# Le rapport mutuel des problèmes généralisés de Dirichlet et de Neumann

par Z. SZMYDT (Kraków)

Dans la note [4] j'ai démontré l'existence et l'unicité d'une solution d'un problème de Dirichlet, relatif à un domaine plan et généralisé dans ce sens que les données sur la frontière sont des distributions d'ordre fini $m$. Le problème de Neumann, généralisé d'une manière analogue, a été traité dans la note [5].

À présent nous allons démontrer que la solution du problème de Dirichlet généralisé, l'est aussi pour certain problème de Neumann généralisé et inversement (cf. le § 3, Théorème 1 et 2). Ceux résultats entraînent les Théorèmes 5 et 6 concernant les propriétés limites des fonctions analytiques (cf. le § 5). D'autre part ils permettent de démontrer l'unicité des solutions du problème traité dans [2] (cf. le Théorème 4, § 4).

La démonstration des Théorèmes 1 et 2 (cf. le § 3) sera basée sur la théorie du potentiel logarithmique exposée dans la note précédente [6].

Avertons que les notations indispensables pour la lecture de la suite sont introduites dans le § 1 de la note [6] et dans le § 1 de la présente.

**§ 1. Notations.** Admettons les notations introduites dans le § 1 de la note précédente [6].

Soit $D_m(\Sigma)$ l'espace réel de fonctions réelles $f(z) \in C^m(\Sigma)$ avec la norme définie par la formule :

$$ \|f\| = \sum_{k=0}^{m} \max_{0 \le s \le L} |\tilde{f}^{(k)}(s)|. $$

On désignera par $D'_m(\Sigma)$ l'espace dual de $D_m(\Sigma)$.

Par $D_m(\Sigma, +)$ sera désigné l'ensemble des fonctions $p$ telles que $p(z) \in D_m(\Sigma)$ et $p(z_r) = p(z)$ lorsque $z \in \Sigma$ et $0 \le r \le r_0$; $r_0$ est un nombre positif défini dans le lemme 2 de la note [6].

D'autre part soit $K_m(\Sigma, +)$ l'ensemble des fonctions $q$ ayant les propriétés suivantes: (a) $q \in C^m(\Sigma_r)$ pour chaque $0 \le r \le r_0$, (b) $\lim_{r \to 0} \tilde{q}_r^{(f)}(s) = \tilde{q}_0^{(f)}(s)$ avec $\tilde{q}_r(s) = q[z_r(s)]$, $j = 0, 1, \dots, m$ uniformément dans l'intervalle $0 \le s \le L$.
À chaque fonction $p(z)$ définie dans un domaine $D$ de la variable complexe $z$ on fait correspondre la fonction $p(x, y)$ des variables réelles $x$ et $y$ définie pour $(x, y) \in D$ par la formule

$$p(x, y) = p(z) \quad \text{lorsque} \quad z = x + iy.$$

En vertu du lemme 2 de la note [6] on peut faire la remarque suivante:

**Remarque 1.** Si $\Sigma$ et une courbe simple fermée de classe $O^{m+1}$ et $p \in D_m(\Sigma, +)$, la fonction $p(x, y)$ est de classe $O^m$ dans l'ensemble $\bar{\Omega} \setminus \Omega_{r_0}$.

Soit $p$ une fonction définie sur la courbe $\Sigma_r: z = z_r(s)^{\dagger}$. Par le symbole $\frac{\partial}{\partial s_z} p(z_r)$ on va comprendre la fonction :

$$\frac{\partial}{\partial s_z} p(z_r) = \left[ \frac{\partial}{\partial s_z} p(z) \right]_{z=z_r} = \omega'(s) \left[ \frac{\partial p(\omega, y)}{\partial \omega} \right]_{\substack{x=x_r \\ y=y_r}} + y'(s) \left[ \frac{\partial p(\omega, y)}{\partial y} \right]_{\substack{x=x_r \\ y=y_r}}$$

Similem la notation $\frac{\partial}{\partial n_z} p(z_r)$ sera employée au lieu de la notation plus précise: $\left[ \frac{\partial}{\partial n_z} p(z) \right]_{z=z_r}$.

