# Pendules simple et couplés sous le prisme des mathématiques

Nathan Couchet

► To cite this version:

Nathan Couchet. Pendules simple et couplés sous le prisme des mathématiques. 2025. hal-05273384

HAL Id: hal-05273384

https://hal.science/hal-05273384v1

Preprint submitted on 22 Sep 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Résumé

Cet article explore les modèles du pendule simple et du pendule couplé en mécanique classique, avec pour objectif d'illustrer auprès des étudiants, des théorèmes et techniques provenant du monde de l'analyse (fonctionnelle) et l'algèbre linéaire.

Le pendule simple est analysé via la mécanique ponctuelle, en déterminant son équation du mouvement par le principe fondamental de la dynamique. Cette équation, une fois linéarisée (hypothèse des petits angles), devient celle d'un oscillateur harmonique, où la période dépend uniquement de la longueur du fil. Une réflexion est menée sur les pertes d'informations induites par cette linéarisation et la formule de Borda est démontrée en s'appuyant sur les outils des programmes de CPGE scientifiques. Le pendule couplé, composé de deux tiges de même masse reliées par un ressort, est étudié comme un système de solides indéformables. Cela conduit à un système de deux équations différentielles non-linéaires couplées. Linéarisé, ce système devient un oscillateur harmonique bidimensionnel. Sa dynamique est gouvernée par une matrice symétrique définie positive, et l'usage du théorème spectral et du calcul fonctionnel matriciel permet d'en obtenir une unique solution. Plusieurs conditions initiales sont alors examinées et l'on exhibe les modes propres du système. Enfin, l'étude s'achève en replaçant l'équation de l'oscillateur harmonique :

$$ \begin{cases} y'' + ay = 0 \\ y(0) = y_0, \quad y'(0) = v_0, \end{cases} \quad \text{où a un élément auto-adjoint strictement positif,} \qquad (1) $$

dans l'univers des $C^*$-algèbres, environnement naturel du calcul fonctionnel continu, élargissant ainsi la portée mathématique de ces modèles issues des sciences physiques. Afin d'apporter un éclairage historique sur cette partie des Sciences nous présenterons, chemin faisant, certains textes originels.
# Pendules simple et couplés sous le prisme des mathématiques

Nathan Couchet

nathan.couchet@ac-strasbourg.fr

22 septembre 2025

## 1 Introduction

Cet article a pour vocation d'illustrer la richesse mathématique inhérente aux modèles des pendules simple et couplé que l'on rencontre en mécanique classique. Destiné en particulier à un public d'étudiants en formation scientifique dont on désire ardemment éveiller un intérêt pour les interactions entre sciences physiques et mathématiques, cet article met en lumière comment des théorèmes fondamentaux issus de l'analyse (fonctionnelle) et de l'algèbre linéaire peuvent être mobilisés pour modéliser, comprendre et résoudre des problèmes concrets de mécanique.

Dans une première partie, nous étudions le pendule simple, modélisé comme un point matériel soumis à la pesanteur. En appliquant le théorème du moment cinétique, nous obtenons une équation différentielle non-linéaire du second ordre, dont la linéarisation permet d'approcher le comportement dynamique du système pour de faibles amplitudes. Pour améliorer notre connaissance de la période des oscillations du pendule, on repart de l'équation non-linéarisée et l'étude d'une intégrale elliptique conduit à la célèbre formule de Borda, laquelle se voit aussi complétée par une série infinie donnant l'expression générale $T(l, \theta_0)$ de la période en fonction de la longueur $l$ du fil et de l'angle initial $\theta_0$ duquel on lâche le pendule. C'est l'occasion de discuter d'intégrale impropre, de changement de variable, de convergence normale, d'interversion série-intégrale...

La seconde partie s'intéresse au pendule couplé dans le cadre de l'approximation des petits angles, système plus complexe constitué de deux tiges rigides de même masse, reliées par un ressort et repérées par rapport à la verticale à l'aide de deux angles $\theta_1$ et $\theta_2$. On l'aborde ici comme un système de solides indéformables, dont la dynamique donne lieu à un système de deux équations différentielles non-linéaires et couplées. Une fois linéarisé, ce système prend la forme d'un oscillateur harmonique bidimensionnel :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\Theta} + S\Theta = 0_{\mathbb{R}^2} \\ \Theta(0) = \Theta_0, \quad \dot{\Theta}(0) = V_0, \quad t \mapsto \Theta(t) = \begin{pmatrix} \theta_1(t) \\ \theta_2(t) \end{pmatrix}, \end{array} \right. \qquad (2) $$

dont le comportement est gouverné par une matrice symétrique définie positive $S \in S_2^{++}(\mathbb{R})$. Grâce au théorème spectral et aux outils du calcul fonctionnel matriciel on montre que l'unique solution de ce problème de Cauchy de l'oscillateur harmonique bi-dimensionnel est :

$$ \Theta(t) = \cos(\sqrt{S}t)\Theta_0 + (\sqrt{S})^{-1}\sin(\sqrt{S}t)V_0. \qquad (3) $$

L'analyse de différentes conditions initiales met en évidence les modes propres du système, le principe de superposition et fournit une passerelle naturelle vers la notion d'espaces vectoriels.

Enfin, la dernière section inscrit ce travail dans un cadre mathématique plus large en réinterprétant l'équation de l'oscillateur harmonique :

$$ \left\{ \begin{array}{l} y'' + ay = 0 \\ y(0) = y_0, \quad y'(0) = v_0, \quad \text{où } a \text{ un élément auto-adjoint strictement positif,} \end{array} \right. \qquad (4) $$

au sein de l'univers des $C^*$-algèbres, qui constitue l'environnement naturel du calcul fonctionnel continu et permet d'élargir la portée conceptuelle des modèles étudiés, en les reliant à des structures fondamentales de l'analyse moderne. Pour apporter un éclairage historique sur ces notions, nous évoquerons entre autre des travaux précurseurs dans lesquels émergent, à l'aube du XXième siècle, les notions d'algèbres de Banach (anciennement appelées « anneaux normés complets ») et de sous-groupes à un paramètre où l'exponentielle occupe une place prépondérante. Dans les citations, les passages entre crochet désignent des ajouts personnels visant à apporter des éléments de compréhension.
**Remerciements** : Je voudrais témoigner ici toute l'estime que je porte à mes ami(e)s enseignant(e)s et mathématicien(ne)s qui ont relu et commenté ce document avec une grande attention afin d'en améliorer la qualité : Aurélie Paull, Alexandre Michel, Philippe Malot, mon ancien directeur de thèse Robert Yuncken. Merci à mon ami Laurent V. pour sa chasse aux coquilles et ses conseils pour la mise en forme LATEXde cet article.
## 2 Le pendule simple et la formule de Borda

Le début de cette section est fortement emprunté à [Cou25, Partie III (à paraître)]. Nous allons nous intéresser au modèle du pendule simple, obtenir son équation du mouvement en oscillations libres i.e. le pendule est abandonné avec un angle initial $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$ sans vitesse initiale et finalement discuter de la période des oscillations de la masse i.e. le temps qu'elle met pour faire un aller retour. Présentons le modèle et les hypothèses simplificatrices. Le pendule simple est constitué d'une masse **ponctuelle** M de masse m attachée au bout d'un fil inextensible de longueur l et de masse négligeable. Nous considérons comme parfaite la liaison pivot au niveau du point O. Le point M allant décrire des arcs de cercle, il est donc judicieux de le repérer avec un système de coordonnées polaires via l'angle :

$$ \theta = \langle \vec{e}_x, \overrightarrow{OM} \rangle \qquad (5) $$

On désigne par $\mathcal{R} = (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ un repère lié un référentiel supposé galiléen. Dans ce qui suit $\vec{a}_M^\mathcal{R}, \vec{v}_M^\mathcal{R}$ désignent respectivement l'accélération et la vitesse du point M dans ce référentiel. Nous noterons également avec le symbole $\wedge$ le produit vectoriel entre deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$, étant entendu, vis à vis de ce problème plan, que l'on visualise un vecteur de $\mathbb{R}^2$ comme un vecteur de $\mathbb{R}^3$, ce qui correspond au plongement $\mathbb{R}^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3$, $(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$.

Voici un schéma de la situation :

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Schéma du pendule simple</figcaption></figure>

Rappelons que, si $(\overrightarrow{F_{i,ext}})_i$ désigne une famille de forces extérieures s'appliquant sur M, le postulat du principe fondamental de la dynamique de Newton appliqué à la masse ponctuelle M statue que :

$$ m \times \vec{a}_M^\mathcal{R} = \sum_i \overrightarrow{F_{i,ext}}. \qquad (6) $$

Considérons alors le moment cinétique de la masse M

au point O, soit par définition, le produit vectoriel du vecteur position par la quantité de mouvement :

$$ \vec{\sigma}_O^\mathcal{R} = \overrightarrow{OM} \wedge \underbrace{(m \times \vec{v}_M^\mathcal{R})}_{\text{Quantité de mouvement}}. \qquad (7) $$

En remarquant, par bilinéarité du produit vectoriel, que la dérivée du moment cinétique du point M en O est<fnref n="1" /> :

$$ B(a + h, b + k) = B(a, b + k) + B(h, b + k) \qquad (8) $$

$$ = B(a, b) + \underbrace{B(a, k) + B(h, b)}_{:=d_{a,b}B(h,k)} + B(h, k). \qquad (9) $$

<footnote n="1">1. On fait appel au cours de calcul différentiel de Spé : une forme bilinéaire $B: E \times F \to G$ - telle que le produit vectoriel $(\vec{u}, \vec{v}) \mapsto \vec{u} \wedge \vec{v}$ - sur un produit d'espaces vectoriels $E$ et $F$ de dimension finie (muni de normes $\| \cdot \|_E, \| \cdot \|_F$) et où $G$ est un $\mathbb{K}$-evn, est différentiable. En effet soit $(a, b) \in E \times F$ et $(h, k) \in E \times F$ désignant un petit accroissement on a :</footnote>
$$ \frac{d}{dt}|_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_O^R = \frac{d}{dt}|_{\mathcal{R}} (\overrightarrow{OM} \wedge m \vec{v}_M^R) \quad (11) $$

$$ = \underbrace{\vec{v}_M^R \wedge m \vec{v}_M^R}_{=\vec{0}} + \overrightarrow{OM} \wedge m \overrightarrow{a_M^R} \quad (12) $$

$$ = \overrightarrow{OM} \wedge m \vec{a}_M^R, \quad (13) $$

on obtient le théorème du moment cinétique (ponctuel) :

$$ \frac{d}{dt} \vec{\sigma}_O^R = \overrightarrow{OM} \wedge \left( \sum_i \overrightarrow{F_{i,ext}} \right) \quad (14) $$

$$ = \sum_i \overrightarrow{M_O(\vec{F}_{i,ext})}, \quad (15) $$

à savoir que la dérivée temporelle du moment cinétique en $O$ est égale à la somme des moments en $O$ des forces extérieures s'appliquant au système (ici le point matériel $M$). Ainsi, dans le cas de notre pendule simple, le théorème du moment cinétique appliqué au point $O$ dans le repère fixe $\mathcal{R} = (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ donne :

$$ \frac{d}{dt}|_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_O^R = \overrightarrow{M_O(\vec{P})} + \overrightarrow{M_O(\vec{T})} + \overrightarrow{M_O(\vec{F})}, \quad (16) $$

où les trois forces mises en jeu sont :

1. $\vec{P}$ : le poids dirigé selon $\vec{e}_x$.

2. $\vec{T}$ : la force de tension exercée par le fil sur la masse $M$, dirigée selon $\vec{e}_r$.

3. $\vec{F}$ : $= -\gamma \vec{v}_M^{(R)}$ la force de frottement fluide exercée par le milieu ambiant (ici l'air) sur la masse, et où $\gamma > 0$ désigne le coefficient de frottement fluide. Elle est dirigée selon $\vec{e}_\theta$, voir ci-après.

Puisque d'une part $\overrightarrow{OM} = l \vec{e}_r$ entraîne aisément $\overrightarrow{v}_M^R = l \dot{\theta} \vec{e}_\theta$ et que d'autre part $\overrightarrow{M_O(\vec{T})} = \vec{0}$ car $\vec{T}$ est linéaire à $\overrightarrow{OM}(t)$ en tout temps, il vient :

$$ \frac{d}{dt}|_{\mathcal{R}} [l \vec{e}_r \wedge ml \dot{\theta} \vec{e}_\theta] = l \vec{e}_r \wedge \vec{P} + \vec{0} + l \vec{e}_r \wedge (-\gamma l \dot{\theta} \vec{e}_\theta). $$

On voit alors que l'intérêt majeur d'utiliser le théorème du moment cinétique réside dans le fait d'éliminer la force de tension $\vec{T}$ sur laquelle on ne connaît rien à part sa direction et son sens. Écrivant le vecteur poids dans la base polaire comme $\vec{P} = mg(\cos(\theta)\vec{e}_r - \sin(\theta)\vec{e}_\theta)$, il vient :

$$ ml^2 \ddot{\theta} \vec{e}_z = (-mgl \sin(\theta) - \gamma l^2 \dot{\theta}) \vec{e}_z, \quad (17) $$

La continuité automatique de $B$ (nous sommes en dimension finie!), entraîne que :

$$ \|B(h, k)\|_G \le C \|h\|_E \|k\|_F \le C \|(h, k)\|_{E \times F}^2, \quad (10) $$

où la norme produit sur le $\mathbb{K}$-evn $E \times F$ est prescrite par $\|(e, f)\|_{E \times F} = \max(\|e\|_E, \|f\|_F)$, ce qui permet de dire que $B(h, k) = o(\|(h, k)\|_{E \times F})$. Ainsi, en vertu du théorème de différentiabilité d'une composée, les applications à valeurs vectorielles $t \mapsto \overrightarrow{OM}(t)$ et $t \mapsto \overrightarrow{v}_M^{(R)}$ étant (supposées !) dérivables, alors $t \mapsto \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{v}_M^R(t)$ l'est aussi et l'équation (12) tombe. Le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ muni du produit vectoriel n'est pas une algèbre associative. Ainsi en général $\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) \neq (\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w}$ et il devient vital de mettre les parenthèses dans un produit vectoriel impliquant trois vecteurs. Ce produit lui confère en revanche une structure $\mathbb{R}$-algèbre de Lie.

2. Dans [Cou25, Partie III numéro 137] nous avons été plus rigoureux et expliqué clairement à l'aide d'un développement limité sur une fonction de plusieurs variables ce que « linéariser » signifiait.

d'où, en projetant sur $\vec{e}_z$, l'obtention de l'équation différentielle ordinaire d'ordre 2 avec problème de Cauchy :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\theta} + 2\lambda\dot{\theta} + \omega_0^2 \sin(\theta) = 0 \\ \theta(0) = \theta_0, \quad \dot{\theta}(0) = 0, \end{array} \right. \quad (18) $$

où l'on a posé $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$, $2\lambda = \frac{\gamma}{m}$. L'équation (18) ap- pelle quelques commentaires :

1. C'est une équation différentielle **non-linéaire** à coefficients constants. Les conditions initiales tra- duisent le fait que le pendule simple est lâché avec un angle initial $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$ et sans vitesse ini- tiale, ce qui correspond à l'égalité $\dot{\theta}(0) = 0$. C'est bien le théorème de Cauchy-Lipschitz qui assure l'existence d'une **unique trajectoire** (solution maximale ici) de notre mobile. La connaissance au temps $t = 0$ de l'état du système détermine entièrement son état pour des temps supérieurs.

2. Linéarisations² cette équation i.e. pour des petits angles $\sin(\theta) \simeq \theta$ et supposons négligeable la force de frottement fluide due à l'air i.e. $\lambda = 0$. Nous voici en présence de l'équation de l'oscillateur **harmonique** :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 \\ \theta(0) = \theta_0, \quad \dot{\theta}(0) = 0. \end{array} \right. \quad (19) $$

La période des oscillations du pendule (le temps pour que la masse $M$ fasse un aller-retour) est donnée par la formule :

$$ T_0(l) = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \quad (20) $$

**Important** : On supposera dorénavant que $\lambda = 0$ i.e. on néglige les frottements définitivement.

**Question** : Que dire de la formule (20) donnant la période propre $T_0(l)$ ?
1. Plus le fil est long et plus la période des oscillations est longue, ce qui mathématiquement revient à dire très explicitement :

$$ \lim_{l \to +\infty} T_0(l) = +\infty. \quad (21) $$

2. La période propre ne dépend pas de la masse m, ni de l'angle $\theta_0$ initial auquel on lâche notre pendule : selon ce modèle elle ne dépend que de l et il y a **isochronisme des oscillations**. Cette dernière conclusion est plus que surprenante ! Elle signifie-rait que le temps de parcours que met le pendule durant cette trajectoire continûment circulaire est le même si on lâche le pendule à $\theta_0 = 25$ degrés qu'à $\theta_0 = 5$ degrés... C'est a priori tout à fait contre-intuitif (mais déduit des hypothèses simplificatrices) !

