# Récupération de l'énergie des vibrations d'une poutre piézoélectrique

Vincent Boitier, Antoine Belinger

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Vincent Boitier, Antoine Belinger. Récupération de l'énergie des vibrations d'une poutre piézoélectrique. La Revue 3E.I, 2016, 83, pp.46-52. hal-01245174

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Submitted on 16 Dec 2015

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# Récupération de l'énergie des vibrations d'une poutre piézoélectrique.

Vincent Boitier<fnref n="1" />, Antoine Belinger<fnref n="2" />

vboitier@laas.fr, antoine.belinger@laplace.univ-tlse.fr

**RESUME** : Le bureau d'étude présenté dans cet article s'intéresse à la récupération de l'énergie vibratoire à l'aide d'une poutre piézoélectrique. Le dispositif mis en œuvre dans ce BE est assez loin des réalités industrielles mais il a l'avantage d'être facilement reproductible et peu onéreux. Dans un premier temps les étudiants découvrent le fonctionnement du piézoélectrique à travers une modélisation électromécanique issu d'essais expérimentaux. Après validation, sur un système de récupération basique (pont de diode) étudié à la fois d'un point de vue expérimental et par simulation, le modèle est utilisé sur un système de récupération plus performant (SSH1). Les étudiants peuvent ainsi comprendre le fonctionnement de ce dispositif assez complexe à mettre en œuvre expérimentalement dans un BE de 16 heures.

**Mots clés** : poutre piézoélectrique, récupération énergie, commande SSH1, piezoelectric, energy harvester.

## 1 INTRODUCTION.

Des dispositifs communicants basse consommation sont de plus en plus utilisés pour la domotique ou le suivi de santé des personnes [1], [2]. La récupération de l'énergie issue de vibrations ambiantes [3] est une alternative pour éviter l'utilisation des piles ou augmenter la durée de vie des systèmes. Nous présentons ici les possibilités offertes par un récupérateur piézoélectrique (membrane piézoélectrique fixée sur une poutre vibrante) pour alimenter un module de communication sans fil basse consommation. Ce module constitue la brique de base d'un réseau de capteurs sans fil. Le dispositif piézoélectrique est présenté dans une première partie avec son système d'excitation et de mesures. La deuxième partie montre les expérimentations nécessaires à la modélisation et explicite le modèle qui en découle. La récupération d'énergie est ensuite mise en œuvre dans la troisième partie avec une comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux issus de simulations pour le dispositif le plus simple. La dernière partie analyse la quantité d'énergie nécessaire pour alimenter le module de communication et la compare avec l'énergie effectivement récupérée. Les convertisseurs à intercaler éventuellement entre le stockage et la charge sont aussi évoqués dans cette partie.

## 2 DISPOSITIF EXPERIMENTAL.

Pour des raisons de coût et de disponibilité, le récupérateur est constitué d'une poutre vibrante (réglet métallique) sur laquelle une membrane piézoélectrique est collée (buzzer-piézo : Kingstate KPSG-100). Le réglet est fixé sur un bâti. Pratiquement, le bout de la poutre peut être excité de façon régulière (par le vent [4]), ou épisodiquement (le bout de la règle est déplacé manuellement). L'excitation peut aussi venir du mouvement du bâti (par exemple un vélo [5] ou un moteur [6]). Pour nos essais, le bâti est fixé et un

électro-aimant piloté par un ampli audio LM12 est utilisé pour mettre la poutre en vibration (fig.1). La fréquence et le niveau d'excitation sont réglés par un générateur de fonction. Un accéléromètre un axe (ICP réf 333B32) et son conditionneur (Anicia CEI) délivre une tension image de l'accélération (fig.2). L'accéléromètre sert aussi de masse sismique.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>fig.1 Dispositif d'excitation et de mesure.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>fig.2 Poutre piézoélectrique et accéléromètre.</figcaption></figure>

## 3 MODELISATION.

La déformation d'une membrane piézoélectrique induit une polarisation du matériau piézoélectrique et un transfert de charge proportionnel à la contrainte :

$$q = \alpha \cdot u \qquad (\text{Eq. 1})$$

où q est la charge déplacée (C), α le coefficient de déformation (C/m) et u la déformation (m).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>fig.3 Modèle électrique à la résonance.</figcaption></figure>

<footnote n="1">¹ Université de Toulouse, UPS, LAAS, 7 Ave du colonel Roche, F-31400 Toulouse, France</footnote>

<footnote n="2">² Université de Toulouse, UPS, LAPLACE, 118 route de Narbonne, F-31062 Toulouse, France</footnote>
Classiquement, dans une première approche, on
modélise au voisinage de la résonance le dispositif
poutre et membrane piézoélectrique par une source de
courant $i_{PZ}$ en parallèle avec un condensateur $C(\text{fig.3})$.

