# Elastographie Ultrasonore Quasi-Statique : étude et mise en oeuvre d'une imagerie du tenseur de déformation et des champs virtuels pour l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques

Anne-Lise Duroy

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Anne-Lise Duroy. Elastographie Ultrasonore Quasi-Statique: étude et mise en oeuvre d'une imagerie du tenseur de déformation et des champs virtuels pour l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques. Imagerie médicale. Université Claude Bernard Lyon 1, 2022. Français. NNT: 2022LYO1231. tel-04009924

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Submitted on 1 Mar 2023

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## THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE LYON

opérée au sein de
**L'Université Claude Bernard Lyon 1**

Ecole Doctorale N°160
Electronique, Electrotechnique, Automatique et traitement du signal
Lyon (EEA)

**Spécialité de doctorat** : Traitement du signal et de l'image

**Discipline** : Imagerie médicale

Soutenue publiquement le 12/12/2022, par :

**Anne-Lise DUROY**

# Elastographie Ultrasonore Quasi-Statique :
etude et mise en œuvre d'une imagerie du teneur de déformation et des champs virtuels
pour l'analyse des propriétés élastiques des
tissus biologiques

Devant le jury composé de :

BERA, Jean-Christophe Professeur, Université Claude Bernard Lyon 1 FR Président du jury

MENSAH, Serge Maitre de conférence, LMA, Marseille FR Rapporteur

VAN HOUTEN, Elijah Professeur, Université de Sherbrook CA Rapporteur

AVRIL, Stéphane Professeur, Ecole des Mines, Saint-Etienne FR Examinateur

MIETTE, Véronique Directrice de recherche, Echosens, Paris FR Examinatrice

PELLOT-BARAKAT, Claire Chargée de Recherche Inserm, Biomaps, Orsay FR Examinatrice

BASSET, Olivier Professeur, Université Claude Bernard Lyon 1 FR Directeur de thèse

BRUSSEAU, Elisabeth Chargée de Recherche CNRS, CREATIS, Lyon FR Co-Directrice de thèse
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Table des matières

<table><tr><td>Remerciements</td><td>i</td></tr><tr><td>Résumé</td><td>ii</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>iii</td></tr><tr><td>Notations</td><td>iv</td></tr><tr><td>Introduction Générale</td><td>v</td></tr><tr><td>1 Bibliographie</td><td>1</td></tr><tr><td>I Introduction : l'élastographie pour l'analyse des tissus biologiques</td><td>2</td></tr><tr><td>II Éléments de mécanique</td><td>2</td></tr><tr><td>II.1 Tenseurs des contraintes et des déformations</td><td>3</td></tr><tr><td>II.1.1 Tenseur des contraintes de Cauchy</td><td>3</td></tr><tr><td>II.1.2 Tenseur des déformations</td><td>3</td></tr><tr><td>II.2 Équations du mouvement et d'équilibre</td><td>4</td></tr><tr><td>II.3 Loi de comportement</td><td>4</td></tr><tr><td>II.3.1 Milieux biologiques : des milieux complexes</td><td>4</td></tr><tr><td>II.3.2 Des milieux élastiques, linéaires et isotropes</td><td>5</td></tr><tr><td>II.4 Équation d'onde</td><td>5</td></tr><tr><td>III Elastographie - État de l'art</td><td>6</td></tr><tr><td>III.1 Principe et aperçu des techniques d'élastographie</td><td>6</td></tr><tr><td>III.1.1 Elastographie par résonance magnétique</td><td>7</td></tr><tr><td>III.1.2 Elastographie par cohérence optique</td><td>8</td></tr><tr><td>III.2 Elastographie ultrasonore</td><td>9</td></tr><tr><td>III.2.1 Méthodes quasi-statiques</td><td>9</td></tr><tr><td>III.2.2 Principe ARFI</td><td>9</td></tr><tr><td>III.2.3 Méthodes dynamiques</td><td>10</td></tr><tr><td>III.2.4 Méthodes passives</td><td>12</td></tr><tr><td>III.2.5 Spécificités et complémentarité des techniques pour le diagnostic</td><td>13</td></tr><tr><td>IV Elastographie ultrasonore quasi-statique</td><td>14</td></tr><tr><td>IV.1 Estimation des champs de déplacements et de déformations</td><td>15</td></tr><tr><td>IV.1.1 Une grande variété d'approches</td><td>15</td></tr><tr><td>IV.1.2 Estimation du déplacement latéral : des approches spécifiques</td><td>16</td></tr><tr><td>IV.1.3 Estimation des champs de déformation</td><td>16</td></tr><tr><td>IV.2 Reconstruction des propriétés mécaniques</td><td>17</td></tr><tr><td>IV.3 Objectifs des travaux de thèse : vers l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques</td><td>18</td></tr></table>
## 2 Imagerie du tenseur de déformation 31

I Introduction 32

II Méthode de régularisation 33

II.1 Motivations 33

II.2 Description de la méthode 33

II.3 Sélection des coefficients de pondération 34

III Résultats 38

III.1 Critères d'évaluation 38

III.2 Simulations numériques 39

III.2.1 Présentation des données simulées 39

III.2.2 Résultats 40

III.3 Données expérimentales de fantômes 41

III.3.1 Description des fantômes et acquisition des données ultrasonores 41

III.3.2 Résultats 41

III.4 Lésions mamaires in vivo 45

III.4.1 Acquisition des données 45

III.4.2 Résultats 45

IV Discussion 49

V Conclusion 52

## 3 Méthode des champs virtuels : Présentation et développements réalisés 55

I Introduction 56

II Introduction à la méthode des champs virtuels 56

II.1 Principe des travaux virtuels 57

II.2 Méthode des champs virtuels 58

III Caractérisation de milieux soumis à un chargement quasi-statique 58

III.1 Réduction de dimension du problème 59

III.1.1 Hypothèse des contraintes planes 59

III.1.2 Hypothèse des déformations planes 60

III.2 Écriture de la MCV en 2D 61

IV Construction des champs virtuels 62

IV.1 Champs virtuels particuliers 62

IV.2 Champs virtuels spécifiques 63

IV.3 Application aux milieux hétérogènes 65

V Méthode développée pour l'élastographie ultrasonore quasi-statique 67

V.1 Présentation du problème : choix et hypothèses 67

V.2 Description de la méthode développée 68

V.2.1 Type de champs virtuels utilisé 68

V.2.2 Définition des champs virtuels 68

V.2.3 Application du principe des travaux virtuels 70

V.3 Premiers résultats et modifications apportées 72

V.4 Discussion 73

## 4 Méthode des champs virtuels : Application et résultats 78

I Introduction 79

II Critères d'évaluation 79

III Simulations numériques 80

III.1 Présentation des données simulées 80

III.2 Résultats de simulations obtenus dans les cas des contraintes et déformations planes 81

III.2.1 Résultats en contraintes planes 81

III.2.2 Résultats en déformations planes 82
<table><tr><td>III.3</td><td>Résultats de simulations 3D</td><td>83</td></tr><tr><td>III.3.1</td><td>Étude de l'influence des propriétés mécaniques</td><td>83</td></tr><tr><td>III.3.2</td><td>Étude de l'influence de la géométrie interne</td><td>87</td></tr><tr><td>III.3.3</td><td>Multi-hétérogénéités</td><td>89</td></tr><tr><td>III.3.4</td><td>Étude de l'influence des conditions aux frontières</td><td>90</td></tr><tr><td>IV</td><td>Données expérimentales</td><td>93</td></tr><tr><td>IV.1</td><td>Milieux utilisés</td><td>93</td></tr><tr><td>IV.2</td><td>Résultats obtenus sur fantômes</td><td>93</td></tr><tr><td>IV.3</td><td>Résultats sur tissus mammaires in vivo</td><td>97</td></tr><tr><td>V</td><td>Discussion</td><td>98</td></tr><tr><td>VI</td><td>Conclusion</td><td>101</td></tr><tr><td colspan="2">Conclusion générale et perspectives</td><td>103</td></tr><tr><td colspan="2">Publications et communications</td><td>105</td></tr></table>
Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier mes encadrants de m'avoir fait confiance pour ces travaux depuis mon arrivée en stage. Merci Elisabeth et Olivier pour votre soutien, votre encadrement actif et votre temps passé à la relecture attentive de ce manuscrit de thèse. Cela fut un réel plaisir de travailler avec vous.

Je souhaite aussi remercier l'ensemble des membres de CREATIS que j'ai pu côtoyer, et plus particulièrement l'ensemble les doctorants et doctorantes, sans qui les pauses ne seraient pas aussi animées. Vous faites vivre ce laboratoire !

Enfin,

Merci Khiem de m'avoir aidée à décompresser et de m'avoir nourrie (si souvent !).

Merci Guillaume pour ces "débats" passionnés à la fac, qui continuent maintenant en dehors.

Merci Amélie, Océana, Camille et Enora (qui malgré ses efforts n'a toujours pas compris ma thèse), pour les moments précieux passés avec vous depuis le lycée. Surtout un grand merci d'avoir toujours été présentes pour moi.

A mes parents, à mes frères et à tous les autres membres de ma famille :

Merci d'être là.
# Résumé

L'élastographie ultrasonore quasi-statique est une technique d'imagerie médicale dédiée à la caractérisation mécanique des tissus biologiques. Cette technique utilise pour le diagnostic des critères issus principalement des images de la déformation axiale, qui est la composante estimée avec le plus de précision. Néanmoins, une imagerie complète du tenseur de déformation serait intéressante, non seulement pour une meilleure évaluation de la réponse du tissu à la compression, mais aussi et surtout pour la mise en œuvre de méthodes de reconstruction permettant d'accéder aux propriétés mécaniques des tissus imagés.

Dans ces travaux de thèse, deux axes de recherche ont été développés afin de permettre une analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques. Le premier axe a porté sur le développement d'une méthode de régularisation afin de lisser les champs de déplacement et d'obtenir des images de déformation moins bruitées, et donc exploitables. Les résultats sur des simulations numériques, des fantômes et des tissus mammaires in vivo, ont montré la forte contribution de cette méthode face à des données complexes et bruitées, notamment pour les composantes latérales du déplacement et de la déformation. De plus, l'approche proposée a permis d'obtenir des images de déformation en cisaillement et des élastogrammes de rotation sur lesquels des motifs de cisaillement/rotation étaient clairement détectables autour des inclusions/lésions. Le deuxième axe de recherche a été centré sur le développement d'une méthode utilisant le principe des travaux virtuels pour reconstruire la distribution spatiale du module d'Young au sein de milieux élastiques, linéaires et isotropes. Cette méthode nécessite de connaitre au préalable les champs de déplacement/déformation ainsi que la force appliquée. Pour pallier le manque de données 3D en échographie, la reconstruction du module élastique a été étudiée sous les hypothèses des contraintes et déformations planes. Les résultats sur simulations numériques et fantômes ont montré une reconstruction précise de la cartographie du module d'Young, en termes de localisation des régions, de leur forme et de leur taille. Les valeurs de module sont correctement estimées lorsque les hypothèses introduites dans la méthode sont respectées. En revanche, lorsque les hypothèses ne sont plus satisfaites, une diminution du contraste élastique est observée. Néanmoins les régions aux propriétés élastiques distinctes dans un milieu restent clairement visibles, que ce soit en simulations ou pour les données de fantômes. Enfin, les résultats sur tissus mammaires indiquent une région plus rigide en accord avec la position de la lésion observable à l'échographie. Ces différents résultats sont prometteurs et particulièrement intéressants pour une analyse plus complète des tissus biologiques en élastographie ultrasonore quasi-statique.

**Mots clés** : élastographie ultrasonore quasi-statique, estimation du mouvement, imagerie du tenseur de déformation, régularisation, problème inverse, méthode des champs virtuels, reconstruction de cartographies du module d'Young.
Abstract

Quasi-static ultrasound elastography is a medical imaging technique dedicated to the me-
chanical characterization of biological tissues. This technique uses, for diagnosis, criteria mainly
derived from the axial strain, which is the most accurately estimated component. However, ima-
ging the strain tensor would be of interest, not only for a better evaluation of the tissue response
to compression, but also for the implementation of reconstruction methods to access to the me-
chanical properties of the examined tissues.

In this PhD work, two research axes were developed to analyze the elastic properties of bio-
logical tissues. The first axis focused on the development of a regularization method in order
to smooth the displacement fields and to obtain less noisy, and thus usable, strain images. The
results on numerical simulations, phantoms and breast tissues showed the strong contribution
of this method, when facing complex and noisy data, especially for the lateral components of
displacement and strain. Moreover, the proposed approach allowed to obtain shear strain images
and rotation elastograms on which shear/rotation patterns were clearly detectable around the
inclusions/lesions. The second research axis focused on the development of a method using the
virtual work principle to reconstruct the spatial distribution of the Young's modulus within li-
near, elastic and isotropic media. This method requires the knowledge of the displacement/strain
fields and the applied force. To overcome the lack of 3D ultrasound data, the reconstruction of
the elastic modulus has been studied under the assumptions of plane stresses and plane strains.
The results on numerical simulations and phantoms showed an accurate reconstruction of the
Young's modulus mapping, in terms of region localization, shape and size. The modulus values
are correctly estimated when the assumptions introduced in the method are respected. On the
other hand, when the assumptions are no longer satisfied, a decrease in elastic contrast is obser-
ved. Nevertheless, the regions with distinct elastic properties in a medium remain clearly visible,
both in simulations and in phantom data. Finally, the results on breast tissues indicate a stiffer
region in agreement with the position of the lesion observable on the ultrasound imaging. These
different results are promising and particularly interesting for a more complete analysis of biolo-
gical tissues in quasi-static ultrasound elastography.

**Keywords :** Quasi-static ultrasound elastography, motion tracking, strain tensor imaging, regularization, inverse problem, virtual fields method, Young's modulus map reconstruction.
## Notations

Dans ce manuscrit, un système de coordonnées cartésiennes est utilisé. Ainsi, les vecteurs et les matrices, indiqués en gras, sont par exemple définis comme :

$$ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$

Afin de simplifier l'écriture, la notation de Voigt est aussi utilisée pour représenter les tenseurs symétriques. Si $\mathbf{A}$ est symétrique alors 6 composantes sont indépendantes, et une forme contractée peut être adoptée, soit :

$$ 11 \to 1 \quad 23 \text{ ou } 32 \to 4 $$

$$ 22 \to 2 \quad 13 \text{ ou } 31 \to 5 $$

$$ 33 \to 3 \quad 12 \text{ ou } 21 \to 6 $$

ainsi

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \end{pmatrix} $$

Pour finir, les principaux opérateurs mathématiques sont :

* $\nabla \mathbf{u}$ Gradient de $\mathbf{u}$

* $(\nabla \mathbf{u})^t$ Transposée du gradient de $\mathbf{u}$

* $\nabla \cdot \mathbf{u}$ Divergence de $\mathbf{u}$

* $\Delta \mathbf{u}$ Laplacien de $\mathbf{u}$

* Tr($\mathbf{A}$) Trace de $\mathbf{A}$

* Produit scalaire

* Produit doublement contracté entre deux tenseurs d'ordre 2, soit

$$ \mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum \sum A_{ij} B_{ij} $$
# Introduction Générale

C'est avec la découverte des rayons X à la fin du XIXe siècle qu'est née l'imagerie médicale, ouvrant ainsi la voie au diagnostic par l'image. De nos jours, les modalités d'imagerie sont variées - tomodensitométrie, imagerie par résonance magnétique (IRM), échographie, etc. - et jouent un rôle fondamental dans la prise en charge des patients. Ces modalités continuent d'évoluer et de s'affiner, avec entre autres, des améliorations dans le traitement ou l'analyse des images ou encore avec l'extraction de paramètres spécifiques pour un diagnostic plus précis. Durant les dernières décennies, de très nombreuses études se sont intéressées à l'extraction d'informations sur les propriétés mécaniques des tissus biologiques. Les approches développées sont regroupées sous le terme d'élastographie, qui est le sujet de cette thèse.

Nombre de pathologies s'accompagnent en effet de modifications des propriétés mécaniques des tissus concernés. Il est par exemple bien connu que les carcinomes canalaires infiltrants du sein (cancers) sont généralement bien plus rigides que les tissus sains environnants. De même, l'athérosclérose, maladie des artères se traduisant par la formation de plaques incluant par exemple une chape fibreuse et un dépôt lipidique, modifie le milieu et ses propriétés mécaniques. L'une des complications graves de cette plaque est sa rupture, entrainant la formation d'un caillot sanguin qui peut rapidement obstruer un vaisseau. Pouvoir accéder à des informations sur les propriétés mécaniques et ce, dans les conditions *in vivo*, présente donc un intérêt pour le diagnostic. Un premier moyen, très simple, utilisé sur des régions situées peu en profondeur comme le sein, est la palpation qui consiste à déformer manuellement les tissus pour en percevoir leur structure et déceler des variations anormales des propriétés mécaniques. Cependant la palpation reste d'efficacité limitée, est très dépendante de la personne qui l'exécute et ne peut être pratiquée que pour des régions tissulaires directement accessibles au toucher, ce qui explique que des techniques de mesures via l'imagerie aient été recherchées et que l'élastographie ait été développée.

Les techniques d'élastographie sont nombreuses mais reposent toutes sur le même principe : imager et analyser la réponse d'un milieu à une perturbation mécanique pour en extraire des informations sur ses propriétés. Les techniques d'élastographie diffèrent suivant la modalité d'imagerie employée (ex : IRM, échographie), la perturbation mécanique utilisée (ex : compression lente, sollicitation harmonique) et l'information délivrée (ex : déformation, module de cisaillement). Dans ces travaux de thèse, nous nous intéressons plus particulièrement à l'élastographie ultrasonore quasi-statique. Cette approche consiste à comprimer le milieu, généralement en utilisant la sonde échographique, et à en estimer localement sa déformation à partir des données ultrasonores radiofréquences acquises lors de la compression. Malgré les nombreux travaux réalisés pour imager le tenseur de déformation, extraire d'autres informations (ex : poro-élastographie) ou encore reconstruire un module élastique, l'information exploitée avec cette technique reste principalement la déformation axiale. Elle permet cependant de révéler des variations des propriétés mécaniques au sein des tissus examinés, car sous l'action d'une même contrainte, une région se déforme d'autant moins qu'elle est plus rigide. De nombreux travaux ont montré que cette approche permettait de détecter efficacement des régions aux propriétés mécaniques différentes au
sein d'un même milieu, et les résultats obtenus lors d'études sur ses performances diagnostiques, notamment pour l'application mammaire, indiquent que cette technique peut aider à différencier les lésions bénignes des lésions malignes.