En s'appuyant sur la Remarque 1 on démontre aisément le résultat suivant:

**Remarque 2.** Si $\Sigma$ est une courbe simple fermée de classe $O^{m+1}$ et $p \in D_m(\Sigma, +)$, la fonction $\frac{\partial p}{\partial s_z}$ appartient à la classe $K_{m-1}(\Sigma, +)$.

Supposons que $f \in O^0(\Sigma)$. On désignera par $\varphi_f(z)$ la solution de l'équation intégrale

$$(1) \qquad \int_{\Sigma} \varphi(z) \frac{\partial}{\partial n_{\zeta}} \log|z - \zeta| ds_z - \pi \varphi(\zeta) = f(\zeta)$$

et par $\chi_f(z)$ une solution quelconque de l'équation

$$(2) \qquad \int_{\Sigma} \chi_f(z) \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z - \zeta| ds_z + \pi \chi(\zeta) = f(\zeta) + c_0$$

dans laquelle la constante $c_0$ est convenablement définie. On sait bien que deux solutions quelconques de l'équation (2) ne diffèrent que par une constante.

<footnote>(1) Cf. [6], § 1, formule (1).</footnote>
## § 2. Énoncé des problèmes aux limites généralisés.

PROBLÈME $\tilde{D}$ (problème de Dirichlet généralisé). Soit donnée une distribution $F \in D'_m(\Sigma)$. Il s'agit de trouver une fonction $u$, harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$ qui vérifie la condition

$$ (3) \qquad \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Sigma_\varepsilon} p(z_\varepsilon) u(z_\varepsilon) ds_{z_\varepsilon} = F[p(z)] $$

pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$.

PROBLÈME $\tilde{N}$ (problème de Neumann généralisé). Soit donnée une distribution $B \in D'_m(\Sigma)$, un point $z_0 \in \Omega$ et une valeur réelle $v_0$. On cherche une fonction $v$, harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$, qui pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$ vérifie la condition aux limites généralisée

$$ (4) \qquad \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Sigma_\varepsilon} p(z_\varepsilon) \frac{\partial v}{\partial n_z} ds_{z_\varepsilon} = B[p] $$

et la condition

$$ (5) \qquad v(z_0) = v_0. $$

Dans la note [5] nous avons établi (2) le résultat suivant qui nous sera utile dans la suite:

Remarque 3. On obtient les problèmes équivalents aux problèmes $\tilde{D}$ et $\tilde{N}$ si l'on remplace la classe $D_m(\Sigma, +)$ qui intervient dans leurs énoncés par la classe $K_m(\Sigma, +)$.

PROBLÈME $\tilde{\tilde{D}}$. Soit donnée une distribution $B \in D'_m(\Sigma)$, un point $z_0 \in \Omega$ et une valeur réelle $u_0$. Il s'agit de trouver une fonction $u$, harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$, qui pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$ vérifie la condition aux limites généralisée:

$$ (6)] \qquad \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Sigma_\varepsilon} p(z_\varepsilon) \frac{\partial u}{\partial s_\varepsilon} ds_{z_\varepsilon} = B[p] $$

et la condition

$$ (7) \qquad u(z_0) = u_0. $$

## § 3. THÉORÈME 1. Supposons que $\Sigma$ soit une courbe simple fermée de classe $O^{m+3}$. Soit $F \in D'_m(\Sigma)$ et soit $G$ la fonctionnelle définie par la formule:

$$ (8) \qquad G[f] = F[\varphi_f] \quad \text{lorsque} \quad f \in D_m(\Sigma) $$

où $\varphi_f$ désigne la solution de l'équation (1).

<footnote>(*) Cf. [5], § 2, théorème 1 et § 6.</footnote>
Sous ces hypothèses:

(i) La fonctionnelle $G \in D'_m(\Sigma)$; la fonction

$$ (9) \qquad u(z) = G \left[ \frac{\partial}{\partial n_{\zeta}} \log|z - \zeta| \right] \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

est une seule fonction harmonique dans le domaine $\Omega$ qui vérifie la condition (3). La formule (8) définit une transformation biunivoque de l'espace $D'_m(\Sigma)$ en lui-même.

