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BLAISE PASCAL

NIKOLAY V. SOLODOV

Cohomologies bivariantes de type cyclique

Volume 12, n°1 (2005), p. 41-78.

<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2005__12_1_41_0>

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Cohomologies bivariantes de type cyclique

Nikolay V. Solodov

## Résumé

In the article we propose a construction of bivariant cohomology of a couple of chain complexes with periodicities. In this way we obtain definitions of bivariant dihedral and bivariant reflective cohomology of an algebra A. Bivariant cyclic and quaternionic cohomologies appear as particular cases of this construction. The case of 2 invertible in the ground ring is studied particularly.

Dans cet article nous proposons une définition de la cohomologie bivariante pour une paire de complexes de chaînes avec périodicités. De cette manière nous obtenons la notion de cohomologie bivariante diédrale et celle de cohomologie bivariante réflexive d'une algèbre. Les cohomologies bivariantes cyclique et quaternionique apparaissent comme des cas particuliers de cette construction. Le cas où 2 est inversible dans l'anneau de base est détaillé.

## Introduction

Soient $A$ et $A'$ deux algèbres unitaires, $\mathcal{B}(A)$ et $\mathcal{B}(A')$ leurs bicomplexes cycliques standards (voir [15]). Dans [8] J. D. Jones et Chr. Kassel définissent la cohomologie cyclique bivariante $\text{HC}^*(A, A')$ comme l'homologie du complexe des morphismes gradués $\text{Hom}_S(\mathcal{B}(A), \mathcal{B}(A'))$ qui commutent avec l'opérateur de périodicité $S$ (voir [15] ou §3.1).

Rappelons que l'on dit que les morphismes des complexes

$$f : (M_*, d) \to (M'_*, d'), \quad \nabla : (M'_*, d') \to (M_*, d),$$

et l'homotopie $h$ de $M_*$ forment une rétraction par déformation du complexe $(M_*, d)$ vers le complexe $(M'_*, d')$, si

$$f \circ \nabla = \text{id}_{M'}, \quad \nabla \circ f = \text{id}_M + dh + hd$$
(voir ci-dessous ou, par exemple, [10]). Nous l'écrivons symboliquement

$$ (M'_*, d') \stackrel{f}{\underset{\nabla}{\rightleftharpoons}} (M_*, d; h) \qquad (0.1) $$

Supposons que $(M_*, d)$ et $(M'_*, d')$ soient des $S$-complexes, c'est-à-dire qu'ils possèdent des opérateurs de périodicité de type $S$ (voir [8] pour les détails). On dit que la rétraction (0.1) est $S$-compatible si $f, \nabla$ et $h$ commutent avec les opérateurs de périodicité. Dans [9] il est montré que dans ce cas, pour tout $S$-complexe $L$, on a des isomorphismes

$$ \begin{aligned} H_*(\operatorname{Hom}_S(M_*, L_*)) &\cong H_*(\operatorname{Hom}_S(M'_*, L_*)), \\ H_*(\operatorname{Hom}_S(L_*, M_*)) &\cong H_*(\operatorname{Hom}_S(L_*, M'_*)). \end{aligned} $$

Dans le même article, Chr. Kassel construit des rétractions par déformation $S$-compatibles entre les complexes cycliques $\mathcal{B}$, $\bar{\mathcal{B}}$ et $\mathcal{CC}$ (les notations sont ici celles de [15]). Ceci montre que la cohomologie bivariante cyclique peut être définie indifféremment par

$$ \begin{aligned} HC^n(A, A') &= H_{-n}(\operatorname{Hom}_S(\mathcal{B}(A), \mathcal{B}(A')) \cong \\ H_{-n}(\operatorname{Hom}_S(\bar{\mathcal{B}}(A), \bar{\mathcal{B}}(A')) \cong H_{-n}(\operatorname{Hom}_S(\mathcal{CC}(A), \mathcal{CC}(A))). \end{aligned} \qquad (0.2) $$

Signalons que dans [6] et [7], P. Gurrola développe une théorie analogue pour l'homologie quaternionique.

Notre article s'inscrit en filiation des articles [8], [10] et [7]. Nous proposons une définition générale de la cohomologie bivariante d'un complexe avec périodicités. Les cohomologies bivariante cyclique de [8] ou quaternionique de [6] apparaissent comme des cas particuliers de notre construction. Nous détaillons le cas diédral et réflexif.

Dans le cas où 2 est inversible dans l'anneau de base, ces constructions se simplifient. En particulier, il existe une rétraction par déformation du tri-compexe diédral (voir §2.3) vers le bicomplexe cyclique, mais cette rétraction n'est pas $S$-compatible. Nous ne pouvons donc pas en déduire de définitions analogues à (0.2) pour la cohomologie bivariante diédrale. En effet,

$$ HD^*(A, B) \cong HC^*(A, B) \oplus HC^*(A, B) $$

(voir le théorème 3.24 et le corollaire 3.25) ce qui est, grossièrement dit, deux fois plus grand que prévu.
L'étude des morphismes de complexes de type cyclique (diédraux, quaternioniques et réflexifs) nous permet de construire des suites exactes reliant ces homologies bivariantes (voir le théorème 3.26 et le corollaire 3.28).

Décrivons brièvement le contenu du texte.

Dans une première partie, nous fixons les notations, formulons le lemme de perturbation et étudions quelques cas particuliers.

Dans une deuxième partie, nous écrivons d'une manière uniforme les rétractionss entre les complexes correspondants pour les homologies de type cyclique: cyclique, quaterniomique, diédrale et réflexive.

Dans une troisième partie nous introduisons la notion de complexes avec périodicités et la notion de cohomologie bivariante d'une paire de tels complexes. Comme cas particuliers nous obtenons les définitions des cohomologies bivariantes diédrale et réflexive. Nous considérons le cas où 2 est inversible dans l'anneau de base et nous construisons les suites exactes longues pour les cohomologies bivariantes de type cyclique.

Ce texte constitue une partie d'un travail effectué à l'Université Lomonosov de Moscou sous la direction du Professeur Yurii Petrovich Soloviev. En septembre 2003 Yu. P. Soloviev est mort subitement et je dédie cette article à sa mémoire.

L'article a été rédigé durant mon séjour à l'Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand). Ce séjour a été financé par le CNRS dans le cadre d'un jumelage franco-russe. Je tiens à remercier le CNRS ainsi que les membres du Département de Mathématiques de l'Université Blaise Pascal particulièrement le Professeur Thierry Lambre pour ce séjour fructueux.

Plan du texte.

1. Lemme de perturbation.

2. Homologies de type cyclique.

3. Théorie bivariante.

# 1 Lemme de perturbation

Commençons par préciser le langage des “rétractionss que nous utilisons dans la suite.

**Définition 1.1:** Soit $M = (M_*, d^M)$ et $L = (L_*, d^L)$ deux complexes de chaînes. On dit que les morphismes des complexes $f$, $\nabla$ et l'homotopie $h$

$$f : (M_*, d^M) \to (L_*, d^L), \quad \nabla : (L_*, d^L) \to (M_*, d^M), \quad h : M_* \to M_{*+1}$$
définissent une rétraction par déformation si les conditions suivantes sont
satisfaites:

$$
f \circ \nabla = \mathrm{id}_L, \quad \nabla \circ f = \mathrm{id}_M + dh + hd.
$$

On l’écrit symboliquement sous la forme suivante

$$
(L_*, d^L) \xleftarrow{f} (M_*, d^M; h).
$$

Dans cette situation on dit que le complexe $(L_*, d^L)$ est une contraction du complexe $(M_*, d^M)$.

Nous disons que le complexe $(M_*, d^M)$ est contractible, s'il existe une homotopie $h : M_* \to M_{*+1}$, telle que $hd + dh = \text{id}$.

Une rétraction par déformation est dite spéciale si elle satisfait les condi-
tions supplémentaires suivantes

$$
h\nabla = 0, \quad fh = 0, \quad hh = 0. \tag{1.1}
$$

Toute rétraction par déformation peut être modifiée en une rétraction par
déformation spéciale. En effet, il suffit de remplacer $h$ par $h(dh + hd)$ pour
satisfaire la première condition, par $(dh+hd)h$ pour satisfaire la deuxième et
par $hdh$ pour la troisième. Rappelons sans démonstration l'énoncé du *lemme
de perturbation* ([5], [10]).

**Lemme 1.2: Soit**

$$
(L_*, d^L) \xleftarrow{f} (M_*, d^M; h)
$$

une rétraction par déformation spéciale et soit $\delta$ un endomorphisme de degré
$-1$ du module gradué $M_*$ tel que

$$
1. (d^M + \delta)^2 = 0;
$$

2. pour tout $x \in M$ il existe un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $(\delta h)^m(x) = 0$ (condition de nilpotence locale).

On pose

$$
\sigma = \sum_{i \ge 0} (-\delta h)^i
$$
$$
\hat{d}^L = d^L + f\sigma\delta\nabla, \quad \hat{h} = h\sigma, \quad \hat{f} = f\sigma, \quad \hat{\nabla} = \nabla - h\sigma\delta\nabla.
$$

Alors le diagramme

$$
(L, \hat{d}^L) \xleftarrow{\hat{f}} (M, d^M + \delta; \hat{h})
$$
est une rétraction par déformation spéciale.

**Remarque 1.3:** La condition 2 montre que l'expression $\sigma$ a toujours un sens.

Soit $(X_*, d)$ un complexe de chaînes, tel que le module gradué $X_*$ admette une décomposition en somme directe $X_* = X'_* \oplus X''_*$. Alors la différentielle $d$ peut être représentée par une matrice

$$d = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}.$$

Citons, toujours sans démonstration, deux énoncés voisins de l'énoncé du lemme de perturbation. Le lemme ci-dessous est analogue au lemme 2.1.6 de [15].

**Lemme 1.4:** Avec les notations qui précèdent, on suppose que $(X''_*, \delta)$ est un complexe contractible, c'est-à-dire $\delta$ satisfait que $\delta^2 = 0$ et que

$$h : X''_* \to X''_{*+1}$$

satisfait $h\delta + \delta h = id$.

Alors les morphismes de complexes $\nabla$ et $f$ définis respectivement par les matrices

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -h'\gamma \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad (1, -\beta h')$$

et l'homotopie $h' = h\delta h$ forment une rétraction par déformation spéciale

$$(X'_*, \alpha - \beta h'\gamma) \xleftarrow{f} (X_*, d; h').$$

Supposons que le module $X_*$ soit muni d'une filtration croissante, bornée inférieurement $F_*X$, ce qui signifie que

$$0 = F_0 X \subset F_1 X \subset \dots \quad \text{et} \quad \bigcup_n F_n X = X.$$

Supposons de plus, que la différentielle du complexe $(X_*, d) = (X'_* \oplus X''_*, d)$ soit représentée sous la forme matricielle suivante

$$d = \begin{pmatrix} d_1 + \alpha & 0 \\ \gamma & d_2 + \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}.$$
On suppose que le premier facteur préserve la filtration, c'est-à-dire

$$ \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{pmatrix} : F_n X \to F_n X $$

et que le second diminue la filtration, c'est-à-dire

$$ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} : F_n X \to F_{n-1} X. \qquad (1.2) $$

Le lemme ci-dessous est analogue au lemme 1.3 de [13].

