# Quelles conditions pour une conceptualisation des fractions dans le manuel français “ La méthode de Singapour ” en CE1-CE2 ?

Laurence Ledan

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Laurence Ledan. Quelles conditions pour une conceptualisation des fractions dans le manuel français “La méthode de Singapour” en CE1-CE2?. 50e colloque international sur la formation en mathématiques des professeurs des écoles, Mathématiques et diversité à l'école, aider les élèves, accompagner les enseignants, COPIRELEM, Jun 2024, Bonneuil sur Marne, France. hal-05123050

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# QUELLES CONDITIONS POUR UNE CONCEPTUALISATION DES FRACTIONS DANS LE MANUEL FRANÇAIS « LA MÉTHODE DE SINGAPOUR » EN CE1-CE2 ?

Laurence LEDAN

Doctorante, PARIS CITE
LDAR

laurence.ledan@univ-tlse2.fr

## Résumé

Ce travail s'inscrit, au moment du colloque, dans un contexte de projets institutionnels qui pouvaient modifier significativement l'enseignement des fractions en France. Il était envisagé d'enseigner les fractions plus précocement, dès le CP, alors qu'actuellement elles sont enseignées au CM1. L'objectif est d'analyser les manuels intitulés *La méthode de Singapour* en CE1 et CE2 (édités en 2020 et 2021) car ils présentent un enseignement des fractions (inférieures à un). La théorie des champs conceptuels a été mobilisée pour étudier des possibles en termes de situations, de signifiants (écritures chiffrées, verbalisations, représentations imagées) et d'invariants opératoires. Les choix effectués par un manuel en termes de situations, de signifiants peuvent engager trois théorèmes-en-acte qui réduiraient le sens de fraction et pourraient avoir une grande opérationnalité. Il s'agit d'observer les conditions permettant de dépasser ou renforcer l'usage strict de ces trois théorèmes. Deux analyses sont exposées, l'une portant sur la ressource globale associée au manuel et l'autre sur les corpus d'exercices. Ces dernières montrent une grande opérationnalité des trois théorèmes-en-acte repérés. L'étude qualitative de la minorité d'exercices ne pouvant pas être résolue à l'aide des trois théorèmes-en-acte anticipés nous permet d'envisager des conditions propices à une conceptualisation plus complète des fractions.

Fin 2023, de nombreuses communications institutionnelles dont celle du conseil scientifique de l'éducation nationale (CSEN) ont mis sur le devant de la scène « la méthode de Singapour » précisant qu'elle serait adoptée à la rentrée 2024. En effet, cette « méthode » a été évoquée notamment pour pallier l« inquiétante mécompréhension des nombres et surtout des fractions à l'entrée en sixième » (Dehaene, Potier-Watkins et Cauté, 2023, p. 2). En France, un manuel existe sous le nom de « La méthode de Singapour » (publié à La librairie des Écoles) qui serait une traduction adaptée de l'un des manuels utilisé à Singapour (Chambris, 2017) et qui propose un enseignement des fractions dès le CE1.

En avril 2024, un projet de programmes de cycle 2 en mathématiques est paru, intégrant la notion de fraction dès le CP<fnref n="1" />. Sur les 3 niveaux de classe (CP, CE1, CE2) sont évoquées uniquement les fractions inférieures à un, dans un contexte de partage d'un tout en parts égales où les représentations surfaciques sont très prégnantes. Pour ce texte, nous retenons de ces projets de programme, une introduction des fractions comme résultat d'un partage<fnref n="2" />. Ce partage est opéré sur un objet, qui est, en troisième année (CE2) une modélisation d'une grandeur. Cette approche semble se différencier de celle choisie dans les programmes précédents qui précisaient que « les fractions [...] apparaissent comme de nouveaux

<footnote n="1">¹ Le 31 octobre 2024, de nouveaux programmes sont parus dans une version où les fractions sont enseignées à partir du CE1.</footnote>

<footnote n="2">² En annexe 1, le lecteur pourra retrouver l'analyse des projets de programme d'avril 2024 présentée lors de la communication.</footnote>
nombres introduits pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite
graduée » (MEN, 2020). De plus, cette dernière approche se faisait plus tardivement, au début du cycle 3,
et semblait plutôt prendre racine dans un monde des grandeurs en englobant d'emblée des fractions
supérieures à un.

Ainsi, nous nous demandons quelle approche est proposée dans le manuel « La méthode de Singapour »
en CE1-CE2 et souhaitons l'analyser afin d'envisager ce qu'un élève pourrait être amené à concevoir sur
les fractions. Nous mobilisons la théorie des champs conceptuels pour définir le concept de fraction. Cette
définition nous permet d'identifier des choix possibles que les auteurs d'un manuel peuvent faire, en
termes de classes de problèmes, de représentations imagées, de sens évoqués. De tels choix nous
conduisent à définir la notion de théorème-en-acte et à en envisager trois, qui pourraient approuvir le
sens de fraction que se construirait un élève. Cela nous conduit à étudier la place des représentations
imagées ainsi que celle de ces théorèmes-en-acte, mais aussi à observer la diversité des tâches proposées
afin de comprendre le sens véhiculé dans le manuel « La méthode de Singapour » en CE1-CE2. Suite à ces
résultats, nous envisageons quelques pistes qu'un enseignant pourrait explorer s'il s'appuyait sur ce
manuel pour enseigner les fractions et émettons quelques points de vigilance quant à l'utilisation stricte
de ce manuel.

# I - LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS

Vergnaud définit « un concept » comme

« un triplet de trois ensembles : C = (S, I, f)

S: l'ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence)

I: l'ensemble des invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié)

f: l'ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant). » (Vergnaud, 1990, p. 145).

Il définit les fractions comme un concept au sein du champ conceptuel des structures multiplicatives (Vergnaud, 1983, 1988). Les situations peuvent être classées selon « les relations de base des données connues et inconnues, lesquelles correspondent à autant de questions possibles » (Vergnaud, 1990, p. 151), ce qui nous permet d'identifier des classes de problèmes. Les trois ensembles définissant un concept sont dépendants. C'est pourquoi nous avons fait le choix de présenter des éléments relatifs à chaque ensemble en commençant par présenter quelques signifiants (f) puis des classes de problèmes (S), des sens possibles du concept de fraction et quelques invariants opératoires.

## 1 Des signifiants qui peuvent représenter le concept de fraction

Nous distinguons trois grands types de signifiants : sous forme langagière, sous forme d'écriture chiffrée et sous forme de représentation imagée, que nous présentons et exemplifions ci-après.

Parmi les signifiants sous forme langagière, nous retrouvons des expressions comme « *a* sur *b*<fnref n="3" /> » ou « *a* *b*-ièmes » pouvant être contextualisées « *a* parts sur un total de *b* parts ».

<footnote n="3">³ Dans tout l'article, *a* est un entier naturel, *b* est un entier naturel non nul.</footnote>
Parmi les signifiants sous forme d'écritures chiffrées, nous retrouvons des écritures verticales $\frac{a}{b}$ ou horizontales $a/b$ ainsi que des écritures d'une ou plusieurs sommes de fractions, d'une ou plusieurs sommes d'entiers et de fractions.

Toromanoff (2019) explicite la difficulté de dissocier le concept de nombre de son écriture chiffrée. Notons que cette difficulté est renforcée avec le concept de « fraction » car une même fraction peut s'écrire à l'aide de plusieurs écritures chiffrées équivalentes, mettant potentiellement en jeu des chiffres différents (Par exemple, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$).

Enfin, nous proposons de classer les signifiants sous formes de représentations imagées selon le nombre de dimensions géométriques, puis d'exemplifier avec $\frac{2}{5}$, comme étant la fraction d'éléments bleus dans chaque ensemble (tableau 1⁴).