3. La solution de l'EDL (19) est prescrite par :

$$ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t), \quad (22) $$

et nous dit que le pendule oscille indéfiniment sans jamais s'arrêter (dans un **mouvement sinusoïdal**)... Ceci n'est pas choquant outre mesure si l'on se souvient qu'on a négligé les forces de frottement (de l'air et aussi des frottements du fil au niveau de sa liaison pivot avec le support métallique) qui, en réalité, empêchent le mouvement dans sa durée en atténuant progressivement les amplitudes (« damping effect »).

**Question** : Peut-on améliorer notre connaissance de la période propre $T_0(l)$ du pendule simple ?

Reprenons l'équation non-linéarisée :

$$ \ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin(\theta) = 0, \quad (23) $$

En la multipliant par $\dot{\theta}$ on peut faire apparaître :

$$ \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \omega_0^2 \cos(\theta) \right] = 0 \quad (24) $$

En intégrant on trouve l'intégrale première du mouvement :

$$ \dot{\theta}^2 = 2\omega_0^2 (\cos(\theta_0) - \cos(\theta)). \quad (25) $$

Il est également possible d'aboutir à cette équation (25) en utilisant un principe physique très important : la conservation de l'énergie mécanique (somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles). En effet, la force de tension du fil ne travaille pas au cours du mouvement. Ainsi les seules forces qui travaillent sont des forces conservatives<fnref n="3" />, donc l'énergie mécanique du système est conservée. En effet on rappelle que la dérivée de l'énergie mécanique est égale à la résultante des puissances des forces non-conservatives s'appliquant au système. En intégrant cette équation, nous voici de nouveau avec (25).

**Notation** : Puisque nous nous attendons cette fois à ce que la période du pendule dépendent de $l$ et de $\theta_0$, nous la notons dorénavant $T(l, \theta_0)$.

Notre but dans la fin de cette section est d'arriver à la fameuse formule de Borda :

$$ T(l, \theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{\sqrt{1 - \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \sin(u)^2}} \quad (26) $$

$$ \approx T_0(l) \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right). \quad (27) $$

Pour ce faire, un sérieux travail d'analyse s'impose et qui aura le mérite de mettre en exergue les théorèmes du programme de Sup et Spé :

1. Remarquons d'une part que $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$ et pour $t \in [0, \frac{T(l, \theta_0)}{4}]$ on a $\theta(t) \le \theta_0$ au cours du mouvement. La fonction cos étant décroissante sur $]0, \frac{\pi}{2}]$ on a bien pour tout $t \in [0, \frac{T(l, \theta_0)}{4}]$, $\cos(\theta(t)) - \cos(\theta_0) \ge 0$, la racine de cette quantité fait donc sens. D'autre part, on doit bien rajouter un signe – devant cette racine car la fonction $t \mapsto \theta(t)$ décroit au cours du mouvement sur le premier quart de période, entraînant que sa dérivée $t \mapsto \dot{\theta}(t)$ est négative. Ainsi de (25) on tire pour tout $t \in [0, \frac{T(l, \theta_0)}{4}]$ :

$$ \frac{d\theta}{dt}(t) = \dot{\theta}(t) = -\sqrt{\frac{2g}{l} [\cos(\theta(t)) - \cos(\theta_0)]}. \quad (28) $$

Alors en procédant à la méthode de séparation des variables il vient :

$$ dt = \frac{-d\theta}{\sqrt{\frac{2g}{l} [\cos(\theta) - \cos(\theta_0)]}}. \quad (29) $$

2. Montrons que l'intégrale :

$$ \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}}, \quad (30) $$

fait bien sens, en tant qu'intégrale impropre ce qui rendra licite l'intégration de (29) sur l'intervalle $[0, \theta_0]$. Posons la fonction :

$$ g: I = [0, \theta_0[ \to \mathbb{R}, \theta \mapsto \frac{1}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} \quad (31) $$

et montrons qu'elle est intégrable sur $I$. Constantons que cette fonction est bien continue sur

<footnote n="3">3. Mathématiquement une force $\vec{F}$ est conservative si elle peut s'écrire sous la forme $\vec{F} = -\overline{\nabla E_p}$ où $E_p$ est une fonction différentiable, dite « énergie potentielle » : on dit que $\vec{F}$ dérive d'une énergie potentielle.</footnote>
I, puisque l'intervalle $I$ est ouvert en $\theta_0$ (ce qui empêche au dénominateur de s'annuler) et qu'en 0, $g$ admet, du fait de la continuité des fonctions mises en jeu, une limite finie qui est $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos(\theta_0)}}$ et qui fait bien sens puisque $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$. Ainsi l'intégrabilité en 0 est assurée. Reste à voir l'intégrabilité en $\theta_0$.

En écrivant le taux d'accroissement de la fonction cosinus en $\theta_0$, on obtient, par composition des limites avec la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ :

$$ \lim_{\theta \to \theta_0^{-}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}}}{\frac{1}{\sqrt{-\sin(\theta_0)(\theta - \theta_0)}}} = 1, \quad (32) $$

Cela nous conduit à :

$$ \frac{1}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} \underset{\theta \to \theta_0^{-}}{\sim} \frac{1}{\sqrt{\sin(\theta_0)}} \frac{1}{\sqrt{\theta_0 - \theta}}. \quad (33) $$

Constatons que les quantités $\sqrt{\sin(\theta_0)}$ et $\sqrt{\theta_0 - \theta}$ font bien du sens puisque $0 \le \theta < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$. Le critère de Riemann prouve que la fonction dans l'équation (33), de signe constant, est intégrable au voisinage de $\theta_0$. De là, il s'ensuit l'intégrabilité de $g$.

En conclusion, on peut intégrer l'équation (29) entre l'instant initial $t=0$ où le pendule part avec un angle $\theta_0$ et l'instant $t_0$ où le pendule a atteint le point $(l, 0, 0)$ situé à la verticale, i.e. il a parcouru un quart de la période $T(l, \theta_0)$ :

$$ \frac{T(l, \theta_0)}{4} = \int_0^{t_0} dt = \int_{\theta_0}^{0} \frac{-d\theta}{\sqrt{2g \left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_0) \right]}}. $$

Ainsi on récolte :

$$ T(l, \theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}}. \quad (34) $$

**Remarque :** Cette fois il n'y a plus isochronisme des oscillations car la période du pendule simple dépend comme on s'y attendait de l'angle initial $\theta_0$ auquel on lâche le pendule.

3. Nous nous apprêtons à conduire un changement de variable dans notre intégrale (34).

(a) Rappelons que $I = [0, \theta_0[$. Puisque $\theta \mapsto \sin(\frac{\theta}{2})$ est croissante sur $I \subset [0, \pi]$ alors :

$$ g : \theta \in I \mapsto \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}, \quad (35) $$

est strictement croissante et a image dans $[0, 1]$. Par ailleurs $\arcsin : [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ est strictement croissante donc la fonction :

$$ f : \theta \in I \mapsto \arcsin \left( \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} \right), \quad (36) $$

est bien définie et est strictement croissante. Par continuité de $\arcsin$ et de la fonction $g$, l'image de $f = \arcsin \circ g$ est donc $f(I) = [0, \frac{\pi}{2}]$. Rappelons que la fonction $\arcsin$ est $C^1$ sur $]-1, 1[$ et il est aisé de voir que $g$ est de classe $C^\infty$ sur $I$. Ainsi $f : ]0, \theta_0[ \to ]0, \frac{\pi}{2}]$ est $C^1$ comme composée de deux fonctions de classe $C^1$.

(b) Rappelons la formule de trigonométrie :

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \quad \cos(\theta) = 1 - 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)^2. \quad (37) $$

On dérive $f$ pour tout $\theta \in ]0, \theta_0[$ :

$$ \begin{align} f'(\theta) &= \arcsin' \left( \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} \right) \times \left[ \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} \right]' \tag{38} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 - \left[ \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} \right]^2}} \times \frac{1}{2\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \tag{39} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}} \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2} \tag{40} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \tag{41} \end{align} $$

où nous avons utilisé la formule de trigonométrie (37) pour aboutir à la dernière équation.

(c) Montrons que l'égalité suivante est vraie :

$$ \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}du}{\sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)^2}} \quad (42) $$
avec $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$. Nous rentrons ici dans une partie très calculatoire. Nous allons procéder au changement de variable :

$$u = \arcsin\left(\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}\right) = f(\theta). \quad (43)$$

Ce dernier est bien licite puisque d'après ce qui précède, la fonction $f : ]0, \theta_0[ \to ]0, \frac{\pi}{2}]$ est une bijection de classe $C^1$ strictement croissante. Ainsi :

$$du = f'(\theta)d\theta. \quad (44)$$

De (43) on tire :

$$\frac{\theta}{2} = \arcsin \left( \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right) \sin(u) \right) \quad (45)$$

$$\Leftrightarrow \cos(\frac{\theta}{2}) = \cos(\arcsin(\phi(u))) = \sqrt{1 - \phi(u)^2}, \quad (46)$$

où $\phi(u) = \sin(\frac{\theta_0}{2})\sin(u)$ et où nous avons utilisé que :

$$\forall x \in [-1, 1], \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}. \quad (47)$$

Il vient alors :

$$\int_{0}^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} \quad (48)$$

$$= \int_{0}^{\theta_0} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\cos(\theta) - \cos(\theta_0)}} \frac{\sqrt{2}}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} d\theta \quad (49)$$

$$= \underbrace{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2} du}{\sqrt{1 - \phi(u)^2}}}_{(41), (44), (46)} \quad (50)$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2} du}{\sqrt{1 - \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \sin(u)^2}}. \quad (51)$$

Pour le changement des bornes de $I = [0, \theta_0[$ à $[0, \frac{\pi}{2}]$, on avait démontré en 3 (a) que :

$$f(I) = \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. \quad (52)$$

Il suffit, pour conclure, de multiplier (42) par la quantité $4\sqrt{\frac{l}{2g}}$. Finalement :

$$T(l, \theta_0) = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{\sqrt{1 - \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \sin(u)^2}}. \quad (53)$$

Nous allons maintenant effectuer un DL de l'intégrande lorsque $\theta_0 \to 0^+$, pour avoir une approximation de la période du pendule simple.

4. On se souviendra du DL usuel en 0 de :

$$\frac{1}{\sqrt{1-y}} = 1 + \frac{y}{2} + \underbrace{\frac{3}{8}y^2 + o_{y \to 0}(y^2)}_{=O_{y \to 0}(y^2)} \quad (54)$$

soit par composition avec la fonction carrée :

$$\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} = 1 + \frac{1}{2}y^2 + O_{y \to 0}(y^4). \quad (55)$$

Ainsi, par définition du grand $O$, la notation $O_{y \to 0}(y^4)$ signifie qu'il existe une fonction $\beta_1 : ]-\delta, \delta[ \to \mathbb{R}$ bornée (définie sur un voisinage de 0) par un réel $M$. Précisément pour tout $y \in ]-\delta, \delta[$ :

$$O_{y \to 0}(y^4) = y^4 \beta_1(y), \quad |\beta_1(y)| \le M. \quad (56)$$

Pour $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ et $\mathcal{V}(0)$ un voisinage de 0, on introduit la fonction :

$$h_u : x \in \mathcal{V}(0) \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - (x \sin(u))^2}}, \quad (57)$$

et par ce qui précède :

$$h_u(x) = 1 + \frac{(x \sin(u))^2}{2} + (x \sin(u))^4 \beta_1(x \sin(u)). \quad (58)$$

Constatons que quand $\theta_0 \to 0^+$ alors il en est de même pour la quantité $\sin(\frac{\theta_0}{2})$. Quittons momentanément la présentation en colonnes.
Par composition des développement limités - i.e. posant $x = \sin(\frac{\theta_0}{2})$ - il vient dans (53) :

$$ T(l, \theta_0) = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 + \frac{\sin(u)^2}{2} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 + \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4 \sin(u)^4 \times \beta_1\left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right) \right] du \quad (59) $$

$$ = 2\pi \underbrace{\sqrt{\frac{l}{g}} + 4\sqrt{\frac{l}{g}} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(u)^2}{2} du}_{:=T_0(l)} + 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4 \sin(u)^4 \times \beta_1\left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right) \right] du \quad (60) $$

$$ = T_0(l) + 4\sqrt{\frac{l}{g}} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \times \frac{\pi}{8} + 4\sqrt{\frac{l}{g}} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4 \underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \sin(u)^4 \times \beta_1\left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right) \right] du}_{:=\Psi(\theta_0)} \quad (61) $$

$$ = T_0(l) \left(1 + \frac{1}{4} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2\right) + \Psi(\theta_0). \quad (62) $$

Remarquons que $\beta_1$ est suffisamment régulière (il suffit par exemple de faire la formule de Taylor reste intégral dans (55)) et donc la quantité $\Psi(\theta_0)$ est légitime. On reprend l'écriture en colonnes.

Notons que le calcul de l'intégrale :

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(u)^2}{2} du = \frac{\pi}{8}, \quad (63) $$

se fait facilement en utilisant la formule de trigonométrie (37). Il nous reste à justifier que :

$$ \Psi(\theta_0) = O_{\theta_0 \to 0^+} \left( \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right)^4 \right). \quad (64) $$

C'est là que va intervenir l'hypothèse concernant la bonté de $\beta_1:]$ - $\delta, \delta[\to \mathbb{R}$ au voisinage de l'origine. Or pour tout $u$ :

$$ \left| \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u) \right| \le \left| \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right|. \quad (65) $$

Notons que pour $\theta_0$ suffisamment proche de 0, alors :

$$ \left| \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right) \right| < \delta. \quad (66) $$

Ainsi pour tout $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ et pour ces mêmes $\theta_0$ proche de 0, on a :

$$ \left| \beta_1 \left( \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right) \sin(u) \right) \right| \le M. \quad (67) $$

Ainsi, on peut calculer :

$$ \left|\Psi(\theta_0)\right| \le 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \times \left|\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4\right| M \underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left|\sin(u)^4\right| du}_{<+\infty}, \quad (68) $$

l'intégrale à droite étant bien finie comme intégrale sur un segment (un compact!) de la fonction continue $u \mapsto |\sin(u)^4|$. Cela prouve que $\Psi(\theta_0) = O_{\theta_0 \to 0^+} \left( \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4 \right)$. Finalement nous avons bien établi que :

$$ T(l, \theta_0) = T_0(l) \left(1 + \frac{1}{4} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2\right) \quad (69) $$

$$ + O_{\theta_0 \to 0^+} \left( \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right)^4 \right). \quad (70) $$

Menons encore quelques calculs intermédiaires pour tirer des informations de (70) :

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 &= \left[\frac{\theta_0}{2} + O_{\theta_0 \to 0^+}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2\right]^2 \\ &= \left[\frac{\theta_0}{2} + \beta_2(\theta_0)\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2\right]^2 \\ &= \left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 + 2\beta_2(\theta_0)\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^3 + \beta(\theta_0)^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4 \\ &= \left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 + O_{\theta_0 \to 0^+}\left(\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^3\right), \end{aligned} $$

où $\beta_2$ est une fonction bornée au voisinage de 0. Injectant ce qui précède dans (70) on a :

$$ \begin{aligned} T(l, \theta_0) &= T_0(l) \left(1 + \frac{1}{4} \left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 + O_{\theta_0 \to 0^+} \left(\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^3\right) \right. \\ & \qquad \left. + O_{\theta_0 \to 0^+} \left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^4\right) \right) \\ &= T_0(l) \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right) + O_{\theta_0 \to 0^+} \left(\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^3\right). \end{aligned} $$

En négligeant les termes à partir de l'ordre 3, il vient la désirée **formule de Bordà** :

$$ T(l, \theta_0) \approx_{\theta_0 \to 0^+} T_0(l) \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right), \quad T_0(l) := 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \quad (71) $$

Saada dans son article [Saa73, § 2 p 751] de 1973 précise même le développement en série entière de $\theta_0 \mapsto T(l, \theta_0)$ au voisinage de 0. L'auteur nous gratifie en effet de la jolie formule :

$$ T(l, \theta_0) = T_0(l) \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \right]^2 \left( \sin \left( \frac{\theta_0}{2} \right) \right)^{2n}, \quad (72) $$
ce qui lui permet par ailleurs d'avoir plus finement :

$$T(l, \theta_0) \approx_{\theta_0 \to 0^+} T_0(l) \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11}{12} \left(\frac{\theta_0^2}{16}\right)^2\right). \quad (73)$$

