L'ensemble complémentaire de $E_j$ est aussi une somme de domaines $D_{1j}, D_{2j}, ...$ On sait [2] que la fonction

$$ \int_{E} \frac{d\mu^{*}(Q)}{PQ} - \gamma $$

est la solution du problème de Dirichlet généralisé pour le domaine $D_{1j}$, $i = 1, 2, 3, ...$ avec la valeur $f(P)$ sur sa frontière (et $0$ à l'infini dans le cas $i = 1$).

Lorsque $E_j = E$ on a (voir (13))

$$ \gamma = \frac{1}{d(E)} - \int_{E} f(Q) d\mu(Q) = \frac{1}{d(E)} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} f(Q_j). $$

Nous avons donc obtenu le

**THÉORÈME 2.** Lorsque $E_j = E$ la solution du problème de Dirichlet généralisé pour le domaine $D_{1j}$, $i = 1, 2, ...$ avec la valeur $f(P)$ sur sa frontière et $0$ à l'infini (dans le cas $i = 1$) est la limite de la suite

$$ u_n^*(P) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \left[ \frac{1}{PQ_j^*} + f(Q_j) \right] - \frac{1}{d(E)}, \quad P \bar{e} E, $$

quand $n \to \infty$, où les points $Q_1^*, Q_2^*, \dots, Q_n^*$ appartiennent à la suite de points extrémaux (8) et les points $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$ à la suite (1).

### Travaux cités

*Reçu par la Rédaction le 1. 6. 1956*

## Certains théorèmes concernant la répartition des points extrémaux dans les ensembles plans

par J. GÓRSKI et J. SIOIAK (Kraków)

**Introduction.** Soit $E$ un ensemble borné et fermé,

$$ E = \sum_{j=1}^{p} E_j, \quad E_j E_k = 0 \quad \text{pour } j \neq k, $$

où $E_j, j = 1, 2, \dots, p$, est un continu non dégénéré et $f(z)$ une fonction réelle, définie et continue sur $E$. Nous supposons que $E$ est la frontière d'un domaine $D(E)$ contenant le point $z = \infty$. Soit

$$ \omega = |z - \zeta| \exp[-f(z) - f(\zeta)] $$

et $x^{(n)} = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ un système de $n+1$ points de l'ensemble $E$. Désignons par $V(x^{(n)}, \omega)$ le produit

$$ V(x^{(n)}, \omega) = \prod_{0 \le i < k \le n} \omega(x_i, x_k). $$

Un système de $n+1$ points

$$ (1) \qquad \eta^{(n)} = \{\eta_0, \eta_1, \dots, \eta_n\} $$

appartenant à $E$ est appelé $n^{\text{ième}}$ système de points extrémaux de l'ensemble $E$ par rapport à la fonction $\omega$ lorsque

$$ V(\eta^{(n)}, \omega) \ge V(x^{(n)}, \omega) $$

pour chaque autre système $x^{(n)}$ de points de l'ensemble $E$.

On sait [3] que, si $a_n(E_k)$ désigne le nombre des points extrémaux du $n^{\text{ième}}$ système qui appartiennent à $E_k$, les limites

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n(E_k)}{n} = a_k(f), \quad k = 1, 2, \dots, p $$

existent. On a

$$ (2) \qquad a_k(f) \ge 0, \quad \sum_{k=1}^{p} a_k(f) = 1. $$

<footnote>[1] O. Frostman, *Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions*, Meddel f. Lunds Univ. Mat. Sem. 3 (1935), p. 1-118.</footnote>

<footnote>[2] J. Górski, *Méthode des points extrémaux de résolution du problème de Dirichlet dans l'espace*, Ann. Pol. Math. 1 (2) (1955), p. 418-429.</footnote>

<footnote>[3] F. Leja, *Sur certaines suites liées aux ensembles plans et leur application à la représentation conforme*, ce volume, p. 8-13.</footnote>
Dans l'application de la théorie des points extrémaux au problème de la construction d'une fonction réalisant la représentation conforme d'un domaine multiplement connexe [3] il est important de savoir si (I) les fonctionnelles $\alpha_k(f)$, $k = 1, 2, ..., p$ sont continues par rapport à $f(z)$, (II) étant donnés $p$ nombres $\sigma_k$, $k = 1, 2, ..., p$, remplissant les conditions (2) il existe une fonction $f(z)$, définie et continue sur $E$, telle qu'on ait

$$ \alpha_k(f) = \alpha_k, \quad k = 1, 2, ..., p. $$

Ces questions sont particulièrement intéressantes dans le cas où $f(z) = \lambda_k = \text{const}$, lorsque $z \in E_k$, $k = 1, 2, ..., p$.

