# Sur l'origine, les bonnes raisons de l'usage, et la fécondité de l'odds ratio

Louis-André Vallet

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## To cite this version:

Louis-André Vallet. Sur l'origine, les bonnes raisons de l'usage, et la fécondité de l'odds ratio. Courrier des Statistiques, 2007, 121-122, pp.59-65. hal-05462473

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# Sur l'origine, les bonnes raisons de l'usage, et la fécondité de l'odds ratio

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Louis-André Vallet*

Cet article argumente qu'il y a de bonnes raisons scientifiques conduisant à utiliser, de façon privilégiée, la statistique de l'odds ratio ou du taux logistique pour comparer l'évolution de proportions. Après avoir rappelé la définition de l'odds ratio, il insiste sur le fait que cette statistique apparaît dès le début du XXe siècle et dispose de deux propriétés remarquables : insensibilité à l'égard des distributions marginales et lien avec l'échelle logistique, échelle « naturelle » des proportions. L'article conclut en soulignant que l'odds ratio a été au cœur d'une part importante des développements de la statistique des variables qualitatives, intervenus principalement durant la seconde moitié du XXe siècle et qui se sont progressivement imposés.

Dans un article intitulé « Trente ans de comparaison des inégalités des chances : quand la méthode retenue conditionne la conclusion » (Courrier des statistiques n° 112, décembre 2004, p. 37 à 54), Jean-Claude Combessie a réexaminé les indicateurs statistiques qui, depuis environ trente ans, ont été utilisés dans la sociologie française pour mesurer et comparer les inégalités des chances devant l'enseignement.

Plus précisément, J.-C. Combessie évoque dans cet article un débat scientifique qu'il avait lui-même ouvert en 1984 à propos des conclusions contradictoires, voire incohérentes, issues de l'application de diverses mesures de comparaison à deux séries de proportions. Les exemples sont empruntés aux statistiques de l'éducation et aux analyses de l'évolution des inégalités éducatives. L'auteur souligne d'abord la permanence d'une attente de conclusion univoque, mais aussi la variation des préférences de méthode.

Dès les années 1970, Raymond Boudon, et d'autres avec lui, argumentaient en faveur d'une mesure de comparaison – le rapport de taux (ou rapport de pourcentages) – dont l'application s'avère aujourd'hui largement disqualifiée. Puis une autre préférence s'est imposée : la préférence logistique, fondée sur la comparaison des odds ratios. J.-C. Combessie souligne ici que rapport de taux hier et odds ratio aujourd'hui ont en commun de conclure à la diminution de

l'inégalité des chances devant l'école, contrairement à la différence de taux (ou différence de pourcentages) qui conclut à l'augmentation.

Selon l'auteur, il existerait donc des mesures de comparaison d'orientation rose (optimiste) et d'autres d'orientation noire (pessimiste). J.-C. Combessie suggère alors que « la méthode retenue conditionne la conclusion » (cf. le sous-titre de son article) et que « la préférence accordée depuis les années 1985 aux odds ratios et au taux logistique privilégie une représentation enchantée de l'évolution des inégalités » (p. 37).

Le présent texte développe un point de vue distinct de celui énoncé par J.-C. Combessie. Il argumente en substance que le statisticien et, plus

généralement, le chercheur en sciences sociales ont de bonnes raisons scientifiques de fonder aujourd'hui leur diagnostic sur l'usage de l'odds ratio ou du taux logistique.

On commencera par rappeler la définition de l'odds et de l'odds ratio. Puis on soulignera que ce dernier est une statistique ancienne, présente dès le début du XXe siècle et l'on exposera les propriétés qui sont les siennes : d'une part, l'odds ratio n'est pas affecté par des transformations qui ne concernent que les distributions marginales ; d'autre part, il entretient un lien étroit avec l'échelle logistique qui peut être considérée comme l'échelle « naturelle » des proportions.

