Propriétés multiplicatives des valeurs
de certains polynômes en deux variables

par

C. DARTYGE (Nancy)

**0. Introduction.** Deshouillers et Iwaniec [D-I] ont démontré en 1982 que le plus grand facteur premier du produit $\prod_{x \le n \le 2x} (n^2 + 1)$ est supérieur à $x^{1.202}$ pour $x$ assez grand, mais lorsque l'on remplace $n$ par un nombre premier $p$, on n'est pas en mesure de trouver $\varepsilon > 0$ tel que $P^+(\prod_{x \le p \le 2x} (p^2 + 1)) > x^{1+\varepsilon}$ quand $x \to \infty$, $P^+(m)$ étant le plus grand facteur premier de l'entier $m$, avec la convention $P^+(1) = 0$. Hooley [H1] a montré en 1978 que sous l'hypothèse $R^*$ de majoration de sommes courtes de Kloosterman, le plus grand facteur premier du produit $\prod_{n \le x} (n^3 + 2)$ est supérieur à $x^{31/30}$, pour $x$ assez grand. Ce remarquable résultat est conditionnel, et sans l'hypothèse $R^*$ on ne sait pas minorer le plus grand facteur premier du produit ci-dessus par $x^{1+\varepsilon}$.

L'objectif de ce travail est de montrer que ces inégalités sont vérifiées en moyenne et ainsi d'étudier les propriétés multiplicatives des valeurs de polynômes à coefficients entiers et en deux variables tels par exemple $f(p_1, p_2) = 1 + p_1^2 + p_2^2$, ou $f(p_1, p_2) = 1 + p_1^3 + p_2^3$, etc.

L'abord d'un tel problème passe par la mise en place d'estimations asymptotiques du cardinal d'ensembles de la forme

$$
\mathcal{A}_m = \{ (p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x, f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{m} \}
$$

où $p_1, p_2$ sont des nombres premiers et la notation $n \sim N$ signifie $n \in [N, 2N]$.

Lorsque $m$ est “petit”, c’est-à-dire $m < x^{1-\varepsilon}$, le cardinal de ces ensembles est donné en moyenne grâce à un résultat de Greaves [G3], du type le théorème de Bombieri–Vinogradov, obtenu à partir du classique théorème de Barban–Davenport–Halberstam pour la suite des nombres premiers.

Quand $m$ est “grand”, on évalue ces ensembles individuellement à l’aide
de méthodes de cribles détectant les $p_1p_2$, et qui conduisent à des majora-
tions de sommes d’exponentielles de la forme
$$S_f(m, g, h) = \sum_{\substack{0 \le u, v < m \\ f(u,v) \equiv 0 \pmod m}} e\left(\frac{gu + hv}{m}\right),$$

avec la notation usuelle $e(x) = \exp(2i\pi x)$.

Si $f$ est un polynôme homogène, cette somme est facile à évaluer.

En effet, comme Greaves l'a montré dans [G1], pour $(uv, m) = 1$, la congruence $f(u, v) \equiv 0 \pmod m$ se transforme en $v \equiv wu \pmod m$, avec $f(1, w) \equiv 0 \pmod m$. La somme $S_f(m, g, h)$ se comporte donc comme une somme géométrique, et on bénéficie d'importantes compensations.

En faisant alors l'hypothèse de positivité suivante :

(H1) Il existe $A > 0$ et $x_0 > 0$ tels que pour $x, y > x_0$, on ait $f(x, y) > A(x^d + y^d)$, $d$ étant le degré de $f$,

on montre le théorème suivant :

**THÉORÈME 1.** Soit $f$ un polynôme irréductible, homogène, de degré $d \ge 2$, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H1). Pour tout $\lambda < 2 - 8/(d+7)$, on a l'inégalité

$$|\{(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x, P^+(f(p_1, p_2)) > x^\lambda\}| \gg \frac{x^2}{\log^2 x}.$$

L'hypothèse (H1) n'a aucun caractère crucial, elle sert seulement à définir $\log(f(p_1, p_2))$, et avec quelques modifications, on pourrait obtenir un résultat valable, par exemple, pour le polynôme $x^3 - 2y^3$.

Lorsque le polynôme $f$ n'est pas homogène, les sommes $S_f(m, g, h)$ ne se majorent plus aussi facilement, et il faut faire appel aux résultats pointus de géométrie algébrique sur les majorations de sommes d'exponentielles sur des corps finis.

Dans le cas où $f$ est un polynôme en deux variables, les majorations de Weil sont valables dans un cadre général, il faut seulement écarter les situations dégénérées comme par exemple les cas où la fonction $\Phi(u, v) = gu + hv$ est constante sur les courbes

$$C_p = \{(u, v) \in \mathbb{F}_p^2 : f(u, v) \equiv 0 \pmod p\}.$$

Plus précisement, pour $(g, h, t) \in \mathbb{Z}^3$, on définit les diviseurs de la courbe $C_p$ suivants :

$$D(g, h, t) = \sum_{\substack{P=(u,v) \in C_p \\ gu+hv-t \equiv 0 \pmod p}} P.$$

Les résultats de Weil [B] sont alors applicables dès que l'on fait l'hypothèse :

(H2) Pour tout $t \in \mathbb{Z}$ et tous $(g, h) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $(g, h, p) = 1$, on a $\deg D(g, h, t) = O(1)$, où la constante implicite ne dépend que du polynôme $f$.
L'hypothèse (H2) exclue les cas aberrants comme les "faux polynômes en deux variables", c'est-à-dire les $f(x, y) = \sum_{k=0}^{d} c_k(ax + by + c)^k$.

En incorporant ceci dans la méthode de Tchebychev-Hooley, on montre le

**THÉORÈME 2.** Soit $f$ un polynôme irréductible en deux variables, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant les conditions (H1) et (H2). L'inégalité suivante est alors vérifiée :

$$|\{(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x, P^+(f(p_1, p_2)) > x^\lambda\}| \gg \frac{x^2}{\log^2 x},$$

dès que

$$\lambda < \begin{cases} 36/35 & \text{si } d=2, \\ 20/19 & \text{si } d=3. \end{cases}$$

Ce résultat est une amélioration et une généralisation d'un résultat de Plaksin [P]. Celui-ci avait en effet obtenu pour le polynôme $f(p_1, p_2) = p_1^2 + p_2^2 + 1$ un exposant $\lambda = 71/70$. Cette amélioration résulte du fait que les variables $p_1p_2$ jouent un rôle symétrique, il est donc plus intéressant de les détecter avec un crible de dimension 2 sur les produits correspondants $n_1n_2$, que de cribler séparément ces variables $n_1, n_2$ à l'aide de cribles linéaires.

Dans l'esprit des travaux de Greaves ([G2], [G3]), et de Richert [H-R], nous nous sommes intéressé au problème de représentation de nombres presque premiers par des polynômes en deux variables. Pour $r \ge 1$, $P_r$ désigne un entier ayant au plus $r$ facteurs premiers. Nous montrons le

**THÉORÈME 3.** Soit $f$ un polynôme irréductible de degré 3 en deux variables, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H2). On a alors l'inégalité

$$|\{(n_1, n_2) \sim x : f(n_1, n_2) = P_3\}| \gg \frac{x^2}{\log x}.$$

Pour démontrer ce résultat, on applique le crible pondéré de Richert (cf. par exemple le théorème 9.3, p. 253 du livre [H-R]), que nous pouvons utiliser directement grâce aux lemmes intermédiaires qui ont servi à la preuve du théorème 2.

Nous regrettons que les théorèmes 2 et 3 ne s'étendent pas à des polynômes de degré 4 et plus. On est bloqué par le fait que lorsque le degré du polynôme est supérieur ou égal à 4, on n'ait pas trouvé de majoration satisfaisante du nombre de $(p_1, p_2)$ tels que $f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^2}$, où $p$ est un nombre premier supérieur à $x$. On peut cependant faire le parallèle entre cette difficulté et le fait que l'on ne sait pas s'il existe un polynôme (irréductible) de degré 4 prenant une infinité de valeurs sans facteur carré.
Le premier résultat de Greaves [G3] évoqué ci-dessus concerne en fait des polynômes de degré $d$ quelconque. Il a en effet montré que si $f$ est de degré $d$, alors $f(p_1, p_2) = P_{d+1}$ pour une infinité de nombres premiers $p_1, p_2$. Pour obtenir ceci, il se sert du crible pondéré de Richert qui est la clé de la preuve du théorème 3, et des estimations en moyenne des quantités $A_m$ pour $m < x^{1-\epsilon}$ obtenues à partir du théorème de Barban-Davenport-Halberstam.

Cependant, en revenant à la définition des poids de Richert, et en y combinant un crible de dimension 2 on peut repousser le niveau général du crible de $m < x^{1-\epsilon}$, à $m < x^{2-\epsilon}$, lorsque $f$ est un polynôme homogène, et à $m < x^{4/3-\epsilon}$, lorsque $f$ vérifie la condition (H2).

En profitant de ceci, dans le cas où $f$ est un polynôme homogène, nous apportons l'amélioration du résultat de Greaves suivante :

**THÉORÈME 4.** *Soit $f$ un polynôme irréductible homogène en deux variables de degré $d$, dont les coefficients sont premiers entre eux. On a alors l'inégalité*

$$ \left| \left\{ (p_1, p_2) \sim x : \Omega(f(p_1, p_2)) \le \frac{2d}{3} + 8 \right\} \right| \gg \frac{x^2}{\log^3 x}, $$

où $\Omega(n)$ désigne le nombre de facteurs premiers de $n$.

Ce résultat est intéressant pour $2d/3+8 < d+1$, c'est-à-dire pour $d \ge 22$. En fait, pour chaque $d$ on peut obtenir un meilleur résultat, mais après de longs calculs d'optimisation qui sont sans intérêt.

L'utilisation des poids de Richert nécessite non seulement une connaissance précise des quantités $|A_m|$, lorsque $m$ est sans facteur carré, mais encore une inégalité du type

$$ \sum_{z<p<y} |A_{p^2}| = o\left(\frac{x^2}{\log^3 x}\right). $$

Lorsque $f$ est homogène, Greaves a obtenu ceci dans [G4], en profitant astucieusement de l'homogénéité de $f$ pour traduire en termes de réseaux la congruence

$$ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod{p^2}. $$

Lorsque le polynôme n'est pas homogène, ce raisonnement ne tient plus, et quand le degré de $f$ est supérieur à 4, on ne peut obtenir une majoration satisfaisante de $|A_{p^2}|$, pour $p > x$.

Ainsi le résultat que l'on obtient pour un polynôme $f$ non homogène concerne seulement la quantité $\omega(f(p_1, p_2))$, la fonction $\omega(n)$ étant le nombre de facteurs premiers distincts de $n$ :

**THÉORÈME 5.** *Soit $f$ un polynôme irréductible en deux variables de degré $d$, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H2).*
Pour $x \ge 1$, et pour tout $\varepsilon > 0$, on définit l'ensemble $\mathcal{E}$ suivant :

$$
\mathcal{E} = \{(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x \text{ et vérifiant (i), (ii) et (iii)}\},
$$

avec

$$
(i) p \mid f(p_1, p_2) \Rightarrow p > x^{1/4},
$$

$$
(ii) p^2 \mid f(p_1, p_2) \Rightarrow p > x^{1-\epsilon},
$$

$$
(iii) \omega(f(p_1, p_2)) < k(d).
$$

$$
\text{Lorsque } k(d) \ge \frac{6d}{7} + 6, \text{ on a la minoration } |\mathcal{E}| \gg \frac{x^2}{\log^3 x}.
$$

Ce résultat apprend quelque-chose de nouveau pour $d > 30$, mais la remarque faite après le théorème 4 est valable pour ce théorème; si on le désire, pour chaque $d$ fixé, on peut améliorer la valeur $k(d)$.

Plus le degré de $f$ est grand, plus ce théorème est intéressant. Par exemple, si $f$ est un polynôme de degré 1000, alors nous savons d'après Greaves que pour une infinité de $p_1, p_2$, $f(p_1, p_2) = P_{1001}$, mais le théorème 5 dit que $\omega(f(p_1, p_2)) \le 862...$

Quand on cherche une estimation des cardinaux $|\mathcal{A}_m|$, on écrit l'approxi-
mation classique

$$
|\mathcal{A}_m| = |\mathcal{A}| \frac{r(m)}{\varphi(m)^2} + R_m,
$$

avec

$$
\mathcal{A} = \{(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x\},
$$

$$
r(m) = |\{(u, v) : 0 \le u, v < m, (uv, m) = 1, f(u, v) \equiv 0 \pmod m\}|,
$$

et $R_m$ est un terme d'erreur que l'on espère rendre acceptable.

