# Localisation asymptotique du polyèdre d'appui d'un échantillon Laplacien à K dimensions

Jean Geffroy

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Jean Geffroy. Localisation asymptotique du polyèdre d'appui d'un échantillon Laplacien à K dimensions. Annales de l'ISUP, 1961, X (3), pp.213-228. hal-04092443

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# LOCALISATION ASYMPTOTIQUE DU POLYÈDRE D'APPUI D'UN ÉCHANTILLON LAPLACIEN A k DIMENSIONS

Jean GEFFROY

1) Considérons dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^k$ une loi normale ayant pour densité $f(M)$, et soit $M_1, M_2, \dots, M_n, \dots$ une suite infinie de points aléatoires indépendants obéissant à cette loi.

Nous désignerons par $\Omega_n$ l'enveloppe convexe de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$ et par $H_n$ la frontière de $\Omega_n$, c'est-à-dire le polyèdre d'appui de l'échantillon (plus petit polyèdre convexe contenant tous ses points).

Nous nous proposons d'établir les deux théorèmes suivants, qui généralisent au cas d'un nombre quelconque de dimensions certaines propriétés obtenues pour $k = 2$ dans notre Thèse (1):

## THEOREME 1.

Soit $\Sigma_n$, l'ellipsoïde lieu des points où la densité de probabilité est : $f(M) = 1/n$, et $\Delta_n$ l'écart maximum entre $H_n$ et $\Sigma_n$ :

$$ \Delta_n = \sup_{M \in \Sigma_n} \{ d(M, \Sigma_n) \} = d^*(H_n, \Sigma_n) $$

Ceci posé, on a :

$$ \Delta_n \underset{p.s.}{\longrightarrow} 0 \quad \text{quand } n \underset{\omega}{\longrightarrow} \infty. $$

## THEOREME 2.

Soit $\Delta_n$ le rayon maximum des boules ouvertes centrées sur $\Omega_n$ et ne contenant aucun point de l'échantillon :

---

<footnote>(1) "Contribution à la Théorie des valeurs Extrêmes", Pub. de l'Inst. de stat. de l'Univ. de Paris, vol. VII, fasc. 3-4 (1958), pp. 37-121 ; vol. VIII, fasc. 1 (1959), pp. 123-185.</footnote>
$$ \Lambda_n = \sup_{P \in \Omega_n} \{ \inf_{1 \le i \le n} (PM_i) \} $$

On a : $\Lambda_n \underset{p.s.}{\to} 0$ quand $n \to \infty$.

On peut donc dire, d'une façon imagée, que dans $\Omega_n$ les points de l'échantillon se concentrent indéfiniment presque sûrement.

2) Nous employerons certaines expressions introduites dans notre Thèse par raison de commodité :

a) On dit qu'une suite de variables aléatoires $y_n$ est majorée presque sûrement par une suite $a_n$ s'il est presque sûr que, pour toutes les valeurs de $n$ à partir d'un certain rang, on a : $y_n < a_n$. Nous écrirons cette relation :

$$ y_n \underset{p.s.}{\ll} a_n. $$

Associons à chaque $y_n$ une variable $y'_n$ ayant même loi de probabilité, les variables $y'_n$ étant mutuellement indépendantes. Si l'on a : $y'_n \ll a_n$, on a aussi :

$$ y_n \underset{p.s.}{\ll} a_n. $$

Dans ce cas, on dit que $y_n$ est majorée presque complètement par $a_n$, et l'on écrit :

$$ y_n \ll a_n. $$

b) Une suite de variables aléatoires $y_n$ est dite stable presque sûrement s'il existe une suite certaine $a_n$ telle que :

$$ y_n - a_n \underset{p.s.}{\to} 0. $$

Dans ces conditions, pour que la plus grande valeur $y_n$ d'un échantillon $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$ soit stable presque sûrement, il suffit que la fonction de répartition $F(x)$ des variables $X_i$ vérifie la relation (1) :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{F'(x)}{[1 - F(x)] L |L[1 - F(x)]|} = +\infty $$

La suite certaine $a_n$ définie par :

<footnote>(1) Thèse, p. 116, théorème 53.</footnote>
$$F(a_n) = 1 - \frac{1}{n}$$

est alors asymptotique à $y_n$.