(ii) Si

$$ (10) \qquad v_p(\zeta) = \int_{\Sigma} p(z) \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z - \zeta| \, ds_z $$

et le symbole $\frac{\partial^*}{\partial n_\zeta} v_p(\zeta)$ a le sens précisé dans le § 4 de la note [6], alors la fonctionnelle :

$$ (11) \qquad \mathcal{M}[p] = G \left[ \frac{\partial^*}{\partial n_\zeta} v_p(\zeta) \right] $$

appartient à l'espace $D'_{m+2}(\Sigma)$ et la fonction $u$ vérifie les conditions :

$$ \lim_{z \to 0} \int_{\Sigma_z} p(z_\theta) \frac{\partial u}{\partial n_z} ds_{z_\theta} = \mathcal{M}[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_{m+2}(\Sigma, +), $$

$$ u(z_0) = G \left[ \frac{\partial}{\partial n_\zeta} \log|z_0 - \zeta| \right]. $$

**Démonstration.** La partie (i) du Théorème 1 résulte du théorème 5 de la note [5] (où bien du théorème de la note [4]). Il suffit donc de démontrer la partie (ii). À cet effet considérons le potentiel $v_p(\zeta)$ dû à la densité $p(z)$ de classe $O^{m+2}(\Sigma)$. En vertu du théorème 5 de la note [6] il existe les dérivées $\frac{\partial^k}{\partial s_\zeta^k} \frac{\partial^*}{\partial n_\zeta} v_p(\zeta)$ ($k = 0, 1, ..., m$) et sont continues lorsque $\zeta \in \Sigma$. Vu que $G \in D'_m(\Sigma)$, la formule (11) définit une fonctionnelle linéaire dans l'espace $D_{m+2}(\Sigma)$, qui est continue en vertu du théorème 6 de la note [6]. La fonctionnelle $\mathcal{M}[p]$ appartient donc à l'espace $D'_{m+2}(\Sigma)$.

Soit $p(z)$ une fonction quelconque de classe $D_{m+2}(\Sigma, +)$. En vertu du théorème 5 de la note [6], des relations (9) et (11) on a (³)

$$ \lim_{z \to 0} \int_{\Sigma_z} p(z_\theta) \frac{\partial u}{\partial n_z} ds_{z_\theta} = \lim_{z \to 0} G \left[ \frac{\partial}{\partial n_\zeta} \int_{\Sigma_z} p(z_\theta) \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z_\theta - \zeta| ds_{z_\theta} \right] = \mathcal{M}[p]. $$

Le théorème 1 se trouve ainsi complètement démontré.

<footnote>(³) Cf. aussi le lemme 1 de la note [2].</footnote>
### THÉORÈME 2. Supposons que $\Sigma$ est une courbe simple fermée de classe $C^{m+3}$ et que $B \in D'_m(\Sigma)$, $B[1] = 0$. Soit $H$ la fonctionnelle définie par la formule

$$ (12) \qquad H[f] = B[\chi_f(z)] \quad \text{lorsque} \quad f \in D_m(\Sigma) $$

où $\chi_f(z)$ désigne une solution quelconque de l'équation (2).

Sous ces hypothèses:

(i) $H \in D'_m(\Sigma)$, $H[1] = 0$ et la fonction

$$ (13) \qquad v(z) = H[\log|z-\zeta|] + k \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega, $$

où

$$ (14) \qquad k = v_0 - H[\log|z_0 - \zeta|] $$

est la seule fonction harmonique dans le domaine $\Omega$ qui vérifie les conditions (4) et (5). La formule (12) définit une transformation biunivoque de l'espace des distributions $B$, $B \in D'_m(\Sigma)$, $B[1] = 0$ en lui-même. La transformation inverse est donnée par la relation

$$ (15) \qquad B[p] = H[X_p] $$

où la fonction $X_p$ est définie par la formule

$$ (16) \qquad X_p(\zeta) = \pi p(\zeta) + \int_{\Sigma} p(z) \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z-\zeta| dz_z. $$

