# Analyse de la tensioactivité en termes de gradient de force par unité de surface

Andre Schiltz

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

To cite this version:

Andre Schiltz. Analyse de la tensioactivité en termes de gradient de force par unité de surface. 2024. hal-04568104

HAL Id: hal-04568104

https://hal.science/hal-04568104

Preprint submitted on 24 Jun 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# Analyse de la tension superficielle en termes de gradient de force par unité de surface – Partie 1 : Expérience de pensée utilisant le principe d'équivalence en mécanique des fluides

Andre Schiltz

► To cite this version:

Andre Schiltz. Analyse de la tension superficielle en termes de gradient de force par unité de surface – Partie 1 : Expérience de pensée utilisant le principe d'équivalence en mécanique des fluides. 2025. [hal-04568104v3](https://hal.science/hal-04568104v3)

HAL Id: hal-04568104

https://hal.science/hal-04568104v3

Preprint submitted on 8 Nov 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# Analyse de la tensioactivité en termes de gradient de force par unité de surface

Dr André Schiltz
Grenoble, France

## Résumé

La tension de surface est définie comme une énergie par unité de surface ou, de manière équivalente, comme une force par unité de longueur.

Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée qui consiste à remplacer la tension de surface par un gradient de force équivalent selon la mécanique des fluides. L'intérêt d'un tel système de forces équivalentes est de permettre une analyse des effets de la tensioactivité en termes de gradient de force par unité de surface et en termes d'énergie par unité de volume.

Le présent outil théorique propose une vision alternative des forces de tensioactivité aux interfaces et permet de réécrire les équations connues en calculant l'équilibre des forces à l'état stationnaire. Les équations sont appliquées au cas de phénomènes connus tels que le ménisque, le tube capillaire, la lame de Wilhelmy et l'équilibre des gouttes et semi-gouttes.

Nous concluons cet article en prolongeant l'expérience de pensée par la formulation de quelques hypothèses théoriques qui permettraient d'interpréter ces gradients de contraintes équivalents.

**Mots clés :** Tension de surface, énergie de surface, tensioactivité, capillarité, interface, énergie potentielle, gradient.

## I Introduction

La tension superficielle est un phénomène physico-chimique lié aux interactions moléculaires d'un fluide avec son interface (interface avec un autre fluide, un gaz ou un solide). Ce phénomène est responsable des effets de la capillarité, de la formation du ménisque au bord d'un récipient, de la formation d'une goutte d'eau, du fait que des insectes semblent marcher sur l'eau, etc.

Aujourd'hui, la tension de surface 'γ' est définie de manière thermodynamique soit comme une force par unité de longueur en [N/m], soit comme une énergie par unité de surface en [J/m²].

Dans cet article, nous allons faire une expérience de pensée et définir, de manière mécanique, des gradients de contrainte qui vont nous permettre d'interpréter les effets de la tensioactivité en termes de gradient de force par unité de surface en [N/m²] et de manière équivalente, en termes de gradient d'énergie par unité de volume en [J/m³].

### 1.1 Loi de Laplace et équation de Young-Laplace (1804)

En 1804, Pierre-Simon Laplace¹ publie sa 'Théorie de l'action capillaire' où il présente une analyse mathématique de la courbure moyenne d'une surface, ce qui permet de calculer la différence de pression dans une goutte d'eau par rapport à l'atmosphère. La différence de pression est d'autant plus grande que la goutte est plus petite et elle est proportionnelle à la tension superficielle 'γ' selon l'équation dite de Young-Laplace :

$$ \Delta P = \frac{2\gamma}{R} \qquad (1) $$

Où :

$\Delta P$ : est la différence de pression à l'interface [N/m²]
# Analyse de la tension superficielle en termes de gradient de force par unité de surface - Partie 1 : Expérience de pensée utilisant le principe d'équivalence en mécanique des fluides

André Schiltz
Grenoble, France

## Résumé

Classiquement, la tension de surface est définie comme une force par unité de longueur ou comme une énergie par unité de surface. Dans cet article, nous proposons de remplacer la tension de surface par un gradient de force équivalente selon les principes de la mécanique des fluides.

Un tel système de forces équivalentes permet d'analyser les effets de la tension superficielle en termes de gradient de contrainte superficielle ou en termes d'énergie par unité de volume et de réécrire les équations connues en calculant l'équilibre des forces à l'état stationnaire. Ces nouvelles équations sont appliquées au cas de phénomènes connus tels que le ménisque, le tube capillaire, la lame de Wilhelmy et l'équilibre des gouttes et semi-gouttes.

**Mots clés :** Tension de surface, énergie de surface, tension superficielle, capillarité, interface, énergie potentielle, gradient.

## I Introduction

La tension superficielle est un phénomène physico-chimique lié aux interactions moléculaires d'un fluide avec son interface. Ce phénomène est responsable des effets de la capillarité, de la formation du ménisque au bord d'un verre, de la formation des gouttes d'eau, du fait que des insectes semblent marcher sur l'eau, etc.

Classiquement, la tension de surface 'γ' est définie de manière thermodynamique comme une force par unité de longueur en [N/m] ou comme une énergie par unité de surface en [J/m²].

Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée en définissant, de manière mécanique, des gradients de contrainte équivalents qui vont nous permettre d'interpréter les effets de la tension superficielle en termes de gradient de force par unité de surface en [N/m²] ou en termes de gradient d'énergie par unité de volume en [J/m³].

### 1.1 Loi de Laplace et équation de Young-Laplace (1804)

En 1804, Pierre-Simon Laplace¹ publie sa 'Théorie de l'action capillaire' où il présente une analyse mathématique de la courbure moyenne d'une surface, ce qui permet de calculer la différence de pression dans une goutte d'eau par rapport à l'atmosphère. La différence de pression est d'autant plus grande que la goutte est plus petite et elle est proportionnelle à la tension de surface 'γ' selon l'équation dite de Young-Laplace :

$$ \Delta P = \frac{2 \gamma}{R} \qquad (1) $$

Où :

ΔP : est la différence de pression à l'interface [N/m²]

R : est le rayon de la goutte sphérique [m]

γ : est la tension de surface [N/m] ou [J/m²]
R : est le rayon de la goutte sphérique [m]

γ : est la tension superficielle [N/m] ou [J/m²]

Dans une goutte d'eau, comme il n'y a aucun contact avec une surface solide, les seules forces à la surface sont les forces d'interface liquide-vapeur et la tension superficielle 'γ' dont on parle est la tension de surface liquide-vapeur 'γLV'.

La limitation principale de la loi de Laplace vient du fait que la pression tend théoriquement vers l'infini quand le rayon tend vers zéro. A ce jour, cette équation est toujours largement utilisée pour calculer les effets de la capillarité comme dans le cas de la montée d'un fluide dans un tube capillaire, selon la loi dite de Jurin², qu'on verra plus loin.

## 1.2 L'équation de Young-Dupré (1805)

En ce qui concerne l'équilibre du ménisque et celui d'une goutte d'eau sur un plan, on se réfère généralement à la loi théorique de Young-Dupré³. Dans le cas d'une goutte d'eau, comme décrit **Figure 1**, les trois tensions associées aux trois interfaces doivent s'équilibrer pour que la ligne triple soit à l'arrêt. La somme vectorielle des trois tensions projetées sur la surface est en principe nulle comme dans l'équation de Young-Dupré :

$$ \gamma_{LV} \cos(\theta) = \gamma_{SV} - \gamma_{SL} \qquad (2) $$

Où :

θ : est l'angle de contact de la goutte ou du ménisque

γLV : est la tension de surface liquide-vapeur

γSL : est la tension de surface solide-liquide

γSV : est la tension de surface solide-vapeur

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1– L'équation de Young-Dupré dans le cas d'une goutte d'eau**</figcaption></figure>

Pour résoudre cette équation d'équilibre à trois inconnues, les expérimentateurs mesurent généralement l'angle de contact 'θ' au point triple air-liquide-solide, ils utilisent la valeur de la tension de surface liquide-vapeur 'γLV' mesurée à l'aide d'un tensiomètre et calculent la tension de surface solide-liquide 'γSL' par extrapolation à l'aide de la méthode de Zisman et Fox⁴.

En ce qui concerne le ménisque, le schéma de la **Figure 2** décrit l'équilibre des trois tensions 'γLV', 'γSL' et 'γSV'. Comme on le verra dans les exemples du tube capillaire et de la lame de Wilhelmy, la plupart des expérimentateurs ne prennent en compte que la tension de surface liquide-vapeur 'γLV' et l'angle 'θ', cet angle étant relié aux autres tensions par l'équation de Young-Dupré.

Bien que la tension de surface représente une force par unité de longueur, on la met en équilibre avec le gradient de pression hydrostatique 'ρ g h' (où 'ρ' est la masse volumique, 'g' est l'intensité de la pesanteur et 'h' est la hauteur du fluide) qui s'exprime comme une force par unité de surface.
L'équation de Young-Laplace est obtenue en divisant la projection de la tension de surface 'γ' le long du périmètre '2ΠR' par la surface du plan médian 'ΠR²', soit : $ΔP = (2 γ /R)$.

La limitation principale de la loi de Laplace vient du fait que la pression tend théoriquement vers l'infini quand le rayon tend vers zéro. A ce jour, cette équation est toujours utilisée pour calculer les effets de la capillarité comme dans le cas de la montée d'un fluide dans un tube capillaire, selon la loi dite de Jurin².

## 1.2 Loi et équation de Young-Dupré (1805)

En ce qui concerne l'équilibre du ménisque et celui d'une goutte d'eau sur un plan, on se réfère généralement à la loi de Young-Dupré³. Comme décrit **Figure 1**, les trois tensions associées aux trois interfaces doivent s'équilibrer pour que la ligne triple soit à l'arrêt.

La somme vectorielle des trois tensions projetées sur la surface est en principe nulle comme dans l'équation de Young-Dupré :

$$γ_{LV} \cos(θ) = γ_{SV} - γ_{SL} \qquad (2)$$

Où :

θ : est l'angle de contact de la goutte ou du ménisque

γ<sub>LV</sub> : est la tension de surface liquide-vapeur [N/m]

γ<sub>SL</sub> : est la tension de surface solide-liquide [N/m]

γ<sub>SV</sub> : est la tension de surface solide-vapeur [N/m]

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1 - L'équation de Young-Dupré dans le cas d'une goutte d'eau**</figcaption></figure>

Pour résoudre cette équation d'équilibre à trois inconnues, les expérimentateurs mesurent généralement l'angle de contact 'θ' au point triple solide-liquide-vapeur, ils utilisent la valeur de la tension de surface liquide-vapeur 'γ<sub>LV</sub>' mesurée à l'aide d'un tensiomètre et ils calculent la tension de surface solide-liquide 'γ<sub>SL</sub>' par extrapolation à l'aide de la méthode de Zisman et Fox⁴.

Dans le cas du ménisque, le schéma de la **Figure 2** décrit l'équilibre des trois tensions 'γ<sub>LV</sub>', 'γ<sub>SL</sub>' et 'γ<sub>SV</sub>'. On notera que le tenseur de surface solide-vapeur est vers le haut alors que les tenseurs de surface liquide-vapeur et solide-liquide sont vers le bas⁵.

Comme on le verra dans les exemples du tube capillaire et de la lame de Wilhelmy, la plupart des expérimentateurs ne prennent en compte que la tension de surface liquide-vapeur 'γ<sub>LV</sub>' et l'angle 'θ', cet angle étant relié aux deux autres tenseurs par l'équation de Young-Dupré.
Dans le cas du tube capillaire, cela conduit à des équations du type `γ<sub>LV</sub> cosθ.{L} = ρ g h {S}`, où `L` est une longueur (le périmètre du tube) et `S` est une surface (la section du tube), soit : `γ<sub>LV</sub> cosθ . 2ΠR = ρ g h. Π.R<sup>2</sup>` (où `R` est le rayon du tube et `θ` est l'angle que le fluide fait avec la paroi).
Cette formulation conduit à l'équation bien connue de Jurin² : `ρ g h = 2 γ cosθ /R`, équation que l'on analysera plus loin.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2 –Dessin des tenseurs de surface et de l'angle de contact pour le ménisque selon l'équation de Young-Dupré**</figcaption></figure>

**1.3 Aspect énergétique**

La tension de surface ‘γ’ peut être considérée à la fois comme une force par unité de longueur en [N/m] et comme une énergie par unité de surface en [J/m²]:

a) en tant que force par unité de longueur, ‘γ’ est vue comme la force nécessaire en Newtons pour accroître le diamètre de l’interface d’un mètre

b) en tant qu'énergie par unité de surface, 'γ' est vue comme l'énergie nécessaire en Joules pour accroître la surface de l'interface d'un mètre carré.

P-G. de Genes et al.⁵ considèrent que la tension superficielle est un phénomène physico-chimique lié à l'augmentation de l'énergie à l'interface entre deux fluides ou à l'interface fluide/air. Dans un liquide, les forces d'interaction entre les molécules sont en équilibre et leur résultante est nulle. A l'interface liquide-air, l'équilibre ne peut pas être maintenu et les molécules de la surface sont attirées vers l'intérieur créant une «tension superficielle». Considérant que les molécules à la surface ont moins d'interactions avec leurs voisines que dans le volume et prenant en compte l'effet Brownien de l'agitation moléculaire⁶, ils estiment que si «*U* » est l'énergie de cohésion par molécule dans le volume, l'énergie à la surface devrait être de l'ordre de «*U*/2*». Si «*a*» est la taille d'une molécule, «*a*²» est l'aire exposée à la surface, on peut dès lors considérer que la tension de surface «*γ*», qui mesure la perte d'énergie à la surface, vaut «*γ* ≈ *U*/(2*a*²)». Pour les liquides courants, les interactions de Van der Waals sont prépondérantes et l'énergie thermique se calcule comme «*U* ≅ *k*<sub>B</sub>*T* » où «*k*<sub>B</sub>» est la constante de Boltzmann, ce qui donne une valeur de «*γ*» proche de 20 *mJ/m*² à 25°C. Dans le cas de l'eau, où on mesure une tension de surface trois fois plus grande (γ ≈ 72 *mJ/m*²), on explique que la tension de surface mesurée est plus grande car les liaisons hydrogène sont prépondérantes.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Dessin des tenseurs de surface et de l'angle de contact pour le ménisque selon l'équation de Young-Dupré</figcaption></figure>

## Équation du ménisque utilisant la longueur capillaire

La plupart de auteurs considèrent que le profil du ménisque a très approximativement la forme d'un arc de cercle, mais certains auteurs sont plus réalistes et utilisent une exponentielle, comme D. Vella et al.⁶ et F. Elie⁷. De manière intéressante, F. Elie équilibre la variation de pression hydrostatique avec la pression de Laplace en prenant l'équation générale du rayon de courbure de la surface du ménisque, à savoir 'R = - ∂²z/∂x²' et écrit l'équation différentielle suivante : ∂²z/∂x² - ρ g z/γ = 0.

Utilisant la définition de la longueur capillaire : $L_c = \sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}}$, il la réécrit comme : $\partial^2 z/\partial x^2 - z/L_c^2 = 0$.

Cette équation différentielle a une solution de forme exponentielle telle que :

$$Z(x) = Z_0 e^{-x/L_c} \quad (3)$$

Selon cette équation, le profil du ménisque ainsi défini ne dépendrait donc que des deux seuls paramètres 'Z₀' et 'L_c'. Les auteurs précisent qu'il s'agit d'une approximation.

On notera que cette équation est de type exponentiel, comme celles qu'on dérive dans cet article.

## 1.3 Aspect énergétique

La tension de surface 'γ' peut être considérée à la fois comme une force par unité de longueur en [N/m] et comme une énergie par unité de surface en [J/m²]:

a) en tant que force par unité de longueur, 'γ' est vue comme la force nécessaire en Newtons pour étirer la surface de l'interface d'un mètre

b) en tant qu'énergie par unité de surface, 'γ' est vue comme l'énergie nécessaire en Joules pour accroître la surface de l'interface d'un mètre carré.

P-G. de Gennes et al.⁸ considèrent que la tension de surface est un phénomène physico-chimique lié à l'augmentation de l'énergie à l'interface entre deux fluides ou à l'interface fluide/air. Dans un liquide, les forces d'interaction entre les molécules sont en équilibre et leur résultante est nulle. A l'interface liquide-air, l'équilibre ne peut pas être maintenu et les molécules de la surface sont attirées vers l'intérieur créant une «tension superficielle». Considérant que les molécules à la surface ont moins d'interactions avec leurs
## 1.4 Commentaires sur la vision thermodynamique de l'interface

La tension de surface est définie de manière thermodynamique comme une énergie par unité de surface ou, de manière équivalente, comme une force par unité de longueur. Cela revient à considérer que toute l'énergie est concentrée à l'interface sur une surface mathématique sans épaisseur.

En ce qui concerne la question de l'épaisseur de la couche moléculaire à la surface du fluide, il y a plusieurs écoles : (i) J. W. Gibbs considère la surface comme une surface mathématique sans épaisseur et (ii) J. D. Van der Waals et H. Bakker lui attribuent une épaisseur de la taille des interactions de Van Der Waals⁶.

Dans leur revue bibliographique de 2002, L. J. Michot et al.⁷ confirment cette vision moléculaire, puisqu'ils indiquent « qu'il apparaît clairement que, quel que soit le support, les perturbations structurales ne s'étendent pas sur des distances supérieures à 10-15 Å», ce qui correspond à 3 à 5 fois la taille d'une molécule d'eau.

Ainsi, la question de la répartition de l'énergie au niveau de l'interface semble résolue puisqu'on n'observe pas de perturbations structurales au-delà de quelques diamètres moléculaires.

Cependant, lorsqu'on observe le ménisque qui se forme dans un verre d'eau, on constate que ses dimensions sont millimétriques et non pas nanométriques. La théorie est que les forces superficielles agissent tangentiellement à la surface du liquide et la déforment sur plusieurs millimètres, entrainant un déplacement du liquide sous la ligne du ménisque.

# II Vision mécanique et définition de gradients de contrainte de tensioactivité

## 2.1 Notion de forces équivalentes

En mécanique des fluides, pour rendre compte des déformations induites par une force normale ou tangentielle à un volume, on peut remplacer mathématiquement cette force par un système de forces équivalentes (tangentielles, normales et/ou de cisaillement) en respectant les lois de conservation de la masse et à condition bien sûr que ces forces aient les mêmes effets sur le volume.

Ce principe est illustré **Figure 3.a** où on voit que la déformation du volume 'A' en volume 'B' peut théoriquement provenir, soit d'une elongation longitudinale, soit d'une compression transversale.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3.a – Principe d'équivalence en mécanique**</figcaption></figure>
voisines que dans le volume et prenant en compte l'effet Brownien de l'agitation moléculaire⁹, ils estiment
que si ‘*U*’ est l'énergie de cohésion par molécule dans le volume, l'énergie à la surface devrait être de
l'ordre de ‘*U*/2’. Si ‘*a*’ est la taille d’une molécule, ‘*a*²’ est l’aire exposée à la surface, on peut dès lors
considérer que la tension de surface ‘*γ*’, qui mesure la perte d’énergie à la surface, vaut ‘*γ* ≈ *U*/2*a*’.
Pour les liquides courants, les interactions de Van der Waals sont prépondérantes et l’énergie thermique se
calcule comme ‘*U* ≅ *k*<sub>B</sub>*T*’ où ‘*k*<sub>B</sub>’ est la constante de Boltzmann, ce qui donne une valeur de ‘*γ*’ proche de
20 mJ/m² à 25°C. Dans le cas de l’eau, où on mesure une tension de surface trois fois plus grande (γ ≈ 72
mJ/m²), on explique que la tension de surface mesurée est plus grande car les liaisons hydrogène sont
prépondérantes.

**1.4 Commentaires sur la vision thermodynamique de l'interface**

La tension de surface est définie de manière thermodynamique comme une énergie par unité de surface.
Cela revient à considérer que toute l'énergie est concentrée à l'interface sur une surface mathématique sans
épaisseur. En ce qui concerne la question de l'épaisseur de la couche moléculaire à la surface du fluide, il y a
plusieurs écoles : (i) J. W. Gibbs considère la surface comme une surface mathématique sans épaisseur
tandis que (ii) J. D. Van der Waals et H. Bakker lui attribuent une épaisseur de la taille des interactions de
Van Der Waals⁹.

Dans leur revue bibliographique de 2002, L. J. Michot et al.¹ souscrivent à cette vision moléculaire,
puisqu'ils indiquent « qu'il apparaît clairement que, quel que soit le support, les perturbations structurales ne
s'étendent pas sur des distances supérieures à 10-15 Å», ce qui correspond à 3 à 5 fois la taille d'une
molécule d'eau.

Ainsi, la question de la répartition de l'énergie au niveau de l'interface semble résolue puisqu'on n'observe
pas de perturbations structurales au-delà de quelques diamètres moléculaires.

Cependant, lorsqu’on observe le ménisque qui se forme dans un verre d’eau, on constate que ses dimensions sont millimétriques et non pas nanométriques. L’explication classique est que les forces superficielles agissent tangentiellement à la surface du liquide et la déforment sur plusieurs millimètres, entraînant un déplacement du liquide sous la ligne du ménisque.

II Vision mécanique et définition des gradients de contrainte superficielle

**2.1 Notion mécanique de forces équivalentes et expérience de pensée**

En mécanique des fluides, pour rendre compte des déformations induites par une force normale ou
tangentielle à un volume, on peut remplacer mathématiquement cette force par un système de forces
équivalentes (tangentielles, normales et/ou de cisaillement) en respectant les lois de conservation de la
masse et du moment et à condition bien sûr que ces forces aient les mêmes effets sur le volume.

Ce principe est illustré **Figure 3.a** où on voit que la déformation du volume ‘A’ en volume ‘B’ peut théoriquement provenir, soit d’une elongation longitudinale, soit d’une compression transversale.
De la même manière, au lieu de considérer que le ménisque de la **Figure 2** provient de l'analyse de Young-Dupré, à savoir l'effet des forces tangentielles de tension de surface, on peut considérer, de manière théoriquement, qu'on pourrait obtenir le même résultat avec des forces équivalentes telles que dans la **Figure 3b**.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 3.b – Schéma théorique de forces équivalentes pouvant conduire à la formation du ménisque**</figcaption></figure>

Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée qui consiste à remplacer mathématiquement la tension de surface par un gradient de contrainte équivalente (ou force par unité de surface). Nous allons l'appliquer au cas du ménisque.

## 2.2 Analyse mécanique des forces dans le cas du ménisque

Le cas du ménisque est idéal pour plusieurs raisons : La surface du liquide et celle du solide étant grandes par rapport aux dimensions du ménisque, on peut les considérer comme 'quasi infinies'. Il n'y a pas de limites horizontales ou verticales imposées par le volume du liquide ni par les dimensions du solide. Le profil méniscal peut s'étendre horizontalement jusqu'à atténuation à la surface du liquide et il peut grimper verticalement à son maximum le long de la paroi solide comme schématisé **Figure 2**. On peut donc faire l'hypothèse, comme dans l'équation de Young-Dupré, que les différentes forces sont en équilibre une fois le ménisque formé.

Rappelons qu'à l'interface liquide-air, on considère généralement que « les molécules de la surface sont attirées vers l'intérieur créant une force dite de tension superficielle »⁵ et définissent une tension de surface (en [Nm⁻¹]) tangente à la surface.

Nous considérons ici que cette 'attraction des molécules de la surface vers l'intérieur' ou 'répulsion des molécules de la surface envers l'extérieur' crée, de manière équivalente, un gradient de contrainte de compression (en [Nm⁻²]) perpendiculaire à la surface.

De la même manière, on peut considérer qu'à l'interface solide-liquide, l'attraction des molécules du liquide vers la paroi solide crée un gradient équivalent de contrainte de déformation (en [Nm⁻²]) parallèle à la paroi. Ainsi, en lieu et place des classiques tenseurs de surface, nous allons définir des gradients de contrainte ou gradients de force par unité de surface. Une telle construction mathématique n'est pas anodine car les tenseurs de surface sont par définition des vecteurs tangentiels aux interfaces alors que les gradients que nous allons définir ici pourront être, selon la nature des forces aux interfaces, soit perpendiculaires soit parallèles à la surface.

Conformément à nos hypothèses, la **Figure 4a** représente les forces de répulsion à l'interface liquide-air, perpendiculaires à la surface, ainsi que les forces d'interface solide-liquide qui attirent les molécules du liquide vers la paroi solide.

La résultante de ces forces déplace les molécules du liquide vers la paroi et vers le haut pour former le profil observable du ménisque.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3a – Principe d'équivalence en mécanique**</figcaption></figure>

### Expérience de pensée : modèle d'équivalence mécanique

De la même manière, on peut proposer l'expérience de pensée suivante :

Au lieu de considérer que le ménisque de la **Figure 2** provient comme dans la loi de Young-Dupré de l'effet de forces tangentielles de tension de surface, on peut considérer qu'il est théoriquement possible d'obtenir le même résultat avec des forces équivalentes telles que celles décrites dans la **Figure 3b**.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3b – Schéma théorique de forces équivalentes pouvant conduire à la formation du ménisque**</figcaption></figure>

Dans cet article, nous allons donc remplacer mathématiquement les tensions de surface classiques par des gradients de contrainte équivalents et nous appliquerons d'abord ce concept au cas du ménisque.

## 2.2 Analyse mécanique des forces dans le cas du ménisque

Le cas du ménisque est idéal pour plusieurs raisons : La surface du liquide et celle du solide étant grandes par rapport aux dimensions du ménisque, on peut les considérer comme 'quasi infinies'. Il n'y a pas de limites horizontales ou verticales imposées par le volume du liquide ni par les dimensions du solide. Le profil méniscal peut s'étendre horizontalement jusqu'à atténuation à la surface du liquide et il peut grimper verticalement à son maximum le long de la paroi solide comme schématisé **Figure 2**. On peut donc faire l'hypothèse, comme dans l'équation de Young-Dupré, que les différentes forces sont en équilibre une fois le ménisque formé.

A l'interface liquide-vapeur, on considère généralement que « les molécules de la surface sont attirées vers l'intérieur créant une force dite de tension de surface »⁵ et on définit une tension de surface (en [Nm⁻¹]) tangente à la surface.

Dans cet article, nous allons considérer que cette 'attraction des molécules de la surface vers l'intérieur' ou 'répulsion des molécules de la surface envers l'extérieur' crée, de manière équivalente, un gradient de contrainte de compression (en [Nm⁻²]) perpendiculaire à la surface.
De manière équivalente, nous pouvons définir un gradient de contrainte tel que celui de la **Figure 4b**, gradient qui pourrait être responsable de la formation du ménisque.

