcal{C}$ son corps des fractions, par $\mathfrak{m}$ son idéal maximal et par $\mathfrak{v}$ la valuation de $\mathfrak{o}$ normalisée par $\mathfrak{v}(p) = 1$. Pour tout entier $n \ge 1$, on pose $\mathfrak{o}_n = \mathcal{O}_{\overline{K}}/p^n\mathcal{O}_{\overline{K}}$.

On choisit un système compatible $(\gamma_n)$ de racines $n$-ièmes de $p$ dans $\mathcal{O}_{\overline{K}}$. Pour tout nombre rationnel $r > 0$, on pose $p^r = (\gamma_n)^{rn}$ où $n$ est un entier $> 0$ tel que $rn$ soit entier.

On pose $S = \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$, $\bar{S} = \text{Spec}(\mathcal{O}_{\overline{K}})$, $\tilde{\bar{S}} = \text{Spec}(\mathfrak{o})$, $\mathcal{S} = \text{Spf}(\mathfrak{o})$ et pour tout entier $n \ge 1$, $S_n = \text{Spec}(\mathcal{O}_K/p^n\mathcal{O}_K)$. On note $\eta$ (resp. $s$) le point générique (resp. fermé) de $S$ et $\bar{\eta}$ (resp. $\tilde{\eta}$) le point géométrique générique correspondant à $\overline{K}$ (resp. $\mathcal{C}$). Pour tous $S$-schémas $X$ et $S'$, on pose $X_{S'} = X \times_S S'$. Pour tout entier $n \ge 1$, on pose

$$X_n = X \times_S S_n, \quad \bar{X} = X \times_S \bar{S}, \quad \tilde{\bar{X}} = X \times_S \tilde{\bar{S}}. \qquad (2.1.1)$$

Pour tout morphisme de $S$-schémas $\pi : Y \to X$, on pose $\pi_n = \pi \times_S S_n$. Pour tout $\mathcal{O}_X$-module $M$ sur un $S$-schéma $X$, on note $M_n$ le $\mathcal{O}_{X_n}$-module $M \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{S_n}$ sur $X_n$.
Si $T$ est un trait (i.e. le spectre d'un anneau de valuation discrète) et $\tau$ son point générique, on dit que $(T, \tau)$ est un trait génériquement pointé (ou simplement trait lorsqu'il n'y a aucun risque d'ambiguïté). Si $(T, \tau)$ et $(T', \tau')$ sont deux traits génériquement pointés, un morphisme $(T', \tau') \to (T, \tau)$ est un morphisme dominant $T' \to T$. On dit qu'un tel morphisme est fini si le morphisme sous-jacent $T' \to T$ est fini.

2.2. On désigne par **Ens** la catégorie des ensembles que l'on considère ainsi comme un topos (ponctuel) et on le note aussi **Pt** [6, IV 2.2]. On désigne par **Ab** la catégorie des groupes abéliens.

2.3. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie abélienne et $M, N$ deux objets de $\mathcal{A}$. On désigne par $\mathbf{D}(\mathcal{A})$ sa catégorie dérivée. On note abusivement $M$ le complexe concentré en degré 0 de valeur $M$. Pour tout entier $i$, on pose [47, 10.7.1]

$$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{D}(\mathcal{A})}(M, N[i]), \qquad (2.3.1) $$

où $[i]$ désigne le décalage de degré $i$.

Soit $F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ un foncteur exact entre catégories abéliennes. Il s'étend en un foncteur de $\mathbf{D}(\mathcal{A})$ dans $\mathbf{D}(\mathcal{A}')$. En vertu de (2.3.1), il induit, pour tous objets $M$ et $N$ de $\mathcal{A}$ et tout entier $i$, un morphisme canonique

$$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, N) \to \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}'}^{i}(F(M), F(N)). \qquad (2.3.2) $$

Pour tous objets $M$ et $N$ de $\mathcal{A}$, le groupe $\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{1}(M, N)$ classifie les extensions de $M$ par $N$ dans $\mathcal{A}$ (cf. [48, 13.27.6]).

2.4. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie abélienne ayant suffisamment d'injectifs et $M$ un objet de $\mathcal{A}$. Le foncteur $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, -) : \mathcal{A} \to \mathbf{Ab}$ est exact à gauche. On désigne par

$$ \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, -) : \mathcal{A} \to \mathbf{Ab} \quad \forall i \ge 0 $$

les foncteurs dérivés à droite de $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, -)$. On pose $\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{i}(M, -) = 0$ pour $i < 0$. Cette définition est compatible avec (2.3.1) (cf. [47, 10.7.4 et 10.7.5]).

2.5. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie abélienne et $E$ une suite spectrale dans $\mathcal{A}$

$$ E_2^{i,j} \Rightarrow E^{i+j} \qquad (2.5.1) $$

telle que $E_2^{i,j} = 0$ si $i < 0$ ou $j < 0$. Les termes de bas degré fournissent une suite exacte [33, Appendix B]

$$ 0 \to E_2^{1,0} \to E^1 \to E_2^{0,1} \to E_2^{2,0} \to E_1^2 \to E_2^{1,1}, \qquad (2.5.2) $$
où $E_1^2 = \text{Ker}(E^2 \to E_2^{0,2})$. Soit $E'$ une autre suite spectrale

$$E_2^{i,j} \Rightarrow E^{i+j}$$

telle que $E_2^{i,j} = 0$ si $i < 0$ ou $j < 0$ et $u : E \to E'$ un morphisme de suites spectrales [24, 0.11.1.2]. On a alors un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & E_2^{1,0} \arrow[r] \arrow[d] & E^1 \arrow[r] \arrow[d] & E_2^{0,1} \arrow[r] \arrow[d] & E_2^{2,0} \arrow[r] \arrow[d] & E_1^2 \arrow[r] \arrow[d] & E_2^{1,1} \arrow[d] \\ u_2^{1,0} \arrow[d] & u^1 \arrow[d] & u_2^{0,1} \arrow[d] & u_2^{2,0} \arrow[d] & u_1^2 \arrow[d] & u_2^{1,1} \arrow[d] & u_2^{1,1} \arrow[d] \end{tikzcd} \quad (2.5.3) $$

LEMME 2.6. Conservons les notations de 2.5 et supposons que les morphismes $u_2^{i,j}$ sont des isomorphismes pour $i + j \le 1$ et sont des monomorphismes pour $i + j = 2$. Alors, le morphisme $u^n : E^n \to E^n$ est un isomorphisme si $n = 0, 1$ et un monomorphisme si $n = 2$.

Preuve. Il est clair que $u^0$ est un isomorphisme. D'après (2.5.3), le lemme des cinq et le lemme du serpent, on déduit que le morphisme $u^1$ est un isomorphisme et que le morphisme $u_1^2$ est un monomorphisme. Par suite, on en déduit un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & E_1^2 \arrow[r] \arrow[d] & E^2 \arrow[r] \arrow[d] & E_2^{0,2} \arrow[d] \\ u_1^2 \arrow[d] & u^2 \arrow[d] & u_2^{0,2} \arrow[d] & u_2^{0,2} \arrow[d] \\ 0 \arrow[r] & E_1^{\prime 2} \arrow[r] \arrow[d] & E^{\prime 2} \arrow[r] \arrow[d] & E_2^{\prime 0,2}, \arrow[d] \end{tikzcd} $$

d'où l'injectivité de $u^2$.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

2.7. Pour tout schéma $X$, on note $\text{Pic}(X) = \text{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\times)$ le groupe des classes d'isomorphismes de $\mathcal{O}_X$-modules inversibles. Soit $f : X \to T$ un morphisme propre de schémas. On désigne par $\text{Pic}_{X/T}$ le foncteur de Picard relatif de $X$ au-dessus de $T$, défini pour tout $T$-schéma $T'$ par

$$ \text{Pic}_{X/T}(T') = \text{H}^0(T', \text{R}^1_{\text{fppf}} f_*'(\mathbb{G}_m)), \quad (2.7.1) $$

où $f' : X \times_T T' \to T'$ est la projection canonique et $\mathbb{G}_m$ est le faisceau fppf qui à chaque schéma $Y$ associe le groupe $\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y^*)$ (cf. [37, 1.2]). Soit $t$ un point de $T$. D'après (2.7.1), on a $\text{Pic}_{X/T}(t) = \text{Pic}_{X/t}(t)$. Le foncteur $\text{Pic}_{X/t}$ est représentable par un schéma en groupes localement de type fini (cf. [37, 1.5.2]). Il possède un
plus petit sous-groupe ouvert connexe, sa composante neutre $Pic_{X/t}^0$ [11, VI_A, 2]. On définit le sous-foncteur $Pic_{X/T}^0$ de $Pic_{X/T}$ comme suit : pour tout $T$-schéma $T'$, $Pic_{X/T}^0(T')$ est le sous-groupe de $Pic_{X/T}(T')$ formé des éléments qui pour chaque point $t$ de $T'$ induisent par fonctorialité un élément de $Pic_{X/t}^0(t)$.

2.8. Soit $X$ un schéma. On dit qu'un $\mathcal{O}_X$-module quasi cohérent $F$ est un fibré vectoriel sur $X$ s'il est localement libre de type fini. On désigne par $Vect_X$ la sous-catégorie pleine de la catégorie des $\mathcal{O}_X$-modules formée des fibrés vectoriels.

2.9. Soit $(\mathcal{T}, A)$ un topos annelé. On désigne par $\mathbf{Mod}(\mathcal{T}, A)$ la catégorie des $A$-modules de $\mathcal{T}$. On dit qu'un $A$-module $M$ de $\mathcal{T}$ est localement projectif de type fini si les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites (cf. [4, III.2.8]):

(i) $M$ est de type fini et le foncteur $\operatorname{Hom}_A(M, \cdot)$ est exact;

(ii) $M$ est de type fini et tout épimorphisme de $A$-modules $N \to M$ admet localement une section;

(iii) $M$ est localement facteur direct d'un $A$-module libre de type fini.

On désigne par $\mathbf{LL}^{\mathrm{tf}}(\mathcal{T}, A)$ (resp. $\mathbf{LP}^{\mathrm{tf}}(\mathcal{T}, A)$) la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}(\mathcal{T}, A)$ formée des $A$-modules localement libres (resp. localement projectifs) de type fini de $\mathcal{T}$.

Un $A$-module localement projectif de type fini est plat en vertu de (iii). Soit $M'$ et $M''$ deux $A$-modules localement projectifs de type fini. D'après (iii), le $A$-module $\operatorname{Hom}_A(M', M'')$ est aussi localement projectif de type fini. Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $\mathbf{Mod}(\mathcal{T}, A)$. On en déduit que, pour tout $i \ge 1$, le foncteur $\operatorname{Ext}_A^i(M, \cdot)$ est nul. Le module $M$ est donc aussi localement projectif de type fini.

Étant donné un $A$-module localement projectif de type fini $M$, la suite spectrale qui relie les Ext locaux et globaux [6, V 6.1] induit, pour tout $A$-module $N$ et tout entier $i \ge 0$, un isomorphisme

$$ \operatorname{Ext}_A^i(M, N) \xrightarrow{\sim} \operatorname{H}^i(\mathcal{T}, \operatorname{Hom}_A(M, N)). \qquad (2.9.1) $$

2.10. Soit $(\mathcal{T}, A)$ un topos annelé et $E$ un $A$-module de $\mathcal{T}$. Un $A$-module de Higgs à coefficients dans $E$ est un couple $(M, \theta)$ formé d'un $A$-module $M$ de $\mathcal{T}$ et d'un morphisme $A$-linéaire $\theta : M \to M \otimes_A E$ tel que $\theta \wedge \theta = 0$.

2.11. Soit $\mathcal{T}$ un topos. Les systèmes projectifs d'objets de $\mathcal{T}$ indexés par l'ensemble ordonné des entiers naturels $\mathbb{N}$ forment un topos que l'on note $\mathcal{T}^{\mathbb{N}}$.
(cf. [4, VI.7.1]). Le foncteur

$$ \lambda^* : \mathcal{T} \to \mathcal{T}^{\mathbb{N}^0} \qquad (2.11.1) $$

qui à un objet $F$ associe le foncteur constant $\mathbb{N}^0 \to \mathcal{T}$ de valeur $F$ est exact à gauche. Il admet pour adjoint à droite le foncteur

$$ \lambda_* : \mathcal{T}^{\mathbb{N}^0} \to \mathcal{T} \qquad (2.11.2) $$

qui à un foncteur $\mathbb{N}^0 \to \mathcal{T}$ associe sa limite projective [4, III.7.4]. Le couple $(\lambda_*, \lambda^*)$ définit donc un morphisme de topos

$$ \lambda : \mathcal{T}^{\mathbb{N}^0} \to \mathcal{T}. \qquad (2.11.3) $$

Étant donné un anneau $\mathring{A} = (A_n)_{n \ge 1}$ de $\mathcal{T}^{\mathbb{N}^0}$, on dit qu’un $\mathring{A}$-module $M = (M_n)_{n \ge 1}$ de $\mathcal{T}^{\mathbb{N}^0}$ est adique si pour tous entiers $i$ et $j$ tels que $1 \le i \le j$, le morphisme $M_j \otimes_{A_j} A_i \to M_i$ déduit du morphisme de transition $M_j \to M_i$ est un isomorphisme.

2.12. Étant donné un morphisme de topos $\gamma : \mathcal{T}_1 \to \mathcal{T}_3$ et un groupe abélien $\mathcal{F}$ de $\mathcal{T}_3$, on définit, pour tout entier $i \ge 0$, un morphisme

$$ \gamma^* : \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_3, \mathcal{F}) \to \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_1, \gamma^*(\mathcal{F})) \qquad (2.12.1) $$

comme le composé

$$ \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_3, \mathcal{F}) \to \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_3, \gamma_*\gamma^*(\mathcal{F})) \to \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_1, \gamma^*(\mathcal{F})), \qquad (2.12.2) $$

où la première flèche est induite par le morphisme d'adjonction $\to \gamma_*\gamma^*$ et la seconde flèche est induite par la suite spectrale de Cartan-Leray.

Supposons que $\gamma$ soit le composé de deux morphismes de topos $\mathcal{T}_1 \xrightarrow{\alpha} \mathcal{T}_2 \xrightarrow{\beta} \mathcal{T}_3$. Alors, pour tout entier $i \ge 0$ et tout faisceau abélien $\mathcal{F}$ de $\mathcal{T}_3$, le morphisme composé

$$ \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_3, \mathcal{F}) \xrightarrow{\beta^*} \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_2, \beta^*(\mathcal{F})) \to \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_2, \alpha_*\gamma^*(\mathcal{F})) \to \mathrm{H}^i(\mathcal{T}_1, \gamma^*(\mathcal{F})), \qquad (2.12.3) $$

où la deuxième flèche est induite par le morphisme d'adjonction $\beta^* \to \alpha_*\alpha^*\beta^*$ et la troisième flèche est induite par la suite spectrale de Cartan-Leray, s'identifie au morphisme (2.12.1). En effet, si l'on note, pour $i = 1, 2, 3$, $\Gamma_i : \mathcal{T}_i \to \mathbf{Ab}$ le foncteur 'sections globales', le morphisme composé (2.12.3) est induit par le morphisme composé de la catégorie dérivée $\mathbf{D}(\mathbf{Ab})$ :

$$ \mathrm{R} \Gamma_3 \mathcal{F} \to \mathrm{R} \Gamma_3 \mathrm{R} \beta_* \beta^* \mathcal{F} \to \mathrm{R} \Gamma_2 \mathrm{R} \alpha_* \alpha^* \beta^* \mathcal{F} = \mathrm{R} \Gamma_1 \alpha^* \beta^* \mathcal{F}. \qquad (2.12.4) $$
Celui-ci s'identifie au morphisme induit par adjonction

$$R \Gamma_3 \mathcal{F} \to R \Gamma_3 R \gamma_* \gamma^* \mathcal{F} = R \Gamma_1 \alpha^* \beta^* \mathcal{F}, \qquad (2.12.5)$$

qui fournit le morphisme (2.12.1).

2.13. Pour tout schéma $X$, on note $\mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$ (resp. $X_{\acute{e}t}$) le site (resp. topos) étale de $X$. On désigne par $\mathring{\mathcal{E}}_{\text{coh}/X}$ (resp. $\mathring{\mathcal{E}}_{\text{scoh}/X}$) la sous-catégorie pleine de $\mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$ formée des schémas étales de présentation finie sur $X$ (resp. étales, séparés et de présentation finie sur $X$), munie de la topologie induite par celle de $\mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$. Si $X$ est quasi séparé, le foncteur de restriction de $X_{\acute{e}t}$ dans le topos des faisceaux d'ensembles sur $\mathring{\mathcal{E}}_{\text{coh}/X}$ (resp. $\mathring{\mathcal{E}}_{\text{scoh}/X}$) est une équivalence de catégories [6, VII 3.1 et 3.2].

On désigne par $X_{\text{zar}}$ le topos de Zariski de $X$ et par

$$u_X : X_{\acute{e}t} \to X_{\text{zar}} \qquad (2.13.1)$$

le morphisme canonique [6, VII 4.2.2]. Si $F$ est un $\mathcal{O}_X$-module quasi cohérent de $X_{\text{zar}}$, on note encore $F$ le faisceau de $X_{\acute{e}t}$ défini pour tout $X$-schéma étale $X'$ par [6, VII 2 c], cf. aussi [4, III.2.9]

$$F(X') = \Gamma(X', F \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}). \qquad (2.13.2)$$

On désigne par $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X}$ le site fini étale de $X$, c'est-à-dire la sous-catégorie pleine de $\mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$ formée des schémas étales et finis sur $X$, munie de la topologie induite par celle de $\mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$. On note $X_{\acute{f}}$ le topos fini étale de $X$, c'est-à-dire le topos des faisceaux d'ensembles sur $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X}$. Le foncteur d'injection canonique $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X} \to \mathring{\mathcal{E}}_{t/X}$ est continu. Il induit donc un morphisme de topos que l'on note

$$\rho_X : X_{\acute{e}t} \to X_{\acute{f}}. \qquad (2.13.3)$$

2.14. Soit $X$ un schéma connexe, $\bar{x}$ un point géométrique de $X$. On désigne par $\pi_1(X, \bar{x})$ le groupe fondamental de $X$ en $\bar{x}$ et par $\mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})}$ le topos classifiant du groupe profini $\pi_1(X, \bar{x})$, c'est-à-dire la catégorie des ensembles discrets munis d'une action continue à gauche de $\pi_1(X, \bar{x})$ [6, IV 2.7]. Le foncteur fibre en $\bar{x}$

$$\omega_{\bar{x}} : \mathring{\mathcal{E}}_{f/X} \to \mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})}, \qquad (2.14.1)$$

qui à tout revêtement étale $Y$ de $X$ associe l'ensemble des points géométriques de $Y$ au-dessus de $\bar{x}$, induit une équivalence de catégories [4, VI.9.8]

$$\mu_{\bar{x}} : \mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})} \xrightarrow{\sim} X_{\acute{f}}. \qquad (2.14.2)$$
Le foncteur $\omega_{\bar{x}}$ est pro-représentable par un système projectif $(X_i, \bar{x}_i, \phi_{ij})_{i \in I}$ de revêtements étales galoisiens pointés de $X$, indexé par un ensemble ordonné filtrant $I$, où $\bar{x}_i$ est un point géométrique de $X_i$ au-dessus de $\bar{x}$ et $\phi_{ij}: X_i \to X_j$ $(i \ge j)$ est un épimorphisme qui envoie $\bar{x}_i$ sur $\bar{x}_j$. Il est appelé pro-objet universel galoisien de $X$ en $\bar{x}$. Le foncteur

$$ \nu_{\bar{x}}: X_{\text{fét}} \to \mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})} \quad F \mapsto \lim_{i \in I} F(X_i) \qquad (2.14.3) $$

est une équivalence de catégories, quasi inverse de $\mu_{\bar{x}}$ [4, VI.9.8].

**LEMME 2.15.** *Soit $X$ un schéma quasi compact, quasi séparé et connexe et $\mathbb{L}$ un faisceau abélien de torsion de $X_{\text{fét}}$. Le morphisme canonique*

$$ \rho_X^*: \mathrm{H}^i(X_{\text{fét}}, \mathbb{L}) \to \mathrm{H}^i(X_{\text{ét}}, \rho_X^*(\mathbb{L})) \qquad (2.15.1) $$

est un isomorphisme si $i=0, 1$ et un monomorphisme si $i=2$.

*Preuve.* Le morphisme d'adjonction $\mathrm{id} \to \rho_{X_*} \rho_X^*$ est un isomorphisme [4, VI.9.18], d'où la proposition pour $i=0$. Démontrons-la pour $i=1$. Les topos $X_{\text{ét}}$ et $X_{\text{fét}}$ sont cohérents [4, VI.9.12]. Par [4, VI.9.20] et [6, VI 5.1], on peut se borner au cas où $\rho_X^*(\mathbb{L})$ est un faisceau abélien localement constant et constructible, i.e. représentable par un schéma en groupe fini et étale $G$ sur $X$. Le faisceau $\mathrm{R}^1 \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))$ de $X_{\text{fét}}$ est le faisceau sur $\mathrm{Ét}_{\mathrm{f}/X}$ associé au préfaisceau défini par $Y \mapsto \mathrm{H}^1(Y_{\text{ét}}, \rho_X^*(\mathbb{L}))$. La catégorie des $\rho_X^*(\mathbb{L})$-torseurs sur $Y_{\text{ét}}$ est équivalente à la catégorie des $G_Y$-fibrés principaux homogènes sur $Y$ pour la topologie étale, où $G_Y = G \times_X Y$ [6, VII 2 b)]. Tout $G_Y$-fibré principal homogène sur $Y$ est trivialisé par un revêtement étale de $Y$. Le faisceau $\mathrm{R}^1 \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))$ est donc trivial.

On a une suite spectrale

$$ \mathrm{H}^i(X_{\text{fét}}, \mathrm{R}^j \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))) \Rightarrow \mathrm{H}^{i+j}(X_{\text{ét}}, \rho_X^*(\mathbb{L})). $$

On en déduit un isomorphisme

$$ \mathrm{H}^1(X_{\text{fét}}, \rho_{X_*} \rho_X^*(\mathbb{L})) \xrightarrow{\sim} \mathrm{H}^1(X_{\text{ét}}, \rho_X^*(\mathbb{L})). $$

La proposition pour $i=1$ résulte de ce dernier et de l'isomorphisme $\mathrm{id} \to \rho_{X_*} \rho_X^*$. Comme $\mathrm{R}^1 \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))$ est nul, on en déduit par (2.5.2) une suite exacte

$$ 0 \to \mathrm{H}^2(X_{\text{fét}}, \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))) \to \mathrm{H}^2(X_{\text{ét}}, \rho_X^*(\mathbb{L})) \to \mathrm{H}^0(X_{\text{fét}}, \mathrm{R}^2 \rho_{X_*}(\rho_X^*(\mathbb{L}))). $$

La proposition pour $i=2$ résulte alors de ce dernier et de l'isomorphisme $\mathrm{id} \to \rho_{X_*} \rho_X^*$. $\square$
2.16. Si $\mathcal{C}$ est une catégorie additive, on désigne par $\mathcal{C}_{\mathcal{Q}}$ et l'on appelle catégorie des objets de $\mathcal{C}$ à isogénie près [4, III.6.1] la catégorie ayant mêmes objets que $\mathcal{C}$ et telle que l'ensemble des morphismes soit donné, pour tous $M$, $N \in \mathbf{Ob}(\mathcal{C})$, par

$$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{\mathcal{Q}}}(M, N) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(M, N) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}. \qquad (2.16.1) $$

On désigne par

$$ \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{Q}}, \quad M \mapsto M_{\mathcal{Q}} \qquad (2.16.2) $$

le foncteur canonique. Deux objets de $\mathcal{C}$ sont dits isogènes s'ils sont isomorphes dans la catégorie $\mathcal{C}_{\mathcal{Q}}$. Si $\mathcal{C}$ est une catégorie abélienne, la catégorie $\mathcal{C}_{\mathcal{Q}}$ est abélienne et le foncteur canonique (2.16.2) est exact [4, III.6.1.4]. Tout foncteur additif (resp. exact) entre catégories additives (resp. abéliennes) $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ induit un foncteur additif (resp. exact) $\mathcal{C}_{\mathcal{Q}} \to \mathcal{C}_{\mathcal{Q}}'$ compatible aux foncteurs canoniques (2.16.2) [4, III.6.1.5].

La famille des isogénies de $\mathcal{C}$ permet un calcul de fractions bilatère [27, I 1.4.2]. La catégorie $\mathcal{C}_{\mathcal{Q}}$ s'identifie à la catégorie localisée par rapport aux isogénies et le foncteur (2.16.2) est le foncteur de localisation (cf. [4, III.6.1]).

2.17. Soit $(\mathcal{T}, A)$ un topos annelé. On désigne par $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{T}, A)$ la catégorie des $A$-modules de $\mathcal{T}$ à isogénie près (2.16) dont les objets sont appelés les $A_{\mathcal{Q}}$-modules. Étant donné deux $A_{\mathcal{Q}}$-modules $M$ et $N$, on note $\mathrm{Hom}_{A_{\mathcal{Q}}}(M, N)$ le groupe des morphismes de $M$ dans $N$ dans $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{T}, A)$. Rappelons que la catégorie $\mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{T}, A)$ a suffisamment d'injectifs [4, III.6.1.6] et reprenons les notations de (2.4) pour cette catégorie. Pour tout entier $i \ge 0$ et tous $A_{\mathcal{Q}}$-modules $M$ et $N$, on pose $\mathrm{Ext}_{A_{\mathcal{Q}}}^i(M, N) = \mathrm{Ext}_{\mathrm{Mod}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{T}, A)}^i(M, N)$ qui est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel. En particulier, pour tout entier $i \ge 0$ et tout $A_{\mathcal{Q}}$-module $N$, on pose

$$ \mathrm{H}^i(\mathcal{T}, N) = \mathrm{Ext}_{A_{\mathcal{Q}}}^i(A_{\mathcal{Q}}, N). \qquad (2.17.1) $$

On note $\mathrm{Vect}_{\mathcal{Q}}$ la catégorie des $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels. Le foncteur canonique $\mathbf{Ab} \to \mathrm{Vect}_{\mathcal{Q}}$ induit une équivalence de catégories $\mathbf{Ab}_{\mathcal{Q}} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Vect}_{\mathcal{Q}}$. Étant donné un $A$-module $M$ de $\mathcal{T}$, on a un diagramme commutatif

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

où les flèches verticales sont les foncteurs canoniques. Ceux-ci sont exacts et transforment les objets injectifs en des objets injectifs [4, III.6.1.6]. Pour tout
entier $i \ge 0$ et tous $A$-modules $M$ et $N$, on en déduit par la suite spectrale de Cartan-Leray un isomorphisme

$$ \mathrm{Ext}_A^i(M, N) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Ext}_{A\mathbb{Q}}^i(M_{\mathbb{Q}}, N_{\mathbb{Q}}). \quad (2.17.2) $$

En particulier, pour tout entier $i \ge 0$ et tout $A$-module $N$, on a un isomorphisme

$$ \mathrm{H}^i(\mathcal{T}, N) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq \mathrm{H}^i(\mathcal{T}, N_{\mathbb{Q}}). \quad (2.17.3) $$

2.18. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie abélienne, $\mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{A}})$ l'anneau des endomorphismes du foncteur identique de $\mathcal{A}$ et $\varphi : \mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{A}})$ un homomorphisme. Pour tout objet $M$ de $\mathcal{A}$ et tout $\gamma \in \mathfrak{o}$, on note $\mu_\gamma(M)$ l'endomorphisme de $M$ défini par $\varphi(\gamma)$. En particulier, pour tous objets $M$ et $N$ de $\mathcal{A}$, $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, N)$ est muni d'une structure de $\mathfrak{o}$-module.