<table><caption>Tableau 1. Signifiants pouvant représenter une fraction : représentations imagées en 0D, 1D, 2D, 3D</caption><thead><tr><th>OD</th><th>1D</th><th>2D</th><th>3D</th></tr></thead><tbody><tr><td><p>(non sécables et dispersées)</p><p><img src="image_0.png" alt="A set of four blue and one red points, arranged in a square pattern."></p><p><img src="image_1.png" alt="A horizontal line, with a blue segment at the left end and a red segment at the right end."></p><p><img src="image_2.png" alt="A vertical line, with a blue segment at the top and a red segment at the bottom."></p><p><img src="image_3.png" alt="A segment of a circle, with a blue part in the center and a red part on the circumference."></p></td><td><p>Ou<br><img src="image_4.png" alt="A horizontal segment, with a blue segment at the left end and a red segment at the right end."></p><p>(chaque segment peut être étendu en une portion de droite numérique ou peut être proposé sur $[n; n+1]$ avec $n \in \mathbb{N}$.)</p></td><td><p><img src="image_5.png" alt="A pie chart, divided into two parts: a blue sector and a red sector."></p><p><img src="image_6.png" alt="A bar chart, with a blue bar and a red bar."></p></td><td><p><img src="image_7.png" alt="A pyramid, divided into two parts: a blue pyramid and a red pyramid."></p><p><img src="image_8.png" alt="A cylinder, divided into two parts: a blue cylinder and a red cylinder."></p></td></tr></tbody></table>

Il semble nécessaire de préciser la distinction faite entre les termes « objets » et « éléments ». Parmi les objets, il s'agit de considérer à la fois les pommes (sécables), les billes (insécables), les figures géométriques, les solides, etc. En revanche, « un élément » est la plus petite sous-unité perceptible dans une représentation imagée par exemple. Présentons cette classification de signifiants :

* les représentations imagées en 0D, qui représentent des quantités discrètes, sont proposées sous forme d'objets<fnref n="5" /> non sécables et dispersés (billes, jetons, etc.) dont une sous-partie de cette collection est identifiée (colorée, hachurée, etc.);

* les représentations en 1D sont sous forme de segments ou de portions de droites graduées, dont une partie est identifiée (soit en repérant une origine et un point à une distance donnée de cette origine, soit en identifiant une partie du segment);

<footnote n="4">⁴ Dans cet article, les illustrations proposées évoquent des fractions inférieures à un comme le propose le manuel analysé, comme les projets de programmes et les programmes parus en 2024 le préconisent.</footnote>

<footnote n="5">⁵ Dans ce cas, les mots « objets » et « éléments » sont synonymes.</footnote>
* les représentations en 2D sont sous forme de surfaces géométriques (disque, rectangle, etc.) déjà prédécoupées et dont une partie est identifiée. Le prédécoupage peut être en parts exactement superposables (comme dans le tableau 1), en parts non superposables de même aire, en parts d'aires différentes ;

* les représentations planes représentent des objets 3D (un solide ou un matériel tangible modélisant un volume ou une contenance) déjà prédécoupés et dont une partie est identifiée.

## 2 Des classes de problèmes permettant de convoquer le concept de fraction

Pour définir des classes de problèmes, intéressons-nous au champ multiplicatif défini par Vergnaud (1983). Reprenons les quatre classes de problèmes issues de la structure des « isomorphismes de mesure » (tableau 2, première colonne). Seules les classes de problèmes de partage et de proportion peuvent permettre d'introduire les fractions. Les deux autres classes de problèmes permettent de mobiliser le concept de fraction, comme les problèmes de quotition et les problèmes multiplicatifs, également issus de la structure des isomorphismes de mesure. Exemplifions ces quatre classes de problèmes dans le tableau 2.

<table><caption>Tableau 2. Exemples pour les classes de problèmes issus de la structure des isomorphismes de mesure</caption><thead><tr><td>Classes de problèmes</td><td>Exemple</td></tr></thead><tbody><tr><td>Partage (recherche de la valeur de la part)</td><td>Partager 3 cakes identiques entre 4 personnes afin que chaque personne ait la même quantité. Quelle est la quantité de cake que chacun aura ?</td></tr><tr><td>Quotition (recherche du nombre de parts)</td><td>Combien de rubans, de mesure de longueur 1/2, peut-il découper dans un ruban de mesure de longueur 2 ?</td></tr><tr><td>Multiplication</td><td>Lorsqu'on accole bout-à-bout 10 rubans de mesure de longueur 1/2, quelle est la longueur totale ?</td></tr><tr><td>Proportion (règle de trois, cas général)</td><td>Il faut 1 volume de sirop pour un total de 3 volumes d'eau, combien faut-il de volumes de sirop pour 1 volume d'eau ?</td></tr></tbody></table>

Enfin, nous avons déterminé plusieurs autres classes de problèmes (la recherche d'exhaustivité est toujours en cours). Des classes de problèmes peuvent travailler la notion d'ordre comme comparer deux fractions ou ordonner des fractions alors que d'autres reposent sur du calcul comme ajouter ou soustraire deux fractions. Des classes de problèmes peuvent proposer le passage d'un signifiant à un autre. Certaines demandent de produire un nouveau signifiant de fraction à partir d'un signifiant donné, tandis que d'autres consistent à associer entre eux les signifiants d'une même fraction. Exemplifions cela dans le tableau 3 ci-après.

<table><thead><tr><td>Classes de problèmes</td><td>Exemple</td></tr></thead><tbody><tr><td>À partir d'un signifiant de fraction donné, en produire de type différent (langagier, représentation imagée, écrit chiffré).</td><td>Quelle fraction de bleu est représentée dans l'une des images du tableau 1 ?</td></tr></tbody></table>
## 4 Conceptualisation

La conceptualisation consiste, selon Vergnaud, à « l'identification des objets du monde [parfois implicite], de leurs propriétés, relations et transformations, que cette identification résulte d'une perception directe ou quasi-directe, ou d'une construction » (Vergnaud, 2007, p. 4). L'accès à la conceptualisation peut donc être servi ou desservi selon le type de signifiants convoqué et les situations proposées.

Par exemple, des signifiants langagiers peuvent donner des indices sur ce que le sujet conceptualise. En effet, des verbalisations du type « a morceaux sur un total de b morceaux » évoqueraient plutôt une prise d'appui sur le sens proportion alors qu'une verbalisation du type « a b-ièmes parce que j'ai partagé l'unité en b parts égales et j'ai pris a parts » évoquerait davantage le sens partage. Coulange et Train (2018) avaient d'ailleurs qualifié de tels éléments langagiers comme pouvant provoquer des « effets de brouillage » lorsqu'il y a discordance entre la situation et la verbalisation.

Les représentations imagées peuvent engager plusieurs conceptualisations possibles selon la situation dans laquelle nous les retrouvons et selon le sujet. Par exemple pour la classe de problème « à partir d'une représentation surfacique de fraction donnée, produire l'écriture chiffrée correspondante » rien ne nous garantit le sens qui serait convoqué chez l'élève. Il peut percevoir a éléments identiques sur un total de b éléments comme une relation d'une partie au tout (sens proportion) ou comme un partage en parts égales d'une unité. Enfin, le classement des représentations imagées semble incontestable du point du vue dimensionnel (tableau 1) mais peut être identifié de manière non univoque selon le sujet. En effet, un sujet peut percevoir un objet (un lot de points, une tarte, une bande) ou percevoir différents types de grandeurs, discrètes ou continues (longueur, aire, angle, volume, contenance, etc.). Une controverse existe et a été présentée lors de la communication, quant au fait de fonder le partage sur des objets ou des grandeurs. Il semble possible d'effectuer une première approche de la fraction dans le sens partage en prise d'appui sur des objets, mais il se pourrait que dans un deuxième temps, une prise d'appui sur des grandeurs puisse être porteuse d'une conceptualisation plus favorable au renouvellement des invariants opératoires (annexe 2). Précisément, chaque représentation imagée peut être perçue comme une grandeur discrète en fonction de la perception des éléments. Par exemple, en percevant le grand segment non pas comme découpé en sous-segments, mais comme un assemblage de segments mis bout à bout, ou en voyant une figure non comme découpée mais comme un assemblage de sous-surfaces, etc.

## 5 Les représentations imagées prédécoupées génératrices de trois théorèmes-en-acte

Pour Vergnaud, « les théorèmes-en-acte sont des propositions tenues pour vraies sur le réel » (Vergnaud, 2013, p. 139), alors que les « concepts-en-acte » permettent de prélever dans l'environnement les informations pertinentes. Selon les situations et les signifiants qui sont proposés à un sujet, il peut développer des théorèmes-en-acte qui pourraient réduire (ou étendre) la construction du sens que le sujet en développera.

Il est possible qu'un sujet perçoive la fraction à travers le concept-en-acte dont les effets correspondent à l'énoncé : la fraction est une relation entre deux quantités perçues de manière discrète dont l'une est incluse dans l'autre, sans envisager la relativité de l'univers.

