# Sur un nouveau mode de couplage entre les aimantations de deux couches minces ferromagnétiques

Louis Néel

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Louis Néel. Sur un nouveau mode de couplage entre les aimantations de deux couches minces ferro-magnétiques. Comptes Rendus Hebdomadaires Des Seances De L Academie Des Sciences, 1962, 255 (15), pp.1676-1681. hal-02878443

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# MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS

## DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE.

MAGNÉTISME. — Sur un nouveau mode de couplage entre les aimantations de deux couches minces ferromagnétiques. Note (*) de M. LOUIS NÉEL.

Étude théorique de couplages magnétostatiques susceptibles de se produire entre deux couches minces ferromagnétiques séparées par une troisième couche non magnétique et dus à des corrélations entre les irrégularités topographiques des deux interfaces en regard.

L'étude expérimentale des propriétés magnétiques d'assemblages stratifiés, composés de deux couches minces ferromagnétiques A et A' séparées par une troisième couche non magnétique B, montre qu'il peut exister des énergies de couplage entre les aimantations des deux couches extrêmes. Ainsi, Bruyère a montré (¹) que, l'aimantation de la couche A' restant constante et voisine de l'aimantation à saturation, la couche A présentait dans certains cas un cycle d'hystérésis dissymétrique comme si elle était soumise de la part de la couche A' à une sorte de champ magnétique de couplage $H_m$, changeant de signe avec l'aimantation de la couche A' et susceptible d'attecindre quelques œrsests. D'une manière de parler, peut-être préférable, on peut dire aussi qu'il existe une énergie superficielle de couplage qui est voisine de $H_m J_d$, où J et d désignent l'aimantation et l'épaisseur de la couche A, c'est-à-dire de l'ordre de 0,01 erg/cm² dans les cas observés. Quant à l'origine de ces couplages, diverses explications peuvent être invoquées : nous nous intéressons seulement ici aux *couplages magnétostatiques*.

Il en existe plusieurs types : le plus banal est le champ démagnétisant de forme. Chacune des couches ferromagnétiques est placée dans le champ démagnétisant de l'autre, de sorte que leurs aimantations tendent à s'orienter antiparallèlement. Ce couplage est d'autant plus faible que l'épaisseur des couches est plus petite et que leur diamètre est plus grand.

Un second type de couplage magnétostatique provient des interactions entre les parois séparant les domaines élémentaires : on sait (²) en effet que dans les couches minces ces parois sont toujours associées à des distributions de charges magnétiques et à des champs magnétiques de dispersion. Nous ne reviendrons pas sur ces phénomènes qui ont déjà été bien étudiés théoriquement (³) et expérimentalement (⁴).
Mais il existe aussi des couplages magnétostatiques liés à la topographie des interfaces A-B et B-A', séparant respectivement la couche A de la couche B et la couche B de la couche A'. En effet par suite du mode de fabrication de ces couches, en général évaporation dans le vide, et de leur nature polycristalline, leur surface n'est certainement pas plane et présente peut-être même des angles vifs. En outre si l'interface A-B présente ainsi une bosse, le dépôt de B ne peut pas la faire disparaître si B est mince, de sorte que l'interface B-A' tend à reproduire cette bosse, mais sous une forme d'autant plus atténuée que l'épaisseur de la couche B est plus grande. Supposons maintenant que les couches A et A' possèdent des aimantations rigides J et J', parallèles à une direction Ox du plan Oxy des couches et de même sens. Les parois de la bosse de A-B sont alors inclinées sur l'aimantation J : cette bosse constitue donc un petit dipôle magnétique de moment parallèle à Ox. Mais la bosse homologue de l'interface B-A', formant en réalité une dépression dans la couche A', constitue aussi un dipôle de moment antiparallèle au précédent. Ces deux dipôles sont placés en deuxième position de Gauss et leurs moments possèdent l'orientation relative la plus stable. Chaque paire de bosses homologues introduit ainsi dans l'énergie du système un terme tendant à donner aux aimantations de A et de A' des aimantations parallèles et de même sens.

Naturellement ce phénomène est contrarié par l'effet des champs de dispersion qui tendent à orienter l'aimantation spontanée des régions voisines de la surface parallèlement à celle-ci et à diminuer les moments dipolaires superficiels, malgré les forces d'échange et les forces d'anisotropie uniaxiale qui tendent au contraire à maintenir l'uniformité de l'aimantation dans l'ensemble de la couche. Le couplage réel est donc moins fort que celui qu'on calculerait dans l'hypothèse de l'aimantation rigide.

