# Contribution à l'étude des bruits respiratoires :
## modélisation du ronflement

Yves Aurégan

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To cite this version:

Yves Aurégan. Contribution à l'étude des bruits respiratoires : modélisation du ronflement. Acoustique [physics.class-ph]. Université du Maine, 1993. Français. NNT : 1993LEMA1001 . tel-03864900

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ACADEMIE DE NANTES

THESE DE DOCTORAT
DE
L'UNIVERSITE DU MAINE

SPECIALITE : ACOUSTIQUE

Présenté par

Yves AUREGAN

en vue de l'obtention du titre de DOCTEUR D'UNIVERSITE

CONTRIBUTION A L'ETUDE DES BRUITS RESPIRATOIRES :
MODELISATION DU RONFLEMENT

Soutenue le 5 janvier 1993
devant le jury composé de messieurs :

C. DEPOLLIER, professeur à l'université du Maine (Le Mans);

J. GILBERT, chargé de recherche à l'université du Maine (Le Mans);

A. HIRSCHBERG, professeur à l'université de Eindhoven (Pays-Bas),
rapporteur;

P. HUERRE, professeur à l'école polytechnique (Palaiseau);

J. KERGOMARD, directeur de recherche à l'université du Maine (Le Mans);

C. ODDOU, professeur à l'université Paris-Val de Marne (Creteil),
rapporteur;

J.L. RACINEUX, professeur au CHRU d'Angers.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
ACADEMIE DE NANTES

THESE DE DOCTORAT
DE
L'UNIVERSITE DU MAINE

SPECIALITE : ACOUSTIQUE

Présenté par
Yves AUREGAN

en vue de l'obtention du titre de DOCTEUR D'UNIVERSITE

CONTRIBUTION A L'ETUDE DES BRUITS RESPIRATOIRES :

MODELISATION DU RONFLEMENT

Soutenue le 5 janvier 1993
devant le jury composé de messieurs :

C. DEPOLLIER, professeur à l'université du Maine (Le Mans);

J. GILBERT, chargé de recherche à l'université du Maine (Le Mans);

A. HIRSCHBERG, professeur à l'université de Eindhoven (Pays-Bas),
rapporteur;

P. HUERRE, professeur à l'école polytechnique (Palaiseau);

J. KERGOMARD, directeur de recherche à l'université du Maine (Le Mans);

C. ODDOU, professeur à l'université Paris-Val de Marne (Creteil),
rapporteur;

J.L. RACINEUX, professeur au CHRU d'Angers.
REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier la fondation CREDIT LYONNAIS qui par son mécénat a rendu possible la réalisation de ce mémoire.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

FONDATION CREDIT LYONNAIS

FONDATION PLACÉE SOUS L'ÉGIDE DE LA FONDATION DE FRANCE
Je remercie Claude DEPOLLIER qui a patiemment dirigé cette thèse malgré nos
caractères parfois difficiles.

Je remercie Jean-Louis RACINEUX et Nicole MESLIER pour leur aide et leurs
conseils pour les aspects médicaux de ce travail.

Je remercie Mico HIRSCHBERG pour son aide précieuse et ses critiques
judicieuses tout au long de ce travail. Je remercie aussi toute l'équipe du
laboratoire de mécanique des fluides de l'Université Technique de
Eindhoven, notamment Bram WIJNANDS et sa famille et Bart RIJPKEMA, pour
leur aide désintéressée.

Je remercie Monsieur C. ODDOU et Madame M. CASTELLENGO d'avoir accepté
d'être rapporteurs de ce mémoire.

Je remercie Jean KERGOMARD, directeur du Laboratoire d'Acoustique de
l'Université du Maine, pour ses encouragements constants et pour sa
participation au jury.

Je remercie Messieurs J. GILBERT et P. HUERRE d'avoir bien voulu participer
au jury.

Je remercie Laurent DESMONS pour sa relecture du manuscrit, pour sa
contributions aux mesures et tout le reste ...

Et merci à tous ceux qui, à des titres divers, ont rendu possible la
réalisation de travail.
INTRODUCTION .................................... p 1

PARTIE A : CONTEXTE BIOMECANIQUE

A-I MECANIQUE VENTILATOIRE .................................... p 6

A-I-1 Modèle monoalvéolaire du poumon .................................... p 8

A-I-2 Caractéristiques physiques des voies aériennes supérieures .................................... p 11

A-I-2-1 Résistances nasales .................................... p 12

A-I-2-2 Rôle du pharynx dans la respiration .................... p 17

A-I-2-3 Voile du palais .................................... p 22

A-II PATHOLOGIE RESPIRATOIRE NOCTURNE .................................... p 24

A-II-1 Syndrome d'apnées du sommeil .................................... p 26

A-II-2 Modélisation d'une apnée obstructive .................... p 29

A-II-2-1 Hypothèses du modèle .................................... p 29

A-II-2-2 Détermination de la relation pression-débit .. p 32

A-II-2-3 Discussion de la relation pression-débit ....... p 35

A-II-2-4 Vérification expérimentale du modèle ............ p 40

A-II-2-5 Interprétation du modèle .................... p 45

A-II-3 Le ronflement .................................... p 48

A-II-3-1 Le ronflement d'un point de vue médical ....... p 48

A-II-3-2 Quelques études acoustiques .................... p 53

A-III BIBLIOGRAPHIE .................................... p 59
PARTIE B : STABILITE D'UNE LAME SOUPLE DANS UN FLUX D'AIR

<table><tbody><tr><td>B-I NOTION DE STABILITE</td><td>p 67</td></tr><tr><td>B-I-1 Introduction</td><td>p 68</td></tr><tr><td>B-I-2 Stabilité des systèmes dynamiques</td><td>p 71</td></tr><tr><td>B-I-3 Systèmes à 1 degré de liberté</td><td>p 77</td></tr><tr><td>B-I-3-1 Etude générale</td><td>p 77</td></tr><tr><td>B-I-3-2 Exemple aéro-élastique</td><td>p 79</td></tr><tr><td>B-I-4 Systèmes à 2 degrés de liberté</td><td>p 84</td></tr><tr><td>B-I-4-1 Etude générale</td><td>p 84</td></tr><tr><td>B-I-4-2 Cas sans amortissement</td><td>p 85</td></tr><tr><td>B-I-4-3 Cas d'un amortissement faible</td><td>p 88</td></tr><tr><td>B-I-4-4 Exemple d'illustration</td><td>p 89</td></tr><tr><td>B-II MODELE DE RONFLEMENT A 1 DEGRE DE LIBERTE INSTATIONNAIRE</td><td>p 93</td></tr><tr><td>B-II-1 Introduction</td><td>p 94</td></tr><tr><td>B-II-2 Modèle tenant compte de l'acoustique</td><td>p 95</td></tr><tr><td>B-II-2 Modèle tenant compte du décollement</td><td>p 103</td></tr><tr><td>B-II-3 Validation expérimentale des conclusions sur les modèles à 1 degré de liberté instationnaire</td><td>p 107</td></tr><tr><td>B-III MODELE DE RONFLEMENT A 2 DEGRES DE LIBERTE</td><td>p 111</td></tr><tr><td>B-III-1 Introduction</td><td>p 112</td></tr></tbody></table>

Lommaire

<table><tbody><tr><td>B-III-2 Modèle simplifié</td><td>p 113</td></tr><tr><td>B-III-2-1 Equations de la dynamique</td><td>p 113</td></tr><tr><td>B-III-2-2 Efforts aérodynamiques</td><td>p 115</td></tr><tr><td>B-III-2-3 Etude de la stabilité</td><td>p 117</td></tr><tr><td>B-III-3 Modèles plus réalistes d'oscillateurs bi-articulés</td><td>p 120</td></tr><tr><td>B-III-3-1 Prise en compte de la raideur des articulations</td><td>p 120</td></tr><tr><td>B-III-3-2 Prise en compte de l'amortissement struturel</td><td>p 122</td></tr><tr><td>B-III-3-3 Prise en compte de l'amortissement dû au fluide</td><td>p 124</td></tr><tr><td>B-III-3-4 Prise en compte de la viscosité du fluide</td><td>p 130</td></tr><tr><td>B-III-3-5 Prise en compte des pertes de charges</td><td>p 134</td></tr><tr><td>B-III-3-6 Comparaison des différents modèles</td><td>p 137</td></tr><tr><td>B-III-4 Etude expérimentale de la stabilité d'une lame souple dans un flux d'air</td><td>p 139</td></tr><tr><td>B-III-4-1 Réponse fréquentielle sans écoulement</td><td>p 139</td></tr><tr><td>B-III-4-2 Réponse fréquentielle avec écoulement</td><td>p 144</td></tr><tr><td>B-III-4-3 Etude expérimentale de la bifurcation</td><td>p 149</td></tr><tr><td>B-IV CONCLUSIONS DE L'ETUDE DE LA STABILITE</td><td>p 155</td></tr><tr><td>B-IV-1 Mécanisme de mise en vibration du voile du palais</td><td>p 156</td></tr><tr><td>B-IV-2 Conditions d'apparition du ronflement</td><td>p 161</td></tr><tr><td>B-IV-3 Voile du palais et ronflement</td><td>p 162</td></tr><tr><td>B-IV-4 Conditions d'écoulement et ronflement</td><td>p 163</td></tr><tr><td>B-V BIBLIOGRAPHIE</td><td>p 166</td></tr></tbody></table>
B-VI ANNEXES .................................................... p 171

annexe B-A Modèle acoustique des voies respiratoires ............ p 172

annexe B-B Adimensionalisation des équations de mouvement
de la lame bi-articulée dans un flux d'air ............ p 175

annexe B-C Stabilité d'une lame flexible .................... p 178

PARTIE C : ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME AEROELASTQUE AVEC CHOCS

C-I ETUDE EXPERIMENTALE DU COMPORTEMENT D'UNE LAME SOUPLE
INSTABLE DANS UN FLUX D'AIR CONFINE ........................ p 186

C-I-1 Etude des mouvements de la lame bi-articulée
devenue instable ............................................ p 187

C-I-2 Variation de la fréquence .................................... p 192

C-I-1 Etude de l'écoulement autour de la lame bi-articulée
devenue instable ............................................ p 195

C-II MODELISATION DU COMPORTEMENT DE LA LAME BI-ARTICULEE
INSTABLE AVEC DES CHOCS .................................... p 201

C-II-1 Modélisation des chocs .................................... p 202

C-II-2 Modélisation stationnaire de l'écoulement .................... p 205

C-II-2-1 Modèle sans pertes .................................... p 205

C-II-2-2 Prise en compte de pertes visqueuses
dans l'étranglement .................................... p 208

C-II-2-3 Prise en compte du décollement
dans l'étranglement .................................... p 210

C-II-2-4 Approximation de la valeur des moments
aérodynamiques .................................... p 213

L'ommaire

C-II-3 Simulation numérique du comportement de lames ............ p 214

C-II-3-1 Description du programme de calcul .................... p 214

C-II-3-2 Comportement des lames en simulation numérique .. p 216

C-II-3-3 Variation de la fréquence en simulation numérique p 220

C-II-4 Modèle analytique simplifié .................................... p 226

C-II-4-1 Définition des notations .................................... p 227

C-II-4-2 Equations de la dynamique .................................... p 228

C-II-4-3 Calcul des moments aérodynamiques .................... p 229

C-II-4-4 Calcul de la fréquence du mouvement .................... p 230

C-III CONCLUSION MEDICALE ............................................ p 235

C-IV BIBLIOGRAPHIE .................................................... p 240

C-V ANNEXE ............................................................ p 242

annexe C-A Etude d'un système auto-oscillant à 1 degré de
liberté dont l'amplitude du mouvement est limitée .. p 243

CONCLUSION ............................................ p 254
Introduction
INTRODUCTION

Ce travail sur les bruits respiratoires a débuté en 1988 à la demande des médecins responsables du laboratoire d'exploration fonctionnelle respiratoire et du sommeil du CHRU d'ANGERS (J. L. RACINEUX et N. MESLIER).

Ces médecins s'intéressent aux bruits respiratoires depuis quelques années, notamment dans le but de détecter grâce à eux, les pauses respiratoires nocturnes (apnées du sommeil). Cette pathologie perturbe gravement le sommeil ainsi que toute la vie de l'individu (fatigue et somnolence diurne, endormissement empêchant toute activité). Ils souhaitaient savoir s'il était possible d'extraire des informations pertinentes pour le diagnostic à partir des sons respiratoires. Pour cela, ils ont fait appel au Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine.

Les patients qui ont des apnées du sommeil émettent en général beaucoup de ronflements entre leurs pauses respiratoires. Il a donc paru pertinent de s'intéresser à ce bruit et aux relations qui peuvent exister entre le ronflement et les apnées du sommeil.

Quelques nuits passées à l'hopital d'ANGERS en compagnie de ronfleurs (et ronfleuses) apnériques ou non, ont permis de recueillir des enregistrements de ces bruits nocturnes. Une analyse de ces bruits, à l'aide des méthodes classiques de traitement de signal, a mis en évidence une structure sonore assez semblable à celle de la parole (avec des fréquences plus basses dans le cas du ronflement) et par là même tout aussi complexe. Ce travail a été l'objet du stage de D.E.A. précédant cette thèse.

En parole, on dispose de modèles simples (modèle à deux masses pour les cordes vocales et modèle de tuyaux acoustiques pour le conduit vocal) qui
permettent d'extraire, avec une précision satisfaisante, la forme du conduit vocal à partir d'un signal de parole voisée. Ces méthodes ne sont pas directement appliquables dans le cas du ronflement car la source d'excitation n'est pas connue. Pour aller plus loin dans l'étude du signal de ronflement, il faut donc disposer d'une modélisation physique du phénomène de ronflement.

Le ronflement est attribué dans la littérature médicale aux mouvements du voile du palais sous l'action de l'air inspiré mais les mécanismes de la mise en vibration et les mouvements du voile du palais n'ont fait l'objet d'aucune étude biomécanique spécifique.

Le but de cette thèse est donc d'établir un modèle biomécanique du ronflement.

Il est nécessaire, pour cela, d'avoir une bonne connaissance du fonctionnement des voies aériennes supérieures (chapitre A-I) et des mécanismes d'apnée obstructive du sommeil (chapitre A-II).

Dans le premier chapitre, on présente un modèle simple de fonctionnement du poumon. Puis on décrit plus en détail les caractéristiques physiologiques et mécaniques du nez, du pharynx et du voile du palais, lesquels sont impliqués à des degrés divers dans la production du ronflement.

L'étude de l'apnée du sommeil, décrite au second chapitre, est importante pour l'étude du ronflement. En effet lors d'une diminution de section des voies aériennes supérieures, pouvant dans certains cas conduire à une apnée, les conditions d'écoulement de l'air peuvent être très fortement modifiées et influer sur la mise en vibration du voile du palais. Une explication du mécanisme des apnées obstructives, basée sur une limitation du débit due aux effets visqueux, est donc fournie. Cette explication permet de relier la section des voies aériennes supérieures et le débit inspiré en fonction de la dépression inspiratoire et des conditions géométriques. Ce modèle a été validé sur maquette pour une géométrie simple et il est comparé aux résultats expérimentaux (sur des patients) disponibles dans la littérature médicale. On fait aussi aú chapitre A-II une étude bibliographique sur le ronflement d'un point de vue médical et acoustique dans laquelle on rappelle les principaux résultats du rapport de

stage de D.E.A. mentionné ci-dessus.

Pour débuter l'étude de la modélisation du ronflement, on a construit un simple conduit rectangulaire en carton (voir figure ci-dessous) dans lequel on a inséré une lame très flexible (caoutchouc souple, papier ...). En soufflant dans le conduit, on s'est rendu compte que la lame se mettait à vibrer très facilement et que ce mouvement provoquait un bruit semblable à celui du ronflement. Le fait que cette maquette bricolée "ronfle" aussi facilement laisse à penser que le ronflement est un phénomène général se produisant en présence d'un écoulement à chaque fois qu'une lame très souple est insérée dans un conduit et donc que, pour en comprendre le mécanisme, il n'est pas nécessaire de l'étudier avec une géométrie et pour des caractéristiques mécaniques aussi complexes que ceux de l'oro-pharynx.

On s'est donc attaché dans cette étude à une géométrie particulièrement simple : une lame parallélépipédique flexible dans un conduit de section rectangulaire.

La première question à laquelle le modèle de ronflement doit permettre de répondre est : *Pourquoi et dans quelles conditions a-t-on apparition du ronflement ?*

La réponse à cette question est fournie dans la partie B consacrée à l'étude de la stabilité d'une lame souple dans un flux d'air.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Dans le chapitre B-I, on rappelle quelques notions générales sur la stabilité des systèmes dynamiques notamment à un et deux degrés de liberté qui sont utilisés aux chapitres suivants pour expliquer l'apparition du ronflement. Dans l'optique de trouver la description la plus simple possible de l'instabilité d'une lame souple, on étudie au chapitre B-II des modèles d'oscillateur à un degré de liberté couplé à un écoulement instationnaire. Cette étude montre, qu'en raison des ordres de grandeurs, de tels modèles ne sont pas applicables au ronflement. On considère alors, au chapitre B-III, un modèle à deux degrés de liberté mécaniques. Ce modèle est suffisant pour expliquer le mécanisme du ronflement. Il est validé par une étude expérimentale sur maquette. Les conclusions médicales de ce travail sont exposées au chapitre B-IV où les modèles de ronflement et d'apnée sont reliés.

La seconde question à laquelle ce travail s'efforce de répondre est :
Existe-t-il une relation entre la fréquence fondamentale du ronflement et les paramètres physiologiques du ronfleur ?

Cette question a été suggérée par l'étude des signaux de ronflement qui montrait une forte dépendance entre la fréquence du ronflement, la section de passage des voies aériennes et le débit inspiratoire. De plus la fréquence fondamentale est un paramètre simple à extraire du signal de ronflement en temps réel et peut donc permettre des mesures directes sur les patients.

Le comportement de la lame flexible devenue instable et heurtant les parois du conduit est l'objet de la partie C.

Dans le chapitre C-I, ce comportement est étudié expérimentalement. L'écoulement de l'air autour de la lame devient extrèmement complexe mais une relation empirique simple (nombre de STROUHAL constant) est trouvée. Le chapitre C-II est consacré à la modélisation des mouvements dont l'amplitude est limitée par les chocs contre les parois d'abord numériquement puis par un modèle analytique extrèmement simplifié. Dans le chapitre C-III, on indique comment ce travail pourra être exploité dans le cadre d'expériences en cours de réalisation au CHRU d'ANGERS.

## Partie A

# Contexte biomécanique
AVANT-PROPOS

Le but de cette première partie est de servir d'introduction à l'étude
biomécanique du ronflement.

Dans le chapitre A-I, des rappels d'anatomie et de physiologie du système respiratoire humain sont présentés, en focalisant notre attention sur les caractéristiques des voies aériennes supérieures siège du ronflement. Ce chapitre est donc plus particulièrement destiné à ceux des lecteurs qui, comme l'auteur de ces lignes au début de son étude, n'ont comme idées sur la respiration humaine que les quelques souvenirs des cours de sciences naturelles du lycée.

Dans un second chapitre (A-II), deux pathologies respiratoires nocturnes sont détaillées : le syndrome d'apnées obstructives du sommeil et le ronflement. L'étude de la première, bien que n'étant pas directement l'objet de ce travail, apporte des éclaircissements (notamment sur le comportement des parois pharyngées) utiles pour l'étude du ronflement. C'est la raison pour laquelle une modélisation biomécanique simple de l'apnée obstructive a été effectuée. La seconde partie de ce chapitre fait le point des connaisances actuelles sur le ronflement dans les domaines médicaux et acoustiques.
# A CONTEXTE BIOMECANIQUE

## A-I MECANIQUE VENTILATOIRE
Dans ce chapitre, l'appareil respiratoire humain est décrit succintement (voir fig A-1). On s'intéresse principalement à l'aspect physiologique et biomécanique de la respiration. Une modélisation globale du rôle des poumons est suivie d'une description un peu plus poussée des voies aériennes supérieures, et notamment du pharynx, puisque c'est dans cette partie que se produit le ronflement.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>fig A-1 : Appareil respiratoire humain</figcaption></figure>
### A-I-1 MODELE MONOALVEOLAIRE DU POUMON

Le modèle monoalvéolaire du poumon [SOU], [KAY] est une description macroscopique du fonctionnement du poumon dans laquelle les divisions non cartilagineuses sont remplacées par une unique alvéole (voir fig A-2), ce qui permet de relier le débit ventilatoire à la pression totale appliquée au poumon par :

$$p_{tot} = \frac{V}{C_{lw}} + (R_{aw} + R_{lw}) \dot{V} + L \ddot{V} \quad (A-I-1)$$

où $P_{tot}$ est la pression exercée sur l'alvéole par la déformation des muscles respiratoires (diaphragme, muscles intercostaux, muscles abdominaux ...).

$V$ est le volume du poumon ($\dot{V}$ est le débit ventilatoire).

$C_{lw}$ est la compliance du poumon et de la cage thoracique.

$R_{lw}$ est la resistance frictionnelle au déplacement des tissus du poumon et de la cage thoracique.

$R_{aw}$ est la résistance à l'écoulement d'air dans les voies aériennes.

L représente l'inertie totale (ce terme d'inertie est négligé en respiration calme).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>fig A-2 : Modèle monoalvéolaire de poumon</figcaption></figure>

Les coefficients de compliance et de résistance sont des fonctions non linéaires du volume et du débit. La répartition des résistances est donnée dans le tableau A-1 pour une respiration nasale calme.

<table><caption>tableau A-1 : Répartition des résistances respiratoire (pourcentage) pendant une respiration nasale ($\dot{V}$ = 0.4 l/s). [FER]</caption><thead><tr><th></th><th>% exp</th><th>% insp</th></tr></thead><tbody><tr><td>NEZ</td><td>47 (32 à 54)</td><td>54 (41 à 66)</td></tr><tr><td>LARYNX</td><td>10 (6 à 13)</td><td>4 (1 à 7)</td></tr><tr><td>VOIES AERIENNES INFERIEURES</td><td>24 (17 à 35)</td><td>26 (16 à 49)</td></tr><tr><td>RESISTANCES FRICTIONNELLES</td><td>19</td><td>16</td></tr></tbody></table>

On remarque que la résistance nasale représente environ la moitié de la résistance totale. Lors d'une respiration par la bouche, la résistance buccale est inférieure à la résistance nasale mais elle est difficilement mesurable car elle dépend beaucoup de la configuration du conduit.

Dans la pratique, ce modèle est difficilement exploitable car les différents paramètres ($C_{lw}$, $R_{lw}$ ...) sont extrêmement variables d'une personne à l'autre et sont, de plus, sous contrôle nerveux (par exemple, une activité réflexe permet de contracter les muscles dilatateurs du pharynx, pendant l'inspiration, et donc de changer $R_{aw}$). Pour utiliser le modèle monoalvéolaire, il faut donc mesurer tous les paramètres en temps réel sur tous les patients ce qui n'est pas le cas dans cette étude.

Toutefois, ce modèle permet de voir que la pression dans la partie inférieure du pharynx, $p_i$, peut s'écrire, en première approximation (voir fig A-3 pour la définition des notations):

$$p_i = p_{atm} - \frac{\rho}{2} \left(\frac{Q}{S_i}\right)^2 - R_{as} \cdot Q$$

ou, en utilisant la relation (A-I-1) dans laquelle $L = 0$ :

$$p_i = p_{atm} - \frac{\rho}{2} \left(\frac{Q}{S_i}\right)^2 - p_{tot} + \frac{\int_0^t Q dt}{C_{lw}} + (R_{ai} + R_{lw}) Q \quad (A-I-2)$$
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

$$Q = \text{débit} = \dot{V}$$

$R_{as}$ = résistance des voies aériennes supérieures (VAS)

$R_{ai}$ = résistance des voies aériennes inférieures (VAI)

fig A-3 : modèle utilisé pour le calcul de la pression $p_i$

On peut donc dire de la différence de pression $p_i - p_{atm}$ :

- qu'elle ne peut pas être supposée constante au cours d'une inspiration;

- qu'elle est dépendante du débit;

- qu'elle n'est égale à la pression totale (que l'on peut mesurer avec une sonde œsophagienne) que lorsque le débit inspiratoire est nul.

Ainsi le poumon, qui est la source d'énergie des modèles des voies aériennes supérieures, ne peut être modélisé ni comme une source de débit, ni comme une source de pression.

A-I-2 CARACTERISTIQUES PHYSIQUES DES VOIES AERIENNES SUPERIEURES

Les voies aériennes supérieures sont constituées principalement :

- du **larynx** qui est le siège de résistances aériennes importantes (au niveau de la glotte) [BRA]. Son rôle n'est pas fondamental dans le modèle car, lors de l'inspiration, il est en aval de la région étudiée. Sa résistance est donc simplement à ajouter aux résistances pulmonaires et à intégrer au terme de source d'énergie;

- des **cavités nasale et buccale** qui introduisent des résistances au passage de l'air. Celles-ci sont traitées d'un point de vue global (i. e. par leurs résistances totales, impédance d'entrée, ...) plutôt que par le détail de leurs écoulements internes;

- du **pharynx** qui est la partie du conduit respiratoire limité par le larynx, la cavité buccale et la cavité nasale. Le pharynx est très important dans cette étude car c'est dans cette zone que se trouvent les tissus dénués de strutures cartilagineuse ou osseuse et qui peuvent se fermer lors des apnées et vibrer lors des ronflements. On s'intéresserons plus particulièrement au **voile du palais** puisqu'il est très impliqué dans le ronflement.
### A-I-2-1 RESISTANCES NASALES

Le passage nasal permet de conduire l'air de l'extérieur jusqu'au pharynx en le filtrant, en l'humidifiant et en le réchaufant [UZI].