Par définition, ce gradient de contrainte équivalent qu'on nommera 'gradient de contrainte de tensioactivité' est en équilibre avec le gradient de pression, gradient équivalent à une 'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume'.

Dans le cas particulier du ménisque, le profil final des déformations 'Z(x)' des **Figures 2 et 4** a la même forme que celui du gradient de la résultante des contraintes. On verra plus loin que ce n'est plus vrai dans le cas des gouttes.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 4a – Schéma des forces théoriques d'attraction (solide-liquide) et de répulsion (liquide-air) aux interfaces du ménisque (courte distance)**</figcaption></figure>

<caption>**Figure 4b – Schéma du gradient de contrainte équivalente dans le ménisque**</caption>

Pour indication, rappelons que dans le cas de l'eau, les dimensions du ménisque sont millimétriques, à savoir de l'ordre de 2 millimètres de hauteur et de plus de 5 millimètres de longueur d'atténuation 'Wm', selon les auteurs⁸,⁹.

## 2.2 Energie de tensioactivité et énergie potentielle de pesanteur

A l'équilibre du ménisque, les seules forces en présence sont les forces de tensioactivité et les forces de pesanteur. Nous pouvons donc mettre en équilibre le gradient de contrainte résultant (ou gradient d'énergie) avec le gradient de pression ou '

Compte tenu de la forme exponentielle du ménisque, on postulera que son profil 'Z(x)' s'écrit simplement comme :

$$Z(x) = B e^{-A x} \qquad (3)$$

où :

A : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

B : est la hauteur du ménisque lorsque 'x = 0' [m]

Dans le champ de pesanteur et à l'état stationnaire, nous pouvons définir un gradient d'énergie de tensioactivité théorique 'U(x)' qui s'équilibre avec l'énergie potentielle de pesanteur 'Eₚ(x)' tel que :

$$U(x) = E_p(x) = m g Z(x) \qquad (4)$$
De la même manière, on peut considérer qu’à l’interface solide-liquide, l’attraction des molécules du liquide vers la paroi solide crée un gradient équivalent de contrainte de déformation (en [Nm⁻²]) parallèle à la paroi. Ainsi, en lieu et place des classiques tenseurs de surface par unité de longueur, nous allons définir des gradients de contrainte ou gradients de force par unité de surface. Une telle construction mathématique n’est pas anodine car les tenseurs de surface sont par définition des vecteurs tangentiels aux interfaces alors que les gradients que nous allons définir ici peuvent être, selon le cas, perpendiculaires ou parallèles à la surface.

En accord avec nos hypothèses, dans le cas du ménisque, la **Figure 4a** représente les forces de répulsion à l'interface liquide-air qui sont perpendiculaires à la surface, ainsi que les forces d'interface solide-liquide et solide-vapeur qui attirent les molécules vers la paroi solide.

La résultante de ces forces déplace les molécules du liquide vers la paroi et vers le haut pour former le profil observable du ménisque.

De la même manière, nous pouvons définir un gradient de contrainte tel que celui de la **Figure 4b**, gradient qui serait de manière équivalente responsable de la formation du ménisque.

Par définition, ce gradient de contrainte équivalent, qu'on nommera ici 'gradient de contrainte superficielle', est en équilibre avec le gradient de pression, gradient qui représente une 'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume'.

Dans le cas particulier du ménisque, le profil final des déformations 'Z(x)' des **Figures 2 et 4** a la même forme que celui du gradient de la résultante des contraintes.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4a – Schéma des forces théoriques d'attraction et de répulsion aux interfaces du ménisque**
**Figure 4b – Schéma du gradient de contrainte équivalente dans le ménisque**</figcaption></figure>

Rappelons que dans le cas de l'eau dans un verre, les dimensions du ménisque sont millimétriques, à savoir de l'ordre de 2 millimètres de hauteur et de plus de 5 millimètres de longueur d'atténuation 'Wm', selon les auteurs¹¹,¹².

## 2.3 Énergie de tension superficielle et énergie potentielle de pesanteur

A l'équilibre du ménisque, les seules forces en présence sont les forces de tension superficielle et les forces de pesanteur.

Nous pouvons donc mettre en équilibre le gradient de contrainte résultant ou gradient d'énergie avec le gradient de pression ou 'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume'.

Compte tenu de la forme exponentielle du ménisque, son profil 'Z(x)' s'écrit simplement comme :

$$Z(x) = B e^{-A \times x} \quad (4)$$

où :
Si on représente ces énergies par unité de volume, on peut définir une densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur 'Epp' et une énergie de tensioactivité par volume 'u(x)' telles que :

$$u(x) = E_{pp}(x) = \rho g Z(x) \qquad (5)$$

où :

Epp : est l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume ou plus simplement le gradient de pression en [kg m⁻¹ s⁻²], [J m⁻³] ou [N m⁻²]

m : est la masse en [kg]

ρ : est la masse volumique en [kg m⁻³]

g : est l'intensité de la pesanteur en [m s⁻²] ou [N kg⁻¹]

Z(x) : est le profil observé du ménisque en [m]

NB : Attendu que la pression hydrostatique 'p' est généralement définie comme : 'p = ρ g h', ce que l'on a nommé ici 'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume' 'Epp (x)' est en fait un gradient de pression 'p(x)'. Nous garderons dans ce qui suit la notation 'Epp' pour éviter toute confusion future avec la pression globale.

A l'aide de (3), on obtient l'expression du gradient d'énergie de tensioactivité 'u(x)' par unité de volume :

$$u(x) = \rho g Z(x) = \rho g B e^{-A x} \qquad (6)$$

On notera que le profil final des déformations du ménisque 'Z(x)' a la même forme que celui du gradient de d'énergie équivalent.

Attendu que ces gradients d'énergie par unité de volume ont la dimension d'une pression ([Nm⁻²]) ou encore d'une contrainte, c'est-à-dire d'une force par unité de surface, on écrira (6) comme :

$$\sigma_R(x) = \rho g B e^{-A x} \qquad (7)$$

où :

σR(x) : est le gradient de contrainte résultante [Nm⁻²] ou
gradient d'énergie par unité de volume [Jm⁻³]

B : est ici la hauteur finale du ménisque [m]

A : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

Wm : est longueur d'atténuation du ménisque [m]

Par la suite, nous utiliserons de préférence le terme de gradient de contrainte ou gradient de force par unité de surface 'σR' (en [Nm⁻²]), même si on peut également le considérer comme un gradient d'énergie par unité de volume (en [Jm⁻³]).

## 2.3 Définition des gradients de contrainte dans le ménisque

Dans un premier temps, nous allons supposer que le gradient de contrainte 'σR(x)' est la résultante de deux gradients : celui lié aux forces de tensioactivité à l'interface solide-liquide et celui lié aux forces de tensioactivité à l'interface liquide-vapeur.

On peut définir deux composantes :

σSL(x) : le gradient de contrainte de tensioactivité à l'interface solide-liquide.

τLV(x) : le gradient de contrainte de tensioactivité à l'interface liquide-vapeur.
B : est la hauteur du ménisque lorsque 'x = 0' [m]

A : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

Dans le champ de pesanteur et à l'état stationnaire, nous pouvons définir un gradient d'énergie superficielle théorique 'U(x)' qui s'équilibre avec l'énergie potentielle de pesanteur 'Eₚ(x)' tel que :

$$U(x) = E_{\text{p}}(x) = m g Z(x) \qquad (5)$$

Si on représente ces énergies par unité de volume, on peut définir une énergie de tension superficielle par volume 'u(x)' et une densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur 'Eₚₚ' telles que :

$$u(x) = E_{\text{pp}}(x) = \rho g Z(x) \qquad (6)$$

où :

Eₚₚ : est l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume ou plus simplement le gradient de pression en [kg m⁻¹ s⁻²], [J m⁻³] ou [N m⁻²]

m : est la masse en [kg]

ρ : est la masse volumique en [kg m⁻³]

g : est l'intensité de la pesanteur en [m s⁻²] ou [N kg⁻¹]

Z(x) : est le profil observé du ménisque en [m]

NB : Attendu que la pression hydrostatique est généralement définie comme : 'p = ρ g h', ce que l'on a nommé ici 'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume', 'Eₚₚ (x)' est en fait un gradient de pression. Nous garderons néanmoins dans ce qui suit la notation 'Eₚₚ' pour éviter toute confusion avec la pression globale.

A l'aide de (4), on obtient l'expression du gradient d'énergie de tension superficielle 'u(x)' par unité de volume :

$$u(x) = \rho g Z(x) = \rho g B e^{-A \cdot x} \qquad (7)$$

On notera que le profil final des déformations du ménisque 'Z(x)' a la même forme que celui du gradient d'énergie équivalent.

Attendu que ces gradients d'énergie par unité de volume ont la dimension d'une pression ([Nm⁻²]) ou encore d'une contrainte, c'est-à-dire d'une force par unité de surface, on peut réécrire (7) comme :

$$\sigma_R(x) = \rho g B e^{-A \cdot x} \qquad (8)$$

où :

σR(x) : est le gradient de contrainte résultante [Nm⁻²] ou
gradient d'énergie par unité de volume [Jm⁻³]

B : est ici la hauteur finale du ménisque [m]

A : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

Wm : est longueur d'atténuation du ménisque [m]

Par la suite, nous utiliserons de préférence le terme de gradient de contrainte ou gradient de force par unité de surface 'σR' (en [Nm⁻²]), sachant qu'on peut également le considérer comme un gradient d'énergie par unité de volume (en [Jm⁻³]).
### 2.3.1 Définition du gradient de contrainte à l'interface solide-liquide

A l'interface solide-liquide, le gradient équivalent pourrait provenir de l'attraction des molécules du liquide vers la paroi, mais nous ne discuterons pas de cet aspect ici. Notons que selon la terminologie usuelle en mécanique des fluides, le gradient 'σ<sub>SL</sub>(x)' pourrait également s'écrire comme 'σ<sub>13</sub>(x)' ou 'σ<sub>23</sub>(x)' dans la matrice des contraintes.

Nous adopterons ici les mêmes conventions de notation que celles des classiques tensions de surface 'γ<sub>SL</sub>' et 'γ<sub>LV</sub>', et on écrira le gradient de contrainte de tensioactivité à l'interface solide-liquide comme :

$$ \sigma_{SL}(x) = \rho g \delta e^{-\alpha x} \qquad (8) $$

où :

σ<sub>SL</sub>(x) : est le gradient de contrainte solide-liquide en [Nm<sup>-2</sup>] ou [Jm<sup>-3</sup>]
δ : est une longueur d'action parallèle à la paroi [m]
α : est une constante d'atténuation [m<sup>-1</sup>]
W<sub>m</sub> : est la longueur d'atténuation du ménisque

### 2.3.2 Définition du gradient de contrainte à l'interface liquide-vapeur

Le gradient de contrainte de tensioactivité à l'interface liquide-vapeur pourrait provenir de la répulsion des molécules de la surface vers le 'bulk', comme cela a d'ailleurs été décrit par de nombreux auteurs (§1.1).

De manière équivalente à (7), on peut écrire la contrainte de répulsion à l'interface liquide-vapeur en adoptant également les mêmes conventions de notation, comme :

$$ \tau_{LV}(x) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon x} \qquad (9) $$

où :

τ<sub>LV</sub>(x) : est le gradient de contrainte de répulsion liquide-vapeur en [Nm<sup>-2</sup>] ou [Jm<sup>-3</sup>]
λ : est une longueur caractéristique de courbure [m]
ε : est une constante d'atténuation [m<sup>-1</sup>]

A cette étape, on a donc :

(i) un gradient de contrainte/déformation à l'interface solide-liquide 'σ<sub>SL</sub>(x)', qui s'exerce parallèlement à la surface de la paroi solide et dont l'action diminue de la paroi vers le 'bulk' et

(ii) un gradient de contrainte de répulsion à l'interface liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(x)', qui s'exerce perpendiculairement à la surface du liquide et dont l'action diminue de la surface vers le 'bulk'.

Il ne nous manque plus désormais que l'équivalent de la tension de surface 'γ<sub>SV</sub>' à l'interface solide-vapeur.

### 2.3.3 Définition d'un gradient de contrainte à l'interface solide-vapeur

Selon nos hypothèses, le gradient de contrainte de tensioactivité à l'interface solide-vapeur pourrait provenir de la condensation/adhésion des molécules de vapeur du liquide sur la paroi. Nous ne discuterons pas non plus de cet aspect dans ce paragraphe.
## 2.4 Définition des gradients de contrainte superficielle

Dans cet article, nous allons supposer que le gradient de contrainte global '$\sigma_R(x)$' de l'équation (8) est la résultante de seulement deux gradients : (1) un gradient de contrainte superficielle à l'interface liquide-vapeur que l'on écrira '$\tau_{LV}(x)$' et (2) un gradient de contrainte résultant aux interfaces solides (solide-liquide et solide-vapeur) que l'on écrira '$\sigma_S(x)$'.

(1) Le gradient '$\tau_{LV}(x)$' est lié aux forces de tension superficielle à l'interface liquide-vapeur et on peut le faire correspondre au classique vecteur de tension de surface liquide-vapeur '$\gamma_{LV}$'. La définition du gradient '$\tau_{LV}(x)$' ne pose pas de problème car il n'y a qu'un seul gradient de force perpendiculaire à la surface.

(2) Le gradient '$\sigma_S(x)$' devrait pouvoir être logiquement décomposé en deux composantes : une composante solide-liquide '$\sigma_{SL}(x)$' et une composante solide-vapeur '$\sigma_{SV}(x)$'. Ces gradients devaient bien entendu correspondre aux classiques vecteurs de tension de surface '$\gamma_{SL}$' et '$\gamma_{SV}$'. Cependant, pour des raisons inhérentes au modèle d'équivalence mécanique, on ne peut pas les discriminer dans le cas du ménisque, parce que les forces solide-liquide et solide-vapeur sont toutes deux perpendiculaires à la même surface et leurs gradients se superposent. On reviendra sur ce point dans un article ultérieur.

On conservera donc dans cet article la vision d'un gradient de contrainte résultant aux interfaces solides '$\sigma_S(x)$' représentant la somme ou la différence des gradients de force solide-liquide et solide-vapeur. Cette simplification ne nous empêchera pas de réécrire les équations des phénomènes usuels tels que le ménisque, le tube capillaire, la lame de Wilhelmy et les gouttes.

Nous remplacerons ce modèle mécanique simplifié par un modèle phénoménologique dans un article ultérieur, modèle qui devrait permettre de prendre en compte toutes les composantes.

### 2.4.1 Définition du gradient de contrainte à l'interface liquide-vapeur

Comme cela a été décrit par de nombreux auteurs, le gradient de contrainte superficielle à l'interface liquide-vapeur pourrait provenir de la répulsion des molécules de la surface vers le 'bulk'.

On peut écrire le gradient de contrainte de répulsion à l'interface liquide-vapeur comme :

$$ \tau_{LV}(x) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon x} \quad (9) $$

où :

$\tau_{LV}(x)$ : est le gradient de contrainte liquide -vapeur en [Nm⁻²] ou [Jm⁻³]

$\lambda$ : est une longueur caractéristique de courbure [m]

$\epsilon$ : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

Ainsi, le gradient de contrainte de répulsion à l'interface liquide-vapeur '$\tau_{LV}(x)$' s'exerce perpendiculairement à la surface du liquide et diminue lorsqu'on s'éloigne de la surface.

### 2.4.2 Définition du gradient de contrainte aux interfaces solides

Comme on l'a vu plus haut, nous considérons dans cet article que le gradient lié aux forces de tension superficielle aux interfaces solides '$\sigma_S(x)$' résulte des forces (solide-liquide) d'attraction des molécules du liquide vers la paroi ainsi que des forces (solide-vapeur) d'attraction/condensation des molécules de vapeur au dessus du ménisque.
Il peut s'écrire comme :

$$ \sigma_s(x) = \rho g \delta e^{-\alpha x} \qquad (10) $$

où :

$\sigma_s(x)$ : est le gradient de contrainte aux interfaces solides en [Nm$^{-2}$] ou [Jm$^{-3}$]

$\delta$ : est une longueur d'action parallèle à la paroi [m]

$\alpha$ : est une constante d'atténuation [m$^{-1}$]

$W_m$ : est la longueur d'atténuation du ménisque

En résumé, on a donc :

(i) un gradient de contrainte/déformation résultant aux interfaces solides 'σs(x)', qui s'exerce parallèlement à la surface de la paroi solide et qui diminue lorsqu'on s'éloigne de la paroi

(ii) un gradient de contrainte de répulsion à l'interface liquide-vapeur 'τLV(x)', qui s'exerce perpendiculairement à la surface du liquide et qui diminue lorsqu'on s'éloigne de la surface.

On peut désormais écrire l'équation du ménisque.

## 2.5 Équation du ménisque

Selon nos hypothèses, la forme observable du ménisque provient essentiellement de l'interaction des forces de tension superficielle solides (liées au gradient 'σs(x)') et des forces de tension superficielle à l'interface liquide-vapeur (liées au gradient 'τLV(x)') en équilibre avec les forces de pesanteur.

Dans ce modèle, nous supposons que ce sont les forces de tension superficielle solides qui créent le profil initial 'Zs(x)' du ménisque et que ce profil est déformé par les forces de tension superficielle liquide-vapeur.

Le gradient de contrainte résultant final 'σR(x)' s'obtient donc en additionnant le gradient de contrainte 'σs(x)' et la projection du gradient de contrainte '- τLV(x)' sur la dérivée du profil initial défini dans l'équation (4), comme :

$$ \sigma_R(x) = \sigma_S(x) - \tau_{LV}(x) * Z_S'(x) \qquad (11) $$

Où la dérivée du profil initial s'écrit comme : $Z_S'(x) = - \alpha \delta e^{-\alpha x}$.

En rappelant que la forme générale de la contrainte résultante est 'σR(x) = ρg B e$^{-A \times}$' selon (8), on peut réécrire (11) comme :

$$ \sigma_R(x) = \rho g B e^{-A \times} = \rho g \delta e^{-\alpha \times} + \rho g \lambda e^{-\epsilon \times} \cdot \alpha \delta e^{-\alpha \times} \qquad (12) $$

On notera que notre approche permet de calculer simplement l'équilibre des forces en utilisant la dérivée du profil 'Z's(x)', alors qu'il est nécessaire de mesurer un angle approximatif en utilisant une méthode visuelle dans l'équation de Young-Dupré.

Les gradients sont à relier aux forces schématisées dans les **Figures 4a et 4b** :

* Le gradient de contrainte 'σs(x)' provient des forces d'attraction vers le solide, forces qui provoquent une déformation verticale et créent le ménisque.
Pour tracer le profil du ménisque selon l'équation (13), nous avons évidemment besoin de connaître tous les paramètres suivants : 'B', 'A', 'δ', 'α', 'λ' et 'ε'.

On peut utiliser les conditions aux limites et la valeur mesurable de la hauteur du ménisque 'B' pour calculer certains paramètres. Par exemple, le long de la paroi, à 'x = 0' et avec la mesure de 'B', on peut calculer 'α' comme : $α = (B - δ)/λδ$.

Les autres paramètres seront déterminés plus loin dans le cas de l'eau, à l'aide des valeurs de tension de surface classiques fournies par la littérature et au travers de l'analyse des cas particuliers tels que le tube capillaire, la lame de Wilhelmy (mesure de 'α' et 'δ') et celui de la goutte d'eau ('λ' et 'ε').

A titre d'exemple, on a tracé **Figure 5** le profil du ménisque dans le cas de l'eau avec les valeurs numériques indiquées ci-dessous.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 5 - Profils calculés du ménisque dans un verre d'eau avec les paramètres :**
{ B= 2.10⁻³ [m] ; A= 316 [m⁻¹] ; δ= 1,2.10⁻³ [m] ; α= 167 [m⁻¹] ; λ= 4.10⁻³ [m] ; ε= 409 [m⁻¹] }</figcaption></figure>

On observe **Figure 5** que le profil résultant approximatif 'Z(x)= Be⁻$^{Ax}$' de l'équation (3) est très proche de celui détaillé '$\sigma_R(x)/\rho g$' de l'équation (13).

NB : Dans les exemples pratiques qui suivent, on se servira plutôt de la résultante '$\sigma_R(x) = \rho g B e^{-Ax}$' car elle est plus simple à manipuler.

## 2.5 Equation complète du ménisque avec le gradient solide-vapeur

Bien que l'on n'ait pas encore la valeur de tous les paramètres, on peut modifier l'équation (12) ainsi que la **Figure 4** en utilisant le gradient de contrainte solide-vapeur définit dans (10), comme :

$$ \sigma_R(x) = \rho g \kappa e^{-\nu x} + \rho g \delta e^{-\alpha x} + \rho g \lambda e^{-\varepsilon x} \quad (14) $$

En fixant arbitrairement les valeurs de '$\kappa$' et '$\nu$', on peut tracer les courbes théoriques de la **Figure 5bis**.

Notons que l'équation (14) et la **Figure 5bis** peuvent sembler ne pas avoir d'utilité dans le cas de l'eau car, s'il y a un film précurseur au-dessus du ménisque, compte tenu de son épaisseur théorique très faible et compte tenu de la transparence de l'eau, on ne le voit pas.

Pour vérifier l'existence d'un film précurseur, nous allons plutôt examiner l'exemple du mercure qui, en raison de sa non-transparence, devrait laisser apparaître un tel film.
* Le gradient de contrainte '- τ<sub>LV</sub>(x)' provient des forces de répulsion qui s'exercent de manière orthogonale à la courbe créée par 'σ<sub>S</sub>(x)' et qui tendent à l'aplanir.

Le profil du ménisque s'écrit simplement comme :

$$Z(x) = B e^{-A \cdot x} = \delta e^{-\alpha \cdot x} + \lambda e^{-\varepsilon \cdot x} \cdot \alpha \delta e^{-\alpha \cdot x} \quad (13)$$

Pour tracer le profil du ménisque à l'aide de l'équation (13), nous avons évidemment besoin de connaître tous les paramètres suivants : 'B', 'A', '$δ$', '$α$', '$λ$' et '$ε$'.

On peut utiliser les conditions aux limites et la valeur mesurable de la hauteur du ménisque 'B' pour calculer certains paramètres. Par exemple, le long de la paroi, à 'x = 0' et avec la mesure de 'B', on peut calculer '$α$' comme : $α = (B - δ)/λδ$. Les autres paramètres seront déterminés plus loin dans le cas de l'eau, en correspondance avec les valeurs de tension de surface classiques fournies par la littérature et au travers de l'analyse des cas particuliers tels que le tube capillaire, la lame de Wilhelmy (mesure de '$α$' et '$δ$') et celui de la goutte d'eau ('$λ$' et '$ε$').

A titre d'exemple, on a tracé **Figure 5** le profil du ménisque dans le cas de l'eau avec les valeurs numériques indiquées ci-dessous.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 5** - Profils calculés du ménisque eau/verre avec deux gradients et avec les paramètres : $\{B = 2.10^{-3} \text{ [m]} ; A = 316 \text{ [m}^{-1}] ; \delta = 1,210^{-3} \text{ [m]} ; \alpha = 167 \text{ [m}^{-1}] ; \lambda = 4.10^{-3} \text{ [m]} ; \varepsilon = 409 \text{ [m}^{-1}]\}$</figcaption></figure>

On voit **Figure 5** que le profil résultant approximatif '$Z(x) = B e^{-Ax}$' de l'équation (4) est très proche de celui détaillé '$\sigma_R(x)/ρg$' de l'équation (12). C'est pourquoi, dans les exemples pratiques qui suivent, on se servira plutôt de la résultante '$\sigma_R(x) = ρ g B e^{-Ax}$' car elle est plus simple à manipuler.

## 2.6 Équation du ménisque avec un gradient théorique solide-vapeur et hypothèse d'un film précurseur au-dessus du ménisque

Nous avons vu plus haut que, de manière inhérente au modèle d'équivalence mécanique, le gradient lié aux forces de tension superficielle aux interfaces solides '$\sigma_S(x)$' ne peut pas être décomposé en composantes solide-liquide '$\sigma_{SL}(x)$' et solide-vapeur '$\sigma_{SV}(x)$'.

Malgré cela, et bien que cela soit physiquement erroné, nous allons utiliser l'équation (10) en considérant que '$\sigma_S(x)$' représente un hypothétique gradient solide-liquide '$\sigma_{SL}(x)$' et ajouter un hypothétique gradient de contrainte solide-vapeur '$\sigma_{SV}(x)$' tel que :
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**Figure 5bis – Profils calculés du ménisque dans un verre d'eau avec les paramètres :**
{ B=2.10⁻³ [m] ; A=316 [m⁻¹] ; δ=1,210⁻³ [m] ; α=167 [m⁻¹] ; λ=4.10⁻³ [m] ; ε=409 [m⁻¹]; κ=5.10⁻³ [m]; ν=5.10⁴ [m⁻¹] }

## 2.6 Application de notre approche au cas du ménisque convexe du mercure

Pour valider notre approche, nous avons appliqué l'équation (14) au cas du mercure dont le ménisque est convexe. Les valeurs ci-dessous sont indicatives car elles ont été estimées à partir des valeurs des tensions de surface fournies dans la littérature pour le mercure (à savoir : γ<sub>LV</sub> ≈ 0,500 [Nm⁻¹] et γ<sub>SL</sub> ≈ 0,400 [Nm⁻¹]). A l'aide de l'équation (14) où la masse volumique est : ρ = 13,546 10³ [kg m⁻³] et en fixant arbitrairement les valeurs de 'κ' et 'ν', on peut tracer la résultante 'Σ(x)/ρg' dans la **Figure 6a**.

Le mercure exerçant une répulsion envers la paroi solide, la valeur de 'δ' est négative, comme celle de 'λ'. Les valeurs sont bien entendu indicatives, mais la forme des équations reste instructive.

On observe dans la photo de la **Figure 6b** qu'il y a bien un film précurseur visible dans le cas du mercure : il est transparent à l'arrière du tube en raison de sa faible épaisseur, mais il est visible par réflexion de la lumière à l'avant en raison de l'effet miroir.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

**Figure 6a – Profils calculés du ménisque du mercure avec les paramètres :**
{δ=-3.10⁻³ [m]; α =850 [m⁻¹]; λ=1.10⁻³ [m]; ε=650 [m⁻¹]; κ=6.10⁻³ [m]; ν=5.10⁴ [m⁻¹]}
$$ \sigma_{SV}(x) = \rho g \kappa e^{-\nu x} \qquad (14) $$

où :

$\sigma_{SV}(x)$ : serait le gradient de contrainte solide -vapeur en $[Nm^{-2}]$ ou $[Jm^{-3}]$

$\kappa$ : est un paramètre lié à la hauteur du film [m]

$\nu$ : est une constante d'atténuation [m$^{-1}$]

Cette astuce mathématique va nous permettre d'introduire l'hypothèse d'un 'film précurseur' au-dessus du ménisque. On verra, lorsqu'on analysera le cas d'une goutte hémisphérique déposée sur une surface solide, qu'un certain nombre d'observateurs ont montré qu'il existe un 'film précurseur', film d'une épaisseur inférieure à 100 nanomètres qui s'étend au-delà de l'assise de la goutte.