Enfin, on conclura en soulignant que l'odds ratio est situé au cœur d'une part importante des méthodes statistiques qui, depuis le milieu du XXe siècle, ont été proposées pour la modélisation des données qualitatives ou catégorielles et se sont, depuis lors, progressivement impossées, et l'on montrera aussi qu'il n'y a pas lieu de penser que l'odds ratio serait une mesure d'orientation rose. Ainsi, tenir compte de la place que, depuis George Udny Yule, l'odds ratio a occupée dans l'analyse statistique des données catégorielles, ou encore être attentif à l'histoire et à l'avancée de la méthodologie statistique,

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<footnote>* Louis-André Vallet est directeur de recherche au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) et travaille au sein du Laboratoire de sociologie quantitative du Centre de recherche en économie et statistique (Crest).</footnote>
conduit effectivement à privilégier
aujourd'hui l'usage de l'odds ratio ou
du taux logistique dans la comparai-
son de l'évolution de proportions.

Odds et odds ratio

Reprenons l'exemple analysé par
J.-C. Combessie. Il s'agit de l'évolu-
tion des taux d'admission dans les
grammar schools anglaises pour les
enfants de deux origines sociales. À
la date t₁, p<sub>St1</sub> = 37 % des enfants
de classe supérieure sont admis,
contre p<sub>Pt1</sub> = 1 % de ceux de classe
populaire. À la date t₂, les mêmes
proportions sont devenues respecti-
vement p<sub>St2</sub> = 62 % et p<sub>Pt2</sub> = 10 %.  
Telles sont les proportions mises en
jeu dans la comparaison.

En statistique, le terme anglais odds – que l’on peut traduire par cote – désigne le rapport d’une proportion, fréquence ou probabilité à son complémentaire. Ainsi, le fait que $p_{St1}/(1-p_{St1}) = 0,37/(1-0,37) = 0,587$ indique qu’à la date $t_1$, parmi les enfants de classe supérieure, les chances d’être admis en grammar school sont 0,587 fois plus fortes – ou encore 1,703 fois plus faibles – que celles de ne pas l’être. De même et à la même date, parmi les enfants de classe populaire, les chances d’être admis en grammar school sont $p_{Pt1}/(1-p_{Pt1}) = 0,01/(1-0,01) = 0,01$ fois plus fortes, c’est-à-dire 99 fois plus faibles, que celles de ne pas l’être.

Un odds ratio – terme que l’on pour-
rait traduire par « rapport de cotes »,
mais l’usage ne s’est pas imposé en
français – est alors défini comme le
rapport de deux odds. Ainsi,

$$
\frac{p_{\text{St1}}/(1-p_{\text{St1}})}{p_{\text{Pt1}}/(1-p_{\text{Pt1}})} = \frac{0,37/(1-0,37)}{0,01/(1-0,01)} = 58,1
$$

À la date t₁, les chances d'être admis plutôt que non admis en *grammar school* sont donc 58,1 fois plus fortes pour les enfants de classe supérieure que pour ceux de classe populaire. Cet avantage des premiers sur les seconds se réduit au cours du temps car, à la date t₂ :

$$
\frac{p_{\text{St2}}/(1-p_{\text{St2}})}{p_{\text{Pt2}}/(1-p_{\text{Pt2}})} = \frac{0,62/(1-0,62)}{0,10/(1-0,10)} = 14,7
$$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Source: The GAP Group

<caption>Karl Pearson</caption>

L'odds ratio mesure l'association sta-
tistique entre deux variables dicho-
tomiques, ici l'origine sociale (supé-
rieure ou populaire) et le résultat
du parcours scolaire (admis ou non
admis en grammar school). Il prend
ses valeurs entre 0 et +∞ et vau-
drait 1 en cas d'indépendance sta-
tistique, c'est-à-dire si les chances
d'être admis plutôt que non admis en
grammar school étaient exactement
semlables pour les enfants des deux
origines sociales.

L'odds ratio est donc une statistique très asymétrique : compris entre 0 et 1 si l'association est « dans une direction », il varie entre 1 et +∞ si elle est « dans l'autre direction ». Par exemple, un odds ratio de 0,2 traduit

la même intensité d'association sta-
tistique qu'un odds ratio de 5. Aussi,
et par commodité, le passage au
logarithme naturel (Log odds ratio)
est-il d'usage fréquent pour rétablir la
symétrie de la mesure.