A l'inspiration, l'air pénétre dans le vestibule nasal (voir fig A-4) qui est séparé des fosses nasales par le passage le plus étroit du conduit nasal: l'ostium internum (section ≈ 0.3 cm²). On trouve ensuite les deux fosses nasales, séparées par la cloison nasale, dont les parois latérales sont composées de replis muqueux: les cornets. Le volume de ces cornets (et donc la section de passage de l'air) est variable durant la nuit au cours du cycle nasal (les cornets droits et gauches se congestionnent et décongestionnent tour à tour en gardant une résistance totale relativement constante). Les fosses nasales communiquent avec le nasopharynx par deux ouvertures appelées choanes.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>fig A-4 : photographie d'une coupe longitudinale du nez [TOR]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>fig A-5 : (a) surface des sections transversales du conduit nasal (b) formes correspondates [FEN]</figcaption></figure>

La circulation de l'air à l'intérieur des fosses nasales est complexe du fait de la géométrie (voir fig A-5 différentes sections transversales du conduit nasal) et de la forte courbure générale des filets d'air.

On constate notamment une forte dépendance de la répartition des vitesses avec le débit et avec la variation du débit (par exemple, lors du flairage (débit important en un court laps de temps), les filets fluides sont déviés vers le haut des fosses nasales qui est le siège de l'olfaction [UZI]).

Les visualisations et les mesures sur des moulages de nez de babouin post-mortem [PAT] ainsi que des mesures de pression in-vivo [COL] permettent néanmoins de conclure que :

- les résistances nasales sont plutôt concentrées dans la partie antérieure du conduit nasal (vers l'ostium) [COL],

- le profil des vitesses est assez plat au niveau des choanes [PAT],

- l'écoulement, pour des débits correspondants à la respiration calme, présente des zones laminaires et des zones tourbillonnaires [PAT].
D'autres conclusions, importantes pour cette étude, peuvent être tirées de la mesure de la résistance globale du nez au passage de l'air.

Cette résistance est mesurée par 2 méthodes principales: les rhinomanométries antérieure (fig A-6 (a)) et postérieure (fig A-6 (b)).

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>(b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

— Détermination de la relation pression-débit des fosses nasales par rhinomanométrie antérieure (en haut) et postérieure (en bas). PTG : pneumotachographe permettant de mesurer le débit ventilatoire (V); CP : capteurs de pression différentielle; $P_1$ : pression narinaire mesurée dans le masque ou à l'entrée du pneumotachographe selon le cas; $P_2$ : pression choanale mesurée à l'aide d'une sonde pharyngée ou sur la narine opposée selon le cas; P : différence de pression $P_1 - P_2$. Au-dessus du tracé XY en rhinomanométrie antérieure, est présentée la sortie du micro-ordinateur.

fig A-6 : méthodes de détermination de la résistance nasale: rhinomanométrie antérieure (a) et postérieure (b) [GHA]

En rhinomanométrie antérieure, on mesure le débit et la pression d'entrée dans une narine et la pression dans l'autre qui est bouchée puis on refait ces mesures en inversant le role des narines.

En rhinomanométrie postérieure, on mesure la pression et le débit à l'entrée d'un masque nasal et la pression au fond de la bouche.

La relation de BERNOULLI pour un écoulement unidimensionnel et stationnaire permet d'affirmer que la chute de pression entre 2 points A et B est la somme d'un terme d'inertie ($ρ(U_B^2-U_A^2)/2$) et d'un terme de perte. A condition de mesurer les pressions en des sections de vitesse faible, le terme d'inertie est, ici, négligeable devant le terme de perte. En effet, les chutes de pression communément mesurées sont de l'ordre de 100 Pa [GHA] alors que le terme d'inertie est de l'ordre de 3 Pa (pour un débit de $0.5 \text{ l.s}^{-1}$ et des sections de $4 \text{ cm}^2$ et de $2 \text{ cm}^2$).

Dans ce cas, la résistance ($R = \Delta P/Q$ où Q est le débit ventilatoire) en rhinomanométrie antérieure se déduit des résistances gauche ($R_G$) et droite ($R_D$) par $R^{-1} = R_G^{-1} + R_D^{-1}$ alors qu'en rhinomanométrie postérieure la résistance est calculée directement. Les unités couramment utilisées sont le kPa (ou le cm $H_2O$) pour la pression et le $\text{l.s}^{-1}$ pour le débit.

La résistance obtenue en rhinomanométrie postérieure est supérieure, sur un même sujet, pour un même débit, à celle obtenue par rhinomanométrie antérieure. Ces 2 méthodes ne mesurent pas exactement la même résistance :

- en rhinomanométrie antérieure, on ne mesure que l'influence de la région des cornets, en éliminant par un embout nasal l'influence du vestibule;

- en rhinomanométrie postérieure, on mesure la perte de pression du nez entier mais aussi les pertes dans la région du voile du palais.

On donne souvent la résistance pour un débit fixé. Elle a une valeur moyenne d'environ $0.2 \text{ kPa. l}^{-1} \text{s}$ à $0.5 \text{ l.s}^{-1}$ [GHA].

Cette résistance est aussi mise sous la forme $R = K_1 + K_2 Q$, proposé par ROHRER et qui semble valide pour des nombres de REYNOLDS voisins du régime de transition laminaire-turbulent [JAF], où $K_1$ est considéré comme représentant le domaine laminaire et $K_2$ le domaine turbulent. Dans les unités définies ci-dessus, $K_1$ varie suivant les auteurs de 1,69 à 0.62 et $K_2$ de 3.43 à 1.11 [GHA].

Une alternative est de représenter la perte de charge ($2\Delta p/\rho U^2$) en fonction du nombre de REYNOLDS ($R_e = \rho DU/\mu$) en calculant la vitesse U et le diamètre
### A-I-2-2 ROLE DU PHARYNX DANS LA RESPIRATION

Le pharynx est un conduit s'étendant de la base du crane jusqu'à la bouche de l'œsophage. Il est impliqué dans les fonctions de déglutition, de phonation et de respiration. Seul son rôle dans la respiration est envisagé ici.

On distingue habituellement trois zones dans le pharynx (voir fig A-7) :

- le nasopharynx, de la base du crane au bord inférieur du voile du palais;

- l'oropharynx, du voile du palais au bord supérieur de l'épiglotte;

- l'hypopharynx, de l'épiglotte à la bouche de l'œsophage.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>fig A-7 : coupe sagitale du pharynx [BOS]</figcaption></figure>

Dans la pièce buccale servant à l'amenée de gaz en rhinomanométrie antérieure passive [SUL]. On constate alors que pour des débits faibles le comportement est plutôt laminaire (pente ≈ -1 sur le diagramme de MOODY i.e. Δp proportionnel à Q) alors que pour des débits plus importants le comportement est plutôt "turbulent rugueux" (pente ≈ 0 i.e. Δp proportionnel à Q²).

Cette étude des résistances nasales est intéressante pour le problème des ronflements à deux titres :

- elle permet de connaitre pour un débit d'air donné la dépression qui va régner dans le pharynx. Cette dépression est principalement due à la résistance nasale et conditionne, si on connait la compliance des tissus pharyngés, les sections de passage de l'air dans le pharynx. Dans le cas de section de passage faible, il faut aussi tenir compte des effets d'inertie du fluide (souvent appelés dans la littérature force de BERNOULLI);

- elle permet de penser que l'on peut avoir accès à la résistance velaire en mesurant avec le même appareillage la pression de part et d'autre du voile du palais (rhinomanométrie antérieure et postérieure simultanée), ce qui donnerait une indication du type d'écoulement se produisant dans cette région.
Les parois du pharynx sont composées de muscles recouverts d'une muqueuse (voir fig A-8).

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Posterior view of the anterior pharyngeal structures of the adult. The pharyngeal constrictors and adjacent esophagus have been sectioned and each side drawn laterally. The mucosa has been stripped from the pharyngeal wall on the right side to demonstrate the musculature.

<caption>fig A-8 : vue postérieure du pharynx [BOS]</caption>

Le pharynx est donc flacide et susceptible de se collaber (contrairement aux autres portions des voies aériennes). La forme du pharynx est donc extrèmement variable et elle dépend principalement de :

- l'anatomie propre de chaque patient: des malformations ou des tumeurs peuvent en diminuer le calibre;

- de la position:

* une flexion du cou diminue les sections de passage alors qu'une extention a l'effet inverse [OLS],

* l'ouverture ou la fermeture de la bouche change la forme des voies aériennes supérieures (VAS),

* la position allongée sur le dos diminue les sections des VAS en

déplaçant la langue vers le bas sous l'action de son propre poids;

- des actions mécaniques extérieures: dépression inspiratoire, action du poids sur les tissus ... ;

- des actions musculaires [LAU]:

* action dilatatrice du tenseur du voile, du génioglosse (protrusion linguale), du styloglosse (dilatation du pharynx) ... ,

* action constrictrice de l'élévateur du voile, des 3 constricteurs pharyngés ... .

On suppose que le maintien de l'ouverture pendant l'inspiration résulte de l'équilibre entre la dépression inspiratoire et l'action des muscles dilatateurs [REM 1]. On constate, par exemple, une activation du génioglosse lors de l'inspiration [SAU]. Toutefois les auteurs ne s'accordent pas sur l'importance relative des 2 effets: certains ont constaté une augmentation du calibre pharyngé lors d'une inspiration chez un sujet éveillé [BRO] et d'autres une diminution [COL].

L'action de ces muscles peut être diminuée ou abolie soit par diminution du tonus musculaire (anesthésie générale, alcool, sommeil ...), soit par inactivation des récepteurs qui contrôlent le flux respiratoire (anesthésie locale des récepteurs, arrêt du flux respiratoire, pression positive continue ...).

On appelle, par la suite, compliance des VAS le rapport entre la variation de section et la pression pharyngale nécessaire pour entrainer cette variation (en général en mm². (cm H₂O)⁻¹).

Les sections du pharynx peuvent être mesurées de différentes manières :

- réflexion acoustique [BRO]: cette méthode a le défaut de nécessiter une respiration buccale.

- radiographie (scanner [SHE], RMN [ABB], ...): ces procédés, bien que donnant des images intéressantes (voir fig A-9), demandent un matériel lourd et peuvent difficilement être appliqués à des sujets endormis.
- endoscopie [REM 2]: Cette méthode peut se pratiquer chez des sujets endormis.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

fig A-9 : image obtenue par RMN montrant la dilatation du pharynx sous l'action d'une pression positive continue (l'image a été obtenue en 5 mn, il s'agit donc d'un moyennage sur plusieurs cyles respiratoires) [HOF].

Le problème de la mesure de la compliance provient du fait que cette dernière est très liée à l'activité musculaire, laquelle est difficilement contrôlable lors de l'évaluation des sections. Pour pallier cet inconvénient, REMMERS et coll [REM 2] ont imaginé un protocole permettant d'effectuer la mesure de la section en l'absence supposée d'activité des muscles pharyngés et donnant donc la section des VAS en fonction de la pression appliquée (voir fig A-10)

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

fig A-10 : vues endoscopiques du pharynx et courbes surface-pression [LAU]

On trouve peu de valeurs de compliance dans la littérature (elle varie de 25 à 30 mm². (cm H₂O)⁻¹ chez l'un des patients étudiés par REMMERS et coll et de 5 à 18 mm². (cm H₂O)⁻¹ chez l'autre [REM 2]). Les études de variation des sections pharyngées [BRO] et de pression de fermeture du pharynx [ISS] montrent, sans la chiffrer, que la compliance est plus grande chez les ronfleurs que chez les non-ronfleurs et qu'elle est encore plus importante chez les personnes qui font des pauses respiratoires nocturnes (apnées du sommeil).

Pour en terminer avec ces quelques aspects du comportement biomécanique du pharynx, il convient de rappeler que ses parois sont recouvertes de mucus. Celui-ci peut faire varier le calibre des VAS mais il a surtout un rôle important lors de la fermeture du pharynx :

Si le pharynx se ferme et s'il s'exerce une force F, sur une des parois, tendant à le réouvir (voir fig A-11(a)), alors, du fait de la grande viscosité du mucus, il va se créer au sein de celui-ci une dépression qui peut éventuellement atteindre la pression de cavitation. Quand on parvient à cette pression, il se produit un détachement brutal des deux parois (voir fig A-11(b)). Cette séparation brusque crée une onde de pression typique de ce genre de situations (par exemple, le "BOP" lors de l'ouverture d'une bouteille de vin ou le claquement de la langue).

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

fig A-11 : schéma indiquant le rôle du mucus dans la réouverture de parois collabées
### A-I-2-3 VOILE DU PALAIS

Le voile du palais est un rideau musculaire accroché au bord postérieur du palais osseux et aux parois latérales du pharynx. Au centre de son extrémité postérieure libre pend une petite excroissance conique : la luette [STĂ]. Le voile du palais permet l'occlusion partielle ou totale du conduit nasal au niveau du nasopharynx. Il est impliqué dans la phonation, la déglutition et la respiration [MAR].

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>fig A-12 : Vue postérieure du voile montrant les différents muscles [LUN]</figcaption></figure>

Cinq muscles font varier la position du voile du palais (voir fig A-12) :

- muscle levator veli palatini : Son action est d'élever le voile du palais et donc de permettre la fermeture du conduit nasal.

- muscle tensor veli palatini : Son action est discutée. Certains pensent qu'il sert à raidir le voile d'autres pensent qu'il ne sert qu'à dilater les trompes d'Eustache.

- musculus uvulae : Il est responsable d'un épaississement du voile assurant une parfaite application de celui-ci contre la paroi postérieure du pharynx lors de l'occlusion vélo-pharyngée.

- muscle palato-glossus : Il permet d'abaisser le voile du palais en l'appliquant contre la langue.

- muscle palato-pharyngeus : sert principalement à réduire le diamètre du pharynx tout en le tirant vers le haut.

Les études électromyographiques sur le fonctionnement de ces muscles pendant la respiration sont peu nombreuses et ne permettent pas de se faire une idée satisfaisante de l'état des contraintes musculaires dans le voile au cours du sommeil.

Les seules données biomécaniques dont on dispose sur le voile du palais sont donc des données d'ordre géométrique (voir fig A-13). Elles sont, elles-mêmes, sujettes à des variations en fonction du tonus musculaire et de la pression régnant dans la région vélopharyngée.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 2. Dimension of soft palate (adult)</figcaption></figure>

H. P. (hard palate) S. P. (soft palate) U (Uvula)

A. P. (anterior pillar) p. p. (posterior pillar)

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 3. Dimension of oropharynx</figcaption></figure>

U. (uvula) R. U. (root of uvula) A. P. (anterior pillar)

P. P. (posterior pillar) P. P. W. (posterior pharyngeal wall)

D. T. (dorsum of tongue)

### DIMENSIONS OF OROPHARYNX (SOFT PALATE & UVULA)

The dimensions of oropharyngeal anatomy, soft palate, uvula and oropharyngeal space are illustrated in figures (2, 3). These measurements represent the mean value of oropharyngeal dimension based on the study of 50 Japanese adults.

The antero-posterior dimension of hard palate 50 mm

The antero-posterior dimension of soft palate 40 mm

(Distance from the posterior margin of the hard palate to the root of the uvula)

The uvula length 10 mm

The uvula width 7 mm

The width of posterior pillar 4 mm

The oropharyngeal dimension during phonating "Ah" (Fig. 3)

The distance between the root of uvula and the dorsum of tongue 30 mm

The distance between the right and left anterior pillar (arch) 30 mm

The distance between the right and left posterior pillar (arch) 30 mm

The distance between the right and left posterior pillar (arch) 20 mm

The distance between the posterior sufrace of uvula and the posterior pharyngeal wall 10 mm

The distance between the posterior sufrace of uvula and the posterior pharyngeal wall 10 mm

<caption>fig A-13 : données géométriques du voile du palais [IKE]</caption>
# A CONTEXTE BIOMECANIQUE

## A-II PATHOLOGIE RESPIRATOIRE NOCTURNE
On s'intéresse dans ce chapitre à deux pathologies respiratoires nocturnes paticulières: le syndrome d'apnées du sommeil et le ronflement.

Ces deux pathologies, si tant est que le ronflement puisse être considéré comme une maladie, sont très liées. Elles proviennent toutes deux d'une déformation des tissus mous du pharynx (on parle ici uniquement des apnées obstructives, par opposition aux apnées centrales qui proviennent d'une absence de mouvement ventilatoire). Certains pensent même qu'il s'agit d'une pathologie unique, qu'ils ont baptisée ronchopathie, dont la forme bénigne serait le ronflement simple et la forme grave, le syndrome d'apnées du sommeil.

On étudie donc tout d'abord le syndrome d'apnées du sommeil dont on propose un modèle biomécanique très simplifié qui sert, par la suite, dans le modèle de ronflement. On fait ensuite un tour d'horizon, aussi complet que possible, des connaissances actuelles sur le ronflement.
A-II-1 SYNDROME D'APNEES DU SOMMEIL

Tout un chacun peut connaitre de courts arrêts respiratoires au cours du sommeil. Pour distinguer ces pauses respiratoires "normales" des pauses respiratoires pathologiques, on définit conventionnellement une **apnée du sommeil** comme un arrêt du flux respiratoire au cours du sommeil durant plus de 10 secondes.

Les personnes présentant un grand nombre d'apnées ( plus de 10 apnées/heure), associées à une désaturation importante du sang en oxygéne et à une perturbation du rythme du sommeil, sont dites atteintes d'un syndrome d'apnées du sommeil (SAS).

La conséquence la plus importante du SAS est la somnolence diurne, allant d'une simple fatigue chronique à des endormissements intempestifs. L'hypertension artérielle et le SAS coexistent souvent chez les mêmes sujets, suggérant l'existence d'un lien entre ces deux pathologies [ORC].

Seul l'enregistrement polygraphique nocturne, complété par une exploration fonctionnelle respiratoire et par un questionnement du patient, permet de faire un diagnostic sûr du SAS. Il comprend [KRI]:

- une analyse de la ventilation

Une indication du débit ventilatoire est donnée soit par mesure directe du débit (thermistances, pneumotachographes ...), soit par l'analyse des sons trachéaux qui sont très corrélés au débit ventilatoire [CUM, MES 1].

- une analyse des efforts inspiratoires

Cette mesure s'effectue soit par détermination de la pression œsophagienne, soit, plus simplement, à l'aide de bandes thoracique et abdominale qui indiquent la présence de mouvements respiratoires.

- une analyse de la répercution des apnées

Elle s'effectue principalement par un électrocardiogramme (ECG), permettant d'observer d'éventuels troubles du rythme cardiaque, et par la mesure de la saturation oxyhémoglobinée ($SaO_2$), permettant de

mesurer l'influence des troubles ventilatoires sur l'oxygénation sanguine.

- une analyse du sommeil

Un électroencéphalogramme (EEG), un électromyogramme (EMG) et un électroocculogramme (EOG) permettent d'identifier les différents stades de sommeil au cours de la nuit.

Tous ces renseignements analysés sur une nuit complète, manuellement ou informatiquement, permettent de diagnostiquer et de caractériser le SAS.

Deux grandes familles de thérapies sont alors proposées à ces patients : la chirurgie et le traitement instrumental.

La chirurgie cherche à agrandir les sections de passage de l'air dans le pharynx. La principale intervention proposée est l'uvulo-palato-pharyngoplastie (UPP) pendant laquelle est pratiquée une ablation du tissu vélo-pharyngé en excès (principalement le voile du palais) [FUJ]. Ce traitement a un taux de succès voisin de 50% [CHA].

Le principal traitement instrumental du SAS consiste à insuffler de l'air sous pression dans un masque nasal appliqué sur le visage du patient. Cette technique s'appelle traitement par pression positive continue (PPC) et nécessite, chez la majorité des patients traités, des pressions de l'ordre de 7 à 15 cm.H₂O. Le taux de succès est de 100% chez les personnes acceptant la lourde contrainte de dormir ainsi appareillées pour le reste de leurs jours [ROD].

L'explication habituellement donnée à l'existence des apnées est la suivante :

lorsque le débit ventilatoire est nul, les VAS sont normalement ouvertes. Pendant l'inspiration, la pression à l'intérieur du pharynx devient inférieure à la pression atmosphérique. Les parois ont alors tendance à se rapprocher du fait de leur élasticité. Une activité réflexe des muscles dilatateurs du pharynx a tendance, dans le même temps, à ouvrir les VAS pendant l'inspiration. Chez les sujets sains, l'effet de dilatation est supérieur à l'effet de fermeture. Chez les
sujets apnériques le facteur mécanique est, au contraire, supérieur au facteur neural [REM 1, THA]. Il se produit alors un rétrécissement des sections de passage du pharynx conduisant soit à des hypnopnées (diminution de plus de 50% du débit ventilatoire) ou à des apnées (occlusion complète des VAS).

Les facteurs accroissant la tendance au collapsus sont donc [LAU]:

- les résistances nasales augmentées

A débit constant, une résistance nasale augmentée nécessite une dépression inspiratoire plus importante et donc favorise la diminution de calibre des VAS.

- une activité musculaire diminuée

La compliance des tissus pharyngés est modulée par l'activité musculaire. Toute diminution de cette activité (sommeil, absorption d'alcool ou de sédatifs, grande fatigue ...) augmente donc la tendance à l'apnée.

- une réduction des sections de passage

Des malformations (hypertrophie amygdalienne, macroglossie, tumeur, dépots adipeux ...) et certaines positions (décubitus dorsal, flexion du cou ...) peuvent réduire le calibre des VAS, ce qui entraine une augmentation de l'effet Venturi, et favorise la tendance à la fermeture du pharynx.

C'est sur ce dernier point que jouent les thérapies, citées plus haut, en augmentant les sections de passage soit par exérèse des tissus en excès soit par dilatation des VAS avec la surpression de la PPC (voir fig A-9).

### A-II-2 MODELISATION D'UNE APNEE OBSTRUCTIVE

On propose, dans ce paragraphe, un modèle simplifié d'apnée obstructive du sommeil se produisant dans la région vélopharyngée à partir d'un rétrécissement initial dû à l' affaissement de la langue dans le fond de la bouche sous l'action de son propre poids (voir fig A-14).

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>fig A-14 : coupe sagitale montrant la localisation d'un rétrécissement vélopharyngé (entre S<sub>E</sub> et S<sub>S</sub>).</figcaption></figure>

### A-II-2-1 HYPOTHESES DU MODELE

La géométrie des VAS étant assez compliquée, on commence donc par des hypothèses relatives à la forme du conduit.

On suppose que le conduit respiratoire, au niveau de la constriction, a la forme d'un parallélépipède rectangle (longueur L x largeur b x hauteur h). On fait aussi l'hypothèse que, lors de la variation de la dépression intraluminale, la longueur L et la largeur b restent fixes alors que la hauteur h varie. Cette hypothèse est validée chez certains sujets par des vues endoscopiques (voir fig A-10) alors que pour d'autres personnes le mécanisme d'occlusion semble plutôt de type sphincterien (variation de h et b). Dans la suite On prend L = 2 cm et b = 3 cm.

L'amenée d'air (entre S<sub>N</sub> et S<sub>E</sub>) est considérée suffisamment régulière pour
pouvoir y négliger les pertes de charge. On modélise la sortie (entre $S_s$ et $S_p$) par un évasement brusque conduisant à des pertes de charges singulières.

La variation de la hauteur $h$ avec la dépression est supposée linéaire (ce qui équivaut à considérer une compliance pharyngée constante). Cette évolution est caractérisée par $h_0$, la hauteur en l'absence de dépression, et par $\Delta p_f$, la dépression nécessaire à la fermeture du conduit.

Ces hypothèses conduisent au modèle géométrique représenté fig A-15.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>fig A-15 : modèle géométrique du rétrécissement vélopharyngé</figcaption></figure>

L'écoulement de l'air à l'intérieur des VAS est trop complexe pour être traité analytiquement de façon complète. On fait donc aussi quelques hypothèses sur le comportement du fluide.

L'écoulement est considéré comme plan. En effet, les données expérimentales sur des écoulements laminaires dans des conduits rectangulaires [WHI] montrent que l'influence de la largeur, dans ce type de conduits, reste faible tant que la largeur est supérieure à 5 fois la hauteur. Donc cette approximation est valide tant que $h$ ne dépasse pas $b/5$ soit, ici, 6 mm.

On définit alors un nombre de REYNOLDS $Re = U.h/v$ où U est la vitesse moyenne du fluide dans l'étranglement et $v$ la viscosité cinématique de

l'air que l'on prend égale à 15 cSt. Le nombre de REYNOLDS peut aussi s'exprimer en fonction du débit $Q$, il vaut alors $Re = Q/b.v$. On constate donc, qu'à débit fixé, $Re$ est indépendant de $h$ et vaut 1200 pour un débit de $0.6\ 1.s^{-1}$. On peut donc supposer qu'il existe au niveau de l'étranglement un écoulement laminaire tant que le débit inspiratoire ne dépasse pas $0.6\ 1.s^{-1}$, ce qui est le cas ici.

Dans la section d'entrée le profil des vitesses est supposé plat. En effet, on a déjà vu (§ A-I-2-1) que le profil des vitesses est plutôt plat à la sortie du nez (au niveau des choanes) et, de plus, la section d'entrée de l'étranglement est précédée d'un convergent qui a pour effet d'aplatir encore ce profil.

L'étude de l'écoulement d'air au travers d'un conduit rectangulaire, pour des valeurs de débit semblables à celles que l'on a ici, a déjà été réalisée au niveau du larynx dans le cadre des recherches sur la production de la parole. Ces recherches ont été initiées par les travaux expérimentaux de VAN DEN BERG et coll dans les années 50 [BER]. Une première modélisation de l'écoulement a été réalisé par ISHIZAKA et MATSUDAIRA en 1972 [ISH]. Ils ont comparé 2 modèles: le premier est basé sur le développement d'une couche limite laminaire à l'entrée de la glotte et le second sur la formation d'une vena contracta à cette même entrée. Il est intéressant de remarquer que ces deux modèles donnent des résultats qualitativement et quantitativement très proches. Des travaux expérimentaux plus récents [SCH] permettent d'affirmer que le modèle d'ISHIZAKA et MATSUDAIRA est une bonne première approximation de l'écoulement même s'il aurait besoin de quelques ajustements pour tenir compte des effets de convergence et de divergence de la glotte [MIL].

