# The direct summand conjecture [after Y. André and B. Bhatt]

Gabriel Dospinescu

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## To cite this version:

Gabriel Dospinescu. The direct summand conjecture [after Y. André and B. Bhatt]. Asterisque, 2024, 446, pp.141-197. 10.24033/ast.1210. hal-04866291

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# LA CONJECTURE DU FACTEUR DIRECT
[d'après André et Bhatt]

par Gabriel Dospinescu

La conjecture du facteur direct (théorème 1.1 ci-dessous) est un énoncé d'algèbre commutative presque aussi élémentaire que le Théorème de Fermat et qui est resté ouvert pendant près de 50 ans (1). Cet énoncé fait partie d'un faisceau de conjectures, les « conjectures homologiques » dont la liste et les relations donnent un peu le tournis (2). En particulier, Hochster (1975, 1979, 1983, 1994) avait prouvé que l'existence de $A$-algèbres de Cohen-Macaulay (voir § 1.5), pour tout anneau local noethérien $A$, impliquait la plupart de ces conjectures, par exemple celle du facteur direct (il avait aussi prouvé (Hochster, 1975, 1994) l'existence de telles algèbres dans le cas d'égale caractéristique, i.e. quand $A$ contient un corps).

Le but de cet exposé est d'expliquer les techniques introduites par André dans ses trois articles monumentaux (André, 2018b,a, 2020), en particulier comment les espaces perfectoïdes introduits par Scholze (2012) permettent de construire des algèbres de Cohen-Macaulay pour les anneaux locaux noethériens d'inégale caractéristique et donc de prouver la conjecture du facteur direct. (3) Les travaux récents et spectaculaires de Bhatt (2020) poussent encore plus loin les techniques perfectoïdes (via la théorie prismatique de Bhatt et Scholze (2022) et la correspondance de Riemann-Hilbert $p$-adique de Bhatt et Lurie (p.d.)) et établissent (théorème 1.14 ci-dessous) un analogue en inégale caractéristique d'un célèbre théorème de Hochster et Huneke (1992) (en caractéristique positive), qui implique tous les résultats exposés ici, et bien plus.

La preuve du résultat de Bhatt est un véritable tour de force, et tous les détails ne sont pas encore (à notre connaissance) disponibles, nous avons donc décidé de nous concentrer sur les articles d'André dans cet exposé, en fournissant des preuves complètes (autant que faire se peut) des résultats principaux des trois articles mentionnés ci-dessus, tout en utilisant des idées de Bhatt (2018) pour simplifier certains arguments. Le chemin

<footnote n="1">1. Elle a été énoncée en 1969 par Hochster (1973).</footnote>

<footnote n="2">2. Voir le th. 1.11 pour un condensé loin d'être exhaustif, ainsi que Hochster (1982, 2007), P. Roberts (1992) et Hochster (2017, 1983).</footnote>

<footnote n="3">3. Que les espaces perfectoïdes soient un outil indispensable en théorie de Hodge $p$-adique ne faisait guère de doute après leurs premières applications spectaculaires (Scholze, 2012, 2013; Scholze et Weinstein, 2013). Qu'ils puissent aussi résoudre les conjectures homologiques était moins clair : la plupart de ces problèmes concernent des anneaux noethériens, propriété quasiment jamais partagée par les anneaux perfectoïdes.</footnote>
que nous avons choisi pour arriver à la preuve de la conjecture du facteur direct n'est
pas le plus court (la géodésique se trouve dans l'article Bhatt, 2018) ; il nous fera visiter
des résultats plus puissants que la conjecture elle-même. Pour des applications de ces
idées et techniques nous renvoyons aux travaux de Ma et Schwede (2018, 2021) (entre
autres) et pour des vastes généralisations des résultats présentés ici le lecteur pourra
consulter le livre (de longueur presque infinie...) de Gabber et Ramero (2018).

**Convention** : Tous les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires, et les mor-
phismes d'anneaux sont unitaires. Si $I$ est un idéal d'un anneau $A$, on dit que $A$ est
$I$-complet si $A$ est séparé complet pour la topologie $I$-adique. Pour $a \in A$ on dit que $A$
est $a$-complet si $A$ est $aA$-complet, et on note $A/a := A/aa$. On note $A[I]$ le sous-anneau
de $A$ des éléments annulés par tous les éléments de $I$. Si $a_1, \dots, a_d$ sont des éléments
de $A$, on note $(a_1, \dots, a_d) = \sum_{i=1}^d a_i A$ l'idéal de $A$ qu'ils engendrent.

# 1. LES MULTIPLES VISAGES DE LA CONJECTURE

Le but de ce chapitre est d'énoncer les principaux résultats d'algèbre commutative « classique » (4) démontrés par André et Bhatt, et d'expliquer les liens qu'ils entretiennent.

**1.1. Les anneaux réguliers, sources de problèmes**

Un anneau local noethérien $A$ de dimension $d$ est dit *régulier* si son unique idéal maximal $m$ est engendré par $d$ éléments (c’est le nombre minimal possible de générateurs, par le lemme de Nakayama). Des exemples typiques d’anneaux locaux réguliers sont les anneaux locaux des variétés algébriques lisses sur un corps ou sur un anneau de valuation discrète), ainsi que leurs complétés, par exemple $K[[X_1, \cdots, X_n]]$ (K étant un corps ou un anneau de valuation discrète), mais aussi des anneaux comme $\mathbb{Z}_p[[X, Y, Z]]/(p - X^5 - Y^7 - Z^9)$, etc.

En dépit de leur définition très simple, les anneaux locaux réguliers semblent une
source inépuisable de problèmes délicats, et il n’est pas facile d’établir même des pro-
priétés très basiques comme la stabilité de la régularité par localisation en un idéal
premier (cela se déduit de l’interprétation homologique de la régularité fournie par le
théorème de Serre), ce qui permet de globaliser (5) la notion de régularité. Il n’est pas
difficile de montrer que tout anneau local régulier est intègre, mais il faut se fatiguer un
peu pour montrer qu’il est normal (6), et bien plus pour montrer qu’il est même factoriel
(théorème d’Auslander-Buchsbaum).

<footnote n="4">4. Les perfectoïdes n'apparaissent donc pas dans ce chapitre. Le lecteur trouvera dans André (2018c) un survol des preuves fait par le maître, et qui semble impossible à dépasser en terme de présentation.</footnote>

<footnote n="5">5. Un anneau noethérien est régulier si ses localisés en des idéaux premiers quelconques sont des anneaux locaux réguliers.</footnote>

<footnote n="6">6. Autrement dit intégralement clos dans son corps des fractions.</footnote>
Si $(A, \mathfrak{m})$ est un anneau local régulier, son complété $\hat{A} = \lim_{\leftarrow n} A/\mathfrak{m}^n$ est un anneau local régulier complet (pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique), et le théorème de structure de Cohen montre que $\hat{A}$ a l'une des formes suivantes, à isomorphisme près :

• on bien $V[[X_1, \cdots, X_n]]$ avec $V$ un corps ou un anneau de valuation discrète complet et non ramifié (i.e. l'idéal maximal de $V$ est engendré par un nombre premier $p$). On dira alors que $\hat{A}$ est *non ramifié*.

• ou bien $V[[X_1, \cdots, X_n]]/(p-f)$ pour un anneau de valuation discrète complet et non ramifié $V$, de caractéristique résiduelle $p$, et un élément $f$ dans $(p, X_1, \cdots, X_n)^2$ mais pas dans $pV[[X_1, \cdots, X_n]]$ (on dira que $\hat{A}$ est ramifié dans ce cas).

## 1.2. Énoncé de la conjecture du facteur direct

La conjecture du facteur direct de Hochster (1973), à laquelle cet exposé est consacré, est l'énoncé suivant, à l'air parfaitement innocent :

**THÉORÈME 1.1.** — *Toute extension finie d'un anneau régulier est scindée.*

Précisons l'énoncé : une *extension d'anneaux* est un morphisme injectif d'anneaux $f: A \to B$, elle est dite *finie* si $f$ fait de $B$ un $A$-module de type fini, et *scindée* si $A$ est un facteur direct du $A$-module $B$, autrement dit s'il existe une application $A$-linéaire (7) $r: B \to A$ telle que $r(f(a)) = a$ pour tout $a \in A$.

**Remarque 1.2.** — Bhatt (2018) revisite et simplifie la preuve d'André, ce qui lui permet d'établir la version dérivée suivante du théorème 1.1, conjecturée par de Jong : si $A$ est un anneau régulier et si $f: X \to \text{Spec}(A)$ est un morphisme propre et surjectif, alors le morphisme $A \to \text{R}\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ est scindé dans la catégorie dérivée $\text{D}(A)$. Si $A$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre cela se déduit des travaux de Kovács (2000), le cas $\text{car}(A) = p$ avait été traité par Bhatt (2012).

Hochster a démontré le théorème 1.1 pour les anneaux réguliers contenant un corps (Hochster, 1973) (voir aussi le chapitre 6 de Hochster, 1983), et a réduit, par un argument très indirect (cf. th. 6.1 de Hochster, 1983) le cas général à celui d'un anneau régulier non ramifié, de corps résiduel algébriquement clos. Une avancée spectaculaire est due à Heitmann (2002) : il a démontré la conjecture quand $\dim A = 3$ (le cas $\dim A \le 2$ est une conséquence de la formule d'Auslander–Buchsbaum).

Le lien entre les techniques perfectoïdes (plus précisément les presque mathématiques et le théorème de presque pureté de Faltings (1988, 2002)) et la conjecture du facteur direct semble avoir été remarqué depuis un certain temps (8), mais ce n'est qu'en 2014

<footnote n="7">7. On ne demande pas à $r$ d'être un morphisme d'anneaux.</footnote>

<footnote n="8">8. Par exemple, voici ce que m'écrit Wiesława Nizioł : « in 2001 Lorenzo Ramero visited me in Utah and gave a talk at the Number Theory seminar on his work with Gabber and their attempt to prove the almost purity conjecture. Paul Roberts was in the audience and was really surprised by the similarity of almost math techniques with the recent proof by Heitmann of the direct summand conjecture in dim 3. Heitmann worked in the almost setting and then at some point was able to descend to the usual setting (via some finiteness properties ?). Roberts got all excited about this and we had a seminar</footnote>
que Bhatt (2014a) a obtenu le premier résultat un peu général via ces techniques, en traitant le cas où $B[\frac{1}{p}]$ est étale sur $A[\frac{1}{p}]$ (et même sous des hypothèses plus faibles). C'est ce cercle d'idées qui mènera à la preuve de la conjecture, mais il a fallu attendre les travaux de André (2018b,a) pour traiter le cas général.

Remarque 1.3. — a) Une extension finie $f: A \to B$ d'anneaux noethériens est scindée si et seulement si l'extension induite $A_m \to B_m$ l'est pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $A$: l'existence d'un scindage équivaut à la surjectivité de l'application (9)

$$ \mathrm{ev}_1: \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_A}(B, A) \to A, \quad r \mapsto r(1), $$

qui peut se tester en localisant en tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $A$, or $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_A}(B, A)_\mathfrak{m} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A_m}}(B_m, A_m)$ puisque $B$ est un $A$-module de présentation finie. De même, $f$ est scindée si et seulement l'extension $C \to C \otimes_A B$ l'est pour une extension fidèlement plate $C$ de $A$, car on peut tester la surjectivité de $\mathrm{ev}_1$ après changement de base à $C$.

b) La preuve du théorème 1.1 se ramène au cas d'une extension finie $f: A \to B$ avec $A$ local régulier complet et $B$ intègre (donc local et complet). En effet, par a) on peut supposer que $A$ est local, puis complet, en utilisant l'extension fidèlement plate $A \to \hat{A}$. Si $\wp$ est un idéal premier de $B$ tel que $\dim(B/\wp) = \dim B$, alors $\dim A/(\wp \cap A) = \dim A$, puis $\wp \cap A = \{0\}$ (car $A$ est local et intègre), et tout scindage de l'extension finie $A \to B/\wp$ en fournit un pour $A \to B$.

c) Si $A$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre intègre et normale, alors toute extension finie $f: A \to B$ est scindée. En effet, comme dans b) on peut supposer que $B$ est intègre. Si $K$ et $L$ sont les corps des fractions de $A$ et de $B$, par normalité de $A$ la trace $\mathrm{Tr}_{L/K}: L \to K$ envoie $B$ dans $A$, et $\frac{1}{[L:K]}\mathrm{Tr}_{L/K}: B \to A$ fournit un scindage. Donc pour les $\mathbb{Q}$-algèbres le théorème 1.1 est trivial, et pas optimal.

d) Si $\dim A \le 2$ le théorème 1.1 se déduit de la formule d'Auslander-Buchsbaum. Si $A$ est de caractéristique positive on dispose de toute une variété de preuves pas (trop) difficiles du théorème 1.1, voir l'exemple 1.3 de Bhatt (2012) pour une preuve cohomologique, et le paragraphe 6.2 de Hochster (1983) pour une preuve courte et élémentaire.

## 1.3. Fragmenteurs

Appelons *fragmenteur* (splinter en anglais) un anneau intègre $A$ tel que toute extension finie de $A$ soit scindée. Le théorème 1.1 affirme que les anneaux réguliers sont fragmenteurs. Tout fragmenteur est normal (10), et la réciproque est vraie pour les $\mathbb{Q}$-algèbres intègres (remarque 1.3). La situation est nettement plus compliquée en caractéristique positive ou mixte. Hochster et Huneke (1992, 1995) ont montré que les

<footnote>running for a semester on almost math and commutative algebra. It did not get anywhere because, of course, we did not have the almost purity in general at that time. »</footnote>

<footnote n="9">9. On note $\mathrm{Mod}_A$ la catégorie des $A$-modules.</footnote>

<footnote n="10">10. Si $x \in \mathrm{Frac}(A)$ est entier sur $A$, alors $A \to A[x]$ est une extension finie et elle n'est pas scindée si $x \notin A$, puisque toute rétraction $A$-linéaire doit envoyer $x$ sur lui-même.</footnote>
fragmenteurs noethériens de caractéristique positive et localement excellents (11) sont
des anneaux de Cohen-Macaulay, et Bhatt (2020) vient de montrer, dans son travail
spectaculaire, que cela reste vrai en caractéristique mixte (toujours sous des hypothèses
d'excellence).

Une source importante de fragmenteurs est la théorie des représentations des groupes (linéairement) réductifs : si un tel groupe $G$ agit sur une $k$-algèbre $R$ qui est un anneau régulier ($k$ étant un corps), alors l'anneau des invariants $R^G$ est un fragmenteur (car l'inclusion $R^G \to R$ est scindée, via l'opérateur de Reynolds, et $R$ est un fragmenteur).

Voici un exemple (dû à Hochster, 1973) d'anneau normal, de Cohen-Macaulay (même Gorenstein), et non fragmenteur. Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique 2 et $R = k[X, Y, Z]/(X^3 + Y^3 + Z^2) = k[x, y, z]$. Le morphisme $R \to k[U, V]$ envoyant $x, y, z$ sur $U^2, V^2, U^3 + V^3$ est fini, injectif et non scindé : s'il était scindé on aurait $R \cap Ik[U, V] = I$ pour tout idéal $I$ de $R$, or $z \notin (x, y)$ et $U^3 + V^3 \in (U^2, V^2)$.

Un schéma $S$ est dit fragmenteur si pour tout morphisme fini surjectif $f: X \to S$
le morphisme $O_S \to f_*O_X$ est scindé dans la catégorie Coh($S$) des faisceaux cohérents
sur $S$. On dit que $S$ est un $D$-fragmenteur si pour tout morphisme propre surjectif
$f: X \to S$ le morphisme $O_S \to Rf_*O_X$ est scindé dans $D(\text{Coh}(S))$. Bhatt (2012) montre
qu'un $\mathbf{F}_p$-schéma noethérien est fragmenteur si et seulement s'il est $D$-fragmenteur. Pour
comparer, pour un $\mathbf{Q}$-schéma le caractère fragmenteur est (plus ou moins, i.e. sous des
hypothèses faibles) équivalent à la normalité, alors que le caractère $D$-fragmenteur est
(plus ou moins) équivalent, par un théorème de Kovács (2000), au fait que les singularités
de $S$ sont au pire rationnelles, cf. ex. 1.1 et 1.2 de Bhatt (2012).

Voir André et Fiorot (2022) et Bhatt (2012) pour plus de détails et d'exemples concernant les fragmenteurs.

1.4. Scindage et pureté

Un morphisme d'anneaux $f: A \to B$ est dit *pur* s'il est *universellement injectif*, i.e. si le morphisme induit $C \to B \otimes_A C$ reste injectif pour toute $A$-algèbre $C$, auquel cas il reste injectif pour tout $A$-module $C$. Toute extension scindée est clairement pure. Voici deux incarnations importantes de la notion de pureté :

* d'un point de vue catégorique, un morphisme $f: A \to B$ est pur si et seulement si le foncteur $(-) \otimes_A B: \mathrm{Mod}_A \to \mathrm{Mod}_B$ est fidèle. Rappelons que $f$ est dit *plat* (resp. *fidèlement plat*) si le foncteur $(-) \otimes_A B$ est exact (resp. exact et fidèle). Ainsi tout morphisme fidèlement plat est pur.

* Olivier (1973) a montré qu’un morphisme $f: A \to B$ est pur si et seulement la théorie de la descente fonctionne bien (12) pour les $B$-modules. Comme il a été remarqué dans André et Fiorot (2022) cela permet de voir les morphismes purs comme les recouvrements

<footnote n="11">11. i.e. dont les localisés en tout idéal maximal sont excellents.</footnote>

<footnote n="12">12. Autrement dit le foncteur envoyant $M \in \mathrm{Mod}_A$ sur $B \otimes_A M$ muni de sa donnée de descente canonique induit une équivalence entre $\mathrm{Mod}_A$ et la catégorie des $B$-modules $N$ munis d'un isomorphisme $N \otimes_A B \simeq B \otimes_A N$ de $B \otimes_A B$-modules, vérifiant la condition usuelle de cocycle.</footnote>
pour la topologie canonique (13) sur la catégorie des schémas affines, ce qui en fournit
une interprétation géométrique.

La conjecture du facteur direct se réincarne (cf. théorème 1.7) en un énoncé de pureté
grâce au résultat suivant :

PROPOSITION 1.4. — *Toute extension finie et pure d'anneaux noethériens est scindée.*

*Démonstration.* — On peut supposer que $A$ est local et complet (remarque 1.3). Si $E$ est l'enveloppe injective du corps résiduel de $A$, le morphisme $E \to E \otimes_A B$ est injectif par pureté. Puisque $E$ est un $A$-module injectif l'identité de $E$ se prolonge en un morphisme de $A$-modules $u: E \otimes_A B \to E$, d'où un morphisme $A$-linéaire $B \to \text{End}_A(E)$. Par dualité de Matlis on a $\text{End}_A(E) \simeq A$, et la composée $B \to \text{End}_A(E) \simeq A$ est un scindage de $f$. $\square$

On peut utiliser les liens entre scindage et pureté pour obtenir des conséquences
importantes du théorème 1.1. Nous allons mentionner deux telles applications. Si $f: A \to B$ est une extension pure, alors $A \cap IB = I$ pour tout idéal $I$ de $A$ (cela ne fait que traduire l'injectivité du morphisme $A/I \to B/IB = B \otimes_A A/I$). Sous des hypothèses faibles cette propriété de contraction d'idéaux caractérise la pureté : Hochster (1977) a montré qu'une extension finie $A \to B$ d'un anneau noethérien intègre et normal (ces hypothèses sont loin d'être optimales) est scindée si $A \cap IB = I$ pour tout idéal $I$ de $A$. La conjecture du facteur direct est donc équivalente (et entraîne trivialement) au résultat suivant.

THÉORÈME 1.5. — *Soit $f: A \to B$ une extension finie d'un anneau noethérien régulier. Alors pour tout idéal $I$ de $A$ on a $A \cap IB = I$.*

Pour la deuxième application, rappelons qu’un morphisme d’anneaux $f: A \to B$
descend la platitude si pour tout $M \in \text{Mod}_A$ la platitude sur $B$ de $B \otimes_A M$ force celle
de $M$. Par exemple, toute extension pure descend la platitude (Olivier, 1973). Raynaud
et Gruson (1971) ont montré, généralisant un théorème de Ferrand, que toute extension
finie descend la platitude. Ils ont demandé (question 1.4.3, Seconde Partie de loc.cit.) si
toute extension entière d’un anneau noethérien (14) A descend la platitude, et ont aussi
expliqué qu’il suffit de résoudre ce problème quand A est régulier, or dans ce cas le
théorème 1.1 permet de conclure puisque toute extension entière $A \to B$ est pure, en
tant que colimite filtrante d’extensions finies, donc pures, de A. Donc la conjecture du
facteur direct fournit une réponse positive à la question de Raynaud et Gruson. Ohi
(1996) a montré que les théorèmes 1.6 et 1.1 sont en fait équivalents.

THÉORÈME 1.6. — *Toute extension entière d’un anneau noethérien descend la plati-tude.*

<footnote n="13">13. Il s'agit de la topologie de Grothendieck la plus fine pour laquelle tous les préfaisceaux représen-tables sont des faisceaux.</footnote>

<footnote n="14">14. L'hypothèse que $A$ soit noethérien n'est pas superflue !</footnote>
Si $A$ est un anneau et si $f: M \to N$ et $g: N \to P$ sont des morphismes de $A$-modules tels que $g \circ f$ soit pur, alors $f$ est clairement pur. Le théorème 1.1 devient ainsi une conséquence directe du théorème fondamental suivant et de la proposition 1.4.

### THÉORÈME 1.7. —
Pour toute extension finie $A \to B$ d'un anneau régulier $A$ il existe un morphisme d'anneaux $B \to C$ tel que $A \to C$ soit fidèlement plat.

*Remarque 1.8. —* 1. Géométriquement, on peut (suivant André et Fiorot, 2022) reformuler le théorème 1.1 (resp. 1.7) comme suit : si $Y$ est un schéma noethérien régulier, alors tout morphisme fini surjectif $f: X \to Y$ est un recouvrement pour la topologie canonique (respectivement pour la topologie (15) fpqc) sur la catégorie des schémas.

2. Si l'on part d'une extension finie et pure $A \to B$, il est possible qu'un anneau $C$ comme dans le théorème 1.7 n'existe pas (même avec $A$ normal), i.e. la topologie fpqc est strictement plus faible que celle canonique. L'exemple 5.5 de André et Fiorot (2022) est particulièrement simple (à énoncer, pas à prouver...) : l'inclusion $A := \mathbb{C}[X, Y]^{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \to B := \mathbb{C}[X, Y]$ (l'élément non trivial de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ agit par $(X, Y) \mapsto (-X, -Y)$) est pure (immédiat) mais pas un recouvrement fpqc (cela utilise les constructions de Raynaud et Gruson (1971) (1.4.1.1), les premiers à avoir fourni des contre-exemples).

## 1.5. Algèbres de Cohen–Macaulay pour les anneaux locaux noethériens

Contrairement à la conjecture du facteur direct, le théorème 1.7 ci-dessus est très difficile même quand $A$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre (toutes les preuves existantes passent par une réduction, via la technique des ultrafiltres, au cas des anneaux de caractéristique positive, où le Frobenius fait des merveilles). Démontré par Hochster (1975) quand $A$ contient un corps, et par André (2018a) (et récemment par Bhatt, 2020) pour $A$ d'inégale caractéristique, ce théorème est une reformulation d'une conjecture célèbre de Hochster (1979) concernant l'existence d'une $A$-algèbre de Cohen–Macaulay pour tout anneau local noethérien $A$. Pour expliquer le lien, nous devons faire quelques rappels.

Soit $(A, \mathfrak{m})$ un anneau local noethérien. Une suite $x = (x_1, \dots, x_d)$ dans $\mathfrak{m}$ est un système de paramètres (ou suite sécante maximale) si $d = \dim A$ et si $A/(x_1, \dots, x_d)$ est un anneau artinien, autrement dit il existe $t \ge 1$ tel que $\mathfrak{m}^t \subset (x_1, \dots, x_d)$. D'autre part, une suite $z = (z_1, \dots, z_k)$ d'éléments de $A$ est une suite régulière dans un $A$-module $M$ si $M/(z_1, \dots, z_k)M \ne 0$ et si la multiplication par $z_{i+1}$ est injective dans $M/(z_1, \dots, z_i)$ pour tout $0 \le i < k$. On dit que $M$ est un $A$-module de Cohen–Macaulay si tout système de paramètres dans $A$ est une suite régulière dans $M$. On dit qu'une $A$-algèbre $B$ est une $A$-algèbre de Cohen–Macaulay si $B$ est un $A$-module de Cohen–Macaulay.

<footnote n="15">15. Attention, on dit bien la topologie et non pas la prétopologie ! L'énoncé en question serait faux pour la pré-topologie fpqc (en prenant un $Y$ qui n'est pas de Cohen–Macaulay).</footnote>
Aucune hypothèse de finitude n'étant imposée à *B*, il ne faut donc pas confondre (16) la définition précédente avec celle d'un anneau de Cohen-Macaulay qui se trouve être une *A*-algèbre (17).

