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# Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre

Olivier Maurice

► To cite this version:

Olivier Maurice. Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre. 2024. hal-04545053

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# Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre

Olivier Maurice

► To cite this version:

Olivier Maurice. Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre. 2024. hal-04545053

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# Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre

Olivier MAURICE, AFSCET

11 avril 2024

## Résumé

De nombreuses études ont été menées sur la modélisation / simulation des impacts directs de la foudre sur des surfaces faites d'empilements de matériaux (voir par exemple [1]). Notre approche ici mixe à la fois l'usage de macromodèles construits sur la caractérisation de matériaux séparés, et le développement d'une topologie évolutive sous le formalisme de l'analyse tensorielle des réseaux[2] pour prendre en compte les aspects multiphysiques du phénomène. Dans cette première présentation nous avons choisi de négliger certains effets pour clarifier le propos, entre autre l'aspect capacitif de la couche isolante, l'inertie thermique, et nous avons considéré le potentiel source comme constant, ce qui évite de faire une itération pour déterminer le potentiel appliqué à la surface impactée.

## 1 Principe de la macromodélisation

Dans son principe la macromodélisation ne cherche pas à partir des descriptions fines à une échelle définie pour retrouver par assemblages et émergences les comportements observés. Au contraire, la démarche est plutôt "top-down" et par tant des comportements observés et de quelques caractéristiques physiques, nous cherchons des équations qui redonnent ces observations et permettent dans une configuration différente de les prédire. Dans le cas des comportements de matériaux multicouches face à des impacts de foudre directs, cette approche permet d'aller beaucoup plus vite vers l'exercice d'analyse appliqué à des cas concrets.

Dans la méthode nous allons d'abord nous intéresser à des couplages électrothermiques. Le modèle obtenu dans ce cas byphysique, pourra être étendu ensuite à de la multiphysique, en incluant la mécanique.
# Macromodélisation sous l'ATR d'un impact de foudre

Olivier MAURICE, AFSCET

11 avril 2024

## Résumé

De nombreuses études ont été menées sur la modélisation / simulation des impacts directs de la foudre sur des surfaces faites d'empilements de matériaux (voir par exemple [1]). Notre approche ici mixe à la fois l'usage de macromodèles construits sur la caractérisation de matériaux séparés, et le développement d'une topologie évolutive sous le formalisme de l'analyse tensorielle des réseaux[2] pour prendre en compte les aspects multiphysiques du phénomène. Dans cette première présentation nous avons choisi de négliger certains effets pour clarifier le propos, entre autre l'aspect capacitif de la couche isolante, l'inertie thermique, et nous avons considéré le potentiel source comme constant, ce qui évite de faire une itération pour déterminer le potentiel appliqué à la surface impactée.

## 1 Principe de la macromodélisation

Dans son principe la macromodélisation ne cherche pas à partir des descriptions fines à une échelle définie pour retrouver par assemblages et émergences les comportements observés. Au contraire, la démarche est plutôt "top-down" et par tant des comportements observés et de quelques caractéristiques physiques, nous cherchons des équations qui redonnent ces observations et permettent dans une configuration différente de les prédire. Dans le cas des comportements de matériaux multicouches face à des impacts de foudre directs, cette approche permet d'aller beaucoup plus vite vers l'exercice d'analyse appliqué à des cas concrets.

Dans la méthode nous allons d'abord nous intéresser à des couplages électrothermiques. Le modèle obtenu dans ce cas byphysique, pourra être étendu ensuite à de la multiphysique, en incluant la mécanique.
## 2 Utilisation de l'analyse tensorielle des réseaux pour la modélisation multiphysique

Les problèmes multiphysiques, intrinsèquement, se modélisent sous le formalisme de l'algèbre tensoriel[2]. Ayant décrit une physique dans un espace $E_1$ et une autre physique dans un espace $E_2$, l'espace dans lequel peuvent être décrits des processus physiques incluant les deux physiques sous-jacentes est $E_{12} = E_1 \otimes E_2$. En effet soit $B_1$ la base de $E_1$ et $B_2$ celle de $E_2$, le produit tensoriel des deux espaces engendre une base composite $B_1 \otimes B_2$ où l'on retrouve toutes les combinaisons de valeurs des composantes des deux bases. Dans notre cas, nous considérons une première base électrique dans une topologie cellulaire $T_e : (G, g)$ ($G$ est le graphe de cette topologie, et $g$ sa métrique) $\vec{a}^k$ et une seconde base thermique dans une topologie cellulaire $T_t : (H, y)$, $\delta\vec{T}^j$ ($H$ est son graphe et $y$ sa métrique). Nous considérons tous les couples possibles de courants fois des températures comme base de l'espace composite $\vec{a}^k \otimes \delta\vec{T}^j = \vec{u}^{kj}$.

En pratique nous allons écrire le tenseur fondamental de l'espace composite avec des composantes faisant intervenir les deux aspects électrique et thermique. Un exemple connu est l'expression d'une résistance qui d'une valeur fixe $R$, indépendante de la température, devient $R = (1 + \alpha\delta T)$ où $\delta T$ est un gradient de température et $\alpha$ un coefficient de couplage [$\Omega/K$]. Parallèlement à l'expression composite du tenseur fondamental de $T_e$ nous avons un système d'équations thermiques $\Phi_u = y_{uv}\delta T^v$ appartenant à $T_t$. Le terme source $\Phi_u$ provient de l'effet Joule issu des courants électriques :

$$ \Phi_u = \left( \frac{1}{4} \{ z^{ij} a_i a_j^* + z^{*ij} a_i^* a_j \} \right)_u \quad (1) $$

Les deux systèmes d'équations sont donc couplés via $\delta T$ et $a_k$ respectivement.

