# Les indices à surplus constant. Une tentative de généralisation des indices à utilité constante

Jean-Pierre Berthier

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Jean-Pierre Berthier. Les indices à surplus constant. Une tentative de généralisation des indices à utilité constante. Courrier des Statistiques, 2003, 108, pp.27-32. hal-05505172

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# Les indices à surplus constant

## Une tentative de généralisation des indices à utilité constante

On cherche ici, en s'inspirant des indices à utilité constante, à définir un indice de prix de référence adapté au cas où il existe une liaison fonctionnelle quantité-prix de type $q_i = f_i(p_i)$ pour chacun des produits i pris en compte.

### Les indices à utilité constante

Soient U une fonction d'utilité caractérisant le comportement du consommateur représentatif, $R_0$ le revenu de ce consommateur à la date $t_0$, $p_{i0}$ et $p_{i1}$ les prix de nos produits i aux dates $t_0$ et $t_1$.

Ces deux systèmes de prix seront respectivement notés $P_0$ et $P_1$ avec $P_0 = [p_{10}, ..., p_{i0}, ..., p_{n0}]$ et $P_1 = [p_{11}, ..., p_{i1}, ..., p_{n1}]$.

Par définition, l'indice à utilité constante, en abrégé l'IUC, est égal à $R^*/R_0$, où $R^*$ est le revenu qui procurerait au consommateur, dans le système $P_1$, la même satisfaction (la même utilité) que celle que lui apporte $R_0$ dans le système $P_0$.

$R^*$ est donc tel que $U(R_0, P_0) = U(R^*, P_1)$.

**Proposition 1 :** l'IUC peut s'écrire comme étant le nombre I tel que l'utilité du consommateur reste la même lorsque l'on passe du système de prix $P_0$ au système de prix $P_1/I = [p_{11}/I, ..., p_{i1}/I, ..., p_{n1}/I]$, le revenu $R_0$ ne variant pas.

La démonstration de la vérité de cette proposition tient en quelques lignes :

→ Lorsque tous les prix et le revenu sont multipliés ou divisés par un même coefficient, le programme de maximisation de l'utilité du consommateur s'écrit exactement de la même façon. Dès lors, les quantités consommées tout comme l'utilité demeurent inchangées.

On peut donc écrire

$$U(R^*, P_1) = U(R^*/(R^*/R_0), P_1/(R^*/R_0)) = U(R_0, P_1/(R^*/R_0)).$$

Et comme $U(R^*, P_1) = U(R_0, P_0)$,

$$\text{on a } U(R_0, P_0) = U(R_0, P_1/(R^*/R_0)).$$

En posant $I = R^*/R_0$, on obtient $U(R_0, P_0) = U(R_0, P_1/I)$.

→ Supposons réciproquement qu'il existe I tel que $U(R_0, P_0) = U(R_0, P_1/I)$.

Lorsqu'on multiplie tous les prix et le revenu par I, l'utilité ne change pas, et l'on peut écrire $U(R_0, P_0) = U(R_0 I, P_1)$.

On a donc $R_0 I = R^*$, soit $I = R^*/R_0$, définition de l'IUC.

CQFD.

### Quand l'indice de Divisia est un IUC

L'indice des prix de Divisia entre deux dates 0 et 1 est donné, s'il existe, par la formule

$$D_{1/0}(p) = \exp\left[\int_{0}^{1} \sum \frac{\text{val}_i(t)}{\text{val}(t)} \frac{p'_i(t)}{p_i(t)} dt\right],$$

val désignant la valeur totale du « panier », val la valeur du seul produit i, $p_i$ le prix de ce produit et $p'_i$ la dérivée (par rapport au temps) de $p_i$.

