PHÉNOMÈNES STOCHASTIQUES, RÉPONSE LINÉAIRE, DIFFUSIONS NORMALE ET ANORMALE

Mabrouk Benhamou

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Mabrouk Benhamou. PHÉNOMÈNES STOCHASTIQUES, RÉPONSE LINÉAIRE, DIFFUSIONS NORMALE ET ANORMALE. Master. PHÉNOMÈNES STOCHASTIQUES, RÉPONSE LINÉAIRE, DIFFUSIONS NORMALE ET ANORMALE, Faculté des Sciences de Meknès, Maroc. 2024, pp.200. hal-05271326

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# PHÉNOMÈNES STOCHASTIQUES RÉPONSE LINÉAIRE DIFFUSIONS NORMALE ET ANORMALE

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Professeur Mabrouk BENHAMOU

Faculté des Sciences - Meknès
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.4</td>
      <td>Variables stochastiques complexes.</td>
      <td>38</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.5</td>
      <td>Stationnarité.</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6</td>
      <td>Un exemple : Loi gaussienne.</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.7</td>
      <td>Analyse harmonique des processus stochastiques.</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.7.1</td>
      <td>Série de Fourier d'un processus stochastique stationnaire.</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.7.2</td>
      <td>Conséquence de la stationnarité.</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.7.3</td>
      <td>Théorème de Wiener-Khintchine.</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>3</b></td>
      <td><b>Théorie de réponse linéaire : Aspects généraux et applications.</b></td>
      <td><b>48</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Introduction.</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Forme générale de la réponse.</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1</td>
      <td>Position du problème.</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2</td>
      <td>Linéarité et causalité.</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.3</td>
      <td>Stationnarité.</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.4</td>
      <td>Réponse à une excitation extérieure en forme de pulse.</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Susceptibilité et analyticité.</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1</td>
      <td>Définition.</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2</td>
      <td>Comportement aux basses fréquences.</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.3</td>
      <td>Comportement aux hautes fréquences.</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.4</td>
      <td>Relations de Kramers-Kronig.</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Cas des perturbations inhomogènes.</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Exemples d'applications.</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.1</td>
      <td>Oscillateurs linéaires.</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.2</td>
      <td>Admittance d'un circuit RLC.</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.3</td>
      <td>Absorption et dispersion dans un diélectrique.</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>4</b></td>
      <td><b>Réponse linéaire des systèmes thermodynamiques hors de l'équilibre.</b></td>
      <td><b>78</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Relations fondamentales.</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Fonction de réponse.</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Cas d'une perturbation homogène.</td>
      <td>82</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.2.2 Matrice fonction de réponse.</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3 Cas d'une perturbation inhomogène.</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.4 Forme spectrale de la fonction de réponse.</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.5 Parties réactive et absorptive de la fonction de réponse.</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3 Susceptibilité généralisée.</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1 Définition.</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2 Relations de Kramers-Kronig.</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3 Comportements aux hautes fréquences.</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4 Représentation spectrale de la susceptibilité.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4 Parties réactive et absorptive de la susceptibilité.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1 Expressions.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2 Propriétés de symétrie.</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5 Relation entre la fonction de réponse et la dissipation d'énergie.</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6 Formule de Kubo.</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.7 Théorème de fluctuation-dissipation.</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8 Moments et règles de somme.</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8.1 Les premières règles de somme.</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8.2 Autres règles de somme pour le cas classique.</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.9 Représentations spectrales en termes de vecteurs et valeurs propres du Hamiltonien non perturbé.</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5 Introduction aux phénomènes de diffusion.</b></td>
      <td><b>106</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6 Préliminaires mathématiques sur la théorie de diffusion.</b></td>
      <td><b>120</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1 Définitions.</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2 Propriétés.</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3 Fonctions de Mittag-Leffler.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7 Théorie de diffusion normale.</b></td>
      <td><b>131</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1 Diffusion normale inertielle sans force de rappel.</td>
      <td>132</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>7.1.1</td><td>Introduction.</td><td>132</td></tr><tr><td>7.1.2</td><td>Équation stochastique.</td><td>132</td></tr><tr><td>7.1.3</td><td>Expressinous analytique de la FACV.</td><td>133</td></tr><tr><td>7.1.4</td><td>Expression analytique du DQM.</td><td>135</td></tr><tr><td>7.1.5</td><td>Expression analytique du CDT.</td><td>136</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Diffusion normale inertielle avec force de rappel.</td><td>137</td></tr><tr><td>7.2.1</td><td>Équation stochastique.</td><td>137</td></tr><tr><td>7.2.2</td><td>Expression analytique de la FACV.</td><td>137</td></tr><tr><td>7.2.3</td><td>Expression analytique du DQM.</td><td>141</td></tr><tr><td>7.2.4</td><td>Expression analytique du CDT.</td><td>143</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Diffusion normale non inertiel sans force de rappel.</td><td>145</td></tr><tr><td>7.3.1</td><td>Équation stochastique.</td><td>145</td></tr><tr><td>7.3.2</td><td>Évolution temporelle de la position et de la vitesse.</td><td>146</td></tr><tr><td>7.3.3</td><td>Expressions exactes du DQM et du CDT.</td><td>146</td></tr><tr><td>7.4</td><td>Diffusion normale non inertielle avec force de rappel.</td><td>147</td></tr><tr><td>7.4.1</td><td>Équation stochastique.</td><td>147</td></tr><tr><td>7.4.2</td><td>Évolutions temporelles de la position et de la vitesse.</td><td>148</td></tr><tr><td>7.4.3</td><td>Expressions exactes du DQM et du CDT.</td><td>149</td></tr><tr><td>7.4.4</td><td>Densité de probabilité. Équation de Smoluchowski.</td><td>150</td></tr></table>

8 Théorie de diffusion anormale. 153

<table><tr><td>8.1</td><td>Diffusion anormale inertielle sans force de rappel.</td><td>154</td></tr><tr><td>8.1.1</td><td>Équation stochastique généralisée.</td><td>154</td></tr><tr><td>8.1.2</td><td>Évolution temporelle de la vitesse.</td><td>154</td></tr><tr><td>8.1.3</td><td>Évolution temporelle de la fonction de corrélation de vitesse.</td><td>156</td></tr><tr><td>8.1.4</td><td>Évolution temporelle de la FACV.</td><td>157</td></tr><tr><td>8.1.5</td><td>Évolution temporelle de l'énergie cinétique moyenne.</td><td>157</td></tr><tr><td>8.1.6</td><td>Évolution temporelle de la position.</td><td>158</td></tr><tr><td>8.1.7</td><td>Évolution temporelle de la fonction de corrélation de position.</td><td>159</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>8.1.8</td>
      <td>Évolution temporelle du DQM.</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.9</td>
      <td>Évolution temporelle du CDT.</td>
      <td>163</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.10</td>
      <td>Application au cas d'une fonction mémoire en loi de puissances.</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Diffusion inertielle anormale avec force de rappel.</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Équation stochastique.</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Expressions analytiques des grandeurs dynamiques.</td>
      <td>170</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.3</td>
      <td>Comportements extrêmes des grandeurs dynamiques.</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Diffusion non inertielle anormale.</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.1</td>
      <td>Équation stochastique.</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.2</td>
      <td>Évolution temporelle de la vitesse.</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.3</td>
      <td>Évolution temporelle de la position.</td>
      <td>174</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.4</td>
      <td>Expressions formelles du DQM et du CDT.</td>
      <td>174</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.5</td>
      <td>Cas d'une fonction mémoire en loi puissances.</td>
      <td>175</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Complément Mathématique I : Dérivation fonctionnelle.</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Complément Mathématique II : Valeur Principale de Cauchy.</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Complément Mathématique III : Transformée de Hilbert.</td>
      <td>187</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Avant-propos.

Le présent cours porte sur une description détaillée et pédagogique des fondements les plus généraux des phénomènes stochastiques, de la théorie de réponse linéaire et de la théorie des phénomènes de diffusion normale ou anormale. Ces trois domaines sont naturellement interconnectés.

Les phénomènes stochastiques sont des phénomènes dont l'évolution dépend en partie ou en totalité d'un hasard modélisé par une loi de probabilité. Contrairement aux phénomènes déterministes, où un même point de départ donne toujours le même résultat, un phénomène stochastique peut produire différents résultats, même dans des conditions initiales identiques. Notons que les phénomènes stochastiques apparaissent en mathématiques, physique, biologie, informatique, finance, musique ou autres.

La théorie de réponse linéaire est un formalisme général applicable à tout système physique faiblement écarté de son état équilibre. Ce formalisme est basé sur l'hypothèse que l'effet et la cause qui l'a produit sont liés par une *loi linéaire*. Bien évidemment, cela ne se produit que dans des conditions très spéciales, où la perturbation extérieure est extrêmement faible. Cette perturbation peut être un champ électrique, un champ magnétique, une tension électrique, une excitation mécanique... Le formalisme de la théorie de réponse linéaire est complètement basé sur la notion de *fonction de réponse*, dont la transformée de Fourier est la *susceptibilité*. Physiquement parlant, la fonction de réponse exprime la capacité d'un système physique à s'opposer (ou résister) à une (faible) perturbation extérieure imposée.

Le phénomène de diffusion est un phénomène très général se produisant dans la nature et qui correspond à la tendance à la dispersion d'espèces dans un milieu hôte (par exemple
un fluide), comme les particules, les atomes ou les molécules grâce à une excitation énergétique apportée par la chaleur. Suivant le milieu dans lequel se déplacent ces espèces, cette dispersion sera plus ou moins étalée. Par exemple, à température ambiante, le phénomène de diffusion est très important dans un milieu gazeux, plus faible dans un milieu liquide et pratiquement absent dans un milieu solide. En fait, l'on distingue deux types de diffusion d'une particule avec les constituants du milieu hôte dans lequel elle se meut : une diffusion rapide (ou diffusion normale ou Brownienne) ou une diffusion lente (ou diffusion anormale). Il est à noter que ce dernier mouvement ne se produit que dans des milieux extrêmement complexes (milieux hétérogènes, milieux désordonnées ou milieux fractals). Notons qu'il existe deux approches physiquement équivalentes pour l'étude des lois de diffusion, à savoir l'équation de diffusion dont la solution est la densité de probabilité et l'équation mécaniste de Langevin. Dans ce cours, le choix est porté essentiellement sur la deuxième approche.

Ce cours avancé est le *fruit* de longues années d'enseignement en Master de Physique. Il ne prétend pas remplacer les cours existants en la matière, mais son originalité réside dans la façon pédagogique d'appréhender les multiples questions intrigant les étudiants. La bonne assimilation du présent cours avait permis aux étudiants sortants d'avoir les éléments nécessaires pour bien réussir leurs études de Doctorat.

Le présent ouvrage s'organise en *huit chapitres* bien détaillés : *deux chapitres* portent sur les fondements des proc processus stochastiques, *deux chapitres* sur la théorie de réponse linéaire et *quatre chapitres* sur les phénomènes de diffusion des particules dans un milieu hôte. Notons que ces chapitres sont complétés par des *compléments mathématiques* présentés à la fin du manuscrit.

En dernier mot, j'espère que cet ouvrage sera d'une grande utilité, non seulement pour les étudiants de Master, mais aussi pour ceux qui veulent se familiariser avec les fondements des phénomènes stochastiques, de réponse linéaire et des phénomènes de diffusion des particules dans les milieux fluides ou dans des milieux solides. ■

Meknès, Septembre 2025.

Mabrouk Benhamou, Professeur des Universités.
# Chapitre 1

## Variables aléatoires.

Ce chapitre est dédié à une description détaillée des propriétés mathématiques générales des variables aléatoires statiques (indépendantes du temps), aussi bien *discrètes* que *continues*. Des exemples de variables aléatoires usuelles sont également esquissés.

### 1.1 Introduction.

La caractéristique principale des phénomènes aléatoires ou phénomènes où le hasard est maître est que le résultat d'une épreuve peut se traduire par une *grandeur mathématique*, très souvent représentée par un nombre entier, un nombre réel, un nombe complexe ou même une matrice. La notion mathématique qui décrit efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire [1 – 7].

Le concept plus général d'un élément aléatoire est particulièrement utile dans des disciplines, telles que la théorie des graphes, l'apprentissage machine, le traitement du langage naturel, et d'autres domaines en mathématiques discrètes et en informatique, où l'on est souvent intéressé par la modélisation de la variation aléatoire des données structurelles non-numériques.

Ainsi, le temps de désintégration d'un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage, le nombre de coups sur une cible réussis parmi un nombre total de coups tirés, le nombre d'appels téléphoniques journaliers d'une
institution en constituent de bels exemples de variables aléatoires.

Dans ce chapitre, nous donnons un aperçu très général sur les définitions et les pro-
priétés mathématiques fondamentales des variables aléatoires, qui sont d'une importance
capitale pour bien assimiler le reste du cours.

1.2 Définition.

Soit une expérience aléatoire à *n* issues ou modalités, {ω₁, ..., ωₙ}, de probabilités respectives, {p₁, ..., pₙ}. Une variable aléatoire réelle est une application X : Ω → I ∈ R, de l'espace des évènements élémentaires, Ω = {ω₁, ..., ωₙ}, sur un intervalle I de l'axe réel R. L'ensemble, {ω, X (ω) ∈ I}, est alors un évènement.

Si l'on remplace l'axe réel, **R**, par un espace euclidien à *d* dimensions, **R**<sup>*d*</sup> (*d* ≥ 2), l'on parlera des variables aléatoires *multi-dimensionnelles*.

L'on parle aussi des fonctions aléatoires, $\varphi(X)$, de la variable aléatoire, $X$, à *une* ou *plusieurs* dimensions.

Notons qu'une variable aléatoire peut être aussi un *nombre complexe* (partie réelle et
partie imaginaire aléatoires) ou encore une *matrice* (éléments matriciels aléatoires). No-
tons qu'une matrice avec des variables aléatoires (matrice aléatoire) est une matrice com-
posée de coefficients aléatoires, c'est-à-dire que ses coefficients sont des variables aléatoires.
Ces matrices sont souvent utilisées dans divers domaines des mathématiques (en l'occu-
rence, la théorie des nombres) et de la physique<fnref n="1" /> pour modéliser des systèmes complexes
[8 – 12]. Par exemple, la *matrice de Wishart*<fnref n="2" /> est un type de matrice aléatoire semi-définie
positive, qui apparaît dans des théorèmes statistiques. Les matrices aléatoires sont éga-
lement étudiées dans le cadre de la probabilité libre, qui examine le comportement des

<footnote n="1">¹En physique, les applications des matrices aléatoires sont nombreuses, pour ne citer que les systèmes intégrables, le chaos quantique, la chromodynamique quantique sur réseau, la gravité quantique en deux dimensions, la théorie des cordes et les théories de jauge supersymétriques.</footnote>

<footnote n="2">²La loi de Wishart est une loi de probabilité associée aux matrices aléatoires symétriques et définies positives, dénommée en l'honneur de John Wishart en 1928. La découverte de cette loi poussa de manière importante le développement de l'analyse multivariée.</footnote>
variables aléatoires indépendantes.

Exemples de variables aléatoires :

- Le nombre de coups réussis parmi 3 coups tirés;

- Le nombre d'appels pendant un jour d'un central téléphonique;

- La fréquence de face dans une partie de 10 coups.

Notons, enfin, qu'une variable aléatoire peut être *discrète* ou *continue*.

1.3 Fonction de répartition.

Soit une variable aléatoire discrète, $X$, pouvant prendre des valeurs discrètes, notées $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$, et qui forment un ensemble dénombrable, de probabilités respectives, $\{p_1, p_2, ..., p_n\}$, avec :

$$ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1. \qquad (1.1) $$

Pour le premier exemple ci-dessus, les valeurs possibles sont : $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ ou $x_4 = 3$.

En revanche, une variable aléatoire continue a une infinité de valeurs possibles remplissant d'une manière continue un certain intervalle (ensemble non dénombrable).

Pour une variable aléatoire *discrète*, l'on peut dresser un tableau où figurent ses valeurs possibles et les probabilités correspondantes :

<table><tr><td>x<sub>1</sub></td><td>x<sub>2</sub></td><td>...</td><td>x<sub>n</sub></td></tr><tr><td>p<sub>1</sub></td><td>p<sub>2</sub></td><td>...</td><td>p<sub>n</sub></td></tr></table>

Ce n'est pas le cas pour une variable aléatoire *continue*, car pour une valeur possible donnée, $x$, il existe une certaine répartition de probabilités. Pour caractériser quantitativement cette répartition, il est commode d'utiliser non pas la probabilité de l'évènement $X = x$, mais plutôt la probabilité de l'évènement $X < x$. La probabilité de cet évènement dépend, naturellement, de la valeur $x$, et constitue alors une certaine fonction, appelée *fonction de répartition*, qui est définie par :

$$ F(x) = P(X < x). \qquad (1.2) $$
Notons que la fonction de répartition est la caractéristique la plus universelle d'une variable aléatoire.

Nous avons les propriétés suivantes pour la fonction de répartition :

(i) La fonction de répartition, $F(x)$, est une fonction croissante de son argument, c'est-à-dire que pour $x_2 > x_1$, nous aurons $F(x_2) > F(x_1)$.

(ii) Lorsque l'argument $x \to -\infty$, la fonction de répartition s'annule, c'est-à-dire :

$$F(-\infty) = 0. \tag{1.3}$$

(iii) Lorsque l'argument $x \to +\infty$, la fonction de répartition est égale à l'unité, c'est-à-dire :

$$F(+\infty) = 1. \tag{1.4}$$

Notons que pour une variable aléatoire discrète, la fonction de répartition est simplement donnée par :

$$F(x) = \sum_{x_i < x} P(X = x_i). \tag{1.5}$$

L'inégalité $x_i < x$ indique que la sommation porte sur toutes les valeurs discrètes strictement inférieures à la valeur $x$.

Soit une variable aléatoire continue, $X$, donnée par sa fonction de répartition, $F(x)$. La probabilité pour que cette variable aléatoire prenne une valeur comprise entre $x$ et $x + dx$ est alors :

$$P(x \le X < x + dx) = p(x) dx. \tag{1.6}$$

La fonction, $p(x)$, est appelée densité de probabilité. La formule (1.6) exige que : $p(x) = F'(x)$. Nous avons alors la relation fondamentale reliant la fonction de répartition à la densité de probabilité :

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(x') dx'. \tag{1.7}$$

La densité de probabilité possède les propriétés suivantes :

(i). La densité de probabilité est une fonction positive, pour toute valeur de son argument $x$ :

$$p(x) \ge 0. \tag{1.8}$$
Cette propriété découle immédiatement du fait que la fonction de répartition est une fonction croissante.

(ii). L'intégrale de la densité de probabilité entre $-\infty$ et $+\infty$ est égale à l'unité :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx = 1. \qquad (1.9) $$

Cette égalité découle de la relation (1.4). On dit que la densité de probabilité est *normalisée* à 1.

Notons que les formules précédentes s'étendent aisément aux variables aléatoires continues à plus d'une dimension.

Pour une variable aléatoire discrète, la densité de probabilité est une somme pondérée des fonctions de Dirac :

$$ p(x) = \sum_{i} p_i \delta(x - x_i) . \qquad (1.10) $$

Ici, $\delta(x)$ est la distribution de Dirac unidimensionnelle.

Maintenant, soit une suite de variables aléatoires, $\{X_1, ..., X_n\}$. On peut parler de la probabilité pour que ces variables aléatoires prennent des valeurs strictement inférieures, respectivement, à $\{x_1, ..., x_n\}$, notée $P(X_1 < x_1; ...; X_n < x_n)$. Cette probabilité définit alors une fonction de répartition généralisée :

$$ F(x_1, ..., x_n) = P(X_1 < x_1; ...; X_n < x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_n} p_n(x'_1, ..., x'_n) dx'_1 \dots dx'_n, \quad (1.11) $$

où

$$ p_n(x_1, ..., x_n) = \frac{\partial^n F(x_1, ..., x_n)}{\partial x_1 \dots \partial x_n} \qquad (1.12) $$

est la densité de probabilité conjointe des $n$ variables aléatoires, $\{X_1, ..., X_n\}$. Cette densité de probabilité est également définie positive et normalisée à 1 :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \int_{-\infty}^{+\infty} p_n(x_1, ..., x_n) dx_1 \dots dx_n = 1. \qquad (1.13) $$

Soit un sous-ensemble de $s < n$ variables pertinentes, $\{X_1, ..., X_s\}$. La densité de probabilité de ces $s$ variables, indépendamment des valeurs prises par les variables non pertinentes, $\{X_{s+1}, ..., X_n\}$, est obtenue en intégrant sur ces dernières :

$$ p_s(x_1, ..., x_s) = \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \int_{-\infty}^{+\infty} p_n(x_1, ..., x_s, ..., x_n) dx_{s+1} \dots dx_n. \qquad (1.14) $$
Cette distribution est appelée *distribution marginale* des *s* variables aléatoires pertinentes.
On parle aussi de la *densité de probabilité partielle*.

La densité de probabilité conjointe des *s* variables aléatoires, {*X*₁, ..., *X*ₙ}, à condition que les variables aléatoires restantes, {*X*<sub>s+1</sub>, ..., *X*ₙ}, prennent des valeurs prescrites, {*x*<sub>s+1</sub>, ..., *x*ₙ}, est communément appelée *densité de probabilité conditionnelle* : *p*<sub>s|n-s</sub>(*x*₁, ..., *x*ₙ | *x*<sub>s+1</sub>, ..., *x*ₙ).

Nous avons la formule de Bayes [13] :

$$p_n(x_1, \dots, x_s, \dots, x_n) = p_{n-s}(x_{s+1}, \dots, x_n) \cdot p_{s|n-s}(x_1, \dots, x_s | x_{s+1}, \dots, x_n) . \quad (1.15)$$

Si, maintenant, les *n* variables aléatoires, {*X*₁, ..., *X*ₙ}, peuvent être divisées en deux sousensembles, {*X*₁, ..., *X*ₙ} et {*X*<sub>s+1</sub>, ..., *X*ₙ}, statistiquement indépendantes, alors la densité de probabilité se factorise, c'est-à-dire :

$$p_n(x_1, \dots, x_s, \dots, x_n) = p_{n-s}(x_{s+1}, \dots, x_n) \cdot p_{n-s}(x_1, \dots, x_s | x_{s+1}, \dots, x_n) . \quad (1.16)$$

## 1.4 Variables aléatoires complexes.

Soient *X* et *Y* deux variables aléatoires réelles, à partir desquels on peut construire la variable aléatoire complexe Z = *X* + *i*Y. Les réalisations de Z sont les nombres complexes, *z* = *x* + *iy*, construits avec les réalisations de *X* et de *Y*.

Signalons qu'on rencontre une difficulté pour définir la densité de probabilité associée à la variable aléatoire, *Z*. Aux variables aléatoires réelles, *X* et *Y*, nous avons associé une densité de probabilité d'amplitude notée, *p*(*x*, *y*), qui doit induire la densité de probabilité de l'amplitude de *Z*. Il est facile de voir que si l'on se limite à une fonction du type, *f*(*z*), l'on ne pourra pas obtenir toutes les densités de probabilité d'amplitude souhaitables. La densité de probabilité d'amplitude ne dépend pas uniquement de la variable de *z*. Toute fonction de *x* et *y* peut se représenter comme une fonction de *z* et de son complexe conjugué *z*\* = *x* − *iy*. Cette remarque fondamentale conduit à définir une variable aléatoire complexe comme une variable aléatoire à 2 dimensions formée de *Z* et de *Z*\*, c'est-à-dire :

$$Z = X + iY, \qquad Z^* = X - iY. \qquad (1.17)$$
L'on retrouve la partie réelle, X, et la partie imaginaire, Y, en appliquant les relations :

$$X = \frac{Z + Z^*}{2}, \qquad Y = \frac{Z - Z^*}{2i}. \qquad (1.17a)$$

La densité de probabilité d'amplitude est alors la fonction de z et $z^*$ suivante :

$$g(z, z^*) = f\left(\frac{z+z^*}{2}, \frac{z-z^*}{2i}\right), \qquad (1.18)$$

qui satisfait la condition de normalisation à l'unité :

$$\iint g(z, z^*) dz dz^* = 1. \qquad (1.19)$$

## 1.5 Addition de variables aléatoires.

Soient, $X_1$ et $X_2$, deux variables aléatoires, de distribution conjointe, $p_X(x_1, x_2)$. La probabilité pour que la variable aléatoire, $Y = X_1 + X_2$, ait une valeur comprise entre $y$ et $y + dy$ est :

$$p_Y(y) dy = \iint_{y<x_1+x_2<y+dy} p_X(x_1, x_2) dx_1 dx_2. \qquad (1.20)$$

L'expression ci-dessus peut se réécrire sous forme :

$$p_Y(y) = \iint \delta(x_1 + x_2 - y) p_X(x_1, x_2) dx_1 dx_2 = \int p_X(x_1, y - x_1) dx_1. \qquad (1.21)$$

Si, maintenant, les variables aléatoires, $X_1$ et $X_2$, sont indépendantes, la densité de probabilité, $p_X(x_1, y - x_1)$, se factorise, et alors, l'expression précédente devient :

$$p_Y(y) = \int p_{X_1}(x_1) p_{X_2}(y - x_1) dx_1. \qquad (1.22)$$

Cela signifie que la densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est le produit de convolution de leurs densités de probabilité.

## 1.6 Espérance mathématique.

Soit une variable aléatoire, X, prenant des valeurs discrètes, $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$, avec des probabilités, $\{p_1, p_2, ..., p_n\}$, satisfaisant la condition de normalisation à l'unité : $\sum_{i=1}^{n} p_i =$
1. Par définition, l'espérance mathématique ou "valeur moyenne" de la variable aléatoire, $X$, est :

$$E[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i . \qquad (1.23)$$

Nous utiliserons, par la suite, la notation physique :

$$\langle X \rangle \equiv E[X] , \qquad (1.24)$$

pour désigner l'espérance mathématique ou valeur moyenne.