**Lemme 1.5:** Avec les notations qui précèdent, on suppose que $d_1$ et $d_2$ sont telles que $d_1^2 = d_2^2 = 0$, c'est-à-dire que $(X'_*, d_1)$ et $(X''*, d_2)$ sont des complexes de chaînes. Supposons que $(X''*, d_2)$ est contractible d'homotopie contractante $h$. Alors on a la rétraction par déformation spéciale

$$ (X'_*, d_1 + \alpha) \xleftarrow{f} \xrightarrow{\nabla} (X_*, d; \hat{h}), $$

où, en ayant posé

$$ \sigma = \sum_{i \ge 0} (-\delta h)^i, $$

les morphismes $f, \nabla$ et l'homotopie $\hat{h}$ sont donnés par les matrices

$$ (1, 0), \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -h\sigma\gamma \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -h\sigma \end{pmatrix} \qquad (1.3) $$

respectivement.

**Remarque 1.6:** On peut remplacer la condition (1.2) par la condition plus faible suivante: $\delta$ diminue la filtration, c'est-à-dire

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \delta \end{pmatrix} : F_n X \to F_{n-1} X. $$
# 2 Homologies de type cyclique

## 2.1 Homologie de Hochschild

Soit $A$ une algèbre unitaire sur l'anneau commutatif $k$. Dans la suite on note par $A^{\otimes n}$ la $n$-ième puissance tensorielle de $A$ et par

$$ (a_0, a_1, \dots, a_n) = a_0 \otimes a_1 \otimes \dots \otimes a_n \in A^{\otimes n+1} $$

un monôme de $A^{\otimes n+1}$.

L'homologie de Hochschild $HH_*(A)$ de l'algèbre $A$ est définie comme l'homologie du complexe $(C_*(A), b)$ avec $C_n(A) = A^{\otimes n}$ et

$$ b(a_0, a_1, \dots, a_n) = \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i (a_0, \dots, a_{i-1}, a_i \cdot a_{i+1}, \dots, a_n) + (-1)^n (a_n \cdot a_0, a_1, \dots, a_{n-1}). \quad (2.1) $$

Un monôme $(a_0, a_1, \dots, a_n)$ est dit dégénéré s'il existe $i > 0$ tel que $a_i = 1$. Les monômes dégénérés forment un sous-complexe contractible $\mathcal{D}_*(A)$ de $C_*(A)$, c'est-à-dire qu'il existe un opérateur d'homotopie

$$ h: C_*(A) \to C_{*+1}(A), $$

tel que $hb + bh$ est égal à l'identité sur les monômes dégénérés, et $hb + bh$ est nul sur les monômes non-dégénérés (voir [2]).

L'homologie de Hochschild est donc également l'homologie du complexe normalisé $(\bar{C}_*(A), b)$ avec $\bar{C}_n(A) = C_n(A)/\mathcal{D}_n(A) \cong A \otimes (A/k)^{\otimes n}$.

Soit $(\mathrm{Bar}_*(A), b')$ la bar-résolution de $A$, où $\mathrm{Bar}_n(A) = A^{\otimes (n+2)}$ et

$$ b'(a_1, a_2, \dots, a_n) = \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} (a_1, \dots, a_{i-1}, a_i \cdot a_{i+1}, \dots, a_n), $$

alors

$$ (C_*(A), b) = (A \otimes_{A \otimes A^{op}} \mathrm{Bar}_*(A), \mathrm{id} \otimes b') $$

et donc $HH_*(A) = \mathrm{Tor}_n^{A \otimes A^{op}}(A, A)$.

De même,

$$ (\bar{C}_*(A), b) = (A \otimes_{A \otimes A^{op}} \overline{\mathrm{Bar}}_*(A), \mathrm{id} \otimes b'), $$

où $\overline{\mathrm{Bar}}_n(A) = A \otimes \bar{A}^{\otimes n} \otimes A$.
## 2.2 Homologie cyclique

Dans la suite, homologie de bi(tri)complexe, signifie homologie du complexe total correspondant.

**Définition 2.1:** L'homologie cyclique $HC_*(A)$ de l'algèbre $A$ est l'homologie du bicomplexe $CC(A)$ ci-dessous:

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Dans ce bicomplexe les applications $t$ et $N$ sont respectivement définies par

$$t(a_0, a_1, \dots, a_n) = (-1)^n (a_n, a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) \quad \text{et}$$

$$N = 1 + t + t^2 + \dots + t^n.$$

Les colonnes paires de $CC(A)$ sont formées à partir des bar-résolutions augmentées (augmentation $A \otimes A \to A$ est multiplication de $A$), qui sont contractibles. L'opérateur

$$s(a_0, a_1, \dots, a_n) = (1, a_0, a_1, \dots, a_n)$$

définit leur homotopie contractante. Afin d'éliminer les parties contractibles évidentes du complexe $CC(A)$ utilisons le lemme 1.4 pour le complexe $X_* = CC(A)$ pour lequel les complexes $X'_*$ et $X''_*$ sont respectivement constitués des colonnes impaires et paires de $CC(A)$. On obtient la déformation par rétraction spéciale

$$(\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A), b, \hat{B}) \stackrel{J}{\underset{I}{\rightleftharpoons}} (\mathcal{C}\mathcal{C}(A); S),$$

où $\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A)$ est formé à partir des colonnes paires de $CC(A)$ et

$$\hat{B} = -(1-t)sb'sN = -sN + tsN - (1-t)s^2b'N. \qquad (2.2)$$
Les opérateurs $I$, $J$ et $S$ sont définis à partir de formules du lemme 1.4.

Remarquons que les éléments dégénérés forment dans $\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A)$ un sous-
complexe $\mathcal{D}\mathcal{C}(A)$. Vérifions pour cela que $\hat{B}$ envoie éléments dégénérés sur
éléments dégénérés. Soit $a = (a_0, a_1, \cdots, a_n)$ un élément dégénéré, alors
chaque monôme de $sN(a)$ a au moins deux composantes unitaires. Par con-
séquent il en est de même pour $sb'sN(a)$. Chaque monôme de $(1-t)sb'sN(a)$
contient donc au moins un coefficient $a_i$ égal à 1, où $i \ge 2$, ce qui montre que
chaque monôme de $(1-t)sb'sN(a)$ est dégénéré.

Les colonnes du complexe $\mathcal{D}\mathcal{C}(A)$ sont contractibles (voir §2.1). Par conséquent il en est de même pour $\mathcal{D}\mathcal{C}(A)$.

En appliquant le lemme 1.5 avec $X_* = \hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A)$, $X''_* = \mathcal{D}\mathcal{C}(A)$ et $d_1 = d_2 = b$, on voit que le complexe normalisé $(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), b, B)$ est une contraction du complexe $\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A)$.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Ce complexe $\mathcal{B}\mathcal{C}(A)$ est constitué d'éléments non-dégénérés. La différentielle $B$ est la restriction de $\hat{B}$ aux éléments non-dégénérés. Les images des opérateurs $ts$ et $s^2$ sont toujours dégénérées, donc $B = -sN$ (voir (2.2)) s'écrit

$$
B(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = - \sum_{i=0}^{n} (-1)^i 1 \otimes a_i \otimes a_{i+1} \cdots \otimes a_n \otimes a_0 \otimes a_1 \cdots \otimes a_{i-1}.
$$

Nous avons démontré

**Théorème 2.2:** *Le complexe $\mathcal{B}\mathcal{C}(A)$ est une contraction du complexe $\mathcal{C}\mathcal{C}(A)$.*
où $(A^*, b)$ et $(A^*, b')$ désignent respectivement le complexe de Hochschild $C_*(A)$ et la bar-résolution augmentée. On note $HD_*^+(A) = H_*(\mathrm{Tot} \, \mathcal{CD}^+)$.

Les plans horizontaux de $\mathcal{CD}^+(A)$ sont tous (au signe près) le bicomplexe cyclique $\mathcal{CC}(A)$. Les morphismes “verticaux” $y$ et $yt$ sont les “réflexions” des éléments de $A^{\otimes n}$, ce qui correspond à la présentation de $D_n$ comme produit semi-direct $D_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$.

Le plan de $\mathcal{CD}^+(A)$ formé à partir de $A^{\otimes n}$ constitue une résolution de $D_n$ à coefficients dans $A^{\otimes n}$. Remarquons que les groupes diédraux n'ont pas en général de résolution périodique et il convient de représenter leurs résolutions en forme de bicomplexes.

Si on remplace partout dans $\mathcal{CD}^+(A)$ l'opérateur $y$ par $-y$, on obtient un tricomplexe noté $\mathcal{CD}^-(A)$. L'homologie de $\mathcal{CD}^-(A)$ s'appelle l'homologie diédrale négative de $A$. On réunit $\mathcal{CD}^+(A)$ et $\mathcal{CD}^-(A)$ dans un tricomplexe

$$ \mathcal{CD}(A) = \mathcal{CD}^+(A) \oplus \mathcal{CD}^-(A) $$

appelé le tricomplexe diédral.

Introduisons le bicomplexe suivant, noté $\mathcal{CQ}(A)$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Les colonnes de $\mathcal{CQ}(A)$ se répètent de 4 en 4. Les premières et les quatrièmes colonnes sont formées respectivement à partir du complexe de Hochschild $C_*(A)$ et à partir de la bar-résolution augmentée $\mathrm{Bar}_*^+(A)$. Les deuxièmes et les troisièmes colonnes sont (au signe de la différentielle près) les sommes directes $C_*(A) \oplus \mathrm{Bar}_*^+(A)$. Les différentielles horizontales de $\mathcal{CQ}(A)$ se représentent matriciellement par

$$ \theta = (1-t, 1-y), \quad \sigma = \begin{pmatrix} N & 1+yt \\ -(1+y) & t-1 \end{pmatrix}, \quad \phi = \begin{pmatrix} 1-t \\ yt-1 \end{pmatrix}. $$

Enfin pour $a \in A^{\otimes n}$

$$ N_Q(a) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{n} y^i t^j(a) = \sum_{g \in Q_n} g(a). $$
sont définis par les matrices suivantes. Désignons par $[m]$ la partie entiere de
$m$.

$J_n$ est la matrice à $\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor + 1$ lignes et $n+1$ colonnes ci-dessous

$$
\begin{pmatrix}
1 & (t-1)\tilde{s} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & (t-1)\tilde{s} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & u \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & v
\end{pmatrix}
$$

avec $u = 1, v = (t-1)\tilde{s}$ si $n$ est impair et $u = 0, v = 1$ sinon.

$I_n$ est la matrice à $n+1$ lignes et $\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor + 1$ colonnes

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -\tilde{s}N & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\tilde{s}N & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & u & v \\
0 & 0 & 0 & \cdots & w & x
\end{pmatrix}
$$

avec $u = 0, w = 0, v = -\tilde{s}N, x = 1$ si $n$ est pair et $u = 1, v = 0, w = 0, x = -\tilde{s}N$ sinon.

