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Institut de Recherche
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France
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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

CONCEPTION D'ALGORITHMES
PARALLÉLISABLES
ET CONVERGENTS
DE FILTRAGE
RÉCURSIF NON-LINÉAIRE

François LEVIEUX

Rapport de Recherche N° 235

Mai 1977

Sop
CONCEPTION D'ALGORITHMES PARALLÉLISABLES
ET CONVERGENTS DE FILTRAGE RÉCURSIF NON-LINÉAIRE

François Levieux

**Résumé :**

Dans un précédent rapport [9], les problèmes de convergence théorique et pratique associés à la synthèse de filtres numériques récursifs non-linéaires avaient été étudiés à l'aide de méthodes issues de l'analyse numérique des modèles à paramètres répartis. Le présent travail prolonge cette étude, et l'étend à une classe de schémas numériques parallélisables. Des résultats théoriques portant sur l'évolution de densités de probabilités conditionnelles non-normalisées introduites par Zakai [18], ont été obtenus et une étude numérique permet de préciser le domaine d'application de ce type de solutions à l'aide d'une étude statistique des performances.

**Abstract :**

In a preceding report [9], theoretical and numerical convergence of recursive non-linear filters has been proved through methods arising from numerical analysis of partial differential equations. This works extend this study to a class of parallel algorithms. Theoretical results on evolution of unnormalised conditional density of probability introduced firstly by Zakai [18] have been obtained and numerical results precise the domain of application of this type of solutions through a statistical analysis of performances.
TABLE DES MATIERES

<table><thead><tr><th></th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>CONCEPTION D'ALGORITHMES PARALLELISABLES ET CONVERGENTS DE FILTRAGE RECURSIF NON-LINEAIRE</td><td>1</td></tr><tr><td>I. INTRODUCTION</td><td>1</td></tr><tr><td>II. PRESENTATION DU CADRE MATHEMATIQUE</td><td>2</td></tr><tr><td>II.1. Modélisation par des processus de ITO</td><td>2</td></tr><tr><td>II.2. Influence des corrélations entre b<sub>1</sub> et b<sub>2</sub></td><td>5</td></tr><tr><td>II.3. Introduction de la densité de probabilité conditionnelle</td><td>7</td></tr><tr><td>II.4. Changement de variable et simplification</td><td>8</td></tr><tr><td>III. UN RESULTAT D'EXISTENCE ET D'UNICITE</td><td>10</td></tr><tr><td>III.1. Rappel d'un résultat abstrait</td><td>10</td></tr><tr><td>III.2. Application à l'équation (2.28)</td><td>11</td></tr><tr><td>III.3. Identification à la solution de (2.24)(2.26)</td><td>17</td></tr><tr><td>IV. APPROXIMATION DE LA SOLUTION DE (3.5) PAR DISCRETISATION DU TEMPS</td><td>20</td></tr><tr><td>IV.1. Rappel et extension de résultats connus</td><td>20</td></tr><tr><td>IV.2. Convergence d'un schéma d'approximation implicite et décomposable</td><td>24</td></tr><tr><td>IV.3. Construction de l'algorithme numérique correspondant</td><td>28</td></tr><tr><td>V. UN EXEMPLE NUMERIQUE</td><td>30</td></tr><tr><td>V.1. Description d'un dispositif d'interférométrie à deux antennes</td><td>30</td></tr><tr><td>V.2. Application de la méthode de la section IV</td><td>32</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th></th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>V.3. Simulation numérique du processus et du filtre</td><td>34</td></tr><tr><td>V.3.1. Simulation du processus</td><td>34</td></tr><tr><td>V.3.2. Résolution de l'équation d'évolution de p̂(x,t)</td><td>34</td></tr><tr><td>V.4. Résultats des simulations</td><td>36</td></tr><tr><td>VI. CONCLUSION</td><td>42</td></tr><tr><td>VII. REFERENCES</td><td>43</td></tr><tr><td>VIII. ANNEXE</td><td>45</td></tr><tr><td>IX. COMMENTAIRES</td><td>47</td></tr></tbody></table>
CONCEPTION D'ALGORITHMES PARALLELISABLES ET CONVERGENTS

DE FILTRAGE RECURSIF NON-LINEAIRE.

F. LEVIEUX (Avril 1977).

# I. INTRODUCTION

Ce travail est le prolongement d'une étude portant sur la synthèse de filtres non-linéaires récursifs, généralisant les solutions de KALMAN-BUCY, à l'aide d'outils mathématiques et numériques issus de l'analyse des équations aux dérivées partielles. Les premiers résultats avaient permis de définir des algorithmes d'approximation associés à un schéma de discrétisation convergent pour la norme d'un espace de type $L^2$. Dans ce qui suit, nous allons montrer que l'on peut modifier ces algorithmes, pour en faciliter l'implémentation et augmenter considérablement la vitesse de calcul, sans perdre les propriétés de convergence obtenues précédemment. Après un bref rappel du problème du filtrage non-linéaire, on interprêtera à l'aide d'équations paraboliques bilinéaires un résultat de ZAKAI [18] sur les densités de probabilités non-normalisées. On explicite les liaisons entre cette solution et la solution issue de la référence [9]. On déduit de ces résultats une méthode algorithmique, qui permet une implémentation parallèle aisée.
### II. 1. Modélisation par des processus de ITO.

Soit $X(t, \omega)$, l'état d'un système dynamique, causal, non-linéaire. Les applications mécaniques et électriques étant les plus fréquentes, on choisit pour ce processus les caractéristiques suivantes : $X(t, \omega)$ est un processus de diffusion, vectoriel de dimension $n$, vérifiant l'équation :

$$ (2.1) \qquad X(t, \omega) = X_0(\omega) + \int_0^t f(X(s, \omega), s)ds + \int_0^t g(X(s, \omega), s)db_1(s, \omega). $$

Les fonctions $f$ et $g$ sont respectivement vectorielles et matricielles de dimension $n$, $b_1$ est un mouvement brownien unitaire. Soit $f_i$ les composantes de $f$, et $g_{ij}$ les composantes de la matrice gg'. Enfin désignons par $A(t)$ l'opérateur de FOKKER PLANCK associé à l'équation (2.1) et défini par :

$$ (2.2) \qquad A(t) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial[f_i(x,t).]}{\partial x_i} - \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^2[g_{ij}(x,t).]}{\partial x_i \partial x_j}. $$

Introduisons les hypothèses suivantes (cf. LEVIEUX [9]):

(H1) Les coefficients $f_i(x,t)$, $g_{ij}(x,t)$ pour $i,j = 1-n$, sont éléments de $C_1^n\{(0,T); C_0^n(R^n)\}$ avec $n_0 = \text{Entier}(\frac{n}{2} + 1)$ et $n_1 = \text{Entier}(\frac{n_0}{2} + 1)$. ■

(H2) Les fonctions $f_i$ et $g_{ij}$ sont bornées et Hölderiennes sur $R^n x(0,T)$. ■

(H3) Il existe $\lambda, \mu > 0$ tel que, quelque soit $\varphi$ élément de $L^2\{(0,T); V\}$ :

$$ (2.3) \qquad < A(t)\varphi, \varphi >_{VV} + \lambda \|\varphi\|_H^2 \geq \mu \|\varphi\|_V^2, $$

où $V \equiv H^1(R^n)$, $H \equiv H' \equiv L^2(R^n)$ et $<, >_{VV}$ désigne le produit de dualité entre $V$ et son dual $V'$. ■
(H4) $P_0(x)$, densité de probabilité de la variable aléatoire $X_0(\omega)$, est élément de $H_0^n(R^n)$. ■

(H5) Il existe un prolongement $\bar{A}(t)$ de l'opérateur $A(t)$ pour $t < 0$ tel que $p_0(x)$ vérifie :

$$ (2.4) \qquad \int_{\mathbb{R}^n} p_0(x)dx = 1 $$

$$ (2.5) \qquad \exists \delta > 0, 0 \le p_0(x) \le \delta\rho(x, 0) $$

$$ (2.6) \qquad \frac{d\rho}{dt}(x,t) + \bar{A}(t)\rho(x,t) = 0 $$

$$ (2.7) \qquad \exists \tau_0 > 0, \rho(x, -\tau_0) = \delta(x). \quad \blacksquare $$

Le processus $x(t,\omega)$ défini par (2.1) et les hypothèses (H1) à (H5) est observé selon une loi physique décrite par la relation :

$$ (2.8) \qquad z(t, \omega) = \int_0^t (H(X(s, \omega), s)ds + db_2(s, \omega)), $$

où $b_2$ est un mouvement brownien scalaire unitaire et $H$ une fonction instantanée sur $\mathbb{R}^n x(0,T)$, vérifiant l'hypothèse suivante :

(H6) $H(x,t)$ est élément de $L^\infty[\mathbb{R}^n x(0,T)] \cap C^0[\mathbb{R}^n x(0,T)]$ et $\frac{\partial H}{\partial x}, \frac{\partial H}{\partial t}$ sont éléments de $L^2[\mathbb{R}^n x(0,T)] \cap L^\infty[\mathbb{R}^n x(0,T)]$. ■

Suivant ici l'exposé de FUJISAKI, KALLIANPUR, KUNITA [1], on introduit le processus innovation $b(t,\omega)$ associé à $z(t,\omega)$, qui sous les hypothèses présentes, est un mouvement brownien unitaire. Ce processus est défini par la relation :

$$ (2.9) \qquad b(t, \omega) = z(t, \omega) - \int_0^t E\{H[x(s, \omega), s] / B(z_0^s)\}ds, $$
où $B(z_0^t)$ désigne la plus petite $\sigma$-algebre contenant les évènements de la
forme $\alpha \le z(s,\omega) \le \beta$ quelque soit $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ et $s \in [0,t]$.

Soit $A^*(t)$ l'opérateur adjoint de l'opérateur $A$. Une fonction sca-
laire $\varphi(x)$ est dite élément de l'espace $\mathcal{B}(A^*)$ si et seulement si les conditions
suivantes sont satisfaites :

$$
(2.10) \quad E \left\{ \int_0^t [A^*(s) \varphi[X(s, \omega)]]^2 ds \right\} < + \infty.
$$

Le processus $M_t(\varphi)$ défini par :

$$
(2.11) \quad M_t(\varphi) = \varphi[X(t,\omega)] - E\{\varphi[X_0(\omega)]\} + \int_0^t A^*(s)\varphi[X(s,\omega)]ds
$$

est une martingale mesurable sur $B([b_1]_0^t)$.

On peut immédiatement remarquer, que l'ensemble $\mathcal{B}(A^*)$ n'est pas
vide et contient, par exemple, toutes les fonctions bornées et $C^3$ sur $\mathbb{R}^n$.

