# Filtrage de Kalman pour la reconstruction espace-fréquence de sources mécaniques

Mathieu Aucejo

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Mathieu Aucejo. Filtrage de Kalman pour la reconstruction espace-fréquence de sources mécaniques. CFA 2025 - 17e Congrès Français d'Acoustique, Apr 2025, Paris, France. hal-05053743

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17e Congrès Français d'Acoustique

27-30 avril 2025, Paris

# Filtrage de Kalman pour la reconstruction espace-fréquence de sources mécaniques

M. Aucejo<sup>a</sup>

<sup>a</sup> Conservatoire national des arts et métiers, Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés, F-75003 Paris, France

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Cette contribution présente une stratégie de filtrage de Kalman pour la reconstruction espace-fréquence de sources mécaniques. L'approche proposée est basée sur la définition d'une représentation par espace d'état adaptée, dans laquelle l'équation d'état suppose que le vecteur de force suit une marche aléatoire, tandis que l'équation d'observation est la relation linéaire classique reliant la force et la réponse mesurée via la matrice des fonctions de transfert de la structure considérée. L'une des principales difficultés de l'approche proposée réside dans le réglage des matrices de covariance associées aux bruits de process et de mesure. Dans ce travail, des approches bayésiennes sont mises en œuvre pour estimer ces quantités. Une expérience numérique est mise en place sur une poutre simplement appuyée, excitée par une force mécanique ponctuelle large bande pour éprouver la pertinence de la stratégie développée. Des comparaisons avec des approches par régularisation sont également proposées afin d'évaluer et mettre en perspective les performances de reconstruction de l'approche proposée par rapport à des démarches plus classiques.

# 1 Introduction

La détermination des actions mécaniques s'exerçant sur une structures est une problématique d'intérêt dans un certain nombre d'applications, telles que le contrôle santé des structures, la création de jumeaux numériques ou le contrôle du bruit et des vibrations. L'idée de base est d'estimer les forces agissant sur une structure à partir de la réponse mesurée sur cette dernière. La principale difficulté de cette classe de problèmes inverses réside dans le fait qu'ils sont généralement mal posés au sens de Hadamard, c'est-à-dire que la solution n'est pas unique et que de petites perturbations dans la réponse mesurée peuvent entraîner de grandes variations dans les solutions estimées.

Si nous nous concentrons sur les problèmes de reconstruction de forces dans le domaine fréquentiel, plusieurs stratégies de résolutions ont été proposées. Parmi les méthodes disponibles dans la littérature, on peut citer la décomposition en valeurs singulières tronquée [1], ou des méthodes dérivées du principe des travaux virtuels, comme la méthode des champs virtuels [2] et la méthode RIFF (Résolution Inverse Filtrée Fenêtrée) [3]. Cependant, malgré l'émergence récente des techniques d'apprentissage automatique [4], l'approche la plus utilisée dans le domaine fréquentiel reste la méthode de régularisation, qui consiste à introduire un terme de pénalité (dit aussi de régularisation) dans la formulation du problème, afin de contraindre l'espace des solutions admissibles. Les stratégies de régularisation les plus courantes sont la régularisation de Tikhonov [5], la régularisation en norme $ℓ_q$ [6] ou la régularisation en norme mixte [7].

Dans cette contribution, nous proposons une stratégie de reconstruction espace-fréquence des forces basée sur l'utilisation d'un filtre de Kalman. Cette approche repose sur la définition d'un modèle d'état approprié dans le domaine fréquentiel. L'équation d'état suppose que le vecteur d'entrée (i.e. le vecteur d'effort) a une évolution de type marche aléatoire, tandis que l'équation d'observation correspond à la relation linéaire classique entre la force et la réponse mesurée via la matrice de fonction de transfert de la structure considérée. L'un des principaux défis de cette approche réside dans le réglage de la matrice de covariance associée au bruit de processus. Dans ce travail, celle-ci est estimée et adaptée à chaque fréquence lors de la procédure

de filtrage. Une expérience numérique est réalisée sur une poutre simplement appuyée, excitée par une force mécanique ponctuelle large bande, afin d'évaluer les performances de reconstruction de l'approche proposée. D'autre part, des comparaisons avec d'autres stratégies sont proposées afin d'offrir une vue d'ensemble équilibrée des performances du filtre développé dans cette contribution.

