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# La notion de vraisemblance

Étienne Halphen

► To cite this version:

Étienne Halphen. La notion de vraisemblance. Annales de l'ISUP, 1955, IV (1), pp.41-92. hal-04095207

HAL Id: hal-04095207

https://hal.science/hal-04095207

Submitted on 11 May 2023

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# LA NOTION DE VRAISEMBLANCE

par

Étienne HALPHEN

## PRÉFACE

par

G. MORLAT

Etienne HALPHEN avait écrit ce mémoire en 1947. Des vicissitudes diverses empêchèrent à l'époque sa publication. Certes, il ne faut pas s'attendre à y trouver exclusivement des idées neuves. Mais, dans ce problème des fondements de la probabilité, qui est encore loin d'être clos, de vieux points de vue peuvent être rajeunis et nous apporter des clartés nouvelles. Le livre publié récemment par J.L. Savage en porte témoignage(1) Nous croyons que le présent mémoire d'Etienne Halphen en sera un autre exemple.

D'aucuns croirons sans doute reconnaitre ici les théories de H. Jeffreys, d'autres celles de J. M. Keynes, d'autres encore... Mais pour couper court à ces suppositions, qu'il me soit permis, sans déroger à la grande admiration que j'éprouve pour Etienne Halphen, de faire pour lui un aveu : il n'avait pas lu tous ces excellents auteurs, et sans doute il en eût été incapable. En mathématiques, il avait lu bien peu de choses. Il préférait réinventer ce dont il avait besoin. Ce n'est point là sans doute une attitude qui peut être conseillée à beaucoup. Il y faut une intelligence exceptionnelle - et probablement du génie. Alors, pour qui sait réinventer à sa façon ce qui a été dit avant lui, et même aller un peu plus loin, on peut penser que la lecture est superflue, sinon inhibitrice. Etienne Halphen était dans ce cas.

On croira que j'exagère ? - Pensera-t-on qu'il aurait imaginé la belle théorie des fonctions factorielles (2), s'il avait commencé par étudier les résultats déjà connus concernant ces fonctions - sous le nom de fonctions de Hermite ?

Mais peut-être le présent ouvrage convaincra le lecteur de ce que j'avance. Si le point de vue d'où part l'auteur n'est pas nouveau, les développements qu'il donne contiennent maints aspects originaux. Soulignons par exemple l'accent mis sur la différence de nature entre vraisemblances

<footnote>(1) The Foundations of statistics. Wiley, New York, 1954.</footnote>

<footnote>(2) Mémoire qui parait dans ce même fascicule.</footnote>
et probabilités - le rôle dévolu à la "caractérielle estimatrice" dans le problème de l'estimation des paramètres (1) - et encore les indications données à la fin du chapitre IV sur le problème des tests. Sur ce dernier point en vérité, il convient de noter qu'Etienne HALPHEN ne croyait pas que l'interprétation qu'il avait donnée à la notion de test fût définitive. Simplement, elle lui paraissait mieux correspondre au désir intuitif du "client" que la théorie générale des tests de Neyman et Pearson.

* * *

Je ne sais si c'est à propos de cette Théorie générale des tests, ou bien à propos de la Théorie des Intervalles de confiance de Neyman-d'ailleurs les deux se ressemblent si fort - qu'Etienne Halphen un jour déclara : "Mais ce n'est pas de la statistique, c'est du contrôle des fabrications.". Même si on ne le suit pas dans cette dénomination qui risque de paraitre péjorative, il est permis de regretter que les traités de statistique ne disent pas plus nettement la distinction que sépare les deux classes de techniques: celles qui visent à fonder une décision sur la plus grande vraisemblance - au s'ens de Halphen - et celles qui visent à réaliser dans nos décisions successives une certaine fréquence de réussites. Ces deux classes de techniques correspondent à des conceptions - ou plutôt à des applications - radicalement opposées du calcul des probabilités: grosso modo, le calcul des probabilités schématise pour les premières les "degrés de croyance rationnelle" de Keynes, les "vraisemblances" de Halphen (intuitionnistes) - pour les secondes, la limite des fréquences empiriques et elle seule (fréquentistes) (2).

Il faut s'attendre à ce que ces techniques ne traitent pas les mêmes problèmes. Jamais les intervalles de confiance ne donneront une idée quelconque des valeurs plus ou moins vraisemblables du paramètre auquel ils s'appliquent - jamais l'estimatrice de Halphen ne se prêtera à un calcul précis des fréquences de réussite lorsqu'on y assigne au paramètre un certain intervalle.

Mais dans beaucoup de problèmes qui se posent à l'ingénieur, il s'agit de prendre une décision, fondée sur une valeur d'un paramètre uncertain ; c'est-à-dire que seul un procédé d'estimation ponctuel satisfait le client. Ce n'est guère qu'à propos de contrôle des fabrications et de problèmes similaires qu'une décision peut consister dans un intervalle. Cela explique la boutade un peu forte d'Etienne Halphen.

Il faut ajouter que si la plupart des auteurs de traités ont manqué, comme je le déplore, à faire la distinction, c'est pour la raison fort simple qu'ils ont pris parti. Cela signifie qu'ils ont adopté une des catégories de techniques et nient la légitimité de l'autre. C'est fort regrettable.

On sait que les savants anglo-américains dominent de loin la statistique moderne. La majorité d'entre eux s'est ralliée au point de vue fréquentiste. Une certaine justification peut être trouvée dans la prolifération et l'efficacité des techniques qui s'y rattachent. Mais on sait que beaucoup

<footnote>(1) Notons qu'Etienne Halphen rejetait formellement l'emploi des probabilités a priori tel que le recommande H. Jeffreys...</footnote>

<footnote>(2) Nous conservons ici, pour désigner la controverse fondamentale de la Théorie de la Probabilité, les termes "intuitionniste" et "fréquentiste", qui avaient l'agrément d'E. Halphen. Dans son livre déjà cité, J.L. Savage désigne les adversaires par les termes :"personnalistes" et "objectivistes"; il leur adjoint d'ailleurs une troisième catégorie comprenant quelques logiciens exigeants,... Il précise utilement qu'une classification aussi succincte est propre à mettre en furie tous les spécialistes de la question.</footnote>
de ces techniques sont aussi bien cohérentes avec l'autre point de vue (c'est ce que J.L. Savage s'est attaché à montrer). Et pour d'autres (Intervalles de confiance notamment) Etienne Halphen remarque que leur emploi, dans beaucoup de problèmes, ne répond nullement au désir du client - remarque que nous avons retrouvée à la fin du livre de J.L. Savage.

*

* *

Disons, pour achever cette préface, un mot encore sur le rôle qu'Etienne Halphen assignait à la Statistique. Dans le mémoire qu'on va lire, apparaît déjà un souci très fort : celui de soumettre les techniques statistiques aux préoccupations du "client" (ingénieur, entrepreneur ou économiste, etc...). C'est bien ce souci qui conduit à rejeter certaines techniques trop préoccupées de leur propre logique.

Après des années de réflexion, Etienne Halphen allait très loin dans cette voie, puisqu'il écrivait peu avant sa mort ces phrases dans lesquelles il ne faut voir aucune modestie :

"La statistique ne doit pas résoudre les problèmes ; elle doit contribuer à former le jugement de ceux qui ont à les résoudre ; mais il importe qu'ils ne les résolvent qu'après avoir "oublié" la statistique.

J'ai naguère commis une erreur en déclarant la statistique "science des décisions" ; elle est seulement "ecole de formation du jugement" ; celui qui prend une décision ne doit pas être statisticien : il doit croire un peu à la statistique, mais pas trop.

Quant au statisticien, il doit modérer la foi excessive des uns, mais aussi combattre le scepticisme systématique des autres."
# LA NOTION DE VRAISEMBLANCE

## ESSAI SUR LES FONDEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITÉS ET DE LA STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

### INTRODUCTION

Les réflexions qui suivent ont eu comme point de départ certaines difficultés rencontrées dans la pratique de la statistique mathématique. Ayant eu professionnellement à résoudre des problèmes d'estimation sur des données très pauvres, nous nous sommes rendu compte que les auteurs des méthodes modernes d'estimation ne semblaient pas avoir une idée bien précise du but à atteindre. Si, à la différence des auteurs anciens, ils ont la préoccupation de réaliser un optimum, ils sont fort embarrassés lorsqu'il s'agit de définir en quoi celui-ci doit consister ; en fait, ils se donnent cet optimum de façon assez arbitraire, selon leurs goûts ou préférences philosophiques. C'est oublier que le statisticien ne travaille pas pour lui-même, mais qu'il est au service du praticien qui le consulte ; industriel, économiste, biologiste... ; c'est à ce praticien de fixer le but à atteindre, de dire ce qu'il a besoin de rendre minimum.

Pour satisfaire ce praticien, le statisticien a à sa disposition, outre diverses données expérimentales, sa propre intelligence : celle-ci lui fournit, non seulement des "techniques" de calcul, mais encore certaines intuitions, certaines "vraisemblances", dont la nature et l'origine peuvent être obscures, mais dont personne ne songe à nier la réalité. Seulement on considère habituellement que ces "vraisemblances" ne doivent intervenir qu'après la technique, pour corriger celle-ci, et non point avant : mais c'est là toute la question.

Nous sommes arrivé pour notre compte à la conviction que, tout au contraire, les vraisemblances doivent intervenir (et de fait, qu'on le veuille ou non, interviennent) avant tout calcul : leur rôle dépasse de loin une simple correction de bon sens à ce que le calcul peut avoir de trop rigide ; leur rôle est de fournir la "matière première" que le calcul aura pour fonction de dégrossir.

C'est ce que nous pensons pouvoir montrer, en étudiant dans un premier chapitre quelques exemples de difficultés qui nous semblent insolubles autrement. De toute manière, nous demandons que la question soit examinée, non selon telle ou telle préférence philosophique à priori, mais selon cette idée directrice : la meilleure méthode statistique sera celle, quelle qu'elle soit, qui permettra au statisticien (homme vivant) de répondre au mieux aux exigences de celui qui le consulte.
Faisons observer, en outre, pour ceux qu'effrayerait la part que nous faisons à l'intuition, qu'intuitif n'est pas synonyme d'arbitraire ; et qu'au reste assez nombreux sont les cas où convergent les intuitions de tous les hommes, pour qu'habituellement l'usage de la statistique mathématique ne prête pas à contestation.

Après avoir ainsi indiqué dans un premier chapitre comment nous entendons poser le problème, et pourquoi, nous proposerons notre solution: le chapitre II sera consacré à l'étude des notions psychologiques indispensables; le chapitre III expliquera ce que nous appelons "vraisemblances" et montrera comment cette notion déborde celle de probabilités et la fonde: le chapitre IV fera la jonction entre ces notions théoriques et la science pratique du statisticien.

Nous verrons alors que presque toutes les méthodes d'estimation qui ont été proposées sont bonnes, mais chacune dans un cas déterminé; il n'y a pas une méthode meilleure que les autres; il y a des méthodes dont chacune est la meilleure dans son propre champ d'application, car chacune répond à un type de question, différent de l'une à l'autre.

Nous verrons aussi les différences numériques entre les résultats de ces méthodes s'atténuent très vite lorsque le nombre des épreuves augmente, si bien que les divers procédés d'estimation sont en pratique presque équivalents. Reste que leurs différences théoriques présentent un grand intérêt spéculatif.
# CHAPITRE PREMIER
## REMARQUES SUR LE PROBLÈME DE L'ESTIMATION(1)

Les méthodes anciennes d'estimation comportaient assurément une
grande part d'arbitraire : dans l'estimation d'une loi de Gauss, pourquoi
utiliser la moyenne plutôt que la médiane, l'écart-type plutôt que l'écart-
moyen, ou l'interquartile ? on ne le savait pas au juste...

Depuis les travaux de Fisher, on se préoccupe de réduire cette marge
d'arbitraire et de trouver des principes d'estimation doués d'une justifica-
tion rationnelle. On savait déjà que toutef methode d'estimation n'est pas
bonne, que, par exemple, on ne peut estimer une loi de Cauchy par la
moyenne : Fisher a donné quelques règles simples pour distinguer les mé-
thodes en deux classes ; les méthodes efficaces et les méthodes inefficaces.
Mais ce n'est pas suffisant. Parmi les méthodes efficaces, toutes ne se
valent pas : quelle sera la "meilleure" ? Fisher a donné une solution du
problème dans le cas particulier d'observations très nombreuses ; mais
dans le cas général, la question reste ouverte.

1. COMMENT SE POSE LE PROBLÈME

Pour rechercher la "meilleure méthode d'estimation, il convient de
se poser deux questions :

1°) Quel est le but que l'on se propose ?

2°) Quels sont les moyens à notre disposition pour y parvenir ?

Or, une chose est frappante lorsqu'on lit les divers travaux modernes
sur l'estimation : chaque auteur commence par choisir une définition à lui
du but à atteindre ; ce but, qui devrait nous être imposé par la nature mê-
me des choses et le rôle subordonné de la science statistique par rapport
aux autres sciences ou aux arts de l'ingénieur, ce but, chaque statisticien
s'arroge le droit de le fixer à sa convenance.

En voulez-vous un exemple frappant ? Examinons comment Neyman
parvient à sa théorie des "unbiassed sets of confidence intervals".

Il commence par se demander si l'on pourrait construire un ensemble d'intervalles répondant à un certain ensemble de deux conditions A et B : il s'agit de conditions qui, si on pouvait en effet les remplir, seraient fort satisfaisantes. Mais Neyman constate que la condition ·B ne peut en

<footnote>(1) L'essentiel de ce chapitre avait été exposé au Colloque de Calcul des Probabilités, tenu à Lyon en 1947 sous l'égide du C.N.R.S.</footnote>
général être vérifiée. Alors, il lui substitue une condition B' qui lui res-
semble beaucoup du point de vue mathématique, et comme les conditions A
et B' peuvent être simultanément satisfaites, le problème parait résolu.
Mais, si l'on y regarde de plus près, on s'aperçoit que la ressemblance
entre B et B' est surtout formelle, et que la dernière n'a plus qu'une si-
gnification pratique assez arbitraire : elle ne répond plus à un besoin pro-
fond de la statistique, elle ne s'impose aucunement.

Que l'on me permette une comparaison familière ; supposons que
j'aie besoin d'un ciment répondant à une certaine exigence très précise ;
le commerçant à que je m'adresse n'a pas l'article qu'il me faudrait, mais,
abusant de mon incompétence, il m'en glisse un autre : "Prenez cela,
c'est absolument ce qu'il vous faut". Evidemment, il me vend celui de ses
produits qui se rapproche le plus de mes désidérata ; mais enfin ce com-
merçant est-il parfaitement honnête ? Et sera-ce pour lui une justification
suffisante de dire ; 'Je vous ai vendu ce ciment parce que je me refuse à
tenir la qualité que vous me demandez et qui ne me plait pas....'. ?

Car voici le point où nous aurons à en venir : si Neyman et d'autres
se donnent telle ou telle définition à priori des exigences de l'estimation
statistique, tout se passe comme s'ils avaient décidé à l'avance d'éliminer
certaines méthodes qui ne répondent pas à leur conception de la science.
Quelles méthodes ? Celles qui font une place trop grande à l'intuition, au
"flair" du statisticien. Ceci nous mène à l'étude du second point.

QUELS SONT LES MOYENS A LA DISPOSITION DU STATISTICIEN ?

On peut les ranger sous trois rubriques :les sciences expérimentales
dans leur état actuel ; les "échantillons" soumis au statisticien ; l'intel-
ligence au sens le plus large, sans en rien exclure ; donc une intelligence
concrète, celle d'un homme déterminé pris avec toutes ses facultés
vivantes. Tous ces moyens peuvent jouer un rôle dans l'estimation ; tous
peuvent contribuer à la rendre plus précise, tous aussi peuvent y intro-
duire leur part d'erreur.

Parmi ces erreurs, celles qui viennent de la mauvaise qualité des
échantillons sont étudiées à part, sous le nom précisément d'erreurs d'ob-
servation. Celles qui sont dues à l'état imparfait de la science posent le
problème dit des "tests". Celles qui proviennent enfin de l'intelligence du
statisticien sont attribuables partie aux méthodes statistiques dont il fait
usage, partie, à sa justesse personnelle d'appréciation.

La tendance actuellement dominante consiste à raisonner ainsi ; ap-
pelons α les erreurs imputables à la méthode, β celles qu'introduit l'ap-
préciation personnelle ; pour rendre minimum la somme α + β, il faut
minimiser séparément α et β. Conclusion : parmi les conditions que
doit remplir la "meilleure" estimation, se trouve l'élimination aussi com-
plète que possible de l'intuition personnelle ; ensuite, on cherchera à ren-
dre α aussi petit que possible.

Ce raisonnement (implicite) serait parfaitement juste si α et β étaient
indépendants ; seulement est-ce le cas ? Nous pensons que non (1). Et pour
preuve, nous en donnons les efforts extraordinaires accomplis depuis un
quart de siècle pour fonder en dehors de tout recours à l'appréciation per-
sonnelle une méthode "objective" d'estimation, efforts qui tous viennent

<footnote>(1) Nous pensons que tout se passe à peu près comme si le produit αβ était constant (cf. la relation de Heisenberg), en sorte qu'à vouloir annuler β on rendrait α infini.</footnote>
se heurter à des difficultés étranges ; chaque tentative nouvelle commence par une marche victorieuse ... pour venir s'empêtrer dans des "à peu près" ou des "en admettant que" qui montrent finalement que l'intuition ne se laisse pas éliminer comme on l'avait cru, ou qu'à vouloir l'éliminer on perd tout contact avec le réel : on résout alors de beaux problèmes qui ne sont pas ceux que nous posent les hommes qui nous consultent (biologistes, ingénieurs ...); comme le marchand de ciment malhonnête, nous ne fournissons pas à notre client l'article qu'il nous demande.

Je ne veux pas dire que les théoriciens de l'estimation veulent expliquer éliminer le facteur intuition : mais cela leur semble aller tellement de soi que, dans la façon même dont ils posent le problème, tout recours à ce facteur est déjà éliminé.

Or, il ne s'agit pas de contester les risques d'erreur qu'introduit l'intuition personnelle du statisticien ; mais pourquoi, d'abord, voudrait-on que la statistique soit de ces sciences faciles où le premier venu peut réussir à condition de respecter un mode d'emploi quasi mécanique ? On nous dira que la statistique est une science et ne doit pas reposer sur de l'arbitraire ? Il s'agit de savoir si intuitif et arbitraire sont synonymes. Surtout, il s'agit de savoir si, le but du statisticien étant de répondre au mieux à des questions qu'un"client" lui a posées, la meilleure méthode ne sera pas celle qui donnera en effet la meilleure réponse - que ce résultat soit atteint avec ou sans recours à l'intuition.