Enfin soit $B_t$ l'opérateur de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ dans $\mathcal{B}'(\mathbb{R}^n)$ défini comme suit :
$B_t^*$ désignant l'adjoint de $B_t$, l'expression :

$$
(2.12) \quad C_t = M_t(\varphi)x b_2(t,\omega) - \int_0^t B_s^* \varphi(X(s,\omega))ds
$$

est une martingale adaptée aux $\sigma$-algèbres $B([b_1]_0^t, [b_2]_0^t)$. On montre (voir
réf.[11]) que pour toute fonction $\varphi$ appartenant à $\mathcal{B}(A^*)$, l'opérateur $B^*$ est
défini de façon unique par la relation (2.12) et, par dualité pour les dis-
tributions sur $\mathbb{R}^n$, l'opérateur $B$.

Le résultat suivant (théorème 4.1 de la réf.[9]) permet de trouver
une relation différentielle liant l'espérance mathématique de la fonction
$\varphi[x(t,\omega)]$ conditionnée par les observations passées $z(s,\omega)$ avec $s < t$, ce qui
est l'objet même du filtrage récursif.
## THEOREME 2.1.

Sous les hypothèses (H1) à (H6), toute fonction $\varphi$ élément de $\beta(A*)$ vérifie la relation :

$$ (2.13) \quad \begin{aligned} & E\{\varphi[X(t,\omega)]/B(z_0^t)\} + \int_0^t E\{A_s^* \varphi[X(s,\omega)]/B(z_0^s)\}ds = E\{\varphi[X_0(\omega)]\} \\ & + \int_0^t \left[E\{\varphi[X(s,\omega)]H[X(s,\omega),s]/B(z_0^s)\} - E\{\varphi[X(s,\omega)]/B(z_0^s)\}\right]xE\{H[X(s,\omega),s]/B(z_0^s)\} \\ & + E\{B_s^* \varphi[X(s,\omega)]/B(z_0^s)\}]db(s,\omega). \end{aligned} \quad \blacksquare $$

## II. 2. Influence des corrélations entre $b_1$ et $b_2$.

Dans de nombreuses applications à l'électronique ou aux transmissions, il est irréaliste de supposer que les browniens $b_1$ et $b_2$ (et par conséquent les bruits qui leur sont associés) sont décorrélés. Notons $S(X(t,\omega),t)$ la fonction vectorielle de dimension $n$ définie comme suit : S est l'unique processus croissant à variation bornée associée au produit du couple de martingale $b_1(t,\omega)$, $b_2(t,\omega)$. Une introduction de la fonction S peut être trouvée dans KUNITA-WATANABE [5] et dans MEYER [13]. Une autre définition possible de S est la suivante : soit $\Psi_1(t)$ et $\Psi_2(t)$ deux fonctions mesurables sur $B([b_1]_0^t, [b_2]_0^t)$. Quelles que soient $\Psi_1$ et $\Psi_2$ de carré sommable, on a la relation :

$$ (2.15) \quad E\left\{ \int_0^t \Psi_1(s) db_1(s, \omega) \int_0^t \Psi_2(s) db_2(s, \omega) \right\} = \int_0^t \Psi_1(s) \Psi_2(s) S[X(s, \omega), s] ds. $$

Ainsi que le signalent FUTJISAKI - KALLIANPUR - KUNITA [1], (2.15) n'a lieu que si les accroissements des processus $b_1$ et $b_2$ aux instants postérieurs à $t$ sont indépendants de $B([b_1]_0^t, [b_2]_0^t)$, ce que nous supposerons pour tout $t$ dans $[0,T]$.
Revenant à la définition de l'opérateur $B_t^*$, on cherche à explicitier sa forme sous l'hypothèse et les notations ci-dessus. De la relation (2.12) on déduit, quelle que soit la fonction $\varphi$ élément de $\mathcal{B}(A^*) :$

$$
(2.16) \quad \mathbb{E}\{M_t(\varphi)b_2(t,\omega) - M_s(\varphi)b_2(s,\omega)/\mathcal{B}([b_1]^S_0, [b_2]^S_0)\} = \\
\qquad \int_s^t \mathbb{B}_u^*\varphi[X(u,\omega)]du.
$$

Un calcul rapide montre que le premier membre de (2.16) est de la forme :

$$
(2.17) \quad \mathbb{E}\{M_t(\varphi)b_2(t,\omega) - M_s(\varphi)b_2(s,\omega)/\mathbb{B}([b_1]^S_0, [b_2]^S_0)\} = \\
\quad \mathbb{E}\{[M_t(\varphi) - M_s(\varphi)][b_2(t,\omega) - b_2(s,\omega)]/\mathbb{B}([b_1]^S_0, [b_2]^S_0)\}.
$$

A partir de (2.17), (2.16), de la relation (2.11), et en appliquant directement
le calcul de ITO à la fonction $\varphi[X(t,\omega)]$, on obtient :

$$
(2.18) \quad M_t(\varphi) - M_s(\varphi) = \int_s^t \frac{\partial \varphi}{\partial x} [X(u, \omega)] g[X(u, \omega), u] db_1(u, \omega).
$$

Donc, puisque db₁(u,ω) et db₂(u,ω) sont indépendants de B([b₁]₀, [b₂]₀) :

$$
(2.19) \quad \int_s^t \mathbb{B}_u^* \varphi [X(u, \omega)] du = \\
\qquad \mathbb{E} \left\{ \int_s^t \frac{\partial \varphi}{\partial x} [X(u, \omega)] g(X(u, \omega), u) db_1(u, \omega) \int_s^t db_2(u, \omega) \right\} = \\
\qquad \int_s^t \frac{\partial \varphi}{\partial x} [X(u, \omega)] g[X(u, \omega), u] S[X(u, \omega), u] du.
$$

Par identifications, on obtient :

$$
(2.20) \quad B_t^* \varphi [X(t, \omega)] = \frac{\partial \varphi}{\partial x} [X(t, \omega)] g(X(t, \omega), t) S[X(t, \omega), t].
$$
## II. 3. Introduction de la densité de probabilité conditionnelle.

Notons $p(x,t;\omega)$ la densité de probabilité de la loi de $X(t,\omega)$ conditionnée par les réalisations pasées $B(z_0^t)$. Cette densité peut toujours être considérée comme une distribution sur $\mathbb{R}^n$, ou plus exactement comme élément de l'espace $L^2(\Omega, \mu; \mathcal{B}[\mathbb{R}^n x(0,T)])$. Quel que soit $\varphi$ appartenant à $\mathcal{B}(A^*)$, on a la relation :

$$ (2.21) \qquad E\{\varphi[X(t,\omega)]/B(z_0^t)\} = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p(x,t;\omega)dx. $$

Comme les deux membres de l'expression (2.21) sont définis pour tout $\varphi \in \mathcal{B}(A^*)$ on en déduit une première régularisation de la fonction $p$, qui, en tant que fonction de $x$, est presque sûrement élément du dual de $C^3(\mathbb{R}^n)$. On peut déduire formellement de la relation (2.13), l'équation différentielle que doit nécessairement vérifier la fonction $p$, si elle est suffisamment régulière pour que l'écriture ait un sens. En effet, (2.13) et (2.21) impliquent :

$$ \begin{align*} (2.22) \qquad & \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p(x,t;\omega)dx + \int_0^t ds \int_{\mathbb{R}^n} A_s^* \varphi(x)p(x,s;\omega)dx = \\ & \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p_0(x)dx + \int_0^t \left[ \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)H(x,s)p(x,s;\omega)dx - \right. \\ & \phantom{\int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p_0(x)dx + \int_0^t \left[ \right.} \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p(x,s;\omega)dx \int_{\mathbb{R}^n} H(x,s)p(x,s;\omega)dx + \\ & \phantom{\int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)p_0(x)dx + \int_0^t \left[ \right.} \left. \int_{\mathbb{R}^n} B_s^* \varphi(x)p(x,s;\omega)dx \right] db(s,\omega). \end{align*} $$

La relation (2.22) peut se réduire, par élimination de $\varphi$, en une relation différentielle par rapport à la seule inconnue $p(x,t;\omega)$ ; on obtient :
$$ (2.24) \qquad p(x,t;\omega) + \int_0^t A_s p(x,s;\omega)ds = p_0(x) + $$

$$ \int_0^t [p(x,s;\omega)[H(x,s) - \int_R^n H(\alpha,s)p(\alpha,s;\omega)d\alpha] - B_s p(x,s;\omega)]db(s,\omega), $$

$A_t$ et $B_t$ se déduisant de $A_t^*$ et $B_t^*$ par dualité. En particulier $B_t$ prend la forme :

$$ (2.25) \qquad B_t p(x,t;\omega) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} [(g(x,t)S(x,t))_i p(x,t;\omega)], $$

où $(\cdot, \cdot)_i$ désigne la ième composante du produit matriciel $g \times S$.

Il faut remarquer, que la relation (2.24) permet effectivement de caractériser les variations de la fonction p au cours du temps, ce qui n'était pas le cas de la relation (2.13) pour la variable $E\{\varphi|B(z_0^t)\}$.

## II. 4. Changement de variable et simplification.

Dans plusieurs publications récentes (ZAKAI [18], ROZOVSKII [17]), une simplification de l'équation (2.24) a été proposée à l'aide d'un changement de variable sur la fonction p. Introduisons la fonction $\tilde{p}(x,t;\omega)$, de même régularité que p, par les relations :

$$ (2.26) \qquad \tilde{p}(x,t;\omega) = p(x,t;\omega) \int_R^n \tilde{p}(x,t;\omega)dx $$

$$ (2.27) \qquad \tilde{p}(x,0;\omega) = p_0(x). $$

Les équations (2.26), (2.27) définissent en fait une classe de fonctions, qui se déduisent les unes des autres par multiplication par une fonction mesurable arbitraire de t et ω. Utilisant formellement le calcul différentiel de ITO, on peut montrer que, parmi les différentes solutions des relations
(2.26), (2.27), il en existe une qui vérifie la relation différentielle :

$$
(2.28) \quad \begin{aligned}
\tilde{p}(x,t;\omega) + \int_0^t A_s \tilde{p}(x,s;\omega)ds ={}& p_0(x) + \\
& \int_0^t [\tilde{p}(x,s;\omega)H(x,s) - B_s \tilde{p}(x,s;\omega)]dz(s,\omega).
\end{aligned}
$$

On remarquera que l'équation (2.28) est linéaire par rapport à la seule varia-
ble $\tilde{p}$ et aux conditions initiales $p_0$, ce qui sera de grande importance pour la
conception d'algorithmes d'approximation de $\tilde{p}$ (et donc de $p$). Par contre, l'opé-
rateur, qui, à partir des données $z$, fournit la solution $\tilde{p}$, n'est pas linéaire
ce qui interdit d'utiliser directement la théorie des opérateurs linéaires de
rang non fini.