Au sein de la classe de problèmes « à partir d'une représentation imagée de fraction donnée, produire l'écriture chiffrée associée », le concept-en-acte énoncé ci-avant engagerait potentiellement un théorème-en-acte qui pourrait s'énoncer de la manière suivante : « produire l'écriture chiffrée d'une
fraction, c'est écrire au-dessus du trait le nombre d'éléments identifiés et en-dessous le nombre total d'éléments ».

Ce théorème est faux dans le cas des fractions supérieures à un puisqu'il est nécessaire d'identifier l'unité en amont. Mack (1990) avait signalé une erreur courante, chez les élèves, lorsque deux disques sont donnés, tous deux partagés en quarts et que cinq quarts sont colorés, les élèves encodent $\frac{5}{8}$ car ils effectuent un double dénombrement (nombre de parts colorées, nombre total de parts)$^7$.

Dans le tableau 1, il est simple d'identifier les plus petits éléments semblables et d'effectuer ces double-dénombrements quelles que soient les représentations imagées proposées, quel que soit le choix dimensionnel proposé.

Une autre recherche confirme que les élèves français convoquent ce théorème-en-acte. Martinez-Ibanez (2018) a recensé une tâche extraite de l'évaluation TIMSS (M0704), où les élèves doivent produire un signifiant « écriture chiffrée de fraction » à partir d'une représentation OD. Il précise qu'en France, les programmes actuellement en vigueur à l'école primaire ne prévoient pas de convoquer le concept de fraction appliqué aux quantités discrètes. Pourtant, le score des élèves français se situe, pour cette tâche, autour de la moyenne des autres pays.

À présent, identifions deux théorèmes-en-acte qui permettent de traiter des problèmes issus de la classe « comparer ou ordonner des fractions » lorsqu'une représentation imagée est donnée.

Le premier théorème-en-acte serait la « comparaison perceptive de grandeur » (Fénichel et Pfaff, 2005, p. 194), pour cela « la différence concernant la grandeur des objets en jeu doit être visible » (ibid.). Le second théorème-en-acte s'applique à certaines représentations imagées présentées dans des configurations particulières, c'est-à-dire « mises à la même origine » (Pfaff, Hannon, Newiadomy, Saliou, Visgueiro, 2019). En effet, dans ce cas, nous pouvons déterminer celle qui a la plus grande grandeur de manière perceptive également grâce à un repère, une origine.

<table><caption>Tableau 4. Théorèmes-en-acte de comparaison perceptive de grandeurs</caption><thead><tr><th>Dimension</th><th>1D</th><th>2D</th></tr></thead><tbody><tr><td>Comparaison perceptive (écart important) de <sup>1</sup>&frasl;<sub>5</sub> à <sup>2</sup>&frasl;<sub>3</sub></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Comparaison perceptive selon certaines dispositions spatiales de <sup>4</sup>&frasl;<sub>5</sub> à <sup>2</sup>&frasl;<sub>3</sub>.</td><td>(Mise à la même origine, alignement vertical des origines)</td><td>(Origine verticale, comme pour les heures, ici)</td></tr></tbody></table>

<footnote n="7">⁷ Remarquons que si l'unité est un couple de disques, alors la réponse est correcte.</footnote>
Ces théorèmes reposent sur des superpositions effectives ou mentales. En effet, les élèves auront à
imaginer la superposition des parties identifiées (portion de droite, surface).

La portée de ces théorèmes-en-acte est restreinte. Si les unités sont représentées par deux formes isométriques, le premier théorème de comparaison perceptive, lorsque la différence entre les grandeurs est visible peut s'appliquer à des représentations variées (1D de type segment ou ligne brisée ou courbe, 2D type rectangle ou autres formes, 3D solide ou liquide représentés sous formes variées). Cependant, le second théorème-en-acte de « mise à la même origine » a une portée limitée, il s'applique à des représentations imagées de type portions de droite, surfaces, solides, contenances, partagés, dont seule la longueur varie (pas les autres dimensions) et aux représentations circulaires.

II - PROBLÉMATISATION ET MÉTHODOLOGIE DE RECHERCHE

L'objectif principal de l'analyse du manuel « La méthode de Singapour » (Neagoy, Caira, Kritter, Szikora, Touchard, 2020 ; Neagoy et al. (2021)) en CE1-CE2 est de déterminer les conditions de conceptualisation proposées pour l'enseignement des fractions.

Nous avons déterminé trois théorèmes-en-acte dont l'opérationnalité<fnref n="8" /> nous semble grande (un de
double-dénombrement et deux autres de comparaison perceptive des grandeurs). Nous émettons
l'hypothèse qu'en CE1-CE2, les conditions de conceptualisation proposées par le manuel (choix de
situations, nature et présence de signifiants) engagent une grande opérationnalité de ces théorèmes-en-
acte. La prégnance de ces derniers pourrait faire obstacle à d'autres théorèmes-en-acte plus efficients
utiles à la conceptualisation d'une fraction. Ensuite, nous tenterons également d'identifier des
potentialités offertes (choix de situations, nature et présence de signifiants) et des pistes permettant de
ne pas se restreindre à la mobilisation stricte des trois théorèmes-en-acte évoqués.

Présentons les matériaux étudiés et la méthodologie de recherche. Nous nous intéressons à la collection « La méthode de Singapour », publiée par « La librairie des écoles ». Cette collection est découpée par niveau, puis en unités d'enseignement. Les sommaires nous ont permis de délimiter le périmètre de travail. C'est pourquoi le manuel de CP n'a pas été analysé, car aucune unité ne semblait traiter les fractions. En annexe 4, le lecteur trouvera les éléments saillants retenus des sommaires ainsi que le découpage par séances des unités consacrées aux fractions.

Sauf pour les séances bilans (une sur chaque niveau de classe), chaque séance est découpée en trois phases. La première phase peut s'appuyer sur l'usage d'objets tangibles ou l'observation d'une illustration et permet d'expliciter le savoir aux élèves. Souvent, la seconde phase consiste à proposer les exercices du fichier, et durant la dernière phase, l'enseignant choisit des exercices du fichier photocopiable.

Deux analyses sont proposées. La première, à l'échelle globale, prend en compte l'ensemble des ressources de « La méthode de Singapour » en CE1 et CE2 (guides pédagogiques, fichiers de l'élève, fichiers photocopiables, ressources numériques). Elle s'appuie sur des citations issues des guides pédagogiques (GP) et analyse le nombre d'occurrences de mots-clés (signifiants langagiers) qui permettent notamment d'analyser si les grandeurs sont explicitées ou non et d'envisager quel sens de

<footnote n="8">⁸ L'opérationnalité recouvre à la fois le fait que le théorème-en-acte soit convocable sur différentes classes de problèmes en amenant à une réponse correcte mais aussi la fréquence d'usage de ce dernier.</footnote>
fraction est véhiculé. Cette première analyse a pour objectif de définir des éléments de balisage, choisis par les auteurs du manuel, fondant le sens de fraction.

La seconde analyse se centre sur les corpus d'exercices (issus des fichiers élèves et photocopiables) et a pour objectif de mesurer l'opérationnalité des théorèmes-en-acte (double-dénombrement et comparaison perceptive des grandeurs). Pour ce faire, nous relevons les classes de problèmes proposées dans l'ensemble du corpus d'exercices. Un exercice peut proposer plusieurs classes de problèmes ou peut proposer de répéter ou non une classe de problèmes sur plusieurs cas, ce qui nous a amené à effectuer ce travail par item (tâche ou sous-tâche demandée à l'élève) au sein des exercices. Ensuite, pour chaque exercice, nous déterminons la présence ou l'absence de représentation imagée. Puis sur l'ensemble des exercices, nous relevons la nature et le nombre de ces représentations (0D, 1D, 2D, 3D). Pour les représentations 1D, 2D, 3D, nous observons si les partages sont déjà prédécoupés, s'ils sont en parts exactement isométriques ou de même grandeur ou s'ils sont inégaux. Enfin, nous effectuons une analyse qualitative afin de percevoir l'opérationnalité des théorèmes-en-acte cités et afin de repérer les exercices n'amenant pas à une réponse correcte à l'aide de ces derniers.

# III - RÉSULTATS

## 1 Éléments de balisage du sens des fractions dans La méthode de Singapour CE1 et CE2

En CE1, nous pouvons lire « Aidez-les à voir aussi dans le symbole « $\frac{1}{3}$ » le résultat obtenu après une division, un partage ou un découpage. Ainsi $\frac{1}{3}$ désigne la part de chacun. » (GP CE1, p. 244). Ainsi en CE1, les fractions sont introduites comme le résultat obtenu après un partage d'un objet réel ou représenté.