De deux statisticiens, dont l'un fait un large appel à son "flair" et trouve des réponses précises, et dont l'autre, à l'aide de méthodes plus standardisées, répond moins bien : lequel est le meilleur ?

Le problème de la meilleure méthode d'estimation ne peut être séparé de celui du meilleur statisticien ; et ce dernier doit être jugé en fonction des exigences de celui qui le consulte ; ce n'est pas au statisticien de fixer ces exigences : il a seulement à les bien comprendre, parfois à demi-mot, ce qui demande de sa part un minimum de compétence dans la matière en question ; on oublie cela trop souvent.

## 2. QUELQUES EXEMPLES

Nous sommes donc arrivés à ce résultat : le meilleur statisticien, c'est celui qui satisfait au mieux aux exigences de "client" ; si, pour ce faire, il doit réduire le recours à l'intuition, qu'il le fasse ; sinon, qu'il ne le fasse pas. Voici quelques exemples de problèmes qui feront bien ressortir les difficultés auxquelles achoppent les théories actuelles de l'estimation.

(a) Mon client est la Société Nationale "Electricité de France", qui me demande de prévoir au mieux la puissance H à donner aux usines hydroélectriques en 1951 pour faire face aux besoins de la consommation (1). Si je donne une évaluation trop faible, il y aura des coupures de courant, d'où inconvénients sociaux et pertes économiques ; si je donne un chiffre trop fort, les dépenses d'équipement seront inutilement élevées. L'évaluation exacte réaliserait un optimum économique.

Pratiquement, je ne pourrai faire qu'une estimation approchée de H. La valeur exacte $H_0$ réalisant un optimum, on peut admettre qu'au voisinage de $H_0$ la perte économique résultant d'une estimation inexacte, est approximativement proportionnelle à $(H - H_0)^2$. C'est donc cette quantité que je dois chercher à rendre minimum.

<footnote>(1) Rappelons que ce mémoire a été écrit en 1947.</footnote>
Aitken a étudié ce type de problème. Mais à la condition précédente, il a ajouté la condition : E (H) = H₀, exigée par ce que Fisher appelle "unbiassedness". Mais c'est là un nouvel exemple de condition imposée sans nécessité par le statisticien. Si cette condition résulte de la précédente, très bien : mais en ce cas, inutile de l'écrire spécialement ; or, il reste à démontrer qu'il en est ainsi. En attendant, pourquoi nous en occuper ? Cela ne peut que rendre moins satisfaisant le minimum de (H - H₀)².

Voici en réalité d'où est venue cette condition.

Lorsque la statistique n'avait pas encore entrepris une étude systématique du problème de l'estimation, presque toutes les estimations consistaient en des moyennes. Lorsqu'on passait d'un échantillon de 10 individus à un échantillon de 100 individus, on faisait tout naturellement la moyenne des 10 moyennes précédentes. On se rendit compte alors que l'opération n'était pas toujours correcte, et exigeait une certaine correction dite "d'erreur systématique".

Mais _rien_ ne nous oblige à _passer des petits échantillons au grand en faisant une moyenne ; en réalité, nous n'avons aucune raison de faire ainsi, mais nous devons traiter le grand échantillon pour lui - même (1) : _un grand échantillon n'est pas une itération de petits échantillons._

(b) Mon "client" m'a posé le problème suivant :

"Je sais qu'une variable X suit une loi de Gauss d'écart-type connu : pour la moyenne, j'ai le choix seulement entre deux valeurs a, b, (a < b). Je ne connais qu'une seule valeur de X, x : laquelle des deux lois dois-je adopter ?"

Reconnaissons que la donnée d'une seule valeur de X est un cas très extraordinaire ; ordinairement on refusera de se prononcer dans ces conditions. Mais :

D'abord, mon client peut me demander absolument de répondre, sachant certes que ma réponse aura peu de valeur ; mais, obligé pour son compte de faire un choix, il désire faire le moins mauvais des deux,

ensuite, ce problème ne diffère pas, qualitativement, de tout autre problème d'estimation : on me demande de faire _au mieux_, on n'exige pas que ce mieux soit très bon. Si réellement la statistique est scientifique, elle doit permettre de fournir, non pas toujours une _bonne estimation_, mais toujours la _meilleure_ ou si l'on veut la moins mauvaise.

enfin, si j'envisage ce cas limite, c'est simplement pour ne pas compliquer le problème _essentiel_ de l'estimation par des problèmes parasites.

Maintenant je pense que tous les statisticiens seront d'accord dans la solution du problème précédent :

Ils opteront pour a ou pour b selon que X sera inférieur ou supérieur à $\frac{a+b}{2}$.

Or, si nous examinons les présupposés implicites de cette solution, voici ce que nous constatons :

<footnote>(1) En théorie, bien sûr. En pratique, il sera souvent commode de procéder par moyennes, et il n'en résultera pas d'inconvénients sérieux. Mais nous parlons ici de principes.</footnote>
Considérons deux statisticiens $S_1$ et $S_2$ à qui est posé le problème précédent, et, dans la suite, d'autres problèmes semblables. Si $S_1$ applique la solution ci-dessus, mais que $S_2$, doué d'un certain "flair", favorise dans une certaine mesure soit une loi soit l'autre selon certaines intuitions (impossibles du reste à formuler en termes mathématiques) : alors, si les intuitions de $S_2$ sont justes, il tombera dans l'ensemble un peu plus souvent juste que $S_1$.

Qu'est-ce que cela signifie ? Que la solution dont nous avons parlé n'est la meilleure que pour autant qu'on tient (indépendamment de l'expérience X), a et b pour également vraisemblables ; ce n'est donc pas à proprement parler un état négatif d'ignorance qui nous a fait procéder comme nous l'avons fait mais plutôt un état positif d'égale vraisemblance.

**Notre méthode n'est la meilleure que pour un statisticien qui tient ainsi a et b pour également vraisemblables.** Cela montre que le problème de la meilleure méthode statistique est un problème **postérieur** à celui du **meilleur statisticien**.

Pour comparer deux méthodes statistiques, il faut se demander laquelle donnera les meilleurs résultats, à supposer que toutes deux soient appliquées par le même statisticien, et à supposer que celui-ci soit un bon statisticien.

Un bon statisticien, c'est **d'abord** celui qui a un bon "flair" ; une bonne méthode, c'est celle qui réussit la mieux **lorsque** maniée par un bon statisticien.

Nous reprochons donc aux méthodes de Fisher et de Neyman d'intervertir l'ordre des choses ; de vouloir définir la meilleure méthode **avant** de définir le meilleur statisticien.

L'exemple suivant rendra ces idées encore plus claires :

(c) On me demande d'estimer la corrélation entre deux variables X et Y dont on me donne une série de valeurs expérimentales. La valeur calculée brutalement du coefficient de corrélation se trouve être 0,8. Mais incidemment, on me signale que X désigne la température moyenne quotidienne à la station de Paris Parc-St-Maur, tandis que Y est le dernier chiffre du numéro matricule de la première auto croisée par mon client en sortant de chez lui chaque matin.

Mon intuition de statisticien va-t-elle entrer en jeu **après** ou **avant** d'avoir trouvé 0,8 pour coefficient de corrélation entre X et Y ?

J'ai pris ici un cas limite. Mais il en est quantité d'autres où, sans en être certain, je tiens la corrélations entre X et Y pour vraisemblablement faible plutôt que forte, ou bien le contraire : ainsi, il est vraisemblable qu'il y a une correlation nettement positive entre l'élégance des costumes et les revenus des passants que je croise dans la rue.

Le meilleur statisticien, ici encore, sera celui qui, ayant **d'abord** fait preuve d'un bon "flair", **achèvera** le calcul par la meilleure méthode.

(d) **Le problème des ajustements inadéquats.**

Voici un nouveau type de difficultés. Les méthodes d'estimation de Fisher ou de Neyman supposent essentiellement que la loi de probabilité cherchée, inconnue en elle-même, appartient à coup sûr à une certaine **classe** bien déterminée : loi de Gauss, loi de Galton...
Or, ceci n'est presque jamais le cas. Habituellement, le statisticien sait parfaitement que, s'il est obligé de faire une "hypothèse de classe", de ne chercher la loi inconnue que par précision sur les constantes d'un type analytique déterminé, ce n'est que pour la commodité : la classe envisagée ne renferme presque sûrement pas la loi véritable de façon exacte, mais seulement en première approximation. Dans ces conditions, la meilleure méthode d'estimation n'est pas nécessairement celle qui serait la meilleure si l'hypothèse de classe était parfaitement correcte.

Exemple :

J'utilise en première approximation la loi de Galton pour représenter une variable X dont la distribution ne m'intéresse que pour les grandes valeurs. En ce cas, l'estimation par la moyenne et la variance du logarithme donnerait trop de poids aux petites valeurs de X, qui ne m'intéressent pas et, puisque la loi de Galton n'est probablement qu'une loi approchée, je préférerai utiliser la moyenne et la variance de X qui rendront mon ajustement plus correct dans la région qui m'intéresse. Nous avons donné à ce problème le nom de : "problème des ajustements inadéquats".

C'est le problème qui se pose pratiquement presque toujours au statisticien.

(e) Une conception traditionnelle mais inexacte de l'échantillonnage.

Nous avons rencontré dans ce qui précède une question importante et délicate.

Ordinairement, pour caractériser la meilleure méthode, les théoriciens supposent l'application réitérée de celle-ci- à divers échantillons extraits d'une même population. Cela est inadmissible, pour la raison suivante :

ou bien je saurai que les divers échantillons étudiés proviennent d'une même population : en ce cas je serais impardonnable de n'en pas tenir compte, et dès lors je n'aurai pas à opérer sur une suite d'échantillons juxtaposés, mais sur un unique échantillon qui ira croissant avec le temps.

Ou bien j'ignore que ces échantillons proviennent d'une même population. En ce cas, s'il existe une méthode réalisant en fait l'optimum absołu par rapport à chaque population, elle réalisera aussi l'optimum sur l'ensemble des diverses populations que j'ai à étudier ; mais, s'il n'existe pas de telle méthode, j'introduis en la recherchant une exigence inadmissible : je lâche la proie pour l'ombre ;

C'est toujours l'erreur dénoncée plus haut : on introduit une condition parasite B qui correspond seulement à un désir a priori du théoricien et de ce fait on remplit moins bien la condition A posée par le client - laquelle seule devrait compter.

### 3. QUELQUES CONCLUSIONS

Non pas une conclusion (ce serait prématuré), mais quelques conclusions partielles.

Il est acquis que la statistique n'est scientifique que dans la mesure où elle se tient en liaison avec le calcul des probabilités. Mais elle ne se réduit pas à ce dernier, et ne s'y réduira jamais, pour la raison fort sim-
ple que le calcul des probabilités est une construction idéale vide de tout contenu réel : un mathématicien peut faire de la géométrie Euclidienne, Riemannienne, Hilbertienne... à priori : il faut un physicien pour savoir laquelle de ces géométries correspond à la réalité. On peut donc dire que réciproquement le calcul des probabilités ne sera fécond que s'il se tient en liaison avec la statistique ; sinon il résoudra de beaux problèmes qu'il se sera donnés à lui-même pour son amusement, mais qui n'ont aucun intérêt.

Il est acquis que la statistique doit se préoccuper de donner à ses méthodes un certain optimum d'efficacité. Mais cet optimum ne doit pas être décidé à priori en vertu d'une préférence philosophique : il doit correspondre à la fonction même de la statistique, qui est de satisfaire au mieux à certains besoins des praticiens.

Je pense avoir montré que dans la recherche de cet optimum, on ne doit pas perdre de vue que les besoins à satisfaire sont ceux d'un homme vivant qui s'est proposé un certain but (dont nous n'avons pas à discuter), et qui nous demande le meilleur moyen d'y parvenir.

On ne doit pas oublier non plus que le statisticien lui-même est un homme vivant, en sorte qu'on ne peut pas séparer (du moins pas à priori) le problème de la meilleure technique statistique de celui du meilleur statisticien. Personnellement, nous considérons que c'est la question du meilleur statisticien qui se pose d'abord, celle de la meilleure technique venant ensuite et dépendant de la première. La meilleure méthode est celle qui, appliquée par le meilleur statisticien, donne les meilleurs résultats. On n'hésitera donc pas à y faire figurer, outre les caractéristiques de l'objet étudié, celles qui seront convenables pour fenir compte du sujet : nous avons déjà dit que subjectif n'était pas synonyme d'arbitraire : la science n'a pas besoin pour être science d'être mécanisée.

Nous avons donné à l'appui de notre opinion certains arguments qui ne sont peut être pas décisifs : mais venez, mettez-vous à la tâche, essayez de fournir à un praticien la solution d'un problème qu'il vous aura posé, en ne vous préoccupant de rien d'autre que de répondre le mieux possible à sa demande : cela vous convaincra assez vite.

Et cela vous convaincra aussi, s'il en était besoin, que les principes de l'estimation ne sont pas arbitraires, ne résultent pas d'un choix gratuit. Nous ne sommes pas actuellement en état de toujours expliquer de façon parfaitement satisfaisante pourquoi la loi de Gauss est généralement plus convenable que la loi de Laplace ; mais, si nous ignorons le pourquoi, nous sommes certains du fait, et le statisticien qui ferait habituellement usage de la loi de Laplace se tromperait à la longue beaucoup plus souvent que celui qui utilise celle de Gauss.

Il est parfaitement vrai que le statisticien a souvent à faire des choix, et que ces choix ne résultent pas d'une pure déduction mathématique : il ne s'ensuit pas pour autant qu'ils soient arbitraires ; ils se fondent sur un instinct profond, une sorte de "flair" professionnel, qui est une véritable intuition que tel choix est bon, tel autre mauvais.

*

* *

Je vous demande la permission de terminer ces réflexions par une remarque d'ordre philosophique.
Nous nous trouvons actuellement devant deux conceptions de la science :

1. Une conception **idéiste** dûe à Descartes et Kant, pour laquelle la mathématique est l'idéal scientifique universel, de telle sorte qu'une science est jugée d'autant plus "science" qu'elle est plus mathématique, c'est-à-dire qu'elle n'opère que sur des éléments **plus ou moins inhérents à l'esprit humain**.

On concède bien la nécessité de recourir à l'expérience pour commencer : mais on cherchera à réduire au maximum ce facteur jugé "irrationnel". La science parfaite sera celle qui parviendra, à la limite, à tout "déduire" : c'est cet idéal qu'un Hegel avait cru réaliser.

2. Une conception **réaliste** : celle-ci admet qu'il existe deux sortes d'objets de connaissance : a) des objets idéaux, b) des objets concrets ; et qu'a chaque sorte d'objets correspond un mode de connaissance qui lui est propre et donc un type adéquat de science :

a. aux objets idéaux correspond une connaissance immédiate, et une science du type mathématique procédant par voie purement logique ;

b. aux objets concrets, correspond une connaissance médiate, donc une science expérimentale qui suppose dans l'homme une faculté d'appréhension de ces objets extérieurs à l'homme : une intuition intellectuelle objective.

Kant a nié l'existence de cette intuition, mais **sans justifier sa négation** par la moindre preuve. Et depuis Kant beaucoup de philosophes font comme lui, consciemment ou non, et des savants leur emboitent le pas parce qu'ils font passer la philosophie avant la science. Mais un statisticien de métier, celui qui travaille "sur le chantier" et qui fait de la science d'abord, sans idées préconçues, sait parfaitement que Kant est dans l'errreur, et qu'il existe une intuition intellectuelle **objective** : le statisticien de métier se trouve devant la philosophie de Kant comme Diogène d'Apollonie devant les Eléates : on nous démontre, par des raisonnements abstraits, que le mouvement ne peut pas exister - mais cela ne nous empêche pas de marcher.

L'intuition du réel est un faculté mystérieuse ? Oui. Mais le problème est seulement de savoir si elle existe. On nous concède qu'elle existe, mais qu'il faut arriver progressivement à en réduire l'usage comme "non scientifique" ? Mais :

Si le réel existe (et nous l'admettons, je pense ?) nous ne le connaissons que par intuition (cela est si vrai que Kant, niant l'intuition intellectuelle objective, nie de ce fait que nous ayons du réel une vraie connaissance). Dès lors, réduire le recours à l'intuition sera ipso facto réduire le réalisme de notre science : pourquoi cette castration volontaire ? Nos facultés ne sont-elles pas déjà suffisamment limitées par nature, que nous voulions les réduire encore de nos propres mains ?

Et pourquoi vouloir qu'il n'existe qu'un **seul type de science** ? S'il existe plusieurs types d'objets de connaissance, ne doit-il pas leur correspondre plusieurs types de sciences, chacune appropriée à son objet ? Une science de type idéiste (la mathématique) pour les objets idéaux ; une science réaliste pour les objets concrets... Ce qui n'empêchera pas la science réaliste d'utiliser aussi les résultats de la science mathématique : les sciences ne peuvent se contredire, mais doivent s'entr'aider ; nous protestons seulement contre l'ambition d'une science à vouloir ab sorber les autres : à chacune son rôle.
Le vrai problème :

Non pas chasser l'intuition,

Mais la contrôler, la "domestiquer" - et dans la mesure du possible
la rendre plus claire : c'est cela l'idéal scientifique des sciences du con-
cret. Pourquoi vouloir imposer à ces dernières un idéal qui n'est pas le
leur ?

La véritable intelligence consiste-t-elle à tout réduire aux dimensions
standard d'un lit de Procuste, ou bien à traiter chaque chose de la manière
qui lui convient ?
# CHAPITRE II
## LES GRANDEURS PSYCHOLOGIQUES

### REMARQUES PRÉLIMINAIRES

Quelque opinion que l'on puisse avoir sur le caractère objectif des probabilités, force est de reconnaitre que nous rencontrons celles-ci d'abord dans la pensée du probabiliste, et le chapitre précédent nous a préparés à faire une grande place à l'étude de cet homme qu'est le statisticien vivant ; c'est donc dans cette pensée du statisticien que nous demandons la permission de commencer notre analyse, sans rien préjuger des conséquences auxquelles cette analyse pourra nous conduire. Il sera temps de retirer ces conséquences après que nous aurons dégagé les faits tels qu'ils se présentent d'abord.

