# Influence de l'architecture cellulaire de l'os spongieux sur sa réponse mécanique

Julien Halgrin, Fahmi Chaari, Eric Markiewicz, Pascal Drazetic

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Julien Halgrin, Fahmi Chaari, Eric Markiewicz, Pascal Drazetic. Influence de l'architecture cellulaire de l'os spongieux sur sa réponse mécanique. 9e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. pp.203-208, 10.1051/meca/2010036. hal-01413191

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# Influence de l'architecture cellulaire de l'os spongieux sur sa réponse mécanique

J. Halgrin, F. Chaari, E. Markiewicz et P. Drazetic

Laboratoire d'Automatique, de Mécanique, et d'informatique Industrielles et Humaines
(LAMIH) - UMR CNRS 8530

Université de Valenciennes - 59313 Valenciennes Cedex 9, France
{julien.halgrin, fahmi.chaari, eric.markiewicz, pascal.drazetic} @univ-valenciennes.fr

**Résumé** — Pour optimiser la sécurité des usagers de la route, les constructeurs automobiles ont de plus en plus souvent recours à des modèles virtuels de l'être humain. Afin d'améliorer la fiabilité de ces modèles, nous nous proposons d'identifier le comportement mécanique des tissus osseux, et plus particulièrement de l'os trabéculaire. Une étude expérimentale couplée à des modèles numériques reprenant l'architecture exacte de cet os a été menée afin de minimiser les effets des variabilités géométriques et biologiques, et de caractériser son comportement mécanique.

**Mots clés** — os trabéculaire, caractérisation mécanique expérimentale, caractérisation numérique.

## 1 Introduction

Pour des raisons de faisabilité et de coûts, les constructeurs automobiles combinent aux essais expérimentaux, des simulations numériques afin d'optimiser la sécurité des usagers de la route. Pour prédire plus fidèlement le risque lésionnel encouru lors d'un accident, le recours à des substituts virtuels de l'être humain, plus représentatifs que les mannequins de choc, s'avère nécessaire. Des travaux sont ici entrepris afin d'améliorer la prédiction du risque lésionnel osseux.

Le squelette se compose de 206 os différentiables par leurs géométries (os longs, plats ou courts) et les tissus osseux qui les constituent (os compact ou spongieux). L'os spongieux est formé d'un lacis tridimensionnel de trabécules ramifiés, délimitant un labyrinthe d'espaces intercommunicants occupés par des vaisseaux et de la moelle rouge. Cette organisation architecturale biphasée confère à l'os spongieux des propriétés mécaniques remarquables, similaires à celles observées pour les matériaux cellulaires ([3]). Or, les modèles Éléments Finis existants ([8]) utilisent des lois de comportement homogénéisées pour l'os spongieux et l'os compact, sans prendre en compte leurs spécificités. Un modèle intégrant les caractéristiques du tissu trabéculaire améliorerait sensiblement la prédiction des lésions, tel que le cisaillement des tables constituant la voute crânienne. Les travaux menés s'inscrivent dans une démarche d'enrichissement des modèles EF de l'être humain et plus particulièrement dans l'identification du comportement mécanique de l'os trabéculaire avec prise en compte des différentes hétérogénéités intra et inter-individus.

Par le passé, le comportement mécanique de l'os spongieux a déjà été étudié ([9], [10]). Toutefois, la dispersion des résultats (en raisons de différences inter et intra-individus notamment) n'a pas permis de déterminer une loi de comportement adaptée. Les travaux entrepris ont donc pour objectif d'identifier le comportement mécanique de l'os trabéculaire, en prenant en compte les hétérogénéités architecturales liées aux variations inter et intra-individus. Dans un premier temps, des échantillons d'os spongieux extraits d'une même côte et de différentes côtes sont scannés
au moyen d'un micro-tomographe à rayon X afin de caractériser leurs architectures cellulaires. Des essais de compression sont ensuite réalisés sur ces mêmes échantillons afin de déterminer l'influence des variations géométriques et matérielles sur la réponse mécanique. Finalement, des modèles EF de chaque échantillon scanné sont construits afin de minimiser les variations des réponses mécaniques dues à l'architecture. L'influence spécifique des propriétés architecturales de l'os spongieux (dans un premier temps, la densité relative) sur sa réponse mécanique est alors étudiée. Notre protocole expérimental a été mené sur des sujets bovins, et plus particulièrement sur des côtes de bœuf. Celui-ci sera par la suite étendu à des sujets humains post mortem (SHPM).

