# TD Comportements dissipatifs

M.L.M. François

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M.L.M. François. TD Comportements dissipatifs. Master. TD Comportements dissipatifs, Nantes, France. 2025, pp.12. hal-05457095

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Submitted on 13 Jan 2026

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# T.D. de comportements dissipatifs

M2 MFS, Module XMS3PE713, Nantes Université, M. L. M. François

Année 2024/2025

## 1 Tenseur acoustique de l'élasticité isotrope

En élasticité, celui-ci s'écrit $\mathbf{n} \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{n}$.

a. Calculer ce tenseur en indiciel pour un matériau isotrope de constantes de Kelvin ($K, \mu$).

b. Exprimer le résultat dans une base $(\mathbf{n}, \bullet, \bullet)$.

c. Peut-on avoir localisation en élasticité linéaire isotrope ?

## 2 Localisation en traction : bandes de Piobert-Luders

On considère un fer $\alpha$, un acier doux (quasiment du fer pur) élasto-plastique. L'expérience montre l'apparition de bandes de localisation (bandes de Piobert-Luders), qui viennent successivement balayer toute l'éprouvette, et qui forment un angle d'environ 36 degrés entre la direction de traction et la normale à la bande (voir la figure 1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – traction sur un fer $\alpha$ (Hall). La direction de traction est horizontale.</figcaption></figure>

On considérera un modèle de plasticité est générique de module tangent de la forme (commune à tous les modèles) $\mathbf{H} = \mathbf{C} - \frac{6\mu^2}{3\mu+h} \mathbf{N} \otimes \mathbf{N}$. La traction est dans la direction $\mathbf{e}_1$, la bande est de direction $\mathbf{m}$ et de normale au plan $\mathbf{n}$ et l'angle $\theta = \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{n} \rangle$. On fera les calculs dans le repère $(\mathbf{n}, \mathbf{m})$ de la bande. Le matériau possède un module d'Young $E$ et un coefficient de Poisson $\nu = 0, 2$. On rappelle que $K = E/3(1 - 2\nu)$ et $\mu = E/2(1 + \nu)$.

a. Calculer la condition de localisation et trouver l'angle pour lequel le critère est atteint en premier : pour cela on cherchera le minimum en $\theta$ du déterminant. On pourra poser $L = (3K + 4\mu)/3$ et $M = 9\mu^2/(3\mu + h)$. Calculer la valeur de $\theta$ et comparer avec l'expérience.

b. Quelle est l'allure de la courbe contrainte-déformation lors de la propagation des bandes de Piobert-Luders ?
# 3 Thermique : mise en forme par forgeage

On considère un acier de caractéristiques suivantes (le modèle utilisé est la plasticité parfaite de Saint Venant) : $\rho = 7800\text{kg/m}^3$; $C = 450\text{J/kg}\cdot\text{K}$, $E = 200$ GPa, $\nu = 1/3$; $\sigma^y = 200$ MPa; $\alpha = 12,7 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$. La température initiale des transformations est $T_0 = 293$ K. On considère une compression adiabatique et uniaxiale (la déformation latérale est libre). C'est par exemple la transformation que l'on a lors de l'écrasement d'un lopin (Figure 2). On rappelle que le module de compressibilité hydrostatique est $K = \frac{E}{3(1-2\nu)}$. D'après les dimensions, nommer ces constantes.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Première étape de la fabrication d'une boule de pétanque (museedelaboule.com)</figcaption></figure>

## Transformation élastique : thermoélasticité

On considère une compression adiabatique uniaxiale jusqu'à la limite d'élasticité.

a. Retrouver la valeur de $\partial\boldsymbol{\sigma}/\partial T$ vue dans le cours à partir de la relation de comportement classique en ($E, \nu$)

b. En négligeant les forces d'inertie (commenter), donner le tenseur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}$.

c. Écrire tenseur des déformations élastiques $\boldsymbol{\varepsilon}^e$ en fonction de la contrainte axiale $\boldsymbol{\sigma}$.

d. Écrire le tenseur des déformations thermiques $\boldsymbol{\varepsilon}^{\text{th}}$ en fonction de la température $T$.

e. En déduire le tenseur de vitesse de déformation $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$.

f. Ces grandeurs dépendent-elles du point considéré ? En déduire la valeur de $\Delta T$ (le laplacien).

g. Calculer le terme $(\partial\boldsymbol{\sigma}/\partial T)$ : $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ qui intervient dans l'équation de la chaleur.

h. Analyser les termes restants de l'équation de la chaleur, trouver l'équation différentielle qui en résulte et l'intégrer.

i. En déduire la variation de température $T - T_0$ en faisant l'hypothèse simplificatrice $|T - T_0| \ll T_0$

j. Calculer le résultat et commenter les ordres de grandeur des deux termes concurrents dans le dénominateur : quel terme peut être négligé dans l'équation de la chaleur ? Quelle variation de température aurait-on eu en traction ? Peut-on fabriquer un réfrigérateur à partir d'un solide ?

