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# Estimation du risque de défaut par une modélisation stochastique du bilan : Application à des firmes industrielles françaises

Catherine Refait

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Catherine Refait. Estimation du risque de défaut par une modélisation stochastique du bilan : Application à des firmes industrielles françaises. 2000. halshs-03718527

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Estimation du risque de défaut par une modélisation
stochastique du bilan : Application à des firmes
industrielles françaises

Catherine REFAIT

2000.40
# Estimation du risque de défaut par une modélisation stochastique du bilan : Application à des firmes industrielles françaises

Catherine REFAIT

TEAM Université de Paris I Panthéon Sorbonne, CNRS

Maison des Sciences Economiques

106-112 Boulevard de l'Hôpital 5467 Paris Cedex 13

crefait@univ-paris1.fr

Cette étude a pu être réalisée grâce à la collaboration de la Banque de France. Je tiens à remercier Mireille Bardos pour ses conseils et son soutien, ainsi que Jacques Janssen, Thierry Chauveau et Johanna Melka.
Résumé

Une méthodologie alternative aux modèles multicritères fondés sur l'étude économique et financière de la firme est proposée afin d'estimer le risque de défaut des entreprises et d'élaborer un indicateur du risque de faillite. Nous recourons à une méthode de Gestion Actif – Passif d'estimation des risques inspirée des modèles d'évaluation des actifs financiers. Alors que la GAP est presque exclusivement appliquée aux banques et aux compagnies d'assurance, nous estimons des probabilités de défaut de firmes industrielles. Nous disposons de données comptables d'entreprises françaises dont nous savons si elles ont déposé leur bilan. Appliquant le modèle de Janssen [1992], nous supposons que l'actif et le passif net des fonds propres suivent des processus browniens géométriques. Nous déterminons alors la probabilité d'insolvabilité – probabilité que les fonds propres deviennent négatifs – que nous analysons comme la probabilité de défaut. Un classement des entreprises en deux groupes – entreprises saines et entreprises vulnérables – est réalisé à partir des probabilités de défaut et d'une probabilité seuil. Cette classification est confrontée à la réalité des entreprises afin de calculer un taux de bons classements. La méthode du bootstrap est utilisée pour valider nos résultats. Une comparaison est faite avec les résultats des études relatives à la prédiction de la faillite ; les probabilités de défaut estimées constituent un bon indicateur du risque de faillite de un à trois ans avant le dépôt de bilan.

Mots clefs : risque de défaut des entreprises, gestion actif-passif, modélisation stochastique, prévision de la faillite.

Classification JEL : C10, G12, G33.

Abstract

An alternative method is proposed to estimate corporate default risk, beside multivariate models such as multiple discriminant analysis or neural networks. We use an Asset Liability Management method of risk estimation. This method is based on corporate bond valuation models. Whereas ALM is quite exclusively used by banks and insurance companies, we assess probabilities of default for French industrial firms. Following Janssen [1992], we suppose that the dynamics for the total assets and the total liabilities can be described by geometric Brownian motions. The probability of insolvency – i.e. the probability that net worth is negative – is then estimated and analysed as the probability of default. A repartition of the firms into two groups is done from the computed probabilities. A threshold is chosen; any firm whose probability is lower than the threshold is classified in the group of the non-failed companies. Any firm whose probability is higher than the threshold is classified in the group of the failed companies. Rate of correct classification is assessed from bootstrap samples and compared to other business failure prediction models. The assessed probabilities discriminate the firms that filed for bankruptcy from the healthy firms one year but also two and three years prior to failure. Our study provides a simple and accurate indicator of corporate bankruptcy risk and proves that empirical applications of stochastic calculus to industrial firms allow to obtain good results.

**Key words:** corporate bankruptcy, default risk estimation, asset-liability management, diffusion process.

JEL Classification: C10, G12, G33.
# 1. Introduction

Même si le nombre de dépôts de bilan en France décroît depuis 1994, les défaillances d'entreprises constituent encore un phénomène fréquent, générateur de pertes financières et d'instabilité. Prévoir la faillite est primordial pour que les dirigeants, mais aussi les partenaires commerciaux et financiers, voire les pouvoirs publics, puissent prendre à temps les décisions à même de préserver leurs intérêts ou ceux de la collectivité. La mise en faillite d'une entreprise en défaut de paiement dépend des choix financiers de ses créanciers, choix difficilement prévisibles. Aussi le risque de faillite est-il souvent appréhendé *via* le risque de défaut<fnref n="1" />, plus aisément analysable.

L'évaluation du risque de défaut d'une entreprise relève de deux types d'approches. La première, de nature empirique, se fonde sur l'analyse économique et financière d'entreprises défaillantes<fnref n="2" /> et d'entreprises non défaillantes. Elle détermine les variables comptables qui distinguent au mieux les deux catégories de firmes. Elle établit alors une relation statistique entre les variables comptables retenues et l'appartenance des entreprises à l'un des deux groupes. La méthodologie la plus usitée est l'analyse discriminante multicritère. Elle recourt à des techniques traditionnelles paramétriques linéaires ou quadratiques<fnref n="3" /> ou à des méthodes plus récentes d'estimation non paramétriques (Calia et Ganuci [1997]), aux contraintes statistiques plus souples. D'autres techniques ont été appliquées à la prévision des faillites comme les régressions sur données qualitatives (Ohlson [1980], Flagg et al. [1991]) ou les algorithmes de partitionnement récursif (Frydman et al. [1985]). Les méthodologies empruntées à l'étude de l'intelligence artificielle, comme les réseaux de neurones (Kira et al. [1997], Bardos et Whu [1998]) ou les algorithmes génétiques (Varetto [1998]) ont récemment connu des développements importants.

L'ensemble de ces méthodes parviennent avec efficacité à prévoir la défaillance : les taux d'erreur sont assez faibles voire très faibles, de 30% à 3% selon les études. Leur inconvénient majeur est qu'elles nécessitent l'exploitation de données comptables détaillées. Leur utilisation est plutôt le fait des institutions financières et des agences de ratings.

La seconde approche du risque de défaut relève de la finance de marché et se fonde sur une définition *a priori* et théorique de la défaillance<fnref n="4" />. Deux catégories de modèles existent actuellement. La première est née des travaux fondateurs de Black et Scholes [1973]. Le défaut est défini de manière structurelle et dépend de la valeur de l'actif de la firme, modélisée par un processus de diffusion. L'entreprise est supposée défaillante lorsque la valeur de son actif devient inférieur à un certain seuil, à l'échéance de la dette (Merton [1974]) ou à tout instant la précédant (Black et Cox [1976]). Le seuil considéré peut être déterministe (Longstaff et Shwartz [1995]), exogène ou égal à la valeur nominale de la dette, mais il peut

<footnote n="1">¹ Le risque de défaut est le risque qu'une entreprise soit dans l'incapacité de faire face à ses engagements financiers envers ses créanciers. Le risque de faillite est le risque qu'une entreprise dépose son bilan.</footnote>

<footnote n="2">² La majorité des études définissent la défaillance comme l'ouverture d'une procédure judiciaire ; elles considèrent alors le risque de faillite. Certaines optent pour une acceptation plus large et considèrent tout incident de paiement comme une défaillance. Elles envisagent alors le risque de défaut.</footnote>

<footnote n="3">³ Voir notamment les modèles fondateurs Beaver [1966] et Altman [1968] et plus récemment Bardos [1998], Mossman et al. [1998].</footnote>

<footnote n="4">⁴ Dans l'optique des modèles d'évaluation des actifs financiers, défaut et défaillance sont synonymes.</footnote>
également être stochastique (Bryis et Varenne [1997]). La seconde catégorie de modèles est plus récente (Jarrow et Turnbull [1995], Duffee [1999]). La faillite est modélisée comme un événement aléatoire, par exemple par le saut d'une loi de Poisson, sur lequel la valeur de l'entreprise n'a pas d'influence. Même si ces modèles proposent une expression analytique de la probabilité de défaut, rares en sont les estimations empiriques (par exemple Leland et Toft [1996]) car leur objectif premier est l'évaluation des obligations privées soumises au risque de défaut.

Certaines méthodes de Gestion Actif – Passif relèvent de cette approche. L'objectif de la GAP est en effet de coordonner les postes de l'actif et du passif d'une entreprise afin de maximiser la rentabilité des fonds propres dans le cadre d'une gestion saine des risques. La GAP se doit préalablement d'estimer les risques créés par l'asymétrie entre les différentes composantes du bilan, notamment le risque de taux, le risque de liquidité et le risque d'insolvabilité. Le risque d'insolvabilité est le risque que la valeur totale des actifs d'une entreprise devienne inférieure à son endettement global. Aussi, en retenant la définition théorique du défaut utilisée par Black et Scholes [1973] et Merton [1974], pouvons-nous analyser le risque d'insolvabilité comme le risque de défaut. Une des méthodes de mesure des risques fréquemment utilisées par la GAP consiste à modéliser la dynamique suivie par les différents postes du bilan afin de prévoir leur évolution. Une modélisation stochastique, inspirée de Black et Scholes [1973], est souvent retenue. Dans cette optique, Janssen [1992] élabore un modèle théorique de Gestion Actif – Passif en supposant que les dynamiques des postes du bilan suivent des processus browniens géométriques. Il en déduit la probabilité de défaut de l'entreprise qu'il définit comme la probabilité que ses fonds propres deviennent négatifs.

Nous proposons d'appliquer le modèle théorique de Janssen [1992] en estimant le risque d'insolvabilité d'un large échantillon de 1186 entreprises industrielles, à partir de données extraites de la Centrale des Bilans de la Banque de France. Afin de savoir si la probabilité d'insolvabilité estimée constitue un bon indicateur du risque de faillite, nous étudions son aptitude à distinguer les entreprises saines des entreprises qui ont effectivement déposé leur bilan. La qualité discriminante de l'indicateur est appréhendée par le taux de bons classements des entreprises qu'il fournit. Comme nous ne disposons que d'un échantillon unique, nous recourons à la méthode du bootstrap.

