# Sur le théorème de A. Harnack

J. Hadamard

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J. Hadamard. Sur le théorème de A. Harnack. Annales de l'ISUP, 1957, VI (3), pp.177-181. hal-04093368

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Submitted on 10 May 2023

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# SUR LE THÉORÈME DE A. HARNACK

par

## J. HADAMARD

(Collège de France, Ecole Polytechnique)

Je m'associe de tout coeur à l'hommage qui est rendu à la belle carrière scientifique de Paul Lévy et suis heureux de présenter, pour être insérée dans le volume qui lui sera dédié, la démonstration assez simple qui peut être donnée d'un résultat qui se montre utile dans la théorie des équations aux dérivées partielles.

On sait le rôle fondamental qui, dans la théorie des fonctions harmoniques, revient au célèbre théorème de A. Harnack :

Une série de fonctions harmoniques et positives dans un domaine $\mathcal{D}$, qui converge en un point intérieur $a$, converge par cela même en tout autre point intérieur, et cela uniformément dans tout domaine $\mathcal{D}'$ complètement intérieur à $\mathcal{D}$. Elle peut être différentiée terme à terme.

Il importait de savoir si une propriété aussi essentielle subsiste lorsque, au lieu de fonctions harmoniques, on considère des solutions d'une autre équation linéaire du second ordre et du type elliptique. La question a été étudiée et une réponse affirmative démontrée dans plusieurs traumas contemporains (1) (Le plus récent est une analyse délicate due à M. J. Serrin (2)).

Nous allons voir qu'on peut également y aboutir assez simplement en utilisant la résolution du problème de Dirichlet à l'aide de la théorie des équations intégrales.

1. Pour l'équation de Laplace ordinaire $\Delta u = 0$, on considère la solution du problème comme représentée par un potentiel de double couche $\int m \frac{d^2 u}{dS^2} dS$ et on a, pour déterminer le moment $m$ de la double couche, une équation intégrale

$$ (1) \qquad m(x) + \int_S K(x,y) m(y) dS_y = \Phi(x) \qquad (x \in S) $$

où, ici (pour le cas de trois variables) les $\Phi$ sont, au facteur $2\pi$ près, les valeurs données à la frontière, $K(x,y)$ étant $\frac{1}{2\pi} \frac{d^2}{dn_y^2}$

Pour résoudre des équations intégrales de cette espèce, deux méthodes successives ont été indiquées.

<footnote>(1) Lichtenstein. *Rend. Circ. Mat. Palermo*, T. XXXIII (1912), p. 201; Feller, *Math. Ann.*, T. CII (1930), p. 633. Bers and Nirenberg. *Convegno Internationale sulle Equazioni Derivate Parziali*, 1954, pp. 141-167.</footnote>

<footnote>(2) *Journal d'Analyse Mathématique*, T. IV (1955-1956), p. 292-308.</footnote>
Celle qui a été donnée par Liouville puis par C. Neumann revient, comme on le sait depuis Poincaré, à développer en série entière en $\lambda$

$$ (2) \qquad m_0 + \lambda m_1 + \dots + \lambda^p m_p + \dots, $$

(le premier terme n'étant autre que la donnée $\Phi$ et les suivants se déduisant les uns des autres par la formule de récurrence)

$$ (3) \qquad m_{p+1} = \int K(x,y) m_p(y) \, dS_y $$

la solution de l'équation qui se déduit de (1) par le changement de K en $\lambda K$.

La convergence de cette série dépend de la quantité (1)

$$ (4) \qquad J = \int |K(x,y)| \, dS_y $$

Elle est assurée jusqu'à $\lambda = 1$ si J est inférieur à 1 quel que soit x sur S.

Le procédé en question résoudrait donc le problème si une telle inégalité avait lieu dans le cas qui nous intéresse.

Mais ce n'est pas ce qui a lieu : la quantité (4) est égale et non inférieure à l'unité, de sorte que la convergence de la série (2), certaine pour $\lambda < 1$, ne l'est plus pour $\lambda = 1$ : difficulté à laquelle C. Neumann s'est occupé de remédier par un artifice bien connu.

On y échappe aujourd'hui par la méthode de Fredholm, en représentant l'inconnue non plus par une série entière en $\lambda$, mais par le quotient de deux séries entières toujours convergentes. Il suffit alors de s'assurer que la série dénominateur ne s'annule pas pour $\lambda = 1$, et c'est ce qui a été établi par Plemelj comme conséquence du fait que la solution, si elle existait, serait unique.