3) Il est facile de voir que, pour établir les théorèmes 1 et 2, il suffit d'envisager une loi normale particulière.

a) Observons tout d'abord que, dans l'énoncé du théorème 1, on peut remplacer $\Sigma_n$ par tout autre ellipsoïde $\Sigma_n$ lieu des points M en lesquels : $f(M) = c/n$, c étant une constante positive quelconque. En effet, $\Sigma_n$ et $\Sigma_n^*$ sont homothétiques et concentriques, et la longueur d'un demi-axe déterminé de $\Sigma_n$ est de la forme : $a_n = a \sqrt{Ln}$ (où a est une constante), tandis que celle du demi-axe analogue de $\Sigma_n^*$ est :

$$a_n^* = a \sqrt{Ln - Lc}$$

Donc :

$$a_n^* - a_n = 0 \left( \frac{1}{\sqrt{Ln}} \right)$$

et par suite :

$$d^* (\Sigma_n, \Sigma_n^*) = 0 \left( \frac{1}{\sqrt{Ln}} \right)$$

b) Si $\mathcal{L}$ et $\mathcal{L}'$ sont deux lois normales de $\mathbb{R}^k$, et X une variable aléatoire de loi $\mathcal{L}$, on peut toujours trouver un opérateur linéaire u de $\mathbb{R}^k$ tel que la variable : $X' = u(X)$ obéisse à la loi $\mathcal{L}'$. L'image par u d'un échantillon $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$ de la loi $\mathcal{L}$ est un échantillon $\{X'_1, X'_2, \dots, X'_n\}$ de $\mathcal{L}'$. En vertu de la linéarité de u, l'ensemble : $\Omega'_n = u(\Omega_n)$ est l'enveloppe convexe de $\{X'_1, X'_2, \dots, X'_n\}$, et le polyèdre : $H'_n = u(H_n)$ est la frontière de $\Omega'_n$.

D'autre part, si l'on appelle $\mu$ le module de u, l'ellipsoïde $\Sigma_n^* = u(\Sigma_n)$ est la surface de densité $1/\mu n$ dans la loi $\mathcal{L}'$. Puisque u est une transformation linéaire, on a :

$$d^* (H'_n, \Sigma_n^*) = 0 [d_n^* (H_n, \Sigma_n)]$$

Par suite, si le théorème 1 est vrai pour la loi $\mathcal{L}$, il est encore vrai pour $\mathcal{L}'$.

De même, en posant :
$$ \Lambda'_n = \sup_{p \in \Omega'_n} \left\{ \inf_{1 \le i \le n} (PM'_i) \right\} $$

on a : $\Lambda'_n = 0(\Lambda_n)$, et par conséquent, si le théorème 2 est vrai pour $\mathcal{L}$, il est vrai pour $\mathcal{L}'$.

Nous voyons ainsi que les théorèmes 1 et 2 seront établis en toute généralité si nous les établissons pour une loi normale particulière ; la plus commode est celle pour laquelle :

$$ f(M) = \pi^{-\frac{k}{2}} \exp(-\overline{OM^2}). $$

En ce cas, la fonction de répartition de la variable aléatoire $Z = OM$ est :

$$ F(z) = \pi^{-\frac{k}{2}} \int_{\mathcal{S}} \exp(-z^2) dx^1 dx^2 \dots dx^n $$

où $S$ est la boule de centre $0$ et de rayon $z$.

En introduisant dans $\mathbb{R}^k$ les coordonnées hypersphériques $(\rho, \varphi_1, \dots, \varphi_{k-1})$ définies par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x^1 = \rho \cos \varphi_1 \\ x^2 = \rho \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 \\ \vdots \vdots \vdots \\ x^{k-1} = \rho \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \dots \sin \varphi_{k-2} \cos \varphi_{k-1} \\ x^k = \rho \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \dots \sin \varphi_{k-2} \sin \varphi_{k-1} \end{array} \right. $$

avec :

$$ 0 \le \varphi_i \le \pi \quad \text{pour } i = 1, 2, \dots, (k-2); \quad 0 \le \varphi_{k-1} < 2\pi $$

on obtient :

$$ F(z) = \frac{2}{\Gamma(k/2)} \int_{0}^{z} e^{-\rho^2} \rho^{k-1} d\rho $$

4) Posons : $Z_i = OM_i$ et, après avoir ordonné l'échantillon $\{Z_1, Z_2, \dots, Z_n\}$, appelons $\bar{Z}_n^\alpha$ sa variable de rang $\alpha$ à partir de la droite. En particulier, $\bar{Z}_n^1$ est la plus grande valeur de l'échantillon considéré.
On voit aisément, en appliquant le théorème signalé au n° (2-b)
que $\bar{Z}_n^1$ est stable presque sûrement.