Enfin, si l'on disposait, non pas des
proportions ou fréquences, mais des
effectifs eux-mêmes, l'odds ratio
serait aussi aisément calculé. À une
date donnée, et en notant n<sub>S</sub> et ñ<sub>S</sub> les
nombres d'enfants de classe supé-
rieure respectivement admis et non
admis en grammar school, de même
que n<sub>P</sub> et ñ<sub>P</sub> les effectifs corres-
pondants en classe populaire, l'odds
ratio, encore appelé cross-product
ratio, s'exprimerait par :

$$
\frac{n_S / \tilde{n}_S}{n_P / \tilde{n}_P} = \frac{n_S / n_P}{\tilde{n}_S / \tilde{n}_P} = \frac{n_S \tilde{n}_P}{\tilde{n}_S n_P}
$$

(voir note de bas de page <fnref n="1" />).

En revenant à l'exemple de J.-C.
Combessie, il faut souligner que la
même conclusion de réduction de
l'inégalité des chances devant l'école
serait obtenue si l'on inversait les
modalités de l'une, de l'autre ou des
deux variables croisées, c'est-à-dire
si l'on comparait les enfants de classe
populaire à ceux de classe supérieure
(plutôt que l'inverse) et/ou si l'on
calculait les risques d'être non admis
plutôt qu'admis en grammar school
(plutôt que l'inverse).

Comme le souligne J.-C. Combessie,
l'odds ratio est donc une mesure
cohérente de l'inégalité, au sens où
le seul fait de raisonner à partir des
proportions complémentaires n'affec-
terait pas la conclusion. L'odds ratio
partage cette propriété, hautement
désirable, avec la différence de taux<fnref n="2" />.
La cohérence est donc une qualité
de l'odds ratio, mais ce n'est pas la
seule.

Une statistique ancienne

Si l'usage de l'odds ratio ne s'est
répandu en France qu'au cours des
dernières décennies, il s'agit pour-
tant d'une statistique très ancienne,
présente dès le début du XXe siècle.
En effet, l'année 1900 n'est pas seu-

<footnote n="1">1. Plus généralement, dans un tableau de contingency comprenant N<sub>I</sub> lignes et N<sub>C</sub> colonnes, on peut définir (N<sub>I</sub> - 1)(N<sub>C</sub> - 1) odds ratios indépendants (ou non redondants), c'est-à-dire autant que le nombre de degrés de liberté associé au test de l'hypothèse d'indépendance statistique entre les variables. L'indépendance statistique correspond au fait que chacun des odds ratios vaut 1.</footnote>

<footnote n="2">2. Mais pas avec le rapport de taux qui constitue, sous cet aspect, une statistique non cohérente. Ce point, qui n'est pas intuitif, doit être rappelé vigoureusement : si, de t₁ à t₂, le rapport des taux d'admis (parmi les enfants de classe supérieure par rapport à ceux de classe populaire) diminue, invitant ainsi à conclure à une diminution de l'inégalité (car 0,37/0,01 > 0,62/0,10), alors, simultanément, le rapport des taux de non admis diminue (car 0,63/0,99 > 0,38/0,90), invitant à conclure l'inverse, puisque le taux de non-admis diminue davantage chez les enfants de classe supérieure que chez ceux de classe populaire, soit une augmentation de l'inégalité !</footnote>
lement celle de l'introduction, par Karl Pearson, de la statistique du chi-deux (χ²). Car c'est au même moment et à Londres également, que George Udny Yule propose l'odds ratio et une mesure d'association qui lui est liée, qu'il nomme Q, en l'honneur du statisticien belge Quetelet<fnref n="3" />.

Alors que le professeur Pearson était à la tête du département de statistique de l'University College, Yule n'y occupait qu'un poste d'assistant et tous deux avaient des visions assez différentes de l'association statistique au sein d'un tableau de contingence. L'approche de Pearson, inspirée par ses travaux en biologie, consistait à supposer qu'une distribution continue bivariée sous-tend un tableau croisé.