Le théorème de Hulten nous dit que cet indice est un IUC lorsque, sur l'ensemble de la période considérée, les choix du consommateur sont rationalisés par une fonction d'utilité continue, concave, non saturée et homogène (dont on peut toujours supposer qu'elle est de degré 1). Par définition de l'IUC, il ne dépend alors que des données initiales et finales.
## La théorie du surplus

Un cadre adapté au problème que nous cherchons ici à résoudre nous est offert par la théorie du surplus, selon laquelle le consommateur cherche à maximiser, produit par produit, la différence (le surplus) entre ce qu'il serait à débourser pour acquérir une certaine quantité $q_i$ du produit i en question, autrement dit son consentement à payer, que nous noterons $C_i(q_i)$, et ce qu'il paie réellement, soit $p_iq_i$, pour consommer cette même quantité de produit. La fonction $C_i$ est supposée dérivable et de dérivée continue et strictement décroissante (le consentement marginal à payer est décroissant en fonction de la quantité consommée).

Le maximum recherché est atteint quand la dérivée (par rapport à $q_i$) de $[C_i(q_i) - p_iq_i]$ est égale à zéro, donc quand $C'_i(q_i)$ est égal à $p_i$. On voit que ces expressions $C'_i(q_i) = p_i$ correspondent bien à notre problème, en posant que les $f_i$ sont les inverses des $C'_i$.

Le surplus total, que nous noterons S, est bien sûr égal à

$$ \sum_{i} [C_{i}(q_{i}) - p_{i}q_{i}]. $$

La théorie du surplus peut se raccrocher à la théorie classique du consommateur de la façon suivante : considérons deux produits, un produit lambda et un produit particulier appelé « monnaie ». L'utilité V que procurent au consommateur q unités du produit lambda et m unités monétaires est définie par $V(q, m) = C(q) + m$. Le terme $C(q)$ s'analyse comme étant égal au consentement à payer du consommateur pour disposer des q unités du produit lambda, puisqu'il lui est indifférent de posséder $C(q)$ unités monétaires supplémentaires ou de consommer q unités du produit lambda : on a en effet $V(q, m) = V(0, m + C(q))$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>La théorie du surplus a été développée au XIXe siècle par l'ingénieur Jules Dupuit (1804-1866) en vue de l'optimisation des investissements en infrastructures de transport.</figcaption></figure>

La particularité du produit « monnaie » tient au fait que son utilité marginale est constante. La maximisation de V sous contrainte de revenu (R) est alors équivalente à la maximisation du surplus (sous réserve d'une disponibilité suffisante de monnaie). En effet, on a $m = R - pq$ d'où $V(q, R) = C(q) - pq + R = S(q) + R$. Puisque R est une donnée exogène, la maximisation de V en fonction de q est équivalente à celle de S.

On remarquera que ce cadre théorique est également adapté au cas de la production.

Le surplus total du producteur, autrement dit son bénéfice total (recettes - coûts), peut en effet s'écrire

$$ \sum_{i} [p_{i}q_{i} - C_{i}(q_{i})], $$

les $C_i$ désignant cette fois-ci les fonctions de coût de production.

## Les indices à surplus constant

Au lieu de maximiser U, le consommateur cherche ici à maximiser S. La notion d'indice à utilité constante, exprimée sous la forme indiquée dans la proposition 1, peut être transposée comme suit : lorsque, entre deux dates 0 et 1, les quantités consommées sont rationalisées par une fonction de consentement à payer, I est un indice de prix à surplus constant, en abrégé ISC, si le surplus dégagé dans le système de prix $P_1/I$ est égal au surplus dégagé dans le système de prix initial $P_0$.

De fait, l'on se pose la question suivante : par quel coefficient commun, lequel fournira l'ISC, faudrait-il multiplier (ou diviser) les prix $p_1$ pour que le surplus dégagé dans le système de prix résultant soit égal au surplus auquel conduisait le système de prix $P_0$. Cette homothétie sur les prix ne modifie pas l'évolution des prix relatifs mais traduit, en la neutralisant, l'évolution globale des prix des produits concernés.