Mais il nous faut auparavant attirer l'attention sur certaines imperfections de notre langage, imperfections dont nous sommes trop souvent dupes : les considérations qui suivent pourront paraitre relever de la métaphysique, mais elles sont en réalité simple affaire de vocabulaire.

Strictement parlant, il n'existe jamais deux réalités identiques : pareille expression est proprement absurbe, car si ces réalités étaient identiques, elles se seraient pas deux, mais une seule ; lorsque nous parlons d'identité entre un être A et un être B, c'est habituellement que nous ne parlons ni de A ni de B, mais d'un troisième être C, qui n'étant ni A ni B possède avec A et B certaines relations si intimes, que nous confondons dans notre langage C avec A et aussi avec B. Puissions-nous ne commettre pareille confusion que dans notre langage...

Si par exemple je pense durant un certain temps (mettons : deux secondes) au triangle rectangle, je dis que ma pensée est la même dans la première et dans la deuxième seconde : en rigueur il faudrait dire que dans ces deux secondes mes pensées ont avec l'idée de triangle rectangle des relations semblables (cette similitude étant elle-même une certaine relation d'espèce particulière et assez mystérieuse.)

De même si je soupère durant deux secondes un objet de 1.000 grammes, mes sensations dans la première et dans la deuxième seconde ont entre elles une relation telle que je les déclare "équivalentes" : mais il serait peu correct et seulement approximatif de dire qu'elles sont identiques, qu'elles sont la même sensation "prolongée" (1).

<footnote>(1) Si j'ai pris deux secondes, c'est naturellement pour la commodité du langage. Le problème se poserait d'une quantification du temps, au moins du temps psychologique mais l'unité élémentaire serait en général inférieure à la seconde. Ceci, toutefois, est une autre histoire ...</footnote>
Outre les imprécisions du langage que nous risquons d'ériger en réalités objectives, il faut se garder d'un péril plus grand encore ; celui de projeter dans la conscience les réalités physiques ou physiologiques qui sont la cause de la sensation, mais qui ne sont pas la sensation ; nous sommes facilement abusés en cette matière par des schémas imaginatifs dont nous ne savons pas nous affranchir : nous dirons par exemple que notre sensation est l'intérieur, le dedans d'un état du système nerveux, façon de parler poétique qui serait légitime si le mot "dedans" n'évoquait à notre esprit l'image de nerfs creux comme des tuyaux. Ma sensation est sans doute conditionnée par un certain état de mon système nerveux lui-même causé par la force de traction du corps pesant ; mais il n'est pas permis à priori de passer sans précaution de la cause à l'effet, de la condition de la sensation à la sensation elle-même, pas plus qu'il n'est correct, en toute rigueur, de dire que durant deux secondes l'objet soupesé est le même ; si Zénon d'Elée avait pris cette précaution (toute verbale), il aurait vu que la flèche qui vole de A en B n'est pas un être, mais plusieurs êtres entre lesquels existe une certaine relation très intime (et encore aujourd'hui mystérieuse (1) ; c'est pour exprimer l'extrême intimité de cette relation que les hommes n'ont pas trouvé d'expression meilleure que de parler de "la même" flèche, ne sachant plus dès lors ce qui est désigné par le mot flèche ; est-ce la réalité partant de A ? celle qui arrive en B ? celle qui passe en quelque point N intermédiaire ? est-ce encore cette autre réalité qu'est l'histoire du mouvement qui s'est développé de A en B ? Notre langage même tout cela sous l'unique vocable "la flèche" ; ne tombons pas comme Zénon dans cette difficulté de langage ; et pour cela efforçons-nous de penser la réalité, au lieu de penser (tel Marius !) les mots qui désignent cette réalité, et la désignent plus ou moins heureusement...

Notre exemple des sensations produites par un corps pesant va nous introduire au sujet du présent chapitre.

Si à un objet de 1,000 grammes est ajouté au bout d'une seconde un poids de 2 grammes par exemple, nous ne nous en apercevons pas : dirons-nous que nous éprouvons deux sensations dont la différence nous échappe ? Voilà qui serait un exemple de cette fâcheuse erreur consistant à projeter dans notre sensation ce que nous savons de ses causes physiques.

En réalité il faut dire que les deux sensations (car elles sont bien deux : non parce que le poids a augmenté, mais parce que le temps s'est écoulé, ainsi que nous l'avons dit précédemment (2) les deux sensations sont équivalentes ; naturellement ne les disons pas identiques puisqu'elles sont deux. Mais elles sont équivalentes aussi bien et au même titre dans l'expérience où je soupèse durant deux secondes un poids de 1.000 grammes, et dans celle où l'objet soupesé passe de 1.000 à 1.002 grammes : la cause physique de cette équivalence n'est pas la même dans l'un et l'autre cas, mais l'effet psychologique est bien le même : ce qui n'est pas ressenti n'est aucunement sensation, c'est trop clair...

(1) Cependant il semble que la physique quantique nous met sur la voie, et l'on s'apercevra bientôt sans doute que décidément ce sont les "états" de Dirac qui ont une réalité objective (d'un aspect très différent de celui que nous prêtons actuellement à la réalité), tandis que les α, les "observables" sont une relation entre les ψ et l'observateur -relation que l'observateur a la fâcheuse habitude de "projeter" dans la réalité, d'objectiver ; non certes que les α n'existent pas, mais ils n'existent que là où se trouve un observateur qui produit les α par sa relation aux ψ. Ainsi se trouvera pleinement sauvegardé le déterminisme de la matière ; c'est notre liberté qui introduit l'indétermination dans notre connaissance de cette matière. Par ailleurs cette matière ne ressemble pas du tout aux images que nous nous en forgeons, et qui sont seulement des images de notre relation à la matière.

(2) Rappelons que c'est pour simplifier le langage que nous prenons la seconde comme "quantum" de temps psychologique.
Ainsi apparaît entre deux sensations une certaine sorte de relation que nous appelons "équivalence", et dont nous allons étudier les propriétés.

Il résulte des expériences classiques de Fechner que, étant donnés trois poids successifs $\alpha, \beta, \gamma$ il arrive que l'on puisse distinguer $\alpha$ de $\gamma$ sans pouvoir cependant distinguer $\alpha$ de $\beta$ ni $\beta$ de $\gamma$.

Il existe entre les poids **physiques** un "seuil" au-dessous duquel l'orgaanisme d'un sujet donné ne sait pas faire de distinction. Evitant, comme il a été dit, de projeter les poids **physiques** $\alpha, \beta, \gamma$ dans les sensations A, B, C, nous devons dire qu'en ce qui concerne ces sensations, il existe ;

entre A et B, entre B et C, une relation d'équivalence,

entre A et C, une relation de distinction,

Il apparaît ainsi que la relation d'équivalence entre **réalités** psycho-**logiques** n'est pas nécessairement transitive.

Que l'on ne se récrite pas au nom du principe d'identité ; nous avons suffisamment expliqué que la notion d'identité n'a rien à voir ici ; si on l'invoque c'est qu'encore une fois on projette dans le domaine psychologique un schéma qu'on s'est fabriqué avant d'observer la réalité psychologique telle qu'elle est. Par exemple, on a admis d'avance que les sensations sont mesurables par des nombres, les sensations équivalentes étant mesurées par des nombres égaux ; et comme l'égalité arithmétique est transitive on en conclut que l'équivalence psychologique doit l'être aussi : mais c'est précisément là toute la question.

En toute rigueur, voici la seule conséquence légitime que l'on puisse tirer du caractère transitif de l'égalité arithmétique : comme cette transitivity est regardée comme essentielle à la science mathématique, on ne peut établir entre l'univers et un schéma mathématique de correspondance biunivoque où l'équivalence soit représentée par une égalité, que si dans l'univers toute équivalence est transitive. Si l'univers contient en fait des équivalences non transitives, sa représentation par un schéma mathématique du type précédent est impossible. Autrement dit encore, un tel univers n'est pas totalement réductible à un schéma quantitatif. La loi expériem-tale de Fechner semble bien démontrer que tel est le cas pour l'univers réel, car les faits psychologiques font partie de cet univers, et agissent sur lui (à une échelle que la bombe atomique a rendue appréciable).

Si l'univers contient des réalités "qualitatives" non réductibles à la quantité (1), cela ne signifie pas qu'on doive renoncer à en faire un étude **scientifique** et même parfaitement **positive**. On pourra même, si l'on veut, utiliser pour cette étude une espèce de mathématique de type nouveau, une "mathématique de la qualité" ; en commençant par dilater notre système de symboles "mathématiques" aux dimensions de l'univers, on pourra bien dire que l'univers est réductible aux mathématiques : ce n'est plus alors qu'affaire de langage.

Nous allons esquisser une telle algèbre de la qualité, prélude nécessaire, à notre avis, de la statistique mathématique.

## ENSEMBLE "COMPARABLE"

Considérons un ensemble d'"êtres" A, A', C, auxquels on a associé une certaine opération, nommée équivalence, qui se notera : $A \times A'$ (et qui est supposée identique à sa réciproque $A' \times A$).
Si l'équivalence est transitive, on peut faire correspondre à l'ensemble précédent un ensemble dit "isomorphe" $X_1, X_2, ...$ tel qu'à tout A corresponde un X, qu'à deux A non équivalents correspondent deux X distincts et qu'à deux A équivalents corresponde un seul X (1).

Mais si l'équivalence n'est pas transitive, cette réduction isomorphique n'est pas possible : c'est parce qu'on a l'habitude de la postuler qu'on se scandalise à la pensée d'une équivalence non transitive.

L'équivalence peut d'ailleurs être transitive pour une partie seulement des A : dans l'avenir nous supposerons d'ordinaire que pour ceux-là la réduction a été effectuée. Supposons maintenant qu'en outre de l'équivalence soit définie une certaine relation nommée prévalence ($A > B$), possédant les propriétés suivantes : elle est exclusive de l'équivalence, ainsi que de sa réciproque (sa converse se nommera postvalence, notée : $B < A$). Bien que ce ne soit probablement pas toujours le cas, nous supposerons la prévalence transitive :

de $A > B$ et $B > C$ on tirera : $A > C$.

En général la prévalence ne commute pas avec l'équivalence, autrement dit de : $A \not> B$ et $B > C$ on ne peut tirer $A > C$, car se serait exclure la possibilité d'avoir simultanément ; $B \not> A$, $A \not> C$, $B > C$ : en ce cas l'équivalence serait transitive, ce qu'on ne suppose pas.

Si maintenant, étant donnés deux êtres quelconques d'un certain ensemble E, il existe toujours entre eux soit équivalence soit prévalence (ou postvalence), l'ensemble sera dit comparable. Eu égard à ces relations d'équivalence et de prévalence, les éléments de l'ensemble seront alors nommés des "grandeurs".

Ce nom de grandeurs ne doit pas nous faire illusion : il n'appartient pas aux éléments eux-mêmes, mais à l'association de ces éléments avec leurs relations de comparaison ; en outre, si l'équivalence n'est pas transitive dans l'ensemble (2) nous savons qu'on ne peut associer à chaque élément un symbole qui constituerait "sa grandeur", de telle sorte qu'à deux éléments équivalents corresponde "une même grandeur". C'est donc avec beaucoup d'hésitation que nous acceptons d'employer ce nom dangereux de "grandeurs" : il s'agit de grandeurs improprement dites. Si au contraire l'équivalence est transitive (2) le terme de grandeur ne fait plus de difficulté : nous parlerons alors de grandeurs vraies, et l'ensemble E sera dit ordonné.

Examinons un cas particulier important, celui d'un ensemble E comparable mais non ordonné (c'est-à-dire dans lequel l'équivalence n'est pas transitive) satisfaisant aux deux conditions suivantes :

1°) De $A' \not> A$ et de $A > B > C$ on peut tirer $A' > C$.

2°) Etant donné un couple quelconque d'éléments équivalents $A' \not> A$, on peut trouver des X équivalents à $A'$ et prévalents à A, ou bien on en peut trouver d'équivalents à A et prévalents à $A'$, mais non les deux à la fois.

<footnote>(1) En ce cas nous employerons les notations classiques : $=, <, >$ au lieu de $\not>,$.</footnote>

<footnote>(2) On notera qu'elle peut l'être dans un sous-ensemble de E sans l'être dans E ; auquel cas la réduction isomorphique effectuée dans le sous-ensemble n'est pas correcte dans l'ensemble total : source d'erreurs fréquentes.</footnote>
Dans ces conditions, on peut **ordonner** A et A' par référence aux X, et cet ordre est transitif. L'ensemble E, dans ce cas, bien que non ordonné par nature, est ainsi **ordonnable** par un artifice. A chaque élément A on peut associer l"intervalle" (ordonné comme il vient d'être dit) de ses équivalents. Si l'on a défini dans l'ensemble E une addition (comme nous l'expliquons ci-dessous) un tel ensemble est alors **approximativement mesurable**, c'est-à-dire qu'il est représentable par des points d'un axe avec un seuil E à l'intérieur duquel se trouvent les points figuratifs de l'intervalle associé à A (1). C'est ce qui se passe pour la loi de Fechner par exemple.

## ENSEMBLE MESURABLE

Notre dessein n'est pas de faire ici une axiomatique en règle, mais seulement d'ouvrir la voie à un pareil travail. Aussi nous contenterons-nous d'esquisser quelques notions, d'énoncer quelques postulats sans chercher à être exhaustif. Il nous faut expliquer ce qu'est l'addition, qui nous conduira à la notion de mesure : bornons nous à quelques principes fondamentaux.

L'addition telle qu'on l'envisage dans le domaine des mathématiques classiques, est une opération qui associe à un couple d'éléments A, B, ap-
partenant à un certain ensemble E un troisième élément C, cette opération
étant astreinte à posséder certaines propriétés : il est habituellement de-
mandé à l'addition d'être commutative et associative, d'admettre une opé-
ration inverse(soustraction) et un élément unitaire (le zéro) ; dire qu'il
y a un zéro, c'est dire que l'ensemble E' des C contient l'ensemble E, ou
même s'y réduit : s'il ne s'y réduit pas, on supposera qu'on peut encore
définir d'addition dans l'ensemble E', puis dans l'ensemble E" qui en ré-
sultera, etc.. et l'on aboutira à un ensemble $\mathcal{E}$ (peut être infini ou trans-
fini) dans lequel l'addition formera groupe : nous dirons que $\mathcal{E}$ forme un
ensemble additif. D'autre part on a supposé dès le début que l'addition
commute avec l'égalité, c'est-à-dire que, de : $A' = A$ et : $B' = B$, on tire :
$A' + B' = A + B$

Quand nous abordons les "grandeurs psychologiques", la commutati-
vité et l'associativité de l'addition ne font généralement pas difficulté ; il
n'en va pas de même des autres conditions.

Et d'abord, si l'équivalence (qui remplace ici l'égalité) n'est pas
transitive, il est difficile de supposer que l'addition commute avec elle.
On pourra bien parfois, de $A' \times A$, conclure $A' + B \times A + B$ ; mais la ré-
ciproque sera inexacte, ce qui rendra difficile une définition de la sous-
traction. Ces difficultés pourront être surmontées dans le cas des ensembles
qui, sans être ordonnés, sont ordonnables indirectement comme il a été
expliqué plus haut : il suffira que l'addition commute avec cet ordre.

Reste une dernière difficulté, sur laquelle nous attirons très parti-
culièrement l'attention, car elle est souvent négligée : lorsqu'on part d'un
ensemble E possédant certaines propriétés, l'ensemble E' des A + B peut
avoir une structure fort différente, s'il ne se réduit pas à E lui-même. Et
d'abord, il peut ne pas même contenir E : on se rendra compte en effet que
souvent, ayant cru définir une "addition" des éléments de E, on a omis de
s'assurer de l'existence d'un élément zéro. Ensuite, même si E' contient

<footnote>(1) Nous n'avons pas examiné de très près si les conditions ici énoncées sont abso-
lument suffisantes ; nous laissons ce soin à ceux que la question intéresserait.</footnote>
E, l'ensemble $\mathcal{E}$ des E, E', E''$, etc... peut être assez difficile à déterminer. Enfin on devra prendre garde que, partant d'un ensemble E comparable ou même ordonné, on peut aboutir à un ensemble E' qui ne sera ni ordonné, ni peut être même comparable.

Pour toutes ces raisons, nous ne définirons en principe l'addition que pour un ensemble $\mathcal{E}$ tout entier ordonné, ou au moins ordonnable : nous rentrons alors dans le domaine des mathématiques classiques. Moyennant quelques conditions supplémentaires bien connues (existence d'autant d'éléments que l'on veut équivalents à un élément donné A, possibilité de "dépasser" tout élément B par addition successive d'éléments équivalents à A, ou encore existence des "sous-multiples" pour tout élément) on pourra définir une mesure de $\mathcal{E}$, c'est-à-dire réaliser une isomorphie entre $\mathcal{E}$ et un ensemble de nombre réels, avec correspondance des opérations. Nous dirons alors que l'ensemble $\mathcal{E}$ est mesurable. Si l'équivalence n'est pas transitive, mais que nous ayons pu ordonner E par le procédé indirect exposé plus haut, nous dirons que $\mathcal{E}$ est approximativement mesurable ; dans ce dernier cas, on notera qu'il n'y a pas correspondance entre l'équivalence dans $\mathcal{E}$ et l'égalité des mesures, c'est l'inégalité $|x-x'| < \varepsilon$ qui est l'image de l'équivalence. (1)

## NOTIONS DIVERSES

Nous dirons que $E'$ est un "sur-ensemble" de E, lorsqu'il contient $E_1$, lors donc que E est un sous-ensemble de $E'$. Nous avons attiré l'attention sur la prudence avec laquelle on doit passer d'un ensemble à un sur-ensemble. Etudions le cas où, étant donnés deux ensembles mesurables $E_1$ (formé d'éléments A) et $E_2$ (formé d'éléments B) on associe à chaque couple (A, B) un élément C d'un ensemble $\mathcal{C}$.

Il peut se faire que les trois ensemble $E_1$, $E_2$ et $\mathcal{E}$ coincident, et que l'association (A,B) ne soit pas autre chose que l'addition $A + B$. Il peut se faire que, $E_1$, $E_2$ et $\mathcal{E}$ coincidant toujours, (A,B) constitue une nouvelle opération : on connait bien, en particulier, les conditions pour que cette opération soit dite "multiplication".