Le résultat standard suivant (Bartijn et Strooker, 1983, th. 1.7 et Hochster et Huneke, 1995, 2.1.d) fait le lien entre le théorème 1.7 (qui se ramène facilement au cas local) et l'existence d'algèbres de Cohen-Macaulay pour les anneaux locaux noethériens.

**PROPOSITION 1.9.** — *Soit $(A, \mathfrak{m})$ un anneau local noethérien et soit $M$ un $A$-module.*

a) Si $A$ possède un système de paramètres qui est une suite régulière dans $M$, alors le complété $\mathfrak{m}$-adique de $M$ est un $A$-module de Cohen-Macaulay.

b) Si $A$ est régulier, un $A$-module est de Cohen-Macaulay si et seulement s'il est fidèlement plat sur $A$.

Compte tenu de cette proposition, le théorème 1.7 devient une conséquence du résultat suivant, qui répond à la conjecture (18) de Hochster mentionnée ci-dessus.

**THÉORÈME 1.10.** — *Pour tout anneau local noethérien $A$ il existe une $A$-algèbre de Cohen-Macaulay.*

Les constructions d'André que l'on verra dans la suite de cet exposé font intervenir des anneaux perfectoïdes, et les *A*-algèbres de Cohen-Macaulay qui en sortent ne sont presque jamais noethériennes. Ce n'est pas une grande surprise, puisque Hochster a déjà montré (th. 6.1. de Hochster, 1979) que si *A* est un anneau local noethérien complet, normal, non Cohen-Macaulay, et contenant *Q*, alors *A* n'admet pas de *A*-algèbre de Cohen-Macaulay noethérienne. Voir aussi Bhatt (2014b) pour des obstructions cohomologiques à l'existence de « petites algèbres de Cohen-Macaulay » (19) en caractéristique positive.

Le théorème 1.10 était connu pour des anneaux $A$ d'égale caractéristique ou quand $\dim A \le 3$, grâce aux travaux de Hochster (1975, 2002) (le cas d'inégale caractéristique en dimension 3 utilise de manière cruciale les travaux de Heitmann, 2002). Le cas restant est dû à André (2018a) (voir le § 1.7 pour l'approche de Bhatt). Cependant, pour l'instant ces techniques ne semblent pas permettre des avancées vers une autre conjecture célèbre de Hochster : *tout anneau local noethérien complet $A$ possède un $A$-module de Cohen-Macaulay de type fini*. Cette conjecture a un intérêt particulier puisqu'elle entraîne la conjecture de Serre (ouverte aussi depuis environ 50 ans) sur la (stricte) positivité des multiplicités d'intersection, mais en dehors du cas de la dimension $\le 2$ très peu de choses sont connues.

<footnote n="16">16. Les diverses appellations dans la littérature anglo-saxonne donnent un peu le tournis : ce que nous définissons ici correspond à une balanced (big) CM *A*-algebra.</footnote>

<footnote n="17">17. Le langage de l'algèbre commutative n'est pas vraiment commutatif...</footnote>

<footnote n="18">18. À l'origine elle concernait l'existence de *A*-modules de Cohen-Macaulay : Hochster (1979) professe un certain pessimisme concernant l'existence de *A*-algèbres de Cohen-Macaulay...</footnote>

<footnote n="19">19. i.e. des algèbres de Cohen-Macaulay qui sont des extensions finies de l'anneau de base.</footnote>
## 1.6. Les conjectures homologiques

On trouvera d'excellentes présentations, par Hochster (1982, 2007, 2017) et P. Roberts (1992), de l'écheveau des « conjectures homologiques » et de leurs diverses imbrications, nous nous contentons dans ce paragraphe de quelques extraits, qui découlent (par les travaux de Hochster, 1983, Peskine et Szpiro, 1972 et Evans et Griffith, 1981) de l'existence d'algèbres (ou même seulement des modules) de Cohen-Macaulay pour les anneaux locaux noethériens.

Tous les résultats ci-dessous étaient connus à l'époque de Hochster (1979) quand l'anneau local contient un corps ou est de dimension $\le 2$, et ouverts dans les cas restants. Evans et Griffith avaient montré (20) que l'existence d'algèbres de Cohen-Macaulay implique le point d), qui implique e). En combinant les travaux de Hochster (1983) et Dutta (1987), on montre que d) est équivalent à la conjecture du facteur direct, et il implique c). Le point c) avait été démontré par Peskine et Szpiro (1972) en présence d'un corps, et par P. Roberts (1987) en général. Peskine et Szpiro ont montré que c) implique b) et a).

**THÉORÈME 1.11.** — *Soit $(R, \mathfrak{m})$ un anneau local noethérien et soient $M, N$ des modules non nuls de type fini sur $R$.*

a) (conjecture de M. Auslander) *Si $M$ est de dimension projective finie et $R$ est sans $x$-torsion, alors $M$ est sans $x$-torsion.*

b) (question de Bass) *Si $M$ est de dimension injective finie alors $R$ est Cohen-Macaulay.*

c) (conjecture d'intersection de Peskine-Szpiro) *Si $M \otimes_R N$ est de longueur finie, alors $\dim N \le \text{pd}(M)$.*

d) (improved new intersection conjecture) *Soit $F_\bullet$ un complexe de $R$-modules libres de type fini, concentré en degrés $[0, d]$, et tel que $H_{>0}(F_\bullet)$ soit de longueur finie. S'il existe $c \in H_0(F_\bullet)$ tel que $\text{Rc}$ soit de longueur finie et $\text{Rc} \not\subset \mathfrak{m}H_0(F_\bullet)$, alors $\dim R \le d$.*

e) (« conjecture des syzygies d'Evans-Griffith ») *Si $M$ est un $R$-module de type fini, pour tout $1 \le i < \text{pd}(M)$ le ième module de syzygies de $M$ est de rang $\ge i$.*

Hochster (1983, th. 6.1) a montré que la conjecture du facteur direct est équivalente à cette autre conjecture, la conjecture monomiale de Hochster, tout aussi charmante :

**THÉORÈME 1.12.** — *Si $x_1, \dots, x_n$ est un système de paramètres d'un anneau local noethérien $(A, \mathfrak{m})$, alors l'équation*

$$ (x_1 \cdots x_n)^k = y_1 x_1^{k+1} + \cdots + y_n x_n^{k+1} $$

*n'a pas de solutions ($y_1, \dots, y_n) \in A^n$ pour $k \ge 1$.*

<footnote n="20">20. Sans le dire... voir le chapitre 2 de Hochster (1983).</footnote>
Ce théorème découle facilement du théorème 1.10, voici les grandes lignes de l'argu-
ment. Si $x_1, \dots, x_n$ est une suite régulière dans un $A$-module $M$ (pour un anneau $A$)
et si $m_1, \dots, m_n \in M$ vérifient $x_1m_1 + \dots + x_nm_n = 0$ alors $m_i \in (x_1, \dots, x_n)M$ pour
tout $i$ (cela se démontre facilement par récurrence). On en déduit (21) que si $a_i$ sont des
entiers positifs et si $m, m_i \in M$ vérifient

$$
x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} m = x_1^{a_1+1} m_1 + \cdots x_n^{a_n+1} m_n,
$$

alors $m \in (x_1, \dots, x_n)M$. En particulier, comme $M/(x_1, \dots, x_n)M \neq 0$, on ne peut pas
avoir $x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} \in (x_1^{a_1+1}, \dots, x_n^{a_n+1})$.

1.7. Algèbre dans la clôture intégrale absolue

Soit $A$ un anneau intègre, et fixons une clôture algébrique $K^+$ du corps des fractions $K$
de $A$. La clôture intégrale absolue $A^+$ de $A$ est la clôture intégrale de $A$ dans $K^+$. Elle
est bien définie à isomorphisme près, et faiblement fonctorielle en $A$: tout morphisme
$f: A \to B$ d'anneaux intègres induit (22) un morphisme $f^+: A^+ \to B^+$.

Pour voir le lien avec les conjectures discutées dans ci-dessus, mentionnons deux énoncés sympathiques. Soit (A, m) un anneau local noethérien complet et intègre. Si dim A ≤ 2 alors A+ est une A-algèbre de Cohen–Macaulay (tout anneau noethérien intègre et normal, de dimension 2 est de Cohen–Macaulay). Cela devient faux en égale (resp. inégale) caractéristique, à partir de la dimension 3 (resp. 4).

Dans un véritable tour de force d'algèbre commutative $^{(23)}$, Hochster et Huneke (1992)
ont démontré le résultat suivant, qui implique immédiatement le théorème 1.10 en
caractéristique positive, et même une forme plus forte, car la construction devient
faiblement fonctorielle :

THÉORÈME 1.13. — Si $A$ est un anneau local noethérien intègre et excellent$^{(24)}$, de caractéristique positive, alors $A^+$ est une $A$-algèbre de Cohen–Macaulay.

Cette recette directe ne fonctionne plus si $A$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre, et la preuve du théorème 1.10 (et la fonctorialité faible) passe par une réduction délicate à la caractéristique positive.

Nous finissons cette longue introduction avec le résultat spectaculaire suivant, dû à
Bhatt (2020), et qui fournit un analogue du théorème de Hochster–Hunneke en inégale
caractéristique. Il entraîne immédiatement le théorème 1.10 en inégale caractéristique,
ainsi que la fonctorialité faible des algèbres de Cohen–Macaulay. La preuve est très
difficile et utilise toute la palette des développements en théorie de Hodge $p$-adique de

<footnote n="21">21. Utiliser que $x_1^{b_1}, \dots, x_n^{b_n}$ reste une suite régulière pour $b_1, \dots, b_n > 0$, et une récurrence sur le nombre de $a_i$ non nuls.</footnote>

<footnote n="22">22. Le cas d'une injection étant clair, supposons que $f$ est surjectif; on peut trouver un idéal premier $\mathfrak{q}$ de $A^+$ au-dessus de $\emptyset := \ker f$, et alors $A/\emptyset$ s'injecte dans $A^+/\mathfrak{q}$, ce dernier étant isomorphe à $B^+$.</footnote>

<footnote n="23">23. Voir l'article de Huneke et Lyubeznik (2007) pour une preuve plus simple.</footnote>

<footnote n="24">24. Par exemple complet.</footnote>
ces dix dernières années, ainsi que la théorie prismatique de Bhatt et Scholze (2022). Elle mériterait sans doute un exposé à part entière...

THÉORÈME 1.14. — *Soit (A, m) un anneau local noethérien intègre et excellent, de caractéristique résiduelle $p > 0$. Le complété p-adique de $A^+ est une A-algèbre de Cohen–Macaulay.*

*Remarque 1.15.* — 1. Hochster a démontré (th. 6.1 de Hochster, 1983) que la conjec-
ture du facteur direct est équivalente au sympathique énoncé suivant : pour tout
anneau local noethérien complet et intègre (A, m) le A-dual de A+ est non nul. Si
A est de dimension *n*, par dualité locale cela équivaut à H<sub>m</sub><sup>n</sup>(A+) ≠ {0}. Cette non
annulation se voit facilement à partir du théorème 1.1 (le point délicat, démontré
par Hochster, est que l'on peut aller dans l'autre sens) : par le théorème de Cohen
on peut supposer que A est aussi régulier, mais alors toute extension finie A → B
dans A+ est scindée, donc le morphisme H<sub>m</sub><sup>n</sup>(A) → H<sub>m</sub><sup>n</sup>(B) est injectif, et il en est
de même de H<sub>m</sub><sup>n</sup>(A) → H<sub>m</sub><sup>n</sup>(A+), ce qui permet de conclure puisque H<sub>m</sub><sup>n</sup>(A) ≠ {0}.

2. Dans la situation du théorème 1.14, Bhatt montre (c’est le coeur de l’article Bhatt, 2020) que $H_m^i(A^+/p)$ est nul pour $i < \dim(A/p)$ et $H_m^i(A^+)$ est nul pour $i < \dim A$. Même en dimension 3 ce genre d’énoncé va beaucoup plus loin que ceux de Heitmann (2002) (on passe d’une presque nullité à une vraie nullité!). Cela lui permet de montrer que si $A$ est un fragmenteur, alors $A$ est de Cohen–Macaulay : par le même argument que ci-dessus la flèche $H_m^i(A/p) \to H_m^i(A^+/p)$ est injective (car $A$ est un fragmenteur), donc $H_m^i(A/p)$ est nul pour $i < \dim(A/p)$, et $A$ est de Cohen–Macaulay.

## 2. ANNEAUX PERFECTOÏDES : ASPECTS ALGÉBRIQUES

Le but de ce chapitre est de mettre ensemble un certain nombre de résultats sur les anneaux perfectoïdes « entiers », qui sont éparpillés façon puzzle dans la littérature. Nous renvoyons le lecteur aux articles fondamentaux Bhatt, Morrow et Scholze (2018, chapitre 3), Bhatt et Scholze (2022, chapitres 2 et 3), Česnavičius et Scholze (2019, chapitre 2), au livre de Kedlaya et Liu (2015) et aux exposés de Fontaine (2013) et Morrow (2019) dans ce Séminaire pour plus de détails.

On fixe pour toute la suite un nombre premier $p$ et on note $\text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ la catégorie des $\mathbb{F}_p$-algèbres parfaites, i.e. celles dont le morphisme de Frobenius $\varphi: x \mapsto x^p$ est un automorphisme (une telle algèbre est donc réduite). La réduction modulo $p$ et le foncteur $W(-)$ des vecteurs de Witt $p$-typiques induisent des équivalences quasi-inverses entre $\text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et la catégorie des anneaux $p$-complets (i.e. complets pour la topologie $p$-adique), sans $p$-torsion, dont la réduction modulo $p$ est parfaite.
## 2.1. Vecteurs de Witt

Pour tout $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ il existe une unique application multiplicative, mais pas fortement additive [ ]: $R \to W(R)$ telle que $[a] \equiv a \pmod p$ pour tout $a \in R$. Tout $x \in W(R)$ s'écrit $x = \sum_{n \ge 0} [x_n] p^n$ pour une unique suite $(x_n)_{n \ge 0}$ dans $R$. Il sera très utile de considérer $x$ comme une « fonction holomorphe de la variable $p$ ». Il est donc tentant d'introduire la notation

$$x(0) := x_0, \quad x'(0) := x_1.$$

L'application $x \mapsto x(0)$ induit un isomorphisme d'anneaux $W(R)/p \simeq R$, et un calcul immédiat montre que pour tous $x, y \in W(R)$ on a

$$(xy)'(0) = x(0)y'(0) + y(0)x'(0), \qquad (1)$$

ce qui explique la notation. L'optimisme dégagé par cette observation est tempéré par le fait que $(x+y)'(0) \neq x'(0)+y'(0)$ en général. Cependant la relation ci-dessus jouera un rôle important à plusieurs reprises.

**Remarque 2.1.** — L'anneau $W(R)$ est muni d'un relèvement du Frobenius $\varphi: W(R) \to W(R)$, défini par $\varphi(\sum_{n \ge 0} [x_n]p^n) = \sum_{n \ge 0} [x_n^p]p^n$. L'application $\delta: W(R) \to W(R)$ définie par $\delta(x) := \frac{\varphi(x)-x^p}{p}$ est une $p$-dérivation (au sens de Buium) sur $W(R)$, i.e. elle vérifie $\delta(xy) = x^p\delta(y) + y^p\delta(x) + p\delta(x)\delta(y)$ pour $x, y \in W(R)$. Cette application joue un rôle crucial dans Bhatt et Scholze (2022). Le lien avec la construction $x \mapsto x'(0)$ est le suivant : $x'(0)^p$ est la réduction modulo $p$ de $\delta(x)$.

## 2.2. Constructions de Fontaine

Rappelons rapidement quelques constructions fondamentales dues à Fontaine.

**DÉFinition 2.2.** — Un élément $p$-puissant d'un anneau $A$ est une suite $(a_n)_{n \ge 0}$ d'éléments de $A$ telle que $a_{n+1}^p = a_n$ pour tout $n$. On note $\lim_{x \to x^p} A$ l'ensemble des éléments $p$-puissants de $A$. On dira aussi, abusivement, qu'un élément $a \in A$ est $p$-puissant s'il est muni d'une suite $(a_n)_{n \ge 0} \in \lim_{x \to x^p} A$ telle que $a_0 = a$. On écrira $a^{p^{-n}}$ au lieu de $a_n$ et on notera $(a^{p^{-\infty}})$ l'idéal de $A$ engendré par les $a_n$. On insiste sur le fait que la phrase « un élément $p$-puissant $a$ de $A$ » contient implicitement la donnée d'une suite de racines compatibles $(a^{p^{-n}})_{n \ge 0}$ de $a$.

Par exemple, si $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ alors l'application $a \mapsto ([a^{1/p^n}])_{n \ge 0}$ induit une bijection entre $R$ et $\lim_{x \to x^p} W(R)$. Plus généralement, soit $B$ un anneau $p$-complet. La réduction modulo $p$ induit une bijection multiplicative de $\lim_{x \to x^p} B$ sur le basculé $B^b := \lim_{x \to x^p} B/p$ de $B$, la $\mathbb{F}_p$-algèbre parfaite des suites $(x_n)_{n \ge 0}$ dans $B/p$ telles que $x_{n+1}^p = x_n$ pour tout $n$. L'inverse $\iota: B^b \to \lim_{x \to x^p} B$ est construit comme suit : si $(x_n)_{n \ge 0} \in B^b$ et si $b_n \in B$ est un relèvement quelconque de $x_n$, alors la suite $(b_{n+k}^p)_{k \ge 0}$
converge $p$-adiquement dans $B$ vers un élément $\tilde{b}_n$ qui ne dépend pas du choix des $b_n$, et $\iota((x_n)_{n\ge 0}) = (\tilde{b}_n)_{n\ge 0}$. Pour tout $x \in B^b$ on a

$$ \iota(x) = (\sharp(x), \sharp(x^{1/p}), \dots), $$

où $\sharp: B^b \to B$ est l'application multiplicative (mais pas additive en général) obtenue en composant $\iota$ avec la projection sur la première composante $\lim_{x \to x^p} B \to B$, i.e.

$$ \sharp(x_0, x_1, \dots) = \tilde{b}_0 = \lim_{k \to \infty} b_k^{p^k}. $$

Un des grands classiques de la théorie de Fontaine est l'application

$$ \theta_B: W(B^b) \to B, \quad \theta_B(\sum_{n \ge 0} [a_n]p^n) = \sum_{n \ge 0} a_n^{\sharp}p^n. $$

Il s'agit de l'unique morphisme d'anneaux tel que $\theta_B([b]) = b^{\sharp}$ pour tout $b \in B^b$.

Toutes ces constructions sont fonctorielles en l'anneau $p$-complet $B$ et permettent de caractériser $W(R)$ (pour $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$) dans la catégorie plus grande des anneaux $p$-complets, comme suit. Soit $B$ un anneau $p$-complet et soit $f: W(R) \to B$ un morphisme d'anneaux. On obtient un morphisme d'anneaux $f^b: R \to B^b$ en passant aux basculés, plus concrètement en envoyant $a$ sur la suite des réductions modulo $p$ des $f([a^{1/p^n}])$, $n \ge 0$. Réciproquement, un morphisme d'anneaux $g: R \to B^b$ induit un autre $f := \theta_B \circ W(g): W(R) \to B$, tel que $f^b = g$. On a donc

$$ f\left(\sum_{n \ge 0} [a_n]p^n\right) = \sum_{n \ge 0} g(a_n)^{\sharp}p^n. $$

On peut résumer cette discussion comme suit :

**PROPOSITION 2.3.** — *Soit $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$. Les applications $f \mapsto f^b$ et $g \mapsto \theta_B \circ W(g)$ induisent une bijection fonctorielle en l'anneau $p$-complet $B$*

$$ \mathrm{Hom}(W(R), B) \simeq \mathrm{Hom}(R, B^b). $$

## 2.3. Anneaux perfectoïdes

Soit $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$. On dit que $\xi \in W(R)$ est distingué si $\xi'(0)$ est inversible dans $R$, autrement dit si $\xi = [\xi(0)] + pu$ avec $u$ inversible dans $W(R)$. Ainsi $\xi$ est un avatar d'une « fonction holomorphe de la variable $p$, biholomorphe au voisinage de 0 ».

**Remarque 2.4.** — Soit $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et soit $\xi \in W(R)$ un élément distingué.

a) Pour tout morphisme $R \to S$ dans $\mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$, l'image de $\xi$ reste distinguée dans $W(S)$. On la notera encore (abusivement) $\xi$. Si $R$ est $\xi(0)$-complet, la relation (1) montre que $u\xi$ est distingué dans $W(R)$ pour tout élément inversible $u$ de $W(R)$.

b) L'élément $\xi$ n'est pas un diviseur de zéro dans $W(R)$ : si $\xi x = 0$ alors $\xi(0)x(0) = 0$ et « en prenant la dérivée en 0 », i.e. en utilisant la relation (1) on obtient $\xi'(0)x(0) + \xi(0)x'(0) = 0$. Ainsi $\xi'(0)x(0)^2 = 0$, et comme $\xi'(0)$ est inversible et $R$ est parfait, on a $x(0) = 0$. Donc $x = px_1$ pour un $x_1 \in W(R)$, et $\xi x_1 = 0$, puis par itération $x \in \cap_{n \ge 1} p^n W(R) = \{0\}$. Le même argument montre que si $a, x \in W(R)$ vérifient $a \mid \xi x$, alors $x(0)^2 \in (a(0)x'(0), a(0)x(0), a'(0)x(0))$. En particulier, si $p^2 \mid \xi x$ alors $p \mid x$.
Introduisons maintenant, suivant le point de vue prismatique de Bhatt et Scholze (2022), la classe la plus générale (à ce jour...) d'anneaux perfectoïdes :

**DÉFinition 2.5.** — *Un anneau $A$ est dit perfectoïde s'il est isomorphe à un anneau $W(R)/(\xi)$ avec $R \in \text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et $\xi \in W(R)$ distingué. On note $\text{Perf}$ la catégorie des anneaux perfectoïdes, les morphismes étant ceux d'anneaux.*

*Remarque 2.6.* — Les premiers êtres du monde perfectoïde sont les corps perfectoïdes (25), par exemple le complété $C_p$ d'une clôture algébrique de $Q_p$. Puis ont vu le jour (Scholze, 2012) les algèbres de Banach perfectoïdes sur un tel corps (certaines étaient déjà bien présentes dans Colmez et Fontaine (2000) et Colmez (2002)...). Fontaine (2013) a introduit dans son exposé une classe plus large d'anneaux perfectoïdes. Enfin, Bhatt, Morrow et Scholze (2018) introduisent la classe la plus générale d'anneaux perfectoïdes, qui est équivalente à celle introduite ci-dessus. Voir aussi la proposition 2.12 pour le lien avec les définitions plus anciennes (et plus restreintes).

**Exemple 2.7.** — 1. Il est évident que $\text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ s'identifie à la sous-catégorie de $\text{Perf}$ des objets tués par $p$ (noter que $p \in W(R)$ est distingué). En particulier l'anneau nul, $\mathbb{F}_p$, $\mathbb{F}_p[T^{1/p^\infty}] := \lim_{\underset{n}{\longrightarrow}} \mathbb{F}_p[T^{1/p^n}]$ sont perfectoïdes.

2. Soit $A = W(R)/(\xi)$, avec $R \in \text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et $\xi \in W(R)$ distingué. L'image $\pi$ de $[\xi(0)^{1/p}]$ dans $A$, munie de la suite de racines donnée par les images des $[\xi(0)^{1/p^{n+1}}]$ ($n \ge 0$), est un élément $p$-puissant (def. 2.2) de $A$. On a une égalité $(\pi^p) = (p)$ d'idéaux de $A$, puisque $\xi = \xi(0) + pu$, avec $u$ inversible. Ainsi non seulement $Z_p$ n'est pas perfectoïde, il n'y a même pas de morphisme d'un anneau perfectoïde vers $Z_p$. Noter que si $\xi(0) = 0$ alors $\pi = 0$ et $A \in \text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$.

3. Gardons le contexte ci-dessus. Le Frobenius $A/\pi \to A/\pi^p$ s'identifie au Frobenius $R/\xi(0)^{1/p} \to R/\xi(0)$, et c'est un isomorphisme. Ainsi pour tout anneau perfectoïde $A$ il existe un élément $p$-puissant $\pi \in A$ tel que $(\pi^p) = (p)$ (la proposition 2.8 ci-dessous montre que $A$ est $\pi$-complet) et tel que le Frobenius $A/\pi \to A/\pi^p$ soit un isomorphisme. Voir la proposition 2.12 pour une réciproque partielle.

4. Pour $R = \mathbb{F}_p[T^{1/p^\infty}]$ l'anneau $W(R)$ est isomorphe au complété $p$-adique de $Z_p[T^{1/p^\infty}]$ (réduire modulo $p$ pour s'en convaincre). L'élément $\xi = [T] - p$ est distingué et $W(R)/(\xi)$ est isomorphe au complété $p$-adique de $Z_p[p^{1/p^\infty}]$. Le même genre d'argument montre que si $A$ est un anneau perfectoïde, alors le complété $p$-adique $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ de $A[T^{1/p^\infty}] = \lim_{\underset{n}{\longrightarrow}} A[T^{1/p^n}]$ l'est aussi.

