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Algèbre linéaire

Alexis Marin

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Alexis Marin. Algèbre linéaire. 2025. hal-05096829v2

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Submitted on 23 Jul 2025

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# Algèbre linéaire.

## Résumé

La première partie de ce cours ramassé donne le langage des applications linéaires entre modules à gauche et à droite, sous-modules et modules quotients, noyau et image, produits et sommes directes, dualité, transposition et application canonique vers le bidual.

La seconde présente le calcul matriciel et les déterminants dans un anneau commutatif comme application d'« identités remarquables » dans l'anneaux de polynômes à coefficients entiers en les variables coefficients et second membre de la « méthode de Gauß générale », ce qui requiert la factorialité des anneaux de polynômes à coefficients entiers, factorialité ici établie en modifiant la démonstration de Zermolo de la factorialité de l'anneau des entiers.

La troisième, revenant au cas général non nécessairement commutatif, présente les espaces vectoriels sur un corps et leur dimension. Exploitant la présentation, aujourd'hui méconnue, que la première édition de du traité d'Algèbre de Nicolas Bourbaki donne des structures rationnelles sur un sous corps on obtient, sans théorie des algèbres centrales simples, le baba de la théorie des corps non commutatifs, le théorème de Wedderburn sur les corps finis et celui d'Erdös-Kaplanski sur la dimension du dual d'un espace vectoriel de dimension infinie.

## Abstract

After the language of module and theirs morphisms, this short course presents matricial calculus and determinants in a commutative ring as application of "remarquable identities" in the ring of polynomials with integer coefficients with variable coefficients and second member of the "general Gauß method" requiring the factoriality of such polynomial rings, here obtained by a modification of Zermolo's proof of the factoriality of the integers. As third part, using the, today almost forgotten, presentation in the first edition of N. Bourbaki's Algebra of rational structures for a subfield, one gets, without central simple algebras, the baba of skewfields, and the theorems of Wedderburn and Erdös-Kaplanski (commutativity of finite fields and dimension of the dual).

On utilisera les baba ensemblistes (entiers naturels, ensemble, applications, injection, surjections et les propriétés élémentaires des cardinaux), relire [Ld] et les §0 à §8 de [Go].

Le 2.2 utilise qu'un anneau de polynômes (à nombre fini de variables) à coefficients entiers relatifs est factoriel. Ce fait très élémentaire (voir la preuve<fnref n="1" /> de l'appendice 2.2.4) adaptant celle de Zermolo [voir p. 11-12 de [Sa1]] pour les entiers) est rarement exposé dans les manuels. Pour l'approche classique voir les exercices 21 du §31 et 31 du §32 de [Go], les Chap. I et II de [Sa1], ou les §18 puis §30 et §31, ainsi que l'algorithme §32 de [vW], ou encore le §20 de [Wb].

Les 3.5.3, 3.5.4 utilisent un peu de récurrence transfinie (voir chap. II de [Kr] et/ou [Ha]), on consultera aussi la seconde partie (p. 17-30) du cours de magistère [Gu].

<footnote n="1">¹ n'utilisant pas qu'un anneau de polynômes sur un corps est principal (donc factoriel).</footnote>
# 1 Modules.

Soient $f,g : M \to N$ deux homorphismes d'un groupe abélien $M$ vers un groupe abélien $N$, leur somme $h = f + g$ est l'application qui à $m \in M$ associe $h(m) = f(m) + g(m) \in N$. Comme l'addition $+$ de $N$ est commutative<fnref n="1" />, c'est un homorphisme de groupe abélien. Muni de cette loi d'addition, l'ensemble $\text{Hom}(M, N)$ des homomorphismes de $M$ vers $N$ est un groupe abélien.

Dans le cas où $M = N$, source et but coïncidant, deux homomorphismes $f,g : M \to M$, des *endomorphismes* de $M$, se composent et $f \circ g : M \to M$, $x \mapsto f \circ g(x) = f(g(x))$ est un endomorphisme. Cette deuxième loi est associative, a l'identité $\text{Id}_M$ de $M$ comme élément neutre et est distributive par rapport à l'addition, ainsi ($\text{End}(M), +, \circ$) est un anneau. L'anneau opposé $\text{End}(M)^\circ$ peut s'interpréter comme le même ensemble muni des mêmes lois, mais en écrivant la variable à gauche de l'application : l'image par l'application $f$ du point $m$ est notée $(m)f$.

**Définitions.** Soit $\Lambda$ un anneau, dit *anneau des scalaires*, un $\Lambda$-module à gauche (respectivement à droite) est un groupe abélien $M$ muni d'un morphisme d'anneau $\gamma : \Lambda \to \text{End}(M)$ (respectivement $\delta : \Lambda \to \text{End}(M)^\circ$).

Pour tout $\lambda \in \Lambda$ et $m \in M$ on note alors $\gamma(\lambda)(m) = \lambda m$ (resp. $\delta(\lambda)(m)$ (ou $(m)\delta(\lambda) = m\lambda$). L'endomorphisme $\gamma(\lambda)$ (resp. $\delta(\lambda)$) est l'homoïdème (à gauche) (resp. (à droite)) de rapport $\lambda$.

**Définition.** Un $\Lambda$-module bilatéral est un groupe abélien $M$ muni de structures de $\Lambda$-modules à gauche et à droite $\gamma, \delta : \Lambda \to \text{End}(M)$ commutant : pour tout $\lambda, \mu \in \Lambda, m \in M$ on a $(\lambda m)\mu = \delta(\mu) \circ \gamma(\lambda)(m) = \gamma(\lambda) \circ \delta(\mu)(m) = \lambda(m\mu)$.

*Exemples.* — a) Si $M=\Lambda$ (ou plus généralement $M = \Lambda^n, n \in \mathbb{N}$) les multiplications à gauche et à droite $((\lambda, \mu), m) \mapsto \lambda m\mu$ (resp. $((\lambda, \mu), (m_i)_{1 \le i \le n}) \mapsto (\lambda m_i\mu)_{1 \le i \le n}$) d'un élément $m \in M = \Lambda$ (resp. $\Lambda^n$) par les scalaires $\lambda, \mu \in \Lambda$ donnent à $M$ sa *structure de $\Lambda$-module bilatéral usuelle*.

b) Si l'anneau $\Lambda$ est commutatif les notions de module $M$ à gauche et à droite sont pratiquement identiques<fnref n="2" /> et produisent une structure de $\Lambda$-module bilatérale dite *canonique*.

c) Tout groupe abélien $M$ a une unique structure de $\mathbb{Z}$-module à gauche et à droite : si $k \ge 0$, $\gamma(k)(m) = \delta(k)(m) = \underbrace{m + \cdots + m}_{k \text{ fois}}$ et si $k \le 0$, $-\underbrace{(m + \cdots + m)}_{-k \text{ fois}}$.

Si l'anneau $\Lambda$ n'est pas commutatif les notions de module $M$ à gauche et à droite sont distinctes et quand un ensemble est muni de deux structures de $\Lambda$-module, l'une à gauche l'autre à droite, comme par exemple l'anneau $\Lambda$, on précisera de quel côté on se place : les structure à gauche et à droite de $\Lambda$ sont notées<fnref n="3" /> $\Lambda_s, \Lambda_d$.

Hormis pour la structure de $\Lambda$-module sur le dual servant à produire le morphisme canonique d'un $\Lambda$-module dans son bidual, et les applications de la dimension aux corps gauches cet opuscule ne s'occupe que de situations où tous les modules sont du même côté.

Conformément à un usage trop bien établi pour être ébranlé, il est écrit pour les $\Lambda$-modules à gauche (mais, suivant l'usage, le calcul matriciel est développé pour les $\Lambda$-modules à droite!).

<footnote n="1">¹ $h(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = f(x)+g(x)+f(y)+g(y) = h(x)+h(y)$</footnote>

<footnote n="2">² Si $M$ est un $\Lambda$-module à gauche alors pour tout $\lambda, \mu \in \Lambda$ et $m \in M$ on a : $\lambda \cdot (\mu \cdot m) = (\lambda \mu) \cdot m = (\mu \lambda) \cdot m = \mu \cdot (\lambda \cdot m)$ donc $(m, \lambda) \mapsto m \cdot \lambda \stackrel{\text{Def}}{=} \lambda \cdot m$ donne à $M$ une structure de $\Lambda$-module à droite commutant à la structure initiale. De même un $\Lambda$-module à droite $N$ est, par $(\lambda, n) \mapsto \lambda \cdot n \stackrel{\text{Def}}{=} n \cdot \lambda$ un $\Lambda$-module à gauche et un $\Lambda$-module bilatéral.</footnote>

<footnote n="3">³ en suivant l'usage (issu du latin) *s* et *d* pour sinistra et dextra.</footnote>
## 1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes.

**Définitions.** Une application $\Lambda$-linéaire d'un $\Lambda$-module $M$ vers un $\Lambda$-module $N$ est un homomorphisme $f : M \to N$ des groupes abéliens sous-jacents qui commute avec les homothéties : pour tout $m \in M$ et $\lambda \in \Lambda$ on a $f(\lambda m) = \lambda f(m)$.

Ainsi une application $f : M \to N$ entre deux $\Lambda$-modules est<fnref n="1" /> $\Lambda$-linéaire si et seulement si pour tout $x, y \in M$ et $\lambda, \mu \in \Lambda$ on a : $f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)$.

Un synonyme d'application linéaire est *morphisme de $\Lambda$-modules* ou *$\Lambda$-morphisme*. Si l'anneau $\Lambda$ est fixé par le contexte on parlera simplement de *modules*, *applications linéaires* ou *morphismes*.

L'identité $\text{Id}_M$ d'un module $M$ est un morphisme et le composé $g \circ f : M \to P$ de deux morphismes $f : M \to N$ et $g : N \to P$ est un morphisme.

L'ensemble des morphismes de $\Lambda$-modules de $M$ vers $N$ est noté $\text{Hom}_\Lambda(M, N)$. C'est un sous-groupe du groupe $\text{Hom}(M, N) = \text{Hom}_Z(M, N)$ des homomorphismes de groupe abélien de $M$ vers $N$.

Un morphisme $f : M \to N$ est un *isomorphisme* si il y a un morphisme $g : N \to M$ tel que $g \circ f = \text{Id}_M$ et $f \circ g = \text{Id}_N$.

En ce cas l'application $f$ est bijective d'application réciproque $f^{-1} = g$. En fait :

**LEMME.** — Soit $f : M \to N$ un morphisme bijectif.

Alors son application réciproque $g = f^{-1} : N \to M$ est un morphisme.

Ainsi un morphisme est un isomorphisme si et seulement si il est bijectif.

**Démonstration.** — Soit $u, v \in N, \lambda, \mu \in \Lambda, w = \lambda g(u) + \mu g(v) \in M$ alors comme : $u = f(g(u)), v = f(g(v)), g(f(w)) = w$ on a : $g(\lambda u + \mu v) = g(\lambda f(g(u)) + \mu f(g(v))) = g(f(\lambda g(u) + \mu g(v))) = \lambda g(u) + \mu g(v)$. ■

Dans le cas où le module $N$ est muni d'une structure bilatérale [par exemple l'usuelle (resp. la canonique) sur $N = \Lambda^n$ (resp., si l'anneau $\Lambda$ est commutatif)] pour tout $f \in \text{Hom}_\Lambda(M, N)$ et tout $\lambda, \mu \in \Lambda$ et $y \in N$, on a :

$$f(\lambda x)\mu = (\lambda f(x))\mu = \lambda (f(x)\mu)$$

ainsi l'application $f\mu : M \to N, x \mapsto f(x)\mu$ est $\Lambda$-linéaire, c'est l'homothétique de $f$ de rapport $\mu$ pour la *structure de $\Lambda$-module à droite* de $\text{Hom}_\Lambda(M, N)$.

## COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Plus de détails sur modules morphismes sont dans<fnref n="2" /> les §10 à §13 de [Go], le 1.4 de [Sa2], ou les plus exaustifs Kap. 12 de [vW], §1 et §2 de [Bo] Chap II, [Ja] vol. I et chap. III de [Lg].

<footnote n="1">¹ $f(x-y) = f(1x + (-1)y) = f(x) - f(y)$ et $f(\lambda x) = f(\lambda x + 00) = \lambda f(x) + 0f(0) = \lambda f(x)$.</footnote>

<footnote n="2">² Un manuel « élémentaire mais correct », sans la « standard mistake » de l'algèbre linéaire : se « mélanger les côté des scalaires » en passant de l'algèbre linéaire abstraite au calcul matriciel.</footnote>
## 1.2 Sous-modules et modules quotients.

**Définition.** Un sous-module d'un $\Lambda$-module $M$ est un sous-groupe abélien $U \subset M$ de $M$ stable par homothétie [pour tout $\lambda \in \Lambda$ on a : $\gamma(\lambda)(U) =: \lambda U \subset U$].

C'est un $\Lambda$-module et l'inclusion $i_U : U \hookrightarrow M$ est un morphisme.

*Exemples.* — $M, \{0\} \subset M$ sont des sous-modules dits *triviaux*, *plein et nul*. On note $0=\{0\}$.

**PROPOSITION 1.** — Soit $U_i, i \in I$ une famille (indexée par un ensemble $I$) de sous-modules d'un module $M$. Alors :

(i) L'intersection $\cap_{i \in I} U_i$ de cette famille est un sous-module de $M$, c'est le plus grand sous-module de $M$ inclus dans tous les $U_i$.

(ii) L'intersection des sous-modules contenant chacun tous les $U_i$ est le plus petit sous-module les contenant tous.

Il est formé des sommes finies d'éléments $u_i \in U_i$, c'est la somme des $U_i$.

On le note $\sum_{i \in I} U_i$ ou, dans le cas où $I = \{1, \dots, n\}$ est fini, $U_1 + U_2 + \dots + U_n$.

**COMPLÉMENT ET DÉFINITIONS.** — Soit $\underline{m} = (m_i)_{i \in I}, m_i \in M$ (resp. $E \subset M$) une famille (resp. partie) d'un $\Lambda$-module $M$. Il y a un plus petit sous-module de $M$ contenant tous les $m_i, i \in I$ (resp. la partie $E$) c'est le sous-module engendré par la famille $\underline{m}$ (resp. la partie $E$) notée $\langle \underline{m} \rangle = < \underline{m} \rangle_{\Lambda}$ (resp. $\langle E \rangle = < E \rangle_{\Lambda}$).

Si $M = < \underline{m} >_{\Lambda}$, le module $M$ est dit engendré par la famille $\underline{m}$.

Un module $M$ est dit de type fini (engendré sur $\Lambda$ par $m_1, \dots, m_n$) si
$$M = < m_1, \dots, m_n >_{\Lambda}, \text{ il est engendré par une famille } \underline{m} = m_1, \dots, m_n \text{ finie.}$$

**Définitions.** Deux éléments $x, y \in M$ sont *congrus* modulo un sous-module $U$ si $x - y \in U$, on note alors $x \equiv y \mod U$.

La congruence modulo un sous-module est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient est muni d'une unique structure de $\Lambda$-module, le $\Lambda$-module quotient $M/U$, pour laquelle l'application quotient est un morphisme, le *morphisme quotient* $\pi : M \to M/U$. De plus :

**PROPOSITION 2.** — La précomposition $g \mapsto g \circ \pi$ par $\pi$ est un isomorphisme du groupe abélien $\text{Hom}_{\Lambda}(M/U, N)$ sur le sous-groupe $\{f \in \text{Hom}_{\Lambda}(M, N) | f|_U = 0\}$ des morphismes de $M$ vers $N$ s'annulant sur $U$.

Si l'anneau $\Lambda$ est commutatif ou plus généralement si le module $N$ est muni d'une structure bilatérale, c'est un isomorphisme de $\Lambda$-module.

## COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

La notion de sous-objet et structure quotient en algèbre, préparée en exercice dans [Go], et le point de vue de la Proposition 2 (insister plus sur morphismes qu'objets) est plus systématiquement utilisée et développée dans [Bo] et [Lg], et le Vocabulaire Mathématique de [Co].
### 1.3 Noyau, image, factorisation canonique et suites exactes.

**Définitions.** Soit $f \in \operatorname{Hom}_{\Lambda}(M, N)$ un morphisme de $M$ vers $N$ son noyau et son image sont $\ker(f) = \{m \in M | f(m) = 0\}$ et $\operatorname{Im}(f) = \{f(m) | m \in M\}$. Ce sont des sous-modules de $M$ et $N$ respectivement. Le conoyau et la coimage de $f$ sont respectivement : coker($f$) = $N/\operatorname{Im}(f)$ et coim($f$) = $M/\ker(f)$. Ainsi :

Un morphisme est surjectif si et seulement si son conoyau coker ($f$)=0 est nul.

Plus utile que ce pléonasme est la fondamentale :

**PROPOSITION 1.** — Un morphisme $f : M \to N$ est injectif ssi $\ker(f) = 0$.

**PROPOSITION 2.** — Tout morphisme $f : M \to N$ a une unique factorisation

$$f : M \xrightarrow{\pi} \operatorname{coim}(f) \xrightarrow{\bar{f}} \operatorname{Im}(f) \xrightarrow{i_{\operatorname{Im}(f)}} N$$

où $\pi$ est le morphisme quotient, $\bar{f}$ un isomorphisme et $i_{\operatorname{Im}(f)}$ l'inclusion de l'image dans le but.

**Définition.** Une suite exacte (courte) de $\Lambda$-modules, notée $0 \to U \xrightarrow{i} V \xrightarrow{j} W \to 0$, est la donnée de morphismes $i : U \to V$ injectif et $j : V \to W$ surjectif tels que $\ker(j) = \operatorname{Im}(i)$.

*Exemples.* — a) Si $U \subset M$ est un sous-module d'un module $M$, on a la suite exacte :

$$0 \to U \to M \to M/U \to 0$$

b) Si $f : M \to N$ est un morphisme de modules, on a la suite exacte :

$$0 \to \ker(f) \to M \to \operatorname{Im}(f) \to 0$$

**Définition.** Un morphisme d'une suite exacte $0 \to U \xrightarrow{i} V \xrightarrow{j} W \to 0$ vers une suite exacte $0 \to U' \xrightarrow{i'} V' \xrightarrow{j'} W' \to 0$ est la donnée, notée $(f, g, h)$, de trois morphismes $f : U \to U'$, $g : V \to V'$ et $h : W \to W'$ tels que $g \circ i = i' \circ f$ et $h \circ j = j' \circ g$, conditions que l'on exprime en disant que :

$$\begin{array}{ccccc}
0 & \to & U & \xrightarrow{i} & V & \xrightarrow{j} & W & \to & 0 \\
& & f \downarrow & & g \downarrow & & h \downarrow & & \\
0 & \to & U' & \xrightarrow{i'} & V' & \xrightarrow{j'} & W' & \to & 0
\end{array}$$

est un diagramme commutatif. On a alors le (petit<fnref n="1" />) Lemme des cinq :

**LEMME.** — Si les deux morphismes latéraux $f$ et $h$ sont des isomorphismes, alors le morphisme central $g$ est un isomorphisme.

**Démonstration.** — D'après le lemme de 1.1 il suffit de montrer que $g$ est bijectif.

Soit $v' \in V'$. Comme $h, j$ sont surjectifs, il y a $w \in W, v_1 \in V$ tel que $h(w) = j'(v')$, $j(v_1) = w$. Ainsi $j'(v' - g(v_1)) = j'(v') - j'(g(v_1)) = j'(v') - h(j(v_1)) = 0$, donc $v' - g(v_1) \in \ker(j') = \operatorname{Im}(i')$ et il y a $u' \in U'$ avec $i'(u') = v' - g(v_1)$. Comme $f$ est surjectif, il y a $u \in U$ avec $f(u) = u'$, d'où $g(i(u) + v_1) = g(i(u)) + g(v_1) = i'(f(u)) + g(v_1) = v' - g(v_1) + g(v_1) = v'$ et $g$ est surjectif. $\square$

Soit $v \in \ker(g)$. On a $h(j(v)) = j'(g(v)) = j'(0) = 0$, donc $j(v) \in \ker(h)$, qui est nul d'après la Proposition 1, puisque $h$ est injectif. Ainsi $v \in \ker(j) = \operatorname{Im}(i)$ et il y a $u \in U$ tel que $i(u) = v$. Comme $i' \circ f(u) = g \circ i(u) = g(i(u)) = g(v) = 0$ et $i'$, $f$ sont injectifs on a : $u = 0$, d'où $v = 0$. Ainsi $\ker(g) = 0$ et la Proposition 1 assure que $g$ est aussi injective, donc bijective. $\square$

<footnote n="1">¹ Pour le vrai Lemme des cinq, faire l'exercice 25 du §7 de [Go].</footnote>
1.4 Produit, somme directe et module libre sur un ensemble.