# 2 Construction du filtre de Kalman

Cette section décrit les fondements théoriques du filtre de Kalman en domaine fréquentiel proposé. Ceux-ci reposent sur trois piliers principaux : la définition d'un modèle d'espace d'état adapté, la dérivation d'un algorithme de filtrage basé sur le paradigme bayésien, ainsi que quelques considérations pratiques liées à sa mise en œuvre.

## 2.1 Représentation d'état du système

La représentation d'état du système considéré dans le domaine fréquentiel se compose d'une équation d'état, qui décrit l'évolution de l'état du système entre deux pas de fréquence, et d'une équation d'observation reliant les données mesurées à l'état du système. Ici, l'état du système est le vecteur d'effort à reconstruire à une fréquence donnée $\omega_k$, noté $\mathbf{u}_k$, tandis que la sortie est la réponse mesurée $\mathbf{y}_k$. D'après ces définitions, la représentation d'état du système s'écrit :

$$ \begin{cases} \mathbf{u}_{k+1} = \mathbf{u}_k + \mathbf{w}_k \\ \mathbf{y}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{u}_k + \mathbf{v}_k \end{cases}, \quad (1) $$

où $\mathbf{H}_k$ est la matrice de fonction de transfert de la structure à la fréquence $\omega_k$, tandis que $\mathbf{w}_k$ et $\mathbf{v}_k$ sont respectivement les vecteurs de bruit de processus et de bruit de mesure. On suppose par ailleurs que les vecteurs de bruit $\mathbf{w}_k$ et $\mathbf{v}_k$ sont deux vecteurs gaussiens complexes indépendants de moyenne nulle et de matrices de covariance notées respectivement $\mathbf{Q}_k$ et $\mathbf{R}_k$.

## 2.2 Algorithme de filtrage

Le filtre de Kalman est un algorithme récursif qui estime l'état d'un système dynamique linéaire à partir d'une série de mesures bruitées [8]. Il se compose de deux étapes principales, qui consistent à mettre à jour l'estimation de l'état en combinant l'estimation a priori avec l'information apportée par une nouvelle mesure. D'un point de vue bayésien, un filtre de Kalman peut être divisé en quatre
parties [9] :

**0. Définition du modèle** – Il s'agit ici d'exprimer la représentation d'état donnée par l'Eq. (1) en termes bayésiens, à savoir :

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{u}_{k+1} &\sim p(\mathbf{u}_{k+1} | \mathbf{u}_k) = \mathcal{N}_c(\mathbf{u}_{k+1} | \mathbf{u}_k, \mathbf{Q}_k) \\
\mathbf{y}_k &\sim p(\mathbf{y}_k | \mathbf{u}_k) = \mathcal{N}_c(\mathbf{y}_k | \mathbf{H}_k \mathbf{u}_k, \mathbf{R}_k),
\end{aligned}
\quad (2) $$

où $\mathcal{N}_c(\mathbf{x}|\mathbf{m}, \mathbf{P})$ est la distribution gaussienne multivariée complexe associée au vecteur aléatoire $\mathbf{x}$, de moyenne $\mathbf{m}$ et de matrice de covariance $\mathbf{P}$.

**1. Initialisation** – Cette étape nécessite la connaissance a priori de l'état initial $\mathbf{u}_0$, ainsi que la prédiction de l'état $\tilde{\mathbf{u}}_1$ à la fréquence suivante. Ces exigences se résument comme suit :

$$ \mathbf{u}_0 \sim p(\mathbf{u}_0) = \mathcal{N}_c(\mathbf{u}_0 | \tilde{\mathbf{u}}_0, \mathbf{P}_0), \quad (3) $$

où $\tilde{\mathbf{u}}_0$ et $\mathbf{P}_0$ représentent respectivement la moyenne et la matrice de covariance de l'estimation a priori.