On dit qu'un objet $M$ de $\mathcal{A}$ est $\alpha$-nul s'il est annulé par tout élément de $m$, i.e. si $\mu_\gamma(M) = 0$ pour tout $\gamma \in \mathfrak{m}$. Pour toute suite exacte $0 \to M'' \to M \to M' \to 0$, pour que $M$ soit $\alpha$-nul, il faut et il suffit que $M''$ et $M'$ soient $\alpha$-nuls. On appelle catégorie des $\alpha$-objets de $\mathcal{A}$ et l'on note $\alpha_{-\mathcal{A}}$ le quotient de la catégorie $\mathcal{A}$ par la sous-catégorie épaisse formée des objets $\alpha$-nuls ([20, III, Section 1]; cf. aussi [3, 1.4.2]). On note

$$ \alpha : \mathcal{A} \to \alpha_{-\mathcal{A}}, \quad M \mapsto \alpha(M) \quad (2.18.1) $$

le foncteur canonique ; on notera aussi $M^\alpha$ au lieu de $\alpha(M)$ lorsqu'il n'y a aucun risque de confusion. La catégorie $\alpha_{-\mathcal{A}}$ est abélienne et le foncteur $\alpha$ est exact [20, III, Section 1, prop. 1]. On dit qu'un morphisme $f$ de $\mathcal{A}$ est un $\alpha$-isomorphisme (resp. $\alpha$-monomorphisme, resp. $\alpha$-épimorphisme) si $\alpha(f)$ est un isomorphisme (resp. monomorphisme, resp. épimorphisme), autrement dit si son noyau et son conoyau (resp. son noyau, resp. son conoyau) sont $\alpha$-nuls.

La famille des $\alpha$-isomorphismes de $\mathcal{A}$ permet un calcul de fractions bilatère [27, I 1.4.2]. La catégorie $\alpha_{-\mathcal{A}}$ s'identifie à la catégorie localisée par rapport aux $\alpha$-isomorphismes et $\alpha$ (2.18.1) est le foncteur canonique (de localisation).

LEMME 2.19 [3, 1.4.3]. Les hypothèses étant celles de 2.18, soit, de plus, $f : M \to N$ un morphisme de $\mathcal{A}$ et $\gamma \in \mathfrak{o}$ tels que le noyau et le conoyau de $f$ soient annulés par $\gamma$. Alors, il existe un morphisme $g : N \to M$ de $\mathcal{A}$ tel que $g \circ f = \mu_{\gamma^2}(M)$ et $f \circ g = \mu_{\gamma^2}(N)$.

2.20. Soit $\mathcal{A}$ une catégorie abélienne tensorielle, autrement dit $\mathcal{A}$ est une catégorie abélienne munie d'un foncteur biadditif $\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ et d'un objet unité $A$, vérifiant certaines conditions [10, 1.15], et soit $\varphi : \mathfrak{o} \to \mathrm{End}(A)$ un homomorphisme. On a un homomorphisme canonique $\mathrm{End}(A) \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathcal{A}})$.
On peut donc définir la catégorie $\alpha$-$\mathcal{A}$ suivant 2.18. Le produit tensoriel induit un bifoncteur

$$ \alpha\text{-}\mathcal{A} \times \alpha\text{-}\mathcal{A} \to \alpha\text{-}\mathcal{A}, \quad (M, N) \mapsto M \otimes N, \qquad (2.20.1) $$

qui fait de $\alpha$-$\mathcal{A}$ une catégorie abélienne tensorielle, dont $A^\alpha$ est un objet unité (cf. [3, 1.4.4]). Le foncteur $\alpha$ induit un homomorphisme $\text{End}(A) \to \text{End}(A^\alpha)$. Par suite, pour tous objets $M$ et $N$ de $\alpha$-$\mathcal{A}$, $\text{Hom}_{\alpha\text{-}\mathcal{A}}(M, N)$ est canoniquement muni d'une structure de $\text{End}(A)$-module.

### 3. Représentations à coefficients dans les modules de type $\alpha$-fini

3.1. Rappelons que $\mathfrak{o}$ désigne le séparé complété $p$-adique de $O_{\bar{K}}$ et $\mathfrak{m}$ son idéal maximal et que l'on a $\mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m}$ et $v(\mathfrak{m}) = \mathbb{Q}_{>0}$ (2.1). Pour tout nombre réel $r \ge 0$, on note $I_r$ l'idéal de $\mathfrak{o}$ formé des éléments $x \in \mathfrak{o}$ tels que $v(x) > r$.

On note $\text{Mod}(\mathfrak{o})$ la catégorie des $\mathfrak{o}$-modules. Prenant pour $\varphi : \mathfrak{o} \to \text{End}(\text{id}_{\text{Mod}(\mathfrak{o})})$ l'isomorphisme canonique, on considère les notions introduites dans (2.18) pour la catégorie $\text{Mod}(\mathfrak{o})$. Considérons le foncteur

$$ \text{Mod}(\mathfrak{o}) \to \text{Mod}(\mathfrak{o}) \quad M \mapsto M_{\mathfrak{o}} = \text{Hom}_{\mathfrak{o}}(\mathfrak{m}, M). \qquad (3.1.1) $$

Pour tout $\mathfrak{o}$-module $M$, on a des $\alpha$-isomorphismes (2.18) canoniques fonctoriels [4, V.2.4]

$$ M \to M_{\mathfrak{o}}, \quad x \mapsto (m \in \mathfrak{m} \mapsto mx), \qquad (3.1.2) $$

$$ \mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} M \to M. \qquad (3.1.3) $$

**PROPOSITION 3.2** [4, V.2.5 et 2.6]. *Soit $f : M \to N$ un morphisme de $\mathfrak{o}$-module.*

(i) *Pour que $f$ soit un $\alpha$-isomorphisme, il faut et il suffit que le morphisme induit $f_{\mathfrak{o}} : M_{\mathfrak{o}} \to N_{\mathfrak{o}}$ soit un isomorphisme.*

(ii) *Pour que $f$ soit un $\alpha$-isomorphisme, il faut et il suffit que le morphisme induit $\mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} M \to \mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} N$ soit un isomorphisme.*

(iii) *Pour tout entier $i \ge 0$, le foncteur $\text{Ext}_i^0(\mathfrak{m}, -)$ envoie les $\alpha$-isomorphismes sur des isomorphismes.*

(iv) *Le foncteur (3.1.1) envoie les $\alpha$-monomorphismes sur des monomorphismes.*

**REMARQUE 3.3.** Le $\mathfrak{o}$-module $\mathfrak{m}$ n'est pas projectif. En effet, le $\mathfrak{o}$-module $\mathfrak{m}$ est plat et on a $\mathfrak{m} = \lim_{\underset{n \in \mathbb{N}}{\longrightarrow}} (p^{1/n})$, où $p^{1/n}$ est une racine $n$-ième de $p$ dans $O_{\bar{K}}$ (2.1). Mais le système projectif $(\text{Hom}_{\mathfrak{o}}(\mathfrak{o}, (p^{1/n})))_{n \ge 1}$ ne vérifie pas la condition de Mittag-Leffler. L'assertion résulte alors de [39, 3.1.3].
3.4. Suivant [41, 2.2], pour tous o-modules $M$ et $N$ et tout $\gamma \in \mathbb{m}$, on dit que $M$ et $N$ sont $\gamma$-équivalents et on note $M \approx_{\gamma} N$ s'il existe deux o-morphismes $f: M \to N$ et $g: N \to M$ tels que $f \circ g = \gamma \mathrm{id}_N$ et $g \circ f = \gamma \mathrm{id}_M$. On dit que $M$ et $N$ sont $\alpha$-équivalents et on note $M \approx N$ si $M$ et $N$ sont $\gamma$-équivalents pour tout $\gamma \in \mathbb{m}$.

On dit qu'un o-module $M$ est de type $\alpha$-fini si, pour tout $\gamma \in \mathbb{m}$, il existe un o-module de type fini $N$ tel que $M \approx_{\gamma} N$. Pour tout entier $n \ge 1$, on dit qu'un $o_n$-module $M$ est de type $\alpha$-fini s'il est de type $\alpha$-fini en tant que o-module.

On dit qu'une suite de o-modules est $\alpha$-exacte si ses groupes de cohomologie sont $\alpha$-nuls (cf. [3, 1.5.2]).

### REMARQUE 3.5.
(i) D'après 2.19, deux o-modules $\alpha$-isomorphes sont $\alpha$-équivalents. La réciproque n'est pas vraie. En effet, pour tout nombre réel $r > 0$, on a alors $I_r \approx o$ (3.1). Si $r \notin \mathbb{Q}_{>0}$, $o$ et $I_r$ ne sont pas $\alpha$-isomorphes (cf. [3, 1.8.4]).

(ii) La notion de type $\alpha$-fini introduite dans 3.4 est compatible avec la définition générale introduite dans 12.28 (cf. [3, 1.5.3 et 1.8.5(ii)]).

### THÉORÈME 3.6
[41, 2.5]. Pour tout o-module de type $\alpha$-fini $M$, il existe une unique suite décroissante de nombres réels positifs $(r_i)_{i \ge 1}$, tendant vers 0, et un unique entier $n \ge 0$ tels que

$$M \approx o^n \oplus (\bigoplus_{i \ge 1} o / I_{r_i}). \qquad (3.6.1)$$

### LEMME 3.7
[3, 1.5.13 et 1.8.7]. Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite $\alpha$-exacte de o-modules. Pour que $M$ soit de type $\alpha$-fini, il faut et il suffit que $M'$ et $M''$ le soient.

### PROPOSITION 3.8.
Soit $M$ un o-module de type $\alpha$-fini.

(i) Il existe un sous-o-module libre de type fini $M^\circ$ de $M$ tel que $M/M^\circ$ soit annulé par une puissance de $p$.

(ii) Les sous-modules $(p^n M^\circ)_{n \ge 1}$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie $p$-adique de $M$.

(iii) La topologie $p$-adique de $M$ est séparée et complète.

(iv) Soit $N$ un sous-module de $M$. La topologie $p$-adique de $N$ est induite par la topologie $p$-adique de $M$.

*Preuve.* (i) D'après 3.6, le o-module $M$ est $\alpha$-équivalent à un o-module $N = o^n \oplus (\bigoplus_{i \ge 1} o / I_{r_i})$ avec $(r_i)_{i \ge 1}$ tendant vers 0. Notons $N^\circ$ le sous-o-module
oⁿ de N. Choisissons un élément γ de m. Il existe des morphismes de o-modules f : N → M et g : M → N tels que g ◦ f = γ idₙ et f ◦ g = γ idₘ. La restriction de f à N° est donc injective. On prend pour M° le sous-o-module libre de type fini f(N°) de M. On a alors g(M°) = γN° ⊂ N°. Les morphismes f et g induisent une γ-équivalence entre M/M° et N/N°:

$$ \bar{f} : N/N^{\circ} \to M/M^{\circ} \quad \bar{g} : M/M^{\circ} \to N/N^{\circ}. $$

Comme N/N° ≅ ⊕ᵢ≥₁₀ o/Iᵢᵢ est annulé par une puissance de p, il en est de même de M/M°.

(ii) En vertu de (i), il existe un entier m ≥ 1 tel que pⁿ(M/M°) = 0. On en déduit que pⁿM ⊂ M° ⊂ M. Les systèmes fondamentaux (pⁿM°)ₙ≥₁ et (pⁿM)ₙ≥₁ de voisinages de 0 sont alors équivalents.

(iii) On a un isomorphisme canonique M° ~ ȳM° = lim ← M°/pⁿM°. En vertu de (ii), ȳM = lim ← M/pⁿM° est le séparé complété p-adique de M. Pour tout entier n ≥ 1, on a une suite exacte

$$ 0 \to M^\circ/p^n M^\circ \to M/p^n M^\circ \to M/M^\circ \to 0. $$

Le système projectif (M°/pⁿM°)ₙ≥₁ vérifie la condition de Mittag-Leffler. La limite projective induit donc une suite exacte

$$ 0 \to \hat{M}^\circ \to \hat{M} \to M/M^\circ \to 0 $$

qui s'insère dans un diagramme commutatif

$$ \begin{array}{ccc} 0 & \to & M^\circ \to M \to M/M^\circ \to 0. \\ & \bigcirc & \\ 0 & \to & \hat{M}^\circ \to \hat{M} \to M/M^\circ \to 0 \end{array} $$

On en déduit que le morphisme canonique M → ȳM est un isomorphisme ; d'où l'assertion.

(iv) En vertu de 3.7, N est de type α-fini. Il existe un sous-o-module libre de type fini N° de N vérifiant la condition (i). On peut supposer de plus que N° ⊂ M°. Soit N°_sat = {x ∈ M° | pⁿx ∈ N° pour un entier n ≥ 1} la saturation de N° dans M°. On a alors (pⁿM°) ∩ N°_sat = pⁿN°_sat pour tout n ≥ 1. Comme p n'est pas un diviseur de zéro dans M°/N°_sat, M°/N°_sat est o-plat [2, 1.9.12]. On en déduit que N°_sat est de type fini [2, 1.9.14]. Il existe donc un entier l ≥ 1 tel que p'lN°_sat ⊂ N°. Pour tout entier n ≥ 1, on a

$$ (p^n M^\circ) \cap N^\circ = (p^n M^\circ \cap N^\circ_{\text{sat}}) \cap N^\circ = (p^n N^\circ_{\text{sat}}) \cap N^\circ = p^n N^\circ_{\text{sat}}. $$
On en déduit que

$$p^n N^\circ \subset (p^n M^\circ) \cap N^\circ \subset p^{n-l} N^\circ.$$

L'assertion s'ensuit compte tenu de (ii). □

LEMME 3.9 [3, 1.8.11]. Soit $M$ un $\mathfrak{o}$-module tel que $M/pM$ soit de type $\alpha$-fini. Alors, le $\mathfrak{o}$-module $\hat{M} = \lim_{\leftarrow} M/p^nM$ est de type $\alpha$-fini.

LEMME 3.10. (i) Soit $(M_n)_{n \ge 1}$ un système projectif de $\mathfrak{o}$-modules $\alpha$-nuls. Alors, les $\mathfrak{o}$-modules $\lim_{\leftarrow} M_n$ et $R^1 \lim_{\leftarrow} M_n$ sont $\alpha$-nuls.

(ii) Soit $(M_n)_{n \ge 1}$ et $(N_n)_{n \ge 1}$ deux systèmes projectifs de $\mathfrak{o}$-modules et $(f_n : M_n \to N_n)_{n \ge 1}$ un système projectif des $\alpha$-isomorphismes. Alors, le foncteur limite projectif induit des $\alpha$-isomorphismes $\lim_{\leftarrow} M_n \to \lim_{\leftarrow} N_n$ et $R^1 \lim_{\leftarrow} M_n \to R^1 \lim_{\leftarrow} N_n$.

L'assertion (i) est démontrée dans [18, 2.4.2] et l'assertion (ii) résulte de (i).

DÉFINITION 3.11 [4, V.6.1]. Soit $R$ une $\mathfrak{o}$-algèbre et $M$ un $R$-module. On dit que $M$ est $\alpha$-plat s'il vérifie les conditions équivalentes suivantes.

(i) Pour tout $R$-module $N$ et tout entier $i \ge 1$, $\text{Tor}_i^R(M, N)$ est un $\mathfrak{o}$-module $\alpha$-nul.

(ii) Pour tout $R$-module $N$, $\text{Tor}_1^R(M, N)$ est un $\mathfrak{o}$-module $\alpha$-nul.

(iii) Pour tout morphisme $R$-linéaire injectif $f : N_1 \to N_2$, le noyau de $\text{id}_M \otimes f : M \otimes_R N_1 \to M \otimes_R N_2$ est un $\mathfrak{o}$-module $\alpha$-nul.

LEMME 3.12. Soit $R$ une $\mathfrak{o}$-algèbre et $M$ un $R$-module $\alpha$-plat. Alors, le $R$-module $M \otimes_\mathfrak{o} M$ est plat. En particulier, pour tout $\mathfrak{o}$-module $\alpha$-plat $N$, $M \otimes_\mathfrak{o} N$ est sans torsion.

*Preuve.* En vertu de 3.2(ii), pour tout $\mathfrak{o}$-module $\alpha$-nul $N$, $M \otimes_\mathfrak{o} N$ est nul. La $R$-platitude de $M \otimes_\mathfrak{o} M$ résulte alors de la $\mathfrak{o}$-platitude de $M$. On sait qu'un $\mathfrak{o}$-module est plat si et seulement s'il est sans torsion [8, chap. VI, Section 3.6, lem. 1] ; d'où la deuxième assertion. □

PROPOSITION 3.13. Soit $M$ et $N$ deux $\mathfrak{o}_n$-modules (2.1) (resp. $\mathfrak{o}$-modules) $\alpha$-équivalents. Alors, la $\alpha$-platitude de $M$ est équivalente à celle de $N$.

*Preuve.* Supposons que $M$ soit $\alpha$-plat. Soit $f : N_1 \to N_2$ un morphisme injectif de $\mathfrak{o}_n$-modules. Pour tout $\gamma \in M$, il existe des morphismes $\mathfrak{o}$-linéaires $g : M \to N$ et $h : N \to M$ tels que $g \circ h = \gamma \text{id}_N$ et $h \circ g = \gamma \text{id}_M$. On a alors un
diagramme commutatif

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Comme Ker($M \otimes_{o_n} N_1 \to M \otimes_{o_n} N_2$) est $\alpha$-nul et $g \circ h = \gamma \mathrm{id}_N$, on en déduit que Ker($N \otimes_{o_n} N_1 \to N \otimes_{o_n} N_2$) est annulé par l'idéal $\gamma \mathfrak{m}$ de $\mathfrak{o}$. La $\alpha$-platitude de $N$ s'ensuit compte tenu du fait que $\mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m}$. La démonstration pour les $\mathfrak{o}$-modules est similaire. $\square$

COROLLAIRE 3.14. Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $M$ un $\mathfrak{o}_n$-module (resp. $\mathfrak{o}$-module) de type $\alpha$-fini. Pour que $M$ soit $\alpha$-plat, il faut et il suffit qu'il existe un entier $m \ge 0$ tel que $M \approx \mathfrak{o}_n^m$ (resp. $M \approx \mathfrak{o}^m$).

Preuve. Comme $p^n M = 0$, d'après **3.6**, il existe une suite décroissante de nombres réels $(r_i)_{i \ge 1}$ tendant vers 0 tels que $r_i \le n$ et que $M \approx \bigoplus_{i \ge 1} \mathfrak{o} / I_{r_i}$. Le $\mathfrak{o}$-module $\mathfrak{o} / I_n$ est $\alpha$-isomorphe à $\mathfrak{o}_n$. Soit $r$ un nombre réel tel que $0 < r < n$. Il est clair que $\mathfrak{o} / I_r$ n'est pas un $\mathfrak{o}_n$-module $\alpha$-plat. L'assertion pour les $\mathfrak{o}_n$-modules s'ensuit. La démonstration pour les $\mathfrak{o}$-modules est similaire. $\square$

LEMME 3.15. Soit $(M_n)_{n \ge 1}$ un système projectif de $\mathfrak{o}$-modules tel que, pour tout entier $n \ge 1$, $M_n$ soit un $\mathfrak{o}_n$-module $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini et que le morphisme canonique $M_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to M_n$ soit un $\alpha$-isomorphisme. On pose, pour tout entier $n \ge 1$, $N_n = \mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} M_n$, $\tilde{M} = \lim_{\leftarrow} M_n$ et $\hat{N} = \lim_{\leftarrow} N_n$. Alors :

(i) on a un $\alpha$-isomorphisme canonique $\tilde{N} \to \hat{M}$;

(ii) l'homomorphisme canonique $\tilde{N} / p^n \hat{N} \to N_n$ est un isomorphisme;

(iii) les $\mathfrak{o}$-modules $\tilde{N}$ et $\hat{M}$ sont $\alpha$-plats de type $\alpha$-fini.

Preuve. (i) Pour tout entier $n \ge 1$, le morphisme canonique $N_n \to M_n$ est un $\alpha$-isomorphisme (**3.13**). En vertu de **3.10**(ii), la limite projective induit un $\alpha$-isomorphisme canonique $\tilde{N} \to \hat{M}$.

(ii) D'après **3.2**(ii), le $\alpha$-isomorphisme $M_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to M_n$ induit un isomorphisme $N_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \xrightarrow{\sim} N_n$. On notera que, pour tout entier $n \ge 1$, $N_n$ est un $\mathfrak{o}_n$-module plat (**3.12**). Pour tous entiers $m, n \ge 1$, appliquant le foncteur
$N_{m+n} \otimes_{o_{m+n}}$ – à la suite exacte $0 \to o_m \xrightarrow{p^n} o_{m+n} \to o_n \to 0$, on en déduit une suite exacte :

$$0 \to N_m \xrightarrow{p^n} N_{m+n} \to N_n \to 0.$$

Le système projectif $(N_m)_{m \ge 1}$ vérifie la condition de Mittag-Leffler. On en déduit une suite exacte

$$0 \to \hat{N} \xrightarrow{p^n} \hat{N} \to N_n \to 0,$$

d'où l'assertion.

(iii) En vertu de (i) et 3.14, il suffit de démontrer l'assertion pour $\hat{N}$. La $\alpha$-finitude de $\hat{N}$ résulte de (ii) et 3.9. D'après 3.6, $\hat{N}$ est $\alpha$-équivalent à un $\mathfrak{o}$-module $\mathfrak{o}^m \oplus (\oplus_{i \ge 1} \mathfrak{o}/I_{r_i})$ avec $(r_i)_{i \ge 1}$ tendant vers 0. On en déduit que, pour tout entier $n \ge 1$, on a $\hat{N}/p^n \hat{N} \approx \mathfrak{o}_n^m \oplus (\oplus_{i \ge 1} (\mathfrak{o}/I_{r_i})/p^n(\mathfrak{o}/I_{r_i}))$. D'autre part, on notera qu'il existe un entier $l \ge 1$ tel que, pour tout entier $n \ge 1$, $N_n \approx \mathfrak{o}_n^l$ (3.14). En vertu de (ii), pour tout entier $i \ge 1$, on a donc $r_i = 0$; d'où la $\alpha$-platitude de $\hat{N}$. $\square$

REMARQUE 3.16. Sous les hypothèses de 3.15, la topologie $p$-adique de $\hat{N}$ est la limite projective des topologies discrètes sur les $N_n$.

3.17. Soit $V$ un $\mathfrak{C}$-espace vectoriel de dimension finie, $V^\circ$ un sous-$\mathfrak{o}$-module libre de type fini de $V$ qui l'engendre sur $\mathfrak{C}$. On appelle topologie $p$-adique sur $V$ l'unique topologie compatible avec sa structure de groupe additif pour laquelle les sous-groupes $(p^n V^\circ)_{n \ge 1}$ forment un système fondamental de voisinages de 0. Cette topologie ne dépend pas du choix de $V^\circ$ (cf. [4, II.2.2]). On notera que tout morphisme $\mathfrak{C}$-linéaire de $\mathfrak{C}$-espaces vectoriels de dimension finie est continu pour la topologie $p$-adique.

3.18. Dans la suite de cette section, on se donne un groupe profini $G$. Pour tout entier $n \ge 1$, on munit l'anneau $\mathfrak{o}_n = \mathfrak{o}/p^n\mathfrak{o}$ (resp. $\mathfrak{o}$, resp. $\mathfrak{C}$) de la topologie discrète (resp. de la topologie $p$-adique, resp. de la topologie $p$-adique (3.17)) et de l'action triviale de $G$.

Soit $n$ un entier $\ge 1$. Par $\mathfrak{o}_n$-représentation de $G$, on sous-entend un $\mathfrak{o}_n$-module $M$ muni de la topologie discrète et d'une action continue et $\mathfrak{o}_n$-linéaire de $G$. Un morphisme de $\mathfrak{o}_n$-représentations de $G$ est une application $\mathfrak{o}_n$-linéaire et $G$-équivariante. On désigne par $\text{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$ la catégorie des $\mathfrak{o}_n$-représentations de $G$.

On note $\mathfrak{o}$ le système projectif d'anneaux $(\mathfrak{o}_n)_{n \ge 1}$. On désigne par $\text{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)$ la catégorie des systèmes projectifs de $\mathfrak{o}[G]$-modules discrets $(V_n)_{n \ge 1}$ tels que, pour tout entier $n \ge 1$, $p^n V_n = 0$. Il est clair que les catégories $\text{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$ et $\text{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)$ sont abéliennes.
Par o-représentation continue de G, on sous-entend un o-module de type α-fini muni de la topologie p-adique et d'une action o-linéaire continue de G. Par C-représentation continue, on sous-entend un C-espace vectoriel de dimension finie muni de la topologie p-adique (3.17) et d'une action C-linéaire continue de G. Un morphisme de o-représentations (resp. C-représentations) continues de G est une application o-linéaire et G-équivariante. Une telle application est continue pour la topologie p-adique (cf. 3.17). On désigne par $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{cont}}(G)$ (resp. $\mathrm{Rep}_c^{\mathrm{cont}}(G)$) la catégorie des o-représentations (resp. C-représentations) continues de G.

LEMME 3.19. Soit V un objet de $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{cont}}(G)$ et W un sous-o-module de V stable par G. Alors, W (resp. V/W) est un o-module de type α-fini et la restriction de l'action de G sur W (resp. V/W) est continue pour la topologie p-adique.

*Preuve.* La α-finitude de W et V/W résulte de 3.7. La continuité de l'action de G pour la topologie p-adique de W s'ensuit compte tenu de 3.8(iv). Soit $\pi : V \to V/W$ la projection. Pour tout entier $n \ge 1$, on a $\pi(p^nV) = p^n(V/W)$. On en déduit la continuité de l'action de G sur V/W. $\square$

PROPOSITION 3.20. La catégorie $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{cont}}(G)$ est abélienne.

*Preuve.* Cette catégorie est clairement additive. Soit $f : V_1 \to V_2$ un morphisme de $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{cont}}(G)$. D'après 3.19, on définit Ker($f$) (resp. Coker($f$)) par le o-module Ker($V_1 \to V_2$) (resp. Coker($V_1 \to V_2$)) muni de la topologie p-adique et de l'action de G induite par $V_1$ (resp. $V_2$). Il est clair que le morphisme canonique $\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f)$ est un isomorphisme. $\square$

3.21. Soit $n$ un entier $\ge 1$. On désigne par $\mathrm{Rep}_{o_n}^{\mathrm{ltf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{o_n}(G)$ formée des $o_n$-représentations dont le $o_n$-module sous-jacent est libre de type fini et par $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{ltf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_o^{\mathrm{cont}}(G)$ formée des o-représentations continues dont le o-module sous-jacent est libre de type fini.

On désigne par $\mathrm{Rep}_{\tilde{o}}^{\mathrm{ltf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{\tilde{o}}(G)$ formée des systèmes projectifs $(V_n)_{n \ge 1}$ tels que, pour tout entier $n \ge 1$, $V_n$ soit un objet de $\mathrm{Rep}_{o_n}^{\mathrm{ltf}}(G)$ et que le morphisme canonique $V_{n+1} \otimes_{o_{n+1}} o_n \xrightarrow{\sim} V_n$ soit un isomorphisme de $o_n$-représentations de G.

Le foncteur limite projective induit une équivalence de catégories

$$ \mathrm{Rep}_{\tilde{o}}^{\mathrm{ltf}}(G) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}_{o}^{\mathrm{ltf}}(G). \qquad (3.21.1) $$

En effet, le foncteur $\mathrm{Rep}_{\tilde{o}}^{\mathrm{ltf}}(G) \to \mathrm{Rep}_{o}^{\mathrm{ltf}}(G)$, défini par $V \mapsto (V/p^nV)_{n \ge 1}$, est un quasi-inverse de (3.21.1). Pour tout objet V de $\mathrm{Rep}_{\tilde{o}}^{\mathrm{ltf}}(G)$, on note $V[\frac{1}{p}]$ la C-représentation continue associée. Le foncteur canonique $\mathrm{Rep}_{\tilde{o}}^{\mathrm{ltf}}(G) \to \mathrm{Rep}_{c}^{\mathrm{cont}}(G)$
induit une équivalence de catégories :

$$ \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{ltf}}(G)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}_{\mathfrak{e}}^{\mathrm{cont}}(G), \qquad (3.21.2) $$

où la source désigne la catégorie des objets de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{ltf}}(G)$ à isogénie près (cf. [12, prop. 22]).