**Définition.** Soit $N_i, i \in I$ une famille de $\Lambda$-modules indexée par un ensemble $I$. Le $\Lambda$-module produit $\prod_{i \in I} N_i$ est l'ensemble des suites $(n_i)_{i \in I}$ indicées par $I$ dont les $i$-ièmes éléments sont des éléments de $N_i$. Cet ensemble de suites est muni de l'addition et de l'action de $\Lambda$ composante par composante :

$$
(n_i)_{i \in I} + (n'_i)_{i \in I} = (n_i + n'_i)_{i \in I} \text{ et } \lambda (n_i)_{i \in I} = (\lambda n_i)_{i \in I}
$$

Pour tout $k \in I$ le morphisme défini par $\mathrm{pr}_k((n_i)_{i \in I}) = n_k$ est la $k$-ième projection :

$$
\mathrm{pr}_k : \prod_{i \in I} N_i \to N_k
$$

Si $f_i : X \to N_i, i \in I$ est une famille indexée par $I$ de morphismes d'un $\Lambda$-module $X$ vers les $N_i$ alors il y a un unique morphisme $f : X \to \prod_{i \in I} N_i$ tel que pour tout $i \in I$ on ait $\mathrm{pr}_i \circ f = f_i$, il est donné par $f(x) = (f_i(x))_{i \in I}$ :

PROPOSITION 1. — L’application $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)_{i \in I}$ est un isomorphime de groupe abélien de $\mathrm{Hom}_\Lambda(X, \prod_{i \in I} N_i)$ sur $\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_\Lambda(X, N_i)$.

Si les modules $N_i$ sont bilatéraux<fnref n="1" /> c'est un isomorphisme de $\Lambda$-modules.

**Définition.** Soit $M_j, j \in J$ une famille de $\Lambda$-modules d'ensemble d'indices $J$.
Les suites $(m_j)_{j \in J} \in \prod_{j \in J} M_j$ dont *presque toutes* les composantes sont nulles<fnref n="2" />
forment un sous-$\Lambda$-module de $\prod_{j \in J} M_j$ appelé *somme directe des* $M_j$, et noté

$$
\oplus_{j \in J} M_j
$$

L'inclusion $i_J : \oplus_{j \in J} M_j \to \prod_{j \in I} M_j$ de la somme directe dans le produit est
surjective si et seulement si l'ensemble $\{j \in J \mid M_j \neq 0\}$ est fini.

Pour tout $k \in J$ on a la $k$-ième inclusion

$$
i_k : M_k \to \bigoplus_{j \in J} M_j
$$

le morphisme défini par $i_k(m) = (m_j)_{j \in J}$ où $m_k = m$ et $m_j = 0$ pour $j \neq k$.

Si $g_j : M_j \to Y, j \in J$ est une famille, indexée par $J$, de morphismes de $M_j$
vers un $\Lambda$-module $Y$ alors il y a un unique morphisme :

$$
g : \bigoplus_{j \in J} M_j \to Y
$$

tel que pour tout $j \in J$ on ait :

$g \circ i_j = g_j$

il est donné par $g((m_j)_{j \in J}) = \sum_{j \in J} g_j(m_j)$, cette somme étant bien définie car,
sauf pour un nombre fini d'entre eux, les $m_j$, donc les $g_j(m_j)$, sont nuls.

<footnote n="1">1 par exemple si l'anneau $\Lambda$ est commutatif et les $N_i$ sont munis de leur structure canonique.</footnote>

<footnote n="2">² c. a d. la suite $(m_j)_{j \in J}$ est de support, l'ensemble $\{j \in J, m_j \neq 0\}$, fini.</footnote>
PROPOSITION 2. — L’application $g \mapsto (g \circ i_j)_{j \in J}$ est un isomorphisme du groupe abélien $\operatorname{Hom}_\Lambda(\oplus_{j \in J} M_j, Y)$ sur le groupe abélien $\prod_{j \in J} \operatorname{Hom}_\Lambda(M_j, Y)$.

Si le module $Y$ est muni d'une structure bilatérale$^3$c'est un isomorphisme de $\Lambda$-modules.

LEMME ET DÉFINITIONS. — Soit $P \subset M$ un sous-module de $M$ tel qu'il y ait un sous-module $Q \subset M$ avec $P \cap Q = 0$ et $P + Q = M$. Alors l'application

$$P \oplus Q \to M$$

définie par les inclusions de $P$ et $Q$ dans $M$ est un isomorphisme.

On dit alors que $P$ est un facteur direct de $M$, que $Q$ est un supplémentaire de $P$ dans $M$ et que $M$ admet la décomposition en somme directe $M = P \oplus Q$.

De même si une famille $M_j \subset M$, $j \in J$ de sous-modules de $M$ vérifie :

$$\sum_{j \in J} M_j = M \text{ et pour chaque } j_0 \in J, M_{j_0} \cap \left( \sum_{j \in J \setminus \{j_0\}} M_j \right) = 0$$

alors le morphisme $\oplus_{i \in J} M_j \to M$ défini par les inclusions des $M_j$ dans $M$ est un isomorphisme.

On dit alors que $M$ admet la décomposition en somme directe $M = \oplus_{i \in J} M_j$.

Ainsi si $M = \oplus_{j \in J} M_j$ est décomposition en somme directe d'un $\Lambda$-module $M$ et $N = \prod_{i \in I} N_i$ est décomposition en produit d'un $\Lambda$-module $N$ l'application

$$f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f \circ i_j)_{(i,j) \in I \times J}$$

est un isomorphisme de groupe abélien de $\operatorname{Hom}_\Lambda(M, N)$ sur $\prod_{(i,j) \in I \times J} \operatorname{Hom}_\Lambda(M_j, N_i)$.

**Définition.** la matrice d'endomorphismes de $f$ associée à ces décompositions est :

$$(f_{i,j}(f) = \mathrm{pr}_i \circ f \circ i_j)_{(i,j) \in I \times J} \in \prod_{(i,j) \in I \times J} \operatorname{Hom}_\Lambda(M_j, N_i)$$

Si un troisième $\Lambda$-module $L = \oplus_{k \in K} L_k$ est décomposé en somme directe et $g : L \to M$ une application linéaire telle que la matrice de $i_J \circ g$ est $(g_{j,k})_{(j,k) \in J \times K}$. Alors la matrice $(h_{i,k})_{(i,k) \in I \times K}$ de l'application composée $h = f \circ g : L \to M \to N$ est donnée par la formule du calcul matriciel des endomorphismes :

$$h_{i,k} = \sum_{j \in J} f_{i,j} \circ g_{j,k}$$

qui a un sens même si $J$ est infini car le but de $g$ étant la somme directe $M = \oplus_{j \in J} M_j$ pour chaque $k \in K$ et $z \in L$ il n'y a qu'un nombre fini de $j$ tels que $g_{j,k}(z) \neq 0$ soit non nul et la somme $\sum_{j \in J} g_{j,k}(z)$ est en fait finie.

Soit $I$ un ensemble. On choisit pour chaque $i \in I$ un exemplaire $\Lambda_i$ de l'anneau $\Lambda$, on note son unité $1_i$ et on le considère comme $\Lambda$-module à gauche, ainsi $\Lambda_i = \{\lambda 1_i | \lambda \in \Lambda\}$.

<footnote n="3">³ p. e. l’usuelle (resp. canonique) si $Y = \Lambda^n$ (resp. $\Lambda$ est commutatif).</footnote>
**Définitions.** Le $\Lambda$-module libre sur $I$ est la somme directe

$$L_I = \bigoplus_{i \in I} \Lambda_i$$

(s'identifiant au module $\Lambda^{(I)}$ des lignes dans $\Lambda$ indicées par $I$ d'éléments presques tous nuls), munie de l'application $e_I : I \to L_I$ définie par :

$$e_I (i) = e_i = (e_{i_j})_{j \in I} \text{ où } e_{i_j} = 0 \text{ si } j \neq i \text{ et } e_{i_i} = 1_i$$

L'élément $e_i$ est dit élément canonique d'indice $i$ de base de $\Lambda_I$.

Cette application $e_I : I \to L_I$ a la propriété universelle suivante :

**PROPOSITION 3.** — Pour toute application $f : I \to M$ d'un ensemble $I$ vers un $\Lambda$-module $M$ il y a un unique morphisme

$$L(f) : L_I \to M \quad \text{tel que} \quad L(f) \circ e_I = f$$

c'est le morphisme de la somme directe $\bigoplus_{i \in I} \Lambda_i$ vers $M$ déterminé par les morphismes $f_i : \Lambda_i \to M$, $\lambda 1_i \mapsto \lambda f(i)$.

De même que l'on a identifié $L_I$ aux lignes d'éléments de $\Lambda$ indicées par $I$, on utilisera l'abus de notation $f$ pour $L(f)$.

**Définition.** Un $\Lambda$-module libre de base $(b_i)_{i \in I}$ est un $\Lambda$-module $L$ muni d'un isomorphisme $\varphi : L_I \to L$ tel que pour tout $i \in I$ on ait $\varphi(e_i) = b_i$.

L'isomorphisme réciproque $\psi : L \to L_I$ associe à chaque élément $x \in L$ la ligne $(x_i)_{i \in I}$ de ses coordonnées dans la base $(b_i)_{i \in I}$.

On a alors l'écriture unique $x = \sum_{i \in I} x_i b_i$. De plus l'inclusion $\{b_i | i \in I\} \hookrightarrow L$ possède la propriété universelle de la **PROPOSITION 3**.

**COROLLAIRE.** — Soit $f : M \to N$ une application $\Lambda$-linéaire surjective et $g : L \to N$ un morphisme de source un $\Lambda$-module libre $L$ de base $(b_i)_{i \in I}$.

Alors, si les $c_i \in M$ sont tels que $f(c_i) = g(b_i)$, l'application $\Lambda$-linéaire $\tilde{g} : L \to M$ déterminée par $\tilde{g}(b_i) = c_i$ vérifie la relation $g = f \circ \tilde{g}$.

COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Les notions de somme et produit en algèbre, plus généralement de problème universel, ainsi que le procédé de construction qui à un ensemble $I$ associe le module libre sur $I$ sont<fnref n="4" /> de nouvelles illustrations du *point de vue des catégories et foncteurs* qui est implicite dans [vW], [Bo] et est plus amplement développé dans [Lg] et dans le Vocabulaire mathématique de [Co].

<footnote n="4">⁴ après la notion sous-objet et de quotient de **1.2**.</footnote>
## 1.5 Dualité, transposition et application canonique vers le bidual.

**Définitions.** Une forme linéaire sur un $\Lambda$-module à gauche $M$ est une application $\Lambda$-linéaire à gauche de $M$ vers l'anneau $\Lambda$.

Le $\Lambda$-module à droite dual de $M$ est le groupe abélien $\text{Hom}_{\Lambda}(M, \Lambda)$ des formes linéaires sur $M$ muni de la structure usuelle<fnref n="1" />. On le note $M^*$.

*Exemple.* — L'application $\varphi \mapsto \varphi(1)$ est un isomorphisme du dual $\Lambda^* = (\Lambda_s)^*$ de l'anneau $\Lambda$ vu comme $\Lambda$-module à gauche sur $\Lambda_d$, l'anneau $\Lambda$ vu comme $\Lambda$-module à droite<fnref n="2" />.

Si $M$ est libre de base $(b_i)_{i \in I}$ la forme linéaire du $k^{\text{ième}}$ élément de base $b_k$ est $b_k^* : M \to \Lambda$ déterminée par $b_k^*(b_k) = 1$ et $b_k^*(b_i) = 0$ pour $i \neq k$.

La Proposition 2 de **1.4** se traduit en :

**Proposition 1.** — Le dual $(\oplus_{i \in I} M_i)^*$ de la somme directe des modules $M_i$ pour $i \in I$ s'identifie au produit $\prod_{i \in I} M_i^*$ des duaux de ces modules.

En particulier le dual d'un $\Lambda$-module à gauche libre de base finie $(b_1, \dots, b_n)$ est le $\Lambda$-module à droite libre de base la base duale $(b_1^*, \dots, b_n^*)$.

**Définitions.** La transposée d'une application $\Lambda$-linéaire $f : M \to N$ est l'application $f^* : N^* \to M^*$ qui à la forme linéaire $\psi : N \to \Lambda$ associe la forme linéaire $f^*(\psi) = \psi \circ f : M \to N \to \Lambda$.

L'application $t : \text{Hom}_{\Lambda}(M, N) \to \text{Hom}_{\Lambda}(N^*, M^*)$, $f \mapsto t(f) = f^*$ est un morphisme de groupe abélien et, si les modules $M$ et $N$ sont munis de structure bilatérales, par exemple la canonique si l'anneau $\Lambda$ est commutatif, un morphisme de $\Lambda$-module. C'est la transposition.

**Proposition 2.** — La transposée de l'identité d'un module $M$ est l'identité de son dual $M^*$ :

$$t(\text{Id}_M) = \text{Id}_{M^*}$$

Si $g \in \text{Hom}_{\Lambda}(L, M)$ et $f \in \text{Hom}_{\Lambda}(M, N)$ sont composables alors :

$$t(f \circ g) = t(g) \circ t(f) \in \text{Hom}_{\Lambda}(N^*, L^*)$$

**Lemme et définitions.** — Soit $m \in M$ un élément du $\Lambda$-module à gauche $M$.

L'application $e_m : M^* \to \Lambda, \varphi \mapsto \varphi(m)$ est un élément de $(M^*)^*$, dit évaluation en $m$, et l'application $M \to (M^*)^*$, $m \mapsto e_m$ est $\Lambda$-linéaire à gauche.

C'est l'application canonique de $M$ dans son bidual $M^{**} = (M^*)^*$, notée $\iota_M : M \to M^{**}$.

La Proposition 1 et l'Exemple donnent :

**Proposition 3.** — Si $P$ est facteur direct d'un module libre $L = P \oplus Q$ alors :

(i) l'application canonique $\iota_P : P \to P^{**}$ est injective.

(ii) si $L$ est de type fini, $\iota_P$ est un isomorphisme de $P$ sur son bidual $P^{**}$.

**Remarque.** — Le Corollaire de la Proposition 3 de **1.4** vaut<fnref n="3" /> pour un tel $P$.

<footnote n="1">¹ dont l'homothétie de rapport $\lambda$ est $\delta(\lambda) : \text{Hom}_{\Lambda}(M, \Lambda) \to \text{Hom}_{\Lambda}(M, \Lambda)$, $\varphi \mapsto \delta(\lambda)(\varphi) = \varphi \lambda$, où $\varphi \lambda$ est la forme linéaire $x \mapsto \varphi(x) \lambda$.</footnote>

<footnote n="2">² L'isomorphisme réciproque étant $\mu \mapsto [\varphi_{\mu} : \lambda \mapsto \lambda \mu]$.</footnote>

<footnote n="3">³ Si $g_P : P \to N$ il suffit de définir $g : L = P \oplus Q \to M, g(p, q) = (g_P(p), 0)$.</footnote>
## 2 Calcul matriciel et déterminants.

### 2.1 Calcul matriciel.

Pour un entier positif $k$ on note $(x_1, \dots, x_k)^t$ la colonne ayant l'élément $x_i$ de l'anneau $\Lambda$ dans sa $i^{\text{ième}}$ ligne, c'est la «transposée» de la ligne $(x_1, \dots, x_k)$.

Soit $\Lambda^k$ le $\Lambda$-module à droite de ces colonnes de hauteur $k$ à coefficients dans l'anneau $\Lambda$ que l'on considère comme somme directe de $k$ exemplaires $\Lambda_i = e_i \Lambda$ de l'anneau $\Lambda$ où $e_1, \dots, e_k$ est¹la base canonique de $\Lambda^k$.

Pour $f, g \in \text{End}_{\Lambda}(\Lambda_d) = \text{Hom}_{\Lambda}(\Lambda_d, \Lambda_d)$ deux endomorphismes de l'anneau $\Lambda$, vu comme $\Lambda$-module à droite, on a $f \circ g(1) = f(g(1)) = f(1g(1)) = f(1)g(1)$.

Ainsi l'application $f \mapsto f(1)$ est un isomorphisme de l'anneau des endomorphismes $\Lambda$-linéaires à droite de $\Lambda$ sur l'anneau $\Lambda$, (alors que l'anneau des endomorphismes $\Lambda$-linéaires à gauche de $\Lambda$ est isomorphe à l'anneau $\Lambda^o$ opposé à $\Lambda$ !).

Ainsi, si $f: \Lambda^m \to \Lambda^n$ est une application $\Lambda$-linéaire à droite, sa matrice décrite en **1.4**, s'identifie à une matrice $A(f) = A = (a_{i,j})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}}$ à $n$ lignes et $m$ colonnes, on dit aussi $n \times m$, d'éléments $a_{i,j} = \text{pr}_i(f(e_j))$ de l'anneau $\Lambda$.

Comme $\Lambda^n$ est aussi, par multiplication à gauche d'une colonne par un élément de l'anneau, $(\lambda, (x_1, \dots, x_n)^t) \mapsto (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)^t$, un $\Lambda$-module à gauche, $\text{Hom}(\Lambda^m, \Lambda^n))$ est, par multiplication à gauche au but $(\lambda, f) \mapsto \lambda f: x \mapsto \lambda f(x)$, un $\Lambda$-module à gauche et la matrice de $\lambda f$ est $A(\lambda f) = \lambda A = (\lambda a_{i,j})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}}$.

**Définitions.** La matrice $A(f)$ d'une application $\Lambda$-linéaire à droite $f: \Lambda^m \to \Lambda^n$ est la matrice $n \times m$ à coefficients dans $\Lambda$ dont les $m$ colonnes sont les images par $f$ des éléments $e_1, \dots, e_m$ de la base canonique de $\Lambda^m$.

Ainsi l'image par $f$ d'une colonne $X = (x_1, \dots, x_m)^t$ de hauteur $m$ est la colonne $A(f) \cdot X = Y = (y_1, \dots, y_n)^t$ de hauteur $n$ où, pour $i=1, \dots, n$ :

$$y_i = \sum_{j=1}^{m} a_{i,j} x_j$$

Et si $g: \Lambda^l \to \Lambda^m$ est une application $\Lambda$-linéaire à droite de matrice $B = (b_{j,k})_{\substack{1 \le j \le m \\ 1 \le k \le l}}$, l'application composée $h = f \circ g: \Lambda^l \to \Lambda^n$ est de matrice la matrice produit $A \cdot B = C = (c_{i,k})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le k \le l}}$ où, pour $i=1, \dots, n$ et $k=1, \dots, l$ :

$$c_{i,k} = \sum_{j=1}^{m} a_{i,j} b_{j,k}$$

On note $M_{n,m}(\Lambda)$ le $\Lambda$-module à gauche des matrices $n \times m$ à coefficients dans $\Lambda$ et $M_n(\Lambda) = M_{n,n}(\Lambda)$ celui des matrices carrées $n \times n$ à coefficients dans $\Lambda$.

<footnote n="1">¹ l'élément $e_j = (\delta_{j,i})^t$ est la colonne ayant 1 dans la $j^{\text{ième}}$ ligne et 0 dans les autres.</footnote>
Le dual $(\Lambda^k)^*$ du $\Lambda$-module à droite $\Lambda^k$ des colonnes de hauteur $k$ est le module à gauche des matrices lignes de longueur $k$. Si une application $\lambda$-linéaire à droite $f: \Lambda^m \to \Lambda^n$ est de matrice $A$ l'application transposée $f^*: (\Lambda^n)^* \to (\Lambda^m)^*$ est la multiplication à droite des matrices lignes de longueur $n$ par la matrice $A$.

Ces notions se traduisent dans le cas de modules libres munis de base :

**Définition.** Si $M$ et $N$ sont des $\Lambda$-modules à droite libres de bases respectives $C = (c_j)_{j \in J}$ et $\mathcal{D} = (d_i)_{i \in I}$ et $f: M \to N$ est une application $\Lambda$-linéaire, la matrice de $f$ dans les bases $C$ et $\mathcal{D}$ est la matrice $^2A^{\mathcal{D},C}(f) = A(f) = (a(f)_{i,j})$ de $\varphi_N \circ f \circ \varphi_M^{-1}: L_J \to L_I$ où $\varphi_M: L_J \to M$ et $\varphi_N: L_I \to N$ sont les isomorphismes définis par $\varphi_M(e_j) = c_j$ et $\varphi_N(e_i) = d_i$. Pour tout $j \in J$ de $J$ on a la relation :

$$f(c_j) = \sum_{i \in I} d_i a(f)_{i,j}$$

qui caractérise la matrice $A(f) = A^{\mathcal{D},C}$ de l'application $f$ dans les bases $C$ et $\mathcal{D}$.