Le premier chapitre de ce travail fournit des estimations de la fonction $r$, reprenant des travaux de Greaves sur ce sujet. Dans le deuxième, on donne des majorations de sommes d'exponentielles résultant des travaux de Weil qui seront reprises dans le chapitre trois où on établira des estimations asymptotiques des cardinaux d'ensembles du type

$$
\{(n_1, n_2) : n_1, n_2 \sim x, n_1 n_2 \equiv 0 \pmod a, f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod m\},
$$

où $m$ et $a$ sont des entiers sans facteur carré, pour alors être en mesure  
d'estimer les ensembles $\mathcal{A}_m$, lorsque $m$ est supérieur à $x^{1-\varepsilon}$. Les quantités  
$|\mathcal{A}_m|$ pour $m < x^{1-\varepsilon}$ sont estimées en moyenne dans le chapitre 4, à l'aide  
du théorème de Barban-Davenport-Halberstam.

Enfin, les derniers chapitres correspondent aux preuves des différents
théorèmes annoncés.

Une telle démarche s'étend à des polynômes en trois variables et plus
Dans le cas des polynômes en 3 variables, les majorations de Hooley [H2]
le long de surfaces de $\mathbb{F}_p$, obtenues à partir des travaux de Deligne, per-
mettent d'avoir un résultat de caractère général, c'est-à-dire valable pour des
polynômes de $\mathbb{Z}[x_1, x_2, x_3]$ vérifiant des conditions du type les hypothèses (H1) et (H2). Le rajout d'une troisième variable rallonge cependant les différentes étapes des démonstrations. Cette méthode permet alors de montrer que pour de tels polynômes $f$ de degré 3, il existe une proportion positive de triplets $(p_1, p_2, n_3)$ compris entre $x$ et $2x$, tels qu'on ait $P^+(f(p_1, p_2, n_3)) > x^{7/6}$. Dans le cas des polynômes en 4 variables et plus les travaux de Deligne ne sont pas tout à fait suffisants. Katz et Laumon [K-L] ont montré, pour presque tout $k$-uplet d'entiers $(h_1, \dots, h_k)$, la majoration suivante :

$$ \sum_{\substack{u_1, \dots, u_k \bmod p \\ f(u_1, \dots, u_k) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{h_1 u_1 + \dots + h_k u_k}{p}\right) = O(p^{(k-1)/2}). $$

Ce résultat n'est pas applicable dans ce contexte, car les $h_i$ exclus peuvent être très petits. Laumon [L] a cependant obtenu des majorations de sommes d'exponentielles le long d'hypersurfaces diagonales que l'on peut appliquer dans certains cas. On pourra trouver dans [D] un exposé détaillé de tout ceci.

Ce travail a été réalisé sous la direction du Professeur Etienne Fouvry. Je le remercie vivement pour les nombreuses suggestions qu'il a proposées.

**1. Résultats préliminaires sur les fonctions r.** La fonction $r$ est jumelée avec la fonction $\varrho$ définie par

$$ \varrho(m) = |\{(u, v) : 0 \le u, v < m, f(u, v) \equiv 0 \pmod{m}\}|. $$

Ces fonctions $\varrho$ et $r$ dépendent bien sûr du polynôme $f$, mais dans toute la suite il n'y aura pas de problème d'ambiguïté.

**1.1. Évaluation des fonctions r et $\varrho$ dans le cas où $f$ est un polynôme homogène.** Si $(uv, m) = 1$, l'équation $f(u, v) \equiv 0 \pmod{m}$ se réécrit comme $u \equiv wv \pmod{m}$, avec $f(1, w) \equiv 0 \pmod{m}$. En profitant de cette idée, Greaves a montré dans [G2], le résultat suivant :

**LEMME 1.1.** (i) On a l'inégalité $\varrho(p) = O(p)$, où la constante du O ne dépend que du polynôme $f$.

(ii) Pour $Q > 2$, on a l'égalité

$$ \sum_{p < Q} \frac{\varrho(p) \log p}{p^2} = \log Q + O(1). $$

(iii) Pour $\alpha \ge 3$, on a $\varrho(p^\alpha) = O(p^{\alpha+\lfloor\alpha(1-2/d)\rfloor})$, et pour $\alpha = 2$, on a

$$ \varrho(p^2) = O(p^2). $$

(iv) La fonction $r$ associée vérifie des propriétés similaires.
**1.2. Étude des fonctions r et ϱ dans le cas où f est un polynôme en 2 variables : cas général.** D'après le théorème chinois ces fonctions sont multi-
plicatives. Lorsque $f$ est un polynôme absolument irréductible sur $\mathbb{F}_p$, Weil a prouvé que $\varrho(p) = p+O(\sqrt{p})$. Puis, Greaves [G3] a étendu ce résultat au cas qui nous intéresse, c'est-à-dire lorsque $f$ est un polynôme irréductible non homogène, mais pas nécessairement absolument irréductible sur $\mathbb{Q}$. Dans ce cas, il existe une extension algébrique $K$ de $\mathbb{Q}$ dans laquelle $f$ se factorise en produit de facteurs absolument irréductibles $f = g_1 \dots g_m$. Les coefficients de $g_1$ engendrent une extension $\mathbb{Q}(\theta_1)$ de $\mathbb{Q}$. Soit $O_{\theta_1}$ l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\theta_1)$. On a le résultat ([G3]) suivant :

LEMME 1.2.1. Pour tout $p$, sauf un nombre fini, on a

$$
\varrho(p) = ps_p + O(\sqrt{p}),
$$

où $s_p$ est le nombre d'idéaux premiers $P$ de $O_{\theta_1}$ tels que $\mathrm{Norm}(P) = p$.

Ensuite, en utilisant le corollaire de Nagell [N1] du théorème des idéaux premiers, on a l'égalité

$$
\sum_{p \le Q} \frac{s_p \log p}{p} = \log Q + O(1),
$$

et ainsi,

$$
(1.1) \qquad \sum_{p \le Q} \frac{\varrho(p) \log p}{p^2} = \log Q + O(1).
$$

Cette dernière égalité est une condition d'application des cribles de Selberg et de Rosser–Iwaniec.

Il reste encore à évaluer $\varrho(p^\alpha)$ pour $\alpha \ge 2$. On montre le lemme suivant :

LEMME 1.2.2. Pour tout $\alpha \ge 2$, on a la majoration

$$
\varrho(p^{\alpha}) = O(\alpha p^{4\alpha/3}).
$$

Les constantes implicites ne dépendent que de $f$.

Preuve du lemme 1.2.2. Le principe de cette démonstration consiste à fixer une variable, par exemple la première $u$, puis d'appliquer les résultats généraux de Nagell [N2] sur le nombre de solutions de la congruence $g(v) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}$ au polynôme $g(v) = f(u, v)$. La difficulté est que ces résultats dépendent du discriminant de $g$ et donc de la variable $u$.

Le lemme suivant est un récapitulatif des théorèmes 42, 52, 53, 54 des pages 80 à 90 du livre de Nagell [N2].

LEMME 1.2.3. Soit $g$ un polynôme primitif de degré $d$ et de discriminant $D$. La fonction $\sigma_g(n) = |\{0 \le u < n : g(u) \equiv 0 \pmod{n}\}|$ est multiplicative, et vérifie les propriétés suivantes :
(i) *pour tout* $p$ *premier*, on a $\sigma_g(p) \le d$,

(ii) si $p \nmid D$, alors pour tout $\alpha \ge 1$, on a l'égalité

$$ \sigma_g(p^\alpha) = \sigma_g(p), $$

(iii) si $p \mid D$, et plus précisément si $p^\mu \mid D$, alors pour $\alpha$ tel que $\alpha \ge 2\mu+1$, on a l'égalité

$$ \sigma_g(p^\alpha) = \sigma_g(p^{2\mu+1}) \le dp^{2\mu}, $$

(iv) plus généralement, pour tout $p \ge 2$ et tout $\alpha \ge 1$, on a l'inégalité

$$ \sigma_g(p^\alpha) \le dD^2. $$

Pour $a, b \bmod{p^\alpha}$ donnés, on définit les polynômes $g_a$ et $h_b$ par $g_a(t) = f(a, t)$, et $h_b(t) = f(t, a)$. On note $D(g_a)$, $D(h_b)$ leur discriminant respectif. On part de l'égalité

$$ \varrho(p^\alpha) = \sum_{0 \le \beta \le \alpha} \Psi(\beta), $$

avec

$$ \Psi(\beta) = \sum_{\substack{0 \le u, v < p^\alpha \\ f(u, v) \equiv 0 \pmod{p^\alpha} \\ p^\beta = (D(g_u), D(h_v), p^\alpha)}} 1. $$

Nous allons établir deux majorations de $\Psi(\beta)$. La première est intéres-
sante lorsque $\beta$ est grand. On oublie la contrainte $f(u, v) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}$, et
on a la majoration

$$ \Psi(\beta) \le \sum_{\substack{0 \le u < p^\alpha \\ D(g_u) \equiv 0 \pmod{p^\beta}}} \sum_{\substack{0 \le v < p^\alpha \\ D(h_v) \equiv 0 \pmod{p^\beta}}} 1. $$

Les sommes sur $u$ et sur $v$ sont alors des $O(p^{\alpha-\beta})$, d'après le point (iv) du
lemme 1.2.3 appliqué aux polynômes $u \to D(g_u)$ et $v \to D(h_v)$. La constante
du "O" ne dépend que de $f$. Ainsi on a la première majoration :

$$ \Psi(\beta) = O(p^{2(\alpha-\beta)}). $$

Pour la deuxième majoration, lorsque $\beta$ est petit inférieur à $\alpha/2$, on écrit

$$ \Psi(\beta) \le \sum_{\substack{0 \le u < p^\alpha \\ p^\beta \mid (D(g_u), p^\alpha)}} \sigma_{g_u}(p^\alpha) + \sum_{\substack{0 \le v < p^\alpha \\ p^\beta \mid (D(h_v), p^\alpha)}} \sigma_{h_v}(p^\alpha). $$

D'après les points (iii) et (iv) du lemme 1.2.3, on a $\sigma_{g_u}(p^\alpha) = O(p^{2\beta})$, la somme sur $u$ est un $O(p^{\alpha-\beta+2\beta})$, celle sur $v$ se majore de la même manière, et on a ainsi la majoration

$$ \Psi(\beta) \ll p^{\alpha+\beta}. $$
En comparant ces deux majorations, on trouve $\Psi(\beta) = O(p^{4\alpha/3})$, ce qui finit la preuve du lemme 1.2.2.

A partir des lemmes 1.2.1 et 1.2.2 et de l'égalité (1.1), nous avons facilement le résultat suivant :

**COROLLAIRE 1.2.4.** La fonction multiplicative $r$ vérifie les propriétés :

(i) $r(p) = O(p)$,

(ii) pour $P > 2$, on a

$$ \sum_{p \le P} \frac{r(p) \log p}{\varphi(p)^2} = \log P + O(1), $$

(iii) pour $\alpha \ge 2$, on a l'inégalité $r(p^\alpha) = O(\alpha p^{4\alpha/3})$.

**2. Quelques résultats sur les sommes d'exponentielles.** Dans ce paragraphe, on donne des estimations des sommes d'exponentielles que l'on rencontre lorsque l'on développe les conditions de congruences définissant les quantités $|A_d|$ en série de Fourier.

Soit $f$ un polynôme irréductible en deux variables. Soient $m \ge 1$ un entier sans facteur carré, et $g, h$ deux autres entiers. Il s'agit alors d'étudier la somme

$$ S_f(m, g, h) = \sum_{\substack{0 \le x, y < m \\ f(x,y) \equiv 0 \pmod m}} e\left(\frac{gx + hy}{m}\right). $$

On commence par observer le

**LEMME 2.1.** Soient $m$ et $n$ deux entiers premiers entre eux. On a l'égalité

$$ S_f(mn, g, h) = S_f(m, g\bar{n}, h\bar{m})S_f(n, g\bar{m}, h\bar{m}), $$

où $\bar{m}$ désigne un inverse de $m$ modulo $n$, et $\bar{n}$ un inverse de $n$ modulo $m$.

**Preuve du lemme 2.1.** Pour $(x, y) \bmod mn$, en profitant du fait que $(m, n) = 1$, on écrit $x = mx_1 + nx_2$ et $y = my_1 + ny_2$. La somme devient alors

$$ S_f(mn, g, h) = \sum_{\substack{0 \le x_1, y_1 < n \\ 0 \le x_2, y_2 < m \\ f(x_1 m + y_1 n, x_2 m + y_2 n) \equiv 0 \pmod{mn}}} e\left(\frac{gx_1 + hy_1}{n}\right) e\left(\frac{gx_2 + hy_2}{m}\right). $$

La condition $f(x_1m + y_1n, x_2m + y_2n) \equiv 0 \pmod{mn}$ se scinde en

$$ f(x_1m, y_1m) \equiv 0 \pmod{n}, \quad f(x_2n, y_2n) \equiv 0 \pmod{m}, $$

ce qui, après le changement de variables adéquat, termine la preuve du lemme.
Grâce à ce lemme on peut se restreindre à étudier des sommes de la forme $S_f(p, g, h)$, $p$ étant un nombre premier.