5. Comme $W$ commute aux produits, on voit facilement qu'un produit quelconque d'anneaux perfectoïdes est perfectoïde. Il n'est pas vrai (cf. remarque 2.13), et ceci posera des sérieux soucis plus tard, qu'une limite projective (dans la catégorie des anneaux) d'anneaux perfectoïdes est perfectoïde.

<footnote n="25">25. Attention : un corps perfectoïde n'est pas la même chose qu'un anneau perfectoïde (au sens de la définition 2.5) qui est aussi un corps. Tout n'est pas parfait dans le monde perfectoïde...</footnote>
## 2.4. Basculement

La résultat suivant sera constamment utilisé par la suite.

**PROPOSITION 2.8.** — *Tout anneau perfectoïde est p-complet et sa torsion p-primaire est tuée par p.*

*Démonstration.* — On peut supposer que l’anneau est de la forme $A = W(R)/\langle\xi\rangle$ avec $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et $\xi \in W(R)$ distingué. Pour montrer que $p$ tue $A[p^\infty]$ il suffit de montrer que $A[p^2] = A[p]$, autrement dit que si $x \in W(R)$ vérifie $\xi \mid p^2x$ alors $\xi \mid px$, ce qui se déduit de la dernière phrase de la remarque 2.4. Montrons ensuite que $A$ est p-complet$^{(26)}$. Il suffit de voir que $(\xi) \subset W(R)$ est fermé pour la topologie p-adique. Mais on vient d’établir l’égalité $(\xi) \cap p^2W(R) = p((\xi) \cap pW(R))$, et une récurrence immédiate donne $(\xi) \cap p^{n+1}W(R) = p^n((\xi) \cap pW(R))$. $\square$

Soit $R \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$, $\xi \in W(R)$ un élément distingué et $A = W(R)/\langle\xi\rangle$. L’anneau $A/p$ s’identifie à $R/\langle\xi\rangle(0)$, en particulier le Frobenius est surjectif sur $A/p$. Cela implique, par réduction modulo $p$ et le caractère $p$-complet des anneaux en présence, la surjectivité de l’application de Fontaine $\theta_A: W(A^\flat) \to A$. Pour étudier son noyau on commence par décrire $A^\flat$. Puisque $R$ est parfait et $A/p \simeq R/\langle\xi\rangle(0)$, les morphismes $x \mapsto x^{p^n}$ induisent un isomorphisme entre les systèmes projectifs $\{A/p\}$ et $\{R/\langle\xi\rangle(0)^{p^n}\}$, les transitions étant induites par le Frobenius pour le premier et les projections canoniques pour le second. Donc $A^\flat = \lim_{x \xrightarrow{\leftarrow} p} A/p$ est isomorphe à la $\xi(0)$-complétion $\hat{R}$ de $R$, en particulier $A^\flat$ est $\xi(0)$-complet. Pour aller plus loin nous aurons besoin du :

**LEMME 2.9.** — *Le morphisme $R \to \hat{R}$ induit un isomorphisme $A \simeq W(\hat{R})/(\xi)$.*

*Démonstration.* — Puisque $A$ et $W(\hat{R})/\langle\xi\rangle$ sont $p$-complets (prop. 2.8), il suffit de voir que le morphisme induit $A/p^n \to W(\hat{R})/\langle\xi, p^n\rangle$ est un isomorphisme pour tout $n \ge 1$. Mais $\xi - \langle\xi(0)\rangle$ engendre le même idéal que $p$, donc

$$A/p^n \simeq W(R)/(p^n, \xi) = W(R)/([\xi(0)]^n, \xi) \simeq (W(R)/[\xi(0)]^n)/(\xi) \simeq W(R/\langle\xi(0)^n\rangle)/(\xi).$$

Comme $R/\langle\xi(0)^n\rangle \simeq \hat{R}/\langle\xi(0)^n\rangle$, le même argument montre que $W(R/\langle\xi(0)^n\rangle)/(\xi) \simeq (W(\hat{R})/(\xi))/p^n$ via les flèches évidentes, ce qui finit la preuve. $\square$

L’adjonction entre basculement et vecteurs de Witt (prop. 2.3) montre que le morphisme $\theta_A: W(A^\flat) \to A$ s’identifie, via les isomorphismes $A^\flat \simeq \hat{R}$ et $A \simeq W(\hat{R})/\langle\xi\rangle$, à la projection canonique $W(\hat{R}) \to W(\hat{R})/(\xi)$, en particulier son noyau est engendré par $\xi$. On obtient ainsi l’isomorphisme

$$\theta_A: W(A^\flat)/(\xi) \simeq A \qquad (2),$$

d'où le premier résultat fondamental de la théorie :

<footnote n="26">26. Une manière savante est de remarquer que $A$ est $p$-complet au sens dérivé et sa torsion $p$-primaire étant bornée le mot « dérivé » est superflu...</footnote>
### THÉORÈME 2.10. — Si A est un anneau perfectoïde et si $\xi \in W(A^b)$ est distingué et engendre $\ker(\theta_A)$, alors la catégorie des A-algèbres perfectoïdes est équivalente, via $B \mapsto B^b$ et $R \mapsto W(R)/(\xi)$, à celle des $A^b$-algèbres parfaites $\xi(0)$-complètes.

### Démonstration.
— Il suffit de montrer que $\theta_B: W(B^b)/(\xi) \simeq B$ et que $B^b$ est $\xi(0)$-complète pour toute A-algèbre perfectoïde $B$. On vient de voir que $\theta_B$ est surjective et qu'il existe un élément distingué $\xi_1 \in W(B^b)$ tel que $\ker(\theta_B) = (\xi_1)$, $B^b$ étant $\xi_1(0)$-complet. Comme $B$ est une A-algèbre, la fonctorialité de la construction de l'application $\theta$ montre que $\xi \in \ker(\theta_B)$, donc $\xi = \xi_1 v$ pour un $v \in W(B^b)$. En « dérivant » on obtient (cf. relation (1)) $\xi'(0) = \xi'_1(0)v(0) + \xi_1(0)v'(0)$, donc $\xi'_1(0)v(0) = \xi'(0) - \xi_1(0)v'(0)$ est inversible (puisque $\xi'(0)$ l'est et que $B^b$ est $\xi_1(0)$-complet). Comme $\xi'_1(0)$ est inversible, $v(0)$ l'est tout autant et donc il en est de même de $v$, et $(\xi) = (\xi_1)$. En particulier $B^b$ est aussi $\xi(0)$-complète, ce qui finit la preuve. □

La propriété de stabilité suivante jouera un rôle crucial par la suite.

### COROLLAIRE 2.11. — Soit A un anneau perfectoïde. Si B et C sont des A-algèbres perfectoïdes, alors le complété p-adique $B \hat{\otimes}_A C$ de $B \otimes_A C$ est un anneau perfectoïde. Plus précisément, si $\xi$ engendre le noyau de $\theta_A: W(A^b) \to A$, alors

$$B \hat{\otimes}_A C \simeq W(B^b \otimes_{A^b} C^b)/\xi.$$

### Démonstration.
— La $A^b$-algèbre $R := B^b \otimes_{A^b} C^b$ est parfaite puisque $A^b, B^b, C^b$ le sont. Comme $\xi$ reste distingué dans $W(R)$, l'anneau $T = W(R)/(\xi)$ est perfectoïde, donc p-complet. Les morphismes $B^b \to R, C^b \to R$ combinés avec les isomorphismes canoniques (th. 2.10) $W(A^b)/(\xi) \simeq A, W(B^b)/(\xi) \simeq B, W(C^b)/(\xi)$ induisent un morphisme $B \otimes_A C \to T$, qui se prolonge en un morphisme $B \hat{\otimes}_A C \to T$ puisque $T$ est p-complet. Pour montrer que c'est un isomorphisme il suffit de voir qu'il induit une bijection $\operatorname{Hom}(T, S) \to \operatorname{Hom}(B \hat{\otimes}_A C, S)$ pour tout anneau p-complet $S$. Comme

$$\operatorname{Hom}(B \hat{\otimes}_A C, S) = \operatorname{Hom}(B \otimes_A C, S) = \operatorname{Hom}\left(\frac{W(B^b)}{(\xi)}, S\right) \times_{\operatorname{Hom}\left(\frac{W(A^b)}{(\xi)}, S\right)} \operatorname{Hom}\left(\frac{W(C^b)}{(\xi)}, S\right),$$
le résultat suit formellement de l'adjonction fournie par la proposition 2.3. □

## 2.5. Anneaux perfectoïdes et Frobenius

Le résultat fondamental suivant (lemmes 3.9 et 3.10 de Bhatt, Morrow et Scholze, 2018) fournit le critère le plus simple pour tester le caractère perfectoïde d'un anneau, sous des hypothèses faibles. Cela permet de fabriquer des tas d'anneaux perfectoïdes sans être obligé de fournir une présentation $W(R)/(\xi)$, et fait aussi le lien avec les définitions plus anciennes (cf. remarque 2.6).

### PROPOSITION 2.12. — Soit A un anneau contenant un non diviseur de zéro $\pi \in A$ tel que $\pi^p | p$, A est $\pi$-complet et le Frobenius induit un isomorphisme $A/\pi \simeq A/\pi^p$. Alors A est perfectoïde.
*Démonstration.* — Voir les lemmes 3.9 et 3.10 de Bhatt, Morrow et Scholze (2018) pour les détails, il s’agit d’une abstraction des arguments classiques de Fontaine. Notons que $A$ est *p*-complet car $\pi^p \mid p$ et $A$ est $\pi$-complet. Pour montrer la surjectivité de $\theta_A : W(A^b) \to A$ il suffit donc de montrer celle du Frobenius sur $A/p$. Pour tout $x \in A$ la surjectivité du Frobenius modulo $\pi^p$ et la $\pi$-complétude de $A$ permettent d’écrire
$$x = x_0^p + \pi^p x_1^p + \pi^{2p} x_2^p + \dots \text{ pour certains } x_n \in A, \text{ et alors } x \equiv (x_0 + \pi x_1 + \pi^2 x_2 + \dots)^p \pmod{p}.$$

Ensuite, on construit un élément distingué dans le noyau de $\theta := \theta_A$. La surjectivité du Frobenius $A/\pi \to A/\pi^p$ et la $\pi$-complétude de $A$ fournissent (27) un élément *p*-puissant (déf. 2.2) $u \in A$ tel que $\pi \equiv u \pmod{\pi^p}$. Comme $A$ est $\pi$-complet, $\pi$ et $u$ engendrent le même idéal de $A$, donc on peut remplacer $\pi$ par $u$ et supposer que $\pi = f^\sharp$ pour un $f \in A^b$. Comme $\theta$ est surjective et $\pi^p \mid p$, il existe $x \in A^b$ tel que $p = \pi^p \theta(-x) = \theta(-x[f]^p)$. En posant $\xi = p + x[f]^p$, on a $\xi'(0) = 1 + x'(0)f^p$. On vérifie ensuite que $A^b$ est $f$-complet, donc $\xi$ est distingué, et que $\ker(\theta) = (\xi)$. $\square$

*Remarque 2.13.* — On déduit facilement de la proposition 2.12 les résultats suivants :

1. Soit $A$ un anneau intègre, sans $p$-torsion, $p$-adiquement séparé et tel que $p \in \text{Rad}(A)$. Alors le complété $p$-adique $\widehat{A}^+$ de la clôture intégrale absolue $A^+$ de $A$ est perfectoïde. Si $A$ est aussi normal et si $(A_i)_{i \in I}$ est la famille d'extensions finies et normales de $A$ dans $A^+$ telles que $A[\frac{1}{p}] \to A_i[\frac{1}{p}]$ soit étale, alors le complété $p$-adique de $\lim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} A_i$ est perfectoïde. Voir par exemple le lemme 5.1 de Shimomoto (2018) pour le second point.

2. L'anneau $Z_p$ n'est pas perfectoïde (exemple 2.7), mais le théorème d'Ax–Sen–Tate l'exhibe comme l'anneau des invariants de $\widehat{Z}_p^+$ sous l'action du groupe de Galois absolu de $Q_p$. On voit donc qu'une limite projective d'anneaux perfectoïdes ne l'est plus forcément.

## 2.6. Anneaux perfectoïdes et $p$-clôtures intégrales

Les articles de P. Roberts (2008) et de André (2018b) mettent en avant une relation fondamentale entre la notion de $p$-clôture intégrale (ou simplement $p$-clôture, pour raccourcir) et celle d'anneau perfectoïde, et ce lien jouera un rôle important dans les chapitres futurs.

**DÉFINITION 2.14.** — Soit $A$ un sous-anneau d'un anneau $B$. On dit que $A$ est $p$- clos dans $B$ si pour tout $x \in B$ vérifiant $x^p \in A$ on a $x \in A$. Il existe un plus petit sous-anneau $p$- clos de $B$ contenant $A$, que l'on appelle la $p$-clôture de $A$ dans $B$.

Les observations suivantes sont dues à P. Roberts (2008) On fixe par la suite de ce paragraphe un anneau $A$ muni d'un non diviseur de zéro $\pi$, tel que $\pi^p \mid p$. On note $\varphi : A/\pi \to A/\pi^p$ le Frobenius.

<footnote n="27">27. Prendre une suite $(a_n)_{n \ge 0}$ dans $A$ telle que $a_0 = \pi$ et $a_{n+1}^p \equiv a_n \pmod{\pi^p}$ et poser $u = \lim_{n \to \infty} a_n^{p^n}$, la suite $(a_n^{p^n})_{n \ge 0}$ étant de Cauchy pour la topologie $\pi$-adique.</footnote>
**PROPOSITION 2.15.** — a) La *p-clôture* de *A* dans $A[\frac{1}{\pi}]$ est

$$
R = \{x \in A[\frac{1}{\pi}] | \exists n \geq 0, x^{p^n} \in A\}.
$$

b) L'anneau $A$ est $p$-clos dans $A[\frac{1}{\pi}]$ si et seulement si $\varphi: A/\pi \to A/\pi^p$ est injectif.

Démonstration. — a) La seule difficulté est de montrer que $R$ est bien un sous-anneau de $A[\frac{1}{\pi}]$, et plus précisément qu’il est stable par addition. Prenons $x, y \in R$ et $n, k \ge 1$ tels que $x^{p^n}, y^{p^n}, \pi^k x, \pi^k y$ soient tous dans $A$, et montrons qu’en posant $N = 2p^nk + n$ on a $(x+y)^{p^N} \in A$, ce qui permettra de conclure que $x+y \in R$. Il suffit de voir que $\binom{p^N}{i}x^{p^N-i}y^i \in A$ pour tout $0 \le i \le p^N$. Cela est évident si $p^n \mid i$, supposons donc que ce n’est pas le cas. Puisque $v_p(i) < n$ on a $p^{N-n} \mid \binom{p^N}{i}$, donc $\pi^{2p^nk} \mid \binom{p^N}{i}$. Comme $x^{p^n}, y^{p^n} \in A$, il suffit de voir que $\pi^{2p^nk}x^uy^v \in A$ pour $0 \le u, v < p^n$, ce qui est clair puisque $\pi^k x, \pi^k y \in A$.

b) Il est clair que $\varphi$ est injectif si $A$ est $p$-clos dans $A[\frac{1}{\pi}]$. Dans l'autre sens, soit $x \in A[\frac{1}{\pi}]$ tel que $x^p \in A$ et soit $n \ge 1$ tel que $\pi^n x \in A$. Alors $(\pi^n x)^p \in \pi^p A$, donc $\pi^n x \in \pi A$ et $\pi^{n-1} x \in A$. En itérant on obtient $x \in A$. $\square$

Nous aurons besoin du résultat suivant dans la preuve du théorème 4.3.

**PROPOSITION 2.16.** — *Supposons que le Frobenius $A/\pi \to A/\pi^p$ est un isomorphisme et que $g \in A$ est $p$-puissant (déf. 2.2) et non diviseur de zéro modulo $\pi$. Pour tout $n \ge 1$ la $p$-clôture de $A[\frac{g}{\pi^n}]$ dans $A[\frac{1}{\pi}]$ est $A[\frac{g^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}}, j \ge 0]$, et son complété $\pi$-adique est perfectoïde.*

Démonstration. — L’algèbre $C := A[\frac{g^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}}, j \ge 0]$ est la réunion croissante de ses sous-algèbres $A[\frac{g^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}}]$, et clairement contenue dans la $p$-clôture de $A[\frac{g}{\pi^n}]$ dans $A[\frac{1}{\pi}]$.

Notons $\varphi_X: X/\pi \to X/\pi^p$ le Frobenius d'une $A$-algèbre. Il suffit de montrer que $\varphi_C$
est bijectif : le complété $\pi$-adique de $C$ sera perfectoïde par la prop. 2.12, et $C$ sera
$p$-close dans $C[\frac{1}{\pi}] = A[\frac{1}{\pi}]$ (prop. 2.15), donc égale à la $p$-clôture de $A[\frac{g}{\pi^n}]$ dans $A[\frac{1}{\pi}]$.

Puisque $g$ n’est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$, la remarque 2.17 ci-dessous fournit des isomorphismes $A[\frac{g^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}}] \simeq A[X^{1/p^j}]/(u_j := \pi^{n/p^j}X^{1/p^j} - g^{1/p^j})$ compatibles avec la variation de $j$, d’où un isomorphisme $C \simeq B/I$ avec $B = A[X^{1/p^\infty}]$ et $I = (u_0, u_1, \dots)$. Puisque $\varphi_A$ est bijectif, il en est de même de $\varphi_B$. En utilisant les congruences $u_{j+1}^p \equiv u_j (\text{mod } \pi^p B)$, on en déduit facilement que $\varphi_{B/I}$ est un isomorphisme. $\square$

*Remarque 2.17.* — Soit $R$ un anneau et $r \in R$, non diviseur de zéro. Si $s \in R$ est non diviseur de zéro modulo $r$, alors le morphisme naturel $R[X]/(rX - s) \to R[\frac{s}{r}] \subset R[\frac{1}{r}]$ est un isomorphisme (exercice!).
## 2.7. Deux résultats techniques importants

Nous travaillerons souvent avec des anneaux sans $p$-torsion, et le caractère perfectoïde d'un anneau a le bon goût de se propager à son quotient maximal sans $p$-torsion :

**PROPOSITION 2.18.** — Si $A \simeq W(R)/\xi$ (avec $R \in \text{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ et $\xi$ distingué) est un anneau perfectoïde alors $A/A[p^\infty] \simeq W(R/\text{Ann}(\xi(0)))/\xi$ l'est aussi.

*Démonstration.* — Rappelons que $A[p^\infty] = A[p]$ (prop. 2.8). Écrivons $\xi = [\xi(0)] + pu$, avec $u$ inversible dans $W(R)$ et notons que $S := R/\text{Ann}(\xi(0))$ est parfait. La projection canonique $f: R \to S$ induit un morphisme $f: W(R) \to W(S)$. Si $a \in A[p]$ se relève en $x \in W(R)$, il existe $y \in W(R)$ tel que $px = \xi y$. On a $f(y) \in pW(S)$ puisque $\xi(0)y(0) = 0$ (donc $f(y(0)) = 0$). On en déduit que $f(x) \in (\xi)W(S)$ et que le morphisme $A \to W(S)/\xi$ se factorise en un morphisme $A/A[p] \to W(S)/\xi$, clairement surjectif. Il est aussi injectif : si $a \in A$ se relève en $x \in W(R)$ et a une image nulle dans $W(S)/\xi$, alors $f(x) = \xi y$ pour un $y \in W(S)$. Soit $z \in W(R)$ un relèvement de $y$, alors $[\xi(0)](x - \xi y) = 0$, puis $(\xi - pu)(x - \xi y) = 0$ et $\xi | px$, donc $a \in A[p]$. $\square$

Le résultat suivant sera systématiquement utilisé par la suite. Sa preuve est assez astucieuse.

**PROPOSITION 2.19.** — *Tout anneau perfectoïde A est réduit et, pour tout élément p-puissant (déf. 2.2) $a \in A$, la torsion a-primaire $A[a^\infty]$ de A est tuée par $(a^{p-\infty})$.*

*Démonstration.* — Le second point est une conséquence formelle du premier : si $a^n x = 0$ pour un $x \in A$, alors $(a^{n/p}x)^p = 0$, donc $a^{n/p}x = 0$ puisque $A$ est réduit. Soit $\pi \in A$ un élément *p*-puissant tel que $(\pi^p) = (p)$ (exemple 2.7). Supposons d'abord que $A$ est sans *p*-torsion. Si $a \in A$ vérifie $a^p = 0$, l'isomorphisme $A/\pi \simeq A/\pi^p$ montre que $a = \pi b$ pour un $b \in A$. Comme $(\pi^p) = (p)$ et $A$ est sans *p*-torsion, on a $b^p = 0$. Par itération cela force $a \in \cap_n \pi^n A = \cap_n p^n A = \{0\}$, ce qui permet de conclure.

Dans le cas général, par la proposition 2.18 et le caractère réduit (même parfait !) de $A/(\pi^{p-\infty})$, il suffit de prouver l'injectivité du morphisme naturel $A \to A/A[p] \times_A A/(\pi^{p-\infty})$. Soit $a \in A[p] \cap (\pi^{p-\infty})$ et soit $x \in W(R)$ un représentant de $a$. Comme $a \in (\pi^{p-\infty})$, on a $x(0) \in (\xi(0)^{p-\infty})$. Puisque $pa = 0$, il existe $y \in W(R)$ tel que $px = \xi y$. On a donc $\xi(0)y(0) = 0$ et $\xi'(0)y(0) + \xi(0)y'(0) = x(0)$, donc $y(0) \in (\xi(0)^{p-\infty})$. Mais $\xi(0) \in \text{Ann}(y(0))$ et $R$ est parfait, donc $(\xi(0)^{p-\infty}) \subset \text{Ann}(y(0))$, ce qui force $y(0)^2 = 0$, puis $y(0) = 0$. On a donc $\xi | x$ et $a = 0$. $\square$

## 3. ALGÈBRES PERFECTOÏDES : ASPECTS ANALYTIQUES

On fixe dans ce chapitre (qui emprunte les notations du précédent) un nombre premier $p$ (d'où une notion d'anneau perfectoïde), ainsi qu'un corps $K$ muni d'une valeur
absolue non archimédienne $|\cdot|: K \to \mathbf{R}_{\ge 0}$, dont la boule unité $K^0$ est un anneau perfectoïde. Comme $K^0$ est $p$-complet (prop. 2.8), on a $p \in \mathrm{Rad}(K^0)$ et donc $|p| < 1$. On fixe un élément $\pi \in K^0$ comme suit :

• si $\mathrm{car}(K) = p$ on prend n'importe quel élément non nul $\pi \in K^0$ tel que $|\pi| < 1$.

• sinon, on choisit un générateur distingué $\xi \in W((K^0)^b)$ de $\ker(\theta_{K^0})$ et on note $\pi = \theta_{K^0}([\xi(0)^{1/p}]) = (\xi(0)^{1/p})^{\sharp} \in K^0$. Ainsi $\pi^p K^0 = pK^0$, donc $|\pi| < 1$ et tout anneau perfectoïde est $\pi$-complet. L'élément $\pi$ muni du système de racines $(\pi^{1/p^n} := (\xi(0)^{1/p^{n+1}})^{\sharp})_{n \ge 0}$ est $p$-puissant (déf. 2.2).

Dans les deux cas $K^0/\pi \simeq K^0/\pi^p$ via le Frobenius, $\pi$ est $p$-puissant et $|\pi| < 1$.

Si $A$ est une $K^0$-algèbre plate (i.e. sans $\pi$-torsion) on note

$$A_* = \pi^{-1/p^\infty} A := \{ f \in A[\frac{1}{\pi}] \mid \pi^{1/p^n} f \in A \ \forall n \ge 0 \},$$

une sous $K^0$-algèbre de $A[\frac{1}{\pi}]$ contenant $A$ et contenue dans $\pi^{-1}A$.

*Remarque 3.1.* — On voit facilement que $(A_*)_* = A_*$ et que si $A$ est $\pi$-complète (respectivement $p$-close (déf. 2.14) dans $A[\frac{1}{\pi}]$), alors $A_*$ l'est aussi. Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système projectif de $K^0$-algèbres plates, alors $(\lim_{\leftarrow i \in I} A_i)_* \simeq \lim_{\leftarrow i \in I} (A_i)_*$.

## 3.1. Algèbres de Banach uniformes

On note $\mathrm{Ban}_K$ la catégorie des $K$-algèbres de Banach, i.e. celle des $K$-algèbres $A$ munies d'une norme ultramétrique $|\cdot|: A \to \mathbf{R}_{\ge 0}$ sur le $K$-espace vectoriel $A$, telle que $|ab| \le |a||b|$ pour tous $a, b \in A$ (et $|1| = 1$ si $A \ne 0$) et qui fait de $A$ un espace métrique complet pour la distance induite. Les morphismes dans $\mathrm{Ban}_K$ sont les applications lipschitziennes qui sont aussi des morphismes de $K$-algèbres.