La déformation axiale est très utilisée, d'abord parce qu'il s'agit de la composante du tenseur de déformation la mieux estimée. En effet, les champs de déplacements latéraux et en élévation (ces derniers étant obtenus lors de l'acquisition de volumes ultrasonores) issus d'expériences d'élastographie quasi-statique sont typiquement bien plus bruités que les déplacements axiaux, en raison de la résolution et de l'échantillonnage anisotropes des images ultrasonores radiofréquences (RF). Pourtant, les autres composantes du tenseur de déformation peuvent participer au diagnostic comme les composantes en cisaillement qui peuvent révéler des informations sur la mobilité de la lésion. Or, le fait qu'une lésion soit mobile est un critère en faveur d'un caractère bénin de cette lésion, alors que les tumeurs cancéreuses sont plus ancrées dans les tissus. Ainsi, pouvoir estimer de manière précise les différentes composantes du tenseur de déformation permettrait de mieux évaluer la réponse du milieu à la compression. De plus, les méthodes de reconstruction de paramètres mécaniques tels que le module d'Young utilisent ces différents champs, et des déplacements et déformations plus précis ne peuvent qu'aider à la résolution du problème inverse.

Dans le cadre de cette thèse, deux axes de recherche ont donc été développés : l'imagerie du tenseur de déformation et la reconstruction des propriétés mécaniques, plus précisément du module d'Young dans le cas d'un milieu élastique, linéaire et isotrope. Concernant l'imagerie du tenseur de déformation, les travaux de la littérature se déclinent en deux grandes catégories, l'une modifiant l'acquisition des données ultrasonores, afin d'obtenir des données plus adaptées au problème posé, l'autre agissant directement sur les méthodes d'estimation des champs de déplacements. Pour la première catégorie, nous pouvons citer des travaux où les champs de déplacements sont estimés à partir de séries d'images acquises à différents angles ultrasonores, ou encore à partir d'images comportant des oscillations latérales résultant d'une formation de voies particulière, mais aussi d'images RF avec une densité de lignes plus importante obtenues via l'utilisation d'une sonde spécifique. Pour la seconde catégorie, des approches incluant notamment de la régularisation ont été proposées. Nous avons souhaité développer une méthode qui ne nécessite aucune modification des données et qui soit donc applicable, quel que soit l'échographe utilisé. Nous nous sommes donc intéressés aux méthodes de régularisation, en considérant plus particulièrement celles développées pour l'élastographie. Les méthodes de régularisation sont diverses, mais il apparaît clairement qu'un simple lissage des données en introduisant par exemple des termes de gradient du déplacement ou des dérivées secondes du déplacement, reste insuffisant pour obtenir des images de déformation correctes. En effet, les champs résultants sont bien lissés, mais ils ne laissent pas apparaître clairement les différentes régions composant le milieu. C'est pourquoi, dans la méthode que nous proposons, un terme supplémentaire a été introduit, celui de la divergence du déplacement. En effet, les milieux auxquels nous nous intéressons sont des milieux quasi-incompressibles, c.-à-d. tels que la divergence du déplacement est proche de 0. Ainsi, le problème a été formulé comme la minimisation d'une fonctionnelle comportant, outre les termes d'attache aux données, des termes de pénalisation des fortes variations sur les composantes du déplacement ainsi que le terme de divergence du déplacement.

Les différentes composantes du tenseur de déformation ainsi obtenues peuvent alors être employées pour reconstruire des cartographies du module d'Young d'un milieu élastique linéaire et isotrope. L'approche utilisée dans ces travaux est celle des champs virtuels. Cette méthode a été développée initialement pour des applications en mécanique, bien que quelques études en élastographie peuvent également être mentionnées. Elle est fondée sur l'utilisation du principe des travaux virtuels qui, écrit avec des champs virtuels (ou fonctions de tests) judicieusement choisis, permettent d'accéder aux paramètres d'une loi de comportement. Dans cette approche, le choix des champs virtuels est au cœur de la méthode. Pour ces premiers travaux, nous avons étudié la
possibilité de reconstruire des cartographies du module d'Young (en kPa) à partir, non seulement des champs de déplacements estimés, mais aussi de la connaissance de la force appliquée.

Ce manuscrit est organisé en quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré à un état de l'art de l'élastographie. Après l'introduction de quelques notions de mécanique, une vue d'ensemble des techniques d'élastographie est donnée afin d'illustrer la variété des développements réalisés. L'approche ultrasonore quasi-statique est ensuite plus particulièrement détaillée, avec la présentation des méthodes d'estimation du déplacement et de la déformation mais aussi, les différentes approches utilisées pour la reconstruction des propriétés mécaniques d'un milieu. Enfin, la méthode d'estimation du déplacement et de la déformation initialement développée au laboratoire CREATIS et sur laquelle s'appuient les développements réalisés au cours de ces trois années est introduite.

Le deuxième chapitre est dédié à la méthode de régularisation que nous avons développée, où l'obtention de champs régularisés est formulée sous la forme d'un problème d'optimisation. Après une description des différentes étapes et des choix qui ont pu être faits, la méthode est évaluée à l'aide de simulations numériques, de données issues d'expériences sur fantômes et enfin sur des données de patientes souffrant de lésions mammaires.

Enfin, les deux derniers chapitres portent sur la méthode des champs virtuels. Dans le chapitre trois, la méthode des champs virtuels est introduite en détaillant en particulier les approches pour choisir/définir ces champs. Les développements que nous avons réalisés pour notre application spécifique sont ensuite décrits. Ces développements sont évalués dans le dernier chapitre, là encore, à l'aide de simulations numériques et d'expériences sur fantômes. De premières cartographies du module d'Young obtenues à partir de données de lésions mammaires sont enfin présentées.

Les conclusions et les perspectives de ces travaux de recherche terminent ce document.
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# Chapitre 1
Bibliographie

## Sommaire

<table><tr><td>I</td><td>Introduction : l'élastographie pour l'analyse des tissus biologiques</td><td>2</td></tr><tr><td>II</td><td>Éléments de mécanique</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>II.1 Tenseurs des contraintes et des déformations</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>II.1.1 Tenseur des contraintes de Cauchy</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>II.1.2 Tenseur des déformations</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>II.2 Équations du mouvement et d'équilibre</td><td>4</td></tr><tr><td></td><td>II.3 Loi de comportement</td><td>4</td></tr><tr><td></td><td>II.3.1 Milieux biologiques : des milieux complexes</td><td>4</td></tr><tr><td></td><td>II.3.2 Des milieux élastiques, linéaires et isotropes</td><td>5</td></tr><tr><td></td><td>II.4 Équation d'onde</td><td>5</td></tr><tr><td>III</td><td>Elastographie - État de l'art</td><td>6</td></tr><tr><td></td><td>III.1 Principe et aperçu des techniques d'élastographie</td><td>6</td></tr><tr><td></td><td>III.1.1 Elastographie par résonance magnétique</td><td>7</td></tr><tr><td></td><td>III.1.2 Elastographie par cohérence optique</td><td>8</td></tr><tr><td></td><td>III.2 Elastographie ultrasonore</td><td>9</td></tr><tr><td></td><td>III.2.1 Méthodes quasi-statiques</td><td>9</td></tr><tr><td></td><td>III.2.2 Principe ARFI</td><td>9</td></tr><tr><td></td><td>III.2.3 Méthodes dynamiques</td><td>10</td></tr><tr><td></td><td>III.2.4 Méthodes passives</td><td>12</td></tr><tr><td></td><td>III.2.5 Spécificités et complémentarité des techniques pour le diagnostic</td><td>13</td></tr><tr><td>IV</td><td>Elastographie ultrasonore quasi-statique</td><td>14</td></tr><tr><td></td><td>IV.1 Estimation des champs de déplacements et de déformations</td><td>15</td></tr><tr><td></td><td>IV.1.1 Une grande variété d'approches</td><td>15</td></tr><tr><td></td><td>IV.1.2 Estimation du déplacement latéral : des approches spécifiques</td><td>16</td></tr><tr><td></td><td>IV.1.3 Estimation des champs de déformation</td><td>16</td></tr><tr><td></td><td>IV.2 Reconstruction des propriétés mécaniques</td><td>17</td></tr><tr><td></td><td>IV.3 Objectifs des travaux de thèse : vers l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques</td><td>18</td></tr></table>
# I Introduction : l'élastographie pour l'analyse des tissus biologiques

Un grand nombre de pathologies produisent localement des changements dans les propriétés mécaniques des tissus biologiques concernés. En effet, on observe généralement, pour des pathologies comme les cancers ou les maladies fibrotiques, une augmentation du module élastique (rapport de la contrainte sur la déformation) des tissus [1]. Cela explique, par exemple pour le cancer du sein, que la tumeur puisse dans certains cas être palpée et donc détectée par la patiente elle-même. Plus rarement, il est aussi possible d'observer pour la région pathologique, un module élastique plus faible que celui des tissus sains environnants (ex. lipomes [2], glioblastomes [3]). Dans l'athérosclérose, maladie des artères impliquant la formation de plaques, des variations complexes de la composition du milieu et par conséquent de ses propriétés mécaniques peuvent également être soulignées, avec des conséquences directes sur le risque de rupture de la plaque [4]. Pouvoir accéder localement, de manière non invasive, et dans les conditions in vivo, à des informations sur les propriétés mécaniques d'un milieu représente donc un enjeu majeur pour le diagnostic.

Un examen très simple pour déceler des variations au sein des propriétés mécaniques des tissus est la palpation [5]. Elle ne nécessite aucun instrument spécifique, simplement l'usage des mains et une bonne connaissance de l'anatomie. Cependant, la palpation ne peut être utilisée que pour des régions tissulaires accessibles au toucher. De plus, la détection d'une lésion est influencée par sa taille, sa position et ses propriétés mécaniques. Une lésion est en effet d'autant plus difficile à détecter qu'elle est petite, localisée en profondeur et que ses propriétés mécaniques diffèrent peu de celles des tissus environnants. Enfin, la palpation dépend fortement du niveau d'entraînement de celui qui l'exécute. Au vu de l'intérêt que représente une information sur les propriétés mécaniques locales d'un milieu, et parce que l'efficacité de la palpation reste limitée, les méthodes d'élastographie ont été développées.

Le terme "élastographie" est un terme très général regroupant l'ensemble des techniques d'imagerie dédiées à la caractérisation mécanique des tissus biologiques. Il apparaît dans la littérature en 1991 avec l'étude publiée par Ophir et al. [6]. Néanmoins, des travaux antérieurs consacrés notamment à la mesure du mouvement tissulaire via l'échographie [7], ou la sono-élastographie/sono-élasticité [8, 9], précurseurs de ce champ d'investigation, peuvent être cités. D'abord associée aux ultrasons, l'élastographie se développe ensuite en IRM [10] puis en optique [11]. D'abord dédiés au développement de méthodes pour l'estimation des déplacements/déformations tissulaires et la reconstruction de paramètres mécaniques (ex. module de cisaillement), les travaux se sont ensuite diversifiés, incluant un grand nombre d'études cliniques.

Ce premier chapitre a pour objectifs d'apporter une vue d'ensemble du domaine de l'élastographie. Après l'introduction de quelques éléments de mécanique, un état de l'art des principales approches sera proposé, avec une description plus détaillée des techniques ultrasonores. L'élastographie ultrasonore quasi-statique, au cœur de ces travaux de recherche, sera ensuite développée avec la présentation des méthodes d'estimation des champs de déplacements/déformations, ainsi que des approches permettant de reconstruire les propriétés mécaniques d'un milieu. Enfin, la méthode d'estimation des déplacements développée antérieurement au laboratoire CREATIS, sur laquelle se greffent les développements réalisés au cours de cette thèse, sera décrite.

# II Éléments de mécanique

Le comportement d'un milieu peut être décrit par un ensemble d'équations issues de la mécanique des milieux continus [12, 13]. En élastographie, trois types d'équations peuvent être
utilisés :

— équations du mouvement et d'équilibre

— loi de comportement

— équation d'onde

Deux tenseurs vont être d'abord introduits. Il s'agit du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations. Dans ces travaux, nous considérerons que les milieux sont assujettis à de petites perturbations. Nous allons donc utiliser les déformations linéarisées et le tenseur des contraintes de Cauchy pour décrire le comportement d'un milieu.

## II.1 Tenseurs des contraintes et des déformations

### II.1.1 Tenseur des contraintes de Cauchy

Considérons d'abord un vecteur contrainte $T$ s'appliquant sur un élément de surface $dS$, de normale $n$. Ce vecteur caractérise les efforts $df$ exercés à travers cet élément sur le reste du milieu. En projetant ce vecteur sur la normale de l'élément et sur le plan perpendiculaire, on obtient les composantes normale et tangentielle de ce vecteur. Ainsi, dans un milieu, l'état de contrainte est localement décrit par un tenseur symétrique. En utilisant la notation de Voigt, le tenseur des contraintes $\sigma$ s'écrit :

$$ \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{pmatrix} \qquad (1.1) $$

Les composantes $\sigma_1, \sigma_2$ et $\sigma_3$ sont les contraintes normales, tandis que les composantes $\sigma_4, \sigma_5$ et $\sigma_6$ sont les contraintes tangentielle ou de cisaillement. La contrainte est homogène à une force par unité de surface, c-à-d. à une pression et s'exprime donc en pascals.

### II.1.2 Tenseur des déformations

De même, l'état de déformation est décrit localement par un tenseur symétrique, qui en utilisant la notation de Voigt s'écrit :

$$ \varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{pmatrix} \qquad (1.2) $$

Les composantes $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ et $\varepsilon_3$ représentent les déformations normales et traduisent les variations de longueur (allongements relatifs). Les composantes $\varepsilon_4, \varepsilon_5$ et $\varepsilon_6$ sont les déformations tangentielle ou de cisaillement qui traduisent les variations d'angles. Le tenseur de déformation est sans unité. Dans le cadre des petites déformations, il s'exprime sous la forme :

$$ \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^t) \qquad (1.3) $$

Notez enfin que la trace du tenseur de déformation est égale à la divergence du déplacement :

$$ \begin{aligned} \mathrm{Tr}(\varepsilon) &= \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 \\ &= \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\ &= \nabla \cdot \mathbf{u} \end{aligned} \qquad (1.4) $$
avec $x_1, x_2$ et $x_3$ les variables spatiales.

Pour des milieux parfaitement incompressibles, $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$.

## II.2 Équations du mouvement et d'équilibre

Les équations du mouvement et les équations d'équilibre sont au cœur des problèmes mécaniques. Elles sont issues des lois de conservation, et plus particulièrement de la loi de conservation de la quantité de mouvement (1.5), qui découle du principe fondamental de la dynamique, aussi appelé 2ème loi de Newton.

$$ \int_V \rho \ddot{u} dv = \int_S T ds + \int_V \rho b dv \qquad (1.5) $$

avec $\rho$ la masse volumique, $\mathbf{u}$ le vecteur de déplacement (le point indiquant une dérivée temporelle, soit $\ddot{u}$ le vecteur d'accélération), $T$ le vecteur contrainte et $b$ les forces de volumes. En considérant le tenseur des contraintes $\sigma$, et grâce au théorème de la divergence, l'équation (1.5) peut être réécrite pour dépendre uniquement d'intégrales de volume.

$$ \int_V \rho \ddot{u} dv = \int_V \nabla \cdot \sigma dv + \int_V \rho b dv \qquad (1.6) $$

L'équation (1.6) peut alors être simplifiée permettant d'obtenir sa forme locale, appelée équation du mouvement (1.7).

$$ \rho \ddot{u} = \nabla \cdot \sigma + \rho b \qquad (1.7) $$

L'équation du mouvement est valable en tout point du domaine considéré.

Les forces de volumes $b$ sont généralement considérées comme négligeables, et seront donc supposées nulles dans tous nos développements. Comme nous pourrons le voir par la suite, nous allons en particulier nous intéresser à l'élastographie ultrasonore quasi-statique. Dans un problème quasi-statique, l'hypothèse est faite que les évolutions sont suffisamment lentes pour que le terme d'accélération dans l'équation du mouvement puisse être négligé. On parle alors d'équations d'équilibre :

$$ \nabla \cdot \sigma = 0 \qquad (1.8) $$

## II.3 Loi de comportement

### II.3.1 Milieux biologiques : des milieux complexes

Les tissus biologiques sont des milieux complexes, aux comportements mécaniques variés. Certains tissus peuvent être décomposés en une partie solide et une partie liquide supposant un comportement poro-élastique, là où d'autres sont plutôt associés à un comportement élastique ou visco-élastique. Les propriétés mécaniques caractérisent la relation contrainte-déformation du milieu, c.-à-d. comment se déforme un milieu soumis à une contrainte. Par exemple, pour les milieux poro-élastiques, comme l'os, l'interaction entre la déformation de la partie solide et l'écoulement du fluide interstitiel a un impact sur les propriétés mécaniques mesurées qui suivent alors une évolution temporelle [14–16]. Il en est de même pour les milieux visco-élastiques, du fait de la composante visqueuse agissant comme un amortisseur. A l'inverse, pour les milieux purement élastiques, aucune dépendance au temps n'est à considérer.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Estimation du module de cisaillement de différents tissus biologiques en kPa [17]. Les tissus possédant un module élastique relativement faible (partie gauche de l'échelle) sont appelés tissus mous.</figcaption></figure>

Les milieux biologiques sont composés d'un ensemble de tissus possédant, notamment, des modules élastiques différents (figure 1.1). Ils sont de ce fait hétérogènes. De plus, ils peuvent aussi être quasi-incompressibles, isotropes ou anisotropes, certains présentant une isotropie transverse (ex : muscles [18]), linéaires ou non-linéaires etc [5]. Dans le but de réduire la complexité du problème de reconstruction des paramètres mécaniques en élastographie, les tissus biologiques sont souvent considérés comme étant élastiques, linéaires et isotropes.

## II.3.2 Des milieux élastiques, linéaires et isotropes

Plus spécifiquement, pour un milieu élastique soumis à de petites déformations, la loi de Hooke généralisée permet de relier le tenseur des contraintes $\sigma$ au tenseur de déformation $\varepsilon$, tel que :

$$ \sigma = C\varepsilon \quad (1.9) $$

avec $C$ le tenseur des rigidités élastiques comportant 21 coefficients indépendants.

