# ESPACES SONORES PARADOXAUX : APPROCHE DES HARMONIQUES HYPERSPHÉRIQUES ET IMPLÉMENTATION LOGICIELLE, POUR UNE PRATIQUE CRÉATIVE DE LA SPATIALISATION IMMERSIVE DU SON EN FREE-PARTY

## Picciola Daniel

CICM/Musidanse

Université Paris 8

MSH Paris Nord

fenris42@gmail.com

## PLAN

### Résumé

### Introduction

#### 1. À l'écoute des espaces sonores paradoxaux

1.1 À l'écoute des espaces sonores paradoxaux dans la vie quotidienne.

1.2 À l'écoute des espaces sonores paradoxaux en teknival.

1.3 Les espaces sonores paradoxaux: un héritage de Jean-Claude Risset.

#### 2. Approches de l'hyperespace du son

2.1 Les espaces sonores paradoxaux en ambisonie de premier ordre.

2.2 Caractéristiques de l'ambisonie d'ordre supérieur.

2.3 Les espaces sonores paradoxaux dans le domaine sphérique.

#### 3. Le modèle des harmoniques hypersphériques

3.1 Rôle et fonctionnement de l'hyperangle comme paramètre de spatialisation du son.

3.2 Choix du polynôme dans l'encodage des harmoniques hypersphériques.

#### 4. Réactions de la communauté d'écoute

### Conclusion

### Références

## RÉSUMÉ

Cet article commence par définir le phénomène d'espace sonore paradoxal à travers divers types d'écoutes, à la fois dans la vie quotidienne et notamment dans le contexte particulier des free-parties, pour expliquer le

rôle que je fais jouer à ce phénomène dans ma pratique du live en ambisonie.

En fournissant plusieurs exemples de programmations, sous forme de patches et d'illustrations sonores, cet article explique d'abord en quoi la composition d'espaces sonores paradoxaux est un héritage des sons paradoxaux de Jean-Claude Risset.

Sont évoquées ensuite les principales étapes de l'élaboration d'espaces sonores paradoxaux en ambisonie d'ordre supérieur.

Cet article présente alors l'étape finale de ma programmation, et mon choix de réaliser les espaces sonores paradoxaux à partir du modèle mathématique des harmoniques hypersphériques. Dans cette étape finale sont détaillées les caractéristiques du résultat sonore que j'obtiens par l'implémentation de ce modèle, et son rôle dans l'utilisation du phénomène d'espace sonore paradoxal comme matériau musical dans mon live.

## INTRODUCTION

Cela fait maintenant une trentaine d'années que les free-parties, originellement appelée raves, existent. Elles sont l'occasion d'expérimentations sonores dans la musique électronique populaire. J'y participe depuis la fin des années 90 et je fais partie des rares livers qui y jouent en ambisonie.

L'utilisation de nouveaux outils développés en spatialisation du son me permet d'enrichir mon live en explorant les possibilités de spatialisation du langage musical tekno des free-parties. Je m'intéresse particulièrement aux traitements ambisoniques d'ordre supérieur, qui font appel au principe des harmoniques sphériques pour décomposer un espace sonore complexe
en une somme d'espaces sonores simples. La forme
cardïoïde des harmoniques correspond aux champs de
captation d'une somme de microphones virtuels.<fnref n="1" />

En cherchant à appliquer à l'espace sonore le principe des
sons et rythmes paradoxaux de Jean-Claude Risset, j'ai
imaginé un type de spatialisation où le son semblerait à la
fois se rapprocher et s'éloigner, formant un flux continu
entre deux sources sonores diamétralement opposées.
Pour obtenir ce résultat sonore, j'ai implémenté dans mon
live le modèle mathématique des harmoniques
hypersphériques dont j'aborde le fonctionnement dans cet
article. Un nouveau paramètre issu de ce modèle me
permet d'opérer des fondus-enchâînés entre deux sources
diamétralement opposées: l'hyperangle. Ce nouveau
paramètre creuse un silence entre les deux sources en les
traitant par annulation de phase. C'est ce traitement par
annulation de phase dans le domaine hypersphérique qui
caractérise l'effet de fondu-enchâîné entre les deux
sources, et par lequel l'espace sonore devient paradoxal.

