Brown<fnref n="3" /> [9] aperçoit au microscope que de très fines particules issues de grains de pollen de la *Clarkia pulchella* (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), sont agitées d'un mouvement apparemment chaotique. C'est le *mouvement Brownien* qui porte son nom.

En 1901, Le mathématicien français Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier [10], considéré comme le fondateur des mathématiques financières, propose un premier modèle mathématique du mouvement Brownien et l'appliqua à la finance.

En 1905, le physicien Américo-Allemand Albert Einstein [11] donne une description quantitative du mouvement Brownien, en résolvant une équation de diffusion similaire à l'équation de la chaleur et montre que le déplacement quadratique moyen d'une particule massive en mouvement dans un liquide est donnée par :

$$ \langle [\vec{r}(t) - \vec{r}(0)]^2 \rangle = \frac{RT}{N_A 3\pi\eta a} \qquad (5.1) $$

Ici, $\vec{r}(t) \in \mathbf{R}^3$ est la position instantanée de la particule cible, $R$ est la constante des gaz parfaits, $T$ est la température absolue, $N_A$ est le nombre d'Avogadro<fnref n="4" />, $\tau$ représente le temps d'observation, $\eta$ est la viscosité du liquide et $a$ étant le rayon de cette particule, supposée de forme sphérique.

En 1908, Jean Baptiste Perrin<fnref n="5" /> [12, 13], physicien et chimiste français, réalise une série de fameuses expériences sur le mouvement Brownien, en observant au microscope des émulsions de gomme-gutte<fnref n="6" /> ou de mastic bien calibrées, et il montre la validité de la relation d'Einstein, d'où il avait extrait la valeur exacte du nombre d'Avogadro qu'il estime compris entre $5.5 \times 10^{23}$ et $8 \times 10^{23}$ (la valeur tabulée actuelle est de $N_A = 6.02 \times 10^{23}$). De plus, il a étudié les trajectoires des particules animées de mouvements chaotiques. Perrin a

<footnote n="3">³Il était aussi chirurgien et explorateur.</footnote>

<footnote n="4">⁴Avogadro est un physicien, chimiste et mathématicien italien (1776-1856). Il est notamment connu pour la loi d'Avogadro, qui énonce que deux volumes égaux de gaz différents, dans les mêmes conditions de température et de pression, contiennent un nombre identique de molécules. Il a introduit aussi la notion de mole et le nombre d'Avogadro qui porte son nom.</footnote>

<footnote n="5">⁵Jean Baptiste Perrin (1870-1942) est un physicien, chimiste et homme politique français. Il reçoit le prix Nobel de physique en 1926.</footnote>

<footnote n="6">⁶La gomme-gutte ou résine gutte est un pigment jaune à tendance orange, produite à partir de résine d'espèces de la famille des Clusiaceae ou des Garciniées.</footnote>
observé, du point de vue mathématique, que ces trajectoires ont la particularité de n'avoir
aucune tangente en un point quelconque de la trajectoire et ce du fait de leur irrégularité.
Tous ces résultats lui ont permis de remporter, beaucoup plus tard, le fameux prix Nobel
de physique en 1926.

En 1908, *Paul Langevin* [8], physicien français, développe une théorie du mouvement
Brownien suivant une propre approche mécaniste. C'est cette approche que nous adopte-
rons par la suite.

En 1923, Norbert Wiener [14], mathématicien américain, surtout connu comme le père fondateur de la cybernétique, donne une définition mathématique du mouvement Brownien, et étudie, de manière mathématique, la continuité et la non-dérivabilité des trajectoires Browniennes. Wiener, grâce aux avancées de Perrin concernant le mouvement Brownien, est le premier mathématicien qui a donné une définition mathématique précise de ce mouvement. Il s'intéresse essentiellement au mouvement chaotique du point de vue mathématique. En collaboration avec d'autres mathématiciens, il étudie la continuité et la non-dérivabilité des trajectoires de ce mouvement. Il définit également une sorte d'intégrale qui porte son nom, à savoir l'intégrale de Wiener<fnref n="7" />. D'ailleurs, le mouvement Brownien est parfois appelé *processus de Wiener*. Il s'agit de théorèmes de mathématiques qui sont en bon accord avec les observations physiques sur le mouvement Brownien.

En 1933, *Paul Lévy* [15, 16], mathématicien français, démonte que le mouvement Brownien est un cas particulier de *martingale continue*, notion inventée par *Jean Ville* en 1933, celui où le carré de ce mouvement soustrait de sa valeur temps reste une *martingale*<fnref n="8" />. Il démontre également que ce cas particulier est le seul parmi les martingales à avoir ces deux propriétés. Ce faisant, il donne la définition du mouvement Brownien, c'est-à-dire ses conditions nécessaires et suffisantes.

En 1933, Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov [17], grand mathématicien russe et so-

<footnote n="7">⁷L'intégrale de Wiener est définie pour des fonctions en escaliers et est utilisée dans le cadre du calcul stochastique.</footnote>

<footnote n="8">⁸Une martingale est une stratégie de mises aux jeux de hasard qui tient compte des coups précédents (mises et résultats).</footnote>
viétique, et l'un des pionniers fondateurs de la théorie de probabilités, donne le cadre conceptuel universellement adopté depuis lors pour les espaces de trajectoires. Son fa-meux théorème de prolongement d'une probabilité simplement additive sur une algèbre à la σ-algèbre engendrée, est essentiellement un outil pour construire un espace de proba-bilité correspondant à la donnée d'un processus.

En 1942, *Joseph Leo Doob* [18], mathématicien américain, donne la première théorie mathématique de l'équation de Langevin. C'est l'un des actes de naissance des équations différentielles stochastiques. L'idée de Doob est de considérer la force de Langevin comme un bruit blanc.

En 1942, *Kiyoshi Itô* [19, 20], mathématicien japonais, apporte des contributions fon-damentales à la théorie des probabilités, en particulier à la théorie des processus stochas-tiques. Il a inventé le concept d'intégrale stochastique et d'équation différentielle stochas-tique, et est connu comme le fondateur du dudit calcul d'Itô. Il a également été un pionnier des liens mondiaux entre le calcul stochastique et la géométrie différentielle, connus sous le nom de géométrie différentielle stochastique. Les résultats d'Itô étaient très utiles pour les mathématiques financières.

En 1948, à nouveau, *Paul Lévy* publie le premier grand ouvrage sur les processus stochastiques et le mouvement Brownien. Il apporte alors de nombreux résultats.

En 1950, *Eugène Borisovitch Dynkin*, mathématicien soviétique et américain, apporte des contributions majeures aux domaines de la probabilité et de l'algèbre, en particulier aux groupes de Lie semi-simples, aux algèbres de Lie et aux *processus de Markov*<fnref n="9" />. Le diagramme de Dynkin, le système de Dynkin et le lemme de Dynkin portent son nom.

De 1950 à 1957, *Aryeh Dvoretzky*, mathématicien soviétique, montre des résultats sur les points multiples du mouvement Brownien dans l'espace réel : (i) Dans le plan $R^2$, le mouvement Brownien revient sans cesse au voisinage de chaque point, ce qui est une forme de récurrence, mais il ne visite que les points d'une aire nulle, et il ne revient jamais

<footnote n="9">⁹Un processus de Markov est un processus stochastique qui possède la propriété de Markov, selon laquelle, la prédiction de l'état futur d'un système ne dépend que de son état actuel et non de son historique passé.</footnote>
exactement à son point de départ (Lévy). Par contre, il y a des points qu'il visite une infinité non dénombrable de fois ; (ii) Dans l'espace R³, le mouvement Brownien s'en va à l'infini : il est transigent. Cependant, il a des points doubles, et il n'a pas de point triple.

En 1964, Volker Strassena, mathématicien allemand, établit un théorème qui a permis l'introduction de l'approximation forte. Il s'appuie sur le théorème de Skorokhod et affirme que sous réserve que les variables aléatoires admettent un moment d'ordre deux, on peut approcher sur un autre espace de probabilité la somme partielle de variables aléatoires réelles indépendantes, identiquement distribuées centrées et réduites à un mouvement Brownien.

En 1970, Robert Azencott, mathématicien français, stipule que pour les surfaces à courbure négative constante, complètes et sans bord, les trajectoires convergent vers des points frontières en un temps infini, si la courbure croît rapidement, la convergence a lieu en un temps fini. En plus, il avance que la récurrence et la transigence de marches sur des groupes, selon d'autres probabilités de transition, et l'équiprobabilité des points les plus voisins, sont encore très liées aux diffusions et au potentiel.

En 1999, Wendelin Werner<fnref n="10" />, mathématicien allemand et français, et ses collaborateurs démontrent une conjecture énoncée par Benoît Mandelbrot<fnref n="11" />[21 – 23] en 1982, selon laquelle la dimension de Hausdorff [24] de l'enveloppe d'un mouvement Brownien plan est égale à 4/3.

Depuis la dernière date, d'importants travaux ont été consacrés à l'étude de la diffusion, comme sous-branche de la physique et des mathématiques relevant des phénomènes stochastiques, par Kolmogorov, Markov, Smoluchowski, Fokker, Itô, Kubo, Zwanzig, Rissen et bien d'autres.

Notons que le mouvement Brownien est inhérent à un large éventail de phénomènes se produisant dans la nature, entre autres, nous pouvons citer :

<footnote n="10">¹⁰Il reçois la Médaille Fields en 2006.</footnote>

<footnote n="11">¹¹Benoît Mandelbrot est un mathématicien polono-franco-américain (1924-2010). Il est le découvreur des géométries fractales, nouvelle classe d'objets mathématiques, dont fait partie l'ensemble de Mandelbrot.</footnote>
- Diffusion des particules solides dans une solution aqueuse;

- Diffusion des gouttelettes de la phase dispersée dans une émulsion ou des bulles dans une mousse;

- Diffusion du sucre ou du sel dans l'eau;

- Diffusion (limitée) d'un liquide (encre) sur un buvard ou sur une toile de tissu;

- Diffusion des globules blancs et rouges dans le sang;

- Diffusion d'une bactérie ou d'un virus dans le sang;

- Diffusion d'un soulard dans une ville;

- Diffusion d'une molécule de lipide ou une protéine sur une membrane biologique;

- Diffusion des crickets dans un champ ou dans une forêt;

- Diffusion d'un évadé d'une prison dans les rues d'une grande ville;

- Diffusion d'un voleur dans un souk;

- Diffusion d'un ivrogne dans les rues d'une grande ville;

- Diffusion d'un fou dans un quartier;

- Diffusion libre d'un troupeau d'animaux dans un champ ou dans une forêt;

- Diffusion des poissons (sardines) dans la mer;

- Diffusion d'un chat errant dans les rues d'un village;

- Diffusion des rumeurs dans un quartier...

Le dénominateur commun de ces diffusions et les autres est que la trajectoire du diffuseur est tout à fait aléatoire (voire fractale). Une fois le diffuseur est lancé d'un point donné de l'espace, à un instant précis, il n'arrive à un autre point, à un instant ultérieur, qu'avec une certaine probabilité.

Donc, bien que les systèmes cités et d'autres soient des systèmes simples, ils ont un caractère aléatoire ou statistique.

**diffusion anormale.** La diffusion Brownienne que nous venons d'esquisser est relativement rapide, et le *déplacement quadratique moyen* associé croît comme la racine carrée du temps, loi d'Einstein (5.1).

Ce n'est pas le cas lorsque la particule évolue dans un milieu aléatoire (*crowded medium*, en Anglais). Son mouvement est *lent*. L'on parle de *diffusion anormale* qui a été
le sujet de plusieurs études [25 – 41], en relation avec la physique, la chimie, la biologie, l'écologie...

À l'opposé de la diffusion Brownienne, la sous-diffusion est plus lente, du fait de la difficulté extrême que touve une particule cible (traceur) pour se déplacer dans une structure complexe. Ce genre de diffusion est appelée sous-diffusion, et le déplacement quadratique moyen ne croît plus comme la racine carrée du temps, relation (5.1), mais plutôt comme :

$$W(t) = \langle [\vec{r}(t) - \vec{r}(0)]^2 \rangle = 2dD_\alpha t^\alpha, \quad 0 < \alpha < 1. \quad (5.2)$$

Ici, $D_\alpha$ est le coefficient de diffusion généralisé ou encore coefficient de diffusion fractionnaire, ayant comme unité : m²/s², et d est la dimension de l'espace. L'exposant de sous-diffusion, $\alpha$, depend naturellement du milieu hôte et de la nature du processus aléatoire.

Notons que le comportement précédent n'est valable que pour les temps plus longs qu'un temps caractéristique dépendant des détails spécifiques du processus de diffusion et de la structure du milieu ambiant. Généralement, une particule est dite sous-diffusive si la condition $W(t)/t \to 0$, pour $t \to +\infty$, est satisfaite (diffusion très lente). Ceci explique pourquoi l'exposant de sous-diffusion, $\alpha$, est dans l'intervalle $0 < \alpha < 1$.

Notons que la difusion anormale appraît dans les systèmes désordonnés et dans les systèmes hétérogènes, tels que les solutions colloïdales, les fractales, les fondus de polymères, les gels, les systèmes vivants, le transport de porteurs de charge dans les semi-conducteurs amorphes, les structures de percolation, les réseaux de polymère (polymer networks, en Anglais), et généralement, les systèmes complexes contenant des entités se mouvant sur différentes échelles de temps. Par exemple, lorsque le traceur évolue sur une structure fractale, de dimension fractale [24], $d_f$, et de dimension spectrale [24], $d_s$, l'exposant de sous-diffusion asscié est $\alpha = 2/d_w$, où $d_w = 2d_f/d_s$ [24] est la dimension du marcheur sur la fractale (walk dimension, en Anglais), et pour un mouvement Brownien à temps
fractionnaire<sup>12</sup>, $\alpha = 2H$, où $H$ est le nombre ou exposant de Hurst<sup>13</sup>.

Notons aussi, que le cas $1 < \alpha < 2$ décrit une super-diffusion ayant lieu dans les plasmas turulents, les vols de Lévy, le transport dans les polymères, les milieux biologiques, les électrons dans les milieux poreux, les suspensions colloïdales, sous certaines conditions, les milieux granulaires...

Le cas $\alpha = 2$ et $\alpha = 3$ correspondent, respectivement, à la diffusion balistique (piège optique), et à la diffusion de Richardson, en relation avec la cascade turbulente, qui est une forme de transfert d'énergie entre les tourbillons à grande énergie cinétique et les plus petits qui absorbent et dissipent celle-ci. En fait, ce mécanisme est à l'origine du spectre d'énergie turbulente dans un écoulement. Ce mécanisme a été expliqué qualitativement par Lewis Fry Richardson en 1922. L'on parle alors de cascade de Richardson [42]. Notons que les lois correspondantes ont été obtenues par Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov en 1941 [43 – 46]. Pour ces lois, l'on utilise le terme de cascade de Kolmogorov.

Dans tous les cas, l'exposant anormal, $\alpha$, n'est pas une quantité universelle, mais dépend fortement des paramètres pertinents du modèle et de la nature du processus aléatoire.

**Objectif :**

Les quantités dynamiques d’intérêt, en relation avec la diffusion normale ou anormale, sont au nombre de trois, à savoir le déplacement quadratique moyen (DQM), le coefficient de diffusion temporel (CDT), la fonction d’autocorrélation de vitesse (FACV). Toutes ces grandeurs dépendant du temps, peuvent être déterminées par deux approches physiquement équivalentes : L’équation de Smoluchowski (équation de diffusion) [3, 4] ou l’équation de Langevin standard ou généralisée [4, 47]. Cette dernière est identique à l’équation de Newton, mais où apparaissent une force stochastique (ou aléatoire) et une fonction mémoire.

<footnote n="12"><sup>12</sup>Le mouvement brownien fractionnaire a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d’engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert.</footnote>

<footnote n="13"><sup>13</sup>L’Exponent de Hurst est un outil puissant pour les traders et les analystes sur les marchés financiers. Il fournit des informations sur le comportement du marché et peut améliorer les stratégies de trading.</footnote>
Au Chapitre 6, nous rappelons des prélimaires mathématiques (définitions et propriétés) utiles pour l'étude de la diffusion.

Aux Chapitres 7 et 8, nous adoptons les équations de Langvin standard ou généralisée pour étudier les lois de diffusion normale ou anormale, à travers la détermination du DQM, du CDT et de la FACV, en fonction du temps. Nous examinons dans ces mêmes chapitres, les diffusions sans ou avec une force de rappel (avec oscillations).

Enfin, nous montrons au Chapitre 8 que pour une diffusion anormale, avec une fonction mémoire en forme de puissances, les expressions temporelles des diverses grandeurs dynamiques citées plus haut, font apparaître explicitement la *fonction spéciale de Mittag-Leffler* et ses extensions [48 – 50]. ■
Bibliographie

[1] A. Fick, *Über Diffusion*, Annalen der Physik und Chemie **94**, 59 (1855).

[2] J. Fourier, *Théorie Analytique de la Chaleur*, Firmin Didot, Père et Fils, 1822.

[3] M. Smoluchowski. *Drei Vorträge über Diffusion, Brownsche Molekularbewegung und Koagulation von Kolloidteilchen*, Phys. Z. (in German) **17**, 557 (1916).

[4] R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, *Statistical Physics II : Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Volume 31, Springer Science & Business Media, 2012.

[5] J. Rudnick, G. Gaspari, *Elements of the Random Walk : An introduction for Advanced Students and Researchers*, Cambridge University Press, 2004.

[6] F. Spitzer, *Principles of the Random Walk*, Princeton University Press, 1964.

[7] D. W. Stroock, *An Introduction to Markov Processes*, Springer, 2005.

[8] P. Langevin, *Sur la Théorie du Mouvement Brownien*, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences **146**, 530 (1908).

[9] R. Brown, *A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies*, Philosophical Magazine **4**, 161 (1828).

[10] L. Bachelier, *Théorie de la Spéculation*, Gauthier-Villars, Paris, 1900.

[11] A. Einstein, *Investigations on the Theory of the Brownian Movement*, Dover Publications, Inc., 1985.

[12] J. Perrin, *Mouvement Brownien et Réalité Moléculaire*, Annales de Chimie et de Physique **19**, 5 (1909).
[13] J. Perrin, *Les Atomes*, Paris, Félix Alcan, 1913.

[14] N. Wiener, *Differential-Space*, Journal of Mathematics and Physics **2**, 131 (1923).

[15] P. Lévy, *Le Mouvement Brownien*, Gauthier-Villars, Paris, 1954.

[16] P. Lévy, *Processus Stochastiques et Mouvement Brownien*, Edition Jacques Gabay, 1992.

[17] A. Kolmogorov, *Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione*, 1st. Ital. Attuari. **4**, 1 (1933).

[18] J. L. Doob, *The Brownian movement and stochastic equations*, Annals of Mathematics Second Series **43**, 351 (1942).

[19] K. Itô, *On Stochastic Differential Equations*, Memoirs of the American Mathematical Society, 1951.

[20] K. Itô, P. H. McKean, *Diffusion Processes and their Sample Paths*, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996.

[21] B. Mandelbrot, *Les Objets Fractals : Forme, Hasard et Dimension*, Flammarion, 4ème édition, 1995.

[22] B. Mandelbrot, *Fractales, Hasard et Finance*, Flammarion, 1997.

[23] B. Mandelbrot, *The Fractal Geometry of Nature*, Echo Point Books & Media, 2021.

[24] J.-F. Gouyet, *Physics and Fractal Structures*, Masson-Springer, 1996.

[25] M. Benhamou, S. El-Moudny, *Review on Pickering emulsions stabilized by adsorbed nanoparticles : Structure, Thermodynamics, Cage Effect and Subdiffusion*, International Journal of Nanomaterials, Nanotechnology and Nanomedicine **3**, 57 (2017).

[26] M. Badia, S. El-Moudny, M. Benhamou, M. El Ossmani, *Study of cage effect and subdiffusion in Pickering emulsions from Molecular Dynamics Simulations*, Journal of Molecular Liquids **240**, 1 (2017).

[27] S. Havlin, D. Ben-Avraham, *Diffusion in disordered media*, Adv. Phys. **36**, 187 (1987).
[28] J.-P. Bouchaud, A. Georges, *Anomalous diffusion in disordered media : Statistical Mechanisms, models and physical applications*, Phys. Rep. **195**, 127 (1990).

[29] Voir, par exemple, D. Nualart, *Fractional Brownian Motion : Stochastic Calculus and Applications*, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, édité par European Mathematical Society, Madrid, Spain, 2006.

[30] S. Stachura, G. R. Kneller, *Anomalous lateral diffusion in lipid bilayers observed by molecular dynamics simulations with atomistic and coarse-gained force fields*, Molecular Simulation **40**, 245 (2014).

