# Électricité- Magnétostatique

Najim Mansour

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Najim Mansour. Électricité- Magnétostatique. DEUG. Électricité, Faculté des sciences et techniques, Errachidia, Maroc. 2025. hal-05200748v2

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Submitted on 6 Oct 2025

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# Électricité- Magnétostatique

## Cours & Travaux Dirigés

Pr. Najim MANSOUR

Maître de conférence habilité

Equipe de Physique Moderne, Rayonnement et Applications (PMRA)

Laboratoire des Systèmes Intelligents Matériaux et Energie Durables (SIMED)

Département des sciences de l'ingénieur

Faculté des Sciences et Technique-Errachidia

Université Moulay Ismail

2025, Najim MANSOUR

Tous droits réservés.

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Table des matières

<table><tr><td>1 Introduction</td><td>2</td></tr><tr><td>2 Forces magnétiques</td><td>2</td></tr><tr><td>2.1 Force magnétique agissante sur une charge en mouvement</td><td>2</td></tr><tr><td>2.2 Force magnétique agissante sur un conducteur : Loi de Laplace</td><td>3</td></tr><tr><td>3 Champ d'induction magnétique crée par les courants : Loi de Biot-Savart</td><td>3</td></tr><tr><td>4 Théorème d'Ampère</td><td>5</td></tr><tr><td>4.1 Calculs de champ B à partir de théorème d'Ampère (voir les exercices 4 et 5)</td><td>6</td></tr><tr><td>4.1.1 Plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courant</td><td>6</td></tr><tr><td>4.2 forme intégrale du théorème d'Ampère (voir l'exercice 4) :</td><td>6</td></tr><tr><td>5 Flux Magnétique et Induction</td><td>7</td></tr><tr><td>5.1 Flux Magnétique</td><td>7</td></tr><tr><td>5.2 Inductance Propre</td><td>7</td></tr><tr><td>5.3 Inductance Mutuelle</td><td>7</td></tr><tr><td>5.3.1 Définition</td><td>7</td></tr><tr><td>6 Équations Locales de la Magnétostatique</td><td>8</td></tr><tr><td>6.1 Rappel sur les opérateurs différentiels</td><td>8</td></tr><tr><td>6.2 Équations Locales de la Magnétostatique</td><td>12</td></tr><tr><td>6.3 Loi de Gauss pour le champ magnétique</td><td>12</td></tr><tr><td>6.4 Loi d'Ampère (locale)</td><td>13</td></tr></table>

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# 1 Introduction

La magnétostatique étudie les champs magnétiques créés par des courants stationnaires.

# 2 Forces magnétiques

## 2.1 Force magnétique agissante sur une charge en mouvement

Considérons un ensemble de particules de charge $q_i$ appelées charges agissantes, supposons que ces charges sont en mouvement. Plaçons en un point P une charge d'essai ponctuelle $q$ au repos, cette charge est soumise à une force proportionnelle à $q$ que nous appellerons force électrique et que nous écrivons sous la forme :

$$ \vec{F}_e = q\vec{E} \qquad (1) $$

— $\vec{F}_e$ La force électrique

— $\vec{E}$ : Le champ électrique crée par des charges qui sont en mouvement et qui est une généralisation du champ électrostatique crée par les charges qui sont essentiellement immobiles. Le champ électrique est en général fonction du temps.

Maintenant supposons que la charge d'essai ponctuelle placée en $p$ est animée à l'instant $t$ d'une vitesse $\vec{v}$.

Cette charge est encore soumise à la force électrique $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ($\vec{F}_e$ ne dépond pas du fait que $q$ soit en mouvement ou au repos). Lorsque la charge d'essai ponctuelle $q$ est animée d'une vitesse $\vec{v}$ elle est sollicitée par une force supplémentaire appelée " force magnétique " que nous la noterons $\vec{F}_m$. Nous associons à cette force magnétique le champ d'induction magnétique $\vec{B}$. Donc la relation entre $\vec{F}_m$ et $\vec{B}$ est :

$$ \vec{F}_m = q\vec{v} \wedge \vec{B} \qquad (2) $$

Donc la force totale $\vec{F}$ qui s'exerce sur une charge $q$ en mouvement est :

$$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) \qquad \text{C'est la formule de Lorentz.} \qquad (3) $$

— **Remarques :**

— Si la charge d'essai ponctuelle $q$ est au repos alors : $\vec{F}_m = \vec{0}$, car $\vec{v} = \vec{0}$, donc $\vec{F} = \vec{F}_e = q\vec{E}$.

— Si les charges agissantes sont au repos donc pas de création de champs d'induction magnétique $\vec{B} = \vec{0}$, d'où $\vec{F}_m = \vec{0}$, alors $\vec{F} = \vec{F}_e = q\vec{E}$.

— Si $\vec{v}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires donc nullité du produit vectoriel $\vec{v} \wedge \vec{B}$ d'où $\vec{F}$, alors $\vec{F} = \vec{F}_e = q\vec{E}$.

— Si $q = 0 \Rightarrow \vec{F}_e = 0$ et $\vec{F}_m$. Alors $\vec{F}_m$. La force magnétique n'agit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur traversé par un courant

— La direction de $\vec{F}_m$ est perpendiculaire au plan formé par $\vec{v}$ et $\vec{B}$. Son sens est tel que, dans le cas d'une charge positive, les vecteurs $\vec{v}, \vec{B}$ et $\vec{F}_m$ forment un trièdre direct (règle de la main droite). Lorsque la charge est négative la force change de sens.

— On utilisera la règle du tire-bouchon où la règle de la main droite pour trouver la direction de $\vec{F}_m$

— dans le cas des courants continus $q\vec{E}$ sera négligeable.

— Dans le système des unités international l'unité du champ d'induction magnétique est le Tesla, symbole T.

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## 2.2 Force magnétique agissante sur un conducteur : Loi de Laplace

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Considérons un élément de longueur $dl$ de section $ds$ traversé par un courant d'intensité $I$ constitué par des particules de charges $q$ animée d'une vitesse uniforme $\vec{v}$.

Soit $\vec{B}$ un champ d'induction magnétique extérieur supposé uniforme en tout point de l'élément $dl$. Chaque particule de l'élément $dl$ est soumise à une force magnétique $\vec{F}_m = q\vec{V} \wedge \vec{B}$.

(Car les particules de charge $q$ sont en mouvement). Alors la force magnétique totale $d\vec{F}$ qui s'exerce sur l'élément $dl$ est :

$$d\vec{F} = \Sigma(q\vec{V} \wedge \vec{B}) = (\Sigma q)(\vec{E} \wedge \vec{B})$$

($\Sigma q$) : La charge mobile totale qui se trouve dans l'élément considéré ($dl$).

- Soit $\rho_m$ la densité de charge mobile, donc on a $\Sigma q = \rho_m dsdl$, alors : $d\vec{F} = (\rho_m dsdl)\vec{v} \wedge \vec{B}$, avec $\vec{J} = \rho_m \vec{v}$ est la densité de courant

- Soit le vecteur $dl$ élément de courant est orienté dans le même sens du courant ($dl$ et $\vec{J}$ étant parallèles). Donc on peut écrire : $d\vec{F} = ds.Jdl \wedge \vec{B}$

- Soit $I$ l'intenisté de courant. On sait que $I = Jds$. Alors on peut écrire encore :

$$d\vec{F} = I d\vec{l} \wedge \vec{B}. \quad \text{C'est la loi de Laplace}$$

**Remarque :**

- $d\vec{F}$ est perpendiculaire à la fois à $dl$ et $\vec{B}$.

- Le module de $d\vec{F}$ est $dF = I dl B \sin \alpha$

- Le sens de $d\vec{F}$ est donné par la règle de la main droite

**Résumé :**

Sur chaque élément de circuit filiforme agit une force élémentaire de Laplace définit par :

$$d\vec{F} = I d\vec{l} \wedge \vec{B}. \quad \text{Loi de Laplace}$$

L'ensemble de ces forces équivaut à une force unique $\vec{F} = \int d\vec{F}$.

## 3 Champ d'induction magnétique crée par les courants : Loi de Biot-Savart

Soit un élément de courant $dl$ d'origine $O$ et traversé par une intensité de courant $I$.