## 2 Préparation des échantillons

Les essais sont réalisés sur des échantillons « frais », prélevés au maximum 5 jours après décès de l'animal. Les côtes utilisées proviennent de bœufs sains, âgés de moins de 24 mois. Afin d'éviter toute influence des conditions de conservations sur les propriétés mécaniques ([2]), elles sont placées en chambre frigorifique à 4°C avant prélèvement des spécimens. Les échantillons sont extraits perpendiculairement à la courbure de la côte pour conserver une direction de sollicitation identique. La moelle est éliminée afin d'éviter toute contribution sur la réponse mécanique de l'échantillon ([4]). Au final, 14 échantillons cylindriques (8mm de diamètre et 8mm de haut (±1mm)) et 10 échantillons cubiques (10mm de coté) sont prélevés afin de déterminer les propriétés mécaniques de l'os trabéculaire et de quantifier l'influence des paramètres architecturaux.

## 3 Caractérisation des échantillons

### 3.1 Caractérisation architecturale

Afin de quantifier la distribution des pores et leurs géométries, l'architecture des échantillons est caractérisée par micro-tomographie (µCT). Cette technique d'imagerie consiste à mesurer le coefficient d'absorption d'une source à rayon X traversant un volume de matière, pour différentes positions angulaires. Une série d'images en niveau de gris est alors obtenue. Pour permettre l'analyse des propriétés architecturales (densité relative ou quantité de matière dans le volume considéré [$d_r$], épaisseur de travées [$tb.th$], nombre de travées [$tb.n$], espace entre les travées [$tb.sp$], degré d'anisotropie [$DA$]) de l'échantillon scanné, les images collectées sont segmentées. Généralement, le seuil de segmentation est choisi manuellement selon l'appréciation de l'opérateur, différentes valeurs sont donc possibles. La figure 1 présente l'influence de la segmentation (choisie manuellement) sur la description de l'architecture et sur la densité relative mesurée.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Exemple d'image extraite par µCT - (a) en niveau de gris, (b) segmentée pour une valeur seuil de 85 ($d_r$ = 22,24%), (c) segmentée pour une valeur seuil de 90 ($d_r$ = 21,58%).</figcaption></figure>
Pour un seuil donné, nous obtenons une densité relative d'échantillon spécifique, engendrant une description des travées différentes (voir cercles - Figure 1). Afin de minimiser les erreurs générées par un seuillage manuel, une procédure automatisée de segmentation basée sur la méthodologie d'Otsu ([7]) a été développée sous MALTAB. 10 échantillons ont au final été scannés avant essais, à une résolution de 20µm au moyen d'un micro-tomographe SKYSCAN 1172. Les données collectées sont ensuite traitées suivant la méthode d'Otsu afin de faciliter la comparaison des propriétés architecturales. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 1.

<table><caption>Tableau 1: Propriétés architecturales de différents échantillons.</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="4">PRÉLEVÉS DANS LA MÊME CÔTE</th><th colspan="4">PRÉLEVÉS DANS DIFFÉRENTES CÔTES</th></tr><tr><th>nombre de specimens</th><th>moyenne</th><th>écart type</th><th>min-max</th><th>nombre de specimens</th><th>moyenne</th><th>écart type</th><th>min-max</th></tr></thead><tbody><tr><td>d<sub>r</sub></td><td>4</td><td>0,24</td><td>1,48</td><td>0,22-0,25</td><td>10</td><td>0,22</td><td>1,86</td><td>0,20-0,25</td></tr><tr><td>Tb.Th (pixel)</td><td>4</td><td>9,35</td><td>0,33</td><td>9,10-9,91</td><td>10</td><td>10,46</td><td>1,4</td><td>9,10-12,40</td></tr><tr><td>Tb.n (1/pixel)</td><td>4</td><td>0,025</td><td>0,002</td><td>0,022-0,027</td><td>10</td><td>0,022</td><td>0,004</td><td>0,016-0,028</td></tr><tr><td>Tb.Sp (pixel)</td><td>4</td><td>29,31</td><td>2,41</td><td>27,83-32,53</td><td>10</td><td>35,76</td><td>8,09</td><td>27,54-46,84</td></tr><tr><td>DA</td><td>4</td><td>0,48</td><td>0,077</td><td>0,379-0,561</td><td>10</td><td>0,42</td><td>0,086</td><td>0,319-0,561</td></tr></tbody></table>