Voici grossièrement la démarche exposée par Saada à laquelle nous rajoutons plus explicitement quelques arguments mathématiques, toujours de concert avec les programmes de CPGE scientifiques. Tout d'abord pour tout $\theta_0 \in \mathcal{V}(0)$ et pour tout $u \in \mathbb{R}$ :

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \sin(u)^2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right)^{2n}, \quad (74)$$

ce qui est licite en se souvenant d'une part du développement en série entière de la fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ avec $|x| < 1$ et d'autre part, lorsque $\theta_0$ est proche de 0, en assurant que pour tout $u \in \mathbb{R}$ :

$$\left|\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right|^2 \le \left|\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right|^2 \quad (75)$$

$$\le \left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 < 1. \quad (76)$$

Posons maintenant la suite de fonctions continues :

$$f_n(\cdot, \theta_0) : u \mapsto \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \sin(u)\right)^{2n}, \quad (77)$$

et pour $\theta_0$ suffisamment proche de 0, montrons que la série $\sum (f_n(\cdot, \theta_0))_{n \ge 0}$ converge normalement sur le segment $[0, \frac{\pi}{2}]$. On remarque que pour tout entier naturel $n$, pour tout $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ on a :

$$|f_n(u)| \le \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right)^{2n} = v_n, \quad (78)$$

soit en terme de norme sup :

$$\|f_n\|_{\infty, [0, \frac{\pi}{2}]} \le v_n. \quad (79)$$

La convergence normale est garantie en effectuant le calcul :

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{v_{n+1}}{v_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2} \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 \quad (80)$$

$$= \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)^2 < 1, \quad (81)$$

car $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ et par croissance de $x \mapsto \sin(x)^2$ sur cet intervalle. La convergence normale sur ce segment, a fortiori uniforme, permet d'intervertir la somme et l'intégrale de sorte que l'on tire :

$$T(l, \theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \left(\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right)^{2n} W_{2n}, \quad (82)$$

où l'on reconnaît l'intégrale de Wallis :

$$W_{2n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(u)^{2n} du. \quad (83)$$

Le calcul bien connu de cette intégrale offre :

$$W_{2n} = \frac{\pi \binom{2n}{n}}{2 4^n}, \quad (84)$$

et de là on tire (72). Enfin, notons pour le lecteur intéressé, que Saada propose [Saa73, § 4 p 757] une méthode numérique basée sur la moyenne arithmétique-géométrique pour approcher informatiquement la période $T(l, \theta_0)$.

**Une application numérique** : On se donne une masse $m = 200$ g accrochée à un fil de longueur $l = 20$ cm. On prend $g = 9,81 \text{ m.s}^{-2}$.

**Question** : A partir de quelle valeur d'angle en degré pourra-t-on observer un décalage d'au moins 1 % entre la période $T_0(l)$ et la période $T(l, \theta_0)$ ? Quid pour 5 % ?

On commence par bien convertir les unités, de sorte que la période propre $T_0$ est donnée par :

$$T_0(l) = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{20 \times 10^{-2}}{9,81}} \approx 0,90 \text{ s.} \quad (85)$$

Cherchons $\theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]$ de sorte que :

$$\begin{align*}
|T(l, \theta_0) - T_0(l)| &\ge 0,01 \Leftrightarrow \left|T_0(l) \frac{\theta_0^2}{16}\right| \ge 0,01 \\
&\Leftrightarrow \left|\theta_0\right| \ge \sqrt{\frac{0,01}{T_0(l)}} \times 16 \approx 0,42.
\end{align*}$$

**Attention** : l'angle est ici exprimé en radian ! Ainsi l'angle minimum $\theta_0$ auquel il faut lâcher le pendule pour observer un décalage d'au moins 1 % vis à vis de la formule de Borda est 24 degrés.

Un calcul similaire montre que pour observer un décalage d'au moins 5 % vis à vis de la formule de Borda il faut un angle d'au moins :

$$|\theta_0| \ge \sqrt{\frac{0,05}{T_0}} \times 16 \approx 0,94, \quad (86)$$

soit environ 54 degrés. Ce décalage est donc relativement difficile à observer avec du matériel de TP << commun >>.

Il mérite aussi d'être dit que dans l'approximation donnée par la formule de Borda (71), la période des oscillations **ne dépend pas**, encore une fois, de la masse $m$ de la bille. Historiquement - voir [PT07, p 10] - Daniel Bernoulli aurait trouvé en 1747 la formule de Borda (71), apportant le terme quadratique correctif en $\theta_0$. Dans les années 60-70, Pars [Par65] et Thurston [Thu72] ont démontré le résultat suivant, qui permet d'encairer très proprement le quotient $\frac{T(l, \theta_0)}{T_0(l)}$ et d'obtenir, en conséquence, des bornes sur $T(l, \theta_0)$.
**Théorème 1 (Pars-Thurston)** La période $T(l, \theta_0)$ des oscillations du pendule simple de période propre

$$T_0(l) = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \text{ vérifie :}$$
$$\frac{\theta_0}{\sin(\frac{\theta_0}{2})} \le \frac{T(l, \theta_0)}{T_0(l)} \le \sqrt{\frac{\theta_0}{\sin(\theta_0)}}, \quad (87)$$
$$\text{pour un angle initial } \theta_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}].$$

Terminons cette section avec quelques mots concernant les intégrales elliptiques de première et seconde espèces que l'on rencontre lorsque l'on cherche à calculer le périmètre d'une ellipse - d'où leurs noms - ou du lemniscate de Jacob Bernoulli (1694). Ces intégrales, qui n'ont pas de primitive que l'on sait calculer, ont été traitées massivement par Legendre, Gauss au 19-ième siècle et Abel dans son « Précis d'une théorie des fonctions elliptiques » (1829).

Un célèbre problème de mécanique du 17-ième consiste à déterminer la courbe vérifiant la propriété d'isochronisme. Plus précisément on imagine une bille ponctuelle de masse $m$ glissant sans frottement sur une gouttière assimilée à une courbe du plan $\gamma : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$. La bille est supposée n'être soumise qu'à son poids et à la réaction du support. On cherche la forme que doit prendre la gouttière pour que le temps de parcours de la bille vers une origine donnée (le sol en général) ne dépende pas du point où on la lâche au départ. Une telle courbe porte le nom de courbe tautochrone. C'est Huygens dans son « Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum » de 1673 qui identifia en premier la courbe cycloïdale comme solution du problème de la courbe tautochrone, voir aussi [Ant04], [dB81], [Ver94, p 223-224, 227], [Cos62], [TE⁶⁰, § c p 47].

C'est dans son travail de 1881 intitulé « Solutions de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies » qu'Abel a abouti à l'équation (88) :

$$T(y_0) = -\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_0^{y_0} \frac{ds}{dy} \times \frac{1}{\sqrt{y_0 - y}} dy, \quad (88)$$

qu'on nomme aujourd'hui **équation intégrale singulière de Volterra du premier type**<fnref n="4" />, voir [Tri85, §1-12 p 39], [HR37, p 158], [Jer99, p 11-14, § 2.3.2 p 110] et qui donne le temps $t_0 = T(y_0)$ - ce temps dépend de la hauteur $y_0$ à laquelle on lâche la bille - de parcours de la bille entre le point $\gamma(0) = (x_0, y_0)$

et une origine $O$ fixée en sachant que la courbe $\gamma$ sur laquelle roule cette bille a pour abscisse curviligne $s^5$. Au chapitre II « équations intégrales de Volterra » de ses « Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles » publiées en 1910, Volterra, qui enseigne à la faculté des Sciences de Rome, ré-étudie en détail l'équation d'Abel<fnref n="6" />. Plus généralement on définit, voir [Vol10, p 36], l'équation intégrale d'Abel généralisée d'inconnue $u$ et où $\phi$ est une fonction connue :

$$\int_0^x \frac{u(y)}{(x-y)^\alpha} dy = \phi(x), \quad 0 < \alpha < 1. \quad (89)$$

Au regard de cette discussion on pourrait se demander :

**Question :** Quelle doit être la trajectoire que devrait suivre notre pendule simple de sorte que la période ne dépende pas de l'angle initial $\theta_0$ auquel lâche la masse ?

La formule de Borda, qui montre que le temps de parcours de notre pendule dépend de l'angle initial $\theta_0$, nous permet donc d'exclure la trajectoire circulaire. Volterra constatera [Vol10, p 35] :

« Dans le cas particulier où l'on cherche la courbe tautochrone, il faut supposer que $\phi(h) = c$ [dans (89)], $c$ étant une constante; [...] on constate que la courbe [cherchée] est la cycloïde. »

La courbe cycloïde est en fait un objet tout à fait commun. Du point de vue de la cinématique, il s'agit de la trajectoire faite par la valve d'une roue de vélo - considérée sur le bord de la roue de rayon $R > 0$ - qui roule sans glisser sur le sol. L'équation paramétrique de cette courbe dont l'Histoire est extrêmement riche est donnée par :

$$\gamma_c : t \mapsto (R(t - \sin(t)), R(1 - \cos(t))). \quad (90)$$

En juin 1658, le mathématicien français Pascal lance un concours autour cycloïde - qu'on appelle parfois la roulette - et dont le but est de trouver des propriétés supplémentaires de la cycloïde telle que la rectification de cette courbe i.e. ce qui veut dire calculer la longueur des arcs de cette courbe. On lit d'ailleurs [Ver94, p 222] :

« En juin 1658, il [Pascal] va défier les mathématiciens de son époque de donner les démonstrations d'un certain nombre de résultats qu'il a obtenus sur la cycloïde. Ce genre de défi était relativement courant au 16ième siècle : rappelons les polémiques entre Cardan, Tartaglia, Del-Ferro sur la résolution des équations du 3ème et du 4ème degré.<fnref n="7" /> »

<footnote n="4">4. Le mot « singulière » se rapportant au fait que la fonction $y \mapsto \frac{1}{\sqrt{y_0 - y}}$ présente une singularité au point $y = y_0$.</footnote>

<footnote n="5">5. C'est à dire $s(t) = \int_0^t ||\gamma'(s)||ds$.</footnote>

<footnote n="6">6. Voir [Vol10, p 34] pour une définition et [Vol10, p 38] pour une application de l'équation d'Abel à un problème d'électromagnétisme résolu par Liouville en 1832, voir aussi [Lüt82, p 375-376] sur ce problème d'électromagnétisme.</footnote>

<footnote n="7">7. La période de la Renaissance italienne aura été le berceau des nombres complexes, voir [Fla03].</footnote>
Pascal propose à la clé du défi une somme d'argent qu'il payera de sa poche. Verrier poursuit [Ver94, p 222] :

« Le délai échu, Pascal considère que personne n'a effectivement pu résoudre les problèmes posés; le prix ne sera pas attribué et il va publier ses solutions, sous un pseudonyme, Amos Dettonville [voir aussi [Har71, p 231]]. Ce sont les «Lettres contenant quelques unes de ses inventions de géométrie »<fnref n="8" /> qui contiennent la résolution de tous les problèmes touchant la roulette qu'il avait proposés publiquement au mois de juin 1658. »

Notons que, suite à son défi Pascal a toutefois récolté

quelques réponses et l'une d'elle est particulièrement intéressante, [Ver94, p 222]. Sir Wren a en effet recitifié la courbe de la cycloïde, montrant que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à huit fois le rayon du cercle générateur, [Ver94, p 223], [M+22, p 165]. On peut interpréter ce résultat de Sir Wren en disant que lorsqu'un cercle de rayon R roule sans glisser sur un plan, la distance totale que parcourt le point accroché au bord de ce cercle lorsque ce dernier effectue un tour complet vaut huit fois son rayon R. Autrement dit avec nos mathématiques modernes :

$$ \ell(\gamma_c) = \int_{0}^{2\pi} \left\| \overrightarrow{\gamma'_{c}(t)} \right\| dt = 8R. \quad (91) $$

<footnote n="8">8. On appelle aussi ces lettres le «Traité de la Roulette » paru entre décembre 1658 et janvier 1659, [Ver94, p 227].</footnote>
## 3 Pendules couplés

Le lecteur pourra consulter les ouvrages [ABD86] et [Bc14] desquels nous nous sommes inspirés pour mener les rappels nécessaires de mécanique du solide indéformable. Nous conseillons d'autres excellentes ressources francophones au lecteur à savoir : [Sor24], [PC00]. On essaye toutefois au maximum d'explicitier les points techniques et de permettre au lecteur d'accéder à un bon niveau de rigueur.

On considère donc deux tiges métalliques $T_1$ et $T_2$ de

masse $m$ chacune, de même longueur $l$, en liaison pivot parfaite au niveau des points $O_1$ (resp. $O_2$). Ces deux tiges sont repérées par l'angle $\theta_1$ (resp. $\theta_2$) défini par :

$$ \theta_1 = \langle \vec{e}_x, \overrightarrow{O_1A_1} \rangle, \quad (\text{resp. } \theta_2 = \langle \vec{e}_x, \overrightarrow{O_2A_2} \rangle). \quad (92) $$

Aux extrémités $A_1$ (resp. $A_2$) des tiges $T_1$ (resp. $T_2$) est attaché un ressort de constante de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0 = l$ i.e. on impose $O_1O_2 = l$. On représente la situation comme suit :

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Schéma des pendules couplés par un ressort</figcaption></figure>

Cette fois nous ne sommes plus dans le cadre de la mécanique ponctuelle, modèle que nous avions choisi pour modéliser le pendule simple précédent. Les tiges métalliques $T_1$ et $T_2$ possèdent cette fois une inertie rotationnelle : en raison de la répartition de leur masse autour de l'axe de rotation, leur mise en mouvement nécessite de surmonter une résistance propre à la rotation. Un solide $S$ indéformable doit vérifier l'égalité vectorielle :

$$ \forall A, B \in S, \quad \frac{d}{dt}|_{R_S} \overrightarrow{AB} = \vec{0}, \quad (93) $$

où $R_S$ est un repère lié au solide. Notons en revanche qu'a priori on peut avoir, lorsque $(R)$ désigne un autre repère (par exemple lié à un observateur fixe du solide en mouvement) $\frac{d}{dt}|_R \overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$, ne serait-ce que parce que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ change de direction au cours du temps, ce que l'on comprendra bien en regardant le schéma 3. Il nous faut donc commencer par énoncer et démontrer<fnref n="9" /> quelques résultats fondamentaux de la mécanique du solide indéformable.

### **Définition 1 (Moments cinétique et dynamique)**

Soit $R$ un référentiel associé au repère cartésien orthonormé $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ et $A$ un point quelconque. On définit :

1. Le moment cinétique du solide $S$ au point de réduction $A$ comme étant :

$$ \vec{\sigma}_A^R(S) = \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{v}_P^R dm(P), \quad (94) $$

soit la somme continue des moments cinétiques infinitésimaux en chaque point du solide.

2. Le moment dynamique du solide ($S$) au point de réduction $A$ comme étant :

$$ \vec{\delta}_A^R(S) = \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{a}_P^R dm(P). \quad (95) $$

Quand la situation est claire, on enlève le $S$ dans les notations ci-dessus.

