Sur un problème de M. Fréchet concernant les
dimensions des ensembles linéaires.

Par
C. Kuratowski et W. Sierpiński (Varsovie).

M. Maurice Fréchet exprima récemment l'opinion qu'il serait intéressant de chercher si, parmi les nombres de dimension, il en existe un qui précède immédiatement celui de l'ensemble de tous les nombres irrationnels et un autre qui suit immédiatement celui de l'ensemble de tous les nombres rationnels <fnref n="1" />).

Nous donnerons dans cette Note une solution négative du premier problème, en nous appuyant sur le théorème de M. Zermelo, et nous prouverons que le second se résout négativement, si l'on admet l'hypothèse du continu.

Lemme I <fnref n="2" />). Soient $R$ un ensemble de nombres réels de puissance $c$ <fnref n="3" />) et $\mathfrak{N}$ une famille de puissance $\leqslant c$ de sous-ensembles de $R$ dont chacun a la puissance $c$. $R$ renferme alors un ensemble $Z$ de puissance $c$ qui, de-même que $R-Z$, contient au moins un élément de tout ensemble $M$ de la famille $\mathfrak{N}$.

Démonstration. Soit $\Omega_c$ le plus petit nombre ordinal de puissance $c$. La famille $\mathfrak{N}$ ayant la puissance $\leqslant c$, il existe une suite transfinie du type $\Omega_c$:

$$ (1) \quad M_1, M_2, \dots, M_\omega, M_{\omega+1}, \dots, M_\alpha, \dots \quad (\alpha < \Omega_c) $$

<footnote n="1">¹) On dit, d'après M. Fréchet, que les ensembles $E$ et $H$ ont le même nombre de dimension, si $E$ est homéomorphe d'un sous-ensemble de $H$ et inversement. Si $E$ est homéomorphe d'un sous-ensemble de $H$ sans que $H$ soit homéomorphe, d'un sous-ensemble de $E$, on dit que la dimension de $E$ est inférieure à celle de $H$ (et on écrit $dE < dH$).</footnote>

<footnote n="2">²) Un théorème analogue a été démontré par M. F. Bernstein: Leipzig. Ber. 60, 1908. Cf. P. Mahlo, ibid. 63, 1911.</footnote>

<footnote n="3">³) $c$ désigne la puissance du continu.</footnote>
dont les termes sont des ensembles de la famille $\partial\mathfrak{N}$, chaque ensemble de $\partial\mathfrak{N}$ figurant dans la suite (1) au moins une fois.

Or, soit

$$ (2) \qquad x_1, x_2, x_3, \dots, x_{\omega}, x_{\omega+1}, \dots, x_{\alpha}, \dots \quad (\alpha < \Omega_c) $$

une suite transfinie du type $\Omega_c$, formée de tous les nombres réels différents, appartenant à $\mathbb{R}$.

Définissons maintenant par l'induction transfinie deux suites transfinies $p_\alpha$ et $q_\alpha$ ($\alpha < \Omega_c$) comme il suit. Soit $p_1$ le premier terme de la suite (2) contenu dans $M_1$, $q_1$ — le premier terme de la suite (2) autre que $p_1$, contenu dans $M_1$. (Les points $p_1$ et $q_1$ existent, $M_1$ ayant la puissance $c$).

Soit maintenant $\alpha$ un nombre ordinal donné $< \Omega_c$ et supposons que nous avons déjà défini les points $p_\xi$ et $q_\xi$, pour tout $\xi < \alpha$. L'ensemble $S_\alpha$ de tous les points $p_\xi$ et $q_\xi$, où $\xi < \alpha$, est de puissance $< c$, puisque $\alpha < \Omega_c$. L'ensemble $M_\alpha$ ayant la puissance $c$ (comme élément de $\partial\mathfrak{N}$), il en résulte que l'ensemble $M_\alpha - S_\alpha$ est de puissance $c$. Nous définissons $p_\alpha$ comme premier terme de la suite (2) contenu dans $M_\alpha - S_\alpha$ et $q_\alpha$ comme premier terme de la suite (2) contenu dans $M_\alpha - S_\alpha$ et distinct de $p_\alpha$.