Désignons par $E_f$ l'ensemble des points d'accumulation de tous les systèmes extrémaux (1) et soit $\Phi(z, E, \omega)$ la fonction extrémale liée à l'ensemble $E$ et la fonction $\omega$. On sait [3] que

1° log $\Phi(z, E, \omega)$ est une fonction continue sur le plan ouvert harmonique en dehors de l'ensemble $E_f$. À l'infini $\Phi(z, E, \omega)$ a un pôle du premier ordre,

$$ \begin{cases} = f(z) & \text{lorsque } z \in E_f, \\ \le f(z) & \text{pour } z \in E. \end{cases} $$

**La continuité des fonctionnelles $\alpha_k(f)$ dans un cas particulier.** Soit $C_k$, $k = 1, 2, ..., p$, une courbe régulière de Jordan contenant le continu $E_k$ dans son intérieur et les autres continus $E_j$, $j \ne k$ dans son extérieur. Il suit de 1° et 2°

$$ (3) \qquad \log \Phi(z, E, \omega) = G(z, E_f) + u(z, E_f, f), $$

où $G(z, E_f)$ est la fonction de Green du domaine $D(E_f)$ (dont la frontière est l'ensemble $E_f$) avec un pôle à l'infini et $u(z, E_f, f)$ est la solution du problème de Dirichlet pour le domaine $D(E_f)$ et la fonction $f(z)$.

Désignons par $\omega_k(\log \Phi)$, $\omega_k(G)$ et $\omega_k(u)$ les accroissements de la fonction harmonique conjuguée de $\log \Phi(z, E, \omega)$, de $G(z, E_f)$ resp. de $u(z, E_f, f)$ quand $z$ décrit la courbe $C_k$ dans le sens positif par rapport à son extérieur. D'après (3) on a

$$ (4) \qquad \omega_k(\log \Phi) = \omega_k(G) + \omega_k(u). $$

On sait [3] que

$$ (5) \qquad \omega_k(\log \Phi) = -2\pi\alpha_k(f), \quad k = 1, 2, ..., p. $$

Mais $\omega_k(G) = -2\pi\alpha_k(0)$ où $\alpha_k(0)$ désigne le nombre (2) quand $f(z) \equiv 0$, alors

$$ (6) \qquad \alpha_k(f) = \alpha_k(0) + \beta_k(f), \quad k = 1, 2, ..., p, $$

où $\beta_k(f) = -\frac{1}{2\pi}\omega_k(u)$. Puisque $\sum_{k=1}^{p} \alpha_k(f) = \sum_{k=1}^{p} \alpha_k(0) = 1$, on a $\sum_{k=1}^{p} \beta_k(f) = 0$.

Pour prouver la continuité de $\alpha_k(f)$ dans le cas où $E_f = E$ il suffit d'examiner la continuité de $\beta_k(f)$, $k = 1, 2, ..., p$.

**THÉORÈME.** Soit C la classe des fonctions $f(z)$ continues sur $E$ telles que $E_f = E$. Les fonctionnelles $\alpha_k(f)$, $k = 1, 2, ..., p$, sont continues dans C.

**Démonstration.** Désignons par $K$ la classe des fonctions définies et continues sur $E$ et par $u(z, f)$ la solution du problème de Dirichlet pour le domaine $D(E)$ et la fonction frontière $f(z) \in K$. L'opérateur $D[f] = u(z, f)$ possède les propriétés suivantes:

$$ (a) \qquad D[af + \beta g] = aD[f] + \beta D[g] $$

où $f(z)$ et $g(z) \in K$, $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels arbitraires,

$$ (b) \qquad D[f] = \text{const} \quad \text{lorsque} \quad f(z) = \text{const}, $$

(c) $D[f]$ est uniformément continu dans $\overline{D(E)}$, c'est-à-dire lorsque $f(z)$ et $g(z) \in K$, à chaque $\varepsilon > 0$ on peut faire correspondre un nombre $\delta > 0$ tel que l'inégalité $\sup_{z \in E} |f(z) - g(z)| < \delta$ entraîne $|D[f] - D[g]| < \varepsilon$ pour $z \in \overline{D(E)}$.

