# Lacan et le groupe de Klein, sous l'oeil du mathématicien : quelques éléments de dialogue entre psychanalyse et mathématiques

Thomas Hausberger

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Thomas Hausberger. Lacan et le groupe de Klein, sous l'oeil du mathématicien : quelques éléments de dialogue entre psychanalyse et mathématiques. Ornicar? Revue du champ freudien, 2025, 61, pp.120-135. hal-05371638

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# Lacan et le groupe de Klein, sous l'oeil du mathématicien : quelques éléments de dialogue entre psychanalyse et mathématiques

Thomas Hausberger
IMAG, Univ. Montpellier & CNRS
[thomas.hausberger@umontpellier.fr](mailto:thomas.hausberger@umontpellier.fr)

## Introduction

Le séminaire XIV de Lacan dédié à la « logique du fantasme » contient plusieurs références au groupe de Klein, une structure appartenant au domaine de la théorie des groupes en mathématiques. Pourriez-vous « nous enseigner sur cette référence et nous montrer le point qui a pu intéresser Lacan » ? Telle est la commande qui m'a été adressée en tant que didacticien et épistémologue des mathématiques.

D'après Charraud (1997), la radicalité du projet de Lacan provient du parti pris que « les incidences de l'ordre symbolique [le jeu des signifiants] dans la nature de l'homme ne sont pas dans le champ de l'herméneutique mais dans celui de la logique et de la mathématique » (p. 7). Elle développe notamment, pour illustrer son propos, les emprunts de Lacan à la théorie des jeux (comme outil de modélisation de la cure analytique) et à la topologie (dont certains concepts, par exemple celui de voisinage, viennent éclairer le fonctionnement des chaînes associatives dans les manifestations langagières des processus inconscients). L'étude des structures quaternaires telles que le groupe de Klein est renvoyée à des travaux ultérieurs, non menés à ce jour (à notre connaissance).

Il va de soi qu'un mathématicien ne peut soutenir la fertilité d'une schématisation mathématique dans le champ de la psychanalyse. Il appartient à la communauté de ce champ d'en débattre (voir par exemple Corfield, 2002). Le mathématicien sera naturellement attentif à la rigueur dans le fonctionnement des connaissances mathématiques, autant qu'il puisse l'être en tant que non spécialiste du domaine de phénomènes modélisé : s'il en maîtrise la syntaxe, il se retrouve désarçonné par la sémantique des formalisations mathématiques qui, sous la plume de Lacan, deviennent « mathèmes ». En outre, le texte des séminaires de Lacan, dans ses aspects mathématiques, ne s'apparente pas à une démonstration (un enchaînement de chaînes hypothético-déductives mêlées à des calculs), il s'apparente à un récit d'une recherche en cours, partagée à des pairs (et au-delà). D'une part, les structures mathématiques qui ont émergé du développement interne aux mathématiques (ou de l'interaction avec des champs voisins dont la mathématisation a porté des fruits de longue date, comme la physique) semblent inspirer et soutenir le discours psychanalytique, d'autre part elles conduisent à l'écriture de formules nouvelles dans une approche structurale des phénomènes de l'inconscient qui se donne à voir comme une ébauche. L'élaboration de Lacan rejoint ainsi le travail créatif du mathématicien, lorsqu'il sort des sentiers battus : « la structure logique d'une théorie se développe pas à pas et conjointement à l'approfondissement d'une compréhension des choses dont elle traite, c'est-à-dire aussi, conjointement au développement d'une intuition de plus en plus fine et complète de celle-ci [...] C'est dans cet effort continuel de formuler l'informulé, de préciser ce qui est encore vague, que se trouve peut-être la dynamique particulière au travail mathématique (et peut-être aussi, à tout travail intellectuel créateur) – dans une dialectique continuelle entre l'image plus ou moins informe, et le langage qui lui donne une forme [...] » (Grothendieck, 2022, p. 888).
La psychologie de l'invention mathématique, qui engage des aspects psychanalytiques (en cela que les images dont parle Grothendieck trouvent en partie leur source dans l'inconscient) est bien sûr à distinguer de la problématique de la mathématisation de la psychanalyse, mais nos remarques visent à se déprendre d'une naïveté qui consisterait, pour un mathématicien, à juger à l'emporte pièce les formalisations lacaniennes comme dénuées de rigueur ou, pour un psychanalyste, à attendre d'une explication mathématique des concepts que Lacan emprunte aux mathématiques la clef d'une compréhension de sa pensée. Saisir ce qui s'est joué dans les rapports de Lacan aux mathématiques, conduisant à la mise en avant du groupe de Klein et à l'émergence de ce que Miller appelle le « groupe de Lacan », nécessite une approche pluridisciplinaire mêlant histoire et épistémologie, autant que psychologie et psychanalyse. En outre, notre contribution ne saurait se limiter à une tentative de délivrer un n-ième commentaire, fut-il sous la plume d'un mathématicien, elle a également vocation à évoquer des prolongements aux traits de l'ébauche lacanienne, dans un dialogue entre mathématiques et psychanalyse qui nécessairement convoquera d'autres sources, d'autres approches de mathématisations en sciences humaines et sociales qui viendront résonner avec les travaux de Lacan.