## 3 Application à la modélisation de l'impact de foudre

Notre problème est de modéliser les effets thermique, électrique et mécanique provenant d'un impact de foudre direct sur une surface faite de plis de matériaux en sandwich. Dans ces plis nous considérons dans un premier temps des couches conductrices et des couches isolantes. Les couches conductrices conduisent le courant foudre jusqu'à ce que la température atteinte provoque leur dislocation. Les isolants peuvent être percés par une différence de potentiels qui dépasse leur tension de claquage (tenue diélectrique). Des matériaux possédant les deux propriétés de conduction et isolement seront modélisés par des propriétés composites. Mais globalement nous considérons que la conduction du courant foudre s'effectue le
## 2 Utilisation de l'analyse tensorielle des réseaux pour la modélisation multiphysique

Les problèmes multiphysiques, intrinsèquement, se modélisent sous le formalisme de l'algèbre tensoriel[2]. Ayant décrit une physique dans un espace $E_1$ et une autre physique dans un espace $E_2$, l'espace dans lequel peuvent être décrits des processus physiques incluant les deux physiques sous-jacentes est $E_{12} = E_1 \otimes E_2$. En effet soit $B_1$ la base de $E_1$ et $B_2$ celle de $E_2$, le produit tensoriel des deux espaces engendre une base composite $B_1 \otimes B_2$ où l'on retrouve toutes les combinaisons de valeurs des composantes des deux bases. Dans notre cas, nous considérons une première base électrique dans une topologie cellulaire $T_e : (G, g)$ ($G$ est le graphe de cette topologie, et $g$ sa métrique) $\vec{a}^k$ et une seconde base thermique dans une topologie cellulaire $T_t : (H, y)$, $\delta\vec{T}^j$ ($H$ est son graphe et $y$ sa métrique). Nous considérons tous les couples possibles de courants fois des températures comme base de l'espace composite $\vec{a}^k \otimes \delta\vec{T}^j = \vec{u}^{kj}$.

En pratique nous allons écrire le tenseur fondamental de l'espace composite avec des composantes faisant intervenir les deux aspects électrique et thermique. Un exemple connu est l'expression d'une résistance qui d'une valeur fixe $R$, indépendante de la température, devient $R = (1 + \alpha\delta T)$ où $\delta T$ est un gradient de température et $\alpha$ un coefficient de couplage [$\Omega/K$]. Parallèlement à l'expression composite du tenseur fondamental de $T_e$ nous avons un système d'équations thermiques $\Phi_u = y_{uv}\delta T^v$ appartenant à $T_t$. Le terme source $\Phi_u$ provient de l'effet Joule issu des courants électriques :

$$ \Phi_u = \left( \frac{1}{4} \{ z^{ij} a_i a_j^* + z^{*ij} a_i^* a_j \} \right)_u \quad (1) $$

Les deux systèmes d'équations sont donc couplés via $\delta T$ et $a_k$ respectivement.

## 3 Application à la modélisation de l'impact de foudre

Notre problème est de modéliser les effets thermique, électrique et mécanique provenant d'un impact de foudre direct sur une surface faite de plis de matériaux en sandwich. Dans ces plis nous considérons dans un premier temps des couches conductrices et des couches isolantes. Les couches conductrices conduisent le courant foudre jusqu'à ce que la température atteinte provoque leur dislocation. Les isolants peuvent être percés par une différence de potentiels qui dépasse leur tension de claquage (tenue diélectrique). Des matériaux possédant les deux propriétés de conduction et isolement seront modélisés par des propriétés composites. Mais globalement nous considérons que la conduction du courant foudre s'effectue le
long de la surface via les plis conducteurs alors que les diélectriques ne peuvent assurer cette fonction. A contrario l'isolement entre couche ne peut être assuré par les couches conductrices, et ce sont donc les couches isolantes qui bloquent temporairement le passage du courant par une couche conductrice sous-jacente jusqu'à ce que la couche isolante soit percée par la surtension appliquée. Cette ségrégation de comportement un peu arbitraire s'avère très fertile à l'emploi pour simplifier la construction des modèles.

Les plis sont modélisés par des impédances parallèles à la surface pour les conducteurs et des impédances perpendiculaires à la surface pour les isolants. Pour prendre en compte de la façon la plus pertinente possible l'apport d'énergie de l'arc en retour (nous ne modélisons pas les streamers préalables) nous partons d'une circulation de l'énergie provenant de celle accumulée dans la cellule orageuse en série avec une résistance d'arc arbitraire mais permettant de trouver efficacement la distribution et les bilans de courants transmis. Par ailleurs ce modèle peut être facilement adapté à un montage expérimental, ce qui est le principal pour sa validation.

Un premier cycle correspond à l'alimentation en courant, sous la différence de potentiel (ddp) de la cellule foudre de la première couche supposée conductrice. Un second cycle correspond au circuit de la couche isolante en série avec la couche conductrice sous-jacente. Dans le principe, nous nous intéressons à l'arc en retour. Le canal ionisé est établi et le courant principal de foudre s'applique à la première couche conductrice et est évacué par cette couche. La couche isolante empêche que le courant exploite la seconde couche conductrice. La ddp aux bornes des couches est réduite tant que la première couche conduit le courant avec une faible impédance. Mais au fur et à mesure que la première couche voit sa résistance augmenter jusqu'à destruction sous l'effet Joule de la conduction du courant fort de la foudre, cette ddp croît régulièrement. Quand la première couche s'évapore, elle revient au niveau de départ avant impact sur la première couche. Cette ddp dépassant le seuil de claquage de la couche isolante perce cette dernière, et l'arc rejoint la seconde couche conductrice; etc.

## 4 formulation mathématique

Pour traduire les comportements fortement non linéaires des impédances sous contraintes thermique ou ensuite mécanique, nous utilisons des fonctions de domaines[3]. Par exemple pour développer l'expression d'une résistance en fonction de la température nous écrivons :

$$R(T) = \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 \qquad (2)$$
long de la surface via les plis conducteurs alors que les diélectriques ne peuvent assurer cette fonction. A contrario l'isolement entre couche ne peut être assuré par les couches conductrices, et ce sont donc les couches isolantes qui bloquent temporairement le passage du courant par une couche conductrice sous-jacente jusqu'à ce que la couche isolante soit percée par la surtension appliquée. Cette ségrégation de comportement un peu arbitraire s'avère très fertile à l'emploi pour simplifier la construction des modèles.

Les plis sont modélisés par des impédances parallèles à la surface pour les conducteurs et des impédances perpendiculaires à la surface pour les isolants. Pour prendre en compte de la façon la plus pertinente possible l'apport d'énergie de l'arc en retour (nous ne modélisons pas les streamers préalables) nous partons d'une circulation de l'énergie provenant de celle accumulée dans la cellule orageuse en série avec une résistance d'arc arbitraire mais permettant de trouver efficacement la distribution et les bilans de courants transmis. Par ailleurs ce modèle peut être facilement adapté à un montage expérimental, ce qui est le principal pour sa validation.