La justification complète de l'identité entre la solution p de l'équa-
tion (2.24) et la fonction p construite à partir des relations (2.28)(2.26)
sera l'objet de la section III.
### III. UN RESULTAT D'EXISTENCE ET D'UNICITE

#### III. 1. Rappel d'un résultat abstrait.

Nous allons rappeler, un résultat plus général, dû à PARDOUX [14], qui nous permettra de simplifier la démonstration d'existence et d'unicité. Soit $A(t)$ un opérateur vérifiant les hypothèses (H1) à (H3). Soit $K$ un espace de HILBERT séparable, et $w(t)$ un processus de WIENER défini sur $K$, d'opérateur de covariance $J$. Introduisons une famille d'opérateurs $B(t, \cdot)$ de $V$ dans $L^2(K, H)$, définis pour presque tout $t \in (0, T)$ et vérifiant les hypothèses :

$$ (H3.1) \qquad \forall h \in H, \forall k \in K, \forall N \in \mathbb{R}^+, $$

$\exists c_B > 0$ tel que :

$$ (3.1) \qquad |(h,B(t,u)k) - (h,B(t,v)k)| \le c_B ||u - v||_V $$

quels que soient $u,v$ éléments de $V$ de norme inférieure à $N$ dans $V$. ■

(H3.2) Quel que soit $u$ dans $V$, l'application $t \to B(t,u)$ est mesurable, de $]0,T[$ à valeur dans $L^2(K;H)$. ■

(H3.3) Il existe trois réels positifs $\alpha, \lambda, v$ tels que :

$$ (3.2) \qquad 2 < A(t,u), u >_{VV} + \lambda |u|_H^2 + v \ge \alpha ||u||_V^2 + ||B(t,u)||_H^2 $$

quel que soit $u$ élément de $V$, pour presque tout $t$. ■

(H3.4) Il existe un réel positif $\mu$ tel que :

$$ (3.3) \qquad 2 < A(t,u) - A(t,v), u-v >_{VV} + \mu |u-v|_H^2 \ge ||B(t,u) - B(t,v)||_L^2 + ||B(t,v) - B(t,u)||_H^2 $$

quels que soient $u,v$ éléments de $V$. ■
Soit enfin $u_0$ un élément de $L^2\{\Omega, \mu; H\}$.

**THEOREME III.1.** (Théorème 3.1 réf. [15]).

Sous les hypothèses (H1) à (H3) et (H3.1) à (H3.4), il existe une
solution u unique dans $L^2\{\Omega \ x(0,T); V\} \cap L^2\{\Omega \ ; C^0[(0,T); H]\}$ à l'équation :

$$
(3.4) \qquad \mathrm{d}u(t) + A(t,u(t))\mathrm{d}t + B(t,u(t))\mathrm{d}w(t) = 0. \blacksquare
$$

La démonstration est obtenue par une méthode de GALERKIN et détaillée dans
PARDOUX [15].

**III. 2. Application à l'équation (2.28).**

Reprenons les notations de la section 2. Soit $\tilde{p}(x,t;\omega)$ la solution
de l'équation (2.28) que nous réécrivons sous la forme :

$$
(3.5) \quad \tilde{p}(x,t;\omega) + \int_0^t A_s \tilde{p}(x,s;\omega)ds = p_0(x) + \int_0^t B[s,\tilde{p}(x,s;\omega)] dz(s,\omega),
$$

où $B[s, \tilde{p}(x, s; \omega)]$ est donné par la relation :

$$
(3.6) \quad B[s, \tilde{p}(x,s;\omega)] = \tilde{p}(x,s;\omega)H(x,s) - B_s \tilde{p}(x,s;\omega).
$$

La vérification de la relation (3.2) impose une hypothèse supplémentaire :

(H7) Quel que soit $x \in \mathbb{R}^n$ et $t$ élément de $[0,T]$, il existe une constante positive $C_0$ telle que, la relation suivante soit vérifiée au sens des matrices définies positives :

$$
(3.7) \quad I_n - S(x,t) S'(x,t) > C_0 I_n \quad \blacksquare
$$

Cette hypothèse revient à supposer qu'aucune composante de $b_1(t,\omega)$ n'est identique à $b_2(t,\omega)$.
## THEOREME III.2.

Sous les hypothèses (H1) à (H7), il existe une solution unique à l'équation (3.5) dans l'espace $L^2\{\Omega \ x(0,T); V\} \cap L^2\{\Omega, \mu; C^0[(0,T); H]\}$. De plus cette solution est presque partout positive sur $R^n x(0,T) \times \Omega$. ■

## Démonstration.

La première étape de cette démonstration consiste à montrer que les hypothèses du théorème III.1 sont satisfaites et à en appliquer les résultats.

Le processus $z(t,\omega)$ vérifie les conditions d'application du théorème de Girsanov (GIRSANOV [3]). Moyennant un changement de mesure de probabilité on peut rendre ce processus isonome au processus $b_2(t)$. Il apparaît alors comme un processus de WIENER à valeur dans $R$. L'opérateur $B(t,\tilde{p})$ défini par la relation (3.6) peut être considéré comme opérateur de $V$ dans $L^2(R;H)$ ; ce dernier espace étant isomorphe à $H$ lui-même, $B$ est un opérateur de $V$ dans $H$.

Les hypothèses (H1) à (H3) entraînent immédiatement la vérification des hypothèses (H3.1), (H3.2) et (H3.4). La principale difficulté vient de l'hypothèse de cœrvivité (H3.3). Cette hypothèse sera satisfaite si la relation :

$$ (3.8) \qquad 2 \langle A_t u, u \rangle_{VV_t} - \|B(t, u)\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)} + \lambda \|u\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)} \ge \alpha \|u\|^2_{H^1(\mathbb{R}^n)} $$

est satisfaite pour tout $t$ sur $(0,T)$ et $u$ dans $H^1(\mathbb{R}^n)$. Par définition de $A_t$ et de $B$ on a la relation :

$$ \begin{align*} (3.9) \qquad 2 \langle A(t)u(x), u(x) \rangle_{VV_t} - \|B[t, u(x)]\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)} & = \\ & \qquad \sum_{i,j=1}^{n} \int_{\mathbb{R}^n} [g_{ij}(x,t) - \alpha_i(x,t)\alpha_j(x,t)] \frac{\partial u(x)}{\partial x_i} \frac{\partial u(x)}{\partial x_j} \, dx \\ & + \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}^n} \left[ \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g_{ij}(x,t)}{\partial x_j} - 2 \frac{\partial \alpha_j(x,t)}{\partial x_j} \right) \right] + H(x,t)\alpha_i(x,t) - 2f_i(x,t) \frac{\partial u(x)}{\partial x_i} u(x) \, dx \\ & - \int_{\mathbb{R}^n} \left[ \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_i(x,t)}{\partial x_j} \frac{\partial \alpha_j(x,t)}{\partial x_i} + H(x,t)[H(x,t) - 2 \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_j(x,t)}{\partial x_j}] \right] u^2(x) \, dx, \end{align*} $$
où $\alpha_i(x,t)$ est donné par la relation :

$$ (3.10) \qquad \alpha_i(x,t) = [g(x,t)S(x,t)]_i . $$

La cœrvivité sera vérifiée si et seulement si la matrice de composantes :

$$ g_{ij}(x,t) - \alpha_i(x,t)\alpha_j(x,t), $$

est définie positive, ce qui est une conséquence directe de la relation (3.7). Après changement de mesure inverse, l'application du théorème III.1 démontre la première partie du résultat cherché.

Pour démontrer la deuxième partie du théorème III.2, nous aurons besoin d'un résultat auxiliaire obtenu à partir des théorèmes de ITO. Soit $\varphi(u)$ une fonction de classe $C^2(\mathbb{R})$ vérifiant :

$$ (3.11) \qquad \begin{gathered} |\varphi(u)| \le k u^2 \\ |\frac{d\varphi}{du}(u)| \le k |u| \\ \left|\frac{d^2\varphi}{du^2}(u)\right| \le k. \end{gathered} $$

Enfin, notons $\Phi(u)$ l'expression :

$$ \Phi(u) = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(u(x))dx. $$

Soit $\tilde{p}(x,t;\omega)$ la solution unique de l'équation (3.5). Une application directe du lemme de ITO fournit la relation :

$$ (3.12) \qquad \begin{gathered} \Phi(\tilde{p}(x,t;\omega)) + \int_0^t \langle A(s)\tilde{p}(x,s;\omega), \frac{d\varphi}{du}(\tilde{p}(x,s;\omega)) \rangle_{VW} ds + \\ \int_0^t \langle B(s,\tilde{p}(x,s;\omega)), \frac{d\varphi}{du}(\tilde{p}(x,s;\omega)) dz(s,\omega) = \end{gathered} $$

$$ \Phi(p_0(x)) + \frac{1}{2} \mathrm{Tr} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^n} \frac{d^2\varphi}{du^2}(\tilde{p}(x,s;\omega)) B(s, \tilde{p}(x,s;\omega)) B^*(s, \tilde{p}(x,s;\omega)) dx ds, $$
où B* désigne l'opérateur adjoint de l'opérateur B. En développant l'équation (3.12) un calcul rapide prouve la relation :

$$
\begin{align*}
(3.13) \quad & \Phi(\tilde{p}(x,t;\omega)) + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) g_{ij}(x,s) \frac{\tilde{\partial}p}{\partial x_i}(x,s;\omega) \\
& \qquad \cdot \frac{\partial p}{\partial x_j}(x,s;\omega) dx ds \\
& + \sum_{i=1}^n \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \left[ \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j} g_{ij}(x,s) - f_i(x,s) \right] \frac{\tilde{\partial}p}{\partial x_i}(x,s;\omega) \tilde{p}(x,s;\omega) dx ds \\
& + \sum_{i=1}^n \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \alpha_i(x,s) \frac{\tilde{\partial}p}{\partial x_i}(x,s;\omega) \tilde{p}(x,s;\omega) dx \\
& - \int_0^t \int_R \frac{dz(s;\omega)}{du} H(x,s) \frac{d\varphi}{du} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \tilde{p}(x,s;\omega) dx \\
&= \Phi(p_0(x)) + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \alpha_i(x,s) \alpha_j(x,s) \frac{\tilde{\partial}p}{\partial x_i}(x,s;\omega) \\
& \qquad \cdot \frac{\partial p}{\partial x_j}(x,s;\omega) dx ds \\
& + \sum_{i=1}^n \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \alpha_i(x,s) \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial \alpha_j}{\partial x_j}(x,s) - H(x,s) \right) \frac{\tilde{\partial}p}{\partial x_i}(x,s;\omega) \tilde{p}(x,s;\omega) dx ds \\
& + \frac{1}{2} \int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \left[ \sum_{i=1}^n \frac{\partial \alpha_i}{\partial x_i}(x,s) - H(x,s) \right]^2 \tilde{p}^2(x,s;\omega) dx ds.
\end{align*}
$$

En prenant l'espérance méthématique des deux membres de (3.12), on obtient :

$$
\begin{align*}
(3.14) \quad & \mathbb{E}\{\Phi(\tilde{p}(x,t;\omega))\} + \mathbb{E}\left\{\int_0^t \left\langle A(s)\tilde{p}(x,s;\omega), \frac{d\varphi}{du}\tilde{p}(x,s;\omega) \right\rangle_{VV} ds \right. \\
& \qquad \left. = \mathbb{E}\{\Phi(p_0(x))\} + \frac{1}{2} \operatorname{Tr} \mathbb{E}\left\{\int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2} (\tilde{p}(x,s;\omega)) \mathcal{B}[s, \tilde{p}(x,s;\omega)] \mathcal{B}^*[s, \tilde{p}(x,s;\omega)] dx ds \right\}.
\end{align*}
$$
En remarquant que les opérateurs du second ordre intervenant dans l'équation (3.13) sont cœrcifs, on déduit de (3.14) l'inégalité suivante :

$$ (3.15) \quad E\{\Phi(\tilde{p}(x,t;\omega))\} \le E\{\Phi(p_0(x))\} + \mu E\left\{\int_0^t \int_R \frac{d^2\varphi}{du^2}(\tilde{p}(x,s;\omega)) \tilde{p}^2(x,s;\omega)dx ds\right\}. $$

Montrons maintenant que la solution de (3.5) est presque sûrement positive.