$S_n$ est la matrice à $n+2$ lignes et $n+1$ colonnes

$$
S_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 & \tilde{s} \\ 0 & 0 \\ 0 & \tilde{s} \\ 0 & \ddots \\ \vdots & \vdots & u \\ 0 & \ddots & 0 \end{pmatrix} \qquad S_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},
$$

avec $u = 0$ si $n$ est paire et $u = \tilde{s}$ sinon. Détaillons les raisonnements pour
le complexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$.

Le tricomplexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$ est constitué à partir de bicomplexes plans $\mathcal{C}\mathcal{C}(A)$.
Notons $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)_{[i]}$ le plan de cote $i$ du tricomplexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$. Le bicomplexe
$\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)_{[i]}$ est égal au bicomplexe $\mathcal{C}\mathcal{C}(A)$. Les différentielles de $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$ entre
les plans $\mathcal{C}\mathcal{D}^+(A)_{[i]}$ et $\mathcal{C}\mathcal{D}^+(A)_{[i-1]}$ sont construites à partir des applications $1 \pm y$ et $1 \pm yt$. Notons $d^+$ la différentielle totale du tricomplexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^+(A)$.

Introduisons un tricomplexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A)$ dont le plan $\mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A)_{[i]}$ de cote $i$ est égal au bicomplexe $\mathcal{C}\mathcal{C}(A)$ et dont les différentielles entre les plans de cote $i$ et $i-1$ sont toutes nulles. Introduisons un tricomplexe $\mathcal{B}\mathcal{D}^\circ(A)$ dont le plan $\mathcal{B}\mathcal{D}^\circ(A)_{[i]}$ de cote $i$ est égal au bicomplexe $\mathcal{B}\mathcal{C}(A)$ et dont les différentielles entre les plans $\mathcal{B}\mathcal{C}$ sont également nulles. Par juxtaposition sur chaque plan de cote $i$ de la rétraction (2.3), on obtient une rétraction par déformation spéciale

$$ \mathcal{B}\mathcal{D}^\circ(A) \xrightarrow{\substack{J^\circ \\ I^\circ}} \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A); S^\circ. $$

Les opérateurs

$$ I_n^\circ : \mathrm{Tot}_n \mathcal{B}\mathcal{D}^\circ(A) \to \mathrm{Tot}_n \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A), \quad J_n^\circ : \mathrm{Tot}_n \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A) \to \mathrm{Tot}_n \mathcal{B}\mathcal{D}^\circ(A) $$

et $S_n^\circ : \mathrm{Tot}_n \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A) \to \mathrm{Tot}_{n+1} \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A)$ sont représentés par les matrices composées des blocs

$$ \begin{pmatrix} I_n & 0 & & & \\ & I_{n-1} & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & I_0 & 0 \\ & & & & I_0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} J_n & & & & \\ 0 & J_{n-1} & & & \\ & 0 & \ddots & & \\ & & \ddots & J_0 & \\ & & & 0 & \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} S_n & & & & \\ 0 & S_{n-1} & & & \\ & 0 & \ddots & & \\ & & \ddots & S_0 & \\ & & & 0 & \end{pmatrix} $$

respectivement. Les matrices ne sont pas carrées par blocs. Tous les blocs hors de la diagonale principale sont nuls.

La différentielle de $\mathcal{C}\mathcal{D}^+(A)$ entre les plans de cote $i$ et $i-1$ peuvent être vues comme une perturbation $\Delta$ de la différentielle totale $d^\circ$ de $\mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A)$, c'est-à-dire qu'on a

$$ (\mathrm{Tot} \, \mathcal{C}\mathcal{D}^+(A), d^+) = (\mathrm{Tot} \, \mathcal{C}\mathcal{D}^\circ(A), d^\circ + \Delta). $$

La perturbation $\Delta_n : \mathcal{C}\mathcal{D}_{n+1}^\circ(A) \to \mathcal{C}\mathcal{D}_n^\circ(A)$ correspond à la matrice

$$ \Delta_n = \begin{pmatrix} 0 & \delta_n & & & \\ & 0 & \delta_{n-1} & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & \delta_0 \\ & & & & \Delta_0 \end{pmatrix}, $$
une composition des monômes contenant au minimum une unité. Chaque
bloc de (2.4) est une composition qui commence par $J_n\delta_n$. Il en résulte que
les composantes de chaque bloc non nul de la matrice (2.4) sont des sommes
de compositions de la forme

$$
j \circ q \circ r, \tag{2.5}
$$

où *j* désigne une composante de la matrice *J*<sub>*m*</sub>, *q* désigne une composante
de la matrice *δ*<sub>*m*</sub> et *r* désigne le reste. Il est facile de voir que *r*(*x*), où *x* est
un élément dégénéré contient déjà une unité. Les seuls cas possibles pour les
compositions élémentaires (2.5) sont les suivants.

* Soit *j* une composante d'une colonne paire de la matrice *J*<sub>*m*</sub> (la numéro-
tation des colonnes commence par 1), alors la composition commence
par (1 − *t*)*til* et par conséquent le résultat contient deux unités au mi-
nimum, donc il est dégénéré.

* Soit *j* une composante d'une colonne impaire de la matrice *J*<sub>*m*</sub>; consid-
érons un bloc de la première sur-diagonale. Alors ce bloc s'écrit comme
*J*<sub>*n*</sub>*δ*<sub>*n*</sub>*I*<sub>*n*</sub>. Par conséquent, toute la composition (2.5) est égale à (1 ± *y*),
qui envoie des éléments dégénérés dans des éléments dégénérés.

* Soit *j* une composante d'une colonne impaire de la matrice *J*<sub>*m*</sub>; con-
sidérons un bloc d'une sur-diagonale plus haute que la première sur-
diagonale. Alors l'opérateur *S*<sub>*n*</sub> (qui a des composantes impaires nulles)
suit *δ* dans la composition (2.5). Donc le résultat est zéro.

En appliquant le lemme 1.4 nous obtenons la rétraction par déformation

$$
(BD^{+}(A), b + \hat{B}, \hat{\Delta}) \iff (BD^{\circ}(A), b + \hat{B}, \hat{\Delta}; \hat{h}),
$$

où $\mathcal{BD}^+(A)$ désigne le quotient de $\mathcal{BD}^\circ(A)$ par $\mathcal{DD}^\circ(A)$.

Revenons à la structure explicite de $\hat{\Delta}$. Après la normalisation, toutes les composantes de la matrice (2.4) sauf celles de la première sur-diagonale deviennent nulles. En effet, on a

$$
J_n \delta_n S_{n-1} = \begin{pmatrix} 0 & -(1-t)\tilde{s}(1 \pm y)\tilde{s} & 0 \\ 0 & -(1-t)\tilde{s}(1 \mp y)\tilde{s} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} = 0.
$$

Dans ce calcul et avec les notation du lemme 1.4, on a utilisé la relation
$h' = h - hd^2$ et les relations $ys = syt$ et $s^2 = 0$. En dehors de la première
sur-diagonale, la composition $J_n \delta_n S_{n-1}$ apparaît dans chaque bloc.
La première sur-diagonale est constituée à partir des blocs $J_n \delta_n I_n$. La matrice $J_n \delta_n I_n$ est carrée d'ordre $\lceil \frac{n+1}{2} \rceil + 1$ avec les composantes diagonales $(1 \pm y)$. Les autres composantes ont la forme

$$ (1-t)\tilde{s}(\pm y-1)\tilde{s}N = 0. $$

Dans cette dernière égalité nous avons utilisé le fait que $\tilde{s} = s$ et qu'une composition de $t$, $N$, $y$ et $s$ qui contient deux fois $s$ est nulle, après normalisation. En conclusion $J_n \delta_n I_n$ est une matrice diagonale

$$ J_n \delta_n I_n = \operatorname{diag}\{(1 \pm y), (1 \mp y), (1 \pm y), \dots \}. $$

Puisque la composition de deux rétractions par déformation est une rétraction par déformation, le complexe

$$ \mathcal{B}\mathcal{D}^{+}(A) : \quad (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{+}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, -b, -B) \stackrel{\tilde{\omega}^{-}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{+}}{\leftrightarrow} \dots $$

est une contraction du complexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$. Les multicomplexes qui ne diffèrent que par des signes des différentielles sont isomorphes (voir [4]); nous pouvons donc changer les signes des différentielles dans les plans $(\mathcal{B}\mathcal{C}_{*,*}, -b, -B)$. Pour que le carré de la différentielle du complexe total reste nul, il faut changer aussi les signes des différentielles horizontales. Nous avons prouvé le théorème suivant.

**Théorème 2.6: Le complexe**

$$ \mathcal{B}\mathcal{D}^{+}(A) : \quad (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{+}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{-}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{+}}{\leftrightarrow} \dots, $$

est une contraction du complexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{+}(A)$. D'une manière analogue, le complexe

$$ \mathcal{B}\mathcal{D}^{-}(A) : \quad (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{-}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{+}}{\leftrightarrow} (\mathcal{B}\mathcal{C}, b, B) \stackrel{\tilde{\omega}^{-}}{\leftrightarrow} \dots. $$

est une contraction du complexe $\mathcal{C}\mathcal{D}^{-}(A)$.

Les différentielles $\omega_{i,j}^{+}, \omega_{i,j}^{-} : \mathcal{B}\mathcal{C}_{i,j}(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}_{i,j}(A)$, $i \ge, j \ge 0$ sont données par

$$ \omega_{i,j}^{+} = (-1)^{i+j}(1 - (-1)^{i}y) \quad \text{et} \quad \omega_{i,j}^{-} = (-1)^{i+j}(1 + (-1)^{i}y) $$

respectivement.
## 2.5 Le complexe quaternionique $\mathcal{B}Q$

Avec les notations du paragraphe 2.3 considérons le complexe $\mathcal{Q}_{*,*}(A)$

$$(A^{\otimes*}, b) \stackrel{\theta}{\leftarrow} (A^{\otimes*}, -b') \oplus (A^{\otimes*}, -b) \stackrel{\sigma}{\leftarrow} (A^{\otimes*}, b) \oplus (A^{\otimes*}, b') \stackrel{\phi}{\leftarrow} (A^{\otimes*}, -b')$$

qui constitue “la période” du complexe $\mathcal{C}Q(A)$. Reécrivons-le sous la forme suivante

$$\mathcal{C}_*(A) \oplus -\mathcal{C}_*(A)[1] \oplus -\mathrm{Bar}_*(A)[1] \oplus \mathrm{Bar}_*(A)[2] \oplus \mathcal{C}_*(A)[2] \oplus -\mathrm{Bar}_*(A)[3],$$

où $X[n]_*$ désigne la n-ième suspension du complexe $X_*$, c'est-à-dire $X[n]_k = X_{k-n}$. Le signe “-” avant un complexe signifie le changement de signe de différentielle. Ainsi la différentielle de $\mathcal{Q}(A)$ peut être représenté par la matrice

$$d_Q: \begin{pmatrix} b & 1-y & 1-t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -b & 0 & t-1 & -1-y & 0 \\ 0 & 0 & -b' & 1+yt & N & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b' & 0 & yt-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 1-t \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b' \end{pmatrix}$$

(voir les notations dans les §§2.2 et 2.3). Soit $d$ la partie diagonale de $d_Q$

$$d = \mathrm{diag}\{b, -b, -b', b', b, b'\}$$

et $\delta = d_Q - d$. Appliquons le lemme de perturbation 1.2 pour la perturbation $\delta$ et la rétraction par déformation spéciale

$$(\mathcal{Q}'(A), b) \stackrel{f}{\leftarrow} \stackrel{\nabla}{\rightarrow} (\mathcal{Q}(A), d; S),$$

où

$$\mathcal{Q}' = \mathcal{C}_*(A) \oplus -\mathcal{C}_*(A)[1] \oplus \mathcal{C}_*(A)[2]$$

et les opérateurs $S, f, \nabla$ sont donnés par les matrices

$$\begin{pmatrix} 0 & & & & & \\ & -\tilde{s} & & & & \\ & & -\tilde{s} & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & -\tilde{s} & \\ & & & & & \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$
respectivement. Comme précédemment, on pose $\tilde{s} = sb's$.