(a) On suppose que $f$ est un polynôme homogène. La somme $S_f(p, g, h)$ peut se réécrire comme

$$S_f(p, g, h) = \sum_{0 \le k < p} e\left(\frac{k}{p}\right) w(k),$$

avec $w(k) = |\{(u, v) : 0 \le u, v < p, f(u, v) \equiv 0 \pmod{p}, gu + hv \equiv k \pmod{p}\}|$. Grâce à l'homogénéité de $f$, on a l'égalité $w(k) = w(1)$ pour $(k, p) = 1$, et ainsi, on a $S_f(m, g, h) = w(0) - w(1)$.

De plus, on a $w(1) = O(1)$ et $w(0) = O(p, f(-h, g))$. Les arguments que l'on vient de donner sont ceux mis au point par Greaves dans [G1] pour montrer le

**LEMME 2.2.** *Soit $f$ un polynôme irréductible homogène. On a l'inégalité*

$$S_f(p, g, h) = O(p, f(-h, g)).$$

*La constante implicite ne dépend que de $f$.*

(b) *Cas des polynômes non homogènes.* On suppose maintenant que $f$ est un polynôme irréductible non homogène, vérifiant l'hypothèse (H2). La somme $S_f(p, g, h)$ ne s'évalue alors plus aussi facilement, mais à l'aide de résultats provenant de la géométrie algébrique. On montre ici le lemme suivant :

**LEMME 2.3.** *Soit $f$ un polynôme irréductible, vérifiant la condition (H2). On a l'inégalité*

$$S_f(p, g, h) = O(p^{1/2}(p, g, h)^{1/2}).$$

*La constante sous-entendue dans le symbole $O$ ne dépend que de $f$.*

*Preuve du lemme 2.3.* Lorsque $p \mid (g, h)$, ce résultat est contenu dans le lemme 1.2.1. Dans la suite on suppose donc que $(p, g, h) = 1$.

On estime alors cette somme à l'aide d'un résultat de Bombieri [B], qui, en reprenant les travaux de Weil, a obtenu un résultat général sur les sommes d'exponentielles le long d'une courbe.

C'est la proposition suivante :

**PROPOSITION 2.4.** *Soit $X$ une courbe projective de degré $d_1$ définie sur $\mathbb{F}_p$, incluse dans $\mathbb{P}^2$, le plan projectif sur $\mathbb{F}_p$. Soit $R(x_1, x_2, x_3)$ une fraction rationnelle homogène de $\mathbb{P}^2$ à valeurs dans $\mathbb{F}_p$, et soit $d_2$ le degré de son numérateur. On définit alors la somme*

$$S(R, X) = \sum_{x \in X} e\left(\frac{R(x)}{p}\right),$$
où * indique que les pôles de R sont exclus de la somme. Soient $\Gamma_1, \dots, \Gamma_s$, les composantes absolument irréductibles de X. On suppose que la condition suivante est vérifiée :

(A) Pour toute fraction rationnelle homogène $h = h(x_1, x_2, x_3)$, définie sur la clôture algébrique $\overline{\mathbb{F}}_p$ de $\mathbb{F}_p$, la fonction $R - h^p + h$ n'est pas identiquement nulle sur toute composante absolument irréductible $\Gamma_i$ de X.

On a alors

$$|S(R, X)| \le (d_1^2 + 2d_1d_2 - 3d_1)\sqrt{p} + d_1^2.$$

(En particulier, (A) est vérifiée quand $d_1d_2 < p$ et R n'est pas constant sur chaque composante absolument irréductible $\Gamma_i$ de X.)

Cet énoncé est contenu dans le théorème 6, p. 97 de [B]. Ce dernier théorème est bien plus général que la version présentée ici, mais celle-ci est suffisante pour la preuve du lemme 2.3.

Soit $F(x, y, z)$, le polynôme homogène associé à $f$. La courbe $X$ est alors celle définie par

$$X = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{P}^2, F(x_1, x_2, x_3) \equiv 0 \pmod{p}\},$$

et en prenant comme application rationnelle $R$, celle qui à $x \in \mathbb{P}^2$, $x = (x_1, x_2, x_3)$, associe

$$R(x) = \frac{gx_1 + hx_2}{x_3}.$$

On a alors $S(R, X) = S_f(p, g, h)$, de plus la condition (A) est remplie lorsque $f$ vérifie l'hypothèse (H1). L'inégalité annoncée au lemme 2.3 est donc vérifiée, d'après la proposition 2.4.

Grâce à ce lemme nous sommes en mesure de donner une majoration de la somme suivante (qui sert à la preuve du théorème 2) :

$$\tilde{S}_f(p, g, h) = \sum_{\substack{0 < x_1, x_2 < p \\ f(x_1, x_2) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{gx_1 + hx_2}{p}\right).$$

A partir du lemme 2.3, on montre le :

**COROLLAIRE 2.5.** *Soit $f$ un polynôme irréductible, vérifiant l'hypothèse (H2). On a la majoration*

$$\tilde{S}_f(p, g, h) = O(p^{1/2}(p, g, h)^{1/2}).$$

La constante du O ne dépend que de $f$.
Preuve du corollaire. On part de l'égalité :

$$
\begin{align*}
\tilde{S}_f(p, g, h) \\
&= S_f(p, g, h) - \sum_{\substack{0 \le x_2 < p \\ f(0, x_2) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{hx_2}{p}\right) - \sum_{\substack{0 \le x_1 < p \\ f(x_1, 0) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{gx_1}{p}\right) + l(0, 0),
\end{align*}
$$

avec

$$
l(0,0) = \begin{cases} 1 & \text{si } f(0,0) \equiv 0 \pmod{p}, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
$$

Lorsque $p$ est assez grand, les polynômes $f(0, x_2)$, et $f(x_1, 0)$ ne sont pas identiquement nuls sur $\mathbb{F}_p$, la deuxième et la troisième somme sont donc des $O(1)$. Le lemme 2.3 permet de conclure.

Lorsque le polynôme $f$ est homogène, de la même manière, mais plus facilement, on montre que $\tilde{S}_f(p, g, h) = O(p, f(-h, g))$.

**3. Préparations aux cribles.** Dans cette partie, on obtient des estimations asymptotiques des quantités

$$
(3.1) \quad |C_m| = |\{(n_1, n_2) : x \le n_1, n_2 \le 2x, f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod m\}|,
$$

pour $x \ge 1$ assez grand, et $m$ sans facteur carré supérieur à $x^{1-\varepsilon}$, où $\varepsilon$ est un réel positif minuscule, qui serviront à la preuve du théorème 3. Nous étudierons encore les ensembles

$$
(3.2) \quad C_m(a) = \{(n_1, n_2) \in C(a, m) : x \le n_1, n_2 \le 2x\},
$$

où $C(a, m)$ est l'ensemble des conditions

$$
(n_1 n_2, m) = 1, \quad n_1 n_2 \equiv 0 \pmod{a}, \quad f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod{m}.
$$

Les démonstrations des théorèmes 4 et 5 passent par l'étude des ensembles

$$
(3.3) \quad \mathcal{B}_m(a) = \{(n_1, n_2) : n_1, n_2 \sim x, n_1 n_2 \equiv 0 \pmod{a}, \\
\phantom{(3.3) \quad \mathcal{B}_m(a) = \{(n_1, n_2) : } f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod{m}\},
$$

où $a$ et $m$ sont des entiers sans facteur carré, mais pas nécessairement premiers entre eux.

Pour obtenir ces estimations, on traduit en termes de sommes d'exponen-
tielles les systèmes de congruences définissant ces ensembles, pour arriver à
des sommes du type celles étudiées dans les deux paragraphes précédents.

On obtient ainsi les résultats suivants :

LEMME 3.1. *Soit f un polynôme irréductible en deux variables dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H2).*

(i) Pour $m$ sans facteur carré, on a pour tout $\varepsilon > 0$ l'égalité

$$
|C_m| = \frac{x^2 \varrho(m)}{m^2} + O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{\sqrt{m}} + x^{\varepsilon} \sqrt{m}\right).
$$
(ii) Soient $a$ et $m$ deux entiers sans facteur carré et premiers entre eux. Pour tout $\varepsilon > 0$, on a l'égalité

$$|\mathcal{C}_m(a)| = \frac{x^2 r(m) \lambda(a)}{a^2 m^2} + O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{\sqrt{m}} + x^{\varepsilon} \sqrt{m}\right),$$

où $\lambda$ est la fonction multiplicative définie par $\lambda(p) = 2p - 1$.

(iii) Soient $a$ et $m$ deux entiers sans facteur carré. Soit $\varrho_0$ la fonction suivante :

$$\varrho_0(d) = |\{(u, v) : 0 \le u, v < d, uv \equiv 0 \pmod d, f(u, v) \equiv 0 \pmod d\}|.$$

(Cette fonction est multiplicative, et vérifie $\varrho_0(p) = \varrho(p) - r(p)$.) Soit $\delta = (a, m)$. On écrit alors $a = a_1\delta, m = m_1\delta$. Pour tout $\varepsilon > 0$, on a l'égalité

$$|\mathcal{B}_m(a)| = \frac{x^2 \varrho(m_1) \lambda(a_1) \varrho_0(\delta)}{a_1^2 \delta^2 m_1^2} + O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{\delta\sqrt{m_1}} + x^{\varepsilon}\sqrt{m_1}\right).$$

Les preuves des trois différents points (i)–(iii) sont semblables à quelques détails près. Nous ne donnons donc ici que la preuve du point (iii). En reprenant la définition (3.3), on a l'égalité

$$|\mathcal{B}_m(a)| = \sum_{\substack{u,v \pmod{am} \\ uv \equiv 0 \pmod{a} \\ f(u,v) \equiv 0 \pmod{m}}} \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ n_1 \equiv u \pmod{am} \\ n_2 \equiv v \pmod{am}}} 1.$$

On développe ensuite les sommes sur $n_1$ et $n_2$ en sommes d'exponentielles :

$$|\mathcal{B}_m(a)| = \frac{1}{a^2 m^2} \sum_{0 \le g, h < am} \sum_{n_1, n_2 \sim x} e\left(\frac{-gn_1 - hn_2}{am}\right) \sum_{\substack{u, v \pmod{am} \\ uv \equiv 0 \pmod{a} \\ f(u, v) \equiv 0 \pmod{m}}} e\left(\frac{gu + hv}{am}\right).$$

On note $\Sigma(a, m, \delta, g, h)$ la somme portant sur $u$ et $v$. Le terme en $g = h$ = 0 fournira la contribution principale. On sépare les différentes conditions de congruence via l'identité de Bezout :

$$\Sigma(a, m, \delta, g, h) = \lambda(a_1, g, h) S_f(m_1, \overline{a_1 \delta^2 g}, \overline{a_1 \delta^2 h}) T_f(\delta, \overline{a_1 m_1 g}, \overline{a_1 m_1 h}),$$

où $S_f(m_1, g, h)$ a été définie puis étudiée au précédent paragraphe,

$$\lambda(a_1, g, h) = \sum_{\substack{u, v \pmod{a_1} \\ uv \equiv 0 \pmod{a_1}}} e\left(\frac{gu + hv}{a_1}\right),$$

et

$$T_f(\delta, \overline{a_1 m_1 g}, \overline{a_1 m_1 h}) = \sum_{\substack{0 \le u, v < \delta^2 \\ uv \equiv 0 \pmod{\delta} \\ f(u, v) \equiv 0 \pmod{\delta}}} e\left(\frac{\overline{a_1 m_1} (gu + hv)}{\delta^2}\right).$$
La fonction $\lambda$ s'évalue facilement avec des méthodes élémentaires. Lorsque $a$ est sans facteur carré, on montre le

**LEMME 3.2.** La fonction $\lambda(a, k, l)$ est multiplicative par rapport à $a$, et vérifie, pour $a = p$ premier

$$ \lambda(p, k, l) = \begin{cases} -1 & \text{si } (p, kl) = 1, \\ \varphi(p) & \text{si } p \mid kl, \text{ mais } (p, k, l) = 1, \\ 2p - 1 & \text{si } p \mid (k, l). \end{cases} $$

Preuve du lemme 3.2. La multiplicativité se vérifie avec le théorème chinois. Pour $a = p$ premier, on a l'égalité

$$ \lambda(p, k, l) = \sum_{0 \le u < p} e\left(\frac{ku}{p}\right) + \sum_{0 \le v < p} e\left(\frac{lv}{p}\right) - 1, $$

ce qui correspond au résultat annoncé.

Dans toute la suite nous écrirons $\lambda(a)$ pour $\lambda(a, 0, 0)$.

En appliquant une seconde fois l'identité de Bezout, et en profitant du fait que $\delta$ soit un entier sans facteur carré, on a la formule

$$ T_f(\delta, \overline{a_1m_1}g, \overline{a_1m_1}h) = \prod_{p|\delta} T_f(p, \overline{a_1m_1}\overline{p^2}g, \overline{a_1m_1}\overline{p^2}h), $$

avec la notation $\overline{p} = \delta/p$.

