# Les principes de la démonstration logico-mathématique

Pierrot Seban

## ► To cite this version:

Pierrot Seban. Les principes de la démonstration logico-mathématique. Alexandre Feron; Elena Partene. Les principes dans la démonstration logico-mathématique, Lambert-Lucas, 2021, Didac-Philo, 978-2-35935-349-5. hal-04460889

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# Les principes de la démonstration logico-mathématique

Pierrot Seban, IRePh, [p.seban@gmail.com](mailto:p.seban@gmail.com)

*(Version longue non publiée, octobre 2021)*

> *Il nous est impossible, dans le peu d'espace qui nous est ici imparti, de rendre compte adéquatement et rigoureusement des sujets dont nous avons à parler. Ce chapitre, comme les autres de cet ouvrage, doit être considéré avant tout comme une introduction et un guide à la lecture et à l'étude.*

## 1 Introduction : la mobilité du principe

La notion de « principe » renvoie, en épistémologie, à l'idée d'un ordre dans les raisons, preuves, ou justifications des propositions qui prétendent à figurer parmi nos connaissances. On peut dire en général qu'un « principe », dans cet ordre, inaugure d'une manière ou d'une autre une chaîne de justification. Il est « principe » car on en part pour inférer plus avant. Nous entendons aussi dans le terme la reconnaissance d'une importance, d'une primauté dans l'égard qui lui est dû, indépendamment de ce qui vient avant ou après. Un principe n'est en somme pas n'importe quel point de départ, mais un point de départ capable de prétendre, en un sens ou l'autre, à la « fondamentalité ». Mais derrière ce terme largement indéterminé, on trouve une pluralité réelle de sens et d'usages.

### 1.1 Le précepte et l'axiome

Dans la langue ordinaire, un « principe » peut connoter tant une proposition première, que plus largement une règle par laquelle nous nous proposons de vivre, un précepte que nous suivons (« Il a des principes »). Et il semble que la notion s'organise en effet selon ces deux modèles extrêmes, ou pôles de signification : d'un côté, le pôle du fondement radical, du sol ou absolu « à partir de quoi », qui est aussi un « ce grâce à quoi » : la chose qui fonde à proprement parler, principe ultime qui aurait pour paradigme les « axiomes » d'une théorie ou le cogito cartésien, rigoureux points de départ du connaître ; de l'autre, le pôle de la maxime générale, du précepte, le point de référence ou de repère qui permet d'assurer le raisonnement, dans un domaine de compétence donné, dont le paradigme pourrait se trouver dans les maximes du droit comme : « la loi ne contraint pas à l'impossible », ou « nul ne peut se prévaloir de son propre délit ». Mais de l'autre côté, le pôle de la maxime générale, du précepte, qui peut même à la rigueur être d'application délicate voire discutable dans tel ou tel cas particulier, mais qui est néanmoins un point d'appui qui permet d'assurer le raisonnement, dans un domaine de compétence donné. Le modèle pourrait en être les principes traditionnels du droit, comme « la loi ne contraint pas à l'impossible », ou « nul ne peut se prévaloir de son propre délit ». Ces principes ne se situent pas vraiment au « départ » de la constitution du savoir juridique, ils n'en sont pas le sol ou la racine. Ils agissent plutôt à la manière d'une ressource mobilisable, toujours en arrière-plan. Ils sont, comme une foule indéterminée d'autres principes possibles, présents pour réguler le savoir, et il est toujours possible de s'y référer pour argumenter en faveur d'une décision qu'ils appuient. Mais nous savons aussi qu'ils pourraient à la limite être, en droit, révisables au nom même de la pratique qu'ils éclairent, s'ils se révélaient finalement inadéquats ; ce qui, à première vue, n'aurait pas de sens pour le principe posé comme fondement absolu. Or, un certain nombre de principes physiques sont manifestement de cet ordre – comme les principes de « causalité », de « localité », ou « d'invariance » : pas vraiment les éléments d'une théorie, mais des règles permettant d'évaluer et guider les théories. C'est au nom de l'invariance que Einstein a été conduit à défendre ses théories de la relativité, et c'est la localité qui est remise en cause par la physique quantique avec le problème mis en lumière par les dites « inégalités de Bell ».
## 1.2 La mobilité logique du fondamental

Car dans le domaine scientifique non plus, le terme de « principe » ne paraît pas renvoyer à un usage bien déterminé. Comme le remarquait le mathématicien et épistémologue Jacques Hadamard :

> En langage scientifique, ce mot [de « principe »] ne donne aucune indication sur le rôle logique de la proposition envisagée. Un « principe » peut être un axiome ou un théorème, s'il s'agit de mathématiques ; un fait expérimental, une généralisation de faits expérimentaux, aussi bien que le résultat d'une déduction, s'il s'agit de physique.<fnref n="1" />

Mais si le statut logique, c'est-à-dire le rôle dans l'ensemble démonstratif, d'un « principe » scientifique n'est pas déterminé par cela même qu'il est un principe, cela ne veut pas dire que les « principes » soient nommés ainsi par pure homonymie. Au contraire, Hadamard ajoute : « Précisément parce que les principes sont des propositions fondamentales, leur place logique peut être particulièrement exposée à changer au cours de l'évolution scientifique. » C'est donc la « fondamentalité » qui définit ce qui mérite le titre de principe, soit la manière dont il sert de point de référence dans l'organisation du savoir. Et ce n'est pas simplement que peuvent être « principes » des énoncés ayant divers statuts logiques : plus fondamentalement encore, un énoncé donné, ayant valeur de principe, peut changer de place logique tout en conservant son statut, et c'est sa fondamentalité même qui est la cause de sa « mobilité logique ». La fondamentalité, en effet, on peut le supposer, a la vertu à la fois de maintenir la proposition principielle dans le champ de l'étude, en sorte qu'elle se maintienne à travers les évolutions et malgré les bouleversements qui la conduisent à changer de statut, mais peut-être aussi plus spécifiquement de mettre la proposition au centre de l'attention et de la réorganisation conceptuelle et démonstrative, d'encourager en ce sens sa mobilité.

Considérons un exemple élémentaire emprunté à la physique : le « principe d'inertie », selon lequel « un mobile soumis à aucune force poursuit son mouvement en ligne droite à vitesse constante (ou son repos) ».

L'histoire des sciences nous rappelle le caractère non intuitif de ce principe du point de vue de l'expérience ordinaire, et par suite la nécessité qu'il y a eu de l'établir au 17ᵉ siècle, par la généralisation de faits expérimentaux et par des expériences de pensée. Cette généralisation a pu par la suite prendre la forme d'une mise en position de loi fondamentale, comme dans une synthèse de type newtonienne (où le principe correspond à la « seconde loi » de Newton). Mais en fait, la loi s'avère si fondamentale pour la physique moderne qu'elle conduit à réorganiser les notions de « mouvement », « d'état » et de « force », pour fonctionner comme un axiome premier à partir duquel on identifie ce qui compte comme un « état » (le « mouvement linéaire » étant désormais reconnu comme un état sans changement) et ce à quoi on reconnait l'action d'une « force » (tout ce qui perturbe un mouvement linéaire).<fnref n="2" /> Le principe peut cependant, dans un autre contexte, être déduit comme cas particulier de principes plus généraux de symétrie et de relativité : car si l'on admet que le mouvement (non accéléré) est relatif au mouvement du sujet d'observation, alors l'universalité des lois de la nature serait brisée s'il y avait une distinction absolue entre mouvement et repos, ou en général si le principe d'inertie était faux.<fnref n="3" />

## 1.3 Une déception philosophique ?

<footnote n="1">¹ Jacques HADAMARD, Lettre à la Société Française de Philosophie, lue à la séance du 10 juillet 1913, citée dans André LALANDE, *Vocabulaire technique et critique de la philosophie*, Paris, PUF, « Quadrige », article « Principe », p. 827-8.</footnote>

<footnote n="2">² Au point qu'un penseur comme Poincaré ait pu juger qu'il devenait irréfutable et relevait moins du vrai et du faux que de la *convention*. Voir par exemple Henri POINCARÉ, *La valeur de la science*, Paris, Flammarion, 1905, chapitre 10.</footnote>

<footnote n="3">³ Sur tout cela voir le classique de Françoise BALIBAR, *Galilée, Newton lus par Einstein*, Paris, PUF, « Philosophies », 1984.</footnote>
En vérité, il se peut que l'expérience générale du ou de la philosophe, allant chercher du côté des sciences des exemples de ce qu'elle pense comme le « principe », soit l'expérience d'une déception. C'est-à-dire que les exigences qu'il ou elle envisage d'imposer à une connaissance bien conçue et en bon ordre, non seulement ne sont pas *accomplies* dans l'ordre du savoir effectif qu'est celui des sciences, mais semblent même entièrement *ignorées*. Plus précisément, si la notion de principe de la connaissance renvoie à l'idée d'un *ordre* de connaissance, et, dans cet ordre, d'une *primauté* absolue, l'expérience scientifique semble plutôt nous confronter à une *mobilité* fondamentale des principes, à la *contingence* de leur choix, et au caractère généralement *relatif* de ce qui relève du principiel.

C'est la thèse que défendra et illustrera ce chapitre, qui se concentrera avant tout sur ce que nous avons nommé le « premier pôle » de signification, celui du fondement radical et en particulier son rôle dans les sciences formelles, logiques et mathématiques, où le problème de la mobilité des principes joue de la manière la plus sensible. Nous suivrons pour cela la stratégie suivante. Dans la section 2, nous emprunterons à Aristote une version d'une conception *maximaliste* du principe, la vision philosophique idéalisée des critères qui distinguent un principe de connaissance dans les sciences démonstratives comme fondement absolu. Les sections suivantes confronteront alors ces critères à la réalité de la pratique mathématique : d'abord le critère de « vérité », dans la section 4, puis celui de « primauté » dans la section 6 ; les sections 3 et 5 présenteront les éléments d'histoire des sciences utiles à la saisie du propos.

## 2 La théorie maximaliste d'Aristote

Aristote, notamment dans les *Seconds Analytiques* et le livre Γ de la *Métaphysique*, développe une conception maximalement ambitieuse de ce qui doit constituer un principe, au sens du fondement absolu, dans l'ordre de la connaissance démonstrative.<fnref n="4" />

### 2.1 « Vrais, indémontrables, mieux connus et causes de leur conclusion »

Il écrit en effet la chose suivante, dont toutes les déterminations méritent d'être relevées :

> Il est nécessaire aussi que la science démonstrative procède de choses vraies, premières, immédiates [et indémontrables <fnref n="5" />], plus connues que la conclusion, antérieures à elle et causes de la conclusion.
> De cette manière, en effet, on aura aussi des principes (*arkhas*) appropriés à ce qui est prouvé. <fnref n="6" />

En premier lieu, Aristote exige que les principes de la démonstration soient « vrais » – et, pouvons-nous ajouter, *connus comme vrais*, adoptés en vertu de leur vérité. Cela peut sembler évident, mais l'exigence de vérité a pu être contestée pour les principes, dans d'autres conceptions de la science – nous y reviendrons.

