# Application de la méthode PGD à la viscoélasticité des polymères sous chargement cyclique

Marianne Béringhier, Mohammad Hammoud, Jean-Claude Grandidier

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Marianne Béringhier, Mohammad Hammoud, Jean-Claude Grandidier. Application de la méthode PGD à la viscoélasticité des polymères sous chargement cyclique. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516459

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# Application de la méthode PGD à la viscoélasticité des polymères sous chargement cyclique

M. Beringhier<fnref n="1" />, M. Hammoud<fnref n="2" />, J.C. Grandidier<fnref n="1" />

**Résumé** — Dans ce papier, la méthode PGD est utilisée pour simuler le comportement viscoélastique d'un polymère sous chargement cyclique. Le comportement du polymère est décrit par un modèle de Maxwell généralisé ce qui revient à considérer un modèle global et un grand nombre de modèles locaux, évoluant à des échelles de temps différentes. Les modèles locaux sont globalisés et résolus avec la méthode PGD. Ce comportement faisant apparaître différents temps, la possibilité de réduire le temps de calcul des simulations en utilisant des discrétisations temporelles adaptées est discutée.

**Mots clés** — PGD, polymère, viscoélasticité, fatigue.

## 1 Introduction

Pour modéliser le comportement viscoélastique d'un polymère, le modèle de Maxwell généralisé est souvent utilisé. Ce modèle consiste à utiliser des variables internes associées à des temps de relaxation. L'évolution des variables internes est décrite par des équations différentielles qui représentent l'évolution cinétique des phénomènes microscopiques. Pour certains polymères et un certain domaine temporel, un grand nombre *m* de temps de relaxation doit être considéré. Cunat a démontré en 1991 [6] que 50 temps sont nécessaires pour représenter de façon discrète une distribution continue de temps de relaxation répartie sur 6 décades.

Pour prédire la réponse de ces matériaux, la Méthode des Eléments Finis est généralement utilisée et consiste à intégrer les modèles locaux (*m* équations différentielles) en chaque point de Gauss et ensuite à résoudre le modèle global, ce qui peut mener à des temps de calcul prohibitifs. De plus, dans le cas de la fatigue des matériaux polymères, un grand nombre de cycles est nécessaire pour atteindre l'état stabilisé, ce qui augmente le domaine temporel et par suite le temps de calcul des simulations [3].

Pour limiter ce temps de calcul, d'autres stratégies peuvent être utilisées comme par exemple des méthodes de réduction de modèles telles que la LATIN (LArge Time INcrement) ou l'hyper-réduction. Mais ces méthodes sont restreintes à une représentation espace-temps. Une représentation séparée plus générale la PGD (Proper Generalized Decomposition) a été récemment proposée par A. Ammar et F. Chinesta [1] pour approximer les solutions d'équations aux dérivées partielles multidimensionnelles. Cette méthode consiste à construire par enrichissement successif une approximation de la solution sous la forme d'une somme finie de N produits de fonctions où chaque fonction est à variable séparée. Ces fonctions ne sont pas connues a priori mais construites à l'aide d'une procédure itérative basée sur la minimisation du résidu. La PGD permet de réduire considérablement le temps de calcul des simulations lorsque le modèle contient un grand nombre de degrés de liberté. Pour plus de détails sur cette méthode, le lecteur pourra se référer à [5].

Dans ce papier, la méthode PGD est envisagée pour des modèles décrits par un grand nombre d'équations différentielles couplées avec un modèle global présentant des échelles de temps différentes dans le cas d'un chargement cyclique. Deux problèmes se posent : le traitement du chargement cyclique et celui des modèles locaux. Dans le cadre de la PGD, pour un chargement cyclique, A. Ammar et al. [2] proposent de reformuler le modèle en introduisant différentes coordonnées temporelles permettant de décrire la solution par une approximation en temps multidimensionnelle. Cette méthode ne parait pas envisageable dans l'application visée ici, compte tenu du nombre d'échelles temporelles. Dans le cadre de la PGD, le couplage entre modèle local et global a déjà été traité sous trois approches différentes [4] :

- la représentation séparée uniquement pour le modèle global. Les modèles locaux sont traités

<footnote n="1">¹ Institut P' - DPMM, ISAE-ENSMMA, Poitiers, {marianne.beringhier,jean-claude.grandidier}@ensma.fr</footnote>

<footnote n="2">² Structure Dynamics Materials Group, Mechanical Department, Lebanese International University, Beyrouth, Liban[mohamad.hammoud]@liu.edu.lb</footnote>
comme dans la MEF et doivent ensuite être séparés ce qui représente une opération côuteuse en terme de temps de calcul ;

- la globalisation des équations locales. Comme le solveur séparé espace-temps est utilisée pour chaque espèce, cette approche peut s'avérer couteuse.