Nous admettons que le champ des vitesses $A \in S \mapsto \overrightarrow{v_A^R}$ est représentable par un torseur<fnref n="10" /> (résultat reposant sur la **formule de Bour**), ce qui grossièrement se

<footnote n="9">9. Pour plus d'exhaustivité pour notre lecteur.</footnote>

<footnote n="10">10. Un torseur est la donnée de deux vecteurs : une résultante, et un moment (qui dépend d'un point, appelé **point de réduction**). Dans cet article nous souhaitions passer sous silence la notion de torseur bien qu'il faut en toute honnêteté insister que la maîtrise de ce concept s'avère à un moment bien utile pour une compréhension en profondeur des concepts sous-jacents et pour mémoriser plus facilement les formules à venir. Dans le cas du torseur cinématique d'un solide, le moment est donné par la vitesse en un point et la résultante est donnée par le vecteur rotation entre un repère $R_S$ lié au solide et un autre repère $R$. L'équation (96) est un phénomène général qui a lieu avec tous les torseurs c'est la fameuse formule « BABAR ».</footnote>
traduit par la relation :

$$ \forall A, B \in S, \vec{v}_B^R = \vec{v}_A^R + \vec{BA} \wedge \vec{\Omega}(R_S/R). \quad (96) $$

On illustre - voir le schéma 3 ci-dessous - cette formule qui donne un lien entre les vitesses de deux points

liés au solide via le vecteur rotation $\vec{\Omega}(R_S/R)$, en représentant un solide indéformable $S$ de repère lié $R_S = (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ tournant - dans un mouvement plan - autour de l'axe fixe $\vec{e}_z$ d'un repère $R = (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ :

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Schéma du solide $S$ en rotation autour de l'axe $\vec{e}_z$</figcaption></figure>

Nous allons maintenant jouer avec notre définition du moment cinétique du solide $S$ et utiliser la formule de transport (96), ce qui va nous permettre de faire paraître une formule de mécanique bien utile en pratique. Soit un point $A$ du solide $S$. Le centre de masse du solide $S$, noté $G$, est le barycentre des masses du système et est ainsi défini par l'équation vectorielle :

$$ \int_{P \in S} \overrightarrow{GP} dm(P) = \vec{0}. \quad (97) $$

vectoriel appliquée dans l'égalité (■) :

$$ \begin{align*} \vec{\sigma}_A^R &= \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{v}_P^R dm(P) \\ &= \underbrace{\int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge (\vec{v}_A^R + \vec{PA} \wedge \vec{\Omega}(R_S/R))}_{(\blacksquare)} dm(P) \\ &= \underbrace{\int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge (\vec{v}_A^R + \vec{\Omega}(R_S/R) \wedge \overrightarrow{AP})}_{(\blacksquare)} dm(P) \\ &= \int_{P \in S} \overrightarrow{AG} \wedge \vec{v}_A^R dm(P) + \int_{P \in S} \overrightarrow{GP} \wedge \vec{v}_A^R dm(P) \\ &\quad + \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge (\vec{\Omega}(R_S/R) \wedge \overrightarrow{AP}) dm(P) \\ &= m \overrightarrow{AG} \wedge \vec{v}_A^R + \underbrace{\int_{P \in S} \overrightarrow{GP} dm(\overrightarrow{PA}^R)}_{=\vec{0}} \\ &\quad + \underbrace{\int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge (\vec{\Omega}(R_S/R) \wedge \overrightarrow{AP}) dm(P)}_{\text{Opérateur d'inertie au point A}} \\ &= \overrightarrow{AG} \wedge m \vec{v}_A^R + \underbrace{I_{A,S,R}}_{\text{Matrice d'inertie}} \times \vec{\Omega}(R_S/R). \end{align*} $$

Il vient d'après l'équation de transport (96) que l'on applique dans l'égalité (▲) et l'anti-symétrie du produit

Le calcul précédent nous invite à définir :

$$ \overrightarrow{J_{A,S}}(\vec{e}_x), \overrightarrow{J_{A,S}}(\vec{e}_y), \overrightarrow{J_{A,S}}(\vec{e}_z). \quad (99) $$

<footnote n="11">11. Les grandes parenthèses dans (98) sont nécessaires du fait de la non-associativité du produit vectoriel.</footnote>

<footnote n="12">12. Ce n'est pas clair a priori, il faudrait le démontrer. Pour ce faire, il suffit d'écrire le vecteur $\overrightarrow{AP} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z$ où $P \in S$ et de décomposer dans la base $(A, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ les vecteurs :</footnote>
**Définition 2 (Opérateur d'inertie)** On se donne un solide S et A un point quelconque de l'espace. Alors l'application linéaire¹¹ :

$$ \overrightarrow{J_{A,S}} : \vec{u} \mapsto \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge (\vec{u} \wedge \overrightarrow{AP}) dm(P), \quad (98) $$

est dite opérateur d'inertie du solide indéformable S au point A. On note $I_{A,S,R}$ la matrice **symétrique**¹² d'inertie i.e. la matrice de l'opérateur d'inertie dans la base du repère associé à un référentiel $\mathcal{R}$. De façon plus explicite, si $(A, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ est un repère cartésien orthonormé alors :

$$ I_{A,S,R} = \mathrm{Mat}(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) (\overrightarrow{J_{A,S}}[\cdot]). \quad (101) $$

En fait dans le calcul précédent nous avons démontré :

**Théorème 2 (Premier théorème de Koenig)** Soit $\mathcal{R}$ un référentiel associé au repère cartésien orthonormé $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. On se donne un solide S auquel on attache un repère $(\mathcal{R}_S)$. Alors pour un point A du solide S :

$$ \vec{\sigma}_A^R = \overrightarrow{AG} \wedge m \vec{v}_A^R + I_{A,S,R} \times \overrightarrow{\Omega}(\mathcal{R}_S/\mathcal{R}). \quad (102) $$

On démontre maintenant :

**Théorème 3 (Théorème du moment cinétique)**
Soit $\mathcal{R}$ un référentiel associé au repère cartésien orthonormé $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. Soit A un point fixe dans $\mathcal{R}$, alors :

$$ \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_A^R = \vec{\delta}_A^R \quad (103) $$

Si de plus $\mathcal{R}$ est supposé galiléen alors il en résulte que :

$$ \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_A^R = \sum_i \overrightarrow{M_A(\vec{F}_{\mathrm{ext},i})}. \quad (104) $$

**Remarque :** En toute généralité, pour un point A quelconque et notant toujours G le barycentre des masses du solide, on montre [ABD86, p 194] :

$$ \vec{\delta}_A^R = \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_A^R + m \vec{v}_A^R \wedge \vec{v}_G^R. \quad (105) $$

Cette formule est notablement différente du théorème du moment cinétique ponctuel vu plus haut dans le cadre

La matrice de l'endomorphisme $\overrightarrow{J_{A,S}}$ dans cette base est alors :

$$ I_{A,S,R} = \begin{pmatrix} \int_{P \in S} (y^2 + z^2) dm(P) & \int_{P \in S} -xydm(P) & \int_{P \in S} -xzdm(P) \\ \int_{P \in S} -xydm(P) & \int_{P \in S} (x^2 + z^2) dm(P) & \int_{P \in S} -yzdm(P) \\ \int_{P \in S} -xzdm(P) & \int_{P \in S} -yzdm(P) & \int_{P \in S} (x^2 + y^2) dm(P) \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_3(\mathbb{R}). \quad (100) $$

Les coefficients diagonaux de la matrice sont dits moments d'inerties du solide S par rapport aux axes $(A, \vec{e}_x)$, $(A, \vec{e}_y)$ et $(A, \vec{e}_z)$. Les autres coefficients sont dits les produits d'inertie.

13. C'est selon [ABD86, p 192] dû au principe de conservation de la masse du système.

du pendule simple : se rajoute en effet un terme prenant compte la vitesse du barycentre G.

**Démonstration :** Soit A un point fixe dans $\mathcal{R}$, alors puisque $dm(P)$ - un petit élément infinitésimal de masse autour d'un point $P \in S$ - ne varie pas au cours du temps, il est licite d'intervertir intégrale et dérivée¹³ :

$$ \begin{align} \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_A^R &= \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \left( \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{v}_P^R dm(P) \right), \notag \\ &= \int_{P \in S} \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \left[ \overrightarrow{AP} \wedge \vec{v}_P^R \right] dm(P) \notag \\ &= \int_{P \in S} \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \left[ \overrightarrow{AP} \right] \wedge \vec{v}_P^R dm(P) \notag \\ &\quad + \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{a}_P^R dm(P) \notag \\ &= \int_{P \in S} \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \left[ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP} \right] \wedge \vec{v}_P^R dm(P) + \vec{\delta}_A^R \tag{106} \end{align} $$

$$ \underbrace{=}_{(\diamond)} \int_{P \in S} \underbrace{\vec{v}_P^R \wedge \vec{v}_P^R}_{:=\vec{0}} dm(P) + \vec{\delta}_A^R = \vec{\delta}_A^R, \quad (107) $$

où, dans (▼), on a utilisé que $\overrightarrow{AO}$ est un vecteur constant car A et O sont fixes dans le repère $\mathcal{R}$, ainsi de dérivée est nulle vis à vis de ce repère Notons que nous utilisons toujours les mêmes ingrédients de calcul différentiel au moment de dériver le produit vectoriel de deux applications vectorielles.

Si de plus $\mathcal{R}$ est **supposé galiléen** alors le principe fondamental de la dynamique (**version torsorielle**) permet d'énoncer l'égalité du torseur dynamique avec le torseur des actions mécaniques extérieures. En particulier la résultante dynamique est égale à la somme des forces des actions mécaniques extérieures agissant sur le solide :

$$ \int_{P \in S} \vec{a}_P^R dm(P) = \sum_i \overrightarrow{F_{\mathrm{ext},i}}, \quad (108) $$

et le moment dynamique est égal au moment résultant du torseur des actions mécaniques extérieures appliquées au système :

$$ \vec{\delta}_A^R = \int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{a}_P^R dm(P) = \sum_i \overrightarrow{M_A(\vec{F}_{\mathrm{ext},i})}. \quad (109) $$
De fait, par ce qui précède (107) :

$:= \vec{\delta}_A^R$, moment dynamique en A

$$
\frac{d}{dt}|_{\mathcal{R}} \vec{\sigma}_A^R = \overbrace{\int_{P \in S} \overrightarrow{AP} \wedge \vec{a}_P^R dm(P)}^{:= \vec{\delta}_A^R} = \sum_i \overbrace{\mathcal{M}_A(\vec{F}_{\text{ext},i})}^{(\square)} \quad (110)
$$

Ces rappels étant faits, on se propose comme promis
d'étudier le mouvement des deux tiges couplées $T_1$ et $T_2$
- voir de nouveau le schéma 2 - dans le référentiel ($\mathcal{R}$)
supposé galiléen associé aux bases ($O_j, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$) pour
$j \in \{1, 2\}$. Nous conduisons le raisonnement sur la tige
$T_1$, il en est de même pour la tige $T_2$. Le repère polaire
mobile se définit par :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{e}_r \\
\vec{e}_\theta
\end{array}
\right.
=
\begin{array}{l}
\cos(\theta_1)\vec{e}_x + \sin(\theta_1)\vec{e}_y \\
-\sin(\theta_1)\vec{e}_x + \cos(\theta_1)\vec{e}_y.
\end{array}
\qquad (111)
$$

Les moments d'inertie par rapport au point O₁ (resp. O₂) selon l'axe $\vec{e}_z$, qui traduisent la difficulté d'un solide à être mis en rotation du fait de la façon dont la masse est répartie autour de l'axe de rotation, valent ici $\frac{ml^2}{3}$. En effet, vis à vis de la tige T₁ voir la figure 2 composant le pendule couplé, l'opérateur d'inertie de T₁ en le point O₁ est l'application linéaire :

$$
\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}} : \vec{u} \mapsto \int_{P \in T_1} \overrightarrow{O_1 P} \wedge (\vec{u} \wedge \overrightarrow{O_1 P}) dm(P), \quad (112)
$$

et sa matrice dans la base $\beta$ donnée par le repère polaire
$\mathcal{R}_{T_1} = (O_1, \vec{e}_r^1, \vec{e}_\theta^1, \vec{e}_z^1)$ lié au solide est :

$$
\mathrm{Mat}_{\beta} \left( \overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ml^2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ml^2}{3} \end{pmatrix} \quad (113)
$$

En effet notant $\mu$ la masse linéique commune aux deux
tiges il vient :

$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}}(\vec{e}_r^1) &= \int_{P \in T_1} \overrightarrow{O_1 P} \wedge (\vec{e}_r^1 \wedge \overrightarrow{O_1 P}) dm(P) \tag{114} \\
&= \int_0^l \overrightarrow{r e_r^1} \wedge \underbrace{(\vec{e}_r^1 \wedge \overrightarrow{r e_r^1})}_{:= \vec{0}} \mu dr \tag{115} \\
&= \vec{0}, \tag{116}
\end{align}
$$

et :

$$
\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}}(\vec{e}_\theta^1) = \int_0^l \overrightarrow{r e_r^1} \wedge (\vec{e}_\theta^1 \wedge \overrightarrow{r e_r^1}) \mu dr \quad (117)
$$

$$
= \int_0^l \overrightarrow{r e_r^1} \wedge (-r \vec{e}_z) \mu dr \quad (118)
$$

$$
= \int_0^l r^2 \mu dr \overrightarrow{e_\theta^1} \qquad (119)
$$

$$
= \mu \frac{l^3}{3} \overrightarrow{e_{\theta}^{1}} = \frac{ml^2}{3} \overrightarrow{e_{\theta}^{1}}, \qquad (120)
$$

puis on fera de même pour $\vec{e}_z$ de sorte que :

$$
\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}}(\vec{e}_z) = \frac{ml^2}{3} \vec{e}_z. \qquad (121)
$$

L'endomorphisme $\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}}$ est symétrique<fnref n="14" /> et donc diagonalisable dans une base de vecteurs propres orthogonaux en vertu du **théorème spectral**. Les **axes principaux** du solide $T_1$ sont par définition les vecteurs propres de l'application linéaire $\overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}}$. Vis à vis de la matrice (113), les axes du repère ($\mathcal{R}_{T_1}$) sont les axes principaux du solide. D'après le premier théorème de Koenig 2 et en utilisant que le solide (la tige $T_1$ !) est en rotation autour de $O_1$ fixe dans le repère d'étude ($\mathcal{R}$) du système :

$$
\overrightarrow{\sigma_{O_1}^{(\mathcal{R})}}(T_1) = \overrightarrow{O_1 G} \wedge m \underbrace{\overrightarrow{v_{O_1}^{(\mathcal{R})}}}_{:= \vec{0}} + \overrightarrow{J_{O_1, S}} \left( \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_{T_1}, \mathcal{R})} \right) \quad (122)
$$

$$
= \mathrm{Mat}_{\beta} \left( \overrightarrow{\mathcal{J}_{O_1, T_1}} \right) \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_{T_1}, \mathcal{R})} \quad (123)
$$

$$
= \frac{ml^2}{3} \dot{\theta}_1 \vec{e}_z, \qquad (124)
$$

où $\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_{T_1}, \mathcal{R})} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix}$ désigne le vecteur rotation entre

le repère ($\mathcal{R}_{T_1}$) lié au solide prescrit par la base $\beta$ et le
repère $\mathcal{R}$ et où l'on a utilisé que $O_1$ est bien fixe dans le
repère ($\mathcal{R}$) pour assurer la nullité du vecteur vitesse en
ce point.

Le ressort exerce une force de rappel $\vec{F}_r$ sur la tige $T_1$. Dans le cadre de l'hypothèse des petits angles, on en déduit que cette force peut être considérée comme horizontale i.e. dirigée selon $\vec{e}_y$. En bref le ressort reste (relativement) horizontal lors du mouvement des deux tiges. En appliquant le théorème 3 du moment cinétique en $O_1$, on obtient l'équation :

<footnote n="14">14. On le sait déjà, voir la définition 2.</footnote>
$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt}|_{(\mathcal{R})} \overrightarrow{\sigma_{O_1}^{(\mathcal{R})}(T_1)} &= \underbrace{\frac{ml^2}{3} \ddot{\theta}_1 \vec{e}_z}_{(124)} \\
&= \underbrace{\overline{\mathcal{M}_{O_1}(\vec{P})} + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\vec{F}_r)} + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})}}_{\text{Résultante des moments en } O_1 \text{ des forces s'appliquant sur } T_1} \\
&= \overline{O_1 G_1} \wedge \vec{P} + \overline{O_1 A_1} \wedge \vec{F}_r + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})} \\
&= \frac{l}{2} \vec{e}_r \wedge mg \vec{e}_x + l \vec{e}_r \wedge k (l_0 + l(\sin(\theta_2) - \sin(\theta_1)) - l_0) \vec{e}_y \\
&\quad + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})} \\
&= \frac{l}{2} \vec{e}_r \wedge mg (\cos(\theta_1) \vec{e}_r - \sin(\theta_1) \vec{e}_\theta) \\
&\quad + l^2 k (\sin(\theta_2) - \sin(\theta_1)) \vec{e}_r \wedge (\sin(\theta_1) \vec{e}_r + \cos(\theta_1) \vec{e}_\theta) \\
&\quad + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})} \\
&= \left( -\frac{mgl}{2} \sin(\theta_1) + kl^2 (\sin(\theta_2) - \sin(\theta_1)) \cos(\theta_1) \right) \vec{e}_z \\
&\quad + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})},
\end{align*}
$$

soit par projection sur $\vec{e}_z$ et en utilisant le fait que la liaison pivot en $O_1$ est parfaite, donc de moment $\overline{\mathcal{M}_{O_1}(\{\text{liaison pivot}\})}$ perpendiculaire à ce vecteur¹⁵ :

$$ \frac{ml^2}{3} \ddot{\theta}_1 + \frac{mgl}{2} \sin(\theta_1) + kl^2(\sin(\theta_1) - \sin(\theta_2)) \cos(\theta_1) = 0. $$