Désignons par $\mathbb{Z}$ l'ensemble de tous les points $p_\alpha$, où $\alpha < \Omega_c$. On voit sans peine que l'ensemble $\mathbb{Z}$ satisfait aux conditions de notre lemme.

En effet, nous avons, d'après la définition de la suite $p_\alpha, p_\alpha \in \mathbb{Z}$, et $p_\alpha \in M_\alpha$, donc $M_\alpha Z \neq 0$ pour tout nombre ordinal $\alpha < \Omega_c$. Or, soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres ordinaux quelconques $< \Omega_c$, et distinguons trois cas: $\alpha > \beta$, $\alpha = \beta \alpha < \beta$. Si $\alpha > \beta$, nous avons, d'après la définition de $S_\alpha, q_\beta \in S_\alpha$ et d'après la définition de $p_\alpha$, $\hat{p} \in (M_\alpha - S_\alpha)$, donc $p_\alpha \notin S_\alpha$, et parsuite $q_\beta \neq p_\alpha$. Si $\alpha = \beta$, nous avons, d'après la définition de $q_\omega, q_\alpha \neq p_\alpha$, donc $q_\beta \neq \hat{p}_\alpha$. Enfin, si $\alpha < \beta$, nous avons, d'après la définition de $S_\beta, p_\alpha \in S_\beta$ et, d'après la définition de $q_\beta, q_\beta \in (M_\beta - S_\beta)$, donc $q_\beta \notin S_\beta$, et parsuite $q_\beta \neq p_\alpha$. Nous avons donc dans tous les cas $q_\beta \neq p_\alpha$ et parsuite, d'après la définition de l'ensemble $\mathbb{Z}$, $q_\beta \notin \mathbb{Z}$, c'est-à-dire $q_\beta \in (\mathbb{R} - \mathbb{Z})$, quel que soit le nombre ordinal $\beta < \Omega_c$. Or, nous avons, d'après la définition de $q_\beta$, $q_\beta \in M_\beta$ pour $\beta < \Omega_c$: il en résulte, d'après $q_\beta \in (\mathbb{R} - \mathbb{Z})$, que $M_\beta (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \neq 0$ pour $\beta < \Omega_c$.

Nous avons donc démontré les inégalités $M_\beta Z \neq 0$ et $M_\beta (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \neq 0$ pour tout nombre ordinal $\beta < \Omega_c$. Tout ensemble de la famille $\partial\mathfrak{N}$ étant un terme de la suite (1), il en résulte que l'ensemble $\mathbb{Z}$ satisfait aux conditions de notre lemme. Qui est ainsi démontré.
Soit maintenant $\mathbb{R}$ l'ensemble de tous les nombres réels, $\partial\mathbb{R}$— la famille de tous les ensembles linéaires parfaits. $\mathbb{R}$ et $\partial\mathbb{R}$ satisfont donc aux conditions de notre lemme: en appliquant ce lemme on conclut qu'il existe un ensemble de nombres réels $\mathbb{Z}$ de puissance du continu qui, ainsi que son complémentaire $\mathbb{C}\mathbb{Z}$, contient au moins un point de tout ensemble linéaire parfait<fnref n="1" />). $\mathbb{Z}$ ne peut évidemment contenir aucun sous-ensemble parfait: c'est donc un ensemble "totalement imparfait". Ainsi le lemme I entraîne l'existence des ensembles totalement imparfaits de puissance du continu<fnref n="2" />). On en déduit sans peine que l'ensemble de tous les ensembles totalement imparfaits a la puissance 2c.

**Lemme II.** *E étant un ensemble linéaire qui ne contient aucun sous-ensemble parfait et P étant un ensemble linéaire parfait, l'ensemble P—E a la puissance du continu.*

**Démonstration.** Soit $\mathcal{F}$ une famille formée de c ensembles linéaires disjoints et dont chacun a la puissance $c$. On sait qu'une telle famille existe: on l'obtient p. e., en désignant pour tout nombre irrationnel $t$ de $(0, 1)$, dont le développement dyadique est

$$t = \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \dots$$

par $P(t)$ l'ensemble parfait formé de tous les nombres réels $x$ dont le développement dyadique est

$$x = \frac{c_1}{2} + \frac{c_2}{2^2} + \frac{c_3}{2^3} + \dots$$

où $c_{2n} = a_n$, pour $n = 1, 2, 3, \dots$ ($c_{2n-1}$ étant arbitraire).