On applique à nouveau le changement de mesure de probabilité qui rend $z(t,\omega)$ isonome à $b_2$. Une technique classique consiste à introduire la fonction $\bar{u}(t,x)$ défini par :

$$ \bar{u}^{\epsilon}(t,x) = \begin{cases} 0 & \text{si } u(t,x) \ge 0 \\ u(t,x) & \text{si } u(t,x) < 0, \end{cases} $$

et à étudier l'évolution du carré de $\bar{u}$. Mais l'opérateur $\bar{u} \to \bar{u}^\epsilon$ n'est pas de classe $C^2$. Il est donc impossible d'appliquer directement le lemme de ITO à un tel opérateur (cf. PARDOUX [15]). Suivant la référence [15], introduisons une fonctionnelle $\varphi_\epsilon(u)$, pour $\epsilon > 0$, destiné à tendre vers zéro :

$$ (3.16) \qquad \varphi_{\epsilon}(u(t,x)) = \begin{cases} u^2 - \frac{\epsilon^2}{6} & \text{si } u \le -\epsilon \\ -\frac{u^4}{2\epsilon^2} - \frac{4u^3}{3\epsilon} & \text{si } -\epsilon \le u \le 0 \\ 0 & \text{si } u \ge 0. \end{cases} $$

Un calcul simple montre alors que :

$$ |\varphi_{\epsilon}(u)| \le u^2, $$

$$ (3.17) \qquad \left| \frac{d\varphi_{\epsilon}}{du}(u) \right| \le 2|u|, $$

$$ \left| \frac{d^2\varphi_{\epsilon}}{du^2}(u) \right| \le \frac{8}{3}, $$
les deux dernières relations (3.17) devenant des égalités pour $|\bar{u}| > \epsilon$.
$\varphi_\epsilon$ étant deux fois continuement différentiable en $u$, on peut appliquer le
lemme de ITO et on obtient une relation identique à (3.15).

Comme $\varphi_\epsilon$ vérifie les propriétés suivantes :

$$
\begin{gather*}
\left| \frac{d^2 \varphi_{\epsilon}}{du^2} (u) \right| \le \frac{8}{3} \quad \text{si} \quad u < 0 \\
(3.18) \qquad \left| \frac{d^2 \varphi_{\epsilon}}{du^2} (u) \right| = 0 \quad \text{si} \quad u > 0
\end{gather*}
$$

la relation (3.15) peut s'écrire sous la forme :

$$
(3.19) \quad E\{\Phi_{\epsilon}(\tilde{p}(x,t;\omega))\} \le E\{\Phi_{\epsilon}(p_{0}(x))\} + \frac{8\mu}{3} E\left\{\int_{0}^{t} \int_{R^n} [\tilde{p}^{-}(x,s;\omega)]^2 dx ds\right\}.
$$

Or par construction $\Phi_{\epsilon}(p_0(x))$ est nulle. Donc (3.19) implique :

$$
(3.20) \quad E\{\Phi_{\epsilon}(\tilde{p}(x,t;\omega))\} \le \frac{8\mu}{3} E\left\{\int_0^t \int_{\mathbb{R}^n} [\tilde{p}^{-}(x,s;\omega)]^2 dx ds\right\}.
$$

Par passage à la limite quand $\epsilon$ tend vers zéro, (3.20) implique :

$$
(3.21) \quad E\left\{ \| \tilde{p}^{-}(x,t;\omega) \|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \right\} \le \frac{8\mu}{3} \int_0^t E\left\{ \| \tilde{p}^{-}(x,s;\omega) \|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \right\} ds.
$$

(3.21) est une inégalité de GRONWALL qui implique :

$$
(3.22) \qquad E\left\{ \| \tilde{p}^{-} (x, t; \omega) \|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \right\} = 0,
$$

ce qui achève la démonstration.
### III. 3. Identification à la solution de (2.24)(2.26).

Il reste à relier les résultats précédents au problème du filtrage non-linéaire. Pour cela, soit toujours $\tilde{p}(x,t;\omega)$ la solution de (3.5), il faut introduire la densité normalisée $\bar{p}(x,t;\omega)$ par la relation :

$$ (3.26) \qquad \bar{p}(x,t;\omega) = \frac{\tilde{p}(x,t;\omega)}{\int_R^n \tilde{p}(x,t;\omega)dx} $$

et montrer que $\bar{p}(x,t;\omega)$ est solution de l'équation donnant la densité de probabilité conditionnelle :

$$ (3.27) \qquad p(x,t;\omega) + \int_0^t A_s p(x,s;\omega)ds = p_0(x) + \int_0^t [p(x,s;\omega)[H(x,s) - \int_R^n H(\alpha,s)p(\alpha,s;\omega)d\alpha]] - B_s p(x,s;\omega)]db(s,\omega). $$

Pour cela, nous procéderons en trois étapes : montrer que la relation (3.27) admet une solution unique de carré sommable ; montrer que l'expression (3.26) est presque toujours définie et correspond à un opérateur indéfiniment différentiable opérant sur la fonction $\tilde{p}$ ; enfin, appliquer le lemme de ITO en dimension infinie pour identifier les deux membres de la relation (3.26).

### THEOREME III.3.

Sous les hypothèses (H1) à (H7), il existe une solution unique dans $L^2\{\Omega \ x(0,T);V\} \cap L^2\{\Omega, \mu; C^0[(0,T);H]\}$ à l'équation (3.27). Cette solution est liée à celle de l'équation (3.5) par la relation (3.26) pour presque tout $\omega$. ■

### Démonstration.

Pour démontrer la première partie, il suffit de prouver que l'opérateur :

$$ (3.28) \qquad \bar{B}_s p(x,s;\omega) = p(x,s;\omega)[H(x,s) - \int_R^n H(\alpha,s)p(\alpha,s;\omega)d\alpha] - B_s p(x,s;\omega) $$
vérifie les hypothèses (H.3.1) à (H.3.4) et appliquer le théorème III.1. Or, l'opérateur $\bar{B}_s$ se comporte exactement comme l'opérateur $B_s$ vis-à-vis des relations de coercivité intervenant dans (H.3.3) et (H.3.4). La propriété (H.3.2) est immédiate. Il reste donc à examiner l'hypothèse (H.3.1). En utilisant les majorations suivantes :

$$ (3.29) \qquad |H(x,t)| < H_{\max}, $$

$$ (3.30) \qquad \left| \int_{\mathbb{R}^n} H(\alpha, t) p(\alpha, t; \omega) d\alpha \right| < H_{\max}, $$

un calcul rapide, explicité dans LEVIEUX [9] sur un exemple voisin, permet de vérifier la relation (3.1). On remarquera que la majoration (3.30) n'est vraie que parce que $p(x,t;\omega)$ est une densité de probabilité de norme $L^1(\mathbb{R}^n)$ égale à 1, ce qui peut se vérifier à priori, comme cela a été montré dans LEVIEUX [9]. Par application du théorème III.1, on déduit l'existence et l'unicité de $p$ solution de (3.27) dans $L^2\{\Omega \ x(0,T);V\}$ et $L^2\{\Omega,\mu; C^0[(0,T);H]\}$.

Considérons l'opérateur défini par la relation :

$$ (3.31) \qquad \tilde{p}(x,t;\omega) \rightarrow \frac{\tilde{p}(x,t;\omega)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t;\omega)dx} . $$

Cet opérateur est défini et indéfiniment dérivable en dehors du point zéro. Or, la fonction $\tilde{p}$ solution de (3.5) est presque partout non-négative. Le dénominateur de l'expression (3.31) ne peut s'annuler, que si la fonction $\tilde{p}$ est identiquement nulle. De part l'hypothèse (H5), la fonction $p_0(x)$ vérifie :

$$ (3.32) \qquad \int_{\mathbb{R}^n} p_0(x) dx = 1. $$
Comme $\tilde{p}(x,t;\omega)$ est élément de $L^1$, (PARDOUX [15]), (3.5) implique :

$$ (3.33) \qquad \int_{\mathbb{R}} \tilde{p}(x,t;\omega)dx = \int_{\mathbb{R}} p_0(x)dx + \int_0^t dz(s,\omega) \int_{\mathbb{R}} H(x,s)\tilde{p}(x,s;\omega)dx. $$

La structure exponentielle de la solution (implicite) de la relation (3.33) montre que, avec probabilité 1, la norme $L^1$ de la fonction $p(x,t;\omega)$ est non-nulle pour tout $t$, ou identiquement nulle sur un intervalle de la forme $[\tau,T]$. En éliminant, cette situation triviale (qui est de probabilité nulle, théorème démontré dans PARDOUX [15]), l'opérateur décrit par la relation (3.31) est de classe $C^2$ et permet l'application du lemme de ITO.

En reprenant alors le calcul formel présenté dans KUSHNER [6], qui est justifié par les résultats ci-dessus, on montre, que la fonction $\bar{p}(x,t;\omega)$ définie par la relation (3.26), satisfait l'équation (3.27). Comme cette fonction est élément de $L^2\{\Omega x(0,T);V\}$, le résultat d'unicité du théorème III.3 impose son identification avec la densité de probabilité conditionnelle associée au filtre non-linéaire du système (2.1)(2.8)(voir annexe). ■
IV. 1. Rappel et extension de résultats connus.

Soit h un réel positif destiné à tendre vers zéro. Soit N la partie entière de $\frac{T}{h}$ et $\chi_{h,k}(t)$ la fonction caractéristique de l'intervalle $[hk, h(k+1)]$.