Un premier cycle correspond à l'alimentation en courant, sous la différence de potentiel (ddp) de la cellule foudre de la première couche supposée conductrice. Un second cycle correspond au circuit de la couche isolante en série avec la couche conductrice sous-jacente. Dans le principe, nous nous intéressons à l'arc en retour. Le canal ionisé est établi et le courant principal de foudre s'applique à la première couche conductrice et est évacué par cette couche. La couche isolante empêche que le courant exploite la seconde couche conductrice. La ddp aux bornes des couches est réduite tant que la première couche conduit le courant avec une faible impédance. Mais au fur et à mesure que la première couche voit sa résistance augmenter jusqu'à destruction sous l'effet Joule de la conduction du courant fort de la foudre, cette ddp croît régulièrement. Quand la première couche s'évapore, elle revient au niveau de départ avant impact sur la première couche. Cette ddp dépassant le seuil de claquage de la couche isolante perce cette dernière, et l'arc rejoint la seconde couche conductrice; etc.

## 4 formulation mathématique

Pour traduire les comportements fortement non linéaires des impédances sous contraintes thermique ou ensuite mécanique, nous utilisons des fonctions de domaines[3]. Par exemple pour développer l'expression d'une résistance en fonction de la température nous écrivons :

$$R(T) = \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 \qquad (2)$$
Dans cette écriture, les opérateurs $\mathcal{D}_{[T_i]}^T$ indiquent que sur l'intervalle de tempé-
ratures $[T_i]$ cette fonction vaut 1, et 0 pour les valeurs en-dehors de cet intervalle.
De fait en regardant le développement, nous comprenons que la résistance $R(T)$
vaut $R_1$ si la température appartient à l'intervalle de valeurs $[T_1]$ et vaut $R_2$ si
la température appartient à l'intervalle de valeurs $[T_2]$. Ces fonctions portent les
couplages entre les physiques, reliant la valeur de la résistance à celle de la tem-
pérature. Les impédances des deux cycles couvrant les trois couches sont donc :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
R_a + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 \\
\\
R_a + \mathcal{D}_{[U]}^U R_v + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_{21} + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_{22}
\end{array}
\right.
\qquad (3)
$$

$R_v$ est la résistance de la couche isolante, $R_{21}$ et $R_{22}$ les valeurs de résistance de la seconde couche conductrice.

Entre ces deux couches, le couplage intervient via la résistance d'arc $R_a$ qui
pilote l'énergie distribuée. Le circuit électrique est finalement défini par l'impé-
dance :

$$
\zeta = \begin{bmatrix} R_a + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 & R_a \\ R_a & R_a + \mathcal{D}_{[U]}^U R_v + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_{21} + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_{22} \end{bmatrix} \quad (4)
$$

La source reporte le potentiel des charges de la cellule sur les deux cycles :
$T = [U_0, U_0]$. Les courants sont alors donnés à un instant donné par $T(k) =$
$\zeta J(k) \Rightarrow J(k) = yT(k)$. A chaque valeur du temps nous déroulons un calcul sous
le formalisme de Laplace. Nous avons donc[4] :

$$
J(t) = \sqrt{y^* T(k)^* H y T(k)} \quad (5)
$$

L'évolution des valeurs des courants traduit celle des impédances des cycles et donc
l'état des matériaux des plis correspondant. Nous détaillons le développement pour
un puis trois plis. Les valeurs prises dans ces illustrations sont sans réalité. Le seul
but est de montrer la faisabilité et la pertinence de la technique de modélisation
proposée, de même que nous travaillons avec des signaux positifs.

5 Détail de la modélisation pour un pli conducteur

Nous commençons par définir l'espace de configuration et le domaine temporel
associé : T. Dans le cadre de cet essai, nous définissons une source d'énergie U₀
Dans cette écriture, les opérateurs $\mathcal{D}_{[T_i]}^T$ indiquent que sur l'intervalle de tempé-
ratures $[T_i]$ cette fonction vaut 1, et 0 pour les valeurs en-dehors de cet intervalle.
De fait en regardant le développement, nous comprenons que la résistance $R(T)$
vaut $R_1$ si la température appartient à l'intervalle de valeurs $[T_1]$ et vaut $R_2$ si
la température appartient à l'intervalle de valeurs $[T_2]$. Ces fonctions portent les
couplages entre les physiques, reliant la valeur de la résistance à celle de la tem-
pérature. Les impédances des deux cycles couvrant les trois couches sont donc :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
R_a + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 \\
\\
R_a + \mathcal{D}_{[U]}^U R_v + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_{21} + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_{22}
\end{array}
\right.
\qquad (3)
$$

$R_v$ est la résistance de la couche isolante, $R_{21}$ et $R_{22}$ les valeurs de résistance de la seconde couche conductrice.

Entre ces deux couches, le couplage intervient via la résistance d'arc $R_a$ qui
pilote l'énergie distribuée. Le circuit électrique est finalement défini par l'impé-
dance :

$$
\zeta = \begin{bmatrix} R_a + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_1 + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_2 & R_a \\ R_a & R_a + \mathcal{D}_{[U]}^U R_v + \mathcal{D}_{[T_1]}^T R_{21} + \mathcal{D}_{[T_2]}^T R_{22} \end{bmatrix} \quad (4)
$$

La source reporte le potentiel des charges de la cellule sur les deux cycles :
$T = [U_0, U_0]$. Les courants sont alors donnés à un instant donné par $T(k) =$
$\zeta J(k) \Rightarrow J(k) = yT(k)$. A chaque valeur du temps nous déroulons un calcul sous
le formalisme de Laplace. Nous avons donc[4] :

$$
J(t) = \sqrt{y^* T(k)^* H y T(k)} \quad (5)
$$

L'évolution des valeurs des courants traduit celle des impédances des cycles et donc
l'état des matériaux des plis correspondant. Nous détaillons le développement pour
un puis trois plis. Les valeurs prises dans ces illustrations sont sans réalité. Le seul
but est de montrer la faisabilité et la pertinence de la technique de modélisation
proposée, de même que nous travaillons avec des signaux positifs.

