# Comptes Rendus
Physique

Luc Dettwiller

Les développements de Lambert : commentaire historique

Volume 23, Special Issue S1 (2022), p. 453-465

Published online: 21 February 2023

Issue date: 27 October 2023

https://doi.org/10.5802/crphys.116

Part of Special Issue: Astronomie, atmosphères et réfraction

**Guest editors:** Pierre Léna (Professeur émérite, Observatoire de Paris et Université Paris Cité, membre de l'Académie des sciences) and Luc Dettwiller (Université Jean Monnet Saint-Etienne, CNRS, Institut d'Optique Graduate School, Laboratoire Hubert Curien UMR 5516, F-42023, SAINT-ETIENNE, France)

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©

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Astronomy, Atmospheres and Refraction / *Astronomie, atmosphères et réfraction*

# Les développements de Lambert :
commentaire historique

*Lambert's series expansions: an historical commentary*

Luc Dettwiller<sup>a</sup>

Courriel: dettwiller.luc@gmail.com

**Résumé.** Dans son livre de 1758, Lambert (1728–1777) introduit l’intégrale de réfraction sous sa forme la plus compacte, et la développe en série entière du sinus ou de la tangente de la distance zénithale (la seconde devant converger plus vite — sous réserve de convergence); puis il s’intéresse aux conséquences géodésiques de la courbure des rayons lumineux.

**Abstract.** In his 1758 book, Lambert (1728–1777) established the most compact expression of the refraction integral, and developed it in a power series of sine or tangent of the zenith distance. He then examined the geodetic consequences of the curvature of the light rays.

**Mots-clés.** Lambert (séries de), Intégrale de réfraction, Coefficient de réfraction, Dépression de l'horizon, Distance de l'horizon.

**Keywords.** Lambert series, Refraction integral, Refraction coefficient, Horizon dip, Horizon distance.

Published online: 21 February 2023, Issue date: 27 October 2023

## 1. Introduction

Né à Mulhouse en 1728, mort à Berlin en 1777 où il était académicien des sciences sous le mécénat de Frédéric II de Prusse, Johann Heinrich Lambert a connu une activité scientifique intense et variée touchant à la logique, aux mathématiques, à la physique, l'astronomie, la météorologie et la cartographie ! En physique, il a travaillé sur les propriétés des gaz, mais il est surtout connu pour son traité de photométrie en latin [1], continuateur de celui de Pierre Bouguer [2] ; on y voit apparaître la notion de source lambertienne, qui s'avère n'être qu'une idéalisation (qu'on ne sait matériellement approcher qu'à 5 % près au mieux), hélas inutilisable en ce qui concerne les surfaces des planètes ou des satellites [3, 4] — ceci étant connu dès le xIXe siècle [5], d'où l'appréciation d'Arthur Searle : « In particular, Lambert's theory, developed in his *Photometria*, had been regarded as almost demonstrably true, while, in fact, it consisted of an ingenious mathematical superstructure on a very insecure foundation. » [6] Deux ans avant la parution de *Photometria*, Lambert publia *Les propriétés remarquables de la route de la lumière*,

<footnote><sup>a</sup> Université Jean Monnet Saint-Etienne, CNRS, Institut d'Optique Graduate School, Laboratoire Hubert Curien UMR 5516, F-42023, SAINT-ETIENNE, France</footnote>
un ouvrage à la frontière des mathématiques, de l'optique, de la géodésie et de l'astronomie [7]. C'est à lui que nous nous intéressons, pour sa contribution à l'étude théorique de la réfraction astronomique.

Dans son édition de 1758 chez Scheurleer, F. Z. & Compagnie [7] il est disponible sur Google Books : https://books.google.fr/books?id=V7xkAAAAcAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=lambert+les+propri%C3%A9t%C3%A9s+de+la+route+de+la+lumi%C3%A8re+dans+les+airs&hl=fr&redir_esc=y et dans celle de 1759 chez van Daalen (La Haye), sur Gallica : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k148910g/#.

Le corps de ces deux éditions est le même, y compris en ce qui concerne (en bas de la page finale) la liste des « Fautes à corriger » (p. 116). Seule apparaît recomposée, pour l'édition de 1759, la page de titre. Les typographes hollandais semblent avoir eu quelques difficultés avec le français : le titre courant de gauche varie, de « Les Propriétés Remarquables » (p. 10–16) à « Les Propriétes Remarquables » (p. 18), « La Propriétes Remarquables » (p. 20) puis « Propriétes Remarquables » (p. 22–26) et retour.

Nous utilisons l'édition de 1758 : J. H. Lambert, *Les proprietés remarquables de la route de la lumière*, H. Scheurleer F. Z. & Compagnie, La Haye, 1758.

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40 Les Propriétés Remarquables

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SECTION II.

Des Refractions Astronomiques, de la manie-
re de les déterminer par approximation
aufli exactement que l'on voudra, &
de leur rapport à divers au-
tres Problèmes.