En effet, on peut écrire :

$$
G(z) = 1 - F(z) = \frac{2}{\Gamma(k/2)} \int_{z}^{+\infty} e^{-\rho^2} \rho^{k-1} d\rho \sim \frac{1}{\Gamma(k/2)} e^{-z^2} z^{k-2} \quad (1)
$$

donc :

$$
\frac{f(z)}{G(z)L|L G(z)|} \sim \frac{z}{Lz} \rightarrow +\infty \quad \text{avec } z
$$

ce qui prouve que $\bar{Z}_n^1$ est stable presque sûrement.

Une suite certaine $a_n$ asymptotique à $\bar{Z}_n^1$ est définie par :

$$
G(a_n) = 1/n
$$

d'où l'on déduit :

$$
a_n = \sqrt{\overline{Ln}} + o(1)
$$

On a ainsi, quel que soit $\epsilon$ positif :

$$
\sqrt{\overline{Ln}} - \epsilon \underset{\text{p.s.}}{\ll} \overline{Z}_n^1 \underset{\text{p.s.}}{\ll} \sqrt{\overline{Ln}} + \epsilon \quad (2)
$$

La démonstration des théorèmes 1 et 2 va reposer sur l'étude
de la répartition des points de l'échantillon qui appartiennent à la
couronne sphérique C_n comprise entre les sphères S_n et S_n' de centre
0 et de rayons $\sqrt{Ln} - \epsilon$ et $\sqrt{Ln} + \epsilon$, c'est-à-dire des points M_l
tels que :

$$
\sqrt{\overline{Ln}} - \epsilon \le Z_l \le \sqrt{\overline{Ln}} + \epsilon
$$

Afin d'obtenir une minoration presque sûre du nombre $v_n$ de
ces points, qui est une variable aléatoire, nous allons démontrer
le résultat suivant :

Lemme 1.

Quelles que soient les constantes positives s (entier) et ε, la
suite : α_n = [Ln]s vérifie la condition :

$$
\sqrt{\overline{Ln}} - \epsilon \ll \overline{Z}_n^{a_n}
$$

(Le symbole [x] représente la partie entière du nombre x).
Démonstration.

Soit $F_{n,a}(z)$ la fonction de répartition de $\bar{Z}_n^a$ et $F(z)$ la f.d.r. de $Z$. On voit aisément que :

$$
\begin{align*}
d F_{n,a}(z) &= \frac{n!}{(n-\alpha)! (\alpha-1)!} F^{n-\alpha}(z) [1-F(z)]^{\alpha-1} dF(z) \\
&= - B(\alpha, n-\alpha+1) [1-G(z)]^{n-\alpha} G^{\alpha-1}(z) dG(z)
\end{align*}
$$

Donc :

$$
F_{n,a}(z) = 1 - B(\alpha, n-\alpha+1) \int_{+\infty}^{z} [1-G(z)]^{n-\alpha} G^{\alpha-1}(z) dG(z)
$$

ou, grâce au changement de variable : $\xi = G(z)$ dans l'intégrale :

$$
F_{n,a}(z) = 1 - B(\alpha, n - \alpha + 1) \int_{0}^{G(z)} (1 - \xi)^{n-\alpha} \xi^{\alpha-1} d\xi
$$

On a alors :

$$
\mathrm{Pr} \{ \bar{Z}_n^{\alpha n} > \sqrt{\overline{L}n - \epsilon} \} = p_n = B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1) \int_0^{G(\sqrt{\overline{L}n} - \epsilon)} (1 - \xi)^{n-\alpha_n} \xi^{\alpha_n - 1} d\xi
$$

et :

$$
q_n = 1 - p_n = B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1) \int_{G_n}^{1} (1 - \xi)^{n-\alpha_n} \xi^{\alpha_n - 1} d\xi
$$

avec :

$$
G_n = G(\sqrt{L}n - \epsilon).
$$

Un calcul simple montre que la fonction : $h(\xi) = (1-\xi)^{n-\alpha_n} \xi^{\alpha_n-1}$ passe par un maximum pour : $\xi = \frac{\alpha_n - 1}{n - 1}$ quand $\xi$ croît de 0 à 1.
Or, quand $n \to \infty$ :

$$
L \left( \frac{\alpha_n - 1}{n - 1} \right) = - \ln n + s \LL n + o(1)
$$

tandis que, d'après la formule (1) :

$$
L G_n = - \ln n + 2 \epsilon \sqrt{\overline{L}n} + \frac{k-2}{2} \overline{L}Ln + O(1)
$$
On a donc, pour n suffisamment grand : $G_n > \frac{\alpha_n - 1}{n - 1}$ et par suite, la fonction $h(\xi)$ est décroissante dans l'intervalle d'intégration $(G_n, 1)$. On peut alors écrire :

$$q_n < B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1) (1 - G_n)^{n-\alpha_n} G_n^{\alpha_n - 1} = q'_n$$