## Transformation plastique

On considère maintenant la transformation plastique qui suit la transformation élastique. On retient le modèle de Saint Venant, la contrainte reste donc égale à $-\sigma^y$ durant la transformation. On rappelle qu'une transformation plastique est isochore (le volume reste constant) et que l'on a la partition des déformation : $\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}^e + \boldsymbol{\varepsilon}^p + \boldsymbol{\varepsilon}^{\text{th}}$.

k. Depuis l'hypothèse de transformation plastique isochore donner le tenseur des déformations plastiques $\boldsymbol{\varepsilon}^p$ en fonction de la déformation plastique $\boldsymbol{\varepsilon}^p$ axiale.

l. En déduire le tenseur $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ puis $\partial\boldsymbol{\sigma}/\partial T$ : $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$.

m. Depuis le modèle de plasticité parfaite 1D, rappeler le terme de dissipation intrinsèque $\delta q_{i1}$.

n. Retrouver cette dissipation avec $A_k = \boldsymbol{\sigma}$ et $V_k = \boldsymbol{\varepsilon}^p$.

o. Préciser la valeur du terme $\partial A_k / \partial T : \dot{V}_k$.

p. Poser l'équation différentielle de la chaleur pour la transformation plastique.
q. Intégrer cette équation puis la résoudre en fonction de $\epsilon^p$ après avoir comparé les ordres de grandeur des deux termes en $(T - T_A)$ (on désigne par A l'état en fin de transformation élastique) en supposant la température finale $T_f$ du même ordre de grandeur que $T_A$. Comparer les ordres de grandeur des termes obtenus au moment du calcul final.

r. Faire l'application numérique pour les déformations plastiques finales
$\epsilon^p \in \{-2 \cdot 10^{-3}, -10^{-2}, -10^{-1}, -0, 9\}$. Commenter la validité des hypothèses dans ce dernier cas et proposer une équation simplifiée donnant l'élévation de température d'une pièce plastifiée.

# 4 Pré-conformation des barres de torsion

## Présentation du problème

Les barres de torsion sont utilisées dans certains véhicules en lieu et place des ressorts de suspension. Cette technologie permet un gain de place (Figure 3). Ces barres soutiennent en permanence le poids de la voiture et ne sont totalement déchargées que lorsque celle-ci est soulevée (par exemple au garage) ou... en vol. Nous allons étudier leur pré-conformation, un procédé qui consiste à leur faire subir une torsion au delà de la limite d'élasticité initiale afin de les renforcer par écrouissage.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Essieu arrière de Peugeot 206 RC et schéma de principe</figcaption></figure>

## Modélisation

Nous supposerons ici que l'acier obéit à une loi d'écrouissage isotrope linéaire. La barre de torsion est assimilée à une poutre de rayon $R$ et de longueur $L$ soumise à un chargement de torsion. La face $z = L$ tourne d'un angle $\alpha L$ sous l'effet du moment extérieur $M$. La face $z = 0$ est bloquée. La face latérale $r = R$ est libre. On rappelle les équations du modèle EI, pour le pilotage en déformations :

$$ \text{ELASK} \quad \boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^p) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H $$

$$ \text{SDCT} \quad f(\boldsymbol{\sigma}, p) = \|\boldsymbol{\sigma}^D\| - kp - \sigma^y $$

$$ \text{EVO1} \quad d\boldsymbol{\epsilon}^p = \mathbf{N} \, dp $$

$$ \text{EVO2} \quad \mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|} $$

et le gradient dans le repère cylindrique $(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta, \mathbf{e}_z)$ :

$$ \mathbf{grad}(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix} u_{r,r} & u_{r,\theta}/r - u_{\theta}/r & u_{r,z} \\ u_{\theta,r} & u_{\theta,\theta}/r + u_{r}/r & u_{\theta,z} \\ u_{z,r} & u_{z,\theta}/r & u_{z,z} \end{bmatrix} $$

a. Établir un paramétrage du problème
## Aspects généraux

On rappelle que la théorie des poutres correspond à une hypothèse cinématique : le mouvement de corps solide des sections, qui tournent d'un angle $\Omega = \alpha z$, où $\alpha$ (rd/m) est l'angle unitaire de torsion.

