ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

MOHAMMAD DAHER

Propriétés géométriques de $h^p(\mathbb{D}, X)$ et généralisations

Tome XX, n° 2 (2011), p. 439-463.

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Propriétés géométriques de $h^p(\mathbb{D}, X)$
et généralisations

DAHER MOHAMMAD(1)

RÉSUMÉ. — Nous montrons que $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ admet une norme équivalente LUR, ce qui répond négativement à une question de Dowling, Hu et Smith. Puis nous obtenons une propriété de stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Motivés par l'identification entre $h^p(\mathbb{D}, X)$ et $VB^p(\mathbb{T}, X)$ où $X$ est un espace de Banach, pour un groupe abélien compact métrisable $G$, son dual $\Gamma$, et $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$, nous prouvons que, si l'espace $VB^p_{\Lambda_1}(G, X)/VB^p_{\Lambda_2}(G, X)$ a la propriété Kadec-Klee-$\beta' - \omega$, alors il coincide avec $L^p_{\Lambda_1}(G, X)/L^p_{\Lambda_2}(G, X)$, $1 \le p < \infty$. Enfin, nous montrons que si $L^1_{\Lambda_2}(G)/L^1_{\Lambda_1}(G)$ a la propriété $I - (\Lambda_1 \setminus \Lambda_2) - RNP$, alors il coincide avec $M_{\Lambda_2}(G)/M_{\Lambda_1}(G)$.

ABSTRACT. — We show that $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ admits an equivalent LUR – norm, which gives a negative answer to a problem mentioned by Dowling, Hu and Smith. Then we get a stability property for analytic Radon-Nikodym operators. Since, for every Banach space $X$, $h^p(\mathbb{D}, X)$ and $VB^p(\mathbb{T}, X)$ can be identified, for a metric compact abelian group $G$, its dual $\Gamma$, and $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$, we show that, if the space $VB^p_{\Lambda_1}(G, X)/VB^p_{\Lambda_2}(G, X)$ has the Kadec–Klee–$\beta' - \omega$ property, then it coincides with $L^p_{\Lambda_1}(G, X)/L^p_{\Lambda_2}(G, X)$, $1 \le p < \infty$. Finally we show that, if $L^1_{\Lambda_2}(G)/L^1_{\Lambda_1}(G)$ has the $I - (\Lambda_1 \setminus \Lambda_2) - RNP$, then it coincides with $M_{\Lambda_2}(G)/M_{\Lambda_1}(G)$.

<footnote>(*) Reçu le 08/09/2010, accepté le 13/12/2010</footnote>

<footnote>(1) Departement de mathématiques, Université de Paris VII m.daher@orange.fr</footnote>
# 1. Introduction

Dans la deuxième partie nous considérons le lien entre certaines propriétés de l'espace de Banach $X$ et celles des espaces $h^p(\mathbb{D}, X)$ de fonctions harmoniques vectorielles, ou des sous espaces $H^p(\mathbb{D}, X)$ de fonctions analytiques.

D'après [DZS, theorem 3.8], si $h^2(\mathbb{D}, X)$ est localement uniformément convexe ($LUR$), alors $X$ a la propriété de Radon-Nikodym. Ce n'est plus vrai si on suppose seulement que $h^2(\mathbb{D}, X)$ admet une norme équivalente $LUR$, ce qui répond négativement au problème posé à la fin de [DZS] : en effet nous vérifions que $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ admet une norme équivalente $LUR$ ; or il est bien connu que $L^1(\mathbb{T})$ n'a pas la propriété de Radon-Nikodym.

Nous étudions ensuite la stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Lorsque l'opérateur est l'identité, cela se réduit à la stabilité de la propriété de Radon-Nikodym analytique, dans le style de [RaS].

La troisième partie est consacrée aux propriétés de type Kadec-Klee. Rappelons [W] que l'espace de Hardy $H^1(\mathbb{D})$ possède la propriété suivante : soit $(f_n)_{n\ge0}$ une suite dans la sphère unité de $H^1(\mathbb{D})$, convergeant uniformément sur tout compact $K \subset \mathbb{D}$ vers une fonction $f$ de la sphère unité ; alors $(f_n)_{n\ge0}$ converge vers $f$ en norme dans $H^1(\mathbb{D})$. [DL] et [DZS] étudient la géométrie des espaces $X$ tels que $h^p(\mathbb{D}, X)$ vérifie la propriété dite de Kadec-Klee $\beta - \|\cdot\| : \text{soit } (f_n)_{n\ge0}$ une suite dans la sphère unité de $h^p(\mathbb{D}, X)$ telle que, pour tout compact $K \subset \mathbb{D}$, $\sup_{z\in K} \|f_n - f\|_X \to 0$, avec $\|f\|_{h^p(\mathbb{D},X)} = 1$ ; alors $\|f_n - f\|_{h^p(\mathbb{D},X)} \xrightarrow{n\to+\infty} 0$. Cette propriété implique d'après [DL] l'identification entre $h^p(\mathbb{D}, X)$ et $L^p(\mathbb{T}, X)$, $1 < p < \infty$, c'est à dire que $X$ a la propriété de Radon-Nikodym. Motivés par l'identification [Bl] entre $h^p(\mathbb{D}, X)$ et $VB^p(\mathbb{T}, X)$ $1 < p \le \infty$, nous introduisons des propriétés de Kadec-Klee pour les espaces $VB^p(G, X)$ introduits dans [Din] et les quotients $W_p = VB^p_{\Lambda_1}(G, X)/VB^p_{\Lambda_2}(G, X)$. Nous montrons que, si $W_p$ a la propriété de Kadec-Klee dite $\beta' - \omega$, alors $W_p$ coincide avec son sous espace $L^p_{\Lambda_1}(G, X)/L^p_{\Lambda_2}(G, X)$. Ici $G$ est un groupe abélien compact métrisable, $\Gamma$ le groupe dual et $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$.

Dans la quatrième partie, nous considérons les propriétés $I - \Lambda - RNP$ et $I - \Lambda - CCP$ d'un espace $X$, définies à l'aide des espaces $VB^\infty_\Lambda(G, X)$, et étudiées entre autres dans [E], [Do], [RS], [D₂]. Nous les appliquons aux espaces $X = L^1_{\Lambda_1^c}(G)/L^1_{\Lambda_2^c}(G)$.

**NOTATIONS.** — Les espaces de Banach considérés ici sont complexes. Le dual d'un tel espace $X$ est noté $X^*$. Pour un sous-espace fermé $Y \subset X$, et $x \in X$, on note $[x]$ l'image de $x$ par l'application quotient dans $X/Y$. Dans
les parties 3 et 4, $G$ désigne un groupe compact abélien métrisable. On note $dt$ la mesure de Haar de $G$, en particulier la mesure de Lebesgue normalisée sur le tore $T$.

## 2. Stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique

### Rappels sur les espaces de fonctions harmoniques à valeurs vectorielles

On note $\mathbb{D} \subset \mathbb{C}$ le disque unité ouvert. La restriction au cercle $|z| = r$ d'une fonction $u : \mathbb{D} \to X$ est notée $u_r : \mathbb{T} \to X$.

Une fonction $u : \mathbb{D} \to X$ est *harmonique* s'il existe une suite $(x_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ dans $X$ telle que

$$u(z) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} r^{|k|} e^{ik\theta} x_k, \quad z = r e^{i\theta} \in \mathbb{D},$$

cette série convergeant en norme dans $X$, uniformément sur tout compact de $\mathbb{D}$. En particulier $u$ est continue : $\mathbb{D} \to X$.

Une fonction $u : \mathbb{D} \to X$ est *holomorphe* si elle est harmonique et si $x_k = 0$ pour tout $k < 0$.

$h^p(\mathbb{D}, X)$, $1 \le p < \infty$, désigne l'espace des fonctions harmoniques $u : \mathbb{D} \to X$ telles que

$$\sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \|u(re^{it})\|_X^p dt < +\infty.$$

$h^\infty(\mathbb{D}, X)$ désigne l'espace des fonctions harmoniques $u : \mathbb{D} \to X$ telles que $\sup_{z \in \mathbb{D}} \|u(z)\|_X < \infty$.

$H^p(\mathbb{D}, X)$, $1 \le p \le \infty$, désigne le sous espace de $h^p(\mathbb{D}, X)$ formé des fonctions holomorphes.

$H^p(\mathbb{T}, X)$, $1 \le p \le \infty$, désigne le sous espace de $L^p(\mathbb{T}, X)$ des fonctions $f$ telles que $\hat{f}(-k) = \int_{\mathbb{T}} e^{ikt} f(t) dt = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

Le noyau de Poisson $P_z$ au point $z = r e^{i\theta} \in \mathbb{D}$ est défini par

$$ \begin{aligned} P_z(t) &= \operatorname{Re}(e^{it} + z/e^{it} - z) = 1 - r^2 / |1 - ze^{-it}|^2 \\ &= p_r(\theta - t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} r^{|k|} e^{ik(\theta - t)}, \quad t \in [0, 2\pi[. \end{aligned} $$
Rappelons l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood [HL, theorem 26]:
Soit $1 < p < \infty$. Il existe une constante $C_p$ telle que, pour toute fonction $v$
sous harmonique continue : $\mathbb{D} \to \mathbb{R}^+$, vérifiant $\sup_{r<1} \|v_r\|_{L^p(\mathbb{T})} < \infty$, on a

$$ \left\| \sup_r v_r \right\|_{L^p(\mathbb{T})} \le C_p \sup_r \|v_r\|_{L^p(\mathbb{T})}. \qquad (2.1) $$

Les faits suivants sont montrés dans le cas scalaire dans [HL], voir aussi
[Ru, chapter 11,17] ; les preuves sont analogues dans le cas vectoriel.

a) Soit $f \in L^p(\mathbb{T}, X)$, $1 \le p \le \infty$. Alors

(i) $f * p_r \xrightarrow{r \to 1^-} f$ en norme $L^p(\mathbb{T}, X)$ si $p < \infty$ ou si $p = \infty$ et $f$ continue.