La définition précédente peut être généralisée au cas d'une fonction aléatoire, $\varphi(X)$, et l'espérance mathématique correspondante est définie par :

$$\langle \varphi(X) \rangle = \sum_{i} p_{i} \varphi(x_{i}) . \qquad (1.25)$$

Pour une variable aléatoire continue, $X$, la définition (1.23) doit être remplacée par :

$$\langle X \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} xp(x) dx . \qquad (1.26)$$

Cette définition montre le rôle crucial joué par la densité de probabilité. Généralement, la valeur moyenne d'une fonction aléatoire, $\varphi(X)$, est définie par :

$$\langle \varphi(X) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) p(x) dx . \qquad (1.27)$$

La définition précédente se généralise aisément à plusieurs variables aléatoires, notées $\{X_1, ..., X_n\}$, de densité de probabilité conjointe, $p_n(x_1, ..., x_n)$. Dans ce cas, la valeur moyenne d'une fonction aléatoire, $\varphi(X_1, ..., X_n)$, est telle que :

$$\langle \varphi(X_1, ..., X_n) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x_1, ..., x_n) p_n(x_1, ..., x_n) dx_1 \dots dx_n . \qquad (1.28)$$

Nous rappelons, ici, sans démonstration, quelques propriétés remarquables de la valeur moyenne ou de l'espérance mathématique :

(i) Pour toute suite de variables aléatoires, $(X_i)_{1\le i\le n}$, nous avons la propriété de li-

$$\left\langle \sum_{i} c_{i} X_{i} \right\rangle = \sum_{i} c_{i} \langle X_{i} \rangle , \qquad \forall c_{i} \in \mathbf{R} . \qquad (1.29)$$
(ii) Pour tout couple de variables aléatoires, $(X, Y)$, nous avons l'inégalité de Cauchy-Schwarz [14.15] :

$$ \langle XY \rangle \le \sqrt{\langle X^2 \rangle \langle Y^2 \rangle} . \qquad (1.30) $$

En posant $Y = 1$ dans cette inégalité, nous trouvons la propriété fondamentale :

$$ \langle X^2 \rangle \ge \langle X \rangle^2 . \qquad (1.31) $$

Nous avons utilisé la convention : $\langle 1 \rangle = 1$. Notons que l'inégalité précédente est valable pour toutes les variables aléatoires.

(iii) Pour toutes variables aléatoires arbitraires indépendantes, $X$ et $Y$, nous avons la loi de multiplication :

$$ \langle XY \rangle = \langle X \rangle \cdot \langle Y \rangle . \qquad (1.32) $$

(iv) Nous avons la propriété triviale :

$$ \langle X - \langle X \rangle \rangle = 0 . \qquad (1.33) $$

(v) Nous avons manifestement :

$$ X \ge 0 \implies \langle X \rangle \ge 0 . \qquad (1.34) $$

L'égalité a lieu pour $X = 0$.

## 1.7 Moments.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète ou continue. Par définition, le *moment d'ordre* $n$ de $X$, au tour du point $a$, est le nombre :

$$ M_n = \langle (X - a)^n \rangle = \sum_i p_i (x_i - a)^n , \qquad (1.35) $$

pour une variable aléatoire discrète, et

$$ \langle (X - a)^n \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - a)^n p(x) dx , \qquad (1.36) $$

pour une variable aléatoire continue.
## 1.8 Variance.

La variance d'une variable aléatoire est le nombre :

$$ \sigma^2(X) = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2 = \langle (X - \langle X \rangle)^2 \rangle . \qquad (1.37) $$

La variance est une mesure des fluctuations de la variable aléatoire, $X$, autour de sa valeur moyenne, $\langle X \rangle$. La quantité $\sqrt{\sigma^2(X)}$ est appelée écart-type ou écart quadratique moyen, et $\sqrt{\sigma^2(X)}/\langle X \rangle$ est souvent appelée écart relatif.

Pour toute collection de variables aléatoires indépendantes, $(X_1, ..., X_n)$, la variance est additive, c'est-à-dire :

$$ \sigma^2 \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 (X_i) . \qquad (1.38) $$

## 1.9 Matrice de covariances. Coefficients de corrélation.

Soit, $\{X_1, ..., X_n\}$, une suite de variables aléatoires. L'on définit les éléments de matrice des covariances, d'ordre $n$, par :

$$ \nu_{ij} = \langle X_i X_j \rangle - \langle X_i \rangle \langle X_j \rangle = \langle [X_i - \langle X_i \rangle] [X_j - \langle X_j \rangle] \rangle . \qquad (1.39) $$

Les quantités normalisées :

$$ \rho_{ij} = \frac{\nu_{ij}}{\sqrt{\sigma^2(X_i) \sigma^2(X_j)}} = \frac{\langle X_i X_j \rangle - \langle X_i \rangle \langle X_j \rangle}{\sqrt{\sigma^2(X_i) \sigma^2(X_j)}} \qquad (1.40) $$

sont appelées coefficients de corrélation. Si les variables aléatoires sont non corrélées, alors $\nu_{ij} = 0$ ou encore $\langle X_i X_j \rangle = \langle X_i \rangle \langle X_j \rangle$.

## 1.10 Exemples de lois de probabilités.

### 1.10.1 Probabilités discrètes.

Loi de Bernoulli :
Une variable aléatoire, $X$, est dite de Bernoulli$^3$, de paramètre $p$, si :

$$P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p. \tag{1.41}$$

La loi de Bernoulli peut servir comme modèle pour décrire toute expérience dont les modalités aléatoires appartiennent à deux classes mutuellement exclusives.

Nous avons les expressions respectives de la valeur moyenne et de la variance concernant cette loi de probabilité :

Valeur moyenne :

$$\langle X \rangle = p. \tag{1.41a}$$

Variance :

$$\sigma^2(X) = p(1-p). \tag{1.41b}$$

Loi binomiale :

Cette loi est associée à une probabilité de réaliser $n$ fois exactement un évènement de probabilité $p$ en $N$ tirages. La variable aléatoire associée, $X$, varie donc de 0 à $N$, par valeur entière.

Pour illustrer cette loi de probabilité, nous considérons $N$ particules de même spin 1/2 alignées, tels que chacun peut avoir uniquement deux orientations, une vers le haut (spin up), avec une probabilité $p$, et l'autre vers le bas (spin down), avec une probabilité $q$. Si les spins de ces particules sont orientées d'une façon indépendante, alors nous aurons :

$$p+q=1. \tag{1.42}$$

On se propose de déterminer la probabilité, $P(X = n)$, pour avoir $n$ spins parmi $N$ spins orientés vers le haut. Ici, le nombre $n$, compris entre 0 et $N$, peut être regardé comme une variable aléatoire. Cette probabilité est donnée par :

$$P(X = n) = C_N^n p^n q^{N-n}, \tag{1.43}$$

<footnote>$^3$Jacques Bernoulli (1654-1705) est un mathématicien et physicien suisse, frère de Jean Bernoulli et oncle de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.</footnote>
où $C_N^n$ est le nombre de combinaisons à n éléments choisis parmi N éléments. Rappelons que la loi binomiale, notée $B_N(p)$, a été introduite par Jacques Bernoulli en 1713.

Nous avons manifestement :

$$ \sum_{n=0}^{N} P(X = n) = 1, \qquad (1.44) $$

qui découle de l'égalité (1.43) et de l'application de la formule de binôme de Newton<fnref n="4" />.

Nous avons les expressions respectives de la fonction de répartition, de la valeur moyenne et de la variance concernant cette loi de probabilité :

Fonction de répartition :

$$ F(x) = \sum_{n=1}^{[x]} C_N^n p^n (1-p)^{N-n}, \qquad (1.45a) $$

pour tout $x$, tel que $0 \le x \le N$. Ici $[x]$ désigne la partie entière de $x$, c'est-à-dire le plus petit entier inférieur ou égal à $x$.

Valeur moyenne :

$$ \langle X \rangle = Np. \qquad (1.45b) $$

Variance :

$$ \sigma^2(X) = Np(1-p). \qquad (1.45c) $$

Loi multinomiale :

Soit une suite de variables aléatoires, $\{X_1, X_2, ..., X_r\}$, formant une variable aléatoire vecteur à r dimensions, $\vec{X}$, à valeurs entières, $(n_1, n_2, ..., n_r)$. Cette collection suit une loi multinomiale, de paramètres $(N; p_1, p_2, ..., p_r)$, si la probabilité correspondante est telle que :

$$ P(\vec{X}) = \frac{N!}{n_1!n_2!...n_r!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} ... p_r^{n_r}, \qquad (1.46) $$

avec les restrictions :

$$ 0 \le p_i \le 1 \quad (i = 1, 2, ..., k), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1, \qquad \sum_{i=1}^{r} n_i = N. \qquad (1.46a) $$

<footnote n="4">⁴En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha), arabes et perses (Al-Karaji), et au XIIIe siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers.</footnote>
Notons que la loi multinomiale, introduite également par Jacques Bernoulli, est une extension de la loi binomiale usuelle au cas où il y a plus de deux issues attribuées à une expérience aléatoire. Cette loi donne la probabilité d'obtenir $n_i$ résultats de classe i parmi k classes, au cours de N épreuves. Notons que la présente loi est une généralisation de la loi binomiale précédente. Notons également que cette loi peut être utile pour l'étude des méthodes de ré-échantillonage, dites méthodes de bootstrap.

Vérifions que la probabilité (1.46) est normalisée à l'unité. Pour cela, introduisons les coefficients suivants généralisant les facteurs de combinaison usuelle :

$$C_N^{n_1, \dots, n_r} = \frac{N!}{n_1! n_2! \dots n_r!} \qquad (1.46b)$$

Ce facteur est le nombre de manières différentes de choisir des nombres, ($n_1, n_2, \dots, n_r$), dans leurs catégories parmi N. Ces coefficients apparaissent dans la formule suivante, dite *formule du multinôme* :

$$(a_1 + \dots + a_r)^N = \sum_{\substack{0 \le n_1, \dots, 0 \le n_r \\ n_1 + \dots + n_r = N}} \frac{n!}{n_1! \dots n_r!} a_1^{n_1} \dots a_r^{n_r} \qquad (1.46c)$$

En posant $a_1 = p_1$, ..., $a_r = p_r$, cette identité permet de montrer que la somme des probabilités vaut bien 1.

Il est facile de montrer que la valeur moyenne de la variable aléatoire vecteur, $\vec{X}$, est :

$$\langle \vec{X} \rangle = \begin{bmatrix} \langle X_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle X_r \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Np_1 \\ \vdots \\ Np_r \end{bmatrix} \qquad (1.47a)$$

Nous montrons également que la *matrice des variances-covariances* de cette variable aléatoire vecteur, $\sigma^2(\vec{X}) = \langle [\vec{X} - \langle \vec{X} \rangle]^t [\vec{X} - \langle \vec{X} \rangle] \rangle$, est telle que :

$$\sigma^2(\vec{X}) = \begin{bmatrix} Np_1(1-p_1) & -Np_1p_2 & \cdots & -Np_1p_r \\ -Np_2p_1 & Np_2(1-p_2) & \cdots & -Np_2p_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -Np_rp_1 & \cdots & \cdots & Np_r(1-p_r) \end{bmatrix} \qquad (1.47b)$$
Quant à la fonction de répartition, elle est donnée par :

$$F(x_1, \dots, x_r) = \sum_{\substack{0 \le n_1 \le [x_1], \dots, 0 \le n_r \le [x_r] \\ n_1 + \dots + n_r = N}} \frac{N!}{n_1! \dots n_r!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_r^{n_r}. \quad (1.47c)$$

## Loi géométrique :

C'est la loi qui modélise le temps du premier succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes à probabilité de succès. En fait, cette loi, à support infini dénombrable, est donnée par :

$$P(X = n) = (1 - p)^n p. \quad (1.48)$$

C'est la probabilité d'obtenir $n$ échecs suivis d'un succès, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Ici, $n = 0, 1, \dots$ est un entier naturel. Notons que cette loi est l'unique loi discrète à posséder la propriété de perte de mémoire.

Il est aisé de montrer que cette probabilité est normalisée à 1, c'est-à-dire :

$$\sum_{n=0}^{\infty} P(X = n) = 1. \quad (1.49)$$

Nous avons les expressions respectives de la fonction de répartition, de la valeur moyenne et de la variance concernant cette loi de probabilité :

Fonction de répartition :

$$F(x) = 1 - (1 - p)^{[x]}. \quad (1.49a)$$

Valeur moyenne :

$$\langle X \rangle = \frac{1-p}{p}. \quad (1.49b)$$

Variance :

$$\sigma^2(X) = \frac{1-p}{p^2}. \quad (1.49c)$$

## Loi de Poisson :

Soit une variable aléatoire discrète, $X$, pouvant prendre seulement des valeurs entières positives : 0, 1, 2, ..., $n$, .... On dit que la variable aléatoire, $X$, est répartie selon la loi de Poisson, si la probabilité, $P(X = n)$, de prendre la valeur $n$, est donnée par :

$$P(X = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}, \quad (1.50)$$
où $\lambda > 0$ représente le paramètre (de forme) de la loi de Poisson. Nous avons la propriété de normalisation :

$$ \sum_{n=0}^{\infty} P(X = n) = 1. \qquad (1.51) $$

La notation $\mathcal{P}(\lambda)$ désigne une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson, introduite par Poisson, en 1837 [16]. Cette loi est aussi appelée « loi des évènements rares ».

Vers l'année 1910, Rutherford et Geiger montrèrent que la désintégration $\alpha$ suit une loi de Poisson. Rappelons que la loi de Poisson permet également de modéliser des situations suivantes :

- le nombre de connexion à un serveur web durant un intervalle de temps $T$;

- le nombre de clients se présentant à une caisse de supermarché durant un intervalle de temps $T$;

- le nombre de coquilles typographiques dans un texte.

La fonction de répartition, la valeur moyenne et la variance associées à cette loi de probabilité sont :

Fonction de répartition :

$$ F(x) = \sum_{n=0}^{[x]} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}. \qquad (1.52a) $$

Valeur moyenne :

$$ \langle X \rangle = \lambda. \qquad (1.52b) $$

Variance :

$$ \sigma^2(X) = \lambda. \qquad (1.52c) $$

Nous avons les deux propriétés suivantes pour cette loi de Poisson :

(i) Si deux variables aléatoires indépendantes, $X_1$ et $X_2$, suivent chacune une loi de Poisson, de paramètres respectifs, $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors la variable aléatoire somme, $X_1 + X_2$, suit également une loi de Poisson, de paramètre $\lambda_1 + \lambda_2$, c'est-à-dire :

$$ \mathcal{P}(\lambda_1) + \mathcal{P}(\lambda_2) = \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2). \qquad (1.53) $$

(ii) Si la valeur moyenne, $\langle X \rangle = np \equiv \lambda$, d'une variable aléatoire, $X$, obéissant à une loi binomiale, est très inférieure devant le nombre d'épreuves $N$, alors $X$ suit approximativement une loi de Poisson, de paramètre $\lambda$.
Pour démontrer cette propriété, considérons la loi binomiale, définie par la formule (1.43), dans la limite $N \to +\infty$ et $p \to 0$, de sorte que le produit :

$$Np = \lambda \qquad (1.54)$$

reste constant. Dans cette limite, nous pouvons écrire :

$$\lim_{N \to \infty} C_N^m p^n (1-p)^{N-n} = \lim_{N \to \infty} C_N^m \left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^{N-n} \approx \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}. \qquad (1.54a)$$

Donc, nous avons la limite :

$$\lim_{N \to \infty} \mathcal{B}_N (p) = \mathcal{P} (\lambda) , \qquad (1.55)$$

où le paramètre $\lambda$ est celui défini par la formule (1.54).

### 1.10.2 Lois de probabilités continues.

#### Loi uniforme :

Soit un intervalle, $I = [a, b]$, de l'axe réel $\mathbf{R}$, et soit $X$ une variable aléatoire, définie dans cet intervalle. Nous supposons que tous les points de $I$ sont également probables. Donc, la densité de probabilité est uniforme sur l'intervalle $I$, et nous écrivons :

$$p(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x \in [a, b], \\ 0, & x \notin [a, b], \end{cases} \qquad (1.56)$$

où d'une façon compacte :

$$p(x) = \frac{1}{b-a} I_{[a,b]}(x) . \qquad (1.56a)$$

Ici, $I_{[a,b]}(x)$ est la fonction caractéristique de l'intervalle $[a, b]$. Cette densité de probabilité est bien normalisée à 1.

La fonction de répartition, la valeur moyenne et la variance associées à cette loi de probabilité sont :

Fonction de répartition :

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b, \\ 1, & x \ge b. \end{cases} \qquad (1.57a)$$
Valeur moyenne :

$$ \langle X \rangle = \frac{a+b}{2}. \qquad (1.57b) $$

Variance :

$$ \sigma^2(X) = \frac{(b-a)^2}{12}. \qquad (1.57c) $$

Loi exponentielle :

Certains phénomènes aléatoires, comme la désintégration des particules, sont gouvernés par la loi exponentielle, qui est caractérisée par la densité de probabilité :

$$ p(x) = \begin{cases} \tau e^{-\tau x}, & x > 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases} \qquad (1.58) $$

Ici, $\tau > 0$ est le paramètre de la distribution. Cette densité de probabilité est normalisée à 1.

La fonction de répartition, la valeur moyenne et la variance associées à cette loi de probabilité sont :

Fonction de répartition :

$$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1 - e^{-\tau x}, & x \ge 0. \end{cases} \qquad (1.59a) $$

Valeur moyenne :

$$ \langle X \rangle = 1/\tau. \qquad (1.59b) $$

Variance :

$$ \sigma^2(X) = 1/\tau^2. \qquad (1.59c) $$

Notons que cette loi de probabilité est un cas particulier de la loi de Weibull, nommée d'après Waloddi Weibull en 1951.

Loi normale (ou de Gauss) :

La loi normale ou encore loi de Gauss joue un rôle particulièrement important en théorie des probabilités et dans des applications pratiques.
La loi normale est caractérisée par la densité de probabilité :

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma^2} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}. \qquad (1.60)$$

Nous avons la propriété de normalisation à l'unité :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx = 1, \qquad (1.61)$$

qui découle de la formule d'intégrale gaussienne :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}. \qquad (1.62)$$

La courbe représentant cette densité est une courbe en cloche, symétrique par rapport au $x = \mu$. La loi de Gauss dépend alors de deux paramètres réels, $(\mu, \sigma)$ : $\mu \in \mathbf{R}$, $\sigma \in \mathbf{R}^+$. Le paramètre $\mu$ est le centre de la distribution. Quant au paramètre $\sigma$, il définit la variance de la distribution.

La fonction de répartition, la valeur moyenne et la variance associées à cette loi de probabilité sont :

Fonction de répartition :

$$F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{1}{\sqrt{2\sigma}} (x - \mu) \right) \right], \qquad (1.63a)$$

où

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt \qquad (1.63b)$$

est la "fonction erreur" [17].

Valeur moyenne :

$$\langle X \rangle = \mu. \qquad (1.63c)$$

Variance :

$$\sigma^2(X) = \sigma^2. \qquad (1.63d)$$

Loi normale à plusieurs dimensions :
Une collection de variables aléatoires, {$X_1, X_2, ..., X_n$}, suit une loi normale à n dimensions, si la densité de probabilité associée est donnée par :

$$p(x_1, x_2, ..., x_n) = (2\pi)^{-n/2} [\det M]^{-1/2} e^{-\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} (x_i - \mu_i) M_{ij} (x_j - \mu_j)} . \quad (1.64)$$

Ici, M est une matrice carrée d'ordre n, symétrique et définie positive. Cette loi de probabilité dépend de $n(n+3)/2$ paramètres : n paramètres $\mu_i$ (coordonnées du centre de la distribution) et $n(n+1)/2$ coefficients indépendants de la matrice M. Le préfacteur $(2\pi)^{-n/2} [\det M]^{-1/2}$ dans l'égalité (1.64) est introduit pour normaliser la distribution gaussienne à l'unité. L'on peut montrer que :

$$\langle X_i \rangle = \mu_i, \qquad \nu_{ij} = \langle X_i X_j \rangle - \langle X_i \rangle \langle X_j \rangle = M_{ij}. \quad (1.65)$$

Une propriété importante des distributions gaussiennes centrées ($\mu_i = 0$) est que les corrélations d'ordre pair supérieur s'expriment à l'aide des corrélations du second ordre. Nous avons alors le résultat suivant :

$$\langle X_i X_j X_k \dots \rangle = \sum \langle X_p X_q \rangle \langle X_r X_s \rangle \dots, \quad (1.66)$$

où la somme d'étend à toutes les subdivisions possibles en paires d'indices $i, j, k, \dots$. Les corrélations d'ordre *impair* s'annulent.

Signalons que le résultat précédent est analogue au théorème de Wick, qui est un outil particulièrement important en physique statistique et en théorie quantique du champ, dans la mesure où il permet de calculer des valeurs moyennes d'observables compliquées, par exemple des corrélations ou des interactions à plusieurs particules, en transformant ces valeurs moyennes en produit de valeurs moyennes d'observables plus simples.

### Loi de Cauchy (Lorentzienne) :

La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité continue qui doit son nom au grand mathématicien français Augustin Louis Cauchy. Cette loi a pour densité de probabilité :

$$p(x) = \frac{a}{\pi (x - x_0)^2 + a^2}, \qquad a > 0. \quad (1.67)$$
La valeur moyenne, la variance et la fonction de répartition associées à cette loi de probabilité sont :

Valeur moyenne :

$$ \langle X \rangle = x_0 . \qquad (1.68a) $$

Variance :

$$ \sigma^2(X) = +\infty, \qquad (1.68b) $$

du fait que :

$$ \langle X^2 \rangle = \frac{a}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x-x_0)^2 + a^2} dx = +\infty . \qquad (1.68c) $$

Fonction de répartition :

$$ \langle X^2 \rangle = \frac{a}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x-x_0)^2 + a^2} dx = +\infty . \qquad (1.68d) $$

Notons que la loi de Cauchy peut servir pour l'étude de la *relaxation* de certains systèmes complexes ou la dynamique au sein des milieux désordonnés.

## 1.11 Fonction caractéristique.

Cas d'une seule variable aléatoire :

La fonction caractéristique, $G(t)$, d'une loi de probabilité, $p(x)$, est la valeur moyenne de la quantité, $e^{ikx}$, c'est-à-dire :

$$ G(k) = \langle e^{ikx} \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) e^{ikx} dx . \qquad (1.69) $$

La fonction, $G(k)$, n'est rien d'autres que la transformée de Fourier de la densité de probabilité, $p(x)$. Ici, $i$ est l'imaginaire pur.

Pour des lois de probabilité discrètes, la fonction caractéristique est définie par :

$$ G(k) = \sum_{n} p_{n} e^{ikx_{n}} . \qquad (1.70) $$

Compte tenu de la normalisation de la probabilité à 1, nous avons :

$$ G(0) = 1. \qquad (1.71) $$
Un développement de Taylor formel des exponentiels $e^{ikx}$ ou $e^{ikx_n}$ dans les relations (1.69) ou (1.70) fait apparaître les moments de la distribution, notés $M_r = \langle X^r \rangle$ :

$$G(k) = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(ik)^r}{r!} M_r, \qquad (1.72)$$

avec

$$M_r = \langle X^r \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x^r p(x) dx . \qquad (1.73)$$

En termes de $G(k)$, nous avons :

$$M_r = \left[ \left( \frac{1}{i} \frac{d}{dk} \right)^r G(k) \right]_{k=0} . \qquad (1.74)$$

C'est pourquoi la fonction, $G(k)$, est appelé parfois fonction génératrice des moments, $M_r$, de la variable aléatoire, $X$.

Notons que dans certains cas, bien que $G(k)$ existe, les moments peuvent ne pas l'être. Pour une lorentzienne, par exemple, nous avons $G(k) = \exp\{-a|k|\}$, mais aucun de ses moments n'existe, c'est-à-dire qu'ils ont une valeur infinie.

À titre d'exemple, pour la distribution gaussienne où $G(k) = \exp\{k\mu - \frac{1}{2}k^2\sigma^2\}$, nous trouvons comme moments :

$$M_{2r+1} = 0, \qquad M_{2r} = \frac{(2r)!}{2^r r!} \sigma^{2r} = \frac{(2r)!}{2^r r!} M_2^2. \qquad (1.75)$$

Ainsi, tous les moments d'ordre pair s'expriment en termes uniquement du second moment $M_2 = \sigma^2$. Inversement, si tous les moments sont régis par des relations de type (1.75), alors la distribution asssociée est nécessairement gaussienne.

### Cas de plusieurs variables aléatoires :

Soit, $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$, une collection de variables aléatoires, de moments :

$$\langle X_1^{m_1} X_2^{m_2} \dots X_n^{m_n} \rangle = \int x_1^{m_1} x_2^{m_2} \dots x_n^{m_n} p_n(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 dx_2 \dots dx_n . \qquad (1.76)$$

Ces moments peuvent être engendrés en considérant la fonction génératrice généralisée suivante :

$$G_n(k_1, k_2, \dots, k_n) = \langle e^{i(k_1 X_1 + k_2 X_2 + \dots + k_n X_n)} \rangle . \qquad (1.77)$$

Nous avons manifestement : $G_n(0, 0, \dots, 0)$.
Son développement de Taylor par rapport aux variables, $(k_1, k_2, ..., k_n)$, engendre tous les moments :

$$G_n(k_1, k_2, ..., k_n) = \sum_{m_1, m_2, ..., m_n = 0}^{\infty} \frac{(ik_1)^{m_1} (ik_2)^{m_2} ... (ik_n)^{m_n}}{m_1! m_2! ... m_n!} \langle X_1^{m_1} X_2^{m_2} ... X_n^{m_n} \rangle . \quad (1.78)$$

Donc, nous avons les relations :

$$\langle X_1^{m_1} X_2^{m_2} \dots X_n^{m_n} \rangle = \left[ \left( \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial k_1} \right) \left( \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial k_2} \right) \dots \left( \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial k_n} \right) G_n(k_1, k_2, \dots, k_n) \right]_{k_1=0, k_2=0, \dots, k_m=0} . \quad (1.79)$$

## 1.12 Théorème de la limite centrale.

Le théorème de la limite centrale (TLC) est un concept fondamental en statistique, qui stipule que si l'on prend un grand nombre d'échantillons aléatoires d'une population, les moyennes de ces échantillons tendent à suivre une distribution normale, même si la population d'origine n'est pas normalement distribuée. Cela signifie que, quelle que soit la forme de la distribution d'origine, la distribution des moyennes des échantillons sera approximativement normale à mesure que la taille de l'échantillon augmente.

Rappelons que le TLC est essentiel pour de nombreuses méthodes statistiques, car il permet d'utiliser des techniques basées sur la normalité dans des situations où les données ne sont pas normalement distribuées.

Notons également que le TLC joue un rôle fondamental en phénomènes aléatoires, et qui suggère que dans la limite de grands nombres, chaque densité de probabilité tend rigoureusement vers une gaussienne.

Avant d'énoncer le résultat de ce théorème, notons qu'il intervient dans de nombreux domaines d'application, aussi bien en sciences naturelles qu'en économie ou en ingénierie.

Il est d'abord pertinent en contrôle qualité des produits industriels. En effet, dans ce contexte, les données concernent, généralement, des dimensions ou les caractéristiques des pièces fabriquées. Le but est d'estimer si ces dernières respectent les spécifications imposées pour garantir leur bon fonctionnement. Ce théorème permet de déterminer rapidement si
un lot présente un nombre anormal de pièces défectueuses ou non-conformes, en se basant
sur la moyenne et l'écart-type des échantillons prélevés.

Il est aussi utilisé pour l'évaluation du poids moyen d'un lot de fruits. Dans ce cadre, les agriculteurs ou les distributeurs souhaitent savoir si leur marchandise respecte les normes imposées par le marché. Le TLC permet d'estimer avec une bonne précision le poids moyen d'un lot de fruits, sans avoir à peser chaque élément individuellement. Il suffit simplement de réaliser quelques mesures aléatoires et d'analyser la distribution obtenue.

