<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>Figure D.3: Base contravariante</figcaption></figure>

$$ \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) = \vec{0} \qquad (D.2) $$

Le tenseur métrique covariant, $[g_{ij}]_{(i,j)\in[1,3]}$, est tel que:

$$ g_{ij} = \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j \qquad (D.3) $$

Le jacobien de la transformation géométrique, $\sqrt{\vec{g}}$, en est déduit:

$$ \sqrt{\vec{g}} = \sqrt{\det |g_{ij}|} \qquad (D.4) $$

$$ = \vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3) \qquad (D.5) $$

## D.3 Base contravariante

Le vecteur $\vec{a}^i$, de la base contravariante, associé à la direction $\xi^i$, est défini par:

$$ \vec{a}^i = \nabla \xi^i \qquad (D.6) $$

Il a pour caractéristique d'être perpendiculaire en $\vec{r}$ à la surface "$\xi^i$ constant/$\xi^j$ et $\xi^k$ variables" (figure D.3). Il est relié aux éléments de la base covariante par l'équation suivante:

$$ \vec{a}^i = \frac{1}{\sqrt{\vec{g}}} \vec{a}_j \wedge \vec{a}_k \qquad (D.7) $$

Les vecteurs de la base contravariante ont pour propriété remarquable que:
$$ \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} (\sqrt{g} \vec{a}^i) = \vec{0} \qquad (D.8) $$

Le tenseur métrique contravariant, $[g^{il}]_{(i,l)\in[1;3]}$, est tel que:

$$ g^{il} = \vec{a}^i \cdot \vec{a}^l \qquad (D.9) $$

$$ = \frac{1}{g} [g_{jm}g_{kn} - g_{jn}g_{km}] \qquad (D.10) $$

Le jacobien de la transformation géométrique, $\sqrt{g}$, en est déduit:

$$ \sqrt{g} = \frac{1}{\sqrt{\det |g^{il}|}} \qquad (D.11) $$

$$ = \frac{1}{\vec{a}^1 \cdot (\vec{a}^2 \wedge \vec{a}^3)} \qquad (D.12) $$

## D.4 Propriétés

Les vecteurs des bases covariante et contravariante sont tels que:

$$ \vec{a}^i \cdot \vec{a}_j = 0 \quad \text{si } i \neq j \qquad (D.13) $$

$$ = 1 \quad \text{si } i = j \qquad (D.14) $$

Il en résulte qu'un vecteur quelconque $\vec{A}$ s'exprime:

* sur la base covariante:

$$ \vec{A} = \sum_{i=1}^{3} (\vec{A} \cdot \vec{a}^i) \vec{a}_i \qquad (D.15) $$

* sur la base contravariante:

$$ \vec{A} = \sum_{i=1}^{3} (\vec{A} \cdot \vec{a}_i) \vec{a}^i \qquad (D.16) $$

## D.5 Eléments différentiels

### D.5.1 Elément différentiel linéaire

L'élément de longueur $ds^i$ s'exprime (figure D.4):

$$ ds^i = \sqrt{g_{ii}} d\xi^i \qquad (D.17) $$

La dérivée d'un scalaire $A$ le long d'une ligne de coordonnée, est alors définie par:
<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>Figure D.4: Élément différentiel linéaire</figcaption></figure>

$$ \frac{\partial A}{\partial s^i} = \frac{1}{\sqrt{g_{ii}}} \frac{\partial A}{\partial \xi^i} \qquad (D.18) $$

$$ = \frac{1}{\| \vec{a}_i \|} \frac{\partial A}{\partial \xi^i} \qquad (D.19) $$

