# Loi de débit du seuil à crête mince à échancrure triangulaire tronquée

David Dorchies, Gilles Belaud

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## To cite this version:

David Dorchies, Gilles Belaud. Loi de débit du seuil à crête mince à échancrure triangulaire tronquée. INRAE; OFB, Office Français de la Biodiversité. 2025, 60 p. hal-04972913

HAL Id: hal-04972913

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Submitted on 2 Mar 2025

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OFB
OFFICE FRANÇAIS
DE LA BIODIVERSITÉ

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pôle de recherche et développement en écohydraulique

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# Loi de débit du seuil à crête mince à échancrure triangulaire tronquée

02 MARS 2025

DAVID DORCHIES, GILLES BELAUD
# Table des matières

<table><tr><td>Résumé</td><td>4</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>4</td></tr><tr><td>1 Introduction</td><td>5</td></tr><tr><td>1.1 Contexte de l'étude</td><td>5</td></tr><tr><td>1.2 Revue bibliographique</td><td>6</td></tr><tr><td>1.3 Plan de l'étude</td><td>7</td></tr><tr><td>2 Données expérimentales</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1 Matériel expérimental</td><td>8</td></tr><tr><td>2.2 Jeux de données récoltés</td><td>11</td></tr><tr><td>3 Lois de débit du seuil triangulaire tronqué</td><td>12</td></tr><tr><td>3.1 Lois de débit en écoulement dénoyé</td><td>12</td></tr><tr><td>3.2 Transition entre la loi de débit triangulaire et triangulaire tronqué</td><td>14</td></tr><tr><td>3.3 Lois de débit pour l'écoulement noyé</td><td>15</td></tr><tr><td>3.4 Formulation de Villemonte modifiée</td><td>17</td></tr><tr><td>3.5 Bilan des équations testées et de leurs paramètres respectifs</td><td>19</td></tr><tr><td>4 Modélisation des seuils expérimentaux en écoulement dénoyé</td><td>20</td></tr><tr><td>4.1 Sans prise en compte de la vitesse d'approche</td><td>20</td></tr><tr><td>4.2 avec prise en compte de la vitesse d'approche</td><td>24</td></tr><tr><td>4.3 Conclusion</td><td>29</td></tr><tr><td>5 Modélisation de la loi de débit en écoulement noyé</td><td>30</td></tr><tr><td>5.1 Détermination du coefficient de Villemonte</td><td>30</td></tr><tr><td>5.2 Résultat du modèle d'écoulement noyé avec la formulation classique de Villemonte</td><td>31</td></tr><tr><td>5.3 Résultat du modèle d'écoulement noyé avec la formulation modifiée de Villemonte</td><td>33</td></tr><tr><td>6 Conclusion</td><td>36</td></tr><tr><td>6.1 Équation du seuil triangulaire tronqué dénoyé</td><td>36</td></tr><tr><td>6.2 Formule en régime noyé</td><td>36</td></tr><tr><td>6.3 Perspectives</td><td>37</td></tr></table>
A Calibration sondes ultrason (sondes SICK) 38

A.1 Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90) 38

A.2 Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135) 49

A.3 Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135) 50
# Résumé

Cette étude a été réalisée par David Dorchies et Gilles Belaud pour l'INRAE, en collaboration avec pôle Ecohy-draulique de l'Office Français de la Biodiversité (OFB), sur la loi de débit des seuils à crête mince à échancrure triangulaire tronquée. L'objectif est de déterminer les lois de débit pour ces structures hydrauliques, utilisées dans les passes à poissons et les pré-barrages, afin de modéliser précisément le débit en fonction des caractéristiques géométriques et des hauteurs d'eau amont et aval.

L'étude commence par une revue bibliographique des formules existantes pour les seuils composés, soulignant l'absence de données expérimentales pour les seuils triangulaires tronqués en régime noyé. Les expériences ont été menées à la halle hydraulique de l'Institut Agro de Montpellier, utilisant deux modèles de seuils (D90 et D135) fabriqués en plexiglass. Les mesures ont été réalisées avec des sondes ultrasoniques, et les données ont été collectées pour différentes hauteurs d'eau et débits.

Les auteurs comparent plusieurs formulations pour le débit en écoulement dénoyé et noyé. Pour l'écoulement dénoyé, la formule de Bos pour les seuils à crête épaisse s'est révélée la plus précise. En régime noyé, une adaptation de la formule de Villemonte (1947) a été proposée pour mieux modéliser la réduction de débit. Les résultats montrent une bonne concordance entre les modèles et les observations expérimentales, avec des erreurs moyennes inférieures à 2% pour les écoulements dénoyés et des erreurs inférieures à 5% pour les écoulements noyés, sauf pour des niveaux d'ennoiement très élevés.

L'étude conclut que la formule modifiée de Villemonte est robuste et peut être utilisée pour dimensionner les passes à poissons adoptant cette géométrie de seuil. Les perspectives incluent l'exploration de nouveaux jeux de données pour des angles d'ouverture différents afin de consolider les résultats.

# Remerciements

Nous tenons à exprimer notre gratitude à Sylvain Richard, Dominique Courret et Pierre Sagnes du pôle écohy-draulique OFB-IMFT pour leur bienveillance et leur patience. Nous remercions particulièrement Dominique Courret pour sa relecture attentive de ce rapport.

Nous adressons également nos remerciements à Cédric Villemin et Franck Dupré pour leur aide précieuse dans la mise en place des dispositifs expérimentaux, ainsi qu'aux étudiants ingénieurs de l'Institut Agro et à Jean-Pascal Aubry pour leur participation active aux mesures expérimentales.
# 1 Introduction

## 1.1 Contexte de l'étude

Le pôle Ecohydraulique de l'Office Français de la Biodiversité (OFB) a confié à l'Inrae dans le cadre de la convention cadre Inrae-OFB 2022-2024, le soin d'établir la loi de débit de seuils à crête mince à échancrure triangulaire tronquée (cf. Figure 1.1).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1.28 Dimensions of a truncated triangular control section</figcaption></figure>

FIGURE 1.1 – Schéma de la section de contrôle triangulaire tronquée (extrait de Bos, 1989)

Les passes à poissons constituées de bassins (passes à bassins ou pré-barrages) sont modélisées sous la forme d'un ensemble de cloisons dans lesquelles s'insèrent des échancrures, fentes ou orifices permettant le passage de l'eau et des poissons. Le dimensionnement de ces ouvrages est effectué via des lois de débits permettant de déterminer le débit transité en fonction des caractéristiques de la cloison et des hauteurs d'eau à l'amont et à l'aval.

Ces différentes lois et leur application au sein de passes à bassins ou de pré-barrages ont été mises en oeuvre dans le logiciel Cassiopée version 4 développé par Inrae (Dorchies et al. 2022) en grande partie à partir des formules établies par M. Larinier (1987) et qui avaient été auparavant implémentées dans de précédentes versions de Cassiopée.

Le déversoir ou l'échancrure de forme triangulaire tronquée apparaissaient alors dans les outils DEVER et Pré-barrage. La version actuelle de Cassiopée permet en complément d'utiliser ce type d'ouvrage sur les passes à bassins.