b. Trouver l'expression du champ de déplacement **u**(M). En déduire le tenseur des déformation $\boldsymbol{\varepsilon}$ et de ses parties hydrostatiques et déviatoriques $\boldsymbol{\varepsilon}^H$ et $\boldsymbol{\varepsilon}^D$. Dépendent-t-elles du type de transformation ?

c. Écrire le tenseur des déformations sous la forme $\boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{D}$ où $\boldsymbol{\varepsilon}$ est l'intensité à définir en fonction des grandeurs du problème et **D** un tenseur unitaire normé que l'on précisera.

d. Montrer que tous les tenseurs du problème sont colinéaire à **D**. Donner le lien entre **N** et **D**. On posera dorénavant $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}\mathbf{D}$, $\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{D}$ etc....

e. Réécrire toutes les équations du modèle dans la base $\{\mathbf{D}\}$.

f. Préciser pour quoi la contrainte ne peut être qu'une fonction $\sigma(r, z)$. Vérifier les conditions aux limites les faces $S_0(r, \theta, z = 0)$, $S_R(r = R, \theta, z)$. Déterminer la résultante **R** et le moment résultant **M** sur la face supérieure $S_L(r, \theta, z = L)$

## Transformation élastique OA

On considère une transformation élastique avec $\alpha > 0$ et $\dot{\alpha} > 0$.

g. Calculer le moment $M$ en fonction de $l_0 = \pi R^4 / 2$.

h. Calculer l'angle de torsion $\alpha_A$ pour lequel la poutre arrive en plasticité, préciser le rayon $r$ où cela se produit en premier et calculer le moment $M_A$ correspondant.

## Chargement élastoplastique AB

On charge la poutre pour $\alpha > \alpha_A$ avec $\dot{\alpha} > 0$.

i. Calculer le rayon $r_p$ qui délimite la zone plastifiée du coeur élastique pour un $\alpha$ donné.

j. En déduire l'angle $\alpha^*(r)$ qui correspond à la mise en plasticité d'un point situé au rayon $r$.

k. Préciser la différentielle $d\varepsilon$ lors de cette ransformation.

l. Calculer la déformation plastique $\varepsilon^P$. Tracer, sur le même graphe, $\varepsilon$ et $\varepsilon^P$ en fonction de $r$.

m. En déduire la valeur de $\sigma$. Tracer son graphe en fonction de $r$.

n. Calculer le moment $M$ correspondant à l'angle $\alpha > \alpha_A$ et le décomposer en fonction des puissances de $\alpha$. Tracer $M(\alpha)$.

Dorénavant on nommera $\alpha_B(> \alpha_A)$ l'angle maximum atteint en chargement de torsion et de même on nommera B l'état correspondant.

## Décharge élastique BIC

Depuis l'angle $\alpha_B$ on décharge la barre, c'est à dire $\dot{\alpha} < 0$. Il s'agit d'une transformation élastique

o. Préciser la déformation plastique $\varepsilon^P(r)$.

p. Démontrer le théorème du retour élastique suivant : pour une transformation élastique : $\Delta\sigma = 2\mu\Delta\varepsilon$. en déduire la relation simple entre $\sigma(r)$ et $\sigma_B(r)$, en fonction des seuls angles. En déduire une construction graphique permettant de calculer et représenter un état de contrainte courant. Tracer $\sigma(r)$.

q. Calculer le moment $M$ courant en fonction de $M_B$, $\alpha$ et $\alpha_B$. Préciser $dM/d\alpha$.

r. En déduire la déformation angulaire unitaire résiduelle $\alpha_I$ qui correspond à la torsion de la barre libre de tous moments : $M_I = 0$, en fonction de $\alpha_B$ et $M_B$. Tracer approximativement l'état de contraintes correspondant à cet état I. Éventuellement, donner l'expression de $\alpha_I$ indépendamment de $M_B$.
## Limite d'élasticité en décharge : état C

L'état C est défini comme celui pour lequel apparait de la plasticité lors de la décharge BIC.

s. Sur le graphe $σ(r)$, représenter la limite d'élasticité dans le sens $\alpha < 0$, pour tout $r$. Quel point atteint en premier la limite d'élasticité ?

t. Calculer l'angle $\alpha_C$ pour lequel la limite d'élasticité actuelle est atteinte en ce point, en fonction de l'état B.

u. En déduire le moment $M_C$ correspondant en fonction de $M_B$ et $(\alpha_B, \alpha_C)$.

v. Calculer $(\alpha_B + \alpha_C)/2$ en fonction de $\alpha_B$ et $\alpha_A$. En déduire la position du point C sur le graphe $M(\alpha)$ en supposant $k \ll \mu$. Conclusions.

