BRAHIM HAJOUJ

# Existence et unicité de solutions pour une inéquation de type hyperbolique du second ordre non linéaire

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 8, n° 1 (2001), p. 39-60

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# Existence et unicité de solutions pour une inéquation de type hyperbolique du second ordre non linéaire

Brahim Hajouj

**Résumé:** On étudie l'existence et l'unicité de la solution pour une inéquation variationnelle gouvernée par l'opérateur hyperbolique défini par

$$Lu = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \Phi(u)}{\partial x^2} + \alpha \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial g(u)}{\partial x} - f$$

et les deux contraintes $\left| \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \right| \le 1 \text{ et } \frac{\partial u}{\partial t} \le 0 \text{ p.p.}. \text{ Deux situations sont considérées, la première lorsque la dérivée } \Phi' \text{ de la fonction } \Phi \text{ est minorée par une constante strictement positive, la seconde lorsque } \Phi' \ge 0, \text{ l'opérateur } L \text{ peut ainsi dégénérer dans toute partie du domaine où } \Phi'(u) = 0.$

**Abstract:** We study the existence and uniqueness of the solution of a variational inequality relative to the hyperbolic operator defined by

$$Lu = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \Phi(u)}{\partial x^2} + \alpha \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial g(u)}{\partial x} - f$$

and the two constraint $\left| \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \right| \le 1 \text{ and } \frac{\partial u}{\partial t} \le 0 \text{ a.e.}. \text{ Two situations are examined, a first one when the derivative } \Phi' \text{ of the function } \Phi \text{ satisfies: } k \le \Phi', \text{ where } k \in \mathbb{R}_+^*, \text{ a second one when } \Phi' \ge 0, \text{ in this case the operator } L \text{ could degenerate in all part of domain where } \Phi'(u) = 0.$

## Introduction

On s'intéresse dans ce papier aux solutions d'une inéquation variationnelle, issue de la théorie de l'elasto-plasticité non linéaire, régie par l'opérateur $L$ et les contraintes $\left| \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \right| \le 1 \text{ et } \frac{\partial u}{\partial t} \le 0 \text{ p.p.} \text{ La non linéarité de } L \text{ intervient au niveau des dérivées de } u \text{ d'ordre un et deux par rapport à la variable d'espace. On distinguera deux cas selon que l'opérateur } L \text{ est non dégénéré ou peut dégénérer dans toute partie du domaine où } \Phi'(u) \text{ s'annule.}$

Divers auteurs ont obtenus des résultats d'existence et d'unicité de la solution pour des problèmes similaires. Nous citons par exemple les travaux de J.L. Lions [6] sur des inéquations variationnelles relative à l'opérateur $u \to \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \Delta u + h(\frac{\partial u}{\partial t})$, N.A. Lar'kin [5] sur des inéquations régies par l'opérateur $u \to \varepsilon \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \Delta u + \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} - f (\varepsilon > 0)$, Y-Ebihara [3], F.G. Maksudov, A.B. Aliev
and D.M. Tahirov [9] et plus récemment ceux de B. Hajouj [4] sur des inéquations gouvernées par l'opérateur $u \to \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} [k(u) \frac{\partial u}{\partial t}] - \vartheta_{\varepsilon} \Delta u + h(\frac{\partial u}{\partial t}, u) - f (\varepsilon > 0, \vartheta_{\varepsilon} > 0)$.

Cependant, pour les inéquations ayant des non linéarités dans les termes dérivés d'ordre un et deux de $u$ par rapport à la variable d'espace, il ne semble pas qu'un travail sur l'existence et l'unicité de la solution ait été entrepris et ce papier a pour objet de présenter et d'établir quelques résultats dans ce sens.

On désigne par $\Omega$ l'intervalle ouvert $]a, b[$ de $\mathbb{R}$, $a < b$, par $T > 0$ un réel donné et par $Q$ le pavé ouvert $\Omega \times ]0, T[$. $\mathcal{K}$ est le convexe $\{v \in H_0^1(\Omega); |\frac{\partial v}{\partial x}| \le 1 \text{ et } v \le 0 \text{ p.p. sur } \Omega\}$. On note (..., ) le produit scalaire dans $L^2(\Omega)$ et les produits de dualité entre les espaces $W_0^{1,q}(\Omega)$ et $W_0^{-1,q'}(\Omega)$ d'une part et les espaces $L^q(\Omega)$; $L^{q'}(\Omega)$ d'autre part avec $\frac{1}{q} + \frac{1}{q'} = 1$. Les dérivées de $u$, au sens des distributions vectorielles par rapport au temps $t$, sont représentées par $u', u'', u'''$, ...

On considère le problème variationnel hyperbolique $P$ d'inconnue $u$:

$$ P \left\{ (1) \begin{array}{l} u \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)), u' \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)), u'(t) \in \mathcal{K} \text{ p.p. } t \in ]0, T[, \\ \left\{ \begin{array}{l} \forall v \in \mathcal{K}, \text{ p.p. } t \in ]0, T[, \\ (u'' + \alpha u' + \frac{\partial g(u)}{\partial x} - f, v - u') + (\frac{\partial \Phi(u)}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}(v - u')) \ge 0, \\ u(x, 0) = u_0(x), \ u'(x, 0) = u_1(x) \quad \text{p.p. } x \in \Omega. \end{array} \right. \\ \text{où les données vérifient l'hypothèse:} \end{array} \right. $$

$$ H \left\{ \begin{array}{l} \Phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ est une fonction de classe } C^3 \text{ vérifiant: } \Phi(0) = 0 \\ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ est une fonction de classe } C^2 \text{ vérifiant: } g(0) = 0 \\ \alpha > 0, f \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ telle que } f' \in L^2(0, T; L^2(\Omega)), \\ u_0 \in H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega), u_1 \in \mathcal{K}, \end{array} \right. $$

en outre, on suppose d'une part que la fonction $g$ vérifie l'hypothèse

$$ H_g \left\{ \exists (c_0, c_1, \mu) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+; \text{ tel que: } |g'(v)| \le c_0 + c_1 |v|^\mu, \forall v \in \mathbb{R}, \right. $$

d'autre part, que la dérivée $\Phi'$ de $\Phi$ notée $\varphi$ satisfait soit à l'hypothèse

$$ H_{\sigma} \left\{ \begin{array}{l} \exists \sigma \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \varphi(v) \ge \sigma, \forall v \in \mathbb{R}, \\ \varphi'(v) \text{ est non négative sur } \mathbb{R}, \end{array} \right. \quad \text{soit à l'hypothèse} \quad H_0 \left\{ \begin{array}{l} \varphi(v) \ge 0, \forall v \in \mathbb{R}, \\ \varphi'(v) \text{ est non négative sur } \mathbb{R}. \end{array} \right. $$

Le plan est le suivant:

Au paragraphe I, on établit sous la condition $H_\sigma$, un résultat d'existence et d'unicité de la solution pour le problème non dégénéré $P$. Sous l'hypothèse $H_0$, le problème $P$ peut dégénérer,
dans ce cas aussi, on obtient au § II, un résultat d'existence d'une solution de P. A l'aide d'une
condition supplémentaire sur $\varphi$ et $g$, on obtient l'unicité.

I- Existence et unicité de la solution pour le problème non dégénéré

| Théorème 1-1: Sous les hypothèses H, H<sub>σ</sub> et H<sub>g</sub> le problème P admet une unique solution u:

tu'' ∈ L<sup>∞</sup>(0, T; L<sup>2</sup>(Ω)).

Preuve du théorème 1-1:

*Existence*: On utilise une méthode de pénalisation et de régularisation. On commence par régulariser le problème *P*. On note $\mathcal{L}$ l'espace $\{v \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) / v' \in L^{\infty}(Q)\}$, $\rho$ un réel positif, $\eta > 0$ destiné à tendre vers $0_+$ et *A* un opérateur de régularisation tels que:

$$
(1.1) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\max(3, \mu) < \frac{\ell}{2} (\mu \text{ est défini dans l'hypothèse } H_g), \\
\forall v \in \mathcal{L}; A(v) = (\varphi'(v) \frac{\partial v}{\partial x})^2 v' + |v'|^\rho v',
\end{array}
\right.
$$

puis, pour tout $\eta > 0$, on considère le problème $P_\eta$ régularisé de $P$, d'inconnue $u_\eta$ suivant

$$
P_{\eta} \quad (1.2) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
u_{\eta} \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)), \quad u'_{\eta} \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)), \quad u'_{\eta}(t) \in \mathcal{K} \text{ p.p. } t \in [0, T], \\
u''_{\eta} \in L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)), \\
\quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\forall v \in \mathcal{K}, \text{ p.p. } t \in ]0, T[,
\end{array}
\right. \\
\quad (u''_{\eta} + \alpha u'_{\eta} + \eta A(u_{\eta}) + \frac{\partial g(u_{\eta})}{\partial x} - f; v - u'_{\eta}) + (\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}(v - u'_{\eta})) \geq 0, \\
u_{\eta}(x, 0) = u_0(x), \quad u'_{\eta}(x, 0) = u_1(x) \quad \text{p.p. } x \in \Omega.
\end{array}
\right.
$$

L'étude du problème $P_\eta$, se fait à l'aide de la méthode classique de pénalisation (cf. J.L. Lions [6]). On considère les opérateurs standard de pénalisation $B_1$ et $B_2$ associés respectivement aux convexes $\mathcal{K}_1 = \{v \in H_0^1(\Omega); |\frac{\partial v}{\partial x}| \le 1 \text{ p.p. sur } \Omega\}$ et $\mathcal{K}_2 = \{v \in H_0^1(\Omega); v \le 0 \text{ p.p. sur } \Omega\}$. $B_1$ est défini comme suit: Soit $W = W_0^{1,4}(\Omega)$ ($W$ est un sous-espace de $H_0^1(\Omega)$ avec injection continue de $W$ dans $H_0^1(\Omega)$ et $\mathcal{K}_1$ est un convexe fermé dans $W$ et dans $H_0^1(\Omega)$); alors $B_1$ est l'opérateur de $W$ vers $W'$ tel que::

$$
\forall u \in W, \forall v \in W, (B_1(u), v) = \int_{\Omega} \left(1 - \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right)^{-} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} dx, \text{ où } \left(1 - \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right)^{-} = \max(0, \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 - 1).
$$
De même $B_2$ est défini de $W \to W$ par $B_2(v) = v^+ = \max(v, 0).