**Proposition 2 :** l'ISC peut s'écrire comme étant le

$$ \text{nombre I tel que } \sum_{i}^{p_1 i / I} \int_{p_0}^{p_1 i} q_i (p_i) dp_i = 0. $$

### Preuve

Soit $C_i(0)$ le consentement à payer (normalement nul, mais en fait peu importe) pour une quantité nulle du produit i.

$$ \text{Comme } C_i(q_i) - C_i(0) \text{ est égal}^1 \text{ à } \int_{0}^{q_i} C_i'(q_i) dq_i $$

et que $C_i(q_i)$ est égal à $p_i$,

$$ \text{on a } C_i(q_i) = \int_{0}^{q_i} p_i(q_i) dq_i + C_i(0), $$

$$ \text{d'où } S = \sum_{i}^{q_i} \left[ \int_{0}^{p_i(q_i)} dq_i - p_i q_i \right] + \sum_{i} C_i(0). $$

<footnote n="1">1. Les notations sont ici formellement incorrectes puisque l'on utilise le même $q_i$ pour la borne de l'intégrale et comme variable d'intégration. La suite de la démonstration ne risquant pas d'être ambigüe à ce niveau, on conservera ce formalisme afin de ne pas alourdir les notations.</footnote>
Notons $p_{i1}$, le prix $p_{i1}/I$ et $q_{i1}$, la quantité correspondant à ce prix.

La définition de l'ISC s'écrit (constance de S) :

$$ 
\begin{gather*}
\sum_i \left[ \int_0^{q_{i1}'} p_i(q_i) dq_i - p_{i1} q_{i1} \right] = \sum_i \left[ \int_0^{q_{i0}} p_i(q_i) dq_i - p_{i0} q_{i0} \right] \\
\text{soit } \sum_i \left[ \int_{q_{i0}}^{q_{i1}'} p_i(q_i) dq_i = \sum_i [p_{i1} q_{i1} - p_{i0} q_{i0}]. \right.
\end{gather*}
$$

Par changements de variables et puisque $q_i(p_i)$ est la fonction réciproque de $p_i(q_i)$, il vient

$$ p_{i1}q_{i1}' - p_{i0}q_{i0} = \sum_{p_{i0}q_{i0}}^{p_{i1}q_{i1}'} \int_{q_{i0}}^{q_{i1}'} d(p_i q_i) = \sum_{q_{i0}}^{p_{i1}q_{i1}'} \int_{q_{i0}}^{p_{i1}'} p_i(q_i) dq_i + \sum_{p_{i0}}^{p_{i1}q_{i1}'} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}'} q_i(p_i) dp_i. $$

In fine, on obtient

$$ 
\begin{align*}
\sum_i \int_{q_{i0}}^{q_{i1}'} p_i(q_i) dq_i &= \sum_i [p_{i1} q_{i1}' - p_{i0} q_{i0}] \\
&= \sum_i \int_{q_{i0}}^{q_{i1}'} p_i(q_i) dq_i + \sum_i \int_{p_{i0}}^{p_{i1}'} q_i(p_i) dp_i,
\end{align*}
$$

$$ \text{soit } \sum_{p_{i0}} \int_{p_{i0}}^{q_{i1}'} q_i(p_i) dp_i = 0, $$

ce qui est bien la formule recherchée.

$$ \text{Si réciproquement on suppose que } \sum_{i}^{p_{i1}/I} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}/I} q_i(p_i) dp_i = 0, $$

il n'y a pas de difficulté à montrer, en reprenant à l'envers le raisonnement qui précède, que cette hypothèse implique l'égalité $S(P_1/I) = S(P_0)$.

**Proposition 3 :** dans le cadre théorique décrit précédemment, l'ISC existe et est unique (on supposera qu'aucun prix n'est nul ni aucune quantité).