# 1. À L'ÉCOUTE DES ESPACES SONORES PARADOXAUX

## 1.1 À l'écoute des espaces sonores paradoxaux dans la vie quotidienne.

Je décris l'espace sonore paradoxal comme un
phénomène psycho-acoustique où un son réfléchi est
perçu comme plus proche que sa source, à tel point que
leur localisation semble intervertie. Ce phénomène est
tellement répandu dans la vie quotidienne que nous n'y
prêtons généralement pas attention.

Si vous vivez près d'une voie à grande circulation, dans
une ville où les bâtiments sont hauts et larges, offrant
ainsi de larges surfaces de réflexion aux bruits
environnants, la voie à grande circulation peut vous
sembler beaucoup plus proche, et même à l'opposé de sa
situation réelle. Si vous circulez en voiture sur cette voie
et que vous ouvrez la fenêtre sur votre droite alors qu'un
véhicule vous double sur la gauche, votre oreille perçoit
qu'il vous double sur la droite. Si vous prenez les
transports en commun, que vous attendez sur un quai
dans un souterrain à la voûte elliptique, vous pouvez
entendre depuis le foyer elliptique où vous êtes une
conversation qui a lieu sur l'autre quai, dans le foyer
elliptique opposé, comme si vous étiez à coté. On peut
observer ce phénomène hors du milieu urbain: je pense

aux échos dans la montagne ou au rôle acoustique joué
par les falaises sur les bords de mer. En me promenant sur
la côte normande à Etretat, je me suis arrêté de profil par
rapport à la mer, à mi-chemin entre les deux falaises, dont
celle qu'on surnomme l'Aiguille creuse. Je suis resté
ainsi pour entendre dans quel sens les vagues s'échouent,
et comment arriver à dissocier les réflexions du son des
vagues sur les falaises. Ce son, comme le son d'une voie
à grande circulation, est proche du bruit blanc, où les
fréquences sont indissociables. Le son des vagues émerge
d'un champ sonore diffus relativement constant qui
s'étend entre les deux falaises ; seules les vagues assez
puissantes sont audibles par réflexion, et donc
localisables en deux endroits différents, alors que leurs
ressemblances sonores tendent à les confondre.

## 1.2 À l'écoute des espaces sonores paradoxaux en teknival [1].

Le phénomène d'espace sonore paradoxal est courant en
teknival, rassemblement de plusieurs sound systems en
situation de free-party pendant plusieurs jours: la
disposition anarchique des murs d'enceintes et des
véhicules y crée ce type de phénomène psycho-
acoustique. Les sons diffusés et réfléchis sont
principalement des pulsations régulières, de vitesses
différentes, qui se synchronisent et se désynchronisent
périodiquement. Les discrétisations du temps musical par
les boîtes à rythmes se superposent en figures rythmiques
plus complexes, où il est difficile de dire si les effets de
déphasage du type flanger proviennent directement de la
source ou de son contexte spatial. D'autres sons plus
rares, singuliers, plus étranges les uns que les autres,
émergent çà et là, entretenant une modulation sonore
permanente qui se concentre et se disperse aléatoirement
pendant tout le teknival<fnref n="2" />. Les conditions météorologiques
interagissent également avec les perturbations
atmosphériques sonores émanant du teknival. Quand le
vent se lève, chargé de sons, il s'engouffre dans le
labyrinthe de murs d'enceintes et de véhicules, et porte
parfois le son sur de longues distances, un peu comme un
chef d'orchestre qui spatialiserait tout le teknival. Cette
interaction entre perturbations atmosphériques de type
musical et de type météorologique est propre à
l'acoustique des teknivals. Le phénomène d'espace
paradoxal, anodin à l'écoute dans la vie quotidienne, peut
devenir une condition d'écoute extraordinaire émergeante
dans l'espace-temps du teknival.

<footnote n="1">¹ Roads, Curtis, « l'audionumérique. Musique et informatique », Dunod, 2007 pour la 2e édition, collection audio-photo-video, Chapitre 7 « la spatialisation », p.150-155 « 7.4.3 Ambisonie et synthèse par champ d'onde »</footnote>

<footnote n="2">² Le titre « Gwerly Mernans », d'Aphex Twin, correspond à cette description du paysage sonore.</footnote>
Le style de mon *live* poursuit une forme de tekno acid-core très expérimentale qui privilégie la sensation de vertige, tout comme les lives de 69db, Curley, Kaos, Explore-toi, Mental perturbations, Les Boucles Étranges, Mem Pamal, LSDF, pour ne citer qu'eux<fnref n="3" />.