### D.5.2 Élément différentiel surfacique

L'élément de surface $dS^i$ s'exprime (figure D.5):

$$ dS^i = \sqrt{g_{jj}g_{kk} - g_{jk}^2} d\xi^j d\xi^k \qquad (D.20) $$

$$ = \sqrt{g} \cdot \sqrt{g^{ii}} d\xi^j d\xi^k \qquad (D.21) $$

$$ = \sqrt{g} \cdot \| \vec{a}^i \| d\xi^j d\xi^k \qquad (D.22) $$

La dérivée d'un scalaire A normale à une surface de coordonnée, est alors définie par:

$$ \frac{\partial A}{\partial n^i} = \frac{1}{\sqrt{g^{ii}}} \sum_{j=1}^{3} g^{ij} \frac{\partial A}{\partial \xi^j} \qquad (D.23) $$

$$ = \frac{1}{\| \vec{a}^i \|} \sum_{j=1}^{3} (\vec{a}^i \cdot \vec{a}^j) \frac{\partial A}{\partial \xi^j} \qquad (D.24) $$
<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>Figure D.5: Elément différentiel surfacique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>Figure D.6: Elément différentiel volumique</figcaption></figure>
### D.5.3 Élément différentiel volumique

L'élément de volume $dV$ s'exprime (figure D.6):

$$dV = \sqrt{g} d\xi^1 d\xi^2 d\xi^3 \qquad (D.25)$$

## D.6 Opérateurs différentiels

Les opérateurs différentiels classiques, divergence, rotationnel, gradient et laplacien, admettent quatre expressions différentes, selon que la base covariante ou contravariante est utilisée, et suivant qu'une forme dite conservative, par analogie aux équations de conservation, est mise ou non en oeuvre. Ils sont explicités par la suite dans chaque cas.

### D.6.1 Divergence

* Forme conservative, base covariante:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [ (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \cdot \vec{A} ] \qquad (D.26)$$

* Forme conservative, base contravariante:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [ \sqrt{g} \vec{a}^i \cdot \vec{A} ] \qquad (D.27)$$

* Forme non conservative, base covariante:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \cdot \frac{\partial \vec{A}}{\partial \xi^i} \qquad (D.28)$$

* Forme non conservative, base contravariante:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \sum_{i=1}^{3} \vec{a}^i \cdot \frac{\partial \vec{A}}{\partial \xi^i} \qquad (D.29)$$

### D.6.2 Rotationnel

* Forme conservative, base covariante:

$$\vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [ (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \wedge \vec{A} ] \qquad (D.30)$$
* Forme conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [\sqrt{g} \vec{a}^i \wedge \vec{A}] \quad (D.31) $$

* Forme non conservative, base covariante:

$$ \vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \wedge \frac{\partial \vec{A}}{\partial \xi^i} \quad (D.32) $$

* Forme non conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla} \wedge \vec{A} = \sum_{i=1}^{3} \vec{a}^i \wedge \frac{\partial \vec{A}}{\partial \xi^i} \quad (D.33) $$

### D.6.3 Gradient

* Forme conservative, base covariante:

$$ \vec{\nabla} A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [(\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) A] \quad (D.34) $$

* Forme conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla} A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} [\sqrt{g} \vec{a}^i A] \quad (D.35) $$

* Forme non conservative, base covariante:

$$ \vec{\nabla} A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \frac{\partial A}{\partial \xi^i} \quad (D.36) $$

* Forme non conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla} A = \sum_{i=1}^{3} \vec{a}^i \frac{\partial A}{\partial \xi^i} \quad (D.37) $$

### D.6.4 Laplacien

* Forme conservative, base covariante:

$$ \vec{\nabla}^2 A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} \left\{ \frac{1}{\sqrt{g}} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \cdot \frac{\partial}{\partial \xi^l} [(\vec{a}_m \wedge \vec{a}_n) A] \right\} \quad (D.38) $$
* Forme conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla}^2 A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \frac{\partial}{\partial \xi^i} \left\{ \sqrt{g} g^{il} \frac{\partial A}{\partial \xi^l} \right\} \quad (D.39) $$