(ii) si $p = 1$, la fonction maximale $\sup_r \|f\|_X * p_r$ est dans $L^1$-faible
[Ru, theorem 11.23].

(iii) si $1 \le p \le \infty$, pour presque tout $t \in \mathbb{T}$,

$$ \|f * p_r(t) - f(t)\|_X \xrightarrow{r \to 1^-} 0. \qquad (2.2) $$

(Il suffit de le voir pour $p = 1$ et cela résulte alors de la densité des points
de Lebesgue de $f \in L^1(\mathbb{T}, X)$, cf [Ru, theorem 7.6]).

(iv) si $1 < p < \infty$, on déduit de (2.1) les inégalités de Hardy-Littlewood

$$ \left\| \sup_{r<1} \|f * p_r\|_X \right\|_{L^p(\mathbb{T})} \le \left\| \sup_{r<1} \|f\|_X * p_r \right\|_{L^p(\mathbb{T})} \le C_p \|f\|_X \|f\|_{L^p(\mathbb{T})}, \quad (2.3) $$

en notant que la fonction : $z = re^{i\theta} \to \|f\|_X * p_r(\theta)$ est sous harmonique.

Si $p = \infty$ la deuxième inégalité est clairement vraie avec constante 1.

(v) $L^p(\mathbb{T}, X)$ s'identifie isométriquement à un sous-espace fermé de $h^p(\mathbb{D}, X)$,
$1 \le p \le \infty$, via l'application $f \to u = (P \otimes I_X)f$ où

$$ (P \otimes I_X)(f)(z) = \int_0^{2\pi} f(t)P_z(t) \frac{dt}{2\pi} = f * p_r(\theta), \quad z = re^{i\theta} \in \mathbb{D}. $$

(On utilise (i)).

Rappelons que $P$ est un isomorphisme isométrique : $L^p(\mathbb{T}) \to h^p(\mathbb{D})$,
$1 < p \le \infty$, et $H^p(\mathbb{T}) \to H^p(\mathbb{D})$, $1 \le p \le \infty$, [Ru, theorem 11.30].
b) Si $u \in h^p(\mathbb{D}, X)$, $1 \le p \le \infty$, la fonction $z \to \|u(z)\|_X$ est sous harmonique continue sur $\mathbb{D}$. En particulier

- la fonction $r \to \|u_r\|_{L^p(\mathbb{T}, X)}$ est croissante, donc $\|u\|_{h^p(\mathbb{D}, X)} = \lim_{r \to 1} \|u_r\|_{L^p(\mathbb{T}, X)}$.

- si $1 < p \le \infty$, on a l'inégalité de Hardy-Littlewood

$$ \left\| \sup_{r<1} \|u_r\|_X \right\|_{L^p(\mathbb{T})} \le C_p \|u\|_{h^p(\mathbb{D}, X)}. \quad (2.4) $$

qui résulte de (2.1) si $p < \infty$, et de la définition si $p = \infty$ (avec $C_\infty = 1$).

c) Si $1 < p \le \infty$, l'image de $L^p(T, X)$ par $P \otimes I_X$ coincide avec le sous espace $F \subset h^p(D, X)$ formé des fonctions u telles que, pour presque tout $t$, $(u_r(t))_r$ converge en norme dans $X$ vers une limite $f(t)$ lorsque $r \to 1^-$.

En effet, $P \otimes I_X$ envoie $L^p(\mathbb{T}, X)$ dans $F$ d'après a) (v) et (iii), $1 \le p \le \infty$. Réciproquement, soit $u \in F$, associée à $f$. Alors $f$ est fortement mesurable à valeurs dans $X$ et $f$ est dans $L^p(\mathbb{T}, X)$ par (2.4), $1 < p \le \infty$. A nouveau par (2.4) et le théorème de convergence dominée, $\|f - u_r\|_{L^p(\mathbb{T}, X)} \to_{r \to 1^-} 0$ si $1 < p < \infty$, tandis que $f - u_r \to_{r \to 1^-} 0$ pour la topologie de la convergence forte d'opérateur : $L^1(\mathbb{T}) \to X$ si $p = \infty$. Par l'argument classique de semi-groupe [Ru, theorem 11.30], on a $u = (P \otimes I_X)f$. En effet, pour tout $r < 1$, $\|f * p_r - u_\rho * p_r\|_{L^p(\mathbb{T}, X)} \to_{\rho \to 1^-} 0$ si $1 < p < \infty$, tandis que $f * p_r - u_\rho * p_r \to_{\rho \to 1^-} 0$ pour la topologie de la convergence forte d'opérateur. D'autre part $u_\rho * p_r = u_{\rho r}$, et $\|u_{\rho r} - u_r\|_{C(\mathbb{T}, X)} \to_{\rho \to 1^-} 0$, donc, pour tout $r < 1$, $u_r = f * p_r$ dans $C(\mathbb{T}, X)$.

d) Pour un espace de Banach $Y$, notons $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$, $1 \le p \le \infty$, l'espace des fonctions préfaiblement mesurables $f : \mathbb{T} \to Y^*$ telles que $\|f\|_{Y^*}$ est mesurable et appartient à $L^p(\mathbb{T})$. $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$ est isomé triquement un sous espace fermé de $L^q(\mathbb{T}, Y)^*$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ (si $p = 1$, $L^q(\mathbb{T}, Y)$ est remplacé par l'espace $C(\mathbb{T}, Y)$).

Les applications $f \to f * p_r$ sont définies par dualité et $f * p_r \to f$ préfaiblement dans $L^q(\mathbb{T}, Y)^*$. Donc

$$ \|f\|_{L^q(\mathbb{T}, Y)^*} = \sup_r \|f * p_r\|_{L^q(\mathbb{T}, Y)^*}. \quad (2.5) $$

Pour $f \in \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$ on définit

$$ [(P \otimes I_{Y^*})(f)](r) = f * p_r, \quad r < 1. $$
L'application $P \otimes I_{Y^*}$ est une isométrie : $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*) \to h^p(\mathbb{D}, Y^*)$, $1 \le p \le \infty$, en particulier la deuxième inégalité de (2.3) reste vraie si $1 < p \le \infty$.

En effet, pour tout $y \in Y$, on a $P \langle f, y \rangle \in h^p(\mathbb{D})$, donc

$$ (P \langle f, y \rangle)(re^{i\theta}) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} r^{|k|} e^{ik\theta} a_k(y) $$

où les fonctions $a_k$ sont des formes linéaires sur $Y$. Comme

$$ \|a_k\|_{Y^*} = \sup_{\|y\|_{Y}=1} \left| \langle f, \widehat{y} \rangle * p_r(k) \right| \le \|f\|_{Y^*} \|L^p(\mathbb{T})\|, \quad k \in \mathbb{Z}, $$

la fonction $u(re^{i\theta}) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} r^{|k|} e^{ik\theta} a_k$ est dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, Y^*)$ et coincide avec $(P \otimes I_{Y^*})f$. Par (2.5) $\|f\|_{\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)} = \|u\|_{h^p(\mathbb{D}, Y^*)}$.

e) Si $Y$ est séparable, $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$, $1 < p \le \infty$, est le dual de l'espace séparable $L^q(\mathbb{T}, Y)$ [Die] et, pour $f \in \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$, la mesurabilité de $\|f\|_{Y^*}$ est automatique. Alors $P \otimes I_{Y^*}$ est surjective et permet d'identifier isométriquement $h^p(\mathbb{D}, Y^*)$ à $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$.

En effet, si $u \in h^p(\mathbb{D}, Y^*)$ et si $f$ est une valeur d'adhérence préfaible de $(u_r)_{r<1}$ dans $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$ on voit comme en c) que $u = (P \otimes I_{Y^*})f$, puisque $u_\rho * p_r \to_{\rho \to 1^-} f * p_r$ préfaiblement dans $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$.

On verra au lemme 2.10 que la même conclusion découle d'une hypothèse plus faible sur $Y$.

f) On a l'identification

$$ h^p(\mathbb{D}, X) = (P \otimes I_X)L^p(\mathbb{T}, X) $$

pour un $p \in [1, +\infty]$ si et seulement si on l'a pour tout $p \in [1, +\infty]$ et cela est vérifié si et seulement si $X$ a la propriété de Radon-Nikodym.

En effet, d'après c) l'identification pour un $p \in [1, +\infty]$ implique l'identification analogue pour tout $q \in [p, +\infty]$. Si elle a lieu pour $p = \infty$, alors $X$ a la propriété de Radon-Nikodym [Bl, theorem 2.2] définie dans [DU, definition 3 p. 61, theorem 5 p. 63]. Réciproquement, si $X$ a cette propriété, l'identification est vraie pour tout $p \in [1, +\infty]$ [BD, theorem 2, proposition 3].

De même, suivant la définition de [BD], $X$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique (cf définition 2.5 ci-dessous) si pour un (tout) $p \in [1, +\infty]$

$$ H^p(\mathbb{D}, X) = (P \otimes I_X)H^p(\mathbb{T}, X). $$
Rappelons qu’un treillis de Banach a la propriété de Radon-Nikodym analytique si et seulement s’il ne contient pas $c_0$ isomorphiquement [BD, theorem 1].

**DÉFINITION 2.1.** — Un opérateur borné $V : X \to Y$ est (resp. faiblement) localement uniformément convexe, ce qu’on note LUR (resp. $\omega - LUR$), si, pour toute suite $(x_n)_{n \ge 0}$ dans $X$ telle que

$$ \|x_n\|^2/2 + \|x\|^2/2 - \|(x_n+x)/2\|^2 \xrightarrow{n \to \infty} 0, $$

alors $Vx_n \xrightarrow{n \to \infty} Vx$ dans $Y$ (resp. faiblement). Un espace $X$ est LUR (resp. $\omega - LUR$) si l’identité de $X$ est LUR (resp. $\omega - LUR$).

Par un raisonnement analogue à celui de [DGZ, proposition 1.2, p 42], on peut se limiter aux suites $(x_n)_{n \ge 0}$ dans la sphère unité de $X$ telles que $\lim_{n \to \infty} \|x_n + x\| = 2$, et $\|x\| = 1$.