On adopte dans la suite le modèle de développement de la couche limite d'ISHIZAKA et MATSUDAIRA en considérant que le profil parabolique laminaire a la distance suffisante pour s'établir. Cette dernière hypothèse est faite pour pouvoir mener les calculs analytiquement jusqu'au bout et elle est valide quand $L > 0.028.h.$ Re [ISH] soit: $h.Q < 35.71.v.L.b$.
### A-II-2-2 DETERMINATION DE LA RELATION PRESSION-DEBIT

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>fig A-16 : répartition de pression dans l'étranglement</figcaption></figure>

On a vu que la pression à la sortie du nez pouvait se mettre sous la forme :

$$P_N = p_{ext} - K_1 \cdot Q - K_2 \cdot Q^2 \quad (A-II-1)$$

où $K_1$ et $K_2$ sont les coefficients de ROHRER pour lesquels on prend les valeurs données par GHAEM et MARTINEAUD [GHA] (après les avoir ramenées en unités SI) : $K_1 = 1.34 \ 10^5 \text{ Pa.m}^{-3} \cdot \text{s}$ et $K_2 = 1.11 \ 10^8 \text{ Pa.m}^{-6} \cdot \text{s}^2$.

La pression d'entrée $p_E$ est donnée par le théorème de BERNOULLI :

$$p_E = p_N - \frac{1}{2} \rho U^2 = p_N - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{Q}{b \cdot h} \right)^2 \quad (A-II-2)$$

La pression en un point M de l'étranglement distant de x de l'entrée est donnée par :

$$p_x = p_E - \frac{1}{2} \rho ( \alpha_R + \alpha_s ) \left( \frac{Q}{b \cdot h} \right)^2 \quad (A-II-3)$$

où $\alpha_s$ est due au développement de la couche limite et a pour valeur 0.568 [ISH] (cette perte est supposée concentée à l'entrée)

- $\alpha_R$ est due aux pertes régulières par viscosité et est donnée par la loi de POISEUILLE : $\alpha_R = \frac{24 b \nu x}{Q h}$.

La hauteur h étant faible devant la hauteur de la section $S_p$, on suppose donc, par simplicité, qu'à la sortie tout se passe comme si l'étranglement débouchait dans l'espace infini et on a donc $p_s = p_p$.

La pression inspiratoire peut donc s'écrire :

$$p_p = p_{ext} - \left( K_1 + \frac{12 \rho \nu L}{b h^3} \right) Q - \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right) Q^2 \quad (A-II-4)$$

En notant $\Delta p$ la dépression inspiratoire relative ($\Delta p = p_{ext} - p_p$), la relation (A-II-4) permet de déterminer Q en fonction de h et $\Delta p$ :

$$Q = \frac{\sqrt{\left( K_1 + \frac{12 \rho \nu L}{b h^3} \right)^2 + 4 \Delta p \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right) - \left( K_1 + \frac{12 \rho \nu L}{b h^3} \right)}}{2 \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right)} \quad (A-II-5)$$

où l'on peut constater que $Q = \frac{\Delta p b h^3}{12 \rho \nu L} + O(h^6)$ quand h est voisin de 0, alors que Q est seulement donné par les résistances nasales quand h est grand. Les courbes représentant Q fonction de h sont données fig A-17 pour 2 valeurs de $\Delta p$.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>fig A-17 : Débit en fonction de la hauteur du passage pour 2 valeurs de $\Delta p$</figcaption></figure>
La variation de pression étant linéaire le long de la partie mobile, la pression moyenne appliquée ($p_m$) est donnée par :

$$p_m = p_P + \frac{6 \rho v L}{b h^3} Q = p_{ext} - \Delta p + \frac{6 \rho v L}{b h^3} Q \quad (A-II-6)$$

En notant $\Delta p_a$ la dépression moyenne appliquée sur la partie en mouvement ($\Delta p_a = p_{ext} - p_m$), la relation (A-II-6) devient :

$$\Delta p_a = \Delta p - \frac{6 \rho v L}{b h^3} Q \quad (A-II-7)$$

On peut remarquer que $\Delta p_a$ tend vers $\Delta p/2$ quand $h$ tend vers 0 et vers $\Delta p$ quand $h$ devient grand.

On a donc une relation donnant la dépression appliquée en fonction de la dépression inspiratoire et de la hauteur du passage. La masse en mouvement doit être en équilibre sous l'action de cette dépression et de l'effort de réaction des tissus donnés par la compliance. La réaction des tissus peut se mettre sous la forme :

$$\Delta p_r = \Delta p_f \left( 1 - \frac{h}{h_0} \right) \quad (A-II-8)$$

où - $\Delta p_r$ est la dépression nécessaire par rapport à la pression extérieure (pression sans écoulement) pour avoir une hauteur $h$,
- $\Delta p_f$ est la dépression nécessaire à la fermeture du conduit,
- $h_0$ est la hauteur au repos ($\Delta p_r = 0$).

La condition d'équilibre est donc :

$$\Delta p_r = \Delta p_a \quad (A-II-9)$$

Les courbes donnant $\Delta p_a$ en fonction de $h$ pour 3 valeurs de $\Delta p$ sont données fig A-18, pour la valeur des paramètres indiquée précédemment ($b = 3$ cm, $\rho = 1.3 \text{ kg.m}^{-3}$, $v = 15 \text{ cSt}$, $L = 2$ cm, $K_1 = 1.34 \times 10^5 \text{ Pa.m}^{-3}\text{s}$, $K_2 = 1.11 \times 10^8 \text{ Pa.m}^{-6}\text{s}^2$).

On a tracé sur le même diagramme, à la même échelle, $\Delta p_r$ en fonction de $h$ (en prenant $h_0 = 3$ mm et $\Delta p_f = 690 \text{ Pa} = 6.9 \text{ cm.H}_2\text{O}$). Les valeurs à

l'équilibre s'obtiennent par intersection de ces courbes, conformément à la relation (A-II-9). Par résolution numérique de cette équation, on détermine la hauteur $h$ en fonction de $\Delta p$. Le débit peut alors être déterminé à l'aide de la relation (A-II-5). Les courbes donnant le débit $Q$ et la hauteur $h$ en fonction de la dépression inspiratoire sont tracées fig A-19 pour la valeur des paramètres indiquée ci-dessus.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

fig A-18 : tracé de la dépression moyenne appliquée en fonction de la hauteur et de la droite équivalente à la compliance des tissus (La valeur des différents paramètres est indiquée dans le texte).

### A-II-2-3 DISCUSSION DE LA RELATION PRESSION-DEBIT

On présente, sur la fig A-19, les résultats du modèle pour 2 configurations :

- dans les deux cas, $b = 3 \text{ cm}$, $\rho = 1.3 \text{ kg.m}^{-3}$, $v = 15 \text{ cSt}$, $L = 2 \text{ cm}$, $K_1 = 1.34 \times 10^5 \text{ Pa.m}^{-3}\text{s}$, $K_2 = 1.11 \times 10^8 \text{ Pa.m}^{-6}\text{s}^2$ (valeurs du paragraphe précédent);
maximum $Q_m$ atteint pour une dépression inspiratoire $\Delta p_f$. Le débit diminue ensuite et s'annulle pour une dépression de $2\Delta p_f$. On a donc affaire à un phénomène de limitation du débit provenant de la diminution de hauteur au niveau de l'étranglement.

La courbe donnant la hauteur h en fonction de la dépression inspiratoire présente des caractéristiques différentes pour chacun des deux cas :

- dans le premier cas, h diminue tout d'abord suivant une droite $h = h_0(1 - \Delta p/\Delta p_f)$ indiquant ainsi que les pertes par friction sont négligeables dans cette zone. En effet, en négligeant les pertes régulières devant $\Delta p$, la relation (A-II-7) montre que la dépression appliquée à la partie mobile est égale à la dépression inspiratoire ($\Delta p$). Les relations (A-II-8) et (A-II-9) donnent alors l'équation de la droite indiquée ci-dessus. Quand les pertes par friction deviennent plus importantes, la diminution de h est moins rapide. h s'annulle finalement pour une dépression de $2\Delta p_f$;

- dans le second cas les pertes par friction sont de l'ordre de $\Delta p$ quelle que soit la hauteur h. La dépression à l'entrée est donc négligeable devant la dépression inspiratoire. La diminution de pression étant linéaire le long de la partie mobile, la dépression appliquée vaut $\Delta p/2$ et la diminution de h est donc voisine de la droite $h = h_0(1 - \Delta p/2\Delta p_f)$, comme on peut le constater sur la fig A-19 (b).

L'importance relative des effets visqueux est donnée par la comparaison de la chute de pression due aux frictions et du terme de perte nasale $K_1 Q$. Ceci permet de prédire que les effets visqueux sont prépondérants si $h^3$ est très inférieur à $12 \rho v L / b K_1$ soit $1.16 \text{ mm}^3$ dans l'exemple ci-dessus. Cette condition est bien remplie quel que soit h dans le cas 2 et pour $h < 1 \text{ mm}$ dans le cas 1. Si $h^3$ est, au contraire, très supérieur à $12 \rho v L / b K_1$ les effets visqueux sont négligeables, c'est ce qui se produit dans le cas 1 lorsque la décroissance de h est linéaire.

Le calcul du débit maximal $Q_m$ quand les pertes par frictions sont: soit négligeables, soit prépondérantes montre que :

- le maximum de débit se produit pour $\Delta p_m \approx \Delta p_f/2$. Cette relation est

- dans le premier cas (fig A-19 (a)), l'ouverture initiale $h_0 = 3 \text{ mm}$ et la pression de fermeture $\Delta p_f = 690 \text{ Pa}$ (valeurs du paragraphe précédent);

- dans le second cas (fig A-19 (b)), $h_0 = 0.5 \text{ mm}$, $\Delta p_f = 115 \text{ Pa}$.

Ces 2 configurations présentent donc une compliance ($h_0/\Delta p_f$) identique.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

fig A-19 : courbes débit-dépression et hauteur-dépression données par le modèle pour 2 configurations: (a) $\Delta p_f = 690 \text{ Pa}$, $h_0 = 3 \text{ mm}$; (b) $\Delta p_f = 115 \text{ Pa}$, $h_0 = 0.5 \text{ mm}$. La valeur des autres paramètres est donnée dans le texte.

On peut remarquer, dans les deux cas, que le débit augmente jusqu'à un
exacte quand les pertes frictionnelles sont prépondérantes et approximativement valide pour une large gamme de paramètres, incluant les valeurs physiologiques, dans l'autre cas ($0.4 \Delta p_f < \Delta p_m < 0.6 \Delta p_f \Leftrightarrow 0.18 < \frac{4 b^2 h_0^2 K_1^2}{1.568 \rho \Delta p_f} < 22.5$).

- le débit maximal décroit légèrement lorsque les résistances nasales augmentent, dans la gamme des valeurs physiologiques (voir fig A-20).

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

fig A-20 : Variation du débit maximal atteint ($Q_m$) en fonction des résistance nasales (K1). Les plages de variation de K1 chez les sujets témoins et ronfleurs ou apnériques sont tirées de MESLIER et coll [MES 2]. La valeur des autres paramètres est données dans le texte.

- lorsque l'on fait varier la pression de fermeture $\Delta p_f$ à compliance constante (✓ $h_0$ varie aussi), en gardant les autres paramètres constants, la variation de $Q_m$ est proportionnelle à $(\Delta p_f)^4$ quand $\Delta p_f$ est faible (pertes régulières importantes) puis à $(\Delta p_f)^{1.5}$ quand $\Delta p_f$ est important (pertes régulières négligeables) (voir fig A-21). On peut remarquer que le changement de $\Delta p_f$ peut être interprété comme un changement de la

pression à l'entrée du nez sans changement de la pression extérieure appliquée à la partie mobile et ainsi être assimilé à une variation de pression, à compliance constante, lors d'une mise sous PPC (pression positive continue). Dans le cas de sujets présentant un syndrome d'apnée du sommeil, les VAS peuvent être collabées en l'absence de dépression inspiratoire ce qui équivaut à considérer, dans notre modèle, une pression de fermeture en l'absence de pression appliquée ($\Delta p_{f0}$) négative. Le débit apparaît alors quand la pression extérieure appliquée ($p_{PPC}$) est égale, en valeur absolue, à $\Delta p_{f0}$. La figure A-21 peut donc être interprétée comme la variation du débit maximal avec la somme de la pression appliquée lors d'une mise sous PPC et de la pression de fermeture en l'absence de PPC ($p_{PPC} + \Delta p_{f0}$).

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

fig A-21 : Variation du débit maximal atteint ($Q_m$) en fonction de la pression de fermeture ($\Delta p_f$), à compliance constante ($h_0/\Delta p_f = 0.435 \text{ mm. (cm H}_2\text{O)}^{-1}$). La valeur des autres paramètres est données dans le texte.
A-II-2-4 VERIFICATION EXPERIMENTALE DU MODELE

Pour valider ce modèle, on a réalisé un dispositif expérimental représenté fig A-22. Les voies aériennes supérieures (VAS) sont assimilées à un conduit rectangulaire de largeur b = 4.45 cm. La partie amont de ce dispositif peut être réglée de façon à créer un étranglement, générateur de pertes de charges, qui modélise l’écoulement dans le nez. La partie centrale supérieure peut coulisser dans le conduit auquel elle est reliée par un ressort, modélisant ainsi la partie collabable des VAS. Sous l’action de la dépression la hauteur h (entre la partie coulissante et la partie fixe) varie de $h_0$ (hauteur initiale que l’on peut régler) à 0 (conduit fermé). Ce déplacement est mesuré à l’aide d’un comparateur placé sur la surface supérieure de la partie mobile. La pression peut être mesurée en 4 points (repérés $P_1, P_2, P_3$ et $P_4$ sur la fig A-22) par l’intermédiaire de trous de diamètre 0.6 mm perçés sur une des faces latérales du dispositif et reliés à un manomètre numérique (BERI DP 200).

Ce dispositif est fixé sur un réservoir de régularisation de 0.125 m³ (voir fig A-23) dans lequel régne une dépression variant de 0 à 500 mbar par rapport à la pression atmosphérique. Cette dépression est réalisée à l'aide d'une pompe à vide (PIAB L 250 D) fonctionnant (sur le principe des trompes à eau) grâce à de l'air comprimé. La courbe dépression-débit de cette pompe est fournie fig A-24. La dépression dans le réservoir peut être réglée soit en jouant sur la pression d'alimentation de la pompe soit en aspirant directement de l'air extérieur par l'intermédiaire d'un système de vannes. Le débit passant dans le dispositif expérimental est mesuré à l'aide de 2 rotamètres KOBOLD (KMS 0.15 : débit 0.8 à 5 m³.h⁻¹ et KMS 1 : débit 4 à 30 m³.h⁻¹) qui ont été calibrés à l'aide d'un compteur à gaz.

Au cours du réglage du système, on s'est apperçu que le conduit se fermait brutalement lorsque la dépression dans le réservoir atteignait la valeur correspondant au débit maximal dans le dispositif expérimental. En effet, lorsque l'on dépasse cette valeur, une augmentation de la dépression dans le réservoir conduit à une diminution du débit qui, étant donné les caractéristiques de la pompe, conduit à une augmentation de la dépression dans le réservoir et ainsi de suite jusqu'à un débit nul qui correspond à un conduit entièrement fermé (voir § B-I-3-b pour une description plus complète de cette instabilité).

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>fig A-22 : Representation du dispositif expérimental</figcaption></figure>
Pour pallier ce problème on a construit un limiteur de pression réglable permettant de maintenir une dépression $P_4$ constante. Lorsque ce limiteur est en action, une partie du débit mesuré au niveau des rotamètres ne provient pas du dispositif de mesure. On a donc été amené à faire une première série de mesure en bloquant la partie mobile à l'aide de cales et en mettant le limiteur de pression hors circuit.

Ces mesures montrent :

- que la pression $P_1$ ne dépend que du débit sauf pour des valeurs faibles de h ($h \le 0.25$ mm) où des fuites se produisent entre la partie mobile et les parois fixes dans le jeu nécessaire au bon coulissement. La relation entre $P_1$ et le débit Q peut se mettre sous la forme $P_1 = K_1 \cdot Q + K_2 \cdot Q^2$ avec une précision < 5 % quand $h > 0.25$. La pression $P_1$ peut donc permettre le calcul du débit quand les débitmètres sont inopérants.

- que les pressions $P_3$ et $P_4$ sont égales (avec une précision toujours supérieure à 5 %). L'hypothèse de formation de jet et de pertes d'inertie à la sortie de l'étranglement est donc valide.

- que la relation entre $P_3 - P_1$ (pertes dans l'étranglement) et Q est moins simple que celle indiquée par la relation A-II-3. L'hypothèse de développement complet de la couche limite laminaire n'est valide que pour des débits faibles quand h est grande (pour h = 1 mm le débit maximal de validité de l'hypothèse est $1.7 \text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}$), on est donc en dehors des limites de validité des hypothèses pour un nombre important des points mesurés. De plus le nombre de REYNOLDS critique de 1200 est atteint quand le débit dépasse $5 \text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}$ ce qui est aussi le cas d'un certain nombre de points de mesure. La dépression $P_4$ que l'on peut calculer à l'aide de la relation A-II-4 pour différentes valeurs de h est tracée sur la figure A-25 (courbes) et elle est comparée aux mesures (symboles). Le fait que les valeurs calculées soient supérieures aux valeurs expérimentales montre bien que l'on a surévalué les pertes de charges ou que l'on a fait une erreur sur la mesure de h. L'accord théorie-expérience est donc meilleur pour une valeur plus faible du coefficient de pertes de charge singulières d'entrée ($\alpha_s = 0.3$ au lieu de 0.568) ce qui revient à considérer un développement non complet de la couche limite (en simplifiant encore beaucoup le problème).

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>fig A-23 : Vue générale de l'installation expérimentale</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>fig A-24 : courbe débit-pression de la pompe PIAB L 250 DD</figcaption></figure>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>fig A-25 : comparaison de la pression P₄ calculée à l'aide de la relation A-II-4 (courbes) et de la pression P₄ mesurée (symboles), pour différentes valeurs de h en fonction du débit Q.</figcaption></figure>

La seconde série de mesure a été faite en libérant la partie coulissante.

Dans un premier temps, les mesures ont été faites à débit nul pour déterminer la raideur de l'ensemble ressort-comparateur. Dans tous les cas, la décroissance de h est proportionnelle à la pression et peut être caractérisée par h₀, la hauteur en l'absence de pression, et par Δpₜ, la pression statique nécessaire à la fermeture du conduit.

Dans un second temps, les mesures ont été faites en présence d'un débit en relevant la valeur des différentes pressions ainsi que la hauteur h.

Les résultats sont donnés sur la fig A-26 quand h₀ = 3 mm et Δpₜ = 15.5 mbar (= 1550 Pa = 15.5 cm.H₂O). On constate un bon accord qualitatif entre l'expérience (points) et la théorie (courbes) :

- les débits maximal et nul sont, comme prévu, atteints pour des dépressions voisines respectivement de Δpₜ/2 et de 2.Δpₜ;

- la décroissance de la hauteur h est linéaire jusqu'aux alentours de h = 1.5 mm, valeur à partir de laquelle les pertes régulières deviennent non négligeables

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>fig A-26 : comparaison du débit et de la hauteur mesurés (points) et des résultats du modèle avec αs = 0.568 (courbe continue) et αs = 0.3 (pointillés).</figcaption></figure>

L'accord est quantitativement meilleur pour la valeur du coefficient de pertes d'entrée, αs, égale à 0.3 (pointillés) au lieu de la valeur 0.568 (trait continu) correspondant à un développement complet de la couche limite laminaire. Cette constatation a déjà été faite lors de notre première série de mesures.

### A-II-2-5 INTERPRETAION DU MODELE

Ce modèle, bien que très rudimentaire tant d'un point de vue théorique qu'expérimental, donne une description des mécanismes pouvant conduire à des apnées obstructives.
Les courbes débit-pression de ce modèle sont en accord qualitatif avec les courbes que l'on peut obtenir chez l'homme (voir fig A-27).

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

fig A-27 : relation pression-débit sous PPC (5 cm.H₂O) chez un patient ayant un SAS : ______ : activité musculaire faible. ______ activité musculaire plus importante (d'après [SMI 1]).

Pour expliquer leurs résultats SMITH et Coll [SMI 2, SCHW], utilisent un modèle de tuyau collabable que l'on n'a pas employé pour 2 raisons principales :

- par définition, un tuyau collabable présente une caractéristique de raideur fortement non-linéaire (la raideur augmente au fur et à mesure que le tuyau se ferme) qui interdit l'occlusion complète [SHA, RIB]. L'analogie avec un tuyau collabable ne parrait donc pas, ici, la plus judicieuse pour expliquer la fermeture complète des VAS que représente une apnée.

- le modèle de ronflement présenté dans le chapitre suivant est basé sur une hypothèse d'écoulement plan que l'on préfère, par cohérence, adopter dès maintenant.

On ne peut pas exclure que les courbes représentant la surface de passage des VAS en fonction de la pression puissent être plus complexes que celle représentée fig A-10 et qu'une approche plus réaliste puisse se situer entre les deux types de modélisations.

Ce modèle permet d'appréhender la génération d'une apnée obstructive :

- chez le sujet sain, on se situe sur la partie ascendante de la courbe débit-pression (i.e. une augmentation de la dépression inspiratoire conduit à une augmentation du débit ventilatoire). La section de passage des VAS diminue légèrement sous l'action de la dépression inspiratoire sauf si l'activité phasique des muscles dilatateurs du pharynx produit une augmentation de compliance dont il n'est pas tenu compte dans le modèle;

- le sujet présentant un SAS possède une compliance pharyngée plus faible et donc un $\Delta p_f$ plus faible. Dans ce cas la dépression inspiratoire peut devenir supérieure à $2 \cdot \Delta p_f$ et entrainer une occlusion des VAS. La réouverture ne peut alors se produire que par une augmentation très forte de la compliance et donc par un réveil du sujet;

- dans le cas intermédiaire où la dépression inspiratoire maximale se situe entre $\Delta p_m$ et $2 \cdot \Delta p_f$, le sujet présente des hypopnées (diminution du débit inspiratoire par rapport au débit d'éveil) plus où moins sévères. Le calibre des VAS est alors sérieusement diminué et il semble que les ronflements se produisent dans ce cas [SCHW].
### A-II-3 LE RONFLEMENT

#### A-II-3-1 LE RONFLEMENT D'UN POINT DE VUE MEDICAL

Par définition, le ronflement est un bruit, d'intensité importante et de fréquence faible, apparaissant à l'inspiration chez les sujets endormis.

Ce trouble est assez répandu dans la population bien que son chiffrage exact semble assez difficile. Les enquêtes épidémiologiques donnent, en effet, des résultats très variables : IKEMATSU [IKE] a effectué une étude sur 12000 personnes où il montre que 92% de la population (enfants exclus) ronfle de façon habituelle ou occasionnelle (62% de façon habituelle) alors que DE BENEDETTO [BEN], sur un échantillon de 3163 adultes, ne trouve que 49.2% de ronfleurs habituels ou occasionnels (11.6% de ronfleurs habituels). Bien que le résultat d'IKEMATSU semble un peu élevé, il a été montré que l'analyse épidémologique par questionnaire ("ronflez vous : toujours, fréquement, de temps en temps, jamais ?") sous-estime le nombre de ronfleurs : seulement 63% des individus déclarés ronfleurs après une mesure objective (nombre d'épisodes de ronflements par heure > 8.4) s'étaient déclarés ronfleurs habituels [PAR].

Ces études épidémiologiques s'accordent, cependant, pour montrer la prévalence du ronflement chez les personnes obèses (5.9% de ronfleurs habituels chez les sujets maigres et 24.6% chez les obèses selon DE BENEDETTO [BEN]), la fréquence plus importante de ronfleurs dans la population masculine et l'augmentation de la fréquence du ronflement avec l'age chez les adultes.

Le ronflement, trouble a priori benin, est un facteur de prédisposition à l'apnée du sommeil (tous les apnéïques ont été auparavant de gros ronfleurs mais tous les ronfleurs ne deviennent pas forcément apnéïques). Certains considèrent le ronflement comme le premier stade d'une nouvelle pathologie : la rhonchopathie chronique dont la forme grave est le syndrome d'apnées du sommeil avec désaturation nocturne [LUG, PIE]. Le lien entre ronflement et apnée semble provenir de la compliance des tissus pharyngés. En effet, on a constaté que les patients ronfleurs avaient une compliance

plus importante que les sujets sains mais plus faible que les sujets apnéïques [BRO]. Il en est de même pour la pression nécessaire à la fermeture des voies aériennes [ISS].

Les liens entre le ronflement et l'hypertension artérielle sont plus discutés : la plus grande proportion d'hypertendus chez les ronfleurs que dans la population générale peut s'expliquer soit par des facteurs de causes à effets [VAL] soit, plus vraisemblablement, par des facteurs de prédisposition communs (obésité, sexe, ...) [MES 3]. Le même genre de discussion a lieu sur la relation entre le ronflement et les accidents vasculaires cérébraux.

Il faut toutefois noter que, même quand le ronflement n'a pas de conséquences médicales importantes, il est une très grande gêne pour la vie sociale et familiale du ronfleur.

Des remèdes existent pour combattre cette nuisance.

On peut tout d'abord mentionner pour mémoire quelques-uns des nombreux gadgets anti-ronflement que l'imagination fertile de quelques inventeurs, épris du bien-être de leurs concitoyens, ont fait breveter. On trouve :

- des appareils comportant un objet contondant fixé dans le dos dans le but d'empêcher les gens de dormir en décubitus dorsal (fig A-27);

- des appareils empêchant les gens de respirer par la bouche (fig A-27);

- des appareils qui réveillent les individus au moindre ronflement par divers moyens (décharges électriques ...) mais dont les effets sont désastreux sur la qualité du sommeil.

Une seconde catégorie de remèdes relève plus de conseils d'hygiène de vie cherchant à diminuer les facteurs prédisposants au ronflement, comme par exemple :

- diminuer la surchage pondérale;

- ne pas dormir sur le dos;
Fig. 1.