* Forme non conservative, base covariante:

$$ \vec{\nabla}^2 A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} (\vec{a}_j \wedge \vec{a}_k) \cdot \frac{\partial}{\partial \xi^i} \left\{ \frac{1}{\sqrt{g}} (\vec{a}_m \wedge \vec{a}_n) \frac{\partial A}{\partial \xi^l} \right\} \quad (D.40) $$

* Forme non conservative, base contravariante:

$$ \vec{\nabla}^2 A = \sum_{i=1}^{3} \sum_{l=1}^{3} \vec{a}^i \cdot \frac{\partial}{\partial \xi^i} \left\{ \vec{a}^i \frac{\partial A}{\partial \xi^l} \right\} \quad (D.41) $$

## D.7 Dérivées temporelles

Il est nécessaire de prendre en compte l'influence du temps lorsque le système de coordonnées curvilignes est mobile et déformable par rapport au repère $(O, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$. Ceci est réalisé de la manière suivante.

La dérivée temporelle d'un scalaire $A(\vec{r}, t)$ est décomposée en:

$$ \left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} = \left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{r}} \times \left. \frac{\partial t}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} + \left. \frac{\partial A}{\partial \vec{r}} \right|_{t} \times \left. \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} \quad (D.42) $$

L'échelle de temps étant la même dans les deux systèmes de coordonnées,

$$ \left. \frac{\partial t}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} = 1 \quad (D.43) $$

D'autre part, le terme $\left. \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}}$ correspond à la vitesse de déplacement du point considéré dans le repère $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$. Nous posons à ce titre:

$$ \bar{W} = \left. \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} \quad (D.44) $$

Il en résulte que:

$$ \left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{r}} = \left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}} - \vec{\nabla} A \cdot \vec{W} \quad (D.45) $$

Cette expression relie la dérivée temporelle en un point mobile dans le système cartésien $\left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{r}}$, à la dérivée temporelle en un point fixe dans le système curviligne $\left. \frac{\partial A}{\partial t} \right|_{\vec{\xi}}$.

En particulier, si $A = \xi^i$, sachant que $\xi^i$ est invariant en temps dans le système curviligne et que $\vec{\nabla} \xi^i = \vec{a}^i$, nous en déduisons que:

$$ \xi_i^i = -\vec{W} \cdot \vec{a}^i \quad (D.46) $$
<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>Figure D.7: Calcul des métriques en un noeud</figcaption></figure>

## D.8 Calcul numérique des métriques

La formulation volumes finis utilisée requiert la connaissance du jacobien de la transformation géométrique, $\sqrt{g}$, ainsi que des vecteurs de la base contravariante, $\tilde{a}^i$ (annexe C.3). Ces grandeurs sont évaluées à partir de la base covariante, $\tilde{a}_i$, sachant que:

$$ \tilde{a}_i = \frac{\partial \tilde{\tau}}{\partial \xi^i} \qquad (D.47) $$

$$ \sqrt{g} = \tilde{a}_1 \cdot (\tilde{a}_2 \wedge \tilde{a}_3) \qquad (D.48) $$

$$ \tilde{a}^i = \frac{1}{\sqrt{g}} \tilde{a}_j \wedge \tilde{a}_k \qquad (D.49) $$

Le calcul des $\tilde{a}_i$ peut être réalisé de multiples façons, à des précisions variables, analytiquement si l'expression de $\tilde{\tau}$ est connue en fonction des $\xi^i$, ou numériquement dans le cas contraire. Un schéma aux différences finies centrées du second ordre en espace est utilisé dans le cadre de cette étude. Il conduit aux expressions discrètes suivantes.