3.1 Détermination de f<sub>res</sub>

Afin de déterminer la fréquence de résonnance
de la poutre on procède à un essai de lâcher. On
applique une contrainte constante sur la poutre puis on
relâche cette contrainte. L'essai présenté fig.4 permet
de déterminer la fréquence des oscillations amorties qui
sera confondue avec la fréquence propre compte tenu
du faible taux d'amortissement. Soit : $f_{res}$ = 18 Hz.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>fig.4 $V_{PZ}(t)$. A $t=300$ ms on applique une déformation constante, puis, à $t=500$ ms, on relâche le réglet.</figcaption></figure>

3.2 Détermination de C

Le système étant initialement au repos, on
déconnecte le piézo de l'oscilloscope; puis on applique
une déformation constante, cela se traduit par un
déplacement de charge vers la capa C; comme la
déformation persiste, u = c'te et ŭ = 0. Le courant qui
arrive dans C est nul, V<sub>PZ</sub> reste constante.

A $t = t_A$ (cf fig.5), on connecte l'oscilloscope aux bornes du piézoélectrique (la capacité C va se vider à travers l'impédance de l'oscilloscope ($R_{OSC}$ = 1 MΩ, $C_{OSC}$ = 12 pF) avec une constante de temps $R_{OSC} \cdot C$. La visualisation de cette décharge (fig.5) permet de déterminer C (l'influence de $C_{OSC}$ est ici négligeable). On trouve : C = 70nF ([4] donne C entre 65 et 85 nF). Il est intéressant de mener le même essai avec une sonde atténuatrice pour oscilloscope pour voir l'effet de la résistance de la sonde et confirmer la valeur de la capacité par une autre mesure ($R_{OSC}$ = 10 MΩ , $C_{OSC}$ = 15pF pour la N2862B).

3.3 Détermination de α.

3.3.1 I`ère méthode utilisant un accéléromètre.

La tension aux bornes de la capacité interne du
piézoélectrique est donnée par l'équation :

$$
q' = C \cdot V_{PZ} \qquad (\text{Eq. 2})
$$

Lorsque le piézoélectrique n'est pas relié à un circuit,
la charge déplacée q et la charge q' de C se confondent,

soit :

$$
\alpha \cdot u = C \cdot V_{PZ} \qquad (\text{Eq. 3})
$$

Pour déterminer $\alpha$, il est nécessaire de connaitre une
image de la déformation, notée $u$.

Mesurer $u$ avec précision est difficile avec le matériel
présent en salle de TP (règles) mais on peut accéder à
l'aide de l'accéléromètre monté à l'extrémité du réglet à
$\ddot{u}$. Avec $k = 12,2 \ (\text{m/s}^2)/\text{V}$, la tension $V_{acc}$ en sortie du
conditionneur est liée à $\ddot{u}$ par :

$$
\ddot{u} = k \cdot V_{acc} \qquad (\text{Eq. 4})
$$

ce qui donne :

$$
\alpha \cdot k \cdot V_{acc} = C \cdot \ddot{V}_{PZ} \quad (\text{Eq. 5})
$$

En excitant de façon sinusoïdale la poutre
piézoélectrique et en supposant un régime linéaire et
sinusoïdal (à la fois pour u et pour Vpz) à la pulsation
ω, la relation précédente devient pour les valeurs
efficaces :

$$
\alpha \cdot k \cdot V_{acc_{eff}} = C \cdot \omega^2 \cdot V_{PZ_{eff}} \quad (\text{Eq. 6})
$$

Cette relation permet de déterminer $\alpha$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>fig.5 Evolution de $V_{PZ}$. On réalise la connection à l'oscilloscope à $t = t_A$.</figcaption></figure>