C'est donc en cherchant des procédés toujours plus chronotropes<fnref n="4" /> [2] que j'ai peu à peu intégré à mon *live* les objets de composition développés au CICM<fnref n="5" />, notamment concernant le traitement spatial du son.

Cet apport du milieu de la recherche oriente mon *live* vers une esthétique de plus en plus singulière, que j'appelle *science-core*: je programme mon *live* sur MaxMsp<fnref n="6" />, où je synthétise tous mes sons par modulation de fréquence<fnref n="7" />.

Le CICM développe entre autres des objets de traitement ambisonique de l'espace sonore, que j'implémente dans mon live depuis 2013, en cherchant à composer un type de spatialisation intégré aux codes musicaux reconnus par la communauté d'écoute de free-party, qui est pourtant habituée à la monophonie. Rares sont les *sound-systems* qui pratiquent le *live* en ambisonie: l'un des plus connu est Spiral Tribe, constitué de pionniers anglais du mouvement *free-party*<fnref n="8" />; des *livers* comme 69db, Crystal distorsion et Ixy, ont développé une pratique du *live* en ambisonie. Cette pratique est jusqu'ici trop rare ou mal maîtrisée pour je puisse en avoir déjà fait l'expérience comme auditeur, et il ne semble exister aucun enregistrement: je me contente pour le moment de recueillir des témoignages qui indiquent toutefois que les expériences de diffusion du son en ambisonie remontent jusqu'aux origines des *raves-parties*. L'implémentation des objets de traitement ambisonique dans mon *live* me permet de modéliser le phénomène d'espace sonore paradoxal, afin de me servir de ce phénomène acoustique propre à l'univers de la *free-party* comme matériau musical.

## 1.3 Les espaces sonores paradoxaux: un héritage de Jean-Claude Risset.

J'ai au départ de mes recherches imaginé le paradoxe sonore appliqué à l'espace dans la continuité des sons et rythmes paradoxaux réalisés par J-C Risset<fnref n="9" />: il faut deux

sons identiques pour réaliser un son paradoxal, deux rythmes identiques pour réaliser un rythme paradoxal; il me faut donc deux sources identiques pour réaliser un espace sonore paradoxal. Dans ces trois échelles, les deux matériaux sonores jumeaux suivent une variation d'un état A vers un état B dans la hauteur, le rythme ou l'espace. Cette variation est amplifiée par une enveloppe sinusoïdale dont le début correspond à l'état A et la semi-période à l'état B. Quand l'amplitude d'un des matériaux sonores est pleinement audible, l'autre est silencieuse: les deux éléments sont déphasés selon une symétrie temporelle par laquelle ils se relaient, créant ainsi l'illusion d'une variation infinie sur un même matériau.

C'est durant ma propre expérience sur une spatialisation stéréophonique des sons paradoxaux (fig.1) que l'annulation de phase m'est apparue comme le traitement le plus opérant pour isoler les différences spatiales des composantes sonores et rendre inaudibles les composantes spatiales communes aux deux sources. Les deux hauts-parleurs correspondent à l'état A et l'état B du paradoxe spatial et du paradoxe sonore: avec une forme d'onde en dent de scie, deux fréquences montent ou descendent d'une octave durant toute la traversée de la panoramique. Quand les deux fréquences sont simultanément audibles, à une octave de différence, l'une sur le haut-parleur droit, l'autre sur le haut-parleur gauche, l'annulation de phase creuse un silence dans le centre de l'espace. Le son semble alors plus lointain dans sa provenance et sa destination: le même son semble simultanément s'approcher d'un coté et s'éloigner de l'autre. En traitant deux formes d'ondes sinusoïdales, l'espace sonore peut devenir paradoxal sans recourir à l'annulation de phase. Avec deux formes d'ondes plus complexes, les composantes spectrales communes entrent en annulation de phase. Si les sons traités ne sont pas paradoxaux, le paradoxe spatial est toujours audible grâce à l'annulation de phase.