3.22. Prenant pour $\varphi$ l'un des homomorphismes canoniques $\mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)})$, $\mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)})$ ou $\mathfrak{o} \to \mathrm{End}(\mathrm{id}_{\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{cont}}(G)})$, on peut considérer les notions introduites dans 2.18 pour les catégories abéliennes $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$, $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)$ et $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{cont}}(G)$. Un morphisme de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$ (resp. $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{cont}}(G)$) est un $\alpha$-isomorphisme si et seulement s'il induit un $\alpha$-isomorphisme sur les modules sous-jacents. Un morphisme $(f_n)_{n \ge 1}$ de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)$ est un $\alpha$-isomorphisme si et seulement si, pour tout entier $n \ge 1$, $f_n$ est un $\alpha$-isomorphisme de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$.

3.23. Soit $n$ un entier $\ge 1$. On désigne par $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}(G)$ formée des $\mathfrak{o}_n$-représentations dont le $\mathfrak{o}_n$-module sous-jacent est $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini (3.14) et par $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{cont}}(G)$ formée des $\mathfrak{o}$-représentations continues de $G$ dont le $\mathfrak{o}$-module sous-jacent est $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini.

On désigne par $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}(G)$ formée des systèmes projectifs de représentations $(V_n)_{n \ge 1}$ tels que, pour tout entier $n \ge 1$, $V_n$ soit un objet de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$ et que le morphisme canonique $V_{n+1} \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to V_n$ soit un $\alpha$-isomorphisme (3.22).

En munissant $m$ de l'action triviale de $G$, d'après 3.15 et 3.16, le foncteur limite projective induit un foncteur

$$ F_1 : \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G) \quad (V_n)_{n \ge 1} \mapsto \lim_{\leftarrow\leftarrow} m \otimes_{\mathfrak{o}} V_n. \qquad (3.23.1) $$

D'autre part, on a un foncteur

$$ F_2 : \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G) \quad V \mapsto (V/p^nV)_{n \ge 1}. \qquad (3.23.2) $$

En vertu de 3.8(i)–(ii), on a un foncteur canonique

$$ \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathfrak{e}}^{\mathrm{cont}}(G) \quad V \mapsto V\left[\frac{1}{p}\right]. \qquad (3.23.3) $$

On désigne par $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}}$ (resp. $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}}$) la catégorie des objets de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$ (resp. $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\alpha\mathrm{ptf}}(G)$) à isogénie près.

**LEMME 3.24.** (i) Le foncteur $F_1$ envoie les $\alpha$-isomorphismes sur des isomorphismes.
(ii) Soit $(V_n)_{n \ge 1}$ un objet de $\mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)$. On a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$F_2(F_1((V_n)_{n \ge 1})) \xrightarrow{\sim} (\mathfrak{m} \otimes_0 V_n)_{n \ge 1}$$

et un $\alpha$-isomorphisme canonique $(\mathfrak{m} \otimes_0 V_n)_{n \ge 1} \to (V_n)_{n \ge 1}$.

**Preuve.** L'assertion (i) résulte de 3.2(ii) et l'assertion (ii) résulte de (3.1.3) et 3.15(ii). □

**LEMME 3.25.** Soit $V$ un objet de $\mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)$. On munit $\mathfrak{m} \otimes_0 V$ de la topologie p-adique et de l'action canonique de $G$. Alors :

(i) on a un isomorphisme canonique fonctoriel $\mathfrak{m} \otimes_0 V \xrightarrow{\sim} F_1(F_2(V))$;

(ii) le $\alpha$-isomorphisme canonique $\mathfrak{m} \otimes_0 V \to V$ est injectif.

**Preuve.** (i) D'après 3.8(iii), on a un isomorphisme canonique et fonctoriel de $\alpha$-représentations continues $\mathfrak{m} \otimes_0 V \xrightarrow{\sim} \mathfrak{m} \otimes_0 \overline{V} \simeq \lim_{\leftarrow\rightleftharpoons} \mathfrak{m} \otimes_0 (V/p^nV)$ ; d'où l'assertion.

(ii) Le noyau du morphisme $\mathfrak{m} \otimes_0 V \to V$ est $\alpha$-nul. La proposition résulte du fait que le $\alpha$-module $\mathfrak{m} \otimes_0 V$ n'a pas de torsion (3.12). □

**COROLLAIRE 3.26.** *Les foncteurs $F_1$ et $F_2$ induisent des équivalences de catégories quasi inverses l'une de l'autre*

$$\mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} \mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}}, \quad \mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} \mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}}.$$

**Preuve.** En vertu de 2.19, tout $\alpha$-isomorphisme est une isogénie. L'assertion résulte alors de 3.24 et 3.25. □

**PROPOSITION 3.27.** *Le foncteur canonique (3.23.3) induit une équivalence de catégories*

$$\mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)_{\mathbb{Q}} \to \mathbf{Rep}_c^{\text{cont}}(G). \qquad (3.27.1)$$

**Preuve.** L'essentielle surjectivité résulte de (3.21.2). Soit $V_1$ et $V_2$ deux objets de $\mathbf{Rep}_0^{\alpha\text{ptf}}(G)$. Il suffit de démontrer que le morphisme canonique

$$\mathrm{Hom}_G(V_1, V_2) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \to \mathrm{Hom}_G\left(V_1\left[\frac{1}{p}\right], V_2\left[\frac{1}{p}\right]\right) \qquad (3.27.2)$$

est un isomorphisme. D'après 3.25(ii), on a une suite exacte de $\mathbf{Rep}_0^{\text{cont}}(G)$

$$0 \to \mathfrak{m} \otimes_0 V_2 \to V_2 \to k \otimes_0 V_2 \to 0.$$
On en déduit une suite exacte

$$0 \to \operatorname{Hom}_G(V_1, \mathfrak{m} \otimes_o V_2) \to \operatorname{Hom}_G(V_1, V_2) \to \operatorname{Hom}_G(V_1, k \otimes_o V_2).$$

Comme $k \otimes_o V_2$ est $\alpha$-nul, on a des isomorphismes $(\mathfrak{m} \otimes_o V_2)[\frac{1}{p}] \to V_2[\frac{1}{p}]$ et $\operatorname{Hom}_G(V_1, \mathfrak{m} \otimes_o V_2) \otimes_Z \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_G(V_1, V_2) \otimes_Z \mathbb{Q}$. D'après 3.12, on peut donc se ramener au cas où $V_2$ est sans torsion.

On note $V_{1,tor}$ le sous-module de torsion de $V_1$ et on le munit de la topologie $p$-adique et de l'action continue de $G$ induite par $V_1$ (3.20). On a alors des isomorphismes

$$\operatorname{Hom}_G(V_1/V_{1,tor}, V_2) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_G(V_1, V_2)$$

et $V_1[\frac{1}{p}] \xrightarrow{\sim} (V_1/V_{1,tor})[\frac{1}{p}]$. On peut donc se ramener au cas où $V_1$ est sans torsion.

Comme $V_1$ et $V_2$ sont isogènes à des $\mathfrak{o}$-modules libres de type fini (3.14), on a un isomorphisme canonique

$$\operatorname{Hom}_o(V_1, V_2) \otimes_Z \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_c\left(V_1\left[\frac{1}{p}\right], V_2\left[\frac{1}{p}\right]\right). \quad (3.27.3)$$

On en déduit l'injectivité de (3.27.2). Étant donné une application $\mathfrak{C}$-linéaire et $G$-équivariante $f : V_1[\frac{1}{p}] \to V_2[\frac{1}{p}]$, il existe une application $\mathfrak{o}$-linéaire $g : V_1 \to V_2$ telle que $g[\frac{1}{p}] = f$. Comme les actions de $G$ sur $\mathfrak{o}$ et $\mathfrak{C}$ sont trivialles et les $\mathfrak{o}$-modules sous-jacents à $V_1$ et $V_2$ n'ont pas de torsion, l'application $g$ est $G$-équivariante ; d'où la surjectivité de (3.27.2). $\square$

LEMME 3.28. Soit $X$ un schéma connexe et $\bar{x}$ un point géométrique de $X$. Pour tout entier $n \ge 1$, on note encore $\mathfrak{o}_n$ le faisceau d'anneaux constant de $X_{\text{fét}}$ de valeur $\mathfrak{o}_n$ et on note $\mathfrak{o}$ l'anneau $(\mathfrak{o}_n)_{n \ge 1}$ de $X_{\text{fét}}^{\mathbb{N}}$.

(i) Pour qu'un $\mathfrak{o}_n$-module $\mathbb{L}$ de $X_{\text{fét}}$ soit localement libre de type fini, il faut et il suffit que sa fibre $\mathbb{L}_{\bar{x}}$ en $\bar{x}$ soit un $\mathfrak{o}_n$-module libre de type fini.

(ii) Pour qu'un $\mathfrak{o}$-module $\mathbb{L} = (\mathbb{L}_n)_{n \ge 1}$ soit localement libre de type fini, il faut et il suffit que $\mathbb{L}$ soit adique et que pour tout entier $n \ge 1$, le $\mathfrak{o}_n$-module $\mathbb{L}_n$ soit localement libre de type fini.

Preuve. L'assertion (i) est démontrée dans [4, III.2.11]. En calquant la démonstration de [4, III.7.19, 7.20], on vérifie l'assertion (ii). $\square$

3.29. Conservons les notations de 3.28 et reprenons de plus celles de 3.21 pour $G = \pi_1(X, \bar{x})$. Soit $n$ un entier $\ge 1$. La restriction du foncteur $\mu_{\bar{x}} : \mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})} \xrightarrow{\sim} X_{\text{fét}}$
(2.14.2) à la sous-catégorie $\mathbf{Rep}_{o_n}(\pi_1(X, \bar{x}))$ de $\mathbf{B}_{\pi_1(X, \bar{x})}$ induit une équivalence de catégories

$$ \mathbf{Rep}_{o_n}(\pi_1(X, \bar{x})) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}(X_{\text{f\'et}}, o_n). \qquad (3.29.1) $$

D'après 3.28(i), celle-ci induit une équivalence de catégories (2.9, 3.21)

$$ \mu_{\bar{x}} : \mathbf{Rep}_{o_n}^{\text{ltf}}(\pi_1(X, \bar{x})) \xrightarrow{\sim} \mathbf{LL}^{\text{tf}}(X_{\text{f\'et}}, o_n). \qquad (3.29.2) $$

D'après (3.21.1) et 3.28(ii), les foncteurs (3.29.2) induisent une équivalence de catégories

$$ \check{\mu}_{\bar{x}} : \mathbf{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\text{ltf}}(\pi_1(X, \bar{x})) \xrightarrow{\sim} \mathbf{LL}^{\text{tf}}(X_{\text{f\'et}}^{\mathfrak{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}). \qquad (3.29.3) $$

On désigne par $\mathbf{LL}_{\mathfrak{Q}}^{\text{tf}}(X_{\text{f\'et}}^{\mathfrak{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}})$ la catégorie des $\check{\mathfrak{o}}$-modules localement libres de type fini de $X_{\text{f\'et}}^{\mathfrak{N}^{\circ}}$ à isogénie près. D'après (3.21.2), le foncteur (3.29.3) induit une équivalence de catégories

$$ \check{\mu}_{\bar{x}, \mathfrak{Q}} : \mathbf{Rep}_{\mathfrak{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(X, \bar{x})) \xrightarrow{\sim} \mathbf{LL}_{\mathfrak{Q}}^{\text{tf}}(X_{\text{f\'et}}^{\mathfrak{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}). \qquad (3.29.4) $$

3.30. Soit $W$ un objet de $\mathbf{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\text{ltf}}(\pi_1(X, \bar{x}))$ et $V$ une $\mathfrak{C}$-représentation continue de $\pi_1(X, \bar{x})$. Pour tout $i \ge 0$, on désigne par $H_{\text{cont}}^i(\pi_1(X, \bar{x}), W)$ (resp. $H_{\text{cont}}^i(\pi_1(X, \bar{x}), V)$) le groupe de cohomologie continue de $\pi_1(X, \bar{x})$ à valeurs dans $W$ (resp. $V$) (cf. [45, Section 2] ou [4, II.3.8]).

Posons $\mathcal{L} = \check{\mu}_{\bar{x}}(W)$ (3.29.3). D'après (3.29.1), [4, II.3.10 et III.7.11], on a un isomorphisme canonique

$$ H_{\text{cont}}^{i}(\pi_{1}(X, \bar{x}), W) \xrightarrow{\sim} H^{i}(X_{\text{f\'et}}^{\mathfrak{N}^{\circ}}, \mathcal{L}). \qquad (3.30.1) $$

## 4. Compléments de géométrie rigide

4.1. Soit $\mathcal{S} = \text{Spf}(\mathfrak{o})$ et $\mathcal{X}$ un $\mathcal{S}$-schéma formel de présentation finie. Pour tout $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$, on pose

$$ \mathcal{F}\left[\frac{1}{p}\right] = \mathcal{F} \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p. \qquad (4.1.1) $$

Celui-ci est canoniquement isomorphe à la clôture rigide de $\mathcal{F}$ [2, 2.10.1], [4, III.6.15]. On note $\mathbf{Mod}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}])$ la catégorie des $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-modules cohérents et $\mathbf{Mod}_{\mathfrak{Q}}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_X)$ la catégorie des $\mathcal{O}_X$-modules cohérents à isogénie près. Alors le foncteur canonique

$$ \mathbf{Mod}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \to \mathbf{Mod}^{\text{coh}}\left(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}\left[\frac{1}{p}\right]\right), \quad \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}\left[\frac{1}{p}\right], $$
induit une équivalence de catégories [4, III.6.16]

$$ \mathbf{Mod}_{\mathcal{Q}}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}\left(\mathcal{O}_{\mathcal{X}}\left[\frac{1}{p}\right]\right). \qquad (4.1.2) $$

4.2. On désigne par $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}$ l'espace rigide cohérent associé à $\mathcal{X}$ [2, 4.1.6] et par $\mathcal{X}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{rig}}$ le topos admissible de $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}$ [2, 4.4.1]. On pose $\Theta = \mathcal{F}^{\mathrm{rig}}$. Pour tout $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-module $\mathcal{F}$, on peut lui associer un faisceau $\mathcal{F}^{\mathrm{rig}}$ de $\mathcal{X}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{rig}}$ [2, 4.7.4]. Le faisceau $(\mathcal{O}_{\mathcal{X}})^{\mathrm{rig}}$ est un anneau de $\mathcal{X}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{rig}}$ que l'on note $\mathcal{O}_{\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}}$ [2, 4.7.5]. On a un morphisme canonique de topos annelés [2, (4.7.5.1)]

$$ \varrho_{\mathcal{X}} : (\mathcal{X}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{rig}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}}) \to (\mathcal{X}_{\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}\left[\frac{1}{p}\right]). \qquad (4.2.1) $$

Celui-ci induit un morphisme canonique de topos annelés [2, (4.7.5.2)]

$$ \rho_{\mathcal{X}} : (\mathcal{X}_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{rig}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}}) \to (\mathcal{X}_{\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}). $$

Pour tout $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-module cohérent $\mathcal{F}$, on a un isomorphisme canonique [2, 4.7.25]

$$ \rho_{\mathcal{X}}^{*}(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}^{\mathrm{rig}}. \qquad (4.2.2) $$

4.3. Soit $V$ un $\mathbb{C}$-schéma séparé de type fini. On peut lui associer un $\Theta$-espace rigide quasi séparé $V^{\mathrm{an}}$ [2, 7.4.12]. On désigne par $V_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{an}}$ le topos admissible de $V^{\mathrm{an}}$ [2, 7.3.4] et $\mathcal{O}_{V^{\mathrm{an}}}$ l'anneau structural de $V^{\mathrm{an}}$ [2, 7.3.8]. On a un morphisme de topos annelés (le morphisme de GAGA [2, (7.6.2.4)]) :

$$ \Phi_V : (V_{\mathrm{ad}}^{\mathrm{an}}, \mathcal{O}_{V^{\mathrm{an}}}) \to (V_{\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_V). $$

Si $F$ est un $\mathcal{O}_V$-module, on pose $F^{\mathrm{an}} = \Phi_V^*(F)$ (l'image réciproque étant prise au sens des modules). L'anneau $\mathcal{O}_{V^{\mathrm{an}}}$ est cohérent (cf. [2, 7.3.10 et 7.3.11]). On désigne par $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_V)$ (resp. $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_{V^{\mathrm{an}}})$) la catégorie des $\mathcal{O}_V$-modules (resp. $\mathcal{O}_{V^{\mathrm{an}}}$-modules) cohérents [2, 7.3.10].

4.4. Soit $X$ un $\tilde{S}$-schéma séparé et de présentation finie (2.1), $\tilde{X}$ le schéma formel complété $p$-adique de $X$ et $V = X \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}$. On a un $\Theta$-morphisme canonique [2, 7.4.12.2]

$$ \tilde{X}^{\mathrm{rig}} \to V^{\mathrm{an}}. \qquad (4.4.1) $$

Si $X$ est propre sur $\tilde{S}$, celui-ci est un isomorphisme et, par suite, $V^{\mathrm{an}}$ est cohérent [2, 7.4.14]. Soit $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-module cohérent et $\tilde{\mathcal{F}}$ son complété $p$-adique. On a un isomorphisme fonctoriel [2, 7.6.7]

$$ \tilde{\mathcal{F}}^{\mathrm{rig}} \xrightarrow{\sim} (\mathcal{F}|V)^{\mathrm{an}}|\tilde{X}^{\mathrm{rig}}. \qquad (4.4.2) $$
**PROPOSITION 4.5.** *Soit V un $\mathfrak{C}$-schéma séparé de type fini et F un $\mathcal{O}_V$-module cohérent. Si $F^{\text{an}} = 0$, F est également nul.*

*Preuve.* Le support de $F$ est un sous-ensemble fermé de $V$. Comme chaque sous-ensemble fermé de $V$ a un point fermé, il suffit de démontrer que, pour tout point fermé $P$ de $V$, $F_P$ est nul.

Soit $P$ un $\mathfrak{C}$-point de $V$ et $Q : \Theta \to V^{\text{an}}$ le morphisme d'espaces rigides associé [2, 7.4.12]. D'après [2, 7.4.12.3], il existe un $\tilde{\mathfrak{S}}$-schéma $X$ séparé de présentation finie et de fibre générique $V$ tel que $Q$ se factorise en un morphisme $\Theta \to \tilde{X}^{\text{rig}}$ que l'on note encore $Q$, suivi du morphisme canonique $\tilde{X}^{\text{rig}} \to V^{\text{an}}$ (4.4.1). D'après [2, 3.3.12 et 4.1.20], il existe un unique point rigide $\mathcal{Q} : \mathcal{S} \to \tilde{X}$ [2, 3.3.1] tel que $Q = \mathcal{Q}^{\text{rig}}$.

Pour démontrer que $F_P$ est nul, on peut se ramener au cas où $X = \text{Spec}(A)$ est affine. On note $\tilde{A}$ le complété $p$-adique de $A$ et on pose $B = A[\frac{1}{p}]$, $B' = \tilde{A}[\frac{1}{p}]$ et $f : B \to B'$ le morphisme canonique. Le point rigide $\mathcal{Q}$ de $\tilde{X}$ correspond à un idéal maximal $q$ de $B'$ (cf. [2, 3.3.2]). D'après [2, 1.12.11(i)], $\mathfrak{p} = f^{-1}(q)$ est l'idéal maximal de $B$ correspondant au point fermé $P$.

Il existe un $\mathcal{O}_X$-module cohérent $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{F} \otimes_{\mathfrak{o}} \mathcal{C} \simeq F$ [2, 2.6.23]. En vertu de (4.4.2), on a un isomorphisme $\mathcal{F}^{\text{rig}} \xrightarrow{\sim} F^{\text{an}}|_{\tilde{X}^{\text{rig}}}$. On en déduit que $\mathcal{F}^{\text{rig}} = 0$. Il existe un $A$-module cohérent $M$ tel que $\mathcal{F}$ soit isomorphe au $\mathcal{O}_X$-module associé à $M$. Notons $\tilde{M}$ le complété $p$-adique de $M$. D'après [2, 1.12.16], le couple $(A, pA)$ vérifie la condition de Krull [2, 1.8.25] et on a alors un isomorphisme

$$M \otimes_A \tilde{A} \xrightarrow{\sim} \tilde{M}.$$

D'après [2, 4.8.24], le $B'$-module $\tilde{M}[\frac{1}{p}]$ est nul. On en déduit que

$$(M[\frac{1}{p}])_{\mathfrak{p}} \otimes_{B_{\mathfrak{p}}} B'_{\mathfrak{q}} \simeq (\tilde{M}[\frac{1}{p}])_{\mathfrak{q}}$$

est nul. D'après [2, 1.12.17], le morphisme canonique $A \to \tilde{A}$ est plat. Il en est de même du morphisme local $B_{\mathfrak{p}} \to B'_{\mathfrak{q}}$. En vertu de [26, 6.6.1], $B'_{\mathfrak{q}}$ est fidèlement plat sur $B_{\mathfrak{p}}$. Le $B_{\mathfrak{p}}$-module $(M[\frac{1}{p}])_{\mathfrak{p}} \simeq F_P$ est alors nul, d'où la proposition. $\square$

**COROLLAIRE 4.6.** *Sous les hypothèses de 4.5, le foncteur*

$$\Phi_V^* : \mathbf{Mod}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_V) \to \mathbf{Mod}^{\text{coh}}(\mathcal{O}_{V\text{an}}) \quad F \mapsto F^{\text{an}} \quad (4.6.1)$$

est exact et fidèle.

*Preuve.* Cela résulte de **4.5** et [2, 7.6.8]. $\square$
**PROPOSITION 4.7.** *Soit V un schéma séparé de type fini sur $\mathbb{C}$ et F un $\mathcal{O}_X$-module cohérent. Pour que F soit plat, il faut et il suffit que $F^{\text{an}}$ soit un $\mathcal{O}_{V^{\text{an}}}$-module plat.*

*Preuve.* Si $F$ est plat, c'est alors un fibré vectoriel sur $V$. On en déduit que $F^{\text{an}}$ est localement libre de type fini et qu'il est plat.

Supposons que $F^{\text{an}}$ soit plat. Soit $U$ un ouvert de $V$, $F_U$ la restriction de $F$ à $U$ et $F_U^{\text{an}} = \Phi_U^*(F)$ (4.6.1). Le $\mathcal{O}_{U^{\text{an}}}$-module $F_U^{\text{an}}$ s'identifie à la restriction de $F^{\text{an}}$ sur $U^{\text{an}}$. Comme $U_{\text{ad}}^{\text{an}}$ a suffisamment de points [2, 7.3.14], $F_U^{\text{an}}$ est un $\mathcal{O}_{U^{\text{an}}}$-module plat. Comme le foncteur $\Phi_U^*(4.6.1)$ est exact et fidèle, on en déduit que le foncteur

$$F_U \otimes_{\mathcal{O}_U} : \mathrm{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_U) \to \mathrm{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_U)$$

est exact. La proposition s'ensuit compte tenu de [2, 1.3.17]. □

**5. Rappel sur les courbes**

5.1. Dans cet article, une courbe sur un corps $F$ est un schéma séparé de type fini et géométriquement connexe sur $F$ de dimension 1. Une courbe propre sur un corps algébriquement clos est dite semi-stable si elle est réduite et a pour seules singularités des points doubles ordinaires. On notera que cette définition est moins restrictive que la définition classique puisque l'on n'impose aucune condition sur l'intersection avec les composantes rationnelles.

5.2. Soit $T = \text{Spec}(R)$ le spectre d'un anneau de valuation $R$ de hauteur 1, de corps des fractions $F$, et $\bar{F}$ une clôture algébrique de $F$. On note $\tau$ (resp. $t$) le point générique (resp. fermé) de $T$ et $\bar{\tau}$ le point géométrique générique correspondant à $\bar{F}$.

Une $T$-courbe est un $T$-schéma plat, séparé, de présentation finie et de dimension relative 1 dont la fibre générique est une courbe lisse sur $F$. Une $T$-courbe $f : X \to T$ est propre (resp. régulière, resp. normale) si $f$ est propre (resp. $X$ est régulier, resp. $X$ est normal). D'après [31, Section 4, 3.8], toute $T$-courbe est irréductible et réduite. D'après la factorisation de Stein [24, 4.3.1], la fibre spéciale d'une $T$-courbe propre est géométriquement connexe et est donc une $t$-courbe propre (5.1). On dit qu'une $T$-courbe $X_1$ domine une autre $T$-courbe $X_2$ s'il existe un $T$-morphisme dominant de $X_1$ dans $X_2$.

On dit qu'une $T$-courbe est semi-stable si elle est propre et si sa fibre spéciale géométrique est une courbe semi-stable. On dit qu'une $T$-courbe $X$ est cohomologiquement plate en dimension 0 si elle est propre et si le faisceau $\mathcal{O}_X$ est cohomologiquement plat sur $T$ en dimension 0, i.e. si le morphisme structural $\lambda : X \to T$ induit un isomorphisme $\mathcal{O}_T \to \lambda_*(\mathcal{O}_X)$ universellement [24, 7.8.1]. On
notera qu'une *T*-courbe propre à fibres géométriquement réduites (en particulier une *T*-courbe semi-stable) est cohomologiquement plate en dimension 0 (cf. [24, 7.8.6]).

Une *T*-courbe propre *X* est appelée *modèle* (resp. *T*-modèle) de sa fibre générique (resp. de sa fibre géométrique générique). Soit *C* une courbe propre et lisse sur $\overline{F}$. On dit qu'un *T*-modèle $X_1$ de *C* domine un autre *T*-modèle $X_2$ de *C* s'il existe un *T*-morphisme de $X_1$ dans $X_2$ induisant un isomorphisme entre les fibres génériques.

5.3. Pour toute *T*-courbe semi-stable *X*, le foncteur de Picard relatif $\text{Pic}_{X/T}^0$ (2.7) est représentable par un *T*-schéma semi-abélien (cf. [7, 9.4.1]). Si $T = \tilde{S}$ (2.1), on a $\text{Pic}(\tilde{S}) = 0$ et donc un isomorphisme canonique $\text{Pic}(X) \xrightarrow{\sim} \text{Pic}_{X/\tilde{S}}(\tilde{S})$ (cf. [7, 8.1, Prop. 4]).

**DÉFINITION 5.4.** Soit $(T, \tau)$ comme dans **5.2** et $X$ une *T*-courbe propre.

(i) On appelle **τ-revêtement** de *X* la donnée d'un *T*-morphisme propre de présentation finie de *T*-courbes $\varphi : Y \to X$ tel que le morphisme $\varphi_\tau : Y_\tau \to X_\tau$ soit un revêtement étale.

(ii) Soit $\varphi : Y \to X$ un $\tau$-revêtement. Si la $T$-courbe propre $Y$ est cohomologiquement plate en dimension 0 (resp. a des fibres géométriquement réduites, resp. est semi-stable, resp. est régulière), on dit que $\varphi : Y \to X$ est un $\tau$-revêtement cohomologiquement plat en dimension 0 (resp. à fibres géométriquement réduites, resp. semi-stable, resp. régulier) et en abrégé un $\tau$-revêtement c.p.d.0.

(iii) On dit qu'un $\tau$-revêtement $\varphi : Y \to X$ est fini si le morphisme sous-jacent $Y \to X$ est fini.

(iv) Soit $\varphi : Y \to X$ un $\tau$-revêtement. Si $\varphi_\tau : Y_\tau \to X_\tau$ est un revêtement étale et galoisien de groupe des automorphismes $G$ et si l'action de $G$ sur $Y_\tau$ s'étend en une $X$-action sur $Y$, on dit que $\varphi : Y \to X$ est un $\tau$-revêtement *galoisien*.