L'originalité de notre étude est double. Face aux modèles multicritères de prévision de la faillite nous proposons un indicateur de risque qui s'appuie sur le seul risque d'insolvabilité et n'exige que de connaître l'actif total et l'endettement total sur plusieurs années. Nous appliquons à des entreprises industrielles un outil de la gestion actif-passif fondé sur une modélisation stochastique des bilans alors que la GAP est actuellement utilisée presque exclusivement par les banques et par les compagnies d'assurance pour la maîtrise de leurs risques. De même, les études empiriques qui illustrent les principes de gestion actif-passif n'exploitent que des bilans de banques ou de compagnies d'assurance<fnref n="5" />.

La section [2] développe la modélisation par des processus browniens géométriques de l'actif et du passif des entreprises et l'expression analytique de la probabilité de défaut. Les données sont présentées

<footnote n="5">⁵ Par exemple, Ars et Janssen [1994] applique le modèle de Janssen [1992] au bilan d'une compagnie d'assurance.</footnote>
dans la section [3]. La section [4] décrit la démarche empirique et expose les résultats. La section [5] conclut en présentant les principaux prolongements envisagés.

## 2. Hypothèses et résultats théoriques

### 2.1. Modélisation de l'actif et du passif

Nous supposons que l'actif $A(t)$ et le passif net des fonds propres $P(t)$ suivent des processus browniens géométriques. L'actif $A(t)$ et le passif net des fonds propres $P(t)$ vérifient alors respectivement les équations différentielles stochastiques suivantes :

$$dA(t) = \mu_A A dt + \sigma_A A dW_A \quad \text{avec} \quad A(0) = A_0 \qquad (1)$$

$$dP(t) = \mu_p P dt + \sigma_p P dW_p \quad \text{avec} \quad P(0) = P_0 \qquad (1^{\text{bis}})$$

où $W_A$ et $W_p$ sont des processus de Wiener standards unidimensionnels<fnref n="6" />.

Soit $W = (W(t), t \ge 0)$ le processus de Wiener standard bidimensionnel tel que $W(t) = (W_A(t), W_p(t))$.

$$\text{Il vérifie : } E[dW(t)dW(t)^T] = \Sigma dt \quad \text{avec } \Sigma = \begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix}.$$

L'application du lemme d'Ito permet d'établir de façon standard<fnref n="7" /> que les processus suivis par $A(t)$ et $P(t)$ sont tels que :

$$A(t) = A_0 \exp\left[ \left( \mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2} \right) t + \sigma_A W_A(t) \right] \qquad (2)$$

$$P(t) = P_0 \exp\left[ \left( \mu_p - \frac{\sigma_p^2}{2} \right) t + \sigma_p W_p(t) \right]$$

$$\text{où } \left( \mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2} \right) t + \sigma_A W_A(t) \text{ et } \left( \mu_p - \frac{\sigma_p^2}{2} \right) t + \sigma_p W_p(t) \text{ sont des processus de Wiener généralisés.}^8$$

### 2.2. Probabilité d'insolvabilité

Nous considérons que l'entreprise est défaillante si elle est insolvable, optant pour une vision du défaut en termes de stock<fnref n="9" />. L'insolvabilité se caractérise par une valeur totale de l'actif insuffisante pour combler l'ensemble des dettes, c'est à dire par des fonds propres négatifs. Si nous notons $a(t)$ le logarithme du rapport entre l'actif et le passif net alors le défaut survient la première fois que $a(t)$ devient inférieur à zéro. Le lemme d'Ito permet d'établir que $a(t)$ est solution de l'équation différentielle stochastique<fnref n="10" /> :

$$da = \mu dt + \sigma d\overline{W} \quad \text{avec } a(0) = a_0 = \ln\left(\frac{A_0}{P_0}\right) \qquad (3)$$

<footnote n="6">⁶ Rappelons qu'un processus de Wiener standard unidimensionnel ($W_X(t), t \ge 0$) vérifie les propriétés suivantes : $W_X(0)=0$ ; $W_X$ est un processus à accroissements indépendants et stationnaires ; $\forall s$ avec $0 \le s \le t$ la variable $W_X(t)-W_X(s)$ suit une loi normale centrée de variance $t-s$ ; $\forall s, \forall t$ avec $s \le t$ $E[W_X(s)W_X(t)]=s$.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Voir en annexe l'énoncé du lemme d'Ito et son application au mouvement brownien géométrique. (Annexes 1&2)</footnote>

<footnote n="8">⁸ Rappelons qu'un processus de Wiener généralisé $X(t)$ tel que $dX(t) = \mu dt + \sigma dW_X(t)$ (où $W_X(t)$ est un processus de Wiener standard) vérifie la propriété suivante : $\forall s$ avec $0 \le s \le t$ $W_X(t)-W_X(s) \sim N(\mu(t-s); \sigma^2(t-s))$.</footnote>

<footnote n="9">⁹ Nous employerons donc indifféremment les termes défaut et insolvabilité.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Démonstration en Annexe 3.</footnote>
où $\overline{W}$ est un processus de Wiener standard.

Les paramètres $\mu$ et $\sigma$ vérifient :

$$ \mu = \mu_A - \mu_P - \frac{1}{2}(\sigma_A^2 - \sigma_P^2) \quad (4) $$

$$ \sigma^2 = \sigma_A^2 + \sigma_P^2 - 2\varphi(\sigma_A \sigma_P) $$

L'équation (3) se réécrit :

$$ a(t) = a_0 + \mu t + \sigma \overline{W}(t) \quad (5) $$

Nous désirons connaître la probabilité d'insolvabilité $\pi$ de l'entreprise à un horizon $T$ ($T \ge t_0$). Plus explicitement, $\pi$ est la probabilité que les fonds propres soient négatifs ou nuls à une date $\tau \in [t_0; T]$.

$\tau$, instant auquel survient l'éventuelle insolvabilité, se définit par : $\tau = \inf\{t/a(t) \le 0, t \ge t_0\}$. $\tau$ peut s'analyser comme le temps d'arrêt du processus $a(t)$ sur l'intervalle $]-\infty; 0]^n$.

Soient $G(\tau; a_0, t_0)$ la fonction de distribution<fnref n="12" /> de $\tau$ et $g(\tau; a_0, t_0)$ sa fonction de densité. $G(T; a_0, t_0)$ exprime donc la probabilité que le temps d'arrêt $\tau$ soit survenu avant la date $T$, c'est à dire la probabilité d'insolvabilité à un horizon $T$.

La résolution de l'équation différentielle de Kolmogorov – que vérifie la fonction de densité de tout processus de Wiener – permet d'établir que la probabilité que les fonds propres soient négatifs ou nuls avant la date $T$ est<fnref n="13" /> :

$$ \pi = N\left(\frac{-a_0 - \mu(T - t_0)}{\sigma\sqrt{T - t_0}}\right) + \exp\left(\frac{-2a_0\mu}{\sigma^2}\right)N\left(\frac{-a_0 + \mu(T - t_0)}{\sigma\sqrt{T - t_0}}\right) \quad (6) $$

où $N(\cdot)$ exprime la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

En particulier, si nous considérons un horizon temporel infini, la probabilité est égale à :

$$ \pi = \begin{cases} \exp\left(\frac{-2a_0\mu}{\sigma^2}\right) & \text{pour } \mu > 0 \\ 1 & \text{pour } \mu \le 0 \end{cases} \quad (7) $$

La probabilité d'insolvabilité d'une entreprise dépend négativement de la tendance $\mu$ du processus suivi par le logarithme du ratio actif total sur passif net, c'est à dire de l'espérance de ses accroissements instantanés. En revanche, la probabilité croît avec la variance $\sigma''$ des accroissements instantanés de $a(t)$.

La probabilité d'insolvabilité est enfin corrélée négativement avec la valeur initiale $a_0$ du ratio actif total sur passif net et positivement avec l'horizon temporel considéré $T$. Soulignons que lorsque la tendance du processus suivi par le logarithme du ratio actif total sur passif net est négative ou nulle, alors l'insolvabilité est certaine à un horizon infini ($\pi = 1$).

<footnote n="11">¹¹ Rappelons que le temps d'arrêt d'un processus $x(t)$ sur un intervalle $I$ est le premier instant $t$ pour lequel on a $x(t) \in I$.</footnote>

<footnote n="12">¹² $G(\tau; a_0, t_0)$ n'est pas une fonction de répartition au sens strict car sa valeur en l'infini n'est égale à l'unité que si l'insolvabilité est certaine à un horizon temporel infini. Elle est inférieure à l'unité si l'insolvabilité est incertaine pour cet horizon.</footnote>

<footnote n="13">¹³ Voir démonstration en Annexe 4.</footnote>
# 3. Présentation des données

Nous décrivons succinctement les données utilisées puis nous montrons, à l'aide de statistiques descriptives, que le ratio actif total sur passif net distingue convenablement les entreprises défaillantes des entreprises non-défaillantes.

## 3.1. Les entreprises

Les données utilisées sont des variables comptables annuelles extraites de la Centrale des Bilans de la Banque de France. Elles concernent 1186 entreprises dont 1125 entreprises non défaillantes et 61 entreprises défaillantes. Par entreprises non défaillantes nous entendons les entreprises qui n'avaient pas fait l'objet d'une procédure judiciaire au 30 juin 1998, à l'inverse des entreprises défaillantes. Afin d'éliminer au moins partiellement les effets sectoriels et de permettre ainsi des comparaisons plus significatives entre les entreprises, nous ne considérons que des firmes du secteur des biens intermédiaires.