Evaluons l'ordre de grandeur de $Lq'_n$. On a :

$$Lq'_n = L B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1) + (n - \alpha_n) L(1 - G_n) + (\alpha_n - 1) L G_n$$

En développant les factorielles par la formule de Stirling dans $B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1)$, on obtient :

$$A_n = L B(\alpha_n, n - \alpha_n + 1) \sim \alpha_n \ln \sim [Ln]^{s+1}$$

D'autre part :

$$A'_n = (n - \alpha_n) L(1 - G_n) \sim -nG_n$$

et :

$$A''_n = (\alpha_n - 1) L G_n \sim -\alpha_n \ln \sim -[Ln]^{s+1}$$

En observant que :

$$L|A'_n| = \ln + L G_n \sim 2 \sqrt{\ln}$$

on voit que :

$$A_n \sim -A''_n = o(A'_n)$$

d'où :

$$Lq'_n \sim A'_n = -nG_n$$

et :

$$L|Lq'_n| \sim 2 \sqrt{\ln}.$$

On déduit de là que, lorsque n est assez grand, $q'_n$ est majoré par $\frac{1}{n^2}$, et enfin que la série $\sum q_n$ est convergente, C. Q. F. D.

En rapprochant la relation (2) du lemme 1, on obtient :
$$ \sqrt{\overline{Ln}} - \varepsilon \ll \overline{Z}_n^a < \overline{Z}_n^1 \ll \sqrt{\overline{Ln}} + \varepsilon \quad (3) $$

si $\alpha_n = [\overline{Ln}]^s$, s étant un entier positif arbitraire.

Or, les inégalités :

$$ \sqrt{\overline{Ln}} - \varepsilon < \overline{Z}_n^a < \overline{Z}_n^1 < \sqrt{\overline{Ln}} + \varepsilon $$

impliquent :

$$ v_n \ge \alpha_n . $$

La relation (3) nous fournit alors la minoration désirée de $v_n$ :

### Lemme 2.

Le nombre $v_n$ des points de l'échantillon qui sont contenus dans $C_n$ est presque sûrement minoré, à partir d'un certain rang $n_o$, par toute fonction de la forme : $[\overline{Ln}]^s$, où s est un entier positif arbitraire.

5) Nous allons maintenant essayer de fractionner $C_n$ en ensemble de diamètre aussi petit que possible, mais ayant toutefois un volume suffisamment grand pour qu'il soit presque sûr que chacun d'eux contienne au moins un point de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$, et cela pour toutes les valeurs de n à l'exception d'un nombre fini d'entre elles.

### Lemme 3.

Partageons la sphère $S_n$ de centre O et de rayon $\sqrt{\overline{Ln}} - \varepsilon$ en $\mu_n$ domaines $\sigma_{n,m}$ ($m = 1, 2, \dots, \mu_n$) ayant la même aire. Soit $\gamma_{n,m}$ la portion de $C_n$ découpée par les demi-droites d'origine O qui s'appuient sur le contour de $\sigma_{n,m}$.

Il est presque sûr que, pour toute valeur de n à partir d'un certain rang, chaque domaine $\gamma_{n,m}$ contient au moins un point de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$ si $\mu_n$ vérifie la condition :

$$ L \mu_n = O(\overline{LLn}). $$

### Démonstration.

Appelons $\alpha_n$ l'évènement consistant en ce que chacun des domaines $\gamma_{n,m}$ ($m = 1, 2, \dots, \mu_n$) contienne au moins un point de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$, et soit : $\mathcal{B}_N = \bigcap_{n>N} \alpha_n$.
Dire qu'il est presque sûr que, pour toute valeur de $n$ à partir d'un certain rang, chaque domaine $\gamma_{n,m}$ contient au moins un point de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$, c'est dire que :

$$ \mathrm{Pr} \{ \mathcal{E}_n \to 1 \quad \text{quand} \quad N \to +\infty \} $$