Dans le cas d'un matériau isotrope, $C$ ne dépend plus que de deux constantes indépendantes. Plusieurs couples de constantes peuvent être utilisés, tels que les coefficients de Lamé $\mu$ et $\lambda$, $\mu$ étant également appelé module de cisaillement, ou encore le module de Young $E$ et le coefficient de Poisson $\nu$. Ainsi la loi de comportement d'un milieu élastique, linéaire et isotrope peut s'écrire de différentes formes :

$$ \sigma = 2\mu\varepsilon + \lambda\operatorname{Tr}(\varepsilon)I \quad (1.10) $$

$$ \sigma = \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon + \frac{\nu}{1-2\nu} \operatorname{Tr}(\varepsilon) I \right) \quad (1.11) $$

$$ \text{avec } \begin{cases} \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} ; & \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \\ E = \mu \frac{3\lambda+2\mu}{\lambda+\mu} ; & \nu = \frac{\lambda}{(2\lambda+\mu)} \end{cases} \quad (1.12) $$

## II.4 Équation d'onde

L'équation d'onde permet de décrire la propagation des ondes acoustiques dans un milieu. Une onde acoustique créant localement de petites perturbations mécaniques, sa propagation peut être décrite par les lois précédemment énoncées. Ainsi, l'équation d'onde est obtenue en injectant une loi de comportement dans l'équation du mouvement (1.7). Dans le cas d'un milieu élastique, linéaire, isotrope et homogène, et en négligeant les forces de volumes, elle s'écrit :

$$ \rho\ddot{u} = (\mu + \lambda)\nabla(\nabla \cdot u) + \mu\Delta u \quad (1.13) $$

Il est possible d'effectuer un découplage de l'équation d'onde en deux équations : l'une relative aux ondes de compression, et l'autre aux ondes de cisaillement. En effet, en posant $u = u_L + u_T$,
avec $u_L$ un déplacement à rotationnel nul et $u_T$ un déplacement à divergence nulle (décomposition de Helmholtz), l'équation (1.13) se scinde en deux équations indépendantes faisant apparaître les équations d'onde usuelles. Soit :

$$ \Delta u_L - \frac{1}{c_l^2} \ddot{u}_L = 0 \quad \text{avec} \quad c_l = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} \qquad (1.14) $$

$$ \Delta u_T - \frac{1}{c_s^2} \ddot{u}_T = 0 \quad \text{avec} \quad c_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \qquad (1.15) $$

avec $c_l$ la vitesse de propagation des ondes de compression et $c_s$ celle des ondes de cisaillement.

Les ondes de compression ont une vitesse de propagation relativement constante et rapide dans les tissus mous ($c_l \simeq 1540 \text{ m.s}^{-1}$), tandis que les ondes de cisaillement sont beaucoup plus lentes et sensibles aux propriétés mécaniques des tissus ($c_s$ de 1 à 10 $\text{m.s}^{-1}$ [19]). Comme le montre l'équation (1.15), la vitesse des ondes de cisaillement dépend uniquement du deuxième coefficient de Lamé, $\mu = \rho c_s^2$. Elle peut donc être directement reliée au module de Young, $E = 2(1 + \nu)\mu$. Si de plus le milieu est quasi-incompressible ($\nu \simeq 0.5$), cette relation donne : $E \simeq 3\mu$.

# III Elastographie - État de l'art

## III.1 Principe et aperçu des techniques d'élastographie

Au cours des trois dernières décennies, de nombreuses techniques d'élastographie ont été développées proposant des approches et des applications différentes [19–24]. Malgré cette grande variété, toutes ces techniques reposent sur le même principe, c.-à-d. imager et analyser la réponse des tissus sous l'effet d'une perturbation mécanique (contrainte), afin d'en extraire des paramètres d'intérêt. Néanmoins, en fonction de la technique employée, les paramètres imagés vont différer. Certaines approches sont centrées sur l'estimation des images de déformation, principalement axiale [25–27], mais éventuellement d'autres composantes peuvent aussi être estimées comme le cisaillement/cisaillement axial ou la rotation [28–30]. D'autres approches fournissent des images de la vitesse de l'onde de cisaillement [31], du module de cisaillement [32–34], ou encore des modules de conservation et de perte dans le cas des milieux visco-élastiques [35–37]. La modalité d'imagerie utilisée ainsi que la nature de la contrainte sont différents critères souvent utilisés pour catégoriser les techniques d'élastographie existantes.

Intéressons-nous d'abord aux modalités d'imagerie. L'élastographie a majoritairement été développée pour l'imagerie ultrasonore (échographie), l'imagerie par résonance magnétique (IRM) et l'imagerie optique. Cependant, on peut aussi citer des travaux en photoacoustique (modalité combinant l'imagerie ultrasonore et optique [38]), et de manière très minoritaire, en rayons X [39, 40]. La technique d'élastographie développée héritera des avantages et des limites de la modalité d'imagerie utilisée et le choix de cette modalité sera naturellement lié à l'application médicale visée. Par exemple, l'élastographie par cohérence optique, qui est limitée à des zones d'exploration de faible épaisseur mais qui a l'avantage de présenter une résolution spatiale de l'ordre du micromètre, a été développée pour des applications sur l'œil ou la peau, ainsi que pour des applications à l'échelle microscopique [23, 41, 42]. L'élastographie par résonance magnétique et l'élastographie par ultrasons trouvent, quant à elles, de nombreuses applications (à l'échelle macroscopique) comme le foie, le sein ou le cerveau [26, 43–46]. Le choix de la modalité d'imagerie utilisée pourra alors dépendre de différents critères comme la localisation de la région à explorer, sa taille, mais aussi l'accessibilité ou encore le coût. Ainsi, l'examen du cerveau par élastographie a principalement été développé en IRM, car il s'agit d'une région plus difficilement accessible par les ultrasons. Cependant, l'échographie a l'avantage d'être peu chère, facilement accessible et transportable au chevet des patients. Elle est aussi, par exemple, une modalité très
utilisée en sénologie ou en cardiologie.

Les différentes techniques d'élastographie se distinguent aussi selon la nature de la contrainte exercée dans le milieu. Celle-ci peut être quasi-statique, dynamique ou passive. Les méthodes quasi-statiques reposent sur une compression/décompression lente des tissus. Les informations extraites pour l'analyse des milieux sont généralement la déformation axiale, même si, et nous allons le voir par la suite, un certain nombre de travaux ont déjà été menés pour, par exemple, reconstruire des paramètres mécaniques comme le module d'Young. Les méthodes dynamiques, elles, se basent sur une sollicitation continue ou transitoire pour générer des ondes de cisaillement, la vitesse de propagation de ces ondes étant reliée aux propriétés mécaniques du milieu (cf. section II, équation d'onde). À l'inverse des méthodes dynamiques pour lesquelles la génération des ondes de cisaillement est partie intégrante de la technique, les méthodes passives exploitent le bruit physiologique dû à des sources mécaniques endogènes comme le cœur. Une ou plusieurs de ces techniques ont été développées avec chacune des modalités d'imagerie.

Les travaux présentés dans ce manuscrit portant sur l'élastographie par ultrasons, les approches associées seront présentées plus en détail dans la suite du manuscrit (cf. III.2). Avant cela, deux exemples d'élastographie, en IRM et en optique, sont donnés pour illustration.

### III.1.1 Elastographie par résonance magnétique

L'élastographie par résonance magnétique (ERM) a principalement été développée pour des méthodes dynamiques continues [44-46], mais il peut aussi être mentionné certains travaux sur des approches quasi-statiques [47, 48], et plus récemment passives [49]. L'ERM dynamique peut être résumée en trois étapes illustrées en figure 1.2. Une source vibratoire est d'abord placée à la surface du corps pour générer des ondes de cisaillement basses fréquences (généralement dans la gamme 20 – 200 Hz [44]) dans le milieu. Les micro-déplacements causés par la propagation des ondes sont ensuite imagés grâce à l'utilisation de séquences d'IRM spécifiques incluant des gradients d'encodage du mouvement, encore appelés gradients de sensibilisation au mouvement. Enfin, les champs de déplacements ainsi obtenus sont utilisés pour reconstruire les paramètres d'intérêt [50-53]. Un exemple d'image des déplacements tissulaires, que l'on trouve également sous la dénomination d'"images d'ondes" dans la littérature est présenté en figure 1.2b. Des modifications dans les propriétés mécaniques du milieu sont associées à des variations de la longueur d'onde de l'onde de cisaillement observable sur ces cartes. En effet, pour une fréquence donnée, la longueur d'onde est d'autant plus longue que le milieu est rigide. La figure 1.2c présente l'image de module de cisaillement obtenue à partir des champs de déplacements. Sur cette image, le foie présente un module de cisaillement plus faible que la rate, en accord avec les longueurs d'onde observables pour ces deux organes sur l'image des déplacements.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Illustration des différentes étapes de l'ERM. (a) image IRM conventionnelle dans la région du foie et de la rate, et position de la source vibratoire, (b) image des déplacements tissulaires produits par la propagation des ondes de cisaillement dans le milieu (µm) et (c) élastogramme représentant le module de cisaillement (kPa). Ici, la rate, plus rigide, apparaît avec une valeur de module plus élevée que le foie. Sur l'image des déplacements (b), la longueur d'onde apparaît également plus importante au niveau de la rate qu'au niveau du foie. En (b) et (c) les résultats issus de l'élastographie ont été superposés à l'image IRM (a) [44].</figcaption></figure>

### III.1.2 Elastographie par cohérence optique

L'élastographie par cohérence optique (OCE) a fait l'objet de nombreux développements, avec des approches quasi-statiques, dynamiques avec une sollicitation mécanique continue (excitation harmonique) ou transitoire, mais aussi passive [23, 42, 54, 55]. L'OCE a été développée à partir de la tomographie par cohérence optique (OCT) qui utilise la lumière proche infrarouge et la capacité des tissus biologiques à la diffuser. En quasi-statique, une lente compression est appliquée au milieu et le déplacement résultant est estimé par des méthodes de suivi de speckle ou de mesure de variations de phase. Cela permet d'obtenir des images de déformation reflétant les propriétés mécaniques du milieu [11, 56], une région se déformant d'autant moins qu'elle est plus rigide. En complément, certaines méthodes estiment la contrainte appliquée en parallèle de la déformation, permettant d'obtenir des cartes du module d'Young en kPa [41, 57]. Une illustration d'expérience OCE quasi-statique est montrée en figure 1.3.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Illustration de l'OCE quasi-statique dans un tissu de sein excisé présentant un carcinome canalaire infiltrant. (a) coupe histologique, (b) image OCT *en face*, et (c) élastogramme représentant le module d'Young (kPa) superposé à l'image OCT. Les différentes régions du milieu sont indiquées par : A=tissus adipeux, S=stroma et T=tumeur. Sur l'élastogramme, la tumeur apparaît en rouge, plus rigide que le milieu environnant en bleu [41].</figcaption></figure>
### III.2 Elastographie ultrasonore

L'élastographie ultrasonore a été largement développée depuis les années 90, et propose désormais un grand nombre d'approches. Comme expliqué précédemment, celles-ci dépendent principalement de la nature de la contrainte utilisée et du/des paramètre(s) estimé(s), bien qu'il existe aussi des variations dans ces différentes catégories. Un aperçu des principales techniques d'élastographie ultrasonore est proposé ci-dessous. De plus amples informations sont également disponibles dans les articles suivants [58–60].

#### III.2.1 Méthodes quasi-statiques

En régime quasi-statique, l'élastographie repose sur l'étude du déplacement tissulaire induit par une contrainte lente, consistant en général en des cycles de compression/décompression appliqués précautionneusement par l'opérateur à l'aide de la sonde échographique [61]. Cependant, il peut également être fait mention d'autres études, impliquant l'emploi de dispositifs spécifiques pour comprimer le milieu [62, 63], ou l'utilisation de contraintes physiologiques telles que la pulsation artérielle [64–66] ou le cycle respiratoire [67]. Les déplacements et les déformations internes induits par la contrainte sont estimés à partir des données ultrasonores acquises au cours du mouvement et grâce à l'utilisation d'algorithmes dédiés (cf. section IV.1). Certaines études proposent également de résoudre le problème inverse pour reconstruire des paramètres mécaniques du milieu (cf. section IV.2). Néanmoins, les difficultés inhérentes à ces approches font que l'élastographie ultrasonore quasi-statique reste essentiellement une méthode d'imagerie des déformations, et ce, particulièrement pour l'utilisation de cette technique en clinique. Elle permet de révéler les variations du module d'élasticité au sein d'un milieu, car sous l'action d'une même contrainte, une région se déforme d'autant moins qu'elle est rigide.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Illustration de l'élastographie quasi-statique : (a) schéma de la méthode sur lequel les traits pointillés représentent le déplacement tissulaire induit par la compression du milieu avec la sonde (flèche bleue), (b) image échographique et (c) image de la déformation axiale. Ces résultats sont obtenus pour une patiente souffrant d'un carcinome canalaire infiltrant (cancer) du sein. Sur l'élastogramme, la lésion est clairement mise en évidence avec une déformation plus faible, et apparaît donc plus rigide que le milieu environnant.</figcaption></figure>

#### III.2.2 Principe ARFI

Une seconde approche consiste à déformer localement le milieu en produisant avec la sonde d'imagerie un faisceau focalisé [68, 69]. En effet, grâce à la capacité d'absorption d'un milieu, la focalisation des ultrasons entraine la création d'une force de radiation acoustique à l'origine d'un
petit déplacement local des tissus. Cette approche est appelée ARFI (Acoustique Radiation Force Impulse). Par rapport aux méthodes quasi-statiques, elle permet de s'affranchir de la compression manuelle, mais l'obtention d'une image nécessite de répéter ces impulsions ARFI plusieurs fois, en des points différents, ce qui a un impact significatif sur le temps d'acquisition [70]. De plus, contrairement aux méthodes quasi-statiques qui fournissent des images de déformation, l'information fournie avec ce type d'approche est essentiellement une image des déplacements, le déplacement étant d'autant plus faible que la région explorée est rigide. Une illustration est proposée en figure 1.5.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.5 – Illustration de l'élastographie ARFI : (a) schéma de la méthode sur lequel les traits pointillés représentent le déplacement tissulaire induit par la force de radiation (rouge), (b) échographie réalisée chez un homme sain montrant l'interface foie/rein (flèches noires) et la vésicule biliaire (flèche blanche) [69]. La flèche pointillée noire indique la présence de tissus graisseux. (c) Image du déplacement (µm) superposée à l'image mode B, dont les variations reflètent les différences de propriétés mécaniques des tissus imagés.</figcaption></figure>

### III.2.3 Méthodes dynamiques

Les approches dynamiques exploitent la propagation des ondes de cisaillement dans les milieux. Afin de pouvoir suivre le déplacement de ces ondes au cours du temps, ces méthodes nécessitent l'utilisation de cadences d'acquisition (signal/image) rapides. Une première approche est l'élastographie transitoire 1D, avec le *Fibroscan®* (fig. 1.6-a). Ce dispositif est constitué d'une sonde ultrasonore mono-élément haute fréquence sur laquelle est adapté un système vibratoire délivrant de courtes impulsions mécaniques basses fréquences (1 cycle à 50 Hz) à la surface du milieu [45, 70-72]. La propagation de l'onde de cisaillement engendre une déformation du milieu qui est mesurée au cours du temps le long d'une ligne de tir ultrasonore. Ainsi, la déformation du signal au cours du temps peut être produite (fig. 1.6-b). La vitesse des ondes de cisaillement est ensuite estimée à partir de ces images. Avec cette approche, il n'est pas possible de produire des cartographies des propriétés mécaniques et seules des valeurs de modules d'Young sont estimées. Pour cette raison, cette technique est plus adaptée aux maladies diffuses, et le *Fibroscan®* a d'ailleurs été conçu pour le diagnostic des maladies du foie (fig. 1.6).
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 1.6 – Illustration de l'élastographie transitoire 1D : (a) schéma de la méthode sur lequel les traits pleins représentent la propagation des ondes de cisaillement induites par un système vibratoire couplé à la sonde (flèche bleue), (b) déformation estimée le long d'une ligne de tir ultrasonore au cours du temps dans un foie fibrotique de grade F2, et (c) module d'Young mesuré à différents stades de fibrose du foie [72].</figcaption></figure>

Une seconde approche reprend le principe ARFI, en s'intéressant cette fois-ci aux ondes de cisaillement générées par la force de radiation acoustique [73-75] (fig. 1.7-a1). En effet, le mouvement tissulaire dû à la force de radiation peut être assimilé à une source ponctuelle d'onde de cisaillement [19]. La vitesse de ces ondes est ensuite estimée grâce à des méthodes de temps de vol. Cependant, les ondes de cisaillement sont très rapidement atténuées, limitant fortement la zone d'exploration. Ainsi, comme pour la technique ARFI précédente, il est nécessaire de répéter l'opération plusieurs fois afin d'imager l'ensemble du milieu, au détriment du temps d'acquisition. Pour dépasser cette limite, une autre approche consiste à générer rapidement plusieurs sources ponctuelles à des profondeurs successives pour créer des interférences constructives d'onde de cisaillement (fig. 1.7-a2). Cela permet de créer des fronts d'onde plans de fortes amplitudes (cône de Mach), capables d'illuminer une large zone du milieu [33, 70, 76]. Cette technique est appelée élastographie par onde de cisaillement supersonique. Ces approches permettent de reconstruire des cartes de modules élastiques (en kPa). De ce fait, les méthodes dynamiques sont considérées comme étant des méthodes d'imagerie quantitative [24].
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 1.7 – Illustration de méthodes d'élastographie dynamique : (a) schéma de la méthode sur lequel les traits pleins représentent la propagation des ondes de cisaillement induites par la force de radiation (rouge). La première ligne montre l'élastographie ARFI avec (b1) l'image échographique et (c1) l'image ARFI correspondante, dans la région postérieure de la prostate, sur lesquelles la lésion est indiquée par la flèche blanche [77]. La deuxième ligne montre l'élastographie par onde de cisaillement supersonique avec (b2) l'image échographique du sein d'une patiente présentant un carcinome canalaire infiltrant, et (c2) l'image du module d'Young (en kPa) superposée à l'échographie. La tumeur apparaît beaucoup plus rigide (en rouge) que les tissus sains environnants [43].</figcaption></figure>

### III.2.4 Méthodes passives

L'élastographie passive repose aussi sur le suivi de la propagation des ondes de cisaillement au sein du milieu par l'imagerie ultra-rapide. Cependant, contrairement aux techniques dynamiques, elle ne requiert pas l'utilisation de systèmes spécifiques pour générer les ondes de cisaillement. En effet, les mouvements physiologiques, tels que la pulsation artérielle ou la respiration, sont autant de sources d'ondes de cisaillement pouvant être exploitées grâce à l'utilisation de méthodes particulières de corrélation de bruit [31]. De manière analogue à l'élastographie dynamique, l'élastographie passive peut permettre d'obtenir des cartes d'élasticité des milieux. Toutefois, dans la littérature, seules des cartes de vitesses sont estimées. Ces cartes peuvent être directement interprétées comme étant le reflet des propriétés mécaniques du milieu imagé, sachant qu'une onde se déplace d'autant plus vite que le milieu est rigide. La figure 1.8 montre un exemple d'image obtenue avec l'élastographie passive.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 1.8 – Illustration de l'élastographie passive *in vivo* dans la région du foie, avec : (a) image échographique montrant des muscle abdominaux et le foie, (b) carte de vitesse ($m.s^{-1}$) montrant clairement deux régions dans lesquelles les vitesses sont différentes [31].</figcaption></figure>

### III.2.5 Spécificités et complémentarité des techniques pour le diagnostic

Les techniques d'élastographie ultrasonore, comme toutes les techniques d'élastographie, ont pour but d'apporter des informations complémentaires pour le diagnostic. Comme nous venons de le voir, ces techniques sont variées, mais pour les applications cliniques, elles délivrent principalement des cartographies de la déformation axiale (élastographie quasi-statique) ou du module d'Young (élastographie dynamique). Les approches sont différentes, mais l'utilisation de méthodes quasi-statiques et dynamiques peut être relativement complémentaire. Les techniques fournissant des modules élastiques sont ainsi très utilisées pour l'évaluation de la fibrose hépatique, car la valeur du module donne une indication sur le stade de la fibrose. Les images de module trouvent également des applications pour différencier les lésions bénignes des lésions malignes. Cela est aussi l'une des applications majeures de l'élastographie quasi-statique. En effet, si l'on considère une lésion plus rigide que les tissus sains environnants, il est attendu que cette lésion apparaisse avec un module d'Young plus élevé que les tissus sains sur l'image de module, et comme une zone de plus faible déformation sur l'image de déformation axiale.

