# Modèle CDL pour les multicouches épais Application au calcul du champ thermique

Monique Blanc, Maurice Touratier

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Monique Blanc, Maurice Touratier. Modèle CDL pour les multicouches épais Application au calcul du champ thermique. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812976

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# Modèle CDL pour les multicouches épais

## Application au calcul du champ thermique

Monique Blanc*— Maurice Touratier*

* LMSP- UMR 8106 CNRS- ENSAM- Université d'Orléans

151,bd de l'Hôpital 75013 Paris

monique.blanc@paris.ensam.fr

maurice.touratier@paris.ensam.fr

**RÉSUMÉ.**

Ce travail présente un nouveau modèle, appelé CDL, destiné au calcul thermique des multicouches. Il s'agit d'une approximation dans l'épaisseur qui respecte la continuité du flux normal aux interfaces, la température pouvant être elle même continue ou discontinue (présence de résistance thermique d'interface). On utilise pour cela, dans chaque couche une discrétisation basée sur des polynômes de degré 2.

Ce modèle permet de remplacer une EDP à 3 variables d'espace en un système d'EDP à 2 variables d'espace.

Cette approximation peut déboucher sur la définition d'un élément fini très performant pour le calcul du champ thermique d'un composite multicouches

**ABSTRACT.** This work presents a new approximated computational model for heat conduction problems in laminates, based upon Lagrange's polynomial discretization through the thickness which allows to satisfy the flux continuity at each interface, in addition to temperature having the capability for interface thermal resistance too. So we can replace the 3D problem by N 2D problems. By using this model we can obtain a very efficient finite element.

**MOTS-CLÉS:** thermique, multicouches, composite, conduction thermique.

**KEYWORDS:** composite laminates, heat conduction, discrete layer, constrained discrete layer.
# 1.Introduction

Le travail présenté s'inscrit dans le cadre de la formulation thermomécanique de structures en couches en vue de l'application à la mise en forme des composites thermoplastiques.

Les variations de température peuvent avoir un rôle prépondérant dans la ruine de coques multicouches. Pour les coques multicouches épaisses, il est donc essentiel, pour les calculs mécaniques, de disposer des valeurs du champ thermique le plus fiable possible.

## 1.1 Le problème mathématique

L'équation aux dérivées partielles à satisfaire est parabolique. Dans le cas général, on ne sait pas expliciter la solution. Pour tester les méthodes numériques proposées, nous avons étudié des configurations spécifiques (géométrie, caractéristiques physiques et conditions aux limites) pour lesquelles on sait exprimer la solution de l'équation de conduction de la chaleur.

Les méthodes de résolution, les théorèmes d'existence et d'unicité de la solution sont issus de l'ouvrage [CAR 59]. Padovan [PAD 75] a montré que l'on peut exprimer la solution du problème de conduction thermique dans le cas d'une plaque rectangulaire composée de couches orthotropes lorsque l'on connaît la distribution de la température sur les couches inférieure et supérieure.

Parmi les modèles éléments finis originaux ou standards, figurent notamment des approches hiérarchiques avec Bose et Surana [BOS 93].

## 1.2 Modèle « layerwise ».

L'approximation que l'on propose consiste à utiliser une discrétisation polynomiale de degré 2 dans l'épaisseur de la coque afin de réduire le nombre de variables. Ce type d' approximation est connue dans la littérature sous le nom de « layerwise » et a déjà été mise en œuvre en élasticité (cf [RED 87]). Plus récemment, ce type d'approche a été étendu à la thermique par Carrera CAR[02] en utilisant une méthode variationnelle mixte, afin d'assurer la continuité du flux de chaleur aux interfaces du multicouche.

Dans ce travail, les modèles développés et testés concernent :

- l'écriture de la solution exacte utilisée en solution de référence pour la validation des calculs sur des cas particuliers,

- la mise en place du modèle « discret par couches » (layerwise) et noté DL, qui conduit, avec une approximation polynomiale de degré deux dans l'épaisseur des couches, à $2N + 1$ inconnues pour N couches.

- la construction d'un modèle nouveau désigné « discret par couches avec liaison», noté CDL (Constrained Discrete Layer), où la contrainte (liaison interne) concerne la continuité à l'interface de la composante normale du flux. Ce modèle
aboutit à N inconnues, pour une approximation polynomiale de degré deux par
couche d'un multicouche comportant N couches.