Berkovich <sup>(28)</sup> a construit un foncteur de $\mathrm{Ban}_K$ vers les espaces topologiques compacts, en associant à $(A, |\cdot|) \in \mathrm{Ban}_K$ son spectre de Berkovich $\mathcal{M}(A)$, i.e. l'ensemble des semi-normes multiplicatives <sup>(29)</sup> $x: A \to \mathbf{R}_{\ge 0}$ telles que $x(f) \le |f|$ pour tout $f \in A$, muni de la topologie la plus faible rendant continues les évaluations $x \mapsto x(f)$ pour $f \in A$. On écrira $|f(x)|$ au lieu de $x(f)$.

Soit $(A, |\cdot|) \in \mathrm{Ban}_K$. Le sous-ensemble

$$A^0 = \{ f \in A \mid \sup_{n \ge 1} |f^n| < \infty \}$$

est une sous $K^0$-algèbre de $A$, contenant la boule unité de $A$, en particulier $A^0[\frac{1}{\pi}] = A$. On écrira $A_*^0$ au lieu de $(A^0)_*$. Si l'on note

$$|f|_{sp} = \lim_{n \to \infty} |f^n|^{1/n} = \inf_{n \ge 1} |f^n|^{1/n}$$

<footnote n="28">28. On pourrait (ou devrait...) remplacer les espaces de Berkovich par ceux de Huber dans ce qui suit. Nous avons fait ce choix pour épargner au lecteur les multiples définitions intervenant dans la théorie de Huber, qui ne joueront pas de rôle sérieux dans cet exposé.</footnote>

<footnote n="29">29. On demande donc que $x(f+g) \le \max(x(f), x(g))$, $x(fg) = x(f)x(g)$ et $x(1) = 1$ si $A \ne 0$.</footnote>
la semi-norme spectrale d'un élément $f \in A$, on dispose des formules fondamentales (30)

$$|f|_{\text{sp}} = \max_{x \in \mathcal{M}(A)} |f(x)| \text{ et } A_*^0 = \{f \in A \mid |f|_{\text{sp}} \le 1\}.$$

On dit que $(A, |\cdot|) \in \text{Ban}_K$ est uniforme si $A^0$ est une partie bornée de $A$. Cela arrive si et seulement si $|\cdot|$ est équivalente (31) à $|\cdot|_{\text{sp}}$, auquel cas (32)

$$A^0 = A_*^0 = \{f \in A \mid |f|_{\text{sp}} \le 1\} = \{f \in A \mid |f(x)| \le 1, \forall x \in \mathcal{M}(A)\} \quad (3).$$

On note $\text{Ban}_K^u$ la sous-catégorie pleine de $\text{Ban}_K$ des $K$-algèbres de Banach uniformes.

On dit que $A$ est spectrale si $|f| = |f|_{\text{sp}}$ pour tout $f \in A$, ce qui arrive si et seulement si $A^0$ est la boule unité de $A$, auquel cas $A$ est uniforme.

## 3.2. Dictionnaire analyse-algèbre, interprétation catégorique

Le lecteur trouvera un dictionnaire exhaustif analyse-algèbre dans le paragraphe 2.3 de l'opus de André (2018b).

**PROPOSITION 3.2.** — Soit $(A, |\cdot|) \in \text{Ban}_K^u$. La $K^0$-algèbre $A^0$ est plate, $\pi$-complète et $p$-close (déf. 2.14) dans $A = A^0[\frac{1}{\pi}]$. Ainsi le Frobenius $A^0/\pi \to A^0/\pi^p$ est injectif.

*Démonstration.* — Le seul point non évident est le fait que $A^0$ est $p$-close, mais il suffit de contempler la relation (3) pour s'en convaincre. $\square$

Soit $\mathcal{C}$ la catégorie des $K^0$-algèbres plates et $\pi$-completes $S$, telles que $S$ soit $p$-close dans $S[\frac{1}{\pi}]$ (déf. 2.14) et $S_* = S$. Pour $S \in \mathcal{C}$ et $f \in A := S[\frac{1}{\pi}]$ on pose

$$|f| := \inf\{|k| \mid k \in K \setminus \{0\}, \frac{f}{k} \in S\}.$$

Alors (33) $(A, |\cdot|)$ devient une $K$-algèbre de Banach spectrale (donc uniforme) telle que $A^0 = S$. On obtient ainsi :

**PROPOSITION 3.3.** — Le foncteur $(A, |\cdot|) \mapsto A^0$ induit une équivalence de catégories

$$\text{Ban}_K^u \simeq \mathcal{C}.$$

La remarque 3.1 montre que $\mathcal{C}$ possède toutes les petites limites (qui se calculent comme dans la catégorie des $K^0$-algèbres) et toutes les colimites filtrantes : si $(S_i)_{i \in I}$ est un système inductif filtrant dans $\mathcal{C}$, sa colimite dans $\mathcal{C}$ est $S_*$, où $S$ est le complété $\pi$-adique de la colimite dans la catégorie des anneaux $\lim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} S_i$.

Ainsi la catégorie $\text{Ban}_K^u$ possède toutes les petites limites, et aussi toutes les colimites filtrantes. L'inclusion de $\text{Ban}_K^u$ dans $\text{Ban}_K$ admet un adjoint à gauche $A \mapsto A^u$, $A^u$

<footnote n="30">30. La première est la formule du rayon spectral de Berkovich, la seconde découle facilement des inclusions évidentes $\{f \in A \mid |f|_{\text{sp}} < 1\} \subset A^0 \subset \{f \in A \mid |f|_{\text{sp}} \le 1\}$.</footnote>

<footnote n="31">31. Il faut et il suffit qu'il existe $n > 1$ et $c > 0$ tels que $|f^n| \ge c|f|^n$ pour tout $f \in A$.</footnote>

<footnote n="32">32. Pour la première égalité noter que si $f \in A_*^0$ alors $f^{p^n}$ reste dans le borné $p^{-1}A^0$ pour tout $n$.</footnote>

<footnote n="33">33. Le fait que $S$ est plate, $\pi$-complète et vérifie $S = S_*$ est suffisant pour montrer que $|\cdot|$ est une norme de $K$-algèbre de Banach sur $A$, de boule unité $S$. On déduit de la relation $S = \{f \in A \mid f^p \in S\}$ que $|f^p| = |f|^p$, puis que $|f| = \lim_{n \to \infty} |f^{p^n}|^{1/p^n} = |f|_{\text{sp}}$ pour tout $f \in A$, donc $A$ est bien spectrale.</footnote>
étant le séparé complété de $A$ pour la semi-norme spectrale. Comme $\mathrm{Ban}_K$ possède des pushouts (donnés par le produit tensoriel complété), il en est de même de $\mathrm{Ban}_K^u$: si $A \to B, A \to C$ sont des morphismes dans $\mathrm{Ban}_K^u$, le pushout correspondant est $B \hat{\otimes}_A^u C := (B \hat{\otimes}_A C)^u$. Le calcul de $(B \hat{\otimes}_A C)^0$ n'est pas aisé, mais on verra qu'il est (presque) faisable dans le monde parfait des algèbres de Banach perfectoïdes.

### 3.3. Algèbres de Banach perfectoïdes

Il convient de garder en tête qu'une *K*-algèbre de Banach perfectoïde n'est pas la même chose qu'une *K*-algèbre qui est un anneau perfectoïde :

**DÉFinition 3.4.** — Une *K*-algèbre de Banach perfectoïde est un objet $(A, |\cdot|)$ de $\mathrm{Ban}_K^u$ tel que $A^0$ soit un anneau perfectoïde. On note $\mathrm{Perf}_K$ la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Ban}_K^u$ dont les objets sont les *K*-algèbres de Banach perfectoïdes.

Vérifions la compatibilité avec la définition originelle dans Scholze (2012) :

**Proposition 3.5.** — Une $K^0$-algèbre plate et $\pi$-complète $B$ est un anneau perfectoïde si et seulement si le Frobenius $B/\pi \to B/\pi^p$ est un isomorphisme, auquel cas $B_*$ est un anneau perfectoïde et $B$ est $p$-close dans $B[\frac{1}{\pi}]$ (déf. 2.14). En particulier un objet $A \in \mathrm{Ban}_K^u$ est dans $\mathrm{Perf}_K$ si et seulement si le Frobenius $A^0/\pi \to A^0/\pi^p$ est un isomorphisme ou, de manière équivalente (34), surjectif.

*Démonstration.* — On peut supposer que $\mathrm{car}(K) = 0$. Si $B$ est un anneau perfectoïde, le théorème 2.10 montre que $B \simeq W(B^\flat)/(\xi)$. Puisque $\pi = \theta_{K^0}([\xi(0)^{1/p}])$, le Frobenius $B/\pi \to B/\pi^p$ est un isomorphisme et donc (prop. 2.15) $B$ est $p$-close dans $B[\frac{1}{\pi}]$. La réciproque découle de la proposition 2.12. Supposons que $B$ est un anneau perfectoïde. Comme $B_*$ est plate et $\pi$-complète, il suffit de voir (d'après ce que l'on vient de faire) que le Frobenius $B_*/\pi \to B_*/\pi^p$ est un isomorphisme. Mais $B$ étant $p$-close dans $B[\frac{1}{\pi}]$, $B_*$ l'est dans $B_*[\frac{1}{\pi}]$, donc $B_*/\pi \to B_*/\pi^p$ est injectif. Soit $x \in B_*$, alors $\pi x \in B$ donc $\pi x = a^p + \pi^p b$ avec $a, b \in A$. Puisque $x = (\pi^{-1/p}a)^p + \pi^{p-1}b$ et $B_*$ est $p$-close dans $B[\frac{1}{\pi}]$, on a $\pi^{-1/p}a \in B_*$, donc $B_* = B_*^p + \pi B_*$. Par itération et en utilisant le fait que $\pi^p | p$, on obtient $B_* = B_*^p + \pi^p B_*$, ce qui permet de conclure. $\square$

**Remarque 3.6.** — 1. Le caractère perfectoïde de $B_*$ n'est pas totalement gratuit : si $A \in \mathrm{Perf}_K$ et si $g \in A^0$ n'est pas un diviseur de zéro, il n'est pas connu (cf. la question 3.5.1 de André, 2018b) si l'algèbre $g^{-1/p^\infty}A = \bigcap_{n \ge 1} g^{-1/p^n}A \subset A[\frac{1}{g}]$ est encore dans $\mathrm{Perf}_K$. Cette algèbre interviendra naturellement par la suite (cf. théorème 5.1 par exemple), et le fait que son caractère perfectoïde ne soit pas connu compliquera sérieusement les preuves dans le dernier chapitre.

<footnote n="34">34. Par uniformité de $A$, $A^0$ est $p$-close dans $A$, donc le Frobenius $A^0/\pi \to A^0/\pi^p$ est injectif.</footnote>
2. Supposons que car($K$) = 0 et posons $K^{\flat} := (K^0)^{\flat}[\frac{1}{\xi(0)}]$, un corps perfectoïde de caractéristique $p$. En combinant la proposition ci-dessus et le théorème 2.10 on obtient facilement l'équivalence de catégories $\text{Perf}_K \simeq \text{Perf}_{K^{\flat}}$ de Scholze (2012), induite par les foncteurs $A \mapsto A^{\flat} := (A^0)^{\flat}[\frac{1}{\xi(0)}]$ et $R \mapsto W(R)[\frac{1}{\pi}]/(\xi)$ (cette approche est celle de Fontaine (2013) et du livre de Kedlaya et Liu (2015)).

3. La catégorie $\text{Perf}_K$ possède toutes les colimites filtrantes, qui sont les mêmes que celles dans $\text{Ban}_K^u$: si $(B_i)_{i \in I}$ est un système inductif filtrant dans $\text{Perf}_K$ alors $A := (\widehat{\lim}_{i \in I} B_i^0)_*$ est perfectoïde (prop. 3.5). L'équivalence $\text{Perf}_K \simeq \text{Perf}_{K^{\flat}}$ et la description explicite (35) de $\text{Perf}_{K^{\flat}}$ montrent que $\text{Perf}_K$ possède aussi toutes les petites limites, mais si car($K$) = 0 elles ne sont pas les mêmes que celles dans $\text{Ban}_K^u$, et cela même pour les limites finies. Voir les exemples prophylactiques 3.8.2 et 3.8.5 de André (2018b). Le point 1) est un autre exemple de difficulté posée par la différence entre les limites dans $\text{Ban}_K^u$ et celles dans $\text{Perf}_K$ quand car($K$) = 0.

## 3.4. Le lemme d'approximation de Scholze

Nous aurons besoin du résultat technique mais fondamental ci-dessous. La preuve originelle (Scholze, 2012 dans un contexte un peu différent) est assez technique, voir aussi la preuve du lemme 2.3.1 dans Česnavičius et Scholze (2019), qui reprend un argument de Kedlaya.

Si $A$ est un anneau et $\pi \in A$ on note $\text{Spa}_\pi(A)$ l'ensemble des valeurs absolues (36) $|\cdot|: A \to \Gamma \cup \{0\}$, où $\Gamma$ est un groupe abélien totalement ordonné (noté multiplicative-ment), telles que $|f| \le 1$ pour tout $f \in A$ et $\lim_{n \to \infty} |\pi^n| = 0$. Si $\pi$ est non diviseur de zéro on note $\text{Spa}(A[\frac{1}{\pi}], A)$ le sous-ensemble des $|\cdot| \in \text{Spa}_\pi(A)$ qui se prolongent en une valeur absolue sur $A[\frac{1}{\pi}]$.

**THÉORÈME 3.7.** — (lemme d'approximation)

Soit $A$ un anneau perfectoïde et soit $\pi \in A$ tel que $A$ soit $\pi$-complet et $\pi^p | p$. Pour tous $f \in A$ et $n \in \mathbb{N}$ il existe $g \in A$ p-puissant (déf. 2.2) tel que

$$|f - g| \le |p| \cdot \max(|g|, |\pi|^{n}), \quad \forall |\cdot| \in \text{Spa}_{\pi}(A),$$
en particulier $|f| \le |\pi|^{n}$ si et seulement si $|g| \le |\pi|^{n}$.

**PROPOSITION 3.8.** — Soient $A$ un anneau, $\pi \in A$, non diviseur de zéro et $x \in A[\frac{1}{\pi}]$.

a) Si $|x| < 1$ pour tout $|\cdot| \in \text{Spa}(A[\frac{1}{\pi}], A)$, alors il existe $n \ge 1$ tel que $x^n \in \pi A$.

b) Si $y \in A[\frac{1}{\pi}]$ vérifie $|x - y| < 1$ pour tout $|\cdot| \in \text{Spa}(A[\frac{1}{\pi}] = A[x][\frac{1}{\pi}], A[x])$, alors $y$ est dans la p-clôture (déf. 2.14) de $A[x]$ dans $A[\frac{1}{\pi}]$.

*Démonstration.* — Le point a) est standard, voir le lemme 2.3.2 de Česnavičius et Scholze (2019) pour la preuve. Le b) s'en déduit (37). $\square$

<footnote n="35">35. Il s'agit de la sous-catégorie pleine de $\text{Ban}_{K^{\flat}}^u$ des $K^{\flat}$-algèbres de Banach parfaites.</footnote>

<footnote n="36">36. On demande que $|ab| = |a||b|$, $|a + b| \le \max(|a|, |b|)$, pour $a, b \in A$, $|0| = 0$ et $|1| = 1$ si $A \ne \{0\}$.</footnote>

<footnote n="37">37. Par a) il existe $d \ge 0$ tel que $(x - y)^d \in \pi A[x]$.</footnote>
### 3.5. Presque rappels de presque algèbre

On trouve dans le livre de Gabber et Ramero (2003) un exposé exhaustif de la théorie des presque mathématiques (38) de Faltings, et un excellent résumé des points essentiels dans le chapitre 1 de André (2018b).

On fixe un anneau $V$ muni d'un élément $p$-puissant (déf. 2.2) $g$, d'où un idéal idempotent $\mathfrak{m} = (g^{p-\infty})$ (on dira aussi, simplement et abusivement, que l'on se place dans le cadre $g^{1/p^{\infty}}$). La prop. 2.1.7 de Gabber et Ramero (2003) montre que $\mathfrak{m} \otimes_V \mathfrak{m}$ est un $V$-module plat (cela est évident si $V$ est sans $g$-torsion), donc les résultats de Gabber et Ramero (2003) s'appliquent.

**DÉFINITION 3.9.** — *Soit $f: M \to N$ un morphisme de $V$-modules. On dit que*

* $M$ est presque nul si $IM = 0$.

* $f$ est presque injectif (resp. presque surjectif, resp. un presque isomorphisme) si $ker f$ (resp. $coker f$, resp. les deux) est presque nul.

* $M$ est presque plat si $M \otimes_V N \to M \otimes_V P$ est presque injectif pour tout morphisme injectif $N \to P$ de $V$-modules, ce qui équivaut à la presque nullité de $\text{Tor}_i^A(M, N)$ pour tous $i > 0$ et $N \in \text{Mod}_V$. On définit de manière analogue la notion de module presque projectif.

* $M$ est presque fidèlement plat si $M$ est presque plat et si la presque nullité de $M \otimes_V N$ entraîne celle de $N$ pour tout $N \in \text{Mod}_V$.

* $M$ est presque de type fini si pour tout $n$ il existe un sous $V$-module de type fini $N \subset M$ tel que $g^{1/p^n}M \subset N$.

Si $W$ est une $V$-algèbre, $g$ reste $p$-puissant dans $W$, donc on peut appliquer les définitions ci-dessus aux $W$-modules, d'où une notion de $W$-module presque plat, etc. Cette remarque est utilisée dans la définition suivante :

**DÉFINITION 3.10.** — *Soit $g: A \to B$ un morphisme de $V$-algèbres. On dit que*

* $g$ est presque étale si $B$ est un $A$-module presque plat et un $B \otimes_A B$-module (via la multiplication $B \otimes_A B \to B$) presque projectif.

* $g$ est presque fini étale si $g$ est presque étale et si $B$ est un $A$-module presque de type fini et presque projectif.

### 3.6. Miracles perfectoïdes

Les résultats suivants de Scholze (2012) sont pour le moins surprenants : leurs analogues dans le monde des algèbres affinoïdes usuelles sont totalement faux...

**THÉORÈME 3.11.** — *Soit $A \in \text{Perf}_K$ et soient $A \to B$ et $A \to C$ deux morphismes dans $\text{Perf}_K$. Alors $B \hat{\otimes}_A C \in \text{Perf}_K$ et le morphisme naturel (39)*

$$B^0 \hat{\otimes}_{A^0} C^0 \to (B \hat{\otimes}_A C)^0$$

<footnote n="38">38. Qui semble être une manière d'écrire des $o(1)$ en algèbre sans l'avouer...</footnote>

<footnote n="39">39. La complétion à gauche est $\pi$-adique.</footnote>
est un presque isomorphisme (dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$).

**Démonstration.** — On peut supposer que $\mathrm{car}(K) = 0$. Les anneaux $R = B^0 \hat{\otimes}_{A^0} C^0$ et $S := R/R[p^\infty]$ sont perfectoïdes (cor. 2.11 et prop. 2.18). La proposition 3.5 montre que $S_* \in \mathcal{C}$ (cf. paragraphe 3.2), donc $T := S[1/\pi] = S_*[1/\pi]$ a une structure canonique de $K$-algèbre de Banach spectrale telle que $T^0 = S_*$, et on a $T \in \mathrm{Perf}_K$. Comme $B$ et $C$ sont uniformes, les morphismes évidents $B^0 \to R \to S$ et $C^0 \to R \to S$ s'étendent en des morphismes (dans $\mathrm{Ban}_K$) $B \to T$ et $C \to T$, d'où un morphisme $B \hat{\otimes}_A C \to T$. On construit un inverse comme suit. Soit $X$ la boule unité de $B \hat{\otimes}_A C$. Comme $B$ et $C$ sont uniformes, il existe $c \ge 1$ tel que les images de $B^0$ et $C^0$ dans $B \hat{\otimes}_A C$ soient contenues dans $p^{-c}X$. Le morphisme induit $S \to B \hat{\otimes}_A C$ a une image contenue dans $p^{-2c}X$ et s'étend ainsi en un morphisme $T \to B \hat{\otimes}_A C$, inverse du morphisme $B \hat{\otimes}_A C \to T$.

On en déduit que $B \hat{\otimes}_A C \in \mathrm{Perf}_K$ et que $(B \hat{\otimes}_A C)^0$ est isomorphe à $T^0 = S_*$. Le morphisme $R \to S \to S_*$ est un presque isomorphisme, puisque l'idéal $(\pi^{p^{-\infty}})$ tue le noyau et le conoyau de $R \to S$ (prop. 2.19) et aussi de $S \to S_*$. $\square$

Si $B \in \mathrm{Ban}_K$ et si $f_1, \dots, f_n, g \in B$ engendrent l'idéal unité on dispose d'une $B$-algèbre de Banach universelle $B \langle \frac{f_1 \cdots f_n}{g} \rangle$ dans laquelle $g$ est inversible et les $\frac{f_i}{g}$ sont à puissances bornées. Explicitement, $B \langle \frac{f_1 \cdots f_n}{g} \rangle$ est le quotient de l'algèbre de Banach $B \langle T_1, \dots, T_n \rangle = B \hat{\otimes}_K K \langle T_1, \dots, T_n \rangle$ par l'adhérence de l'idéal engendré par les $gT_i - f_i$.

**THÉORÈME 3.12.** — Soit $A \in \mathrm{Perf}_K$ et soient $f_1, \dots, f_n, g \in A$ qui engendrent l'idéal unité de $A$.

a) On a $A \langle \frac{f_1 \cdots f_n}{g} \rangle \in \mathrm{Perf}_K$.

b) Si $f_1, \dots, f_n, g$ sont $p$-puissants (déf. 2.2) dans $A^0$ et si $A^0 \langle (\frac{f_1}{g})^{1/p^\infty}, \dots, (\frac{f_n}{g})^{1/p^\infty} \rangle$ est le complété $\pi$-adique de $A^0[\frac{f_1^{1/p^n}}{g^{1/p^n}}, n \ge 0]$, alors le morphisme naturel

$$A^0\left(\left(\frac{f_1}{g}\right)^{1/p^\infty}, \dots, \left(\frac{f_n}{g}\right)^{1/p^\infty}\right) \to A\left(\frac{f_1, \dots, f_n}{g}\right)^0$$

est un presque isomorphisme (dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$).

**Démonstration.** — Voir le chapitre 6 de Scholze (2012) pour les détails. Le très joli argument de « réduction au cas universel » ci-dessous est dû à André (2018b). Le point a) se déduit du point b) et du théorème 3.7. Puisque $f_i, g \in A^0$ sont $p$-puissants, on dispose d'un morphisme $S := K^0 \langle T_1^{1/p^\infty}, \dots, T_n^{1/p^\infty}, U^{1/p^\infty} \rangle [\frac{1}{\pi}] \to A$ dans $\mathrm{Ban}_K$, envoyant $T^{1/p^j}$ sur $f_i^{1/p^j}$ et $U^{1/p^j}$ sur $g^{1/p^j}$. Soit $N \ge 1$ tel que $\pi^N \in (f_1, \dots, f_n, g) \subset A^0$. Alors $A \hat{\otimes}_S S \langle \frac{\pi^N, T_1, \dots, T_n}{U} \rangle$ et $A \langle \frac{f_1, \dots, f_n}{g} \rangle$ partagent la même propriété universelle, donc ces algèbres de Banach sont isomorphes. Le théorème 3.11 ramène donc la preuve au « cas universel », i.e. à vérifier que $S, S \langle \frac{\pi^N, T_1, \dots, T_n}{U} \rangle \in \mathrm{Perf}_K$ et que les morphismes $K^0 \langle T_1^{1/p^\infty}, \dots, T_n^{1/p^\infty}, U^{1/p^\infty} \rangle \to S^0$ et $S^0 \langle (\frac{T_1}{U})^{1/p^\infty}, \dots, (\frac{T_n}{U})^{1/p^\infty}, (\frac{\pi^N}{U})^{1/p^\infty} \rangle \to S \langle \frac{\pi^N, T_1, \dots, T_n}{U} \rangle^0$ sont des presque isomorphismes, ce qui se fait par un calcul direct (assez pénible...). $\square$
Le résultat fondamental suivant, sur lequel tout repose dans le chapitre 5 est le théorème de presque pureté de Faltings, étendu par Scholze (2012) et Kedlaya et Liu (2015). Voir le chapitre 7 de Scholze (2012) pour la preuve (fort délicate) et le paragraphe 3.4 de André (2018b) ainsi que l'exposé de Fontaine (2013) pour des compléments.

THÉORÈME 3.13. — Soit $(A, |\cdot|) \in \text{Perf}_K$. Pour toute $A$-algèbre finie étale $B$ il existe une norme de $K$-algèbre de Banach $||\cdot||$ sur $B$ telle que le morphisme $(A, |\cdot|) \to (B, ||\cdot||)$ soit continu, $B \in \text{Perf}_K$ et $B^0$ soit presque fini étale de $A^0$ (dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$). Si $A \to B$ est injectif, $B^0$ est presque fidèlement plate sur $A^0$.