J'ai alors choisi de reproduire le procédé en ambisonie 2D. C'est ici que l'ambisonie d'ordre supérieur met particulièrement en valeur l'annulation de phase. Le traitement ambisonique diffuse le son par un certain nombre de canaux assignés chacun à une dimension

<footnote n="3">³ Beaucoup de leurs lives peuvent être écoutés sur la chaîne « History of Free-Party » https://www.youtube.com/channel/UCYK18wMmP-2EQSZVChp6Yxw</footnote>

<footnote n="4">⁴ Grisey, Gérard, « Tempus ex-machina, réflexions d'un compositeur sur le temps musical », Entretemps n°8, Paris, 1989.</footnote>

<footnote n="5">⁵ CICM, EA MUSIDANSE de l'université de Paris 8</footnote>

<footnote n="6">⁶ https://cycling74.com/</footnote>

<footnote n="7">⁷ https://soundcloud.com/user-956656661/livemshbinaural</footnote>

<footnote n="8">⁸ https://sp23.org/</footnote>

<footnote n="9">⁹ Risset, Jean-Claude, « Électron-positron » (commande du CERN pour l'inauguration du LEP), 1989, http://brahms.ircam.fr/works/work/21307/</footnote>
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>(fig.1) principe du son paradoxal en stéréophonie</figcaption></figure>

spatiale [3]. Les canaux dont l'ordre est associé à la profondeur sont nommés harmoniques négatifs, les canaux où l'ordre est associé à la largeur sont nommés harmoniques positifs. Les harmoniques négatifs et positifs se regroupent par paires dans des degrés d'ambisonie, comptés de 0 à n.

Dans la situation d'annulation de phase entre deux sources sonores diamétralement opposées, chaque canal est alimenté par deux signaux constants, de valeurs absolues égales, l'un est négatif, l'autre positif. La somme des signaux est alors nulle dans les degrés pairs, et seules les différences spatiales du son sont transmises dans les degrés impairs, et diffusées par les haut-parleurs correspondant à l'orientation spatiale de ces canaux ambisoniques. À ce stade, le volume sonore total s'amoindrit, tout en suivant une directionnalité du champ sonore, qui est alors perçu comme étiré dans l'espace. Dans les degrés pairs l'espace se décompose en un nombre pair d'harmoniques: l'image spatiale est symétrique par rapport au sweet-spot. Dans les degrés

impairs, l'espace sonore se décompose en un nombre impair d'harmoniques : l'image spatiale est asymétrique par rapport au sweet-spot.

Alimentés par les deux signaux constants, opposés et mixés, les harmoniques des degrés impairs contiennent à la fois des valeurs positives et négatives, alors que les harmoniques des degrés pairs ne contiennent que des valeurs soit positives, soit négatives. Ce résultat vient de l'orientation spatiale de chaque harmonique: dans les degrés pairs, l'espace se décompose en un nombre pair de cardioïdes: les vecteurs sont traités par des valeurs angulaires entières qui les orientent toujours dans des paires de directions diamétralement opposées. Dans les degrés impairs, l'espace sonore se décompose en un nombre impair de cardioïdes: les vecteurs sont traités par des valeurs angulaires semi-entières qui les orientent toujours selon un nombre impair de directions qui sont donc déphasées entre elles, mais jamais opposées.

Dans le sens azimuthal, la valeur absolue de l'ordre est égale au degré: l'annulation ou la superposition de
signaux dans les ordres azimutaux s'applique à tout le degré.

Une variable opère le fondu-enchaîné entre les deux sources jusqu'au stade d'espace sonore paradoxal où le son semble s'étirer. Cette variable doit être continue et suivre un mouvement sinusoïdal qui épouse la trajectoire courbée des sources sonores. Dans l'exemple de sons paradoxaux spatialisés en 2D, cette variable est la même pour tous les canaux. Elle prendra par la suite différentes échelles de valeurs selon l'ordre ambisonique, et le fondu-enchaîné pourra s'opérer avec plus de définition spatiale. Je reproduis le procédé pour une diffusion tridimensionnelle (fig.2).