Le TLC sert aussi à l'analyse des données financières et économétriques. Il est régulièrement utilisé pour étudier les rendements boursiers, les performances économiques des entreprises ou encore l'évolution de la consommation des ménages. La convergence vers la loi normale permet de simplifier les calculs et modèles prédictifs, tout en s'appuyant sur une base mathématique solide.

En somme, le TLC constitue un outil puissant pour étudier la répartition des échantillons issus de diverses distributions et facilite grandement l'analyse statistique des phénomènes complexes et variés.

Pour comprendre le résultat du TLC, nous considérons une suite de N variables aléatoires indépendantes (ou non corrélées), {X₁, ..., X_N}, telle que chacune obéit à une distribution gaussienne : p_X(x) = (2πσ²)^(-1/2) exp(-x²/2σ²). Nous montrons aisément que la nouvelle variable aléatoire somme réduite :

$$
Y = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_N}{\sqrt{N}} \tag{1.80}
$$

est aussi régie par une distribution gaussienne, de valeur moyenne nulle, c'est-à-dire
⟨Y⟩ = 0, et de variance égale à σ² (commune à toutes ces variables), c'est-à-dire ⟨Y²⟩ =
∑N i=1 ⟨X²i⟩ / N = σ².

C'est le fameux théorème de la limite centrale, établi par P.S. de Laplace en 1812
[18, 19], et qui stipule que même si $p_X(x)$ n'est pas gaussienne, mais de valeur moyenne
nulle et de variance $\sigma^2$, la distribution de la variable aléatoire, $Y$, est encore une loi
gaussienne, de valeur moyenne nulle et de variance $\sigma^2$, dans la limite $N \to +\infty$. ■
Bibliographie

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[2] B. E. Fristedt, L. F. Gray, *A Modern Approach to Probability Theory*, Springer Science & Business Media, 1996.

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[4] D. Applebaum, *Lévy Processes and Stochastic Calculus*, Cambridge University Press, 2004.

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[8] M. L. Mehta, On the statistical properties of the level-spacings in nuclear spectra, Nuclear Physics **18**, 395 (1960).

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[10] M. L. Mehta, *Random Matrices, Pure and Applied Mathematics*, Series 142, Elsevier, London, 2004.

[11] M. L. Mehta, *Random Matrices in Nuclear Physics and Number Theory*, dans J. E. Cohen, H. Kesten, C. M. Newman (éditeurs), Proceedings of the AMS-IMS-SIAM
Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, USA (June 1984), Contemporary Mathematics **50**, 295 (1986).

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[16] S.-D. Poisson, *Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière criminelle et en Matière Civile; Précédées des Règles Générales du Calcul des Probabilités*, Bachellier, Imprimeur-Libraire, Paris, 1857.

[17] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, *Table of Integrals, Series, and Products*, Seventh Edition, Elsevier Inc., 2007.

[18] P.-S. Laplace, *Mémoire sur les Approximations des Formules qui sont Fonctions de Très-grands Nombres, et sur leur Applicatinous aux Probabilités*, Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut de France, 1809, pp. 353-415.

[19] P.-S. Laplace, *Supplément au Mémoire sur les Approximations de Formules qui sont Fonctions de très-grands Nombres*, Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut de France, 1809, pp. 559-565.
# Chapitre 2

## Processus stochastiques.

Dans ce chapitre, nous esquissons les propriétés générales des processus stochastiques, c'est-à-dire des variales aléatoires qui, en plus de leur caractère aléatoire, elles dépendent du temps. En particulier, nous évoquons l'important théorème de Wiener-Khintchine.

### 2.1 Introduction.

Les processus stochastiques sont des modèles mathématiques qu'on utilise pour la description des phénomènes qui évoluent de manière aléatoire dans le temps ou dans l'espace $[1 - 23]$.

Un phénomène stochastique est le produit du hasard, par opposition au déterminisme reliant une cause à une conséquence certaine. La caractéristique principale des phénomènes stochastiques est qu'il est impossible de les prévoir avec exactitude, c'est-à-dire qu'une même cause ne va pas toujours déclencher un même effet. On leur adjoint donc une probabilité de survenue.

Les processus stochastiques sont largement utilisés en mathématiques, en finance, en épidémiologie, en climatologie, en biologie, en écologie, en chimie, en physique, en ingénierie, en musique et dans d'autres domaines connexes.

En mathématiques, la stochastique est une branche de la théorie des probabilités qui vise l'étude de l'évolution des phénomènes aléatoires au cours du temps. Cela signifie
qu'à tout nombre ou intervalle de temps est associé une variable aléatoire d'un ensemble numérique. Le processus est alors noté, $X_t$. La formule d'Itô<fnref n="1" /> et le théorème de Girsanov<fnref n="2" /> constituent la base du calcul stochastique. Comme exemple, le processus de Poisson sert à modéliser des événements se produisant à des instants aléatoires, par exemple, le nombre d'appels entrants dans un centre d'appel en un temps donné. C'est un processus discrétisé avec des sauts instantanés.

En finance, les processus stochastiques sont utilisés pour la modélisation des prix des actions, options et autres actifs financiers (modèle de Black-Scholes<fnref n="3" />). Aussi, dans ce domaine, la stochastique est notamment utilisée pour les options call et put<fnref n="4" /> et sert, par exemple, à détecter un retournement de tendance ou à se couvrir d'un risque.

En épidémiologie, les modèles stochastiques sont couramment utilisés en recherche clinique pour l'étude de l'impact des facteurs, tels que l'exposition au tabac, la mauvaise alimentation ou l'activité sportive, sur la probabilité de contracter une maladie ou pour expliquer la propagation d'épidémies. Ces modèles permettent donc de développer des outils de prévention et d'alerte.

En climatologie, l'on parle de résonance stochastique pour désigner le phénomène par lequel un signal cohérent peut être amplifié par une augmentation aléatoire du bruit. La survenue des ères glaciaires est un exemple de résonance stochastique, où les mouvements planétaires peuvent renforcer les effets de perturbations atmosphériques, comme le phénomène climatique El Niño<fnref n="5" /> ou les variabilités saisonnières par exemple.

<footnote n="1">¹La formule d'Ito a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Ito dans les années 1940.</footnote>

<footnote n="2">²Le théorème de Girsanov est un concept fondamental de la finance mathématique utilisé pour transformer les mesures en vue d'une tarification neutre au risque. Il doit son nom au mathématicien russe Igor Vladimirovitch Girsanov, qui a introduit son théorème dans un article fondateur en 1960.</footnote>

<footnote n="3">³C'est un modèle mathématique du marché pour une action, dans lequel le prix de l'action est un processus stochastique en temps continu.</footnote>

<footnote n="4">⁴Les options "call" et "put" sont des instruments financiers dérivés, permettant aux investisseurs de spéculer sur la direction future des prix d'un actif sous-jacent.</footnote>

<footnote n="5">⁵C'est une perturbation climatique naturelle marquée par un réchauffement anormal des eaux de surface de l'océan pacifique.</footnote>
En *biologie*, la stochastique sert à l'étude des mutations génétiques, de l'expression des gènes ou de la croissance de certains organismes se reproduisant de façon aléatoire. On parle aussi d'environnement stochastique, dans lequel les paramètres évoluent de façon imprévisible et obligent les organismes vivant dans leurs habitats à s'adapter rapidement.

En *écologie*, la stochastique est utilisée pour étudier les évolutions de certaine classe de phénomènes de type réaction-diffusion<fnref n="6" />.

En *physique*, les processus stochastiques sont utilisés pour modéliser les systèmes thermodynamiques hors de l'équilibre, le mouvement Brownien (voir Chapitre 7 de cet ouvrage) pour décrire le mouvement aléatoire des particules en suspension dans un fluide (gaz ou liquide) ou dans un solide.

En *chimie*, ces processus sont utilisés pour l'étude de la cinétique réactionnel, des réactions chimiques oscillantes ou réactions de Belooussov-Jabotinski<fnref n="7" />.

En *ingénierie*, les processus stochastiques servent à analyser les signaux aléatoires, du bruit dans les systèmes électroniques...

Même en *musique*, la stochastique est belle et bien présente. Elle a été inventée par le compositeur français Yannis Xenakis en 1954. Elle repose sur le calcul des probabilités pour composer de la musique de façon aléatoire en s'appuyant sur la théorie des grands nombres ; une suite de notes générées au hasard vont donner une partition globale harmonieuse.

<footnote n="6">⁶Un système de réaction-diffusion est un modèle mathématique décrivant l'évolution des concentrations d'une ou plusieurs substances spatialement distribuées et soumises à deux processus : un processus de réactions chimiques locales, dans lequel les différentes substances se transforment, et un processus de diffusion provoquant une répartition de ces substances dans l'espace.</footnote>

<footnote n="7">⁷La réaction de Belooussov-Jabotinski est une réaction oscillante, mise en évidence pour la première fois en 1950 par le chimiste russe Boris Pavlovitch Belooussov. Une solution brassée change de couleur au cours du temps.</footnote>
## 2.2 Définition.

La définition d'une variable aléatoire (dont les valeurs sont indépendantes du temps) que nous avons esquissée au Chapitre 1, s'étend aisément au cas d'une *variable aléatoire dépendant du temps*, $X(t)$, appelée aussi *processus stochastique*. Cette dernière peut être à *une* (scalaire) ou *plusieurs* dimensions (vecteur réel, nombre complexe ou matrice). Sa mesure, notée $x$, au temps $t$, et appelée *échantillon*.

L'on parle aussi des fonctions aléatoires, $\varphi(X(t))$, du processus stochastique, $X(t)$.

## 2.3 Valeur moyenne.

**Cas d'un seul processus stochastique :**

Soit, $p(x, t)$, la densité de probabilité d'un processus stochastique, $X(t)$. En fait, $p_1(x, t) dx$ représente la probabilité pour que la mesure de $X$ prenne une valeur comprise entre $x$ et $x + dx$, au temps $t$. Naturellement, cette densité de probabilité est normalisée à l'unité :

$$ \int p_1(x,t) dx = 1, \qquad (2.1) $$

indépendamment du temps $t$.

L'espérance mathématique ou simplement valeur moyenne du processus stochastique, $X(t)$, au temps $t$, $\langle X(t) \rangle$, est définie par :

$$ \langle X(t) \rangle = \int x p_1(x,t) dx. \qquad (2.2) $$

Cette définition montre le *rôle crucial* joué par la densité de probabilité.

Signalons que la densité de probabilité, $p_1(x, t)$, même si elle donne accès à la valeur moyenne, $\langle X(t) \rangle$, ne décrit pas complètement le processus. En particulier, elle ne donne aucune information sur les corrélations éventuelles entre les processus stochastiques, $X(t_1)$ et $X(t_2)$, à des instants différents, $t_1$ et $t_2$. En fait, cette information est contenue dans la densité de probabilité conjointe, $p_2(x_1, t_1; x_2, t_2)$, pour que $X(t)$ prenne la valeur $x_1$ au
temps $t_1$ et $x_2$ au temps $t_2$. Nous avons :

$$ \int p_2(x_1, t_1; x_2, t_2) dx_2 = p_1(x_1, t_1) . \qquad (2.3) $$

La valeur moyenne à deux temps du processus stochastique, $X(t)$, est simplement définie par :

$$ \langle X(t_1) X(t_2) \rangle = \iint x_1 x_2 p_2(x_1, t_1; x_2, t_2) dx_1 dx_2 . \qquad (2.4) $$

La fonction d'autocorrélation du processus stochastique, $X(t)$, est telle que :

$$ \kappa(t_1, t_2) = \langle [X(t_1) - \langle X(t_1) \rangle] [X(t_2) - \langle X(t_2) \rangle] \rangle, \qquad (2.5) $$

ou encore :

$$ \kappa(t_1, t_2) = \langle X(t_1) X(t_2) \rangle - \langle X(t_1) \rangle \langle X(t_2) \rangle . \qquad (2.6) $$

Notons que $\kappa(t_1, t_2)$ n'est rien d'autres que la fonction d'autocorrélation connexe, notée $\kappa(t_1, t_2) = \langle X(t_1) X(t_2) \rangle_c$, qui mesure les corrélations entre les valeurs du processus stochastique $X$ entre deux instants différents, $t_1$ et $t_2$.

La notion de variance s'étend également au cas des processus stochastiques. Dans ce cas, la variance dépendant du temps, est définie par :

$$ \sigma^2(t) = \langle X^2(t) \rangle - \langle X(t) \rangle^2 = \langle [X(t) - \langle X(t) \rangle]^2 \rangle . \qquad (2.7) $$

La positivité de $\sigma^2(t)$ implique donc l'inégalité générale suivante :

$$ \langle X^2(t) \rangle > \langle X(t) \rangle^2, \qquad (2.7a) $$

à tout instant $t$.

La valeur moyenne à deux temps (2.4) s'étend aisément à la valeur moyenne à plusieurs temps du processus stochastique, $X(t)$. Nous écrivons :

$$ \langle X(t_1) X(t_2) \dots X(t_n) \rangle = \iint \dots \int x_1 x_2 \dots x_n p_n(x_1, t_1; x_2, t_2; \dots; x_n, t_n) dx_1 dx_2 \dots dx_n . \qquad (2.8) $$

Ici, $p_n(x_1, t_1; x_2, t_2; \dots; x_n, t_n)$ est la densité de probabilité conjointe pour que $X(t)$ prenne la valeur $x_1$ au temps $t_1$, $x_2$ au temps $t_2, \dots$, et $x_n$ au temps $t_n$.
L'on définit la fonction d'autocorrélation généralisée du processus stochastique, X (t), par :

$$
\kappa(t_1, t_2, \dots, t_n) = \langle [X(t_1) - \langle X(t_1) \rangle] [X(t_2) - \langle X(t_2) \rangle] \dots [X(t_n) - \langle X(t_n) \rangle] \rangle . \quad (2.9)
$$

Cette fonction est juste la valeur moyenne à n temps *connexes* du processus stochastique
X (t) : κ (t₁, t₂, ..., tₙ) = ⟨X (t₁) X (t₂) ... X (tₙ)⟩<sub>c</sub>.

Cas de plusieurs processus stochastiques :

Le processus (ou vecteur) stochastique, $\vec{X}(t)$, peut avoir plusieurs composantes, notées : $\{X_1(t), X_2(t), ..., X_n(t)\}$. La fonction d'autocorrélation associée en deux temps différents, $t_1$ et $t_2$, est alors remplacée par la matrice de corrélations, $[\kappa_{ij}]$, de dimensions $n \times n$, avec :

$$
\kappa_{ij}(t_1, t_2) = \langle [X_i(t_1) - \langle X_i(t_1) \rangle] [X_j(t_2) - \langle X_j(t_2) \rangle] \rangle, \quad (2.10)
$$

ou encore :

$$
\kappa_{ij}(t_1, t_2) = \langle X_i(t_1) X_j(t_2) \rangle - \langle X_i(t_1) \rangle \langle X_j(t_2) \rangle . \quad (2.11)
$$

Les éléments diagonaux de cette matrice, {$\kappa_{ii}$}, représentent des *autocorrélations* et les éléments non diagonaux, {$\kappa_{ij}, i \neq j$}, des *corrélations croisées*.

2.4 Variables stochastiques complexes.

Un processus stochastique complexe, Z (t), est défini comme un ensemble de deux
processus stochastiques (parties réelle et imaginaire), {X (t) , Y (t)}. La densité de pro-
babilité, p (z, t), est la densité de probabilité conjointe de X et Y au temps t. Les valeurs
moyennes de Z (t) et de Z* (t) sont :

$$
\langle Z(t) \rangle = \iint zg(z, z^*, t) dzdz^*, \qquad \langle Z^*(t) \rangle = \iint z^*g(z, z^*, t) dzdz^*, \quad (2.12)
$$

où la nouvelle distribution complexe, g (z, z*, t), généralise la distribution statique, g (z, z*),
définie par la relation (1.18) du Chapitre 1.
Pour le processus stochastique complexe, $Z(t)$, l'on définit une fonction d'autocorrélation complexe par :

$$ \kappa(t_1, t_2) = \langle [Z(t_1) - \langle Z(t_1) \rangle] [Z^*(t_2) - \langle Z^*(t_2) \rangle] \rangle, \quad (2.13) $$

ou encore :

$$ \kappa(t_1, t_2) = \langle Z(t_1) Z^*(t_2) \rangle - \langle Z(t_1) \rangle \langle Z^*(t_2) \rangle . \quad (2.14) $$

## 2.5 Stationnarité.

Un processus stochastique est dit *stationnaire* si toutes les densités de probabilité, $\{p_n\}$, sont invariantes sous les translations du temps. Autrement dit, nous avons pour tout $T \in \mathbf{R}^+$ et tous temps $(t_1, t_2, ..., t_n)$ :

$$ \langle X(t_1 + T) X(t_2 + T) \dots X(t_n + T) \rangle = \langle X(t_1) X(t_2) \dots X(t_n) \rangle . \quad (2.15) $$

La fonction d'autocorrélation, $\kappa(t_1, t_2) = \langle X(t_1) X(t_2) \rangle - \langle X(t_1) \rangle \langle X(t_2) \rangle$, d'un processus stochastique réel stationnaire ne dépend donc que de la différence des temps, $\tau = t_1 - t_2$. En plus, cette fonction est *paire* de son argument, c'est-à-dire : $\kappa(-\tau) = \kappa(\tau)$. Un cas extrêmement répandu est celui des fonctions d'autocorrélation qui décroissent exponen- tiellement, pour les grandes valeurs de $|\tau|$, devant un seuil du temps, $\tau_c > 0$, c'est-à-dire :

$$ \kappa(\tau) = C e^{-|\tau|/\tau_c}, \quad |\tau| \gg \tau_c. \quad (2.16) $$

Une telle fonction est négligeable pour $|\tau| \gg \tau_c$. Le temps caractéristique, $\tau_c$, est appelé *temps d'autocorrélation*, au-delà duquel il n'y a plus de corrélations entre les valeurs du processus stochastique à des instants différents, $t_1$ et $t_2$.

Dans le cas d'un processus stochastique à plusieurs composantes, les éléments de matrice de corrélations associés s'écrivent comme :

$$ \kappa_{ij}(\tau) = \langle X_i(\tau) X_j(0) \rangle - \langle X_i(\tau) \rangle \langle X_j(0) \rangle . \quad (2.17) $$
Pour un processus stochastique stationnaire à plusieurs composantes, nous avons aussi la propriété :

$$ \kappa_{ij}(\tau) = \kappa_{ji}(-\tau) . \qquad (2.18) $$

## 2.6 Un exemple : Loi gaussienne.

On peut aussi avoir des processus stochastiques régis par une loi gaussienne. C'est le cas du mouvement Brownien (voir Chapitre 7). À une dimension, par exemple, la densité de probabilité pour que le processus stochastique, $X(t)$, prenne la valeur $x$ au temps $t$, est telle que :

$$ p_1(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2(t)}} e^{-(x-\mu(t))^2/2\sigma^2(t)} . \qquad (2.19) $$

Ici, $\sigma^2(t)$ est la variance de cette distribution, définie par la relation (2.7), et $\mu(t) = \langle X(t) \rangle$ est son centre.

Nous avons la propriété de normalisation à l'unité de la distribution précédente :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} p_1(x,t) dx = 1 . \qquad (2.20) $$

On peut étendre la distribution gaussienne précédente à une collection de $n$ variables stochastiques différentes, $\{X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)\}$. Dans ce cas, la densité de probabilité conjointe, $p_n(x_1, x_2, \dots, x_n, t)$, pour que les variables aléatoires, $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$, prennent des valeurs, $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$, au temps $t$, est la gaussienne généralisée suivante :

$$ p_n(x_1, x_2, \dots, x_n, t) = (2\pi)^{-n/2} [\det M(t)]^{-1/2} \exp \left\{ -\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} (x_i - \mu_i(t))^2 M_{ij} (x_j - \mu_j(t)) \right\} . \qquad (2.21) $$

Ici, $M(t)$ étant une matrice carrée d'ordre $n$, symétrique et définie positive. Pour un mouvement Brownien, par exemple, $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ désignent les coordonnées du vecteur position de la particule cible en diffusion libre avec les molécules du fluide ou avec les atomes du solide.

Il est facile de montrer que :

$$ \langle X_i(t) \rangle = \mu_i(t) , \qquad \nu_{ij}(t) = \langle X_i(t) X_j(t) \rangle - \langle X_i(t) \rangle \langle X_j(t) \rangle = M_{ij}(t) . \qquad (2.22) $$
Comme pour les variables aléatoires esquissées au Chapitre 1, une propriété importante des distributions gaussiennes centrées ($\mu_i = 0$) est que les corrélations d'ordre pair supérieur s'expriment à l'aide des corrélations du second ordre. Nous avons le résultat suivant :

$$ \langle X_i(t) X_j(t) X_k(t) \dots \rangle = \sum \langle X_p(t) X_q(t) \rangle \langle X_r(t) X_s(t) \rangle \dots, \quad (2.23) $$

où la somme s'étend à toutes les subdivisions possibles en paires d'indices $i, j, k...$ Mais, les corrélations d'ordre impair s'annulent.

## 2.7 Analyse harmonique des processus stochastiques.

### 2.7.1 Série de Fourier d'un processus stochastique stationnaire.

L'analyse harmonique consiste à étudier les phénomènes stochastiques en raisonnant sur les coefficients de la série de Fourier des variables stochastiques, $X(t)$. Notons que de telle analyse est particulièrement adaptée aux problèmes linéaires.

Soit $x(t)$ une réalisation d'un processus stochastique donnée, $X(t)$, définie sur un intervalle de temps, $[0, T]$. Ici, $T$ n'est pas nécessairement une période. Après un certain calcul, on tendra $T$ vers l'infini, c'est-à-dire $T \to \infty$.

Dans cet intervalle de temps, la mesure, $x(t)$, du processus stochastique, $X(t)$, à l'instant $t$, se décompose en série de Fourier :

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{-i\omega_n t}, \qquad 0 \le t \le T, \quad (2.24) $$

où les fréquences angulaires, $\{\omega_n\}$, sont données par :

$$ \omega_n = \frac{2\pi n}{T}, \qquad n \in \mathbb{Z}. \quad (2.25) $$

Les coefficients de Fourier, $\{a_n\}$, sont tels que :

$$ a_n = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) e^{i\omega_n t} dt. \quad (2.26) $$

Si la fonction $x(t)$ est réelle, ces coefficients revêtent la forme suivante :

$$ a_n = a'_n + ia''_n, \qquad a_{-n} = a_n^* = a'_n - ia''_n, \quad (2.27) $$
avec les parties réelle et imaginaire :

$$a'_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) \cos(\omega_{n}t) dt, \qquad a''_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) \sin(\omega_{n}t) dt. \qquad (2.27a)$$

Notons que, comme conséquence, le processus stochastique, $X(t)$, lui-même possède le développement en série de Fourier suivant :

$$X(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_n e^{-i\omega_n t}, \qquad 0 \le t \le T. \qquad (2.28)$$

Le coefficient de Fourier d'ordre $n$, $a_n$, est alors une réalisation de la variable, $A_n$, définie par :

$$A_n = \frac{1}{T} \int_0^T X(t) e^{i\omega_n t} dt . \qquad (2.29)$$

## 2.7.2 Conséquence de la stationnarité.

Dans ces conditions, la valeur moyenne du processus stochastique stationnaire, $X(t)$, ne dépend pas du temps, auquel cas $\langle X \rangle$ est une constante.

La valeur moyenne de $A_n$ est, d'après la relation (2.29) :

$$\langle A_n \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \langle X(t) \rangle e^{i\omega_n t} dt . \qquad (2.30)$$

Nous avons donc, pour tout processus stochastique stationnaire, les identités suivantes :

$$\langle A_n \rangle = 0, \qquad n \neq 0, \qquad (2.31)$$

$$\langle A_0 \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \langle X \rangle dt = \langle X \rangle . \qquad (2.32)$$

Notons que le résultat (2.31) pour $n \neq 0$ est une conséquence de l'intégrale nulle de la fonction périodique, $e^{i\omega_n t}$, dans l'intégrale de temps, $[0, T]$.

D'un autre côté, le coefficient de Fourier d'ordre 0, $a_0$, est la valeur moyenne sur l'intervalle $[0, T]$ de la réalisation de $x(t)$, c'est-à-dire :

$$a_0 = \overline{x(t)}^T = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) dt . \qquad (2.33)$$

Notons que cette quantité n'est pas nécessairement la valeur moyenne d'ensemble, $\langle X \rangle$.
Rappelons qu’un processus stochastique, $X(t)$, est dit ergodique si :

$$ \lim_{T \to \infty} \overline{x(t)}^T = \langle X \rangle . \qquad (2.34) $$

Pour la physique expérimentale, cela signifie que le temps $T$ est bien supérieur à la durée au bout de laquelle l'expérience est effectuée.

La fonction d'autocorrélation de ce processus stochastique, $\kappa(\tau)$, est alors :

$$ \kappa(\tau) = \langle X(t) X^*(t+\tau) \rangle = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{n'=-\infty}^{\infty} \langle A_n A_{n'}^* \rangle e^{-i(\omega_n - \omega_{n'})t} e^{i\omega_n \tau} . \qquad (2.35) $$

Cette fonction doit être indépendante de $t$, pour toute valeur de $\tau$, il vient que :

$$ \langle A_n A_{n'}^* \rangle = \langle |A_n|^2 \rangle \delta_{n,n'} . \qquad (2.36) $$

Il n'y a donc pas de corrélations entre deux coefficients de Fourier de fréquences angulaires différentes.

### 2.7.3 Théorème de Wiener-Khintchine.

Avant d'esquisser son essentiel, rappelons que le premier résultat sur ce théorème fut publié par Norbert Wiener<fnref n="8" /> en 1930 [21], et indépendamment, Aleksandr Khinchin<fnref n="9" /> découvre le même résultat en 1934 [22].

**Densité spectrale** : Notons que lorsqu’un filtre convenable est utilisé pour sélectionner les fréquences angulaires se trouvant dans l’intervalle $(\omega, \omega + \Delta\omega)$, l’intensité moyenne qu’on mesure expérimentalement, est :

$$ S(\omega) \Delta\omega = \sum_{\omega_n \text{ dans } \Delta\omega} \langle |A_n|^2 \rangle . \qquad (2.37) $$

Ici, la somme s'étend à toutes les fréquences angulaires contenues dans l'intervalle considéré, $(\omega, \omega + \Delta\omega)$. Le nombre de modes de ce type est alors donné par :

$$ \frac{\Delta\omega}{2\pi/T} = \Delta\omega \frac{T}{2\pi} . \qquad (2.38) $$

<footnote n="8">⁸Norbert Wiener (1894-1964) est un mathématicien américain, théoricien et chercheur en mathématiques appliquées, surtout connu comme le père fondateur de la cybernétique.</footnote>

<footnote n="9">⁹Alexandre Iakovlevitch Khintchine (1894-1959) est un mathématicien russe puis soviétique. Il est principalement connu pour ses travaux sur la théorie des probabilités.</footnote>
Dans la limite $T \to \infty$, la fréquence angulaire devient une variable continue, notée $\omega$, et le coefficient de Fourier, $A_n$, devient une fonction continue de $\omega$, notée $A(\omega)$. L'on peut donc écrire :

$$S(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{T}{2\pi} \langle |A(\omega)|^2 \rangle . \qquad (2.39)$$

La quantité $S(\omega)$ est la densité spectrale ou encore spectre du bruit du processus stochastique, $X(t)$.