Dans cet article, nous pensons qu'il y a également un film précurseur au-dessus du ménisque, correspondant à la contrainte solide-vapeur '$\sigma_{SV}(x)$'.

Pour modéliser ce film, nous avons modifié l'équation (12) ainsi que la **Figure 5** en ajoutant un hypothétique gradient de contrainte solide-vapeur et en fixant arbitrairement les valeurs de '$\kappa$' et '$\nu$', pour tracer la courbe théorique de la **Figure 5bis**.

$$ \sigma_R(x) = \rho g \delta e^{-\alpha x} + \rho g \lambda e^{-\varepsilon x} \cdot \alpha \delta e^{-\alpha x} + \rho g \kappa e^{-\nu x} \qquad (15) $$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 5bis** – Profils calculés du ménisque eau/ verre avec un troisième gradient théorique et avec les paramètres : { $B = 2.10^{-3}$ [m] ; $A = 316$ [m$^{-1}$] ; $\delta = 1,210^{-3}$ [m] ; $\alpha = 167$ [m$^{-1}$] ; $\lambda = 4.10^{-3}$ [m] ; $\varepsilon = 409$ [m$^{-1}$]; $\kappa = 5.10^{-3}$ [m]; $\nu = 5.10^4$ [m$^{-1}$] }</figcaption></figure>

L'équation (15) et la **Figure 5bis** peuvent sembler ne pas avoir d'utilité dans le cas de l'eau car, s'il y a un film précurseur au-dessus du ménisque, compte tenu de son épaisseur théorique très faible et compte tenu de la transparence de l'eau, on ne le voit pas.

Pour valider notre hypothèse de l'existence d'un film précurseur au-dessus du ménisque, nous allons plutôt examiner l'exemple du ménisque du mercure qui, en raison de sa non-transparence, devrait laisser apparaître un tel film.

Pour valider notre approche, nous avons tracé la **Figure 6a** en appliquant l'équation (15) au cas du mercure. Nous avons estimé les paramètres à partir des valeurs fournies dans la littérature pour le mercure à
Figure 6b – Aperçu du ménisque dans un tube de verre montrant l'existence d'un film précurseur

III Application à quelques cas pratiques

Nous allons utiliser les équations théoriques définies plus haut et vérifier leur pertinence dans les cas pratiques du tensiomètre à plaque de Wilhelmy, du tube capillaire (loi de Jurin) et en calculant la pression dans une goutte sphérique comme dans la loi de Laplace.

3.1 Le tensiomètre à plaque de Wilhelmy

Le tensiomètre à plaque de Wilhelmy¹⁰⁻¹² est un appareil destiné à la mesure de la tension superficielle d'un liquide à l'équilibre. L'appareil utilise une fine plaque reliée à une microbalance comme dans la **Figure 7**.

La plaque est perpendiculaire à l'interface air-liquide et on mesure la force exercée sur cette plaque.

Selon Wilhelmy, la force mesurée par le tensiomètre ‘F<sub>mes</sub>’ est la composante verticale de la force de tension superficielle ‘F<sub>TS</sub> = γ L’, telle que : ‘F<sub>TS</sub> = F<sub>mes</sub> /cos(θ)’.

Ce qui permet de calculer la tension de surface ‘γ’ comme :

$$
\gamma = \frac{F_{\text{mes}}}{L \cos(\theta)} \tag{15}
$$

Où :

γ : est la tension de surface mesurée [N/m]

F<sub>mes</sub> : est mesurée à l'aide de la balance [Kg]

L : est le périmètre de la plaque (L= 2w+2d) [m]

w : est la longueur de la plaque [m]

d : est l'épaisseur de la plaque [m]

θ : est l'angle de contact entre la plaque et le liquide

Dans la littérature, on considère généralement que la tension de surface ‘γ’ calculée avec ce dispositif est la tension de surface liquide-vapeur ‘γ<sub>LV</sub>’.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7 - Plaque de Wilhelmy : La force capillaire est proportionnelle au périmètre de la plaque et à la tension superficielle ‘γ<sub>LV</sub>’</figcaption></figure>

3.2 Application de notre approche au tensiomètre de Wilhelmy
savoir : $\gamma_{LV} = 0,500 [Nm^{-1}] ; \gamma_{SL} = 0,400 [Nm^{-1}] ; \rho = 13,546 10^3 [kg m^{-3}]$ et nous avons fixé arbitrairement les valeurs de ‘κ’ et ‘ν’.

Le mercure exerçant une répulsion envers la paroi solide, la valeur de ‘δ’ est négative, comme celle de ‘λ’.

Ces valeurs sont bien entendu indicatives, mais la forme des équations reste instructive.

Cela permet de valider notre hypothèse et vérifier dans la photo de la **Figure 6b** qu'il y a un film précurseur visible dans le cas du mercure : il est transparent à l'arrière du tube en raison de sa faible épaisseur, mais il est visible par réflexion de la lumière à l'avant du tube en raison de l'effet miroir.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 6a** – Profils calculés du ménisque du mercure avec les paramètres :
{δ = -3.10⁻³ [m]; α = 850 [m⁻¹]; λ = 1.10⁻³ [m]; ε = 650 [m⁻¹]; κ = 6.10⁻³ [m]; ν = 5.10⁴ [m⁻¹]}</figcaption></figure>

**Figure 6b – Aperçu du ménisque dans un tube de verre montrant l'existence d'un film précurseur**

La **Figure 6b** montre qu'il existe bien un film précurseur au-dessus du ménisque.

Nous reviendrons ultérieurement sur cette notion de film précurseur. En attendant, nous allons appliquer notre modèle aux cas pratiques étudiés dans la littérature (tensiomètre de Wilhelmy, tube capillaire, gouttes...).

### III Application de notre modèle aux cas pratiques

Dans le cadre de notre expérience de pensée, nous allons utiliser les équations définies plus haut et vérifier leur pertinence dans certains cas pratiques tels que le tensiomètre à plaque de Wilhelmy et le tube capillaire (loi de Jurin). Enfin, nous calculerons la variation de pression dans une goutte sphérique comme dans la loi de Laplace.

#### 3.1 Le tensiomètre à plaque de Wilhelmy

Le tensiomètre à plaque de Wilhelmy¹³⁻¹⁵ est un appareil destiné à la mesure de la tension de surface d'un liquide à l'équilibre. L'appareil utilise une fine plaque reliée à une microbalance comme dans la **Figure 7**.

La plaque est perpendiculaire à l'interface air-liquide et on mesure la force exercée sur cette plaque.

Selon Wilhelmy, la force mesurée par le tensiomètre 'F<sub>mes</sub>' est la composante verticale de la force de tension superficielle 'F<sub>TS</sub> = γ L', telle que : 'F<sub>TS</sub> = F<sub>mes</sub> / cos(θ)'.

Ce qui permet de calculer la tension de surface 'γ' comme :
Nous pouvons utiliser l'équation (13) du profil 'Z(x)' du ménisque pour calculer son poids 'Pm' comme :

'Pm = ρ g Vm' où 'Vm' est le volume du ménisque, qui se calcule par intégration du profil du ménisque comme : $V_m = L B \int_0^\infty e^{-A x} dx$, soit : $V_m = L \frac{B}{A}$.

La force mesurée étant égale au poids du ménisque, elle s'écrit comme :

$$F_{\text{mes}} = \rho g L \frac{B}{A} \qquad (16)$$

Où :

$F_{\text{mes}}$ : est la force mesurée à l'aide de la balance [Kg]

$L$ : est le périmètre de la lame [m]

$B$ : est la hauteur du ménisque à la paroi [m]

$A$ : est la constante d'atténuation à déterminer [m⁻¹]

On notera qu'on n'utilise pas ici de facteur 'cos(θ)' car on considère que la force 'Fmes' vient du poids du ménisque et que le ménisque est la résultante des gradients de contrainte d'interface solide-liquide 'σSL(x)' et de contrainte d'interface liquide-vapeur 'τLV(x)' comme dans l'équation (12).

Ainsi, avec la valeur 'Fmes' mesurée par le tensiomètre, on peut calculer la constante d'atténuation 'A' comme :

$$A = \rho g L B / F_{\text{mes}} \qquad (17)$$

D'autre part, si on rapproche l'équation de la tension de surface de Wilhelmy (15) de notre équation (16), on peut provisoirement définir un terme 'Γmax', équivalent à la tension de surface calculée avec la méthode de Wilhelmy, ou plus précisément : $γLV \cos(θ)$ :

$$\Gamma_{\text{max}} \approx \rho g B/A = \gamma_{LV} \cos(\theta) \qquad (18)$$

Nous reviendrons sur la définition de ce terme 'Γmax' au paragraphe VI.

En attendant, l'équation (16) permet de calculer 'A' connaissant la valeur de 'γLV' donnée dans la littérature et la hauteur mesurée du ménisque 'B' comme : $A = \rho g B / (\gamma_{LV} \cos(\theta))$.

Dans le cas de l'eau, avec la valeur de la tension de surface donnée dans la littérature : $γLV \approx 72.10^{-3}$ [Nm⁻¹] et avec un angle 'θ' d'environ trente degrés, on obtient : $Γ_{\text{max}} = \gamma_{LV} \cos(\theta) \approx 62.10^{-3}$ [N m⁻¹].

Ainsi, avec les paramètres suivants : $g = 9.81[N Kg⁻¹]$, $ρ = 10³ [Kg m⁻³]$ et $B = 2.10^{-3}$ [m], on obtient une valeur de la constante d'atténuation 'A' telle que : $A = 316$ [m⁻¹]. Notons que ce sont ces valeurs que nous avons utilisées dans la **Figure 5**.

### 3.3 Le cas du tube capillaire (loi de Jurin)

Le phénomène d'ascension capillaire a été décrit par James Jurin² en 1718.

Selon James Jurin, la hauteur du fluide dans un tube capillaire est inversement proportionnelle au rayon du tube. Ce phénomène, schématisé dans la **Figure 8**, a été mis en équation à l'aide de la loi hydrostatique dans le tube ($Δp = ρ g h$) et de la loi de Young-Laplace ($Δp = 2 γ \cos(θ) / r$) où 'γ' a été remplacée par 'γ cos(θ)' dans l'équation de Young-Laplace car le rayon de courbure à l'interface air-liquide est : $r/\cos(θ)$.

On obtient donc :
$$ \gamma = \frac{F_{mes}}{L \cos(\theta)} \qquad (16) $$

Où :

$\gamma$ : est la tension de surface mesurée [N/m]

$F_{mes}$ : est mesurée à l'aide de la balance [Kg]

$L$ : est le périmètre de la plaque ($L= 2w+2d$) [m]

$w$ : est la longueur de la plaque [m]

$d$ : est l'épaisseur de la plaque [m]

$\theta$ : est l'angle de contact entre la plaque et le liquide

Dans la littérature, on considère généralement que la tension de surface 'γ' mesurée avec ce dispositif est la tension de surface liquide-vapeur 'γ<sub>LV</sub>'.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 7 - Plaque de Wilhelmy : La force capillaire est proportionnelle au périmètre de la plaque et à la tension de surface 'γ<sub>LV</sub>'</figcaption></figure>

## 3.2 Application de notre approche au tensiomètre de Wilhelmy

Nous pouvons utiliser l'équation (13) du profil 'Z(x)' du ménisque pour calculer son poids 'P<sub>m</sub>' comme : 'P<sub>m</sub> = ρ g V<sub>m</sub>', où 'V<sub>m</sub>' est le volume du ménisque. Le volume se calcule par intégration du profil du ménisque à

l'infini comme : $V_m = L B \int_0^\infty e^{-A \times x} dx$, soit : $V_m = L \frac{B}{A}$.

La force mesurée étant égale au poids du ménisque, elle se calcule comme :

$$ F_{mes} = \rho g L \frac{B}{A} \qquad (17) $$

Où :

$F_{mes}$ : est la force mesurée à l'aide de la balance [Kg]

$L$ : est le périmètre de la lame [m]

$B$ : est la hauteur du ménisque à la paroi [m]

$A$ : est la constante d'atténuation à déterminer [m<sup>-1</sup>]
$$h = \frac{2 \gamma_{LV} \cos(\theta)}{\rho g r} \qquad (19)$$

Où :

h : est la hauteur du fluide dans le tube capillaire [m]

$\gamma_{LV}$ : est la tension de surface liquide-vapeur [N m⁻¹]

$\theta$ : est l'angle de contact entre le tube et le liquide

$\rho$ : est la masse volumique du liquide [Kg m⁻³]

g : est l'intensité de la pesanteur [m s⁻²] ou [N kg⁻¹]

r : est le rayon du tube capillaire [m]

r/ cos(θ) : est le rayon de courbure à l'interface air-liquide

Cette loi se limite au cas de tubes dont le rayon 'r' est significativement plus petit que la longueur 'Lc' appelée 'Longueur capillaire', à savoir : $r < L_c$ où : $L_c = \sqrt{\frac{\gamma_{LV}}{\rho g}}$.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Figure 8 – Ascension d'un liquide dans un tube capillaire.**</figcaption></figure>

### 3.4 Application de notre approche au cas du tube capillaire

Selon notre approche, il y a équilibre des forces qui agissent à l'intérieur et à l'extérieur du tube.

A l'intérieur du tube, la force 'Fᵢ' est égale à la pression hydrostatique ($\Delta p = \rho gh$) multipliée par la section du tube ($\Pi r²$) :

$$F_i = \rho gh \Pi r^2 \qquad (20)$$

A l'extérieur du tube, la force de tensioactivité 'F<sub>T</sub>' agit sur le périmètre du tube ($2\Pi r$) comme dans le cas de la lame de Wilhelmy :

$$F_T = 2\Pi r \rho g (B/A) (1 - e^{-A(W-r)}) \qquad (21)$$

L'équilibre des deux forces permet de calculer la hauteur du fluide dans le tube capillaire 'h' comme :

$$h = 2B (1 - e^{-A(W-r)}) / Ar \qquad (22)$$
On notera qu'il n'y pas de facteur 'cos(θ)' dans nos équations car on considère que la force 'F<sub>mes</sub>' vient du poids du ménisque et que le ménisque est la résultante des gradients de contrainte définis dans l'équation (12).

Avec la valeur 'F<sub>mes</sub>' mesurée par le tensiomètre, on peut calculer la constante d'atténuation 'A' comme :

$$A = \rho g L B / F_{\text{mes}} \qquad (18)$$

L'équation (18) permet de calculer 'A' connaissant la valeur de 'γ<sub>LV</sub>' donnée dans la littérature et la hauteur mesurée du ménisque 'B' comme : $A = \rho g B / (\gamma_{LV} \cos(\theta))$.

Dans le cas de l'eau, avec les paramètres suivants : $g = 9.81[N \text{ Kg}^{-1}]$, $\rho = 10^3 [\text{Kg m}^{-3}]$, $B = 2.10^{-3} [\text{m}]$, la valeur de la tension de surface donnée dans la littérature : $\gamma_{LV} \approx 72.10^{-3} [\text{Nm}^{-1}]$, ainsi qu'un angle 'θ' d'environ trente degrés, on obtient : $A = 316 [\text{m}^{-1}]$.

Notons que ces valeurs sont celles que nous avons utilisées dans la **Figure 5**.

D'autre part, si on rapproche l'équation de la tension de surface de Wilhelmy (16) de notre équation (17), on peut définir un terme équivalent à la tension de surface, 'Γ', tel que :

$$\Gamma = \rho g B/A = \gamma_{LV} \cos(\theta) \qquad (19)$$

Dans le cas de l'eau, avec les paramètres ci-dessus, on obtient : $\Gamma = \gamma_{LV} \cos(\theta) \approx 62.10^{-3} [\text{N m}^{-1}]$. Nous reviendrons sur la définition de ce terme 'Γ' au paragraphe VI.

### 3.3 Le cas du tube capillaire (loi de Jurin)

Le phénomène d'ascension capillaire a été décrit par James Jurin² en 1718.

Selon Jurin, la hauteur du fluide dans un tube capillaire est inversement proportionnelle au rayon du tube. Ce phénomène, schématisé dans la **Figure 8**, a été mis en équation à l'aide de la loi hydrostatique dans le tube ($\Delta p = \rho g h$) et de la loi de Young-Laplace ($\Delta p = 2 \gamma \cos(\theta) / r$) où 'γ' a été remplacée par 'γ cos(θ)' dans l'équation de Young-Laplace, car il estime que le profil de la surface a la forme d'un arc de cercle et que le rayon de courbure à l'interface air-liquide est 'r/cos(θ)'.

Ainsi, la loi de Jurin s'exprime comme :

$$h = \frac{2 \gamma_{LV} \cos(\theta)}{\rho g r} \qquad (20)$$

Où :

$h$ : est la hauteur du fluide dans le tube capillaire [m]

$\gamma_{LV}$ : est la tension de surface liquide-vapeur [N m<sup>-1</sup>]

$\theta$ : est l'angle de contact entre le tube et le liquide

$\rho$ : est la masse volumique du liquide [Kg m<sup>-3</sup>]

$g$ : est l'intensité de la pesanteur [m s<sup>-2</sup>] ou [N kg<sup>-1</sup>]

$r$ : est le rayon du tube capillaire [m]

$r/ \cos(\theta)$ : est le rayon de courbure à l'interface air-liquide

Cette loi se limite au cas de tubes dont le rayon 'r' est significativement plus petit que la longueur 'L<sub>c</sub>' appelée 'Longueur capillaire', à savoir : $r < L<sub>c</sub>$ où : $L<sub>c</sub> = \sqrt{\frac{\gamma_{LV}}{\rho g}}$.
En utilisant le terme équivalent à la tension de surface 'Γ<sub>max</sub>' défini dans (18), on peut rapprocher l'équation (22) de celle de Jurin (19), comme :

$$h = (2 \Gamma_{\max} / \rho g r) \cdot (1 - e^{-A(W-r)}) \quad (23)$$

On peut définir un terme plus générique 'Γ' que l'on détaillera au paragraphe VI, et obtenir une équation analogue à celle de Jurin, telle que :

$$h = 2 \Gamma / \rho g r \quad (24)$$

$$Où : \Gamma = (\rho g B/A) (1 - e^{-A(W-r)})$$

Dans le cas de l'eau, en utilisant la valeur suivante de la hauteur du ménisque 'B = 2.10⁻³ [m]', celle de la tension de surface 'γ<sub>LV</sub> ≈ 72. 10⁻³ [Nm⁻¹]', soit : Γ ≈ 62. 10⁻³ [Nm⁻¹] et avec un angle 'θ' d'environ trente degrés, on peut tracer les courbes correspondant à (19) et (23) dans la **Figure 9**.
On observe que le résultat est cohérent avec la littérature¹³.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 9 - Courbes comparées de l'ascension d'un liquide dans un tube capillaire avec les paramètres : { B = 2.10⁻³ [m]; A = 316 [m-1]; γ<sub>LV</sub> ≈ 72. 10⁻³ [N m⁻¹]; Γ ≈ 62. 10⁻³ [N m⁻¹] }</figcaption></figure>

## IV Le cas de la goutte sphérique

Voyons comment utiliser la notion de gradient de contrainte de tensioactivité dans le cas théorique d'une goutte d'eau sphérique.

Selon la loi de Laplace, on calcule la différence de pression 'ΔP' entre l'intérieur et l'extérieur d'une goutte sphérique en équilibrant la résultante des forces de pression qui s'exerce sur la surface de l'équateur 'ΔF = ΠR² ΔP' et la force de tension de surface qui s'exerce sur son périmètre '2ΠR γ<sub>LV</sub>', ce qui conduit à l'équation bien connue : ΔP = $\frac{2 \gamma_{LV}}{R}$.

Cette équation a des limites :

- La formulation rencontre un évident problème d'infinité lorsque le rayon 'R' tend vers zéro.

- D'autre part, la validité de l'équation est définie pour : R << L<sub>c</sub> où : L<sub>c</sub> = $\sqrt{\frac{\gamma_{LV}}{\rho g}}$.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 8 – Ascension d'un liquide dans un tube capillaire.</figcaption></figure>

3.4 Application de notre approche au cas du tube capillaire

Selon notre approche, il y a équilibre des forces qui agissent à l'intérieur et à l'extérieur du tube.

A l'intérieur du tube, la force ‘Fᵢ’ est égale à la pression hydrostatique (Δp = ρ g h) multipliée par la section du tube (Πr²) :

$$
F_i = \rho g h \Pi r^2 \tag{21}
$$

A l'extérieur du tube, la force de tension superficielle 'F_T' agit sur le périmètre du tube (2Πr) comme dans le
cas de la lame de Wilhelmy :

$$
F_T = 2\Pi r \rho g B/A \tag{22}
$$

L'équilibre des deux forces permet de calculer la hauteur du fluide dans le tube capillaire ‘h’ comme :

$$
h = 2B/A \tag{23}
$$

En utilisant le terme équivalent à la tension de surface ‘Γ’ défini dans (19), on peut rapprocher l’équation
(23) de celle de Jurin (20), comme :

$$
h = 2 \Gamma / \rho g r \tag{24}
$$

$$
Où : \Gamma = \rho g B/A
$$

Dans le cas de l'eau, en utilisant la valeur suivante de la hauteur du ménisque 'B = 2.10⁻³ [m]', celle de la tension de surface 'γₗv ≈ 72. 10⁻³ [Nm⁻¹]', un angle 'θ' d'environ trente degrés et un terme équivalent à la tension de surface de : Γ ≈ 62. 10⁻³ [Nm⁻¹], on peut tracer les courbes correspondant à (20) et (24) dans la **Figure 9**.

On observe que le résultat est cohérent avec la littérature¹⁶.
Notons que dans le cas de l'eau, avec les valeurs précédemment indiquées : $\rho = 10^3$ [Kg/m³], $g = 9,81$ [N/kg]) et $\gamma_{eau} \approx 72$. $10^{-3}$ [N/m], on obtient la valeur critique : $L_c = 2,7$ mm.

Dans la littérature, la valeur 'Lc' est parfois considérée comme le rayon critique de la goutte. On verra ci-dessous que notre définition du rayon critique 'Rc' est sensiblement différente.

## 4.1 Application de notre approche au cas de la goutte sphérique

Dans le cas théorique d'une goutte sphérique isolée, comme il n'y a aucun contact avec une surface solide, les seules forces à la surface sont les forces de répulsion situées à l'interface liquide-vapeur et elles créent une compression radiale.

Comme le gradient des contraintes d'interaction liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(z)' défini dans (9) est radial, on peut l'écrire selon l'axe 'z' (depuis la surface où : z = 0) comme :

$$ \tau_{LV}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} \qquad (25) $$

où :

τ<sub>LV</sub>(z) : est le gradient de contrainte liquide -vapeur en [Nm<sup>-2</sup>] ou [Jm<sup>-3</sup>]

λ : est une longueur caractéristique de courbure [m]

ε : est une constante d'atténuation [m<sup>-1</sup>]

W<sub>g</sub> : est une longueur d'atténuation définie ci-dessous

Comme on l'a fait dans le cas du ménisque avec 'W<sub>m</sub>', on peut définir ici une longueur théorique d'atténuation 'W<sub>g</sub>' qui correspond à la distance maximale d'action des forces d'interaction liquide-vapeur.

Conditions aux limites :

Les observateurs ont pu noter que la cohésion de la goutte dépend de sa taille, à savoir que lorsque son rayon 'R' atteint un rayon critique 'R<sub>c</sub>', les forces de pesanteur sont prépondérantes et disloquent la goutte, comme représenté **Figure 10a**.

D'autre part, on ne peut plus considérer comme on l'a fait dans le cas du ménisque, que la surface du liquide est significativement grande par rapport à la longueur d'action des forces de tensioactivité et on ne peut plus considérer que l'ensemble des forces est en équilibre.

Cela signifie, entre autres, que le gradient des contraintes d'interaction liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(z)' est maximal à la surface de la goutte (à z=0), mais qu'il n'est pas nul au centre de la goutte (à z=R) comme on l'a représenté **Figure 10b**, car le rayon est inférieur à la longueur d'atténuation 'W<sub>g</sub>'.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**Figure 10a** – Action du gradient de contraintes d'interaction liquide-vapeur à l'interface liquide-vapeur d'une goutte et à la surface d'un plan liquide</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 9 - Courbes comparées de l'ascension d'un liquide dans un tube capillaire avec les paramètres : { B = 2.10⁻³ [m]; A = 316 [m-1]; γLV ≈ 72. 10⁻³ [N m⁻¹]; Γ ≈ 62. 10⁻³ [N m⁻¹] }</figcaption></figure>

IV Le cas de la goutte sphérique

Voyons comment utiliser la notion de gradient de contrainte superficielle dans le cas théorique d'une goutte d'eau sphérique.

Selon la loi de Laplace, on calcule la différence de pression ‘ΔP’ entre l’intérieur et l’extérieur d’une goutte sphérique en équilibrant la résultante des forces de pression qui s’exerce sur la surface de l’équateur
‘ΔF = ΠR². ΔP’ et la force de tension de surface qui s’exerce sur son périmètre ‘2ΠR. γLV’, ce qui conduit à
l’équation bien connue : ΔP = $\frac{2 \gamma_{LV}}{R}$.

Cette équation a des limites :

- L'équation rencontre un évident problème d'infinité lorsque le rayon 'R' tend vers zéro.

- D'autre part, la validité de l'équation est définie pour : R << L_c où : L_c = $\sqrt{\frac{\gamma_{LV}}{\rho g}}$ .

Notons que dans le cas de l'eau, avec les valeurs précédemment indiquées : ρ = 10³ [Kg/m³], g = 9,81
[N/kg]) et γeau ≈ 72. 10⁻³ [N/m], on obtient : L_c = 2,7 mm.

Dans la littérature, la valeur 'L_c' est souvent considérée comme le rayon critique de la goutte. On verra ci-dessous que notre définition du rayon critique 'R_c' est sensiblement différente.

**4.1 Application de notre approche au cas de la goutte sphérique**

Dans le cas théorique d'une goutte sphérique isolée, attendu qu'il n'y a aucun contact avec une quelconque
surface solide, les seules forces superficielles sont les forces de répulsion situées à l'interface liquide-vapeur,
forces qui produisent une compression radiale.