Les documents des archives du pôle OFB-IMFT écohydraulique (Michel Larinier 1993) ont permis d'établir la loi de débit utilisée en régime dénoyée pour l'outil DEVER. Par contre aucune donnée des archives n'a permis d'établir la loi utilisée en régime noyé dans l'outil Prébarrage de Cassiopée version 3 et inférieures. La version 4 utilise pour ce faire la formule de Villemonte (1947) adaptée à la forme triangulaire pour les seuils minces paroi. Cette solution ne repose sur aucune donnée expérimentale ni fondement théorique autre qu'elle est au moins supposée valide pour les hauteurs d'eau ne dépassant pas ou peu la partie triangulaire du seuil. Cette étude a été rendue nécessaire par le fait, qu'à notre connaissance, il n'existe aucune littérature scientifique établissant de loi de débit pour un seuil à paroi mince de forme triangulaire tronquée pour un régime noyé.
## 1.2 Revue bibliographique

Le seuil triangulaire tronqué fait partie de la famille des seuils à géométrie dite "composée" (Exemple Figure 1.2). Les lois de débit de ces seuils aux formes variées sont habituellement traitées sous la forme de combinaisons linéaires des lois relatives aux formes simples (rectangles, triangles) qui les constituent (Bos 1989; Martínez et al. 2005; Jan, Chang et Lee 2006).

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Fig. 3.** Compound triangular-rectangular sharp-crested weir (CTRSC weir)</figcaption></figure>

FIGURE 1.2 – Schéma d'un déversoir composé triangulaire-rectangulaire (extrait de Jan, Chang et Lee 2006)

Le British Standards Institute affirme cependant que cette méthode n'est réellement valide que dans le cas où chaque composé du seuil est séparé par une cloison de division où les hauteur d'eau sont mesurées indépendamment sur chaque seuil. L'absence de cloison de division nécessite alors un calage spécifique avec des données in situ ou par modélisation (British Standards Institute 2024).

Parmi les publications traitant des seuils composés, très peu traitent le régime noyé. Wessels et Roosevelt (2009) propose une formule pour le déversoir en V selon E.S. Crump (cf. Figure 1.3). Mais cette forme particulière de seuil correspond à un seuil à crête longue avec un comportement à l'ennoiement qui diffère beaucoup de celui observé sur un seuil à crête mince.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 3**
*Definition sketch for V-shape Crump weirs*</figcaption></figure>

FIGURE 1.3 – Schéma du déversoir Crump en V (extrait de Wessels, 2009)

Abbaspour et Hashemikia (2015) étudient la loi de débit du seuil triangulaire tronqué en régime noyé et utilisent la programmation génétique et des réseaux de neurones pour établir la relation hauteur débit (Figure 1.4). Les données de l'article ne permettent pas d'utiliser le modèle de réseau de neurones, et les formules analytiques issues des programmations génétiques ne sont visiblement pas robustes pour être véritablement opérationnelles en dehors du contexte de l'article.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Schéma des seuils triangulaires tronqués testés dans Abbaspour et Hashemikia (2015)</figcaption></figure>

## 1.3 Plan de l'étude

Après une description des données expérimentales, nous comparerons plusieurs formulations de loi de débit du seuil triangulaire tronqué en écoulement dénoyé afin de choisir la plus adaptée pour la suite de l'étude. Puis nous proposerons pour l'écoulement noyé, une méthode de réduction de débit adaptée à partir de la formule de Villemonte (1947).
# 2 Données expérimentales

## 2.1 Matériel expérimental

Les expériences ont été conduites à la halle hydraulique de l'Institut Agro de Montpellier sur le canal de l'espace Boussinesq.

### 2.1.1 Caractéristiques du canal

Ce canal est un canal vitré à fond plat de 12 mètres de longueur et 1 mètre de large (Figure 2.1)

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Schéma du canal espace Boussinesq de la halle hydraulique de l'Institut Agro à Montpellier</figcaption></figure>

Le canal est équipé de 3 pompes à variateur, 2 pompes d'une capacité de 75 L/s et une pompe de 1,1 kW pour les petits débits. La combinaison des trois pompes permet d'obtenir n'importe quel débit entre 6 L/s et 165 L/s.

L'exutoire du canal est équipé d'un seuil motorisé permettant de faire varier la hauteur d'eau à l'aval.

La mesure de débit est réalisée par un débitmètre électromagnétique KROHNE WATERFLUX 3300 F permettant une mesure des débits entre 1,1 L/s et 333 L/s avec une précision annoncée de 0,2 %. La mesure du débit se fait par une lecture visuelle du débit instantané sur un afficheur dédié. Cependant, pour les besoins de l'expérience, une installation comprenant une caméra et un enregistrement continu au pas de temps de la seconde des débits permettant d'apprécier le débit moyen à 30 secondes ou une minute a permis de réaliser des mesures de débit avec une appréciation de l'incertitude due aux légères variations de débit des pompes autour de leur point de consigne (Figure 2.2).

Les hauteurs d'eau ont été mesurées à une distance d'environ 50 cm à l'amont du seuil et à 3,30 m à l'aval du seuil. Ces mesures ont été réalisées parallèlement à la règle et à l'aide de 3 sondes à ultrason sur chaque localisation de mesure. Le détail du calage des sondes à ultrason figure en annexe. Les hauteurs sont mesurées par rapport
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Photos de l'installation de mesure des débits par photographie et reconnaissance de caractères</figcaption></figure>

au fond du canal. Dans la suite du rapport, ne figurent que les hauteurs d'eau amont $h_1$ et aval $h_2$ déduction faite de la hauteur de pelle du seuil utilisé.

### 2.1.2 Caractéristiques des seuils

Les seuils ont été réalisés sur mesure en PMMA (poly méthacrylate de méthyle acrylique) plus couramment appelé plexiglass de 19 mm d'épaisseur par découpe laser. Les deux seuils ont les bords biseautés à 45°.

Le premier seuil doté d'un angle de sommet de triangle de 90° est appelé dans la suite modèle D90 (Photo Figure 2.3). Le second seuil avec un angle de sommet de triangle de 135° est appelé dans la suite modèle D135 (Voir photo Figure 2.5 et plan coté de fabrication Figure 2.4).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Photos du seuil modèle D90 installé dans le canal, vue depuis l'aval</figcaption></figure>

Les cotes des deux seuils conformément aux notations du schéma Figure 1.1 sont détaillées dans le Tableau 2.1.

<table><caption>TABLE 2.1: Dimensions des seuils modèle D90 et D135</caption><thead><tr><td>Caractéristique</td><td>Modèle D90</td><td>Modèle D135</td></tr></thead><tbody><tr><td>Pelle (mm)</td><td>120</td><td>200</td></tr><tr><td>Demi-angle α (°)</td><td>45</td><td>67.5</td></tr><tr><td>Largeur du seuil B<sub>C</sub> (mm)</td><td>600</td><td>600</td></tr><tr><td>Hauteur du triangle H<sub>B</sub> (mm)</td><td>300</td><td>124</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Plan coté de conception du seuil modèle D135</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Photos du seuil modèle D135 installé dans le canal, vue en fonctionnement depuis l'aval</figcaption></figure>
## 2.2 Jeux de données récoltés

Les mesures sur le seuil D90 ont été réalisées du 24 au 26 juillet 2023. Les mesures sur le seuil D135 ont été réalisés les 27 et 28 novembre 2023 et un complément de mesures en régime noyé a été effectué le 23 juillet 2024.