Mais il peut se faire encore que, $E_1$, et $E_2$ étant ou non identiques, $\mathcal{E}$ soit un ensemble nouveau. Pour considérer l'association (A,B) comme une opération, nous exigerons qu'elle commute avec l'équivalence (supposée transitive, puisque $E_1$ et $E_2$ sont mesurables); cela soulèvera de gros problèmes en pratique, problèmes que l'on a trop souvent tendance à négliger comme d'avance résolus.

Que supposons-nous maintenant sur $\mathcal{E}$ ? Il n'est pas toujours nécessaire de le supposer mesurable, ni ordonné, ni même peut-être comparable. Parfois, nous saurons seulement que les sous-ensembles de $\mathcal{E}$ obtenus en fixant soit A, soit B, sont mesurables ; en ce cas, à certaines conditions on pourra regarder l'association (A, B) comme une sorte, soit d'addition, soit de multiplication, complexe.

Ces considérations auront suffi à montrer l'extrême complication de ces problèmes, et la prudence avec laquelle on doit avancer dans ce domaine, singulièrement plus délicat que celui des grandeurs algébriques.

<footnote>(1) Nous ajournons la recherche des conditions complètes pour qu'un ensemble $\mathcal{E}$ soit approximativement mesurable ; question connexe : l'intervalle est-il à prendre ouvert ou fermé ?</footnote>
Pour terminer, quelques mots sur une notation dont nous ferons grand usage :

Lorsqu'un ensemble E de grandeurs $A_i$ est mesurable (en considération d'un système $\Sigma$ d'opérations), pour exprimer que les $A_i$, sont entre eux comme les nombres $\alpha_i$ nous écrirons :

$$ \sum A_i/E/\alpha_i $$

ou plus simplement :

$$ A_i/i/\alpha_i \text{ ou même } A_i//\alpha_i $$

lorsqu'il n'y aura pas ambiguïté.

(Le symbole $//$ ou $i/\$\$$ pourra se lire :

"...proportionnel à .." ou "... proportionnel (i) à ...")

Si les A dépendent de deux indices, nous écrirons de même :

$$ A_{ij}/ij/\alpha_{ij} \text{ ou seulement : } A_{ij}//\alpha_{ij} $$

Si les sous-ensembles à j constant sont seuls mesurés par certains nombres, et si l'élément mesuré par zéro ne dépend pas de j, nous écrirons :

$$ A_{ij}/i/\alpha_{ij} \text{ ou : } A_{ij}/i/\alpha_i $$

selon que les rapports des Aij à j constant dépendent ou non de cette valeur constante de j.

Lorsqu'il sera nécessaire de préciser une restriction (comme par exemple la constance de j) nous l'écrirons à la suite, séparée par un triple trait vertical :

$$ A_{ij}/i/\alpha_{ij}///j=C^{te}; \text{ ou simplement : } ///j $$

Si les sous ensembles à i constant et à j constant sont mesurables (1) sans que peut-être l'ensemble total le soit, nous écrirons :

$$ A_{ij}/i/j/\alpha_{ij} $$

On ne devra pas sans justification en tirer :

$$ A_{ij}/ij/\alpha_{ij} $$

comme on le fait trop souvent : cela n'est correct que si l'on a établi que l'ensemble $(A_{ij})$ est mesurable.

Eclairons les considérations qui précèdent par un exemple, qui a du reste pour nous une grande importance : la notion de *prix*, ou "valeur".

**Exemple : la notion de "valeur"**

On a coutume d'attacher les valeurs à des "choses" (objets matériels, énergie, situations...); cette façon de voir soulèverait des difficultés parfois inextricables, et ne permettrait pas souvent de mesurer les valeurs :

<footnote>(1) Les éléments zéro restant toujours fixes.</footnote>
les intérêts respectifs portés par un homme à un pain, une séance de cinéma, sa profession, sa femme..., ces intérêts ne paraissent en aucune manière comparables. En revanche si cet homme se trouve dans une situation déterminée ayant à prendre une décision pour l'instant qui vient, il peut avoir à choisir entre : manger maintenant, aller maintenant au cinéma finir maintenant un travail commencé, retourner maintenant au domicile où sa femme l'attend : "peser" ces décisions, cela a un sens ; c'est une psychologie de la décision que constitue donc une étude de la notion de valeur.

Dans ce chapitre, nous nous bornerons aux décisions dont les conséquences sont regardées comme certaines (et c'est pourquoi on a coutume de reporter les valeurs sur ces conséquences) mais nous étudierons plus loin des décisions dont les conséquences sont aléatoires, et force nous est en vue de ce cas, d'employer un langage plus rigoureux.

Soient d'abord deux décisions G et H qui s'excluent l'une l'autre (du moins dans l'immédiat où seul je les envisage ici), et entre lesquelles j'hésite. Lorsque je préfère G à H, j'écrirai : G > H, et G < H dans le cas inverse. Si je n'ai pas de préférence, je dirai que les deux décisions sont équivalentes, et j'écrirai :

$$G \not> H^{(1)}$$

Les trois relations précédentes ( > < et ≽ ) possèdent presque toujours les propriétés que nous avons énoncées comme caractéristiques des grandeurs comparables (2). Voici maintenant comment on peut définir l'addition, mais (comme nous l'avons dit) cette définition ne semble intérés-sante que si l'équivalence est transitive, ou si du moins on peut introduire un ordre indirect qui la rende "approximativement transitive" (ce qui est souvent le cas).

Soient G et H deux décisions compatibles. A certaines conditions psychologiques elles seront dites "indépendantes", et nous admettrons que la conséquence en est que la double décision G + H a une "valeur" qui ne dépend que des valeurs de G et de H, en d'autres termes : dire que des décisions sont indépendantes, ou dire que leur addition commute avec l'équivalence, ce sera à nos yeux deux énoncés (l'un psychologique, l'autre logique) d'une même réalité. Il importe de remarquer, dans ces conditions, que des décisions indépendantes dans un ensemble E peuvent cesser de l'être dans un sur-ensemble E' : cette conséquence nous paraît très admisible, et très éclairante pour certains problèmes de psychologie.

Lorsqu'alors sont remplies les conditions convenables, et qu'en particulier les G, H..., les G + H, appartiennent à un même ensemble comparable, ordonné ou du moins ordonnable, on peut mesurer les valeurs des décisions par des nombres (de façon exacte ou seulement approchée) : nombres relatifs naturellement, définis à un facteur près, et que nous noterons $\tilde{w}(G)$ :

$$G/\tilde{w}/E/\tilde{w} \quad (G) \quad \text{ou plus simplement } G//\tilde{w} \quad (G)$$

le $\tilde{w}$ placé au-dessus exprimant le point de vue d'où sont comparables les G

<footnote>(1) Il est supposé que G et H sont envisagés sous un certain rapport, et qu'en écrivant $G \not> H$ je me réfère à cette façon déterminée de les comparer (ainsi qu'à la personne qui fait cette comparaison).</footnote>

<footnote>(2) En fait la prévalence n'est sans doute pas toujours transitive : mais nous négligerons cette circonstance.</footnote>
Il arrive souvent qu'un ensemble de décisions $G_i$ étant mesurable selon le procédé qui vient d'être expliqué, et de même un ensemble $H_j$, la réunion de ces deux ensembles $G_i$ et $H_j$ ne sera plus mesurable ni même comparable. En ce cas, il arrivera d'ordinaire que les $G_i + H_j$ sont mesurables lorsqu'on fixe soit i, soit j. Cependant les éléments zéro n'étant pas fixes, on ne peut user de la notation exposée plus haut, mais sous certaines conditions on pourra représenter la valeur de $G_i + H_j$ par un vecteur $I \omega (G) + J \omega (H)$.
# CHAPITRE III

## VRAISEMBLANCES - PROBABILITÉS - ÉPREUVES

La notion de "valeur" nous a fourni un exemple de grandeur psychologique mettant bien en évidence les difficultés signalées au chapitre II. Abordons à présent la notion qui constitue l'objet propre de notre étude, la notion de "vraisemblance".

Indiquons d'abord que nous ne prenons pas ce mot exactement au même sens que R.A. Fisher, mais que nous désignons par la une grandeur analogue à ces étranges "probabilités a priori" de la formule de Bayes. Plus précisément nous montrerons que si l'on admet la notion que nous appelons "vraisemblance", on peut légitimer (dans certains cas) l'usage d'une formule semblable à la formule de Bayes, mais dans laquelle les premiers nombres mesurent des "vraisemblances" et non pas des probabilités. Nous verrons d'autre part que la notion de vraisemblance est *antérieure* à celle de probabilité, qu'elle la déborde, et qu'elle *en rend compte*. Si bien qu'en fin de compte cette notion, fort mystérieuse j'en conviens, mais absolument indispensable, constitue le véritable fondement *et du calcul des probabilités, et de la théorie correcte de l'estimation statistique*.

Fort mystérieuse, ai-je dit : on ne s'en étonnera pas, si l'on réfléchit que les notions premières de toute science présentent toujours ce caractère. Or nous pensons que le calcul des probabilités est une science *originale*, et non une simple branche des mathématiques. Et c'est faute d'avoir vu ou accepté cette originalité que l'on a vainement tenté jusqu'à ce jour (telle est du moins notre opinion) une axiomatique du calcul des probabilités ; on a voulu que ce dernier soit aux mathématiques ce que la géométrie est à l'analyse : on sait comment la géométrie analytique permet d'identifier formellement les être géométriques à des êtres analytiques. Mais à notre avis cela n'est pas totalement réalisable en calcul des probabilités. On peut bien réduire à la théorie de la mesure des ensembles les grandeurs qui mesurent les probabilités ; on ne peut pas y réduire la façon d'utiliser ces grandeurs. Dès que l'on veut qu'une probabilité signifie quelque chose, on fait éclater le cadre d'une axiomatique exclusivement abstraite : on le voit bien par exemple dans les déconcertantes questions de probabilités arithmétiques (sur lesquelles Monsieur Borel a si heureusement attiré l'attention).

A ceux que heurteraient les idées que nous allons exposer maintenant, nous demanderons de nous faire provisoirement crédit, comménd'Alembert le demandait pour l'usage des imaginaires (dont il fallut attendre un siècle la pleine justification logique) : "employez-les toujours, la foi vous viendra..."
## VRAISEMBLANCES ET PROBABILITÉS

Lorsque je (1) me trouve en présence d'un problème concret à résoudre : "Y a-t-il du feu dans cette maison là-bas ?" etc..., l'ensemble de mes connaissances passées et de mes informations présentes (peut être aussi la structure particulière de mon cerveau et mes dispositions sentimentales) tout cela concourt à me suggérer diverses réponses, que je juge diversement "vraisemblables" ; Il y a de la fumée, il doit y avoir du feu. -Ce que je prends pour de la fumée n'est peut être que du brouillard. - Il est midi, la maison parait habitée, il est donc vraisemblable qu'on y prépare le déjeuner -Ou même : je suis trempé, ma bonne étoile a dû me favoriser, une fois de plus et me préparer du feu -ou au contraire : Avec ma malchance habituelle je ne trouverai pas à me sécher - Etc...

Ainsi dans une circonstance bien déterminée, à diverses hypothèses touchant la réalité, j'attribue des degrés divers de "vraisemblance".

Ces "vraisemblances" sont des grandeurs psychologiques ; elles sont relatives à un problème objectif jugé par une sujet. On ne peut donc les quifier a priori ni de purement objectives, ni de purement subjectives : elles se présentent comme essentiellement relatives.

Est-ce que *a posteriori* on pourrait montrer qu'elles ne dépendent du sujet qu'en apparence, et que tout sujet ayant les mêmes informations les appréciera de la même façon ? Il ne nous semble pas : les connaissances passées du sujet y jouent un rôle irréductible. Dira-t-on alors qu'elles seront du moins appréciées semblablement par deux sujets ayant strictement les mêmes connaissances passées jointes aux mêmes informations présentes ? Nous ferons remarquer que ces deux sujets ne seraient pas alors *deux*, mais *un seul* : cependant nous admettrons volontiers que pour un tel sujet, il n'y a effectivement qu'une seule façon *légitime* d'apprécier les vraisemblances, et que s'il s'en écarte c'est qu'il fait une place (*indue*) à ses dispositions sentimentales. En ce sens-là, on peut parler du caractère objectif des vraisemblances : nous dirons donc qu'elles sont *objectivement relatives*, qu'elles sont une relation *objective* d'un sujet à un objet. En outre il arrivera souvent que tous les hommes placés dans une même situation apprécieront les vraisemblances de façon pratiquement identique. Mais nous ne croyons pas devoir retenir la notion d'une vraisemblance qui serait objective en ce sens qu'elle serait attachée à l'objet *seul* : cette remarque (qui nous parait de simple bon sens) est très importante, car elle condamne tout une façon contemporaine d'interpréter la mécanique quantique.

Soient maintenant A, B, C,... diverses hypothèses que j'envisage concernant un certain problème concret Z - ce problème étant : Y a-t-il du feu dans cette maison ? Ou encore : la pièce de monnaie que j'aperçois de loin sur cette table est-elle tournée côté face, ou côté pile ?

A chaque hypothèse j'attache, comme il vient d'être dit, une "vraisemblance", grandeur psychologique que nous noterons V(A), V(B)... (2) On notera à ce sujet que :

<footnote>(1) Dans tout ce qui suit, le statisticien est un homme bien déterminé. Pour alléger le style, il sera commode de le faire parler à la première personne.</footnote>

<footnote>(2) S'il est nécessaire d'explicitier le fait que cette vraisemblance est relative à un sujet déterminé S (nous entendons par là ce sujet pris avec tout ce qui le spécifie : connaissances passées, informations présentes, problème Z qu'il cherche à résoudre) nous noterons : V (AS). Il est en effet d'un haut intérêt de remarquer que l'opinion d'un sujet S sur une proposition hypothétique A possède certaines propriétés de la multiplication.</footnote>
1°- Il n'est pas nécessaire pour donner un sens à V (A) d'envisager toutes les hypothèses possibles ; V(A) n'est pas la proportion de vraisemblance que j'attribue à A parmi ces diverses hypothèses, mais la vraisemblance que j'attribue directement à la seule hypothèse A,

car 2°- V (A) n'est pas un nombre, mais une de ces mystérieuses "grandeurs psychologiques" dont nous avons déjà parlé.

En fait, je ne suis peut être pas même absolument certain qu'il y ait une pièce de monnaie sur la table là-bas. S'il n'y en a pas, si ce que je prends pour une pièce n'est qu'une tache sur la nappe, la question serait dépourvue de sens. Elle ne l'est pourtant pas ; il suffit de formuler A ainsi : y a-t-il sur cette table une pièce de monnaie côté face ? B se formulera de même : y a-t-il sur cette table une pièce de monnaie côté pile ?

Ainsi V (A) et V (B) ont chacune un sens propre, indépendamment de leur comparaison. Encore une fois, le caractère mystérieux de cette notion de vraisemblance ne l'empêche aucunement d'exister, et n'empêche pas davantage d'en faire une certaine étude, qui pour être imparfaite n'en est pas moins importante et instructive.

Supposons maintenant qu'il soit possible de comparer V(A) et V(B), selon ce qui a été expliqué au chapitre II. En particulier, dans l'exemple précédent, si je suis assez loin de la pièce que je crois apercevoir, je serai conduit généralement à attribuer à A et à B des vraisemblances qu'il m'est possible de déclarer équivalentes ; ce qui se notera : V(A) ≈ V(B).

Lorsque l'équivalence est transitive (ce qui est du reste toujours le cas s'il n'y a que deux hypothèses envisagées) on peut écrire :

$$V (A) = V (B), \text{ ou } V (A), V (B) \parallel I.$$

On définit l'addition logique de deux hypothèses A et B, comme étant l'hypothèse C = A + B selon laquelle de A et de B l'une au moins est vraie. Sous certaines conditions, concernant notamment l'incompatibilité de A et B, il est légitime de définir l'addition des vraisemblances par :

$$V (A) + V (B) = V (A + B) (1). \text{ Il est alors possible d'écrire :}$$

$$V (A), V (B), V (A + B) \parallel 1,1,2.$$

On fera donc tout naturellement la convention :

$$\frac{V (A)}{V (A+B)} = \frac{V (B)}{V (A+B)} = \frac{1}{2}$$

Le quotient $\frac{V (A)}{V (A+B)}$ lorsqu'il est ainsi mesurable par un nombre recevra le nom de probabilité.

On remarquera à ce sujet deux choses :

1°- La restriction : "lorsqu'il est mesurable par un nombre". La probabilité (qui n'est pas une vraisemblance, mais un quotient de deux vraisemblances) est une notion de portée restreinte ; on peut toujours parler de vraisemblance, on ne peut parler de probabilité qu'à certaines conditions. En pratique on pourra souvent admettre que les vraisemblances, sans être strictement mesurables, le sont de façon approchée : cela suffira pour définir, de façon également approchée, leurs quotients. Il arrivera alors qu'un schéma de probabilité strict n'existant pas, on se contenant

<footnote>(1) Voir au chapitre précédent ce qui a été dit sur la définition de l'addition.</footnote>
tera d'un schéma approximatif : il ne faudra pas oublier ce caractère d'ap-
proximation, qui expliquera bien des discordances entre "l'esprit de géo-
métrie" et "l'esprit de finesse".

2°- Nous n'avons pas eu besoin de supposer que A + B couvre la to-
talité des hypothèses possibles : C'est par un libre décret de ma volonté
que j'ai décidé de nem'intéresser qu'à elles deux. Si par exemple j'ai fait
un pari avec un camarade, il est sous-entendu que s'il n'y a pas réel-
lement de pièce sur la table le pari est annulé.

Nous sommes dès lors conduits à la définition suivante de la proba-
bilité :

La probabilité d'une hypothèse A par rapport à un ensemble convenu d'hypothèses H est le quotient de la vraisemblance de A par la vraisemblance de H, lorsqu'on peut légitimement mesurer ce quotient par un nombre.

Comme on peut généralement se ramener aux cas de vraisemblances
deux à deux équivalentes, nous dirons encore :

La probabilité d'une hypothèse A est le rapport entre le nombre de
sous-hypothèses incompatibles qui constituent A et le nombre de toutes
celles que l'on a décidé de retenir, lorsque ces diverses hypothèses peu-
vent être regardées comme également vraisemblables.

Nous retrouvons ainsi la définition classique, avec les différences
suivantes :

1°- Nous ne parlons pas de probabilité d'un événement, mais de celle d'une hypothèse.

2°- A la formule parlant de "tous les cas possibles", nous en subs-
tituons une qui parle seulement des hypothèses que l'on a décidé de retenir.