5 Détail de la modélisation pour un pli conducteur

Nous commençons par définir l'espace de configuration et le domaine temporel
associé : T. Dans le cadre de cet essai, nous définissons une source d'énergie U₀
dans le domaine temporel discret telle que :

$$U_0[n] = U_0 \left[ \frac{1}{1 + \exp(-\alpha_1(n - n_1))} - \frac{1}{1 + \exp(-\alpha_2(n - n_2))} \right] \quad (6)$$

Ce signal temporel a un spectre défini par ($k$ est l'opérateur de Laplace) :

$$X[k] = \frac{T}{k\delta\tau} [1 - \exp(-k\delta\tau)] \quad (7)$$

$\delta\tau$ est la durée de l'impulsion élémentaire dont la succession pondérée reconstitue la forme $U_0[n]$. Le rapport entre le domaine de calcul et l'intervalle élémentaire donne, à un coefficient d'ajustement en énergie $\sigma$ près, le facteur de forme $\mathcal{H}$ que nous utiliserons pour le calcul des valeurs instantanées. Nous définissons une fonction de domaine en température :

$$\mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o} = \frac{1}{1 + \exp(-\beta(T^o - T_s))} \quad (8)$$

$T^o$ est la température, $T_s$ la température seuil pour laquelle la résistance du conducteur est à mi-chemin de la destruction par suréchauffement. Nous pouvons ensuite pour chaque instant $n\delta\tau$, exprimer la résistance de la seule couche conductrice :

$$R_1(T^o) = R_{10} \mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o} \quad (9)$$

La pente de la fonction sigmoïde de $\mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o}$ permet de réduire l'expression de $R_1$ à cette seule fonction en réglant cette pente de telle façon que pour la température ambiante elle prenne la valeur de résistance pour cette température.

Avec la résistance d'arc $R_a$ nous avons le circuit complet réduit à 1 cycle et nous pouvons calculer le courant en début d'application de l'énergie à l'instant $n_0\delta\tau$ :

$$J_1[k] = \frac{U_0[n_0]X[k]e^{-kn_0\tau}}{R_a + R_1} \quad (10)$$

Connaissant $J_1[n_0, k]$ nous en déduisons la valeur temporelle instantanée du courant dans le plis[4] :

$$J_1[n_0] = \sqrt{J_1^*[n_0, k]\mathcal{H}J_1[n_0, k]} \quad (11)$$

Connaissant la valeur temporelle du courant nous en déduisons la puissance instantanée et via la résistance thermique d'échange avec l'environnement $\mathcal{R}_1$, l'augmentation de température du conducteur :

$$\delta T^o = T^o + [\mathcal{R}_1]^{-1} \left( \frac{1}{2} R_1 J_1[n_0]^2 \right) \quad (12)$$
dans le domaine temporel discret telle que :

$$U_0[n] = U_0 \left[ \frac{1}{1 + \exp(-\alpha_1(n - n_1))} - \frac{1}{1 + \exp(-\alpha_2(n - n_2))} \right] \quad (6)$$

Ce signal temporel a un spectre défini par ($k$ est l'opérateur de Laplace) :

$$X[k] = \frac{T}{k\delta\tau} [1 - \exp(-k\delta\tau)] \quad (7)$$

$\delta\tau$ est la durée de l'impulsion élémentaire dont la succession pondérée reconstitue la forme $U_0[n]$. Le rapport entre le domaine de calcul et l'intervalle élémentaire donne, à un coefficient d'ajustement en énergie $\sigma$ près, le facteur de forme $\mathcal{H}$ que nous utiliserons pour le calcul des valeurs instantanées. Nous définissons une fonction de domaine en température :

$$\mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o} = \frac{1}{1 + \exp(-\beta(T^o - T_s))} \quad (8)$$

$T^o$ est la température, $T_s$ la température seuil pour laquelle la résistance du conducteur est à mi-chemin de la destruction par suréchauffement. Nous pouvons ensuite pour chaque instant $n\delta\tau$, exprimer la résistance de la seule couche conductrice :

$$R_1(T^o) = R_{10} \mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o} \quad (9)$$

La pente de la fonction sigmoïde de $\mathcal{D}_{[t_1]}^{T^o}$ permet de réduire l'expression de $R_1$ à cette seule fonction en réglant cette pente de telle façon que pour la température ambiante elle prenne la valeur de résistance pour cette température.

Avec la résistance d'arc $R_a$ nous avons le circuit complet réduit à 1 cycle et nous pouvons calculer le courant en début d'application de l'énergie à l'instant $n_0\delta\tau$ :

$$J_1[k] = \frac{U_0[n_0]X[k]e^{-kn_0\tau}}{R_a + R_1} \quad (10)$$

Connaissant $J_1[n_0, k]$ nous en déduisons la valeur temporelle instantanée du courant dans le plis[4] :

$$J_1[n_0] = \sqrt{J_1^*[n_0, k]\mathcal{H}J_1[n_0, k]} \quad (11)$$

Connaissant la valeur temporelle du courant nous en déduisons la puissance instantanée et via la résistance thermique d'échange avec l'environnement $\mathcal{R}_1$, l'augmentation de température du conducteur :

$$\delta T^o = T^o + [\mathcal{R}_1]^{-1} \left( \frac{1}{2} R_1 J_1[n_0]^2 \right) \quad (12)$$
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Courbes calculées</figcaption></figure>

$R_1$ peut alors être recalculée pour cette nouvelle température et intervient dans le calcul du courant au prochain temps $n_1$, etc.

En appliquant cet algorithme sur un plis nous obtenons les courbes figure 1.

La première courbe donne l'énergie source $U_0$ et la courbe reconstituée par calculs des valeurs rms pondérées via $\mathcal{H}$. Les deux courbes se superposant montrent la bonne estimation du coefficient $\sigma$. La courbe du centre en haut est le spectre d'une impulsion élémentaire normalisée. La courbe en haut à droite est la fonction de domaine $\mathcal{D}_{[t_1]}$. La courbe en bas à gauche montre l'évolution de la résistance de plis $R_1$ au cours du temps. La courbe en bas à droite est la différence de potentiels aux bornes du plis. Nous l'avons choisie localement constante pour cet exercice.

La courbe en bas au centre est le courant de plis. Ce courant suit la forme source au départ puis chute rapidement quand la résistance du fait de la montée en température finit par être détruite. Suivant les modèles arbitraires que nous avons pris, l'évolution de $R_1$ avec la température est extrêmement rapide, d'où un courant d'amplitude maximale relativement faible.

## 6 Modélisation pour trois plis C-I-C : conducteur - isolant - conducteur

Nous associons aux plis isolants une propriété de tenue diélectrique et aux plis conducteurs une propriété de résistance variable. Les plis conducteurs sont les éléments des cycles alimentés par la source d'énergie alors que les plis isolants
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Courbes calculées</figcaption></figure>

$R_1$ peut alors être recalculée pour cette nouvelle température et intervient dans le calcul du courant au prochain temps $n_1$, etc.