Les données relatives aux 1125 entreprises non défaillantes sont connues pour 13 années successives, de 1985 à 1997 inclus. La base des entreprises défaillantes n'est en revanche pas cylindrée. Selon les entreprises, le nombre d'années successives disponibles varie entre 10 et 26, la première observation s'échelonne entre 1971 et 1988 et la dernière observation entre 1991 et 1998. Nous prenons en considération l'intégralité des observations antérieures au dépôt de bilan ; en revanche nous éliminons les observations qui lui sont postérieures<fnref n="14" />. L'efficacité de l'indicateur est en effet jugée par sa capacité à discriminer correctement les entreprises défaillantes – avant leur dépôt de bilan – des entreprises non défaillantes. Afin que les deux échantillons soient effectivement représentatifs d'entreprises saines et d'entreprises à la défaillance imminente, il faut donc omettre les comptes postérieurs au dépôt de bilan<fnref n="15" />. Si nous notons D l'année du dépôt de bilan, alors la dernière observation prise en compte est celle de l'année D-1.

## 3.2. Valeur du ratio actif sur passif net : comparaison entre les deux échantillons

La définition du défaut retenue se fonde sur le ratio actif total sur passif net des fonds propres. Nous avons opté pour une conception large des fonds propres : nous y incluons la totalité du financement propre, c'est à dire le capital social, les réserves d'autofinancement et les provisions. Les comptes de groupes et d'associés y sont également intégrés car il est envisageable de les considérer comme des quasi fonds propres. Le passif net est alors composé de l'ensemble de l'endettement : les emprunts bancaires, les éventuelles dettes obligataires, les concours bancaires courants, les autres dettes financières et les dettes d'exploitation.

<footnote n="14">¹⁴ Le dernier bilan n'est pas nécessairement antérieur à l'ouverture de la procédure de redressement judiciaire, puisque l'entreprise peut survivre à cet événement.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ L'ouverture d'une procédure de redressement judiciaire est généralement suivie d'une suspension du recouvrement des créances voire d'un plan de redressement et de renégociation du passif. La structure du bilan de l'entreprise est alors modifiée et elle n'est plus nécessairement représentative d'une situation de crise financière.</footnote>
Préalablement à l'estimation des probabilités d'insolvabilité, il convient de vérifier si le ratio actif total sur passif net des fonds propres distingue correctement les entreprises défaillantes des entreprises non-défaillantes. Les probabilités d'insolvabilité estimées pour les entreprises défaillantes seront en effet significativement supérieures aux probabilités d'insolvabilité estimées pour les entreprises non-défaillantes si le ratio actif total sur passif net présente une espérance plus faible ou une variance individuelle plus forte au sein de la population des entreprises défaillantes. Aussi présentons-nous succinctement quelques statistiques relatives à la distribution du ratio actif total sur passif net au sein des deux échantillons. Rappelons que le ratio possède deux dimensions : une dimension individuelle et une dimension temporelle. Nous calculons donc les moyennes, les écart-types, les variances totales, *within* et *between*<fnref n="16" /> et les quartiles<fnref n="17" /> du ratio actif total sur passif net envisagé dans sa globalité – tableaux (1) et (2) – mais également des moyennes individuelles – tableau (3) – et des moyennes annuelles – tableau (4).

<table><caption>**Tableau 1**

Statistiques descriptives du ratio Actif Total/Passif Net au sein des deux échantillons</caption><thead><tr><th></th><th>Entreprises Non Défaillantes</th><th>Entreprises Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><td>Moyenne globale (*)</td><td>3,0401</td><td>2,0585</td></tr><tr><td>Ecart-type total</td><td>1,9156</td><td>0,8272</td></tr><tr><td>Variance totale (*)</td><td>3,6696</td><td>0,6843</td></tr><tr><td>Variance Within (*)</td><td>1,2386</td><td>0,2732</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>1,0128</td><td>0,9721</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>1,9174</td><td>1,5740</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>2,4785</td><td>1,7998</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>3,4929</td><td>2,2576</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>36,5327</td><td>7,9975</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 2**

Moyenne et variance des extrema individuels au sein des deux échantillons</caption><thead><tr><th></th><th>Entreprises Non Défaillantes</th><th>Entreprises Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td colspan="2" style="text-align: center;">Minima individuels</td></tr><tr><td>Moyenne (*)</td><td>2,0245</td><td>1,5300</td></tr><tr><td>Variance (*)</td><td>0,5796</td><td>0,1082</td></tr><tr><td></td><td colspan="2" style="text-align: center;">Maxima individuels</td></tr><tr><td>Moyenne (*)</td><td>4,5345</td><td>2,8874</td></tr><tr><td>Variance (*)</td><td>9,5109</td><td>1,7727</td></tr></tbody></table>

<footnote>(*) Variable significativement différente entre les deux échantillons au seuil de 5%.¹⁸</footnote>

<footnote>(*) Variable significativement différente entre les deux échantillons au seuil de 5%.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ La variable considérée possédant une dimension individuelle et une dimension temporelle, sa variance totale peut se décomposer en variance *within* et en variance *between*. Cf. Annexe 5.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Les tests de significativité relatifs aux quartiles n'ont pas été réalisés. Néanmoins, les écarts constatés entre les deux populations sont du signe attendu et confortent l'idée que le ratio actif total sur passif net discrimine correctement les deux échantillons.</footnote>

<footnote n="18">¹⁸ Cf. Annexe 6.</footnote>
## Tableau 3

<table><caption>Statistiques descriptives des moyennes individuelles du ratio Actif Total/Passif Net au sein des deux échantillons</caption><thead><tr><th></th><th>Entreprises Non Défaillantes</th><th>Entreprises Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><td>Moyenne (*)</td><td>3,0401</td><td>2,0585</td></tr><tr><td>Ecart-type</td><td>1,5592</td><td>0,6412</td></tr><tr><td>Variance (Between) (*)</td><td>2,4310</td><td>0,4111</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>1,2675</td><td>1,1158</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>2,0506</td><td>1,6208</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>2,6166</td><td>1,8480</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>3,5222</td><td>2,3045</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>14,4373</td><td>4,1787</td></tr></tbody></table>

## Tableau 4

<table><caption>Statistiques descriptives des moyennes temporelles du ratio Actif Total/Passif Net au sein des deux échantillons</caption><thead><tr><th></th><th>Entreprises Non Défaillantes</th><th>Entreprises Défaillantes<sup>19</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Moyenne (*)</td><td>3,0401</td><td>2,0913</td></tr><tr><td>Ecart-type</td><td>0,5309</td><td>0,0650</td></tr><tr><td>Variance (*)</td><td>0,2818</td><td>0,0042</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>2,2980</td><td>1,9906</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>2,5117</td><td>2,0163</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>2,9799</td><td>2,0694</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>3,4818</td><td>2,1730</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>3,9017</td><td>2,1805</td></tr></tbody></table>

L'ensemble des statistiques présentées tendent à montrer que le ratio actif total sur passif net des fonds propres discrimine effectivement les deux populations. Premièrement, la moyenne du ratio calculée sur l'intégralité des observations est significativement supérieure pour l'échantillon des entreprises non défaillantes. L'idée que le ratio envisagé dans sa globalité est fortement discriminant est renforcée par l'observation des trois quartiles et du maximum : un écart important existe entre les deux populations. Deuxièmement, la moyenne des minima individuels de l'échantillon des défaillantes est significativement inférieure à celle de l'échantillon des entreprises non défaillantes ainsi que la moyenne des maxima individuels des firmes. Enfin, les moyennes individuelles mais aussi les moyennes temporelles se caractérisent également par une espérance et trois quartiles plus élevés pour les entreprises non défaillantes. Soulignons néanmoins que la moyenne des minima individuels est égale à 1,53, valeur assez élevée. Aussi, estimerons-nous pour chaque entreprise différentes probabilités de défaut en considérant que le défaut survient dès que les fonds propres sont négatifs puis dès qu'ils atteignent un certain seuil strictement positif.

<footnote>(*) Variable significativement différente entre les deux échantillons au seuil de 5%.</footnote>

<footnote>(*) Variable significativement différente entre les deux échantillons au seuil de 5%.</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ Afin de calculer des moyennes temporelles pour un nombre constant d'individu, nous ne prenons en compte que le nombre maximal d'observations disponibles pour l'intégralité des firmes, soit les dix dernières années précédant le dépôt de bilan.</footnote>
# 4. Démarche empirique et résultats

## 4.1. Estimation des paramètres

Nous devons estimer pour chaque entreprise cinq paramètres constants : $\mu_A$, $\mu_P$, $\sigma_A$, $\sigma_P$ et $\varphi$.

Les relations (2), donnant l'expression analytique des processus suivis par l'actif total $A(t)$ et le passif net des fonds propres $P(t)$ peuvent se réécrire :

$$ 
\begin{aligned}
\ln A(t) - \ln A_0 &= \left( \mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2} \right) t + \sigma_A W_A(t) \\
\ln P(t) - \ln P_0 &= \left( \mu_P - \frac{\sigma_P^2}{2} \right) t + \sigma_P W_P(t)
\end{aligned}
\qquad (8) $$

Puisque $\left(\mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2}\right)t + \sigma_A W_A(t)$ et $\left(\mu_P - \frac{\sigma_P^2}{2}\right)t + \sigma_P W_P(t)$ sont des processus de Wiener généralisés, $\ln A(t) - \ln A(s)$ suit une loi normale d'espérance $\left(\mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2}\right)(t-s)$ et de variance $\sigma_A^2(t-s)$. De même $\ln P(t) - \ln P(s)$ suit une loi normale d'espérance $\left(\mu_P - \frac{\sigma_P^2}{2}\right)(t-s)$ et de variance $\sigma_P^2(t-s)$.

En particulier $[\ln A(t) - \ln A(t-1)] \sim N\left(\mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2}, \sigma_A^2\right)$ et $[\ln P(t) - \ln P(t-1)] \sim N\left(\mu_P - \frac{\sigma_P^2}{2}, \sigma_P^2\right)^{20}$.