Si $g: L \to M$ est une application $\Lambda$-linéaire à droite d'un $\Lambda$-module libre $L$ de base $\mathcal{B} = (b_k)_{k \in K}$ alors on a la relation :

$$A^{\mathcal{D},\mathcal{B}}(f \circ g) = A^{\mathcal{D},C}(f) \cdot A^{C,\mathcal{B}}(g)$$

Si l'anneau $\Lambda$ est commutatif le $\Lambda$-module à gauche $(\Lambda^k)^* = M_{1 \times k}$ des lignes de longueur $k$ est isomorphe par «transposition» $(\lambda_1, \dots, \lambda_k) \mapsto (\lambda_1, \dots, \lambda_k)^t$ au $\Lambda$-module à droite $\Lambda^k = M_{k \times 1}$ des colonnes de hauteur $k$ d'où la :

**PROPOSITION.** — Si l'anneau $\Lambda$ est commutatif et $f: M \to N$ est une application $\Lambda$-linéaire d'un $\Lambda$-module libre $M$ de base finie $\mathcal{B}=(b_1, \dots, b_m)$ sur un $\Lambda$-module libre $N$ de base finie $\mathcal{C}=(c_1, \dots, c_n)$ alors la matrice de la transposée $f^*: N^* \to M^*$ dans les bases duales $\mathcal{C}^* = (c_1^*, \dots, c_n^*)$ et $\mathcal{B}^* = (b_1^*, \dots, b_m^*)$ est obtenue en échangeant lignes et colonnes de $A$, la matrice transposée :

$$A^t = (a_{j,i})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}}$$

de la matrice $A = (a_{i,j})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}}$ de l'application $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$.

Ainsi si $A \in M_{n,m}$ et $B \in M_{m,l}$ sont deux matrices composables alors dans $M_{l,n}$ on a la relation :

$$(AB)^t = B^t \cdot A^t$$

<footnote n="2">² L'écriture dans cette notation de la base $\mathcal{C}$ de la source à droite est pour des raisons typographiques : elle est du même côté que la variable de source $x$ dans l'écriture $f(x)$ de l'évaluation de l'application linéaire $f$ en $x$, et elle rendra plus mnémothechnique la formule pour la matrice d'une composé d'applications linéaire ci-dessous.</footnote>
## 2.2 Quelques identités polynomiales.

### 2.2.1 Méthode de Gauss<fnref n="1" /> pour le « système n × n général » . — Soit

$$ \tilde{\Lambda} = \tilde{\Lambda}_n = \mathbb{Z}[a_{i,j}]_{1\le i,j\le n} $$

l'anneau des polynômes à coefficients entiers en $n^2$ variables $a_{i,j}, 1 \le i, j \le n$. Cet anneau est factoriel, de corps des fractions $\tilde{K} = \mathbb{Z}(a_{i,j})_{1\le i,j\le n}$ le corps des fractions rationnelles en ces $n^2$ variables $a_{i,j}$. On notera $\tilde{\Lambda}[Y]$ et $\tilde{K}[Y]$ les anneaux des polynômes à coefficients dans $\tilde{\Lambda}$ et $\tilde{K}$ respectivement en $n$ variables $Y_1, \dots, Y_n$ que l'on considère comme une colonne $Y = (Y_1, \dots, Y_n)^t$ de variables.

Si $p \in \tilde{\Lambda}$ est un polynôme en les $n^2$ variables $a_{i,j}$, le polynôme obtenu en remplaçant dans $p$ la $k^{\text{ième}}$ colonne de variables par la colonne $Y = (Y_1, \dots, Y_n)^t$, c'est à dire en substituant dans $p$, pour $i = 1, \dots, n$ la variable $Y_i$ à la variable $a_{i,k}$ est noté $p(A_{\bullet, k} = Y)$.

La matrice générale $n \times n$ est la matrice $A = (a_{i,j})_{\substack{1\le i\le n \\ 1\le j\le n}} \in M_n(\tilde{\Lambda})$.

Le système général $n \times n$ est le système linéaire $A \cdot X = Y$ dans $\tilde{\Lambda}[Y]$ :

$$ (\Sigma) \quad \left\{ \begin{array}{lclcl} a_{1,1} & X_1 & + & a_{1,2} & X_2 & \dots + & a_{1,i} & X_i & \dots + & a_{1,n} & X_n & = & Y_1 \\ a_{2,1} & X_1 & + & a_{2,2} & X_2 & \dots + & a_{2,i} & X_i & \dots + & a_{2,n} & X_n & = & Y_2 \\ \vdots & & & \vdots & & & & \vdots & & & \vdots & & & \\ a_{n,1} & X_1 & + & a_{n,2} & X_2 & \dots + & a_{n,i} & X_i & \dots + & a_{n,n} & X_n & = & Y_n \end{array} \right. $$

On définit, pour $0 \le g \le n$ les matrices $A^g = (a_{i,j}^g)_{\substack{1\le i\le n \\ 1\le j\le n}} \in M_n(\tilde{\Lambda})$ par $A^0 = A$ et, en posant $a_{0,0}^0 = 1$ et utilisant le symbole de Kronecker $\delta_{g,g} = 1, \delta_{i,g} = 0$ si $i \neq g$, les relations de récurrence si $0 < g$ :

$$ a_{i,j}^g = a_{g,g}^{g-1} a_{i,j}^{g-1} - a_{i,g}^{g-1} a_{g,j}^{g-1} + \delta_{i,g} a_{g-1,g-1}^{g-1} a_{i,j}^{g-1} $$

ainsi $a_{g,j}^g = a_{g-1,g-1}^g a_{g,j}^{g-1}$ et, si $i \neq g$, $a_{i,j}^g = a_{g,g}^{g-1} a_{i,j}^{g-1} - a_{i,g}^{g-1} a_{g,j}^{g-1}$ donc $a_{i,g}^g = 0$ :

**LEMME.** — (i) Pour $j \le g$ et $i \neq j$ on a : $a_{j,j}^g = a_{g,g}^g = a_{g-1,g-1}^g$ et $a_{i,j}^g = 0$.

(ii) Les polynômes $a_{i,j}^g = B_{i,\bullet}^g \cdot A_{\bullet,j}$ sont linéaires<fnref n="2" /> en les variables de la $j^{\text{ième}}$ colonne, ne dépendent que des variables $a_{r,s}$ avec $r \le i, s \le j$ et sont homogènes<fnref n="3" />.

(iii) Pour $g = 0, \dots, n$ on a $A^g(\text{Id}) = \text{Id}$.

<footnote n="1">¹ appelée fang cheng (modèle rectangulaire) par Chang Ts'ang (II$^{\text{ième}}$ siècle avant notre ère) à qui, selon P. Gabriel ([Ga]), il faut attribuer cet algorithme de résolution des systèmes linéaires</footnote>

<footnote n="2">² oû la ligne $B_{i,\bullet}^g \in \tilde{\Lambda}^n$ (ne contenant aucun $a_{i,j}$ pour $1 \le i \le n$) exprime cette linéarité.</footnote>

<footnote n="3">³ de degré, à ordre $g$ et indice de ligne $i$ fixés, indépendants de l'indice $j$ de colonne.</footnote>
Pour $0 \le g \le n$ définissons la colonne $Y^g \in \tilde{\Lambda}[Y]^n$ de composantes

$$Y_i^g = a_{i, n}^g (A_{\bullet, n} = Y) = B_{i, \bullet}^g \cdot Y$$

et notons $B^g$ la matrice dont la ième ligne est $B_{i, \bullet}^g$ donnée par (ii) du Lemme.

La matrice $A^g$ s'obtient à partir de $A^{g-1}$ en multipliant sa gième ligne par $a_{g-1, g-1}^{g-1}$ et en retranchant aux autres ièmes lignes multipliés par $a_{g, g}^{g-1}$, leur gième ligne multiplié par $a_{i, g}^{g-1}$.
Comme $a_{g-1, g-1}^{g-1} \neq 0 \neq a_{g, g}^{g-1} \in \tilde{\Lambda} \subset \tilde{K}$, le système $A^0X = AX = Y$ est, dans $\tilde{K}[Y]$, équivalent aux systèmes intermédiaires $A^{g-1}X = Y^{g-1}, g = 2, \dots, n$ qui, en posant $d_g = a_{g, g}^g \in \tilde{\Lambda}$, sont :

$$ (\Sigma_{g-1}) \quad \left\{ \begin{array}{ccccccc} d_{g-1} X_1 & \cdots + 0 & \cdots & +0 & \cdots + 0 & \cdots & +a_{1,g}^{g-1} X_g + \cdots + a_{1,n}^{g-1} X_n = Y_1^{g-1} \\ \vdots & & & \vdots & & & \vdots & \\ 0 & & +0 & +d_{g-1} X_k & +0 & & +a_{k,g}^{g-1} X_g + \cdots + a_{k,n}^{g-1} X_n = Y_k^{g-1} \\ \vdots & & & \vdots & & & \vdots & \\ 0 & \cdots + 0 & \cdots & +0 & \cdots + 0 & \cdots & +a_{g,g}^{g-1} X_g + \cdots + a_{g,n}^{g-1} X_n = Y_g^{g-1} \\ \vdots & & & \vdots & & & \vdots & \\ 0 & \cdots + 0 & \cdots & +0 & \cdots + 0 & \cdots & +a_{n,g}^{g-1} X_g + \cdots + a_{n,n}^{g-1} X_n = Y_n^{g-1} \end{array} \right. $$

et le système $AX = Y$ est aussi équivalent au dernier système $A^n X = Y^n$, qui, étant diagonal :

$$(\Sigma_n) \qquad d_n X_i = Y_i^n, \quad i = 1, \dots, n$$

et comme $Y_i^n = B_i^n \cdot Y$ est linéaire en $Y$, a dans $\tilde{K}[Y]$ les solutions linéaires en $Y$ :

$$(S) \qquad X_i = (d_n^{-1} B_i^n) \cdot Y, \quad i = 1, \dots, n$$

Comme $Y = A \cdot X$, on a $Y = A \cdot ((d_n^{-1} B^n) \cdot Y) = (A \cdot (d_n^{-1} B^n)) \cdot Y$ et $X = (d_n^{-1} B^n) \cdot Y = (d_n^{-1} B^n) \cdot (A \cdot X)) = ((d_n^{-1} B^n) \cdot A) \cdot X$ d'où, dans $M_n(\tilde{K})$, les relations :

$$A \cdot (d_n^{-1} B^n) = \mathrm{Id}_n = (d_n^{-1} B^n) \cdot A$$

traduisant que la matrice générale $A$ est inversible dans $M_n(\tilde{K})$, d'inverse $(d_n^{-1} B^n)$ :

**COROLLAIRE.** — La matrice générale est inversible dans $M_n(\tilde{K})$.

Plus précisément : Il y a une matrice $B^n \in M_n(\tilde{\Lambda})$ à coefficients homogènes et un polynôme $d_n$ homogène et linéaire en la dernière colonne, tels que $d_n(\mathrm{Id})=1$ et

$$B^n \cdot A = d_n \mathrm{Id}_n = A \cdot B^n$$

De plus la dernière coordonnée $x_n$ de la solution $x \in \tilde{K}[Y]^n$ de $AX = Y$ vérifie :

$$d_n x_n = d_n (A_{\bullet, n} = Y)$$

<footnote n="4">⁴ selon (i) et (iii) du Lemme.</footnote>
### 2.2.2 Les identités remarquables de Crammer et du déterminant.

L'anneau $\tilde{\Lambda}$ étant factoriel d'unités $\{-1, 1\}$, tout $M \in M_n(\tilde{K})$ définie<fnref n="1" /> en Id a une unique expression réduite $M = \frac{N}{d}$ de numérateur $N \in M_n(\tilde{\Lambda})$ une matrice à coefficients dans l'anneau $\tilde{\Lambda}$ et dénominateur $d \in \tilde{\Lambda}$ un polynôme à coefficients entiers vérifiant $d(\text{Id}) > 0$ et tels que $N$ et $d$ sont sans facteurs communs.

**Définitions.** Le déterminant général $\det(A)$ et la comatrice générale $\tilde{A}$ de la matrice générale $A$ sont les dénominateurs et numérateurs de l'expression réduite $\frac{\tilde{A}}{\det A} = \frac{B^n}{d_n} = A^{-1}$ de l'inverse $A^{-1}$ de la matrice générale $A$. D'après le Corollaire de 2.2.1 les coefficients de la matrice $\tilde{A}$ et $\det A$ sont homogènes et :

$$ (0) \qquad \det(\text{Id}) = 1 $$

$$ (1) \qquad \tilde{A} \cdot A = \det(A) \text{Id} = A \cdot \tilde{A} $$

**IDENTITÉS REMARQUABLE DU DÉTERMINANT.** — Le déterminant général est multiplicatif pour composition et forme triangulaire par blocs :

(i) Si $B \in M_n(\tilde{\Lambda}_n')$, $C \in M_n(\tilde{\Lambda}_n'')$ sont deux matrices générales $n \times n$ on a :

$$ (2) \qquad \det(B \cdot C) = \det(C) \det(B) $$

(ii) Si $U \in M_p(\tilde{\Lambda}_p)$, $V \in M_q(\tilde{\Lambda}_q')$, $W \in M_{p,q}(\tilde{\Lambda}_{p,q})$ sont trois matrices générales, respectivement de taille $p \times p$, $q \times q$ et $p \times q$ on a :

$$ (3) \qquad \det \begin{pmatrix} U & W \\ 0 & V \end{pmatrix} = \det(U) \det(V), \qquad \tilde{U} \cdot W \cdot \tilde{V} = \det(V) \tilde{U} \cdot W \cdot \det(U) $$

**Démonstration.** — Soit $\tilde{\Lambda}(2) = \tilde{\Lambda}_n(2) = \mathbb{Z}[b_{i,j}, c_{r,s}]_{1 \le i,j,r,s \le n}$ l'anneau des polynômes à coefficients entiers en les $2n^2$ variables $b_{i,j}, 1 \le i,j \le n$ et $c_{r,s}, 1 \le r,s \le n$ et $\tilde{K}(2) = \mathbb{Z}(b_{i,j}, c_{r,s})_{1 \le i,j,r,s \le n}$ le corps des fractions rationnelles en ces $2n^2$ variables. L'anneau $\tilde{\Lambda}_2$ est factoriel, contient deux exemplaires $\tilde{\Lambda}' = \mathbb{Z}[b_{i,j}]$ et $\tilde{\Lambda}'' = \mathbb{Z}[c_{r,s}]$ de l'anneau $\tilde{\Lambda}$ tels que des éléments $x' \in \tilde{\Lambda}'$ et $x'' \in \tilde{\Lambda}''$ ne peuvent avoir que des constantes comme diviseurs communs.

Les deux matrices générales $B = (b_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ et $C = (c_{r,s})_{1 \le r,s \le n}$ de $M_n(\tilde{\Lambda}(2))$ étant inversibles dans $M_n(\tilde{K}(2))$, leur produit l'est aussi et on a $(B \cdot C)^{-1} = C^{-1} \cdot B^{-1}$. Ainsi

$$ \det(C) \det(B) (B \cdot C)^{-1} = (\det(C) C^{-1}) \cdot (\det(B) B^{-1}) = \tilde{C} \cdot \tilde{B} $$

<footnote n="1">¹ c. a. d. en substituant aux coefficients de la matrice générale $A$ ceux de la matrice identité.</footnote>
est une matrice à coefficients dans $\tilde{\Lambda}(2)$. D'autre part en substituant dans la matrice générale $A$ les coefficients de la matrice produit $B \cdot C$ on obtient $\det(B \cdot C) (B \cdot C)^{-1} = \tilde{B} \cdot \tilde{C}$. D'où :

$$ \det(B \cdot C) \tilde{C} \cdot \tilde{B} = \det(C) \det(B) \tilde{B} \cdot \tilde{C} $$

Les polynômes $\det(C)$ et $\det(B)$ étant premiers avec $\tilde{C}$ et $\tilde{B}$, leur produit $\det(C) \det(B)$ divise $\det(B \cdot C)$ et, ces deux polynômes étant homogènes de même degré par rapport aux $b_{i,j}$ et aux $c_{r,s}$ et vallant 1 si $B = \text{Id}$ et $C = \text{Id}$, ils sont égaux. D'où la première identité remarquable.

La seconde s'obtient de manière analogue en considérant, si $n = p + q$ le sous-anneau $\tilde{\Lambda}_{n;p,q} = \mathbb{Z}[u_{i,j} = a_{i,j}, w_{i,k} = a_{i,p+k}, v_{r,s} = a_{p+r, p+s}]_{1 \le i,j \le p, 1 \le k,r,s \le q} \subset \mathbb{Z}[a_{i,j}]_{1 \le i,j \le n}$ des polynômes à coefficients entiers en les $p^2 + pq + q^2$ variables $u_{i,j}, w_{i,k}, v_{r,s}$ et $\tilde{K}_{n;p,q} = \mathbb{Z}(u_{i,j}, w_{i,k}, v_{r,s})_{1 \le i,j \le p, 1 \le k,r,s \le q}$ son corps des fractions et en utilisant que l'inverse de la matrice générale triangulaire supérieure par blocs $p \times p, p \times q, q \times q$ générale est :

$$ \begin{pmatrix} U & W \\ 0 & V \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} (u_{i,j}) & (w_{i,k}) \\ 0 & (v_{r,s}) \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} U^{-1} & -U^{-1} \cdot W \cdot V^{-1} \\ 0 & V^{-1} \end{pmatrix} $$

*Remarque.* — D'après le Corollaire de **2.2.1**, déterminant et comatrice de la matrice générale $A \in M_n(\tilde{\Lambda})$ sont respectivement $\det A = \frac{b_n}{\delta}$ et $\tilde{\Lambda} = \frac{B^n}{\delta}$ où $\delta$ est le p.g.c.d. vérifiant $\delta(\text{Id}) = 1$ de $b_n$ et $B^n$. On aurait eu une expression analogue si on avait effectué la méthode de Gauss générale en écrivant les colonnes dans un autre ordre<fnref n="2" />.

Ainsi d'après la fin du COROLLAIRE de **2.2.1** on a :

FORMULES DE CRAMMER. — Si $(x_1, \dots, x_n)^t$ est solution du système général $AX = Y$ alors pour $i = 1, \dots, n$ on a l'identité :

$$ (4) \qquad \det A \cdot x_i = \det (A_{\bullet, i} = Y) $$

La Remarque donne aussi que le déterminant est linéaire en chaque colonne de variable. Si $1 \le i \ne j \le n$ la matrice $A(A_{\bullet, i} = A_{\bullet, j})$ ayant deux colonnes égales n'est pas inversible donc :

$$ \det(A(A_{\bullet, i} = A_{\bullet, j}) = 0 $$

ainsi la forme $n$-linéaire déterminant général det : $M_n(\tilde{\Lambda}) = (\tilde{\Lambda}^n)^n \rightarrow \tilde{\Lambda}$ est alternée d'où :

EXPRESSION DU DÉTERMINANT. — Le déterminant général est $n$-linéaire alterné en les colonnes de la matrice générale. Vérifiant $\det(\text{Id}) = 1$, il vaut :

$$ (5) \qquad \det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n} $$

où $\epsilon(\sigma) \in \{-1, 1\}$ est la signature de la permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ de $\{1, \dots, n\}$.

