# Stabilité du noyau et limite du tableau périodique

## Jean-Christophe Pain

Laboratoire de Physique Atomique des Plasmas, CEA, DAM, DIF, F-91297 Arpajon

jean-christophe.pain@cea.fr

## Résumé

Il est une question qui taraude depuis longtemps les physiciens. Comment ne pas se demander, après l'émerveillement suscité par l'intelligence de Mendeleïev, si son tableau périodique (dont nous fêtons cette année les 150 ans d'existence) sera un jour complet, et quel sera, s'il existe, l'élément le plus lourd qu'il pourra contenir. Cette question, qui est intimement liée à la stabilité des noyaux atomiques, reste ouverte.

## Tailles des constituants de la matière et éléments super-lourds

Tout étudiant en Sciences Physiques se pose forcément, au cours de son cursus, la question de l'existence d'une limite au tableau périodique des éléments [1, 2]. Cette question est intimement liée à celle de la notion de taille des constituants de la matière [3]. Le modèle de la structure de l'atome de Niels Bohr a soulevé la question de la taille d'un atome. Cent ans plus tard, le problème n'est toujours pas résolu. Le modèle de Bohr de l'atome prédisait un rayon de l'ordre de 0.53 Angströms, c'est à dire 100000 fois plus que le rayon du noyau. Il prédisait également que la vitesse d'un électron sur l'orbite la plus proche du noyau était approximativement $Zc\alpha$, où Z est le numéro atomique, c la vitesse de la lumière et $\alpha$ la constante de structure fine qui vaut approximativement 1/137, ce qui limite le numéro atomique à 137, sous peine de voir l'électron dépasser la vitesse de la lumière [4].

Les modèles atomiques actuels sont fondés sur l'équation de Dirac, qui combine la relativité et la mécanique quantique dans une théorie nommée électrodynamique quantique. L'équation de Dirac pour un noyau ponctuel conduit aussi à cette limite de 137, mais si on prend en compte la taille finie du noyau, on aboutit à une valeur qui est plutôt de l'ordre de 172.

Il existe plusieurs manières de définir la taille d'un atome [5] : si on considère le rayon moyen de l'atome, basé sur la densité électronique totale, alors la taille varie entre 1.06 $a_0$ et 1.5 $a_0$. Si on considère le rayon de l'orbitale la plus externe, alors la taille varie de $a_0$ (pour Z=1) à 8 $a_0$ pour Z=172.

Ce qui se produit au-delà de Z=172 est toujours un sujet de recherche [6, 7]. Au-dessus de cette valeur, l'énergie de liaison de l'électron est plus du double de son énergie de masse, ce qui permet la formation de paires électron-antiélectron (ou électron-positron), qui rendraient l'atome instable.

Le noyau le plus lourd ayant été identifié est l'oganesson (symbole Og) [4], de numéro atomique Z=118. Les noyaux avec un nombre élevé de protons peuvent être obtenus en créant de manière très brève une collision entre deux noyaux plus légers. Cela a été tenté dans les années 80, mais les accélérateurs de l'époque ne permettaient pas de faire fusionner des noyaux suffisamment lourds. De nos jours, des faisceaux de noyaux nus de numéro atomique élevé peuvent être créés à des énergies qui autorisent la préparation de systèmes nucléaires binaires pendant approximativement
10⁻²¹ s. Des noyaux ²⁹⁴Og ont été produits par collision d'ions calcium 48 sur atomes de californium 249 [4], à raison d'un noyau ²⁹⁴Og en 2002 et de deux autres en 2005 :

$$^{48}_{20}\text{Ca} + ^{249}_{98}\text{Cf} \rightarrow ^{297}_{118}\text{Og}^* \rightarrow ^{294}_{118}\text{Og}^* + 3^{1}_{0}\text{n}$$

Il est également possible de fabriquer des atomes plus petits mais exotiques, en remplaçant des électrons par des particules plus lourdes, comme des muons, des pions ou des antiprotons. Les systèmes résultants sont 207 à 1836 fois plus petits que les atomes normaux correspondants, et sont proches de la taille d'un noyau. De tels atomes ont été utilisés pour étudier des propriétés nucléaires, comme la taille du proton [8].

## Stabilité et modèle en couches

La taille d'un noyau atomique est déterminée par sa stabilité. En général, seuls quelques isotopes de chaque élément sont stables, le plus lourd étant le bismuth 209 (83 protons et 126 neutrons). Il décroit par émission alpha, mais la durée de demi-vie de ce processus est un milliard de fois plus grande que l'âge de l'Univers [9] ! Tous les éléments plus lourds sont radioactifs, bien que deux d'entre eux, le thorium et l'uranium, aient des durées de demi-vie extrêmement longues et soient présents en abondance dans la nature. Dans une certaine mesure, on peut considérer ces éléments à grande durée de vie comme « stables ».