D'un point de vue pratique, l'hypothèse de linéarité
n'est pas toujours complètement vérifiée (le signal
d'accélération peut contenir des harmoniques). On fera
donc soit une mesure directe, soit la FFT de $V_{PZ}$ et de
Vacc pour déterminer les valeurs efficaces des
fondamentaux. On rappelle que la mesure en dBv est
liée à la valeur efficace par

$$
XdB_{V} = 20\log\left(\frac{V_{eff}}{1V_{eff}}\right) \qquad (\text{Eq. 7})
$$

Une série d'essais menés autour de la résonance entre
14 et 24 Hz conduit à une valeur de $\alpha$ = 1,45·10⁻⁴ C/m
avec un écart-type de 5 % par rapport à la moyenne.

3.3.2 2ème méthode, sans accéléromètre.

On peut aussi utiliser une méthode statique.
Dans un premier temps on s'assure que $V_{PZ}$ est nul et
que la sonde est débranchée. On déforme ensuite la
poutre en notant l'écart $u$. (rq1 : $u$ est compté
positivement vers le bas. La déformation induit un
transfert de charge et donc une tension aux bornes de la
membrane piézoélectrique. On reconnecte la sonde, on
obtient une allure similaire à celle présentée fig.5. On relève la valeur initiale $V_{init}$ de la décroissance de la tension $V_{PZ}$. Les résultats sont présentés fig.6.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>fig.6 Tension maximale en fonction de l'écartement.</figcaption></figure>

On constate une saturation dans le comportement de la membrane piézoélectrique courbée vers le haut, mais dans la zone de linéarité : $V_{init} = 1,75 \cdot 10^3 \times u$. En utilisant l'Eq.8 tirée de l'Eq.3 à $t = t_A^+$ on trouve $\alpha = 1,23 \cdot 10^{-4} \text{ C/m}$. Les résultats sont bien concordants avec le § 3.3.

$$q = \alpha \cdot u = C \cdot V_{init} \quad (\text{Eq. 8})$$

# 4 RECUPERATION DE L'ENERGIE

## 4.1 Structure élémentaire.

L'objectif de cette partie est de concevoir un système de récupération et de stockage des charges déplacées lors des mouvements de la poutre et la membrane piézoélectrique afin d'alimenter le datalogger. Au vu du caractère alternatif de la tension produite par le transducteur, la solution la plus simple à mettre en œuvre est le redresseur monophasé à filtrage capacitif.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>fig. 7 montage élémentaire (d'après [7])</figcaption></figure>

Les étudiants câblent le montage présenté en fig.7, en remplaçant la charge (datalogger) par une sonde de tension (la résistance de charge est alors l'impédance de la sonde, soit 10 MΩ). La tension $V_{PZ}$ est relevée en utilisant une sonde d'isolation à haute impédance et envoyée sur l'oscilloscope. Simultanément on relève la tension $V_{DC}$ (cf fig.8). A $t = t_B$, l'interrupteur K initialement fermé est ouvert.

## 4.2 Validation du modèle

Cette partie permet de valider le modèle de l'élément piézoélectrique obtenu précédemment. En régime

sinusoïdal, la mesure de l'accélération maximale permet de remonter à la vitesse maximale et avec le coefficient de déformation $\alpha$, de déterminer la valeur maximale du courant délivrée par la source équivalente de courant (cf fig.3).

Lors d'un essai correspondant à la charge d'un condensateur $C_L=1\mu F$, on a relevé, en plus de $V_{PZ}(t)$ et de $V_{DC}(t) : V_{acc,max} = 3,44V$ et $f = 18Hz$, soit

$$\dot{u}_{max} = k \cdot \frac{V_{acc,max}}{2\pi f} \quad (\text{Eq. 9})$$

On trouve $\dot{u}_{max} = 0.372 \text{ ms}^{-1}$. En dérivant l'Eq.1, on obtient :

$$i_{PZmax} = \alpha \cdot \dot{u}_{max} \quad (\text{Eq. 10})$$

soit $i_{PZmax} = 53,6 \mu A$. Cette valeur de courant vient (avec $C = 70nF$) compléter le modèle utilisé dans le logiciel PSIM. On peut ainsi simuler le circuit (fig.9) et comparer avec l'expérimentation.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>fig.8 Evolution de $V_{PZ}(t)$ et de $V_{DC}(t)$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>fig.9 Comparaison simulation /mesure pour $V_{DC}(t)$ et $V_{PZ}(t)$.</figcaption></figure>

Les résultats obtenus confirment la validité du modèle électrique du piézoélectrique, aussi bien pour la valeur de la capacité $C$ que pour la constante électromécanique $\alpha$.