Linéarisée, cette équation devient :

$$ \frac{ml^2}{3} \ddot{\theta}_1 + \frac{mgl}{2} \theta_1 + kl^2(\theta_1 - \theta_2) = 0. $$

Il suffit de faire de même pour la tige $T_2$ et on obtient une seconde équation du mouvement mettant en jeu $\ddot{\theta}_2$. On concatène ces deux précédentes équations différentielles et après linéarisation pour $\theta_1, \theta_2 \ll 1$ (pos-tulat des petits angles) et homogénéisation, il vient le système différentiel matriciel :

$$ \ddot{\Theta} + \begin{pmatrix} \omega_0^2 + \omega_s^2 & -\omega_s^2 \\ -\omega_s^2 & \omega_0^2 + \omega_s^2 \end{pmatrix} \Theta = 0_{\mathbb{R}^2}, \quad (129) $$

où $\Theta := \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}$ est le vecteur colonne formé des angles repérant les tiges et où les grandeurs $\omega_s = \sqrt{\frac{3k}{m}}$ et $\omega_0 = \sqrt{\frac{3g}{2l}}$ sont homogènes à une pulsation. On reconnaît l'équation de l'oscillateur harmonique en version bi-dimensionnelle et constate que la matrice $S$ est symétrique définie positive :

$$ S = \begin{pmatrix} \omega_0^2 + \omega_s^2 & -\omega_s^2 \\ -\omega_s^2 & \omega_0^2 + \omega_s^2 \end{pmatrix} \in S_2^{++}(\mathbb{R}). \quad (130) $$

En effet, ses valeurs propres, racines du polynôme caractéristique $\chi_S(X) = \det(S - XI_2)$, sont strictement positives et données par :

$$ \sigma_p(S) = \left\{ \begin{array}{c} \omega_0^2, \omega_0^2 + 2\omega_s^2 \\ \hline \omega_0^2 + 2\omega_s^2 \end{array} \right\} \subset \mathbb{R}_+^*, \quad (131) $$

15. Ouvrons un point technique : Dans le cas où une pièce est fixe par rapport à l'autre, comme dans le cas de notre liaison pivot pour le pendule couplé, il est judicieux de calculer les puissances dans le référentiel $\mathcal{R}$ lié au support (qui disons, constitue le solide $S$, i.e. le référentiel $\mathcal{R}$ est lié au bâti qui tient les tiges) autour duquel tourne la tige $T_1$ (qui constitue notre second solide). Ainsi, du fait de la définition ci-dessous, puisque le support $S$ est fixe par rapport à $\mathcal{R}$, il n'y a aucun travail des actions mécaniques de contact de $T_1$ sur $S$ i.e. $P^{(\mathcal{R})}(T_1 \rightarrow S) := \tau(T_1 \rightarrow S) \odot V_{O_1}^{(\mathcal{R})}(S) = 0$, i.e. le co-moment du torseur des actions mécaniques de $T_1$ sur le support $S$ avec le torseur cinématique du solide $S$ réduit au point $O_1$ est nul (notons qu'il y a ici un point technique : cette formule mettant en jeu le co-moment de ces deux torseurs, découle du fait que $S$ est un **solide**, voir [ABD86, § 1.2 p 248], de même quand on l'utilisera dans (♠) ci-dessous, $T_1$ est aussi un solide). Ainsi pour $O_1$, point de contact entre les deux solides, la puissance des actions mécaniques mutuelles de contact entre $T_1$ et $S$ vaut [ABD86, définition p 250] :

$$ P(S \leftrightarrow T_1) = P^{(\mathcal{R})}(S \rightarrow T_1) + \underbrace{P^{(\mathcal{R})}(T_1 \rightarrow S)}_{:=0} \quad (125) $$

$$ = \tau(S \rightarrow T_1) \odot V_{O_1}^{(\mathcal{R})}(T_1) \quad (\blacksquare) \quad (126) $$

$$ = \overline{R(S \rightarrow T_1)} \cdot \overbrace{v_{O_1}^{(\mathcal{R})}(T_1)}^{:=\bar{0}} + \overline{\mathcal{M}_{O_1}(S \rightarrow T_1)} \cdot \overbrace{\Omega(\mathcal{R}_{T_1}/\mathcal{R})}^{:=\hat{\theta}_1 \vec{e}_z} \quad (127) $$

$$ = \mathcal{M}_{O_1,z} \dot{\theta}_1, \quad (128) $$

où il est entendu que $\overline{\mathcal{M}_{O_1}(S \rightarrow T_1)} = \begin{pmatrix} \mathcal{M}_{O_1,x} \\ \mathcal{M}_{O_1,y} \\ \mathcal{M}_{O_1,z} \end{pmatrix}$ et où dans (♠) on reconnaît le co-moment du torseur des actions mécaniques de $S$ sur le solide $T_1$ avec le torseur cinématique de $T_1$ réduit en $O_1$. Ainsi, puisque la tige $T_1$ tourne autour de l'axe $\vec{e}_z$ - i.e. $\dot{\theta}_1 \neq 0$ - et puisque la liaison sera par définition parfaite si $\mathcal{M}_{O_1,z} \dot{\theta}_1$ est nul pour tout temps $t$ i.e. si la puissance des actions mécaniques mutuelles de contact entre $S$ et $T_1$ est nulle, il en résulte que $\mathcal{M}_{O_1,z}$ doit être nul pour tout temps $t$. Cela conduit au fait que $\overline{\mathcal{M}_{O_1}(S \rightarrow T_1)}$ est un vecteur perpendiculaire à $\vec{e}_z$.
et ont pour vecteurs propres associés respectivement :

$$ \vec{e}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{e}_{\Omega} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \qquad (132) $$

Ces vecteurs s'appellent les **modes propres** du système. Comme nous allons le voir, on peut, en imposant des conditions initiales particulières exciter l'un ou l'autre de ces deux modes propres et mettre en évidence un **mouvement symétrique ou anti-symétrique** du pendule couplé. En toute généralité le mouvement du pendule simple pour une excitation initiale quelconque est une **superposition** (combinaison linéaire i.e. au sens des espaces vectoriels) de ces deux modes propres. Notons qu'en introduisant l'exponentielle complexe $\Theta(t) = e^{i\omega t}\Theta_0$ avec $\Theta_0 \in \mathbb{R}^2$, dans (129), comme on le ferait dans le cas de la corde vibrante pour voir à quelle(s) fréquence(s) particulières le système physique est sujet à osciller sinusoidalement à une pulsation $\omega$ qu'on veut déterminer, on obtient le système :

$$ \begin{pmatrix} -\omega^2 + \kappa & -\omega_s^2 \\ -\omega_s^2 & -\omega^2 + \kappa \end{pmatrix} \Theta_0 = 0_{\mathbb{R}^2}, \quad \kappa := \omega_0^2 + \omega_s^2. \quad (133) $$

Pour obtenir une solution $\Theta$ non nulle, ce qui requière que $\Theta_0 \neq 0_{\mathbb{R}^2}$, il est nécessaire et suffisant que le déterminant de la matrice ci-dessus soit nul, ce qui nous conduit à l'équation bi-quadratique :

$$ \omega^4 - 2\kappa\omega^2 + \kappa^2 - \omega_s^4 = 0. \quad (134) $$

La résolution de cette équation conduit de nouveau à garder deux racines positives (i.e. ayant un sens physique comme on le comprendra pourquoi prochainement) et qui sont $\omega_0$ et $\sqrt{\Omega}$, soit les racines des valeurs propres de la matrice $S$ (en cohérence avec le théorème 4 à venir).

Le fait que la matrice $S$ soit symétrique défini positive nous conduit à invoquer le **théorème spectral** : on peut diagonaliser une telle matrice dans une base orthonormée de vecteurs propres. Historiquement on peut en trouver une version (bien entendu certainement pas la première version) dans le monographe « *Lectures on Matrices* » écrit en 1934 par Wedderburn [Wed34, p 90 théorème 6] :

« A real symmetric matrix can be transformed to its canonical form by a real orthogonal matrix. »,

et où de nombreux résultats de son ouvrage doivent antiderater 1934 puisque l'on peut lire en préface :

« This book contains lectures on matrices given at Princeton University at various times since 1920. »

De facto comme nous l'indique Wedderburn, il existe une matrice $P \in O(2, \mathbb{R})$ orthogonale et une matrice diagonal $D = \text{Diag}(\omega_0^2, \Omega)$ formée des valeurs propres de $S$ de sorte que :

$$ S = {}^t P \text{Diag}(\omega_0^2, \Omega) P. \quad (135) $$

Grâce à cela on peut définir la racine carrée de $S$, notée $\sqrt{S}$, par :

$$ \sqrt{S} = {}^t P \sqrt{\text{Diag}(\omega_0^2, \Omega)} P = {}^t P \text{Diag}(\omega_0, \sqrt{\Omega}) P. \quad (136) $$

Prendre la racine carrée d'une matrice $A$ réelle diagonalisable dont le spectre est positif<fnref n="16" />, ou plus généralement une fonction continue $f : \sigma_p(A) \subset I \to \mathbb{C}$ d'une telle matrice repose sur l'idée qu'ayant écrit :

$$ A = PDP^{-1}, \quad D = \text{Diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n), \quad (137) $$

alors on peut définir :

$$ f(A) := P f(D) P^{-1} = P \text{Diag}(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n)) P^{-1}. \quad (138) $$

Tout ceci constitue le **calcul fonctionnel continu (matriciel)**.

Ouvrons une parenthèse historique, que le lecteur peut survoler en première lecture. Cette question de prendre la racine carrée d'une matrice se trouve par exemple originellement chez Cayley - pour $n = 2$ - dans son monographe « *A memoir on theory of matrices* » écrit en 1858, voir [Cay58, § 26], qui est d'ailleurs l'un des premiers monographes sur les matrices<fnref n="17" />. Cayley est donc en ce sens précurseur du calcul fonctionnel matriciel, bien que l'auteur se concentre sur des polynômes de matrices. Quelques temps après lui, d'autres

<footnote n="16">16. Ce qui est le cas d'une matrice symétrique réelle positive.</footnote>

<footnote n="17">17. On peut lire l'éclairante citation tirée l'introduction de l'article « *On the theory of matrices* » de Taber 1890 :</footnote>

<footnote>« Cayley, in his *Memoir on the Theory of Matrices* (Phil. Trans., 1858), defined a matrix as « a set of quantities arranged in the form of a square » this notion arising « from an abbreviated notation for a set of linear equations. » Accordingly, Cayley laid down the laws of combination of matrices upon the basis of the combined effect of the matrices as operators of linear transformation upon a set of scalar variables or carriers. The development of the theory, as contained in Cayley's memoir, was the development of the consequences of these primary laws of combination. Before Cayley's memoir appeared, Hamilton had investigated the theory of such a symbol of operation as would convert three vectors into three linear functions of those vectors, which he called a linear vector operator. Such an operator is essentially identical with a matrix as defined by Cayley; and some of the chief points in the theory of matrices made out by Hamilton and published in his *Lectures on Quaternions* (1852) [...] Nevertheless, Hamilton [dans *Lectures on Quaternions* (1852)] must be regarded as the originator of the theory of matrices, as he was the first to show that the symbol of a linear transformation might be made the subject-matter of a calculus. Cayley makes no reference to Hamilton, and was of course unaware that results essentially identical with some of his had been obtained by Hamilton; and, on the other hand, Hamilton's results related only to matrices of the third and fourth order, while Cayley's method was absolutely general. »</footnote>
mathématiciens auront bientôt l'idée de considérer la série exponentielle d'une matrice. Pour ne pas déverser trop d'encre sur ce thème<fnref n="18" />, voici un résumé historique non-exhaustif de ce qui gravite autour de ce sujet :

— Frobenius est sans doute<fnref n="19" /> le premier à considérer la quantité :

$$|A| = \sqrt{\sum_{i,j=1}^{n} |a_{i,j}|^2}, \quad A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \quad (139)$$

que Wedderburn appellera prochainement « absolute value of a matrix » - voir son monographe [Wed34, § 8.09] - pour rappeler l'idée du module $|\cdot|$ sur $\mathbb{C}$. Ce dernier remarque que c'est une norme sous-multiplicative [Wed34, § 8.09 équations (40) à (42)] :

$$|AB| \le |A| \times |B|. \quad (140)$$

C'est bien cette inégalité qui allait, quelques années plus tard, faire toute la richesse du concept « d'anneau linéaire normé complet ». Par ailleurs le mathématicien écossais remarque que $|A|^2 = \text{Tr}(AA^*)$ où Tr représente la trace et $A^* = {}^t \overline{A}$ la transconjuguée de $A$. Ainsi cette norme découle du produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

— Peano, professeur à Turin, introduit aux pages 141-142 du chapitre « transformation des systèmes linéaires » de son « Calcolo geome-trico, secondo l'Ausdehnungslehre » daté 1888 le concept général d'espace vectoriel (de dimension finie), voir [Pie07, § 1.2.1 p 4]. En 1887 dans son « Integrazione per serie delle equazioni differen-ziiali lineari » - article traduit en français en 1888 - Peano utilise la série exponentielle :

$$U : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), t \mapsto e^{At}, \quad (141)$$

pour résoudre les systèmes différentiels n-dimensionnels $X' = AX$ où $t \mapsto X(t) \in \mathbb{R}^n$ est dérivable. C'est ce principe mathématique très fécond qui sera également mis à l'honneur dans la

suite de cet article. En outre, pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ - avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}$, on rappelle que grâce à la pro-priété (140) on dispose de l'inégalité :

$$\forall k \in \mathbb{N}, \quad \left| \frac{M^k}{k!} \right| \le \frac{|M|^k}{k!}, \quad (142)$$

ce qui entraîne, la série à droite étant convergente en vertu du critère de D'Alembert, que la série exponentielle :

$$e^M = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{M^k}{k!}, \quad (143)$$

est absolument convergente (dans l'espace de dimension finie<fnref n="20" /> $(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), |\cdot|)$) donc convergente. Par analogie aux formules d'Euler on définit le cosinus et le sinus d'une matrice $M$ :

$$\cos(M) := \frac{e^{iM} + e^{-iM}}{2}, \quad \sin(M) := \frac{e^{iM} - e^{-iM}}{2i}.$$

Ces définitions font d'ailleurs sens dans une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach, consulter la définition 4. Il faut noter toutefois une différence fondamentale en pratique entre le fait de définir l'exponentielle d'une matrice et le fait de définir la racine d'une matrice (symétrique positive). L'existence de l'exponentielle de matrice repose sur le fait qu'il est licite de définir la série infinie d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Cela est licite à condition que :

$$r(A) := \max_{\lambda \in \sigma_p(A)} \underbrace{|\lambda| < R,}_{\text{Rayon spectral de } A} \quad (144)$$

où $R \in \mathbb{R}_+^* \cup \{+\infty\}$ est le rayon de convergence d'une série $\sum_n a_n z^n$. La fonction racine carrée n'est pas DSE<fnref n="21" /> en 0. Or une matrice positive peut avoir 0 comme valeur propre et ainsi définir la racine d'une telle matrice via une série est donc peine perdue. De façon générale il existe<fnref n="22" /> des fonctions continues et même $C^\infty$ qui ne sont pas DSE au voisinage de 0.

$$F : x \mapsto \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{si } x \ne 0 \\ 0 & \text{sinon (par prolongement),} \end{cases} \quad (145)$$

<footnote n="18">18. Objet d'un prochain article ? Le lecteur pouvant déjà grandement se nourrir comme nous du [EN00, chapitre VII] et de l'article [Luc06] concernant les travaux avant-gardistes de Peano et son étudiante Gramegna, décédée tragiquement dans un tremblement de terre en janvier 1915 à l'âge de 28 ans.</footnote>

<footnote n="19">19. Il n'a malheureusement pas été possible d'identifier l'article exact mentionnant cela, mais néanmoins von Neumann [vN29, p 6] attribue cette norme à Frobenius : « Dieser Begriff wurde zuerst von Frobenius benutzt. »</footnote>

<footnote n="20">20. Donc complet.</footnote>

<footnote n="21">21. Développable en série entière.</footnote>

<footnote n="22">22. Cauchy, après quelques rappels sur la convergence de la série de Taylor, nous mettait déjà en garde en 1823 dans sa trente-huitième leçon du premier Tome de son « Résumé des leçons données à l'École Royale Polytechnique sur le Calcul infinitésimal » :</footnote>

<footnote>« On pourrait croire que la série (6) [de MacLaurin] a toujours $F(x)$ pour somme, quand elle est convergente, et que, dans le cas où ses différens termes s'évanouissent l'un après l'autre, la fonction $F(x)$ s'évanouit elle-même. »</footnote>

<footnote>L'auteur poursuivait alors, page 152, avec le contre-exemple maintenant bien connu de la fonction :</footnote>

<footnote>qui est $C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ non développable en 0 en série entière (puisque $F^{(n)}(0) = 0$ pour tout entier naturel $n$). Ce contre-exemple de Cauchy survivra encore, popularisé par exemple dans le Volume I du « Cours d'Analyse Mathématiques » écrit par Goursat en 1902, voir [Gou02, p 118-119] :</footnote>
— von Neumann ré-employe dans son article [vN29] de 1929 la norme de Frobenius. Il étudie les séries matricielles de l'exponentielle et du logarithme et les liens fonctionnels entre les deux. C'est notamment dans cet article qu'il démontre le non moins célèbre « théorème de Cartan-von Neumann » à savoir que les groupes de Lie matriciels (i.e. les sous-groupes fermés de $Gl_n(\mathbb{K})$ - pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ - sont effectivement des groupes de Lie (aux sens des sous-variétés), voir [CG18, Théorème A.6.4 p 93].