EXPOSITION DU CAS.

§. 69. Il ne s'agit ici que d'appliquer la 3e. fl.
gure à notre terre & à son athmosphère. Soit donc
C son centre & celui des couches de l'air: CA
le demi-diamètre, le cercle tiré par A fa furfa-
ce, BM une couche de l'air, bn une autre, qui
lui est infiniment proche; n MA un raion de lu,
miere qui y paſſe, & qui tönbe en A: AJ ſa tou-
chante en A, & JAB ſa diſtance apparente du
Zenith. Ceci pofc, les autres lignes ont la mé-
me ſignification & dénomination, que nous leur
avons données ci-deſſus (§. 30. 58.) Ainſi l'an-
gle TGA ſera la refraction que la lumière ſouf-
fre en parcourant la partie M A de ſa route par
l'air, & ſi AM eſt la route entière, cet angle ſe-
ra la refraction totale.

[7] Source : Google Books

2. Résumé et commentaires

Dans son Avant-propos (p. 3–8), Lambert présente l'optique comme étant constituée de deux parties : l'optique géométrique (quoiqu'il n'utilise pas cette appellation), et la photométrie — donc il occulte les interférences (découvertes par Boyle et Hooke en 1664–1665) et la diffraction (par Grimaldi à la même époque). Selon lui, l'optique géométrique a « été [portée] à un si haut point de perfection, qu'on n'y trouve presque plus qu'à glaner. [...] » : bel exemple de mentalité fin de siècle, qui concorde avec l'étude menée par Rescher [8, chapitre 2 et figure 1 p. 36]
sur l'évolution temporelle du « degré de compléture perçue » concernant les connaissances scientifiques : il est passé par trois maxima successifs très nets, vers 1750 (cf. Diderot, Kant, Lambert), vers 1900 (cf. Kelvin) et vers 1975 (cf. Feynman, Wigner et Stent). Néanmoins, Lambert trouve quand même un dernier centre d'intérêt en optique géométrique, car quelques lignes plus loin, il écrit :

> Le seul cas, qui s'embloit encore moins exa-
> mine, c'est celui, où la lumière paie succe-
> fivement par plusieurs milieux sphériques &
> concentriques. J'ai effaïe dans ce traité de
> suppléer à ce défaut. Où y verra, que ce
> Cas n'est ni si compliqué, ni si difficile, qu'il

paroit du premier abord, & qu'il y a moïen d'al-
ler plus loin qu'on n'a été. On fait qu'il exis-
te dans l'Athmosphere, & que les refractions
des Aftres & des objets terrestres en dépen-
dent. Ce seul pointuffit, pour le rendre in-
téreffant & digne de la peine, que les plus
grands Géometres se font donnée, pour le dé-
terminer dans cette vuë.

[7, p. 3–4] Source : Google Books

Tel est son but : faire progresser l'étude théorique des rayons dans un milieu à symétrie sphé- rique (de centre C), et appliquer les résultats obtenus aux réfractionss Astronomique et terrestre respectivement — i.e. affectant la vision d'un objet extra-atmosphérique (resp. terrestre). Lam- bert montre clairement qu'il va faire œuvre de mathématicien plus que de physicien ; il ne traite pas de la relation entre la longueur d'onde (d'ailleurs il n'aurait sans doute pas utilisé cette notion, peu en vogue pour la lumière à l'époque, mais il aurait pu considérer la couleur), l'indice de ré- fraction de l'air et sa densité, ni de la variation de celle-ci avec la température et la pression dans l'atmosphère : « en l'omettant, mon traité est purement optique & mathématique, c'est à dire, démonstratif. En admettant [d'aborder les lois régissant] les densités, il auroit tenu à des hypo- theses Physiques [...] Voici tout ce que j'avois à dire préalablement sur ce petit ouvrage. » [7, p. 4] Il n'indique pas son plan, mais consacre les quatre pages restantes de l'avant-propos à présenter la suite de ses projets, cohérente avec son idée d'avoir achevé le développement de l'optique géo- métrique (ce à quoi les travaux de Gauss, Seidel et Abbe au xixᵉ siècle apporteront un démenti flagrant, et même déjà ceux, longtemps méconnus [9, 10], de Clairaut et d'Alembert dans les an- nées 1760 sur les aberrations) : « L'autre partie de l'Optique, dont j'ai principalement dessein de parler, c'est la Photométrie. » Il annonce alors sa future grande publication, dans laquelle il veut donner une vision unifiée de la photométrie, après avoir reconnu quelques mérites à ses prédé- cesseurs : « La Photométrie n'est pas un païs entièrement inculte. Des savans fort célebres y ont travaillé. Mr. Bouguer en a donné un très bel Essai sur la Gradation de la lumière. »

Lambert a donc prévenu qu'il abordait le sujet de son présent livre [7] en mathématicien ; alors dès la fin de l'avant-propos, la suite (sauf la dizaine de pages finales) se présente sèchement comme une succession de théorèmes (numérotés), démonstrations, corollaires numérotés pour chaque théorème, remarques, problèmes numérotés et solutions, expériences (rares), etc. C'était courant aux XVIIᵉ et XVIIIᵉ siècles, où survivait l'idée aristotélicienne et scolastique selon laquelle la connaissance véritable du monde ne peut venir que de la logique, relayée par la raison chez Descartes, puis le formalisme de Newton qui voulait surpasser celui de Descartes — mais nous verrons que cette rigueur affichée n'est pas exempte de failles.