Nous utilisons les estimateurs que sont la moyenne et la variance empiriques :

$\bar{M}_A = \sum_{t=2}^{n} \frac{\ln A(t) - \ln A(t-1)}{n-1}$ et $\bar{M}_P = \sum_{t=2}^{n} \frac{\ln P(t) - \ln P(t-1)}{n-1}$ constituent des estimateurs non biaisés respectivement de $\mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2}$ et de $\mu_P - \frac{\sigma_P^2}{2}$;

$\bar{V}_A = \sum_{t=2}^{n} \frac{([\ln A(t) - \ln A(t-1)] - \bar{M}_A)^2}{n-2}$ et $\bar{V}_P = \sum_{t=2}^{n} \frac{([\ln P(t) - \ln P(t-1)] - \bar{M}_P)^2}{n-2}$ constituent des estimateurs non biaisés respectivement de $\sigma_A^2$ et de $\sigma_P^2$;

$\varphi$ est estimé par le coefficient de corrélation linéaire empirique $\bar{r}$ :

$$ \left[ \sum_{t=2}^{n} \frac{([\ln A(t) - \ln A(t-1)] - \bar{M}_A) ([\ln P(t) - \ln P(t-1)] - \bar{M}_P)}{n-2} \right] / \left[ (n-2) \sqrt{\bar{V}_A \bar{V}_P} \right] $$

<footnote n="20">20 Nous réalisons le test de Jarque et Bera afin de valider cette hypothèse. Rappelons que ce test se fonde sur le calcul de la skewness (l'asymétrie) et la kurtosis (l'aplatissement) observée sur l'échantillon d'une variable X supposée suivre une loi normale. L'hypothèse nulle est $H_0$ : la variable X est normalement distribuée. Soit $\mu_k$ le moment centré d'ordre k : $\mu_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^k$. Le coefficient de skewness est $\beta_1^{\frac{1}{k}} = \frac{\mu_3}{(\mu_2)^{\frac{1}{k}}}$ ; Le coefficient de kurtosis est $\beta_2 = \frac{\mu_4}{(\mu_2)^2}$. Le test de Jarque et Bera utilise la statistique $S = \frac{n}{6} \times \beta_1 + \frac{n}{24} \times (\beta_2 - 3)^2$ qui suit un $\chi^2$ de degré de liberté égal à 2 sous $H_0$. Les résultats obtenus sont satisfaisants.</footnote>
## 4.2. Statistiques descriptives des probabilités d'insolvabilité estimées et comparaison entre les entreprises défaillantes et les entreprises non défaillantes

Pour chaque entreprise nous estimons sa probabilité d'être insolvable à un horizon de trois ans et sa probabilité d'être insolvable à un horizon temporel infini. A partir de l'étude statistique des probabilités estimées nous jugeons si elles constituent un bon indicateur du risque de faillite. La prévision à un an du dépôt de bilan est d'abord envisagé : les probabilités calculées à partir de l'intégralité des observations antérieures à la faillite discriminent-elles correctement les entreprises défaillantes des entreprises non défaillantes ? Dans un second temps nous discutons la qualité prédictive des probabilités de deux à quatre ans avant la faillite, c'est à dire lorsque sont omises les dernières observations pour chaque entreprise défaillante.

### 4.2.1. Les probabilités d'insolvabilité estimées un an avant la faillite

Nous estimons les probabilités d'insolvabilité à partir de l'intégralité des observations disponibles et pertinentes. Pour les entreprises non-défaillantes, l'intervalle considéré est ainsi [1985;1997]. Pour les entreprises défaillantes, si nous notons $t_0$ la date de la première observation et D la date du dépôt de bilan, alors l'intervalle considéré est $[t_0;D-1]$. Les deux probabilités obtenues sur chaque sous population présentent les caractéristiques statistiques suivantes :

<table><caption>**Tableau 5**

Statistiques descriptives des probabilités d'insolvabilité estimées à un horizon temporel infini et à un horizon de trois ans pour les deux échantillons</caption><thead><tr><th rowspan="2">Horizon temporel<br>Entreprises</th><th colspan="2">A l'infini</th><th colspan="2">A trois ans</th></tr><tr><th>Non Défaillantes</th><th>Défaillantes</th><th>Non Défaillantes</th><th>Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><td>Moyenne globale (*)</td><td>0,2562</td><td>0,7031</td><td>0,0978</td><td>0,2888</td></tr><tr><td>Ecart-type total</td><td>0,3379</td><td>0,3487</td><td>0,1468</td><td>0,1951</td></tr><tr><td>Variance totale (*)</td><td>0,1142</td><td>0,1216</td><td>0,0215</td><td>0,0381</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>0</td><td>0,0001</td><td>0</td><td>0,0001</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>0,0074</td><td>0,3788</td><td>0,0026</td><td>0,1353</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>0,0897</td><td>0,8638</td><td>0,0315</td><td>0,2521</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>0,3729</td><td>1</td><td>0,1353</td><td>0,4016</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>1</td><td>1</td><td>0,9108</td><td>0,8567</td></tr></tbody></table>

L'analyse statistique des probabilités estimées à un horizon infini indique qu'elles possèdent une bonne qualité descriptive. Premièrement, les probabilités de faillite des entreprises non défaillantes ont une espérance égale à 0,2562 contre 0,7031 pour les entreprises défaillantes. Deuxièmement, le premier et le troisième quartile sont fortement supérieurs au sein de l'échantillon des entreprises défaillantes. Enfin, la qualité discriminante des probabilités estimées apparaît encore plus nettement à l'observation de la médiane puisqu'elle est égale à 0,8638 pour les entreprises défaillantes alors qu'elle ne vaut que 0,0897 pour les entreprises non-défaillantes.

Lorsque les probabilités sont calculées à un horizon de trois ans, elles restent discriminantes. Les moyennes des probabilités sont significativement plus élevées pour les entreprises défaillantes ; même si l'écart absolu entre les quartiles est moindre, l'écart relatif demeure important.

<footnote>(*) Variable significativement différente entre les deux échantillons au seuil de 5%.</footnote>
L'observation des graphiques de la répartition des probabilités estimées à l'infini et à trois ans pour chacun des deux échantillons confirme ces résultats.

Graphique 1

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Densité des probabilités d'insolvabilité estimées pour un horizon temporel infini</figcaption></figure>

Les probabilités estimées à l'infini distinguent convenablement les entreprises défaillantes des entreprises non défaillantes. En effet 51,64% des entreprises non défaillantes ont une probabilité estimée inférieure à 10% contre 6,56% des entreprises défaillantes ; 80,62% des entreprises non défaillantes ont une probabilité inférieure à 50% contre 31,15% des entreprises défaillantes ; 12,80% des entreprises non défaillantes présentent une probabilité supérieure à 90% contre 47,54% des entreprises défaillantes. 127 entreprises non défaillantes présentent une probabilité estimée égale à un (11,29% de l'ensemble des entreprises non défaillantes) alors que 28 entreprises défaillantes ont une probabilité estimée égale à un, soit 45,9% de l'ensemble des entreprises défaillantes.

Le graphique (2) montre que considérer une échéance de trois ans réduit logiquement les probabilités estimées des entreprises non défaillantes : 70,67% d'entre elles présentent une probabilité inférieure à 10%, 96,62% d'entre elles une probabilité inférieure à 50% et 0,1% d'entre elles une probabilité supérieure à 90%. Les probabilités estimées pour les entreprises défaillantes sont aussi logiquement réduites par la diminution de l'échéance envisagée : 19,67% d'entre elles ont une probabilité d'insolvabilité inférieure à 10%, 83,61% d'entre elles une probabilité inférieure à 50% et enfin aucune ne présente de probabilité supérieure à 90%. Il est donc difficile de juger à la seule étude des statistiques descriptives si les probabilités estimées pour un horizon de trois ans sont plus ou moins discriminantes que les probabilités estimées pour un horizon temporel infini.
Graphique 2

Densité des probabilités d'insolvabilité estimées pour un horizon de trois ans

Entreprises Non Défaillantes

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Entreprises Défaillantes

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Afin de juger plus précisément si les probabilités estimées constituent un bon indicateur du risque de faillite, nous utilisons le critère retenu par l'ensemble des études relatives à la prédiction de la défaillance : le taux de bons classements. Aussi une répartition des entreprises en deux classes doit-elle être effectuée à partir de la seule connaissance des probabilités de défaut estimées. Un seuil de probabilité est choisi ; toute entreprise présentant une probabilité inférieure à ce seuil est alors considérée comme bénéficiant d'une situation globalement satisfaisante et elle est classée dans le groupe des entreprises supposées non défaillantes ; si au contraire la probabilité de défaut estimée est supérieure ou égale à ce seuil, la situation de l'entreprise est considérée comme défavorable et la firme est classée dans le groupe des entreprises supposées défaillantes.<fnref n="21" /> Après avoir effectué cette répartition de l'ensemble des entreprises en deux groupes - les entreprises considérées comme défaillantes et les entreprises considérées comme non-défaillantes - nous pouvons comparer notre classement à la situation réelle des entreprises et ainsi calculer des taux de bons classements.

Soit $n_{ND}^N$ le nombre d'entreprises non défaillantes qui présentent une probabilité d'insolvabilité estimée inférieure à la probabilité critique $P$. $n_{ND}^D$ est ainsi le nombre d'entreprises non-défaillantes correctement classées. Soit $n_{ND}^D$ le nombre d'entreprises non défaillantes présentant une probabilité d'insolvabilité

<footnote n="21">²¹ Afin de s'assurer que toute entreprise classée parmi les entreprises non défaillantes est effectivement représentative d'une situation financière saine, il faudrait omettre les dernières observations. Par exemple, si nous considérons la période [1985 ; 1994], nous sommes sûrs que les entreprises ne vont pas déposer leur bilan à un horizon de trois ans et qu'elles bénéficient d'un bonne santé financière. Si au contraire, nous considérons la période [1985 ; 1997], certaines entreprises considérées comme non défaillantes peuvent en réalité déposer leur bilan en 1998 ou en 1999 et ne plus alors être représentatives d'une situation pérenne. Une solution réside en l'abandon des trois dernières observations. Elle n'a pas été retenue pour des raisons statistiques : elle implique en effet de ne considérer que 10 observations. Les résultats sont néanmoins présentés en annexe 7. Le taux de bons classements donné par les probabilités estimées à trois ans est alors accru.</footnote>
estimée supérieure ou égale à P. $n_{ND}^D$ est le nombre d'entreprises non-défaillantes mal classées. Le taux de bons classements des entreprises non défaillantes est : $\frac{n_{ND}^{ND}}{n_{ND}^{ND} + n_{ND}^D}$.