(ii) La fonctionnelle

$$ (17) \qquad K[p] = H\left[\int_{\Sigma} p(z) \log|z-\zeta| dz_z\right] + k \int_{\Sigma} p(z) dz_z $$

appartient à l'espace $D'_m(\Sigma)$ et la fonction $v(z)$ vérifie la condition aux limites généralisée

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_e} v(z_e) p(z_e) ds_{z_e} = K[p] \quad \text{pour chaque} \quad p \in D_m(\Sigma, +). $$

### Démonstration. La partie (i) du Théorème 2 résulte du théorème 2 de la note [5]. Pour démontrer la partie (ii) remarquons qu’en vertu du théorème 4 de la note [6] la fonctionnelle $K[p]$ définie par (17) appartient à l’espace $D'_m(\Sigma)$.

Soit $p(z)$ une fonction arbitraire de classe $D_m(\Sigma, +)$. En vertu du théorème 2 de la note [6] et des notations (13) et (17) on obtient (4):

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_e} p(z_e) v(z_e) ds_{z_e} = k \int_{\Sigma} p(z) ds_z + \lim_{\epsilon \to 0} H\left[\int_{\Sigma_e} p(z_e) \log|z_e - \zeta| ds_{z_e}\right] = K[p], $$

ce qui achève la démonstration du Théorème 2.

<footnote>(4) Cf. le renvoi (3).</footnote>
Les Théorèmes 1 et 2 entraînent les corollaires suivants:

**COROLLAIRE 1.** Soit $m$ un nombre entier non négatif et soit $\Sigma$ une courbe simple fermée de classe $O^{m+3}$.

Alors la solution du problème $\tilde{\mathcal{N}}$ peut être mise soit sous la forme (13) soit sous la forme

$$ (18) \qquad v(z) = G \left[ \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z-\zeta| \right] \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

où les distributions: $G \in D'_m(\Sigma)$, $H \in D'_m(\Sigma)$ et la constante $k$ sont convenablement choisies.

Chaque distribution $H \in D'_m(\Sigma)$, $H[1] = 0$ détermine la distribution $G \in D'_m(\Sigma)$ telle que:

$$ H[\log|z-\zeta|] = G \left[ \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z-\zeta| \right] \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega. $$

**Démonstration.** Soit donné le problème $\tilde{\mathcal{N}}$ (cf. le § 1). En vertu du Théorème 2 la fonction (13) est une solution de ce problème et en même temps elle l'est pour le problème $\tilde{\mathcal{D}}$ dû à la distribution $F[p] = K[p]$ où $K[p]$ est défini par la relation (17). La partie (i) du Théorème 1 assure donc l'existence d'une distribution $G \in D'_m(\Sigma)$ telle que la relation (18) soit satisfaite.

Supposons que $H \in D'_m(\Sigma)$, $H[1] = 0$. Pour achèver la démonstration du Corollaire 1 il suffit de s'appuyer sur la partie démontré ci-dessus et sur le fait que la transformation définie par la formule (12) est biunivoque.

**COROLLAIRE 2.** Soit $m$ un nombre entier non négatif et soit $\Sigma$ une courbe simple fermée de classe $O^{m+5}$.

Alors la solution $u$ du problème $\tilde{\mathcal{D}}$ peut être mise soit sous la forme (9) soit sous la forme

$$ (19) \qquad u(z) = H[\log|z-\zeta|] + k \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

où les distributions: $G \in D'_m(\Sigma)$, $H \in D'_{m+2}(\Sigma)$, $H[1] = 0$ et la constante $k$ sont convenablément choisies (5).