Pour préciser quantitativement les phénomènes, nous développons en série de Fourier les fonctions z et z' de x et de y représentant les interfaces A-B et B-A', l'origine des coordonnées étant choisie dans les deux cas sur le même axe zz' mais en des points différents pour annuler les valeurs moyennes z et z' de z et de z'. Une similitude de forme entre les deux interfaces se traduit mathématiquement par une corrélation entre z et z' : la valeur moyenne $\overline{zz'}$ du produit zz' n'est pas nulle.

Le cas le plus simple est celui d'ondulations parallèles à Oy. Deux termes homologues du développement de z et de z' sont

$$ (1) \qquad z = h \sin \rho x; \quad z' = h' \sin \rho x $$

correspondant à une corrélation $\overline{zz'} = hh'/2$. Magnétiquement les couches A et A' sont définies par leurs aimantations spontanées J et J', leurs coefficients de champ moléculaire N et N' et par les distances a et a' des atomes voisins les plus proches magnétiquement efficaces. Supposons en outre qu'un traitement magnétothermique ait communiqué aux couches A et A' une anisotropie uniaxiale autour de Ox définie par les constantes d'aniso-
tropie C et C' : les quantités J, J', N, N', C, C' sont rapportées à l'unité de volume. Soit enfin b l'épaisseur moyenne de la couche B.

Lorsque l'aimantation des couches A et A' est régide, uniforme et parallèle à Ox, les interfaces A-B et B-A' portent des charges magnétiques dont les densités M et M', projetées sur le plan Oxy, s'écrivent

$$ (2) \qquad M = \rho h J \cos \rho x \quad \text{et} \quad M' = -\rho h' J' \cos \rho x. $$

Le signe — dans l'expression de M' vient de ce que la couche A' est au-dessous de l'interface B-A' tandis que A est au-dessus de A-B.

Si nous enlevons à l'aimantation sa rigidité un nouvel état d'équilibre s'établit, mais dans le cas général il est difficile à calculer rigoureusement. Il s'agit en somme d'étudier les perturbations apportées à une distribution d'aimantation primitivement uniforme et parallèle à Ox par les charges magnétiques créées par cette même distribution sur les interfaces réelles ondulées et de densité donnée par les équations (2). Tout au moins si ph est petit devant l'unité, on peut remplacer ce problème par le problème analogue des perturbations apportées à une distribution d'aimantation primitivement uniforme et parallèle à Ox par des densités de charges magnétiques imposées sur une surface limite plane et précisément égales à M et à M'. On y gagne de pouvoir écrire les conditions aux limites sur les deux plans z = 0 et z' = 0.

Ce problème est aisé à résoudre en supposant que la direction de l'aimantation spontanée reste partout voisine de Ox. Le calcul montre (5) que l'augmentation de l'énergie du système, par unité de surface de l'assemblage stratifié, est la somme de deux termes E_ρ et E'_ρ qui, dans le cas où les épaisseurs des couches A et A' sont grandes devant l'épaisseur b de la couche intermédiaire B, sont donnés par les formules

$$ (3) \qquad E_{\rho} = - \frac{2 \pi \rho h h' J J'}{(1 + \rho \rho') \sinh pb + (\rho + \rho') \cosh pb}; $$

$$ (4) \qquad E'_{\rho} = \frac{\pi \rho h^2 J^2 (\cosh pb + \rho' \sinh pb) + \pi \rho h'^2 J'^2 (\cosh pb + \rho \sinh pb)}{(1 + \rho \rho') \sinh pb + (\rho + \rho') \cosh pb} $$

dans lesquelles ρ est donné par

$$ (5) \qquad \rho = \frac{1 + \lambda + \mu + \lambda^{\frac{1}{2}}(\lambda + \mu)^{\frac{1}{2}}}{(\lambda + \mu)^{\frac{1}{2}}[1 + \mu + 2\lambda + 2\lambda^{\frac{1}{2}}(\lambda + \mu)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2}}} $$

avec les abréviations :

$$ (6) \qquad \lambda = \frac{Na^2 p^2}{24\pi}; \quad \mu = \frac{C}{2\pi J^2}. $$

Le coefficient ρ' est donné par des formules analogues dans lesquelles λ, μ, N, a, C, J sont respectivement remplacés par λ', μ', N', a', C', J'.

Discutons d'abord les valeurs de ρ et de ρ'. Pour cela précisons les caractéristiques des ferromagnétiques constituant les couches A et A' en choisis-
sant les valeurs numériques suivantes : N=N'=6 000 ; J=J'=900 u. é. m. ;
a = a' = 2,9 Å ; C = C' = 5 000 ergs/cm³ qui conviennent à peu près au
permalloy orienté par traitement thermique dans un champ magnétique,
matériau d'usage courant pour la fabrication des couches minces magné-
tiques.

Avec ces données on obtient $\mu = 0,001$. Le paramètre $\mu$ possède donc une valeur très petite vis-à-vis de l'unité, constante tant qu'il s'agit du même milieu ferromagnétique. Au contraire, le paramètre $\lambda$ dépend non seulement des propriétés du milieu mais aussi de la longueur d'onde $L = 2\pi/p$ des ondulations de l'interface.