En CE2, nous trouvons des éléments de discours, à la fois proposés à l'enseignant (via le guide pédagogique) et pour les élèves (à travers les consignes) qui reposent sur les objets et d'autres sur la longueur ou la distance. Un travail en prise d'appui sur la longueur est proposé, par exemple, nous pouvons lire « Je divise d'abord le segment de 0 à 1, ou segment-unité, en quatre segments égaux : la longueur de chacun est $\frac{1}{4}$ » (GP, CE2, p. 231). Sur 9 séances, 6 séances travaillent uniquement sur objets, favorisant les bandes, ce qui permet de parfois évoquer la notion de longueur, 3 séances reposent sur les droites graduées et explicitent que la grandeur modélisée est la longueur. Dans le tableau 5 ci-dessous, est présenté le nombre d'occurrences de termes perçus comme des indicateurs du sens de fraction. En annexe 3, le lecteur retrouvera le nombre d'occurrences des types de supports de fraction (objets, grandeurs).

<table><caption>Tableau 5. Occurrences de termes relevés en CE1 et CE2 (guides pédagogiques, fichiers élèves, fichiers photocopiables) dans l'unité « fractions ».</caption><thead><tr><td></td><td>CE1</td><td>CE2</td></tr></thead><tbody><tr><td>Partage (partager et conjugaison de ce verbe)</td><td>27</td><td>11</td></tr><tr><td>Unité-s (hors sens unité d'enseignement) + segment- (unité-s ; segment-unité)</td><td>10 (10 ; 0)</td><td>34 (27 ; 7)</td></tr><tr><td>Tout (un tout, 1 tout ; le tout ; du tout)</td><td>61 (10 ; 10 ; 25 ; 16)</td><td>51 (6 ; 7 ; 23 ; 15)</td></tr><tr><td>Longueur, distance ; aire</td><td>3 ; 0 ; 0</td><td>17 ; 7 ; 0</td></tr><tr><td>Moitié-s</td><td>13</td><td>1</td></tr></tbody></table>
Au CE1 comme au CE2, les expressions « un tout » « 1 tout » « le tout » « du tout » sont également très présentes pour qualifier l'objet. En CE2, deux grandeurs sont citées (la longueur et la distance). Certains termes semblent davantage correspondre au sens proportion, comme « moitié », qui semble opérer sur un univers relatif, mais aussi l'idée de « tout ». D'autres semblent davantage référer au sens partage comme « partage », « unité-s », « segment-unité ».

## 2 Résultats de l'analyse du corpus d'exercices dans les unités « fractions » en CE1-CE2

L'analyse du corpus d'exercices (en CE1 et CE2) permet de définir l'opérationnalité des théorèmes-en-acte et la part d'exercices ne pouvant pas être résolus à l'aide des trois théorème-en-acte identifiés.

La méthodologie de dénombrement des items et des représentations imagées est détaillée et exemplifiée en annexes 5 et 6.

### 2.1 Classes de problèmes proposées

En CE1, nous avons dénombré 158 items au sein de 44 exercices. En CE2, 247 items sont proposés au sein de 54 exercices. La classe de problème « produire une écriture chiffrée de fraction à partir d'une représentation imagée » représente respectivement, environ 47% et 54% des items, en CE1 et CE2.

Cette classe de problème est déclinée de deux manières « compléter une écriture chiffrée de fraction (numérateur ou dénominateur imposé) à partir d'une représentation imagée » et en CE2 « écrire la fraction qui correspond à l'abscisse sur une droite graduée ». Ces déclinaisons représentent respectivement environ 16% et 5% des items en plus.

La classe de problème inverse, qui consisterait à « réaliser une représentation imagée à partir d'une écriture chiffrée de fraction », est déclinée comme simple coloriage en CE1 sur 13% des items et sur 4% des items en CE2.

La classe de problème « déterminer si une représentation imagée correspond à une écriture chiffrée de fraction » représente environ 11% des items en CE1 et n'est pas proposée en CE2. Les classes de problèmes « comparer ou ordonner deux fractions » représentent environ 9% des items en CE1 et 11% en CE2. En CE1, la part faite à l'item « compléter la phrase « ☐ parties sur ☐ parties égales » représente environ 5% des items.

D'autres classes de problèmes sont proposées (15% restant en CE1, 10% restant en CE2), mais elles correspondent à des classes de problèmes peu représentées (5 items ou moins, annexe 5). Pourtant, certaines retiennent notre attention comme « associer une représentation possible du tout lorsqu'on connait une représentation d'une partie, elle-même associée à une écriture chiffrée de fraction » en CE1 (annexe 5, tableau 13C) et « établir le rapport entre le numérateur et le dénominateur d'une fraction unitaire » en CE2 (annexe 6, tableau 16, séance 114-A).

### 2.2 Présence et nature des représentations imagées dans les exercices

Nous avons pris en compte toutes les représentations imagées proposées dans les exercices (sauf celles illustrant un protocole chronologique de pliage). Sur l'ensemble du corpus d'exercices, nous avons repéré des représentations 1D, 2D et 3D. Pour les représentations 1D, la portion de droite graduée commence systématiquement légèrement avant 0 et termine légèrement après 1, ces graduations étant toujours marquées et codées.
<table><caption>Tableau 6. Présence ou absence de représentation imagée par exercice</caption><thead><tr><th></th><th>CE1</th><th>CE2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre d'exercices présentant au moins une représentation imagée</td><td>37</td><td>45</td></tr><tr><td>Nombre d'exercices demandant à l'élève d'utiliser un matériel tangible</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>Nombre d'exercices sans représentation imagée ou avec représentation imagée vierge</td><td>7</td><td>7</td></tr><tr><td>Nombre total d'exercices</td><td>44</td><td>54</td></tr></tbody></table>

Pour chaque niveau de classe, la majorité des exercices est accompagnée de représentations imagées. Analysons les types de représentations proposés sur l'ensemble du corpus et observons si elles peuvent permettre d'engager l'un des trois théorèmes-en-acte cité (tableau 7º) notamment parce qu'elles seraient prédécoupées en parts isométriques.

<table><caption>Tableau 7. Nombre de représentations imagées, par type, sur les exercices des fichiers (élèves, photocopiable)</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>CE1</th><th>CE2</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">1D Portion de droite graduée...</td><td>... prédécoupée en intervalles de même longueur</td><td>0</td><td>25</td></tr><tr><td>... partiellement prédécoupée à subdiviser</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>... sur support carreaux</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td rowspan="2">2D Représentation surfacique...</td><td>... prédécoupée en surfaces isométriques</td><td>107</td><td>85</td></tr><tr><td>... prédécoupée en surfaces d'aires différentes</td><td>7</td><td>2</td></tr><tr><td>3D Solide-Contenance</td><td></td><td>1</td><td>3</td></tr><tr><td rowspan="2">Multi-représentation</td><td>Portion de droite prédécoupée et représentation surfacique (prédécoupées en sous-parties isométriques)</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>Portion de droite prédécoupée et solide cube-emboités</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td colspan="2">Total</td><td>115</td><td>134</td></tr></tbody></table>

En CE1, 37 des 44 exercices sont accompagnés d'au moins une représentation imagée. Parmi ces exercices, tous sauf un (celui accompagné d'un solide représenté) sont accompagnés de représentations surfaciques. Une majorité de ces représentations surfaciques (107 sur 114) sont partagées en sous-surfaces isométriques. En CE2, 47 des 54 exercices sont accompagnés d'au moins une représentation imagée. Les représentations imagées proposées sont plus diversifiées en CE2 et certaines sont couplées. Nous avons dénombré 87 représentations surfaciques, 28 représentations sous forme de portion de droite graduée entre 0 et 1, 3 représentations planes représentant des solides et 16 représentations couplant deux types de représentations.