## Contextualisation du groupe de Klein dans les travaux de Lacan

Une recherche par mot clef à travers l'ensemble des textes des séminaires donnés par Lacan permet d'identifier que le terme « groupe de Klein » apparaît uniquement au niveau des séminaires XIV et XV. Les aspects mathématiques sont présentés dans la séance du 19 décembre 1966 tandis que les aspects psychanalytiques que la structure a vocation de schématiser sont développés dans la suite du séminaire. Sa reprise au séminaire XV lors des séances des 17 et 24 janvier est éclairante quant à la genèse de cette formalisation et à la fonction que Lacan lui assigne : « c'est autour de cette logique par contre, que nous avons fait tourner cette triple opération à laquelle, par une sorte de tentative, d'essai de divination, de risque, nous avons donné la forme du groupe de Klein, opération que nous avons commencé par pointer dans le cheminement d'origine par où nous l'avons abordée, par les termes : d'aliénation, de vérité et de transfert ». Si le caractère d'ébauche est mis en avant, Lacan semble pointer par « divination », en écho à Grothendieck, une sorte d'intuition formelle fondée sur une image interne qu'il est difficile de partager et qu'il tente de représenter géométriquement par la figure suivante :

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Il en parle comme d'un tétraèdre, bien qu'il s'agisse en réalité de la représentation dans un plan des 4 sommets du tétraèdre, disposés selon un rectangle, et reliés entre eux comme le sont les sommets du tétraèdre par ses arêtes. Cette représentation est à relier à celle du groupe de Klein vu comme groupe des isométries du rectangle, qui est plus simple (voir ci-dessous, le groupe de Klein en
mathématiques). Dans cette perspective, les éléments du groupe de Klein sont des transformations géométriques du plan qui laissent le rectangle invariant tout en permutant les sommets. Au sens mathématique du terme, le groupe de Klein *opère* sur l'ensemble des sommets selon une permutation, et l'on peut démontrer qu'il existe 3 possibilités (différentes de l'identité, la transformation qui laisse tous les points du plan fixes). En définitive, *opération* est un mot partagé du champ des mathématiques et de la psychanalyse, et l'intuition de Lacan, qui emploie le singulier, serait que les trois processus psychanalytiques considérés gagnent à être saisis comme un même groupement (donc un groupe dans le sens premier de grouper des éléments, d'où la structure mathématique de groupe tire son nom) dont les constituants entretiennent entre eux des relations qui fonctionnent abstraitement comme une loi de groupe de Klein en mathématiques.