Soit $\varphi_1 : Y_1 \to X$ et $\varphi_2 : Y_2 \to X$ deux $\tau$-revêtements de $X$. *Un morphisme de $\varphi_1$ dans $\varphi_2$ est un $X$-morphisme* $\pi : Y_1 \to Y_2$. On notera alors que $Y_1$ domine $Y_2$ et on dira que $\varphi_1$ *domine* $\varphi_2$. Supposons de plus que $\varphi_1$ et $\varphi_2$ soient galoisiens. Alors, le morphisme $\pi_\tau : Y_{1,\tau} \to Y_{2,\tau}$ est un revêtement galoisien. Notons $u : \text{Aut}(Y_{1,\tau}/X_\tau) \to \text{Aut}(Y_{2,\tau}/X_\tau)$ l'homomorphisme induit par $\pi_\tau$. On dit que $\pi$ est équivariant s'il est $u$-équivariant.
THÉORÈME 5.5 (Grothendieck; cf. [1] pour $g(C) \ge 2$ et [31], Section 10.2, pour $g(C) = 1$). Pour toute $\overline{K}$-courbe propre et lisse $C$ (2.1), il existe un trait $S'$ fini sur $S$ tel que $C$ admette un $S'$-modèle semi-stable.

5.6. Soit $X$ une $S$-courbe propre. Une désingularisation de $X$ est un modèle régulier de $X_\eta$ dominant $X$. On sait qu'il existe une désingularisation de $X$ (cf. [31, Section 8, 3.44]). Si le genre de $X_\eta$ est $\ge 1$, grâce au critère de contraction de Castelnuovo (cf. [31, Section 9, 3.21]), on peut construire une désingularisation minimale $Y$ de $X$ unique à isomorphisme près, c'est-à-dire que toute désingularisation $Y' \to X$ se factorise d'une façon unique à travers $Y$. D'après [31, Section 9, 3.13], tout $\eta$-automorphisme de $X_\eta$ s'étend en un $S$-automorphisme de la désingularisation minimale de $X$.

PROPOSITION 5.7 [32, 2.7 et 2.8]. Soit $X$ une $S$-courbe propre. Il existe un trait $S'$ fini sur $S$ tel que $X_{S'}$ soit dominé par un $S'$-modèle semi-stable et régulier $X'$ de $X_{\bar{\eta}}$. Si le genre de $X_\eta$ est $\ge 1$, on peut trouver $S'$ de sorte que $X'$ soit la désingularisation minimale de $X_{S'}$.

COROLLAIRE 5.8. Soit $C$ une $\overline{K}$-courbe propre et lisse, $X_1$ et $X_2$ deux $S$-modèles de $C$. Il existe un trait $S'$ fini sur $S$ et un $S'$-modèle $X_3$ semi-stable et régulier de $C$ dominant $X_{1,S'}$ et $X_{2,S'}$.

Preuve. Il existe un $S$-modèle $X$ de $C$ dominant $X_1$ et $X_2$ [12, prop. 20]. L'assertion résulte alors de 5.7. □

5.9. On dit qu'un $S$-schéma $X$ a une réduction semi-stable si, localement pour la topologie étale, $X$ est isomorphe à un $S$-schéma de la forme

$$ \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K[t_1, \dots, t_m]/(t_1 \dots t_n - \pi)), \qquad (5.9.1) $$

où $\pi$ est une uniformisante de $\mathcal{O}_K$, et $m$ et $n$ sont des entiers vérifiant $m \ge n \ge 1$. On notera qu'une $S$-courbe propre admet une réduction semi-stable si et seulement si elle est semi-stable et régulière (cf. [40, 1.6]).

5.10. Soit $X$ une $S$-courbe à fibres géométriquement réduites. D'après [31, Section 4, 1.18], pour tout trait $S'$ fini sur $S$, le schéma $X_{S'}$ est normal. On en déduit par passage à la limite projective que le schéma $\overline{X} = X \times_S \overline{S}$ (2.1.1) est normal.

PROPOSITION 5.11. Soit $X$ une $S$-courbe propre.

(i) Étant donné un nombre fini de $\eta$-revêtements (resp. $\eta$-revêtements galoisiens)
est commutatif, il en est de même de (5.11.1) en vertu de [26, 8.2.2.1]). □

COROLLAIRE 5.12. *Soit X une $\overline{S}$-courbe propre.*

(i) Étant donné un nombre fini de $\bar{\eta}$-revêtements de X, il existe un $\bar{\eta}$-revêtement semi-stable et galoisien de X qui les domine tous.

(ii) *Tout $\bar{\eta}$-revêtement $\varphi : Y \to X$ fini et galoisien est dominé par un $\bar{\eta}$-revêtement fini, galoisien et à fibres géométriquement réduites.*

*Preuve.* D’après la théorie de la descente [25, 8.8.3 et 8.10.5], quitte à remplacer $\overline{S}$ par une extension finie, tout $\bar{\eta}$-revêtement (resp. $\bar{\eta}$-revêtement fini, resp. $\bar{\eta}$-revêtement fini et galoisien) de X se descend en un $\eta$-revêtement (resp. $\eta$-revêtement fini, resp. $\eta$-revêtement fini et galoisien). Le corollaire résulte alors de 5.11. □

5.13. *Soit X une $\tilde{S}$-courbe projective et de présentation finie et $C = X_{\tilde{\eta}}^{\zeta}$ (2.1).* L’anneau $\mathcal{o}$ est universellement cohérent [2, 1.12.15]. Par suite, l’anneau $\mathcal{O}_X$ est cohérent. On note $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X)$ (resp. $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_C)$) la catégorie des $\mathcal{O}_X$-modules (resp. $\mathcal{O}_C$-modules) cohérents et $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}_{\mathcal{Q}}(\mathcal{O}_X)$ la catégorie de $\mathcal{O}_X$-modules cohérents à isogénie près. D’après [2, 2.6.23], tout $\mathcal{O}_C$-module cohérent se prolonge en un $\mathcal{O}_X$-module cohérent. Étant donné deux objets $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$ de $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X)$, on a un isomorphisme

$$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}') \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_C}(\mathcal{F}_{\tilde{\eta}}, \mathcal{F}_{\tilde{\eta}}'). \quad (5.13.1) $$

Celui-là implique que $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$ sont isogènes dans $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X)$ si et seulement si leurs fibres génériques sont isomorphes sur $C$. Le foncteur canonique $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_C)$ induit alors une équivalence de catégories

$$ \mathbf{Mod}_{\mathbb{Q}}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_C). \quad (5.13.2) $$

5.14. *Conservons les notations de 5.13.* On pose $\mathcal{S} = \mathrm{Spf}(\mathcal{o})$ et on note $\mathfrak{X}$ le schéma formel complété $p$-adique de $X$ qui est propre et de présentation finie sur $\mathcal{S}$. En particulier, $\mathcal{O}_X$ est cohérent [2, 2.8.1]. Pour tout $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}$, on note $\hat{\mathcal{F}}$ son complété $p$-adique. On note $\mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X)$ la catégorie des $\mathcal{O}_X$-modules cohérents. Comme $X$ est projectif et de présentation finie sur $\tilde{S}$, le foncteur

$$ \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X) \to \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{F} \mapsto \hat{\mathcal{F}} \quad (5.14.1) $$

induit une équivalence de catégories [2, 2.13.8].
Choisissons des quasi-inverses de (4.1.2) et (5.14.1). On désigne par $J_X$ le foncteur composé de l'équivalence de catégories (5.13.2) et des quasi-inverses de (4.1.2), (5.14.1)

$$ J_X : \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}\left(\mathcal{O}_X\left[\frac{1}{p}\right]\right) \xrightarrow{\sim} \mathbf{Mod}^{\mathrm{coh}}\left(\mathcal{O}_C\right). \qquad (5.14.2) $$

LEMME 5.15. Conservons les notations de 5.14. Pour tout $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module localement projectif de type fini $\mathcal{F}$ (2.9), $J_X(\mathcal{F})$ (5.14.2) est un fibré vectoriel sur $C$.

Preuve. Posons $F = J_X(\mathcal{F})$. On désigne par $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}$ l'espace rigide cohérent associé au schéma formel $\mathcal{X}$ (4.2) et $C^{\mathrm{an}}$ l'espace rigide quasi séparé associé au $\mathcal{C}$-schéma propre $C$ (4.3). On a un isomorphisme $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}} \xrightarrow{\sim} C^{\mathrm{an}}$ (4.4) et un morphisme de topos annelés $\varrho_{\mathcal{X}} : (\mathcal{X}^{\mathrm{an}}_{\mathrm{rig}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}}) \to (\mathcal{X}_{\mathrm{zar}}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}[\frac{1}{p}])$ (4.2.1). En vertu de (4.2.2) et (4.4.2), on a un isomorphisme

$$ \varrho_{\mathcal{X}}^{*}(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} F^{\mathrm{an}}. $$

Le $\mathcal{O}_{C^{\mathrm{an}}}$-module $F^{\mathrm{an}}$ est alors localement projectif de type fini. Par suite, c'est un $\mathcal{O}_{C^{\mathrm{an}}}$-module plat (2.9). D'après 4.7, $F$ est plat. Le lemme s'ensuit. $\square$

LEMME 5.16. Conservons les notations de 5.14.

(i) Pour tout $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{H}$, on a un isomorphisme canonique

$$ \Gamma\left(\mathcal{X}, \mathcal{H}\left[\frac{1}{p}\right]\right) \simeq \Gamma\left(\mathcal{X}, \mathcal{H}\right) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}. \qquad (5.16.1) $$

(ii) Soit $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_X[\frac{1}{p}]$-module cohérent et $F = J_X(\mathcal{F})$. Pour tout entier $i \ge 0$, on a un isomorphisme canonique

$$ H^i(\mathcal{X}, \mathcal{F}) \simeq H^i(C, F). $$

Preuve. (i) Par platitude de $\mathcal{O}_X$ sur $\mathfrak{o}$, il suffit de démontrer l'isomorphisme (5.16.1) pour les ouverts affines. Dans ce cas, cela résulte de [2, 2.10.5].

(ii) Il existe un $\mathcal{O}_X$-module cohérent $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{F} \simeq \hat{\mathcal{F}}[\frac{1}{p}]$ et que $F \simeq \mathcal{F}_{\bar{\eta}}$. D'après [2, 2.13.2], on a un isomorphisme canonique

$$ H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^i(\mathcal{X}, \hat{\mathcal{F}}). $$

On déduit par (i) un isomorphisme $H^i(\mathcal{X}, \hat{\mathcal{F}}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq H^i(\mathcal{X}, \mathcal{F})$. Par platitude, on a un isomorphisme canonique

$$ H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \simeq H^i(C, F). $$

L'assertion s'ensuit. $\square$
**6. Correspondance de Deninger-Werner**

On rappelle que le corps résiduel $k$ de $\mathcal{O}_K$ est une clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$
(2.1).

DÉFinition 6.1. (i) Soit $C$ une courbe propre et lisse sur un corps
algébriquement clos de caractéristique $p$ et $\mathrm{Fr}_C : C \to C$ le Frobenius
absolu de $C$. On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $C$ est *fortement semi-stable*
si $(\mathrm{Fr}_C^n)^*(F)$ est un fibré vectoriel semi-stable pour tout entier $n \ge 0$.

(ii) Soit $C$ une courbe propre sur un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ et $\pi : \tilde{C} \to C$ la normalisation du sous-schéma réduit sous-jacent à $C$. On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $C$ est fortement semi-stable de degré 0 si $\pi^*(F)$ est fortement semi-stable de degré 0 sur chaque composante irréductible de $\tilde{C}$.

On notera qu’un fibré vectoriel semi-stable sur une courbe propre et lisse de
genre $g \ge 2$ sur un corps de caractéristique $p$ n’est pas nécessairement fortement
semi-stable (cf. [21]).

THÉORÈME 6.2 [13, Thm. 16, Thm. 17] et [46, 2.4]. Soit $X$ une $\overline{S}$-courbe propre,
$\tilde{X} = X \times_{\overline{S}} \tilde{S}$ (2.1) et $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel sur $\tilde{X}$. Les conditions suivantes sont
équivalentes.

(i) La fibre spéciale $\mathcal{F}_s$ de $\mathcal{F}$ est fortement semi-stable de degré 0 sur $X_s$.

(ii) Pour tout $n \ge 1$, il existe un $\bar{\eta}$-revêtement $\varphi : X' \to X$ (5.4) tel que $\varphi_n^*(\mathcal{F}_n)$ soit libre de type fini, où $\mathcal{F}_n$ (resp. $\varphi_n$) est la réduction modulo $p^n$ de $\mathcal{F}$ (resp. $\varphi$) (2.1.1).

(iii) Il existe un entier $n \ge 1$ et un $\bar{\eta}$-revêtement $\varphi : X' \to X$ tels que $\varphi_n^*(\mathcal{F}_n)$ soit libre de type fini.

DÉFinition 6.3. Conservons les notations de **6.2**. On appelle *fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\tilde{X}$* tout fibré vectoriel sur $\tilde{X}$ vérifiant les conditions équivalentes de **6.2**. On désigne par $\mathfrak{V}_{\tilde{X}}^{\text{DW}}$ la sous-catégorie pleine de $\text{Vect}_{\tilde{X}}$ (2.8) formée des fibrés vectoriels de Deninger-Werner.

PROPOSITION 6.4. Soit $X$ une $\overline{S}$-courbe semi-stable. Un fibré en droites sur $\tilde{X}$ est de Deninger-Werner si et seulement si sa classe appartient à $\text{Pic}_{\tilde{X}/\overline{S}}^0(\overline{S})$ (2.7).
Preuve. D'après [13, Thm. 12], la catégorie $\mathfrak{D}^{\mathfrak{D}W}_{\tilde{X}}$ contient tous les fibrés en droites dont les classes sont dans $\mathrm{Pic}^0_{\tilde{X}/\tilde{S}}(\tilde{S})$. Inversement, pour tout fibré en droites $L \in \mathfrak{D}^{\mathfrak{D}W}_{\tilde{X}}$, l'image inverse de la fibre spéciale $L_s$ sur la normalisation de chaque composante irréductible de $X_s$ est de degré 0. D'après [13, Thm.13], la fibre générique $L_{\tilde{\eta}}$ de $L$ est donc aussi de degré 0. Ceci implique que $L \in \mathrm{Pic}^0_{\tilde{X}/\tilde{S}}(\tilde{S})$ en vertu de [7, 9.1.13]. $\square$

**PROPOSITION 6.5.** *Soit $X$ une $\overline{S}$-courbe propre et lisse, $n$ un entier $\ge 1$ et $L$ un fibré en droites dont la classe appartient à $\mathrm{Pic}^0_{\tilde{X}/\tilde{S}}(\tilde{S})$. Alors, il existe un $\overline{\eta}$-revêtement fini, galoisien et à fibres géométriquement réduites de $X$ trivialisant $L_n$.*

Preuve. Quitte à remplacer $K$ par une extension finie, il existe une $S$-courbe propre et lisse $Y$ telle que $X \simeq \overline{Y}$ et un point $x \in Y(S)$. On sait que $\mathrm{Pic}^0_{Y/S}$ est un schéma abélien sur $S$ [7, 9.4.4]. La classe de $L$ est contenue dans $\mathrm{Pic}^0_{Y/S}(\tilde{S})$. On a un morphisme de $S$-schémas

$$j_x : Y \to \mathrm{Pic}^0_{Y/S} \qquad (6.5.1)$$

défini, pour tout $S$-schéma $T$, par

$$Y(T) \to \mathrm{Pic}^0_{Y/S}(T) \quad y \mapsto [\mathcal{O}_{Y_T}(y-x)]. \qquad (6.5.2)$$

Notons $A = (\mathrm{Pic}^0_{Y/S})^{\vee}$ le schéma abélien dual de $\mathrm{Pic}^0_{Y/S}$ et considérons le morphisme d'Albanese défini par $x \in Y(S)$,

$$\varphi_x : Y \xrightarrow{j_x} \mathrm{Pic}^0_{Y/S} \xrightarrow{\Phi} A, \qquad (6.5.3)$$

où $\Phi$ est la polarisation canonique [34, 2.6.4]. D'après [34, 2.7.9], le morphisme

$$A^{\vee} \simeq \mathrm{Pic}^0_{A/S} \xrightarrow{\varphi_x^*} \mathrm{Pic}^0_{Y/S} \simeq A^{\vee}, \qquad (6.5.4)$$

induit par $\varphi_x$, s'identifie à $-\mathrm{id}_{A^{\vee}}$. Il existe donc un fibré en droites $L'$ sur $\overline{A} = A \times_S \tilde{S}$ dont la classe appartient à $\mathrm{Pic}^0_{A/S}(\tilde{S})$ tel que $\varphi_x^*(L') \simeq L$. Par descente [25, 8.8.3], le groupe $\mathrm{Pic}_{A/S}(k) \simeq \mathrm{Pic}_{A_s/k}(k)$ est de torsion. Il existe un entier $N$ tel que

$$N^*[L'_s] = 0 \quad \text{dans } \mathrm{Pic}^0_{A/S}(k), \qquad (6.5.5)$$

où l'on a encore noté $N : \mathrm{Pic}^0_{A/S} \to \mathrm{Pic}^0_{A/S}$ le morphisme de la multiplication par $N$. Le groupe

$$\mathrm{Ker}(\mathrm{Pic}^0_{A/S}(\mathfrak{o}_n) \to \mathrm{Pic}^0_{A/S}(k))$$
est de $p^n$-torsion en vertu de [44, 2.4]. On a donc

$$ (p^n N)^*[L'_n] = 0 \quad \text{dans } \mathrm{Pic}^0_{A/S}(\mathcal{O}_n). \qquad (6.5.6) $$

On désigne par $Y^{(n)}$ le T-schéma défini par le diagramme cartésien

$$ \begin{tikzcd} Y^{(n)} \arrow[r] \arrow[d] & A \arrow[d] \\ Y \arrow[r, "\varphi_x"] \arrow[d] & A \end{tikzcd} . \qquad (6.5.7) $$

En vertu de (6.5.6), l'image réciproque de $L_n$ par $Y_n^{(n)} \to Y_n$ est triviale. D'après la théorie du corps de classes géométrique [42, VI 11], $Y_\eta^{(n)}$ est géométriquement connexe et est un revêtement étale et galoisien de $Y_\eta$. D'après (6.5.7), l'action du groupe Aut($Y_\eta^{(n)}$/$Y_\eta$) s'étend en une $Y$-action sur $Y^{(n)}$. Le morphisme $Y^{(n)} \to Y$ est donc un $\eta$-revêtement fini et galoisien. La proposition résulte alors de 5.12(ii). □

6.6. Soit $X$ une $\overline{S}$-courbe propre, $\bar{x}$ un $\overline{\eta}$-point de $X_{\overline{\eta}}$ et $n$ un entier $\ge 1$. On se propose de construire un foncteur de $\mathfrak{D}^{\mathrm{DW}}_{\bar{x}}$ dans $\mathrm{Rep}^{\mathrm{ltf}}_{\mathfrak{o}_n}(\pi_1(X_{\overline{\eta}}, \bar{x}))$ (3.21). Soit $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\check{X}$. Comme $X$ est propre, le $\overline{\eta}$-point $\bar{x}$ se prolonge en une section $\overline{S} \to X$ que l'on note encore (abusivement) $\bar{x}$. On note $\bar{x}_n : \overline{S}_n \to X_n$ la réduction modulo $p^n$ de $\bar{x}$. On définit le $\mathfrak{o}_n$-module sous-jacent à la représentation associée à $\mathcal{F}$ par

$$ \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) = \Gamma(\overline{S}_n, \overline{x}_n^*(\mathcal{F}_n)), \qquad (6.6.1) $$

qui est un $\mathfrak{o}_n$-module libre de type fini.

D'après 5.12(i), il existe un $\overline{\eta}$-revêtement c.p.d.0 et galoisien $\varphi : X' \to X$ de groupe des automorphismes $G$ tel que $\varphi_\eta^*(\mathcal{F}_n)$ soit libre de type fini. Soit $(C_i, \bar{y}_i)_{i \in I}$ un revêtement universel galoisien de $(X_{\overline{\eta}}, \bar{x})$ (2.14). Choisissons un point géométrique $\bar{y} \in X'_\eta(\overline{\eta})$ au-dessus de $\bar{x}$. Il existe $i \in I$ et un épimorphisme

$$ \xi_i : C_i \to X'_{\overline{\eta}} \quad \bar{y}_i \mapsto \bar{y}. $$

Celui-ci induit un épimorphisme

$$ \xi_i : \mathrm{Aut}(C_i/X_{\overline{\eta}}) \to G $$

défini pour tout $\sigma \in \mathrm{Aut}(C_i/X_{\overline{\eta}})$ par $\xi_i(\sigma)(\bar{y}) = \xi_i \circ \sigma(\bar{y}_i)$. Le composé des homomorphismes

$$ \xi_{\bar{y}} : \pi_1(X_{\overline{\eta}}, \bar{x}) \to \mathrm{Aut}(C_i/X_{\overline{\eta}})^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\xi_i} \mathrm{G}^{\mathrm{op}} \qquad (6.6.2) $$
est indépendant du choix de $i \in I$, mais dépend du choix de $\bar{y}$ au-dessus de $\bar{x}$. En effet, soit $\bar{y}$ et $\bar{y}'$ deux $\bar{\eta}$-points de $X'_{\bar{\eta}}$ au-dessus de $\bar{x}$. Il existe un élément $h \in G$ tel que $h(\bar{y}) = \bar{y}'$. D'après [12, Thm.13 (19)], les homomorphismes $\xi_{\bar{y}}, \xi_{\bar{y}'} : \pi_1(C, \bar{x}) \to G^{\text{op}}$ sont reliés par :

$$ \xi_{\bar{y}'}(\gamma) = h\xi_{\bar{y}}(\gamma)h^{-1}, \quad \forall \gamma \in \pi_1(C, \bar{x}). \qquad (6.6.3) $$

6.7. Conservons les hypothèses et notations de 6.6. On construit une action $\rho_{n,\mathcal{F}}$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ sur $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$. L'action de $G$ sur $X'_{\bar{\eta}}$ s'étend en une $X$-action sur $X'$. Tout $g \in G$ induit donc un automorphisme

$$ g_n^* : \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)) \to \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)). \qquad (6.7.1) $$

Le $\bar{\eta}$-point $\bar{y}$ se prolonge en un $\bar{S}$-point de $X'$ au-dessus de $\bar{x} \in X(\bar{S})$ que l'on note encore (abusivement) $\bar{y}$. Comme le morphisme structural $\lambda : X' \to \bar{S}$ vérifie $\lambda_*(\mathcal{O}_{X'}) = \mathcal{O}_{\bar{S}}$ universellement, le morphisme $\bar{y}_n : \bar{S}_n \to X'_n$ déduit de $\bar{y}$ induit un isomorphisme :

$$ \bar{y}_n^* : \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)) \xrightarrow{\sim} \Gamma(\bar{S}_n, \bar{y}_n^*(\varphi_n^*(\mathcal{F}_n))) = \mathbb{V}_n(\mathcal{F}). \qquad (6.7.2) $$

Pour tout $\gamma \in \pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$, posant $g = \xi_{\bar{y}}(\gamma)$, on définit un automorphisme $\rho_{n,\mathcal{F}}(\gamma)$ de $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$ par

$$ \rho_{n,\mathcal{F}}(\gamma) : \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \xrightarrow{(\bar{y}_n^*)^{-1}} \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)) \xrightarrow{g_n^*} \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)) \xrightarrow{\bar{y}_n^*} \mathbb{V}_n(\mathcal{F}). \qquad (6.7.3) $$

On notera que $\rho_{n,\mathcal{F}}$ est l'homomorphisme composé

$$ \rho_{n,\mathcal{F}} : \pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x}) \xrightarrow{\xi_{\bar{y}}} G^{\text{op}} \to \text{Aut}_{\mathcal{o}_n} \Gamma(X'_n, \varphi_n^*(\mathcal{F}_n)) \xrightarrow{\sim} \text{Aut}_{\mathcal{o}_n} \mathbb{V}_n(\mathcal{F}). $$

On définit la $\mathcal{o}_n$-représentation de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ associée à $\mathcal{F}$ par $(\mathbb{V}_n(\mathcal{F}), \rho_{n,\mathcal{F}})$ que l'on note encore $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$.

**PROPOSITION 6.8** [12, Thm. 13]. Sous les hypothèses de 6.6, la $\mathcal{o}_n$-représentation $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$ de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$ est indépendante des choix du $\bar{\eta}$-revêtement c.p.d.0 (5.4(ii)) et galoisien $\varphi : X' \to X$ et du point $\bar{y}$ de $X'_{\bar{\eta}}$ au-dessus de $\bar{x}$, à isomorphisme près.

6.9. Conservons les hypothèses et notations de 6.6. Étant donné un morphisme $f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ de $\mathfrak{M}^{\text{DW}}$ et un entier $n \ge 1$, il existe un $\bar{\eta}$-revêtement c.p.d.0 et galoisien $\varphi : X' \to \bar{X}$ trivialisant $\mathcal{F}_n$ et $\mathcal{F}'_n$ (cf. 5.12(i)). L'isomorphisme (6.7.2) est clairement fonctoriel en $\mathcal{F}$. D'après 6.8, le morphisme $f$ induit un morphisme de $\mathcal{o}_n$-représentations de $\pi_1(X_{\bar{\eta}}, \bar{x})$

$$ \mathbb{V}_n(f) : \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \to \mathbb{V}_n(\mathcal{F}'). \qquad (6.9.1) $$
La correspondance $\mathcal{F} \mapsto \mathbb{V}_n(\mathcal{F})$ définit ainsi un foncteur que l'on note (3.21)

$$ \mathbb{V}_n : \mathfrak{M}_{\tilde{X}}^{\text{DW}} \to \text{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\text{ltf}}(\pi_1(X_{\tilde{\eta}}, \bar{x})). \qquad (6.9.2) $$

**PROPOSITION 6.10** [12, Thm. 14 et 16]. (i) Les foncteurs $\{\mathbb{V}_n\}_{n \ge 1}$ (6.9.2) sont compatibles entre eux et définissent un foncteur o-linéaire et exact (3.21)

$$ \mathbb{V} : \mathfrak{M}_{\tilde{X}}^{\text{DW}} \to \text{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\text{ltf}}(\pi_1(X_{\tilde{\eta}}, \bar{x})), \qquad (6.10.1) $$

qui commute aux produits tensoriels, aux passages aux duaux et aux homomorphismes internes. On le notera aussi $\mathbb{V}_{\tilde{X}}$ pour signifier que la construction dépend de X.

(ii) Pour tout morphisme dominant $f : X' \to X$ de $\overline{S}$-modèles de $X_{\tilde{\eta}}$, l'image inverse d'un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur X par $f$ est de Deninger-Werner sur $X'$. De plus, on a un isomorphisme de foncteurs

$$ \mathbb{V}_{\tilde{X}} \xrightarrow{\sim} \mathbb{V}_{\tilde{X}'} \circ f^*. \qquad (6.10.2) $$

6.11. Dans la suite de cette section, on fixe une courbe propre et lisse $C$ sur $\overline{K}$, $\bar{x}$ un $\bar{\eta}$-point de $C$ et l'on pose $\check{C} = C \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$.

**DÉFINITION 6.12.** (i) On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $\check{C}$ est de Deninger-Werner s’il existe un $\overline{S}$-modèle $X$ de $C$ et un fibré vectoriel de Deninger-Werner $\mathcal{F}$ sur $\tilde{X}$ muni d’un isomorphisme $F \simeq \mathcal{F}_{\tilde{\eta}}$. On désigne par $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{DW}}$ la sous-catégorie pleine de $\text{Vect}_{\check{C}}$ formée des fibrés vectoriels de Deninger-Werner.

(ii) On dit qu’un fibré vectoriel $F$ sur $\check{C}$ est potentiellement de Deninger-Werner s’il existe un revêtement étale et connexe $\pi : C' \to C$ tel que, posant $\check{\pi} = \pi \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$, $\check{\pi}^*(F)$ soit de Deninger-Werner sur $\check{C}' = C' \otimes_{\overline{K}} \mathfrak{C}$. On désigne par $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{DW}}$ la sous-catégorie pleine de $\text{Vect}_{\check{C}}$ formée des fibrés vectoriels potentiellement de Deninger-Werner.

**THÉORÈME 6.13** [13, Thm. 11, 12, 13]. (i) Les sous-catégories $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{DW}}$ et $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{pDW}}$ de $\text{Vect}_{\check{C}}$ sont stables par extensions.