On utilise parfois ce calcul pour justifier la nature de l'écrouissage cinématique : celui-ci serait une conséquence d'un écrouissage isotrope, par accumulation de dislocations, et de contraintes internes dues aux zones demeurées élastiques.

D'un point de vue technologique, la pré-conformation par torsion est aussi employé pour les arbres de transmission des véhicules. Il est recommandé, pour les véhicules tous terrains, de ne pas trop « forcer » sur la transmission en marche arrière !

Enfin on constate que pour un état « courant », correspondant à une charge statique seulement due au poids du véhicule, la surface de la barre subit une contrainte proche de zéro, ce qui est gage de résistance aux agressions extérieures.

## 5 Écoulement plastique en traction-torsion

Un câble est réalisé à partir d'un fil tréfilé. Le tréfilage consiste à étirer le fil en traction. Ensuite, le fil subit une torsion lors de la mise en torons.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 – À gauche : tréfileuse, au centre : un câble, à droite : un téléphérique</figcaption></figure>

On nomme O l'état initial, O' le premier point en plasticité, A l'état en fin de traction et B l'état en fin de torsion. Le modèle de plasticité est l'écrouissage cinématique linéaire (ou modèle de Prager) dont les équations sont rappelées en fin de document. On prendra l'axe du fil selon $e_1$ et la direction tangentielle du fil selon $e_2$. On s'intéressera à un point situé au niveau de la surface du fil, où la contrainte de cisaillement est maximale.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

a. Depuis vos connaissances en théorie des poutres droites, donner la forme du tenseur des contraintes $\sigma$ pour les phases OA et AB. On nommera $\sigma$ la composante non nulle en traction et $\tau$ les composantes non nulles en torsion.
b. Identifier les composantes $(s, t, p)$ et la base de orthonormée de tenseurs $(\mathbf{S}, \mathbf{T}, \mathbf{H})$ (où $\mathbf{H}$ est le tenseur sphérique normé) telle que $\sigma = s\mathbf{S} + p\mathbf{H}$ sur la phase OA et $\sigma = s\mathbf{S} + t\mathbf{T} + p\mathbf{H}$ sur la phase AB. Montrer que, dans tout le problème, les contraintes hydrostatiques peuvent être déduites des autres.

c. Le problème est piloté en contrainte. Sélectionner le jeu d'équation réduit qui décrit le modèle de Prager en contraintes.

d. Traduire ces équations dans la base de tenseurs déviatoriques $(\mathbf{S}, \mathbf{T})$, en éliminant $d\lambda$. On notera $\mathbf{X} = (x_s, x_t)$ dans cette base.

e. On considère le chargement OO' de traction en élasticité où O' est en limite d'élasticité. Donner $\sigma(O')$ et de $\mathbf{X}(O')$. Tracer la surface seuil dans le plan $\mathbf{S}, \mathbf{T}$.

f. On considère le chargement O'A de traction, avec $s : s(O') \to s(A) = s_0 > \sigma^y$. Calculer, et tracer dans le plan $(\mathbf{S}, \mathbf{T})$, les évolutions de $\mathbf{X}$ et de $\sigma$. Calculer, et tracer dans le plan $(\mathbf{S}, \mathbf{T})$, la surface seuil à l'état A.

g. On considère le chargement de cisaillement à traction constante AB durant lequel la contrainte vaut $\sigma = s_0\mathbf{S} + t\mathbf{T} + p\mathbf{H}$ avec $t: 0 \to t_0 > 0$. Montrer que tous les déviateurs des tenseurs resteront dans le plan $(\mathbf{S}, \mathbf{T})$. Trouver le système différentiel qui régit l'évolution de $\mathbf{X}$. Intégrer pour trouver $x_t$. Puis calculer $x_s$.

h. Analyser les tendances des fonctions $x_s(t)$ et $x_t(t)$ puis tracer le graphe c'est à dire représenter $\mathbf{X}$ dans le plan $(\mathbf{S}, \mathbf{T})$ (on pourra s'aider d'un logiciel de tracé). Tracer la surface seuil finale.

i. Le fil ainsi mis en forme est remis libre de contrainte, prêt à servir. Le calcul résultat du calcul précédent est montré à la figure suivante. Depuis cette figure, quelle est la valeur de la torsion $t$ pour laquelle le fil possède la plus grande limite élastique ?