On voit ensuite sans peine que l'ensemble $\mathcal{N}$ des nombres irrationnels contient c ensembles de la famille $\mathcal{F}$. Tout ensemble parfait contenant un sous-ensemble homéomorphe de $\mathcal{N}$, il en résulte tout de suite que tout ensemble parfait contient une famille $\mathcal{F}$ de c ensembles parfaits disjoints.

Soit maintenant $\mathcal{E}$ un ensemble linéaire ne contenant aucun sous-ensemble parfait, $P$ et un ensemble linéaire parfait donné

<footnote n="1">¹) Un tel ensemble est, comme on voit sans peine, non-mesurable au sens de Lebesgue.</footnote>

<footnote n="2">²) L'existence des ensembles de ce genre a été prouvée par M. F. Bernstein, loc. cit.</footnote>
Φ une famille de c ensembles parfaits disjoints contenus dans P. L'ensemble E ne contenant aucun sous-ensemble parfait, il est évident que tout ensemble parfait de la famille Φ contient au moins un point n'appartenant pas à E. Les ensembles formant la famille Φ étant disjoints et contenus dans P, et la famille Φ ayant la puissance du continu, il en résulte que l'ensemble P—E a la puissance du continu, c, q. f. d. Notre lemme est ainsi démontré.

Soit maintenant E un ensemble non-dénombrable de dimension <dN. L'ensemble de tous les ensembles $G_δ$<fnref n="1" />) linéaires ayant la puissance du continu, il en sera de-même de l'ensemble de tous les produits $ET$, où $T$ est un $G_δ$ variable. L'ensemble de tous les ensembles linéaires homéomorphes d'un ensemble linéaire donné ayant, comme on sait, la puissance du continu <fnref n="2" />), il en résulte que la famille $\mathcal{F}$ de tous les ensembles homéomorphes à un quelconque des produits $ET$, où $T$ est un $G_δ$, est de puissance du continu. Evidemment l'ensemble E lui-même appartient à $\mathcal{F}$.

Or, désignons par $\mathfrak{M}$ la famille de tous les ensembles $P-T$, où $P$ est un ensemble linéaire parfait quelconque et $T$ un ensemble de la famille $\mathcal{F}$.

La famille de tous les ensembles parfaits ayant la puissance du continu, il en sera de-même de la famille $\mathfrak{M}$. Or, d'après le lemme II, les ensembles de la famille $\mathfrak{M}$ ont la puissance c et la famille $\mathfrak{M}$ a elle-même la puissance du continu. Désignons par $R$ l'ensemble de tous les nombres réels et appliquons le lemme I. D'après ce lemme il existe un ensemble de nombres réels $Z$, tel que $Z$, de même que $CZ$, contient au moins un point de tout ensemble de la famille $\mathfrak{M}$.

Posons

$$ (3) \qquad H = E + Z; $$

nous prouverons que

$$ (4) \qquad dE < dH < dN. $$

Pour le démontrer, remarquons d'abord que d'après (3), $H \supsetneq E$, donc $dH \geq dE$. S'il était $dH = dE$, H serait homéomorphe d'un

<footnote n="1">1) Un ensemble est dit $G_δ$; s'il est le produit d'une suite infinie d'ensembles ouverts.</footnote>