À partir de ce dernier, Pearson s'efforçait donc d'approcher la mesure que fournirait le coefficient de corrélation sur le continuum sous-jacent et, en suivant cette voie, il dérivait le coefficient de contingence et le coefficient de corrélation tétrachorique. À l'opposé, Yule, qui réfléchissait sur des problèmes de science sociale, était convaincu que beaucoup de variables catégorielles sont intrinsèquement discrètes, par exemple le fait d'être vacciné ou non vacciné, vivant ou mort, etc.

Il s'employait donc à construire des indices d'association qui utilisaient directement les effectifs figurant dans les cases du tableau croisé mais qui ne supposaient en rien l'existence d'un continuum sous-jacent. Yule affirme ainsi, dans son article de 1912 (p. 612), que « l'introduction d'hypothèses inutiles et invérifiables ne constitue pas [pour lui] une procédure désirable dans le travail scientifique. »

La réplique de Pearson, qui occupait la position académique dominante, fut impitoyable<fnref n="4" />. Il argumenta que les propositions de Yule étaient inapproPRIées. Il alla même jusqu'à remplir plus de 150 pages de Biometrika, revue qu'il avait contribué à fonder, pour développer une critique cinclante de la position de Yule : « Si l'on accepte les vues de Monsieur Yule,

des dommages irréparables affecteront le développement de la théorie statistique moderne » (Pearson & Heron, 1913, p. 159).

C'est donc par une ironie de l'histoire que les propositions de Yule, après avoir été si sévèrement combattues par le chef de file de la statistique anglaise, se sont trouvées au cœur de développements statistiques importants dans la seconde moitié du XXe siècle, comme on le verra plus loin.

Une première qualité : l'insensibilité à l'égard des distributions marginales

Dès son article de 1912, Yule attirait l'attention sur une qualité du coefficient Q qui lui semblait hautement désirable s'agissant d'une mesure d'association entre deux variables (p. 587) : le fait qu'il ne soit pas affecté et demeure invariant en cas de multiplication par une constante à l'intérieur des lignes et/ou des colonnes du tableau de contingence. La même qualité s'applique à l'odds ratio.

Reprenons en effet le tableau initial qui croise la classe d'origine (supérieure ou populaire) avec l'admission ou la non-admission en grammar school (tableau a). L'odds ratio y vaut n<sub>S</sub>ñ<sub>P</sub>/ñ<sub>S</sub>n<sub>P</sub>.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Supposons maintenant qu'à une date ultérieure, seule ait changé l'importance relative des catégories sociales. Dans le tableau b, cela est représenté par le fait que les effectifs figurant sur la première ligne (origine supérieure) sont tous multipliés par une même constante α alors que ceux figurant

sur la deuxième ligne (origine populaire) sont tous multipliés par une même constante β. L'odds ratio vaut donc désormais (αn<sub>S</sub>)(βñ<sub>P</sub>)/(αñ<sub>S</sub>)(βn<sub>P</sub>) soit, de nouveau et après simplification, n<sub>S</sub>ñ<sub>P</sub>/ñ<sub>S</sub>n<sub>P</sub>.

De même et en repartant du tableau initial, on peut supposer qu'en raison d'une transformation du système scolaire, seuls aient été modifiés les taux d'admis et de non admis en grammar school. Ce sont donc ici les effectifs des deux colonnes qui sont multipliés par des constantes arbitraires, respectivement γ et δ (tableau c). L'odds ratio vaut alors (γn<sub>S</sub>)(δñ<sub>P</sub>)/(δñ<sub>S</sub>)(γn<sub>P</sub>) soit, de nouveau et après simplification, n<sub>S</sub>ñ<sub>P</sub>/ñ<sub>S</sub>n<sub>P</sub>.

Enfin, il est possible que les deux transformations – celle de la structure sociale et celle du système scolaire – interviennent simultanément (tableau d). Il s'ensuit que l'odds ratio prend la valeur (αγn<sub>S</sub>)(βδñ<sub>P</sub>)/(αδñ<sub>S</sub>)(βγn<sub>P</sub>) qui se réduit encore une fois à n<sub>S</sub>ñ<sub>P</sub>/ñ<sub>S</sub>n<sub>P</sub>. Bref, l'odds ratio a la propriété remarquable d'être invariant sous des transformations des distributions marginales qui ne se traduirait que par des accroissements ou des réductions proportionnels à l'intérieur des lignes et/ou des colonnes du tableau de contingence.