Introduisons la fonction suivante $p_h(x,t)$ dite semi-discretisée en temps de la fonction $p(x,t)$ par la relation :

$$ (4.1) \qquad p_h(x,t) = \sum_{h=0}^{N} \chi_{h,k}(t) p_h(x,k). $$

La fonction $p_h(x,k)$ est donnée par la récurrence :

$$ (4.2) \qquad p_h(x,0) = p_0(x) $$

$$ (4.3) \qquad p_h(x,k+1) - p_h(x,k) + h A_h(k) p_h(x,k+1) = \varphi[p_h(x,k)], $$

où $\varphi$ est un second membre dépendant de l'équation dont on cherche à approximer la solution. Si il s'agit de l'équation (3.1), alors $\varphi$ est donné par :

$$ (4.4) \qquad \varphi[p_h(x,k)] = B_h[k,p(x,k)][z(k+1,\omega) - z(k,\omega)]. $$

S'il s'agit de l'équation (2.24), alors $\varphi$ est donné par la relation :

$$ (4.5) \qquad \varphi[p_h(x,k)] = [p_h(x,k)[H(x,k) - \int_R^n H(x,k)p_h(x,k)dx] \\ \qquad - B_h(k,p_h(x,k))][z[(k+1)h,\omega] - z(k,\omega) - h \int_R^n H(x,k)p_h(x,k)dx]. $$

Nous allons montrer le résultat suivant, qui est une extension directe des théorèmes 1.3 et 2.1 chapitre 3 et 2.2 chapitre 5 de la référence [9].
## THEOREME IV.1.

Sous les hypothèses (H1) à (H7), la fonction $p_h(x,t)$ définie par les relations (4.1)(4.2)(4.3) et (4.5) converge fortement dans $L^2\{\Omega \times (0,T) \times \mathbb{R}^n\}$ vers la solution de l'équation (2.24). ■

## Démonstration.

La démonstration d'existence d'une solution de l'équation (2.24) présentée dans la référence [9] était basée sur la construction d'une suite de fonctions étagées $u_N(t)$ approximant les trajectoires du processus $z(t,\omega)$.

Pour des raisons de causalité la fonction $u_N(t)$ était définie de la façon suivante :

$$ (4.6) \qquad u_N(t) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{h} [b((k+1)h, \omega) - b(kh, \omega)] \chi_{h,k-1}(t), $$

où $b(t,\omega)$ est le processus innovation associé à $z(t,\omega)$. Il est possible d'ap-
proximer chacune des fonctions $u_N$ par une séquence dénombrable de fonctions de
classe $C^2(0,T)$, puis, d'extraire de l'ensemble de ces séquences quand $N$ varie,
une sous suite $\bar{u}_N$ telle que :

$$ (4.7) \qquad \lim_{N \to +\infty} E\{\|u_N(t) - \bar{u}_N(t)\|_{L^2(0,T)}^2 \} = 0. $$

Cependant, la nouvelle séquence $\bar{u}_N$ ne vérifie plus les relations de causalité
indispensables pour constituer une approximation correcte d'une différentielle
stochastique de mouvement brownien. On modifie donc la définition de la séquen-
ce $u_N$ en introduisant les fonctions :

$$ (4.8) \qquad V_N(t, \omega) = \sum_{k=0}^{N-2} \frac{1}{h} [b((k+1)h, \omega) - b(kh, \omega)] \chi_{h,k-3}(t) $$

et $\bar{V}_N(t, \omega)$ définie comme précédemment et vérifiant avec $V_N$ une relation du
type (4.7).
Rappelons brièvement les résultats des chapitres 2 et 4 de la référence [9]. Les résultats de convergence qui y sont obtenus sont basés sur une propriété d'identité entre la récurrence définie par (4.2), (4.3) et (4.5) et la récurrence suivante :

$$ (4.9) \qquad \left\{ \begin{aligned} p_h(x,k+1) &= K_{0,h,k}(p_0(x)) + K_{1,h}[p_h(x,k)] \\ K_{0,h,k}[p_0(x)] &= \int_{\mathbb{R}^n} q_h(k+1,x;1,y)p_0(y) \, dy \\ K_{1,h}[p_h(x,k)] &= \sum_{l=0}^{k} h \int_{\mathbb{R}^n} q_h(k+1,x;1,y)\varphi[p_h(y,1)] \, dy, \end{aligned} \right. $$

où $\varphi$ est définie conformément à la relation (4.5) et $q_h$ est solution de la récurrence suivante :

$$ (4.10) \qquad \left\{ \begin{aligned} q_h(k,x;k,y) &= S(x-y) \\ \frac{1}{h} [q_h(k+1,x;1,y) - q_h(k,x;1,y)] + A_h(k)q_h(k+1,x;1,y) &= 0. \end{aligned} \right. $$

Lorsque $h$ tend vers zéro, chacun des opérateurs $K_{i,h}$ $i=1,2$ tendent vers les opérateurs correspondant construits autour de la fonction continue $q$ densité de probabilité à priori associée à l'équation (2.1), dont la fonction $q_h$ définie par (4.10) est une approximation par un schéma implicite.

Désignons par $p_N(x,t;\omega)$ la solution de (2.24) associée à la fonction "entrée" $\bar{V}_N(x,t;\omega)$. L'opérateur $A_t$ + $B(t,\cdot)\bar{V}_N(t,\omega)$, du fait de la régularité des fonctions $\bar{V}_N$ en $t$, et de sa coercivité dues aux relations (3.8), vérifie les hypothèses (H1) à (H3). Reprenant la démonstration du lemme 2.2 de la référence [9] (page 58 et suivantes), on prouve deux choses : premièrement la convergence forte des $p_N$ quand $N$ tend vers l'infini vers la solution $p$ de (2.24) dans $L^2[\Omega \times (0,T) \times \mathbb{R}^n]$ ; deuxièmement la convergence faible dans le même espace du second membre de (2.24) associé aux fonctions $p_N$ et $\bar{V}_N$ vers le second membre de (2.24) associé aux fonctions $p$ et au mouvement brownien $b$.
Pour montrer que $p_h$, défini par (4.1) à (4.3) et (4.5) est une approximation valable de p, il suffit maintenant de prouver que, à N fixé, il est possible de définir une séquence de fonctions $p_h$ approximant $p_N$. Or la fonction $p_h$ définie par (4.1), (4.2), (4.3) et (4.5) peut être définie de façon équivalente par les relations :

$$ (4.11) \quad \left\{ \begin{array}{l} p_h(x,0) = p_0(x), \\[1em] p_h(x,k+1) - p_h(x,k) + h[A_h(k)p_h(x,k+1) - B_h(k,p_h(x,k))\bar{V}(kh,\omega)] \\ \qquad = p_h(x,k)[H(x,k) - \int_R^n H(x,k)p_h(x,k)dx]\bar{V}(kh,\omega), \\[1em] p_h(x,t) = \sum_{k=0}^N \chi_{h,k}(t)p_h(x,k). \end{array} \right. $$

Par la relation (4.9), on peut introduire une récurrence équivalente à (4.11) écrite sous forme intégrale. Quand h tend vers zéro, $p_h$ tend fortement vers une fonction $\bar{p}$ solution de l'équation intégrale :

$$ (4.12) \quad \begin{aligned} \bar{p}(x,t) = & \int_R^n q(x,t;y,0)p_0(y) \, dy \\ & + \int_0^t ds \int_R^n q(x,t;y,s)[\bar{p}(y,s)[H(y,s) - \int_R^n H(\alpha,s)\bar{p}(\alpha,s) \, d\alpha]\bar{V}_N(s,\omega)] \, dy \end{aligned} $$

où $q(x,t;y,s)$ est la densité à priori du processus $X(t-s)$ associée à la condition initiale $X(0) = y$. Un calcul formel rapide montre que la solution de (4.12) vérifie (2.24) associé à l'"entrée" $\bar{V}_N$. L'unicité des solutions de (2.24) montre alors que $\bar{p}$ limite de la séquence $p_h$ est bien identique à $p_N$.

Ce résultat, joint à la convergence forte de la séquence $p_N$ dans $L^2(\Omega \times (0,T) \times \mathbb{R}^n)$ vers la solution de (2.24) associée au mouvement brownien b achève la démonstration du théorème. ■
Remarque.

La fonction $\bar{V}(t, \omega)$ peut être choisie de façon à vérifier la relation :

$$ \bar{V}(kh, \omega) = V(kh, \omega) \quad \text{quel que soit k entier.} $$

Alors la relation (4.10) peut aussi s'écrire :

$$ \begin{align} \tag{4.13} (4.13) \qquad & p_h(x,k+1) - p_h(x,k) + h A_h(k) p_h(x,k+1) = \nonumber \\ & \left[ p_h(x,k) \left[H(x,k) - \int_R^n H(x,k) p_h(x,k) dx\right] - B_h \left[k, p_h(x,k)\right] \right] \nonumber \\ & \qquad \left[ z[(k+1)h, \omega] - z(kh, \omega) - h \int_R^n H(x,k) p_h(x,k) dx \right]. \end{align} $$

Cette dernière relation est identique à la combinaison des relations (4.3) et (4.5). ■

## IV. 2. Convergence d'un schéma d'approximation implicite et décomposable.

Soit $I$ un ensemble d'indices de cardinal fini et $i \in I$, chacune vérifiant les hypothèses (H4) et (H5). Enfin, notons $\lambda_i$ un ensemble de réels positifs ou nuls vérifiant la relation :

$$ (4.14) \qquad \sum_{i \in I} \lambda_i = 1. $$

Soit $\tilde{p}(x,k)$ la suite de fonction définie de la façon suivante :

$$ (4.15) \qquad \tilde{\xi}_i(x,0) = \xi_i(x) $$

$$ (4.16) \qquad \tilde{\xi}_i(x,k+1) - \xi_i(x,k) + h A_h \xi_i(x,k+1) = H(x,k) \tilde{\xi}_i(x,k) [z[(k+1)h, \omega] - z(kh, \omega)]. $$
$$
(4.17) \qquad \tilde{p}(x,k) = \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i(x,k).
$$

Enfin, notons $p(x,k)$ la suite de fonctions définie par la relation :

$$
(4.18) \qquad p(x,k) = \frac{\tilde{p}(x,k)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,k)dx}.
$$

THEOREME IV.2.

Sous les hypothèses (H1) à (H7), la fonction $p_h(x,t)$ définie par les relations (4.1) et (4.14) à (4.18) converge fortement dans $L^2\{\Omega \ x(0,T) \ x \in \mathbb{R}^n\}$ vers la solution de l'équation (2.24). $\blacksquare$

Démonstration.

Tous les raisonnements étant basés sur le principe des récurrences,
nous modifierons les notations en les simplifiant comme suit : pour k fixé :

$$
(4.19) \qquad p(x,k) = p(x) \qquad z[(k+1)h, \omega] = z^+
$$

$$
p(x, k+1) = p^{+}(x) \qquad z(kh, \omega) = z.
$$

Les mêmes modifications sont apportées aux notations des fonctions $\xi_i$, $\tilde{p}$ ou $H$.