Pour des échantillons extraits indépendamment de la même côte ou de différentes côtes, la densité relative est peu dispersive (dispersion inférieure à 6% par rapport à sa valeur moyenne). Pour les paramètres trabéculaires (épaisseur de travées, nombre de travées, espace entre les travées) ou le degré d'anisotropie, les variations constatées sont beaucoup plus significatives et ce d'autant plus si les échantillons sont prélevés dans différentes côtes (dispersions supérieures à 10% par rapport à leurs valeurs moyennes). La prise en compte d'échantillons extraits uniquement d'une même côte réduit ces dispersions, validant la nécessité de considérer les variations inter et intra-individus. Il convient donc de vérifier si les variations observées modifient la réponse mécanique des échantillons.

## 3.2 Caractérisation mécanique expérimentale

Des essais mécaniques de compression en quasi-statique (10mm/min) sont menés sur une machine de traction/compression électromécanique (HOUNSFIED H5KT). Ces essais sont réalisés immédiatement après extraction des échantillons et acquisition de leurs géométries.

Comme pour la plupart des matériaux cellulaires, le comportement mécanique de l'os trabéculaire en compression se divise en trois phases. Dans un premier temps, la déformation de l'échantillon apparaît homogène, le niveau de contrainte croît selon une droite (module apparent [$E_{app}$]), pour atteindre une valeur critique (contrainte maximale [$\sigma_{max}$] correspondant à un taux de déformation limite [$\varepsilon_{lim}$]). Suite à la formation de plusieurs plans de cisaillement, la déformation se localise et le niveau de contrainte reste quasi-constant (contrainte moyenne [$\sigma_{moy}$]). Après 50% d'écrasement, la majorité des pores sont détruits, seul le matériau constitutif des travées est sollicité ; la contrainte augmente alors pour décrire une droite (compaction).

En reproduisant cet essai sur des échantillons extraits d'une même côte et de différentes côtes (Figure 2), les mêmes phases sont observées. L'influence des variations inter et intra-individus sur les réponses mécaniques est également mise en évidence (Tableau 2). Ainsi, pour des échantillons prélevés dans la côte, la variation des propriétés mécaniques (module apparent, contrainte maximale, déformation limite et contrainte moyenne) est peu significative. Les propriétés mécaniques du matériau constitutif des travées sont supposées identiques. Dans le cadre de cette hypothèse, les changements de comportement observés sont donc attribués à des variations architecturales. Pour les échantillons extraits de différentes côtes, les variations sont beaucoup plus marquées (entre 120 et 270MPa pour le module apparent - entre 4 et 12MPa pour la contrainte maximale). Dans ce cas, les variations s'expliquent à la fois par des différences architecturales mais également par des
variations au niveau des propriétés mécaniques du matériau constitutif des travées.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Réponses mécaniques d'échantillons extraits - (a) d'une côte, (b) de différentes côtes.</figcaption></figure>

Les résultats obtenus montrent l'influence des variations biologiques et géométriques sur la réponse mécanique. Expérimentalement, il s'avère difficile de découpler les paramètres architekturaux (densité relative, épaisseur de travées, nombre de travées, espace entre les travées et degré d'anisotropie) afin de déterminer leur contribution sur la réponse mécanique de l'échantillon. Pour y parvenir, nous avons eu recours à la modélisation numérique.