En ce sens, il s'agit bien d'une statistique qui mesure l'association au cœur du tableau croisé. Une telle propriété rend donc spécialement attractif l'usage de l'odds ratio, dès lors que l'on souhaite apprécier des évolutions en faisant abstraction des variations intervenues dans les distributions marginales. C'est typiquement le cas des études portant sur l'inégalité des chances scolaires – à la fois la distribution des origines sociales et celle des positions scolaires varient au cours du temps –, comme de celles portant sur l'inégalité des chances sociales – distribution des origines sociales et distribution des positions sociales se déforment au fil du temps.

<footnote n="3">3. Si l'on note θ l'odds ratio, le coefficient Q se définit comme (θ-1)/(θ+1) et varie entre -1 et +1, prenant la valeur 0 en cas d'indépendance.</footnote>

<footnote n="4">4. Ce point d'histoire de la statistique des variables catégorielles a déjà été brièvement évoqué dans un article d'Alain Desrosières (2001).</footnote>
Du fait de cette propriété remarquable, l'odds ratio permet en effet d'apporter une réponse à des questions sophistiquées du type : en tenant compte du fait que, de $t_1$ à $t_2$, la structure des origines sociales et celle des positions scolaires ont évolué, quelque chose a t-il changé dans le lien intrinsèque qui unit l'origine sociale des individus et le niveau d'éducation qu'ils obtiennent ? Le fait que l'odds ratio soit insensible aux distributions marginales (margin-insensitive) constitue d'ailleurs une propriété rare. S'agissant des tableaux 2x2, Edwards (1963) a montré que les mesures d'association qui sont une fonction de l'odds ratio sont les seules statistiques qui demeurent invariantes en cas de multiplication par une constante dans les lignes et/ou les colonnes. Puis Altham (1970) a étendu ce résultat à des tableaux de contingence bivariés plus vastes.

## Une seconde qualité : le lien avec l'échelle logistique, échelle « naturelle » des proportions

L'odds ratio dispose d'une seconde qualité importante : il entretient un lien étroit avec l'échelle logistique que l'on peut considérer comme l'échelle « naturelle » des proportions (Leridon & Toulemon, 1997, p. 235). Il convient tout d'abord de remarquer que le logarithme d'un odds ratio n'est rien d'autre que la différence entre deux logits car, en reprenant nos notations initiales :

$$ 
\begin{align*}
& \operatorname{Log} \left[ \frac{p_{St1}/(1-p_{St1})}{p_{Pt1}/(1-p_{Pt1})} \right] \\
&= \operatorname{Log} \left( \frac{p_{St1}}{1-p_{St1}} \right) - \operatorname{Log} \left( \frac{p_{Pt1}}{1-p_{Pt1}} \right) \\
&= \operatorname{Logit}(p_{St1}) - \operatorname{Logit}(p_{Pt1})
\end{align*}
$$

$$ 
\begin{align*}
\text{et } \operatorname{Log} & \left[ \frac{p_{St2}/(1-p_{St2})}{p_{Pt2}/(1-p_{Pt2})} \right] \\
&= \operatorname{Log} \left( \frac{p_{St2}}{1-p_{St2}} \right) - \operatorname{Log} \left( \frac{p_{Pt2}}{1-p_{Pt2}} \right) \\
&= \operatorname{Logit}(p_{St2}) - \operatorname{Logit}(p_{Pt2})
\end{align*}
$$

En d'autres termes, comparer de $t_1$ à $t_2$ la valeur de l'odds ratio qui mesure l'association statistique entre origine sociale et admission versus non-admission en grammar school est strictement équivalent à comparer, d'une date à l'autre, la distance qui sépare les proportions d'admis $p_S$ et $p_P$ des deux origines sociales, après leur avoir fait subir une transformation particulière : la transformation logit qui associe à une proportion le logarithme naturel du rapport de celle-ci à son complémentaire. Pour expliciter les bonnes raisons scientifiques de l'usage de l'odds ratio, il nous faut donc désormais répondre à trois questions.