En second lieu, il demande qu'ils soient « premiers, immédiats et indémontrables ». Cette *primauté* est en outre *essentielle* : non seulement les principes de la démonstration ne sont pas démontrés par autre chose, mais ne *pourraient pas* l'être, et l'ordre de la démonstration n'est pas réputé contingent. La

<footnote n="4">⁴ Nous pourrions prendre, à un autre bout de l'histoire de la philosophie, la version de René DESCARTES, « Lettre de l'auteur à celui qui a traduit le livre », dans les *Principes de la Philosophie*: « *afin que cette connaissance soit [parfaite] il est nécessaire qu'elle soit déduite des premieres causes, en sorte que pour estudier à l'acquerir, ce qui se nomme proprement philosopher, il faut commencer par la recherche de ces premieres causes, c'est à dire des Principes* ; Et que ces Principes doiennent auoir deux conditions, l'vne qu'ils soient si clairs et si éuidens que l'esprit humain ne puisse douter de leur verité lors qu'il s'applique avec attention à les considerer ; l'autre que ce soit d'eux que depende la connaissance des autres choses, en sorte qu'ils puissent estre connus sans elles, mais non pas reciproquement elles sans eux* ». Voir aussi Blaise PASCAL, *De l'esprit géométrique*.</footnote>

<footnote n="5">⁵ La précision « indémontrable », qui semble expliquer « premier », se trouve dans la suite immédiate où Aristote justifie son énumération.</footnote>

<footnote n="6">⁶ ARISTOTE, *Seconds Analytiques*, I, 2, 71b. Nous citons l'édition et traduction par Pierre Pellegrin, Paris, GF Flammarion, 2005.</footnote>
raison pour laquelle le principe doit être ainsi « indémontrable », est qu'« avoir un savoir scientifique de ce dont il y a démonstration non accidentelle, c'est en posséder la démonstration »<fnref n="7" />. C'est-à-dire que si le principe n'était pas essentiellement indémontrable, le connaître légitimement dans l'ordre de la science, signifierait en avoir une démonstration, par quoi il ne serait par définition plus principe. C'est pourquoi cette primauté doit aussi apparaître comme une « immédiateté » en un certain sens : le principe ne peut pas nous être donné du fait d'un intermédiaire.

La primauté joue en fait à deux niveaux chez Aristote, en ce qu'un principe peut être premier et indémontrable soit relativement à une science dont il est le principe, soit dans l'absolu, c'est-à-dire relativement à l'entièreté de notre connaissance rationnelle et démonstrative. Dans le premier cas, il est indémontrable dans le genre de la science qu'il fonde, et doit être donné à cette science par une savoir plus haut ou plus général, antérieur en soi, où il pourra éventuellement avoir été démontré. Dans le second cas, le principe est réputé absolument indémontrable – quoi que connu comme vrai et, en un certain sens, « immédiatement ».

En troisième lieu les principes doivent être plus connus que, et antérieurs à, ce qui est conclu à partir d'eux. Ces trois caractères renvoient à la connaissance considérée « en soi » et pas simplement « pour nous ». Il se peut ainsi que nous connaissions en fait mieux une vérité non principielle, et que nous la connaissions distinctement avant de connaître le principe distinctement, mais dans l'ordre démonstratif nous découvrons que le principe est en soi mieux connu et antérieur à ce qu'il permet de démontrer. Une manière de comprendre cette primauté est que la connaissance du principe nous apparaisse comme présupposition implicite de la connaissance du démontrable. Ailleurs, Aristote dira des premiers principes qu'ils sont aussi les « plus fermes »<fnref n="8" />, en sorte que plus on avance dans la démonstration et plus le résultat est réputé de connaissance « fragile » ou « précaire ».

Le principe doit enfin être « cause », « aitia », de ce qu'on peut déduire, ce qui mérite une clarification : Aristote ne veut pas dire par là que le principe doit concrètement produire ce qu'on déduit de lui, à la manière d'un principe ontologique ; car il s'agit ici d'un rapport entre vérités, non d'un rapport entre choses. Ce qu'Aristote entend par le terme de « cause » est, en général, ce qui permet de répondre à la question « pourquoi ? ». Ainsi le principe ne doit pas seulement permettre de démontrer le fait, démontrer que la chose est telle – le « hoti » en grec ou « quod » en latin – mais doit aussi rendre intelligible pourquoi la chose est telle, doit donner le « dioti » ou « quia », de ce qui est démontré, c'est-à-dire sa cause.

L'exemple canonique de cette différence est donné par Aristote lui-même dans les *Seconds Analytiques*. Admettons que les planètes sont reconnaissables dans le ciel par le fait qu'elles ne scintillent pas, contrairement aux autres lumières visibles qui sont ce que les Grecs appelaient des « étoiles fixes ». Aristote décrit alors les deux démonstrations valides suivantes :

1/ Un astre qui ne scintille pas est proche, Or les planètes ne scintillent pas, Donc les planètes sont proches.

2/ Un astre proche ne scintille pas, Or les planètes sont proches, Donc les planètes ne scintillent pas.

De la première, Aristote remarque qu'elle nous permet de conclure simplement le fait de la proximité des planètes, à partir du fait constaté de leur non-scintillement. Mais elle ne nous donne pas la raison ou le pourquoi de leur proximité, qui n'est bien sûr pas expliquée par le non

<footnote n="7">⁷ Ibid.</footnote>

<footnote n="8">⁸ *Métaphysique*, Γ, 3, 1005b. Nous citons la traduction de Christian Rutten et Annick Stevens dans ARISTOTE, *Œuvres : éthiques, politique, rhétorique, poétique, métaphysique*, Paris, Gallimard, « Bibliothèque de la Pléiade », 2014.</footnote>
scintillement, elle nous donne uniquement le moyen de connaître le fait. La seconde, en revanche, est une démonstration « causale » : c'est *parce que* les planètes sont proches, qu'elles ne scintillent pas. En plus de prouver le fait, la démonstration en donne le pourquoi.<fnref n="9" />

En résumé, donc, le principe est une proposition qui est vraie, que nous savons immédiatement être vraie, que nous savons avant et mieux et plus fermement que tout autre chose (au moins au sein d'une certaine science), qui est essentiellement indémontrable (au moins dans cette science), et qui permet non seulement de prouver qu'une chose est vraie, mais l'explique, donne l'intelligibilité de son pourquoi.

## 2.2 Un paradigme du principe : la non-contradiction

Outre cette théorie générale, Aristote développe une doctrine des principes *absolument premiers*, dont il expose un célèbre exemple, dans le livre Γ de sa *Métaphysique*, le principe dit de « non-contradiction ».<fnref n="10" />

### 2.2.1 Un principe non-démonstrativement prouvé

Il introduit à ce propos la notion d'« axiome » (*axióma*), terme qui désignait dans l'Athénien de l'époque d'Aristote une « chose jugée convenable », mais plus spécialement, dans le langage spécialisé des mathématiques, un principe de démonstration, et notamment un principe absolument premier, ou, comme le décrit Aristote, un principe « *dont il est nécessaire que celui qui va apprendre quoi que ce soit le possède* ».<fnref n="11" /> D'après l'analyse d'Aristote, un principe qui a cette propriété d'absolue présupposition doit en tirer, comme nous l'avons dit, la propriété d'être « *le plus ferme de tous* » et le mieux connu (en soi), car il apparaît renforcé par tous les autres savoirs, ainsi que d'être, naturellement, « *inconditionnel* » ou « anhypothétique », car s'il est partout présupposé il ne peut nécessiter une hypothèse pour être posé. Mais cela implique également que le principe soit d'une rigoureuse généralité à l'égard de *tous* les savoirs possibles, étant présupposé par tous les genres. Un tel principe absolu de la connaissance ne peut donc porter que sur ce qu'Aristote va appeler « *l'être en tant qu'être* », c'est-à-dire porter sur tout étant, toute chose qui est, du fait simplement qu'elle est, et non qu'elle est *ceci* ou *cela* en particulier, un triangle ou une chèvre.

Le premier des principes de ce genre exposé par Aristote est le suivant, dit de « non-contradiction » :

> Il est impossible que la même chose en même temps appartienne et n'appartienne pas à la même chose et eu égard à la même chose (et toutes les autres déterminations que nous pourrions ajouter, considérons-les comme ajoutées pour répondre aux difficultés du langage).<fnref n="12" />

> Il faut noter qu'il ne s'agit pas à proprement parler, ou pas d'abord, d'un principe *logique*. Il n'est donc pas strictement identique à ce que l'on entend ordinairement comme « principe de non-contradiction », c'est-à-dire qu'il n'est ni un énoncé *formel* que nous devons *poser* au départ pour pouvoir démontrer ([(~(P&~P))], ni une règle que nous *prescrivons* à notre langage (« *Tu n'affirmeras jamais la négation d'une proposition que tu affirmes* »). Il est bien un principe *ontologique*, soit une vérité, un

<footnote n="9">⁹ Nous n'en dirons pas plus sur cette question de la « causalité » qui reste marginale pour notre propos. Disons seulement qu'il n'est pas évident à première vue que la démonstration mathématique rende compte du *pourquoi* de ses résultats, mais que la question est débattue depuis l'Antiquité. Voir Paolo MANCOSU, « Explanation in Mathematics », section 4 et 5, dans la *Stanford Encyclopedia of Philosophy*, https://plato.stanford.edu/archives/sum2018/entries/mathematics-explanation/</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Voir, dans ce volume, le chapitre sur Aristote.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ *Seconds Analytiques*, I, 2, 72a.</footnote>

<footnote n="12">¹² *Métaphysique*, Γ, 3, 1005a-b.</footnote>
fait, sur l'être : qu'il est impossible qu'une chose soit telle, et en même temps pas ; qu'elle soit telle, et en même temps non.

Pourquoi Aristote peut-il dire que ce principe est « toujours connu » et toujours admis, même par ceux qui tentent de le nier ? La raison semble être que même si nous ne sommes pas forcément conscient·es du principe ni même toujours disposé·es à le reconnaître, il est néanmoins toujours implicitement connu et présupposé dans sa généralité dans chaque instance particulière de notre dire : chaque fois que nous pensons ou affirmons quelque chose, nous connaissons que dire la négation de cette chose consisterait à dire son *exclusion*, à barrer la chose de l'être, exclusion dont nous connaissons immédiatement l'incompatibilité avec la chose même. Le principe premier de l'être apparaît donc comme impliqué dans notre *attitude propositionnelle* elle-même, dans le simple fait de dire l'être, et en ce sens il est bien présupposé par tout savoir.

Chose remarquable, même si par définition en tant que principe il ne saurait être démontré (car toute démonstration le suppose admis), Aristote soutient qu'il est néanmoins possible d'en fournir la *preuve*: non seulement nous convaincre de sa vérité, mais aussi le faire sortir victorieux d'un affrontement dialectique : son adversaire est en effet *réfuté* : immédiatement, car toute tentative de contredire le principe va le réintroduire. Supposons en effet qu'un adversaire quelconque tente de le nier. Dès qu'il ou elle énonce une chose à cet effet, quelle qu'elle soit, si en l'énonçant elle prend au sérieux son dire et son sens, alors elle s'engage par ce sens à ne pas en même temps admettre que la chose qu'elle dit n'est pas ; autrement, elle ne dirait rien du tout. Si, énonçant P, je *n'exclus* pas en même temps que P soit exclu et rayé dans son sens, il n'y a pas de sens à considérer que *j'énonce* P plutôt que quoi ce soit d'autre. L'adversaire, alors, dit Aristote, se révélant comme ne disant rien du tout, est « semblable à une plante »<fnref n="13" />, et il est ridicule d'argumenter contre les plantes.

Voilà donc un principe en bonne et due forme, conforme à l'exigence maximale posée par Aristote.<fnref n="14" /> Mais si nous avons ici affaire à une vérité partout présupposée, elle appartient à l'ontologie ou la science première, et non pas à ce que nous avons coutume d'appeler les « sciences démonstratives », mathématiques, logiques, ou physiques.

### 2.2.2 La non-contradiction dans la logique

Il est pourtant vrai qu'en *Métaphysique* Γ, Aristote traite ce principe ontologique premier comme pratiquement équivalent à des principes proprement « logiques », c'est-à-dire portant sur le *dire* de l'être : qu'il est impossible qu'un énoncé soit vrai, et que sa négation le soit également (en même temps et dans le même sens etc.) ; ou autrement dit, qu'il est impossible qu'un énoncé soit à la fois vrai et faux ; ou, pourrions-nous dire encore, que la conjonction d'un énoncé et de sa négation (= « P et non P ») n'est jamais vraie, et toujours fausse.

