# Comptes Rendus
Mathématique

Jean-Pierre Serre

La vie et l'oeuvre de John Tate

Volume 358, issue 11-12 (2020), p. 1129-1133

Published online: 25 January 2021

https://doi.org/10.5802/crmath.125

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Histoire des mathématiques / *History of Mathematics*

# La vie et l'oeuvre de John Tate

Jean-Pierre Serre<sup>a</sup>

Manuscrit reçu le 5 mars 2020, accepté le 29 septembre 2020.

John Torrence Tate est mort à Cambridge (Mass.) le 16 octobre 2019, à l'âge de 94 ans. De nationalité américaine, il était membre associé de notre Académie depuis 1992.

Après avoir été étudiant à Harvard, il soutient une thèse (Ph.D) à Princeton, en 1950, sous la direction d'Emil Artin. Il est ensuite professeur à Harvard (1954-1990) et à Austin (1990-2009), avant de revenir à Harvard.

Il fait de fréquents séjours en France. Dans son autobiographie ([17]) il cite particulièrement l'année 1957-1958, qu'il a passée à Paris («... a great year for me»); elle lui permet d'assister au séminaire de Grothendieck à l'I.H.E.S., ainsi qu'aux cours et séminaires du Collège de France. Il prend part aux discussions et aux travaux de Bourbaki.

Son oeuvre est centrée sur la *théorie des nombres*, et ses relations avec la géométrie algébrique. On lui doit un grand nombre d'idées et de notions qui se sont révélées fondamentales par la suite : modules de Tate, décompositions de Hodge-Tate, groupes de Mumford-Tate, groupe de Shafarevich-Tate, conjectures de Tate, conjecture de Sato-Tate, etc. Une excellente analyse de ses travaux se trouve dans le rapport de J.S. Milne ([25]). Je vais me borner à résumer ceux que je connais le mieux.

Sa thèse ([13], soutenue en mai 1950, mais seulement publiée en 1967) est un travail suggéré par Emil Artin : récrire les résultats de Hecke sur les fonctions zêta de corps de nombres dans le langage de l'analyse harmonique sur les groupes commutatifs localement compacts. Il ne s'agit donc pas de résultats nouveaux, mais d'une modernisation de résultats anciens. Cette thèse a pourtant eu beaucoup d'influence, car le point de vue et les notations qu'elle introduit se sont révélés parfaitement adaptés au cas de l'analyse harmonique sur les points adéliques d'un groupe algébrique réductif sur un corps global (le cas considéré par Tate étant celui du groupe multiplicatif $G_m = GL_1$).

Son premier résultat original est celui de [9] : la *cohomologie galoisienne des classes d'idèles est isomorphe*, avec décalage de deux unités, à celle de Z. Tate le démontre en utilisant une version modifiée de la cohomologie des groupes finis qu'il avait introduite peu auparavant, sans la publier. Une des conséquences est un critère cohomologique pour qu'un élément qui est localement une norme le soit globalement. Cet article de seulement 4 pages lui a valu en 1956 le *Cole Prize for Number Theory*.

<footnote><sup>a</sup> Collège de France</footnote>
En 1959, il obtient un résultat surprenant [8] : la théorie des fonctions elliptiques d'Abel et de Jacobi, basée sur des séries de puissances en $q = e^{2\pi i z}$, peut se transposer au cas p-adique avec exactement les mêmes formules, à condition d'interpréter $q$ comme un nombre p-adique non nul de valeur absolue < 1¹. Et l'on obtient ainsi, essentiellement, toutes les courbes elliptiques p-adiques ayant mauvaise réduction en $p$. Tate, comme ce sera souvent le cas par la suite, ne publie pas immédiatement ce beau résultat. Il se contente de me l'écrire ([19, 4/8/1959]) et de faire des copies de sa lettre, copies qui se mutiplient rapidement, de telle sorte que ses résultats deviennent vite « bien connus »<fnref n="2" />. La première publication date de 1993 : [4, n°69].

Tate voit tout de suite que les résultats ci-dessus doivent avoir une portée plus générale : il doit exister une théorie des variétés analytiques p-adiques rigides, beaucoup plus proche de la géométrie algébrique que la théorie locale usuelle (que l'on qualifie maintenant de « molle »). Deux ans plus tard (octobre 1961), c'est fait : il rédige une version détaillée de cette théorie, qu'il m'envoie à nouveau sous forme d'une série de lettres, que je fais aussitôt reproduire par l'IHES; elles seront publiées neuf ans plus tard dans la revue Inventiones mathematicae ([15]). Pour plus de détails, voir les sections 1-2 du rapport de Colmez ([18]).