### Preuve

L'expression $\sum_{i}^{p_{i1}/I} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}/I} q_i(p_i) dp_i$ est une fonction strictement

décroissante de I (dès lors que les quantités ne sont pas nulles). En choisissant $I_{min}$ suffisamment petit pour que tous les $p_{i1}/I_{min}$ soient plus grands que les $p_{i0}$ (ce qui est possible dès lors qu'aucun prix n'est nul), on obtient une expression positive. De même, en choisissant un $I_{maj}$ suffisamment grand pour que tous les $p_{i1}/I_{maj}$ soient inférieurs aux $p_{i0}$, on obtient une expression négative. Par

continuité, on en déduit l'existence d'un I vérifiant l'égalité recherchée. L'expression étant strictement monotone, cette solution est unique.

## Propriétés des indices à surplus constant

Il existe trois cas de figure rentrant dans le cadre théorique ici considéré et pour lesquels on connaît déjà un « bon » indice de référence. Or, dans chacun de ces trois cas, l'ICS est égal à la référence « concurrente ». Si le premier est assez banal, les deux autres ne le sont pas du tout et ceci contribue à faire de l'ICS l'indice de référence dès lors que l'on se situe dans une modélisation de type $q_i = f_i(p_i)$.

**Proposition 4 :** lorsque tous les indices élémentaires sont égaux, alors l'ICS est égal à cet indice commun.

### Preuve

En posant $I = p_{i1}/p_{i0}$, on a $p_{i1}/I = p_{i0}$, ce qui assure que I annule l'expression de la proposition 2.

Cette propriété pourrait sembler inhérente à tous les indices. On sait cependant qu'elle n'est pas toujours vérifiée pour les indices-chaîne ou l'indice de Divisia. En particulier, le fait d'avoir $p_{i1} = p_{i0}$ pour tout i n'assure pas que ces indices soient égaux à 1.

**Proposition 5 :** un cas unique, relevant à la fois du cadre théorique des indices à utilité constante et du cadre théorique des indices à surplus constant, est celui où l'élasticité des quantités par rapport aux prix est égale à -1 pour tous les produits ; l'ISC est alors égal à l'IUC<fnref n="2" /> et l'indice commun est l'indice géométrique.

### Preuve

Dans le cadre théorique des ISC, la variation du prix d'un produit modifie la quantité consommée de ce produit mais pas les quantités consommées des autres produits. En revanche, dans le cadre théorique des IUC, la variation du prix d'un produit modifie généralement toutes les quantités consommées. Toutefois, ces deux cadres théoriques se rejoignent si l'on fait l'hypothèse que, pour chaque produit i, $p_iq_i$ est égal à un montant constant $R_i$. Autrement dit, on pose $q_i = R_i/p_i$. Ceci implique que R est lui-même constant et que $R_i/R$ représente la part de revenu consacrée au produit i.

Il est établi depuis longtemps que ce cas de figure correspond à une fonction d'utilité de Cobb-Douglas (avec ici un revenu constant) et que l'IUC est alors égal à l'indice géométrique.

$$ \text{On a donc } \text{IUC} = \Pi (p_{i1}/p_{i0})^{R_i/R}. $$

<footnote n="2">2. Lui-même égal alors à l'indice de Divisia en vertu du théorème de Hulten.</footnote>
Calculons maintenant l'ISC à partir de son expression telle que donnée dans la proposition 2.

$$ \sum_{i} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}/I} q_{i}(p_{i}) dp_{i} = 0 \quad \text{s'écrit ici} \quad \sum_{i} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}/I} (R_{i}/p_{i}) dp_{i} = 0, $$

$$ \text{soit } \sum_{i} \left[ \frac{R_i \ln p_i}{p_{i0}} \right]^{p_{i1}/I} = 0, $$

$$ \text{soit encore } \sum_{i} \ln \left[ \frac{p_{i1}/I}{(I^*p_{i0})} \right]^{Ri} = \ln \Pi \left[ \frac{p_{i1}/I}{(I^*p_{i0})} \right]^{Ri} = 0. $$

On en déduit $\Pi[p_{i1}/(I^*p_{i0})]^{Ri} = 1$, d'où $\Pi(p_{i1}/p_{i0})^{Ri} = I^R$ et finalement $I = \Pi(p_{i1}/p_{i0})^{Ri/R}$.