L'ensemble des mesures effectuées sont représentées Figure 2.6. Les numéros représentent le numéro de l'observation. Au total, 340 mesures ont été effectuées parmi lesquelles 311 mesures sont effectivement utilisées pour l'étude après élimination des mesures qui paraissaient aberrantes.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Mesures des débits et de l'ennoiement en fonction de la charge amont pour les modèles de seuil D90 et D135</figcaption></figure>
# 3 Lois de débit du seuil triangulaire tronqué

La loi de débit s'établit à partir du régime dénoyé. La littérature propose plusieurs formules pour ce seuil composé auxquelles nous combinerons un coefficient de réduction du débit en régime noyé pour lequel plusieurs possibilités existent aussi.

## 3.1 Lois de débit en écoulement dénoyé

### 3.1.1 Formulation pour un écoulement dans la partie triangulaire uniquement

Pour les hauteurs d'eau ne dépassant pas la partie triangulaire, la loi de débit $Q_T$ correspond à la formulation classique du seuil triangulaire telle que proposée par Bos (1989) (Équation (3.1)).

$$Q_T = C_t C_v \frac{16}{25} \sqrt{\frac{2}{5}} g \tan \frac{\theta}{2} h_1^{2.5} \quad (3.1)$$

Avec les variables suivantes (cf. Figure 1.1) :

* $C_t$ le coefficient de débit pour la loi de débit du seuil triangulaire

* $C_v$ le coefficient de vitesse d'approche

* $g$ l'accélération de la pesanteur (9.81 m.s-2)

* $\theta$ l'angle d'ouverture de la base du triangle

* $h_1$ la hauteur d'eau au dessus de la base du seuil

La formulation actuelle de Cassiopée issue de la documentation du logiciel DEVER (Michel Larinier 1993) néglige l'effet de la vitesse d'approche ($C_v = 1$) et contracte en une seule constante $C_1$ les autres coefficients de l'équation pour donner l'Équation (3.2) :

$$Q_T = C_1 \tan \frac{\theta}{2} h_1^{2.5} \quad (3.2)$$

Avec des valeurs standards de $C_1$ égales à

* 1.37 pour un déversoir en mince paroi

* 1.27 pour un déversoir épais sans contraction

* 1.68 et 1.56 respectivement pour un déversoir à profil longitudinal triangulaire 1/2 amont et 1/2 ou 1/5 aval

La valeur du déversoir épais correspond au terme $\frac{16}{25} \sqrt{\frac{2}{5}} g = 1.27$ de l'Équation (3.1).

Pour les hauteurs d'eau au-delà de la limite du triangle, plusieurs formulations sont possibles.

### 3.1.2 Formulation de Bos pour le seuil à crête mince

Bos (1989) indique que la formule peut être obtenue en soustrayant la loi de débit d'une section de contrôle triangulaire avec une charge ($h_1 - H_B$) de la loi de débit d'une section de contrôle triangulaire de charge $h_1$. Il
justifie ce choix en indiquant que, pour les seuils à paroi mince, la surimposition ou la soustraction de loi de débits de partie de la section de contrôle est autorisée à condition que chaque partie concernée contienne une surface libre.

Cette formulation correspond à celle présente dans l'outil "Dever" de la version "historique" de Cassiopée (cf. Équation (3.3) et les notations de la Figure 1.1). Elle est applicable pour tout $h_1 > H_B$.

$$Q_{scw} = C_1 \tan \frac{\theta}{2} [h_1^{2.5} - (h_1 - H_B)^{2.5}] \quad (3.3)$$

### 3.1.3 Formulation de Bos pour le seuil à crête épaisse

L'Équation (3.4) est dérivée du calcul de la hauteur critique dans la section de contrôle et de l'égalité des charges entre la section de mesure amont et la section où la hauteur critique est atteinte :

$$Q_{bcw} = C_r C_v B_c \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3} g} \left(h_1 - \frac{H_B}{2}\right)^{1.5} \quad (3.4)$$

Avec $C_r$ le coefficient de débit du seuil rectangulaire et $B_c = 2H_B \tan \frac{\theta}{2}$ la largeur de la partie rectangulaire du seuil.

A l'emplacement du déversement, la hauteur de l'eau est supposée être à la hauteur critique comme illustré à la Figure 3.1. De ce fait, la transition entre l'équation triangulaire et l'équation triangulaire tronquée intervient lorsque $h_1 = \frac{5}{4}H_B$ si on considère la hauteur critique d'une section triangulaire.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Schéma du profil longitudinal d'un seuil épais (extrait de Bos, 1989)</figcaption></figure>

Cette formulation introduit un second coefficient de débit $C_r$ qu'il est cependant possible de calculer en fonction de $C_t$ en assurant la continuité du calcul du débit entre la partie triangulaire et la partie rectangulaire lorsque $h_1 = H_B$. En combinant les équations (3.1) et (3.4) dans le cas où on considère que les coefficient correcteurs $C_t$ et $C_r$ sont tous les deux égaux ainsi que les coefficients d'approche $C_v$, et si on pose $C_1 = \frac{16}{25} \sqrt{\frac{2}{5}} g$, et $C_2 = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3}} g$, on a alors :
$$Q_T(5/4H_B) = Q_{bcw}(5/4H_B)$$

$$C_1 \tan \frac{\theta}{2} H_B^{2.5} = B_c C_2 \left(\frac{H_B}{2}\right)^{1.5} \\ C_2 = \frac{C_1 \tan \frac{\theta}{2} H_B^{2.5}}{B_c \frac{H_B^{1.5}}{2\sqrt{2}}} \qquad (3.5)$$

$$C_2 = \frac{2\sqrt{2}C_1}{B_c} \tan \frac{\theta}{2} H_B = \frac{2\sqrt{2}C_1}{B_c} \frac{B_c}{2} = \sqrt{2}C_1$$

Ce qui finalement revient à l'équation :

$$Q_{bcw} = \sqrt{2}C_1 B_c \left(h_1 - \frac{H_B}{2}\right)^{1.5} \qquad (3.6)$$

### 3.1.4 Proposition de formule liée à la réduction de la section mouillée

La formule proposée ici correspond à la formulation du seuil triangulaire à laquelle on applique un coefficient de réduction de débit égal à la réduction de la surface mouillée liée à la partie rectangulaire (Équation (3.7))

$$Q_{war} = K_r C_1 \tan \frac{\theta}{2} h_1^{2.5} \qquad (3.7)$$

Avec $K_r$ le coefficient de réduction de débit défini par la réduction de la surface mouillée de la section triangulaire tronquée par rapport à la section triangulaire

$$k_r = \frac{A_{tt}}{A_t} = \frac{h_1^2 \tan \frac{\theta}{2}}{2H_B \tan \frac{\theta}{2} (h_1 - H_B/2)} \qquad (3.8)$$

Ce qui après simplification revient à l'Équation (3.9).

$$K_r = 2 \frac{H_B}{h_1} - \frac{H_B^2}{h_1^2} \qquad (3.9)$$

## 3.2 Transition entre la loi de débit triangulaire et triangulaire tronqué

La loi de débit de ce seuil composé faisant intervenir deux équations en fonction de la hauteur d'eau amont, il est nécessaire de définir quelle cote de l'eau amont constituera le point de bascule entre les deux lois. Pour un seuil à crête épaisse, la hauteur critique étant atteinte à l'intérieur du seuil (cf. Figure 3.1), le passage entre la forme triangulaire et la forme rectangulaire s'effectue à $h1 = 5/4H_B$ (cf. Section 3.1.3). Pour un seuil à crête mince, la relation entre la hauteur d'eau amont et la hauteur d'eau à l'emplacement du seuil est moins évidente comme on peut le voir sur le schéma (a) de la Figure 1.4 (baisse de la hauteur d'eau "draw down").