On note que :

$$
(1.3) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{K}_1 = \{w \in W ; B_1(w) = 0\}, \quad \mathcal{K}_2 = \{w \in W ; B_2(w) = 0\}, \\
\mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \cap \mathcal{K}_2,
\end{array}
\right.
$$
et que $B_1$ et $B_2$ sont en particulier monotones et hémicontinus.

Soient $\delta > 0$ et $\zeta > 0$ deux paramètres destinés à tendre vers $0_+$. On considère pour tout $\delta > 0$, $\zeta > 0$ et $\eta > 0$, le problème pénalisé $P_{\eta,\zeta,\delta}$ associé à $P_{\eta}$, d'inconnue $w_{\zeta,\delta}$ suivant:

$$ P_{\eta,\zeta,\delta} \left\{ \begin{array}{ll} w_{\zeta,\delta} \in L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega)), & w'_{\zeta,\delta} \in L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega)) \cap L^4(0,T; W_0^{1,4}(\Omega)), \\ w''_{\zeta,\delta} \in L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega)), & \\ \text{p.p. } t \in ]0,T[, & \\ w''_{\zeta,\delta} - \Delta\Phi(w_{\zeta,\delta}) + \alpha w'_{\zeta,\delta} + \frac{\partial g(w_{\zeta,\delta})}{\partial x} + \eta A(w_{\zeta,\delta}) + \frac{1}{\delta} B_1(w'_{\zeta,\delta}) \\ + \frac{1}{\zeta} B_2(w'_{\zeta,\delta}) = f \quad \text{dans } D'(\Omega), & \\ w_{\zeta,\delta}(x,0) = u_0(x), \quad w'_{\zeta,\delta}(x,0) = u_1(x) \quad \text{p.p. } x \in \Omega. & \end{array} \right. \quad (1.4) $$

On commence par montrer au § I-1, l'existence d'une solution unique $w_{\zeta,\delta}$ de $P_{\eta,\zeta,\delta}$ puis, on établit des estimations a priori sur $w_{\zeta,\delta}$ qui vont nous permettre au § I-2 de passer à la limite en $\delta$ et $\zeta$ et d'établir l'existence d'une solution $u_{\eta}$ du problème $P_{\eta}$. Enfin, au § I-3, on établit la convergence de la suite $(u_{\eta})_{\eta}$ vers l'unique solution $u$ du problème $P$.

### I-1) Existence et unicité de la solution de $P_{\eta,\zeta,\delta}$:

**Lemme 1-2 :** *Sous les hypothèses du théorème 1-1 et pour chaque $\delta \in ]0,1[, \zeta \in ]0,1[ \text{ et } \eta \in ]0,1[, P_{\eta,\zeta,\delta}$ admet une unique solution notée $w_{\zeta,\delta}$, telle que: $w_{\zeta,\delta} \in L^{\infty}(0,T; H^2(\Omega))$.*

*Preuve du lemme 1-2 :* On utilise une méthode de Galerkin. On considère l'espace $V = H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)$, $\{v_n\}_{n=1}^{\infty}$ la base spéciale de $V$ constituée des vecteurs propres de l'opérateur $-\Delta (-\Delta v_n = \pi_n v_n, n \in \mathbb{N}^*, \pi_n \in \mathbb{R})$ et pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, $V_m = [\{v_n\}_{n=1}^{n=m}]$. On introduit le problème approché $P_m$

$$ P_m \left\{ \begin{array}{ll} \text{trouver } u_m \in V_m \text{ telle que : } \forall p = 1, \dots, m \\ (1.5) \quad \begin{cases} (u_m'', v_p) + \left(\frac{\partial \Phi(u_m)}{\partial x}, \frac{\partial v_p}{\partial x}\right) + \alpha(u_m', v_p) + \left(\frac{\partial g(u_m)}{\partial x}, v_p\right) + \eta(A(u_m), v_p) \\ + \frac{1}{\delta}(B_1(u_m'), v_p) + \frac{1}{\zeta}(B_2(u_m'), v_p) = (f, v_p), \end{cases} \\ u_m(x, 0) = u_{0,m}(x), \quad u_m'(x, 0) = u_{1,m}(x), \end{array} \right. $$

où on a choisi $u_{0,m} = \sum_{p=1}^{p=m} \alpha_p v_p$ et $u_{1,m} = \sum_{p=1}^{p=m} \beta_p v_p \in V_m \cap \mathcal{K}$ telles que: $u_{0,m} \to u_0$ dans $V$ et $u_{1,m} \to u_1$ dans $H_0^1(\Omega)$.

On établit à l'aide de la théorie des systèmes différentiels que pour tout $m \in \mathbb{N}^*, P_m$ admet une solution unique $u_m$ telle que: $u_m \in C^3([0,T]; V)$.
On commence par établir des estimations a priori sur $u_m$, qui vont nous permettre de passer à la limite sur $m$ et d'établir l'existence d'une solution $w_{\zeta,\delta}$ de $P_{\eta,\zeta,\delta}$, après, on montre l'unicité de la solution $w_{\zeta,\delta}$.

### I-1-1) Estimations a priori sur $u_m$

Dans ce paragraphe, on cherche à établir des estimations a priori sur $u_m$ indépendantes non seulement du paramètre $m$ mais aussi des trois paramètres $m, \delta$ et $\zeta$ afin, d'étudier au § I-2 le comportement quand $\delta \to 0_+$ et $\zeta \to 0_+$ des solutions $(w_{\zeta,\delta})_{\zeta,\delta}$ de $(P_{\eta,\zeta,\delta})_{\zeta,\delta}$. On convient, dans toute la suite de ce paragraphe, de noter $C$ toute constante positive indépendante de $m, \delta$ et $\zeta$.

**Lemme 1-3 :** Sous les hypothèses du théorème 1-1, il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $m \in \mathbb{N}^*, \zeta \in ]0, 1[ \text{ et } \delta \in ]0, 1[$

$$ i) \quad \|u_m\|_{L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_m\|_{L^{p+2}(Q)} \le C, $$

$$ ii) \quad \left\| \frac{\partial u'_m}{\partial x} \right\|_{L^4(Q)} \le C, $$

$$ iii) \quad \|u''_m\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega))} + \|u'_m\|_{L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega))} \le C, $$

$$ iv) \quad \|\Delta u_m\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega))} \le C. $$

*Preuve du lemme 1-3 :* On considère la décomposition de $u_m$ dans $V_m$, $u_m = \sum_{p=1}^{p=m} h_{p,m}(t)v_p$.

i) On multiplie l'égalité (1.5) par $h'_{p,m}(t)$ ($p = 1, ..., m$). On ajoute les $m$ égalités obtenues, puis on intègre de 0 à $t$. A l'aide de deux intégrations par parties, on obtient:

$$ \begin{aligned} & (1.6) \quad \frac{1}{2} \|u'_m(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u_m)} \frac{\partial u_m(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \int_0^t \|u'_m\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \eta \int_0^t (A(u_m), u'_m) d\tau \\ & \quad + \frac{1}{\delta} \int_0^t \int_{\Omega} \left(1 - \left(\frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)^2\right) \left(-\frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)^2 dx d\tau + \frac{1}{\zeta} \int_0^t (B_2(u'_m), u'_m) d\tau = \int_0^t (f, u'_m) d\tau + \frac{1}{2} \|u_{1,m}\|_{L^2(\Omega)}^2 \\ & \quad + \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u_{0,m})} \frac{\partial u_{0,m}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{2} \int_0^t \int_{\Omega} \varphi'(u_m) u'_m \left(\frac{\partial u_m}{\partial x}\right)^2 dx d\tau - \int_0^t (g'(u_m) \frac{\partial u_m}{\partial x}, u'_m) d\tau. \end{aligned} $$

Les propriétés sur la suite $u_{0,m}$, l'inégalité $|g'(u_m)| \le c_0 + c_1 |u_m|^\mu$ donné par l'hypothèse $H_g$, l'inégalité de Hölder-Young relative au couple $(2, 2)$ et à $(\frac{2(\rho+2)}{\rho-2\mu}, \frac{\epsilon+2}{\mu}, 2, \rho+2)$ appliquée successivement aux produits $[\varphi'(u_m)u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x}] \frac{\partial u_m}{\partial x}$ et $c_1 |u_m|^\mu \frac{\partial u_m}{\partial x} |||u'_m||$ entraînent:

$$ (1.7) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{le second membre de (1.6) est majoré par:} & \\ & C + C \int_0^t \|u'_m\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_0^t \left\| \frac{\partial u_m}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \eta \int_0^t (A(u_m), u'_m) d\tau. & \end{array} \right. $$
L'estimation i) résulte de (1.6) grâce à la minoration de $\varphi(u_m)$ par $\sigma > 0$, à (1.7), à la définition de l'opérateur $A$ donnée par (1.1), à la monotonie de $B_1$ et $B_2$, au lemme de Gronwall et à l'inégalité de Poincaré.

ii) On déduit de (1.6) grâce à l'estimation i) précédente la majoration

$$ \frac{1}{\delta} \int_{0}^{t} \int_{\Omega} \left(1 - \left(\frac{\partial u'_{m}}{\partial x}\right)^{2}\right) - \left(\frac{\partial u''_{m}}{\partial x}\right)^{2} dx d\tau \leq C, $$

d'où l'estimation ii).

