Sous-algèbres de codimension 1
et dériva\c{c}ions dans les algèbres de Banach commutatives

par

JACQUELINE DETRAZ (Paris)

Etant donnée une algèbre de Banach unitaire et commutative $A$, nous donnons une nouvelle démonstration du théorème suivant démontré par Sawoń et Warzecha(¹), concernant une caractérisation des sous-algèbres de codimension 1 de $A$, ainsi qu’un contre exemple à un problème posé dans le travail cité:

THÉORÈME. Le noyau d'une forme linéaire $l$ sur $A$ (continue ou non) est une sous-algèbre si et seulement si $l$ a une des 3 formes suivantes:

1. il existe un homomorphisme $m$ sur $A$ et une constante $c$ tels que pour tout $a$ de $A$, $l(a) = cm(a)$;

2. il existe deux homomorphismes distincts $m_1$ et $m_2$ sur $A$ et une constante complexe $c$ tels que pour tout $a$ de $A$

$$l(a) = c[m_1(a) - m_2(a)];$$

3. il existe un homomorphisme $m$ sur $A$ tel que pour tout $a$ et $b$ de $A$

$$l(ab) = l(a)m(b) + l(b)m(a).$$

Remarque. La forme 1 caractérise les sous-algèbres de $A$ de codimension 1 ne contenant pas l'unité comme étant les idéaux maximaux de $A$ (ce qui résulte de la théorie de Gelfand). Il reste donc à étudier les sous-algèbres unitaires (i.e. qui contiennent l'unité $e$ de $A$).

PROPOSITION. Toute sous-algèbre unitaire $A_0$ de codimension 1 dans $A$ est de la forme $A_0 = I_0 + Ce$ où $I_0$ est un idéal de codimension 2 dans $A$ et $e$ l'unité de l'algèbre.

Soit $I_0 = \{a, aA \subset A_0\}$; on vérifie facilement que $I_0$ est un idéal de $A$ inclus dans $A_0$.

D'autre part, $A_0$ étant de codimension 1 dans $A$, il existe $a_0$ dans $A$ tel que $A = A_0 + Ca_0$. Nous pouvons définir la forme linéaire $\varphi$ sur $A_0$

<footnote>(¹) Z. Sawoń et A. Warzecha, On the general form of subalgebras of codimension 1 of B-algebras with unit, Studia Math. 29 (1968), p. 249-260.</footnote>
qui à tout a dans $A_0$ associe $\lambda_a = \varphi(a)$, $\lambda_a$ étant déterminé par la relation
$a\alpha_0 = a_1 + \lambda_a a_0$, où $a_1$ appartient à $A_0$. On vérifie facilement que $\varphi$ est
un homomorphisme sur $A_0$ et est non nulle car $e$ est dans $A_0$ et $\varphi(e) = 1$.
$I_0$ est alors le noyau de $\varphi$ et est donc un idéal maximal de codimension 1
dans $A_0$ et $A_0 = I_0 + Ce$; et $I_0$ est de codimension 2 dans $A$.

Nous pouvons en déduire le théorème; deux cas peuvent se présenter:

Ier cas. $I_0$ est contenu dans deux idéaux maximaux distincts $I_1$ et $I_2$ auxquels correspondent deux homomorphismes $m_1$ et $m_2$. $I_0$ étant de codimension 2 dans $A$ est égal à $I_1 \cap I_2$ et $A_0$ est l'algèbre de $A$ formée des éléments qui donnent la même valeur à $m_1$ et $m_2$.

La forme linéaire $l$ de noyau $A_0$ est donc égale à

$$
l(a) = c[m_1(a) - m_2(a)] \quad \text{pour tout } a \text{ de } A.
$$

2me cas. $I_0$ est contenu dans un seul idéal maximal $I$ auquel correspond l'homomorphisme $m$.

LEMME. Soit $I_0$ un idéal contenu dans un seul idéal maximal $I$, si $I_0$
est de codimension 1 dans $I$, alors $I^2 \subset I_0$.

Soit $I' = \{a; a \in A, aI \subset I_0\}$; $I'$ est un idéal contenant $I_0$ donc contenu dans $I$.

Soit $a_0$ dans $I$ tel que $I = I_0 + Ca_0$.

On a les deux équivalences suivantes:

$$
I' = I \Leftrightarrow a_0 \in I' \quad a \in I' \Leftrightarrow aa_0 \in I_0.
$$

$$
\text{Or } a_0^2 = \lambda a_0 + a_1 \text{ où } a_1 \text{ est dans } I_0.
$$

Soit $a_0[a_0-\lambda e] \in I_0$; donc $a_0-\lambda e \in I' \subset I$. Comme $a_0$ est dans $I$, on
doit avoir $\lambda = 0$; alors $a_0$ est dans $I'$, $I' = I$ et le lemme est démontré.

La forme linéaire $l$ définissant $A_0$ est donc nulle sur $I^2$. Elle a la
forme 3 du théorème car

$$
l(ab) - m(a)l(b) - m(b)l(a) = l[(a - m(a)e)(b - m(b)e)] = 0.
$$

Le théorème est démontré.

Les formes linéaires de la forme 3 du théorème sont des dérivations
en $m$. Elles s'identifient aux formes linéaires sur $I$, nulles sur $I^2$ donc aux
formes linéaires sur l'espace quotient $I/I^2$.

Nous allons construire un contre exemple au problème suivant posé
dans le travail cité:

Pour toute dérivation ponctuelle $l$ en un point $m$ du spectre, existe-
-t-il une suite de nombres complexes $c_n$ et deux suites $m_n, m'_n$ de points
du spectre tels que pour tout $a$ de $A$

$$
l(a) = \lim_{n \to \infty} c_n [m_n(a) - m'_n(a)] ?
$$

LEMME. Si de telles suites existent, $m_n$ et $m'_n$ tendent vers $m$ pour la
topologie de Gelfand.