## 2. APPROCHES DE L'HYPERESPACE DU SON

### 2.1 Les espaces sonores paradoxaux en ambisonie de premier ordre.

Dans mes premières maquettes logicielles dédiées aux espaces sonores paradoxaux, la paire de sources sonores était traitée par une paire d'objets alors développés au CICM<fnref n="10" />. Ces objets sont *ambipan*~ pour une diffusion 2D en quadriphonie, ou *ambicube*~ pour une diffusion tridimensionnelle en octophonie. L'utilisation de ces objets par paires consiste à répéter deux fois les opérations d'encodage et de décodage, mais en étant limité d'une part au premier degré ambisonique, d'autre part au domaine des ondes planes. L'opération mathématique du décodage en ondes planes consiste à discrétiser une sphère virtuelle en un polyèdre dont chaque angle correspond à un haut-parleur. Reproduire cette opération consiste à reproduire chaque angle du polyèdre, multipliant par deux le nombre de haut-parleurs virtuels.

En cherchant des traitements dans ce double domaine d'ondes planes, j'ai imaginé des cas où les interactions sonores entre deux groupes de haut-parleurs disposés selon les angles de deux polyèdres symétriques pourraient dessiner des figures géométriques plus complexes, décrites dans le film *Dimensions* réalisé par l'ENS de Lyon<fnref n="11" />: ces figures sont formalisables en dimension 4 (figures de dimension 3 multipliées par

elles-mêmes), et j'ai cherché dans un premier temps à m'en servir comme modèles pour réaliser des espaces sonores paradoxaux. J'ai donc, avant d'étudier l'encodage, imaginé d'abord un décodage qui discrétiserait une hypersphère en un hyperpolyèdre dont chaque angle serait un haut-parleur virtuel.

### 2.2 Caractéristiques de l'ambisonie d'ordre supérieur.

L'opération d'encodage consiste à simuler le champ de captation de microphones virtuels orientés dans l'espace selon le modèle mathématique des harmoniques sphériques [4]. Ces harmoniques sont indexés selon un degré *l*, compté à partir de zéro. L'harmonique du degré zéro est un canal monophonique qui désigne l'espace sonore central. À partir du premier degré les harmoniques sont directionnels, et sont indexés selon un ordre *m* qui se calcule de -*l* à *l*. Cet ordre *m* correspond à la dimension spatiale du son. Dans les harmoniques supérieurs, le volume sonore est modéré, et la position du son dans l'espace est différemment déphasée selon l'ordre *m* pour chaque canal: cette superposition de sources modérées et déphasées peut créer un champ sonore complexe qui rend ainsi la spatialisation plus réaliste, notamment par l'annulation de phase entre signaux audio dans les harmoniques pairs quand l'espace sonore est paradoxal. Les traitements ambisoniques d'ordre supérieur de la bibliothèque HOA permettent d'interpoler l'espace sonore composé par sources ponctuelles et l'espace sonore composé par champs sonores.

### 2.3 Les espaces sonores paradoxaux dans le domaine sphérique.

La bibliothèque HOA v1.3.1 permet de traiter l'espace sonore en 2D: les harmoniques sphériques sont tronqués en harmoniques circulaires, qui sont spatialement modulables dans le sens de l'azimut. Les travaux de l'équipe du CICM<fnref n="12" /> dans le cadre du projet HOA, ont abouti à la bibliothèque HOA v2.2.<fnref n="13" /> Cette bibliothèque a permis des traitements 3D de l'espace sonore: les harmoniques sphériques sont à la fois modulables dans le sens de l'azimut et dans le sens de l'élévation. Des harmoniques intermédiaires interviennent entre chacune

<footnote n="10">¹⁰ Courribet, Benoît; Paris Eliott; « ambipan~», « ambicube~ », CICM-TOOLS, Université de Paris 8, 2003-2015.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Leys, Jos; Ghys, Etienne; Alvarez, Aurélien; « Dimensions...une promenade mathématique », Creative Commons, 2008. http://www.dimensions-math.org/</footnote>

<footnote n="12">¹² A. Sèdes, P. Guillot, E. Paris, « The HOA Library, review and prospect », actes de l' International Computer Music Conference | Sound and Music Computing 2014, Athènes. Proceedings ICMCISMC, pp.855-860, 2014, Proceedings ICMCISMC. <hal-01196453></footnote>