**Théorème :** Le spectre du bruit, $S(\omega)$, est relié à la fonction d'autocorrélation, $\kappa(t)$, du processus aléatoire stationnaire, $X(t)$, par transformation de Fourier.

Pour démontrer ce théorème [23], l'on part de la relation (2.29) dans le continu et l'on trouve :

$$\langle |A(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{T^2} \int_0^T \int_0^T \langle X(t_1) X(t_2) \rangle e^{i\omega(t_1-t_2)} dt_1 dt_2 . \qquad (2.40)$$

Notons que la fonction d'autocorrélation paraissant sous le signe intégral précédent ne dépend que de la différence des temps, $t = t_1 - t_2$, et l'intégration sur les temps $t_1$ et $t_2$ s'effectue dans le carré : $0 \le t_1 \le T$, $0 \le t_2 \le T$.

Lorsque $t_1 > t_2$, on peut prendre comme nouvelles variables d'intégration : $t_1 - t_2 = t$ et $t_2$. L'intégration sur $t_2$ s'effectue donc de 0 à $T - t$; ce qui donne une contribution à $\langle |A(\omega)|^2 \rangle$ égale à :

$$\frac{1}{T^2} \int_0^T (T-t) \kappa(t) e^{i\omega t} dt . \qquad (2.41)$$

De même, l'intégrale de la partie $t_1 < t_2$ donne une contribution à $\langle |A(\omega)|^2 \rangle$ égale à :

$$\frac{1}{T^2} \int_0^T (T-t) \kappa(-t) e^{-i\omega t} dt = \frac{1}{T^2} \int_{-T}^0 (T+t) \kappa(t) e^{i\omega t} dt . \qquad (2.42)$$

En regroupant les contributions (2.41) et (2.42), l'on obtient :

$$\langle |A(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{T^2} \int_{-T}^{T} (T - |t|) \kappa(t) e^{i\omega t} dt . \qquad (2.43)$$

Maintenant, en combinant (2.39) et (2.43) et supposant que la fonction d'autocorrélation décroit plus vite que toutes les puissances du temps, l'on trouve, dans la limite $T \to \infty$, le résultat désiré, à savoir :

$$S(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \kappa(t) e^{i\omega t} dt . \qquad (2.44)$$
Par inversion, l'on a :

$$ \kappa(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{-i\omega t} d\omega . \qquad (2.45) $$

Cela termine la démonstration du théorème.

Pour une fonction d'autocorrélation en loi de puissances, celle définie par la relation (2.16), l'on trouve comme densité spéctrale [23] :

$$ S(\omega) = C \frac{\omega_c}{\pi \omega^2 + \omega_c^2}, \qquad (2.46) $$

avec la fréquence caractéristique, $\omega_c = 1/\tau_c$. La densité spectrale associée est alors une lorentzienne. Notons que l'obtention du résultat précédent se fait par la technique des résidus.

Enfin, comme remarque, si l'on pose $C = 1/\tau_c$, et que l'on passe à la limite $\tau_c \to 0$ (ou d'une manière équivalente, $\omega_c \to +\infty$), alors l'on a : $\kappa(t) \to \delta(t)$ et $S(\omega) \to 1/2\pi$. On est alors dans la limite du *bruit blanc*. ■
Bibliographie

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[2] Des travaux selectionés de A. N. Kolmogorov peuvent être trouvés dans : *Probability Theory and Mathematical Statistics*, Volume II, Kluwer, 1992.

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[5] J.-C. Laleuf, *Processus et Intégrales Stochastiques*, Collection Ellipses, 2014.

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[7] Y. Mori, *Signaux Aléatoires et Processus Stochastiques*, Hermes, 2014.

[8] J. Franchi, *Processus Aléatoires à Temps Discret : Cours, Exercices et Problèmes Corrigés*, Collection Ellipses, 2013.

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[10] Y. K. Lin, *Probabilistic Theory of Structural Dynamics*, New York, Robert E. Krieger Publishing Company, 1976.

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[19] L. Bachelier, *Théorie de la Spéculation*, Gauthier-Villars, 1990.

[20] H. Huynh, V. Lai, I. Soumaré, *Simulations Stochastiques et Applications en Finance avec Programmes Matlab. Finance*, Economica, 2006.

[21] N. Wiener, *Generalized Harmonic Analysis*, Acta Mathematica **55**, 117 (1930).

[22] A. Khintchine, *Korrelationstheorie der Stationären Stochastischen Prozesse*, Mathe-matische Annalen **109**, 604 (1934).

[23] N. Pottier, *Physique Statistique Hors d'Équilibre : Processus Irréversibles Linéaires*, EDP Sciences, 2007.
# Chapitre 3

## Théorie de réponse linéaire : Aspects généraux et applications.

Dans ce chapitre, nous rappelons les propriétés générales de la théorie de réponse linéaire, qui est basée sur la notion importante de fonction de réponse, d'où l'on extrait la susceptibilité. En guise d'illustration, nous présentons une étude détaillée de plusieurs systèmes soumis à des excitations oscillantes dans le temps à une fréquence donnée.

### 3.1 Introduction.

La théorie de réponse linéaire a été développée dans les années 1950 par les physiciens Melville Saul Green, Herbert Callen et Ryogo Kubo, et a connu depuis d'énormes progrès [1 – 13].

Dans des domaines comme la mécanique classique, la mécanique quantique, l'électromagnétisme, l'hydrodynamique, la thermodynamique, la physique statistique ou autres domaines de la physique, l'on s'intéresse souvent à la détermination de la nature de la réponse instantanée d'un système quelconque soumis à une faible perturbation extérieure. En guise d'exemples, cette réponse peut être l'induction d'un courant dans un circuit électrique, suite à une application d'une tension alternative, l'apparition d'une polarisation dans un milieu diélectrique soumis à un champ électrique variable, la création d'une ai-
mantation au sein d'un métal causée par un champ magnétique variable, ou la génération d'un débit de fluide dans un capillaire sous un gradient de pression.

Bien que les systèmes étudiés relèvent de différents domaines de la physique, la réponse recherchée doit obéir à des principes fondamentaux communs : l'effet est proportionnel à la cause, selon le Principe de Huggens. En plus, pour tous les cas étudiés, la réponse doit satisfaire au principe de causalité, selon lequel la perturbatinous appliquées à un temps donné, n'agisse sur l'état du système que pour des temps postérieurs. Et si cette perturbation est suffisamment faible, la réponse du système peut, en général, être supposée linéaire en la perturbation. C'est ce cas précis qui nous intéresse ici.

L'objectif essentiel dans ce chapitre est de présenter l'étude de la réponse linéaire d'un système soumis à une excitation extérieure faible, à travers la détermination de la fonction de réponse, dont la signification physique dépend de la nature du système considéré et du genre d'excitation.

Signalons, enfin, que la présente étude sera illustrée, à la fin de ce chapitre, par plusieurs exemples relevant de divers champs disciplinaires de la physique.

## 3.2 Forme générale de la réponse.

### 3.2.1 Position du problème.

On considère un système possédant un nombre de degrés de liberté arbitraire, et dont la description relève de n'importe quel domaine de la physique. L'on suppose que de tel système est initialement dans un état (initial) stationnaire, noté $\mathcal{E}_0$. Naturellement, les quantités physiques relatives à cet état initial sont indépendantes du temps; cela veut dire qu'initiallement, le système qui sera excité, par la suite, se trouvait à l'état d'équilibre. L'on imagine que ce système soit soumis à une faible perturbation homogène, mais dépendant du temps, notée $F(t)$, avec la condition $F(t < t_0) = 0$, où $t_0$ est l'instant où cette perturbation est appliquée.

L'on désigne par $A(t)$ une certaine quantité physique ou observable qu'on veut exa-
miner, et qui est rattachée à un système physique donné. Le but est de déterminer la forme de la réponse de ce système à la perturbation extérieure, c'est-à-dire établir une relation entre la grandeur, $A(t)$, et le forçage, $F(t)$. Pour fixer les idées, l'état initial, $\mathcal{E}_0$, peut correspondre, par exemple, à un oscillateur mécanique initialement au repos et qui est soumis ultérieurement à l'action d'une force excitatrice, $F(t)$. Dans ce cas, la grandeur physique, $A(t)$, est simplement le déplacement de cet oscillateur par rapport à sa position d'équilibre (élongation), $x_0$, c'est-à-dire $A(t) = x(t) - x_0$, où $x(t)$ est sa position instantanée.

L'évolution temporelle de la quantité physique, $A(t)$, qu'on tente d'étudier est logiquement décalée (ou déformée) de sa valeur d'équilibre, $A(\mathcal{E}_0) = A_0$. Sans perdre de généralité, on pourra poser, par la suite, $A_0 = 0$, et faire tendre, ensuite, $t_0$ vers $-\infty$.

Signalons que la réponse du système à une excitation extérieure doit obéir à des principes physiques simples que nous allons spécifier :

### 3.2.2 Linéarité et causalité.

Lorsque la perturbation extérieure est suffisamment faible, il est naturel de supposer que la déformation, $A(t)$, est linéaire en $F(t)$, et d'écrire :

$$A(t) = \int_{-\infty}^{t} K(t, t') F(t') dt'. \qquad (3.1)$$

Ici, le *noyau*, $K(t, t')$, désigne la fonction de réponse, qui n'est rien d'autres que la fonction de Green<fnref n="1" />[14 – 17]. Notons que cette dernière doit être *bornée*, car la déformation, $A(t)$, reste faible, pour une excitation extérieure faible, $F(t)$.

La formule (3.1) suggère que la fonction de réponse, $K(t, t')$, n'est rien d'autres que la *dérivée fonctionnelle* de $A(t)$ par rapport au forçage, $F(t')$, c'est-à-dire :

$$\frac{\delta A(t)}{\delta F(t')} = K(t, t'). \qquad (3.2)$$

<footnote n="1">¹En mathématiques et en physique, une fonction de Green est une solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants, ou d'une équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants.</footnote>
Nous rappelons la définition de la dérivation fonctionnelle au *Complément Mathématique I*.

Il est possible d'étendre la relation entre réponse et forçage (3.1) au cas de plusieurs réponses, {$A_1, ..., A_n$}, résultant d'une suite de forçages, {$F_1, ..., F_n$}. Dans ce cas, nous aurons les relations générales suivantes :

$$A_i(t) = \sum_{j=1}^{n} \int_{-\infty}^{t} K_{ij}(t, t') F_j(t') dt', \quad i = 1, ..., n. \quad (3.3)$$

Ici, les coefficients, {$K_{ij}$}, définissent la "matrice réponse", notée $K$. Plus exactement, $K_{ij}$ représente la contribution de la composante de forçage, $F_j(t)$, à la réponse, $A_i(t)$. Il y a donc un mélange entre réponses et forçages. Nous avons les relations suivantes découlant de l'égalité (3.3) :

$$K_{ij}(t, t') = \frac{\delta A_i(t)}{\delta F_j(t')}, \quad i, j = 1, ..., n. \quad (3.4)$$

Notons que les expressions précédentes peuvent se réécrire matriciellement comme :

$$\vec{A}(t) = \int_{-\infty}^{t} K(t, t') \vec{F}(t') dt', \quad (3.5)$$

où

$$\vec{A}(t) = \begin{bmatrix} A_1(t) \\ A_2(t) \\ \vdots \\ A_n(t) \end{bmatrix} \quad (3.6a)$$

et

$$\vec{F}(t) = \begin{bmatrix} F_1(t) \\ F_2(t) \\ \vdots \\ F_n(t) \end{bmatrix} \quad (3.6b)$$

sont, respectivement, le "vecteur réponse" et le "vecteur forçage".

Dans le cas général, la réponse du système à un instant donné ne dépend que de la perturbation appliquée à des temps antérieurs, soit :

$$K(t, t') = 0, \quad \text{pour } t < t'. \quad (3.7)$$
C'est la condition de causalité.

### 3.2.3 Stationnarité.

Pour un bon nombre de systèmes en évolution temporelle, la fonction de réponse, K, est invariante par translation dans le temps, c'est-à-dire :

$$K(t, t') = K(t - t'), \quad t > t'. \tag{3.8}$$

Par simple changement de variables, l'égalité (3.1) devient alors :

$$A(t) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) F(t - \tau) d\tau, \tag{3.9}$$

avec $F(t - \tau) = 0$, pour $t < \tau$.

La formule précédente se généralise aisément à plusieurs réponses et forçages, et l'on écrit :

$$A_i(t) = \sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{+\infty} K_{ij}(\tau) F_j(t - \tau) d\tau, \quad i = 1, \dots, n. \tag{3.10}$$

### 3.2.4 Réponse à une excitation extérieure en forme de pulse.

Pour comprendre le sens qu'on peut donner à la fonction de réponse, $K(t)$, l'on considère le cas où l'excitation est un *pulse* (ou excitation locale), c'est-à-dire :

$$F(t) = F_0 \delta(t - t_0). \tag{3.11}$$

Ici, $\delta(t - t_0)$ est la distribution de Dirac unidimensionnelle, centée en $t_0$. Dans ces conditions, la relation (3.1) se réduit à :

$$A_{pulse}(t) = F_0 K(t - t_0), \quad \text{pour } t > t_0. \tag{3.12}$$

Cette relation suggère donc que la déformation, $A_{pulse}(t)$, est simplement proportionnelle à la fonction de réponse, $K(t - t_0)$. Cela confirme bien que la fonction de réponse, $K(t)$, est évidemment spécifique à l'observable considérée, $A(t)$.
## 3.3 Susceptibilité et analyticité.

### 3.3.1 Définition.

Soit une perturbation sinusoïdale de la forme :

$$F(t) = \operatorname{Re} [F_z e^{-i\omega t}] , \qquad t > 0 . \qquad (3.13)$$

Ici, $F_z$ est l'amplitude de l'excitation extérieure et $z = \omega + i\epsilon$ ($\epsilon \to 0^+$), où $i \in \mathbf{C}$ est l'imaginaire pur et $\omega$ est la *pulsation monochromatique* de l'excitation. Donc, la déformation, $A(t)$, s'exprime par :

$$A(t) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) \operatorname{Re} [F_z e^{-i\tau(t-\tau)}] d\tau = \operatorname{Re} [\chi(z) F_z e^{-i\tau t}] = \operatorname{Re} [A_z e^{-i\tau t}] , \quad (3.14)$$

où

$$\chi(z) = \frac{A_z}{F_z} = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) e^{i\tau z} d\tau , \qquad z = \omega + i\epsilon \in \mathbf{C} \qquad (3.15)$$

est la *susceptibilité*, qui est une *fonction analytique* dans le demi-plan supérieur ($\epsilon > 0$) du plan complexe $\mathbf{C}$.

De la définition précédente, nous déduisons la *relation de symétrie* triviale suivante :

$$\chi(-\omega) = \chi^*(\omega) . \qquad (3.15a)$$

Il est souvent commode d'exprimer la susceptibilité en termes de sa partie réelle et de sa partie imaginaire. Nous écrivons :

$$\chi(\omega) = \chi'(\omega) + i\chi''(\omega) . \qquad (3.16)$$

Ici, $\chi'(\omega)$ est la *partie réactive* et $\chi''(\omega)$ est la *partie dissipative*. D'après la définition (3.15), nous aurons, manifestement :

$$\chi'(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) \cos(\omega\tau) d\tau , \qquad (3.17)$$

$$\chi''(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) \sin(\omega\tau) d\tau . \qquad (3.18)$$
Les fonctions $\chi'(\omega)$ et $\chi''(\omega)$ sont donc, respectivement, des transformées cosinus et sinus de la fonction de réponse. La fonction $\chi'(\omega)$ est paire, et $\chi''(\omega)$ est impaire, de la fréquence $\omega$. L'on a trivialement : $\chi''(0) = 0$.

Notons qu'on peut étendre les résultats précédents au cas de plusieurs réponses et forçages et définir une "matrice susceptibilité" :

$$ \chi_{kl}(z) = \frac{\partial A_z^k}{\partial F_z^l} = \int_0^{+\infty} K_{kl}(\tau) e^{iz\tau} d\tau, \qquad z = \omega + i\epsilon \in \mathbf{C}. \quad (3.19) $$

Ici, $A_z^k$ est l'amplitude de la réponse $A_k$ et $F_z^l$ est celle du forçage $F_l$. En termes de fréquence, $\omega$, nous aurons la généralisation suivante :

$$ \chi_{kl}(\omega) = \chi'_{kl}(\omega) + i\chi''_{kl}(\omega), \qquad k, l = 1, \dots, n, \quad (3.20) $$

avec les parties réelle et imaginaire :

$$ \chi'_{kl}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K_{ij}(\tau) \cos(\omega\tau) d\tau, \qquad \chi''_{kl}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K_{ij}(\tau) \sin(\omega\tau) d\tau. \quad (3.21) $$

### 3.3.2 Comportement aux basses fréquences.

Si l'on suppose que la fonction de réponse, $K(\tau)$, décrit très vite aux temps grands, de manière intégrable, alors $\chi(z)$, dans la limite de basses fréquences, c'est-à-dire pour $z \to 0$, est finie et se réduit à :

$$ \chi(0) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) d\tau, \quad (3.22) $$

qui n'est autre que la susceptibilité statique contrôlant la réponse à un forçage extérieur constant. Généralement, nous avons :

$$ \chi_{kl}(0) = \int_{0}^{+\infty} K_{kl}(\tau) d\tau, \qquad k, l = 1, \dots, n. \quad (3.23) $$

Donc, l'on déduit que :

$$ \chi'(0) = \int_{0}^{+\infty} K(\tau) d\tau, \qquad \chi''(0) = 0, \quad (3.24) $$

ou généralement :

$$ \chi_{kl}(0) = \int_{0}^{+\infty} K_{kl}(\tau) d\tau, \qquad \chi''_{kl}(0) = 0, \qquad k, l = 1, \dots, n. \quad (3.25) $$
### 3.3.3 Comportement aux hautes fréquences.

Le comportement aux hautes fréquences, c'est-à-dire $\omega \to +\infty$, de la susceptibilité est relié au comportement de $K(\tau)$ aux temps petits. Notons d'abord que par simple intégration par parties, l'on obtient la formule suivante :

$$ \chi(z) = \frac{iK(z)}{z} - \frac{1}{iz} \int_{0}^{+\infty} K'(\tau) e^{iz\tau} d\tau, \qquad z = \omega + i\epsilon \in \mathbb{C}. \qquad (3.26) $$

Pour des temps petits, on peut remplacer la fonction sous le signe intégrale, $K'(\tau)$, par $K'(0)$, et d'obtenir le comportement asymptotique suivant :

$$ \chi(z) = \frac{iK(0)}{z} - \frac{K'(0)}{z^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^3}\right). \qquad (3.27) $$

Généralement, nous avons :

$$ \chi_{kl}(z) = \frac{iK_{kl}(0)}{z} - \frac{K'_{kl}(0)}{z^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^3}\right), \qquad k, l = 1, \dots, n. \qquad (3.28) $$

Les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité se comportent alors, aux hautes fréquences, comme :

$$ \chi'(\omega) = -\frac{K'(0)}{\omega^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^4}\right), \qquad (3.29) $$

$$ \chi''(\omega) = \frac{K(0)}{\omega} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^3}\right), \qquad (3.30) $$

ou généralement comme :

$$ \chi'_{kl}(\omega) = -\frac{K'_{kl}(0)}{\omega^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^4}\right), \qquad k, l = 1, \dots, n, \qquad (3.31) $$

$$ \chi''_{kl}(\omega) = \frac{K_{kl}(0)}{\omega} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^3}\right), \qquad k, l = 1, \dots, n. \qquad (3.32) $$

### 3.3.4 Relations de Kramers-Kronig.

Définition :
En mathématiques et en physique, les *Relations de Kramers-Kronig* (RKK), nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers [18] et Ralph Kronig [19], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes appelées *susceptibilités*, $\chi(z)$. Plus exactement, ces relations générales s'appliquent aux fonctions qui sont analytiques sur le demi-plan supérieur de la variable complexe, $z$, et qui s'annulent à l'infini, s'est-à-dire à $z \to +\infty$.

Pour démontrer ces relations, on commencera par des rappels de certains rudiments de base sur l'analyse complexe. La fonction, $\chi(z') / (z' - z)$, est analytique dans le demi-plan complexe supérieur, sauf au point $z' = z$, où elle présente un pôle, de résidu, $\chi(z)$. L'application du théorème de Cauchy [20, 21] fournit :

$$ \chi(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{\chi(z')}{z' - z} dz' . \qquad (3.33) $$

Ici, $C$ est un contour d'intégration du plan complexe $C$ englobant le point $z$ (Figure 3.1). Comme $\chi(z)$ tend vers 0 quand $z \to +\infty$, l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand $R \to +\infty$, et en vertu du lemme de Jordan [14, 15], nous avons le résultat :

$$ \chi(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi(z')}{z' - z} dz' , \qquad z = \omega + i\varepsilon . \qquad (3.34) $$

Notons la relation suivante au sens des distributions :

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{x - i\epsilon} = \mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right) + i\pi\delta(x) , \qquad (3.34a) $$

où la notation $\mathcal{P}$ désigne la Partie Principale de Cauchy (Complément Mathématique II).

Par définition, la Partie Principale (ou Valeur Principale) de Cauchy de l'intégrale d'une fonction, $f(x)$, présentant une singularity au point, $x = c$, est :

$$ \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{-\infty}^{c-\epsilon} + \int_{c+\epsilon}^{+\infty} \right) f(x) dx . \qquad (3.35) $$

Donc,

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi(\Omega)}{\omega' - \omega - i\epsilon} d\omega' = \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' + i\pi\chi(\omega) . \qquad (3.36) $$

Soit, par combinaison des relations (3.34) et (3.36) :

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' + \frac{1}{2} \chi(\omega) . \qquad (3.37) $$
Comme $\chi(\omega) = \chi'(\omega) + i\chi''(\omega)$, alors nous avons les RKK désirées :

$$ \chi'(\omega) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega', \qquad (3.38) $$

$$ \chi''(\omega) = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi'(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega'. \qquad (3.39) $$

Par utilisation de l'intégration par la méthode des résidus, les relations précédentes peuvent se réécrire, d'une manière équivalente, comme :

$$ \chi'(\omega) = \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_{0}^{+\infty} \frac{\Omega \chi''(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2} d\Omega, \qquad (3.40) $$

$$ \chi''(\omega) = -\frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_{0}^{+\infty} \frac{\omega \chi'(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2} d\Omega. \qquad (3.41) $$

Généralement, nous avons les RKK généralisées :

$$ \chi'_{kl}(\omega) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi''_{kl}(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega', \qquad k, l = 1, \dots, n, \qquad (3.42) $$

$$ \chi''_{kl}(\omega) = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi'_{kl}(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega', \qquad k, l = 1, \dots, n. \qquad (3.43) $$

Notons que les RKK sont d'une importance capitale, pour les raisons suivantes :

(i) En tant que conséquences de la causalité et de la dissipation, elles sont très générales, indépendamment de la complexité de l'évolution propre à chaque système.

(ii) Les RKK sont liées à la transformation de Hilbert (Complément Mathématique III), appliquées le plus souvent à la permittivité, $\epsilon(\omega)$, des matériaux. Toutefois, dans ce cas, nous avons :

$$ \chi(\omega) = \frac{\epsilon(\omega)}{\epsilon_0} - 1. \qquad (3.44) $$

Ici, $\chi(\omega)$ est la susceptibilité électrique du matériau et $\epsilon_0$ est la permittivité du vide (ou la valeur de la susceptibilité à fréquence infinie). En vertu de la propriété de symétrie (3.15a), nous avons aussi :

$$ \epsilon(-\omega) = \epsilon^*(\omega). \qquad (3.44a) $$

En termes de parties réelle et imaginaire de la permittivité, nous avons, d'après la relation (3.44) et les RKK précédentes :
$$ \epsilon'(\omega) = \epsilon_0 - \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_0^{+\infty} \frac{\epsilon''(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2} \Omega d\Omega, \qquad (3.45) $$

$$ \epsilon''(\omega) = \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_{0}^{+\infty} \omega \frac{\epsilon''(\Omega) - \epsilon_0}{\Omega^2 - \omega^2} d\Omega. \qquad (3.46) $$

(iii) Notons que les RKK sont d'abord connues dans le domaine des Télécommunications et de la Théorie du Contrôle, comme les relations de Bayard-Bode, en hommage aux travaux de Marcel Bayard (1936) et de Hendrik Wade Bode (1945). Selon le théorème de Bayard-Bode, l'amplitude et la phase sont liées dans le cas d'un système à minimum de phase<fnref n="2" />.

(iv) Les RKK exactes sont très utilisées en phénoménologie. En effet, dans certaines situations concrètes, il est possible d'avoir accès expérimentalement à la partie dissipatrice de la susceptibilité, $\chi''(\omega)$. Ces relations permettent alors d'obtenir automatiquement la partie réelle correspondante, $\chi'(\omega)$. Autrement dit, il suffit de connaître une partie de la susceptibilité pour en déduire l'autre, comme il est suggéré par les relations générales (3.40) et (3.41).

Soulignons que les RKK peuvent se généraliser facilement au cas où la susceptibilité, $\chi(z)$, possède $n$ pôles simples situés sur l'axe réel, notés $(\omega_1, ..., \omega_n)$, de résidus, $(R_1, ..., R_n)$. Dans ce cas, le raisonnement précédent peut être reproduit, mais avec un chemin d'intégration $C$ dans le plan complexe contournant par le haut ces singularités (Figure 3.2, comme illustration). Au voisinage de ses pôles, $(\omega_1, ..., \omega_n)$, $\chi(z)$ admet un développement en série de Laurent :

$$ \chi(z) = \sum_{k=1}^{n} \frac{R_k}{z - \omega_k} + \text{Partier égulière}, \qquad z = \omega + i\varepsilon. \qquad (3.47) $$

En effectuant l'intégrale sur les demi-cercles contournant les singularités considérées et en faisant tendre après les rayons de ces demi-cercles vers zéro, l'on aboutit à [13] :

$$ \chi(\omega) = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' + \frac{1}{2} \left( \chi(\omega) - \sum_{k=1}^{n} \frac{R_k}{\omega - \omega_k} \right). \qquad (3.48) $$

<footnote n="2">²En traitement du signal et en théorie du contrôle, un système linéaire ne dépendant pas du temps, est dit à minimum de phase si ce système et son inverse sont stables et causaux. On parle aussi du filtre à minimum de phase.</footnote>
Dans cette formule, le signe négatif devant les résidus provient du sens anti-trigonométrique de l'intégration sur les demi-cercles contournant les pôles correspondants, $(\omega_1, ..., \omega_n)$. En décomposant chaque résidu en ses parties réelle et imaginaire, $R_k = R'_k + iR'_k$, l'on obtient finalement la généralisation des RKK [13] :

$$ \chi'(\omega) + \sum_{k=1}^{n} \frac{R'_{k}}{\omega - \omega_{k}} = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega', \quad (3.49) $$

$$ \chi''(\omega) + \sum_{k=1}^{n} \frac{R''_{k}}{\omega - \omega_{k}} = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi'(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega'. \quad (3.50) $$

### Règles de somme :

L'on suppose que la fonction de réponse, $K(\tau)$, satisfait les hypothèses énoncées précédemment, pour garantir la validité des développements asymptotiques de $\chi'(\omega)$ et $\chi''(\omega)$ quand $\omega \to +\infty$, et en outre, $K(\tau)$ décroit suffisamment rapidement en temps, de sorte que $\chi(\omega)$ soit bien analytique jusqu'au l'axe réel.