En particulier $\lambda$ est égal à $\mu$ pour une certaine valeur $L_e$ de L donnée par

$$ (7) \qquad L_e = \pi \sqrt{\frac{N a^2 J^2}{3C}}, $$

soit $L_e = 5\,200$ Å avec les données numériques adoptées. On remarquera
que $L_e$ est aussi de l'ordre de grandeur de l'épaisseur d'une paroi de Bloch
à 180°. En effet, dans une substance uniaxe, l'épaisseur d'une telle paroi,
comptée depuis un point où l'aimantation fait avec l'axe l'angle $\theta_1$,
jusqu'au point homologue où elle fait l'angle $\pi - \theta_1$, est donnée (6) par

$$ (8) \qquad L_b = \sqrt{\frac{N a^2 J^2}{3C}} \log \cotg \frac{\theta_1}{2}. $$

On constate ainsi que pour $\theta_1 = 50°$, $L_b$ est précisément égal à $L_e$.

D'autre part, les examens au microscope électronique semblent montrer
que l'échelle L des irrégularités des surfaces obtenues par évaporation est
plus petite que 200 Å, c'est-à-dire largement inférieure à $L_e$. Il en résulte
que $\lambda$ est beaucoup plus grand que $\mu$ (650 fois plus grand pour $L = 200$ Å)
de sorte que $\mu$ est négligeable devant $\lambda$. et que la formule (5) se réduit à

$$ (9) \qquad \varphi_{\mu} = \frac{1 - 2\lambda}{\lambda^{\frac{1}{2}}(1 + 4\lambda)^{\frac{1}{2}}}. $$

Le paramètre $\varphi_\mu$ est une fonction continuellement décroissante de $\lambda$
(lui-même proportionnel à $\rho$). Ainsi, lorsque l'échelle des irrégularités des
interfaces est petite devant l'épaisseur des parois de Bloch, on peut négliger
l'anisotropie magnétocristalline.

Ceci posé, revenons à la signification de $E_\rho$ et de $E'_\rho$. En ce qui concerne
l'énergie $E'_\rho$, elle est la somme de deux termes correspondant à des aniso-
tropies uniaxiales des couches A et A' liées à la structure particulière du
modèle choisi pour l'interface : ondulations parallèles à Oy. L'aimantation
tend à s'orienter parallèlement aux ondulations. Ces termes ne présentent
pas un très grand intérêt : ils disparaîtraient d'ailleurs avec un modèle
isotrope d'interface, constitué par exemple d'éléments de deux espèces
juxtaposés les uns aux autres, les uns ondulés parallèlement à Oy, les autres
parallèlement à Ox.
En ce qui concerne maintenant $E_ρ$, il s'agit d'une quantité négative lorsque J et J' sont de même signe : les aimantations des deux couches tendent à se disposer parallèlement l'une à l'autre dans le même sens, le couplage est positif.

Cette énergie est une fonction de $p$ inversement proportionnelle à un certain facteur sans dimensions G donné par $G=[(1+\rho^2) shpb+2\rho chpb]/pb$ que nous avons calculé pour diverses valeurs du produit $pb$ également sans dimensions, dans l'hypothèse où l'épaisseur $b$ de B est égale à 100 Å :

<table><tr><td>pb.........</td><td>12</td><td>6,0</td><td>3,0</td><td>2,4</td><td>2,1</td><td>1,8</td><td>1,4</td><td>0,8</td><td>0,4</td><td>0,2</td></tr><tr><td>G.........</td><td>28 200</td><td>157</td><td>22,1</td><td>18,5</td><td>17,9</td><td>18,5</td><td>21,9</td><td>45,8</td><td>158</td><td>608</td></tr></table>

On constate que G passe par un minimum accusé, égal à 17,9 pour $pb=2,1$, c'est-à-dire pour une longueur d'onde L de 300 Å. L'énergie maximale $E_{pm}$ de couplage correspondante, avec les données numériques adoptées, est de $2,8 hh' \cdot 10^{14}$ ergs/cm². Pour obtenir 0,01 erg/cm², ordre de grandeur des énergies de couplage observées, $hh'$ doit être égal à 360 Å², soit une corrélation $z\bar{z}'$ de 180 Å². A cette valeur correspondent des interfaces très chaotiques composées par exemple de blocs monocrystallins de 150 Å de diamètre et de 30 à 40 Å de hauteur.