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Le champ magnétique créé par un élément de courant est donné par :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I d\vec{l} \wedge \vec{r}}{4\pi r^3} = \frac{\mu_0 I d\vec{l} \wedge \vec{u}}{4\pi r^2} \quad (4)$$

La loi de Biot et Savart est une loi élémentaire qui permet de passer de l'élément de courant $d\vec{l}$ au champ élémentaire $d\vec{B}$. L'élément de courant $d\vec{l}$ n'est pas une entité physique isolable, donc $d\vec{B}$ n'est pas au sens strict une loi physique ⇒ c'est un intermédiaire de calcul.

Le module de $d\vec{B}$ est $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} dl \sin(\alpha)$, $\alpha$: l'angle de $\vec{u}$ avec $d\vec{l}$

L'expression du champ élémentaire $d\vec{B}$ créé par un élément de courant est :

— Dans le cas d'une distribution linéique (filiforme) de courant $Id\vec{l}$ :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I d\vec{l} \wedge P\vec{M}}{4\pi P\vec{M}^3}$$

— Dans le cas d'une distribution surfacique de courant $Jds$ :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 Jds \wedge P\vec{M}}{4\pi PM^3}$$

— Dans le cas d'une distribution volumique de courant $Jd\tau$ :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 J d\tau \wedge P\vec{M}}{4\pi PM^3}$$

## Direction du champ magnétique

Fil rectiligne : (Règle de la main droite)

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Spire : (Règle du tournevis)

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◎ Vecteur dirigé vers l'avant

⊗ Vecteur dirigé vers l'arrière

Comment appliquer la loi de Biot-Savart pour calculer le champ d induction magnétique ?

Voir les exercices 1 et 3

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# 4 Théorème d'Ampère

L'intégrale de ligne du champ magnétique autour d'un contour fermé est proportionnelle au courant traversant :

$$ \oint_{C(\text{contour orienté})} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \Sigma I_{(\text{algébrique enlacé})} \quad (5) $$

- $\oint_{C(\text{contour orienté})}$ : Le contour imaginaire choisi doit être fermé (il délimite une surface).

- $\vec{B}$ : est le champ créé par tous les courants (enlacés ou non).

- $dl$ : définit le sens de parcours du contour (orientation arbitraire).

- Le sens de parcours choisi définit un vecteur $\vec{n}$ normal à la surface délimitée par le contour (main droite).

- Si le contour est une ligne de champ alors $\vec{B}$ et $dl$ sont colinéaires.

- $I_{(\text{algébrique enlacé})}$ Représenté la somme algébrique des courants enlacés par le contour. Si les courants enlacés sont orientés dans le même sens que $\vec{n}$, on les compte positivement (et négativement dans le sens contraire).

Exemples :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$ I_{\text{enlacé}} = -3I \quad \text{par } \Gamma $$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

$$ I_{\text{enlacé}} = 0 \quad \text{par } \Gamma $$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

$$ I_{\text{enlacé}} = I_1 - 3I_2 - I_3 \quad \text{par } \Gamma $$

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

$$ I_{\text{enlacé}} = -I_1 + 3I_2 + I_3 \quad \text{par } \Gamma' $$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

$I_4$ N'est pas à comptée dans $I_{enlacé} (I_{enlacé})$ car $\Gamma (\Gamma')$ n'enlace pas $I_4$ par $\Gamma$ par $\Gamma'$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

## 4.1 Calculs de champ B à partir de théorème d'Ampère (voir les exercices 4 et 5)

- Chercher les invariances et symétries de la distribution de courant.

- On fixe un conteur fermé d'Ampère.

- Théorème d'Ampère :

$$ \oint_{C_{(\text{contour orienté})}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \Sigma I_{(\text{algébrique enlacé})} \quad (6) $$

### 4.1.1 Plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courant

Définition des plans de symétries et d'antisymétries des courants :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>$\pi$: Plan de symétrie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>$\pi^*$: Plan d'antisymétrie</figcaption></figure>

- En un point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

- En un point d'un plan d'antisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan.

- Un plan de symétrie des courants est un plan d'antisymétrie du champ magnétique.

- Un plan d'antisymétrie des courants est un plan de symétrie du champ magnétique.

- Les lignes de champ magnétique sont fermées. Elles tourbillonnent autour des sources (les courants).

## 4.2 forme intégrale du théorème d'Ampère (voir l'exercice 4) :

S'il existe des courants volumiques enlacés par le contour, l'intensité "enlacée" correspondante s'écrit :

$$ I_{\text{algébrique enlacé}} = \iint \vec{J} d\vec{s} $$

Donc La forme intégrale du théorème d'Ampère s'écrit :

$$ \oint_{c_{(\text{contour orienté})}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \iint_0 \vec{J} d\vec{s} \quad \text{à parfaitement connaître} $$

$S$: surface s'appuyant sur $c_{(\text{contour orienté})}$.
<figure><img src="image_25.png" /></figure>

# 5 Flux Magnétique et Induction

## 5.1 Flux Magnétique

Le flux magnétique à travers une surface S est donné par :

$$ \Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \qquad (7) $$

Il représente la quantité de champ magnétique traversant une surface donnée.

## 5.2 Inductance Propre

L'inductance est la propriété d'un circuit à s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Elle est définie par :

$$ \Phi_B = LI \qquad (8) $$

Le coefficient L est appelé inductance propre et dépend de la géométrie du circuit.

## 5.3 Inductance Mutuelle

### 5.3.1 Définition

L'induction mutuelle est un coefficient permettant de décrire l'influence d'un circuit magnétique sur un autre. Par exemple on considère deux circuits $C_1$ et $C_2$ parcourues par des courants $I_1$ et $I_2$. Le courant $I_1$ produit dans tout l'espace un champ magnétique $B_1$. Le flux généré par le champ magnétique $B_1$ à travers $C_2$ est noté $\phi_{12}$.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$$ \Phi_{12} = \iint_{S_2} \vec{B}_1 \cdot d\vec{S}_2 = \iint_{S_2} \text{rot} \vec{A}_1 \cdot d\vec{S}_2 = \oint_{C_2} \vec{A}_1 \cdot d\vec{l}_2 \quad (\text{théorème de Stokes}) \qquad (9) $$

L'expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique $C_1$ parcouru par un courant $I_1$ s'écrit :

$$ \vec{A}_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} I_1 \frac{d\vec{l}_1}{r_{12}} \qquad (10) $$

L'expression finale du flux est :

$$ \Phi_{12} = I_1 \cdot \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_2} \oint_{C_1} \frac{d\vec{l}_1 d\vec{l}_2}{r_{12}} \right) = M_{12} I_1 \qquad (11) $$

que l'on note : $\phi_{12} = L_{12} \cdot I_1$ avec $M_{12}$ l'induction mutuelle entre le circuit $C_1$ et le circuit $C_2$.

$$ M_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_2} \oint_{C_1} \frac{d\vec{l}_1 d\vec{l}_2}{r_{12}} \qquad (12) $$

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
<figure><img src="image_28.png" /></figure>

On remarque que $M_{12}$ est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d'où :

$$ \Phi_{21} = M_{21}I_2 = M_{12}I_2 \qquad (13) $$

D'après 12, M est strictement positif si toutes les spires sont bobinées dans le même sens ( les lignes de champ $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ s'ajoutent.)

# 6 Équations Locales de la Magnétostatique

## 6.1 Rappel sur les opérateurs différentiels

### Gradient, divergence, rotationnel et laplacien

Il existe 4 opérateurs différentiels principaux appelés **rotationnel**, **divergence**, **gradient** et **laplacien** qui généralisent la notion de dérivée, ces opérateurs peuvent s'exprimer avec l'opérateur nabla $\vec{\nabla}$ (ici défini en coordonnées cartésiennes)

### Opérateur gradient

Je vais commencer cette séance par une discussion sur le formalisme mathématique qui concerne l'utilisation des opérateurs différentiels très utilisés en physique, qui sont le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien qui sont indispensable pour formuler les lois de l'électromagnétisme.

C'est une séance un peu technique mais très utile et plus fondamental, après je vais essayer de vous faire sentir intuitivement ce que sont ces opérateurs, car en physique tu sais qu'il faut faire parler les équations

D'abord il faut que tu prennes conscience qu'il y a des champs scalaires et vectoriels. Les champs scalaires pratiquement par exemple : la température la pression etc.. et les champs vectoriels comme $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont des vecteurs, soit :

$$ \vec{A} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \qquad (14) $$

ç'est pour ça il y a un flèche au dessus, en faite un champ vectoriel est la donnée de trois champs scalaire, en projetant ce vecteur dans un trièdre directe tu te retrouves avec la donnée de trois champs scalaires qu'eux même dépondent des trois variables $(x, y, z)$ Maintenant on cherche à retrouver ces opérateurs différentiels, gradient, divergence, rotationnel et le laplacian, on va utiliser ce qu'on appel l'opérateur nabla noté avec un petit triangle $\vec{\nabla}$ avec un petit flèche au dessus. Cette outil mathématique va te servir à retrouver les expressions des autres opérateurs.