La séance suivante, Lacan poursuit en assignant au groupe de Klein la fonction épistémologique de schéma au sens Kantien, ou selon sa terminologie ancrée dans un vocable psychanalytique, de point nœud : « au moins certains se sont aperçus de l'importance de ce qui avait été formulé la dernière fois, pour autant que ça marque un point qui justifie, permet de rassembler, au moins en un point-nœud, ce qui avait commencé, depuis le début de notre année, à être par moi articulé et qui, bien sûr au départ, avait pu laisser une impression floue, surtout si on part de l'idée que ce qui est dit d'abord c'est forcément les principes - dans beaucoup de cas on est forcé de procéder autrement, même quand on a une référence structurale et même surtout quand on l'a, puisqu'il est de sa nature de ne pas pouvoir être donnée d'abord, il faut la conquérir, sans ça on ne voit pas pourquoi, par exemple, le schéma de type groupe de Klein [...] on ne voit pas pourquoi je n'aurais pas commencé par là il y a une quinzaine d'années ». Ce faisant, il pose la problématique épistémologique et didactique de l'émergence de la structure, dans la recherche elle-même et dans le discours d'exposition de cette recherche. Si les principes sont premiers dans les chaînes d'inférence logique, isoler des principes à même de permettre une reconstruction d'un domaine préexistant sur la base de ces principes (avec tous les avantages qui en découlent : apporter une clarification de ce domaine et ouvrir à de nouvelles possibilités de compréhension et d'action) constitue un véritable travail de refondation qui est menée dans un second temps. C'est ainsi que les structures algébriques comme celle de groupe sont apparues dans l'histoire des mathématiques comme une refondation conceptuelle et axiomatique d'une pratique déjà existante de l'arithmétique et de la géométrie (Wussing, 1984). De même, les travaux de Lacan reprennent et enrichissent ceux de Freud, en appui sur une schématisation qui emprunte aux mathématiques et se développe dans un esprit structuraliste. Pour une bonne pédagogie, le point de vue structuraliste abstrait se doit d'être présenté après un rappel de la pratique antérieure pre-structuraliste dont elle est issue.

## Logique et structures

Nous l'avons compris, éclairer l'emprunt de Lacan à la théorie des groupes en mathématiques nécessite une discussion du mouvement structuraliste, qui d'une révolution de la pratique mathématique a gagné les champs voisins jusqu'aux sciences humaines (Petitot, 1986).

Charraud, que nous avons repris dans l'introduction, parle de « la mathématique ». Elle suit en cela l'usage de Bourbaki (1948), qui a mis en avant le rôle unificateur des structures pour le champ des mathématiques : le point de vue structuraliste qui consiste à faire abstraction de la nature des objets mathématiques au profit des relations entre objets (dont on abstrait également la sémantique : seules comptent les propriétés formelles des relations, donc la « logique » des relations), présentées sous la forme d'axiomatiques abstraites, permet de dégager une architecture commune aux différentes
branches des mathématiques. Cette dernière est exprimée dans le langage des structures, et elle confère également une unité méthodologique aux mathématiques : dégager les structures en jeu dans les problèmes mathématiques et développer la théorie générale de ces structures procède d'une dialectique entre forme et contenu qui préside au déploiement de la pensée mathématique.