Soit s un entier positif donné, et $\mathcal{E}_n$ l'hypothèse :

$$ v_n > [Ln]^s, \quad \forall n > N. $$

En vertu du lemme 2, on a :

$$ \lim_{N \to \infty} \mathrm{Pr} \{ \mathcal{E}_n \} = 1 \qquad (4) $$

Cherchons une minoration de la quantité : $\mathrm{Pr} \{ \mathcal{E}_n / \mathcal{E}_n \}$. D'après l'inégalité de Boole, on a :

$$ \mathrm{Pr} \{ \mathcal{E}_n / \mathcal{E}_n \} > 1 - \sum_{n>n} \mathrm{Pr} \{ \bar{\mathcal{E}}_n / \mathcal{E}_n \} \qquad (5) $$

où $\bar{\mathcal{E}}_n$ désigne l'évènement contraire de $\mathcal{E}_n$.

Supposons que le nombre $v_n$ des points de l'échantillon $\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$ appartenant à $C_n$ soit connu et ait une valeur $v$ compatible avec $\mathcal{E}_n$. Puisque les $n$ points $M_1, M_2, \dots, M_n$ jouent le même rôle, on peut admettre que ce sont les $v$ premiers qui appartiennent à $C_n$.

En raison de leur forme, les $\mu_n$ domaines $\gamma_{n,m}$ sont équivalables pour toute loi de probabilité isotrope autour de 0. L'hypothèse $\mathcal{E}_n$ modifie la loi de probabilité de la suite $M_n$, et en général ces points ne sont même plus indépendants. Toutefois, la loi de $M_{i+1}$ liée par $(M_1, \dots, M_i)$ demeure isotrope autour de 0 dans l'hypothèse $\mathcal{E}_n$ et par conséquent l'on peut écrire, sous les conditions indiquées plus haut et pour un domaine $\gamma_{n,m}$ déterminé :

$$ \mathrm{Pr} \{ M_{i+1} \notin \gamma_{n,m} / M_i \notin \gamma_{n,m} ; \dots ; M_i \notin \gamma_{n,m} \} = 1 - \frac{1}{\mu_n} $$

D'où :

$$ \mathrm{Pr} \{ M_i \notin \gamma_{n,m} \quad \text{pour} \quad i = 1, 2, \dots, v \} = \left(1 - \frac{1}{\mu_n}\right)^v $$

et, en appliquant à nouveau l'inégalité de Boole :
$$ \mathrm{Pr} \{ \bar{\alpha}_n / \mathcal{H}_n ; v_n = v \} < \mu_n \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right)^v < \mu_n \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right)^{[Ln]^s} $$

La dernière majoration étant indépendante de $v$, on a :

$$ \mathrm{Pr} \{ \bar{\alpha}_n / \mathcal{H}_n \} < \mu \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right)^{[Ln]^s} $$

et l'on déduit alors de l'inégalité (5) :

$$ \mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n / \mathcal{H}_n \} > 1 - \sum_{n>N} \mu_n \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right)^{[Ln]^s} $$

Or, on peut écrire :

$$ \mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n \} > \mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n \cap \mathcal{H}_n \} = \mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n \} \mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n / \mathcal{H}_n \} $$

Compte tenu de la relation (4), nous voyons que $\mathrm{Pr} \{ \mathcal{H}_n \}$ tendra vers 1 si la série de terme général :

$$ v_n = \mu_n \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right)^{[Ln]^s} $$

est convergente.

Or, on a :

$$ L v_n = L \mu_n + [Ln]^s L \left( 1 - \frac{1}{\mu_n} \right) < L \mu_n - \frac{1}{\mu_n} [Ln]^s $$

Pour que $v_n$ tende vers 0, il faut que : $\frac{1}{\mu_n} [Ln]^s \to +\infty$ avec n, ou ou encore que :

$$ sLLn - L \mu_n \to +\infty. $$

On a donc, pour n assez grand :

$$ L \mu_n < sLLn. $$

et par suite :

$$ L \mu_n = O(LLn). $$

Réciproquement, supposons que cette condition soit vérifiée. Il existe alors une constante s' telle que :
$$L \mu_n < s' \text{LLn} \quad \forall n$$

Dans ce cas :

$$L\nu_n < s' \text{LLn} - \frac{[\text{Ln}]^s}{(\text{Ln})^{s'}}$$

Mais le nombre s qui intervient dans la condition $\mathcal{H}_n$ peut être choisi supérieur à s'. On a alors :

$$s' \text{LLn} - \frac{[\text{Ln}]^s}{(\text{Ln})^{s'}} \sim - (\text{Ln})^{s-s'}$$

et par suite la série $(\nu_n)$ est convergente.