# 4. LE LEMME DE PLATITUDE D'ANDRÉ

Ce chapitre est consacré au premier pilier des travaux d'André, son lemme de platitude, un énoncé fondamental qui, loin d'être une platitude, sera systématiquement utilisé dans la preuve des résultats principaux de cet exposé. On trouvera des raffinements et des généralisations, ainsi que des applications spectaculaires dans les travaux de Bhatt et Scholze (2022), Česnavičius et Scholze (2019), et dans le livre de Gabber et Ramero (2018).

On garde les notations et les conventions introduites au début du chapitre 3.

## 4.1. Le lemme de presque platitude

Le problème qui nous occupera dans ce paragraphe est le suivant : on se donne $A \in \text{Perf}_K$ et $g \in A^0$, et on cherche à construire une $A$-algèbre $B \in \text{Perf}_K$ dans laquelle $g$ est $p$-puissant (déf. 2.2) et telle que $B^0/\pi$ soit presque fidèlement plate sur $A^0/\pi$ (dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$ (§ 3.5)).

L'idée naïve est de regarder la $A$-algèbre de Banach universelle munie d'un système compatible de $p^\infty$-racines de $g$, i.e. $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle / \overline{(T-g)}$. L'algèbre $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ est perfectoïde (noter que $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle^0 = A^0\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ et utiliser la remarque 2.7), donc uniforme, mais en général l'uniformité ne se propage pas aux quotients. On insiste et on la remplace par son uniformisé (§ 3.2)

$$A\langle g^{1/p^\infty} \rangle := \left( A\langle T^{1/p^\infty} \rangle / \overline{(T-g)} \right)^u.$$

Le résultat un peu miraculeux de André (2018a) (40) est que cela résout notre problème :

THÉORÈME 4.1. — On a $A\langle g^{1/p^\infty} \rangle \in \text{Perf}_K$ et $A\langle g^{1/p^\infty} \rangle^0/\pi$ est presque fidèlement plate sur $A^0/\pi$ (dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$).

On a un énoncé analogue modulo $\pi^d$ pour tout $d \ge 1$, se déduisant formellement du théorème. La preuve se fait en deux étapes, détaillées ci-dessous : on relie $A\langle g^{1/p^\infty} \rangle$ à des localisés de l'algèbre perfectoïde $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle$, puis on analyse ces localisés en utilisant de manière intensive les résultats des paragraphes 3.4 et 3.6.

<footnote n="40">40. L'énoncé suivant est tiré de l'article de Bhatt (2018)...</footnote>
4.1.1. Une autre description de $A\langle g^{1/p^\infty} \rangle$. — Soit $B \in \text{Ban}_K^u$, $f \in B$ et $I = \overline{fB} \subset B$. Il convient de voir l'algèbre $(B/I)^u \in \text{Ban}_K^u$ comme celle des fonctions analytiques sur le fermé Zariski $V(I)$ de $\mathcal{M}(B)$. Comme $x \in \mathcal{M}(B)$ est annulé par $f$ si et seulement si $|f(x)| \le |\pi^n(x)|$ pour tout $n \ge 1$, $(B/I)^u$ n'est rien d'autre que la limite inductive $\lim_{\underset{n}{\rightarrow}} B_n$ (dans la catégorie $\text{Ban}_K^u$, cf. paragraphe 3.2) des algèbres

$$B_n := (B\langle f/\pi^n \rangle)^u.$$

En effet, pour $S \in \text{Ban}_K^u$ la donnée d'un morphisme (dans $\text{Ban}_K$) de $\lim_{\underset{n}{\rightarrow}} B_n$ dans $S$ équivaut à celle d'un morphisme $\varphi: B \rightarrow S$ tel que $\varphi(f/\pi^n) \in S^0$ pour tout $n \ge 1$, or cela signifie précisément que $\varphi$ se factorise par $(B/I)^u$ (puisque $S$ est uniforme).

Prenons maintenant $B = A\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ et $f = T - g$ dans la discussion ci-dessus. Puisque $B$ est perfectoïde, chacune des algèbres $B\langle f/\pi^n \rangle$ l'est (th. 3.12), donc $B_n = B\langle f/\pi^n \rangle$ et $C := A\langle g^{1/p^\infty} \rangle \in \text{Perf}_K$, en tant que colimite filtrante (dans $\text{Ban}_K^u$) d'algèbres perfectoïdes (remarque 3.6). Comme $C^0 = (\lim_{\underset{n}{\rightarrow}} \widehat{B_n^0})_*$ est presque isomorphe à $\lim_{\underset{n}{\rightarrow}} \widehat{B_n^0}$, l'algèbre $C^0/\pi$ est presque isomorphe à $\lim_{\underset{n}{\rightarrow}} \widehat{B_n^0}/\pi$. Il suffit donc de voir que chaque $B_n^0/\pi$ est presque fidèlement plate sur $A^0/\pi$. On fixe par la suite $n \ge 1$.

4.1.2. Analyse des localisés de $A\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ et fin de la preuve. — Par le lemme d'approximation (th. 3.7) il existe un élément $p$-puissant $h \in B^0$ tel que $|h-f| \le |p| \cdot \max(|h|, |\pi^n|)$ pour tout $|\cdot| \in \text{Spa}_\pi(B^0)$. Comme $|\frac{h-f}{\pi}| < 1$ pour tout $|\cdot| \in \text{Spa}(B^0[\frac{1}{\pi}], B^0)$ et $B^0$ est $p$-close (déf. 2.14) dans $B^0[\frac{1}{\pi}]$ (prop. 3.2), la proposition 3.8 montre que

$$h \equiv f \pmod{\pi B^0}.$$

L'inégalité $|h - f| \le |p| \cdot \max(|h|, |\pi^n|)$ montre aussi que $B_n \simeq B\langle \frac{h}{\pi^n} \rangle$, et on déduit du théorème 3.12 que $B_n^0/\pi$ est presque isomorphe à $\lim_{\underset{j}{\rightarrow}} C_j/\pi$, avec $C_j = B^0[\frac{h^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}}] \subset B$. Nous allons montrer que chaque $C_j/\pi$ est fidèlement plate sur $A^0/\pi$, ce qui permettra de conclure. Par dévissage il suffit de montrer que $C_j/\pi^{1/p^j}$ l'est sur $A^0/\pi^{1/p^j}$.

On a $B^0 = A^0\langle T^{1/p^\infty} \rangle$, donc $B^0/\pi \simeq (A^0/\pi)[T^{1/p^\infty}]$, en particulier $B^0/\pi^{1/p^j} \simeq B^0/\pi$ via $x \mapsto x^{p^j}$ (puisqu'il en est de même du morphisme $A^0/\pi^{1/p^j} \rightarrow A^0/\pi$, cf. prop. 3.5) et $f = T - g$ n'est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$. Puisque $h \equiv f \pmod{\pi B^0}$, il en est de même de $h$ et la remarque 2.17 fournit un isomorphisme $C_j \simeq B^0[X^{1/p^j}]/(u_j)$, avec $u_j = \pi^{n/p^j}X^{1/p^j} - h^{1/p^j}$. Ainsi le morphisme $x \mapsto x^{p^j}$ et la congruence $h \equiv f \pmod{\pi B^0}$ induisent des isomorphismes

$$C_j/\pi^{1/p^j} \simeq B^0[X^{1/p^j}]/(\pi^{1/p^j}, h^{1/p^j}) \simeq$$

$$B^0[X]/(\pi, h) \simeq B^0[X]/(\pi, f) \simeq ((A^0/\pi)[T^{1/p^\infty}]/(T-g))[X],$$

exhibant $C_j/\pi^{1/p^j}$ comme une colimite filtrante de $A^0/\pi^{1/p^j} \simeq A^0/\pi$-modules libres de type fini, ce qui permet de conclure.
## 4.2. Le lemme de platitude

Le résultat suivant de Gabber et Ramero (2018) et Bhatt et Scholze (2022) est une vaste généralisation et un raffinement du théorème 4.1. Il a des nombreuses applications, par exemple à l'étude des sous-espaces Zariski fermés d'un espace perfectoïde, à la cohomologie prismatique (Bhatt et Scholze, 2022), etc.

**THÉORÈME 4.2.** — (lemme de platitude d'André)

Soit A un anneau perfectoïde. Il existe une A-algèbre perfectoïde B telle que $B/p$ soit fidèlement plate sur $A/p$ et telle que tout $x \in B$ soit $p$-puissant (déf. 2.2). On peut même choisir B telle que tout polynôme unitaire $P \in B[X]$ possède une racine dans B.

Nous ferons usage seulement (41) du théorème 4.3 ci-dessous, qui entraîne celui ci-dessus par une itération un peu pénible (cf. la preuve du th. 2.3.4 de Česnavičius et Scholze, 2019, pour les détails). Pour la preuve, on suit la présentation par Česnavičius et Scholze (2019) des arguments de Gabber et Ramero. Essentiellement, le rôle des localisés dans la preuve du théorème 4.1 est pris par les $p$-clôtures intégrales (déf. 2.14).

**THÉORÈME 4.3.** — Soit $R$ un anneau muni d'un élément $p$-puissant (déf. 2.2) $\pi$, non diviseur de zéro, tel que $\pi^p \mid p$ et $R/\pi \simeq R/\pi^p$ via le Frobenius. Soit $P \in R[X] \setminus R$ unitaire et soit $B$ la $p$-clôture (déf. 2.14) de $R[X^{1/p^\infty}]/P$ dans $(R[X^{1/p^\infty}]/P)[1/\pi]$. La $\pi$-complétion de $B$ est perfectoïde, sans $\pi$-torsion, et $B/\pi$ est fidèlement plate sur $R/\pi$.

Notons que, par construction, $P$ possède une racine $p$-puissante dans $B$, et que $R[X^{1/p^\infty}]/P$ est sans $\pi$-torsion car $P$ est unitaire, donc non diviseur de zéro modulo $\pi$.

*Démonstration.* — Soit $A = R[X^{1/p^\infty}]$. Comme le Frobenius $A/\pi \to A/\pi^p$ est un isomorphisme, $A$ est $p$-close dans $A[\frac{1}{\pi}]$ et le complété $\pi$-adique $\hat{A}$ est perfectoïde (prop. 2.12). Soit $I = PA[\frac{1}{\pi}]$ et soit $u: A[\frac{1}{\pi}] \to (A/P)[\frac{1}{\pi}] \simeq A[\frac{1}{\pi}]/I$ la projection canonique.

Pour $f \in A$ et $n \ge 1$ notons $C_{n,f}$ la $p$-clôture de $A[\frac{f}{\pi}]$ dans $A[\frac{1}{\pi}]$, et $C_{\infty,f} = \cup_{n \ge 1} C_{n,f}$. Alors $I = \cup_{n \ge 1} \frac{P}{\pi^n} A = \cup_{n \ge 1} \frac{P}{\pi^n} C_{\infty,P}$ est un idéal $\pi$-divisible de $C_{\infty,P}$, et la projection $u$ induit un isomorphisme

$$C_{\infty,P}/I \simeq B,$$

et donc des isomorphismes $B/\pi^n \simeq C_{\infty,P}/\pi^n$ pour tout $n \ge 1$. En effet, un élément $x \in A[\frac{1}{\pi}]$ vérifie $u(x) \in B$ si et seulement s'il existe $d \ge 0$ tel que $x^{pd} \in A+I$ (prop. 2.15), ce qui revient à dire que $x \in C_{\infty,P}$. Il suffit donc de montrer que le complété $\pi$-adique de $C_{n,P}$ est perfectoïde et que $C_{n,P}/\pi$ est fidèlement plat sur $R/\pi$ pour tout $n \ge 1$.

Puisque $\hat{A}$ est perfectoïde (prop. 2.12), le théorème 3.7 fournit un élément $p$-puissant $g \in \hat{A}$ tel que $|P - g| \le |p| \max(|g|, |\pi^n|)$ pour tout $|\cdot| \in \text{Spa}_\pi(\hat{A}) \simeq \text{Spa}_\pi(A)$. Soit $(q_j)_{j \ge 0}$ une suite dans $A$ telle que $q_j \equiv g^{1/p^j} \pmod{\pi^{n+p}\hat{A}}$ pour tout $j \ge 0$. On a alors

$$|P - q_0| \le |\pi^p| \max(|q_0|, |\pi^n|), \quad \forall |\cdot| \in \text{Spa}_\pi(A). \quad (4).$$

<footnote n="41">41. On pourrait même se dispenser de ce paragraphe, et utiliser seulement le théorème 4.1.</footnote>
LEMME 4.4. — Il existe $d \ge 1$ tel que $q_j^{p^j} \equiv P \pmod{\pi^{1/p^d} A}$ pour tout $j$, et $q_j$ n'est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$.

Démonstration. — La relation (4) et la proposition 3.8 montrent qu’il existe $d \ge 1$ tel que $(P - q_0)^{p^d} \in \pi A$, donc $P - q_0 \in \pi^{1/p^d} A$ (car $A$ est $p$-clos dans $A[\frac{1}{\pi}]$). On conclut en remarquant que $q_j^{p^j} \equiv g \equiv q_0 \pmod{\pi \hat{A}}$ et que $P$ n’est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$. $\square$

LEMME 4.5. — On a $C_{n,P} = \cup_{j \ge 0} A[\frac{q_j}{\pi^{n/p^j}}]$ et sa $\pi$-complétion est perfectoïde.

Démonstration. — Notons $x_j = \frac{q_j}{\pi^{n/p^j}} \in A[\frac{1}{\pi}]$ et $y_j = \frac{g^{1/p^j}}{\pi^{n/p^j}} \in \hat{A}[\frac{1}{\pi}]$. Alors $x_{j+1}^p - x_j \in \pi A$ (puisque $q_{j+1}^p - q_j \in \pi^{n+p} A$) et $y_{j+1}^p = y_j$, donc $T := A[x_0, x_1, \dots] \subset A[\frac{1}{\pi}]$ (resp. $S := \hat{A}[y_0, y_1, \dots] \subset \hat{A}[\frac{1}{\pi}]$) est la réunion croissante des sous-algèbres $A[x_j]$ (resp. $\hat{A}[y_j]$), et $T \subset C_{n,q_0}$. Comme $x_j - y_j \in \pi \hat{A}$ et $q_j$ n’est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$ (lemme ci-dessus), on a des isomorphismes naturels

$$A[x_j]/\pi \simeq A[X]/(\pi, \pi^{n/p^j}X - q_j) \simeq \hat{A}[X]/(\pi, \pi^{n/p^j}X - g^{1/p^j}) \simeq \hat{A}[y_j]/\pi,$$

qui se propagent en un isomorphisme $T/\pi \simeq S/\pi$. Mais $S$ est perfectoïde (prop. 2.16), donc le Frobenius $T/\pi^{1/p} \to T/\pi$ est un isomorphisme. Il s'ensuit que $T$ est $p$-close dans $T[\frac{1}{\pi}] = A[\frac{1}{\pi}]$, donc $T = C_{n,q_0}$, et que le complété $\pi$-adique de $T$ est perfectoïde. On conclut en remarquant que $C_{n,P} = C_{n,q_0}$, grâce à la relation (4) et au point b) de la prop. 3.8. $\square$

Pour finir la preuve du théorème 4.3 il suffit de voir que chaque $A[q_j/\pi^{n/p^j}] \simeq R[T, X^{1/p^\infty}]/(\pi^{n/p^j}T - q_j)$ est fidèlement plate sur $R$ modulo $\pi$. Compte tenu du lemme 4.4, il suffit de recopier la fin de la preuve du théorème 4.1. $\square$

## 5. LE LEMME D'ABHYANKAR PERFECTOÏDE D'ANDRÉ

Ce chapitre est consacré à la preuve de l'autre pilier de la stratégie d'André : son difficile lemme d'Abhyankar perfectoïde (André, 2018b). Rappelons le contexte classique : on se donne une extension finie et plate $B$ d'un anneau local régulier $A$ d'inégale caractéristique $(0, p)$. On suppose que l'extension est ramifiée le long d'un diviseur à croisements normaux défini par une équation $f = 0$, avec $f$ multiple de $p$, et que les indices de ramification sont premiers à $p$. On peut alors rendre l'extension étale en adjoignant des racines de $f$ d'ordre divisible par tous les indices de ramification, puis en passant à la clôture intégrale (mais sans inverser $f$). Dans le cadre perfectoïde les hypothèses concernant la ramification sont superflues, mais la conclusion reste valable seulement dans le cadre $f^{1/p^\infty}$ des presque mathématiques (§ 3.5).

On peut voir le lemme d'Abhyankar perfectoïde comme une généralisation au cas ramifié du théorème de presque pureté de Faltings, Scholze et Kedlaya-Liu (th. 3.13). Ce théorème jouera d'ailleurs un rôle capital dans la preuve.
On garde les notations du début du chapitre 3.

5.1. Le théorème d’extension de Riemann

Le résultat suivant d’André (42) (inspiré par ceux du chapitre II de Scholze (2015)) est une version perfectoïde d’un théorème de Bartenwerfer (1976) (lui-même une version rigide analytique du théorème classique d’extension de Riemann pour les variétés complexes) : si $X$ est un affinoïde rigide analytique normal, toute fonction analytique bornée sur le complémentaire d’un fermé analytique nulle part dense de $X$ s’étend de manière unique en une fonction analytique bornée sur $X$. On verra que dans le monde perfectoïde l’hypothèse de normalité est superflue.

Soit $B \in \mathrm{Perf}_K$ et soit $g \in B^0$ un élément $p$-puissant (déf. 2.2), non diviseur de 0. Soit $B_n = B(\frac{\pi^n}{g}) \in \mathrm{Perf}_K$ l’algèbre perfectoïde (th. 3.12) des fonctions analytiques sur le lieu $|\pi^n| \le |g|$ de $M(B)$, et soit $B_\infty = \lim_{\leftarrow n} B_n$ la $K$-algèbre de Fréchet des fonctions analytiques sur le lieu de non annulation de $g$. On note

$$g^{-1/p\infty} B^0 := \bigcap_{n \ge 1} g^{-1/p^n} B^0$$

le sous-anneau des $f \in B[\frac{1}{g}]$ tels que $g^{1/p^n} f \in B^0$ pour tout $n \ge 1$.

THÉORÈME 5.1. — a) Le sous-anneau $g^{-1/p\infty} B^0$ de $B[\frac{1}{g}]$ est la clôture intégrale complète (43) de $B^0$ dans $B[\frac{1}{g}]$, et $B[\frac{1}{g}]$ est intégralement clos dans $B_\infty$.

b) Le morphisme $B[\frac{1}{g}] \to B_\infty$ est injectif et l'image de $g^{-1/p\infty} B^0$ est $B_\infty^0 := \lim_{\leftarrow n} B_n^0$.

L’injectivité du morphisme $B[\frac{1}{g}] \to B_\infty$ se ramène à celle de $B \to B_\infty$. Si $f \in B$ a une image nulle dans $B_\infty$, alors $fg$ est nulle sur $M(B)$, donc de norme spectrale nulle et comme $B$ est uniforme on a $fg = 0$ puis $f = 0$. Soit $C$ la clôture intégrale complète de $B^0$ dans $B[\frac{1}{g}]$. Si $f \in g^{-1/p\infty} B^0$ alors $f^n \in g^{-1} B^0$ pour tout $n$, donc $f \in C$. Dans l’autre sens, soit $f \in C$. Il existe $N$ tel que $f^n \in \frac{1}{(\pi g)^N} B^0$ pour tout $n \ge 1$. Comme $B^0$ est $p$-close (déf. 2.14) dans $B$ (prop. 3.2), on a $(\pi g)^{N/p^k} f \in B^0$ pour tout $k \ge 1$, donc $\pi^{1/p^\ell} g^{N/p^k} f \in B^0$ pour tous $k, \ell \ge 1$. Ainsi $g^{N/p^k} f \in B_\infty^0 = B^0$ pour tout $k$ et $f \in g^{-1/p\infty} B^0$, montrant bien que $C = g^{-1/p\infty} B^0$.

Si $f \in B_\infty$ est entier sur $B[\frac{1}{g}]$ alors il existe $N$ tel que $(\pi g)^N f$ soit entier sur $B^0$. Mais un élément $x$ de $B_n$ entier sur $B^0$ est dans $B_n^0$ car $B_n$ est uniforme (en effet, les puissances de $x$ restent dans un sous $B_n^0$-module de type fini de $B_n$, qui est borné dans $B_n$ par uniformité). Donc $(\pi g)^N f \in B_\infty^0$. Pour finir la preuve du théorème 5.1 il suffit donc de montrer (et c’est le coeur de l’affaire) que $B[\frac{1}{g}] \to B_\infty$ identifie $g^{-1/p\infty} B^0$ et $B_\infty^0$. Comme $B^0 = B_\infty^0$, il suffit de vérifier que $(\pi g)^{1/p^k} f \in B^0$ pour tous $f \in B_\infty^0$ et $k \ge 1$.

<footnote n="42">42. La démonstration, ainsi qu’une version plus forte du théorème principal, qui sera cruciale par la suite, sont empruntées de Bhatt (2018).</footnote>

<footnote n="43">43. C’est à dire l’ensemble des $f \in B[\frac{1}{g}]$ dont les puissances sont contenues dans un sous $B^0$-module de type fini de $B[\frac{1}{g}]$.</footnote>
Cela découle par passage à la limite du résultat plus fin suivant, dû à Bhatt (2018), et
qui demande quelques préliminaires.

On se place dans le cadre $(\pi g)^{1/p^\infty}$ des presque mathématiques (§ 3.5). On dit qu’un
système projectif $\{M_n\}_{n \ge 1}$ de $B^0$-modules est presque nul si pour tous $k \ge 0$ et $n \ge 1$
il existe $m \ge n$ tel que $(\pi g)^{1/p^k}$ tue l’image de $M_m$ dans $M_n$. Il est équivalent de
dire que pour tout $k \ge 1$ le morphisme naturel $\{M_n[(\pi g)^{1/p^k}]\}_{n \ge 1} \to \{M_n\}_{n \ge 1}$ est un
isomorphisme de pro-$B^0$-modules. On dira qu’un morphisme $f: \{M_n\}_{n \ge 1} \to \{N_n\}_{n \ge 1}$
de pro-$B^0$-modules est un presque isomorphisme si le noyau et le conoyau de $f$ sont des
systèmes projectifs presque nuls.

THÉORÈME 5.2. — *Pour tout $d \ge 1$ le morphisme de systèmes projectifs*

$$
\{B^0 / \pi^d B^0\}_{n \ge 1} \to \{B_n^0 / \pi^d B_n^0\}_{n \ge 1}
$$

est un presque isomorphisme dans le cadre $(\pi g)^{1/p^\infty}$.

Démonstration. — Par dévissage on peut supposer que $d = 1$. Supposons d’abord que $g$ n’est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$. Alors chaque $f_n: B^0/\pi B^0 \to B_n^0/\pi B_n^0$ est injectif : si $F \in B^0$ a une image $\pi G$ dans $B_n^0$, avec $G \in B_n^0$, alors $u := \frac{Fg}{\pi} \in B$ vérifie (44) $|u|_{sp} \le 1$, donc $Fg \in \pi B^0$, puis $F \in \pi B^0$.