<footnote n="2">2) Voir, p. ex. Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre p. 365, Leipzig 1914. ou P. Mahlo l. c. p. 345.</footnote>
sous-ensemble $\mathcal{Q}$ de $\mathcal{E}$. Or, d'après le théorème de M. Lavrentieff<fnref n="1" />) l'homéomorphie entre $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{H}$ peut être étendue à des ensembles $G_\delta$, $\mathcal{Q}^*$ et $\mathcal{H}^*$ tels que $\mathcal{Q}^* \supset \mathcal{Q}$ et $\mathcal{H}^* \supset \mathcal{H}$. Soit $T$ l'ensemble en lequel se transforme l'ensemble $\mathcal{E}\mathcal{Q}^*$ dans l'homéomorphie entre $\mathcal{Q}^*$ et $\mathcal{H}^*$: d'après $\mathcal{Q} \subsetneq \mathcal{E}$ et $\mathcal{Q} \subsetneq \mathcal{Q}^*$ nous avons $\mathcal{Q} \subsetneq \mathcal{E}\mathcal{Q}^*$, ce qui donne: $\mathcal{H} \subsetneq \mathcal{T}$ (puisque dans l'homéomorphie entre $\mathcal{Q}^*$ et $\mathcal{H}^*$ au sous-ensemble $\mathcal{Q}$ de $\mathcal{E}\mathcal{Q}^*$ correspond le sous-ensemble $\mathcal{H}$ de $\mathcal{T}$). Or, $\mathcal{Q}^*$ étant un $G_\delta$ et $\mathcal{T}$ étant homéomorphe de $\mathcal{E}\mathcal{Q}^*$, l'ensemble $\mathcal{T}$ appartient à la famille $\mathcal{F}$ et parsuite $\mathcal{C}\mathcal{T}$ appartient à la famille $\mathcal{A}\mathcal{N}$: d'après la propriété de l'ensemble $\mathcal{Z}$, nous avons donc $\mathcal{Z}$. $\mathcal{C}\mathcal{T} \neq \emptyset$, et, d'après (3), à plus forte raison $\mathcal{H}$. $\mathcal{C}\mathcal{T} \neq \emptyset$, ce qui est impossible, puisque $\mathcal{H} \subsetneq \mathcal{T}$.

Nous avons ainsi démontré qu'il ne peut être $d\mathcal{H} = d\mathcal{E}$, et, puisque $d\mathcal{H} \geqslant d\mathcal{E}$, nous avons $d\mathcal{H} > d\mathcal{E}$. Or, soit $\mathcal{P}$ un ensemble parfait linéaire. L'ensemble $\mathcal{P}-\mathcal{E}$ appartient donc à la famille $\mathcal{A}\mathcal{N}$ et il résulte de la propriété de l'ensemble $\mathcal{Z}$ que $(\mathcal{P}-\mathcal{E}).\mathcal{C}\mathcal{Z} \neq \emptyset$, donc, d'après (3):

$$P.C\mathcal{H} = P.C\mathcal{E}.C\mathcal{Z} = (P-E).C\mathcal{Z} \neq \emptyset,$$

ce qui prouve qu'il ne peut être $P \subsetneq \mathcal{H}$. L'ensemble $\mathcal{H}$ ne contient donc aucun ensemble parfait, et parsuite nous avons $d\mathcal{H} \neq d\mathcal{N}$; comme $d\mathcal{H} \leqslant d\mathcal{N}$ (puisque $\mathcal{H}$ ne contient aucun intervalle) on en tire: $d\mathcal{H} < d\mathcal{N}$. La formule (4) est ainsi établie. Nous avons donc démontré le suivant

**Théorème I.** $\mathcal{E}$ étant un ensemble dont la dimension est plus petite que celle de l'ensemble $\mathcal{N}$ de tous les nombres irrationnels, il existe toujours un ensemble $\mathcal{H}$ dont la dimension est comprise entre celle de $\mathcal{E}$ et celle de $\mathcal{N}$.

Nous allons maintenant démontrer un théorème plus général que voici:

**Théorème II.** $\mathcal{F}$ étant une famille ayant la puissance $\leqslant c$ d'ensembles dont les nombres de dimension sont $< d\mathcal{N}$, il existe toujours un ensemble $\mathcal{H}$ de dimension $< d\mathcal{N}$, mais supérieur à celle de tout ensemble $\mathcal{X}$ de la famille $\mathcal{F}$.

Nous prouverons d'abord le suivant

**Lemme III.** Si $\mathcal{P}$ est un ensemble plan parfait et borné, dont la projection sur l'axe d'ordonnées ne contient aucun ensemble parfait,

<footnote n="1">¹) *Fund. Math.* t. VI, p. 149.</footnote>
il existe un nombre réel $b$, tel que la droite $y = b$ contient un sous-ensemble parfait de $P$.