La matrice $S\delta$ est triangulaire supérieure stricte, donc la condition de nilpotence locale est satisfaite. Nous obtenons la rétraction par déformation spéciale

$$ (\mathcal{Q}'(A), b + \hat{\delta}) \xleftarrow{\hat{f}} (\mathcal{Q}(A), d_Q; \hat{S}) \qquad (2.6) $$

avec

$$ \hat{S} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\tilde{s} & \tilde{s}(1+yt)\tilde{s} & 0 & -\tilde{s}(1+yt)\tilde{s}(yt-1)\tilde{s} \\ 0 & 0 & 0 & -\tilde{s} & 0 & s(yt-1)\tilde{s} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\tilde{s} \end{pmatrix}, \quad \hat{\nabla} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tilde{s}N \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Les opérateurs $\hat{f}$ et $\hat{\delta}$ s'écrivent matriciellement

$$ \hat{f} = \begin{pmatrix} 1 & (1-t)\tilde{s} & (t-1)\tilde{s}(1+yt)\tilde{s} & 0 & 0 & (t-1)\tilde{s}(1+yt)\tilde{s}(yt-1)\tilde{s} \\ 0 & 1 & (t+1)\tilde{s} & 0 & 0 & (t-1)\tilde{s}(yt-1)\tilde{s} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & (t-1)\tilde{s} \end{pmatrix}, $$

$$ \hat{\delta} = \begin{pmatrix} 0 & 1-y & B \\ 0 & 0 & -(1+y) \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

Considérons le bicomplexe

$$ \mathcal{C}Q(A): \quad (\mathcal{Q}(A), d_Q) \stackrel{N_Q}{\rightleftarrows} (\mathcal{Q}(A), d_Q) \stackrel{N_Q}{\rightleftarrows} \dots, $$

(voir le §2.3). Notons $\mathcal{C}Q(A)_{[i]}$ le $i$-ième exemplaire de $\mathcal{Q}(A)$ dans $\mathcal{C}Q(A)$. Les différentielles de $\mathcal{C}Q(A)$ entre $\mathcal{C}Q(A)_{[i]}$ et $\mathcal{C}Q(A)_{[i-1]}$ sont égales à $N_Q$.

Introduisons un bicomplexe $\mathcal{C}Q^\circ(A)$ qui est la réunion des $\mathcal{C}Q(A)_{[i]}$, avec les différentielles nulles entre eux et un bicomplexe $\mathcal{B}Q^\circ(A)$ avec $\mathcal{B}Q^\circ(A)_{[i]}$ égal à $\mathcal{Q}'(A)$ et les différentielles nulles entre $\mathcal{B}Q^\circ(A)_{[i]}$ et $\mathcal{B}Q^\circ(A)_{[i-1]}$. Par juxtaposition sur chaque $\mathcal{C}Q^\circ(A)_{[i]}$ de la rétraction (2.6) on obtient une rétraction par déformation spéciale

$$ (\mathcal{B}Q^\circ(A), b + \hat{\delta}) \xleftarrow{\hat{f}^\circ} (\mathcal{Q}^\circ(A), d_Q; \hat{S}^\circ), $$

La différentielle $N_Q$ de $\mathcal{C}Q(A)$ peut être considérée comme une perturbation de $\mathcal{C}Q^\circ(A)$. En appliquant le lemme de perturbation nous obtenons que le
complexe $(\mathcal{B}Q^\circ(A), b + \hat{\delta} + \hat{N}_Q)$, où

$$ \hat{N}_Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & (1-t)\tilde{s}(1+y)\tilde{s}(yt-1)\tilde{s}N_Q \\ 0 & 0 & (t-1)\tilde{s}(yt-1)\tilde{s}N_Q \\ 0 & 0 & (t-1)\tilde{s}N_Q \end{pmatrix} $$

est une contraction du complexe $\mathcal{C}Q(A)$.

Des raisonnements analogue à ceux du paragraphe 2.4 montrent que les différentielles $b, \hat{\delta}$ et $\hat{N}_Q$ stabilisent les éléments dégénéré de $\mathcal{C}Q(A)$. Donc le lemme 1.5 nous permet de faire le quotient par le sous-complexe dégénérés sans avoir changer les différentielles.

Soit $\mathcal{B}Q(A)$ le complexe suivant

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Dans ce diagramme la ligne de rang $n$ représente le module

$$ \mathcal{B}Q_n(A) = \bigoplus_{i+j=n} \mathcal{B}Q_{i,j}(A); $$

les colonnes se repètent de 3 en 3 et les différentielles des colonnes sont la différentielle de Hochschild affectée d'un signe "+" ou "-". Les opérateurs $\mathcal{B}$ et $y$ sont ceux définis dans les §§2.2 et 2.3.
Nous avons donc montré

**Théorème 2.7:** Le bicomplexe $\mathcal{B}Q(A)$ est une contraction du bicomplexe $\mathcal{C}Q(A)$.

# 3 Théorie bivariante

## 3.1 Complexes avec des périodicités

**Définition 3.1:** On dit que le complexe $(X_*, d)$ a une périodicité $P$ de degré $m$ s'il existe une application surjective $P : X_* \to X_{*+m}$ qui commute avec la différentielle $d$.

Soient $(X'_*, d')$ et $(X''*, d'')$ deux complexes munis des périodicités $P'_1, ..., P'_k$ et $P''_1, ..., P''_k$ respectivement avec $P'_i$ et $P''_i$ de même degré $m_i$. Notons $\mathcal{P}'$ l'ensemble des périodicités $P'_i$

$$ \mathcal{P}' = \{P'_1, ..., P'_k\} $$

et $\mathcal{P}''$ l'ensemble des périodicités $P''_i$

$$ \mathcal{P}'' = \{P''_1, ..., P''_k\}. $$

**Définition 3.2:** La rétraction par déformation

$$ (X''*, d'') \xleftarrow{f} (X'_*, d'; h) $$

est $\mathcal{P}'-\mathcal{P}''$-compatible, si les opérateurs $f, \nabla$ et $h$ commutent avec les périodicités: $fP'_i = P''_i f, \nabla P''_i = P'_i \nabla, hP'_i = P'_i h$ pour tout $i, 1 \le i \le k$

Considérons les exemples suivants de périodicités définies sur les complexes construits dans les paragraphes 2.1-2.5.

1. Sur le complexe cyclique $\mathcal{B}\mathcal{C}$ on définit la périodicité de degré $-2$

$$ S_{\mathcal{B}\mathcal{C}} : \mathcal{B}\mathcal{C}_n(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}_{n-2}(A) $$

qui est la projection naturelle de

$$ \mathcal{B}\mathcal{C}_n(A) = \bigoplus_{i=0}^{[n/2]} A \otimes \overline{A}^{\otimes n-2i} $$
sur

$$ \mathcal{B}\mathcal{C}_{n-2}(A) = \bigoplus_{i=1}^{[n/2]} A \otimes \bar{A}^{\otimes n-2i}. $$

Au niveau intuitif $S_{BC}$ “enlève” la première colonne de bicomplexe $\mathcal{B}\mathcal{C}$. Il est clair que $S_{BC}$ commute avec les différentielles de $\mathcal{B}\mathcal{C}$.

De même, on peut définir l'opérateur

$$ S_{CC}: \mathcal{C}\mathcal{C}_n(A) \to \mathcal{C}\mathcal{C}_{n-2}(A), \qquad S_{CC}: \bigoplus_{i=1}^{n+1} A^{\otimes i} \to \bigoplus_{i=1}^{n-1} A^{\otimes i} $$

qui enlève les deux premières colonnes du bicomplexe $\mathcal{C}\mathcal{C}$.

**Proposition 3.3:** *La rétraction par déformation du complexe $\mathcal{C}\mathcal{C}$ vers $\mathcal{B}\mathcal{C}$, construite dans le paragraphe 2.2 est $S_{\mathcal{B}\mathcal{C}}-S_{\mathcal{C}\mathcal{C}}$-compatible.*

Dans la suite, quand il n'y a pas de risque de confusion, nous écrivons “$\mathcal{S}$-compatible” au lieu de “$S_{\mathcal{B}\mathcal{C}}-S_{\mathcal{C}\mathcal{C}}$-compatible”.

**DÉMONSTRATION:** Il est facile à montrer que la composition de deux rétractions par déformation $\mathcal{S}$-compatibles est $\mathcal{S}$-compatible. La rétraction considérée est la composition de la rétraction (2.3) et de la rétraction qui nous a permis d'enlever le sous-complexe dégénéré de $\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}$ (voir la fin de §2.2). Notons les opérateurs de cette dernière rétraction par $f, \nabla$ et $h$:

$$ (\mathcal{B}\mathcal{C}(A), b, \hat{B}) \underset{\nabla}{\overset{f}{\rightleftarrows}} (\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}(A), b, \hat{B}; h). \qquad (3.1) $$

Munissons le bicomplexe $\hat{\mathcal{B}}\mathcal{C}$ d'une périodicité analogue à $S_{\mathcal{B}\mathcal{C}}$.

La $\mathcal{S}$-compatibilité de la rétraction (2.3) résulte de la forme matricielle des opérateurs $I_n, J_n$ et $S_n$ (voir §2.4). Considérons, par exemple, la matrice $J_n$. L'action à droite $J_n \circ S_{\mathcal{C}\mathcal{C}}$ de $S_{\mathcal{C}\mathcal{C}}$ sur $J_n$ consiste à enlever les deux premières colonnes de la matrice $J_n$. L'action à gauche $S_{\mathcal{B}\mathcal{C}} \circ J_n$ de $S_{\mathcal{B}\mathcal{C}}$ sur $J_n$ consiste à enlever la première ligne de la matrice $J_n$. Compte tenu de la forme de la matrice $J_n$ (voir §2.4), on a

$$ J_n \circ S_{\mathcal{C}\mathcal{C}} = S_{\mathcal{B}\mathcal{C}} \circ J_n. $$

Le lemme 1.5 nous donne les opérateurs $f, \nabla$ et $h$ de (3.1) en forme matricielle (voir les formules (1.3)). Il en résulte évidemment la commutativité
COHOMOLOGIES BIVARIANTES DE TYPE CYCLIQUE

de $f$ avec $S$. Lorsqu'on compose $S$ avec l'un des opérateurs $\nabla$ ou $h$ soit à droite, soit à gauche, le seul effet est que le dernier facteur dans la somme

$$ \sum_{i \ge 0} h(-\delta h)^i \gamma \quad \text{ou} \quad \sum_{i \ge 0} h(-\delta h)^i $$

devient nul. Ce qui montre que la rétraction (3.1) est également $S$-compatible.