C. Q. F. D.

### Lemme 4.

Il est possible de partager la sphère $S_n$ en $\mu_n$ domaines d'aire égale dont le diamètre maximum tend vers 0 avec $1/n$, le nombre $\mu_n$ vérifiant la condition : $L \mu_n = 0(\text{LLn})$.

### Démonstration.

Si l'on pose : $r_n = \sqrt{\text{Ln}} - \varepsilon$, la sphère $S_n$ admet la représentation paramétrique :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x^1 = r_n \cos \varphi_1 \\ x^2 = r_n \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 \\ \text{................} \\ x^{k-1} = r_n \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \dots \sin \varphi_{k-2} \cos \varphi_{k-1} \\ x^k = r_n \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \dots \sin \varphi_{k-2} \sin \varphi_{k-1} \end{array} \right. $$

avec :

$$0 \le \varphi_i < \pi \quad \text{pour } i = 1, 2, \dots, k-2; \quad 0 \le \varphi_{k-1} < 2\pi.$$

L'aire de la portion de $S_n$ définie par :

$$\vartheta_i < \varphi_i < \psi_i \quad (i = 1, 2, \dots, k-1) \quad \text{est}^{(1)} :$$

$$\omega = r_n^{k-1} \int_{\vartheta_1}^{\psi_1} \sin^{k-2} \varphi \, d\varphi \int_{\vartheta_2}^{\psi_2} \sin^{k-3} \varphi \, d\varphi \dots \int_{\vartheta_{k-2}}^{\psi_{k-2}} \sin \varphi \, d\varphi \int_{\vartheta_{k-1}}^{\psi_{k-1}} d\varphi$$

-----------------

<footnote>(1) Cf E. Borel : Introd. Géom. à quelques Théories Physiques, p. 64.</footnote>
Pour toute valeur de $i$ telle que : $1 \le i \le k-2$, partageons l'intervalle $(0, \pi)$ en $\tau_n$ intervalles par les points :

$$ \varphi_{i,0} = 0 < \varphi_{i,1} < \varphi_{i,2} < \dots < \varphi_{i,\tau_n-1} < \varphi_{i,\tau_n} = \pi $$

de façon que, pour $0 < j < \tau_n$, on ait :

$$ \int_{\varphi_{i,j}}^{\varphi_{i,j+1}} \sin^{k-i-1} \varphi \, d\varphi = \frac{1}{\tau_n} \int_{0}^{\pi} \sin^{k-i-1} \varphi \, d\varphi = \frac{1}{\tau_n} B\left(\frac{k-i}{2}, \frac{1}{2}\right) $$

Partageons l'intervalle $(0, 2\pi)$ en $\tau_n$ intervalles égaux :

$$ (\varphi_{k-1,j}, \varphi_{k-1,j+1}) $$

Les portions $\sigma_{n,m}$ de $S_n$ obtenues pour :

$$ \varphi_{i,j_i} < \varphi_i < \varphi_{i,j_{i+1}} \quad (i = 1, 2, \dots, k-1) $$

ont alors même aire, et sont au nombre de : $\mu_n = \tau_n^{k-1}$. L'aire de $S_n$ étant égale à : $\frac{2\pi^2}{\Gamma(\frac{k}{2})} r_n^{k-1}$, l'aire de chaque domaine $\sigma_{n,m}$ a pour mesure :

$$ \frac{2\pi^{\frac{k}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})} \left(\frac{r_n}{\tau_n}\right)^{k-1} $$

Etudions le diamètre de $\sigma_{n,m}$. Soit $M(x^1, x^2, \dots, x^k)$ le point de $S_n$ de paramètres $(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_{k-1})$. Si l'on donne à chaque angle $\varphi_i$ un accroissement $\Delta\varphi_i$, les variables $x^i$ subissent des accroissements $\Delta x^i$, et l'on voit aisément, en appliquant la formule des accroissements finis, que l'on a :

$$ \begin{align*} |\Delta x^1| &< r_n |\Delta \varphi_1| \\ |\Delta x^2| &< r_n (|\Delta \varphi_1| + |\Delta \varphi_2|) \\ \multicolumn{3}{c}{\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots} \\ |\Delta x^{k-1}| &< r_n (|\Delta \varphi_1| + \dots + |\Delta \varphi_{k-1}|) \\ |\Delta x^k| &< r_n (|\Delta \varphi_1| + \dots + |\Delta \varphi_{k-1}|) \end{align*} $$

La distance de $M$ au point $M'$ de paramètres $(\varphi_i + \Delta \varphi_i)_{1 \le i \le k-1}$ vérifie alors l'inégalité :
$$MM' < r_n \sqrt{k} (|\Delta\varphi_1| + \dots + |\Delta\varphi_{k-1}|)$$

Etudions les longueurs des intervalles $(\varphi_{i,j}, \varphi_{i,j+1})$.