**Démonstration** <fnref n="1" />). Soit $P$ un ensemble plan parfait et borné, dont la projection $\Pi$ sur l'axe d'ordonnées ne contient aucun ensemble parfait. L'ensemble $\Pi$ étant fermé (comme projection d'un ensemble parfait et borné) et ne contenant aucun sous-ensemble parfait, nous en concluons que $\Pi$ est au plus dénombrable. L'ensemble $P$ étant parfait, donc non-dénombrable, il en résulte qu'un au moins des points de $\Pi$, soit $(0, b)$, est une projection d'une infinité non-dénombrable de points de $P$ et parsuite la droite $y = b$ rencontre $P$ en un ensemble $P_b$ non-dénombrable de points. L'ensemble $P_b$ étant fermé (comme intersection d'un ensemble parfait avec une droite), il en résulte que $P_b$ contient un sous-ensemble parfait, et notre lemme est démontré.

Nous allons maintenant démontrer le théorème II. Soit $\mathcal{F}$ une famille ayant la puissance $\leqslant c$ d'ensemble linéaires, dont les dimensions sont $< dN$, et soit $Q$ un ensemble de nombres irrationnels de l'intervalle $(0, 1)$ ayant la puissance du continu et ne contenant aucun sous-ensemble parfait. Il existe donc une correspondance biunivoque entre les éléments $y$ d'un sous-ensemble $Q_1$ de $Q$ et les ensembles $X$ de $\mathcal{F}$: soit $\varphi(y)$ l'ensemble de la famille $\mathcal{F}$ correspondant au nombre $y$ de $Q_1$. La dimension de l'ensemble $\varphi(y)$ (comme ensemble de la famille $\mathcal{F}$) étant $< dN$, $\varphi(y)$ est homéomorphe d'un ensemble de nombres irrationnels de $(0, 1)$, soit de l'ensemble $\Psi(y)$. Définissons maintenant $M$ comme l'ensemble de tous les points $(x, y)$ du plan, tels que $y \in Q_1$ et $x \in \Psi(y)$. L'ensemble $M$, comme sous-ensemble de l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées sont irrationnelles, est, comme on sait <fnref n="2" />), homéomorphe d'un sous-ensemble de $N$, soit $E$. Nous avons donc $dE \leqslant dN$.

S'il était $dE = dN$, l'ensemble $E$, et parsuite aussi son homéomorphe $M$ contiendrait un sous-ensemble parfait, soit $P$. Soit $\Pi$ la projection de $P$ sur l'axe d'ordonnées: d'après la définition de l'ensemble $M$, nous avons $\Pi \subset Q_1$; donc, d'après $Q_1 \subset Q$, et en vertu de la propriété de $Q$, $\Pi$ ne contient aucun sous-ensemble parfait. D'après le lemme III, il existe donc un nombre réel $b$, tel que la droite $y = b$ contient un sous-ensemble parfait de $P$. Or, c'est impossible,

<footnote n="1">1) La démonstration du lemme III est due à M. Mazurkiewicz.</footnote>

<footnote n="2">2) Cf. Fréchet Math Ann. 68, 1910.</footnote>
puisque $P \subset M$ et puisqu'il résulte de la définition de $M$ que les intersections de l'ensemble $M$ avec les droites parallèles à l'axe d'absèisses (en tant qu'ensembles de la famille $\mathcal{F}$, donc ensembles de dimension $< dN$) ne contiennent aucun sous-ensemble parfait.

L'égalité $dE = dN$ implique donc une contradiction, et parsuite nous avons $dE < dN$. Or $M$, et parsuite aussi $E$, contient évidemment un ensemble homéomorphe à tout ensemble donné de la famille $\mathcal{F}$ (En effet, $X$ étant un ensemble de $\mathcal{F}$, il existe un nombre réel $b \in Q$, tel que $X = \varphi(b)$, et la droite $y = b$ rencontre $M$ en l'ensemble $\Psi(b)$, homéomorphe de l'ensemble $\varphi(b) = X$). Nous avons donc $dE \ge dX$ pour tout ensemble $X$ de la famille $\mathcal{F}$. Soit maintenant $H$ un ensemble linéaire tel que $dE < dH < dN$: un tel ensemble existe, d'après le théorème I (puisque $dE < dN$): l'ensemble $H$ satisfait donc aux conditions du théorème II qui est ainsi demontré.