1. Quel est l'intérêt de la transformation logit ? Le fait qu'une proportion soit comprise entre 0 et 1, c'est-à-dire naturellement bornée, soulève des difficultés particulières dès lors qu'il s'agit d'apprécier un écart ou une variation, en raison de l'existence probable d'effets « plancher » et « plafond ». Considérons par exemple le fait de ne pas avoir redoublé à l'école élémentaire et le résultat classique selon lequel les filles ont de meilleurs parcours scolaires – c'est-à-dire redoublent moins fréquemment – que les garçons.

Si, dans le système scolaire considéré, le redoublement intervient très rarement, la fréquence de non-redoublement observée pour les garçons sera très élevée, de l'ordre de 0,90 ou 0,95. Il s'ensuit que l'avantage des filles sur les garçons – qui entraîne une fréquence de non-redoublement encore plus forte – aura une plage très limitée pour s'exprimer, celle comprise entre 0,90 ou 0,95 et 1.

En revanche, si, dans le système scolaire considéré, le redoublement est très fréquent, la fréquence de non-redoublement observée pour les garçons sera plus faible, de l'ordre de 0,50 ou 0,60, et l'avantage des filles sur les garçons pourra s'exprimer sur une plage beaucoup plus ample. Bref, si l'on utilisait les proportions elles-mêmes, il pourrait exister un effet « plafond ». De même, un raisonnement analogue à l'autre extrémité de l'échelle (à proximité de 0) ou

pour la fréquence de redoublement conduirait à la mise en évidence d'un éventuel effet « plancher ».

Pour le dire autrement et en relevant à l'exemple de J.-C. Combessie, nous pressentons bien qu'une même différence de proportions ne doit pas être traitée à l'identique selon qu'elle intervient au centre de l'échelle ou à l'une de ses extrémités. Par exemple, nous serions naturellement enclins à considérer comme de plus grande importance la croissance de 1 % à 10 % intervenue de $t_1$ à $t_2$ pour le taux d'admis des enfants d'origine populaire, par rapport à une même croissance de 9 points qui, à partir des 37 % initialement observés pour les enfants d'origine supérieure, les conduirait à une valeur de 46 % à la seconde date.

Or, la transformation logit permet précisément de s'affranchir de telles difficultés. En effet, si $p$ tend vers 0, logit($p$) tend vers $-\infty$; de même, si $p$ tend vers 1, logit($p$) tend vers $+\infty$. La transformation logit a donc l'intérêt de « déployer » le spectre restreint $[0; 1]$ où la proportion prend ses valeurs sur l'ensemble des nombres réels, effaçant du même coup la possible existence d'effets « plancher » ou « plafond ».

2. Quel est le lien entre la transformation logit et l'échelle logistique ? La réponse tient en une phrase : calculer la différence entre les logits associés à deux proportions n'est rien d'autre que de comparer ces deux proportions sur l'échelle logistique. En effet, il est facile d'établir les équivalences suivantes :

$$ 
\begin{align*}
\operatorname{Logit}(p_{Pt1}) &= a \Leftrightarrow p_{Pt1} = \frac{1}{1+e^{-a}} \quad \text{et} \\
\operatorname{Logit}(p_{St1}) &= a+b \Leftrightarrow p_{St1} = \frac{1}{1+e^{-(a+b)}}
\end{align*}
$$

On connaît la forme caractéristique de la fonction logistique (cf. graphique 1). La quantité a variant entre $-\infty$ et $+\infty$, $\frac{1}{1+e^{-a}}$ sera toujours compris entre 0 et 1 et prendra la valeur $\frac{1}{2}$ lorsque a vaut 0. Mais l'allure générale sera celle d'une courbe en S ou courbe sigmoïde : croissance
lente d'abord qui s'accélère progressivement jusqu'à un point d'inflexion, pour décélérer ensuite et s'essouffler progressivement.