Si au lieu de choisir des valeurs de paramètres convenant au permalloy, nous supposons rigide l'aimantation des couches A et A', N et N' deviennent infinis tandis que $\rho$ tend vers l'unité. L'énergie $E_ρ$ tend vers la valeur

$$ (10) \qquad E_{pr} = -\pi phh'JJ'e^{-pb}, $$

dont la valeur maximale est égale à $9,4 hh' \cdot 10^{14}$ ergs/cm², pour $pb = 1$. Ainsi le fait de passer du ferromagnétique à aimantation rigide au permalloy divise par 3,4 l'énergie de couplage maximale et par 2,1 la longueur d'onde optimale correspondante.

Disons maintenant quelques mots des cas où les irrégularités des interfaces sont en moyenne isotropes suivant les directions du plan $Oxy$. Pour éviter des calculs compliqués, nous admettrons qu'il y a le même rapport entre l'énergie de couplage d'un corps à aimantation rigide et celle du permalloy, qu'il s'agisse d'irrégularités isotropes ou d'irrégularités en ondulations cylindriques. Il suffit alors d'étudier le cas très simple de l'aimantation rigide.

Nous traitons le problème pour le terme fondamental du développement de $z$ et de $z'$ en série de Fourier, soit

$$ (11) \qquad x = h \sin px \sin py; \quad x' = h' \sin px \sin py, $$

correspondant à une corrélation $z\bar{z}' = hh'/4$, deux fois plus petite que dans le cas précédent, à valeurs égales de $h$ et de $h'$. Nous supposons que les aimantations rigides J et J' des couches A et A' sont parallèles au plan $Oxy$ et
font avec Ox les angles $\varphi$ et $\varphi'$. La densité M de charges magnétiques créée sur l'interface réelle A-B et projetée sur le plan Oxy s'écrit

$$ (12) \qquad M = hpJ (\cos\varphi \cos px \sin py + \sin\varphi \sin px \cos py), $$

avec une expression analogue pour la densité M' des charges créées sur l'interface B-A', obtenue en remplaçant M, h, $\varphi$ et J par —M', h', $\varphi'$ et J' dans l'équation précédente.

L'énergie magnétostatique associée à la répartition des densités M et M' sur les plans $z = 0$ et $z' = 0$ est la somme des deux termes $E_p$ et $E'p$ :

$$ (13) \qquad E_p = - \frac{\pi p}{2} h h' J J' \cos(\varphi - \varphi') e^{-pb/2} $$

et

$$ (14) \qquad E'_p = \frac{\pi p}{4} (h^2 J^2 + h'^2 J'^2). $$

Le terme $E'_p$, constant et indépendant de l'orientation des aimantations, ne présente aucun intérêt. Le terme $E_p$ correspond à un couplage du type cosinus entre J et J'. C'est une fonction de p qui pour $pb = \sqrt{2}/2$ passe par un maximum. L'énergie maximale de couplage, pour $b = 100 \AA$, $J = -J' = 900$ u. é. m., est égale à $2,34 \text{ hh'.}10^{11} \text{ ergs/cm}^2$.

Par la méthode de raisonnement indiquée plus haut, on estime alors que pour le permalloy l'énergie de couplage maximale est voisine de $0,69 \text{ hh'.}10^{11} \text{ erg/cm}^2$, pour des irrégularités isotropes des interfaces d'échelle L voisine de $420 \AA$. A valeurs égales de la corrélation $\overline{\overline{z}}$', l'énergie maximale de couplage due à des irrégularités isotropes des interfaces est à peu près deux fois plus petite que celle d'ondulations cylindriques.

Concluons qu'une corrélation entre les irrégularités topographiques des deux interfaces peut effectivement produire une énergie de couplage de l'ordre de $0,01 \text{ erg/cm}^2$ entre les aimantations de deux couches minces ferromagnétiques séparées par une troisième couche non magnétique de $100 \AA$ d'épaisseur. Il faut cependant pour cela que la « longueur d'onde » et les amplitudes concordantes de ces irrégularités soient respectivement de l'ordre de $400 \text{ et } 40 \AA$.

(Laboratoire d'Électrostatique et de Physique du Métal, Institut Fourier, place du Doyen-Gosse, Grenoble.)

<footnote>(*) Séance du 24 septembre 1962.</footnote>

<footnote>(1) Communication personnelle.</footnote>

<footnote>(2) L. NÉEL, *Comptes rendus*, 241, 1955, p. 533.</footnote>

<footnote>(3) H. W. FULLER et D. L. SULLIVAN, *J. Appl. Phys.*, Suppl., 33, 1962, p. 1063.</footnote>

<footnote>(4) I. B. PUCHALSKA et R. J. SPAIN, *Comptes rendus*, 254, 1962, p. 2937.</footnote>

<footnote>(5) L. NÉEL, *Comptes rendus*, 255, 1962, p. 1545.</footnote>

<footnote>(6) L. NÉEL, *Cah. Phys.*, n° 25, 1944, p. 1.</footnote>