iii) On dérive l'égalité (1.5) par rapport à $t$, puis, on multiplie par $h''_{p,m}(t)$ ($p = 1, \dots, m$). On ajoute les $m$ égalités obtenues et on intègre de 0 à $t$. Après une intégration par parties par rapport à $t$, on obtient :

$$ \begin{aligned} & (1.8) \quad \frac{1}{2} \|u''_m(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \int_0^t \left(\varphi(u_m) \frac{\partial u'_m}{\partial x} + \varphi'(u_m) u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u''_m}{\partial x}\right) d\tau + \alpha \int_0^t \left\|u''_m\right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\ & \quad + \eta \int_0^t \left\|\left(A(u_m)\right)' , u''_m\right\| d\tau + \frac{1}{\delta} \int_0^t \left(\left[1 - \left(\frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)^2\right] - \frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)' , \frac{\partial u''_m}{\partial x}\right\| d\tau + \frac{1}{\zeta} \int_0^t \left\|\left[B_2(u'_m)\right]' , u''_m\right\| d\tau \\ & = \int_0^t \left(f', u''_m\right) d\tau - \int_0^t \left(g''(u_m) u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x} + g'(u_m) \frac{\partial u'_m}{\partial x}, u''_m\right) d\tau + \frac{1}{2} \|u''_m(0)\|_{L^2(\Omega)}^2. \end{aligned} $$

Etude de l'égalité (1.8).

a) Minoration de $\int_0^t (\varphi(u_m) \frac{\partial u'_m}{\partial x}, \frac{\partial u''_m}{\partial x}) d\tau$ : On obtient, après une intégration par parties

$$ \begin{aligned} \int_0^t \left(\varphi(u_m) \frac{\partial u'_m}{\partial x}, \frac{\partial u''_m}{\partial x}\right) d\tau = & \frac{1}{2} \left\| \left(\sqrt{\varphi(u_m)} \frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)(t) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u_{0,m})} \frac{\partial u_{1,m}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \\ & - \int_0^t \left(\varphi'(u_m) u'_m \frac{\partial u'_m}{\partial x}, \frac{\partial u'_m}{\partial x}\right) d\tau. \end{aligned} $$

L'inclusion algébrique et topologique $H_0^1(\Omega) \subset C(\bar{\Omega})$ et l'estimation i) précédente impliquent que $u_m$ est bornée dans $L^\infty(Q)$ indépendamment de $m$, $\zeta$ et $\delta$. Il en résulte grâce à la régularité sur $\varphi$, à l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit $u'_m(\frac{\partial u'_m}{\partial x})^2$ et aux estimations i) et ii) précédentes, la minoration :

$$ \int_0^t \left(\varphi(u_m) \frac{\partial u'_m}{\partial x}, \frac{\partial u''_m}{\partial x}\right) d\tau \geq \frac{1}{2} \left\| \left(\sqrt{\varphi(u_m)} \frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)(t) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C $$
b) Majoration du terme $\int_0^t (\varphi'(u_m)u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u_m''}{\partial x}) d\tau$ : En effet, une intégration par parties conduit à
$$
\begin{aligned}
\int_0^t (\varphi'(u_m)u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u_m''}{\partial x}) d\tau = & (\varphi'(u_m)u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u'_m}{\partial x}) - (\varphi'(u_{0,m})u_{1,m} \frac{\partial u_{0,m}}{\partial x}, \frac{\partial u_{1,m}}{\partial x}) \\
& - \int_0^t (\varphi''(u_m)u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u'_m}{\partial x}) d\tau - \int_0^t \int_\Omega \varphi'(u_m)u'_m (\frac{\partial u'_m}{\partial x})^2 dxd\tau - \int_0^t (\varphi'(u_m)u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u'_m}{\partial x}) d\tau.
\end{aligned}
$$

l'inégalité de Hölder-Young relative à (4, 4, 2,) appliquée au produit $u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x}$ implique

$$ \left| \left( \varphi'(u_m) u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} , \frac{\partial u_m'}{\partial x} \right) \right| \le C \left\| u_m'(t) \right\|_{L^4(\Omega)}^4 + C \left\| \frac{\partial u_m(t)}{\partial x} \right\|_{L^4(\Omega)}^4 + \frac{\sigma}{4} \left\| \frac{\partial u_m'(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2, $$

de plus, on remarque que $\|u'_m(t)\|_{L^4(\Omega)}^4 - \|u_{1,m}\|_{L^4(\Omega)}^4 = 4 \int_0^t \int_\Omega u_m'^3 u_m'' dx d\tau$, il résulte de l'inégalité de Hölder-Young relative à $(2, \rho, \frac{2\rho}{\rho-2})$ appliquée au produit $|u_m'^3 u_m''| = u_m'^2 [|u_m'| |u_m''|^2] |u_m''|^{\frac{\rho-2}{\rho}}$ et des estimations i) et ii), la majoration :

$$ \left| \left( \varphi'(u_m) u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} , \frac{\partial u_m'}{\partial x} \right) \right| \le C + \frac{\eta(\rho+1)}{2} \int_0^t \int_\Omega |u_m'|^\rho u_m''^2 dx d\tau + C \int_0^t \|u_m''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \frac{\sigma}{4} \left\| \frac{\partial u_m'(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2. $$

D'autre part, on applique l'inégalité de Hölder relative à (2, 4, 4), (2, 4, 4) et à (2, 2) successivement aux produits $u_m'^2(\frac{\partial u_m}{\partial x}) \frac{\partial u_m'}{\partial x}$, $u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}$ et $u_m'(\frac{\partial u_m'}{\partial x})^2$, puis, on utilise les estimations i) et ii) et la régularité sur la fonction $\varphi$, on obtient

$$ \left| \int_0^t (\varphi''(u_m) u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u_m'}{\partial x}) d\tau + \int_0^t \int_\Omega \varphi'(u_m) u_m' (\frac{\partial u_m'}{\partial x})^2 dx d\tau + \int_0^t (\varphi'(u_m) u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u_m'}{\partial x}) d\tau \right| \le C + C \int_0^t \|u_m''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau, $$

d'où la majoration

$$ \left| \int_0^t (\varphi'(u_m) u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x}, \frac{\partial u_m''}{\partial x}) d\tau \right| \le C + C \int_0^t \|u_m''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \frac{\eta(\rho+1)}{2} \int_0^t \int_\Omega |u_m'|^\rho u_m''^2 dx d\tau + \frac{\sigma}{4} \left\| \frac{\partial u_m'(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2. $$

c) Minoration du terme $\eta \int_0^t ((A(u_m))', u_m'') d\tau$ : En effet,
$$
\eta \int_0^t ((A(u_m))', u_m'')d\tau = 2\eta \int_0^t (\varphi'(u_m)\varphi''(u_m)(u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x})' + u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x})d\tau + \eta \int_0^t \int_{\Omega} (\varphi'(u_m) \frac{\partial u_m}{\partial x} u_m'')^2 dxd\tau \\
+ 2\eta \int_0^t ((\varphi'(u_m))^2 u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} \frac{\partial u_m'}{\partial x}, u_m'' d\tau + \eta(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} |u_m'|^\rho u_m''^2 dxd\tau.
$$

La régularité sur $\varphi$, l'inégalité de Hölder-Young relative à (2, 4, 4) appliquée successivement aux produits $[\varphi(u_m)u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}] (u_m')^2 \frac{\partial u_m}{\partial x}$ et $[\varphi(u_m)u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x}] (u_m' \frac{\partial u_m'}{\partial x})$, la relation $8 \le \rho + 2$ qui résulte de la condition (1.1) et enfin les estimations i) et ii) précédentes conduisent à

$$
\left| 2\eta \int_0^t (\varphi'(u_m)\varphi''(u_m)(u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x})^2, u_m''')d\tau + 2\eta \int_0^t ((\varphi'(u_m))^2 u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} \frac{\partial u_m'}{\partial x}, u_m''')d\tau \right| \\
\le C + \frac{\eta}{2} \int_0^t \int_{\Omega} (\varphi'(u_m) u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x})^2 dxd\tau,
$$

d'où la minoration

$$
\eta \int_0^t ((A(u_m))', u_m''') d\tau \geq \frac{\eta}{2} \int_0^t \int_{\Omega} (\varphi'(u_m) u_m'' \frac{\partial u_m}{\partial x})^2 dxd\tau + \eta(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} |u_m'|^\rho u_m''^2 dx d\tau - C.
$$

d) L'inégalité de Hölder relative à (4, 4, 2) appliquée au produit $u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} u_m''$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la $C^2$-régularité sur $g$ et les estimations i) et ii) entraînent

$$
\left| \int_0^t (f', u_m'') d\tau - \int_0^t (g''(u_m)u_m' \frac{\partial u_m}{\partial x} + g(u_m) \frac{\partial u_m'}{\partial x}, u_m'') d\tau \right| \le C + C \int_0^t \|u_m''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau
$$

e) Enfin, un calcul simple conduit à

$$
\frac{1}{\zeta} \int_{0}^{t} \left( \left[ \left( 1 - \left( \frac{\partial u_{m}'}{\partial x} \right)^{2} \right) - \frac{\partial u_{m}'}{\partial x} \right]' , \frac{\partial u_{m}''}{\partial x} \right) d\tau + \frac{1}{\zeta} \int_{0}^{t} \left( [B_{2}(u_{m}')]', u_{m}'' \right) d\tau \geq 0,
$$

puis la propriété $B_1(u_{1,m}) = B_2(u_{1,m}) = 0$ qui résulte de (1.3) et de $u_{1,m} \in \mathcal{K}$ entraîne

$$
\frac{1}{2} \| u_m''(0) \|_{L^2(\Omega)}^2 \leq C.
$$

L'estimation iii) découle ainsi de (1.8) grâce aux points a), ..., e), à la minoration de $\varphi(u_m)$ par
$\sigma > 0$, au lemme de Gronwall et à l'inégalité de Poincaré.