Rappelons [DGL, corollary 1.3] qu’un treillis de Banach qui ne contient pas $c_0$ isomorphiquement admet une norme équivalente LUR.

**PROPOSITION 2.2.** — L'espace $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ admet une norme équivalente LUR.

*Démonstration.* — Il suffit de plonger isomorphiquement $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ dans un treillis $\mathcal{T}$ qui ne contient pas $c_0$ isomorphiquement. Par [LT, theorem 1.c.4], il suffit de voir que toute suite croissante bornée en norme dans $\mathcal{T}$ converge en norme.

Or $h^2(\mathbb{D}, L^1(\mathbb{T}))$ est un sous espace de $h^2(\mathbb{D}, M(\mathbb{T}))$, qui s'identifie par e) au treillis $\mathcal{T} = \mathcal{L}^2(\mathbb{T}, M(\mathbb{T}))$, dual du treillis séparable $L^2(\mathbb{T}, C(\mathbb{T}))$. Il est facile de voir que toute suite croissante bornée en norme dans $\mathcal{L}^2(\mathbb{T}, M(\mathbb{T}))$ converge en norme. $\square$

On peut aussi conclure en invoquant le théorème 2.11 ci-dessous : comme $M(\mathbb{T})$ a les propriétés de Radon-Nikodym analytique et de Radon-Nikodym préfaible, $h^2(\mathbb{D}, M(\mathbb{T}))$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique, donc ne peut contenir $c_0$ isomorphiquement.

L'espace $L^1(\mathbb{T})$ n'ayant pas la propriété de Radon-Nikodym, la proposition 2.2 répond négativement au problème de [DZS, p 282]. Comme $L^1(\mathbb{T})$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique, nous posons le problème suivant :

**PROBLÈME 2.3.** — Si $H^p(\mathbb{D}, X)$, $p \ge 1$, admet une norme équivalente LUR, $X$ a-t-il la propriété de Radon-Nikodym analytique ?
*Remarque 2.4.* — Si $X$ est un treillis de Banach la réponse est positive.

En effet, il suffit de montrer que $X$ ne contient pas $c_0$ isomorphiquement. Si au contraire $X$ contient $c_0$, $H^p(\mathbb{D}, c_0)$ est isomorphe à un sousespace fermé de $H^p(\mathbb{D}, X)$. Comme $\ell^\infty$ n'admet aucune norme équivalente $LUR$ [DGZ, corollary 7.13], il suffit de montrer que $H^p(\mathbb{D}, c_0)$ contient $\ell^\infty$ isomorphiquement. Or l'opérateur $U : \ell^\infty \to H^p(\mathbb{D}, c_0)$, défini par

$$U((x_n)_{n \ge 0})(z) = (z^n x_n)_{n \ge 0}, \quad z \in \mathbb{D},$$

est isométrique. $\square$

Soit $V : X \to Y$ un opérateur borné. On note $I \otimes V : h^p(\mathbb{D}, X) \to h^p(\mathbb{D}, Y)$ l'opérateur défini par $(I \otimes V)(f)(z) = V(f(z))$, $z \in \mathbb{D}$.

**DÉFINITION 2.5.** — *Un opérateur borné $V : X \to Y$ est un opérateur de Radon-Nikodym (resp. de Radon-Nikodym analytique) si, pour toute $u \in h^2(\mathbb{D}, X)$ (resp. $u \in H^2(\mathbb{D}, X)$), $(I \otimes V)(u)$ admet presque partout sur $\mathbb{T}$ une limite radiale (en norme) dans $Y$.*

*L'espace $X$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique si l'identité de $X$ vérifie la deuxième propriété ...*

Notons que, d'après le rappel f), l'espace $X$ a la propriété de Radon-Nikodym si et seulement si l'identité de $X$ vérifie la première propriété.

*Remarque 2.6.* — Comme $I \otimes V$ envoie $h^2(\mathbb{D}, X)$ dans $h^2(\mathbb{D}, Y)$, $V$ est, d'après le rappel c), un opérateur de Radon-Nikodym si et seulement si

$$(I \otimes V)h^2(\mathbb{D}, Y) = (P \otimes I_Y)L^2(\mathbb{T}, Y).$$

De même $V$ est un opérateur de Radon-Nikodym analytique dès que

$$(I \otimes V)H^2(\mathbb{D}, Y) = (P \otimes I_Y)H^2(\mathbb{T}, Y).$$

En particulier, si $T : Z \to X$ est borné, $V \circ T$ est un opérateur de Radon-Nikodym (analytique) dès que $V$ l'est.

Comme dans le rappel f), on obtient une définition équivalente en remplaçant $p = 2$ par $1 < p \le \infty$ dans le premier cas, par $1 \le p \le \infty$ dans le deuxième.

**PROPOSITION 2.7.** — *Soit $V : X \to Y$ un opérateur borné. Si $V^*$ est un opérateur $\omega - LUR$, alors c'est un opérateur de Radon-Nikodym.*
On retrouve ainsi un résultat de [DF] : si l'espace $X^*$ est $\omega - LUR$, il a
la propriété de Radon-Nikodym.

Démonstration. — Soit $u \in h^2(\mathbb{D}, Y^*)$ ; par la remarque 2.6 il suffit de montrer que $(I \otimes V^*)u = (P \otimes I_{X^*})(I \otimes V^*)f$ où $f \in L^2(\mathbb{T}, Y^*)$.

Soit une suite $(\rho_n)_{n \ge 0}$ dans $]0,1[$ telle que $\rho_n \xrightarrow{n \to +\infty} 1$. On note

$$
u_n(z) = u_{\rho_n}(z) = u(\rho_n z) = u_r * p_{\rho_n}(e^{i\theta}), z = re^{i\theta} \in \mathbb{D}, n \ge 1.
$$

Il est clair que

$$
\overline{\lim}_n \left\| \frac{u_n + u}{2} \right\|_{h^2(D, Y^*)} \le \frac{1}{2} \left\| u \right\|_{h^2(D, Y^*)} + \frac{1}{2} \sup_n \left\| u_n \right\|_{h^2(D, Y^*)} = \left\| u \right\|_{h^2(D, Y^*)}.
$$

D'autre part, comme $u \in C(\mathbb{D}, Y^*)$, $\|u_n - u\|_{Y^*} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ uniformément sur les cercles $|z| = r$. Le lemme de Fatou implique alors

$$
\begin{align*}
\underline{\lim}_n \|(u_n + u)/2\|_{h^2(D, Y^*)}^2 &= \underline{\lim}_n \sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \left\| \left[u_n(re^{it}) + u(re^{it})\right] /2 \right\|_{Y^*}^2 dt \\
&\ge \sup_{0<r<1} \underline{\lim}_n \int_{\mathbb{T}} \left\| \left[u_n(re^{it}) + u(re^{it})\right] /2 \right\|_{Y^*}^2 dt \\
&\ge \sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \underline{\lim}_n \left\| \left[u_n(re^{it}) + u(re^{it})\right] /2 \right\|_{Y^*}^2 dt \\
&= \|u\|_{h^2(D, Y^*)}^2.
\end{align*}
$$

Cela entraine

$$
\left\| \left( u_n + u \right) / 2 \right\|_{h^2(D, Y^*)}^2 \xrightarrow{n \to +\infty} \left\| u \right\|_{h^2(D, Y^*)}^2,
$$

ou encore, comme $\|u\|_{h^2(D, Y^*)} = \lim_n \|u_n\|_{h^2(D, Y^*)}$,

$$
\frac{1}{2} \|u_n\|_{h^2(D, Y^*)}^2 + \frac{1}{2} \|u\|_{h^2(D, Y^*)}^2 - \left\| \frac{u_n + u}{2} \right\|_{h^2(D, Y^*)}^2 \xrightarrow{n \to +\infty} 0. \quad (2.6)
$$

Supposons maintenant $Y$ séparable. Par le rappel e) on a $u = (P \otimes I_{Y^*})f$
où $f \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}, Y^*)$. Alors $u_n(z) = ((P \otimes I_{Y^*})f_n)(z)$ où $f_n(t) = f * p_{\rho_n}(t) = u_{\rho_n}(t)$. Par 2.6 et le rappel d)

$$
\int_{\mathbb{T}} \left( \frac{1}{2} \|f_n(t)\|_{Y^*}^2 + \frac{1}{2} \|f(t)\|_{Y^*}^2 - \left\| \frac{f_n(t) + f(t)}{2} \right\|_{Y^*}^2 \right) dt \xrightarrow{n \to +\infty} 0.
$$
L'expression à intégrer est positive car dans tout Banach $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\| \le \sqrt{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2)^{\frac{1}{2}}$ ; il existe donc une sous-suite $(f_{n_k})_{k \ge 0}$ telle que, pour presque tout $t \in \mathbb{T}$,

$$ \frac{1}{2} \|f_{n_k}(t)\|_{Y^*}^2 + \frac{1}{2} \|f(t)\|_{Y^*}^2 - \|(f_{n_k}(t) + f(t))/2\|_{Y^*}^2 \underset{k \to +\infty}{\to} 0. $$

Comme $V^*$ est $\omega - LUR$, pour presque tout $t \in \mathbb{T}$, $V^*(f_{n_k}(t)) \to V^*(f(t))$ faiblement dans $X^*$. Les fonctions $(I \otimes V^*)f_{n_k} = (I \otimes V^*)u_{\rho_{n_k}} \in \mathcal{C}(\mathbb{T}, X^*)$ prennent leurs valeurs dans un sous espace séparable $E \subset X^*$. Pour presque tout $t \in \mathbb{T}$, $V^*(f(t))$ est aussi dans $E$. Comme $(I \otimes V^*)f \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$, $(I \otimes V^*)f$ est fortement mesurable à valeurs dans $X^*$ [DU, Corollary 4, ch. II] et finalement $(I \otimes V^*)f$ est dans $\mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$. Or

$$ (I \otimes V^*)u = (I \otimes V^*)(P \otimes I_{Y^*})f = (P \otimes I_{X^*})(I \otimes V^*)f. $$

Dans le cas général, comme $u \in \mathcal{C}(\mathbb{D}, Y^*)$, $u(\mathbb{D})$ est séparable, ainsi que $V^*(u(\mathbb{D})) \subset X^*$. Il existe un sous-espace fermé séparable $X_1 \subset X$, normant pour $V^*(u(\mathbb{D}))$ ; donc $V^*(u(\mathbb{D}))$ se plonge isométriquement dans $X_1^*$. Soient $Y_1$ la fermeture de $V(X_1)$ dans $Y$ et $V_1$ la restriction de $V : X_1 \to Y_1$. $V_1^*$ est encore un opérateur $\omega - LUR$, et $u \in h^2(\mathbb{D}, Y_1^*)$ isométriquement. $\square$

Rappelons qu’un Banach $Z$ est W.C.G si et seulement s’il existe un espace réflexif $R$ et un opérateur borné d’image dense $T : R \to Z$ [DGZ, corollary 8.10]. Un espace dual $X^*$ qui est WCG possède la propriété de Radon-Nikodym [DGZ, corollary 3.7]. La proposition suivante généralise cet énoncé.