$$ \mathbf{u}_1 \sim p(\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_0) = \int_{\mathbf{u}_0} p(\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_0) p(\mathbf{u}_0) d\mathbf{u}_0 = \mathcal{N}_c(\mathbf{u}_1 | \tilde{\mathbf{u}}_1, \tilde{\mathbf{P}}_1), \quad (4) $$

où $\tilde{\mathbf{u}}_1$ et $\tilde{\mathbf{P}}_1$ désignent respectivement la moyenne et la matrice de covariance de la prédiction. Ces quantités s'expriment comme suit :

$$ \tilde{\mathbf{u}}_1 = \tilde{\mathbf{u}}_0 \quad \text{et} \quad \tilde{\mathbf{P}}_1 = \mathbf{P}_0 + \mathbf{Q}_0. \quad (5) $$

**2. Mise à jour de l'état** – Cette étape consiste à appliquer la règle de Bayes pour mettre à jour notre prédiction du vecteur d'entrée, en tenant compte des informations fournies par la mesure à la fréquence $k$, c'est-à-dire :

$$ \mathbf{u}_k \sim p(\mathbf{u}_k | \mathbf{y}_{1:k}) \propto p(\mathbf{y}_k | \mathbf{u}_k) p(\mathbf{u}_k | \mathbf{y}_{1:k-1}) = \mathcal{N}_c(\mathbf{u}_k | \tilde{\mathbf{u}}_k, \mathbf{P}_k), \quad (6) $$

où $\mathbf{y}_{1:k} = \{\mathbf{y}_1, \dots, \mathbf{y}_k\}$ représente l'ensemble des mesures jusqu'à la fréquence $k$, et où $\tilde{\mathbf{u}}_k$ et $\mathbf{P}_k$ sont respectivement la moyenne et la matrice de covariance de l'estimation mise à jour. Ces quantités s'expriment comme suit :

$$ \tilde{\mathbf{u}}_k = \tilde{\mathbf{u}}_k + \mathbf{K}_k (\mathbf{y}_k - \mathbf{H}_k \tilde{\mathbf{u}}_k) \quad \text{et} \quad \mathbf{P}_k = (\mathbf{I}_{n_u} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \tilde{\mathbf{P}}_k, \quad (7) $$

avec $\mathbf{K}_k = \tilde{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^\mathrm{H} (\mathbf{H}_k \tilde{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^\mathrm{H} + \mathbf{R}_k)^{-1}$ désigne le gain de Kalman, $\mathbf{I}_{n_u}$ la matrice identité de dimension $n_u$ (nombre de points de reconstruction) et $\mathbf{x}^\mathrm{H}$ la transposée hermitienne de $\mathbf{x}$.

**3. Prédiction de l'état** – Cette étape consiste à prédire l'état du système à la fréquence $k+1$, c'est-à-dire :

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{u}_{k+1} &\sim p(\mathbf{u}_{k+1} | \mathbf{y}_{1:k}) = \int_{\mathbf{u}_k} p(\mathbf{u}_{k+1} | \mathbf{u}_k) p(\mathbf{u}_k | \mathbf{y}_{1:k}) d\mathbf{u}_k \\
&= \mathcal{N}_c(\mathbf{u}_{k+1} | \tilde{\mathbf{u}}_{k+1}, \tilde{\mathbf{P}}_{k+1}),
\end{aligned}
\quad (8) $$

où $\tilde{\mathbf{u}}_{k+1}$ et $\tilde{\mathbf{P}}_{k+1}$ représentent respectivement la moyenne et la matrice de covariance de la prédiction. Ces quantités s'expriment comme suit :

$$ \tilde{\mathbf{u}}_{k+1} = \tilde{\mathbf{u}}_k \quad \text{et} \quad \tilde{\mathbf{P}}_{k+1} = \mathbf{P}_k + \mathbf{Q}_k. \quad (9) $$

La mise en œuvre pratique du filtre de Kalman, dérivée des étapes précédentes, est résumée dans l'Algorithme ??.
Notez que l'algorithme peut être exécuté soit selon les fréquences croissantes ou décroissantes, selon la fréquence du vecteur d'état utilisé comme solution initiale.