<table><caption>Tableau 2: Propriétés mécaniques de différents échantillons.</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="4">PRÉLEVÉS DANS LA MÊME CÔTE</th><th colspan="4">PRÉLEVÉS DANS DIFFÉRENTES CÔTES</th></tr><tr><th>nombre de specimens</th><th>moyenne</th><th>écart type</th><th>min-max</th><th>nombre de specimens</th><th>moyenne</th><th>écart type</th><th>min-max</th></tr></thead><tbody><tr><td>E<sub>app</sub> (MPa)</td><td>4</td><td>252,5</td><td>13,85</td><td>237,5-270,9</td><td>10</td><td>202,35</td><td>79,8</td><td>120,1-270,9</td></tr><tr><td>σ<sub>max</sub> (MPa)</td><td>4</td><td>10,35</td><td>0,976</td><td>9,6-11,7</td><td>10</td><td>6,97</td><td>2,27</td><td>3,91-11,74</td></tr><tr><td>ε<sub>lim</sub></td><td>4</td><td>0,055</td><td>0,0036</td><td>0,052-0,058</td><td>10</td><td>0,048</td><td>0,0072</td><td>0,035-0,058</td></tr><tr><td>σ<sub>moy</sub> (MPa)</td><td>4</td><td>8,4</td><td>0,75</td><td>7,4-9,04</td><td>10</td><td>5,81</td><td>2,16</td><td>3,46-9,04</td></tr></tbody></table>

## 3.3 Expérimentation numérique

Afin de construire un modèle EF reprenant l'architecture exacte d'un échantillon, une procédure de maillage en éléments hexaédriques a été développée à partir des données obtenues par micro-tomographie ([1]). Un modèle numérique de référence en éléments hexaédriques a ainsi été construit (Figure 3a). La loi de comportement affectée à ce modèle est une loi élastoplastique bilinéaire dont les paramètres ont été identifiés par méthode inverse ($E = 7GPa$, $v = 0.25$, $E_t = 0.1MPa$ et $\sigma_y = 350MPa$) lors de précédents travaux ([1]). Les plateaux de compression sont représentés par deux murs rigides ; une vitesse constante de 10mm/min est appliquée au mur supérieur. Le modèle est ensuite simulé à l'aide du code de calcul explicite Pam-Crash, l'objectif à plus long terme étant d'identifier le comportement de l'os spongieux sous sollicitations dynamiques rapides. La déformation finale atteinte est de 10%.

Lors de l'étape de segmentation des images (paragraphe 3.1), il a été constaté que différentes valeurs de seuil engendraient des variations de densité relative pour une même organisation architecturelle. Sur ce principe et à partir de la procédure de maillage développée, de nouveaux modèles EF (organisation architecturelle identique mais avec des densités relatives variables) ont été construits puis simulés dans les mêmes conditions que le modèle de référence. La figure 3b présente les réponses obtenues pour chacun d'entre eux. On constate une influence significative de la densité relative sur le module apparent de l'échantillon (diminution du module apparent de 17% pour une diminution de la densité relative de 10%), concordant avec de précédents travaux ([3]) menés sur des échantillons d'architectures différentes.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: (a) Modéle EF de référence (424707 éléments et 628814 noeuds), (b) Réponses numériques de modèles de densités relatives différentes mais d'organisation architecturale identique.</figcaption></figure>

Afin de valider les effets constatés de la densité relative sur la réponse mécanique, ce procédé a été étendu à 2 autres échantillons extraits de la même côte. On constate que la densité relative varie linéairement en fonction de la valeur de segmentation appliquée aux images (Figure 4a) et que la variation de la densité engendrée entraine alors un accroissement du module apparent (Figure 4b).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4: Influence de la densité relative sur le module apparent de l'échantillon - (a) variation de $d_r$ en fonction du seuil appliqué, (b) variation de $E_{app}$ en fonction de $d_r$.</figcaption></figure>

Contrairement à de précédents travaux ([5], [6]) qui affichaient une relation entre la densité relative et le module apparent sous forme d'une loi en puissance, une relation linéaire est ici obtenue. Dans ces références, les auteurs ne contrôlaient pas l'effet des variations inter et intra individus de leurs échantillons de tests. Or, nous avons montré que les dispersions architecturales sont source de grandes dispersions des grandeurs mécaniques mesurées (Figure 2). Ceci explique la relation en puissance trouvée par ces auteurs.