Soit $v(z, f)$ la fonction harmonique conjuguée de $u(z, f)$. L'accroissement $\omega_k(u)$ de la fonction $v(z, f)$ quand $z$ décrit la courbe $C_k$ dans le sens positif par rapport à son extérieur sera aussi désigné par $\omega_k(f)$, puisque $\omega_k(u)$ est déterminé par la fonction $f(z)$. On a

$$ (7) \qquad \omega_k(f) = \int_{C_k} dv(z, f), \quad k = 1, 2, ..., p. $$

La fonctionnelle $\omega_k(f)$ remplit les conditions suivantes:

$$ (a') \qquad \omega_k(af + \beta g) = a\omega_k(f) + \beta\omega_k(g), $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes,

$$ (b') \qquad \omega_k(f) = 0 \quad \text{lorsque} \quad f(z) = \text{const}, $$

(c') $\omega_k(f)$ est continue pour $f(z) \in K$, c'est-à-dire à chaque $\varepsilon > 0$ on peut faire correspondre un nombre $\delta > 0$ tel que l'inégalité $\sup_{z \in E} |f(z) - g(z)| < \delta$, où $f(z)$ et $g(z) \in K$, entraîne $|\omega_k(f) - \omega_k(g)| < \varepsilon$.

Les propriétés (a') et (b') résultent de (a), (b) et (7). La propriété (c') résulte de la continuité uniforme des opérateurs $D_x[f] = \partial u(z, f)/\partial x$ et $D_y[f] = \partial u(z, f)/\partial y$, $f(z) \in K$, dans chaque domaine $\Delta$, $\bar{\Delta} \subset D(E)$. En effet, lorsque $\varepsilon > 0$ et $\sup_{z \in E} |f(z) - g(z)| < \delta$, on a d'après (7)

$$ \begin{aligned} |\omega_k(f) - \omega_k(g)| &= \left| \int_{C_k} d[v(z, f) - v(z, g)] \right| \\ &= \left| \int_{C_k} [u_y(z, g) - u_y(z, f)] dx + [u_x(z, f) - u_x(z, g)] dy \right| < \varepsilon \cdot \text{longuer } C_k. \end{aligned} $$
Dans le cas où $f(z) = \lambda_k = \text{const}$ pour $z \in E_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, la continuité de $\omega_k(f)$ est une conséquence de (a') et (b'). En effet, soit

$$ (8) \qquad g_j(z) = \begin{cases} 1 & \text{pour } z \in E_j, \\ 0 & \text{pour } z \in E_k, k \neq j, \end{cases} \qquad j = 1, 2, \dots, p. $$

Puisque $f(z) = \sum_{j=1}^{p} \lambda_j g_j$ il suit de (a') et (b') qu'on a

$$ \omega_k(f) = \sum_{j=1}^{p} \lambda_j \omega_k(g_j), \quad k = 1, 2, \dots, p. $$

Les nombres $\omega_{kj} = \omega_k(g_j)$ dépendent seulement de l'ensemble E, d'où l'on conclut que $\omega_k(f)$, $k = 1, 2, \dots, p$ sont continues.

Nous avons prouvé la continuité de la fonctionnelle $\omega_k(f)$, $k = 1, 2, \dots, p$, dans la classe K et, en même temps, d'après (4), (5) et (6) nous avons établi notre théorème. Observons que la classe des fonctions pour lesquelles $E_f = E$ n'est pas vide. A cette classe appartiennent par exemple toutes les fonctions $f(z) = \lambda_k = \text{const}$ pour $z \in E_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, remplissant la condition

$$ \max_{i=1,\dots,p} \lambda_i - \min_{i=1,\dots,p} \lambda_i \le A_E, $$

où la constante $A_E$ dépend seulement de l'ensemble E.

**Solution du problème (II).** Pour répondre à la question (II), p. 22, nous rappellerons quelques propriétés connues des nombres $\omega_{kj} = \omega_k(g_j)$. On a

$$ (9) \qquad \omega_{kl} < 0, \quad k \neq l \quad \text{et} \quad \omega_{ii} > 0 \quad \text{pour} \quad k, i = 1, 2, \dots, p. $$

**Démonstration.** Dans chaque domaine $\Delta, \bar{\Delta} \subset D(E)$ la fonction analytique $u(z, g_j) + iv(z, g_j)$ a seulement un nombre fini de points critiques, d'où il résulte qu'on a dans $\Delta$

$$ u_x^2 + u_y^2 > 0, $$

à l'exception d'un nombre fini de points.