Si $i=k-1$, elles sont toutes égales à $\frac{2\pi}{\tau_n}$.

Si $i \neq k-1$, il résulte de la variation de $(\sin \varphi)^{k-i-1}$ dans $(0, \pi)$ que la longueur maximum $\vartheta_i$ des intervalles $(\varphi_{i,j}, \varphi_{i,j+1})$ ($j=1,2,\dots, \tau_n-1$) est celle du premier :

$$\vartheta_i = \varphi_{i,1}$$

On a :

$$\int_{0}^{\vartheta_i} \sin^{k-i-1} \varphi \, d\varphi = \frac{1}{\tau_n} B \left( \frac{k-i}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

Quand $\tau_n \to \infty$, $\vartheta_i \to 0$, donc nous pouvons supposer que, dans l'intervalle $(0, \vartheta_i)$, on a : $\sin \varphi > \frac{\varphi}{2}$. Dans ce cas :

$$\int_{0}^{\vartheta_i} \left(\frac{\varphi}{2}\right)^{k-i-1} d\varphi < \frac{1}{\tau_n} B \left(\frac{k-i}{2}, \frac{1}{2}\right)$$

d'où l'on déduit aisément :

$$\vartheta_i \lambda < (\tau_n)^{-\frac{1}{k}} \quad (\lambda = \text{constante})$$

Le diamètre maximum $\delta_n$ des domaines $\sigma_{n,m}$ vérifie donc la condition :

$$\delta_n < (k-1) \sqrt{k} \lambda r_n (\tau_n)^{-\frac{1}{k}}$$

Il tendra vers 0 si l'on choisit $\tau_n$ tel que :

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{r_n^k}{\tau_n} \right) = 0$$

c'est-à-dire :

$$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\tau_n}{(\mathrm{Ln})^{k/2}} \right] = \infty \quad (6)$$

Mais, d'autre part, si l'on veut que le nombre : $\mu_n = (\tau_n)^{k-1}$ vérifie la condition : $L\mu_n = 0(\mathrm{LLn})$, il faut et il suffit que l'on ait :
$$L\tau_n = 0(\text{LLn}) \quad (7)$$

Les conditions (6) et (7) sont compatibles ; en effet, elles sont satisfaites si l'on prend :

$$\tau_n = [\text{Ln}]^k$$

et ainsi lemme 4 est établi.

6) Considérons alors un partage de $S_n$ en domaines $\sigma_{n,m}$ comme il a été indiqué ci-dessus, et soit $\gamma_{n,m}$ la portion de $C_n$ associée à $\sigma_{n,m}$.

Quand $n \to \infty$, le diamètre maximum des volumes $\gamma_{n,m}$ ($m = 1, 2, \dots, \mu_n$), a pour limite l'épaisseur $2\epsilon$ de la couronne.

Il existe donc un entier $n_0$ tel que :

$$n > n_0 \implies d(\gamma_{n,m}) < 3\epsilon, \quad \forall m.$$

Nous dirons que l'événement $\mathcal{B}_n$ est réalisé si les points $M_1, M_2, \dots, M_n$ sont tous à l'intérieur de $S_n'$.

Posons :

$$\mathcal{F}_n = \bigcap_{n > N} \mathcal{B}_n$$

La condition (2) entraîne :

$$\lim_{N \to \infty} \text{Pr} \{ \mathcal{F}_N \} = 1$$

Supposons maintenant que, pour une valeur de N supérieur à $n_0$, les deux événements $\mathcal{B}_n$ et $\mathcal{F}_n$ soient réalisés, et appelons n un entier quelconque supérieur à N. Puisque $\mathcal{F}_n$ a lieu, $H_n$ est à l'intérieur de $S_n'$.