Pour constater la vérité du principe ontologique, il s'agissait de le reconnaître comme un présupposé implicite de notre attitude propositionnelle, à savoir le fait que dans l'affirmation nous excluons l'exclusion de ce qui est affirmé. De même, pour voir son équivalence avec ces principes logiques, il semble qu'il faille et suffise de comprendre le sens, impliqué dans l'attitude

<footnote n="13">¹³ 1006b15.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Francis Wolff a soutenu de façon convaincante que ce principe aristotélicien et le cogito cartésien jouaient leur rôle de « principe » de façon très similaire, était tous deux des vérités premières sur l'être impliquées par toute tentative de les contredire, et incluses comme présuppositions dans toute attitude propositionnelle. Voir, outre le chapitre sur Descartes dans le présent ouvrage, Francis WOLFF, « Le principe de la *Métaphysique* d'Aristote et le principe de la métaphysique de Descartes », dans *Revue Internationale de Philosophie*, Vol. 51, numéro 201 (3), septembre 1997, p. 417-443. L'auteur privilégie un second principe chez Aristote, celui dit du « tiers-exclu », qui nous paraît plus délicat pour des raisons logiques et historiques, mais l'idée est la même.</footnote>
propositionnelle, de ce qu'on va appeler le « *vrai* » et le « *faux* », comme conformité (ou désaccord) du dire à l'être.

Il existe pourtant des systèmes de logique mathématique modernes nommés « paraconsistants », dans lesquels le principe de non-contradiction n'est pas universel, c'est-à-dire dans lesquels il y a des contradictions vraies. Mais cela ne suffit pas à convaincre de la possibilité de la contradiction. Car ce que semble indiquer l'existence de ces systèmes est plutôt que l'on peut réguler rigoureusement un *usage* de la *négation* – en soi possible – où celle-ci n'équivaut pas à ce que nous avons appelé « exclusion », en sorte que « non-P » n'est pas l'exclusion de « P ». Il est plus que vraisemblable de soutenir, par exemple, que la négation dans les langues naturelles ne fonctionne au moins pas toujours comme fonctionne la négation logique traditionnelle. Cela n'empêche pas le ou la logicien·ne « paraconsistant·e » de respecter en fait la logique traditionnelle quand on considère la négation en son sens classique. C'est-à-dire, qu'il ou elle doit maintenir une notion *d'exclusion* et de *contradiction* (même s'il ou elle la distingue de sa « négation ») pour laquelle le principe de non-contradiction vaut dans chaque instance d'affirmation – sinon ces « affirmations » n'affirment rien du tout. Nous suivons ici le jugement de Quine<sup>15</sup>, selon lequel « *on ne change pas de logique, on change de sujet* », quand on ne traite pas de la négation en son sens traditionnel.

Mais cela même nous indique que le principe aristotélicien de non-contradiction n'est pas à strictement parler un élément de la « logique » au sens courant aujourd'hui, à savoir celui d'une branche des mathématiques et des sciences formelles. La logique explorée par Aristote est philosophique et méditative, dont le principe ne peut pas vraiment apparaître comme tel ou servir dans la pratique démonstrative. Quand on en vient à elle, le statut des principes se complique immédiatement, comme nous allons l'expliquer à présent.

## 3 Mathématiques : le modèle ancien et le modèle moderne

Il est commun d'opposer l'approche de la pratique mathématique classique, qui se maintint au moins jusqu'au 18ᵉ siècle<sup>16</sup>, et l'approche moderne généralisée au moins à partir de l'après-seconde guerre mondiale. Il convient que nous donnions une présentation schématique de leur différence, car ses conséquences sur la question des principes sont considérables.<sup>17</sup>

La mathématique classique prétendait à peu près énoncer des vérités sur un domaine connu par ailleurs, être la science d'un objet préexistant, et auquel on pouvait avoir un accès en quelque sorte « intuitif », c'est-à-dire précédant l'existence de la science elle-même, au niveau du sens commun. Cet objet était souvent nommé, suivant une analyse aristotélicienne, « la quantité », mais que ce soit la quantité, l'espace, le temps, le nombre, l'ordre et/ou la mesure, il y avait quelque chose que la mathématique étudiait et sur laquelle elle énonçait des vérités, mais qu'elle ne créait pas, sur laquelle elle n'avait pas un pouvoir arbitraire.

<footnote n="15"><sup>15</sup> Willard Van Orman QUINE, *Philosophie de la logique*, traduit par Jean Largeault, Paris, Aubier-Montaigne, 1975, chap. 6.</footnote>

<footnote n="16"><sup>16</sup> Nous ne parlons ici que de la mathématique de tradition grecque, maintenant internationale, poursuivie dans l'Europe moderne via l'héritage indien et arabe, non des mathématiques anciennes indépendantes de tradition babylonienne, égyptienne, indienne, chinoise, ou autres.</footnote>

<footnote n="17"><sup>17</sup> Il mérite d'être précisé que les mathématiques, anciennes comme modernes, ne sont en général pas particulièrement préoccupées par la question des principes. Ouvrant un ouvrage de mathématique au hasard, nous sommes directement plongés dans le vif du sujet, et dans une jungle d'objets étranges et de pratiques de haut niveau. Les travaux sur les principes, ou particulièrement attachés à établir et clarifier leurs propres principes, sont de rares exceptions, quoi qu'ils tendent – c'est compréhensible – à capter l'entière attention des philosophes, comme ce sera le cas pour nous ici.</footnote>
La mathématique moderne, au contraire, semble avoir pour seule contrainte la cohérence – ou plus exactement la *consistance*, c'est-à-dire qu'on ne puisse pas déduire tout et n'importe quoi. C'est-à-dire que le ou la mathématicien·ne n'a pas à attendre qu'un objet « existe » pour l'étudier, mais le manifeste en quelque façon à l'existence par sa théorie, un peu à la manière d'un·e auteur ou autrice de fiction ; s'il ou elle travaille, comme c'est le cas en général, sur un objet *préexistant*, c'est au sens d'un objet auparavant manifesté à l'existence et étudié par la tradition qu'il ou elle habite. Son domaine paraît ainsi en soi ouvert, on ne saurait prédire quel étrange objet en sortira, et ce dont il ou elle parle a échappé depuis longtemps à « l'intuition » – ou, du moins, à l'intuition des gens ordinaires : si l'on peut en développer une intuition, cela viendra *après* nous être familiarisé·es avec les théories qui l'invoquent.

# 4 Le critère de vérité

Donnons une idée des conséquences de cette différence sur la nature des principes.

On répartit ceux-ci, en général, en *définitions* d'une part, qui établissent des significations, et *axiomes, demandes, ou postulats*, d'autre part, qui énoncent des faits.<fnref n="18" /> Or c'est un lieu commun aussi vieux que les sciences démonstratives<fnref n="19" /> de remarquer que tant pour les axiomes que pour les définitions « il faut bien s'arrêter quelque part », faute de ne jamais pouvoir commencer. C'est-à-dire que des axiomes doivent être posés à partir desquels l'on démontre les théorèmes, sans qu'eux-mêmes soient démontrés, et que parmi les définitions certaines doivent être les *premières* et être formées de termes eux-mêmes non définis. La question porte, cependant, sur le statut de ces principes premiers.

## 4.1 Les définitions

Les définitions n'affirment pas, normalement, d'elles-mêmes quelque chose *sur* ce qui est, mais se contentent de fixer la signification d'un terme. On les divise classiquement en « nominales » ou « réelles »<fnref n="20" />, ou, pourrait-on mieux dire, en définitions par *stipulation*, qui stipulent, déclarent, qu'un nom va avoir tel ou tel sens, et définitions *élucidantes*, qui élucident l'essence d'un objet identifié par ailleurs. Mais même si l'on supposait, avec Pascal, qu'en mathématiques les définitions sont toutes par stipulation, cela ne signifierait pas qu'elles soient tout à fait *libres*, dans la tradition classique. Dans la mesure en effet où la théorie est censée porter sur un objet intuitif préexistant, il est certes possible de définir les objets *complexes* de diverses manières plus ou moins libres, mais les objets et propriétés *de base* du domaine doivent au moins apparaître comme *conformes* à la réalité visée. C'est-à-dire qu'ultimement le sens, même dans les définitions libres, est construit sur des signifiants dont le sens est quant à lui contraint par la compréhension langagière d'une réalité visée en commun : « l'égalité », « l'espace », le « tout » et la « partie », la « numération », la « droite » et le « point », « l'infini », etc. Si la géométrie est la science des figures qui sont définies à partir de la droite et du point, il faut que le sens donné aux termes de « droite » et de « point » soit, en un sens, *correct*, et non libre, et c'est cette correction qui ancre la théorie dans sa détermination propre.

Dans la perspective moderne, en revanche, les définitions tendent à perdre leur rôle principiel. Il y a toujours, bien sûr, des définitions rigoureuses des termes *dérivés*, mais les *termes premiers* d'une

<footnote n="18">¹⁸ En ignorant ici ce qui relève plutôt de la logique, comme les règles d'inférence.</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ Voir, dans le présent volume, le chapitre sur le scepticisme antique, ainsi que, pour un exposé classique, Blaise PASCAL, *De l'esprit géométrique*, ou, à la même époque, la « Logique de Port-Royal » : Antoine ARNAULD et Pierre NICOLE, *La Logique ou l'art de penser*, Quatrième partie, Chapitre IX. On lira avec grand profit, sur le thème du présent livre, cette Quatrième partie en son entier.</footnote>

<footnote n="20">²⁰ Voir par exemple ARNAULD et NICOLE, *op. cit.*, Première partie, Chapitres XII-XIII.</footnote>
théorie ne sont typiquement *pas définis* du tout, et l'on compte sur le développement de la théorie pour fixer une détermination de leur sens qui n'est pas réputé bâti sur le langage ordinaire.

Nous pouvons illustrer cette différence en comparant les définitions du point et de la droite dans les *Éléments* d'Euclide et leur introduction dans un des premiers chefs d'œuvre/manifestes de l'approche moderne, les *Principes fondamentaux de la géométrie* de David Hilbert, qui entreprend de compléter et systématiser les travaux d'Euclide d'après les acquis et exigences de l'analyse moderne. Nous trouvons dans Euclide : « *Un point est ce dont il n'y a aucune partie. Une ligne est une longueur sans largeur. (...) Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle.* »<fnref n="21" /> Sans pouvoir commenter, remarquons simplement d'une part que ces définitions sont étranges, et quelque peu obscures. On peut comprendre qu'elles servent à *fixer la référence* des termes de « point » et « droite », mais il n'est pas évident de les interpréter ou de savoir quoi en faire. Ainsi, comme cela fut souvent remarqué historiquement, les propriétés *définissant* le point et la droite ne sont jamais utilisées dans le cours d'une démonstration, en sorte que si on *omettait* ces définitions – conformément, par exemple, au critère classique<fnref n="22" /> selon quoi on ne doit pas expliquer ce qui est déjà évident – les preuves ne seraient, semble-t-il, pas moins rigoureuses. Mais cela n'enlèverait pas la nécessité de fixer la référence au moyen du sens, implicite ou explicite, des termes.

Hilbert écrit en revanche :

*Convention.* — Concevons trois différents systèmes d'êtres : les êtres du PREMIER système, nous les nommerons *points* et nous les désignerons par A, B, C, ... ; les êtres du DEUXIÈME système, nous les nommerons *droites* et nous les désignerons par a, b, c, ... ; (...) les points seront aussi nommés *éléments de la Géométrie linéaire* ; les points et les droites, *éléments de la Géométrie plane* (...).