- la description de tous les modèles locaux à l'aide d'une extra-coordonnée. Cette stratégie est plus efficace dans la mesure où une seule équation aux dérivées partielles est considérée au lieu de $m$ si $m$ est le nombre de problèmes locaux. Néanmoins, cette stratégie est utilisée pour un cas où le modèle global est partiellement couplé aux modèles locaux.

Dans ce papier, la deuxième approche est considérée. Comme cette approche peut s'avérer coûteuse, nous étudions ici la possibilité de réduire son temps de calcul en considérant des discrétisations temporelles adaptées aux temps de relaxation et au temps du cycle.

# 2 La méthode PGD pour la viscoélasticité décrite par des variables internes

## 2.1 Le modèle viscoélastique

Afin de tester la faisabilité de la méthode PGD pour ce type de problèmes, nous nous restreignons ici à un modèle viscoélastique unidimensionnel en espace mais décrit par un grand nombre de variables internes $z_j$ :

$$ \frac{\partial \sigma}{\partial x} + f = 0, \qquad (1) $$

$$ \frac{dz_j}{dt} + \frac{1}{\tau_j} (z_j - z_j^\infty) = 0 \quad \forall 1 \le j \le m \qquad (2) $$

où

$$ \sigma = E_v \frac{\partial u}{\partial x} - \sum_{j=1}^{m} z_j, \qquad (3) $$

$$ z_j^\infty = E_{rj}^\infty \frac{\partial u}{\partial x} \quad \forall 1 \le j \le m. \qquad (4) $$

L'équation (1) est l'équation d'équilibre où $\sigma$ représente la contrainte et $f$ le chargement mécanique qui dépend du temps et de l'espace. L'équation (2) traduit les cinétiques de retour à l'équilibre et les temps de relaxation $\tau_j$ associées aux variables internes $z_j$ dont la valeur à l'équilibre est notée $z_j^\infty$. L'équation (4) traduit le couplage entre les variables internes et la variable macroscopique $\frac{\partial u}{\partial x}$ à travers le module relaxé à l'équilibre $E_{rj}^\infty$ généré par le processus $j$ :

$$ E_{rj}^\infty = p_j E_r \quad \forall 1 \le j \le m \qquad (5) $$

où $E_r$ représente le module relaxé, $E_v$ le module vitreux et $p_j$ les poids donnés par la distribution.

Les équations (1) and (2) sont définis sur le domaine : $\Omega = \Omega_x \times \Omega_t$, where $\Omega_x = [0, L_x]$ et $\Omega_t = [0, L_t]$. Les conditions initiales sont supposées nulles pour le déplacement et les variables internes et les conditions aux bords sont données par : $\underline{\underline{\sigma}}.n = \underline{F}$ sur $\partial\Omega_\sigma$ et $\underline{u} = \underline{0}$ sur $\partial\Omega_u$.

## 2.2 Résolution avec la méthode PGD

Pour résoudre ce problème avec la PGD, les modèles sont globalisés ce qui revient à considérer que les variables internes dépendent de l'espace et du temps. Les solutions $u$ et $z$ sont donc cherchées sous la forme :

$$ u(x,t) \approx \sum_{i=1}^{N} A_i(x) B_i(t), \qquad (6) $$

$$ z_j(x,t) \approx \sum_{i=1}^{N} C_{ji}(x) D_{ji}(t) \quad \forall 1 \le j \le m. \qquad (7) $$
A l'enrichissement $n$ de l'algorithme PGD, les approximations suivantes sont supposées connues :

$$u^n(x,t) = \sum_{i=1}^{n} A_i(x)B_i(t), \qquad (8)$$

$$z_j^n(x,t) = \sum_{i=1}^{n} C_{ji}(x)D_{ji}(t) \quad \forall 1 \le j \le m \qquad (9)$$

Et on cherche à calculer les produits de fonctions $A_{n+1}(x)B_{n+1}(t)$ et $C_{j(n+1)}(x)D_{j(n+1)}(t) \ \forall 1 \le j \le m$ noté $R(x)S(t)$ et $V_j(x)W_j(t) \ \forall 1 \le j \le m$ pour alléger les notations.