Lacan s'est réuni régulièrement avec le mathématicien Georges Guilbaud et l'anthropologue Lévi-Strauss pour travailler sur les structures mathématiques et dresser des ponts entre sciences humaines et mathématiques (voir également De Franceshi, 2005). Lacan lui-même, dans « remarque sur le rapport de Daniel Lagache : psychanalyse et structure de la personnalité » (Lacan, 1966), mentionne qu'il fait « du terme de structure un emploi que nous croyons pouvoir autoriser de celui de Claude Lévi-Strauss ». Il poursuit : « La catégorie de l'ensemble, pour l'introduire, trouve notre accord, [...] au moins, si nous cherchons dans la notion d'ensemble quelque garantie de la rigueur qu'elle a dans la théorie mathématique. « Que ses parties soient elles mêmes structurées », voudra dire dès lors qu'elles-mêmes sont susceptibles de symboliser toutes les relations définissables pour l'ensemble, lesquelles vont bien au-delà de leur distinction et de leur réunion, pourtant inaugurales. Les éléments y sont en effet définis par la possibilité d'être posés en fonction de sous-ensembles comme recouvrant une relation quelconque définie pour l'ensemble, cette possibilité ayant pour trait essentiel de n'être limitée par aucune hiérarchie naturelle ». Il s'agit là clairement du point de vue relationnel abstrait mis en avant par Bourbaki dans la lignée des algébristes allemands (Gauss, Dedekind, Noether,...) et que nous allons exemplifier ci-dessous avec le concept de groupe. Remarquons également que Lacan pointe, dans cet extrait, les relations d'union et de négation de l'égalité de deux ensemble en tant que « inaugurales ». Nous y voyons une allusion au primat de la pensée catégoriale (penser le monde à travers la différence) et à la mise en regard de deux catégories, d'un point de vue sémantique. Plus techniquement, nous y voyons un lien avec le carré de Greimas (Petitot, 1977, 1986) en sémiotique structurale, qui vise à rendre compte des structures de construction du sens, en partant d'oppositions logiques et d'oppositions qualitatives.

Dans la « logique du fantasme », Lacan débute avec la distinction du moi et du non-moi ; les oppositions logiques « je pense/ je ne pense pas », « je suis/je ne suis pas » issues du cogito de Descartes conduisent à la formule psychanalytique « ou je ne pense pas ou je ne suis pas » puis au « pas-je pense » qui déplace la négation pour faire émerge le « ça pense ». Bien que Lacan s'appuie sur une schématisation par un diagramme de Venn et un rappel des règles mathématiques de calcul des valeurs de vérité vis-à-vis des opérations ensemblistes, en logique classique, le mouvement psychanalytique qu'il décrit dépasse le cadre de ce formalisme. Si la logique est la science du raisonnement valide, entre philosophie et mathématiques, en d'autres termes ce qui fonde la rationalité de l'actant, la « logique du fantasme » vise au contraire la mise en lumière de la structure de l'inconscient, on pourrait dire de ce qui fonde l'irrationalité de l'actant et explique son fonctionnement pathologique. Petitot (1977, 1986) met en avant la différence entre opposition privative (l'absence d'un trait) et opposition logique (l'affirmation d'un trait nié). Or les phénomènes qu'engagent le carré sémiotique expriment une opposition privative (comme l'absence du phallus en psychanalyse), c'est pourquoi Petitot argumente qu'une schématisation mathématique nécessite une approche topologique au lieu d'une approche de logique mathématique. Ceci fait clairement écho à la trajectoire des emprunts mathématique de Lacan, dans ses écrits. Encore une fois, cette trajectoire passe par le biais des structures mathématiques.

Dans le texte du séminaire XIX (p. 98), avant d'exposer la définition d'un groupe de Klein, Lacan motive cet emprunt en ces termes : « si nous employons la référence à la structure, c'est qu'il nous
faut partir de quelque chose d'externe à ce qui est immédiatement donné, de façon intuitive, dans le champ de l'identification. C'est à savoir, par exemple, la remarque que nul signifiant ne saurait se signifier lui-même ». Le mathématicien y voit un parallèle avec le problème de définition des objets mathématiques proches de l'intuition, comme une ligne droite (cas longuement discuté dans l'histoire des mathématiques, ce qui a conduit à l'axiomatisation de la géométrie par Hilbert et à l'émergence du programme de Félix Klein, dans un contexte de débats sur les fondements des mathématiques). Dans une correspondance célèbre avec le logiciel Frege, Hilbert explique que la définition des termes primitifs est impossible (« à cet endroit, il n'y a rien, et tout se perd, devient confus et vague ») ; il veut abolir le recours à des références intuitives, ce qui est possible par un mouvement d'abstraction : la mise en avant de la « logique des relations » (leurs propriétés formelles). Puisqu'une pluralité d'objets peuvent tomber sous le même concept, il s'agit alors de poser formellement un principe d'identité pour la catégorie d'objets considérés : c'est la notion d'isomorphisme.