L'utilisation de deux lois différentes peut aussi poser le problème de la continuité des débits lors du passage d'une loi à l'autre comme évoqué à la Section 3.1.3.

Pour pallier ces deux problèmes, nous proposons une formulation générale (Équation (3.10)) assurant une pondération progressive $a$ entre la loi de débit triangulaire $Q_T$ et la loi de débit triangulaire rectangulaire $Q_R$ déclenchée entre des seuils $H_{t1} = k_{t1}H_B$ et $H_{t2} = k_{t2}H_B$ à déterminer expérimentalement.

$$Q_1 = (1-a)Q_T + a k R \qquad (3.10)$$
Avec $k$ le coefficient d'ajustement de la loi rectangulaire (théoriquement égale à 1), et $a$ calculé selon l'arbre de décision Figure 3.2 ou l'Équation (3.11) après simplification.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Arbre de décision du calcul du coefficient de pondération des lois de débit</figcaption></figure>

$$a = \max \left( 0, \min \left( 1, \frac{h_1/H_B - k_{t1}}{k_{t2} - k_{t1}} \right) \right) \qquad (3.11)$$

## 3.3 Lois de débit pour l'écoulement noyé

### 3.3.1 Formulation générale

L'écoulement noyé (ou submergé) se caractérise par une limitation du débit entraînée par une augmentation de la cote de l'eau $h_2$ à l'aval du seuil (Figure 3.4). L'écoulement noyé se caractérise aussi à débit constant par une variation de la hauteur d'eau amont lorsque la hauteur d'eau aval varie.

Plusieurs méthodes existent pour estimer le débit d'un seuil submergé à partir du coefficient d'ennoiement $h_2/h_1$ :

* la méthode de Villemonte (1947) ou de Wu et Rajaratnam (1996) qui consiste à appliquer un coefficient de réduction appliqué sur la loi de débit dénoyée $Q_1$ (Cf. Équation (3.12))

* la méthode de Wessels (Cf. Canto, Rossouw et Roosevelt (2002) p. 24) qui corrige $h_1$ pour obtenir un $h_1$ équivalent en régime dénoyé

$$Q_s(h_1, h_2) = C_s(h_2/h_1)Q_1(h_1) \qquad (3.12)$$

Wu et Rajaratnam (1996) propose un coefficient de réduction ajusté sur les mesures effectuées sur des seuils rectangulaires non contracté de différentes hauteurs (Équation (3.13) et Figure 3.3). Contrairement à la formule de Villemonte, cette méthode n'a été testée que pour le seuil rectangulaire non contracté et ne sera pas retenue pour cette étude.

$$C_s = 1.0 + 1.162(h_2/h_1) - 1.331 \sin^{-1}(h_2/h_1) \qquad (3.13)$$

La méthode de Wessels n'ayant pas été utilisée en dehors de quelques travaux du même auteur et de son équipe (Wessels et Roosevelt 2009), nous ne la testons pas ici. Pour plus de détail sur cette méthode et ses résultats expérimentaux, se reporter à Canto, Rossouw et Roosevelt (2002) p. 24 et suivante.

### 3.3.2 Formulation de Villemonte

La formule de Villemonte (1947) est la formule qui était et est implémentée dans les différentes versions de Cassiopée pour les deversoirs rectangulaires et triangulaires noyés et est aussi utilisée par ailleurs pour le dimensionnement des passes à bassins à fentes verticales et les prébarrages (Fuentes-Pérez et al. 2017).
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIG. 3. Variation of Reduction Factor with t/h Ratio</figcaption></figure>

FIGURE 3.3 – Evolution du coefficient de réduction de débit en fonction de la submergence (extrait de Wu et Rajaratnam, 1996)

L'hypothèse de Villemonte repose sur l'idée que le débit noyé $Q$ correspond à la différence entre le débit dénoyé $Q_1$ résultant de $h_1$ et le débit opposé $Q_2$ résultant de $h_2$ (Figure 3.4 et Équation (3.14).

$$Q = Q_1 - Q_2 \implies \frac{Q}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \qquad (3.14)$$

Le coefficient de réduction du débit $C_s$ s'exprime alors avec l'Équation (3.15).

$$C_s = \frac{Q}{Q_1} = k \left[ 1 - \left( \frac{h_2}{h_1} \right)^n \right]^m \qquad (3.15)$$

$k$ et $m$ sont des constantes déterminées expérimentalement, et $n$ est l'exposant de l'expression $h_1^n$ utilisée dans la loi de débit dénoyée.

Les expérimentations de Villemonte (1947) portant sur les seuils à crête mince de forme diverses (proportionnelle, rectangulaire contracté ou non contracté, parabolique, triangulaire (90°) et parabolique) ont conclu sur des valeurs de $k = 1$ et $m = 0.385$ pour des niveaux d'ennoiement allant de 0 à 90 % avec une marge d'erreur inférieure à 5 %.

Villemonte (1947) propose finalement le coefficient d'ennoiement de l'Équation (3.16).

$$C_s = \left[ 1 - \left( \frac{h_2}{h_1} \right)^n \right]^{0.385} \qquad (3.16)$$

### 3.3.3 Prise en compte du seuil composé par la formule de Villemonte

L'hypothèse de Villemonte étant basée sur la différence entre le débit dénoyé $Q_1$ résultant de $h_1$ et le débit opposé $Q_2$ résultant de $h_2$ (Cf. Figure 3.4), l'utilisation de deux lois de débit qui peuvent être différentes en fonction de la hauteur d'eau amont $h_1$ ou aval $h_2$ nécessite d'utiliser la formulation générale de l'Équation (3.15) :
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig. 2. Sketch of Villemonte’s assumption for submerged flows. $Q_1$ is the free flow discharge in positive direction controlled by $h_1$ and $Q_2$ is the counter-flow discharge due to $h_2$. $p=0$ in case of slots.</figcaption></figure>

FIGURE 3.4 – Schéma de l’hypothèse de Villemonte (extrait de Fuentes-Pérez et al. (2017)

$$Q = Q_1 \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^m \qquad (3.17)$$

Les équations de lois de débit dénoyées (3.1), (3.3), (3.4), (3.7) de même que la combinaison linéaire de ces lois proposée dans l'Équation (3.10) peuvent alors être utilisées pour calculer $Q_1$ et $Q_2$ et calculer le débit noyé grâce à l'Équation (3.17).