Chaque distribution $G \in D'_m(\Sigma)$ détermine la distribution $H \in D'_{m+2}(\Sigma)$ telle que $H[1] = 0$ et que la relation suivante est satisfaite:]

$$ H[\log|z-\zeta|] - G \left[ \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z-\zeta| \right] = \text{const} \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega. $$

<footnote>(5) La constante $k$ intervenant dans la formule (19) ne peut pas être supprimée. Pour s'en rendre compte il suffit d'examiner le problème de Dirichlet dans lequel $\Sigma$ coïncide avec la circonférence du cercle unitaire et $F[1] \neq 0$.</footnote>
La démonstration du Corollaire 2 est tout à fait analogue que celle du Corollaire 1, c'est pourquoi nous l'omettons.

Avant d'énoncer le théorème concernant l'existence d'une solution du problème $\tilde{\mathcal{D}}$ faisons la remarque suivante:

Remarque 4. Supposons que $\Sigma$ est une courbe simple fermée de classe $C^m$ ($m \ge 1$) et que $B \in D'_m(\Sigma)$, $B[1] = 0$. Alors la fonctionnelle

$$ (20) \qquad F[p] = -B \left[ \int_{\Sigma_0}^{\Sigma} \left( p(z) - \frac{|1|}{L} \int_{\Sigma} p(t) ds_t \right) ds_z \right] $$

appartient à l'espace $D'_{m-1}(\Sigma)$ et on a

$$ (21) \qquad F'[p] = -F\left[\frac{\partial p}{\partial s}\right] = B[p]. $$

**THÉORÈME 3.** Supposons que $\Sigma$ soit une courbe simple fermée de classe $C^{m+s}$ et que $B[p] \in D'_{m}(\Sigma)$, $B[1] = 0$.

Alors le problème $\tilde{\mathcal{D}}$ admet une et une seule solution $u(z)$. Elle est donnée par la formule

$$ (22) \qquad u(z) = G\left[\frac{\partial}{\partial n_{\zeta}} \log|z - \zeta|\right] + c \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

où la fonctionnelle $G$ est définie par les formules (8) et (20) et $c = u_0$ —
$$ -G\left[\frac{\partial}{\partial n_{\zeta}} \log|z_0 - \zeta|\right]. $$

Démonstration. Il est évident que la fonction $u(z)$ définie par la relation (22) est harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$ et vérifie la condition (7). D'autre part, en vertu du Théorème 1 et des Remarques 3 et 4 on a:

$$ (23) \qquad \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_\epsilon} q(z_\epsilon) u(z_\epsilon) ds_{z_\epsilon} = F[q] + c \int_{\Sigma} q(z) ds_z $$

pour chaque fonction $q \in K_{m-1}(\Sigma, +)$.

Vu la Remarque 2 on déduit de la relation (23) que

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_\epsilon} \frac{\partial p}{\partial s_z} u(z_\epsilon) ds_{z_\epsilon} = F\left[\frac{\partial p}{\partial s}\right] $$

pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$, et en vertu de (21) on obtient:

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_\epsilon} p(z_\epsilon) \frac{\partial u}{\partial s_z} ds_{z_\epsilon} = B[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_m(\Sigma, +). $$

La fonction (22) vérifie donc aussi la condition (6).
Remarquons que chaque fonction $v$, conjuguée harmonique de $u$, vérifie la condition aux limites:

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_q} p(z_q) \frac{\partial v}{\partial n_z} ds_{z_q} = B[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_m(\Sigma, +). $$

L'unicité de la solution du problème $\tilde{\mathcal{N}}$ entraîne donc celle du problème $\tilde{\mathcal{D}}$ (⁸). Le Théorème 3 se trouve ainsi complètement démontré.

**§ 4.** Dans la note [2] nous avons considéré le problème suivant:

**PROBLÈME $\tilde{\mathcal{A}}$** (⁷). Soient données les distributions $B \in D'_m(\Sigma)$ et $F \in D'_m(\Sigma)$. On cherche une fonction $v$ harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$ qui pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$ vérifie les conditions aux limites généralisées:

(24) $$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_q} p(z_q) \frac{\partial v}{\partial n_z} ds_{z_q} = B[p], $$

(25) $$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_q} p(z_q) v(z_q) ds_{z_q} = F[p]. $$

**THÉORÈME 4.** Soit $\Sigma$ une courbe simple fermée de classe $O^{m+\delta}$ et sup-
posons que $F, B \in D'_m(\Sigma)$.