Les modèles décrits ci-dessus reposant sur une discrétisation par couche de degré
deux dans l’épaisseur s’apparentent à une approximation éléments finis 1D suivant
l’épaisseur, la solution demeurant exacte relativement aux coordonnées latérales du
multicouche.

1.3 *Ecriture « layerwise » du problème*

On utilisera les résultats classiques suivants : le problème admet une solution unique et on peut superposer les solutions. On suppose également que les conditions aux limites et le chargement sont indépendants du temps t, de telle sorte que l'on puisse utiliser la transformation de Laplace pour traiter les problèmes transitoires.

Dans chaque couche, la température peut se mettre sous la forme :

$$
T(x_1, x_2, z, \tau) = \sum_{i=1,...,N} T^{(i)}(x_1, x_2, z, \tau) \cdot \chi_{[z_i, z_{i+1}[
$$

Pour utiliser la formulation « layerwise », on suppose que la matrice de conduction est orthotrope dans chaque couche et que le chargement thermique s'écrit :

$$
w(x_1, x_2, z, \tau) = w_3(z) \times w_3(x_1, x_2, \tau)
$$

On impose de plus $T(x_1, x_2, z, 0) = f(x_1, x_2, z) = f_3(z)f_3(x_1, x_2)$

On suppose également que les conditions sur la frontière latérale sont indépendantes

$$
\text{de } \tau \text{, on les écrit sous la forme } \alpha T + \beta \frac{\partial T}{\partial z} + \varphi = 0 \quad \text{sur } \Gamma.
$$

On pose $T(x_1, x_2, z, \tau) = T_{\bar{3}}(x_1, x_2, \tau) \cdot T_3(z)$.

Pour le multicouche, la formulation variationnelle « layerwise » est de la forme :

$$
\left( \rho C_v \frac{\partial T_{\bar{3}}}{\partial \tau} - \left( K_{11} \frac{\partial^2 T_{\bar{3}}}{\partial x_1^2} + 2K_{12} \frac{\partial^2 T_{\bar{3}}}{\partial x_1 \partial x_2} + K_{22} \frac{\partial^2 T_{\bar{3}}}{\partial x_2^2} \right) \right) \left( \int_0^h T_3 \cdot \delta T_3 \cdot dz \right) \\
- \left( \int_0^h K_{33} T_3'' \cdot \delta T_3 \cdot dz \right) T_{\bar{3}} = \left( \int_0^h \rho w_3(z) \cdot \delta T_3 \cdot dz \right) w_3(\tau, x_1, x_2)
$$
## 2. Ecriture du modèle proposé

### 2.1 Modèles suivant l'épaisseur

#### 2.1.1 Modèle DL

Ce modèle consiste à utiliser dans l'épaisseur une fonction, qui sur chaque couche est un polynôme de degré 2, exprimé dans la base de Lagrange. On obtient une solution dépendant de $2N+1$ paramètres.

#### 2.1.2 Modèle CDL

On construit une base de fonctions polynomiales de degré 2 continues qui assurent la continuité du flux normal aux interfaces et prennent en compte les conditions aux frontières. On démontre aisément qu'il s'agit de fonctions $\beta$-splines de degré 2. L'ensemble de ces fonctions est un espace affine de dimension N, on note $p_k, k \in \{1, ..., N\}$, ces fonctions de base. On peut écrire

$$ T^{(j)}(x_1, x_2, z, \tau) = \sum_{i=1,N} (L_m^{(i)}(\xi^j, \kappa^{(1)}, \dots, \kappa^{(N)}) T_m^{(i)}(x_1, x_2, \tau) \\ + (L_b^{(1)}(\xi^j, \kappa^{(1)}, \dots, \kappa^{(N)}) T_b^{(1)}(x_1, x_2, \tau) + (L_b^{(N)}(\xi^j, \kappa^{(1)}, \dots, \kappa^{(N)}) T_b^{(N+1)}(x_1, x_2, \tau) $$

où les $T_m^{(i)}(x_1, x_2, \tau)$ sont les températures au milieu de la couche $i$, et $T_b^{(1)}(x_1, x_2, \tau)$ et $T_b^{(N+1)}(x_1, x_2, \tau)$ les températures sur les faces inférieure et supérieure respectivement.