## 2.3 Analyse qualitative pour compléter l'analyse quantitative

Deux analyses qualitatives complémentaires semblent nécessaires afin d'interpréter les données des tableaux 6 et 7. La première concerne les exercices dénombrés sur fond blanc (tableau 6) et ceux dont les représentations imagées sont prédécoupées en parts isométriques (tableau 7). L'objectif est d'observer si les représentations imagées représentent l'ensemble des fractions d'un même exercice ou seulement

<footnote n="9">⁹ Le tableau ne recense que les représentations imagées proposées dans les manuels La méthode de Singapour CE1-CE2. Aucune représentation OD n'a été recensée.</footnote>
une partie, et si elles amènent à une réponse correcte en ayant recours aux trois théorèmes-en-acte. Il en est ressorti que les exercices qui présentent des représentations imagées prédécoupées en parts isométriques amènent, pour chaque item de ces exercices, à produire une réponse correcte en ayant recours aux trois théorèmes-en-acte cités. En effet, la nature de ce prédécoupage (parts isométriques) génère une congruence entre le nombre d'éléments représentés et le dénominateur attendu.

Une seconde analyse qualitative nécessite d'examiner les exercices dénombrés sur fond jaune<fnref n="10" /> (tableau 6) et ceux présentant des représentations imagées dénombrées sur fond jaune (tableau 7). L'objectif est de percevoir si les trois théorèmes-en-acte amènent à produire une réponse correcte ou non. Si ce n'est pas le cas, nous pourrons peut-être en déduire des conditions permettant de dépasser le recours strict aux trois théorèmes-en-acte cités. Commençons par présenter des exemples d'exercices qui convoquent les représentations imagées dénombrées sur fond jaune dans le tableau 7 (tableau 8).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Tableau 8: Exemples d'exercices dénombrés dans le tableau 7 afin d'en faire une étude qualitative</figcaption></figure>

En CE1, 7 représentations surfaciques prédécoupées en parts d'aires différentes sont proposées (quelques exemples dans le tableau 8A), cependant ces dernières ne sont pas amenées à être perçues comme des fractions possibles mais comme ne représentant pas la fraction donnée via une écriture chiffrée (⅓ ou 1/4). En CE2, un exercice propose 2 représentations de portions de droite nécessitant d'être subdivisées par l'élève car les prédécoupages ne coïncident pas avec la tâche demandée (tableau 8B). Une

<footnote n="10">¹⁰ L'intérêt pour les cases sur fond jaune des tableaux 6 et 7, repose sur une potentielle absence de prédécoupage des représentations imagées (ou un prédécoupage partiel qui ne serait pas en parts isométriques) ou parce que le dénominateur attendu pourrait ne pas être congruent au nombre de parts représentées.</footnote>
seule représentation de portion de droite est proposée sur des carreaux, mais la première question demande de la « diviser en 6 segments égaux » (tableau 8C), ce qui accompagne la tâche d'une représentation partagée en parts isométriques (ici segments de même longueur). Enfin, deux exercices de CE2 (tableau 8D et 8E) proposent de subdiviser des parts de représentations surfaciques puisqu'elles sont prédécoupées en parts d'aires différentes.

À présent, présentons les exercices dénombrés sur fond jaune (tableau 6, annexe 6). En CE1, deux de ces exercices (séance 116) s'appuient sur les représentations surfaciques présentes sur la même page du fichier au sein de l'exercice précédent, ce qui permet de considérer qu'ils comportent une représentation imagée prédécoupée en parts isométriques. Un autre de ces exercices (séance 114) propose d'associer une écriture chiffrée de fraction à une désignation orale. Un autre (séance 113) propose de produire une représentation surfacique de $\frac{1}{8}$ en pliant un papier carré.

Les trois derniers exercices (séances 115, 117, 118) amènent à se représenter mentalement (ou à produire une représentation sans qu'elle soit demandée) afin d'associer des écritures chiffrées de fractions dont la somme est égale à 1 et d'ajouter ou de soustraire des fractions de même dénominateur.

En CE2, trois exercices du fichier de l'élève (séance 108, 112 et 113) offrent des représentations surfaciques vierges, qui amènent l'élève à effectuer par lui-même un partage, puis à le subdiviser sur une autre représentation. Ces exercices demandent respectivement de produire des écritures de fractions équivalentes, d'ajouter ou soustraire des fractions dont l'un des dénominateurs est multiple de l'autre.

Trois exercices proposent des items ouverts ne permettant pas de savoir quels schèmes seront mis en œuvre par les élèves (séances 112,113). Ces items sont du type « compléter les écritures suivantes : - - - - - = 1 ». Ce degré de liberté est évoqué dans le guide pédagogique précisant que les élèves peuvent choisir des fractions de même dénominateur ou non, ce qui n'engage pas la même complexité. L'exercice, « explorons », proposé dans la séance 114, amène à représenter un quart sur un disque et représenter plus qu'un quart et moins qu'un quart, sans chercher à quantifier cette nouvelle représentation imagée. La séance 114 se termine par un exercice original dans la partie « mon journal ». Celui-ci amène les élèves à découvrir, à travers des écritures équivalentes de fractions unitaires, la relation entre le dénominateur et le numérateur (annexe 6, tableau 16, séance 114-A).

## IV - DISCUSSION

Avant de discuter des résultats, signalons quelques limites de la méthodologie utilisée. Tout d'abord un premier tri a été effectué sur les sommaires à partir des titres des unités d'enseignement. Rien n'a été recherché dans les autres unités d'enseignement ni même dans le calcul mental. À cela s'ajoute une partie de l'analyse qui se limite à l'analyse du corpus d'exercices, ce qui n'est pas entièrement représentatif du contenu de la ressource. Comme l'autre partie de l'analyse traite l'ensemble des ressources concernant les unités d'enseignement relatives aux fractions, nous pouvons d'ores et déjà préciser que le savoir véhiculé est plus large que celui proposé dans les exercices. En effet, le dispositif didactique de Rey (2001) cité par Grapin et Mounier (2018) adopté par ce manuel est « explication application », ce qui signifie que c'est l'enseignant qui montre le savoir à retenir à l'élève. Précisons que cette partie du savoir n'est, la plupart du temps, pas nécessaire lors des tâches proposées à l'élève.
Les résultats issus de la partie précédente confirment notre hypothèse : l'usage des théorèmes-en-acte (double dénombrement, comparaison perceptive des grandeurs) permet de réussir une grande majorité d'exercices en CE1 et CE2. Les tableaux 6 et 7 ainsi que l'analyse qualitative nous conduisent à affirmer que ces théorèmes-en-acte amènent à réussir 40 des 44 exercices de CE1 et 43 des 54 exercices de CE2. Examinons maintenant les conditions proposées par ce manuel afin de potentiellement dépasser un recours strict à ces théorèmes-en-acte.

En CE1, 4 exercices, parmi les 44 proposés, ne peuvent pas être réussis. Ces 4 exercices sont présentés dans le tableau 15 de l'annexe 6 (exercices des séances 114, 115, 117 et 118) et figurent dans le fichier photocopiable. 3 d'entre eux proposent un travail basé uniquement sur les écritures chiffrées, ce qui permet à l'élève de faire appel à une représentation imagée s'il en ressent l'utilité ou d'utiliser d'autres schèmes. Un autre exercice propose une situation de partage et le dernier propose un signifiant langagier à une écriture chiffrée de fraction.

Pour ce niveau de classe, les occasions semblent peu nombreuses pour que l'élève se construise un sens de ce qu'est une fraction et développe une vigilance sur l'usage des représentations imagées. Roditi (2024) se demande si un élève pourra identifier la fraction représentant la partie grisée de la bande (figure 1). En effet, si on étalonne la bande avec la bande grisée, la partie grisée représente le quart de la bande, mais si les élèves associent une fraction à un partage égal, ils pourraient penser que la partie grisée correspond au quart de la bande.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1. Exemple d'une représentation imagée potentiellement non perçue comme une fraction (Roditi, 2024)</figcaption></figure>

En CE2, 11<sup>11</sup> exercices sur un total de 54, ne permettent pas d'obtenir une réponse correcte en utilisant les théorèmes-en-acte mentionnés. L'un de ces exercices soulève même la question de la notion abordée (séance 114 intitulée « explorons »). Parmi les 10 exercices restants, certains permettent d'identifier des conditions pouvant amener à dépasser l'usage exclusif des théorèmes-en-acte mentionnés. Un de ces exercices fait utiliser du matériel tangible (annexe 6, CE2, séance 106). Dans son état actuel, une stratégie consistant à prendre une pièce de chaque sorte mentionnée pour constituer l'ensemble conduirait à une réussite sans véritable sens. Pour remédier à cela, des adaptations pourraient être envisagées, comme cela est illustré en figure 2 (inspirée de l'approche de Corriveau, Jeannotte et Michot, 2022). Nous pourrions alors demander, de représenter 1 ou <sup>1</sup>&frasl;<sub>3</sub>, en supposant que le triangle orange représente <sup>1</sup>&frasl;<sub>12</sub>.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2. Recherche l'unité à partir de la valeur d'une part (matériel tangible)</figcaption></figure>