## 3.4 Formulation de Villemonte modifiée

La formulation de Villemonte pour les seuils considère que la réduction de débit commence dès que la cote de l'eau aval atteint la base de la crête du seuil. La réalité physique est plus complexe. Sur les seuils à crête épaisse, l'effet de l'ennoiement sur le coefficient de réduction du débit n'intervient qu'à partir du moment où la cote aval atteint la hauteur critique au dessus du seuil. On peut aussi observer une influence de l'aval à une cote inférieure à celle de la base de la crête dans le cas d'un écoulement noyé en dessous (Voir photo Figure 3.5), à ressaut éloigné ou à ressaut recouvrant le pied de nappe avec une possible augmentation du débit (cf. CETMEF (2005) p. 47-48).

Le coefficient de réduction de débit des expériences de Vennard et Weston (1943) montre ce phénomène avec un débit ne commençant à diminuer qu'à partir d'un coefficient d'ennoiement $h_2/h_1$ supérieur à 0.4 pour des hauteurs de pelle faibles par rapport à la charge amont (Voir rapport H/P dans la Figure 3.6 extraite de Hulsing (1967)).

Nous proposons ici de prendre en compte le décalage de l'effet de l'ennoiement sur le coefficient de réduction du débit via la formule suivante qui est démontrée au paragraphe 5.3 :

$$Q = Q_1 \min \left( 1, \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^m \times k_I \right) \qquad (3.18)$$
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Photos de profil de l'aval du seuil D135 noyé en dessous</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Evolution du coefficient de réduction de débit en fonction de la submergence (extrait de Hulsing, 1967)</figcaption></figure>

## 3.5 Bilan des équations testées et de leurs paramètres respectifs

Chacune des lois testées utilisera la loi de transition permettant d'ajuster le passage entre la section triangulaire et la section triangulaire tronquée (Équation (3.10)) pour les calculs dénoyés $Q_1$ et $Q_2$ et la formulation générale de Villemonte (Équation (3.17)) sera utilisée pour le calcul du débit en régime noyé. Ces trois équations nécessitent la calibration des paramètres : $k_{t1}$ et $k_{t2}$ de limite de transition de forme de section et l'exposant $m$ de la formule générale de Villemonte théoriquement égal à 0.385.

Chacune des lois utilisera l'Équation (3.2) pour la section triangulaire et cela nécessite l'ajustement du coefficient $C_1$.

Les lois pour la section triangulaire tronquée sont résumées dans le Tableau ci-dessous. Elles nécessitent toutes le calage du coefficient de débit $C_1$, du coefficient d'ajustement $k$ introduit dans (3.10) et des coefficients de limite de transition $k_{t1}$ et $k_{t2}$ utilisés dans l'Équation (3.11).

<table><caption>TABLE 3.1: Liste des équations testées dans l'étude</caption><thead><tr><td>Nom de l'équation</td><td>Équation numéro</td></tr></thead><tbody><tr><td>Bos à crête mince (scw)</td><td>(3.3)</td></tr><tr><td>Bos à crête épaisse (bcw)</td><td>(3.4)</td></tr><tr><td>Réduction section mouillée (war)</td><td>(3.9)</td></tr></tbody></table>

L'optimisation de ces paramètres consiste à la minimisation du critère NRMSE (Racine carrée de la somme des écarts de débit observé et simulé au carré normalisé par la moyenne des débits observés (Équation (3.19)).

$$ NRMSE = \frac{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i}^{n} (Q_{sim} - Q_{obs})^2}}{\overline{Q_{obs}}} \quad (3.19) $$
# 4 Modélisation des seuils expérimentaux en écoulement dénoyé

Dans ce chapitre, les 3 équations sélectionnées au chapitre précédent sont calibrées à partir des données expérimentales correspondant au régime dénoyé. Leurs performances respectives sont comparées afin de sélectionner l'équation qui sera utilisée pour caler la loi d'écoulement en régime noyé.

Les paramètres des équations calibrés à ce stade sont :

* C1 le coefficient de débit des Équations (3.3), (3.4), (3.9)

* $n_T$ l'exposant utilisé dans la loi de seuil triangulaire (2,5 par défaut)

* $n_R$ l'exposant utilisé dans la loi de seuil rectangulaire (1,5 par défaut)

* k le coefficient de correction appliqué à la loi pour la partie rectangulaire (cf. Équation (3.10))

* $k_{t1}$ et $k_{t2}$ les coefficients appliqués à la hauteur du triangle $H_B$ pour calculer respectivement le début et la fin de la transition entre l'équation triangulaire et l'équation rectangulaire (cf. Figure 3.2)

## 4.1 Sans prise en compte de la vitesse d'approche

Le résultat de l'optimisation des paramètres est présentée dans le Tableau 4.1.

Les Figures 4.1 et 4.2 présentent respectivement les courbes ajustées des lois de débits et les erreurs relatives de chacun des modèles pour les 3 équations pour le seuil D90. Les mêmes éléments sont présentés dans les Figures 4.3 et 4.4 pour le seuil D135.

La dispersion des points aux très faibles hauteurs d'eau peut s'expliquer par la géométrie du seuil qui contient un léger arrondi à la pointe du triangle, la difficulté d'avoir une mesure de débit voire un débit stable sur cette installation sur les très faibles débits et une très grande sensibilité de l'erreur relative à faible débit par rapport à des débits plus élevés.

Les symboles représentés en rouge sont ceux correspondants aux observations où le niveau d'eau amont ne dépasse pas la partie triangulaire du seuil. Sur le seuil D90, on observe un décrochage net entre les écoulements ayant uniquement lieu sur la partie triangulaire et les autres quelque soit l'équation utilisée. Ce peut être due à la sur-représentation des observations sur le seuil D135 qui représente un poids plus important dans l'optimisation des paramètres et pour lequel ce décrochage est moins net.

La Figure 4.5 montre que la valeur minimale de l'erreur moyenne absolue (MAE) est atteinte pour l'équation de Bos à crête épaisse (bcw) (cf. Équation (3.4)) avec une erreur moyenne de 1,9 %. L'équation Bos à crête mince (scw) (cf. Équation(3.3)) la devance légèrement pour le seuil D90 avec une erreur moyenne de 1,8 % mais les résultats sont très dégradés pour le seuil D135 avec 3 % d'erreur. L'erreur du modèle pour les deux types de seuils (D90 et D135) avec l'équation de Bos à crête épaisse (bcw) sont présentés à la Figure 4.6.
<table><caption>TABLE 4.1 – Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Calibration des paramètres</caption><thead><tr><th></th><th>C<sub>1</sub></th><th>n<sub>T</sub></th><th>n<sub>R</sub></th><th>k</th><th>k<sub>t1</sub></th><th>k<sub>t2</sub></th><th>MAE</th><th>MAE_D135</th><th>MAE_D90</th></tr></thead><tbody><tr><td>scw</td><td>1.44</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.604</td><td>2.088</td><td>4.422</td></tr><tr><td>bcw</td><td>1.44</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.604</td><td>2.088</td><td>4.422</td></tr><tr><td>war</td><td>1.44</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.604</td><td>2.088</td><td>4.422</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D90</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Ecooulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D90</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Ecooulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D135</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D135</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Comparaison des erreurs des modèles pour les différents types de seuil</figcaption></figure>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Ecooulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour l'équation Bos à crête épaisse (bcw)</figcaption></figure>

## 4.2 avec prise en compte de la vitesse d'approche

Les équations théoriques font intervenir la charge $H_1$ et non pas la hauteur d'eau $h_1$ ce qui est problématique car la charge $H_1$ dépend du débit.