3°- Nous faisons une restriction sur la légitimité d'une comparaison
quantitative entre les diverses vraisemblances : pour autant que cette compa-
raison quantitative sera légitime, nous disons que le système est mesurable.

4°- En substituant l'expression "également vraisemblables" à l'expression "également probables" de la définition traditionnelle, nous la libérons d'un cercle vicieux bien connu ; on ne peut définir **probabilité** par **probable**, mais on peut définir **probabilité** par **vraisemblable**. On dira sans doute que nous n'avons fait que déplacer la difficulté ? Certes : mais que peut-on faire d'autre en matière de définition, que de remonter vers des notions de plus en plus primitives ? Or, nous pensons que la notion de vraisemblance, beaucoup plus large que celle de probabilité, lui est antérieure : en ramenant l'une à l'autre, nous n'avons pas supprimé une difficulté qui ne saurait être supprimée ; nous l'avons seulement mieux localisée ; n'est-ce pas déjà quelque chose ?

*

* *

Nous avons parlé dans ce qui précède de l'addition logique de deux hypothèses, et indiqué que sous certaines conditions cette opération permet de définir l'addition des vraisemblances. De même le produit logique d'hypothèses A et B permet, sous certaines conditions encore, de fonder la multiplication des vraisemblances.
Lorsqu'en effet les $A_i$ et les $B_j$ sont indépendantes, c'est-à-dire lorsque la connaissance éventuelle d'un A ne modifie pas les vraisemblances *relatives* des B, et réciproquement, (1) les vraisemblances des hypothèses doubles $A_i B_j$ sont entre elles comme celles des $B_j$ lorsqu'on fixe $A_i$, comme celles des $A_i$ lorsqu'on fixe $B_j$. Ce que nous écrivons :

$$V(A_i B_j)/i/j/V(A_i) \wedge V(B_j).$$

Si alors les $V(A_i B_j)$ sont mesurables, on sait qu'il en résulte : $V(A_i B_j)/i/j/V(A_i) V(B_j)$

Cette proportion ne permet pas, remarquons-le, de comparer : $V(A_i B_j)$ à $V(A_i)$ ou à $V(B_j)$ (2) mais cela n'est généralement pas nécessaire, il suffit de pouvoir comparer les $V(A_i B_j)$ entre eux.

Si les $A_i$ et les $B_j$ ne sont pas indépendants, il n'existe pas de formule simple donnant la vraisemblance $V(A_i B_j)$ ; pour retrouver la formule classique sur la probabilité p ($A_i$; $B_j$) il faudrait ajouter certaines conditions, généralement omises parce qu'on les regarde comme allant de soi, ce qui est discutable. (3)

## ÉPREUVES

Nous sommes maintenant en mesure d'étudier ce qu'est une épreuve, et en quel sens elle fournit de l'information.

Soit, pour fixer les idées, une urne que nous supposons contenir une infinité de billes blanches et rouges dans une proportion inconnue. $\lambda, 1-\lambda$.

Nous prélevons un échantillon $X$ de n billes, dont $k$ se trouvent être blanches, et donc $n-k$ rouges. Que peut-on dire au sujet de $\lambda$ ?

Nous commencerons par supposer que nous avons, avant tout échantillonnage, quelque idée relativement aux valeurs possibles de $\lambda$, cette idée se traduisant par une fonction de vraisemblance $V(\lambda)$ (que nous n'avons besoin de conhaitre qu'à un facteur près : désormais, sauf mention expresse nous appelons $V(\lambda)$ des nombres proportionnels aux vraisemblances psychologiques supposées mesurables).

Plaçons-nous avant que la composition de l'échantillon. $X$ ne soit continue ; il est absolument indifférent, du reste, que cet échantillon ait été déjà tiré ou non ; ce sont nos informations qui comptent, non pas la date à laquelle se situe l'évènement (sauf dans le cas où la date en question constituerait déjà un début d'information sur la question que je me pose). Je puis alors me poser une double question : composition de l'urne, composition $\frac{K}{n}$ de l'échantillon $X$. Cette double question donne lieu à une série d'hypothèses composées, que je puis caractériser par le couple de nombres $(\lambda, k)$. A chacun de ces couples correspond, selon mes informations avant connaissance de $X$, une vraisemblance que je caractérise par son nombre proportionnel : $V(\lambda, k)$.

<footnote>(1) Je ne suis pas certain que cette réciproque aille de soi.</footnote>

<footnote>(2) On a toutefois évidemment : $V(A_i B_j) \leq V(A_i)$</footnote>

<footnote>(3) Indiquons une notation commode : pour représenter la proposition qui énonce que $B$ est vrai si $A$ l'est déjà, écrire $\frac{B}{A}$. On a ainsi : $A B \equiv A \bar{B} \equiv \bar{A} B$. $V(AB) = V(\bar{A}B)$ Il est exact que $V(AB)/B/V(\bar{A}) \equiv IIIA$, mais il est inexact en général que : $V(AB)/A/V(A) \equiv B$. On remarquera que le syllogisme en "barbara" consiste à tirer de $\frac{B}{A} \frac{C}{B}$ la proposition $\bar{A}C$.</footnote>
Au reste, certaines hypothèses que nous sommes décidés à admettre sur le caractère aléatoire des tirages et leur indépendance, nous permettent d'écrire :

$$v(\lambda, k) \parallel V(\lambda) C_n^k \lambda^k (1-\lambda)^{n-k}$$

Telle est la vraisemblance d'un couple $(\lambda, k)$ lorsqu'on ne possède aucune information supplémentaire.

Plaçons-nous à présent après que nous avons pris connaissance de la composition de l'échantillon X. Le seul changement qui en résulte pour nos vraisemblances est que désormais $k = k_o$ est connu, et donc les seuls couples $(\lambda, k)$ à considérer sont les $(\lambda, k_o)$. Mais puisque nous admettons l'indépendance des vraisemblances de k et de $\lambda$, les vraisemblances relatives de ces couples sont les mêmes qu'avant notre information sur k, autrement dit :

$$v(\lambda, k_o) / \lambda / V(\lambda) C_n^{k_o} \lambda^{k_o} (1-\lambda)^{n-k_o}$$

ou simplement :

$$v(\lambda, k_o) \parallel V(\lambda) \lambda^{k_o} (1-\lambda)^{n-k_o}$$

Ainsi la connaissance de l'échantillon X a pour effet de multiplier les vraisemblances initiales $V(\lambda)$ par le "facteur de vraisemblance" $\lambda^k (1-\lambda)^{n-k_o}$ : ce facteur n'est pas à proprement parler une vraisemblance, mais il constitue un opérateur qui transforme les vraisemblances avant épreuve en vraisemblances après épreuves (1).

La même théorie s'applique immédiatement aux échantillonnages portant sur une loi continue. Soit $f(x, m)$ la densité de probabilité d'une telle loi, où le paramètre inconnu m est regardé avant toute épreuve comme ayant une vraisemblance $V(m)$.

Considérons un échantillon de n points $x_1, x_2, \dots, x_n$ ; pour alléger l'écriture, nous le désignerons par le point figuratif dans l'espace à n dimensions, et conventionnellement $f(\xi)$ sera mis pour $f(x_1) f(x_2) \dots f(x_n)$.

Avant épreuve, nous pouvons considérer la vraisemblance de l'ensemble $(m, \xi)$, laquelle est $V(m) f(\xi)$ (étant entendu qu'à tout point $\xi$ est associé un volume infiniment petit dw qui ne jouera aucun rôle dans la suite, puisque les vraisemblances ici considérées sont toujours définies à un facteur commun arbitraire près).

Après n épreuves, les vraisemblances (à un facteur commun près) ne sont pas modifiées, si nous supposons m indépendant de $\xi$. Donc on a

$$v(m, \xi_o) / m / V(m, \xi) ||| \xi = \xi_o / ||| V(m) f(m, \xi_o)$$

Ce que Fisher appelait "vraisemblance" apparaît donc ici encore comme un opérateur, ou "facteur de vraisemblance". Nous le nommerons souvent la "densité" correspondant à l'échantillon $\xi$ ; cette densité devient égale à la vraisemblance nouvelle si l'on admet pour la vraisemblance initiale $V(m)$ une valeur indépendante de m :

$$V(m) / m / 1$$

<footnote>(1) En réalité, ce sont seulement les proportions de ces vraisemblances qui sont ainsi transformées : il serait peut-être malaisé de comparer une $v$ avec une $V(\lambda)$, mais nous n'en avons pas besoin.</footnote>
(On remarquera que cette formule a un sens, même si l'intervalle où m est défini est illimité, tandis qu'en pareil cas on ne pourrait regarder V(m) comme une densité de probabilité ; c'est une des objections classiques contre la formule de Bayes ; on voit que dans notre conception cette objection ne porte pas).

On observera que dans ce qui précède nous n'avons pas une seule fois parlé *d'estimation* des paramètres $\lambda$ ou $m$ ; c'est que le problème d'estimation, comme nous l'avons expliqué au chapitre I, n'a de sens strict que par rapport à un *client* c'est-à-dire par rapport à un système de valeurs, de prix attachés aux résultats ; nous aborderons ce problème au chapitre suivant. Pour le moment nous nous bornerons à tirer la conclusion de ce qui précède. Pour la simplicité du langage, nous nous référerons au cas d'une loi continue à un paramètre $f(m,x)$.

Avant toute épreuve, nous admettons pour fonction de vraisemblance $V(m)$ que nous pouvons représenter par une courbe ; par exemple celle de la figure (1). Après épreuve, " la fonction de vraisemblance devient comme nous l'avons vu. $V(m) f(m, \xi_0)$ et peut se représenter par exemple par la courbe 2. Si le nombre de points dans l'épreuve $\xi_0$ est très considérable, la courbe représentative prendra l'aspect de la figure 3.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

(1)

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

(2)

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

(3)

Lorsqu'ainsi on ne fait intervenir aucune considération de valeur du résultat, cela n'a pas grand sens de chercher dans l'estimation de m un nombre privilégié, sinon lorsque n devenant extrêmement grand, la courbe représentative se réduit pratiquement à une simple pointe. Ce cas excepté, il faut se résigner à faire correspondre à une épreuve $\xi$, non point un nombre, mais bien la courbe $v=V.f$ tout entière. A ce sujet, voici une terminologie qui nous semble commode :

Lorsqu'a un nombre ou un ensemble fini de nombres on fait correspondre un nombre qui en dépend, on dit que ce dernier constitue une fonction du ou des premiers :

$$x = f(y) \qquad x=f(y,z,t) \qquad \text{etc...}$$

Lorsqu'a une courbe, à une fonction ou à un être quelconque mathématique (ou même physique) complexe on fait correspondre un nombre, on dit que celui-ci constitue une fonctionnelle, ou "nombre fonction de courbe".

Mais il n'existe pas de mot pour désigner inversement une courbe (ou tout être complexe) attachée à un nombre variable (ou éventuellement à un être plus compliqué, qui pourra lui-même être une fonction). Il est com-mode d'introduire un mot spécial pour ce cas très fréquent en statistique ; et comme un exemple classique est constitué par la fonction caractéristique, fonction attachée à une fonction, nous proposons d'employer le terme général de "caractérielle".

Ainsi la courbe $v=V(m) f(m, \xi_0)$ qui correspond à un échantillon $\xi_0$ déterminé sera dite une caractérielle de ce même échantillon. Comme cette
caractérielle jouera un rôle décisif dans la théorie de l'estimation, nous l'appellerons la caractérielle estimatrice ou simplement : *estimatrice*. Pour une loi à deux paramètres, il va de soi que les estimatrices sont des surfaces, caractérielles à deux dimensions, etc...

Quand le nombre de points de l'échantillon est élevé, l'estimatrice devient très vite presque symétrique. Dans ces conditions son mode, sa moyenne, sa médiane, etc... sont pratiquement confondus, et comme nous verrons au chapitre suivant que ce sont des fonctionnelles de l'estimatrice de ce genre qui interviennent dans presque tous les problèmes d'estimation, presque toutes les méthodes d'estimation *fondées sur l'estimatrice* sont très vite pratiquement équivalentes. Ce n'est donc pas l'usage du mode de l'estimatrice qui est privilégié dans la méthode de Fisher, mais c'est l'utilisation d'une *fonctionnelle* de l'estimatrice ; au contraire, on aura des résultats moins bons en utilisant une fonction de l'échantillon $\xi_0$ qui ne soit pas une fonctionnelle de l'estimatrice.

Par ailleurs on notera que $V(m)$ étant d'ordinaire très aplatie, dès que $n$ est un peu grand l'estimatrice est pratiquement indépendante de la vraisemblance initiale ; et l'on se contentera généralement de choisir celle-ci homogène. Alors la vraisemblance après épreuve se confondra avec la densité $f(m, \xi_0)$.
## CHAPITRE IV

# LA STATISTIQUE - SCIENCE DES DÉCISIONS

Nous avons noté comment, en tenant compte de certaines hypothèses qui l'ont amené à retenir un type de lois de probabilité $f(m, x)$, de certaines vraisemblances initiales $v(m)$, enfin de la connaissance d'un échantillon $\xi_0$ le statisticien a établi, pour le paramètre $m$ à estimer, une courbe estimatrice $v = \varphi(m) = v(m)f(m, \xi_0) = V(m)f(m, x_1) \dots f(m, x_n)$.

Nous avons noté que lorsque $n$ est élevé, l'estimatrice devenant d'abord symétrique, puis très pointue, toute estimation est bonne qui consiste à choisir $m'$ pratiquement au centre de l'estimatrice.

Supposons maintenant que $\varphi(m)$ étant quelconque, on se propose de faire pour $m'$ le choix *le meilleur*. Quel sens a ce problème ?

En se reportant aux remarques de notre premier chapitre, on voit immédiatement qu'ainsi énoncé le problème n'a aucune signification, parce qu'il peut recevoir n'importe laquelle.

Toute la question est de savoir ce que désire le "client", et ce n'est donc pas aux statisticiens de décider du choix de l'optimum. C'est dire qu'il n'y aura pas *une* estimation optimum, mais autant qu'il y aura de types d'optimum désirables par le client.

Cependant, il faut noter que le statisticien a, dans cette question, un rôle à jouer, qui est d'éclairer son client et de l'aider à exprimer en langage statistique le désir qu'il ne saisit généralement lui-même qu'assez confusément. Or cela est difficile comme nous allons le voir.

## A. - VALEURS ALÉATOIRES

Nous avons terminé le Chapitre II par une brève étude de la notion de prix, et nous avons souligné alors que les prix, mesures de valeurs lorsque les valeurs sont mesurables, étaient strictement parlant attachés aux décisions et non aux *objets* que ces décisions visent à obtenir. Cela nous a déjà permis de marquer le caractère *relatif* des prix, variables avec les individus, variables avec les temps et les circonstances pour un même individu. Cela va nous permettre à présent d'étudier le cas où une décision à prendre est de telle nature qu'elle n'obtienne pas infailliblement le résultat qu'elle poursuit et que l'on connaisse ce caractère "aléatoire".
Lorsqu'il en est ainsi, l'espérance que l'on a d'obtenir un certain résultat, la crainte aussi que l'on éprouve d'en obtenir peut-être un tout différent, tout cela met en jeu deux sortes de grandeurs psychologiques : la valeur du résultat, c'est-à-dire la valeur que nous attacherions à notre décision si nous jugions telle ou telle conséquence certaine : ce que nous nommerons sa valeur subjective - ou plutôt ses valeurs subjectives - si nous envisageons la possibilité de diverses conséquences et puis les vraisemblances de ces conséquences. C'est l'ensemble de tout cela qui contribue à former la valeur aléatoire de ma décision.

Cet ensemble est extrêmement complexe. Il n'est pas du tout certain qu'on puisse toujours dans l'étude d'une valeur aléatoire séparer vraisemblances et valeurs subjectives. Cependant, nous pensons que pour un homme capable de penser droitement, lucidement, sans se laisser dominer indûment par des considérations sentimentales, une telle séparation est possible : peut être même est-ce là un critère logique de degré d'objectivité d'un esprit ou de son "sentimentalisme" ; non que les "sentiments" n'aient pas de place chez un esprit objectif, mais cette place est celle des valeurs subjectives, elle ne doit pas déborder sur les vraisemblances, car un résultat n'est pas rendu plus ou moins vraisemblable par le désir que j'ai de l'obtenir ou de l'éviter (1).

Supposons maintenant que nous soyons en présence de vraisemblances mesurables et de valeurs subjectives également mesurables. Le problème que nous nous posons ici est de savoir si dans ces conditions les valeurs aléatoires résultantes sont elles aussi, mesurables et, dans l'affirmative, que peut-on dire de leurs mesures ?

La réponse à la première partie de la question ne nous semble pas pouvoir être toujours affirmative. Un exemple simple est celui d'un billet de la Loterie Nationale : les valeurs subjectives des petits lots au moins sont manifestement mesurables (il n'en va probablement pas de même pour les gros lots ; ceux-ci restent du moins comparables) ; les vraisemblances sont très exactement mesurables aussi. Cependant, l'embarras de celui qui se demande s'il va risquer 300 francs certains pour un résultat aléatoire, l'embarras plus grand encore de celui qui se demande sur quelle série, A ou B, il va jouer : cela démontre assez que les valeurs aléatoires ne se mesurent pas exactement, surtout lorsqu'on songe que les espérances mathématiques (sur lesquelles nous reviendrons tout à l'heure) sont ici tout à fait désavantageuses.

On voit sur cet exemple le caractère absolument original de la valeur attachée à une décision à conséquences aléatoires.

Nous allons maintenant nous borner au cas où pour quelque raison, on peut considérer un ensemble de valeurs aléatoires comme mesurable. S'il en est ainsi (mais ce sera souvent difficile à établir) et si en outre (et ceci non plus ne va pas de soi) ces valeurs aléatoires sont complètement déterminées par la connaissance des valeurs subjectives et des vraisemblances, c'est-à-dire restent équivalentes à elles-mêmes lorsqu'on remplace les vraisemblances ou les valeurs subjectives par d'autres équivalentes ; alors il est facile de les calculer.