(ii) La catégorie $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{pDW}}$ contient tous les fibrés en droites de degré 0 sur $\check{C}$.

(iii) Tout fibré vectoriel de $\mathfrak{M}_{\check{C}}^{\text{pDW}}$ est semi-stable de degré 0.
6.14. Soit $X$ un $\overline{S}$-modèle de $C$. D'après **5.13**, on a un foncteur pleinement fidèle $J_{\tilde{X}} : \mathfrak{M}_{\tilde{X}, \emptyset}^{\text{DW}} \to \mathfrak{M}_{\tilde{C}}^{\text{DW}}$. D'après (3.21.2), (6.10.2) et **[12, Cor. 21]**, on obtient un foncteur $\mathcal{C}$-linéaire, exact (3.18) :

$$ \mathbb{V}_{\tilde{C}} : \mathfrak{M}_{\tilde{C}}^{\text{DW}} \to \mathbf{Rep}_{\mathcal{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})) \qquad (6.14.1) $$

qui commute aux produits tensoriels, aux duaux et aux homomorphismes internes (cf. **[13, Thm. 28]**).

## 7. Topos annelé de Faltings

7.1. Dans cette section, on se donne un $S$-schéma plat, séparé et de type fini $X$ tel que $\overline{X} = X \times_S \overline{S}$ (2.1.1) soit normal. On notera que $\overline{X}$ est localement irréductible dans le sens de [4, III.3.1]. En effet, comme $\overline{X}$ est $S$-plat, ses points génériques sont les points génériques du schéma $X_{\overline{\eta}}$, qui est noethérien ; l'ensemble des points génériques de $\overline{X}$ est donc fini (cf. **[4, III.3.2(ii)]**). On note $\mathfrak{h} : \overline{X} \to X$ et $\mathfrak{h} : X_{\overline{\eta}} \to X$ les morphismes canoniques. On désigne par $E$ la catégorie des morphismes de schémas $V \to U$ au-dessus du morphisme canonique $X_{\overline{\eta}} \to X$, i.e. des diagrammes commutatifs

$$ \begin{tikzcd} & V \arrow[r] \arrow[d] & U \arrow[d] \\ X_{\overline{\eta}} \arrow[r] & X \arrow[d] \arrow[d] \end{tikzcd} \qquad (7.1.1) $$

tels que le morphisme $U \to X$ soit étale et que le morphisme $V \to U_{\overline{\eta}}$ soit fini et étale [4, VI.10.1]. Elle est fibrée au-dessus de la catégorie $\mathcal{E}\mathfrak{t}_{/X}$ des $X$-schémas étales par le foncteur

$$ \pi : E \to \mathcal{E}\mathfrak{t}_{/X}, \quad (V \to U) \mapsto U. \qquad (7.1.2) $$

La fibre de $\pi$ au-dessus d'un $X$-schéma étale $U$ est la catégorie $\mathcal{E}\mathfrak{t}_{f/U_{\overline{\eta}}}$ des schémas finis étales au-dessus de $U_{\overline{\eta}}$, que l'on équipe de la topologie étale (2.13). La catégorie fibrée $\pi$ est alors un site fibré [6, VI 7.2.1].

On munit $E$ de la topologie co-évanescente [4, VI.5.3], c'est-à-dire de la topologie engendrée par les recouvrements $\{(V_i \to U_i) \to (V \to U)\}_{i \in I}$ des deux types suivants :

(v) $U_i = U$ pour tout $i \in I$ et $(V_i \to V)_{i \in I}$ est un recouvrement ;

(c) $(U_i \to U)_{i \in I}$ est un recouvrement et $V_i \simeq U_i \times_U V$ pour tout $i \in I$.

On appelle topos de Faltings de $X$ et l'on note $\tilde{E}$ le topos des faisceaux d'ensembles sur $E$. Si $F$ est un préfaisceau sur $E$, on note $F^a$ le faisceau associé. Signalons la description commode et simple suivante de $\tilde{E}$.
**PROPOSITION 7.2** [4, VI.5.10]. La donnée d'un faisceau F sur E est équivalente à la donnée pour tout objet U de $\mathbf{Ét}_X$ d'un faisceau $F_U$ de $U_{\bar{\eta}, \text{fét}}$ (2.13) et pour tout morphisme $f: U' \to U$ de $\mathbf{Ét}_X$ d'un morphisme $F_U \to (f_{\bar{\eta}})_{\text{fét}*}(F_{U'})$, ces morphismes étant soumis à des relations de compatibilité, tels que, pour toute famille couvrante $(f_n : U_n \to U)_{n \in \Sigma}$ de $\mathbf{Ét}_X$, si pour tout $(m, n) \in \Sigma^2$, on pose $U_{mn} = U_m \times_U U_n$ et l'on note $f_{mn} : U_{mn} \to U$ le morphisme canonique, la suite de morphismes de faisceaux de $U_{\bar{\eta}, \text{fét}}$

$$F_U \to \prod_{n \in \Sigma} (f_{n, \bar{\eta}})_{\text{fét}*} (F_{U_n}) \Rightarrow \prod_{n, m \in \Sigma} (f_{mn, \bar{\eta}})_{\text{fét}*} (F_{U_{mn}}) \quad (7.2.1)$$

soit exacte.

En vertu de la proposition précédente, on peut identifier tout faisceau F sur E au foncteur $\{U \to F_U\}$ associé, où $U \in \text{Ob}(\mathbf{Ét}_X)$ et $F_U \in \text{Ob}(U_{\bar{\eta}, \text{fét}})$ est la restriction de F à la fibre de $\pi$ au-dessus de U.

7.3. Pour tout $U \in \text{Ob}(\mathbf{Ét}_X)$, on a un foncteur canonique :

$$\alpha_{U!} : \mathbf{Ét}_{f/U_{\bar{\eta}}} \to E, \quad V \mapsto (V \to U). \quad (7.3.1)$$

Le foncteur $\alpha_{X!} : \mathbf{Ét}_{f/X_{\bar{\eta}}} \to E$ est continu et exact à gauche [4, VI.5.32]. Il définit donc un morphisme de topos [4, VI.(10.6.3)]

$$\beta : \tilde{E} \to X_{\bar{\eta}, \text{fét}}. \quad (7.3.2)$$

Le foncteur

$$\sigma^+ : \mathbf{Ét}_X \to E, \quad U \mapsto (U_{\bar{\eta}} \to U) \quad (7.3.3)$$

est continu et exact à gauche [4, VI.5.32]. Il définit donc un morphisme de topos [4, VI.(10.6.4)]:

$$\sigma : \tilde{E} \to X_{\text{ét}}. \quad (7.3.4)$$

Par ailleurs, le foncteur

$$\Psi^+ : E \to \mathbf{Ét}_{X_{\bar{\eta}}}, \quad (V \to U) \mapsto V \quad (7.3.5)$$

est continu et exact à gauche [4, VI.10.7]. Il définit donc un morphisme de topos :

$$\Psi : X_{\bar{\eta}, \text{ét}} \to \tilde{E}. \quad (7.3.6)$$

On vérifie aussitôt que l'on a un isomorphisme canonique

$$\beta \circ \Psi \to \rho_{X_{\bar{\eta}}}, \quad (7.3.7)$$
où $\rho_{X_{\bar{\eta}}} : X_{\bar{\eta},\text{ét}} \to X_{\bar{\eta},\text{fét}}$ est le morphisme canonique (2.13.3). On en déduit par adjonction un morphisme

$$ \beta^* \to \Psi_* \rho_{X_{\bar{\eta}}}^*, \qquad (7.3.8) $$

qui est un isomorphisme en vertu de [4, VI.10.9(iii)].

7.4. On désigne par $D$ la catégorie des morphismes de schémas $V \to U$ au-dessus du morphisme canonique $h : X_{\bar{\eta}} \to X$, i.e. des diagrammes commutatifs

$$ \begin{tikzcd} & & V \arrow[r] \arrow[d] & U \arrow[d] \\ X_{\bar{\eta}} \arrow[r] & X, & & \end{tikzcd} \qquad (7.4.1) $$

tels que les flèches verticales soient étales (cf. [4, VI.4.1]). Elle est fibrée au-dessus de la catégorie $\text{Ét}_X$ des $X$-schémas étales, par le foncteur

$$ \varpi : D \to \text{Ét}_X \quad (V \to U) \mapsto U. \qquad (7.4.2) $$

La fibre de $\varpi$ au-dessus d'un schéma étale $U$ est la catégorie $\text{Ét}_{U/\bar{\eta}}$ des schémas étales au-dessus de $U_{\bar{\eta}}$, que l'on équipe de la topologie étale. La catégorie fibrée $\varpi$ est alors un site fibré (cf. [6, VI 7.2.1]).

On munit $D$ de la topologie co-évanescente [4, VI.5.3], c'est-à-dire la topologie engendrée par les recouvrements $\{(V_i \to U_i) \to (V \to U)\}_{i \in I}$ des deux types suivants :

(v) $U_i = U$ pour tout $i \in I$ et $(V_i \to V)_{i \in I}$ est un recouvrement ;

(c) $(U_i \to U)_{i \in I}$ est un recouvrement et $V_i \simeq U_i \times_U V$ pour tout $i \in I$.

Le topos des faisceaux d'ensembles sur $D$ est appelé le topos co-évanescent et est noté $X_{\text{ét}} \underset{X_{\text{ét}}}{\overset{\leftarrow}{\times}} X_{\bar{\eta},\text{ét}}$. Celui-là vérifie une propriété universelle qui explique cette notation (cf. [4, VI.3.7 et VI.3.12]). Les foncteurs

$$ p_1^+ : \text{Ét}_X \to D, \quad U \mapsto (U_{\bar{\eta}} \to U), \qquad (7.4.3) $$

$$ p_2^+ : \text{Ét}_{X/\bar{\eta}} \to D, \quad V \mapsto (V \to X), \qquad (7.4.4) $$

sont exacts à gauche et continus. Ils définissent donc deux morphismes de topos [6, IV 4.9.2]

$$ p_1 : X_{\text{ét}} \underset{X_{\text{ét}}}{\overset{\leftarrow}{\times}} X_{\bar{\eta},\text{ét}} \to X_{\text{ét}}, \qquad (7.4.5) $$

$$ p_2 : X_{\text{ét}} \underset{X_{\text{ét}}}{\overset{\leftarrow}{\times}} X_{\bar{\eta},\text{ét}} \to X_{\bar{\eta},\text{ét}}. \qquad (7.4.6) $$
7.8. Pour tout $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(E)$, on note $\overline{U}^V$ la clôture intégrale de $\overline{U}$ dans $V$. On désigne par $\overline{\mathcal{B}}$ le préfaisceau d'anneaux sur $E$ défini pour tout $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(E)$ par

$$ \overline{\mathcal{B}}(V \to U) = \Gamma(\overline{U}^V, \mathcal{O}_{\overline{U}^V}). \qquad (7.8.1) $$

Pour tout $U \in \mathbf{Ob}(\mathcal{E}\mathbf{t}_{/X})$, on pose (7.3.1)

$$ \overline{\mathcal{B}}_U = \overline{\mathcal{B}} \circ \alpha_{U!}. \qquad (7.8.2) $$

D'après [4, III.8.16], $\overline{\mathcal{B}}$ est un faisceau pour la topologie co-évanescente de $E$. On dira dans la suite que $\overline{\mathcal{B}}$ est l'anneau de $\tilde{E}$ associé à $\overline{X}$. Pour tout entier $n \ge 1$ et tout $U \in \mathbf{Ob}(\mathcal{E}\mathbf{t}_{/X})$, on pose

$$ \overline{\mathcal{B}}_n = \overline{\mathcal{B}} / p^n \overline{\mathcal{B}}, \qquad (7.8.3) $$

$$ \overline{\mathcal{B}}_{U,n} = \overline{\mathcal{B}}_U / p^n \overline{\mathcal{B}}_U. \qquad (7.8.4) $$

La correspondance $\{U \mapsto \overline{\mathcal{B}}_{U,n}\}$ forme naturellement un préfaisceau sur $E$ dont le faisceau associé est canoniquement isomorphe à $\overline{\mathcal{B}}_n$ (cf. [4, VI.8.2 et VI.8.9]).

7.9. Considérons l'homomorphisme

$$ \hbar_*(\mathcal{O}_{\overline{X}}) \to \sigma_*(\overline{\mathcal{B}}), \qquad (7.9.1) $$

où $\hbar : \overline{X} \to X$ est la projection canonique, défini pour tout $U \in \mathbf{Ob}(\mathcal{E}\mathbf{t}_{/X})$ par l'homomorphisme canonique

$$ \Gamma(\overline{U}, \mathcal{O}_{\overline{U}}) \to \Gamma(\overline{U}^{U_{\overline{\eta}}}, \mathcal{O}_{\overline{U}^{U_{\overline{\eta}}}}). \qquad (7.9.2) $$

Sauf mention explicite du contraire, on considère $\sigma : \tilde{E} \to X_{\acute{e}\acute{t}}$ (7.3.4) comme un morphisme de topos annelés, respectivement par $\overline{\mathcal{B}}$ et $\hbar_*(\mathcal{O}_{\overline{X}})$. Nous utilisons pour les modules la notation $\sigma^{-1}$ pour désigner l'image inverse au sens des faisceaux abéliens et nous réservons la notation $\sigma^*$ pour l'image inverse au sens des modules.

7.10. Comme $X_\eta$ est un ouvert de $X_{\acute{e}\acute{t}}$, i.e. un sous-objet de l'objet final $X$ de $\mathcal{E}\mathbf{t}_{/X}$ [6, IV 8.3], $\sigma^*(X_\eta)$ est un ouvert de $\tilde{E}$. On note $\gamma : \tilde{E}_{/\sigma^*(X_\eta)} \to \tilde{E}$ le morphisme de localisation de $\tilde{E}$ en $\sigma^*(X_\eta)$. On désigne par $\tilde{E}_s$ le sous-topos fermé de $\tilde{E}$ complémentaire de l'ouvert $\sigma^*(X_\eta)$, i.e. la sous-catégorie pleine de $\tilde{E}$ formée des faisceaux $F$ tels que $\gamma^*(F)$ soit un objet final de $\tilde{E}_{/\sigma^*(X_\eta)}$ [6, IV 9.3.5]. On note

$$ \delta : \tilde{E}_s \to \tilde{E} \qquad (7.10.1) $$
le plongement canonique, c'est-à-dire le morphisme de topos tel que $\delta_* : \tilde{E}_s \to \tilde{E}$
soit le foncteur d'injection canonique. D'après [4, III.9.7], pour tout entier $n \ge 1$,
l'anneau $\mathcal{B}_n$ (7.8.3) est un objet de $\tilde{E}_s$.

7.11. Soit $n$ un entier $\ge 1$. Notons $d : X_s \to X$ et $d_n : X_s \to X_n$ les morphismes canoniques (2.1.1). Il existe un morphisme de topos [4, III.9.8] :

$$
\sigma_s : \tilde{E}_s \to X_{s, \text{ét}} \qquad (7.11.1)
$$

unique à isomorphisme près tel que le diagramme

$$
\begin{tikzcd}
\widetilde{E}_s \arrow[r, "\sigma_s"] \arrow[d, "\delta"] & X_{s, \text{ét}} \arrow[d, "d"] \\
\widetilde{E} \arrow[r, "\sigma"] & X_{\text{ét}}
\end{tikzcd}
\qquad (7.11.2)
$$

soit commutatif à isomorphisme près.

Pour tout entier $n \ge 1$, comme le corps résiduel de $O_{\bar{K}}$ est algébriquement
clos, on a une immersion fermée $\bar{d}_n : X_s \to \bar{X}_n$ qui relève $d_n$. Comme $\bar{d}_n$ est un
homéomorphisme universel, on peut considérer le faisceau $\mathcal{O}_{\bar{X}_n}^*$ de $\bar{X}_{n, \text{ét}}$ (ou de
$\bar{X}_{n, \text{zar}}$) comme un faisceau de $X_{s, \text{ét}}$ (ou de $X_{s, \text{zar}}$). L'homomorphisme canonique
$\sigma^{-1}(\mathfrak{h}_*(\mathcal{O}_{\bar{X}})) \to \mathcal{B}$ (7.9.1) induit alors un homomorphisme d'anneaux sur $\tilde{E}_s$
[4, III.9.9]:

$$
\sigma_s^{-1}(\mathcal{O}_{\bar{X}_n}) \to \bar{\mathcal{B}}_n. \qquad (7.11.3)
$$

Par suite, le morphisme de topos $\sigma_s$ (7.11.1) est sous-jacent à un morphisme de
topos annelés que l'on note

$$
\sigma_n : (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n) \to (X_{s, \text{ét}}, \mathcal{O}_{\overline{X}_n}). \qquad (7.11.4)
$$

7.12. On désigne par $\tilde{\mathcal{B}}$ l'anneau $(\overline{\mathcal{B}}_n)_{n \ge 1}$ de $\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}$ (2.11) et par $\mathcal{O}_{\tilde{X}}^{\mathbb{Z}}$ l'anneau $(\mathcal{O}_{\bar{X}_n})_{n \ge 1}^{\mathbb{N}^0}$ de $X_{s, \text{ét}}^{\mathbb{N}^0}$ (ou de $X_{s, \text{zar}}^{\mathbb{N}^0}$). Les morphismes $(\sigma_n)_{n \ge 1}$ (7.11.4) induisent un morphisme de topos annelés :

$$
\check{\sigma} : (\tilde{E}_s^{\mathbb{N}^0}, \check{\mathcal{B}}) \to (X_{s, \text{ét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathcal{O}_{\check{X}}^{\mathbb{Z}}). \qquad (7.12.1)
$$

On note $\mathcal{X}$ le schéma formel complété $p$-adique de $\bar{X}$. On désigne par :

$$
\check{u} : (X_{s, \text{ét}}^{\mathbb{N}^0}, \mathcal{O}_{\bar{X}}^{\check{\mathbb{Z}}}) \to (X_{s, \text{zar}}^{\mathbb{N}^0}, \mathcal{O}_{\check{X}}^{\check{\mathbb{Z}}}) \quad (7.12.2)
$$

le morphisme canonique, par

$$
\lambda : (X_{s, \text{zar}}^{\mathbb{N}^0}, \mathcal{O}_{\bar{X}}^{\check{\mathbb{Z}}}) \to (X_{s, \text{zar}}, \mathcal{O}_{\bar{X}}) \quad (7.12.3)
$$
le morphisme de topos annelés dont le foncteur image directe est la limite projective (2.11) et par

$$T : (\tilde{E}_s^{\text{N\textcircled{0}}}, \tilde{\mathcal{B}}) \to (X_{s,zar}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \qquad (7.12.4)$$

le morphisme composé de topos annelés $\lambda \circ \tilde{u} \circ \tilde{\sigma}$.

7.13. Si A est un anneau, on note encore A le faisceau constant de valeur A de $X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$. Comme l'anneau $\mathcal{B}(X_{\tilde{\eta}} \to X) = \Gamma(\tilde{X}, \mathcal{O}_{\tilde{X}})$ est une $\mathcal{O}_{\tilde{K}}$-algèbre, il existe un homomorphisme canonique d'anneaux $\mathcal{O}_{\tilde{K}} \to \beta_*(\tilde{\mathcal{B}})$ de $X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$. Celui-là induit, pour tout entier $n \ge 1$, un homomorphisme canonique $o_n \to \beta_*(\mathcal{B}_n)$ de $X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$. On définit le morphisme de topos annelés

$$\beta_n : (\tilde{E}_s, \tilde{\mathcal{B}}_n) \to (X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}, o_n) \qquad (7.13.1)$$

par le morphisme de topos composé $\beta \circ \delta$ (7.3.2, 7.10.1) et l'homomorphisme canonique $o_n \to \beta_*(\tilde{\mathcal{B}}_n)$. On note $\tilde{o}$ l'anneau $(o_n)_{n \ge 1}$ de $X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$ et

$$\tilde{\beta} : (\tilde{E}_s^{\text{N\textcircled{0}}}, \tilde{\mathcal{B}}) \to (X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}^{\text{N\textcircled{0}}}, \tilde{o}) \qquad (7.13.2)$$

le morphisme de topos annelés induit par les morphismes $(\beta_n)_{n \ge 1}$ (7.13.1).

7.14. Pour qu'un faisceau $F$ de $\tilde{E}$ soit un objet de $\tilde{E}_s$, il faut et il suffit que, pour tout point $(\tilde{y} \rightsquigarrow \tilde{x})$ de $X_{\tilde{\epsilon}\text{t}} \xleftarrow{\tilde{x}} X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$ (7.5) tel que $\tilde{x}$ soit au-dessus de $\eta$, la fibre $F_{\rho(\tilde{y} \rightsquigarrow \tilde{x})}$ de $F$ en $\rho(\tilde{y} \rightsquigarrow \tilde{x})$ soit un singleton (cf. [4, III.9.6]). Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathbb{L}$ un $o_n$-module de $X_{\tilde{\eta}, \text{f\'et}}$. Comme les foncteurs fibres commutent au produit tensoriel [6, IV 13.4] et que $\mathcal{B}_n$ est un objet de $\tilde{E}_s$ [4, III.9.7], on en déduit que le faisceau $\beta^*(\mathbb{L}) \otimes_{o_n} \mathcal{B}_n$ de $\tilde{E}$ est un objet de $\tilde{E}_s$. Par adjonction, on a donc un isomorphisme de $\tilde{E}$

$$\beta^*(\mathbb{L}) \otimes_{o_n} \tilde{\mathcal{B}}_n \xrightarrow{\delta_*} \beta_n^*(\mathbb{L}). \qquad (7.14.1)$$

7.15. On note $\text{Mod}(\tilde{\mathcal{B}}_n)$ la catégorie des $\tilde{\mathcal{B}}_n$-modules de $\tilde{E}_s$ et $\text{Mod}^{\text{tf}}(\tilde{\mathcal{B}}_n)$ la sous-catégorie pleine formée des $\tilde{\mathcal{B}}_n$-modules de type fini. On note $\text{Mod}(\tilde{\mathcal{B}})$ la catégorie des $\tilde{\mathcal{B}}$-modules de $\tilde{E}_s^{\text{N\textcircled{0}}}$, $\text{Mod}^{\text{atf}}(\tilde{\mathcal{B}})$ la sous-catégorie pleine formée des $\tilde{\mathcal{B}}$-modules adiques de type fini (2.11) et $\text{Mod}_{\mathbb{Q}}(\tilde{\mathcal{B}})$ (resp. $\text{Mod}_{\mathbb{Q}}^{\text{atf}}(\tilde{\mathcal{B}})$) la catégorie des objets de $\text{Mod}(\tilde{\mathcal{B}})$ (resp. $\text{Mod}^{\text{atf}}(\tilde{\mathcal{B}})$) à isogénie près (2.16).

7.16. Supposons, dans la suite de cette section, que $X$ soit un $S$-schéma propre à réduction semi-stable de fibre géométrique générique connexe (5.9). On notera
que $X$ est adéquat dans le sens de [4, III.4.7] et par suite que $\bar{X}$ est normal [4, III.4.2 (iii)]. D'après [5, 6.1], pour tout point géométrique $\bar{x}$ de $X$, il existe un voisinage étale $U$ de $\bar{x}$ dans $X$ dont la fibre générique $U_\eta$ est un schéma $K(\pi, 1)$ (cf. [3, 1.2.2]). On en déduit, pour tout faisceau abélien de torsion localement constant et constructible $\mathcal{F}$ de $X_{\bar{\eta}, \text{ét}}$ et tout entier $i \ge 1$, que $\text{R}^i \Psi_*(\mathcal{F}) = 0$ (7.3.6) (cf. [5, 9.6]). On a donc un isomorphisme

$$ H^i(\tilde{E}, \Psi_*(\mathcal{F})) \to H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \mathcal{F}) \quad (7.16.1) $$

déduit de la suite spectrale de Cartan-Leray.

7.17. Soit $\mathbb{L}$ un faisceau abélien de torsion de $X_{\bar{\eta}, \text{ét}}$. Le faisceau $\rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L})$ (2.13.3) est isomorphe à une limite inductive de faisceaux abéliens de torsion localement constants et constructibles de $X_{\bar{\eta}, \text{ét}}$ (cf. [4, VI.9.20]). D'après [4, VI.10.5 et VI.10.10], les topos $X_{\bar{\eta}, \text{ét}}$ et $\tilde{E}$ et le morphisme de topos $\Psi$ sont cohérents. Par (7.16.1) et passage à la limite [6, VI 5.1], on a un isomorphisme

$$ H^i(\tilde{E}, \Psi_*(\rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L}))) \to H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L})) \quad (7.17.1) $$

déduit de la suite spectrale de Cartan-Leray. Pour tout entier $i \ge 0$, considérons le morphisme composé

$$ \begin{aligned} H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \mathbb{L}) &\xrightarrow{\beta^*} H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L})) \\ &\xrightarrow{\sim} H^i(\tilde{E}, \Psi_*(\rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L}))) \to H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L})), \end{aligned} \quad (7.17.2) $$

où la deuxième flèche est induite par l'isomorphisme $\beta^* \xrightarrow{\sim} \Psi_* \rho_{X_{\bar{\eta}}}^*$ (7.3.8) et la troisième flèche est l'isomorphisme (7.17.1). D'après 2.12, le morphisme composé (7.17.3) s'identifie au morphisme induit par $\rho_{X_{\bar{\eta}}}^*$:

$$ \rho_{X_{\bar{\eta}}}^* : H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \mathbb{L}) \to H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \rho_{X_{\bar{\eta}}}^*(\mathbb{L})). \quad (7.17.3) $$

qui est un isomorphisme pour $i = 0, 1$ et un monomorphisme pour $i = 2$ (cf. 2.15). Comme les deux dernières flèches de (7.17.2) sont des isomorphismes, on en déduit le résultat suivant.

LEMME 7.18. Soit $\mathbb{L}$ un faisceau abélien de torsion de $X_{\bar{\eta}, \text{ét}}$. L'homomorphisme

$$ \beta^* : H^i(X_{\bar{\eta}, \text{ét}}, \mathbb{L}) \to H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L})) \quad (7.18.1) $$

est un isomorphisme si $i = 0, 1$, et est un monomorphisme si $i = 2$.
THÉORÈME 7.19 (Faltings; [3, 2.4.16]). Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathbb{L}$ un $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Le morphisme $\mathfrak{o}_n$-linéaire canonique

$$ H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L})) \to H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L}) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \overline{\mathcal{B}}_n) \quad (7.19.1) $$

est un $\alpha$-isomorphisme (3.1).

Preuve. D'après [4, VI.9.20], il existe une extension finie $F$ de $\mathbb{Q}_p$ contenue dans $\overline{K}$ et, notant $\mathcal{O}_F$ l'anneau de valuation de $F$, un $(\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F)$-module localement libre de type fini $\mathbb{L}'$ de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$ tels que $\mathbb{L} \simeq \mathbb{L}' \otimes_{\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F} \mathfrak{o}_n$. Comme $\mathfrak{o}_n$ est plat sur $\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F$, il suffit de démontrer que le morphisme $\mathfrak{o}_n$-linéaire canonique

$$ H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L}')) \otimes_{\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F} \mathfrak{o}_n \to H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L}') \otimes_{\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F} \overline{\mathcal{B}}_n) \quad (7.19.2) $$

est un $\alpha$-isomorphisme. La même démonstration que celle de [3, 2.4.16] s'applique alors aux $(\mathcal{O}_F/p^n\mathcal{O}_F)$-modules localement libres de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$, en remplaçant le morphisme de Frobenius par une puissance de ce dernier. $\square$

PROPOSITION 7.20. Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathbb{L}$ un $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Le morphisme $\mathfrak{o}_n$-linéaire induit par $\beta_n$ (7.13.1)

$$ \beta_n^* : H^i(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}, \mathbb{L}) \to H^i(\tilde{E}_s, \beta_n^*(\mathbb{L})) \quad (7.20.1) $$

est un $\alpha$-isomorphisme si $i=0, 1$ et un $\alpha$-monomorphisme si $i=2$ (3.1).