Sous ces hypothèses, la condition nécessaire et suffisante pour que le problème $\tilde{\mathcal{A}}$ admette une solution $v$ c'est que

(26) $$ B[\log|z-\zeta|] - F\left[\frac{\partial}{\partial n_\zeta}\log|z-\zeta|\right] = 0 \quad \text{lorsque} \quad z \notin \Omega. $$

Si la condition (26) est satisfaite la fonction

(27) $$ v(z) = \frac{1}{2\pi} \left\{ B[\log|z-\zeta|] - F\left[\frac{\partial}{\partial n_\zeta} \log|z-\zeta|\right] \right\} \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

est la seule solution de problème $\tilde{\mathcal{A}}$.

**Démonstration.** Supposons que la condition (26) soit satisfaite. En vertu du théorème 7 de la note [3] (⁸), la fonction (27) est une solution du problème $\tilde{\mathcal{A}}$ et par conséquent vérifie la condition (25) pour chaque fonction $p$ de classe $D_m(\Sigma, +)$. Il résulte du Théorème 1 qu'une telle fonction est unique donc $v(z)$ est la seule solution du problème $\tilde{\mathcal{A}}$.

<footnote>(⁴) Cf. les conditions (5) et (7).</footnote>

<footnote>(⁷) Le problème $\tilde{\mathcal{A}}$, come nous l'avons remarqué dans la note [2] (cf. [2], p. 28) peut être considéré comme une généralisation d'un problème résolu par L. Amerio dans la note [1].</footnote>

<footnote>(⁸) $\tilde{\mathcal{A}}$ cet effet il suffit admettre que $\Sigma$ est une courbe simple fermée de classe $O^{m+\delta}$.</footnote>
Supposons maintenant que le problème $\bar{A}$ admette une solution $v(z)$. Alors évidemment $B[1] = 0$ et en vertu du Théorème 2 il existe une constante $k$ telle que

$$ (28) \qquad F[p] = H\left[\int_{\Sigma} p(z) \log|z-\zeta| ds_{\Sigma}\right] + k \int_{\Sigma} p(z) \bar{d}s_{\Sigma}, $$

où la fonctionnelle $H$ est définie par la formule (12). Choisissons arbitrairement un point $z \notin \bar{\Omega}$ et remarquons qu'en vertu des relations (28), (15) et (16) on obtient successivement:

$$ \begin{align*} (29) \quad B[\log|z-\zeta|] - F\left[\frac{\partial}{\partial n_t}\log|z-\zeta|\right] & = B[\log|z-\zeta|] - H\left[\int_{\Sigma} \log|t-\zeta| \frac{\partial}{\partial n_t} \log|z-t| \, ds_t\right] \\ & = H\left[X_{\log|z-\zeta|}(\zeta) - \int_{\Sigma} \log|t-\zeta| \frac{\partial}{\partial n_t} \log|z-t| \, ds_t\right] \\ & = H\left[\pi \log|z-\zeta| + \int_{\Sigma} \log|t-z| \frac{\partial}{\partial n_t} \log|t-\zeta| \, ds_t - \int_{\Sigma} \log|t-\zeta| \frac{\partial}{\partial n_t} \log|z-t| \, \bar{d}s_t\right]. \end{align*} $$

En s'appuyant sur le théorème de Green on déduit de la relation (29) que (9)

$$ B[\log|z-\zeta|] - F\left[\frac{\partial}{\partial n_t}\log|z-\zeta|\right] = H[0] = 0. $$

La relation (26) en résulte, car le point $z$ était choisi arbitrairement à l'extérieur de $\Omega$. Le Théorème 4 se trouve ainsi complètement démontré.

## § 5. Valeurs limites généralisées des fonctions analytiques.

### THÉORÈME 5. Soit $\Sigma$ une courbe simple fermée de classe $C^{m+8}$ ($m \ge 0$), $z_0 \in \Omega$, $B[p] \in D'_m(\Sigma)$ et $B[1] = 0$. Soit enfin $w_0 = u_0 + iv_0$ une valeur complexe quelconque.