Traitons d'abord le cas où chacune des décisions étudiées D ne peut avoir qu'une seule conséquence intéressante pour moi, A, et celà avec une vraisemblance V. Il est clair que deux décisions de même conséquence

<footnote>(1) Sauf naturellement le cas où je me demande quelle vraisemblance il y a que je prendrai une certaine décision.</footnote>
agréable A (1) sont ordonnées comme les vraisemblances qu'elles ont de produire A. On peut même montrer que les valeurs de ces décisions sont additives comme leurs vraisemblances et finalement ces valeurs sont mesurables proportionnellement aux V :

$\omega$

$$D_i / i / V_i \quad \text{/// A}$$

On voit de même qu'à vraisemblance constante, les décisions sont entre elles comme les prix $\omega_j$ des A :

$$D_j / j / \omega_j \quad \text{///} \quad V = \text{Cte}$$

Ces deux proportions réunies s'écrivent (2) :

$$D_{ij} / i / j / V_i \wedge \omega_j$$

Or, nous savons que si les $D_{ij}$ forment un ensemble mesurable (et c'est ici notre hypothèse) on peut en tirer :

$$D_{ij} / ij / V_i \omega_j$$

C'est la formule des "espérances mathématiques" : on voit les conséquences très restritives qui la légitimement.

Supposons maintenant que la décision D puisse avoir deux conséquences A et B, l'une et l'autre m'intéressant (3). Sous certaines conditions (encore une fois nous renonçons ici à expliciter une axiomatique complète) on verra que s'il y a des valeurs subjectives de A et de B sont additives, il en ira de même des valeurs aléatoires. Ainsi sera complètement légitimé (avec des restrictions nombreuses) l'usage des espérances mathématiques, élargies du reste aux cas où l'on envisage des vraisemblances : une simple division ramènera au cas classique des probabilités.

## B. - SIGNIFICATION DES VRAISEMBLANCES

Voici devant nous, sur une table un peu éloignée deux pièces de monnaie. Nous nous demandons comment elles sont tournées, ou plus exactement nous nous intéressons à la seule question suivante : combien y en a-t-il de tournées coté pile ? (quelles que soient celle ou celles ainsi tournées).

Dans les circonstances où nous nous trouvons, ce nombre x peut être 0,1 ou 2, et nous attachons à ces trois nombres des vraisemblances formant un ensemble mesurable, et proportionnelles, dans cet ensemble, à 1,2 et 1. Du reste, ce qui nous intéresse est simplement l'exactitude du jugement ; en sorte que la valeur subjective de chaque nombre possible pour x est la même. Nous sommes dans le cas où les valeurs aléatoires sont entre elles comme les vraisemblances, donc ici comme 1,2 et 1. Il résulte

<footnote>(1) L'ordre serait inversé pour une conséquence désagréable.</footnote>

<footnote>(2) A condition du moins que l'équivalence sur les D commute avec l'équivalence sur les V et sur les $\omega$.</footnote>

<footnote>(3) On sera conduit à des prix positifs ou négatifs selon qu'il s'agit de conséquences désirées ou redoutées.</footnote>
alors de la définition même de la valeur, que nous devons DECIDER d'admettre pour x la valeur 1, puisque c'est à pareille DECISION qu'est attachée la plus grande valeur.

Il nous faut très soigneusement refléchir sur ce résultat, qui renferme l'essence même du calcul des probabilités et de la statistique, et dont les répercussions sont considérables sur toute la théorie de la connaissance. La difficulté sera d'éviter deux interprétations inexactes : l'une par excès, l'autre par défaut, et de nous maintenir dans le juste milieu d'une pensée à la fois précise et nuancée : la tentation est si grande de sacrifier l'une à l'autre soit la précision, soit la nuance. Evitons de confondre la nuance avec la brume et la précision avec l'abstraction, ou finesse avec complication et simplicité avec simplisme. L'auteur demande toutefois quelque indulgence s'il n'a pas su réaliser ce difficile idéal...

L'adoption pour x de la valeur 1 résulte, avons-nous dit, d'une décision, Nous ne sommes aucunement assurés que x soit effectivement égal à l'unité et cependant nous devons faire comme si cela était vrai, du moins dans certains types de problèmes. Il ne s'agit donc pas ici d'un acte direct de connaissance, mais d'abord d'un acte de volonté : nous adoptons une hypothèse qui se présente avant tout comme préférable aux autres, d'une hypothèse que nous devons choisir en vertu d'une exigence de cohérence interne de notre esprit.

Il sera commode de donner un nom à ce processus intellectuel, où la volonté joue un rôle essentiel ; nous le nommerons une "assomption" ; la proposition "x égale l" n'est pas saisie par connaissance directe, elle est "assumée".

Une proposition assumée peut n'être pas exacte ; la tentation est même grande de dire qu'elle n'a aucune raison de l'être et d'en venir à une conception strictement idéaliste, pragmatiste, de la statistique ; il n'y aurait alors aucune "connaissance" statistique, mais simple suppléance de la connaissance ; comme "il faut bien vivre", chaque fois qu'une connaissance proprement dite ferait défaut, on lui substituerait un schéma purement subjectif qui, impuissant à nous rien dire sur le monde, nous enseignerait ce que nous devons faire. Sur quoi se fonderait ce devoir ? Précisément sur l'exigence de cohérence interne de notre esprit qui, nous l'avons vu, règle le choix de telle ou telle assomption.

Nous pensons que, pour voir clair dans cette matière difficile, il faut distinguer deux questions : la première concerne le PROCESSUS selon lequel s'opère une assomption, la seconde concerne la PORTEE, la VALEUR de cette assomption.

Il est manifeste que, à prendre les choses comme nous les avons exposées (et nous pensons que c'est bien ainsi quelles se passent) le processus est, en effet, du type pragmatiste ; de ce point de vue, l'objet de la statistique mathématique et du calcul des probabilités est de fonder sur des principes cohérents les décisions que nous prenons, en fonction de certaines vraisemblances et des valeurs que nous attachons à l'obtention de certains résultats ; la statistique est bien la science qui assure à nos décisions une certaine cohésion logique. Plus particulièrement, c'est la science qui assure cette cohésion dans les cas où vraisemblances et valeurs constituent (au moins approximativement) des ensembles mesurables.

S'ensuit-il pour autant que ces assomptions soient dépourvues de toute valeur objective, quelles ne comportent aucune connaissance ?

De ce que l'assomption se fait selon un processus pragmatiste, faut-il conclure nécessairement que la portée réelle en soit nulle ?
Bien sûr, nous ne voyons pas ce qui fonderait cette portée réelle : mais ne pas voir une chose n'autorise pas à la nier, cela autorise seulement à dire : la question demeure ouverte.

Oui ! la question demeure ouverte et nous ne pensons pas que la seule étude logique de la statistique soit capable d'y fournir une réponse : une telle réponse n'est pas du ressort de la logique, elle est du ressort de la philosophie - c'est-à-dire avant tout du bon sens (1)

Ce qui se produit ici est un phénomène psychologique remarquable : ce que nous connaissons du monde objectif n'est généralement pas exactement ce qui nous intéresse, ce qui nous intéresse est souvent quelque chose de futur, ce que nous connaissons est du passé ; de toute manière, ce qui nous intéresse est précisément ce que nous ne "tenons" pas encore (même si c'est quelque chose du passé) : si nous fixions notre regard sur ce que nous "tenons", nous aurions une connaissance directe. Mais notre condition humaine consiste au contraire à toujours poursuivre ce que nous ne tenons pas, et, sitôt que nous le tenons de quelque façon, à nous en faire un tremplin pour essayer d'atteindre quelque chose d'autre. Ainsi, ce que nous tenons ne nous intéresse que par les possibilités qu'il renferme de nous faire accéder à autre chose, et, de ce fait, nous avons devant le monde une attitude de "strabisme intellectuel" ; l'oeil de notre connaissance conserve l'empreinte d'un certain connu, tandis que l'oeil de notre volonté "louche" vers quelque inconnu ; l'angle qui sépare ces deux directions se traduit par une atténuation de la valeur informante de notre connaissance, atténuation que nous exprimons en utilisant le mot de vraisemblance au lieu de certitude ; la vraisemblance, c'est la quantité d'information que notre connaissance fournit à notre volonté.

L'atténuation dont nous venons de parler peut aller jusqu'à l'absence totale d'information sur ce qui nous intéresse ; il y a alors, entre connaissance et volonté, "orthogonalité" ou, comme on dit on statistique : indépendance.

C'est cet "angle" entre connaissance et volonté qui atténue la valeur informante de l'assomption statistique, non le seul fait qu'il s'agisse d'assomption ; car il serait inexact de penser que toute assomption présente nécessairement un degré de certitude imparfait. C'est par assomption que nous recevons le témoignage d'un autre homme, et il est tel cas où ce témoignage offre une parfaite garantie de crédibilité. En ce cas, notre connaissance de ce qu'il nous a appris est bien une certitude sans être pourtant une connaissance directe : le propre de l'assomption est donc de ne fournir qu'une connaissance indirecte ; et ce qui, parmi les assomptions distingue la connaissance statistique, c'est qu'elle est, non seulement indirecte, mais en outre imparfaitement certaine (2) : elle n'est que vraisemblable.

L'objet de la statistique, avons-nous dit, est de fonder sur des principes cohérents les décisions que nous prenons. Parmi ces décisions, nous en avons examiné un type particulier : l'assomption d'hypothèse, dans le cas où tout résultat exact est affecté de la même valeur subjective, du seul fait qu'il sera exact. Il n'en est pas toujours ainsi et nous devons maintenant dire un mot du cas plus général où les valeurs subjectives des différents résultats possibles sont inégales (mais encore supposées mesurables)

<footnote>(1) Pourquoi, depuis qu'il y a des philosophes, faut-il périodiquement leur rappeler ce dernier point ? ...</footnote>

<footnote>(2) On notera que la connaissance directe est toujours, au contraire, parfaitement certaine.</footnote>
### C. - LE THÉORÈME DE BERNOULLI

Supposons que dans l'exemple précédent des deux pièces de monnaie j'aie fait un pari avec un camarade, pari en vertu duquel je gagnerai 100 francs s'il y a deux pièces côté face, et je perdrai 10 francs s'il y en a 1 ou 2 côté pile. Cette fois-ci il est bien clair que la décision à laquelle j'attacherai la plus grande valeur aléatoire est l'"assomption" $X = 0$.

D'une manière générale, ce type de problème se traitera aisément par la comparaison des espérances mathématiques, toutes les fois du moins où l'on pourra admettre de façon suffisamment approchée les postulats auxquels nous avons fait allusion dans le premier paragraphe de ce chapitre (1).

Il n'est pas toujours nécessaire d'ailleurs de connaitre exactement les valeurs subjectives, il suffit, en bien des cas, de connaitre une borne inférieure de telle d'entre ces valeurs (proportionnellement aux autres), pour être conduit à prendre la décision correspondante, pour "assumer" l'hypothèse en question.

Admettons par exemple que sur la table placée loin devant moi se trouvent non plus 2 mais 1.000 pièces de monnaie, et que j'aie été amené à penser (ceci est ici traité comme hors de discussion) que les vraisemblances de "face" et "pile" sont équivalentes pour chaque pièce et indépendantes d'une pièce aux autres ; ces conditions sont regardées comme réalisées notamment dans le cas où les pièces ont été lancées en l'air pour déterminer leurs positions. Dans certains problèmes pratiques, il m'est indifférent de savoir les positions individuelles de chaque pièce, il m'est même indifférent de connaitre le nombre exact de pièces tournées coté pile : il me suffirait de savoir si ce nombre $x$ est suppérieur à 460 par exemple.

Or, en admettant comme applicables ici les principes partiellement explicités dans les pages qui précédent, nous pouvons conclure ceci : *tant que la valeur subjective de l'éventualité $x < 460$ n'est pas plus de 1.000 fois supérieure à celle de $x > 460$, nous devons miser sur $x > 460$, nous devons "décider" de nous placer dans cette hypothèse, nous devons autrement dit l'assumer".*

Tel est selon nous le sens du théorème de BERNOULLI : il me dit que je dois assumer telle hypothèse tant que la valeur subjective de sa contradictoire n'est pas considérable, c'est-à-dire presque toujours. *Le théorème de BERNOULLI nous enseigne notre devoir, sans nous garantir qu'en le faisant nous réussirons.*

Cependant c'est un fait, un fait dont nous avons esquissé plus haut une explication psychologique, qu'en "obéissant" aux consignes du théorème de BERNOULLI on réussit généralement : que signifie cela ? Ce n'est pas ici le lieu de donner à cette question une réponse plus précise, qui relèverait de la métaphysique ; faisons seulement quelques remarques :

D'abord celle-ci : on ne réussit pas toujours, et même, selon le même théorème de BERNOULLI, on ne doit pas réussir toujours -entendons : on ne doit pas "assumer" l'hypothèse qu'on réussira toujours. Si

<footnote>(1) Attirons l'attention sur le fait qu'il n'en sera pas toujours ainsi et que les mathématiciens sont exposés à souvent manquer sur ce point de "l'esprit de finesse" désirable.</footnote>
l'on prend habituellement une garantie de 1.000 contre 1, comme dans l'exemple ci-dessus, on doit "assumer" un échec sur 1.000 "en moyenne". Mais on sait aussi qu'en fait, à moins d'un hasard, la proportion d'échecs ne sera pas non plus exactement de 1 pour 1.000. En sorte que toute "affirmation" du calcul des probabilités contient en elle-même sa négation, paradoxe fort connu qui s'explique si la statistique est d'abord une science de décisions et, de façon indirecte seulement, une connaissance.

Ensuite, notons qu'on ne réussit pas en fait dans la proportion que permettrait d'espérer le théorème de BERNOULLI ; mais chaque fois qu'on s'écarte un peu "trop" de cette proportion, on se dit : c'est que mes hypothèses n'étaient pas légitimes, il faut les remettre en question : c'est là le problème des "tests", que nous étudierons plus loin, et qui nous montre une des raisons pour lesquelles la statistique réussit généralement ; c'est que, là où elle échouerait, ce n'est pas elle que nous accusons, mais nous voyons dans son échec un signe (statistique encore) qu'il nous faut assumer sur le monde, une hypothèse autre que celle assumée jusque là. On pourrait dire en ce sens que la statistique réussit alors par définition.

> Mais ce n'est pas une explication suffisante : si nous tenons tellement à ce que la statistique ait toujours le dernier mot, c'est que nous lui croyons une certaine valeur objective, et c'est que, même sans coups de pouce, elle réussit en fait assez souvent.

Il faut sans doute en conclure que le monde où nous vivons possède une certaine "cohérence" interne, en vertu de laquelle le connu présente avec l'inconnu des relations profondes dont les vraisemblances nous manifestent quelque chose, quelque chose de réel ; le connu est, en quelque mesure, **signe** de l'inconnu, en particulier le passé **signe** du futur (peut être parce que l'essence du monde est une essence de **signe** ? - Nous laisserons à la métaphysique le soin de répondre à cette question) ; la cohérence, que la statistique s'efforce de réaliser dans notre esprit, aurait ainsi son principe dans une cohérence objective du monde.

Peut être, dans ces conditions, la statistique mathématique devrait-elle réussir précisément dans la proportion prévue par la Loi des grands nombres et que, s'il en est parfois autrement en pratique, cela tient à ce mécanisme psychologique d'auto-suggestion dont nous avons déjà parlé, par lequel nous laissons indûment nos désirs peser sur notre appréciation des vraisemblances. Ainsi, la première qualité d'un statisticien est-elle la loyauté intellectuelle, cetterectitude, ce désintéressement dans la manière de juger qui, sans supprimer certes le jeu des préférences personnelles, les confine dans leur domaine légitime : celui des "valeurs subjectives". Il est même bien possible que pour un esprit pareillement droit, la formule

$$D_{ij}/ij/V_i \omega_j$$

soit toujours valable, toutes les fois, s'entend, où les $V_i$ et les $\omega_j$ sont eux-mêmes mesurables, restriction qui n'a plus rien à voir avec la loyauté du sujet mais tient à la nature de l'homme.

Il reste que, même pour un esprit loyal, les "assomptions" ne seront pas toujours vérifiées par la réalité et demeurent des **décisions** fondées sur une connaissance imparfaite.
## D. - SOLUTION DU PROBLÈME DE L'ESTIMATION

Jusqu'ici nous avons supposé que les vraisemblances sur lesquelles portaient nos calculs nous étaient fournies par voie de connaissance directe. Mais, en pratique, il arrive souvent que ces vraisemblances (ou plutôt leurs rapports) sont elles-mêmes le fruit d'une **assomption** (1) : nous sortons alors du domaine du probabiliste (où nous nous étions cantonnés jusqu'ici) pour entrer dans le domaine propre du statisticien.

Le calcul des probabilités ayant pour objet de nous dire quelles décisions nous devons prendre pour agir dans le monde, en fonction de certains schémas **admis**, le rôle de la statistique mathématique est précisément d'arrêter ces schémas, de décider lesquels d'entre eux doivent être assumés.

Le statisticien rencontre ainsi deux types de problèmes : problèmes d'estimation, problèmes de test : mais nous verrons que le second ne diffère du premier que par son aspect psychologique. Parlons d'abord du premier.

Selon nous, en accord avec les remarques diverses du premier chapitre, et selon les principes exposés dans le chapitre présent, un problème d'estimation n'a de sens qu'à la double condition suivante :

1) le statisticien a, **au moins confusément**, quelque idée sur les lois de probabilité qu'il envisage d'appliquer au phénomène étudié, et attache à ces lois certaines **"vraisemblances"** a priori (fonctions de son expérience passées, etc...);

2) le "client" fournit au statisticien, implicitement au moins, un certain optimum à réaliser, autrement dit certaines **valeurs subjectives** ;

dans ces conditions, le rôle du statisticien est d'évaluer les **valeurs aléatoires** relatives des diverses solutions qu'il envisage de donner au problème posé, et de fournir à son client la solution dont la valeur aléatoire est la plus grande.

Le problème n'a de solution que si les vraisemblances d'une part, les valeurs subjectives d'autre part, sont mesurables **au moins approximativement** ; on ne doit pas oublier cette condition, qui n'est pas toujours remplie ; il faut encore que la formule $D/V \omega$ soit applicable, c'est-à-dire que les valeurs aléatoires soient elles aussi mesurables : nous pensons qu'on peut ordinairement l'admettre conformément à une suggestion du paragraphe précédent.

Dès lors, le problème est aisé à mettre en équation ; il admet du reste autant de types de solutions qu'il existe de types de problèmes ; en voici quelques exemples :

Des billes rouges et noires sont tirées d'une urne U dont nous savons qu'elle a été choisie entre deux, A et B : nous nous demandons laquelle ? A contient 50 % de rouges, B en contient 25 %. A priori, nous tenons pour également vraisemblable l'utilisation de A ou de B : V (A) × V (B), et nous pouvons exprimer cela en disant que V (A) et V (B) sont entre elles comme

<footnote>(1) En quelle mesure des vraisemblances dont les rapports sont fixés par assomption sont-elles encore des vraisemblances proprement dites ? Question difficile dont nous ajournons l'étude.</footnote>
1 et 1 (1). Si nous nous intéressons à la seule *exactitude* du résultat, les valeurs subjectives des deux assomptions possibles sont égales. Dans ces conditions, leurs valeurs aléatoires sont aussi égales, et nous choisirons indifféremment l'une ou l'autre.