De plus, l'exercice présenté dans le tableau 8C propose une portion de droite tracée sur carreaux, ce qui aurait pu offrir l'opportunité d'envisager des groupements de carreaux et de percevoir une sous-unité

<footnote n="11"><sup>11</sup> Il y en a 7 non illustrés présentés en annexe 6 (tableau 16), 2 présentant des représentations surfaciques en parts d'aires différentes (tableau 8, cas D et E), 1 présentant les deux représentations de portions de droites partiellement graduées (tableau 8 cas B), 1 seul de manipulation également présenté en annexe 6.</footnote>
relative (Chambris, Coulange, Rinaldi et Train, 2021). Mais la question 1 impose de « diviser le segment de 0 à 1 en 6 segments égaux » ce qui est regrettable car cette tâche n'est pas laissée à l'initiative de l'élève. L'illustration en figure 3 permet de choisir une sous-unité relative amenant à quantifier la partie rose comme étant $\frac{4}{12}$ ou $\frac{2}{6}$ ou $\frac{1}{3}$ de la bande.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. Usage des carreaux pour faire percevoir l'unité relative amenant à quantifier $\frac{4}{12} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$</figcaption></figure>

Enfin, en CE2, la tâche « explique pourquoi il faut plus de douzièmes que de quarts pour obtenir une unité » est proposée mais elle est accompagnée de représentations imagées, l'une prédécoupée en 12 et l'autre en 4. Ce type de question semble être intéressant pour arriver à formuler des éléments de conceptualisation, car il inciterait un élève à produire une représentation imagée, éventuellement mentale ou approximative et à déduire une généralité du type « plus on partage une unité en un grand nombre de parts égales, plus la taille des parts est petite ».

Nous proposons plusieurs pistes à propos des représentations imagées qui permettraient d'offrir des conditions propices au dépassement de ces théorèmes-en-acte. Cela pourrait consister à :

- ne pas proposer de représentations imagées afin que l'élève les produise lui-même ;

- proposer des représentations imagées vierges ;

- proposer des représentations imagées partagées en parts non isométriques ;

- proposer des représentations imagées sur carreaux permettant d'envisager des sous-unités relatives ;

- proposer à l'élève de produire des représentations imagées approximatives.

Les premiers résultats indiquent que ce manuel aborde le concept de fraction à travers les deux sens de fraction (partage et de proportion). Afin d'enrichir l'accès à une conceptualisation de fraction à travers l'un de ces sens, nous pourrions envisager une variété de situations (plutôt que de multiplier les situations où l'on demande d'associer des signifiants) comme des situations de partage d'une pluralité d'unités ou des situations de proportion, des situations où l'on demande de reconstruire une unité (figure 2). Les situations de partage pourraient amener à conceptualiser que plus le nombre de parts isométriques est grand, plus la part est petite. Les situations de comparaison (sans représentation imagée) pourraient permettre de percevoir que pour comparer deux fractions, il faut représenter une même unité. Les situations de proportion pourraient aider à comprendre la relativité de l'univers d'une fraction (le demi de 1, le demi de 2) et pourraient être mises en lien avec le calcul mental.

Finalement, l'enseignement proposé dans La méthode de Singapour en CE1, CE2 pourrait être qualifié comme visant « essentiellement à fixer un symbolisme conforme à celui que propose la mathématique, et [qui] utilise des objets réels à titre de procédé pédagogique pour illustrer la signification du symbolisme » (Desjardins et Hétu, 1974). Le risque est qu'ils proposent des schèmes ne permettant pas de renouveler les connaissances du sujet lors de problèmes nouveaux.
# V - CONCLUSION

Dans ce texte, nous avons analysé le manuel *La méthode de Singapour* en CE1, CE2. Ce manuel offre à voir un enseignement des fractions plus précoce (dès le CE1) alors que les programmes actuellement en vigueur proposent de commencer en CM1, en se limitant aux fractions inférieures à un. Ce manuel aborde le concept de fraction à travers le sens partage et le sens proportion qui se construisent de manière concomitante. La conceptualisation des fractions proposée se limite potentiellement au recours à trois théorèmes-en-acte (double dénombrement et deux autres de comparaison de grandeur) qui pourraient faire obstacle à un enrichissement du concept de fraction. Plusieurs choix sont en cause, à la fois la forte présence de la classe de problèmes « produire ou associer un signifiant écrit chiffré à un signifiant de type représentation imagée » mais surtout la forte présence de représentations imagées qui rend opérationnels les trois théorèmes-en-acte sur une grande variété de classes de problèmes.

Pour autant, c'est grâce à cette analyse que nous pouvons identifier quelques points de vigilance afin d'offrir des conditions pouvant conduire à une conceptualisation plus complète.

Ces conditions consistent, tout d'abord, à proposer des situations davantage ancrées sur le développement d'un sens de fraction (partage ou proportion) plutôt que majoritairement autour d'un travail d'association de signifiants. À cela s'ajoute une volonté de limiter l'opérationnalité des théorèmes-en-acte de double dénombrement et de comparaison perceptive des grandeurs dont la portée se limite à la présence de représentations imagées prédécoupées en parts isométriques. Faire produire des représentations imagées approximatives aux élèves pourrait davantage amener à alimenter la conceptualisation de fraction. Par exemple, ils pourraient conceptualiser la relativité de la taille de la part selon le nombre de parts, la nécessité de définir ce qui est « un » ou « l'unité ».

Des questions restent en suspens, faut-il accepter d'aborder de manière concomitante plusieurs sens ? S'il faut choisir, quel sens de fraction privilégier en premier ? et quelle transition opérer ?

En guise d'ouverture, il serait intéressant d'investiguer l'acceptation de la quantité de Chambris (2022a, 2022b) pour, peut-être, mieux décrire ce qui se passe lorsque le sens « partage d'un tout » n'engage pas explicitement de grandeur et est proche du sens proportion. De même, il serait intéressant de regarder la part d'exercices qui positionne la fraction en tant qu'objet et celle qui la positionne en tant qu'outil (Douady, 1984).

# VI - BIBLIOGRAPHIE

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Manuels étudiés :

Institutionnel :

## VII - ANNEXE 1 : BRÈVE ÉTUDE DU PROJET DE NOUVEAUX PROGRAMMES, PARUS EN AVRIL 2024

Sur les trois niveaux de classes, les propositions de programmes s’appuient sur des représentations surfaciques nombreuses et les fractions à enseigner sont inférieures à un.

Au CP, le travail proposé s’appuie uniquement sur des désignations langagières (pas d’écriture chiffrée) et uniquement sur le demi et le quart « d’un tout ». Le document fait travailler la reconnaissance des « parts égales » et des dénombrements de demis (ou quarts) qu’il y a dans un tout ainsi que la relation entre quart et demi.

Au CE1, sont introduites les écritures chiffrées des fractions unitaires, puis celles des fractions non unitaires. Le travail proposé en CP sur le demi et le quart est prolongé sur les autres fractions unitaires. « Le tout » est parfois écrit comme étant 1. Les représentations surfaciques permettent aux élèves de comparer des fractions unitaires. L’addition et la soustraction de fractions de même dénominateur sont travaillées.
Au CE2, les projets parlent aussi bien de fraction d'un tout que de fraction d'unité de longueur. Les fractions permettent donc de mesurer des longueurs. Des longueurs de plus d'une unité sont écrites en chiffre via un entier ajouté à une fraction inférieure à un. Les équivalences d'écritures chiffrées de fractions sont travaillées. Enfin, les comparaisons de fractions inférieures à un, sont faites lorsque les numérateurs ou les dénominateurs sont égaux, ou lorsqu'un dénominateur est multiple de l'autre. Les additions et soustractions de deux fractions pourront être proposées dans les cas de dénominateurs égaux ou d'un dénominateur multiple de l'autre, ce qui fait appel à l'équivalence des fractions.