2. Voyons ce que deviennent ces différentes circonstances lorsque de l'équation $\Delta u = 0$ on passe à une autre équation du type elliptique (2)

$$ (\varepsilon) \qquad \mathcal{F}(u) = \sum A_h k \frac{\partial^2 u}{\partial x_h \partial x_k} + 2 \sum B_h \frac{\partial u}{\partial x_h} + C u = f(x_1, \dots, x_m) $$

en faisant l'hypothèse, fondamentale dans cette théorie, que le coefficient C est essentiellement négatif ou nul, moyennant laquelle le problème de Dirichlet ne peut admettre plus d'une solution. Le potentiel W qui remplacera dans ces conditions le potentiel de double couche classique sera le ''potentiel généralisé''

$$ W = \int m \frac{dv}{d\nu} \, dS $$

<footnote>(1) Comme nous nous placerons un peu plus loin dans des conditions où K sera positif, le signe $|$ pourra alors être supprimé.</footnote>

<footnote>(2) Sternberg, *Math. Zeitschr.* t. XXII (1924), pp. 286-311.</footnote>
en désignant par $v$ la solution élémentaire (1) analogue au potentiel élémentaire classique et par $\frac{d}{dv}$, en un point où la surface (ou hypersurface, ou courbe) S a un plan tangent de cosinus directeurs $\tilde{\gamma}_1, \tilde{\gamma}_2, \dots, \tilde{\gamma}_m$, la dérivation

$$ \frac{d}{dv} = \frac{1}{2} \sum A_{hk} (\delta_h \frac{\partial}{\partial x_k} + \delta_k \frac{\partial}{\partial x_h}) $$

Un tel potentiel subit en un point $\underline{a}$ de S des discontinuités tout analogues à celles qui affectent le potentiel de double couche classique : en désignant par $W_i, W_e, W_s$ les valeurs vers lesquelles il tend suivant qu'on s'approche de $\underline{a}$ par l'intérieur de $\mathcal{D}$, par l'extérieur (domaine complémentaire $\mathcal{D}'$) ou par un chemin situé sur S même, on a ($\bar{m}$ étant supposé continu en $\underline{a}$)

$$ (5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} W_i = W_e + \omega (a) \mathbf{m}(a) \\ W_s = W_e + \omega'(a) \mathbf{m}(a) \end{array} \right. $$

Le coefficient $\omega$ (a) est une intégrale (2)

$$ (6) \qquad (m-2) \int_{\Omega} \frac{d\Omega}{\mathcal{H}^{m/2}(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m; a)} $$

étendue à la sphère $\Omega$ de rayon 1 décrite par le point $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m)$: intégrale qui représente, pour une position quelconque de $a$ à l'intérieur de $\mathcal{D}$, l'intégrale

$$ (6') \qquad \int_S \frac{dv(x;a)}{dv_x} dS_x $$

$\omega'$, représentant l'intégrale analogue lorsque $a$ est sur $S$, n'est autre que l'intégrale (6), mais étendue cette fois seulement à un hémisphère, délimité par le plan diamétral tangent à $S$.

Or ce second coefficient est la moitié du précédent (2) ; autrement dit la discontinuité, lorsque $\underline{a}$, venant de $\mathcal{D}$, traverse S puis passe dans $\mathcal{D}'$, s'opère en deux temps égaux, comme dans le cas habituel.

La valeur de $W_i - W_s$, telle qu'elle résulte de (5), donne l'équation intégrale en $\mathbf{m}$ lorsque $\Phi = W$ est donné tout le long de $S$, savoir

$$ \mathbf{m}(x) = \frac{\Phi(x)}{\omega - \omega'} + \frac{1}{\omega - \omega'} \int \mathbf{m} \frac{dv(y; x)}{dv_y} dS_y $$

et le dénominateur $\omega - \omega'$ est, d'après ce que nous venons de voir, égal à $\omega'$.

Si, pour cette équation, nous voulons former la quantité (4), nous voyons que l'intégrale $\int K(x,y) dS$ est précisément, pour un point $\underline{x}$ pris

<footnote>(1) E.E. Levi, *Rendic. Circ. Mat. Palermo*, t. XXIV (1907), pp. 276-317.</footnote>

<footnote>(2) $\mathcal{H}(\alpha)$ est la forme métrique, forme quadratique réciproque de $\mathcal{A} = \sum A_{hk} \delta_h \delta_k$ ; sa valeur ne change donc pas si l'on remplace une direction $\alpha$ par la direction diamétralement opposée.</footnote>
sur S, ce que nous avons appelé $\omega'$. Il en résulte que, toujours comme dans le cas newtonien, la quantité J (où nous ne tenons pas compte du signe $|$ $|$) est identiquement égale à un.