En appliquant cet algorithme sur un plis nous obtenons les courbes figure 1.

La première courbe donne l'énergie source $U_0$ et la courbe reconstituée par calculs des valeurs rms pondérées via $\mathcal{H}$. Les deux courbes se superposant montrent la bonne estimation du coefficient $\sigma$. La courbe du centre en haut est le spectre d'une impulsion élémentaire normalisée. La courbe en haut à droite est la fonction de domaine $D_{[t_1]}^{T_o}$. La courbe en bas à gauche montre l'évolution de la résistance de plis $R_1$ au cours du temps. La courbe en bas à droite est la différence de potentiels aux bornes du plis. Nous l'avons choisie localement constante pour cet exercice.

La courbe en bas au centre est le courant de plis. Ce courant suit la forme source au départ puis chute rapidement quand la résistance du fait de la montée en température finit par être détruite. Suivant les modèles arbitraires que nous avons pris, l'évolution de $R_1$ avec la température est extrêmement rapide, d'où un courant d'amplitude maximale relativement faible.

## 6 Modélisation pour trois plis C-I-C : conducteur - isolant - conducteur

Nous associons aux plis isolants une propriété de tenue diélectrique et aux plis conducteurs une propriété de résistance variable. Les plis conducteurs sont les éléments des cycles alimentés par la source d'énergie alors que les plis isolants
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Organisation des impédances de plis</figcaption></figure>

s'interposent entre les plis conducteurs et leurs sont transverses, puisqu'a contrario, ils ne conduisent pas le courant vers le retour d'alimentation. Nous arrivons ainsi à une succession d'impédances parallèles / séries suivant la nature des plis (2).

Les impédances des plis conducteurs sont pilotées par des fonctions de domaine du type thermique $\mathcal{D}_{[t_1]}$ alors que les plis isolants sont pilotés par des fonctions de domaine de type potentiel $\mathcal{D}_{[u_1]}$. Le potentiel de source étant maintenu car indépendant des plis, mais dépendant des charges de la cellule orageuse et du sol, quand un pli conducteur est détruit par échauffement, si le pli isolant sous-jacent est percé car ne tenant pas le potentiel de source, le percement reporte la conduction de l'arc sur le pli conducteur sous-jacent. Ce processus se reporte jusqu'au dernier pli. Nous avons programmé cette structure à trois plis : conducteur - isolant - conducteur (C-I-C) avec une impédance d'isolant $R_v$ telle que :

$$R_v = R_{v0} \mathcal{D}_{[u_1]} = R_{v0} \left[ 1 - \frac{1}{1 + \exp(-\gamma(u - u_s))} \right] \quad (13)$$

La fonction de domaine est ici complémentaire de celle thermique puisque c'est au dépassement du seuil de tenue en tension $u_s$ que l'isolant se perce et que l'impédance du pli chute, le perçage devenant équivalent à une absence d'impédance, donc une impédance nulle (ce concept est différent cependant d'un court-circuit).

Le résultat de la programmation de ce modèle est montré figure 3. La courbe
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Organisation des impédances de plis</figcaption></figure>

s'interposent entre les plis conducteurs et leurs sont transverses, puisqu'a contrario, ils ne conduisent pas le courant vers le retour d'alimentation. Nous arrivons ainsi à une succession d'impédances parallèles / séries suivant la nature des plis (2).

Les impédances des plis conducteurs sont pilotées par des fonctions de domaine du type thermique $\mathcal{D}_{[t_1]}$ alors que les plis isolants sont pilotés par des fonctions de domaine de type potentiel $\mathcal{D}_{[u_1]}$. Le potentiel de source étant maintenu car indépendant des plis, mais dépendant des charges de la cellule orageuse et du sol, quand un pli conducteur est détruit par échauffement, si le pli isolant sous-jacent est percé car ne tenant pas le potentiel de source, le percement reporte la conduction de l'arc sur le pli conducteur sous-jacent. Ce processus se reporte jusqu'au dernier pli. Nous avons programmé cette structure à trois plis : conducteur - isolant - conducteur (C-I-C) avec une impédance d'isolant $R_v$ telle que :

$$R_v = R_{v0} \mathcal{D}_{[u_1]} = R_{v0} \left[ 1 - \frac{1}{1 + \exp(-\gamma(u - u_s))} \right] \quad (13)$$

La fonction de domaine est ici complémentaire de celle thermique puisque c'est au dépassement du seuil de tenue en tension $u_s$ que l'isolant se perce et que l'impédance du pli chute, le perçage devenant équivalent à une absence d'impédance, donc une impédance nulle (ce concept est différent cependant d'un court-circuit).

Le résultat de la programmation de ce modèle est montré figure 3. La courbe
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Résultats pour 3 plis C-I-C</figcaption></figure>

en bas à gauche est celle de l'impédance de l'isolant. Sa remontée n'a pas de sens et est liée à la fin de l'existence de l'énergie source : le potentiel n'étant plus maintenu, la fonction de domaine revient à 1. La courbe la plus intéressante est en haut à droite. Nous retrouvons le premier pic lié à la destruction du premier pli conducteur, mais un second pic plus important car intervenant au moment où la source est à son maximum et correspondant à la destruction du troisième pli qui est un conducteur. Ce pic intervient avec retard puisque lorsque le premier pli conduisait sans être dégradé, le potentiel aux bornes des deux plis sous-jacents était faible et l'isolant du coup coupait le report d'énergie vers le troisième pli. Lorsque le premier pli se détruit, le potentiel augmente rapidement aux bornes de l'isolant qui est alors percé. Le courant exploite alors le troisième pli pour véhiculer l'énergie. Les deux plis conducteurs étant identiques ici, les courbes de variation de leurs impédances sont aussi identiques (courbe en bas à droite. Notons qu'elles apparaissent synchrones parce que nous n'y avons pas intégré le retard. En réalité la variation de $R_2$, logiquement plus brusque, apparaît plus tard que celle de $R_1$).