Ensuite, fixons $k, n \ge 1$ et montrons que $(\pi g)^{1/p^k}$ tue l'image de coker$(f_{n+p^k})$ dans coker$(f_n)$, ce qui permettra de conclure dans le cas où $g$ n'est pas un diviseur de zéro modulo $\pi$. Soit $i_n: B^0 \to B_n^0$ le morphisme canonique. On veut montrer que si $f \in B_{n+p^k}^0$ a une image $F$ dans $B_n^0$, alors $(\pi g)^{1/p^k} F \in \pi B_n^0 + i_n(B^0)$. En posant $S = B^0[(\frac{\pi^{n+p^k}}{g})^{1/p^j}, j \ge 0] \subset B_{n+p^k}^0$, le morphisme naturel $\hat{S} := \lim_{\leftarrow d} S/\pi^d \to B_{n+p^k}^0$ est un presque isomorphisme dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$ (th. 3.12), donc $\pi^{1/p^k} f \in S + \pi B_{n+p^k}^0$. Il suffit donc de montrer que $g^{1/p^k} H \in \pi B_n^0 + i_n(B^0)$ quand $H$ est l'image de $h = (\frac{\pi^{n+p^k}}{g})^e$ pour un $e \in \mathbb{Z}_{\ge 0}[1/p]$ arbitraire, mais cela est clair puisque $\pi^{p^ke}$ est un multiple de $\pi$ pour $e \ge 1/p^k$ et

$$
g^{1/p^k} H = \begin{cases} i_n(g^{\frac{1}{p^k}-e} \pi^{(n+p^k)e}) \in i_n(B^0), & \text{si } e < 1/p^k \\ i_n(g^{1/p^k}) \pi^{p^ke} (\frac{\pi^n}{g})^e \in \pi B_n^0, & \text{sinon} \end{cases} .
$$

Il reste à s'affranchir de l'hypothèse sur $g$. Comme $g \in B^0$ est $p$-puissant, on dispose
d'un morphisme $R := K\langle T^{1/p^\infty} \rangle \to B$, envoyant $T^{1/p^j}$ sur $g^{1/p^j}$, et $B_n \simeq B \otimes_R R_n$, avec
$R_n = R\langle \frac{\pi^n}{T} \rangle$. Le théorème 3.11 fournit un presque isomorphisme $B^0/\pi \otimes_{R^0/\pi} R_n^0/\pi \simeq$
$B_n^0/\pi$, et comme $T$ n'est pas diviseur de zéro modulo $\pi$ dans $R^0$, ce qui précède montre
que le morphisme $\{R^0/\pi\} \to \{R_n^0/\pi\}_{n \ge 1}$ est un presque isomorphisme de systèmes
projectifs, ce qui permet de conclure facilement que $\{B^0/\pi\} \to \{B_n^0/\pi\}_{n \ge 1}$ est un
presque isomorphisme.
$\square$

<footnote n="44">44. En effet, soit $x \in \mathcal{M}(B)$, alors ou bien $|\pi(x)|^n \le |g(x)|$, auquel cas $|u(x)| = |G(x)| \cdot |g(x)| \le 1 \cdot 1 = 1$, ou bien $|\pi(x)|^n > |g(x)|$, auquel cas $|u(x)| \le |\pi(x)|^{n-1}|F(x)| \le 1 \cdot 1 = 1$.</footnote>
## 5.2. Le lemme d'Abhyankar perfectoïde

On garde les notations introduites juste avant le théorème 5.1. Soit $C$ une algèbre finie étale sur $B[1/g]$. Si $A \to B$ est un morphisme d'anneaux, on note $\text{fi}(A, B) \subset B$ la fermeture intégrale de $A$ dans $B$. Posons

$$ \tilde{C}^0 = \text{fi}(g^{-1/p^\infty} B^0, C). $$

On verra (prop. 5.6) que l'algèbre $\tilde{C} := \tilde{C}^0[\frac{1}{p}] = \text{fi}(g^{-1/p^\infty} B, C)$ possède une structure naturelle de $K$-algèbre de Banach uniforme pour laquelle $\tilde{C}^0 = (\tilde{C})^0$ (en particulier $\tilde{C}^0$ est $p$-complète).

On suppose que $K$ est de caractéristique nulle et on se place dans le cadre $(\pi g)^{1/p^\infty}$ des presque mathématiques (§ 3.5). L'un des résultats principaux de l'opus André (2018b) s'énonce (rappelons que $\xi$ est un générateur distingué de $\ker(\theta_{K^0})$):

**THÉORÈME 5.3.** — (lemme d'Abhyankar perfectoïde)

a) Le morphisme $\theta: W((\tilde{C}^0)^b)/\xi \to \tilde{C}^0$ est injectif et un presque isomorphisme. En particulier le Frobenius est presque surjectif sur $\tilde{C}^0/p$.

b) Pour tout $n \ge 1$ la $B^0/p^n$-algèbre $\tilde{C}^0/p^n$ est presque finie étale, et elle est presque fidèlement plate si $C$ l'est sur $B[\frac{1}{g}]$.

*Remarque 5.4.* — Contrairement au théorème de presque pureté, il n'est pas connu si $\tilde{C}^0$ est presque de type fini sur $B^0$. Si c'était le cas, on pourrait en déduire que $\tilde{C}^0$ est presque finie étale sur $B^0$. André montre (prop. 5.2.3 de André, 2018b) que ce dernier énoncé est tout de même vrai après inversion de $g$.

La preuve occupe les prochains paragraphes et fait jouer un rôle important aux algèbres

$$ C_n := C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_n, \quad C_\infty := \lim_{\leftarrow n} C_n, \quad C_\infty^0 := \lim_{\leftarrow n} C_n^0. $$

On dispose d'isomorphismes canoniques (45)

$$ C_{n+1} \hat{\otimes}_{B_{n+1}} B_n \simeq C_{n+1} \otimes_{B_{n+1}} B_n = (C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_{n+1}) \otimes_{B_{n+1}} B_n \simeq C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_n = C_n. $$

*Remarque 5.5.* — a) Comme $C$ est localement libre de rang fini sur $B[\frac{1}{g}]$, le morphisme injectif (théorème 5.1) $B[\frac{1}{g}] \to B_\infty$ induit une injection $C \to C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty$, et le morphisme naturel $C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty \to C_\infty$ est un isomorphisme. On peut donc identifier $C$ à une sous-algèbre de $C_\infty$, via $c \mapsto (c \otimes 1)_{n \ge 1}$.

b) Puisque $C_n$ est finie étale sur $B_n \in \text{Perf}_K$, on a $C_n \in \text{Perf}_K$ et $C_n^0$ est presque finie étale sur $B_n^0$ (théorème de presque pureté 3.13). Les isomorphismes $C_{n+1} \hat{\otimes}_{B_{n+1}} B_n \simeq C_n$ combinés au théorème 3.11 montrent que le morphisme naturel $C_{n+1}^0 \hat{\otimes}_{B_{n+1}^0} B_n^0 \to C_n^0$ est un presque isomorphisme (à priori dans le cadre $\pi^{1/p^\infty}$, mais donc aussi dans le cadre $(\pi g)^{1/p^\infty}$).

<footnote n="45">45. Le premier est dû au fait que $C_{n+1}$ est un $B_{n+1}$-module projectif de type fini.</footnote>
5.2.1. Identification de la clôture intégrale. — Dans ce paragraphe on montre le résultat suivant.

PROPOSITION 5.6. — L'inclusion de C dans $C_\infty$ identifie $\tilde{C}^0$ et $C_\infty^0$.

Ainsi $\tilde{C} := \tilde{C}^0[\frac{1}{p}]$ s'identifie à la limite uniforme des algèbres de Banach uniformes $C_n$ et $(\tilde{C})^0 = \tilde{C}^0$. La preuve de la proposition demande quelques préliminaires.

LEMME 5.7. — On a $C_\infty^0 = \text{fi}(B_\infty^0, C_\infty)$.

Démonstration. — Si $x = (x_n)_{n \ge 0} \in \text{fi}(B_\infty^0, C_\infty)$, alors $x_n$ est entier sur $B_n^0$, donc ses puissances restent dans un sous $C_n^0$-module de type fini de $C_n$, et $x_n \in C_n^0$ car $C_n$ est uniforme. Ainsi $x \in C_\infty^0$. Pour l'autre inclusion soit $x = (x_n)_{n \ge 0} \in C_\infty^0$ et soit $\chi_n \in B_n[X]$ le polynôme caractéristique de la multiplication par $x_n$ dans $C_n$. Puisque $C_{n+1} \otimes_{B_{n+1}} B_n \simeq C_n$, il existe $\chi \in B_\infty[X]$ induisant tous les $\chi_n$. Par Cayley-Hamilton on a $\chi_n(x_n) = 0$ pour tout $n$, donc $\chi(x) = 0$. Le lemme 5.8 ci-dessous montre que $\chi_n \in B_n^0[X]$ pour tout $n$, donc $\chi \in B_\infty^0[X]$ et $x \in \text{fi}(B_\infty^0, C_\infty)$, ce qui finit la preuve. $\square$

LEMME 5.8. — Soit $R \to S$ un morphisme fini étale de K-algèbres de Banach uniformes. Pour tout $s \in S$ le polynôme caractéristique de $s$ est à coefficients dans $R^0$.

Démonstration. — Soient $a_0, \dots, a_n$ les coefficients de ce polynôme. On veut montrer que $\max_{0 \le i \le n} |a_i|_{sp} \le 1$, ou encore (cf. paragraphe 3.1) que $\max_{0 \le i \le n} |a_i(x)| \le 1$ pour tout $x \in \mathcal{M}(S)$. Si $L$ est le corps résiduel complété de $x$, on veut montrer que les $a_i(x)$ appartiennent à $L^0$. On peut remplacer $R \to S$ par $L \to S \otimes_R L$ et donc supposer que $R = L$. Mais alors $S$ est un produit fini d'extensions finies de $R$, et le résultat ne pose pas de problème. $\square$

LEMME 5.9. — On a $C = C_\infty^0[\frac{1}{pg}]$ à l'intérieur de $C_\infty$.

Démonstration. — Notons $T = C_\infty^0[\frac{1}{pg}]$. Comme $C$ est entier sur $B[\frac{1}{g}] = B^0[\frac{1}{pg}]$, pour tout $x \in C$ il existe $n \ge 0$ tel que $(pg)^n x$ soit entier sur $B^0 \subset B_\infty^0$, et donc dans $\text{fi}(B_\infty^0, C_\infty) = C_\infty^0$ (lemme 5.7). Ainsi $C \subset T$. Montrons que $T \subset C$. Par le lemme 5.7 et l'isomorphisme (th. 5.1) $B[\frac{1}{g}] \simeq B_\infty^0[\frac{1}{pg}]$ on a $T \subset \text{fi}(B[\frac{1}{g}], C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty)$. Puisque $B[\frac{1}{g}] \to C$ est un morphisme entier on a $\text{fi}(B[\frac{1}{g}], C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty) = \text{fi}(C, C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty)$. Comme $B[\frac{1}{g}] \to C$ est étale, le morphisme naturel $C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} \text{fi}(B[\frac{1}{g}], B_\infty) \to \text{fi}(C, C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_\infty)$ est un isomorphisme. Enfin, $\text{fi}(B[\frac{1}{g}], B_\infty) = B[\frac{1}{g}]$ par le théorème 5.1, donc $T \subset C$. $\square$

On finit la preuve de la proposition 5.6 en utilisant les lemmes 5.7 et 5.9 et l'égalité (dans $B_\infty$, cf. th. 5.1) $g^{-1/p^\infty}B^0 = B_\infty^0$ :

$$ \tilde{C}^0 = \text{fi}(g^{-1/p^\infty} B^0, C) = \text{fi}(B_\infty^0, C_\infty^0[\frac{1}{pg}]) = C_\infty^0. $$

Le lemme 5.9 a une autre conséquence importante :

COROLLaire 5.10. — Le morphisme $f: C_\infty^0[\frac{1}{p}] \hat{\otimes}_B B_n \to C_n$ induit par la projection canonique $C_\infty^0[\frac{1}{p}] \to C_n$ est un isomorphisme.
Démonstration. — On a (lemme 5.9) $C_n = C \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_n = C_\infty^0[\frac{1}{pg}] \otimes_{B[\frac{1}{g}]} B_n \simeq C_\infty^0[\frac{1}{p}] \otimes_B B_n$, d'où un morphisme $h: C_n \to C_\infty^0[\frac{1}{p}] \hat{\otimes}_B B_n$. En suivant les définitions on voit que $f \circ h$ est l'identité. Comme $f$ est continu, le théorème du graphe fermé montre que $h$ l'est aussi. On vérifie que $h \circ f$ est l'identité sur l'image de $C_\infty^0[\frac{1}{p}] \otimes_B B_n$ dans $C_\infty^0[\frac{1}{p}] \hat{\otimes}_B B_n$, donc aussi sur $C_\infty^0[\frac{1}{p}] \hat{\otimes}_B B_n$ par continuité et densité. Donc $f$ est un isomorphisme. $\square$

5.2.2. Etude du système projectif {$C_n^0/\pi^d$} et fin de la preuve. — La différence entre les limites dans Ban_K^u et celles dans Perf_K (remarque 3.6) se fera pleinement sentir dans ce paragraphe.

Rappelons que $\xi$ est un générateur distingué de $\ker(\theta_{K^0})$ et que $\pi$ est l'image de $[\xi(0)^{1/p}]$. En posant $R_n = (C_n^0)^b$, on obtient (th. 2.10) des isomorphismes $\theta_{C_n^0}: C_n^0 \simeq W(R_n)/\xi$ compatibles avec la variation de $n$. Comme $C_n^0$ est sans $p$-torsion, les $R_n$ n'ont pas de $\xi(0)$-torsion, donc $R = \lim_{\leftarrow n} R_n \simeq (C_n^0)^b \in \mathrm{Perf}_{\mathbb{F}_p}$ n'en a pas non plus et $S := W(R)/\xi$ est une $K^0$-algèbre perfectoïde plate.

PROPOSITION 5.11. — Les morphismes naturels $C_\infty^0/\pi \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$ et $S \to C_\infty^0$ sont des presque isomorphismes dans le cadre $(\pi g)^{1/p_\infty}$, et $S \to C_\infty^0$ est injectif.

Démonstration. — Le morphisme naturel $\lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi^d) \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi^e)$ est presque sur-
jectif pour tous $d > e$: par $K^0$-platitude des $C_n$ il suffit de voir que $R^1 \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$ est
presque nul, or le système projectif $\{B_n^0/\pi\}_{n\ge 1}$ est presque Mittag-Leffler $^{(46)}$ (consé-
quence directe du théorème 5.2) et le presque isomorphisme $C_{n+1}^0/\pi \otimes_{B_{n+1}^0/\pi} B_n^0/\pi \to$
$C_n^0/\pi$ (remarque 5.5) montre qu’il en est de même du système projectif $\{C_n^0/\pi\}_{n\ge 1}$.

Ainsi les transitions du système projectif {$\lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi^d)$}$_{d \ge 1}$ sont presque sur-
jectives, ayant pour conséquence la presque surjectivité du morphisme $C_\infty^0 \simeq$
$\lim_{\leftarrow d} (\lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi^d)) \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$. Puisque $C_\infty^0/\pi \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$ est clairement
injectif, c’est un presque isomorphisme.

Pour montrer que $S \to C_\infty^0$ est injectif et un presque isomorphisme il suffit de le vérifier modulo $\pi$ (les deux algèbres étant plates sur $K^0$ et $\pi$-complètes). Mais $S/\pi \simeq R/\xi(0)^{1/p}$, $C_n^0/\pi \simeq R_n/\xi(0)^{1/p}$ et nous avons vu que $C_\infty^0/\pi \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$ est injectif et un presque isomorphisme. Il suffit donc de vérifier que $R/\xi(0)^{1/p} \to \lim_{\leftarrow n} (R_n/\xi(0)^{1/p})$ est injectif et un presque isomorphisme. L'injectivité est claire puisque les $R_n$ n'ont pas de $\xi(0)^{1/p}$-torsion. Le fait que c'est un presque isomorphisme découle (comme ci-dessus, par $\xi(0)$-complétude des $R_n$) de la presque surjectivité des applications canoniques $\lim_{\leftarrow n} (R_n/\xi(0)^{p^k}) \to \lim_{\leftarrow n} (R_n/\xi(0)^{p^{k-1}})$. Celle-ci s'obtient en utilisant la perfection des $R_n$ et en appliquant successivement Frobenius au morphisme presque surjectif (cf. premier paragraphe) $\lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi^p) \to \lim_{\leftarrow n} (C_n^0/\pi)$, qui s'identifie à $\lim_{\leftarrow n} (R_n/\xi(0)) \to \lim_{\leftarrow n} (R_n/\xi(0)^{1/p})$. $\square$

<footnote n="46">46. Un système projectif {$X_n$}$_{n \ge 1}$ de $B^0$-modules est dit presque Mittag-Leffler si pour tous $k, n$ il existe $m \ge n$ tel que $(\pi g)^{1/p^k} \mathrm{Im}(M_m \to M_n) \subset \mathrm{Im}(M_k \to M_n)$.</footnote>
Posons $T = S[\frac{1}{p}] = S_*[\frac{1}{p}] \in \mathrm{Perf}_K$ (prop. 3.5). La proposition 5.11 fournit un presque isomorphisme $T \simeq C_\infty^0[\frac{1}{p}]$. Comme $\pi g$ est inversible dans $B_n$, cela induit un isomorphisme $T \hat{\otimes}_B B_n \simeq C_\infty^0[\frac{1}{p}] \hat{\otimes}_B B_n$, d'où (corollaire 5.10) un isomorphisme $T \hat{\otimes}_B B_n \simeq C_n$. Puisque $T, B, B_n$ sont dans $\mathrm{Perf}_K$, le morphisme naturel $T^0 \hat{\otimes}_{B^0} B_n^0 \to (T \hat{\otimes}_B B_n)^0$ est un presque isomorphisme (th. 3.11). On obtient donc des presque isomorphismes, compatibles avec la variation de $n$ et $d$

$$T^0/\pi^d \otimes_{B^0/\pi^d} B_n^0/\pi^d \simeq C_n^0/\pi^d.$$

Par le théorème de presque pureté 3.13 la $B_n^0/\pi^d$-algèbre $C_n^0/\pi^d$ est presque finie étale (et fidèlement plate, si $C$ l'est sur $B[\frac{1}{g}$]). Les isomorphismes ci-dessus combinés avec le th. 5.2 et le lemme 5.12 ci-dessous montrent que $T^0/\pi^d$ est presque finie étale (et fidèlement plate, si $C$ l'est sur $B[\frac{1}{g}$]) sur $B^0/\pi^d$. Mais $T^0 = S_*$ est presque isomorphe à $S$, qui est presque isomorphe à $C_\infty^0$ (prop. 5.11), qui s'identifie enfin à $\tilde{C}^0$ par la proposition 5.6. Cela finit (enfin) la preuve du théorème 5.3.

LEMME 5.12. — *Soit $\mathcal{P} \in \{\text{plat, fidèlement plat, projectif, de type fini}\}$. Soit $M$ un $B^0/\pi^d$-module et $M_n := M \otimes_{B^0/\pi^d} B_n^0/\pi^d$. Si le $B_n^0/\pi^d$-module $M_n$ est presque $\mathcal{P}$ pour tout $n$, alors $M$ est presque $\mathcal{P}$. Si $M$ est une $B^0/\pi^d$-algèbre et si $M_n$ est une $B_n^0/\pi^d$-algèbre presque finie étale pour tout $n$, alors $M$ est presque finie étale sur $B^0/\pi^d$ (idem avec presque finie étale et fidèlement plate).*

**Démonstration.** — Il s'agit d'une conséquence formelle du fait que le système projectif $\{B_n^0/\pi^d\}$ est « presque constant de valeur $B^0/\pi^d$ » (th. 5.2) et de l'interprétation catégorique (à la Yoneda) de $\mathcal{P}$. Voir le th. 14.2.39 de Gabber et Ramero (2018) pour les détails. □

# 6. EXISTENCE D'ALGÈBRES DE COHEN-MACAULAY

On fixe par la suite de ce chapitre un nombre premier $p$ (d'où une notion d'anneau perfectoïde) et on suppose que la caractéristique résiduelle de tous les anneaux locaux noethériens rencontrés ci-dessous est égale à $p$. Pour éviter des longues listes d'épithètes, introduisons :

**DÉFinition 6.1.** — *Un anneau sympathique est un anneau local noethérien complet, intègre, d'inégale caractéristique et de corps résiduel parfait (de caractéristique $p$).*

Le but de ce chapitre est d'expliquer la preuve du théorème suivant. Combiné avec les travaux de Hochster (1975) (raffinés par Hochster et Huneke (1992, 1995)), il implique le théorème 1.10 de l'introduction.

**Théorème 6.2.** — *Pour tout anneau sympathique $A$ il existe une $A$-algèbre de Cohen-Macaulay.*
Ma (2021) a remarqué qu'une construction utilisée par André (2020) fournit une
preuve relativement directe (47) du théorème ci-dessus, n'utilisant pas le difficile lemme
d'Abhyankar perfectoïde (comme dans André, 2018a). L'idée est traiter d'abord le cas
d'un anneau régulier, en construisant dans ce cas une A-algèbre de Cohen–Macaulay
perfectoïde C (ceci est standard), ensuite d'écrire l'anneau sympathique A comme un
quotient d'un anneau régulier $A_0$ (par exemple $W(k)[[T_1, \dots, T_n]]$ pour $n$ bien choisi,
$k$ étant le corps résiduel de $A$) et de fabriquer à partir de $C$ et du lemme de platitude
d'André une A-algèbre presque perfectoïde et presque de Cohen–Macaulay $C'$ (cf. th. 6.14
pour l'énoncé précis, mais peu ragoûtant). Une autre construction de $C'$ (celle de André,
2018a) utilise plutôt le fait que $A$ est une extension finie d'un anneau local régulier
complet $A_0$, et le lemme d'Abhyankar perfectoïde combiné avec le lemme de platitude
d'André pour construire $C'$. Les deux preuves produisent donc seulement une « presque
algèbre de Cohen–Macaulay (presque perfectoïde) », mais il était connu, grâce aux
travaux de Hochster (2002), que cela suffit pour conclure la preuve du théorème 6.2.
Gabber a découvert un autre moyen, plus canonique et direct, de passer d'une presque
algèbre de Cohen–Macaulay à une vraie telle algèbre, il est exposé dans la section 17.5
du livre de Gabber et Ramero (2018).

Nous avons découpé l'argument en plusieurs morceaux, et démontré à chaque fois des
résultats plus fins et généraux que ceux nécessaires pour la preuve du théorème 6.2, car
nous nous en servirons dans le dernier chapitre.

## 6.1. Algèbres perfectoïdes CM

On fixe une fois pour toutes une suite compatible $(p^{1/p^n})_{n \ge 0}$ de racines de $p$ dans une
clôture algébrique de $\mathbb{Q}_p$ et on définit le corps perfectoïde

$$
K := \widehat{\mathbb{Z}}_p[p^{1/p^\infty}][\frac{1}{p}],
$$

pour lequel $K^0 = \widehat{\mathbb{Z}}_p[p^{1/p^\infty}]$. Soit $p^b := (p, p^{1/p}, p^{1/p^2}, \dots) \in K^{0,b}$ et $\xi := p - [p^b]$, un élément distingué de $W(K^{0,b})$. La catégorie $\text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ des $K^0$-algèbres perfectoïdes sans $p$-torsion est équivalente (th. 2.10) à celle des $K^{0,b} \simeq \mathbf{F}_p[[t^{1/p^\infty}]]$-algèbres parfaites, sans $p^b$-torsion et $p^b$-complètes.

DÉFinition 6.3. — *Soit A un anneau. Une A-algèbre CM (resp. A-algèbre perfectoïde CM) est une A-algèbre de Cohen–Macaulay (resp. une A-algèbre de Cohen–Macaulay qui est aussi dans $\text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$).*

Nous aurons besoin des résultats suivants par la suite :

LEMME 6.4. — *Soit $(x_1, \cdots, x_d)$ une suite régulière dans une algèbre $C \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$, avec $x_1 = p$. Le complété $(x_1, \cdots, x_d)$-adique $\hat{C}$ de $C$ est dans $\text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$.*

<footnote n="47">47. Modulo le lemme de platitude d'André, qui est tout sauf une platitude !</footnote>
Démonstration. — Voir la proposition 2.2.1 de André (2020) pour les détails. Puisque $I := (x_1, \cdots, x_d)$ est de type fini, $\hat{C}$ est $I$-complet (donc aussi $p$-complet). Si $z \in C$ vérifie $pz \in I^{nd}C$, alors $z \in I^{n-1}C$: on a $I^{nd} \subset (p^n, x_2^n, \cdots, x_d^n)$, donc $p(z - p^{n-1}y) \in (x_2^n, \cdots, x_d^n)C$ pour un certain $y \in C$, puis (par régularité de $(p, x_2^n, \cdots, x_d^n)$) $z - p^{n-1}y \in (x_2^n, \cdots, x_d^n)C$ et $z \in I^{n-1}C$. On déduit immédiatement que $\hat{C}$ est sans $p$-torsion et que $p^{1/p}\hat{C}, p\hat{C}$ sont fermés dans $\hat{C}$ pour la topologie $I$-adique, donc $\hat{C}/p \simeq \widehat{C}/p, \hat{C}/p^{1/p} \simeq \widehat{C}/p^{1/p}$. On conclut en utilisant la proposition 2.12. □

LEMME 6.5. — Soit $(A, \mathfrak{m})$ un anneau sympathique et soit $C$ une $A$-algèbre perfectoïde CM, $\mathfrak{m}$-complète. Pour tous $z_1, \cdots, z_n \in A$ il existe une $C$-algèbre perfectoïde CM, $\mathfrak{m}$-complète $C'$ dans laquelle $z_1, \cdots, z_n$ sont $p$-puissants (déf. 2.2).

Démonstration. — Par le théorème 4.3 il existe une $C$-algèbre $P \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ fidèlement plate sur $C$ modulo $p$ et dans laquelle $z_1, \cdots, z_d$ sont $p$-puissants. Si $(x_1, \cdots, x_n)$ est un système de paramètres de $A$ avec $x_1 = p$, alors $(x_1, \cdots, x_n)$ est une suite régulière dans $C$, et elle le reste dans $P$ par fidèle platitude modulo $p$ de celui-ci sur $C$. Par la proposition 1.9 le complété $(x_1, \cdots, x_d)$-adique (qui est aussi le complété $\mathfrak{m}$-adique) $C'$ de $P$ est une $A$-algèbre CM $\mathfrak{m}$-complète, qui est dans $\text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ par le lemme 6.4. $\square$

## 6.2. Algèbres perfectoïdes CM sur un anneau local régulier

Les théorèmes 6.6 et 6.8 ci-dessous sont des analogues en inégale caractéristique du célèbre résultat de Kunz (1969) : pour un anneau noethérien $A$ de caractéristique $p$ chacune des assertions suivantes est équivalente à la régularité de $A$ :

* le Frobenius $\varphi: A \to A$ de $A$ est un morphisme plat.