[31] H. Scher, M. Lax, *Stochastic transport in a disordered solid. II. Impurity conduction*, Phys. Rev. B **7**, 4502 (1973).

[32] H. Scher, E. Montroll, *Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids*, Phys. Rev. B **12**, 2455 (1975).

[33] Q. Gu, E. A. Schiff, S. Grebner, R. Schwartz, *Non-Gaussian transport measurements and the Einstein relation in amorphous silicon*, Phys. Rev. Lett. **76**, 3196 (1996).

[34] H.-P. Müller, R. Kimmich, J. Weis, *NMR flow velocity mapping in random percolation model objects : Evidence for a power-law dependence of the volume-averaged velocity on the probe-volume radius*, Phys. Rev. E **54**, 5278 (1996).

[35] A. Klemm, H.-P. Müller, R. Kimmich, *NMR microscopy of pore-space backbones in rock, sponge, and sand in comparison with random percolation model objects*, Phys. Rev. E **55**, 4413 (1997).

[36] F. Amblard, A. C. Maggs, B. Yurke, A. N. Pargellis, S. Leibler, *Subdiffusion and anomalous local viscoelasticity in actin networks*, Phys. Rev. Lett. **77**, 4470 (1996).

[37] E. R. Weeks, H. L. Swinney, *Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks*, Phys. Rev. E **57**, 4915 (1998).

[38] G. Zumofen, J. Klafter, A. Blumen, *Trapping aspects in enhanced diffusion*, J. Stat. Phys. **65**, 991 (1991).

[39] L. F. Richardson, *Atmospheric diffusion shown nous avons distance-neighbour graph*, Proc. R. Soc. London Ser. A **110**, 709 (1926).
[40] G. K. Batchelor, *The application of the similarity theory of turbulence to atmospheric diffusion*, Q. J. R. Meteorol. Soc. **76**, 133 (1950).

[41] P. Tabeling, A. E. Hansen, J. Paret, dans *Chaos, Kinetics and Nonlinear Dynamics in Fluids and Plasmas*, édité par G.M. Zaslavsky et S. Benkadda, Springer-Verlag, Berlin, 1998.

[42] S. F. Richardson, *Weather Prediction by Numerical Process*, Cambridge University Press, 1922.

[43] A. N. Kolmogorov, *The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds number*, Doklady Akademii Nauk **30**, 9 (1941).

[44] A. N. Kolmogorov, *On the degeneration of isotropic turbulence in an incompressible viscous fluid*, Doklady Akademii Nauk **31**, 319 (1941).

[45] A. N. Kolmogorov, *Dissipation of energy in locally isotropic turbulence*, Doklady Akademii Nauk **32**, 16 (1941).

[46] A. N. Kolmogorov, *Equations of turbulent motion in an incompressible fluid*, Doklady Akademii Nauk **4**, 299 (1941).

[47] R. Zwanzig, *Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Oxford University Press, 2001; aussi, R. Zwanzig, *Statistical Mechanics of Irreversibility*, Volume 3 of Lectures in Theoretical Physics, Interscience, New York, 1961.

[48] G. Mittag-Leffler, *Sur la nouvelle fonction E_α(x)*, C. R. Acad. Sci. Paris **137**, 554 (1903).

[49] G. Mittag-Leffler, *Sopra la funzione E_α(x)*, C. R. A. Lincei **13**, 3 (1904).

[50] R. Gorenflo, A. A. Kilbas, F. Mainardi, S. V. Rogosin, *Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications*, Springer, New York, 2014.
# Chapitre 6

## Préliminaires mathématiques sur la théorie de diffusion.

Dans ces préliminaires, nous rappelons les définitions utiles et les propriétés fondamentales des grandeurs dynamiques d'intérêt, qui sont le déplacement quadratique moyen (DQM), le coefficient de diffusion temporel (CDT) et la fonction d'autocorrélation de vi- tesse (FACV).

### 6.1 Définitions.

**Définition 1.** Soient deux variables dynamiques, $A(t)$ et $B(t)$, leur moyenne individuelle et leur fonction de corrélation temporelle sont définies par [1] :

$$ \langle A(t_0) \rangle = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A(t+t_0) dt, \qquad (6.1) $$

$$ \langle A(t_1) B(t_0) \rangle = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A(t+t_1) B(t+t_0) dt . \qquad (6.2) $$

Ici, $\tau$ représente l'intervalle de temps dans lequel les quantités $A$ et $B$ sont mesurées. Notons que pour les systèmes dynamiques en marche vers l'équilibre thermodynamique, la valeur moyenne, $\langle A(t_0) \rangle$, ne dépend pas de son argument $t_0$, et la fonction de corrélation, $\langle A(t_1) B(t_0) \rangle$, ne dépend que de la différence de temps $t_1 - t_0$. L'on parle, dans ce cas, de
*processus stationnaire.* Notons que si le temps $\tau$ est supérieur à la durée de l'expérience, la valeur moyenne temporelle tend vers la valeur moyenne à l'équilibre thermique. C'est le théorème ergodique [2–12], qui est un concept fondamental en théorie des systèmes dynamiques et permettant de comparer la moyenne orbitale d'une fonction à sa moyenne spatiale; ce qui est essentiel pour comprendre le comportement statistique des systèmes dynamiques. La théorie ergodique explore comment ces systèmes, régis par des mesures invariantes, révèlent des informations sur le chaos et l'ordre. En outre, elle inclut des résultats comme le théorème ergodique de Birkhoff, qui est crucial pour l'analyse des systèmes dynamiques.

**Définition 2.** Pour une fonction arbitraire, $f(t)$, définie pour $t \ge 0$, sa transformée de Laplace (TL) s'écrit [13] :

$$ \mathcal{L}\{f(t)\} \equiv \hat{f}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt. \qquad (6.3) $$

La TL inverse est alors :

$$ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} e^{st} \hat{f}(s) ds. \qquad (6.4) $$

Ici, $\Gamma$ est un contour d'intégration dans le plan complexe $C$, avec $\text{Re}[s] > 0$.

**Définition 3.** L'on définit le DQM par :

$$ W(t) = \langle [\vec{r}(t) - \vec{r}(0)]^2 \rangle, \qquad t \ge 0, \qquad (6.5) $$

où $\vec{r}(t) \in \mathbf{R}^d$ est la position instantanée de la particule cible et $d$ est la dimension euclidienne. Nous avons naturellement : $W(t) > 0$, pour tout $t > 0$ et $W(0) = 0$ (c'est-à-dire que la particule diffusante n'est pas encore lancée). Suivant la nature du processus de diffusion, $W(t)$ peut être borné ou non à l'infini, c'est-à-dire à $t \to +\infty$.

**Définition 4.** L'on définit la FACV par :

$$ c_{vv}(t) = \langle \vec{v}(t) \cdot \vec{v}(0) \rangle, \qquad t \ge 0. \qquad (6.6) $$

Ici, $\vec{v}(t) \in \mathbf{R}^d$ est la vitesse instantanée de la particule cible. À l'instant initial, c'est-à-dire à $t = 0$, $c_{vv}(0) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle$, où $\vec{v}_0 \in \mathbf{R}^d$ est la vitesse initiale de cette particule. Comme
toute fonction de corrélation, la FACV doit s'annuler à $t = +\infty$; le comment dépend du processus de diffusion considéré. Pour certains processus stochastiques, la FACV peut passer par des zéros (oscillations) et même par une infinité de zéros.

**Définition 5.** L'on définit le CDT par :

$$D(t) = \frac{1}{2d} \frac{dW(t)}{dt}, \qquad t \ge 0. \qquad (6.7)$$

Cette relation suggère que les extrémums possibles du DQM sont les zéros du CDT.

Notons que pour une diffusion normale, le CDT devient indépendant du temps et coïncide exactement avec le coefficient de diffusion habituel obéissant à la loi Stokes-Einstein<fnref n="1" /> :

$$D_1 = \frac{k_B T}{\zeta}. \qquad (6.8)$$

Ici, $\zeta$ est le coefficient de friction, $k_B$ est la constante de Boltzmann et $T$ est la températive absolue.

**Définition 6.** D'habitude, l'on introduit trois fonctions de relaxation, $I(t)$, $G(t)$ et $g(t)$ définissant, respectivement, le DQM, le QDT et la FACV :

$$W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} I(t), \qquad (6.9)$$

$$D(t) = \frac{k_B T}{m} G(t), \qquad (6.10)$$

$$c_{vv}(t) = d \frac{k_B T}{m} g(t). \qquad (6.11)$$

Notons que le facteur $dk_B T/m$ n'est rien d'autres que la moyenne du carrée de la vitesse : $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = dk_B T/m$, si l'on suppose que les vitesses initiales, $\{\vec{v}_0\}$, sont distribuées selon la distribution de Maxwell à l'équilibre thermodynamique [15, 16]. Nous avons, en plus, dans ce cas : $\langle \vec{v}_0 \rangle = \vec{0}$, car cette distribution est une fonction paire de la vitesse de la particule cible.

<footnote n="1">¹Cette loi donne le coefficient de diffusion d'un soluté dans un solvant, et est fondée sur les lois du mouvement brownien et de la loi de Stokes exprimant la force exercée par un liquide sur une particule solide.</footnote>
Bien évidemment, nous avons les relations suivantes :

$$I(t) = \int_{0}^{t} G(t') dt', \qquad (6.12)$$

$$\frac{dG(t)}{dt} = g(t) \quad \text{ou} \quad G(t) = G(0) + \int_{0}^{t} g(t') dt', \qquad (6.13)$$

$$g(t) = \frac{d^2 I(t)}{dt^2}. \qquad (6.14)$$

Notons que : $I(0) = 0$ et $|g(t)| \le 1$, pour tout $t \ge 0$. Finalement, il suffira de déterminer l'une des trois fonctions de relaxation pour déduire les deux autres.

## 6.2 Propriétés.

**Propriété 1.** L'on rappelle que la TL d'un produit de convolution $(f * g)(t)$ est simplement : $\hat{f}(s) \times \hat{g}(s)$.

**Propriété 2.** La TL d'une dérivée d'une fonction, $f(t)$, est :

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s\hat{f}(s) - f(0). \qquad (6.15)$$

**Propriété 3.** Soit une fonction de corrélation d'une grandeur dynamique (stationnaire), $f(t)$, se présentant sous forme :

$$\langle f(t) f(t') \rangle = \Phi(|t - t'|) . \qquad (6.16)$$

L'on démontre que sa TL est donnée par [16] :

$$\langle \hat{f}(s) \hat{f}(s') \rangle = \frac{\hat{\Phi}(s) + \hat{\Phi}(s')}{s + s'}. \qquad (6.17)$$

Ici, $\hat{\Phi}(s)$ est la TL de la fonction, $\Phi(t)$.

**Propriété 4.** Soit une fonction, $f(t)$, localement intégrable et à support positif. Si la limite dans le domaine temporel existe et est finie, alors l'on a [17] :

$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{s \in \mathbb{R}, s \to 0^+} s\hat{f}(s). \qquad (6.18)$$
**Propriété 5.** Si la TL, $\hat{f}(s)$, a une abscisse de convergence finie et si la limite dans le domaine temporel existe, alors nous avons [17] :

$$ \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \in \mathbb{R}, s \to +\infty} s\hat{f}(s) . \qquad (6.19) $$

**Propriété 6.** La TL d'une fonction, $f(t)$, multipliée par un facteur, $t^n$, avec $n \in \mathbb{N}$, est, au signe près, la dérivée n-ième de la TL de cette fonction :

$$ \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n \hat{f}(s)}{ds^n}. \qquad (6.20) $$

**Propriété 7.** La TL de la fonction de Dirac delta, $\delta(t)$, est égale à 1 :

$$ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1. \qquad (6.21) $$

**Propriété 8.** La TL de la fonction de puissances, $t^{\alpha-1}\theta(t)$, où $\theta(t)$ désigne la fonction saut de Heaviside, est :

$$ \mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\theta(t)\} = \frac{\Gamma(\alpha)}{s^{\alpha}}, \quad \alpha \ge 1. \qquad (6.22) $$

Ici, $\Gamma(\alpha)$ est la fonction gamma d'Euler [18]. En particulier, la TL de $\theta(t)$ est simplement $s^{-1}$.

**Propriété 9.** Puisque la vitesse est la dérivée de la position, le DQM doit être relié à la FACV. En fait, si la dynamique est stationnaire (les fonctions de corrélation de vitesse ou de position sont invariantes par translation dans le temps), ces deux quantités sont reliées par la relation intégrale suivante [1] :

$$ W(t) = 2 \int_{0}^{t} (t - t_1) c_{vv}(t_1) dt_1, \quad t \ge 0. \qquad (6.23) $$

Pour démonter ce résultat, nous partons de l'égalité :

$$ \vec{r}(t) - \vec{r}(0) = \int_{0}^{t} \vec{v}(t_1) dt_1, \qquad (6.24) $$

et notons qu'il est facile de montrer la relation fondamentale suivante entre le DQM et la FACV :

$$ W(t) = \int_{0}^{t} dt_{1} \int_{0}^{t} dt_{2} c_{vv}(t_{1} - t_{2}) . \qquad (6.25) $$
Notons qu'il est possible de transformer l'intégrale double précédente en une intégrale simple, en faisant le changement de variables suivant [2, 3] :

$$ \left\{ \begin{array}{l} u = t_1 - t_2, \\ v = t_2, \end{array} \right. \qquad (6.26) $$

pour lequel la matrice de Jacobi correspondante s'écrit :

$$ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial t_1} & \frac{\partial u}{\partial t_2} \\ \frac{\partial v}{\partial t_1} & \frac{\partial v}{\partial t_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \qquad (6.27) $$

Puisque le déterminant de $J$ est égal à 1, $|J| = 1$, l'élément du volume est transformé en $dudv = |\det J| dt_1 dt_2 = dt_1 dt_2$. Dans les nouvelles variables $u$ et $v$, le DQM prend donc la forme suivante :

$$ W(t) = \int_{0}^{t} dv \int_{-v}^{t-v} duc_{vv}(u) . \qquad (6.28) $$

L'on montre aisément que le DQM peut encore s'écrire sous la forme :

$$ W(t) = W_1(t) + W_2(t), \qquad (6.29) $$

avec

$$ W_1(t) = \int_0^t du \int_0^{t-u} dvc_{vv}(v) \qquad (6.29a) $$

et

$$ W_2(t) = \int_{-t}^{t} du \int_{0}^{t-u} dvc_{vv}(v) . \qquad (6.29b) $$

En faisant un nouveau changement de variables : $u \to -u$ dans l'intégrale (6.29b), nous trouvons bien la relation fondamentale (6.23).

Soulignons que cette égalité reste valable, uniquement pour les processus stochastiques stationnaires, de sorte que la FACV ne dépend que de la différence de temps.

**Propriété 10.** En dérivant la relation (6.23) deux fois par rapport au temps, nous obtenons une relation équivalente entre les grandeurs dynamiques, DQM et FACV :

$$ c_{vv}(t) = \frac{1}{2} \frac{d^2 W(t)}{dt^2}, \qquad t \ge 0. \qquad (6.30) $$
Si la FACV est positive, pour tout $t \ge 0$, alors le DQM est une fonction convexe. La relation précédente indique que les zéros de la FACV, s'ils existent, sont les points d'inflection du DQM.

**Propriété 11.** D'après sa définition (6.7) et la relation (6.30), l'on tire la relation intégrale suivante :

$$D(t) = D(0) + \frac{1}{d} \int_{0}^{t} c_{vv}(t') dt'. \quad (6.31)$$

La relation précédente montre que, au facteur dimension $d$ près, le CDT n'est rien d'autres que l'intégrale de la FACV.

## 6.3 Fonctions de Mittag-Leffler.

La fonction dite de Gösta Mittag-Leffler (M-L) à un paramètre [18, 19], $E_\alpha(x)$, a été introduite par lui-même, tout à fait au début du siècle dernier.

Et la fonction de M-L à deux paramètres, $E_{\alpha,\beta}(x)$, a été introduite, par la suite, par Anders Wiman [20, 21], en 1905, et qui se réduit à la première fonction de M-L pour $\beta = 1$.

Puis, on a généralisé, par la suite, cette fonction à ce qu'on appelle fonction de M-L à trois paramètres, $E_{\alpha,\beta}^{\delta}(x)$, introduite par Tilak Raj Prabhakar [22], en 1971, et qui se réduit à la fonction de Wiman pour $\delta = 1$.

Notons que les fonctions de M-L apparaissent naturellement dans les solutions des équations intégrales d'ordre fractionnaire, l'investigation de la généralisation fractionnaire de l'équation cinétique, les marches aléatoires, les vols de Lévy, le transport sur-diffusif, et dans l'étude de la dynamique des systèmes complexes.

Les fonctions de M-L apparaissent également dans l'étude de l'écoulement des fluides dans des géométries complexes, le transport diffusif, les réseaux électriques, les probabilités, la théorie de la distribution statistique...

Notons aussi que les fonctions de M-L interpolent entre les lois exponentielles et les lois de puissances, comme les comportements en temps des solutions des équations cinétiques ordinaires et fractionnaires.
Pour des valeurs particulières des paramètres, les fonctions de M-L se réduisent à des fonctions connues.

Actuellement, l'on a introduit d'autres variantes de fonctions de M-L, à plus de trois paramètres et à plus d'un argument [23].

Notons, enfin, que les fonctions de M-L apparaissent comme la TL inverse des fonctions de type : $s^\alpha / (a + bs^\beta)^\delta$.

Les trois premières fonction de M-L sont définies par les séries entières suivantes :

$$E_{\alpha}(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{\Gamma(\alpha n + 1)}, \quad |z| < 1, \ z \in \mathbf{C}, \qquad (6.32)$$

$$E_{\alpha, \beta}(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{\Gamma(\alpha n + \beta)}, \quad |z| < 1, \ z \in \mathbf{C}, \qquad (6.33)$$

$$E_{\alpha, \beta}^{\delta}(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\delta)_n}{\Gamma(\alpha n + \beta)} \frac{z^n}{n!}, \quad |z| < 1, \ z \in \mathbf{C}, \qquad (6.34)$$

avec $(\alpha, \beta, \delta) \in \mathbf{C}^3$, Re $[\alpha] > 0$ et Re $[\beta] > 0$. Ici, $(\delta)_n$ désigne le symbole de Pochhammer [17] :

$$(\delta)_n = \delta(\delta+1)\cdots(\delta+n-1), \quad (\delta)_0 = 1, \quad \delta \neq 0. \qquad (6.35)$$

En termes de la fonction gamma d'Euler [17], l'on a :

$$(\delta)_n = \frac{\Gamma(\delta+n)}{\Gamma(\delta)}, \quad \text{Re}[\delta] > 0. \qquad (6.36)$$

Notons les reductions : $E_{\alpha,1}(z) = E_{\alpha,1}(z) = E_{\alpha,1}^1(z)$ et $E_{\alpha,\beta}^1(z) = E_{\alpha,\beta}(z)$, pour tout $z \in \mathbf{C}$.

Les comportements asymptotiques de ces fonctions sont tels que :

$$E_{\alpha}(-z) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-z)^{-n}}{\Gamma(1-\alpha n)}, \quad |z| > 1, \qquad (6.37)$$

$$E_{\alpha, \beta}(-z) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-z)^{-n}}{\Gamma(\beta - \alpha n)}, \quad |z| > 1, \qquad (6.38)$$

$$E_{\alpha, \beta}^{\delta}(-z) = \frac{z^{-\delta}}{\Gamma(\delta)} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\Gamma(\delta+n)}{\Gamma(\beta - \alpha(\delta+n))} \frac{(-z)^{-n}}{n!}, \quad |z| > 1, \qquad (6.39)$$
avec $(\alpha, \beta, \delta) \in \mathbf{C}^3$, Re[$\alpha$] > 0 et Re[$\beta$] > 0.

Pour finir, rappelons les propriétés de dérivation de la fonction de M-L à trois para-
mères [24] :

$$
\left(\frac{d}{dz}\right)^p \left[z^{\beta'-1} E_{\alpha',\beta'}^{\delta'}(az^{\alpha'})\right] = z^{\beta'-p-1} E_{\alpha',\beta'-p}^{\delta'}(az^{\alpha'}), \quad p = 0, 1, \dots. \quad (6.40)
$$

Notons que $E_{\alpha',\beta'}(x) = E_{\alpha',\beta'}^1$. ■
Bibliographie

[1] R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, *Statistical Physics II: Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Volume 31, Springer Science & Business Media, 2012.

[2] Y. Coudène, *Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques*, EDP Sciences, Paris, 2013.