### Définition

Soit la fonction $f(p)$ (champ scalaire) qui a chaque point $p$ de lespace associe une quantité.

L'opérateur gradient $\overrightarrow{grad}$ (aussi appelé nabla : $\nabla$) transforme un champ scalaire $f$ en un champ vectoriel : $\overrightarrow{grad}f$ ou $\overrightarrow{\nabla}f$

$$ \overrightarrow{grad} f = \overrightarrow{\nabla} f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k} \qquad (15) $$

Que représente le gradient d'un champ $f$ et quelle est son utilité ?

L'opérateur gradient indique la direction vers laquelle le champ $f$ est croissant, c-à-d : Le gradient indique à la fois le taux de variation de $f$ (par sa norme), et la direction de " plus grande pente ". Il est dirigé localement vers les valeurs élevées de $f$, et orthogonal aux lignes $f = \text{cste}$. Il généralise la notion de dérivée.
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IMPORTANT
INFORMATION

Attention : j'écris $\vec{\nabla}$ comme un vecteur, mais en fait ce n'est pas un vrai vecteur, il n'en a pas toutes les propriétés. Le gradient est un opérateur $\Rightarrow$ il opère = il dérive, transforme un champ scalaire en un champ vectoriel.
Par exemple, dans l'espace vectoriel habituel (le monde des vecteurs), on peux écrire :

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} = \text{le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif} \quad (16) $$

Mais ce n'est pas le cas pour l'opérateur $\overrightarrow{grad}$,

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \neq \vec{A} \cdot \vec{\nabla} \quad (\vec{\nabla} \text{ ne vit pas dans le monde des vecteurs}) \quad (17) $$

$$ f = \text{CHAMP SCALAIRE} \quad (18) $$

$$ \overrightarrow{grad} = \vec{\nabla} = \text{OPÉRATEUR} \quad (19) $$

$$ \overrightarrow{grad} f = \vec{\nabla} f = \text{VECTEUR} \quad (20) $$

Le vecteur $\overrightarrow{grad} f$ est perpendiculaire aux surfaces ( définies par $f = Cte$ )

En effet, si on se déplace le long d'une surface $f = Cte$ alors $df = 0$ et donc $\overrightarrow{grad} f \cdot d\vec{OM} = 0$.

$$ d\vec{OM} \perp \overrightarrow{grad} f \quad (21) $$

Le $\overrightarrow{grad} f$ est donc perpendiculaire aux surface iso-f.
## Exemples

- le dessin suivant représente le graphe de la fonction $f_1(x, y) = -x^2 - y^2$. Le gradient est représenté dans le plan du bas (vecteurs en bleu).

- le vecteur gradient (en bleu) pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement.

- Les cercles représenté dans le plan du bas sont les courbes de niveau d'équations $-x^2 - y^2 = cste$.

- En chaque point $(x, y)$, le vecteur gradient de $f_1(\vec{V}f_1 = -2\vec{i} - 2\vec{j})$ est perpendiculaire aux courbes de niveau de la fonction $f_1$.

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- le dessin suivant représente le graphe de la fonction $f_2(x, y) = -(\cos 2x + \cos 2y)^2$. Le gradient est représenté dans le plan du bas (vecteurs en bleu).

- le vecteur gradient (en bleu) pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Par Martin Thoma Travail personnel, CC0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=71375503

## Opérateur divergence

### Définition

Si l'on observe un jet d'eau, les gouttes tendent à s'éloigner les unes des autres, elles sont divergentes.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

L'opérateur divergence *div* mesure si un champ vectoriel diverge c'est à dire " rentre " ou " sort " d'une zone de l'espace où il y a la source qui crée le champ. Comme ce que l'on peut observer sur un diagramme de lignes de champ :

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Champ divergent div $\vec{V}$ > 0

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Champ convergent div $\vec{V}$ < 0

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Champ constant div $\vec{V}$ = 0

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Champ tourbillonnaire div $\vec{V}$ = 0

<figure><img src="image_37.png" /></figure>
<figure><img src="image_38.png" /></figure>

L'opérateur divergence permet de construire un champ scalaire $f(M) = \text{div} \vec{V}$ à partir d'un champ vectoriel $\vec{V}(M)$. Dans un système de coordonnées cartésiennes l'opérateur $\text{div} \text{ sexprime aussi à l'aide de l'opérateur } \vec{\nabla}$. Ainsi, on a :

$$ \text{div} \vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} \quad (22) $$

## Opérateur rotationnel

### Définition

L'opérateur rotationnel s'applique à un champ de vecteurs pour donner un champ de vecteurs. L'opérateur rotationnel permet de mesurer la " rotation " du champ $\Rightarrow \text{Tourne-t-il ou ne tourne-t-il pas?}$

### Rotationnel et lignes de champ

De façon schématique, en un point M

— Si $\vec{\text{rot}}\vec{V} = \vec{0}$, les lignes de champ ne s'enroulent pas : elles sont parallèles, ou bien parfaitement convergentes ou divergentes ;

— Si $\vec{\text{rot}}\vec{V} \neq \vec{0}$, les lignes de champ s'enroulent en sens trigonométrique autour de la direction donnée par $\vec{\text{rot}}\vec{V}$.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Prenons un champ dans un espace à 3 dimensions, le champ $\vec{V}$. Alors son rotationnel, noté $\text{rot}\vec{V} = \vec{\nabla} \wedge \vec{V}$ se calculera de la façon suivante :

Il faut savoir comment calculer un produit vectoriel. Pour calculer le produit vectoriel, tu masques la première ligne et tu fais le produit scalaire en croix du déterminant(de même pour les autres composantes).

$$ \begin{align*} \vec{\text{rot}}\vec{V} &= \vec{\nabla} \wedge \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & V_y & \vec{i} - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & V_x \\ \frac{\partial}{\partial z} & V_z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & V_x \\ \frac{\partial}{\partial y} & V_y \end{vmatrix} \\ \frac{\partial}{\partial z} & V_z & \vec{j} + \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & V_x \\ \frac{\partial}{\partial z} & V_z \end{vmatrix} \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) \vec{i} + \left( \frac{-\partial V_z}{\partial x} + \frac{\partial V_x}{\partial z} \right) \vec{j} + \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \vec{k} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_x}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{-\partial V_z}{\partial x} + \frac{\partial V_x}{\partial z} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \end{pmatrix} \end{align*} $$

<figure><img src="image_40.png" /></figure>
<figure><img src="image_41.png" /></figure>

## Théorème du rotationnel

Pour toute surface $S$, délimitée par le contour fermé $C$, pour tout champ vectoriel $\vec{V}$. Le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface égale la circulation de ce champ sur le contour de cette surface, on a :

$$ \oint \vec{V} \cdot d\vec{l} = \iint_S \vec{rot} \vec{V} \cdot d\vec{S} \qquad (23) $$

## Opérateur laplacien

### Définition

Il correspond à l'opérateur nabla appliqué deux fois à la fonction considérée. Il s'applique le plus souvent aux champs scalaires, et son résultat est alors également un champ scalaire.

$$ \Delta f = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} f = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \qquad (24) $$

La dérivée partielle deuxième mesure les variations de la pente ⇒ Le Laplacien scalaire représente la courbure d'un champ scalaire.

Le Laplacien combine et relie la description statique d'un champ (décrit par son gradient) aux effets dynamiques (la divergence).

Le Laplacien vectoriel est tout simplement pour chaque composante le Laplacien scalaire appliquée à chacune des composantes ($V_x(x, y, z)$, $V_y(x, y, z)$, et $V_z(x, y, z)$) du champ vectoriel $\vec{V}$

$$ \Delta \vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} (\vec{V}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 V_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 V_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 V_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial z^2} \end{pmatrix} \qquad (25) $$

### Remarque :

Une quantité dont le laplacien est nul est dite harmonique. On connait des solutions exactes dans ce cas.