Comme $A \cdot \tilde{A} = \det(A) \text{Id}$ la solution du «système transposé» $X^t A = Y^t$ est $X^t = Y^t \cdot \frac{\tilde{A}}{\det A}$. Elle aurait aussi été obtenue par méthode de Gauss sur les colonnes de $A$ au lieu de l'avoir effectuée sur les lignes comme en **2.2.1**. Ainsi :

<footnote n="2">² Et en mettant les lignes dans le même ordre pour ne pas changer la matrice $\text{Id}$ permettant de normaliser le déterminant général par $\det(\text{Id}) = 1$.</footnote>
DÉTERMINANT DE LA TRANSPOSÉE. — Le déterminant général est n-linéaire alterné en les lignes et on a la relation :

$$ (6) \qquad \det (A^t) = \det (A) $$

Si $A_{i,j}$ est la matrice $(n-1) \times (n-1)$ obtenue en effaçant la $i^{\text{ième}}$ ligne et la $j^{\text{ième}}$ colonne de $A$, la matrice générale $n \times n$, les formules de Crammer, l'alter-multilinéarité à la fois en les colonnes et en les lignes et la multiplicativité par forme triangulaire$^3$ du déterminant donnent :

EXPRESSION DE LA COMATRICE ET DÉVELLOPEMENTS DU DÉTERMINANT.

$$ (7) \qquad \tilde{A}_{i,j} = (-1)^{i+j} \det (A_{j,i}) $$

$$ (8) \qquad \det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \det (A_{i,j}) a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \det (A_{i,j}) $$

<footnote>$^3$ pour $p = 1, q = n-1$ et $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & A_{i,j} \end{pmatrix}$.</footnote>
### 2.2.3 L'identité remarquables de Cayley Hamilton.

**Définition.** Le polynôme caractéristique général<fnref n="1" /> est : $\chi_A(X) = \det(X\mathrm{Id} - A)$

*Remarque.* — Le terme constant de $\chi_A(X) = X^n + X^{n-1}c_1 + \cdots + c_n \in \tilde{\Lambda}[X]$ est

$$c_n = \chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$$

**THÉORÈME.** — On a la relation de Cayley-Hamilton :

$$\chi_A(A) = 0$$

*Démonstration.* — Les coefficients de la comatrice $X\widetilde{\mathrm{Id}} - A$ de $X\mathrm{Id} - A$ étant $(X\widetilde{\mathrm{Id}} - A)_{i,j} = \det((X\mathrm{Id} - A)_{j,i})$ de degré au plus $n-1$, il y a des matrices $S_i \in M_n(\tilde{\Lambda})$, $i=0, \dots, n-1$ tels que :

$$X\widetilde{\mathrm{Id}} - A = \sum_{i=0}^{n-1} S_i X^{n-1-i} = S_0 X^{n-1} + \cdots + S_k X^{n-1-k} + \cdots + S_{n-1}$$

En explicitant la relation $X^n + c_1X^{n-1} + \cdots + c_n = \det(X\mathrm{Id} - A) = X\widetilde{\mathrm{Id}} - A \cdot (X\mathrm{Id} - A) = (X^{n-1}S_0 + X^{n-1}S_1 + \cdots + S_{n-1}) \cdot (X\mathrm{Id} - A)$ on obtient :

$$S_0 = \mathrm{Id}, \quad S_1 - S_0 \cdot A = c_1, \dots, S_k - S_{k-1} \cdot A = c_k, \dots, S_{n-1} - S_{n-2} \cdot A = c_{n-1}, \quad -S_{n-1} \cdot A = c_n$$

$$\text{d'où } \chi_A(A) = A^n + \sum_{i=1}^{n} c_i A^{n-1} = S_0 \cdot A^n + \left\{ \sum_{k=1}^{n-1} (S_k - S_{k-1} \cdot A) \cdot A^{n-k} \right\} - S_{n-1} \cdot A = S_0 \cdot A^n + \\ \left\{ \sum_{k=1}^{n-1} S_k \cdot A^{n-k} - S_{k-1} \cdot A^{n-k+1} \right\} - S_{n-1} \cdot A = A^n + \sum_{k=1}^{n-1} S_k \cdot A^{n-k} - S_{k-1} \cdot A^{n-(k-1)} - S_{n-1} \cdot A = 0.$$

**COROLLAIRE.** — Si $\chi_A(X) = X^n + X^{n-1}c_1 + \cdots + c_n = \sum_{i=0}^n c_i X^{n-i} \in \tilde{\Lambda}[X]$ est le polynôme caractéristique général, alors la comatrice générale a l'expression :

$$\tilde{A} = (-1)^{n-1} \sum_{i=1}^{n} c_{i-1} A^{n-i}$$

<footnote n="1">¹ ou polynôme caractéristique de la matrice générale $A \in M_n(\tilde{\Lambda})$.</footnote>
**2.2.4 Appendice : Théorème fondamental de l'arithmétique dans les anneaux de polynômes à coefficients entiers en un nombre fini de variables Π<sub>n</sub> = Z[X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>].**

**Définitions.** Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ l'anneau de polynôme $\Pi_n$ est $\Pi_0 = \mathbb{Z}$ et, si $n > 0$ est positif, défini par la relation de récurrence : $\Pi_n = \Pi_{n-1}[X_n]$.

**Définition.** $P \in \Pi_n$ est positif, noté $P > 0$, si soit $n=0$ et $P \in \Pi_0 \setminus (-\mathbf{N}) = \mathbb{Z} \setminus (-\mathbf{N})$ est positif pour l'ordre usuel de $\Pi_0 = \mathbb{Z}$ et les récurrences : si $n > 0$, $P = \sum_{i=0}^{d} P_i X_n^{d-i}$; $i=0, \dots, d$, $P_i \in \Pi_{n-1}$, $P_0 \neq 0$ non nul de degré $d$ et (coefficient) dominant $P_0 > 0$ positif<fnref n="1" /> dans $\Pi_{n-1}$. Il est dit négatif, noté $P < 0$, si son opposé $-P > 0$ est positif. On note $\Pi_n^+ = \{P \in \Pi_n | P > 0\}$ et $\Pi_n^- (= -\Pi_n^+) = \{P \in \Pi_n | P < 0\}$ les ensembles des éléments positifs et négatifs de $\Pi_n$.

**PROPOSITION.** — (i) Si $m < n$ alors $\Pi_m \subset \Pi_n$ et si $P \in \Pi_m^+$ on a : $P \in \Pi_n^+$.

(ii) $0 \notin \Pi_n^+ \cup \Pi_n^-$, $\Pi_n^+ \cap \Pi_n^- = \emptyset$ et on a la partition : $\Pi_n = \Pi_n^+ \cup \{0\} \cup \Pi_n^-$

(iii) L'ensemble $\Pi_n^+$ est stable par multiplication $\cdot$ et addition $+$.

**Démonstration.** — (i) Tout $P \in \Pi_m \setminus \{0\}$, considéré comme $P \in \Pi_n$, est $P = P_0$ : de degré 0 donc égal à son coefficient dominant, d'où le résultat par récurrence sur $n - m$. $\square$

(ii) et (iii) sont clairs si $n=0$ (car $\Pi_0 = \mathbb{Z}$). On suppose $n > 0$ et ces résultats pour $n - 1$. Soit $P = P_0 X_n^e + \dots + P_e$, $Q = Q_0 X_n^f + \dots + Q_f \in \Pi_n$, $P_0 \neq 0 \neq Q_0$ deux polynômes non nuls, les coefficients dominants de $P \cdot Q$ et $P + Q$ sont respectivement $C_0 = P_0 \cdot Q_0$ et $S_0$ où : si $e > f$, $S_0 = P_0$, si $e = f$, $S_0 = P_0 + Q_0$ et si $e < f$, $S_0 = Q_0$. Donc, si $P_0, Q_0 \in \Pi_{n-1}^+$, alors $C_0, S_0 \in \Pi_{n-1}^+$, soit si $P, Q \in \Pi_n^+$ alors $P \cdot Q, P + Q \in \Pi_n^+$ : (iii) pour $n$. $\square$

On a : $0 \neq P_0 \in \Pi_{n-1} \setminus \{0\} = \Pi_{n-1}^+ \cup \Pi_{n-1}^-$ ainsi $P \in \Pi_n^+ \cup \Pi_{n-1}^-$ d'où (ii) pour $n$. $\square$ ■

**Corollaire.** — L'anneau de polynômes $\Pi_n$ à coefficients entiers, muni de $\ge$ définie par $P \ge Q$ si $P - Q \in \Pi_n^+ \cup \{0\}$ est un anneau totalement ordonné.

En particulier l'anneau $\Pi_n$ est intègre donc, si $n > 0$ et $P, Q \in \Pi_n \setminus \{0\}$, on a la relation :

$$ \deg_{X_n}(P \cdot Q) = \deg_{X_n}(P) + \deg_{X_n}(Q) $$

**Démonstration.** — Si $P, Q, R \in \Pi_n$ on a : $P - P = 0 \in \Pi_n^+ \cup \{0\}$ donc $P \ge P$ et $\ge$ est réflexive. Si $P \ge Q \ge P$ alors $P - Q = -(Q - P) \in (\Pi_n^+ \cup \{0\}) \cap (\Pi_n^- \cup \{0\}) = \{0\}$, et $\ge$ est antisymétrique. Si $P \ge Q \ge R$ on a $P - R = (P - Q) + (Q - R) \in (\Pi_n^+ \cup \{0\}) + (\Pi_n^- \cup \{0\}) = \Pi_n^+ \cup \{0\}$ (par (iii)) donc $P \ge R$ et $\ge$ est transitive et $\ge$ est un ordre sur $\Pi_n^+$ qui, par (ii), est total. $\square$

Si $P \ge Q$ et $P + R - (Q + R) = P - Q \in \Pi_n^+ \cup \{0\}$, donc $P + R \ge Q + R$.

De plus si $R \ge 0$, on a $P \cdot R - (Q \cdot R) = (P - Q) \cdot R \in (\Pi_n^+ \cup \{0\}) \cdot (\Pi_n^+ \cup \{0\}) = \Pi_n^+ \cup \{0\}$ d'où par (iii) $P \cdot R \ge Q \cdot R$ et l'ordre $\ge$ est compatible avec les opérations de l'anneau $\Pi$. $\square$

$$ \text{Si } P = \sum_{i=0}^{d=\deg P} a_i X_n^{d-i}, Q = \sum_{j=0}^{e=\deg Q} b_j X_n^{e-j} \in \Pi_n \setminus \{0\} \text{ alors } a_0 P, b_0 Q > 0 \text{ donc } (a_0 \cdot P)(b_0 \cdot Q) > 0 \\ \text{donc } P \neq 0, Q \neq 0 \text{ et } P \cdot Q = \sum_{k=0}^{d+e} c_k X_n^{d+e-k} \text{ avec } c_0 = a_0 \cdot b_0 \neq 0. \text{ Ainsi } \deg(P \cdot Q) = d+e. \square \quad \blacksquare $$

**Remarque.** — L'ensemble $\Pi_n^+$ des polynômes positifs a 1 comme plus petit élément, mais si $n > 0$, contrairement au cas $n = 0$ des entiers, la restriction de $\ge$ à $\Pi_n^+$ n'est pas un bon ordre.

<footnote n="1">¹ déjà défini par l'hypothèse de récurrence.</footnote>
Démonstration. — Soit $P \in \Pi_n^+$ si $\deg P > 0$ alors $\deg(P-1) = \deg P > 0$ et $P \ge 1$. Sinon, puisque 1 est le plus petit élément de $\Pi_0^+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ on a aussi $P \ge 1$. $\square$

Comme, si $n > 0$, pour tout entier naturel $m \in \mathbb{N}$ on a $X - m \ge X - (m+1)$ la partie $\{X - m | m \in \mathbb{N}\} \subset \Pi_1^+ \subset \Pi_n^+$ est une partie non vide sans plus petit élément de $\Pi_n^+$. $\blacksquare$

**Corollaire.** — Les unités de $\Pi_n$ sont $\Pi_n^* = \{-1, 1\}$

Démonstration. — Soit $u \in \Pi_n^*$ une unité, quitte à considérer $-u$ on peut supposer $u \in \Pi_n^+$, donc $u \ge 1$. Comme $0 \ge v$ implique $0 = u \cdot 0 \ge u \cdot v$. L'inverse $v \in \Pi_n^*$, vérifiant $u \cdot v = 1 > 0$, doit vérifier $v > 0$, d'où $1 = u \cdot v \ge u \cdot 1 = u$ et par antisymétrie de $\ge$, on a $u = 1$. $\blacksquare$

**Définitions.** Les applications *signe* et *valeur absolue* :

$$ \operatorname{sgn} : \Pi_n \to \{-1, 0, 1\}, \quad |\operatorname{sgn} : \Pi_n \to \Pi_n^+ \cup \{0\} $$

sont définies par $\operatorname{sgn}(0) = 0, |0| = 0$, si $P \in \Pi_n^+$, $\operatorname{sgn}(P) = 1, |P| = P$ et si $P \in \Pi_n^-$, $\operatorname{sgn}(P) = -1, |P| = -P$ et sont multiplicatives :
pour tout $P, Q \in \Pi_n$ on a : $\operatorname{sgn}(P \cdot Q) = \operatorname{sgn}(P) \cdot \operatorname{sgn}(Q), |P \cdot Q| = |P| \cdot |Q|$.

**Définition.** Un polynôme $P \in \Pi_n$ est dit *irréductible* si $U, V \in \Pi_n$ vérifient $P = U \cdot V$ alors soit $U \in \Pi_n^*$, $V = U^{-1} \cdot P$, soit $V \in \Pi_n^*$, $U = V^{-1} \cdot P$.

**Définition.** Un polynôme *premier* est un polynôme irréductible positif. On note $\mathcal{P}_n$ l'ensemble des polynômes premiers de $\Pi_n$.

**THÉORÈME FONDAMENTAL DE L'ARITHMÉTIQUE DANS $\Pi_n$.** — Tout polynôme non nul a une unique factorisation en premiers :

$$ \text{Si } M \in \Pi_n, \quad M = \operatorname{sgn}(M) \prod_{p \in \mathcal{P}_n} p^{\nu_p(M)} $$

où les multiplicités $\nu_P(M) \in \mathbb{N}$ de $p$ dans $M$ sont des entiers naturels presque tous nuls.

Démonstration. — Si $n > 0$ notons $Y = X_n$ et $\deg = \deg_Y$. Si $M = M_1 \cdot M_2, M_1, M_2 \notin \{-1, 1\}$ alors $|M| > |M_1|, |M_2|$ et si $n > 0$, $\deg(M) \ge \deg(M_1)$, $\deg(M_2)$ avec égalité pour un $M_i$ seulement si $M_j$ est de degré 0. L'ordre sur valeurs absolues si $n = 0$ et degrés sinon étant bon, et par l'hypothèse de récurrence pour le terme dominant si $n > 0$, on ne peut factoriser indéfiniment $M_I = M_{i_1, \dots, i_k} = M_{I,1} \cdot M_{I,2}$. A l'arrêt les facteurs $M_I$ sont irréductibles d'où l'existence. $\square$

L'unicité : On peut supposer le polynôme $M$ positif et raisonne par récurrence :

Si $n=0$ sur l'ordre usuel de $M \in \Pi_0^+ \setminus \{0\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ et, si $n > 0$, sur l'ordre lexicographique des triplets d'entiers naturels $(n, \deg M, \sum_{p \in \mathcal{P}_n} \nu_p(M_0))$, ces tailles $t_0, t_+$ sont des bons ordres.

Soit $p, q \in \mathcal{P}_n$ premiers de deux décompositions<fnref n="2" /> : $p \cdot u = M = q \cdot v$ avec $q \ge p$, alors soit

i) $p=q$ donc $u=v$, de taille $t_*(u) < t_*(M)$, d'où le résultat par récurrence. $\square$

soit $q > p$. Si<fnref n="3" /> $n = 0$ posons $N = (q-p) \cdot v = q \cdot v - p \cdot v = p \cdot u - p \cdot v = p \cdot (u-v)$ et, si $n > 0$, $N = |p_0q - q_0pY^e| |v = p \cdot |p_0u - q_0vY^e|$ où $e = \deg q - \deg p$. Dans les deux cas<fnref n="4" /> $t_*(N) < t_*(M)$ et, par récurrence, $N$ se factorise uniquement.

Si $n=0$, ne divisant $q-p$, car il diviserait $q$ ($\ne p$ et premier), $p$ factorise $v$. En ce cas :

ii) $u=q \cdot \frac{v}{p} < M$, d'où le résultat car, par récurrence, $u$ se factorise uniquement. $\square$

<footnote n="2">² les produits $u=p_2 \cdots p_k, v=q_2 \cdots q_l$ pouvant être vides (donc valoir 1).</footnote>

<footnote n="3">³ la preuve de Zermelo de factorialité de $\mathbb{Z}$, initialisé par $M=1$.</footnote>

<footnote n="4">⁴ puisque $(q-p)v < qv = M$ et $\deg|p_0q - q_0pY^e| < \deg(qv) = \deg M$.</footnote>
Si $n>0$ et $\deg q = \deg M$ alors $\deg v = 0$. Comme $q$ est premier on ne peut avoir$^5v = 1$.

Soit donc $q'$ un premier de la seconde décomposition divisant $v$, il divise $p \cdot u = q \cdot v$.

Le lemme de Gauß$^6$appliqué à $\mathfrak{p}=q'$ et l'anneau $A=\Pi_{n-1}$, factoriel par récurrence, donne :

Soit $q'$ divise $u$ et l'unicité de la factorisation de $p \cdot \frac{u}{q'} = \frac{M}{q'} = q \cdot \frac{v}{q'}$ conclut. $\square$

Soit $q'$ divise $p$ donc, puisque $p$ est premier, $q'=p$ et $ii)$ conclut. $\square$

Reste le cas $n>0$, $\deg q < \deg M$. Comme $N$ a une unique factorisation en premiers, $p$ divise

Soit $v$, auquel cas $ii)$ encore conclut. $\square$

Soit $|p_0q - q_0pY^e|$, donc $p_0q$.

Comme $\deg(p_0q) = \deg q < \deg M$ on a $t_*(p_0q) < t_*(M)$ et, par récurrence, $p$ divise :

Soit $q$, donc $p=q$, cas traité en $i)$. $\square$

Soit $p_0$, donc $p=p_0$ et, par le lemme de Gauß, $p$ divise soit $q$ donc encore $p=q$, soit $v$.

Ces deux cas étant traités en $i)$ et $ii)$, le théorème est établi. $\square$

Démonstration. — Soit $i=\min\{i; \mathfrak{p} \nmid S_i\}, j=\min\{j; \mathfrak{p} \nmid T_j\}$, le coefficient d'indice $i+j$ de $ST$ :

$$ (ST)_{i+j} = \sum_{k=0}^{i-1} S_k T_{i-k+j} + S_i T_j + \sum_{l=j-1}^{0} S_{i+j-l} T_l $$

Par définition de $i, j, \mathfrak{p}$ divise les $S_k, T_l$, donc les sommes extrêmes et, comme $A$ est factoriel, $\mathfrak{p}$ ne divise pas le terme central $S_i T_j$, donc ni le coefficient $(ST)_{i+j}$, ni le produit $ST$. $\blacksquare$

<footnote>$^5$ car on aurait $q=pu$ avec, puisque $p < q, p \neq q$ et, et $p$ étant premier $p \notin \Pi_n^*$.</footnote>

<footnote>$^6$ Un anneau $A$ est factoriel si le théorème fondamental de l'arithmétique a lieu dans $A$. Dans un anneau factoriel $A$, le lemme de Gauß est : Si $\mathfrak{p} \in A$ est un premier d'un anneau factoriel ne divisant pas deux polynômes $S, T \in A[Y]$ alors il ne divise pas leur produit $ST$.</footnote>
## 2.3 Déterminants sur un anneau commutatif et applications.

On rappelle qu'un anneau de polynômes à coefficients entiers $\mathbb{Z}[X_i]_{i \in I}$ est un anneau commutatif libre sur l'ensemble $I$ (ou sur ses variables $X_i, i \in I$), c. a d. pour toute application $f: I \to A$ de l'ensemble $I$ vers un anneau commutatif $A$ il y a un unique morphisme d'anneau $F: \mathbb{Z}[X_i]_{i \in I} \to A$ tel que pour tout $i \in I$ on ait $F(X_i) = f(x_i)$.

On suppose dans cette sous-section que l'anneau $\Lambda$ est commutatif.

Pour toute $M = (m_{i,j})_{1 \le i, j \le n} \in M_n(\Lambda)$ il y a un unique morphisme d'anneau, $\rho_M: \tilde{\Lambda}_n \to \Lambda$, dit spécialisation en $M$ et défini par $\rho_M(a_{i,j}) = m_{i,j}$ pour $i, j = 1, \dots, n$.

**Définition.** Le déterminant de la matrice $M \in M_n(\Lambda)$ est l'image $\rho_M(\det(A))$ du déterminant général par la spécialisation en $M$. On le note $\det(M)$.