[3] V. I. Arnold, A. Avez, *Ergodic Problems of Classical Mechanics*, Advanced Book Classics, Pearson avonsddison Wesley, 1989.

[4] F. Pène, *Stochastic Properties of Dynamical Systems*, Cours spécialisés de la SMF, Volume 30, 2022.

[5] Y. G. Sinaï, *Introduction to Ergodic Theory*, Princeton University Press, 1976.

[6] I. P. Cornfeld, S. V. Fomin, Y. G. Sinai, *Ergodic Theory*, Springer-Verlag, 1982.

[7] K. Petersen, *Ergodic Theory*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1983.

[8] Y. Pesin, L. Barreira, *Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory*, University Lecture Series 23, AMS, Providence, 2001.

[9] T. Bedford, M. Keane, C. Series, éditeurs, *Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces*, Oxford University Press, 1991.

[10] J. M. Ollagnier, *Ergodic Theory and Statistical Mechanics*, Lecture Notes in Mathematics 1115, Springer-Verlag, 1985.

[11] J. Lebowitz, O. Penrose, *Modern Ergodic Theory*, Physics Today **26**, 155 (1973).

[12] D. Ruelle, *Ergodic Theory of Differentiable Dynamical Systems*, Publ. Math. IHES **50**, 27 (1979).
[13] D. V. Widder, *The Laplace Transform*, Dover Publications, 2011.

[14] N. Pottier, *Aging properties of an anomalously diffusing particule*, Physica A **317**, 371 (2003).

[15] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, *Physique Statistique*, Éditions Mir, Moscou, 1967.

[16] R. Balian, *Du Microscopique au Macroscopique*, Tomes 1 et 2, Ellipses, Paris, 1982.

[17] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, *Table of Integrals, Series, and Products*, Seventh Edition, Elsevier Inc., 2007.

[18] G. Mittag-Leffler, *Sur la nouvelle fonction E_α(x)*, C. R. Acad. Sci. Paris **137**, 554 (1903).

[19] G. Mittag-Leffler, *Sopra la funzione E_α(x)*, C. R. A. Lincei **13**, 3 (1904).

[20] A. Wiman, *Über den fundamental satz in der theorie der funktionen, E_α(x)*, Acta Mathematica **29**, 191 (1905).

[21] A. Wiman, *Über die Nullstellun der Funktionen E_α(x)*, Acta Mathematica **29**, 217 (1905).

[22] T. R. Prabhakar, *A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel*, Yokohama Math. J. **19**, 7 (1971).

[23] A. A. Kilbas, M. Saigo, R. K. Saxena, *Generalized Mittag-Leffler functinous and generalized fractional calculus operators*, Integral Transforms and Special Functions **15**, 31 (2004).

[24] A. K. Shukla, J. C. Prajapati, *On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties*, J. Math. Anal. Appl. **336**, 797 (2007).
# Chapitre 7

## Théorie de diffusion normale.

Le but de ce chapitre est de passer en revue l'application de la théorie de l'équation de Langevin standard, pour l'étude des propriétés dynamiques, en relation avec le mouvement d'une particule Brownienne sans mémoire, libre ou en présence d'une force de rappel.

Notons que l'approche par la théorie de l'équation de Langevin est parfaitement équivalente à l'approche par l'équation de diffusion, formulée par A. Einstein. Cette dernière est satisfaite par la densité de probabilité ou encore distribution.

Dans ce chapitre, nous sommes concernés par une détermination exante de l'évolution temporelle de trois grandeurs dynamiques d'intérêt, à savoir le déplacement quadratique moyen (DQM), le coefficient de diffusion temporel (CDT) et la fonction d'autocorrélation de vitesse (FACV), aussi bien pour une diffusion Brownienne inertielle que pour une diffusion Brownien non inertielle. Pour cette dernière, nous traitons la diffusion par l'équation de Langevin ou par l'équation de Smoluchowski, et trouvons que ces deux approches sont physiquement équivalentes pour la description de la physique.
# 7.1 Diffusion normale inertielle sans force de rappel.

## 7.1.1 Introduction.

Comme esquissé dans l'introduction à la théorie de diffusion (Chapitre 5), le mouvement Brownien d'une particule dans un liquide, qualifiée de *particule cible* ou de *traceur*, était observée expérimentalement pour la première fois par Robert Brown [1]. En fait, ce mouvement résulte de chocs incéssants (ou collisions) entre la particule cible et les molécules du liquide, et par conséquent, cette particule suit une trajectoire tout à fait aléatoire dans le temps, c'est-à-dire une trajectoire non différentiable. L'on peut se demander est-ce-que la notion de vitesse et par conséquence de l'accélération existe, du fait de la non-différentiablilité de la trajectoire Brownienne. Mais cela ne veut pas dire que cette notion de vitesse n'existe pas en réalité. L'idée de Paul Langevin [2, 3] était de développer un traitement dynamique pour les phénomènes stochastiques. De telle idée est basée sur le fait que les équations de la mécanique restent valables en moyenne, et l'effet stochastique est exprimé par l'ajout d'une force stochastique ou aléatoire. C'est cette théorie qui nous intéresse ici.

## 7.1.2 Équation stochastique.

Le mouvement Brownien de la particule cible peut être décrit par l'équation de Langevin (standard), en l'absence de la force extérieure :

$$m \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -m\gamma_1 \vec{v}(t) + \vec{F}(t). \qquad (7.1)$$

Ici, $m$ représente la masse de la particule cible, $\vec{v}(t) \in \mathbf{R}^d$ est sa vitesse instantanée, $\zeta = m\gamma_1$ étant le coefficient de friction, et $\vec{F}(t) \in \mathbf{R}^d$ est une force stochastique ou aléatoire, appelée force de Langevin. Le coefficient $\gamma_1$ a une signification particulière et est appelé taux de relaxation. En fait, son inverse, $\gamma_1^{-1}$, est une échelle de temps, appelé temps de relaxation. Notons que le coefficient de friction, $\zeta$, est relié à la viscosité du liquide, $\eta$, et au rayon de la particule cible, $a$, par la relation classique de Stokes : $\zeta = 6\pi\eta a$. Le terme $-m\gamma_1 \vec{v}(t)$ dans l'équation dynamique (7.1) représente la force de friction, suite
au déplacement de la particule cible dans le fluide. Considérer ce terme comme une force de friction peut être justifié par le fait que sur des échelles de temps courtes devant $\gamma_1^{-1}$, la vitesse moyenne des particules varie peu.

Rappelons que l'équation de Langevin est historiquement le premier exemple d'une équation différentielle stochastique, c'est-à-dire contenant un terme aléatoire, $\vec{F}(t)$, avec des propriétés statistiques spécifiées.

La force fluctuante agissant sur la particule Brownienne, $\vec{F}(t)$, est modélisée par un processus aléatoire stationnaire. Par suite, les hypothèses sur la force de Langevin est donnée par les trois hypothèses suivantes :

$$ \langle \vec{F}(t) \rangle = \vec{0}, \quad t \ge 0, \qquad (7.2) $$

$$ \langle \vec{F}(t) \cdot \vec{F}(t') \rangle = dk_B T m \gamma_1 \delta_d(t-t'), \qquad (7.3) $$

$$ \langle \vec{v}(0) \cdot \vec{F}(t) \rangle = 0. \qquad (7.4) $$

Ici, $\delta_d(t)$ est la distribution de Dirac à $d$ dimensions. La dernière hypothèse provient du fait que la vitesse et la force aléatoire ne sont pas corrélées. En effet, dans le cadre de ce modèle, cette force aléatoire ne dépend ni de la position ni de la vitesse de la particule cible. Les moyennes précédentes sont des moyennes sur toutes les réalisations de la force aléatoire, $\vec{F}(t)$. Notons que les hypothèses (7.2) et (7.3) signifient que la force stochastique est régie par une distribution gaussienne, seulement si le processus aléatoire est sans mémoire.

### 7.1.3 Expressinous analytique de la FACV.

L'on désigne par $\vec{v}_0 \in \mathbf{R}^d$, la vitesse initiale de la particule cible, c'est-à-dire :

$$ \vec{v}(0) = \vec{v}_0. \qquad (7.5) $$
Il est facile de voir que la solution de l'équation stochastique (7.1), avec la condition initiale (7.5), s'écrit :

$$ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 e^{-\gamma_1 t} + \frac{1}{m} \int_0^t \vec{F}(t_1) e^{-\gamma_1 (t-t_1)} dt_1 . \quad (7.6) $$

Compte tenu de l'hypothèse (7.2), nous trouvons que :

$$ \langle \vec{v}(t) \rangle = \langle \vec{v}_0 \rangle e^{-t/\tau_1} . \quad (7.7) $$

Donc, la vitesse moyenne de la particule s'amortie avec le temps de relaxation :

$$ \tau_1 = \gamma_1^{-1} . \quad (7.8) $$

Par simple multiplication scalaire de la relation (7.1) par $\vec{v}(0)$ et en moyennant sur la force aléatoire, nous trouvons que la FACV, $c_{vv}(t) = \langle \vec{v}(t) \cdot \vec{v}(0) \rangle$, est solution de l'équation différentielle du premier ordre suivante :

$$ \frac{dc_{vv}(t)}{dt} = -\gamma_1 c_{vv}(t) . \quad (7.9) $$

Sa résolution triviale donne comme solution :

$$ c_{vv}(t) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle e^{-t/\tau_1}, \quad t \ge 0, \quad (7.10) $$

avec $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = c_{vv}(0) = dk_B T/m$. L'expression de la moyenne thermique, $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = dk_B T/m$, provient du fait que les vitesses intiales obéissent à la distribution de Maxwell [4, 5].

Donc, la fonction de relaxation, $g(t)$, définie, généralement, par l'expression (6.11) du Chapitre 6, est telle que :

$$ g(t) = e^{-\gamma_1 t}, \quad t \ge 0. \quad (7.11) $$

La FACV est alors une fonction monotone décroissante et convexe et qui ne présente ni zéro ni extremum.

La Figure 7.1 décrit la variation de la FACV réduit, $c_{vv}(t)/c_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $c_0 = dk_B T/m$.
### 7.1.4 Expression analytique du DQM.

Partons de la condition initiale suivante sur la position de la particule cible :

$$ \vec{r}(0) = \vec{r}_0. \qquad (7.12) $$

Et en tenant compte de cette condition initiale et par simple intégration de l'égalité (7.6) définissant la vitesse instantanée de la particule cible, nous obtenons l'expression suivante pour sa position :

$$ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \frac{1 - e^{-\gamma_1 t}}{\gamma_1} \vec{v}_0 + \frac{1}{m} \int_0^t \left( \int_0^t \vec{F}(t_2) e^{-\gamma_1(t_1-t_2)} dt_2 \right) dt_1 . \qquad (7.13) $$

En faisant une moyenne sur la force aléatoire et tenant compte de l'hypothèse (7.2), nous trouvons l'expression de la valeur moyenne de la position :

$$ \langle \vec{r}(t) \rangle = \vec{r}_0 + \frac{\langle \vec{v}_0 \rangle}{\gamma_1} (1 - e^{-\gamma_1 t}) , \qquad t \ge 0. \qquad (7.14) $$

Cette position moyenne varie donc de $\vec{0}$ à $\vec{r}_0 + \langle \vec{v}_0 \rangle / \gamma_1$.

Par simple utilisation de la relation (6.23) du Chapitre 6, combinée avec l'expression trouvée (7.10) de la FACV, nous trouvons que le DQM est donné exactement par :

$$ W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} \left( \frac{e^{-\gamma_1 t} - 1 + \gamma_1 t}{\gamma_1^2} \right) , \qquad t \ge 0. \qquad (7.15) $$

Donc, la fonction de relaxation, $I(t)$, définie, généralement, par l'expression (6.9) du Chapitre 6, est telle que :

$$ I(t) = \frac{e^{-\gamma_1 t} - 1 + \gamma_1 t}{\gamma_1^2} , \qquad t \ge 0. \qquad (7.16) $$

La formule (7.15) du DQM suggère que celui-ci possède uniquement un seul zéro, qui est en même temps un minimum unique, pour $t = 0$. En plus, cette fonction du temps est monotone croissante et concave.

Pour les temps petits, c'est-à-dire pour $t \ll \gamma_1^{-1} \equiv \tau_1$, le DQM se comporte comme :

$$ W(t) = d \frac{k_B T}{m} t^2 = \langle \vec{v}_0^2 \rangle t^2 , \qquad t \ll \tau_1 . \qquad (7.17) $$
C'est le *régime balistique*. À ces échelles du temps, la trajectoire de la particule cible est linéaire, avec une vitesse constante égale à $\sqrt{\langle \vec{v}_0^2 \rangle}$.

Par contre, pour des temps beaucoup plus longs que le temps de relaxation, $\tau_1$, c'est-à-dire pour $t \gg \tau_1 = \gamma_1^{-1}$, le DQM croît linéairement avec le temps :

$$ W(t) = 2dD_1t, \qquad t \gg \tau_1. \qquad (7.18) $$

Ici, $D_1 = k_B T/m\gamma_1$ est le coefficient de diffusion standard. La relation précédente s'appelle *formule d'Einstein*, qui résulte d'un compromis entre les fluctuations thermiques, à travers l'énergie thermique, $k_B T$, et la dissipation, via le coefficient de friction, $\zeta = m\gamma_1$.

La Figure 7.2 décrit la variation du DQM réduit, $W(t)/W_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $W_0 = 2dk_B T/m\gamma_1^2$.

### 7.1.5 Expression analytique du CDT.

De sa définition (6.7) du Chapitre 6 et de l'expression (7.15) du DQM, nous tirons l'expression exacte du CDT :

$$ D(t) = D_1(1 - e^{-\gamma_1 t}), \qquad t \ge 0. \qquad (7.19) $$

Donc, la fonction de relaxation, $G(t)$, définie, généralement, par l'expression (6.10) du Chapitre 6, est telle que :

$$ G(t) = \frac{1}{\gamma_1} (1 - e^{-\gamma_1 t}), \qquad t \ge 0. \qquad (7.20) $$

La formule (7.19) définissant le CDT suggère que celui-ci possède *un zéro unique* pour $t = 0$ et ne présente *aucun extrémum*. Notons que ce zéro unique est bien un minimum du DQM. En plus, cette fonction du temps est *monotone croissante et concave*.

Nous avons les comportements extrêmes suivants du CDT :

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} t, \qquad t \ll \tau_1, \qquad (7.21) $$

pour le *régime balistique*, et
$$D(t) = \frac{k_B T}{m \gamma_1}, \qquad t \gg \tau_1, \qquad (7.22)$$

pour le régime diffusif. Remarquer bien que pour les temps longs, le CDT tend vers le coefficient de diffusion habituel, $D_1$.

La Figure 7.3 décrit la variation du CDT réduit, $D(t)/D_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$.

## 7.2 Diffusion normale inertielle avec force de rappel.

Considérons, maintenant, une particule Brownienne qui diffuse dans un liquide, mais reste constamment sous l'influence d'une force de rappel extérieure, $\vec{F}_{el}(\vec{r}) = -k \vec{r}$, où $\vec{r}$ est le vecteur déplacement de cette même particule, par rapport à sa position d'équilibre. Ici, $k = m\omega_0^2$ est la constante élastique ou constante de raideur, m étant la masse de la particule diffusante et $\omega_0$ est la pulsation d'oscillations. Cette particule cible est appelée oscillateur de Langevin [6].

### 7.2.1 Équation stochastique.

Pour ce cas, l'équation de Langevin (7.1) devient :

$$m \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -m\gamma_1 \vec{v}(t) - m\omega_0^2 \vec{r} + \vec{F}(t). \qquad (7.23)$$

Ici, $\vec{F}(t)$ est la force stochastique, vérifiant les trois hypothèses (7.2), (7.3) et (7.4). L'équation précédente décrivant la dynamique de l'oscillateur de Langevin, dépend donc de deux paramètres phénoménologiques, qui sont le taux de relaxation, $\gamma_1 > 0$, et la fréquence, $\omega_0 > 0$, de l'oscillateur de Langevin.

### 7.2.2 Expression analytique de la FACV.

La même technique que celle conduisant à l'expression (7.9) aboutit à l'équation intégro-différentielle suivante satisfaité par la FACV [6] :
$$ \frac{dc_{vv}(t)}{dt} = -\gamma_1 c_{vv}(t) - \omega_0^2 \int_0^t c_{vv}(t') dt' . \qquad (7.24) $$

Pour l'obtention de cette équation, nous avons utilisé l'identité triviale :

$$ \vec{r}(t) = \int_0^t \vec{v}(t') dt' . \qquad (7.24a) $$

Ici, nous avons supposé qu'initiallement la particule diffusante est placée à l'origine de l'espace, c'est-à-dire $\vec{r}_0 = \vec{0}$.

L'équation différentielle ci-dessus doit être complétée par une première condition au limite :

$$ c_{vv}(0) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle = d \frac{k_B T}{m} . \qquad (7.24b) $$

Ici, $\vec{v}_0 \in \mathbf{R}^d$ est la vitesse initiale du traceur. Faisons remarquer que la limite $t = 0$ de l'équation intégro-différentielle précédente donne une deuxième condition au limite :

$$ \left. \frac{dc_{vv}(t)}{dt} \right|_{t=0} = -\gamma_1 c_{vv}(0) = -\gamma_1 d \frac{k_B T}{m} . \qquad (7.24c) $$

L'une des techniques pour résoudre l'équation intégro-différentielle (7.24) est de la dériver une seule fois par rapport au temps, pour trouver :

$$ \frac{d^2 c_{vv}(t)}{dt^2} + \gamma_1 \frac{dc_{vv}(t)}{dt} + \omega_0^2 c_{vv}(t) = 0 . \qquad (7.25) $$

Il s'agit donc d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, sa-
tifaisant les conditions aux limites (7.24b) et (7.24c). L'obtention de sa solution suit la
démarche standard qui consiste à trouver d'abord les racines du polynôme caractéris-
tique associé. La nature de la solution dépend évidemment du signe du discriminant de
ce polynôme. Ce signe provient d'une comparaison entre le coefficient de fiction, $\gamma_1$, et la
fréquence d'oscillations, $\omega_0$.

Sans détails supplémentaires, nous rappelons simplement la solution dont la nature dépend de trois régimes, en comparant simplement $\gamma_1$ à $2\omega_0$ :

**Régime sous-amorti** : Dans ce régime de friction faible, nous trouvons :

$$ c_{vv}(t) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cos(\tilde{\omega}t) - \frac{\gamma_1}{2\tilde{\omega}} \sin(\tilde{\omega}t) \right\}, \quad \gamma_1 < 2\omega_0, \qquad (7.26) $$
avec la première fréquence caractéristique :

$$ \tilde{\omega} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma_1^2}{4}}. \qquad (7.26a) $$

La FACV est donc une fonction quasi-périodique, de pseudo-période, $T_0 = 2\pi/\tilde{\omega}$, c'est-à-dire sinusoïdale, enveloppée par les fonctions exponentielles : $\pm e^{-\gamma_1 t/2}$. Dans ce cas, les oscillations dominent les frictions.

La fonction de relaxation associée, $g(t)$, est alors donnée par :

$$ g(t) = e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cos(\tilde{\omega}t) - \frac{\gamma_1}{2\tilde{\omega}} \sin(\tilde{\omega}t) \right\}, \quad \gamma_1 < 2\omega_0. \qquad (7.27) $$

Il est facile de voir que, dans ce régime, la FACV a une infinité de zéros, $\{t_0\}$, solutions de l'équation algébrique :

$$ \tan(\tilde{\omega}t_0) - 2\frac{\tilde{\omega}}{\gamma_1} = 0, \qquad \tilde{\omega} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma_1^2}{4}}. \qquad (7.28a) $$

En d'autres termes, ces zéros sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe de la fonction, $\tan(t)$, et la droite horizontale d'équation : $y = 2\tilde{\omega}_0/\gamma_1$. Cette droite est située dans le demi-plan supérieur du plan $\mathbf{R}^2$.

Entre ces zéros, la FACV passe par une infinité d'extrémums (minimums et maximums), $\{t_m\}$, solutions de l'équation algébrique :

$$ \tan(\tilde{\omega}_0 t_m) - \frac{4\tilde{\omega}\gamma_1}{\gamma_1^2 - 4\tilde{\omega}^2} = 0, \qquad \tilde{\omega} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma_1^2}{4}}. \qquad (7.28b) $$

En d'autres termes, ces extrémums sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe de la fonction, $\tan(t)$, et la droite horizontale d'équation $y = 4\tilde{\omega}\gamma_1 / (\gamma_1^2 - 4\tilde{\omega}^2)$. Cette droite est située dans le demi-plan supérieur de l'espace $\mathbf{R}^2$, puisque $\gamma_1^2 - 4\tilde{\omega}^2 > 0$.