Comme le gradient des contraintes d'interaction liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(z)' défini dans (10) est radial, on peut
l'écrire selon l'axe 'z' (depuis la surface où : z = 0) comme dans la **Figure 10a** :

$$
\tau_{LV}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} \tag{25}
$$

où :
La **Figure 10a** permet d'expliquer l'action des forces d'interaction liquide-vapeur :

* Une goutte se forme lorsque son rayon est inférieur au rayon critique 'R_c'.

* Lorsque le rayon dépasse 'R_c', les forces de pesanteur sont prépondérantes et disloquent la goutte.

* Dans le cas d'une surface d'eau étendue, les forces d'interaction liquide-vapeur ne peuvent pas courber la surface car elle a une dimension quasi infinie.

* Lorsque le rayon de la goutte est égal au rayon critique 'R_c', les forces de pesanteur sont égales aux forces d'interaction liquide-vapeur, ce qui va nous permettre d'écrire l'équation d'équilibre entre le poids de la goutte et l'intégrale du gradient de contraintes d'interaction liquide-vapeur.

On peut représenter le gradient de contrainte liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(x)' comme dans la **Figure 9b** où on a placé le repère au centre d'une goutte théorique de rayon 'R'. Ce formalisme sera utilisé plus loin pour analyser d'autres formes de gouttes de type hémisphérique ou semi-ellipsoïde déposées sur une surface horizontale.
On peut réécrire 'τ<sub>LV</sub>(x)' comme :

$$ \tau_{LV}(R-x) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon(R-x)} \quad (26) $$

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Figure 10b** – Représentation du gradient de compression 'τ<sub>LV</sub>(x)' dans une goutte d'eau dû aux forces de répulsion à l'interface liquide-vapeur. Le gradient de contrainte est négatif (compression) et maximal en surface mais il n'est pas nul au centre.</figcaption></figure>

Le gradient est maximal à la surface de la goutte et diminue jusqu'à son centre.

* A la surface de la goutte on a : $τ_{LV}(x=R) = -ρgλ$.

* Au centre de la goutte, le gradient n'est pas nul et on a : $τ_{LV}(x=0) = -ρgλe^{-εR}$.

Comme indiqué précédemment, le gradient n'est pas nul au centre de la goutte car le rayon est inférieur à la longueur d'atténuation ($R_c < W_g$).

Selon nos équations, le gradient devrait être nul à la distance d'atténuation 'W_g', mais c'est une chose qu'on ne peut observer dans le champ de pesanteur car la goutte se disloque lorsque son rayon dépasse le rayon critique 'R_c'. On verra plus loin que ce n'est plus le cas en impesanteur.

Quand le rayon maximal 'R_c' est atteint, on peut écrire l'équation d'équilibre entre le poids critique de la goutte 'P_c = ρg (4/3) Π R_c³' et la somme des forces exercées par le gradient sur le périmètre '2πR_c' de la goutte comme :
$\tau_{LV}(z)$ : est le gradient de contrainte liquide -vapeur en
[Nm$^{-2}$] ou [Jm$^{-3}$]

$\lambda$ : est une longueur caractéristique de courbure [m]

$\varepsilon$ : est une constante d'atténuation [m$^{-1}$]

$W_g$ : est la longueur d'atténuation de la goutte

Comme on l'a fait dans le cas du ménisque avec 'Wm', on peut définir ici une longueur théorique d'atténuation 'Wg' qui correspond à la distance maximale d'action des forces d'interaction liquide-vapeur.

Conditions aux limites :

La littérature indique que la cohésion de la goutte dépend de sa taille, à savoir que lorsque son rayon atteint un rayon critique 'Rc', les forces de pesanteur sont prépondérantes et disloquent la goutte, comme décrit **Figure 10a**.

D'autre part, on ne peut plus considérer, comme on l'a fait dans le cas du ménisque, que la surface du liquide est significativement grande par rapport à la longueur d'action des forces de tension superficielle et on ne peut plus considérer que l'ensemble des forces est en équilibre.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 10a – Action du gradient de contrainte d'interaction liquide-vapeur à l'interface liquide-vapeur d'une goutte et à la surface d'un plan liquide</figcaption></figure>

Cela signifie, entre autres, que le gradient des contraintes d'interaction liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(z)' est maximal à la surface de la goutte (à z = 0), mais qu'il n'est pas nul au centre de la goutte (à z = R) comme on l'a représenté **Figure 10b**, car le rayon est inférieur à la longueur d'atténuation 'Wg'.

La **Figure 10a** permet d'expliquer l'action des forces d'interaction liquide-vapeur :

* Une goutte sphérique ne se forme que si son rayon est inférieur au rayon critique 'Rc'.

* Lorsque le rayon dépasse 'Rc', les forces de pesanteur sont prépondérantes et disloquent la goutte.

* Dans le cas d'une surface d'eau étendue, les forces d'interaction liquide-vapeur ne peuvent pas courber la surface car elle a une dimension quasi infinie.

* Lorsque le rayon de la goutte est égal au rayon critique 'Rc', les forces d'interaction liquide-vapeur équilibrent les forces de pesanteur. Cela va nous permettre d'écrire ci-après l'équation d'équilibre entre le poids de la goutte et l'intégrale du gradient de contraintes d'interaction liquide-vapeur.

On peut représenter le gradient de contrainte liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(x)' comme dans la **Figure 10b** où on a placé le repère au centre d'une goutte sphérique théorique de rayon 'R'. Ce formalisme sera utilisé plus loin pour analyser d'autres formes de gouttes de type hémisphérique ou semi-ellipsoïde déposées sur une surface horizontale.
$$ \Sigma \text{ Forces} = - 2 \Pi R_c \int_{0}^{R_c} \rho g \lambda e^{-\epsilon (R_c-x)} dx \quad (27) $$

Ce qui permet d'obtenir (28) :

$$ \frac{2}{3} R_c^2 = (\lambda/\epsilon) (1 - e^{-\epsilon R_c}) \quad (28) $$

Cette équation permet de calculer la longueur caractéristique 'λ' telle que : $\lambda = \frac{2}{3} R_c^2 \epsilon / (1 - e^{-\epsilon R_c})$.

Ainsi, pour des valeurs de rayon critique telles que : $R_c = 3$ à $4 \text{ mm}^{14}$ et $\epsilon = 409 \text{ [m}^{-1}\text{]}$, on trouve une valeur de longueur caractéristique telle que : $\lambda = 3,5$ à $5 \text{ mm}$.

NB : Pour la suite, on prendra : $\lambda = 4 \text{ mm}$ et $R_c = 3,3 \text{ mm}$.

Comme on l'a vu dans la **Figure 10a**, lorsque le rayon de la goutte 'R' est inférieur à 'R_c', l'équation (28) devient une inégalité et la pression dans la goutte n'est pas nulle :

$$ \frac{2}{3} R^2 < \lambda/\epsilon (1 - e^{-\epsilon R}) \quad (29) $$

On vérifie donc bien que la goutte est en compression tant que : $R \le R_c$.

## 4.2 Calcul de la pression dans la goutte et Loi de Laplace

Comme dans l'équation de Laplace, on obtient la variation de pression dans la goutte 'ΔP' dans le plan médian de la sphère, en calculant la somme des forces qui s'exerce sur son périmètre '2ΠR', et en la divisant par la surface du plan médian '2ΠR²' comme :

$$ \Delta P = \int \text{Forces} / \Pi R^2 $$

La somme des forces s'obtient à partir de l'intégrale du gradient 'τ$_{LV}$' le long du périmètre '2ΠR' à l'aide de (27) comme :

$$ \int \text{Forces} = - 2\Pi R \rho g \lambda \int_{0}^{R} e^{-\epsilon (R-x)} dx \quad (30) $$

Soit :

$$ \Delta P = (2/R) \rho g \frac{\lambda}{\epsilon} (1 - e^{-\epsilon R}) \quad (31) $$

Qui peut se réécrire comme :

$$ \Delta P = 2 \rho g \lambda \left\{ \frac{(1 - e^{-\epsilon R})}{\epsilon R} \right\} \quad (32) $$

On notera l'intérêt de l'expression entre crochets '{(1 - e⁻$\epsilon R$)/(εR)}', car elle tend vers l'unité lorsque 'R' tend vers zéro et '$\Delta P$' tend donc vers : 2 ρ g λ.
On peut donc réécrire ‘$\tau_{LV}(x)$’ comme :

$$ \tau_{LV}(R-x) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon (R-x)} \qquad (26) $$

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 10b – Représentation du gradient de compression ‘$\tau_{LV}(x)$’ dans une goutte d'eau dû aux forces de répulsion à l'interface liquide-vapeur. Le gradient est maximal à la surface et diminue vers le centre</figcaption></figure>

Le gradient est maximal à la surface de la goutte et diminue jusqu'à son centre.

- A la surface de la goutte on a : $\tau_{LV}(x = R) = - \rho g \lambda$.

- Au centre de la goutte, le gradient n'est pas nul et on a : $\tau_{LV}(x = 0) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon R}$.

Comme on l'a indiqué précédemment, le gradient n'est pas nul au centre de la goutte car le rayon est inférieur à la longueur d'atténuation ($R_c < W_g$).

Selon nos équations, le gradient devrait être nul à la distance d'atténuation ‘$W_g$’, mais c'est une chose qu'on ne peut observer dans le champ de pesanteur car la goutte se disloque lorsque son rayon dépasse le rayon critique ‘$R_c$’. On verra plus loin que ce n'est plus le cas en impesanteur.

Quand le rayon de la goutte est égal au rayon critique ‘$R_c$’, on peut écrire l'équation d'équilibre entre le poids critique de la goutte ‘$P_c = \rho g (4/3) \Pi R_c^3$’ et la somme des forces exercées par le gradient sur le périmètre ‘$2\pi R_c$’ de la goutte comme :

$$ \Sigma \text{ Forces} = - 2 \Pi R_c \int_{0}^{R_c} \rho g \lambda e^{-\epsilon (R_c - x)} dx \qquad (27) $$

Ce qui donne :

$$ \frac{2}{3} R_c^2 = (\lambda/\epsilon) (1 - e^{-\epsilon R_c}) \qquad (28) $$
D'autre part, en utilisant le terme 'Γ' défini précédemment, on peut réécrire (32) comme (33) par analogie avec l'équation de Young-Laplace :

$$ \Delta P = \frac{2 \Gamma}{R} \qquad (33) $$

Où 'Γ': est un terme équivalent à 'γ<sub>LV</sub> cos(θ)' et vaut ici : Γ ≅ ρ g λ/ε (1 - e<sup>-εR</sup>) [Nm<sup>-1</sup>].

NB : on analysera plus en détail le terme 'Γ' au paragraphe VI.

Nous avons représenté les équations (32) et (1) en fonction de 'R' dans la **Figure 11**.

On observe que lorsque 'R' tend vers zéro, la pression dans l'équation (1) tend vers l'infini, alors que dans l'équation (32), la pression tend vers une valeur finie : ΔP(R=0) = 2 ρ g λ.

On notera que la pression théorique dans une goutte de 1 micron de diamètre devrait être d'environ 2,8 bars selon l'équation (1), alors qu'elle ne devrait être que de 87.10<sup>-5</sup> bars selon l'équation (32), ce qui nous semble plus raisonnable.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>**Figure 11 – Equation (32) de la variation de pression dans une goutte : comparaison avec l'équation de Young-Laplace (1) {avec les paramètres : λ = 4.10<sup>-3</sup> [m]; ε = 409 [m<sup>-1</sup>]}**</figcaption></figure>

### 4.3 Taille maximale d'une goutte d'eau et rayon critique

Selon la plupart des auteurs, le rayon critique 'R<sub>c</sub>' est d'environ 3 mm pour l'eau, quoique, selon H. R. Pruppacher and J. D. Klett<sup>14</sup>, des goutes d'eau de 8 mm de diamètre (correspondant à : R<sub>c</sub> = 4 mm) auraient été observées et mesurées.

NB : dans cet article, nous avons fixé arbitrairement la valeur de la longueur caractéristique de courbure comme : λ = 4 mm (dans les **Figures 5, 5bis, 11** et suivantes), ce qui correspond à une valeur du rayon critique de la goutte sphérique de : R<sub>c</sub> = 3,3 mm.

Il faut noter que le rayon critique n'a pas vraiment fait l'objet de l'attention des chercheurs car sa mesure est inutile dans les formulations antérieures (lois de Laplace et Young-Dupré). En revanche, dans le cadre de notre approche, la mesure du rayon critique 'R<sub>c</sub>' est bien plus importante car elle permet de calculer 'λ'.

En ce qui concerne l'atténuation de l'exponentielle 'W<sub>g</sub>', qui est non observable dans le champ de pesanteur, nous allons en discuter dans le paragraphe suivant.
Cette équation permet de calculer la longueur caractéristique ‘λ’ comme : $\lambda = \frac{2}{3} R_c^2 \varepsilon / (1 - e^{-\varepsilon R_c})$.

Ainsi, pour des valeurs de rayon critique telles que : $R_c = 3$ à $4 \text{ mm}^{14}$ et $\varepsilon = 409 \text{ [m}^{-1}\text{]}$, on trouve une valeur de longueur caractéristique telle que : $\lambda = 3,5$ à $5 \text{ mm}$.

NB : Dans les exemples qui suivent, on prendra : $\lambda = 4 \text{ mm}$ et $R_c = 3,3 \text{ mm}$.

Comme on l'a vu dans la **Figure 10a**, lorsque le rayon de la goutte 'R' est inférieur à 'R_c', l'équation (28) devient une inégalité et la pression dans la goutte n'est pas nulle :

$$ \frac{2}{3} R^2 < \frac{\lambda}{\varepsilon} \left(1 - e^{-\varepsilon R}\right) \qquad (29) $$

On vérifie bien que la goutte est en compression tant que : $R \le R_c$.

Nous pouvons désormais calculer la variation de pression dans la goutte comme dans l'équation de Laplace.

## 4.2 Calcul de la différence de pression dans la goutte et Loi de Laplace

Comme pour l'équation de Laplace, on obtient la variation de pression dans la goutte 'ΔP' dans le plan médian de la sphère, en calculant la somme des forces qui s'exerce sur son périmètre '2ΠR' et en la divisant par la surface du plan médian '2ΠR²' comme :

$$ \Delta P = \int \text{Forces} / \Pi R^2 $$

La somme des forces s'obtient à partir de l'intégrale du gradient 'τ$_{LV}$' le long du périmètre '2ΠR' en utilisant l'équation (28) comme :

$$ \int \text{Forces} = - 2\Pi R \rho g \lambda \int_0^R e^{-\varepsilon (R-x)} dx \qquad (30) $$

Ce qui donne :

$$ \Delta P = (2/R) \rho g \frac{\lambda}{\varepsilon} (1 - e^{-\varepsilon R}) \qquad (31) $$

Cette équation peut se réécrire comme :

$$ \Delta P = 2 \rho g \lambda \left\{ (1 - e^{-\varepsilon R}) / (\varepsilon R) \right\} \qquad (32) $$

L'expression entre crochets '{(1 - e$^{-\varepsilon R}$)/(εR)}' est très intéressante car elle tend vers l'unité lorsque 'R' tend vers zéro, ce qui signifie que 'ΔP' tend vers '2 ρ g λ'.

De plus, en utilisant le terme 'Γ' défini précédemment, on peut réécrire (32) par analogie avec l'équation de Laplace :

$$ \Delta P = \frac{2 \Gamma}{R} \qquad (33) $$

Où 'Γ' est équivalent à la tension de surface et vaut ici : $\Gamma = \rho g \lambda / \varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) \text{ [Nm}^{-1}\text{]}$.

NB : on analysera plus en détail le terme 'Γ' au paragraphe VI.
## 4.4 Taille maximale d'une goutte d'eau en impesanteur

Dans le champ de pesanteur, on sait que le poids limite la dimension des gouttes d'eau car elles se disloquent lorsque leur rayon atteint le rayon critique 'R_c'.

Selon nos équations, dans le cas d'une goutte en impesanteur, on devrait cependant observer des gouttes d'eau ayant un rayon nettement plus grand que celles observées sur Terre.

C'est ce qu'on n'ait pas d'information sur cette mesure à ce jour, on pourrait supposer que la longueur d'atténuation de l'exponentielle 'W_g' en impesanteur est plus grande que celle observée sur Terre dans le cas du ménisque 'W_m'.

Rappelons que dans les équations (4-6), nous avons équilibré l'énergie de tensioactivité par unité de volume 'u(x)' avec l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume 'Epp(x)' et nous avons calculé la constante 'u_0' en fonction de l'intensité de la pesanteur.

En impesanteur, la gravité est nulle et il faudrait théoriquement repartir de l'expression 'u(x) = u_0 e^{-Ax}'.

Quoi qu'il en soit, on peut faire l'hypothèse que la pression dans la goutte en impesanteur peut s'exprimer en termes de gradient de contrainte, comme on l'a fait en pesanteur.

Selon cette hypothèse, on peut conserver l'expression (33) de la pression dans la goutte et considérer le paramètre 'Γ' comme indépendant de la pesanteur : $\Delta P = \frac{2\Gamma}{R}$.

D'autre part, sachant qu'il n'y a plus de rayon critique en impesanteur, on peut garder également le paramètre 'ε' et calculer la pression théorique dans la goutte en utilisant l'équation (31) où on a remplacé les termes '$\rho g \frac{\lambda}{\epsilon} (1 - e^{-\epsilon R})$' par le paramètre 'Γ'.

On peut alors tracer la variation de pression théorique dans la goutte au-delà de 'R_c' comme dans la **Figure 12** et extrapoler une longueur théorique d'atténuation 'W_g' de l'ordre d'une dizaine de centimètres.

Selon l'équation (33), la goutte resterait théoriquement en compression, même si la variation de pression est très faible.

Notons que la variation de pression calculée est très faible devant la pression atmosphérique qui est réalisée dans une capsule spatiale pour la survie des astronautes. Elle est également très faible devant la pression du souffle humain qui est d'environ 0.1 bars soit $10^4$ [Nm$^{-2}$], ce qui signifie qu'une goutte devrait être facilement déformée ou dissociée par le moindre souffle.

Bien que l'on n'ait pas d'information sur la mesure de la distance d'atténuation, sur la hauteur du ménisque ou sur le rayon maximal de courbure en impesanteur, notre hypothèse reste cohérente avec l'observation par les astronautes de gouttes de plus d'une dizaine de centimètres de diamètre en impesanteur$^{15-17}$.
Nous avons représenté les équations (32) et (1) en fonction du rayon de la goutte dans la **Figure 11**.

On observe que lorsque 'R' tend vers zéro, la pression dans l'équation (1) tend vers l'infini, alors que dans l'équation (32) la pression tend vers une valeur finie : $\Delta P(R=0) = 2 \rho g \lambda$.

On notera que la différence de pression dans une goutte de 1 micron de diamètre devrait être d'environ 2,8 bars selon l'équation (1), alors qu'elle ne devrait être que de $87.10^{-5}$ bars selon l'équation (32), ce qui nous semble plus raisonnable, les microgouttes de pluie n'explosant pas lorsqu'elles tombent au sol.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Figure 11 – Équation (33) de la variation de pression dans une goutte : comparaison avec l'équation de Young-Laplace (1) {avec les paramètres : $\lambda = 4.10^{-3}$ [m]; $\varepsilon = 409$ [m$^{-1}$]}**</figcaption></figure>

## 4.3 Taille maximale d'une goutte d'eau et rayon critique

Selon la plupart des auteurs, le rayon critique 'R_c' est d'environ 3 mm pour l'eau, quoique, selon H. R. Pruppacher et J. D. Klett¹⁷, des gouttes d'eau de 8 mm de diamètre ('R_c' d'environ 4 mm) auraient été observées et mesurées.

Dans cet article, nous avons fixé arbitrairement la valeur de la longueur caractéristique de courbure comme : $\lambda = 4$ mm (dans les **Figures 5, 5bis, 11** et suivantes), ce qui correspond à une valeur du rayon critique de la goutte sphérique de : $R_c = 3,3$ mm.

Il faut noter qu'on a peu d'informations sur le rayon critique 'R_c' et qu'il n'a pas vraiment fait l'objet de l'attention des chercheurs jusqu'à présent car sa mesure n'a pas d'utilité dans les formulations antérieures (lois de Laplace et de Young-Dupré). En revanche, dans le cadre de notre approche, la mesure du rayon critique 'R_c' est bien plus importante car elle permet de calculer le paramètre 'λ'.

En ce qui concerne l'atténuation de l'exponentielle 'W_g', non observable dans le champ de pesanteur, nous allons en discuter dans le paragraphe suivant.

## 4.4 Taille maximale d'une goutte d'eau en impesanteur

Dans le champ de pesanteur terrestre, on sait que le poids limite la dimension des gouttes d'eau car elles se disloquent lorsque leur rayon atteint le rayon critique 'R_c'.

Cependant, en impesanteur, nos équations suggèrent que nous devrions observer des gouttes d'eau avec un rayon beaucoup plus grand.
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 12 – Calcul de la variation de pression théorique dans une goutte d'eau en impesanteur</figcaption></figure>

# V Le cas d'une goutte déposée sur une surface solide

## 5.1 L'équation de Young-Dupré

Dans le cas théorique d'une goutte déposée sur une surface solide, on utilise généralement l'équation de Young-Dupré⁵ décrite en introduction.

Selon cette loi et comme représenté **Figure 1**, les trois tensions projetées sur le plan sont supposées s'équilibrer comme dans l'équation (2) : $\gamma_{LV} \cos(\theta) = \gamma_{SV} - \gamma_{SL}$.

Ainsi, pour une valeur donnée des tensions 'γ<sub>LV</sub>', 'γ<sub>SL</sub>'et 'γ<sub>SV</sub>', il ne devrait y avoir théoriquement qu'une seule valeur de l'angle 'θ'. L'angle de contact devrait être considéré comme une constante et il ne devrait y avoir qu'une seule forme de goutte possible quel que soit son volume.

Cependant, si on observe un ensemble de gouttelettes d'eau de tailles différentes déposées sur une même surface comme celles de la **Figure 13**, on constate que les gouttes ont des formes variables.

Plus précisément, on observe que les petites gouttes semblent avoir une forme allant de la pseudosphère à l'hémisphère, tandis que les très grosses gouttes semblent plutôt avoir une forme semi-ellipsoïde.

Bien qu'il s'agisse du même liquide et du même support, il semble donc que l'angle 'θ' ne soit pas constant.

Pour expliquer cette dérive, de nombreux auteurs considèrent généralement que si l'angle de contact varie d'une goutte à l'autre, cela est dû à la rugosité de la surface et aux impuretés qui provoquent une déviation de l'angle de contact prédit par l'équation de Young.

Certains auteurs ne sont pas d'accord avec cette proposition : dans son étude de gouttes en mouvement 'avançant' ou 'reculant', Rafael Tadmor¹⁸ reconnait une certaine dépendance du volume, tandis que de son côté, Lasse Makkonen¹⁹ considère que cela ne dépend pas de la rugosité ni des impuretés, mais que, lors du glissement d'une goutte, l'interface solide-vapeur disparaît et une interface solide-liquide se forme devant la ligne de contact qui avance, tandis que l'inverse se produit à l'arrière de la ligne de contact qui recule.
C'est exactement ce qu'ont observé les cosmonautes lors d'expériences menées en impesanteur en manipulant des gouttes d'eau de plus d'une dizaine de centimètres de diamètre¹⁸⁻²⁰.

Rappelons que dans les équations (5-7), nous avons équilibré l'énergie de tension superficielle par unité de volume 'u(x)' avec l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume 'Epp(x)' et nous avons calculé la constante 'u₀' en fonction de l'intensité de la pesanteur.

En impesanteur, la gravité est nulle et il faudrait théoriquement repartir de l'expression de l'énergie de tension superficielle $u(x) = u_0 e^{-A \cdot x}$.

Pour simplifier, nous allons néanmoins utiliser l'expression (33) de la variation de pression dans la goutte et considérer le paramètre 'Γ' comme indépendant de la pesanteur. D'autre part, on peut utiliser la valeur de 'Γ' calculée ci-dessus et calculer la variation de pression théorique dans la goutte.

On peut alors tracer la variation de pression théorique dans la goutte au-delà de 'Rc' comme dans la **Figure 12** et extrapoler une longueur théorique d'atténuation 'Wg' qui devrait être de l'ordre d'une dizaine de centimètres.

Selon l'équation (33), la goutte resterait théoriquement en compression, même si la variation de pression est très faible.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>**Figure 12** – Calcul de la variation de pression théorique dans une goutte d'eau en impesanteur</figcaption></figure>

Notons que la variation de pression calculée reste très faible devant la pression du souffle humain qui est d'environ 0.1 bars soit $10^4$ [Nm$^{-2}$]. Cela signifie qu'une goutte en impesanteur devrait être facilement déformée ou dissociée par le moindre souffle.

Bien que l'on n'ait pas encore d'information sur la mesure de la distance d'atténuation, sur la hauteur du ménisque ou sur le rayon maximal de courbure en impesanteur, notre hypothèse reste cohérente avec l'observation par les astronautes de gouttes de plus d'une dizaine de centimètres de diamètre en impesanteur¹⁸⁻²⁰.

# V Le cas d'une goutte déposée sur une surface solide

## 5.1 L'équation de Young-Dupré

Dans le cas théorique d'une goutte déposée sur une surface solide, on utilise généralement l'équation de Young-Dupré⁵ décrite en introduction.

Selon cette loi et comme représenté **Figure 1**, les trois tensions projetées sur le plan sont supposées s'équilibrer comme dans l'équation (2) : $\gamma_{LV} \cos(\theta) = \gamma_{SV} - \gamma_{SL}$.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 13 - Photos de gouttes d'eau de tailles variables</figcaption></figure>

Dans cet article, plutôt que de tenter d'interpréter l'équation de Young-Dupré, nous allons modéliser les formes existantes à l'aide de nos équations afin de les valider.

Nous commencerons par appliquer notre approche au cas d'une goutte théoriquement hémisphérique avant de l'appliquer à d'autres formes géométriques telles que des 'semi-ellipsoïdes' et des 'pseudosphères'.

## 5.2 Préambule à l'application de notre approche au cas de gouttes déposées sur une surface solide

Conditions aux limites :

Dans le cas de la goutte sphérique analysée au paragraphe 4.1, nous avons vu que la surface du liquide ne peut plus être considérée comme grande par rapport aux dimensions de la goutte et on ne peut donc plus considérer que les forces sont en équilibre.

De la même manière, dans le cas d'une goutte déposée sur une surface solide, ni la surface du liquide ni la surface de contact du solide ne peuvent être considérées comme grandes et on ne peut donc pas considérer que les forces sont en équilibre.