Il a été constaté un grand nombre de noyaux stables (152) composés d'un nombre de protons (Z) et d'un nombre de neutrons (N) pairs. Le nombre de noyaux stables passe à 55 pour Z pair et N impair et à 52 pour Z impair et N pair. On ne trouve que quelques noyaux stables dont le nombre de protons et le nombre de neutrons sont impairs.

Il existe également des nombres magiques (nombre de protons et/ou nombre de neutrons) pour lesquels l'abondance naturelle d'isotopes stables est plus grande : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. C'est le cas par exemple du noyau d'hélium, doublement magique (c'est-à-dire dont les nombres de protons et de neutrons font partie de la liste ci-dessus), correspondant à la particule alpha émise par certains noyaux. Une approche théorique montre que 184 pourrait être le 8ᵉ nombre magique. Ainsi, une question s'est posée : qu'est-ce qui rend les noyaux avec ces nombres magiques si stables ? Maria Goeppert-Mayer a découvert que l'on pouvait considérer que les protons et les neutrons se trouvaient sur des orbites particulières (comme les électrons dans le modèle atomique de Bohr). Pour une stabilité optimale, la première orbite devrait contenir deux particules, la seconde 8, la troisième 20, etc. Les nombres magiques représentent les remplissages des différentes couches. L'idée de Maria Goeppert-Mayer de comparer les orbites à l'intérieur du noyau atomique avec un oignon, constitué de plusieurs couches mais vide à l'intérieur, a conduit Wolfgang Pauli à lui donner le surnom de "The Onion Madonna". C'est en travaillant par la suite à l'université de Chicago qu'elle développe le modèle en couches qui lui vaudra plus tard d'être co-lauréate, avec Hans Daniel Jensen, du prix Nobel de physique de 1963 « pour leurs découvertes à propos de la structure en couches du noyau atomique ».

## Nombres magiques : jusqu'où ?

De nombreux scientifiques essaient de « deviner » les nombres magiques suivants ; un certain nombre d'entre eux tentent de trouver des formules mathématiques, en s'appuyant sur des modèles
théoriques du noyau et sur la théorie des groupes [10]. Une formule valable pour tous les nombres magiques nucléaires connus est :

$$N_m = k \times (m^2 - m) + \frac{1}{3}(m^3 + 5m),$$

où $m = 1, 2, 3, ...$ et $k = 1$ si $m = 2$ ou $3$, $k = 0$ sinon. Les premiers nombres magiques selon cette formule sont :

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184, 258, 350, 462, 596, 754 938, 1150, 1392, 1666, 1974, 2318, 2700, 3122, 3586, 4094, 4648, 5250, 5902, 6606, 7364, 8178, 9050, 9982, 10976, 12034, 13158, 14350, 15612, 16946, 18354, 19838, 21400, ...

Pour $m \ge 4$, les nombres $N_m$ satisfont la relation de récurrence :

$$N_{m+4} = 4N_{m+3} - 6N_{m+2} + 4N_{m+1} - N_m.$$

De telles formules ne sont bien sûr que des conjectures, même si des physiciens nucléaires trouvent des arguments physiques susceptibles de leur accorder une valeur prédictive [11]. Si on ajoute des neutrons à un noyau, alors sa durée de vie décroît brutalement, approchant presque la frontière (ou limite) de stabilité neutronique. La limite a déjà été atteinte expérimentalement pour des éléments jusqu'à l'oxygène. Mais, pour des éléments plus lourds, on ne dispose que d'estimations théoriques de la limite. Par exemple, l'isotope le plus lourd de l'uranium, est prédit pour avoir 92 protons et approximativement 208 neutrons, soit un nombre total de 300 nucléons ; par comparaison, l'uranium à l'état naturel a un nombre de masse de 238. Les noyaux deviennent instables vis-à-vis de la fission spontanée à partir de Z=106, du fait de la répulsion Coulombienne. Les noyaux superlourds qui ont des nombres magiques de protons et de neutrons forment des îlots de noyaux à longue vie entourés d'une mer de noyaux à courte durée de vie. Dans les années soixante, une paire de nombres magiques dans la région des superlourds a été prédite [12, 13, 14] : 114 protons et 184 neutrons. Le centre de l'ilot n'a pas été atteint expérimentalement et la manière de l'atteindre fait débat [15]. Cependant, des éléments jusqu'à Z=118 ont été synthétisés. Cela confirme l'existence de l'ilot, mais on ne peut rien dire sur sa borne supérieure !