Il s'ensuit que, conformément à ce que l'on pressentait, le même écart, sur l'axe des ordonnées, entre $p_{St1}$ et $p_{Pt1}$ correspondra à une variation b plus faible sur l'échelle des *logits* (qui figure en abscisse) lorsque les proportions comparées seront situées au centre de l'échelle [0 ; 1], que lorsqu'elles s'approcheront de l'une de ses extrémités. Ou encore, pour le dire de manière inverse et à l'aide d'un exemple, il y a la même distance logistique entre 50 % et 75 % qu'entre 75 % et 90 %<fnref n="5" />.

### 3. Pourquoi l'échelle logistique doit-elle être considérée comme l'échelle « naturelle » des proportions ?
La réponse tient encore en une phrase : elle permet de comparer des proportions variant sur l'ensemble du spectre [0 ; 1] en combinant les avantages d'échelles plus simples et plus intuitives – l'échelle multiplicative et l'échelle additive –, là où celles-ci sont pertinentes (Leridon & Toulemon, 1997, p. 236-250).

En effet, lorsque les proportions à comparer correspondent à des événements rares, il nous paraît intuitivement adapté de procéder à cette comparaison en effectuant leur rapport, c'est-à-dire en utilisant l'échelle multiplicative, mais on comprend bien que celle-ci devient problématique dès que les proportions mises en jeu sont plus importantes. De même, lorsque les fréquences à comparer ont des valeurs moyennes, c'est l'indicateur de la différence qui s'impose à nous pour cette comparaison, c'est-à-dire l'utilisation de l'échelle additive, échelle qui, à son tour, nous semble inadaptée dès que ces fréquences se rapprochent de 0 ou de 1. Enfin, dès qu'il s'agit d'événements très fréquents, c'est de nouveau l'échelle multiplicative et l'indicateur du rapport qui nous semblent adaptés, mais en considérant cette fois le complémentaire (1-p) de la proportion p.

Or, de par son caractère non linéaire, l'échelle logistique réalise une forme

de synthèse en combinant ces différentes situations car, comme l'in-diquent Leridon & Toulemon (1997, p. 246), « en pratique, l'échelle logistique est proche d'une échelle multiplicative en p si p est proche de zéro (jusqu'à 20 %), et en (1-p) si p est proche de 1 (à partir de 80 %), tandis qu'elle est presque additive pour les valeurs moyennes de p (de 30 % à 70 %) ».

C'est donc pour ces raisons que, dès 1977, Jean-Claude Deville proposait d'utiliser le taux logistique – qu'il définissait comme le logarithme de l'odds ratio – pour comparer la variation du taux d'activité féminine dans deux groupes sociaux différents, l'un des taux passant par exemple de 5 à 10 % alors que l'autre varie de 25 à 40 %. Plus récemment et en reprenant la question de l'évolution de l'inégalité des taux de scolarisation, Morel (2003) a réaffirmé que l'échelle logistique constituait un modèle acceptable, même si, selon l'auteur, il ne s'agit probablement pas d'un modèle idéal.

## L'odds ratio au cœur de la modélisation statistique des variables catégorielles

Intimement lié à l'échelle logistique et mesurant l'association statistique indépendamment des distributions marginales, l'odds ratio s'est trouvé

au cœur des développements qui, au cours du XXe siècle, ont jalonné une part substantielle des avancées en matière de modélisation des données qualitatives. Ainsi, c'est en référence à l'odds ratio que, dès 1935, le statisticien anglais Maurice Bartlett définit l'absence d'interaction du second ordre dans un tableau de contin-gence croisant trois variables dicho-tomiques.

Il s'agit de l'égalité stricte des odds ratios mesurant l'association entre deux variables à chacun des niveaux de la troisième variable : par exemple, pour reprendre les données de J.-C. Combessie, le fait que l'avant-tage des enfants d'origine supérieure sur ceux d'origine populaire pour le rapport des chances d'être admis plutôt que non admis en grammar school soit demeuré rigoureusement constant de $t_1$ à $t_2$.