<table><caption>Tableau 9. Bref résumé de la progression proposée autour des fractions dans les projets de programmes d'avril 2024</caption><thead><tr><th>CP</th><th>CE1</th><th>CE2</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="3">Fractions inférieures ou égales à un</td></tr><tr><td colspan="3">Désignations langagières et représentations surfaciques</td></tr><tr><td colspan="3">Écriture chiffrée <sup>a</sup>&frasl;<sub>b</sub> (a, b &isin; N*)</td></tr><tr><td colspan="3">Écriture chiffrée n+<sup>a</sup>&frasl;<sub>b</sub> (n, a, b &isin; N*)</td></tr><tr><td>Demi, quart</td><td>Unitaires puis non unitaires dont le dénominateur est 2;3;4;5; 6; 8 ou 10</td><td>Fractions inférieures à un Somme d'un entier et d'une fraction inférieure à un</td></tr><tr><td>- Fraction <u>d'un tout</u></td><td>- Fraction d'un tout<br/>- Le tout s'écrit 1</td><td>- Fraction d'un tout<br/>- Fraction d'unité de longueur</td></tr><tr><td>- Reconnaissances de « parts égales »<br/>- Relation entre demi et quart ; entre demi et le tout ; entre quart et tout</td><td>- Lien écriture chiffrée et représentation surfacique<br/>- Partage d'un tout ET recomposition du tout<br/>- Comparer des fractions de même dénominateur<br/>- Comparer des fractions dont le numérateur est 1.<br/>- Additionner, soustraire des fractions de même dénominateur</td><td>- Fractions pour mesurer des longueurs (de moins d'une unité, de plus d'une unité)<br/>- Écritures chiffrées équivalentes par subdivision des parts<br/>- Comparer, additionner, soustraire des fractions de même dénominateur ou lorsqu'un dénominateur est multiple de l'autre</td></tr></tbody></table>
# VIII - ANNEXE 2 : CONTROVERSE SUR LES PROBLÈMES DE PARTAGE, EN PRISE D'APPUI SUR DES GRANDEURS OU DES OBJETS ?

Plusieurs recherches pointent la nécessité de travailler les fractions en prise d'appui sur les grandeurs géométriques (longueur, aire, etc.) et non sur des objets (tarte, pomme, etc.). Rouche a précisé une limite d'une approche reposant sur des raisonnements sur objets car ce « n'est [pas] une image complète et fidèle de la théorie des fractions et des rationnels » (Rouche, 1992, p.7) et il précise l'impossibilité de représenter le produit de rationnels en un tout. Adjiage et Pluvinage confirment cela et ajoutent des difficultés liées à la verbalisation sur objet « $\frac{4}{3}$ de tarte est toujours gênant (et ajouter une deuxième tarte ne change pas grand chose car on parlera toujours d'une tarte au singulier !) » (Adjiage et Pluvinage, 2000, p. 48).

Chevallard et Bosch (2002) ont critiqué « l'oubli historiquement récent dans la culture mathématique scolaire, des grandeurs au profit des seuls objets supports des grandeurs ».

Ils justifient qu'il existe une pluralité de représentations surfaciques, d'aire $\frac{1}{2}$ unité, associées à une même surface d'aire $1u$. Si la surface de la case A du tableau 10 est considérée comme 1 gâteau et que l'on demande de le partager en deux personnes, il est possible de considérer plusieurs représentations surfaciques qui communiquent le résultat obtenu à la suite de ce partage. Observer seulement les résultats de ces partages (tableau 10, case B) pourrait poser des questions sur ce qui les rend semblables, sans utiliser le concept d'aire. Douady (1981) évoquait ce problème, même lorsque les élèves s'appuyaient sur le concept d'aire, car ils essayaient de passer par des procédures de découpages-recollements ce qui ne les aidait pas à percevoir l'égalité d'aire.

<table><caption>Tableau 10. Exemples de signifiants différents associés à une même fraction</caption><thead><tr><th>Surface d'aire 1u</th><th>Exemples de surfaces d'aire $\frac{1}{2}u$</th></tr></thead><tbody><tr><td>(A)</td><td>(B)</td></tr></tbody></table>

Finalement, plusieurs recherches questionnent l'exigence vis-à-vis de la déclaration nécessaire de la grandeur géométrique. Rien ne semble assurer que cela simplifie les raisonnements des élèves ni même que ça les aide à mieux conceptualiser ce qu'est une fraction pour un début d'apprentissage.

Certaines recherches récentes semblent même avancer que les élèves peuvent avoir des raisonnements en prise d'appui sur des objets, sans convoquer la grandeur aire, mais convoquent la notion de quantité (naïve) au sens de Chambris (2022b). Coulange et Train (2024) ont analysé des copies d'élèves à propos de problèmes de partage d'une pluralité d'objets (pizzas, gâteaux) entre personnes. Les élèves représentent ces objets du quotidien à l'aide de surfaces et ne convoquent pas le concept d'aire. Pour autant, ils réussissent à recomposer l'unité en partant de 17 tiers pour arriver à $5 + \frac{2}{3}$ à l'aide de raisonnement sur des objets. Dans cette même étude, d'autres potentialités sont présentées comme le
benchmarking permettant de comparer des fractions en prise d'appui sur des fractions références (1/2; 1) et des tailles de parts relatives (1/7 est plus grand que 1/8 car si un même tout est partagé en 7, les parts seront plus grosses que si elles sont partagées en 8).

## IX - ANNEXE 3 : NOMBRES D'OCCURRENCES DES MOTS INDICATEURS DU SUPPORT FRACTIONNÉ

<table><caption>Tableau 11. Occurrences de termes relevés en CE1 et CE2 (guides pédagogiques, fichiers élèves, fichiers photocopiables) dans l'unité « fractions ».</caption><thead><tr><th></th><th>CE1</th><th>CE2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Aliment (biscuit, gâteau, pizza, etc.)</td><td>41</td><td>81</td></tr><tr><td>Discret (Structure [de cubes] ou train [de cubes] ou couverts)</td><td>5</td><td>14</td></tr><tr><td>Mosaïque ou tangram</td><td>7</td><td>29</td></tr><tr><td>Figure, disque, carré, rectangle, triangle</td><td>101</td><td>56</td></tr><tr><td>Solide</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>Segment, droite (sens droite graduée)</td><td>0 ; 0</td><td>45 ; 97</td></tr><tr><td>Surface interprétable selon la longueur (Bande, barre (hors chocolat))</td><td>26 (25 ; 1)</td><td>48 (28 ; 20)</td></tr></tbody></table>

Au CE1 comme au CE2, différents types d'objets sont représentés, des aliments, des objets du quotidien (structure de cubes, train de cubes, couverts), des objets géométriques représentés (figure, disque, carré, rectangle, etc.) et d'autres également interprétables en termes de longueur comme les bandes ou barres.

## X - ANNEXE 4 : ORGANISATION (UNITÉS, SÉANCES) DANS LA MÉTHODE DE SINGAPOUR CE1-CE2

<table><thead><tr><th></th><th>La méthode de Singapour CE1</th><th>La méthode de Singapour CE2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre d'unités</td><td>16 unités</td><td>14 unités</td></tr><tr><td>Éléments, de progressivité, relatifs à la notion de grandeur</td><td>Unité 5 : La longueur<br>Unité 10 : La masse<br>Unité 14 : Les fractions<br>Pas d'unité sur l'aire. (7 séances)<br>Unité 15 : La date, l'heure et la durée<br>Unité 16 : La contenance et le volume</td><td>Unité 9 : Les mesures (dont une partie sur la longueur, la masse, la contenance)<br>Unité 12 : Les fractions (9 séances)<br>Unité 13 : L'heure et la durée<br>Unité 14 : L'aire et le périmètre</td></tr><tr><td>Unités sur les fractions</td><td>113 : Découvrons les fractions<br>114 : Écrivons les fractions<br>115 : Les parties et le tout<br>116 : Comparons et ordonnons les fractions<br>117 : Additionnons les fractions<br>118 : Soustrayons les fractions<br>119 : Bilan de l'unité</td><td>106 : Revoyons les fractions<br>107 : Représentons les fractions sur une droite numérique<br>108 : Les fractions équivalentes<br>109 : Représentons les fractions équivalentes sur une droite numérique<br>110 : Comparons et ordonnons les fractions</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 12. Éléments de contextes extraits des sommaires et guides pédagogiques de La méthode de Singapour
CE1 et CE2</caption><tr><td></td><td>111 : Représentons les comparaisons de fractions sur une droite numérique</td></tr><tr><td></td><td>112 : Additionnons les fractions</td></tr><tr><td></td><td>113 : Soustrayons les fractions</td></tr><tr><td></td><td>114 : Bilan</td></tr></table>

# XI - ANNEXE 5 : EXPLICITATION DE LA MÉTHODE DE DÉNOMBREMENT DES REPRÉSENTATIONS IMAGÉES PAR EXERCICE ET DES ITEMS

Exemplifions quelques représentations planes représentant des objets en 3D, où un solide est représenté de manière prédécoupée en parts isométriques (figure 4).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 : Exemples de représentations du type 3D « solides prédécoupés en parts de même volume »</figcaption></figure>

Des représentations 2D sont proposées, certaines prédécoupées en parts isométriques, certaines prédécoupées en surfaces d'aires différentes et aucune n'est proposée en surfaces de même aire mais non superposable.