<footnote n="13">¹³ J. Colafrancesco, P. Guillot, E. Paris, A. Sedes, A. Bonardi, « La bibliothèque HOA, bilan et perspectives », JIM 2013, Saint-Denis, actes des Journées d'Informatique Musicale 2013 (JIM 2013), Université Paris 8, Saint-Denis, 2013, p. 187-198 http://www.mshparisnord.fr/JIM2013/actes/jim2013_26.pdf <hal-01196422></footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>(fig.2) principe du son paradoxal en ambisonie</figcaption></figure>

des trois dimensions, et discrétisent l'espace en autant
d'angles que le degré ambisonique l'indique. Le nombre
de canaux augmente donc plus avec l'ordre ambisonique
3D qu'il n'augmente en 2D. De nouvelles opérations
mathématiques interviennent dans la construction des
harmoniques sphériques. La normalisation 3D modère
l'amplitude de chaque harmonique par des valeurs
constantes calculées selon le degré *l* et l'ordre *m* de
chaque harmonique. Le polynôme de Legendre traite
chaque harmonique par différentes variables calculées
selon les variations de l'élévation: plus le son s'élève,
moins il est audible dans le sens de l'azimut, et vice et
versa [5].

L'étude du modèle des harmoniques sphériques a orienté
mon approche de l'espace en dimension 4 vers un autre
modèle, celui des harmoniques hypersphériques, afin de
réaliser des espaces sonores paradoxaux en ambisonie
d'ordre supérieur par une nouvelle opération d'encodage.
Il est pourtant parfaitement possible de les réaliser en
utilisant deux fois une opération d'encodage pour opérer

un fondu-enchaîné entre deux domaines sphériques, par
une variable dont l'échelle change avec l'ordre
ambisonique. Se pose alors la question du choix de ces
échelles pour cette variable. Cette variable a une
importance égale aux variables de l'azimut et du zénith
dans le traitement de l'espace sonore que j'utilise pour
réaliser des espaces sonores paradoxaux. Envisager cette
variable comme une nouvelle dimension possible de
l'espace sonore m'amène à dépasser les modèles
d'encodage 2D et 3D basés sur les harmoniques
sphériques.

3. LE MODÈLE DES HARMONIQUES
HYPERSPHÉRIQUES

3.1 Rôle et fonctionnement de l'hyperangle comme
paramètre de spatialisation du son.

Utiliser deux fois le modèle des harmoniques sphériques
me permet de traiter l'espace sonore dans un domaine où
chaque harmonique est dédoublé, dans le but d'y opérer le traitement par annulation de phase qui permet d'entendre, comme en Teknival, le même son selon deux sources différentes : j'opte alors pour le modèle des harmoniques hypersphériques (ou HSH, pour *Hyper-Spherical Harmonics*) en programmant un seul objet d'encodage, en 4D ou en 6D. Notons qu'il s'agit d'un modèle utilisé en cosmologie dans la recherche d'atomes exotiques (qui n'existent pas sur Terre, à part dans les collisionneurs de particules). Je reprends ici un article du chercheur A.V Meremianin pour expliquer la construction des HSH [6].

Le modèle mathématique des HSH constitue une approche des systèmes à trois corps à l'échelle quantique: les trois corps étudiés en cosmologie sont les quarks composant les baryons du noyau atomique <fnref n="14" />. L'interaction des trois corps dans l'espace tridimensionnel est alors exprimée par l'interaction entre deux corps et un centre de masse dans un espace en six dimensions. Cet hyperespace est construit par l'addition des deux vecteurs 3D correspondant aux deux corps : en mathématiques, les vecteurs de Jacobi sont deux vecteurs tridimensionnels ayant en commun un centre de masse (équivalent d'un centre de gravité à l'échelle quantique, où d'autres forces fondamentales que la gravité sont à l'œuvre). Les coordonnées des deux vecteurs et du centre de masse se calculent selon une variable nommée hyperangle. L'hyperangle permet de passer des coordonnées du premier vecteur aux coordonnées du second vecteur, par l'intermédiaire des coordonnées du centre de masse (fig.3).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>(fig.3) Deux exemples de vecteurs de Jacobi, avec un centre de masse *R* et un hyperangle *ϑ*.</figcaption></figure>

Pour construire des espaces sonores paradoxaux, j'associe les deux vecteurs aux deux sources du même son. Le centre de masse est une coordonnée commune aux deux vecteurs et désigne l'espace depuis lequel les deux sources sonores sont calculées pour être entendues. J'associe donc l'espace du centre de masse au *sweet-spot*. Quand l'espace n'est pas paradoxal, j'associe le centre de masse au centre spatial commun aux deux sources sonores. Quand l'espace sonore est paradoxal, j'associe le centre de masse à un corps silencieux. C'est donc par variation de l'hyperangle que va s'opérer le fondu-enchaîné entre deux sources distinctes. Plusieurs constructions d'harmoniques hypersphériques sont possibles selon les vecteurs additionnés: 1D+3D, 2D+2D, 3D+3D, 2D+2D+2D, je choisis d'encoder les modèles 2D+2D et 3D+3D (fig.4).