Il suffit donc d'étudier des sommes du type

$$ T_f(p, g, h) = \sum_{\substack{0 \le u, v < p^2 \\ uv \equiv 0 \pmod{p} \\ f(u, v) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{gu + hv}{p^2}\right). $$

En écrivant $u = u_0 + \lambda p$, $v = v_0 + \mu p$, avec $0 \le u_0, v_0, \lambda, \mu < p$, on a l'égalité

$$ \begin{aligned} T_f(p, g, h) &= \sum_{\substack{0 \le u_0, v_0 < p \\ u_0 v_0 \equiv 0 \pmod{p} \\ f(u_0, v_0) \equiv 0 \pmod{p}}} e\left(\frac{gu_0 + hv_0}{p^2}\right) \sum_{0 \le \lambda, \mu < p} e\left(\frac{g\lambda + h\mu}{p}\right) \\ &= \begin{cases} p^2 \varrho_0(p) & \text{si } g \equiv h \equiv 0 \pmod{p^2}, \\ O(p^2) & \text{si } g \equiv h \equiv 0 \pmod{p}, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \end{aligned} $$

En utilisant ceci et en appliquant les lemmes 2.3 et 3.2, on a l'inégalité

$$ \Sigma(a, m, \delta, g, h) = O((a_1, gh)m_1^{1/2+\epsilon}(m_1, g, h)^{1/2}(\delta, g, h)^2), $$

puis en sommant sur les différentes variables on obtient le résultat annoncé.

*Cas des polynômes homogènes.* Lorsque $f$ est un polynôme homogène, on majore les sommes $S_f(m, k, l)$ avec le lemme 2.2, ce qui donne
$S_f(m, k, l) = O(x^\varepsilon(m, f(-l, k)))$. Ainsi la somme $\Sigma(a, m, \delta, g, h)$ est un $O((a_1, gh)(m_1, f(-h, g)))(\delta, g, h)^2)$, et on a

$$
\begin{aligned}
|\mathcal{B}_m(a)| &= \frac{x^2 \lambda(a_1) \varrho_0(\delta) \varrho(m)}{a_1^2 m_1^2 \delta^2} \\
&\quad + O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{a^2 m^2} \sum_{0 < g < am/2} \frac{am}{g} ((m_1, f(-g, 0)) + (m_1, f(0, -g)))\right) \\
&\quad + O\left(x^\varepsilon \sum_{0 < g, h < am/2} \frac{(a_1, gh)}{gh} (m_1, f(-g, h))(\delta, g, h)^2\right).
\end{aligned}
$$

On note $R_1$ et $R_2$ les deux termes d'erreur de la ligne précédente. Ces deux termes s'évaluent plus facilement en moyenne sur $a$ et sur $m$. On admet provisoirement que l'équation $f(u, v) = 0$ a $(0,0)$ comme seul couple solution sur $\mathbb{Z}^2$. On a alors la suite d'inégalités

$$
\begin{aligned}
& \sum_{\substack{0<m<M \\ 0<a<A}} R_2(a,m) \\
& \quad \ll x^\varepsilon \sum_{0<k,l<AM} \sum_{\delta<AM} \sum_{\substack{0<m_1<M/\delta \\ 0<a_1<A\delta \\ \max(k,l)<am}} \frac{(a_1,kl)(f(-l,k),m_1)(\delta,k,l)^2}{kl} \\
& \quad \ll x^\varepsilon \sum_{0<k,l<AM} AM \frac{\tau(kl)\tau(f(-l,k))}{kl} \ll AMx^\varepsilon,
\end{aligned}
$$

où on a noté $\tau(n)$ le nombre de diviseurs de $n$.

De la même manière on montre l'inégalité

$$
\sum_{\substack{0<m<M \\ 0<a<A}} R_1(a,m) \ll x^{1+\epsilon} A.
$$

On ne peut en effet avoir $f(-l, k) = 0$ avec $(k, l) \neq (0, 0)$. Si par exemple
$l \neq 0$, alors $f(-l, k) = (-l)^d f(1, -k/l)$, et le polynôme $g(t) = f(1, t)$ a
une racine rationnelle. Il admet alors une factorisation sur $\mathbb{Q}[t]$ du type
$g(t) = g_1(t)g_2(t)$. En notant alors $d_i$ le degré de $g_i$, on a pour $x \neq 0$ l'écriture
$f(x, y) = f_1(x, y)f_2(x, y)$, avec $f_i(x, y) = x^{d_i} g(y/x)$, ce qui contredit le fait
que $f$ soit irréductible. Donc $f(-k, l)$ a comme seule solution $(0, 0)$ sur $\mathbb{Z}^2$.

On a ainsi le lemme suivant :

LEMME 3.3. Soit $f$ un polynôme irréductible homogène dont les coef-
ficients sont premiers entre eux. Soient $a$ et $m$ deux entiers sans facteur
carré. Les deux assertions suivantes sont vérifiées :
(i) Pour $(a, m) = 1$, on a

$$|C_m(a)| = x^2 \frac{r(m)\lambda(a)}{a^2 m^2} + R(a, m).$$

(ii) Pour $\delta = (a, m)$, avec $a = a_1\delta$ et $m = m_1\delta$, on a

$$|\mathcal{B}_m(a)| = x^2 \frac{\varrho(m_1)\lambda(a_1)\varrho_0(\delta)}{a_1^2 m_1^2 \delta^2} + R'(a, m),$$

où les termes d'erreurs vérifient, pour tout $\varepsilon > 0$,

$$\sum_{\substack{0 < a < A \\ 0 < m < M}} |R(a, m)| \ll x^{1+\varepsilon} A + x^{\varepsilon} AM.$$

Les termes $R'(a, m)$ vérifient une inégalité similaire.

**4. Un résultat en moyenne de Greaves.** Dans ce paragraphe, $f$ est un polynôme irréductible, non nécessairement homogène. Soit $\mathcal{E}$ la collection d'entiers contenant d'éventuelles répétitions définie par

$$\mathcal{E} = \{f(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x\}.$$

Pour $m \ge 2$, on note $\mathcal{E}_m$ l'ensemble $\mathcal{E}_m = \{a \in \mathcal{E} : a \equiv 0 (\text{mod } m)\}$.

A partir du théorème de Barban-Davenport-Halberstam, Greaves [G3] a montré le lemme :

**LEMME 4.** Pour $x \ge 2$, et pour tout $\varepsilon > 0$, on a l'inégalité

$$\sum_{\substack{m < x^{1-\varepsilon} \\ \mu^2(m)=1}} \left| \mathcal{E}_m - \frac{r(m)}{\varphi(m)^2} \mathcal{E} \right| \ll_{\varepsilon} \frac{x^2}{\log^{10} x}.$$

La condition $m < x^{1-\varepsilon}$ peut être remplacée par $m < x \log^{-A} x$ pour un $A > 0$ assez grand.

**5. Étude du plus grand facteur premier de polynômes en deux variables, de degré deux ou trois, pris en des valeurs premières.**

Cette partie est consacrée aux preuves des théorèmes 1 et 2. Soit $f$ un polynôme irréductible non homogène, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant les hypothèses (H1) et (H2). Dans le dernier paragraphe de ce chapitre, on traitera le cas où $f$ est un polynôme homogène.

La preuve du théorème 1 reprend la méthode de Tchebychev-Hooley. Elle consiste à estimer de deux manières différentes (dont l'une dépendra de $P^+(f(p_1, p_2))$ le produit

$$V(x) = \prod_{\substack{p_1 \sim x \\ p_2 \sim x}} f(p_1, p_2).$$
La première façon est directe, on calcule

$$ \log V(x) = \sum_{p_1, p_2 \sim x} \log f(p_1, p_2). $$

On note $d$ le degré de $f$. D'après la condition (H1), on a pour $p_1, p_2 \sim x$ l'égalité suivante : $\log f(p_1, p_2) = d \log x + O(1)$. En appliquant le théorème des nombres premiers on obtient alors la première estimation suivante :

$$ (5.1) \qquad \log V(x) = \frac{dx^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right). $$

Par ailleurs, on a encore

$$ \log V(x) = \sum_{\substack{p, \alpha \\ p^{\alpha} \ll x^d}} |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \log p, $$

avec

$$ \mathcal{E}_{p^{\alpha}} = \{(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x, f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}}\}. $$

Pour $\varepsilon > 0$, on procède alors au découpage suivant :

$$ \begin{aligned} \log V(x) &= \sum_{p^{\alpha} < x^{1-\varepsilon}} |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \log p + \sum_{\substack{\alpha \ge 2 \\ p^{\alpha} \ge x^{1-\varepsilon}}} |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \log p + \sum_{x^{1-\varepsilon} \le p < P} |\mathcal{E}_{p}| \log p \\ &= S_1 + S_2 + S_3, \end{aligned} $$

par définition. On a noté $P$ le plus grand facteur premier du produit $V(x)$.

**5.1. Évaluation de $S_1$.** On part de l'écriture

$$ S_1 = \sum_{p < x^{1-\varepsilon}} |\mathcal{E}_p| \log p + \sum_{\substack{p^{\alpha} < x^{1-\varepsilon}, \alpha \ge 2}} |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \log p = S'_1 + S''_1, $$

par définition. La somme $S'_1$ fournit le terme principal. Elle est estimée avec le lemme 4.

Grâce à ce lemme, on a l'égalité

$$ S'_1 = \frac{x^2}{\log^2 x} \sum_{p < x^{1-\varepsilon}} \frac{r(p)}{\varphi(p)^2} \log p + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right). $$

D'après le point (ii) du corollaire 1.2.4, on a l'estimation

$$ S'_1 = (1 - \varepsilon) \frac{x^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right). $$

La somme $S''_1$ est, par contre, négligeable. En effet, d'après le théorème de Brun-Titchmarsh, pour $p^{\alpha} < x^{1-\varepsilon}$, on a l'inégalité

$$ |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \ll \left( \frac{x}{\varphi(p^{\alpha}) \log x} \right)^2 r(p^{\alpha}). $$
De plus, d'après le corollaire 1.2.4, on a $r(p^\alpha) = O(\alpha p^{4\alpha/3})$, ce qui permet d'écrire l'inégalité

$$S_1'' \ll \frac{x^2}{\log^2 x} \sum_{\substack{p^{\alpha} < x^{1-\epsilon} \\ \alpha \ge 2}} \frac{\alpha \log p}{p^{2\alpha/3}} \ll \frac{x^2}{\log^2 x}.$$

Ainsi, on vient d'établir le lemme suivant :

**LEMME 5.1. On a l'égalité**

$$S_1 = (1 - \epsilon) \frac{x^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right).$$

**5.2. Majoration de $S_2$ dans le cas où $f$ est un polynôme de degré deux.**
Lorsque $f$ est un polynôme de degré deux, la somme $S_2$ s'évalue directement, à partir de la majoration

$$S_2 \ll \sum_{\substack{\alpha \ge 2 \\ p^{\alpha} \ge x^{1-\epsilon}}} \sum_{\substack{m \sim x^2 \\ m \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}}}} v_f(m),$$

où $v_f(m)$ est le nombre de solutions entières $(a, b)$ à l'équation $m = f(a, b)$. Dans cette dernière ligne, la notation $m \sim x^2$ signifie qu'il existe deux entiers $A_1$ et $A_2$, ne dépendant que de $f$, tels que $A_1x^2 \le m \le A_2x^2$.

On montre ensuite que pour tout $\eta > 0$, on a $v_f(n) = O(n^\eta)$.

Comme $f$ vérifie les hypothèses (H1) de positivité et (H2) de non dégénérescence, on a l'écriture

$$Mf(x, y) = A(ax + by + c)^2 + B(dy + e)^2 + C,$$

avec $a, b, c, d, e, A, B, C, M \in \mathbb{Z}$, et les entiers $M, A, B$ sont strictement positifs. Il s'agit alors de montrer que l'on a uniformément pour tout $n$ l'inégalité

$$|\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 : n = Ax^2 + By^2\}| = O(n^\epsilon).$$

Or ce cardinal est inférieur à $|\{0 \le v < n : v^2 + AB \equiv 0 \pmod{n}\}|$ (cf. par exemple [Sm], Art. 86, p. 172), on a donc bien l'inégalité annoncée.

Ceci donne la majoration

$$(5.2) \qquad S_2 \ll x^{2+\eta} \sum_{\substack{\alpha \ge 2 \\ p^{\alpha} > x^{1-\epsilon}}} \frac{1}{p^{\alpha}} \ll x^{1.9}.$$

Lorsque $f$ est un polynôme du troisième degré, la somme $S_2$ est bien plus difficile à estimer. On évalue séparément les $f(p_1, p_2)$ ayant un important facteur carré ou un important facteur cubique.
Pour $\eta > 0$, minuscule, on découpe la somme $S_2$ de la manière suivante :

$$ (5.3) \quad S_2 = \sum_{\substack{p<x^{1-\eta}, \alpha \ge 2 \\ p^\alpha > x^{1-\epsilon}}} |\mathcal{E}_{p^\alpha}| \log p + \sum_{p>x^{1-\eta}} |\mathcal{E}_{p^2}| \log p + \sum_{p>x^{1-\eta}} |\mathcal{E}_{p^3}| \log p \\ = R_1 + R_2 + R_3, $$

par définition. On peut déja remarquer que $R_3 \le R_2$.