Les nombreuses études cliniques menées ont conduit à l'introduction de critères pour aider à évaluer le caractère pathologique d'une lésion ou d'un tissu. Dans ce paragraphe, les critères vont être présentés en regard de l'application mammaire, qui a été le sujet de nombreux travaux. Afin de différencier les lésions bénignes des lésions malignes, une première approche, immédiate, repose sur l'observation de l'élastogramme. En élastographie ultrasonore quasi-statique, des caractéristiques de la lésion, et notamment sa taille, sont comparées entre l'image de déformation et l'image échographique. Comme évoqué précédemment, les cancers apparaissent souvent plus rigides que les tissus sains environnants, se traduisant sur les images par une région de faible déformation. De plus, cette région peut s'étendre au-delà de la région hypoéchogène observable sur l'image échographique. Ainsi, des scores, comme le score de Tsukuba, ont été introduits [26]. Ce score est attribué en comparant la taille de la région de faible déformation visible sur l'élastogramme à la taille de la région hypoéchogène visible à l'échographie, une taille plus grande sur l'élastogramme étant en faveur du caractère malin de la lésion. Plus qu'une appréciation qualitative, des études ont également calculé le rapport de l'aire de ces régions [78, 79]. Enfin, un autre critère très utilisé est le rapport de la déformation moyenne entre des tissus sains et une zone anormale, aussi appelé "indice de déformation". Il est attendu que ce rapport soit bien plus élevé pour les cancers que pour les lésions bénignes [24, 80].

Comme pour l'approche quasi-statique, l'évaluation des performances diagnostiques de l'élastographie ultrasonore dynamique a conduit à l'introduction de critères spécifiques. Par exemple avec *Aixplorer®*, qui a été utilisé dans le cadre de nombreuses études, cette technique permet de produire des cartes de module d'Young, affichées avec une gamme de valeurs adaptée à l'application donnée, pour le sein 0 – 180 kPa. Une approche directe consiste donc simplement à observer
l'image de module d'Young en regardant si des valeurs élevées apparaissent dans ou en périphérie de la lésion, des valeurs élevées étant en faveur du caractère malin de la lésion. Il est également possible d'extraire des valeurs de module (valeurs maximales, minimales ou moyennes) au sein de la lésion et du milieu environnant. Ainsi, un rapport des modules entre ces deux régions peut également être estimé [81–84].

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 1.9 – Exemple de résultats obtenus sur une patiente souffrant d'un carcinome canalaire infiltrant (cancer) du sein. (a) image échographique montrant la lésion (flèche) et (b) image des déformations obtenue en élastographie quasi-statique. La lésion est clairement mise en évidence avec une déformation plus faible, et apparaît donc plus rigide que le milieu environnant. Les images (a) et (b) ont été obtenues avec un échographe *Ultrasonix* (Ultrasonix Medical Corporation, Canada) et une méthode d'estimation de la déformation développée dans notre laboratoire [85]. (c) image du module d'Young de la même région, obtenue avec un échographe *Aixplorer®* (SuperSonic Imagine, France) doté d'un module d'élastographie dynamique (par ondes de cisaillement). Il peut être observé pour ce cas, que la lésion n'est pas détectable sur l'image (c). Les deux régions d'intérêt, cercles sélectionnés dans la tumeur et dans une région supposée saine, indiquent en effet des valeurs de module moyen proches et faibles, respectivement 6.99 kPa et 4.51 kPa.</figcaption></figure>

Enfin, de nombreuses études ont montré une amélioration des performances diagnostiques en combinant l'élastographie quasi-statique avec l'échographie, par rapport à l'échographie seule [80, 86, 87]. De plus, des travaux récents comparant l'élastographie quasi-statique et l'élastographie dynamique ont rapporté des performances similaires pour les deux techniques [88–90]. Cela tend à prouver qu'il est important de continuer à les développer, sachant qu'elles pourraient se substituer dans le cas de la défaillance de l'une ou de l'autre (Fig. 1.9).

# IV Elastographie ultrasonore quasi-statique

En élastographie quasi-statique, l'estimation précise des champs de déplacements et de déformations est une étape primordiale. En effet, nous avons vu précédemment que cette technique est essentiellement une imagerie de la déformation axiale des tissus, et toute utilisation de l'élastographie pour le diagnostic repose sur une interprétation directe de ces images. Cependant, outre la déformation axiale, l'imagerie du tenseur de déformation apparaît également essentielle pour l'analyse des tissus, non seulement pour une visualisation complète de leur réponse à une compression, mais également pour la reconstruction de leurs propriétés mécaniques.

Cette section a pour but de présenter un état de l'art des méthodes d'estimation des déplacements et des déformations, ainsi que des méthodes de reconstruction des propriétés mécaniques existantes. Enfin, une vue d'ensemble concernant les méthodes utilisées et développées dans ce travail pour l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques sera proposée.
# IV.1 Estimation des champs de déplacements et de déformations

## IV.1.1 Une grande variété d'approches

Depuis les premiers travaux en élastographie ultrasonore quasi-statique, de nombreuses méthodes d'estimation locale des déplacements/déformations d'un milieu soumis à une compression ont été publiées. Présenter de manière exhaustive les différents développements réalisés est impossible, et l'objectif de cette section est, par conséquent, de donner au lecteur un aperçu des méthodes existantes. Comme évoqué précédemment, l'estimation des déplacements est réalisée à partir des données ultrasonores acquises avant et après, ou au cours, de la compression du milieu. La très grande majorité des travaux de la littérature utilise les données ultrasonores radiofréquences (RF), mais il est aussi possible de trouver des études où l'estimation des déplacements est réalisée à partir de données mode B conventionnelles, ou à partir de ces deux types de données, les images conventionnelles étant utilisées pour estimer grossièrement les déplacements, tandis que les données RF servent à raffiner ces estimations [91-93]. Concernant les méthodes, celles-ci ont largement évolué : les premiers développements ont porté sur l'estimation 1D des déplacements et les plus récentes offrent une estimation 2D voire 3D.

En effet, dans les premières approches, l'analyse du mouvement des tissus s'est limitée aux déplacements 1D se produisant le long des signaux RF (déplacement axial), ce qui correspond également à la direction de la compression du milieu lorsque celle-ci est appliquée à l'aide de la sonde échographique. Les méthodes 1D font l'hypothèse que sous l'action d'une faible compression, le milieu va subir localement un mouvement de translation, uniquement le long de la direction axiale. Cette translation se traduit sur le signal RF par un déphasage de la signature acoustique correspondante, conduisant à la mise en œuvre des méthodes dites du retard temporel. Ces dernières divisent le signal RF en de multiples régions d'intérêt (ROI) 1D et évaluent pour chacune de ces ROI, le déphasage produit par la compression du milieu [6, 61]. Elles ne prennent donc en compte qu'une simple translation pour décrire le mouvement des tissus. D'autres méthodes ont par conséquent été proposées afin de tenir compte d'une possible variation de la forme du signal, décrivant ainsi un mouvement non rigide du tissu. Il s'agit des méthodes dites du facteur d'échelle [94, 95]. Cependant, lorsque l'on comprime un milieu biologique, celui-ci se déforme dans les trois dimensions. Afin d'estimer plus précisément le déplacement (et donc la déformation) axial, des méthodes d'estimation 2D ont été développées. La plupart des approches reposent sur l'utilisation de ROI (généralement 2D) et sur le suivi de speckle, même s'il existe des méthodes effectuant une estimation du déplacement au niveau du pixel. Plus précisément, considérons deux images, $I_1$ et $I_2$, acquises à deux niveaux de compression différents. La première est divisée en de nombreuses ROI, de manière régulière, mais avec un chevauchement de ces régions. Pour chaque ROI de $I_1$, sa version déformée est recherchée dans $I_2$, via la maximisation d'un critère de similarité ou la minimisation d'une différence entre les régions acquises avant et après compression. L'approche la plus simple consiste à considérer que la déformation du milieu se traduit localement au sein des images par un simple déplacement des ROI (déplacement spécifique pour chaque ROI) qui est modélisé par une translation [96]. À partir de ce modèle, des techniques plus ou moins complexes ont été développées, impliquant par exemple l'utilisation de schémas multi-échelles et/ou de régularisation [25, 97]. Enfin, d'autres approches utilisent une transformation affine pour décrire localement les modifications entre $I_1$ et $I_2$ [98, 99].

Cependant, en élastographie ultrasonore, l'estimation des déplacements latéraux reste moins précise que celle des déplacements axiaux en raison des caractéristiques des données RF, c.-à-d. de la résolution ultrasonore et de l'échantillonnage des données plus fins dans la direction axiale (caractère anisotrope des images RF). De plus, ces méthodes 2D ignorent le mouvement en élévation (hors plan) bien qu'il puisse être une source importante de décorrélation. Les développements les plus récents dans le domaine de l'imagerie ultrasonore, notamment la recherche
sur de nouvelles sondes pour l'acquisition de volumes, contribuent au développement d'estimateurs du mouvement 3D. Toutefois, peu de méthodes ont été proposées à ce jour et elles sont d'ailleurs des extensions à la troisième dimension d'estimateurs 2D déjà existants. Il doit être souligné que les données majoritairement acquises en imagerie ultrasonore sont des séquences d'images et non pas de volumes, conduisant à considérer plus particulièrement les méthodes 2D. Enfin, des approches spécifiques ont été mises en œuvre afin d'obtenir des estimations plus précises des déplacements latéraux, et d'accéder ainsi à l'imagerie du tenseur des déformations. Ces approches sont décrites ci-dessous.

## IV.1.2 Estimation du déplacement latéral : des approches spécifiques

De nombreuses méthodes ont donc été introduites dans la littérature pour l'estimation des déplacements. Cependant, les déplacements orthogonaux à la direction axiale sont généralement bruités, rendant inexploitables les composantes du tenseur de déformation utilisant ces déplacements. C'est pourquoi des méthodes spécifiques ont été proposées afin d'améliorer l'estimation du déplacement, en particulier du déplacement latéral.

Certains développements mettent l'accent sur l'acquisition des données utilisées, l'idée étant d'obtenir des données ultrasonores plus adaptées au problème posé par rapport aux données classiquement acquises. Par exemple, dans les travaux de Techavipoo et al. [100] et Xu and Varghese [101], le déplacement est déterminé à partir d'estimations faites sur des données acquises suivant plusieurs angles d'insonification. Selladurai and Thittai [102] ont proposé d'utiliser une sonde échographique spécifique afin d'obtenir des images RF avec une densité de lignes plus importante et ainsi aboutir à une estimation plus précise des déplacements latéraux. Cette sonde comporte un moteur intégré permettant de déplacer le réseau de transducteurs à des positions "sub-pitch". Il a été montré que l'acquisition de signaux RF supplémentaires produisait des résultats (dans cette étude, des élastogrammes de rotation) avec des rapports contraste/bruit (CNR) plus élevés que ceux de l'imagerie conventionnelle. Enfin, des images RF spécifiques plus adaptées au suivi du déplacement latéral des tissus ont également été décrites dans [103, 104]. Ces images RF incluent des oscillations latérales, résultant d'une formation de voies particulière.

D'autres approches se concentrent davantage sur la méthode d'estimation des déplacements elle-même pour réduire le bruit dans les champs de déformation, impliquant notamment des techniques modifiées de mise en correspondance de blocs et/ou de régularisation [98, 99, 105-108]. Certaines méthodes intègrent, en plus du mouvement rigide (translation 2D), une transformation affine des ROI entre les images $I_1$ et $I_2$. Cela permet de réduire le bruit de décorrélation en prenant en compte les variations de forme qui se produisent au sein des ROI en raison de la déformation du milieu. De plus, ces techniques ont l'avantage de proposer un accès direct aux champs de déformations et donc d'éviter le calcul de dérivées.

Pour finir, cette description des méthodes ne saurait être achevée sans évoquer l'introduction récente des approches basées sur les réseaux de neurones [109-111]. Ce domaine de recherche en pleine émergence avec d'innombrables applications y compris en imagerie médicale, permet aussi des développements nouveaux en élastographie. Cependant, ce domaine n'étant pas celui des travaux de cette thèse, ces méthodes ne seront pas présentées de manière plus détaillées.

## IV.1.3 Estimation des champs de déformation

Bien que certaines méthodes d'estimation des déplacements permettent de déduire directement les champs de déformation, par exemple grâce à l'utilisation d'une transformation affine pour décrire les variations des ROI entre les images avant et après compression, les champs de déformation restent généralement obtenus par une opération supplémentaire de dérivation appliquée aux champs de déplacement. La méthode la plus directe consiste à calculer le gradient des
déplacements à l'aide des différences finies. Cependant, les dérivées sont connues pour rehausser le bruit présent dans les données, résultant en général pour les déformations autres que la déformation axiale en des images dominées par le bruit, où aucune interprétation n'est rendue possible. Une autre approche, proposée par Kallel and Ophir [112], est d'utiliser la méthode des moindres carrés pour estimer les déformations. L'idée est d'approximer les déplacements estimés par une fonction linéaire par morceaux et d'ajuster les paramètres avec la méthode des moindres carrés. Les coefficients directeurs des approximations linéaires représentent alors la déformation locale. Cette méthode permet de diminuer l'amplification du bruit liée aux dérivées dans les champs de déformations. Néanmoins, ce résultat est obtenu au prix d'une réduction du contraste de déformation et de la résolution spatiale.

Pour finir, il est à noter que les images de déformation permettent une visualisation indirecte des propriétés mécaniques du milieu étudié. Si des études ont déjà montré que les cartes de déformation pouvaient être suffisantes pour détecter des zones anormales dans les tissus, le développement de méthodes de reconstruction des propriétés mécaniques pourraient bénéficier aux applications cliniques, notamment dans le cas de maladies diffuses où la valeur du module joue un rôle prépondérant.

## IV.2 Reconstruction des propriétés mécaniques

L'estimation des propriétés mécaniques en tant que telles (ex. module de Young, module de cisaillement, viscosité...) nécessite une seconde étape de traitement. En effet, si les champs de déformation estimés précédemment donnent une indication sur les propriétés mécaniques du milieu imagé, la contrainte reste inconnue, empêchant une estimation directe de ces propriétés. De plus, supposer la contrainte constante est problématique, car celle-ci présente généralement une décroissance avec la profondeur ainsi que des variations locales dues à l'hétérogénéité des milieux imagés [16, 113]. Récemment, Lamprecht et al. [114] ont proposé une technique permettant de calculer analytiquement une distribution de la contrainte grâce à la solution de Love [115] et à la mesure de la force appliquée. Cependant, cette méthode ne prend que partiellement en compte le caractère non-uniforme de la contrainte, car le milieu est supposé homogène. Afin de s'affranchir de la connaissance de la contrainte, des méthodes ont été développées pour résoudre le problème inverse.

L'une des premières approches proposées est l'inversion directe [116, 117]. Ces méthodes se basent sur la résolution directe des équations d'équilibre (1.8), obtenues en substituant les termes de contraintes par leur expression donnée par la loi de comportement choisie. Si on suppose que le milieu est élastique linéaire et isotrope et que le coefficient de Poisson est constant sur le milieu et connu, seule la distribution du module d'Young reste à déterminer [116]. Cependant, ces méthodes impliquent généralement de connaître un autre paramètre, tel que le module de Young à la surface $E_0$, pour fournir une valeur quantitative (en kPa). De plus, résoudre les équations d'équilibre impose de calculer des dérivées secondes du déplacement, connues pour amplifier le bruit dans les données, impactant la qualité des cartes de module reconstruites.

Une seconde approche reformule le problème inverse sous la forme d'un problème d'optimisation. Dans cette approche, les paramètres d'intérêt sont modifiés de manière itérative jusqu'à, par exemple minimiser l'erreur entre les déplacements ou les déformations déterminés par la résolution du problème direct et les données expérimentales [4, 118-121]. D'une manière générale, une représentation théorique du problème est réalisée à l'aide d'un modèle FEM (Méthode par éléments finis). Ce modèle est construit avec certaines hypothèses, notamment sur la loi de comportement et sur les conditions aux limites, puis maillé et initialisé avec des propriétés mécaniques admissibles. À chaque itération, une fonction d'erreur ($\Phi = \| \phi_{simule} - \phi_{mesure} \|$) est calculée. Le modèle est mis à jour jusqu'à ce que le minimum de la fonction $\Phi$ soit atteint. Mousavi et al.
[122] proposent une approche similaire où le but est de minimiser la variation du module d'Young entre deux itérations (|| $E^{i+1} - E^i$||< tol). Différentes stratégies ont également été proposées pour initialiser le modèle. Si par exemple, pour Doyley et al. [123], aucune contrainte de géométrie interne n'est introduite, d'autres travaux ont utilisé un modèle paramétrique par éléments finis (PFEM), où plusieurs régions propres au milieu sont définies et pour lesquelles une seule valeur de module élastique est estimée [4]. Un modèle PFEM est spécifique au problème étudié et peut être nécessaire dans certains cas afin de limiter les problèmes de stabilité. Dans tous les cas, les valeurs des paramètres mécaniques du modèle à la solution sont supposées être proches de ceux du milieu. L'inconvénient principal de ces méthodes est que la construction du modèle FEM nécessite d'introduire des conditions aux limites, généralement inconnues dans le cadre des applications médicales. De plus, un problème direct doit être résolu à chaque itération, ce qui peut être coûteux en terme de temps.