□

**2.** Sur les complexes **quaternioniques** $\mathcal{B}Q$ et $\mathcal{C}Q$ on construit d'une manière analogue les périodicités

$$ T_{\mathcal{B}Q}: \mathcal{B}Q_n(A) \to \mathcal{B}Q_{n-4}(A), $$

$$ T_{\mathcal{C}Q}: \mathcal{C}Q_n(A) \to \mathcal{C}Q_{n-4}(A). $$

Ils consistent à "enlever" les trois (resp. quatre) premières colonnes qui forment la période

$$ T_{\mathcal{B}Q}: \bigoplus_{i=0}^{[n/4]} (A^{\otimes n-4i+1} \oplus A^{\otimes n-4i} \oplus A^{\otimes n-4i-1}) \to \bigoplus_{i=1}^{[n/4]} (A^{\otimes n-4i+1} \oplus A^{\otimes n-4i} \oplus A^{\otimes n-4i-1}). $$

**Proposition 3.4:** La rétraction par déformation du complexe $\mathcal{C}Q$ vers le $\mathcal{B}Q$ construite dans le paragraphe 2.5 est $T_{\mathcal{B}Q}-T_{\mathcal{C}Q}$-compatible.

La démonstration est analogue à celle de la proposition 3.3.

**3.** Sur le complexe **réflexif** $\mathcal{C}R = \mathcal{C}R^+ \oplus \mathcal{C}R^-$ on a une périodicité de degré $-1$

$$ \Omega_{\mathcal{C}R}: \mathcal{C}R_n^+(A) \oplus \mathcal{C}R_n^-(A) \to \mathcal{C}R_{n-1}^-(A) \oplus \mathcal{C}R_{n-1}^+(A) $$

qui enlève les premières colonnes de $\mathcal{C}R^+$ et $\mathcal{C}R^-$. L'opérateur $\Omega_{\mathcal{C}R}$ envoie $\mathcal{C}R^+$ dans $\mathcal{C}R^-$ ainsi que $\mathcal{C}R^-$ dans $\mathcal{C}R^+$. Plus explicitement, la restriction de $\Omega_{\mathcal{C}R}$ sur la partie positive $\mathcal{C}R^+$ est la projection

$$ \bigoplus_{i=1}^{n+1} A^{\otimes i} \to \bigoplus_{i=1}^{n} A^{\otimes i} $$

et de même pour $\mathcal{C}R^-$.
**4.** Les périodicités des complexes diédraux $BD$ et $CD$ sont plus variées. On définit

$$S_{BD}: \quad BD_n^+(A) \oplus BD_n^-(A) \to BD_{n-2}^-(A) \oplus BD_{n-2}^+(A)$$

de telle façon que sa restriction sur chaque plan $BC$, à savoir $BD^+(A)_{[i]}$ ou $BD^-(A)_{[i]}$, coïncide avec $S_{BC}$. Alors, $S_{BD}$ envoie $BD^+$ dans $BD^-$ et $BD^-$ dans $BD^+$.

De même on définit

$$S_{CD}: \quad CD_n^+(A) \oplus CD_n^-(A) \to CD_{n-2}^-(A) \oplus CD_{n-2}^+(A)$$

qui coïncide sur chaque plan $CD^+(A)_{[i]}$ et $CD^-(A)_{[i]}$ avec $S_{CC}$ et qui envoie $CD^+$ dans $CD^-$ et $CD^-$ dans $CD^+$.

Les opérateurs

$$\Omega_{BD}: \quad BD_n^+(A) \oplus BD_n^-(A) \to BD_{n-1}^-(A) \oplus BD_{n-1}^+(A),$$

$$\Omega_{CD}: \quad CD_n^+(A) \oplus CD_n^-(A) \to CD_{n-1}^-(A) \oplus CD_{n-1}^+(A)$$

sont des périodicités des bicomplexes $BD$ et $CD$ dans une autre direction. Sur chaque plan $CR$ de $BD$ ou $CD$ elles coïncident avec la périodicité “réflexive” $\Omega_{CR}$. Tout comme $S_{CD}$ et $S_{BD}$, les opérateurs $\Omega_{CD}$ et $\Omega_{BD}$ envoient la partie positive dans la partie négative et réciproquement.

**Proposition 3.5:** La rétraction par déformation du complexe $CD$ vers le complexe $BD$, construite dans le paragraphe 2.4 est $S_{BD}\Omega_{BD}-S_{CD}\Omega_{CD}$-compatible.

**DÉMONSTRATION:** Comme dans le cas cyclique, la rétraction par déformation se décompose en deux rétractions successives: la rétraction du complexe $CD(A)$ vers le complexe $BD^\circ(A)$ et la rétraction du complexe $BD^\circ(A)$ vers le complexe $BD(A)$ (voir §2.4).

La démonstration de la $S$-$\Omega$-compatibilité de la deuxième rétraction est analogue à la deuxième partie de démonstration de la proposition 3.3. Pour vérifier que la première rétraction est également $S$-$\Omega$-compatibile, il faut montrer que les opérateurs $\hat{I}_n$, $\hat{J}_n$ et $\hat{S}_n$ (voir §2.4) commutent avec les périodicités $S$ et $\Omega$. Prouvons le pour $\hat{S}_n$ (pour $\hat{I}_n$ et $\hat{J}_n$ les raisonnements sont
analogues). L'opérateur $\hat{S}_n$ est représenté par la matrice triangulaire

$$ \begin{pmatrix}
S_n & S_n \delta_n S_{n-1} & & & & \\
0 & S_{n-1} & S_{n-1} \delta_{n-1} S_{n-2} & & & \\
& 0 & S_{n-2} & \dots & \dots & \\
& & 0 & \dots & \dots & \\
& & & \dots & \dots & S_1 \delta_1 S_0 \\
& & & & \dots & S_0 \\
& & & & & 0
\end{pmatrix} $$

composée de blocs

$$ \mathrm{Bl}_{n,k} = S_n \prod_{i=0}^{k} (\delta_{n-i} S_{n-i-1}). $$

La $\Omega$-commutativité de $\hat{S}_n$ se traduise en langage matriciel par l'affirmation suivante: si on enlève la première ligne et la première colonne (des blocs) de la matrice $\hat{S}_n$, on obtient la matrice $\hat{S}_{n-1}$. La $S$-commutativité de $\hat{S}_n$ se traduise comme suit: si on enlève les deux premières lignes et les deux premières colonnes dans chaque bloc de la matrice $\hat{S}_n$, on obtient la matrice $\hat{S}_{n-2}$. En effet, il résulte de la forme explicite des matrices $S_i$ et $\delta_i$ que si on enlève les deux premières lignes et les deux premières colonnes dans le bloc $\mathrm{Bl}_{n,k}$ on obtient le bloc $\mathrm{Bl}_{n-2,k}$. $\square$

## 3.2 Cohomologie bivariante

Soient $(X'_*, d')$ et $(X''_*, d'')$ deux complexes munis des ensembles des périodicités respectifs

$$ \mathcal{P}' = \{P'_1, \dots, P'_k\} \quad \text{et} \quad \mathcal{P}'' = \{P''_1, \dots, P''_k\}, $$

avec $P'_i$ et $P''_i$ de degré $m_i$. L'ensemble des morphismes de modules gradués

$$ f: X'_* \to X''_* $$

forme un complexe de chaînes (Hom$(X'_*, X''_*)$, $d_{Hom}$). On dit que l'élément $f$ de Hom$(X'_*, X''_*)$ est de graduation $n$, s'il augmente la graduation des modules par $n$, c'est-à-dire qu'on a

$$ f: X'_l \to X''_{l+n}. $$
La différentielle est définie de la manière standard

$$d_{Hom}(f) = d''f - (-1)^{|f|}fd'$$

Par définition, les périodicités $\mathcal{P}'$ et $\mathcal{P}''$ commutent avec les différentielles correspondantes et par conséquent les morphismes $\mathcal{P}'$-$\mathcal{P}''$-commutatifs forment un sous-complexe de $\operatorname{Hom}(X'_*, X'')$ noté $\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}(X'_*, X''_*)$.

**Définition 3.6:** Soient $(X'_*, d')$ et $(X''_*, d'')$ deux complexes de chaînes et soient $\mathcal{P}'$ et $\mathcal{P}''$ des ensembles des périodicités sur ces complexes. La co-homologie bivariante d'une paire de complexes $(X'_*, d')$ et $(X''_*, d'')$ avec les périodicités $\mathcal{P}'$ et $\mathcal{P}''$ est l'homologie du complexe

$$(\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}(X'_*, X''_*), d_{Hom}).$$

On la note

$$H_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}^{n}(X'_*, X''_*) = H_{-n}(\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}(X'_*, X''_*)).$$

Il est facile de voir que les cocycles qui correspondent à la cohomologie construite sont les morphismes de modules $f: X'_* \to X''_*$ tels qu'ils commutent avec les périodicités $\mathcal{P}', \mathcal{P}''$ et avec les différentielles de complexes, c'est-à-dire $fP'_i = P''_i f$ et $fd = df$.

Le cocycle $f$ est un cobord, s'il est homotope à zéro, autrement dit, s'il existe $h$ dans $\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}(X'_*, X''_*)$ tel que

$$f = d''h - (-1)^{|h|}hd'$$

La proposition suivante prolonge les résultats de [10, §8].

**Proposition 3.7:** Soient $(X_*, d_1)$, $(X'_*, d'_1)$ et $(Y_*, d_2)$, $(Y'_*, d'_2)$ des complexes avec des ensembles de périodicités $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}'_1, \mathcal{P}_2, \mathcal{P}'_2$ respectivement de degrés $(m_1, ..., m_k)$ et soient

$$(X'_*, d'_1) \xleftarrow{f_1}{\xrightarrow{g_1}} (X_*, d_1; h_1) \quad \text{et} \quad (Y'_*, d'_2) \xleftarrow{f_2}{\xrightarrow{g_2}} (Y_*, d_2; h_2) \qquad (3.2)$$

des rétractions par déformation $\mathcal{P}_1$-$\mathcal{P}'_1$-compatible et $\mathcal{P}_2$-$\mathcal{P}'_2$-compatible respectivement. Alors

$$(\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'_1-\mathcal{P}_2}(X'_*, Y_*), d_{Hom}) \xleftarrow{f_1}{\xrightarrow{g_1}} (\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}''}(X_*, Y_*), d_{Hom}; h_1^*) \quad (3.3)$$

$$(\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}_1-\mathcal{P}_2'}(X_*, Y_*'), d_{Hom}) \xleftarrow{f_2}{\xrightarrow{g_2}} (\operatorname{Hom}_{\mathcal{P}'-\mathcal{P}'''}(X_*, Y_*'), d_{Hom}; h_2^*) \quad (3.4)$$
sont des rétractions par déformation.