De la même manière, si nous notons $n_D^{ND}$ et $n_D^D$ le nombre d'entreprises défaillantes présentant une probabilité d'insolvabilité respectivement inférieure et supérieure ou égale à P, c'est à dire respectivement incorrectement et correctement classées, alors le taux de bons classements parmi les entreprises défaillantes est : $\frac{n_D^D}{n_D^D + n_D^{ND}}$.

Le seuil est choisi de manière à maximiser la somme des deux taux de bons classements. Le taux d'erreur de classement - qui est le complément à 100% du taux de bons classements - est alors minimisé.

Nous ne disposons pas d'un échantillon distinct de l'échantillon de base, échantillon à partir duquel sont calculées les probabilités d'insolvabilité et la probabilité seuil. L'estimation du taux d'erreur de classement sur l'échantillon test est biaisé ; aussi recourons-nous à la méthode du bootstrap<fnref n="22" />. 1000 échantillons ont été extraits de l'échantillon initial.

Puisque les probabilités estimées sont plus faibles lorsque l'échéance considérée est de trois ans, le seuil critique est moindre. Alors qu'il correspond à une probabilité d'insolvabilité égale à 32% pour l'horizon temporel infini, il est réduit à 7,5% pour l'horizon de trois ans.

Tableau 6

<table><caption>Estimation du taux de bons classements de l'indicateur calculé à un horizon de trois ans et à un horizon infini</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Seuil</th><th colspan="2">Taux de bons classements au sein des entreprises :</th></tr><tr><th>Non Défaillantes</th><th>Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><th>Horizon infini</th><td>32%</td><td>72,99%</td><td>77,25%</td></tr><tr><th>Horizon de trois ans</th><td>7,5%</td><td>64,87%</td><td>87,30%</td></tr></tbody></table>

Les taux de bons classements obtenus sont très satisfaisants. Considérer une échéance infinie ou une échéance à trois ans ne modifie guère la qualité globale du classement : 72,99% pour les entreprises non-défaillantes et 77,25% pour les entreprises défaillantes dans le cas de l'échéance infinie ; 64,87% pour les entreprises non-défaillantes et 87,30% pour les entreprises défaillantes dans le cas de l'échéance à trois ans. Certes l'indicateur élaboré ici n'atteint pas l'efficacité des modèles multivariés les plus performants<fnref n="23" />. Néanmoins, de nombreuses études relatives à la prédiction de la faillite présentent des taux de bons classements similaires voire légèrement inférieurs<fnref n="24" />. En particulier, le score de la Banque de France<fnref n="25" />

<footnote n="22">²² Cf. Annexe 8.</footnote>

<footnote n="23">²³ Voir par exemple Altman et al. (1994). Deux méthodes sont utilisées : l'analyse discriminante linéaire et les réseaux de neurones. Les deux fournissent un taux de bons classements supérieurs à 90%, tant pour les entreprises défaillantes que pour les entreprises non défaillantes, que l'échantillon test soit l'échantillon de base ou un échantillon différent.</footnote>

<footnote n="24">²⁴ Nous pouvons par exemple citer l'étude de Mossman et al. (1998). L'analyse discriminante sur ratios comptables donne un taux de bons classements de l'ordre de 80% pour les entreprises défaillantes et de l'ordre de 70% pour les entreprises non-défaillantes. Les trois autres méthodologies utilisées aboutissent à des taux inférieurs. La méthode de validation utilisée est la procédure de quasi Jack-Knife.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Soulignons que le score de la Banque de France est élaboré de manière à fournir une prévision de la faillite à trois ans.</footnote>
appliqué à notre échantillon fournit un taux de bons classements égal à 68,85% pour les entreprises défaillantes et un taux de bons classements égal à 91,95% pour les entreprises non défaillantes.

Nous pouvons conclure que les probabilités d'insolvabilité constituent un bon indicateur du risque de faillite un an avant le dépôt de bilan. La modélisation stochastique constitue ainsi une description intéressante des bilans de firmes industrielles; elle permet de distinguer les entreprises saines des entreprises défaillantes avec de faibles taux d'erreurs.

### 4.2.2. Les probabilités d'insolvabilité estimées de deux ans à quatre ans avant la faillite

L'aptitude des probabilités d'insolvabilité à détecter les difficultés des entreprises plusieurs années à l'avance peut également être envisagée. Aussi estimons-nous de nouvelles probabilités d'insolvabilité des entreprises défaillantes en excluant les dernières observations. Nous calculons ensuite de nouveaux taux de bons classements. Nous nous limitons à trois dates : deux ans, trois ans et quatre ans avant la faillite. Nous supprimons ainsi de la dernière aux trois dernières observations. Notons $t_0$ la date de la première observation disponible pour chaque entreprise et D la date du dépôt de bilan. Nous calculons six probabilités d'insolvabilité par entreprise défaillante ; pour chacun des deux horizons temporels considérés (trois ans et horizon infini), trois intervalles de temps sont envisagés : $[t_0;D-4]$, $[t_0;D-3]$ et $[t_0;D-2]$ $^{26}$. Les principales grandeurs statistiques des six probabilités estimées sont présentées dans le tableau 7. Les résultats obtenus à partir de l'intégralité des observations - sur l'intervalle $[t_0;D-1]$ - sont rappelés à titre de comparaison.

<caption>Tableau 7</caption>

Statistiques descriptives des probabilités d'insolvabilité estimées pour les entreprises défaillantes à quatre, trois, deux et un an du dépôt de bilan (horizon infini et horizon de trois ans)

<table><thead><tr><th rowspan="2">Horizon temporel<br>Période d'observation :</th><th colspan="4">A l'infini</th><th colspan="4">A trois ans</th></tr><tr><th>[t<sub>0</sub>; D-4]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-3]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-2]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-1]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-4]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-3]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-2]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-1]</th></tr></thead><tbody><tr><td>Moyenne globale</td><td>0,5332</td><td>0,5719</td><td>0,5744</td><td>0,7031</td><td>0,1883</td><td>0,2007</td><td>0,2217</td><td>0,2888</td></tr><tr><td>Ecart-type total</td><td>0,4061</td><td>0,3862</td><td>0,3864</td><td>0,3487</td><td>0,1826</td><td>0,1904</td><td>0,1801</td><td>0,1951</td></tr><tr><td>Variance totale</td><td>0,1649</td><td>0,1491</td><td>0,1493</td><td>0,1216</td><td>0,0333</td><td>0,0327</td><td>0,0388</td><td>0,0381</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0001</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0001</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>0,1634</td><td>0,1729</td><td>0,2157</td><td>0,3788</td><td>0,0354</td><td>0,0685</td><td>0,0590</td><td>0,1353</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>0,4418</td><td>0,5293</td><td>0,5899</td><td>0,8638</td><td>0,1556</td><td>0,1720</td><td>0,1518</td><td>0,2521</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0,2828</td><td>0,3403</td><td>0,3039</td><td>0,4016</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0,8149</td><td>0,7956</td><td>0,8561</td><td>0,8567</td></tr></tbody></table>

La dernière observation est primordiale puisque, quel que soit l'horizon temporel considéré, les probabilités d'insolvabilité calculées sur l'intervalle $[t_0;D-1]$ sont fortement supérieures aux probabilités calculées à des dates antérieures, au regard de l'espérance. L'observation des deux premiers quartiles confirme l'importance de la dernière observation. En revanche, l'avant dernière et l'antépénultième observations jouent un rôle moins déterminant : les espérances des probabilités d'insolvabilité estimées de D-2 à D-4 ne sont que légèrement différentes entre elles.

<footnote n="26">26 Rappelons qu'au sein de l'échantillon des entreprises défaillantes, le nombre d'observation par entreprise varie entre 10 et 26. La date de la dernière observation étant D-1, $t_0$ varie entre D-26 et D-10.</footnote>
Il convient de vérifier que les nouvelles probabilités d'insolvabilité estimées distinguent convenablement les entreprises défaillantes des entreprises non-défaillantes. Les espérances des probabilités d'insolvabilité estimées en D-2, D-3 et D-4 sont significativement inférieures à l'espérance des probabilités des entreprises non défaillantes<fnref n="27" /> au seuil de 5%. Les trois quartiles présentent également des écarts importants. Les difficultés des entreprises ayant fait l'objet d'un dépôt de bilan se reflètent donc plusieurs années à l'avance dans les probabilités de défaut que nous estimons.

Calculons maintenant les taux de bons classements fournis par les nouvelles probabilités estimées. Comme elles sont en moyenne inférieures aux probabilités estimées précédemment, le seuil de probabilité qui distingue au mieux les entreprises défaillantes des entreprises non-défaillantes est différent. Aussi est-il indispensable de trouver pour chaque sous-période considérée le seuil critique qui maximise la somme des deux taux de bons classements. La méthode du bootstrap est utilisée ; 1000 échantillons sont constitués.