S. ANDERSON.
MODIFICATION FOR PREVENTING SORENESS.
No. 587,358.
Patented Aug. 3, 1897.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Fig. 3.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>fig A-27 : Brevets de dispositif anti-ronflement [SAI]</figcaption></figure>

N° 663 825

L. E. WILSON

BRETELLE ET DISPOSITIF ANTIRONFLEMENT

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Fig. 2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Fig. 3.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

- ne pas absorber de substances provoquant une baisse du tonus musculaire (alcool, sédatifs, ...);

- ne pas s'exposer à tout ce qui peut irriter la muqueuse nasale (tabac, chauffage sec, ...)

Une dernière catégorie est celle des traitements médicaux. Elle est plus adaptée aux formes sévères de ronflement (celui dont les conseils ci-dessus ne viennent pas à bout). Elle peut se décomposer en trois grandes familles :

- les traitements médicamenteux :

Un certain nombre de médicaments anti-ronflement existent sur le marché. Leur mode d'action ne semble pas très bien connu [JEN] bien que l'on ait relevé dans certains cas une augmentation de l'activité du génioglosse et une diminution des résistances des voies aériennes supérieures [WID].

- les traitements chirurgicaux :

Comme pour le traitement des apnées du sommeil, la principale intervention pratiquée est l'uvulo-palato-pharyngoplastie (UPP). Dans le cas de ronfleurs purs (sans apnée), la disparition totale du ronflement ou une amélioration sensible a lieu dans 87% des cas [IKE]. Les résultats de cette intervention sont, en général, évalués par simple questionnaire (sans enregistrement polygraphique nocturne) quelques mois après l'opération; le taux de succès à long terme de ce type de thérapie est donc peut-être surestimé. D'autre types d'interventions peuvent être proposés en présence de symptômes particuliers : la turbinectomie (agrandissement du passage nasal), la chirurgie maxilaire (déplacement vers l'avant de la base de la langue)...

- les traitements instrumentaux :

Pour les patients réfractaires à une opération du fond de la gorge, existe la possibilité d'utiliser la PPC pour faire disparaître le ronflement. Il s'agit d'une technique lourde à supporter mais efficace à 100% et sans contre-indication.

Le ronflement est le plus souvent expliqué par la mise en vibration du voile du palais [ROB, FAI, CHA 2] mais certains mettent aussi en cause le ligament salpingo-spinal (dans les choanes) [BOU] ou la vibration de la partie arrière de la langue.

KAMANI explique la mise en vibration du voile du palais de la façon suivante : "... Ainsi, lors de l'inspiration, l'expansion de la cage thoracique entraîne une dépression en arrière du voile du palais, plaquant celui-ci contre la paroi postérieure. Cependant, l'effort inspiratoire en se poursuivant entraîne l'arrêt de ce barrage par rétablissement d'un courant aérien, lui même responsable de la vibration du voile du palais ... " [KAM p 24]. Du point de vue de la mécanique des fluides, cette explication est douteuse. En effet, lors de l'inspiration, une dépression est bien présente à l'arrière du voile du palais. Mais à l'avant de ce même voile la pression (dans le cas d'un ronflement bouche fermée) est sensiblement la même que la pression arrière à l'extrémité du voile
### A-II-3-3 QUELQUES ETUDES ACOUSTIQUES SUR LE RONFLEMENT

Bien que le bruit soit le seul symptôme directement perceptible du ronflement, peu de personnes se sont intéressées à l'étude acoustique de ce phénomène.

Quelques études ont essayé de relier le niveau sonore du ronflement à la pathologie [WIL]. L'absence de technique normalisée de prise de son limite les possibilités de comparaison des résultats des différentes études. Les deux principaux types d'acquisition de signal sont :

- le microphone d'ambiance dont les principaux inconvénients sont la sensibilité aux bruits extérieurs, la sensibilité à l'acoustique, en général réverbérante, de la pièce d'enregistrement et la sensibilité à la position de sommeil du patient;

- la sonde trachéale qui limite les inconvénients ci-dessus mais qui introduit dans la mesure la transmission de la peau au niveau du creux sus-sternal dont la réponse est variable d'un patient à l'autre.

Dans une précédente étude [AUR], les signaux ont été captés à l'aide de la seconde méthode. Celle-ci est en effet plus facilement utilisable en enregistrement de routine. La sonde trachéale a aussi une plus grande sensibilité aux bruits de respiration normale qu'il est utile de mesurer pour la détection des apnées. Les niveaux sonores mesurés ne sont alors que des niveaux relatifs valables pour un patient donné pendant une nuit donnée.

Lorsque l'on tente une analyse plus fine du ronflement, en étudiant notamment son contenu spectral (voir fig A-29 et [AUR]), on se rend compte que :

- le ronflement est, en général, un signal quasi-périodique : on peut le considérer comme stationnaire et périodique sur 4 ou 5 périodes. Il existe néanmoins des signaux repérés comme ronflement à l'écoute et ne présentant pas de périodicité visible;

- l'énergie du signal est concentrée aux basses fréquences (composantes d'énergie très faibles au-dessus de 2000 Hz);

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>fig A-28 Schéma de l'oropharynx</figcaption></figure>

(pression p* sur la fig A-28). Comme par hypothèse le voile est en train de se déplacer vers la paroi, la section arrière terminale est plus faible que les sections intermédiaires. Par conservation du débit, la vitesse U* (vitesse de l'air à l'extrémité du voile) est supérieure à la vitesse U (vitesse de l'air dans une section intermédiaire à l'arrière du voile). En appliquant le théorème de BERNOULLI, on peut constater que la pression p est supérieure à la pression p*. Avec ces hypothèses, le voile subit donc une force vers l'avant quand il se déplace vers l'arrière et a donc une tendance à revenir vers sa position d'équilibre.

CHABOLLE [CHA 2] explique plus correctement, du point de vue de la mécanique des fluides, l'action de l'air sur le voile du palais et attribue le ronflement à l'antagonisme entre la force de BERNOULLI et l'action de la gravité sans expliciter davantage le passage de l'équilibre entre ces forces à la vibration produisant le ronflement.

SCHWARTZ et coll [SCHW] attribue le ronflement à la mise en vibration (fluttering) du tuyau collabable que constituent les paroies pharyngées. Cette explication est la plus satisfaisante, aéroélastiquement parlant, mais, de la façon dont elle est évoquée, elle ne semble pas tenir compte du rôle particulier joué dans ce phénomène par le voile du palais.

Un éclaircissement du ou des mécanismes responsables du ronflement apparaît donc souhaitable. C'est à cette étude qu'est consacrée la partie B.
- le spectre du signal a une structure de raies modulées par un ou des formants. CHAPELLE et COUVREUR [CHAP] distinguent 2 types de spectres (voir fig A-30) : le type A où l'énergie est concentrée à très basse fréquence (< 300 Hz) et le type A+B qui présente une résonance marquée autour de 400-500 Hz.

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Fig A-30 : Ronflements de types A (à gauche) et A+B (à droite) [CHAP]</figcaption></figure>

Ces quelques remarques permettent d'affirmer la ressemblance entre les signaux de ronflement et de parole (à l'exception de la fréquence fondamentale plus basse dans le ronflement).

LIEBERMAN et COHEN [LIE] et DALMASSO et coll [DAL] ont utilisé cette ressemblance pour analyser les signaux de ronflement à l'aide d'une technique développée en parole : la modélisation par tubes acoustiques. Des doutes ont été émis sur la validité de cette démarche pour le ronflement [AUR]. Ces doutes proviennent notamment du fait que les hypothèses concernant l'excitation du conduit vocal (onde glottique triangulaire émise à une extrémité du conduit) peuvent ne pas être appliquables au ronflement. En effet, contrairement à la parole, l'excitation dans le cas du ronflement n'est pas connue.

Une étude théorique effectuée par GASPARD [GAS] montre la très grande influence de l'excitation dans la génération des formants du spectre du ronflement. CHAPELLE et COUVREUR [CHAP] ont confirmé cette analyse sur des signaux réels en montrant que le passage de spectre de type A à A+B (voir fig A-30) pouvait être expliqué par le passage à une dynamique chaotique.

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>fig A-29 : Signaux et spectres de ronflements</figcaption></figure>
Devant les difficultés d'analyse du contenu spectral du ronflement, on a adopté une démarche à la fois plus humble (en restreignant le nombre de paramètres étudiés) mais aussi plus fondamentale quant aux mécanismes de génération du ronflement. L'analyse a donc été concentrée sur un paramètre facilement accessible et interprétable : la fréquence fondamentale du signal (cette fréquence est aussi la fréquence de vibration du voile du palais).

On a constaté que [AUR] :

- la fréquence fondamentale du ronflement est comprise entre 25 et 110 Hz;

- la fréquence fondamentale peut être relativement stable au cours d'un ronflement (fig A-31(a)) ou présenter des variations régulières (fig A-31(b)) ou brutales (fig A-31(c));

- certains signaux présentent des doublements de période (fig A-32) ou des passage par des régimes irréguliers (fig A-33);

- la fréquence fondamentale décroit avec l'augmentation de pression lors de la mise sous PPC.

Ces remarques permettent de penser que la fréquence fondamentale est liée aux paramètres physiologiques de l'excitateur (vitesse de l'air, section des voies aériennes ...). L'étude de cette relation est l'objet de la partie C.

<caption>(a) signal de ronflement</caption>

fréquence fondamentale (en Hz)

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>(b) signal de ronflement</figcaption></figure>

fréquence fondamentale (en Hz)

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>(c) signal de ronflement</figcaption></figure>

fréquence fondamentale (en Hz)

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

fig A-31 : Signaux de ronflement et fréquence fondamentale
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>fig 4-32 : Signal de ronflement montrant un doublement de période</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>fig 4-33 : Signal de ronflement (a) et représentation dans le pseudo-plan de phase (valeur du signal à l'instant t vs valeur du signal à l'instant t+t<sub>d</sub> (t<sub>d</sub> correspond ici à 6 échantillons)). (b) et (d) correspondent à des régimes quasi-périodiques et (c) à un régime irrégulier.</figcaption></figure>

4 CONTEXTE BIOMECANIQUE

4-III BIBLIOGRAPHIE
[ABB] N. C. ABBEY, A. J. BLOCK, D. GREEN, D. HELLARD, A. MANCUSO, A method for measuring pharyngeal volumes using resonance imaging in subjects who snore with and without nasal CPAP, in Sleep and Respiration. Progress in Clinical an Biological Research, 345, 283-290, Edité par F. G. Issa, P. M. Suratt et J. E. Remmers, Wiley-liss Inc, 1990.

[AUR] Y. AUREGAN, Etude acoustique du ronflement, Rapport de D.E.A. de l'Université du Maine, Le Mans, 1990.

[BEN] M. DE BENEDETTO, D. CUDA, L. LEANTE, Epidemiology of snoring in normal adult subjects and in patient consecutively observed by practitioners and cardiologists in south-eastern of Italy, in Proceedings of the first european conference on respiratory sounds, Turin, 12-13 juin 1992.

[BER] J. VAN DEN BERG, J. T. ZANTEMA, P. DOORNENBAL Jr, On the Air Resistance and the Bernoulli Effect of the Human Larynx, J. Acoust. Soc. Am., 29, 626-631, 1957.

[BRA] A. BRANCATISANO, L. A. ENGEL, Role of the Upper Airway in the Control of Respiratory Flow and Lung Volume in Humans, in Respiratory Function of the Upper Airway, Edité par O. P. Mathew et G. Sant'Ambrogio, Marcel Dekker Inc, N. Y., 1988.

[BOS] J. F. BOSMA, Functional Anatomy of the Upper Airway During Development, in Respiratory Function of the Upper Airway, Edité par O. P. Mathew et G. Sant'Ambrogio, Marcel Dekker Inc, N. Y., 1988.

[BOU] V. BOUTON, Snoring of nasal origin by vibrations of the salpingoseptal fold, in Chronic rhonchopathy, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[BRO] I. G. BROWN, T. D. BRADLEY, E. A. PHILLIPSON, N. ZAMEL, V. HOFFSTEIN, Pharyngeal Compliance in Snoring Subjects with and without Obstructive Sleep Apnea, Am. Rev. Respir. Dis., 132, 211-215, 1985.
[CHA 1] F. CHABOLLE, B. FLEURY, S. DE CORBIERE, L. PANDRAUD, C. H. FRECHE, Le traitement chirurgical du syndrome d'apnées du sommeil, Rev. Mal. Resp., 7, 451-458, 1990.

[CHA 2] F. CHABOLLE, Anatomic mechanism of snoring, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[CHAP] P. CHAPELLE, C. COUVREUR, Analyse spectrale et analyse chaotique des ronflements, Journal de physique IV, colloque C1, 2, 1105-1108, 1992.

[COL] P. COLE, Nasal Airflow Resistance, in Respiratory Function of the Upper Airway, Edité par O. P. Mathew et G. Sant'Ambrogio, Marcel Dekker Inc, N. Y., 1988.

[CUM] J. CUMMISKEY, T. C. WILLIAMS, P. E. KRUMPE, C. GUILLEMINAULT, The Detection and Quantification of Sleep Apnea by Tracheal Sounds Recording, Am. Rev. Respir. Dis., 126, 221-224, 1982.

[DAL] F. DALMASSO, G. BENEDETTO, R. POGOLOTTI, G. RIGHINI, R. SPAGNOLO, Digital processing of snoring sounds, Europ. Resp. J., Suplement 11, 3, 528s-532s, 1990.

[FAI] D.N.F. FAIRBANKS, Snoring: An overview with historical perspectives, in Snoring and obstructive sleep apnea, Edité par D.N.F. Fairbanks, S. Fujita, T. Ikematsu et F.B. Simmons, Raven Press, N.Y., 1987.

[FEN] G. FENG, Modélisation acoustique et traitement du signal de parole. Le cas des voyelles nasales, Thèse de l'Institut Polytechnique de Grenoble, 1984.

[FER] B. G. FERRIS, JR., J. MEAD, L. H. OPIE, Partitioning of respiratory flow resistance in man, J. Appl. Physiol., 19(4), 653-658, 1964.

[FUJ] S. FUJITA, Pharyngeal Surgery for Obstructive Sleep Apnea and Snoring, in Snoring and Obstructive Sleep Apnea, Edité par D. N. F. Fairbanks, S. Fujita, T. Ikematsu et F. B. Simmons, Raven Press, N. Y., 1987.

[GAS] P. GASPART, Modélisation du ronflement, Rapport de la faculté polytechnique de Mons, 1990.

[GHA] A. GHAEM, J. P. MARTINEAUD, Détermination de la résistance nasale chez les sujets normaux à l'aide de deux techniques de rhinomanométrie, Bull. Eur. Physiopathol. Respir., 21, 11-16, 1985.

[HOF] E. A. HOFFMAN, W. B. GEFTER, Multimodality imaging of the upper airway: MRI, MR Spectroscopy, and ultrafast X-RAY CT, in Sleep and Respiration. Progress in Clinical an Biological Research, 345, 291-301, Edité par F. G. Issa, P. M. Suratt et J. E. Remmers, Wiley-liss Inc, 1990.

[IKE] T. IKEMATSU, Clinical study of snoring for the past 30 years, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[ISH] K. ISHIZAKA, M. MATSUDAIRA, Fluid Mechanical Considerations of Vocal Cord Vibration, Speech Communications Research Laboratory Monograph Number 8, Santa Barbara, 1972.

[ISS] F. G. ISSA, C. E. SULLIVAN, Upper airway closing pressure in snorers, J. Appl Physiol., 54(2), 528-535, 1984.

[JAF] M. Y. JAFFRIN, P. KESIC, Airway resistance: a fluid mechanical approach, J. Appl. Physiol., 36(3), 354-361, 1974.

[JEN] P. JENNUM, Effect of nasal application of asonor on snoring, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[KAM] Y.-V. KAMANI, Le ronflement (Comment guérir grâce au laser), Editions F. Bourin, Paris, 1991.

[KAY] C. KAYSER, Physiologie, Tome III, Les grandes fonctions, Ed Med Flamarion, Paris, 1970.

[KRI] J. KRIEGER, Enregistrement polygraphique au cours du sommeil, Rev. Mal. Resp., 7, 411-418, 1990.
[OLS] L. G. OLSON, J. M. FOUKE, P. L. HOEKJE, K. P. STROHL, A Biomechanical View of Upper Airway Function, in Respiratory Function of the Upper Airway, Edité par O. P. Mathew et G. Sant'Ambrogio, Marcel Dekker Inc, N. Y., 1988.

[PAT] A. L. PATRA, A. GOOYA, K. T. MORGAN, Airflow characteristics in a baboon nasal passage cast, J. Appl. Physiol., 61(5), 1959-1966, 1986.

[PAR] M. PARTINEN, T. TELAKIVI, M. KOSHENVUO, J. KAPRIO, Do people know about their snoring ?, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[PIE] J.M. PIEYRE, The positional treatments of snoring, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[REM 1] J. E. REMMERS, W. J. deGROOT, E. K. SAUERLAND, A. M. ANCH, Interaction of neural and mechanical factors in obstructive sleep apnea, in Central nervous control mechanisms in breathing, Edité par C. von Euler et H. Lagercrantz, Pergamon Press, Oxford, 1978.

[REM 2] J. E. REMMERS, S. LAUNOIS, T. FEROAH, W. A. WHITELAW, Mechanics of the pharynx in patients with obstructive sleep apnea, in Sleep and Respiration. Progress in Clinical an Biological Research, 345, 261-271, Edité par F. G. Issa, P. M. Suratt et J. E. Remmers, Wiley-liss Inc, 1990.

[RIB] C. RIBEAU, Sur la loi d'état, la loi de perte de charge, et la nature de l'écoulement permanent en conduite collabable inclinée, Thése de l'université Paris XII-Val de Marne, Sept 1991.

[ROB] I.G. ROBIN, Snoring, Proc. Roy. Soc. Med., 61, 575-582, 1968.

[ROD] D. O. RODENSTEIN, G. AUBERT-TULKENS, Traitement instrumental du syndrome des apnées du sommeil, Rev. Mal. Resp., 7, 459-465, 1990.

[SAI] O. SAINT-DROME, Le ronfleur apprivoisé (petite encyclopédie pratique à l'usage des ronchopathes et de leurs victimes), Edition du Seuil, Paris, 1989.

[LAU] S. LAUNOIS, W. A. WHITELAW, Voies aériennes supérieures et troubles respiratoires au cours du sommeil, Rev. Mal. Resp., 7, 391-402, 1990.

[LEI] A. LEIBERMAN, A. COHEN, Computerized analysis of snoring, in Chronic rhonchopaty, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[LUG] E. LUGARESI, S. MONDINI, M. ZUCCONI, P. MONTAGNA, F. CIRIGNOTTA, Staging of heavy snorers' disease. A proposal, Bull. Europ. Physiopath. Resp., 19,590-594, 1983.

[LUN] E. VAN LUNTEREN, K. P. STROHL, Striated Respiratory Muscles of the Upper Airways, in Respiratory Function of the Upper Airway, Edité par O. P. Mathew et G. Sant'Ambrogio, Marcel Dekker Inc, N. Y., 1988.

[MAR] C. MARTIN, A. MORGON, Physiologie du voile du palais, in Physiologie des voies aéro-digestives supérieures, Sous la direction de A. Uziel et Y. Guerrier, Masson, Paris, 1984.

[MES 1] N. MESLIER, J. L. RACINEUX, Use of Tracheal Sound Recordings to Monitor Airflow During Sleep, in Sleep related disorders and internal diseases, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

[MES 2] N. MESLIER, A. BADATCHEFF, C. PERSON, J. L. RACINEUX, Influence de la résistance nasale sur les anomalies ventilatoires du sommeil, Rev. Mal. Res., 8, R58, A217, 1991.

[MES 3] N. MESLIER, C. PERSON, A. BADATCHEFF, P. GIRAUD, J. L. RACINEUX, Hypertension arterielle systémique chez les ronfleurs apnériques et non-apnériques, Rev. Mal. Res., 8, R58, A219, 1991.

[MIL] J. A. MILLER, J. C. PEREIRA, D. W. THOMAS, Fluid flow through the larynx channel, J. Sound Vib., 121, 277-290, 1988.

[ORC] B. ORCEL, B. FLEURY, J.-Ph. DERENNE, Du ronflement au syndrome d'apnées du sommeil, Rev. Mal. Resp., 7, 425-432, 1990.
[SAU] E. K. SAUERLAND, R. M. HARPER, The Human Tongue during Sleep: Electromyographic Activity of the Genioglossus Muscle, Exp. Neurol., 51, 160-170, 1976.

[SCH] R. C. SCHERER, I. R. TITZE, Pressure-flow Relationships in a model of the Laryngeal Airway with a Diverging Glottis, in Vocal Fold Physiology: Contemporary Research and Clinical Issues, Edité par D. M. Bless et J. H. Abbs, College-Hill Press, San Diego, 1983.

[SCHW] A. R. SCHWARTZ, P. L. SMITH, R. A. WISE, A. R. GOLD, S. PERMUTT, Induction of upper airway occlusion in sleeping individuals with subatmospheric nasal pressure, J. Appl. Physiol., 64(2), 535-542, 1988.

[SHA] A. H. SHAPIRO, Steady flow in collapsible tubes, ASME J. Biomech. Engng, 99, 126-147, 1977.

[SHE] J. W. SHEPARD Jr, A. W. STANSON, P. F. SHEEDY, P. R. WESTROOK, Fast-CT evaluation of the upper airway during wakefulness in patients with obstructive sleep apnea, in Sleep and Respiration. Progress in Clinical an Biological Research, 345, 273-282, Edité par F. G. Issa, P. M. Suratt et J. E. Remmers, Wiley-liss Inc, 1990.

[SMI 1] P. L. SMITH, A. R. SCHWARTZ, E. GAUDA, R. A. WISE, R. BROWER, S. PERMUTT, The modulation of upper airway critical pressures during sleep, in Sleep and Respiration. Progress in Clinical an Biological Research, 345, 253-260, Edité par F. G. Issa, P. M. Suratt et J. E. Remmers, Wiley-liss Inc, 1990.

[SMI 2] P. L. SMITH, R. A. WISE, A. R. GOLD, A. R. SCHWARTZ, S. PERMUTT, Upper airway pressure-flow relationships in obstructive sleep apnea, J. Appl. Physiol., 64(2), 789-795, 1988.

[SOU] G. SOUFFLET, Etude de l'interaction entre son trachéal et débit respiratoire. Application à l'évaluation non invasive du débit, Thése de l'université de Paris-Sud, 1988.

[STĂ] D. C. STĂNESCU, D. O. RODENSTEIN, Le rôle du voile du palais dans la respiration, Rev. Mal. Resp., 5, 21-29, 1988.

[SUL] K. J. SULLIVAN, H. K. CHANG, Steady and oscillatory transnasal pressure-flow relationships in healthy adults, J. Appl. Physiol., 71(3), 983-992, 1991.

[THA] B. T. THATCH, R. T. BROUILLETTE, The respiratory function of pharyngeal musculature: relevance to clinical obstructive apnea, in Central nervous control mechanisms in breathing, Edité par C. von Euler et H. Lagercrantz, Pergamon Press, Oxford, 1978.

[TOR] G. J. TORTORA, N. P. ANAGNOSTAKOS, Principe d'anatomie et de physiologie, Harper & Row, Montréal, 1987.

[UZI] A. UZIEL, Physiologie des fosses nasales, in Physiologie des voies aéro-digestives supérieures, Sous la direction de A. Uziel et Y. Guerrier, Masson, Paris, 1984.

[VAL] J.Y. VALTY, C.H. CHOUARD, J.Y. LE HEUZEY, A. BUONCUORE, Snoring and cardiovascular diseases, in Chronic rhonchopathy, Edité par C.H. Chouard, John Libbey & Comp Ltd, London, 1988.

[WHI] F. M. WHITE, Fluid Mechanics, McGraw-Hill Book Co, Singapore, 1986.

[WID] J.G. WIDDICOMBE, A. DAVIES, The effects of a mixture of surface-active agents (Sonarex) on the upper airways resistance and snoring in anaesthetized dogs, Eur Respir. J., 1, 785-791, 1988.

[WIL] K. WILSON, T. MULROONEY, R.R. GAWTRY, Snoring: An acoustic monitoring technique, Laryngoscope, 95, 1174-1177, 1985.
Partie B

# Stabilité d'une lame souple dans un flux d'air
B-I-1 INTRODUCTION

Pour comprendre le ou les mécanimes responsables du ronflement, il faut savoir **pourquoi le voile du palais se met à osciller** sous l'action de l'air inspiré, chez certaines personnes et dans certaines circonstances.

La géométrie et les caractéristiques mécaniques du voile du palais ainsi que l'écoulement de l'air dans le pharynx sont complexes et extrémement variables d'une personne à l'autre. Deux grands types de démarches peuvent alors permettre l'étude de la stabilité.

La première est une analyse numérique. Les domaines fluide et solide sont discrétisés et on introduit des équations de couplages entre ces deux domaines. Une simulation temporelle permet alors de déterminer la stabilité de ce système (voir par exemple [BUI]). Le problème de ce type d'analyse (en dehors du fait qu'elle demande une très bonne connaisance des codes de calcul et de leurs stabilités numériques) est qu'il est difficile à interpréter physiquement et généraliser à d'autres géométries que le cas particulier étudié.

Le second type de démarche consiste à simplifier le problème jusqu'au moment où l'on sait le résoudre analytiquement mais où il contient encore l'essentiel de la physique sous-jacente du phénomène. Cette démarche permet de mieux appréhender l'influence des paramètres importants du problème mais donne des résultats qualitatifs moins précis que la méthode numérique. Cette méthode est bien adaptée aux études biomécaniques où l'on sait à l'avance que l'on ne pourra saisir tous les détails particuliers mais où l'on souhaite déterminer les grandeurs physiologiques prépondérantes dans le phénomène étudié. C'est donc cette seconde démarche qui a été choisie dans cette étude.

Cette méthode a déjà été appliquée, par exemple, en production de la parole avec le modèle à deux masses [ISH]. Elle permet d'expliquer la mise en vibration des cordes vocales et donne même d'assez bons résultats quantitatifs en simulation de la parole voisée (au prix, il est vrai, de l'utilisation d'un grand nombre de paramètres ajustables [PER]).