Si les rétractions (3.2) sont spéciales, alors les rétractions (3.3) et (3.4) sont également spéciales.

Les applications $f_1^*, g_1^*, h_1^*, f_2^*, g_2^*, h_2^*$ sont définies par

$$f_1^*: \quad \kappa_1 \to (-1)^{|\kappa_1| \cdot |f_1|} \kappa_1 \circ f_1,$$

$$f_2^*: \quad \kappa_2 \to f_2 \circ \kappa_2;$$

$$g_1^*: \quad \kappa_1 \to (-1)^{|\kappa_1| \cdot |g_1|} \kappa_1 \circ g_1,$$

$$g_2^*: \quad \kappa_2 \to g_2 \circ \kappa_2;$$

$$h_1^*: \quad \kappa \to (-1)^{|\kappa| \cdot |h_1|} \kappa \circ h_1,$$

$$h_2^*: \quad \kappa \to h_2 \circ \kappa;$$

La démonstration consiste en des calculs explicites.

On a le corollaire.

**Théorème 3.8:** Sous les conditions de la proposition 3.7 on a un isomorphisme de k-modules

$$H_{P_1-P_2}^*(X_*, Y_*) \cong H_{P'_1-P'_2}^*(X'_*, Y'_*).$$

Considérons les cas particuliers suivants de cohomologies bivariantes de complexes avec périodicités.

**Définition 3.9:** La cohomologie bivariante cyclique des deux algèbres $A$ et $B$ est la cohomologie bivariante des complexes $\mathcal{C}C(A)$ et $\mathcal{C}C(B)$ avec la périodicité $S_{cc}$

$$HC^*(A, B) = H_{S_{cc}}^*(\mathcal{C}C(A), \mathcal{C}C(B)).$$

**Remarque 3.10:** Par la proposition 3.3 et le théorème 3.8 on a l'isomorphisme

$$HC^*(A, B) \cong H_{S_{BC}}^*(\mathcal{B}C(A), \mathcal{B}C(B)).$$

**Définition 3.11:** La cohomologie bivariante quaternionique des deux algèbres $A$ et $B$ est la cohomologie bivariante des complexes $\mathcal{C}Q(A)$ et $\mathcal{C}Q(B)$ avec la périodicité $T_{cQ}$

$$HQ^*(A, B) = H_{T_{cQ}}^*(\mathcal{C}Q(A), \mathcal{C}Q(B)).$$
**Remarque 3.12:** Par la proposition 3.4 et le théorème 3.8 on a l'isomorphisme

$$ HQ^*(A, B) \cong H_{T_{BQ}}^*(\mathcal{B}Q(A), \mathcal{B}Q(B)). $$

**Définition 3.13:** La cohomologie bivariante diédrale des deux algèbres $A$ et $B$ est la cohomologie bivariante des complexes $\mathcal{CD}(A)$ et $\mathcal{CD}(B)$ avec les périodicités $S_{CD}$ et $\Omega_{CD}$

$$ HD^*(A, B) = H_{S_{CD}\Omega_{CD}}^*(\mathcal{CD}(A), \mathcal{CD}(B)). $$

**Remarque 3.14:** Par la proposition 3.5 et le théorème 3.8 on a l'isomorphisme

$$ HD^*(A, B) \cong H_{S_{BD}\Omega_{CD}}^*(\mathcal{BD}(A), \mathcal{BD}(B)). $$

**Définition 3.15:** La cohomologie bivariante réflexive des deux algèbres $A$ et $B$ est la cohomologie bivariante des complexes $\mathcal{CR}(A)$ et $\mathcal{CR}(B)$ avec la périodicité $\Omega_{CR}$

$$ HR^*(A, B) = H_{\Omega_{CR}}^*(\mathcal{CR}(A), \mathcal{CR}(B)). $$

**Remarque 3.16:** Chaque élément $f \in \operatorname{Hom}(\mathcal{BD}_*(A), \mathcal{BD}_*(A))$ consiste en quatre composantes

$$ f_{++}: \mathcal{BD}^{+}(A) \to \mathcal{BD}^{+}(B), \quad f_{+-}: \mathcal{BD}^{+}(A) \to \mathcal{BD}^{-}(B), $$

$$ f_{--}: \mathcal{BD}^{-}(A) \to \mathcal{BD}^{-}(B), \quad f_{-+}: \mathcal{BD}^{-}(A) \to \mathcal{BD}^{+}(B). $$

Les morphismes $f$ ayant les composantes $f_{+-}$ et $f_{-+}$ nulles forment un sous-complexe

$$ \operatorname{Hom}_{S_{BD}, \Omega_{BD}}^{+}(\mathcal{BD}(A), \mathcal{BD}(B)) $$
dans le complexe des morphismes $S\Omega$-commutatifs. Les morphismes $f$ ayant les composantes $f_{++}$ et $f_{--}$ nulles forment un sous-complexe

$$ \operatorname{Hom}_{S_{\mathcal{B}\mathcal{D}}, \Omega_{\mathcal{B}\mathcal{D}}}^{+}(\mathcal{B}\mathcal{D}(A), \mathcal{B}\mathcal{D}(B)). $$

On a alors une décomposition

$$ HD^*(A, B) = HD_+^*(A, B) \oplus HD_-^*(A, B) $$

avec

$$ HD_+^n(A, B) = H_{-n}(\operatorname{Hom}_{S_{\mathcal{B}\mathcal{D}}, \Omega_{\mathcal{B}\mathcal{D}}}^+(\mathcal{B}\mathcal{D}(A), \mathcal{B}\mathcal{D}(B))) $$

et

$$ HD_-^n(A, B) = H_{-n}(\operatorname{Hom}_{S_{\mathcal{B}\mathcal{D}}, \Omega_{\mathcal{B}\mathcal{D}}}^-(\mathcal{B}\mathcal{D}(A), \mathcal{B}\mathcal{D}(B))). $$

De même on a une décomposition de la cohomologie réflexive

$$ HR^*(A, B) = HR_+^*(A, B) \oplus HR_-^*(A, B). $$

## 3.3 Etude du cas où 2 est inversible

Supposons que l'élément 2 soit inversible dans l'anneau de base $k$. Alors, le module $A^{\otimes n}$ se décompose en somme directe

$$ A^{\otimes n} = \mathrm{Im}(1 - y) \oplus \mathrm{Im}(1 + y). $$

En effet, on a les deux projecteurs $p_1 = \frac{1}{2}(1 - y)$ et $p_2 = \frac{1}{2}(1 + y)$ avec $p_1 + p_1 = \mathrm{id}$.

Ensuite, comme l'opérateur $(1 - y)$ commute avec les différentielles du complexe de Hochschild, ainsi qu'avec celles du complexe cyclique $\mathcal{B}\mathcal{C}(A)$, on a la décomposition

$$ (C_*(A), b) = (C_*^+(A), b) \oplus (C_*^-(A), b), \qquad (3.5) $$

où $C_n^+(A)$ désigne l'image de $(1 + y)$ dans $A^{\otimes n+1}$ et $C_n^-(A)$ désigne l'image de $(1 - y)$ dans $A^{\otimes n+1}$. On a également la décomposition

$$ \mathcal{B}\mathcal{C}(A) = \mathcal{B}\mathcal{C}^+(A) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(A) $$
avec

$$
\mathcal{B}\mathcal{C}^{+}: \quad
\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
\node (C_2) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^+$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^+$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^-$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^-$};
\end{tikzpicture}$};

\end{tikzpicture}
\quad
\mathcal{B}\mathcal{C}^{-}: \quad
\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
\node at (C_2) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (0,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^+$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (3,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^+$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^-$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (6,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^-$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (9,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^-$};
\end{tikzpicture}$};

\node at (C_2) at (12,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_2^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_1) at (12,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_1^+$};
\end{tikzpicture}$};
\node at (C_0) at (12,0) {$\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-1ex]current bounding box.center)}]
  \draw (0,0) node[above] {$b$} -- (1,0) node[right] {$\overleftarrow{B}$} -- (2,0) node[above] {$b$};
  \node at (0.5,0.5) {$C_0^-$};
\end{tikzpicture}$};

\end{tikzpicture}
\quad (3.6)
$$

(voir [15]).

Il en résulte que les bicomplexes $\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A)$ et $\mathcal{B}\mathcal{C}^-(A)$ sont facteurs directs des complexes $\mathcal{B}\mathcal{D}^+(A)$ et $\mathcal{B}\mathcal{D}^-(A)$ respectivement.

**Théorème 3.17:** *Les complexes $\mathcal{B}\mathcal{D}^+(A)$ et $\mathcal{B}\mathcal{D}^-(A)$ sont contractibles vers les complexes $\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A)$ et $\mathcal{B}\mathcal{C}^-(A)$ respectivement.*

Afin d'alléger la preuve, introduisons les complexes $(\mathcal{R}_*^{n+}, d^+)$ et $(\mathcal{R}_*^{n-}, d^-)$, où $d_i^+ = 1 - (-1)^i y$ et $d_i^- = 1 + (-1)^i y$ et où les complexes sont représentés par les diagrammes

$$
\mathcal{R}^{n+}: \quad A^{\otimes n} \xleftarrow{1-y} A^{\otimes n} \xrightarrow{1+y} A^{\otimes n} \xleftarrow{1-y} \dots,
$$

$$
\mathcal{R}^{n-}: \quad A^{\otimes n} \xrightarrow{1+y} A^{\otimes n} \xleftarrow{1-y} A^{\otimes n} \xleftarrow{1+y} \dots .
$$

Remarquons, que $\mathcal{R}^{n+}$ et $\mathcal{R}^{n+}$ forment les lignes des complexes $\mathcal{C}\mathcal{D}(A)$ et $\mathcal{C}\mathcal{R}(A)$.

Soient $(\hat{\mathcal{R}}_*^{n+}, 0)$ et $(\hat{\mathcal{R}}_*^{n-}, 0)$ les complexes à différentielles nulles avec

$$
\hat{\mathcal{R}}_{0}^{n+} = A^{\otimes n} / \mathrm{Im}(1 - y), \quad \hat{\mathcal{R}}_{0}^{n-} = A^{\otimes n} / \mathrm{Im}(1 + y),
$$

$$
\hat{\mathcal{R}}_{i}^{n+} = 0 \text{ et } \hat{\mathcal{R}}_{i}^{n-} = 0 \text{ pour } i > 0.
$$

De simples calculs démontrent la proposition suivante:

**Lemme 3.18:** *On a les rétractions par déformation spéciales suivantes*

$$
(\hat{\mathcal{R}}_*^{n+}, 0) \xleftarrow{\substack{p \\ i}} (\mathcal{R}_*^{n+}, d^+; h^+), \quad (\hat{\mathcal{R}}_*^{n-}, 0) \xleftarrow{\substack{p \\ i}} (\mathcal{R}_*^{n-}, d^-; h^-), \quad (3.7)
$$

où $p$ et $i$ sont les projection et inclusion naturelles. Les homotopies $h^+$ et $h^-$ sont données par :

$$
h_j^{\pm}: \mathcal{R}_j^{n\pm} \to \mathcal{R}_j^{n\pm}, \quad h_j^+ = \frac{1}{4}(1 - (-1)^j y), \quad h_j^- = \frac{1}{4}(1 + (-1)^j y).
$$
**Remarque 3.19:** La somme directe des rétractions (3.7) donne une rétraction du complexe $\mathcal{R}_*^{n+} \oplus \mathcal{R}_*^{n-}$ vers le complexe trivial dont la composante de degré zéro est $A^{\otimes n}$ et dont toutes les autres sont nulles.