L'ISC est bien égal à l'IUC.

**Il existe d'autres cas** pour lesquels on dispose d'un « bon » indice de référence : quand seuls sont pris en compte deux produits, notés 1 et 2, et que les quantités relatives $q_2/q_1$ peuvent s'écrire comme une fonction des prix relatifs $p_2/p_1$ (ou inversement). Cette « bonne » référence est apportée par l'indice de Divisia, alors indépendant du chemin suivi par les prix entre les dates initiale et finale<fnref n="3" />. À l'intérieur de cette classe de cas, il en est un qui relève du cadre théorique des ISC : celui où l'élasticité e des quantités par rapport aux prix est constante et identique pour les deux produits : $q_i = k_i p_i^{-e}$ (avec e positif, de façon à ce que les quantités soient décroissantes en fonction des prix). On vérifie aisément que les quantités relatives sont bien fonction des prix relatifs : $q_2/q_1 = (k_2/k_1) * (p_2/p_1)^{-e}$. Il est même possible de montrer que l'indépendance de l'indice de Divisia au chemin suivi par les prix s'étend ici au cas où le nombre de produits est quelconque.

**Proposition 6 :** lorsque l'élasticité e des quantités par rapport aux prix est constante et identique pour tous les produits ($q_i = k_i p_i^{-e}$ avec e positif), alors l'indice de Divisia ne dépend que des prix aux dates initiale et finale, l'indice ISC est égal à l'indice de Divisia, et la valeur commune de ces deux indices est donnée (pour e différent de 1) par l'expression :

$$ \left[ \frac{\sum k_i (p_{i1})^{1-e}}{\sum_i k_i (p_{i0})^{1-e}} \right]^{(1/1-e)}. $$

### Preuve

Pour $e = 1$, on se retrouve dans le contexte de la proposition 5. On peut donc supposer que $e$ est différent de 1.

→ Soit D l'indice de Divisia.

Il est rappelé que dans l'expression de cet indice telle qu'elle est donnée dans l'encadré de la page 27, val$_i$

désigne la valeur du seul produit i et val la valeur totale du « panier de consommation ».

$$ \text{Ici, } val_i(t) = p_i(t)q_i(t) = k_i p_i(t)^{1-e}, $$

$$ \text{et on écrira } val(t) = \sum_j p_j(t)q_j(t) = \sum_j k_j p_j(t)^{1-e} $$

$$ \text{avec } j = 1, 2, \dots, i, \dots, n. $$

Pour la suite de la démonstration et par commodité d'écrire-ture, nous laisserons tomber les t entre parenthèses.

$$ \begin{aligned} \text{Il vient } \text{Ind} &= \int_{t_0}^{t_1} \sum_{i} (k_i p_i^{1-e} / \sum_j (k_j p_j^{1-e}) * (p'_i / p_i)) dt \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \sum_{i} (k_i p_i^{-e} p'_i / \sum_j (k_j p_j^{1-e}) dt. \end{aligned} $$

Or $\sum_i (k_i p_i^{-e} p'_i)$ est à un coefficient près (il faudrait multiplier par 1-e) la dérivée de $\sum_j k_j p_j^{1-e}$ (tous les $p_j$ étant des fonctions du temps).

$$ \text{On peut donc écrire } \text{Ind} = (1/(1-e))^* \ln\left[\sum_i (k_i p_i^{1-e})^{t_i}\right]_{t_0}^{t_1}, $$

$$ \text{soit } \text{Ind} = \ln\left[ \frac{\sum_i k_i p_{i1}^{1-e}}{\sum_i k_i p_{i0}^{1-e}} \right]^{(1/1-e)}, $$

$$ \text{d'où } \text{D} = \left[ \frac{\sum_i k_i p_{i1}^{1-e}}{\sum_i k_i p_{i0}^{1-e}} \right]^{(1/1-e)}, $$

expression ne faisant intervenir que les $p_{i0}$ et les $p_{i1}$.