Aussi la section I (p. 9–39) de son traité est-elle consacrée uniquement à des théorèmes de géométrie appliqués à « la route de la lumière » ou aux « raïons visuels » et à leur « raïon de courbure » (nos y mouillés étaient des i). Un passage essentiel est son « PROBLÊME I. » (p. 34–35), où il fait exprimer (voir le paragraphe 3 du présent article) l'élément différentiel de réfraction que nous notons $d\chi$ ; Lambert semble le premier à utiliser ici la fonction tangente, ce qui lui permet une écriture qui deviendra classique, étant plus concise que celle donnée par Bouguer (voir l'expression (3) de l'article [11] dans ce numéro spécial, et [12, p. 46]) :

$$d\chi = \frac{dn}{\sqrt{(n/\sin\alpha)^2 - n^2}} = (\tan\alpha)\frac{dn}{n}, \quad (1)$$
après avoir transcrit depuis les notations de Lambert (voir la table 1) vers celles des articles [13,14] de ce numéro spécial, où n désigne l'indice de réfraction de l'air en un point courant M du rayon lumineux (R) considéré, et α l'angle entre CM et (R).

L'étude explicite de la réfraction astronomique ne commence qu'à la section II (p. 40-63). Lambert part de l'intégrale de $d\chi$, qui donne la valeur de la réfraction astronomique $\chi_S$ vue par un observateur S ; à la p. 45, il montre comment développer cette intégrale en série entière de $\sin Z'$ (où $Z'$ désigne la distance zénithale apparente) puis de $\tan Z'$ — voir le paragraphe 3.

La troisième et dernière section (p. 64-116) s'intéresse aux rayons circulaires, puis à la réfraction terrestre : les rayons lumineux pertinents pour ce sujet sont quasi horizontaux, leur rayon de courbure ne varie qu'au second ordre en fonction de leur petite inclinaison, et Lambert les assimilera à des arcs de cercle.

Il commence par estimer la valeur de ce que l'on appelle maintenant le coefficient de réfraction au niveau de S (i.e. le quotient $\kappa_S$ de la courbure des rayons horizontaux en S par la courbure méridienne de la Terre — voir le sous-paragraphe 7.1 de [14]), à partir de la dépression de l'horizon marin — i.e. l'angle $\delta$ mesurant, pour S ayant une élévation $E$ au-dessus de la mer, la « bassesse apparente de l'horison de la Mer » [15, p. 141] par rapport à l'horizontale. Elle a été mesurée depuis divers lieux élevés lors de la campagne géodésique de Jean-Dominique et Jacques Cassini, qui savaient au moins depuis les années 1690 (voir la fin du sous-paragraphe 2.1 de [13]) que la courbure des rayons lumineux intervient, mais ils ne savaient pas comment la mettre en équations pour calculer $\delta$ théoriquement. Ils ont trouvé notamment, le 12 mars 1701, $\delta \approx 50'20''$ « au pied de la Tour de la Massane » [15, p. 141], à 795 m d'altitude; Lambert l'appelle « le clocher à Massanne » et, connaissant la valeur du rayon terrestre $r_S - E \approx r_S$ (la campagne géodésique 1669-1670 de l'Abbé Picard avait permis de l'estimer précisément à 6 371,9 km), il en déduit $\kappa_S \approx 1/7,06$ (p. 70-71), ce qui est cohérent avec $E \approx 408,3$ toises selon Lambert au lieu de 408,5 toises selon les Cassini [7, p. 111]. Cependant il semble ignorer qu'une trentaine d'années auparavant, Bouguer avait utilisé cette mesure des Cassini (pour justifier la nécessité de prendre en compte la réfraction terrestre introduite par lui [12]), et que $\kappa_S$ s'identifie à l'exposant du modèle de Bouguer estimé par ce dernier à 3 300/25 758 (soit 1/7,81 — voir le sous-paragraphe 3.5 de [11]) ; précisons que Bouguer n'assimile pas les rayons lumineux à des arcs de cercle, et que ses chiffres ne viennent pas de visées terrestres mais astronomiques.