Concevons que les points, droites et plans aient entre eux certaines relations mutuelles et désignons ces relations par des mots tels que : « SONT SITUÉS », « ENTRE », « PARALLÈLE », « CONGRUENT », « CONTINU » ; la description exacte et complète de ces relations a lieu au moyen des axiomes de la Géométrie.<fnref n="23" />

On notera d'abord que l'ensemble de ces énoncés sont placés sous l'égide de la « convention » : on nous demande de concevoir. Ensuite, que cette introduction ne comprend aucune définition, mais une série d'actes de nomination, dont on nous indique que la détermination va être fixée par les axiomes qui instaurent les relations entre les objets fondamentaux – relations qui ne sont pas non plus définies.

## 4.2 Qui détermine le sens ?

Nous voyons ainsi que ce ne sont pas seulement les définitions qui changent de statut, mais aussi les axiomes et le rapport entre les deux.

Dans la conception classique, les définitions renvoient à des significations d'un domaine réel donné. Mais elles ne suffisent pas : il faut encore établir *l'existence* des objets ainsi définis, et les *relations* qui valent entre les propriétés – soit les *faits* valant sur les objets.

C'est ainsi que les « demandes » ou « postulats » d'Euclide fixent par exemple la possibilité d'obtenir une droite entre deux points quelconques, et un cercle depuis tout point et pour tout rayon donné ; et que ses « notions communes » ou « axiomes » nous rappellent les propriétés de la relation

<footnote n="21">²¹ Livre I, « Définitions ». Nous reprenons la traduction de Bernard Vitrac dans son édition d'EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *Les Éléments*, Vol. 1, Paris, PUF, « Bibliothèque d'histoire des sciences », 1990.</footnote>

<footnote n="22">²² Par exemple Blaise PASCAL, *op. cit.*</footnote>

<footnote n="23">²³ David HILBERT, *Les Principes fondamentaux de la géométrie*, traduit de l'allemand par L. Laugel, Paris, Gauthier-Villars, 1900, p. 6.</footnote>
« d'égalité » dont les démonstrations vont faire usage.<fnref n="24" /> Et puisque le domaine régi par les axiomes et les postulats est déterminé par le sens donné par les définitions, il est évident qu'il faut que les axiomes et postulats soient vrais des objets définis, pour être admissibles : que les cercles et lignes en quelque façon existent, et que l'égalité des quantités soit bien telle que le déclarent les axiomes.

Si, au contraire, comme dans l'approche moderne, les objets fondamentaux sont simplement nommés par convention, et pour ainsi dire manifestés à l'existence par cet acte de nomination, leur identité, s'ils en ont une, devient déterminée par les axiomes et postulats eux-mêmes. Remarquablement, il n'y a alors plus grand sens de qualifier ces derniers de « vrais » ou « faux », et ils semblent eux-mêmes des actes de postulation.<fnref n="25" />

On dit parfois, pour décrire ce renversement des rôles de détermination, que dans les théories formelles modernes, « les axiomes servent de définitions implicites ». Mais dans une approche strictement « formaliste », rigoureusement parlant les axiomes ne déterminent pas de signification du tout, mais posent seulement des contraintes sur le sens que vont pouvoir prendre les termes premiers de la théorie, c'est-à-dire sur ce qu'on va appeler « l'interprétation » de la théorie, ou le fait de lui donner un « modèle », un objet duquel elle est vraie. La condition d'une telle interprétation étant que, en donnant un sens à chacun des termes et à chacune des relations, les axiomes deviennent vrais quand on les applique au modèle. On a d'un côté une pure théorie, qui peut être considérée comme un pur jeu formel, et n'est pas concerné par le vrai et le faux, et de l'autre la possibilité d'appliquer cette théorie à des modèles, à des réalités pour lesquelles on parvient à donner un sens aux axiomes et aux termes primitifs.

À première vue, donc, les définitions et axiomes de la théorie classique doivent être vrais, conformément à l'idéal aristotélicien ; alors que pour ceux des théories modernes, il n'y a pas de sens à poser la question de leur vérité, seulement celle de leur applicabilité ou de leur possible interprétation. Mais en vérité, la question est plus complexe, dans l'un et l'autre cas.

## 4.3 L'axiomatique et la définition implicite

D'un côté, en effet, l'idée de « *définition implicite par les axiomes* » prend un sens différent, et plus fort, quand la théorie mathématique est comprise comme portant sur un domaine « *idéal* » ou « *abstrait* », ou sur ce que l'on nomme parfois une « structure ». C'est comme si, alors, « l'existence » de l'objet mathématique apparaissait équivalente à l'existence d'une théorie cohérente à son propos. L'exemple paradigmatique d'une théorie abstraite de ce genre est ce qu'on appelle la théorie axiomatique des *groupes*. Les groupes sont « définis » en pratique par une série *d'axiomes* qui « donnent » la théorie, de la manière suivante :

> Soit un ensemble d'éléments $G$ sur lequel s'applique une opération, notée « $\bullet$ ». $G$ est un « groupe » si l'on a :

### Loi de composition interne

Pour tous $a$ et $b$ éléments de $G$, le résultat $a \bullet b$ est aussi un élément de $G$.

### Associativité

Pour tous éléments $a, b$ et $c$ de $G$, l'égalité $(a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)$ est vraie.

<footnote n="24">²⁴ Voir, sur le premier « axiome » d'Euclide, le chapitre sur le scepticisme antique dans le présent volume.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Cette approche est en fait caractéristique d'une tendance que l'on peut appeler « formaliste », qui a une longue histoire dans le développement de l'algèbre moderne. On pourra consulter la présentation accessible de Michael DETLEFSEN, « Formalism », dans S. Shapiro (éd.), *The Oxford Handbook to Philosophy of Mathematics and Logic*, Oxford University Press, 2005, p. 236-317.</footnote>
## Élément neutre

Il existe un élément *e* de *G* tel que, pour tout *a* dans *G*, *e* • *a* = *a* • *e* = *a*. « *e*» est appelé *élément neutre* du groupe.

## Symétrique

Pour tout élément *a* de *G*, il existe *b* dans *G* tel que *a* • *b* = *b* • *a* = *e*, où *e* est l'élément neutre. *b* est appelé *symétrique* de *a*.

(On comprendra le fonctionnement de cette axiomatique en se rapportant à l'exemple des nombres entiers (négatifs et positifs). Si l'opération « • » représente le + de l'addition, alors les entiers sont un « groupe » où l'élément neutre « e » est le nombre 0, et où pour tout entier « a », l'entier « -a » est son « symétrique ». On vérifie aisément que les axiomes s'appliquent bien alors aux nombres.)<fnref n="26" />

Les axiomes de la théorie sont bien formellement des énoncés de *fait*, qui énoncent apparemment des « vérités » sur ce qui « existe », sur ce qui est « égal », etc. Or on pourrait considérer que *ce de quoi* ils sont « vrais » est, justement, *les groupes*, c'est-à-dire ce qui, par hypothèse, leur obéit – que l'on conçoive cet « objet » comme une structure abstraite, un objet idéal, ou autre. Pour montrer qu'ils s'appliquent *spécifiquement* aux nombres entiers, il faut bien sûr une preuve supplémentaire, établissant justement que « *les entiers sont un groupe* » mais ils s'appliquent « *par définition* » aux groupes eux-mêmes. En ce sens, il y a un *objet* sur lequel porte la théorie, et elle est *vraie* à son propos, mais il n'est pas clair que « l'existence » de cet objet ait été signifiable antérieurement à la formulation des lois qui le définissent.

## 4.4 La vérité d'Euclide et le postulat des parallèles

En retour, la question de la « vérité » des principes de la mathématique traditionnelle, et notamment de la géométrie d'Euclide, apparaît également problématique. Historiquement, la question se concentre sur le fameux cinquième postulat du premier livre des *Éléments*, dit parfois « axiome d'Euclide », ou « postulat des parallèles » :

> Et [qu'il soit demandé] que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.<fnref n="27" />

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Sa différence d'avec le reste des « principes » d'Euclide est flagrante : son énoncé est long et complexe, il est difficile de le qualifier « d'évident » et il ne semble pas fondamental, et enfin il

<footnote n="26">²⁶ Les entiers sont bien sûr le point de départ *historique* de la théorie ; mais, pour paraphraser l'algébriste du 19ᵉ siècle George Peacock (cité dans DETLEFSEN, *op. cit.*, p. 275), ils ne *fondent* pas cette théorie abstraite mais se contentent de la *suggérer*.</footnote>

<footnote n="27">²⁷ EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *op. cit.*, p. 175.</footnote>
porte sur un fait qui n'est pas observable directement à même le traçage des figures et ne semble pas en être un présupposé, mais qui fait une prédiction sur « ce qui adviendra à l'infini » au cours du tracé d'une infinité de figures différentes possibles. En somme, il paraît appeler une preuve, il a l'allure et le caractère d'un théorème, c'est-à-dire d'une proposition devant être démontrée à partir des principes. Or, sa place parmi les « postulats » indique qu'Euclide ne pensait pas pouvoir le démontrer.<fnref n="28" />

L'exigence d'une telle démonstration s'est faite pourtant sentir dès l'Antiquité, et régulièrement jusqu'au 19ᵉ siècle, mais toutes les tentatives manifestaient le fait que de telles preuves étaient impossibles à partir des axiomes déjà donnés, mais utilisaient toujours un autre postulat, ayant lui aussi l'allure d'un théorème, et appelant à son tour une démonstration. Ces postulats étaient en outre de « force logique » équivalente, c'est-à-dire qu'il était autant possible de démontrer le postulat des parallèles grâce à eux (et aux autres postulats), que de les démontrer eux-mêmes à l'aide du postulat des parallèles (et des autres postulats).<fnref n="29" />

Faute de pouvoir le démontrer directement, l'alternative semblait être de le démontrer *indirectement*, c'est-à-dire de déduire une contradiction en faisant l'hypothèse de sa négation – technique très courante chez Euclide. Or ces tentatives conduisaient à prouver des séries d'énoncés, certes incompatibles avec la géométrie d'Euclide, et en un sens *manifestement tous faux*, mais ne produisant pourtant aucune contradiction. À la suite d'une histoire complexe, le pas fut franchi indépendamment, dans les premières décennies du 19ᵉ siècle, par plusieurs mathématiciens, Gauss, Bolyai et Lobatchevski, de considérer qu'ils avaient affaire à une « autre » géométrie – en fait à une infinité d'autres (l'idée de mettre les articles indéfinis « une » et « des » devant le mot « géométrie » étant la grande innovation conceptuelle). Ces géométries sont appelées aujourd'hui « non-euclidiennes », et sont analogues à d'autres « mondes » géométriques possibles : des mondes où il n'existe pas de triangles semblables de tailles différentes, et où par un certain point en dehors d'une droite, passent une infinité de parallèles à cette dernière, ou pas de parallèle du tout.

Il faut noter cependant que le postulat d'Euclide, en un sens important – c'est-à-dire du point de vue de la pratique géométrique classique – est *vrai*, même s'il est indémontrable, et sa vérité n'a jamais été mise en doute par les gens qui tentaient de le démontrer, en tout cas avant le 19ᵉ siècle. Le développement subséquent de la géométrie a montré que l'on pouvait d'ailleurs aussi bien refuser d'autres présupposés euclidiens, et former de nouvelles géométries, en sorte que le problème du « non-euclidien » n'a pas essentiellement à voir avec la vérité de ce postulat. La leçon est plutôt que nous pouvons faire des géométries qui, si elles disent des vérités sur quelque chose, ne le font pas sur cet espace de construction dont nous avions, semble-t-il, une appréhension intuitive, et qui ne s'accompagnent pas de l'approbation de notre intuition à chaque étape démonstrative. La question étant de comprendre *de quoi parlent* alors au juste ces géométries,

<footnote n="28">²⁸ Le livre I des *Éléments* semble ainsi organisé en sorte à utiliser le postulat le plus tard possible, en I, 29, qui en a besoin pour énoncer la réciproque de I, 28. Le fait d'une telle organisation intentionnelle s'aperçoit dans le fait que certains théorèmes semblent démontrés « trop tôt », au sens où ils découleraient beaucoup plus naturellement et facilement de choses démontrées plus loin, mais utiliseraient alors le postulat dont ils peuvent aussi se passer. Sur la pratique antique de la mathématique, et la présence des principes, on consultera le premier volume de la traduction déjà citée des *Éléments* d'Euclide par Bernard Vitrac, notamment l'« Introduction générale » de Maurice CAVEING ainsi que les notices du traducteur.</footnote>

<footnote n="29">²⁹ Brisant apparemment l'exigence aristotélicienne d'ordre strict, nous y reviendrons. Les deux meilleurs candidats de remplacement, du point de vue de la pratique euclidienne, semblent être les suivants : ou bien affirmer la *transitivité du parallélisme*, c'est-à-dire le fait que si deux droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèles entre elles ; ou bien affirmer l'indifférence de l'échelle, c'est-à-dire la possibilité de trouver, pour une figure rectiligne donnée, une figure semblable (par exemple un triangle ayant les mêmes angles) mais plus petite ou plus grande que la première.</footnote>
quel est leur objet ou leur vérité, si elles en ont ; mais aussi, en retour, quels étaient en fait l'objet et la vérité de la géométrie « euclidienne » elle-même, et de ses principes.