**DÉMONSTRATION:** (du théorème 3.17.) Considérons le cas du complexe positif $\mathcal{BD}^+(A)$, le cas du complexe négatif étant analogue.

Chaque plan $\mathcal{BC}$ de $\mathcal{BD}^+(A)$ se décompose à la somme directe suivante
$\mathcal{BD}^+(A)_{[j]} = \mathcal{BC}^+(A) \oplus \mathcal{BC}^-(A)$. Soit

$$i: \mathcal{BC}^+(A) \to \mathcal{BD}^+(A)$$

l'inclusion qui envoie $\mathcal{BC}^+$ sur le facteur correspondant du premier plan de $\mathcal{BD}^+$ et soit

$$p: \mathcal{BD}^+(A) \to \mathcal{BC}^+(A)$$

la projection, qui est égale à l'identité sur le facteur $\mathcal{BC}^+$ du premier plan de $\mathcal{BD}^+$ et qui est nulle sur le reste.

On définit l'homotopie

$$h: \mathcal{BD}^+(A) \to \mathcal{BD}^+(A),$$

par $h = h^+$ (du lemme 3.18) sur chaque colonne $\mathcal{R}^{n+}$ de $\mathcal{BD}^+$ et $h = h^-$ sur chaque colonne $\mathcal{R}^{n+}$ de $\mathcal{BD}^+$. On obtient une rétraction par déformation spéciale

$$(\mathcal{BC}^+(A), b, B) \stackrel{p}{\rightleftarrows} (\mathcal{BD}^+(A), b, B, \omega^{\pm}; h).$$

En effet, il est clair que $p \circ i = \text{id}_{\mathcal{BC}^+}$. Les conditions (1.1) résultent de celles des rétractions (3.7). Il nous reste à vérifier la relation

$$(b + B + \omega^{\pm})h + h(b + B + \omega^{\pm}) = \text{id}_{\mathcal{BD}^{+}} - i \circ p. \quad (3.8)$$

On sait que $b + B$ commute avec la troisième différentielle du complexe $\mathcal{BD}^+(A)$, que nous avons noté symboliquement par $\omega^{\pm}$. Cela implique que $b + B$ commute avec $h$, parce que $h$ consiste en les mêmes applications que $\omega^{\pm}$ (à multiplication par $1/4$ près). Donc nous pouvons réécrire (3.8) sous la forme

$$\omega^{\pm}h + h\omega^{\pm} = \text{id}_{\mathcal{BD}^{+}} - i \circ p,$$

ce qui est la conséquence directe des relations analogues de (3.7). $\square$
De même on démontre

**Théorème 3.20:** *Supposons* $1/2 \in k$. *Alors le complexe* $\mathcal{C}^+(A)$ *est une contraction du complexe* $\mathcal{CR}^+(A)$ *et* $\mathcal{C}^-(A)$ *est une contraction du complexe* $\mathcal{CR}^-(A)$.

Le théorème qui suit est analogue au théorème 2.5 de [14].

**Théorème 3.21:** *Supposons* $1/2 \in k$. *Alors le complexe* $\mathcal{BC}^+(A)$ *est une contraction du complexe quaternionique* $\mathcal{BQ}(A)$.

**DÉMONSTRATION:** A l'aide de la décomposition (3.5) réécrivons le bicom-
plexe $\mathcal{BQ}_{*,*}(A)$ (voir §2.5) sous la forme d'un bicomplexe avec période

$$
\mathcal{C}_*^+ \oplus \mathcal{C}_*^- \underset{\leftarrow}{\overset{1-y}{\rightleftharpoons}} \underset{\leftarrow}{\overset{B}{\rightleftharpoons}} \mathcal{C}_*[1]_* \oplus \mathcal{C}^-[1]_* \underset{\leftarrow}{\overset{-1-y}{\rightleftharpoons}} \mathcal{C}^+[2]_* \oplus \mathcal{C}^-[2]_* \underset{\leftarrow}{\overset{2B(1+y)}{\rightleftharpoons}} \dots
$$

Le degré de $B$ est $-2$ et le degré de $\pm 1 - y$ est $-1$, c'est pourquoi le diagramme
a un sens.

La restriction de $(1-y)$ sur $\mathcal{C}_*^-(A)$ et la restriction de $(1+y)$ sur $\mathcal{C}_*^+(A)$
consistent en la multiplication par 2. Par conséquent les sous-complexes

$$
\mathcal{C}_*^{-}(A) \xleftarrow{1-y} \mathcal{C}_*^{-}(A)
$$

et les complexes quotients

$$
\mathcal{C}_{*}^{+}(A) \xleftarrow{-1-y} \mathcal{C}_{*}^{+}(A)
$$

de $\mathcal{B}Q(A)$ sont contractibles. Il résulte du lemme 1.4 que le complexe

$$
\mathcal{C}_*^+(A) \xleftarrow{B} \mathcal{C}^-[2]_*(A)^{\underline{2B(1+y)}} \mathcal{C}^+[4]_*(A) \xleftarrow{B} \dots \quad (3.9)
$$

est une contraction du complexe $\mathcal{B}Q(A)$. Comme la restriction de l'opérateur
$2B(1+y)$ sur $\mathcal{C}_*^+(A)$ est égale à $4B$ le complexe (3.9) est isomorphe à $\mathcal{B}C^+(A)$.

□

Considérons la périodicité $T_{BC}$ de degré $-4$ sur le complexe $\mathcal{B}\mathcal{C}^{+}$, qui en-
lève les deux premières colonnes. Les opérateurs de la rétraction du théorème
3.21 stabilisent les périodes des complexes $\mathcal{B}Q$ et $\mathcal{B}\mathcal{C}^{+}$. Donc la rétraction
est $T$-compatible et nous avons le corollaire.

**Corollaire 3.22:** *Supposons* $1/2 \in k$. *Alors on a un isomorphisme de k-
modules*

$$
\mathrm{HQ}^*(A, B) \cong \mathrm{H}_T^*(\mathrm{BC}^+(A), \mathrm{BC}^+(B)).
$$
**Remarque 3.23:** Dans le cas quaternionique, l'homotopie $h$ entre les complexes diédraux (voir le théorème 3.17) ne commute pas avec les périodicités correspondantes ($S_{BD}$ et $\Omega_{BD}$). Par exemple, sur les éléments du premier plan $BD(A)_{[0]}$, on a $h \circ \Omega_{BD} = 0 \neq \Omega_{BD} \circ h$.

**Théorème 3.24:** *Supposons $1/2 \in k$. Alors on a des isomorphismes de $k$-modules*

$$HD_{+}^{*}(A, B) \cong HC_{+}^{*}(A, B) \oplus HC_{-}^{*}(A, B) \cong HD_{-}^{*}(A, B).$$

La démonstration consiste à expliciter des homomorphismes de complexes $BD$.

**Corollaire 3.25:** *Supposons $1/2 \in k$. Alors on a un isomorphisme de $k$-modules*

$$HD^{*}(A, B) \cong HC^{*}(A, B) \oplus HC^{*}(A, B).$$

Vu le théorème 3.24 nous nous concentrons sur les complexes $BC^+$ et $BC^-$ et sur les cohomologies correspondantes $HC_+^*(A, B)$ et $HC_-^*(A, B)$.

## 3.4 Les suites exactes

Etudions la structure explicite des homomorphismes de complexes avec périodicités introduits dans les paragraphes 2.1-2.5.

1. **Complexe cyclique.** Soit $f$ un élément de $\operatorname{Hom}_S(BC(A), BC(B))$ du degré $n$, c'est-à-dire

$$f: \operatorname{Tot}_* BC(A) \to \operatorname{Tot}_{*+n} BC(B).$$

Les décompositions en somme directe des modules

$$\operatorname{Tot}_k BC(A) = \bigoplus_{i=0}^{[k/2]} A \otimes \bar{A}^{\otimes k-2i}, \qquad \operatorname{Tot}_k BC(B) = \bigoplus_{i=0}^{[k/2]} B \otimes \bar{B}^{\otimes k-2i}$$

induisent la décompositions de $f$ en somme de ses composantes

$$f_{pqrs}BC_{pq}(A) \to BC_{rs}(A)$$
avec $\mathcal{B}\mathcal{C}_{pq}(A) = A \otimes \bar{A}^{\otimes q-p}$, $\mathcal{B}\mathcal{C}_{rs}(B) = B \otimes \bar{B}^{\otimes s-r}$, $r+s-p-q=n$. La condition de commutativité des homomorphismes avec $S$ implique que toutes les composantes de $f$ qui envoient $A \otimes \bar{A}^{\otimes i}$ dans $B \otimes \bar{B}^{\otimes j}$ avec $i$ et $j$ fixes sont égales, c'est-à-dire que si $q_1 - p_1 = q_2 - p_2 = i$ et $s_1 - r_1 = s_2 - r_2 = j$, alors $f_{p_1q_1r_1s_1} = f_{p_2q_2r_2s_2}$. En effet, comme $S$ enlève la première colonne du bicomplexe $\mathcal{B}\mathcal{C}$, ces composantes sont tous égales à la composante $f_{i'j'0j}$ avec $i' = \frac{1}{2}(i+j-n)$ et $j' = \frac{1}{2}(j-i-n)$. Notons $f_{i'j'0j}$ par $F_{ij}$.

De même on obtient $F_{ij} = 0$ lorsque $i+j+n$ est impair ou lorsque $i+n>j$.

Par conséquent chaque homomorphisme $S$-commutatif $f$ peut être représenté par une matrice triangulaire infinie $(F_{ij})_{i=0, j=0}^{\infty}$ avec les éléments nuls en échiquier.