Nous l'avons évoqué, Lacan a été réconforté dans son approche (audacieuse en psychanalyse) par les succès de l'usage des structures en anthropologie, et notamment de la structure de groupe. En effet, si la portée d'une analyse logico-combinatoire en termes de théorie des groupes dans l'étude des structures de parenté fait débat dans la communauté des anthropologues, cet exemple demeure emblématique d'une formalisation mathématique rigoureuse en sciences humaines. Lévi-Strauss a été aidé pour cela par le mathématicien André Weil (un membre du groupe Bourbaki), lequel signe un appendice à l'ouvrage issu de ses travaux de thèse (chapitre XIV) : « En ces quelques pages, écrites à la prière de C. Lévi-Strauss, je me propose d'indiquer comment des lois de mariage d'un certain type peuvent être soumises au calcul algébrique, et comment l'algèbre et la théorie des groupes de substitution peuvent en faciliter l'étude et la classification. » (p. 257). Weil prend comme premier exemple une structure à 4 types de mariage et note f (resp. g) l'application qui au type de mariage des parents associe le type de mariage du fils (resp. de la fille). Une condition anthropologique « tout homme doit pouvoir épouser la fille du frère de sa mère » conduit alors à la condition mathématique $f°g=g°f$ de commutativité de f et g (l'ordre selon lequel on applique les deux applications n'intervient pas). Il peut alors conclure par un résultat mathématique : « dans le langage de la théorie des groupes, le groupe de permutations engendré par f et g est un groupe abélien [commutatif] qui, ayant deux générateurs, est nécessairement cyclique ou bien produit direct de deux groupes cycliques ». En d'autres termes, la classification des groupes à isomorphismes près vient éclairer les diverses possibilités observées par Lévi-Strauss dans son investigation des structures matrimoniales. Nous détaillons cet exemple à la fois comme une source d'inspiration de Lacan qui est à l'origine de sa « tentative », de son « essai de divination » (selon ses mots), et comme un exemple de formalisation aboutie du point de vue de la rigueur que l'on attend d'une modélisation mathématique. Comme Mosconi (2013) le pointe en conclusion de sa courte note, Lacan « s'en inspire, sans pour autant qu'il y ait une correspondance totale entre la structure mathématique et la structure subjective ». Ceci explique que Lacan en vienne à qualifier sa schématisation de « demi-groupe de Klein ».

## Du groupe de Klein en mathématiques au groupe de Lacan

Lacan débute son exposition du groupe de Klein par une très brève allusion à l'ancrage de la théorie des groupes dans la théorie des ensemble. En effet, un groupe est la donnée d'un ensemble G, muni d'une loi de groupe *. Si G est constitué de permutations d'un ensemble X, on peut prendre comme
loi * la composition ° des applications. Un autre exemple est l'ensemble des entiers relatifs muni de
l'addition +. D'une façon générale, la loi de composition * est un procédé qui à deux éléments a et
b de G associe un troisième élément du groupe, noté a*b. Elle est tenue de vérifier les axiomes de
groupe, à savoir l'associativité : (a*b)*c=a*(b*c) ; la présence d'un élément neutre e vérifiant
e*a=a*e=a pour tout élément a de G ; enfin, l'existence d'un symétrique a', pour chaque élément a,
vérifiant a'*a=a*a'=e. Par exemple, l'élément symétrique d'une permutation est la permutation
inverse, qui inverse le sens des flèches, tandis que l'élément symétrique d'un entier est son opposé.
On dit qu'un élément a d'un groupe est d'ordre 2 si a*a=e : on dit aussi que a est une involution ;
une permutation d'ordre 2 est sa propre inverse. Si la loi est notée +, on note a+a=0 ou a=-a. Si elle
est notée -, alors on note a²=1, ou a=a⁻¹. Lacan note a.a=0, ce qui est inconsistent avec l'usage
mathématique (l'interprétation psychologique qu'il souhaite donner à l'élément neutre le conduit à
le noter 0 ; dans ce cas, la loi devrait être notée additivement).