## 6.2 Équations Locales de la Magnétostatique

Les équations locales de la magnétostatique sont dérivées des équations de Maxwell sous l'hypothèse d'un champ magnétique stationnaire ($\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$). Elles sont au nombre de deux :

## 6.3 Loi de Gauss pour le champ magnétique

Le champ magnétique ne possède pas de sources scalaires, c'est-à-dire qu'il ne peut pas diverger à partir d'un point comme un champ électrique le ferait autour d'une charge électrique, ce qui signifie que la divergence de $\vec{B}$ est toujours nulle :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \qquad (26) $$

Cela implique que les lignes de champ magnétique sont toujours **fermées** ou **infinies**.

### Pourquoi ?

- Comparaison avec le champ électrique :

- Le champ électrique $\vec{E}$ a des sources et des puits : il part des charges positives et se termine sur les charges négatives.

- Cela se traduit par l'équation de Maxwell-Gauss :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$

Ici, $\rho$ représente la densité de charge, donc il existe des points sources du champ électrique.

— Dans le cas du champ magnétique :

— Il n'existe pas de monopôles magnétiques (jusqu'à preuve du contraire en physique expérimentale).

— Les lignes de champ magnétique sont toujours fermées : elles forment des boucles continues.

— La loi de Gauss pour $\vec{B}$ est donc :

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 $$

Ce qui signifie qu'il n'existe pas de point où $\vec{B}$ "apparaît" ou "disparaît" comme c'est le cas pour $\vec{E}$.

Exemple concret :

— Autour d'un fil infini parcouru par un courant, $\vec{B}$ forme des cercles concentriques : il n'y a pas de début ni de fin, juste un flux magnétique qui tourne en boucle.

— Autour d'un aimant, le champ $\vec{B}$ sort du pôle Nord et entre dans le pôle Sud, mais en réalité, à l'intérieur de l'aimant, il continue sa boucle.

Donc, $\vec{B}$ n'a pas de sources ou de puits, il est toujours en circuit fermé.

## 6.4 Loi d'Ampère (locale)

La loi d'Ampère exprime que la circulation du champ magnétique est proportionnelle à la densité de courant :

$$ \vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \mu_0 \vec{J} \qquad (27) $$

avec $\vec{J}$ la densité de courant électrique. Cette équation indique que les courants électriques sont les sources des champs magnétiques.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
Exercice 1 : Calcul du champ $\vec{B}$ : conducteur filiforme (Loi de Biot et Savart)

Soit un conducteur filiforme rectiligne MN parcouru par un courant d'intensité I.

1. Calculer le champ d'induction magnétique élémentaire $d\vec{B}$ créé par un élément $dl$ en un point P situé à une distance a du fil.

2. En déduit le champ magnétique total $\vec{B}$ créé par le tronçon MN.

3. Etudier le cas où MN est infini. Préciser les lignes du champ magnétique.

Exercice 2 : Calcul de la force magnétique $\vec{F}_m$ (Loi de Laplace)

Dans la situation représentée sur la figure :

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

— Quelle est la force magnétique résultante sur le cadre mé-
tallique ?

— Quelle est la force sur le fil du haut dans le cadre ?

Exercice 3 : Calcul du champ $\vec{B}$ : spire circulaire (Loi de Biot et Savart)

On considère une spire circulaire, parcourue par un courant d'intensité I. Etablir l'éxpression du champ d'induction magnétique créé :

1. Au centre C de la spire.

2. En un point P situé sur l'axe Cz de la spire.

Exercice 4 : Calcul du champ $\vec{B}$ : cylindre rectiligne indéfini (Théorème d'Ampère)

Un cylindre rectiligne indéfini, de rayon R est parcouru par un courant d'intensité I. La densité de courant $\vec{j}$ est uniforme.

1. Etablir l'expression du champ d'induction en fonction de la distance x à l'axe du cylindre ( x ≤ R et x ≥ R ).

Exercice 5 : Calcul du champ $\vec{B}$ : solénoïde (Théorème d'Ampère-plusieurs circuit filiformes)

On considère un solénoïde infiniment long (C) contenant n spires par unité de longueur et parcouru par un courant d'intensité I.

1. Calculer le champ d'induction magnétique créé en un point de sont axe.

2. En utilisant le théorème d'Ampère calculer le champ d'induction créé par ce solénoïde à l'intérieur et l'extérieur.

3. Calculer le potentiel vecteur $\vec{A}(r)$ en tout point M situé à la distance r de l'axe du solénoïde.

4. Tracer les graphes $B(r)$ et $A(r)$.

Exercice 6 : Flux du champ magnétique

On considère un fil rectiligne infiniment long parcouru par un courant d'intensité I. Un rectangle, de dimensions h et b, est situé dans un plan contenant le fil. Le côté du rectangle le plus proche du fil est à une distance a.

— Déterminer l'expression du flux du champ magnétique créé par le fil à travers ce rectangle.

Exercice 7 : Calcul de l'inductance mutuelle

Un grand solénoïde ($C_1$) de section $S_1$ et contenant $n_1$ spires par unité de longueur est parcouru par un courant d'intensité $I_1$.

— Calculer l'inductance propre L du solénoïde

Ce solénoïde est en présence d'une spire ($C_2$), de section $S_2$ est parcourue par un courant d'intensité $I_2$. L'axe de la spire porté par un vecteur $\vec{v}$ fait un angle $\theta$ avec l'axe de ($C_1$).

— Calculez l'inductance mutuelle M entre les deux bobines en fonction de θ (les différentes orientations) et préciser son signe pour ces différentes orientations.
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

★★★ Correction de l'exercice 1 ★★★

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Règle de la main droite pour trouver la direction du champ magnétique (B) en fonction de la direction du courant (I).

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AManoderecha.svg

Définir un système de coordonnées $d\vec{B}$ ?

— Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques ou sphériques). $\Rightarrow$ Orienter l'espace.

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

— Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques (le fil est un cylindre d'épaisseur fine), alors on va utiliser les coordonnées cylindriques.

Appliquer la loi de BIOT-SAVART

— B.S. : $d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} d\vec{l} \wedge \vec{u}$

D'après la loit de Biot-Savart, on décompose le segment *MN* en tronçons (**éléments de courant** *d*⃗*l*). Un élément *d*⃗*l* crée en un point *M* un **champ élémentaire** *d*⃗**B** perpendiculaire au plan formé par *d*⃗*l* et *u*. Alors d'après la loi de Biot et Savart :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \wedge \vec{u}}{r^2} \qquad (28)$$

(29)

<figure><img src="image_48.png" /></figure>
$d\vec{B}$ ?

Direction et sens de $d\vec{B}$ ?

— $\vec{dl}, \vec{u}, d\vec{B}$ forme un trièdre directe.
⇒ $d\vec{B} = dB\vec{e}_θ$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

(tire-bouchon)

Module de $d\vec{B}$ ?

$$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \cdot \sin(\alpha)}{r^2} \qquad (30)$$

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \cdot \sin(\alpha)}{r^2} \vec{e}_{\theta} \qquad (31)$$

$\vec{B}$ ?

Direction et sens de $\vec{B}$ ?

— règle de la main droite. ⇒ $\vec{B} = B\vec{e}_θ$

— règle du tire-bouchon ⇒ $\vec{B} = B\vec{e}_θ$

Plans de symétries de la distribution du courant :

On peut trouver la direction du champ $\vec{B}$ en repérant les plans de symétrie (ou dantisymétrie) de la distribution du courant :

— Pour un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

— Pour un plan dantisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Dans notre cas :

-Le plan $(\vec{e}_r, \vec{e}_z)$ est un plan de symétrie des courants, alors le champ $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan. Le champ $\vec{B}$ est dirigé suivant $\vec{e}_θ$ :

$$\vec{B} = B\vec{e}_{\theta}. \qquad (32)$$

Module de $\vec{B}$ ?

$$B = \int dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \int \frac{dl \cdot \sin(\alpha)}{r^2} \quad (\text{pour pouvoir intégrer vérifier si } l \text{ dépond des variables } r \text{ et } \alpha \text{ ou non}) \qquad (33)$$

Dans le triangle rectangle OPM on a :

$$\cos(\beta) = \frac{a}{r},$$

$$\sin(\beta) = \frac{l}{r} \quad \tan(\beta) = \frac{l}{a}, \qquad \beta + \frac{\pi}{2} + (\pi - \alpha) = \pi. \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + \beta \qquad (34)$$

En écrivant :

$$r = \frac{a}{\cos(\beta)}, \quad l = a \cdot \tan(\beta) \Rightarrow dl = \frac{a}{\cos^2(\beta)} d\beta \qquad (35)$$

On en déduit :

$$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \cdot \sin(\alpha)}{r^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{a}{\cos^2(\beta)} \cdot \frac{\cos^2(\beta)}{a^2} \cdot \cos(\beta) \cdot d\beta = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \cdot \cos(\beta) \cdot d\beta \qquad (36)$$

$$B = \int_{\beta_1}^{\beta_2} dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \cdot (\sin(\beta_2) - \sin(\beta_1)) \qquad (36)$$

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} [\sin(\beta_2) - \sin(\beta_1)] \vec{e}_{\theta} \qquad (37)$$

Ce résultat permet de calculer le champ magnétique créé par des circuits polygonaux.