**5.3. Majoration de la somme $R_1$.** Dans ce paragraphe, on montre la majoration suivante :

**LEMME 5.2.** On a la majoration $R_1 \ll x^2 / \log^{10} x$.

**Preuve du lemme 5.2.** Pour travailler avec une somme en moins et ainsi rendre les discussions plus claires, on écrit

$$ R_1 \ll \log x \sum_{2 \le \alpha \ll \log x} R(\alpha), $$

avec

$$ R(\alpha) = \sum_{x^{(1-\epsilon)/\alpha} < p < x^{1-\eta}} |\mathcal{E}_{p^\alpha}|. $$

Pour majorer $R(\alpha)$, on bloque comme au paragraphe 1 une variable, par exemple $p_1$, puis on résoud $f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}$. Le problème est lorsque $p$ divise $\Delta_{p_1}$, le discriminant du polynôme $t \to f(p_1, t)$; les solutions $p_2$ peuvent alors être nombreuses, surtout lorsque $\alpha$ est de la taille de $\log x$. On définit encore $\Delta_{p_2}$ le discriminant du polynôme $t \to f(t, p_2)$, puis on découpe la somme $R(\alpha)$ suivant la taille du pgcd($\Delta_{p_1}, \Delta_{p_2}, p^\alpha$).

On écrit donc l'égalité

$$ \begin{aligned} R(\alpha) &= \sum_{x^{(1-\epsilon)/\alpha} < p < x^{1-\eta}} \sum_{\substack{p_1, p_2 \sim x \\ f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^\alpha} \\ (p^\alpha, \Delta_{p_1}, \Delta_{p_2}) < \log^{100} x}} 1 \\ &\quad + \sum_{x^{(1-\epsilon)/\alpha} < p < x^{1-\eta}} \sum_{\substack{p_1, p_2 \sim x \\ f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^\alpha} \\ (p^\alpha, \Delta_{p_1}, \Delta_{p_2}) \ge \log^{100} x}} 1 \\ &= R_1(\alpha) + R_2(\alpha), \end{aligned} $$

par définition.

• Majoration de $R_1(\alpha)$. La condition $(p^\alpha, \Delta_{p_1}, \Delta_{p_2}) < \log^{100} x$ entraîne que $(p^\alpha, \Delta_{p_1}) < \log^{100} x$, ou $(p^\alpha, \Delta_{p_2}) < \log^{100} x$. Les sommes sur $p_1$ et sur
$p_2$ se majorent alors par

$$ \sum_{\substack{p_1 \sim x \\ (p^\alpha, \Delta_{p_1}) < \log^{100} x}} \sum_{\substack{0 \le v < p^\alpha \\ f(p_1, v) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}}} \sum_{\substack{p_2 \sim x \\ p_2 \equiv v \pmod{p^\alpha}}} 1 + \sum_{\substack{p_2 \sim x \\ (p^\alpha, \Delta_{p_2}) < \log^{100} x}} \sum_{\substack{0 \le v < p^\alpha \\ f(v, p_2) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}}} \sum_{\substack{p_1 \sim x \\ p_1 \equiv v \pmod{p^\alpha}}} 1. $$

Ces deux sommes se traitent de la même façon.

Pour la première, comme $(\Delta_{p_1}, p^\alpha) < \log^{100} x$, d'après le point (iii) du lemme 1.2.3, on a

$$ |\{0 \le v < p^\alpha : f(u, v) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}\}| = O((\Delta_{p_1}, p^\alpha)^2) = O(\log^{200} x). $$

Les deux sommes ci-dessus sont donc majorées par

$$ O\left(x(\log^{200} x)\left(\frac{x}{p^{\alpha}} + 1\right)\right). $$

En reportant ce résultat dans $R_1(\alpha)$, cela donne la majoration

$$ \begin{aligned} R_1(\alpha) & \ll x(\log^{200} x) \sum_{x^{(1-\epsilon)/\alpha} < p < x^{1-\eta}} \left(\frac{x}{p^\alpha} + 1\right) \\ & \ll x^{5/3+\epsilon/3}(\log^{200} x) \sum_{x^{(1-\epsilon)/\alpha} < p < x^{1-\eta}} \frac{x}{p^{2\alpha/3}} + x^{2-\eta}\log^{200} x \\ & \ll x^{2-h}, \end{aligned} $$

pour $h > 0$ assez petit.

• **Majoration de $R_2(\alpha)$**. On oublie la condition $f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod{p^\alpha}$, mais pour tout $p < x^{1-\eta}$, on profite de l'inclusion

$$ \{p_1, p_2 \sim x, (p^\alpha, \Delta_{p_1}, \Delta_{p_2}) \ge \log^{100} x\} \subset \bigcup_{\substack{\beta > 0 \\ p^\beta \ge \log^{100} x}} \{p_1, p_2 \sim x, \Delta_{p_1} \equiv \Delta_{p_2} \equiv 0 \pmod{p^\beta}\}. $$

A partir de ceci on a la majoration

$$ \begin{aligned} R_2(\alpha) & \ll \sum_{\log^{100} x \le p^{\beta}, p < x^{1-\eta}} \sum_{\Delta_{p_1} \equiv 0 \pmod{p^{\beta}}} \sum_{\Delta_{p_2} \equiv 0 \pmod{p^{\beta}}} 1 \\ & \ll \sum_{\log^{100} x \le p^{\beta}, p < x^{1-\eta}} \left(\frac{x^2}{p^{2\beta}} + 1\right), \end{aligned} $$

et ainsi, $R_2(\alpha) \ll x^2 / \log^{20} x$.

Ces deux majorations de $R_1(\alpha)$ et $R_2(\alpha)$ sont largement suffisantes pour prouver le lemme 5.2.
**5.4.** *Majoration de R<sub>2</sub>. Dans ce paragraphe, on s'occupe de la somme R<sub>2</sub> définie dans (5.3). On établit le lemme suivant :*

LEMME 5.3. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ assez petit tel qu'on ait la majoration $R_2 \ll x^{1.9+\varepsilon}$.

Pour détecter les grands facteurs carrés de l'ensemble contenant d'éventuelles répétitions :

$$ \{f(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x\}, $$

on a recours à un crible approprié, le crible à carrés de Heath-Brown [HB],
que l'on énonce sous la forme suivante :

LEMME 5.4. Soit $\mathbb{A} = (\omega(n))_n$ une suite de réels, avec $\omega(n) \ge 0$ pour tout $n$, et tel que $\sum \omega(n) < \infty$. On définit $S(\mathbb{A}) = \sum_{n=1}^{\infty} \omega(n^2)$. Soit $\mathbb{P}$ un ensemble de P nombres premiers. On suppose que $\omega(n) = 0$ pour $n = 0$, ou pour $|n| \ge e^P$. On a alors l'inégalité

$$ S(\mathbb{A}) \ll P^{-1} \sum_n \omega(n) + P^{-2} \sum_{p \neq q \in \mathbb{P}} \left| \sum_n \omega(n) \left( \frac{n}{pq} \right) \right|, $$

où $(\frac{n}{pq})$ est le symbole de Jacobi.

Avant d'appliquer ce lemme, il faut procéder à quelques transformations préparatoires sur la somme $R_2$. On commence par ignorer les conditions $p_1, p_2$ premiers, et en reprenant la notation $|C_d|$ définie au troisième chapitre (cf. (3.1)), on écrit la majoration

$$ R_2 \le \sum_{p > x^{1-\epsilon}} |C_{p^2}| \log p \ll \log x \sum_{m > x^{1-\epsilon}} |C_{m^2}|. $$

Si $n_1$ et $n_2$ vérifient $f(n_1, n_2) = m^2 d$ avec $m > x^{1-\epsilon}$, on a encore l'écriture $f(n_1, n_2) = m'^2 d'$, avec toujours $m' > x^{1-\epsilon}$, mais $d'$ est alors un entier sans facteur carré, ce qui nous permettra d'utiliser les majorations des sommes $S_f(d', h, k)$ établies au chapitre 2.

On part donc de la majoration

$$ R_2 \ll x^{\epsilon'} \sum_{d<x^{1+\epsilon}} \mu^2(d) R_2(d), $$

avec

$$ R_2(d) = \sum_{m^2 > x^{2-2\epsilon}} \omega_d(m^2), $$

et

$$ \omega_d(m) = \left| \left\{ (n_1, n_2) : n_1, n_2 \sim x, \frac{f(n_1, n_2)}{d} = m \right\} \right|. $$

On applique alors le lemme 5.4 sur chaque quantité $R_2(d)$, en choisissant

$$ \mathbb{P}_d = \{p < x^\theta : (p, d) = 1\}, $$
où $\theta$ est un réel positif que l'on précisera plus tard. Ainsi $P$, le cardinal $|\mathbb{P}_d|$, est de l'ordre de $x^\theta/\log x$.

On a donc la majoration

$$R_2(d) \ll x^{\varepsilon'} P^{-1} \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod d}} 1 + x^{\varepsilon'} P^{-2} \left| \sum_{\substack{p \neq q \in \mathbb{P} \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod d}} \sum_{n_1, n_2 \sim x} \left( \frac{f(n_1, n_2)/d}{pq} \right) \right|.$$

On écrit alors

$$R_2(d) \ll x^{\varepsilon'} (P^{-1}\Sigma_1 + P^{-2}\Sigma_2).$$

La somme $\Sigma_1$ s'évalue directement car $d$ est sans facteur carré, l'équation $f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod d$ se résoud ainsi facilement :

$$\Sigma_1 \ll \left( \frac{x}{d} + O(1) \right)^2 d \ll \frac{x^2}{d} + d.$$

La somme $\Sigma_2$ est plus difficile à évaluer; pour des commodités d'écriture, on la réécrit sous la forme

$$\Sigma_2 = \sum_{p \neq q \in \mathbb{P}_d} |T(p, q, d)|,$$

avec évidemment

$$T(p, q, d) = \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod d}} \left( \frac{f(n_1, n_2)/d}{pq} \right).$$

Pour évaluer les quantités $T(p, q, d)$, on développe les sommes sur $n_1$ et $n_2$ en sommes d'exponentielles, pour être en mesure d'utiliser les résultats du chapitre 2, et des résultats de Hasse sur les sommes de caractères le long de cubiques.

On part de l'égalité

$$(5.4) \quad T(p, q, d) = \frac{1}{p^2 q^2 d^2} \sum_{g, h \pmod{pqd}} \sum_{\substack{0 \le u, v < pqd \\ f(u, v) \equiv 0 \pmod d}} \left(\frac{d}{pq}\right) \left(\frac{f(u, v)}{pq}\right) \\ \times \sum_{n_1, n_2 \sim x} e\left(\frac{g(u - n_1) + h(v - n_2)}{pqd}\right).$$

Ensuite on sépare ces différentes sommes, ce qui est permis d'après le théorème chinois car $(pq, d) = 1$ :
$$
(5.5) \quad T(p, q, d) = \frac{1}{p^2 q^2 d^2} \left(\frac{d}{pq}\right) \sum_{0 \le g, h < pqd} \sum_{n_1 \sim x} e\left(\frac{-gn_1}{pqd}\right) \sum_{n_2 \sim x} e\left(\frac{-hn_2}{pqd}\right) \\
\qquad \times H_f(p, g, h) H_f(q, g, h) S_f(d, g, h),
$$

où $S_f(d, g, h)$ est la somme d'exponentielles étudiée au chapitre 2, et
$H_f(p, g, h)$ est la somme de caractères suivante :

$$
H_f(p, g, h) = \sum_{0 \le u, v < p} \left( \frac{f(u, v)}{p} \right) e \left( \frac{gu + hv}{p} \right).
$$

Lorsque (g, h) ≠ (0, 0) on majore trivalement les sommes H_f(p, g, h) par
p^2 (ce qui est loin de la majoration que l'on peut obtenir grâce au résultat
de Hooley [H2] concernant les majorations de sommes d'exponentielles le
long de surfaces), tandis que d'après le lemme 2.3, on a la majoration

$$
S_f(d, g, h) = O(d^{1/2+\epsilon}(d, g, h)^{1/2}).
$$

Ainsi la contribution des termes en (g, h) ≠ (0, 0) est inférieure à

$$
Q_1 = \frac{x^{1+\epsilon}}{pqd} \sum_{0<g<pqd} \frac{p^2 q^2}{g} \sqrt{d(d,g)} + x^{\epsilon} \sum_{0<g,h<pqd} \frac{p^2 q^2}{gh} \sqrt{d(d,g,h)}.
$$

Un calcul direct fournit alors la majoration

$$
Q_1 \ll \frac{x^{1+\epsilon_1} pq}{\sqrt{d}} + p^2 q^2 \sqrt{dx^{\epsilon_1}}.
$$

Il reste à majorer le terme en $g = h = 0$ qui correspond à

$$
(5.6) \quad Q_2 = \frac{x^2 \varrho(d)}{d^2 p^2 q^2} \sum_{0 \le u, v < p} \left( \frac{f(u, v)}{p} \right) \sum_{0 \le u, v < q} \left( \frac{f(u, v)}{q} \right).
$$

Ici, une estimation triviale des sommes de caractères de Legendre n'est
pas suffisante et on établit le

LEMME 5.5. On suppose que $f$ vérifie l'hypothèse (H2). On a alors la majoration

$$
\sum_{0 \le u, v < p} \left( \frac{f(u, v)}{p} \right) = O(p^{3/2}).
$$

La constante implicite ne dépend que de f.