Pour calculer ces produits de fonctions, nous proposons ici de déterminer alternativement chacun de ses produits de fonctions :

1. calcul de $R(x)S(t)$ en considérant $z_j^n$ ce qui permet de déterminer $u^{n+1}$

2. calcul de $V_j(x)W_j(t)$ en considérant $u^{n+1}$ ce qui permet de déterminer $z_j^{n+1}$

Comme la solution est recherchée sous la forme de produits de fonctions, cela mène à la résolution de $m+1$ problèmes non linéaires à chaque enrichissement. Ces problèmes non linéaires sont résolutions à l'aide d'une méthode de point fixe à directions alternées. Cette procédure itérative est initialisée par le calcul du problème élastique correspondant et est menée jusqu'à convergence. Pour plus de détails concernant la résolution, le lecteur pourra se référer à [7].

## 3 Résultats numériques

Considérons l'exemple d'une barre unidimensionnelle de 5mm de longueur encastrée en $x=0$ et soumise en $x=5$ à un chargement cyclique de 50 cycles triangulaires d'amplitude constante et de période 20s, ce qui mène à un temps total de 1000s. Les paramètres matériaux considérés sont $E_r = 1000MPa$ et $E_v = 1140MPa$. Ces paramètres sont représentatifs d'un polypropylène. La viscoélasticité est décrite par 50 variables internes soit 50 temps de relaxation répartis sur 8 décades. La distribution des poids associés à ces temps de relaxation est donnée Figure 1.

Etudions l'influence de la discrétisation temporelle sur la prédiction du déplacement. Pour cela, les résultats obtenus avec une même discrétisation pour toutes les variables internes et le déplacement sont comparés à ceux obtenus avec des discrétisations différentes pour chaque variable interne. Les discrétisations utilisées sont données Figure 2, issues d'une étude préalable sur le lien entre le pas de temps, le temps du cycle et le temps de relaxation. Il a été montré que lorsque le temps de relaxation est très grand devant le temps du cycle, une dicrétisation grossière peut être utilisée, celle-ci devant néanmoins permettre la description d'un cycle de chargement alors que lorsque le temps de relaxation est petit devant le temps du cycle, une description beaucoup plus fine doit être utilisée.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Distribution des poids en fonction des temps de relaxation</figcaption></figure>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Discrétisations temporelles en fonction des temps de relaxation</figcaption></figure>

Les résultats obtenus avec les discrétisations adaptées sont identiques à ceux avec la même discrétisation et mènent à une réduction du temps de calcul d'un facteur non négligeable de 4.8.

# 4 Conclusions et perspectives

Dans le cadre de la PGD, la globalisation des modèles locaux permet de prédire correctement le comportement viscoélastique d'un polymère sous chargement cyclique. Lorsque le nombre de temps de relaxation à considérer est grand, cette approche mène à un temps de calcul important. Dans ce papier, une technique a été proposée pour limiter ce temps de calcul. Elle consiste à considérer des discrétisations temporelles adaptées à chaque variable interne. Ces discrétisations dépendent du lien entre le temps du cycle et le temps de relaxation. Ces résultats sont prometteurs. L'extension de la PGD à la viscoélasticité 3D sous chargement cyclique pour application à des problématiques liées à l'industrie automobile et aéronautique constitue la suite de notre travail. Elle nécessitera la prise en compte de la température mais aussi de lois viscoélastiques non linéaires.

# Références

[1] A. Ammar, B. Mokdad, F. Chinesta, R. Keunings. *A new family of solvers for some classes of multidimensional partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids*, J Non-Newtonian Fluid Mech 139, Elsevier, 153-176, 2006.

[2] A. Ammar, F. Chinesta, E. Cueto, M. Doblaré. *Proper generalized decomposition of time-multiscale models*, Int J Numer Meth Eng 90, Wiley, 569-596, 2012.

[3] A. Berrehili, Y. Nadot, S. Castagnet, J.C. Grandidier, C. Dumas, *Multiaxial fatigue criterion for polypropylene-Automotive applications*, Int J Fatigue 32(8), Elsevier, 1389-1392, 2010.

[4] F. Chinesta, A. Ammar, E. Cueto. *Proper generalized decomposition of multiscale models*, Int J Numer Meth Eng 83, Wiley, 1114-1132, 2010.

[5] F. Chinesta, P. Ladeveze, E. Cueto. *A short review on model order reduction based on Proper Generalized Decomposition*, Arch Comput Meth Eng 18, Springer, 395-404, 2011.

[6] Ch. Cunat, *A thermodynamic theory of relaxation based on a distribution of non-linear processes*, J Non-Cryst Solids 131-133(1), Elsevier, 196-199, 1991.

[7] M. Hammoud, M. Beringhier, J.C. Grandidier. *A reduced simulation applied to the viscoelastic fatigue of polymers*, C R Mecanique 342, Elsevier, 671-691, 2014.