Puis Lambert démontre (cf. « THÉORÊME XXX. », p. 77) que la réfraction terrestre ne peut que *translator* l'image des objets verticalement vers le haut ; mais il omet de rappeler les hypothèses de ce théorème, surtout celle posée 10 pages plus tôt et sur laquelle était déjà fondé son calcul de $\kappa_S$ : la « déviation » du rayon lumineux, quasi horizontal, par rapport à celle d'un arc de cercle osculateur en un de ses points, est toujours négligeable parce

> que si cette déviation devoit être sensible, il faudroit que la courbure de la trajectoire crût où décrût avec une viteſſe extrême, ce qui eſt contre toute experience. Ainsi nous sommes en droit de ſuppoſer que la route de la lumière dans deux couches aſſez voilines, eſt circulaire.

[7, p. 67] Source : Google Books

Donc Lambert ignore visiblement le phénomène de mirage ainsi que les multiples autres effets de réfraction sortant du cas standard (voir l'article [16] de ce numéro spécial) ; il fournit ainsi
un bel exemple du mécanisme psychologique d'exposition sélective aux faits, probablement par
excès de confiance (typiquement scolastique) envers les idées a priori.

Ce décalage de l'image vers le haut influe naturellement sur $\delta$ et sur la distance $L$ de l'horizon ;
Lambert les exprime (« PROBLÊME IX. » et « PROBLÊME X. », p. 78-81) en fonction de l'élévation $y$
relative au rayon terrestre, et d'un paramètre $R$ qui n'est autre que l'inverse de $\kappa_S$, qu'il ne nomme
pas spécifiquement. Il observe (p. 82) que, pour une élévation $E$ de $S$, la dépression (standard) $\delta$
de l'horizon est quasiment donnée par $\delta \approx 1,0'\sqrt{E/1 \text{ pied}}$ (avec $\kappa_S \approx 0,17$). Attention : le pied uti-
lisé ici est celui de France, correspondant à 324,839 mm de 1668 à 1799, et non pas le pied an-
glophone actuel (304,8 mm). Ses formules, obtenues géométriquement, sont exactement les for-
mules (6) et (12) de l'article [17] de ce numéro spécial où elles sont obtenues analytiquement de
façon à les généraliser ; elles sont différentes de celles de Bouguer, qui utilisait une autre mo-
délisation des rayons lumineux, et qui s'intéressait surtout à $\delta$ pour perfectionner la navigation
astronomique — dont Lambert ne parle pas.

Ce qui intéresse Lambert pour finir, c'est la géodésie. En guise d'entrée en matière, il nous
avertit :

## REMARQUE.

§. 120. Mr. J. Caffini, a observé l'abaissement
apparent de l'horizon de la mer sur diverses hau-
teurs, qu'il avoit méfrurées géométriquement. Ces
observations se trouvent dans son *Traité sur la Gran-
deur & la Figure de la Terre* P. I. Ch. 10. Nous
verrons ci-dessous, que la plupart de ces hauteurs
souffrent une correction considérable parcequ'el-
les font calculées fans la refraction. Voici donc
les hauteurs corrigées, & l'abaissement observé.

[7, p. 82] Source : Google Books

Puis il donne les résultats importants qui font intervenir la courbure des rayons lumineux ;
il les répartit entre un théorème, 3 corollaires et 4 problèmes, dont voici l'énoncé du dernier
(p. 96-99) :

## PROBLÈME XIV.

§. 135. L'angle de l'élevation apparente d'une
montagne & sa distance horisontale etant données,
trouver sa hauteur.

[7, p. 96] Source : Google Books

Il est suivi de 11 pages d'applications numériques, qui culminent avec le tableau ci-dessous
où on voit l'importance de la correction due à la réfraction.
<table><thead><tr><th>Noms des Montagnes.</th><th>Hauteur suivant Mr.Caffini en toises.</th><th>Hauteur corrigée en toises.</th><th>Hauteur du Baromètre.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Le Canigou.</td><td>1441,5</td><td>1424,5</td><td>20 : 0½</td></tr><tr><td>Le Mouflet.</td><td>1253,0</td><td>1228,0</td><td>20 : 10⅔</td></tr><tr><td>La Matelotte.</td><td>335,5</td><td>335,4</td><td></td></tr><tr><td>La Maßanne.</td><td>408,5</td><td>408,3</td><td>25 : 4</td></tr><tr><td>St. Elme.</td><td>101,5</td><td>101,5</td><td></td></tr><tr><td>Puy de Bugarac.</td><td>650,5</td><td>628,4</td><td>24 : 1½</td></tr><tr><td>St. Jaques à Perpignan.</td><td>41,5</td><td>36,5</td><td></td></tr><tr><td>Tautavel.</td><td>258,0</td><td>245,2</td><td></td></tr><tr><td>Magrin.</td><td>77,0</td><td>157,7</td><td></td></tr><tr><td>Puy - Laurent.</td><td>97,0</td><td>177,2</td><td></td></tr><tr><td>Rupeyroux.</td><td>407,5</td><td>446,3</td><td>25 : 1½</td></tr><tr><td>Plomb de Cantal.</td><td>993,0</td><td>982,2</td><td></td></tr><tr><td>Puy de Violent.</td><td>860,0</td><td>846,8</td><td></td></tr><tr><td>Rodes.</td><td>318,5</td><td>361,8</td><td>25 : 8</td></tr><tr><td>La Baltide.</td><td>431,5</td><td>438,6</td><td></td></tr><tr><td>La Courlande.</td><td>846,0</td><td>801,3</td><td>23 : 2</td></tr><tr><td>La Colte.</td><td>859,0</td><td>807,4</td><td>23 : 2</td></tr><tr><td>Le Mont d'or.</td><td>1048,0</td><td>1001,3</td><td></td></tr><tr><td>Le Lage-Chevalier.</td><td>332,0</td><td>338,3</td><td></td></tr><tr><td>Le Puy de Dome.</td><td>817,0</td><td>789,1</td><td>23 : 2½</td></tr><tr><td>Le St. Barthelemi.</td><td>1189,2</td><td>1225,4</td><td>21 : 0½</td></tr></tbody></table>