(i) À partir du développement (3.30) de $\chi''(\omega)$, l'on obtient la première règle de somme [13] :

$$ \lim_{\omega \to +\infty} \omega \chi''(\omega) = K(0) . \quad (3.51) $$

(ii) Par ailleurs, la deuxième RKK (3.39) donne [13] :

$$ \lim_{\omega \to +\infty} \omega \chi''(\omega) = - \lim_{\omega \to +\infty} \left( \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\omega \chi''(\Omega)}{\omega' - \omega} d\omega' \right), \quad (3.52) $$

soit,

$$ \lim_{\omega \to +\infty} \omega \chi''(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \chi''(\omega') d\omega', \quad (3.53) $$

ou encore :

$$ \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \chi''(\omega) d\omega = K(0) . \quad (3.54) $$

De telle identité est une deuxième règle de somme.

(iii) Maintenant, il est possible d'obtenir d'autres règles de somme pour $\chi'(\omega)$ et $\chi''(\omega)$. En particulier, l'on peut montrer, par des raisonnements similaires, les règles de somme suivantes du premier moment pour $\chi''(\omega)$ [13] :

$$ \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \chi''(\omega) - \frac{K(0)}{\omega} \right] \omega d\omega = K'(0) , \quad (3.55) $$
et du second moment pour $\chi'(\omega)$ :

$$ -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \chi'(\omega) + \frac{K'(0)}{\omega^2} \right] \omega^2 d\omega = K''(0) . \qquad (3.56) $$

Notons qu'en vertu des comportements asymptotiques (3.29) et (3.30) des parties réelle et imaginaire de la susceptibilité, il est facile de montrer que les intégrants $\omega [(\chi''(\omega) - \hat{\chi}(0)/\omega)]$ et $\omega^2 [\chi'(\omega) - \hat{\chi}'(0)/\omega^2]$ des intégrales précédentes décroissent, pour $\omega \to +\infty$, en $1/\omega^2$ au moins; ce qui garantit bien la convergence des intégrales dans les membres de gauche des expressions (3.55) et (3.56).

Signalons, enfin, qu'on peut déduire des règles de somme des moments d'ordres supérieurs de la susceptibilité.

## 3.4 Cas des perturbations inhomogènes.

Dans la discussion des propriétés de la théorie de la réponse linéaire précédentes, nous avons ignoré intentionnellement une éventuelle dépendance spatiale de la perturbation appliquée, $F(t)$. Comme nous verrons ci-dessus, les propriétés précédentes s'étendent aisément au cas d'une perturbation inhomogène, notée, $F(\vec{r}, t)$, où $\vec{r}$ est le point représentatif de l'espace euclidien.

Comme hypothèse, l'on suppose que le système considéré est d'extention spatiale infinie, de sorte que les effets de bord sur ses propriétés en volume soient négligeables. Ces propriétés peuvent être caractérisées de manière intrinsèque par une procédure de type limite thermodynamique où les bords du système sont renvoyés à l'infini.

Pour étudier le comportement de la déformation d'une quantité physique spatiotemporelle arbitraire, $A(\vec{r}, t)$, l'on introduit comme avant une fonction de réponse variable dans le temps et dans l'espace, notée $K(\vec{r}, t; \vec{r}', t')$, et d'écrire :

$$ A(\vec{r}, t) = \int_{-\infty}^{t} dt' \int d\vec{r}' K(\vec{r}', t; \vec{r}'t') F(\vec{r}', t') . \qquad (3.57) $$

Notons que les propriétés de $K$ sont naturellement intrinsèques au système dans l'état initial, $\mathcal{E}_0$. Ainsi, si $\mathcal{E}_0$ est stationnaire et invariant par translation spatiale, la fonction
de réponse K est une fonction de la différence des arguments (temporels et spatiaux),
c'est-à-dire :

$$
K(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = K(\vec{r} - \vec{r}', t - t') . \qquad (3.58)
$$

Dans ces conditions, la relation (3.1) se généralise comme suit :

$$
A(\vec{r}, t) = \int_{-\infty}^{t} dt' \int d\vec{r}' K(\vec{r} - \vec{r}', t-t') F(\vec{r}', t') . \quad (3.59)
$$

Comme avant, la fonction de réponse est une dérivée fonctionnelle de la quantité physique considéré (Complément Mathématique I), c'est-à-dire :

$$
K(\vec{r} - \vec{r}', t - t') = \frac{\delta A(\vec{r}, t)}{\delta F(\vec{r}', t')} . \qquad (3.60)
$$

L'on suppose, maintenant, que la perturbation est une onde plane monochromatique
de la forme :

$$
F(\vec{r}', t') = \operatorname{Re} \left[ F_{\vec{k}, \omega} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}' - \omega t')} \right] . \quad (3.61)
$$

Ici, $\vec{k}$ désigne le vecteur d'onde de l'onde monochromatique. De manière analogue au cas homogène, l'observable, $A(\vec{r}, t)$, peut s'exprimer comme :

$$
A(\vec{r}, t) = \operatorname{Re} \left[ \chi(\vec{k}, \omega) F_{\vec{k}, \omega} e^{-i\omega t} \right] = \operatorname{Re} \left[ A_{\vec{k}, \omega} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} \right], \quad (3.62)
$$

avec la *susceptibilité* :

$$
\chi(\vec{k}, \omega) = \frac{A_{\vec{k}, \omega}}{F_{\vec{k}, \omega}} = \int_{0}^{+\infty} d\tau \int d\vec{r}' K(\vec{r}', \tau) e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r}' - \omega\tau)} . \quad (3.63)
$$

La réponse en A a donc également une structure spatio-temporelle d'onde plane mono-
chromatique comme le forçage, avec le même vecteur d'onde, $\vec{k}$, et la même fréquence
complexe, z.

La susceptibilité possède donc une partie réelle et une partie homogène, c'est-à-dire :

$$
\chi(\vec{k}, \omega) = \chi'(\vec{k}, \omega) + i\chi''(\vec{k}, \omega), \quad (3.64)
$$

avec

$$
\chi'(\vec{k}, \omega) = \int_{0}^{+\infty} d\tau \int d\vec{r} K(\vec{r}, \tau) \cos(\omega\tau - \vec{k} \cdot \vec{r}) , \quad (3.65)
$$
$$ \chi'(\vec{k}, \omega) = \int_{0}^{+\infty} d\tau \int d\vec{r} K(\vec{r}, \tau) \sin(\omega\tau - \vec{k} \cdot \vec{r}) . \quad (3.66) $$

En particulier, les RKK s'écrivent, maintenant, comme :

$$ \chi'(\vec{k}, \omega) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi''(\vec{k}, \omega')}{\omega' - \omega} d\omega', \quad (3.67) $$

$$ \chi''(\vec{k}, \omega) = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi'(\vec{k}, \omega')}{\omega' - \omega} d\omega' . \quad (3.68) $$

Signalons qu'il existe des règles de somme analogues à celles du cas homogène que nous n'écrivons pas ici.

Notons qu'on peut aussi définir une "matrice susceptibilité", d'éléments, $\chi_{kl}(\vec{k}, \omega)$, en relation avec une suite d'observables inhomogènes, $\{A_i(\vec{r},t)\}$, en présence de forçages inhomogènes associés, $\{F_i(\vec{r},t)\}$. Dans ce cas, les éléments de la "matrice fonction de réponse", $\{K_{kl}(\vec{r},t)\}$, sont tels que :

$$ K_{kl}(\vec{r} - \vec{r}', t - t') = \frac{\delta A_k(\vec{r}', t)}{\delta F_l(\vec{r}', t')} . \quad (3.69) $$

## 3.5 Exemples d'applications.

### 3.5.1 Oscillateurs linéaires.

**Oscillateur libre :**

Comme exemple, considérons une masse $m$ accrochée à un ressort (horizontal ou vertical), de constante de raideur, $k = m\omega_0^2$, et est soumise à l'action d'une force extérieure arbitraire, $F(t)$. L'on suppose que le mouvement de la masse est simplement due à la force extérieure ; cela veut dire que les conditions initiales : $x(0) = 0$ et $\dot{x}(0) = 0$ doivent être imposées. L'élongation du ressort, $x(t)$, satisfait l'équation différentielle suivante :

$$ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0, \quad (3.70) $$

dont la solution est :

$$ x(t) = \frac{1}{m\omega_0} \int_{-\infty}^{t} \sin[\omega_0(t-t')] F(t') dt', \quad (3.71) $$
avec $F(t') = 0$, pour $t' < 0$. Ici, $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ est la pulsation propre de l'oscillateur. Donc, la fonction de réponse associée est simplement :

$$K_1(t) = \frac{1}{m\omega_0} \sin(\omega_0 t) , \quad \text{pour } t > 0, \qquad (3.72)$$

qui est bien une fonction bornée par la constante $1/m\omega_0$, c'est-à-dire $|K_1(t)| \le (m\omega_0)^{-1}$.

Si la force extérieure, $F(t)$, est un pulse d'amplitude $F_0$, nous aurons :

$$x_{\text{pulse}}(t) = \frac{F_0}{m\omega_0} \sin(\omega_0 t) . \qquad (3.73)$$

La force extérieure, en forme de pulse, donne alors naissance à une position périodique, de période $T_0 = 2\pi/\omega_0$.

Nous montrons facilement que la susceptibilité associée aux oscillations libres est telle que :

$$\chi_1(z) = \frac{1}{m\omega_0^2 - z^2} . \qquad (3.74)$$

Cette susceptibilité est une fonction méromorphe et admet deux pôles opposés, pour $z_{\pm} = \pm\omega_0$, situés tous les deux sur l'axe réel.

Les parties réelle et imaginaire de cette susceptibilité sont les suivantes :

$$\chi'_1(\omega) = \frac{1}{m\omega_0^2 - \omega^2}, \qquad (3.75)$$

$$\chi''_1(\omega) = 0. \qquad (3.76)$$

Dans la limite de basse fréquence, c'est-à-dire pour $z \to 0$, nous vérifions aisément que :

$$\chi(0) = \int_{0}^{+\infty} K_{1}(\tau) d\tau = \frac{1}{m\omega_{0}^{2}}. \qquad (3.77)$$

L'on retrouve bien la limite à $z \to 0$, relation (3.22).

Il est facile de montrer que le comportement asymptotique, pour $z \to \infty$, est la suivante :

$$\chi_1(z) = -\frac{m^{-1}}{z^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^4}\right). \qquad (3.78)$$
Cela est conforme avec le comportement asymptotique général (3.27) des susceptibilités, avec $K_1(0) = 0$ et $K'_1(0) = m^{-1}$.

Notons, enfin, que les RKK sont aussi vérifiées. Cela témoigne de l'exactitude de l'expression trouvée (3.74) de la susceptibilité, $\chi_1(z)$.

### Oscillateur en régime sous-amorti :

Supposons que l'oscillateur est maintenant forcé mais faiblement amorti (régime sous-amorti). Sa position, $x(t)$, est solution de l'équation différentielle du second ordre suivante :

$$ \ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}, \qquad (3.79) $$

modulo les conditions initiales : $x(0) = 0$ et $\dot{x}(0) = 0$. Ici, $\lambda = \alpha/2m$ est le coefficient d'amortissement, où $\alpha > 0$ est le coefficient de frottement. La solution de l'équation du mouvement précédente est :

$$ x(t) = \frac{1}{m\omega_1} \int_{-\infty}^{t} e^{-\lambda(t-t')} \sin[\omega_1(t-t')] F(t') dt', \qquad (3.80) $$

avec $F(t') = 0$, pour $t' < 0$. La première pulsation caractéristique, $\omega_1$, est donnée par :

$$ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}, \qquad \omega_0 > \lambda. \qquad (3.80a) $$

Dans ce cas, nous trouvons que la fonction de réponse est :

$$ K_2(t) = \frac{1}{m\omega_1} e^{-\lambda t} \sin(\omega_1 t), \qquad \text{pour } t > 0, \qquad (3.80b) $$

qui est bien une fonction bornée, c'est-à-dire $K_2(t) \le (m\omega_1)^{-1} e^{-\lambda t}$. En particulier, à $t \to +\infty$, $K_2(t) \sim (m\omega_1)^{-1} e^{-t/t_d}$, avec le temps de dissipation, $t_d \equiv \lambda^{-1}$. En fait, ce temps caractéristique s'interprète comme le temps au-delà duquel l'oscillateur est complètement amorti.

Pour une force extérieure, $F(t)$, en forme de pulse, d'amplitude $F_0$, la position devient :

$$ x_{pulse}(t) = \frac{F_0}{m\omega_1} e^{-\lambda t} \sin(\omega_1 t). \qquad (3.81) $$

La force extérieure en pulse impose alors des oscillations amorties (quasi-périodicité), avec une quasi-période $T = 2\pi/\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$. Cette dernière n'est rien d'autres que le temps nécessaire pour que l'oscillation passe par trois positions d'équilibre successives.
Nous montrons que, dans ce régime, la susceptibilité associée est :

$$ \chi_2(z) = \frac{1}{m} \frac{1}{(\omega_1 - i\lambda + z)(\omega_1 + i\lambda - z)}, \qquad \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}. \qquad (3.82) $$

Cette susceptibilité est alors une fonction méromorphe, possèvant deux pôles distincts : $z_+ = \omega_1 + i\lambda$ et $z_- = -\omega_1 + i\lambda$. Ces pôles sont situés, respectivement, dans le premier et le deuxième cadrants du plan complexe, à la même distance $\lambda$ de l'axe réel.

Les parties réelle et imaginaire de cette susceptibilité sont alors :

$$ \chi'_2(\omega) = \frac{1}{m} \frac{\omega_1^2 - \omega^2 + \lambda^2}{[(\omega_1 + \omega)^2 + \lambda^2] [((\omega_1 - \omega)^2 + \lambda^2)]}, \qquad (3.83) $$

$$ \chi''_2(\omega) = \frac{2\omega\lambda}{m \left[ (\omega_1 + \omega)^2 + \lambda^2 \right] \left[ (\omega_1 - \omega)^2 + \lambda^2 \right]} \qquad (3.84) $$

Dans la limite de basse fréquence, c'est-à-dire pour $z \to 0$, nous vérifions aisément que :

$$ \chi_2(0) = \int_0^{+\infty} K_2(\tau) d\tau = \frac{1}{m} \frac{1}{(\omega_1^2 + \lambda^2)}. \qquad (3.85) $$

L'on retrouve bien la limite à $z \to 0$, relation (3.22).

Il est facile de montrer que le comportement asymptotique, pour $z \to \infty$, est tel que :

$$ \chi_2(z) = -\frac{1}{m} \frac{1}{z^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^3}\right). \qquad (3.86) $$

Ce comportement est compatible avec le comporement général (3.27), avec $K_2(0) = 0$ et $K'_2(0) = 1/m$.

Notons, enfin, que les RKK sont aussi vérifiées. Cela témoigne de l'exactitude de l'expression trouvée (3.82) de la susceptibilité, $\chi_2(z)$.

### Oscillateur en régime sur-amorti :

Pour un oscillateur forcé et fortement amorti (régime sur-amorti), la position est telle que :

$$ x(t) = \frac{1}{m\omega_2} \int_{-\infty}^{t} e^{-\lambda(t-t')} \sinh[\omega_2(t-t')] F(t') dt', \qquad (3.87) $$
avec $F(t') = 0$, pour $t' < 0$. Ici, la deuxième pulsation caractéristique, $\omega_2$, est telle que :

$$ \omega_2 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}, \qquad \omega_0 < \lambda. \qquad (3.87a) $$

Dans ce cas, la fonction de réponse est :

$$ K_3(t) = \frac{1}{m\omega_2} e^{-\lambda t} \sinh(\omega_2 t), \qquad \text{pour } t > 0. \qquad (3.87b) $$

Cette fonction est bornée et décroit, pour $t \to +\infty$, comme $K_3(t) \sim (2m\omega_2)^{-1} e^{-(\lambda-\omega_2)t}$. Noter que $\lambda > \omega_2$.

En présence d'une force extérieure en forme de pulse, d'amplitude $F_0$, la position devient :

$$ x_{pulse}(t) = \frac{F_0}{m\omega_2} e^{-\lambda t} \sinh(\omega_2 t) . \qquad (3.88) $$

Dans ce cas, le mouvement est complètement apériodique.

Nous montrons aisément que la susceptibilité associée est la suivante :

$$ \chi_3(z) = -\frac{1}{m} \frac{1}{(z + i(\omega_2 - \lambda))(z - i(\omega_2 - \lambda))}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}. \qquad (3.89) $$

Cette susceptibilité est une fonction mémorophe, possèdent deux pôles opposés : $z'_+ = (\lambda - \omega_2)i$ et $z'_- = (\omega_2 - \lambda)i$. Le premier pôle est situé sur le demi-axe imaginaire positif, alors que le second, sur le demi-axe imaginaire négatif, puisque $\lambda > \omega_2$.

Les parties réelle et imaginaire de cette susceptibilité sont les suivantes :

$$ \chi'_3(\omega) = -\frac{1}{m} \frac{1}{2\lambda^2 - 2\lambda\omega_2 + (\omega^2 - \omega_0^2)}, \qquad (3.90) $$

$$ \chi''_3(\omega) = 0. \qquad (3.91) $$

La susceptibilité est bien une fonction réelle de la fréquence.

Dans la limite de basse fréquence, c'est-à-dire pour $z \to 0$, nous vérifions aisément que :

$$ \chi_3(0) = \int_0^{+\infty} K_3(\tau) d\tau = -\frac{1}{m(\lambda + \omega_2)^2}, \qquad (3.92) $$
en conformité avec la limite à $z \to 0$, relation (3.22).

Il est facile de vérifier que le comportement asymptotique de la susceptibilité, pour $z \to \infty$, est :

$$ \chi_3(z) = -\frac{1}{m} \frac{1}{z^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^3}\right). \qquad (3.93) $$

Ce comportement est compatible avec le comporement général (3.27), avec $K_3(0) = 0$ et $K'_3(0) = 1/m$.

Soulignons, enfin, que les RKK sont aussi vérifiées. Cela témoigne de l'exactitude de l'expression trouvée (3.89) de la susceptibilité, $\chi_3(z)$.

### Oscillateur en régime intermédiaire :

Il existe un troisième rigime, appelé *régime critique*, correspondant à la condition intermédiare : $\omega_0 = \lambda (\omega_1 = 0 \text{ ou } \omega_2 = 0)$. Dans ce cas, la position est simplement :

$$ x(t) = \frac{1}{m} \int_{-\infty}^{t} (t-t') e^{-\lambda(t-t')} F(t') dt', \qquad (3.94) $$

avec $F(t') = 0$, pour $t' < 0$. La fonction de réponse associée s'écrit :

$$ K_4(t) = \frac{1}{m} te^{-\lambda t}, \quad \text{pour } t > 0. \qquad (3.94a) $$

Cette fonction de réponse s'annule à $t = 0$ et $t = -\infty$ et passe par un extrémum unique (un minimum) pour $t = \lambda^{-1}$.

Pour une sollicitation extérieure en forme de pulse, d'amplitude $F_0$, la position est :

$$ x_{pulse}(t) = \frac{F_0}{m} te^{-\lambda t}. \qquad (3.95) $$

La position est aussi *apériodique*, dans le régime critique.

Nous trouvons que la susceptibilité correspondant à ce régime est :

$$ \chi_4(z) = -\frac{1}{m} \frac{1}{z^2 + \lambda^2}. \qquad (3.96) $$

Cette susceptibilité est une fonction méromorphe, possédant un pôle double pour $z = i\lambda$, situé sur le demi-axe imaginaire positif, et elle est purement réelle.

Notons que la susceptibilité correspondante, $\chi_4(z)$, s'obtient directement de $\chi_2(z)$, pour $\omega_1 = 0$ ou de $\chi_3(z)$, pour $\omega_2 = 0$, ainsi que toutes ses propriétés de limites.
### 3.5.2 Admittance d'un circuit RLC.

Soit un circuit RLC formé par une résistance électrique, $R$, un condensateur de capacité $C$ et une bobine d'inductance $L$, montés en série (Figure 3.3). Ce circuit est alimenté par un générateur de tension alternative, $U(t)$. Cette dernière donne naissance naturellement à un courant alternatif parcourant ce circuit, $I(t)$, lié à la charge électrique, $Q(t)$, du condensateur par la relation usuelle : $I(t) = dQ(t)/dt$. Les tensions aux bornes de la résistance, de la bobine inductive et de la capacité sont, repectivement : $RI$, $LdI/dt$ et $Q/C$. La loi des mailles s'exprime par l'équation différentielle du second ordre et avec second membre suivante :

$$L \frac{d^2 Q}{dt^2} + R \frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = U(t). \qquad (3.97)$$

Dans la situation considérée ici, les conditions initiales sont renvoyées à $t = -\infty$, et s'écrivent : $Q(-\infty) = 0$ et $I(-\infty) = 0$. La tension appliquée, $U(t)$, est également nulle en $t = -\infty$. Lorsque cette tension est monochromatique, c'est-à-dire de la forme : $U(t) = U_\omega e^{-i\omega t}$, la susceptibilité, $\chi(\omega)$, contrôlant la réponse en courant est directement calculable sans connaître la forme explicite de la fonction de réponse, $K(\tau)$. On montrera que cette susceptibilité satisfait bien les propriétés d'analyticité générales.

**Expression de la susceptibilité.** Vu la linéarité des équations de l'électrocinétique, l'intensité, $I(t)$, oscille avec la même fréquence, $\omega$, que la tension, c'est-à-dire l'on peut écrire : $I(t) = I_\omega e^{-i\omega t}$. En insérant cette forme monochromatique dans l'équation différentielle (3.97), l'on trouve le résultat bien connu :

$$I_{\omega} = \frac{U_{\omega}}{Z(\omega)}, \qquad (3.98)$$

où $Z(\omega) = R - i(L\omega - 1/C\omega)$ est l'impédance du circuit. La susceptibilité est donc simplement égale à l'admittance, ou l'inverse de l'impédance, soit :

$$\chi(z) = \frac{iCz}{LCz^2 + iRCz - 1}, \qquad z = \omega + i\epsilon. \qquad (3.99)$$

La susceptibilité, $\chi(z)$, est alors une fraction rationnelle.
Il est aisé de montrer que cette susceptibilité satisfait bien les limites générales (3.22) et (3.27), respectivement, pour $z \to 0$ et $z \to +\infty$.

On posera par la suite : $\delta = 4LC - R^2C^2$. La susceptibilité calculée possède alors deux pôles, $z_1$ et $z_2$, pour $\delta > 0$, deux pôles, $\tilde{z}_1$ et $\tilde{z}_2$, pour $\delta < 0$, et un seul pôle, $z_0$, pour $\delta = 0$. Ces pôles sont les suivants (Figure 3.4) :

$$z_1 = -\frac{\sqrt{\delta} + iRC}{2LC}, \quad z_2 = \frac{\sqrt{\delta} - iRC}{2LC}, \quad \text{pour } \delta > 0, \quad (3.99a)$$

$$\tilde{z}_1 = -i \frac{RC - \sqrt{-\delta}}{2LC}, \quad \tilde{z}_2 = -i \frac{RC + \sqrt{-\delta}}{2LC}, \quad \text{pour } \delta < 0, \quad (3.99b)$$

$$z_0 = -i \frac{2}{RC} = -i \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \text{pour } \delta = 0. \quad (3.99c)$$

Comme $RC > \sqrt{-\delta}$, lorsque $\delta < 0$, les deux pôles de $\chi(\omega)$, $\tilde{z}_1$ et $\tilde{z}_2$, sont toujours situés dans le demi-plan complexe inférieur du plan complexe. Par conséquent, $\chi$ est bien une fonction analytique dans $C^+$. Par ailleurs, les pôles de $\chi(\omega)$ correspondent manifestement aux modes propres du circuit RLC.

Comme la fraction rationnelle (3.99) est analytique dans $C^+$, axe réel compris, les RKK sont nécessairement satisfaites.

De l'expression (3.99) de la susceptibilité, $\chi(\omega)$, l'on extrait ses parties réelle et imaginaire :

$$\chi'(\omega) = \frac{R}{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}, \quad (3.100a)$$

$$\chi''(\omega) = \frac{L\omega - 1/C\omega}{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}. \quad (3.100b)$$

Notons, sans démonstration, que ces expressions vérifient bien les RKK.

**Fonction de réponse.** La fonction de réponse, $K(\tau)$, s'obtient aisément en effectuant la transformée cosinus inverse de $\chi'(\omega)$, ou d'une manière équivalente, la transformée sinus inverse de $\chi''(\omega)$, et l'obtient les résulats suivants [13] :

$$K(\tau) = \frac{e^{-R\tau/2L}}{L\sqrt{\delta}} \left[ \sqrt{\delta} \cos \left( \frac{\sqrt{\delta}}{2LC}\tau \right) - RC \sin \left( \frac{\sqrt{\delta}}{2LC}\tau \right) \right], \quad \text{pour } \delta > 0, \quad (3.101a)$$
$$ K(\tau) = \frac{e^{-R\tau/2L}}{L\sqrt{-\delta}} \left[ \sqrt{-\delta} \cosh\left(\frac{\sqrt{-\delta}}{2LC}\tau\right) - RC \sinh\left(\frac{\sqrt{-\delta}}{2LC}\tau\right) \right], \quad \text{pour } \delta < 0. \tag{3.101b} $$

$$ K(\tau) = \frac{e^{-R\tau/2L}}{L}, \quad \text{pour } \delta = 0. \tag{3.101c} $$

Pour $\tau = 0$, ces expressions se réduisent à $K(0) = 1/L$, conformément à la signification physique de $K(0)$, et à l'interprétation de la bobine (L) décrivant l'inertie électrique dans l'analogie électromécanique habituelle. Ainsi, le comportement aux grandes fréquences, $\chi(\omega) \sim i/L\omega$, obtenu à partir de la formule (3.99), est bien en accord avec le comportement asymptotique général (3.27).

Notons que dans tous les cas de figures avec la condition que $R \neq 0$, la fonction de réponse, $K(\tau)$, tend vers 0 exponentiallement, c'est-à-dire $K(\tau) \sim e^{-R\tau/2L}$, quand $\tau \to +\infty$.