<caption>Tableau 8</caption>

Seuils critiques et taux de bons classements des probabilités de défaut estimées de un an à quatre ans avant le dépôt de bilan (horizon infini et horizon de trois ans)

<table><thead><tr><th>Intervalles d'observation</th><th>[t<sub>0</sub>; D-4]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-3]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-2]</th><th>[t<sub>0</sub>; D-1]</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="5" style="text-align: center;">Horizon infini</td></tr><tr><td>Seuil critique</td><td>0,16</td><td>0,245</td><td>0,215</td><td>0,32</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises non défaillantes</td><td>59,04%</td><td>67,16%</td><td>64,55%</td><td>72,99%</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises défaillantes</td><td>73,40%</td><td>72,50%</td><td>73,89%</td><td>77,25%</td></tr><tr><td colspan="5" style="text-align: center;">Horizon de trois ans</td></tr><tr><td>Seuil critique</td><td>0,175</td><td>0,065</td><td>0,085</td><td>0,075</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises non défaillantes</td><td>71,29%</td><td>59,16%</td><td>66,22%</td><td>64,87%</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises défaillantes</td><td>54,68%</td><td>76,08%</td><td>69,54%</td><td>87,30%</td></tr></tbody></table>

Bien que notre indicateur perde en efficacité lorsque sont omises les dernières observations, sa qualité discriminante reste très bonne. Pour ce qui est des probabilités estimées à un horizon infini, si le taux de bons classements des entreprises non défaillantes n'atteint que 65% pour la prévision de la faillite de deux à trois ans avant le dépôt de bilan et 60% pour la prévision à quatre ans, les taux de bons classements des entreprises défaillantes sont tout à fait convenables, avoisinant 75%. Pour ce qui est des probabilités estimées à un horizon de trois ans, le taux de bons classements des entreprises non défaillantes reste supérieur à 65% en D-2, dépasse même 70% en D-4 même s'il est inférieur à 60% en D-3. Le taux de bons classements des entreprises défaillantes est lui aussi inférieur à 60% en D-4. Néanmoins, sa valeur en D-2 (69,54%) et surtout celle en D-3 (76,08%) sont très correctes.

Comme l'indicateur présenté se situe-t-il par rapport aux autres modèles de prévision de la faillite ? Considérons les taux de bons classements estimés trois ans avant le dépôt de bilan, car cet horizon de

<footnote n="27">²⁷ Les probabilités de défaut des entreprises non-défaillantes sont estimées comme précédemment à partir des observations de la période 1985-1997.</footnote>
prévision est généralement le plus lointain que les études envisagent. Tout en fournissant des taux de bons classements inférieurs à certains modèles multicritères<fnref n="28" />, notre indicateur rivalise avec la majorité des études relatives à la prédiction de la faillite<fnref n="29" />. En particulier, le score de la Banque de France appliqué à notre échantillon fournit un taux de bons classements égal à 40,98% pour les entreprises défaillantes<fnref n="30" />.

L'estimateur du risque de défaut fondé sur une modélisation stochastique du bilan fournit donc une prévision de la faillite à deux ans et à trois ans avant le dépôt de bilan tout à fait convenable.

### 4.2.3. Modification du seuil de défaillance

Dans les faits, le défaut a souvent lieu avant que les fonds propres deviennent négatifs. Pour les 61 entreprises défaillantes que nous étudions, le ratio actif sur passif net est en moyenne égal à 2 l'année précédent le dépôt de bilan (notons que $ln(2) \approx 0,7$). Nous allons donc estimer les probabilités que les fonds propres deviennent égaux non plus à 0 mais à un seuil $\alpha$ strictement positif. Afin d'alléger l'exposé, nous ne présentons que les seuils de probabilités critiques et les taux de bons classements associés.

<caption>Tableau 9</caption>

Seuils critiques et taux de bons classements des probabilités de défaut estimées en fonction du seuil de défaillance (à un horizon infini et à un horizon de trois ans)

<table><thead><tr><th>Seuil de défaillance</th><th>α = 0</th><th>α = 0,2</th><th>α = 0,4</th><th>α = 0,7</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="5" style="text-align: center;">horizon infini</td></tr><tr><td>Seuil critique</td><td>0,32</td><td>0,565</td><td>0,72</td><td>0,995</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises non défaillantes</td><td>72,99%</td><td>74,30%</td><td>62,33%</td><td>39,33%</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises défaillantes</td><td>77,25%</td><td>81,12%</td><td>89,46%</td><td>94,42%</td></tr><tr><td colspan="5" style="text-align: center;">horizon de trois ans</td></tr><tr><td>Seuil critique</td><td>0,075</td><td>0,235</td><td>0,495</td><td>0,76</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises non défaillantes</td><td>64,87%</td><td>69,75%</td><td>65,25%</td><td>37,51%</td></tr><tr><td>Taux de bons classements des entreprises défaillantes</td><td>87,30%</td><td>88,32%</td><td>86,43%</td><td>95,4%</td></tr></tbody></table>

Les taux de bons classements sont légèrement accrus lorsque le seuil de défaillance est égal à 0,2. La faillite se caractérise alors par le fait que le ratio actif total sur passif net devient inférieur ou égal à 1,22 ($exp(0,2) = 1,22$), c'est à dire que l'actif total est supérieur de 20% au total de l'endettement. En revanche, considérer un seuil supérieur n'améliore pas l'efficacité de l'indicateur de risque. Les résultats sont alors très mauvais. Si l'on suppose que la structure financière d'une firme dépend de son secteur économique, alors disposer d'un échantillon plus homogène en termes d'activité économique permettrait sans doute une analyse plus fine du seuil de défaillance et ainsi d'accroître la performance de l'indicateur.

<footnote n="28">²⁸ Citons à nouveau Altman et al. (1994). L'analyse discriminante linéaire et les réseaux de neurones aboutissent à des taux de bons classements supérieurs à 85%, pour les entreprises défaillantes et pour les entreprises non défaillantes.</footnote>

<footnote n="29">²⁹ Les taux de bons classements calculés dans l'étude de Mossman et al. (1998) sont tous inférieurs à 50% trois ans avant le dépôt de bilan.</footnote>

<footnote n="30">³⁰ Estimé sur un échantillon test important, le score de la Banque de France classe correctement 70% des 2635 entreprises défaillantes et 73,4% des entreprises non-défaillantes, trois ans avant la faillite (Cf. Bardos [1998])</footnote>
## 5. Conclusion

Un indicateur du risque de faillite des entreprises a été proposé, fondé sur une modélisation stochastique continue de leur bilan. La probabilité que les fonds propres d'une entreprise deviennent négatifs est estimée, probabilité que nous assimilons à une probabilité de défaut. La probabilité ainsi calculée constitue un indicateur très satisfaisant du risque de faillite : les entreprises non défaillantes sont classées comme telles dans 73% des cas et les entreprises défaillantes sont classées comme telles dans 77% des cas, à un an du dépôt de bilan. Les taux de bons classements des entreprises sont également convenables à trois ans du dépôt de bilan.

Cette étude tend à montrer que l'application empirique de la finance stochastique à des firmes industrielles peut permettre d'établir de très bons résultats. D'autres utilisations de la finance stochastique sont alors envisageables, notamment les outils offerts par la gestion actif – passif. Par ailleurs, cette étude élabore un indicateur de risque efficace qui concurrence les méthodes multicritères.

Deux prolongements nous semblent intéressants : d'un point de vue empirique, sélectionner des entreprises d'un même secteur économique restreint permettrait d'accroître l'efficacité de l'indicateur. Le niveau des fonds propres déclenchant le dépôt de bilan et la probabilité critique de défaut pourraient alors être déterminés sur un échantillon *a priori* plus homogène en termes de structure de bilan. Les résultats gagneraient sans doute en robustesse. D'un point de vue théorique, opter pour une autre modélisation de la défaillance est également susceptible d'améliorer notre indicateur. Par exemple, le défaut pourrait survenir dès lors que le ratio actif total sur passif net devient inférieur à un seuil aléatoire ; le défaut peut également être envisagé comme un événement aléatoire, indépendant de la valeur de l'entreprise.

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# Annexes

## Annexe 1 : Lemme d'Ito

Soit $(X(t), t \ge 0)$ un processus d'Ito défini par l'équation différentielle stochastique : $dX(t) = \mu(X(t),t)dt + \sigma(X(t),t)dZ(t)$

où $dX(t), \mu(X(t),t)$ et $X(t)$ sont des vecteurs à n composantes

$Z(t)$ est un processus de Wiener standard à m dimensions avec $E(dZ(t)dZ(t)^T) = \Sigma(t)dt$

$\sigma(X(t),t)$ est une matrice (n,m).

Soit $Y(t)$ un processus à k dimensions de la forme : $Y(t) = F(X(t),t)$ où $F$ est une fonction de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k$ à valeur dans $\mathbb{R}^k$

possédant des dérivées partielles secondes continues par rapport à chacun de ses arguments.

Le lemme d'Ito établit que : $dY(t) = \alpha(X(t),t)dt + \gamma(X(t),t)dZ(t)$

$$ \text{avec } \alpha(X(t),t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F^T}{\partial X} \mu(X(t),t) + \frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma \Sigma \sigma^T \frac{\partial^2 F}{\partial X^2} \right) \right] \text{ et } \gamma(X(t),t) = \frac{\partial F}{\partial X} \sigma(X(t),t). $$

## Annexe 2 : Application du lemme d'Ito au processus brownien géométrique

Soit $X(t)$ le processus vérifiant : $dX(t) = \mu_X X dt + \sigma_X X dW_X(t)$

avec $X(0)= X_0$ et $W_X$ processus de Wiener standard unidimensionnel

Posons $Y = \ln X$. D'après le lemme d'Ito, nous savons que $Y$ vérifie l'équation différentielle stochastique :

$$ dY(t) = \alpha(X(t),t)dt + \gamma(X(t),t)dZ(t) \quad (1) $$

$$ \text{avec } \alpha(X(t),t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F^T}{\partial X} \mu(X(t),t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial X^2} \sigma^2(X(t),t) \right] \text{ et } \gamma(X(t),t) = \frac{\partial F}{\partial X} \sigma(X(t),t) $$
$$
\text{Or} \quad \frac{\partial F}{\partial t} = 0
$$

$$
\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{1}{X} \qquad \frac{\partial^2 F}{\partial X^2} = -\frac{1}{X^2}
$$

L'expression (1) s'écrit donc : $dY(t) = \left( \frac{\mu_X \times X}{X} - \frac{1}{2} \frac{\sigma_X^2 \times X^2}{X^2} \right) dt + \frac{\sigma_X \times X}{X} dZ(t)$

Nous obtenons finalement : $dY(t) = \left( \mu_X - \frac{1}{2} \sigma_X^2 \right) dt + \sigma_X dZ(t)$

D'où : $Y(t) - Y(0) = \left( \mu_X - \frac{1}{2} \sigma_X^2 \right) t + \sigma_X Z(t)$, ce qui est équivalent à : $X(t) = X_0 \times \exp\left(\left(\mu_X - \frac{1}{2} \sigma_X^2\right)t\right) + \sigma_X Z(t)$.