Lorsque $0 < c < 1$ et $\sigma$ est suffisamment petit, la ligne de niveau $L: u(z, g_j) = c$ se compose de $p-1$ courbes disjointes $C'_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, $k \neq j$. Chacune de ces courbes $C'_k$ entoure un des continus $E_k$, $k \neq j$. On peut choisir $c$ de telle manière qu'on ait

$$ (10) \qquad u_x^2 + u_y^2 > 0 $$

pour $z \in L$. On a

$$ (11) \qquad \omega_{kj} = \omega_k(g_j) = \int_{C'_k} dv = \int_{C'_k} \frac{dv}{ds} ds = - \int_{C'_k} \frac{du}{dn} ds, $$

où la normale $n$ est dirigée vers l'intérieur de domaine $D(E)$.

D'autre part on a $du/dn > 0$ pour $z \in C'_k$, $k \neq j$. En effet, dans le domaine borné par $C'_1, C'_2, \dots, C'_{j-1}, E_j, C'_{j+1}, \dots, C'_p$, on a $\sigma < u(z, g_j) < 1$, donc $du/dn \ge 0$, $z \in C'_k$, $k \neq j$. Il n'existe pas de point $z \in C'_k$ où $du/dn = 0$; dans le cas contraire on aurait en ce point $du/ds = 0$, donc $u_x^2 + u_y^2 = 0$, ce qui est en contradiction avec (10). Alors d'après (11) $\omega_{kj} < 0$, $k \neq j$. Puisque $\sum_{k=1}^{p} \omega_{kj} = \sum_{k=1}^{p} \omega_k(g_j) = 0$, on a $\omega_{jj} > 0$.

On a le lemme connu:

Tous les mineurs d'ordre $p-1$ que l'on obtient en supprimant la $s$-ième ligne et la $s$-ième colonne ($1 \le s \le p$) dans la matrice $[\omega_{kj}]$ remplissant la condition (9), sont différents de zéro.

En effet, dans le cas contraire le système de $p-1$ équations homogènes

$$ \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq s}}^{p} \omega_{kj} x_j = 0, \quad k = 1, 2, \dots, s-1, s+1, \dots, p $$

posséderait une solution non nulle $\dot{\omega}_1, \dots, \dot{\omega}_{s-1}, \dot{\omega}_{s+1}, \dots, \dot{\omega}_p$. Le plus grand parmi les nombres $|\dot{\omega}_k|$, $k = 1, 2, \dots, s-1, s+1, \dots, p$, étant désigné par $|\dot{\omega}_i|$, $1 \le l \le p$, $l \neq s$, on aurait

$$ \omega_{ul} \dot{x}_l = - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq s}}^{p} \omega_{lj} \dot{x}_j $$

d'où, d'après (9)

$$ \omega_{ul} |\dot{x}_l| \le (- \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq s, l}}^{p} \omega_{lj}) |\dot{x}_l|, $$

donc

$$ \omega_{ul} \le - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq s, l}}^{p} \omega_{lj}. $$

Mais ceci est impossible, car $\sum_{j=1}^{p} \omega_{lj} = 0$ et $\omega_{ls} < 0$.

On en conclut que, étant donnés $\vec{p}$ nombres réels $w_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, $\sum_{k=1}^{p} w_k = 1$, il existe une fonction $f(z) = \sum_{j=1}^{p} \lambda_j g_j$, déterminée à une constante additive près, telle que $\omega_k(f) = w_k$, $k = 1, 2, \dots, p$.