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## Équations du modèle de Prager

Le modèle est écrit ici avec un jeu de constantes adapté au calcul tensoriel.

$$ \text{ETAT} \quad \mathbf{X} = C\boldsymbol{\varepsilon}^p $$

$$ \text{HOOKE} \quad \boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\boldsymbol{\varepsilon}^D - \boldsymbol{\varepsilon}^p) + 3K\boldsymbol{\varepsilon}^H $$

$$ \text{SSEUIL} \quad f = \|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\| - \sigma^y $$

$$ \text{NORM 1} \quad d\boldsymbol{\varepsilon}^p = \mathbf{N}d\lambda $$

$$ \text{NORM 2} \quad \mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|} $$

$$ \text{CONS} \quad \mathbf{N} : d\mathbf{X} = \mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma} $$
# 6 Biomécanique et viscoélasticité linéaire

Un tendon de longueur $L = 50$ cm et de section $S = 5 \text{ mm}^2$ prélevé d'un animal est testé en traction. Il a pu être observé que le comportement mécanique des tendons et ligaments est viscoélastique linéaire et peut être décrit par la fonction de fluage :

$$J(t) = J_0 \left( 2 - \exp \left( -\frac{t}{\tau} \right) \right)$$

avec $\tau = 250 \text{ s}$ et $J_0 = 10^{-10} \text{ Pa}^{-1}$. Au cours d'un test, le tendon est chargé avec une force $F = 100 \text{ N}$ pendant 500 s, puis déchargé à 0 N.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

a. Calculez l'allongement $\Delta L$ du tendon à $t = 0$ et en fin de charge à $t_1 = 500^{-} \text{ s}$.

b. Calculez l'allongement du tendon à $t_1^+$, à $t_2 = 600$ et à $t \to \infty$.

# 7 Étude du modèle de Kelvin-Voigt

a. Rappeler l'équation différentielle du modèle.

b. Déterminer la fonction de relaxation $R(t)$

c. Déterminer la fonction de fluage $J(t)$

d. Calculer la réponse en contrainte à une sollicitation sinusoidale $\varepsilon(t) = \varepsilon_0 \cos(\omega t)$. On pourra travailler en complexe.

# 8 Étude du modèle de Maxwell

a. Rappeler l'équation différentielle du modèle.

b. Déterminer la fonction de fluage $J(t)$

c. Déterminer la fonction de relaxation $R(t)$

d. Calculer le temps de desserrage à 50%

# 9 Cycle en viscoélasticité linéaire

Un matériau viscoélastique linéaire possède un modèle d'Young complexe $E_0 \exp(i\varphi)$. Il est soumis à une déformation complexe $\varepsilon^* = \varepsilon^0 \exp(i\omega t)$.

a. Calculer l'énergie dissipée au cours d'un cycle.

# 10 Réservoir visco-élastique et résolution par transformée de Laplace-Carson

On considère un réservoir cylindrique sous pression isotrope et viscoélastique linéaire. Son matériau constitutif est un polymère renforcé qui possède la fonction de relaxation suivante :

$$R(t) = (E_{\infty} + (E_0 - E_{\infty}) \exp(-t/T)) H(t)$$

Le coefficient de Poisson $\nu$ est constant et $E_0 > E_{\infty}$. La solution élastique linéaire du problème s'obtient par la méthode de Navier et donne le champ de contrainte :

$$\sigma = P \begin{bmatrix} \frac{r_1^2}{r_2^2 - r_1^2} (1 - \frac{r_2^2}{r_1^2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{r_1^2}{r_2^2 - r_1^2} (1 + \frac{r_2^2}{r_1^2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{r_1^2}{r_2^2 - r_1^2} \end{bmatrix} (e_r, e_{\theta}, e_z)$$
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

et le champ de déplacement :

$$
\mathbf{u} = \frac{P}{E} \left[ \frac{r_1^2}{r_2^2 - r_1^2} \left( r(1-\nu) + \frac{r_2^2}{r}(1+\nu) \right) \mathbf{e}_r + (1-2\nu)\mathbf{z}\mathbf{e}_z \right]
$$