**PROPOSITION 2.8.** — Soit $V : X \to Y$ un opérateur borné. Supposons que la fermeture (en norme) de $V^*(Y^*)$ dans $X^*$ est un espace W.C.G. Alors $V^*$ est un opérateur de Radon-Nikodym.

*Démonstration.* — Supposons d'abord $X, Y$ séparables. Soit $u \in h^2(\mathbb{D}, Y^*)$. Par le rappel e) il existe $f \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}, Y^*)$ telle que $u = (P \otimes I_{Y^*})f$, et, comme dans la preuve de la proposition 2.7, il suffit de voir que $\varphi = (I \otimes V^*)f$ est dans $\mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$. Par définition $\varphi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$ prend ses valeurs dans $F = \overline{V^*(Y^*)}^{\|\cdot\|_{X^*}}$.

Supposons montré que, pour tout $\xi \in F^*$, la fonction $\langle \varphi(\cdot), \xi \rangle$ est mesurable. Comme $F$ est W.C.G, le résultat de D.R.Lewis [DU, p 88] entraîne l'existence d'une fonction $\tilde{\varphi}$ mesurable à valeurs dans $F$ telle que, pour tout $\xi \in F^*$, en particulier tout $x \in X$, $\langle \varphi(\cdot), \xi \rangle = \langle \tilde{\varphi}(\cdot), \xi \rangle$ p.s. Comme $X$ est séparable, $\varphi = \tilde{\varphi}$ p.s. dans $\mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$. Donc $\varphi$ est bien dans $\mathcal{L}^2(\mathbb{T}, X^*)$.
Pour voir que $\varphi$ est faiblement mesurable, posons

$$L = \{\xi \in F^*; \text{l'application } t \to (\varphi(t), \xi) \text{ est mesurable}\} \supset X.$$

Comme $X$ est préfaiblement dense dans $X^{**}$, le sous espace $L$ est préfaiblement dense dans $F^*$. Montrons que $L$ est préfaiblement fermé dans $F^*$, ce qui impliquera $L = F^*$. D'après le théorème de Banach-Dieudonné, il suffit de montrer que la boule unité de $L$ est préfaiblement fermé dans celle de $F^*$. Soient une suite généralisée $(x_\alpha^*)_{\alpha \in I}$ dans la boule unité de $L$ et $x^*$ dans la boule unité de $F^*$, tels que $x_\alpha^* \to x^*$ préfaiblement dans $F^*$. Comme $F$ est W.C.G, il existe un espace réflexif $R$ et un opérateur $T : R \to F$ borné d'image dense. Donc $T^*(x_\alpha^*) \to T^*(x^*)$ faiblement dans $R^*$. Il existe alors une suite $(s_n^*)_{n \ge 0}$ dans l'enveloppe convexe de $(x_\alpha^*)_{\alpha \in I}$, donc dans la boule unité de $L$, telle que $T^*(s_n^*) \to T^*(x^*)$ fortement dans $R^*$. On conclut que $s_n^* \to x^*$ pour $\sigma(F^*, T(R))$, donc préfaiblement dans $F^*$. Comme $L$ est préfaiblement séquentiellement fermé dans $F^*$, on a bien $x^* \in L$.

Si $X, Y$ ne sont pas séparables, on définit $X_1, Y_1, V_1$ comme à la fin de la preuve précédente et on note $\rho : X^* \to X_1^*$ la restriction à $X_1, \pi : Y^* \to Y_1^*$ la restriction à $Y_1$. Il est immédiat par dualité que $V_1^* \circ \pi = \rho \circ V^*$. Vérifions que $F_1 = (\overline{V_1}^*(Y_1^*))^{\|\cdot\|_{X_1^*}}$ est encore W.C.G. Par hypothèse, il existe un espace réflexif $R$ et un opérateur $T : R \to F = \overline{V^*(Y^*)}^{\|\cdot\|_{X^*}}$ borné d'image dense. Alors $\rho \circ T$ est borné $R \to X_1^*$. Vérifions que son image est dense dans $F_1 : \text{par hypothèse } \rho(F)$ est dense dans $\overline{\rho \circ T(R)}^{\|\cdot\|_{X_1^*}}$ et $\rho \circ V^*(Y^*) = V_1^* \circ \pi(Y^*)$ est dense dans $\rho(F)$, donc $F_1 = \overline{\rho \circ T(R)}^{\|\cdot\|_{X_1^*}}$. $\square$

Introduisons la définition suivante :

**DÉFINITION 2.9.** — L'espace dual $X^*$ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible s'il existe un espace de Banach $E$ et un opérateur borné d'image dense $V : E \to X$, tel que $V^*$ soit un opérateur de Radon-Nikodym. Autrement dit, par la remarque 2.6, pour toute $u \in h^p(\mathbb{D}, X^*)$, $1 < p \le \infty$, il existe $f \in L^p(\mathbb{T}, E^*)$ telle que $(I \otimes V^*)u = (P \otimes I_{E^*})f$.

Si $X$ est un espace WCG, en particulier si $X$ est séparable, $X^*$ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible : en effet on peut alors supposer $E$ réflexif, donc $E^* WCG$, et appliquer la proposition 2.8.

**LEMME 2.10.** — Soit $X$ un espace de Banach tel que $X^*$ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible. Alors, pour $1 < p \le \infty$, on a isométriquement

$$h^p(\mathbb{D}, X^*) = (P \otimes I_{X^*})\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*).$$
Démonstration. — Par le rappel d) $P \otimes I_{X^*}$ est une isométrie : $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*) \to h^p(\mathbb{D}, X^*)$, $1 \le p \le \infty$. Il s'agit donc de voir que, pour toute $u \in h^p(\mathbb{D}, X^*)$, il existe $\varphi \in \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*)$ telle que $u = (P \otimes I_{X^*})\varphi$.

Traitons d'abord le cas $p = \infty$. Soient $E$ et $V : E \to X$ donnés par la propriété de Radon-Nikodym préfaible de $X^*$.

Soit $u \in h^\infty(\mathbb{D}, X^*)$. Comme $V^*$ est un opérateur de Radon-Nikodym, il existe un ensemble $\Omega \subset \mathbb{T}$ de mesure 1 sur lequel $(I \otimes V^*)u$ admet des limites radiales en norme de $E^*$, notées $f(t)$ et $(I \otimes V^*)u = (P \otimes I_{E^*})f$. La fonction $f$ est fortement mesurable : $\Omega \to E^*$ et, pour tout $y \in E$,

$$ \lim_{r \to 1^{-}} \langle u(re^{it}), Vy \rangle = \langle f(t), y \rangle = h_{Vy}(t) \le \|u\|_{h^\infty(\mathbb{D}, X^*)} \|Vy\|_{X}, \quad t \in \Omega. \quad (2.7) $$

Soit $x \in X$, $\|x\|_X = 1$ ; comme $V(E)$ est dense dans $X$, il existe une suite $(y_n)_{n \ge 1}$ dans $E$ telle que $V y_n \to x$. D'après (2.7) la suite de fonctions mesurables $(h_{V y_n})_{n \ge 1}$ est de Cauchy dans $l^\infty(\Omega)$, donc converge uniformément sur $\Omega$ vers une limite notée $h_x$, mesurable sur $\Omega$, et vérifiant $\|h_x\|_{l^\infty(\Omega)} \le \|u\|_{h^\infty(\mathbb{D}, X^*)} \|x\|_X$. Par définition, pour $t \in \Omega$, $x \to h_x(t)$ est dans $X^*$. On obtient ainsi une fonction $\varphi : \Omega \to X^*$, préfaiblement mesurable sur $\Omega$, telle que $\langle \varphi(t), x \rangle = h_x(t)$, $t \in \Omega$, $x \in X$, donc, sur $\Omega$, $\|\varphi(t)\|_{X^*} \le \|u\|_{h^\infty(\mathbb{D}, X^*)}$. De plus $\langle \varphi(t), Vy \rangle = \langle f(t), y \rangle$, $t \in \Omega$, $y \in E$.

D'après le théorème d'Egoroff vectoriel [DU, p 41], la fonction $f$ est en fait, pour tout $\varepsilon > 0$, continue sur un $\Omega_\varepsilon \subset \Omega$, de mesure $\ge 1 - \varepsilon$. En particulier les fonctions $h_{Vy}$, $y \in E$, sont continues sur $\Omega_\varepsilon$.

Si $V y_n \to x$, comme les $h_{V y_n}$ sont continues sur $\Omega_\varepsilon$, $h_x$ l'est aussi, c'est-à-dire $\varphi$ est préfaiblement continue : $\Omega_\varepsilon \to X^*$. La fonction $\|\varphi(\cdot)\|_{X^*} = \sup_{\|x\|_X=1} |\langle \varphi(\cdot), x \rangle|$ est donc semi-continue inférieurement sur $\Omega_\varepsilon$, et mesurable sur la réunion croissante des $\Omega_\varepsilon$ qui est de mesure 1. Finalement $\varphi \in \mathcal{L}^\infty(\mathbb{T}, X^*)$ et $f = (I \otimes V^*)\varphi \in L^\infty(\mathbb{T}, E^*) \subset L^1(\mathbb{T}, E)^*$.