Afin de mieux saisir la physique de la stabilité des systèmes dynamiques,
on rappelle, dans la première partie de ce chapitre, des notions et des définitions qui lui sont propres. Le formalisme utilisé est celui des ouvrages traitant des équations différentielles ordinaires (par exemple [ARN]) et des systèmes non-linéaires (par exemple [GUC]).

Les travaux sur l'étude de la stabilité ont mis en évidence l'importance des effets dits de "confinement" (voir par exemple [MAN]). Le nombre de modes importants pour la stabilité (modes centraux) dépend du rapport de forme (défini comme le rapport d'une longueur caractéristique du système étudié sur une longueur caractéristique du mécanisme d'instabilité)<fnref n="1" />. Quand le facteur de forme n'est pas très grand devant 1, le nombre de modes centraux est faible. Pour les différents types d'instabilité que nous pouvons envigager dans le cas du ronflement, le facteur de forme est inférieur ou de l'ordre de 1 :

- pour une instabilité du type "acoustique", il est de l'ordre de la longueur du voile du palais sur la longueur d'onde à la résonance soit environ 5 cm/ 70 cm = 0.07 (voir paragraphe B-II-2);

- pour une instabilité du type "détachement de tourbillons", il est de l'ordre de la longueur du voile du palais sur la distance entre deux tourbillons soit environ 5 cm/ 2.5 cm = 2 (voir paragraphe B-II-3);

- pour une instabilité de type "flutter", on définit une longueur caractéristique de l'instabilité par le rapport de la vitesse de propagation des ondes de flexion sur la fréquence du début de l'oscillation, le facteur de forme est alors voisin de 1.5 (voir chapitre B-III).

Ces ordres de grandeurs indiquent que seul un petit nombre de modes sont à considérer dans ce problème.

Dans les deux paragraphes suivants, on restreint donc l'étude de la stabilité aux systèmes à 1 et 2 degrés de liberté. On montre au paragraphe B-I-3 qu'un seul degré de liberté ne permet pas d'expliquer une bifurcation aéro-élastique oscillante. Elle peut par contre être expliquée à l'aide de 2 degrés de liberté comme on le voit au paragraphe B-I-4.

<footnote n="1">1 L'étude de la stabilité est effectuée dans l'espace tangent en un point d'équilibre à l'espace des phases (linéarisation). On peut décomposer cet espace en un sous-espace "central" et un sous-espace "stable". La dynamique du système étudié est alors contenue, au premier ordre dans une variété centrale tangente au sous-espace central (i.e. cette variété contient toutes les informations déterminant le comportement asymptotique des petites oscillations [CAR]).</footnote>
## B-I-2 STABILITE DES SYSTMES DYNAMIQUES

L'évolution de tout système dynamique peut se modéliser par une équation différentielle vectorielle controlée par un paramètre de contrôle $\mu$.

Il peut se produire qu'une variation du paramètre $\mu$ fasse qu'un attracteur du système devienne instable. On parle alors de bifurcation (fig B-I-1). Le système évolue alors vers un autre attracteur; cette évolution est controlée par les termes non-linéaires de l'équation différentielle.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>fig B-I-1 exemple de bifurcation dans l'espace des phases de dimension 3</figcaption></figure>

Dans ce chapitre, nous étudierons uniquement le problème de la stabilité d'une position d'équilibre (dans ce cas l'attracteur est un point de l'espace des phases), sans nous intéresser au comportement du système après la bifurcation. Cette limitation nous permettra de n'étudier que le système linéarisé autour de sa position d'équilibre.

Les exemples seront pris dans le domaine de l'interaction fluide-structure et mettrons en évidence les phénomènes physiques liés à l'instabilité aéro-élatique.

Un système dynamique discret peut toujours se modéliser sous la forme :

$$ \dot{x} = f_{\mu}(x, t) \qquad (B-I-1) $$

où $x = x(t)$ est un vecteur de $\mathbb{R}^n$

et $\mu$ est un paramètre de contrôle ($\mu \in \mathbb{R}^p$).

**Définition 1 :**

Le système est dit autonome si la fonction $f_\mu$ ne dépend pas explicitement du temps.

Tout système non-autonome de dimension $n$ peut se ramener à un système autonome de dimension $n+1$. Par exemple, le sytème

$$ \ddot{y} + g(y, \dot{y}) = f(t) $$

peut s'écrire indifféremment, en notant $x_1 = y$ et $x_2 = \dot{y}$,

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -g(x_1, x_2) + f(t) \end{cases} \quad \text{ou} \quad \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -g(x_1, x_2) + f(x_3) \\ \dot{x}_3 = 1 \end{cases} $$

Dans la première écriture le système est non-autonome de dimension 2 alors qu'il devient autonome de dimension 3 dans la seconde écriture. Dans la suite tous les systèmes étudiés seront autonomes.

**Définition 2 :**

La solution $\bar{x}_\mu$ est position d'équilibre (un point fixe) si

$$ f_{\mu}(\bar{x}_{\mu}) = 0. \qquad (B-I-2) $$

**Définition 3 :**

Un système est dit **stable** autour d'une position d'équilibre $\bar{x}$ si les orbites voisines de $\bar{x}$ à un instant $t_0$ restent dans un voisinage de $\bar{x}$ pour $t > t_0$. Si de plus ces orbites tendent vers $\bar{x}$ quand $t$ tend vers l'infini alors la position d'équilibre est dite asymptotiquement stable.
Il convient de noter que la propriété de stabilité est uniquement locale : elle n'est valide que dans un voisinage de la position d'équilibre. On peut définir un développement en série de Taylor de $f_μ$ dans ce voisinage de $\bar{x}$ par :

$$f_{\mu}(x) = \bar{x} + A_{\mu} \cdot (x - \bar{x}) + R_{\mu}(x - \bar{x}) \quad (B-I-3)$$

où $A_μ$ est la matrice jacobienne de $f_μ$ en $\bar{x}$

$$\left[ A_{\mu_{ij}} = \frac{\partial f_{\mu_1}(x)}{\partial x_j} \right]$$

$$\text{et } R_{\mu}(x - \bar{x}) = O(\|x - \bar{x}\|^2)$$

$$\left[ \frac{\|R_{\mu}(x - \bar{x})\|}{\|x - \bar{x}\|} \xrightarrow[x \to \bar{x}]{} 0 \right].$$

### Définition 4 :

La linéarisation du système (B-I-1) au voisinage de la position d'équilibre $\bar{x}$ est le passage de ce système au système :

$$\dot{u} = A_{\mu} u \quad (B-I-4)$$

$$\text{où } u = x - \bar{x}$$

et $A_μ$ est la matrice jacobienne en $\bar{x}$.

Le système linéarisé (B-I-4) et le système complet (B-I-1) ne donnent des solutions voisines qu'au voisinage de $u = 0$ (fig B-I-2)

### Définition 5 :

Les petites oscillations sont les mouvements d'un système linéarisé au voisinage d'une position d'équilibre.

La solution du système linéarisé (B-I-4), avec pour condition initiale $u_μ(0) = u_0$, existe et est unique. Elle s'écrit :

$$u_{\mu}(t) = e^{tA_{\mu}} \cdot u_{0}$$

$$\text{où } e^{tA_{\mu}} = \left[ I + t \cdot A_{\mu} + \frac{t^2}{2} \cdot A_{\mu}^2 + \dots + \frac{t^n}{n!} \cdot A_{\mu}^n + \dots \right].$$

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>fig B-I-2 : trajectoires dans l'espace des phases (n = 2)</figcaption></figure>

(a) système complet (b) système linéarisé autour de $\bar{x}$

On peut écrire plus simplement cette solution en projetant sur la base des vecteurs propres.

### Définition 6 :

Pour cela on définit l'équation caractéristique :

$$\det | A_{\mu} - \lambda \cdot I | = 0. \quad (B-I-5)$$

Cette équation est polynomiale d'ordre n. $A_μ$ étant à coefficients réels, ses racines, les valeurs propres $\lambda_i$, sont réelles ou complexes conjuguées deux à deux.

### Définition 7 :

Les vecteurs propres, $v_i$, sont définis par :

$$A_{\mu} \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i. \quad (B-I-6)$$

Si toutes ces valeurs propres sont simples, l'ensemble des $v_i$, définit une base de l'espace $\mathbb{R}^n$ complexifié. Donc si l'on écrit
$$x(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) \cdot v_i,$$

alors

$$\dot{x}(t) = \sum_{i=1}^{n} \dot{c}_i(t) \cdot v_i = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) \cdot A_{\mu} \cdot v_i = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot c_i(t) \cdot v_i$$

et $x(t)$ peut donc s'écrire

$$x(t) = \sum_{i=1}^{n} u_i \cdot e^{\lambda_i \cdot t} \cdot v_i \quad (B-I-7)$$

où les $u_i$ sont donnés par les conditions initiales.

L'équation (B-I-7) peut se réécrire sous forme réelle

$$x(t) = \sum_{i=1}^{m} u_i \cdot e^{\lambda_i^R \cdot t} \cdot v_i + \sum_{i=1}^{k} e^{\lambda_i^R \cdot t} \cdot (u'_i \cdot \sin(\omega_i t) \cdot v'_i + u''_i \cdot \cos(\omega_i t) \cdot v''_i) \quad (B-I-8)$$

où les $\lambda_i^R$ sont les m valeurs propres réelles

et les $\alpha_i \neq j \omega_i$ sont les k couples de valeurs propres complexes conjugées ($m + 2k = n$).

L'équation (B-I-8) nous permet de voir que le système est stable si et seulement si la partie réelle de toutes les valeurs propres est négative.

La figure B-I-3 nous montre un exemple d' espace des phases de système instable. On peut remarquer que l'application considérée est localement contractante (c.a.d. trace($A_{\mu}$) < 0, ce qui équivaut à dire que les volumes dans l'espace des phases diminuent) mais que cette propriété n'est pas suffisante (bien qu'étant nécessaire) pour assurer la stabilité.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>fig B-I-3 : Espace des phases d'un système instable ($\lambda_3 > 0$) bien que localement contractant ($\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 < 0 \Rightarrow$ le volume dans l'espace des phases diminue).</figcaption></figure>
## B-I-3 SYSTEME A 1 DEGRE DE LIBERTE

### B-I-3-1 Etude generale

L'évolution d'un système à 1 degré de liberté est décrit par une équation du type :

$$ \ddot{y} = f_{\mu}(y, \dot{y}); \qquad (B-I-9) $$

elle peut aussi s'écrire sous forme d'un système du premier ordre, en notant $x_1 = y$ et $x_2 = \dot{y}$

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = f_{\mu}(x_1, x_2) \end{cases} \qquad (B-I-10) $$

Soit $\bar{x} : \begin{pmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \end{pmatrix}$ un point d'équilibre (i.e. $f_{\mu}(\bar{x}_1, \bar{x}_2) = 0$). On note

$$ k_{\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_1}, \quad c_{\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_2}, \quad u_1 = x_1 - \bar{x}_1 \text{ et } u_2 = x_2 - \bar{x}_2. $$

L'équation linéarisée s'écrit :

$$ \dot{u} = A_{\mu} u \qquad (B-I-11) $$

$$ \text{où } A_{\mu} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k_{\mu} & -c_{\mu} \end{bmatrix}. $$

L'équation caractéristique devient simplement

$$ \lambda^2 + c_{\mu}\lambda + k_{\mu} = 0. \qquad (B-I-12) $$

L'étude des valeurs propres permet de diviser le plan $c_\mu, k_\mu$ en 5 zones (voir fig B-I-4) dont 2 stables (I et II). Ces deux régions sont séparées par la courbe dite d'amortissement critique qui fait passer d'une solution oscillante (zone I) à une solution stationnaire (zone II).

La perte de stabilité peut se produire :

- quand $k_\mu$ devient négatif (dans ce cas le système n'oscille pas. On parle de "divergence" ou de "mode instable stationnaire");

- quand $c_\mu$ devient négatif (dans ce cas le système oscille. On parle de "flutter" ou de "mode instable oscillant").

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>fig B-I-4 : Zones de stabilité dans le plan $(k_\mu, c_\mu)$ les tableaux indiquent la position des valeurs propres dans le plan complexe et leurs trajectoires dans l'espace des phases</figcaption></figure>
### B-I-3-2 Exemple aéroélastique

Pour illustrer ce qui précède, On reprend l'exemple du système aéro-élastique décrit au paragraphe A-II-2 dans le modèle d'apnée obstructive et schématisé figure B-I-5. On conserve les notations du paragraphe A-II-2 en ajoutant un amortissement c.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>fig B-I-5 : Schéma d'un oscillateur aéro-élastique</figcaption></figure>

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m en mouvement peut s'écrire :

$$m \frac{d^2 h}{dT^2} = -c \frac{d h}{dT} + L \cdot b \cdot \Delta p_f \cdot \left(1 - \frac{h}{h_0}\right) - L \cdot b \cdot \Delta p_a \quad (B-I-13)$$

où h est la hauteur sous la masse, $h_0$ la hauteur initiale, $\Delta p_f$ la pression statique nécessaire à la fermeture et $\Delta p_a$ la pression dynamique appliquée.

On adimensionnalise cette équation en posant :

$$t = T \sqrt{\frac{L \cdot b \cdot \Delta p_f}{m \cdot h_0}}, \quad \alpha = \frac{c \sqrt{h_0}}{\sqrt{L \cdot b \cdot \Delta p_f}}, \quad w = \frac{h}{h_0}.$$

L'équation (B-I-13) devient, en rappelant les relation (A-II-4 et 7) :

$$\frac{d^2 w}{d t^2} = - \alpha \frac{d w}{d t} + (1-w) - \frac{\Delta p_a}{\Delta p_f}, \quad (B-I-14)$$

où la pression $\Delta p_a$ appliquée est donnée par : $\Delta p_a = \Delta p - \frac{6 \rho v L}{b h^3} Q$ (A-II-7)

et la dépression inspiratoire par :

$$\Delta p = \left( K_1 + \frac{12 \rho v L}{b h^3} \right) Q + \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right) Q^2 \quad (A-II-4).$$

Deux cas peuvent alors se présenter : soit la dépression $\Delta p$ est constante (cas du fonctionnement avec limiteur de pression dans le dispositif expérimental), soit le débit et la pression d'aspiration sont liés par les caractéristiques de fonctionnement de la pompe (cas sans limiteur de débit).

Dans le premier cas de fonctionnement la variable de controle est la dépression d'aspiration que l'on adimensionnalise en posant $\gamma = \Delta p/\Delta p_f$.

L'équation B-I-14 se met alors sous la forme :

$$\frac{d^2 w}{d t^2} = f_{\gamma}(w, \dot{w}), \quad (B-I-15)$$

$$\text{avec } f_{\gamma}(w, \dot{w}) = - \alpha \dot{w} + (1-w) - \gamma + \frac{6 \rho v L}{\Delta p_f b h_0^3 w^3} Q_{\gamma}(w).$$

On trouve la position d'équilibre en posant $f_{\gamma}(\bar{w}, 0) = 0$. La résolution de ce problème a été faite numériquement au paragraphe A-II-2-3.

Pour déterminer la stabilité de ces positions d'équilibre, on calcule :
On trouve la position d'équilibre, $\bar{w}$, et le débit d'équilibre, $\bar{Q}$, en fonction de $p_{\text{alim}}$, en posant : $1 - \bar{w} - g(\bar{Q}, p_{\text{alim}}) = 0$ et en utilisant la relation (B-I-14c).

La stabilité est déterminée par l'étude du signe de :

$$c_{p_{\text{alim}}} = - \left. \frac{\partial f}{\partial \dot{w}} \right|_{\substack{\bar{w} = \bar{w} \\ \dot{w} = 0}} = \alpha,$$

et de
$$k_{p_{\text{alim}}} = - \left. \frac{\partial f}{\partial w} \right|_{\substack{\bar{w} = \bar{w} \\ \dot{w} = 0}} = 1 + \left. \frac{\partial}{\partial w} g(Q, p_{\text{alim}}) \right|_{\substack{\bar{w} = \bar{w} \\ \dot{w} = 0}} \quad (B-I-18)$$

L'amortissement est donc toujours positif et le problème d'instabilité ne peut se poser que lorsque la raideur devient négative.

Le débit maximal, $Q_m$, est atteint lorsque $\frac{d\bar{Q}}{dp_{\text{alim}}} = 0$, ce qui équivaut, en dérivant la relation d'équilibre par rapport à $p_{\text{alim}}$ à l'égalité :

$$\left. \frac{d\bar{w}}{dp_{\text{alim}}} \right|_{Q=Q_m} = \left. \frac{\partial g}{\partial p_{\text{alim}}} \right|_{Q=Q_m} \quad (B-I-19)$$

En reportant cette relation (B-I-19) dans l'expression de la raideur on se rend compte que lorsque le débit est maximal la raideur est nulle. On peut montrer que pour les valeurs de pression d'alimentation inférieure à celle donnant le débit maximal la raideur est positive alors qu'elle est négative pour les valeurs de pression d'alimentation supérieures à cette valeur.

Le système devient donc instable par divergence lorsque le débit atteint sa valeur maximale. Ceci correspond au fait si l'on a atteint la pression d'alimentation suffisante pour avoir le débit maximal une diminution de la hauteur correspond à une diminution du débit et donc à une augmentation de la dépression $\Delta p$ qui elle même conduit à une diminution de la hauteur etc... jusqu'à fermeture complète du conduit.

$$c_{\gamma} = - \left. \frac{\partial f_{\gamma}}{\partial \dot{w}} \right|_{\substack{\bar{w} = \bar{w} \\ \dot{w} = 0}} = \alpha, \quad (B-I-16)$$

$$k_{\gamma} = - \left. \frac{\partial f_{\gamma}}{\partial w} \right|_{\substack{\bar{w} = \bar{w} \\ \dot{w} = 0}} = 1 + \frac{6 \rho v L}{\Delta p_f b h_0^3 \bar{w}^3} \left( \frac{3 Q_{\gamma}(\bar{w})}{\bar{w}} - Q'_{\gamma}(\bar{w}) \right)$$

En dérivant l'équation (A-II-4) par rapport à $w$ (à $\Delta p$ constant) et en reportant la valeur de $Q'(\bar{w})$ ainsi obtenue dans le calcul de $k_\gamma$ ci-dessus, on remarque que $k_\gamma$ est toujours positif. Ceci correspond au fait qu'à une augmentation $\delta h$ de $h$, correspond une augmentation du débit $Q$ d'une valeur $\delta Q$ telle que $\delta Q/Q$ soit inférieure à $3\delta h/h$. Une augmentation de hauteur correspond donc, en vertu de (A-II-7) à une augmentation de la dépression appliquée et donc à un rappel de la masse en mouvement. La raideur se trouve alors augmentée du fait du passage de l'air et reste donc toujours positive. L'amortissement $c_\gamma$ étant lui aussi positif, la position d'équilibre du système est stable.

Le second cas de fonctionnement est celui dans lequel dépression et débit sont reliés par la caractéristique de fonctionnement de la pompe (voir fig A-24). La variable de controle est alors la pression d'alimentation de la pompe $p_{\text{alim}}$ qui permet d'effectuer une homothétie de la courbe caractéristique. La dépression $\Delta p$ est alors une fonction décroissante du débit et croissante de la pression d'alimentation ($\Delta p = g(Q, p_{\text{alim}}) \Delta p_f$ avec $\frac{\partial g}{\partial Q} < 0$ et $\frac{\partial g}{\partial p_{\text{alim}}} > 0$).

En ne tenant pas compte, pour simplifier les calculs, des pertes visqueuses l'équation (B-I-14) s'écrit :

$$\frac{d^2 w}{d t^2} = f_{p_{\text{alim}}}(w, \dot{w}), \quad (B-I-17)$$

$$\text{avec } f_{p_{\text{alim}}}(w, \dot{w}) = - \alpha \dot{w} + (1-w) - g(Q, p_{\text{alim}}).$$
Ce résultat se vérifie expérimentalement en utilisant le dispositif décrit au paragraphe A-II-2-4 sans utiliser le limiteur de pression (voir fig B-I-7).

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>fig B-I-7 : Hauteur et débit en fonction de la dépression sans limiteur de pression.</figcaption></figure>

L'exemple ci-dessus met en évidence la différence de comportement d'un oscillateur aéroélastique résultant d'une modification des conditions d'alimentation et illustre la possibilité de bifurcation par divergence d'un mécanisme à un seul degré de liberté. Cette modélisation ne permet pas de prédire de bifurcations oscillantes qui pourtant se produisent expérimentalement sur certain mécanisme à 1 degré de liberté (par exemple une anche d'instrument de musique).

Pour qu'une bifurcation oscillante puisse se produire il faut que le coefficient $c_μ$ (amortissement équivalent) devienne négatif et pour cela il est nécessaire que la force de pression appliquée sur l'oscillateur dépende de la vitesse de celui-ci, ce qui n'est pas possible avec un modèle à 1 degré de liberté en écoulement stationnaire. Pour effectuer une modélisation minimale d'une bifurcation oscillante, nous devons donc soit considérer un système à 1 degré de liberté en écoulement non stationnaire (ce qui revient à considérer un degré de liberté supplémentaire : résonance acoustique, position des points de décollement ou de recollement du fluide sur l'oscillateur, ...), soit à considérer un système mécanique à 2 degrés de liberté en écoulement quasi-stationnaire.

## B-I-4 SYSTEME A 2 DEGRES DE LIBERTE

### B-I-4-1 Etude générale

L'évolution d'un système à 2 degrés de liberté peut se modéliser sous la forme :

$$ egin{cases} \ddot{y} = f_{\mu}(y, \dot{y}, z, \dot{z}) \\ \ddot{z} = g_{\mu}(y, \dot{y}, z, \dot{z}) \end{cases} \qquad (B-I-20) $$

ou, en posant $x_1 = y$, $x_2 = \dot{y}$, $x_3 = z$, $x_4 = \dot{z}$, par les équations :

$$ egin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = f_{\mu}(x_1, x_2, x_3, x_4) \\ \dot{x}_3 = x_4 \\ \dot{x}_4 = g_{\mu}(x_1, x_2, x_3, x_4) \end{cases} \qquad (B-I-21) $$

Sans restreindre la généralité du problème, on suppose que le vecteur nul est la position d'équilibre du système (B-I-21) (On peut toujours se ramener à ce cas par simple changement de variables). Pour linéariser le système d'équations (B-I-21) autour de sa position d'équilibre, on pose :

$$ c_{11\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_2}, \quad c_{12\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_4} $$

$$ c_{21\mu} = - \frac{\partial g_{\mu}(x)}{\partial x_2}, \quad c_{22\mu} = - \frac{\partial g_{\mu}(x)}{\partial x_4} $$

$$ k_{11\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_1}, \quad k_{12\mu} = - \frac{\partial f_{\mu}(x)}{\partial x_3} $$

$$ k_{21\mu} = - \frac{\partial g_{\mu}(x)}{\partial x_1}, \quad k_{22\mu} = - \frac{\partial g_{\mu}(x)}{\partial x_3} $$
Avec ces notations, le système linéarisé s'écrit alors :

$$ \dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ k_{11\mu} & c_{11\mu} & k_{12\mu} & c_{12\mu} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ k_{21\mu} & c_{21\mu} & k_{22\mu} & c_{22\mu} \end{bmatrix} \times (x \in \mathbb{R}^4). \quad (B-I-22) $$

Quant à l'équation caractéristique, elle devient :

$$ \det \left| \lambda^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \lambda \begin{bmatrix} c_{11\mu} & c_{12\mu} \\ c_{21\mu} & c_{22\mu} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_{11\mu} & k_{12\mu} \\ k_{21\mu} & k_{22\mu} \end{bmatrix} \right| = 0 \quad (B-I-23) $$

où nous reconnaissions
M = Id matrice de masse réduite,
$C_\mu$ matrice d'amortissement réduit,
$K_\mu$ matrice de raideur réduite.

### B-I-4-2 Cas sans amortissement

L'étude générale de la stabilité de ce système implique la connaissance du comportement de la partie réelle des racines d'un polynome d'ordre 4. Elle est donc assez lourde. Pour alléger l'exposé, nous nous ramenons, dans un premier temps, à l'étude du cas où la matrice $C_\mu$ est nulle. Dans ce cas l'équation caractéristique est une équation bicarrée.

On définit $k_s$ et $k_a$ par :

$$ k_{12\mu} = k_s + k_a $$

$$ k_{21\mu} = k_s - k_a $$

ce qui permet de décomposer la matrice de raideur en partie symétrique et une partie antisymétrique. La partie symétrique de la raideur peut dériver d'une énergie potentielle alors que la partie antisymétrique n'est pas potentielle.

L'équation caractéristique s'écrit, en notant $k_{11\mu} = k_1$ et $k_{22\mu} = k_2$ :

$$ \lambda^4 + (k_1 + k_2) \lambda^2 + (k_1 k_2 - k_s^2 + k_a^2) = 0 \quad (B-I-24) $$

ou encore $$ \lambda^4 + \text{tr}(K) \lambda^2 + \text{det}(K) = 0. $$

On note $\xi = \lambda^2$ et le discriminant de l'équation du second degré en $\xi$ :
$$ \text{dis}(K) = \text{tr}^2(K) - 4 \text{det}(K) = (k_1 - k_2)^2 + 4 (k_s^2 - k_a^2). $$

Le tableau des différents cas génériques que l'on peut rencontrer en faisant varier le paramètre $\mu$ (et donc les coefficients de la matrice de raideur) et des cas dégénérés est donné figure B-I-8.