Récemment, Hoerig et al. [124, 125] ont proposé d'utiliser le CaNNCM (modèle constitutif de réseau de neurones cartésien) et la méthode autoprogressive (AutoP), pour résoudre le problème inverse. Le principal avantage de cette approche est qu'elle ne nécessite aucune hypothèse préalable sur les propriétés mécaniques du milieu étudié, car le réseau de neurones prend la place du tenseur des rigidités élastiques (1.9). L'inconvénient est qu'une série de mesures déplacement-force appliquée au milieu doit être au préalable effectuée. Deux modèles éléments finis ($FEA_σ$ et $FEA_ε$) sont créés afin de calculer séparément les champs de contraintes et de déformations à partir des forces mesurées et des déplacements estimés. Ces deux modèles FEA sont reliés l'un à l'autre par le CaNNCM, capable d'apprendre les paramètres spatiaux et mécaniques pour mettre à jour les modèles. Ces opérations sont répétées jusqu'à ce que des erreurs, basées sur le déplacement calculé par le modèle et celui mesuré, soient inférieures à des seuils prédéfinis ou qu'un nombre maximal d'itérations soit atteint. Cette méthode a été dernièrement étendue en 3D [126].

En dépit de ces nombreux développements, reconstruire les propriétés mécaniques des tissus reste complexe à mettre en œuvre et les méthodes souffrent souvent de la présence de bruit dans les données, notamment dans les champs de déformation. Il semble donc intéressant de continuer à développer ces méthodes et les travaux réalisés au cours de ces trois années de thèse entrent dans ce cadre.

### IV.3 Objectifs des travaux de thèse : vers l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques

Dans ces travaux de thèse, nous nous intéressons donc à l'analyse des propriétés élastiques des tissus biologiques en élastographie ultrasonore quasi-statique. Pour cela, l'approche développée peut être décomposée en quatre étapes résumées ainsi :

1. Acquisition des données

2. Estimation des champs de déplacement initiaux : méthode détaillée ci-après

3. Imagerie du tenseur de déformation : chapitre 2

4. Imagerie des propriétés élastiques : chapitres 3 et 4

L'estimation des champs de déplacement est une étape primordiale en élastographie quasi-statique. Les travaux réalisés et présentés dans ce document se sont appuyés sur une méthode développée antérieurement au sein de notre laboratoire [79, 127]. Cette méthode permet une estimation des déplacements et déformations axiaux avec la prise en compte du déplacement latéral. Elle est présentée plus en détail ci-dessous.
Estimation des déplacements : description de la méthode initiale

Soient deux images acquises à deux niveaux de compression différents notées, $I_1$ et $I_2$. La première est divisée en de nombreuses ROI, de manière régulière, mais avec un chevauchement et pour chacune de ces ROI, sa version déformée est recherchée dans $I_2$. Contrairement aux méthodes 2D classiques qui ne considèrent qu'une translation pour décrire le mouvement, un modèle direction-spécifique, adapté au caractère anisotrope des données ultrasonores RF a été utilisé. Dans la direction axiale, le signal ultrasonore RF après compression est modélisé comme une réplique localement translatée et comprimée du signal initial. Lorsqu'ils sont axialement comprimés, les tissus biologiques se dilatent dans les deux autres directions. Par conséquent, une modélisation similaire intégrant translations et facteurs d'échelle pourrait être utilisée pour décrire les modifications latérales de l'image. Cependant, la résolution et l'échantillonnage latéraux des données RF, plus grossiers que le long de la direction axiale, rendent difficiles l'estimation précise d'un facteur d'échelle dans cette direction et seule une translation latérale est donc localement prise en compte.

Ainsi, pour chaque ROI 2D sélectionnée sur $I_1$, sa version déformée est recherchée dans $I_2$ et les paramètres du modèle sont estimés. La méthode comprend essentiellement trois étapes : un déplacement adaptatif de la région d'étude entre les images avant et après compression est d'abord réalisé (permettant de restreindre de manière significative la zone de recherche de la ROI déformée, et par conséquent les valeurs admissibles des paramètres liés à la translation), puis l'estimation conjointe des paramètres est effectuée via l'optimisation sous contraintes du coefficient de corrélation, coefficient traduisant la correspondance atteinte entre les régions pré- et post-compression. Enfin, une régularisation est localement appliquée pour les données dont l'estimation est associée à un coefficient de corrélation insuffisamment proche de 1. En effet le coefficient de corrélation fournit une indication sur la correspondance obtenue lors de l'estimation des paramètres : plus la valeur est proche de 1, meilleure est la mise en correspondance, c.-à-d. la similarité. Plusieurs situations peuvent conduire à des valeurs de coefficient de corrélation bien inférieures à 1 à la solution, comme des erreurs dans l'estimation des paramètres ou des variations de ROI entre images trop complexes pour être correctement décrites par le modèle utilisé. Dans le cas d'une correspondance insuffisante, c.-à-d. lorsque le coefficient de corrélation est inférieur à un seuil *Th*, les estimations sont étiquetées comme non fiables et une régularisation locale est appliquée pour assurer une continuité avec des estimations spatialement proches et dont la valeur du coefficient de corrélation est supérieure au seuil. La valeur du seuil *Th* est fixée à 0.75, valeur qui a été jugée adaptée pour l'analyse des tissus biologiques. Elle a été déterminée empiriquement lors de travaux précédents réalisés à *CREATIS*. Une fois les paramètres estimés sur toute l'image, le champ de déformation axiale ($\varepsilon_2$) se déduit directement de celui des facteurs d'échelle ($\alpha$), sans nécessité d'effectuer un calcul de dérivée ($\varepsilon_2 = \alpha - 1$).

Enfin, en élastographie, des séquences d'images RF sont typiquement acquises. Avec notre méthode, les paramètres sont calculés entre paires d'images RF successives, afin de limiter les erreurs dues aux mouvements hors plan. En effet, de tels mouvements devraient être plus faibles entre deux images successives qu'entre la première et la dernière image de la séquence considérée. Les champs de déplacement finaux sont alors obtenus en combinant la contribution des différentes paires d'images (fig. 1.10).
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

FIGURE 1.10 – Exemple de champs de déplacement obtenus avec un fantôme CIRS 059 lors d'une expérience d'élastographie ultrasonore quasi-statique : (a) déplacement axial et (b) déplacement latéral.

Cette méthode est précise pour l'estimation du déplacement axial et de la déformation axiale. En revanche, le déplacement latéral est bruité et nécessite des améliorations avant de pouvoir être utilisé pour imager le tenseur de déformation ou reconstruire une cartographie du module d'Young. Ces deux axes ont constitué les travaux de thèse.

## Application pour l'imagerie du sein

Pour finir, ce travail de thèse a été réalisé en vue d'une application pour l'imagerie du sein.

Aujourd'hui, la détection et la caractérisation de pathologies du sein, qu'elles soient bénignes (fibroadénome, kyste...) ou malignes (cancer), reste un enjeu primordial. En effet, le cancer du sein est le cancer le plus fréquent chez la femme dans le monde, au vu du nombre de nouveaux cas (incidence) et du nombre de décès [128-130]. Afin de détecter précocement cette pathologie, un dépistage organisé a été mis en place dans notre pays, invitant tous les deux ans, les femmes de 50 à 74 ans à une mammographie de dépistage. La mammographie est la technique de référence utilisée pour l'imagerie du sein à laquelle peut s'ajouter l'échographie, et/ou dans certains cas l'IRM. L'échographie est utilisée soit en complément, suite à une mammographie suspecte car elle permet de caractériser plus précisément certaines anomalies [131], soit en remplacement notamment chez les femmes jeunes afin de limiter l'exposition aux rayons X [132, 133]. De plus, chez les femmes jeunes les seins sont généralement plus denses ce qui rend plus difficile la lecture de la mammographie. Que ce soit à partir de la mammographie ou de l'échographie, l'interprétation d'une anomalie repose sur des critères spécifiques observés sur les images (par exemple pour l'image échographique : la forme de la lésion, son orientation, l'aspect de ses contours ...). En fonction des observations faites, le/la radiologue attribue un score au cas examiné (classification BI-RADS®, *Breast Imaging - Reporting And Data System*, de l'American College of Radiology [134]). Ce score reflète le degré de suspicion de son caractère pathologique et est associé à une conduite à tenir / à une prise en charge spécifique. En particulier, des procédures supplémentaires comme des biopsies, qui consistent à prélever des échantillons tissulaires pour réaliser une analyse histologique, sont souvent pratiquées. Cependant, nombre de ces biopsies se révèlent finalement être effectuées pour des lésions bénignes. Il demeure donc aujourd'hui un besoin pour une meilleure différentiation entre lésions bénignes et malignes.

Depuis quelques années, l'élastographie ultrasonore est intégrée aux échographes cliniques, pouvant apporter des informations complémentaires lors de l'examen, et la cinquième édition de l'atlas échographique BI-RADS inclut d'ailleurs l'évaluation des lésions mammaires par élastographie [135]. De plus, un certain nombre d'études ont montré une amélioration des performances diagnostiques des lésions du sein avec l'utilisation de l'élastographie par rapport à une simple échographie [80, 136, 137].
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<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Chapitre 2

## Imagerie du tenseur de déformation

### Sommaire

<table><tr><td>I</td><td>Introduction</td><td>32</td></tr><tr><td>II</td><td>Méthode de régularisation</td><td>33</td></tr><tr><td></td><td>II.1 Motivations</td><td>33</td></tr><tr><td></td><td>II.2 Description de la méthode</td><td>33</td></tr><tr><td></td><td>II.3 Sélection des coefficients de pondération</td><td>34</td></tr><tr><td>III</td><td>Résultats</td><td>38</td></tr><tr><td></td><td>III.1 Critères d'évaluation</td><td>38</td></tr><tr><td></td><td>III.2 Simulations numériques</td><td>39</td></tr><tr><td></td><td>III.2.1 Présentation des données simulées</td><td>39</td></tr><tr><td></td><td>III.2.2 Résultats</td><td>40</td></tr><tr><td></td><td>III.3 Données expérimentales de fantômes</td><td>41</td></tr><tr><td></td><td>III.3.1 Description des fantômes et acquisition des données ultrasonores</td><td>41</td></tr><tr><td></td><td>III.3.2 Résultats</td><td>41</td></tr><tr><td></td><td>III.4 Lésions mammaires in vivo</td><td>45</td></tr><tr><td></td><td>III.4.1 Acquisition des données</td><td>45</td></tr><tr><td></td><td>III.4.2 Résultats</td><td>45</td></tr><tr><td>IV</td><td>Discussion</td><td>49</td></tr><tr><td>V</td><td>Conclusion</td><td>52</td></tr></table>
# I Introduction

L'élastographie ultrasonore quasi-statique reste actuellement une méthode d'imagerie des déformations, et plus particulièrement, une méthode d'imagerie de la déformation axiale. En effet, les critères utilisés pour le diagnostic s'appuient principalement sur cette composante de la déformation. Comme nous l'avons vu précédemment, les déplacements latéraux et en élévation (lorsqu'ils sont accessibles), sont généralement de qualité plus grossière, rendant les composantes du tenseur de déformation utilisant ces champs fortement affectées par le bruit. Afin d'imager ce tenseur, des méthodes spécifiques ont donc été développées. Elles se déclinent en deux grandes catégories, l'une modifiant l'acquisition des données ultrasonores, afin d'obtenir des données plus adaptées au problème posé, l'autre agissant directement sur les méthodes d'estimation des champs de déplacement. Concernant la première catégorie, nous pouvons rappeler des travaux où les champs de déplacement sont estimés à partir de séries d'images acquises selon différents angles ultrasonores, ou à partir d'images comportant des oscillations latérales résultant d'une formation de voies particulière, mais aussi d'images RF avec une densité de lignes plus importante, obtenues via l'utilisation d'une sonde spécifique ([1-3], cf. chap. 1, IV.1.2). Dans ces travaux, nous avons souhaité développer une approche qui ne nécessite aucune modification des données et qui soit applicable, quel que soit l'échographe utilisé. Cela nous a amenés à nous intéresser plus particulièrement aux méthodes de régularisation en élastographie.

Les méthodes de régularisation sont nombreuses mais ne produisent généralement qu'un simple lissage des données, en introduisant par exemple des termes de gradient du déplacement ou des dérivées secondes du déplacement en utilisant des normes $L_2$ ou $L_1$, ce qui ne permet pas d'obtenir des champs de déformation latérale ou de cisaillement corrects. En effet, si le déplacement latéral est bien lissé, les régions aux propriétés mécaniques différentes restent peu visibles sur l'image de la déformation latérale. De nombreux travaux ont été effectués sur ce type de méthodes, notamment par le groupe de H. Rivaz, et les résultats présentés ont été limités à la déformation axiale [4-6]. Afin d'obtenir l'ensemble des composantes du tenseur de déformation, il semble donc nécessaire d'introduire un terme supplémentaire permettant de mettre en relation les déplacements axiaux et latéraux. Par exemple, des travaux ont proposé d'utiliser la divergence du déplacement [7] ou les conditions d'équilibre [8]. Les milieux auxquels nous nous intéressons étant des milieux quasi-incompressibles du fait de leur forte teneur en eau, autrement dit la divergence de leur déplacement est proche de 0, utiliser ce terme semble adapté. Cette approche a donc été privilégiée. Par ailleurs, Guo et al. [9] ont proposé une méthode de régularisation utilisant entre autre la propriété de (quasi-)incompressibilité des tissus. Cette méthode a donné des résultats prometteurs, avec une augmentation significative du rapport contraste/bruit (CNR) pour la composante de déformation latérale en particulier.

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'imagerie du tenseur de déformation 2D, et plus précisément à l'amélioration des images de déplacement et de déformation résultant de l'introduction d'une méthode de régularisation spécifique. La méthode développée sera appliquée aux champs de déplacement préalablement estimés à l'aide de la méthode de suivi de mouvement déjà existante au laboratoire CREATIS (Chap. 1). L'ensemble des images de déformation présentées ici seront calculées à partir du gradient des déplacements. Le chapitre est organisé comme suit : une description détaillée de la méthode de régularisation est d'abord fournie, ainsi que la méthodologie utilisée pour sélectionner les coefficients de pondération. Les résultats obtenus à partir de données de simulations numériques, d'expériences sur fantômes et d'examens de patientes sont ensuite présentés et discutés. En particulier, une évaluation de la méthode, lorsqu'elle est appliquée à des données expérimentales, sera effectuée avec le calcul du CNR. Enfin, les conclusions de ces travaux seront présentées.
# II Méthode de régularisation

## II.1 Motivations

L'imagerie de la déformation axiale est un outil précieux pour distinguer des variations de rigidité dans les tissus. Toutefois, comme le rapportent certains auteurs, une estimation complète du tenseur de déformation pourrait fournir des informations supplémentaires utiles sur le milieu. Par exemple, Konofagou and Ophir [10] ont développé une approche basée sur une interpolation pondérée permettant de déduire la distribution du coefficient de Poisson dans les tissus grâce à l'estimation des déformations axiales et latérales. L'évolution temporelle de ce ratio de déformation au cours d'une compression soutenue, également appelé "coefficient de Poisson effectif", est un paramètre évalué pour caractériser les matériaux poroélastiques [11–14]. L'estimation de l'ensemble des composantes du tenseur de déformation pourrait aussi être utile pour aider à la caractérisation des lésions, par exemple via une information sur leur mobilité. En effet, une lésion fermement ancrée dans les tissus environnants est en faveur d'un caractère malin de cette lésion, alors que les lésions bénignes, comme les fibroadénomes, ont tendance à être mobiles à la palpa- tion. Cette information peut être fournie par l'estimation des composantes de la déformation en cisaillement [15–18] ou des élastogrammes de rotation [19, 20]. Une plus ou moins grande mobilité de la lésion devrait se traduire par des caractéristiques de déformation en cisaillement/rotation différentes. L'information de mobilité des lésions pourrait donc être utile lorsque la rigidité seule reste insuffisante pour distinguer les lésions bénignes des lésions malignes. Ces différents éléments traduisent l'intérêt de réaliser une imagerie du tenseur de déformation.

## II.2 Description de la méthode

La méthode proposée ici consiste à régulariser les champs de déplacement précédemment estimés (Chap. 1) en utilisant la propriété de (quasi-)incompressibilité des tissus. Cette régula- risation est effectuée inconditionnellement sur l'ensemble de l'image.

Considérons $\bar{u}$ un déplacement préalablement estimé dans un domaine $\Omega$, dont les composantes axiale et latérale sont respectivement $\bar{u}_2$ et $\bar{u}_1$. Les déplacements régularisés, notés $u_2$ et $u_1$, sont obtenus en résolvant le problème d'optimisation suivant :

Minimiser $F(u_1, u_2)$, avec :

$$ F(u_1, u_2) = \int_{\Omega} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right)^2 + \lambda_2 \int_{\Omega} (u_2 - \bar{u}_2)^2 + \lambda_1 \int_{\Omega} (u_1 - \bar{u}_1)^2 \\ + \beta_2 \int_{\Omega} \left( \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \right)^2 \right) + \beta_1 \int_{\Omega} \left( \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^2 \right) \quad (2.1) $$

où $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\beta_1$, et $\beta_2$ sont les paramètres de régularisation. Ils sont définis comme étant constants et positifs, et permettent de moduler le poids de la régularisation sur les champs. Le premier terme de la fonctionnelle (2.1) est lié à la condition d'incompressibilité du milieu, tandis que les deux suivants sont des termes de fidélité aux données, et les deux derniers des termes de pénalité. Contrairement à la méthode développée par Guo et al. [9], qui utilise également la pro- priété de (quasi-)incompressibilité des tissus pour régulariser les champs de déplacement, notre approche comprend deux termes supplémentaires qui pénalisent les fortes variations spatiales au sein des champs de déplacement axial et latéral. En effet, lors de la première utilisation de cette méthode sans les termes de pénalité, c'est-à-dire avec $\beta_1 = \beta_2 = 0$, et avec notre technique d'estimation du mouvement, nous avons noté que si le champ de déplacement latéral apparaissait
relativement lisse le long de la direction latérale, de petites variations étaient observables le long de la direction axiale conduisant à un effet de "lignes horizontales" [21]. Ces lignes n'affectent pas les champs de déformation latérale, mais dégradent largement les champs de déformation en cisaillement. Lors de la présentation des résultats, des illustrations de ces artefacts (en choisissant $\beta_1 = \beta_2 = 0$) seront données, soulignant la contribution des termes de pénalité et justifiant leur utilisation.