Retour aux corps de nombres dans son exposé de 1962 au congrès international de Stockholm ([10]) : théorèmes de dualité pour la cohomologie galoisiene des corps locaux et globaux (théorie dite de Poitou-Tate, car Georges Poitou avait obtenu essentiellement les mêmes résultats, à peu près au même moment). L'énoncé du théorème local est simple :

Soit $k$ un corps local, et soit $\Gamma_k = \text{Gal}(k_s/k)$, où $k_s$ est une clôture séparable de $k$. Soit $M$ un $\Gamma_k$-module fini d'ordre premier à car($k$). Soit $M' = \text{Hom}(M, k_s^\times)$ le dual de Tate de $M$. Pour tout $r$, le cup-produit définit une application bilinéaire $H^r(\Gamma_k, M) \times H^{2-r}(\Gamma_k, M') \to H^2(\Gamma_k, k_s^\times) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, et le théorème dit que cette application bilinéaire met en dualité les deux groupes de cohomologie $H^r(\Gamma_k, M)$ et $H^{2-r}(\Gamma_k, M')$. On a $H^r(\Gamma_k, M) = 0$ si $r \neq 0, 1, 2$.

Il y a un résultat analogue<fnref n="3" /> quand on remplace $M$ (resp. $M'$) par le groupe des $k_s$-points d'une variété abélienne (resp. de sa duale). La principale différence est que l'exposant $2-r$ est remplacé par $1-r$; de plus, les groupes de cohomologie en dimension 0 sont des groupes compacts, alors que ce sont des groupes discrets en dimension 1; les groupes de cohomologie en dimension $\ge 2$ sont nuls.

Un beau complément à la théorie du corps de classes pour les corps locaux : l'article [3], en collaboration avec son ancien élève J. Lubin. Les auteurs montrent comment l'isomorphisme du corps de classes local peut se construire explicitement à partir d'un certain groupe formel; c'est une théorie analogue à celle du corps de classes global pour $\mathbb{Q}$ et pour les corps quadratiques imaginaires. Application : une démonstration très naturelle du théorème d'existence dans le cas local.

En 1964, à l'école d'été de Woods Hole, Tate énonce une série de conjectures qui auront une grande influence, cf. [11]. L'une des plus frappantes est celle relative aux cycles algébriques de codimension donnée $d$ dans une variété projective lisse $X$ sur un corps $k$ de type fini sur le corps premier. Soit $\ell$ un nombre premier ne divisant pas la caractéristique de $k$, et soit $H^{2d}(X)_{\ell}$ le $q$-ième groupe de cohomologie étale de $X_{1/k_s}$ à coefficient dans $\mathbb{Q}_{\ell}(d)$. Tout cycle $z$ de codimension $d$ définit un élément $c(z)$ de $H^{2d}(X)_{\ell}$ qui est invariant par le groupe de Galois $\Gamma_k = \text{Gal}(k_s/k)$; Tate conjecture que, réciproquement, tout élément de $H^{2d}(X)_{\ell}$ invariant par $\Gamma_k$ est combinaison

<footnote n="1">¹ En fait, comme Deligne et Rapoport l'ont montré dans [20, §VII], le cadre naturel de la construction de Tate n'est pas un corps p-adique, mais simplement l'anneau $\mathbb{Z}[[q]]$.</footnote>

<footnote n="2">² Cela rappelle la façon dont Fermat et Pascal faisaient connaître leurs résultats : Tate aurait été à l'aise au 17-ième siècle.</footnote>

<footnote n="3">³ Tate ne le démontre que lorsque $\text{car}(k) = 0$; le cas $\text{car}(k) \neq 0$ est dû à J. Milne, cf. [24].</footnote>
Qℓ-linéaire de classes du type c(z). Cet énoncé est particulièrement intéressant dans le cas où k est un corps fini : l'invariance par Γ$_k$ signifie alors l'invariance par l'action de l'automorphisme de Frobenius.

Comme Tate le remarque, il y a une certaine analogie entre cet énoncé et la classique conjec-
ture de Hodge pour les variétés algébriques complexes<fnref n="4" />.

C'est également à Woods Hole que Tate annonce ce que l'on appelle parfois le théorème de
Serre-Tate : relever infinitésimalement une variété abélienne équivaut à relever son groupe p-
divisible. Il y en a un bref résumé dans [11], mais les détails de la démonstration se trouvent
dans [19, 1/10/1964]. On peut voir dans [19] que le théorème, sous sa forme générale, est
entièrement dû à Tate. Ma contribution a seulement été ([19, 12/10/1963]) d'en avoir d'abord
démontré le cas particulier où la variété abélienne est ordinaire, en utilisant le foncteur de
Greenberg; comme Tate n'aimait pas cette méthode, cela l'a incité en trouver une autre, de portée
bien plus générale.