Sous ces hypothèses il existe une et une seule fonction $w(z)$ qui est analytique à l'intérieur du domaine $\Omega$ et vérifie les conditions suivantes (10):

$$ (30) \qquad w(z_0) = w_0, $$

et

$$ (31) \qquad \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\Sigma_\epsilon} p(z_\epsilon) \frac{\partial}{\partial n_z} I[w(z_\epsilon)] ds_{z_\epsilon} = B[p] $$

pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$.

<footnote>(9) Cf. [6]: la démonstration du lemme 7 et le renvoi (15).</footnote>

<footnote>(10) $Rw$ désigne la partie réelle et $Iw$ la partie immaginaire de la fonction $w$.</footnote>
Soit $\mathcal{F}$ la fonctionnelle définie par la formule (20) et soit $\mathcal{G}[f] = \mathcal{F}[\varphi_f]$,
$H[f] = \mathcal{B}[\chi_f]$ où $\varphi_f$ et $\chi_f$ désignent les fonctions introduites dans le § 1.
Ceci admis, la fonction $w(z)$ peut être mise sous la forme suivante:

$$
(32) \quad w(z) = c + G \left[ \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z-\zeta| \right] + i \{k + H[\log|z-\zeta|]\} \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega
$$

où la constante $k$ est donnée par (14) et $c = u_0 - G \left[ \frac{\partial}{\partial n_z} \log|z_0 - \zeta| \right]$. En outre on a

$$
(33) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) w(z_\zeta) \, ds_{z_\zeta} = F[p] + iK[p] + c \int_{\Sigma} p(z) \, ds_z
\quad \text{pour chaque fonction } p \in D_m(\Sigma, +),
$$
et

$$
(34) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) \frac{\partial}{\partial n_z} w(z_\zeta) \, ds_{z_\zeta} = M[p] + iB[p] \\
\qquad \text{pour chaque fonction } p \in D_{m+1}(\Sigma, +),
$$

où K désigne la distribution donnée par la formule (17) et M celle définie
par les relations (10) et (11).

Démonstration. En vertu du Théorème 2 il existe une et une
seule fonction $v(z)$ qui est harmonique à l'intérieur du domaine $\Omega$ et véc-
rifie les conditions: $v(z_0) = v_0$ et

$$
(35) \quad \lim_{\sigma \to 0} \int_{\Sigma_\sigma} p(z_\sigma) \frac{\partial v}{\partial n_z} ds_{z_\sigma} = B[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_m(\Sigma, +).
$$

Soit

$$
(36) \quad w(z) = u(z) + iv(z) \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega
$$

où $u(z)$ est la conjuguée harmonique de $v$ telle que $u(z_0) = u_0$. Il est évident que la fonction $w(z)$ est l'unique fonction analytique dans le domaine $\Omega$ qui vérifie les conditions (30) et (31).

Remarquons qu'en vertu du Théorème 2 on a en outre:

$$
(37) \quad v(z) = H[\log|z-\zeta|] + k \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega
$$
et de plus

$$
(38) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) v(z_\zeta) ds_{z_\zeta} = K[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_m(\Sigma, +).
$$

D'autre part il découle de la définition de la fonction $u(z)$ que:
$$u(z_0) = u_0 \text{ et}$$

$$
\lim_{\sigma \to 0} \int p(z_\sigma) \frac{\partial u}{\partial s} ds_{z_\sigma} = B[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_m(\Sigma, +).
$$
En vertu du Théorème 3 la fonction $u(z)$ admet la représentation:

$$ (39) \qquad u(z) = G\left[\frac{\partial}{\partial n_z}\log|z-\zeta|\right] + o \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega $$

et le Théorème 1 entraîne les relations suivantes:

$$ (40) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) u(z_\zeta) ds_\zeta = F[p] + o \int_{\Sigma} p(z) ds_z \quad \text{pour chaque } p \in D_{m-1}(\Sigma, +), $$

$$ (41) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) \frac{\partial u(z_\zeta)}{\partial n_z} ds_{z_\zeta} = M[p] \quad \text{pour chaque } p \in D_{m+1}(\Sigma, +). $$

La relation (32) résulte immédiatement des relations (36), (37) et (39). Les relations (36), (38) et (40) entraînent l'assertion (33), tandis que (34) résulte de (36), (35) et (41). Le Théorème 5 se trouve ainsi complètement démontré.