Pour résoudre ce problème d'optimisation, les équations d'Euler-Lagrange sont introduites. Ces équations sont couramment utilisées dans ce type de problème, car elles permettent d'étudier les variations d'une fonctionnelle et plus précisément ses extrema. Ici, elles s'écrivent :

$$ \left\{ \begin{aligned} \lambda_2(u_2 - \bar{u}_2) - (1 + \beta_2) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2} - \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1 \partial x_2} - \beta_2 \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1^2} &= 0 \\ \lambda_1(u_1 - \bar{u}_1) - (1 + \beta_1) \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1 \partial x_2} - \beta_1 \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_2^2} &= 0 \end{aligned} \right. \qquad (2.2) $$

Pour résoudre ce problème, la méthode de descente de gradient est utilisée, ce qui permet de déterminer les champs solutions selon le schéma itératif suivant :

$$ \boldsymbol{u}^{k+1} = \boldsymbol{u}^k - h\mathbf{G}(\boldsymbol{u}^k) \qquad (2.3) $$

avec $h = \frac{\delta x_1^2 \delta x_2^2}{4(\delta x_1^2 + \delta x_2^2)}$ le pas de descente, $\delta x_1$ et $\delta x_2$ l'échantillonnage latéral et axial, et $\mathbf{G}$ le terme de gradient donné par la partie gauche des équations d'Euler-Lagrange (2.2). Les dérivées sont approximées à l'aide de la méthode des différences finies centrées et les conditions limites de Neumann à $\partial\Omega$, $\nabla d\boldsymbol{n} = 0$, avec $\boldsymbol{n}$ la normale extérieure à la frontière. Enfin, la procédure itérative de la descente de gradient (2.2) est initialisée en considérant que les déplacements régularisés sont égaux aux déplacements estimés soit : $u_2^0 = \bar{u}_2$ et $u_1^0 = \bar{u}_1$.

Pour finir, deux critères d'arrêt sont utilisés pour stopper le processus itératif. Le 1er critère d'arrêt est choisi tel que :

$$ \sqrt{\sum_{\text{pixels}} ((u_2^k - u_2^{k-1})^2 + (u_1^k - u_1^{k-1})^2)} < \xi \qquad (2.4) $$

aussi écrit $C_{rite} < \xi$, avec $u_2^k$ et $u_1^k$ les champs de déplacement axial et latéral à l'itération $k$, et $\xi = 10^{-8}$, considérant que les résultats restent quasi inchangés en dessous de ce seuil. Le 2ème critère d'arrêt est choisi comme étant le nombre maximal d'itérations possibles, ici $N = 50000$. Les champs sont ainsi mis à jour jusqu'à ce que l'un des critères d'arrêt soit atteint.

## II.3 Sélection des coefficients de pondération

La méthode de régularisation proposée fait apparaître les coefficients de pondération $\lambda_1, \lambda_2, \beta_1$ et $\beta_2$, dont les valeurs doivent être déterminées. Pour ces premiers travaux, ces poids ont été ajustés manuellement par inspection visuelle des résultats, afin de les améliorer en termes de réduction du bruit, mais aussi en termes de visibilité des inclusions/lésions. Afin d'illustrer l'influence des différents paramètres sur les champs régularisés, les résultats obtenus à partir de données issues d'une expérience sur fantôme seront donnés comme exemple. Il s'agit du fantôme CIRS, modèle 059, cas #1 (cf. section III.3.1 pour plus de détails). Il doit être noté que pour les différents tests effectués, toutes les illustrations ne seront pas fournies. Ne seront affichés que certains exemples permettant de comprendre l'influence des différents coefficients de pondération sur les résultats.

En élastographie ultrasonore quasi-statique, le champ de déplacement latéral est généralement bien plus bruité que le champ axial. Par conséquent, l'objectif ici est de permettre suffisamment
de modifications dans le déplacement et la déformation latérale tout en limitant ces modifications pour les composantes axiales. Cela est possible grâce à une sélection adaptée des valeurs de $λ_1$ et $λ_2$. En effet, pour $λ_1$ et $λ_2$ (fig. 2.1), les déplacements, et donc les champs de déformation, sont modifiés de manière significative lorsque $λ$ est petit (ex. 0.01) mais presque inchangés pour des valeurs plus importantes (ex. 10). Plus précisément, pour $λ_2$ (fig. 2.1-b), des champs de déplacements axiaux très similaires à celui initialement estimé (fig. 2.1-a) peuvent être observés pour les différentes valeurs de $λ_2$, à l'exception de $λ_2 = 0.01$ qui présente de plus fortes variations. De plus, ces champs, lorsqu'ils sont similaires, ont nécessité approximativement le même nombre d'itérations pour être régularisés. Cependant, des changements même imperceptibles dans les déplacements peuvent avoir un impact fort sur les champs de déformation (ex. $λ_2 = 0.1$), et une dégradation de la déformation axiale est observable lorsque $λ_2$ n'est plus suffisamment élevé. Pour $λ_1$, des modifications au sein des champs latéraux sont autorisées en sélectionnant une valeur plus faible, permettant d'améliorer les champs de déplacement et de déformation jusqu'à une certaine mesure (fig. 2.1-c). Par exemple, une valeur de 0.01 conduit à un déplacement latéral régularisé différent, sur le haut de l'image, de celui initialement estimé, et à une déformation en cisaillement un peu plus corrompue par rapport à $λ_1 = 0.055$. Pour autant, si $λ_1$ augmente, le champ de déformation latérale devient moins lisse, ce qui suggère que des valeurs adaptées de $λ_1$ peuvent être choisies entre 0.01 et 0.055.

Ainsi, les coefficients de pondération sont choisis comme étant $λ_2 = 10$ et $λ_1 = 0.03$. Ces valeurs sont valables pour des champs de déplacement en millimètres, et la régularisation modifiera principalement les champs latéraux, tout en assurant que les champs de déplacement régularisés restent cohérents avec ceux estimés.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Illustration de l’influence des coefficients de pondération $\lambda_1$ et $\lambda_2$ (lorsque $\beta_1 = \beta_2 = 0$) sur les champs de déplacement et de déformation, avec le fantôme CIRS, modèle 059, cas #1. a) Champs initiaux, de gauche à droite : déplacement axial, déformation axiale, déplacement latéral, déformation latérale et déformation de cisaillement. b) Déplacement axial (en haut) et déformation axiale (en bas) régularisés pour cinq valeurs différentes de $\lambda_2$, avec $\lambda_1$ fixé à 0.03, c) Déplacement latéral, déformation latérale et déformation en cisaillement régularisés (de haut en bas) pour quatre valeurs différentes de $\lambda_1$, avec $\lambda_2$ fixé à 10. En b) et c), le nombre d’itérations à la solution est également représenté ($*$).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Illustration de l'influence des paramètres de régularisation $\beta_1$ et $\beta_2$ (lorsque $\lambda_2 = 10$ et $\lambda_1 = 0.03$), avec le fantôme CIRS, modèle 059, cas #1. À gauche, les champs de déplacement et de déformation simulés avec *Comsol Multiphysics®*. De (a) à (e) : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale.</figcaption></figure>

Concernant $\beta_1$ et $\beta_2$, différents tests ont été réalisés avec une étude plus approfondie pour les valeurs allant de 0 à 0.5. La figure 2.2 présente les résultats pour $\beta_2$ égal à 0, 0.05, ou 0.5 alors que $\beta_1$ est fixé à 0, et inversement. Les champs simulés obtenus en modélisant l'expérience avec *Comsol Multiphysics®* [22] sont également affichés pour faciliter l'analyse des résultats. De telles simulations sont en effet possibles pour les expériences sur fantômes, dès lors que des informations sur les propriétés mécaniques du milieu sont connues (cf. III.1). Comme attendu, $\beta_2$ agissant principalement sur un déplacement axial déjà très lisse, son impact est très limité sur les champs régularisés (exemple avec le déplacement axial, la déformation axiale et la déformation de cisaillement, fig. 2.2 a2-a4, c2-c4, d2-d4). Au contraire, $\beta_1$ tend à modifier efficacement les champs de déplacement latéral (fig. 2.2, b2-b4), et donc, la déformation latérale (fig. 2.2, e2-e4). Cependant, pour $\beta_1 = 0.5$, la déformation de cisaillement (Fig. 2.2, d4') perd en cohérence avec la simulation (Fig. 2.2, d1). Cela suggère une perte d'information dans le déplacement latéral régularisé (Fig. 2.2, b4). En effet, pour cette valeur de $\beta_1$, la contribution du déplacement latéral dans la déformation en cisaillement est considérablement réduite, ce qui conduit à une déformation en cisaillement dominée par la composante axiale. Si de petites valeurs de $\beta_1$ améliorent donc les champs régularisés, une pénalité trop forte semble, à l'inverse, les dégrader. Pour $\beta_2$, malgré son influence mineure dans l'exemple fourni, il peut être choisi égal à $\beta_1$ afin d'assurer un lissage pour des déplacements axiaux potentiellement dégradés. Par conséquent, le choix a été fait de fixer à la fois $\beta_2$ et $\beta_1$ à 0.05.

Pour finir, il est important de noter que les valeurs des différents poids sont restées inchangées pour tous les cas examinés, soit $\lambda_2 = 10$, $\lambda_1 = 0.03$, $\beta_2 = 0.05$ et $\beta_1 = 0.05$. Ces valeurs ne sont pas les seules possibles car de faibles variations de ces poids entrainent de faibles modifications au sein des images. Néanmoins, si dans les travaux futurs, des tests supplémentaires révélaient la
nécessité d'ajuster ces paramètres aux données, l'utilisation ou le développement d'une méthode permettant une sélection automatique devra être considérée. Dans la suite de ce chapitre, les résultats obtenus avec une régularisation contenant ou non les termes de pénalité seront fournis à des fins de comparaison.

### III Résultats

Dans ces travaux, une évaluation de la méthode a été réalisée avec plusieurs types de données de complexité croissante, allant de simulations numériques à des images de tissus mammaires *in vivo*. L'intérêt des simulations est que les valeurs des déplacements et déformations sont connues et permettent d'évaluer la précision de la méthode développée, tandis que les données expérimentales sont utilisées pour déterminer si la méthode est toujours capable de produire une imagerie du tenseur de déformation dans des conditions d'acquisition réelles (fantômes, tissus biologiques). Les tests sur fantômes constituent une étape intermédiaire pour l'évaluation de la méthode, car ces objets sont généralement composés de quelques régions homogènes, et donc moins complexes que les tissus biologiques. De plus, pour ceux examinés dans ce travail, des informations sur les propriétés mécaniques de ces régions sont données par le fabricant, ce qui nous aidera à analyser les champs de déformation expérimentaux. Pour les tissus mammaires *in vivo*, aucune information de ce type n'est évidemment disponible, ce qui empêche, par exemple, toute analyse sur les gammes de valeurs ou sur les motifs spécifiques observables sur les images de déformation. Cependant, ces données révèlent toute la complexité de l'élastographie mammaire, application pour laquelle notre méthode est développée.

Les différents milieux utilisés, les critères d'évaluation choisis, ainsi que les résultats obtenus sont décrits ci-dessous.

#### III.1 Critères d'évaluation

L'évaluation des résultats repose sur différents critères qui dépendent du type de données analysées. Pour les simulations numériques où les valeurs réelles de déformation sont connues, une comparaison des déformations estimées avec les valeurs réelles permettra d'évaluer la précision de la méthode développée. Plus précisément l'analyse portera sur les moyennes et écarts types des déformations estimées dans un milieu homogène pour différents niveaux de compression. Cette comparaison sera effectuée pour les déformations axiales, latérales et de cisaillement, avant et après régularisation.

Pour les données expérimentales, aucune valeur de référence n'est en revanche disponible. Toujours, afin d'analyser les résultats obtenus et déterminer si les cartographies estimées peuvent être réalistes, une première évaluation des résultats sera effectuée en comparant les déformations estimées avec celles issues de modèles numériques. Ceci est rendu possible pour les expériences sur fantômes, en raison de leur géométrie simple et des informations données par le constructeur sur les propriétés mécaniques des différentes régions les composant. Ainsi, pour chaque cas de fantôme étudié, un modèle numérique sera construit avec Comsol Multiphysics®. Ces simulations reproduiront la configuration de milieux 3D, consistant en un milieu homogène dans lequel se trouve une ou plusieurs inclusions, déformés à l'aide d'une sonde échographique, le déplacement appliqué étant ajusté manuellement pour obtenir des valeurs similaires à celles mesurées expérimentalement. Bien qu'il ne soit pas possible de modéliser parfaitement les expériences, ces simulations fourniront de premiers éléments avec lesquels les résultats expérimentaux pourront être comparés, tels que la gamme des valeurs de déformation latérale ou des motifs spécifiques sur les images de déformation en cisaillement. Les champs simulés obtenus devraient nous aider à évaluer et analyser les champs expérimentaux. Pour les tissus biologiques, cependant, aucune
information a priori n'est connue, ne permettant pas de réaliser de telles simulations.

Enfin, quelles que soient les données expérimentales (fantômes, tissus biologiques), le rapport contraste/bruit (CNR) sera calculé afin de fournir une évaluation plus quantitative des performances de la méthode proposée. Le CNR est largement utilisé dans les études d'élastographie comme indicateur de la détectabilité des lésions dans une image. Il est calculé comme suit :

$$CNR = \sqrt{\frac{2(\bar{s}_i - \bar{s}_b)^2}{\sigma_i^2 + \sigma_b^2}} \qquad (2.5)$$

où $\bar{s}$ et $\sigma$ désignent respectivement la moyenne et l'écart-type de la déformation dans une région située à l'intérieur de l'inclusion (indice i) ou dans le milieu environnant (indice b). Ces régions seront sélectionnées en utilisant deux ROI circulaires de taille identique et positionnées à la même profondeur. Pour chaque inclusion, deux CNR seront calculés, l'un en sélectionnant la région environnante à droite de l'inclusion (Fig. 2.3-a) et l'autre à gauche (Fig. 2.3-b). Le facteur multiplicateur (MF) sera également calculé comme le rapport entre les CNR après et avant la régularisation.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Illustration des deux configurations de sélection des régions pour le calcul du CNR avec l'image de déformation axiale du fantôme CIRS 059, cas #1.</figcaption></figure>

## III.2 Simulations numériques

### III.2.1 Présentation des données simulées

Les premiers tests ont été réalisés à l'aide de simulations numériques. Un milieu élastique, linéaire, isotrope et homogène, de dimension $60 \times 40 \times 40$-mm³, ayant un module de Young de 10 kPa et un coefficient de Poisson de 0.49 a été simulé à l'aide du logiciel Comsol Multiphysics® [22]. Dans cette simulation, le milieu est soumis à une charge uniaxiale, entraînant une déformation uniforme du milieu. Dix niveaux de compression ont été considérés, de 1% à 10%, par pas de 1% de déformation axiale, ce qui conduit à 10 champs de déplacement différents. La méthode de régularisation développée étant une méthode 2D, nous avons retenu pour chaque niveau de compression, le déplacement axial et latéral du plan médian.

Les images ultrasonores RF correspondantes ont ensuite été générées de la façon suivante. Le milieu initial a été modélisé comme un ensemble de diffuseurs acoustiques, avec une distribution spatiale uniforme et des amplitudes normalement distribuées. L'image RF est alors obtenue par convolution de l'ensemble des diffuseurs avec la réponse impulsionnelle (PSF) caractérisant le système ultrasonore choisi. Afin d'utiliser une PSF réaliste, celle de l'un des échographes de recherche que nous utilisons pour les expériences d'élastographie ultrasonore quasi-statique (Sonix MDP, Ultrasonix Medical Corporation, Richmond, BC, Canada) a été mesurée expérimentalement. La procédure consiste à imager la section d'un fil très fin, ici un fil de tungstène de $20\mu m$ de diamètre, tendu et immergé dans de l'eau. La sonde utilisée pour cette expérience était celle que nous utilisons classiquement pour l'élastographie, c.-à-d. une sonde linéaire L14-5W/60. La fréquence sélectionnée sur l'échographe était 6.6 MHz et la fréquence d'échantillonnage 40 MHz. Ainsi, les images RF correspondant à chaque niveau de compression ont été simulées en deux étages : 1) déplacement des diffuseurs selon les déplacements fournis par Comsol Multiphysics®, 2) convolution de la distribution de ces diffuseurs avec la PSF.
### III.2.2 Résultats

Les résultats obtenus avec le milieu homogène simulé soumis à dix niveaux de compression différents sont affichés sur la figure 2.4. Pour chaque niveau de compression, la moyenne et l’écart type sont calculés pour une même zone sélectionnée (région en pointillés blancs) pour les déformations axiales, latérales et de cisaillement, avant et après régularisation. En effet, comme il est possible de l’observer dans les champs de déformation latérale régularisés, une diminution des valeurs se produit le long des bords de l’image, valeurs qui ont été exclues de l’analyse.

De manière surprenante, même si la déformation latérale estimée ne présente que du bruit avant la régularisation (Fig. 2.4-b, deuxième colonne), et donc un écart type important, la valeur moyenne reste proche de la valeur réelle, pour chaque niveau de compression. L’application de la régularisation (avec ou sans les termes de pénalité) abaisse légèrement ces valeurs moyennes, tout en diminuant de manière importante les écarts types. De même, les déformations de cisaillement avant régularisation présentent des écarts types importants mais des valeurs moyennes proches des valeurs réelles. Après régularisation, les écarts types diminuent et les champs apparaissent beaucoup moins bruités, notamment pour $β₁ = β₂ = 0.05$ (Fig. 2.4-c, troisième colonne). Enfin, concernant la déformation axiale, on observe des valeurs moyennes similaires entre les champs simulés, estimés et régularisés, ainsi que des écarts types très faibles. Globalement, on peut noter que l’introduction de termes de pénalité $β₁ = β₂ = 0.05$ a une influence limitée sur les valeurs moyennes des composantes du tenseur de déformation, mais permet une forte diminution des écarts types, notamment dans les images de déformation en cisaillement.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Résultats de simulation obtenus pour un milieu élastique linéaire, isotrope et homogène, soumis à dix niveaux de compression. a) Déformation axiale, b) déformation latérale, et c) déformation de cisaillement. En bas : illustration des différents champs pour une déformation axiale de 10%. En haut, les déformations moyennes et les écarts types sont calculés dans une région d’intérêt (région en pointillés blancs) : champs simulés (bleu), initialement estimés (rouge) et régularisés ($β₁ = β₂ = 0$ (jaune) ou $β₁ = β₂ = 0.05$ (violet)), pour des déformations axiales variant de 1 à 10% par pas de 1%.</figcaption></figure>
### III.3 Données expérimentales de fantômes

#### III.3.1 Description des fantômes et acquisition des données ultrasonores

La méthode a également été évaluée avec des données ultrasonores issues d'expériences sur trois fantômes CIRS (Computerized Imaging Reference Systems, Norfolk, VA, USA) : deux fantômes d'élastographie mammaire (modèles 059) et un fantôme d'élastographie QA (modèle 049). Les modèles 059 imitent un sein de femme en position allongée, et dans lequel se trouvent plusieurs inclusions sphériques. Ces inclusions sont environ trois fois plus rigides que le milieu environnant. Ici, deux régions ont été imagées, l'une contenant une seule inclusion (cas #1), et l'autre deux inclusions superposées (cas #2). Ces inclusions apparaissent comme des régions hypoéchogènes sur les images ultrasonores. Le modèle CIRS 049 est un milieu de forme parallélépipédique à l'intérieur duquel se trouvent plusieurs inclusions sphériques de différents modules élastiques. Les données ont été acquises pour une région comportant une inclusion de 10 mm de diamètre, de module d'Young 47 kPa et positionnée dans un milieu environnant de 26.5 kPa (cas #3). Pour ce fantôme, les inclusions sont difficilement perceptibles sur les images échographiques, et un balayage de la zone d'intérêt a été effectué pour se positionner avec la sonde échographique (la présence de l'inclusion étant révélée sur certaines images par son contour lors du balayage). Pour finir, il convient de préciser que les informations sur les valeurs des modules d'Young des fantômes ont toutes été fournies par le fabricant.