## 3.2 Choix du polynôme dans l'encodage des harmoniques hypersphériques.

L'hyperangle traite non seulement les deux vecteurs, mais aussi leur centre de masse. Dans les harmoniques sphériques, le polynôme de Legendre module l'azimut selon l'élévation. Dans les harmoniques hypersphériques, le polynôme de Jacobi, lui, module les deux vecteurs selon les variations hyperangulaires du centre de masse. Mon choix de composition musicale consiste à ce que les deux sources sonores soient toujours symétriques, alors que le polynôme de Jacobi pourrait prendre en charge des cas asymétriques en modulant l'amplitude du canal ambisonique selon deux ordres possiblement différents, ce qui augmenterait le nombre de canaux, avec neuf ordres pour le premier degré et vingt-cinq pour le second. Dans le domaine hypersphérique l'augmentation du nombre de canaux ambisoniques est au carré du domaine sphérique.

Au-delà du second degré, le polynôme de Jacobi est sujet à différentes interprétations, mais aucun atome exotique à plus de trois orbitales n'a pour l'instant été observé (une orbitale atomique se décompose également en harmoniques sphériques)<fnref n="15" />[7]. Cette augmentation de l'ordre ambisonique semble impliquer une opération de décodage en 6D ; or le décodage, même s'il est irrégulier (en simulant des haut-parleurs virtuels), doit permettre une restitution dans l'espace tridimensionnel où nous vivons. J'ai donc décidé de remplacer pour l'instant le polynôme de Jacobi par le polynôme de Gegenbauer : ce

<footnote n="14">¹⁴ Fuks, Benjamin ; « Résolution de l'équation de Schrödinger à 3 corps par la méthode des coordonnées hypersphériques », Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie de Grenoble, 5 Octobre 2004.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew, « Mécanique quantique », Dunod, 2018. Chapitre 19 « L'atome d'hydrogène et le tableau périodique », p.432-439, «19.6 Le tableau périodique ».</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>(fig.4) Shémas d'implémentation des harmoniques hypersphériques en 6D.</figcaption></figure>

polynôme, dit ultrasphérique, est une extension du polynôme de Legendre vers les dimensions supérieures et constitue un cas particulier du polynôme de Jacobi où les deux ordres sont les mêmes<fnref n="16" />.

Dans la construction des HSH, le degré du polynôme est exprimé selon une variable $\lambda$, par une opération dont seuls les résultats entiers positifs sont considérés comme non nuls. Les harmoniques où $\lambda$ est égal à zéro sont nommés harmoniques sphériques locaux (Zonal Spherical Harmonics, ou ZSH) <fnref n="17" />. Ces harmoniques locaux sont donc traités par l'azimut, l'élévation et l'hyperangle, mais ne répondent pas aux variables polynomiales données au centre de masse par l'hyperangle. Le polynôme de Gegenbauer ne module que les harmoniques dans les degrés ambisoniques pairs, ceux-là mêmes qui disparaissent par annulation de phase quand l'espace devient paradoxal dans le sens de l'azimut.

# 4. RÉACTIONS DE LA COMMUNAUTÉ D'ÉCOUTE

La qualité opératoire du procédé d'espace sonore paradoxal dépend avant tout du contexte musical composé par la superposition d'espaces sonores paradoxaux défilant à différentes vitesses. Je compose ces espaces sonores principalement pour la communauté d'écoute de free-party à laquelle j'appartiens. Cette communauté comprend elle-même des habitués et des néophytes, qui vont personnellement interpréter la composition de l'espace sonore. La plupart des teufeurs découvrent l'ambisonie en free-party alors qu'ils sont habitués à la monophonie statique qui est une norme générale. Mon traitement spatial du kick régulier, matériau primordial en Tekno, consiste à créer une enveloppe hyper angulaire synchronisée sur les variations azimutales, elles-mêmes synchronisées sur la pulsation: modulé par l'hyperangle, un tour complet de l'azimut devient un demi-tour qui se répète à l'identique pour