En 1966, Tate démontre un théorème étonnant sur les variétés abéliennes sur un corps
fini : elles sont déterminées, à isogénie près, par les valeurs propres de leurs endomorphismes de
Frobenius. Il en est si heureux qu'il me l'écrit en français<fnref n="5" />, et que, pour une fois, il le publie sans
plus attendre ([12]). Le point essentiel consiste à prouver que, si A est une variété abélienne
de dimension $> 0$ sur un corps fini, l'anneau $End(A)$ n'est pas réduit à $Z$. Cela se démontre en
prouvant que, si $End(A) = Z$, la variété abélienne $A$ a tellement d'isogénies qu'on en déduit une
infinité de variétés abéliennes polarisées, deux à deux non isomorphes, de la même dimension,
et avec même degré de polarisation, ce qui est impossible. Ce principe de démonstration sera
utilisé à nouveau, dix-sept ans plus tard, par Faltings, le corps de base étant cette fois un corps de
nombres, cf. [21].

C'est à la même époque (1965/1966) que Tate donne, dans un séminaire au Collège de France, une série de dix exposés sur les *groupes p-divisibles* et leurs applications aux variétés abéliennes ([26, p. 321-324]). On y trouve pour la première fois les surprenantes propriétés du corps « $C_p$», le complété d'une clôture algébrique d'un corps local $k$ d'inégale caractéristique, ainsi que la *décomposition de Hodge-Tate* de $T_pG \otimes C_p$, lorsque $G$ est un groupe $p$-divisible et que $T_pG$ est son module de Tate. Lorsque $G$ est le groupe $p$-divisible associé à une variété abélienne $A$ sur $k$ ayant bonne réduction, cela revient à dire que $H^1_{\text{et}}(A, Q_p) \otimes C_p$ se décompose en la somme directe de $H^1_{\text{Zar}}(A, \Omega^0) \otimes C_p$ et de $H^0_{\text{Zar}}(A, \Omega^1) \otimes C_p(-1)$.

Tate énonce également la conjecture disant qu'une décomposition analogue existe pour
la cohomologie (en n'importe quelle dimension) d'une variété projective lisse sur un corps
local ([14]); cela sera démontré plus tard par Fontaine–Messing ([23]) avec une restriction sur
la caractéristique résiduelle, puis, dans le cas général, par Faltings ([22]).

Autres travaux de Tate

* Une définition très simple de la *hauteur canonique* (appelée aussi de Néron-Tate) des points rationnels d'une variété abélienne; il en déduit que c'est une forme quadratique, ce qui avait été conjecturé par Néron : [19, 24/10/1962].

* La conjecture de Sato-Tate pour les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$ : [19, 5/8/1963]. C'est le prototype d'une série de conjectures sur les représentations galoisiennes associées aux motifs.

<footnote n="4">⁴ Curieuse différence : le cas $d = 1$ de la conjecture de Hodge est démontré depuis longtemps, alors qu'il ne l'est pas dans le cas de Tate.</footnote>

<footnote n="5">⁵ « La réponse est si belle que j’ai envie de l’écrire en Français », [19, 17/2/1966]</footnote>
* Critère de bonne réduction pour les variétés abéliennes, et applications aux variétés de type CM : [7].

* La structure (avec F. Oort) des schémas en groupes finis plats d'ordre $p$ : [6].

* Des analogues $p$-adiques de la conjecture de Birch et Swynnerton-Dyer (avec B. Mazur) : [5].

* La détermination (avec H. Bass) des groupes $K_n$ (à la Milnor) des corps de nombres, pour $n \ge 3$, ainsi celle de $K_n/2K_n$ : [2].

* Une contribution à l'étude de certains anneaux locaux non commutatifs ressemblant aux anneaux locaux réguliers commutatifs (avec M. Artin et M. Van der Bergh); il y intervient des courbes elliptiques : [1].

Outre deux prix de l'American Mathematical Society (Cole 1956 et Steele 1995), Tate a reçu deux grands prix internationaux : le prix Wolf (Israel 2002), partagé avec Mikio Sato, et le prix Abel (Norvège 2010).