[7, p. 111] Source : Google Books

Puis le livre s'achève sur une remarque et deux tables concernant l'altimétrie.

Pour des détails complémentaires, voir A. T. Young. (Page consultée le 12 janvier 2022), *Annotated bibliography of mirages, green flashes, atmospheric refraction, etc.*, [En ligne]. Adresse URL : https://aty.sdsu.edu/bibliog/bibliog.html.

### 3. Présentation illustrée de quelques idées fondamentales

Un point clé du cheminement de Lambert consiste à exprimer l'élément différentiel de réfraction $d\chi$.

#### Correspondance des notations

L'appellation d'indice de réfraction n'existait pas encore à l'époque : c'était le rapport des sinus de « l'angle d'inclinaison » et de « l'angle brisé », où ces sinus étaient vus comme des rapports de longueurs de côtés de triangles rectangles. Donc plusieurs grandeurs introduites par Lambert sont homogènes à une longueur de référence $L$ constante (voir la Table 1).
<table><caption>TABLE 1. Notations</caption><thead><tr><th>Notations de Lambert [7]</th><th>Notations de Dettwiller [13, 14] dans ce numéro de C. R. Phys.</th><th>Indications [et unités usuelles]</th></tr></thead><tbody><tr><td>v</td><td>nL</td><td>Indice de réfraction multiplié par une longueur de référence L [m]</td></tr><tr><td>dz</td><td>dχ = ds/β</td><td>Réfraction élémentaire — correspondant au déplacement élémentaire d'un point courant M sur un rayon lumineux (R), de rayon de courbure β [°, °, °]</td></tr><tr><td>z</td><td>χs</td><td>Réfraction vue par l'observateur S [°, °, °]</td></tr><tr><td>ω</td><td>α</td><td>Angle entre (R) et le rayon vecteur de M, d'origine au centre C de la Terre [°, °, °]</td></tr><tr><td>r</td><td>nL / sin α</td><td>Grandeur intervenant notamment dans des intégrales (en haut de [7, p. 46] par exemple) [m]</td></tr><tr><td>γ</td><td>Z'</td><td>Distance zénithale apparente [°, °, °]</td></tr><tr><td>P</td><td>nL / sin Z'</td><td>Variable des intégrales du haut de [7, p. 46] [m]</td></tr><tr><td>R</td><td>1 / κs</td><td>Inverse du coefficient de réfraction au niveau de l'observateur S</td></tr><tr><td>y</td><td>E / rS</td><td>Élévation de S divisée par CS</td></tr></tbody></table>

Pour obtenir dχ, une façon de procéder consiste à utiliser le rayon de courbure RM du rayon lumineux en M (voir la Fig. III de [7]), que Lambert commence à considérer à partir de son « THÉORÈME XI. » [7, p. 23] Quelques pages plus loin, il propose le « PROBLÈME I. » qui est le seul de la première section.

PROBLÈME I.

§. 59. Trouver l'équation différentielle pour les refractions.

SOLUTION.

Exprimant le rayon CA par l'unité, de forte que
CA = 1, soit la distance CM = r l'angle BAG
= DAC = γ, Parc AM = x, Mn = dx

$TMC = \omega,$

$ACM = s,$

$MC_{\text{in}} = ds$

$TGA = z,$

$TM_{\text{t}} = dz$
& le ration de courbure $MR = R$.
la perpendiculaire $CT = v$, $ts = dv$

On aura $DC = \sin \gamma$. $DA = \cos \gamma$
$TC = v = r \sin \omega$, $TM = r \cos \omega$
ou $TM = \sqrt{rr-vv}$

Or l'angle $TMt$ etant la refraction différentielle, on aura

$dz = dv : \sqrt{rr - vv}$
ou $dz = dv : r \cos \omega$
ou $dz = dv : \tang \omega : v$

Qui font les equations, qu'il falloit trouver.

