# Sur les ensembles quasi-connexes.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Varsovie).

1. Cette note contient la solution d'un problème qui m'a été communiqué par M. Sierpiński et qui se rattache étroitement à son mémoire: „*Sur les ensembles connexes et non connexes*<fnref n="1" />).

2. **Définition.** Un ensemble $A$ est quasi-connexe, si à tout point $p \subset A$ on peut faire correspondre un nombre $\lambda > 0$ de manière qu'il n'existe aucune décomposition $A = A_1 + A_2$, remplissant les conditions:

$$ (1) \qquad A_1 \times \bar{A}_2 = \bar{A}_1 \times A_2 = 0, $$

$$ (2) \qquad p \subset A_1; \quad \delta(A_1) < \lambda. $$

3. **Théorème:** Il existe un ensemble plan $A$ quasi-connexe et tel que tous deux points de $A$ sont séparés dans $A$.

L'ensemble $E$ de M. Sierpiński n'est pas quasi-connexe tout en possédant la propriété caractéristique des ensembles quasi-connexes en une infinité de points (ceux de l'ensemble $Q$). Nous allons construire l'ensemble cherché $A$ en partant de l'ensemble $E$, par une simple méthode de condensation, en conservant les notations de M. Sierpiński.

4. Nous dénoterons par $\Gamma(B)$ la projection orthogonale de l'ensemble plan $B$ sur l'axe d'abscisses.

5. $\Gamma(E)$ est parfait, non dense.

6. Une parallèle à l'axe des ordonnés rencontre l'ensemble $E$ en un point au plus. J'omets la démonstration facile de ces deux énoncés.

<footnote n="1">¹) Ce volume, p. 81 ss.</footnote>
7. Soit $0 < \alpha < 1$, $0 < \beta < 1$, $\varepsilon > 0$. Considérons la transformation :

$$
(3) \qquad x' = 2\varepsilon x + (\alpha - \varepsilon),
$$

$$
(4) \quad y' = \begin{cases} 2\beta y & y \le \frac{1}{2}, \\ 2(1-\beta)(y-1) + 1 & y \ge \frac{1}{2}, \end{cases}
$$

c'est évidement une transformation biunivoque et bicontinue du plan.

8. Cette transformation transforme une parallèle à l'axe des ordonnées — en une parallèle à l'axe des ordonnées; le rectangle $H_0 = R(0, 1, 0, 1)$ en $R(\alpha - \varepsilon, \alpha + \varepsilon, 0, 1)$; l'ensemble $E$ en un ensemble, que nous désignerons par $E(\alpha, \beta, \varepsilon)$; l'ensemble $\Gamma(E)$ en $\Gamma(E(\alpha, \beta, \varepsilon))$, enfin les points: $p_0$, $M(H_0)$, $N(H_0)$ en les points:

$$
x = \alpha, y = \beta; \quad x = \alpha, y = 0; \quad x = \alpha, y = 1
$$

respectivement. Nous désignerons ces points par : $p(\alpha, \beta)$, $M(\alpha)$, $N(\alpha)$.

9. D'après 5, 6 — $\Gamma(E(\alpha, \beta, \varepsilon))$ est parfait, non dense et toute parallèle à l'axe des ordonnées rencontre $E(\alpha, \beta, \varepsilon)$ en un point au plus.

10. Rangeons les points à deux coordonnées rationelles, intérieurs à $H_0$ en une suite $\{r_k\}$ $k=1, 2, \dots$ et désignons par $\xi_k, \eta_k$ — les coordonnées de $r_k$.

11. Formons deux suites: $\{\alpha_k\}$, $\{\varepsilon_k\}$ de manière suivante:

I. $\alpha_1 = \xi_1$; $\varepsilon_1$ — positif, inférieur aux nombres positifs $\xi_1$ et $1 - \xi_1$, — d'ailleurs quelconque,

II. Supposons $\alpha_n, \varepsilon_n$ déterminés pour $n=1, 2, \dots, k$. L'ensemble:

$$
(5) \qquad \sum_{n=1}^{k} \Gamma(E(\alpha_n, \eta_n, \varepsilon_n))
$$

est en vertu de 9 parfait non dense par rapport à l'axe des abscisses. On peut donc déterminer un nombre $\alpha_{k+1}$, n'appartenant pas à l'ensemble (5) et assujéti aux inégalités :

$$
(6) \qquad 0 < \alpha_{k+1} < 1,
$$

$$
(7) \quad \left| \xi_{k+1} - \alpha_{k+1} \right| \le \frac{1}{k+1}
$$

et un nombre $\varepsilon_{k+1}$ assujéti aux inégalités :

$$
(8) \quad 0 < \varepsilon_{k+1} \begin{cases} < \alpha_{k+1} \\ < 1 - \alpha_{k+1} \end{cases}
$$

et tel, que intervalle : $\alpha_{k+1} - \varepsilon_{k+1} \le x \le \alpha_{k+1} + \varepsilon_{k+1}$ ne contient aucun point de l'ensemble (5).
12. Posons:

$$ (9) \qquad A = \sum_{k=1}^{\infty} E(\alpha_k, \eta_k, \epsilon_k) $$

je dis que $A$ est l'ensemble cherché.