On utilise la forme variationnelle du problème thermique, et on résout dans le plan un système couplé d'EDP, ($\Box^{(i)}$ est un opérateur différentiel du second ordre, complet, et orthotrope) :

$$ \forall r \in \{1, \dots, N\}, \forall \delta L_m^{(r)}(z), \sum_{i=1}^{N} \int_{z_i}^{z_{i+1}} (\Box^{(i)} \left( \sum_{s=1}^{N} L_m^{(s)}(z, \kappa) T_m^{(s)}(x_1, x_2, \tau) \right) + \\ + L_b^{(1)}(z, \kappa) T_b^{(1)}(x_1, x_2, \tau) + L_b^{(1)}(z, \kappa) T_b^{(1)}(x_1, x_2, \tau) - \rho^{(i)} w^{(i)} \right) \delta L_m^{(r)}(z) dz = 0 $$
## 2.2 Modèle dans le plan

Dans le cas d'un domaine parallélipipédique définit par : $[0, l_1] \times [0, l_2] \times [0, l_3]$, et d'un problème stationnaire, on utilise en général un développement de Fourier, en déterminant les coefficients, grâce à la condition initiale et aux conditions aux limites. Cela nous permet également de prendre en compte les résistances de contact aux interfaces. Dans la pratique on se limite à NT termes de façon à obtenir la précision souhaitée sur T.

## 3. Exemple traité

On a testé les modèles sur des composites multicouches en régime stationnaire pour lesquels on sait exprimer la solution exacte.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

La plaque sandwich ci-contre d'une épaisse de 1 cm est composée :

- d'une peau inférieure en duralumin de 1 mm

- d'un cœur en mousse de polystyrène de 8 mm

- d'une peau supérieure composite graphite-epoxy unidirectionnel

La face inférieure est soumise à la convection naturelle avec l'air ambiant à 293 °K.

Sur la face supérieure, on impose une température égale à 393 °K.

Les faces latérales sont à température ambiante, soit 293°K.

Nous avons fait varier l'élancement de 4 à 10 000.

Pour une plaque épaisse (élancement égal à 20), on obtient les distributions suivant l'épaisseur suivantes (NT=500), la solution exacte est tracée en rouge. Cela fait apparaître :

- la discontinuité du flux à l'interface z=.009m pour le modèle DL

- les difficultés numériques de convergence du flux dans la couche supérieure

<table><thead><tr><th></th><th>Température (°K)</th><th>Flux (W/m² °K)</th></tr></thead><tbody><tr><th>DL</th><td>390<br>380<br>370<br>360<br>350<br>340<br>330<br>320<br>310<br>300<br>290<br>280<br>270<br>260<br>250<br>240<br>230<br>220<br>210<br>200<br>190<br>180<br>170<br>160<br>150<br>140<br>130<br>120<br>110<br>100<br>90<br>80<br>70<br>60<br>50<br>40<br>30<br>20<br>10</td><td>0.002 0.004 0.006 0.008 0.01</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

## 4. Conclusion

Le modèle que nous présentons utilise dans l'épaisseur des fonctions β-splines de degré 2, et donne tant pour la température que pour le flux des résultats dont la précision est tout à fait satisfaisante. Pour l'instant, nous l'avons testé sur des géométries particulières, pour lesquelles les variables d'espaces correspondant au plan moyen du multicouche ont été traitées par des séries de Fourier.

Il est envisagé de construire un élément fini spécifique, basé sur ce modèle pour la variable z et sur des approximations de type Lagrange pour les variables du plan qui nous permettra de traiter toutes les géométries de multicouches. D'ores et déjà, la méthode a été étendue avec succès à la thermomécanique.

## 5. Bibliographie sommaire

[BOS 93] A.Bose, K.S. Surana, Piecewise hierarchical p-Version curved shell finite element for heat conduction in laminated composites, *Computers & Structures* 49 (2) (1993) 283-300.

[CAR 02] E.Carrera, Temperature profile influence on layered plates response considering classical and advanced theories, *AIAA Journal*, 40 1885-1896 (2002).

[CAR 59] H.S. Carslaw & J.C. Jaeger Conduction of Heat in Solids Clarendon Press (1959)

[PAD 75] J.Padovan, Solution of transient temperature fields in laminated anisotropic slabs and cylinders *International Journal of Engineering Science* 13 (1975).

[RED 87] J.N. Reddy, A generalisation of two-dimensional theories of laminated composite plates, *Communications in applied numerical methods*, Vol3, 173-180 (1987).