Preuve. Comme le foncteur $\delta_* : \tilde{E}_s \to \tilde{E}$ (7.10.1) est exact, on a un isomorphisme

$$ \delta^* : H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L}_n) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \overline{\mathcal{B}}_n) \xrightarrow{\sim} H^i(\tilde{E}_s, \beta_n^*(\mathbb{L}_n)) $$

en vertu de (7.14.1). Le morphisme (7.20.1) s'identifie au morphisme composé

$$ H^i(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}, \mathbb{L}) \xrightarrow{\beta^*} H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L})) \to H^i(\tilde{E}, \beta^*(\mathbb{L}) \otimes_{\mathfrak{o}_n} \overline{\mathcal{B}}_n) \xrightarrow{\delta^*} H^i(\tilde{E}_s, \beta_n^*(\mathbb{L})), $$

où la première flèche est le morphisme (7.18.1) et la deuxième flèche est le $\alpha$-isomorphisme (7.19.1). La proposition s'ensuit compte tenu de 7.18 et 7.19. $\square$

COROLLAIRE 7.21. Soit $\mathbb{L} = (\mathbb{L}_n)_{n \ge 1}$ un $\mathfrak{o}$-module localement libre de type fini de $X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$. Pour $i=0, 1$, le morphisme $\mathfrak{o}$-linéaire induit par $\tilde{\beta}$ (7.13.2)

$$ \tilde{\beta}^* : H^i(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}^{\mathfrak{N}^0}, \mathbb{L}) \to H^i(\tilde{E}_s^{\mathfrak{N}^0}, \tilde{\beta}^*(\mathbb{L})) \quad (7.21.1) $$

est un $\alpha$-isomorphisme.
Preuve. Pour tout $i \ge 0$, on a un diagramme commutatif (cf. [4, VI.7.10])

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  0 \arrow[r] & \begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}, scale=0.8, every node/.style={scale=0.8, font=\scriptsize}]
    \node (r) at (0,0) {$H^i$};
    \node (l) at (0,1) {$H^{i-1}$};
    \node (top) at (0,0.5) {$X_{\bar{\eta}, \text{fét}}$, $\mathbb{L}_n$};
    \node (bottom) at (0,1.5) {$\mathbb{L}$};
    \node (left) at (-1,0.25) {$\beta_n^*$};
    \node (right) at (1,0.25) {$\beta^*$};
    \node (topleft) at (-1,0.75) {$\leftarrow$};
    \node (topright) at (1,0.75) {$\rightarrow$};
    \node (bottomleft) at (-1,1.25) {$\rightarrow$};
    \node (bottomright) at (1,1.25) {$\leftarrow$};
  \end{tikzpicture} \arrow[r, "\cong"] &
  \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    0 \arrow[r] & \begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}, scale=0.8, every node/.style={scale=0.8, font=\scriptsize}]
      \node (r) at (0,0) {$H^i$};
      \node (l) at (0,1) {$H^{i-1}$};
      \node (top) at (0,0.5) {$\tilde{E}_s$, $\beta_n^*(\mathbb{L}_n)$};
      \node (bottom) at (0,1.5) {$\mathbb{L}$};
      \node (left) at (-1,0.25) {$\beta_n^*$};
      \node (right) at (1,0.25) {$\beta^*(\mathbb{L})$};
      \node (topleft) at (-1,0.75) {$\leftarrow$};
      \node (topright) at (1,0.75) {$\rightarrow$};
      \node (bottomleft) at (-1,1.25) {$\rightarrow$};
      \node (bottomright) at (1,1.25) {$\leftarrow$};
    \end{tikzpicture} \arrow[r, "\cong"] &
  \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    0 \arrow[r] & \begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}, scale=0.8, every node/.style={scale=0.8, font=\scriptsize}]
      \node (r) at (0,0) {$H^i$};
      \node (l) at (0,1) {$H^{i-1}$};
      \node (top) at (0,0.5) {$\tilde{E}_s$, $\beta_n^*(\mathbb{L})$};
      \node (bottom) at (0,1.5) {$\mathbb{L}$};
      \node (left) at (-1,0.25) {$\beta_n^*$};
      \node (right) at (1,0.25) {$\beta^*(\mathbb{L})$};
      \node (topleft) at (-1,0.75) {$\leftarrow$};
      \node (topright) at (1,0.75) {$\rightarrow$};
      \node (bottomleft) at (-1,1.25) {$\rightarrow$};
      \node (bottomright) at (1,1.25) {$\leftarrow$};
    \end{tikzpicture} \arrow[r, "\cong"] &
  \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    0 \arrow[r] & \begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}, scale=0.8, every node/.style={scale=0.8, font=\scriptsize}]
      \node (r) at (0,0) {$H^i$};
      \node (l) at (0,1) {$H^{i-1}$};
      \node (top) at (0,0.5) {$\tilde{E}_s$, $\beta_n^*(\mathbb{L}_n)$};
      \node (bottom) at (0,1.5) {$\mathbb{L}$};
      \node (left) at (-1,0.25) {$\beta_n^*$};
      \node (right) at (1,0.25) {$\beta^*(\mathbb{L})$};
      \node (topleft) at (-1,0.75) {$\leftarrow$};
      \node (topright) at (1,0.75) {$\rightarrow$};
      \node (bottomleft) at (-1,1.25) {$\rightarrow$};
      \node (bottomright) at (1,1.25) {$\leftarrow$};
    \end{tikzpicture} \arrow[r, "\cong"] &
  \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    0 \arrow[r] & \begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}, scale=0.8, every node/.style={scale=0.8, font=\scriptsize}]
      \node (r) at (0,0) {$H^i$};
      \node (l) at (0,1) {$H^{i-1}$};
      \node (top) at (0,0.5) {$\tilde{E}_s$, $\beta_n^*(\mathbb{L})$};
      \node (bottom) at (0,1.5) {$\mathbb{L}$};
      \node (left) at (-1,0.25) {$\beta_n^*$};
      \node (right) at (1,0.25) {$\beta^*(\mathbb{L})$};
      \node (topleft) at (-1,0.75) {$\leftarrow$};
      \node (topright) at (1,0.75) {$\rightarrow$};
      \node (bottomleft) at (-1,1.25) {$\rightarrow$};
      \node (bottomright) at (1,1.25) {$\leftarrow$};
    \end{tikzpicture}
  \end{tikzcd}
\end{tikzcd}
\tag{7.21.2}
$$

où l’on a posé $H^{-1}(X_{\bar{\eta}, \text{fét}}, \mathbb{L}_n) = 0$ et $H^{-1}(\tilde{E}_s, \beta_n^*(\mathbb{L}_n)) = 0$ pour tout $n \ge 1$. L’assertion résulte alors de 3.10(ii) et 7.20. $\square$

7.22. On désigne par $\tilde{E}_{pt}$ le topos de Faltings associé au morphisme canonique $h_S : \bar{\eta} \to S$. Pour tout $U \in \text{Ob}(\text{Ét}_U)$, le site $\text{Ét}_{f/U\bar{\eta}}$ est équivalent au site $\text{Ét}_{\text{scoh}/U\bar{\eta}}$ (2.13). D’après [4, VI.5.11], le foncteur $\rho^+$ induit une équivalence de topos (7.5.2) :

$$
\rho : S_{\text{ét}} \underset{S_{\text{ét}} \bar{\eta}_{\text{ét}}}{\overset{\sim}{\leftarrow}} \tilde{E}_{pt}, \qquad (7.22.1)
$$

qui s’insère dans le diagramme commutatif (7.5.3)

$$
\[
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  S_{\text{ét}} \arrow[r, "\rho_1"] \arrow[d, "S_{\text{ét}} \bar{\eta}_{\text{ét}}"'] & S_{\text{ét}} \arrow[r, "\rho_2"] \arrow[d, "\rho"'] & \bar{\eta}_{\text{ét}} \arrow[d, "\zeta"] \\
  \parallel \arrow[r, "\sigma"] & \tilde{E}_{pt} \arrow[d, "\beta"] & \bar{\eta}_{\text{fét}}.
\end{tikzcd}
\tag{7.22.2}
\]
$$

7.23. Soit $a : \bar{S} \to S$, $h_S : \bar{\eta} \to S$ les morphismes canoniques, et $a^+ : \text{Ét}_{\text{scoh}/S} \to \text{Ét}_{\text{scoh}/\bar{S}}$ et $h_S^+ : \text{Ét}_{\text{scoh}/S} \to \text{Ét}_{\text{coh}/\bar{\eta}}$ les foncteurs de changement de base associés (2.13). On note $D_{\text{scoh}}$ et $E_{\text{scoh}}$ les sites introduits dans 7.7 relativement au morphisme $h_S$. On observera que $\bar{\eta}_{\text{ét}}$ étant un topos ponctuel, il existe un unique morphisme de topos

$$
b : \bar{S}_{\text{ét}} \to \bar{\eta}_{\text{ét}}, \qquad (7.23.1)
$$

tel que $b^*(\bar{\eta}) = \bar{S}$ [6, IV 4.3]. Il est induit par l’unique foncteur exact à gauche

$$
b^+ : \mathrm{Ét}_{\mathrm{scoh}/\bar{\eta}} \to \mathrm{Ét}_{\mathrm{scoh}/\bar{S}}.
$$
LEMME 7.24. (i) Pour tout $U \in \mathbf{Ob}(\mathbf{Ét}_{\mathrm{scoh}/S})$, il existe un $\overline{S}$-morphisme fonctoriel en $U$

$$ \overline{U} \to b^+(U_{\bar{\eta}}), \qquad (7.24.1) $$

induisant un isomorphisme au-dessus de $\bar{\eta}$.

(ii) Pour tout $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(E_{\mathrm{scoh}})$, il existe un isomorphisme de $\overline{S}$-schémas fonctoriel en $(V \to U)$

$$ \overline{U} \times_{b^+(U_{\bar{\eta}})} b^+(V) \xrightarrow{\sim} \overline{U}^V, \qquad (7.24.2) $$

où $\overline{U}^V$ désigne la clôture intégrale de $\overline{U}$ dans $V$ (7.8).

*Preuve.* D'après [25, 18.10.8], tout objet $U$ de $\mathbf{Ét}_{\mathrm{scoh}/S}$ est la somme de deux sous-schémas ouverts $U_1$ et $U_2$, où $U_1$ est fini sur $S$ et $U_2$ est fini sur $\eta$. On peut traiter indépendamment le cas où $U$ est fini sur $S$ et celui où $U$ est fini sur $\eta$.

Si $U$ est fini sur $S$, $U$ est isomorphe à une somme de copies de $S$. Par suite, on a un isomorphisme canonique $\overline{U} \to b^+(\overline{U}_{\bar{\eta}})$, d'où le lemme dans ce cas.

Si $U$ est fini sur $\eta$, on a $\overline{U} \simeq U_{\bar{\eta}}$. La construction de (7.24.1) est immédiate dans ce cas puisque le morphisme composé

$$ \mathbf{Ét}_{\mathrm{coh}/\bar{\eta}} \xrightarrow{b^+} \mathbf{Ét}_{\mathrm{scoh}/\overline{S}} \to \mathbf{Ét}_{\mathrm{coh}/\bar{\eta}}, $$

où la seconde flèche est déduite du changement de base, est l'identité. De plus, on a $\overline{U} \times_{b^+(U_{\bar{\eta}})} b^+(V) \simeq U_{\bar{\eta}} \times_{U_{\bar{\eta}}} V = V$ et $\overline{U}^V \simeq V$ ; d'où l'isomorphisme (7.24.2) dans ce cas. $\square$

7.25. On déduit de (7.24.1) un morphisme de foncteurs

$$ t^+ : a^+ \to b^+ h_S^+ \qquad (7.25.1) $$

et donc un 2-morphisme

$$ t : h_S b \to a. $$

D'après la propriété universelle des topos co-évanescents [4, VI.3.7], le triplet $(a, b, t)$ induit un morphisme de topos

$$ u : \overline{S}_{\mathrm{ét}} \to S_{\mathrm{ét}} \underset{S_{\mathrm{ét}} \bar{\eta}_{\mathrm{ét}}}{\times} \bar{\eta}_{\mathrm{ét}}, \qquad (7.25.2) $$
qui s'insère dans le diagramme commutatif

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

On vérifie aussitôt que

$$u(\bar{\eta}) = (\mathrm{id} : \bar{\eta} \rightsquigarrow \bar{\eta}) \quad \text{et} \quad u(s) = (\bar{\eta} \rightsquigarrow s), \qquad (7.25.4)$$

où $\bar{\eta} \rightsquigarrow s$ est l'unique flèche de spécialisation de $\bar{\eta}$ vers $s$. En vertu de [4, VI.3.7.2], $u$ est induit par le foncteur

$$u^+ : D_{\mathrm{scoh}} \to \mathbf{\acute{E}}_{\mathrm{scoh}/\bar{S}} \quad (V \to U) \mapsto \bar{U} \times_{b^+(U\bar{\eta})} b^+(V), \qquad (7.25.5)$$

où la flèche $\bar{U} \to b^+(U\bar{\eta})$ est définie dans (7.24.1). On en déduit que $u^*((\bar{\eta} \to \eta)^a) = \bar{\eta}$. Le topos $\eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ est canoniquement isomorphe au topos localisé de $S_{\acute{e}t} \times_{S_{\acute{e}t}} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ en $(\bar{\eta} \to \eta)^a$ [4, VI.3.14]. Notons $\tilde{D}_s$ le sous-topos fermé de $S_{\acute{e}t} \underset{S_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ complémentaire de l'ouvert $(\bar{\eta} \to \eta)^a$. Le morphisme $u$ (7.25.2) induit deux morphismes de topos [6, IV 5.11 et 9.4.3]

$$v : \bar{\eta}_{\acute{e}t} \to \eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t} \quad \text{et} \quad u_s : s_{\acute{e}t} \to \tilde{D}_s. \qquad (7.25.6)$$

On identifie le morphisme $v$ (resp. $u_s$) au point (id : $\bar{\eta} \rightsquigarrow \bar{\eta}$) (resp. $(\bar{\eta} \rightsquigarrow s)$) de $\tilde{D}$.

**PROPOSITION 7.26.** *Le morphisme $u$ (7.25.2) est une équivalence de topos.*

*Preuve.* D'après [28, 2.3.2], le topos $S_{\acute{e}t} \underset{S_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ est local de centre $(\bar{\eta} \rightsquigarrow s)$ [6, VI 8.4.6]. En vertu de (7.25.4), le morphisme de topos $u$ est local [28, 2.1]. La proposition résulte alors de 7.27, 7.29 et 7.30 ci-dessous. $\square$

**LEMME 7.27.** *Le morphisme $v$ (7.25.6) est une équivalence de topos.*

*Preuve.* On désigne par $D'_{\mathrm{scoh}}$ le site défini par la sous-catégorie pleine $(D_{\mathrm{scoh}})/(\bar{\eta} \to \eta)$ de $D_{\mathrm{scoh}}$ munie de la topologie induite via le foncteur d'inclusion. En vertu de [4, VI.10.14], le topos $\eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ est canoniquement isomorphe au
topos des faisceaux d'ensembles sur $D'_{scoh}$. D'après (7.25.5), le morphisme $v$ est induit par le foncteur

$$v^+ : D'_{scoh} \to \hat{\mathbf{E}}_{\mathbf{t}}_{\mathrm{coh}/\bar{\eta}} \quad (V \to U) \mapsto V. \qquad (7.27.1)$$

On désigne par $\mathcal{C}_{\bar{\eta}}$ la catégorie des voisinages du point $v$ de $\eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\overleftarrow{\times}} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ dans le site $D'_{scoh}$. Les objets de $\mathcal{C}_{\bar{\eta}}$ sont les couples formés d'un objet $(V \to U)$ de $D'_{scoh}$ et d'un $\bar{\eta}$-morphisme $m$ de $\bar{\eta}$ dans $V$. On désigne par $\mathcal{D}_{\bar{\eta}}$ la sous-catégorie pleine de $\mathcal{C}_{\bar{\eta}}$ formée des objets de la forme $(\bar{\eta} \to U, \mathrm{id}_{\bar{\eta}})$. Il est clair que $\mathcal{D}_{\bar{\eta}}^\circ$ forme une sous-catégorie cofinale de $\mathcal{C}_{\bar{\eta}}^\circ$.

Pour tout faisceau $F$ de $\eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\overleftarrow{\times}} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$, considérons le morphisme d'adjonction

$$v^*(F) \to v^*v_*v^*(F). \qquad (7.27.2)$$

Celui-là s'identifie à la limite inductive sur la catégorie $\mathcal{D}_{\bar{\eta}}^\circ$ des morphismes

$$F(\bar{\eta} \to U) \to v_*(v^*(F))(\bar{\eta} \to U). \qquad (7.27.3)$$

D'après (7.27.1), on a un isomorphisme $v_*(v^*(F))(\bar{\eta} \to U) \simeq v^*(F)(\bar{\eta}) = v^*(F)$. Le morphisme (7.27.3) s'identifie alors au morphisme canonique $F(\bar{\eta} \to U) \to v^*(F)$. En prenant la limite inductive, le morphisme (7.27.2) est donc un isomorphisme. Comme le point $v$ est conservatif pour le topos $\eta_{\acute{e}t} \underset{\eta_{\acute{e}t}}{\overleftarrow{\times}} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ [4, VI.5.28], on en déduit que le morphisme d'adjonction

$$\mathrm{id} \to v_*v^* \qquad (7.27.4)$$

est un isomorphisme. Celui-là implique que $v^*$ est pleinement fidèle [6, I 6.4]. Il est clair que le foncteur fibre $v^*$ est essentiellement surjectif, d'où le lemme. $\square$

**LEMME 7.28.** *Soit $\mathcal{T}$ un topos local de point central $s : \mathbf{Pt} \to \mathcal{T}$. On suppose que le point $s$ est conservatif pour $\mathcal{T}$. Alors, $s$ est une équivalence de topos.*

*Preuve.* Notons $\varepsilon : \mathcal{T} \to \mathbf{Pt}$ la projection canonique [6, IV 4.3]. Rappelons que, pour tout faisceau $F$ de $\mathcal{T}$, le morphisme naturel $\Gamma(\mathcal{T}, F) \to s^*(F)$ est bijectif. Celui-là induit un isomorphisme canonique $\varepsilon_* \xrightarrow{\sim} s^*$. On en déduit un isomorphisme

$$\varepsilon_*s_* \xrightarrow{\sim} s^*s_* \qquad (7.28.1)$$

On notera que le morphisme composé $\varepsilon \circ s : \mathbf{Pt} \to \mathcal{T} \to \mathbf{Pt}$ s'identifie au morphisme identique. On en déduit que le composé de (7.28.1) et du morphisme d'adjonction

$$\varepsilon_*s_* \xrightarrow{\sim} s^*s_* \to \mathrm{id} \qquad (7.28.2)$$
s'identifie au morphisme identique. Par suite, le morphisme d'adjonction

$$s^*s_* \xrightarrow{\sim} \mathrm{id} \qquad (7.28.3)$$

est un isomorphisme. D'autre part, le morphisme composé déduit des morphismes d'adjonction $s^* \to s^*s_*s^* \to s^*$ s'identifie au morphisme identique [19, 1.1.12]. On en déduit un isomorphisme canonique

$$s^* \xrightarrow{\sim} s^*s_*s^* \qquad (7.28.4)$$

Comme le foncteur fibre $s^*$ est conservatif, le morphisme d'adjonction

$$\mathrm{id} \xrightarrow{\sim} s_*s^* \qquad (7.28.5)$$

est un isomorphisme. Le morphisme $s$ induit donc une équivalence de topos. □

**LEMME 7.29.** *Le morphisme $u_s$ (7.25.6) est une équivalence de topos.*

*Preuve.* Les points $v$ et $u_s$ sont conservatifs pour le topos $S_{\acute{e}t} \underset{S_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ (cf. 7.6). Par 7.27 et [6, IV 9.7.3], on en déduit que le point $u_s$ est conservatif pour $\tilde{D}_s$. D'après 7.28, il suffit de démontrer que le topos $\tilde{D}_s$ est local de centre $u_s$. Considérons le morphisme composé de topos

$$S_{\acute{e}t} \xrightarrow{u_s} \tilde{D}_s \xrightarrow{i} S_{\acute{e}t} \underset{S_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t} \xrightarrow{\varepsilon} \mathbf{Pt}, \qquad (7.29.1)$$

où $i$ est le morphisme d'injection canonique et $\varepsilon$ la projection canonique. Rappelons [6, IV 9.5.8] que le morphisme d'adjonction

$$i^*i_* \xrightarrow{\sim} \mathrm{id} \qquad (7.29.2)$$

est un isomorphisme. Comme $S_{\acute{e}t} \underset{S_{\acute{e}t}}{\times} \bar{\eta}_{\acute{e}t}$ est local de centre $i \circ u_s$ (7.25.4), on a un isomorphisme canonique

$$\varepsilon_* \xrightarrow{\sim} u_s^*i^*. \qquad (7.29.3)$$

On en déduit que le composé

$$\varepsilon_*i_* \to u_s^*i^*i_* \to u_s^* \qquad (7.29.4)$$

est un isomorphisme. Le foncteur ‘sections globales’ $\Gamma(\tilde{D}_s, -)$ est donc isomorphe au foncteur fibre $u_s^*$, i.e. le topos $\tilde{D}_s$ est local de centre $u_s$. □

**LEMME 7.30.** *Soit $f: \mathcal{T}' \to \mathcal{T}$ un morphisme de topos, $U$ un ouvert de $\mathcal{T}$ et $U' = f^*(U)$. Notons $j: \mathcal{T}/U \to \mathcal{T}$ (resp. $j': \mathcal{T}/U' \to \mathcal{T}$) le morphisme de*
localisation de $\mathcal{T}$ (resp. $\mathcal{T}'$) en $U$ (resp. $U'$) et $i: \mathcal{T}_S \to \mathcal{T}$ (resp. $i': \mathcal{T}'_S \to \mathcal{T}'$) le sous-topos fermé de $\mathcal{T}$ (resp. $\mathcal{T}'$) complémentaire de l'ouvert $U$ (resp. $U'$) [6, IV 9.3.5]. Le morphisme $f$ induit deux morphismes de topos [6, IV 5.11 et 9.4.3]

$$f_{/U}: \mathcal{T}'_{/U'} \to \mathcal{T}_{/U} \quad \text{et} \quad f_s: \mathcal{T}'_s \to \mathcal{T}_s. \qquad (7.30.1)$$

Supposons que $\mathcal{T}_S$ (resp. $\mathcal{T}'_S$) soit ponctuel, $\mathcal{T}$ (resp. $\mathcal{T}'$) soit local de centre $i$ (resp. $i'$) et que $f_{/U}$ soit une équivalence de topos. Alors, $f$ est une équivalence de topos.

Preuve. Posons $\rho' = i'^* \circ j'_*$ et $\rho = i^* \circ j_*$. Le topos $\mathcal{T}$ (resp. $\mathcal{T}'$) est équivalent au topos obtenu par recollement de $(\mathcal{T}_{/U}, \mathcal{T}_S, \rho)$ (resp. $(\mathcal{T}'_{/U'}, \mathcal{T}'_S, \rho')$) (cf. [6, IV 9.5.4]). Considérons le diagramme

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
\mathcal{T}'_{/U'} \arrow[r, "j_*'"] \arrow[d, "f_{/U*}"] & \mathcal{T}' \arrow[r, "i'^*"] \arrow[d, "f_*"] & \mathcal{T}'_S \arrow[d, "f_{S*}"] \\
\mathcal{T}_{/U} \arrow[r, "j_*"] & \mathcal{T} \arrow[r, "i^*"] & \mathcal{T}_S
\end{tikzcd} \qquad (7.30.2)$$

dont le carré de gauche est clairement commutatif. Le foncteur $i^*$ (resp. $i'^*$) est isomorphe au foncteur ‘sections globales’ $\Gamma(\mathcal{T}, -)$ (resp. $\Gamma(\mathcal{T}', -)$) et le foncteur $f_{S*}$ est isomorphe au foncteur identique. On en déduit que le carré de droite de (7.30.2) est aussi commutatif. Les foncteurs $\rho$ et $\rho'$ sont donc compatibles. Par suite, $f_*$ induit une équivalence de catégories en vertu de [6, IV 9.5.2]. $\square$

7.31. Soit $\overline{\mathcal{B}}_{pt}$ l'anneau de $\tilde{E}_{pt}$ associé à $\overline{S}$ (7.8). Par (7.8.1), (7.24.2) et (7.25.5), on a un isomorphisme d'anneaux de $\tilde{E}_{pt}$

$$\rho_* u_*(\mathcal{O}_{\overline{S}}) \xrightarrow{\sim} \overline{\mathcal{B}}_{pt}. \qquad (7.31.1)$$

Par les équivalences de topos (7.22.1) et (7.25.2) :

$$\overline{S}_{\acute{e}t} \xrightarrow{u} S_{\acute{e}t} \xleftarrow{\times_{S_{\acute{e}t}}} \overline{\eta}_{\acute{e}t} \xrightarrow{\rho} \tilde{E}_{pt}, \qquad (7.31.2)$$

l'anneau $\mathcal{O}_{\overline{S}}$ de $\overline{S}_{\acute{e}t}$ s'identifie alors à l'anneau $\overline{\mathcal{B}}_{pt}$ de $\tilde{E}_{pt}$ et pour tout entier $n \ge 1$, l'anneau $\mathcal{O}_{\tilde{S}_n}$ de $\overline{S}_{\acute{e}t}$ s'identifie alors à l'anneau $\overline{\mathcal{B}}_{pt,n}$ de $\tilde{E}_{pt}$ (7.8.3). D'après (7.22.2) et 7.29, le sous-topos fermé $s_{\acute{e}t}$ de $\overline{S}_{\acute{e}t}$ s'identifie au sous-topos fermé $\tilde{E}_{pt,s}$ (7.10.1) de $\tilde{E}_{pt}$.

D'après (7.22.2) et (7.25.3), le morphisme de topos $a: \overline{S}_{\acute{e}t} \to S_{\acute{e}t}$ induit une équivalence de topos annelés

$$a_n : (s_{\acute{e}t}, \mathcal{O}_{\overline{S}_n}) \xrightarrow{\sim} (s_{\acute{e}t}, \mathcal{O}_{\overline{S}_n}), \qquad (7.31.3)$$
qui s'identifie au morphisme de topos annelés $\sigma_n$ (7.11.4) de $\tilde{E}_{pt}$. De plus, le morphisme de topos $b : \bar{S}_{\acute{e}t} \to \bar{\eta}_{f\acute{e}t}$ induit une équivalence de topos annelés

$$b_n : (s_{\acute{e}t}, \mathcal{O}_{\bar{S}_n}) \xrightarrow{\sim} (\bar{\eta}_{f\acute{e}t}, \mathcal{o}_n) \qquad (7.31.4)$$

qui s'identifie au morphisme de topos annelés $\beta_n$ (7.13.1) de $\tilde{E}_{pt}$.

## 8. Correspondance de Deninger-Werner via le topos annelé de Faltings

Dans cette section, on se donne une $S$-courbe semi-stable $X$ et un $\bar{\eta}$-point $\bar{x}$ de $X_{\bar{\eta}}$. On pose $C = X_{\bar{\eta}}$. Rappelons que $\bar{X} = X \times_S \bar{S}$ est un schéma normal (cf. 5.6). On reprend les notations de la Section 7 pour $X$.

8.1. Pour tout $\bar{\eta}$-point $\bar{y}$ de $C$, il existe un trait $S'$ fini sur $S$, un morphisme $h_{S'} : \bar{\eta} \to S'$ et un $S$-morphisme $y : S' \to X$ qui s'insèrent dans un diagramme commutatif de schémas

$$ \begin{tikzcd} & \bar{\eta} \arrow[r, "h_{S'}"] \arrow[d] & S' \arrow[d] \\ \bar{y} \arrow[r] & C \arrow[r, "\sim"] & \bar{X} \arrow[d] \arrow[d] \end{tikzcd} \qquad (8.1.1) $$

On identifie le topos annelé $(\bar{S}_{\acute{e}t}, \mathcal{O}_{\bar{S}})$ au topos annelé de Faltings associé au morphisme $h_{S'}$ et au schéma $\bar{S}$ (cf. 7.31). Pour tout entier $n \ge 1$, le diagramme (8.1.1) induit par fonctorialité [4, III.8.20] un morphisme de topos annelés que l'on note

$$[\bar{y}]_n : (s_{\acute{e}t}, \mathcal{O}_{\bar{S}_n}) \to (\tilde{E}_s, \bar{\mathcal{B}}_n). \qquad (8.1.2)$$

Par fonctorialité du topos de Faltings [4, VI.10.12], celui-ci est indépendant des choix du trait $S'$ fini sur $S$ et du diagramme (8.1.1).