L'exposant 3/2 n'est pas optimal, on peut le ramener à 1, mais il con-
vient à notre situation, et cette majoration s'obtient directement à partir
du résultat de Hasse suivant [Si] :
LEMME 5.6. Soit $g(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ un polynôme de degré 3, non constant. On a alors l'inégalité

$$ \left| \sum_{x \in \mathbb{F}_p} \left( \frac{g(x)}{p} \right) \right| \ll \sqrt{p}. $$

Preuve du lemme 5.5. On réécrit le polynôme $f$ sous la forme

$$ f(u, v) = \sum_{0 \le k \le 3} g_k(u) v^k. $$

Comme $f$ vérifie l'hypothèse (H2), $f$ ne peut se ramener à un polynôme en une seule variable, les polynômes $g_1, g_2$ et $g_3$ ne sont donc pas tous identiquement nuls sur $\mathbb{F}_p$ lorsque $p$ est assez grand. On désire alors fixer la variable $u$ pour appliquer le lemme 5.6 au polynôme $f_u : v \mapsto f(u, v)$, mais il faut mettre de côté les $u$ tels que les polynômes $f_u$ soient constants sur $\mathbb{F}_p$. Ils appartiennent à l'ensemble $S_p = \{0 \le u < p : g_1(u) \equiv g_2(u) \equiv g_3(u) \equiv 0 \pmod{p}\}$.

On a ainsi l'égalité

$$ \sum_{0 \le u, v < p} \left( \frac{f(u, v)}{p} \right) = \sum_{0 \le u < p} \sum_{u \notin S_p} \left( \frac{f(u, v)}{p} \right) + O(p|S_p|). $$

Comme les $g_i$ pour $i = 1, 2, 3$ ne sont pas tous identiquement nuls, on a $|S_p| = O(1)$, tandis que d'après le lemme 5.6 la somme sur les $u \notin S_p$ est un $O(p^{3/2})$. L'inégalité annoncée au lemme 5.5 est donc vérifiée.

On reporte alors le résultat du lemme 5.5 dans (5.6) :

$$ Q_2 \ll \frac{x^2 \varrho(d)}{d^2 \sqrt{pq}}. $$

Au chapitre 1, on a vu que $\varrho(d) = O(d)$, et on a donc finalement

$$ T(p, q, d) \ll \frac{x^{1+\varepsilon_1} pq}{\sqrt{d}} + p^2 q^2 \sqrt{d} x^{\varepsilon_1} + \frac{x^2}{d\sqrt{pq}}. $$

On reporte ceci dans $\Sigma_2$ :

$$ (5.7) \qquad \Sigma_2 \ll \frac{P^4 x^{1+\varepsilon_1}}{\sqrt{d}} + P^6 x^{\varepsilon_1} \sqrt{d} + \frac{P x^{2+\varepsilon_1}}{d}. $$

Ainsi pour tout $d$ sans facteur carré on a l'inégalité

$$ R_2(d) \ll x^{\varepsilon'} \left( P^{-1} \frac{x^2}{d} + dP^{-1} + \frac{P^2 x^{1+\varepsilon_2}}{\sqrt{d}} + P^4 \sqrt{d} x^{\varepsilon_2} + \frac{P^{-1} x^2}{d} \right), $$
c'est-à-dire,

$$R_2 \ll \sum_{d<x^{1+\varepsilon}} R_2(d) \ll x^2 P^{-1} x^{\varepsilon_3} + P^4 x^{3/2+\varepsilon_3}.$$

En choisissant $P = x^{\theta} = x^{1/10}$, on a l'inégalité $R_2 \ll x^{1.9+\varepsilon}$.

**5.5. Estimations de $S_3$.** D'après les lignes (5.1) et (5.2), les lemmes 5.1–5.3, nous avons les égalités :

* lorsque $f$ est un polynôme du second degré :

$$(5.8) \qquad S_3 = \log V(x) - S_1 - S_2 = \frac{(1 + \varepsilon)x^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right),$$

* lorsque le degré de $f$ est trois :

$$(5.9) \qquad S_3 = \frac{(2 + \varepsilon)x^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right).$$

Le principe de la méthode de Tchebychev–Hooley consiste alors à chercher une majoration de $S_3$ qui dépende de $P$ le plus grand facteur premier du produit $V(x)$ et d’en déduire ensuite une minoration de $P$.

On rappelle la définition de $S_3$ :

$$S_3 = \sum_{p > x^{1-\varepsilon}} |\mathcal{E}_p| \log p.$$

On écarte les $(p_1, p_2)$ de $\mathcal{E}_p$ tels que $p | p_1 p_2$ :

$$S_3 = \sum_{p > x^{1-\varepsilon}} |\mathcal{F}_p| \log p + O(x^{1+\varepsilon}),$$

où $\mathcal{F}_p$ est l'ensemble contenant d'éventuelles répétitions :

$$\mathcal{F}_p = \{p_1 p_2 : p_1, p_2 \sim x, (p_1 p_2, p) = 1, f(p_1, p_2) \equiv 0 \pmod p\}.$$

Avec des méthodes de crible qui reprennent des résultats du chapitre 3, on montre le lemme :

**LEMME 5.7.** *Pour $p$ assez grand, et pour $z \ge 1$, on a la majoration*

$$|\mathcal{F}_p| \le \frac{2x^2}{\log^2 z} \cdot \frac{r(p)}{p^2} + O\left(\frac{z^2 x^{1+\varepsilon}}{\sqrt{p}} + \sqrt{p} z^2 x^{\varepsilon}\right).$$

**Preuve du lemme 5.7.** On détecte les nombres premiers $p_1, p_2$ en recourant au crible, pour $z \ge 1$, on écrit la majoration

$$|\mathcal{F}_p| \le \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ q | n_1 n_2 \Rightarrow q > z \\ (n_1 n_2, p) = 1 \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod p}} 1.$$
Les familles d'entiers correspondant à ce problème de crible sont exactement les ensembles $C_p(a)$ étudiés au chapitre 3, définis par (3.2); d'après le point (ii) du lemme 3.1, pour $a$ sans facteur carré, et premier à $p$, on a l'égalité

$$|C_p(a)| = x^2 \frac{r(p)\lambda(a)}{p^2 a^2} + O\left(\frac{x^{1+\epsilon}}{\sqrt{p}} + x^{\epsilon}\sqrt{p}\right),$$

avec $\lambda(q) = 2q - 1$ lorsque $q$ est un nombre premier.

Les conditions d'application du crible de Selberg de dimension 2 (cf. [H-R], théorème 6.3, p. 202) sont remplies, et on a ainsi la majoration

$$(5.10) \quad \begin{aligned} |\mathcal{F}_p| \le & \frac{x^2 r(p)}{p^2} 2e^{2\gamma} \prod_{q<z} \left(1 - \frac{\lambda(q)}{q^2}\right) \left(1 + O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right) \\ & + \sum_{a<z^2} 3^{\nu(a)} \mu^2(a) \left(\frac{x^{1+\epsilon}}{\sqrt{p}} + x^{\epsilon}\sqrt{p}\right). \end{aligned}$$

Le produit eulérien vaut exactement $\prod_{q<z} (1 - 1/p)^2$; en appliquant la formule de Mertens et en majorant directement le terme d'erreur on trouve le résultat annoncé au lemme 5.7.

On reporte ce résultat dans $S_3$ :

$$(5.11) \quad \begin{aligned} S_3 \le & 2x^2 \sum_{x^{1-\epsilon} < p < P} \log p \frac{r(p)}{p^2 \log^2 z_p} \left(1 + O\left(\frac{1}{\log z_p}\right)\right) \\ & + O\left(\sum_{x^{1-\epsilon} < p < P} \log p \left(\frac{z_p^2 x^{1+\epsilon}}{\sqrt{p}} + \sqrt{p} z_p^2 x^{\epsilon}\right)\right). \end{aligned}$$

On choisit ensuite $z_p = x^{1-2\epsilon} p^{-3/4}$ de telle sorte que le terme d'erreur de (5.11) soit un $O(x^{2-\epsilon})$ (la limite est alors $P < x^{4/3-10\epsilon}$, pour que $z_p > 1$), ce qui fournit la majoration

$$S_3 \le 2x^2 \sum_{x^{1-\epsilon} < p < P} \frac{\log p}{\log^2(x^{1-2\epsilon}p^{-3/4})} \cdot \frac{r(p)}{p^2} + O\left(x^{2-\epsilon} + \frac{x^2}{\log^2 x}\right).$$

On applique le point (ii) du corollaire 1.2.4, ce qui donne l'inégalité

$$S_3 \le 2x^2 \int_{x^{1-\epsilon}}^{P} \frac{dt}{t \log^2(x^{1-2\epsilon}t^{-3/4})} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x} + x^{2-\epsilon}\right).$$

En écrivant alors $P = x^\Lambda$ (avec $\Lambda < 4/3 - 10\epsilon$), puis en calculant l'intégrale ci-dessus on aboutit à la majoration

$$(5.12) \quad S_3 \le \frac{x^2}{\log x} \left( \frac{8}{3(1-3\Lambda/4)} - \frac{32}{3} + \epsilon \right) + O\left( \frac{x^2}{\log^2 x} \right).$$

**5.6.** Conclusion dans le cas où $f$ est un polynôme du second degré. En comparant (5.8) avec (5.12), le plus grand facteur $P_2 = x^{\lambda_2}$ de $V(x)$ doit
vérifier

$$1 \le \frac{8}{3(1 - 3\lambda_2/4)} - \frac{32}{3},$$

c'est-à-dire $\lambda_2 \ge 36/35$.

**5.7. Conclusion dans le cas où f est un polynôme du troisième degré.**
A partir de (5.9) et (5.12), le plus grand facteur premier $P_3 = x^{\lambda_3}$ doit alors vérifier :

$$2 \le \frac{8}{3(1 - 3\lambda_3/4)} - \frac{32}{3},$$

c'est-à-dire $\lambda_3 \ge 20/19$.

**5.8. Cas des polynômes homogènes.** On garde les mêmes notations, mais $f$ est maintenant un polynôme homogène, irréductible en deux variables, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H1). On a toujours l'égalité

$$\log V(x) = \frac{dx^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right) = S_1 + S_2 + S_3.$$

D'après le lemme 4, et les estimations de $r(p^\alpha)$ données au paragraphe 1, on a l'égalité

$$S_1 = \sum_{p^{\alpha} < x^{1-\epsilon}} |\mathcal{E}_{p^{\alpha}}| \log p = (1-\epsilon) \frac{x^2}{\log x} + O\left(\frac{x^2}{\log x}\right).$$

Pour $S_2$, on a la majoration

$$S_2 \le R_1 + d \sum_{p > x^{1-\eta}} |\mathcal{E}_{p^2}| \log p,$$

où $R_1$ est la quantité définie au paragraphe 5.3. Dans ce paragraphe on a obtenu la majoration $R_1 \ll x^2/\log^{10} x$, et ceci est toujours valable pour des polynômes homogènes.

Sinon, Greaves a établi dans [G4], l'inégalité suivante (valable seulement pour des polynômes homogènes) :

$$\sum_{x^{1-\eta} < p} |\mathcal{E}_{p^2}| \log p \ll \frac{x^2}{\log^2 x},$$

et ainsi, on a : $S_2 \ll x^2 \log^{-2} x$.

Pour $S_3$, l'homogénéité de $f$ permet d'avoir une majoration plus fine que celle du paragraphe 5.5, en utilisant le lemme 3.3 à la place du lemme 3.1. Le $z_p$ correspondant vaut alors $z_p = x^{1-\epsilon}p^{-1/2}$, pour $p < x^{2-\epsilon}$, et on obtient
la majoration

$$S_3 \le \int_{x^{1-\varepsilon}}^{P} \frac{2x^2}{t \log^2(x^{1-\varepsilon}t^{-1/2})} dt + O\left(\frac{x^2}{\log^2 x}\right).$$

En écrivant $P = x^H$, puis en calculant cette intégrale, on a la majoration

$$S_3 \le \frac{x^2}{\log x} \left( 4 \left( \frac{1}{1 - H/2} \right) - 8 + \varepsilon \right) + O \left( \frac{x^2}{\log^2 x} \right).$$

Ainsi, $P = x^H$ doit vérifier $d - 1 < 8/(2 - H) - 8$, c'est-à-dire, $H > 2 - 8/(d + 7)$.