Dans notre cas, à partir d'un traitement orginal des données extraites de la micro-tomographie, l'expérimentation numérique menée a permis de quantifier l'influence réelle de la densité relative sur le module apparent d'un échantillon à l'architecture fixée. Des relations linéaires propres à chaque échantillon ont ainsi été identifiées. Toutefois, la contribution des autres paramètres architecturaux (paramètres trabéculaires et degré d'anisotropie) sur la réponse mécanique a généré les différences de coefficients directeurs constatées entre les trois échantillons (Figure 4b).

# 4 Conclusion et discussion

La recherche menée a mis en évidence l'influence des variations biologiques et géométriques sur les propriétés mécaniques de l'os trabéculaire. Il est nécessaire de prendre en compte ces
différences pour minimiser les dispersions des réponses mécaniques et aboutir à une loi de comportement valide. Afin d'identifier la contribution de chaque paramètre géométrique sur la réponse mécanique, une approche originale couplant la micro-tomographie et des simulations numériques a été mise en place. Une relation linéaire entre la densité relative et le module apparent a été établie pour chaque échantillon à l'architecture fixée ; contrairement aux relations en puissance proposées dans la littérature, mais ne dissociant pas les effets des paramètres architecturaux.

Toujours par expérimentation numérique, des travaux sont en cours afin de déterminer l'influence des autres paramètres architecturaux (paramètres trabéculaires et degré d'anisotropie) sur la réponse mécanique de l'os trabéculaire. Il conviendra finalement d'élargir cette étude à des échantillons extraits de différentes côtes, pour permettre de relier les dispersions architecturales aux variations de réponses mécaniques, quel que soit l'échantillon considéré.

## Remerciements

Les présents travaux ont été supportés par le Campus International sur la Sécurité et l'Intermodalité des Transports, la région Nord-Pas-de-Calais, la Communauté Européenne, la Délégation Régionale à la Recherche et à la Technologie, par le Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, et par le Centre National de la Recherche Scientifique. Les auteurs tiennent à remercier ces différentes institutions pour leurs soutiens.

## Références

[1] F. Chaari, J. Halgrin, E. Markiewicz, and P. Drazetic - Spongy bone deformation mechanisms: experimental and numerical studies. *European Journal of Computational Mechanics*, 18:67-79, 2009.

[2] J. Mc Elhaney, J. Fogle, J. Melvin, R. Haynes, V. Roberts, and N. Alem - Mechanical properties of cranial bone. *Journal of Biomechanics*, 3:495-511, 1970.

[3] L. Gibson and M. Ashby - Cellular solids: structure and properties, 2nd Edition. *Cambridge University press*, 1997.

[4] J. Halgrin, F. Chaari, E. Markiewicz, and P. Drazetic - Spongy bone mechanical behaviour under quasi static to dynamic loadings: development of an equivalent physical model. *Modelling of Heterogeneous Materials*, Prague (République Tchèque), Juin 2007.

[5] F. Linde, I. Hvid, and F. Madsen - The effect of specimen geometry on the mechanical behaviour of trabecular bone specimens. *Journal of Biomechanics*, 25(4):359-368, 1992.

[6] JW. Melvin, DH. Robbins, and VL. Roberts - The mechanical behavior of the diploe layer of the human skull in compression. *Developments in Mechanics - Proceedings of the 11th Midwestern Mechanics Conferences*, 5:811-818, 1970.

[7] N. Otsu - A threshold selection method from grey scale histogram. *IEEE Trans. on Syst. Man and Cyber*, 1:62-66, 1979.

[8] FS. Raul - Applications des modèles éléments finis de la tête en médecine légale. *thèse de doctorat*, Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007.

[9] CH. Turner and DB. Bur - Basic biomechanical measurements of bone: a tutorial. *Bone*, 14:595-606, 1993.

[10] R. Van-Rietbergen, H. Weinans, R. Huiskes, and A. Odgaard - A new method to determine trabecular bone elastic properties and loading using micromechanical. *Journal of Biomechanics*, 28(1):69-81, 1995.