iv) On multiplie l'équation (1.5) par $\pi_p h'_{p,m}(t)$, ($p = 1, ..., m$) puis on ajoute les $m$ égalités obtenues et on intègre de 0 à $t$. Π vient après utilisation de la formule de Green et une intégration par parties par rapport à $t$:
$$
\begin{align*}
(1.9) \quad & \frac{1}{2} \left\| \frac{\partial u'_m}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \int_0^t \left( \Delta \Phi(u_m), \Delta u'_m \right) d\tau + \alpha \int_0^t \left\| \frac{\partial \tau u'_m}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
& \qquad - \eta \int_0^t \left( A(u_m), \Delta u'_m \right) d\tau - \frac{1}{3} \int_0^t \int_{\Omega} \left( 1 - \left( \frac{\partial u'_m}{\partial x} \right)^2 \right) \frac{\partial u'_m}{\partial x} \frac{\partial \Delta u'_m}{\partial x} dx d\tau \\
& \qquad + \frac{1}{\zeta} \int_0^t \left( \frac{\partial}{\partial x} [B_2(u'_m)] \right) \frac{\partial u'_m}{\partial x} d\tau \\
&= \int_0^t \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial u'_m}{\partial x} \right) d\tau + \frac{1}{2} \left\| \frac{\partial u_{1,m}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 .
\end{align*}
$$

Etude de l'égalité (1.9).

a) Minoration du terme $\int_0^t (\Delta\Phi(u_m), \Delta u'_m) d\tau$ : A l'aide d'une intégration par parties par rapport à $t$ et de la formule de Green, on obtient

$$
\begin{align*}
\int_0^t (\Delta\Phi(u_m), \Delta u'_m) d\tau &= \int_0^t (\varphi(u_m)\Delta u_m + \varphi'(u_m)(\frac{\partial u_m}{\partial x})^2, \Delta u'_m) d\tau = \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u_m)} \Delta u_m \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \\
&\quad - \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u_{0,m})} \Delta u_{0,m} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - \frac{1}{2} \int_0^t \int_{\Omega} \varphi'(u_m) u'_m (\Delta u_m)^2 dx d\tau \\
&\quad - \int_0^t \int_{\Omega} \left[ \varphi''(u_m)(\frac{\partial u_m}{\partial x})^3 + 2\varphi'(u_m)\frac{\partial u_m}{\partial x} \Delta u_m \right] \frac{\partial u'_m}{\partial x} dx d\tau.
\end{align*}
$$

Puisque $u_m$ et $u'_m$ sont bornées dans $L^\infty(Q)$ indépendamment de $m$, $\zeta$ et $\delta$, alors, la $C^2$-régularité sur $\varphi$, l'inégalité de Hölder relative à $(\frac{4}{3}, 4)$ (resp. $(4, 2, 4)$) appliquée au produit $(\frac{\partial u_m}{\partial x})^3 \frac{3\partial u'_m}{\partial x}$ (resp. $\frac{\partial u_m}{\partial x} \Delta u_m \frac{\partial u'_m}{\partial x}$) et l'estimation ii) conduisent à la minoration

$$
\int_0^t (\Delta\Phi(u_m), \Delta u'_m) d\tau \geq \frac{1}{2} \left\| (\sqrt{\varphi(u_m)}\Delta u_m)(t) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_0^t \|\Delta u_m\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C.
$$

b) La formule de Green, la $C^2$-régularité sur $g$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les estimations i) et iii) entraînent

$$
\left| \int_0^t \left( \frac{\partial g(u_m)}{\partial x}, \Delta u'_m \right) d\tau \right| \le C + C \int_0^t \left\| \Delta u_m \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

$$
\begin{align*}
\text{c) Majoration du terme } -\eta \int_0^t (A(u_m), \Delta u'_m) d\tau &\text{ : La formule de Green, entraîne} \\
-\eta \int_0^t (A(u_m), \Delta u'_m) d\tau &= \eta(\rho+1) \int_0^t \int_\Omega |u'_m|^\rho \left(\frac{\partial u'_m}{\partial x}\right)^2 dx d\tau \\
&\quad + \eta \int_0^t \int_\Omega \left[\varphi'(u_m) \frac{\partial u_m}{\partial x} \frac{\partial u'_m}{\partial x}\right]^2 dx d\tau \\
&\quad + 2\eta \int_0^t (\varphi'(u_m)\varphi''(u_m)u'_m(\frac{\partial u_m}{\partial x})^3, \frac{\partial u'_m}{\partial x}) d\tau \\
&\quad + 2\eta \int_0^t ((\varphi'(u_m))^2 u'_m \frac{\partial u_m}{\partial x} \Delta u_m, \frac{\partial u'_m}{\partial x}) d\tau.
\end{align*}
$$
Puisque $u_m$ et $u'_m$ sont bornées dans $L^\infty(Q)$, alors, la $C^2$-régularité sur $\varphi$, l'inégalité de Hölder relative à $(\frac{4}{3}, 4)$ (resp. $(4, 2, 4)$) appliquée au produit $(\frac{\partial u_m}{\partial x})^3 \frac{\partial u'_m}{\partial x}$ (resp. $\frac{\partial u_m}{\partial x} \Delta u_m \frac{\partial u'_m}{\partial x}$) et l'estimation ii) conduisent à la minoration

$$-\eta \int_{0}^{t} (A(u_{m}), \Delta u'_{m}) d\tau \geq -C - C \int_{0}^{t} \|\Delta u_{m}\|_{L^{2}(\Omega)}^{2} d\tau$$

d) Enfin, un calcul simple montre que

$$-\frac{1}{\delta} \int_{0}^{t} \int_{\Omega} \left(1 - \left(\frac{\partial u'_{m}}{\partial x}\right)^{2}\right) - \frac{\partial u'_{m}}{\partial x} \frac{\partial \Delta u'_{m}}{\partial x} dx d\tau + \frac{1}{\zeta} \int_{0}^{t} \left(\frac{\partial}{\partial x}[B_{2}(u'_{m})]\right), \frac{\partial u'_{m}}{\partial x} d\tau \geq 0.$$

L'estimation iv) résulte alors de (1.9) grâce aux propriétés a), ..., d), à la minoration de $\varphi(u_m)$ par $\sigma > 0$, au lemme de Gronwall et à l'inégalité de Poincaré. Ce qui achève la preuve du lemme 1-3. ■

### I-1-2) Passage à la limite sur $m$ et existence d'une solution de $P_{\zeta,\delta}$ :

*Convergence faible:* On déduit du lemme 1-3, l'existence d'une sous-suite extraite de $(u_m)_m$ notée encore $(u_m)_m$ et une fonction $w_{\zeta,\delta}$ telles que:

$$(1.10) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} u_m \to w_{\zeta,\delta} & \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)) \text{ faible*}, \\ u'_m \to w'_{\zeta,\delta} & \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible*}, \\ u''_m \to w''_{\zeta,\delta} & \text{dans } L^\infty(0,T; L^2(\Omega)) \text{ faible*}, \\ \frac{\partial u'_m}{\partial x} \to \frac{\partial w'_{\zeta,\delta}}{\partial x} & \text{dans } L^4(Q) \text{ faible.} \end{array} \right.$$

*Condition initiale satisfaite par $w_{\zeta,\delta}$:* Grâce à (1.10) et à l'injection continue de l'espase $\{v \in L^2(0,T; H_0^1(\Omega)) : v' \in L^2(0,T; H_0^1(\Omega))\}$ muni de la norme du graphe dans $C([0,T]; H_0^1(\Omega))$ obtient:

$$\left\{ \begin{array}{l} \forall t \in [0, T], \quad u_m(t) \to w_{\zeta,\delta}(t) \quad \text{faible dans } H_0^1(\Omega) \\ \forall t \in [0, T], \quad u'_m(t) \to w'_{\zeta,\delta}(t) \quad \text{faible dans } H_0^1(\Omega) \end{array} \right.$$

d'où les égalités:

$$(1.11) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} w_{\zeta,\delta}(x,0) = u_0(x), & \text{p.p. } x \in \Omega, \\ w'_{\zeta,\delta}(x,0) = u_1(x), & \text{p.p. } x \in \Omega. \end{array} \right.$$

*Convergence forte:* L'injection de $\{v \in L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega)) : v' \in L^2(Q)\}$ (resp. $\{v \in L^\infty(0,T; H^2(\Omega)) : v' \in L^2(Q)\}$) muni de la norme du graphe dans $L^2(0,T; C(\bar{\Omega}))$ (resp.
$L^2(0, T; C^1(\bar{\Omega}))$ est compacte (cf. J.L. Lions [6], chap.1, §.5). On déduit donc des résultats (1.10) les propriétés de convergence forte:

$$ (1.12) \qquad \begin{cases} u_m \to w_{\zeta,\delta} \quad \text{dans } L^2(0,T; C^1(\bar{\Omega})), \\ u'_m \to w'_{\zeta,\delta} \quad \text{dans } L^2(0,T; C(\bar{\Omega})). \end{cases} $$