Pour chaque région examinée, une expérience typique d'élastographie quasi-statique a été réalisée, c'est-à-dire que le milieu a été précautionneusement et continuellement comprimé et décomprimé par l'opérateur à l'aide de la sonde échographique pendant que les images RF étaient acquises. L'échographe utilisé était un échographe Ultrasonix MDP équipé d'une sonde L14-5W/60. La fréquence d'échantillonnage était de 40 MHz. Les résultats sont présentés pour des champs de déplacement et de déformation obtenus durant la compression (cas #1 et #3) et la décompression (cas #2) du milieu, afin de donner au lecteur une illustration plus complète des images que nous pouvons obtenir.

#### III.3.2 Résultats

Les résultats du cas #1 sont affichés en figure 2.5, cas #2 en figure 2.6, et cas #3 en figure 2.7, pour lesquels des commentaires similaires peuvent être faits. Contrairement au déplacement axial (Figs. 2.5-2.7, a1), le déplacement latéral avant régularisation (Figs. 2.5-2.7, b1) est bruité, et ne peut fournir d'informations utiles sur la déformation latérale du fantôme (Figs. 2.5-2.7, e1). Cependant, les déplacements axiaux et latéraux sont en accord avec les simulations (Figs. 2.5-2.7, a4 et b4). Pour rappel, ces simulations ont été construites pour fournir des éléments de comparaison, mais il doit être gardé à l'esprit que certaines différences sont attendues, en raison de l'impossibilité de modéliser parfaitement les expériences d'élastographie en main libre. Après la régularisation sans les termes de pénalité ($β_1 = β_2 = 0$), le déplacement latéral (Figs. 2.5-2.7, b2) est plus lisse que le champ initial. Ce lissage est suffisant pour améliorer de manière significative la déformation latérale, ce qui conduit à des images où les inclusions sont clairement révélées (Figs. 2.5-2.7, e2). L'amélioration est telle que pour le cas #3, la présence d'une deuxième inclusion de rigidité différente est également visible sur le bord gauche de l'image, alors que celle-ci est partiellement en dehors de la zone d'imagerie. La présence de cette inclusion est en accord avec la géométrie du fantôme, et correspond à une inclusion de 10 mm de diamètre et de module d'Young 13 kPa. Pour les trois cas étudiés, le champ de déformation latérale (Figs. 2.5-2.7, e2) est cohérent avec le champ simulé correspondant (Figs. 2.5-2.7, e4), et présente la même gamme de valeurs de déformation, ce qui n'était pas le cas auparavant. En effet, avant régularisation, la déformation latérale (Figs. 2.5-2.7, e1) est fortement affectée par le bruit, ce qui conduit à des variations et une gamme de valeurs beaucoup plus larges. En revanche, la régularisation n'a aucun impact visible sur le déplacement axial (Figs. 2.5-2.7, a1-a2), et sur la déformation
axiale (Figs. 2.5-2.7, c1-c2), comme cela était souhaité. Dans les images de déformation axiale et latérale régularisées (Figs. 2.5-2.7, c2 et e2), les inclusions sont facilement détectables : ces inclusions se déforment moins que le milieu environnant, ce qui reflète parfaitement des zones plus rigides. Concernant le cisaillement (Figs. 2.5-2.7, d2), l'amélioration est plus faible que pour la déformation latérale. Par rapport à la simulation (Figs. 2.5-2.7, d4), le champ présente des artefacts de lignes le long de la direction latérale qui altèrent les motifs de cisaillement. Cet effet de "lignes horizontales" est également visible dans le déplacement latéral (Figs. 2.5-2.7, b2), mais beaucoup plus atténué.

Après la régularisation, mais cette fois avec les termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0.05$), le déplacement axial (Figs. 2.5-2.7, a3) et la déformation axiale (Figs. 2.5-2.7, c3) restent visuellement inchangés. Cependant, le déplacement latéral (Figs. 2.5-2.7, b3) devient encore plus lisse comparé aux champs précédents (Figs. 2.5-2.7, b1-b2). Ce lissage n'affecte pas la déformation latérale (Figs. 2.5-2.7, e3), qui est similaire au champ régularisé avec $\beta_1 = \beta_2 = 0$ (Figs. 2.5-2.7, e2). Néanmoins, l'ajout des termes de pénalité améliore considérablement les images de cisaillement en rendant la présence des inclusions plus facilement détectables (Figs. 2.5-2.7, d3). De plus, les motifs de cisaillement présentent des similitudes avec ceux des simulations (Figs. 2.5-2.7, d4).

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Résultats obtenus avec le fantôme CIRS, modèle 059 - cas #1. La région imagée contient une inclusion sphérique dont le module d'Young est environ trois fois celui du milieu environnant. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x4) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$, et champs simulés avec Comsol Multiphysics®.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

FIGURE 2.6 – Résultats obtenus avec le fantôme CIRS, modèle 059 - cas #2. La région imagée comporte deux inclusions sphériques dont le module d'Young est environ trois fois celui du milieu environnant. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x4) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$, et champs simulés avec Comsol Multiphysics®.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

FIGURE 2.7 – Résultats obtenus avec le fantôme CIRS, modèle 049 - cas #3. La région imagée est centrée sur une inclusion sphérique de module d'Young 47 kPa, mais l'inclusion de module 13 kPa de ce fantôme est également partiellement incluse dans le plan d'imagerie et apparaît sur le bord gauche des images. Le milieu environnant, lui, a un module d'Young de 26.5 kPa. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x4) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$, et champs simulés avec Comsol Multiphysics®.

Ces observations visuelles sont confirmées par les valeurs de CNR calculées (Table. 2.1). Plus précisément, le CNR<sub>lateral</sub> est considérablement amélioré après la régularisation, avec des valeurs comprises entre [0.54-9.57] pour $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$ et [0.68-9.40] pour $\beta_1 = \beta_2 = 0$, contre [0.09-0.38] avant la régularisation. Nous pouvons noter que des valeurs relativement similaires de CNR sont obtenues, que des termes de pénalité soient ou non utilisés, ce qui est en parfait accord avec les observations visuelles faites ci-dessus. De plus, dans les deux cas, les valeurs de CNR<sub>lateral</sub> après la régularisation sont assez proches de celles de CNR<sub>axial</sub>. Cela confirme le fait que les inclusions sont maintenant aussi facilement détectables sur les images de déformation latérale qu'elles le sont sur les images de déformation axiale. Un commentaire spécifique peut être cependant fait dans le cas #2 pour l'inclusion inférieure, qui montre plus de variations dans les valeurs de CNR que les autres cas. Pour cette inclusion, le facteur multiplicatif (MF) est extrêmement différent, 2.16 et 34.86 ($\beta_1 = \beta_2 = 0$) ou 1.72 et 39.49 ($\beta_1 = \beta_2 = 0.05$), selon la région environnante sélectionnée. Cette différence est due à la plus grande hétérogénéité des valeurs de déformation pour la région sélectionnée à droite de l'inclusion. Concernant la déformation axiale, nous avons observé que le processus de régularisation n'avait pas d'impact visible sur ce champ, quelle que soit la valeur de $\beta_1$ ou de $\beta_2$. Toutefois, on observe une légère amélioration du CNR<sub>axial</sub>, avec un MF allant de 1.04 à 1.10 ($\beta_1 = \beta_2 = 0$) et de 1.07 à 1.13 ($\beta_1 = \beta_2 = 0.05$).
<table><caption>TABLE 2.1 – Rapports de contraste/bruit (CNR) obtenus pour les trois cas de fantômes avant et après régularisation, ainsi que les facteurs multiplicatifs (MF) associés. Pour chacun des trois cas considérés, les CNR et les MF sont calculés en sélectionnant la région environnante à droite ou à gauche de l'inclusion comme illustré en figure 2.3. Pour le cas #2, les valeurs de CNR sont fournies pour chacune des deux inclusions. Les lignes en gris correspondent à la régularisation effectuée avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$ et les autres, à la régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0$.</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="3">CNR<sub>axial</sub></th><th colspan="3">CNR<sub>lateral</sub></th></tr><tr><th>Avant</th><th>Après</th><th>MF</th><th>Avant</th><th>Après</th><th>MF</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Cas #1 - droite</td><td>9.38</td><td>10.07</td><td>1.07</td><td>0.36</td><td>9.40</td><td>26.47</td></tr><tr><td>9.38</td><td>10.33</td><td>1.10</td><td>0.36</td><td>9.57</td><td>26.95</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #1 - gauche</td><td>10.51</td><td>11.19</td><td>1.06</td><td>0.35</td><td>8.83</td><td>24.93</td></tr><tr><td>10.51</td><td>11.51</td><td>1.09</td><td>0.35</td><td>8.63</td><td>24.36</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #2 - haut droite</td><td>7.57</td><td>7.89</td><td>1.04</td><td>0.27</td><td>5.54</td><td>20.32</td></tr><tr><td>7.57</td><td>8.23</td><td>1.09</td><td>0.27</td><td>6.88</td><td>25.26</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #2 - haut gauche</td><td>7.10</td><td>7.82</td><td>1.10</td><td>0.38</td><td>5.84</td><td>15.33</td></tr><tr><td>7.10</td><td>8.04</td><td>1.13</td><td>0.38</td><td>6.32</td><td>16.59</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #2 - bas droite</td><td>2.20</td><td>2.30</td><td>1.05</td><td>0.31</td><td>0.68</td><td>2.16</td></tr><tr><td>2.20</td><td>2.36</td><td>1.07</td><td>0.31</td><td>0.54</td><td>1.72</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #2 - bas gauche</td><td>3.76</td><td>3.98</td><td>1.06</td><td>0.09</td><td>3.25</td><td>34.86</td></tr><tr><td>3.76</td><td>4.12</td><td>1.10</td><td>0.09</td><td>3.68</td><td>39.49</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #3 - droite</td><td>5.90</td><td>6.44</td><td>1.09</td><td>0.14</td><td>5.57</td><td>38.62</td></tr><tr><td>5.90</td><td>6.62</td><td>1.12</td><td>0.14</td><td>6.80</td><td>47.12</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #3 - gauche</td><td>3.82</td><td>4.14</td><td>1.08</td><td>0.10</td><td>2.97</td><td>29.73</td></tr><tr><td>3.82</td><td>4.27</td><td>1.12</td><td>0.10</td><td>3.72</td><td>37.25</td></tr></tbody></table>

### III.4 Lésions mammaires in vivo

#### III.4.1 Acquisition des données

Enfin, la méthode a également été évaluée avec des données in vivo de patientes (cas #4 – #7). Plus précisément, ces données ont été extraites d'une base de données archivée, résultant d'une précédente étude d'élastographie mammaire, réalisée aux Hospices Civils de Lyon. Des informations détaillées sur cette étude sont disponibles dans l'article suivant [23]. Le cas #7 provient, quant à lui, d'une base de données en cours d'élaboration, en collaboration avec le centre Léon Bérard. Il faut souligner que l'acquisition des données a été menée de manière similaire à celle des fantômes. Les cas sélectionnés sont trois cas de carcinome canalaire infiltrant (CCI) (cas #4, #5 et #7) et un cas de fibroadénome (lésion bénigne, cas #6).

#### III.4.2 Résultats

Une fois encore, l'effet de la régularisation sur le déplacement axial (Figs. 2.8-2.11, a1-a3) et la déformation axiale (Figs. 2.8-2.11, c1-c3) reste limité, alors qu'il améliore considérablement les composantes latérales (Figs. 2.8-2.11, b1-b3, et Figs. 2.8-2.11, e1-e3). L'introduction des termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0.05$) permet d'obtenir des champs de déformation en cisaillement (Figs. 2.8-2.11, d3) beaucoup moins bruités, tout en conservant la qualité des images régularisées de déformation axiale (Figs. 2.8-2.11, c3) et latérale (Figs. 2.8-2.11, e3). Cette dernière observation est corroborée par les valeurs similaires de CNR entre les champs régularisés avec $\beta_1 = \beta_2 = 0$ et $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$ (Table 2.2). Globalement, nous pouvons observer une augmentation du CNR<sub>lateral</sub>, avec des valeurs dans la gamme [1.78-6.50] contre [0.09-0.34] sans la régularisation. Néanmoins, ces valeurs de CNR<sub>lateral</sub> sont environ égales à la moitié de celles du CNR<sub>axial</sub>, sauf pour le cas #6. Tout comme pour les fantômes, les valeurs de CNR<sub>axial</sub> obtenues pour les expé-
riences *in vivo* sont légèrement supérieures après la régularisation, avec un MF allant de 1.04 à 1.36.

Les zones anormales sont parfaitement distinguées sur les images de déformation axiale et latérale régularisées, et se déforment moins que les tissus adjacents. Cette observation est en accord avec les données de la littérature, puisque les carcinomes canalaires infiltrants sont généralement plus rigides que les tissus sains environnants [24–26]. De plus, pour le cas du fibroadénome étudié, il doit être précisé que l’information complémentaire qu’il était palpable nous était fournie, ce qui explique la région de plus faible déformation sur l’image. Si l’on regarde plus attentivement les cas de cancers, nous pouvons remarquer que la zone de faible déformation sur l’élastogramme apparaît plus grande que la zone hypoéchogène correspondante sur l’échographie. En revanche, pour le fibroadénome, la taille de la lésion semble similaire sur les deux types d’image. Cela rejoint les commentaires effectués précédemment dans le chapitre 1, sur les critères utilisés pour le diagnostic et notamment la comparaison des tailles des lésions entre l’image échographique et celle de déformation. Une analyse plus poussée des résultats est néanmoins difficile, en raison de la grande complexité des milieux biologiques et du manque d’informations sur les propriétés mécaniques des tissus examinés, qui empêchent également toute possibilité de simulation de l’examen.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Résultats obtenus sur des tissus mammaires *in vivo*, dans le cas d'un carcinome canalaire infiltrant - cas #4. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x3) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), et après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 2.9 – Résultats obtenus sur des tissus mammaires *in vivo*, dans le cas d'un carcinome canalaire infiltrant - cas #5. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x3) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), et après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – Résultats obtenus sur des tissus mammaires *in vivo*, dans le cas d'un fibroadénome - cas #6. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x3) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), et après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Résultats obtenus sur des tissus mammaires *in vivo*, dans le cas d'un carcinome canalaire infiltrant - cas #7. A gauche l'image échographique, puis de haut en bas : déplacement axial, déplacement latéral, déformation axiale, déformation en cisaillement et déformation latérale. De (x1) à (x3) : champs avant régularisation, après régularisation sans termes de pénalité ($\beta_1 = \beta_2 = 0$), et après régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$.</figcaption></figure>
<table><caption>TABLE 2.2 – Rapports de contraste/bruit (CNR) avant et après régularisation pour les tissus mammaires, ainsi que les facteurs multiplicatifs (MF) associés. Pour chacun des cas *in vivo* considérés, les CNR et les MF sont calculés en sélectionnant la région environnante à droite ou à gauche de la lésion, comme illustré en figure 2.3 pour le cas d’un fantôme. Les lignes en gris correspondent à la régularisation effectuée avec $\beta_1 = \beta_2 = 0.05$ et les autres, à la régularisation avec $\beta_1 = \beta_2 = 0$.</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="3">CNR<sub>axial</sub></th><th colspan="3">CNR<sub>lateral</sub></th></tr><tr><th>Avant</th><th>Après</th><th>MF</th><th>Avant</th><th>Après</th><th>MF</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Cas #4 - droite</td><td>7.38</td><td>8.00</td><td>1.08</td><td>0.15</td><td>4.76</td><td>31.82</td></tr><tr><td>7.38</td><td>8.28</td><td>1.12</td><td>0.15</td><td>5.39</td><td>36.05</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #4 - gauche</td><td>4.60</td><td>4.80</td><td>1.04</td><td>0.22</td><td>2.16</td><td>9.95</td></tr><tr><td>4.60</td><td>4.92</td><td>1.07</td><td>0.22</td><td>2.36</td><td>10.90</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #5 - droite</td><td>4.12</td><td>4.73</td><td>1.15</td><td>0.10</td><td>2.17</td><td>21.95</td></tr><tr><td>4.12</td><td>5.59</td><td>1.36</td><td>0.10</td><td>2.87</td><td>29.01</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #5 - gauche</td><td>5.64</td><td>6.10</td><td>1.08</td><td>0.18</td><td>3.01</td><td>16.40</td></tr><tr><td>5.64</td><td>6.49</td><td>1.15</td><td>0.18</td><td>3.26</td><td>17.77</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #6 - droite</td><td>4.38</td><td>4.59</td><td>1.05</td><td>0.27</td><td>5.65</td><td>20.61</td></tr><tr><td>4.38</td><td>4.99</td><td>1.14</td><td>0.27</td><td>6.50</td><td>23.68</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #6 - gauche</td><td>4.13</td><td>4.41</td><td>1.07</td><td>0.34</td><td>4.48</td><td>13.30</td></tr><tr><td>4.13</td><td>4.81</td><td>1.16</td><td>0.34</td><td>4.57</td><td>13.58</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #7 - droite</td><td>4.54</td><td>4.74</td><td>1.05</td><td>0.11</td><td>2.44</td><td>22.41</td></tr><tr><td>4.54</td><td>4.89</td><td>1.08</td><td>0.11</td><td>2.53</td><td>23.23</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas #7 - gauche</td><td>3.01</td><td>3.15</td><td>1.05</td><td>0.09</td><td>1.78</td><td>19.56</td></tr><tr><td>3.01</td><td>3.27</td><td>1.09</td><td>0.09</td><td>1.93</td><td>21.25</td></tr></tbody></table>