Les neuf relations (0) à (8) de 2.2.2 et le théorème de 2.2.3 sont alors valables si les matrices $A, B, U, V, W$ qui y interviennent sont à coefficients dans l'anneau commutatif $\Lambda$.

**THÉORÈME.** — Soit $X$ et $Y$ des modules libres sur l'anneau commutatif $\Lambda$ ayant des bases finies $\mathcal{B} = (b_1, \dots, b_n)$ et $\mathcal{C} = (c_1, \dots, c_n)$ avec le même nombre $n$ d'éléments et $f: X \to Y$ un morphisme de matrice $M$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$.

Alors on a les deux « cercles » d'équivalence :

(i) D'une part entre :

(i 1) L'application $f$ est injective.

(i 2) Le déterminant $\det(M)$ de $M$ n'est pas diviseur de zéro dans $\Lambda$.

(ii) D'autre part entre :

(ii 1) L'application $f$ est surjective.

(ii 2) L'application $f$ est un isomorphisme.

(ii 3) Le déterminant $\det(M) \in \Lambda^\bullet$ de $M$ est une unité de l'anneau $\Lambda$.

En ce cas l'isomorphisme inverse $f^{-1}: Y \to X$ est, dans les bases $\mathcal{C}$ et $\mathcal{B}$, de matrice :

$$M^{-1} = (\det(M))^{-1} \tilde{M}$$

**Démonstration.** — (i) Si $f$ n'est pas injective il y a $0 \neq X = (x_1, \dots, x_n) \in \Lambda^n$ tel que $M \cdot X = 0$ d'où $\det(M)X = (\tilde{M} \cdot M) \cdot X = \tilde{M} \cdot (M \cdot X) = 0$, donc pour $i=1, \dots, n$ on a $\det(M)x_i = 0$. Ainsi $\det(M)$ est diviseur de zéro, car $X$ étant non nul, une de ses composantes $x_i \neq 0$ est non nulle.

Si $\det(M)$ n'est pas diviseur de zéro alors pour tout $0 \neq X \in \Lambda^n$ on a : $0 \neq \det(M)X = \tilde{M} \cdot (M \cdot X)$, donc $M \cdot X \neq 0$ et, d'après la Proposition 1 de **1.3**, $f$ est injective. $\square$

(ii) L'implication (ii 2) ⇒ (ii 1) est claire. Si $f$ est surjective, d'après le Corrolaire de **1.4**, il y a $g: Y \to X$ tel que $g \circ f = \mathrm{Id}_Y$. Si $N$ est sa matrice dans les bases $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ on a $N \cdot M = \mathrm{Id}$ donc $\det(N)\det(M) = 1$ et $\det(M)$ est une unité de $\Lambda$, doû l'implication (ii 1) ⇒ (ii 3).

L'implication (ii 3) ⇒ (ii 2) suit de ce qu'alors $M \cdot (\det(M)^{-1}\tilde{M}) = \mathrm{Id} = (\det(M)^{-1}\tilde{M}) \cdot M$ : l'application $g: Y \to X$ de matrice $(\det(M)^{-1}\tilde{M})$ est isomorphisme réciproque de $f$. $\square$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
**COROLLAIRE.** — Soit $m, n$ deux entiers naturels et $f : \Lambda^n \to \Lambda^m$ un morphisme surjectif. Alors, si l'anneau $\Lambda \neq \{0\}$ n'est pas l'anneau nul, on a : $m \leq n$.

*Démonstration.* — Si $m > n$ le morphisme $\bar{f} : \Lambda^m \to \Lambda^m$ qui envoit le $k^{ième}$ élément $e_k$ de la base canonique, si $n < k \leq m$ sur zéro (et sur $f(e_k)$ sinon) est toujours surjectif, de matrice de déterminant nul<fnref n="1" />, contredisant<fnref n="2" /> les équivalences (ii) du théorème. ■

**CO-CORROLLAIRE.** — Si l'anneau $\Lambda \neq \{0\}$ n'est pas l'anneau nul et $m, n$ sont deux entiers naturels tels que $\Lambda^m$ et $\Lambda^n$ sont isomorphes alors $m = n$. ■

*Remarques.* — (i) Si l'anneau $\Lambda$ n'est pas commutatif, le co-Corollaire (donc le Corollaire aussi) n'a plus lieu : Soit $M$ un groupe abélien non nul muni d'un isomorphisme $\Phi : M \oplus M \to M$, défini par $\phi_i = \Phi \circ i_i : M \to M, i = 1, 2$ (par exemple $M = \mathbb{Z}^{(N)}, \phi_1(e_n) = e_{2n}, \phi_2(e_n) = e_{2n+1}$).

Alors si $\Lambda = \text{End}(M)$ on a : $\Lambda_d = \phi_1\Lambda \oplus \phi_2\Lambda$. D'où pour tout entier $n$ positif :
$$ \Lambda_d = \phi_1^n \Lambda \oplus \bigoplus_{i=0}^{n-1} \phi_i^i \circ \phi_2 \Lambda $$
et le module monogène $\Lambda_d$ contient le sous-module libre à un nombre infini de générateurs $\oplus_{n \in \mathbb{N}} \phi_1^n \circ \phi_2 \Lambda$. Par contre :

(ii)<fnref n="3" /> Si $\Lambda$ est un corps<fnref n="4" /> ce Corollaire (donc le co-Corollaire) a lieu.

(iii) Sans supposer l'anneau $\Lambda$ commutatif le Corollaire (et donc le co-Corollaire) restent vrais pour les modules libres sur des ensembles infinis. Pus précisément :

**PROPOSITION.** — Si l'anneau $\Lambda \neq \{0\}$ est non nul et $f : \Lambda^{(J)} \to \Lambda^{(I)}$ est un morphisme surjectif alors, si $I$ est infini, son cardinal est au plus celui de $J$ :

$$ \mathrm{Card}(I) \leq \mathrm{Card}(J) $$

*Démonstration.* — Soit $(a_{i,j})_{(i,j) \in I \times J}$ la matrice de $i_I \circ f : \Lambda^{(J)} \to \Lambda^I$ alors pour tout $j \in J$ l'ensemble $I_f, j = \{i \in I | a_{i,j} \neq 0\}$ est fini, la réunion $I_f = \cup_{j \in J} I_{f,j}$ est donc finie ou de cardinal $\mathrm{Card}(I_f) \leq \mathrm{Card}(J)$ au plus celui de $J$. L'image de $f$ étant incluse dans $\Lambda^{(I_f)} \subset \Lambda^{(I)}$ qui serait sous-module strict si $\mathrm{Card}(I) > \mathrm{Card}(J)$, le morphisme $f$ ne serait pas surjectif, en ce cas. ■

**COMPLÉMENT.** — Soit $M$ un module de type fini sur un anneau commutatif $\Lambda$. Alors tout endomorphisme $f : M \to M$ surjectif de $M$ est un isomorphisme.

Plus précisément si $M$ est engendré par $m_1, \dots, m_n \in M$ et $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(\Lambda)$ une matrice telle que pour $i = 1, \dots, n$ on ait $m_i = f(\sum_{j=1}^n a_{i,j} m_j) = \sum_{j=1}^n a_{i,j} f(m_j))$.

Alors $f$ est d'inverse $f^{-1} = P(f)$ où<fnref n="5" /> le polynôme $P(X) \in \Lambda[X]$ est $P = X^{-1} - X^{n-1}\chi_A(X^{-1})$.

*Démonstration.* — Dans le sous-anneau (commutatif!) $\Lambda[f] \subset \text{End}_\Lambda(M)$ engendré par $f$ il suit des relations $(\det(\mathrm{Id} - XA))\mathrm{Id} = (\mathrm{Id} - \widetilde{XA})(\mathrm{Id} - XA), 1 - \widetilde{XP}(X) = 1 - P(X)X = \det(\mathrm{Id} - AX)$ :

$$ (\mathrm{Id} - f \circ P(f))\mathrm{Id} = (\mathrm{Id} - P(f) \circ f)\mathrm{Id} = (\mathrm{Id} - \widetilde{Af})(\mathrm{Id} - Af) = 0 $$

puisque pour $i=1, \dots, n$ on a $(\mathrm{Id} - Af) \cdot {}^t(m_1, \dots, m_j, \dots, m_n)_i = m_i - \sum_{i=1}^n a_{i,j} f(m_j) = 0$. ■

<footnote n="1">¹ car ayant au moins une une colonne nulle.</footnote>

<footnote n="2">² car pour tout $a \in \Lambda$, $0a = 0 \neq 1$ car l'anneau $\Lambda$ est non nul.</footnote>

<footnote n="3">³ voir la section **3** suivante.</footnote>

<footnote n="4">⁴ c. a d. anneau, non n'écéssairement commutatif, non nul ($1 \neq 0$) et tout élément $0 \neq \lambda \in \Lambda$ non nul est *inversible* [c. a d. il y a $\mu \in \Lambda$ (noté $\mu = \lambda^{-1}$) tel que $\lambda\mu = 1 = \mu\lambda$].</footnote>

<footnote n="5">⁵ l'intervention de $\chi_A$ ici est uniquement pour décrire la formule avec un invariant connu. La preuve n'utilise que $\widetilde{XP}(X) = 1 - \det(\mathrm{Id} - XA)$, et pas l'identité de Cayley-Hamilton.</footnote>
### 3 Espaces vectoriels et dimension.

Dans cette section $K$ désigne un corps (non supposé commutatif).

**Définitions.** Un espace vectoriel (abrégé en e.v.) à gauche (resp. à droite) $V$ sur le corps $K$ [dit aussi $K$-espace vectoriel (abrégé en $K$-e.v.) à gauche (resp. à droite)] est un $K$-module à gauche (resp. à droite).

Un élément $v \in V$ d'un $K$-espace vectoriel est appelé **vecteur de $V$**.

Suivant l'usage, sauf pour :

les systèmes linéaires en **3.4.2**,

les structures rationnelles sur un sous-corps en **3.5** et leurs applications :

quelques propriétés des corps gauches en **3.5.2**.

la dimension du dual d'un espace vectoriel de dimension infinie en **3.5.3**, on ne considèrera que des structures à gauche et abrêgera l'expression *espace vectoriel à gauche en espace vectoriel*.

De même avant **3.5**, ne considérant que le seul corps $K$, on omettra de préciser sur $K$.

#### 3.1 Combinaisons linéaires.

On rappelle (Cf. **1.4**) que $K^{(I)}$ désigne l'espace vectoriel des familles $(\lambda_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$ d'éléments $\lambda_i \in K$ du corps $K$ qui sont presque tous nuls [c. a d. de supports $\{i \in I | \lambda_i \neq 0\}$ finis].

**Définitions.** Soit $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}$ une famille indicée par un ensemble $I$ d'éléments $v_i \in V$ d'un espace vectoriel $V$. On considère l'application linéaire :

$$cl_{\underline{v}} : K^{(I)} \to V, \quad \lambda = (\lambda_i)_{i \in I} \mapsto cl_{\underline{v}}(\lambda) = \sum_{i \in I} \lambda_i v_i$$

qui à $\lambda = (\lambda_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$ associe la combinaison linéaire de $\underline{v}$ à coefficients $\lambda$.

La famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}$ est **génératrice** (sur $K$, dans $V$) si le morphisme $cl_{\underline{v}}$ est **surjectif** : tout vecteur $v \in V$ est $v = \sum_{i \in I} \lambda_i v_i$, combinaison linéaire de cette famille.

L'ensemble des combinaison linéaires de la famille $\underline{v}$, image $\mathrm{Im}(c_{\underline{v}})$ du morphisme $cl_{\underline{v}}$, est le sous-espace vectoriel engendré par la famille $\underline{v}$ et est noté $\langle \underline{v} \rangle = \langle v_i, i \in I \rangle$ ou, si $I = \{1, \dots, n\}$ est fini, $\langle v_1, \dots, v_n \rangle$.

**Définition.** Une relation linéaire de la famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}, v_i \in V$ est une combinaison linéaire nulle : $\sum_{i \in I} \lambda_i v_i = 0 \in V$. Elle est dite **non triviale** si la famille de ses coefficients $(\lambda_i)_{i \in I} \neq 0 \in K^{(I)}$ est non nulle (c. a d. il y a un $i \in I$ avec $\lambda_i \neq 0$).

**Définition.** La famille de vecteurs $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}, v_i \in V$ est libre [ou linéairement indépendante] (sur $K$, dans $V$) si le morphisme $cl_{\underline{v}}$ est injectif, ce qui d'après la Proposition 1 de **1.3** équivaut à sa seule relation linéaire est la relation triviale : $\sum_{i \in I} \lambda_i v_i = 0$ si et seul pour tout $i \in I$ on a $\lambda_i = 0$. Une famille non libre est dite **liée**.
Remarques. — 1) Être génératrice pour une famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}$, $v_i \in V$ de vecteurs d'un espace vectoriel $V$ ne dépend que de sa partie image $\{v_i | i \in \bar{I}\} \subset V$.

2) Une famille $\underline{v}$ non injective n'est$^1$pas libre.

**Définitions.** Une partie $X \subset V$ d'un e.v. $V$ est génératrice, resp. libre, si la famille $\underline{X} = (x)_{x \in X}$ de ses éléments indicés par eux-même est génératrice, resp. libre.

**Définitions.** Une famille $\underline{b} = (b_i)_{i \in I}$, $b_i \in V$, resp. partie $B \subset V$ d'un espace vectoriel $V$ est une base de $V$ si elle est libre et génératririce $c$. $a$ $d$. l'application combinaison $cl_{\underline{b}} : K^{(I)} \to V, \lambda \mapsto cl_{\underline{b}}(\lambda) = \sum_{i \in I} \lambda_i b_i$ est un isomorphisme.

L'isomorphisme inverse $co_{\underline{b}} = cl_{\underline{b}}^{-1} : V \to K^{(I)}$ est dite *application coordonnées de l'espace vectoriel* $V$ *dans la base* $\underline{b}$.

*Exemples.* — (i) La famille $(e_i)_{i \in I} \in K^{(I)} = L_I$ canonique de base$^2$de l'espace vectoriel libre sur le corps $K$ est génératrice et libre, la *base canonique* de $K^{(I)}$.

(ii) Si tout élément $x_i \in X_i \subset V, i \in I$ d'une partie $X_i$ d'un espace vectoriel $V$ est combinaison linéaire $x_i = \sum_{j \in J} \lambda_i_j y_j$ d'une partie $Y = \{y_j | j \in J\}$ alors toute combinaison linéaire $c = \sum_{i \in I} \mu_i x_i$ des $x_i, i \in I$ est $c = \sum_{i \in I} \mu_i \sum_{j \in J} \lambda_i_j y_j = \sum_{j \in J} (\sum_{i \in I} \mu_i \lambda_{i,j}) y_j$, combinaison linéaire des $y_j, j \in J$. En particulier :

Une partie engendrant une partie génératrice est génératrice.

(iii) Une famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in \emptyset}$ (ou partie $X = \emptyset \subset V$) vide est libre.

(iv) Une famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in \{i_0\}}$ (ou partie $X = \{v_{i_0}\}$) à un seul élément est libre si et seulement si cet élément $v_{i_0} \neq 0$ est non nul.

(v) Une famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in \{i_0, i_1\}}$ (ou partie $X = \{v_{i_0}, v_{i_1}\}$) à deux éléments est liée si et seulement si soit $v_{i_0} = 0$ est nul, soit il y a $\lambda \in K$ tel que $v_{i_1} = \lambda v_{i_0}$.

**PROPOSITION.** — Soit $X \subset V$ une partie génératrice d'un e.v. $V$ alors une partie $Y \subset X$ maximale, pour $\subset$ dans l'ensemble des parties libres de $X$ est génératrice.

*Démonstration.* — Soit $x \in X$ alors soit $x = y_x \in Y$, soit la partie $Z = \{x\} \cup Y$ est liée. Ainsi il y a $a^3 \lambda_x \in K$ et, pour $y \in Y$ des $\lambda_y \in K$ non tous nuls tels que $0 = \lambda_x x + \sum_{y \in Y} \lambda_y y \in V$. Comme la partie $Y$ est libre, $\lambda_x \neq 0$, et $x = \sum_{y \in Y} (-\lambda_x^{-1} \lambda_y) y$ est combinaison linéaire des $y \in Y$. L'espace $V$ étant engendré par les $x \in X$ l'est donc par les $y \in Y$. Ainsi $Y$ est génératrice.

**COROLLAIRE.** — Tout espace vectoriel $V$ possède une base. Plus précisément :

Soit $Y$, $X \subset V$ deux parties libres avec $X$ de plus génératrice de l'espace $V$, alors $V$ a une base $B$ vérifiant $Y \subset B \subset Y \cup X$ :

« De toute partie partie génératrice, on complète en une base toute partie libre ».

*Démonstration.* — L'inclusion étant inductive sur les parties libres $Y'$, $Y \subset Y' \subset Y \cup X$ il y en a, par le lemme de Zorn, une $Y' = B$ qui est maximale, par la Proposition elle est génératrice.

<footnote n="1">1 puisque si pour des $i \neq j \in I$ on a $v_i = v_j$ alors $1v_i + (-1)v_j = 0$.</footnote>

<footnote n="2">2 (C.f. **1.4**) $(e_i)_{i \in I} \in K^{(I)} = L_I, e_i = (e_{i_j})_{j \in I}; e_{i_i} = 1$ et si $j \neq i, e_{ij} = 0$</footnote>

<footnote n="3">3 dans le premier cas : $\lambda_x = 1, \lambda_{y_x} = -1$ et si $y \neq y_s, \lambda_y = 0$, par définition dans le second.</footnote>
**CO-COROLLAIRE.** — *Tout sous-espace $U \subset V$ d'un espace vectoriel $V$ possède un supplémentaire $W \subset V = U \oplus W$.*

*Démonstration.* — Soit $(b_k)_{k \in I \cap J}$, $b_k \in V$ une base complétant une base $(b_i)_{i \in I}$, $b_i \in U$ du sous-espace $U$ de $V$. Il suffit de prendre $W = \oplus_{j \in J} K b_j$.

*Remarque.* — Les définition de partie génératrice, libre, base ont un sens pour les modules sur un anneau quelconque, mais les propriétés des exemples (iv), (v) et la proposition n'ont plus lieu :

a) Dans le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ la partie $\{\overline{2}\}$ est, car $3\overline{2} = \overline{6} = 0$, non libre à un élément.

b) Dans le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}$ la partie $\{2\}$ est libre maximale, mais non génératrice.

**3.2 Dimension d'un espace vectoriel.**

**LEMME.** — Soit $f : K^{(J)} \to K^{(I)}$ un morphisme surjectif entre des modules libres sur des ensembles $I, J$, alors :

$$ \mathrm{Card}(I) \leq \mathrm{Card}(J) $$

*Démonstration.* — Dans le cas où l'ensemble $I$ est infini, cela est même vrai pour les modules libres sur un anneau $\Lambda$ quelconque et a été établi dans la Proposition en fin de **2.3**.

Le résulat est aussi clair si $I = \emptyset$, on suppose donc $I = \{1, \dots, m\}$ et $^4J = \{1, \dots, n\}$ finis d'ordre $n, m > 0$ positifs et procède par récurrence (initialisée par $I = \emptyset, m = 0$ ci-dessus) sur $m$ :

Soit pour $1 \le j \le n, v_j = f(e_j) = (a_1, j, \dots, a_{m, j})$, les vecteurs images de la base $e_1, \dots, e_n$ canonique de $K^{(J)}$. L'une des dernières coordonnées $a_{m, j} \ne 0$ est (car $f$ est surjectif) non nulle. Quitte à renuméroter les $e_j$, on peut supposer $a_{m, n} \ne 0$.