**6. Nombres presque premiers représentés par des polynômes.**

Le théorème 3 est une conséquence facile du lemme 3.1. En effet, d'après le lemme 3.1, pour tout entier $d$ dans facteur carré, on a

$$\begin{aligned} |C_d| &= |\{(x_1, x_2) : x_1, x_2 \sim x, f(x_1, x_2) \equiv 0 \pmod d\}| \\ &= x^2 \frac{\varrho(d)}{d^2} + O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{\sqrt{d}} + x\varepsilon\sqrt{d}\right). \end{aligned}$$

On applique le crible pondéré de Richert, plus précisément le théorème 9.3, p. 253 du livre de [H-R] donne alors le résultat.

**7. Entiers ayant peu de facteurs premiers distincts représentés par des polynômes en deux variables pris en des valeurs premières.**

Maintenant, $f$ est un polynôme irréductible de degré $d$ supérieur à 3, en deux variables, dont les coefficients sont premiers entre eux, et vérifiant l'hypothèse (H2). Pour tout entier $n$, on note $\omega(n)$ le nombre de facteurs premiers distincts de $n$.

**7.1. Les poids de Richert.** Le principe de la preuve du théorème 5 consiste à combiner un crible pour détecter les $p_1p_2$ au système de poids de Richert et d'utiliser les résultats des précédents chapitres pour mener à bien cette démarche.

La collection d'entiers liée à ce problème est $C = \{f(p_1, p_2) : p_1, p_2 \sim x\}$, avec d'éventuelles répétitions. On a alors l'égalité

$$X = |C| = \frac{x^2}{\log^2 x} + O\left(\frac{x^2}{\log^3 x}\right).$$

On prend pour $\mathcal{P}$ l'ensemble de tous les nombres premiers. Les poids de Richert sont alors les suivants (cf. [H-R], p. 242) :

$$w_p(n) = \begin{cases} \lambda \left( 1 - u \frac{\log p}{\log X} \right) & \text{si } X^{1/v} \le p < X^{1/u}, \ p \mid n, \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$$
où $u < v$, $\lambda$ sont des paramètres à optimiser. On étudie alors

$$ (7.1) \quad W(C, u, v, \lambda) = \sum_{\substack{a \in C \\ p|a \Rightarrow p > X^{1/v}}} \left(1 - \sum_{X^{1/v} < p < X^{1/u}} w_p(a)\right) \\ = S(C, X^{1/v}) - \lambda \sum_{X^{1/v} < p < X^{1/u}} \left(1 - u \frac{\log p}{\log X}\right) S(C_p, X^{1/v}), $$

où, selon les notations standard,

$$ S(C, X^{1/v}) = |\{a \in C : p|a \Rightarrow p > X^{1/v}\}|. $$

Soit $a \in C$ ayant une contribution positive dans (7.1). Cet entier $a$ vérifie alors clairement le point (i) du théorème 5, et sa contribution à (7.1) est inférieure à

$$ 1 - \lambda \left( \omega(a) - u \frac{\log |a|}{\log X} \right) \le 1 - \lambda \left( \omega(a) - \frac{ud}{2} \right). $$

Ainsi tout $a \in C$ ayant une contribution positive dans (7.1) vérifie

$$ (7.2) \qquad \omega(a) < \lambda^{-1} + ud/2. $$

Parmis ceux-ci, Greaves a montré dans [G3], p. 5, que le nombre de ceux qui ne vérifiaient pas le point (ii) du théorème 5 est un $O(X \log^{-2} X)$.

Les quantités $S(C, X^{1/v})$ et $S(C_p, X^{1/v})$ intervenant dans (7.1), sont estimées, lorsque $p$ est petit, avec le lemme 4, comme l'avait fait Greaves dans [G3].

Quand $p$ est grand on utilise des méthodes de crible pour détecter à la fois les $p_1p_2$ et les diviseurs de $f(p_1, p_2)$ afin d'augmenter la taille du $\alpha$ vérifiant la condition $R(1, \alpha)$ énoncée au lemme 6.1. On passe du niveau $\alpha = 1/2$ de Greaves à $\alpha = 2/3$. Cependant, nous ne sommes pas en mesure de majorer les $C_{p^2}$ de façon satisfaisante lorsque $p > x$ et $d > 3$; c'est pourquoi le théorème 5 n'apprend rien de nouveau sur $\Omega(n)$, et nous devons nous contenter de l'assertion (ii).

**7.2.** *Minoration de S(C, X<sup>1/v</sup>).* D'après le lemme 4, on a l'égalité

$$ |C_d| = X \frac{r(d)}{\varphi(d)^2} + R_d, $$

avec

$$ \sum_{d<X^{1/2-\epsilon}} 3^{\omega(d)} \mu^2(d) R_d \ll \frac{X}{\log^2 X}. $$

D'après le lemme 1.2.4, les conditions d'application du crible linéaire de Rosser-Iwaniec [I] sont vérifiées, et on a ainsi le
**LEMME 7.1.** On a la minoration

$$S(C, X^{1/v}) \geq \frac{CX}{\log X} \left( ve^{-\gamma} f\left(\frac{\log X^{1/2-\varepsilon}}{\log X^{1/v}}\right) + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right),$$

où C est le produit convergent

$$C = \prod_q \left(1 - \frac{r(q)}{\varphi(q)^2}\right) \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1}.$$

**7.3.** Première majoration de $S(C_p, X^{1/v})$. On procède comme au paragraphe 7.2, mais en utilisant bien sûr le crible majorant au lieu du crible minorant.

On obtient ainsi le

**LEMME 7.2.** *En écrivant $p = X^\mu$, on a la majoration pour tout $\varepsilon > 0$ et pour $p < X^{1/2-2\varepsilon}$ :*

$$S(C_p, X^{1/v}) \le \frac{CX}{\log X} \cdot \frac{r(p)}{\varphi(p)^2} \left( \frac{2}{1/2 - \mu - \varepsilon} + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right) + O\left(\frac{X^{1-\varepsilon}}{p^2}\right).$$

**7.4.** Deuxième majoration de $S(C_p, X^{1/v})$. Pour être en mesure d'utiliser du crible, on part de l'inégalité

$$S(C_p, X^{1/v}) \le \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod p \\ q | n_1 n_2 \Rightarrow q > z \\ q | f(n_1, n_2) \Rightarrow q > X^{1/v}}} 1.$$

On a vu au chapitre 3 que les ensembles $\mathcal{B}_m(a)$ définis dans (3.3) vérifiaient, d'après le point (iii) du lemme 3.1, l'égalité, pour $a$ et $m$ des entiers sans facteur carré et liés par l'écriture $a = a_1\delta, m = m_1\delta$, avec $(a_1, m_1) = 1$

$$|\mathcal{B}_m(a)| = x^2 \frac{\varrho(m_1)\lambda(a_1)\varrho_0(\delta)}{a_1^2 m_1^2 \delta^2} + R(a, m),$$

le terme d'erreur vérifiant la majoration

$$R(a, m) = O\left(\frac{x^{1+\varepsilon}}{\delta\sqrt{m_1}} + x^{\varepsilon}\sqrt{m_1}\right).$$

Les variables $a$ et $m$ ne sont pas indépendantes. Elles sont liées par la fonction de crible $\omega$ définie par

$$\frac{\omega(a, m)}{am} = \frac{\varrho(m_1)\lambda(a_1)\varrho_0(\delta)}{a_1^2 m_1^2 \delta^2}.$$

En criblant faiblement ces deux variables ensemble à l'aide d'un lemme fondamental correspondant à un crible de dimension 3, on a alors le

**LEMME 7.3.** *Pour $U \ge u \ge 2$, on pose $s = \log U / \log u$. Soient $a_1$ et $a_2$ deux entiers sans facteur carré, premiers à $p$, et ayant tous leurs facteurs
supérieurs à u. On définit les quantités

$$
S_p(a_1, a_2, u) = \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ n_1 n_2 \equiv 0 \pmod{a_2} \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod{a_1 p} \\ q | n_1 n_2 f(n_1, n_2) \Rightarrow q > u}} 1.
$$

On a alors l'égalité

$$
S_p(a_1, a_2, u) = x^2 V(u) \frac{\omega(a_1, a_2)}{a_1 a_2} \cdot \frac{\varrho(p)}{p^2} \left\{ 1 + O\left( \frac{e^{-s}}{\log^{1/3} U} \right) \right\} \\
+ O\left( \sum_{\substack{m \mid P(u) \\ m < U}} \mu^2(m) \sum_{m_1 m_2 = m} R(a_1 m_1, a_2 m_2) \right),
$$

avec

$$
V(u) = \prod_{q<u} \left(1 - \frac{\Omega(q)}{q}\right),
$$

et d'après le principe d'inclusion-exclusion la fonction Ω vérifie

$$
\frac{\Omega(q)}{q} = \frac{\omega(1, q)}{q} + \frac{\omega(q, 1)}{q} - \frac{\omega(q, q)}{q^2},
$$

$$
\text{avec } \omega(q, 1) = \varrho(q)/q, \omega(1, q) = \lambda(q)/q, \omega(q, q) = \varrho_0(q).
$$

Au paragraphe 3, on a observé l'égalité $\varrho_0(p) = \varrho(p) - r(p)$. On a donc,
d'après les valeurs de $\Omega$ données au lemme 7.3, les égalités

$$
\begin{align*}
V(u) &= \prod_{q<u} \left(1 - \frac{\Omega(q)}{q}\right) = \prod_{q<u} \left(1 - \frac{r(q)}{q^2} - \frac{\lambda(q)}{q^2}\right) \\
&= \prod_{q<u} \left(1 - \frac{r(q)}{\varphi(q)^2}\right) \left(1 - \frac{1}{q}\right)^2,
\end{align*}
$$

ce qui nous permettra de comparer facilement le résultat que l’on obtiendra
avec le lemme 7.2.

On utilise les poids de Rosser–Iwaniec (cf. [I]), correspondant à des cribles
linéaires pour détecter les facteurs premiers de $f(n_1, n_2)$ supérieurs à $u$.

Plus précisement, ces poids sont définis par $\lambda_1 = 1$, $\lambda_m = 0$, si $m > M_1$,
ou si $m$ a un facteur carré, et pour $m = p_1 \dots p_r$, avec $p_1 > \dots > p_r$ on
impose

$$
\lambda_m = \begin{cases} (-1)^r & \text{si } p_1 \dots p_{2l} p_{2l+1}^3 < M_1 \text{ pour tout } 0 \le l \le (r-1)/2, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
$$

Par contre pour cribler $n_1 n_2$, on utilise les poids $\mu$ de Selberg propres
au crible de dimension deux dont la fonction de crible correspondante est
$\omega(q, 1) = \lambda(q)/q = 2 - 1/q$. Ils vérifient entre autre les propriétés suivantes :
$\mu_1 = 1$, $\mu_m = 0$ si $m$ a un facteur carré, ou si $m > M_2$. (Pour une définition
plus précise, on peut consulter le livre d'Halberstam et Richert [H-R], lignes (1.3), (1.4), p. 98.)

En notant $P(z_1, z_2)$ le produit $\prod_{z_1 \le p < z_2} p$, on a l'inégalité

$$ 
\begin{aligned}
S(C_p, X^{1/v}) & \le \sum_{\substack{n_1, n_2 \sim x \\ f(n_1, n_2) \equiv 0 \pmod p \\ q | n_1 n_2 f(n_1, n_2) \Rightarrow q > u}} \left( \sum_{\substack{m_1 | P(u, X^{1/v}) \\ m_1 | f(n_1, n_2)}} \lambda_{m_1} \right) \left( \sum_{\substack{m_2 | P(u, z) \\ m_2 | n_1 n_2}} \mu_{m_2} \right)^2 \\
& \le \sum_{\substack{m_1 | P(u, X^{1/v}) \\ m_2, m'_2 | P(u, z)}} \lambda_{m_1} \mu_{m_2} \mu_{m'_2} S_p(m_1, [m_2, m'_2], u).
\end{aligned}
$$

On applique alors le lemme 7.3 :

$$ 
\begin{aligned}
S(C_p, X^{1/v}) & \le x^2 \frac{\varrho(p)}{p^2} V(u) \left\{ 1 + O\left( \frac{e^{-s}}{\log U} \right) \right\} \\
& \quad \times \sum_{\substack{m_1 | P(u, X^{1/v}) \\ m_2, m'_2 | P(u, z)}} \lambda_{m_1} \mu_{m_2} \mu_{m'_2} \frac{\omega(m_1, [m_2, m'_2])}{m_1[m_2, m'_2]} \\
& \quad + O\left( \sum_{l \mid P(u)} \sum_{l < U} \sum_{\substack{m_1 \mid P(u, X^{1/v}) \\ m_1 < M_1 \\ m_2, m'_2 \mid P(u, z) \\ m_2, m'_2 < M_2}} |\lambda_{m_1} \mu_{m_2} \mu_{m'_2}| R(p m_1 l_1, [m_2, m'_2] l_2) \right).
\end{aligned}
$$

Le terme d'erreur est alors un $O(\sqrt{p}M_1^{3/2}M_2^{1+\varepsilon})$.