Pour un fil de longueur infini $\beta_1 \Rightarrow -\frac{\pi}{2}$ et $\beta_2 \Rightarrow \frac{\pi}{2}$. B tend vers une valeur limite

$$B = \int_{\beta_1}^{\beta_2} dB = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} dB = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \qquad (38)$$

<figure><img src="image_51.png" /></figure>
<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Doù le champ d induction magnétique crée par un fil infini :

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \vec{e}_{\theta} \qquad (39) $$

On peut noter que le champ magnétique tourne autour du fil dans un sens imposé par la règle du bouchon (ou la règle de la main droite). Par conséquent, les lignes de champ sont des cercles.

## Discussion sur la loi de Biot-Savart :

Notons que cette loi donnant l'expression du champ infinitesimal créé par une portion de circuit n'est qu'un artifice de calcul : on ne peut pas isoler une portion de circuit parcouru par un courant (alors qu'on peut isoler des charges électriques dans le cas du champ électrostatique).

— l'élément du courant $I dl$ n'a pas de signification physique.

— le champ magnétique élémentaire $d\vec{B}$ n'a aucune signification physique.

— $d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{dl \wedge \vec{u}}{r^2}$ est un artifice de calcul.

— $\vec{B} = \int d\vec{B}$ grandeur physique mesurable.

## Autrement : Integration directe sur l'expression vectorielle

$$ 
\begin{align*}
d\vec{B} &= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{dl \wedge P \vec{M}}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{e}_z \wedge (P\vec{O} + O\vec{M})}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left[ \frac{dl}{r^3} \vec{e}_z \wedge P\vec{O} + \frac{d\vec{e}_z}{r^3} \wedge O\vec{M} \right] \\
&= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left[ \frac{d\vec{e}_z \wedge (-z\vec{e}_z)}{r^3} + \frac{d\vec{e}_z \wedge (a\vec{e}_r)}{r^3} \right] = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left[ \vec{0} + \frac{a \cdot dl}{r^3} \vec{e}_\theta \right] = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left[ \frac{a \cdot dl}{r^3} \vec{e}_\theta \right] \\
MO &= a, \quad r = \frac{a}{\cos(\beta)}, \quad OP = l = a \tan(\beta) \Rightarrow dl = \frac{a}{\cos^2(\beta)} d\beta
\end{align*}
$$

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \left[ \frac{a^2}{\cos^2(\beta)} \frac{\cos^3(\beta)}{a^3} \vec{e}_\theta \right] d\beta = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{\cos(\beta)}{a} \vec{e}_\theta d\beta = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} [\sin(\beta_2) - \sin(\beta_1)] \vec{e}_\theta $$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>
★★★ Correction de l'exercice 2 ★★★

1. Quelle est la force magnétique résultante sur le cadre métallique ?

Pour calculer la force sur le cadre, on doit séparer ce cadre en 4 morceaux : le fil de droite, le fil du bas et le fil de gauche et le fil du haut. Comme le fil infini fait un champ sortant de la page, on a les directions suivantes pour chacune des forces.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Les forces $\vec{F}_2$ et $\vec{F}_4$ s'annulent mutuellement, car les fils sont parcourus par des courants identiques et sont dans des champs magnétiques identiques puisqu'ils sont à la même distance du fil infini.

Cependant, la force $F_3$ est plus grande que la force $F_1$, car le fil (3) est dans un champ magnétique plus grand puisqu'il est plus près du fil infini (rappelez-vous, le champ diminue d'intensité à mesure qu'on s'éloigne du fil infini). On doit donc calculer ces deux forces.

— Calcul de $F_3$

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{4\pi * 10^{-7} * 10A}{2\pi * 0.1m} = 2 * 10^{-5}T$$

La force sur le fil est donc :

$$F = IlB \sin(\theta) = 2A * 0.26m * 2 * 10^{-5}T * \sin(90) = 1.04 * 10^{-5}N.$$

— Calcule de $F_1$

Le champ fait par le fil infini à cette distance est :

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{4\pi * 10^{-7} * 10A}{2\pi * 0.22m} = 9.09 * 10^{-6}T$$

La force sur le fil est donc :

$$F = IlB \sin(\theta) = 2A * 0.26m * 9.09 * 10^{-6}T * \sin(90) = 4.727 * 10^{-6}N.$$

— Force résultante : La force résultante est donc la soustraction de ces deux forces.

$$F = 1.04 * 10^{-5}N - 4.727 * 10^{-6}N = 5.673 * 10^{-6}N.$$

Cette force est vers la gauche. Le cadre est donc attiré par le fil infini.

2. Quelle est la force sur le fil du haut dans le cadre ?

Si on calcule la force $F_4$, on doit décomposer le fil en petit morceau puisque le champ magnétique n'est pas constant, il est plus fort sur le côté gauche du fil que sur le côté droit.

La force sur le petit morceau de fil est :

<figure><img src="image_55.png" /></figure>
<figure><img src="image_56.png" /></figure>

$$dF = IBdx \sin(90^\circ) = I \frac{\mu_0 I_{fil \ inf.}}{2\pi x} dx$$

$$F = \int_{0.10m}^{0.22m} I \frac{\mu_0 I_{fil \ inf.}}{2\pi x} dx = I \frac{\mu_0 I_{fil \ inf.}}{2\pi} \int_{0.10m}^{0.22m} \frac{1}{x} dx = I \frac{\mu_0 I_{fil \ inf.}}{2\pi} [\ln x]_{0.10m}^{0.22m}$$

$$F = 2A * \frac{4\pi * 10^{-7} * 10A}{2\pi} * \ln \frac{0.22m}{0.10m} = 3.152 * 10^{-6} N$$

Pr. N. MANSOUR

<figure><img src="image_57.png" /></figure>
★★★ Correction de l'exercice 3 ★★★

Soit un courant circulaire de centre O et de rayon R

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Règle de la main droite</figcaption></figure>

Calculons le champ au centre O de la spire :

Définir un système de coordonnées $d\vec{B}$ ?

— Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques ou sphériques). ⇒ Orienter l'espace.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

— Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques, alors on va utiliser les coordonnées cylindriques.

Appliquer la loi de BIOT-SAVART

D'après la loi de Biot-Savart, on décompose la spire en tronçons (éléments de courant $dl$). Donc à un élément de courant $dl$ correspond un champ élémentaire $d\vec{B}$ perpendiculaire en O au plan de la spire pointé vers le haut.

La loi de Biot et Savart donne :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \wedge R\vec{u}}{R^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \wedge \vec{u}}{R^2}, \quad (\text{car } \vec{r} = R\vec{u}) \qquad (40)$$

On voit que $dl$ est perpendiculaire à $\vec{u}$, donc $|dl \wedge \vec{u}| = dl \sin(\frac{\pi}{2}) = dl$

<figure><img src="image_60.png" /></figure>
$d\vec{B}?$ | **Direction et sens de $d\vec{B}$?**

— $dl, \vec{u}, d\vec{B}$ forme un trièdre directe. ⇒ $d\vec{B} = dB\vec{e}_z$

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

$B?$ | **Module de $\vec{B}$?**

$$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl}{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{Rd\theta}{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\theta}{R} \quad (\text{car } dl = Rd\theta) \quad (41)$$

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

$\vec{B}?$ | **Direction et sens de $\vec{B}$?**

— règle de la main droite. ⇒ $\vec{B} = B\vec{e}_z$

— règle du tire-bouchon ⇒ $\vec{B} = B\vec{e}_z$

— **Plans de symétries de la distribution du courant :**

Dans notre cas :