Il est maintenant aisé de formuler une réponse à la question (II), p. 22, suffisante pour compléter les raisonnements donnés dans le travail [3].
Soit $\alpha_k \ge 0$, $\sum_{k=1}^p \alpha_k = 1$. Posons $\alpha_k = \alpha_k(0) + \beta_k$, où $\alpha_k(0)$ est défini à la p. 22. On a $\sum_{k=1}^p \beta_k = 0$. Soit $u_k = -2\pi\beta_k$, $k = 1, 2, \dots, p$. De la conclusion mentionnée il résulte qu'il existe une fonction $f(z) = \sum_{j=1}^p \lambda_j g_j$ telle que $\omega_k(f) = u_k$, $k = 1, 2, \dots, p$. On sait [3] qu'il existe un nombre $\rho_0 > 0$ tel que l'ensemble $E_{\rho_0}$ correspondant à la fonction $\rho f$, $0 < \rho < \rho_0$ soit égal à $E$. On a $\omega_k(\rho f) = \rho_k u_k = -2\pi\rho\beta_k$. Alors, étant donnés $p$ nombres $\alpha_k$, $\alpha_k \ge 0$, $k = 1, 2, \dots, p$, $\sum_{k=1}^p \alpha_k = 1$ il existe une fonction $f(z) = \lambda_k = \text{const}$ pour $z \in E_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, telle que $\alpha_k(f) = \alpha_k$, $k = 1, 2, \dots, p$, si la différence $\max_{k=1,...,p} [\alpha_k - \alpha_k(0)] - \min_{k=1,...,p} [\alpha_k - \alpha_k(0)]$ est suffisamment réticte.

La continuité des fonctionnelles $\alpha_k(f)$ dans le cas général. Supposons que l'ensemble $E$ borné et fermé possède la propriété suivante: Chaque point $z \in E$ appartient à un continu non dégénéré $\subset E$.

Rappelons d'abord quelques théorèmes connus:

1º La limite

$$ \lim_{n \to \infty} [V(\eta^{(n)}, \omega)]^{2, \mu(n+1)} = v(E, f) $$

dite écart de l'ensemble E, existe [3].

2º $v(E, f)$ varie d'une manière continue avec la fonction $f(z)$, [3].

3º Pour chaque fonction définie et continue sur $E$ il existe une répartition unique $\mu$ de la masse unité sur $E$ telle qu'on ait [2]

$$ (12) \qquad \log \frac{1}{v(E, f)} = \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu d\mu + 2 \iint_{\mathbb{E}} f d\mu, $$

$$ (13) \qquad \log \Phi(z, E, f) = \int_{\mathbb{E}} \log |z-\zeta| d\mu + \log \frac{1}{v(E, f)} - \iint_{\mathbb{E}} f d\mu. $$

Supposons que la suite des fonctions $f_n(z)$, $n = 1, 2, \dots$, définies et continues sur $E$, converge uniformément dans $E$ vers la fonction continue $f(z)$. Pour chaque fonction $f_n(z)$, $n = 1, 2, \dots$, on peut construire la fonction extrémale $\log \Phi(z, E, f_n)$, il existe donc une répartition $\mu_n$, $n = 1, 2, \dots$, de la masse unité sur $E$ telle que

$$ (14) \qquad \log \frac{1}{v(E, f_n)} = \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu_n d\mu_n + 2 \iint_{\mathbb{E}} f_n d\mu_n, $$

$$ \log \Phi(z, E, f_n) = \int_{\mathbb{E}} \log |z-\zeta| d\mu_n + \log \frac{1}{v(E, f_n)} - \iint_{\mathbb{E}} f_n d\mu_n. $$

Des formules (12) et (14) on obtient

$$ \log \frac{1}{v(E, f_n)} - \log \frac{1}{v(E, f)} = \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu_n d\mu_n - \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu d\mu + 2 \iint_{\mathbb{E}} f_n d\mu_n - 2 \iint_{\mathbb{E}} f d\mu. $$

Posons $\sigma_n = \mu_n - \mu$. On a

$$ \begin{aligned} \log \frac{1}{v(E, f_n)} - \log \frac{1}{v(E, f)} &= 2 \iint_{\mathbb{E}} \left[ \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu + f \right] d\sigma_n - \\ & \quad - 2 \iint_{\mathbb{E}} f d\sigma_n + 2 \iint_{\mathbb{E}} f_n d\mu_n - 2 \iint_{\mathbb{E}} f d\mu + \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\sigma_n d\sigma_n \\ &= \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\sigma_n d\sigma_n + 2 \iint_{\mathbb{E}} [f_n - f] d\mu_n + 2 \iint_{\mathbb{E}} \left[ \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu + f \right] d\sigma_n. \end{aligned} $$