Or, la désinvolture moderne peut, peut-être, apporter une réponse simple à ces questions : le postulat d'Euclide est *vrai*, et ce dont il est vrai est précisément *l'espace euclidien*, cet espace étant compris comme un objet idéal connu grâce à sa théorisation mathématique qui remonte à l'Antiquité grecque. Les autres géométries, de même, sont vraies de *leurs* espaces.

Le problème demeure pourtant du rapport entre l'« objet idéal » ou la « structure » euclidienne, et « l'espace » comme objet apparent de notre intuition sensible ou ordinaire et composant essentiel de notre appréhension des phénomènes naturels. Ce problème extrêmement riche et complexe est dans une large mesure *constitutif* de la philosophie contemporaine des sciences dans son ensemble, autour notamment du diagnostic à établir et du bilan à dresser – néo-kantien ou au contraire anti-kantien – de l'échec manifeste de la théorie de Kant face aux mathématiques et à la physique modernes.

Au début du 20e siècle, au moment de la controverse entre Russell et Poincaré sur les principes des mathématiques, la question se posait en effet encore dans les termes de savoir comment nous connaissions la vérité des principes, et notamment du postulat des parallèles, si ces principes sont vrais en effet : est-ce empiriquement, par notre confrontation à l'expérience ? Est-ce de manière à priori ? Et dans ce cas, en quel sens ? La question de l'héritage de Kant était ici au centre. C'est-à-dire que la question demeurait de savoir si les principes géométriques étaient vrais de l'espace comme réalité donnée de manière extra-mathématique, et, si oui, comment nous pouvons le savoir. Or, l'idée kantienne de « synthétique à priori » est précisément une réponse à la question de la nature de la vérité mathématique. Les principes mathématiques qui se tirent, d'après Kant, de ce qu'il appelle « intuition à priori » sont, pour Kant lui-même, *connaissables* à priori, et donc connaissables à priori comme *vrais* (c'est le propre d'un principe : le connaître c'est le connaître comme vrai). Et pour Kant, leur caractère à priori est ce qui garantit leur « certitude apodictique », c'est-à-dire la connaissance de ces principes comme nécessaires et comme nécessairement vrais des phénomènes du monde. Mais l'invention des géométries non euclidienne, puis l'adoption de géométries nouvelles pour la compréhension même de la nature à partir du début du XXe siècle ont exhibé le caractère intenable de cette conception. L'échec de cette thèse kantienne de « vérités apodictiques sur la nature connues de façon synthétique à priori » est universellement connu et reconnu. Mais le diagnostic de l'échec, et par suite ce que l'on doit faire des ruines, est ce qui fait, aujourd'hui encore, objet de contention. Nous ne pouvons pas développer davantage ici ce point, pourtant crucial pour la question du principe. <fnref n="30" /> Nous devons en revanche évoquer, ne serait-ce qu'en passant, une autre querelle qui est connexe et contemporaine à la première : celle dite des « fondements des mathématiques ».

## 5 La querelle des fondements

On y fait généralement s'affronter les trois positions du « logicisme », de « l'intuitionnisme », et du « formalisme », dans un débat aux multiples positions nuancées sur la vérité et la nature des principes, pour lesquelles nous devons nous contenter de donner ici des pistes. Les trois positions se rattachent en un sens à d'anciennes traditions, mais semblent se cristalliser à la fin du 19e siècle sous la forme d'une apparente querelle, du fait de deux principaux facteurs, remontant en un sens au 17e siècle mais se précipitant à cette époque : d'une part la transformation des pratiques mathématiques sous l'effet de multiples innovations, ayant mené au sentiment général que la

<footnote n="30">³⁰ Voir, dans ce volume, le chapitre sur Kant, ainsi que les articles réunis dans Emmanuel BAROT et Julien SERVOIS (dir.), *Kant face aux mathématiques modernes*, Paris, Vrin, « Bibliothèque d'Histoire de la Philosophie », 2009.</footnote>
mathématique traditionnelle se fondait sur l'« intuition » d'une manière qui n'était plus vraiment acceptable ni conforme à la pratique et qui devait être remplacée ; d'autre part, le développement de nouvelles théories de l'infini et la difficulté de leur trouver une base logique sûre.

Le « logicisme », auquel on peut rattacher les noms de Frege, Dedekind, ou Russell <fnref n="31" />, a comme ambition fondamentale d'aborder le problème du fondement des mathématiques non pas par une interrogation sur nos *capacités* de connaissance, mais une considération des faits fondamentaux qui rendent vrais les propositions, distinguant entre le plan de la connaissance et le plan de la justification. Et il entreprend de fonder le tout ou une partie des mathématiques sur la « logique », soit sur quelque chose comme des lois générales de la pensée ou de la vérité. Pour les logicistes, les principes premiers des mathématiques sont donc vrais, au sens strict du terme, mais consistent en des vérités générales sur, par exemple, la notion d'extension de concept, ou les relations d'implication entre des structures logiques. On peut considérer que le courant a néanmoins échoué, de manière générale, à trouver des principes logiques cohérents et suffisants pour rendre compte des mathématiques. On peut citer le « principe de compréhension », selon lequel il suffit d'avoir un concept bien défini pour pouvoir considérer la multiplicité des objets répondants à ce concept. Ce principe, fondationnelle pour la première grande fondation logiciste de Frege, a été prouvé contradictoire par le « paradoxe de Russell ».

« L'intuitionnisme » à l'inverse, auquel on rattachera Brouwer et Weyl et qui hérite d'une plus longue tradition « constructiviste », admet le fond « intuitif » de la mathématique mais la considère partiellement ou intégralement fondée sur une intuition des constructions finies, du type « partir d'un objet initial, et définir son successeur, et le successeur de celui-ci, etc. », exigeant que tout objet et toute preuve soit une telle construction. Or, cela l'amène au refus de nombreux principes et objets mathématiques communément admis, notamment les principes devenus centraux dans la nouvelle théorie des ensembles, comme « l'axiome du choix » ou « l'axiome de l'ensemble des parties », énonçant « l'existence » d'objets dont il est impossible de donner une construction, mais aussi des principes logiques comme le vénérable « tiers-exclu » dont la légitimité est remise en cause. <fnref n="32" /> Pour le constructivisme, la mathématique porte sur un domaine bien déterminé, celui de la « construction » idéale, et les principes en sont vrais, mais ils sont aussi si restreints et tellement moins puissants que ceux de la mathématique ordinaire qu'ils s'avèrent, pour la plupart des mathématiciens, entièrement inadéquats à la pratique. <fnref n="33" />

Le « formalisme » enfin, qui peut revendiquer le nom de Hilbert <fnref n="34" />, prend le relais de l'échec logiciste et de la critique intuitionniste, afin conserver la rigueur et certitude de la preuve constructiviste, sans pour autant se laisser chasser des « paradis » <fnref n="35" /> mathématiques infinitaires élaborés par les penseurs modernes. Pour se faire, il dédouble la question de la vérité en distinguant les énoncés « à contenu » renvoyant à des constructions finitaires que nous savons maîtriser, et les énoncés « idéaux » dépassant les limites de notre contrôle intuitif (parce qu'ils supposent le survol d'une totalité infinie). Pour pouvoir conserver ces énoncés idéaux, le formalisme développe une seconde séparation entre la « théorie en langage formalisé » et la « méta-théorie ». La théorie formelle est elle-même un objet *constructif*, consistant en des

<footnote n="31">³¹ On pourra consulter Gottlob FREGE, *Les fondements de l'arithmétique*, traduction Claude Imbert, Paris, Seuil, « L'ordre philosophique », 1970 (1884), et Bertrand RUSSELL, *Les Principes des mathématiques* (1903), partiellement traduit par Jean-Michel Roy dans B. Russell, *Écrits de logique philosophique*, Paris, PUF, « Épiméthée », 1989.</footnote>

<footnote n="32">³² Voir l'annexe 1, en fin de ce chapitre.</footnote>

<footnote n="33">³³ On consultera les textes réunis par Jean LARGEAULT dans *Intuitionnisme et théorie de la démonstration*, Paris, Vrin, 1993.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ Voir David HILBERT, « Sur l'infini » (1925), dans J. Largeault, *Logique mathématique*, Paris, Armand Collin, 1972, p. 215-245.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ David HILBERT, *op. cit.*, p. 227.</footnote>
manipulations de signes pour construire des pseudo-« propositions » et les enchaîner sous forme
de pseudo-« déductions », analogues à la manipulation algébrique. Parce que nous avons fixé les
règles strictes de manipulation à l'avance, nous pouvons contrôler les déductions même si elles
utilisent des « énoncés » infinitaires dont nous ne maîtrisons pas le sens. En ce sens, les « vrais »
principes de la mathématique formaliste sont les principes constructifs informels, qui nous
apprennent par exemple ce qu'est une combinaison de signes, que nous pouvons concevoir des
formules arbitrairement longues, comment nous pouvons raisonner par récurrence, etc. Quant
aux axiomes de la théorie formelle, nous pouvons en outre les tenir pour « vrais » ou
« signifiants » (une fois retraduits en langage naturel), mais cela n'est pas imposé par la pratique.
Quoi qu'il ait également en un sens échoué comme théorie du fondement <fnref n="36" />, le formalisme a
remarquablement permis une pratique assez sûre pour que la nécessité même de « fonder »
philosophiquement les mathématiques cesse de se faire véritablement sentir. <fnref n="37" />

Nous avons vu, en somme, combien le critère de « vérité » des principes, qui semblait simple et évident, se révèle riche, subtil, et difficile. Nous verrons maintenant qu'il en va de même du second groupe de critères aristotéliciens, exigeant la primauté absolue des principes.

6 Le critère de primauté

6.1 Contingence de l'axiomatique

Faisant écho au propos d'Hadamard cité en introduction, le philosophe Jean-Michel Salanskis remarquait que :

Il y a une propriété de l'herméneutique mathématique <fnref n="38" /> qui est à l'origine d'un fort contraste avec l'herméneutique philosophique (...) : c'est la propriété d'instabilité de la présupposition. (...) [À] l'intérieur d'une seule et même compréhension philosophique, il n'est pas possible d'inverser les relations de fondement, de dérivation, d'antériorité, qui sont toute la gloire et l'identité même de la compréhension d'une question. En revanche, la mathématique tolère que dans un même propos, au sein d'un même consensus dogmatique, s'inverse brutalement l'ordre dans la « série de la présentation » des notions, que le fondant devienne fondé et vice-versa. <fnref n="39" />

Cette idée met un coup d'arrêt évident à l'idéal d'un ordre strict et absolu dans la connaissance en soi et la démonstration. L'exemple le plus simple et le plus flagrant de ce phénomène est ce qui résulte de l'étude axiomatique des rapports de déductibilité. Ce que présente « l'axiomatisation » en effet, loin d'être l'ordre véritable enfin révélé de la déduction, est plutôt le caractère contingent de cet ordre. <fnref n="40" /> L'axiomatique, en ce sens, semblerait plutôt nous éloigner des préoccupations *philosophiques* de vérité et d'ordre démonstratif qu'elle ne nous en rapproche.