La vertu de cet exemple illustre bien la relation générale entre la dissipation et les propriétés d'analyticité de la susceptibilité. En effet, lorsque $R \neq 0$, la fonction de réponse, $K(\tau)$, décroît exponentiellement aux grands temps. La présence de dissipation (effet Joule) pour $R \neq 0$, se manifeste également par la nécessité de fournir constamment de l'énergie au circuit pour maintenir des oscillations du courant sans amortissement.

Ainsi, la puissance fournie par le forçage, moyennée sur une période $T = 2\pi/\omega$, est telle que :

$$ \bar{P}(\omega) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} U(t) I(t) dt, \tag{3.102} $$

qui vaut explicitement :

$$ \bar{P}(\omega) = \chi'(\omega) |U_{\omega}|^2. \tag{3.103} $$

Remarquer que cette puissance est bien positive, comme attendu, car la partie réelle de la susceptibilité, $\chi'(\omega)$, est positive, d'après la formule (3.100a).

Lorsque $R = 0$ (absence de dissipation), alors $\delta = 4LC > 0$, et les expressions (3.99) et (3.101a) se réduisent, respectivement, à :

$$ \chi(z) = \frac{iCz}{LCz^2 - 1}, \quad z = \omega + i\varepsilon. \tag{3.104} $$
$$K(\tau) = \frac{1}{L} \cos\left(\frac{\tau}{\sqrt{LC}}\right), \qquad (3.105)$$

La fonction de réponse ne tend donc plus vers zéro à l'infini, mais reste bornée par la constante $L^{-1}$. Dans ce cas, la susceptibilité n'est plus analytique sur tout l'axe réel $\mathbf{R}$, car elle est singulière en $z = \pm\omega_0$, avec $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.

### 3.5.3 Absorption et dispersion dans un diélectrique.

Soit un milieu diélectrique, soumis à un champ électrique extérieur :

$$\vec{E}_{ext}(\vec{r}, t) = \mathrm{Re} \left[ \vec{E}_{\omega}(\vec{r}) e^{-i\omega t} \right] \qquad (3.106)$$

oscillant avec une fréquence, $\omega$, et dont la longueur d'onde est très grande devant la taille de l'échantillon, de sorte que tout phénomène de propagation ne puisse avoir lieu. Avec les hypothèses habituelles d'équilibre local, la polarisation d'origine microscopique, $\vec{P}(\vec{r}, t)$, est simplement proportionnelle au champ électrique total, $\vec{E}(\vec{r}, t)$, qui est la somme de $\vec{E}_{ext}(\vec{r}, t)$ et du champ électrique créé par les charges de polarisation.

La liéarité des équations de Maxwell fait que la polarisation induite et le champ électrique local oscillent à la même fréquence que le champ extérieur. Le champ électrique total est noté comme suit :

$$\vec{E}(\vec{r}, t) = \mathrm{Re} \left[ \vec{E}_{\omega}(\vec{r}) e^{-i\omega t} \right]. \qquad (3.107)$$

Alors, la relation constitutive résultant de la proportionnalité entre le champ électrique et la polarisation électrique induite, s'écrit :

$$\vec{P}(\vec{r}, t) = \epsilon_0 \mathrm{Re} \left[ (\epsilon(\omega) - 1) \vec{E}_{\omega}(\vec{r}) e^{-i\omega t} \right]. \qquad (3.108)$$

Ici, $\epsilon(\omega)$ désigne la permittivité diélectrique relative complexe, qui est intrinsèque au milieu. Cette permittivité dépend, en plus de la fréquence $\omega$, de la densité de l'échantillon, supposée homogène, et naturellement de la température. Dans la relation (3.108), au voisinage d'un point arbitraire d'espace, $\vec{r}$, le champ $\mathrm{Re}[\vec{E}_{\omega}(\vec{r}) e^{-i\omega t}]$ joue le rôle d'un
forçage extérieur, uniforme à l'échelle mésoscopique de ce voisinage. Par conséquent la quantité :

$$ \chi(\omega) = \epsilon(\omega) - 1 \qquad (3.109) $$

est bien une susceptibilité au sens général du terme (*susceptibilité électrique*). Souvent, la constante diélectrique, $\epsilon(\omega)$, est un nombre complexe et écrivons :

$$ \epsilon(\omega) = \epsilon'(\omega) + i\epsilon''(\omega) . \qquad (3.110) $$

Nous avons donc les relations générales :

$$ \chi'(\omega) = \epsilon'(\omega) - 1, \qquad \chi''(\omega) = \epsilon''(\omega) . \qquad (3.111) $$

Les parties réelle et imaginaire de la permittivité complexe du milieu, $\epsilon'(\omega)$ et $\epsilon''(\omega)$, possèdent les propriétés générales des susceptibilités, esquissées ci-dessus. Dans certaines conditions expérimentales, il est possible d'avoir accès à $\epsilon''(\omega)$, sans pour autant avoir un moyen direct de mesurer $\epsilon'(\omega)$. En effet, $\epsilon''(\omega)$ est reliée à la dissipation, et donc à l'absorption au sein du matériau. Ainsi, une mesure de la longueur de pénétration, $\delta(\omega)$, d'une onde électromagnétique, de fréquence $\omega$, permet d'accéder à la partie imaginaire, $\epsilon''(\omega)$. Cette longueur de pénétration est proportionnelle à $c/\omega\epsilon''(\omega)$, où c est la vitesse de l'onde.

**Remarque.** Notons qu'une détermination expérimentale suffisamment précise de $\epsilon''(\omega)$ donne, en principe, accès à $\epsilon'(\omega)$, en appliquant la première RKK, c'est-à-dire :

$$ \epsilon'(\omega) = 1 + \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon''(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' . \qquad (3.112) $$

**Calcul de la susceptibilité par le modèle de l'électron élastiquement lié.** On considère un milieu diélectrique constitué d'atomes de densité en nombre, $n$. Il est supposé que les électrons liés forment un gaz très peu dense et soumis à un rayonnement de fréquence, $\omega$. La modélisation la plus simple fait appel à la notion d'atome de Lorenz décrivant l'interaction entre un atome et du rayonnement par une approche mécaniste. Ce modèle de Lorenz, également appelé modèle de l'électron élastiquement lié, consiste à supposer que les électrons gravitant autour du noyau atomique, sont soumis à trois forces :
(i) une force élastique exercée par le noyau sur l'électron, $m\omega_0^2\vec{r}$, où m est la masse commune des électrons et $\omega_0$ est une fréquence caractéristique;

(ii) une force sinusoïdale due au champ électrique appliqué, $\vec{E}$;

(iii) une force de freinage ou de frottement, $-m\Gamma d\vec{r}/dt$, où $m\Gamma$ est le coefficient de friction ; $\Gamma$ étant le taux de relaxation.

L'on désigne par $\vec{r}$ le vecteur-position d'un électron lié, par $\vec{p} = e\vec{r}$, son moment dipolaire, et par $\vec{P} = ne\vec{r}$, la polarisation électrique totale par unité de volume des électrons liés. Ici, $e$ est leur charge commune. L'équation du mouvement d'un électron lié (le champ de cavité étant ignoré) est :

$$ \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} - \Gamma \frac{d \vec{r}}{dt} + \omega_0^2 \vec{r} = \frac{e}{m} \vec{E}. \qquad (3.113) $$

Cherchons une solution (en notation complexe) de la forme : $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 e^{-i\omega t}$, et écrivons : $\vec{E}(t) = \vec{E}_0 e^{-i\omega t}$. Nous obtenons alors :

$$ (-\omega^2 + 2\lambda i\omega + \omega_0^2) \vec{r}_0 = \frac{e}{m} \vec{E}_0. \qquad (3.114) $$

Donc, l'amplitude $\vec{r}_0$ est telle que :

$$ \vec{r}_0 = \frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\Gamma\omega} \vec{E}_0, \qquad (3.115) $$

soit,

$$ \vec{P}_0 = n \frac{e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\Gamma\omega} \vec{E}_0 = \epsilon_0 \chi(\omega) \vec{E}_0. \qquad (3.116) $$

Par identification, nous trouvons l'expression suivante de la susceptibilité :

$$ \chi(\omega) = \chi_0 \frac{\omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\Gamma\omega}, \qquad (3.117) $$

avec la susceptibilité statique :

$$ \chi_0 = \chi(0) = \frac{ne^2}{m\epsilon_0\omega_0^2}. \qquad (3.117a) $$

La susceptibilité a donc deux pôles distincts :

$$ z_1 = \frac{1}{2} \left( -\sqrt{4\omega_0^2 - \Gamma^2} + i\Gamma \right), \quad z_2 = \frac{1}{2} \left( \sqrt{4\omega_0^2 - \Gamma^2} + i\Gamma \right). \qquad (3.118) $$
Ces deux pôles (symétriques par rapport à l'axe vertical) de $\chi(\omega)$ sont toujours dans le demi-plan complexe supérieur. Par conséquent, $\chi(z)$ est bien une fonction analytique dans $\mathbf{C}^{-}$.

Donc, les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité électrique s'expriment par :

$$ \chi'(\omega) = \chi_0 \frac{\omega_0^2 (\omega_0^2 - \omega^2)}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2 \omega^2}, \qquad (3.119) $$

$$ \chi''(\omega) = -\chi_0 \Gamma \omega_0^2 \frac{\omega}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2 \omega^2}. \qquad (3.120) $$

Comme il se doit, $\chi'(\omega)$ est une fonction paire de $\omega$ et $\chi''(\omega)$ est une fonction impaire de cette même variable. Nous avons $\chi'(\omega) > 0$, pour $\omega < \omega_0$, et $\chi'(\omega) < 0$, pour $\omega > \omega_0$ ou $\omega < -\omega_0$. Pour $\omega_0 > \Gamma$, $\chi'(\omega)$ présente un minimum à $\omega = 0$, puis deux maximums, pour $\omega = \pm\sqrt{\omega_0^2 - \Gamma\omega_0}$, s'annule à $\omega = \pm\omega_0$, puis passe par deux minimums, pour $\omega = \pm\sqrt{\omega_0^2 + \Gamma\omega_0}$. En revanche, pour $\omega_0 < \Gamma$, $\chi'(\omega)$ présente un maximum à $\omega = 0$, s'annule à $\omega = \omega_0$, puis passe par deux maximums, pour $\omega = \pm\sqrt{\omega_0^2 + \Gamma\omega_0}$.

Nous avons, en plus, les comportements aux basses et hautes fréquences suivants :

$$ \chi'(\omega) = \chi_0 + \mathcal{O}(\omega^2), \qquad \omega \to 0, \qquad (3.121) $$

$$ \chi'(\omega) = -\frac{\omega_0^2}{\omega^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^4}\right), \qquad \omega \to +\infty. \qquad (3.122) $$

Notons que le dernier comportement à haute fréquence est conforme avec le comportement général (3.29), avec :

$$ \hat{\chi}'(0) = \omega_0^2. \qquad (3.123a) $$

Notons également que :

$$ \chi_0 = \chi(0) = \int_0^{+\infty} K(\tau) d\tau. \qquad (3.123b) $$

Nous avons $\chi''(\omega) = 0$, pour $\omega = 0$, $\chi''(\omega) < 0$, pour $\omega > 0$ et $\chi''(\omega) > 0$, pour $\omega < 0$. En plus, la fonction, $\chi''(\omega)$, présente un maximum, pour :

$$ \omega_{\max} = \frac{2\omega_0^2 - \Gamma^2 + \sqrt{16\omega_0^4 - 4\omega_0^2\Gamma^2 + \Gamma^4}}{6}, \qquad (3.124a) $$

et un minimum, pour :

$$ \omega_{\min} = \frac{2\omega_0^2 - \Gamma^2 - \sqrt{16\omega_0^4 - 4\omega_0^2\Gamma^2 + \Gamma^4}}{6}. \qquad (3.124b) $$
Nous avons les comportements extrêmes suivants :

$$ \chi''(\omega) = -\chi_0 \Gamma \frac{\omega}{\omega_0^2} + \mathcal{O}(\omega^2), \quad \omega \to 0, \qquad (3.125) $$

$$ \chi''(\omega) = -\chi_0 \Gamma \omega_0^2 \frac{1}{\omega^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^5}\right), \quad \omega \to +\infty. \qquad (3.126) $$

En comparaison avec le comportement général à haute fréquence (3.30), on doit avoir $K(0) = 0$.

Notons, enfin, que nous pouvons aussi déterminer la fonction de réponse, $K(\tau)$, à partir de l'expression (3.117) de la susceptibilité. ■
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[16] G. F. Roach, *Green's Functions*, Cambridge University Press, 1982.

[17] G. Barton, *Elements of Green's Functions and Propagation : Potentials, Diffusion, and Waves*, Oxford University Press, 1989.

[18] H. A. Kramers, *La diffusion de la Lumière par les Atomes*, dans *Transactions of Volta Centenary Congress*, Volume 2, 1927, pp. 545-557.

[19] R. de L. Kronig, *On the theory of the dispersion of X-rays*, Journal of the Optical Society of America **12**, 547 (1926).

[20] H. Cartan, *Théorie Élémentaire des Fonctions Analytiques d'une ou plusieurs Variables Complexes*, Hermann, 1961.

[21] W. Rudin, *Analyse Réelle et Complexe*, Masson, 1975.
# Chapitre 4

## Réponse linéaire des systèmes
thermodynamiques hors de
l'équilibre.

Ce chapitre est destiné à une description détaillée de la théorie de réponse linéaire des systèmes thermodynamiques hors de l'équilibre. En particulier, nous esquissons la notion importante de susceptibilité généralisée et la formule de Kubo, qui est d'une importance capitale, en particulier, pour le calcul des coefficients de transport.

### 4.1 Relations fondamentales.

Plusieurs systèmes diélectriques, électroniques, mécaniques, acoustiques, thermodynamiques,... ou effets de résonance magnétique microscopiques, des lasers, les effets Josephson dans les semi-conducteurs, les excitations dans diverses substances, la diffusion de neutrons ou de lumière, les collisions des atomes ou de neutrons ou entre particules élémentaires,... peuvent être décrits comme la réaction du système à une perturabation extérieure [1 – 14]. Le résultat est alors une fonction du temps *t*, dépendant de l'amplitude de la perturabation à des instants antérieurs *t'* < *t*. Dans le régime linéaire, cette dépendance est caractérisée par une fonction de réponse, $K(t - t')$. C'est cette fonction
que nous cherchons à caractériser.

Considérons alors un système physique, initialement à l'équilibre thermodynamique, et désignons par $\hat{H}_0$, son Hamiltonien non perturbé (indépendant du temps). En fait, ce dernier tient compte des effets des degrés de liberté internes (valeur du spin des électrons et des noyaux atomiques, mouvement relatif des électrons autour du noyau, vibrations et rotations des atomes dans les molécules polyatomiques...) et des degrés de liberté de translation (opérateurs position et impulsion des centres de masse des molécules).

À l'équilibre, l'opérateur densité correspondant sera désigné par $\hat{D}_0$. Pour un système en équilibre avec un thermostat à la température T, $\hat{D}_0$ est l'opérateur densité canonique [9 – 12] :

$$ \hat{D}_0 = \frac{1}{Z_c} e^{-\beta \hat{H}_0}, \quad \beta = \frac{1}{k_B T}, \qquad (4.1) $$

où

$$ Z_c(\beta) = \mathrm{Tr} \left( e^{-\beta \hat{H}_0} \right) \qquad (4.1a) $$

est la fonction de partition canonique.

Au contact d'un réservoir, l'opérateur densité grand canonique s'obtient du canonique en faisant simplement le changement : $\hat{H}_0 \rightarrow \hat{H}_0 - \mu \hat{N}$, où $\mu$ est le potentiel chimique et $\hat{N}$ est l'opérateur nombre de particules.

La valeur moyenne à l'équilibre d'une observable quelconque indépendante du temps, $\hat{X}$, est simplement :

$$ \langle \hat{X} \rangle_0 = \mathrm{Tr} \left( \hat{X} e^{-\beta \hat{H}_0} \right) . \qquad (4.1b) $$

À partir d'un instant initial $t_0$ (que l'on fera tendre vers $-\infty$), on isole le système du thermostat et on lui applique un champ extérieur, $a(t)$, supposé uniforme dans l'espace. La perturbation est décrite par le Hamiltonien supplémentaire suivant :

$$ \hat{H}_I(t) = -a(t) \hat{A}, \qquad (4.2) $$

où $\hat{A}$ est un opérateur hermicien, indépendant du temps, associé à la grandeur conjuguée du champ temporel, $a(t)$. L'on suppose que ce champ s'annule à l'infini d'une manière exponentielle.
En guise d'exemples, $a(t)$ représente le champ magnétique (unidirectionnel) appliqué et $\hat{A}$ est simplement l'opérateur aimantation, et pour un milieu diélectrique, le champ, $a(t)$, est le champ électrique (unidirectionnel) appliqué et $\hat{A}$ est simplement l'opérateur polarisation.

Le Hamiltonien du système total perturbé est alors :

$$ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{H}_I(t) . \qquad (4.3) $$

Pour $t > t_0$, le système est isolé. Son opérateur densité, $\hat{D}(t)$, obéit à l'équation de Liouville-von Neumann [3–5] :

$$ \frac{d\hat{D}}{dt} = -i\mathcal{L}\hat{D}, \qquad (4.4) $$

où $\mathcal{L}$ désigne l'Opérateur de Liouville associé au Hamiltonien total, $\hat{H}$, et est défini par $[1, 2]$ :

$$ \mathcal{L}\hat{X} = \frac{1}{\hbar}[\hat{H}, \hat{X}] . \qquad (4.4a) $$

Ici, $\hat{X}$ est un opérateur arbitraire agissant sur l'espace de Hilbert, $\mathcal{E}_H$. Nous nous proposons de déterminer, au premier ordre en perturbations, la solution de l'équation (4.4) satisfaisant à la condition initiale : $\hat{D}(t_0) = \hat{D}_0$.

Notons que l'opérateur de Liouville est la somme de deux termes :

$$ \mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_1 . \qquad (4.5) $$

Cette décomposition correspond à la décomposition (4.3) du Hamiltonien, $\hat{H}(t)$. De même, l'opérateur densité perturbé peut s'écrire sous la forme suivante :

$$ \hat{D}(t) = \hat{D}_0 + \delta\hat{D}(t) . \qquad (4.6) $$

Ici, $\delta\hat{D}(t)$ représente la déformation de l'opérateur densité, sous l'action du champ extérieur, $a(t)$, supposé faible. En substituant les expressions (4.5) et (4.6) de $\mathcal{L}$ et de $\hat{D}(t)$ dans l'équation (4.4), il vient :

$$ \frac{d\hat{D}(t)}{dt} = -i\mathcal{L}_1\hat{D}_0 - i\mathcal{L}_0\delta\hat{D}(t) - i\mathcal{L}_1\delta\hat{D}(t) . \qquad (4.7) $$
Le dernier terme du second membre de l'équation (4.7) est d'ordre supérieur. Pour obtenir les corrections au premier ordre à $\hat{D}_0$, nous avons donc à résoudre l'équation d'évolution :

$$ \frac{d[\delta \hat{D}(t)]}{dt} = -i\mathcal{L}_1 \hat{D}_0 - i\mathcal{L}_0 \delta \hat{D}(t), \qquad (4.8) $$

avec la condition initiale : $\delta \hat{D}(t_0) = \hat{O}$, où $\hat{O}$ est l'opérateur nul.

L'équation différentielle du premier ordre précédente se résoud aisément par la méthode de la variation de la constante. Pour cela, posons $\delta \hat{D}(t) = e^{-i\mathcal{L}_0 t} \hat{F}(t)$. Nous trouvons, d'après l'équation (4.8) :

$$ \frac{d\hat{F}(t)}{dt} = -ie^{i\mathcal{L}_0 t}\hat{D}_0. \qquad (4.9) $$

La solution de cette équation différentielle correspondant à la condition initiale : $\hat{F}(t_0) = \hat{O}$, est telle que :

$$ \hat{F}(t) = -i \int_{t_0}^{t} e^{i\mathcal{L}_0 t'} (\mathcal{L}_1 \hat{D}_0) dt'. \qquad (4.10) $$

On en déduit l'expression de la déformation de l'opérateur densité, $\delta \hat{D}(t)$ :

$$ \delta \hat{D}(t) = -i \int_{t_0}^{t} e^{-i\mathcal{L}_0(t-t')} (\mathcal{L}_1 \hat{D}_0) dt'. \qquad (4.11) $$

Notons que la simplification majeure provenant de l'hypothèse de linéarité est la présence de l'opérateur de Liouville non perturbé, $\mathcal{L}_0$, dans l'exposant de l'opérateur évolution. Dans la relation précédente, la notation $\mathcal{L}_1 \hat{D}_0$ signifie :

$$ \mathcal{L}_1 \hat{D}_0 = \frac{1}{\hbar} [\hat{H}_1, \hat{D}_0]. \qquad (4.12) $$

La formule (4.11) se réécrit donc comme :

$$ \delta \hat{D}(t) = -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} e^{-i\mathcal{L}_0(t-t')} [\hat{H}_I(t'), \hat{D}_0] dt', \qquad (4.13) $$

soit, en tenant compte de l'expression (4.2) du Hamiltonien de perturbation, $\hat{H}_I(t)$ :

$$ \delta \hat{D}(t) = \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} e^{-i\mathcal{L}_0(t-t')} [\hat{A}, \hat{D}_0] a(t') dt'. \qquad (4.14) $$

Notons que dans l'expression (4.14), l'observable, $\hat{A}$, écrit en représentation de Schrödinger, ne dépend pas du temps. Par ailleurs, l'opérateur de Liouville, $\mathcal{L}_0$, n'agit que sur
$\hat{A}$ et non sur $\hat{D}_0$, puisque $\hat{D}_0$ et $\hat{H}_0$ commutent. Nous avons donc :

$$ \delta \hat{D}(t) = \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} [\hat{A}(t' - t), \hat{D}_0] a(t') dt'. \qquad (4.15) $$

Ici,

$$ \hat{A}(t) = e^{i\mathcal{L}_{0t}} \hat{A} = e^{i\hat{H}_{0t}/\hbar} \hat{A} e^{-i\hat{H}_{0t}/\hbar} \qquad (4.15a) $$

désigne l'opérateur $\hat{A}$ en représentation de Heisenberg par rapport au Hamiltonien non perturbé, $\hat{H}_0$. Rappelons que $e^{-i\hat{H}_{0t}/\hbar}$ est l'opérateur évolution.

Après passage à la limite $t_0 \to -\infty$, il vient que :

$$ \delta \hat{D}(t) = \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} [\hat{A}(t' - t), \hat{D}_0] a(t') dt'. \qquad (4.16) $$

La déformation, $\delta \hat{D}(t)$, de l'opérateur densité temporel, est alors une fonctionnelle linéaire du champ perturbant, $a(t)$.

## 4.2 Fonction de réponse.

### 4.2.1 Cas d'une perturbation homogène.

À présent, nous nous intéressons à l'effet de la perturbation décrite par $\hat{H}_I(t)$ sur l'évolution dans le temps de la valeur moyenne hors de l'équilibre, $\langle \hat{B}(t) \rangle_a$, d'une grandeur représentée par un opérateur hermiticien, $\hat{B}$, agissant sur l'espace de Hilbert, $\mathcal{E}_H$. Cette valeur moyenne s'écrit, en représentation de Schrödinger, sous la forme :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a = \mathrm{Tr} [\hat{D}(t) \hat{B}] . \qquad (4.17) $$

Nous obtenons alors, en utilisant la décomposition (4.6) de l'opérateur densité :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a = \langle \hat{B} \rangle_0 + \mathrm{Tr} [\delta \hat{D}(t) \hat{B}] . \qquad (4.18) $$

Ici, $\langle B \rangle_0 = \mathrm{Tr} [\hat{D}_0 \hat{B}]$ désigne la valeur moyenne de $\hat{B}$ à l'équilibre, c'est-à-dire à l'instant initial, $t_0 = -\infty$.
Dans ces conditions, l'on déduit de la formule (4.6) pour $\delta\hat{D}(t)$ l'expression au premier ordre en perturbations de $\langle \hat{B}(t) \rangle_a$ :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a - \langle \hat{B} \rangle_0 = \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} \mathrm{Tr} \left( \left[ \hat{A}(t' - t), \hat{D}_0 \right] \hat{B} \right) a(t') \, dt'. \quad (4.19) $$

Il vient, en utilisant l'invariance de la trace par permutation circulaire des opérateurs, que :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a - \langle \hat{B} \rangle_0 = \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} \mathrm{Tr} \left( \left[ \hat{B}, \hat{A}(t' - t) \right] \hat{D}_0 \right) a(t') \, dt'. \quad (4.20) $$

Notons que la quantité, $\mathrm{Tr} \left( \left[ \hat{B}, \hat{A}(t' - t) \right] \hat{D}_0 \right)$, n'est autre que la valeur moyenne à l'équilibre, $\langle \left[ \hat{B}, \hat{A}(t' - t) \right] \rangle_0$, et l'on écrit :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a - \langle \hat{B} \rangle_0 = \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} \langle \left[ \hat{B}, \hat{A}(t' - t) \right] \rangle_0 a(t') \, dt' = \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} \langle \left[ \hat{B}(t), \hat{A}(t') \right] \rangle_0 a(t') \, dt'. \quad (4.21) $$

La réponse, $\langle \hat{B}(t) \rangle_a$, au premier ordre en perturbations est alors de la forme :

$$ \langle \hat{B}(t) \rangle_a - \langle \hat{B} \rangle_0 \equiv \Delta B(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} K_{BA}(t-t') a(t') \, dt'. \quad (4.22) $$

Notons que, à cause de la propriété de causalité, $K_{BA}(t - t') = 0$, pour $t < t'$. La formule (4.21) montre que la fonction de réponse linéaire s'exprime à l'aide d'une valeur moyenne à l'équilibre d'un commutateur de variables dynamiques du système non perturbé. L'une de ces variables, $\hat{A}$, représente la grandeur conjuguée du champ appliqué, l'autre, $\hat{B}$, la grandeur dont on mesure la valeur moyenne hors de l'équilibre.

L'expression définitive obtenue pour la fonction de réponse est alors donnée par :

$$ K_{BA}(t - t') = \theta(t - t') \frac{i}{\hbar} \langle \left[ \hat{B}(t), \hat{A}(t') \right] \rangle_0, \quad (4.23) $$

où $\theta(t)$ désigne la fonction saut de Heaviside, ou encore si l'on pose $t' = 0$ :

$$ K_{BA}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{B}(t), \hat{A}] \rangle_0 = \theta(t) \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{B}, \hat{A}(-t)] \rangle_0. \quad (4.24) $$

Notons que les valeurs moyennes figurant dans les formules (4.23) et (4.24) sont les valeurs moyennes à l'équilibre, calculées à l'aide de l'opérateur densité initial, $\hat{D}_0$. Si l'un ou l'autre
des opérateurs $\hat{A}$ ou $\hat{B}$ commutent avec le Hamiltonien non pertubé, $\hat{H}_0$, alors la fonction de réponse linéaire s'annule. Dans les relations (4.23) et (4.24), la notation $\hat{B}(t)$ signifie :

$$ \hat{B}(t) = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar} \hat{B} e^{-i\hat{H}_0 t/\hbar} . \qquad (4.24a) $$

C'est l'opérateur $\hat{B}$ en représentation de Heisenberg.