On pourra utiliser le terme :

$$
\tau = \frac{E_0}{E_{\infty}} T
$$

<table><caption>Table 1 – Transformées de Laplace-Carson (attention les fonctions sont implicitement multipliées par H(t) ou H(t − τ) . . . )</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Fonction</th>
      <th>Transformée</th>
      <th>Fonction</th>
      <th>Transformée</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>f(t)</td>
      <td>f<sup>+</sup>(p)</td>
      <td>t</td>
      <td>1/p</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Cf(t)</td>
      <td>Cf<sup>+</sup>(p)</td>
      <td>t<sup>n</sup></td>
      <td>n! / p<sup>n</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>d/dt</td>
      <td>p</td>
      <td>exp(-at)</td>
      <td>p / (p+a)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H(t)</td>
      <td>1</td>
      <td>1 - exp(-at)</td>
      <td>a / (p+a)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H(t - τ)</td>
      <td>exp(-τp)</td>
      <td>cos(ωt)</td>
      <td>p<sup>2</sup> / (p<sup>2</sup> + ω<sup>2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>f(t - τ)</td>
      <td>exp(-τp)f<sup>+</sup>(p)</td>
      <td>sin(ωt)</td>
      <td>pω / (p<sup>2</sup> + ω<sup>2</sup>)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">si f(t) = 0 ∀t ≤ 0</td>
      <td>f(t) exp(-at)</td>
      <td>p / (p+a) f<sup>+</sup>(a + p)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>f'(t)</td>
      <td>pf<sup>+</sup>(p)</td>
      <td>(-t)<sup>n</sup>f(t)</td>
      <td>p d<sup>n</sup> / dp<sup>n</sup> (f<sup>+</sup>(p) / p)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>df/dt(t) * g(t)</td>
      <td>f<sup>+</sup>(p)g<sup>*</sup>(p)</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

a. On demande de calculer le champ de déplacement qui résulte de l'application sur ce réservoir d'un plateau en pression entre $t = 0$ et $t_1$ soit

$$
P = P_0(H(t) - H(t - t_1))
$$

11 Étude de la viscoplasticité non-linéaire 1D de Norton

On rappelle le modèle de Norton en 1D (avec $n > 1$) :

$$
\epsilon^p = \left(\frac{\sigma}{\lambda}\right)^n
$$

$$
\sigma = E\epsilon
$$

$$
\epsilon = \epsilon^e + \epsilon^p
$$

a. Poser l'équation différentielle en $\sigma$, $\epsilon$ régissant le modèle de Norton. Est-ce un modèle linéaire ?

b. Calculer la réponse du modèle de Norton en fluage

c. Calculer la réponse du modèle de Norton en relaxation
## 12 Problème de viscoplasticité 3D : loi d'Odqvist à seuil

On se donne un état de contrainte suivant, en base canonique :

$$ \sigma = \frac{\sqrt{2}}{2} s \begin{bmatrix} 0 & 0 & \sin \omega t \\ 0 & 0 & \cos \omega t \\ \sin \omega t & \cos \omega t & 0 \end{bmatrix} $$

et la loi viscoplastique d'Odqvist à seuil :

$$ \varepsilon^p = \left( \frac{\langle \|\sigma^D\| - \sigma^y \rangle^+}{\sigma^0} \right)^n \mathbf{N} \\ \mathbf{N} = \frac{\sigma^D}{\|\sigma^D\|} $$

où $s > \sigma_y$

a. Définir les tenseurs $\mathbf{D}^1$ et $\mathbf{D}^2$ orthonormés et tels que $\boldsymbol{\sigma} = s(\cos(\omega t)\mathbf{D}^1 + \sin(\omega t)\mathbf{D}^2)$.

b. Calculer le tenseur des déformations plastiques, en régime stabilisé, au cours du temps $\boldsymbol{\epsilon}^p$. Tracer son évolution ainsi que celle $\boldsymbol{\sigma}$ dans la base ($\mathbf{D}^1, \mathbf{D}^2$). Comment varie-t-elle en fonction de la pulsation $\omega$ ?
Calculer la déformation plastique cumulée $\Delta p$ sur un cycle.

c. Calculer la déformation plastique cumulée $\Delta p$ sur un cycle.

d. Calculer l'énergie dissipée $\Delta q_{i1}$ sur un cycle.

## 13 Le modèle de Marigo d'endommagement des matériaux quasi-fragiles

On rappelle le modèle de Marigo :

$$ \sigma = E(1 - d)\varepsilon \\ f = \frac{E}{2}\varepsilon^2 - Hd - W_0 $$

où $W_0$ et $H$ sont les constantes du modèle, $E$ le module d'Young, $d$ le dommage et $f$ désigne la surface seuil. On considère un chargement monotone. Maintenir la courbe contrainte-déformation.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 5 – Compression uniaxiale d'un béton (S. Ramtani)</figcaption></figure>

a. Donner la relation contrainte-déformation pour la transformation élastique initiale. Préciser la déformation $\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{A})$ à laquelle débute l'endommagement.

b. Donner la relation contrainte-déformation pour la transformation anélastique qui suit cet état A.

c. Calculer le module tangent $h = d\boldsymbol{\sigma}/d\boldsymbol{\epsilon}$ en $A^-$ et en $A^+$. Préciser la condition pour que $h(A^+) = 0$.

