# Simulation non-conforme à partir de CAO : X-FEM et Nurbs

Grégory Legrain

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Grégory Legrain. Simulation non-conforme à partir de CAO : X-FEM et Nurbs. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717084

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# Simulation non-conforme à partir de CAO : X-FEM et Nurbs

G. Legrain<fnref n="1" />

**Résumé** — Une approche X-FEM non-conforme est proposée afin de traiter de problèmes CAO définis par surfaces paramétriques. A la différence de la méthode X-FEM classique où la géométrie est approxée par des levelsets, une description géométrique exacte est considérée ici. Pour cela, on s'inspire sur la méthode Nurbs-Enhanced Finite Elements (NEFEM) qui propose une approche permettant la création de mappings géométriques rationnels. Une approximation de haut ordre est elle aussi considérée car la taille des éléments du maillage de calcul est ainsi indépendante de la géométrie. Dans cette contribution, seul le cas 2D est considéré : on montre que les taux de convergence optimaux sont obtenus, tant dans le cas régulier que singulier grâce à l'enrichissement du champ mécanique.

**Mots clés** — X-FEM, éléments p, Nurbs, CAO.

## 1 Introduction

Ces dernières années sous l'impulsion des travaux du Prof. Hughes [1, 2], de nombreuses recherches ont été conduites pour améliorer l'interaction entre la CAO et le calcul numérique. Un des modes de représentation privilégiés est alors la représentation surfacique dite B-Rep. Les surfaces sont alors généralement représentées par des surfaces paramétriques de type NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), car cette approche permet de représenter exactement les sections coniques. Il a ainsi été proposé dans [1] de discrétiser la géométrie ainsi que les champs mécaniques à partir de bases de NURBS. Cette approche est appelée IGA (isogeometric analysis) et a montré un grand potentiel (voir [3] pour un aperçu récent). Cependant, IGA souffre encore de certaines limitations, comme une difficulté à raffiner localement ou de manière anisotrope le maillage. Pour cela l'utilisation de T-Splines [4] a été proposée, mais on est alors limité à une continuité $C^1$ dans de nombreux cas. Les approches isogeometriques requièrent aussi la découpe de la géométrie en blocs parallélépipédiques à cause de la forme de l'espace paramétrique, ce qui peut être difficile à mettre en œuvre automatiquement. On se propose ici de répondre à ces difficultés en utilisant une approche non-conforme mais cependant géométriquement exacte. Pour cela, la flexibilité de la méthode X-FEM de haut-ordre est associée à l'approche Nurbs-Enhanced Finite Element [5] afin de préserver la géométrie du problème.

## 2 Prise en compte de géométries exactes par une approche non-conforme

### 2.1 Principe

Considérons une frontière NURBS qui coupe un élément du maillage. L'objectif consiste à prendre en compte exactement la géométrie de la NURBS lors d'un calcul non-conforme par l'intermédiaire de sous-éléments Nurbs-Enhanced. La règle d'intégration ainsi définie permet une évaluation consistante de la formulation faible. Le processus se compose de quatre étapes (voir Figure 1) :

1. Détection des éléments coupés par l'interface. Cette étape nécessite la détermination des intersections entre les bords de l'élément et la courbe paramétrée.

2. Construction des intersections entre le triangle et la courbe paramétrée (• sur la Figure 1.2) et détermination de l'intervalle du paramètre correspondant.

<footnote n="1">¹ GeM, Institut de recherche en génie civil et mécanique.
LUNAM Université - Ecole Centrale Nantes - Université de Nantes - UMR CNRS 6183
Gregory.Legrain@ec-nantes.fr</footnote>
3. Construction de sous-éléments linéaires à partir de ces intersections (Figure 1.3). Parmi les sous-éléments créés sur cette figure, deux utiliseront le mapping Nurbs-Enhanced (triangles rouge et bleu).