Le seul cas générique stable est le cas 1 et sa stabilité est alors neutre. La perte de stabilité peut se produire quand on passe :

- du cas 1 au cas 2 ($\Leftrightarrow \text{tr}(K)$ devient négatif alors que $\text{dis}(K)$ et $\text{det}(K)$ restent positifs). Ces conditions ne peuvent être réunies que si le système passe par le cas dégénéré deg 4. On a donc au moment de la bifurcation $k_1 = -k_2$ et $k_2^2 + k_s^2 = k_a^2$. Le système diverge sans oscillier;

- du cas 1 au cas 3 ($\Leftrightarrow \text{det}(K)$ devient négatif alors que $\text{dis}(K)$ et $\text{tr}(K)$ restent positifs). Ces conditions ne peuvent être réunies que si le système passe par le cas dégénéré deg 1. On a donc au moment de la bifurcation $k_1 k_2 + k_s^2 = k_a^2$. Le système diverge sans oscillier;

- du cas 1 au cas 4 ($\Leftrightarrow \text{dis}(K)$ devient négatif alors que $\text{tr}(K)$ et $\text{det}(K)$ restent positifs). Ces conditions ne peuvent être réunies que si le système passe par le cas dégénéré deg 3. On a donc au moment de la bifurcation $(k_1 - k_2)^2 + k_s^2 = k_a^2$. Le système diverge en oscillant (flutter). On remarque que dans le cas dégénéré deg 3, les parties imaginaires des valeurs propres sont égales ou opposées : on parle alors de coalescence des modes.

On peut remarquer que si la partie antisymétrique de la matrice de raideur est nulle (ce qui correspond à des forces dérivants d'un potentiel), le système ne peut se mettre à diverger en oscillant.
B-I-4-3 Cas d'un amortissement faible

Dans le cas où l'amortissement est faible ($\det(C) \ll \text{tr}(k)$) et indépendant de $\mu$, l'équation caractéristique totale :

$$ \lambda^4 + \text{tr}(C)\lambda^3 + [\text{tr}(K) + \det(C)]\lambda^2 + [c_{11}k_2 + c_{22}k_1 - c_{21}(k_s+k_a) - c_{12}(k_s-k_a)]\lambda + \det(K) = 0 $$

peut s'écrire :

$$ \lambda^4 + \text{tr}(K)\lambda^2 + \det(K) + \lambda[\text{tr}(C)\lambda^2 + c_{11}k_2 + c_{22}k_1 - c_{21}(k_s+k_a) - c_{12}(k_s-k_a)] = 0. \quad (B-I-25) $$

On va montrer que, dans le cas où l'on a un amortissement faible, le paramètre critique $\mu_d$ est inférieur au paramètre $\mu_{cr}$ du cas sans amortissement [ROC], [NEM].

Pour $\mu = \mu_d$, il existe au moins une racine de (B-I-25) imaginaire pure : $\lambda_{d1} = j\omega_1$ ($\omega_1 \in \mathbb{R}$). Les autres racines sont complexes ou réelles mais leurs parties réelles est négatives puisque le système est encore stable.

En remplaçant $\lambda$ par $\lambda_{d1}$ dans l'équation (B-I-25), on peut déterminer la condition de bifurcation en remarquant que le premier terme est réel alors que le second est imaginaire. On obtient alors :

$$ \omega_1^4 - \text{tr}(K)\omega_1^2 + \det(K) = 0 \quad (B-I-26a) $$

$$ -\text{tr}(C)\omega_1^2 + c_{11}k_2 + c_{22}k_1 - c_{21}(k_s+k_a) - c_{12}(k_s-k_a) = 0 \quad (B-I-26b) $$

Or on a vu que l'équation (B-I-26a) n'admet de solutions réelles que si $\mu < \mu_{cr}$. On a donc

$$ \mu_d < \mu_{cr}. \quad (B-I-27) $$

La conclusion est donc qu'un léger amortissement favorise l'instabilité par coalescence des modes d'un système à deux degrés de liberté couplé de façon non potentielle puisque la bifurcation se produit pour une valeur plus

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

fig B-I-8 : Cas génériques et dégénérés d'un système à 2 degrés de liberté sans amortissement. On a représenté dans le plan complexe la position de $\xi$ et de $\lambda$ (voir texte) :

<figure><img src="image_66.png" /></figure>
faible du paramètre de controle.

De plus l'équation (B-I-26b) entraine que :

$$ \omega_1^2 = \frac{c_{11}k_2 + c_{22}k_1 - c_{21}c_{1s} + c_{12}s^2 - c_{1s}c_{21}}{\text{tr}(C)} \quad (B-I-28) $$

et, si l'on écrit les coefficients de la matrice d'amortissement $c_{ij}$ sous la forme $\epsilon \overline{c}_{ij}$ (avec $\epsilon$ un petit paramètre que l'on peut faire tendre vers 0), on se rend compte que $\omega_1$ est indépendant de $\epsilon$. On peut donc dire que la valeur du paramètre de bifurcation est indépendante de "l'amplitude" de l'amortissement et ne dépend que de la "forme de la matrice d'amortissement". D'autre part, on constate que la limite de $\omega_1$ quand $\epsilon$ tend vers 0 est différente, dans le cas général, de la valeur de $\omega$ critique dans le cas sans amortissement qui vaut $\sqrt{\text{tr}(K)/2}$.

### B-I-4-4 Exemple d'illustration

Pour illustrer ce qui précède, on considère le système à deux degrés de liberté suivant :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \ddot{x} + \epsilon \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \dot{x} + \begin{bmatrix} \pi^2 & \mu \\ -\mu & (2\pi)^2 \end{bmatrix} x = 0 \quad (x \in \mathbb{R}^2). \quad (B-I-29) $$

En l'absence de couplage non potentiel ($\mu = 0$) et d'amortissement ($\epsilon = 0$) le système possède 2 pulsations propres de valeurs $\pi$ et $2\pi$.

En l'absence d'amortissement ($\epsilon = 0$), l'équation caractéristique s'écrit :

$$ \lambda^4 + 5 \pi^2 \lambda^2 + 4 \pi^4 + \mu^2 = 0. \quad (B-I-30) $$

Le système se met à osciller quand au moins une des racines de cette équation devient à partie réelle positive ce qui se produit quand le discriminant de la matrice de raideur, dis(K), devient négatif car, ici, det(K) et tr(K) restent positifs (voir paragraphe B-I-4-2). Le discriminant de la matrice de raideur vaut alors dis(K) = $(3\pi^2)^2 - 4\mu^2$ et la valeur critique du paramètre $\mu$ sans amortissement est donc $\mu_{cr} = 1.5 \pi^2$ et le

carré de la pulsation critique vaut $\omega_{cr}^2 = 2.5 \pi^2$.

Dans le cas d'un amortissement faible ($\epsilon \ll 1$), la relation (B-I-28) montre que le carré de la pulsation au moment de la perte de stabilité vaut : $\omega_d^2 = 2 \pi^2$. Cette valeur est inférieure à $\omega_{cr}^2$, ce qui indique que c'est le premier mode qui devient instable. La valeur critique du paramètre de contrôle, $\mu$, est donné par (cf B-I-26a) :

$$ \omega_d^4 - 5\pi^2 \omega_d^2 + 4\pi^4 + \mu_d^2 = 0 \quad \text{soit } \mu_d = \sqrt{2} \pi^2. \quad (B-I-31) $$

On constate donc bien que l'instabilité apparaît plus tôt quand on a un léger amortissement ($\mu_d = 13.957$) que sans amortissement ($\mu_{cr} = 14.804$).

La fig B-I-9 montre les parties imaginaire et des solutions de l'équation caractéristique du système B-I-29 en fonction du paramètre de contrôle $\mu$ pour différente valeur de l'amortissement $\epsilon$ (pour la partie imaginaire on n'a tracé que les solutions positives). Sur l'agrandissement de la partie réelle, on constate la discontinuité entre la solution sans amortissement et la solution où l'amortissement est très faible.

La figure B-I-10 représente les variations de la partie imaginaire en fonction de la partie réelle des pulsations propres en fonction de $\mu$. Le système devient instable quand un des modes passe dans le demi-plan Re($\lambda$) > 0.

La figure B-I-11 représente l'évolution de l'amplitude de la réponse du mode 1 quand on exerce une force d'excitation sur le mode 2 (fonction de transfert $F_{2\to1}$). On peut remarquer l'absence de réponse du mode 1 quand $\mu = 0$ (pas de couplage entre les modes) puis la croissance de l'amplitude et de l'acuité du pic de ce mode quand $\mu$ croit (la partie réelle se rapproche de 0) jusqu'à $\mu_{cr}$ où l'amplitude devient infinie. Le mode 2 subit, quand à lui, un étalement du pic, lors de la croissance de $\mu$, dû à une partie réelle de plus en plus négative.
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>fig B-I-10 : Trajectoire des valeurs propres dans le plan complexe en fonction de $\mu$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>fig B-I-11 : Variation, en fonction de $\mu$, de l'amplitude de la fonction de transfert $F_{2 \to 1}$ (réponse du mode 1 à une excitation sur le mode 2).</figcaption></figure>
B STABILITE D'UNE LAME SOUPLE
DANS UN FLUX D'AIR

B-II MODELE DE RONFLEMENT A 1 DEGRE DE LIBERTE INSTATIONNAIRE
B-II-1 INTRODUCTION

On a vu au paragraphe B-II-3-2 que l'on ne peut pas expliquer une bifurcation aéro-élastique oscillante à l'aide d'un oscillateur simple couplé à un écoulement stationnaire.

Pour que l'instabilité se produise, il faut avoir des forces aérodynamiques déphasées par rapport au déplacement de l'oscillateur.

Ce déphasage ne peut se produire qu'en écoulement instationnaire soit :

- quand la pression et la vitesse du fluide sont liées par une relation d'impédance, ce qui revient, dans le cas des petits mouvements, à considérer les phénomènes acoustiques;

- quand le point de décollement se déplace et que ce déplacement n'est pas en phase avec la vitesse de l'oscillateur.

Ces deux phénomènes sont analysés dans ce chapitre et l'on montre, qu'en raison des ordres de grandeurs, ils ne peuvent pas expliquer la mise en vibration du voile du palais.
B-II-2 MODELE A 1 DEGRE DE LIBERTE TENANT COMPTE DE L'ACOUSTIQUE

Dans cette première partie, on propose un modèle permettant d'étudier la stabilité du voile du palais, schématisé par un système masse-ressort-amortisseur possédant un seul degré de liberté, soumis à des forces de pression dans lesquelles on fait intervenir des effets acoustiques. Des études semblables ont déjà été effectuées dans le cadre d'études sur la parole (par exemple [GUP]) et sur les instruments de musique à anche simple (clarinette [WIL,HIR], harmonium [HIL]).

Pour débuter, on étudie le cas simple de l'exemple de système aéroélastique déjà utilisé aux paragraphes A-II-2 et B-I-3-b en supposant, pour simplifier l'exposé, les effets visqueux négligeables au voisinage de la masse en mouvement et la dépression inspiratoire constante dans le reservoir.

Dans le cadre des hypothèses énoncées ci-dessus et en ajoutant les effets acoustiques, les équations du mouvement peuvent s'écrirent (voir (B-I-14)) :

$$
\frac{d^2 w}{dt^2} = -\alpha \frac{dw}{dt} + (1-w) - \frac{\Delta p_a}{\Delta p_f} \quad (B-II-1a)
$$

$$
\text{avec } \Delta p_a = \Delta p - \tilde{p} \qquad (\text{B-II-1b})
$$

$$
\text{où } \Delta p = K_1 Q + \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right) Q^2 \quad (\text{B-II-1c}) \\
= \text{dépression inspiratoire constante}
$$

et $\tilde{p}$ est la pression acoustique.

On décrit en annexe B-A un modèle acoustique des voies respiratoires qui
donne la relation entre la vitesse et la pression acoustique au niveau de
l'oscillateur.

En introduisant le potentiel du champ acoustique, Ξ, qui satisfait à la
relation de BERNOULLI linéarisé : $\frac{dΞ}{dT} = \tilde{p}$ (où T est le temps), la relation
d'impédance (B-A-3) peut s'écrire, dans le domaine temporel, en ajoutant un
amortissement $R_t$ :

$$
C_t \frac{d^2 \Xi}{dT^2} + R_t \frac{d\Xi}{dT} + \frac{1}{L_t} \Xi - \tilde{u} = 0. \quad (B-II-2)
$$

En posant (voir B-I-14) :

$$
\begin{gather*}
t = \Omega T, \quad \Omega = \sqrt{\frac{L_b \Delta p_f}{m h_0}}, \quad \alpha = \frac{c \sqrt{h_0}}{\sqrt{L_b \Delta p_f}}, \quad a = \frac{R_t}{C_t \Delta p_f}, \quad \xi = \frac{\Omega}{\Delta p_f} \quad \Xi \text{ et} \\
\beta = \frac{\omega_t}{\Omega} \quad \text{où } \omega_t \text{ est la pulsation de résonance acoustique } (\omega_t = \frac{1}{\sqrt{L_t C_t}}) \\
\text{et } \Omega \text{ la pulsation de résonance mécanique,}
\end{gather*}
$$

la relation (B-II-5) s'adimensionnalise :

$$
\frac{d^2 \xi}{dt^2} + a \frac{d\xi}{dt} + \beta^2 \xi - \frac{\tilde{u}}{C_t \Delta p_f \Omega} = 0. \quad (B-II-3a)
$$

La vitesse $\tilde{u}$ peut s'écrire en vertu de la relation (B-II-1c) :

$$
\tilde{u} = \frac{1}{S} \sqrt{ \frac{K_1^2 + 4 \Delta p \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right)}{2 \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 h^2} \right)} } - K_1 \quad (B-II-3b)
$$

$$
\text{où } h = h_0 w.
$$

Les 2 équations (B-II-1) et (B-II-3) forment donc un système de 2 équations
différentielles du second ordre couplées.

La position d'équilibre de la masse en mouvement est déterminée de la même façon qu'au paragraphe A-II-2-2 puisque les termes acoustiques n'interviennent pas à l'équilibre (fréquence nulle).

Pour étudier la stabilité, on linéarise les équations autour de cette
position d'équilibre. Le seul problème de cette linéarisation provient des
termes de couplage.

Le terme de couplage de l'équation (B-II-1) est - $\tilde{p}/\Delta p_f$ ce qui en variables
adimensionnelles s'écrit simplement $-\frac{d\xi}{dt}$. On a donc un couplage par l'amortissement de l'équation mécanique par l'équation acoustique.

Le terme de couplage de l'équation (B-II-3) est $\frac{\tilde{u}}{C_t \Delta p_f \Omega}$ où $\tilde{u}$ dépend de w.
Il s'agit donc d'un terme de raideur. Pour déterminer la raideur équivalente on doit dériver ce terme par rapport à w. Ceci peut se faire simplement en dérivant directement la relation (B-II-1c) par rapport à w en supposant, comme indiqué au début de ce paragraphe, $\Delta p$ constant. Il vient alors :

$$ \left. \frac{d\tilde{u}}{dw} \right|_{\text{à l'équilibre}} = \frac{h_0}{S} \frac{\frac{1.568 \rho}{2 b^2 \hbar^2} - \frac{2 \bar{Q}^2}{\bar{h}}}{K_1 + 2 \left( K_2 + \frac{1.568 \rho}{2 b^2 \hbar^2} \right) \bar{Q}} \quad (B-II-4) $$

où $\bar{Q}$ et $\bar{h}$ indiquent les valeurs de débit et de hauteur à l'équilibre.

Cette grandeur ne dépend donc que du paramètre de controle $\Delta p$ et de la géométrie. Elle est nulle quand le débit est nul (soit ici pour $\Delta p = 0$ et $\Delta p_f$ car on ne tient pas compte des effets visqueux) et positive ailleurs.

En notant $\mu = \frac{\left. \frac{d\tilde{u}}{dw} \right|_{\text{équilibre}}}{C_t \Delta p_f \Omega}$ le paramètre de controle, le système d'équations linéarisé s'écrit :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{w} \\ \ddot{\xi} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha & -1 \\ 0 & a \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{w} \\ \dot{\xi} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\mu & \beta^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} w \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \quad (B-II-5) $$

Lorsqu'on néglige l'amortissement, l'équation caractéristique s'écrit :

$$ \lambda^4 + (1+\beta^2) \lambda^2 - \mu \lambda + \beta^2 = 0 \quad (B-II-6) $$

dont les solutions complexes sont notées $\lambda = \varepsilon + j\omega$. En supposant la

partie imaginaire très grande devant la partie réelle et en ne gardant que les termes d'ordre zéro, l'équation (B-II-9) devient :

$$ \omega^4 - (1+\beta^2) \omega^2 - j \mu \omega + \beta^2 = 0, \quad (B-II-7) $$

ce qui indique que les pulsations propres au moment où le système bifurque ($\varepsilon = 0$) sont égales à 1 et $\beta$ et que le paramètre de réglage vaut alors $\mu = 0$.

Pour voir quel mode devient oscillant on fait le développement de l'équation (B-II-6) au premier ordre ($\mu$ devenant un terme du premier ordre) qui s'écrit alors :

$$ -4 j \omega^3 \varepsilon + 2 j (1+\beta^2) \omega \varepsilon - j \mu \omega = 0. \quad (B-II-8) $$

Pour le mode instable, quand le paramètre de réglage devient supérieur à la valeur critique, la partie réelle de la valeur propre devient positive (soit ici: $\mu$ positif entraine $\varepsilon$ positif pour le mode instable). Pour que cette condition soit réalisée il faut que :

$$ (1+\beta^2) - 2\omega > 0 $$

soit

$$ \omega^2 < \frac{1 + \beta^2}{2}. \quad (B-II-9) $$

Un système mécanique à un degré de liberté couplé à un résonateur acoustique est donc toujours instable si l'on ne considère pas d'amortissement et c'est le mode de fréquence la plus basse qui devient oscillant quand, comme ici ou comme dans les instruments de musique à anches, $\frac{d\tilde{u}}{dw}$ est positif (a contrario, lorsque $\frac{d\tilde{u}}{dw}$ est négatif, par exemple dans le cas des cuivres, c'est le mode de fréquence la plus élevée qui est instable).

Si l'on considère un amortissement faible ($\alpha \ll 1$, $\alpha \ll \beta^2$), le développement à l'ordre zéro de l'équation caractérisque est inchangé. A la bifurcation, les pulsations sont donc voisines de 1 et $\beta$ et le paramètre de contrôle est voisin de zéro.
Le developpement à l'ordre 1 permet de déterminer la relation liant la partie réelle de $\lambda$ au paramètre de contrôle et à l'amortissement :

$$ \mu = 2 \left[ (1+\beta^2) - 2\omega^2 \right] \varepsilon + \left[ \beta^2 + \frac{a}{\alpha} - (1+a/\alpha)\omega^2 \right] \alpha. \quad (B-II-10) $$

Le système bifurque ($\varepsilon=0$) pour une valeur du paramètre de contrôle critique $\mu_d$ telle que :

$$ \mu_d = \left[ \beta^2 + \frac{a}{\alpha} - (1+a/\alpha)\omega^2 \right] \alpha. $$

De la même manière que dans le cas sans amortissement, le mode instable est celui qui a la fréquence la plus basse. Si le mode acoustique à une fréquence plus élevée que le mode mécanique ($\beta > 1$) alors :

$$ \begin{aligned} \omega_d &= 1; \\ \mu_d &= (\beta^2 - 1) \alpha. \end{aligned} \quad (B-II-11a) $$

Dans le cas contraire :

$$ \begin{aligned} \omega_d &= \beta; \\ \mu_d &= (1 - \beta^2) \alpha. \end{aligned} \quad (B-II-11b) $$

Ceci nous permet de constater que la valeur du paramètre critique est directement proportionnelle à l'amortissement du mode instable.

Dans le cadre de l'exemple physiologiquement réaliste développé au paragraphe (A-II-2-3) (avec $b = 3$ cm, $L = 2$ cm, $K_1 = 1.34 \times 10^5$ Pa.m$^{-3}$s, $K_2 = 1.11 \times 10^8$ Pa.m$^{-6}$s$^2$, $\Delta p_f = 690$ Pa et $h_0 = 3$ mm) et en considérant une masse en mouvement de 50 g, le mode mécanique a une pulsation propre de $52 \text{ rd.s}^{-1}$ (8.36 Hz). La fréquence la plus basse est donc celle du mode mécanique ($\beta = 300$ Hz / 8.36 Hz $\approx$ 36).

Si l'amortissement est faible, la pulsation critique est donc voisine de la pulsation propre du mode mécanique comme l'indiquent la relation (B-II-11a). Mais il est, ici, raisonnable de penser que l'amortissement de l'oscillateur mécanique est assez important (voisin de l'amortissement critique). On prend, pour situer les ordres de grandeur, un amortissement mécanique réduit $\alpha = 1$ (voir fig B-II-2) et un amortissement acoustique

réduit plus faible $\alpha = 0.1 \beta$. Une résolution numérique de l'équation caractéristique avec ces valeurs donne une valeur critique du paramètre de contrôle $\mu_c = 1296$ et une pulsation critique adimensionnelle $\omega_d = 0.998$.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>fig B-II-2 : Réponse libre de l'oscillateur mécanique</figcaption></figure>

Pour situer la valeur de $\mu_{maxi}$ dans le cas physiologique, on doit calculer le maximum de $\frac{d\tilde{u}}{dw}$ équilibre. Cette valeur est obtenue en remplaçant Q et h dans la relation (B-II-4) par les valeurs obtenues lorsque l'on fait croître la pression d'alimentation (voir partie A) et en recherchant le maximum. La valeur trouvée est de $10.5 \text{ m.s}^{-1}$.

En considérant le sytème acoustique défini en annexe B-A, $C_t$ est égal à $\frac{1}{\rho c^2} (\frac{1}{3} l_p + \frac{V}{S})$, à basses fréquences, soit numériquement $C_t = 5.45 \times 10^{-6} \text{ m.Pa}^{-1}$. Dans cet exemple $\mu_{maxi}$ est donc égal à 54.

On peut donc conclure de cette étude que pour les valeurs physiologiques ce modèle ne permet pas de prévoir de bifurcations oscillantes car la plage de variation du paramètre de contrôle $\mu$ est trop faible pour atteindre la valeur nécessaire à la bifurcation. Ceci est dû au fait que les fréquences des modes acoustique et mécanique sont éloignées ($\beta^2$ grand) et que l'amortissement du mode de plus faible fréquence est important ($\alpha$ de l'ordre de 1).

Si l'on prend un modèle plus réaliste de ce qui se passe dans le cas du ronflement, on se retrouve avec la géométrie représentée sur la fig B-II-3 où la partie en mouvement est maintenant le voile du palais (VP). La
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>fig B-II-3 : Modèle acoustique de voile du palais</figcaption></figure>

description acoustique devient plus compliquée du fait de la présence au voisinage de l'extrémité libre du VP de modes acoustiques évanescents qui rendent délicats le calcul de la différence de pression acoustique entre les 2 faces du VP.

Le but n'étant pas d'effectuer des calculs importants pour montrer tout aussitôt qu'ils ne servent à rien, on se contente de supposer que cette différence de pression est liée à la variation de vitesse due au mouvement du VP par une relation formellement semblable à (B-II-3) où la fréquence de résonance acoustique doit être supérieure ou du même ordre de grandeur que celle définie précédemment.

Si l'on considère uniquement le premier mode propre du voile du palais, pour rester dans l'hypothèse de système mécanique à un degré de liberté, le mouvement du VP, $W(X,T) = L w_1(X) f(T)$, vérifie l'équation :

$$M \left( \frac{d^2 f}{dT^2} + \alpha \Omega \frac{df}{dT} + \Omega^2 f \right) = \int_0^L \Delta p(X,T) + \Delta p_a(T) b \, dX \quad (B-II-12)$$

où M est la masse équivalente du premier mode;

α l'amortissement réduit;

Ω la pulsation propre du premier mode;

Δp la différence de pression aérodynamique entre les 2 faces;

Δp_a la différence de pression acoustique entre les 2 faces.

L'intégrale de la pression aérodynamique conduit à un terme de raideur qui a tendance à augmenter celle-ci proportionnellement au carré de la vitesse moyenne par effet VENTURI comme nous l'avons décrit au paragraphe A-II-3-1.

Une fois adimentionnalisée, l'équation (B-II-12) est formellement semblable à l'équation (B-II-1a) à l'exception du terme de raideur aérodynamique ajoutée qui ne change pas fondamentalement le problème de stabilité hormis le fait qu'il rapproche un peu les fréquences propres acoustique et mécanique.

Les ordres de grandeurs de tous les termes du nouveau système restant semblables à ceux de l'exemple précédent, la même conclusion s'impose : par des considération d'ordre de grandeur,

l'instationnarité acoustique ne peut pas être tenue pour responsable de l'instabilité conduisant au ronflement.
B-II-3 MODELE A 1 DEGRE DE LIBERTE TENANT COMPTE DU DECOLLEMENT

L'instationarité acoustique ne pouvant pas être la cause première de l'instabilité produisant le ronflement, on peut chercher une autre explication à l'aide de la variation de la position du point de décollement.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>fig B-II-4 : Modèle à un degré de liberté avec décollement</figcaption></figure>

On considère le modèle dont la géométrie est donnée par la figure B-II-4, dans la partie divergente (en amont de la section de passage la plus faible, $S_m$) règne un gradient de pression dit adverse (la section s'élargissant, l'écoulement est décéléré et la pression augmente). En présence d'un gradient de pression adverse, et pour un nombre de REYNOLDS suffisant, la couche limite qui se forme le long des parois a tendance à décoller (sur la fig B-II-4, au point D) et, à l'arrière de ce décollement, on assiste à la formation d'un jet et d'une zone dite "d'eau morte" (voir par exemple [DAR]).

La pression $p^*$ dans la zone décollée peut être, en première approximation, être considérée constante suivant $x$ et égale à la pression à l'arrière du VP (cas de la bouche fermée). La force due à la pression et s'appliquant

sur la masse en mouvement s'écrit alors :

$$F_p = \int_{0}^{x_d} (p(x)-p^*) b \, dx. \qquad (B-II-13)$$

La force de pression dépend donc de la position, $X_d$, du point de décollement. Si cette position, $X_d$, ne dépend que du mouvement, $W$, du VP alors le terme en $X_d$ n'intervient que dans la raideur et ne permet pas d'expliquer une bifurcation oscillante. Par contre, si $X_d$ dépend aussi de la vitesse de déplacement, $\dot{W}$, il intervient dans le terme d'amortissement et peut conduire à une instabilité si sa contribution à l'amortissement est négative (i. e. si la force est la vitesse sont de même signe).