Le coefficient de vitesse d'approche $C_v$ permet de prendre en compte l'écart attendu de la prise en compte de la charge $H_1$ tout en utilisant la hauteur d'eau $h_1$ dans l'équation de débit (Voir Bos (1989) p.30).

La valeur théorique du coefficient d'approche s'obtient à l'aide de la formule $C_v = (H_1/h_1)^n$ avec $n$ l'exposant utilisé dans la loi de débit. En faisant l'approximation $n = 2.5$ pour le seuil D90 et $n = 1.5$ pour le seuil D135, on obtient les valeurs de $C_v$ de la Figure 4.7.

Cette substitution peut se traduire par l'Équation (4.1) :

$$Q(H_1) = C_v Q(h_1) \qquad (4.1)$$

Avec $H_1 = h_1 + V^2/2g$, V étant la vitesse d'approche dans le chenal à l'amont.

La difficulté réside dans le fait que la charge dépend de la vitesse ($V = Q/S$) et donc du débit qui est la valeur que l'on cherche à calculer. Ce problème est résolu itérativement en posant la suite (4.2) qui s'arrête une fois que le calcul du débit a convergé :

$$ \begin{aligned} Q(1) &= Q(h_1) \\ Q(n) &= Q(H_1(n-1)) \end{aligned} \qquad (4.2) $$

Le résultat de l'optimisation des paramètres est présenté dans le Tableau 4.2.

Les Figures 4.8 et 4.9 présentent respectivement les courbes ajustées des lois de débits et les erreurs relatives de chacun des modèles pour les 3 équations pour le seuil D90. Les mêmes éléments sont présentés dans les Figures 4.10 et 4.11 pour le seuil D135.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Evolution du coefficient de vitesse d’approche $C_v$ en fonction de la hauteur d’eau amont ($h_1$)</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 4.2 – Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l’amont : Calibration des paramètres</caption><thead><tr><th></th><th>C<sub>1</sub></th><th>n<sub>T</sub></th><th>n<sub>R</sub></th><th>k</th><th>k<sub>t1</sub></th><th>k<sub>t2</sub></th><th>MAE</th><th>MAE_D135</th><th>MAE_D90</th></tr></thead><tbody><tr><td>scw</td><td>1.412</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.487</td><td>2.104</td><td>3.836</td></tr><tr><td>bcw</td><td>1.412</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.487</td><td>2.104</td><td>3.836</td></tr><tr><td>war</td><td>1.412</td><td>2.5</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1</td><td>1.25</td><td>2.487</td><td>2.104</td><td>3.836</td></tr></tbody></table>

La Figure 4.12 montre ici aussi que la valeur minimale de l’erreur moyenne absolue (MAE) est atteinte avec l’équation de Bos à crête épaisse (bcw) (cf. Équation (3.4)) avec des erreurs inférieures à 2 % pour les deux types de seuils (D90 et D135). L’erreur du modèle pour les deux types de seuils avec l’équation de Bos à crête épaisse (bcw) sont présentés à la Figure 4.13.
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Ecooulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D90</figcaption></figure>

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 4.9 – Ecooulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D90</figcaption></figure>
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 4.10 – Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D135</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 4.11 – Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D135</figcaption></figure>
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 4.12 – Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Comparaison des erreurs des modèles pour les différents types de seuil</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 4.13 – Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour l'équation Bos à crête épaisse (bcw)</figcaption></figure>
## 4.3 Conclusion

L'équation de Bos à crête épaisse (bcw) (Équation (3.6)) devance les deux autres équations et est donc sélectionnée pour étudier la loi de débit en écoulement noyé.

L'introduction du coefficient de vitesse d'approche $C_v$ n'apporte pas de gain significatif (0,1 % en erreur moyenne). De plus, la vitesse d'approche n'est pas utilisée dans les équations des passes à poisson dans Cassiopée, par soucis d'homogénéité, ce coefficient ne sera pas considéré dans la suite de ce rapport.
# 5 Modélisation de la loi de débit en écoulement noyé

## 5.1 Détermination du coefficient de Villemonte

L'exposant $m$ de l'Équation (3.17) peut être déterminé par régression linéaire en passant par les logarithmes :

$$ \ln \left( \frac{Q}{Q_1} \right) = m \ln \left( 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right) \qquad (5.1) $$

Avec $Q$, le débit observé, et $Q_1$ (resp. $Q_2$) le débit en écoulement dénoyé calculé à partir de la cote de l'eau amont (resp. aval). Le résultat graphique de cette régression est représenté Figure 5.1.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Régression linéaire de $Q_{obs}/Q_1$ fonction de $1 - Q_2/Q_1$ (échelles logarithmiques)</figcaption></figure>

Le coefficient $m$ est ici égal à 0.322, avec un coefficient de détermination de 0.95. Une valeur assez proche de $m = 0.385$ déterminée par Villemonte (1947) pour toutes les formes de déversoirs.

Les régressions effectuées séparément pour les deux types de déversoirs représentées Figure 5.2 donnent des valeurs de $m$ de 0,326 et 0,353 pour respectivement le seuil D135 et D90. Etant donné ces faibles différences et la valeur très élevée du coefficient de détermination pour la régression réalisée globalement Figure 5.1, on peut considérer que l'utilisation d'un coefficient $m$ global est suffisamment robuste pour ne pas avoir à le différencier en fonction du type de seuil.
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Régressions linéaires par type de seuil de $Q_{obs}/Q_1$ fonction de $1 - Q_2/Q_1$ (échelles logarithmiques)</figcaption></figure>

## 5.2 Résultat du modèle d'écoulement noyé avec la formulation classique de Villemonte

La Figure 5.3 montre que le modèle sous estime le coefficient de réduction de débit pour les ennoiements situés entre 20 et 85%.

La Figure 5.4 montre que les erreurs sont systématiquement inférieures à 10 % pour les ennoiements inférieurs à 50 % avec une tendance moyenne à sous-estimer le coefficient de réduction de débit pour les ennoiements supérieurs à 25 %. La distribution des erreurs absolues Figure 5.5 montre qu'au moins 75 % des erreurs restent inférieures à 10 % sur toute la gamme des ennoiements.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Comparaison des valeurs de Q/Q₁ observées et simulées avec la formulation classique de Villemonte</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Erreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement</figcaption></figure>
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Distribution de l'Érreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement (moyenne en rouge)</figcaption></figure>

## 5.3 Résultat du modèle d'écoulement noyé avec la formulation modifiée de Villemonte

La régression permettant d'obtenir le coefficient de Villemonte Figure 5.1 fait apparaître une ordonnée à l'origine non nulle.

L'Équation (5.1) peut être complétée par l'ordonnée à l'origine o comme suit :

$$ \ln \left( \frac{Q}{Q_1} \right) = m \ln \left( 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right) + \ln(o) \quad (5.2) $$

L'Équation (3.17) devient alors :

$$ Q = Q_1 \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^m \times k_I \quad (5.3) $$

Avec $k_I = \exp(o)$.