Montrons pour commencer que les fonctions $\tilde{p}(x,k)$ satisfont une relation de récurrence du type (4.16) indépendemment de la base de fonction $\xi_i$ choisie. C'est une conséquence immédiate de la linéarité de la relation (4.16) par rapport aux conditions initiales. En effet :

$$
\begin{align*}
(4.20) \quad \tilde{p}^{+}(x) &= \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i^{+}(x) \\
&= \sum_{i \in I} \lambda_i [\xi_i(x) - h A_h \xi_i^{+}(x) + H(x)\xi_i(x)(z^{+}-z)]
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i(x) - h A_h \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i^+(x) + H(x) \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i(x) (z^+ - z) \\
&= \tilde{p}(x) - h A_h \tilde{p}^+(x) + H(x) \tilde{p}(x) (z^+ - z).
\end{align*}
$$

En intégrant les deux membres de (4.20) par rapport à x sur $R^n$, on obtient :

$$
(4.21) \quad \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}^+(x)dx - \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}(x)dx = \int_{\mathbb{R}^n} H(x) \tilde{\mathbf{p}}(x)dx(z^+-z).
$$

De la relation (4.21) on déduit par un calcul simple l'existence d'une fonction $O_1$ telle que :

$$
\begin{align*}
(4.22) \quad & \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}^+(x)dx} - \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}(x)dx} = - \frac{\int_{\mathbb{R}^n} H(x) \tilde{\mathbf{p}}(x) dx (z^+ - z)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}(x) dx \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}^+(x) dx} \\
& = - \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}(x) dx} \int_{\mathbb{R}^n} H(x) \mathbf{p}(x) dx (z^+ - z) [1 - \int_{\mathbb{R}^n} H(x) \mathbf{p}(x) dx (z^+ - z)] + O_1, \\
& = - \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{\mathbf{p}}(x) dx} \int_{\mathbb{R}^n} H(x) \mathbf{p}(x) dx [z^+ - z - h \int_{\mathbb{R}^n} H(x) \mathbf{p}(x) dx] + O_1.
\end{align*}
$$

La fonction $O_1$ vérifie :

$$
(4.23) \quad \lim_{h \to 0} \mathbb{E}\left\{\frac{O_1}{h}\right\}^2 = 0.
$$

En combinant les relations (4.20), (4.21) et (4.22), on obtient :
(4.24)

$$
\begin{align*}
& \frac{\tilde{p}^{+}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}^{+}(x)dx} - \frac{\tilde{p}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x)dx} = \frac{\tilde{p}^{+}(x) - \tilde{p}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}^{+}(x)dx} + \tilde{p}(x) \left( \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}^{+}(x)dx} - \frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x)dx} \right) \\
&= -h A_h \frac{\tilde{p}^{+}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}^{+}(x)dx} + H(x) \frac{\tilde{p}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}^{+}(x)dx} (z^{+}-z) - p(x) \int_{\mathbb{R}^n} H(x)p(x)dx [z^{+}-z \\
&\quad - h \int_{\mathbb{R}^n} H(x)p(x)dx] + \mathcal{O}_1 \\
&= -h A_h p^{+}(x) + H(x)p(x)[z^{+}-z-h \int_{\mathbb{R}^n} H(x)p(x)dx] - p(x) \int_{\mathbb{R}^n} H(x)p(x)dx [z^{+}-z \\
&\quad - h \int_{\mathbb{R}^n} H(x)p(x)dx] + \mathcal{O}_2,
\end{align*}
$$

la fonction $\mathcal{O}_2$ vérifiant :

$$
(4.25) \quad \lim_{h \to 0} \mathrm{E} \left\{ \frac{\mathcal{O}_2}{h} \right\}^2 = 0.
$$

On peut conclure, que la séquence $p(x,h)$ vérifie la relation de récurrence :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
(4.26) \quad & p^{+}(x) - p(x) + h A_h p^{+}(x) = p(x) [H(x) - \int_{\mathbb{R}^n} H(x) p(x) dx] [z^{+} - z \\
& \quad - h \int_{\mathbb{R}^n} H(x) p(x) dx] + \mathcal{O}_2.
\end{split}
\end{equation}
$$
Or, la relation (4.26) est, à un infiniment petit d'ordre supérieur à 1 près, identique à la relation (4.13). La fonction $p(x,h)$ définie par (4.18) est une approximation, sous schéma implicite de la densité de probabilité $p(x,t;\omega)$, sous réserve de l'identité des conditions initiales, c'est-à-dire de la relation :

$$ (4.27) \qquad \sum_{i \in I} \lambda_i \xi_i(x) = p_0(x). $$

Une fois la relation (4.27) vérifiée, on applique le théorème IV.1 pour achever la démonstration. ■

### IV. 3. Construction de l'algorithme numérique correspondant.

Les conditions imposées aux fonctions $\xi_i(x)$ sont vérifiées par n'importe quelle base d'éléments finis couramment utilisée. Le théorème IV.1 assure donc la convergence d'un algorithme, qui calcule une approximation de la solution de (3.1) par un schéma implicite, puis obtient une approximation de la solution de (2.24) par normalisation dans $L^1(\mathbb{R}^n)$. La simplification, que constitue le passage de l'équation (2.24) à l'équation (3.1), compense largement le temps dépensé à effectuer numériquement la normalisation $L^1(\mathbb{R}^n)$, comme l'on montré de nombreuses expériences numériques (LAMBLA [7]). Mais ce gain, quoique important, n'est pas le principal intérêt de l'utilisation des relations (4.14) à (4.18) et (4.27) pour la construction d'algorithmes. En effet le calcul de chaque fonction $\xi_i(x,k)$ à partir de la condition initiale $\xi_i(x)$ peut se faire indépendamment des autres. De plus, on peut considérer à chaque étape k, la fonction calculée $p(x,h)$ comme une nouvelle condition initiale. L'algorithme qui se déduit des relations (4.14) à (4.18) est donc très aisément paralléléisable. Une implémentation possible de cet algorithme est la suivante, qui a été expérimentée avec succès :

α) Décomposer la fonction $p(x,k)$ sur une base de fonctions $\xi_i(x)$ et obtenir la suite $\lambda_i$, qui est mise en mémoire.

β) Effectuer en parallèle le calcul des fonctions $\xi_i^+(x)$ à partir des fonctions $\xi_i$. Il faut remarquer, que rien n'empêche de choisir comme fonction
$\xi_i(x)$ des fonctions de support borné suffisamment petit, pour apparaître après discrétisation en espace comme des fonctions de Dirac en $x$. On fait alors autant de calculs parallèles qu'il y a de points, sur le réseau de discrétisation en espace, pour lesquels la fonction $p(x,k)$ prend des valeurs suffisamment positives pour être significatives.

$\gamma$) A partir des fonctions $\xi_i^+(x)$ et de la suite des $\lambda_i$ reconstituer la fonction $p(x,k+1)$, incrémenter le temps de la valeur $h$, puis revenir en $\alpha$). Un tel algorithme est aussi efficace, que celui présenté dans la référence [9], sur le plan de la stabilité numérique et de la précision des calculs. Il est, bien entendu beaucoup plus rapide, surtout dans sa version parallélisée.
V. 1. Description d'un dispositif d'interférométrie à deux antennes.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1.</figcaption></figure>

On dispose de deux antennes $A_1$ et $A_2$ avec lesquelles on capte des signaux radioastronomiques $\lambda_1(t)$, $\lambda_2(t)$. Ces antennes sont réglées sur une fréquence $\Omega$ et un retard $\tau$ est placé à la sortie de l'antenne $A_2$. Les signaux observés dans l'intervalle de temps $[0,T]$ sont :

$$ \lambda_1(t) = A \cos[\Omega t + \varphi_1(t)], $$

$$ \lambda_2(t) = A \cos[\Omega(t - \tau) + \varphi_2(t)]. $$
On fait passer $\lambda_1(t)$ et $\lambda_2(t)$ dans un multiplieur, puis dans un filtre passe-bas, et on obtient le signal :

$$u(t) = \frac{A}{2} \cos[-\Omega\tau + \varphi_2(t) - \varphi_1(t)].$$

Les signaux $\lambda_1(t)$ et $\lambda_2(t)$ étant supposés provenir de la même source, la différence de phase $\varphi_2(t) - \varphi_1(t)$ correspond à la différence de marche de l'onde observée entre les deux antennes, qui ne dépend que de la géométrie du système et de la direction de la source émissive. Compte tenu de la rotation de la terre, cette différence de marche est supposée proportionnelle au temps, soit :

$$\varphi_2(t) - \varphi_1(t) = \Psi_0 + \omega_0 t.$$

En pratique, la fréquence $\omega_0/2\pi$ varie de 0 à 15 Hz. Le signal $u(t)$ a donc la forme suivante :

$$u(t) = \frac{A^2}{2} \cos[\omega_0 t - \Omega\tau + \Psi_0].$$

En prenant pour $\tau$ une fonction linéaire du temps, $\tau = \alpha t$, le signal $u(t)$ devient :

$$(5.1) \qquad u(t) = a \cos(\omega t + \Psi_0), \text{ avec } \omega = \omega_0 - \Omega\alpha \text{ et } a = \frac{A^2}{2}.$$

On dispose donc à présent d'un signal sinusoidal $u(t)$ dont on peut faire varier la fréquence en jouant sur le paramètre $\alpha$. On remarquera que $u(t)$ devient une fonction constante de temps lorsque : $\alpha = \omega_0/\Omega$.

### Prise en compte des perturbations.

En pratique, les phases $\varphi_1(t)$ et $\varphi_2(t)$ sont soumises à de faibles fluctuations que nous modéliserons sous la forme :

$$\varphi_2(t) - \varphi_1(t) = \Psi_0 + \omega_0 t + \varphi(t),$$

où $\varphi(t)$ est une fonction aléatoire de moyenne nulle sur l'intervalle d'observation.
D'autre part, au signal observé à la sortie du filtre passe-bas s'ajoutent des perturbations dues au trajet de l'onde entre la source et les antennes. On observera donc à la sortie du filtre le signal :

$$ (5.2) \qquad y(t) = a \cos[\omega t + \Psi_0 + \varphi(t)] + b(t), $$

où $b(t)$ peut être considéré comme un bruit blanc gaussien stationnaire sur $[0,T]$. Le niveau de ce bruit est très élevé : le rapport de la densité spectrale de puissance du bruit à la puissance moyenne du signal peut atteindre 15 dB.

## V. 2. Application de la méthode de la section IV.

### V. 2. 1. On pose :

$$ x(t) = \Psi_0 + \varphi(t). $$

$x(t)$ est un processus markovien, où comme solution de l'équation :

$$ (5.3) \qquad \dot{x}(t) = g b_1(t), $$

$g$ étant une constante.

On observe le signal :

$$ (5.4) \qquad y(t) = a \cos[\omega t + x(t)] + r b_2(t), $$

$r$ étant une constante.