**PROPOSITION 8.2.** *Supposons $X$ régulier. Soit $n$ un entier $\ge 1$, $M$ un $\bar{\mathcal{B}}_n$-module libre de type fini et $\bar{y}$ un point géométrique de $C$. Le morphisme $[\bar{y}]_n$ (8.1.2) et le foncteur $(-)_z$ (3.1.1) induisent un isomorphisme fonctoriel*

$$([\bar{y}]_n^*)_z : \Gamma(\tilde{E}_s, M)_z \xrightarrow{\sim} \Gamma(s_{\acute{e}t}, [\bar{y}]_n^*(M))_z. \qquad (8.2.1)$$

*Preuve.* Comme $M$ est libre de type fini, il existe un $\mathcal{o}_n$-module libre de type fini $\mathbb{L}$ de $C_{f\acute{e}t}$ tel que $M \simeq \beta_n^*(\mathbb{L})$. D'après [4, VI.(10.12.6)], on a un diagramme
commutatif de topos annelés

$$
\begin{equation} \tag{8.2.2}
\begin{aligned}
(s_{\text{ét}}, \mathcal{O}_{\bar{S}_n}) &\xrightarrow{[\bar{y}]_n} (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n) \\
b_n \downarrow &\quad \quad \quad \quad \quad \downarrow \beta_n \\
(\bar{\eta}_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n) &\xrightarrow{\bar{y}} (C_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

où $b_n$ est l'équivalence de topos annelés (7.31.4), induisant un diagramme
commutatif :

$$
\begin{equation} \tag{8.2.3}
\begin{aligned}
\Gamma(C_{\text{fét}}, \mathbb{L}) &\xrightarrow{\bar{y}^*} \Gamma(\bar{\eta}_{\text{fét}}, \bar{y}^*(\mathbb{L})) \\
\beta_n^* \downarrow &\quad \quad \quad \quad \quad \downarrow b_n^* \\
\Gamma(\tilde{E}_s, M) &\xrightarrow{[\bar{y}]_n^*} \Gamma(s_{\text{ét}}, [\bar{y}]_n^*(M))
\end{aligned}
\end{equation}
$$

où $\beta_n^*$ induit un $\alpha$-isomorphisme en vertu de 7.20 et $\bar{y}^*$ induit un isomorphisme puisque $\mathbb{L}$ est un faisceau constant et $C$ connexe. On en déduit un $\alpha$-isomorphisme

$$
[\bar{y}]_n^* : \Gamma(\tilde{E}_s, M) \to \Gamma(s_{\text{ét}}, [\bar{y}]_n^*(M)). \quad (8.2.4)
$$

L'isomorphisme (8.2.1) résulte de 3.2(i).

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

8.3. Soit (S', η') un trait fini sur (S, η), φ : X' → X_{S'} un η'-revêtement semi-stable. On note encore s le point fermé de S' et on fixe un η-morphisme η → η' et par suite un S-morphisme S → S'. On pose X'_s = X' ×_{S'} s, X'_− = X' ×_{S'} S et C' = X' ×_{S'} η. On désigne par

$$
\phi : X' \xrightarrow{\varphi} X_{S'} \to X, \quad \bar{\varphi} : \bar{X}' \to \bar{X}, \quad h' : \bar{X}' \to X' \text{ et } h' : C' \to X' \quad (8.3.1)
$$

les morphismes canoniques. On a un diagramme commutatif induit par $\varphi$

$$
\begin{equation} \tag{8.3.2}
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
C' \arrow[r] \arrow[d] & \overrightarrow{X'} \arrow[d]^{h'} \arrow[r] & X' \arrow[d] \\
\varphi_{\bar{\eta}} \arrow[r] \arrow[d] & \overline{\varphi} \arrow[d] & \phi \arrow[r] \\
C \arrow[r] \arrow[d] & \overrightarrow{X} \arrow[d]^{h} \arrow[r] & X.
\end{tikzcd}
\end{equation}
$$

Comme $X'$ est une $S'$-courbe semi-stable, le schéma $\overrightarrow{X}'$ est normal (5.6). On désigne par $(\tilde{E}', \overline{\mathcal{B}}')$ le topos annelé de Faltings associé au schéma $X'$ au-dessus de $S'$ (cf. 7.1 et 7.8) et par

$$
\Phi : (\tilde{E}', \overline{\mathcal{B}}') \to (\tilde{E}, \overline{\mathcal{B}}) \quad (8.3.3)
$$
le morphisme induit par fonctorialité par (8.3.2) [4, III.8.20]. D'après
[4, VI.(10.12.6)], les carrés du diagramme

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  X'_{\text{ét}} \arrow[r, "\sigma'"'] \arrow[d, "\phi_{\text{ét}}"] & \tilde{E}' \arrow[r, "\beta'"'] \arrow[d, "\phi"'] & C'_{\text{fét}} \arrow[d, "\varphi_{\eta}"] \\
  X_{\text{ét}} \arrow[r, "\sigma"'] \arrow[d, "\phi_{\eta}"] & \tilde{E} \arrow[r, "\beta"'] \arrow[d, "\varphi_{\eta}"] & C_{\text{fét}},
\end{tikzcd}
\qquad (8.3.4)
$$

où $\beta'$ et $\sigma'$ sont les morphismes canoniques (7.3.2) et (7.3.4) relatifs au $S'$-schéma $X'$, sont commutatifs à isomorphismes canoniques près.

On note $\tilde{E}'_s$ le sous-topos fermé de $\tilde{E}'$ complémentaire de l'ouvert $\sigma'^*(X'_{\eta'})$ (7.10),

$$
\delta' : \tilde{E}'_s \to \tilde{E}' \qquad (8.3.5)
$$

le plongement canonique (7.10.1) et

$$
\sigma'_{s} : \tilde{E}'_{s} \to X'_{s, \text{ét}} \qquad (8.3.6)
$$

le morphisme canonique de topos (7.11.1). D’après (8.3.4), on a un isomorphisme
$\Phi^*(\sigma^*(X_\eta)) \simeq \sigma'^*(X'_\eta)$. En vertu de [6, IV 9.4.3], il existe donc un morphisme
de topos

$$
\Phi_s : \tilde{E}'_s \to \tilde{E}_s \qquad (8.3.7)
$$

unique à isomorphisme près tel que le diagramme

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  \tilde{E}'_s \arrow[r, "\Phi_s"] & \tilde{E}_s \arrow[d, "\delta"] \\
  \delta' \arrow[d] & \Phi \arrow[d, "\delta"] \\
  \tilde{E}' \arrow[r, "\Phi"] & \tilde{E}
\end{tikzcd}
\qquad (8.3.8)
$$

soit commutatif. Il résulte de (8.3.4) et de [6, IV 9.4.3] que le diagramme de
morphismes de topos

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  \tilde{E}'_s \arrow[r, "\phi_s"] & \tilde{E}_s \arrow[d, "\sigma_s"] \\
  \sigma'_s \arrow[d] & \phi_s \arrow[d, "\phi"] \\
  X'_{s, \text{ét}} \arrow[r, "\varphi_s"] & X_{s, \text{ét}}
\end{tikzcd}
\qquad (8.3.9)
$$

est commutatif à isomorphisme près.

Pour tout entier $n \ge 1$, on pose $\overline{\mathcal{B}}' = \overline{\mathcal{B}} / p^n \overline{\mathcal{B}}$ et l'on désigne par

$$
\sigma'_n : (\tilde{E}'_s, \overline{\mathcal{B}}'_n) \to (X'_{s, \text{ét}}, \mathcal{O}_{\overline{X}'_n}) \quad (8.3.10)
$$
un $η$-revêtement semi-stable $\varphi : X' \to X_S$ tel que, reprenant les notations de 8.3, $\Phi_n^*(M_n)$ soit un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module libre de type fini.

(ii) On dit qu'un $\overline{\mathcal{B}}$-module $M = (M_n)_{n \ge 1}$ est *potentiellement libre de type fini* si $M$ est adique de type fini (2.11) et si, pour tout entier $n \ge 1$, le $\overline{\mathcal{B}}_n$-module $M_n$ est potentiellement libre de type fini.

On désigne par $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\overline{\mathcal{B}}_n)$ (resp. $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\overline{\mathcal{B}})$) la sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n)$ (resp. $\mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}})$), formée des $\overline{\mathcal{B}}_n$-modules potentiellement libres de type fini (resp. $\overline{\mathcal{B}}$-modules potentiellement libres de type fini). On désigne par $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}_{\mathbb{Q}}(\overline{\mathcal{B}})$ la catégorie des objets de $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\overline{\mathcal{B}})$ à isogénie près ; c'est une sous-catégorie pleine de $\mathbf{Mod}^{\text{atf}}_{\mathbb{Q}}(\overline{\mathcal{B}})$ (7.15). Les objets de $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}_{\mathbb{Q}}(\overline{\mathcal{B}})$ sont appelés les $\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}$-modules potentiellement libres de type fini.

8.6. Dans cette section, on reprend les notations de 3.21 pour le groupe profini $\pi_1(C, \bar{x})$. Soit $n \ge 1$ un entier. On note abusivement $\beta_n^*$, $\tilde{\beta}^*$ et $\tilde{\beta}_{\mathbb{Q}}^*$ les foncteurs composés suivants :

$$ \beta_n^* : \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\mathrm{ltf}}(\pi_1(C, \bar{x})) \xrightarrow{\mu_{\bar{x}}} \mathrm{LL}^{\mathrm{tf}}(C_{\mathrm{f\'et}}, \mathfrak{o}_n) \xrightarrow{\beta_n^*} \mathrm{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n), \quad (8.6.1) $$

$$ \check{\beta}^* : \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{ltf}}(\pi_1(C, \bar{x})) \xrightarrow{\tilde{\mu}_{\bar{x}}} \mathrm{LL}^{\mathrm{tf}}(C_{\mathrm{f\'et}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \xrightarrow{\check{\beta}^*} \mathrm{Mod}(\overline{\mathcal{B}}), \quad (8.6.2) $$

$$ \check{\beta}_{\mathbb{Q}}^* : \mathrm{Rep}_{\mathfrak{c}}^{\mathrm{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})) \xrightarrow{\check{\mu}_{\bar{x}, \mathbb{Q}}} \mathrm{LL}_{\mathbb{Q}}^{\mathrm{tf}}(C_{\mathrm{f\'et}}^{\mathbb{N}^{\circ}}, \check{\mathfrak{o}}) \xrightarrow{\check{\beta}_{\mathbb{Q}}^*} \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}}(\overline{\mathcal{B}}), \quad (8.6.3) $$

où $\mu_{\bar{x}}$, $\tilde{\mu}_{\bar{x}}$ et $\tilde{\mu}_{\bar{x}, \mathbb{Q}}$ sont les équivalences de catégories définies dans 3.29.

**PROPOSITION 8.7.** Soit $n$ un entier $\ge 1$. Le foncteur $\beta_n^*$ (resp. $\check{\beta}^*$, resp. $\check{\beta}_{\mathbb{Q}}^*$) est exact et il se factorise à travers la sous-catégorie $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\overline{\mathcal{B}}_n)$ (resp. $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\overline{\mathcal{B}})$, resp. $\mathbf{Mod}^{\text{pltf}}_{\mathbb{Q}}(\overline{\mathcal{B}})$).

*Preuve.* L'anneau $\overline{\mathcal{B}}$ est plat sur $\mathcal{O}_{\overline{\mathbb{K}}}$ [4, III.9.2] et par suite, $\overline{\mathcal{B}}_n$ est une $\mathfrak{o}_n$-algèbre plate, d'où l'exactitude du foncteur $\beta_n^*$. On en déduit que les foncteurs $\tilde{\beta}^*$ et $\tilde{\beta}_{\mathbb{Q}}^*$ sont exacts.

Étant donné un objet $\mathbb{L}$ de $\mathbf{LL}^{\mathrm{tf}}(C_{\mathrm{f\'et}}, \mathfrak{o}_n)$, il existe un revêtement étale, connexe et galoisien $\phi : C' \to C$ tel que $\phi^*(\mathbb{L})$ soit un $\mathfrak{o}_n$-module libre de type fini de $C'_{\mathrm{f\'et}}$. D'après 5.11(i), quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $η$-revêtement semi-stable $\varphi : X' \to X$ de fibre géométrique générique $\phi : C' \to C$. Reprenons les notations de 8.3 dans ce cas. D'après (8.3.14), on a un
isomorphisme

$$ \Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L})) \simeq \beta_n'^*(\varphi_\eta^*(\mathbb{L})). \qquad (8.7.1) $$

Par suite, $\beta_n^*(\mathbb{L})$ est potentiellement libre de type fini. L'assertion pour le foncteur $\check{\beta}^*$ s'ensuit compte tenu de 3.28(ii). □

**PROPOSITION 8.8.** *Supposons X régulier. Le foncteur (8.6.3) est pleinement fidèle.*

*Preuve.* Étant donné deux objets $\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2$ de $\mathbb{L}\mathbb{L}^{\text{tf}}(C_{\text{fét}}^{\text{N}^0}, \check{\delta})$, on pose

$$ \mathbb{L} = \operatorname{Hom}_{\check{\delta}}(\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2), $$

qui est encore un $\check{\delta}$-module localement libre de type fini de $C_{\text{fét}}^{\text{N}^0}$. Comme le $\check{\delta}$-module $\mathbb{L}_1$ est localement libre de type fini, on a un isomorphisme canonique

$$ \check{\beta}^*(\mathbb{L}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\check{\mathcal{B}}} (\check{\beta}^*(\mathbb{L}_1), \check{\beta}^*(\mathbb{L}_2)). \qquad (8.8.1) $$

D'après 7.21 et (8.8.1), le foncteur $\check{\beta}$ induit un isomorphisme :

$$ \operatorname{Hom}_{\check{\delta}}(\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\check{\mathcal{B}}} (\check{\beta}^*(\mathbb{L}_1), \check{\beta}^*(\mathbb{L}_2)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}; \qquad (8.8.2) $$

d'où la pleine fidélité de (8.6.3). □

**LEMME 8.9.** *Soit $M$ un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module potentiellement libre de type fini. Le $\mathfrak{o}_n$-module*

$$ \mathfrak{W}_n(M) = \Gamma(s_{\text{ét}}, [\bar{x}]_n^*(M))_{\mathfrak{z}}, \qquad (8.9.1) $$

où $[\bar{x}]_n : (s_{\text{ét}}, \mathcal{O}_{\bar{x}_n}) \to (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n)$ est le morphisme de topos annelés induit par $\bar{x}$ (8.1.2) et $(-)_{\mathfrak{z}}$ est le foncteur (3.1.1), est $\alpha$-plat de type $\alpha$-fini (3.4, 3.11).

*Preuve.* D'après 5.11(i), il existe un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ tel que, fixant un $\eta$-morphisme $\bar{\eta} \to \eta'$ et reprenant les notations de 8.3, $\Phi_n^*(M)$ soit libre de type fini et que chaque $\bar{\eta}$-point de $C'$ au-dessus de $\bar{x}$ se descende en un $\eta'$-point de $X'_{\eta'}$.

Choisissons un $\bar{\eta}$-point $\bar{y}$ de $C'$ au-dessus de $\bar{x}$ et un $\eta'$-point de $X'_{\eta'}$ qui le descend. On note y le $S'$-point de $X'$ correspondant et $x : S' \to X$ le $S$-morphisme induit par $\varphi$. Le diagramme commutatif de couples de schémas

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
induit un diagramme commutatif de topos annelés :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

On en déduit un isomorphisme $\mathcal{W}_n(M) \simeq \Gamma(s_{\text{ét}}, [\overline{y}]_n^*(\Phi_n^*(M)))_{\sharp}$. Comme $\Phi_n^*(M)$ est un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module libre de type fini, l'assertion s'ensuit compte tenu de **3.14**. $\square$

8.10. On fixe un entier $\ge 1$. Dans la suite de cette section, on se propose de construire un foncteur de Mod$^{pltf}(\overline{\mathcal{B}}_n)$ dans Rep$^{\alpha ptf}_o(\pi_1(C, \bar{x}))$ (3.23). Étant donné un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module potentiellement libre de type fini $M$, on définit le $o_n$-module $\mathcal{W}_n(M)$ sous-jacent à la $o_n$-représentation associée à $M$ par (8.9.1). Reprenant les notations de la preuve de 8.9, le morphisme $[\overline{y}]_n$ induit un isomorphisme $o_n$-linéaire (cf. 8.2)

$$ ([\overline{y}]_n^*)_{\sharp} : \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}_n(M). \qquad (8.10.1) $$

On construit une action $\mathcal{Q}_M$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ sur $\mathcal{W}_n(M)$ comme suit. Posons $G = \text{Aut}(X'_{\eta'}/X_{\eta'})$ qui est isomorphe à $\text{Aut}(C'/C)$. D'après **8.4**, tout $g \in G$ induit un morphisme de topos annelés $g_n : (\tilde{E}_s', \overline{\mathcal{B}}'_n) \to (\tilde{E}_s', \overline{\mathcal{B}}'_n)$ et par suite un automorphisme

$$ (g_n^*)_{\sharp} : \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \xrightarrow{\sim} \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp}. \qquad (8.10.2) $$

On a un homomorphisme surjectif (6.6.2)

$$ \xi_{\bar{y}} : \pi_1(C, \bar{x}) \to G^{\text{op}}. \qquad (8.10.3) $$

Pour tout $\gamma \in \pi_1(C, \bar{x})$, posant $g = \xi_{\bar{y}}(\gamma)$, on définit un automorphisme $\mathcal{Q}_M(\gamma)$ de $\mathcal{W}_n(M)$ par

$$ \begin{aligned} \mathcal{Q}_M(\gamma) : \mathcal{W}_n(M) &\xrightarrow{((\overline{[y]_n}^*)_{\sharp})^{-1}} \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \\ &\xrightarrow{(g_n^*)_{\sharp}} \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \xrightarrow{((\overline{[y]_n}^*)_{\sharp})} \mathcal{W}_n(M). \end{aligned} \qquad (8.10.4) $$

On notera que $\mathcal{Q}_M$ est l'homomorphisme composé

$$ \mathcal{Q}_M : \pi_1(C, \bar{x}) \xrightarrow{\xi_{\bar{y}}} G^{\text{op}} \to \text{Aut}_{o_n} \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \xrightarrow{\sim} \text{Aut}_{o_n} \mathcal{W}_n(M). $$

On définit la $o_n$-représentation de $\pi_1(C, \bar{x})$ associée à $M$ par $(\mathcal{W}_n(M), \mathcal{Q}_M)$ que l'on note simplement $\mathcal{W}_n(M)$.
**PROPOSITION 8.11.** Étant donné un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module potentiellement libre de type fini $M$, la $\mathfrak{o}_n$-représentation $\mathcal{W}_n(M)$ de $\pi_1(C, \bar{x})$ est indépendante des choix du trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$, du $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ et du point $\bar{y}$ de $C'(\bar{\eta})$ au-dessus de $\bar{x}$ à isomorphisme près.

*Preuve.* Le $\mathfrak{o}_n$-module (8.9.1) sous-jacent à $\mathcal{W}_n(M)$ est clairement indépendant des données ci-dessus. Il suffit de démontrer que l'isomorphisme (8.10.4) est indépendant des mêmes données.

Reprenons les notations de 8.9, et soit $\bar{y}$ et $\bar{y}'$ deux $\bar{\eta}$-points de $C'$ au-dessus de $\bar{x}$. Il existe un élément $h \in G \simeq \operatorname{Aut}(C'/C)$ tel que $h(\bar{y}) = \bar{y}'$. Avec les notations de 6.6, on a deux homomorphismes

$$ \xi_{\bar{y}} : \pi_1(C, \bar{x}) \to G^{\mathrm{op}} \qquad \xi_{\bar{y}'} : \pi_1(C, \bar{x}) \to G^{\mathrm{op}} $$

reliés par la relation (6.6.3) :

$$ \xi_{\bar{y}'}(\gamma) = h\xi_{\bar{y}}(\gamma)h^{-1} \quad \forall \gamma \in \pi_1(C, \bar{x}). $$

On déduit par fonctorialité un diagramme commutatif

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Pour tout $\gamma \in \pi_1(C, \bar{x})$, posant $g = \xi_{\bar{y}}(\gamma)$ et $g' = \xi_{\bar{y}'}(\gamma)$, on en déduit que $g' = hgh^{-1}$ dans $G$ et que

$$ \begin{align*} (\overline{[y']}_n^*)_{\sharp} \circ (g_n^*)_{\sharp} \circ (\overline{[y']}_n^*)_{\sharp}^{-1} &\simeq (\overline{[y]}_n^*)_{\sharp} \circ (h_n^*)_{\sharp} \circ (g_n^*)_{\sharp} \circ (h_n^*)_{\sharp}^{-1} \circ ((\overline{[y]}_n^*)_{\sharp})^{-1} \\ &= (\overline{[y]}_n^*)_{\sharp} \circ (g_n^*)_{\sharp} \circ ((\overline{[y]}_n^*)_{\sharp})^{-1}. \end{align*} $$

Cela implique que l'automorphisme $\varrho_M(\gamma)$ (8.10.4) est indépendant du choix du point $\bar{y}$ au-dessus de $\bar{x}$.

Soit $(S'', \eta'')$ un trait fini sur $(S, \eta)$ et $\phi : X'' \to X_{S''}$ un $\eta''$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien trivialisant $M$. D'après 5.11(i), on peut supposer que $S''$ domine $S'$ et qu'il existe un morphisme équivariant de $\phi$ dans $\varphi \times_{S'} S''$ (cf. 5.4). Notons-le $\psi : X'' \to X' \times_{S'} S'$ et soit $u : \operatorname{Aut}(X''/X_{\eta''}) \to \operatorname{Aut}(X'_{\eta''}/X_{\eta''})$ l'homomorphisme induit par $\psi_{\eta''}$. Alors, le morphisme équivariant $\psi$ induit un morphisme $u$-équivariant de topos annelés de Faltings :

$$ \Psi_n : (\tilde{E}_s'', \overline{\mathcal{B}}_n'') \to (\tilde{E}_s', \overline{\mathcal{B}}_n''), $$
où la source désigne le topos annelé de Faltings associé au $S''$-schéma $X''$, qui est muni d'une action de $Aut(X''_{\eta''}/X''_{\eta''})$ (8.4). On en déduit, pour tout $g \in Aut(X''_{\eta''}/X''_{\eta''})$, un diagramme commutatif

$$ \begin{array}{ccc} \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} & \xrightarrow{(u(g)_n^*)_{\sharp}}} & \Gamma(\tilde{E}_s', \Phi_n^*(M))_{\sharp} \\ \begin{array}{c} \xleftarrow{\psi_n^*)_{\sharp}} \\ \downarrow \end{array} & & \begin{array}{c} \xleftarrow{(g_n^*)_{\sharp}}} \\ \downarrow \end{array} \\ \Gamma(\tilde{E}_s'', \psi_n^*(\Phi_n^*(M)))_{\sharp} & \xrightarrow{(g_n^*)_{\sharp}}} & \Gamma(\tilde{E}_s'', \psi_n^*(\Phi_n^*(M)))_{\sharp} \end{array} $$

La proposition s'ensuit compte tenu de (8.10.4). □

8.12. Soit $f : M \to M'$ un morphisme de $\mathcal{B}_n$-modules potentiellement libres de type fini. D'après 5.11(i), il existe un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ tels que, reprenant les notations de 8.3, $\Phi_n^*(M)$ et $\Phi_n^*(M')$ soient libres de type fini. L'automorphisme (8.10.4) est fonctoriel en $M$. Par 8.11, on peut associer à $f : M \to M'$ un morphisme de $\mathfrak{o}_n$-représentations de $\pi_1(C, \bar{x})$

$$ \mathcal{W}_n(f) : \mathcal{W}_n(M) \to \mathcal{W}_n(M'). \qquad (8.12.1) $$

La correspondance $M \mapsto \mathcal{W}_n(M)$ définit ainsi un foncteur $\mathfrak{o}_n$-linéaire

$$ \mathcal{W}_n : \mathrm{Mod}^{\mathrm{pltf}}(\bar{\mathcal{B}}_n) \to \mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\mathrm{aptf}}(\pi_1(C, \bar{x})). \qquad (8.12.2) $$

LEMME 8.13. Soit $M = (M_n)_{n \ge 1}$ un $\tilde{\mathcal{B}}$-module potentiellement libre de type fini. Pour tout entier $n \ge 1$, le morphisme canonique $M_{n+1} \to M_n$ induit un $\alpha$-isomorphisme fonctoriel de $\mathfrak{o}_n$-représentations (3.22)

$$ \mathcal{W}_{n+1}(M_{n+1}) \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to \mathcal{W}_n(M_n). \qquad (8.13.1) $$

Preuve. Soit $n$ un entier $\ge 1$. D'après 5.11(i), il existe un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ trivialisant $M_{n+1}$. On a un isomorphisme de $\mathfrak{o}_n$-modules

$$ \Gamma(s_{\acute{e}t}, [\bar{x}]_{n+1}^*(M_{n+1})) \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \xrightarrow{\sim} \Gamma(s_{\acute{e}t}, [\bar{x}]_n^*(M_n)). $$

En vertu de (3.1.2), celui-ci induit un $\alpha$-isomorphisme canonique de $\mathfrak{o}_n$-modules

$$ \mathcal{W}_{n+1}(M_{n+1}) \otimes_{\mathfrak{o}_{n+1}} \mathfrak{o}_n \to \mathcal{W}_n(M_n). $$

D'après 8.11 et la fonctorialité de (8.10.4), ce dernier est $\pi_1(C, \bar{x})$-équivariant. On vérifie aussitôt que (8.13.1) est fonctoriel en $M$ (cf. 8.12). □
8.14. En vertu de (3.23.1) et 8.13, les foncteurs $\mathcal{W}_n$ induisent un foncteur $\mathfrak{o}$-linéaire

$$ \mathcal{W} : \mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\check{\mathcal{B}}) \to \mathbf{Rep}_o^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(C, \bar{x})) \qquad (8.14.1) \\ M = (M_n)_{n \ge 1} \mapsto \lim_{\leftarrow\leftarrow} m \otimes_o \mathcal{W}_n(M_n). $$

On le note aussi $\mathcal{W}_X$ pour signifier que la construction dépend de $X$. D'après 3.27, le foncteur $\mathcal{W}$ s'étend en un foncteur $\mathfrak{C}$-linéaire :

$$ \mathcal{W}_{\mathfrak{Q}} : \mathbf{Mod}_{\mathfrak{Q}}^{\text{pltf}}(\check{\mathcal{B}}) \to \mathbf{Rep}_{\mathfrak{C}}^{\text{cont}}(\pi_1(C, \bar{x})). \qquad (8.14.2) $$

**PROPOSITION 8.15.** Soit $(S', \eta')$ un trait fini sur $(S, \eta)$ et $\varphi : X' \to X_{S'}$ un $\eta'$-revêtement semi-stable et régulier. Reprenant les notations de 8.3 pour $\varphi$, l'image réciproque par $\check{\Phi}$ (8.3.15) d'un $\check{\mathcal{B}}$-module potentiellement libre de type fini est un $\check{\mathcal{B}}$-module potentiellement libre de type fini. De plus, on a un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} \mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\check{\mathcal{B}}) \arrow[r, "\mathcal{W}_X"] & \mathbf{Rep}_o^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(C, \bar{x})) \arrow[d, "\Phi"] \\ \mathbf{Mod}^{\text{pltf}}(\check{\mathcal{B}}') \arrow[r, "\mathcal{W}_{X'}"] & \mathbf{Rep}_o^{\alpha\text{ptf}}(\pi_1(C', \bar{x}')) \arrow[d, "\Phi"] \end{tikzcd} \qquad (8.15.1) $$

où $C' = X'_\eta, \bar{x}'$ est un $\eta$-point de $C'$ au-dessus de $\bar{x}$ et la flèche verticale à droite est le foncteur induit par l'homomorphisme canonique $\pi_1(C', \bar{x}') \to \pi_1(C, \bar{x})$.