Il faut cependant que $k_I$ soit écrêté à 1 pour assurer la continuité des débits avec le régime dénoyé. On obtient finalement l'Équation (5.4).

$$ Q = Q_1 \min \left( 1, \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^m \times k_I \right) \quad (5.4) $$

La régression nous donne l'application numérique suivante :

$$ Q = Q_1 \min \left( 1, \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^{0.322} \times 1.03 \right) \quad (5.5) $$
La formule modifiée (Figure 5.6) corrige la sous-estimation observée Figure 5.3. Pour les ennoiements inférieurs à 40 %, le modèle n'autorise pas de coefficient de débit supérieur à 1 contrairement à certaines observations. L'erreur en fonction de l'ennoiement Figure 5.7 montre que le biais observé Figure 5.4 a disparu. La distribution des erreurs absolues Figure 5.8 montre que la quasi totalité des erreurs restent sous la barre des 5 % pour tous les ennoiements inférieurs à 80 %. La moyenne des erreurs dépasse tout juste 5 % pour les ennoiements compris entre 80 et 90 %, cela dit la moyenne est tirée vers le haut par les quelques erreurs extrêmes certainement dues à l'incertitude des observations. Le 3ème quartile des erreurs reste très inférieur à 5 %. Pour les ennoiements supérieurs à 90 %, la nouvelle formulation dégrade le résultat mais le 3ème quartile des erreurs reste inférieur à 10 % ce qui reste honorable étant donné les difficultés à estimer les débits sur les forts ennoiements.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Comparaison des valeurs de Q/Q₁ observées et simulées avec la formulation modifiée de Villemonte</figcaption></figure>
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Erreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte</figcaption></figure>

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – Distribution de l'erreur relative du modèle noyée avec la formulation modifiée de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement (moyenne en rouge)</figcaption></figure>
# 6 Conclusion

## 6.1 Équation du seuil triangulaire tronqué dénoyé

La formule retenue est celle proposée par Bos (1989) pour le seuil triangulaire tronqué à crête épaisse (Voir paragraphe 3.1.3).

L'équation proposée par Bos (1989) est modifiée pour assurer la continuité de l'équation entre la partie triangulaire et la partie rectangulaire (cf. Paragraphe 3.2, le débit $Q_1$ du seuil en régime dénoyé devient :

$$Q_1 = (1 - a)Q_T + a \ 1 \ Q_R \quad (6.1)$$

Avec $a$, la proportion du débit calculé avec la loi de seuil rectangulaire :

$$a = \max(0, \min(1, \frac{h_1/H_B - 1}{0.25})) \quad (6.2)$$

Avec $Q_T$ la loi de débit du seuil triangulaire :

$$Q_T = 1.4402 \tan \frac{\theta}{2} h_1^{2.5} \quad (6.3)$$

Et $Q_T$ la loi de débit pour la partie rectangulaire du seuil tronqué :

$$Q_R = 2.0368 B_c \left(h_1 - \frac{H_B}{2}\right)^{1.5} \quad (6.4)$$

Les erreurs sont en moyenne inférieures à 2 % pour les deux types de seuils testés. Les performances sont dégradées pour les faibles hauteurs d'eau avec un écoulement ne se déroulant que sur la partie triangulaire. Les erreurs restent cependant inférieures à 5 % pour le seuil D90 et des sous-estimations pouvant atteindre 10 % pour le seuil D135. Pour ce dernier, la zone de hauteur concernée reste cependant très réduite, la hauteur $H_B$ du début de la partie rectangulaire étant beaucoup plus faible que sur le seuil D90.

## 6.2 Formule en régime noyé

Le débit en régime noyé s'obtient en multipliant le débit $Q_1$ du régimé dénoyé obtenu à l'Équation (6.1) avec un coefficient de réduction de débit selon l'équation suivante :

$$Q = Q_1 \min \left( 1, \left[ 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \right]^{0.322} \times 1.0298 \right) \quad (6.5)$$

L'erreur constatée est inférieure à 5 % pour l'ensemble des ennoiements à l'exception des ennoiements supérieurs à 90 % où l'erreur avoisine les 10 %.

Ces résultats en font une équation valide pour une utilisation dans les passes adoptant cette géométrie de seuil et sera implémentée prochainement dans Cassiopée.
## 6.3 Perspectives

Les travaux de Vennard et Weston (1943) montre que le rapport de la hauteur d'eau amont sur la hauteur de pelle a un effet non négligeable notamment pour modéliser l'écoulement noyé en dessous à ressaut éloigné ou à ressaut recouvrant le pied de nappe qui provoque une augmentation du débit par rapport au régime dénoyé. Ces aspects pourraient être explorés en consolidant le résultat par de nouveaux jeux de données sur des angles d'ouverture du triangle différentes des deux ouvertures testées.
## A Calibration sondes ultrason (sondes SICK)

3 sondes ultra-son de marque SICK modèle UP56 ont été positionnées à l'amont et à l'aval du seuil mesurant la hauteur entre la surface de l'eau et des sondes fixées sur une barre posée sur les parois du canal (Figure A.1).

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE A.1 – Photo des capteurs ultra-son situés à l'amont du seuil</figcaption></figure>

Ces sondes ont une gamme de mesure entre 200 et 1300 mm. La première série de mesure du 24 juillet effleuerant la limite inférieure de la gamme de mesure des sondes, celles-ci ont été rehaussées pour les expériences suivantes.

### A.1 Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90)

#### A.1.1 Capteurs à l'amont du seuil
### A.1.1.1 Correction du biais temporel

Les ajustements polynomiaux du biais temporel des mesures des sondes par rapport aux mesures manuelles sont représentés Figures A.2, A.3, A.4, A.5, A.6, A.7, A.8, A.9, A.10.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE A.2 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE A.3 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

### A.1.1.2 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapport aux mesures manuelles sont représentés Figure A.11.
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

FIGURE A.4 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

FIGURE A.5 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_50.png" /></figure>

FIGURE A.6 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

FIGURE A.7 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_52.png" /></figure>

FIGURE A.8 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

FIGURE A.9 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE A.10 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE A.11 – Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>
## A.1.2 Capteurs à l'aval du seuil

### A.1.2.1 Correction du biais temporel

Les ajustements polynomiaux du biais temporel des mesures des sondes par rapport au mesures manuelles sont représentés Figures A.12, A.13, A.14, A.15, A.16, A.17, A.18, A.19, A.20.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE A.12 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE A.13 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

### A.1.2.2 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapports aux mesures manuelles sont représentés Figure A.21.
<figure><img src="image_58.png" /></figure>

FIGURE A.14 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

FIGURE A.15 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_60.png" /></figure>

FIGURE A.16 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

FIGURE A.17 – Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_62.png" /></figure>

FIGURE A.18 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

FIGURE A.19 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE A.20 – Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE A.21 – Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</figcaption></figure>
## A.2 Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135)

### A.2.1 Capteurs à l'amont du seuil

#### A.2.1.1 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapports aux mesures manuelles sont représentés Figure A.22.