IV Discussion

Afin d'imager le tenseur de déformation 2D en élastographie ultrasonore quasi-statique, nous avons proposé une approche comprenant une méthode de régularisation, qui renforce la propriété de (quasi)-incompressibilité des tissus mous et pénalise les fortes variations dans les champs de déplacement. De telles variations sont presque absentes du déplacement axial, car ce champ est déjà lisse et estimé avec précision par notre algorithme de suivi de mouvement. Une illustration en est donnée avec les résultats de simulation obtenus pour un milieu élastique, linéaire, isotrope et homogène soumis à dix niveaux de compression différents, qui ont montré que les images de déformation axiale avant régularisation avaient des valeurs moyennes très proches des valeurs réelles, avec des écarts types très faibles (Fig. 2.4). Ceci explique le choix fait pour la méthode de régularisation d'avoir un impact très limité sur les champs (déplacement, déformation) axiaux, en prenant une valeur pour le coefficient de pondération $\lambda_2$ relativement élevée. On obtient ainsi des champs axiaux régularisés sans modifications visibles, même si une légère augmentation des valeurs du CNR<sub>axial</sub> a pu être notée. En revanche, $\lambda_1$ a été choisi bien inférieur à $\lambda_2$ pour permettre des modifications au sein des images, ce qui améliore considérablement le déplacement latéral et la déformation latérale. Ainsi, pour les fantômes, des simulations approchant les configurations expérimentales ont été construites, et nous avons pu observer une certaine cohérence en termes de motifs et de valeurs de déformation entre les champs expérimentaux régularisés et ceux simulés (Figs. 2.5-2.7). Avec la régularisation, les inclusions/lésions deviennent aussi clairement visibles sur les images de déformation latérale que sur celles axiales, ce qui n'était pas le cas avant la régularisation (Figs. 2.5-2.11). Ces résultats sont également étayés quantitativement par l'augmentation significative des valeurs de CNR<sub>lateral</sub>, à la fois pour les fantômes (Table 2.1) et pour les tissus biologiques *in vivo* (Table 2.2). En ce qui concerne la précision des champs régularisés, une limite peut toutefois être soulevée à partir des simulations numériques du milieu
homogène soumis à des compressions uniaxiales (Fig. 2.4). En effet, les valeurs de déformation latérale le long des bords verticaux des images sont beaucoup plus faibles que celles attendues, alors que le reste de l'image est estimé avec précision (voir les valeurs des déformations moyennes et des écarts types dans la région d'intérêt sélectionnée, Fig. 2.4). Cette perte de précision peut être expliquée par les conditions aux limites choisies. En effet, ces conditions sont introduites pour calculer les dérivées spatiales aux frontières, et elles peuvent être responsables d'estimations erronées si elles ne sont pas suffisamment adaptées. Dans un tel cas, les zones affectées seront plus étendues que les seuls bords verticaux, puisque la méthode de régularisation employée est une méthode itérative. Cependant, à l'exception de ces régions latérales, les résultats sont proches des valeurs théoriques. Cela tend à indiquer que, pour les données expérimentales qui seront utilisées avec cette méthode, il sera préférable de les acquérir avec la région d'intérêt positionnée au milieu de l'image, le long de la direction latérale. Cela correspond d'ailleurs à la pratique actuelle des radiologues en échographie et n'apporte donc aucune contrainte supplémentaire quant à la réalisation de l'examen.

Guo et al. [9], qui ont utilisé uniquement la propriété d'incompressibilité (c'est-à-dire ici $β_1 = β_2 = 0$ dans les Figs. 2.5-2.11), ont également obtenu une amélioration des images de déformation latérale. En ce qui concerne la déformation de cisaillement, ces images n'ont pas été présentées. Cependant, comme nous avons pu le montrer, des "lignes horizontales" peuvent être observées dans le déplacement latéral lorsque la régularisation est effectuée en utilisant uniquement la condition d'incompressibilité avec les termes de fidélité aux données. Ces lignes sont particulièrement renforcées dans la déformation de cisaillement car ce champ nécessite de dériver le déplacement latéral le long de la direction axiale. L'introduction de termes de pénalité nous permet d'obtenir des champs de déplacement latéral plus lisses et de supprimer ces artefacts de lignes. Par conséquent, les images de cisaillement régularisées sont moins bruitées et les motifs de cisaillement deviennent plus visibles. Pour les cas fantômes, il peut être souligné que les images régularisées de cisaillement, et plus particulièrement leurs motifs, sont en accord avec les simulations.

En plus des cartes de déformation en cisaillement, d'autres types d'images peuvent être obtenus avec notre méthode, comme les élastogrammes de rotation, définis comme :

$$ \omega = \frac{1}{2} (\nabla u - (\nabla u)^t) \qquad (2.6) $$

avec, pour rappel, $u = (u_1, u_2)^t$ avec $u_1$ le déplacement latéral et $u_2$ le déplacement axial. La figure 2.12 présente les élastogrammes de rotation estimés pour chacun des cas étudiés. Comme observé pour le cisaillement régularisé, les motifs de rotation sont clairement détectables autour des inclusions/lésions et, pour le cas des fantômes (Fig. 2.12, deux premières lignes) en accord avec les simulations correspondantes. Concernant les résultats in vivo, une analyse plus approfondie est évidemment difficile car aucune information sur les propriétés mécaniques des tissus n'est disponible. Néanmoins, il est important de retenir que toute amélioration de la méthode d'imagerie du tenseur de déformation 2D profitera également aux images de rotation.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 2.12 – Élastogrammes de rotation pour les cas fantômes et in vivo, après régularisation ($\beta_1 = \beta_2 = 0.05$). Deux premières lignes, les résultats sur fantômes avec les simulations correspondant aux expériences en première ligne - cas #1, #2, et #3. Dernière ligne, résultats in vivo - cas #4, #5, #6 et #7.</figcaption></figure>

Actuellement, deux critères d'arrêt sont utilisés dans la méthode de régularisation, à savoir le fait que la variation des champs de déplacement soit inférieure à un seuil ($C_{rite} < \xi = 10^{-8}$, (2.4)) ou que le nombre maximal d'itérations ($N = 50000$) soit atteint. Dans la majorité des cas, la régularisation s'arrête avec le premier critère mais il peut arriver que le nombre maximal d'itérations soit atteint. La figure 2.13 montre, pour le fantôme cas #1 et les tissus mammaires in vivo cas #5, l'évolution de $C_{rite}$ ainsi que le déplacement latéral régularisé, à quatre itérations différentes. Dans le cas #1, qui s'est arrêté avec le premier critère, deux phases peuvent être observées. Tout d'abord, les déplacements latéraux régularisés présentent des modifications substantielles avec un effet de lissage, puis les itérations supplémentaires ne produisent plus aucun changement visible. Il est intéressant de noter que dans l'exemple du cas #5, même si le nombre maximal d'itérations est atteint, la même observation peut être faite, c'est-à-dire que les deux derniers champs de déplacement latéral affichés ne présentent aucune modification visible et que $C_{rite}$ (Fig. 2.13, courbe rouge) suit la même évolution que celle du cas #1. (Fig. 2.13, courbe bleue). Ces résultats suggèrent qu'il ne devrait plus se produire de changements notables dans les différents champs, même si le nombre maximal d'itérations était augmenté. Nous pouvons également remarquer, avec les différents cas examinés dans cette étude, que la valeur du seuil pourrait être moins restrictive sans perdre l'apport de la méthode de régularisation. Cela permettrait par ailleurs de réduire le temps de calcul. Pour cette première version de la méthode, les aspects temps réel n'ont pas été pris en considération, mais à titre indicatif, quelques secondes ont été nécessaires pour que les champs soient régularisés lorsque le premier critère d'arrêt était atteint.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 2.13 – Évolution du critère $C_{rite}$ en fonction du nombre d'itérations, pour le fantôme CIRS 059 cas #1 (courbe bleue), pour lequel la régularisation s'arrête avec la condition d'arrêt sur $C_{rite}$, et pour les tissus mammaires *in vivo* cas #5 (courbe rouge), pour lesquels la condition d'arrêt est le nombre maximal d'itérations.</figcaption></figure>

Enfin, il est important de souligner que, bien que notre méthode soit une approche 2D, les champs de déformation régularisés sont cohérents avec des milieux se déformant en 3D. Il convient également de préciser que les méthodes de régularisation et d'estimation du mouvement présentées ici peuvent être facilement étendues à la troisième dimension pour visualiser le tenseur de déformation 3D. Dans ce cas, la composante en élévation du déplacement $u_3$ doit être ajoutée dans $F$ (2.1), introduisant deux nouveaux coefficients de pondération $\lambda_3$ et $\beta_3$. La minimisation de $F(u_1, u_2, u_3)$ pourra être réalisée en adoptant la même approche que celle décrite pour le problème 2D.

# V Conclusion

Dans ce chapitre, l'imagerie du tenseur de déformation 2D a été étudiée en utilisant une méthode de régularisation spécifique, qui combine la propriété de (quasi)-incompressibilité des tissus mous et des termes de pénalité. Nos résultats montrent la forte contribution de cette méthode face à des données complexes et bruitées, notamment pour les composantes latérales du déplacement et de la déformation. De plus, l'approche proposée permet d'obtenir des images de déformation en cisaillement et des élastogrammes de rotation qui, s'ils ne sont pas parfaits, peuvent cependant autoriser certaines interprétations. Enfin, au-delà d'une analyse plus complète de la déformation des milieux, ces résultats sont particulièrement intéressants pour la reconstruction des paramètres mécaniques, ce qui fera l'objet des chapitres suivants.
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<figure><img src="image_28.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Méthode des champs virtuels : Présentation et développements réalisés

### Sommaire

<table><tr><td>I</td><td>Introduction</td><td>56</td></tr><tr><td>II</td><td>Introduction à la méthode des champs virtuels</td><td>56</td></tr><tr><td></td><td>II.1 Principe des travaux virtuels</td><td>57</td></tr><tr><td></td><td>II.2 Méthode des champs virtuels</td><td>58</td></tr><tr><td>III</td><td>Caractérisation de milieux soumis à un chargement quasi-statique</td><td>58</td></tr><tr><td></td><td>III.1 Réduction de dimension du problème</td><td>59</td></tr><tr><td></td><td>III.1.1 Hypothèse des contraintes planes</td><td>59</td></tr><tr><td></td><td>III.1.2 Hypothèse des déformations planes</td><td>60</td></tr><tr><td></td><td>III.2 Écriture de la MCV en 2D</td><td>61</td></tr><tr><td>IV</td><td>Construction des champs virtuels</td><td>62</td></tr><tr><td></td><td>IV.1 Champs virtuels particuliers</td><td>62</td></tr><tr><td></td><td>IV.2 Champs virtuels spécifiques</td><td>63</td></tr><tr><td></td><td>IV.3 Application aux milieux hétérogènes</td><td>65</td></tr><tr><td>V</td><td>Méthode développée pour l'élastographie ultrasonore quasi-statique</td><td>67</td></tr><tr><td></td><td>V.1 Présentation du problème : choix et hypothèses</td><td>67</td></tr><tr><td></td><td>V.2 Description de la méthode développée</td><td>68</td></tr><tr><td></td><td>V.2.1 Type de champs virtuels utilisé</td><td>68</td></tr><tr><td></td><td>V.2.2 Définition des champs virtuels</td><td>68</td></tr><tr><td></td><td>V.2.3 Application du principe des travaux virtuels</td><td>70</td></tr><tr><td></td><td>V.3 Premiers résultats et modifications apportées</td><td>72</td></tr><tr><td></td><td>V.4 Discussion</td><td>73</td></tr></table>
# I Introduction

Un grand nombre de pathologies produisent localement des changements dans les propriétés mécaniques des tissus biologiques. Nous avons montré dans les chapitres précédents que l'image-rie du tenseur des déformations pouvait permettre de détecter efficacement des zones anormales dans les tissus, car la déformation offre un reflet des propriétés mécaniques du milieu. De plus, de nombreuses études cliniques ont également montré que l'imagerie de la déformation pouvait ai-der à différencier les lésions bénignes des lésions malignes. Cependant, les contraintes au sein des tissus étant inconnues et hétérogènes, l'image de déformation ne peut être convertie directement, par exemple, en une image du module élastique comme le module d'Young. La reconstruction des tissus biologiques en élastographie ultrasonore quasi-statique est donc une tâche complexe qui nécessite de résoudre un problème inverse généralement mal-posé.

Comme évoqué dans le premier chapitre sur l'état de l'art, diverses approches ont été pro-posées dans la littérature pour reconstruire des paramètres mécaniques. Qu'elles soient directes, itératives, ou fondées sur l'intelligence artificielle, elles impliquent généralement la connaissance de données supplémentaires telles que les conditions aux limites [1-3], un module élastique de référence [4] ou la force appliquée au milieu [5] (cf. chap. 1). Dans ces travaux, nous avons choisi d'étudier et de mettre en œuvre la méthode des champs virtuels. Cette méthode a l'avantage de permettre une grande liberté d'application, notamment grâce à l'utilisation de champs virtuels pouvant être paramétrés de manière spécifique afin, par exemple, de minimiser l'effet du bruit [6]. La méthode des champs virtuels a été développée initialement pour résoudre des problèmes de mécanique du solide, et notamment l'identification des paramètres de la loi de comportement de matériaux. Les différents travaux menés jusqu'à présent, ont pour beaucoup porté sur l'exploration de milieux homogènes mais des études visant à étudier les milieux hétérogènes doivent cependant être soulignées [7, 8].

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la reconstruction des propriétés mécaniques des tissus biologiques en élastographie ultrasonore quasi-statique avec la méthode des champs virtuels (MCV). Les milieux biologiques étant extrêmement complexes, les développements vont être réalisés dans le cadre d'hypothèses simplificatrices, et pour ces premiers travaux, nous allons plus particulièrement étudier les milieux élastiques, linéaires et isotropes. Ce chapitre a pour objectifs d'introduire la MCV et de fournir une description détaillée de la méthode développée durant ces travaux de thèse. Ainsi, la méthode des champs virtuels sera d'abord présentée en nous intéressant plus particulièrement au cas des milieux soumis à un chargement quasi-statique et aux différentes approches existantes pour construire les champs virtuels. Lors d'une expérience d'élastographie ultrasonore quasi-statique, les données acquises au cours du temps sont généralement des images et non pas des volumes. Afin de pallier le manque de données 3D, les approches en déformations planes et contraintes planes seront introduites et des illustrations seront données dans le cas de milieux simples, homogènes. Enfin, notre méthode destinée à l'imagerie du module d'Young de milieux hétérogènes sera détaillée.

# II Introduction à la méthode des champs virtuels

La méthode des champs virtuels (MCV) a été développée vers la fin des années 80 par Grediac [9][10] pour la caractérisation des matériaux, c.-à-d. pour l'identification des paramètres pilotant les lois de comportement. Comparée aux essais mécaniques traditionnels, impliquant l'utilisation de jauges de déformation ou de capteurs de déplacement qui ne délivrent que des informations ponctuelles, cette méthode s'appuie sur la possibilité d'exploiter des mesures de champs de déplacement/déformation, et donc sur l'utilisation d'une information beaucoup plus riche. Le fait que des champs de déplacement/déformation soient utilisés rejoint pleinement le
type d'informations qu'il est possible d'extraire en élastographie.

La méthode des champs virtuels repose sur le principe des travaux virtuels, présenté ci-après.

## II.1 Principe des travaux virtuels

Le principe des travaux virtuels (PTV) permet de traduire l'équilibre mécanique d'un milieu [11]. L'idée du PTV peut être résumée ainsi : à l'équilibre l'ensemble des forces agissant sur un milieu se compensent, par conséquent, si l'état du milieu est virtuellement modifié (action fictive), alors le travail de ces forces virtuelles se compense aussi. Autrement dit, la somme du travail virtuel des forces extérieures et des forces intérieures au système/milieu est égale au travail virtuel des quantités d'accélération, soit : $W_{acc}^* = W_{ext}^* + W_{int}^* [10]$.

Considérons un domaine de volume $V$ et de surface $S$, et reprenons l'équation du mouvement définie dans le chapitre 1. Pour rappel :

$$ \rho \ddot{u} = \nabla \cdot \sigma + \rho b \qquad (3.1) $$

où $\rho$ est la masse volumique, $\ddot{u}$ l'accélération, $\sigma$ le tenseur des contraintes et $b$ la force de volume.

Chaque membre de cette équation peut être multiplié par une même fonction arbitraire. Ici, cette fonction est appelée déplacement virtuel $u^*$, mais il est aussi possible de parler de fonction de test. L'équation (3.1) est donc multipliée par $u^*$, non nul, puis intégrée sur l'ensemble du domaine, conduisant à l'équation suivante :

$$ \int_V \rho \ddot{u} \cdot u^* dv = \int_V (\nabla \cdot \sigma) \cdot u^* dv + \int_V \rho b \cdot u^* dv \qquad (3.2) $$

Le premier terme de droite de l'équation (3.2) contient à la fois le travail des forces intérieures et celui des forces extérieures de contact. L'utilisation du théorème de la divergence permet de les séparer en faisant apparaître d'un côté la force par unité de surface $T$ et de l'autre la contrainte $\sigma$ (3.3).

$$ \int_V \rho \ddot{u} \cdot u^* dv = \int_S T \cdot u^* ds - \int_V \sigma : (\nabla u^*) dv + \int_V \rho b \cdot u^* dv \qquad (3.3) $$

Pour finir, le gradient du déplacement virtuel $\nabla u^*$ peut être décomposé en une partie symétrique et une partie antisymétrique, correspondant respectivement au tenseur des déformations virtuelles $\varepsilon^*$ et au tenseur des rotations virtuelles $\omega^*$ (3.4).

$$ \left\{ \begin{array}{l} \nabla u^* = \varepsilon^* + \omega^* \\ \varepsilon^* = \frac{1}{2} (\nabla u^* + (\nabla u^*)^t) \\ \omega^* = \frac{1}{2} (\nabla u^* - (\nabla u^*)^t) \end{array} \right. \qquad (3.4) $$

Le tenseur des contraintes étant symétrique, seul le terme de déformation est conservé ($\sigma : \omega^* = 0$), conduisant à l'équation du PTV suivante :

$$ \int_V \rho \ddot{u} \cdot u^* dv = \int_S T \cdot u^* ds - \int_V \sigma : \varepsilon^* dv + \int_V \rho b \cdot u^* dv \qquad (3.5) $$

avec,

$$ \left\{ \begin{array}{l} W_{acc}^* = \int_V \rho \ddot{u} \cdot u^* dv : \text{le travail virtuel des quantités d'accélération,} \\ W_{ext}^* = \int_S T \cdot u^* ds + \int_V \rho b \cdot u^* dv : \text{le travail virtuel des forces extérieures,} \\ W_{int}^* = - \int_V \sigma : \varepsilon^* dv : \text{le travail virtuel des forces intérieures.} \end{array} \right. \qquad (3.6) $$

L'équation (3.5) est à la base de la MCV.