**Algorithmme 1:** Filtre de Kalman fréquentiel

$$ \mathbf{y}_k, \mathbf{H}_k, \tilde{\mathbf{u}}_0, \mathbf{P}_0, \mathbf{Q}_k, \mathbf{R}_k \quad \text{Output: } \tilde{\mathbf{u}}_k, \mathbf{P}_k $$

1. Initialisation – $\tilde{\mathbf{u}}_1 = \tilde{\mathbf{u}}_0$, $\tilde{\mathbf{P}}_1 = \mathbf{P}_0 + \mathbf{Q}_0$ \\
for chaque étape $k > 0$ do

$$ 
\begin{aligned}
2. \text{ Mise à jour de l'état} \\
\quad \mathbf{K}_k &= \tilde{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^\mathrm{H} (\mathbf{H}_k \tilde{\mathbf{P}}_k \mathbf{H}_k^\mathrm{H} + \mathbf{R}_k)^{-1} \\
\quad \tilde{\mathbf{u}}_k &= \tilde{\mathbf{u}}_k + \mathbf{K}_k (\mathbf{y}_k - \mathbf{H}_k \tilde{\mathbf{u}}_k) \\
\quad \mathbf{P}_k &= (\mathbf{I}_{n_u} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \tilde{\mathbf{P}}_k
\end{aligned}
$$

3. Prédiction de l'état –
$$ \tilde{\mathbf{u}}_{k+1} = \tilde{\mathbf{u}}_k, \quad \tilde{\mathbf{P}}_{k+1} = \mathbf{P}_k + \mathbf{Q}_k $$
end

# 3 Considérations pratiques

Les points clés de l'implémentation de l'approche proposée concernent le calcul d'une solution initiale précise ainsi que le réglage approprié des matrices de covariance associées aux vecteurs de bruit de processus et de bruit de mesure.

## 3.1 Calcul de la solution initiale

En raison de la nature récursive du filtre de Kalman, il est crucial de disposer d'une solution initiale permettant une estimation correcte du champ d'excitation aux toutes premières fréquences. Dans ce travail, la solution initiale est calculée par une régularisation bayésienne, qui consiste à estimer $\mathbf{u}_0$ comme la solution du problème d'optimisation suivant :

$$ (\tilde{\mathbf{u}}_0, \tilde{\tau}_i) = \underset{(\mathbf{u}_0, \tau_i)}{\operatorname{argmax}} p(\mathbf{y}_0 | \mathbf{u}_0) \prod_{i=1}^{n_u} p(u_{0i} | \tau_i) p(\tau_i), \quad (10) $$

où la fonction de vraisemblance $p(\mathbf{y}_0 | \mathbf{u}_0)$ et les distributions a priori $p(u_{0i} | \tau_i)$ et $p(\tau_i)$ sont choisies comme suit :

$$ 
\begin{aligned}
p(\mathbf{y}_0 | \mathbf{u}_0) &= \mathcal{N}_c(\mathbf{y}_0 | \mathbf{H}_0 \mathbf{u}_0, \mathbf{R}_0) \\
p(u_{0i} | \tau_i) &= \mathcal{N}_c(u_{0i} | 0, \tau_i^{-1}) \\
p(\tau_i) &= \mathcal{G}(\tau_i | \alpha_i, \beta_i),
\end{aligned}
\quad (11) $$

Ici, $\mathcal{G}(\tau_i|\alpha, \beta)$ est la loi gamma sur le paramètre de précision $\tau_i$ avec un paramètre de forme $\alpha = 1$ et un paramètre de taux $\beta = 10^{-18}$.

Le problème d'optimisation (10) est résolu par une procédure itérative, non décrite ici par souci de concision, qui est initialisée avec la solution obtenue par régularisation de Tikhonov.
## 3.2 Ajustement des matrices de covariance

L'ajustement des matrices de covariance associées aux vecteurs de bruit de processus et de bruit de mesure nécessite une attention particulière car il peut grandement affecter la qualité du processus de filtrage.