D'une façon abstraite, le groupe de Klein est engendré par deux éléments a et b d'ordre 2 qui
commutent. Ceci le caractérise à isomorphisme près. Il se compose de 4 éléments : c'est l'ensemble
{e, a, b, a*b}. Posant c=a*b, il est aisé de vérifier la formule a*c=b écrite par Lacan : en appui sur
les axiomes de groupe, on calcule a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b.

Ceci donne un aperçu des aspects algébriques du groupe de Klein. De fait, Lacan présente un
modèle géométrique du groupe de Klein plutôt que cette caractérisation abstraite : il dessine un
tétraèdre dont les 6 arêtes sont organisées en paires, par le biais de 3 couleurs différentes. Puis il
représente un rectangle (ou quadrangle) dont les sommets sont reliés deux à deux, et il argumente
que « du point de vue de la structure, c'est exactement la même », en colorant les arêtes du
rectangle. Ceci mérite très certainement des explications pour en saisir le sens mathématique de
façon plus précise et rigoureuse.

Il s'agit alors de mentionner le programme d'algébrisation de la géométrie initié par Félix Klein (Russo, 2013) : ce dernier met l'accent sur les transformations géométriques (symétries, rotations, ...) plutôt que sur les figures géométriques. A sa suite, la géométrie devient l'étude des invariants sous l'action d'un groupe de transformations. On peut ainsi considérer les transformations du plan qui respectent les distances (isométries) et qui laissent un rectangle invariant : ces dernières forment un groupe isomorphe au groupe de Klein. En effet, on compte, outre l'identité, les symétries axiales a et b par rapport aux droites passant par les milieux des côtés opposés du rectangle (deux involutions). Leur composée c=a°b est la symétrie centrale de centre le milieu du rectangle (une rotation de 180°). Le groupe des isométries de l'espace qui laissent invariant un tétraèdre régulier contient bien davantage d'éléments ; par contre, le fait de colorier les arêtes du tétraèdre réduit le nombre des possibilités : on retrouve le groupe de Klein, où les trois éléments d'ordre 2 sont les rotations de l'espace, d'angle 180° et d'axes les droites passant par le milieu de deux arêtes de même couleur. Que ce soit dans le modèle planaire ou en dimension 3, le groupe de Klein permute les 4 sommets ; de plus, l'image d'un sommet (par exemple le coin en haut à droite du rectangle) détermine la transformation dont il est question (il y a 3 possibilités : les trois autres sommets). Ceci explique que Lacan identifie les éléments du groupe à une arête orientée reliant 2 sommets.
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Le groupe de Klein $G$ agit sur l'ensemble $X$ des sommets. Il se trouve que $G$ et $X$ sont tous les deux des ensembles à 4 éléments, ce qui peut, d'un point de vue didactique, générer des confusions. Selon une représentation usuelle, les étiquettes des sommets du rectangle correspondent aux désignations des éléments de $X$ et des étiquettes sur les arêtes aux éléments de $G$. Voyons donc ce qu'il en est des représentations de Lacan lorsqu'il s'agit de mobiliser la structure de groupe de Klein pour schématiser les processus de l'inconscient.