Cela était déjà apparent dans la pratique antique à propos du « postulat des parallèles », et le cas est loin d'être unique dans Euclide : on a la trace de propositions, par divers auteurs, de principes alternatifs qui selon eux simplifieraient ou « amélioreraient » l'ordre démonstratif. Il y a du choix possible dans l'ordre et le nombre des principes.

<footnote n="36">³⁶ Du fait du second théorème d'incomplétude de Gödel mettant un terme au « programme de Hilbert », ce que nous ne pouvons pas évoquer ici.</footnote>

<footnote n="37">³⁷ Sur l'ensemble de la querelle, voir à nouveau Jean LARGEULT, *Intuitionnisme...*, et surtout la synthèse didactique magistrale d'Hermann WEYL dans *Philosophy of Mathematics and Natural Science*, Princeton University Press, 1949, notamment le chapitre I en entier, ainsi que les sections 8 à 11 du chapitre II.</footnote>

<footnote n="38">³⁸ C'est-à-dire, dans la conception de l'auteur, la manière dont la mathématique entreprend de penser ses objets, dans une méditation commune sur des questions héritées de l'histoire.</footnote>

<footnote n="39">³⁹ Jean-Michel SALANSKIS, *L'herméneutique formelle*, Paris, Klincksieck, 2013 (2e édition), p. 16-17.</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰ Sur l'axiomatique, voir notamment Robert BLANCHÉ, *L'axiomatique*, Paris, PUF, 1955.</footnote>
Ce fait, vérifié dans les théories anciennes, n'est qu'aggravé dans les théories contemporaines, du fait même que l'on peut y étudier systématiquement toutes les options possibles dans l'ordre déductif. Considérons par exemple la théorie des ensembles, qui à l'issue de la querelle est fréquemment tenue par les philosophes comme le fondement et la garantie déductive des mathématiques dans leur entier. Elle est officiellement une « théorie axiomatique formelle du premier ordre », c'est-à-dire une théorie identifiée par une liste d'axiomes formels, parfaitement déterminés, et soumis à des règles de manipulation univoques. Mais, remarquablement, il n'est pas absolument clair de quelle théorie il s'agit. C'est-à-dire que la liste de ses axiomes, de ses principes fondateurs, est elle-même relativement flottante, contingente, laissée à la préférence des agents et très rarement explicitée en entier. D'abord, elle va dépendre de la logique sous-jacente dans laquelle on décide de la formuler, qui peut ou non, garantir d'avance que le « domaine » n'est pas vide, autrement dit qu'il « existe » un ensemble, et définir ou non la relation d'égalité – sinon, il faut que des axiomes s'en chargent. Chacun de ses axiomes admet toujours en outre une pluralité de formulations à peu près équivalentes, et dans une présentation de la théorie le choix parmi ces variantes est typiquement laissé au lecteur ou à la lectrice !

Tout cela signifie, autrement dit, que la question même de savoir *quelle est spécifiquement la théorie axiomatique formelle censée fonder les mathématiques est une mauvaise question.* Ce qui importe, dans le « fondement » ensembliste, est qu'on puisse démontrer un certain stock de théorèmes identifiables, et à cet égard tous les groupes de principes se valent du moment qu'ils permettent d'obtenir ce stock de théorèmes. On peut faire le choix de la « parcimonie » – avoir aussi peu d'axiomes que possible<fnref n="41" /> – ou le choix de la clarté conceptuelle, ou de ce qui permet une démonstration ressentie comme plus naturelle.

La question de savoir si un axiome est « indémontrable » devient, dans les mathématiques modernes, la question technique de la « minimalité » : le choix des axiomes est-il tel qu'ils sont tous « indépendants », c'est-à-dire qu'aucun ne peut être démontré à partir des autres ?<fnref n="42" /> La question qui ne se pose pas, en revanche, est celle de l'indémontrabilité *essentielle*. Dans la mesure où les principes sont réversibles avec leurs conclusions, ou se manifestent comme optionnels, on ne peut plus dire qu'ils *fondent* exactement les énoncés que l'on déduit d'eux. On peut simplement dire qu'ils sont *mis en position de fondement* dans tel ou tel système déductif. Cela ne veut pas dire, bien sûr, que mathématiciens et logiciennes n'aient jamais un avis très prononcé sur la primauté d'une proposition par rapport à une autre. C'est plutôt que la recherche du principe ne nous fait pas déboucher sur un sol, un roc absolu du savoir, mais sur une pluralité informelle.

## 6.2 Minimalité ou présuppositionalité ?

Nous pouvons illustrer ce point en prenant, à rebours, l'exemple des *Principia Mathematica* de Russell et Whitehead, peut-être le plus grand exemple d'un effort de stricte mise en ordre de ce qui est déductible selon l'ordre de la présupposition, pour atteindre le fond essentiel du savoir démontrable, compris par eux comme les « fondements logiques des mathématiques ». Or, ses auteurs reconnaissent eux-mêmes dès l'abord que l'ordre *inférentiel* ou déductif ne coïncide en fait pas avec l'ordre *évidentiel* ou probatoire. C'est-à-dire exactement que si l'on cherche un véritable fond du démontrable, on se rend compte que l'indémontrable n'est pas le *mieux connu*, et vice-versa. En sens inverse de la déduction à partir des principes, on a ce que Russell appelle une

<footnote n="41">⁴¹ Bien que techniquement *il y a toujours une infinité d'axiomes* dans la théorie des ensembles, parce que certains sont en fait des « schémas d'axiomes », soit des règles permettant de formuler un axiome vrai pour chacune des formules valides d'un certain genre qui sont en nombre infini.</footnote>

<footnote n="42">⁴² Les autres questions techniques pertinentes pour notre sujet sont celles de la « saturation » et la « complétude », voir pour cela Robert BLANCHÉ, op. cit.</footnote>
« induction » – en fait plutôt une « abduction » – des principes à partir de leurs conséquences. Cet auteur écrit en effet :

[La] meilleure raison plaidant pour une théorie sur les principes des mathématiques doit toujours être inductive, c'est-à-dire reposer dans le fait que la théorie en question nous permet de déduire les mathématiques ordinaires. En mathématiques, le plus grand degré d'évidence ne se trouve généralement pas tout à fait au début, mais à un certain point plus avancé ; dès lors les premières déductions, jusqu'à ce qu'elles atteignent ce point, donnent plutôt des raisons de croire les prémisses, du fait que des conséquences vraies en découlent, que des raisons de croire les conséquences parce qu'elles découlent des prémisses. <fnref n="43" />

Or, si cela est vrai, le sens même de « fondement » et la nature « principielle » des principes perdent de leur clarté et de leur évidence : en quoi le fondement fonde-t-il, s'il est fondé par ce qu'il peut fonder ?

On le constate encore à cela : dans les mêmes *Principia*, les auteurs expliquent que le « premier dessein » de leur entreprise est de « fournir l'analyse la plus poussée possible des idées dont elle traite et des procédés de démonstrations qu'elle utilise » ainsi que de « diminuer autant que faire se peut le nombre d'idées non définies et de propositions indémontrées qui lui servent de point de départ »<fnref n="44" />. En somme, à la fois l'analyse achevée des idées impliquées dans la pratique logique et mathématique, et la *minimalité* des principes ultimes. Or, il n'est pas clair que les deux buts, quoi qu'ils soient ici regroupés sous le même dessein, soient convergents ! C'est-à-dire qu'il n'est pas garanti que l'arrivée aux principes ultimes – s'ils existent – du point de vue de la *présupposition*, et de l'analyse, soit le même point d'arrivée que celui de la recherche d'une matrice *minimale* à partir de laquelle il est possible de déduire les résultats souhaités.

De fait, dans la seconde édition de l'œuvre, Russell accorde finalement sa préférence à la visée de *minimalité*, en adoptant un principe – élaboré par Jean Nicod – qui permet à lui seul de remplacer *tous* les principes élémentaires logiques (la non-contradiction et consorts) mais qui frappe – voire choque – par sa non-intuitivité. En voici une représentation symbolique – où « p|q » signifie à peu près : « la proposition p est incompatible avec la proposition q » :

$$ \{p | (q|r)} | [{t | (t|t)} | {(s|q) | ((p|s)|(p|s))}] $$

De ce principe, qui demande un certain effort pour être ne serait-ce que déchiffré, il ne saurait y avoir de sens à dire qu'il résulte de *l'analyse* de nos *présuppositions* logiques. Son choix résulte entièrement de l'élégance constructive, de l'ingéniosité ou du génie qu'il y a à trouver un principe unique capable de faire le travail de plusieurs. Il ne s'agit pas d'un principe que nous savons même sans savoir que nous le savons, et il n'est certainement pas mieux connu que la non-contradiction que l'on dérive de lui. Mais c'est un principe que nous pouvons *découvrir équivalent* aux principes logiques intuitifs, grâce à un calcul symbolique. Nous pourrions bien sûr le démontrer comme un théorème, en nous donnant ces mêmes principes intuitifs.

Au contraire, la direction simplement *analytique* nous conduirait sans doute sur un terrain où nous découvririons une *grande multiplicité* de principes, peut-être un terrain semblable à la « déduction naturelle » de Gentzen. Là, les principes, relativement nombreux, reflètent plus vraisemblablement des gestes réels élémentaires permettant nos déductions, des possibilités

<footnote n="43">⁴³ Bertrand RUSSELL et Alfred North WHITEHEAD, *Principia Mathematica*, Cambridge University Press, 1927 (2ᵉ éd.), “Preface”, p. v, nous traduisons.</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ *Idem*, « Introduction ». Repris dans Bertrand RUSSELL, *Écrits de logique philosophique*, Paris, PUF, « Épiméthée », p. 221, dont nous suivons la traduction par Jean-Michel Roy.</footnote>
théoriques que nous devons admettre valides « *si nous sommes en position de savoir quoi que ce soit* », au sens d'Aristote.

Dans la déduction naturelle, nous trouvons une série de principes d'introduction et d'élimination des formes logiques. De A, et de B, nous pouvons introduire « A et B » (introduction de la conjonction), et inversement (élimination de la conjonction). De A, ou de B, nous pouvons introduire « A ou B » (introduction de la disjonction). Si de A nous pouvons introduire C, et que de B nous pouvons introduire C, alors de « A ou B » nous pouvons introduire C (élimination de la disjonction). Et ainsi de suite.

Nous pourrions démontrer, dans le contexte formel approprié, certains de ces principes, ou leurs équivalents. Mais serait-il, du point de vue philosophique, *raisonnable* de les démontrer ?

## 7 Conclusion : informalité et principes d'inférences

Arrivant aux principes ultimes de la démonstration, nous voyons donc le large jeu qui est laissé entre les exigences que peut avoir la philosophie et les pouvoirs que la science nous offre. Si nous voulons maintenir une conception fortement déterminée du principe, il nous faudra la justifier par ailleurs, depuis les méthodes de la réflexion et de l'analyse philosophique. La science nous mènera aussi loin qu'elle peut, mais en dernière instance, sur les principes, nous y trouverons la mobilité, l'informalité, la contingence.

Le passage par la déduction naturelle à la fin de la dernière section, et son approche consistant en une pluralité de règles, nous ramène d'ailleurs en un sens à la dualité que nous avions relevée en introduction, et sur laquelle nous conclurons finalement, entre principe comme sol et point de départ absolu, et principe comme précepte toujours disponible et guide de l'inférence.