La Figure 7.4 représente la variation du FACV réduit, $c_{vv}(t)/c_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $c_0 = dk_B T/m$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$, pris égal à 0.5. Cette courbe reflète les discussions faites avant.

**Régime sur-amorti** : Dans ce régime de friction forte, nous obtenons :
$$c_{vv}(t) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cosh(\hat{\omega}t) - \frac{\gamma_1}{2\hat{\omega}} \sinh(\hat{\omega}t) \right\}, \quad \gamma_1 > 2\omega_0, \quad (7.29)$$

avec la seconde fréquence caractéristique :

$$\hat{\omega} = \sqrt{\frac{\gamma_1^2}{4} - \omega_0^2}. \qquad (7.29a)$$

La solution est alors *apériodique* (hyperbolique), due à la dominance des frictions devant les oscillations.

La fonction de relaxatif assoociée, $g(t)$, est telle que :

$$g(t) = e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cosh(\hat{\omega}t) - \frac{\gamma_1}{2\hat{\omega}} \sinh(\hat{\omega}t) \right\}, \quad \gamma_1 > 2\omega_0. \qquad (7.30)$$

Il est aisé de voir que, dans ce régime, la FACV possède un zéro unique, $t_0$, solution de l'équation algébrique :

$$\tanh(\hat{\omega}t_0) - 2\frac{\hat{\omega}}{\gamma_1} = 0, \qquad \hat{\omega} = \sqrt{\frac{\gamma_1^2}{4} - \omega_0^2}. \qquad (7.31a)$$

Autrement dit, ce zéro unique est l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de la fonction, tanh($t$), et la droite horizontale d'équation ; $y = 2\hat{\omega}_0/\gamma_1$. Cette droite est située dans le demi-plan supérieur du plan $R^2$.

En plus, la FACV passe par un seul extrémum qui est un minimum, $t_m$, solution de l'équation algébrique :

$$\tanh(\hat{\omega}r_m) - \frac{4\hat{\omega}\gamma_1}{\gamma_1^2 + 4\hat{\omega}^2} = 0. \qquad (7.31b)$$

Il est facile de vérifier que ce minimum est situé à droite du zéro, $t_0$, du fait que la fonction tanh $x$ est une fonction monotome croissante.

Notons que dans la limite $\omega_0 \to 0$ de l'expression trouvée (7.29) de la FACV, l'on retrouve bien son expression (7.10) relative à une diffusion libre.

La Figure 7.5 décrit la variation de la FACV réduit, $c_{vv}(t)/c_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $c_0 = dk_B T/m$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$, plus grand que 1 et qui vaut 2. Cette courbe reflète les discussions faites avant.
**Régime critique** : Dans ce régime de *friction intermédiare*, nous trouvons :

$$c_{vv}(t) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle e^{-\gamma_1 t/2} \left(1 - \frac{\gamma_1 t}{2}\right), \qquad \gamma_1 = 2\omega_0. \qquad (7.32)$$

Le cas $\gamma_1 = 2\omega_0$ est une *limite critique*, exprimant une compensation entre les frictions et les oscillations.

La fonction de relaxation asssociée, $g(t)$, est la suivante :

$$g(t) = e^{-\gamma_1 t/2} \left(1 - \frac{\gamma_1 t}{2}\right), \qquad \gamma_1 = 2\omega_0, \qquad (7.33)$$

Dans ce régime, la FACV s'annule uniquement à $t_0 = 2/\gamma_1$ et passe par un *minimum unique* à $t_m = 4/\gamma_1$.

Sur la Figure 7.6, nous reportons la variation de la FACV réduit, $c_{vv}(t)/c_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $c_0 = dk_B T/m$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de $\omega_0$, avec un rapport, $\gamma_1/2\omega_0$, égal à 1. Cette courbe reflète les discussions que nous avons faites avant.

### 7.2.3 Expression analytique du DQM.

De la relation générale (6.23) du Chapitre 6, combinée avec les expressions (7.26), (7.29) et (7.32) de la FACV, nous trouvons pour le DQM les expressions suivantes, suivant la nature du régime considéré :

**Régime sous-amorti** : Dans ce régime de *friction faible*, nous obtenons :

$$W(t) = 2d \frac{k_B T}{m \omega_0^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cos(\tilde{\omega} t) + \frac{\gamma_1}{2\tilde{\omega}} \sin(\tilde{\omega} t) \right\} \right], \qquad \gamma_1 < 2\omega_0, \qquad (7.34)$$

où $\tilde{\omega}_0$ est définie par la relation (7.26a). Le DQM est alors une fonction *quasi-périodique* du temps.

Nous trouvons que la fonction de relaxation asssociée, $I(t)$, est telle que :

$$I(t) = \frac{1}{\omega_0^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cos(\tilde{\omega} t) + \frac{\gamma_1}{2\tilde{\omega}} \sin(\tilde{\omega} t) \right\} \right], \qquad \gamma_1 < 2\omega_0, \qquad (7.35)$$
Notons que le DQM ne s'annule que pour $t_0 = 0$. Mais, il possède une infinité d'extrémums (minimums et maximums), $\{t_k\}$, donnés par :

$$t_k = \frac{k\pi}{\tilde{\omega}} (k \in \mathbf{N}) , \qquad \tilde{\omega} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma_1^2}{4}} . \qquad (7.36)$$

Le DQM possède une infinité de points d'inflexion qui sont les zéros de la FACV, donnés par la relation (7.28a), conformément à la relation générale (6.23) du Chapitre 6.

La Figure 7.7 décrit la variation du DQM réduit, $W(t)/W_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $W_1 = 2dk_B T/m\omega_0^2$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de la fréquence, $\omega_0$, avec un rapport $\gamma_1/2\omega_0$ fixé, plus petit que 1 et qui vaut 0.5. Cette courbe reflète les discussions faites ci-dessus.

**Régime sur-amorti** : Dans ce régime de *friction forte*, nous trouvons :

$$W(t) = 2d \frac{k_B T}{m \omega_0^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cosh(\hat{\omega}t) + \frac{\gamma_1}{2\hat{\omega}} \sinh(\hat{\omega}t) \right\} \right], \quad \gamma_1 > 2\omega_0, \quad (7.37)$$

où $\hat{\omega}_0$ est donnée par son expression (7.31a). Dans ce cas, le DQM est une fonction *apériodique* du temps.

La fonction de relaxation associée, $I(t)$, est telle que :

$$I(t) = \frac{1}{\omega_0^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left\{ \cosh(\hat{\omega}t) + \frac{\gamma_1}{2\hat{\omega}} \sinh(\hat{\omega}t) \right\} \right], \quad \gamma_1 > 2\omega_0. \qquad (7.38)$$

Bien évidemment, le DQM ne s'annule que pour $t_0 = 0$, et il possède un *extrémum unique* (*minimum*) qui coïncide avec ce même zéro. En plus, il présente un *point d'inflexion unique*, qui est le *seul zéro* de la FACV, solution de l'équation algébrique (7.31a). En somme, dans ce régime, le DQM est une *fonction croissante* du temps, avec un *seul point d'inflexion*.

Notons que, pour le régime sur-amorti, à $t = +\infty$, le DQM *sature* à la valeur finie suivante :

$$W(t) \rightarrow 2d \frac{k_B T}{m \omega_0^2}, \quad t \rightarrow +\infty. \qquad (7.39)$$

Signalons que dans la limite $\omega_0 \to 0$ de l'expression trouvée (7.37) du DQM, nous retrouvons bien son expression (7.15) relative à une diffusion libre.
Sur la Figure 7.8, nous reportons la variation du DQM réduit, $W(t)/W_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $W_1 = 2dk_B T/m\omega_0^2$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de la fréquence, $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$, plus grand que 1 et qui vaut 2. Cette courbe reflète les discussions faites avant.

**Régime critique** : Dans ce régime de *friction intermédiaire*, nous obtenons :

$$W(t) = 8d \frac{k_B T}{m \gamma_1^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left( 1 + \frac{\gamma_1 t}{2} \right) \right], \qquad \gamma_1 = 2\omega_0. \qquad (7.40)$$

Le DQM est alors une fonction *apériodique* du temps.

La fonction de relaxation associée, $I(t)$, est telle que :

$$I(t) = \frac{4}{\gamma_1^2} \left[ 1 - e^{-\gamma_1 t/2} \left( 1 + \frac{\gamma_1 t}{2} \right) \right], \qquad \gamma_1 = 2\omega_0. \qquad (7.41)$$

Le DQM possède un *zéro unique* à $t_0 = 0$, qui coïncide avec son *seul extrémum (minimum)*. En plus, il possède un *seul point d'inflexion* pour $t_i = 2/\gamma_1$, qui n'est rien d'autres que le *seul zéro* de la FACV, conformément à la relation (6.27) du Chapitre 6. Le DQM est alors une fonction *monotone croissante* du temps, dans ce régime.

La Figure 7.9 montre la variation du DQM réduit, $W(t)/W_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $W_1 = 2dk_B T/m\omega_0^2$, qui est égal aussi à $8dk_B T/m\gamma_1^2$, dans ce régime. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$, qui est égal à 1. Cette courbe reflète les discussions faites avant.

### 7.2.4 Expression analytique du CDT.

De la relation générale (6.7) du Chapitre 6, combinée avec les expressions (7.34), (7.37) et (7.40) du DQM, nous trouvons pour le CDT, les expressions suivantes, suivant la nature du régime considéré :

**Régime sous-critique** : Dans ce régime de *friction faible*, nous trouvons :

$$D(t) = \frac{k_B T}{m \tilde{\omega}_0} e^{-\gamma_1 t/2} \sin(\tilde{\omega}_0 t), \qquad \gamma_1 < 2\omega_0, \qquad (7.42)$$
Le CDT est alors une fonction quasi-périodique du temps, au même titre que les deux autres quantités dynamiques esquissées ci-dessus.

Nous montrons aisément que la fonction de relaxation associée, $G(t)$, est :

$$G(t) = \frac{1}{\hat{\omega}_0} e^{-\gamma_0 t/2} \sin(\tilde{\omega}_0 t) , \quad \gamma_1 < 2\omega_0 . \qquad (7.43)$$

Le CDT possède alors une infinité de zéros qui ne sont rien d'autres que les extrémums du DQM, donnés par la relation (7.36). Il possède aussi une infinité d'extrémums qui sont les zéros de la FACV, exprimés par la relation (7.28a).

La Figure 7.10 décrit la variation du CDT réduit, $D(t)/D_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de la fréquence, $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$ plus petit que 1 et qui vaut 0.5. Cette courbe reflète les discussions faites avant.

**Régime sur-amorti** : Dans ce régime de *friction faible*, nous trouvons :

$$D(t) = \frac{k_B T}{m \hat{\omega}_0} e^{-\gamma_1 t/2} \sinh(\hat{\omega}_0 t) , \quad \gamma_1 > 2\omega_0 , \qquad (7.44)$$

où $\hat{\omega}_0$ est définie par son expression (7.31a). Le CDT est alors une fonction *apériodique* du temps, dans ce régime.

La fonction de relaxation associée, $G(t)$, est telle que :

$$G(t) = \frac{1}{\hat{\omega}_0} e^{-\gamma_1 t/2} \sinh(\hat{\omega}_0 t) , \quad \gamma_1 > 2\omega_0 . \qquad (7.45)$$

Le CDT s'annule uniquement à $t_0 = 0$ et il ne présente aucun extrémum. C'est une fonction *monotone croissante* du temps.

Notons que dans la limite $\omega_0 \to 0$ de l'expression trouvée (7.44) du CDT, l'on retrouve bien son expression (7.19) relative à une diffusion libre.

La Figure 7.11 montre la variation du CDT réduit, $D(t)/D_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de la fréquence, $\omega_0$, avec un rapport fixé, $\gamma_1/2\omega_0$, plus grand que 1 et qui vaut 2. Cette courbe reflète les discussions faites ci-dessus.

**Régime critique** : Dans ce régime de *friction intermédiaire*, nous obtenons :
$$D(t) = \frac{k_B T}{m} te^{-\gamma_1 t/2}, \qquad \gamma_1 = 2\omega_0. \qquad (7.46)$$

C'est aussi une fonction *apériodique* du temps.

La fonction de relaxation asssociée, $G(t)$, est la suivante :

$$G(t) = te^{-\gamma_1 t/2}, \qquad \gamma_1 = 2\omega_0. \qquad (7.47)$$

Le CDT s'annule uniquement à $t_0 = 0$ et possède un *extrémum unique* (maximum), $t_m = 2/\gamma_1$, qui coïncide avec l'unique zéro de la FACV.

Sur la Figure 7.12, nous reportons la variation du CDT réduit, $D(t)/D_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$. Pour cette courbe, nous choisissons une valeur fixe de $\omega_0$, telle que le rapport $\gamma_1/2\omega_0$ vaut 1. Cette courbe reflète les discussions faites avant.

## 7.3 Diffusion normale non inertiel sans force de rap-pel.

Soit une particule Brownienne qui diffuse librement dans un liquide trop visqueux. Cela signifie que la diffusion peut être considérée comme une diffusion *non inertielle*, en ce sens que la vitesse de cette particule varie peu, de sorte que son accélération est pratiquement nulle : $\vec{v} = \vec{0}$.

Nous serons intéressés uniquement par le calcul du DQM et du CDT.

### 7.3.1 Équation stochastique.

Dans ce cas, l'équation qui régit la dynamique de la particule cible, est la suivante :

$$m\gamma_1 \vec{v}(t) = \vec{F}(t). \qquad (7.48)$$

Ici, la force aléatoire, $\vec{F}(t)$, obéit aux hypothèses (7.2) et (7.3). L'équation précédente se réécrit encore comme :

$$m\gamma_1 \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{F}(t). \qquad (7.49)$$
### 7.3.2 Évolution temporelle de la position et de la vitesse.

De l'égalité (7.48), nous obtenons triviallement :

$$ \vec{v}(t) = \frac{1}{m\gamma_1} \vec{F}(t) . \qquad (7.50) $$

Donc, la vitesse instantanée est directement proportionnelle à la force stochastique.

La moyenne sur la force aléatoire fournit :

$$ \langle \vec{v}(t) \rangle = \vec{0} . \qquad (7.51) $$

Nous avons utilisé l'hypothèse (7.2).

En écrivant

$$ \vec{r}(t) = \int_{0}^{t} \vec{v}(t') dt' \qquad (7.52) $$

et en utilisant l'expression (7.50) de la vitesse, nous obtenons :

$$ \vec{r}(t) = \frac{1}{m\gamma_1} \int_{0}^{t} \vec{F}(t') dt' . \qquad (7.53) $$

Nous avons supposé que la position initiale de la particule cible est $\vec{r}_0 = \vec{0}$.

En moyennant l'égalité précédente sur la force aléatoire, nous trouvons l'expression de la position moyenne :

$$ \langle \vec{r}(t) \rangle = \vec{0} . \qquad (7.54) $$

La position moyenne de la particule cible est alors une constante dans la temps.

### 7.3.3 Expressions exactes du DQM et du CDT.

De la relation (7.52), nous obtenons l'expression de la fonction de corrélation de position :

$$ \langle \vec{r}'(t) \cdot \vec{r}'(t') \rangle = \frac{1}{m^2 \gamma_1^2} \int_0^t dt_1 \int_0^{t'} dt_2 \langle \vec{F}(t_1) \cdot \vec{F}(t_2) \rangle . \qquad (7.55) $$

D'après cette égalité, nous déduisons déjà que :

$$ \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(0) \rangle = 0, \qquad t \ge 0. \qquad (7.56) $$
Pour $t = t'$ et par utilisation de l'hypothèse (7.2) sur la force aléatoire, $\vec{F}(t)$, nous obtenons :

$$ \langle \vec{r}^2 (t) \rangle = 2d \frac{k_B T}{\gamma_1} t, \qquad t \ge 0. \qquad (7.57) $$

En définitive, nous obtenons l'expression *exacte* du DQM :

$$ W(t) = 2dD_1 t, \qquad t \ge 0, \qquad (7.58) $$

avec le coefficient de diffusion stanadard, $D_1 = k_B T/m\gamma_1$.

De l'égalité précédente, nous déduisons l'expression exacte du CDT :

$$ D(t) = D_1, \qquad t \ge 0. \qquad (7.59) $$

La Figure 7.13 illustre la variation temporelle du DQM réduit, $W(t)/W_0$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $W_0 = 2dk_B T/m\gamma_1^2$.

La Figure 7.14 montre la variation temporelle du CDT réduit, $D(t)/D_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_1$, avec les notations : $\tau_1 = \gamma_1^{-1}$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$.

## 7.4 Diffusion normale non inertielle avec force de rappel.

Considérons, cette fois-ci, une particule Brownienne qui diffuse librement dans un liquide trop visqueux, mais soumise à l'action d'une force de rappel, $-k \vec{r}$, avec la notation $k = m\omega_0^2$. Comme avant, la diffusion est supposée ici *non inertielle*, auquel cas : $\vec{v} = \vec{0}$.

Nous supposerons que la particule cible est placée initialement à l'origine de l'espace, c'est-à-dire $\vec{r}_0 = \vec{0}$.

### 7.4.1 Équation stochastique.

Dans ce cas, l'équation stochastique est la suivante :

$$ m\gamma_1 \vec{v}(t) + k \vec{r}(t) = \vec{F}(t). \qquad (7.60) $$
Comme avant, la force aléatoire, $\vec{F}(t)$, obéit aux hypothèses (7.2) et (7.3). Cette équation
peut s'écrire encore comme :

$$
m\gamma_1 \frac{d\vec{r}(t)}{dt} + k\vec{r}(t) = \vec{F}(t), \qquad (7.61)
$$

avec la condition au limite :

$$
\vec{r}(0) = \vec{r}_0 = \vec{0}. \tag{7.61a}
$$

7.4.2 Évolutions temporelles de la position et de la vitesse.

Il est aisé de montrer que la résolution de l'équation stochastique (7.60) donne l'ex-
pression de la position temporelle suivante :

$$
\vec{r}(t) = \frac{1}{m} \int_{0}^{t} G(t-t') \vec{F}(t') dt' . \qquad (7.62)
$$

Et par simple dérivation par rapport au temps, nous montrons que la vitesse temporelle
est telle que :

$$
\vec{v}(t) = \frac{1}{m} \int_{0}^{t} g(t-t') \vec{F}(t') dt' . \quad (7.63)
$$

Les *première* et *deuxième* fonctions de *relaxation* associées, $g(t)$ et $G(t)$, sont les suivantes :

$$
g(t) = \frac{dG(t)}{dt} = -\frac{\tau_2}{\gamma_1} e^{-t/\tau_2}, \quad t \ge 0, \qquad (7.64\text{a})
$$

$$
G(t) = \frac{1}{\gamma_1} e^{-t/\tau_2}, \quad t \ge 0, \tag{7.64b}
$$

avec le *nouveau temps de relaxation* :

$$
\tau_2 = \frac{m\gamma_1}{k}. \tag{7.64c}
$$

La moyenne sur la force aléatoire donne les résultats suivants :

$$
\langle \vec{v}(t) \rangle = \vec{0}, \tag{7.65}
$$

$$
\langle \vec{r}(t) \rangle = \vec{0}. \tag{7.66}
$$
### 7.4.3 Expressions exactes du DQM et du CDT.

En utilisant la relation (7.60), nous obtenons l'expression formelle de la fonction de corrélation de position :

$$ \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(t') \rangle = \frac{1}{m^2} \int_0^t dt_1 \int_0^{t'} dt_2 G(t-t_1) G(t'-t_2) \langle \vec{F}(t_1) \cdot \vec{F}(t_2) \rangle . \quad (7.67) $$

Déjà, nous avons, comme avant :

$$ \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(0) \rangle = 0, \quad t \ge 0. \quad (7.68) $$

Explicitement, après avoir utilisé l'hypothèse (7.2) sur la force aléatoire et l'expression (7.63) de la fonction de relaxation, $G(t)$, nous obtenons :

$$ \langle \vec{r}^2(t) \rangle = \frac{dk_B T}{m \gamma_1} e^{-2t/\tau_2} \int_0^t dt_1 \int_0^t dt_2 e^{(t_1+t_2)/\tau_2} \delta(t_1 - t_2) = d \frac{k_B T}{m} I(t), \quad (7.69) $$

où $I(t)$ est la troisième fonction de relaxation, définie par :

$$ I(t) = \frac{\tau_2}{\gamma_1} (1 - e^{-t/\tau_2}), \quad t \ge 0. \quad (7.70) $$

Noter que : $I(0) = 0$ et $\dot{I}(t) = G(t)$.