En fait, l'équilibre des forces est atteint uniquement lorsque le rayon est égal au rayon critique, c'est-à-dire quand le poids de la goutte est égal à la somme des forces de tensioactivité.

Comme dans le cas de la goutte sphérique, la goutte est toujours en compression et c'est justement cette compression qui la maintient sous sa forme.

Par conséquent, nous écrirons ici, non pas des équations mais des inéquations et on considèrera qu'il n'y a équilibre que lorsque le rayon de la goutte atteint sa valeur critique, que nous noterons ici 'R<sub>ch</sub>'.

Remarque sur la valeur de 'R<sub>ch</sub>':

La littérature ne fournit pas d'information sur la valeur du rayon critique d'une goutte d'eau hémisphérique, probablement parce que les auteurs utilisent généralement l'équation de Young-Dupré.

En revanche, dans notre approche, la valeur du rayon critique est importante car elle est liée aux paramètres du gradient d'interface solide-liquide.

Notons enfin, que dans le cas de la goutte d'eau hémisphérique, lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, il semble que la pesanteur ne disloque pas la goutte comme dans le cas de la sphère, mais provoque plutôt sa transformation en goutte plus grande mais non hémisphérique.

## 5.3 Application de notre approche au cas de la goutte hémisphérique déposée sur une surface solide

Nous allons appliquer notre approche au cas théorique d'une goutte d'eau parfaitement hémisphérique.

Comme schématisé **Figure 14**, nous prendrons en considération deux types de forces d'interaction : les forces d'interaction liquide-vapeur à la surface de la goutte et les forces d'interaction solide-liquide à l'interface de contact goutte-solide.

La résultante des forces de tensioactivité s'oppose aux forces de pesanteur :
Notons que même si les trois tensions projetées sur le plan sont à l'équilibre, la somme vectorielle de ces trois tensions comporte une composante perpendiculaire au plan de la paroi solide. Cette force est théoriquement compensée par une traction exercée par le solide sur la ligne de contact.

Selon l'équation de Young-Dupré, compte tenu du fait que les tensions 'γ<sub>LV</sub>', 'γ<sub>SL</sub>'et 'γ<sub>SV</sub>' sont des paramètres fixes dépendant du type de solide, liquide et vapeur, il ne devrait y avoir théoriquement qu'une seule valeur de l'angle de contact 'θ' à l'équilibre.

Cependant, lorsqu'on observe un ensemble de gouttelettes d'eau de tailles différentes déposées sur une même surface comme celles de la **Figure 13**, on constate que les gouttes ont des formes variables.

Plus précisément, on observe que les petites gouttes semblent avoir une forme allant de la pseudo-sphère à l'hémisphère, tandis que les très grosses gouttes semblent plutôt avoir une forme semi-ellipsoïde.

Pour expliquer les variations de l'angle de contact, bien qu'il s'agisse du même liquide et du même support, les auteurs considèrent généralement que si l'angle de contact varie d'une goutte à l'autre, cela est dû à la rugosité de la surface et aux impuretés qui provoquent une déviation de l'angle de contact prédit par l'équation de Young-Dupré.

Certains auteurs ne souscrivent pas à ce postulat. Dans son étude de gouttes en mouvement 'avançant' ou 'reculant', Rafael Tadmor<sup>21</sup> reconnaît que l'angle de contact dépend du volume, tandis que de son côté, Lasse Makkonen<sup>22</sup> considère que cela ne dépend pas de la rugosité ni des impuretés, mais que, lors du glissement d'une goutte, l'interface solide-vapeur disparaît et une interface solide-liquide se forme devant la ligne de contact qui avance, tandis que l'inverse se produit à l'arrière de la ligne de contact qui recule.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>**Figure 13 - Photos de gouttes d'eau de tailles variables**</figcaption></figure>

Dans cet article, au lieu de tenter d'interpréter l'équation de Young-Dupré, nous allons plutôt modéliser les formes de goutte existantes à l'aide de nos équations afin de les valider.

## 5.2 Préambule à l'application de notre approche au cas de gouttes déposées sur une surface solide

### Conditions géométriques de modélisation

Pour pouvoir modéliser le comportement de gouttes réelles, nous devons définir des gouttes de formes géométriques parfaitement symétriques et régulières car ces formes sont modélisables en géométrie.

Dans cet article, nous avons choisi d'étudier des gouttes théoriques hémisphériques, semi-ellipsoïdes et pseudo-sphériques comme celles que l'on dessine généralement dans la littérature.

### Conditions aux limites :

Dans le cas de la goutte sphérique analysée au paragraphe 4.1, nous avons vu que la surface de la goutte ne peut pas être considérée comme grande par rapport aux dimensions de la goutte et on ne peut donc plus considérer que les forces sont en équilibre.
- Tant que le rayon est inférieur au rayon critique 'R<sub>ch</sub>', la résultante des forces de tensioactivité est supérieure aux forces de pesanteur.

- Lorsque le rayon est égal au rayon critique, on a équilibre entre les forces.

- Lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la pesanteur transforme la goutte hémisphérique en une goutte plus large, par exemple de forme ellipsoïde.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>**Figure 14 - Goutte hémisphérique posée sur une surface solide. Dessin des forces de compression à l'interface liquide-vapeur et des forces d'étalement à l'interface solide- liquide**</figcaption></figure>

Selon notre approche, en opposition avec l'équation de Young-Dupré, nous considérons ici que les forces d'interface liquide-vapeur s'opposent aux forces d'interface solide-liquide ainsi qu'à la pesanteur et qu'elles sont suffisamment grandes pour maintenir le fluide dans le volume de l'hémisphère.

Avant de calculer les composantes de ces forces, nous allons commencer par analyser les gradients de contrainte.

### 5.3.1 Le gradient de contrainte d'interface liquide - vapeur

Le gradient de contrainte liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(x)' est radial. Comme dans le cas de la goutte sphérique, c'est lui qui définit la forme de la goutte. Comme il est radial, il peut s'écrire en fonction de 'x' ou en fonction de 'z' comme ici :

$$ \tau_{LV}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} \qquad (34) $$

Il est noté de manière négative car la goutte est en compression.

Horizontalement et comme schématisé dans la **Figure 15a**, les forces d'interface liquide-vapeur ramènent les bords de la goutte hémisphérique vers le centre. Elles sont opposées aux forces d'interface solide-liquide qui tendent à étaler la goutte.

Valeurs aux limites :

La composante horizontale du gradient est maximale au bord de la goutte, soit : τ<sub>LV</sub>(z=0 ; x=R) = ρ g λ.

Au centre de la goutte, sa valeur est minimale mais non nulle : τ<sub>LV</sub>(z=R ; x=0) = ρ g λ e<sup>-εR</sup>.

### 5.3.2 Le gradient de contrainte d'interface solide- liquide
De la même manière, dans le cas d'une goutte déposée sur une surface solide, ni la surface du liquide ni la surface de contact du solide ne peuvent être considérées comme grandes et on ne peut pas considérer que les forces sont en équilibre.

En fait, un équilibre des forces est atteint uniquement lorsque le rayon est égal au rayon critique, c'est-à-dire lorsque le poids de la goutte est égal à la somme des forces de tension superficielle. Comme dans le cas de la goutte sphérique, la goutte est toujours en compression et c'est justement cette compression qui la maintient sous sa forme.

Nous avons vu que lorsque le rayon de la goutte sphérique est supérieur au rayon critique, la goutte se disloque. En revanche, dans le cas d'une goutte hémisphérique déposée sur une surface solide, lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la goutte change de forme.

Cela signifie que nous devrons écrire ici, non pas des équations, mais des inéquations et considérer que dans le cas d'une goutte d'eau hémisphérique, l'équilibre ne survient que lorsque le rayon de la goutte atteint sa valeur critique, que nous noterons ici 'R<sub>ch</sub>'.

**Remarque sur la valeur de 'R<sub>ch</sub>':**

La littérature ne fournit pas d'information sur la valeur du rayon critique d'une goutte hémisphérique, probablement parce que les auteurs utilisent généralement l'équation de Young-Dupré. En revanche, dans notre approche, la valeur du rayon critique est importante car elle est liée aux paramètres du gradient d'interface solide.

Notons également que, dans le cas d'une goutte hémisphérique, la valeur du rayon critique n'est pas une limite puisque, lorsque le rayon est supérieur à 'R<sub>ch</sub>', la pesanteur ne disloque pas la goutte comme dans le cas de la sphère, mais provoque plutôt sa transformation en une goutte non-hémisphérique plus grande.

**Quid du film précurseur au bord de la goutte :**

On sait qu'un certain nombre d'expérimentateurs ont observé une déformation du bord de la goutte, due au 'film précurseur'²³⁻²⁵. On ne tiendra pas compte du 'pied' de la goutte dans cet article et on l'analysera ultérieurement.

## 5.3 Application de notre approche au cas de la goutte hémisphérique déposée sur une surface solide

Commençons par appliquer notre approche au cas théorique d'une goutte d'eau parfaitement hémisphérique.

Comme schématisé **Figure 14**, nous prendrons en considération deux types de forces d'interaction : les forces d'interaction liquide-vapeur à la surface de la goutte et les forces d'interaction solide (solide-liquide et solide-vapeur) à l'interface de contact goutte-solide.

La résultante des forces de tension superficielle s'oppose aux forces de pesanteur :

- Tant que le rayon est inférieur au rayon critique 'R<sub>ch</sub>', la résultante des forces de tension superficielle est supérieure aux forces de pesanteur.

- Lorsque le rayon est égal au rayon critique, on a équilibre entre les forces.

- Lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la pesanteur transforme la goutte hémisphérique en une goutte non-hémisphérique plus large, par exemple de forme ellipsoïde, afin d'atteindre un nouvel équilibre.

Dans l'équation de Young-Dupré, le tenseur de surface solide-vapeur 'γ<sub>SV</sub>' tend à étaler la ligne de contact de la goutte, alors que la projection du tenseur de surface liquide-vapeur 'γ<sub>LV</sub>. cos(θ)' et le tenseur de surface solide-liquide 'γ<sub>SL</sub>' la contractent.

Selon notre approche, nous considérons que la résultante des forces d'interface solide (liées au gradient 'σ<sub>S</sub>') et les forces de pesanteur tendent à étaler la goutte, alors que les forces d'interface liquide-vapeur (liées au gradient 'τ<sub>LV</sub>’) la contractent de manière radiale et maintiennent sa cohésion.

Hormis la prise en compte de la gravité, il n'y a pas de différence fondamentale entre les deux visions.
Comme décrit dans les conditions aux limites du paragraphe 5.2, le gradient à l'interface solide-liquide d'une goutte déposée sur une surface horizontale est différent de celui observé dans le cas du ménisque.

En effet, dans le cas du ménisque le gradient ‘$σ_{SL}(x)$’ représente un gradient de forces de déformation verticales et parallèles à la paroi (selon l’axe ‘$z$’) et ce gradient s’oppose à la pesanteur et décroit selon ‘$x$’ de la paroi jusqu’au ‘bulk’.

En revanche, dans le cas d'une goutte hémisphérique, le gradient de contrainte solide-liquide correspond à des forces de déformation horizontales parallèles au plan support de la goutte (selon l'axe 'x').

Nous pouvons écrire le gradient de contrainte solide-liquide comme dans l'équation (35) où on a gardé la constante d'atténuation 'α' de l'équation (8) mais où le paramètre de contrainte maximale a été noté 'β', car on peut supposer que sa valeur est différente de celle 'δ' du ménisque.

Le gradient de contrainte solide-liquide est limité par les bords de la goutte et il tend théoriquement à déformer l'hémisphère créée par les forces de surface liquide-vapeur.

Comme schématisé dans la **Figure 15a**, les forces de déformation sont parallèles au support et le gradient peut s'écrire comme :

$$ \sigma_{SL}(z) = \rho g \beta e^{-\alpha z} \qquad (35) $$

où :

x : est l'axe parallèle au support

z : est l'axe perpendiculaire au support

β : est le paramètre de contrainte maximale [m]

α : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

W_h : est la distance d'atténuation de l'exponentielle [m]

Valeurs aux limites :

Les forces horizontales solide-liquide sont maximales au niveau de la surface solide (z=0 ; x=R) et minimales au sommet de la goutte (z=R ; x=0).

Le gradient de contrainte solide-liquide ‘$σ_{SL}(z)$’ est donc maximal au niveau de la surface solide :

$$ \sigma_{SL}(z=0 ; x=R) = \rho g \beta. $$

En revanche, la valeur du gradient au sommet de la goutte hémisphérique n'est pas nulle et vaut :

$$ \sigma_{SL}(z=R ; x=0) = \rho g \beta (1 - e^{-\alpha R}). $$

Comme indiqué plus haut, les forces d'interface liquide-vapeur s'opposent à la fois aux forces d'interface solide-liquide et à l'étalement imposé par la pesanteur. Elles sont suffisamment grandes pour contraindre la goutte à garder une forme hémisphérique. On peut donc supposer que les forces d'étalement solide-liquide dans le cas d'une goutte déposée sur une surface horizontale sont plus faibles que dans le cas du ménisque.

On verra plus loin que le paramètre de contrainte solide-liquide ‘$β$’ d’une goutte hémisphérique est effectivement plus faible que le paramètre de contrainte ‘$δ$’ du ménisque.

NB : en ce qui concerne la limite mathématique du bord de l'hémisphère, il faut rappeler qu'un certain nombre d'expérimentateurs ont observé une déformation du bord de la goutte, due au ‘film précurseur’²⁰⁻²¹.
On analysera ce phénomène spécifique plus loin.

### 5.3.3 Résultante des gradients dans la goutte hémisphérique

Comme représenté **Figure 15b**, la résultante des contraintes horizontales dans la goutte hémisphérique peut s'écrire comme :

$$ \Sigma^H_{\text{Res}}(z) = - \tau_{LV}(z) + \sigma_{SL}(z) + \rho g z(x) \cdot z'(x) \qquad (36) $$

Où la composante du gradient de pesanteur s'obtient par projection sur le profil de la goutte et où :
En effet, nous avons vu que de manière inhérente au modèle d'équivalence mécanique, on ne peut pas discriminer les composantes solide-liquide 'σSL(x)' et solide-vapeur 'σSV(x)' du gradient résultant 'σS(x)', et que ces composantes pourraient être du même sens que les vecteurs 'γSL' et 'γSV'.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 14a - Goutte hémisphérique posée sur une surface solide. Dessin des forces de compression à l'interface liquide-vapeur et des forces d'étalement à l'interface solide</figcaption></figure>

Avant de calculer les composantes de ces forces, nous commençons par analyser les gradients de contrainte.

### 5.3.1 Le gradient de contrainte d'interface liquide-vapeur

Le gradient de contrainte liquide-vapeur 'τLV(x)' est radial. Il agit perpendiculairement à la surface. Comme dans le cas de la goutte sphérique, il définit la forme initiale de la goutte. Comme il est radial, il peut s'écrire de manière équivalente en fonction de 'x' ou en fonction de 'z' comme :

$$ \tau_{LV}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} \quad (34) $$

Il est noté de manière négative car la goutte est en compression.

Horizontalement, comme schématisé dans la **Figure 15a**, les forces d'interface liquide-vapeur ramènent les bords de la goutte hémisphérique vers le centre. Elles sont opposées aux forces résultantes d'interface solide et aux forces de pesanteur qui tendent à étaler la goutte.

#### Valeurs aux limites

La composante horizontale du gradient 'τLV(x)' est maximale au bord de la goutte : $τ_{LV}(z=0; x=R) = \rho g \lambda$. Au centre de la goutte, sa valeur est minimale mais non nulle : $τ_{LV}(z=R; x=0) = \rho g \lambda e^{-\epsilon R}$.

### 5.3.2 Le gradient de contrainte résultant aux interfaces solides

Le gradient résultant aux interfaces solides (solide-liquide et solide-vapeur) d'une goutte déposée sur une surface horizontale est différent de celui observé dans le cas du ménisque.

En effet, dans le cas du ménisque, le gradient 'σS(x)' est un gradient de forces de déformation verticales et parallèles à la paroi (selon l'axe 'z'). Il s'oppose à la pesanteur et décroît (selon l'axe 'x') de la paroi jusqu'au 'bulk'.
* $\tau_{LV}(z)$ : est le gradient de contrainte liquide-vapeur, négatif car en compression

* Il s'exerce de manière radiale sur le périmètre '2ΠR' et sur un arceau de hauteur 'R' dans le cas de l'hémisphère

* En valeur absolue, il est maximum à : $z=0$ et minimum à $z=R$

* $\sigma_{SL}(z)$ : est le gradient de contrainte d'étalement solide-liquide

* Il s'exerce sur le périmètre d'appui '2ΠR' et sur un arceau de hauteur 'R' dans le cas de l'hémisphère

* Il est maximum à : $z=0$ et minimum à $z=R$

* $E_{pp}(z)$ : est le gradient de pression hydrostatique (ou densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur)

* Il s'exerce verticalement sur la surface d'appui 'ΠR²' et sa composante horizontale s'obtient par projection sur le profil de la goutte, à savoir : $E_{pp} = \rho g z(x) \cdot z'(x)$

* Le gradient de pression $E_{pp}(z)$ est maximum à : $x=0$ ($z=R$) et minimum à $x=R$ ($z=0$)

* Son intégrale permet de calculer le poids comme : $P_{gh} = \Pi R^2 \int \rho g z(x) = \rho g (2/3) \Pi R^3$

Sachant que l'équation du cercle est : $z(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ et que sa dérivée est : $z'(x) = x/z(x)$, on peut réécrire (36) comme :

$$ \Sigma^{H}_{Res}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + \rho g \beta e^{-\alpha z} + \rho g x(z) \quad (37) $$

Notons que le graphe des gradients de contrainte n'a pas d'utilité dans le calcul des paramètres, car l'équilibre ne se calcule pas au niveau des gradients mais au niveau des forces.

En effet, c'est le bilan des forces, qui s'obtient par intégration des gradients, qui va nous permettre de calculer le paramètre de contrainte solide-liquide 'β' connaissant le rayon critique de la goutte hémisphérique 'Rch'.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 15a - Schéma des gradients des forces horizontales de compression et de dilatation dans une goutte hémisphérique</figcaption></figure>

Figure 15b - Graphique du gradient résultant : $\Sigma(z) = \sigma_{SL}(z) - \tau_{LV}(z) + \rho g x(z)$

Avec les valeurs suivantes : R= 1 mm ; λ = 4 mm, ε = 409 [m⁻¹], α = 167 [m⁻¹], β = 1 mm

### 5.3.4 Bilan des forces horizontales dans la goutte hémisphérique

Les forces horizontales de tensioactivité s'obtiennent par intégration des gradients ci-dessus.

Dans le cas d'un hémisphère, on peut écrire l'inéquation suivante :
Dans le cas d'une goutte hémisphérique, le gradient de contraintes solides correspond cette fois à des forces de déformation horizontales parallèles au plan support de la goutte (selon l'axe 'x') et varie selon l'axe 'z'.
Il peut s'écrire comme dans l'équation (35) où on a gardé la constante d'atténuation 'α' de l'équation (9) et où le paramètre de contrainte maximale a été noté 'β', car on suppose que sa valeur devrait être différente de celle 'δ' du ménisque.

Le gradient 'σs(z)' est limité par les bords de la goutte et, comme les forces de pesanteur, il tend à déformer l'hémisphère créée par les forces de surface liquide-vapeur.

Comme schématisé dans la **Figure 15a**, ces forces de déformation sont parallèles au support et le gradient peut s'écrire :

$$ \sigma_s(z) = \rho g \beta e^{-\alpha z} \qquad (35) $$

où :

σs(z) : est le gradient de contraintes solides en [Nm⁻²] ou
[Jm⁻³]

x : est l'axe parallèle au support

z : est l'axe perpendiculaire au support

β : est le paramètre de contrainte maximale [m]

α : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

Wh : est la distance d'atténuation de l'exponentielle [m]

### Valeurs aux limites

Les forces horizontales solide sont maximales au niveau de la surface solide (z = 0 ; x = R) et minimales au sommet de la goutte (z = R ; x = 0).

Le gradient 'σs(z)' est donc maximal au niveau de la surface solide :

$$ \sigma_s(z = 0 ; x = R) = \rho g \beta. $$

Cependant, sa valeur au sommet de la goutte hémisphérique n'est pas nulle et vaut :

$$ \sigma_s(z = R ; x = 0) = \rho g \beta (1 - e^{-\alpha R}). $$

Comme indiqué plus haut, les forces d'interface liquide-vapeur s'opposent à la fois aux forces d'interface solides et à l'étalement imposé par la pesanteur. Elles sont suffisamment grandes pour contraindre la goutte à garder une forme hémisphérique. On suppose également que les forces d'étalement solides sont plus faibles que dans le cas du ménisque. On verra plus loin que le paramètre de contraintes solides 'β' d'une goutte hémisphérique est effectivement plus faible que le paramètre de contrainte 'δ' du ménisque.

### 5.3.3 Résultante des gradients dans la goutte hémisphérique

Comme représenté **Figure 15b**, la résultante des contraintes horizontales dans la goutte hémisphérique peut s'écrire comme :

$$ \Sigma_{\text{Res}}^{\text{H}}(z) = - \tau_{\text{LV}}(z) + \sigma_{\text{s}}(z) + \rho g z(x) \cdot z'(x) \qquad (36) $$

Où la composante du gradient de pesanteur s'obtient par projection sur le profil de la goutte et où :

* τLV(z) : est le gradient de contrainte liquide-vapeur, négatif car en compression

* Il s'exerce de manière radiale sur le périmètre '2ΠR' et sur un arceau de hauteur 'R' dans le cas de l'hémisphère

* En valeur absolue, il est maximum à : z = 0 et minimum à z = R

* σs(z) : est le gradient de contraintes d'étalement solide

* Il s'exerce sur le périmètre d'appui '2ΠR' et sur un arceau de hauteur 'R'
$$2\Pi R \int - \rho g \lambda e^{-\varepsilon z} + 2\Pi R \int \rho g \beta e^{-\alpha z} + \Pi R^2 \int \rho g x(z) \le 0 \quad (38)$$

Où : $\Pi R^2 \int \rho g x(z)$ est le poids de la goutte hémisphérique, à savoir : $\rho g (2/3) \Pi R^3$.

NB : On notera que même si on a une demi-sphère, la pression totale se calcule par intégration sur le périmètre de la goutte (2ΠR) comme dans le cas de la sphère, car il y a une réponse du substrat qui équilibre les forces de compression verticales.

Ce qui permet d'écrire, après intégration :

$$\lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R}) \le (1/3) R^2 \quad (39)$$

Ainsi, lorsque le rayon 'R' reste inférieur au rayon critique 'Rch', la goutte reste théoriquement hémisphérique.

Lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la goutte hémisphérique se transforme en une goutte plus large, par exemple de forme ellipsoïde.

L'inéquation devient une égalité lorsque $R = R_{ch}$.

### 5.3.5 Estimation de 'β' et du rayon critique 'Rch'

De manière analogue à ce qu'on a fait dans le cas de la goutte sphérique avec l'équation (28), on devrait pouvoir calculer 'β' connaissant la valeur de 'Rch'.

Cependant, comme nous n'avons pas d'information sur la valeur du rayon critique 'Rch' d'une goutte d'eau hémisphérique, nous ne pouvons que l'estimer en fixant la valeur de 'β' et en écrivant l'équilibre entre les forces de tensioactivité et le poids de la goutte hémisphérique comme dans l'équation (40) représentée

Figure 16 :

$$\lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R_{ch}}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R_{ch}}) = (1/3) R_{ch}^2 \quad (40)$$

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 16 – Tracé de l'équation (40) avec les valeurs suivantes (paramètres estimés pour l'eau): $\lambda = 4$ mm, $\varepsilon = 409$ [$m^{-1}$], $\alpha = 167$ [$m^{-1}$]. En fixant : $\beta = 1$ mm, on obtient : $R_{ch} = 3,84$ mm.</figcaption></figure>

Ainsi, en estimant par exemple la valeur de 'β' à : $\beta = 1$ mm, on obtient : $R_{ch} = 3,84$ mm.

Rappelons qu'en fixant les paramètres : $\lambda = 4$ mm et $\varepsilon = 409$ [$m^{-1}$], nous avions : $R_c = 3,3$ mm pour une goutte d'eau sphérique.
* Il est maximum à : z = 0 et minimum à z = R

* E<sub>pp</sub>(z) : est le gradient de pression hydrostatique (ou densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur)

* Il s'exerce verticalement sur la surface d'appui 'ΠR<sup>2</sup>' et sa composante horizontale s'obtient par projection sur le profil de la goutte comme : E<sub>pp</sub> = ρg z(x).z'(x)

* E<sub>pp</sub>(z) est maximum à x = 0 (z = R) et minimum à x = R (z = 0)

* Son intégrale permet de calculer le poids comme : P<sub>gh</sub> = ΠR<sup>2</sup> ∫ρg z(x) = ρg (2/3) ΠR<sup>3</sup>

Sachant que l'équation du cercle est : z(x) = √(R<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>) et que sa dérivée est : z'(x) = x / z(x), on peut réécrire (36) comme :

$$ \Sigma^{\text{H}}_{\text{Res}}(z) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + \rho g \beta e^{-\alpha z} + \rho g x(z) \quad (37) $$

Rappelons que le graphe des gradients de contrainte n'a pas d'utilité dans le calcul des paramètres, car l'équilibre (à : R = R<sub>ch</sub>) ne se calcule pas au niveau des gradients mais au niveau des forces.

En effet, c'est le bilan des forces, obtenu par intégration des gradients, qui va nous permettre de calculer le paramètre de contraintes solides-liquide 'β' connaissant le rayon critique de la goutte hémisphérique 'R<sub>ch</sub>'.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 15a - Schéma des gradients des forces horizontales de compression et de dilatation dans une goutte hémisphérique</figcaption></figure>

Figure 15b - Graphe du gradient résultant : Σ(z) = σ<sub>s</sub>(z) - τ<sub>LV</sub>(z) + ρg x(z)

Avec les valeurs suivantes : R= 1 mm ; λ = 4 mm, ε = 409 [m<sup>-1</sup>], α = 167 [m<sup>-1</sup>], β = 1 mm

### 5.3.4 Bilan des forces horizontales dans la goutte hémisphérique

Les forces horizontales de tension superficielle s'obtiennent par intégration des gradients ci-dessus.