Dans ce travail, la matrice de covariance du bruit de mesure $\mathbf{R}_k$ est supposée constante et diagonale. Ses éléments, les variances de bruit de chaque canal de mesure, sont estimés à partir des données en utilisant la méthode proposée dans la Ref. [10].

La matrice de covariance du bruit de processus $\mathbf{Q}_k$ est plus difficile à régler car elle reflète le degré de confiance dans le modèle de d'évolution de l'état. Une pratique courante consiste à supposer que cette matrice est isotrope et à fixer la valeur du paramètre de variance à une valeur arbitrairement élevée. Cependant, cette approche n'est pas satisfaisante, car elle ne prend pas en compte les caractéristiques spécifiques du système considéré. En effet, fixer le paramètre de variance à une valeur trop faible peut conduire à un état estimé constant en fonction de la fréquence, dont la valeur est donnée par la solution initiale, tandis que le fixer à une valeur trop élevée peut entraîner une convergence lente du filtre.

Plusieurs approches ont été proposées dans la littérature pour estimer le paramètre de variance, comme la méthode de la courbe en L [11]. D'autres stratégies visent à estimer la matrice de covariance dans sa globalité, en utilisant par exemple un algorithme d'espérance-maximisation [12].

Dans ce travail, la matrice de covariance du bruit de processus est mise à jour à chaque fréquence en revisitant et en adaptant l'approche bayésienne dans le domaine temporel proposée par Sedehi et al. dans la Ref. [13]. La procédure d'estimation peut être résumée comme suit :

**1. Étape de prédiction à $k-1$** – La distribution a priori prédictive de la matrice de covariance $\mathbf{Q}_{k-1}$ est donnée par :

$$p(\mathbf{Q}_{k-1} | \hat{\mathbf{u}}_{k-1}) = \mathcal{I} W_c(\mathbf{Q}_{k-1} | \mathbf{\Psi}_{k-1}, \nu_{k-1}), \quad (12)$$

où $\mathcal{I} W_c(\mathbf{X} | \mathbf{\Psi}, \nu)$ est la distribution de Wishart complexe inverse associée la matrice aléatoire complexe $\mathbf{X}$ avec la matrice d'échelle $\mathbf{\Psi}$ et les degrés de liberté $\nu$.

**2. Mise à jour à l'étape $k$** – Après quelques calculs non détaillés ici, la distribution a posteriori de la matrice de covariance $\mathbf{Q}_k$ est donnée par :

$$p(\mathbf{Q}_{k-1} | \hat{\mathbf{u}}_k) = \mathcal{I} W_c(\mathbf{Q}_{k-1} | \mathbf{\Psi}_k, \nu_k), \quad (13)$$

où $\mathbf{\Psi}_k$ et $\nu_k$ sont la matrice d'échelle et les degrés de liberté mis à jour, respectivement. Ils s'expriment ainsi :

$$\mathbf{\Psi}_k = \mathbf{\Psi}_{k-1} + (\hat{\mathbf{u}}_k - \hat{\mathbf{u}}_{k-1}) (\hat{\mathbf{u}}_k - \hat{\mathbf{u}}_{k-1})^\mathrm{T} \quad \text{et} \quad \nu_k = \nu_{k-1} + 1. \quad (14)$$

En supposant que le bruit de processus varie lentement, il est possible de supposer que $p(\mathbf{Q}_k | \hat{\mathbf{u}}_k) \approx p(\mathbf{Q}_{k-1} | \hat{\mathbf{u}}_k)$. Enfin, la matrice de covariance mise à jour $\mathbf{Q}_k$ est choisie comme la moyenne de la distribution a priori prédictive mise à jour,

c'est-à-dire<fnref n="1" /> :

$$\mathbf{Q}_k = \frac{\mathbf{\Psi}_k}{\nu_k - n_u} \quad \text{avec} \quad \nu_k > n_u. \quad (15)$$

Enfin, pour initialiser la procédure, la matrice d'échelle $\mathbf{\Psi}_0$ et les degrés de liberté $\nu_0$ doivent être définis par l'utilisateur. Dans la suite de cet article, ces paramètres sont choisis de sorte que $\mathbf{\Psi}_0 = 10^{-10} \mathbf{I}_{n_u}$ et $\nu_0 = n_u + 1$.