Soit pour $1 \le j < n, w_j = v_j - (a_{m, j} a_{m, n}^{-1}) v_n = (b_1, j, \dots, b_{m-1, j}, 0)$; $w_n = v_n$ et

$$ g : K^n = K^{(J)} \to K^{(I)} = K^m, \quad g(e_j) = w_j $$

Pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in K^n$, si pour $1 \le j < n, y_j = x_j$ et $y_n = \sum_{j=1}^n x_j a_{m, j} a_{m, n}^{-1}$ on a :
$$ \sum_{j=1}^n x_j v_j = \sum_{j=1}^n y_j w_j. $$ Ainsi le morphisme $g$ est aussi surjectif, envoit $K^{n-1} = K^{(J \setminus \{n\})}$ dans $K^{m-1} = K^{(J \setminus \{m\})}$ et sa restriction $h = g|: K^{n-1} = K^{(J \setminus \{n\})} \to K^{(J \setminus \{m\})} = K^{m-1}$, puisque si $\sum_{j=1}^n y_j w_j = (z_1, \dots, z_{m-1}, 0) \in K^{m-1} = K^{(J \setminus \{m\})}$ alors $y_m = 0$, est aussi surjective. D'où par l'hypothèse de récurrence $m-1 \le n-1$ et donc $\mathrm{Card}(I) = m-1+1 \le n-1+1 = \mathrm{Card}(J)$. ■

**COROLLAIRE.** — Soit $V, W$ des espaces vectoriels munis de bases $(b_i)_{i \in I}$, $b_i \in V$; $(c_j)_{j \in J}$, $c_j \in W$ et $f: W \to V$ un morphisme alors :

$$ (i1) \text{ Si } f \text{ est surjectif } \mathrm{Card}(J) \ge \mathrm{Card}(I). $$

$$ (i2) \text{ Si } f \text{ est isomorphisme } \mathrm{Card}(J) = \mathrm{Card}(I). $$

<footnote n="4">⁴ Comme $K^{(\emptyset)} = \{0\}$, si $I \ne \emptyset$, $K^{(\emptyset)} \to K^{(I)} \ne \{0\}$ ne peut être surjectif.</footnote>
(i3) Si $f$ est injectif $\mathrm{Card}(J) \le \mathrm{Card}(I)$.

(ii) Si $(u_l)_{l \in L}, u_l \in V$ est une famille génératrice alors $\mathrm{Card}(I) \le \mathrm{Card}(L)$

(iii) Si $(v_k)_{k \in K}, v_k \in V$ est une famille libre alors $\mathrm{Card}(K) \le \mathrm{Card}(I)$.

**Définition.** Le cardinal d'une base $(b_i)_{i \in I}, b_i \in V$ d'un espace vectoriel $V$ sur le corps $K$ ne dépend pas du choix de la base, c'est sa dimension :

$$ \dim(V) \stackrel{\mathrm{Syn}}{=} \dim_K(V) \stackrel{\mathrm{Syn}}{=} [V : K] \stackrel{\mathrm{Déf}}{=} \mathrm{Card}(I) $$

Deux espaces vectoriels $V, W$ sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension :

$$ \dim(V) = \dim(W) $$

**CO-COROLLAIRE.** — Soit $U \subset V$ un sous-espace d'un espace vectoriel $V$. Alors
$$ \dim(U) \le \dim(V) $$

De plus si $V$ est de dimension finie, il y a égalité si et seulement si $U = V$.

**Exemples.** — (i) Un espace vectoriel $V = \{0\}$ est l'espace nul si et seulement si $\dim(V) = 0$.

(ii) La dimension de $K^n$ est $\dim(K^n) = n$.

(iii) Si $V^*$ est le dual d'un espace vectoriel $V$ de dimension finie$^5$ alors$^6$ :

$$ \dim(V^*) = \dim(V) $$

**3.3 Le théorème du rang.**

**PROPOSITION.** — Soit

$$ 0 \to U \xrightarrow{\iota} V \xrightarrow{\pi} W \to 0 $$

une suite exacte courte d'espaces vectoriels. Alors

$$ \dim(V) = \dim(U) + \dim(W) $$

Plus précisément si $\underline{b} = (b_i)_{i \in I}, b_i \in U, \underline{d} = (d_j)_{j \in J}, d_j \in W$ sont des bases des espaces extrêmes $U, W$ de la suite exacte et si, pour $i \in I, c_i = \iota(b_i) \in V$ et pour $j \in J, c_j \in \pi^{-1}(d_j) \subset V$, la famille $\underline{c} = (c_k)_{k \in K=I \cup J}, c_k \in V$ est une base de l'espace central $V$ de la suite exacte.

**Démonstration.** — Soit $\sum_{k \in K} \lambda_k c_k = 0$ une relation linéaire de la famille $\underline{c}$.

Alors, comme pour $i \in I, \pi(c_i) = \pi(\iota(b_i)) = \pi \circ \iota(b_i) = 0$ et, pour $j \in J, \pi(c_j) = d_j$, on a
$$ 0 = \pi\left(\sum_{k \in K} \lambda_k c_k\right) = \pi\left(\sum_{i \in I} \lambda_i c_i\right) + \pi\left(\sum_{j \in J} \lambda_j b_j\right) = \sum_{i \in I} \lambda_i \pi(c_i) + \sum_{j \in J} \lambda_j \pi(c_j) = \sum_{j \in J} \lambda_j d_j \text{ et donc,} $$

<footnote>$^5$ voir **3.5.2 III** pour le cas de dimension infinie.</footnote>

<footnote>$^6$ d'après l'exemple et la Proposition 1 de **1.5**.</footnote>
puisque $\underline{d}$ est libre pour $j \in J$ on a $\lambda_j = 0$. Ainsi $0 = \sum_{i \in I} \lambda_i c_i = \sum_{i \in I} \lambda_i \iota(b_i) = \iota(\sum_{i \in I} \lambda_i b_i)$ et,
puisque $\iota$ est injective $\sum_{i \in I} \lambda_i b_i = 0$, d'où puisque $\underline{b}$ est libre, pour tout $i \in I$, $\lambda_i = 0$.

Ainsi pour tout $k \in K = I \amalg J$, $\lambda_k = 0$ et la famille $\underline{c}$ est libre. $\square$

Soit $v \in V$ un vecteur de l'espace central. Comme la famille $\underline{d}$ est génératrice il y a
$(\lambda_j)_{j \in J} \in K^{(J)}$ telle que $\pi(v) = \sum_{j \in J} \lambda_j d_j$ donc le vecteur $v' = v - \sum_{j \in J} \lambda_j c_j$, satisfaisant à :

$\pi(v') = \pi(v) - \sum_{j \in J} \lambda_j \pi(c_j) = \pi(v) - \sum_{j \in J} \lambda_j d_j = 0$ est dans le noyau $\ker(\pi) = \mathrm{Im}(\iota)$ et donc il y a $u \in U$ tel que $\iota(u) = v'$. Comme la famille $\underline{b}$ est génératrice, il y a $(\lambda_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$ telle que $u = \sum_{i \in I} \lambda_i b_i$, donc $v' = \iota(u) = \sum_{i \in I} \lambda_i \iota(b_i) = \sum_{i \in I} \lambda_i c_i$.

Ainsi $v=v'+\sum_{j \in J} \lambda_j c_j = \sum_{k \in I \amalg J} \lambda_j c_k$ et la famille $\underline{c}$ est aussi génératrice. $\square$ ■

COROLLAIRE. — Soit $f : V \to W$ un morphisme d'espaces vectoriels. Alors :

$$
\dim(V) = \dim(\ker(f)) + \dim(\mathrm{Im}(f))
$$

Démonstration. — La suite $0 \to \ker(f) \xrightarrow{\subset} V \xrightarrow{\bar{f}} \mathrm{Im}(f) \to 0$ est exacte. ■

**Définition.** Le *rang* d'une application linéaire est la dimension de son image :

$$
\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}(f))
$$

**3.4 Application aux systèmes linéaires.**

**3.4.1 Systèmes linéaires I : le langage.**

**Définition.** Soit $(v_j)_{j \in J}$, $v_j \in V$ une famille indicée par un ensemble $J$ de vecteurs d'un espace vectoriel et $v \in V$ un autre vecteur de $V$. Résoudre le système linéaire

$$
\sum_{j \in J} X_j v_j = v
$$

consiste à déterminer les familles $(x_j)_{j \in J} \in K^{(J)}$ d'éléments $x_j, j \in J$ presque tous nuls du corps $K$ telles que l'on a l'égalité de vecteurs $\sum_{j \in J} x_j v_j = v$.

Avec les notations de **3.1**, il s'agit de déterminer la préimage de $v$ par le morphisme $cl_{\underline{v}} : K^{(J)} \to V$, $\underline{\lambda} = (\lambda_i)_{i \in J} \mapsto cl_{\underline{v}}(\underline{\lambda}) = \sum_{j \in J} \lambda_j v_j$. C'est l'ensemble vide si $v$ n'est pas dans le sous-espace engendré par la famille, une classe modulo le sous-espace vectoriel $\ker(cl_{\underline{v}})$ de l'espace vectoriel libre $K^{(J)}$ sur $J$ sinon. Si $J$ est fini et donné, la dimension de ce noyau, selon le théorème du rang (Corollaire de **3.3**) détermine et est déterminée par le rang de $cl_{\underline{v}}$.
Hormi cette présentation on se limitera au cas où l'espace vectoriel $V$ est de dimension finie, puis par choix d'une de ses bases $(b_i)_{i=1,...,m}$ à $V = K^m$ et où l'ensemble $J$ est fini puis, quitte à le numéroter $J = \{1,...,n\}$.

En ce cas, en écrivant les coordonnées des vecteurs en colonnes

$v_j = (a_{1,j},...,a_{m,j})^t, j = 1,...,m; v = (b_1,...,b_m)^t \in K^m \text{ c'est le système}$

$$ (\Sigma) \quad \left\{ \begin{array}{lclcl} X_1 a_{1,1} & + \dots + & X_k a_{1,k} & + \dots + & X_n a_{1,n} & = & b_1 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ X_1 a_{i,1} & + \dots + & X_k a_{i,k} & + \dots + & X_n a_{i,n} & = & b_i \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ X_1 a_{m,1} & + \dots + & X_k a_{m,k} & + \dots + & X_n a_{m,n} & = & b_m \end{array} \right. $$

**Définition.** Le rang d'une famille $\underline{v} = (v_i)_{i \in I}, v_i \in V$ est $\text{rg}(\underline{v}) = \dim(\langle \underline{v} \rangle)$, la dimension du sous-espace engendré.

**PROPOSITION.** — Le système $(\Sigma)$ a une solution si et seulement si

$$ \text{rg}(v_1, \dots, v_n) = \text{rg}(v_1, \dots, v_n, v) $$

Ses solutions forment alors une classe modulo un sous-espace de dimension :

$$ n - \text{rg}(v_1, \dots, v_n) $$

### 3.4.2 Systèmes linéaires II : rang du système transposé.

Le système $(\Sigma)$ est associé à la matrice $A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} \in M_{m,n}$.

**Définitions.** Les rangs de colonne (resp. ligne) à droite (resp. gauche) de $A$ sont les dimensions :

$$ \text{rg}_d^c(A) = \dim(\langle c_1, \dots, c_n \rangle_d), \quad \text{rg}_s^l(A) = \dim(\langle l_1, \dots, l_m \rangle_s) $$

$$ \text{rg}_s^c(A) = \dim(\langle c_1, \dots, c_n \rangle_s), \quad \text{rg}_d^l(A) = \dim(\langle l_1, \dots, l_m \rangle_s) $$

des sous-espace vectoriels à droite (resp. à gauche) de $K^m$ (resp. $K^n$) engendré par les colonnes $c_j = (a_{1,j},...,a_{m,j})^t \in K^m$ (resp. lignes $l_i = (a_{i,1},...,a_{i,n}) \in K^n$).

**PROPOSITION.** — On a les égalités :

$$ \text{rg}_d^c(A) = \text{rg}_s^l(A), \quad \text{rg}_s^c(A) = \text{rg}_d^l(A) $$

**Démonstration.** — Posons $p = \text{rg}_s^l(A)$. Quitte à renuméroter les lignes on peut supposer que l'espace $\langle l_1, \dots, l_m \rangle_s = \langle l_1, \dots, l_p \rangle_s$ des lignes est engendré par les $p$ premières lignes. Cette renumérotation correspondant à un isomorphisme de permutation des coordonnées de l'espace $K^m$ des colonnes, ne change pas le rang à droite $\text{rg}_d^c(A)$ de colonne.

Soit $A_{p,n} \in M_{p,n}$ la matrice des $p$ premières lignes de $A$.

Comme les autres lignes $l_k = \sum_{i=1}^p c_k \, l_{ki}, p < k \le m$ sont combinaisons linéaires des premières, toute relation linéaire (à droite) $\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = 0, 1 \le i \le p$ entre les colonnes de $A_{p,n}$ donne pour
$p < k \le m$, $\sum_{j=1}^{n} a_{k,j} x_j = \sum_{j=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{p} c_{k,i} a_{i,j} \right) x_j = \sum_{i=1}^{p} c_{k,i} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} x_j \right) = 0$, la même relation entre les colonnes complètes de $A$. Ainsi puisque $\mathrm{rg}_d^c(A_{p,n}) \le p$ on a : $\mathrm{rg}_d^c(A) \le p = \mathrm{rg}_s^l(A)$.

Soit $A^t = (a_{j,i})_{1 \le j \le n \atop 1 \le i \le m}$ $\in M_{n,m}$ la matrice dont les lignes (resp. colonnes) sont les

colonnes (resp. lignes) de $A$. L'inégalité précédante appliquée une fois à $A$, puis à $A^t$ et au corps opposé $K^\circ$ donne : $\mathrm{rg}_d^c(A) \le \mathrm{rg}_s^l(A) = \mathrm{rg}_s^c(A^t) \le \mathrm{rg}_d^l(A^t) = \mathrm{rg}_d^c(A)$, d'où la première égalité $\mathrm{rg}_d^c(A) = \mathrm{rg}_s^l(A)$. La seconde suit en appliquant la première dans le corps opposé $K^\circ$. ■

**COROLLAIRE.** — Soit $f : U \to V$ un morphisme entre deux espaces vectoriels de dimension finie et $f^* : V^* \to U^*$ son morphisme transposé alors :

$$ \mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(f^*) $$

*Remarque.* — Il n'y a pas égalité entre les quatre rangs d'une matrice : si $a, b \in K, ab \ne ba$ la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ a & ab \end{pmatrix}$ vérifie<fnref n="8" /> : $\mathrm{rg}_s^l(A) = 1 \ne 2 = \mathrm{rg}_d^l(A)$.

*Exemple.* — Soit $H = \{z_{a,b} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} | a, b \in \mathbb{C}\} \subset M_2(\mathbb{C})$, c'est un sous-anneau non commutatif<fnref n="9" /> qui, puisque la transconjugaison $\sigma : \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \bar{a} & -b \\ \bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix}$ est un automorphisme<fnref n="10" /> vérifiant pour tout $z = z_{a,b} \in H, z\sigma(z) = |a|^2 + |b|^2$, est un corps, le corps des quaternions, l'inverse d'un élément $z = z_{a,b} \ne 0$ non nul étant $z^{-1} = (|a|^2 + |b|^2)^{-1}\sigma(z)$.

## COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Corps et espaces vectoriels sont très efficacement présentés dans le chap. I¹¹de [Ar2].

Pour résoudre effectivement les systèmes linéaires et la «méthode de Gauss sur un corps», outre C et E du chap. I de [Ar2], voir A2 de [Ga] (en particulier l'énoncé d'unicité de 2.7.)

Voir au §3 du chap. 7 de [He2] une preuve du théorème de Fröbenius établissant que le corps $H$ de l'exemple est à isomorphisme près le seul corps non commutatif contenant les réels comme sous-corps, en étant¹²de dimension finie sur les réels.

Plus de détails sur matries et espaces vectoriels sont dans :

les §14 à §20 de [Go].

le §3 (pour la 1° (1947) édition, §7 après la troisième (1959) édition du Chap. II de [Bo]).
la dualité est au §4 (1°) (1947) édition, §2 après la troisième (1959) édition du Chap. II de [Bo].

Kap. 4 de [vW], chap. I de vol. II de [Ja] ou §5 de chap. III de [Ld].

<footnote n="7">⁷ d'après l'exemple de 3.2.</footnote>

<footnote n="8">⁸ puisque $a(1 \ b)=(a \ ab)$, mais $(1 \ b)a=(a \ ba) \ne (a \ ab)=a(1 \ b)$.</footnote>

<footnote n="9">⁹ $a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ vérifient $ab = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = -ba \ne ab$.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ c. a d. pour tout $x, y \in H, \sigma(x-y) = \sigma(x) - \sigma(y)$ et $\sigma(xy) = \sigma(y)\sigma(x)$.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ d'où (Theorem 4) le présent **3.4.2** a été piraté!</footnote>

<footnote n="12">¹² voir **3.5.1** et **3.5.2** ci-dessous pour cette algèbre linéaire «à plusieurs corps».</footnote>
## 3.5 Structure rationnelle sur un sous-corps.

### 3.5.1 Définitions exemples et propriétés.

Dans cette sous-section on considère $k \subset K$ un sous-corps du corps $K$. Ainsi tout $K$-espace vectoriel $U$ est un $k$-espace vectoriel, en particulier le corps $K$ est un $k$-espace vectoriel.

**Définitions.** Un $k$-sous-espace vectoriel $U_k \subset V$ d'un $K$-espace vectoriel $V$ est $(K, k)$-libre si toute famille $\underline{u} = (u_i)_{i \in I}, u_i \in U_k$ libre sur $k$ est, considérée comme famille $(u_i)_{i \in I}, u_i \in V$, libre sur $K$. Le sous-$K$-espace vectoriel :

$$U = U_K = \langle U_k \rangle_{K} \subset V$$

engendré (sur $K$) par $U_k$ est dit porté par le sous-$k$-espace-$(K, k)$-libre $U_k \subset U$.

Si $U_K = V$ on dit que l'espace $V$ est muni de la $k$-structure $V_k = U_k \subset V$.

Un sous-espace $U \subset V$ est dit $k$-rationnel (pour la $k$-structure $V_k \subset V$) si il est engendré sur $K$ par le sous-$k$-espace vectoriel $U_k = U \cap V_k \subset V_k$ de la $k$-structure. Ce sous-espace $U_k$ est dit espace des $k$-points du sous-espace $k$-rationnel $U$.

**Remarques et exemples.** — a) Un sous-$k$-espace $U_k \subset V$ est $(K, k)$-libre si et seulement si pour toute famille $(u_i)_{i \in I}, u_i \in U_k$, il est équivalent qu'elle soit, comme famille de $U_k$, liée sur $k$ et que, considérée comme famille $(u_i)_{i \in I}, u_i \in V$ de $V$, elle soit liée sur $K$.

b) Un sous-$k$-espace $W_k \subset U_k \subset V$ d'un sous-espace $(K, k)$-libre est $(K, k)$-libre, en particulier l'espace des $k$-points d'un sous-espace $k$-rationnel est $(K, k)$-libre.

c) Si $(b_i)_{i \in I}, b_i \in V$ est $K$-base de $V$, alors $V_k = \bigoplus_{i \in I} k b_i \subset \bigoplus_{i \in I} K b_i = V$ est $k$-structure de $V$. Réciproquement<fnref n="1" /> toute $k$-structure sur un $K$-espace vectoriel $V$ est obtenue de cette manière :

c1) Si $V_k \subset V$ est une $k$-structure sur un $K$-espace vectoriel $V$ alors pour tout $K$-espace vectoriel $W$ la restriction $\text{Hom}_K(V, W) \to \text{Hom}_k(V_k, W)$ est un isomorphisme du groupe des applications $K$-linéaires de $V$ dans $W$ dans celui des applications $k$-linéaires de $V_k$ dans $W$.

**Démonstration.** — Soit $(b_i)_{i \in I}$ une base de $V_k$. Ainsi $V_k$ et $V$ sont respectivement $k$-espace et $K$-espace libre sur cette même base. Donc, d'après leur propriété universelle (Proposition 3 de 1.4), les restrictions à cette base commune $\text{Hom}_K(V, W) \ni f \mapsto f|_{\{b_i | i \in I\}} \in W^I$ et $\text{Hom}_k(V_k, W) \ni g \mapsto g|_{\{b_i | i \in I\}} \in W^I$ sont des bijections. ■

c2) Si $U \subset V$ est un sous-espace $k$-rationnel pour la $k$-structure $V_k \subset V$ alors $V_k/U \cap V_k \subset V/U$ est une $k$-structure, dite $k$-structure quotient sur le quotient $V/U$.

**Démonstration.** — Soit $\pi : V \to V/U$ l'application quotient et $(b_l)_{l \in L=\text{III}, J}, b_l \in V_k$ une base de $V_k$ complétant une base $(b_i)_{i \in I}, b_i \in U_k$ de $U_k$ alors, les restrictions de $\pi$ aux supplémentaires $W_k = \bigoplus_{j \in J} k b_j \subset V_k = U_k \oplus W_k$ et $W = \bigoplus_{j \in J} K b_j \subset V = U \oplus W$ de $U_k$ et $U$ dans $V_k$ et $V$ induisent des isomorphismes sur les espaces quotients $V_k/U_k = V_k/U \cap V_k \subset V/U$ et $V/U$ respectivement.