En définitive, le DQM et le CDT sont formellement donnés par :

$$ W(t) = d \frac{k_B T}{k} (1 - e^{-2t/\tau_2}), \quad t \ge 0, \quad (7.71) $$

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m \gamma_1} e^{-2t/\tau_2}, \quad t \ge 0. \quad (7.72) $$

Commentons alors ces résultats.

Premièrement, nous montrons aisément que le DQM est une fonction monotone croissante et concave. Aussi, nous montrons que le CDT est une fonction monotone décroissante et convexe.

Deuxièmement, pour $k = 0$, nous retrouvons les formes usuelles respectives (7.58) et (7.59) du DQM et du CDT. Cela constitue alors un test du calcul.

Troisièmement, aux petits temps, c'est-à-dire pour $t \ll \tau_2$, à $k$ fixé, nous avons les limites : $W(t) \to 2dD_1t$ et $D(t) \to D_1$. Donc, aux premiers instants, le DQM suit la loi d'Einstein.
Quatrièmement, pour les temps longs, c'est-à-dire pour $t \gg \tau_2$, à $k$ fixé, nous avons les limites : $W(t) \to dk_B T/k$ et $D(t) \to 0$. Donc, aux temps longs, en comparaison avec le temps de relaxation, $\tau_2$, le DQM *sature* à une *valeur finie*. Cela n'est vrai que pour les oscillateurs de Langevin, où $k \neq 0$.

La Figure 7.15 illustre la variation temporelle du DQM réduit, $W(t)/W_2$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_2$, avec les notations : $\tau_2 = m\gamma_1/k$ et $W_2 = dk_B T/k$.

La Figure 7.16 montre la variation temporelle du CDT réduit, $D(t)/D_1$, en fonction du temps renormalisé, $t/\tau_2$, avec les notations : $\tau_2 = m\gamma_1/k$ et $D_1 = k_B T/m\gamma_1$.

### 7.4.4 Densité de probabilité. Équation de Smoluchowski.

Il est possible de retrouver les résultats précédents concernant la diffusion normale non inertielle avec force de rappel, en utilisant la densité de probabilité, $P(\vec{r}, t)$, de trouver la particule cible à la position $\vec{r}$, à l'instant $t$, sachant qu'elle occupait la position initiale, $\vec{r}_0 = \vec{0}$, à l'instant initial, $t_0 = 0$.

La densité de probabilité ou encore distribution est définie par la valeur moyenne suivante sur la force aléatoire, $\vec{F}$ :

$$P(\vec{r}, t) = \langle \delta_d(\vec{r}(t) - \vec{r}_0) \rangle_{\vec{F}} \quad (7.73)$$

avec la condition initiale :

$$P(\vec{r}, 0) = \delta_d(\vec{r}) \quad (7.74)$$

où $\delta_d(\vec{r})$ est la distribution de Dirac à $d$ dimensions. Cette densité de probabilité est solution de ce qu'on appelle l'Équation de Smoluchowski [7 – 9], en présence d'un potentiel externe, c'est-à-dire :

$$\frac{\partial P(\vec{r}, t)}{\partial t} = D_1 \Delta_{\vec{r}} P(\vec{r}, t) + \frac{1}{\zeta} \vec{\nabla}_{\vec{r}} \cdot \left( P(\vec{r}, t) \vec{\nabla}_{\vec{r}} U(\vec{r}) \right) . \quad (7.75)$$

Ici, $\zeta = m\gamma_0$ est le coefficient de friction, $D_1 = k_B T/\zeta$ est le coefficient de diffusion standard, $\vec{\nabla}_{\vec{r}}$ est l'opérateur grandient et $\Delta_{\vec{r}}$ est le Laplacien. Notons qu'en l'absence du potentiel externe, on se remène à l'Équation de Diffusion usuelle.
Dans notre cas, le potentiel externe est harmonique : $U(\vec{r}) = k\vec{r}^2/2$, et alors, l'équation différentielle stochastique (7.75) devient :

$$ \frac{\partial P(\vec{r}, t)}{\partial t} = D_1 \Delta_{\vec{r}} P(\vec{r}, t) + \frac{k}{\zeta} \left( d \cdot P(\vec{r}, t) + \vec{r} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{r}} P(\vec{r}, t) \right) . \quad (7.76) $$

Pour le passage de l'équation (7.75) à l'équation (7.76), nous avons utilisé la relation vectorielle : $\vec{\nabla}_{\vec{r}} \cdot (f \vec{F}) = f \vec{\nabla}_{\vec{r}} \cdot \vec{F} + \vec{F} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{r}} f$.

L'équation différentielle précédente peut être résolue *exactement* par différentes manières (méthode des valeurs propres, méthode de séparation de variables). Nous rappelons simplement sa solution, qui est une gaussienne $[7-9]$ :

$$ P(\vec{r}, t) = (2\pi\sigma^2 t)^{-d/2} e^{-\vec{r}^2/2\sigma^2 t}, \quad (7.77) $$

avec la variance de la distribution :

$$ \sigma^2 = d \frac{k_B T}{k} \left(1 - e^{-2t/\tau_2}\right) . \quad (7.78) $$

Rappelons que l'échelle du temps, $\tau_2$, est telle que : $\tau_2 = m\gamma_1/k$.

Signalons que la condition au limite (7.74) de la densité de probabilité est assurée. En effet, dans la limite $t \to 0$, nous avons :

$$ P(\vec{r}, t) \to (4\pi D_1 t)^{-d/2} \exp\left(-\frac{\vec{r}^2}{4D_1 t}\right) \to \delta_d(\vec{r}), \quad (7.79) $$

avec : $D_1 = k_B T/m\gamma_1$.

Un calcul trivial donne l'expression du DQM :

$$ W(t) = \langle \vec{r}^2(t) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \vec{r}^2 P(\vec{r}, t) d\vec{r} = d \frac{k_B T}{k} (1 - e^{-2t/\tau_2}) , \quad (7.80) $$

qui coïncide bien avec le résultat déjà obtenu en utilisant l'équation de Langevin, relation (7.71).

Nous pouvons donc affirmer que l'équation de Langevin et l'équation de Smoluchowski sont équivalentes pour l'étude de la diffusion normale non inertielle. ■
Bibliographie

[1] R. Brown, *A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies*, Philosophical Magazine **4**, 161 (1828).

[2] P. Langevin, *Sur la Théorie du Mouvement Brownien*, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences **146**, 530 (1908).

[3] J.-P. Kahane, *Le Mouvement Brownien - Un Essai sur les Origines de la Théorie Mathématique*, Séminaires et Congrès de la SMF, Volume 3, 1998, p. 123.

[4] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, *Physique Statistique*, Mir, Moscou, 1967.

[5] R. Balian, *Du Microscopique au Macroscopique*, Tomes 1 et 2, Ellipses, Paris, 1982.

[6] R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, *Statistical Physics II : Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Volume 31, Springer Science & Business Media, 2012.

[7] M. Smoluchowski, *Drei vortrage uber diffusion, brownsche bewegung und koagulation von kolloidteilchen*, Zeitschrift fur Physik **17**, 557 (1916).

[8] R. M. Mazo, *Brownian Motion : Fluctuations, Dynamics, and Applications*, Oxford University Press, 2010.

[9] H. Risken, *The Fokker-Planck Equation : Methods of Solution and Applications*, Volume 18, Springer Series in Synergetics, 1996.
# Chapitre 8

## Théorie de diffusion anormale.

Ce chapitre est dédié à la présentation d'une étude détaillée des propriétés dynamiques, en relation avec la diffusion des particules avec mémoire (diffusion anormale). L'outil pour cela est l'approche de l'Équation de Langevin Généralisée (ELG). Ces propriétés dynamiques sont étudiées essentiellement à travers le déplacement quadratique moyen (DQM), le coefficient de diffusion temporel (CDT) et la fonction d'auto-corrélation de vitesse (FACV).

Comme nous verrons ci-dessous, les comportements de ces grandeurs dynamiques, pour des temps très longs, c'est-à-dire au-delà d'un temps caractéristique, font intervenir un exposant de diffusion anormal, noté $\alpha$. En fait, ce dernier appartient à l'intervalle $]0, 1[$, du fait que le mouvement d'un traceur (particule cible) est lent, à cause de la complexité du milieu ambiant. Ce mouvement est appelé sous-diffusion, à laquelle nous nous intéressons ici.

Pour la détermination analytique de ces grandeurs dynamiques, nous utiliserons la technique de la transformée de Laplace.
# 8.1 Diffusion anormale inertielle sans force de rappel.

## 8.1.1 Équation stochastique généralisée.

Pour l'étude des propriétés dynamiques, en relation avec la diffusion anormale, Kubo [1] et Zwanzig [2, 3] ont généralisé l'Équation de Langevin Standard (7.1) esquissé au Chapitre 7, en tenant compte de l'effet mémoire qui exprime un retard à la friction. L'ELG proposée est la suivante :

$$m \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -m \int_{0}^{t} \gamma(t-t') \vec{v}(t') dt' + \vec{F}(t), \quad t \ge 0. \quad (8.1)$$

Ici, $m$ est la masse de la particule cible, $\vec{v}(t) \in \mathbf{R}^d$ est sa vitesse instantanée, $\gamma(t)$ est la fonction mémoire, exprimant le retard à la friction, et $\vec{F}(t) \in \mathbf{R}^d$ est la force stochastique (qualifiée de bruit).

La force stochastique obéit aux hypothèses suivantes :

$$\langle \vec{F}(t) \rangle = \vec{0}, \quad t \ge 0 \qquad (8.2)$$

$$\langle \vec{F}(t) \cdot \vec{F}(t') \rangle = dk_B T m \gamma(|t-t'|), \quad (8.3)$$

$$\langle \vec{v}(0) \cdot \vec{F}(t) \rangle = 0. \qquad (8.4)$$

Ici, $d$ est la dimension de l'espace, $k_B$ est la constante de Boltzmann et $T$ est la température absolue du milieu ambiant. L'hypothèse (8.4) exprime la non-corrélation entre la vitesse et la force stochastique. En effet, cette dernière ne dépend pas de la vitesse du traceur et alors elle ne doit pas être corrélée avec cette même vitesse.

Notons de passage que, naturellement, la fonction mémoire est une fonction décroissante du temps, et même elle est à décroissance rapide.

## 8.1.2 Évolution temporelle de la vitesse.

Désignons par $\widehat{\vec{v}}(s)$, la transformée de Laplace (TL) de la vitesse instantanée du traceur, $\vec{v}(t)$. Sa dérivée $\vec{v}'(t)$ a comme TL : $s\widehat{\vec{v}}(s) - \vec{v}_0$, où $\vec{v}_0 = \vec{v}(0)$ est la vitesse initiale de ce traceur. La TL du produit de convolution de la fonction mémoire avec
la vitesse instantanée, dans l'équation intégro-différentielle (8.1), est tout simplement :
$\hat{\gamma}(s) \widehat{\overline{v}}(s)$, où $\hat{\gamma}(s)$ est la TL de la fonction mémoire, $\gamma(t)$. La TL de la force stochastique,
$\overrightarrow{F}(t)$, est notée $\widehat{\overrightarrow{F}}(s)$.

La TL de l'équation différentielle (8.1) aboutit à l'expression suivante de la TL de la vitesse instantanée :

$$
\widehat{\overline{v}}(s) = \hat{g}(s) \overline{v}_0 + \frac{1}{m} \hat{g}(s) \widehat{\overrightarrow{F}}(s) , \qquad (8.5)
$$

avec la notation :

$$
\hat{g}(s) = \frac{1}{s + \hat{\gamma}(s)} = \int_{0}^{+\infty} g(t) e^{-st} dt . \quad (8.6)
$$

Sa TL inverse est la première fonction de relaxation, notée $g(t)$, et qui est non nulle pour $t \ge 0$.

La TL inverse de l'égalité (8.5) aboutit à l'expression de la vitesse instantanée :

$$
\overrightarrow{v}(t) = g(t) \overrightarrow{v}_0 + \frac{1}{m} \int_0^t g(t-t') \overrightarrow{F}(t') dt', \qquad t \ge 0. \quad (8.7)
$$

La vitesse instantanée, solution de l'équation stochastique (8.1), est alors une fonction du temps, *t*, et est une fonctionnelle du bruit, $\overrightarrow{F}(t)$.

Comme la valeur moyenne de la force stochastique, $\overrightarrow{F}(t)$, est nulle, c'est-à-dire $\langle \overrightarrow{F}(t) \rangle = \overrightarrow{0}$, de la relation précédente, nous déduisons celle de la vitesse moyenne :

$$
\langle \overrightarrow{v}(t) \rangle = g(t) \langle \overrightarrow{v}_0 \rangle , \quad t \ge 0 . \tag{8.8}
$$

À $t=0$, l'on doit avoir : $\langle \overrightarrow{v}(0) \rangle = \langle \overrightarrow{v}_0 \rangle$, et donc l'identité générale suivante doit être
satisfaite :

$$
g(0) = 1. \tag{8.9}
$$

Cela est vrai pour tout processus stochastique gouverné par une équation dynamique du type (8.1).
### 8.1.3 Évolution temporelle de la fonction de corrélation de vitesse.

En utilisant la relation (8.5) et moyennant sur la force aléatoire, nous trouvons que la TL double de la fonction de corrélation de vitesse est :

$$ \langle \widehat{\overline{v}}(s) \cdot \widehat{\overline{v}}(s') \rangle = \hat{g}(s) \hat{g}(s') \langle \overline{v}_0^2 \rangle + \frac{1}{m^2} \hat{g}(s) \hat{g}(s') \langle \widehat{\overline{F}}(s) \cdot \widehat{\overline{F}}(s') \rangle . \quad (8.10) $$

Comme la fonction de corrélation, $\langle \overline{\hat{F}}(t) \cdot \hat{F}(t') \rangle$, est une fonction de la variable, $|t - t'|$, alors, d'après la propriété (6.17) du Chapitre 6, nous avons [4] :

$$ \langle \widehat{\overline{F}}(s) \cdot \widehat{\overline{F}}(s') \rangle = dk_B T m \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'}. \quad (8.11) $$

Dans ces conditions, la relation (8.10) devient :

$$ \langle \widehat{\overline{v}}(s) \cdot \widehat{\overline{v}}(s') \rangle = \hat{g}(s) \hat{g}(s') \langle \overline{v}_0^2 \rangle + d \frac{k_B T}{m} \hat{g}(s) \hat{g}(s') \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'}. \quad (8.12) $$

Pour transformer davantage l'égalité (8.12), nous commençons par écrire :

$$ \hat{g}(s) \hat{g}(s') \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'} = \hat{g}(s) \hat{g}(s') \frac{[\hat{\gamma}(s) + s] + [\hat{\gamma}(s') + s'] - (s + s')}{s + s'}. \quad (8.13) $$

Comme $\hat{\gamma}(s) + s = [\hat{g}(s)]^{-1}$, nous obtenons :

$$ \hat{g}(s) \hat{g}(s') \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'} = \frac{\hat{g}(s) + \hat{g}(s')}{s + s'} - \hat{g}(s) \hat{g}(s'). \quad (8.14) $$

Nous trouvons donc pour la TL de la fonction de corrélation de vitesse l'expression suivante :

$$ \langle \widehat{\overline{v}}(s) \cdot \widehat{\overline{v}}(s') \rangle = \left( \langle \overline{v}_0^2 \rangle - d \frac{k_B T}{m} \right) \hat{g}(s) \hat{g}(s') + d \frac{k_B T}{m} \frac{\hat{g}(s) + \hat{g}(s')}{s + s'}. \quad (8.15) $$

Par transformation de Laplace inverse, nous trouvons l'expression formelle *exacte* de la fonction de corrélation de vitesse :

$$ \langle \overline{\hat{v}}(t) \cdot \overline{\hat{v}}(t') \rangle = \left( \langle \overline{v}_0^2 \rangle - d \frac{k_B T}{m} \right) g(t) g(t') + d \frac{k_B T}{m} g(|t - t'|) . \quad (8.16) $$
Le premier terme du second membre de l'égalité précédente est la contribution non stationnaire (non invariante par translation du temps), alors que le deuxième terme est la contribution stationnaire (invariance par translation dans le temps).

Maintenant, si l'on suppose que les vitesses initiales du traceur sont distribuée selon la distribution de Maxwell, auquel cas $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = dk_B T/m$, la formule précédente se simplifie davantage et devient :

$$ \langle \vec{v}(t) \cdot \vec{v}(t') \rangle = \langle \vec{v}_0^2 \rangle g(|t - t'|) , \qquad \langle \vec{v}_0^2 \rangle = d \frac{k_B T}{m} . \qquad (8.17) $$

### 8.1.4 Évolution temporelle de la FACV.

En posant $t' = 0$ dans l'égalité (8.17) et tenant compte du fait que $g(0) = 1$, nous obtenons l'expression suivante de la FACV :

$$ c_{vv}(t) = \langle \vec{v}(t) \cdot \vec{v}(0) \rangle = \langle \vec{v}_0^2 \rangle g(t) , \qquad t \ge 0 . \qquad (8.18) $$

Notons que cette relation peut être retrouvée autrement, en multipliant scalairement l'ELG (8.1) par $\vec{v}(0)$, moyennant sur la force aléatoire et utilisant l'hypothèse (8.4), pour trouver l'équation intégro-différentielle suivante satisfaite par la FACV :

$$ \frac{dc_{vv}(t)}{dt} = - \int_{0}^{t} dt' \gamma(t-t') c_{vv}(t') , \qquad t \ge 0 . \qquad (8.19) $$

La TL de cette équation donne celle de la FACV :

$$ \hat{c}_{vv}(s) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle \hat{g}(s) . \qquad (8.20) $$

Nous avons utilisé la recette mathématique, à savoir que la TL de la dérivée de la FACV est simplement : $\hat{s}\hat{c}_{vv}(s) - c_{vv}(0) = \hat{s}\hat{c}_{vv}(s) - \langle \vec{v}_0^2 \rangle$. D'où la relation (8.18).

### 8.1.5 Évolution temporelle de l'énergie cinétique moyenne.

La relation (8.16) permet de calculer diverses grandeurs physiques, comme la valeur moyenne de l'énergie cinétique, $\langle E_c(t) \rangle$, en y posant $t' = t$. Nous montrons que cette quantité est donnée par :
$$ \langle E_c(t) \rangle = \left\langle \frac{m}{2} \vec{v}^2(t) \right\rangle = \frac{m}{2} \left( \langle \vec{v}_0^2 \rangle - d \frac{k_B T}{m} \right) g^2(t) + d \frac{k_B T}{2} . \quad (8.21) $$

Si la vitesse initiale de la particule cible est distribuée selon la distribution de Maxwell, nous aurons : $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = dk_B T/m$, et alors l'énergie cinétique moyenne devient :

$$ \langle E_c(t) \rangle = \left\langle \frac{m}{2} \vec{v}^2(t) \right\rangle = d \frac{k_B T}{2} . \quad (8.22) $$

De telle expression traduit le théorème ergodique (équilibre thermique).

### 8.1.6 Évolution temporelle de la position.

Soit, $\widehat{\vec{v}}(s)$, la TL de la vitesse instantanée, $\vec{v}(t) \in \mathbf{R}^d$. Nous avons manifestement :

$$ \widehat{\vec{v}}(s) = s \widehat{\vec{r}}(s) - \vec{r}_0, \quad (8.23) $$

ou encore :

$$ \widehat{\vec{r}}(s) = \frac{\vec{r}_0}{s} + \frac{1}{s} \widehat{\vec{v}}(s) . \quad (8.24) $$

Ici, $\widehat{\vec{r}}(s)$ est la TL de la position instantanée du traceur, $\vec{r}(t) \in \mathbf{R}^d$, et $\vec{r}_0 = \vec{r}(0) \in \mathbf{R}^d$ est son vecteur position initial.