# Références

## Publications de Tate

[1] M. Artin, J. Tate, M. Van den Bergh, « Some algebras associated to automorphisms of elliptic curves », in *The Grothendieck Festschrift*, Progress in Mathematics, vol. 86, Birkhäuser, 1990, p. 33-85, reproduit dans [4, n°61].

[2] H. Bass, J. Tate, « The Milnor ring of a global field », in *Algebraic K-theory. "Classical" algebraic K-theory, and connections with arithmetic*, Lecture Notes in Mathematics, vol. 342, Springer, 1973, p. 349-446, reproduit dans [4, n°37].

[3] J. Lubin, J. Tate, « Formal complex multiplication in local fields », *Ann. Math. 81* (1965), p. 380-387, reproduit dans [4, n°20].

[4] B. Mazur, J.-P. Serre (éd.s.), *Collected Works of John Tate*, American Mathematical Society, 2016, 2 vol.

[5] B. Mazur, J. Tate, « Refined conjectures of the "Birch and Swinnerton-Dyer type" », *Duke Math. J.* **54** (1987), p. 711-750, reproduit dans [4, n°59].

[6] F. Oort, J. Tate, « Group schemes of prime order », *Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.* **3** (1970), p. 1-21, reproduit dans [4, n°34].

[7] J.-P. Serre, J. Tate, « Good reduction of abelian varieties », *Ann. Math. 88* (1968), p. 492-517, reproduit dans [4, n°33].

[8] J. Tate, « Rational points on elliptic curves over complete fields », manuscrit non publié, Harvard, 1959, reproduit dans [4, n°69].

[9] ——, « The higher dimensional groups of class field theory », *Ann. Math. 56* (1952), p. 294-297, reproduit dans [4, n°7].

[10] ——, « Duality theorems in Galois cohomology over number fields », in *Proc. Int. Congr. Math. (Stockholm, 1962)*, Inst. Mittag-Leffler, 1963, p. 288-295, reproduit dans [4, n°18].

[11] ——, « Algebraic cycles and poles of zeta functions », in *Arithmetical Algebraic Geometry*, Harper & Row, 1965, p. 93-110, reproduit dans [4, n°21], complété dans [16].

[12] ——, « Endomorphisms of abelian varieties over finite fields », *Invent. Math.* **2** (1966), p. 134-144, reproduit dans [4, n°27].

[13] ——, « Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta functions », in *Algebraic number theory*, Academic Press Inc., 1967, p. 305-347, PhD Thesis, Princeton (USA), 1950, reproduit dans [4, n°1].

[14] ——, « $p$-divisible groups », in *Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966)*, Springer, 1967, p. 158-163, reproduit dans [4, n°30].

[15] ——, « Rigid analytic spaces », *Invent. Math.* **12** (1971), p. 257-289, notes IHES (1962), reproduit dans [4, n°36].

[16] ——, « Conjectures on algebraic cycles in $\ell$-adic cohomology », in *Motives (Part I)*, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 55, American Mathematical Society, 1994, p. 71-83, reproduit dans [4, n°65].

[17] ——, « Autobiography », in *The Abel Prize 2008–2012*, Springer, 2014, p. 249-257.

## Autres publications

[18] P. Colmez, « Tate's work and the Serre-Tate correspondence », *Bull. Am. Math. Soc.* **54** (2017), n° 4, p. 559-573.

[19] P. Colmez, J.-P. Serre (éd.s.), *Correspondance Serre-Tate*, Documents Mathématiques, vol. 13-14, Société Mathématique de France, 2015, 2 vol.

[20] P. Deligne, M. Rapoport, « Les schémas de modules de courbes elliptiques », in *Modular Functions of One Variable II*, Lecture Notes in Mathematics, vol. 349, Springer, 1973, p. 143-316.
[21] G. Faltings, « Endlichkeitssäze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern », Invent. Math. **73** (1983), p. 349-366, erratum in ibid. **75** (1984), p. 381.

[22] ——, « *p*-adic Hodge theory », J. Am. Math. Soc. **1** (1988), n° 1, p. 255-299.

[23] J.-M. Fontaine, W. Messing, « *p*-adic periods and *p*-adic etale cohomology », in *Current trends in arithmetical algebraic geometry*, Contemporary Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, 1987, p. 179-207.

[24] J. S. Milne, « Weil-Châtelet groups over local fields », Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. **3** (1970), p. 273-284.

[25] ——, « The work of Tate, John », in *The Abel Prize 2008–2012*, Springer, 2014, p. 259-334, contient une analyse détaillée et une bibliographie des publications de Tate.

[26] J.-P. Serre, « Résumé des cours de 1965-1966 », in *Oeuvres II*, 1965, p. 315-324.