Ainsi notre équation intégrale, avec introduction du paramètre $\lambda$ en facteur du terme intégral, peut se traiter par la méthode d'itération de Liouville-Neumann pour $0 < \lambda < 1$. Pour $\lambda = 1$, au contraire, il faut recou- rir à la méthode de Fredholm, donc s'assurer que le dénominateur de Fredholm n'est pas nul. Or à cet égard (1) la démonstration de Plemelj s'applique exactement comme dans le cas newtonien, étant donnée l'hypo- thèse que nous avons stipulée sur le coefficient C.

4. Prenons en particulier pour S, à l'intérieur de $\mathcal{D}$, une sphère. Nous allons montrer que, si cette sphère a été prise suffisamment petite, le noyau $\frac{dv}{dv}$ est positif sur toute sa surface.

On obtient pour ce noyau la valeur approchée

$$ \frac{m-2}{r^{m-1} \mathcal{H}^{m/2}(\alpha)} \cos(r, n) $$

moyennant les deux approximations suivantes :

On a réduit la solution élémentaire à sa partie principale $v_0 = 1/\Gamma_0^{\frac{m-2}{2}}$ et les dérivées premières de $v$ aux dérivées correspondantes de $v_0$, en désignant par $\Gamma_0$ la forme $\mathcal{H}(x_1 - a_1, x_2 - a_2, \dots, x_m - a_m)$.

On a aussi, en prenant la dérivée $\frac{dv}{dv}$, négligé le fait que les coefficients de la forme $\mathcal{H}$ sont fonctions des $x_i$.

Ces deux approximations n'altèrent la valeur obtenue que d'une quantité inférieure en valeur absolue à $q/r^{m-2}$, où $q$ sera un nombre indépendant des positions des points $x_i$ et $a_i$ sur S. L'erreur relative ainsi commise sera donc en général infiniment petite avec $r$.

Elle cessera de l'être lorsque les deux points pris sur la surface sphérique seront infiniment voisins. Mais le rayon R de la sphère pourra être pris assez petit pour que, même pour de tels points, notre valeur approchée l'emporte sur l'erreur $q/r^{m-2}$ : car le facteur positif $\cos(r, n)$ est égal à $r/2R$. On peut donc faire que non seulement la valeur approchée précédente, mais la valeur véritable du noyau, soient partout positives.

Dès lors, pour $\lambda < 1$, la solution sera forcément positive du moment qu'il en est ainsi pour le terme connu $\Phi$: car, dans la série (2) qui la fournit, les termes successifs seront tous positifs dans ces conditions.

5. Qu'il en soit de même quand $\lambda = 1$, c'est ce qui résulte de l'obtention de cette même solution par la méthode de Fredholm. La solution

<footnote>(1) Sternberg, loc. cit. p. 307.</footnote>
reste continue pour $\lambda = 1$, puisque nous savons que cette valeur de $\lambda$ n'annule pas le dénominateur. Ainsi :

Une solution de l'équation $(\varepsilon)$, positive dans toute une sphère de rayon suffisamment petit, y est représentable par une potentiel de double couche généralisée distribuée sur la surface avec un moment partout positif.

Ce résultat entraîne immédiatement celui que nous avions en vue : le rapport $u_b/u_a$ des valeurs que prend une même solution positive en deux points intérieurs donnés $\underline{a}, \underline{b}$ est nécessairement compris entre le minimum et le maximum du rapport $\frac{dv(x,b)}{dv_x} : \frac{dv(x,a)}{dv_x}$ lorsque x décrit S.

De même toutes les séries dérivées seront uniformément convergentes. D'étant un symbole de dérivation quelconque, le rapport $|D_a u| : u_a$ est borné par max. $|D_a \frac{dv}{dv}| : \frac{dv}{dv}$

6. Malgré la nécessité où nous avons été de prendre chaque sphère suffisamment petite, le résultat s'étend, comme dans le cas classique, à des positions quelconques des points $\underline{a}$ et $\underline{b}$, en introduisant une chaine de sphères dont la première contiendra à son intérieur le point $\underline{a}$, la dernière le point $\underline{b}$ et dont chacune sera sécante à la précédente.

La conclusion finale de Harnack en ressort également : une série dont les termes sont positifs et satisfont, dans le domaine (convexe) $\mathcal{D}$ à l'équation $(\varepsilon)$, si elle converge en un point $a$ intérieur à $\mathcal{D}$, converge en tout autre point intérieur, et cela uniformément dans tout domaine intérieur $\mathcal{D}$'; elle peut être dérivée terme à terme.