## 4.3 Première utilisation du modèle

Ce modèle est ensuite utilisé dans PSIM en rajoutant le dispositif de récupération. Dans un premier temps, l'interrupteur S2 reste dans la position donnée sur la fig.10. On ne simule qu'un redresseur débitant sur une source de courant continu constante $I_S$ (en changeant $I_S$, on modifie la consommation de la charge). Afin de
comprendre le fonctionnement et de calculer la
puissance récupérable en régime permanent, les
étudiants observent les courants et tensions en entrée et
en sortie du redresseur à filtrage capacitif (fig.11).
Cette partie est importante pour la compréhension du
système car les courants sont difficilement mesurables
en pratique.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>fig.10 : Modèle du dispositif complet (récupérateur, stockage, charge.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>fig.11 Tension et courant en entrée et sortie du pont.</figcaption></figure>

En supposant que la valeur de C_L est suffisante pour que V_{DC} reste constante et en supposant les diodes parfaites, les calculs du régime permanent peuvent se mener de façon analytique comme présenté ci-dessous.

De t = 0 à t = t₁ le pont de diode ne conduit pas,
le courant iₚz charge la capacité du piézoélectrique, et
permet de faire monter la tension à ses bornes de -Vₐₚ
à +Vₐₚ en un temps :

$$
t_1 = \frac{1}{\omega} \mathrm{Arcos} \left( 1 - \frac{2.C\omega V_{\mathrm{DC}}}{i_{\mathrm{PZ,max}}} \right) \quad (\mathrm{Eq.} \ 11)
$$

En sortie du redresseur, l'énergie E transférée entre
l'instant t₁ et T/2, s'exprime de la manière suivante :

$$
E = \int_{t_1}^{T/2} V_{DC}(t) \cdot i_D(t) dt = \frac{V_{DC} \cdot i_{PZ\_max}}{\omega} \cdot (1 - \cos \omega t_1) \quad (\text{Eq. 12})
$$

La puissance moyenne fournie en sortie du pont vaut :

$$
\langle P_{PZ} \rangle = E / \left(\frac{T}{2}\right) \qquad (\text{Eq. 13})
$$

En injectant le temps t₁ dans l'équation précédente, on
trouve :

$$
\langle P_{PZ} \rangle = \frac{2}{\pi} \cdot V_{DC} \cdot i_{PZ\_max} \cdot \left( 1 - \frac{C\omega V_{DC}}{i_{PZ\_max}} \right) \quad (\text{Eq. 14})
$$

On constate que la puissance fournie dépend de
la tension de l'étage continue et du courant i<sub>PZ_max</sub>
(qui est fonction de la déformation maximale). Cette
expression permet de tracer la puissance récupérée en
fonction de la tension de l'étage continu. Sur la fig.12,
on présente l'évolution de la puissance fournie à la
charge en fonction de la tension V<sub>DC</sub> pour différents
courants (et donc différents niveaux d'excitation de la
poutre).

Lorsque l'Eq.14 est nulle V<sub>DC</sub> est maximale, on
trouve alors :

$$
V_{DCmax} = i_{PZmax} / C\omega \quad (\text{Eq. 15})
$$

Les étudiants utilisent l'outil de simulation avec
i<sub>PZ max</sub> = 53µA et C<sub>L</sub> = 10µF. En modifiant le courant
consommé par la charge (I<sub>s</sub>), ils relèvent P et V<sub>DC</sub> et
obtiennent les points en "o" sur la fig.12. Le calcul
analytique et les simulations donnent des résultats
similaires (courbe bleue et points o). Par rapport à
l'expression analytique, la simulation permet de
comprendre intuitivement que la puissance fournie (et
donc dissipée dans la charge) est directement liée au
niveau de la tension redressée. Le problème de
l'adaptation d'impédance est abordé ici par la
simulation mais il peut être aussi étudié pratiquement
en faisant varier la résistance de charge R<sub>C</sub> et en
calculant la puissance P<sub>C</sub> fournie en régime établi à
partir de la mesure de V<sub>DC</sub>.