Ainsi $V_k/U_k = V_k/U_k \cap V = \pi(\bigoplus_{l \in L} k b_l) = \pi(\bigoplus_{j \in J} k b_j) \subset \pi(\bigoplus_{j \in J} K b_j) = \pi(\bigoplus_{l \in L} K b_l) = V/U$ est la $k$-structure du quotient $V/U$ associé à sa base $(\pi(b_j))_{j \in J}, \pi(b_j) \in V/U$. ■

**PROPOSITION.** — Soit $\underline{b}=(b_j)_{j \in J}, b_j \in V$ une base d'un $K$-espace vectoriel $V$ et $\underline{\beta}=(\beta_i)_{i \in I}, \beta_i \in K$ une base du $k$-espace vectoriel (aussi à gauche) $K$.

<footnote n="1">¹ car une $k$-base d'une $k$-structure $(c_i)_{i \in I}, c_i \in V_k \subset V$ engendre $V = (V_k)_K$ et est libre sur $K$.</footnote>
Alors $\underline{\beta b} = (\beta_i b_j)_{(i,j) \in I \times J}, \beta_i b_j \in V$ est une base du $k$-espace vectoriel $V$, ainsi :
$$ \dim_k(V) = \dim_k(K) \cdot \dim_K(V) $$

On se donne $V_k \subset V, W_k \subset W$ deux $K$-espaces vectoriels munis de $k$-structure.

**Définition.** Un morphisme $f \in \operatorname{Hom}(V, W)$ est dit défini sur $k$ si $f(V_k) \subset W_k$. On note alors $f_k \in \operatorname{Hom}(V_k, W_k)$ le $k$-morphisme définissant $f$.

**THÉORÈME.** — Soit $f : V \to W$ un morphisme défini sur $k$. Alors

$$ (i) \quad f(V) \cap W_k = f(V_k). $$

$$ (ii) \quad \ker(f) = < \ker(f_k) >_K. $$

En particulier $f$ et $f_k$ ont même rang et même dimension de noyau :

$$ \mathrm{rg}_K(f) = \mathrm{rg}_k(f_k), \quad \dim_K(\ker(f)) = \dim_k(\ker(f_k)) $$

**Démonstration.** — Soit $(b_i)_{i \in I}, b_i \in V_k$ une base de $V_k$. Un vecteur $w \in W_k$ est dans $f(V)$, l'image de $f$ si et seulement si la famille $(w_j)_{j \in I \cap \{w\}}, w_i = b_i, w_w = w \in W$ est liée dans $W$.

Comme famille du sous-espace $(K, k)$-libre $W_k$, cela arrive si et seulement si cette famille est liée dans $W_k, c. a d. si et seulement si $w$ est dans l'image de $f_k$. d'où (i). $\square$

L'inclusion $<\ker(f_k)>_K \subset \ker(f)$ étant immédiate, il suffit$^2$de considérer le cas $\ker(f_k)=0$. Ainsi $f_k$ est injective et, si $(b_i)_{i \in I}, b_i \in V_k$ est une base de $V_k$ alors la famille $(f(b_i))_{i \in I}, f(b_i) \in W_k$ est libre dans $W_k$ donc dans $W$, puisque $W_k$ est $(K, k)$-libre dans $W$ et $f$ est injective. $\square \blacksquare$

**COROLLAIRE.** — Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues à coefficients et second membre dans un sous-corps $k \subset K$ d'un corps $K$ a une solution dans $k^n$ si et seulement si il a une solution dans $K^n$. En ce cas ces ensembles de solutions sont des classes de sous-$k$ (resp. $K$)-espaces de $k^n$ (resp. $K^n$) de même dimension.

## COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Pour plus de détails voir le §3 de a 1° (1947) édition du Chap. II de [Bo], qui se base sur la très concrète notion de *solution primordiale*$^3$d'un système linéaire homogène. Notion abandonnée dans les éditions postérieures à la troisième qui, faisant usage du produit tensoriel, ont un traitement des structures rationnelles (aux §5 et §8) moins élémentaire qu'aux précédentes.

<footnote>$^2$ quitte à changer $V, V_k$ en $V/<\ker(f_k)>_K, V_k/\ker(f_k)$ et $f_k$ en $\overline{f_k} : V_k/\ker(f_k) \to W_k$.</footnote>

<footnote>$^3$ c. a d. solution dont l'ensemble des indices des coordonnées non nulles est minimal et dont (au moins) une des coordonnée vaut 1. Les résultat sont :
L'espace des solutions est engendré par les solutions primordiales.
Les solutions primordiales d'un système à coefficients dans $k \subset K$, sont à coefficients dans $k$.</footnote>
### 3.5.2 Applications : I Quelques propriétés des corps gauches.

**Définition.** Le centre d'un corps $K$ est l'ensemble :

$$Z(K) = \{z \in K \mid \forall \lambda \in K, z\lambda = \lambda z\}$$

des éléments de $K$ commutant à tout élément de $K$.

Plus généralement, le commutant dans $K$ d'une partie $L \subset K$ est :

$$C_K(L) = \{z \in K \mid \forall \lambda \in L, z\lambda = \lambda z\}$$

On a $Z(K)=C_K(K)$, et ces $C_K(L)$ sont des sous-corps de $K$.

Soit $K$ un corps de centre $k = Z(K)$.

Considérons le groupe des endomorphismes $End_k(K_s)$ du $k$-espace vectoriel à gauche $K$. La multiplication à droite $End_k(K) \times K \ni (f, b) \mapsto fb : x \mapsto f(x)b$ en fait un $K$-espace vectoriel à droite. Il contient, $k$ étant dans le centre de $K$, le sous-$k$-espace vectoriel $\sigma_K$ (isomorphe à $K$) des multiplications à gauche (linéaires à droite) $\sigma_a : K \to K, x \mapsto ax$ par les éléments $a \in K$.

**LEMME 1.** — Ce sous-espace vectoriel $\sigma_K$ des multiplications à gauche par les éléments de $K$ est $(K, k)$-libre dans le $K$-espace vectoriel à droite $End_k(K_s)$ des $k$-endomorphismes linéaires (à gauche) de $K$.

**Démonstration.** — Soit $\underline{\sigma}=(\sigma_{a_i})_{i \in I}, \sigma_{a_i} \in \sigma_K, a_i \in K$ une famille liée de $\sigma_K$ et $\sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} b_{ij} = 0$ une relation linéaire non triviale de longueur $n$ minimale. Quitte à remplacer $b_{ij}$ par $b_{ij} b_{in}^{-1}$, on peut supposer $b_{in} = 1$. Alors pour tout $c \in K$ et $x \in K$ on a $0 = \sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} (xc)b_{ij} = \sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} (x)cb_{ij}$ d'où $0 = \sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} cb_{ij} - \sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} b_{ij} c = \sum_{j=1}^n \sigma_{a_{ij}} (x)(cb_{ij} - b_{ij}c) = \sum_{j=1}^{n-1} \sigma_{a_{ij}} (x)(cb_{ij} - b_{ij}c)$ et par minimalité de $n$ on a pour tout $c \in K$ et $j = 1, \dots, n, cb_{ij} - b_{ij}c = 0$ et donc $b_{ij} \in Z(K) = k$. ■

**COMPLÉMENT.** — Soit $(a_i)_{i \in I}, a_i \in K$ une $k$-base et $(b_i)_{i \in I}, b_i \in K$ une famille d'éléments presque tous nuls de $K$.

Alors, si $k \subset L \subset K$ est un sous corps de $K$ contenant $k$, l'endomorphisme

$$\sum_{i \in I} \sigma_{a_i} b_i \in \mathrm{End}_k(K_s)$$

est $L$-linéaire $[c. a. d. \sum_{i \in I} \sigma_{a_i} b_i \in \mathrm{End}_L(K_s) \subset \mathrm{End}_k(K_s)]$ si et seulement si :

pour tout $i \in I$ le coefficient $b_i \in C_K(L)$ est dans le commutant de $L$ dans $K$.

<footnote n="1">¹ Car $0 \in C(L)$ et si $z_1, z_2, z \in C(L)$ avec $z \neq 0$, pour tout $\lambda \in K$ on a $\lambda(z_1 - z_2) = \lambda z_1 - \lambda z_2 = z_1\lambda - z_2\lambda = (z_1 - z_2)\lambda$, $\lambda(z_2 z_1) = (\lambda z_2)z_1 = (z_2\lambda)z_1 = z_2(\lambda z_1) = z_2(z_1\lambda) = (z_2 z_1)\lambda$ et $z^{-1}\lambda = z^{-1}\lambda(zz^{-1}) = z^{-1}(\lambda z)z^{-1} = z^{-1}(z\lambda)z^{-1} = (z^{-1}z)\lambda z^{-1} = \lambda z^{-1}$, donc $z_1 - z_2, z_2 z_1, z^{-1} \in C(L)$.</footnote>
Démonstration. — $\sum_{i \in I} \sigma_{a_i} b_i \in \text{End}_L(K)$ si et seulement si pour tout $\lambda \in L$ et $x \in K$ on a
$$ \sum_{i \in I} \sigma_{a_i}(x)b_i\lambda = \left(\sum_{i \in I} \sigma_{a_i}(x)b_i\right)\lambda = \sum_{i \in I} \sigma_{a_i}(x\lambda)b_i = \sum_{i \in I} a_i(x\lambda)b_i = \sum_{i \in I} (a_i x)\lambda b_i = \sum_{i \in I} \sigma_{a_i}(x)\lambda b_i, $$
donc $\sum_{i \in I} \sigma_{a_i} b_i \lambda = \sum_{i \in I} \sigma_{a_i} \lambda b_i$ et, puisque d'après le Lemme la famille $(\sigma_{a_i})_{i \in I}$ est libre sur $K$,
pour tout $i \in I$ et pour tout $\lambda \in L$, on a $b_i \lambda = \lambda b_i$, c. a d. pour tout $i \in I$, $b_i \in C_K(L)$. ■

On suppose désormais le corps $K$ de dimension$^2$finie $d$ sur son centre $k$.
En ce cas le Lemme et son complément se précisent en la :

PROPOSITION 1. — Soit $(a_i)_{1 \le i \le d}, a_i \in K$ une base du $k$-e.v. $K$. Alors :

(i) la famille $(\sigma_{a_i})_{1 \le i \le d} \in \text{End}_k(K_s)$ est une $K$-base.

(ii) Si $k \subset L \subset K$ est un sous-corps de $K$ contenant le centre $k$, sa dimension et celle de son commutant $C_K(L)$ dans $K$ sont liées par la relation :

$$ \dim_k(C_K(L)) \cdot \dim_k(L) = \dim_k(K) $$

En particulier $d = n^2$, la dimension de $K$ sur $k$ est le carré de la dimension $n = \dim_k(L)$ de tout sous-corps commutatif maximal $L \subset K$.

Démonstration. — Le sous-espace $\langle \sigma_K \rangle_K \subset \text{End}_k(K)$ est, d'après la Proposition de **3.5.1** de dimension : $\dim_k(\langle \sigma_K \rangle_K) = \dim_k(K) \cdot \dim_K(\langle \sigma_K \rangle_K) = d^2 = \dim_k(\text{End}_k(K))$ et donc d'après le co-Corollaire de **3.2** on a l'égalité $\langle \sigma_K \rangle_K = \text{End}_k(K)$.
$\square$

Soit $c = \dim_L(K)$. On a $\dim_k(\text{End}_L(K)) = \dim_k(M_c, c(L))$. D'après la Proposition de **3.5.1** on a $d = \dim_k(K) = \dim_k(L) \cdot c$ et $\dim_k(\text{End}_L(K)) = \dim_k(L) \cdot \dim_L(M_c, c(L)) = \dim_k(L) \cdot c^2$.

D'autre part d'après le Complément du Lemme on a $\dim_k(\text{End}_L(K)) = \dim_k(\langle \sigma_K \rangle_{C_K(L)})$ qui, toujours d'après la Proposition de **3.5.1** est $\dim_k(C_K(L)) \cdot \dim_k(K)$.

D'où $[\dim_k(C_K(L)) \cdot (\dim_k(L)] \cdot c = \dim_k(C_K(L)) \cdot [\dim_k(L) \cdot c] = \dim_k(C_K(L)) \cdot d = \dim_k(\text{End}_L(K)) = \dim_k(L) \cdot c^2 = [\dim_k(L) \cdot c] \cdot c = \dim_k(K) \cdot c$ et, en simplifiant cette relation entre entiers positifs par $c$, la relation de (ii).
$\square$

Enfin, $k$ étant commutatif, le corps $K$ contient des sous-corps commutatifs contenant $k$, de dimension sur $k$ au plus $d$, chacun est inclus dans un sous-corps commutatif maximal $L$.

Pour tout $x \in C_K(L)$ le sous-corps $L(x) \subset H$ engendré par $L$ et $x$ contient $L$ et $x$ est commutatif. $L$ étant supposé maximal on a $L(x) = L$ et donc $x \in L$, c. a d. $C_K(L) = L$.

La relation de (ii) donne alors $\dim_k(K) = \dim_k(L)^2$. $\square$

COROLLAIRE 1. — Soit $\alpha : K \to K$ un $k$-automorphisme de corps.

Alors il y a $a \in K$ tel que pour tout $x \in K$ on a $\alpha(x) = a^{-1}xa$.

$$ \dim_{k \cap L}(K) = \dim_{k \cap L}(L) \cdot \dim_L(K) = \dim_{k \cap L}(k) \cdot \dim_k(K) $$

donnent que les dimensions sur $L$ ne dépendent pas non plus du choix de côté.

<footnote n="2">² Comme $k = \mathbb{Z}(K)$ les structures $K_s, K_d$ de $k$-espace vectoriel à gauche et à droite sur $K$ coïncident et cette dimension sur $k$ ne dépend de ce « choix de côté des scalaires ».
De même si $L \subset K$ est un sous-corps commutatif de $K$ les structures à gauche et à droite de $k \cap L$-espaces vectoriels sur $k$ et $L$ coïncident et les relations de la Proposition **3.5.1**</footnote>
Démonstration. — Comme $\alpha(1)=1\neq0$ et avec les notations ci-dessus, il y a $b_1, \dots, b_d \in K$, non tous nuls, t.q. pour tout $y \in K$, $\alpha(y)=\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(y)b_i$. Donc pour tout $x \in K$, $0=\alpha(yx)-\alpha(y)\alpha(x)=\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(yx)b_i-\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(y)b_i\alpha(x)=\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(y)xb_i-\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(y)b_i\alpha(x)=\sum_{i=1}^d \sigma_{a_i}(y)(xb_i-b_i\alpha(x))$ et, par le Lemme 1, pour $i=1, \dots, d$, $xb_i=b_i\alpha(x)$. Si $a=b_i\neq0$ on a alors : $\alpha(x)=a^{-1}xa$. ■

Remarque et définitions. — Si $a \in K$ la sous-$k$-algèbre $k[a] \subset K$ engendré par $a$ est un sous-corps commutatif de $K$. Le degré $d_a$ de $a$ sur $k$ est sa dimension sur $k$, le plus petit entier positif $p$ tel que $<1=a^0, a, \dots, a^p>=<a^0, \dots, a^{p-1}>$. Ainsi $\underline{a}=(a^j)_{0 \le j \le d_a-1}$ est base de $k[a]$ et il y a $a_0, \dots, a_{d_a-1} \in k$ tels que $a^{d_a} = \sum_{j=0}^{d_a-1} a_i a^j$.

La matrice<fnref n="3" /> dans la base $\underline{a}$ de la restriction $\sigma_{a|k[a]}$ est donc la matrice compagnon :

$$ \begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
a_0 & a_1 & \cdots & a_k & \cdots & \cdots & a_{d_a-1} & a_{d_a-2} & a_{d_a-3}
\end{pmatrix} $$

du polynôme minimal de $a$ : $P_a=\chi_{\sigma_{a|k[a]}}=X^{d_a}-\sum_{j=0}^{d_a-1} a_j X^j \in k[X]$.

Démonstration. — Puisque $k=Z(K) \subset C_K(a)$ la sous-algèbre $k[a]$ est commutative. Comme sous-espace de $K$, elle est un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Pour tout $0 \neq c \in k[a]$ la restriction $\sigma_{c|k[a]}$ est un endomorphisme injectif du $k$-espace vectoriel de dimension finie $k[a]$, donc surjectif et $c'$ tel que $\sigma_c(c')=1$ est inverse de $c$ dans $k[a]$. ■

COROLLAIRE 2. — Le degré $d_a$ d'un élément $a \in K$ divise $n = d_a e_a$. Le quotient $e_a=\deg_{k|a}(L)$ étant degré sur $k[a]$ d'un sous-corps commutatif maximal $L \not\ni a$.

LEMME 2. — Soit $L \subset K$ un sous-corps commutatif maximal. Alors pour tout $a \in K$ le polynôme caractéristique de $\sigma_a \in \text{End}_L(K)$ vérifie :

$$ \chi_{\sigma_a} = P_a^{e_a} $$

en particulier $\chi_{\sigma_a} \in k[X]$, il est à coefficients dans $k$.

Démonstration. — Soit $(\alpha_j)_{1 \le j \le e_a n}$ une base du $k[a]$-espace vectoriel à gauche $K$. Le $k$-espace vectoriel $\sigma_K \subset \langle \sigma_K \rangle_L = \text{End}_L(K)$ a donc la base $(a^i \alpha_j)$, $0 \le i < d_a$, $1 \le j \le e_a n$, base dans laquelle la matrice du $L$-endomorphisme à droite

$$ \text{End}_{L\sigma_a} : \langle \sigma_K \rangle_L \to \langle \sigma_K \rangle_L, [x \mapsto \sum a^i \alpha_j x b_{i,j}] \mapsto [x \mapsto a \sum a^i \alpha_j x b_{i,j}] $$

<footnote n="3">³ opérant par multiplication à droite sur les lignes de coordonées puisque l'on considère ici le sous-corps $k[a]$ comme $k$-espace vectoriel à gauche.</footnote>
est une somme directe de $e_a n$ transposées de la matrice de $\sigma_a : k[a]_s \to k[a]_s$. Son polynôme caractéristique est donc $\chi_{\text{End}_L \sigma_a} = P_a^{e_a n}$. D'autre-part, un choix d'une $L$-base de $K = \bigoplus_{l=1}^n c_l L$ permet d'écrire $\text{End}_L(K_s) = K_d^n$, $f \mapsto (f(b_l))_{1\le l\le n}$ comme somme directe de $n$ exemplaires du $L$-espace à droite $K$. Ainsi on a aussi $\chi_{\text{End}_L \sigma_a} = \chi_{\sigma_a}^n$. Les deux polynômes $\chi_{\sigma_a}$, $P_a^{e_a}$ étant unitaires, à coefficient dans le corps $L \supset k$ et ayant même puissance $n^{\text{ième}}$ sont$^4$égaux. ■

**PROPOSITION 2.** — Soit $L \subset K$ un sous-corps commutatif maximal l'application
$$N : K \to L, N(a) = \det_L(\sigma_a)$$

est polynomiale$^5$ homogène sur $k$ de degré $n = \dim_K(L)$ sur le $k$-espace vectoriel $K$.

*Démonstration.* — Décomposons $N(a) = N_1(a) + \sum_{i=2}^n N_i(a)\beta_i$ dans une $k$-base de $L$ qui complète $\beta_1 = 1$. Comme $N$ est polynomiale sur $L$ homogène de degré $n$, les $N_i$ sont polynômiales sur $k$ homogènes de degré $n$. Le Lemme 2, $N(a) = (-1)^n \chi_{\sigma_a}(0) \in k$ donne $N_1 = N$. ■

Comme $N(a) = 0$ ne s'annule que pour $a = 0$, le théorème de Chevalley-Warning$^6$donne, puisque $n \ge n^2$ si et seulement si $\dim_K(K) = n = 1$, le :

**THÉORÈME DE MACLAGAN WEDDERBURN.** — *Tout corps fini est commutatif.*

## COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Pour les propriétés (inutiles ici) des corps commutatifs finis et la preuve [Wa] de Warning du théorème de Chevalley voir **1.7** de [Sa2], chap. I §1 et §2 de [Se] ou §1 du chap. 7 de [He2].

Les propriétés des corps gauches sont usuellement présentées comme partie de la théorie des modules et anneaux semi-simple (Chap. VIII de [Bo]) ou Kap 12, 13 de [vW], pour un exposé concis voir le chap. IX de [W1] et/ou (avec plus de détails et exemples) [B1] et [He3].