## Bibliographie et netographie

[1] M. Ficheux, « La classification périodique a-t-elle une limite ? », Bull. Un. Phys., vol. 105, n° 931, p. 257-265 (février 2011).

[2] R. Marshall, « Can the periodic table be extended indefinitely? », Physics Education 49 (3), 365-368 (2014).

[3] P. Indelicato and A. Karpov, « Sizing up atoms », Nature 498, 40-41 (2013).

[4] J.-C. Pain, « La septième période du tableau périodique est complète », Bull. Un. Phys., vol. 111, n° 991, p. 199-204 (février 2017).

[5] P. Indelicato, J. P. Santos, S. Boucard & J.-P. Desclaux, « QED and relativistic corrections in superheavy elements », Eur. Phys. J. D 45, 155-170 (2007).
[6] E. Ackad & S. Horbatsch, « Calculation of electron-positron production in supercritical uranium-uranium collisions near the Coulomb barrier », *Phys. Rev. A* **78**, 062711 (2008).

[7] Pekka Pyykkö, « A suggested periodic table up to Z ≤ 172, based on Dirac–Fock calculations on atoms and ions », *Physical Chemistry Chemical Physics*, vol. 13, n° 1, 7 janvier 2011, p. 161-168.

[8] R. Pohl et al., « The size of the proton », *Nature* **466**, 213-216 (2010).

[9] P. de Marcillac, N. Coron, G. Dambier, J. Leblanc & J.-P. Moalic, « Experimental detection of α particles from the radioactive decay of natural bismuth », *Nature* **422**, 876-878 (2003).

[10] D. Weise, « A Pythagorean Approach to Problems of Periodicity in Chemical and Nuclear Physics », In: Maruani J., Lefebvre R., Brändas E.J. (eds) Advanced Topics in Theoretical Chemical Physics. Progress in Theoretical Chemistry and Physics, vol. 12 (Springer, Dordrecht, 2003).

[11] I. V. Anicin, D. K. Krpic, I. S. Bikit and W. D. Hamilton, « The new recurrence relation for magic numbers and some of its possible implications », J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. **25**, 847-849 (1999).

[12] A. Sobiczewski, F. A. Gareev & B. N. Kalinkin, « Closed shells for Z > 82 and N > 126 in a diffuse potential well », *Phys. Lett.* **22**, 500-502 (1966).

[13] H. Meldner, « Predictions of new magic regions and masses for super-heavy nuclei from calculations with realistic shell model single particle Hamiltonians », *Ark. Fys.* **36**, 593 (1967).

[14] U. Mosel & W. Greiner, « On the stability of superheavy nuclei against fission », *Z. Phys.* **222**, 261–282 (1969).

[15] V. I. Zagrebaev, A. V. Karpov & W. Greiner, « Future of superheavy element research: Which nuclei could be synthesized within the next few years? », *J. Phys. Conf. Ser.* **420**, 012001 (2013).

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(Photo: United States Department of Energy, public domain)

Maria Goeppert-Mayer.
Maria Goeppert-Mayer est née le 28 juin 1906 à Katowice en haute Silésie (Pologne). Issue d'une lignée d'universitaires depuis sept générations, elle s'inscrit au printemps 1924 à l'Université de Göttingen (où enseigne Emmy Noether) avec l'intention de devenir mathématicienne, mais choisit la physique, séduite par le développement de la mécanique quantique. Dans sa thèse de doctorat sous la direction de Max Born, soutenue en 1929, Elle démontre théoriquement l'existence de l'absorption simultanée de deux photons par un atome ou une molécule. Eugene Wigner décrira cette thèse comme « une œuvre de clarté et de concrétude ». L'absorption à deux photons a conduit à de nombreuses applications, comme le stockage optique 3D de l'information, l'imagerie médicale ou la photo-chimiothérapie. Son nom a été donné à une unité de mesure de section efficace d'absorption à deux photons, le Goeppert-Mayer, en abrégé « GM » (qui vaut $10^{-50} \text{ cm}^4 \cdot \text{s} \cdot \text{photons}^{-1}$). Malgré de nombreuses contributions scientifiques de premier plan, ce n'est qu'en 1946 qu'elle est reconnue par le Laboratoire national d'Argonne, près de Chicago, où elle s'initie à la physique nucléaire avec Edward Teller et Enrico Fermi. Elle y restera jusqu'en 1960 et y obtiendra ses résultats concernant le modèle en couche du noyau atomique, qui lui vaudra de partager le prix Nobel de physique en 1963 avec Johannes Hans D. Jensen et Eugene Wigner.