La représentation du séminaire XV reproduite plus haut signifierait donc que les 3 transformations psychiques qui constituent le groupe de Klein dans sa réalisation psychanalytique (ce que Miller appelle le groupe de Lacan) sont l'aliénation, le transfert et la vérité. Dans ce cas, quels sont les correspondances, dans le domaine psychique, de l'ensemble $X$, dont les éléments sont permutés deux à deux par le groupe de Lacan ? Seul le coin inférieur droit est étiqueté d'un symbole, celui du « phallus négatif » ou « manque à être ». De plus, au séminaire XIV, Lacan offre une représentation d'un second quadrangle, avec un étiquetage différent des sommets (passage à l'acte, répétition, sublimation, acting-out), ce qui vient brouiller les pistes du lecteur ou lectrice qui chercherait à établir une correspondance plus rigoureuse entre l'objet mathématique et son interprétation psychanalytique. On trouve ainsi, dans la littérature, de nombreux commentaires et tentatives d'élucidation des propos que Lacan (2001, p. 324) délivre en guise de synthèse relativement au schéma de Klein dans son résumé du séminaire XIV : « Mais il s'agit d'un groupe de Klein ou simplement du pont-aux-ânes scolastique, c'est dire qu'il y a un coin quart. Ce coin combine les résultats de chaque opération en représentant son essence dans son résidu. C'est dire qu'il renverse leur relation, ce qui se lit à les inscrire d'un passage d'une droite à une gauche qui s'y distinguent d'un accent ». A notre humble avis, une mise en regard plus poussée (rigoureuse) des aspects mathématiques (groupe de Klein) et psychanalytiques est vaine, car la correspondance est imparfaite. De la plume de Lacan, « L'examen du groupe ne montre en effet jusqu'ici dans ses trois opérations que nous sommes : aliénation» vérité et transfert, rien qui permette de revenir à zéro à les redoubler : loi de Klein posant que la négation à se redoubler s'annule » (p. 325). Pour asseoir la modélisation des opérations psychanalytique sous forme d'un groupe mathématique, il s'agirait en outre de donner un sens à une formule du type aliénation°vérité=transfert, suscitée par le formalisme mathématique plutôt que par la logique du discours psychanalytique.

Lacan ne s'engage pas dans cette voie. Lorsqu'il poursuit avec sa formule de la structure de métaphore, il souligne que « cette structure, je lui donne, comme vous le savez, une grande importance. Elle est fondamentale pour expliquer la structure de l'inconscient, pour autant que le refoulement est, à l'origine, un effet de substitution signifiante » (Séminaire XIV, p. 82). On peut y
lire ce qui peut être compris comme un élément à la racine de cette intuition que la structure de groupe serait une clef de compréhension : « substitution signifiante » résonne avec la notion de groupe de permutations, appelé également groupe de substitutions. Ceci pourrait paraître un rapprochement facile s'il n'en était des succès de Lévi-Strauss et des liens naturels qui s'offrent à creuser entre une grammaire des mythes, rendant compte des phénomènes de métaphore et de métonymie, et des phénomènes similaires suscités par l'inconscient, structuré comme un langage. Si la mise en œuvre rigoureuse de cette intuition conduit, d'une certaine manière, à une impasse du point de vue de la correspondance entre formalisme mathématique en théorie des groupes et propos psychanalytiques, les propos que délivre Lacan, porté par son intuition, continuent de sonner avec une sorte de justesse, pour des raisons qui sont encore à approfondir. Par exemple, « Il faut en effet que s'y close le cycle par quoi l'impasse du sujet se consomme de révéler sa vérité » (Autres écrits, p. 324), outre sa profondeur psychanalytique, semble faire écho aux résultats de la classification des groupes d'ordre 4 : comme l'a souligné Weil dans son exemple, le groupe de Klein est l'unique groupe non-cyclique d'ordre 4, à isomorphisme près. Il serait tentant (peu sérieux mais intriguant) d'y lire une sorte de nécessité formelle à la logique du fantasme.

## Conclusion et perspectives

Menant une sorte d'enquête historique et épistémologique, nous avons tenté d'éclairer les sources et les intuitions sous-jacentes à l'emprunt que fait Lacan aux mathématiques lorsqu'il en appelle au groupe de Klein pour produire son analyse de la logique du fantasme en psychanalyse. Ce faisant, nous avons apporté quelques explications mathématiques supplémentaires, insuffisantes pour une bonne maîtrise des concepts mathématiques qui nécessitent une étude approfondie pour eux-même, mais qui nous semblent essentielles pour décrypter la présentation qu'en donne Lacan et l'usage qui souhaite en faire, dans les limites que nous avons décrites.