### D.8.1 Calcul des métriques en un noeud

Les trois directions sont équivalentes (figure D.7). Nous posons:

$$ \tilde{a}_i|_{\xi^1=\xi^2=\xi^3} = \frac{\tilde{\tau}_{\xi^1+1} - \tilde{\tau}_{\xi^1-1}}{2 \Delta \xi^i} \qquad (D.50) $$

$$ = \frac{1}{2} [\tilde{\tau}_{\xi^1+1} - \tilde{\tau}_{\xi^1-1}] \qquad (D.51) $$
<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>Figure D.8: Calcul des métriques à une interface</figcaption></figure>

$$ \text{si } \Delta\xi^l = 1. $$

## D.8.2 Calcul des métriques à une interface

Soit $\xi^i$, la coordonnée constante sur la surface séparant deux cellules d'intégration (figure D.8). La direction $\xi^i$ diffère des deux autres directions $\xi^j$ et $\xi^k$. Nous posons:

* Si $l=i$:

$$ \bar{a}_l|_{\xi^i = \frac{1}{2}, \xi^j, \xi^k} = \frac{\bar{\tau}_{\xi^i} - \bar{\tau}_{\xi^i-1}}{\Delta\xi^l} \quad (D.52) $$

$$ = [\bar{\tau}_{\xi^i} - \bar{\tau}_{\xi^i-1}] \quad (D.53) $$

* Si $l \neq i$:

$$ \bar{a}_l|_{\xi^i = \frac{1}{2}, \xi^j, \xi^k} = \frac{\bar{\tau}_{\xi^i} - \bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l+1} - \bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l-1}}{2 \Delta \xi^l} \quad (D.54) $$

$$ = \frac{\frac{1}{2}(\bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l+1} + \bar{\tau}_{\xi^i, \xi^l+1}) - \frac{1}{2}(\bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l-1} + \bar{\tau}_{\xi^i, \xi^l-1})}{2 \Delta \xi^l} \quad (D.55) $$

$$ = \frac{1}{4} \left[ (\bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l+1} + \bar{\tau}_{\xi^i, \xi^l+1}) - (\bar{\tau}_{\xi^i-1, \xi^l-1} + \bar{\tau}_{\xi^i, \xi^l-1}) \right] \quad (D.56) $$
# Annexe E

## Cas tests référencés

### E.1 Ecoulement en tube à choc mono-dimensionnel

Cette configuration met en oeuvre un tube rectiligne de section constante. L'écoulement simulé est instationnaire, transsonique, et inclut un choc et une surface de contact plans, ainsi qu'une onde de détente, qui se propagent. Le fluide est supposé parfait.

#### E.1.1 Description de la géométrie

Le tube s'étend de $X=0.0$ à $X=4.5$. Le diaphragme séparant les chambres haute et basse pression est initialement à $X_D=1.95$.

#### E.1.2 Description des conditions initiales

Le fluide est supposé parfait, tel que:

$$ \gamma = 1.4 \qquad (E.1) $$

$$ \tau = 1.0 \qquad (E.2) $$

Les conditions dans la chambre haute pression ($X<X_D$) sont:

$$ p = 2.0 \qquad (E.3) $$

$$ \rho = 2.0 \qquad (E.4) $$

$$ \| \vec{V} \| = 0.0 \qquad (E.5) $$

Les conditions dans la chambre basse pression ($X > X_D$) sont:

$$ p = 0.1 \qquad (E.6) $$

$$ \rho = 0.1 \qquad (E.7) $$

$$ \| \vec{V} \| = 0.0 \qquad (E.8) $$
### E.1.3 Solution analytique

La solution analytique de ce problème classique est, entre autres, détaillée dans [27, pp. 204-211]. Elle permet d'établir que dans ce cas:

<table><tr><td>le rapport de pression à travers le choc est de</td><td>:</td><td>3.728736</td></tr><tr><td>la vitesse du haut de l'onde de détente est de</td><td>:</td><td>-1.183216</td></tr><tr><td>la vitesse du pied de l'onde de détente est de</td><td>:</td><td>-0.331310</td></tr><tr><td>la vitesse de la surface de contact est de</td><td>:</td><td>1.262103</td></tr><tr><td>la vitesse du choc est de</td><td>:</td><td>2.162055</td></tr></table>

## E.2 Interactions d'ondes mono-dimensionnelles

Cette configuration met en oeuvre un tube rectiligne de section constante. L'écoulement simulé est instationnaire, subsonique, et inclut des discontinuités qui se propagent et interagissent entre elles. Le fluide est supposé parfait.