**Annexe 3 : Application du lemme d'Ito au ratio a(t)**

Nous cherchons à établir la dynamique de $a(A, P, t) = \ln\left(\frac{A}{P}\right)$ avec :

$$
dA(t) = \mu_A A dt + A \sigma_A dW_A \quad \text{et} \quad dP(t) = \mu_P P dt + P \sigma_P dW_P
$$

Soit $X(t) = \begin{bmatrix} A(t) \\ P(t) \end{bmatrix}$. Il vérifie l'équation différentielle stochastique : $dX(t) = \mu(X(t),t)dt + \sigma(X(t),t)dW(t)$.

$$
\text{avec } \mu(X(t),t) = \begin{bmatrix} A\mu_A \\ P\mu_P \end{bmatrix}, \sigma(X(t),t) = \begin{bmatrix} A\sigma_A & 0 \\ 0 & P\sigma_P \end{bmatrix}, W(t) = \begin{bmatrix} W_A(t) \\ W_P(t) \end{bmatrix}, E(dW(t)dW(t)^T) = \Sigma(t)dt \text{ et } \Sigma = \begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix}
$$

D'après le lemme d'Ito $a(t)$ vérifie : $da(t) = \alpha(X(t),t)dt + \gamma(X(t),t)dW(t)$ (1)

$$
\text{où } \alpha(X(t),t) = \left[ \frac{\partial a}{\partial t} + \frac{\partial a^T}{\partial X} \mu(X(t),t) + \frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma \Sigma \sigma^T \frac{\partial^2 a}{\partial X^2} \right) \right] \text{ et } \gamma(X(t),t) = \frac{\partial a^T}{\partial X} \sigma(X(t),t)
$$

$$
\text{Or} \quad \frac{\partial a}{\partial t} = 0 \quad \frac{\partial a^T}{\partial X} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{P} \end{bmatrix} \quad \frac{\partial^2 a}{\partial X^2} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{A^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{P^2} \end{bmatrix}
$$

$$
\sigma\Sigma\sigma^T = \begin{bmatrix} A\sigma_A & 0 \\ 0 & P\sigma_P \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A\sigma_A & 0 \\ 0 & P\sigma_P \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (A\sigma_A)^2 & \varphi(P\sigma_P)(A\sigma_A) \\ \varphi(P\sigma_P)(A\sigma_A) & (P\sigma_P)^2 \end{bmatrix}
$$

$$
\mathrm{Tr} \left( \sigma \Sigma \sigma^T \frac{\partial^2 a}{\partial X^2} \right) = \mathrm{Tr} \left[ \frac{-\sigma_A^2}{P \varphi \sigma_A \sigma_P} \frac{A \varphi \sigma_A \sigma_P}{\sigma_P^2} \right] = \sigma_P^2 - \sigma_A^2
$$

L'équation différentielle stochastique (1) s'écrit :

$$
da(t) = \left[ \frac{1}{A} - \frac{1}{P} \right] \left[ \frac{A\mu_A}{P\mu_P} \right] + \frac{1}{2} \left[ \sigma_A^2 - \sigma_P^2 \right] dt + \left[ \frac{1}{A} - \frac{1}{P} \right] \left[ \frac{A\sigma_A}{0} \quad \frac{0}{P\sigma_P} \right] dW(t)
$$

$$
\Leftrightarrow da(t) = \left( \mu_A - \mu_P + \frac{1}{2} \left[ \sigma_A^2 - \sigma_P^2 \right] \right) dt + \sigma_A dW_A(t) - \sigma_P dW_P(t)
$$

Considérons un processus brownien bidimensionnel $\overline{W}(t) = [\overline{W}_A(t) \quad \overline{W}_P(t)]$ avec $\overline{W}_A(t)$ et $\overline{W}_P(t)$ indépendants. Cette condition implique

que : $E(d\overline{W}(t)d\overline{W}(t)^T) = I_{dt}$ où $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Exprimons $\overline{W}(t)$ en fonction de $W(t)$ : $W(t) = A\overline{W}(t)$ où $A$ est une matrice (2,2)

$$
\text{constante. A doit de plus permettre que } E(dW(t)dW(t)^T) = E(d[A\overline{W}(t)]H[A\overline{W}(t)]^T) = \Sigma dt \\
\Leftrightarrow E(Ad[\overline{W}(t)]H[\overline{W}(t)]^T A^T) = \Sigma dt \Leftrightarrow AE(d[\overline{W}(t)]H[\overline{W}(t)]^T) A^T = \Sigma dt \Leftrightarrow AI dt A^T = \Sigma dt \Leftrightarrow AA^T = \Sigma dt \Leftrightarrow AA^T = \Sigma
$$

La matrice triangulaire $A = \begin{bmatrix} \sqrt{1-\varphi^2} & \varphi \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ constitue une solution du système précédent.

$$
\text{Nous avons ainsi : } \begin{bmatrix} W_A(t) \\ W_P(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{1-\varphi^2} & \varphi \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{W}_A(t) \\ \overline{W}_P(t) \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} W_A(t) = \overline{W}_A(t) \times \sqrt{1-\varphi^2} + \varphi \overline{W}_P(t) \\ W_P(t) = \overline{W}_P(t) \end{cases}
$$

$$
\text{d'où : } \sigma_A dW_A(t) - \sigma_P dW_P(t) = \sigma_A \left[ \sqrt{1-\varphi^2} d\overline{W}_A(t) + \varphi d\overline{W}_P(t) \right] - \sigma_P d\overline{W}_P(t)
$$

$$
\Leftrightarrow \sigma_A dW_A(t) - \sigma_P dW_P(t) = \sigma_A \sqrt{1 - \varphi^2} d\overline{W}_A(t) + (\varphi \sigma_A - \sigma_P) d\overline{W}_P(t)
$$
$$ \Leftrightarrow \sigma_A dW_A - \sigma_P dW_P = \begin{bmatrix} \sigma_A \sqrt{1-\varphi^2} \\ \varphi \sigma_A - \sigma_P \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\overline{W}_A \\ d\overline{W}_P \end{bmatrix} \Leftrightarrow \sigma_A dW_A - \sigma_P dW_P = \overline{\sigma} d\overline{W}(t) \text{ où } \sigma \text{ est un vecteur de dimension (2,1).} $$

$$ \text{avec } \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_A \sqrt{1-\varphi^2} \\ \varphi \sigma_A - \sigma_P \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad \bar{\sigma}^T \bar{\sigma} = \sigma_A^2 + \sigma_P^2 - 2\varphi \sigma_A \sigma_P. $$

$a(t)$ vérifie donc l'équation différentielle stochastique : $da = \mu dt + \bar{\sigma} d\bar{W}$.

$$ \text{avec} \quad \mu = \mu_A - \mu_P - \frac{1}{2}(\sigma_A^2 - \sigma_P^2) \quad \text{où } \bar{W} \text{ est un processus de Wiener standard.} $$
$$ \bar{\sigma}^2 = \sigma_A^2 + \sigma_P^2 - 2\varphi(\sigma_A \sigma_P) $$

## Annexe 4 : Calcul de la probabilité de défaut.

Afin d'alléger la présentation, nous exposons la démonstration uniquement pour un horizon infini. Nous cherchons à calculer la probabilité de défaut en l'analysant comme la valeur de $\lim_{\tau \to \infty} G(T; a_0, t_0)$ où $G(\tau; a_0, t_0)$ est la fonction de distribution de $\tau$, premier temps de passage du processus $a(t)$ sur l'intervalle $]-\infty; 0]$. $g(\tau; a_0, t_0)$ est la fonction de densité correspondante.

Considérons la transformation de Laplace de $g : L(q; a_0, t_0) = \int_0^\infty e^{-qt} g(t; a_0, t_0) dt$.