On notera que si les élasticités ne sont pas identiques ($q_i = k_i p_i^{-e}$), alors l'indice de Divisia n'est pas indépendant, a priori, du chemin parcouru par les prix.

→ Soit I l'indice à surplus constant.

$$ \text{D'après la proposition 2, I est tel que } \sum_{i} \int_{p_{i0}}^{p_{i1}/I} q_i(p_i) dp_i = 0. $$

$$ \text{Or } q_i(p_i) dp_i = k_i p_i^{-e}, \text{ qui s'intègre en } k_i p_i^{-e+1}/(-e+1). $$

$$ \text{Il vient donc } \sum_{i} \left[ \left( \frac{k_i}{1-e} \right) p_i^{1-e} \right]_{p_{i0}}^{Ri/1-e} = 0 $$

$$ \text{soit } \sum_{i} k_i (p_{i1}/I)^{1-e} = \sum_{i} k_i p_{i0}^{1-e}, $$

$$ \text{d'où } I^{1-e} = \frac{\sum_{i} k_i p_{i1}^{1-e}}{\sum_{i} k_i p_{i0}^{1-e}} $$

et donc $I = \left[ \frac{\sum_{i} k_i p_{i1}^{1-e}}{\sum_{i} k_i p_{i0}^{1-e}} \right]^{(1/1-e)}$, ce qui est bien la même expression que celle obtenue pour D.

<footnote n="3">3. Cf. « Les indices additifs : une autre approche de la théorie des indices et de l'étude du chaînage », J.-P. Berthier, *Courrier des statistiques*, n° 104, décembre 2002.</footnote>
Si les élasticités ne sont pas identiques ($q_i = k_i p_i^{-e}$), on obtient, en reprenant la démonstration ci-dessus, que l'indice à surplus constant est la solution de l'équation

$$ \sum_{i} (k_i/(1 - e_i))^* [(p_{i1}/I)^{1-e_i} - p_{i0}^{1-e_i}] = 0, $$

laquelle doit alors être résolue numériquement.

## L'ISC peut-il être pris en défaut ?

On peut se demander si, hors ceux couverts par la proposition 6 (et la proposition 5), il existe d'autres cas rentrant dans le cadre théorique des ISC avec indépendance de l'indice de Divisia au chemin suivi par les prix entre les dates initiale et finale. La réponse, négative, est fournie par la proposition 7. Il en résulte que l'ISC est toujours égal à l'autre « bonne référence » (IUC ou indice de Divisia indépendant du chemin) quand celle-ci existe.

**Proposition 7 :** le cas où $q_i = k_i p_i^{-e}$ est le seul rentrant dans le cadre théorique des ISC et tel que l'indice de Divisia soit indépendant du chemin parcouru par les prix entre les dates initiale et finale.

### Preuve

$$ \text{On a } \ln D = \int_{t_0}^{t_1} \sum_{i} (p_i q_i / \sum_j p_j q_j)^* (p_i' / p_i) dt. $$

Si l'on se place dans le cadre théorique des ISC, en supposant donc que les quantités sont des fonctions des prix, soit $q_i = f_i(p_i)$, lnD peut s'écrire comme une fonction des seuls prix, avec $dp_i = p_i'(t) dt$.

$$ \text{On pose donc } \ln D(..., p_i, ...) = \int_{t_0}^{t_1} \sum_i g_i(..., p_j, ...) dp_j, \\ \text{avec } g_i(..., p_j, ...) = f_i(p_i) / \sum_i f_j(p_j) p_j. $$

On est ici en présence d'une intégrale curviligne. Son indépendance au chemin suivi par les prix entre les situations initiale et finale suppose l'existence d'une primitive G telle que $dG = \sum_i g_i(..., p_j, ...) dp_j$.