En utilisant la relation (8.5), nous trouvons :

$$ \widehat{\vec{r}}(s) = \frac{\vec{r}_0}{s} + \hat{G}(s) \vec{v}_0 + \frac{1}{m} \hat{G}(s) \widehat{\vec{F}}(s), \quad (8.25) $$

avec la notation :

$$ \hat{G}(s) = s^{-1} \hat{g}(s) = \frac{s^{-1}}{s + \hat{\gamma}(s)} = \int_{0}^{+\infty} G(t) e^{-ts} dt, \quad (8.26) $$

qui n'est rien d'autres que la TL de la deuxième fonction de relaxation, $G(t)$. La relation précédente suggère que :

$$ \frac{dG(t)}{dt} = g(t), \quad t \ge 0. \quad (8.27) $$

La transformation de Laplace inverse de l'égalité (8.25) aboutit à l'expression de la position instantanée du traceur :

$$ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + G(t) \vec{v}_0 + \int_0^t G(t-t') \vec{F}(t') dt', \quad t \ge 0. \quad (8.28) $$
Cette égalité montre clairement que la position instantanée du traceur considéré est une fonction du temps, $t$, et en même temps, une fonctionnelle de la force stochastique, $\vec{F}(t)$. Aussi, notons que la valeur à $t = 0$ de la relation ci-dessus exige la condition supplémentaire :

$$G(0) = 0. \qquad (8.29)$$

Cela suggère la réécriture la relation (8.27) sous forme intégrale :

$$G(t) = \int_{0}^{t} g(t') dt'. \qquad (8.30)$$

La moyenne sur la force stochastique de l'égalité (8.28) donne la position moyenne de la particule cible, à savoir :

$$\langle \vec{r}(t) \rangle = \vec{r}_0 + G(t) \langle \vec{v}_0 \rangle, \qquad t \ge 0. \qquad (8.31)$$

### 8.1.7 Évolution temporelle de la fonction de corrélation de position.

De la relation (8.25) et en moyennant sur la force aléatoire, nous déduisons la TL de la fonction de corrélation de position :

$$\langle \widehat{\vec{r}}(s) \cdot \widehat{\vec{r}}(s') \rangle = \frac{\vec{r}_0^2}{ss'} + \left[ \frac{1}{s} \hat{G}(s') + \hat{G}(s) \frac{1}{s'} \right] \langle \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0 \rangle \\ + \hat{G}(s) \cdot \hat{G}(s') \langle v_0^2 \rangle + \frac{dk_B T}{m} \hat{G}(s) \hat{G}(s') \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'}. \qquad (8.32)$$

Nous avons utilisé l'égalité (8.11).

À présent, nous allons transformer le dernier terme de la relation précédente. Pour cela, posons :

$$X(s, s') = \hat{G}(s) \hat{G}(s') \frac{\hat{\gamma}(s) + \hat{\gamma}(s')}{s + s'}, \qquad (8.33)$$

que nous réécrivons comme :

$$X(s, s') = \hat{G}(s) \hat{G}(s') \frac{[\hat{\gamma}(s) + s] + [\hat{\gamma}(s') + s'] - (s + s')}{s + s'}. \qquad (8.34)$$
De la relation $\hat{\gamma}(s) + s = [\hat{g}(s)]^{-1}$, nous obtenons :

$$X(s, s') = \frac{1}{ss'} \frac{\hat{g}(s) + \hat{g}(s')}{s + s'} - \hat{G}(s) \hat{G}(s') . \quad (8.35)$$

Il est aisé de voir que :

$$\frac{1}{ss'} \frac{\hat{g}(s) + \hat{g}(s')}{s + s'} = \frac{1}{s} \hat{I}(s') + \frac{1}{s'} \hat{I}(s) - \frac{\hat{I}(s) + \hat{I}(s')}{s + s'}, \quad (8.36)$$

soit

$$X(s, s') = \frac{1}{s} I(s') + \frac{1}{s'} I(s) - \frac{\hat{I}(s) + \hat{I}(s')}{s + s'} - \hat{G}(s) \hat{G}(s') . \quad (8.37)$$

Il en ressort que :

$$\begin{aligned} \langle \widehat{\overline{r}}(s) \cdot \widehat{\overline{r}}(s') \rangle = & \frac{1}{ss'} \overline{r}_0^2 + \left[ \frac{1}{s} \hat{G}(s') + \hat{G}(s) \frac{1}{s'} \right] \langle \overline{r}_0 \cdot \overline{v}_0 \rangle \\ & + \left( \langle \overline{v}_0^2 \rangle - d \frac{k_B T}{m} \right) \hat{G}(s) \cdot \hat{G}(s') \\ & + d \frac{k_B T}{m} \left[ \frac{1}{s} I(s') + \frac{1}{s'} I(s) - \frac{\hat{I}(s) + \hat{I}(s')}{s + s'} \right]. \end{aligned} \quad (8.38)$$

Ici,

$$\hat{I}(s) = s^{-1} \hat{G}(s) = s^{-2} \hat{g}(s) = \frac{s^{-2}}{s + \hat{\gamma}(s)} = \int_{0}^{+\infty} I(t) e^{-st} dt \quad (8.39)$$

est la TL de la troisième fonction de relaxation, notée $I(t)$, et qui est simplement donnée par :

$$\frac{dI(t)}{dt} = G(t), \quad t \ge 0, \quad (8.40)$$

ou encore :

$$I(t) = \int_{0}^{t} G(t') dt', \quad t \ge 0. \quad (8.41)$$

Notons qu'on doit avoir :

$$I(0) = 0. \quad (8.42)$$

Par transformation de Laplace inverse, nous obtenons l'expression désirée de la fonction de corrélation de position :

$$\begin{aligned} \langle \overline{\hat{r}}(t) \cdot \overline{\hat{r}}(t') \rangle = & \overline{r}_0^2 + [G(t) + G(t')] \langle \overline{r}_0 \cdot \overline{v}_0 \rangle + \left( \langle \overline{v}_0^2 \rangle - d \frac{k_B T}{m} \right) G(t) \cdot G(t') \\ & + d \frac{k_B T}{m} [I(t) + I(t') - I(|t - t'|)] . \end{aligned} \quad (8.43)$$
Cette expression suggère que la fonction de corrélation de position est la somme d'une
contribution *non stationnaire* et d'une contribution *stationnaire*.

Et si les vitesses initiales du traceur sont distribuées selon la distribution de Maxwell,
alors : $\langle \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0 \rangle = 0$ et $\langle \vec{v}_0^2 \rangle = dk_B T/m$, soit :

$$
\langle \vec{r}'(t) \cdot \vec{r}(t') \rangle = \vec{r}_0^2 + d \frac{k_B T}{m} [I(t) + I(t') - I(|t-t'|)] . \quad (8.44)
$$

Cette expression montre que la fonction de corrélation de position n'est pas stationnaire.

8.1.8 Évolution temporelle du DQM.

En posant $t' = 0$ dans l'expression (8.44), nous trouvons que :

$$
\langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(0) \rangle = \vec{r}_0^2, \quad t \ge 0. \tag{8.45}
$$

Nous avons utilisé le fait que $I(0) = 0$.

Et en posant $t = t'$ dans cette même expression, nous obtenons :

$$
\langle \vec{r}^2(t) \rangle = \vec{r}_0^2 + 2d \frac{k_B T}{m} I(t) , \quad t \ge 0 . \quad (8.46)
$$

Nous avons utilisé aussi le fait que $I(0) = 0$. Des relations (8.45) et (8.46), nous déduisons
l'expression formelle exacte du DQM, à savoir :

$$
W(t) = \langle \vec{r}^2(t) \rangle + \vec{r}_0^2 - 2 \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(0) \rangle = 2d \frac{k_B T}{m} I(t) , \quad t \ge 0 . \quad (8.47)
$$

Comme la fonction, $W(t)$, est positive, à chaque instant, nous aurons nécessairement :

$$
I(t) \ge 0, \quad t \ge 0, \tag{8.48}
$$

pour tout processus aléatoire gouverné par l'équation stochastique (8.1).

En combinant la propriété $I''(t) = g(t)$ et la formule (8.18), nous déduisons la relation
fondamentale suivante :

$$
c_{vv}(t) = \frac{1}{2} \frac{d^2 W(t)}{dt^2}, \quad t \ge 0. \tag{8.49}
$$

C'est la relation (6.27) esquissée au Chapitre 6.
Maintenant, si l'on compare les TL du DQM et de la FACV, nous trouvons que :
$$ \widehat{W}(s) = 2s^{-1}\hat{c}_{vv}(s). $$
Donc, au facteur 2 près, $W(t)$ est le produit de convolution des fonctions $t$ et $c_{vv}(t)$, c'est-à-dire :

$$ W(t) = 2 \int_{0}^{t} (t-t') c_{vv}(t') dt', \qquad t \ge 0. \qquad (8.50) $$

C'est la relation (6.23) évoquée au Chapitre 6.

En utilisant cette relation fondamentale et l'inégalité $c_{vv}(t') \le \langle \vec{v}_0^2 \rangle$, pour tout $t'$, nous déduisons que le DQM est aussi borné supérieurement, c'est-à-dire :

$$ W(t) \le \langle \vec{v}_0^2 \rangle t^2 = d \frac{k_B T}{m} t^2, \qquad t \ge 0. \qquad (8.51) $$

Des relations (8.40) et (8.47), nous déduisons que le DQM est solution de l'équation intégro-différentielle suivante :

$$ \frac{dW(t)}{dt} = 2d \frac{k_B T}{m} t - \int_0^t \gamma(t-t') W(t') dt', \qquad t \ge 0. \qquad (8.52) $$

Pour tester l'équation intégro-différentielle (8.52), nous considérons une diffusion normale, pour laquelle $\gamma(t) = \gamma_1 \delta(t)$. Dans ce cas, nous trouvons que :

$$ \frac{dW(t)}{dt} + \gamma_1 W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} t, \qquad t \ge 0. \qquad (8.53) $$

Le DQM est alors solution d'une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, avec un second membre qui est une fonction linéaire du temps. La solution générale de l'équation différentielle précédente est la somme de la solution de l'équation homogène et une solution particulière. La solution de l'équation homogène est simplement :

$$ W_0(t) = A e^{-\gamma_1 t}, \qquad t \ge 0, \qquad (8.54a) $$

où $A$ est une constante. Nous montrons aisément qu'une solution particulière de l'équation différentielle (8.53) est de la forme :

$$ W_1(t) = 2d \frac{k_B T}{m \gamma_1^2} (\gamma_1 t - 1) . \qquad (8.54b) $$
Donc, la solution globale de cette équation est :

$$W(t) = Ae^{-\gamma_1 t} + 2d \frac{k_B T}{m \gamma_1^2} (\gamma_1 t - 1) . \qquad (8.54c)$$

La constante A est déterminée par la condition que $W(0) = 0$; ce qui donne $A = 2dk_B T/m\gamma_1^2$. Soit :

$$W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} \left( \frac{e^{-\gamma_1 t} + \gamma_1 t - 1}{\gamma_1^2} \right), \qquad t \ge 0. \qquad (8.55)$$

Nous retrouvons donc l'expression (7.15) du DQM esquissée au Chapitre 7. Ce qui fournit un bon test de l'équation intégro-différentielle générale (8.52).

### 8.1.9 Évolution temporelle du CDT.

Par définition, le CDT est défini par :

$$D(t) = \frac{1}{2d} \frac{dW(t)}{dt}, \qquad t \ge 0. \qquad (8.56)$$

Il s'exprime, en fonction de la fonction de relaxation, $G(t)$, par :

$$D(t) = \frac{k_B T}{m} G(t), \qquad t \ge 0. \qquad (8.57)$$

Revenons à la définition précédente du CDT et notons que sa TL s'écrit :

$$\hat{D}(s) = \frac{k_B T}{m} \hat{G}(s), \qquad (8.58)$$

avec

$$\hat{G}(s) = \frac{s^{-1}}{s + \hat{\gamma}(s)} = s^{-1}g(s) = \int_{0}^{+\infty} G(t) e^{-st} dt. \qquad (8.59)$$

Des relations (8.58) et (8.59), nous démontrons aisément que $D(t)$ est solution de l'équation intégro-différentrielle suivante :

$$\frac{dD(t)}{dt} = \frac{k_B T}{m} - \int_0^t \gamma(t-t') D(t') dt'. \qquad (8.60)$$

En posant $t = 0$ dans cette équation, nous trouvons que la pente du CDT n'est pas nulle à $t = 0$ et vaut $k_B T/m$.
Nous pouvons facilement montrer que pour une diffusion normale, pour laquelle $\gamma(t) = \gamma_1 \delta(t)$, le CDT, $D(t)$, est solution de :

$$ \frac{dD(t)}{dt} = \frac{k_B T}{m} - \gamma_1 D(t), \qquad (8.61) $$

dont la solution est :

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m \gamma_1} (1 - e^{-\gamma_1 t}), \qquad t \ge 0. \qquad (8.62) $$

C'est le résultat (7.19) esquissé au Chapitre 7.

Les relations (8.51) et (8.56) stipulent que le QDT est aussi *borné supérieurement*, c'est-à-dire que :

$$ D(t) \le \frac{k_B T}{m} t, \qquad t \ge 0. \qquad (8.63) $$

Comme $G(0) = 0$, alors nous avons la condition :

$$ D(0) = 0. \qquad (8.64) $$

Cette même condition impose alors que :

$$ \left. \frac{dW(t)}{dt} \right|_{t=0} = 0. \qquad (8.65) $$

Cela veut dire que le DQM présente un *extrémum* à $t = 0$, qui est un *minimum*, puisque :

$$ \left. \frac{d^2 W(t)}{dt^2} \right|_{t=0} = 2c_{vv}(0) = 2d \frac{k_B T}{m} > 0. \qquad (8.66) $$

Le fait que $W(0) = 0$ et des relations (8.65) et (8.66), nous déduisons que, par développement de Taylor qu'aux temps courts :

$$ W(t) = d \frac{k_B T}{m} t^2, \qquad t \to 0. \qquad (8.67) $$

Donc, au début de la diffusion, le DQM suit une *loi balistique*, indépendamment de la forme particulière de la fonction mémoire. Mais, au-delà, son comportement en temps dépend fortement de la forme de cette fonction mémoire.

Le comportement (8.67) implique que pour les temps petits, nous avons :

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} t, \qquad t \to 0, \qquad (8.68) $$
$$c_{vv}(t) = d \frac{k_B T}{m}, \qquad t \to 0. \qquad (8.69)$$

La conclusion est que $c_{vv}(t)$ est maximale et $W(t)$ et $D(t)$ sont naturellement minimaux à $t = 0$ (leurs valeurs s'annulent à l'instant initial), indépendamment de la forme particulière de la fonction mémoire. En effet, au début du processus de diffusion, la particule cible ne sent pas encore la présence des molécules du milieu ambiant (fluide).

### 8.1.10 Application au cas d'une fonction mémoire en loi de puissances.

#### Position du problème :

Les expressions précédentes montrent clairement que la détermination de l'évolution temporelle du DQM, du CDT et de la FACV nécessite la connaissance de la fonction mémoire, $\gamma(t)$.

Dans ce cadre, plusieurs formes de cette fonction mémoire ont été proposées dans le passé [2–5]. La plus simple forme qui reproduit le comportement asymptotique en temps du DQM, $W(t) \sim t^\alpha$, est une loi de puissances que nous adopterons ci-dessous. L'exposant de diffusion anormal est $\alpha \in ]0, 1[$, pour une sous-diffusion, et $\alpha \in ]1, 2[$, pour une super-diffusion.

Avant de discuter les lois de diffusion présentant un comportant anormal, nous pouvons déjà obtenir des informations sur les comportement extrêmes du DQM, du CDT et de la FACV, c'est-à-dire pour $t \to 0$ ou $t \to +\infty$. Pour cela, nous admettons les hypothèses suivantes dans l'espace de Laplace :

$$s^{-1}\hat{\gamma}(s) \to 0, \qquad s \to \infty. \qquad (8.70)$$

$$s^{1-\alpha}\hat{\gamma}(s) \to \infty, \qquad s \to 0. \qquad (8.71)$$

Notons que la condition (8.71) est satisfaite pour $\alpha < 2$. La première limite correspond au comportement de la fonction mémoire aux temps petits, c'est-à-dire inférieurs à un certain temps caractéristique, $\tau_\alpha$, et la seconde, aux temps longs devant ce même temps caractéristique.
Dans le premier régime correspondant à des temps courts, nous avons les comportements suivants des TL des trois fonctions de relaxation :

$$ \hat{g}(s) \sim \frac{1}{s}, \quad \hat{G}(s) \sim \frac{1}{s^2}, \quad \hat{I}(s) \sim \frac{1}{s^3}, \quad s \to \infty. \quad (8.72) $$

Par translation de Laplace inverse, nous aurons les comportements suivants du DQM, du CDT de la FACV, dans le *régime balistique* :

$$ W(t) = \langle \vec{v}_0^2 \rangle t^2, \quad D(t) = 2 \langle \vec{v}_0^2 \rangle t, \quad c_{vv}(t) \to \langle \vec{v}_0^2 \rangle, \quad t \ll \tau_\alpha. \quad (8.73) $$

Dans le second régime correspondant à des temps longs, les comportements des TL des trois fonctions de relaxation sont tels que :

$$ \hat{g}(s) \sim s^{1-\alpha}, \quad \hat{G}(s) = s^{-\alpha}, \quad \hat{I}(s) \sim s^{-\alpha-1}, \quad s \to 0. \quad (8.74) $$

Donc, par transformation de Laplace inverse, nous obtenons, dans ce régime :

$$ W(t) \sim t^{\alpha}, \quad c_{vv}(t) \sim \alpha(\alpha-1)t^{\alpha-2}, \quad D(t) \sim t^{\alpha-1}, \quad t \gg \tau_{\alpha}, \quad (8.75) $$

en conformité avec la loi de la diffusion anormale qui stipule que $W(t) \sim t^{\alpha}$, lorsqu'on laisse la particule cible évoluer pour longtemps.

## Expression de la fonction mémoire :

Posons :

$$ \gamma(t) = \frac{\gamma_{\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} t^{-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1. \quad (8.76) $$

Ici, $\gamma_\alpha$ est une certaine constante positive et $\Gamma(x)$ est la fonction gamma d'Euler [6], introduite ici pour des raisons de commodité. La positivité de l'exposant de diffusion anormal, $\alpha$, est compatible avec la décroissance de la fonction mémoire dans le temps. Comme nous verrons ci-dessous, la forme choisie de la fonction mémoire (8.76) est conforme avec le comportement asymptotique en temps du DQM.

Notons que la limite $\alpha \to 1$ doit être faite avec précaution, en réécrivant la fonction mémoire comme une *dérivée au sens des distributions*, c'est-à-dire :

$$ \gamma(t) = \frac{\gamma_{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)} \frac{d}{dt} [t^{1-\alpha} \theta(t)], \quad 0 < \alpha < 1. \quad (8.77) $$
Ici, $\theta(t)$ est la fonction saut de Heaviside [6]. La limite $\alpha \to 1$ redonne alors :

$$ \gamma(t) \to \gamma_1 \delta(t), \quad \alpha \to 1. \qquad (8.78) $$

Nous retrouvons bien la fonction mémoire d'une diffusion Brownienne libre.

La TL de la fonction mémoire particulière (8.76) est simplement :

$$ \hat{\gamma}(s) = \gamma_{\alpha}s^{\alpha-1}, \quad 0 < \alpha < 1. \qquad (8.79) $$

Comme nous verrons, par la suite, les expressions du DQM, du CDT et de la FACV font intervenir les fonctions de Mittag-Leffler (M-L) qui sont largement décrites à la fin du Chapitre 5 (définitions et propriétés mathématiques).

## Expressions exactes des grandeurs dynamiques :

Avec la forme particulière (8.79) de la TL de la fonction mémoire, les TL des fonctions de relaxation sont les suivantes :

$$ \hat{I}(s) = s^{-2}\hat{g}(s) = \frac{s^{-1-\alpha}}{s^{2-\alpha} + \gamma_{\alpha}}, \qquad (8.80) $$

$$ \hat{G}(s) = s^{-1}\hat{g}(s) = \frac{s^{-\alpha}}{s^{2-\alpha} + \gamma_{\alpha}}, \qquad (8.81) $$

$$ \hat{g}(s) = \frac{s^{1-\alpha}}{s^{2-\alpha} + \gamma_{\alpha}}. \qquad (8.82) $$

Rappelons que la TL de la fonction $t^{\beta'-1}E_{\alpha',\beta'}(\pm at^{\alpha'})$ est $s^{\alpha'-\beta'}/(s^{\alpha'} \mp a)$, avec Re $[s] > |a|^{1-\alpha'}$ [7]. Nous obtenons alors, par transformation de Laplace inverse, les expressions exactes suivantes pour le DQM, le CDT et la FACV :

$$ W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} I(t) = 2d \frac{k_B T}{m} t^2 E_{2-\alpha,3} \left[ - \left( \frac{t}{\tau_\alpha} \right)^{2-\alpha} \right], \qquad (8.83) $$

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} G(t) = \frac{k_B T}{m} t E_{2-\alpha,2} \left[ - \left( \frac{t}{\tau_\alpha} \right)^{2-\alpha} \right], \qquad (8.84) $$

$$ c_{vv}(t) = d \frac{k_B T}{m} g(t) = d \frac{k_B T}{m} E_{2-\alpha} \left[ - \left( \frac{t}{\tau_\alpha} \right)^{2-\alpha} \right], \qquad (8.85) $$

avec le temps caractéristique :

$$ \tau_{\alpha} = \gamma_{\alpha}^{-1/(2-\alpha)}. \qquad (8.86) $$
Les trois quantités d'intérêt s'expriment alors en termes des fonctions de M-L à un paramètre et à deux paramètres.