Il nous apparaît que le projet de Lacan ne peut se comprendre qu'à travers une approche interdisciplinaire, car lui-même a puisé sa créativité à la croisée de la psychanalyse et des mathématiques, de l'anthropologie, de la linguistique et de la sémiotique formelle, de la philosophie,... Le liant entre tous ces éléments, que l'apport se situe du côté de la sémantique, de la syntaxe, de la méthode, de l'analogie formelle qui permet le transfert d'intuition d'un domaine à un autre, est indéniablement la notion de structure.

Nous avons souligné que le groupe de Klein a connu un certain succès en anthropologie structurale pour décrire et classifier les systèmes de parenté. Plus tard, Lévi-Strauss utilise la même structure pour rendre compte d'un système de 4 mythes qui s'opposent en se complétant selon ce schéma. En accord avec ce que donne à voir sa représentation planaire, le groupe de Klein exprime une sorte de couplage entre deux oppositions qualitative qui s'exercent sur des dimensions différentes (Désveaux, 1995). Il s'agit là, d'un point de vue structuraliste, de l'intuition formelle qui préside à son usage tant en anthropologie qu'en psychanalyse.

De fait, Lévi-Strauss abandonne ensuite ce formalisme au profit de ce qu'il appelle la « formule canonique du mythe ». Dans ses travaux, le philosophe et mathématicien Jean Petitot (1988) en donne une approche topologique basée sur la théorie des catastrophes du mathématicien René Thom. Ceci lui permet de soutenir la thèse que le structuralisme, vivifié par l'idée de Thom de « l'existence d'infrastructures topologico-dynamiques des structures et des procès sémiolinguistiques », demeure « comme Claude Lévi-Strauss n'a eu de cesse de l'affirmer, la clef
théorique des sciences humaines » (p. 46). Il prolonge ainsi ses travaux antérieurs sur le carré sémiotique, que nous avons évoqué plus haut et qu’il a soumis à la même approche topologique (Petitot, 1977). La lecture de cette dernière référence mathématique contient de nombreux emprunts à Lacan : partant d’une analyse épistémologique de la pensée catégoriale (de la différence), Petitot soutient que « quelle que soit la compulsion de la rationnalité à réduire voire à forclore sans reste la pensée catégoriale, celle-ci métonymise indéfiniment son reste en un retour et une dérive discordantiels » (p. 349). Il poursuit (p. 360) : « L’on voit qu’elle repose sur un geste de forclusion, celui de l’être-dialectique réel de l’opposition privative. Comme dans toute délimitation d’une région symbolique nous sommes donc en présence d’un reste originairement retranché et donc d’un ininscriptible, d’un impossible (au sens lacanien de ce qui ne cesse pas de ne pas s’écrire) ». Cet extrait nous semble emblématique des articulations inter-disciplinaires que permet l’approche structuraliste et dont les enjeux de mathématisation des sciences humaines englobe la psychanalyse, à la suite des travaux initiés par Lacan dans la logique du fantasme et son groupe de Klein. S’approprier ces références (et celles qui émergeront de la poursuite de notre humble enquête, menée en tant qu’épistémologue et didacticien non spécialiste de la mathématisation des sciences humaines) puis poser les prochaines pierres selon l’actualité de la recherche ne peuvent s’effectuer sans le concours de tenants des différents champs, tant le cumul des expertises semble nécessaire face à l’ampleur et à la technicité de la tâche. Dans notre monde spécialisé actuel, on ne saurait attendre que l’ensemble des compétences requises s’incarne en une seule personne, malgré les intuitions fulgurantes qu’une personne comme Lacan peut manifester.

Références :

Bourbaki, Nicolas. L'architecture des mathématiques. In François Le Lionnais (Dir.), Les grands courants de la pensée mathématique. Actes Sud, 1948. pp. 35-47

Charraud, Nathalie. Lacan et les Mathématiques. Anthropos, 1997.

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