Le circuit thermique comporte deux résistances thermiques identiques (ce choix est arbitraire, en réalité la seconde devrait être composite du restant des couches supérieures). Le point important est que la puissance calculée pour déterminer l'élévation de température l'est à partir de la valeur temporelle instantanée $P = 1/2R_iJ_i(t)^2$, de même que la différence de potentiels appliquée aux bornes de l'iso-
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Résultats pour 3 plis C-I-C</figcaption></figure>

en bas à gauche est celle de l'impédance de l'isolant. Sa remontée n'a pas de sens et est liée à la fin de l'existence de l'énergie source : le potentiel n'étant plus maintenu, la fonction de domaine revient à 1. La courbe la plus intéressante est en haut à droite. Nous retrouvons le premier pic lié à la destruction du premier pli conducteur, mais un second pic plus important car intervenant au moment où la source est à son maximum et correspondant à la destruction du troisième pli qui est un conducteur. Ce pic intervient avec retard puisque lorsque le premier pli conduisait sans être dégradé, le potentiel aux bornes des deux plis sous-jacents était faible et l'isolant du coup coupait le report d'énergie vers le troisième pli. Lorsque le premier pli se détruit, le potentiel augmente rapidement aux bornes de l'isolant qui est alors percé. Le courant exploite alors le troisième pli pour véhiculer l'énergie. Les deux plis conducteurs étant identiques ici, les courbes de variation de leurs impédances sont aussi identiques (courbe en bas à droite. Notons qu'elles apparaissent synchrones parce que nous n'y avons pas intégré le retard. En réalité la variation de $R_2$, logiquement plus brusque, apparaît plus tard que celle de $R_1$).

Le circuit thermique comporte deux résistances thermiques identiques (ce choix est arbitraire, en réalité la seconde devrait être composite du restant des couches supérieures). Le point important est que la puissance calculée pour déterminer l'élévation de température l'est à partir de la valeur temporelle instantanée $P = 1/2R_iJ_i(t)^2$, de même que la différence de potentiels appliquée aux bornes de l'iso-
lant l'est pour la valeur temporelle instantanée. Nous avons :

$$
\left\{
\begin{aligned}
u[k] &= U_0[n]X[k]e^{-kn\tau} - R_a(J_0[k] + J_1[k]) \\
U_{rms}[n\delta\tau] &= \sqrt{u[k]^*\mathcal{H}u[k]} \\
\mathcal{D}_{[u_s]}[n\delta\tau] &= (1 - [1 + \exp(-\gamma(U_{rms}[n\delta\tau] - u_s))]^{-1})
\end{aligned}
\right.
\qquad (14)
$$

Notez que nous ne nous sommes pas préoccupés dans ces exercices du signe
de $U_{rms}$ ni de celui de $J_1[n]$ que nous savions positifs. Pour un signal bipolaire,
le calcul de la valeur rms pondérée doit être multiplié localement en $n_0$ pour un
signal temporel $x$ quelconque par $x[n_0]/|x[n_0]|$.

7 Ajout de la dimension mécanique

L'ajout d'une dimension mécanique se fait également dans l'espace temporel en résolvant l'équation de Newton de la forme $\sigma_h^i p^h + k p^i = f^i$, où $p^h$ est l'impulsion, $\sigma_h^i$ un opérateur de raideur et $f^i$ la force appliquée. Un troisième graphe vient illustrer les interactions mécaniques. Le couplage mécanique - électrique intervient via les paramètres géométriques des impédances. Par exemple une résistance est définie par une forme $R = \rho G(x, S)$ où $G(x, S)$ est une fonction géométrique de la longueur et d'une section effective. Une accélération déduite de l'interaction mécanique vient déplacer la matière et par étirement dans une limite fixée par $\sigma_h^i$, modifier la valeur de la résistance, voire supprimer cette dernière par destruction mécanique[5].

8 Conclusion

La technique de modélisation mise au point exploite la modélisation des non
linéarités par la fonction de "rms pondérée"[4] qui permet de prendre en compte
l'effet pelliculaire et tout autre propriété complexe qui aura pu être mesurée en
fréquence. Les valeurs de courant ou tension aux bornes des plis déduites de cette
technique viennent alimenter des équations qui modifient les valeurs des impé-
dances des plis. La température est recalculée pour chaque instant sur la base
d'un circuit thermique travaillant en parallèle au circuit électromagnétique. Le cir-
cuit électromagnétique peut être facilement enrichi d'interactions complexes sous
l'ATR comme cela a pu être conduits de très nombreuses fois (voir par exemple
[6]). Les fonctions de domaine donnent toutes possibilités pour traduire les change-
ments de phases des matériaux[4]. L'analyse tensorielle des réseaux montre ici une
lant l'est pour la valeur temporelle instantanée. Nous avons :

$$
\left\{
\begin{aligned}
u[k] &= U_0[n]X[k]e^{-kn\tau} - R_a(J_0[k] + J_1[k]) \\
U_{rms}[n\delta\tau] &= \sqrt{u[k]^*\mathcal{H}u[k]} \\
\mathcal{D}_{[u_s]}[n\delta\tau] &= (1 - [1 + \exp(-\gamma(U_{rms}[n\delta\tau] - u_s))]^{-1})
\end{aligned}
\right.
\qquad (14)
$$

Notez que nous ne nous sommes pas préoccupés dans ces exercices du signe
de $U_{rms}$ ni de celui de $J_1[n]$ que nous savions positifs. Pour un signal bipolaire,
le calcul de la valeur rms pondérée doit être multiplié localement en $n_0$ pour un
signal temporel $x$ quelconque par $x[n_0]/|x[n_0]|$.

7 Ajout de la dimension mécanique

L'ajout d'une dimension mécanique se fait également dans l'espace temporel en résolvant l'équation de Newton de la forme $\sigma_h^i p^h + k p^i = f^i$, où $p^h$ est l'impulsion, $\sigma_h^i$ un opérateur de raideur et $f^i$ la force appliquée. Un troisième graphe vient illustrer les interactions mécaniques. Le couplage mécanique - électrique intervient via les paramètres géométriques des impédances. Par exemple une résistance est définie par une forme $R = \rho G(x, S)$ où $G(x, S)$ est une fonction géométrique de la longueur et d'une section effective. Une accélération déduite de l'interaction mécanique vient déplacer la matière et par étirement dans une limite fixée par $\sigma_h^i$, modifier la valeur de la résistance, voire supprimer cette dernière par destruction mécanique[5].