Si $a$ est un élément de $I$ n'appartenant pas à $I_0$,

$$
l(a) \neq 0 \quad l(a^2) = l(a^3) = 0.
$$

Donc

$$
c_n[m_n(a) - m'_n(a)] \to l(a) \neq 0,
$$

$$
c_n[m_n^2(a) - m_n'^2(a)] \to 0,
$$

$$
c_n[m_n^3(a) - m_n'^3(a)] \to 0.
$$

Soit

$$
\frac{m_n^2(a) - m_n'^2(a)}{m_n(a) - m_n(a)} \to 0 \quad \text{et} \quad \frac{m_n^3(a) - m_n'^3(a)}{m_n(a) - m_n(a)} \to 0
$$

d'où

$$
m_n(a) + m_n'(a) \to \infty \quad \text{et} \quad m_n'(a)[m_n(a) + m_n'(a)] + m_n^2(a) \to 0;
$$

$m_n'(a)$ étant borné, $m_n^2(a)$ doit tendre vers zéro. Donc $m_n(a)$ et $m_n'(a)$ tendent vers zéro pour tout $a$ de $I$, non dans $I_0$.

Si $a$ appartient à $I_0$, $a$ s'écrit $a = a_1 + a_2$ où $a_1$ et $a_2$ sont dans $I$ et non dans $I_0$, donc $m_n(a)$ et $m_n'(a)$ tendent vers zéro pour tout $a$ dans $I$ et $m_n(a)$ et $m_n'(a)$ tendent respectivement vers $m(a)$ et $m'(a)$ pour tout $a$ de $A$; par définition de la topologie de Gelfand, le lemme est démontré.

Considérons alors l'algèbre $A$ des fonctions analytiques à l'intérieur du disque unité, continues sur le disque fermé $D$ et telles qu'à l'origine les $p$ premières dérivées ($p \ge 3$) soient nulles. Le spectre de cette algèbre est $D$. Soit $I$ l'idéal des fonctions nulles en 0; l'idéal $I^2$ est de codimension $p$ dans $I$, l'espace des dérivations au point 0, qui s'identifie à l'espace des formes linéaires sur $I/I^2$ est de dimension $p$. Une dérivation $l$ est déterminée par la donnée de $p$ nombres tels que $l(z^{p+q}) = a_q, 0 \le q \le p-1$. Choisissons une dérivation $l$ telle que $a_0, a_1, a_2$ soient non nuls ($p \ge 3$).

Si la conjecture était vraie, il existerait des suites $c_n$, $a_n$, $b_n$ de nom-
bres complexes tels que $c_n[a_n^{p+i} - b_n^{p+i}] \to a_i$, $0 \le i \le 2$, et d'après le lemme
$a_n$ et $b_n$ tendent vers zéro.

En utilisant l'identité

$$
a_n^{p+1} - b_n^{p+1} = a_n[a_n^p - b_n^p] + b_n^q[a_n - b_n]
$$

on en déduit que

$$
b_n^{p+1} \frac{a_n - b_n}{a_n^{p+1} - b_n^{p+1}} \to \frac{a_2}{a_1} \quad \text{et} \quad b_n^p \frac{a_n - b_n}{a_n^p - b_n^p} \to \frac{a_1}{a_0}.
$$
Soit

$$ \frac{1}{b_n} \frac{a_n^{p+1} - b_n^{p+1}}{a_n^p - b_n^p} \rightarrow \frac{a_0}{a_2}. $$

done

$$ \frac{1}{b_n} \frac{a_1}{a_0} \rightarrow \frac{a_0}{a_2}. $$

ce qui est impossible puisque $b_n$ tend vers zéro.

UNIVERSITÉ DE PARIS
FACULTÉ DES SCIENCES, D'ORSAY

Reçu par la Rédaction le 17. 7. 1967

# A characterization of multiplicative linear functionals in complex Banach algebras

by

W. ŻELAZKO (Warszawa)

It was shown (1) that if $\mathcal{A}$ is a commutative complex Banach algebra with unit element, then a functional $f \in \mathcal{A}^*$ is a multiplicative linear functional on $\mathcal{A}$ if (and only if)

$$ (1) \qquad f(x) \in \sigma(x) $$

for every $x \in \mathcal{A}$, where $\sigma(x)$ denotes the spectrum of an element $x$. In this paper we extent this result onto non-commutative Banach algebras. Our result is based upon the following, purely algebraic fact:

**THEOREM 1.** Let $\mathcal{A}$ be a real or complex algebra with unit $e$. Let $f$ be a linear functional on $\mathcal{A}$ such that its restriction to any subalgebra of $\mathcal{A}$ generated by single element and containing $e$ is a multiplicative linear functional. Then $f$ is a multiplicative and linear functional on the algebra $\mathcal{A}$.

*Proof.* By our assumptions we have

$$ (2) \qquad f(e) = 1 $$

and

$$ (3) \qquad f(x^2) = f(x)^2 $$

for every $x \in \mathcal{A}$. Consequently,

$$ f[(x+y)^2] = [f(x)+f(y)]^2, $$

or

$$ (4) \qquad f(xy+yx) = 2f(x)f(y) $$

for every $x, y \in \mathcal{A}$. It follows that if we set

$$ x \circ y = \frac{1}{2}(xy+yx) $$

we obtain a (non-associative) multiplication on $\mathcal{A}$ such that

$$ f(x \circ y) = f(x)f(y). $$

<footnote>(f) See J.-P. Kahane and W. Żelazko. A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras, Studia Math. 29 (1968), p. 339-340.</footnote>