-Le plan $\Pi = (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ est un plan de symétrie des courants, alors le champ $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan. Le champ $\vec{B}$ est dirigé suivant $\vec{e}_z$ :

$$\vec{B} = B\vec{e}_z. \qquad (42)$$

$B?$ | **Module de $\vec{B}$?**

Tous les champs élémentaires ont même direction et même sens donc :

$$ \begin{gathered} B_0 = \int dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \int d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cdot 2\pi \\ \vec{B}_0 = \frac{\mu_0 I}{2R} \vec{e}_z \end{gathered} \qquad (43) $$

Calculons le champ en un point de l'axe (OZ) de la spire :

Par raison de symétrie, $\vec{B}$ est porté par cet axe. L'élément de courant $dl$ d'origine M, crée en un point P un champ $d\vec{B}$ perpendiculaire à $\vec{u}$ et à $dl$. Posons $MP = r$

<figure><img src="image_63.png" /></figure>
<figure><img src="image_64.png" /></figure>

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

$d\vec{B}?$ | **Direction et sens de $d\vec{B}$ ?**
— $dl, \vec{u}, d\vec{B}$ forme un trièdre directe. ⇒ $d\vec{B} = dB\vec{v}$

$dB?$ | **Module de $d\vec{B}$ ?**
On remarque que $dl$ est perpendiculaire à $\vec{u}$

La loi de Biot et Savart donne :

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl \wedge \vec{u}}{r^2} \qquad (44)$$

$$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{dl}{r^2} \qquad (45)$$

$\vec{B}?$ | **Direction et sens de $\vec{B}$ ?**
— règle de la main droite. ⇒ $\vec{B}_z = B_z \vec{e}_z$
— règle du tire-bouchon ⇒ $\vec{B}_z = B_z \vec{e}_z$
— **Plans de symétries de la distribution du courant :**

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Dans notre cas :

Le plan $\Pi = (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ est un plan de symétrie des courants, alors le champ $\vec{B}_z$ est perpendiculaire à ce plan. Le champ $\vec{B}_z$ est dirigé suivant $\vec{e}_z$ :

$$\vec{B}_z = B_z \vec{e}_z. \qquad (46)$$

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
<figure><img src="image_68.png" /></figure>

-Le plan $(\vec{e}_r, \vec{e}_z)$ est un plan d'antisymétrie des courants, alors le champ $\vec{B}_z$ est contenu dans ce plan.

-Le plan $(\vec{e}_\theta, \vec{e}_z)$ est un plan d'antisymétrie des courants, alors le champ $\vec{B}_z$ est contenu dans ce plan.

le champ $\vec{B}_z$ est porté par l'intersection de ces deux plans $(\vec{e}_r, \vec{e}_z)$ et $(\vec{e}_\theta, \vec{e}_z)$, donc par laxe (oz)

$$ \Rightarrow \quad \vec{B}_z = B_z \vec{e}_z $$

La contribution de $d\vec{B}$ au champ total est :

$$ \frac{dB_z}{dB} = \cos(\beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) $$
$$ (\text{Car } \alpha + \frac{\pi}{2} + \beta = \pi \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha) $$

$$ dB_z = dB \sin(\alpha) $$

$$ B_z = \int dB_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{\sin(\alpha)}{r^2} dl $$
$$ (\text{pour pouvoir intégrer vérifier si } l \text{ dépond des variables } r \text{ et } \alpha \text{ ou non}) \qquad (47) $$

Dans le triangle rectangle OPM on a :

$$ \cos(\alpha) = \frac{z}{r}, \qquad (48) $$

$$ \sin(\alpha) = \frac{R}{r}, \qquad (49) $$

$$ \tan(\alpha) = \frac{R}{z}, \qquad (50) $$

$$ \alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = \pi, \qquad (51) $$

$$ dl = Rd\theta. \qquad (52) $$

$dl$ dépond seulement de la variable $\theta$

$$ B_z = \frac{\mu_0 I \sin(\alpha)}{4\pi r^2} \int dl = \frac{\mu_0 I \sin(\alpha)}{4\pi r^2} 2\pi R = \frac{\mu_0 I}{2r^2} \sin(\alpha) \cdot R \qquad (53) $$

$$ \text{Comme } r = \frac{R}{\sin(\alpha)} : $$

En fonction de la variable $\alpha$

$$ \vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} \sin^3(\alpha) \vec{e}_z, \qquad (54) $$

En fonction de la variable $z$

$$ \vec{B}_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2 r^3} \vec{e}_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \qquad (56) $$

$$ \vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} \left[ 1 + \frac{z^2}{R^2} \right]^{-\frac{3}{2}} \qquad (57) $$

<figure><img src="image_69.png" /></figure>
<figure><img src="image_70.png" /></figure>

Autrement : Integration directe sur l'expression vectorielle

$$
\vec{B} = \oint_{spire} \frac{\mu_0 I d\vec{l} \wedge P\vec{M}}{4\pi r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge P\vec{M}}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge (P\vec{O} + O\vec{M})}{r^3} \\
= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge P\vec{O}}{r^3} + \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge O\vec{M}}{r^3}
$$

$O\vec{M}$ et $l$ sont indépendants $\Rightarrow \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge O\vec{M}}{r^3} = [\oint_{spire} d\vec{l}] \wedge \frac{O\vec{M}}{r^3}$. Et : $\oint_{spire} d\vec{l} = \vec{0}$

ne pas confondre $\oint_{spire} d\vec{l} = \vec{0}$ et $\oint_{spire} dl = 2\pi R$.

$$
\text{Par ailleurs : } \oint_{spire} \frac{d\vec{l} \wedge P\vec{O}}{r^3} = \oint_{spire} \frac{R.dl.\vec{e}_\theta \wedge (-\vec{e}_r)}{r^3} = \oint_{spire} \frac{R.dl.\vec{e}_z}{r^3} = \frac{2\pi R^2}{r^3} \vec{e}_z
$$

Il vient alors :

$$
\vec{B}(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2r^3} \vec{e}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} \sin^3(\alpha)
$$

**Remarque importante :** Le champ d'induction magnétique crée par un courant circulaire en un point de laxe (oz) est :

$$
\vec{B}(z) = \frac{\mu_0 I}{2R} \sin^3(\alpha) \vec{e}_z
$$

Cette formule est très importante, car beaucoup de systèmes peuvent être considérés comme une superposition de spire
circulaires (solénoïde etc...)

Lorsque le point M de l'axe (oz) tend vers le centre O $sin(\alpha) \Rightarrow 1$ On retrouve la relation (51)

<figure><img src="image_71.png" /></figure>
★★★ Correction de l'exercice 4 ★★★

— Détermination du champ d'induction magnétique d'un cylindre parcouru par un courant I uniforme, à l'intérieur et à l'extérieur.

5 étapes à suivre

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

Première étape :

1. Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques).

Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques, donc on va utiliser les coordonnées cylindriques (r, θ et z). Le champ magnétique s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r, \theta, z). \qquad (58) $$

—La question qui se pose après, de quelles variables le champ $\vec{B}$ dépend ?, est ce qu'il dépend de toutes ces trois variables ? la réponse à cette question se trouve dans la deuxième étape.

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Deuxième étape :

2. Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M.
<figure><img src="image_74.png" /></figure>

-La distribution du courant est invariante par translation le long de l'axe (OZ).

Le champ $\vec{B}$ s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r, \theta). \qquad (59) $$

-La distribution du courant est invariante par rotation $\theta$ autour de l'axe (OZ).

Le champ $\vec{B}$ s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r) \qquad (60) $$

Maintenant on déduit que le champ magnétique dépend seulement de la variable r. Mais quelle est sa direction ? la repense à cette question est dans la troisième étape.

Troisième étape :

3. On détermine la direction du champ magnétique au point M grâce à

- la règle de la main droite.

- la règle du tire-bouchon.

- les plans de sym. et d'antisym. de la distribution du courant.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Pour un courant axial, le champ est orthoradial</figcaption></figure>

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Pour un courant orthoradial le champ est axial</figcaption></figure>

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AManoderecha.svg

Dans notre cas :

La distribution des courants est axiale, alors le champ $\vec{B}$ est orthoradial porté par $\vec{e}_{\theta}$ et de sens défini par la règle de la main droite.