[7, p. 34-35] Source : Google Books

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. III en fin d'ouvrage</figcaption></figure>
Contrairement à ce que la lecture de Lambert [7] pourrait laisser croire, l'obtention des expressions de (1) ne nécessite pas de supposer le milieu à symétrie sphérique — voir le paragraphe 2 de [14].

Dans la deuxième section, Lambert s'attaque au traitement de l'intégrale de réfraction. Selon Houzeau [18], c'est à lui que l'on doit l'introduction [7, p. 45] de la célèbre technique du développement en série dans ce cadre ; en fait cela avait déjà été expliqué par Euler en 1754 [19] dans un article qui a suscité toutes sortes de controverses [20] — notamment des critiques acerbes de la part de Kramp en 1799 [21] mais qui l'avait mal lu, comme l'a montré Plana en 1828 [22].

Il s'agit ici d'un développement binomial (dont le rayon de convergence est donc 1 [23, p. 212-213]): celui de $(1+x)^{-1/2}$. Comme on peut le voir ci-dessous, cela commence p. 45, par l'énoncé très aride du « Problème II ». Dans sa solution, Lambert applique d'abord le développement binomial pour exprimer

$$ \frac{1}{\sqrt{(n/\sin\alpha)^2 - n^2}} = \frac{\sin\alpha}{n} (1 - \sin^2\alpha)^{-1/2}, \quad (2) $$

et il trouve que l'intégration terme à terme de ce développement donne $\chi_S$ sous la forme d'une série entière de $\sin Z'$ dont les coefficients ne dépendent que du profil d'indice dans l'atmosphère — cf. infra.

## PROBLÈME II.

§. 76. Éxprimer les refractions par une suite.

### SOLUTION.

Par le Problème I. (§. 59.) on a

$$ dz = dv : \sqrt{rr - vv} $$

Or en résolvant cette expression par la formule connue des binomes, on trouvera

$$ dz = dv \left( \frac{1}{r} + \frac{1 \cdot v}{2 \cdot r^3} + \frac{1 \cdot v^2}{2 \cdot 4 \cdot r^5} + \frac{1 \cdot v^4}{2 \cdot 4 \cdot 6 r^7} + \&c. \right) $$

Or la perpendiculaire $v$ est en raison composée du sinus de l'angle DAC & d'une fonction de la hauteur CM (§. 67.) Faisant donc cette fonction $= P$, en sorte que $v = P \cdot \sin \gamma$. On aura $dv = dP \cdot \sin \gamma$, donc en substituant, la suite trouvée se transforme en

$$ dz = \frac{dP}{r} \cdot \sin \gamma \cdot \frac{1 \cdot P^2 dP}{2 \cdot r^3} \cdot \sin \gamma^3 \cdot \frac{1 \cdot P^4 dP}{2 \cdot 4 \cdot r^4} \cdot \sin \gamma^5 + \&c. $$

&c en prenant les intégrales

[7, p. 45] Source : Google Books
(les exposants successifs de $\sin \gamma$ sont 1, 3, 5, etc.)
## 46 Les Propriétés Remarquables

$$z = \sin \gamma \cdot \int \frac{dP}{r} + \frac{\sin \gamma^3}{2} \cdot \int \frac{P^2 dP}{r^3} + \frac{1 \cdot \gamma^2}{2 \cdot 4} \cdot \sin \gamma^5 \cdot \int \frac{P^4 dP}{r^5} + \text{&c.}$$

Or comme les intégrales de tous les termes de cette suite dependent simplement de la hauteur de l'atmosphère, & qu'elles sont indépendantes de l'angle $\gamma$, il est evident qu'on peut les confirmer comme des coefficients, & que par confequent la constitution de l'atmosphère restant la même, les refractions qui repondent à chaque distance des aftres du Zenith, seront exprimées par la suite

$$z = A \sin \gamma + B \sin \gamma^3 + C \sin \gamma^5 + \text{&c.}$$

dont les termes croissent suivant les puissances impaires du sinus de la distance des aftres du Zenith.

### REMARQUE.

§. 77. Cette suite n'est pas fort convergente, & il faut plusieurs termes, pour définir les refractions des hauteurs moins grandes.

Car la fonction P de même que le raión $r$ variant fort peu, toutes les intégrales seront assez peu différentes l'une de l'autre, de sorte que la convergence des Coefficiens n'est guères plus grande que celle de la suite $1, \frac{1}{2}, \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 4}, \text{&c.}$

Afin donc de transformer la suite trouvée en une autre, qui soit plus convergente, il faut exprimer les refractions par une suite dont les termes procèdent par les puissances impaires des tangentes de l'angle $\gamma$. Ce qui peut toujours se faire. On trouvera donc