$$
P_C = V_{DC}^2 / R_C \quad (\text{Eq. 16})
$$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>fig.12. Puissance fournie par le récupérateur P<sub>PZ</sub> vs V<sub>DC</sub>.</figcaption></figure>

**4.4 Alimentation d'un datalogger**

On cherche ici à modéliser la consommation du
datalogger Jennic 5148 qui présente une consommation
continue en mode veille I<sub>S</sub> = 7µA sous 5V, et une
consommation momentanée en mode actif I<sub>MES</sub> lorsqu'il
effetue une mesure et envoie une donnée. Cette
consommation est de 16mA sous 5V pendant
T<sub>MES</sub> = 12ms soit une énergie E<sub>MES</sub> de 937µJ. Les
mesures et les transmissions s'effectuent toutes les
T<sub>CYCLE</sub> = 10 min. Ces consommations sont modélisées
respectivement en fig.10 par la source de courant
continue I<sub>S</sub> et la source I<sub>MES</sub> qui n'est connectée au
condensateur de stockage que pendant 12 ms à chaque cycle par la commutation de l'interrupteur S2.

Le récupérateur piézoélectrique doit donc fournir une puissance moyenne sur un cycle de mesure de :

$$ \langle P \rangle = V_{DC} \cdot I_S + \frac{E_{MES}}{T_{CYCLE}} \quad (\text{Eq. 17}) $$

En supposant que $C_L$ absorbe les pics de consommation sans chute notable de tension, on se ramène au cas simulé en §4.3 fig.12 avec : $\langle P_{PZ} \rangle = \langle P \rangle = 36,5 \ \mu W$ et donc $i_{PZ\_max} = 53 \ \mu A$ et $V_{DC} = 5V$.

Afin de garantir une tension de bus $V_{DC}$ quasiment constante, nous dimensionnons la capacité $C_L$ afin que la chute de tension de $V_{DC}$ n'excède pas 0,5V lors des courtes phases de mesure et transmission.

$$ E_{MES} = \frac{1}{2} C_L \cdot (V_{max}^2 - V_{min}^2) \quad (\text{Eq. 18}) $$

ce qui donne une valeur $C_L$ voisine de 400 µF

Le dimensionnement du système étant maintenant complet les étudiants valident par simulation l'alimentation électrique du datalogger par le piézoélectrique (associé au pont de diode). Ces simulations étant relativement lourde (on simule une durée totale de 30 minutes en prenant en compte les signaux redressés à 36 Hz). Il est important de régler au plus juste le nombre de points par période lors des phases de test (pas plus de 5 soit un pas de calcul de 5 ms).

On observe le fonctionnement du système sur la fig.13. On voit clairement que la tension aux bornes du condensateur rentre dans le gabarit prévu, les impulsions de courant (courbe rouge : transmission de mesure) ne viennent pas trop faire chuter la tension du condensateur $C_L$.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>fig.13 Evolution des paramètres du condensateur $C_L$ : tension courant et énergie.</figcaption></figure>

Le dispositif est correctement dimensionné pour l'application mais (cf fig.12) il ne fonctionne pas au point de fonctionnement ou la puissance récupérable

est maximale (ce point se situe dans nos conditions à une tension d'environ 3,5V). En effet comme nous l'avons vu précédemment la puissance récupérable dépend très fortement de la tension $V_{DC}$.

La récupération n'est vraiment pas optimale, car comme on peut voir sur la fig.11 le courant $I_D$ en sortie du redresseur est nul pendant une grande partie de la période. En effet, à chaque alternance, la tension aux bornes du piézoélectrique doit s'inverser, et la dynamique de cette inversion est proportionnelle à la fréquence d'excitation du piézoélectrique.

Pour améliorer la récupération d'énergie, de nombreuses techniques existent [8]. Il est aussi possible d'une part d'adjoindre à ce dispositif un mini convertisseur afin d'adapter l'impédance de la charge vue du dispositif de récupération et d'autre part d'utiliser une autre structure de commande comme nous l'abordons dans le paragraphe suivant avec une structure SSHI.