**THÉORÈME 6.** Soit $\Sigma$ une courbe simple fermée de classe $O^{m+\delta}$ ($m \ge 0$), $z_0 \in \Omega$ et $F \in D'_m(\Sigma)$. Soit enfin $u_0$ une valeur réelle quelconque.

Sous ces hypothèses il existe une et une seule fonction $w(z)$ qui est analytique à l'intérieur du domaine $\Omega$ et vérifie les conditions suivantes:

$$ (42) \qquad R[w(z_0)] = u_0, $$

$$ (43) \quad \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} p(z_\zeta) I[w(z_\zeta)] ds_{z_\zeta} = F[p] $$

pour chaque fonction $p \in D_m(\Sigma, +)$.

Si $\Sigma$ est une courbe de classe $O^{m+\delta}$, la fonction $w(z)$ peut être mise sous la forme:

$$ w(z) = H[\log|z-\zeta|] + k + iG\left[\frac{\partial}{\partial n_z}\log|z-\zeta|\right] \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega, $$

où la distribution $G$ est donnée par la formule (8), la distribution $H$ est définie par (12) avec $B[q] = F'[\hat{q}]$ et la constante $k$ est donnée par (14).

**Démonstration.** Le Théorème 1 entraîne la première partie du Théorème 6 et la relation:

$$ (44) \qquad I[w(z)] = G\left[\frac{\partial}{\partial n_z}\log|z-\zeta|\right] \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega. $$

En vertu des Remarques 2 et 3 on déduit de la relation (43) que

$$ \lim_{\zeta \to 0} \int_{\Sigma_\zeta} q(z_\zeta) \frac{\partial}{\partial s_z} I[w(z_\zeta)] ds_{z_\zeta} = -F\left[\frac{\partial q}{\partial s}\right] = F'[q] = B[q] $$
pour chaque fonction $q \in D_{m+1}(\Sigma, +)$ et vu les relations de Cauchy-Riemann, on obtient de suite

$$ (45) \quad \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\Sigma_\varepsilon} q(z_\varepsilon) \frac{\partial}{\partial n_z} R[w(z_\varepsilon)] ds_{z_\varepsilon} = B[q] \quad \text{pour chaque } q \in D_{m+1}(\Sigma, +). $$

Il résulte du Théorème 2 et des relations (42) et (45) que

$$ (46) \quad R[w(z)] = H[\log|z - \zeta|] + k \quad \text{lorsque} \quad z \in \Omega. $$

En rapprochant les relations (44) et (46) on achève la démonstration du Théorème 6.

## Travaux cités

[1] L. Amerio, *Sull'integrazione dell'equazione $\Delta_s u - \lambda^2 u = f$ in un dominio di connessione qualsiasi*, Rend. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere 78 (1944-45)

[2] Z. Szmydt, *On a certain boundary problem for Laplace equation*, Ann. Polon. Math. 11 (1961), p. 27-48.

[3] — *Propriétés intégrales du potentiel logarithmique et ses applications*, Bull. Acad. Pol. Sci., Série des sci. math., astr. et phys., 10 (1962), p. 139-144.

[4] — *L'unicité des solutions d'un problème de Dirichlet généralisé*, Rend. Acc. Naz. Lincei, Serie VIII, 33 (1962), p. 395-400.

[5] — *Sur un problème de Neumann généralisé*, Ann. Polon. Math. 15 (1964), p. 309-325.

[6] — *L'étude de la dérivée normale du potentiel logarithmique de la double couche*, Ann. Polon. Math., ce volume, p. 15-30.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK

INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ACADÉMIE POLONAISE DES SCIENCES

Reçu par la Rédaction le 25. 9. 1964