Remarque

On peut trouver la direction du champ $\vec{B}$ en repérant les plans de symétrie (ou dantisymétrie) de la distribution du courant;

Pour un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

Pour un plan dantisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Plan de symétrie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Plan d'antisymétrie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>
<figure><img src="image_80.png" /></figure>

Dans notre cas :

-Le plan ($\vec{e}_r, \vec{e}_z$) est un plan de symétrie des courants, alors le champ $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan. Le champ $\vec{B}$ est dirigé suivant $\vec{e}_\theta$ :

$$ \vec{B} = B(r)\vec{e}_\theta. \qquad (61) $$

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

## Quatrième étape :

Définir un "contour d'Ampère", qui contient le point M, et sur lequel le champ est tangent. Suivant la distribution il faut généralement distinguer plusieurs cas, selon la région de l'espace où se situe le point à l'intérieur ou à l'extérieur de la distribution par exemple.

Dans notre cas soit :

- $C_1$ : le contour d'Ampère définit à l'intérieur du cylindre ($r \le R$).

- $C_2$ : le contour d'Ampère définit à l'extérieur du cylindre ($r \ge R$).

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
<figure><img src="image_84.png" /></figure>

Cinquième étape :

4. Appliquer le théorème d'Ampère afin de résoudre le problème.

Si le circuit enlace un courant volumique $\vec{j}$, alors le théorème d'Ampère aura la forme suivante :

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}_{(\text{un element du contour d'Ampère})} = \mu_0 \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \quad (\text{la surface délimitée par le contour d'Ampère}) \qquad (62) $$

Si le circuit enlace plusieurs circuit filiformes, alors le théorème d'ampère aura la forme suivante :

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}_{(\text{un element du contour d'Ampère})} = \mu_0 \sum I_{\text{enlacés}} (\text{somme algébrique}) \qquad (63) $$

Dans notre cas le circuit enlace un courant volumique $\vec{j}$ :

-Calcul du champ magnétique à l'intérieur du cylindre (contour C1)

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}_{C1} = \mu_0 \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S}_1 \qquad (64) $$

$$ B \cdot 2\pi r = \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{S}_1 $$

$$ B \cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{I}{\pi R^2} \cdot \pi r^2 $$

Donc :

$$ \vec{B}_{\text{int}} = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} \vec{e}_{\theta} \qquad (65) $$

<figure><img src="image_86.png" /></figure>
<figure><img src="image_87.png" /></figure>

-Calcul du champ magnétique à l'extérieur du cylindre (contour C2)

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}_{C2} = \mu_0 \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S}_2 \qquad (66) $$

$$ B \cdot 2\pi r = \mu_0 \vec{j} \cdot \vec{S}_2 $$

$$ B \cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{I}{S_b} \cdot S_b + \mu_0 \cdot 0 \cdot S_A = \mu_0 \frac{I}{\pi R^2} \cdot \pi R^2 $$

Donc :

$$ \vec{B}_{ext} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\theta} \qquad (67) $$

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

<figure><img src="image_90.png" /></figure>
★★★ Correction de l'exercice 5 ★★★

Il s'agit de calculer le champ B au point P appartenant à l'axe $z'$z (P est pris comme origine des z)

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Soit une tranche du solénoïde, dépaisseur $dz$, elle est vue de P sous l'angle $\theta = (\vec{P}z, \vec{P}M)$; $\theta$ peut varier de 0 à $\pi$ selon la position de $p$ sur l'axe. Cette tranche est assimilable à une bobine plate contenant $dN_z = ndz$ spires.

Nous avons un solénoïde contenant $n$ spires par unité de longueur :

$$ 
\begin{gathered}
z \mapsto N_z \\
dz \mapsto dN_z \quad \Rightarrow \quad z.dN_z = N_z.dz \quad \Rightarrow \quad dN_z = \frac{N_z}{z}.dz = n.dz
\end{gathered}
$$

Sa contribution au champ est :

$$ \left[ dB_{\text{tranche}} = \text{le champ magnétique crée par une spire circulaire} \times dN_z = \frac{\mu_0 n I}{2R} \cdot \sin^3(\theta) dz \right] \qquad (68) $$

Prenons $\theta$ comme variable d'intégration.

$$ z = R \cot g\theta, \quad dz = -R \frac{d\theta}{\sin^2(\theta)} \qquad (69) $$

$$ dB_{\text{tranche}} = -\frac{1}{2} \mu_0 n I \sin(\theta) d\theta, \quad \theta \text{ varie de } \theta_1 = (\vec{P}z, \vec{P}S) \text{ à } \theta_2 = (\vec{P}z, \vec{P}N) \qquad (70) $$

Par intégration :

$$ B = \frac{\mu_0 n I}{2} (\cos(\theta_2) - \cos(\theta_1)) \qquad (71) $$

Dans le cas particulier d'un solénoïde de longueur très grande par rapport au rayon, on a $\theta_1 \Rightarrow \pi$ et $\theta_2 \Rightarrow 0$

$$ \vec{B}_0 = \mu_0 n I \vec{e}_z \quad (\text{sur l'axe du solénoïde}) \qquad (72) $$

Détermination du champ magnétique à l'intérieur et l'extérieur de ce solénoïde.

Appliquons le théorème d'Ampère :

1. **Première étape** : Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques);

Dans notre cas la distribution du courant présente des symétries cylindriques, donc on va utiliser les coordonnées cylindriques $(r, \theta$ et $z)$. Le champ magnétique s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r, \theta, z). \qquad (73) $$
<figure><img src="image_92.png" /></figure>

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

2. **Deuxième étape** : Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M;

-La distribution du courant est invariante par translation le long de l'axe (OZ).

Le champ $\vec{B}$ s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r, \theta). \qquad (74) $$

-La distribution du courant est invariante par rotation $\theta$ autour de l'axe (OZ).

Le champ $\vec{B}$ s'écrit :

$$ \vec{B} = \vec{B}(r) \qquad (75) $$

On déduit que le champ magnétique dépend seulement de la variable $r$.

3. **Troisième étape** : Repérer les plans de symétrie (ou d'antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M.

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

-Le plan $(P_2) = (\vec{e}_\theta, \vec{e}_z)$ est un plan d'antisymétrie des courants, alors le champ $\vec{B}$ est contenu dans ce plan.

$$ \vec{B} = B(r)(\vec{e}_\theta? \text{ Ou } \vec{e}_z?). \qquad (76) $$

-Le plan $(P_1) = (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ est un plan de symétrie des courants, alors le champ $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan. Finalement on déduit que le champ magnétique est orienté selon $\vec{e}_z$, et qu'il ne dépend que de $r$ (la distance à l'axe de révolution), de telle sorte que l'on a : :

$$ \vec{B} = B(r)\vec{e}_z. \qquad (77) $$

<figure><img src="image_95.png" /></figure>
<figure><img src="image_96.png" /></figure>

4. " Contour d'Ampère : ".

Dans notre cas soit :

- ABCD : un contour d'Ampère ayant un coté à l'intérieur et un à l'extérieur du solénoïde ($r \le R$).

- A'B'C'D' : un contour d'Ampère situé entièrement à l'intérieur du solénoïde ($r \ge R$).

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

5. Application du théorème d'Ampère.

Dans notre cas le circuit enlace plusieurs circuits filiformes, alors le théorème d'Ampère aura la forme suivante :

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{enlacs} \qquad (78) $$

-Théorème d'Ampère sur ABCD :

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{enlacs} = \mu_0 \cdot N_{AB} \cdot I \qquad (79) $$

Pour $I_{enlacs}$ par le contour ABCD. Nous avons :

$$ \begin{gathered} z \mapsto N_z \qquad (80) \\ AB \mapsto N_{AB} \quad \Rightarrow \quad z \cdot N_{AB} = AB \cdot N_z \quad \Rightarrow \quad N_{AB} = AB \cdot \frac{N_z}{z} = n \cdot AB \end{gathered} $$

$$ \text{Donc } I_{enlacs} = I \cdot N_{AB} = AB \cdot \frac{N_z}{z} = I \cdot n \cdot AB $$

Ainsi :

$$ \begin{align} & \int_A^B B(r) \vec{e}_z \cdot (-dz \vec{e}_z) + \int_B^C B(r) \vec{e}_z \cdot (dr \vec{e}_r) + \int_C^D B(r) \vec{e}_z \cdot (dz \vec{e}_z) + \int_D^A B(r) \vec{e}_z \cdot (-dr \vec{e}_r) \tag{81} \\ &= -B_{\text{ext.}}(r) \int_A^B dz + 0 + B_0(r) \int_C^D dz + 0 = \mu_0 \sum I_{\text{enlacs}} \nonumber \\ &= -B_{\text{ext.}}(r) \cdot AB + B_0(r) \cdot CD = \mu_0 n I AB \tag{82} \end{align} $$