Cette hypothèse suppose elle-même que, pour tout couple de produits (i, j), la dérivée partielle de $g_i$ par rapport à $p_j$ soit égale à la dérivée partielle de $g_j$ par rapport à $p_i$.

Considérons par exemple les produits indexés 1 et 2.

$$ \text{On a } \frac{\partial g_1}{\partial p_2} = -f_1(p_1)^* \left[ \frac{f_2'(p_2) p_2 + f_2(p_2)}{\sum f_j(p_j) p_j} \right]^2 \\ \text{et } \frac{\partial g_2}{\partial p_1} = -f_2(p_2)^* \left[ \frac{f_1'(p_1) p_1 + f_1(p_1)}{\sum f_j(p_j) p_j} \right]^2. $$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>François Divisia, 1889-1964</figcaption></figure>

L'égalité des deux dérivées partielles s'écrit

$$ f_1(p_1) f_2'(p_2) p_2 = f_2(p_2) f_1'(p_1) p_1, $$

soit, en supposant que prix et quantités ne sont pas nuls,
$$ \frac{f_2'(p_2) p_2}{f_2(p_2)} = \frac{f_1'(p_1) p_1}{f_1(p_1)}, \text{ soit encore } h(p_2) = h(p_1). $$

Cette dernière égalité ne peut être réalisée que si h est une fonction constante.

Notons c la constante en question. En prenant les produits 1 et i, le même raisonnement aboutit à ce que l'on a, pour tout i, $f_i'(p_i) p_i / f_i(p_i) = c$, soit $f_i'(p_i) / f_i(p_i) = c/p_i$, soit encore $\ln f_i(p_i) = c \ln p_i + \text{cste}$, soit en définitive $f_i(p_i) = k_i p_i^c$.

Si donc l'on se situe dans le cadre théorique de l'ISC avec indépendance de l'indice de Divisia au chemin suivi par les prix entre les dates initiale et finale, alors on se situe nécessairement dans le cadre de la proposition 6.

## L'ISC, généralisation de l'IUC

Jusqu'ici, on a supposé que la fonction C(..., $q_i$,...) de consentement à payer se définissait par la somme des $C_i(q_i)$, donc qu'elle était séparable. Désormais, nous allons simplement imposer qu'elle soit différentiable et que les $C'_i$, dérivées partielles de C par rapport aux $q_i$, soient positives et décroissantes (consentement marginal à payer décroissant). La quantité consommée d'un produit donné pourra alors dépendre du prix des autres produits, tout comme dans le modèle classique de la théorie du consommateur. Il reste cependant une différence fondamentale : les quantités consommées ne seront pas les mêmes puisque la dépense totale (somme des $p_i q_i$) se comprend dans le cadre classique comme une variable exogène, fixée par le revenu, et dans celui du surplus comme une variable endogène. Intuitivement, ce cadre élargi de la théorie du surplus reste celui d'un équilibre partiel dans lequel on ne s'intéresse qu'à un groupe restreint de produits, et non à leur ensemble, ce qui est très
souvent le cas dans les calculs d'indices. Les deux cadres théoriques peuvent toutefois se rejoindre si l'on a affaire à une fonction d'utilité homogène. Ceci est rendu possible par le fait que dès lors que la fonction d'utilité est homogène, l'IUC ne dépend des quantités consommées qu'à travers la structure de consommation, qui est dans ce cas indépendante du revenu, comme pour les indices les plus classiques : Laspeyres, Paasche, Fisher, Divisia.

**Proposition 8 : si le comportement du consommateur est caractérisé par une fonction U d'utilité homogène, il existe une fonction C de consentement à payer rationnelisant la structure de consommation et l'ISC associé à C est égal à l'IUC associé à U.**

### Preuve

On va ici poser que $U$ est de degré 1. Une fonction d'utilité n'est en effet définie qu'à une fonction croissante près, et l'on peut donc se ramener, partant d'une fonction d'utilité de degré $n$, à une fonction d'utilité de degré 1 rationnelisant les mêmes données : il suffit de considérer sa racine énième.