Alors, pour $y \in E$, et $r < 1$,

$$ \langle u_r(\cdot), Vy \rangle = \langle f * p_r(\cdot), y \rangle = \langle (I \otimes V^*) \varphi * p_r(\cdot), y \rangle = \langle \varphi * p_r, Vy \rangle, $$

d'où $u_r = \varphi * p_r$ dans $L^1(\mathbb{T}, X)^*$. On a donc bien $u = (P \otimes I_{X^*})\varphi$, d'où l'isométrie

$$ h^\infty(\mathbb{D}, X^*) = (P \otimes I_{X^*})\mathcal{L}^\infty(\mathbb{T}, X^*). \quad (2.8) $$

Or l'espace $h^\infty(\mathbb{D}, X^*)$ est dense en norme dans $h^p(\mathbb{D}, X^*)$, $1 < p < \infty$, d'après [D1, proposition 1] et l'identification du lemme 3.3 ci-dessous. Soient $u \in h^p(\mathbb{D}, X^*)$ et une suite $(u_n)_{n \ge 1}$ dans $h^\infty(\mathbb{D}, X^*)$ telle que $\|u - u_n\|_{h^p(\mathbb{D}, X^*)}$
→ 0. D'après (2.8) $u_n = (P \otimes I_{X^*})\psi_n$ où $\psi_n \in \mathcal{L}^\infty(\mathbb{T}, X^*)$. Par le rapport d) $\|u_n - u_m\|_{h^p(\mathbb{D}, X^*)} = \|\psi_n - \psi_m\|_{\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*)}$. Donc $(\psi_n)_{n \ge 1}$ converge dans $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*)$ vers une fonction $\psi$ et $u = (P \otimes I_{X^*})\psi$, ce qui achève la preuve. □

**THÉORÈME 2.11.** — Soient $V : X \to Y$ un opérateur borné et $1 < p < \infty$. Supposons que $V^* : Y^* \to X^*$ est un opérateur de Radon-Nikodym analytique. Alors

a) l'opérateur $I \otimes V^* : \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*) \to \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*)$ est aussi un opérateur de Radon-Nikodym analytique.

b) Si de plus $Y^*$ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible, l'opérateur $I \otimes V^* : h^p(\mathbb{D}, Y^*) \to h^p(\mathbb{D}, X^*)$, $1 < p < \infty$, est aussi un opérateur de Radon-Nikodym analytique.

En particulier, si $Y^*$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique, $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$ la conserve ; $h^p(\mathbb{D}, Y^*)$ la conserve si de plus $Y^*$ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible.

On sait que si un Banach $X$ a la propriété de Radon-Nikodym analytique, $L^p(\mathbb{T}, X)$, $1 \le p < \infty$, la conserve $[\text{Do}_1]$ $[\text{RaS}]$.

*Démonstration.* — a) Soit $\varphi \in H^p(\mathbb{D}, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*))$. Il s'agit de montrer que $(I_{H^p} \otimes I \otimes V^*)\varphi$ admet pour presque tout $\theta \in \mathbb{T}$ une limite radiale $\alpha$ où $\alpha \in H^p(\mathbb{T}, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*))$. L'argument est similaire à celui du rappel c), en un peu plus compliqué.

Par les théorèmes de Fubini, Fatou et la croissance des moyennes des fonctions sous harmoniques,

$$ 
\begin{align} 
\|\varphi\|_{H^p(\mathbb{D}, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*))} &= \sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \left[ \int_{\mathbb{T}} \|\varphi(re^{i\theta}, t)\|_{Y^*}^p dt \right] d\theta \nonumber \\
&= \sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \left[ \int_{\mathbb{T}} \|\varphi(re^{i\theta}, t)\|_{Y^*}^p d\theta \right] dt \nonumber \\
&\ge \int_{\mathbb{T}} \liminf_r \left[ \int_{\mathbb{T}} \|\varphi(re^{i\theta}, t)\|_{Y^*}^p d\theta \right] dt \nonumber \\
&= \int_{\mathbb{T}} \sup_r \left[ \int_{\mathbb{T}} \|\varphi(re^{i\theta}, t)\|_{Y^*}^p d\theta \right] dt. \tag{2.9}
\end{align} 
$$

Pour presque tout $t$, $\sup_r[\int_{\mathbb{T}} \|\varphi(re^{i\theta}, t)\|_{Y^*}^p d\theta$ est donc fini et ainsi $\varphi(., t)$ est dans $H^p(\mathbb{D}, Y^*)$.
Par l'hypothèse sur $V^*$, pour un tel $t$, pour presque tout $\theta \in \mathbb{T}$, il existe
$\alpha(\theta, t)$ tel que $\alpha(., t) \in H^p(d\theta, X^*)$ et

$$
\|V^* \varphi(re^{i\theta}, t) - \alpha(\theta, t)\|_{X^*} \xrightarrow{r \to 1} 0. \qquad (2.10)
$$

La fonction $\|\alpha(.,.)\|_{X^*}$ est donc mesurable car limite p.s. sur $\mathbb{T}^2$ de
$\|V^*\varphi(r.,.)\|_{X^*}$. D'autre part, (2.4) appliqué à $V^*\varphi(.,t) \in H^p(\mathbb{D}, X^*)$ et
(2.9) impliquent

$$
\begin{align*}
\iint \sup_r \|V^* \varphi(re^{i\theta}, t)\|_{X^*}^p d\theta dt &= \iint \left[ \sup_r \|V^* \varphi(re^{i\theta}, t)\|_{X^*}^p d\theta \right] dt \\
&\le C_p^p \iint \sup_r \left[ \int \|V^* \varphi(re^{i\theta}, t)\|_{X^*}^p d\theta \right] dt \\
&\le C_p^p \|V^*\|^p \|\varphi\|_{H^p(\mathbb{D}, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*))}^p .
\end{align*}
$$

Alors, par (2.10), la fonction $\|\alpha(.,.)\|_{X^*} \le \sup_r \|V^*\varphi(r.,.)\|_{X^*}$ est dans $L^p(\mathbb{T}^2)$ ; par (2.10) et le théorème de convergence dominée

$$
\begin{align}
& \iint \|V^* \varphi(re^{i\theta}, t) - \alpha(\theta, t)\|_{X^*}^p dt d\theta \nonumber \\
& = \iint \left[ \int \|V^* \varphi(re^{i\theta}, t) - \alpha(\theta, t)\|_{X^*}^p dt \right] d\theta \xrightarrow[r \to 1]{} 0. \tag{2.11}
\end{align}
$$

Donc il existe une sous suite $r_n \to 1$ telle que, pour presque tout $\theta$,

$$
\int \|V^* \varphi(r_n e^{i\theta}, t) - \alpha(\theta, t)\|_{X^*}^p dt \to_0 0.
$$

Comme $(V^*\varphi)(r.,.) \in H^p(d\theta, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*))$, on en déduit que la fonction $\theta \to \alpha(\theta,.)$ est fortement mesurable : $(\mathbb{T}, d\theta) \to \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*))$. Alors (2.11) implique que $\alpha$ est dans $H^p(d\theta, \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, X^*))$, et c'est bien la limite radiale cherchée.

b) Si $Y^*$ a la propriété de de Radon-Nikodym préfaible, le lemme 2.10 permet de remplacer $\mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$ par $h^p(\mathbb{D}, Y^*)$ dans le résultat de a). $\square$

3. La propriété de Kadec-Klee-β − ω dans VBp(G, X)

Dans [DL], la topologie sur $C(\mathbb{D}, X)$ de la convergence en norme dans $X$,
uniformément sur tout compact de $\mathbb{D}$, est notée $\beta$. La remarque suivante
est mentionnée sans preuve (et non exploitée) dans [DZS, p. 276].

LEMME 3.1. — *Sur les parties bornées de h<sup>p</sup>(D, X), 1 < p ≤ ∞, la topologie β coincide avec la topologie de la convergence simple.*
Démonstration. — a) Toute $u \in h^p(\mathbb{D}, X)$ peut être vue dans $h^p(\mathbb{D}, Y^*)$, où $Y \subset X^*$ est un sous espace fermé séparable, normant pour l'ensemble séparable $u(\mathbb{D}) \subset X$. Par le rappel e) il existe $f \in \mathcal{L}^p(\mathbb{T}, Y^*)$, de même norme que $u$, telle que $u(z) = \int_{\mathbb{T}} f(t)P_z(t)dt$, d'où

$$ \|u(z) - u(z')\|_{X} \le \|u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} \|P_z - P_{z'}\|_{C(\mathbb{T})}. \quad (3.1) $$

b) Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite de fonctions $\mathbb{D} \to X$, uniformément bornée par $C$ en norme $h^p(\mathbb{D}, X)$, vérifiant $\|u_n(z) - u(z)\|_X \to 0$, $z \in \mathbb{D}$.

Vérifions que $\|u_n(z) - u(z)\|_X \xrightarrow{n \to \infty} 0$ uniformément sur tout compact $K \subset \mathbb{D}$.

L'application $z \to P_z$, $\mathbb{D} \to C(\mathbb{T})$ étant continue, l' image du compact $K$ par cette application est compacte dans $C(\mathbb{T})$. Pour tout $\varepsilon > 0$, cette image est recouverte par des boules $B_i = \{P_z; z \in K, \|P_z - P_{z_i}\|_{C(\mathbb{T})} < \varepsilon\}$, où $z_i \in K$, et $i \le m$. D'autre part il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $n \ge n_0$, et tout $i \le m$ $\|u_n(z_i) - u(z_i)\| < \varepsilon$. Soit $z \in K$ tel que $P_z \in B_{i_0}$. Pour $n \ge n_0$, d'après (3.1),

$$ \begin{aligned} & \|u_n(z) - u(z)\|_X \\ & \le \|u_n(z_{i_0}) - u(z_{i_0})\|_X + \|u_n(z) - u_n(z_{i_0})\|_X + \|u(z_{i_0}) - u(z)\|_X \\ & \le \varepsilon(1 + 2C). \quad \square \end{aligned} $$

PROPOSITION 3.2. — Soit $X$ un espace de Banach et $1 < p < \infty$. Si $h^p(\mathbb{D}, X)$ est un espace LUR, alors il a la propriété Kadec–Klee–$\beta$–$\|\cdot\|$.