En observant que les fonctions $\varphi, \varphi'$ et $g'$ sont de classe $C^1$ donc lipshitziennes sur tout borné de $\mathbb{R}$ d'une part, et en extrayant d'autre part, une nouvelle sous suite notée encore $(u_m)_m$, en utilisant la continuité des fonctions $\varphi, \varphi'$ et $g'$ et le théorème de convergence dominée de Lebesgue, il vient

$$ (1.13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} u_m \to w_{\zeta,\delta} \quad \text{dans } L^2(0,T; C^1(\bar{\Omega})) \text{ et dans } L^q(Q), \forall q \in [1, \infty[, \\ u'_m \to w'_{\zeta,\delta} \quad \text{dans } L^2(0,T; C(\bar{\Omega})) \text{ et dans } L^q(Q), \forall q \in [1, \infty[, \\ \displaystyle \frac{\partial u_m}{\partial x} \to \frac{\partial w_{\zeta,\delta}}{\partial x}, \quad \frac{\partial \Phi(u_m)}{\partial x} \to \frac{\partial \Phi(w_{\zeta,\delta})}{\partial x}, \quad \frac{\partial g(u_m)}{\partial x} \to \frac{\partial g(w_{\zeta,\delta})}{\partial x} \quad \text{et} \\ A(u_m) \to A(w_{\zeta,\delta}) \quad \text{dans } L^q(Q), \forall q \in [1, \infty[. \end{array} \right. $$

D'autre part, puisque l'opérateur $B_1$ (resp. $B_2$) : $W_0^{1,4}(\Omega) \to W^{-1,4}(\Omega)$ est monotone et hémicontinu et comme grâce à (1.10) $u'_m$ converge dans $L^4(0, T; W_0^{1,4}(\Omega))$ faible vers $w'_{\zeta,\delta}$, alors

$$ (1.14) \qquad \begin{cases} B_1(u'_m) \to B_1(w'_{\zeta,\delta}) \text{ faiblement dans } L^{3/4}(0,T; W^{-1,4}(\Omega)), \\ B_2(u'_m) \to B_2(w'_{\zeta,\delta}) \text{ faiblement dans } L^{3/4}(0,T; W^{-1,4}(\Omega)). \end{cases} $$

Maintenant, on peut passer à la limite en $m$ dans l'égalité (1.5). En effet, soient $\Psi \in W_0^{1,4}(\Omega)$ et $(\Psi_p)_p$ une suite d'éléments de $H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)$ telles que $\Psi_p \to \Psi$ dans $W_0^{1,4}(\Omega)$ et $\Psi_p \in V_p$. Soit $m > p$, on choisit dans (1.5) $v_p = \Psi_p$. Dans l'égalité obtenue et grâce aux propriétés (1.10), (1.12),..., (1.14), on tend $m \to \infty$ puis $p \to \infty$, il vient:

$$ (1.15) \quad (w''_{\zeta,\delta}, \Psi) + \left( \frac{\partial \Phi(w_{\zeta,\delta})}{\partial x}, \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) + (\eta A(w_{\zeta,\delta}) + \alpha w'_{\zeta,\delta} + \frac{\partial g(w_{\zeta,\delta})}{\partial x}, \Psi) + \frac{1}{\delta}(B(w'_{\zeta,\delta}), \Psi) \\ \qquad + \frac{1}{\zeta}(B_2(w'_{\zeta,\delta}), \Psi) = (f, \Psi). $$

On vient de montrer que $w_{\zeta,\delta}$ est une solution du problème $P_{\eta,\zeta,\delta}$.

### I-1-3) Unicité de la solution de $P_{\eta,\zeta,\delta}$:

Pour simplifier les calculs on note $w = w_{\zeta,\delta}$ cette solution de $P_{\eta,\zeta,\delta}$ obtenue au paragraphe précédent. Soit $u$ une autre solution de $P_{\eta,\zeta,\delta}$ vérifiant (1.15). Grâce à la monotonie des opérateurs $B_1$ et $B_2$, la différence $s = u - w$ vérifie
$$
(1.16) \quad \frac{1}{2} \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 + \int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau + \eta \int_0^t (A(u) - A(w), s') d\tau \\
\qquad + \alpha \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \int_0^t \left( \frac{\partial(g(u) - g(w))}{\partial x}, s' \right) d\tau \le 0.
$$

Etude de l'inégalité (1.16).

a) Minoration du terme $\int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau$ : Une transformation simple, deux intégrations par parties et l'égalité $\frac{\partial s(z,0)}{\partial x} = 0$ impliquent

$$
\int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau = \frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - \frac{1}{2} \int_0^t \int_{\Omega} \varphi'(u) u' \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 dx d\tau \\
+ \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s}{\partial x} \right) - \int_0^t \left( \left[ \varphi'(u) - \varphi'(w) \right] u' \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau - \int_0^t (\varphi'(w) s' \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s}{\partial x}) d\tau \\
- \int_0^t \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w'}{\partial x}, \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau.
$$

On déduit d'abord, du théorème de la valeur moyenne et la C²-régularité sur φ les inégalités

$$
|\varphi(u) - \varphi(w)| \leq C|s|, \quad |\varphi'(u) - \varphi'(w)| \leq C|s|,
$$

d'autre part, les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Young, les appartenances $u' \in L^\infty(Q)$, $\frac{\partial w}{\partial x} \in L^\infty(Q)$, $\frac{\partial w'}{\partial x} \in L^\infty(0, T; L^2(\Omega))$, la formule de Poincaré et l'inégalité $\|s(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \le t \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau$ entraînent la minoration :

$$
\int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau \geq \\
\frac{1}{2} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - \frac{\sigma}{4} \left\| \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_0^t \left\| \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C \int_0^t \left\| s' \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

b) La monotonie de l'application $v \to |v|^\rho v$, les appartenances de $w'$, $g'(u)$, $\frac{\partial u}{\partial x}$ et $\frac{\partial w}{\partial x}$ à $L^\infty(Q)$, le théorème de la valeur moyenne et l'inégalité de Cauchy-Schwarz entraînent la minoration

$$
\eta \int_0^t (A(u) - A(w), s') dt + \int_0^t \left( \frac{\partial(g(u) - g(w))}{\partial x}, s' \right) dt \geq -C \int_0^t \left\| \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 dt - C \int_0^t \left\| s' \right\|_{L^2(\Omega)}^2 dt.
$$

Il résulte de (1.16) grâce aux points a) et b), à la minoration de $\varphi(u)$ par $\sigma > 0$, au lemme de Gronwall et à l'inégalité de Poincaré que $u = w$ sur $Q$. Ce qui achève la preuve du lemme 1-2. ■
## I-2) Passage à la limite en $\delta$ et $\zeta$ et existence d'une solution de $P_\eta$:

On procède de la manière suivante. On fixe $\zeta$ dans l'équation (1.4) puis on passe à la limite en $\delta$. Après, dans l'inégalité obtenue, on passe à la limite en $\zeta$.

a) Passage à la limite en $\delta$ dans l'équation (1.4): On fixe $\zeta$ dans $]0, 1[$. On déduit du lemme 1-3 et de (1.10) que les suites $(w_{\zeta,\delta})_{\delta>0}$, $(w'_{\zeta,\delta})_{\delta>0}$ et $(w''_{\zeta,\delta})_{\delta>0}$ sont bornées respectivement dans $L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega))$, $L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega))$ et $L^\infty(0, T; L^2(\Omega))$, d'où l'existence d'une sous-suite extraite de $(w_{\zeta,\delta})_{\delta>0}$ notée encore $(w_{\zeta,\delta})_{\delta>0}$ et d'une fonction $w_\zeta$ telles que:

$$ (1.17) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} w_{\zeta,\delta} \to w_\zeta & \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)) \text{ faible*}, \\ w'_{\zeta,\delta} \to w'_\zeta & \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible*}, \\ w''_{\zeta,\delta} \to w''_\zeta & \text{dans } L^\infty(0,T; L^2(\Omega)) \text{ faible*}. \end{array} \right. $$

Ces propriétés de convergence faible (1.17) entraînent d'une part, les conditions initiales $w_\zeta(x,0) = u_0(x)$ et $w'_\zeta(x,0) = u_1(x)$ p.p. $x \in \Omega$, d'autre part, grâce aux résultats de compacité classiques (cf. § I-1-2), des propriétés des convergence forte qui sont suffisantes pour passer à la limite dans les termes non linéaires de l'égalité (1.4).

On remarque de plus que l'égalité provenant de (1.4)

$$ B_1(w'_{\zeta,\delta}) = \delta \left[ f - w''_{\zeta,\delta} + \Delta\Phi(w_{\zeta,\delta}) - \alpha w'_{\zeta,\delta} - \frac{\partial g(w_{\zeta,\delta})}{\partial x} - \eta A(w_{\zeta,\delta}) - \frac{1}{\zeta} B_2(w'_{\zeta,\delta}) \right], $$

entraîne

$$ \| B_1(w'_{\zeta,\delta}) \|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega))} \le C\delta, $$

où $C > 0$, est une constante indépendante de $\delta$, et par conséquent, grâce aux propriétés de l'opérateur $B_1$, on a : $w'_\zeta(t) \in K_1$, p.p. $t \in ]0, T[$.