À titre de vérification, dans la limite $\alpha \to 1$, et en utilisant les formes particulières des fonctions de M-L à un paramètre et à deux paramètres [8 – 11], nous avons :

$$E_1(-z) = e^{-z}, \qquad (8.87)$$

$$E_{1,3}(-z) = z^{-2}(e^{-z} - 1 + z), \qquad (8.88)$$

avec $z = t/\tau_1 (\tau_1 = \gamma_1^{-1})$. Dans cette limite, nous retrouvons bien les expressions usuelles du DQM, du CDT et de la FACV, concernant une diffusion normale libre, relations (7.15), (7.19) et (7.10) du Chapitre 7.

### Comportements extrêmes des grandeurs dynamiques :

Aux temps courts, c'est-à-dire pour $t \ll \tau_\alpha$, nous avons :

$$W(t) = d \frac{k_B T}{m} t^2, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha, \qquad (8.89a)$$

$$D(t) = \frac{k_B T}{m} t, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha, \qquad (8.89b)$$

$$c_{vv}(t) = d \frac{k_B T}{m}, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha. \qquad (8.89c)$$

Pour cela, nous avons utilisé les comportements des fonctions de M-L à un paramètre et à deux paramètres d'argument petit, relations (6.29) et (6.30) du Chapitre 6.

En revanche, aux temps longs, d'après les développements asymptotiques des fonctions de M-L à un paramètre et à deux paramètres, (6.34) et (6.35) du Chapitre 6, nous obtenons :

$$W(t) = 2dD_\alpha t^\alpha, \qquad t \gg \tau_\alpha, \qquad (8.90a)$$

$$D(t) = D_\alpha \alpha t^{\alpha-1}, \qquad t \gg \tau_\alpha, \qquad (8.90b)$$

$$c_{vv}(t) = d D_{\alpha} \alpha (\alpha - 1) t^{\alpha - 2}, \qquad t \gg \tau_{\alpha}, \qquad (8.90c)$$

avec le coefficient de diffusion généralisé :

$$D_{\alpha} = \frac{k_B T}{m \gamma_{\alpha} \Gamma(\alpha + 1)}. \qquad (8.90d)$$
L'expression (8.90c) suggère que la FACV tend vers 0 quand $t \to \infty$, mais par valeurs négatives, puisque $\alpha < 1$. Aussi, le CDT tend vers 0 quand $t \to +\infty$, mais par valeurs positives, puisque $\alpha > 0$.

## 8.2 Diffusion inertielle anormale avec force de rappel.

### 8.2.1 Équation stochastique.

Considérons, à présent, une particule qui sous-diffuse dans un milieu complexe, et qui est soumise à l'influence d'une force de rappel, $\vec{F}_{\epsilon l}(\vec{r}) = -k \vec{r}$, où $\vec{r}$ est son vecteur-position, par rapport à sa position d'équilibre et $k = m\omega_0^2$ est la constante de force, jouant le rôle d'une constante de raideur, pour un ressort classique.

Dans ce cas, l'ELG s'écrit :

$$m \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -m \int_0^t \gamma(t-t') \vec{v}(t') dt' - m\omega_0^2 \vec{r} + \vec{F}(t) . \quad (8.91)$$

Ici, la force stochastique, $\vec{F}(t)$, satisfait les trois hypothèses (8.2), (8.3) et (8.4). Si la position initiale du traceur est prise comme origine d'espace (le choix de l'origine d'espace n'a pas d'importance), c'est-à-dire $\vec{r}(0) = \vec{0}$, l'équation précédente se réécrit comme :

$$m \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -m \int_0^t \Gamma(t-t') \vec{v}(t') dt' + \vec{F}(t) , \quad (8.92)$$

avec la nouvelle fonction mémoire :

$$\Gamma(t) = \gamma(t) + \omega_0^2 \theta(t) , \quad t \ge 0 , \quad (8.93)$$

où $\theta(t)$ est la fonction saut de Heaviside.

Donc, nous nous ramenons à la situation d'avant, en remplaçant simplement la fonction mémoire, $\gamma(t)$, par une nouvelle : $\Gamma(t) = \gamma(t) + \omega_0^2\theta(t)$, pour tout instant $t$. La TL de cette nouvelle fonction mémoire est alors $\hat{\Gamma}(s) = \hat{\gamma}(s) + \omega_0^2 s^{-1} = \gamma_\alpha s^{\alpha-1} + \omega_0^2 s^{-1}$. Comme $\gamma(t)$ s'annule à $t \to +\infty$, la nouvelle fonction mémoire, $\Gamma(t)$, sature à la valeur constante, $\omega_0^2$, et on doit donc s'attendre à ce que le DQM associé sature également à l'infini. C'est que nous verrons, effectivement, ci-dessous.
### 8.2.2 Expressions analytiques des grandeurs dynamiques.

Si l'on décide de choisir comme fonction mémoire, celle donnée par la relation (8.77), alors, dans ce cas, les TL des fonctions de relaxation sont les suivantes :

$$ \hat{I}(s) = s^{-1}\hat{G}(s) = s^{-2}\hat{g}(s) = \frac{s^{-2}}{s + \gamma_{\alpha}s^{\alpha-1} + \omega_{0}^{2}s^{-1}}, \quad (8.94) $$

$$ \hat{G}(s) = s^{-1}\hat{g}(s) = \frac{s^{-1}}{s + \gamma_{\alpha}s^{\alpha-1} + \omega_{0}^{2}s^{-1}}, \quad (8.95) $$

$$ \hat{g}(s) = \frac{1}{s + \gamma_{\alpha}s^{\alpha-1} + \omega_{0}^{2}s^{-1}}. \quad (8.96) $$

Comme nous ne savons pas calculer exactement les grandeurs dynamiques d'intérêt, en présence d'une force de rappel, nous développerons formellement les TL des fonctions de relaxation précédentes, en puissances de la variable, $\omega_0^2$. Cela veut dire qu'on se limite seulement aux petites oscillations. Dans ce cas, nous avons les développements en série suivants :

$$ \hat{I}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} (-\omega_0^2)^n \frac{s^{-(2n+3)}}{(1 + \gamma_\alpha s^{\alpha-2})^{n+1}}, \quad (8.97) $$

$$ \hat{G}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} (-\omega_0^2)^n \frac{s^{-(2n+2)}}{(1 + \gamma_\alpha s^{\alpha-2})^{n+1}}, \quad (8.98) $$

$$ \hat{g}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} (-\omega_0^2)^n \frac{s^{-(2n+1)}}{(1 + \gamma_\alpha s^{\alpha-2})^{n+1}}. \quad (8.99) $$

Rappelons que la TL de la fonction $t^{\beta'-1}E_{\alpha',\beta'}^{\delta'}(-at^{\alpha'})$ est $s^{-\beta'}/(1+as^{-\alpha'})^{\delta'}$. Par inversion de Laplace, nous trouvons les expressions des fonctions de relaxation, $I(t)$, $G(t)$ et $g(t)$, d'où nous tirons celles du DQM, du CDT et de la FACV, qui font intervenir les fonctions de M-L à trois paramètres, $E_{\alpha',\beta'}^{\gamma'}(z)$, esquissée à la fin du Chapitre 6. Les résultats sont les suivants :

$$ W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} t^2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{\tau_0}\right)^{2n} E_{2-\alpha, 2n+3}^{n+1} \left[-\left(\frac{t}{\tau_\alpha}\right)^{2-\alpha}\right], \quad (8.100) $$

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} t \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{\tau_0}\right)^{2n} E_{2-\alpha, 2n+2}^{n+1} \left[-\left(\frac{t}{\tau_\alpha}\right)^{2-\alpha}\right], \quad (8.101) $$
$$c_{vv}(t) = d \frac{k_B T}{m} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{\tau_0}\right)^{2n} E_{2-\alpha, 2n+1}^{n+1} \left[-\left(\frac{t}{\tau_\alpha}\right)^{2-\alpha}\right], \quad (8.102)$$

avec le deuxième temps caractéristique :

$$\tau_0 = \omega_0^{-1}. \qquad (8.103)$$

L'échelle de temps, $\tau_\alpha$, est définie par la relation (8.86). Comme la pulsation caractéristique, $\omega_0$, est supposée petite, nous avons nécessairement $\tau_\alpha < \tau_0$. Mais nous pouvons toujours choisir l'amplitude, $\gamma_\alpha$, de la fonction mémoire, de telle manière que l'égalité précédente soit satisfaite.

Faisons remarquer que dans la limite, $\omega_0 \to 0$, les seuls termes qui survivent, correspondent à la valeur $n = 0$ des séries précédentes, et donc, toutes les expression des grandeurs dynamiques se réduisent à celles relatives à la sous-diffusion sans oscillations. Notons la formule de reduction utilisée dans cette limite : $E_{\alpha',\beta'}^{1}(z) = E_{\alpha',\beta'}(z)$.

### 8.2.3 Comportements extrêmes des grandeurs dynamiques.

**Régime balistique :** Aux temps courts, c'est-à-dire pour $t \ll \tau_\alpha < \tau_0$, les contributions dominantes des séries précédentes viennent de la valeur $n = 0$, et nous obtenons :

$$W(t) = d \frac{k_B T}{m} t^2, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha < \tau_0, \qquad (8.104)$$

$$D(t) = \frac{k_B T}{m} t, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha < \tau_0, \qquad (8.105)$$

$$c_{vv}(t) = \frac{k_B T}{m}, \qquad 0 \le t \ll \tau_\alpha < \tau_0. \qquad (8.106)$$

Notons que ces comportements aux temps courts des grandeurs dynamiques sont similaires à leurs comportements en l'absence d'oscillations. En effet, à ces échelles de temps courts, la particule cible ne sent pas encore l'effet de la force de rappel.

**Régime sous-diffusif :** Aux temps intermédiaires, c'est-à-dire pour $\tau_\alpha \ll t \ll \tau_0$, et en utilisant le comportement asymptotique de la fonction de M-L à trois paramètres, esquissée à la fin du Chapitre 6, nous trouvons :

$$W(t) = 2dD_\alpha t^\alpha, \qquad \tau_\alpha \ll t \ll \tau_0, \qquad (8.107)$$
avec le coefficient de diffusion généralisé, $D_\alpha$, celui défini par la formule (8.90d). De tel comportement suggère que la particule cible subit une diffusion anormale.

Aussi, nous trouvons les comportements asymptotiques suivants du CDT et la FACV :

$$D(t) = D_{\alpha} \alpha t^{\alpha-1}, \qquad \tau_{\alpha} \ll t \ll \tau_{0}, \qquad (8.108)$$

$$c_{vv}(t) = dD_{\alpha}\alpha(\alpha - 1)t^{\alpha-2}, \qquad \tau_{\alpha} \ll t \ll \tau_{0}. \qquad (8.109)$$

Comme $\alpha < 1$, la FACV tend vers 0 à $t \to +\infty$, mais par valeurs négatives, mais le CDT tend vers 0 dans cette limite.

**Régime de saturation** : Aux temps longs, c'est-à-dire pour $t \gg \tau_0$, et en utilisant le comportement asymptotique de la fonction de M-L à trois paramètres, nous parvenons à :

$$W(t) = 2d \frac{k_B T}{m \omega_0^2}, \qquad t \gg \tau_0, \qquad (8.110a)$$

$$D(t) = 0, \qquad t \gg \tau_0, \qquad (8.110b)$$

$$c_{vv}(t) = 0, \qquad t \gg \tau_0. \qquad (8.110c)$$

Donc, à l'instar de l'oscillateur de Langevin standard, le DQM relatif à un oscillateur de Langevin généralisé *sature* à une valeur constante, pour des temps très longs.

Notons, enfin, que ce régime de saturation est absent en l'absence d'oscillations.

## 8.3 Diffusion non inertielle anormale.

Soit une particule Brownienne qui diffuse dans un liquide trop visqueux. Cela veut dire qu'on peut admettre que la diffusion est *non inertielle*, en ce sens que la vitesse de cette particule cible varie peu, de sorte que son accélération est partiquement nulle : $\vec{v} = \vec{0}$.

Dans cette section, nous serons concernés seulement par la détermination des évolutions temporelles du DQM et du CDT. Nous supporons qu'initiallement, la position de la particule diffusante coïncide avec l'origine de l'espace, c'est-à-dire que $\vec{r}_0 = \vec{0}$.
### 8.3.1 Équation stochastique.

Dans ce cas, l'équation décrivant la dynamique du système est la suivante :

$$m \int_{0}^{t} \gamma(t-t') \vec{v}(t') dt' + k \vec{r}(t) = \vec{F}(t), \qquad (8.111)$$

qui se réécrit encore comme :

$$m \int_{0}^{t} \left( \gamma(t-t') + \frac{k}{m} \theta(t-t') \right) \vec{v}(t') dt' = \vec{F}(t) . \qquad (8.112)$$

L'équation stochastique est alors une équation intégrale du type *Abel*. Ici, $\gamma(t)$ est la fonction mémoire et $k = m\omega_0^2$ est la constante élastique. L'on suppose que la force stochastique, $\vec{F}(t)$, satisfait les hypothèses (8.2) et (8.3).

### 8.3.2 Évolution temporelle de la vitesse.

Par transformation de Laplace de l'équation intégrale précédente, nous montrons que la TL de la vitesse instantanée de la particule cible est telle que :

$$\widehat{\vec{v}}(s) = \frac{1}{m} \widehat{g}(s) \widehat{\vec{F}}(s) , \qquad (8.113)$$

avec

$$\widehat{g}(s) = \frac{1}{\widehat{\gamma}(s) + \frac{k}{m}s^{-1}} = \int_{0}^{+\infty} g(t) e^{-st} dt, \qquad (8.114)$$

qui est la TL de la première fonction de relaxation, $g(t)$.

Par transformation de Laplace inverse de l'égalité (8.113), nous trouvons l'expression formelle de la vitesse instantanée de la particule cible, qui est une fonction du temps et une fonctionnelle de la force aléatoire :

$$\vec{v}(t) = \frac{1}{m} \int_{0}^{t} g(t-t') \vec{F}(t') dt' . \qquad (8.115)$$

La moyenne sur la force aléatoire aboutit à :

$$\langle \vec{v}(t) \rangle = \vec{0} . \qquad (8.116)$$
### 8.3.3 Évolution temporelle de la position.

Des relations $\widehat{v}(s) = s \widehat{r}(s)$ et (8.113), nous obtenons la TL de la position instantanée de la particule cible :

$$ \widehat{r}(s) = \frac{1}{m} \hat{G}(s) \widehat{F}(s), \qquad (8.117) $$

avec

$$ \hat{G}(s) = s^{-1} \hat{g}(s) = \frac{s^{-1}}{\hat{\gamma}(s) + \frac{k}{m} s^{-1}}, \qquad (8.118) $$

qui est la TL de la deuxième fonction de relaxation, $G(t)$. Notons que : $\dot{G}(t) = g(t)$.

Par transformation de Fourier inverse de l'égalité (8.117), nous trouvons l'expression suivante de la position instantanée de la particule diffusante, qui est une fonction du temps et une fonctionnelle de la force stochastique :

$$ \vec{r}(t) = \frac{1}{m} \int_{0}^{t} G(t-t') \vec{F}(t') dt'. \qquad (8.119) $$

En moyennant l'égalité précédente sur la force aléatoire, nous trouvons :

$$ \langle \vec{r}(t) \rangle = \vec{0}. \qquad (8.120) $$

### 8.3.4 Expressions formelles du DQM et du CDT.

De la relation (8.117), nous déduisons, après avoir utilisé les mêmes techniques que pour la diffusion inertielle anormale avec force de rappel :

$$ \langle \widehat{\vec{r}}(s) \cdot \widehat{\vec{r}}(s') \rangle = -d \frac{k_B T}{m} \left( \frac{k}{m} \right) \hat{I}(s) \hat{I}(s') -d \frac{k_B T}{m} \left[ \frac{\hat{I}(s)}{s'} + \frac{\hat{I}(s')}{s} \right] -d \frac{k_B T}{m} \frac{\hat{I}(s) + \hat{I}(s')}{s + s'}, \qquad (8.121) $$

avec

$$ \hat{I}(s) = s^{-1} \hat{G}(s) = s^{-2} \hat{g}(s) = \frac{s^{-1}}{\hat{\gamma}(s) + \frac{k}{m} s^{-1}} = \int_{0}^{+\infty} I(t) e^{-st} dt, \qquad (8.122) $$

qui est la TL de la troisième fonction de relaxation, $I(t)$. Notons que : $\dot{I}(t) = G(t)$.
Par transformation de Laplace inverse de l'expression précédente, nous déduisons l'expression désirée de la fonction de corrélation de position :

$$ \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(t') \rangle = -d \frac{k_B T}{m} \left(\frac{k}{m}\right) I(t) I(t') - d \frac{k_B T}{m} [I(t) + I(t')] - d \frac{k_B T}{m} I(|t - t'|) . \quad (8.123) $$

Remarquer que la fonction de corrélation de position n'est pas stationnaire, c'est-à-dire qu'elle n'est pas invariante par translation du temps.

Posons $t = t'$ dans l'égalité précédente et obtenons :

$$ \langle \vec{r}^2 (t) \rangle = -d \frac{k_B T}{m} \left(\frac{k}{m}\right) I^2 (t) - 2d \frac{k_B T}{m} I (t) . \quad (8.124) $$

Posons $t' = 0$ dans l'égalité (8.123) et trouvons :

$$ \langle \vec{r}(t) \cdot \vec{r}(0) \rangle = -2d \frac{k_B T}{m} I(t) . \quad (8.125) $$

Pour l'obtention des expressions (8.124) et (8.125), nous avons utilisé le fait que : $I(0) = 0$.

Le DQM et le CDT sont alors donnés formellement par :

$$ W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} I(t) - d \frac{k_B T}{m} \left(\frac{k}{m}\right) I^2(t), \quad t \ge 0, \quad (8.126) $$

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} G(t) - \frac{k_B T}{m} \left(\frac{k}{m}\right) G(t) I(t), \quad t \ge 0. \quad (8.127) $$

Pour $k = 0$, les égalités précédentes du DQM et du CDT deviennent :

$$ W(t) = 2d \frac{k_B T}{m} I(t), \quad t \ge 0, \quad (8.128) $$

$$ D(t) = \frac{k_B T}{m} G(t), \quad t \ge 0, \quad (8.129) $$

mais où les fonctions de relaxation associées, $G(t)$ et $I(t)$, possèdent les TL, $\hat{G}(s)$ et $\hat{I}(s)$, définies, respectivement, par les relations (8.118) et (8.122).