# 4 Validation numérique

La structure considérée est une poutre en acier simplement appuyée à ses deux extrémités. La poutre mesure 1 m de long, 3 cm de largeur et 1 cm d'épaisseur. Les propriétés du matériau sont $E = 210 \text{ GPa}$ et $\rho = 7850 \text{ kg.m}^{-3}$. Un facteur d'amortissement structural est utilisé et fixé à 1%.

Le long de la poutre, un ensemble de 20 accéléromètres est monté sur la structure et l'un de ces capteurs est colocalisé avec l'excitation en $x_0 = 63 \text{ cm}$ comme présenté dans la Fig. 1.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Représentation schématique de l'expérience numérique</figcaption></figure>

Concernant le spectre d'excitation à identifier, on suppose que la structure est excitée par une force ponctuelle aléatoire de type bruit blanc d'une valeur moyenne de 2 N et d'une variance de 0.1 N² entre 100 Hz et 1 kHz. La résolution fréquentielle est fixée à 0.5 Hz. Sur cette plage de fréquence, la poutre présente 4 modes (211 Hz, 375 Hz, 586 Hz et 844 Hz).

Dans cette expérience numérique, les données vibratoires non bruitées sont générées à l'aide d'un modèle éléments finis. Ensuite, ces données sont corrompues par un bruit additif gaussien, de rapport signal à bruit de 25 dB. Enfin, la matrice des fonctions de transfert, nécessaire pour construire la représentation d'état, est calculée semi-analytiquement à partir d'une décomposition modale utilisant les 10 premiers modes de la structure (i.e. jusqu'à 2.3 kHz).

## 4.1 Application de la stratégie proposée

Les Figs. 2 et 3 présentent les résultats du filtre de Kalman exécuté suivant les fréquences croissantes. L'analyse de cette figure montre que la localisation de la force est correctement identifiée, et son amplitude correctement estimée.

<footnote n="1">1. Ce choix diffère de celui effectué dans la Ref. [13], où la matrice de covariance est choisie comme le mode de la distribution a priori prédictive mise à jour.</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Champ d'excitation estimé par le filtre de Kalman</figcaption></figure>

## 4.2 Comparaison avec des approches par régularisation

Les performances obtenues par le filtre de Kalman développée dans cette contribution sont comparées à celles obtenues par deux stratégies de régularisation, à savoir la régularisation multiplicative en norme $\ell_q$ [14] et la régularisation multiplicative en norme mixte $\ell_{p,q}$ [15]. La régularisation multiplicative en norme $\ell_q$ consiste à résoudre le problème de minimisation suivant à chaque fréquence :

$$ \hat{\mathbf{u}}_k = \underset{\mathbf{u}_k \setminus \{0\}}{\operatorname{argmin}} \|\mathbf{y}_k - \mathbf{H}_k \mathbf{u}_k\|_{\mathbf{R}}^2 \cdot \|\mathbf{u}_k\|_q^q, \quad (16) $$

tandis que la régularisation multiplicative en norme mixte $\ell_{p,q}$ considère l'ensemble des fréquences pour résoudre le problème de minimisation suivant :

$$ \hat{\mathbf{U}} = \underset{\mathbf{U} \setminus \{0\}}{\operatorname{argmin}} \|\mathbf{Y} - \bar{\mathbf{H}} \mathbf{U}\|_{\bar{\mathbf{R}}}^2 \cdot \|\mathbf{U}\|_{p,q}^q. \quad (17) $$

Dans l'équation précédente, $\mathbf{Y} = \operatorname{vec}(\mathbf{y})$, $\mathbf{U} = \operatorname{vec}(\mathbf{u})$ (la fonction « vec » signifie vectorisation), $\bar{\mathbf{H}} = \operatorname{diag}(\mathbf{H}_1, \dots, \mathbf{H}_{n_f})$ et $\bar{\mathbf{R}} = \mathbf{I}_{n_f} \otimes \mathbf{R}$ ($n_f$ : nombre de fréquences).