Démonstration. — Il s'agit de voir que, si une suite $(u_n)_{n \ge 0}$ converge simplement vers $u$, avec $\|u_n\|_{h^p(\mathbb{D},X)} = \|u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} = 1$ pour tout $n$, alors $\|u_n - u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. Par définition de la propriété LUR il suffit de montrer que $\lim_{n \to +\infty} \|u_n + u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} = 2$. Comme $\|u_n + u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} \le 2$, il suffit de montrer que $\lim_{n \to +\infty} \|u_n + u\|_{h^p(\mathbb{D},X)} \ge 2$.

Par le lemme 3.1, $u_n \to u$ uniformément sur $C_r = \{z \in \mathbb{D}, |z| \le r\}$. Pour $r \in ]0, 1[$, on a donc

$$ \begin{aligned} \underline{\lim}_{n \to +\infty} \|u_n + u\|_{h^p(D,X)}^p & \ge \lim_{n} \int_{\mathbb{T}} \|u_n(re^{it}) + u(re^{it})\|^p dt \\ & = 2^p \int_{\mathbb{T}} \|u(re^{it})\|^p dt, \end{aligned} $$

ce qui implique

$$ \underline{\lim}_{n \to +\infty} \|u_n + u\|_{h^p(D,X)}^p \ge 2^p \sup_{0<r<1} \int_{\mathbb{T}} \|u(re^{it})\|^p dt = 2^p. \quad \square $$
Rappelons que

a) $h^p(\mathbb{D}, X)$ est un espace LUR si et seulement si $X$ a les propriétés de Radon-Nikodym et LUR [DZS, theorem 3.8], c'est-à-dire si et seulement si $h^p(\mathbb{D}, X) = (P \otimes I)L^p(\mathbb{T}, X)$ et $X$ est LUR.

b) $h^p(\mathbb{D}, X)$ a la propriété Kadec-Klee – $\beta = \|\cdot\|$ si et seulement si $X$ a la propriété de Radon-Nikodym et, pour tout point $x$ de la sphère unité de $X$ et tout $\varepsilon$, $x$ n'est pas adhérent en norme à $\text{Co}(B_X \setminus \overline{B}(x, \varepsilon))$ [DZS, theorem 3.7], c'est-à-dire si et seulement si $X$ a cette dernière propriété et $h^p(\mathbb{D}, X) = (P \otimes I)L^p(\mathbb{T}, X)$.

Soient $G$ un groupe abélien compact métrisable, $X$ un espace de Banach, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. $L^{p+}(G)$ désigne le cône des fonctions de $L^p(G)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$.

Alors [Din] $VB^p(G, X)$, $1 < p \le +\infty$, désigne l'espace des opérateurs $T : L^q(G) \to X$, tels qu'il existe $g^T \in L^{p+}(G)$, vérifiant

$$ \|Tf\|_{X} \le \int_{G} |f(t)| g^{T}(-t)dt, f \in L^{q}(G), \quad (3.2) $$

avec la norme

$$ \|T\|_{VB^p(G,X)} = \inf \{ \|g^T\|_{L^p} \}. $$

$VB^1(G, X)$ est défini de façon analogue en remplaçant $L^q(G)$ par $C(G)$.

$VB^\infty(G, X)$ coincide avec l'espace des opérateurs bornés : $L^1(G) \to X$ et $VB^1(G, X)$ avec l'espace des opérateurs 1-sommant : $C(G) \to X$.

$L^p(G, X)$ s'identifie isométriquement à un sous espace fermé de $VB^p(G, X)$ [Bl₁, corollary 4].

$VB^p(G, X^*)$ est le dual de $L^q(G, X)$, $1 < p \le \infty$ [Din], $VB^1(G, X^*)$ est le dual de $C(G, X)$.

Le lemme suivant améliore [Bl, theorem 2.1] (qui obtient seulement un isomorphisme).

**LEMME 3.3.** — $VB^p(\mathbb{T}, X)$ est isométriquement isomorphe à $h^p(\mathbb{D}, X)$, $1 < p \le \infty$, par l'application : $T \to u^T$ où la fonction $u^T : \mathbb{D} \to X$ est définie par $u^T(z) = T(P_z)$, $z \in \mathbb{D}$.
*Démonstration*. — Soit $T \in VB^p(\mathbb{T}, X)$ associé à $g^T \in L^{p+}(G)$ vérifiant (3.2). La fonction $u^T$ vérifie, pour $z = re^{i\theta} \in \mathbb{D}$,

$$ \|u^T(z)\|_X \le \int_{\mathbb{T}} P_z(t)g(t)dt = g * p_r(\theta). $$

De plus $u(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} r^{|n|} e^{in\theta} T(e^{-in\cdot})$ et $\|T(e^{-in\cdot})\|_X \le \|\hat{g}^T\|_{\infty} \le \|g^T\|_{L^p(G)}$.

Donc $u^T$ est harmonique et $\|u^T\|_{h^p(\mathbb{D}, X)} \le \|T\|_{VB^p(\mathbb{T}, X)}$, $1 \le p \le \infty$.

Réciproquement, d'après (2.2) et l'identification entre $h^p(\mathbb{D})$ et $L^p(\mathbb{T})$, toute $u \in h^p(\mathbb{D}, X)$, $1 < p \le \infty$, vérifie, pour $x^* \in X^*$,

$$ \langle u(z), x^* \rangle = \int_{\mathbb{T}} \lim_{r \to -1} \langle u(re^{it}), x^* \rangle P_z(t)dt, \quad z \in \mathbb{D}. $$

Posons

$$ T_u\left(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i P_{z_i}\right) = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i u(z_i), \quad \alpha_i \in \mathbb{C}, z_i \in \mathbb{D}, $$

puis $g(t) = \varliminf_r \|u(re^{it})\|_X$ si $1 < p < \infty$ et $g(t) = \sup_r \|u(re^{it})\|_X$ si $p = \infty$. Directement si $p = \infty$, par le lemme de Fatou sinon,

$$ \|g\|_{L^p(\mathbb{T})} \le \sup_r \|u_r\|_{L^p(\mathbb{T})} = \|u\|_{h^p(\mathbb{D}, X)}, \quad 1 < p \le \infty. $$

Alors, si $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$,

$$ \left\| T_u \left( \sum_{i=0}^{n} \alpha_i P_{z_i} \right) \right\|_X = \sup_{\|x^*\|=1} \left| \int_{\mathbb{T}} \sum_{i=0}^{n} \alpha_i P_{z_i}(t) \lim_{r \to -1} \langle u(re^{it}), x^* \rangle dt \right| \\ \le \int_{\mathbb{T}} \left| \sum \alpha_i P_{z_i}(t) \right| g(t) dt. $$

Comme l'ensemble $\{P_z; z \in \mathbb{D}\}$ est total dans $L^q(\mathbb{T})$, on a $\|T_u\|_{VB^p(G,X)} \le \|u\|_{h^p(\mathbb{D},X)}$, ce qui termine la preuve. $\square$

Pour $\Lambda \subset \Gamma$ (le groupe dual de $G$) désignons par

$$ L_{\Lambda}^{p}(G, X) = \left\{ f \in L^{p}(G, X); \int_{G} \overline{\lambda(t)} f(t) dt = 0, \forall \lambda \notin \Lambda \right\}, $$

et par $VB_{\Lambda}^p(G, X)$ l'espace des éléments $T \in VB^p(G, X)$, tels que $T(\bar{\lambda}) = 0$, pour tout $\bar{\lambda} \notin \Lambda$.

Rappelons qu'il existe une suite $(K_n)_{n \ge 0}$ de norme 1 dans $L^1(G)$, telle que, pour toute $f \in C(G)$, la suite $(f * K_n)_{n \ge 0}$ converge vers $f$ dans $C(G)$,
et pour toute $f \in L^p(G)$, on a la convergence dans $L^p(G)$, $p \in [1, +\infty[$. On peut choisir les $K_n$ symétriques.

Pour $T \in VB^p(G, X)$, $1 \le p \le \infty$, et $g \in L^1(G)$, on définit $T \ast g \in VB^p(G, X)$ par $(T \ast g)(f) = T(f \ast g)$, pour $f \in L^q(G)$ (resp. $C(G)$ si $p = 1$).