Car cette dualité trouve une forme d'illustration, ou peut-être une analogie, dans une dualité interne à la logique, entre « axiomes » et « règles d'inférences ». Les axiomes, dans un système formel, sont des propositions, les toutes premières *phrases* admises, celles à partir de quoi l'ordre du vrai démontré se déploie. Mais il est impossible de *mettre* l'ensemble des principes vrais *dans* le système sous la forme d'axiomes, car il faut aussi des principes qui permettent de *produire* le discours de la science sans lui *appartenir*. Parmi ces principes, on trouve les *règles d'inférence*, les règles qui indiquent quelles sont les inférences permises dans une démonstration, dont la plus célèbre et plus commune aujourd'hui est le « *modus ponens* » : la possibilité, quand « P » et « P implique Q » sont admises, d'admettre « Q ». « P implique Q » est ce que l'on appelle une « implication », l'énoncé du conditionnement de P par Q. Mais l'implication ne servirait à rien si nous ne pouvions nous en *servir* pour effectivement *conclure* ce qui est impliqué, pour faire des « inférences » d'une certaine sorte, et c'est cette possibilité qu'indique la règle d'inférence.

Sans des règles semblables, il nous serait impossible d'avancer à partir des axiomes. Et comme elles sont des règles, les comprendre consiste à *savoir agir* d'une certaine manière. C'est pourquoi il est impossible, en dernière instance, d'intégrer l'ensemble de ces règles *dans* un système formel. Car, notant une règle d'inférence sur le papier, on ne peut qu'en appeler à la compréhension implicite qu'a le destinataire de *ce qu'il est possible de faire* à partir de ce que nous avons noté, savoir-faire qui est encore une règle du même ordre que le principe. Ultimement, tout système formel doit reposer sur la maîtrise informelle partagée de ses règles, qu'il est bien possible *d'indiquer*, mais qu'il n'est pas possible *d'établir* formellement.<fnref n="45" />

Les règles d'inférence d'un système logique sont bien « au début » au sens d'Aristote : nous devons bien (au moins pour certaines d'entre elles) les connaître si nous sommes censés

<footnote n="45">⁴⁵ Ce qui est la leçon à tirer du « paradoxe de Lewis Carroll », voir l'annexe 2 en fin de chapitre.</footnote>
apprendre quoi que ce soit. Mais elles sont aussi comme des maximes, toujours disponibles, piliers constants de l'inférence, ce à quoi il fait appel pour avancer et consolider. Il se peut qu'il y ait en ce sens une continuité entre les principes informels guidant l'action, dont tout un chacun peut se prévaloir (« je vis selon le principe que... »), et les principes ultimes, fondamentaux, que peut rêver la philosophie ou la logique philosophique (« A = A », « tout a une raison », etc.). Car tous les principes, y compris logiques, peuvent apparaître comme des maximes et guides de notre pratique commune du raisonnement.

## Annexe 1 : Le principe du tiers-exclu et le constructivisme

Le tiers-exclu peut être formulé de multiples manières et prendre de nombreuses formes qui ne sont pas équivalentes à tous points de vue. Une de ses versions est le parfois nommé « principe de bivalence », qui énonce que toute proposition, ou phrase, bien formée, possède une de ces deux « valeurs de vérité » : « vraie », ou « fausse ». Ou, autrement dit, qu'ou bien une proposition est vraie, ou bien elle est fausse. Mais les versions suivantes sont également possibles : ou bien une proposition est vraie, ou bien sa négation est vraie. Ou, sans faire intervenir la notion de vérité : ou bien P, ou bien non P ; un des deux est un fait, il est impossible qu'aucun des deux ne soit un fait. Ou bien, plus spécifiquement, pour toute propriété et tout sujet, ou bien le sujet en question a la propriété, ou bien il n'a pas la propriété, un des deux est le cas. Ou encore, si je montre que non-P n'est pas le cas, n'est pas un fait, je peux en inférer P. Ou bien : la proposition « P ou non-P » est toujours vraie, pour toute proposition P bien formée ; ou encore, sous forme d'implication : la proposition « non-non-P implique P » est toujours vraie, pour toute proposition P.<fnref n="46" />

Le problème philosophique que peut poser le principe du tiers-exclu se comprend intuitivement à partir de l'idée de complétude d'un domaine ontologique. Si un domaine est complet – entièrement « présent », entièrement déterminé – les objets de ce domaine ou bien ont telle ou telle propriété, ou bien ne l'ont pas. Il y a une vérité, même si elle est factuellement inconnaisable, à ce propos. Mais il y a, même intuitivement, des domaines sur lesquels nous parlons et tenons des affirmations, qui n'ont pas ce caractère de complétude. Les mondes de fiction sont de cet ordre : est-ce que Sherlock Holmes a un cousin au troisième degré nommé Gérald ? Ce genre de propriété, apparemment parfaitement bien déterminée, mais qui n'est soutenue ni explicitement ni implicitement par le texte de la fiction, ne donne pas lieu à réponse déterminée, il n'y a pas de faits négatifs ni positifs à ce propos.

Remarquablement, les théories axiomatiques formelles sont aussi des objets de discours exhibant des phénomènes de ce genre. Si l'on considère que le domaine ontologique décrit par une théorie axiomatique formelle, le genre de monde manifesté à l'existence par elle, est donné seulement par cette théorie, et que les vérités sur ce domaine sont celles qui sont déductibles des axiomes, alors il se trouve que certains énoncés de la théorie sur les objets du domaine doivent être jugés « indécidables », c'est-à-dire, en un sens, ni vrais ni faux.<fnref n="47" /> Un exemple crucial d'énoncé de ce genre est ce que l'on appelle l'« hypothèse du continu » dans la théorie axiomatique formelle ZFC ; notons cette proposition H (son contenu nous importe peu ici). Ni H ni ~H ne sont vrais du domaine de la théorie, c'est-à-dire déterminables à partir des axiomes.

<footnote n="46">⁴⁶ Si le principe de *non-contradiction* énonce que de P, on peut conclure que non-P est exclu, soit, sous la forme de l'implication, « P → ~~P », le tiers-exclu énonce la réciproque : que de l'exclusion de l'exclusion de P, il est possible d'inférer P, soit « ~~P → P ».</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷ Un fait prouvé en général par Gödel, qui concerne plus précisément les théories axiomatiques assez riches pour représenter l'arithmétique.</footnote>
Notons que, remarquablement, on peut en revanche déduire, dans la théorie, la proposition « H ou ~H » elle-même à partir des axiomes. En effet, le tiers-exclu est admis comme principe dans la théorie ZFC, en sorte que « P ou ~P » est un théorème de la théorie pour toute proposition P bien formée, en dépit du fait que le tiers-exclu n'est pas, en fait, apparemment applicable au monde décrit par la théorie. On comprend cette apparent paradoxe en se souvenant que « dans » le monde de Sherlock Holmes aussi, le tiers-exclu est vrai, alors qu'il n'est pas non plus vrai à son propos. Le monde de Sherlock Holmes est en effet, dans le cadre de la fiction, suffisamment semblable au nôtre pour que, ou bien les individus y aient un cousin nommé Gérald, ou bien non, alors même qu'il ne semble pas y avoir de fait, ni positif ni négatif, à cet égard, pour Sherlock Holmes.

Un troisième exemple, que nous tirons d'Aristote, concerne les faits contingents futurs, et notamment (mais pas seulement) les faits sur lesquels nous avons un pouvoir d'action, comme par exemple le fait qu'« il y aura (ou non) demain une bataille navale » du point de vue de ceux qui débattent du fait de mener ou non une bataille le lendemain. Aristote semble avoir soutenu que, là encore, la disjonction « *Il y aura une bataille navale ou il n'y aura pas de bataille navale* » était toujours vraie, de même que « H ou ~H » l'est toujours dans ZFC, mais que nous ne pouvions néanmoins pas en conclure que *l'un des deux* membres de la disjonction devait aussi être vrai *présentement*. En sorte qu'il n'est ni vrai qu'il y aura une bataille navale, ni qu'il n'y en aura pas. Pour Aristote, en effet, le futur n'est justement pas un domaine ontologique complet, et il n'y a pas encore de *fait* sur ce qui est contingent et n'est pas encore déterminé mais demeure, par exemple, en notre pouvoir.

Nous pouvons alors comprendre pourquoi la position constructiviste, sur la question des fondements des mathématiques, a pu conduire à un rejet du principe du tiers-exclu pour le domaine mathématique en général. Pour le point de vue constructiviste, en effet, tant l'affirmation que la négation d'une proposition mathématique sont tenues comme ayant pour sens la possibilité d'une certaine construction. Du fait même, donc, de ce qu'est la mathématique pour cette tradition philosophique, une proposition positive annonce la possibilité d'une construction établissant un résultat, et sa négation annonce la possibilité d'une construction qui, partant de la proposition positive, arrive à une contradiction.

Si cela est admis, nous nous trouvons, comme pour la fiction ou pour la théorie formelle, dans un cas où tant l'affirmation que la négation supposent une forme de « support indépendant » : un support textuel pour la fiction, une preuve formelle pour le formalisme, et une construction pour le constructivisme. Mais nous ne pouvons alors pas en général supposer que, ou bien il y a une construction pour l'affirmative, ou bien il y en a une pour la négative. Car il se peut, pour autant que nous le sachions, que ni l'une ni l'autre construction ne soit possible, et ainsi que ni le positif ni le négatif ne soient des faits.

## Annexe 2 : Le paradoxe de Lewis Carroll, Sextus Empiricus, et la nature des principes d'inférence

Parmi les principes fondamentaux d'une science démonstrative, quelle qu'elle soit, on doit certes faire figurer les axiomes et définitions, qui sont les énoncés initiaux de la science, les vérités premières, mais nécessairement aussi des principes qui permettent de *produire* le discours de la science sans lui *appartenir*, et que nous ne pouvons pas « poser » au début de nos démonstrations de la même manière. Parmi ces principes, figurent ce que l'on peut appeler les « principes d'inférence ». Que ces principes ne sont pas de même nature que les propositions premières
d'une science, c'est ce dont doit nous convaincre l'ingénieux « paradoxe de Lewis Carroll<fnref n="48" /> », comme nous l'appellerons ici, un apparent défi sceptique à la possibilité même de raisonner, qui sert en même temps de leçon sur la nature de « l'inférence » et de tous les principes inférentiels.

Redisons ce qu'est l'inférence. Il s'agit du geste logique élémentaire qui nous conduit à affirmer un énoncé, une vérité, à partir d'autres énoncés ou vérités. Je vois que les chaussures de ma compagne sont dans l'entrée, j'en *infère*, sur le fond de mes connaissances générales sur le cours du monde, que ma compagne est rentrée. Les « inférences » en ce sens large forment néanmoins en général un ensemble hétéroclite, elles peuvent être aussi bien rigoureuses que très incertaines ; la logique comme discipline s'intéresse spécifiquement aux inférences dont la *validité* est *nécessaire*, c'est-à-dire telles que, si les énoncés antécédents sont vrais, l'énoncé inféré l'est aussi nécessairement. Et elle va, entre autres, chercher à déterminer les « principes d'inférences », soit les lois générales régissant ces inférences nécessairement valides.

La première « théorie logique » en ce sens, dans notre histoire, la *syllogistique aristotélicienne*, a par exemple un principe d'inférence favori et privilégié : celui qui autorise, quand on a deux énoncés « d'affirmation universelle » qui partagent un « moyen terme », d'affirmer universellement les « extrémités ». C'est-à-dire que si on a les affirmations universelles :

Tous les A sont B (Tous les moutons sont des mammifères)

et

Tous les B sont C, (Tous les mammifères ont un développement placentaire)

où B est le « moyen terme » entre les « extrémités » A et C, alors on peut affirmer :

Tous les A sont C. (Tous les moutons ont un développement placentaire<fnref n="49" />)

Un autre principe d'inférence fameux permet d'inférer une vérité sur un *individu*, à partir d'une affirmation universelle sur une *classe* et de la reconnaissance de *l'appartenance* de l'individu à la classe concernée. Soit :

Tous les humains peuvent être tués (affirmation universelle sur la classe des humains).