[7, p. 46] Source: Google Books

Le fait que les intégrales du haut de la p. 46 de Lambert ne dépendent que du profil d'indice dans l'atmosphère se comprend à l'aide de l'invariant de Bouguer [12] (que Lambert n'écrit jamais sous forme de formule, et ne cite jamais — voir le sous-paragraphe 4.2 de [14]), car celles-ci s'écrivent (avec nos notations des articles [13, 14])

$$ \begin{align} \int_1^{n_S} \frac{(nL/\sin Z')^{2p}}{(nL/\sin \alpha)^{2p+1}} d\left(\frac{nL}{\sin Z'}\right) &= \int_1^{n_S} \frac{1}{n} \left(\frac{n r \sin \alpha}{n r \sin Z'}\right)^{2p+1} dn \nonumber \\ &= \int_{\infty}^{r_S} \frac{1}{n} \left(\frac{n_S r_S}{n r}\right)^{2p+1} \frac{dn}{dr} dr > 0 \quad \forall p \in \mathbb{N} \tag{3} \end{align} $$
Lambert obtient donc $\chi_S/\sin Z'$ sous la forme d'une série entière de $\sin^2 Z'$, à termes tous positifs si $n$ est une fonction décroissante de $r$, comme dans le cas standard.

Il est vrai que la décroissance de « la suite 1, 1/2, (1·3)/(2·4), &c. », i.e. celle de terme général $(2p-1)!!/(2^p p!)$ (où $N!$ et $N!!$ désignent respectivement la factorielle et la double factorielle de $N$) est lente, car au voisinage de l'infini il est équivalent à $1/\sqrt{\pi p}$, en vertu de la formule de Stirling [24, p. 2868].

## De la Route de la Lumière. 47

$$ 
\begin{align*} 
z &\equiv A \tang \gamma - \frac{1}{2} A \tang \gamma^3 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} A \tang \gamma^5 - \&c. \\ 
&\quad + \frac{1}{2} B \tang \gamma^3 \div \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} B \tang \gamma^5 + \&c. \\ 
&\quad + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} C \tang \gamma^5 - \&c. 
\end{align*} 
$$

Or si tous les coefficients $A, B, C, D, \&c.$ etoient egaux entre eux, tous les termes de cette suite outre le premier s'anéantiroient, & on aurait

$$ z \equiv A \cdot \tang \gamma. $$

Mais comme ces constantes $A, B, C \&c.$ ne different que très peu entre elles, il s'en suit, que cette série est infiniment plus convergente que la précédente, puisque le coefficient du premier terme est le même dans l'une & dans l'autre suite, & que les tangentes d'un angle croissent bien plus fortement que les sinus $\&c$.

## COROLLAIRE.

§. 78. On pourra donc exprimer les refractions par la suite

$$ z \equiv a \tang \gamma - b \cdot \tang \gamma^3 + c \cdot \tang \gamma^5 - \&c. $$

dont il faudra très peu de termes, pour les définitir, si on en excepte les plus horizontales, parceque la tangente de l'angle $\gamma$ devenant alors fort grande, la suite deviendra divergente.

[7, p. 47] Source : Google Books

En haut de sa p. 47, Lambert réutilise la même série binomiale, dont le rayon de convergence est 1, pour écrire

$$ \sin Z' = (\tan Z') (1 + \tan^2 Z')^{-1/2} = (\tan Z') \sum_{p=0}^{\infty} (-1)^p \frac{(2p-1)!!}{2^p p!} \tan^{2p} Z'. \quad (4) $$
Par substitution de cette seconde série (4) à sin Z' dans la série précédente, il obtient donc $\chi_S/\tan Z'$ sous la forme d'une série entière de tan² Z', alternée, et dont les coefficients tendent plus vite vers zéro. Si on ignorait que l'étude des séries n'en était en 1758 qu'à ses balbutiements, on pourrait s'amuser de la faiblesse de la justification de cette accélération de convergence, surtout par contraste avec la rigueur apparente de l'ensemble du livre présenté comme un austère traité de mathématiques ; mais il faut plutôt, au contraire, saluer chez Lambert l'irruption de l'idée féconde, quoiqu'encore peu formalisée, selon laquelle deux séries exprimant la même grandeur ($\chi_S$) n'ont pas forcément le même intérêt ni la même efficacité.

Cependant cette première méthode, pour obtenir $\chi_S$ sous la forme d'une série entière de tan Z', restait très lourde. Ce n'est donc peut-être pas un hasard si Ernst Kummer, un autre mathématicien intéressé par les séries et inventeur d'un procédé d'accélération de leur convergence [25], écrira lui aussi sur les propriétés des rayons lumineux dans un milieu à symétrie sphérique — voir [17] dans ce numéro spécial. La technique des développements de Lambert sera améliorée au siècle suivant : au sous-paragraphe 5.2 de [14], on a vu comment obtenir directement le développement en tan Z', d'une part sans substitution de développement en série entière dans un autre, et d'autre part de façon que la somme des premiers termes soit tout de suite une bonne approximation de $\chi_S$ (sauf pour Z' trop proche de 90°), car on peut s'arranger pour que le terme devant tan² Z' dans la racine carrée soit très petit sur l'essentiel de l'atmosphère.