Les Figs. 4 et 5 montrent que la régularisation en norme $\ell_q$ identifie le champ d'excitation de manière satisfaisante, sauf autour de certaines fréquences de résonance de la structure (211 Hz et 586 Hz). Ce comportement est lié au fait que la régularisation en norme $\ell_q$ résout le problème de manière indépendante pour chaque fréquence. En revanche, la régularisation en norme mixte $\ell_{p,q}$ fournit une reconstruction cohérente du champ d'excitation grâce à sa capacité à refléter correctement les caractéristiques espace-fréquence de la source comme le montrent les Figs. 6 et 7.

Pour comparer quantitativement l'ensemble des résultats précédents, trois indicateurs sont utilisés : l'erreur relative globale (ERG), le temps d'exécution $t_e$ et l'empreinte mémoire $m_f$. L'indicateur ERG est défini comme :

$$ \text{ERG} = \frac{\|\mathbf{u} - \hat{\mathbf{u}}\|_1}{\|\mathbf{u}\|_1}, \quad (18) $$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Spectre d'excitation estimé par le filtre de Kalman</figcaption></figure>

où $\mathbf{u}$ et $\hat{\mathbf{u}}$ représentent respectivement les champs d'excitation vrai et estimé.

Le Tableau 1 résume les performances des différentes stratégies étudiées dans cette contribution. Les résultats montrent que le filtre de Kalman proposé offre une reconstruction cohérente du champ d'excitation, avec un ERG de 2,51%. Le temps d'exécution et l'empreinte mémoire sont également raisonnables avec des valeurs d'environ 0,29 s et 156 MiB. D'autre part, les résultats fournis par la régularisation en norme mixte $\ell_{p,q}$ sont comparables à ceux de l'approche proposée, avec un ERG de 2,73%. Cependant, le temps d'exécution et l'empreinte mémoire sont respectivement environ 3 fois et 4 fois supérieurs à ceux du filtre de Kalman. Enfin, la régularisation multiplicative en norme $\ell_q$ présente les moins bonnes performances, principalement en raison des écarts importants observés autour des fréquences de résonance de la structure.

<table><caption>TABLEAU 1 – Comparaison quantitatives des différentes stratégies</caption><thead><tr><th>Method</th><th>ERG (%)</th><th>t<sub>e</sub> (s)</th><th>m<sub>f</sub> (MiB)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Filtre de Kalman</td><td>2.51</td><td>0.292</td><td>156</td></tr><tr><td>Régularisation <i>ℓ</i><sub>q</sub></td><td>17.06</td><td>1.573</td><td>1035</td></tr><tr><td>Régularisation <i>ℓ</i><sub>p,q</sub></td><td>2.73</td><td>0.967</td><td>676</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Champ d’excitation estimé par la régularisation multiplicative $\ell_q$ pour $q = 0.5$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Spectre d’excitation estimé par la régularisation multiplicative $\ell_q$ pour $q = 0.5$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Champ d’excitation estimé par la régularisation multiplicative $\ell_{p,q}$ pour $(p, q) = (2, 0.5)$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Spectre d’excitation estimé par la régularisation multiplicative $\ell_{p,q}$ pour $(p, q) = (2, 0.5)$</figcaption></figure>

## 5 Conclusion

Cette contribution a introduit un filtre de Kalman dans le domaine fréquentiel pour la reconstruction d'une source parcimonieuse en large bande. Le filtre de Kalman proposé est similaire à celui utilisé classiquement pour des applications dans le domaine temporel. Pour obtenir de bonnes performances de reconstruction, le filtre doit être correctement ajusté et initialisé. À cet effet, des stratégies dédiées ont été mises en œuvre. L'expérience numérique a démontré les avantages potentiels de la stratégie proposée, puisqu'elle permet d'obtenir des reconstructions pertinentes même aux fréquences de résonance, au niveau desquelles les méthodes régularisation parcimonieuse résolvant le problème fréquence par fréquence échouent généralement.

## Références

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