Soit $p(x,t)$ la densité de probabilité conditionnelle de $x(t)$ connaisant les observations passées de $y : p(x,t)$ est solution du système (5.5) :
$$
\text{(5.5)} \qquad \left\{
\begin{aligned}
p(x,t) &= \frac{\tilde{p}(x,t)}{\int_{-\Pi}^{+\Pi} \tilde{p}(x,t)dx}, \\
\tilde{p}(x,0) &= p_0(x), \\
\frac{\tilde{\partial}_t p(x,t)}{\partial t} - \frac{c^2}{2} \frac{\tilde{\partial}_x^2 p(x,t)}{\partial x^2} &= a \cos(\omega t + x) \\
& \quad y(t) \tilde{p}(x,t)
\end{aligned}
\right.
$$

avec x ∈ [-Π, +Π] et t ∈ [0,T].

On prendra généralement pour $p_0(x)$ la densité de probabilité uniforme sur $[-\Pi, +\Pi]$.

Pour l'estimation d'une phase, c'est-à-dire d'un point sur le cercle unité, le critère des moindres carrés doit être modifié. Il est préférable de choisir soit le critère des moindres carrés modulo $2\Pi$, soit l'espérance de $[1 - \cos(x - \hat{x})]$. C'est ce dernier critère que nous prendrons. L'estimée est alors donnée par :

$$
(5.6) \qquad \hat{x}(t) = \operatorname{Arctg} \frac{E[\sin x(t)]}{E[\cos x(t)]},
$$

avec : $E[\cos(\hat{x}-x)] > 0$, relation permettant de lever l'indétermination modulo $\Pi$ de l'Arctg.

$E(\cdot)$ représente l'espérance pour la densité de probabilité $p(x,t)$ :

$$
E(\cdot) = \int_{-\Pi}^{+\Pi} (\cdot) p(x,t) dx.
$$
Remarque.

On pourrait utiliser la méthode ci-dessus pour estimer conjointement $x$ et $a$, considérés comme composantes d'un processus vectoriel de type (3). Cette méthode a été programmée, mais la quantité de calculs qu'elle implique la rend lourde et peu précise numériquement.

### V. 3. Simulation numérique du processus et du filtre.

Programmé sur ordinateur, le filtre NL a été testé sur un processus simulé numériquement. La programmation du filtre est basée sur une approximation numérique de la solution $\tilde{p}(x,t)$ de l'équation (5.5), par une méthode mixte de différences finies sur le temps $t$ et d'éléments finis sur la phase $x$.

#### V. 3. 1. Simulation du processus.

Un pas de temps $\Delta t$ étant choisi, le processus décrit par les équations (5.3) et (5.4) est approximé par le processus discret $x_k, y_k$, décrit par le schéma explicite du 1er ordre suivant :

$$ (5.7) \qquad x_{k+1} = x_k + g \Delta t \frac{b_1(k)}{\sqrt{\Delta t}}, $$

$$ (5.8) \qquad y_{k+1} = a \cos(\omega t_{k+1} + x_{k+1}) + \frac{r b_2(k+1)}{\sqrt{\Delta t}}, $$

où $t_k = k \Delta t$, et $b_1(k)$ et $b_2(k)$ sont des bruits blancs gaussiens discrets unitaires et indépendants.

#### V. 3. 2. Résolution de l'équation d'évolution de $\tilde{p}(x,t)$.

L'équation (5.5) décrivant l'évolution de la fonction $\tilde{p}(x,t)$ est de type parabolique linéaire. Ce type d'équation est résolu classiquement lorsque la solution cherchée est à support compact dans $R$. Pour tenir compte du caractère cyclique de la phase $x$, nous résolvons l'équation sur $[-\Pi, +\Pi]$ avec une condition de Neuman en $-\Pi$ et $+\Pi$.
Un pas de temps $\Delta t$ étant choisi, la fonction $\tilde{p}(x, n \Delta t)$ est approximée par $\tilde{p}^n(x)$ solution de :

$$ (5.9) \qquad \tilde{p}^{n+1}(x) - \frac{g^2}{2} \Delta t \frac{d^2 \tilde{p}^{n+1}(x)}{dx^2} = \tilde{p}^n(x) + \frac{a \Delta t}{r^2} y^{n+1} \cos(\omega_t n + x) \tilde{p}^n(x), $$

où $t_n = n \Delta t$ et $p^0(x) = p_0(x)$ fonction donnée.

Ce schéma est de type implicite. Une telle approximation converge vers la solution $\tilde{p}(x,t)$ de (5.5) lorsque $\Delta t$ tend vers 0.

On divise l'intervalle $[-\Pi, +\Pi]$ en 1 intervalles de longueur $h = 2\Pi/10$.
On pose : $x_i = -\Pi + (i-1)h, i = 1,2,..., l+1$. Puis on applique la méthode classique des éléments finis avec une base de fonctions en triangle, égales à 1 sur l'un des $x_i$ et nulle sur les autres. Pour refermer le cercle, on lie les points $-\Pi$ et $+\Pi$ par une condition de Neuman. La résolution numérique de (5.5) revient alors à la résolution du système linéaire :

$$ (5.10) \qquad A \tilde{p}^{n+1} = D^n \tilde{p}^n $$

où $\tilde{p}^n = [\tilde{p}_1^n, \tilde{p}_2^n, ..., \tilde{p}_l^n]^T$, avec $\tilde{p}_i^n$ approximant $\tilde{p}(n_i, n \Delta t)$, et :

$$ A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & 0 & \dots & 0 & \beta \\ \beta & \alpha & \beta & & & \\ 0 & & \vdots & & & \\ \vdots & & & \ddots & & \\ 0 & & \beta & \alpha & \beta & \\ \beta & 0 & \dots & 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad D^n = \begin{bmatrix} \delta_1 & \varepsilon_1 & 0 & \dots & 0 & \gamma_1 \\ \gamma_2 & \delta_2 & \varepsilon_2 & & & \\ 0 & & \vdots & & & \\ \vdots & & & \ddots & & \\ 0 & & \gamma_{l-1} & \delta_{l-1} & \varepsilon_{l-1} & \\ \varepsilon_1 & 0 & \dots & \gamma_1 & \delta_2 & \end{bmatrix} $$
$$
\text{avec :} \qquad \alpha = \frac{2}{3} h + \frac{g^2 \Delta t}{h} , \quad \beta = \frac{h}{6} - \frac{g^2 \Delta t}{2h} ,
$$

$$
\gamma_i = \frac{h}{6} + \frac{a}{r^2} \Delta t y^{n+1} \frac{h}{12} (c_{i-1}^n + c_i^n),
$$

$$
\delta_i = \frac{2}{3} h + \frac{a}{r^2} \Delta t y^{n+1} \frac{h}{12} (c_{i-1}^n + 6c_i^n + c_{i+1}^n),
$$

$$
\epsilon_i = \frac{h}{6} + \frac{a}{r^2} \Delta t y^{n+1} \frac{h}{12} (c_i^n + c_{i+1}^n),
$$

et
$$
c_i^n = \cos(\omega t_n + x_i).
$$

On résout le système linéaire (5.10) par une méthode de Gauss en tenant compte
de la structure tridiagonale cyclique de la matrice A.

V. 4. Résultats des simulations.

V. 4. 1.

Des essais comparatifs des filtres non-linéaire et Kalman-Bucy étendu
ont été effectués sur ordinateur IRIS-80. Le bruit dynamique a été pris très
faible (g = 10⁻⁴) en raison du problème d'interférométrie traité. Des tests
statistiques ont été effectués en fonction du niveau de bruit d'observation,
du pas de discrétisation spatiale, et du pas de discrétisation temporelle. Les
résultats présentés ont été obtenus par statistique sur 500 échantillons par
niveau de bruit.

Nous prendrons dans toute la suite comme définition du rapport signal
sur bruit la quantité :

$$
R = \frac{\text{puissance moyenne du signal}}{\text{densité spectrale du bruit}} = \frac{a^2}{2 r^2} .
$$
V. 4. 2. Résultats concernant la mise en œuvre du filtre non-linéaire (NL) :
choix des pas de discrétisations spatiale et temporelle.

Régime transitoire et régime permanent (cf. fig. 6).

$x_0$ étant la valeur autour de laquelle la phase $x$ fluctue faiblement, la réponse du filtre NL, c'est-à-dire la courbe $f(t)$ a toujours grossièrement la structure présentée sur la figure 6.

On y distingue un régime transitoire de durée $TT$, et un régime permanent dans l'intervalle (TT, TM), TM étant la durée totale du filtrage. On appelle erreur permanente $e_p$, l'erreur quadratique moyenne en régime permanent.

Influence du pas de discrétisation spatiale.

Pour un niveau de bruit donné, l'influence du pas de discrétisation spatiale est représentable par la courbe de l'erreur permanente $e_p$ en fonction du nombre de points en espace NPT. Quel que soit le niveau du bruit, cette courbe a l'allure de la figure 2.

Le temps de calcul étant proportionnel à NPT, on a intérêt à prendre la valeur NPT opt au début du palier de la courbe $e_p(NPT)$. Les tests montrent que NPT opt ne dépend que du rapport signal à bruit $R$. On choisira donc un pas de discrétisation spatiale à l'aide de la courbe NPT opt ($R$) représentée par la figure 3.

On remarque que le nombre de points d'espace requis diminue lorsque le bruit d'observation augmente.

Influence du pas de discrétisation temporelle.

Les essais montrent que l'influence du pas de discrétisation temporelle est analogue à celle du pas de discrétisation spatiale. Quel que soit le niveau de bruit, 20 points par période semble être une bonne discrétisation. En dessous de 20 points, le filtre est trop imprécis, et au-dessus de 20 points, on ne gagne que très peu en précision.
### V. 4. 3. Résultats globaux en fonction du niveau de bruit d'observation.

Le principal résultat est la stabilité du filtre NL en bruit fort, par opposition au filtre KBE qui diverge fréquemment dès que le bruit devient important.

#### Bruit faible, $R > 3$ dB.

Lorsque la discrétisation spatiale est trop grossière on observe pour le filtre NL de fortes oscillations haute fréquence autour de la bonne valeur $x_0$ de la phase (cf. fig. 7). Pour remédier à cela, on est amené à prendre une discrétisation spatiale très fine (100 points par période) ; mais le temps de calcul machine est alors très élevé : 50 fois celui du filtre KBE. On pourrait également remédier à cet inconvénient en plaçant à la sortie du filtre NL un filtre passe-bas. Le filtre KBE est lui très stable en bruit faible, et précis. Il est donc préférable, dans ce cas, de choisir le filtre KBE qui donne une bonne précision, une bonne stabilité et un temps de calcul machine faible par rapport à celui du filtre NL.

#### Bruit moyen, $0 < R < 3$ dB (cf. fig. 8).

Le filtre KBE présente souvent des divergences et ne sort pas de son régime transitoire. Le pourcentage de divergence est de 10 à 15% des essais effectués. Lorsque le filtre KBE converge, les deux filtres ont une précision équivalente (fig. 8). Notons d'autre part, que le temps de calcul du filtre NL est de l'ordre de 7 à 10 fois celui du filtre KBE. Le choix de l'un des deux filtres est donc ici moins évident en raison de l'opposition temps de calcul - risque de divergences.