4. Finalement, le mapping est appliqué aux sous-éléments concernés afin de définir une règle d'intégration adaptée (Figure 1.4).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1 – Procédure pour la construction de sous-éléments Nurbs-Enhanced</figcaption></figure>

## 2.2 Nurbs-Enhanced mapping

Il existe une grande variété de mappings permettant de représenter de manière approchée ou non des géométries quelconques en éléments finis. Parmi ces approches, citons les mappings polynomiaux qui sont classiquement utilisés. Ceux-ci ne permettent pas une représentation exacte de géométries non polynomiales. De plus, si les points de collocation du mapping sont répartis de manière régulière sur les frontières des éléments, la constante de Lebesgue de l'interpolation est loin d'être optimale. Récemment, Királyfalvi et Szabó [6] ont proposé un mapping dit "Quasi-Regional" basé sur l'utilisation de points de collocation optimaux. Les auteurs montrent alors qu'il est possible d'obtenir une très bonne continuité du mapping entre éléments voisins (quasi $C^2$). Dans le cadre des éléments finis de haut ordre (p-FEM), Szabó et Babuška ont proposé un mapping géométrique exact (Blending Function mapping [7]). Ce mapping permet de représenter exactement la géométrie du problème, mais son utilisation est délicate dans le cas où on a une perte de régularité de la géométrie sur la frontière d'un élément [8]. Ce cas de figure n'apparaît pas en éléments-finis grâce au mailleur, mais il devient primordial si on traite la géométrie de manière non-conforme. Dans cette contribution, un mapping Nurbs-Enhanced sera considéré.

Soit un élément dans l'espace physique présenté sur la figure 2(a). Un des bords de cet élément doit se conformer exactement à une courbe paramétrée $C(u)$. Le mapping Nurbs-Enhanced qui permet de représenter exactement cette géométrie est écrit par tensorisation de l'espace paramétrique de $C$ restreint à l'élément (i.e. $[u_1^e, u_2^e]$) avec $[0, 1]$ :

$$ (u, \theta) \in \mathbb{R} = [u_1^e, u_2^e] \times [0, 1] \\ \psi(u, \theta) = (1 - \theta)C(u) + \theta x_3 \quad (1) $$

Les principales caractéristiques de ce mapping sont les suivantes :

- Il fait apparaître une séparation franche entre la direction paramétrique $u$ et la direction intérieur. Cela permet de restreindre l'influence de la Nurbs à la variable $u$.

- Le mapping géométrique $\psi$ est linéaire par rapport à $\theta$. Ainsi, l'intégration selon cette direction peut être calculée exactement avec peu de points de Gauss.

- Si une perte de régularité géométrique apparaît entre $[u_1^e, u_2^e]$ (voir la figure 2(b)), l'intégration est simplement découpée en plusieurs intervalles (seulement selon $u$) : $[u_1^e, u_1^b]$, $[u_1^b, u_2^b]$, $[u_2^b, u_2^e]$.

- Dans le cas d'une spline, l'intégration de la forme faible peut être exacte en augmentant le nombre de points de Gauss selon $u$. Dans le cas d'une Nurbs, l'intégration sera approchée [9].
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2 – (a) NURBS Enhanced mapping ; (b) Intégration numérique avec breakpoints</figcaption></figure>