d. Préciser la valeur de la déformation $\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{B})$ pur laquelle $\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{B}) = 0$.

e. Représenter, sans calcul, une décharge depuis un état endommagé.

f. La figure 5 représente un essai de référence sur les bétons, réalisé par S. Ramtani. La courbe montre-t-elle seulement de l'endommagement ?

g. On pourra tracer la courbe sous Matlab, ou autre. On pourra prendre $E = 30$ GPa (typique d'un béton), $W_0 = 50.000$ J/m³ et $H/W_0 = \{0, 1, 10, 100\}$ par exemple.
# 14 Problème : la revanche du

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

L'exemple du trombone que l'on plie et déplie jusqu'à rupture est un grand classique pour illustrer la fatigue oligocyclique. Cette fois c'est le trombone qui va vous faire souffrir un peu ! Celui-ci est soumis à de la flexion alternée, donc à de la traction-compression, et la déformation maximale a lieu au niveau du diamètre extérieur du trombone : on se placera donc en ce point afin de calculer le début de la fissuration. On suppose que l'on plie d'un angle toujours identique, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, donc on supposera des cycles à déformation imposée [-ε⁰, ε⁰]. Le modèle employé est le modèle ECLD, d'écrouissage cinématique linéaire avec endommagement dont on rappelle les équations 1D au fur et à mesure de ce problème.

Dans tout le problème les états caractéristiques des cycles sont notés AA'BB', conformément à la figure 6. Les données du problème sont les constantes (ε⁰, E, C, S, p_d, d_c), donc tous les résultats devront être exprimés en fonctions d'elles seules.

a. Au début des cycles, avant que la plasticité cumulée p n'atteigne la valeur seuil p_d, le comportement est élasto-plastique (sans endommagement). On rappelle les équations du modèle ECL correspondant :

$$f(\sigma, X) = |\sigma - X| - \sigma^y \qquad (\text{SEUIL})$$

$$X = C\varepsilon^p \qquad (\text{ETAT})$$

$$\sigma = E(\varepsilon - \varepsilon^p) \qquad (\text{HOOK})$$

$$dp = |d\varepsilon^p| \qquad (\text{CUMU})$$

Déterminer la relation entre σ et ε pour les transformations élasto-plastiques B'A et A'B

b. Déterminer $(\sigma, \varepsilon, \varepsilon^p)$ pour les états A, B, B' et A'.

c. Trouver la déformation plastique cumulée Δp sur un cycle (AA'BB'A). En déduire le nombre de cycles N_d pour lequel p atteint p_d, le seuil d'endommagement.

d. À partir de cette question, $p > p_d$, le comportement est élasto-plastique endommageable. On rappelle le modèle ECLD :

$$f(\tilde{\sigma}, X) = |\tilde{\sigma} - X| - \sigma^y$$

$$X = C\varepsilon^p$$

$$\tilde{\sigma} = E(\varepsilon - \varepsilon^p)$$

$$p = \int |d\varepsilon^p|$$

$$dd = \frac{Y}{S} dp$$

$$Y = \frac{\tilde{\sigma}^2}{2E}$$

$$\sigma = \tilde{\sigma}(1 - d)$$

Donner les expressions de $\tilde{\sigma}(A)$, $\varepsilon^p(A)$, $\tilde{\sigma}(B')$ et $\varepsilon^p(B')$.

e. Tracer l'allure d'un cycle en $(\tilde{\sigma}, \varepsilon)$ et en $(\sigma, \varepsilon)$ (on supposera $d \simeq$ constante sur le cycle).

f. On considère la transformation B'A. Calculer l'évolution de l'endommagement $d(A) - d(B')$ durant cette transformation (on laissera le résultat en fonction de $\tilde{\sigma}(A)$ et $\tilde{\sigma}(B)$).

g. En déduire l'incrément de dommage Δd sur un cycle AA'BB'A.

h. Calculer le nombre de cycles N_c qui amène la fissuration, atteinte pour $d = d_c$, l'endommagement critique.

i. Application numérique : calculer les nombre de cycle N_d et N_c pour :

<table><thead><tr><th>E</th><th>C</th><th>ε<sup>0</sup></th><th>σ<sup>y</sup></th><th>S</th><th>p<sub>d</sub></th><th>d<sub>c</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>200 × 10<sup>9</sup></td><td>15 × 10<sup>9</sup></td><td>0.01</td><td>200 × 10<sup>6</sup></td><td>5.1993 × 10<sup>6</sup></td><td>10</td><td>0.2</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 6 – Cycles et états</figcaption></figure>