*Preuve.* Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $M_n$ un $\overline{\mathcal{B}}_n$-module potentiellement libre de type fini. D'après 5.11(i), quitte à remplacer $S'$ par une extension finie, il existe un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\psi : X'' \to X_{S'}$ dominant $\varphi : X' \to X_{S'}$ tel que $\Psi_n^*(M_n)$ soit un $\overline{\mathcal{B}}_n''$-module libre de type fini, où $(\tilde{E}_s'', \overline{\mathcal{B}}_n'')$ désigne le topos annelé de Faltings associé à la $S'$-courbe semi-stable $X''$, $\Psi_n$ le morphisme de topos annelés induit par $\psi$ (8.3.12). Le $\overline{\mathcal{B}}_n'$-module $\Phi_n^*(M_n)$ est donc potentiellement libre de type fini. On en déduit la première proposition.

Notons $\phi : X'' \to X'$ le morphisme induit par $\psi, \mathcal{W}_{X,n}(M_n)$ et $\mathcal{W}_{X',n}(\Phi_n^*(M_n))$ les $\mathfrak{o}_n$-représentations associées à $M_n$ et $\Phi_n^*(M_n)$, respectivement. On notera que
$\phi$ est un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien de $X'$. D'après (8.10.1), on a un isomorphisme de $\mathfrak{o}_n$-modules

$$ \mathcal{W}_{X,n}(M_n) \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}_{X',n}(\Phi_n^*(M_n)). \qquad (8.15.2) $$

En vertu de (8.10.4) et 8.11, celui-là est $\pi_1(C', \bar{x}')$-équivalent. On vérifie aussitôt que l'isomorphisme (8.15.2) est fonctoriel en $M_n$ (cf. 8.12). La commutativité du diagramme (8.15.1) s'ensuit. $\square$

**PROPOSITION 8.16.** *Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $V$ un objet de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\mathrm{ltf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$. Alors, on a un $\alpha$-isomorphisme canonique et fonctoriel de $\mathfrak{o}_n$-représentations*

$$ V \to \mathcal{W}_n(\beta_n^*(V)) \qquad (8.16.1) $$

où $\beta_n^*$ est le foncteur (8.6.1) (cf. 8.7).

*Preuve.* Soit $\phi : C' \to C$ un revêtement étale, connexe et galoisien tel que l'action de $\pi_1(C, \bar{x})$ sur $V$ se factorise à travers $\mathrm{Aut}(C'/C)^{\mathrm{op}}$. D'après 5.11(i), il existe un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta'$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ de fibre géométrique générique $\varphi_{\bar{\eta}} = \phi : C' \to C$. Reprenons les notations de 8.3 et 8.4; pour $\varphi : X' \to X_{S'}$, tout $g \in \mathrm{Aut}(C'/C)$ induit un diagramme commutatif de topos annelés (cf. (8.3.14))

$$ \begin{tikzcd} (\widetilde{E}'_s, \overline{\mathcal{B}}'_n) \arrow[r, "\beta'_n"] \arrow[d, "g_n"] & (C'_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n) \arrow[d, "g"'] \\ (\widetilde{E}'_s, \overline{\mathcal{B}}'_n) \arrow[r, "\beta'_n"] \arrow[d, "g_n"] & (C'_{\text{fét}}, \mathfrak{o}_n) \arrow[d, "g"'] \end{tikzcd} \qquad (8.16.2) $$

On note $\mathbb{L} = \mu_{\bar{x}}(V)$ le $\mathfrak{o}_n$-module localement libre de type fini de $C_{\text{fét}}$ associé à $V$ (3.29.2). Choisissons un $\bar{\eta}$-point $\bar{y}$ de $C'$ au-dessus $\bar{x}$. On désigne par

$$ \tau(V) : V \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}_n(\beta_n^*(\mathbb{L})) \qquad (8.16.3) $$

le $\alpha$-isomorphisme de $\mathfrak{o}_n$-modules défini par le composé

$$ \begin{align} V &\xrightarrow{\sim} \Gamma(C'_{\text{fét}}, \phi^*(\mathbb{L})) \to \Gamma(\widetilde{E}'_s, \beta_n^{*}(\phi^*(\mathbb{L}))) \to \Gamma(\widetilde{E}'_s, \beta_n^{*}(\phi^*(\mathbb{L})))_{\sharp} \nonumber \\ &\xrightarrow{\sim} \Gamma(\widetilde{E}'_s, \Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L})))_{\sharp} \xrightarrow{\substack{\left(\overline{\{\bar{y}\}}_n\right)_{\sharp} \\ \left(\overline{\{\bar{x}\}}_n\right)_{\sharp}}} \mathcal{W}_n(\beta_n^*(\mathbb{L})) \tag{8.16.4} \end{align} $$

où la première flèche est un isomorphisme puisque $\phi^*(\mathbb{L})$ est constant et $C'$ est connexe, la deuxième flèche est le $\alpha$-isomorphisme induit par $\beta_n^{*} (7.20.1)$, la troisième flèche est un $\alpha$-isomorphisme en vertu de (3.1.2), la quatrième flèche
provient de (8.3.14) et la dernière flèche est l'isomorphisme (8.2.4). D'après (8.16.2), pour tout $g \in \text{Aut}(C'/C)$, le morphisme (8.16.4) s'insère dans un diagramme commutatif :

$$
\begin{tikzcd}
V \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "g"'] & \Gamma(C'_{\text{fét}}, \phi^*(\mathbb{L})) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "g^*"'] & \Gamma(\tilde{E}'_s, \Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L})))_\sharp \arrow[r, "(\overline{\text{\textbf{y}}}_n^*)_\sharp"'] \arrow[d, "(g_n^*)_\sharp"'] & \mathcal{W}_n(\beta_n^*(\mathbb{L})) \arrow[d, "(\overline{\text{\textbf{y}}}_n^*)_\sharp"'] \\
V \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "g"'] & \Gamma(C'_{\text{fét}}, \phi^*(\mathbb{L})) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "g^*"'] & \Gamma(\tilde{E}'_s, \Phi_n^*(\beta_n^*(\mathbb{L})))_\sharp \arrow[r, "(\overline{\text{\textbf{y}}}_n^*)_\sharp"'] \arrow[d, "(g_n^*)_\sharp"'] & \mathcal{W}'_n(\beta_n^*(\mathbb{L})).
\end{tikzcd}
\qquad (8.16.5)
$$

Celui-ci implique que le $\alpha$-isomorphisme $\tau(V)$ (8.16.3) est compatible aux actions de $\pi_1(C, \bar{x})$ en vertu de (8.10.4). Par suite, on obtient un $\alpha$-isomorphisme de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\alpha\mathrm{ptf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$

$$ \tau(V) : V \to \mathcal{W}_n(\beta_n^*(V)). \qquad (8.16.6) $$

Soit $f : V' \to V$ un morphisme de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}_n}^{\mathrm{ltf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$. Choisissons un revêtement étale et galoisien $\phi : C' \to C$ trivialisant les représentations $V$ et $V'$, un trait $(S', \eta')$ fini sur $(S, \eta)$ et un $\eta$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X_{S'}$ de fibre générique géométrique $\phi : C' \to C$. Le diagramme commutatif (8.16.5) étant fonctoriel en $V$, on en déduit un diagramme commutatif

$$
\begin{tikzcd}
& & V' \arrow[r, "f"] & V \\
\tau(V') \arrow[u] \arrow[r, "\cong"] & \mathcal{W}_n(\beta_n^*(V')) \arrow[u] \arrow[r, "(\mathcal{W}_n \circ \beta_n^*)(f)"'] & \mathcal{W}_n(\beta_n^*(V))
\end{tikzcd}
$$

d'où la fonctorialité du $\alpha$-isomorphisme (8.16.1). $\square$

**COROLLAIRE 8.17.** (i) Soit $V$ un objet de $\mathrm{Rep}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{ltf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$. On a un isomorphisme canonique fonctoriel

$$ m \otimes_{\mathfrak{o}} V \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}(\tilde{\beta}^*(V)). $$

(ii) Le foncteur composé $\mathcal{W}_{\mathbb{Q}} \circ \tilde{\beta}_{\mathbb{Q}}^*$ (8.6.3) est isomorphe au foncteur identique.

*Preuve.* Pour tout entier $n \ge 1$, on pose $V_n = V/p^nV$. D'après 8.16, on a un $\alpha$-isomorphisme canonique et fonctoriel $(V_n)_{n \ge 1} \to (\mathcal{W}_n(\beta_n^*(V_n)))_{n \ge 1}$
de $\mathrm{Rep}_\delta^{\alpha\mathrm{ptf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ (3.23). L'assertion (i) résulte alors de 3.24(i) et 3.25(ii). L'assertion (ii) résulte de (i) et de l'isomorphisme canonique $(m \otimes_o V)[\frac{1}{p}] \to V[\frac{1}{p}]$. $\square$

8.18. Posons $\tilde{X} = X \times_S \tilde{S}$ (2.1). Pour tout entier $n \ge 1$ et tout $\mathcal{O}_{\tilde{X}}$-module $\mathcal{F}$, on considère $\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{S_n}$ comme un faisceau de $X_{s,\acute{e}t}$. On pose $\check{\mathcal{F}} = (\mathcal{F}_n)_{n \ge 1}$ que l'on considère aussi comme un faisceau de $X_{s,\acute{e}t}^{\mathbb{N}_0}$. D'après [4, III.7.18], on a un isomorphisme $\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}}) \simeq (\sigma_n^*(\mathcal{F}_n))_{n \ge 1}$, où $\sigma_n$ et $\check{\sigma}$ sont des morphismes de topos annelés (7.11.4) et (7.12.1).

**PROPOSITION 8.19.** Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner (6.3) sur $\tilde{X}$. Alors, le $\overline{\mathcal{B}}_n$-module $\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)$ (resp. $\overline{\mathcal{B}}$-module $\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}})$) est potentiellement libre de type fini.

*Preuve.* D'après 5.11(i), quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $\eta$-revêtement semi-stable $\varphi : X' \to X$ tel que $\bar{\varphi}_n$ trivialise $\mathcal{F}_n$. Reprenons les notations de 8.3 pour $\varphi$. D'après (8.3.13), on a un isomorphisme

$$ \Phi_n^*(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) \simeq \sigma_n'^*(\bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)). $$

Le $\overline{\mathcal{B}}_n$-module $\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)$ est donc potentiellement libre de type fini. Comme $\check{\mathcal{F}}$ est adique, on en déduit que le $\overline{\mathcal{B}}$-module $\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}})$ est potentiellement libre de type fini. $\square$

**PROPOSITION 8.20.** Soit $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\tilde{X}$. On a un $\alpha$-isomorphisme canonique et fonctoriel

$$ \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \to \mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) \qquad (8.20.1) $$

où $\mathbb{V}_n$ est le foncteur de Deninger-Werner (6.9.2).

*Preuve.* D'après 5.11(i), quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $\eta$-revêtement semi-stable, régulier et galoisien $\varphi : X' \to X$ tel que $\bar{\varphi}_n$ trivialise $\mathcal{F}_n$. Reprenant les notations de 8.1 et 8.3, on a un diagramme commutatif de topos
annelés :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

où $u_n$ et $u'_n$ sont les morphismes de topos annelés canoniques. Rappelons
((6.6.1) et (8.9.1)) que les $\mathfrak{o}_n$-modules sous-jacents aux représentations $\mathbb{V}_n(\mathcal{F})$
et $\mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n))$ sont définis par

$$
\mathbb{V}_n(\mathcal{F}) = \Gamma(s_{\text{zt}}, \bar{x}_n^*(\mathcal{F}_n)) \quad \text{et} \quad \mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) = \Gamma(s_{\text{zt}}, [x_n]^*(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)))_{\sharp}.
$$

Comme on a $[\bar{x}_n]^*(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) \simeq a_n^*(\bar{x}_n^*(\mathcal{F}_n))$ (8.20.2), l'équivalence de topos annelés $a_n$ et le foncteur $(-)_\sharp$ (3.1.1) induisent un $\alpha$-isomorphisme de $\mathfrak{o}_n$-modules

$$
a_n^* : \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \to \mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)). \qquad (8.20.3)
$$

Posons $C' = X'_\eta$ et $G = \text{Aut}(C'/C)$. Reprenant les notations de 8.4, les carrés commutatifs de droite de (8.20.2) sont compatibles aux actions de $G$ sur $(\tilde{E}'_s, \tilde{\mathcal{B}}'_n)$, $(X'_s, \mathcal{O}_{\tilde{X}'_n})$ et $(X'_{s,zar}, \mathcal{O}_{\tilde{X}'_n})$. On en déduit par le foncteur $(-)_\sharp$, pour tout $g \in G$, un diagramme commutatif :

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
\mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \arrow[r, "(\bar{y}_n^*)^{-1}"] \arrow[d, "a_n^*"'] & \Gamma(X'_{s,zar}, \bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)) \arrow[d, "(u'_n \sigma'_n)^*"'] \arrow[r, "g_n^*"] & \Gamma(X'_{s,zar}, \bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)) \arrow[d, "(u'_n \sigma'_n)^*"'] \\
\mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)) \arrow[r, "((|\bar{y}_n^*)^)_\sharp^{-1} "] & \Gamma(\tilde{E}_s, (\sigma'_n)^*(\varphi_n^*(\mathcal{F}_n)))_\sharp \arrow[r, "(g_n^*)^2"] & \Gamma(\tilde{E}'_s, (\sigma'_n)^*(\varphi_n^*(\mathcal{F}_n)))_\sharp \\
& \Gamma(X'_{s,zar}, \bar{\varphi}_n^*(\mathcal{F}_n)) \arrow[r, "\bar{y}_n^*", "\quad (|\bar{y}_n^*)^2\sharp \quad"] & \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \arrow[d, "a_n^*"'] \\
& \Gamma(\tilde{E}_s, (\sigma'_n)^*(\varphi_n^*(\mathcal{F}_n)))_\sharp \arrow[r, "(|\bar{y}_n^*)^2\sharp "] & \mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F}_n)).
\end{tikzcd}
\quad (8.20.4)
$$
Celui-ci implique que le $\alpha$-isomorphisme (8.20.3) est compatible aux actions de $\pi_1(C, \bar{x})$ en vertu de (6.7.3) et (8.10.4). On en déduit un $\alpha$-isomorphisme de $\mathfrak{o}_n$-représentations de $\pi_1(C, \bar{x})$

$$ \tau(\mathcal{F}) : \mathbb{V}_n(\mathcal{F}) \to \mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F})). \qquad (8.20.5) $$

Soit $f: \mathcal{F}' \to \mathcal{F}$ un morphisme de $\mathfrak{M}_{\bar{x}}^{\mathrm{DW}}$. D'après 5.11(i), quitte à remplacer $S$ par une extension finie, il existe un $\eta$-revêtement semi-stable et régulier $\varphi: X' \to X$ tels que $\bar{\varphi}_n$ trivialise $\mathcal{F}_n$ et $\mathcal{F}_n'$. Le diagramme commutatif (8.20.4) est fonctoriel en $\mathcal{F}$. On en déduit par 6.8 et 8.11 un diagramme commutatif

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

d'où la fonctorialité du $\alpha$-isomorphisme (8.20.1). $\square$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

COROLLAIRE 8.21. Soit $\mathcal{F}$ un fibré vectoriel de Deninger-Werner sur $\bar{X}$. On a un isomorphisme canonique et fonctoriel de $\mathfrak{o}$-représentations continues de $\pi_1(C, \bar{x})$

$$ \mathfrak{m} \otimes_{\mathfrak{o}} \mathbb{V}(\mathcal{F}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{W}(\check{\sigma}^*(\check{\mathcal{F}})) \qquad (8.21.1) $$

où $\mathbb{V}$ est le foncteur de Deninger-Werner (6.10.1).

Preuve. D'après 8.20, on a un $\alpha$-isomorphisme canonique et fonctoriel $(\mathbb{V}_n(\mathcal{F}))_{n \ge 1} \to (\mathcal{W}_n(\sigma_n^*(\mathcal{F})))_{n \ge 1}$ de $\mathrm{Rep}_0^{\mathrm{ptf}}(\pi_1(C, \bar{x}))$ (3.23). L'assertion résulte alors de 3.24(i) et 3.25(ii). $\square$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

## 9. Un énoncé de descente pour les fibrés vectoriels de Deninger-Werner

9.1. Soit $\mathcal{T}$ un topos et $G$ un groupe fini. Une action de $G$ sur $\mathcal{T}$ est la donnée pour tout $g \in G$ d'un morphisme de topos $g: \mathcal{T} \to \mathcal{T}$ tels que $(\mathrm{id})^* = \mathrm{id}_{\mathcal{T}}$ et que pour tous $g, h \in G$, on ait un isomorphisme

$$ c_{g,h} : g^*h^* \xrightarrow{\sim} (hg)^* $$

vérifiant des relations de cocycle pour la composition [23, VI 7.4]. Supposons que $\mathcal{T}$ soit muni d'une telle action de $G$. Un objet $G$-équivalent de $\mathcal{T}$ est la donnée d'un faisceau $\mathcal{F}$ de $\mathcal{T}$, et pour tout $g \in G$, d'un isomorphisme

$$ \tau_g^{\mathcal{F}} : \mathcal{F} \xrightarrow{\sim} g^*(\mathcal{F}), \qquad (9.1.1) $$
tels que $\tau_{id}^{\mathcal{F}} = \mathrm{id}_{\mathcal{F}}$ et que pour tous $g, h \in G$, on ait

$$ \tau_{gh}^{\mathcal{F}} = c_{h,g} \circ h^*(\tau_g^{\mathcal{F}}) \circ \tau_h^{\mathcal{F}}. $$

Une telle donnée est appelée *une action de G* (à droite) sur $\mathcal{F}$. Étant donné deux objets G-équivariants $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$, un morphisme $f: \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2$ de $\mathcal{T}$ est dit G-équivariant si, pour tout $g \in G$, le diagramme

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

est commutatif. On désigne par $\mathcal{T}_G$ la catégorie des objets G-équivariants de $\mathcal{T}$.

Soit A un anneau de $\mathcal{T}$ muni d'une action de G compatible avec sa structure d'anneau, i.e. tel que les isomorphismes $\tau_g^A$ (9.1.1) soient des isomorphismes d'anneaux. *Un A-module G-équivariant* est la donnée d'un A-module M de $\mathcal{T}$ et d'une action de G sur M compatible avec sa structure de A-module.

9.2. Dans la suite de cette section, on se donne une S-courbe semi-stable X et un revêtement étale et galoisien $C'$ de $C = X_{\bar{\eta}}$. On pose $G = \mathrm{Aut}(C'/C)$ et on note $\psi: C' \to C$ le morphisme canonique. D'après 5.10, le schéma $\bar{X}$ est normal. On reprend les notations de la Section 7 pour X. On note $E^\sharp$ le site défini par la catégorie $E_{(C' \to X)}$ (7.1) munie de la topologie induite par le foncteur canonique

$$ \gamma : E_{(C' \to X)} \to E. \qquad (9.2.1) $$

Le site $E^\sharp$ est alors canoniquement équivalent au site de Faltings associé au morphisme canonique $C' \to X$ (cf. [4, VI.10.1 et VI.10.14]). On désigne par $\tilde{E}^\sharp$ le topos localisé de $\tilde{E}$ en $\beta^*(C') = (C' \to X)^a$ qui est canoniquement équivalent au topos des faisceaux d'ensembles sur le site $E^\sharp$ [4, VI.10.14] et par

$$ \Phi : \tilde{E}^\sharp \to \tilde{E} \qquad (9.2.2) $$

le morphisme de localisation. En vertu de [6, III 2.5], celui-là s'identifie au morphisme de topos induit par fonctorialité du topos de Faltings [4, VI.10.12]. On désigne par $\tilde{E}_s^\sharp$ le sous-topos fermé de $\tilde{E}^\sharp$ complémentaire de l'ouvert $\Phi^*(\sigma^*(X_\eta))$ de $\tilde{E}^\sharp$ et par

$$ \delta^\sharp : \tilde{E}_s^\sharp \to \tilde{E}^\sharp \qquad (9.2.3) $$

le prolongement canonique. En vertu de [6, IV 9.4.3], il existe un morphisme de topos canonique

$$ \Phi_s : \tilde{E}_s^\sharp \to \tilde{E}_s. \qquad (9.2.4) $$
On pose $\overline{\mathcal{B}}^\sharp = \Phi^*(\overline{\mathcal{B}})$ (7.8) et, pour tout entier $n \ge 1$, $\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp = \overline{\mathcal{B}}^\sharp/p^n\overline{\mathcal{B}}^\sharp$ qui est isomorphe à l'anneau $\Phi^*(\overline{\mathcal{B}}_n)$. Comme $\overline{\mathcal{B}}_n$ est un objet de $\tilde{E}_s$ (7.10), on en déduit que l'anneau $\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp$ appartient à $\tilde{E}_s^\sharp$. Le morphisme de topos (9.2.4) est donc sous-jacent à un morphisme de topos annelés que l'on note

$$ \Phi_n : (\tilde{E}_s^\sharp, \overline{\mathcal{B}}_n^\sharp) \to (\tilde{E}_s, \overline{\mathcal{B}}_n). \qquad (9.2.5) $$

9.3. Par fonctorialité du topos de Faltings [4, VI.10.12], l'action de $G$ sur $C'$ induit une action de $G$ sur le topos $\tilde{E}_s^\sharp$ (9.1). En particulier, tout $g \in G$ induit un morphisme $g : \tilde{E}_s^\sharp \to \tilde{E}_s^\sharp$ tel que

$$ \Phi \xrightarrow{\sim} \Phi \circ g. \qquad (9.3.1) $$

On en déduit que $g^*(\Phi^*(\sigma^*(X_\eta))) \simeq \Phi^*(\sigma^*(X_\eta))$. L'action de $G$ sur $\tilde{E}_s^\sharp$ induit alors une action de $G$ sur $\tilde{E}_s^\sharp$. Pour tout $g \in G$, on a donc un morphisme $g_s : \tilde{E}_s^\sharp \to \tilde{E}_s^\sharp$ tel que

$$ \Phi_s \xrightarrow{\sim} \Phi_s \circ g_s. \qquad (9.3.2) $$

On désigne par $\tilde{E}_G^\sharp$ la catégorie des objets $G$-équivariants de $\tilde{E}_s^\sharp$ (9.1). D'après (9.3.1), l'image inverse de $\Phi$ induit un foncteur

$$ \Phi^* : \tilde{E} \to \tilde{E}_G^\sharp. \qquad (9.3.3) $$

En particulier, l'anneau $\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp$ est muni d'une action de $G$ compatible avec sa structure d'anneau. Pour tout entier $n \ge 1$ et tout $g \in G$, le morphisme de topos $g_s$ est sous-jacent à un morphisme de topos annelés

$$ g_n : (\tilde{E}_s^\sharp, \overline{\mathcal{B}}_n^\sharp) \to (\tilde{E}_s^\sharp, \overline{\mathcal{B}}_n^\sharp) $$

tel que l'on ait un isomorphisme canonique

$$ \Phi_n \xrightarrow{\sim} \Phi_n \circ g_n. $$

L'image inverse de $\Phi_n$ induit alors un foncteur

$$ \Phi_n^* : \mathrm{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n) \to \mathrm{Mod}_G(\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp), \qquad (9.3.4) $$

où $\mathrm{Mod}_G(\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp)$ désigne la sous-catégorie pleine de $\tilde{E}_G^\sharp$ formée des $\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp$-modules $G$-équivariants de $\tilde{E}_s^\sharp$ (9.1).

**PROPOSITION 9.4.** Le foncteur $\Phi^* : \tilde{E} \to \tilde{E}_G^\sharp$ (9.3.3) est une équivalence de catégories.
Preuve. Considérons

$$F \to E \qquad (9.4.1)$$

le topos fibré associé au site $E$ (cf. [22, II 3.4.1]): la catégorie fibre de $F$ au-dessus de $(V \to U) \in \mathbf{Ob}(E)$ est le topos localisé $\tilde{E}_{(V \to U)^a}$ de $\tilde{E}$ en $(V \to U)^a$ et, pour tout morphisme $h : (V' \to U') \to (V \to U)$ de $E$, le foncteur image inverse $h^* : \tilde{E}_{(V \to U)^a} \to \tilde{E}_{(V' \to U')^a}$ est le foncteur image inverse par le morphisme de localisation par rapport à $h$. On rappelle que $F$ est un champ au-dessus de $E$ (cf. [22, II 3.4.4]).

Le morphisme $\tilde{\omega} = (\psi, \text{id}) : (C' \to X) \to (C \to X)$ forme un recouvrement de $(C \to X)$ dans $E$ (cf. 7.1(v)) que l'on note (abusivement) encore $\tilde{\omega}$. La catégorie $\tilde{E} = F(C \to X)$ est donc équivalente à la catégorie $F(\tilde{\omega})$ des données de descente relativement au recouvrement $\tilde{\omega}$.

Comme le morphisme $\psi : C' \to C$ est un torseur sous $G$ de $\mathring{\mathcal{E}}_{f/C}$, on a un isomorphisme dans $E$

$$(C' \to X) \times G \simeq (C' \to X) \times_{(C \to X)} (C' \to X). \qquad (9.4.2)$$

On note encore $G$ le faisceau constant de $\tilde{E}$ de valeur $G$. Le morphisme $(C' \to X)^a \to (C \to X)^a$ est alors un torseur sous $G$ de $\tilde{E}$ [22, III 1.4.1]. Par descente galoisienne (cf. [7, 6.2.B]), la catégorie des données de descente $F(\tilde{\omega})$ relativement au recouvrement $\tilde{\omega}$ est équivalente à la catégorie $\tilde{E}_G^{\sharp}$, d'où la proposition. $\square$

**COROLLAIRE 9.5.** Le foncteur $\Phi_n^* : \mathbf{Mod}(\overline{\mathcal{B}}_n) \to \mathbf{Mod}_G(\overline{\mathcal{B}}_n^\sharp)$ (9.3.4) est une équivalence de catégories.

9.6. Pour tout objet $U$ de $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X}$, on pose $U_{\tilde{\eta}}' = U \times_X C'$ et l'on note $\varphi_U : U_{\tilde{\eta}}' \to U_{\tilde{\eta}}$ le morphisme canonique. Considérons le site fibré

$$\pi^\sharp = \pi \circ \gamma : E^\sharp \to \mathring{\mathcal{E}}_{f/X}, \qquad (9.6.1)$$

dont la fibre au-dessus de $U$ est le site $\mathring{\mathcal{E}}_{f/U_{\tilde{\eta}}'}$ (9.9.1). Pour tout faisceau $\mathcal{G}$ de $\tilde{E}^{\sharp}$, on note $\mathcal{G}_U$ sa restriction à $\mathring{\mathcal{E}}_{f/U_{\tilde{\eta}}'}$. Le topos $\tilde{E}^{\sharp}$ est canoniquement équivalent au topos de Faltings associé au morphisme canonique $(C' \to X)$. La donnée d'un faisceau $\mathcal{G}$ de $\tilde{E}^{\sharp}$ est alors équivalente à la donnée pour tout objet $U$ de $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X}$ d'un faisceau $\mathcal{G}_U$ de $U_{\tilde{\eta}, \text{fét}}'$ vérifiant des conditions de comptabilité et de recollement (cf. [4, VI.5.11.1]). Comme $\varphi_U$ est un torseur sous $G$ pour la topologie étale de $U_{\tilde{\eta}}$, le topos $U_{\tilde{\eta}, \text{fét}}'$ est muni d'une action de $G$ (9.1) induite par fonctorialité. D'après [4, VI.5.11], la donnée d'une action de $G$ sur $\mathcal{G}$ est équivalente à la donnée pour tout objet $U$ de $\mathring{\mathcal{E}}_{f/X}$ d'une action de $G$ sur $\mathcal{G}_U$ compatible aux morphismes de restriction.