Comme $AB = CD$

$$ B_{\text{ext.}} = B_0(r) - \mu_0 n I \qquad (83) $$

On a montré que

$$ B_0(r) = \mu_0 n I \quad (\text{sur l'axe du solénoïde}) \qquad (84) $$
<figure><img src="image_98.png" /></figure>

D'où le champ magnétique à l'extérieur du solénoïde

$$
\vec{B}_{\text{ext.}} = \vec{0} \tag{85}
$$

-Théorème d'Ampère sur A'B'C'D' :

$$
\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{enlacs}} = 0, (\text{aucun courant n'est encalcés par le contour A'B'C'D}) \quad (86)
$$

$$
\begin{align*}
& \int_{A'}^{B'} B(r) \vec{e}_z \cdot (-dz \vec{e}_z) + \int_{B'}^{C'} B(r) \vec{e}_z \cdot (dr \vec{e}_r) + \int_{C'}^{D'} B(r) \vec{e}_z \cdot (dz \vec{e}_z) + \int_{D'}^{A'} B(r) \vec{e}_z \cdot (-dr \vec{e}_r) \\
&= -B_0(r) \int_{A'}^{B'} dz + 0 + B_{\text{int.}}(r) \int_{C'}^{D'} dz + 0 = 0 \\
&= -B_0(r) A' B' + B_{\text{int.}}(r) C' D' = 0 \tag{87}
\end{align*}
$$

Comme $A'B' = C'D'$.

D'où le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde

$$
\vec{B}_{\text{int.}} = \vec{B}_0 = \mu_0 n I \vec{e}_z \quad (88)
$$

Sa forme très loin du solénoïde

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Calcul du potentiel vecteur $\vec{A}(r)$ en tout point M situé à la distance r de l'axe du solénoïde.

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

Puisque $\text{div}\vec{B} = 0$, le champ magnétique $\vec{B}$ est de divergence nulle. Alors peut toujours s'exprimer sous la forme d'un rotationnel d'un champ de vecteurs, noté $\vec{A}$.

$$
\vec{B} = \vec{r} \cdot \nabla \vec{A} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A} \quad \Rightarrow \quad \vec{A} = A(r) \vec{e}_{\theta} \quad \text{car : } \vec{B} = B(r) \vec{e}_{z} \quad \text{et} \quad \vec{\nabla} = \nabla_{r} \vec{e}_{r} \tag{89}
$$
<figure><img src="image_101.png" /></figure>

On a :

$$ \iint \vec{B} \cdot d\vec{S} \vec{n} = \oint \vec{A} \cdot d\vec{\lambda}, \quad (\text{Théorème de Stocks}) \qquad (90) $$

A l'extérieur du solénoïde $r \ge R$ :

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

puisque $\vec{B}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires et de même sens, et comme $B$ est uniforme, on obtient :

$$ \iint \vec{B} \cdot d\vec{S} \vec{n} = \iint B \cdot dS = B \iint \cdot dS = (B_{\text{int.}} \cdot S_1 + B_{\text{ext.}} \cdot S_2) = \mu_0 n I \pi R^2 \qquad (91) $$

Avec : $S_1 = S$ = surface de la base du solénoïde et $S_2$ = la surface annulaire
D'autre part, pour des raisons analogues, on a :

$$ \oint \vec{A} \cdot d\vec{\lambda} = \vec{A} \oint \cdot d\vec{\lambda} = A \cdot 2\pi r, \qquad (92) $$

$$ \vec{A}_{\text{ext.}}(r) = \frac{\mu_0 n I R^2}{2r} \vec{e}_{\theta}. \qquad (93) $$

A l'intérieur du solénoïde $r \le R$ : Un calcul similaire donne dans ce cas :

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

<figure><img src="image_104.png" /></figure>
<figure><img src="image_105.png" /></figure>

$$B_{\text{int.}}\pi r^2 = A_{\text{int.}}\cdot 2\pi r \qquad (94)$$

$$\mu_0 n I \pi r^2 = A_{\text{int.}} \cdot 2\pi r \qquad (95)$$

$$\vec{A}_{\text{int.}}(r) = \frac{\mu_0 n I r}{2} \vec{e}_{\theta} \qquad (96)$$

Traçons les graphes de $B(r)$ et $A(r)$ :

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

<figure><img src="image_107.png" /></figure>
<figure><img src="image_108.png" /></figure>

★★★ Correction de l'exercice 6 ★★★

En presence d'un fil rectiligne infini,le choix des coordonnées cylindriques s'impose et le champ magnétique en un point M s'écrit :

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot \vec{e}_{\theta} $$

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

Le rectangle est orthogonal au champ $\vec{B}$ et on oriente sa normale $\vec{n}$ dans le sens de $\vec{B}$. tout les points du cadre se trouvant à la même distance $r$ du fil sont soumis au même champ magnétique. On peut alors découper des éléments de surface ayant la forme de bandes de hauteur $h$ et d'épaisseur : $ds = hdr$

Dans les quelles le champ magnétique est uniforme ($r$ ne varie pas).

Le flux élémentaire $d\phi$ à travers une telle bande s'écrit :

$$ d\phi = \vec{B} \cdot d\vec{S} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\theta} \cdot hdr \vec{e}_{\theta} = \frac{\mu_0 I h}{2\pi r} \frac{dr}{r} $$

Le flux total est la somme de tous ces flux élémentaires :

$$ \phi = \int d\phi = \frac{\mu_0 I h}{2\pi r} \int_{a}^{a+b} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I h}{2\pi r} \cdot [\ln r]_{a}^{a+b} = \frac{\mu_0 I h}{2\pi r} \ln(1 + \frac{a}{b}) $$

Si l'on n'avait pas considéré une bandelette d'épaisseur $dr$, mais bien l'élément de surface en coordonnées cylindrique, alors on aurait écrit : $dS = dr \cdot dz$,

Car en parcourant le cadre, $r$ et $z$ varient. Le flux aurait pris la forme d'une intégrale double :

$$ \phi = \iint \vec{B} \cdot d\vec{S} = \int_{z=0}^{z=h} \int_{r=a}^{r=(a+b)} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\theta} \cdot dr dz \cdot \vec{e}_{\theta} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \int_{r=a}^{r=(a+b)} \frac{dr}{r} * \int_{z=0}^{z=h} dz = \frac{\mu_0 I h}{2\pi r} \ln\left(1 + \frac{a}{b}\right) $$

<figure><img src="image_110.png" /></figure>
<figure><img src="image_111.png" /></figure>

★★★ Correction de l'exercice 7 ★★★

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

— Calcule de l'inductance propre L du solénoïde

$$
\phi_{1,\text{propre}} = N * B_1 * S_1 = N * \mu_0 n_1 I_1 * S_1 = \mu_0 N^2 \frac{S_1}{l} I_1
$$

L'inductance propre L du solénoïde est alors :

$$
L = \frac{\phi_{1,\text{propre}}}{I_1} = \frac{\mu_0 N^2 \frac{S_1}{l} I_1}{I_1} = \mu_0 N^2 \frac{S_1}{l}
$$

— Calcule de l'inductance mutuelle M

$C_1$ grand solenoïde : $I_1$ crée l'induction $B_1$ qui est uniforme et portée par l'axe (Z)

$$
\vec{B}_1 = \mu_0 n_1 \vec{I}_1 \vec{e}_z \tag{97}
$$

Seul $\Phi_{12}$ est praticable, car $\vec{B}_1$ est uniforme

$$
\Phi_{12} = 1 \cdot \iint \vec{B}_1 \cdot d\vec{s}_2 \cdot d\vec{\nu}_2 = 1 \cdot \iint B_1 dS_2 \cos(\theta) \quad (1 \text{ : car une spire}) \quad (98)
$$

$$
\begin{align*}
\Phi_{12} &= B_1 \cos(\theta) \iint dS_2 \\
\Phi_{12} &= B_1 \cos(\theta) S_2 \tag{99}
\end{align*}
$$

Soit :

$$
\Phi_{12} = \mu_0 n_1 I_1 \cos(\theta) S_2 \tag{100}
$$

$$
M = \frac{\Phi_{12}}{I_1} \Rightarrow M = \mu_0 n_1 S_2 \cos(\theta) \quad (101)
$$

Les lignes de champ de $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ s'ajoutent d'où $M > 0$

Les différentes orientations

<figure><img src="image_113.png" /></figure>

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