L'importance du phénomène de décollement est donnée par la comparaison entre les quantités d'accélération instationnaire et convective. Le rapport de ces 2 quantités est le nombre de STROUHAL : $St = f D / U$ où $f$ est la fréquence de l'oscillation, $D$ une longueur caractéristique et $U$ une vitesse caractéristique. Un nombre de STROUHAL faible devant 1 indique que l'écoulement peut être considéré comme stationnaire et donc que la position du point de décollement dépend peu de la vitesse.

Malheureusement très peu de choses sont, à l'heure actuelle, connues sur le comportement dynamique (quand le nombre de STROUHAL n'est pas très inférieur à 1) d'une couche de cisaillement décollée. HIRSCHBERG et coll [HIR] considère ce phénomène comme pouvant être responsable de l'oscillation des anches de clarinette en l'absence de rétroaction acoustique sans le quantifier (des travaux sont actuellement en cours à l'université d'Eindhoven et à l'université du Maine pour mieux appréhender ce problème).

BERTRAM et PEDLEY [BER], dans un article sur le comportement dynamique des tuyaux collabables, accorde une grande importance aux phénomènes de décollement et considère comme une possible source d'erreur le fait de ne pas tenir compte du comportement dynamique du décollement.

Une géométrie assez semblable à celle du ronflement est observée dans le fonctionnement des valves cardiaques. Les caractéristiques du fluides sont toutefois assez différentes: masse volumique du fluide du même ordre que celle de la partie en mouvement, écoulement pulsé ... Des simulations
numériques d'écoulement ont été réalisées pour des nombres de REYNOLDS assez faibles (≈ 300) et des nombres de STROUHAL de l'ordre de l'unité [HOR] montrant l'existence de décollement et l'apparition de tourbillons en aval de la partie en mouvement (voir fig-II-5). Une analyse systématique du comportement dynamique du point de décollement n'a cependant pas été faite dans ce cas.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>fig B-II-5 : Champ de vitesse au voisinage d'une valve cardiaque en écoulement pulsé. ($Re = 300, \nu t = 1$) [HOR]</figcaption></figure>

Le comportement dynamique d'une couche de cisaillement décollée est mieux connue dans le cas d'un obstacle placé dans un écoulement uniforme. Dans ce cas, cette couche est le siège d'une instabilité de KELVIN-HELMOLTZ (voir par exemple [MAN 2]) qui conduit, pour des nombres de REYNOLDS suffisant (> 100), à la création, à l'arrière de l'obstacle, d'une allée tourbillonaire de BENARD-VON KARMAN (voir fig B-II-6). Des tourbillons

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>fig B-II-6 : Allée tourbillonaire à l'arrière d'une plaque plane ($Re = 20000, \nu t = 0.213$) [WEL]</figcaption></figure>

contra-rotafifs se détachent alternativement de la partie supérieure et de la partie inférieure de l'obstacle. Une des particularités intéressantes de ce phénomène est que la fréquence d'émission des tourbillons est telle que le nombre de STROUHAL est toujours proche de 0.2 (en prenant comme dimension caractéristique, une dimension perpendiculaire à l'écoulement) (voir par exemple [LUG] ou [ROC]).

Si la fréquence d'émission des tourbillons est voisine d'une fréquence de résonance de l'obstacle qui les crée, une instabilité est alors possible [LAN]. L'exemple le plus simple de ce mécanisme est le bruit de corde vibrante émis par la vibration des fils électriques sous l'action du vent (bruit éolien).

Pour déterminer si un tel mécanisme peut être à l'origine du ronflement, il suffit de comparer les fréquences fondamentales typiques du ronflement avec la fréquence de STROUHAL ($f_s = \nu t.U/D$ où $\nu t \approx 0.2$):

- les fréquences fondamentales du ronflement sont comprises entre 25 et 110 Hz [AUR].

- en prenant un débit inspiratoire de $1 \cdot 10^{-1}$ et une section de passage de $2 \cdot 10^2$, la vitesse U vaut $5 \cdot 10^{-1}$. En prenant comme dimension caractéristique transversale l'épaisseur du voile du palais, soit $D \approx 5$ mm, la fréquence de STROUHAL vaut 200 Hz.

Cette comparaison montre que :

- le phénomène de détachement périodique de tourbillons ne peut pas expliquer la mise en vibration du voile du palais notamment pour des vitesses de fluide importantes;

- les phénomènes d'instationarité ne sont pas complètement négligeables car le nombre de STROUHAL du ronflement peut être voisin de l'unité notamment si le début de l'inspiration se fait brutalement.

- Un tourbillon peut se former à l'arrière du voile du palais et être responsable d'un effet de portance. Celui-ci peut expliquer une mise en vibration plus soudaine que ne le prévoit la théorie linéaire.
B-II-4 VALIDATION EXPERIMENTALE DES CONCLUSIONS SUR LES MODELES
INSTATIONNAIRES A 1 DEGRE DE LIBERTE

Dans les deux paragraphes précédents, on a montré, qu'en raison des ordres
de grandeur, l'instationnarité ne peut pas expliquer, à elle seule,
l'apparition du ronflement.

Un dispositif expérimental a été réalisé (voir fig B-II-7) pour valider
cette conclusion.

Sur le réservoir de tranquilisation et en utilisant le système de
dépression décrit au paragraphe 4-II-2-4, on a monté le dispositif décrit
figure B-II-7. Deux canaux A et B (représentant le nez et la bouche)
convergent vers un canal de largeur réglable (représentant l'oro-pharynx).
Au niveau de la convergence on place, entre les deux canaux, une lame
rigide articulée sur le support (voir fig B-II-8(a)). L'épaisseur de la
lame est du même ordre de grandeur que le voile du palais (≈ 4 mm). Cette
lame présente un seul degré de liberté : la rotation autour de son point
d'articulation. La principale force de rappel de cet oscillateur, lorsqu'il
est placé verticalement, est son poids. Dans ce cas sa fréquence propre de
vibration est de 2.6 Hz. Une mise en dépression du réservoir crée un débit
d'air dans les canaux A et B.

On constate alors que la lame reste immobile :

- quel que soit le débit d'air $Q$ ($0 < Q < 6 \text{ m}^3\text{s}^{-1}$);

- quel que soit la hauteur des canaux $H_a$ et $H_b$ ($0 < H_a, H_b < 15 \text{ mm}$);

- qu'un des deux canaux soit ouvert ou fermé.

On constate de plus qu'une oscillation induite artificiellement est très
rapidement amortie.

A contrario, lorsqu'on remplace l'oscillateur précédent par une lame
bi-articulée (voir fig B-II-8(b)), on constate que ce système à 2 degrés de
liberté se met à osciller pour un débit donné (ou pour une hauteur de canal
donné, à débit constant). Dans leurs mouvements, ces lames viennent heurter

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>fig B-II-7 : dispositif expérimental dit "machine à ronfler"</figcaption></figure>
une ou les deux parois latérales. Il se produit alors un bruit semblable au ronflement humain (voir fig B-II-9).

On obtient un résultat semblable en remplaçant la lame bi-articulé par un système continu souple (lame en élastomère (Rhone-Poulenc RTU 585) d'épaisseur 4 mm et de longueur 50 mm).

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>fig B-II-8 : oscillateurs : (a) à 1 degré de liberté, (b) à 2 degrés de liberté, (c) description d'une articulation.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>fig B-II-9 : (a) signal sonore capté devant la bouche lors d'un ronflement simulé, (b) signal sonore capté à l'entrée de la "machine à ronfler".</figcaption></figure>

Le même dispositif expérimental permet une visualisation de l'écoulement autour de la lame bi-articulée réalisée à l'Université d'Eindhoven (avec l'aide extrémement précieuse de A.P.J. WIJNANDS et de A. HIRSCHBERG) juste au moment où le système devient instable. Cette visualisation est basée sur l'effet SCHLIEREN (voir par exemple [TRI]) qui permet d'observer les variations spatiales de coefficient de réfraction dans un fluide. Du $CO_2$ est injecté dans la maquette juste à la base de l'oscillateur ou/et sur une paroi latérale (voir fig B-II-7) afin de créer ce gradient de coefficient de réfraction.

Les deux clichés, présentés sur la fig B-II-10, représentent la visualisation d'un filet de fluide émanent de la base de l'oscillateur au cours d'une augmentation très progressive de débit conduissant à l'instabilité.

On ne constate aucun enroulement de cette ligne d'émission. Ceci confirme qu'une allée tourbillonnaire n'est pas nécessaire pour expliquer le début du mouvement lors d'augmentations lente du débit.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>fig B-II-10 : Visualisation d'écoulement au voisinage d'une lame bi-articulée au moment de la perte d'équilibre due à une augmentation lente du débit. (a) lame stable, (b) première image du mouvement. (temps entre (a) et (b) : 1/50 s)</figcaption></figure>

Fort de ces constatations, on est amené à penser que le modèle le plus simple, permettant d'expliquer le ronflement est un modèle à 2 degrés de liberté mécanique sans terme instationnaire dans l'écoulement. L'étude d'un tel modèle est l'objet du chapitre suivant.
B STABILITE D'UNE LAME SOUPLE
DANS UN FLUX D'AIR

B-III MODELE DE RONFLEMENT A 2 DEGRES DE LIBERTE
B-III-1 INTRODUCTION

Des modèles de comportement aéro-élastique d'organe souple dans des écoulements, utilisant le couplage de plusieurs modes, ont été utilisés dans des domaines très divers :

- le couplage de modes de flexion et de torsion pour le "flutter" d'aile d'avions ou de ponts [ROC];

- la divergence ou le "flutter" de plaques de carlingue utilisées en aéronautique [DOW, KOR];

- la vibration de tuyaux destinés au transport de fluide (pipeline...) [PAI];

- la vibration de conduits biologiques (veines, bronches, ...) [GRO, BER];...

Les principales différences entre le problème du ronflement et les modèles évoqués ci-dessus sont :

- dans le ronflement le flux d'air est confiné par la présence de parois de part et d'autre du voile du palais, ce qui n'est pas le cas dans les modèles utilisés en aéronautique;

- l'oscillateur étudié lors du ronflement (le voile du palais) est court par rapport aux longeurs d'onde des vibrations, ce qui n'est pas le cas dans les vibrations des veines et des bronches;

- des pressions variables et reliées par les conditions d'extrémité s'exercent sur les deux faces du voile du palais, ce qui n'est pas le cas en conduite oscillante ou collabable.

On présente, dans ce chapitre, un modèle basé sur la coalescence des deux premiers modes de vibration du voile du palais. Le voile du palais est modélisé comme un système à deux degrés de liberté. C'est le modèle le plus simple qui permet d'expliquer le ronflement. Ce modèle est par la suite affiné pour rendre compte des résultats expérimentaux sur maquette qui sont présentés. Dans la dernière partie de ce chapitre, le modèle est décrit en termes non-mathématiques et les conclusions médicales en sont tirées.
### B-III-2 MODELE SIMPLIFIÉ

Le but du présent paragraphe est de montrer qu'une description même très simple d'un système mécanique à deux degrés de liberté, en interaction avec un fluide en écoulement, permet d'expliquer sa mise en vibration. Cette description est affinée et validée expérimentalement dans les paragraphes suivants.

#### B-III-2-1 Equations de la dynamique

L'oscillateur à 2 degrés de liberté est constitué de 2 lames identiques soumises à l'action de leurs poids et à l'action de l'air en mouvement (voir fig B-III-1).

Les équations du mouvement d'un tel système sont aisément calculable soit à l'aide des théorèmes généraux de la dynamique, soit à l'aide d'une méthode lagrangienne (voir par exemple [TIM]). Elle peuvent s'écrire :

$$ mL^2 \begin{bmatrix} 4/3 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + mgL \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \end{pmatrix}. \quad (B-III-1) $$

où m est la masse des lames;

L est la longueur des lames;

g est l'accélération de la pesenteur;

$\theta_i$ est l'angle de la lame i avec l'axe X;

$\ddot{\theta}_i$ est la dérivée seconde de $\theta_i$ par rapport au temps T;

$M_2$ est le moment, au point $O_2$, des actions de l'air sur la lame 2;

$M_1$ est le moment, au point $O_1$, des actions de l'air sur la lame 1 et des actions de la lame 2 sur la lame 1.

Les pulsations propres du système mécanique lorsque l'on tient pas compte des effets aérodynamiques sont solutions de l'équation caractéristique :

$$ 7 L^2 \omega^4 - 42 g L \omega^2 + 27 g^2 = 0. \quad (B-III-2) $$

On note $\Omega$ la première pulsation propre et $\beta$ le rapport de la seconde pulsation propre sur la première. Dans ce cas, ces valeurs sont égales à :

$$ \Omega = \sqrt{3 - \frac{6}{\sqrt{7}}} \cdot \sqrt{\frac{g}{L}} \quad \text{et} \quad \beta = \sqrt{\frac{3\sqrt{7} + 6}{3\sqrt{7} - 6}} $$

soit numériquement : $\Omega = 0.856 \sqrt{\frac{g}{L}}$ et $\beta = 2.682$.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>fig B-III-1 : définition de la géométrie et des notations du modèle</figcaption></figure>
Où le déplacement W(X) s'exprime par :

$$ W(X) = \begin{cases} \Theta_1 \cdot X & \text{si } 0 \le X \le L; \\ \Theta_1 \cdot L + \Theta_2 \cdot (X-L) & \text{si } L \le 0 \le 2L. \end{cases} \qquad (B-III-4) $$

On se place directement dans l'hypothèse des petits déplacements de l'oscillateur. Ceci implique que $W(X) \ll H_a$ quelque soit X et notamment quand $X = 2L$ ($W(2L) = W^* = (\Theta_1 + \Theta_2) \cdot L$). Le développement au premier ordre de (B-III-3) s'écrit :

$$ U_a(X) \approx \left(1 - \frac{W^*}{H_a} + \frac{W(X)}{H_a}\right) U \qquad (B-III-5) $$

D'autre part, le théorème de BERNOULLI appliqué entre les sections d'abscisse X et 2L se met sous la forme :

$$ P_a(X) = P^* + \frac{\rho}{2} (U^2 - U_a^2(X)). \qquad (B-III-6) $$

En utilisant l'équation (B-III-5) et en ne gardant que les termes du premier ordre, cette relation devient :

$$ P_a(X) \approx P^* + \rho \frac{U^2}{H_a} (W^* - W(X)). \qquad (B-III-7a) $$

En faisant les mêmes calculs sur le canal B, on obtient :

$$ P_b(X) \approx P^* - \rho \frac{U^2}{H_b} (W^* - W(X)). \qquad (B-III-7b) $$

Le moment, $M_2$, des actions de l'air su la lame 2 s'écrit :

$$ M_2 = \int_L^{2L} (P_b(X) - P_a(X)) \cdot (L-X) \cdot B \cdot dX \qquad (B-III-8) $$

où B est la largeur des lames.

En utilisant les équations (B-III-7) et (B-III-4) et en notant H la hauteur telle que $\frac{1}{H} = \frac{1}{H_a} + \frac{1}{H_b}$, $M_2$ devient :

Les vecteurs propres du premier mode sont de la forme : $\begin{pmatrix} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{pmatrix}_1 = \begin{pmatrix} a \\ 1.43 a \end{pmatrix}$ où la valeur de a est quelconque. Ceux du second mode sont de la forme $\begin{pmatrix} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{pmatrix}_2 = \begin{pmatrix} b \\ -2.1 b \end{pmatrix}$ avec b quelconque. Ces valeurs conduisent à des formes propres définies sur la figure B-III-2.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>fig B-III-2 : Formes propres de l'oscillateur bi-articulé.</figcaption></figure>

### B-III-2-2 Efforts aérodynamiques

Pour simplifier les calculs, l'air est considéré comme étant un fluide parfait (pas de pertes de charge), en écoulement stationnaire mono-dimensionnel (la vitesse et la pression dans le fluide sont constantes dans une section droite).

L'application du théorème de BERNOULLI (pour un écoulement stationnaire incompressible) entre un point situé à l'infini amont et les points $A^*$ et $B^*$ (voir fig B-III-1), compte tenu de l'égalité des pressions à la sortie des canaux A et B ($p_a^* = p_b^*$), permet de déduire l'égalité des 2 vitesses $U_a^*$ et $U_b^*$. La dépression dans le réservoir est alors simplement égale à $\Delta p = \frac{1}{2} \rho U^2$ où $U = U_a^* = U_b^*$.

Dans le canal A ($Y > 0$), la conservation du débit entre une section d'abscisse X et la section de sortie $S^*$ implique que :

$$ U_a(X) = \frac{H_a - W^*}{H_a - W(X)} U. \qquad (B-III-3) $$
l'équation (B-III-12) s'écrit (voir annexe B-B) :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad (B-III-13) $$

où

$$ a_{11} = \frac{2}{9} + \frac{13 \sqrt{7}}{63} \approx 0.7682, \quad a_{12} = -1 - \frac{3 \sqrt{7}}{7} \approx -2.1339, $$

$$ a_{21} = \frac{1}{3} + \frac{5 \sqrt{7}}{21} \approx 0.9633, \quad a_{22} = -\frac{10}{9} - \frac{29 \sqrt{7}}{63} \approx -2.3290, $$

sont des coefficients sans dimension dépendants uniquement de la forme des modes propres.

Dans l'étude, faite en annexe B-C, de la stabilité aéro-élastique d'une plaque souple encastrée à une extrémité et libre à l'autre, on voit plus clairement l'interprétation de ces coefficients.

Les termes diagonaux, $a_{11}$ et $a_{22}$, sont des termes de raideur ajouté à chacun des modes. On voit facilement dans la définition des coefficients de l'annexe B-C qu'une croissance (ou une décroissance) monotone de la forme propre est une condition suffisante pour que la raideur ajoutée soit positive. Le premier mode de la plaque comme celui de l'oscillateur bi-articulé a donc une raideur qui augmente avec la vitesse. Au contraire, le second mode, dont la forme propre présente un maximum puis une décroissance, a une raideur qui diminue avec la vitesse.

Les termes non diagonaux, $a_{12}$ et $a_{21}$, indiquent un couplage des modes propres. Le fait que ces deux termes ne soient pas égaux indique que le système n'est pas conservatif (L'oscillateur peut "prendre" de l'énergie au fluide). Il peut donc se mettre à osciller [WEA].

Comme on l'a vu au paragraphe B-I-4-b, la condition pour avoir une instabilité oscillante est que le discriminant de la matrice de raideur devienne négatif ($\text{det}(K) = \text{tr}^2(K) - 4 \det(K) \le 0$). Ce qui s'écrit ici :

$$ M_2 = - \frac{\rho B U^2 L^3}{6 H} \theta_2. \quad (B-III-9) $$

On calcule de même la force, $F_2$, qui s'exerce sur la lame 2 :

$$ F_2 = - \frac{\rho B U^2 L^2}{2 H} \theta_2, \quad (B-III-10) $$

et le moment, $M_1$, des actions de l'air sur la lame 1 :

$$ M_1 = \int_0^L (P_b(X)-P_a(X)).X.B.dX + F_2.L \quad (B-III-11) \\ = - \frac{\rho B U^2 L^3}{H} (\frac{1}{6} \theta_1 + \theta_2). $$

### B-III-2-3 Etude de la stabilité

En utilisant les valeurs de $M_1$ et $M_2$ que l'on vient de trouver, le système (B-III-1) peut s'écrire :

$$ mL^2 \begin{bmatrix} 4/3 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + mgL \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \frac{\rho B U^2 L^3}{H} \begin{bmatrix} 1/6 & 1 \\ 0 & 1/6 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \quad (B-III-12) $$

Les effets aérodynamiques correspondent donc dans ce modèle à une raideur qui s'ajoute à la raideur mécanique.

En posant les nouvelles variables :

- $t = T.\Omega$, le temps adimensionnel;

- $\theta_1$ et $\theta_2$, les coordonnées dans la base des modes propres normalisées;

- $\gamma = \frac{\rho B L^2}{m g H} U^2$, un nombre sans dimension caractérisant le rapport des forces de pression ($\frac{1}{2} \rho U^2 B L$) sur les forces de rappel (m.g.H/L),
$$ (1 - \beta^2 + \gamma (a_{11} - a_{22}))^2 + 4 \gamma^2 a_{12} a_{21} \le 0. \quad (B-III-14) $$

La valeur critique du paramètre γ est donc donnée par :

$$ \gamma_{cr} = \frac{\beta^2 - 1}{a_{11} - a_{22} + 2 \sqrt{-a_{12}a_{21}}} \quad (B-III-15) $$

Cette valeur ne dépend que de la forme des modes propres et du rapport des deux premières pulsations propres.

Dans le cas de la lame bi-articulée, elle vaut :

$$ \gamma_{cr} = \frac{28 + 8\sqrt{7}}{14 + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{42}} = 1.03851 \quad (B-III-16) $$

La condition pour que la lame bi-articulée se mette à osciller peut donc s'écrire :

$$ \gamma = \frac{\rho B L^2}{m g H} U^2 \ge \gamma_{cr} $$

ou

$$ U \ge \frac{1}{L} \sqrt{\frac{\gamma_{cr} m g H}{\rho B}} \quad (B-III-17) $$

Ce modèle, bien qu'extrêmement simplifié, permet donc de prévoir une birfurcation oscillante par coalescence des modes d'une lame bi-articulée placée dans un flux d'air confiné par 2 parois entourant cette lame.

### B-III-3 MODELES PLUS REALISTES D'OSCILLATEURS BI-ARTICULES

Le modèle ci-dessus présente l'avantage de sa simplicité, cependant la confrontation avec la manipulation que l'on peut réaliser pour le valider (voir paragraphe B-III-4) montre les limites des hypothèses posées. La prise en compte de quelques phénomènes supplémentaires est présentée les paragraphes suivants.

#### B-III-3-1 Prise en compte de la raideur des articulations

Quand la lame bi-articulée, définie à la fig B-II-7-b, est suspendue verticalement et que l'on mesure sa réponse fréquentielle, les deux fréquences de résonance sont (voir paragraphe B-III-4-1) :

fréquence de résonance du premier mode : 2.82 Hz;

fréquence de résonance du second mode : 9.99 Hz.

En calculant ces fréquences propres à l'aide des relations du paragraphe précédent (où L = 26 mm, g = 9.81 m.s⁻²) on trouve :

fréquence de résonance du premier mode : 2.65 Hz;

fréquence de résonance du second mode : 7.10 Hz.

Cette différence de fréquence conduit à penser que tous les efforts de raideur n'ont pas été correctement pris en compte et particulièrement ceux des articulations.

En raison de leurs valeurs faibles, ces raideurs sont difficiles à mesurer. Elles sont donc estimées par leurs influences sur les modes propres.

En supposant ces deux raideurs, k, identiques, l'équation (B-III-1) devient :

$$ mL^2 \begin{bmatrix} 4/3 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \left\{ mgL \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right\} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \end{pmatrix}. \quad (B-III-18) $$

Si l'on appelle α le rapport entre la raideur des articulations et la
raideur due au poids ($\alpha$ = k/mgL), l'équation caractéristique de ce système s'écrit :

$$7 L^2 \omega^4 - (42 + 108\alpha) \text{ gL } \omega^2 + (27 + 90\alpha + 36\alpha^2) g^2 = 0. \quad (\text{B-III-19})$$

Les deux pulsations propres sont alors définies par :

$$\Omega_{1,2} = \sqrt{\frac{3(7 + 18\alpha) \pm \sqrt{18 \sqrt{14 + 91\alpha + 148\alpha^2}}}{14}} \sqrt{\frac{g}{1}}$$

La valeur de $\alpha$ qui permet d'approcher au mieux les valeurs exprimentales est $\alpha = 0.4$. Dans ce cas ces fréquences valent :

fréquence de résonance du premier mode : 2.88 Hz;

fréquence de résonance du second mode : 10.46 Hz.

Les vecteurs propres et les coefficients aérodynamiques dans la base des vecteurs propres sont donc modifiés.

Les vecteurs propres deviennent : $\begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}_1 = \begin{pmatrix} a \\ 1.37 a \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}_2 = \begin{pmatrix} b \\ -2.11 b \end{pmatrix}$ où a et b sont quelconques.

Dans la nouvelle base des vecteurs propres normalisés (voir annexe B-B), l'équation du mouvement est formellement semblable à la relation (B-II-13) avec $\beta = 3.6194$ et où la nouvelle valeur des coefficients aérodynamiques est :

$$a_{11} = 0.6369, \quad a_{12} = -1.8369,$$

$$a_{21} = 0.7876, \quad a_{22} = -1.9478.$$

La nouvelle valeur du paramètre critique (voir relation (B-III-16)) est $\gamma_{cr} = 2.432$. On constate que cette augmentation du paramètre critique est principalement due à l'écartement des fréquences des modes propres résultant de la prise en compte de la raideur des articulations.

### B-III-3-2 Prise en compte de l'amortissement structurel

Il a été démontré au paragraphe B-I-4-3 qu'un amortissement faible peut favoriser l'instabilité en diminuant la valeur critique du paramètre de réglage pour lequel le système devient instable.

Le film plastique qui relie les barres articulées provoque un amortissement structurel. Celui-ci est relativement faible : quand on écarte cette lame de sa position d'équilibre, il faut 5 à 6 périodes d'oscillation avant que l'amplitude décroisse de moitié (voir fig B-III-12).

Si l'on suppose que cet amortissement est le même aux deux articulations, il convient de rajouter à l'équation (B-III-18) un terme de la forme :

$$\xi \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \quad \text{où } \xi \text{ est l'amortissement.}$$

On adimensionalise cette quantité en posant $\epsilon = \frac{\xi}{mLg} \sqrt{\frac{g}{L}}$ (voir annexe B-B) où $\epsilon$ est l'amortissement réduit dont la valeur expérimentale est faible : $\epsilon \ll 1$ et $\epsilon \ll \beta^2$.