3 Quelles fractions de disque Alice a-t-elle coloriées ?

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Cas A :

• 2 représentations surfaciques découpées en parts exactement superposables

• 2 items dénombrés.

3 Entoure les figures qui représentent $\frac{1}{2}$ Justifie tes choix.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Cas B :

• 3 représentations surfaciques découpées en parts exactement superposables et 1 représentation découpée en parts d'aires différences.

• 4 items dénombrés.
3 Observe le tout puis complète la partie.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Cas C :

• 4 représentations surfaciques découpées en parts exactement superposables

• 4 items dénombrés

1

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

a) Quelle fraction est la plus petite : $\frac{1}{3}$ ou $\frac{1}{9}$ ?

b) Quelle fraction est la plus petite : $\frac{1}{6}$ ou $\frac{1}{9}$ ?

c) Ordonne les fractions $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{9}$ de la plus petite à la plus grande.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Cas D :

• 3 représentations surfaciques découpées en parts exactement superposables

• 3 items dénombrés.

<caption>Tableau 13. Explicitation de la méthodologie de dénombrement des représentations et des items</caption>

Le cas C, du tableau 13, moins présent dans les fichiers d'exercices, présente une représentation double, en séparant une représentation surfacique du tout et une autre représentation surfacique de la part identifiée. Cette proposition n'est présente que trois fois dans le corpus d'exercice du CE1 et absente en CE2. Nous avons choisi de ne dénombrer que 4 représentations surfaciques découpées en parts exactement superposables. Enfin le cas D, présente 4 bandes mises à la même origine, dont 3 sont découpées en parts exactement superposables, d'où un dénombrement de 3 et non de 4. Le choix retenu, est de ne pas dénombrer les représentations surfaciques indiquant un tout vierge.

Enfin, les représentations 1D sont de natures différentes. Bien que toujours restreintes sur [0 ; 1] et prédécoupées en intervalles de même longueur, certaines présentent des graduations explicites, d'autres proposent une subdivision à l'aide de carreaux qu'il est possible de graduer de plusieurs manières, un seul cas propose une portion de droite partiellement prédécoupée à subdiviser. Enfin, nous remarquons que, parfois, cette représentation 1D est également proposée couplée à une représentation surfacique.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

3 exemples de représentations « droites graduées prédécoupées sur [0 ; 1] ».

a)

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

b)

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

2 exemples de représentations multiples (1D+2D ou 1D+3D)

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

c)

Le cas d) est intéressant car il ne présente pas les graduations, bien que des carreaux aident à la subdivision.

Le cas e) est un exemple où nous n'avons dénombré qu'une seule représentation de type « droite graduée prédécoupées sur [0;1] » car la première n'est pas nécessaire.

Le cas f) est unique, il demande à l'élève d'effectuer des sous-découpages.

<caption>Tableau 14. Exemplifications des dénombrements de représentations imagées effectués dans La Méthode de Singapour en CE1 et CE2</caption>

## XII - ANNEXE 6 : EXERCICES PRÉSENTANT DES REPRÉSENTATIONS IMAGÉES VIERGES OU N'EN PRÉSENTANT PAS DU TOUT

### 7 Exercices de CE1

#### Séance 113

1. Plie un carré ou fais un dessin pour représenter $\frac{1}{8}$.

(1 item dénombré)

#### Séance 114

3. Relie chaque fraction à son mot-nombre.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

deux tiers

un quart

trois cinquièmes

cinq septièmes

(4 items dénombrés)

#### Séance 115

3. Relie chaque ampoule à sa lampe pour faire 1 tout.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

(5 items dénombrés)

#### Séance 117

#### Séance 116 :

1. a) Colorie chaque barre de façon à représenter la fraction indiquée.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

b) Complète. De haut en bas, les fractions sont de plus en plus __________.

2. Entoure la fraction la plus grande.

a) $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{8}$

b) $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{4}$

c) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$

3. Entoure la fraction la plus petite.

a) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$

b) $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{12}$

c) $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$

Unité 14 • Les fractions

227

(Exercice 1 : 9 items dénombrés)

Exercice 2 : 3 items dénombrés.

Exercice 3 : 3 items dénombrés.)

#### Séance 118
### ③ Additionne les fractions.

$$ \text{a)} \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \square $$

$$ \text{b)} \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \square $$

$$ \text{c)} \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \square $$

$$ \text{d)} \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \square $$

$$ \text{e)} \frac{7}{8} + \frac{1}{8} = \square $$

$$ \text{f)} \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \square $$

(6 items dénombrés)

### ③ Soustrais les fractions.

$$ \text{a)} \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \square $$

$$ \text{b)} \frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \square $$

$$ \text{c)} \frac{7}{8} - \frac{4}{8} = \square $$

$$ \text{d)} \frac{11}{12} - \frac{8}{12} = \square $$

$$ \text{e)} \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \square $$

$$ \text{f)} 1 - \frac{3}{5} = \square $$

(6 items dénombrés)

<caption>Tableau 15. Exemples d'exercices ne présentant pas d'illustration ou présentant une illustration vierge (La Méthode de Singapour CE1)</caption>

## 9 Exercices de CE2

### Séance 106 : 2 exercices demandant à l'élève d'utiliser un matériel tangible

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Utilise 10 de deux couleurs différentes et construis :

a) un solide dont $\frac{3}{10}$ sont d'une couleur et $\frac{7}{10}$ d'une autre couleur.

b) un solide dont $\frac{1}{2}$ est d'une couleur et $\frac{1}{2}$ d'une autre couleur.

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Utilise les mosaïques ci-dessus et construis :

a) une figure dont $\frac{1}{6}$ est noir, $\frac{1}{3}$ est rayé et $\frac{1}{2}$ est gris.

b) une figure dont $\frac{6}{9}$ sont blancs, $\frac{2}{9}$ sont rayés et $\frac{1}{9}$ est noir.

c) une figure dont $\frac{1}{2}$ est blanc, $\frac{1}{4}$ est gris, $\frac{1}{6}$ est rayé et $\frac{1}{12}$ est noir.

(Exercice 1 : 2 items dénombrés)

Exercice 2 : 3 items dénombrés)

### Séance 112-A

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

③ Fais un dessin pour représenter la somme des fractions $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{6}$.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

(3 items dénombrés)

### Séance 112-B

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

③ Complète l'égalité avec 3 fractions de ton choix.

$$ \square + \square + \square = 1 $$

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

(1 item dénombré)

### Séance 108

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

⑥ Voici deux figures identiques. Trace des parties égales sur chaque figure pour représenter deux fractions équivalentes. Écris-les.

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

(4 items dénombrés)

### Séance 113-A

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

③ Fais un dessin pour représenter la différence entre les fractions $\frac{5}{8}$ et $\frac{1}{4}$.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

(3 items dénombrés)

### Séance 113-B

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

③ Complète l'égalité avec 2 fractions de ton choix.

$$ \square - \square = \frac{1}{2} $$

(1 item dénombré)
Séance 114-A

① Analyse les fractions équivalentes.

$$
a) \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \dots
$$

Que peux-tu dire sur la relation entre le numérateur,
et le dénominateur de chacune de ces fractions ?

$$
b) \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \dots
$$

Que peux-tu dire sur la relation entre le numérateur
et le dénominateur de chacune de ces fractions ?

$$
c) \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \ldots
$$

Que peux-tu dire sur la relation entre le numérateur
et le dénominateur de chacune de ces fractions ?

d) Que peux-tu dire pour toutes les fractions unitaires de la forme $\frac{1}{n}$ ?

(4 items dénombrés)

Séance 114-B

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

(6 items dénombrés)

<caption>Tableau 16. Exemples d'exercices ne présentant pas d'illustration ou présentant une illustration vierge (La Méthode de Singapour CE2)</caption>