→ Soit la fonction $C$, différentiable, telle que $C = U^a$ avec $0 < a < 1$.

Les $C'_i$, dérivées partielles de $C$ par rapport aux $q_i$, s'écrivent $C'_i = a U^{a-1} U'_i$,

$U'_i$ désignant la dérivée partielle de $U$ par rapport à $q_i$.

Compte tenu des propriétés des fonctions d'utilité et de l'hypothèse effectuée sur le coefficient $a$, $C'_i$ est positive et varie en sens inverse de $q_i$. Il en résulte que $C$ est bien une fonction de consentement à payer au sens où nous l'avons entendu ci-dessus, et que nous pouvons donc nous inscrire dans le cadre de la théorie du surplus.

Notons $S = C(..., q_i,...) - \sum_i p_i q_i$.

Une condition nécessaire à la maximisation de $S$ est que les $C'_i$ soient égales aux $p_i$.

De $C'_i = a U^{a-1} U'_i = p_i$ pour tout $i$, on déduit $U'_i/U'_j = p_i/p_j$ pour tout couple $(i, j)$. Or cette dernière égalité est précisément celle à laquelle aboutit le programme de maximisation en théorie classique (rapport des utilités marginales égal aux prix relatifs).

Examinons de plus près le rapport $U'_i/U'_j$. Puisque $U$ est de degré 1, $U'_i$ et $U'_j$ et donc $U'_i/U'_j$ sont de degré zéro. Dès lors, pour tout $k$, $(U'_i/U'_j)(kq_1, kq_2, ..., kq_n) = (U'_i/U'_j)(q_1, q_2, ..., q_n)$.

En prenant $k = 1/q_1$,

il vient $(U'_i/U'_j)(q_1, q_2, ..., q_n) = (U'_i/U'_j)(1, q_2/q_1, ..., q_n/q_1)$.

On voit que $U'_i/U'_j$ ne dépend ici que de la structure de consommation, caractérisée (comme les prix relatifs) par $n-1$ variables, au lieu des $n$ variables de quantités.

Dès lors, l'équation traduisant la contrainte de revenu n'a pas besoin d'être rajoutée aux $n-1$ équations indépendantes traduisant que le rapport des utilités marginales est égal aux prix relatifs. Il en résulte que la structure de consommation induite par $C$ et la maximisation de $S$ est la même que celle résultant de la maximisation de $U$.

→ Puisque $C = U^a$ et que $p_i = C'_i = a U^{a-1} U'_i$,

on peut écrire $S$ sous la forme suivante :

$$S = U^a - \sum_i a U^{a-1} U'_i q_i = U^a - a \sum_i U'_i q_i.$$

Et comme $U$ est homogène de degré 1, l'identité d'Euler nous dit que l'on a $\sum_i U'_i q_i = U$.

Donc $S = U^a - aU^a = (1 - a)U^a$, ce qui veut dire que « S constant » est équivalent à « U constant ».

Peut-on déduire de cette équivalence l'égalité $ISC = IUC$, sachant que les quantités consommées ne sont pas les mêmes selon que l'on se place dans l'un ou l'autre des cadres théoriques ? De fait cette « différence fondamentale » est dans le cas précis sans effet, puisque les deux cadres conduisent à une même structure de consommation et que l'IUC dépend de cette dernière et non des quantités elles-mêmes. Bien sûr, la mise en œuvre du programme de maximisation de $U$ sous la contrainte d'un revenu donné $R$ va fixer des quantités qui dépendent de $R$. Mais l'IUC demeurera inchangé si l'on remplace ce revenu par la dépense totale telle que résultant de la maximisation de $S$.

La proposition 8 est donc bien vérifiée, ainsi que la conclusion qui lui est sous-jacente : la notion d'ISC est d'une certaine manière une généralisation de la notion d'IUC.

### Jean-Pierre BERTHIER

Insee

Direction générale

Chef de la division Agriculture