— Enfin,²³ entre 1935 et 1936, Yosida [Yos36], Nagumo [Nag36] comptant avec Nakano et Kakutani parmi les [Pie07, § 8.2.7. 16 p 626] :

« founders of functional analysis in Japan »

s'intéressent avec le jeune docteur américain²⁴ Nathan [Nat35] aux sous-groupes à un paramètre fortement continu dans le contexte des anneaux métriques normés²⁵. Notons que l'application exponentielle matricielle (141) en est un parfait exemple. Ces auteurs étendent un résultat démontré par Cauchy en 1821 dans son « Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique ». Le mathématicien français demandait en effet aux pages 106-109 :

« 2ème Problème. Déterminer la fonction $\phi(x)$, de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x$, et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$ :

$$ \phi(x + y) = \phi(x)\phi(y). \quad (147) $$

»

La preuve de Cauchy repose sur la densité des rationnels dans les nombres réels et il montre que les solutions de ce problème sont les exponentielles. En fait on peut aussi donner une preuve reposant sur le calcul intégral et le théorème fondamental de l'analyse dans le cadre des fonctions à valeurs banachiques comme le fait Nagumo, argument justement repris par [CG18, Proposition A.5.1 p 91]. Le théorème de Nagumo-Nathan-Yosida énonce

que si $U : \mathbb{R} \to \mathcal{A}$ est un sous-groupe à un paramètre continu dans une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach $\mathcal{A}$ alors $U$ est de la forme $U(t) = e^{tc}$ pour $c \in \mathcal{A}$. On note (et c'est tout à fait miraculeux !) que la propriété de morphisme est régularisante, dès que le morphisme est continu il est automatiquement de classe $C^\infty$ et on peut même voir qu'il a image dans les éléments inversibles ! En réponse à l'article de von Neumann de 1929, Nagumo et Yosida investigueront aussi les liens fructueux entre l'exponentielle et le logarithme dans le contexte des $\mathbb{C}$-algèbres de Banach.

Fermons cette parenthèse historique. Le lien harmoneux entre le théorème spectral et le calcul fonctionnel matriciel s'illustre dans le résultat suivant :

**Théorème 4** *Soit $S \in S_2^{++}(\mathbb{R})$. Le problème de Cauchy de l'oscillateur harmonique bi-dimensionnel :*

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\Theta} + S\Theta = 0_{\mathbb{R}^2} \\ \Theta(0) = \Theta_0, \quad \dot{\Theta}(0) = V_0, \quad t \mapsto \Theta(t) = \begin{pmatrix} \theta_1(t) \\ \theta_2(t) \end{pmatrix}, \end{array} \right. \quad (148) $$

a pour unique solution :

$$ \Theta(t) = \cos(\sqrt{S}t)\Theta_0 + (\sqrt{S})^{-1} \sin(\sqrt{S}t)V_0. \quad (149) $$

Notons qu'il est raisonnable d'espérer une solution de la forme (149) si l'on sait que la solution du problème de Cauchy de l'oscillateur harmonique usuel :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 \\ \theta(0) = \theta_0, \quad \dot{\theta}(0) = v_0, \end{array} \right. \quad (150) $$

qui gouverne le mouvement du pendule simple, est donnée par :

$$ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t) + \frac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t). \quad (151) $$

Si l'équation (149) a parfois disparu des ouvrages modernes, on peut par exemple la trouver dans le mono-

« Nous remarquons seulement qu'une série :

$$ f(0) + \frac{x}{1} f'(0) + \frac{x^2}{1 \cdot 2} f''(0) + \dots + \frac{x^n}{1 \cdot 2 \dots n} f^{(n)}(0) + \dots $$

peut fort bien être convergente, sans représenter la fonction $f(x)$ qui lui a donné naissance ; l'exemple suivant est dû à Cauchy. »

23. Parce qu'il faut bien qu'on mette un point de conclusion quelque part pour revenir aux pendules...

24. Il obtient son doctorat « Groups of Transformations in a Composite Function Space » en 1933, qu'il conduit sous la direction de I.S. Barnett à l'université de Cincinnati.

25. Pour être exhaustif (voir la définition 4 d'une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach) :

**Définition 3** *Sous-groupe à un paramètre d'une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach*

*Soit $A$ une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach unitale. Un sous-groupe à un paramètre de $A$ est une application $U : \mathbb{R} \to A$ continue, vérifiant pour tout $(s, t) \in \mathbb{R}^2$ :*

$$ U(s)U(t) = U(s+t), \quad U(0) = 1_A. \quad (146) $$
graphe <fnref n="26" /> « The theory of matrices » écrit par Gantmancher en 1959 voir [Gan59, § 4 p 123-124].

**Démonstration du théorème 4 :**

On commence par traduire ce précédent système sous la forme d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à valeurs vectorielles. On pose donc le vecteur de $\mathbb{R}^4$ :

$$Z(t) = \begin{pmatrix} \Theta(t) \\ \dot{\Theta}(t) \end{pmatrix}. \qquad (152)$$

Posons $M = \begin{pmatrix} 0_2 & I_2 \\ -S & 0_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$. L'équation (148) se transforme en une équation différentielle d'ordre un :

$$\begin{cases} \dot{Z}(t) = MZ(t) \\ Z(0) = \begin{pmatrix} \Theta_0 \\ V_0 \end{pmatrix}. \end{cases} \qquad (153)$$

On sait alors que l'unique solution de cette équation différentielle est donnée par :

$$Z(t) = e^{tM}Z(0). \qquad (154)$$

Pour faire apparaître (149), l'idée est alors de diagonaliser la matrice M et en effet on peut écrire le produit de

matrices par blocs :

$$M = \underbrace{\begin{pmatrix} I_2 & I_2 \\ i\sqrt{S} & -i\sqrt{S} \end{pmatrix}}_{:=Q} \times \begin{pmatrix} i\sqrt{S} & 0_2 \\ 0_2 & -i\sqrt{S} \end{pmatrix} \times \underbrace{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2i}\sqrt{S} & 0_2 \\ -i\sqrt{S} & I_2 \end{pmatrix}}_{:=Q^{-1}} \times \begin{pmatrix} \frac{1}{2i}\sqrt{S} & 0_2 \\ 0_2 & -\frac{1}{2i}\sqrt{S} \end{pmatrix},$$

où l'on remarque que la dernière matrice joue le rôle du « déterminant » de la matrice par bloc Q. Alors en calculant :

$$\begin{align} e^{tM} &= Q \begin{pmatrix} e^{it\sqrt{S}} & 0_2 \\ 0_2 & e^{it\sqrt{S}} \end{pmatrix} Q^{-1} \tag{155} \\ &= \dots \tag{156} \\ &= \frac{-1}{2i} \begin{pmatrix} -i(e^{it\sqrt{S}} + e^{-it\sqrt{S}}) & (e^{-it\sqrt{S}} - e^{it\sqrt{S}})\sqrt{S}^{-1} \\ \dots & \dots \end{pmatrix}, \tag{157} \end{align}$$

on arrive précisément à (149), en faisant le produit de cette dernière matrice par le vecteur colonne $Z(0)$.

(□)

Voici les trois configurations des tiges $T_1, T_2$ que nous allons étudier et où l'on conserve la notation de l'angle $\theta_1$ (resp. $\theta_2$) pour connaître le positionnement de la tige $T_1$ (resp. $T_2$) :

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Trois différentes conditions initiales pour le pendule simple</figcaption></figure>

**Question :** Que nous dit (149) ?

1. **Cas 1 :** Imaginons, voir la figure 4 sous-figure (a), que l'on lâche sans leur communiquer de vitesse les tiges $T_1$ et $T_2$ initialement déplacées du même

angle $\theta_0 > 0$ i.e. :

$$\Theta_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \\ \theta_0 \end{pmatrix}, \quad V_0 = 0_{\mathbb{R}^2}. \qquad (158)$$

On va décomposer le vecteur $\Theta_0$ dans la base de vecteurs propres de $S$ et l'on voit :

$$\Theta_0 = \theta_0 \vec{e}_0 + 0 \vec{e}_{\Omega}. \qquad (159)$$

<footnote n="26">26. L'auteur nous informe en préface :</footnote>

<footnote>« The book is based on lecture courses on the theory of matrices and its applications that the author has given several times in the course of the last seventeen years at the Universities of Moscow and Tiflis and at the Moscow Institute of Physical Technology »</footnote>
Ainsi, grâce à (149) on obtient :

$$
\Theta(t) = \cos(\sqrt{S}t)\Theta_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \cos(\omega_0 t) \\ \theta_0 \cos(\omega_0 t) \end{pmatrix}. \quad (160)
$$

Ainsi les pendules oscillent en phase à la même
amplitude $\theta_0$ et avec la même pulsation $\omega_0$ : c'est
le **mode symétrique**.

2. **Cas 2** : Imaginons, voir la figure 4 sous-figure (b), que l'on lâche sans leur communiquer de vitesse les tiges $T_1$ et $T_2$ initialement déplacées respectivement d'un angle $\theta_0 > 0$ et de l'angle opposé $-\theta_0$ i.e. :

$$
\Theta_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \\ -\theta_0 \end{pmatrix}, \quad V_0 = 0_{\mathbb{R}^2}. \qquad (161)
$$

On va décomposer le vecteur $\Theta_0$ dans la base de
vecteurs propres de $S$ et l'on voit :

$$
\Theta_0 = 0 \vec{e}_0 + \theta_0 \vec{e}_\Omega. \quad (162)
$$

Ainsi, grâce à (149) on récolte :

$$
\Theta(t) = \cos(\sqrt{S}t)\Theta_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \cos(\sqrt{\Omega}t) \\ -\theta_0 \cos(\sqrt{\Omega}t) \end{pmatrix}. \quad (163)
$$

Ainsi les pendules oscillent à la même amplitude
et avec la même pulsation $\sqrt{\Omega}$ mais sont déphasés
de $\pi$ (opposition de phase) <fnref n="27" /> : c'est le **mode anti-**
**symétrique**.

3. **Cas 3** : Imaginons, voir la figure 4 sous-figure (c), que l'on lâche sans leur communiquer de vitesse les tiges $T_1$ et $T_2$, la tige $T_1$ étant écartée d'un angle $\theta_0 > 0$, la tige $T_2$ étant maintenue verticale i.e. :

$$
\Theta_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad V_0 = 0_{\mathbb{R}^2}. \qquad (164)
$$

On va décomposer le vecteur $\Theta_0$ dans la base de
vecteurs propres de $S$ et l'on voit :

$$
\Theta_0 = \frac{\theta_0}{2} \vec{e}_0 + \frac{\theta_0}{2} \vec{e}_\Omega. \qquad (165)
$$

Ainsi, grâce à (149) on aboutit à :

$$
\begin{align*}
\Theta(t) &= \cos(\sqrt{S}t)\Theta_0 \\
&= \underbrace{\frac{\theta_0}{2} \cos(\sqrt{S}t)\vec{e}_0 + \frac{\theta_0}{2} \cos(\sqrt{S}t)\vec{e}_\Omega}_{\text{Superposition des deux modes propres}} \\
&= \begin{pmatrix} \frac{\theta_0}{2} \cos(\omega_0 t) + \frac{\theta_0}{2} \cos(\sqrt{\Omega} t) \\ \frac{\theta_0}{2} \cos(\omega_0 t) - \frac{\theta_0}{2} \cos(\sqrt{\Omega} t) \end{pmatrix}.
\end{align*}
$$

Utilisant les formules de trigonométrie, on peut
réécrire que :

$$
\Theta(t) = \begin{pmatrix} \theta_0 \cos \left( \frac{\omega_0 + \sqrt{\Omega}}{2} t \right) \sin \left( \frac{\omega_0 - \sqrt{\Omega}}{2} t \right) \\ \theta_0 \sin \left( \frac{\sqrt{\Omega} - \omega_0}{2} t \right) \sin \left( \frac{\omega_0 + \sqrt{\Omega}}{2} t \right) \end{pmatrix}.
$$

Lorsque les pulsations $\omega_0$ et $\sqrt{\Omega}$ sont proches l'une
de l'autre, on observe en physique un phénomène
dit de **battement**. C'est un phénomène bien
connu des musiciens : il suffit sur une guitare par
exemple, de jouer simultanément deux cordes dont
les fréquences fondamentales sont très voisines, on
aura à l'oreille une sensation (assez désagréable et
dissonante!) d'un paquet d'ondes sonores qui se
déplace.

Ce principe physique de superposition - que Bernoulli nommait « principe des systèmes oscillants » en 1755²⁸ - est en étroit lien avec le fait que les équations différentielles/aux dérivées partielles qui régissent ces phénomènes physiques sont linéaires et se soumettent donc au principe de superposition. En termes mathématiques on dirait que l'ensemble des solutions d'une équation linéaire différentielle homogène est un K-espace vectoriel (avec $K = \mathbb{R}$, $\mathbb{C}$) autrement dit qu'une combinaison linéaire scalaire de fonctions $f_1, ..., f_N$ satisfaisant individuellement (i.e. pour tout $j \in \{1, ..., N\}$) l'équation différentielle d'ordre $n$ à coefficients constants :

$$
\sum_{k=1}^{n} a_k y^{(k)} = 0, \quad a_k \in \mathbb{K}, \qquad (166)
$$

alors $\sum_{j=1}^{N} \alpha_j f_j$ avec $\alpha_j \in \mathbb{K}$ - est encore solution de (166).
C'est ce grand principe que l'on retrouve en étudiant la
corde vibrante i.e. le déplacement transversal d'une corde
tendue mise en vibration est décrit comme la superposi-
tion d'une infinité d'ondes sinusoïdales particulières qui
sont dans ce cas qualifiées de *modes propres* (ce sont par
définition des ondes stationnaires) et sont les vecteurs
propres d'un opérateur en dimension infinie : l'opérateur
laplacien. L'équation aux valeurs/vecteurs propres pour
l'opérateur laplacien dans le contexte de la corde vi-
brante porte d'ailleurs le nom **d'équation acoustique**
**d'Helmhotz**. Cette équation, notamment en dimension
2 ou 3, s'avère hautement plus ardue à résoudre que le
système aux valeurs/vecteurs propres matriciels qu'on

<footnote n="27">27. Et pour rappel $\forall t \in \mathbb{R}$, $\cos(t + \pi) = -\cos(t)$.</footnote>

<footnote n="28">28. Voir le paragraphe 195 de son article « *Sur le mélange de plusieurs espèces de vibrations simples isochrones, qui peuvent coexister dans un même système de corps* » où Bernoulli écrit :</footnote>

<footnote>« dans tout système les mouvements réciproques [comprendre périodiques] des corps sont toujours un mélange de vibrations simples, régulières et permanentes de différentes espèces. »</footnote>

<footnote>Plus généralement nous invitons le lecteur à consulter l'excellent travail d'Herreman [Her12, p 42-46] sur le lien entre les travaux de Fourier et la controverse des cordes vibrantes.</footnote>
a rencontré dans le cadre des pendules couplés. On retrouve ici une propriété particulière des ondes (transversionsales sur la corde) : elles s'ajoutent ainsi les unes aux autres. Dans son ouvrage « *Theory of sound* » daté de 1877 [Ray77, p 138], Lord Rayleigh résume :

« The pitch of the note yielded by a string<sup>29</sup>, and the character of the fundamental vibration, were first investigated on the mechanical principles by Brook Taylor in 1715; but it is to Daniel Bernoulli (1755)<sup>30</sup> that we owe the general solution contained in [l'équation

suivante est volontairement modifiée] :

$$y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\sin(k_n x) (A_n \cos(2\pi f_n t) + B_n \sin(2\pi f_n t))}_{\text{mode propre de fréquence } f_n} \quad (167)$$

$$f_n := nf_1, \quad k_n := \frac{n\pi}{l}.$$

[...] In his time [celui de Bernoulli] the generality of the result so arrived at was open to question; in fact, it was the opinion of Euler, and also, strangely enough, of Lagrange, that the series of sines (167) was not capable of representing an arbitrary function [...]. »

<footnote n="29">29. [la fréquence fondamentale d'une corde tendue de tension $T_0$, de longueur $l$ et de masse linéique $\mu$ est $f_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}$ et les fréquences $f_n$, ici multiples de $f_1$, sont dites fréquences harmoniques.]</footnote>

<footnote n="30">30. [la série infinie (167) prochaine se trouve précisément page 157 de ses *Réflexions et éclaircissements sur les nouvelles vibrations des cordes exposées dans les mémoires de l'Académie de 1747 et 1748*, article daté de 1753 traduit en français en 1755]</footnote>
# 4 L'équation de l'oscillateur harmonique dans les $C^*$-algèbres

Dans cette section on s'appuie sur le calcul fonctionnel continu dans une $C^*$-algèbre unitale pour énoncer un théorème concernant l'équation de l'oscillateur harmonique dans ce contexte. Il est clair que cette section s'adresse à un lecteur plus expérimenté et en conséquence les rappels seront réduits au minimum. On invite en parallèle le lecteur à consulter la trilogie d'articles [Cou25] écrite spécialement pour un néophyte de ces questions $C^*$-algébriques bien qu'il trouvera ici de nouveaux ou-tils.