Dans le cas d'un hémisphère, on peut écrire l'inéquation suivante :

$$ 2\Pi R \int - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + 2\Pi R \int \rho g \beta e^{-\alpha z} + \Pi R^2 \int \rho g x(z) \le 0 \quad (38) $$

Où : 'ΠR<sup>2</sup> ∫ρg x(z)' est le poids de la goutte hémisphérique, soit : ρg (2/3) ΠR<sup>3</sup>.

NB : même si on a une demi-sphère, la pression totale se calcule par intégration sur le périmètre de la goutte (2ΠR) comme dans le cas de la sphère, car il y a une réponse du substrat qui équilibre les forces de compression verticales.
Des mesures expérimentales devraient permettre de déterminer plus exactement ces paramètres.

### 5.3.6 Calcul de la pression dans la goutte hémisphérique

La pression dans l'hémisphère se calcule comme :

$$ \Delta P = \rho g \{ 2\pi R \int -\lambda e^{-\epsilon z} + 2\pi R \int \beta e^{-\alpha z} \} / \pi R^2 \quad (41) $$

Soit, après intégration :

$$ \Delta P = (2\rho g/R) \{ \lambda/\epsilon (1 - e^{-\epsilon R}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R}) \} \quad (42) $$

Cette formule est à rapprocher de celle de la pression dans la sphère (32,33), qui est très proche de celle de Laplace-Young.

Nous pouvons désormais analyser le cas d'une goutte de forme ellipsoïde.

### 5.4 Application de notre approche au cas d'une goutte semi-ellipsoïde

Le cas de la goutte semi-ellipsoïde est souvent évoqué dans la littérature pour décrire une goutte dite ‘mouillante’, à savoir une goutte aplatie qui s’étale plus ou moins largement en raison de sa taille ou d’une tension de surface solide-liquide élevée, telle que la goutte semi-ellipsoïde schématisée **Figure 17**. Nous étudierons ici l’hypothèse d’une goutte de profil ellipsoïde de base circulaire, ou ellipsoïde dit ‘de révolution’.

L'équation d'un semi-ellipsoïde de révolution de diamètre '2L' et de hauteur 'H' est de la forme suivante :
$$ \frac{x^2}{L^2} + \frac{z^2}{L^2} + \frac{y^2}{H^2} = 1 $$

Et son volume est donné par : $V_{se} = \frac{2}{3} \pi H L^2$.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**Figure 17 - Schéma des gradients des contraintes horizontales de compression et d'étalement dans une goutte ellipsoïde**</figcaption></figure>

Conditions aux limites :

* Comme il s'agit d'un semi-ellipsoïde, la hauteur 'H' est par définition inférieure au rayon de base 'L' tel que : $H < L$.

* Notons que lorsque 'H > L', on passe à un modèle pseudo-sphérique (qui sera étudié ci-dessous).
Ce qui donne, après intégration :

$$ \lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R}) \le (1/3) R^2 \quad (39) $$

Cela signifie que tant que le rayon 'R' reste inférieur au rayon critique 'R<sub>ch</sub>', la goutte reste théoriquement hémisphérique. Lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la goutte hémisphérique se transforme en une goutte plus large, par exemple de forme ellipsoïdale afin d'atteindre un nouvel équilibre. Bien entendu, l'inéquation (39) devient une équation lorsque 'R = R<sub>ch</sub>'.

### 5.3.5 Estimation de 'β' et du rayon critique 'R<sub>ch</sub>'

De manière analogue à ce qu'on a fait dans le cas de la goutte sphérique avec l'équation (29), on devrait pouvoir calculer 'β' connaissant la valeur de 'R<sub>ch</sub>'.

Cependant, comme nous n'avons pas d'information sur la valeur du rayon critique 'R<sub>ch</sub>' d'une goutte d'eau hémisphérique, nous ne pouvons que l'estimer en fixant la valeur de 'β' et en écrivant l'équilibre entre les forces de tension superficielle et le poids de la goutte hémisphérique comme dans l'équation (40) représentée **Figure 16** :

$$ \lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R_{ch}}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R_{ch}}) = (1/3) R_{ch}^2 \quad (40) $$

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>**Figure 16** – Tracé de l'équation (40) avec les paramètres suivants estimés pour l'eau : λ= 4 mm, ε = 409 [m⁻¹], α = 167 [m⁻¹]</figcaption></figure>

En estimant par exemple la valeur de 'β' à : β = 1 mm, on obtient : R<sub>ch</sub> = 3,84 mm.

Rappelons qu'en fixant les paramètres : λ = 4 mm et ε = 409 [m⁻¹], nous avions : R<sub>c</sub> = 3,3 mm pour une goutte d'eau sphérique.

Des mesures expérimentales devraient permettre de déterminer plus exactement ces paramètres.

### 5.3.6 Calcul de la différence de pression dans la goutte hémisphérique

La pression dans l'hémisphère se calcule comme :

$$ \Delta P = \rho g \left\{ 2\Pi R \int -\lambda e^{-\varepsilon z} + 2\Pi R \int \beta e^{-\alpha z} \right\} / \Pi R^2 \quad (41) $$
* La hauteur maximale de la demi-goutte devrait rester inférieure à la hauteur critique notée 'Hc'.

### 5.4.1 Notion de rayon critique ou de hauteur critique dans la goutte semi-ellipsoïde

Attendu que dans un ellipsoïde, on a deux dimensions : la hauteur et le rayon de base, on peut se poser la question de savoir s'il existe un rayon critique ou une hauteur critique.

Notons que la littérature évoque des gouttes de type ellipsoïde d'environ 10 à 15 mm de diamètre (les auteurs parlent de dimensions 'au-delà des longueurs capillaires' comme celles mesurées par Frédéric Elie²⁰⁻²¹.

Ainsi, on peut supposer que le rayon critique d'une goutte d'eau ellipsoïde devrait être supérieur à 5 mm. En fait, on peut observer **Figure 13** qu'il y a des gouttes semi-ellipsoïdes de grande taille qui ressemblent un peu à des flaques et qu'il n'y a pas de destruction de ces gouttes au-delà d'un rayon donné contrairement à ce qu'on observe dans le cas d'une goutte sphérique isolée (goutte de pluie par exemple).

Cependant, on peut observer que ces gouttes ont une hauteur limite, ce qui laisse à penser que s'il n'y a pas de rayon critique, il existe néanmoins une hauteur critique de la goutte semi-ellipsoïde, hauteur que l'on écrira 'Hc'.

On verra plus loin que c'est ce à quoi aboutissent nos équations.

### 5.4.2 Résultante des gradients dans la goutte semi-ellipsoïde

La résultante des gradients de contraintes horizontales dans la goutte semi-ellipsoïde s'écrit comme :

$$ \Sigma^H_{\text{Res}}(x) = - \tau_{LV}(x) + \sigma_{SL}(x) + \rho g z(x) \quad (43) $$

Où cette fois 'z(x)' est le profil théorique du semi-ellipsoïde.

Le profil théorique de l'ellipsoïde dans le plan 'x0z' étant : $x^2/L^2 + z^2/H^2 = 1$

On peut l'écrire comme : $z(x) = (H/L) \sqrt{L^2 - x^2}$

D'autre part, comme précédemment, 'ΠR² ∫ ρg x(z)' est le poids de la goutte semi-ellipsoïde, soit : ρg 2/3 Π HL².

La résultante des gradients de contraintes horizontales dans la goutte semi-ellipsoïde se réécrit comme :

$$ \Sigma^H_{\text{Res}}(x) = - \rho g \lambda e^{-\epsilon(L-x)} + \rho g \beta e^{-\alpha(L-x)} + \rho g (H/L) \sqrt{L^2 - x^2} \quad (44) $$

Où les contraintes de tensioactivité solide-liquide et liquide-vapeur s'écrivent en fonction de 'L' et de 'H'.

NB : on ne tracera pas le graphe des contraintes car comme dans le cas de l'hémisphère, le graphe des gradients de contrainte n'a pas d'utilité dans le calcul des paramètres, sachant que l'équilibre ne se calcule pas au niveau des gradients mais au niveau des forces.

### 5.4.3 Bilan des forces dans la goutte semi-ellipsoïde

Les forces horizontales s'exercent sur le périmètre '2ΠL' comme dans la **Figure 17** et on peut écrire :

$$ 2\Pi L \{ \int -\rho g \lambda e^{-\epsilon(L-x)} + \int \rho g \beta e^{-\alpha(L-x)} \} + \rho g 2/3 \Pi HL^2 \le 0 \quad (45) $$

NB : On notera que, comme dans le cas de l'hémisphère, l'intégration se fait sur le périmètre de la goutte ellipsoïde ('2ΠL') car il y a une réponse du substrat qui équilibre les forces de compression verticales.

Ce qui donne, après intégration :
Soit, après intégration :

$$ \Delta P = (2\rho g/R) \{\lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha R})\} \quad (42) $$

Cette formule est à rapprocher de celle de la pression dans la sphère (32, 33), qui est proche de celle de Laplace.

## 5.4 Application de notre approche au cas d'une goutte semi-ellipsoïde

Le cas de la goutte semi-ellipsoïde est souvent évoqué dans la littérature pour décrire une goutte dite ‘mouillante’, à savoir une goutte aplatie qui s’étale plus ou moins largement en raison de sa taille, telle que celle schématisée **Figure 17**.

Nous étudierons ici le cas d'une goutte de profil ellipsoïde de base circulaire, ou ellipsoïde dit 'de révolution'. L'équation d'un semi-ellipsoïde de révolution de diamètre '2L' et de hauteur 'H' est de la forme suivante : $x^2/L^2 + z^2/L^2 + y^2/H^2 = 1$.

Son volume est donné par : $V_{se} = 2/3 \Pi H L^2$.

Conditions aux limites :

* La hauteur 'H' est par définition inférieure au rayon de base 'L' : $H < L$.

* Notons que lorsque 'H > L', on passe à un modèle pseudo-sphérique (qui sera étudié ci-dessous).

* La hauteur maximale de la demi-goutte devrait rester inférieure à la hauteur critique notée 'H_c'.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**Figure 17 - Schéma des gradients des contraintes horizontales de compression et d'étalement dans une goutte ellipsoïde**</figcaption></figure>

### 5.4.1 Notion de rayon critique ou de hauteur critique dans la goutte semi-ellipsoïde

Attendu que dans un ellipsoïde de révolution, on a deux dimensions : la hauteur et le rayon de base, on peut se poser la question de savoir s'il existe un rayon critique ou plutôt une hauteur critique.

Notons que la littérature évoque des gouttes de type ellipsoïde d'environ 10 à 15 mm de diamètre. Les auteurs parlent de 'dimensions au-delà des longueurs capillaires' comme celles mesurées par F. Elie²³⁻²⁴.

On peut donc supposer que le rayon critique d'une goutte d'eau ellipsoïde devrait être supérieur à 5 mm.

C'est ce qu'on observe **Figure 13** où on voit qu'il y a des gouttes semi-ellipsoïdes de grande taille qui ressemblent un peu à des flaques. On voit qu'il n'y a pas destruction de ces gouttes au-delà d'un rayon
$$H \le \frac{3}{L} \left\{ \left( \frac{\lambda}{\varepsilon} (1 - e^{-\varepsilon L}) - \frac{\beta}{\alpha} (1 - e^{-\alpha L}) \right) \right\} \quad (46)$$

Le cas particulier de l'hémisphère (L=H) :

Lorsque : L=H, on retrouve l'équation (39) que l'on a obtenue pour l'hémisphère, en remplaçant le rayon de base 'L' et la hauteur 'H' par le rayon de l'hémisphère 'R'. Cela est cohérent avec le fait que lorsque le rayon de la goutte hémisphérique est supérieur au rayon critique 'Rch', elle se transforme en goutte plus grande, par exemple de forme semi-ellipsoïde.

Dans la **Figure 18**, nous avons dessiné un diagramme de l'équation (46).

Comme indiqué plus haut, il semble ne pas y avoir de rayon critique, mais plutôt une hauteur critique 'Hc'.

La ligne dessinée représente la valeur de la hauteur critique 'Hc' en fonction du rayon de base de la goutte semi-ellipsoïde 'L'. Elle correspond à l'équilibre des forces de tensioactivité avec le poids, à savoir :

$$H_c = \frac{3}{L} \left\{ \left( \frac{\lambda}{\varepsilon} (1 - e^{-\varepsilon L}) - \frac{\beta}{\alpha} (1 - e^{-\alpha L}) \right) \right\} \quad (47)$$

Où 'Hc' est la hauteur critique.

Remarques :

* La courbe de l'équation (47) s'arrête lorsque : 'H=L', car on retrouve l'équation de l'hémisphère avec un rayon critique d'environ 3,8 mm.

* On a dessiné en pointillé la zone où : 'H>L', car cela correspond à la pseudosphère qu'on analysera plus loin.

* L'inéquation (46) correspond à la zone hachurée sous la courbe définie par (47).

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>**Figure 18 - Diagramme de la hauteur critique du semi-ellipsoïde 'Hc' en fonction de son rayon de base 'L' dans une goutte ellipsoïde selon l'inéquation (46). Pour un rayon 'L' donné, les valeurs de 'H' sont inférieures à 'Hc'**</figcaption></figure>

Pour une valeur de rayon de base 'L' donnée, l'inéquation (46) correspond à toute valeur de 'H ≤ Hc' dans la zone hachurée sous la courbe.

Dans ce diagramme, la goutte hémisphérique est représentée par la droite 'H=L' qui s'arrête à : L= Rc.
donné contrairement à ce qu'on peut observer dans le cas d'une goutte sphérique isolée (cas d'une goutte de pluie par exemple). En revanche, ces gouttes ont une hauteur limite, ce qui laisse penser que s'il n'y a pas de rayon critique, il devrait exister une hauteur critique, hauteur que l'on baptisera 'Hc'.
On verra plus loin que c'est ce à quoi aboutissent nos équations.

### 5.4.2 Calcul de la résultante des gradients dans la goutte semi-ellipsoïde

La résultante des gradients de contraintes horizontales dans la goutte semi-ellipsoïde s'écrit comme :

$$ \Sigma^{\text{H}}_{\text{Res}}(x) = - \tau_{\text{LV}}(x) + \sigma_{\text{S}}(x) + \rho g z(x) \quad (43) $$

Où cette fois 'z(x)' est le profil théorique du semi-ellipsoïde.

Le profil théorique de l'ellipsoïde dans le plan 'x0z' étant : $x^2/L^2 + z^2/H^2 = 1$, on peut le réécrire comme :
$$ z(x) = (H/L) \sqrt{L^2 - x^2}. $$

Comme précédemment, 'ΠR² ∫ ρg x(z)' est le poids de la goutte semi-ellipsoïde, soit : $ρg 2/3 Π HL^2$.

L'équation (43) peut se réécrire comme :

$$ \Sigma^{\text{H}}_{\text{Res}}(x) = - \rho g \lambda e^{-\varepsilon (L-x)} + \rho g \beta e^{-\alpha (L-x)} + \rho g (H/L) \sqrt{L^2 - x^2} \quad (44) $$

Comme dans le cas de l'hémisphère, on ne tracera pas le graphe des contraintes car il n'a pas d'utilité dans le calcul des paramètres, attendu que l'équilibre ne se calcule pas au niveau des gradients mais au niveau des forces.

### 5.4.3 Bilan des forces dans la goutte semi-ellipsoïde

Les forces horizontales s'exercent sur le périmètre '2ΠL' comme dans la **Figure 17** et on peut écrire :

$$ 2\Pi L \left\{ \int -\rho g \lambda e^{-\varepsilon (L-x)} + \int \rho g \beta e^{-\alpha (L-x)} \right\} + \rho g \frac{2}{3} \Pi HL^2 \le 0 \quad (45) $$

NB : Comme dans le cas de l'hémisphère, l'intégration se fait sur le périmètre de la goutte ellipsoïde ('2ΠL') car il y a une réponse du substrat qui équilibre les forces de compression verticales.

Ce qui donne, après intégration :

$$ H \le 3/L \left\{ (\lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon L})) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha L}) \right\} \quad (46) $$

On peut vérifier pour le cas particulier de l'hémisphère, c. à d. lorsque 'L = H', qu'on retrouve l'équation (40) de l'hémisphère en remplaçant le rayon de base 'L' et la hauteur 'H' par le rayon de l'hémisphère 'R'.

Nous avons représenté le diagramme de l'équation (46) dans la **Figure 18**.

- Comme supposé plus haut, il n'y a pas de rayon critique, mais plutôt une hauteur critique 'Hc'.

- La ligne calculée représente la valeur de la hauteur critique 'Hc' en fonction du rayon de base de la goutte semi-ellipsoïde 'L'. Elle correspond à l'équilibre des forces de tension superficielle avec le poids, à savoir :

$$ H_c = 3/L \left\{ (\lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon L})) - \beta/\alpha (1 - e^{-\alpha L}) \right\} \quad (47) $$
### 5.4.4 Calcul de la pression dans la goutte semi-ellipsoïde

La pression dans la goutte semi-ellipsoïde se calcule sur la surface 'ΠIL²', comme :

$$ \Delta P = \rho g \left\{ 2\Pi L \int_{0}^{H} - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + 2\Pi L \int_{0}^{H} \rho g \beta e^{-\alpha z} \right\} / \Pi L^2 \quad (48) $$

Soit :

$$ \Delta P = 2\rho g/L \left\{ (\lambda/\epsilon)(1 - e^{-\epsilon L}) - \beta/\alpha(1 - e^{-\alpha L}) \right\} \quad (49) $$

Cette formule rappelle celles de la pression dans la sphère (32) et dans l'hémisphère (42). Pour bien cerner les valeurs théoriques autorisées par notre modèle, nous devons désormais tracer l'autre forme de goutte, à savoir la goutte pseudo-sphérique.

## 5.5 Application de notre approche au cas d'une goutte pseudo-sphérique

Voyons enfin le cas d'une goutte peu 'mouillante', c'est-à-dire d'une goutte ayant une faible tension de surface solide-liquide 'γSL' telle que la goutte pseudo-sphérique décrite **Figure 19**.

Le volume d'une goutte pseudo-sphérique 'Vps' se calcule comme celui d'une sphère dont on aurait enlevé une calotte sphérique de hauteur '2R-H', soit : $V_{ps} = (4/3)\Pi R^3 - \Pi (2R-H)^2 (R+H)/3$.

Comme pour l'hémisphère et l'hémi-ellipsoïde, les forces horizontales de tensioactivité s'obtiennent par intégration des gradients 'τLV(z)' et 'σSL(z)'.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Figure 19 - Schéma des gradients des contraintes horizontales de compression et d'étalement dans une goutte pseudo-sphérique**</figcaption></figure>

### 5.5.1 Résultante des gradients dans la goutte pseudo-sphérique

Hypothèse préalable : on suppose que la réponse du substrat aux forces de compression verticales est égale et opposée à la contribution de la calotte sphérique.

Les gradients des contraintes horizontales dans la goutte pseudo-sphérique se calculent de la manière suivante :

* $\sigma_{SL}(z)$ : est le gradient de contrainte d'étalement solide-liquide

* Il s'intègre de z=0 à z=H sur la section de périmètre '2ΠRb'
Remarques :

* La courbe de l'équation (47) s'arrête à 'H=L', car on retrouve l'équation de l'hémisphère avec un rayon critique d'environ 3,8 mm.

* On a dessiné en pointillé la zone où : 'H>L', car cela correspond à la pseudo-sphère qu'on analysera plus loin.

* L'inéquation (46) correspond à la zone hachurée sous la courbe définie par (47). Pour une valeur du rayon de base 'L' donnée, (46) correspond à toute valeur de 'H ≤ H_c'.

Dans ce diagramme, la goutte hémisphérique est représentée par la droite 'H = L' qui s'arrête à : L = Rc.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 18 - Diagramme de la hauteur critique du semi-ellipsoïde 'H_c' en fonction de son rayon de base 'L' dans une goutte ellipsoïde selon l'inéquation (46). Pour un rayon 'L' donné, les valeurs de 'H' sont inférieures à 'H_c'</figcaption></figure>

### 5.4.4 Calcul de la différence de pression dans la goutte semi-ellipsoïde

La pression dans la goutte semi-ellipsoïde se calcule sur la surface 'ΠL²' comme :

$$ \Delta P = \rho g \left\{ 2\Pi L \int_{0}^{H} - \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + 2\Pi L \int_{0}^{H} \rho g \beta e^{-\alpha z} \right\} / \Pi L^2 \quad (48) $$

Soit :

$$ \Delta P = 2\rho g/L \left\{ (\lambda/\epsilon(1-e^{-\epsilon L})) - \beta/\alpha(1-e^{-\alpha L}) \right\} \quad (49) $$

Cette équation rappelle celles de la pression dans la sphère (33) et dans l'hémisphère (42). Pour bien cerner les valeurs théoriques autorisées par notre modèle, nous devons désormais tracer l'autre forme de goutte, à savoir la goutte pseudo-sphérique.
* $\tau_{LV}(z)$ : est le gradient de contrainte liquide-vapeur. Il est négatif car en compression

* Il s'intègre de z=0 à z=R sur le périmètre '2ΠR' comme une sphère entière dont on soustrait la contribution de la calotte sphérique

* $\tau^{ca}_{LV}(z)$ : est le gradient de contrainte correspondant à la calotte sphérique. Il se soustrait au gradient de contrainte liquide-vapeur de la pseudo sphère et se calcule sur sa section de périmètre '2ΠR_b'

* $R(z)$ : est le delta de réponse du substrat aux forces de compression verticales. Il est négatif et s'intègre également sur la section de périmètre '2ΠR_b' car il s'oppose au gradient de contrainte de la calotte sphérique et va donc l'annuler

* $E_{pp}$ : est le gradient de pression hydrostatique (ou densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur)

* Il s'exerce verticalement et sa composante horizontale s'obtient comme précédemment

* Son intégration permet de calculer le poids comme :

$$P_{\text{gps}} = \rho g \left\{ \frac{4}{3} \Pi R^3 - \frac{\Pi (2R-H)^2 (R+H)}{3} \right\}$$

NB : Comme dans le cas des gouttes semi-ellipsoïde et hémi-ellipsoïde, il est inutile de tracer le graphe des gradients de contrainte car l'équilibre se calcule au niveau des forces, comme ci-après.

### 5.5.2 Bilan des forces dans la goutte pseudo-sphérique

On peut calculer la résultante des forces par intégration : du gradient de contrainte liquide-vapeur sur le périmètre de la goutte à l'équateur (2ΠR), du gradient de contrainte solide-liquide ainsi que celui de la calotte sphérique sur la base (2ΠR_b) et écrire l'inéquation comme :

$$2\Pi R_b \int_{0}^{H} \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\Pi R \int_{0}^{R} \rho g \lambda e^{-\varepsilon z} - \left\{ 2\Pi R_b \int_{0}^{H-2R} \tau^{ca}_{LV}(z) + 2\Pi R_b \int_{0}^{H-2R} R(z) \right\} + \rho g \left[ \frac{4}{3}\Pi R^3 - \frac{\Pi(2R-H)^2(R+H)}{3} \right] \le 0 \quad (50)$$

$$\text{Soit : } 2\Pi R_b \int_{0}^{H} \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\Pi R \int_{0}^{R} \rho g \lambda e^{-\varepsilon z} + \rho g \left\{ \frac{4}{3}\Pi R^3 - \frac{\Pi(2R-H)^2(R+H)}{3} \right\} \le 0$$

Et on obtient l'inéquation (51) :

$$R \frac{\lambda}{\varepsilon} (1 - e^{-\varepsilon R}) - R_b \frac{\beta}{\alpha} (1 - e^{-\alpha H}) \le \frac{2(3)}{\Pi} R^3 - \frac{(2R-H)^2 (R+H)}{6} \quad (51)$$

Notons qu'on a annulé la contribution du gradient de contrainte correspondant à la calotte sphérique en supposant que la réponse du substrat aux forces de compression verticales est égale et opposée à cette contribution (ce qui conduit à la disparition des termes entre crochets '}' dans (50).

En fait, on peut aisément vérifier cette hypothèse avec les deux cas particuliers suivants où l'équation (51) permet de retrouver l'équation de la goutte sphérique (lorsque : R_b=0) et celle de la goutte hémisphérique (lorsque : R_b=H) :

* Cas particulier de la goutte sphérique (R_b=0)

Lorsque : R_b=0, on a : H=2R et on retrouve les équations (28, 29) obtenues pour la sphère, où l'équilibre de la résultante des forces avec le poids est atteint lorsque le rayon est égal au rayon critique 'R_c'.

* Cas particulier de la goutte hémisphérique (R_b=H)

Lorsque : R_b=H, on a : H=R et on retrouve l'équation (40) obtenue pour l'hémisphère où la résultante des forces est une inéquation. Rappelons que dans le cas de la goutte hémisphérique, l'équilibre des forces de tensioactivité avec le poids est atteint lorsque le rayon est égal au rayon critique 'R_ch' et que lorsque le rayon
## 5.5 Application de notre approche au cas d'une goutte pseudo-sphérique

Le cas de la goutte pseudo-sphérique décrite **Figure 19** correspond au cas décrit dans la littérature comme celui d'une goutte peu 'mouillante', c'est-à-dire d'une goutte ayant une tension de surface solide-liquide '$\gamma_{SL}$' relativement faible (ou une goutte ayant une relativement forte tension de surface liquide-vapeur '$\gamma_{LV}$').

Le volume d'une goutte pseudo-sphérique '$V_{ps}$' se calcule comme celui d'une sphère dont on aurait enlevé une calotte sphérique de hauteur '2R-H', soit : $V_{ps} = (4/3)\Pi R^3 - \Pi (2R-H)^2 (R+H)/3$.

Comme pour l'hémisphère et l'hémi-ellipsoïde, les forces horizontales de tension superficielle s'obtiennent par intégration des gradients '$\tau_{LV}(z)$'et '$\sigma_{S}(z)$.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Figure 19 - Schéma des gradients des contraintes horizontales de compression et d'étalement dans une goutte pseudo-sphérique**</figcaption></figure>

### 5.5.1 Calcul de la résultante des gradients dans la goutte pseudo-sphérique

Hypothèse préalable : on suppose que la réponse du substrat aux forces de compression verticales est égale et opposée à la contribution de la calotte sphérique.