La matrice de la composition de deux homomorphismes est le produit des matrices correspondantes

$$ (F \circ G)_{ij} = \sum_{k} F_{ik} G_{kj}. $$

La différentielle s'écrite en forme matricielle comme suit

$$ dF_{ij} = bF_{i,j+1} + BF_{i,j-1} - (-1)^{|f|}F_{i+1,j}B - (-1)^{|f|}F_{i-1,j}b. $$

2. **Complexe diédral.** Tout comme les complexes d'homomorphismes $\text{Hom}_{S\Omega}(\mathcal{B}\mathcal{D}(A), \mathcal{B}\mathcal{D}(B))$ et $\text{Hom}_{\Omega}(\mathcal{C}\mathcal{R}(A), \mathcal{C}\mathcal{R}(B))$ (voir §3.2) le complexe

$$ \text{Hom}_S(\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(B)) = \text{Hom}_S(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)) $$

se décompose en somme directe de ses partie positive et négative:

$$ \text{Hom}_S(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)) = \text{Hom}_S^+(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)) \oplus \text{Hom}_S^-(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)). $$

Chaque homomorphisme positif consiste en deux composantes

$$ f^{++} : \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(B) \quad f^{--} : \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(B) $$

et chaque homomorphisme négatif consiste en deux composantes

$$ f^{+-} : \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}^{-}(B) \quad f^{-+} : \mathcal{B}\mathcal{C}^{-}(A) \to \mathcal{B}\mathcal{C}^{+}(B). $$

Remarquons la périodicité $S$ envoie $\mathcal{B}\mathcal{C}^+$ sur $\mathcal{B}\mathcal{C}^-$ et réciproquement. Donc la composante $f^{--}$ de l'homomorphisme positif $f$ est définie automatiquement par la composante $f^{++}$. De même $f^{-+}$ est définie par $f^{+-}$.
Soit $f$ un homomorphisme positif $S$-commutatif du degré $n$ (le cas de $f$ négatif est analogue). Alors $f$ peut être représenté par une paire des matrices triangulaires infinies avec les éléments non nuls en échiquier: $(F_{ij})_{i \ge 0, j \ge 0}$ et $(\bar{F}_{ij})_{i \ge 0, j \ge 0}$, $F_{ij} = 0$ quand $i + j + n$ est impair ou quand $i + n > j$ et de même pour $\bar{F}_{ij}$.

A l'aide de la présentation (3.6) des complexes $\mathcal{B}\mathcal{C}^+$ et $\mathcal{B}\mathcal{C}^-$ détaillons les matrices $(F_{ij})$ et $(\bar{F}_{ij})$. Si $i = 4k_1$ ou $i = 4k_1 + 3$ et si $j - n = 4k_2$ ou $j - n = 4k_2 + 3$, alors on a $F_{ij} : C_i^+(A) \to C_j^+(B)$, $\bar{F}_{ij} : C_i^-(A) \to C_j^-(B)$.

Si $i = 4k_1 + 1$ ou $i = 4k_1 + 2$ et si $j - n = 4k_2$ ou $j - n = 4k_2 + 3$, alors on a $F_{ij} : C_i^-(A) \to C_j^+(B)$, $\bar{F}_{ij} : C_i^+(A) \to C_j^-(B)$.

Si $i = 4k_1$ ou $i = 4k_1 + 3$ et si $j - n = 4k_2 + 1$ ou $j - n = 4k_2 + 2$, alors on a $F_{ij} : C_i^+(A) \to C_j^-(B)$, $\bar{F}_{ij} : C_i^-(A) \to C_j^+(B)$.

Si $i = 4k_1 + 1$ ou $i = 4k_1 + 2$ et si $j - n = 4k_2 + 1$ ou $j - n = 4k_2 + 2$, alors on a $F_{ij} : C_i^-(A) \to C_j^-(B)$, $\bar{F}_{ij} : C_i^+(A) \to C_j^+(B)$.

La composition de $(F_{ij}, \bar{F}_{ij})$ avec $(G_{ij}, \bar{G}_{ij})$ est une paire

$$ (\sum_k F_{ik} \bar{G}_{kj}, \sum_l F_{il} \bar{G}_{lj}). $$

Les différentielles s'écrivent comme dans le cas cyclique.

**3. Complexe quaternionique.** Considérons les homomorphismes “quaternioniques”

$$ f \in \operatorname{Hom}_T(\mathcal{B}Q(A), \mathcal{B}Q(B)) \cong \operatorname{Hom}_T(\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B)). $$

Dans les cas cyclique et diédral, la commutativité avec la périodicité $S$ nécessite que les composantes des matrices correspondantes soient nulles en haut de la diagonale $j - i = n$. La condition de $T$-commutativité est moins restrective. Comme la $2k$-ième et la $(2k+1)$-ième colonnes du bicomplexe $\mathcal{B}\mathcal{C}^+$ se trouvent dans la période de $T$, alors les homomorphismes qui envoient les éléments de la $2k$-ième colonne de $\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A)$ sur les éléments de la $(2k+1)$-ième colonne de $\mathcal{B}\mathcal{C}^+(B)$ sont non nuls en général. Chaque homomorphisme $T$ commutatif se représente donc par une paire des matrices $(F_{ij})_{i \ge 0, j \ge 0}$ et $(\bar{F}_{ij})_{i \ge 0, j \ge 0}$ décrites précédemment plus la diagonale supplémentaire

$$ F_{j-n+2,j} : C_{j-n+2}^+(A) \to C_j^-, \quad j \ge 0, $$

où $n$ est le degré de l'homomorphisme.
**Théorème 3.26:** On suppose $1/2 \in k$. Alors les suites suivantes sont exactes

$$0 \to \operatorname{Hom}_S[-2](\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)) \xrightarrow{-S} \qquad (3.10)$$
$$\xrightarrow{-S} \operatorname{Hom}_S(\mathcal{B}\mathcal{C}(A), \mathcal{B}\mathcal{C}(B)) \to \operatorname{Hom}(\mathcal{C}(A), \mathcal{C}(B)) \to 0$$

(voir [9]),

$$0 \to \operatorname{Hom}_S[-2](\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(B)) \xrightarrow{-S} \qquad (3.11)$$
$$\xrightarrow{-S} \operatorname{Hom}_S^+(\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(B)) \to \operatorname{Hom}(\mathcal{C}^+(A), \mathcal{C}^+(B)) \oplus \operatorname{Hom}(\mathcal{C}^-(A), \mathcal{C}^-(B)) \to 0,$$

$$0 \to \operatorname{Hom}_S^+(\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B) \oplus \mathcal{B}\mathcal{C}^-(B)) \xrightarrow{-W} \qquad (3.12)$$
$$\xrightarrow{-W} \operatorname{Hom}_T(\mathcal{B}\mathcal{C}^+(A), \mathcal{B}\mathcal{C}^+(B)) \to \operatorname{Hom}[-2](\mathcal{C}^+(A), \mathcal{C}^-(B)) \to 0.$$

**DÉMONSTRATION:** L'application $S$ consiste en l'inclusion des matrices tri-angulaires, telles que $F_{ij} = 0$ quand $i - j > n - 1$, dans les matrices triangu-laires, telles que $F_{ij} = 0$ quand $i - j > n$. Les composantes $F_{ij}$ avec $i - j = n$ définissent le morphisme du complexe de Hochschild.

L'application $W$ est l'inclusion naturelle des paire des matrices dans des paires des matrices avec “la diagonale supplémentaire”. Dans l'image de $W$ les élément de “la diagonale supplémentaire” sont nuls. Les éléments de cette diagonale définissent le morphisme du complexe de Hochschild.

Il résulte de la représentation matricielle que les opérateurs $S$ et $W$ sont les morphismes des complexes et que les suites (3.10), (3.11) et (3.12) sont exactes. $\square$

**Remarque 3.27:** Si on remplace $\operatorname{Hom}_S^+$ par $\operatorname{Hom}_S^-$ et réciproquement dans la suite (3.11), on obtient une autre suite exacte.

Désignons

$$\operatorname{HR}_{++}^n(A, B) = H_{-n}(\operatorname{Hom}(\mathcal{C}^+(A), \mathcal{C}^+(B))),$$

$$\operatorname{HR}_{--}^n(A, B) = H_{-n}(\operatorname{Hom}(\mathcal{C}^-(A), \mathcal{C}^-(B))),$$

$$\operatorname{HR}_{+-}^n(A, B) = H_{-n}(\operatorname{Hom}(\mathcal{C}^+(A), \mathcal{C}^-(B))).$$
**Corollaire 3.28:** On a les suites exactes longues

$$ \dots \to HC^{n-2}(A, B) \to HC^n(A, B) \to HH^n(A, B) \to HC^{n-1} \to HC^{n+1} \to \dots $$

$$ \dots \to HC_{-}^{n-2}(A, B) \to HC_{+}^{n}(A, B) \to \\ \qquad \to HR_{++}^{n}(A, B) \oplus HR_{--}^{n}(A, B) \to HC_{-}^{n-1} \to HC_{+}^{n+1} \to \dots $$

$$ \dots \to HC_{+}^{n}(A, B) \to HQ^{n}(A, B) \to \\ \qquad \to HR_{+-}^{n}(A, B) \to HC_{+}^{n+1}(A, B) \to HQ^{n+1}(A, B) \to \dots $$

qui correspondent aux suites courtes exactes du théorème 3.26.

**Remarque 3.29:** Avec la même méthode on peut prouver que la suite

$$ \dots \to HD_{-}^{n-2}(A, B) \to HD_{+}^{n}(A, B) \to \\ \qquad \to HR_{+}^{n}(A, B) \to HD_{-}^{n-1}(A, B) \to HD_{+}^{n+1}(A, B) \to \dots $$

qui généralise la suite (3.11) est exacte. Ce fait ne dépend pas de l'inversibilité de 2 dans $k$.

## Références

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[3] Z. Fiedorowicz and J.-L. Loday. Crossed simplicial groups and their associated homology. *Trans. Amer. Math. Soc.*, 336:57–87, 1991.

[4] A. G. Gorinov. On the cohomology of double complexes. *Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.*, 5:54–56, 1997.

[5] V. K. A. M. Gugenheim and L. Lambe. Perturbation theory in differential homological algebra I. *Illinois J. Math.*, 33:566–582, 1989.
N. SOLODOV

[6] P. Gurrola. Cohomologie quaternionique bivariante et caractére de Chern hermitien. *Communication in Algebra*, 22:2039-2055, 1994.

[7] P. Gurrola, 1999. Thèse, Université de Montpellier.

[8] J. D. S. Jones and Chr. Kassel. Bivariant cyclic theory. *K-theory*, 3:339-365, 1989.

[9] Chr. Kassel. Caractère de Chern bivariant. *K-theory*, 3:367-400, 1989.

[10] Chr. Kassel. Homologie cyclique, caractère de Chern et lemme de perturbation. *J. Reine Angew. Math.*, 408:159-180, 1990.

[11] R. L. Krasauskas. Quelque applications topologiques de l'homologie diédrale. Thèse, Université de Moscou, 1987.

[12] R. L. Krasauskas, S. V. Lapin, and Yu. P. Soloviev. Dihedral homology and cohomology. Basic concept and construction. *Mat. Sb.*, 133:25-48, 1987.

[13] Th. Lambre. Quelque exemples de lemmes de première perturbation en homologie cyclique. *Communication in Algebra*, 23:525-541, 1995.

[14] J.-L. Loday. Homologies diédrale et quaternionique. *Advances in Mathematics*, 66:119-148, 1987.

[15] J.-L. Loday. *Cyclic homology*. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

NIKOLAY V. SOLODOV

UNIVERSITÉ LOMONOSOV

FACULTÉ DE MÉCANIQUE

ET DE MATHÉMATIQUES

LENINSKIE GORY

119992 MOSCOU

RUSSIE

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