## 5 STRUCTURE SSHI.

Cette partie présente une commande plus performante que la structure précédemment étudiée. Il existe plusieurs dispositifs de type SSHI (Synchronized Switch Harvesting on Inductor) [9], le principe est globalement le même pour tous, il consiste à inverser très rapidement la tension aux bornes du piézoélectrique lorsque le courant $i_{PZ}$ passe par zéro. De cette façon le courant $i_{PZ}$ et la tension aux bornes du piézoélectrique sont remis en phase (contrairement au simple pont diode). Nous proposons dans ce bureau d'étude d'étudier la structure SSHI parallèle présentée en fig.14

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>fig.14 Schéma du SSHI parallèle.</figcaption></figure>

Une inductance L est insérée en parallèle du piézoélectrique. Cette inductance n'est connectée au reste du circuit (via l'interrupteur S) que pendant un temps très court nécessaire à l'inversion de la tension aux bornes de C ce qui correspond en première approximation à la demi période du circuit résonnant LC. Nous choisissons d'avoir une durée d'inversion $t_{inv} = 0,1$ms (afin que cette durée soit négligeable devant la période de résonance de la poutre). La valeur de l'inductance est donc :

$$ L = \frac{t_{inv}^2}{\pi^2 \cdot C} = 14.4 \, mH \quad (\text{Eq. 19}) $$
Ce dispositif étant assez complexe à mettre en place (commande de l'interrupteur), les étudiants utilisent la simulation afin de le comparer au redresseur à filtrage capacitif. Afin que la simulation soit réaliste l'inductance n'est pas parfaite ; nous lui rajoutons une résistance $R_p$ en parallèle qui tient compte des pertes globales, afin d'avoir une valeur réaliste nous choisissons $R_p=3kΩ$. Il est important de noter que $R_p$ représente ici un élément disipatif, nous aurions pu choisir une résistance en série avec l'inductance modélisant les pertes joules ou encore une résistance de pertes dans l'élément piézoélectrique.

Pour piloter l'interrupteur à la fermeture, il faut détecter le passage par 0 du courant $i_{PZ}$. L'ouverture se faisant après une durée $t_{inv}$. Différentes méthodes ont été développées pour cela [10] [11]. Plus simplement, le modèle de la fig.15 est utilisé pour la simulation.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>fig.15 Structure SSHI - Commande de l'interrupteur.</figcaption></figure>

Le comparateur et le détecteur de front vont détecter les passages par zéro du courant, un monostable permet de régler la durée de fermeture de l'interrupteur à $t_{inv}$. Le dispositif est ensuite simulé en utilisant les mêmes paramètres que ceux utilisés avec le pont de diode i.e. $C_L = 10μF$ et $i_{PZ\_max} = 53μA$.

Le dispositif est ensuite simulé de la même manière que le redresseur à diodes. On peut donc observer les formes d'ondes suivantes sur la fig.16:

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>fig.16 : tensions et courants en entrée et en sortie du redresseur</figcaption></figure>

On observe que la tension aux bornes du piézoélectrique et le courant $i_{PZ}$ sont bien en phase. A $t=0$ la tension $V_{PZ}$ n'est pas égale à $-V_{DC}$ car elle vient d'être inversée à l'aide du SSHI parallèle. Cela revient à considérer que les charges stockées sur la capacité du diélectrique sont inversées par un transfert via l'inductance. Du fait de la présence de la résistance $R_p$ l'inversion n'est pas complète, la tension $V_{PZ}$ arrive à une valeur $V_I = V_{DC}$, le pont est donc bloqué. La tension $V_{PZ}$ augmente jusqu'à la conduction du pont de diode qui débute à $t = t_I$ lorsque $V_{PZ} = V_{DC}$. Par rapport au simple pont de diode le temps de conduction est donc accru, par effet cumulatif, la tension aux bornes du condensateur est elle aussi accrué. Il est important de noter qu'en absence d'éléments dissipatifs, la tension passe directement à $\pm V_{DC}$ lors de la fermeture de l'interrupteur du SSHI. Dans ce cas, la tension du bus continue $V_{DC}$ ne cesse de croître: à chaque période la totalité des charges déplacées par le piézoélectrique est transférée à la capacité du bus continu $C_L$. La valeur $V_I$ est déterminée analytiquement en ne considérant que le circuit L-C-$R_p$; c'est la tension aux bornes de C après la première pseudo demi-période de fonctionnement.