3 Exemple

Soit une plaque infinie contenant un trou circulaire en son centre. La plaque est soumise à une traction uniaxiale σ∞ = 1. MPa selon l'axe x. La solution analytique de ce problème est disponible dans [10] et est utilisée comme solution de référence lors d'une étude de convergence. Seul un quart de la plaque est considéré ici (un carré de côté L = 2. mm avec un trou de rayon a = 1.0 mm en son coin inférieur gauche. Le vecteur contrainte exact correspondant à la solution analytique est ensuite appliqué sur la frontière de la plaque, et des conditions de symétrie sont imposées. Un module de Young unitaire est considéré, et le coefficient de poisson vaut 0.3. L'erreur géométrique est évaluée en calculant la surface du domaine. En pratique, cette erreur est de l'ordre de la précision machine. Une étude de convergence h est mise en œuvre en utilisant des maillages réguliers contenant de 2 à 32 éléments par côté de la plaque. Les courbes de convergences sont présentées sur la figure 3 : on voit qu'une convergence optimale est obtenue pour des approximations polynomiales de degré 1 à 6. Le champ de contrainte brut correspondant à un polynôme de degré 6 sur un maillage 9 × 9 × 2 est présenté sur la figure 4. Finalement, une convergence p est mise en œuvre sur un maillage contenant 2 × 2 × 2 éléments. Comme la solution du problème est analytique, une convergence exponentielle est obtenue.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3 – Plaque infinie : convergence *h*.</figcaption></figure>

4 Conclusion

La méthode proposée sera validée sur d'autres cas bidimensionnels plus complexes [11]. On s'inté-
ressera à la convergence de l'approche pour divers degrés d'approximation. Le cas de singularités sera lui
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4 – Plaque infinie : champ de contraintes brut.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 5 – Plaque infinie : convergence p</figcaption></figure>

aussi étudié. Finalement, le couplage de l'approche avec une interpolation des level-sets par sous-grille
[12, 13] sera aussi considéré.

Remerciements :

Ces travaux sont financés par l'ERC Advanced Grant XLS No 291102.

Références

[1] T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, and Y. Bazilevs. Isogeometric analysis : CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 194(39–41) :4135–4195, 2005.

[2] J.A. Cottrell, Thomas J.R. Hughes, and Yuri Bazilevs. *Isogeometric Analysis : Toward Integration of CAD and FE*. John Wiley & Sons, 2009.

[3] Y. Bazilevs, C.L. Bajaj, V.M. Calo, and T.J.R. Hughes. Special issue on computational geometry and analysis. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 199(5–8) :223–, 2010.

[4] Thomas W. Sederberg, Jianmin Zheng, Almaz Bakenov, and Ahmad Nasri. T-splines and T-NURCCs. *ACM Trans. Graph.*, 22(3) :477–484, July 2003.

[5] Ruben Sevilla, Sonia Fernández-Méndez, and Antonio Huerta. NURBS-enhanced finite element
method (NEFEM). *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 76(1):56–83, 2008.

[6] György Királyfalvi and Barna a. Szabó. Quasi-regional mapping for the p-version of the finite element method. *Finite Elements in Analysis and Design*, 27(1):85–97, September 1997.

[7] Barna Szabó and Ivo Babuška. *Finite Element Analysis*. John Wiley & Sons, New York, 1991.

[8] Ruben Sevilla, Sonia Fernández-Méndez, and Antonio Huerta. Comparison of high-order curved finite elements. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 87(8):719–734, 2011.

[9] Ruben Sevilla and Sonia Fernández-Méndez. Numerical integration over 2D NURBS-shaped domains with applications to NURBS-enhanced FEM. *Finite Elements in Analysis and Design*, 47(10):1209–1220, 2011.

[10] N. Sukumar, D. L. Chopp, N. Moës, and T. Belytschko. Modeling Holes and Inclusions by Level Sets in the Extended Finite Element Method. *Comp. Meth. in Applied Mech. and Engrg.*, 190:6183–6200, 2001.

[11] G. Legrain. A NURBS Enhanced eXtended Finite Element Approach for Unfitted CAD Analysis. *Computational mechanics*, Submitted, 2013.

[12] Kristell Dréau, Nicolas Chevaugeon, and Nicolas Moës. Studied X-FEM enrichment to handle material interfaces with higher order finite element. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 199(29-32):1922–1936, 2010.

[13] G. Legrain, N. Chevaugeon, and K. Dréau. High order X-FEM and levelsets for complex microstructures: Uncoupling geometry and approximation. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 241–244(0):172–189, 2012.