On rappelle qu'une $\mathbb{C}$-algèbre est dite unitale (ou unitaire) si la loi produit interne possède une unité, notée $1_A$ dans ce document et vérifiant $\forall a \in A, a1_A = 1_A a = a$. On note $\mathcal{U}(A)$ le groupe des éléments inversibles de $A$. Rappelons au préalable deux définitions :

**Définition 4** Une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach est la donnée d'une $\mathbb{C}$-algèbre $A$ munie d'une norme sous-multiplicative $||\cdot||$ i.e. vérifiant pour tout $(a,b) \in A$ :

$$ ||ab|| \le ||a|| ||b||, \qquad (168) $$

et qui rend complet le $\mathbb{C}$-ev $(A, +, \cdot)$.

Il est possible de donner vie à l'exponentielle $e^a$ d'un élément $a \in A$. Grâce à la propriété de sous-multiplicativité, on montre sans peine que la série $\sum \left( \frac{a^k}{k!} \right)_k$ est absolument convergente, donc convergente, en invoquant le célèbre [Ban22, Théorème 8 p 138] que l'on trouve dans la thèse datée de 1922 de l'illustre Banach et qui établit l'équivalence entre la complétude d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé $E$ et le fait que toute série absolument convergente de $E$ est automatiquement convergente dans $E$.

**Définition 5** ($C^*$-algèbre) On dit que $A$ est une $C^*$-algèbre (unitale) si $A$ est une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach (unitale) de surcroît munie d'une involution $a \mapsto a^*$, par définition un anti-automorphisme d'ordre 2, qui souscrit à la condition suivante sur la norme :

$$ \forall a \in A, \quad ||aa^*|| = ||a||^2. \qquad (169) $$

Le lecteur a déjà manipulé (parfois à son insu) de nombreuses $C^*$-algèbres (unitaires), $(\mathbb{C}, |\cdot|)$ munie de l'involution $z \mapsto \bar{z}$, $(M_n(\mathbb{C}), ||\cdot||_{op})$ munie de l'involution donnée par la transconjuguée $A \mapsto A^* = {}^t \bar{A}$, $(\mathcal{L}_c(H), ||\cdot||_{op})$ - où $H$ est un $\mathbb{C}$-espace de Hilbert - munie de l'involution donnée par l'adjonction $T \mapsto T^*$, les algèbres de fonctions continues sur un espace compact (Hausdorff) munie de l'involution $f \mapsto \bar{f}$ etc...

On rappelle également que, dans une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach unitale, on peut définir le spectre $\sigma(a)$ d'un élément de $a$ comme :

$$ \sigma(a) = \{ \lambda \in \mathbb{C}, a - \lambda 1_A \notin \mathcal{U}(A) \}. \qquad (170) $$

Cet ensemble est l'analogue infini-dimensionnel du spectre d'une matrice. On peut démontrer que $\sigma(a)$ est un compact **non-vide**$^{31}$ de $(\mathbb{C}, |\cdot|)$ et on peut préciser :

$$ \sigma(a) \subset \overline{B_o(0, ||a||)}, \qquad (171) $$

où $\overline{B_o(0, ||a||)}$ désigne l'adhérence de la boule ouverte dans $\mathbb{C}$ de centre 0 et de rayon $||a||$, voir [Aup12, p 36], [Dou98, proposition 2.28 p 38], [Cou25, Partie I, numéro 135, cas de $A = \mathcal{L}_c(E)$]. On définit le rayon de spectral de $a$ par :

$$ r(a) = \max_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|, \qquad (172) $$

et le théorème fondamental de Gelfand-Beurling [Zhu93, Theorem 5.5 p 30], [Mur14, Theorem 1.2.7 p 10] - illustrant encore une fois de plus le pont entre algèbre et analyse - permet d'affirmer :

$$ r(a) = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{||a^n||}. \qquad (173) $$

Dans une $C^*$-algèbre unitale il fait sens de parler d'éléments auto-adjoints et d'éléments positifs. On reconnaitra dans la définition suivante, l'analogie avec la caractérisation spectrale des matrices symétriques positives $S_n^+(\mathbb{R})$.

**Définition 6 (Éléments auto-adjoint et positif)**

Soit $A$ une $C^*$-algèbre unitale, un élément $a$ est auto-adjoint lorsque $a^* = a$, normal si $a$ commute avec son adjoint $a^*$. Un élément $a$ normal est dit positif lorsque $\sigma(a) \subset \mathbb{R}_+$.

Certains auteurs comme Zhu [Zhu93, Definition 8.7 p 52,] ou encore le trio Rørdam, Larsen, Laustsen [RLL00, p 6] définissent la positivité d'un élément $a$ comme le fait que $a$ soit de la forme $a = b^*b, b \in A$. Ceci, grâce au calcul fonctionnel continu, est équivalent à notre définition [Zhu93, Corollary 9.5 p 57 cas $A$ commutative, Theorem 10.4 p 63, Theorem 11.5 p 69]. Le théorème suivant est utilisé à toutes les sauces [Mur14, Theorem 2.1.7 p 40], [Zhu93, Theorem 8.1 p 52]. Une démonstration du premier point repose sur le calcul fonctionnel continu :

**Théorème 5** Soit $A$ une $C^*$-algèbre unitale.

1. Si $a$ est auto-adjoint alors $\sigma(a) \subset \mathbb{R}$.

2. Si $a$ est normal et $\sigma(a) \subset \mathbb{R}$, alors $a$ est auto-adjoint.

3. Si $a$ est normal alors $r(a) = ||a||$.

**Á méditer :**

<footnote n="31">31. C'est la non vacuité qui est le point technique de cette assertion.</footnote>
1. Dans la $C^*$-algèbre non-commutative unitale de dimension finie $A = \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, où l'involution est donnée par la trans-conjugaison $A \mapsto A^* := {}^t A$ et la norme est la norme opérateur, la matrice :

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (174)$$

vérifie $\sigma(M) = \{1\} \subset \mathbb{R}$ et pourtant $M$ n'est pas auto-adjointe. Et pour cause, elle n'est même pas normale i.e. $MM^* \neq M^*M$ donc le point 2. du théorème 5 ci-dessus - qui est une « réciproque partielle » du point 1. - ne s'applique pas.

2. L'algèbre du disque $(\mathcal{A}(\mathbb{D}), ||\cdot||_{\mathbb{D},\infty})$, constituée des fonctions continues sur le disque unité complexe $\mathbb{D}$ et holomorphes sur son intérieur $\bar{\mathbb{D}}$ est une $*-\text{algèbre de Banach}^{32}$ pour l'involution :

$$f \mapsto f^* : (z \mapsto \overline{f(z)}), \qquad (175)$$

mais n'est pas une $C^*$-algèbre. Il suffit en effet de prendre la fonction $f: z \mapsto z - i$ de sorte que $f^*: z \mapsto z + i$ et de constater que :

$$||f||_{\mathbb{D},\infty}^2 = 4 \neq ||f^*f||_{\mathbb{D},\infty} = 2, \qquad (176)$$

ce qui rompt l'égalité (169). Par ailleurs notant id : $z \mapsto z$, on a que $\sigma(id) = \mathbb{D}$ et pourtant cette fonction est auto-adjointe i.e. $id^* = id$. Cela ne remet bien entendu toutefois pas le théorème 5 en question et prouve au passage que pour cette involution là, alors l'algèbre du disque ne peut jamais être une $C^*$-algèbre (pour aucune norme).

Au regard de ce qui précède, il est possible de transposer l'équation (148) de l'oscillateur harmonique du pendule couplé dans une $C^*$-algèbre i.e. pour $a$ un élément auto-adjoint positif inversible (on dit aussi « strictement positif »), on cherche à déterminer l'unique solution de l'équation de l'oscillateur harmonique $C^*$-algébrique :

$$\left\{ \begin{array}{l} y'' + ay = 0_A \\ y(0) = y_0, \quad y'(0) = v_0. \end{array} \right. \qquad (177)$$

On pressent que la fonction suivante :

$$y(t) = \cos(\sqrt{a}t)y_0 + (\sqrt{a})^{-1} \sin(\sqrt{a}t)v_0, \qquad (178)$$

est un candidat adéquat, si tant est que l'on puisse donner du sens à des fonctions de l'élément $a$ de la même façon que l'on a pu donner du sens aux fonctions de matrices. Ceci est bien possible grâce au calcul fonctionnel continu dans une $C^*$-algèbre unitale dont nous

brossons très rapidement la construction. L'idée est de commencer par raisonner avec le morphisme d'évaluation (polyômial)$^{33}$ :

$$\mathrm{ev}_a : \mathcal{P} \to \mathbb{C}[a], P \mapsto P(a), \qquad (179)$$

où $\mathcal{P} = \{P : \sigma(a) \to \mathbb{C} \text{ fonctions polynômiales}\}$. On rappelle d'une part que l'élément $a$ étant auto-adjoint, $\sigma(a) \subset \mathbb{R}$, voir le théorème 5, et d'autre part que $\sigma(a)$ est un compact **non-vide**. L'ensemble $\mathcal{P}$ est dense dans la $C^*$-algèbre $C^0(\sigma(a), \mathbb{C})$ au sens de la norme uniforme $||\cdot||_\infty$ en vertu du théorème de Stone-Weierstrass. Avant de commencer il n'est pas inintéressant d'explicitier clairement que si $P(x) = \sum_{k=0}^d \lambda_k x^k$, alors $\overline{P}(x) = \sum_{k=0}^d \overline{\lambda_k} x^k$. Delà il en résulte, $a$ étant auto-adjoint, que :

$$P(a)^* = \left( \sum_{k=0}^{d} \lambda_k a^k \right)^* = \overline{P}(a), \qquad (180)$$

ce qui conduit au fait que $P(a)$ est normal i.e. commute avec son adjoint. On met alors en place la stratégie suivante.

1. **L'application $\mathrm{ev}_a$ est bien définie** : On procède comme suit en se donnant deux polynômes $P, Q \in \mathbb{C}[X]$ de sorte que :

$$P|_{\sigma(a)} = Q|_{\sigma(a)}. \qquad (181)$$

Il vient alors :

$$\begin{aligned} r(P(a) - Q(a)) &= ||P(a) - Q(a)|| \\ &= \max_{\mu \in \sigma(a)} |P - Q(\mu)| = 0, \quad (\diamond) \end{aligned}$$

où, dans $(\diamond)$, on a utilisé le résultat général affirmant que dans une $C^*$-algèbre la norme d'un élément normal - ce qui est le cas de $(P-Q)(a)$ - égale son rayon spectral, voir le théorème 5. Ainsi du fait de la propriété de séparation de la norme, nous sommes conduits à $P(a) = Q(a)$ et donc $\mathrm{ev}_a$ est bien définie. Le caractère de $*-\text{morphisme}$ et la surjectivité de $\mathrm{ev}_a$ sont relativement clairs et laissés en conséquence au lecteur.

2. **L'application $\mathrm{ev}_a$ est isométrique** : On procède comme suit pour $P \in \mathcal{P}$ :

$$\begin{aligned} ||P(a)||_{op} &= r(P(a)) \quad (\diamond) \\ &= \max_{\lambda \in \sigma(P(a))} |\lambda| \\ &= \max_{\mu \in \sigma(a)} |P(\mu)|, \quad (\heartsuit) \\ &= ||P||_\infty, \end{aligned}$$

où, $(\diamond)$ symbolise le même théorème 5 précédemment cité, tandis que dans $(\heartsuit)$ on a

<footnote n="32">32. Une $*-\text{algèbre de Banach}$ est une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach munie d'une involution et dans laquelle on a pour tout $x \in A$, $||x|| = ||x^*||$.</footnote>

<footnote n="33">33. Qui est d'ailleurs une clé importante pour l'étude des $\mathbb{K}$-algèbres de dimension finie et dont le noyau, alors non trivial, est engendré par le fameux polynôme minimal, consulter [Cou25, Partie I].</footnote>
utilisé l'égalité spectrale polynômiale à savoir $P(\sigma(a)) = \sigma(P(a))$ et qui est d'ailleurs vrai dans toute $\mathbb{C}$-algèbre de Banach, voir [Mur14, Theorem 1.2.2 p 7]. En vertu du lemme de prolongement <fnref n="34" />, il vient l'existence d'un unique prolongement :

$$ \overline{ev_a} : \overline{\mathcal{P}} = C^0(\sigma(a), \mathbb{C}) \to \overline{\mathbb{C}[a]} = C^*(a, 1_A), \\ f \mapsto f(a), $$

qui coïncide avec $ev_a$ sur $\mathcal{P}$ et où $C^*(a, 1_A)$ désigne la $C^*$-algèbre engendrée par $1_A$ et $a$. Ce prolongement demeure un $*$-morphisme isométrique. Quant au caractère surjectif de $\overline{ev_a}$ il découle du fait :

$$ \mathrm{Im}(\overline{ev_a}) \supseteq \mathrm{Im}(ev_a) = \mathbb{C}[a], \quad (182) $$

et du fait que $Im(\overline{ev_a})$ est fermée dans $A$ comme image d'une isométrie. Finalement $\overline{ev_a}$ est un $*$-isomorphisme isométrique. Puisque $\overline{ev_a}$ est une isométrie on a :

$$ ||f(a)|| = ||f||_\infty = \max_{\lambda \in \sigma(a)} |f(\lambda)|. \quad (183) $$

3. **L'application $\overline{ev_a}$ vérifie l'égalité spectrale :**
On admet que $\overline{ev_a}$ souscrit à l'égalité spectrale :

$$ \sigma(f(a)) = f(\sigma(a)), \quad (184) $$

qui s'appelle dans la littérature anglo-saxone « spectral mapping theorem », [Ber74, Theorem (65.3) p 272], [Mur14, Theorem 2.1.14 p 43], [Zhu93, Theorem 5.4 p 29 version où $f$ analyse]. Cette égalité est profonde et s'avère centrale en pratique. Insistons que nous nous sommes servis de cette égalité dans sa version faible - nous n'aurons pas besoin de plus dans ce document - i.e. lorsque $f$ est un polynôme. Le lecteur pourra s'entraîner à la démontrer dans ce cadre, en faisant notamment appel au théorème fondamental de l'algèbre.