On considère maintenant le produit scalaire dans $L^2(\Omega)$ des deux membres de (1.4) avec $v - w'_{\zeta,\delta}$ où $v$ est quelconque dans $K$, puis, on utilise la monotonie de l'opérateur $B_1$ et l'égalité $B_1(v) = 0$ qui résulte de (1.3), enfin, on passe à la limite en $\delta \to 0_+$. On obtient que $w_\zeta$ vérifie l'inéquation

$$ (1.18) \left\{ \begin{array}{ll} \forall v \in K, \text{ p.p. } t \in ]0, T[, & \\ (w''_\zeta + \alpha w'_\zeta + \eta A(w_\zeta) + \frac{\partial g(w_\zeta)}{\partial x} + \frac{1}{\zeta} B_2(w'_\zeta) - f, v - w'_\zeta) + (\frac{\partial \Phi(w_\zeta)}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}(v - w'_\zeta)) \ge 0. & \end{array} \right. $$

b) Passage à la limite en $\zeta$ dans (1.18): On déduit du lemme 1-3, des propriétés (1.10), (1.17), de la propriété $w'_\zeta(t) \in K_1$ p.p. $t \in ]0, T[$ et que $K_1$ est fermé dans $H_0^1(\Omega)$, l'existence d'une sous-suite extraite de $(w_\zeta)_{\zeta>0}$ notée encore $(w_\zeta)_{\zeta>0}$ et une fonction $u_\eta$ tel que
$$ (1.19) \quad \left\{ \begin{array}{ll} w_{\zeta} \to u_{\eta} & \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)) \text{ faible*}, \\ w'_{\zeta} \to u'_{\eta} & \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible*} \text{ et } u'_{\eta}(t) \in \mathcal{K}_1, \text{ p.p. } t \in ]0, T[, \\ w''_{\zeta} \to u''_{\eta} & \text{dans } L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)) \text{ faible*}, \end{array} \right. $$

de plus, on choisit $v = 0$ dans (1.18) et on remarque que $(B_2(w'_{\zeta}), w'_{\zeta}) = \|B_2(w'_{\zeta})\|_{L^2(\Omega)}^2$, il en résulte grâce à la propriété $w'_{\zeta}(t) \in \mathcal{K}_1$ p.p. $t \in ]0, T[$, la majoration:

$$ (1.20) \quad \|B_2(w'_{\zeta})\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))}^2 \le C\zeta, \text{ où } C > 0 \text{ est une constante indépendante de } \zeta. $$

On déduit de (1.20) grâce aux propriétés de l'opérateur $B_2$, que $u'_{\eta}(t) \in \mathcal{K}_2$, p.p. $t \in ]0, T[$. Π résulte donc de (1.19), la propriété: $u'_{\eta}(t) \in \mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \cap \mathcal{K}_2$, p.p. $t \in ]0, T[$.

Maintenant, on considère l'inéquation (1.18), puis, on tend $\zeta \to 0_+$, il résulte de la monotonie de $B_2$ et l'égalité $B_2(v) = 0$ qui découle de (1.3), que $u_{\eta}$ vérifie l'inéquation (1.2). Les conditions initiales et l'unicité sont obtenues comme aux § I-1-2 et § I-1-3. On obtient donc que le problème $P_{\eta}$ admet une solution unique $u_{\eta}$.

## I-3) Passage à la limite en $\eta$ et existence d'une solution de $P$

### I-3-1) Estimations a priori sur $u_{\eta}$

Il résulte du § I-2, que pour chaque $\eta > 0$, le problème $P_{\eta}$ admet une solution unique $u_{\eta}$ telle que $u'_{\eta}(t) \in \mathcal{K}$, p.p. $t \in ]0, T[$; et par conséquent, les suites $(u_{\eta})_{\eta>0}$ et $(u'_{\eta})_{\eta>0}$ sont bornées dans $L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega))$ indépendamment de $\eta$. On complète ces résultats par les estimations suivantes sur $u''_{\eta}$:

**Lemme 1-4:** Pour chaque $\eta \in ]0, 1[$, la solution $u_{\eta}$ du problème $P_{\eta}$ est telle que:

$$ i) \quad \|u''_{\eta}\|_{L^2(\Omega)} \le C, $$

$$ ii) \quad \|\sqrt{t}u''_{\eta}\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} \le C, $$

où $C>0$, est une constante indépendante de $\eta \in ]0, 1[$.

**Preuve du lemme 1-4 :** On utilise une méthode de quotients différentiels.

i) Soit $\omega_0$ un réel tel que $0 < \omega_0 < T$. On considère l'inéquation (1.2) satisfaite par $u_{\eta}$ pour p.p. $t \in ]\omega_0, T[$, puis, on choist $v = u'_{\eta}(\tau - \omega)$, où $\omega$ est un réel fixé tel que $0 < \omega < \omega_0$. Après, on multiplie par $\frac{1}{\omega}$ et on pose $w(\tau) = \frac{1}{\omega}(u'_{\eta}(\tau) - u'_{\eta}(\tau - \omega))$, il vient:

$$ (u''_{\eta} + \alpha u'_{\eta} + \frac{\partial g(u_{\eta})}{\partial x} - f, w') + \eta(A(u_{\eta}), w') + \left(\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}, \frac{\partial w'}{\partial x}\right) \le 0 \text{ p.p. } \tau \in ]\omega_0, T[. $$
Soit $t \in ]\omega_0, T[$; on intègre l'inégalité précédente de $\omega_0$ à t. Puisque $\frac{\partial u_\eta}{\partial x} \in C([0,T]; L^2(\Omega))$, on peut intégrer par parties le terme $(\frac{\partial \Phi(u_\eta)}{\partial x}, \frac{\partial w'}{\partial x})$, il vient:

$$ (1.21) \quad \int_{\omega_0}^{t} (u''_{\eta}, w') d\tau \le -\int_{\omega_0}^{t} \left(\alpha u'_{\eta} + \frac{\partial g(u_{\eta})}{\partial x} - f, w' \right) d\tau - \eta \int_{\omega_0}^{t} \left(A(u_{\eta}), w' \right) d\tau - \left(\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}(t), \frac{\partial w}{\partial x}(t)\right) \\ \qquad + \left(\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}(\omega_0), \frac{\partial w}{\partial x}(\omega_0)\right) + \int_{\omega_0}^{t} \left(\varphi'(u_{\eta}) u'_{\eta} \frac{\partial u_{\eta}}{\partial x} + \varphi(u_{\eta}) \frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial x}\right) d\tau. $$

Le passage à la limite en $\omega \to 0_+$ dans les deux membres de l'inégalité (1.21) est légitime, en effet, $u''_{\eta} \in L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))$ et $u'_{\eta} \in L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))$, donc $w'$ et $\frac{\partial w}{\partial x}$ convergent respectivement vers $u'_{\eta}$ et $\frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x}$ dans $L^q(0,T; L^2(\Omega))$, pour tout $q \in [1, \infty]$. De plus, on obtient grâce à la régularité sur $u'_{\eta}$ que $\frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x} \in C^s([0,T]; L^2(\Omega))$, où $C^s([0,T]; L^2(\Omega))$ est l'espace des fonctions $v \in L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))$ telles que pour chaque $y \in L^2(\Omega)$, l'application $t \to (v(t), y)$ est continue (cf. J.L. Lions et E. Magenes [7]). Par conséquent, pour chaque $t \in [0,T]$, $\frac{\partial w(t)}{\partial x}$ converge faiblement vers $\frac{\partial u'_{\eta}(t)}{\partial x}$ dans $L^2(\Omega)$. On déduit alors de (1.21) l'inégalité

$$ \int_{\omega_0}^{t} \|u''_{\eta}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le -\int_{\omega_0}^{t} \left(\alpha u'_{\eta} + \frac{\partial g(u_{\eta})}{\partial x} - f, u''_{\eta} \right) d\tau - \eta \int_{\omega_0}^{t} \left(A(u_{\eta}), u''_{\eta} \right) d\tau - \left(\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}(t), \frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x}(t)\right) \\ + \left(\frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x}(\omega_0), \frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x}(\omega_0)\right) + \int_{\omega_0}^{t} \left(\varphi'(u_{\eta}) u'_{\eta} \frac{\partial u_{\eta}}{\partial x} + \varphi(u_{\eta}) \frac{\partial u'_{\eta}}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial x}\right) d\tau, $$

qui implique grâce à l'inégalité de Young et à la propriété $u'_{\eta}(\tau) \in \mathcal{K}$, p.p. $\tau \in ]0, T[$:

$$ (1.22) \quad \frac{1}{2} \int_{\omega_0}^{t} \|u''_{\eta}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le C, \text{ p.p. } \omega_0 \in ]0, 1[, \text{ p.p. } t \in ]0, T[ $$

où $C$ est une constante positive indépendante de $\omega_0$ et de $\eta \in ]0, 1[$.

On passe à la limite en $\omega_0$ dans (1.22), on obtient l'estimation i).

ii) Soit $\omega$ un réel de $]0, T[$, déstiné à tendre vers $0_+$. Ou considère l'inéquation (1.2) satisfaite par $u_{\eta}$ aux instants $\tau$ et $\tau + \omega$, où $\tau$ est un réel fixé de $]0, T - \omega[$, avec les choix respectifs $v = u'_{\eta}(\tau + \omega)$ et $v = u'_{\eta}(\tau)$. On ajoute ces deux inégalités obtenues, on multiplie par $\frac{\tau}{\omega^2}$, puis, on intègre de 0 à t. Pour chaque fonction $w: Q \to \mathbb{R}$, on pose $w_{\omega}(\tau) = \frac{1}{\omega}(w(\tau + \omega) - w(\tau))$. La monotonie de l'application $v \mapsto |v|^{\rho}v$ et une intégration par parties conduisent à:
$$
(1.23) \quad \frac{t}{2} \|u'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \int_0^t \tau \|u'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le \frac{1}{2} \int_0^t \|\dot{u}'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - \int_0^t \tau \left( \frac{\partial[g(u_\eta)]_\omega}{\partial x}, u'_{\eta, \omega} \right) d\tau \\
\qquad + \int_0^t \tau(f_\omega, u'_{\eta, \omega}) d\tau - \eta \int_0^t \tau \left( \left[ \varphi'^2(u_\eta) u'_{\eta} \left( \frac{\partial u_\eta}{\partial x} \right)^2 \right]_\omega, u'_{\eta, \omega} \right) d\tau - \int_0^t \tau \left( \frac{\partial[g(u_\eta)]_\omega}{\partial x}, \frac{\partial u'_{\eta, \omega}}{\partial x} \right) d\tau.
$$