## Conflit d'intérêt

L'auteur n'a aucun conflit d'intérêt à déclarer.

## Remerciements

L'auteur exprime sa reconnaissance au Dr. Andrew Young pour la mise à disposition de sa fabuleuse bibliographie en ligne (citée à la fin du paragraphe 2), ainsi que pour ses réponses très attentionnées et consistantes, à des questions précises. Il remercie aussi le Dr. Siebren van der Werf pour ses commentaires, et pour lui avoir fourni la Fig. III de [7] qui lui manquait cruellement. Enfin, il exprime sa gratitude à Julien Desmarets (du service des publications de l'Académie des sciences) pour son précieux travail technique améliorant la lisibilité des extraits de textes anciens.

## Références

[1] J. H. Lambert, *Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae*, Eberhard Klett, Augsbourg, 1760.

[2] P. Bouguer, *Essai d'Optique sur la Gradation de la Lumière*, Claude Jombert, Paris, 1729.

[3] H. N. Russell, « The light variations of asteroids and satellites », *Astrophys. J.* **24** (1906), p. 1-18.

[4] M. Minnaert, « Photometry of the Moon », in *Planets and Satellites* (G. P. Kuiper, B. Middlehurst, éds.), Chicago University Press, Chicago, 1961, p. 213-248.

[5] F. Zöllner, *Photometrische Untersuchungen*, Engelmann, Leipzig, 1865.

[6] A. Searle, « The meteoric theory of the gegenschein », *Observatory* **22** (1899), p. 310-311.

[7] J. H. Lambert, *Les proprietés remarquables de la route de la lumière*, H. Scheurleer F. Z. & Compagnie, La Haye, 1758.

[8] N. Rescher, *Le progrès scientifique – Un essai philosophique sur l'économie de la recherche dans les sciences de la nature*, PUF, Paris, 1993.

[9] H. Boegehold, « Die Leistungen von Clairaut und D'Alembert für die Theorie des Fernrohrobjektivs und die französischen Wettbewerbsversuche gegen England in des letzten Jahrzehnten des 18. Jahrhunderts », *Z. Instrument.* **55** (1935), p. 97-111.

[10] F. Ferlin, « New insights into major theoretical research in optics in the Age of Enlightenment », *Centaurus* **59** (2017), p. 308-319.

[11] L. Dettwiller, « L'invariant de Bouguer et ses conséquences : commentaire historique », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 415-452.
[12] P. Bouguer, *De la Méthode d'Observer Exactement sur Mer la Hauteur des Astres*, Claude Jombert, Paris, 1729.

[13] L. Dettwiller, « Panorama historique de l'étude de la réfraction astronomique : une histoire méconnue entre optique, mathématiques et géodésie », C. R. Phys. **23** (2022), n° S1, p. 13-62.

[14] L. Dettwiller, « Propriétés remarquables de la réfraction astronomique dans une atmosphère à symétrie sphérique », C. R. Phys. **23** (2022), n° S1, p. 63-102.

[15] J. Cassini, *Traité de la grandeur et de la figure de la Terre*, Pierre de Coup, Amsterdam, 1723.

[16] L. Dettwiller, « Phénomènes de réfraction atmosphérique terrestre », C. R. Phys. **23** (2022), n° S1, p. 103-132.

[17] L. Dettwiller, « La discussion par Kummer d'une quadrature sur la réfraction astronomique : commentaire historique », C. R. Phys. **23** (2022), n° S1, p. 503-525.

[18] J. C. Houzeau, *Vade-mecum de l'astronome*, F. Hayez, Bruxelles, 1882.

[19] L. Euler, « De la réfraction de la lumière en passant par l'atmosphère selon les divers degrés tant de la chaleur que de l'elasticité de l'air », Hist. Acad. Roy. Sci. Belles-Lettres Berlin, Année MDCCLIV **10** (1756), p. 131-172.

[20] C. Bruhns, *Die astronomische Strahlenbrechung in ihrer historischen Entwicklung*, Voigt & Günther, Leipzig, 1861.

[21] C. Kramp, *Analyse des Réfractions Astronomiques et Terrestres*, Dannbach, Strasbourg, an VII – et Schwikkert, Leipzig, 1799.

[22] J. Plana, *Observations astronomiques faites en 1822, 1823, 1824, 1825 à l'Observatoire Royal de Turin – précédées d'un mémoire sur les Réfractions astronomiques*, Imprimerie Royale, Turin, 1828.

[23] R. Couty, J. Ezra, *Analyse*, t. 2, 4ᵉ éd., A. Colin, Paris, 1976.

[24] E. W. Weisstein, *CRC Concise Encyclopedia of Mathematics*, 2ᵉ éd., Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.

[25] E. E. Kummer, « Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam convergirender Reihen zu berechnen », J. für die Reine und Angew. Math. **16** (1837), p. 206-214.