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

FIGURE A.22 – Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135))

### A.2.2 Capteurs à l'aval du seuil

#### A.2.2.1 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapports aux mesures manuelles sont représentés Figure A.23.
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE A.23 – Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135))</figcaption></figure>

## A.3 Mesures effectuées le 23 juillet 2023 avec le seuil à 135° (D135)

### A.3.1 Capteurs à l'amont du seuil

#### A.3.1.1 Correction du biais temporel

Les ajustements polynomiaux du biais temporel des mesures des sondes par rapport au mesures manuelles sont représentés Figures A.24, A.25, A.26.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE A.24 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°1 (Mesures effectuées le 23 juillet 2023 avec le seuil à 135° (D135))</figcaption></figure>
<figure><img src="image_69.png" /></figure>

FIGURE A.25 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°2 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

FIGURE A.26 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°3 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))
### A.3.1.2 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapports aux mesures manuelles sont représentés Figure A.27.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE A.27 – Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</figcaption></figure>

## A.3.2 Capteurs à l'aval du seuil

### A.3.2.1 Correction du biais temporel

Les ajustements polynomiaux du biais temporel des mesures des sondes par rapport au mesures manuelles sont représentés Figures A.28, A.29, A.30.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE A.28 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°1 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</figcaption></figure>
<figure><img src="image_73.png" /></figure>

FIGURE A.29 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°2 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

FIGURE A.30 – Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°3 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))
### A.3.2.2 Résultat de la calibration

Les écarts relatifs entre les mesures des sondes par rapports aux mesures manuelles sont représentés Figure A.31.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE A.31 – Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</figcaption></figure>
Bibliographie

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## Liste des tableaux

<table><tr><td>2.1 Dimensions des seuils modèle D90 et D135</td><td>9</td></tr><tr><td>3.1 Liste des équations testées dans l'étude</td><td>19</td></tr><tr><td>4.1 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Calibration des paramètres</td><td>21</td></tr><tr><td>4.2 Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Calibration des paramètres</td><td>25</td></tr></table>

## Table des figures

<table><tr><td>1.1 Schéma de la section de contrôle triangulaire tronquée (extrait de Bos, 1989)</td><td>5</td></tr><tr><td>1.2 Schéma d'un déversoir composé triangulaire-rectangulaire (extrait de Jan, Chang et Lee 2006)</td><td>6</td></tr><tr><td>1.3 Schéma du déversoir Crump en V (extrait de Wessels, 2009)</td><td>6</td></tr><tr><td>1.4 Schéma des seuils triangulaires tronqués testés dans Abbaspour et Hashemikia (2015)</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1 Schéma du canal espace Boussinesq de la halle hydraulique de l'Institut Agro à Montpellier</td><td>8</td></tr><tr><td>2.2 Photos de l'installation de mesure des débits par photographie et reconnaissance de caractères</td><td>9</td></tr><tr><td>2.3 Photos du seuil modèle D90 installé dans le canal, vue depuis l'aval</td><td>9</td></tr><tr><td>2.4 Plan coté de conception du seuil modèle D135</td><td>10</td></tr><tr><td>2.5 Photos du seuil modèle D135 installé dans le canal, vue en fonctionnement depuis l'aval</td><td>10</td></tr><tr><td>2.6 Mesures des débits et de l'ennoiement en fonction de la charge amont pour les modèles de seuil D90 et D135</td><td>11</td></tr><tr><td>3.1 Schéma du profil longitudinal d'un seuil épais (extrait de Bos, 1989)</td><td>13</td></tr><tr><td>3.2 Arbre de décision du calcul du coefficient de pondération des lois de débit</td><td>15</td></tr><tr><td>3.3 Evolution du coefficient de réduction de débit en fonction de la submergence (extrait de Wu et Rajaratnam, 1996)</td><td>16</td></tr><tr><td>3.4 Schéma de l'hypothèse de Villemonte (extrait de Fuentes-Pérez et al. (2017)</td><td>17</td></tr><tr><td>3.5 Photos de profil de l'aval du seuil D135 noyé en dessous</td><td>18</td></tr><tr><td>3.6 Evolution du coefficient de réduction de débit en fonction de la submergence (extrait de Hulsing, 1967)</td><td>19</td></tr><tr><td>4.1 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D90</td><td>21</td></tr><tr><td>4.2 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D90</td><td>22</td></tr><tr><td>4.3 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D135</td><td>22</td></tr><tr><td>4.4 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D135</td><td>23</td></tr><tr><td>4.5 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Comparaison des erreurs des modèles pour les différents types de seuil</td><td>23</td></tr><tr><td>4.6 Ecoulement dénoyé sans prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour l'équation Bos à crête épaisse (bcw)</td><td>24</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.7</td>
      <td>Evolution du coefficient de vitesse d'approche C<sub>v</sub> en fonction de la hauteur d'eau amont (h<sub>1</sub>)</td>
      <td>25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D90</td>
      <td>26</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.9</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D90</td>
      <td>26</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.10</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Ajustement des lois de débits pour le seuil D135</td>
      <td>27</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.11</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour le seuil D135</td>
      <td>27</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.12</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Comparaison des erreurs des modèles pour les différents types de seuil</td>
      <td>28</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.13</td>
      <td>Ecoulement dénoyé avec prise en compte de la vitesse à l'amont : Erreur du modèle pour l'équation Bos à crête épaisse (bcw)</td>
      <td>28</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Régression linéaire de Q<sub>obs</sub>/Q<sub>1</sub> fonction de 1 - Q<sub>2</sub>/Q<sub>1</sub> (échelles logarithmiques)</td>
      <td>30</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Régressions linéaires par type de seuil de Q<sub>obs</sub>/Q<sub>1</sub> fonction de 1 - Q<sub>2</sub>/Q<sub>1</sub> (échelles logarithmiques)</td>
      <td>31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Comparaison des valeurs de Q/Q<sub>1</sub> observées et simulées avec la formulation classique de Villemonte</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Érreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Distribution de l'Érreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement (moyenne en rouge)</td>
      <td>33</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.6</td>
      <td>Comparaison des valeurs de Q/Q<sub>1</sub> observées et simulées avec la formulation modifiée de Villemonte</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.7</td>
      <td>Érreur relative du modèle noyée avec la formulation classique de Villemonte</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.8</td>
      <td>Distribution de l'Érreur relative du modèle noyée avec la formulation modifiée de Villemonte en fonction du coefficient d'ennoiement (moyenne en rouge)</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.1</td>
      <td>Photo des capteurs ultra-son situés à l'amont du seuil</td>
      <td>38</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.2</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.3</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.4</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.5</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.6</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.7</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 2, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.8</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.9</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.10</td>
      <td>Correction du biais temporel, jour 3, sonde amont n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.11</td>
      <td>Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>43</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>A.12 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.13 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.14 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.15 Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.16 Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.17 Correction du biais temporel, jour 2, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.18 Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°1 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.19 Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°2 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.20 Correction du biais temporel, jour 3, sonde aval n°3 (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.21 Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées du 24 au 26 juillet 2023 avec le seuil à 90° (D90))</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.22 Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.23 Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées les 27-28 novembre 2023 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.24 Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°1 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.25 Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°2 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.26 Correction du biais temporel, jour 1, sonde amont n°3 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.27 Résultat de la calibration, sonde amont (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.28 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°1 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.29 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°2 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.30 Correction du biais temporel, jour 1, sonde aval n°3 (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.31 Résultat de la calibration, sonde aval (Mesures effectuées le 23 juillet 2024 avec le seuil à 135° (D135))</td>
      <td>54</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
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UMR G-EAU

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Institut national de recherche pour
l'agriculture, l'alimentation et l'environnement