<footnote n="16">¹⁶ Stein, Elias ; Weiss, Guido, *Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces* (https://archive.org/details/introductiontofo0000stei), Princeton (New Jersey), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9, 1971</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Suetin, P.K. (2001) [1994], "Ultraspherical polynomials" (https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095030), in Hazewinkel, Michiel (ed.), *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.</footnote>
chaque *kick*. L'enveloppe indique le début et la fin du paradoxe spatial sur chaque demi-tour. Je peux alors moduler le paradoxe spatial en décorrellant l'hyperangle, l'azimut, et la pulsation, pour mettre en valeur l'attaque ou le déclin du *kick* selon la direction et la vitesse désirées.

Depuis, et même un peu avant l'introduction des espaces sonores paradoxaux dans mon *live*, j'ai observé différentes réactions quand je jouais sur un dispositif ambisonique en *free-party*: alors que l'écoute habituelle pousse à danser face à une source sonore monophonique, chacun cherche une nouvelle position d'écoute qui lui convient quand les haut-parleurs sont disposés en ambisonie.

Le sens dans lequel défilent les flux spatialisés pourrait influencer ce choix individuel du positionnement d'écoute, mais la position où je choisis de jouer sur le *dance-floor* influence de manière plus manifeste la position d'écoute du public, qui peut me prendre pour repère visuel. Les personnes avec qui je m'entretiens à propos des conditions d'écoute en ambisonie peuvent choisir de se placer en fonction du *sweet-spot*. Je prends en compte ces divers choix d'écoute quand je compose.

## CONCLUSION

En 6D, le traitement du son par les harmoniques hypersphériques se rapproche du traitement des harmoniques sphériques par l'optimisation *inPhase*, qui rend les sources sonores plus directionnelles en réduisant les contributions des harmoniques dans les ordres ambisoniques supérieurs selon des valeurs constantes. Ce traitement a également pour effet d'élargir le champ du *sweet-spot* à l'échelle du *dance-floor*, ce qui assure plus de confort d'écoute. Ce résultat vient de l'intervention de deux opérations successives de normalisations dans la construction des HSH 6D. Une seule normalisation intervient en 4D, où l'optimisation 2D peut alors servir à élargir le *sweet-spot*, notamment en rééquilibrant les harmoniques sphériques pairs et impairs.

Je développe actuellement une configuration avec six sources sonores réparties en trois types de traitements hypersphériques. Cette configuration actuelle fonctionne jusqu'au cinquième ordre ambisonique en 4D, et jusqu'au troisième ordre en 6D, à une fréquence d'échantillonnage de 48kHz.

L'implémentation de l'encodage hypersphérique en Faust permet de comprendre cette limite de l'ordre ambisonique: l'opération fait intervenir des produits de factorielles qui augmentent avec l'ordre ambisonique et deviennent vite des valeurs trop hautes à calculer pour le

processeur. L'implémentation des factorielles dans la bibliothèque d'objets mathématiques de Faust pourrait permettre d'utiliser les encodages hypersphériques à des ordres ambisoniques plus élevés.

## RÉFÉRENCES

[1] Grynszpan, Emmanuel; « Bruyante Techno », Mélanie, 1999.

[2] Picciola, Daniel; « Le *live* en free-party: contexte culturel, approche du temps, commentaires d'écoute et analyse », CICM, Université de Paris 8, 2015.

[3] Colafrancesco, Julien; « Spatialisation de sources auditives étendues. Applications musicales avec la bibliothèque HOA », CICM, Université de Paris 8, 2015.

[4] Daniel, Jérome; « Représentation de champs acoustiques, application à la transmission et à la reproduction de scènes sonores complexes dans un contexte multimédia », LAM, Université de Paris 6, 2001.

[5] Guillot, Pierre; « La représentation intermédiaire et abstraite de l'espace comme outil de spatialisation du son. Enjeux et conséquences de l'appropriation musicale de l'ambisonie et des expérimentations dans le domaine des harmoniques sphériques. », CICM, Université de Paris 8, 2017.

[6] Meremianin, A.V., « Hyper-spherical harmonics with arbitrary arguments », Journal of mathematical physics 50J, 013526, 2009, Department of Theoretical Physics, Voronezh State University, 394006, Vorozneh, Russia.

[7] Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew, « Mécanique quantique », Dunod, 2018.