Et c'est bien en référence à cette même définition de l'absence d'interaction que, lorsqu'ils disposent de plusieurs tables de mobilité sociale obtenues à des dates différentes, les sociologues de la stratification testent aujourd'hui l'hypothèse de constance du lien entre origine et position sociales, encore appelée hypothèse de constance de la fluidité sociale.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Graphique 1 : représentation graphique de la fonction logistique</figcaption></figure>

<footnote n="5">5. En effet, il est facile de vérifier que $[\logit(0,75) - \logit(0,50)]$ est égal à $[\logit(0,90) - \logit(0,75)]$ : chacune de ces deux quantités vaut Log(3).</footnote>
De même, c'est en 1944 que le physicien et statisticien Joseph Berkson établit que la fonction logistique est susceptible de produire une qualité d'ajustement aux données comparable à celle fournie par le modèle *probit*, déjà utilisé à l'époque.

Quant à l'ouvrage de David Cox, *Analysis of Binary Data*, publié en 1970 et plusieurs fois réédité ou réimprimé, il fut ensuite particulièrement influent pour diffuser la méthode connue aujourd'hui sous le nom de régression logistique : elle combine en effet les avantages de l'analyse de régression à ceux de l'échelle logistique et les paramètres qu'elle permet d'estimer entretiennent un lien direct avec les *odds ratios* établis entre variable expliquée et variables explicatives.

On mentionnera enfin la modélisation log-linéaire des tableaux de continence d'une dimension quelconque qui, sous l'impulsion notamment des travaux de Leo A. Goodman, se développe dans les années 1960 et 1970 (Bishop, Fienberg & Holland, 1975; Fienberg, 1977) : elle constitue, selon les termes mêmes de Stephen E. Fienberg (1977, p. 5), le développement le plus extensif de l'école d'analyse des tableaux de contingence fondée par Yule.

## L'odds ratio, une mesure « d'orientation rose » ?

Y a-t-il lieu de penser que l'odds ratio serait une mesure « d'orientation rose » et que la comparaison logistique serait empreinte d'une « vision enchantée » ? Il ne le semble pas. Par exemple, dans un article paru en 2003 et fondé sur une modélisation des odds ratios, Albouy & Wanecq ont mis au jour, à propos de la France, les deux résultats suivants.

D'une part, lorsque l'élite scolaire est définie en un sens large (diplôme d'une grande école ou du troisième cycle universitaire), les inégalités sociales d'accès à celle-ci ont diminué presque continûment de la génération 1919-1928 à la génération 1959-1968, malgré une quasi-stabilité entre les deux dernières générations. D'autre part, selon une définition plus stricte de l'élite scolaire (les seuls diplômes des grandes écoles), les inégalités sociales d'accès ont décliné jusqu'à la génération 1949-1958, mais ont significativement augmenté à la suivante.

De même, en suivant une méthodologie analogue, Selz & Vallet (2006) ont établi ces deux conclusions, en apparence – mais en apparence seulement – contradictoires : d'un côté, lorsqu'elles sont évaluées sur toute la

population, les inégalités d'accès aux diplômes selon l'origine sociale ont diminué entre des générations espacées d'une cinquantaine d'années ; de l'autre, en raisonnant sur les seuls diplômés du baccalauréat (ou équivalent), les inégalités d'obtention d'un diplôme de l'enseignement supérieur, en fonction de l'origine sociale, ont augmenté entre les mêmes générations.

Pour de bonnes raisons statistiques que l'on a exposées plus haut, l'analyse des données qualitatives est aujourd'hui de plus en plus fondée sur l'odds ratio et la « préférence logistique », pour reprendre ici une expression qu'utilisait J.-C. Combessie. Elle s'avère aujourd'hui capable de discerner des variations fines et différenciées comme des inflexions dans des associations statistiques dotées d'une forte inertie.

Cet article avait pour objet d'arguerenter ceci : tenir compte du rôle que, depuis George Udny Yule, l'odds ratio a joué dans l'analyse des données catégorielles, c'est-à-dire être attentif à l'histoire et à l'avancée de la méthodologie statistique, conduit effectivement le statisticien et le chercheur en sciences sociales à privilégier la statistique de l'odds ratio ou du taux logistique pour la comparaison de l'évolution de proportions. ■
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