Menons par O une droite $w'$w quelconque, et cherchons les plans d'appui de l'échantillon qui lui sont orthogonaux. Pour cela, projetons orthogonalement les points de l'échantillon sur $w'$w, et désignons par T et T' les points d'intersection de cette droite avec $S_n'$. Les points T et T' appartiennent respectivement à deux domaines $\gamma_{n,m}$ et $\gamma_{n,m'}$, dont le diamètre est inférieur à $3\epsilon$, car n est plus grand que $n_0$. Il existe donc deux points $M_i$ et $M_j$ tels que :

$$TM_i < 3\epsilon; \quad T'M_j < 3\epsilon$$
Les projections orthogonales $M'_i$ et $M'_j$ de ces points sur w'w vérifient donc à fortiori :

$$TM'_i < 3\epsilon; \quad T'M'_j < 3\epsilon$$

ce qui entraîne :

$$OM'_i > \sqrt{Ln} - 2\epsilon; \quad OM'_j > \sqrt{Ln} - 2\epsilon.$$

Les deux plans d'appui $\pi$ et $\pi'$ orthogonaux à w'w sont donc extérieurs à la sphère $S_n''$ de centre O et de rayon $\sqrt{Ln} - 2\epsilon$, et par conséquent le polyèdre d'appui $H_n$ est lui aussi extérieur à $S_n''$.

Finalement, $H_n$ est situé entre $S_n'$ et $S_n''$. On a ainsi :

$$d^*(H_n, S_n) < 2\epsilon.$$

Les probabilités pour que $\mathfrak{S}_n$ et $\mathfrak{S}'_n$ aient lieu pour une valeur de N supérieure à $n_0$ étant égale à 1, il est donc presque sûr que, pour toutes les valeurs de n à partir d'un certain rang, on a :

$$d^*(H_n, S_n) < 2\epsilon$$

Par suite :

$$d^*(H_n, S_n) \xrightarrow{p.s.} 0.$$

Un calcul immédiat montre que le rayon de la sphère $\Sigma_n$ correspondant à la densité $\frac{1}{n}$ est de la forme :

$$\sqrt{Ln} + 0 \left( \frac{1}{\sqrt{Ln}} \right)$$

Il en résulte que :

$$d^*(S_n, \Sigma_n) \rightarrow 0$$

et, en définitive, on a bien :

$$d^*(H_n, \Sigma_n) \xrightarrow{p.s.} 0.$$

7) Pour démontrer le 2ème théorème, plaçons-nous dans l'hypothèse où $\mathfrak{S}_n$ est réalisé, et étudions la répartition des points $M_1, M_2, \dots M_n$ pour $n > N$. Les couronnes $C_{N+1}, \dots C_n$ peuvent être
partagées en domaines $\gamma_{n,m}$ de diamètre inférieur à $2\epsilon$ et contenant chacun au moins un point $M_i$. Or, si $N$ est assez grand (ce qu'il est toujours loisible de supposer car, lorsque $\delta_N$ a lieu, tous les événements $\delta_{N+p}$ ont lieu), deux couronnes consécutives $C_n$ et $C_{n+1}$ ($n > N$) se recouvrent partiellement. En effet, cela revient à dire que le rayon de $S_{n+1}$ est inférieur à celui de $S'_n$, soit :

$$ \sqrt{L(n+1)} - \epsilon < \sqrt{Ln} + \epsilon $$

ou :

$$ \sqrt{L(n+1)} - \sqrt{Ln} < 2\epsilon $$

et cette inégalité est bien exacte pour $n$ assez grand, puisque le premier membre tend vers 0 quand $n \to \infty$.

Les domaines $\gamma_{N+p,m}$ ($p = 1, 2, \dots$ ; $n - N$ ; $m = 1, 2, \dots, \lfloor N+p \rfloor$) recouvrent alors la couronne comprise entre $S_{N+1}$ et $S_n$, et par suite tout point $P$ de cette région est à une distance moindre que $2\epsilon$ de l'un des points $M_1, M_2, \dots, M_n$.

D'autre part, quand $n \to \infty$, il est évident que :

$$ \sup_{0P < r_{N+1}} (\inf_{1 \le i \le n} PM_i) \xrightarrow{p.s.} 0 $$

Donc, quand $\delta_N$ est réalisé, il est presque sûr qu'à partir d'une certaine valeur de $n$, on a :

$$ \sup_{0P < r_{n+\epsilon}} (\inf_{1 \le i \le n} PM_i) < \epsilon $$

et, à fortiori :

$$ \Lambda_n = \sup_{P \in \Omega_n} (\inf_{1 \le i \le n} PM_i) < \epsilon $$

Comme $\delta_N$ est presque sûrement réalisé pour $N$ assez grand, on peut écrire :

$$ \Lambda_n \ll \epsilon, \quad \forall \epsilon > 0 $$

et par suite :

$$ \Lambda_n \xrightarrow{p.s.} 0 \qquad \text{C.Q.F.D.} $$