Ainsi, la fonction de réponse, $K_{BA}(t)$, définit une réponse linéaire (proportionnalité avec la perturbation $\hat{A}$), mais l'hypothèse de causalité nécessiste :

$$ K_{BA}(t) = 0, \qquad t < 0. \qquad (4.25) $$

Nous avons supposé que la fonction de réponse, $K_{BA}(t)$, est une fonction bornée de la variable $t$, auquel cas :

$$ |K_{BA}(t)| < C, \qquad \text{pour tout } t, \qquad (4.26) $$

où $C$ est une constante. Cette hypothèse mathématique exprime le fait que le système réagit d'une manière douce à l'action de la perturbation extérieure.

### 4.2.2 Matrice fonction de réponse.

Supposons, maintenant, que le Hamiltonien d'interaction, $\hat{H}_I(t)$, a la forme générale suivante :

$$ \hat{H}_I(t) = -\sum_l a_l(t) \hat{A}_l, \qquad (4.27) $$

avec les paramètres perturbants, $\{a_l(t)\}$, et les opérateurs hermiciens conjugués, $\{\hat{A}_l\}$.

Pour le modèle magnétique XYZ, par exemple, les paramètres $(a_x, a_y, a_z)$ ne sont rien d'autres que les trois composantes $(B_x, B_y, B_z)$ du champ magnétique appliqué, $\vec{B}$, et les trois opérateurs $(\hat{M}_x, \hat{M}_y, \hat{M}_z)$ sont simplement les trois composantes de l'opérateur moment magnétique $\hat{M}$.

Sans démonstration, nous donnons simplement les expressions des éléments de matrice, $\{K_{kl}(t-t')\}$, de la matrice fonction de réponse, $K$ :

$$ K_{kl}(t-t') = \theta(t-t') \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{A}_k(t), \hat{A}_l(t')] \rangle_0, \qquad (4.28) $$
avec la notation :

$$ \hat{A}_k(t) = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar} \hat{A}_k e^{-i\hat{H}_0 t/\hbar} . \qquad (4.28a) $$

Notons que si les observables, {$\hat{A}_l$}, commutent entre elles, alors les fonctions de réponse associées, {$K_{kl}$}, sont toutes nulles.

### 4.2.3 Cas d'une perturbation inhomogène.

Soit un système soumis à une perturbation inhomogène, $a(\vec{r}, t)$, où $\vec{r}$ est le vecteur-position du point représentatif dans l'espace euclidien, $\mathbf{R}^d$. Dans ces conditions, le Hamiltonien du système s'écrit :

$$ \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}_I(t), \qquad (4.29) $$

avec le Hamiltonien perturbé :

$$ \hat{H}_I(t) = - \int_{\mathbf{R}^d} a(\vec{r}, t) \hat{A}(\vec{r}) d\vec{r} . \qquad (4.30) $$

Ici, $\hat{A}(\vec{r})$ est un opérateur hermicien local dans l'espace.

Sans détails, nous rappelons simplement l'expression de la fonction de réponse associée :

$$ K_{BA}(\vec{r} - \vec{r}', t - t') = \theta(t - t') \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{B}(\vec{r}, t), \hat{A}(\vec{r}', t')] \rangle_0, \qquad (4.31) $$

qui est une généralisation de celle donnée par la définition (4.23).

Maintenant, si l'on dispose de plusieurs paramètres perturbants, les éléments de matrice de la matrice fonction de réponse sont tels que :

$$ K_{kl}(\vec{r} - \vec{r}', t - t') = \theta(t - t') \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{A}_k(\vec{r}, t), \hat{A}_l(\vec{r}', t')] \rangle_0, \qquad (4.32) $$

### 4.2.4 Forme spectrale de la fonction de réponse.

Le but est d'écrire une expression explicite de la fonction de réponse, en termes de vecteurs propres et de valeurs propres du Hamiltonien non perturbé, $\hat{H}_0$. Pour cela, nous désignons par {$|\phi_n\rangle$} une base d'états propres de $\hat{H}_0$, d'énergies {$E_n$} (les niveaux d'énergie
sont supposés non dégénérés). C'est aussi une base d'états propres de $\hat{D}_0$, puisque $\hat{D}_0$ et $\hat{H}_0$ commutent entre eux. Nous pouvons donc réécrire la formule (4.24), sous la forme :

$$K_{BA}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar} \sum_n \langle \phi_n | [\hat{B}(t), \hat{A}] | \hat{D}_0 | \phi_n \rangle, \quad (4.33)$$

soit, en désignant par $p_n = \langle \phi_n | \hat{D}_0 | \phi_n \rangle = e^{-\beta E_n} / Z_c$, la population à l'équilibre de l'état $|\phi_n\rangle$ :

$$K_{BA}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar} \sum_{m,n} p_n (B_{nm}A_{mn}e^{i\omega_{nm}t} - B_{mn}A_{nm}e^{i\omega_{mn}t}), \quad (4.34)$$

avec les intervalles de fréquences :

$$\omega_{nm} = \frac{E_n - E_m}{\hbar}, \qquad \omega_{mn} = \frac{E_m - E_n}{\hbar}, \qquad (4.34a)$$

et les éléments de matrice :

$$A_{nm} = \langle \phi_n | \hat{A} | \phi_m \rangle, \quad A_{mn} = \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle, \quad B_{nm} = \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle, \quad B_{mn} = \langle \phi_m | \hat{B} | \phi_n \rangle. \quad (4.34b)$$

Nous pouvons aussi réécrire, en intervertissant les indices $n$ et $m$ dans la deuxième somme au second membre de l'équation (4.34) :

$$K_{BA}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_n} - e^{-\beta E_m}) \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle e^{i(E_n - E_m)t/\hbar}, \quad (4.35)$$

avec la fonction de partition canonique $Z_c = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}_0})$ et la notation $\beta = 1/k_B T$.

Ainsi, la fonction de réponse apparaît comme une superposition d'exponentielles imaginaires oscillant aux fréquences angulaires de Bohr du système non perturbé. Pour un système possédant un nombre fini de degrés de liberté, le spectre de $\hat{H}_0$ est discret, et il en est de même du spectre de Fourier de $K_{BA}(t)$. La fonction de réponse est alors une somme dénombrable de fonctions périodiques. Une telle fonction ne tend pas vers zéro lorsque $t \to \infty$ : un système fini possède donc en ce sens une « mémoire » infiniment longue.

Il est facile de réaliser qu'à partir de sa définition, la fonction de réponse, $K_{BA}(t)$, est bien réelle, pour tout instant $t$, c'est-à-dire :

$$K_{BA}(t) = [K_{BA}(t)]^* . \quad (4.36)$$
Pour montrer ce résultat, notons d'abord que $\langle\phi_m|\hat{A}|\phi_n\rangle^* = \langle\phi_n|\hat{A}|\phi_m\rangle$ et $\langle\phi_n|\hat{B}|\phi_m\rangle^* = \langle\phi_m|\hat{B}|\phi_n\rangle$, à cause du caractère hermercien des opérateurs, $\hat{A}$ et $\hat{B}$. La démonstration se fait aisément, en prenant le complexe conjugué de la relation (4.35), en tenant compte des égalités précédentes et en interchangeant, ensuite, les indices $m$ et $n$.

La généralisation de l'expression explicite (4.35) au cas de plusieurs paramètres perturbants est immédiate, et nous avons :

$$K_{kl}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_n} - e^{-\beta E_m}) \langle\phi_m|\hat{A}_l|\phi_n\rangle \langle\phi_n|\hat{A}_k|\phi_m\rangle e^{i(E_n-E_m)t/\hbar}. \quad (4.37)$$

### 4.2.5 Parties réactive et absorptive de la fonction de réponse.

Il est possible de scinder la définition (4.23) de la fonction de réponse en deux parties : une partie réactive, $K'_{BA}(t)$, et une partie absorptive, $K''_{BA}(t)$, en écrivant :

$$K_{BA}(t-t') = K'_{BA}(t-t') + iK''_{BA}(t-t') . \quad (4.38)$$

Et conformément à la relation (4.23), nous avons :

$$K'_{BA}(t-t') = \frac{i}{2\hbar}\epsilon(t-t') \langle[\hat{B}(t), \hat{A}(t')]\rangle_0, \quad (4.39)$$

$$K''_{BA}(t-t') = \frac{1}{2\hbar} \langle [\hat{B}(t), \hat{A}(t')] \rangle_0, \quad (4.40)$$

avec la notation $\epsilon(t-t') = -1 + 2\theta(t-t')$. Notons que $K'_{BA}(t-t')$ est purement réelle et $K''_{BA}(t-t')$ est imaginaire pure.

Incidentemment, nous remarquons que $K_{BA}(t-t')$ peut s'écrire seulement en termes de $K''_{BA}(t-t')$ ou $K'_{BA}(t-t')$ :

$$K_{BA}(t-t') = 2i\theta(t-t') K''_{BA}(t-t') = 2\theta(t-t') K'_{BA}(t-t') . \quad (4.41)$$

Dans le cas de plusieurs paramètres perturbants, nous écrivons :

$$K_{kl}(t-t') = K'_{kl}(t-t') + iK''_{kl}(t-t') , \quad (4.42)$$

avec

$$K'_{kl}(t-t') = \frac{i}{2\hbar}\epsilon(t-t') \langle[\hat{A}_k(t), \hat{A}_l(t')]\rangle_0, \quad (4.43)$$
$$K_{kl}''(t-t') = \frac{1}{2\hbar} \langle [\hat{A}_k(t), \hat{A}_l(t')] \rangle_0 . \quad (4.44)$$

Notons que, par définition, nous avons les propriétés suivantes :

$$K'_{BA}(t) = K'_{AB}(t), \quad (4.45)$$

$$K''_{BA}(t) = -K''_{AB}(t). \quad (4.46)$$

En fait, $K'_{BA}(t)$ et $K''_{BA}(t)$ sont définies aussi par :

$$K'_{BA}(t) = \frac{1}{2} [K_{BA}(t) + K_{AB}(-t)], \quad (4.47)$$

$$K''_{BA}(t) = -\frac{i}{2} [K_{BA}(t) - K_{AB}(-t)]. \quad (4.48)$$

## 4.3 Susceptibilité généralisée.

### 4.3.1 Définition.

Notons que la relation (4.24) prendra une simple forme si l'on utilise les transformations de Fourier. Pour cela, il est utile d'associer à $K_{BA}(t)$, une fonction, $\chi_{BA}(z)$, de la variable complexe $z = z' + iz''$, avec $z'' > 0$. Cette fonction est définie par l'intégrale (de Lebesgue) suivante :

$$\chi_{BA}(z) = \int_{0}^{+\infty} K_{BA}(t) e^{izt} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} K_{BA}(t) e^{izt} dt. \quad (4.49)$$

Comme $|K_{BA}(t)|$ est supposée bornée, l'intégrale précédente converge uniformément dans tout domaine du plan complexe avec $z'' \ge \varepsilon > 0$, et définit donc une fonction analytique, $\chi_{BA}(z)$, de la variable $z$ dans ce domaine.

Réellement, en posant $z = \omega + i\varepsilon$, nous pouvons écrire :

$$\chi_{BA}(\omega + i\varepsilon) = \int_{-\infty}^{+\infty} K_{BA}(t) e^{i(\omega + i\varepsilon)t} dt. \quad (4.50)$$

Ceci montre que pour une valeur donnée de $\varepsilon$, $\chi_{BA}(\omega + i\varepsilon)$ peut être considéré comme la transformée de Fourier en $\omega$ de la fonction $K_{BA}(t) e^{-\varepsilon t}$. En passant à la limite $\varepsilon \to 0$, nous pouvons définir une fonction (ou dans des cas spéciaux, une distribution), $\chi_{BA}(\omega)$ :

$$\chi_{BA}(\omega) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \chi_{BA}(\omega + i\varepsilon), \quad (4.51)$$
qui est une valeur au bord de la fonction analytique, $\chi_{BA}(z)$, sur l'axe réel.

Inversement, nous écrivons :

$$K_{BA}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{BA}(\omega) e^{-i\omega t} d\omega . \qquad (4.52)$$

Avec la même notation, la transformée de Fourier, $\alpha(\omega)$, de la fonction ou champ pertur-
bant, $a(t)$, est définie par :

$$\alpha(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} a(t) e^{-\epsilon t} e^{i\omega t} dt, \quad \epsilon \to 0^+. \qquad (4.53)$$

Par inversion de Fourier, la fonction, $a(t)$, est telle que :

$$a(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \alpha(\omega) e^{\epsilon t} e^{-i\omega t} d\omega, \quad \epsilon \to 0^+. \qquad (4.54)$$

De la même manière, la fonction écart, $\Delta B(t) \equiv \langle \hat{B}(t) \rangle_a - \langle \hat{B} \rangle_0$, peut être exprimée en termes de sa densité spectrale :

$$\Delta B(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \beta(\omega) e^{\epsilon t} e^{-i\omega t} d\omega, \quad \epsilon \to 0^+, \qquad (4.55)$$

où la fonction $\beta(\omega)$ est donnée par :

$$\beta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta B(t) e^{\epsilon t} e^{i\omega t} d\omega, \quad \epsilon \to 0^+. \qquad (4.56)$$

Des relations précédentes, nous déduisons la relation fondamentale suivante :

$$\beta(\omega) = \chi_{BA}(\omega) \alpha(\omega) . \qquad (4.57)$$

Alors, la quantité, $\chi_{BA}(\omega)$, peut être considérée comme une *susceptibilité généralisée*, et
qui est donnée par l'expression (4.50).

À titre d'exemple, si le paramètre perturabant, $a(t)$, varie *lentement* dans le temps,
nous pouvons remplacer la susceptibilité, $\chi_{BA}(\omega)$, par sa valeur statique, $\chi_{BA}(0)$, et
d'après les relations précédentes, nous aurons la forme approchée suivante de la quantité,
$\Delta B(t)$ :

$$\Delta B(t) \approx \frac{1}{2\pi} \chi_{BA}(0) a(t) . \qquad (4.58)$$
L'écart de valeur moyenne, $\Delta B(t)$, au temps $t$, suit alors la perturbation qui l'a créé, avec aucun effet mémoire. Notons que l'expression particulière précédente est équivalente à choisir une fonction de réponse de forme locale : $K_{BA}(t) = \chi_{BA}(0) \delta(t)$.

Maintenant, nous décomposons la susceptibilité en parties réelle et imaginaire :

$$ \chi_{BA}(\omega) = \chi'_{BA}(\omega) + i\chi''_{BA}(\omega) . \qquad (4.59) $$

Nous avons aussi des relations semblables aux relations (3.17) et (3.18) du Chapitre 3 :

$$ \chi'_{BA}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K_{BA}(\tau) \cos(\omega\tau) d\tau, \qquad (4.60) $$

$$ \chi''_{BA}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K_{BA}(\tau) \sin(\omega\tau) d\tau . \qquad (4.61) $$

Les propriétés de parité suivantes en émergent immédiatement :

$$ \chi'_{BA}(\omega) = \chi'_{BA}(-\omega) , \qquad (4.62) $$

$$ \chi''_{BA}(\omega) = -\chi''_{BA}(-\omega) . \qquad (4.63) $$

### 4.3.2 Relations de Kramers-Kronig.

Soulignons, enfin, que les parties réelle et impaginaire de la susceptibilité, $\chi'_{BA}(\omega)$ et $\chi''_{BA}(\omega)$, satisfont bien les *Relations de Kramers-Kronig* (3.40) et (3.41), démontrées au Chapitre 3, que nous rappelons ici :

$$ \chi'_{BA}(\omega) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi''_{BA}(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' , \qquad (4.64) $$

$$ \chi''_{BA}(\omega) = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi'_{BA}(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' , \qquad (4.65) $$

où l'opération $\mathcal{P}$ désigne la *Partie Principale de Cauchy* (Complément Mathématique II).

### 4.3.3 Comportements aux hautes fréquences.

D'après les résultats du Chapitre 3, les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité se comportent, aux hautes fréquences, comme :
$$ \chi'_{BA}(\omega) = - \left. \frac{dK_{BA}(t)}{dt} \right|_{t=0} \frac{1}{\omega^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^4}\right), \qquad (4.66) $$

$$ \chi''_{BA}(\omega) = \frac{K_{BA}(0)}{\omega} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega^3}\right). \qquad (4.67) $$

Signalons, enfin, qu'on peut déduire des règles de somme des moments d'ordres supérieurs de la susceptibilité.

### 4.3.4 Représentation spectrale de la susceptibilité.

Nous montrons aisément que la tranformée de Fourier de l'expression explicite (4.35) de la fonction de réponse, $K_{BA}(t)$, est donnée par :

$$ \chi_{BA}(\omega) = \frac{1}{Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_m} - e^{-\beta E_n}) \frac{\langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle}{\hbar\omega - (E_m - E_n) + i\epsilon}. \qquad (4.68) $$

C'est la relation qui existe entre les excitations du système et la fonction de réponse. De cette relation, nous déduissons aisément les parties réelle et imaginaire, $\chi'_{BA}(\omega)$ et $\chi''_{BA}(\omega)$, de la susceptibilité.

## 4.4 Parties réactive et absorptive de la susceptibilité.

### 4.4.1 Expressions.

Désigons par $\widehat{K}'_{BA}(\omega)$ et $\widehat{K}''_{BA}(\omega)$, les susceptibilités associées aux fonctions de réponse, $K'_{BA}(t)$ et $K''_{BA}(t)$, définies, respectivement, par les relations (4.39) et (4.40). Nous écrivons :

$$ \widehat{K}'_{BA}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} K'_{BA}(t) e^{-\epsilon|t|} e^{i\omega t} dt, \quad \epsilon \to 0, \qquad (4.69) $$

$$ \widehat{K}''_{BA}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} K''_{BA}(t) e^{-\epsilon|t|} e^{i\omega t} dt, \quad \epsilon \to 0. \qquad (4.70) $$

Nous avons donc, en vertu des égalités (4.47) et (4.48), les relations :

$$ \widehat{K}'_{BA}(\omega) = \frac{1}{2} [\chi_{BA}(\omega) + \chi_{AB}(-\omega)], \qquad (4.71) $$
$$ \hat{K}''_{BA}(\omega) = -\frac{i}{2} [\chi_{BA}(\omega) - \chi_{AB}(-\omega)] , \quad (4.72) $$

où $\chi_{BA}(\omega)$ et $\chi_{AB}(\omega)$ sont, respectivement, les susceptibilités des fonctions de réponse, $K_{BA}(t)$ et $K_{AB}(t)$. Les relations précédentes suggèrent que :

$$ \mathrm{Re} \left[ \hat{K}'_{BA}(\omega) \right] = \frac{1}{2} \left[ \chi'_{BA}(\omega) + \chi'_{AB}(\omega) \right] , \quad (4.73) $$

$$ \mathrm{Im} \left[ \hat{K}'_{BA}(\omega) \right] = \frac{1}{2} \left[ \chi'_{BA}(\omega) - \chi'_{AB}(\omega) \right] , \quad (4.74) $$

$$ \mathrm{Re} \left[ \hat{K}''_{BA}(\omega) \right] = \frac{1}{2} \left[ \chi''_{BA}(\omega) + \chi''_{AB}(\omega) \right] , \quad (4.75) $$

$$ \mathrm{Im} \left[ \hat{K}''_{BA}(\omega) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\chi'_{BA}(\omega) + \chi'_{AB}(\omega) \right] . \quad (4.76) $$

Nous avons utilisé les propriétés de parité déjà rencontrées : $\chi'_{ij}(\omega) = \chi'_{ij}(-\omega)$ et $\chi''_{ij}(\omega) = -\chi''_{ij}(-\omega)$, pour $i, j = A, B$.

Incidentally, après les relations précédentes pour $\hat{A} = \hat{B}$, nous remarquons que $\hat{K}'_{AA}(\omega)$ et $\hat{K}''_{AA}(\omega)$ sont toutes les deux réelles. Dans ce cas, nous avons :

$$ \hat{K}'_{AA}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K'_{AA}(t) e^{-\epsilon t} \cos(\omega t) dt, \quad \epsilon \to 0, \quad (4.77) $$

$$ \hat{K}''_{AA}(\omega) = \int_{0}^{+\infty} K''_{AA}(t) e^{-\epsilon t} \sin(\omega t) dt, \quad \epsilon \to 0. \quad (4.78) $$

Par inversion, nous aurons :

$$ K'_{AA}(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \hat{K}'_{AA}(\omega) \cos(\omega t) d\omega, \quad (4.79) $$

$$ K''_{AA}(t) = -\frac{i}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \hat{K}''_{AA}(\omega) \sin(\omega t) d\omega . \quad (4.80) $$

### 4.4.2 Propriétés de symétrie.

Le caractère réelle de la fonction de réponse implique les propriétés de symétrie suivantes :

$$ \mathrm{Re} \left[ \hat{K}'_{BA}(\omega) \right] = \mathrm{Re} \left[ \hat{K}'_{BA}(-\omega) \right] , \quad (4.81) $$

$$ \mathrm{Im} \left[ \hat{K}'_{BA}(\omega) \right] = - \mathrm{Im} \left[ \hat{K}'_{BA}(-\omega) \right] , \quad (4.82) $$
$$ \widehat{K'}_{BA}(\omega) = \widehat{K'}_{AB}(-\omega) = [\widehat{K'}_{AB}(\omega)]^*, \quad (4.83) $$

$$ \widehat{K}''_{BA}(\omega) = -\widehat{K}''_{AB}(-\omega) = [\widehat{K}''_{AB}(\omega)]^*. \quad (4.84) $$

Les deux premières identités, (4.81) et (4.82), émergent directement des décompositions, (4.73) et (4.74), et les deux dernières, (4.83) et (4.4), des relations, (4.71) et (4.72).

Notons, enfin, que les parties réelle et imaginaire de $\widehat{K'}_{BA}(\omega)$ satisfont bien les Relations de Kremers-Kronig que nous n'écrivons pas ici, et qui sont semblables à celles relatives à la susceptibilité, $\chi_{BA}(\omega)$.

## 4.5 Relation entre la fonction de réponse et la dissipation d'énergie.

On se limite ici au cas où $\hat{A} = \hat{B}$, et soit $E(t) = \text{Tr} [\hat{D}(t) \hat{H}(t)]$, l'énergie interne du système perturbé par une amplitude (douce) de la forme :

$$ a(t) = \frac{1}{2} e^{\epsilon t} (a_0 e^{-i\omega t} + a_0^* e^{i\omega t}) = \frac{1}{2} [a_0 e^{-i(\omega+i\epsilon)t} + a_0^* e^{i(\omega-i\epsilon)t}] , \quad (4.85) $$

avec la condition : $a(t) \to 0$, quand $t \to -\infty$. Alors la variation de l'énergie moyenne du système est reliée à la partie imaginaire de la fonction de réponse par :

$$ \frac{dE(t)}{dt} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{|a_0|^2}{2} \omega \operatorname{Im}[\chi_{AA}(\omega + i\epsilon)] , \quad (4.86) $$

avec $|a_0|^2 = a_0 a_0^*$. Ici, la notation $\overline{C(t)}$ désigne la moyenne temporelle de $C(t)$ sur une période :

$$ \overline{C(t)} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{T} \int_0^T C(\tau) d\tau . \quad (4.87) $$

Avant de démontrer la relation fondamentale (4.86), rappelons d'abord le résultat général :

$$ \frac{dC(t)}{dt} = 0, \quad (4.88) $$

pour toute fonction, $C(t)$, bornée à l'infini.
**Preuve :** Àcause de la perturbation extérieure, $\hat{H}_I(t) = -a(t)\hat{A}$, le système étudié n'est pas conservatif, et la variation de son énergie moyenne est alors :

$$ \frac{dE(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \{ \mathrm{Tr} \left[ \hat{D}(t) \hat{H}(t) \right] \} = \mathrm{Tr} \left[ \frac{d\hat{D}(t)}{dt} \hat{H}(t) \right] + \mathrm{Tr} \left[ \hat{D}(t) \frac{d\hat{H}(t)}{dt} \right] . \quad (4.89) $$

Notons que l'opérateur densité, $\hat{D}(t)$, est solution de l'équation de Liouville-von Neuman $[5, 6, 9]$, à savoir :

$$ \frac{d\hat{D}(t)}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [\hat{H}(t), \hat{D}(t)] . \quad (4.90) $$

Et notons aussi que :

$$ \frac{d\hat{H}(t)}{dt} = \frac{d\hat{H}_I(t)}{dt}, \quad (4.91) $$

puisque le Hamiltonien non perturbé, $\hat{H}_0$, ne dépend pas du temps. Dans ces conditions, l'équation (4.89) se réécrit comme :

$$ \frac{dE(t)}{dt} = -\frac{i}{\hbar} \mathrm{Tr} \left[ \hat{H}(t) \hat{D}(t) \hat{H}(t) - \hat{D}(t) \hat{H}(t) \hat{H}(t) \right] + \mathrm{Tr} \left[ \hat{D}(t) \frac{d\hat{H}_I(t)}{dt} \right] . \quad (4.92) $$

En vertu de la propriété cyclique de la trace, le premier terme du membre de droite de la relation précédente est identiquement nul, et nous trouvons alors que :

$$ \frac{dE(t)}{dt} = -\mathrm{Tr} \left[ \hat{D}(t) \hat{A} \frac{da(t)}{dt} \right] = -\langle A(t) \rangle \frac{da(t)}{dt} . \quad (4.93) $$

Nous avons ultilisé le fait que $\hat{H}_I(t) = -a(t)\hat{A}$ et la définition : $\langle \hat{A}(t) \rangle = \mathrm{Tr} [\hat{D}(t)\hat{A}]$. Par ailleurs, la valeur moyenne, $\langle \hat{A}(t) \rangle$, est donnée par :

$$ \langle \hat{A}(t) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} K_{AA}(t') a(t-t') dt' = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} K_{AA}(t') \frac{1}{2} e^{\varepsilon(t-t')} (a_0 e^{-i\omega(t-t')} + a_0^* e^{i\omega(t-t')}) dt' . \quad (4.94) $$

Donc, nous avons :

$$ \langle A(t) \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2} [a_0 e^{-i(\omega+i\varepsilon)t} \chi_{AA}(\omega-i\varepsilon) + a_0^* e^{i(\omega-i\varepsilon)t} \chi_{AA}^*(\omega+i\varepsilon)] . \quad (4.95) $$

Et en insérant la relation trouvée (4.95) dans l'égalité (4.93), nous aboutissons à :

$$ \frac{dE(t)}{dt} = -\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{4} [a_0 e^{-i(\omega+i\varepsilon)t} \chi_{AA}(\omega+i\varepsilon) + a_0^* e^{i(\omega-i\varepsilon)t} \chi_{AA}^*(\omega-i\varepsilon)] \times [-i(\omega+i\varepsilon)a_0 e^{-i(\omega+i\varepsilon)t} + i(\omega-i\varepsilon)a_0^* e^{i(\omega-i\varepsilon)t}] . \quad (4.96) $$
Notons que, lorsqu'on fait la limite $\varepsilon \to 0$, les termes croisés sont indépendants du temps, mais les termes non croisés font intervenir les facteurs $e^{2i\omega t}$ et $e^{-2i\omega t}$. Remarquer que ces facteurs se présentent comme des dérivées, donc, leurs moyennes temporelles sont nulles. Une autre raison à cela est que ces facteurs sont périodiques, de période égale à $2\pi/\omega$, qui, une fois intégrés sur une période, donnent 0.