13. On a:

$$ (10) \quad E(\alpha_{k+1}, \eta_{k+1}, \epsilon_{k+1}) \subset R(\alpha_{k+1} - \epsilon_{k+1}, \alpha_{k+1} + \epsilon_{k+1}, 0, 1) \subset H_0, $$

il s'ensuit, que $\Gamma(E(\alpha_{k+1}, \eta_{k+1}, \epsilon_{k+1}))$ est contenu dans l'intervalle $\alpha_{k+1} - \epsilon_{k+1} \le x \le \alpha_{k+1} + \epsilon_{k+1}$, donc

$$ (11) \quad \Gamma(E(\alpha_{k+1}, \eta_{k+1}, \epsilon_{k+1})) \times \sum_{n=1}^{k} \Gamma(E(\alpha_n, \eta_n, \epsilon_n)) = 0. $$

On aura par suite, pour $k \ne m$:

$$ (12) \quad \Gamma(E(\alpha_k, \eta_k, \epsilon_k)) \times \Gamma(E(\alpha_m, \eta_m, \epsilon_m)) = 0. $$

14. Soient $p_1, p_2$ deux points de $A$, $x_1, x_2$ — leurs abscisses. En vertu de 9 et de (12) $x_1 \ne x_2$ et nous pouvons supposer $x_1 < x_2$.

D'après 9 l'ensemble $\sum_{k=1}^{\infty} \Gamma(E(\alpha_k, \eta_k, \epsilon_k))$ est de première catégorie par rapport à l'axe des abscisses, donc son complémentaire $y$ — est dense et contient un nombre $x_3$ tel, que $x_1 < x_3 < x_2$. En désignant par $D$ la droite: $x = x_3$, on a:

$$ (13) \qquad D \times A = 0. $$

Posons:

$$ (14) \quad A_1 = A \times R(0, x_3, 0, 1); \quad A_2 = A \times R(x_3, 1, 0, 1) $$

on aura:

$$ (15) \qquad p_1 \subset A_1, \quad p_1 \subset A_2 $$

et, d'après (10)

$$ (16) \qquad A_1 + A_2 = A $$

enfin, en vertu de (13):

$$ (17) \quad \bar{A}_1 \times A_2 \subset [R(0, x_3, 0, 1) \times R(x_3, 1, 0, 1)] \times A \subset D \times A = 0, $$

$$ (18) \quad A_1 \times \bar{A}_2 \subset [R(0, x_3, 0, 1) \times R(x_3, 1, 0, 1)] \times A \subset D \times A = 0. $$

Donc, deux points quelconques $p_1$ et $p_2$ de $A$ sont séparés dans $A$.
15. Pour démontrer, que $\mathcal{A}$ est quasi-connexe, nous montreons, que pour toute décomposition $\mathcal{A} = A_1 + A_2$, remplissant les conditions:

$$ (19) \qquad A_1 \neq 0, $$

$$ (20) \qquad \bar{A}_1 \times A_2 = A_1 \times \bar{A}_2 = 0, $$

on a:

$$ (21) \qquad \delta(A_1) \geq 1. $$

L'ensemble $\{r_k\}$ est dense par rapport à $H_0$ et il est de même pour l'ensemble $\{p(\alpha_k, \eta_k)\}$ car, en vertu de (7):

$$ (22) \qquad \rho[r_k, p(\alpha_k, \eta_k)] \leq \frac{1}{k}. $$

Comme d'après (10) $A \subset H_0$, $\{p(\alpha_k, \eta_k)\}$ est dense par rapport à $A$; c'est d'ailleurs un sous-ensemble de $A$, car $p_0 \subset E$, donc $p(\alpha_k, \eta_k) \subset E(\alpha_k, \eta_k, \varepsilon_k) \subset A$. En vertu de (19) et (20) $A_2$ ne peut pas contenir tous les points $p(\alpha_k, \eta_k)$, il existe donc un entier $s$ tel que:

$$ (23) \qquad p(\alpha_s, \eta_s) \subset A_1. $$

Posons:

$$ (24) \qquad G_1 = A_1 \times E(\alpha_s, \eta_s, \varepsilon_s); \quad G_2 = A_2 \times E(\alpha_s, \eta_s, \varepsilon_s), $$

on aura:

$$ (25) \qquad p(\alpha_s, \eta_s) \subset G_1, $$

$$ (26) \qquad G_1 + G_2 = E(\alpha_s, \eta_s, \varepsilon_s), $$

$$ (27) \qquad \bar{G}_1 \times G_2 = G_1 \times \bar{G}_2 = 0. $$

L'inverse à la transformation $\mathcal{G}$ transforme $G_1$ et $G_2$ en deux ensembles $E_1$ et $E_2$ tels que:

$$ (28) \qquad p_0 \subset E_1, $$

$$ (29) \qquad E_1 + E_2 = E, $$

$$ (30) \qquad \bar{E}_1 \times E_2 = E_1 \times \bar{E}_2 = 0. $$

D'après la propriété fondamentale de l'ensemble $E$, démontrée par M. Sierpiński, ces formules entraînent:

$$ (31) \qquad M(H_0) \subset \bar{E}_1, \quad N(H_0) \subset \bar{E}_1, $$
donc

$$
(32) \quad M(a_i) \subset \bar{G}_1 \subset \bar{A}_1; \quad N(a_i) \subset \bar{G}_1 \subset \bar{A}_1,
$$

$$
(33) \quad \delta(\bar{A}_1) = \delta(\bar{A}_1) \ge \varrho[M(\bar{a}_1), N(\bar{a}_1)] = 1 \quad \text{c. q. f. d.}
$$

Donc $\mathcal{A}$ est quasi-connexe.

16. Remarquons encore que $E$, et par suite $E(\alpha_k, \eta_k, \epsilon_k)$ étant
des ensembles $G_\delta$, $\mathcal{A}$ est un ensemble $G_{\delta\sigma}$.