Le pgcd des quantités $m_1$ et $[m_2, m_2'']$ a tous ses facteurs premiers supérieurs à $u$; les raisonnements invoqués dans un contexte plus difficile par Brüdern et Fouvry [B-F] pour rendre les variables $m_1$ et $m_2$ indépendantes sont applicables ici, et en choisissant $u = X^{\varepsilon^2}$, $U = X^{\varepsilon}$, on a l'égalité

$$ 
\begin{aligned}
S(C_p, X^{1/v}) & \le x^2 \frac{\varrho(p)}{p^2} V(u) \left\{ 1 + O\left( \frac{e^{-s}}{\log U} \right) \right\} \\
& \quad \times \sum_{\substack{m_1 \mid P(u, X^{1/v}) \\ m_1 < M_1}} \frac{\lambda_{m_1} \omega(m_1, 1)}{m_1} \sum_{\substack{m_2, m'_2 \mid P(u, z) \\ m_2, m'_2 < M_2}} \frac{\mu_{m_2} \mu_{m'_2} \omega(1, [m_2, m'_2])}{[m_2, m'_2]} \\
& \quad + O(X^{1-\varepsilon^2/2});
\end{aligned}
$$

le reste $O(X^{1-\varepsilon^2/2})$ provient des erreurs de nettoyage de pgcd occasionnées par le processus de séparation des variables.
On utilise ensuite les majorations données par le crible linéaire de Rosser-Iwaniec pour majorer la somme sur $m_1$, et celles données par le crible de Selberg de dimension 2 pour les sommes sur $m_2, m'_2$, et on obtient

$$ S(C_p, X^{1/v}) \le x^2 \frac{\varrho(p)}{p^2} V(u) \prod_{u<q<X^{1/v}} \left(1 - \frac{r(q)}{\varphi(q)^2}\right) \prod_{u<p<z} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) \\ \times \left(F\left(\frac{\log M_1}{\log X^{1/v}}\right) F_2\left(\frac{\log M_2}{\log z}\right) + O_\varepsilon\left(\frac{1}{\log X}\right)\right) \\ + O\left(\frac{X^{1-\varepsilon}}{p} + M_1^{3/2} M_2 \sqrt{p} X^\varepsilon\right). $$

Comme le produit

$$ C = \prod_p \left(1 - \frac{r(p)}{\varphi(p)^2}\right) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} $$

est convergent, on a la majoration

$$ S(C_p, X^{1/v}) \le x^2 \frac{\varrho(p)}{p^2} \cdot \frac{e^{-3\gamma C}}{\log M_1 \log^2 M_2} \\ \times \left(F\left(\frac{\log M_1}{\log X^{1/v}}\right) \frac{1}{\sigma_2(\log M_2/\log z)} + O_\varepsilon\left(\frac{1}{\log X}\right)\right) \\ + O\left(\frac{X^{1-\varepsilon}}{p} + M_1^{3/2} M_2 \sqrt{p} X^\varepsilon\right). $$

Lorsque

$$ \frac{\log M_1}{\log X^{1/v}} \le 3 \quad \text{et} \quad \frac{\log M_2}{\log z} \le \alpha_2 = 5.3577\dots $$

le terme principal vaut

$$ x^2 \frac{r(p)}{\varphi(p)^2} \cdot \frac{4C}{\log M_1 \log^2 M_2}. $$

Pour faciliter les calculs on choisit $M_1$ en fonction de $p$, et on écrit $M_1 = M/p$ avec $M$ vérifiant $M^{3/2}M_2 \ll X^{1-\varepsilon}$. Si on écrit $M_2 = X^\alpha$, $p = X^\mu$, alors $M \ll X^{2/3-2\alpha/3-\mu-\varepsilon}$, et le terme principal devient

$$ \frac{x^2}{\log^3 X} \cdot \frac{r(p)}{\varphi(p)^2} \cdot \frac{4C}{\alpha^2(2/3 - 2\alpha/3 - \mu)}. $$

En optimisant par rapport à $\alpha$ cette dernière formule, on obtient le

**LEMME 7.4. On a la majoration**

$$ S(C_p, X^{1/v}) \le \frac{x^2 C}{\log^3 X} \cdot \frac{\varrho(p)}{p^2} \left( \frac{12}{(2/3 - \mu)^3} + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right) + O\left(\frac{X^{1-\varepsilon}}{p}\right), $$

où on a posé $p = X^\mu$ et $\mu$ vérifie alors $0 < \mu < 2/3$.
**7.5. Comparaison des deux méthodes.** On commence par remarquer que pour tout $\varepsilon > 0$, on a les inégalités

$$ (2 - \varepsilon) \log x < \log X < (2 + \varepsilon) \log x. $$

Un calcul direct tenant compte de ceci montre que la majoration du lemme 7.3 devient plus fine que celle du lemme 7.2 pour $p > X^{\mu_0}$, où $\mu_0$ est solution de l'équation

$$ 54\mu^3 - 108\mu^2 - 9\mu + 49/2 = 0, $$

c'est-à-dire $\mu_0 = 0.496728234...$.

Cette valeur de $\mu_0$ est très proche de $1/2$ qui est la limite de la première méthode. Richert, pour détecter les $P_r$, avait choisi pour som crible pondéré (le théorème 9.3, p. 259 de [HR]) $u = u_r = (1 + 3^{-r})/\alpha$ (ici $\alpha = 1/2$). Lorsque $r < 4$, $\mu_0 > 1/u$, et le lemme 7.4 est toujours moins bon. Ce lemme devient vraiment intéressant quand $r$ est grand, c'est-à-dire lorsque le degré de $f$ est grand.

**7.6. Conclusion.** En tenant compte des calculs du paragraphe 7.5, on écrit

$$ \sum_{X^{1/v} < p < X^{1/u}} \left( 1 - \frac{u \log p}{\log X} \right) S(C_p, X^{1/v}) = S_1 + S_2, $$

avec

$$ S_1 = \sum_{X^{1/v} < p \le X^{\mu_0}} \left( 1 - \frac{u \log p}{\log X} \right) S(C_p, X^{1/v}) $$

et

$$ S_2 = \sum_{X^{\mu_0} < p < X^{1/u}} \left( 1 - \frac{u \log p}{\log X} \right) S(C_p, X^{1/v}). $$

On majore alors $S_1$ avec le lemme 7.2, et $S_2$ avec le lemme 7.4. En utilisant le corollaire 1.2.4 pour les fonctions $r$, on obtient alors

$$ S_1 + S_2 \le \frac{XC}{\log X} \int_{1/v}^{\mu_0} \frac{2(1-u\mu)}{(1/2-\mu)\mu} d\mu + \frac{XC}{\log X} \int_{\mu_0}^{1/u} \frac{3(1-u\mu)}{\mu(2/3-\mu)^3} d\mu \\ + O\left( \frac{X}{\log^2 X} + X^{1-\varepsilon} \right). $$

Toutes ces intégrales se calculent et nous avons

$$ S_1 + S_2 \le (H_1(u, v) + H_2(u)) \frac{CX}{\log X} + O\left( X^{1-\varepsilon} + \frac{X}{\log^2 X} \right), $$

avec

$$ H_1(u, v) = 4 \log(\mu_0 v) + 2(2-u)[\log(1/2 - 1/v) - \log(1/2 - \mu_0)] $$
et

$$
\begin{align*}
H_2(u) ={}& \frac{81}{8} \log(1/u) - \frac{81}{8} \log \mu_0 - \frac{81}{8} \log(2/3 - 1/u) + \frac{81}{8} \log(2/3 - \mu_0) \\
& + \frac{27}{8/3 - 4/u} - \frac{27}{8/3 - 4\mu_0} \\
& + \frac{3}{2}(3/2 - u) \left[ \frac{1}{(2/3 - 1/u)^2} - \frac{1}{(2/3 - \mu_0)^2} \right].
\end{align*}
$$

Pour des facilités de calculs nous choisissons $v = 8$, et on a d'après le lemme 7.1 l'inégalité

$$
\begin{align*}
S(C, X^{1/v}) &\le \frac{X}{\log X} C e^{-\gamma} 8 f(4) + O\left(\frac{X}{\log^2 X}\right) \\
&= \frac{CX}{\log X} \left(4 \log 3 + O\left(\frac{1}{\log X}\right)\right),
\end{align*}
$$

ce qui fournit la minoration

$$
W(C, u, v, \lambda) \geq \frac{CX}{\log X} (4 \log 3 - \lambda(H_1(u, 8) + H_2(u)))(1 + O(\log^{-1} X)).
$$

En prenant $u = 12/7$, on a $\lambda^{-1} > 5.2779...$, et en reportant ceci dans (7.2),
on obtient le théorème 5.

7.7. *Cas des polynômes homogènes.* Dans ce paragraphe, on suppose que $f$ est un polynôme homogène, et on reprend les arguments des précédents paragraphes pour montrer le théorème 4. Grâce à leur homogénéité, ces polynômes vérifient la condition $(\Omega_3)$ du théorème 9.3 de [HR]. Greaves a en effet montré dans [G4] en raisonnant en terme de réseaux l'inégalité

$$
\sum_{X^{1/v} < p < X^{1-\epsilon}} |C_{p^2}| = O\left(\frac{X}{\log^2 X}\right).
$$

C'est pourquoi le théorème 4 donne un résultat sur le nombre de facteurs premiers de $f(p_1, p_2)$ et non seulement sur $\omega(f(p_1, p_2))$.

L'ingrédient principal des lemmes 7.1 et 7.2 était le lemme 4, résultant du théorème de Barban-Davenport-Halberstam, et ces deux résultats restent valables lorsque le polynôme est homogène.

On a ainsi les deux inégalités en reprenant les notations des précédents paragraphes :

$$
S(C, X^{1/v}) \geq \frac{CX}{\log X} \left( v e^{-\gamma} f\left( \frac{\log X^{1/2-\epsilon}}{\log X^{1/v}} \right) + O\left( \frac{1}{\log X} \right) \right),
$$

et en écrivant $p = X^\mu$

$$
S(C_p, X^{1/v}) \le \frac{CX}{\log X} \cdot \frac{r(p)}{\varphi(p)^2} \left( \frac{2}{1/2 - \mu - \varepsilon} + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right).
$$
En faisant ensuite les mêmes opérations que celles du paragraphe 7.4, mais en utilisant le lemme 3.3 à la place du lemme 3.1, on a la majoration

$$S(C_p, X^{1/\nu}) \le \frac{CX}{\log X} \cdot \frac{\varrho(p)}{p^2} \left( \frac{27}{4(1-\varepsilon-\mu)^3} + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right).$$

Cette dernière majoration est plus précise que la précédente, lorsque

$$\frac{27}{4(1-\mu)^3} \le \frac{2}{1/2-\mu},$$

c'est-à-dire, pour $\mu \ge 7/4 - 3\sqrt{3}/4 = \mu_0$. ($\mu_0$ est solution de l'équation $16(1-t)^3 - 27(1-2t) = 0$, $\mu_0 = 0.4509...$)

En faisant alors des calculs analogues à ceux effectués au paragraphe 7.6, on a

$$\begin{align*}
\sum_{X^{1/\nu} < p < X^{1/u}} \left(1 - u \frac{\log p}{\log X}\right) S(C_p, X^{1/\nu}) & \\
&\le \frac{XC}{\log X} \left\{ \int_{1/v}^{\mu_0} \frac{2(1-u\mu)}{(1/2-\mu)\mu} d\mu + \int_{\mu_0}^{1/u} \frac{27(1-u\mu)}{(1-\mu)^3} d\mu \right\} \\
&\quad + O\left(\frac{X}{\log^2 X} + X^{1-\varepsilon}\right) \\
&\le \frac{XC}{\log X} \left( H_3(u, v) + H_4(u) + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right),
\end{align*}$$

par définition.

Un calcul direct donne (on rappelle que $\mu_0 = 7/4 - 3\sqrt{3}/4$)

$$H_3(u, v) = 4 \log(\mu_0 v) + 2(2-u)(\log(1/2 - 1/v) - \log(1/2 - \mu_0))$$

et

$$H_4(u) = \frac{27}{4} \left\{ \log(1/u) - \log \mu_0 + \log(1 - \mu_0) \right. \\ \left. + \frac{1}{1-1/u} - \frac{1}{1-\mu_0} + \frac{1-u}{2} \left( \frac{1}{(1-1/u)^2} - \frac{1}{(1-\mu_0)^2} \right) \right\}.$$

En prenant $v = 8$, on a la minoration

$$W(C, u, v, \lambda) \ge \frac{CX}{\log X} \left( 4 \log 3 - \lambda(H_3(u, 8) + H_4(u)) + O\left(\frac{1}{\log X}\right) \right).$$

Pour $u = 4/3$, on obtient $\lambda^{-1} = 8.238...$, et ainsi

$$\Omega(f(p_1, p_2)) < 2d/3 + 8.24.$$
[Si] J. H. Silverman, *The Arithmetic of Elliptic Curves*, Grad. Texts in Math. 106, Springer, New York, 1986.

[Sm] H. J. S. Smith, *Report on the Theory of Numbers*, Chelsea, New York, 1965.

Département de Mathématiques

Université de Nancy I

B.P. 239

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Reçu le 24.1.1996

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