* il existe une $A$-algèbre parfaite et fidèlement plate.

Rappelons (prop. 1.9) que pour un anneau local régulier $A$ une $A$-algèbre est CM si et seulement si elle est fidèlement plate sur $A$. En utilisant la partie facile du théorème de Kunz et le résultat suivant, on en déduit facilement que pour tout anneau régulier $A$ avec $p \in \text{Rad}(A)$ il existe une $A$-algèbre perfectoïde fidèlement plate.

THÉORÈME 6.6. — *Pour tout anneau local régulier (A, m) d'inégale caractéristique il existe une A-algèbre perfectoïde CM, m-complète.*

Dans les applications nous aurons uniquement besoin du théorème pour un anneau de la forme $W(k)[[T_1, \cdots, T_d]]$, $k$ étant un corps parfait de caractéristique $p$, auquel cas la preuve est parfaitement élémentaire.

Démonstration. — On peut supposer que $A$ est complet, car le complété $\hat{A}$ de $A$ est fidèlement plat sur $A$. Par le théorème de structure de Cohen et la régularité de $A$ il existe un anneau de valuation $V$, complet et absolument non ramifié (48), ainsi qu’un

<footnote n="48">48. Cela veut dire que l'idéal maximal de $V$ est $pV$.</footnote>
élément $f \in V[[X_1, \dots, X_n]]$, que l'on peut choisir de la forme $f = X_1$ si $p \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2$ et dans l'idéal $(p, X_1, \dots, X_n)^2$ sinon, tels que

$$A \simeq V[[X_1, \dots, X_n]]/(p-f).$$

Supposons pour commencer que $k$ est parfait. Posons

$$A_j = V[[X_1^{1/p^j}, \dots, X_n^{1/p^j}]]/(p-f), A_\infty = \lim_{\underset{j}{\longrightarrow}} A_j$$

et montrons que le complété $p$-adique $\hat{A}_\infty$ de $A_\infty$ est une $A$-algèbre perfectoïde fidèlement plate. Les morphismes $A \to A_j$ sont locaux, injectifs, finis et plats, donc fidèlement plats. Ainsi $A_\infty$ est une $A$-algèbre fidèlement plate, et le lemme ci-dessous montre que $\hat{A}_\infty$ reste fidèlement plate sur $A$. Il est évident que $\hat{A}_\infty$ est sans $p$-torsion et que le Frobenius sur $A_\infty/p$ est surjectif. Montrons qu'il existe $\pi \in \hat{A}_\infty$ tel que $(\pi^p) = (p)$. Cela est évident si $f = X_1$, supposons donc que $f \in (p, X_1, \dots, X_n)^2$. Puisque $A_\infty = A_\infty^p + pA_\infty$ (donc $\mathfrak{m}_{A_\infty} = \mathfrak{m}_{A_\infty}^p + pA_\infty$) et $p \in \mathfrak{m}_{A_\infty}^2$, on obtient $p = \pi^p + py$ pour certains $\pi, y \in \mathfrak{m}_{A_\infty}$, donc $(p) = (\pi^p)$. On conclut alors en utilisant la proposition 2.12 et en remarquant que le Frobenius $A_\infty/\pi \to A_\infty/\pi^p$ est injectif, puisque $A_\infty$ est normal (tous les $A_j$ sont réguliers, donc normaux), donc $p$-clos dans $A_\infty[\frac{1}{\pi}]$.

Dans le cas général soit $\bar{k}$ une clôture algébrique de $k$ et $V \to W$ une extension fidèlement plate d'anneaux de valuation absolument non ramifiés, telle que le corps résiduel de $W$ soit $\bar{k}$. Puisque $W[[X_1, \dots, X_n]]$ est une $V[[X_1, \dots, X_n]]$-algèbre fidèlement plate (par exemple par le lemme ci-dessous), $W[[X_1, \dots, X_n]]/(p-f)$ est une extension fidèlement plate de $A$, avec un corps résiduel algébriquement clos. Mais $W[[X_1, \dots, X_n]]/(p-f)$ possède une algèbre perfectoïde fidèlement plate $S$ d'après ce qui précède, et elle répond à l'appel.

Ce qui précède montre qu'il existe une $A$-algèbre perfectoïde CM. Son complété $\mathfrak{m}$-adique répond à l'appel par les lemmes 6.4 et 6.7. $\square$

Nous avons utilisé le résultat suivant (cf. lemme 1.1.1 de André (2018a) pour les détails) :

**LEMME 6.7.** — Soit $I$ un idéal d'un anneau noethérien $A$ et soit $B$ une $A$-algèbre plate. On note $\hat{X} = \lim_{\underset{n}{\longleftarrow}} X/I^n X$ pour tout $A$-module $X$.

a) Pour tout $A$-module de type fini $M$ le morphisme naturel $M \otimes_A \hat{B} \simeq \widehat{M \otimes_A B}$ est un isomorphisme.

b) La $A$-algèbre $\hat{B}$ est plate, et même fidèlement plate si $I \subset \text{Rad}(A)$.

**Démonstration.** — a) Une application directe du lemme d'Artin–Rees montre que le foncteur $\mathcal{F}: M \mapsto \widehat{M \otimes_A B}$ est exact sur les $A$-modules de type fini. Puisque le morphisme $f_M: M \otimes_A \hat{B} \to \widehat{M \otimes_A B}$ est un isomorphisme si $M$ est libre de type fini sur $A$, il l'est pour tout $M$ de type fini sur $A$ par un argument standard.

b) La platitude découle directement du point a) et de sa preuve. Supposons que $I \subset \text{Rad}(A)$ et que $B$ est fidèlement plat sur $A$. Soit $M$ un $A$-module de type fini tel
que $M \otimes_A \hat{B} = 0$. Alors $M \otimes_A B/IB = 0$ et donc $M/IM \otimes_A B = 0$, puis $M/IM = 0$ et (lemme de Nakayama) $M = 0$. $\square$

La preuve du résultat suivant de Bhatt, Iyengar et Ma est nettement plus délicate et nous renvoyons le lecteur à Bhatt, Iyengar et Ma (2019) car nous n’en ferons pas usage.

**THÉORÈME 6.8.** — *Soit A un anneau noethérien tel que $p \in \text{Rad}(A)$. S’il existe une A-algèbre perfectoïde et fidèlement plate, alors A est régulier.*

**6.3. Un résultat technique crucial**

*On fixe dans ce paragraphe un anneau sympathique $(A, \mathfrak{m})$ et $\wp \in \text{Spec}(A[\frac{1}{p}])$, de hauteur $c \ge 1$. L’anneau $A/\wp$ est donc (tout) aussi sympathique.*

**PROPOSITION 6.9.** — *Il existe $g \in A \setminus \wp$ multiple de $p$, ainsi qu’un système de paramètres $(f_1, \dots, f_c, x_1, \dots, x_d)$ de $A$ avec $x_1 = p$ et*

$$g\wp \subset \sqrt{(f_1, \dots, f_c)} \subset \wp.$$

*La suite $(x_1, \dots, x_d)$ est un système de paramètres de $A/\wp$.*

*Démonstration.* — Par le théorème de l’idéal principal de Krull (et un argument standard d’évitement des idéaux premiers) il existe $f_1, \dots, f_c \in \wp$ tels que $\text{ht}(p, f_1, \dots, f_c) = c + 1$. Ainsi $(p, f_1, \dots, f_c)$ s’étend en un système de paramètres $(f_1, \dots, f_c, x_1, \dots, x_d)$ de $A$ avec $x_1 = p$. Puisque $\wp$ est un idéal premier minimal de l’anneau réduit $A' := A/\sqrt{(f_1, \dots, f_c)}$, tout élément de $\wp$ est un diviseur de zéro dans $A'$, d’où l’existence de $g$ (que l’on peut choisir multiple de $p$ car $p \notin \wp$). $\square$

**DÉFinition 6.10.** — *Soit $R$ un anneau muni d’un élément $p$-puissant (déf. 2.2) et non nul $g$, et soit $S$ une $R$-algèbre. Une suite $x = (x_1, \dots, x_d)$ d’éléments de $S$ est dite presque régulière (dans le cadre $g^{1/p} \in \mathbb{N}$) si l’idéal $(g^{1/p})$ annule (49) $\frac{(x_1, \dots, x_i): (x_{i+1})}{(x_1, \dots, x_i)}$ pour tout $i$, mais n’annule pas $S/(x_1, \dots, x_d)$.*

On fera attention au fait qu’une suite régulière dans $S$ n’a aucune raison d’être presque régulière (!) : même si $S/(x_1, \dots, x_d)$ est non nul, il pourrait très bien être annulé par $(g^{1/p})$. Le résultat suivant (tiré et adapté de André, 2020) montre que ce genre de canular ne se produit pas dans notre situation. Cette construction jouera un rôle crucial par la suite.

**PROPOSITION 6.11.** — *Soit $(f_1, \dots, f_c, x_1, \dots, x_d)$ un système de paramètres de $A$, avec $x_1 = p$. Soit $C$ une $A$-algèbre CM, $\mathfrak{m}$-complète, dans laquelle $p, f_1, \dots, f_c$ sont $p$-puissants (déf. 2.2). Posons*

$$\bar{C} := C/((f_1^{p-\infty}, \dots, f_d^{p-\infty})C), \quad \hat{C} = \lim_{n} \bar{C}/p^n.$$

a) La suite $(x_1, \dots, x_d)$ est régulière dans $\bar{C}$ et dans $\hat{C}$.

<footnote n="49">49. Si $I, J$ sont deux idéaux d’un anneau $S$, on note $I : J = \{s \in S | sJ \subset I\}$.</footnote>
b) Si $C \in \mathrm{Perf}_{K^0}^{\mathrm{tf}}$, il en est de $\tilde{C}$.

c) Soit $\wp \in V(f_1, \dots, f_c)$ et soit $g \in A \setminus \wp$ un élément qui devient p-puissant dans $C$. La suite $(x_1, \dots, x_d)$ est presque régulière (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$, déf. 6.10) dans $\bar{C}$ et $\tilde{C}$.

**Démonstration.** — a) Comme $x_1 = p$, il suffit de voir que $(x_1, \dots, x_d)$ est régulière dans $\bar{C} = \lim_{\underset{n}{\longrightarrow}} C/(f_1^{1/p^n}, \dots, f_c^{1/p^n})$, ou encore que $(x_1, \dots, x_d)$ est régulière dans $C/(f_1^{1/p^n}, \dots, f_c^{1/p^n})$ pour tout $n$, or cela est clair puisque la suite $(f_1^{1/p^n}, \dots, f_c^{1/p^n}, x_1, \dots, x_d)$ est régulière$^{(50)}$ dans $C$.

b) Par a) $\tilde{C}$ n'a pas de $p$-torsion. En utilisant la proposition 2.12, il suffit de vérifier que le Frobenius $\bar{C}/p^{1/p} \to \bar{C}/p$ est un isomorphisme, or cela découle directement des définitions et de l'isomorphisme $C/p^{1/p} \simeq C/p$ induit par le Frobenius.

c) Ceci coute nettement plus cher. Par a) il suffit de vérifier que $\bar{C}/(x_1, \dots, x_d)$ n'est pas annulé par $(g^{p^{-\infty}})$. Supposons que ce n'est pas le cas, donc

$$ (g^{p^{-\infty}})C \subset (f_1^{p^{-\infty}}, \dots, f_c^{p^{-\infty}})C + (x_1, \dots, x_d)C \subset \sqrt{\wp C} + mC, $$

en particulier $g \in m^nC + \sqrt{\wp C}$ pour tout $n$.

Soit $f: C \to A$ un morphisme de $A$-modules. Pour tout $n \ge 1$ il existe $\alpha \in m^nC$ et $N \ge 1$ tel que $(g-\alpha)^N \in \wp C$. En appliquant $f$ on obtient $g^N f(1) - \binom{N}{1} g^{N-1} f(\alpha) + \dots + (-1)^N f(\alpha^N) \in \wp$, avec $f(\alpha^k) \in m^{nk}$. Ainsi l'image $x$ de $f(1)g$ dans $\bar{A} := A/\wp$ vérifie une équation de la forme $x^N + a_1 x^{N-1} + \dots + a_N = 0$ avec $a_i \in m_{\bar{A}}^{ni}$ (dépendant de $n$, bien entendu). Montrons que cela force $x=0$. La clôture intégrale de $\bar{A}$ dans son corps des fractions est un anneau noethérien normal et intègre (théorème de Nagata), donc une intersection d'anneaux de valuation discrète $(V_i)_{i \in I}$ (les localisés de cette clôture intégrale en ses idéaux premiers de hauteur 1) tels que le morphisme $\bar{A} \to V_i$ soit local. L'image $y$ de $x$ dans un tel $V_i$ vérifie des équations du type $y^N + b_1 y^{N-1} + \dots + b_N = 0$ avec $b_j \in m_{V_i}^{jn}$ (dépendant de $n$). Cela force $v(y^N) \ge \min_{1 \le j \le N} (v(b_j) + (N-j)v(y))$, puis $v(y) \ge n$ pour tout $n$, et enfin $y=0$ et $x=0$.

Ainsi $f(1)g \in \wp$, puis (comme $g \notin \wp$) $f(1) \in \wp$. En appliquant ceci au morphisme $c \mapsto f(tc)$ pour $t \in C$ quelconque, on voit que $f(C) \subset \wp$ pour tout $f \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_A}(C, A)$, contredisant le lemme ci-dessous. $\square$

**LEMME 6.12.** — Soit $A$ un anneau local noethérien complet et intègre et soit $\wp$ un idéal premier de $A$. Si $C$ est une $A$-algèbre CM, alors $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_A}(C, A)$ et $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A/\wp}}(C/\wp C, A/\wp)$ sont non nuls.

**Démonstration.** — Le très joli argument suivant est dû à Hochster (1994) (avec quelques simplifications). Soit $A_0 \to A$ une extension finie, avec $A_0$ local régulier et complet, de corps résiduel $k$, et soit $q = A_0 \cap \wp$. Si $E$ (resp. $E'$) est une enveloppe injective du $A_0$-module (resp. $A_0/q$-module) $k$, par dualité de Matlis on a $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A_0}}(C, A_0) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A_0}}(C \otimes_{A_0} E, E)$ et $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A_0/q}}(C/qC, A_0/q) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}_{A_0/q}}(C/qC \otimes_{A_0/q} E', E')$.

<footnote n="50">50. Rappelons que si $M$ est un module sur un anneau $R$ et $x_1, \dots, x_n \in R$, $e_1, \dots, e_n \in \mathbb{Z}_{>0}$, alors la suite $(x_1, \dots, x_n)$ est régulière dans $M$ si et seulement si la suite $(x_1^{e_1}, \dots, x_n^{e_n})$ l'est.</footnote>
Ces modules sont non nuls car $C \otimes_{A_0} E$ et $C/qC \otimes_{A_0/q} E$ le sont, puisque $C$ (resp. $C/qC$) est fidèlement plat sur $A_0$ (resp. $A_0/q$), en tant que $A$-algèbre CM (prop. 1.9).

Pour conclure, il faut passer d'un $A_0$-dual à un $A$-dual (l'argument pour $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Mod}_A}(C, A)$ donné ci-dessous est identique pour $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Mod}_{A/\varphi}}(C/\varphi C, A/\varphi)$). Soit $f: C \to A_0$ un morphisme $A_0$-linéaire non nul. Pour tout $c \in C$ on dispose d'un morphisme $A_0$-linéaire $\varphi_c: A \to A_0, a \mapsto f(ac)$. L'application $F: C \to X := \operatorname{Hom}_{\operatorname{Mod}_{A_0}}(A, A_0), c \mapsto \varphi_c$ est non nulle et $A$-linéaire. Puisque le morphisme $A_0 \to A$ est fini, le $A$-module $X$ est de type fini sur $A$ et sans torsion$^{(51)}$, donc se plonge dans un $A$-module libre de type fini $A^j$. En projetant sur un des facteurs de $A^j$ et en composant avec $F$ on obtient un élément non nul de $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Mod}_A}(C, A)$. $\square$

## 6.4. Construction d'une algèbre presque perfectoïde et presque CM

Soit $P \in \operatorname{Perf}_{K^0}^{\mathrm{tf}}$ et soit $g \in P \setminus \{0\}$ un élément $p$-puissant (déf. 2.2) et multiple de $p$. On ne suppose pas que $P$ est sans $g$-torsion. Soit $\iota: P \to P[\frac{1}{g}]$ le morphisme canonique et considérons la $P$-algèbre

$$Q := g^{-1/p^{\infty}} P = \bigcap_{n \ge 0} \{x \in P[\frac{1}{g}] \mid g^{1/p^n} x \in \iota(P)\} \subset P[\frac{1}{g}].$$

L'image de $g$ dans $Q$ est $p$-puissante, multiple de $p$ et non diviseur de zéro. Le morphisme $\iota: P \to P[\frac{1}{g}]$ induit un presque isomorphisme (dans le cadre $g^{1/p^{\infty}}$) $\iota: P \to Q$, car $(g^{p^{-\infty}})$ tue $P[g^{\infty}]$ (lemme 2.19). Si $P, g$ sont comme ci-dessus, on dira que $Q$ est une *algèbre presque perfectoïde*. Il n'est pas du tout clair si $Q$ est un anneau perfectoïde, ce qui posera des sérieux soucis dans le chapitre suivant.

Le résultat peu ragoûtant suivant s'obtient en combinant ceux des paragraphes ci-dessus. On aura besoin de cette généralité dans le dernier chapitre :

**PROPOSITION 6.13.** — *Soit $(A, \mathfrak{m})$ un anneau sympathique, $\varphi \in \operatorname{Spec}(A[\frac{1}{p}])$ et soient $g \in pA \setminus \varphi$ et $(f_1, \dots, f_c, x_1, \dots, x_d)$ comme dans la proposition 6.9. Pour toute $A$-algèbre perfectoïde CM $\mathfrak{m}$-complète $C$ il existe une $C$-algèbre $P \in \operatorname{Perf}_{K^0}^{\mathrm{tf}}$ dans laquelle $g$ devient $p$-puissant (déf. 2.2) et non nul, s'insérant dans un diagramme commutatif*

$$ \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & A/\varphi \\ \downarrow & & \downarrow \\ P & \longrightarrow & Q := g^{-1/p^{\infty}} P \end{array} $$

et telle que l'image de $(x_1, \dots, x_d)$ dans $P$ soit une suite régulière et presque régulière (dans le cadre $g^{1/p^{\infty}}$, déf. 6.10) d'éléments $p$-puissants.

**Démonstration.** — Par le lemme 6.5 on peut trouver une $A$-algèbre perfectoïde CM, $\mathfrak{m}$-complète $C_1$ qui est une $C$-algèbre dans laquelle $g, f_1, \dots, f_c, x_1, \dots, x_d$ deviennent $p$-puissants. Soit $\tilde{C}_1 = C_1/(f_1^{p^{-\infty}}, \dots, f_c^{p^{-\infty}})C_1$. La proposition 6.11 montre que $P :=$

<footnote>$^{51}$. Si $a \in A \setminus \{0\}$ et $f \in X$ vérifient $a.f = 0$ alors $f(P(a)x) = 0$ pour tout $P \in XA_0[X]$ et tout $x \in A$; il suffit de prendre $P$ tel que $P(a) \in A_0$.</footnote>
$\lim_{\leftarrow n} \tilde{C}_1/p^n \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ et que $(x_1, \dots, x_d)$ est une suite régulière et presque régulière (dans
le cadre $g^{1/p^\infty}$) dans $P$. En particulier $g \neq 0$ dans $P$, sinon $g^{1/p^n} = 0$ pour tout $n$ (car
$P$ est réduit, cf. prop. 2.19) et donc $(g^{p^{-\infty}})$ annule $P/(x_1, \dots, x_d)$, une contradiction.

Il reste à vérifier que le morphisme $A \to P$ se factorise $A/\wp \to g^{-1/p^\infty}P$. Si $f \in \wp$
alors $gf \in \sqrt{(f_1, \dots, f_c)}$, donc $gf$ devient nilpotent dans $\tilde{C}_1$ et donc aussi dans $P$.
Comme $P$ est réduit (prop. 2.19), l'image de $f$ dans $P$ arrive dans $P[g]$ et $A \to P$ se
factorise $A/\wp \to P/P[g^\infty] \to g^{-1/p^\infty}P$. $\square$

THÉORÈME 6.14. — *Pour tout anneau sympathique A il existe un système de paramètres (x₁, ..., x₉) de A, un élément g ∈ A et un objet P ∈ Perf<sub>K</sub><sup>tf</sup> tels que g soit p-puissant (déf. 2.2) et non nul dans P et Q := g<sup>-1/p</sup> P soit une A-algèbre dans laquelle (x₁, ..., x₉) est une suite presque régulière (dans le cadre g<sup>1/p</sup>, déf. 6.10).*

Démonstration. — Soit $k$ le corps résiduel de $A$. Il existe $n$ et une surjection $A_0 := W(k)[[T_1, \dots, T_n]] \to A$. Soit $\wp = \ker(A_0 \to A)$, donc $A \simeq A_0/\wp$. Le théorème 6.6 fournit une $A_0$-algèbre CM perfectoïde et $\mathfrak{m}_{A_0}$-complète $C$. On conclut en appliquant la proposition ci-dessus à ces données (avec $A_0$ à la place de $A$), et en remarquant que $P$ et $Q$ sont presque isomorphes dans le cadre $g^{1/p^\infty}$, puisque $P[g^\infty]$ est presque nul (lemme. 2.19). $\square$

Pour finir la preuve du théorème 6.2 il faut expliquer comment passer d’une presque
algèbre de Cohen–Macaulay à une vraie. Voir la proposition 4.1.2 de André (2018a) pour
la méthode des *modifications partielles* de Hochster, nous allons présenter la construction
de Gabber, en renvoyant à la section 17.5 du livre de Gabber et Ramero (2018) pour la
preuve de la proposition ci-dessous.

Si $Q$ est un anneau, notons $Q^{\diamond} = Q^{\mathbb{N}}/Q^{\mathbb{N}}$ le quotient de la $Q$-algèbre des suites
à valeurs dans $Q$ par l'idéal des suites de support fini. Si $M$ est un $Q$-module, alors
$M^{\diamond} := M^{\mathbb{N}}/M^{\mathbb{N}}$ devient un $Q^{\diamond}$-module. Soit $g$ un élément $p$-puissant (déf. 2.2) de $Q$
et soit $S_g \subset Q^{\mathbb{N}}$ la partie multiplicative des suites de la forme $(g^{\varepsilon_n})_{n \ge 0}$ avec $\varepsilon_n \in \mathbb{N}_{\lfloor p \rfloor}$
tendant vers 0 quand $n \to \infty$.

PROPOSITION 6.15. — *Avec les notations ci-dessus, supposons que $Q$ est une $A$-algèbre, pour un anneau local noethérien $(A, \mathfrak{m})$, et que $x = (x_1, \dots, x_d)$ est un système de paramètres de $A$ qui devient une suite presque régulière (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$, déf. 6.10) dans $Q$. Alors $x$ devient une suite régulière dans $C := S_g^{-1}Q^\diamond$, et donc (prop. 1.9) la $\mathfrak{m}$-complétion $\tilde{C}$ de $C$ est une $A$-algèbre de Cohen–Macaulay.*

7. ALGÈBRES PERFECTOÏDES DE COHEN–MACAULAY ET FONCTORIALITÉ FAIBLE

Le but de ce chapitre est d'expliquer la preuve du théorème fondamental suivant de
André (2020).
THÉORÈME 7.1. — *Soit $f: A \to A'$ un morphisme surjectif d'anneaux sympathiques (déf. 6.1). Pour toute $A$-algèbre perfectoïde CM et $\mathfrak{m}_A$-complète $C$ il existe une $A'$-algèbre perfectoïde CM et $\mathfrak{m}_{A'}$-complète $C'$ s'insérant dans un diagramme commutatif*

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

*Remarque 7.2.* — 1. On trouve dans le th. 4.1.1 de André (2020) et dans le livre de Gabber et Ramero (2018) des formes plus raffinées et générales, mais le théorème ci-dessus contient déjà les difficultés essentielles.

2. En utilisant des factorisations de Cohen, on peut en déduire (52) que tout morphisme local $f: A \to A'$ d'anneaux sympathiques s'insère dans un diagramme comme ci-dessus, pour une $A$-algèbre CM $C$ et une $A'$-algèbre CM $C'$. Ceci a des multiples applications, voir par exemple l'article de Hochster et Huneke (1995). Mentionnons simplement une conséquence frappante : si $A$ est un anneau local régulier, extension scindée d'un sous-anneau $A'$, alors $A'$ est un anneau de Cohen-Macaulay (53). Il s'agit d'une vaste généralisation d'un résultat classique et difficile de Hochster et J. L. Roberts (1974).