Les fonctions de distribution et de densité du temps de passage doivent vérifier les conditions de Kolmogorov ; L également :

$$ \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial a^2} [\sigma^2(a,t)L] - \frac{\partial [\mu(a,t)L]}{\partial a} - \frac{\partial L}{\partial t} = 0 \quad (1) $$

$$ \frac{1}{2} \sigma^2(a_0, t_0) \frac{\partial^2 L}{\partial a_0^2} + \mu(a_0, t_0) \frac{\partial L}{\partial a_0} + \frac{\partial L}{\partial t_0} = 0 \quad (2) $$

$$ \text{Considérons l'équation (2). Elle se réécrit ici : } \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 L}{\partial a_0 \partial a_0} + \mu \frac{\partial L}{\partial a_0} + \frac{\partial L}{\partial t_0} = 0 $$

$$ \text{La fonction de densité } g(t; a_0, t_0) \text{ est homogène au cours du temps d'où : } \forall t \frac{\partial g}{\partial t_0} = -\frac{\partial g}{\partial t}. $$

$$ \text{Donc : } \frac{\partial L}{\partial t_0} = -\int_0^\infty e^{-qt} \frac{\partial g(t; a_0, t_0)}{\partial t} dt = -\left[ \int_0^\infty e^{-qt} g(t; a_0, t_0) dt \right]_0^\infty = -(q) \int_0^\infty e^{-qt} g(t; a_0, t_0) dt = -qL $$
$$ \text{car } \lim_{t \to \infty} g(t; a_0, t_0) = 0 \text{ et } g(0; a_0, t_0) = 0 \text{ . } (t_0 > 0) $$

$$ \text{Résolvons l'équation différentielle : } \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 L}{\partial a_0 \partial a_0} + \mu \frac{\partial L}{\partial a_0} - qL = 0 $$

La solution de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants est une somme d'exponentielles :

$$ L(q; a_0, t_0) = \alpha \exp[a_0 \theta_1(q)] + \beta \exp[a_0 \theta_2(q)] \text{ avec } \theta_1 = \frac{-\mu - \sqrt{\mu^2 + 2q\sigma^2}}{\sigma^2} \text{ et } \theta_2 = \frac{-\mu + \sqrt{\mu^2 + 2q\sigma^2}}{\sigma^2}. $$

$$ \text{Les constantes } \alpha \text{ et } \beta \text{ sont telles que pour tout } a_0 \text{ positif : } L(0; a_0, t_0) = \int_0^\infty g(t; a_0, t_0) dt \le 1 \text{ et } L(q; a_0, t_0) \le 1 $$

$$ \text{Comme } \theta_2 \text{ est une fonction croissante de } q, L(q; a_0, t_0) \text{ est bornée que si } \beta = 0. $$

$$ \text{Si } a_0 = 0, \text{ le premier temps de passage est } t_0. \text{ Donc } g(t_0; 0, t_0) = 1 \text{ et } \forall t > t_0, g(t; 0, t_0) = 0. $$

$$ \text{Nous en déduisons que } L(q; 0, t_0) = \alpha \exp(0) = 1 \text{ et que } \alpha = 1. \text{ L se réécrit : } L(q; a_0, t_0) = \exp[a_0 \theta_1(q)] $$

$$ \text{La probabilité d'absorption est alors : } \pi = \lim_{t \to \infty} G(t; a_0, t_0) = \int_0^\infty g(t; a_0, t_0) dt = L(0; a_0, t_0). $$

$$ \pi = \exp \left[ a_0 \frac{-\mu - |\mu|}{\sigma^2} \right] = \begin{cases} \exp \left( -\frac{2a_0\mu}{\sigma^2} \right) & \text{pour } \mu > 0 \\ 1 & \text{pour } \mu \le 0 \end{cases} $$

## Annexe 5 : Variance within et variance between.

La variance within correspond à la moyenne des variances individuelles ; la variance between correspond à la variance des moyennes individuelles. La valeur du ratio pour l'entreprise $i$ ($i = 1, ..., N$) et pour la date $t$ ($t = 1, ..., t_i$) est notée $x_{it}$. Dans le cas des entreprises non défaillantes, $N = 1125$ et le nombre d'observations par entreprise est constant ($T = 13$). La variance totale est égale à : $\frac{1}{NT} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (x_{it} - \bar{x})^2$ où $\bar{x} = \frac{1}{NT} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} x_{it}$ est la moyenne totale.
La variance *within* est égale à : $\frac{1}{NT} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (x_{it} - \bar{x}_{i})^2$ où $\bar{x}_{i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} x_{it}$ est la moyenne individuelle de l'entreprise i. La variance *between* est égale à : $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\bar{x}_{i} - \bar{x})^2$. Dans le cas des entreprises défaillantes, le nombre total d'observations est égal à 1124 et $N=61$. La variance totale s'écrit : $\frac{1}{1124} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (x_{it} - \bar{x}_{i})^2$ avec $\bar{x}_{i} = \frac{1}{1124} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} x_{it}$. La variance *within* devient : $\frac{1}{1124} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (x_{it} - \bar{x}_{i})^2$ ; la variance *between* devient : $\frac{1}{1124} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (\bar{x}_{i} - \bar{x})^2 \times t_{i}$.

## Annexe 6 : Test des moyennes et des variances

Notons $\mu_{ND}$, $\sigma_{ND}^2$, $\mu_D$, $\sigma_D^2$ respectivement l'espérance et la variance du ratio actif sur passif net (ou de sa moyenne individuelle ou temporelle) pour les entreprises non défaillantes et pour les entreprises défaillantes ; soient $\bar{M}_{ND}$, $\bar{S}_{ND}^2$, $\bar{M}_D$, $\bar{S}_D^2$ leur réalisation sur les deux échantillons ; soient $n_{ND}$ et $n_D$ le nombre d'observations pour chaque échantillon.

Les statistiques $S_1 = \frac{\bar{M}_D - \bar{M}_{ND}}{\sqrt{\frac{\bar{S}_D^2}{n_D} + \frac{\bar{S}_{ND}^2}{n_{ND}}}}$ et $S_2 = \frac{\bar{S}_D^2 - \bar{S}_{ND}^2}{\sqrt{\frac{2\bar{S}_D^4}{n_D} + \frac{2\bar{S}_{ND}^4}{n_{ND}}}}$ suivent asymptotiquement des lois normales centrées réduites respectivement sous $H_0 : (\mu_D = \mu_{ND})$ et sous $H'_0 : (\sigma_D^2 = \sigma_{ND}^2)$.

## Annexe 7 : Probabilités de défaut des entreprises non défaillantes estimées en omettant les trois dernières observations.

Le tableau suivant présente les statistiques descriptives relatives aux probabilités de faillite estimées à l'infini et à trois ans à partir des observations sur la période 1985-1994. A titre de comparaison, les statistiques relatives aux entreprises défaillantes et aux entreprises non défaillantes pour la période 1985-1997 sont également indiquées.

<caption>Tableau 10</caption>

Répartition des probabilités de faillites estimées pour les entreprises non défaillantes à un horizon infini et à un horizon de trois ans sur la période 1985-1994 et sur la période 1985-1997

<table><thead><tr><th rowspan="2">Horizon temporel</th><th colspan="2">A l'infini</th><th colspan="2">A trois ans</th></tr><tr><th>1985-1994</th><th>1985-1997</th><th>1985-1994</th><th>1985-1997</th></tr></thead><tbody><tr><td>Période d'observation</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Moyenne globale</td><td>0,2437</td><td>0,2562</td><td>0,0899</td><td>0,0978</td></tr><tr><td>Ecart-type total</td><td>0,3435</td><td>0,3379</td><td>0,1492</td><td>0,1468</td></tr><tr><td>Variance totale</td><td>0,1180</td><td>0,1142</td><td>0,0222</td><td>0,0215</td></tr><tr><td>Minimum</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Premier quartile</td><td>0,0026</td><td>0,0074</td><td>0,0010</td><td>0,0026</td></tr><tr><td>Médiane</td><td>0,0590</td><td>0,0897</td><td>0,0213</td><td>0,0315</td></tr><tr><td>Troisième quartile</td><td>0,3623</td><td>0,3729</td><td>0,1057</td><td>0,1353</td></tr><tr><td>Maximum</td><td>1</td><td>1</td><td>0,9276</td><td>0,9108</td></tr></tbody></table>

Quelle que soit l'échéance du défaut considérée, nous constatons que les probabilités estimées sur la sous-période 1985-1994 présentent une espérance et des quartiles inférieurs à celles estimées sur la période globale 1985-1997. Cependant, ces différences ne sont pas statistiquement significatives.

<caption>Tableau 11</caption>

Taux de bons classements de l'indicateur calculé à un horizon de trois ans et à un horizon infini pour les deux échantillons

<table><thead><tr><th></th><th>Entreprises Non Défaillantes</th><th>Entreprises Défaillantes</th></tr></thead><tbody><tr><td>Horizon infini</td><td>72,53%</td><td>76,81%</td></tr><tr><td>Horizon de trois ans</td><td>69,43%</td><td>88,02%</td></tr></tbody></table>

La probabilité seuil reste égal à 32% pour l'horizon infini et à 7,5% pour l'horizon à trois ans. Le taux de bons classements donné par les probabilités estimées à un horizon de trois ans est plus élevé lorsque n'est pris en compte que la période [1985-1994].
Annexe 8. Estimation du taux d'erreur de classement par la méthode du bootstrap

Le taux d'erreur de classement apparent, c'est à dire le taux d'erreur de classement calculé à partir de l'échantillon de base, est un estimateur biaisé du taux d'erreur de classement réel. (C'est à dire le taux d'erreur de classement que l'indicateur de risque fournirait sur la globalité des entreprises). Lorsqu'il est impossible de disposer d'un échantillon test distinct de l'échantillon de base, une solution réside en la constitution de nouveaux échantillons à partir des individus de l'échantillon de base, notamment par la procédure du bootstrap. Le bootstrap repose sur un rééchantillonage aléatoire. Les échantillons sont obtenus par tirage aléatoire avec remise des individus de l'échantillon de base. L'estimation d'un taux d'erreur se déroule alors en plusieurs étapes.

Un taux d'erreur apparent est calculé sur l'intégralité de l'échantillon de base.

K échantillons sont constitués à partir de l'échantillon de base. Nous avons choisi K = 1000. Les 1000 échantillons sont composés de 61 entreprises défaillantes et de 1125 entreprises non-défaillantes

Pour chacun des 1000 nouveaux échantillons quatre opérations sont alors réalisées. La probabilité seuil P est évaluée sur les données du nouvel échantillon ; un taux d'erreur de classement apparent est calculé, sur ces mêmes données ; un taux d'erreur de classement est calculé en appliquant la probabilité seuil à l'échantillon initial ; enfin l'écart entre ce taux et le taux apparent du nouvel échantillon est calculé.

La moyenne sur les 1000 échantillons des écarts de taux d'erreur de classement est calculée.

Le taux d'erreur estimé est alors égal au taux d'erreur apparent (de l'échantillon initial) auquel s'ajoute la moyenne des écarts.