D'après (1) la relation : $X \in \mathfrak{K}_2$ entraîne $X \subset H_2$ et vice versa.
Donc :

(2) $\mathfrak{K}=\mathfrak{K}_1+\mathfrak{K}_2$; $\mathfrak{K}_1=\overline{\mathfrak{K}_1}$; $\mathfrak{K}_2=\overline{\mathfrak{K}_2}$; $\mathfrak{K}_1 \times \mathfrak{K}_2=0$, $X_1 \in \mathfrak{K}_1$; $X_2 \in \mathfrak{K}_2$ \\
c. à d. $\mathfrak{K}$ n'est pas un continu, contrairement à la supposition.

Démonstration de (II). Soit $x_0$ un point de second genre de $E$. Il existe un $\lambda > 0$ et une suite $\{x_j\}$, $j=1, 2, \dots$ telle que :

$$ (3) \quad \lim_{j \to \infty} x_j = x_0; \quad \varrho(x_j, x_0) < \frac{\lambda}{8}; \quad \varrho^*(x_j, x_0) \ge \lambda, \quad i, j = 0, 1, \dots, i \ne j. $$

Soit $A$ l'ensemble des points $x_j$, $j=0, 1, \dots$. On a $A = \bar{A}$, $2^A \subset 2^E$ et $2^A$ a la puissance du continu. Soit $Y_1 \in 2^A$; $Y_2 \in 2^A$; $Y_1 \ne Y_2$. On a l'une au moins des relations : $Y_1 - Y_2 \ne 0$, $Y_2 - Y_1 \ne 0$, on peut supposer que $Y_1 - Y_2 \ne 0$. Il existe un $x_m$ tel que $m > 0$, $x_m \in Y_1 - Y_2$. Soit $\mathfrak{K}$ un continu dans $2^E$ tel que $Y_1 \in \mathfrak{K}$, $Y_2 \in \mathfrak{K}$. Soit $Q$ la composante de $H = \Sigma Y$ qui contient $x_m$. D'après notre lemme

$Q \times Y_2 \ne 0$, soit $x_n \in Q \times Y_2$; on aura $\varrho^*(x_m, x_n) \ge \lambda$, donc $\delta(Q) \ge \lambda$.

Il existe par suite un $z \in Q$ tel que $\varrho(z, x_m) \ge \frac{\lambda}{2}$, donc d'après (3) :

$\varrho(z, x_j) \ge \frac{\lambda}{4}$ pour $j=0, 1, 2, \dots$. c. à d. $\varrho(z, A) \ge \frac{\lambda}{4}$. Comme $z \in Q \subset H$ il existe un $Y_3 \in \mathfrak{K}$ tel que $z \in Y_3$. On aura :

$$ (4) \quad \varrho_1(Y_1, Y_3) \ge \varrho(Y_1, z) \ge \varrho(A, z) \ge \frac{\lambda}{4} $$

donc $\delta_1(\mathfrak{K}) \ge \frac{\lambda}{4}$. Il en résulte : $\varrho_1^*(Y_1, Y_2) \ge \frac{\lambda}{4}$. Deux éléments quel-

conques de $2^A$ ayant dans $(2^E)^*$ une distance $\ge \frac{\lambda}{4}$, on voit que $(2^E)^*$ n'est pas séparable c. q. f. d.

Warszawa 20/IX 1932.

## Sur le type $c$ de l'hyperespace d'un continu.

Par

Stefan Mazurkiewicz. (Warszawa).

Le but de cette Note est de démontrer le théorème suivant :

(I) Le type $c$ de l'hyperespace $2^E$ d'un continu non péanien $E$ est égal au type $c$ d'une étoile de Cantor $G^1$).

J'ai démontré antérieurement <fnref n="1" />) que $c 2^E \le c G$, il suffit donc de démontrer que $c 2^E \ge c G$, ce qui revient <fnref n="2" />) à la démonstration de :

(II) Si $E$ est un continu non péanien, alors $(2^E)^*$ n'est pas séparable.

Désignons par $\varrho$, $\delta$, $\varrho^*$ la distance, le diamètre et la distance relative <fnref n="3" />) dans $E$, par $\varrho_1$, $\delta_1$, $\varrho_1^*$ la distance, le diamètre et la distance relative dans $2^E$.

Lemme. Soit $\mathfrak{K} \subset 2^E$ un continu, $X_1 \in \mathfrak{K}$, $X_2 \in \mathfrak{K}$, $p \in X_1$, $P$ le composant de l'ensemble $H = \Sigma X$, contenant $p$; alors $P \times X_2 \ne 0$.
$X \in \mathfrak{K}$

Supposons le contraire; il existe alors une décomposition :

$$ (1) \quad H=H_1+H_2; \quad H_1=\bar{H}_1; \quad H_2=\bar{H}_2; \quad H_1 \times H_2=0; \quad P \subset H_1; X_2 \subset H_2. $$

Désignons par $\mathfrak{K}_1$ l'ensemble des $X \in \mathfrak{K}$ tels que $X \times H_1 \ne 0$ et posons $\mathfrak{K}_2 = \mathfrak{K} - \mathfrak{K}_1$.

<footnote n="1">¹) Comp. pour la terminologie et les notations: S. Mazurkiewicz. Fund. Math. XVIII, p. 171—178.</footnote>

<footnote n="2">²) Mazurkiewicz, C. R. du Premier Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves p. 68—69.</footnote>

<footnote n="3">³) distance relative dans $E$ = distance dans $E^*$.</footnote>