Majoration du second membre de (1.23). En effet, on effectue une transformation simple sur les termes $\frac{\partial[\Phi(u_\eta)]_\omega}{\partial x}$ et $[\varphi^2(u_\eta)u'_\eta(\frac{\partial u_\eta}{\partial x})^2]_\omega$, puis, des intégrations par parties. l'utilisation de la propriété $u'_\eta \in K$, p.p. $\tau \in ]0, T[$, la régularité sur $\varphi$ et $g$, la propriété $\|w_\omega(\tau)\|_{L^q(Q)} \le \|w'\|_{L^q(Q)}$ valable pour tout fonction $w: w' \in L^q(Q)$ ($q \in [1, \infty[$) et tout réel $\omega$, nous permettent de déduire à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'estimation i) précédente, la majoration:

$$
(1.24) \quad \left| \frac{1}{2} \int_0^t \|u'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - \int_0^t \tau \left( \frac{\partial[\Phi(u_\eta)]_\omega}{\partial x}, \frac{\partial u'_{\eta, \omega}}{\partial x} \right) d\tau - \int_0^t \tau \left( \frac{\partial[g(u_\eta)]_\omega}{\partial x} - f_\omega, u'_{\eta, \omega} \right) d\tau \right| \\
\qquad + \left| \eta \int_0^t \tau \left( [\varphi^2(u_\eta)u'_{\eta}(\frac{\partial u_\eta}{\partial x})^2]_\omega, u'_{\eta, \omega} \right) d\tau \right| \le C + C \int_0^t \|u'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau,
$$

où $C$ est une constante positive indépendante de $\eta \in ]0, 1[$ et de $\omega \in ]0, 1[$.

Il résulte de (1.23) grâce à (1.24), l'inégalité

$$
(1.25) \quad \frac{t}{2} \|u'_{\eta, \omega}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C + C \int_0^t \tau \|u'_{\eta, \omega}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

D'où, par passage à la limite en $\omega$ et utilisation du lemme de Gronwall, on obtient l'estimation
ii). ■

I-3-2) Passage à la limite en η dans l'inéquation (1.2)

Il résulte de l'appartenance $u'_\eta(t) \in \mathcal{K}$, p.p. $t \in ]0, T[$, et des estimations du lemme 1-4, les
propriétés de convergence faible

$$
(1.26) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\eta} \to u & \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible*}, \\
u'_{\eta} \to u' & \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible* et } u'(t) \in \mathcal{K}, \text{ p.p. } t \in ]0, T[ \\
u''_{\eta} \to u'' & \text{dans } L^2(\Omega) \text{ faible,} \\
tu''_{\eta} \to \chi & \text{dans } L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)) \text{ faible* et } \chi = tu''.
\end{array}
\right.
$$

En effet, $u'(t) \in \mathcal{K}$, p.p. $t \in ]0, T[$, puisque $\mathcal{K}$ est un sous-ensemble fermé de $H_0^1(\Omega)$. De plus, $\chi = tu''$ puisque $tu''_\eta$ converge vers $tu''$ dans $D'(0, T; L^2(\Omega))$ car pour chaque fonction $\varphi$ dans $D(]0, T[$), on a $\langle tu''_\eta, \varphi \rangle = - \langle u'_\eta, (t\varphi)' \rangle$.
On déduit de (1.26) les résultats suivants

$$u(x, 0) = u_0(x) \text{ et } u'(x, 0) = u_1(x), \text{ p.p. } x \in \Omega,$$

$$ (1.27) \qquad u_{\eta} \to u \quad (\text{resp. } u'_{\eta} \to u') \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \text{ et } L^q(\Omega) \quad \forall q \in [1, \infty[, $$

et

$$ (1.28) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial \Phi(u_{\eta})}{\partial x} \to \frac{\partial \Phi(u)}{\partial x} \quad (\text{resp. } \frac{\partial g(u_{\eta})}{\partial x} \to \frac{\partial g(u)}{\partial x}) & \text{dans } L^{\infty}(Q) \text{ faible}, \\ \eta A(u_{\eta}) \to 0 & \text{dans } L^{\infty}(Q) \text{ faible}. \end{array} \right. $$

Maintenant, le passage à la limite en $\eta$ dans l'inégalité (1.2) est possible. En effet (1.2) entraîne:

$$ \int_0^t (v''_\eta + \alpha u'_\eta + \eta A(u_\eta) + \frac{\partial g(u_\eta)}{\partial x} - f, v - u'_\eta) d\tau + \int_0^t \left(\frac{\partial \Phi(u_\eta)}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}\right) d\tau \\ \geq \frac{1}{2} \int_{\Omega} \varphi(u_\eta) \left(\frac{\partial u_\eta}{\partial x}\right)^2 dx - \frac{1}{2} \int_{\Omega} \varphi(u_0) \left(\frac{\partial u_0}{\partial x}\right)^2 dx - \frac{1}{2} \int_0^t \int_{\Omega} \varphi'(u_\eta) u'_\eta \left(\frac{\partial u_\eta}{\partial x}\right)^2 dx d\tau, $$

il résulte donc de (1.26), ..., (1.28), de $-\varphi'(u_\eta)u'_\eta \geq 0$ et $-\varphi'(u)u' \geq 0$ et des propriétés de convergence faible

$$ \sqrt{\varphi(u_\eta)} \frac{\partial u_\eta}{\partial x} \to \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial u}{\partial x} \quad (\text{resp.} \quad \sqrt{-\varphi'(u_\eta)u'_\eta} \frac{\partial u_\eta}{\partial x} \to \sqrt{-\varphi'(u)u'} \frac{\partial u}{\partial x}) \quad \text{dans } L^\infty(Q) \text{ faible}, $$
que la fonction limite $u$ satisfait à:

$$ \int_0^t (u'' + \alpha u' + \frac{\partial g(u)}{\partial x} - f, v - u') d\tau + \int_0^t \left(\frac{\partial \Phi(u)}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}(v - u')\right) d\tau \geq 0, \forall v \in \mathcal{K}, \text{ p.p. } t \in [0, T[. $$

On conclut par une opération standard, que $u$ vérifie l'inéquation (1) et par suite $u$ est une solution du problème P. L'unicité de $u$ s'obtient comme au § I-1-3.

Ce qui achève la preuve du théorème 1-1 et le § I. ■

## II- Existence et unicité de la solution pour un problème dégénéré

### Existence:

On suppose que la fonction $\Phi$ satisfait à l'hypothèse $H_0$. Les autres conditions $H$ et $H_g$ sont inchangées. On considère alors le problème dégénéré:

$$ \tilde{P} \quad (2.1) \quad \left\{ \begin{array}{ll} u \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega)), \ u' \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega)), \ u'(t) \in \mathcal{K} \text{ p.p. } t \in [0, T[, & \\ (u'' + \alpha u' + \frac{\partial g(u)}{\partial x} - f, v - u') + (\frac{\partial \Phi(u)}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}(v - u')) \geq 0, & \\ u(x, 0) = u_0(x), \ u'(x, 0) = u_1(x) \quad \text{p.p. } x \in \Omega. & \end{array} \right. $$
Pour ce problème, on établit le:

**Lemme 2-1: Le problème $\tilde{P}$ admet au moins une solution.**

*Preuve:* Pour établir l'existence d'une solution de $\tilde{P}$, on utilise une méthode d'approximation. Pour chaque réel $\sigma > 0$, on considère la fonction $\Phi_{\sigma}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $\Phi_{\sigma}(v) = \Phi(v) + \sigma v$, qui satisfait à la condition $H_{\sigma}$ et on note par $P_{\sigma}$ le problème similaire au problème $P$ tel que dans (1), la fonction $\Phi_{\sigma}$ prend la place de la fonction $\Phi$.

Il résulte du § I, que $P_{\sigma}$ admet une solution unique $u_{\sigma}$, telle que $tu_{\sigma}'' \in L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega))$.

D'autre part, on procède comme pour établir les estimations du lemme 1-4, on obtient ceux sur $u_{\sigma}$

$$ (2.2) \quad \|u_{\sigma}''\|_{L^2(Q)} + \|\sqrt{t}u_{\sigma}''\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} \le C, \quad (C > 0 \text{ est une constante indépendante de } \sigma \in ]0, 1[). $$

Maintenant, grâce aux estimations (2.2) et à la propriété $u'_{\sigma}(t) \in \mathcal{K}$, p.p. $t \in ]0, T[$, nous allons montrer que la suite $(u_{\sigma})_{\sigma>0}$ converge, quand $\sigma \to 0_+$, vers une solution $u$ du problème $\tilde{P}$.

En effet, comme au paragraphe 1-3-2, on établit l'existence d'une sous-suite $(u_{\sigma})_{\sigma>0}$, notée encore $(u_{\sigma})_{\sigma>0}$ telle que: quand $\sigma \to 0_+$,

$u_{\sigma} \to u$, $u'_{\sigma} \to u'$ dans $L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega))$ faible* et $u'(t) \in \mathcal{K}$, p.p. $t \in ]0, T[$,

$u''_{\sigma} \to u''$ faiblement dans $L^2(Q)$,

$\forall t \in [0, T]$, $u_{\sigma}(t) \to u(t)$ (resp. $u'_{\sigma}(t) \to u'(t)$) faiblement dans $H_0^1(\Omega)$.

Il résulte d'une part:

$$ (2.3) \qquad u(x, 0) = u_0(x) \quad \text{et} \quad u'(x, 0) = u_1(x) \quad \text{p.p.} \ x \in \Omega, $$

et d'autre part, grâce aux résultats de compacité classiques, les propriétés de convergence forte:

$u_{\sigma} \to u$ dans $L^2(0, T; C(\bar{\Omega}))$ et $L^q(Q)$, $\forall q \in [1, +\infty[$,

$u'_{\sigma} \to u'$, $\Phi(u_{\sigma}) \to \Phi(u)$, $g(u_{\sigma}) \to g(u)$ dans $L^q(Q)$, $\forall q \in [1, +\infty[$.