Mais maintenant on effectue un tirage de 5 billes et 2 d'entre elles sont rouges, 3 noires. Les vraisemblances après tirage sont alors, conformément au chapitre précédent, proportionnelles à : V (A) × 10 et V (B) × 5 (2) soit à 10 et 5. Les valeurs aléatoires, si elles sont mesurables, sont donc aussi entre elles comme 10 et 5, et nous devons assumer l'hypothèse qu'il s'agit de l'urne A.

Il n'en irait plus de même si l'urne B possédait soit une valeur subjective, soit une vraisemblance a priori double ou plus que double de A.

Si nous sommes dans le cas des probabilités continues, ayant à choisir entre une loi f (x) dx et une loi g (x) dx, un échantillon ξ sera regarde, non comme un point mais comme un volume infiniment petit dω dans l'espace de configuration : dω étant le même pour f et pour g s'élimine de la proportion, et nous choisirons de f et g la loi à laquelle nous attachons la plus grande valeur aléatoire :

$$V(f)ω(f) f(ξ) \text{ ou } V(g)ω(g) g(ξ)$$

Si, au lieu de deux lois, nous en avons une infinité dépendant d'un paramètre m, et si les vraisemblances a priori et les valeurs subjectives sont distribuées de façon homogène sur l'axe des m, nous retrouvons la méthode de Fisher. Mais on voit que pour légitimer cette méthode nous sommes obligés d'admettre que le paramètre m est un certain paramètre bien déterminé, un "paramètre propre" du problème : l'espoir nourri par le grand statisticien anglais d'éliminer cette servitude est déçu, et il est déçu parce qu'il doit l'être : le choix du paramètre n'est aucunement indifférent : si la chose est obscure et contestée (bien qu'à notre avis incontestable.) en ce qui regarde les vraisemblances, elle est claire et hors de discussion pour ce qui est des valeurs : notre chapitre I a suffisamment attiré l'attention, pensons-nous, sur ce primat du client, seul fondé à décider l'optimum qu'il nous demande de réaliser, et qui donne au choix de tel ou tel paramètre un caractère privilégié.

Notons maintenant que, dans les applications industrielles, on ne sera presque jamais dans le cas où s'applique théoriquement la méthode de Fisher, même avec pondération V (m). ω (m), parce que ω est presque toujours fonction, non seulement de m, mais aussi de la valeur estimée m'. Montrons-le en traitant deux exemples importants. Comme nous avons expliqué que le produit V (m) f (ξ, m) est une vraisemblance a posteriori dont l'origine par échantillonnage n'importe guère, nous désignons désormais simplement par φ (m) ce produit, représenté graphiquement par l'"estimatrice" ; V = φ (m).

1°) CAS "PARABOLIQUE".

Supposons un "statisticien conseil" S travaillant à son compte pour des clients C qui lui demandent des estimations de paramètres m, avec la clause suivante : ce qui intéresse les clients étant de réduire au minimum

<footnote>(1) En effet, puisqu'il n'y a que deux vraisemblances en jeu, cette notation est cohérente sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres conditions pour qu'un ensemble soit mesurable.</footnote>

<footnote>(2) Sous la réserve déjà formulée page 74 note (2).</footnote>
le dommage que leur cause une estimation inexacte des m, dommage bien souvent proportionnel au carré de l'écart, S recevra des honoraires déterminés, mais devra par la suite indemniser ses clients proportionnellement à l'écart de ses estimations m' avec les valeurs vraies m (lorsque ces valeurs vraies seront connues).

Un tel contrat n'est pas aussi chimérique qu'il semble ; d'abord il reflète exactement la situation où se trouve une compagnie d'assurances lorsqu'elle est son propre statisticien : en sous-évaluant les risques, elle s'expose à des déficits ; en les surévaluant, elle sera conduite à adopter des tarifs qui éloigneront la clientèle : on peut admettre qu'au voisinage de l'optimum, les écarts ont des coûts sensiblement quadratiques. Mais il y a plus : presque tout statisticien se trouve implicitement dans les conditions précédentes, parce que, s'il ne risque pas habituellement des indemnités à verser, **il risque sa réputation** : celle-ci est entamée par toute erreur notable de sa part (même s'il n'est aucunement fautif.), et il se trouve pratiquement obligé d'en tenir compte. Bien que la réputation soit une valeur particulièrement peu mesurable, on peut cependant étudier "qualitativement" l'incidence de cette considération par la formule parabolique.

Le problème se complique lorsque on doit envisager l'risque d'erreur ruineuse, c'est-à-dire tenir compte d'écarts très grands dont le prix serait très supérieur à la somme des prix des écarts partiels : ce cas se rencontre, mais ici nous l'écartons, en supposant que les vraisemblances des écarts décroissent plus vite que ne croissent leurs prix, et qu'ainsi on peut traiter les valeurs comme additives.

Il est facile alors de voir que l'on doit choisir pour m' le point moyen de l'estimatrice

$$m' = \frac{\int \varphi(m) \cdot m \cdot dm}{\int \varphi(m) \cdot dm}$$

c'est la fameuse formule de Bayes, dont nous voyons ainsi et la justification, et le champ d'application : ce champ est limité, mais cependant assez étendu, sous réserve de ce que nous dirons après avoir étudié le cas suivant ; pratiquement, la formule de Bayes répond à presque tous les besoins du "statisticien conseil", étant exclus seulement les cas de risques ruineux.

2°) CAS "SÉCURITÉ".

En réalité, les problèmes d'estimation ne se présentent pas ordinairement aux industriels de la façon que nous venons d'exposer ; c'est pourquoi nous distinguons, du "statisticien conseil" avec qui un client étranger a passé un contrat, le "statisticien associé" qui identifie ses préoccupations à celles de la maison pour laquelle il travaille (soit parce qu'il est scrupuleux, soit parce qu'il est rétribué par participation proportionnelle aux bénéfices et aussi aux déficits ?...

Pour l'industriel, la valeur m' adoptée pour m sera plus ou moins irrévocable : l'écart m' - m sera fixé une fois pour toutes, et son coût ira se répétant d'année en année : ce qui importe ici c'est que ce coût ne soit pas excessif. Pratiquement, on prendra ses précautions pour tenir compte de l'écart inévitable entre m' et la vraie valeur m, c'est-à-dire qu'on prévoira une marge de sécurité m' - α, m' + β ; on peut même dire que le nombre m' lui-même est généralement sans intérêt : ce qui compte, c'est le couple m₁ = m' - α, m₂ = m' + β. Or, il arrive souvent qu'on
puisse choisir le paramètre m de telle sorte que le coût de la sécurité ($m_1, m_2$) soit fonction de la seule différence $m_2 - m_1 = \alpha + \beta = \Upsilon$ ; (fonction croissante, évidemment) : un tel paramètre est alors le paramètre propre du problème, et l'on trouve sans difficulté que le minimum de $\Upsilon$ pour une vraisemblance relative donnée — ou le maximum de cette vraisemblance pour un $\Upsilon$ donné, s'obtient en plaçant $\Upsilon$ sur l'estimatrice de manière que les ordonnées limites $\varphi(m_1)$ et $\varphi(m_2)$ soient égales : c'est la méthode de Neyman, dont nous voyons ici et la justification, et le champ d'application.

On notera que si l'on s'intéresse à m' lui-même ce sera généralement le milieu de l'intervalle $(m_1, m_2)$ qu'il faudra lui attribuer.

## REMARQUES :

1°) La comparaison de ces deux cas est extrêmement révélatrice : elle tend à démontrer mathématiquement cette vérité de bon sens, que pour obtenir d'un homme qu'il épouse les intérêts de la maison qui l'emploie, il ne suffit pas de stimuler son travail par des primes au rendement ou des pénalités ; il faut, s'il n'est pas d'un désintéressement angélique, que sa "fonction prix" soit homothétique à celle de la maison elle-même : ce qui signifie en bon français qu'il ne soit pas traité en salarié, mais en associé.

Notre démonstration n'a été faite que pour le métier de statisticien : mais tout homme qui réfléchit tant soit peu avant d'agir est un statisticien implicite, comme M. Jourdain un prosateur.

Faisons remarquer cependant que le problème qui se pose au statisticien de sauvegarder sa réputation crée une sérieuse difficulté. Cette difficulté ne disparaitra que le jour où les hommes auront une culture statistique suffisante pour comprendre les risques qu'un bon statisticien doit accepter de courir pour s'acquitter honnêtement de sa fonction, faisant passer l'intérêt de ses clients avant le soin de sa réputation personnelle. C'est aussi, bien entendu, une question de confiance.

2°) Une seconde remarque va cependant beaucoup minimiser la portée de la précédente : dès que l'on dispose, pour estimer un paramètre m, d'un échantillon un peu important, l'estimatrice $V = \varphi(m)$ se rapproche rapidement d'une courbe en cloche, en sorte que même si elle possède encore une dispersion notable, sa symétrie approchée suffit à faire coïncider pratiquement les résultats des divers procédés d'estimation, du moins de tous ceux qui sont des fonctionnelles de l'estimatrice : telle est la véritable portée de la découverte de Fisher ; ce n'est pas le "maximum de vraisemblance" qui est intéressant (encore que ce soit généralement le point le plus commode à calculer, en sorte que c'est presque toujours lui qu'on continuera à utiliser) ; mais ce qui est essentiel c'est que, pour les ajustements adéquats, l'estimatrice est une "caractérielle exhaustive" car $V(m)$ joue également très peu : tous les statisticiens sont assez vite également "bons").

3°) Un mot sur le problème des "ajustements inadéquats" : plaçons-nous dans le cas où l'estimation se fait par la formule de Bayes, cas pratiquement assez général en vertu de la remarque ci-dessus. Alors, si nous cherchons "la" loi correcte (1) dans la famille $f(x,m)$ nous ne la trouverons pas, puisqu'elle ne s'y trouve pas. On peut alors imaginer que la famille $f(x,m)$ est "plongée" dans une famille plus large $f(x,m,\lambda)$ ; et bien

<footnote>(1) Ecartons ici le problème (philosophique) de savoir quel sens a cette façon de parler, et si même elle en a vraiment un.</footnote>
entendu on peut toujours supposer que cette seconde famille contient la
vraie loi. L'estimation de m se ferait alors par la formule :

$$
m' = \frac{\iint f \varphi (m) \psi (m, \lambda) m \, dm \, d\lambda}{\iint f \varphi \psi (m, \lambda) \, dm \, d\lambda}
$$

ou encore ;

$$
m' = \frac{\int \varphi \cdot m \cdot dm \cdot \int f \psi \, d\lambda}{\int \varphi \cdot dm \cdot \int f \psi \, d\lambda}
$$

ce qui peut s'écrire :

$$
m' = \frac{\int \theta (m) g (x, m) m \, dm}{\int \theta \cdot g \cdot dm}
$$

Il n'est donc pas nécessaire, pour estimer m, que l'on connaisse une classe f (x, m) contenant la "vraie" loi, une classe "adéquate" : il suffit d'avoir à sa disposition une classe g (x, m) qui soit seulement "adéquate en moyenne". On notera que g peut fort bien ne pas appartenir à la classe f (x, m, λ) ; c'est donc à la recherche d'une classe adéquate en moyenne, non à la chimère d'une classe contenant réellement la vraie loi, que le statisticien est ainsi ramené.

4°) Il faut noter que la détermination des valeurs subjectives, des prix qui sont en jeu dans un problème d'estimation, est une tâche qui normalement reviendrait au "client", puisque c'est lui qui connait le but qu'il poursuit, lui qui sait la valeur qu'il attribue à telle ou telle éventualité : mais en pratique le statisticien sera d'ordinaire seul compétent pour exprimer ces valeurs en formules mathématiques - à supposer, évidemment, qu'elles forment un ensemble mesurable.

Cette dernière condition ne va aucunement de soi; disons même qu'il
sera bien rare de se trouver en présence de valeurs exactement mesura-
bles, et l'on devra se contenter de mensurabilité approchée. Mais celle-là
même sera-t-elle toujours admissible ? On devra s'attendre à des sur-
prises, et il ne sera pas toujours facile de faire comprendre au "client"
que son désir échappe à ce que les mathématiques peuvent mettre en équa-
tion. En ce cas on cherchera un terrain d'entente, en prenant le problème
par quelque biais, et substituant un optimum calculable à celui qui ne
l'était pas.

E. LE PROBLÈME DES TESTS

On sait en quoi ce problème consiste : à un moment donné on a admis qu'un certain phénomène était représentable par un schéma H de probabilités ; par la suite, après avoir recueilli de nouvelles informations, ou bien encore (ce qui semble revenir au même dans une certaine mesure) après avoir porté son attention sur un nouvel aspect des informations anciennes, on doute de la validité du schéma H : quelle règle nous permettra de décider si l'on doit conserver H ou non ?

La solution de ce problème dépend de deux remarques : d'abord
qu'en admettant le schéma H on a fait une "assomption" d'hypothèse ;
l'a-t-on faite à bon droit, cela n'est pas en question ; il s'agit de savoir
si on doit maintenir cette assomption, compte tenu des éléments de déci-
sion plus abondants que nous possédons maintenant.
La seconde remarque, c'est qu'en assumant H on envisageait au moins implicitement la possibilité d'autres assomptions (sinon il n'y aurait pas eu assomption : la certitude seule exclut l'arrière-pensée de possibilités différentes) : tester, c'est revenir sur ces autres possibilités, et les explicitant partiellement, comparer leurs valeurs aléatoires actuelles à celle de H.

Ce qui montre bien qu'il en est ainsi, c'est que, quel que soit le test employé, lorsque ce test aura conclu au rejet de H, nous remplacerons H par une autre hypothèse K ; c'est donc que nous avons K en vue, et puisque c'est notre test qui nous conduira éventuellement à essayer K, c'est qu'il existe une certaine affinité entre ce test et K ; un test bien fait doit être orienté vers l'hypothèse K par laquelle on envisage de remplacer éventuellement H : sinon, c'est que ou le test, ou K sont mal choisis. Lorsque, par exemple, on teste par la moyenne expérimentale la correction d'une loi de Gauss dont le centre est à l'origine c'est qu'implicitement on envisage de déplacer ce dernier.

Dès lors, tester H n'est pas autre chose que de faire une estimation dans la classe H + K, estimation dans laquelle, si H a été correctement choisi, la valeur aléatoire de H *avant* considération des données nouvelles devrait être supérieure à celle de K, mais a pu cesser de l'être *après*.

Si H et K sont par exemple des lois de probabilité f(x) dx et g(x) dx, et si les données nouvelles consistent en un échantillon ξ, on sera conduit à comparer :

$$ \omega(f) \cdot V(f) \cdot f(\xi) \text{ à } \omega(g) \cdot V(g) \cdot g(\xi) \text{ (1)} $$

Il sera parfois difficile de fixer les valeurs $\omega V$ ; mais on procèdera alors ainsi : f doit être conserver si $g(\xi)/f(\xi)$ n'est pas supérieur à

$$ \lambda = \omega(f) V(f) / \omega(g) V(g) $$

Or, si $\lambda$ est mal défini (et même souvent peu mesurable), on peut habituellement en donner une borne inférieure : si $g(\xi)/f(\xi)$ (2) est plus petit que cette borne, on doit conserver f ; ou bien encore : on calcule d'abord $g(\xi)/f(\xi)$, et l'on se demande si $\lambda$ peut être plus grand, ou au contraire plus petit.

Notre test est donc le "likelihood ratio" de Neyman et Egon Pearson. Mais on remarquera que nous l'utilisons autrement : nous ne nous intéressons plus à la notion "limite de confiance"; c'est le rapport même g/f des densités qui est utilisé, et directement comparé à $\lambda$, sans aucune préoccupation de la probabilité de : g/f > $\lambda$. En fait, cela ne produira que de faibles changements dans les tests où H et K diffèrent par un paramètre : dans ces cas là, à la limite de confiance 1 % sera simplement substituée la valeur relative $\lambda$ = 20 environ, etc... Mais il en ira autrement avec une différence supérieure à l'unité dans le nombre de paramètres : conserver $\lambda$ = 20 se traduira par des probabilités d'autant inférieures à 1 % que cette différence sera plus grande.

Il y a un cas qui soulève quelque difficulté : c'est celui où l'on envisage, après application du test, au lieu de remplacer immédiatement H

<footnote>(1) On notera que dans un problème de connaissance scientifique désintéressée les $\omega$ doivent être pris égaux.</footnote>

<footnote>(2) Ou la borne supérieure de g/f lorsque g contient un paramètre.</footnote>
par une autre hypothèse, de procéder auparavant à de nouvelles épreuves :
et c'est seulement sur la vue de ces dernières qu'on choisira K. Alors
nous croyons qu'on doit tester ainsi : si nous ne sommes pas en état de
fixer K d'avance, nous avons cependant quelque idée du genre d'hypothèse
que nous ferons à son sujet ; et cela suffit pour évaluer grossièrement une
borne supérieure de $g(\xi)/f(\xi)$ : si cette borne supérieure est plus petite
que la borne inférieure de $\lambda(1)$, nous n'irons pas plus loin et garderons H.

On voit que dans de pareilles situations (qui sont des plus fréquentes
en pratique), il faut renverser une formule classique et dire : *la Nature,
en ces cas, ne peut répondre que oui*. Seulement son oui ne signifie pas :
les choses sont bien ainsi ; il signifie : vous avez le devoir de demeurer
en repos et *d'admettre* que les choses sont ainsi (encore que ce soit peut
être inexact).