Que le théorème de Wedderburn suive de celui de Chevalley remonte à Artin, voir [Ch].

Pour le théorème de Wedderburn voir aussi la populaire preuve en une page$^7$de [Wt], les démonstrations originelles [MW], celle$^8$de [Ar1] et l'exposé « pour sophomore$^9$ » de [He1] qui est repris, avec une comparaison des autres preuves en fin du manuel [He2].

<footnote>$^4$ Car leur quotient, racine $n^{\text{ième}}$ de l'unité du corps $L(X)$ des fractions rationnelles à coefficients dans $L$, est dans $L$, donc 1 car les deux polynômes sont unitaires. ■</footnote>

<footnote>Ceci ne se généralise pas à un anneau commutatif non intègre : dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[X]$ on a $X^2 = (X+2)^2$.</footnote>

<footnote>$^5$ c. a d. si $(a_i)_{i=1,...,d=n^2}, a_i \in K$ est une $k$-base de $K$, il y un polynôme $P \in k[X_1,...,X_d]$ homogène de degré $n$ tel que pour tout $\underline{x}=(x_1,...,x_d) \in k^d$ on a $N(\sum_{i=1}^d x_i a_i)=P(x_1,...,x_d))$</footnote>

<footnote>$^6$ un polynôme homogène $P \in k[X_1,...,X_N]$ sur un corps fini sans zéros non trivial a son degré $d \ge N$ au moins égal à son nombre de variables. Warning précise : le nombre de zéros d'un polynôme $Q \in k[X_1,...,X_N]$ de degré $d < N$ est nul modulo la caractéristique $p$ de $k$.</footnote>

<footnote>$^7$ qui ouvre aussi [W1] avant un très bref exposé des propriétés des corps finis.</footnote>

<footnote>$^8$ qui contient une belle arithmétique des « polynômes à coefficients dans un corps gauche ».</footnote>

<footnote>$^9$ c. a d. l'équivalent à l'université de Cornell en 1961 du L2 du LMD Valentinois de 2010.</footnote>
**3.5.3 Applications : II Tours de sous-corps d'un corps non dénombrable.**

**LEMME.** — Si $M \subset G$ est une partie infinie d'un groupe $G$.

Alors le sous-groupe $G_M \subset G$ engendré par $M$ dans $G$ est de même cardinal :

$$ \mathrm{Card}(G_M) = \mathrm{Card}(G) $$

**Démonstration.** — Quitte à changer $M$ en $\{e_G, m, m^{-1} | m \in M\}$ (de même cardinal que $M$) on peut supposer $G_M$ image par la composition de l'ensemble $M^{(\mathbb{N})}$ des suites de longueur finie dans $M$ dont le cardinal est celui de $M$, d'où $\mathrm{Card}M \le \mathrm{Card}G_M \le \mathrm{Card}M^{(\mathbb{N})} = \mathrm{Card}M$. ■

**COROLLAIRE.** — Soit $M \subset K$ une partie infinie d'un corps $K$.

Alors le sous-corps $K_M \subset K$ engendré par $M$ est de même cardinal :

$$ \mathrm{Card}(K_M) = \mathrm{Card}(M) $$

**Démonstration.** — Soit $A_n \subset K, n \in \mathbb{N}$ les parties définies par $A_0 = M$ et les relations de récurrence $A_{2n+1} = K^\times_{A_{2n}\setminus\{0\}} \subset K^\times$, sous-groupe du groupe multiplicatif de $K$ engendré par $A_{2n}\setminus\{0\}$ et $A_{2n+2} = K^+_{A_{2n+1}} \subset K^+$, sous-groupe du groupe additif de $K$ engendré par $A_{2n+1}$. D'après le Lemme elles ont même cardinal que $M$, il en est de même de leur union $K_M = \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. ■

Si $B \subset K$ est une $k$-base d'un surcorps $K \supset k$ d'un corps $k$ on a $B \subset K = K_{k\mathbb{B}}$ d'où le :

**CO-COROLLAIRE.** — Le cardinal d'un surcorps $K \supset k$ d'un corps $k$ est :

$$ \mathrm{Card}(K) = \mathrm{Max}(\mathrm{Card}(k), \mathrm{dim}_k(K)) $$

**PROPOSITION.** — Soit $K$ un corps de cardinal supérieur au dénombrable :

$$ \mathrm{Card}(K) > \mathrm{Card}(\mathbb{N}) $$

et $I$ le plus petit ordinal de cardinal $\mathrm{Card}(I) = \mathrm{Card}(K)$ celui de $K$.

Alors il y a $(k_i)_{i \in [0, I]}$, $k_i \subset K$, $\mathrm{card}(k_i) = \mathrm{Max}(\mathrm{Card}(i), \mathrm{Card}(\mathbb{N}))$, une famille de sous-corps infinis de $K$ qui, si $k_0 = K_{\{1\}}$ le sous-corps premier<fnref n="1" /> de $K$, est « infiniment croisssante », c. a d. pour tout $j < i \in [0, I]$ on a :

$$ k_j \subset k_i \text{ et } \mathrm{dim}_{k_i}(k_{i+1}) \ge \mathrm{Card}(\mathbb{N}) $$

**Démonstration.** — Soit

$$ \mathcal{K}_{\ll K}^{\infty} = \{k \subset K \mid \mathrm{Card}(\mathbb{N}) \le \mathrm{Card}(k) < \mathrm{Card}(K)\} $$

l'ensemble des sous-corps infinis de $K$ de cardinal inférieur à celui de $K$.

Pour tout $k \in \mathcal{K}_{\ll K}^{\infty}$ le co-Corollaire donne $\mathrm{dim}_k(K) = \mathrm{Card}(K)$.

Ainsi, l'axiome du choix donne une partie libre dénombrable $J_k \subset K$ et donc, toujours d'après le co-Corollaire, le sous-corps de $K$ engendré par cette partie, $k(J_k)$ vérifie : $k \subset k(J_k)$, $\mathrm{Card}(k(J_k)) = \mathrm{Card}(k)$, donc $k(J_k) \in \mathcal{K}_{\ll K}^{\infty}$ et $\mathrm{dim}_k(k(J_k)) \ge \mathrm{Card}(\mathbb{N})$.

<footnote n="1">¹ c. a d. engendré dans $K$ par la partie $\{1\} \subset K$.</footnote>
De même, le corps premier $k_0$ étant fini ou dénombrable, la dimension sur $k_0$ du corps $K$ est $\dim_{k_0}(K) = \text{Card}(K)$, le cardinal de $K$. Il y a donc une partie $k_0$-libre dénombrable $J_0 \subset K$.

La suite $k_i \in K_{<K}^\infty$, $i \in [0, I]$ se définit par $k_1 = K_{J_0}$ le sous-corps de $K$ engendré par $J_0 \subset K$ et les relations de récurrence (transfinie) $k_{i+1} = k_i(J_{k_i})$, corps engendré dans $K$ sur $k_i$ par $J_{k_i}$, et si $j \in [0, I]$ n'a pas de précédent $k_i = \cup_{j<i} k_i = k_0(\cup_{j<i} J_j)$. Ainsi $k_i$ est le corps engendré dans $K$ par $I_i = \cup_{j<i} J_j$, partie de cardinal $\text{card}(I) = \text{Max}(\text{Card}(i), \text{Card}(\mathbb{N}))$, et libre sur le corps premier. Ce sous-corps est, d'après le co-Corollaire, de cardinal $\text{card}(k_i) = \text{Max}(\text{Card}(i), \text{Card}(\mathbb{N}))$. ■

**Remarque.** — Le corps $C(X)$ des fractions rationnelles à coefficients complexes est engendré sur $C$ par$^2$la famille dénombrable libre $(X^n)_{n \in \mathbb{N}}$. Par décomposition en éléments simples, cette famille se complète par $(\frac{1}{(X-a)^{m+1}})_{(a,m) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}}$ en une base. Ainsi :

$$ \dim_C(C(X)) = \text{Card}(\mathbb{N} \cup (C \times \mathbb{N})) = \text{Card}(C) > \text{Card}(\mathbb{N}) $$

et dans la proposition l'inégalité $\dim_{k_i}(k_{i+1}) \ge \text{Card}(\mathbb{N})$ peut être stricte.

### 3.5.4 Applications : III Dimension du dual d'un espace de dimension infinie.

Le dual d'un $K$-espace vectoriel de dimension finie $V$ est, d'après la Proposition 1 de **1.5** :

$$ \dim_K(V^*) = \dim_k(V) $$

Le propos de ce sous-sous$^3$-paragraphe est d'établir le :

**THÉORÉME D'ERDÖS-KAPLANSKI.** — Le dual $V^* = \text{Hom}_K(V, K)$ d'un $K$-espace vectoriel de dimension infinie $V$ est de dimension :

$$ \dim_K(V^*) = \text{Card}(K)^{\dim_K(V)} $$

En particulier pour $V$ de dimension infinie, le dual $V^*$ n'est pas isomorphe à $V$.

**PROPOSITION.** — Soit $V_k \subset V$ une $k$-structure sur un $K$-espace vectoriel à gauche. Alors $\text{Hom}_k(V_k, k) \subset \text{Hom}_k(V_k, K) = \text{Hom}_K(V, K)$ est $(K, k)$-libre. Si $V_k$ est de dimension finie, c'est une $k$-structure sur le dual $V^* = \text{Hom}_K(V, W)$.

**Démonstration.** — Soit une famille $\underline{f} = (f_i)_{i \in I}$, $f_i \in \text{Hom}_k(V_k, k)$ libre sur $k$. Une relation linéaire $\sum_{i \in I} f_i b_i = 0, b_i \in K$ sur $K$ donne, si pour chaque $i \in I$, $b_i = \sum_{j \in J} b_{i, j} \beta_j$ est l'écriture du coefficient $b_i \in K$ dans la base $(\beta_i)_{i \in I}$, $\beta_i \in K_s$, les relations linéaires $\sum_{i \in I} f_i b_{i, j} = 0, j \in J, b_{i, j} \in k$ qui, puisque la famille $\underline{f}$ est $k$-libre, donnent pour tout $j \in J$ et $i \in I$, $b_{i, j} = 0$, et donc pour tout $i \in I, b_i = \sum_{j \in J} b_{i, j} \beta_j = 0$ et la famille $\underline{f}$ est $K$-libre. □

Ainsi $\dim_K(< \text{Hom}_k(V_k, k) >_K) = \dim_k(\text{Hom}_k(V_k, k))$ et, dans le cas où $V_k$ est de dimension finie, le sous-$K$-espace engendré par $\text{Hom}_k(V_k, k)$ de dimension $\dim_k(V_k)\dim_k(k) = \dim_K(V)\dim_K(K) = \dim_K(\text{Hom}_K(V, K))$, d'où $<\text{Hom}_k(V_k, k)>_K = \text{Hom}_K(V, K)$. ■

**COMPLÉMENT.** — Si $V_k$ et $K$ sont de dimension infinie, on a l'inclusion stricte :

$$ < \text{Hom}_k(V_k, k) >_K \subset \{ f \in \text{Hom}_K(V, K) \mid \dim_k(f(V_k)) < \infty \} \subset \text{Hom}_K(V, K) $$

<footnote n="2">2 il est même engendré par le seul élément $X$.</footnote>

<footnote n="3">3 pour ne pas dire « fin-saoul »!</footnote>
Démonstration. — L'image $f(V) \subset \sum_{i=1}^{n} kb_i$ de $f = \sum_{i=1}^{n} f_ib_i \in \langle \operatorname{Hom}_k(V_k, k) \rangle_K \subset \operatorname{Hom}_K(V, K)$ est de dimension finie sur $k$, alors que si $(x_i)_{i \in I}$, $x_i \in K$ est une famille d'ensemble d'indice celui d'une base $(e_i)_{i \in I}$, $e_i \in V_k$, la forme linéaire $f \in \operatorname{Hom}_K(V, K)$ déterminée par $f(e_i) = x_i$ est d'image $\langle x_i, i \in I \rangle_k \subset K$, dont la dimension peut être $\min(\dim_K(V), \dim_K(K))$. ■

Le théorème découle des trois Affirmations :

AFFIRMATION 1. — $\mathrm{Card}(V^*) = \mathrm{Card}(k)^{\dim_k(V)}$

Démonstration. — Cela suit de l'exemple et la Proposition 1 de **1.5**.

AFFIRMATION 2. — Si l'espace vectoriel $V$ est de dimension infinie on a :

$$ \dim_K(V^*) \geq \mathrm{Card}(K) $$

Démonstration. — Le dual de $V^*$ est de dimension infinie car, d'après (i) de la Proposition 3 de **1.5** il contient le sous-espace de dimension infinie $\ell_V(V)$, ainsi $V^*$ est de dimension infinie. Ayant le résultat pour $k$ au plus dénombrable, on suppose $\mathrm{Card}(k) > \mathrm{Card}(\mathbb{N})$.

On choisit une $K$-base $(e_i)_{i < I}$, $e_i \in V$ de $V$. Pour tout $k \subset K$, on note $V_k = \bigoplus_{i < I} ke_i \subset V$, c'est une famille coissante (si $k \subset k' \subset K$, $V_k \subset V_{k'}$) de $k$-structures pour $k \in \mathcal{K} \subset (K)$ sur $V$.

D'où une famille croissante $(V_{k_i})_{0 < i < I}$ de structures rationnelles pour les sous-corps $k_i \subset K$, $0 < i < I$ donné par la Proposition de **3.5.3**,

D'après le Complément de la Proposition pour $0 \le i < I$ on a l'inclusion stricte :

$$ \langle \operatorname{Hom}_{k_i}(V_{k_i}, k_i)_{k_i+1} \subset \operatorname{Hom}_{k_i}(V_{k_i}, k_i+1) \rangle $$

Il y a donc, d'après l'axiome du choix, une application $g : [0, I] \to V^*$ telle si $0 \le i < I$ on a :

$$ g(i) \in \operatorname{Hom}_{k_i}(V_{k_i}, k_{i+1}) \setminus \langle \operatorname{Hom}_{k_i}(V_{k_i}, k_i) \rangle_{k_{i+1}} \subset \operatorname{Hom}_K(V, K) $$

La famille $(g(i))_{0 < i < I}$ est libre et de cardinal $\mathrm{Card}(I) = \mathrm{Card}(K)$. ■

AFFIRMATION 3. — Si $W$ est un $k$-espace vectoriel on a :

$$ \mathrm{Card}(W) = \max(\dim_k(X), \mathrm{Card}(k)) $$

Si $(w_j)_{j \in J}$, $w_j \in W$ est une base du dual on a $\mathrm{Card}(J) = \dim_k(W)$ infini et :

$$ W = \bigoplus_{j \in J} w_j k = \bigcup_{n=0}^{\infty} \bigcup_{J' \subset J, \mathrm{Card}(J') = n} w_j k $$

d'où le résultat, puisque $\mathrm{Card}(\{J' \subset J | \mathrm{Card}(J')\} = n) = \mathrm{Card}(J)$ et $\mathrm{Card}(\bigoplus_{i=1}^n w_j k') = \mathrm{Card}(k^n)$ qui est soit un cardinal fini, soit celui de $k$. ■

COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Pour une preuve intermédiaire entre l'originale (§3 du chap. IX du vol. II de [Ja]) et la présente, faire les exercices 2 et 3 du §7 du chap. II des éditions après la troisième (1959) de [Bo].
[Ar1] E. ARTIN. — *Über einen Satz von Herrn J.H. Maclagan Wederburn*, Hamb. Abb. **5** (1928) pp. 245-250, Collected Papers 1965 pp. 301-306.

[Ar2] E. ARTIN. — *Galois Theory*, Notre Dame Math. Lect. **2**, Notre Dame, 1942.

[Bl] A. BLANCHARD. — *Les corps non commutatifs*, P.U.F, 1972.

[Bo] N. BOURBAKI. — *Algèbre*, Hermann, 1947, 1959, CCLS 1970.

[Ch] C. CHEVALLEY. — *Démonstration d'une hypothèse de M. Artin*, Hamb. **11** 1936 pp. 73-75.

[Co] P. COLMEZ. — *Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)*, Ed. Ec. Polytechnique, 2009.

[Ga] P. GABRIEL. — *Matrices, géométrie, algèbre linéaire*, Cassini, 2001.

[Go] R. GODEMENT. — *Cours d'algèbre*, Hermann, 1966.

[Gu] L. GUILLOU. — *Séries de Fourier et ensemble d'unicités*<fnref n="1" />, 2010.

[Ha] P. R. HALMOS. — *Naive Set Theory*, Litton Ed. Pub., 1960.

[He1] I.N. HERSTEIN. — *Wederburn's Theorem and a Theorem of Jacobson*, Am. Math. Month. **68** 3 (1961) pp. 249-251.

[He2] I.N. HERSTEIN. — *Topics in Algebra*, Blaisdell 1964.

[He3] I.N. HERSTEIN. — *Non commutative rings*, Carus Math. Mon. 1968.

[Ja] N. JACOBSON. — *Lectures in Abstract Algebra*, van Nostrand 1951, 53, 64.

[Kr] J.-P. KRIVINE. — *Théorie axiomatique des ensembles*, P.U.F., 1969.

[Ld] E. LANDAU. — *Grundlagen der Analysis*, Leipzig, 1930, Trad. Chelsea 1951.

[Lg] S. LANG. — *Algebra*, Addison-Wesley, 1965.

[MW] J.H. MACLAGAN WEDERBURN. — *A theorem on finite algebras*, T.A.M.S. **6** (1905) pp. 349-352.

[Sa1] P. SAMUEL. — *Anneaux factoriels*, Publ. Soc. mat. São Paulo, 1964.

[Sa2] P. SAMUEL. — *Théorie algébrique des nombres*, Hermann, 1967.

[Se] J.-P. SERRE. — *Cours d'arithmétique*, P.U.F, 1970.

[vW] B. L. VAN DER WAERDEN. — *Algebra*, Springer, 1936.

[Wa] E. WARNING. — *Bemerkung zur vorstehenden Arbeit Herrn Chevalley*, Hamb. Abh. Math. **11** 1936 pp. 76-83.

[Wb] H. WEBER. — *Lehrbuch der Algebra I*. Braunschweig, F. Vieweg, 1894.

[Wl] A. WEIL. — *Basic Number Theory*, Springer, 1967.

[Wt] E. WITT. — *Über die Kommutativität endlischer Schiefkörper*, Hamb. Abb. **8** (1931) pp. 413, Ges.Abh., Springer 1998 pp. 395.

<footnote n="1">¹ voir : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/-marin/Manuscripts/bili-ens/Reignier.pdf</footnote>
# 1 MODULES

Introduction et définitions. 2

1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes. 3

1.2 Sous-modules et modules quotients. 4

1.3 Noyau, image, factorisation canonique et suites exactes. 5

1.4 Produit, somme directe et module libre sur un ensemble. 6

1.5 Dualité, transposition et application canonique vers le bidual. 9

# 2 CALCUL MATRICIEL ET DÉTERMINANTS.

2.1 Calcul matriciel. 10

2.2 Quelques identités polynomiales. 12

2.2.1 Métode de Gauss pour le «système n×n général». 12

2.2.2 Les identités remarquables de Crammer et du déterminant. 14

2.2.3 L'identité remarquable de Cayley-Hamilton. 17

2.2.4 Appendice :

Théorème fondamental de l'arithmétique dans $Z[X_1, ..., X_n]$. 18

2.3 Déterminant sur un anneau commutatif et applications. 21

# 3 ESPACES VECTORIELS ET DIMENSION.

Introduction et définition. 23

3.1 Combinaisons linéaires. 23

3.2 Dimension d'un espace vectoriel. 25

3.3 Le théorème du rang. 26

3.4 Applications aux systèmes linéaires. 28

3.4.1 Systèmes linéaires : I le langage. 27

3.4.1 Systèmes linéaires : II rang du système transposé. 28

3.5 Structure rationnelle sur un sous-corps. 30

3.5.1 Définitions exemples et propriétés. 30

3.5.2 Applications : I Quelques propriétés des corps gauches. 32

3.5.3 II Tours de sous-corps d'un corps non dénombrable. 36

3.5.4 III Dimension du dual d'un espace de dimension infinie. 37

Compléments (non exhaustifs!) de bibliographie. 39

Table des matières. 40

Contact et affiliation. 40

Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat

courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Univ. Grenoble Alpes, CNRS, IF, 38100, Grenoble, France