Maintenant, on peut passer la limite quand $\sigma \to 0_+$ dans l'inégalité satisfaite par $u_{\sigma}$. Il en résulte que la fonction limite $u$ vérifie l'inégalité (2.1) pour chaque $v \in \mathcal{K}$ et pour p.p. $t \in ]0, T[$, et par conséquent $u$ est une solution de $\tilde{P}$. ■

L'hypothèse $H_0$ et $H_g$ sont insuffisantes pour conclure sur l'unicité de la solution de $\tilde{P}$. On est amené donc à ajouter d'autres conditions sur $\varphi$ et $g$ afin d'obtenir cette unicité de la solution.
On remarque que toute solution $u$ de $\tilde{P}$ vérifie $u \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega)) \cap C([0, T]; L^2(\Omega))$, il en résulte grâce à l'inclusion algébrique et topologique $H_0^1(\Omega) \subset C^{0, \frac{1}{2}}(\bar{\Omega})^{(*)}$ et au théorème d'Ascoli que $u \in C(\bar{Q})$.

On note $M = \{v \in C(\bar{Q}) : v' \in L^\infty(0, T; \mathcal{K}) \text{ et } v(x, 0) = u_0(x)\}$, alors toute solution de $\tilde{P}$ est dans $M$. On pose $d_0 = \inf \{v(x, t) : v \in M \text{ et } (x, t) \in \bar{Q}\}$, on remarque que $d_0$ est fini, puisque tout élément de $M$ est borné sur $Q$ par $\|u_0\|_{C(\bar{\Omega})} + \text{mes}(Q)$. On ajoute à $H_0$ et $H_g$ la condition

$$ H_d \begin{cases} \text{i) } \exists l \in \mathbb{R}, l \ge 4, \exists d \in \mathbb{R}, \exists (k_0, k_1) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^* \text{ tels que } \forall v \in [d_0, +\infty[ \\ k_0 |v-d|^l \le \varphi(v), \ 0 \le \varphi'(v) \le k_1 |v-d|^{l-1}, \ |\varphi''(v)| \le k_1 |v-d|^{l-2}, \\ \text{ii) } \exists (c, \mu) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+; \text{ tel que } \mu \ge \frac{l}{2} \text{ et } |g'(v)| \le c|v-d|^\mu \quad \forall v \in [d_0, +\infty[. \end{cases} $$

L'hypothèse $H_d$ (ii) entraîne en particulier que $|g'(v)| \le c' + c''|v|^\mu$ sur $[d_0, +\infty[$.

Un exemple de fonctions $\varphi$ vérifiant l'hypothèse $H_0$ et la condition i) de $H_d$ est

$$ \varphi(x) = \begin{cases} 0 \text{ sur } ]-\infty, d_0] \\ k|v - d_0|^l \text{ sur } [d_0, +\infty[, \text{ avec } l \ge 4 \text{ et } k > 0. \end{cases} $$

On a le

**Lemme 2-2: Sous la condition $H_d$, le problème $\tilde{P}$ admet une unique solution.**

*Preuve:* Soit $w$ une solution du problème $\tilde{P}$ et soit la solution obtenue par le lemme 2-1. Alors $s = u - w$ vérifie:

$$ (2.4) \quad \frac{1}{2} \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 + \int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau + \alpha \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \int_0^t \left( \frac{\partial(g(u)-g(w))}{\partial x} \right)_{s'} d\tau \le 0. $$

La difficulté principale ici est le traitement du second terme du premier membre de (2.4).

a) En effet, une transformation simple conduit à

$$ (2.5) \quad \begin{aligned} \int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau = & \frac{1}{2} \int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial s}{\partial x} + [\varphi(u) - \varphi(w)] \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau \\ & + \frac{1}{2} \int_0^t (\varphi(w) \frac{\partial s}{\partial x} + [\varphi(u) - \varphi(w)] \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau. \end{aligned} $$

$$ \|v\| = \sup_{x \in \bar{\Omega}} |v(x)| + \sup_{(x,y) \in \bar{\Omega} \times \bar{\Omega}, x \neq y} \frac{|v(x)-v(y)|}{|x-y|^{\frac{1}{2}}}. $$

<footnote>(*) $C^{0, \frac{1}{2}}(\bar{\Omega})$ est l'espace des fonctions holdériennes $v$ d'ordre $\frac{1}{2}$, muni de la norme:</footnote>
On va minorer chaque terme du second membre de (2.5). Puisque $\frac{\partial s(x,0)}{\partial x} = 0$ alors

$$ 
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \varphi(u) \frac{\partial s}{\partial x} + \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w}{\partial x} \right) \frac{\partial s'}{\partial x} d\tau &= \frac{1}{4} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{2} \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial s}{\partial x} \right. \\
&\qquad \left. - \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \int_{\Omega} \varphi'(u) u' \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 dx d\tau - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \varphi'(w) s' \frac{\partial w}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \left[ \varphi'(u) - \varphi'(w) \right] u' \frac{\partial w}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau \\
&\qquad \left. - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w'}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau.
\end{aligned}
$$

Il résulte d'une part, du théorème de la valeur moyenne, de la C²-régularité sur $\varphi$ et de l'hy-
pothèse $H_d$, les inégalités

$$ 
\begin{aligned}
|\varphi(u) - \varphi(w)| &\le C(|u - d|^{\ell-1} + |w - d|^{\ell-1}) |s|, \\
|\varphi'(u) - \varphi'(w)| &\le C(|u - d|^{\ell-2} + |w - d|^{\ell-2}) |s|,
\end{aligned}
$$

d'autre part, les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Young, la propriété $u'(t)$ (resp. $w'(t)$) $\in \mathcal{K}$,
la condition $\ell \ge 4$, la minoration $k_0 |v - d|^{\ell} \le \varphi(v)$ et l'inégalité $\|s(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \le t \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau$,
entraînent les deux majorations:

$$ 
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \left| \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w}{\partial x} \right) \left( - \int_0^t \left( \left[ \varphi'(u) - \varphi'(w) \right] u' \frac{\partial w}{\partial x} \right) \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau \right| &+ \left( \frac{1}{2} \right) \left| \int_0^t \left( \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w'}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau \right| \\
&\le \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
&\qquad + C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_0^t \left\| s' \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau
\end{aligned}
$$

et

$$ \left| -\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \varphi'(w) s' \frac{\partial w}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right) d\tau \right| \le C \int_{0}^{t} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_{0}^{t} \left\| s' \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau. $$

Finalement, on déduit de la propriété $-\varphi'(u)u' \ge 0$, la minoration

$$ 
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left( \varphi(u) \frac{\partial s}{\partial x} + \left[ \varphi(u) - \varphi(w) \right] \frac{\partial w}{\partial x} \right) \frac{\partial s'}{\partial x} d\tau &\ge \frac{1}{6} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_{0}^{t} \left\| s' \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
&\quad - \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_{0}^{t} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C \int_{0}^{t} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
\end{aligned}
$$
Par un procédé analogue, on établit la minoration

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{t} (\varphi(w) \frac{\partial s}{\partial x} + [\varphi(u) - \varphi(w)] \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau \geq \frac{1}{6} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_{0}^{t} \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
- \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 - C \int_{0}^{t} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C \int_{0}^{t} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

Il résulte des deux minorations précédentes, la minoration

$$
\int_0^t (\varphi(u) \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi(w) \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial s'}{\partial x}) d\tau \geq \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \\
- C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - C \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

b) Enfin, la régularité sur g, l'inégalité $|g'(v)| \le c|v-d|^\mu$ sur $[d_0, +\infty[$, la condition $\mu \ge \ell/2$, la propriété $u'(t)$ (resp. $w'(t)) \in \mathcal{K}$, l'inégalité $\|s(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \le t \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau$ et les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Young conduisent à

$$
\left| \int_0^t \left( \frac{\partial(g(u) - g(w))}{\partial x} , s' \right) d\tau \right| \le C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

On déduit finalement de (2.4) grâce aux points a), b), l'inégalité

$$
\frac{1}{2} \|s'(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{12} \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \\
\le C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(u)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_0^t \left\| \sqrt{\varphi(w)} \frac{\partial s}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + C \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau,
$$

qui, à l'aide du lemme de Gronwall nous donne $u = w$ sur $Q$. ■

Bibliographie

[1] M.L. Bernardi - L. Pozzi : On class of singular nonlinear parabolic variational inequalities, ANNALI DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA. Tomo CLIX, VOL. 159, 1991, p. 117-132.

[2] G. Duvaut et J.L. Lions : Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, Paris, 1972.

[3] Y. Ebihara : Modified Variational Inequalities to Semilinear Wave Equation, Nonlinear Analysis, Theory Methods and Appli., 7, n° 8, 1983, p. 821-826.

[4] B. Hajouj : On an Elasto-Plasticity Problem with Small Parameters. Advances in Mathematical Sciences
and Applications, Gakkōtosho, Tokyo, Vol. 9, No. 1 (1999), pp. 209-227.

[5] N. A. Lar'kin : Hyperbolic Regularization of the Burgers Equation, Diff. Eq., 16, n° 1, 1980, p. 77-79.

[6] J.L. Lions : Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969.

[7] J.L. Lions et E. Magenes : Problèmes aux limites non homogènes et applications, Vol. 1, Dunod, Paris, 1968.

[8] M. Madaune-Tort : Thèse, PAU et PAYS de L'ADOUR, FRANCE, 1981

[9] F.G. Maksudov, A.B. Aliev and D.M. Tahirov : A one-sided Problem for a Quasilinear Equation of Hyperbolic Type, Soviet Math. Dokl., 23, n° 3, 1981, p. 592-594.

Ecole Normale Supérieure, Département de Mathématiques,
B.P. S/41, Marrakech, Maroc
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