Grâce au calcul fonctionnel continu, lorsque $a$ est un élément strictement positif i.e. $\sigma(a) \subset \mathbb{R}_+^*$ alors il est licite de définir $\sqrt{a}$ puisque la fonction suivante est continue et bien définie sur le spectre de $a$ :

$$ \sqrt{\sigma(a)} \subset \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}. \quad (185) $$

Avant de démontrer, voir théorème 8, que (178) fournit bel et bien l'unique solution l'oscillateur harmonique $C^*$-algébrique, il est utile de dire au lecteur qu'étant fixée une $C^*$-algèbre unitale $A$, l'ensemble de matrices de tailles 2 à coefficients dans $A$ :

$$ \mathcal{M}_2(A) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, (a, b, c, d) \in \mathbb{A}^4 \right\}, \quad (186) $$

acquière à son tour une structure d'\*-algèbre unitale - d'unité $1_{\mathcal{M}_2(A)} = \begin{pmatrix} 1_A & 0 \\ 0_A & 1_A \end{pmatrix}$ - pour l'involution :

$$ M \mapsto M^* = \begin{pmatrix} a^* & c^* \\ b^* & d^* \end{pmatrix}, \quad (187) $$

qui mime la transconjugaison sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ et on peut en faire une algèbre normée :

$$ ||M||_{\mathcal{M}_2(A),\infty} = \max (||a||, ||b||, ||c||, ||d||) \quad (188) $$

Néanmoins cette norme ne fait pas de $\mathcal{M}_2(A)$ une $C^*$-algèbre unitale, ni même d'ailleurs une norme sous-multiplicative comme on le voit en considérant les matrices :

$$ M = \begin{pmatrix} 1_A & 1_A \\ 0_A & 0_A \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 1_A & 0_A \\ 1_A & 0_A \end{pmatrix}, \quad MN = \begin{pmatrix} 21_A & 0_A \\ 0_A & 0_A \end{pmatrix}, $$

où l'inégalité de sous-multiplicativité est mise en défaut puisque :

$$ ||MN||_{\mathcal{M}_2(A),\infty} = 2, \quad ||M||_{\mathcal{M}_2(A),\infty} ||N||_{\mathcal{M}_2(A),\infty} = 1. $$

Notons cependant que $(\mathcal{M}_2(A), || ||_{\mathcal{M}_2(A),\infty})$ est un $\mathbb{C}$-espace de Banach. **Fait :** L'\*-algèbre $\mathcal{M}_2(A)$ peut-être munie d'une structure de $C^*$-algèbre. Cela repose, voir [Mur14, p 94-95], [RLL00, § 1.3 p 9], sur le théorème hautement non trivial de Gelfand-Neimark-Segal (1942) issu de l'article « *On the embedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space* » [GN42, theorem 1 p 198] :

## Théorème 6 (Gelfand-Naimark-Segal (1942))

Toute $C^*$-algèbre de Banach est $*$-isométriquement isomorphe à une sous-$C^*$-algèbre de l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert.

Puisqu'en réalité on aura simplement besoin que $\mathcal{M}_2(A)$ soit une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach, on peut également invoquer le théorème ci-dessous, du à Gelfand [Gel41] en 1941 et que l'on retrouve dans l'article « Commutative normed rings » de 1946 écrits par Gelfand, Raikov et Shilov [GRS46] dont le but est d'agglomérer et synthéthiser en version anglophone, les résultats sur les « anneaux normés » trouvés durant les cinq dernières années. Avant de discuter du théorème 7 à venir, il n'est pas inintéressant de conduire un point historique et terminologique.

<footnote n="34">34. Par soucis d'exhaustivité on rappelle :</footnote>

<footnote>**Lemme 1 (de prolongement)** Soit $T: D \subset E \to F$ une isométrie linéaire entre deux espaces de Banach $E$ et $F$ avec $D$ une partie de $E$ telle que $\bar{D} = E$. Il existe une unique extension (isométrique) $\bar{T}: E \to \overline{Im}(\bar{T})$ coïncidant avec $T$ sur $D$.</footnote>
Dans leur articles « *Commutative normed rings* » de 1946, Gelfand, Raikov et Shilov définissent - [GRS46, Définition 1 p 117] - un « *normed ring* » comme un anneau commutatif, où l'espace vectoriel sous-jacent, dont la loi externe agit sur le corps des complexes, est muni d'une norme **pas forcément sous-multiplicative**<fnref n="35" />, qui en fait un espace de Banach, et où ils substituent la propriété de sous-multiplicativité de la norme par le fait que **la multiplication est continue en chacune de ces variables** i.e. pour tout $x$, les opérateurs de multiplication à gauche et à droite :

$$L_x : y \mapsto xy, \quad R_x : y \mapsto yx, \quad (189)$$

sont continus. Ils énoncent alors, [GRS46, Theorem 1 p 119], le théorème suivant, déjà pointé du doigt en 1941 par Gelfand [Gel41, Satz 1. p 3] qui disait :

« A priori würde es scheinen, dass $(\delta')$ [l'axiome de sous-multiplicativé de la norme et le fait que l'unité a norme 1] eine wesentliche Verstärkung von $(\delta)$ [l'axiome demandant que la multiplication à gauche et à droite soit continue] ist; wir werden aber zeigen, dass in der Tat $(\delta')$ und $(\delta)$ äquivalente sind. »

Le théorème 7 suivant est également intéressant car permet toujours, quitte à travailler avec une norme équivalente, de se ramener au cas où l'unité d'une $\mathbb{C}$-algèbre de Banach $A$ a norme égale à 1. On y comprend également qu'en un sens, l'algèbre des opérateurs bornés $(\mathcal{L}_c(E), || ||_{op})$ sur un espace de Banach $E$ est universelle. Ainsi, le théorème de Gelfand-Naimark et Segal 6 est l'analogue $C^*$-algébrique du résultat ci-dessous :

**Théorème 7 (Gelfand 1941)** Soit $A$ une $\mathbb{C}$-algèbre unitale<fnref n="36" /> et munie d'une norme $N$ qui en fait un espace de Banach<fnref n="37" /> et où les opérateurs $R_x$ et $L_x$ définis à l'équation (189) sont continus pour tout $x \in A$. Alors il existe une norme sous-multiplicative $|| ||$ sur $A$ équivalente à $N$ et qui vérifie de surcroît $||1_A|| = 1$. En particulier $(A, || ||)$ est une algèbre de Banach. De surcroît $A$ est isomorphe à une sous-algèbre fermée des opérateurs bornés sur $A$ i.e. la $\mathbb{C}$-algèbre de Banach $(\mathcal{L}_c(A), || ||_{op})$.

Reste à appliquer le théorème de Gelfand 7, pour affirmer que $M_2(A)$ peut être munie d'une structure d'algèbre de Banach. Il suffit de vérifier que les opérateurs de multiplication sont continus pour la norme $|| ||_{M_2(A),\infty}$, la complétude de cet espace avec cette norme ayant déjà été affirmée ci-dessus. Le raisonnement étant identique pour l'opérateur de multiplication à

gauche ou à droite on s'enquière simplement de la continuité ce premier. Le contexte normé nous invite à utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour prouver la continuité de cet opérateur. Fixons une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, donnons nous une suite de matrices $N_k = \begin{pmatrix} x_k & y_k \\ z_k & t_k \end{pmatrix}$ convergente vers $N = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ au sens de la norme $|| ||_{M_2(A),\infty}$ et regardons si :

$$L_M(N_k) \xrightarrow[k \to +\infty]{} L_M(N) \quad (190)$$

La définition de la norme $|| ||_{M_2(A),\infty}$ et la convergence de $(N_k)$ vers $N$ au sens de cette norme contraint la convergence de chaque coefficient de $(N_k)$ vers le coefficient respectif de $N$. La conclusion (190) s'ensuit en utilisant la propriété de sous-multiplicativité de la norme d'algèbre sur $A$.

Ces algèbres de matrices à coefficients banachiques - le résultat s'étend bien sûr à $M_n(A)$ pour $n \ge 2$ - sont importantes dans la K-théorie, voir [Mur14], [Ped79], [RLL00] i.e. la classification de certaines $C^*$-algèbres via l'emploi d'une bonne famille de groupes abéliens. On énonce et démontre comme promis :

**Théorème 8** Soit $A$ une $C^*$-algèbre et $a$ un élément auto-adjoint positif inversible. La solution (178) est l'unique solution du problème (148).

**Esquisse de preuve** : Grossièrement, il faut mer la preuve du théorème 4. On commence par traduire ce précédent système sous la forme d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1. On pose donc le vecteur à coefficients banach-algébriques :

$$Z(t) = \begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}. \quad (191)$$

L'équation (177) se transforme en :

$$\left\{ \begin{array}{l} Z'(t) = \begin{pmatrix} 0_A & 1_A \\ -a & 0_A \end{pmatrix} Z(t) \\ \\ Z(0) = \begin{pmatrix} y_0 \\ v_0 \end{pmatrix} \end{array} \right. . \quad (192)$$

On pressent que les fameux sous-groupes à un paramètre de Nagumo-Nathan-Yosida que nous évoquions plus haut vont de nouveau nous venir en aide. Posant $M = \begin{pmatrix} 0_A & 1_A \\ -a & 0_A \end{pmatrix}$ on voit qu'il est de nouveau possible

<footnote n="35">35. Contrairement à certains auteurs de la même époque, comme Nagumo [Nag36] par exemple, qui impose dès le départ que la norme sur l'anneau normé soit sous-multiplicative.</footnote>

<footnote n="36">36. On en trouve aussi la version non unitale chez [Zel73, Theorem 2.4 p 9].</footnote>

<footnote n="37">37. **Attention** : Insistons auprès de notre lecteur, la norme $N$ n'est pas supposée sous-multiplicative.</footnote>
d'écrire le produit de matrices par blocs :

$$
M = \underbrace{\begin{pmatrix} 1_A & 1_A \\ i\sqrt{a} & -i\sqrt{a} \end{pmatrix}}_{:=Q} \times \begin{pmatrix} i\sqrt{a} & 0_A \\ 0_A & -i\sqrt{a} \end{pmatrix} \\
\times \underbrace{\begin{pmatrix} -i\sqrt{a} & -1_A \\ -i\sqrt{a} & 1_A \end{pmatrix}}_{:=Q^{-1}} \times \begin{pmatrix} \frac{-1}{2i}\sqrt{a}^{-1} & 0_A \\ 0_A & \frac{-1}{2i}\sqrt{a}^{-1} \end{pmatrix},
$$

où l'on remarque que la dernière matrice joue toujours

le rôle du « déterminant » de la matrice par bloc Q. On
laisse le soin au lecteur de se convaincre que la fin de la
démonstration fonctionne rigoureusement de même que
pour celle du théorème 4 i.e. qu'il est licite d'intégrer via
l'exponentielle de M, cette équation différentielle. Cette
exponentielle fait bien du sens dans la C*-algèbre uni-
tale M2(A) (en fait munir M2(A) « seulement » d'une
structure de C-algèbre de Banach serait suffisant pour
rendre licite la série exponentielle de M).

(□)
Références

[ABD86] Pierre Agati, Yves Bremont, and Gerard Delville. Mécanique du solide. *Applications industrielles*, 1986.

[Ant04] Hélène Antaya. La cycloïde : du brachistochrone au pendule de huygens. *Bulletin AMQ*, XLIV, 2004. https://www.amq.math.ca/ancien/archives/2004/3/2004-3-part4.pdf.

[Aup12] Bernard Aupetit. *A primer on spectral theory*. Springer Science, Business Media, 2012.

[Ban22] Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, 1922.

[Bc14] Yves Berthaud and collègues. *Mécaniques des solides*. Dunod, 2014.

[Ber74] Sterling K Berberian. *Lectures in functional analysis and operator theory*. Springer-Verlag, 1974.

[Cay58] Arthur Cayley. II. A memoir on the theory of matrices. *Philosophical transactions of the Royal society of London*, (148) :17–37, 1858.

[CG18] Philippe Caldero and Jérôme Germoni. *Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries*. Calvage et Mounet, 2018.

[Cos62] Pierre Costabel. Le De cycloïde de R. Boscovich. *Revue d'Histoire des Sciences, Persée*, 1962.

[Cou25] Nathan Couchet. Au royaume du spectre. *Journal Quadrature*, 2025. Numéros 135, 136 (Dernière partie à venir).

[dB81] Jean de Biasi. La cycloïde. pages 250-259, 1981. https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/AAA/AAA81007/AAA81007.pdf, APMEP numéro 328.

[Dou98] Ronald G Douglas. *Banach Algebra Techniques in Operator Theory*. Springer, 1998. Second Edition.

[EN00] Klaus-Jochen Engel and Rainer Nagel. *One-parameter semigroups for linear evolution equations*. Springer, 2000.

[Fla03] Dominique Flament. Histoire des nombres complexes. entre algèbre et géométrie. *HAL*, 2003, 2003.

[Gan59] Feliks Ruvimovich Gantmacher. *The theory of matrices*, volume I. Chealsea Publishing Company New York, 1959.

[Gel41] Israel M Gelfand. Normierte Ringe. 9(1) :3–24, 1941.

[GN42] Israel M Gelfand and M.A. Naimark. On the embedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space. 12 :197–213, 1942.

[Gou02] Édouard Goursat. *Cours de mathématiques 1*, volume I. Gauthiers-Villars, 1902.

[GRS46] Izrail Moiseevich Gelfand, Dmitrii Abramovich Raikov, and Georgii Evgen’evich Shilov. Commutative normed rings. *Uspekhi Matematicheskikh Nauk*, 1(2) :48–146, 1946.

[Har71] Kokiti Hara. Pascal et wallis au sujet de la cycloïde (ii). pages 231–249, 1971. Japanese studies in the History of Science.

[Her12] Alain Herreman. L’inauguration des séries trigonométriques dans la théorie analytique de la chaleur de fourier et dans la controverse des cordes. 2012. https://hal.science/hal-00748183/document.

[HR37] D. Hilbert and Courant R. *Methods of mathematical physics Volume I*. Interscience Publishers, Inc. New York, 1937.

[Jer99] Abdul J Jerri. *Introduction to integral equations with applications*. John Wiley and Sons, 1999.

[Luc06] Erika Luciano. At the origins of functional analysis : G. peano and m. gramegna on ordinary differential equations. *Revue d'histoire des mathématiques*, 12(1) :35–79, 2006.

[Lüt82] Jesper Lützen. *Joseph Liouville's contribution to the theory of integral equation*. Historia Mathematica, 1982.

[M+22] Guillaume Moussard et al. *Histoires de calcul infinitésimal : De l'étude des courbes aux dérivées et aux intégrales*. Editions Ellipses, 2022.

[Mur14] Gerald J Murphy. *C*-algebras and operator theory. Academic press, 2014.

[Nag36] Von Mitio Nagumo. Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen. In *Japanese journal of mathematics : transactions and abstracts*, volume 13, pages 61–80. The Mathematical Society of Japan, 1936.

[Nat35] David. S Nathan. One-parameter groups of transformations in abstract vector spaces. 1935.
[Par65] Leopold Alexander Pars. A treatise on analytical dynamics. 1965.

[PC00] Krempf Pierre and Frères Christian. *Mécaniques du solide, Exercices corrigés, PC-PC*, MP-MP*. El-lipses, 2000.

[Ped79] Gert K. Pedersen. *C*-algebras and their Automorphism Groups. Academic Press, London New York, 1979.

[Pie07] Albrecht Pietsch. *History of Banach spaces and linear operators*. Springer Science & Business Media, 2007.

[PT07] John Henry Poynting and Joseph John Thomson. *A Text-book of Physics : Properties of Matter*, volume 1. C. Griffin London, 1907.

[Ray77] John William Strutt Baron Rayleigh. *The theory of sound*. Macmillan, 1877.

[RLL00] Mikael Rørdam, Flemming Larsen, and Niels Laustsen. *An introduction to K-theory for C*-algebras, volume 49. Cambridge University Press, 2000.

[Saa73] Daniel Saada. Mouvement d'un pendule simple. (705) :479-765, 1973.

[Sor24] Joël Sornette. *Mécanique du solide*. Cépaduès Éditions, 2024.

[TE+60] Clifford Truesdell, Leonhard Euler, et al. The rational mechanics of flexible or elastic bodies, 1638-1788 : introduction to Leonhardi Euleri Opera omnia, vol. x et xi seriei secundae. (No Title), 1960.

[Thu72] HA Thurston. How good is the usual approximation for the period of a simple pendulum? *The Mathematical Gazette*, 56(396) :120-122, 1972.

[Tri85] Francesco Giacomo Tricomi. *Integral Equations*, volume 5. Courier corporation, 1985.

[Ver94] Jean-Luc Verley. Autour de la cycloïde, congrès « maths.en.jeans ». pages 215-229, 1994. http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/actes/actespdf/94215229.pdf.

[vN29] J v. Neumann. Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen. *Mathematische Zeitschrift*, 30(1) :3-42, 1929.

[Vol10] Vito Volterra. *Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles*. Gauthiers-Villars, 1910.

[Wed34] Joseph Henry Maclagan Wedderburn. *Lectures on matrices*, volume 17. American Mathematical Soc., 1934.

[Yos36] Kôsaku Yosida. On the group embedded in the metrical complete ring. In *Japanese journal of mathematics : transactions and abstracts*, volume 13, pages 7-26. The Mathematical Society of Japan, 1936.

[Zel73] Wiesław Zelazko. *Banach Algebras*. Elsevier, 1973. Version polonaise (1968).

[Zhu93] Kehe Zhu. *An introduction to operator algebras*. CRC press, 1993.