Les gradients de contrainte horizontale dans la goutte pseudo-sphérique se calculent de la manière suivante :

* $\sigma_S(z)$ : est le gradient de contrainte d'étalement solide

* Il s'intègre de $z=0$ à $z=H$ sur la section de périmètre '2ΠR_b'

* $\tau_{LV}(z)$ : est le gradient de contrainte liquide-vapeur. Il est négatif car en compression

* Il s'intègre de $z=0$ à $z=R$ sur le périmètre '2ΠR' comme une sphère entière dont on soustrait la contribution de la calotte sphérique

* $\tau_{LV}^{ca}(z)$ : est le gradient de contrainte correspondant à la calotte sphérique. Il se soustrait au gradient de contrainte liquide-vapeur de la pseudo sphère et se calcule sur sa section de périmètre '2ΠR_b'

* $R(z)$ : est le delta de réponse du substrat aux forces de compression verticales. Il est négatif et s'intègre également sur la section de périmètre '2ΠR_b' car il s'oppose au gradient de contrainte de la calotte sphérique et va donc l'annuler

* $E_{pp}$ : est le gradient de pression hydrostatique (ou densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur)

* Il s'exerce verticalement et sa composante horizontale s'obtient comme précédemment

* Son intégration permet de calculer le poids : $P_{gps} = \rho g \{(4/3)\Pi R^3 - \Pi (2R-H)^2 (R+H)/3\}$
est supérieur au rayon critique, la goutte hémisphérique se transforme en goutte plus grande, par exemple de forme ellipsoïde.

On peut désormais utiliser l'inéquation (51) pour tracer le diagramme des hauteurs 'H' en fonction du rayon de base 'R<sub>b</sub>' de la goutte pseudo-sphérique comme dans la **Figure 20** où nous avons fusionné l'inéquation (51) avec l'inéquation (46) qui représente la hauteur en fonction du rayon 'L' de la goutte semi-ellipsoïdale. On peut d'ailleurs en profiter pour représenter les inéquations de la sphère (contact zéro) et de l'hémisphère et dessiner le diagramme des différents types de gouttes déposées sur une surface solide.
L'interprétation de ce diagramme a été reportée dans le paragraphe 5.6.

### 5.5.3 Calcul de la pression dans la goutte pseudo-sphérique

On peut calculer la pression dans la goutte pseudo-sphérique sur la surface 'ΠR<sup>2</sup>', à partir de (50) comme :

$$ \Delta P = \frac{2\Pi R_b \int_0^H \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\Pi R \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon z}}{\Pi R^2} \quad (52) $$

$$ \text{avec : } R_b = \sqrt{H(2R - H)} $$

Soit :

$$ \Delta P = (2\rho g/R) \{\lambda/\epsilon(1 - e^{-\epsilon R}) - (R_b/R)\beta/\alpha(1 - e^{-\alpha H})\} \quad (53) $$

On observe que l'équation diffère légèrement de celle précédente de la goutte semi-ellipsoïde au facteur '(R<sub>b</sub>/R)' près.

## 5.6 Diagramme des différents types de gouttes déposées sur une surface solide

Nous pouvons désormais regrouper les inéquations des différents types de gouttes que nous avons définis dans cet article. Rappelons que nos équations correspondent à des formes théoriquement parfaites.

Diagramme des hauteurs critiques :

On peut dessiner le diagramme des différents types de gouttes déposée sur une surface solide comme dans la **Figure 20** où nous avons fusionné les inéquations (29, 39, 48 et 51) pour tracer la hauteur des gouttes en fonction du rayon 'L' de gouttes semi-ellipsoïdales et du rayon de base 'R<sub>b</sub>' de gouttes pseudo-sphériques.
Comme dans le cas des gouttes hémisphériques et hémi-ellipsoïdes, il est inutile de tracer le graphe des gradients de contrainte car l'équilibre se calcule au niveau des forces.

### 5.5.2 Calcul du bilan des forces dans la goutte pseudo-sphérique

On peut calculer la résultante des forces par intégration des trois gradients suivants : le gradient de contrainte liquide-vapeur sur le périmètre de la goutte à l'équateur (2ΠR), le gradient de contrainte d'étalement et le gradient de la calotte sphérique sur la base (2ΠR_b). L'inéquation s'écrit alors comme :

$$2\Pi R_b \int_0^H \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\Pi R \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon z} - \{ 2\Pi R_b \int_0^{H-2R} \tau^{\text{caLV}}(z) + 2\Pi R_b \int_0^{H-2R} R(z) \} + \rho g \left[ \frac{4}{3} \Pi R^3 - \Pi(2R-H)^2 \frac{R+H}{3} \right] \le 0 \quad (50)$$

$$\text{Soit : } 2\Pi R_b \int_0^H \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\Pi R \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon z} + \rho g \left\{ \frac{4}{3}\Pi R^3 - \Pi(2R-H)^2 \frac{R+H}{3} \right\} \le 0$$

On obtient :

$$R \frac{\lambda}{\epsilon} (1 - e^{-\epsilon R}) - R_b \frac{\beta}{\alpha} (1 - e^{-\alpha H}) \le \frac{2(2R-H)^3}{6} \quad (51)$$

Notons qu'on a annulé la contribution du gradient de contrainte correspondant à la calotte sphérique en supposant que la réponse du substrat aux forces de compression verticales est égale et opposée à cette contribution (ce qui conduit à la disparition des termes entre crochets ‘{}’ dans (50).

On peut aisément vérifier cette hypothèse avec les deux cas particuliers suivants : le cas de la goutte sphérique (lorsque : R_b = 0) et celui de la goutte hémisphérique (lorsque : R_b = H) :

* Cas particulier de la goutte sphérique (R_b = 0)

Lorsque : R_b = 0, on a : H = 2R et on retrouve les équations (29, 30) obtenues pour la sphère, où l'équilibre de la résultante des forces avec le poids est atteint lorsque le rayon est égal au rayon critique 'R_c'.

* Cas particulier de la goutte hémisphérique (R_b = H)

Lorsque : R_b = H, on a : H = R et on retrouve l'équation (40) obtenue pour l'hémisphère où la résultante des forces est une inéquation. Rappelons que dans le cas de la goutte hémisphérique, l'équilibre des forces de tension superficielle avec le poids est atteint lorsque le rayon est égal au rayon critique 'R_ch' et que lorsque le rayon est supérieur au rayon critique, la goutte hémisphérique se transforme en goutte plus grande, par exemple de forme ellipsoïde.

On peut désormais utiliser l'inéquation (51) pour tracer le diagramme des hauteurs 'H' en fonction du rayon de base 'R_b' de la goutte pseudo-sphérique comme dans la **Figure 20**. Nous avons fusionné l'inéquation (51) avec l'inéquation (46) qui représente la hauteur en fonction du rayon 'L' de la goutte semi-ellipsoïdale. On peut également représenter les inéquations de la sphère (contact zéro) et de l'hémisphère et dessiner le diagramme des différents types de gouttes déposées sur une surface solide. L'interprétation de ce diagramme a été reportée dans le paragraphe 5.6.

### 5.5.3 Calcul de la différence de pression dans la goutte pseudo-sphérique

On peut calculer la différence de pression dans la goutte pseudo-sphérique sur la surface 'ΠR^2' à partir de (50) comme :
<figure><img src="image_25.png" /></figure>

**Figure 20 – Diagramme de la hauteur ‘H’ de gouttes de formes variables déposées sur une surface solide, en fonction du rayon de base ‘L’ de gouttes semi-ellipsoïdales selon l’inéquation (48) et en fonction du rayon de base ‘Rb’ de gouttes pseudo-sphériques selon l’inéquation (51)**

On peut interpréter ce diagramme de la manière suivante :

* Lorsque la goutte a une forme semi-ellipsoïdale, l'inéquation (48) correspond, pour un rayon 'L' donné, à toute valeur de hauteur 'H ≤ Hc'. Ce qui correspond à la zone hachurée sous la courbe (47).

* La goutte hémisphérique est représentée par une droite 'H=L' qui s'arrête à : L= Rch.

* Lorsque la goutte est une sphère isolée, on peut utiliser l'inéquation (29) en remplaçant 'H' par '2R' (à la condition que : R ≤ Rc).

* Lorsque la goutte a une forme pseudo-sphérique, l'inéquation (51) correspond, pour un rayon de base 'Rc' donné, à toute valeur de hauteur 'H ≤ Hc', dans la zone hachurée sous la courbe.

En ce qui concerne la forme des gouttes, sachant que, par définition, la taille d'une sphère est limitée par 'Rc' et que la taille d'un hémisphère est limitée par 'Rch', cela signifie que pour des gouttes de rayon 'L' supérieur à 'Rch', on devrait avoir des ellipsoïdes.

En revanche, rien n'empêche qu'une goutte de petite taille soit de forme ellipsoïde.

Ainsi, selon nos équations, on devrait théoriquement observer des petites gouttes de forme quelconque, mais pas de grosses gouttes hémisphériques ni pseudosphériques lorsque le rayon est supérieur à 'Rch'.

Parallèlement, d'après les photos que l'on peut observer dans la littérature, il semblerait que les petites et moyennes gouttes soient souvent de type pseudo-sphérique ou autre, alors que les grandes gouttes ont souvent une forme semi-ellipsoïde.

## 5.7 Analyse de la zone du film précurseur

Rappelons que dans la zone qui entoure une goutte déposée sur une surface solide, certains chercheurs<sup>28-30</sup> ont révélé la présence d'un film précurseur.

Dans les paragraphes précédents, nous avons analysé différentes formes de gouttes sans prendre en compte l'existence de ce film précurseur parce qu'il était par définition hors des limites théoriques que nous avons fixées (x>R ou x> L).
$$ \Delta P = \frac{2\pi R_b \int_0^H \rho g \beta e^{-\alpha z} - 2\pi R \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon z}}{\pi R^2} \quad (52) $$

$$ \text{avec : } R_b = \sqrt{H(2R-H)} $$

Soit :

$$ \Delta P = (2\rho g/R) \{\lambda/\epsilon(1 - e^{-\epsilon R}) - (R_b/R) \beta/\alpha(1 - e^{-\alpha H})\} \quad (53) $$

On observe que l'équation diffère légèrement de celle précédente de la goutte semi-ellipsoïde au facteur '(R_b/R)' près.

## 5.6 Diagramme des différents types de gouttes déposées sur une surface solide

Nous pouvons désormais regrouper les inéquations des différents modèles de goutte définis ci-dessus et dessiner le diagramme des différents modèles de goutte déposés sur une surface solide comme dans la **Figure 20**. Nous avons fusionné les inéquations (29, 39, 46 et 51) pour tracer la hauteur des gouttes 'H' en fonction du rayon 'L' de gouttes semi-ellipsoïdales et du rayon de base 'R_b' de gouttes pseudosphériques.

On peut interpréter ce diagramme de la manière suivante :

* Lorsque la goutte a une forme semi-ellipsoïdale, l'inéquation (46) correspond, pour un rayon 'L' donné, à toute valeur de hauteur 'H ≤ H_c'. Cela correspond à la zone hachurée sous la courbe (47).

* La goutte hémisphérique est représentée par une droite 'H = L' qui s'arrête à 'L = R_c'.

* Lorsque la goutte est une sphère isolée, on peut utiliser l'inéquation (30) en remplaçant 'H' par '2R'(à condition que : R ≤ R_c).

* Lorsque la goutte a une forme pseudo-sphérique, l'inéquation (51) correspond, pour un rayon de base 'R_c' donné, à toute valeur de hauteur 'H ≤ H_c', dans la zone hachurée sous la courbe.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>**Figure 20** – Diagramme de la hauteur 'H' de gouttes de formes variables déposées sur une surface solide, en fonction du rayon de base 'L' de gouttes semi-ellipsoïdales selon l'inéquation (46) et en fonction du rayon de base 'R_b' de gouttes pseudo-sphériques selon l'inéquation (51)</figcaption></figure>
Dans le cas du ménisque, nous avons postulé que le profil du film précurseur s'arrêtait par définition au contact du liquide.

Dans le cas de gouttes déposées sur une surface solide, il est clair que ce postulat est erroné car les chercheurs qui ont étudié le film précurseur parlent d'une modification du pied de la goutte.

Nous allons néanmoins conserver cette hypothèse et définir un gradient théorique d'interface solide-vapeur utilisant le même formalisme que celui de l'équation (10).

Dans le cas du ménisque, l'équation du gradient de contrainte solide-vapeur nous a permis de représenter le film précurseur en fonction de l'axe horizontal 'x' dans la **Figure 5bis**. La hauteur calculée du film précurseur est de quelques millimètres tandis que son épaisseur est très mince car sa distance d'amortissement horizontale est de quelques centaines de nanomètres.

Dans le cas d'une goutte déposée sur un substrat, les forces sont horizontales et le gradient de contrainte solide-vapeur s'exprime en fonction de l'axe vertical 'z' comme :

$$v_{sv}(z) = \rho g \kappa e^{-\omega z} \qquad (54)$$

où :

z : est la direction orthogonale au substrat

$v_{sv}(z)$ : est la contrainte d'interface solide-vapeur en $[Nm^{-2}]$ ou $[Jm^{-3}]$

κ : est un paramètre lié à la largeur du film [m]

ω : est une constante d'atténuation [m⁻¹]

De la même manière, on suppose que le profil du film précurseur s'écrit comme :

$$X(z) \approx \kappa e^{-\omega z} \qquad (55)$$

Nous avons représenté l'équation (55) dans la **Figure 21** en fixant les paramètres 'κ' et 'ω' de manière arbitraire.

On voit dans cette figure que si la largeur du film précurseur est de quelques millimètres, son épaisseur est très mince attendu que la distance d'amortissement verticale est de l'ordre d'une centaine de nanomètres.

On voit également que le paramètre 'κ' peut être assimilé à la largeur du film, car lorsque 'z=0' on a 'X=κ'.

NB : Nous avons supposé ici que le film précurseur s'arrêtait au bord de la goutte, ce qui signifie que la largeur du film devrait être théoriquement indépendante de la taille de la goutte.

En fait, en l'absence de mesures expérimentales, nous ne savons pas si la largeur du film précurseur reste constante ou si elle dépend de la taille de la goutte.

De manière théorique, nous pouvons supposer que l'épaisseur du film se mesure lorsque 'x≈0' et que la courbe affleure l'axe 'z', c'est-à-dire quand le film précurseur touche le bord de la goutte.

Comme dans le cas du ménisque, la distance d'atténuation du film précurseur est très courte et l'épaisseur du film est donc très faible devant le rayon de la goutte.

Avec les paramètres utilisés dans la **Figure 21**, on obtient un film précurseur d'une épaisseur maximale d'environ 100 nm et d'environ 5 mm de largeur, dimensions proches de celles notamment mesurées par H. P. Kavehpour et al.²².
En ce qui concerne la forme des gouttes, sachant que, par définition, la taille d'une sphère est limitée par 'R<sub>c</sub>' et que la taille d'un hémisphère est limitée par 'R<sub>ch</sub>', cela signifie que pour des gouttes de rayon 'L' supérieur à 'R<sub>ch</sub>', on devrait avoir des ellipsoïdes.

En revanche, rien n'empêche qu'une goutte de petite taille soit de forme ellipsoïde.

Ainsi, selon nos équations, on devrait théoriquement observer des petites gouttes de forme quelconque, mais pas de grosses gouttes hémisphériques ni pseudo-sphériques lorsque le rayon est supérieur à 'R<sub>ch</sub>'.

D'après les photos que l'on peut observer dans la littérature, il semble en effet que les petites et moyennes gouttes soient souvent de type pseudo-sphérique ou autre, alors que les grandes gouttes ont souvent une forme semi-ellipsoïde, ce qui corrobore notre analyse.

# VI Lien entre les gradients de contrainte superficielle et la tension de surface : définition d'un terme équivalent 'Γ'

La question se pose inévitablement de savoir si on peut relier nos équations et plus précisément le terme précédemment défini 'Γ' à la classique tension de surface 'γ'.

Pour explorer ce lien, nous avons besoin de faire quelques définitions préalables.

## 6.1 Définitions préalables

Au paragraphe 3.2, nous avons défini le terme 'Γ' comme équivalent à la tension de surface 'γ' classiquement utilisée, les deux termes ayant la même dimension en [Nm⁻¹].

En effet, le terme 'Γ' s'obtient par intégration du gradient de contrainte dans la direction normale à la surface et, comme le gradient s'exprime comme une force par unité de surface, son intégrale s'exprime donc comme une force par unité de longueur.

On peut définir les termes 'Γ<sub>L</sub>' et 'Γ<sub>S</sub>' comme :

* Le terme équivalent 'Γ<sub>L</sub>' correspond à la tension de surface liquide-vapeur 'γ<sub>LV</sub>' tel que :

$$ \Gamma_L = \int \tau(z) dz \ [Nm^{-1}] \qquad (54) $$

* Le terme équivalent 'Γ<sub>S</sub>' correspond à la résultante de la tension de surface solide-liquide 'γ<sub>SL</sub>' et de la tension de surface solide-vapeur 'γ<sub>SV</sub>' tel que :

$$ \Gamma_S = \int \sigma(x) dx \ [Nm^{-1}] \qquad (55) $$

## 6.2 Comparaison des termes équivalents 'Γ' aux tensions de surface 'γ'

Nous allons comparer les termes 'Γ' et 'γ' dans les quatre cas suivants.

(i) Commençons par le cas générique d'une surface d'eau étendue, qui permet de comparer le terme équivalent 'Γ<sub>L</sub>' à la tension de surface classique 'γ<sub>LV</sub>'.

Dans le cas d'une surface d'eau étendue comme celle représentée **Figure 10a**, les forces de tension superficielle ne peuvent pas courber la surface car le volume est grand. Le terme équivalent 'Γ<sub>L</sub>' s'obtient par intégration du gradient de contrainte superficielle 'τ<sub>LV</sub>(z)' sur un intervalle allant de zéro à l'infini (sur une distance supérieure à la distance d'atténuation 'W') comme :
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>**Figure 21 - Profil calculé du film précurseur selon l'équation (55) avec les paramètres : { κ=5.10⁻³ [m]; ω =5.10⁷ [m⁻¹] }**</figcaption></figure>

On peut également se poser la question de savoir quel effet le film précurseur peut avoir sur la cohésion de
la goutte.

Avec les valeurs des paramètres ‘κ’ et ‘ω’ utilisés dans la **Figure 20** et en intégrant l’équation (54) sur la largeur du film, on peut calculer, comme on le verra plus loin, un terme équivalent à la tension de surface solide-vapeur ‘ΓV’ de l’ordre de 10⁻⁶ [Nm⁻¹]. Cette valeur est très inférieure à celle de la tension de surface liquide-vapeur ‘γLV’ qui est de l’ordre de 10⁻¹ [Nm⁻¹].

Ainsi, selon nos équations, le film précurseur devrait avoir très peu d'influence sur la cohésion de la goutte.
Ce qui n'est pas tout à fait réaliste sachant que des chercheurs²⁰⁻²² parlent à minima d'une modification du
pied de la goutte.

Dans le cas du film précurseur, il apparaît que nos équations restent très théoriques et que les paramètres
devraient être mesurés expérimentalement en faisant varier la nature du support, les conditions de pression,
la température, la taille des gouttes, etc.

Quoi qu'il en soit, cette formulation a le mérite de nous inciter à réfléchir à la nature du paramètre 'κ'.
En effet, selon nos hypothèses, la largeur du film précurseur devrait être indépendante de la taille de la
goutte. Cependant, si on suppose que le film précurseur se forme par condensation des vapeurs du liquide
émanant de la goutte, cela signifie que si la goutte est trop petite, il devrait y avoir trop peu de matière à
évaperer et donc trop peu de matière à condenser. Ainsi, la largeur du film précurseur devrait croître avec la
taille de la goutte, jusqu'à ce que la goutte atteigne une taille minimale à partir de laquelle le film précurseur
ne croît plus.

Il faut admettre que dans le cas présent, il y a de nombreuses choses à vérifier par l'expérience et que cela
dépasse le cadre de cet article, à savoir celui d'une expérience de pensée.

VI Lien entre les gradients de tensioactivité et la tension de surface : définition d'un terme équivalent 'Γ'

La question se pose inévitablement de savoir si on peut relier nos équations et plus précisément le terme
précédemment défini ‘Γ’ à la classique tension de surface ‘γ’.

**6.1 Définitions**
$$ \Gamma_L = \int \tau_{LV}(z) dz = \int_{\square} \rho g \lambda e^{-\epsilon z} = \rho g \lambda / \epsilon \quad [Nm^{-1}] \qquad (56) $$

Avec les valeurs des paramètres ‘ε’ et ‘λ’ estimés précédemment pour l’eau, on obtient une valeur de ‘Γ_L’ de 72.10⁻³ [Nm⁻¹] identique à celle donnée dans la littérature pour la tension de surface classique ‘γ_LV’.
Ainsi, dans le cas d’une surface d’eau étendue, le terme équivalent ‘Γ_L’ a la même valeur que la tension de surface classique ‘γ_LV’.

(ii) Dans le cas du ménisque tel que représenté **Figure 4a**, les forces de tension superficielle et la pesanteur sont à l'équilibre. A l'aide de l'équation (12), on peut calculer le terme résultant ‘Γ_R’ par intégration du gradient de contrainte résultant ‘σ_R(x)’ comme :

$$ \Gamma_R = \int \sigma_R(x) \, dx = \int_0^W \rho g A \, e^{-Bx} \, dx \qquad (57) $$

Attendu que le ménisque est libre de s'étendre à l'infini, l'intégration donne :

$$ \Gamma_R = \rho g B/A \qquad (58) $$

Dans le paragraphe 3.2, on l'a relié au produit ‘γ_LV. cos(θ)’ généralement mesuré par les expérimentateurs. Rappelons que le terme ‘Γ_R’ est considéré comme une combinaison de ‘Γ_S’ et ‘Γ_L’. C'est ce terme résultant qui est obtenu, par exemple, dans les mesures effectuées avec le tensiomètre de Wilhelmy ainsi que dans le cas du tube capillaire (loi de Jurin).

Avec les valeurs des paramètres ‘A’ et ‘B’ estimés précédemment pour l’eau (A = 316 [m⁻¹] et B = 2.10⁻³ [m]), on obtient une valeur de ‘Γ_R’ de 62.10⁻³ [N/m]. Cette valeur correspond exactement à la valeur donnée dans la littérature (à 25°C) pour la tension de surface avec un angle de 30 degrés (72.10⁻³. cos(30°) [N/m]). Ainsi, dans le cas du ménisque, le terme équivalent ‘Γ_R’ a la même valeur que le produit ‘γ_LV’. cos(θ)’.

(iii) Dans le cas d'une goutte d'eau sphérique isolée comme représenté **Figure 10a**, les forces de tension superficielle courbent la surface car le volume est petit devant la distance d'atténuation. Hormis la pesanteur, les seules forces qui entrent en jeu sont les forces d'interaction liquide-vapeur et le terme équivalent ‘Γ_L’ se calcule par intégration du gradient de contrainte superficielle ‘τ_LV(r)’ à l'aide de (26) comme :

$$ \Gamma_L = \int \tau_{LV}(r) \, dr = \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon r} \, dr \qquad (59) $$

L'intégration donne :

$$ \Gamma_L = \rho g (\lambda/\epsilon) (1 - e^{-\epsilon R}) \qquad (60) $$

Dans le champ de pesanteur, le rayon de la goutte ‘R’ est par définition plus petit que le rayon critique ‘R_c’ et bien plus petit que ‘W_g’. On peut relier ‘Γ_L’ à la tension de surface classique ‘γ_LV’ en calculant la pression
Au paragraphe 3.2, nous avons précédemment défini le terme ‘Γ’ comme équivalent à la tension de surface ‘γ’ classiquement utilisée, les deux termes ayant la même dimension en [Nm⁻¹].

Le terme ‘Γ’ s’obtient ici par intégration du gradient de contrainte dans la direction normale à la surface et, comme le gradient s’exprime comme une force par unité de surface, son intégrale s’exprime donc comme une force par unité de longueur.

Selon le type d'interface, nous pouvons définir les termes 'ΓS', 'ΓL' et 'ΓV' suivants :

* Un terme équivalent 'ΓS' correspondant à la tension de surface solide-liquide 'γSL' tel que :

$$ \Gamma_S = \int \sigma(x) \, dx \ [Nm^{-1}] \qquad (56) $$

* Un terme équivalent 'ΓL' correspondant à la tension de surface liquide-vapeur 'γLV' tel que :

$$ \Gamma_L = \int \tau(z) \, dz \ [Nm^{-1}] \qquad (57) $$

* Un terme équivalent 'ΓV' correspondant à la tension de surface solide-vapeur 'γSV' tel que :

$$ \Gamma_V = \int v(z) \, dz \ [Nm^{-1}] \qquad (58) $$

Voyons dans un premier temps si on peut rapprocher les termes ‘Γ’ des tensions de surface classiques ‘γ’ au travers des cas qui vont suivre.

## 6.2 Comparaison des termes équivalents ‘Γ’ aux tensions de surface ‘γ’

Nous allons comparer les termes ‘Γ’ et ‘γ’ dans les cinq cas suivants.

(i) Nous allons commencer par le cas générique d'une surface d'eau étendue, cas qui permet de comparer le terme équivalent 'ΓL' obtenu par intégration du gradient de contrainte 'τLV(z)' à la tension de surface générique 'γLV'.

Dans le cas d'une surface d'eau étendue comme représenté dans la partie droite de la **Figure 10a**, les forces de tensioactivité ne peuvent pas courber la surface car le volume est grand. Le terme équivalent 'ΓL' s'obtient donc par intégration du gradient de tensioactivité 'τLV(z)' sur un intervalle allant de zéro à l'infini (à une distance supérieure à la distance d'atténuation 'W') comme :

$$ \Gamma_L = \int \tau_{LV}(z) \, dz = \int_0^W \rho g \lambda e^{-\epsilon z} = \rho g \lambda / \epsilon \ [Nm^{-1}] \qquad (59) $$

L'intégration de 'τLV(z)' dans la direction normale à la surface donne une force par unité de longueur (ou une énergie par unité de surface) 'ΓL' dimensionnellement et numériquement comparable à la tension de surface 'γ'. Avec les valeurs des paramètres 'ε' et 'λ' estimés précédemment pour l'eau, on obtient la valeur générique de 'ΓL' de 72.10⁻³ [Nm⁻¹] identique à celle donnée dans la littérature pour la tension de surface classique 'γLV'.

(ii) Dans le cas du ménisque tel que celui représenté **Figure 4a**, on considère que le ménisque dû à la conjonction des forces de tensioactivité solide-liquide et liquide-vapeur. A l'aide des équations (12) et (16), on peut calculer le terme résultant 'ΓR' par intégration du gradient de contrainte résultant 'σR(x)' comme :
dans la goutte comme dans l'équation (31) et on peut rapprocher cette équation de l'équation de Laplace ($\Delta P = \frac{2}{R} \frac{\gamma}{R}$) comme :

$$ \Delta P = \frac{2}{R} \rho g \lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) = \frac{2}{R} \Gamma_L \quad (61) $$

Où 'Γ_L' est équivalente à 'γ_LV' et vaut ici : $\Gamma_L \approx \rho g \lambda/\varepsilon (1 - e^{-\varepsilon R}) [Nm^{-1}]$.