En tenant compte de l'amortissement et dans la base des modes propres normalisées, l'équation (B-III-13) devient :

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \epsilon \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad (B-III-20)$$

où

$$c_{11} = 0.3657, \quad c_{12} = -0.0986,$$

$$c_{21} = -0.0986, \quad c_{22} = 16.159.$$

Comme on l'a vu au paragraphe B-I-4-3, les valeurs de la pulsation critique et du paramètre de réglage critique sont obtenues à l'aide des équations :
$$ \omega_d^4 - (1 + \beta^2 + \gamma_d(a_{11} + a_{22}))\omega_d^2 + (1 + \gamma_d a_{11})(\beta^2 + \gamma_d a_{22}) - \gamma_d^2 a_{21} a_{12} = 0 \quad (B-III-21a) $$

$$ \text{et} \quad (c_{11} + c_{22}) \omega_d^2 = \beta^2 c_{11} + c_{22} + \gamma_d (a_{11} c_{22} + a_{22} c_{11} - a_{12} c_{21} - a_{21} c_{12}). \quad (B-III-21b) $$

La résolution numérique de ces équations conduit aux valeurs (voir aussi fig B-III-3) :

$$ \omega_d^2 = 2.127. \\ \gamma_d = 1.636, $$

En tenant compte de l'amortissement, on constate donc bien une diminution de la valeur du paramètre de réglage critique et donc un acroissement de la tendance à l'instabilité. On remarque aussi que le mode devenant instable est celui qui a la plus basse fréquence car son amortissement est le plus faible.

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>fig B-III-3 : Résolution graphique des équations B-III-21 (les amortissements instationnaire et total sont définis au paragraphe suivant).</figcaption></figure>

### B-III-3-3 Prise en compte de l'amortissement dû au fluide

On a montré au paragraphe B-I-4-3 que le mode qui devient instable n'est déterminé que par l'amortissement. Or on constate expérimentalement que c'est le second mode qui bifurque (voir paragraphe B-IV). L'amortissement structurel que l'on a vu plus haut ne permet donc pas d'expliquer ce phénomène.

Une autre source possible d'amortissement est l'instationnarité de l'écoulement du fluide. En effet, même si l'on continue à négliger la viscosité du fluide, la conservation locale du débit en faisant intervenir le mouvement de l'oscillateur, montre une dépendance de la vitesse du fluide (et donc de la force exercée) à la vitesse de l'oscillateur. C'est de cet amortissement non-stationnaire dont il est question dans ce paragraphe.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>fig B-III-4 : Définition de notations du modèle non-stationnaire</figcaption></figure>
La conservation locale du débit dans le canal A du système défini à la fig B-III-4 (voir aussi fig fig B-III-1), peut s'écrire (en conservant les notations du paragraphe B-III-2-2) [GUP]:

$$ \frac{\partial}{\partial T} (H_a - W(X,T)) + \frac{\partial}{\partial X} (U_a(X,T) (H_a - W(X,T))) = 0 \quad (B-III-22) $$

où T est le temps.

Le premier terme peut être assimilé à un débit "pompé par l'oscillateur". L'écoulement n'est plus supposé quasi-stationnaire car la vitesse du fluide ne dépend plus que de la position de l'oscillateur mais aussi de sa vitesse. La solution de l'équation ci-dessus s'écrit :

$$ U_a(X,T) = \frac{\int \frac{\partial W}{\partial T} dX}{H_a - W} = \frac{\frac{\partial W}{\partial T} + C}{H_a - W} \quad (B-III-23) $$

où W est une primitive en X de W que l'on choisit nulle dans la section d'entrée $\bar{S}_a$ et C une constante. En $\bar{S}_a$, on a donc $U_a(0,T) = \bar{U}_a = C/H_a$.

La vitesse du fluide dans une section donnée peut être considérée comme étant la somme d'une vitesse, U, (provenant du débit d'inspiration) qui ne dépend ni de la position, ni du temps et d'une vitesse fluctuante due au mouvement de la lame bi-articulé. Dans l'hypothèse des petits déplacements, la vitesse fluctuante est très inférieure à la vitesse U. Pour des raisons de simplicité de notation, on appellera dans la suite $U_a$, $U_a^*$, $\bar{U}_a$ les parties fluctuantes de $U_a$, $U_a^*$, $\bar{U}_a$. Avec ces nouvelles notations, l'équation (B-III-23) peut s'écrire :

$$ U_a(X,T) = \frac{\frac{\partial W}{\partial T} + U_a W + H_a \bar{U}_a}{H_a - W} \quad (B-III-24) $$

En effectuant un développement limité en $W/H_a$, cette relation devient :

$$ U_a(X,T) = \bar{U}_a + \frac{1}{H_a} \left( \frac{\partial W}{\partial T} + U_a W \right) \quad (B-III-25) $$

L'application du théorème de BERNOULLI non-stationnaire entre la section d'entrée $\bar{S}_a$ et la section courante conduit à :

$$ \frac{P_a - \bar{P}_a}{\rho} + \frac{(U_a + U_a)^2 - (U_a + \bar{U}_a)^2}{2} + \int_0^x \frac{\partial U_a}{\partial T} dX' = 0 \quad (B-III-26) $$

En utilisant la valeur de la vitesse définie par la relation (B-III-25) et en faisant un développement limité de la relation (B-III-26), on obtient :

$$ P_a = \bar{P}_a - \frac{\rho}{H_a} \left( U_a^2 W + 2 U_a \frac{\partial W}{\partial T} + \frac{\partial^2 \mathfrak{B}}{\partial T^2} \right) - \rho \cdot X_a \frac{\partial \bar{U}_a}{\partial T} \quad (B-III-27) $$

où $\mathfrak{B}$ est la primitive de W qui s'annulle en X = 0.

On obtient la même relation pour le canal B en intervertissant les indices a et b et en changeant le signe de W :

$$ P_b = \bar{P}_b + \frac{\rho}{H_b} \left( U_b^2 W + 2 U_b \frac{\partial W}{\partial T} + \frac{\partial^2 \mathfrak{B}}{\partial T^2} \right) - \rho \cdot X_b \frac{\partial \bar{U}_b}{\partial T} \quad (B-III-28) $$

Il existe entre les grandeurs d'entrée $\bar{P}_a$, $\bar{P}_b$ et $\bar{U}_a$, $\bar{U}_b$ des relations d'impédance. En considérant les canaux A et B, en amont de l'oscillateur comme des tubes ouverts de longueur N - 2L travaillant très en-dessous de leur première fréquence de résonance, ces relations s'écrivent :

$$ \bar{P}_a = - \rho (N - 2L) \frac{\partial \bar{U}_a}{\partial T} \quad \text{et} \quad \bar{P}_b = - \rho (N - 2L) \frac{\partial \bar{U}_b}{\partial T} \quad (B-III-29) $$

En notant $A(X,T) = U_a^2 W + 2 U_a \frac{\partial W}{\partial T} + \frac{\partial^2 \mathfrak{B}}{\partial T^2}$, l'égalité des pressions dans les sections de sortie $S_a^*$ et $S_b^*$, s'écrit :

$$ P^* = - \rho N \frac{\partial \bar{U}_a}{\partial T} - \rho \frac{A^*}{H_a} = - \rho N \frac{\partial \bar{U}_b}{\partial T} + \rho \frac{A^*}{H_b} \quad (B-III-30) $$

où $A^*(T)$ est la valeur de $A(X,T)$ dans la section de sortie $S^*$.

Les théorèmes de conservation du débit et de conservation de la quantité de
mouvement, appliqués à la zone de mélange, se mettent sous la forme :

$$ H_a \cdot U_a^* + H_b \cdot U_b^* = (H_a + H_b) \cdot U_p, \qquad (B-III-31) $$

$$ P^* = P_p + \rho \Delta X \cdot \frac{\partial U_p}{\partial T} $$

où la pression à l'entrée des voies aériennes inférieures $P_p$ est liée par une relation d'impédance à la vitesse $U_p$.

En utilisant les relations (B-III-30) et (B-III-31), dans lequelles les vitesses $U_a^*$ et $\bar{U}_a$ sont liées par la relation (B-III-25) dans la section S*, on obtient :

$$ U_p = P_p = P^* = 0; $$

et

$$ H_a \cdot \bar{U}_a + H_b \cdot \bar{U}_b = 0. $$

Ces relations indiquent que le débit non-stationnaire "tourne" autour de la lame (la vitesse fluctuante vers l'aval, $U_p$, est nulle) et proviennent du fait que l'on a considéré deux tubes d'entrée de même longueur et ignoré les pertes de charge (dans le cas contraire, une partie du débit fluctuant, dépendante du rapport des impédances, va vers l'aval et n'intervient plus dans le calcul de pression du fait de l'égalité des pressions à l'extrémité libre de la lame).

Dans le cas de tubes d'amenée de même longueur, les pressions dans la section d'abscisse X se mettent sous la forme :

$$ P_a = + \rho \frac{N - 2L + X}{N} \frac{A^*}{H_a} - \rho \frac{A}{H_a} $$

et

$$ P_b = - \rho \frac{N - 2L + X}{N} \frac{A^*}{H_b} + \rho \frac{A}{H_b} $$

La différence de pression entre les deux faces de lame ($DP = P_b - P_a$) vaut donc :

$$ DP = \frac{\rho L U^2}{H} (w - w^* + 2\gamma t \frac{\partial (w - w^*)}{\partial t} + \gamma t^2 \frac{\partial^2 (w - w^*)}{\partial t^2} + \frac{1-x}{r} (w^* + 2\gamma t \frac{\partial w^*}{\partial t} + \gamma t^2 \frac{\partial^2 w^*}{\partial t^2})) \qquad (B-III-32) $$

$$ \text{où } w = W/L, \quad w^* = W/L^2, \quad w = \mathcal{B}/L^3, \quad t = \Omega T, \quad \gamma t = \Omega L/U, \quad r = N/L, \quad 1/H = \frac{1}{H_a} + \frac{1}{H_b}. $$

Si l'on compare cette relation avec celle que nous avions obtenu dans le cas stationnaire :

$$ DP = \frac{\rho L U^2}{H} (w - w^*), $$

on se rend compte que l'hypothèse de stationnarité consiste non seulement à considérer le nombre de STROUHAL, $\gamma t$, petit mais aussi à négliger l'influence de la colonne d'air contenu dans les tubes en amont de la lame (r très grand).

Pour ne pas alourdir inutilement l'exposé, on considère que $\gamma t^2 \ll 1$ (ce qui revient à négliger la masse aérodynamique ajoutée) et que $r \gg 1$. Il ne nous reste donc qu'à calculer les moments sur les lames dus au terme d'amortissement : $2 \gamma t \frac{\rho L U^2}{H} \frac{\partial (w - w^*)}{\partial t}$. Ce calcul se fait par simple intégration le long des 2 barres de cette différence de pression. Le terme d'amortissement aérodynamique vaut (à ajouter à l'équation (B-III-18)) :

$$ \gamma t \frac{\rho B L^3 U^2}{H} \begin{bmatrix} 9/4 & 7/6 \\ 1/3 & 1/4 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \qquad (B-III-33) $$

Dans la base des vecteurs propres normalisés, il s'écrit :

$$ \gamma t \gamma \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \qquad (B-III-34) $$
B-III-3-4 Prise en compte de la viscosité du fluide autour de la lame

La viscosité du fluide peut intervenir de deux façons dans l'étude de la stabilité :

- soit en modifiant le champ de pression local autour de la lame souple;

- soit en introduisant des pertes de charges en amont de l'oscillateur.

On montre, dans ce paragraphe, que la première influence est négligeable quand les hauteurs de canaux autour de la lame ne sont pas trop faibles.

Si l'on tient compte des différentes pertes par viscosité, on se trouve dans le cas de répartition de pression définie à la figure B-III-5.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>fig B-III-5 : répartition de pression en tenant compte des pertes de charges.</figcaption></figure>

où

$$d_{11} = 1.6457, \qquad d_{12} = -0.3573,$$

$$d_{21} = 1.8105, \qquad d_{22} = 0.3208.$$

La détermination des paramètres critiques se fait de la même façon qu'au paragraphe précédent (utilisation des relations (B-III-21) en remplaçant $c_{ij}$ par $d_{ij}$). Les valeurs des grandeurs critiques sont (voir la résolution graphique fig B-III-3):

$$\omega_d^2 = 11.7,$$

$$\gamma_d' = 0.678.$$

Dans ce cas l'amortissement du mode 1 est plus important que celui du mode 2, c'est donc celui-ci qui devient instable, conformément à l'expérience.

Le terme d'amortissement non-stationnaire est proportionnel à $\gamma \cdot \varphi t$ et donc à la vitesse U du fluide. Si l'on augmente progressivement cette vitesse, toutes les autres grandeurs restant fixes :

- pour les faibles vitesses du fluide, l'amortissement de type structural est prépondérant ($\varepsilon > \gamma \cdot \varphi t$);

- pour les vitesses plus grandes, l'amortissement non-stationnaire est le plus important ($\gamma \cdot \varphi t > \varepsilon$).

Si l'on tient compte des deux types d'amortissement, l'allure de l'équation (B-III-21b) est indiquée sur la fig B-III-3. La position du point de bifurcation dépend donc, dans le cas général, des deux types d'amortissement.
L'hypothèse fondamentale de cette étude reste l'égalité des pressions à l'extrémité libre de la lame dans les canaux A et B.

Lorsque la lame est immobile, la section des canaux autour de celle-ci est constante et la décroissance de pression due à la viscosité est linéaire. Cette décroissance n'étant pas obligatoirement identique de chaque coté, on peut avoir une force de pression qui s'applique sur la lame et qui modifie sa position d'équilibre. Cette force est maximale lorsqu'un des canaux (par exemple le canal B) est fermé. Dans ce cas la pression dans le canal A vaut :

$$P_a = P^* + \rho \frac{2L-X}{H_a} \lambda \frac{U_a^2}{2} \quad (B-III-35)$$

où le coefficient de perte de charge unitaire, $\lambda$, est donné en fonction du nombre de REYNOLDS ($Re = U \cdot H_a / \nu$) par [SCH] :

$$- \lambda = \frac{24}{Re_h} \quad \text{dans le cas d'un écoulement laminaire (loi de POISEUILLE);}$$

$$- \lambda = 0.133 \frac{Re_h^{-1/4}}{4} \quad \text{dans le cas d'un écoulement turbulent lisse (loi de BLASIUS).}$$

Pour situer les ordres de grandeur, on peut calculer le moment qu'exercerait cette répartition de pression sur une lame mono-articulée de longueur $2L$ et de masse $2m$ :

$$M_v = - \frac{2}{3} \frac{\lambda \rho B L^3 U_a^2}{H_a} \quad (B-III-36)$$

Le moment de rappel due au poids vaudrait :

$$M_r = -2 \, m \, g \, L \Theta, \quad (B-III-37)$$

et l'angle d'inclinaison de la lame serait donc (lame inclinée vers le canal B) :

$$\Theta = - \frac{\lambda}{3} \frac{\rho B L^2 U_a^2}{m g H_a}, \quad (B-III-38)$$

soit

$$\Theta = - \frac{\lambda}{3} \gamma_a$$

où $\gamma_a$ est la valeur du paramètre de controle dans le cas où seul le canal A est alimenté. Cet angle atteint donc sa valeur maximale au moment de la bifurcation ($\gamma_a$ de l'ordre de 1).

En considérant un oscillateur donné, la vitesse du fluide au moment de la bifurcation est proportionnelle à la racine carrée de $H_a$. Le nombre de REYNOLDS est donc proportionnel à $H_a^{3/2}$. Pour des valeurs trop faible de $H_a$, l'angle d'inclinaison de la lame ne peut être déclaré négligeable devant l'angle maximum dont peut s'incliner la lame dans le canal A ($\Theta_m = H_a / 2L$). Par exemple, sur l'oscillateur bi-articulé que l'on a construit, quand $H_a = 3$ mm, le nombre de REYNOLDS déterminé expérimentalement au moment de la bifurcation est d'environ 1100 (voir paragraphe B-IV), le coefficient de perte de charge unitaire vaut alors $\lambda \approx 0.02$ et l'angle d'inclinaison est environ 15 fois plus petit que l'angle maximum. Cette hauteur est donc la limite inférieure pour laquelle les effets locaux de viscosité sont négligeables sur la position d'équilibre.

Si l'on cherche maintenant l'influence des pertes de charge sur la raideur aérodynamique en écoulement stationnaire, on doit écrire l'équation (B-III-5) en tenant compte des pertes de charges :

$$P_a(X) = P^* + \frac{\rho}{2} (U^2 - U_a^2(X)) + \frac{\rho}{2} \int_X^{2L} \lambda(X') \frac{X'}{H_a - W(X')} U_a^2(X') \, dX' \quad (B-III-39)$$

Pour simplifier les calculs, on se place en écoulement laminaire où le coefficient de perte de charge unitaire vaut $\lambda = \frac{24}{Re_h} = \frac{24 \nu}{U_a (X') (H_a - W(X'))}$.

En faisant un développement limité de la relation (B-III-39) et en introduisant dans cette relation la relation linéarisée de conservation du débit en écoulement stationnaire (équation (B-III-5)), on obtient :

$$P_a = P^* + \rho \frac{U_a^2}{H_a} (W^* - W) + \frac{24 \nu \rho U_a}{2H_a^2} (2L - X) + \frac{24 \nu \rho U_a}{2H_a^3} (3(W^* - W) - (2L - X)W^*) \quad (B-III-40)$$
### B-III-3-5 Prise en compte des pertes de charge en amont de la lame

La viscosité peut aussi intervenir par les pertes de charges dans les canaux A et B en amont de l'oscillateur. Dans ce cas la vitesse du fluide à l'extrémité de la lame n'est plus la même dans les deux canaux et la définition du paramètre de controle s'en trouve modifié.

Les pertes de charge dans les canaux A et B peuvent se mettre sous la forme :

$$ \delta P_a = \rho \xi_a \frac{\bar{U}^2}{2} \quad \text{et} \quad \delta P_b = \rho \xi_a \frac{\bar{U}^2}{2} $$

où $\bar{U}_{a,b}$ sont les vitesses dans chacun des canaux à l'entrée de l'oscillateur et $\xi_{a,b}$ les coefficients de perte de charge.

Le théorème de BERNOULLI entre un point situé dans la section S* et un point situé à l'infini amont s'écrit :

$$ P^* = P_{atm} - \frac{\rho}{2} U_a^{*2} - \delta P_a = P_{atm} - \frac{\rho}{2} U_b^{*2} - \delta P_b \quad (B-III-43) $$

La relation entre les vitesses en bout de lame s'écrit donc :

$$ [1 + (1 - \frac{W^*}{H}) \xi_a] U_a^{*2} = [1 + (1 + \frac{W^*}{H}) \xi_b] U_b^{*2} \quad (B-III-44) $$

soit à l'ordre 0 :

$$ [1 + \xi_a] U_a^{*2} = [1 + \xi_b] U_b^{*2} \quad (B-III-45) $$

ce qui montre que ces deux vitesses ne sont pas égales dans le cas général.

En écoulement stationnaire, la relation de conservation du débit (B-III-5) et la relation donnant la pression (B-III-7) restent les mêmes si l'on change $U$ en $U_a^*$ (resp $U_b^*$) dans le canal A (resp B). Le développement est par la suite identique si l'on définit un nouveau paramètre de controle :

où W est une primitive de W.

Dans cette relation les deux premiers termes sont les mêmes que dans la relation (B-III-7a). Le troisième terme est le terme de perte de charge régulière intervenant dans la détermination de la position d'équilibre dont on a parlé plus haut. Le dernier terme correspond à une une raideur ajoutée due à l'amortissement. Les moments qu'exerce cette composante de la pression sur la lame bi-articulée se calcule par simple intégration de cette pression le long des barres. Ces moments s'écrivent :

$$ \begin{pmatrix} M_{v1} \\ M_{v2} \end{pmatrix} = \frac{\rho B L^3 U^2}{H} \frac{\lambda L}{2H} \begin{bmatrix} 71/24 & -1/6 \\ 1/3 & 5/24 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}. \quad (B-III-41) $$

où $H_v$ est défini par $\frac{1}{H_v^2} = H(\frac{1}{H_a^3} + \frac{1}{H_b^3})$ et

$\lambda$ est défini par les valeurs prises lorsque $W = 0$ ($\lambda = 24\nu/UH_v$).

Le terme à ajouter à l'équation (B-III-13) (dans la base des vecteurs propres normalisés) est :

$$ \frac{\lambda L}{2H_v} \gamma \begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} \quad (B-III-42) $$

où

$v_{11} = 1.3292, \quad v_{12} = 0.6224,$

$v_{21} = 1.2727, \quad v_{22} = 1.9482.$

La viscosité augmente donc la raideur des deux modes en même temps qu'elle les couple. L'effet de viscosité sera donc négligeable quand $\lambda L/2H_v$ sera très petit devant 1. On a déjà vu que ce terme croit quand les hauteur $H_a$ et $H_b$ décroissent (pour l'oscillateur que l'on a construit, il vaut 0.26 quand $H_a = 3$ mm et $H_b = 10$ mm) et qu'il existe une limite inférieure de $H_v$ pour pouvoir négliger l'influence de la viscosité sur la raideur de la lame. Lorsqu'elle n'est pas négligeable la viscosité du fluide a tendance à raidir les deux modes propres de la lame.
$$ \gamma_p = \frac{\rho B L^2}{m g} \left( \frac{U_a^*}{H_a} + \frac{U_b^*}{H_b} \right). \qquad (B-III-46) $$

au lieu de

$$ \gamma = \frac{\rho B L^2}{m g} \left( \frac{1}{H_a} + \frac{1}{H_b} \right) U^2. \qquad (B-III-47) $$

La comparaison des relations (B-III-46) et (B-III-47) permet de voir que, si les pertes de charge sont identiques dans les deux canaux, elles n'interviennent pas dans la détermination du débit critique.

Pour comparer la stabilité d'une configuration en présence de pertes de charge et sans perte de charge, on définit le débit critique sans perte de charge $Q_s$ et le débit critique avec perte de charge $Q_p$. Une relation entre ces deux débits est donnée par l'égalité des relations (B-III-46) et (B-III-47), elle s'écrit :

$$ \left(\frac{Q_s}{Q_p}\right)^2 = \frac{(\beta^2 + \alpha)(\alpha + 1)}{(1 + \alpha \beta)^2} \qquad (B-III-48) $$

$$ \text{où } \alpha = \frac{H_a}{H_b} \text{ et } \beta = \sqrt{\frac{1+\xi_b}{1+\xi_a}}. $$

Le diagramme indiquant pour quelles valeurs de $\alpha$ et de $\beta$, $Q_s$ est supérieur à $Q_p$ est donné figure B-III-6. On peut remarquer que si les pertes de charges sont plus importantes dans le canal A que dans le canal B ($\beta < 1$), alors, si $H_a$ est plus grand que $H_b$ ($\alpha > 1$), le débit critique est diminué par la présence de pertes de charge ($Q_p < Q_s$).

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>fig B-III-6 : Comparaison entre les débits critiques $Q_s$ et $Q_p$ respectivement calculés sans tenir compte des pertes de charge et en en tenant compte en fonction du rapport des pertes de charge, $\beta$, et du rapport des hauteur, $\alpha$.</figcaption></figure>
### B-III-3-6 Comparaison des différents modèles

Pour conclure cette partie, on a tracé sur un même graphique (voir fig B-III-7) la partie réelle (qui devient positive) et la partie immaginaire de s qui est solution de l'équation :

$$ \text{Det}\{ [\text{Id}] \cdot s^2 + (\varepsilon \cdot [\text{C}] + \text{St} \cdot \gamma \cdot [\text{D}]) \cdot s + [\text{K}] + \gamma \cdot [\text{A}] + \frac{\lambda L}{2H} [\text{V}] \} = 0 \quad (\text{B-III-49}) $$
où

[Id] est la matrice identité,

[C] est la matrice d'amortissement structurel (relation (B-III-20)),

[D] est la matrice d'amortissement instationnaire (relation (B-III-34),

[K] est la matrice $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{bmatrix}$,

[A] est la matrice de raideur aérodynamique (relation (B-III-13)),

[V] est la matrice de raideur visqueuse (relation (B-III-42)).

La partie imaginaire de s est la fréquence adimensionnelle des deux modes propres de vibration lorsque $\gamma$ varie (cette fréquence est adimensionnalisée par la fréquence propre du premier mode sans écoulement). La partie réelle de s indique l'amortissement des modes, si elle devient positive le système est instable.

La première courbe (en pointillés) donne les parties imaginaire et réelle de s lorsque l'on se place en écoulement stationnaire, sans perte et en négligeant les raideurs des articulations ($\gamma_{crit} = 1.04$). Pour la seconde courbe (en trait fort), on considère la raideur des articulations. L'écartement des modes propres qui en résulte, conduit à un acroissement sensible de la valeur critique du paramètre de controle ($\gamma_{crit} = 2.41$). Si l'on tient compte de l'amortissement structurel (en points) la valeur de $\gamma_{crit}$ se trouve réduite (voir fig B-III-3) alors que si l'on considère l'amortissement total (structurel et instationnaire) (en trait mixte) la valeur critique du paramètre de controle ($\gamma_{crit} = 2.60$) redevient voisine de cette même valeur sans amortissement. Dans ce cas le mode qui bifurque est celui qui a la fréquence la plus grande et pour les valeurs de $\gamma$ voisine de $\gamma_{crit}$ l'influence de l'amortissement se fait sentir sur les fréquences (l'amortissement du mode qui reste stable n'est plus très petit devant la fréquence).

Pour ne pas surcharger la figure, on n'a pas représenté l'influence de la raideur visqueuse. Elle est très faible lorsque la hauteur des canaux est supérieure à 3 mm. Lorsqu'elle n'est plus négligeable, la fréquence du mode 1 augmente plus rapidement alors que la fréquence du mode 2 reste plus stable et la valeur critique du paramètre de controle diminue légèrement.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>fig B-III-7 : Partie réelle et imaginaire de s (voir texte) en fonction de $\gamma$ :</figcaption></figure>

- modèle sans amortissement, sans viscosité, sans raideur des articulations;

- modèle sans amortissement, sans viscosité, en tenant compte de la raideur aux articulations;

- modèle avec amortissement structurel, sans viscosité, en tenant compte de la raideur des articulations;

- modèle avec amortissement total, sans viscosité, en tenant compte de la raideur des articulations.