Une des conséquences immédiates du théorème II est l'existence d'un ensemble bien ordonné de puissance supérieure à celle du continu d'ensembles linéaires dont les nombres de dimension vont en croissant; en outre, le premier de ces ensembles peut être supposé arbitraire $L_1$ de dimension $< dN$.

Soit, en effet, $\lambda$ le plus petit nombre ordinal dont la puissance est $> c$ et soit:

$$ (\beta) \qquad L_1, L_2, \dots, L_\omega, L_{\omega+1}, \dots, L_\alpha, \dots $$

une suite transfinie (de puissance $2^c$) formée de tous les ensembles totalement imparfaits. Nous définissons une suite transfinie du type $\lambda$ d'ensembles $E_\alpha$, en posant : $1^\alpha: E_1 = L_1$, $2^\alpha$: pour $\alpha$ tel que $1 < \alpha < \lambda$, $E_\alpha$ = le premier terme de la suite (β) dont le nombre de dimension est $> dE_\xi$ quel que soit $\xi < \alpha$. Un tel $E$ existe toujours, car $\alpha$ étant inférieur à $\lambda$, la puissance de $\alpha$ est $\le c$ et on peut appliquer le théorème II, en substituant à $\mathcal{F}$ la famille de tous les $E_\xi$ avec $\xi < \alpha$. La suite transfinie $E$ ($\alpha < \lambda$) jouit évidemment des propriétés désirées<fnref n="1" />).

Pour passer au deuxième de nos problèmes nous allons nous appuyer sur le

<footnote n="1">¹) Il est à signaler que C. Kuratowski a démontré l'existence d'un ensemble de puissance $2^c$ d'ensembles linéaires dont les dimensions sont non comparables deux à deux: voir ce volume, p. 205.</footnote>
**Théorème III<fnref n="1" />).** *E étant un ensemble linéaire de puissance du continu, il existe toujours un ensemble Z de puissance du continu, tel que dZ < dE.*

**Démonstration.** Soit $E$ un ensemble linéaire de puissance du continu. Posons $R = E$, et soit $\partial\mathcal{N}$ la famille de tous les sous-ensembles de $E$ qui sont homéomorphes à $E$. On voit sans peine que la famille $\partial\mathcal{N}$ a la puissance $\leqslant c$ et que les ensembles formant $\partial\mathcal{N}$ ont chacun la puissance $c$. Donc $R$ et $\partial\mathcal{N}$ satisfont aux conditions du lemme I. D'après ce lemme il existe donc un ensemble $Z$ de puissance $c$, contenu dans $E$ et tel que $E-Z$ contient au moins un point de tout ensemble $M$ de la famille $\partial\mathcal{M}$. D'après $Z \subset E$, nous avons $dZ \leqslant dE$. S'il était $dZ = dE$, $Z$ contiendrait un sous-ensemble $H$, homéomorphe de $E$: d'après $H \subset Z \subset E$ et d'après la définition de la famille $\partial\mathcal{N}$, $H$ serait donc un ensemble de cette famille et il résulterait de la propriété de $Z$ que $(E-Z)H \neq \emptyset$, ce qui implique une contradiction, puisque $H \subset Z$. Nous avons donc $dZ < dE$ et le théorème III est démontré. Il en résulte immédiatement le suivant

**Corollaire:** *Si la puissance du continu est $\aleph_1$, il n'existe parmi les nombres de dimension des ensembles linéaires non-dénombrables aucun qui soit le plus petit.*

<footnote n="1">¹) Nous déduisons ce théorème du lemme I. On pourrait aussi le prouver en modifiant légèrement la démonstration du théor. 22 de M. Mahlo (I. c. p. 345). D'après ce théorème, il existe une suite transfinie de puissance $> c$ d'ensembles $P_v$ tels que, si $\mu < v$, on a ou bien $dP_\mu > dP_v$, ou bien: $dP_\mu$ et $dP_v$ sont non comparables. (Dans le livre de M. Schönflies: *Entwickelung der Mengenlehre I*, Leipzig 1913, p. 380, le théorème de M. Mahlo est cité avec und faute d'impulsion qui change complètement son sens).</footnote>