Au contraire, il sera souvent plus délicat qu'on ne pense de décider
le rejet de H ; rarement ce rejet se fera de façon définitive sur la simple
vue d'un test : on voudra joindre à cette donnée brutalement numérique une
certaine compréhension de la nature des faits en cause et du motif de
l'échec subi. Et c'est fort bien ; car il ne convient pas de réduire le sta-
tisticien au rôle de machine à calculer.
## NOTE A. - LA SIGNIFICATION DES PROBABILITÉS ESTIMÉES

Nous nous sommes demandés plus haut (note 1 p. 79) si l'on pouvait encore regarder comme quotients de vraisemblances les probabilités résultant d'une "assomption". Nous pensons que la réponse est affirmative, eu égard aux remarques suivantes :

Appelons S un "statisticien", et désignons par $S_1$ l'état où il se trouve au moment où il va entreprendre une estimation - mettons : composition (p, 1 - p) d'une urne, connaissant un échantillon (k, n - k). $S_1$ dispose des données suivantes :

Le système $\Sigma$ de ses principes intellectuels, et notamment de ses principes statistiques ; un système (V) devraisemblances a priori touchant la composition de l'urne ; l'échantillon (k, n - k) lui-même ; enfin un problème pratique à résoudre donnant lieu à un système de prix.

Ces données n'étant pas utilisables telles qu'elles pour l'action, S prend d'emblée une première décision, fait une première assomption (à laquelle on ne songe pas toujours assez) : celle d'attribuer pour l'avenir (et ceci déborde le problème immédiat donnant lieu aux prix $\omega$), d'attribuer donc à l'urne et aux résultats des futurs tirages qu'on en fera un schéma probabiliste (p, 1 - p). Dès lors, S n'est plus dans l'état $S_1$, mais dans un nouvel état $S_2$ ne disposant plus, au lieu des (V) et de la composition précise de l'échantillon (comportant même peut être l'ordre de sortie des boules ...) que de la seule estimatrice :

$$v = \varphi(p) = V(p) p^k (1-p)^{n-k}$$

Le passage de $S_1$ à $S_2$ constitue, disons-nous, une première assomption (plus ou moins implicite) : celle-ci suppose un système (également implicite) de valeurs, en vertu duquel on estime avantageux de substituer aux connaissances directes mais inutilisables de $S_1$, le schéma assumé par $S_2$. Ce système de valeurs appartient du reste à $\Sigma$: c'est dès le début de notre vie humaine que nous avons décidé de substituer ainsi, aux données concrètes de l'expérience, difficilement maniables dans leur richesse et leur nuance, des schémas simplifiés intérieurs à notre esprit (images, mots ...), constituant une sorte de microcosme, ou "intramonde", nécessaire pour l'action. Nous avons discuté précédemment de la valeur objective de cet intramonde, substitut du monde réel, auquel il possède du reste une certaine adéquation (à la philosophie de préciser).

Ensuite, une seconde assomption, comme on sait, mène S de $S_2$ à un nouvel état $S_3$, dans lequel l'estimatrice $v = \varphi(p)$ est réduite à un seul point p' en considération des $\omega$.

Qu'est donc p' pour S ? Il faut ici bien remarquer que S est maintenant devenu $S_3$: de $S_1$ à $S_2$, puis à $S_3$, il y a plus qu'un passage logique : il y a modification réelle. $S_3$ est désormais le seul état concret de S, et $S_1$ n'est plus qu'un souvenir. En effectuant les deux assomptions que nous avons étudiées, en prenant les deux décisions susdites S a cessé d'être $S_1$ il est devenu $S_2$, puis $S_3$. Et si par la mémoire $S_3$ peut bien se rappeler que, pour $S_1$, p' faisait figure d'hypothèse parmi d'autres possibles, pour lui maintenant p' fait partie de l'image qu'il attribue au monde. Que ce soit à tort ou à raison, là n'est pas la question : il sait bien en effet (ou devrait savoir) que cette image, résultant en partie d'assomptions, est d'une exac-

<footnote>(1) Et dans $\lambda$ cette fois on doit faire entrer commercialement parlant le coût des épreuves supplémentaires.</footnote>
titude peut être imparfaite, et certainement discutable ; néanmoins S est maintenant "installé" dans cette image du monde, et provisoirement il y demeurera.

Dès lors S₃ est "quelqu'un" d'ainsi constitué qu'il attribue aux sorties des diverses couleurs de boules des vraisemblances qui sont dans le rapport p'. Quand aux valeurs absolues des vraisemblances, elles ne sont pas suffisamment déterminées par ce qui précède, mais résulteraient (si l'on en avait besoin) des autres informations de S dont nous n'avons pas eu à faire état, et qui se retrouvent dans S₃ comme dans S₁ (avec les seules modifications qu'y ont introduites les assomptions par lesquelles S₃ dif- fère de S₁).

## Remarque

Nous avons étudié dans notre dernier chapitre, paragraphe E, un aspect du problème des tests qui n'est pas essentiellement différent d'un problème d'estimation : arrivés à l'état S₃ en vertu d'assomptions anté- rieures, de nouvelles informations changeaient S₃ en S'₃, et de là, par assomption, nous passions à quelque S₄... (1)

Il existerait un autre aspect qui, au contraire, consisterait à remon- ter de S₃ vers S₁ (et de proche en proche toujours plus haut) afin de rechercher dans notre esprit ce qui s'y trouve de connaissance directe du monde, non simplifiée (et peut être déformée) par des assomptions utili- taires : c'est là le "problème critique" des philosophes, où l'on s'efforce de saisir la réalité telle qu'elle EST, et non point telle que nous L'UTILISONS

Nous pensons que c'est en remontant maille par maille la chaine, donc en partant du point où nous étions arrivés, qu'on a chance d'aboutir et non point, comme le voulait Descartes, en faisant table rase et recom- mençant à zéro : à zéro il n'y aurait plus que l'esprit d'un nouveau-né : pur de tout pragmatisme, soit : mais peu capable apparemment de philosopher...

Tandis que notre "intramonde", s'il est quelque peu souillé de prag- matisme, contient néanmoins de la connaissance réelle : au philosophe de dégager celle-ci en "décapant" la croûte verbale et imaginative qui la recouvre.

Mais on voit qu'une saine philosophie doit procéder exactement en sens contraire du pragmatisme scientifique, et que rien n'est plus scan- daleux que d'avoir prétendu fonder un jour la métaphysique sur une tech- nique d'"assomptions" : prolégomènes à tout ce que l'on voudra, sauf précisément à de la métaphysique!...

Il est inévitable qu'en toute métaphysique "faite de main d'homme" subsiste une part d'assomption, particulièrement dans le vocabulaire : mais c'en est la partie fragile, sujette à révision, la partie la moins "métaphysique" : il était réservé à certaine Ecole philosophique d'ériger en idéal ce qui n'est qu'une servitude de l'humaine faiblesse... Pourquoi nous sommes-nous laissés prendre à cette duperie ?

<footnote>(1) Note de l'auteur en marge du manuscrit : "Ce processus n'est pas tout à fait exact."</footnote>
## NOTE B

Notre conception de la statistique parait soulever une sérieuse objection que l'on n'a pas manqué de nous faire :

Elle est tellement *relative* au statisticien qui en fait usage, que l'on risque de ne pouvoir s'accorder d'un statisticien à un autre. En d'autres termes, la statistique telle que nous la considérons serait strictement *subjective*.

Pour répondre à cette objection, nous demandons à soigneusement distinguer le problème *pratique* et le problème *théorique*.

1°) *En pratique*, la difficulté en question n'existera guère : dans la plupart des cas, les divers statisticiens seront d'accord pour attribuer aux vraisemblances a priori des valeurs peu différentes de l'un à l'autre, et généralement en outre extrêmement "aplaties" ; dans ces conditions, les estimations de ces divers statisticiens seront très vite pratiquement confondues.

S'il arrive qu'il n'en soit pas ainsi, on sera conduit à examiner les différentes estimations correspondant au "champ" des diverses vraisemblances a priori susceptibles d'être envisagées ; et l'on utilisera une méthode d'estimation tablant sur le risque maximum dans un tel champ (méthode de Wald, etc...)

2°) *En théorie*, le caractère subjectif (nous aimerions mieux dire : relatif) de la méthode subsiste ; mais c'est que, croyons-nous, *il doit subsister* parce qu'il est dans la nature des choses. Nous ne croyons pas aux notions de probabilités et de vraisemblances en dehors des hommes pour qui ces probabilités et ces vraisemblances existent. Lorsque je vois une fumée, elle provient d'un feu ou d'un dispositif fumigène, ou de quelque autre cause ; objectivement, l'une est vraie, les autres fausses, mais pour moi chacune à sa vraisemblance. De même, lorsque je lance une pièce en l'air, elle tombera en fait ou sur pile, ou sur face ; c'est seulement pour celui qui ignore le résultat (1) que pile et face ont chacune sa probabilité (que l'ignorance vienne de ce que la pièce n'est pas encore tombée, ou de ce qu'elle est trop loin ou cachée).

Il n'y a pas de probabilités objectives, mais seulement (comme nous l'avons expliqué au 1°) des probabilités pratiquement *intersubjectives*.

<footnote>(1) Ou plus précisément : qui n'a que des informations imparfaites le concernant ; car nous n'admettons pas de probabilités fondées sur une pure ignorance.</footnote>
NOTE C

En appendice à nos réflexions sur la notion de valeur, voici sur les valeurs économiques quelques considérations dont nous sommes, pour une large part, redevable à des échanges de vues avec M. MORLAT :

La valeur telle que nous l'avons définie est ce que les économistes nomment "valeur d'usage" : nous avons attiré l'attention sur son caractère *relatif* : relatif à l'usager, et plus précisément à cet usager se trouvant dans une certaine situation bien déterminée, avec des moyens déterminés, et une façon déterminée de juger de ses divers besoins ou aspirations. Cet usager, du reste, peut être une personne physique ou une personne morale.

Lorsque deux personnes (physiques ou morales) envisagent de réaliser librement un échange de biens (objets matétiels, services, argent, etc...), cet échange n'a lieu que dans la mesure où chaque partie le trouve avantageux. L'échange n'est donc possible, sauf contrainte, que si les valeurs relatives des biens échangés sont différentes d'une personne à l'autre : cela suffirait à montrer que ces valeurs ne sont aucunement proportionnelles aux prix objectivement attachés aux biens dans nos sociétés modernes, sans quoi il n'y aurait presque jamais d'échanges.

En fait, un marché libre entre deux personnes se réalise par la constatation qu'une certaine proportion dans l'échange d'un bien A et d'un bien B est intermédiaire entre deux points limites : le point où le marché cesse d'intéresser A ; celui où il cesse d'intéresser B. L'audace d'une partie jointe à la timidité de l'autre tend à rapprocher la proportion de l'un ou l'autre point limite : une commune loyauté tendrait à la situer dans une zone médiane "également avantageuse" pour toutes deux. (1)

Mais la plupart des marchés sont d'un type différent, qui fait inter-
venir les valeurs subjectives non de deux, mais d'un grand nombre de
personnes. Ces marchés ne sont donc plus des **contrats privés**, mais des
**contrats publics** ; et il faut entendre par ces deux expressions deux réa-
lités juridiques **essentiellement différentes** : un grand pas sera franchi
dans l'organisation de la vie sociale le jour où l'on aura compris cette
différence **spécifique**.

Le contrat privé est ordinairement *bipartite* ; le contrat public est, de *sa nature*, *tripartite* au moins ; il lie, explicitement ou implicitement, les deux parties qui échangent et *une troisième partie qui est la commu- nauté nationale ou internationale*. Celle-ci a donc son mot à dire dans tout contrat public, *puisqu'elle y est d'office partie* (même si pratiquement elle n'a pas jusque là fait état de son droit) : c'est le cas de tout industrie ou commerce vendant *avec publicité* (l'enseigne commerciale est une véri- table publicité) ; c'est le cas de toute entreprise dont les dimensions ex- cèdent les besoins ou les moyens d'exploitation d'un homme seul (avec sa famille).

Nous pensons que cette notion de contrat tripartite fournirait des so-
lutions nouvelles aux grands problèmes sociaux et économiques de l'heure,
solutions qui échapperaient au dilemme : liberté quasi-totale ou nationali-
sations. Le dirigisme de la période des restrictions n'a certainement pas
été une réussite parfaite. Mais c'était peut être la première tentative
assez grossière d'une organisation qui demanderait à être repensée.

Quoi qu'il en soit de ces dernières considérations, dès qu'un bien est mis en assez large circulation dans une société, l'ensemble des fac-

<footnote>(1) Ceci a un certain sens, malgré le caractère subjectif des valeurs : car l'hom-
me possède, s'il le veut, une certaine aptitude à "se mettre à la place" d'un autre
homme.</footnote>
teurs qui entrent en jeu dans l'échange de ce bien contre d'autres (valeurs subjectives du bien en question pour les diverses personnes physiques et morales membres de la Société, abondance de ce bien, règlementation de son marché, etc...) a une résultante. Dans un système social où tout bien est censé échangeable contre un bien étalon unique par la convention du signe monétaire, la résultante en question se traduit par un prix.

Le prix, assez indûment appelé par les économistes "valeur d'échange" n'est pas de la nature d'une valeur proprement dite. D'une part il est une résultante complexe de facteurs qui sont en partie (mais pas tous) des valeurs. D'autre part, une fois constitué, il apparaît comme un paramètre de structure du système économique : celui qui veut aujourd'hui échanger des signes monétaires contre du pain sait dans quelle proportion cet échange est possible : à lui de juger si la valeur qu'a pour lui un kilo de pain est supérieure ou inférieure à la valeur qu'ont, pour lui toujours, sept pièces de cinq francs (ces dernières étant échangeables aussi contre une heure de "Cinéac", etc...) Le prix n'est pas une valeur : il constitue une "équation de liaison" à adjoindre à tout problème de décision.

Pour compléter ces remarques, esquissons une classification des principales "Sciences des valeurs":

L'étude des "valeurs subjectives" relèverait en principe de la psychologie ; c'est au probabiliste que revient normalement celle des vraisemblances, et au statisticien (en liaison, bien entendu, avec le probabiliste et le psychologue d'une part, avec l'usager d'autre part) celle des "valeurs aléatoires".

Quant aux "valeurs d'échange" (pour conserver un terme consacré), leur étude appartient à la sociologie (utilisant les disciplines précédentes): celle-ci se confond du reste avec la morale, car on ne peut étudier une société humaine comme une société animale : il y faut une référence à certains principes directeurs, une sorte d'"étalon" des valeurs humaines qui constitue précisément la morale. Quant à ce que l'on nomme parfois "morale personnelle", celle-ci n'est au fond qu'un chapitre tronqué de la théologie, une théologie sans Dieu.

La théologie, enfin, étudie l'homme dans sa relation à Dieu, l'homo religiosus", l'homme envisagé comme une "personne" conditionnée par sa psychologie individuelle et son appartenance à la communauté humaine, mais transcendante à l'une et à l'autre.

Est-il utile d'ajouter que la science économique n'est elle-même qu'un chapitre, particulièrement complexe certes de nos jours, de la sociologie (ou morale) dont elle est inséparable ? Oublier cela, c'est ne plus savoir si les machines tournent pour nourrir les hommes, ou si les hommes mangent pour faire tourner les machines : il n'est que trop vrai que nous en sommes là ...
NOTE D

Voici d'autre part une très intéressante remarque due à M. LE CAM: dans mon étude des "grandeur psychologiques" j'ai presqu'emblée admis que la comparaison de celles-ci se fondait uniquement sur une relation soit d'équivalence, soit de prévalence : qu'il y ait des "degrés" dans la prévalence, cela résulte pour moi de la structure d'ensembles ordonnés au moyen d'un prévalence simple.

Mais de même que pour une surface, en outre de la distance géo-
désique de deux points (laquelle résulte de proche en proche de la seule
donnée d'une distance élémentaire), on peut encore se donner une distance
spatiale (la longueur de la corde) et que cet seconde donnée ne se réduit
pas à la première et fournit à la surface une structure plus complexe : de
même, M. LE CAM pense qu'il existe en psychologie entre deux grandeurs
A et B une prévalence douée de degré avant toute comparaison de A et de B
avec les autres grandeurs. Cette idée parait très intéressante. Comme
elle introduit dans la question une énorme complexité, il me semblerait
raisonnable d'attendre, pour étudier l'axiomatique correspondante, d'avoir
auparavant complètement mis au point celle que je propose ici ; outre
qu'elle en est un cas particulier très important en pratique, je pense que
sa connaissance sera nécessaire avant de passer au degré suivant de
complexité ; il faut en effet pouvoir "raccorder" la métrique spatiale à la
métrique géodésique, et pour cela commencer par connaître celle-ci.
## CONCLUSION

La statistique n'a pas pour objet *direct* de nous dire ce qui est: dans les cas où ce que nous connaissons déjà ne nous intéresse pas en soi-même, ou au contraire ce qui nous intéresse ne nous est pas encore connu, elle nous enseigne avant tout ce que nous devons décider. Parmi ces décisions se trouvent notamment les assomptions d'hypothèses, qui suppléent à notre manque de connaissance directe sur ce qui nous intéresse, et nous fournissent à cet égard un schéma dont la fonction est double: *directement* ce schéma règlera notre conduite; *indirectement*, il nous donne de ce qui est quelque idée plus ou moins approchée et plus ou moins certaine.

Car, en fait, notre schéma statistique est généralement efficace, et cette efficacité habituelle nous est un signe que le monde présente une certaine cohérence, et notre esprit une certaine adéquation au monde. Toutefois, ce schéma se ressent de son origine utilitaire: il est beaucoup plus pauvre que le très complexe faisceau de vraisemblances qui lui a donné naissance, il a délibérément sacrifié une part considérable de nos informations sur le monde.

Et voilà peut être pourquoi, utilitaires (donc statisticiens instinctifs) dès notre première enfance, nous nous sommes bâti une image du monde faite des "observables" α de Dirac, réduites encore à une seule valeur propre chacune; nous n'avons pas voulu voir (parce que nous n'aurions rien pu en tirer pour notre vie pratique), que les observables sont des grandeurs, réelles sans doute, mais *relatives* ("objectivement relatives"), et que, en dehors de sa relation à nous, le monde est constitué par les "états" ψ : de ces états nous ne pouvons malheureusement pas avoir une connaissance particulière, parce que notre liberté, en nous rendant partiellement autonomes vis-à-vis du monde matériel, met entre les ψ et nous la marge du principe d'incertitude.

Ainsi nous trouverons-nous, lorsqu'une cosmologie nouvelle nous aura livré le secret des ψ, devant une double connaissance du monde: l'une absolue mais abstraite, fondée sur les ψ; l'autre relative, mais concrète, fondée sur les α. Le savant préfèrera la première, le poète restera comme par le passé attaché à la seconde; un philosophe digne de ce nom devrait savoir associer les deux; car les deux sont réelles, les deux sont "de l'être"; si le monde existe, et si j'existe, les relations du monde à moi sont "quelque chose" du monde, tout comme les relations de moi au monde sont "quelque chose" de moi.