On aura besoin du lemme général suivant, qui est certainement bien connu :

**LEMME 3.4.** — Soient $X$ un espace de Banach et $E$ un sous espace fermé et préfaiblement dense de $X^*$. Alors il existe une constante $C$ telle que

$$ \|x\|_X \le C \sup_{\|e\|_E=1} |\langle x, e \rangle| = C \|x\|_{E^*} \le C \|x\|_X. $$

*Démonstration.* — L’isométrie $\|x\|_X = \sup_{\|x^*\|_{X^*}=1} |\langle x, x^* \rangle|$ implique immédiatement l’inégalité de droite. Soit $V : X \to E^*$ la contraction canonique. Montrons que $V^* : E^{**} \to X^*$ est surjective. Par hypothèse, tout $x^* \in X^*$ est limite préfaible d’une suite généralisée $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ dans $E$. Par le théorème de Banach-Steinhaus, cette famille est bornée dans $X^*$ donc dans $E$. Par le théorème de Banach-Alaoglu, elle admet une valeur d’adhérence préfaible $e^{**}$ dans $E^{**}$, qui coincide nécessairement avec $x^*$ sur $V(X)$, donc $x^* = V^*(e^{**})$. Alors, par le théorème de l’application ouverte, il existe une constante $C > 0$ telle que tout $x^*$ dans la boule unité de $X^*$ provient d’un $e^{**}$ dans la boule de rayon $C$ de $E^{**}$. D’où

$$ \|x\|_X = \sup_{\|x^*\|_{X^*} < 1} |\langle x, x^* \rangle| \le \sup_{\|e^{**}\|_{E^{**}} < C} |\langle x, V^*(e^{**}) \rangle| \le C \|V(x)\|_{E^*}. \quad \square $$

**LEMME 3.5.** — Soient $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$. On note

$$ \begin{align*} Y_p &= L_{\Lambda_1}^p(G, X)/L_{\Lambda_2}^p(G, X), \\ W_p &= VB_{\Lambda_1}^p(G, X)/VB_{\Lambda_2}^p(G, X), \\ Z_q &= L_{\Lambda_2}^q(G, X^*)/L_{\Lambda_1}^q(G, X^*), \end{align*} $$

ces espaces étant munis des normes quotients. Alors

a) $[D_1] Y_p$ s'identifie isométriquement à un sous espace de $W_p$, $1 \le p \le \infty$.

b) $W_p$, $1 < p \le \infty$, est isomorphe à un sous espace de

$$ Z_q^* = VB_{\Lambda_1}^p(G, X^{**})/VB_{\Lambda_2}^p(G, X^{**}), \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. $$
*Démonstration*. — a) est prouvé dans [D<sub>1</sub>, lemme 3] et, si $\Lambda_2 = \emptyset$, dans [Bl<sub>1</sub>, corollary 4].

b) D'après le lemme 3.4, il suffit de voir que $Z_q$ est isométrique à un sous espace préfaiblement dense de $W_p^*$.

Comme $VB_{\Lambda_1}^p(G, X)$ est inclus isométriquement dans $VB_{\Lambda_1}^p(G, X^{**})$, l'injection canonique $W_p \to Z_q^*$ est contractante. Par dualité, pour $z \in Z_q$, $\|z\|_{W_p^*} \le \|z\|_{Z_q}$. D'autre part, par a) appliqué à $Z_q$, $Z_q$ s'identifie isométriquement à un sous espace de $VB_{\Lambda_2}^q(G, X^{**})/VB_{\Lambda_1}^q(G, X^{**}) = Y_p^*$, donc, pour $z \in Z_q$, $\|z\|_{Z_q} \le \|z\|_{W_p^*}$.

Il reste à voir que si $[T] \in W_p$ est orthogonal à $Z_q$, alors $[T] = 0$. Soit $T \in VB_{\Lambda_1}^p(G, X)$ un représentant de $[T]$ ; il suffit de vérifier que $T \in VB_{\Lambda_2}^p(G, X)$. Soient un caractère $\chi$ dans $\Lambda_2^c$ et $g = \chi \otimes x^* \in L_{\Lambda_2^c}^q(G, X^*)$. Or par hypothèse $0 = \langle [T], [g] \rangle = \langle T, g \rangle$, ce qui achève la preuve. $\square$

Pour $f \in L^1(G, X)$ et $t \in G$, on définit la fonction $f_t = L^1(G, X)$ par $f_t(y) = f(y-t)$, pour presque tout $y \in G$. Pour $T \in VB^p(G, X)$, on définit $T_t = VB^p(G, X)$ par $T_t(f) = T(f_{-t})$, où $f \in L^q(G)$.

**On conserve dans la suite de cette partie les notations $Y_p, W_p, Z_q$ du lemme 3.5**

**LEMME 3.6.** — Soit $[T] \in W_p$. L'application $t \to [T_t]$, $G \to W_p$ est fortement mesurable si et seulement si elle est faiblement continue ; alors $[T] \in Y_p$, $1 \le p < +\infty$.

La démonstration est analogue à celle de [D<sub>1</sub>, théorème 2] qui traite le cas $\Lambda_2 = \emptyset$.

**DÉFINITION 3.7.** — a) La topologie $\beta$ sur $VB^p(G, X)$, $1 < p \le \infty$, est la topologie forte des opérateurs: $L^q(\mathbb{T}) \to X$, $\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$. Si $p = 1$, on remplace $L^q(G)$ par $C(G)$).

b) On note $\beta'$ la topologie sur $W_p$ quotient de la topologie $\beta$ sur $VB_{\Lambda_1}^p(G, X)$.

c) L'espace $W_p$, muni d'une norme $\|\cdot\|'$ équivalente à sa norme quotient naturelle, a la propriété de Kadec-Klee-$\beta' - \|\cdot\|$ (resp. $\|\cdot\|' - \beta' - w$) si toute suite de $W_p$, de norme 1 pour $\|\cdot\|'$, qui converge pour $\beta'$ vers un élément de $W_p$ de norme 1 pour $\|\cdot\|'$, converge en norme (resp. faiblement).
Comme auparavant on peut montrer que, si $T_n(f) \underset{n \to +\infty}{\to} T(f)$ pour toute $f \in L^q(\mathbb{T})$, alors $T_n \underset{n \to +\infty}{\to} T$ uniformément sur tout compact de $L^q(\mathbb{T})$.

La topologie $\beta$ est métrisable sur les ensembles bornés de $VB^p(G, X)$.

D'après les lemmes 3.1 et 3.3, les propriétés de Kadec-Klee – $\beta$ – $\|\cdot\|$ (resp. $\beta - \omega$) pour $h^p(\mathbb{D}, X)$ et $VB^p(\mathbb{T}, X)$ se correspondent.

**PROPOSITION 3.8.** — Si $W_p$ a la propriété Kadec-Klee – $\|\cdot\|' - \beta' - \omega$ pour une norme équivalente $\|\cdot\|'$ invariante par translation, alors $W_p = Y_p$, $1 < p < +\infty$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$.

*Démonstration.* — Il suffit de montrer que, si $T \in VB_{\Lambda_1}^p(G, X)$ et $\|[T]\|' = 1$, alors $[T] \in Y_p$. D'après le lemme 3.6, il suffit de montrer que l'application $t \to [T_t]$ est faiblement continue : $G \to W_p$. Soit $(t_n)_{n \ge 0}$ une suite dans $G$, convergeant vers $t \in G$. Comme $T_{t_n} \underset{n \to \infty}{\to} T_t$ pour la topologie $\beta$, $[T_{t_n}] \to [T_t]$ pour la topologie $\beta'$. La propriété de Kadec-Klee – $\|\cdot\|' - \beta' - \omega$ assure que $[T_{t_n}] \to [T_t]$ faiblement dans $W_p$. $\square$

On peut de la même façon définir un opérateur $V$ de Kadec-Klee – $\beta' - \omega : W_{p,X} \to W_{p,Y}$ et montrer de même que son image est dans $L_{\Lambda_1}^p(G,Y)/L_{\Lambda_2}^p(G,Y)$.

**COROLLAIRE 3.9.** — Si $h^p(\mathbb{D}, X)$, $1 < p < \infty$, a la propriété de Kadec-Klee – $\beta - \omega$, alors $X$ a la propriété de Radon-Nikodym, c'est-à-dire $h^p(\mathbb{D}, X) = (P \otimes I)L^p(\mathbb{T}, X)$.

Cela entraîne le résultat analogue de [DL, proposition 2.2] (complété dans [DZS, theorem 3.7] comme on l'a vu après la proposition 3.2) où $h^p(\mathbb{D}, X)$ est supposé avoir la propriété Kadec-Klee – $\beta - \omega$.

*Preuve.* — Par la proposition 3.8 et le lemme 3.3, l'hypothèse implique $VB^p(\mathbb{T}, X) = L^p(\mathbb{T}, X)$. A nouveau par le lemme 3.3, pour toute $u \in h^p(\mathbb{D}, X)$ il existe $f \in L^p(\mathbb{T}, X)$ telle que $u = (P \otimes I_X)f$. On conclut par le rappel $f)$. $\square$

On peut maintenant généraliser la proposition 3.2 :

**PROPOSITION 3.10.** — Supposons que $W_p$, muni de la norme induite par $Z_q^*$, est LUR (resp. $\omega$-LUR), $1 < p < +\infty$. Alors

i) $W_p$ a la propriété de Kadec-Klee $\beta' - \|\cdot\|_{Z_q^*}$ (resp. $\|\cdot\|_{Z_q^*} - \beta' - w$).

ii) $W_p = Y_p$.
*Démonstration.* — D'après le lemme 3.5, $W_p$ est bien un espace de Banach pour la norme (invariante par translation) induite par $Z_q^*$.

i) Soient $[T_n]$, $[T]$ dans la sphère unité de $(W_p, \|\cdot\|_{Z_q^*})$ tels que $[T_n] \to [T]$ pour la topologie $\beta'$. En particulier, $[T_n] \to [T]$ préfaiblement dans $Z_q^*$. Donc, pour tout $z \in Z_q$, l'application : $[S] \to \langle[S], z\rangle$ est continue sur la sphère unité de $W_p$ munie de $\beta'$. Donc l'application : $[S] \to \|[S]\|_{Z_q^*}$ est semi-continue inférieurement sur cette sphère munie de $\beta'$. Alors

$$ 
\begin{aligned}
2 &\ge \overline{\lim_{n \to +\infty}} \|[T_n] + [T]\|_{Z_q^*} \ge \lim_{n \to +\infty} \|[T_n] + [T]\|_{Z_q^*} \\
&\ge \|[T] + [T]\|_{Z_q^*} = 2 \quad \|[T]\|_{Z_q^*} = 2.
\end{aligned}
$$

Donc $\|[T_n] + [T]\|_{Z_q^*} \to_{n \to \infty} 2$. Comme l'espace $(W_p, \|\cdot\|_{Z_q^*})$ est LUR (resp. $\omega - LUR$), $[T_n] \to_{n \to \infty} [T]$ en norme (resp. faiblement), d'où la propriété annoncée.

ii) résulte de i) et de la proposition 3.8. □

## 4. La propriété $I - \Lambda - CCP$ et la propriété $I - \Lambda - RNP$

Cette partie complète $[D_2]$. G désigne toujours un groupe abélien compact métrisable muni de sa mesure de Haar $dt$. Pour $g \in C(G)$, on note $\nu(g(t)) = g(-t)$. La dualité entre $C(G)$ et l'espace $M(G)$ des mesures finies sur $G$ est définie par

$$ \langle g, \mu \rangle = \int_G g(-t)d\mu(t), g \in C(G). $$

$M(G, X)$ désigne l'espace des mesures $\nu$ définies sur les boréliens de $G$, à valeurs dans $X$, dont la variation $|\nu|$ est dans $M(G)$. Cet espace, normé par $\|\nu\|_{M(G)}$, s'identifie isométriquement à $VB^1(G, X)$ en posant $T(f) = \int f d\nu, f \in C(G)$ [DU, chap VI, theorem 3.3].