8 Conclusion

La technique de modélisation mise au point exploite la modélisation des non
linéarités par la fonction de "rms pondérée"[4] qui permet de prendre en compte
l'effet pelliculaire et tout autre propriété complexe qui aura pu être mesurée en
fréquence. Les valeurs de courant ou tension aux bornes des plis déduites de cette
technique viennent alimenter des équations qui modifient les valeurs des impé-
dances des plis. La température est recalculée pour chaque instant sur la base
d'un circuit thermique travaillant en parallèle au circuit électromagnétique. Le cir-
cuit électromagnétique peut être facilement enrichi d'interactions complexes sous
l'ATR comme cela a pu être conduits de très nombreuses fois (voir par exemple
[6]). Les fonctions de domaine donnent toutes possibilités pour traduire les change-
ments de phases des matériaux[4]. L'analyse tensorielle des réseaux montre ici une
capacité à modéliser ce type de processus physique complexe avec des expressions compactes et ne nécessitant pas de temps de calcul significatifs.

Nous donnons en annexe le programme qui a permis de tracer les courbes de la figure 3.

Références

[1] V.Bedel, *Mise en oeuvre et optimisation d'un revêtement conducteur poly(époxy) : fils submicroniques d'argent pour la protection foudre de structures aéronautiques*. https://theses.hal.science/tel-02301592.

[2] Olivier Maurice. FROM R4 CURVILINEAR SPACE TO THE CYCLE SPACE. 2024. (hal-04448080).

[3] Maurice, O. (2022). Miscela de physique, systémique et électronique. AFSCET.

[4] Olivier Maurice, Naomi De Mejanes, Philippe Meton. Modeling non linearities in the frequency domain. 2024. (hal-04527374).

[5] Chemartin, Lalande, Peyrou, Chazottes, Alias, Delalondre, Cheron, Lago, *Direct effects of lightning on aircraft structures analysis of the thermal, electrical and mechanical constraints*. Hal-01184416.

[6] Olivier Maurice, Alain Reineix. Analyse tensorielle des réseaux hybridée comme outil théorique pour la CEM et l'électromagnétisme. CEM2010, Apr 2010, Limoges, France. pp.A.Reineix, O.Maurice. (hal-00835062)

9 Annexe

#
# programme de simulation du perçage de plis par
# un impact de foudre direct
# seconde version avec deux plis séparés par
# un vernis isolant
# auteur : Olivier MAURICE, AFSCET
#
import numpy as np
import pylab as plt
#
c=3E8
uo=4.*np.pi*1E-7
eo=1./ (uo*c**2.)
#
capacité à modéliser ce type de processus physique complexe avec des expressions compactes et ne nécessitant pas de temps de calcul significatifs.

Nous donnons en annexe le programme qui a permis de tracer les courbes de la figure 3.

Références

[1] V.Bedel, *Mise en oeuvre et optimisation d'un revêtement conducteur poly(époxy) : fils submicroniques d'argent pour la protection foudre de structures aéronautiques*. https://theses.hal.science/tel-02301592.

[2] Olivier Maurice. FROM R4 CURVILINEAR SPACE TO THE CYCLE SPACE. 2024. (hal-04448080).

[3] Maurice, O. (2022). Miscela de physique, systémique et électronique. AFSCET.

[4] Olivier Maurice, Naomi De Mejanes, Philippe Meton. Modeling non linearities in the frequency domain. 2024. (hal-04527374).

[5] Chemartin, Lalande, Peyrou, Chazottes, Alias, Delalondre, Cheron, Lago, *Direct effects of lightning on aircraft structures analysis of the thermal, electrical and mechanical constraints*. Hal-01184416.

[6] Olivier Maurice, Alain Reineix. Analyse tensorielle des réseaux hybridée comme outil théorique pour la CEM et l'électromagnétisme. CEM2010, Apr 2010, Limoges, France. pp.A.Reineix, O.Maurice. (hal-00835062)

9 Annexe

#
# programme de simulation du perçage de plis par
# un impact de foudre direct
# seconde version avec deux plis séparés par
# un vernis isolant
# auteur : Olivier MAURICE, AFSCET
#
import numpy as np
import pylab as plt
#
c=3E8
uo=4.*np.pi*1E-7
eo=1./ (uo*c**2.)
#
```python
# données d'entrée
# plis
R1T=100. # resistance thermique conducteur et
# couche en-dessous
R2T=100.
# section invariante
#######################
# domaine de calcul
T=2E-3
dt=1E-6
N=int(T/dt)

Uo= np.zeros(N, type = float)
abst= np zeros(N, type = float)
Temp= np zeros(N, type = float)

for n in range(N):
    t=n*dt
    abst[n]=t*1E6 # t en us
    Uo[n]=100E3*(1./ (1.+np .exp(-1E5*(t-200E-6))))\ 
               -1./ (1.+np .exp(-1E5*(t-1200E-6))))

X= np zeros(N, type = complex)
absf= np zeros(N, type = float)

for s in range(1,N):
    f=s/T
    absf[s]=f
    k=1J*2.*np .pi*f
    X[s]=T/(dt*k)*(1.-np .exp(-k*dt))
    X[0]=X[1]

# facteur de forme
F=1.
Wrms= np zeros(N, type = float)

for n in range(N):
    Wrms[n] = abs(np.dot(Uo[n]*np.conj(X)*\ 
                        np.exp(k*t), F*Uo[n]*X np.exp(-k*t)))

F=max(Uo)/max(Wrms)
Wrms= np zeros(N, type = float)

for n in range(N):
```
```python
#---------------------------------------------
###### on calcule dans la boucle temporelle
#Uo=100E3 # ddp incidente en bout d'arc
Ra=1. # impédance d'arc
Urms= np zesros(N, type=complex)
Urmt= np zesros(N, type=float)
mR1= np zesros(N, type=float)
mR2= np zesros(N, type=float)
mRv= np zesros(N, type=float)
mT= np zesros(N, type=float)
dT1=0.
dT2=0.
Uim=0.
P1=0.
P2=0.
Jts= np zesros((N,2), type=complex)
Jtt= np zesros((N,2), type=float)
barre=0
print('||||||||||||||||||||||| fin calcul')
for n in range(N):
    t=n*dt
    U= np zesros(N, type=complex)
    R1=1E5/(1.+np .exp(-5E-2*(dT1-300)))
    R2=1E5/(1.+np .exp(-5E-2*(dT2-300)))
    Rv=1E6*(1.- (1./ (1.+np .exp(-1.* (Uim-20E1)))))
mR1[n]=abs(R1)
mR2[n]=abs(R2)
mRv[n]=Rv
for s in range(1,N):
    f=s/T
    k=1J*2.*np .pi*f
    TS=[[Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)], \  
       [Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)]]
    zeta=[[Ra+R1, Ra], [Ra, Ra+Rv+R2]]
    y= np lINALg .inv(zeta)
    Jts[s.:]=np .transpose(np .dot(y,TS))
    Urms[s]=Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)\  
        -Ra*(Jts[s,0]+Jts[s,1])
    Jts[0]=Jts[1]
```
```python
#---------------------------------------------
###### on calcule dans la boucle temporelle
#Uo=100E3 # ddp incidente en bout d'arc
Ra=1. # impédance d'arc
Urms= np zesros(N, type=complex)
Urmt= np zesros(N, type=float)
mR1= np zesros(N, type=float)
mR2= np zesros(N, type=float)
mRv= np zesros(N, type=float)
mT= np zesros(N, type=float)
dT1=0.
dT2=0.
Uim=0.
P1=0.
P2=0.
Jts= np zesros((N,2), type=complex)
Jtt= np zesros((N,2), type=float)
barre=0
print('||||||||||||||||||||||| fin calcul')
for n in range(N):
    t=n*dt
    U= np zesros(N, type=complex)
    R1=1E5/(1.+np .exp(-5E-2*(dT1-300)))
    R2=1E5/(1.+np .exp(-5E-2*(dT2-300)))
    Rv=1E6*(1.- (1./ (1.+np .exp(-1.* (Uim-20E1))))))
mR1[n]= abs(R1)
mR2[n]= abs(R2)
mRv[n]= Rv
for s in range(1,N):
    f=s/T
    k=1J*2.*np .pi*f
    TS=[ [Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)], \ 
        [Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)]]
    zeta=[ [Ra+R1, Ra], [Ra, Ra+Rv+R2]]
    y= np lINALg .inv(zeta)
    Jts[s.:]= np transpose(np dot(y,TS))
    Urms[s]=Uo[n]*X[s]*np .exp(-k*t)\ 
        -Ra*(Jts[s,0]+Jts[s,1])
    Jts[0]=Jts[1]
```
Urms[0]=Urms[1]

```python
# courant temporel
Jtt[n, :] = [abs(npيونtpnp.dot(np conj(Jts[n, 0]),
                                F*Jts[n, 0]))], abs(npيونtpnp.dot(np conj(Jts[n, 1]),
                                F*Jts[n, 1])))]
```