#### Bruit fort, $R < 0$ dB (cf. fig. 9).

Le filtre KBE devient ici inutilisable en raison du risque très important de divergence (60% pour $R = -15$ dB). Le filtre NL est stable et son temps de calcul est toujours 7 à 10 fois celui du filtre KBE. Le filtre NL sera donc choisi incontestablement dans le cas de bruit fort.
## Précision du filtre NL.

La précision obtenue par le filtre NL est mesurable par la variance moyenne de l'erreur permanente pour un niveau de bruit donné, que nous estimons par :

$$V = \text{Moyenne sur l'ensemble des échantillons à bruit donné de } \int_{TT}^{TM} [x(t)-\hat{x}(t)]^2 dt.$$

La courbe $V(R)$ est représentée par la figure 4. Remarquons qu'il est difficile de bien définir le régime transitoire du filtre. Ici nous avons pris une définition sévère de $TT$ ; il reste donc encore une partie de transitoire dans $(TT, TM)$ d'où une mesure pessimiste de $V$. Notons également qu'en bruit fort, les divergences détériorent la précision moyenne du filtre KBE.

## Durée des transitoires.

La durée moyenne $TT$ du régime transitoire donne d'ordre de grandeur du temps que met le filtre à accrocher la bonne valeur. Ce temps est mesuré en périodes temporelles $2\Pi/\omega$. Il varie avec le niveau de bruit suivant la courbe de la figure 5.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig.2 : Allure de la courbe $e_p(NPT)$ à niveau de bruit donné.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig.3 : NPT$_{opt}$ en fonction du rapport signal à bruit R.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig.4 : Précision des filtres.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig.5 : Durée des transitoires.</figcaption></figure>
Application de méthodes récursives de filtrage non-linéaire à l'estimation
de la phase d'un signal sinusoïdal fortement bruité.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig.6 : Régimes transitoire et permanent.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig.8 : Exemple de filtrage en bruit moyen.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig.7 : Oscillations du filtre NL en bruit
faible.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig.9 : Divergence du filtre KBE en bruit fort.</figcaption></figure>
VI. CONCLUSION

De cette méthode nous pouvons tirer plusieurs conclusions. Il est confirmé à la suite des travaux de ZAKAI [18] et ROZOWSKII [17], que l'évolution de la densité de probabilité conditionnelle du filtrage non-linéaire récursif est caractérisée par une équation bilinéaire aux dérivées partielles. Ceci permet d'envisager avec confiance l'application des nombreuses techniques algébriques adaptées à la structure bilinéaire, à la résolution de ce problème et à l'amélioration des algorithmes pour des dimensions d'état n importantes. Pour n suffisamment réduit (inférieur à 4), on a pu montrer que les méthodes par éléments finis, conduisaient à des algorithmes numériques stables et très performants par rapport aux solutions connues. Plusieurs applications en cours confirment, sur le plan pratique, les espoirs que ces résultats fondamentaux avaient fait naître (LAMBLA [7]).
VII. REFERENCES

[1] FUTJISAKI - KALLIANPUR - KUNITA. "Stochastic differential equations for the non-linear filtering problem". Osaka Journal of Mathematic. N° 9. pp.19-40. (1972).

[2] GIKHMAN - SKOROKHOD. "Introduction to the theory of random processus". Saunders. (1969).

[3] GIRSANOV I.V. "On transforming a certain class of stochastic processus by absolutely continuous substitutions of measures". Theory of Probability and its Applications. Vol.V. N° 3. pp.285-301. (1960).

[4] KALMAN - BUCY. "New result in linear filtering and prediction theory". Trans. ASME Journal of Basic Eng. ser.D. Vol.83. (1961).

[5] KUNITA - WATANABE. "On square integrable martingales". Nagoya Math. Journal. Vol.30. pp.209-245. (1967).

[6] KUSHNER H.J. "Dynamical Equations for Optimal non-linear Filtering". Journal of Differential Equations. Vol.3. pp.179-190. (1967).

[7] LAMBLA J.L. "Application de méthodes récursives de filtrage non-linéaire à l'estimation de la phase d'un signal sinusoidal fortement bruité". Colloque National sur le Traitement du Signal et ses Applications (GRETSI). Nice. (16-21 Juin 1975).

[8] LEVIEUX F. "Un théorème d'existence et d'unicité de la solution d'une équation intégrо-différentielle stochastique". C.R. Acad. Sciences. Paris. Ser.A.t.277. pp.281-284. (1973).

[9] LEVIEUX F. "Filtrage non-linéaire et analyse fonctionnelle". Rapport LABORIA. N° 57. (1974).
[10] LEVIEUX F. "Recursive non-linear filtering : Theoretical approach, numerical analysis and applications". A paraître Applied Mathematics and Optimization. (1975).

[11] LIONS J.L. "Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles". Dunod-Gauthier-Villars. (1968).

[12] LIPTZER - SHIRYAEV. "Non-linear filtering of Markov diffusion processes". Trudy Math. Int. Steklov. Vol.104. pp.135-180. (1968).

[13] MEYER P.A. "Probabilité et potentiel - Hermann". (1966).

[14] PARDOUX. "Equations aux dérivées partielles stochastiques non-linéaires monotones". Thèse. Université de PARIS XI. (1975).

[15] PARDOUX. Rapport LABORIA à paraître.

[16] РОЗОВСКИЙ Б. Л. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АИФФЕРНИ, ИАПЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ВОЗНИКАЮЩИЕ МЕ В ЗАПАЧАХ НЕПЛИНЕЙНОЙ ФИТБРАЗНИ - В МОСКОВСКОМ МАТНЕМАТИЧЕСКОМ ОВШЕСТВЕ - ТОМ XXVII (1972) P. 213-214.

[17] РОЗОВСКИЙ О СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ФИТБРАЗНИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ. ОП. 005 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕ-МАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ИЗ АТЕАБСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. (-1972).

[18] ZAKAI M. "On the optimal filtering of Diffusion Processes. Z. Wahrscheinlichkeits theorie verw. Geb. Vol.11. pp.230-143. (1969).
VIII. ANNEXE

Calcul formel permettant de lier les équations (3.1) et (2.24).

On cherche ici à obtenir l'équation d'évolution satisfaisante par
la fonction p(x,t) définie par les relations formelles :

$$
(6.1) \qquad \tilde{p}(x,0) = p_0(x)
$$

$$
(6.2) \quad \tilde{d}p(x,t) + A(t)\tilde{p}(x,t)dt = H(x,t)\tilde{p}(x,t)dz(t)
$$

$$
(6.3) \quad p(x,t) = \frac{\tilde{p}(x,t)}{\int_R^n \tilde{p}(x,t)dx}
$$

En utilisant, toujours formellement le calcul différentiel de ITO, on obtient
les relations :

$$
(6.4) \quad d \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t) dx = \int_{\mathbb{R}^n} H(x,t) \tilde{p}(x,t) dx \, dz(t)
$$

$$
(6.5) \quad dp(x,t) = \frac{\tilde{d}p(x,t)}{\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx} - \frac{\tilde{p}(x,t)d \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx}{[\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx]^2} \\
\qquad + \frac{\tilde{p}(x,t)\langle\!\langle d \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx \rangle\!\rangle}{[\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx]^3} - \frac{\langle\!\langle dp(x,t)d \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx \rangle\!\rangle}{[\int_{\mathbb{R}^n} \tilde{p}(x,t)dx]^2}
$$

Les deux derniers termes du second membre de (6.5) peuvent être calculés à
l'aide des relations :

$$ (6.6) \qquad \begin{alignedat}{2} dp(x,t) = -A(t) \frac{\tilde{p}(x,t)}{\int_R^n \tilde{p}(x,t)dx} dt + H(x,t) \frac{\tilde{p}(x,t)}{\int_R^n \tilde{p}(x,t)dx} dz(t) \\ & - \frac{\tilde{p}(x,t) \int_R^n \tilde{p}(x,t) H(x,t) dx dz(t)}{[\int_R^n \tilde{p}(x,t) dx]^2} + \frac{\tilde{p}(x,t) [\int_R^n H(x,t) \tilde{p}(x,t) dx]^2 dt}{[\int_R^n \tilde{p}(x,t) dx]^3} \\ & - \frac{H(x,t) \tilde{p}(x,t) \int_R^n H(x,t) \tilde{p}(x,t) dx dt}{[\int_R^n \tilde{p}(x,t) dx]^2} \end{alignedat} $$

$$ - \frac{H(x,t)\tilde{p}(x,t) \int_R^n H(x,t)\tilde{p}(x,t) dx dt}{[\int_R^n \tilde{p}(x,t) dx]^2} $$

Soit :

$$ (6.9) \qquad dp(x,t) + A(t)p(x,t) = p(x,t)[H(x,t) - \int_R^n H(x,t)p(x,t)dx] $$

$$ [dz(t) - \int_R^n H(x,t)p(x,t)dx]. $$

$$ (6.10) \qquad p(x,0) = p_0(x). $$

Les équations (6.9), (6.10) étant formellement identique à la relation (2.24).
Ce travail reprend dans certaines de ses parties des résultats déjà
publiés soit par l'auteur, soit par d'autres personnes. Le but de cette section
est de préciser la nature de ces emprunts ainsi que de situer le contenu des
différentes sections par rapport à la littérature publiée sur le sujet.

La section II est entièrement consacrée à l'introduction du problème
du filtrage non-linéaire et des notations utilisées. Le début de cette sec-
tion est un résumé de l'introduction du processus de ITO faite dans la réfé-
rence [9]. La rédaction s'est aussi fortement inspirée des références [1] et
[2]. La fin de la section résume brièvement les résultats obtenus dans les
références [16], [17] et [18].

La section III.1 utilise les résultats et la terminologie des références [14] et [15]. Les sections III.2 et III.3 sont à notre connaissance originales et utilisent des techniques connues, que l'on trouvera illustrées dans [11] et [15]. Les résultats donnent une interprétation, dans le cadre de la théorie des équations aux dérivées partielles, de résultats obtenus dans les références [16], [17] et [18] dans un cadre uniquement probabiliste.

La section IV reprend la méthode utilisée dans la référence [9] et
réutilise dans le cas discret la technique décrite dans la référence [6].

La section V est entièrement tirée de la référence [7] et a pour but
de donner au lecteur, une illustration pratique des résultats obtenus dans les
sections précédentes. La comparaison avec le filtre de Kalman-Bucy Etendu,
maintenant d'usage courant, permet de préciser les performances, que l'on peut
attendre d'une utilisation de cette méthode. Elle sera complétée prochainement
par d'autres résultats obtenus par J.L. LAMBLA, ainsi que par son exposé de
thèse.