Avec les valeurs des paramètres 'ε' et 'λ' estimés pour l'eau et avec un rayon maximal de 4 mm, on obtient une valeur de 'Γ_L' de $77.10^{-3} [Nm^{-1}]$ relativement proche de la valeur de 'γ_LV'.

Notons qu'en impesanteur, on devrait avoir, comme dans l'équation (56) : $\Gamma_L \approx \rho g \lambda/\varepsilon$. Dans ce cas, on retrouverait 'Γ_L' : $72.10^{-3} [Nm^{-1}]$, valeur identique à celle de 'γ_LV'.

Ainsi, dans le cas d'une goutte d'eau sphérique isolée, le terme équivalent 'Γ_L' a une valeur proche de la tension de surface classique 'γ_LV'.

(iv) Dans le cas de gouttes déposées sur une surface solide comme représenté dans les **Figures 14, 17** et **19**, on a vu que la conjonction des forces de tension superficielle solides et liquide-vapeur conduit à la formation de gouttes dont la forme varie du semi-ellipsoïde (goutte mouillante) à la pseudo-sphère (goutte non mouillante).

Dans le cas de la goutte hémisphérique de la **Figure 14**, nous pouvons introduire les termes équivalents de tension de surface 'Γ_S' et 'Γ_L' dans l'équation de la pression (42) comme :

$$ \Delta P = (2/R) \{ \Gamma_L - \Gamma_S \} \quad (62) $$

Où :

$$ \Gamma_L = \rho g (\lambda/\varepsilon) (1 - e^{-\varepsilon R}) $$

$$ \Gamma_S = \rho g (\beta/\alpha) (1 - e^{-\alpha R}) $$

On peut également les utiliser pour réécrire le bilan des forces dans la goutte hémisphérique (39) :

$$ (\Gamma_L - \Gamma_S) \le (1/3) \rho g R^2 \quad (63) $$

En ce point précis, les deux théories divergent : il est clair qu'on ne peut pas rapprocher l'équation (63) de celle de Young-Dupré (2), car les deux approches sont différentes.

Ainsi, après avoir observé une convergence dans les trois premiers cas, nous observons une divergence fondamentale dans le dernier cas, divergence dont nous proposons de discuter dans le paragraphe suivant.

## 6.3 Interprétation des divergences entre les termes équivalents 'Γ' et les tensions de surface 'γ'

Dans le cas d'une goutte hémisphérique comme celle des **Figures 14 et 15a**, notre modèle d'équivalence mécanique ne considère que trois forces :

- Les forces d'interaction liquide-vapeur normales à la surface de la goutte qui sont des forces de compression
$$ \Gamma_R = \int \sigma_R(x) \, dx = \int_0^W \rho g A e^{-Bx} \, dx \qquad (60) $$

Attendu que le ménisque est libre de s'étendre jusqu'à la distance d'atténuation 'Wm', l'intégration donne :

$$ \Gamma_R = \rho g B/A \qquad (61) $$

Dans le paragraphe 3.2, on l'a noté 'Γ' et relié au produit 'γLV.cos(θ)' qui est généralement mesuré par les expérimentateurs. Ici, 'ΓR' doit être considéré comme une combinaison de 'ΓS' et 'ΓL' et c'est ce terme résultant qui est obtenu dans les mesures effectuées avec le tensiomètre de Wilhelmy ainsi que dans le cas du tube capillaire (loi de Jurin).

Avec les valeurs des paramètres 'A' et 'B' estimés précédemment pour l'eau (A = 316 [m⁻¹] et B = 2.10⁻³ [m]), on obtient une valeur de 'ΓR' de 62.10⁻³ [N/m], qui correspond à la valeur classiquement donnée pour la tension de surface (72.10⁻³ [Nm⁻¹]) avec un angle de 30 degrés.

(iii) Dans le cas d'une goutte d'eau sphérique isolée comme représenté **Figure 10a**, les forces de tensioactivité courbent la surface car le volume est petit devant la distance d'atténuation 'Wg'. Dans ce cas, n'entrent en jeu que les forces d'interaction liquide-vapeur et on peut calculer le terme équivalent 'ΓL' par intégration du gradient de tensioactivité 'τSL(r)' dans l'équation (25) comme :

$$ \Gamma_L = \int \tau_{SL}(r) \, dr = \int_0^R \rho g \lambda e^{-\epsilon r} \, dr \qquad (62) $$

Dans le champ de pesanteur, l'intégration donne :

$$ \Gamma_L = \rho g (\lambda/\epsilon) (1 - e^{-\epsilon R}) \qquad (63) $$

Où le rayon de la goutte 'R' est par définition plus petit que le rayon critique 'Rc' et bien plus petit que 'Wg'.

On peut relier 'ΓL' à la tension de surface classique 'γLV' en calculant la pression dans la goutte comme dans l'équation (32) et on peut la rapprocher de l'équation de Laplace ($\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$) comme :

$$ \Delta P = \frac{2}{R} \rho g \lambda/\epsilon (1 - e^{-\epsilon R}) = \frac{2}{R} \Gamma_L \qquad (64) $$

Où 'ΓL' est équivalente à 'γLV' et vaut ici : $\Gamma_L \approx \rho g \lambda/\epsilon (1 - e^{-\epsilon R})$ [Nm⁻¹].

Avec les valeurs des paramètres 'ε' et 'λ' estimés pour l'eau et un rayon maximal de 4 mm, on obtient une valeur de 'ΓL' de 77.10⁻³ [Nm⁻¹] assez proche des valeurs données pour 'γLV'.

En revanche, en impesanteur, on a vu dans l'équation (33) que le rayon maximal d'une goutte est plus grand que dans le champ de pesanteur et peut tendre vers 'Wg', comme dans l'équation (61) : $\Gamma_L \approx \rho g \lambda/\epsilon$.

Dans ce cas, on retrouve la valeur générique de 'ΓL', à savoir : 72.10⁻³ [Nm⁻¹], valeur identique à celle donnée dans la littérature pour la tension de surface classique 'γLV'.

(iv) Dans le cas de gouttes déposées sur une surface solide comme représenté dans les **Figures 14, 17** et **19**, la conjonction des forces de tensioactivité solide-liquide et liquide-vapeur conduit à la formation
- La résultante des forces d'interaction solide-liquide et solide-vapeur qui provoquent un étalement de la goutte

- La force de gravité qui s'oppose à la résultante des forces de tension superficielle et qui tend elle aussi à écraser la goutte.

Dans la **Figure 21**, nous pouvons comparer notre vision (Figure 15a) à celle de Young-Dupré (Figure 1) :

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 21— Comparaison des schémas de vecteurs de force dans une goutte hémisphérique selon l'équation de Young-Dupré et des gradients de force selon cet article</figcaption></figure>

(1) Le gradient des forces liquide-vapeur ‘$τ_{LV}$’ est orienté vers le centre de la goutte, tout comme la projection du vecteur ‘$γ_{LV}$’.

(2) Le gradient résultant des forces solide-liquide et solide-vapeur ‘$σ_S$’ va du centre vers le bord de la goutte dans notre vision, tandis que dans la loi de Young-Dupré, les vecteurs ‘$γ_{SL}$’ et ‘$γ_{SV}$’ sont opposés : le vecteur ‘$γ_{SL}$’ va du bord vers le centre de la goutte alors que le vecteur ‘$γ_{SV}$’ va vers l'extérieur de la goutte. Il s'agit d'une différence apparente car il faut se rappeler qu'on a défini ‘$σ_S$’ comme la résultante des forces solide-liquide et solide-vapeur et que ses composantes théoriques ‘$σ_{SL}$’ et ‘$σ_{SV}$’ sont probablement l'une négative et l'autre positive, à l'instar de ‘$γ_{SL}$’ et ‘$γ_{SV}$’.

(3) Première différence : Dans le cas d'une goutte isolée comme celle de la **Figure 9b**, nous considérons que le terme ‘$Γ_L$’ est radial, alors que la tension de surface ‘$γ_{LV}$’ est considérée comme tangentielle.

(4) Deuxième différence : L'équation de Young-Dupré ne prend pas en compte l'effet de la gravité alors que nous estimons qu'elle a une influence très importante sur la cohésion de la goutte (notion de rayon critique) ainsi que sur la montée du ménisque.

En résumé, les approches sont différentes mais décrivent les mêmes phénomènes, les divergences étant dues à une vision de forces tangentielles par unité de longueur dans le cas de la loi de Young-Dupré alors que notre modèle utilise des gradients de forces par unité de surface qui s'expriment dans le volume.

Ainsi, bien que les termes équivalents ‘Γ’ et les tensions de surface ‘$γ$’ aient la même dimension et des valeurs proches lors du calcul de l'équilibre des forces, les approches sont fondamentalement différentes.

La conclusion s'impose : la définition de termes équivalents pour rapprocher nos équations des équations classiques ne semble pas vraiment utile.

# VII DISCUSSION
de gouttes dont la forme varie du semi-ellipsoïde (goutte mouillante) à la pseudosphère (goutte non mouillante).

Dans le cas de la goutte hémisphérique de la **Figure 14**, nous pouvons calculer et introduire les termes équivalents de tension de surface ‘$\Gamma_S$’ et ‘$\Gamma_L$’ dans l’équation de la pression (42) qui se réécrit comme :

$$ \Delta P = (2/R) \{ \Gamma_L - \Gamma_S \} \qquad (65) $$

Où :

$$ \Gamma_L = \rho g (\lambda/\varepsilon) (1 - e^{-\varepsilon R}) $$

$$ \Gamma_S = \rho g (\beta/\alpha) (1 - e^{-\alpha R}) $$

On peut également les utiliser pour réécrire le bilan des forces dans la goutte hémisphérique (39) :

$$ (\Gamma_L - \Gamma_S) \le (1/3) \rho g R^2 \qquad (66) $$

En ce point précis, les deux théories divergent : il est clair qu'on ne peut pas rapprocher notre équation (66) de celle de Young-Dupré (2), parce que les deux approches sont radicalement différentes.

(v) En ce qui concerne le terme solide-vapeur, nous avons vu dans le paragraphe 5.7 sur le film précurseur qu'il est de l'ordre de $10^{-6}$ [Nm$^{-1}$] pour l'eau, ce qui est très faible devant le terme équivalent liquide-vapeur ‘$\Gamma_L$’ qui est de l'ordre de $10^{-1}$ [Nm$^{-1}$].

Selon nos équations, cela signifie que le film précurseur devrait avoir très peu d'influence sur la cohésion du ménisque et de la goutte, exception faite de la formation du pied de la goutte.

En ce point également, les théories divergent car les deux approches sont radicalement différentes.

Après avoir observé une convergence dans les trois premiers cas, nous observons une forte divergence dans les deux derniers.

Nous allons interpréter cette divergence d'un point de vue phénoménologique dans le paragraphe suivant.

## 6.3 Interprétation phénoménologique

D'un point de vue phénoménologique, les manifestations de la tensioactivité (tension de surface) sont provoquées par des forces de pression qui créent un ménisque, provoquent une montée capillaire ou forment des gouttes et des bulles.

Nous allons donc analyser les points de divergence entre le gradient de force par unité de surface (ou gradient de pression) défini ici et les classiques tensions de surface qui s'expriment en termes de force par unité de longueur en examinant les forces de pression qui s'exercent aux interfaces.

Dans le cas d'une goutte hémisphérique comme celle des **Figures 14 et 15a**, nous considérons dans ce papier essentiellement deux types de forces d'interaction : les forces d'interaction liquide-vapeur normales à la surface de la goutte (forces de compression) et les forces d'interaction solide-liquide provoquant un étalement de la goutte. La résultante de ces forces s'oppose à la force de gravité qui écrase elle aussi la goutte.

Dans la **Figure 22**, nous avons comparé notre vision de la **Figure 15a** à celle de Young-Dupré représentée **Figure 1**.
Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée qui consiste à remplacer mathématiquement la tension de surface classique par un gradient de contrainte équivalent qui s'exerce en volume sous la surface du liquide.

Plus précisément, nous faisons l'hypothèse que l'attraction ou la répulsion des molécules à l'interface crée un gradient de contrainte de déformation ou de compression perpendiculaire à la surface du liquide. Ces gradients de force s'exercent en volume et sur une longue distance expliquant par exemple la taille du ménisque. Cela signifie qu'au lieu de considérer que l'énergie superficielle est concentrée à l'interface sur une surface mathématique sans épaisseur comme dans les théories précédentes, nous considérons ici qu'elle s'exprime dans le volume.

Bien qu'aucune mesure expérimentale ne permette aujourd'hui d'asseoir l'hypothèse de tels gradients de forces qui s'exercent en volume, on peut imaginer quelques pistes théoriques qui pourraient expliquer un tel gradient :

(i) Le gradient pourrait être lié à une variation locale de la viscosité lors de la construction du ménisque sachant que la viscosité dépend de la vitesse du fluide et que la viscosité freine l'évolution du film.

(ii) Le gradient pourrait être un gradient de réorganisation moléculaire variable en fonction de la distance à l'interface, selon un processus stationnaire de création /destruction de structures à durée de vie très courte. Ainsi, à l'issue de la formation préalable du ménisque (ou de la montée capillaire), un régime stationnaire de création /destruction pourrait s'installer, régime qui serait indépendant du temps²⁶ mais dépendant de la distance à la paroi. En particulier, dans le cas de l'eau, un tel gradient de réorganisation pourrait se faire via la création/destruction de structures à durée de vie très courte utilisant des liaisons hydrogène.

En ce qui concerne la longueur d'action d'un tel processus de réorganisation moléculaire, on notera que si L.J. Michot et al.¹⁰ affirment que les perturbations structurales aux interfaces ne s'étendent pas sur des distances supérieures à 10-15 Å, de leur côté, J.M. Zheng et al.²⁷ ne sont pas de cet avis et indiquent avoir observé aux interfaces des perturbations structurales s'étendant sur plusieurs centaines de microns. En effet, ces auteurs rapportent que des solutés colloïdaux et moléculaires en suspension dans une solution aqueuse peuvent être largement exclus du voisinage de diverses surfaces hydrophiles sur une distance de plusieurs centaines de microns. D'autre part, en ce qui concerne la nature du film précurseur, Popescu et al.²⁴ considèrent que le film précurseur est un « film mésoscopique dont la propagation inclut la contribution de forces à longue portée ».

## VIII CONCLUSION

Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée qui remplace mathématiquement la tension de surface classique, en [Nm⁻¹], par un gradient de contrainte superficielle équivalent, en [Nm²], qui s'exerce en volume sous la surface du liquide.

A l'aide d'un tel gradient, nous pouvons réécrire les équations de la tension superficielle en termes de force par unité de surface ou d'énergie par unité de volume, alors qu'elles s'écrivent classiquement en termes de force par unité de longueur ou d'énergie par unité de surface.

Nous avons provisoirement élaboré un modèle d'équivalence mécanique qui définit deux gradients de contrainte, un gradient de contrainte superficielle à l'interface liquide-vapeur 'τ<sub>LV</sub>(x)' et un gradient de contrainte résultant aux interfaces solides 'σ<sub>S</sub>(x)', car ce modèle ne permet pas de discriminer les composantes 'σ<sub>SL</sub>(x)' et 'σ<sub>SV</sub>(x)'.

Ce modèle permet néanmoins de réinterpréter les équations antérieures des phénomènes connus (ménisque, le tube capillaire, la lame de Wilhelmy et les gouttes), de fournir une expression améliorée de la loi de Laplace, d'intégrer l'équation de la pesanteur pour expliquer la taille limite des gouttes d'eau sur terre, d'expliquer leur comportement en apesanteur et de modéliser la formation de gouttes hémisphériques, semi-ellipsoïdes et pseudo-sphériques.

Nous pensons que l'élaboration d'un modèle phénoménologique devrait permettre de prendre en compte toutes les composantes, ce que nous ferons dans un prochain article.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>**Figure 22 – Comparaison des schémas de vecteurs de force dans une goutte hémisphérique selon l'équation de Young-Dupré et selon cet article**</figcaption></figure>

On constate que si la projection horizontale des forces liquide-vapeur sont orientées vers le centre de la goutte dans les deux visions (‘ΓL’ et ‘γLV’), il n’en est pas de même pour la projection horizontale des forces solide-liquide qui vont du centre vers le bord dans notre vision (‘σSL’), alors que le vecteur ‘γSL’ est tourné vers le centre dans la loi de Young-Dupré.

D'autres divergences apparaissent :

* L'équation de Young-Dupré prend en compte un vecteur 'γsv' alors que nous estimons dans cet article que le terme équivalent solide-vapeur 'Γv' est trop faible pour influer sur la forme globale de la goutte.

* L'équation de Young-Dupré ne prend pas en compte l'effet de la gravité alors que nous estimons qu'elle a une influence très importante sur la cohésion de la goutte (notion de rayon critique).

Ces divergences se retrouvent également dans les autres cas :

- Dans le cas du ménisque, on devrait avoir le même schéma que celui de la **Figure 1** dans la vision de Young-Dupré, ce qui signifie que le vecteur ‘γSL’ devrait être orienté vers le bas alors que nous considérons ici que les forces de tensioactivité créent une force de déformation verticale orientée vers le haut. Idem pour la gravité qui selon nous limite la montée du ménisque alors que l'équation de Young-Dupré n'en tient pas compte.

- Dans le cas d'une goutte isolée comme celle de la **Figure 9b**, le calcul de la pression selon nos équations est conforme à celui de l'équation de Laplace (1) à un facteur près. Cependant, nous considérons que le terme 'ΓL', qui se calcule par intégration du gradient de compression normale, est radial, tandis que la tension de surface 'γSL' est considérée comme tangentielle.

## 6.4 Quid de la similitude dimensionnelle des termes ‘Γ’ et ‘γ’

Même si notre vision diverge de celle de Young-Dupré, nous avons vu que les termes ‘Γ’ et ‘γ’ ont parfois la même valeur. On peut donc se poser la question de savoir d'où vient la similitude entre ces termes. La réponse est dimensionnelle.

En effet, d'un point de vue dimensionnel, le gradient de pression [P] étant un gradient de force par unité de surface [F/S], son intégrale a la dimension d'une pression multipliée par une longueur unitaire : [P.L] ou [(F/S).L], c'est-à-dire d'une force par unité de longueur [F/L].

Les termes ‘Γ’ ont donc la même dimension que les classiques tensions de surface ‘γ’ : [F/L].
Références

[1] Pierre Simon de Laplace, Traité de Mécanique Céleste, volume 4, (Paris, France : Courcier, 1805).

[2] James Jurin (1719) "An account of some new experiments, relating to the action of glass tubes upon water and quicksilver", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 30 : 1083–1096.

[3] Thomas Young (1805) "An essay on the cohesion of fluids," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95 : 65–87.

[4] H.W. Fox and W.A. Zisman, J. Colloid Sci. 5, 514-531 (1950); 7, 109-121 and 428-442 (1952)

[5] Marchand A, Weijs J H, Snoeijer J H and Andreotti B 2011 *Why is surface tension parallel to the interface, American Journal of Physics*, **999-1008**

[6] Dominic Vella and L. Mahadevan, The ‘‘Cheerios effect’’, Am. J. Phys. 73, 817–825 (2005)

[7] Frédéric Elie – Effet capillaire des liquides,
https://www.researchgate.net/publication/316858944_Effets_capillaires_des_liquides_TP_sur_la_longueur_capillaire

[8] P. G. de Gennes, Wetting : Statics and dynamics, Rev. Modern Physics **57**, 827 (1985).

[9] Simone Bouquet et Jean-Paul Langeron, « INTERFACES », Encyclopædia Universalis/interfaces.

[10] L.J. Michot et al. : Water organisation at the solid–aqueous solution interface, C. R. Geoscience – 334 (2002) 611–631.

[11] Toru Shimizu - Three Kinds of Expressions for Meniscus at Flat Wall -Advanced Studies in Theoretical Physics - Vol. 14, 2020, no. 2, 73 – 79.

[12] Giuseppe Soligno, Marjolein Dijkstra and René van Roij - The equilibrium shape of fluid-fluid interfaces: Derivation and a new numerical method for Young's and Young-Laplace equations - J Chem Phys. 2014 Dec 28;141(24):244702.

[13] Wilhelmy, Ludwig, « Ueber die Abhängigkeit der Capillaritäts-Constanten des Alkohols von Substanz und Gestalt des benetzten festen Körpers », Annalen der Physik, vol. 195, 1863, p. 177–21.

[14] NF EN 14210 Avril 2004, Agents de surface - Détermination de la tension interfaciale des solutions d'agents de surface par la méthode à l'anneau ou l'étrier.

[15] Yuan Yuehua, T. Randall Lee - Contact Angle and Wetting Properties - Surface Science Techniques, Springer Berlin Heidelberg, vol. 51, pp. 3–34 (2013).

[16] Capillary Tubes - An overview | Science Direct Topics. www.sciencedirect.com. Retrieved 2021-10-29.

[17] H. R. Pruppacher and J. D. Klett, Microphysics of Clouds and Precipitation - Manfred Wendisch, 1999, Journal of Atmospheric Chemistry - J ATMOS CHEM.

[18] https://video-streaming.orange.fr/high-tech-science/des-astronautes-jouent-avec-de-l-eau-en-impesanteur-CNT000001zOTrn.html.

[19] Comportement de l'eau en apesanteur - Agence spatiale canadienne -
https://www.asc-csa.gc.ca/fra/recherche/video/regarder.asp?v=1_w15rltgh.

[20] Essorage à bord de l'ISS - https://www.youtube.com/watch?v=7weks82EYXg.

[21] Rafael Tadmor - Line energy and the relation between advancing, receding, and young contact angles. Langmuir. 2004 Aug 31;20(18):7659-64. doi: 10.1021/la049410h. PMID: 15323516.

[22] Lasse Makkonen - A thermodynamic model of contact angle hysteresis. J. Chem. Phys. 14 August 2017; 147 (6): 064703. https://doi.org/10.1063/1.4996912.

[23] Frédéric Elie - Etalement des gouttes sur une surface plane : loi de Tanner (2017)-
https://www.researchgate.net/publication/316858830.

[24] M. N. Popescu, G. Oshanin, S. Dietrich and A-M. Cazabat - Precursor films in wetting phenomena – arXiv:1205.1541 [cond-mat.soft] - Journal of Physics: Condensed Matter, Volume 24, Number 24.

[25] Hossein Pirouz Kavehpour - An Interferometric Study of Spreading Liquid Films - MIT - (2003).

[26] Barbara Pascal - Stationnarité d'un processus aléatoire - 21 mars 2020 - https://bpascal-fr.github.io/assets/pdfs/stationnaire.pdf.
Cependant, dans le cas d'une goutte, la tension de surface '$\gamma_{LV}$' est définie tangentiellement à la surface :
elle peut s'écrire comme une force tangentielle par unité de longueur : [$F_L$/L]. Alors que, selon nos
équations, l'intégrale du gradient des forces normales '$\Gamma_v$' est une pression totale multipliée par une
longueur unitaire, c'est-à-dire une force normale par unité de longueur [$F_n$/L].

La similitude vient donc du fait que, lorsqu'on calcule la pression totale du système (comme dans la loi de Laplace) ou lorsqu'on calcule l'équilibre des forces (selon la méthode de la lame de Wilhelmy ou avec loi de Jurin), on obtient le même résultat quelles que soient les équations, même si on ne considère pas les forces de la même manière.

Les divergences apparaissent lorsqu'on tente de comparer nos équations à celles de Young-Dupré.

## 6.5 Conclusion

Bien que les termes équivalents '$\Gamma$' obtenus par intégration du gradient de pression et les tensions de surface '$\gamma$' aient la même dimension et des valeurs proches lors du calcul de l'équilibre des forces, les approches sont radicalement différentes.

La conclusion s'impose : la définition de termes équivalents pour rapprocher nos équations des équations classiques ne semble pas vraiment utile.

# VII DISCUSSION

Dans cet article, nous proposons une expérience de pensée qui consiste à remplacer mathématiquement la
force tangentielle de tension de surface par un gradient de contrainte qui s'exerce dans le volume.

Bien qu'aucune mesure expérimentale ne permette aujourd'hui d'asseoir une telle hypothèse, on peut
émettre quelques hypothèses théoriques qui pourraient expliquer un tel gradient.

(1) Le gradient pourrait provenir d'une réorganisation moléculaire aux interfaces selon un processus stationnaire de création / destruction. En particulier, dans le cas de l'eau, une telle réorganisation pourrait se faire via l'organisation de structures à durée de vie courte utilisant des liaisons hydrogène tels que des clusters. A ce jour, aucune mesure expérimentale ne permet d'asseoir une telle hypothèse.

On notera cependant que si L.J. Michot et al.⁷ affirment qu'il apparaît clairement que les perturbations structurales aux interfaces ne s'étendent pas sur des distances supérieures à 10–15 Å, de leur côté, J.M. Zheng et al.²³ ne sont pas tout à fait de cet avis et indiquent avoir observé aux interfaces des perturbations structurales s'étendant sur plusieurs centaines de microns. En effet, ces auteurs rapportent que des solutés colloïdaux et moléculaires en suspension dans une solution aqueuse peuvent être largement exclus du voisinage de diverses surfaces hydrophiles sur une distance de plusieurs centaines de microns (« It is generally thought that the impact of surfaces on the contiguous aqueous phase extends to a distance of no more than a few water-molecule layers. Older studies, on the other hand, suggest a more extensive impact. We report here that colloidal and molecular solutes suspended in aqueous solution are profoundly and extensively excluded from the vicinity of various hydrophilic surfaces. The width of the solute-free zone is typically several hundred microns.»).

(2) Le gradient pourrait provenir d'une variation de la densité du fluide au voisinage de la surface. Là encore, aucune mesure expérimentale ne permet aujourd'hui d'asseoir une telle hypothèse. Le gradient pourrait provenir d'un effet cinétique lors de la construction du ménisque ou de la montée capillaire. En effet, selon la dynamique des fluides, l'écoulement d'un fluide est ralenti par sa viscosité, viscosité qui varie avec le gradient de vitesse de cisaillement. Ajoutons que la viscosité des fluides non Newtoniens dépend de la vitesse du fluide et que certains auteurs comme N. Verdel et P. Bukovec²⁴ ont réalisé des expériences indiquant que l'eau possède dans certains cas des propriétés auto-organisatrices et un comportement de thixotropie (« Thixotropy is a property of certain gels and
[27] J.M. Zheng et al. - Surfaces and interfacial water: evidence that hydrophilic surfaces have long-range impact - *Advances in Colloid and Interface Science* 127 (2006) 19–27.