## 15 Fatigue oligocyclique lors de cycles d'enroulements et déroulements

On enroule dans un sens puis dans l'autre un fil d'acier doux de rayon $r = 1$ mm sur une barre de diamètre $R_1 = 9$ mm : le fil se rompt au bout de $N_1^r = 10$ cycles. On procède au même essai sur une barre de même matière mais de rayon $R_2 = 19$ mm. Le fil se rompt au bout de 50 cycles. On donne aussi le module d'Young $E \approx 200$ GPa et la limite d'élasticité $\sigma_y \approx 200$ MPa et la couleur du métal qui est gris clair.

a. Calculer la déformation plastique maximale que cela engendre. Discuter du fait que l'on peut négliger la déformation élastique.

b. Calculer les coefficients C et $\gamma$ de la loi de Manson-Coffin.

c. Calculer le nombre de cycles à rupture pour un enroulement sur un diamètre $R_3 = 99$ mm. Commenter la validité du calcul.

d. Cet acier est soumis à des cycles mixtes tels que $N_1 = 3N_2$ et $\Delta\epsilon_1^p = 0,005$ et $\Delta\epsilon_2^p = 0,05$. Calculer les fractions $f_1 = N_1/N$ et $f_2 = N_2/N$, où N est le nombre de cycle total. Depuis la règle de cumul linéaire de Miner, déterminer N en fonction des fractions et des grandeurs connues.

## 16 Fatigue à grand nombre de cycles

Une pièce est réalisée dans l'acier dont la courbe de Wöhler est donnée ci-dessous. On suppose qu'il obéit à la règle de cumul linéaire de Palmgren-Miner. La pièce subit des contraintes courantes d'amplitude $\sigma_1 = 200$ MPa et des surcharges d'amplitude $\sigma_2 = 300$ MPa.

a. Déterminer le nombre de cycles à rupture $N_1^r$ pour des cycles d'amplitude $\sigma_1$. Déterminer le nombre de cycles à rupture $N_2^r$ pour des cycles d'amplitude $\sigma_2$. On prendra une espérance de survie $\approx 50\%$.

b. Exprimer le nombre de cycle à rupture N pour dans le cas ou $f_1 = 90\%$ des cycles sont d'amplitude $\sigma_1$ et $f_2 = 10\%$ sont d'amplitude $\sigma_2$.

c. Même question mais en prenant $\sigma_2 = 100$ MPa.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

d. On veut dimensionner une pièce qui doit résister à 10⁵ cycles de charges [σmax, 0]. Préciser le rapport de charge. Calculer le σmax que peut supporter le métal en toute sécurité en utilisant la loi de Goodman. Commenter le résultat en terme d'amplitude de contrainte par rapport au cas de référence Rσ = -1.

17 Fatigue et loi de Wöhler

Un métal obéit, en fatigue à grand nombre de cycle, à la loi de Wöhler suivante :

$$
\sigma = a - b \log_{10}(N^f)
$$

avec σ l'amplitude de la contrainte alternée, N<sub>f</sub> le nombre de cycles à rupture et σ<sub>∞</sub> la limite d'endurance. On
suppose de plus que la loi de Miner

$$
\sum \frac{N_i}{N_i^f} = 1
$$

est respectée.

La pièce assimilable à une barre en traction de section S, est soumise à une traction alternée à deux niveaux :

— des cycles de type 1 avec une force alternée F₁ = 1500 N pour N₁ = 3N/4 cycles

— des cycles de type 2 avec une force alternée F₂ = 2F₁ pour N₂ = N/4 cycles

où N = N₁ + N₂ est le nombre total de cycles. Enfin, on donne a = 1000 MPa, b = 100 MPa et σ∞ = 300 MPa.

a. Tracer la courbe de Wöhler σ—log₁₀(N) correspondante (avec des valeurs)

b. Exprimer les nombres de cycles à rupture N<sub>1</sub><sup>f</sup> pour les cycles de type 1 et N<sub>2</sub><sup>f</sup> pour les cycles de type 2 en fonction de σ<sub>1</sub> = F<sub>1</sub>/S.

c. (3 points) Calculer la contrainte σ₁ telle que la pièce dure N = 10⁴ cycles (conseil : commencer par trouver 10⁻⁶ / b).

d. Application numérique : calculer σ₁ puis en déduire S (en mm²). Le calcul est bon car σᵢ > σ∞.

e. On trouve un nouvel acier pour lequel a et b sont identiques au précédent mais σ∞ = 350 MPa. Calculer le nouveau nombre de cycle à rupture.