Tout anneau sympathique $A'$ étant un quotient d'un anneau sympathique régulier $A$, qui admet des $A$-algèbres perfectoïdes CM et $\mathfrak{m}_A$-complètes (th. 6.6 et lemme 6.4), on déduit du théorème ci-dessus le résultat suivant, dû à Shimomoto (2018). Historiquement, ce résultat est antérieur au théorème 7.1 et les techniques utilisées (54) pour le démontrer jouent un rôle important dans la preuve dudit théorème.

THÉORÈME 7.3. — *Pour tout anneau sympathique (def. 6.1) $(A, \mathfrak{m})$ il existe une $A$-algèbre de Cohen-Macaulay qui est perfectoïde et $\mathfrak{m}$-complète.*

## 7.1. Usage du lemme d'Abhyankar perfectoïde

*Motivés par la proposition 6.13, considérons le contexte suivant. On se donne*

*un morphisme local $A' \to A$ d'anneaux sympathiques et un élément $g \in pA'$.*

<footnote n="52">52. Il faut tout de même travailler un peu plus et étudier aussi le cas d'un morphisme $A \to A'$ avec $A'$ de caractéristique positive. Les méthodes ne sont pas vraiment différentes, et ce cas est un peu plus simple que celui traité dans ce chapitre, voir André (2020).</footnote>

<footnote n="53">53. Ceci avait été obtenu en inégale caractéristique par Heitmann et Ma (2018), avant l'article André (2020) ; ils ont prouvé le cas où $\varphi$ est de hauteur 1 dans le théorème 7.1, ce qui leur permet de démontrer la conjecture d'annulation des Tor, qui à son tour implique le résultat énoncé.</footnote>

<footnote n="54">54. Il s'agit de marier les techniques de André (2018a,b) avec les travaux de Dietz (2007) (qui raffinent la fonctorialité faible pour les algèbres CM en caractéristique positive, due à Hochster et Huneke (1992, 1995)) et une construction standard dans la théorie perfectoïde.</footnote>
• une algèbre $P \in \mathrm{Perf}_{K^0}^{\mathrm{tf}}$ dans laquelle $g$ devient $p$-puissant et non nul et s'insérant dans un diagramme commutatif

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

On dira aussi que $(P, g)$ est adaptée au morphisme $A' \to A$. Notons que l'image de $g$ dans $Q$ est non nulle, car $P$ est réduit.

Soit $A \to A_1$ une extension finie, étale après inversion de $g$, et considérons la $Q$-algèbre (55)

$$ \mathcal{F}(A_1) = \mathrm{fi}(Q, A_1 \otimes_A Q[\frac{1}{g}]). $$

Puisque $A \to A_1$ est entier, le morphisme naturel $A_1 \to A_1 \otimes_A Q[\frac{1}{g}]$ se factorise à travers $\mathcal{F}(A_1)$, induisant ainsi un diagramme commutatif

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Pour toute $K^0$-algèbre $R$ notons

$$ R^{\sharp} = W(R^{\flat})/(\xi := p - [p^{\flat}]). $$

Si $P \in \mathrm{Perf}_{K^0}^{\mathrm{tf}}$ alors $P^{\sharp} \simeq P$ via $\theta_P$, donc si $R$ est une $P$-algèbre, alors $R^{\sharp}$ est une $P \simeq P^{\sharp}$-algèbre. Si $R$ est $p$-complète, tout morphisme $P \to R$ se factorise canoniquement $P \to R^{\sharp} \to R$.

Dans le contexte du paragraphe ci-dessus notons

$$ \mathcal{P}(A_1) := \mathcal{F}(A_1)^{\sharp}, $$

une $P$-algèbre d'après la discussion ci-dessus. Il n'est pas clair que $\mathcal{F}(A_1)$ soit $p$-complète, mais la preuve du résultat ci-dessus montrera que c'est bien le cas, donc le morphisme $P \to Q \to \mathcal{F}(A_1)$ se factorise $P \to \mathcal{P}(A_1) \to \mathcal{F}(A_1)$.

**PROPOSITION 7.4.** — Soit $A \to A_1$ une extension finie, étale après inversion de $g$. La $P$-algèbre $\mathcal{P}(A_1)$ est presque fidèlement plate (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$) modulo $p$ sur $P$, sans $g$-torsion et $g^{-1/p^\infty}\mathcal{P}(A_1) = \mathcal{F}(A_1)$.

Ce résultat est une application du lemme d'Abhyankar perfectoïde, mais la vérification des hypothèses demande quelques préliminaires.

**LEMME 7.5.** — Si $S \in \{Q, Q^{\sharp}\}$ alors l'algèbre $S$ est $p$-complète, sans $g$-torsion, et $p$-close dans $S[\frac{1}{p}]$.

<footnote n="55">55. Rappelons que $\mathrm{fi}(A, B)$ désigne la clôture intégrale de $A$ and $B$.</footnote>
Démonstration. — Posons $R = Q^\sharp$. Comme $Q$ est sans $g$-torsion et $p \mid g$, $Q$ est sans $p$-torsion. Il en est de même de $R$ puisque $p^\flat$ n'est pas un diviseur de zéro dans $Q^\flat$: si $x = (x_n)_{n \ge 0} \in Q^\flat$ vérifie $p^\flat x = 0$, et si $a_n \in Q$ est un relèvement de $x_n \in Q/p$, alors $a_n \in p^{1-1/p^n}Q$ et $a_n \equiv a_{n+1}^p \equiv 0 \pmod{pQ}$ pour tout $n$, donc $x = 0$.

L'anneau $R$ est $p$-complet car perfectoïde (prop. 2.8). Montrons que $Q$ est $p$-complet.
Soit $g_n = g^{\frac{1}{p^n} - \frac{1}{p^{n+1}}}$. Le morphisme $\iota: P \to P[\frac{1}{g}]$ induit un isomorphisme $^{(56)}$

$$
\alpha: Q \to \varinjlim_{\cdot g_n} \iota(P), \quad x \mapsto (g^{1/p^n} x)_{n \ge 0}.
$$

Puisque $I := (g^{p^{-\infty}})$ tue le noyau de $\iota : P \to \iota(P)$ et contient les $g_n$, le morphisme $\iota$
induit un isomorphisme de pro-systèmes $\{P, (\cdot g_n)\} \to \{\iota(P), (\cdot g_n)\}$, d'où

$$
Q \simeq \varinjlim_{\cdot g_n} \iota(P) \simeq \varinjlim_{\cdot g_n} P.
$$

Comme $P$ est $p$-complet et sans $p$-torsion, on en déduit facilement que $Q$ est $p$-complet.

Montrons que $Q$ (resp. $R$) est $p$-clos dans $Q[\frac{1}{p}]$ (resp. $R[\frac{1}{p}]$). La proposition 3.5 montre
que $P$ (resp. $R$) est $p$-clos dans $P[\frac{1}{p}]$ (resp. $R[\frac{1}{p}]$). Pour conclure il suffit de montrer que
si $x \in Q$ vérifie $x^p \in pQ$, alors $\frac{x}{p^{1/p}} \in P[\frac{1}{g}]$ est dans $Q$, ou encore que $\alpha\beta\frac{x}{p^{1/p}} \in \iota(P)$
pour tous $\alpha, \beta \in I$. Comme $x \in Q$ et $x^p \in pQ$, il existe $a, b \in P$ tels que $\alpha x = \iota(a)$ et
$(\alpha x)^p = p\iota(b)$. Alors $\beta^p(a^p-pb) = 0$ (car $a^p-pb \in \ker(\iota)$ et $I$ tue $\ker(\iota)$), donc $(\beta a)^p \in pP$.
Comme $P$ est $p$-clos dans $P[\frac{1}{p}]$, cela force $\beta a \in p^{1/p}P$ et $\alpha\beta\frac{x}{p^{1/p}} = \iota(\frac{\beta a}{p^{1/p}}) \in \iota(P)$, ce qui
permet de conclure.
$\square$

LEMME 7.6. — Le morphisme $\theta_Q: Q^{\sharp} \to Q$ est injectif et $(g^{p^{-\infty}})$ tue son conoyau. On a donc $Q = g^{-1/p^{\infty}}Q^{\sharp} \subset Q^{\sharp}[\frac{1}{g}]$ et $Q^{\sharp}$ est sans $g$-torsion.

Démonstration. — Notons encore $R = Q^\sharp$. Montrons que $\theta_Q: R \to Q$ est injective,
en particulier $g$ n'est pas un diviseur de zéro dans $R$. Comme $R$ et $Q$ sont sans $p$-
torsion et $p$-complets par la proposition ci-dessus, il suffit de montrer l'injectivité de
$R/p \simeq Q^\flat/p^\flat \to Q/p$, qui se déduit de celle du Frobenius $Q/p^{1/p} \to Q/p$, cf. lemme. 7.5.
Puisque $\iota: P \to Q$ est un presque isomorphisme dans le cadre $g^{1/p^\infty}$ et se factorise
$P \to R \to Q$, pour conclure il suffit de montrer que $P \to R$ est un presque isomorphisme,
ou encore qu'il en est de même de $\iota^\flat: P^\flat \to Q^\flat$, ce qui est clair.
$\square$

LEMME 7.7. — La K-algèbre $B := Q^{\sharp}[\frac{1}{p}]$ possède une structure de K-algèbre de Banach perfectoïde sans $g$-torsion, telle que $g^{-1/p^{\infty}}B^0 = Q$, en particulier $B[\frac{1}{g}] = Q[\frac{1}{g}] \simeq P[\frac{1}{g}]$.

Démonstration. — Par la proposition 3.5 l’algèbre $Q_*^{\sharp} := p^{-1/p^{\infty}}Q^{\sharp}$ est perfectoïde, donc $B := Q^{\sharp}[\frac{1}{p}]$ possède une structure de K-algèbre de Banach perfectoïde sans $g$-torsion, telle que $B^0 = Q_*^{\sharp}$. Comme $p \mid g$ et $Q = g^{-1/p^{\infty}}Q^{\sharp}$ (lemme 7.6), on a

$$
g^{-1/p^{\infty}} B^{0} = g^{-1/p^{\infty}} Q_{*}^{\sharp} = g^{-1/p^{\infty}} Q^{\sharp} = Q,
$$

<footnote n="56">56. L'injectivité est claire, et si $(x_n)_{n \ge 0} \in \varinjlim_{\cdot g_n} \iota(P)$ alors la suite $(g^{-1/p^n} x_n)_{n \ge 0}$ est constante dans $P[\frac{1}{g}]$, sa valeur $x$ est dans $Q$ par définition et $\alpha(x) = (x_n)_{n \ge 0}$.</footnote>
ce qui permet de conclure.

☐

Revenons maintenant à la preuve de la proposition 7.4. Par le lemme 7.7 on peut munir $B := Q^{\sharp}[\frac{1}{p}]$ d'une structure de $K$-algèbre de Banach perfectoïde sans $g$-torsion, telle que $g^{-1/p^{\infty}}B^0 = Q$, en particulier $B[\frac{1}{g}] = Q[\frac{1}{g}] \simeq P[\frac{1}{g}]$. Puisque $A \to A_1$ est étale après inversion de $g$, l'algèbre $C = A_1 \otimes_A B[\frac{1}{g}] = A_1 \otimes_A Q[\frac{1}{g}]$ est finie, étale et fidèlement plate sur $B[\frac{1}{g}]$. Le lemme d'Abhyankar perfectoïde (57) montre que $\mathcal{F}(A')$ est presque fidèlement plat sur $B^0$ modulo $p$, donc aussi sur $P$ modulo $p$ (car $B^0$ et $P$ sont presque isomorphes dans le cadre $g^{1/p^{\infty}}$), et le morphisme $\mathcal{P}(A_1) = \mathcal{F}(A_1)^{\sharp} \to \mathcal{F}(A_1)$ est injectif, de conoyau tué par $(g^{p^{-\infty}})$. Cela permet de conclure.

Remarque 7.8. — Sous les hypothèses de la proposition ci-dessus ($\mathcal{P}(A_1), g$) est adapté au morphisme $A' \to A_1$, et $\mathcal{P}(A_1) \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ est presque fidèlement plat modulo $p$ sur $P$, sans $g$-torsion. Qu'un tel objet existe n'est déjà pas trivial pour $A_1 = A$ (si $P[g] \neq \{0\}$)!

## 7.2. Application 1 : nouvelle preuve du théorème 6.14

Dans ce court paragraphe nous expliquons pourquoi la proposition 7.4 et le lemme de platitude d'André fournissent une nouvelle preuve (58) du théorème 6.14.

Soit $A$ un anneau sympathique et soit $(x_1, \dots, x_d)$ un système de paramètres, avec $x_1 = p$. Le morphisme de $W(k)$-algèbres $A_0 := W(k)[[T_2, \dots, T_d]] \to A, T_i \mapsto x_i$ est fini et injectif. Soit $g \in pA_0 \setminus \{0\}$ tel que $A_0[\frac{1}{g}] \to A[\frac{1}{g}]$ soit étale, et soit $P \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ une $A_0$-algèbre fidèlement plate modulo $p$ sur $A_0$, dans laquelle $g$ devient $p$-puissant (cf. th. 6.6 et 4.3; le th. 4.1 ferait aussi l'affaire).

LEMME 7.9. — La suite $(x_1, \dots, x_d)$ est régulière et presque régulière dans $P$ (dans le cadre $g^{1/p^{\infty}}$) et l'image de $g$ dans $P$ n'est pas nulle.

Démonstration. — Si l'image de $g$ dans $P$ était nulle, elle le serait modulo $p^n$ pour tout $n$, or $A_0/p^n \to P/p^n$ est fidèlement plat, donc $g \in \cap_{n \ge 1} p^n A_0 = \{0\}$, une contradiction avec $g \in A_0 \setminus \{0\}$. Ensuite, comme $P$ est fidèlement plat modulo $p$ sur $A_0$ et $x_1 = p$, la suite est régulière dans $P$. Il reste à expliquer pourquoi inclusion $(g^{p^{-\infty}})P \subset (x_1, \dots, x_d)P$ est impossible. Si elle avait lieu, on aurait $g \in (x_1, \dots, x_d)^k P$ pour tout $k$, et comme $P/p^n$ est fidèlement plat sur $A_0/p^n$ pour tout $n$, cela forcerait $g \in \cap_k (x_1, \dots, x_d)^k$, puis $g = 0$ par le théorème d'intersection de Krull. □

En appliquant la proposition 7.4 au morphisme identité $A_0 \to A_0$, avec $A_1 = A$ on obtient une $P$-algèbre perfectoïde $\mathcal{P}(A)$ presque fidèlement plate modulo $p$ sur $P$, dans laquelle $g$ est non diviseur de zéro et qui s'insère dans un diagramme commutatif

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<footnote n="57">57. Noter que, compte tenu de la discussion ci-dessus on a $\mathcal{F}(A') = \tilde{C}^0$ dans les notations du th. 5.3.</footnote>

<footnote n="58">58. Il s'agit en fait de la première preuve de ce résultat, due à André (2018a).</footnote>
L'algèbre $\mathcal{P}(A)$ répond à l'appel lancé par le théorème 6.14 grâce au lemme ci-dessous :

LEMME 7.10. — Soit $R$ un anneau sans $p$-torsion, $g \in R$ un élément $p$-puissant et $x = (x_1, \cdots, x_d)$ une suite dans $R$, avec $x_1 = p$. Si $x$ est presque régulière dans $R$ (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$), elle le reste dans toute $R$-algèbre $S$ qui est presque fidèlement plate sur $R$ modulo $p$.

Démonstration. — Soit $I = (g^{p^{-\infty}}) \subset R$. Puisque $S/(x_1, \cdots, x_d)$ est presque fidèlement plat sur $R/(x_1, \cdots, x_d)$ (car $x_1 = p$) le morphisme $R/(x_1, \cdots, x_d) \to S/(x_1, \cdots, x_d)$ est presque injectif, donc $S/(x_1, \cdots, x_d)$ n'est pas presque nul. Pour montrer que $I$ annule $\frac{(x_1, \cdots, x_i)S:x_{i+1}S}{(x_1, \cdots, x_i)S}$ on peut supposer que $i > 0$ car $S$ est sans $p$-torsion. Notons $\bar{R} := R/p$, $\bar{S} := S/p$. Il suffit de montrer que $I$ annule $\frac{(x_2, \cdots, x_i)\bar{S}:x_{i+1}\bar{S}}{(x_2, \cdots, x_i)\bar{S}}$. Par presque platitude de $\bar{S}$ sur $\bar{R}$ on a un presque isomorphisme (59)

$$ (x_2, \cdots, x_i) \bar{S} : x_{i+1} \bar{S} \simeq ((x_2, \cdots, x_i) \bar{R} : x_{i+1} \bar{R}) \bar{S}, $$

ce qui permet de conclure.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## 7.3. Preuve du théorème 7.1

On se place dans ce paragraphe dans le contexte du théorème 7.1 et on note $\wp = \ker(f) \in \text{Spec}(A[\frac{1}{p}])$. Le résultat (standard) suivant jouera un rôle clé par la suite :

LEMME 7.11. — Pour tout anneau sympathique $A$ il existe $x \in pA \setminus \{0\}$ et un système inductif filtrant $(A_i)_{i \in I}$ d'extensions finies, intègres et normales de $A$, étales après inversion de $x$, tel que le complété $p$-adique $R = \lim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} A_i$ soit un anneau perfectoïde.

Démonstration. — Fixons une clôture algébrique $K^+$ du corps des fractions $K$ de $A$, et notons $A^+$ la clôture intégrale de $A$ dans $K^+$, et $A^n$ la clôture intégrale de $A$ dans $K$. Par le théorème de Nagata le morphisme $A \to A^n$ est fini, et $A^n$ est un anneau sympathique. Il existe donc $x \in pA \setminus \{0\}$ tel que $A[\frac{1}{x}] = A^n[\frac{1}{x}]$ à l'intérieur de $K$. Soit $(A_i)_{i \in I}$ la famille d'extensions finies et normales de $A^n$ dans $A^+[1/p]$, telles que $A^n[\frac{1}{p}] \to A_i[\frac{1}{p}]$ soit étale. Le morphisme $A[\frac{1}{x}] \to A_i[\frac{1}{x}]$ est étale pour tout $i$ par construction (et puisque $p \mid x$). Il reste à voir que le complété $p$-adique de $R := \lim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} A_i$ est perfectoïde, cf. la remarque 2.13.

□

En appliquant le lemme 7.11 à l'anneau sympathique $A' := A/\wp$, on obtient un élément non nul $u$ de $pA'$ et un système inductif filtrant $(A'_i)_{i \in I}$ d'extensions finies de $A'$, étales après inversion de $u$, dont le complété $p$-adique $R := \lim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} A'_i$ est perfectoïde.

Soit $\hat{u}$ un relèvement de $u$ dans $A \setminus \wp$. Comme $\hat{u} \notin \wp$, l'élément $g$ utilisé dans la prop. 6.9 peut être choisi multiple de $\hat{u}$. Avec un tel choix, les propositions 6.9 et 6.13

$$ 0 \to (x_2, \cdots, x_i) : x_{i+1} \bar{R} \to \bar{R} \to \bar{R}/(x_2, \cdots, x_i). $$

<footnote n="59">59. Il suffit de tensoriser avec $\bar{S}$ la suite exacte</footnote>
fournissent un élément $g \in pA \setminus \wp$, multiple de $\hat{u}$, une $C$-algèbre $P \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ dans laquelle $g$ est $p$-puissant et non nul, un diagramme commutatif

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

et, enfin, une suite $x = (x_1, \dots, x_d)$ dans $A$, telle que $x_1 = p$, son image dans $A/\wp$ est un système de paramètres et son image dans $P$ est une suite presque régulière (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$) d'éléments $p$-puissants.

La différence entre le lemme (crucial) suivant et la proposition 6.13 est la présence de la $A/\wp$-algèbre perfectoïde $R$ munie d'un morphisme vers $g^{-1/p^\infty}P$.

LEMME 7.12. — Il existe une $C$-algèbre sans $g$-torsion $\mathcal{P} \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$, s'insérant dans un diagramme commutatif$^{(60)}$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

et telle que $(x_1, \dots, x_d)$ soit une suite presque régulière (dans le cadre $g^{1/p^\infty}$) dans $\mathcal{P}$.

Démonstration. — Comme $A'[\frac{1}{g}] \to A'_i[\frac{1}{g}]$ est étale (car l'image de $g$ dans $A'$ est un multiple non nul de $u$), la proposition 7.4 (appliquée à $A'$ au lieu de $A$) fournit un système inductif filtrant $(\mathcal{P}_i = \mathcal{P}(A'_i))_{i \in I}$ de $P$-algèbres sans $g$-torsion et presque fidèlement plates modulo $p$ sur $P$, appartenant à $\text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ et s'insérant dans des diagrammes commutatifs compatibles avec la variation de $i$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Posons $\mathcal{P} := \varinjlim_{\underset{i \in I}{\longrightarrow}} \mathcal{P}_i$, la complétion étant $p$-adique. Alors $\mathcal{P} \in \text{Perf}_{K^0}^{\text{tf}}$ (prop. 2.12) est presque fidèlement plat modulo $p$ sur $P$ et on dispose d'un morphisme de $A'$-algèbres$^{(61)}$

$$R = \varinjlim_i A'_i \to \varinjlim_i g^{-1/p^\infty} \mathcal{P}_i \to g^{-1/p^\infty} \mathcal{P}$$

s'insérant dans un diagramme commutatif comme dans l'énoncé du lemme.

Enfin, quitte à remplacer $\mathcal{P}$ par une $\mathcal{P}$-algèbre presque fidèlement plate modulo $p$, on peut supposer que $g$ n'est pas un diviseur de zéro dans $\mathcal{P}$ (remarque 7.8). Le lemme 7.10 montre que la suite $(x_1, \dots, x_d)$ reste presque régulière dans $\mathcal{P}$. $\square$

<footnote n="60">60. Le morphisme vertical $A \to \mathcal{P}$ est le composé $A \to C \to \mathcal{P}$, et $A \to A/\wp$ est la projection canonique.</footnote>

<footnote n="61">61. Cela utilise le fait que $g^{-1/p^\infty} \mathcal{P}$ est $p$-complet, cf. lemme 7.5.</footnote>
Pour $t \in \{g, x_1, \dots, x_d\}$ posons $^{(62)}$ $t^b := (t, t^{1/p}, \dots) \in \mathcal{P}^b$. La suite $(x_1^b, x_2^b, \dots, x_d^b)$ est presque régulière (dans le cadre $(g^b)^{1/p^\infty}$) dans $\mathcal{P}^b$, puisque l'isomorphisme $\mathcal{P}^b/p^b \simeq \mathcal{P}/p$ envoie $x_i^b$ sur $x_i$. Cette suite reste presque régulière dans $\mathcal{Q}^b$, où $\mathcal{Q} = g^{-1/p^\infty}\mathcal{P}$, car $\mathcal{P}^b$ et $\mathcal{Q}^b$ sont presque isomorphes.

Comme nous sommes maintenant en caractéristique $p$, on peut faire appel aux travaux
de Dietz (2007), qui fournissent un morphisme $\mathcal{Q}^b \to C_1'$ vers une $\mathbf{F}_p[[x_1^b, x_2^b, \dots, x_d^b]]$-
algèbre parfaite $C_1'$ dans laquelle $(x_1^b, x_2^b, \dots, x_d^b)$ devient une suite régulière.

Le morphisme $\mathcal{Q}^b \to C_1'$ induit une structure de $\mathcal{Q}^b$-algèbre sur $C_0' = W(C_1')/(p-[p^b])$.
Les morphismes $\mathcal{P}^b \to \mathcal{Q}^b \to C_1'$, $R^b \to \mathcal{Q}^b \to C_1'$ induisent des morphismes $\mathcal{P} \to C_0'$ et
$R \to C_0'$ s'insérant dans un diagramme commutatif

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Ce dernier point mérite une justification : il suffit de voir qu'on a un tel diagramme
avec $C_0'$ remplacé par $\mathcal{Q}^b$, puisque les morphismes $\mathcal{P} \to C_0'$ et $R \to C_0'$ se factorisent
par $\mathcal{Q}^b$. Enfin, il suffit de vérifier la commutativité après composition avec l'injection
(lemme 7.6) $\mathcal{Q}^b \to \mathcal{Q}$, mais celle-ci est claire.

Enfin, puisque l'isomorphisme $(C_0')^b/p^b \simeq C_0'/p$ identifie $x_i^b$ et $x_i$, $C_0'$ est une $\mathcal{P}$-algèbre perfectoïde (donc une $\mathcal{C}$-algèbre perfectoïde) et une $A' = A/\wp$-algèbre dans laquelle le système de paramètres $(x_1, \dots, x_d)$ de $A'$ est une suite régulière.

Le complété *m*-adique $C'$ de $C_0'$ est une *A*-algèbre de Cohen–Macaulay *m*-complète perfectoïde qui répond à l’appel lancé par le théorème 7.1, grâce à la proposition 1.9 et au lemme 6.4.

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Gabriel Dospinescu

UMPA, ENS Lyon, CNRS

E-mail : gabriel.dospinescu@ens-lyon.fr