Observons maintenant que, en vertu de 2º et de la convergence uniforme $f_n(z) \underset{E}{\Rightarrow} f(z)$, on a

$$ \lim_{n \to \infty} \log \frac{v(E, f)}{v(E, f_n)} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{E}} [f_n - f] d\mu_n = 0, $$

donc il résulte de la formule précédente que

$$ (15) \qquad \lim_{n \to \infty} \left\{ 2 \iint_{\mathbb{E}} \left[ \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu + f \right] d\sigma_n + \iint_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\sigma_n d\sigma_n \right\} = 0. $$

Pour abréger l'écriture posons

$$ \varphi(z) = \int_{\mathbb{E}} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu + f(z) \quad \text{et} \quad \log \frac{1}{v(E, f)} - \int_{\mathbb{E}} f d\mu = c. $$

D'après (13) et (2º), p. 22, on a

$$ \varphi(z) = c \quad \text{pour } z \in E_f \quad \text{et} \quad \varphi(z) \ge c \quad \text{dans } E, $$

donc

$$ \begin{aligned} & 2 \iint_{\mathbb{E}} \left[ \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu + f(z) \right] d\sigma_n = 2 \iint_{\mathbb{E}} \varphi(z) d\sigma_n \\ & \qquad \ge c \sigma_n(E_f) + c \sigma_n(E - E_f) = c \sigma_n(E). \end{aligned} $$

$$ \text{Mais } \sigma_n(E) = \mu_n(E) - \mu(E) = 0, \text{ donc l'expression } 2 \int_{\mathbb{E}} \varphi(z) d\sigma_n \text{ est } \ge 0. $$
Puisque $\sigma_n(E) = 0$, l'intégrale d'énergie

$$I(\sigma_n) = \iint_{E} \log \frac{1}{|z - \zeta|} d\sigma_n d\zeta$$

est toujours $\ge 0$ (voir [1], p. 61), alors il suit de (15) qu'on a

$$(16) \qquad \lim_{n \to \infty} I(\sigma_n) = 0,$$

$$(17) \qquad \lim_{n \to \infty} \int_{E} \varphi(z) d\sigma_n = 0.$$

D'après le théorème du choix [1] on peut extraire de la suite $\{\sigma_n\}$ une suite partielle qui converge vers une fonction $\sigma$. Puisque la fonction $\varphi(z)$ est continue sur $E$, il résulte de (17) que

$$(18) \qquad \int_{E} \varphi(z) d\sigma = 0.$$

L'intégrale d'énergie $I(\sigma)$ est égale à 0. En effet, si l'on avait

$$(19) \qquad I(\sigma) = a > 0,$$

il viendrait d'après (18)

$$\int_{E} \left[ \int_{E} \varphi(z) d\sigma \right] d\sigma = 0.$$

Mais, puisque $\sigma(E) = 0$, on aurait

$$\int_{E} \left[ \int_{E} \varphi(z) d\sigma \right] d\sigma = \int_{E} \left[ \int_{E} \log \frac{1}{|z-\zeta|} d\mu d\sigma + \int_{E} f d\sigma \right] d\sigma = \int_{E} a d\mu = a > 0$$

ce qui est en contradiction avec (18). Donc $I(\sigma) = 0$, d'où il résulte (voir [1], p. 61) que $\sigma = 0$.

Donc la limite $\sigma$ de chaque suite partielle convergente, extraite de la suite $\{\sigma_n\}$, est identiquement nulle d'où il résulte que la suite $\{\sigma_n\}$ converge vers 0.

On a (voir la formule (8))

$$\int_{E} g_j d\mu = a_j(f) \quad \text{et} \quad \int_{E} g_j d\mu_n = a_j(f_n).$$

donc

$$\lim_{n \to \infty} a_j(f_n) = a_j(f), \quad j = 1, 2, \dots, p,$$

c'est-à-dire les fonctionnelles $a_j(f)$ sont continues,

## Travaux cités

Reçu par la Rédaction le 24. 4. 1956

<footnote>[1] O. Frostman, *Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions*, Meddel. f. Lunds Univ. Mat. Sem. 3 (1935), p. 1-118.</footnote>

<footnote>[2] J. Górski, *Sur certaines propriétés de points extrémaux liés à un domaine plan*, Ann. Polon. Math. 3 (1956), p. 32-36.</footnote>

<footnote>[3] F. Leja, *Propriétés des points extrémaux des ensembles plans et leur application à la représentation conforme*, Ann. Polon. Math. 3 (1957), p. 319-342.</footnote>