$M^\infty(G, X)$ est le sous espace de $M(G, X)$ formé des mesures $\nu$ telles que $\|\nu(A)\|_X \le C_\nu \int_A dx$ pour tout borélien $A \subset G$. Cet espace, normé par $\|\nu\|_{M^\infty(G, X)} = \inf C_\nu$, s' identifie isométriquement à l'espace $VB^\infty(G, X)$ des opérateurs bornés : $L^1(G) \to X$ en posant $T(1_A) = \nu(A)$.

**DÉFINITION 4.1.** — [RS] Un espace de Banach $X$ a la propriété $I - \Lambda - CCP$ si, pour toute mesure $\nu \in M_\Lambda^\infty(G, X)$, l'ensemble $\{\nu(A) ; A \subset G \text{ borélien}\}$ est relativement compact dans $X$.
Cette condition est équivalente à la suivante [DU, chap. VI, theorem 2-18] : tout opérateur $T \in VB_\Lambda^\infty(G, X)$ est compact : $C(G) \to X$.

**PROPOSITION 4.2.** — Soient $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$, tels que $\Lambda_1 \setminus \Lambda_2 = \{\lambda_n; n \in \mathbb{N}\}$ est un ensemble infini. S'il existe $\mu \in M_{\Lambda_2^c}(G)$ vérifiant $\hat{\mu}(\lambda_j) \xrightarrow{j \to +\infty} 0$, alors $Z = L_{\Lambda_2^c}^1(G)/L_{\Lambda_1^c}^1(G)$ n'a pas la propriété $I - \Lambda_1 \setminus \Lambda_2 - CCP$.

*Démonstration.* — L'opérateur $T_\mu : C(G) \to Z$, défini par $T_\mu(g) = [\mu * g]$, se prolonge en opérateur : $L^1(G) \to Z$, de norme $\le \|\mu\|_{M(G)}$. Donc $T_\mu$ est dans $VB^\infty(G, Z)$. Vérifions que $T_\mu(\bar{\lambda}) = 0$ si $\lambda \notin \Lambda_1 \setminus \Lambda_2$. Soit $\lambda \in \Lambda_1^c \cup \Lambda_2$. Pour $\alpha \in \Lambda_1$

$$ \int_G (\mu * \lambda(t)) \bar{\alpha}(t) dt = \left[ \int_G \lambda(t) \bar{\alpha}(t) dt \right] \left[ \int_G \bar{\lambda}(y) d\mu(y) \right] = 0, $$
donc $\mu * \lambda \in L_{\Lambda_1^c}^1(G)$ et $[\mu * \lambda] = 0$.

Supposons que $Z$ a la propriété $I - \Lambda_1 \setminus \Lambda_2 - CCP$. Alors $T \in VB_{\Lambda_1 \setminus \Lambda_2}^\infty(G, Z)$ est compact : $C(G) \to Z$, donc la suite $T(\bar{\lambda}_j) = [\mu * \lambda_j] = \mu(\lambda_j) [\lambda_j]$ admet une sous suite convergente en norme dans $Z$. Cela implique $\mu(\lambda_j) \xrightarrow{j \to \infty} 0$, ce qui est contraire à l'hypothèse. $\square$

Le corollaire suivant correspond au cas $\Lambda_2 = \emptyset$, en prenant pour $\mu$ la mesure du Dirac en un point de $G$.

**COROLLAIRE 4.3.** — [RS, proposition 4.6] Si $L^1(G)/L_{\Lambda^c}^1(G)$ a la propriété $I - \Lambda - CCP$, alors $\Lambda$ est fini.

**DÉFINITION 4.4.** — $\Lambda \subset \Gamma$ est un ensemble de Riesz si $M_\Lambda(G) = L_\Lambda^1(G)$.

On sait que $\Lambda$ est un ensemble de Riesz si et seulement si $L_\Lambda^1(G)$ a la propriété de Radon-Nikodym ; si de plus l'espace $X$ a la propriété de Radon-Nikodym, $M_\Lambda(G, X) = L_\Lambda^1(G, X)$ [LP].

**DÉFINITION 4.5.** — *Un espace de Banach X a la propriété*

* $I - \Lambda - RNP$ si $M_\Lambda^\infty(G, X) = L_\Lambda^\infty(G, X)$ [Do] [E].

* de Radon-Nikodym relative $RN - \Lambda_1 - \Lambda_2$ (où $\Lambda_2 \subset \Lambda_1$) si

$$ M_{\Lambda_1}^{\infty}(G, X)/M_{\Lambda_2}^{\infty}(G, X) = L_{\Lambda_1}^{\infty}(G, X)/L_{\Lambda_2}^{\infty}(G, X). $$
La propriété $I - \Lambda - RNP$ entraîne la propriété $I - \Lambda - CCP$. Les deux propriétés coincident si $\Lambda$ est un ensemble de Riesz et si $X$ est un treillis ; $X$ possède alors ces propriétés si et seulement s'il ne contient pas $c_0$ [RS, theorem 2.5].

**PROPOSITION 4.6.** — Soient $\Lambda_2 \subset \Lambda_1 \subset \Gamma$. Si $Z = L_{\Lambda_2}^1(G)/L_{\Lambda_1}^1(G)$ a la propriété $I - (\Lambda_1 \setminus \Lambda_2) - RNP$, alors

$$M_{\Lambda_2^c}(G)/M_{\Lambda_1^c}(G) = L_{\Lambda_2^c}^1(G)/L_{\Lambda_1^c}^1(G).$$

Cette proposition est montrée à l'étape 1 de la preuve de [D₂, théorème 4.2] lorsque $\Lambda_2 = \emptyset$. La preuve ici est analogue en remplaçant $\mu \in M(G)$ par $\mu \in M_{\Lambda_2^c}(G)$ et $\Lambda$ par $\Lambda_1$.

**COROLLAIRE 4.7.** — *Sous les hypothèses de la proposition 4.6,*

a) si $\Lambda_1^c$ est un ensemble de Riesz, $\Lambda_2^c$ est un ensemble de Riesz

b) si $\Lambda_2$ est fini, $\Lambda_1$ est fini.

Si $\Lambda_2 = \emptyset$, b) n'est autre que [D₂, théorème 4.2].

*Démonstration.* — D'après la proposition 4.6 on a $Z = M_{\Lambda_2^c}(G)/M_{\Lambda_1^c}(G)$, en particulier ce dernier espace est séparable.

a) Si $\Lambda_1^c$ est un ensemble de Riesz

$$M_{\Lambda_2^c}(G)/M_{\Lambda_1^c}(G) = M_{\Lambda_2^c}(G)/L_{\Lambda_1^c}^1(G) = L_{\Lambda_2^c}^1(G)/L_{\Lambda_1^c}^1(G),$$

donc $M_{\Lambda_2^c}(G) = L_{\Lambda_2^c}^1(G)$.

b) Comme $C_{\Lambda_2}(G)$ est de dimension finie, $W = C_{\Lambda_1}(G)/C_{\Lambda_2}(G)$ est isomorphe à un sous espace de codimension finie de $C_{\Lambda_1}(G)$. Comme $W^* = M_{\Lambda_2^c}(G)/M_{\Lambda_1^c}(G)$ est séparable, $(C_{\Lambda_1}(G))^*$ l'est aussi, ce qui est impossible si $\Lambda_1$ est infini. En effet, il existe alors un ensemble de Sidon $\Lambda' \subset \Lambda_1$, donc $C_{\Lambda'}(G)^* = l^\infty$ ; or c'est un quotient de $C_{\Lambda_1}(G)^*$. $\square$

**PROPOSITION 4.8.** — *L'hypothèse de la proposition 4.6 est satisfaite si $Z$ a les propriétés $I - \Lambda_2 - RNP$ et de Radon-Nikodym relative $RN - (\Lambda_1 - \Lambda_2)$.*

*Démonstration.* — Il suffit de montrer que $M_{\Lambda_1}^\infty(G, Z) = L_{\Lambda_1}^\infty(G, Z)$.
Soit $T \in M_{\Lambda_1}^{\infty}(G, Z)$ ; comme $Z$ a la propriété $RN - (\Lambda_1 - \Lambda_2)$, $[T] \in M_{\Lambda_1}^{\infty}(G, X)/M_{\Lambda_2}^{\infty}(G, X)$ est dans $W = L_{\Lambda_1}^{\infty}(G, Z)/L_{\Lambda_2}^{\infty}(G, Z)$. D'après [P, proposition 1.2] il existe une sélection continue

$$
S : W \to L_{\Lambda_1}^{\infty}(G, Z),
$$

telle que l'image par $S$ de la boule unité de $W$ est incluse dans deux fois
la boule unité de $L_{\Lambda_1}^{\infty}(G, Z)$. Alors $S[T] - T$ appartient à $M_{\Lambda_2}^{\infty}(G, Z)$, donc
à $L_{\Lambda_2}^{\infty}(G, Z)$ puisque $Z$ a la propriété $I - \Lambda_2 - RNP$. Finalement $T \in$
$L_{\Lambda_1}^{\infty}(G, Z)$. $\square$

**Remerciement.** — Je remercie chaleureusement F.Lust-Piquard pour
le temps qu'elle m'a consacré lors de la réalisation de ce travail. Ses conseils
m'ont parmis d'en simplifier le contenu.

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