Ceci termine la démonstration du résultat fondamental (4.86).

Comme le suggère ce même résultat, le système n'est dissipatif que si la condition :

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \{ \operatorname{Im} [\chi_{AA}(\omega + i\varepsilon)] \} > 0, \quad \omega > 0 \quad (4.97) $$

est satisfaite. Notons que le fait que la moyenne de l'énergie totale du système soit reliée à la partie imaginaire de la transformée de Fourier de la fonction de réponse a une conséquence importante. En effet, comme la variation de cette énergie totale peut être mesurée, on a expérimentalement accès à la partie imaginaire de $\chi_{AA}(\omega)$. Et des équations de Kramers-Kronig reliant les parties réelle et imaginaire de la suceptibilité, $\chi_{AA}(\omega)$, l'on déduit sa partie réelle. Donc, cette connaissance suffit à déterminer entièrement la fonction de réponse.

## 4.6 Formule de Kubo.

Une autre expression formelle de la fonction de réponse a été établie par Kubo<fnref n="1" /> [1]. Dans le but de l'obtenir, nous écrivons la fonction de réponse, $K_{BA}(t)$, sous la forme suivante :

$$ K_{BA}(t) = \theta(t) \frac{i}{\hbar} \mathrm{Tr} \left\{ \left[ e^{-\beta \hat{H}_0}, \hat{A} \right] \hat{B}(t) \right\}. \quad (4.98) $$

Maintenant, nous utilisons l'identité suivante :

$$ \left[ e^{-\beta \hat{H}_0}, \hat{A} \right] = \int_0^\beta e^{-\beta \hat{H}_0} e^{\lambda \hat{H}_0} \left[ \hat{A}, \hat{H}_0 \right] e^{-\lambda \hat{H}_0} d\lambda, \quad (4.99) $$

qui s'obtient aisément en multipliant les deux membres de cette identité par $e^{\beta \hat{H}_0}$ et en procédant à une dérivation par rapport au facteur $\beta$.

<footnote n="1">¹La formule de Kubo, nommée d'après Ryogo Kubo qui l'a présentée pour la première fois en 1957, est une équation qui exprime la réponse linéaire d'une observable à une perturbation dépendante du temps.</footnote>
Il est d'usage de réécrire la fonction de réponse, en termes d'opérateur $\hat{A}$, défini par :

$$ \hat{A} = -\frac{1}{i\hbar} [\hat{H}_0, \hat{A}] . \qquad (4.100) $$

C'est l'équation d'évolution temporelle dans la représentation de Heinsenberg de l'observable $\hat{A}$. L'on obtient alors l'identité :

$$ [e^{-\beta \hat{H}_0}, \hat{A}] = \int_0^\beta e^{-\beta \hat{H}_0} \hat{A} (-i\hbar\lambda) d\lambda . \qquad (4.101) $$

Nous obtenons alors la fameuse formule de Kubo :

$$ K_{BA}(t) = -\theta(t) \left\langle \int_0^\beta \hat{A}(-i\hbar\lambda) \hat{B}(t) \right\rangle_0 d\lambda . \qquad (4.102) $$

Ainsi, nous dirons de manière schématique que la réponse en $B$ à un forçage de couplage $A$ est déterminée par les corrélations dynamiques d'équilibre de $A$ et $B$. Notons que dans le cadre du problème à $N$ corps, la formule de Kubo est souvent démontrée en partant de l'équation de Liouville qui gouverne l'évolution de la matrice densité sous l'action du forçage. Cette méthode est bien sûr équivalente à l'approche utilisée ici, qui permet de s'affranchir de l'introduction explicite de ces notions.

Notons que la relation de Kubo précédente s'étend aisément aux systèmes thermodynamiques classiques hors de l'équilibre, où l'opérateur densité est simplement remplacé par la densité en phase.

**Conductivité dépendant de la fréquence.** Spécifions, maintenant, la formule de Kubo dans la situation suivante. En l'absence du champ magnétique extérieur, et en négligeant tout effet relativiste, le Hamiltonien, $\hat{H}_0$, est de la forme :

$$ \hat{H}_0 = \sum_{i=1}^{N} \frac{\widehat{\vec{p}}_i^2}{2m_i} + V \left( \widehat{\vec{r}}_1, \dots, \widehat{\vec{r}}_N \right), \qquad (4.103) $$

où $\widehat{\vec{p}}_j = -i\hbar\widehat{\nabla}_j$ est l'opérateur impulsion de la particule $j$, canoniquement conjugué de l'opérateur position, $\widehat{\vec{r}}_j$, et $V(\widehat{\vec{r}}_1, \dots, \widehat{\vec{r}}_N)$ est l'opérateur décrivant les interactions entre particules, et qui ne dépendent que de leurs positions. L'observable $\hat{A}$ est vectorielle et correspond à l'opérateur densité du courant :

$$ \widehat{\vec{J}} = \sum_{i=1}^{N} q_i \frac{\widehat{\vec{p}}_i}{m_i}, \qquad (4.104) $$
où $q_i$ désigne la charge de la particule $i$, tandis que la perturbation, $-a(t)\hat{A}$, correspond à $-\hat{P}\cdot\hat{E}_{ext}(t)$, où $\hat{P}$ est l'opérateur polarisation, défini par son expression microscopique : $\hat{P} = \sum_{i=1}^{N} q_i \hat{r}_i$. Un calcul élémentaire donne alors :

$$ \hat{P} = -\frac{1}{i\hbar} \left[ \hat{H}_0, \hat{P} \right] = \hat{J}. \qquad (4.105) $$

Considérons, à présent, un champ extérieur monochromatique de forme habituelle : $\vec{E}_{ext}(t) = \text{Re}[\vec{E}_\omega e^{-i\omega t}]$, et qui garde une direction fixe dans le temps. La susceptibilité en jeu est alors la conductivité, $\sigma(\omega)$, par unité de volume. L'on suppose que la réponse soit isotrope, autrement dit, le courant induit soit colinéaire au champ extérieur, et par suite, $\sigma(\omega)$ se réduit alors à un pur scalaire. Sous cette hypothèse, en insérant l'expression (4.105) dans la formule générale (4.102) de la susceptibilité, et après passage à la transformée de Fourier, nous trouvons :

$$ \sigma(\omega) = \frac{1}{3V} \int_{0}^{+\infty} \left\langle \left( \int_{0}^{\beta} e^{\lambda \hat{H}_0} \hat{J} e^{-\lambda \hat{H}_0} d\lambda \right) \cdot \hat{J}(t) \right\rangle_{0} e^{i\omega t} dt, \qquad (4.106) $$

où $V$ est le volume du système et $\hat{J}(t) = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar} \hat{J} e^{-i\hat{H}_0 t/\hbar}$. Donc, la conductivité s'exprime en termes de la fonction d'auto-corrélation dynamique du courant à l'équilibre.

**Limite classique.** Dans certains milieux conducteurs, comme les sels ioniques, par exemple, les effets quantiques sont faibles, de sorte que la conductivité peut être calculée dans le cadre de la mécanique classique, avec une bonne précision. La version classique de la formule de Kubo est alors immédiatement obtenue en appliquant la recette :

$$ \int_{0}^{\beta} e^{-(\beta-\lambda)H_0} \vec{J} e^{-\lambda H_0} d\lambda \rightarrow \beta e^{-\beta H_0} \vec{J}, \qquad (4.107) $$

qui revient à faire commuter $\vec{J}$ et $e^{-\lambda H_0}$. Nous obtenons ainsi pour la conductivité classique :

$$ \sigma_{cl}(\omega) = \frac{\beta}{3V} \int_{0}^{+\infty} e^{i\omega\tau} \langle \vec{J}(0) \cdot \vec{J}(\tau) \rangle_{0} d\tau, \qquad (4.108) $$

avec

$$ \vec{J}(\tau) = \sum_{i=1}^{N} q_i \vec{v}_i(\tau). \qquad (4.109) $$
Ici, $\vec{v}_i(\tau)$ est la vitesse de la particule $i$ à l'instant $\tau$ dans l'évolution nonperturbée régie par la fonction de Hamilton, $H_0$, à partir d'une configuration initiale donnée à $\tau = 0$, repérée par un point de coordonnées, $(\vec{r}_1, ..., \vec{r}_N, \vec{p}_1, ..., \vec{p}_N)$, dans l'espace de phases des variables canoniques à $6N$ dimensions. La moyenne statistique sur ces configurations initiales est une intégrale sur cet espace de phases avec le facteur de Boltzmann : $\exp\{-\beta H_0(\vec{r}, \vec{p})\}$.

Donc, la fonction de réponse est simplement donnée par :

$$K(t) = \theta(t) \frac{\beta}{3V} \langle \vec{J}(0) \cdot \vec{J}(t) \rangle_0, \quad t > 0, \quad (4.110)$$

qui n'est rien d'autres que la fonction de corrélation de la densité de courant.

## 4.7 Théorème de fluctuation-dissipation.

Les fluctuations naturelles qui se produisent dans uns système à l'équilibre thermique sont reliées aux effets de dissipation qui résultent d'une interaction du système avec des excitations (ou forces) extérieures. Bien sûr, cette connexion s'avère être très importante et, bien que cela n'ait été clarifié que récemment [16], il a été reconnu et utilisé il y a longtemps (relation d'Einstein, théorème de Nyquist [17]) dans des cas spéciaux.

Commeçons par un rappel de la définition de la fonction de fluctuation (ou de corrélation) dépendante du temps, $F_{BA}(t)$. Cette dernière est définie par l'anticommutateur<fnref n="2" /> :

$$F_{BA}(t-t') = \frac{1}{2} \langle \{ \hat{B}(t) - \langle \hat{B} \rangle_0 \hat{I}, \hat{A}(t') - \langle \hat{A} \rangle_0 \hat{I} \} \rangle_0 . \quad (4.111)$$

Ici, $\hat{I}$ est l'opérateur identité défini sur l'espace de Hilbert.

Le but est d'établir une relation entre la transformée de Fourier, $\Phi_{BA}(\omega)$, de $F_{BA}(t)$ et la partie dissipative de la susceptibilité, $\hat{K}''_{BA}(\omega)$. Nous écrivons :

$$\Phi_{BA}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_{BA}(t) e^{i\omega t - \epsilon|t|} dt, \quad \epsilon \to 0. \quad (4.112)$$

<footnote n="2">²L'anticommutateur de deux matrices A et B est défini par : {$A, B$} = AB + BA.</footnote>
Dans ce but, nous introduisons la fonction, $S_{BA}(t)$, et sa transformée de Fourier, $\Sigma_{BA}(\omega)$ :

$$ S_{BA}(t) = \left\langle \left[ \hat{B}(t) - \left\langle \hat{B} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \left[ \hat{A} - \left\langle \hat{A} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \right\rangle_0 = \left\langle \left[ \hat{B} - \left\langle \hat{B} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \left[ \hat{A}(-t) - \left\langle \hat{A} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \right\rangle_0, \quad (4.113) $$

$$ \Sigma_{BA}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{BA}(t) e^{i\omega t - \epsilon|t|} dt, \quad \epsilon \to 0. \quad (4.114) $$

Par utilisation de ces définitions, nous réalisons immédiatement que :

$$ K''_{BA}(t) = \frac{1}{2\hbar} [S_{BA}(t) - S_{AB}(-t)], \quad (4.115) $$

$$ F_{BA}(t) = \frac{1}{2} [S_{BA}(t) + S_{AB}(-t)]. \quad (4.116) $$

Mais d'un autre côté, nous avons :

$$ \begin{aligned} \left\langle \hat{A}(-t) \hat{B} \right\rangle_0 &= \frac{1}{Z_c} \mathrm{Tr} \left( e^{-\beta \hat{H}_0} e^{-i \hat{H}_0 t / \hbar} \hat{A} e^{i \hat{H}_0 t / \hbar} \hat{B} \right) \\ &= \frac{1}{Z_c} \mathrm{Tr} \left( e^{-\beta \hat{H}_0} e^{i \hat{H}_0 (t - i\hbar\beta) / \hbar} \hat{B} e^{-i \hat{H}_0 (t - i\hbar\beta) / \hbar} \hat{A} \right) \\ &= \left\langle \hat{B} (t - i\hbar\beta) \hat{A} \right\rangle_0. \end{aligned} \quad (4.117) $$

En conséquence, nous avons :

$$ S_{AB}(-t) = S_{BA}(t - i\hbar\beta), \quad (4.118) $$

et par suite :

$$ K''_{BA}(t) = \frac{1}{2\hbar} [S_{BA}(t) - S_{BA}(t - i\hbar\beta)], \quad (4.119) $$

$$ F_{BA}(t) = \frac{1}{2} [S_{BA}(t) + S_{AB}(t - i\hbar\beta)]. \quad (4.120) $$

À présent, faisons les transformées de Fourier de ces expressions et supposons que :
$$ \left\langle \left[ \hat{A}(t) - \left\langle \hat{A} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \left[ \hat{B} - \left\langle \hat{B} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \right\rangle_0 \to 0, \text{ à } t \to \infty \text{ et } \left\langle \left[ \hat{A}(t) - \left\langle \hat{A} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \left[ \hat{B} - \left\langle \hat{B} \right\rangle_0 \hat{I} \right] \right\rangle_0 $$
est une fonction analytique dans le domaine de l'espace $\mathbf{R}$, avec $0 \le \mathrm{Im}[t] \le \beta\hbar$, alors, dans ces conditions, nous pouvons écrire :

$$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} S_{AB}(-t) e^{i\omega t} dt &= \int_{-\infty}^{+\infty} S_{BA}(t - i\hbar\beta) e^{i\omega t} dt \\ &= e^{-\beta\hbar\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} S_{BA}(t) e^{i\omega t} dt = e^{-\beta\hbar\omega} \Sigma_{BA}(\omega). \end{aligned} \quad (4.121) $$
Donc, en tenant compte des définitions ci-dessus, nous déduisons les deux relations im-
portantes :

$$
\widehat{K}''_{BA}(\omega) = \frac{1}{2\hbar} (1 - e^{-\beta\hbar\omega}) \Sigma_{BA}(\omega) , \qquad (4.122)
$$

$$
\Phi_{BA}(\omega) = \frac{1}{2} (1 + e^{-\beta\hbar\omega}) \Sigma_{BA}(\omega) . \qquad (4.123)
$$

Ainsi, par élimination de Σ<sub>BA</sub>(ω) entre les deux égalités précédentes, nous sommes conduits
au théorème de fluctuation-dissipation :

$$
\widehat{K}''_{BA}(\omega) = \frac{1}{\hbar} \tanh \left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right) \Phi_{BA}(\omega) . \qquad (4.124)
$$

La relation précédente montre que la fonction de fluctuation ne dépend que de la partie
dissipative de la fonction de réponse et non de sa partie réelle.

Notons que la propriété de symétrie (4.84) de $\widehat{K}''_{BA}(\omega)$ implique une autre symétrie
satisfaite par $\Phi_{BA}(\omega)$, à savoir :

$$
\Phi_{BA}(\omega) = \Phi_{BA}(-\omega) = [\Phi_{AB}(\omega)]^* . \quad (4.125)
$$

Pour cela, nous avons utilisé la relation (4.124).

Soulignons que la formule classique de ce théorème peut être obtenue en procédant à
la limite classique $\hbar \to 0$ de la formule quantique (4.124), soit :

$$
\widehat{K}''_{BA}(\omega) = \frac{1}{2} \beta \omega \Phi_{BA}(\omega) . \qquad (4.126)
$$

4.8 Moments et règles de somme.

Dans cette section, nous supposons que $\hat{A} = \hat{B}$. Dans ces conditions, les quantités
$\widehat{K}''_{AA}(\omega)$ et $\Phi_{AA}(\omega)$ sont réelles. Il en est de même pour la partie réactive de la suscep-
tibilité, $\widehat{K}'_{AA}(\omega)$.
### 4.8.1 Les premières règles de somme.

Comme application importante du théorème de fluctuation-dissipation, nous avons aussi :

$$ \hbar \int_{-\infty}^{+\infty} \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \widehat{K}''_{AA}(\omega) e^{-i\omega(t-t')} d\omega = \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_{AA}(\omega) e^{-i\omega(t-t')} d\omega = 2\pi F_{AA}(t-t') , \quad (4.127) $$

qui conduit à la règle de somme (pour $t = t'$) :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \widehat{K}''_{AA}(\omega) d\omega = \frac{2\pi}{\hbar} \left\langle \left( \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle \right)^2 \right\rangle_0, \quad (4.128) $$

ou pour un système classique :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{K}''_{AA}(\omega) \frac{1}{\omega} d\omega = \pi\beta \left\langle \left( \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle \right)^2 \right\rangle_0 . \quad (4.129) $$

La règle de somme (4.128) peut être généralisée en dérivant $n$ fois l'égalité (4.127) par rapport à $t$ et $t'$. Ainsi, nous trouvons (lorsque cette équation a un sens) :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^{2n} \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \widehat{K}''_{AA}(\omega) d\omega = \frac{2\pi}{\hbar} \left\langle \left( \frac{d^n}{dt^n} \left( \hat{A}(t) - \langle \hat{A} \rangle \right) \right)^2 \bigg|_{t=0} \right\rangle_0 . \quad (4.130) $$

Au second membre de cette égalité, le temps $t$ est arbitraire et on le prendra comme étant égal à 0. Pour $n = 0$, nous retrouvons le résultat (4.128).

Dans la limite classique, la relation précédente devient :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^{2n-1} \widehat{K}''_{AA}(\omega) d\omega = \pi\beta \left\langle \left( \frac{d^n}{dt^n} \left( \hat{A}(t) - \langle \hat{A} \rangle \right) \right)^2 \bigg|_{t=0} \right\rangle_0 . \quad (4.131) $$

Pour $n = 1$, nous retrouvons le résultat (4.129).

### 4.8.2 Autres règles de somme pour le cas classique.

Dans le cas classique, d'autres relations utiles sont aussi obtenues entre la partie réactive de la susceptibilité et les fluctuations en utilisant les *Relations de Kramers-Kronig*, esquissées en détail au Chapitre 3. Sans démonstration, nous écrivons la première de ces relations :

$$ \widehat{K}'_{AA}(\omega) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\widehat{K}''_{AA}(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' . \quad (4.132) $$
Ainsi, en posant $\omega = 0$ dans cette équation et en tenant compte de la propriété de symétrie de $\hat{K}'_{AA}(\omega)$ et $\hat{K}''_{AA}(-\omega)$, nous déduisons la règle de somme (4.129) :

$$ \hat{K}_{AA}(0) = \hat{K}'_{AA}(0) = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^{-1} \hat{K}''_{AA}(\omega) d\omega = \beta \left\langle \left( \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle \right)^2 \right\rangle_0 . \quad (4.133) $$

D'un autre côté, en examinant le comportement de $\hat{K}'_{AA}(\omega)$, pour des grandes valeurs de $\omega$, nous obtenons aussi :

$$ \lim_{\omega \to +\infty} \omega^2 \hat{K}'_{AA}(\omega) = -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \omega \hat{K}''_{AA}(\omega) d\omega = -\beta \left. \left( \frac{d}{dt} \left( \hat{A}(t) - \langle \hat{A} \rangle \right) \right) \right|_{t=0} . \quad (4.134) $$

Pour cela, nous avons appliqué la règle de somme (4.131), avec $n = 1$. Comme $\hat{K}''_{AA}(\omega)$ s'annule comme $\omega^{-1}$, à l'infini, alors, nous avons manifestement :

$$ \lim_{\omega \to +\infty} \omega^2 \hat{K}_{AA}(\omega) = \lim_{\omega \to +\infty} \omega^2 \hat{K}'_{AA}(\omega) = -\beta \left. \left( \frac{d}{dt} \left( \hat{A}(t) - \langle \hat{A} \rangle \right) \right) \right|_{t=0} . \quad (4.135) $$

## 4.9 Représentations spectrales en termes de vecteurs et valeurs propres du Hamiltonien non perturbé.

Le sens de toutes les relations précédentes apparaît peut-être plus clairement en utilisant des représentations explicites en termes de vecteurs et de valeurs propres du Hamiltonien libre, $\hat{H}_0$. Ainsi, nous avons immédiatement :

$$ S_{BA}(t) = \frac{1}{Z_c} \left( \begin{array}{l} \sum_{m,n} e^{-\beta E_n} e^{i(E_n-E_m)t/\hbar} \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle \\ - \sum_n e^{-\beta E_n} \langle \phi_n | \hat{A} | \phi_n \rangle \sum_m e^{-\beta E_m} \langle \phi_m | \hat{B} | \phi_m \rangle \end{array} \right) . \quad (4.136) $$

Donc, la transformée de Fourier de cette fonction est telle que :

$$ \Sigma_{BA}(\omega) = \hbar \frac{1}{Z_c} \sum_{m,n} e^{-\beta E_n} \delta(\hbar\omega - (E_m - E_n)) \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle , \quad (4.137) $$

et en utilisant les relations (4.123) et (4.124), nous obtenons :

$$ \hat{K}''_{BA}(\omega) = \frac{\hbar}{2} \frac{1}{Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_n} + e^{-\beta E_m}) \delta(\hbar\omega - (E_m - E_n)) \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | \hat{B} | \phi_m \rangle , \quad (4.138) $$
$$ \Phi_{BA}(\omega) = \frac{1}{2} \frac{1}{Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_n} - e^{-\beta E_m}) \delta(\hbar\omega - (E_m - E_n)) \langle\phi_m|\hat{A}|\phi_n\rangle \langle\phi_n|\hat{B}|\phi_m\rangle . \quad (4.139) $$

De la manière manière, il est facile de trouver une représentation explicite pour $\hat{K}_{BA}(\omega)$, puisque nous avons conformément à la relation (4.41) :

$$ K_{BA}(t) = 2i\theta(t) K''_{BA}(t) = i\frac{1}{\hbar}\theta(t) \frac{1}{Z_c} \sum_{m,n} (e^{-\beta E_n} - e^{-\beta E_m}) e^{i(E_n-E_m)t/\hbar} \langle\phi_m|\hat{A}|\phi_n\rangle \langle\phi_n|\hat{B}|\phi_m\rangle \quad (4.140) $$

Donc, par intégration sur le temps $t \in [0, +\infty[$ de $K_{BA}(t)$, pondérée par le facteur exponentiel $e^{i\omega t}$, nous retrouvons l'expression (4.68) de la susceptibilité, $\chi_{BA}(\omega)$, esquissée ci-dessus. ■
Bibliographie

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[11] A. Vassiliev, *Introduction à la Physique Statistique*, Éditions Mir, Moscou, 1985.

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[16] N. Nequist, *Thermal agitation of electric charge in conductors*, Phys. Rev. **32**, 110 (1928).
# Chapitre 5

## Introduction aux phénomènes de
diffusion.

Le phénomène de diffusion est un phénomène très général rencontré très souvent dans la nature, et qui correspond à la tendance à la dispersion d'espèces, comme les particules, les atomes ou les molécules, grâce à une excitation énergétique apportée par la chaleur. Suivant le milieu dans lequel se déplacent ces espèces, cette dispersion est plus ou moins étalée. À température ambiante, le phénomène de diffusion est très important dans un milieu gazeux, plus faible dans un milieu liquide et pratiquement nul dans un milieu solide.

L'on distingue *deux* types de diffusions d'une particule avec les constituants du milieu hôte dans lequel elle est intégrée : une diffusion rapide (*diffusion normale* ou *diffusion Brownienne*) ou une diffusion lente (*diffusion anormale*). En fait, ce dernier mouvement ne se produit que dans des milieux extrêmement complexes (milieux hétérogènes, milieux désordonnées ou milieux fractals). La diffusion rapide est une diffusion *sans mémoire*, alors qu'une diffusion lente est une diffusion *avec mémoire*, mais cette mémoire s'éteint à mesure que le temps passe.

Les phénomènes de diffusion ont été abordés d'abord par une approche macroscopique, comme les *lois de Fick*<fnref n="1" /> [1, 2], ou par une approche statistique basée sur l'équation de

<footnote n="1">¹Adolf Eugene Fick (1829-1901) est un physiologiste allemand.</footnote>
diffusion (modèle de marche au hasard) [3 – 7]. Notons que de nombreuses expériences montrent les limites des modèles fondés sur les lois de Fick.

Toutefois, il existe une approche mécaniste alternative basée sur l'équation de Langevin<fnref n="2" /> [8], qui est physiquement équivalente à l'équation de diffusion, dont la solution est la densité de probabilité. Dans ce cours, le choix est porté sur la deuxième approche qui est l'équation de Langevin standard ou généralisée.

Nous discutons ci-dessous, la notion de diffusion normale ou anormale, en évoquant les étapes historiques importantes du développement des lois de diffusion.

**Diffusion normale :**

La diffusion est un phénomène dynamique qui a suscité, depuis la nuit des temps, la curiosité d'une large communauté de scientifiques et même de philosophes.

Ainsi, 60 ans avant Jésus-Christ, le philosophe Lucrèce donna une remarquable description du mouvement des particules dans un milieu liquide, et notait :

> " Si tu penses que les atomes, principes des choses, peuvent trouver le repos et dans ce repos engendrer toujours de nouveaux mouvements, tu te trompes et t'égares loin de la vérité. Puisqu'ils errent dans le vide, il faut qu'ils soient tous emportés, soit par leur pesanteur propre, soit par le choc d'un autre corps. Car s'il leur arrive dans leur agitation de se rencontrer avec choc, aussitôt ils rebondissent en sens opposés : ce qui n'a rien d'étonnant puisqu'ils sont des corps très durs, pesants, denses, et que rien derrière eux ne les arrête. Et pour mieux comprendre comment s'agitent sans fin tous les éléments de la matière, souviens-toi qu'il n'y a dans l'univers entier aucun fond ni aucun lieu où puissent s'arrêter les atomes, puisque l'espace sans limite ni mesure est infini en tous sens, ainsi que je l'ai montré abondamment avec la plus sûre doctrine. Puisqu'il en est ainsi, il ne peut y avoir aucun repos pour les atomes à travers le vide immense; au contraire agités d'un mouvement continuel et divers, ils se heurtent, puis rebondissent, les uns à de grandes distances, les autres faiblement, et s'éloignent peu. "

L'histoire a commencé réellement par l'année 1827 où le botaniste écossais Robert

<footnote n="2">²Paul Langevin (1872-1946) est un physicien, philosophe des sciences, pédagogue et homme politique français.</footnote>