### E.2.1 Description de la géométrie

Le tube s'étend de $X = -1.0$ à $X = 1.0$. Les diaphragmes séparant les chambres haute et basse pression sont initialement à $X_D^L = -0.495$ et $X_D^R = 0.495$.

### E.2.2 Description des conditions initiales

Le fluide est supposé parfait, tel que:

$$ \gamma = 1.4 \qquad (E.9) $$

$$ \tau = 1.0 \qquad (E.10) $$

Les conditions dans les chambres haute pression ($|X| > |X_D|$) sont:

$$ p = 4.0 \qquad (E.11) $$

$$ \rho = 4.0 \qquad (E.12) $$

$$ \| \vec{V} \| = 0.0 \qquad (E.13) $$

Les conditions dans la chambre basse pression ($|X| < |X_D|$) sont:

$$ p = 1.0 \qquad (E.14) $$

$$ \rho = 1.0 \qquad (E.15) $$

$$ \| \vec{V} \| = 0.0 \qquad (E.16) $$
<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>Figure E.1: Interactions d'ondes 1D. Faisceau d'ondes</figcaption></figure>

### E.2.3 Solution analytique

Ce problème admet une solution analytique qui peut être établie, par exemple, à partir des explications développées dans [60, pp. 1018-1028]. Figure E.1 sont tracées les positions des différents fronts d'onde en fonction du temps. Excepté pour l'onde de détente, les propriétés du fluide sont constantes entre deux discontinuités, et elles sont reportées table E.1. Les vitesses des ondes sont regroupées quant à elles table E.2, et la table E.3 contient la date des trois premières interactions, ainsi que leur abscisse.

<table><caption>Table E.1: Interactions d'ondes 1D. Solution analytique</caption><thead><tr><th>Région</th><th>||<i>V</i>||</th><th><i>p</i></th><th><i>ρ</i></th><th><i>a</i></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0.000000</td><td>1.000000</td><td>1.000000</td><td>1.183216</td></tr><tr><td>2</td><td>0.585556</td><td>1.928463</td><td>1.585525</td><td>1.304918</td></tr><tr><td>3</td><td>0.585556</td><td>1.928463</td><td>2.375414</td><td>1.066105</td></tr><tr><td>4</td><td>0.000000</td><td>4.000000</td><td>4.000000</td><td>1.183216</td></tr><tr><td>5</td><td>0.000000</td><td>3.509294</td><td>2.416571</td><td>1.425851</td></tr><tr><td>6</td><td>0.058589</td><td>3.716211</td><td>2.517497</td><td>1.437572</td></tr><tr><td>7</td><td>0.058589</td><td>3.716211</td><td>3.764388</td><td>1.175620</td></tr><tr><td>8</td><td>0.000000</td><td>3.933496</td><td>2.621767</td><td>1.449293</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Table E.2: Interactions d'ondes 1D. Vitesse absolue des ondes</caption><thead><tr><td>Onde</td><td>Vitesse</td></tr></thead><tbody><tr><td>12</td><td>1.585609</td></tr><tr><td>23</td><td>0.585556</td></tr><tr><td>25</td><td>-1.117165</td></tr><tr><td>37</td><td>-0.842627</td></tr><tr><td>56</td><td>1.461437</td></tr><tr><td>67</td><td>0.058589</td></tr><tr><td>68</td><td>-1.414566</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Table E.3: Interactions d'ondes 1D. Date et position des interactions</caption><thead><tr><td>Ondes</td><td>Date</td><td>X</td></tr></thead><tbody><tr><td>12 12</td><td>0.312183</td><td>0.000000</td></tr><tr><td>25 23</td><td>0.495536</td><td>0.204836</td></tr><tr><td>56 56</td><td>0.635697</td><td>0.000000</td></tr></tbody></table>