Or, César est humain (appartenance d'un individu à la classe).

Donc, César peut être tué (affirmation de la propriété pour l'individu).

Et l'on pourrait continuer ainsi longtemps d'énumérer les nombreux principes inférentiels que les diverses théories logiques ont relevés.

Un principe particulièrement fondamental dans l'histoire de la logique, cependant, est ce qu'on appelle usuellement le « *modus ponens* ». Ce principe permet d'inférer une vérité à partir d'une « proposition conditionnelle », ou de ce qu'on appelle une « implication » – soit un énoncé de forme « Si P, alors Q », par exemple, « Si César est humain, alors il peut être tué ».

On a ainsi :

<footnote n="48">⁴⁸ Voir Lewis Carroll, « Ce que se dirent Achille et la tortue », dans *Logique sans peine*, traduction de Jean Gattégno et Ernest Coumet, Hermann, 1966, p. 241-246. L'auteur d'Alice au pays des merveilles, avait aussi pour profession, sous son nom de naissance Charles Dodgson, d'être professeur de mathématique et logique. L'article contenant ce paradoxe, publié sous son nom littéraire, est fermement à l'intersection de ses deux domaines d'activité.</footnote>

<footnote n="49">⁴⁹ On dit traditionnellement qu'un énoncé de cette forme est de type « Barbara », une abréviation qui indique par la succession des voyelles a-a-a que le raisonnement procède à partir de deux affirmatives universelles vers une affirmative universelle. Une négative universelle, de la forme « aucun A n'est B » est représentée par la lettre « e », et une autre forme d'inférence valide, dite « Celarent », représente la forme « Aucun B n'est C, Tout A est B, donc aucun A n'est C ».</footnote>
Si César est humain, alors il peut être tué (proposition conditionnelle ou implication).

Or, César est humain (affirmation de l'antécédent).

Donc, il peut être tué<sup>50</sup> (conclusion du conséquent).

Si P, alors Q.

Or P.

Donc Q.

La légitimité du *modus ponens* est évidente. Si quelqu'un en doutait, nous aurions envie de dire pour la justifier qu'elle est *contenue implicitement* dans la *signification* même de l'implication, de la proposition conditionnelle, de même que le principe de non-contradiction, avons-nous soutenu avec Aristote, est impliqué par le sens même de la négation, quand nous avons une attitude propositionnelle.

C'est-à-dire que quand nous disons « Si P, alors Q », ce que nous voulons dire est que la vérité de P entraîne celle de Q, que le second peut être inféré du premier. C'est cela pour nous le sens du « si, alors » : la possibilité d'une inférence. Mais ce fait même nous indique quelque chose d'important sur l'implication : qu'elle semble pouvoir représenter *en général* la légitimité d'une certaine inférence. Ainsi, parce que je peux inférer (de façon non-logique mais du fait de ma connaissance ordinaire) que ma compagne est là, parce que ses chaussures sont dans l'entrée, je peux aussi affirmer *l'implication* correspondant à cette inférence : « **Si** les chaussures de ma compagne sont là, **c'est qu'elle** est rentrée », c'est-à-dire justement que j'affirme que, de l'antécédent, je peux légitimement inférer le conséquent. Il semble y avoir une forme de *conversion* possible entre l'affirmation d'une implication, et la reconnaissance qu'une certaine inférence (logique ou non, « formelle » ou « contentielle ») est légitime.

Tout ceci permet à Lewis Carroll de soulever l'objection sceptique suivante. Lorsque nous tirons une conclusion, quelle qu'elle soit, dans une science déductive, à partir des définitions, axiomes et postulats et des propositions auparavant démontrées, nous faisons en fait toujours *implicitement* appel à un *autre principe*, que nous n'avons pas énoncé explicitement.

L'auteur prend lui-même un exemple mathématique, mais nous pouvons reprendre notre syllogisme aristotélicien. Lorsque nous concluons « Tous les A sont C » à partir de « Tous les A sont B » et « Tous les B sont C », nous faisons, comme nous l'avons dit, implicitement appel au *principe inférentiel* selon lequel si tous les A sont B, et si tous les B sont C, alors nous pouvons conclure ou inférer que tous les A sont C. En effet, nous reconnaissions par hypothèse cette inférence comme légitime. Or, comme nous venons de le suggérer, c'est précisément ce fait que nous exprimons par la forme de l'implication : si nous avons accepté *l'inférence*, c'est que nous reconnaissions, en effet, la vérité de *l'implication* suivante « **Si** (tous les A sont B et tous les B sont C), **alors** tous les A sont C ».

Mais la rigueur logique dans les sciences démonstratives exige, apparemment, que nous énoncions *explicitement tous* les principes dont nous faisons usage. Nous devons donc mettre ce principe *sur le papier*, à la suite des autres, pour clarifier notre raisonnement. Nous avons donc :

<footnote n="50"><sup>50</sup> Dans le discours ordinaire, les formes du *modus ponens* sont généralement pour ainsi dire abrégées, sous la forme, par exemple, de l'opérateur « puisque », qui permet d'affirmer directement la vérité du conséquent en vertu de la vérité de l'antécédent : « *Puisque* César est mortel, il peut être tué ».</footnote>
*Si* tous les A sont B et tous les B sont C, *alors* tous les A sont C.

Or, tous les A sont B, et tous les B sont C.

D'où nous pouvons conclure enfin, cette fois au moyen du *modus ponens*, que :

Donc, tous les A sont C.

Néanmoins, on se rend compte tout de suite que l'objection sceptique est *absolument générale*, et s'applique à toutes les déductions quelles qu'elles soient, y compris celle-ci. Car il y a encore un principe implicite auquel nous faisons appel, et que nous n'avons pas énoncé : le fait que cette nouvelle *inférence* est elle-même légitime ! Ce qui donne, sous la forme de *l'implication* : « *Si* [(tous les A sont B ; et tous les B sont C) ; et, en outre, (si tous les A sont B et tous les B sont C, alors tous les A sont C)] ; *alors*, tous les A sont C ».

Et nous devons en toute rigueur ajouter cette *nouvelle* implication à notre liste, pour justifier notre déduction du fait que tous les A sont C. Mais nous devrons alors reconnaître à nouveau que nous avons implicitement admis que cette *nouvelle* liste de prémisses justifiait la conclusion, et ainsi de suite. En sorte que nous devrons préciser à l'infini nos principes et ne pourrons jamais conclure quoi que ce soit légitimement. Si l'objection est tout à fait générale, c'est pour la raison suivante : le fait que nous puissions *convertir* nos inférences en implications entraîne le fait que toute inférence peut être ainsi transformée, par l'application de l'opération maligne de Lewis Carroll, en une application du *modus ponens*.

Remarquablement, le philosophe sceptique antique Sextus Empiricus a pu pour des raisons semblables faire l'objection inverse (que nous exprimons de manière légèrement anachronique<fnref n="51" />) : le *modus ponens*, nous dit-il, n'est pas un vrai principe élémentaire de démonstration, mais il est toujours « redondant ». En effet, dans toute situation, hypothétique, où j'ai admis *l'implication* « Si A, alors B », je peux par là même *inférer directement* B à partir de A, sans avoir à passer par l'énoncé de l'implication et le *modus ponens*. En effet, nous l'avions dit, c'est là le sens que nous donnons à cette implication.

Si je peux faire

Si P, alors Q.

Or P.

Donc Q.

C'est que j'ai reconnu que « Si P, alors Q » était vrai. Mais cela revient à dire que l'inférence particulière suivante m'est directement accessible :

P.

Donc Q.

Sextus tente de montrer semblablement que tout prétendu *mode élémentaire d'inférence* est tel que sa première prémisse (celle qu'on appelle en général sa « majeure ») équivaut au fait que je peux inférer *directement* la conclusion du raisonnement à partir de la seconde prémisse (celle qu'on appelle la « mineure »), et en ce sens *tout mode d'inférence soi-disant élémentaire* est « redondant ».

Par exemple, en admettant, pour un certain A et un certain B (comme « moutons » et « mammifères ») que « Tous les A sont B », le sens même de cette proposition, suggère Sextus, est

<footnote n="51">⁵¹ Voir *Esquisses pyrrhoniennes*, II, 157-167.</footnote>
le fait que tout ce qui vaut universellement pour les B vaut ipso facto pour n'importe quel A, et ainsi je peux inférer directement « Tous les A sont C » à partir de « tous les B sont C », sans passer par une forme syllogistique.

Que faire de ces ensorcellements ? Comme tout défi sceptique, nous devons en tirer une leçon sur notre activité de savoir. <fnref n="52" /> Ce que nous devons en conclure, c'est qu'il nous faut considérer l'inférence comme un « geste » logique fondamental, irréductible à des relations logiques que nous pourrions dire et exprimer. Et ainsi, nous ne pouvons pas le prescrire « formellement », au sens où nous en inscririons les règles sur le papier : tel est le point que soulève Lewis Carroll dans son apologue : si nous écrivons la règle sur le papier, la faisant passer sur le même plan que les axiomes et théorèmes, l'objection sceptique revient. Il nous faut admettre que l'activité logique est réglée par des *principes* d'inférence qui renvoient à des gestes devant ultimement être implicitement maîtrisés. Nous ne pouvons pas les poser comme nous posons le reste des thèses initiales de la théorie. Cela ne veut pas dire, bien sûr, qu'une fois que cette maîtrise est considérée comme acquise, nous ne pouvons pas *indiquer* quels modes d'inférence nous allons employer ou autoriser.

La leçon est d'ailleurs plus générale : la maîtrise de toute science suppose en général de comprendre comment marche le langage qu'elle utilise (d'en maîtriser les principes), ce qu'il est impossible de *fixer* dans le langage de la science en question, et, ultimement, dans un quelconque langage, puisqu'il faut que cela soit admis pour être entendu. A l'inverse, le fait que dans chaque instance particulière d'application d'un mode d'inférence, nous sommes par hypothèse en position d'inférer directement la conclusion de la mineure, ne veut pas dire que ce faisant nous n'obéissons pas à un geste général de maîtrise que nous sommes capables de connaître et d'expliciter, qui est manifesté dans le schème du mode d'inférence.

## Travaux cités

ARISTOTE, *Métaphysique*, traduit par Christian Rutten et Annick Stevens dans *Œuvres : éthiques, politique, rhétorique, poétique, métaphysique*, Paris, Gallimard, « Bibliothèque de la Pléiade », 2014.

ARISTOTE, *Seconds Analytiques*, traduit par Pierre Pellegrin, Paris, GF Flammarion, 2005.

ARNAULD, Antoine et NICOLE, Pierre, *La Logique ou l'art de penser*, Paris, Tel Gallimard, 1992.

BLANCHÉ, Robert, *L'axiomatique*, Paris, PUF, 1955.

EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *Les Éléments*, Vol. 1, traduit par Bernard Vitrac, Paris, PUF, « Bibliothèque d'histoire des sciences », 1990.

LARGEAULT, Jean (éd.), *Intuitionnisme et théorie de la démonstration*, Paris, Vrin, 1993.

PASCAL, Blaise, *De l'esprit géométrique*, Paris, GF Flammarion, 1993.

RUSSELL, Bertrand, *Écrits de logique philosophique*, traduit par Jean-Michel Roy, Paris, PUF, « Épiméthée », 1989.

WOLFF, Francis, « Le principe de la *Métaphysique* d'Aristote et le principe de la métaphysique de Descartes », dans *Revue Internationale de Philosophie*, Vol. 51, numéro 201 (3), septembre 1997, p. 417-443.

<footnote n="52">⁵² Lewis Carroll lui-même nous laisse devant l'abîme du paradoxe et n'en donne aucune explication, analyse ou commentaire.</footnote>