$$V_1 = V_{DC} \cdot \exp\left(-\frac{\pi}{2R_p}\sqrt{\frac{L}{C}}\right) \quad (\text{Eq. 20})$$

Le calcul de la puissance se fait de la même manière que pour le pont de diode car elle est transmise entre $t_1$ et $T/2$. En considérant que le transfert de puissance se fait dans une source de courant continue $I_S$ on obtient :

$$\langle P_{PZ} \rangle = \frac{1}{C\omega} (2i_{PZ\_max} - \pi I_S) \frac{I_S}{1 - \exp\left(-\frac{\pi}{2R_p}\sqrt{\frac{L}{C}}\right)} \quad (\text{Eq. 21})$$

On peut remarquer dans l'équation précédente qu'avec une inductance parfaite (sans pertes : $R_p$ infinie) la puissance théoriquement récupérable est infinie. Lors de la réalisation de ce type de système une attention particulière doit être accordée au bobinage de la self.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>fig.17 Puissances récupérables avec un dispositif SSHI et avec un simple redresseur à filtrage capacitif.</figcaption></figure>
Au final, les étudiants peuvent comparer les puissances fournies par chacun des systèmes en fonction du courant consommé par la charge. Les résultats sont présentés sur la fig. 17.

Comme pour le pont de diode on observe que la puissance récupérable (tout comme la tension de bus continue) évolue en fonction du courant consommé. Le dispositif SSHI permet de récupérer bien plus de puissance. Si l'on considère qu'entre le SSHI et le datalogger on dispose d'un système sans perte permettant d'adapter l'impédance (c'est à dire de garantir la tension de bus quel que soit le courant), on peut alors travailler au point où la puissance récupérable est la plus élevée (370µW pour le SSHI et 46µW pour le pont de diode seul). Le temps pour récolter l'énergie nécessaire à la mise en marche initiale du datalogger (507 mJ) serait donc de :

- 1350 s soit 22,5 minutes pour le dispositif SSHI

- 10870 soit 3 heures pour le pont de diode

On voit donc ici clairement l'avantage du SSHI.

Ce dispositif reste complexe à mettre en place et les simulations présentées utilisent des caractéristiques idéales (à l'exception des pertes dans la bobine). Il faudrait prendre en compte la consommation de l'interrupteur MOS ainsi que celle de sa commande pour être plus proche de la réalité.

# 6 CONCLUSION.

Ce travail a été réalisé par des étudiants lors d'un bureau d'étude de 16 h en M2 CESE (Conversion de l'Energie et Systèmes Electriques). Les premiers objectifs visés ont été atteints :

* intéresser les étudiants,

* les inciter à trouver par eux-mêmes les manipulations à réaliser en vue de la modélisation du dispositif,

* réfléchir sur la validité des mesures obtenues,

* faire le lien sur un système original entre les aspects expérimentation, modélisation et simulation.

Les étudiants se sont aussi posé des questions relatives aux problèmes d'adaptation d'impédance pour optimiser le transfert de puissance. Enfin ils ont pu avoir une initiation à des commandes adaptées performantes vis-à-vis de la récupération d'énergie et originales par rapport à leurs acquisitions antérieures.

La taille importante du dispositif expérimental de récupération est critiquable mais justifiée pour un dispositif appelé à passer en de nombreuses mains. Les dimensions du réglet permettent aussi de fixer facilement l'accéléromètre. Des poutres piézoélectriques (MIDE) de petite taille et des circuit intégrés dédiés (Linear) existent et sont disponibles commercialement.

Dans la continuité de ce bureau d'étude, une réalisation en cours va utiliser ces éléments pour montrer la miniaturisation possible de tels dispositifs.

# 7 REFERENCES

[1] IoT https://sen.se/

[2] https://jawbone.com/up

[3] www.perpetuum.com ; http://www.microgensystems.co/

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