## E.3 Interactions d'ondes bi-dimensionnelles

Cette configuration met en oeuvre un écoulement infini plan, bi-dimensionnel. Il est instationnaire, subsonique, et comporte des discontinuités cylindriques concên-triques, qui se propagent et interagissent entre elles. Le fluide est supposé parfait.

### E.3.1 Description de la géométrie

Le diaphragme cylindrique séparant les chambres haute et basse pression a initialement pour rayon $R_D=0.495$.

### E.3.2 Description des conditions initiales

Le fluide est supposé parfait, tel que:

$$ \gamma = 1.4 \qquad (E.17) $$

$$ r = 1.0 \qquad (E.18) $$

Les conditions dans la chambre haute pression ($R > R_D$) sont:

$$ p = 4.0 \qquad (E.19) $$

$$ \rho = 4.0 \qquad (E.20) $$

$$ \| \vec{V} \| \approx 0.0 \qquad (E.21) $$
<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>Figure E.2: Tuyère supersonique. Description des parois</figcaption></figure>

Les conditions dans la chambre basse pression ($R < R_D$) sont:

$$p = 1.0 \qquad (E.22)$$

$$\rho = 1.0 \qquad (E.23)$$

$$\| \vec{V} \| = 0.0 \qquad (E.24)$$

## E.4 Tuyère supersonique

Cette configuration met en oeuvre une tuyère bi-dimensionnelle, non symétrique. L'écoulement simulé est stationnaire, subsonique en entrée, supersonique en sortie. Le fluide est supposé parfait.

### E.4.1 Description de la géométrie

Les parois supérieure et inférieure (figure E.2) sont décrites de façon discrète par deux ensembles de points (table E.4).

### E.4.2 Description des conditions aux limites

Le fluide est supposé parfait, tel que:

$$\gamma = 1.4 \qquad (E.25)$$
<table><caption>Table E.4: Tuyère supersonique. Description des parois</caption><thead><tr><th colspan="2">Paroi inférieure</th><th colspan="2">Paroi supérieure</th><th colspan="2">Paroi supérieure (suite)</th></tr><tr><th>X (10<sup>-1</sup>m)</th><th>Y (10<sup>-2</sup>m)</th><th>X (10<sup>-1</sup>m)</th><th>Y (10<sup>-2</sup>m)</th><th>X (10<sup>-1</sup>m)</th><th>Y (10<sup>-2</sup>m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>-4.826</td><td>-6.553</td><td>-4.826</td><td>6.553</td><td>-2.478</td><td>2.337</td></tr><tr><td>-4.794</td><td>-6.388</td><td>-4.752</td><td>6.157</td><td>-2.380</td><td>2.530</td></tr><tr><td>-4.763</td><td>-6.233</td><td>-4.656</td><td>5.634</td><td>-2.282</td><td>2.715</td></tr><tr><td>-4.731</td><td>-6.091</td><td>-4.558</td><td>5.123</td><td>-2.184</td><td>2.898</td></tr><tr><td>-4.699</td><td>-5.961</td><td>-4.460</td><td>4.636</td><td>-2.088</td><td>3.071</td></tr><tr><td>-4.667</td><td>-5.839</td><td>-4.364</td><td>4.173</td><td>-1.991</td><td>3.238</td></tr><tr><td>-4.636</td><td>-5.728</td><td>-4.266</td><td>3.721</td><td>-1.892</td><td>3.396</td></tr><tr><td>-4.604</td><td>-5.624</td><td>-4.168</td><td>3.287</td><td>-1.795</td><td>3.546</td></tr><tr><td>-4.572</td><td>-5.532</td><td>-4.070</td><td>2.891</td><td>-1.697</td><td>3.686</td></tr><tr><td>-4.540</td><td>-5.448</td><td>-3.974</td><td>2.537</td><td>-1.599</td><td>3.815</td></tr><tr><td>-4.508</td><td>-5.375</td><td>-3.876</td><td>2.230</td><td>-1.501</td><td>3.929</td></tr><tr><td>-4.477</td><td>-5.309</td><td>-3.778</td><td>1.981</td><td>-1.403</td><td>4.039</td></tr><tr><td>-4.445</td><td>-5.250</td><td>-3.680</td><td>1.781</td><td>-1.307</td><td>4.135</td></tr><tr><td>-4.413</td><td>-5.202</td><td>-3.584</td><td>1.618</td><td>-1.209</td><td>4.224</td></tr><tr><td>-4.381</td><td>-5.161</td><td>-3.486</td><td>1.488</td><td>-1.111</td><td>4.305</td></tr><tr><td>-4.350</td><td>-5.128</td><td>-3.388</td><td>1.387</td><td>-1.013</td><td>4.381</td></tr><tr><td>-4.318</td><td>-5.105</td><td>-3.291</td><td>1.313</td><td>-0.916</td><td>4.445</td></tr><tr><td>-4.286</td><td>-5.090</td><td>-3.194</td><td>1.278</td><td>-0.818</td><td>4.498</td></tr><tr><td>-4.255</td><td>-5.080</td><td>-3.096</td><td>1.265</td><td>-0.720</td><td>4.552</td></tr><tr><td>-3.733</td><td>-5.080</td><td>-3.031</td><td>1.306</td><td>-0.624</td><td>4.595</td></tr><tr><td>1.651</td><td>-5.080</td><td>-2.965</td><td>1.379</td><td>-0.526</td><td>4.628</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.901</td><td>1.491</td><td>-0.428</td><td>4.658</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.836</td><td>-1.615</td><td>-0.330</td><td>4.684</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.771</td><td>1.748</td><td>-0.232</td><td>4.707</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.705</td><td>1.880</td><td>-0.135</td><td>4.727</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.640</td><td>2.007</td><td>0.635</td><td>4.879</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2.576</td><td>2.141</td><td>1.651</td><td>5.080</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>Figure E.3: Tuyère transsonique. Description des parois</figcaption></figure>

$$ \tau = 287.0 \text{ J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1} \qquad (\text{E.26}) $$

L'entrée est subsonique, avec:

$$ P_t = 99177.0 \text{ Pa} \qquad (\text{E.27}) $$

$$ T_t = 298.0 \text{ K} \qquad (\text{E.28}) $$

$$ V_y = 0.0 \qquad (\text{E.29}) $$

La sortie étant supersonique, aucune condition aux limites n'est à imposer.

## E.5 Tuyère transsonique

Cette configuration met en oeuvre une tuyère tri-dimensionnelle, présentant deux plans de symétrie (figure E.3). L'écoulement simulé est stationnaire, ou instationnaire, subsonique en entrée et en sortie, mais transsonique dans la veine. Le fluide peut être parfait, ou visqueux.

### E.5.1 Description de la géométrie

L'entrée du canal est rectangulaire, mesurant 0.8 $10^{-1} \text{ m}$ de haut, et 0.4 $10^{-1} \text{ m}$ de large. Dans le reste de la veine, la largeur est constante, et la hauteur est donnée par la formule suivante:
$$H(x) = 0.8 + \frac{\epsilon^2}{1.0 + 3.0 \epsilon^2} [f(x) - 3.0] \quad (E.30)$$

avec:

$$f(x) = \begin{cases} 3 & -\frac{3}{6} \le x \le -\frac{1}{6} \\ \frac{27}{13}[3(x-0.5)+2]^4 - \frac{48}{13}[3(x-0.5)+2]^3 + 3 & -\frac{1}{6} \le x \le \frac{1}{6} \\ \frac{18}{13}[3(x-0.5)]^2 & \frac{1}{6} \le x \le \frac{5}{6} \\ \frac{27}{13}[3(x-0.5)-2]^4 + \frac{48}{13}[3(x-0.5)-2]^3 + 3 & \frac{5}{6} \le x \le \frac{7}{6} \\ 3 & \frac{7}{6} \le x \le \frac{9}{6} \end{cases} \quad (E.31)$$

où:

* $\epsilon$ est le paramètre fixant la constriction de veine. Dans ce cas, $\epsilon = 0.181568259$ conduit à une réduction de section de 11.25%.

* $x$ est exprimée en $10^{-1}m$. Cette formule positionne le col sonique à l'abscisse $x = 0.5 \ 10^{-1}m$.

* $H(x)$ est la hauteur totale du canal, exprimée en $10^{-1}m$.

## E.5.2 Description des conditions aux limites

Le fluide est tel que:

$$\gamma = 1.4 \quad (E.32)$$

$$r = 1.0 \quad (E.33)$$

$$R_c = 1.10^6 \quad (E.34)$$

L'entrée est subsonique, avec:

$$P_t = 0.9341 \quad (E.35)$$

$$T_t = 0.7710 \quad (E.36)$$

$$V_y = 0.0 \quad (E.37)$$

La sortie est subsonique, avec:

* Pour un fluide parfait:

$$p = 0.6520 \quad (E.38)$$

* Pour un fluide visqueux:

$$p = 0.6350 \quad (E.39)$$
<table><caption>Table E.5: Tuyère transsonique. Position des sondes de pression statique</caption><thead><tr><th>Sonde</th><th>x - x<sub>col</sub> (10<sup>-3</sup>m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>24.0</td></tr><tr><td>2</td><td>29.0</td></tr><tr><td>3</td><td>34.0</td></tr><tr><td>4</td><td>39.0</td></tr><tr><td>5</td><td>44.0</td></tr><tr><td>6</td><td>49.0</td></tr><tr><td>7</td><td>54.0</td></tr><tr><td>8</td><td>164.0</td></tr></tbody></table>

### E.5.3 Configuration instationnaire

La pression statique en sortie fluctue à une fréquence de 80 Hz, telle que:

$$p(t) = 0.70664 + 0.01745 \cos (0.13476 t) \quad (E.40)$$

Le pas en temps imposé constant, correspondant à un CFL maximum de 0.6, vaut $\Delta t = 2.5 \times 10^{-3}$. 18 650 itérations sont nécessaires pour décrire un cycle, et le régime périodique est atteint dès la seconde période.

La position axiale des sondes $P_1$ à $P_8$, mesurée à partir du col, qui dans la formule E.31 est à $x=50.0 \times 10^{-3}m$, est portée table E.5.
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AUTORISATION DE SOUTENANCE

Vu les dispositions de l'arrêté du 5 Juillet 1984, modifié par l'arrêté du 21 Mars 1988 et l'arrêté du 23 Novembre 1988,

Vu la demande du Directeur de Thèse

Mr P. FERRAND Docteur Mécanique des Fluides et Acoustique - ECOLE CENTRALE DE LYON,

et les rapports de

Mr M.H. ATASSI Professeur - FITZPATRICK HALL OF ENGINEERING AEROSPACE - NOTRE DAME - IN 46556 (USA),

Mr J. PIQUET Professeur - ECOLE CENTRALE DE NANTES - 44000 NANTES,

Monsieur AUBERT Stephane

est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR

Spécialité : THERMIQUE ET ENERGETIQUE

Fait à Ecully, le 6 janvier 1994

P/Le Directeur de l'E.C.L.
Le Directeur
de l'Administration de la
Recherche

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