# calcul de la tension restant derrière l'arc en temporel

Urmt[n] = abs(npيونtpnp.dot(np conj(Urms), F*Urms)))

# puissance développée aux bornes de la couche Ri

P1 = 1./2.*R1*Jtt[n,0]**2.

P2 = 1./2.*R2*Jtt[n,1]**2.

# réglage de dT(P) et Uim(Jts)

dT1 = dT1 + R1T * P1

dT2 = dT2 + R2T * P2

mT[n] = dT1

Uim = Urmt[n]

if (n > barre):
    print(u' ', end='')
    barre = barre + 100

Urmt[0] = Urmt[1]

#######

plt.figure(4)

plt plot(abst, mT, label='mT')

plt grid(True)

plt legend()

print(u'Fermer le graphique pour continuer le programme')

plt show()

print(u'tracé température')

plt figure(2)

plt subplot(2, 2, 1)

plt plot(abst, Urmt, label='ddp bornes plis : Urmt [V]')

plt grid(True)

plt xlabel(u'temps [µs]')

plt legend()

plt subplot(2, 2, 2)

plt plot(abst, Jtt[: ,0], label='Jtt1 : couran(t) [A]')

plt plot(abst, Jtt[: ,1], label='Jtt2 : couran(t) [A]')

plt grid(True)
Urms[0]=Urms[1]

```python
# courant temporel
Jtt[n, :] = [abs(npيونtpnp.dot(np conj(Jts[n, 0]),
                                F*Jts[n, 0]))], abs(np.five(np.dot(np conj(Jts[n, 1]),
                                F*Jts[n, 1])))]
```

# calcul de la tension restant derrière l'arc en temporel

Urmt[n] = abs(np.five(np.dot(np conj(Urms), F*Urms)))

# puissance développée aux bornes de la couche Ri

P1 = 1./2.*R1 * Jtt[n, 0] ** 2.

P2 = 1./2.*R2 * Jtt[n, 1]**2.

# réglage de dT(P) et Uim(Jts)

dT1 = dT1 + R1T * P1

dT2 = dT2 + R2T * P2

mT[n] = dT1

Uim = Urmt[n]

if (n > barre):
    print(u' ', end='')
    barre = barre + 100

Urmt[0] = Urmt[1]

#######

plt.figure(4)

plt plot(abst, mT, label='mT')

plt grid(True)

plot.legend()

print(u'Fermer le graphique pour continuer le programme')

plot.show()

print(u'tracé température')

plot.figure(2)

plot subpllot(2, 2, 1)

plot plot(abst, Urmt, label='ddp bornes plis : Urmt [V]')

plot grid(True)

plot xlabel(u'temps [µs]')

plot legend()

plot subpllot(2, 2, 2)

plot plot(abst, Jtt[: ,0], label='Jtt1 : couran(t) [A]')

plot plot(abst, Jtt[: ,1], label='Jtt2 : couran(t) [A]')

plot grid(True)
plt.xlabel(u'temps [s]')

plt.legend()

pltsubplot(2,2,3)

plt plot(abst,mRv label='mRv=Rv(t) [Ohm]')

plt.grid(True)

plt.xlabel(u'temps [µs]')

plt.legend()

pltsubplot(2,2,4)

plt plot(abst,mR1 label='mR1=R1(t) [Ohm]')

plt plot(abst,mR2 label='mR2=R2(t) [Ohm]')

plt.grid(True)

plt.xlabel(u'temps [µs]')

plt.legend()

print(u'fin programme')

plt.show()
plt.xlabel(u'temps [s]')

plt.legend()

pltsubplot(2,2,3)

plt plot(abst,mRv label='mRv=Rv(t) [Ohm]')

plt.grid(True)

plt.xlabel(u'temps [µs]')

plt.legend()

pltsubplot(2,2,4)

plt plot(abst,mR1 label='mR1=R1(t) [Ohm]')

plt plot(abst,mR2 label='mR2=R2(t) [Ohm]')

plt.grid(True)

plt.xlabel(u'temps [µs]')

plt.legend()

print(u'fin programme')

plt.show()