### 8.3.5 Cas d'une fonction mémoire en loi puissances.

Nous supposons que la fonction mémoire est de la forme :

$$ \gamma(t) = \frac{\gamma_{\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} t^{-\alpha} = \frac{\gamma_{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)} \frac{d}{dt} [t^{1-\alpha} \theta(t)], \quad t \ge 0. \quad (8.130) $$
Ici, $\gamma_\alpha$ est une constante réelle positive, $\Gamma(x)$ est la fonction gamma d'Euler [6] et $\theta(t)$ est la fonction saut de Heaviside. Donc, la TL de cette fonction mémoire est telle que :

$$ \hat{\gamma}(s) = \gamma_{\alpha}s^{\alpha-1}. \qquad (8.130a) $$

Dans ce cas, les TL des fonctions de relaxation sont les suivantes :

$$ \hat{I}(s) = \frac{s^{-2}}{\hat{\gamma}(s) + \frac{k}{m}s^{-1}} = \frac{1}{\gamma_{\alpha}} \frac{s^{-1}}{s^{\alpha} + \frac{k}{m\gamma_{\alpha}}}, \qquad (8.131) $$

$$ \hat{G}(s) = \frac{s^{-1}}{\hat{\gamma}(s) + \frac{k}{m}s^{-1}} = \frac{1}{\gamma_{\alpha}} \frac{1}{s^{\alpha} + \frac{k}{m\gamma_{\alpha}}}. \qquad (8.132) $$

Rappelons que la TL de la fonction $t^{\beta'-1}E_{\alpha',\beta'}(\pm at^{\alpha'})$ est $s^{\alpha'-\beta'}/(s^{\alpha'} \mp a)$, avec Re $[s] > |a|^{1-\alpha'}$. Donc, nous obtenons :

$$ I(t) = \frac{1}{\gamma_{\alpha}} t^{\alpha} E_{\alpha, \alpha+1} \left[ - \left( \frac{t}{\hat{\tau}_{\alpha}} \right)^{\alpha} \right], \qquad (8.133) $$

$$ G(t) = \frac{1}{\gamma_{\alpha}} t^{\alpha-1} E_{\alpha, \alpha} \left[ - \left( \frac{t}{\hat{\tau}_{\alpha}} \right)^{\alpha} \right], \qquad (8.134) $$

avec le nouveau temps caractéristique :

$$ \hat{\tau}_{\alpha} = \left( \frac{m\gamma_{\alpha}}{k} \right)^{1/\alpha}. \qquad (8.135) $$

D'où les expressions temporelles du DQM et du CDT :

$$ W(t) = W_1(t) - W_2(t), \qquad t \ge 0. \qquad (8.136) $$

$$ D(t) = D_1(t) - D_2(t), \qquad t \ge 0. \qquad (8.137) $$

avec les contributions :

$$ W_1(t) = 2 \frac{dk_B T}{m \gamma_\alpha} t^\alpha E_{\alpha, \alpha+1} \left[ - \left( \frac{t}{\hat{\tau}_\alpha} \right)^\alpha \right], \qquad t \ge 0, \qquad (8.136a) $$

$$ W_2(t) = \frac{k_B T}{m \gamma_\alpha^2} \left( \frac{k}{m} \right) t^{2\alpha} \left( E_{\alpha, \alpha+1} \left[ - \left( \frac{t}{\hat{\tau}_\alpha} \right)^\alpha \right] \right)^2, \qquad t \ge 0, \qquad (8.136b) $$

$$ D_1(t) = \frac{k_B T}{m \gamma_\alpha} t^{\alpha-1} E_{\alpha, \alpha} \left( - \left( \frac{t}{\hat{\tau}_\alpha} \right)^\alpha \right), \qquad t \ge 0, \qquad (8.137a) $$
$$D_2(t) = 2 \frac{dk_B T}{m \gamma_\alpha^2} \left(\frac{k}{m}\right) t^{2\alpha-1} E_{\alpha,\alpha} \left[-\left(\frac{t}{\hat{\tau}_\alpha}\right)^\alpha\right] \times E_{\alpha,\alpha+1} \left[-\left(\frac{t}{\hat{\tau}_\alpha}\right)^\alpha\right], \quad t \ge 0. \tag{8.137b}$$

Ces expressions font donc intervenir la fonction de ML à deux paramètres ou fonction de Wiman [10, 11].

En utilisant le comportement asymptotique de la fonction de ML à deux paramètres esquissée au Chapitre 6, nous obtenons les comportements suivants, aux temps longs :

$$W(t) \rightarrow d \frac{k_B T}{k}, \qquad t \gg \tau_\alpha, \tag{8.138}$$

$$D(t) \rightarrow 0, \qquad t \gg \tau_\alpha. \tag{8.139}$$

Avec cette fonction mémoire en loi de puissances, le DQM *sature* donc à une valeur finie, aux temps longs, indépendamment de la valeur particulière de l'exposant anormal $\alpha \in [0, 1[$.

Aux temps courts, en revanche, les deux grandeurs dynamiques se comportent comme :

$$W(t) = 2dD_{\alpha}t^{\alpha}, \qquad t \ll \tau_{\alpha}, \tag{8.140}$$

$$D(t) = \alpha D_{\alpha} t^{\alpha-1}, \qquad t \ll \tau_{\alpha}. \tag{8.141}$$

Ici, $D_\alpha$ est le coefficient de diffusion généralisé, défini par la relation (8.90d). Les comportements précédents stipulent que le mouvement de la particule cible est sous-diffusive, aux temps petits.

Notons que dans la limite $k \to 0$ ou $\hat{\tau}_\alpha \to +\infty$, nous trouvons les expressions simplifiées suivantes du DQM et du CDT :

$$W(t) = 2dD_{\alpha}t^{\alpha}, \qquad t \ge 0, \tag{8.142}$$

$$D(t) = \alpha D_{\alpha} t^{\alpha-1}, \qquad t \ge 0. \tag{8.143}$$

Nous soulignons que dans ce cas, le régime de saturation est *absent*, mais la diffusion est purement sous-diffusive. Pour $k \to 0$ et $\alpha \to 1$, la loi d'Einstein est alors retrouvée. Nous pouvons donc considérer la loi (8.140) comme une loi d'Einstein généralisée.
Et, enfin, dans la limite $\alpha \to 1$, à $k$ fixé, nous retrouvons les résultats relatifs à une
diffusion non inertielle normale, avec force de rappel et sans mémoire, esquissés à la fin
du Chapitre 7. ■
Bibliographie

[1] R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, *Statistical Physics II: Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Volume 31, Springer Science & Business Media, 2012.

[2] R. Zwanzig, *Nonequilibrium Statistical Mechanics*, Oxford University Press, 2001.

[3] R. Zwanzig, *Statistical Mechanics of Irreversibility*, Volume 3 of *Lectures in Theoretical Physics*, Interscience, New York, 1961.

[4] J.-P. Bouchaud, A. Georges, *Anomalous diffusion in disordered media: Statistical Mechanisms, models and physical applications*, Phy. Rep. **195**, 127 (1990).

[5] N. Pottier, *Aging properties of an anomalously diffusing particle*, Physica A **317**, 371 (2003).

[6] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, *Table of Integrals, Series, and Products*, Seventh Edition, Elsevier Inc., 2007

[7] A. K. Shukla, J. C. Prajapati, *On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties*, J. Math. Anal. Appl. **336**, 797 (2007).

[8] G. Mittag-Leffler, *Sur la nouvelle fonction $E_α(x)$*, C. R. Acad. Sci. Paris **137**, 554 (1903).

[9] G. Mittag-Leffler, *Sopra la funzione $E_α(x)$*, C. R. A. Lincei **13**, 3 (1904).

[10] A. Wiman, *Über den fundamental satz in der theorie der funktionen, E_α(x)*, Acta Mathematica **29**, 191 (1905).

[11] A. Wiman, *Über die Nullstellun der Funktionen E_α(x)*, Acta Mathematica **29**, 217 (1905).
# Complément Mathématique I :
## Dérivation fonctionnelle.

Nous commençons par un rappel de la notion de *fonctionnelle*. Considérons un espace de fonctions, $S$, dont les éléments sont des fonctions, $\{\varphi(t)\}$, à valeurs réelles ou complexes. Nous supposons que ces fonctions sont de classe $C^\infty$, c'est-à-dire infiniment différentiables, et que lorsque $t \to \infty$, elles tendent vers zéro, ainsi que leurs dérivées de tous les ordres, plus vites que toute puissance négative de $|t|$. (Les fonctions $e^{-t^2}$ et $t^ne^{-t^2}$ en sont des exemples). Les fonctions, $\{\varphi(x)\}$, seront appelées “fonctions test”.

Par définition, une *fonctionnelle*, $F$, est une application de $S^n$ dans $R$ ou $C$. Cela veut dire qu’à chaque suite de $n$ fonctions, $(\varphi_1, ..., \varphi_n) \in S^n$, est associé un nombre réel ou complexe : $F : (\varphi_1, ..., \varphi_n) \in S^n \to F[\varphi] \in R$ ou $C$.

**Exemple 1.** Soit, $\varphi$, une fonction (à valeurs réelles) définie sur un intervalle $[a, b] \subset \mathbf{R}$.
Un exemple classique d'une fonctionnelle est l'application “aire hachurée” :

$$F : \varphi \to F[\varphi] = \int_a^b \varphi(t) dt. \qquad (I.1)$$

Cette intégrale n'a de sens que si la fonction $\varphi$ est intégrable.

**Exemple 2.** Soit, $(\varphi_1, ..., \varphi_n)$, une suite de $n$ fonctions (à valeurs réelles), définies sur un intervalle $[a, b] \subset \mathbf{R}$, supposées suffisamment différentiables. Nous construisons une fonctionnelle générale qui est la suivante :

$$F[\varphi_1, ..., \varphi_n] = \int_a^b \mathcal{L}(\varphi_1(t), ..., \varphi_n(t)) dt, \qquad (I.2)$$

où $\mathcal{L}$ est une fonction des variables, $\{\varphi_i(t)\}$, supposées intégrables dans l'intervalle $[a, b]$.
La fonction, $\mathcal{L}$, peut dépendre explicitement de la variable temps, $t$.
## Dérivée fonctionnelle homogène.

Pour introduire cette dérivée spéciale, nous considérons la fonctionnelle générale, $F[\varphi_1, ..., \varphi_n]$, définie par la relation (I.2).

Faisons un déplacement élémentaire des fonctions, $\{\varphi_i(t)\}$ :

$$ \varphi_i(t) \rightarrow \varphi_i(t) + \delta\varphi_i(t), \quad 1 \le i \le n. \qquad (I.3) $$

Sous les transformations (I.3), la fonctionnelle $F$ se transforme comme :

$$ F \rightarrow F + \delta F, \qquad (I.4) $$

avec la variation :

$$ \delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n] = F[\varphi_1 + \delta\varphi_1, ..., \varphi_n + \delta\varphi_n] - F[\varphi_1, ..., \varphi_n] \qquad (I.5) $$

Explicitement, l'on a :

$$ \delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n] = \int_a^b [\mathcal{L}(\varphi_1(t) + \delta\varphi_1(t), ..., \varphi_n(t) + \delta\varphi_n(t)) - \mathcal{L}(\varphi_1(t), ..., \varphi_n(t))] dt. \qquad (I.5a) $$

Faisons un développement limité, pour des déplacements, $\{\delta\varphi_i(t)\}$, infinitésimaux :

$$ \mathcal{L}(\varphi_1(t) + \delta\varphi_1(t), \dots, \varphi_n(t) + \delta\varphi_n(t)) = \mathcal{L}(\varphi_1(t), \dots, \varphi_n(t)) + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(t)} \delta\varphi_i(t) + \dots \qquad (I.6) $$

En utilisant les égalités (I.5) et (I.6), nous obtenons :

$$ \delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n] = \sum_{i=1}^{n} \int_a^b \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(t)} \delta\varphi_i(t) dt = \sum_{i=1}^{n} \int_a^b \frac{\delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n]}{\delta \varphi_i(t)} \delta\varphi_i(t) dt. \qquad (I.7) $$

Par définition, la dérivée fonctionnelle de $F$ par rapport à la fonction, $\varphi_i$, est :

$$ \frac{\delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n]}{\delta \varphi_i(t)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(t)}, \quad 1 \le i \le n. \qquad (I.8) $$

Si, maintenant, la fonction, $\mathcal{L}$, dépend aussi des dérivées, $\{\dot{\varphi}_i(t)\}$, des fonctions, $\{\varphi_i(t)\}$, il est facile de montrer que la dérivée fonctionnelle de la nouvelle fonctionnelle, $F[\varphi_1, ..., \varphi_n]$, est :

$$ \frac{\delta F[\varphi_1, ..., \varphi_n]}{\delta \varphi_i(t)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(t)} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}_i(t)} \right), \quad 1 \le i \le n. \qquad (I.9) $$
Le terme “dérivée première par rapport à la variable $t$” a été obtenu, en faisant une intégration par parties et en supposant que : $\delta\varphi_i(a) = \delta\varphi_i(b) = 0$, pour tout indice $i$.

**Dérivée fonctionnelle inhomogène.**

Soit la fonctionnelle suivante d'une collection de $n$ champs locaux, $\{\varphi_i(\vec{r}, t)\}$ :

$$F[\varphi_1, \dots, \varphi_n] = \int dt \int d\vec{r} \mathcal{L}(\varphi_1(\vec{r}, t), \dots, \varphi_n(\vec{r}, t)) . \quad (I.10)$$

Faisons un déplacement élémentaire des fonctions, $\{\varphi_i(t)\}$, c'est-à-dire :

$$\varphi_i(\vec{r}, t) \rightarrow \varphi_i(\vec{r}, t) + \delta\varphi_i(\vec{r}, t), \quad 1 \le i \le n. \quad (I.11)$$

Sous les transformations (I.11), la fonctionnelle $F$ se transforme comme :

$$F \rightarrow F + \delta F, \quad (I.12)$$

avec la variation :

$$\delta F[\varphi_1, \dots, \varphi_n] = F[\varphi_1 + \delta\varphi_1, \dots, \varphi_n + \delta\varphi_n] - F[\varphi_1, \dots, \varphi_n] \quad (I.13)$$

Explicietement, l'on a :

$$\delta F[\varphi_1, \dots, \varphi_n] = \int dt \int d\vec{r} \left[ \begin{array}{l} \mathcal{L}(\varphi_1(\vec{r}, t) + \delta\varphi_1(\vec{r}, t), \dots, \varphi_n(\vec{r}, t) + \delta\varphi_n(\vec{r}, t)) \\ \qquad - \mathcal{L}(\varphi_1(\vec{r}, t), \dots, \varphi_n(\vec{r}, t)) \end{array} \right] . \quad (I.13a)$$

Pour de déplacements faibles, $\{\delta\varphi_i(\vec{r}, t)\}$, un développement à l'ordre 1 de la fonction $\mathcal{L}$ par rapport à ces déplacements donne :

$$\delta F[\varphi_1, \dots, \varphi_n] = \int dt \int d\vec{r} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(\vec{r}, t)} \delta\varphi_i(\vec{r}, t) . \quad (I.14)$$

Par définition, la dérivée fonctionnelle de $F$ par rapport au champ, $\varphi_i(\vec{r}, t)$, est

$$\frac{\delta F[\varphi_1, \dots, \varphi_n]}{\delta \varphi_i(\vec{r}, t)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(\vec{r}, t)}, \quad 1 \le i \le n. \quad (I.15)$$

On peut généraliser cette dérivation au cas où la fonction $\mathcal{L}$ dépend, en plus des champs $\{\varphi_i(\vec{r}, t)\}$, de leurs dérivées par rapport au temps et à l'espace, $\{\dot{\varphi}_i(\vec{r}, t), \vec{\nabla}\varphi_i(\vec{r}, t)\}$,
où $\vec{\nabla}$ est l'opérateur gradient. Nous montrons aisément que la dérivée fonctionnelle de $F$ est telle que :

$$ \frac{\delta F[\varphi_1, \dots, \varphi_n]}{\delta \varphi_i(\vec{r}, t)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_i(\vec{r}, t)} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}_i(\vec{r}, t)} \right) - \vec{\nabla} \cdot \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vec{\nabla} \varphi_i(\vec{r}, t)} \right), \quad (I.16) $$

pour $1 \le i \le n$. Pour l'obtention de ces dérivations, nous avons supposé que les champs $\varphi_i(\vec{r}, t)$ ainsi que leurs dérivées par rapport au temps et à l'espace s'annulent aux bords du domaine d'intégration. ■
# Complément Mathématique II.
## Valeur principale de Cauchy.

Le but est de rappeler ici la définition mathématique de la *Valeur ou Partie Principale de Cauchy* ($\mathcal{P}$), appelée ainsi en l'honneur d'Augustin Louis Cauchy, qui associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

**Définition.**

Soit $c$ une singularité d'une fonction d'une variable réelle, $f(x)$, et supposons que pour $a < c < b$, la limite suivante :

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c-\epsilon} f(x) dx + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{c+\epsilon}^{b} f(x) dx = L \qquad (II.1) $$

existe et finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de $f(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ existe et sa valeur est définie par $L$. Dans ce cas-là, nous appelons la limite $L$, la Partie Principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

$$ \mathcal{P} \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_a^{c-\epsilon} f(x) dx + \int_{c+\epsilon}^b f(x) dx \right) . \qquad (II.2) $$

Notons que cette définition s'étend au cas avec $n$ singularités, $(c_1, ..., c_n)$, avec $a < c_1, ..., c_n < b$. Si toutes les intégrales de $f$ dans les intervalles successifs de $a$ à $b$ existent et finies, on définit la V.P. de Cauchy généralisée par :

$$ \mathcal{P} \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c_1 - \epsilon} f(x) dx + \dots + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{c_n + \epsilon}^b f(x) dx . \qquad (II.3) $$

**Exemple 1 : Fonction puissance.**
Soit la fonction impaire, $f(x) = x^{-(2p+1)}$, avec $p \in \mathbb{N}$. Cette fonction admet alors une singularité à $x = 0$. Cherchons alors sa $\mathcal{P}$ dans l'intervalle $]-\infty, +\infty[$. Nous avons :

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{-\epsilon} f(x) dx + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\epsilon}^{+\infty} f(x) dx = -\frac{1}{2p} (-\epsilon)^{-2p} + \frac{1}{2p} (\epsilon)^{-2p} = 0. \quad (II.4) $$

Nous avons par conséquent :

$$ \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 0. \quad (II.5) $$

Ce qui correspond à l'intuition, puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

### Exemple 2 : Logarithme intégral.

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par :

$$ \operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t}. \quad (II.6) $$

En fait, cette notation est abusive, il faut en effet voir cette définition pour $x > 1$ comme une V.P. de Cauchy :

$$ \operatorname{li}(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\epsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\epsilon}^{x} \frac{dt}{\ln t} \right). \quad (II.7) $$

### Lien avec la théorie des distributions.

Soit $C^\infty(\mathbf{R})$ l'ensemble des fonctions lisses à support compact de $\mathbf{R}$ vers $\mathbf{C}$. On peut alors définir une application :

$$ \mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right) : C^\infty(\mathbf{R}) \to \mathbf{C}, \quad (II.8) $$

telle que :

$$ \mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right)(f) = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{f(x)}{x} dx + \int_{+\epsilon}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} dx \right), \quad (II.9) $$

pour toute $f \in C^\infty(\mathbf{R})$. Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la V.P. de Cauchy d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit $K : \mathbf{R} \to \mathbf{C}$ une fonction admettant une singularité
en $x = 0$, mais continue sur $\mathbf{R} - \{0\}$. Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution :

$$ \mathcal{P}(K)(f) = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\epsilon} K(x)f(x)dx + \int_{+\epsilon}^{+\infty} K(x)f(x)dx \right), \qquad (II.10) $$

pour toute fonction $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R})$. ■
# Complément Mathématique III : Transformée de Hilbert.

La transformation de Hilbert tient son nom en honneur du mathématicien David Hilbert, mais fut principalement développée par le mathématicien anglais G. H. Hardy<fnref n="1" />.

Les applications de la transformée de Hilbert sont nombreuses, pour ne citer que la sécurité des données, le calcul matriciel, l'astronomie, la physique, l'optimisation des réseaux, l'électronique de puissance, la cryptographie, le calcul de dérivées, la géologie, les logiciels d'apprentissage, le traitement du signal (analyse de phase et de fréquence des signaux temporels), l'imagerie médicale, les télécommunications (modulation et démodulation des signaux), le filtrage (aide à isoler certaines parties fréquentes d'un signal en appliquant des techniques du filtrage basées sur Hilbert) et l'imagerie médicale (conversion d'un signal réel en sa représentation analytique).

## Définition.

Soit une fonction, $s(t)$, définie sur $\mathbf{R}$ à valeurs dans $\mathbf{R}$, nous appelons transformée de Hilbert, la fonction, $\hat{s}$, définie par :

$$ \hat{s}(t) = \mathcal{H}\{s(t)\} = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{s(\tau)}{t-\tau} d\tau . \qquad (III.1) $$

Cette définition montre que la transformée de Hilbert est essentiellement une convolution du signal, $s(t)$, avec la fonction, $1/\pi t$. Notons que cette propriété de convolution est cruciale, car elle montre comment les composantes fréquentielles d'un signal peuvent être déphasées de 90 degrés, résultant en une représentation complexe.

<footnote n="1">¹F. W. King, *Hilbert Transforms*, Volume 2, Cambridge University Press, 2009.</footnote>
Exemples de transformées de Hilbert.

Nous donnons dans le tableau ci-dessous des exemples de fonctions réelles et leurs transformées de Hilbert :

<table><thead><tr><th>Signal</th><th>Transformée H</th></tr></thead><tbody><tr><td>sin t</td><td>- cos t</td></tr><tr><td>cos t</td><td>sin t</td></tr><tr><td>1/t<sup>2+1</sup></td><td>t/(t<sup>2+1</sup>)</td></tr><tr><td>signal cardinal : sin t/t</td><td>(1-cos t)/t</td></tr><tr><td>fonction porte : Π(t)</td><td>(1/π) ln |(t+1/2)/(t-1/2)|</td></tr><tr><td>impulsion de Dirac : δ(t)</td><td>1/πt</td></tr></tbody></table>

Ici, la fonction porte est définie par :

$$ \Pi(t) = \begin{cases} 1 & t \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] , \\ 0 & \text{sinon} . \end{cases} $$

Le graphe de cette fonction a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom. ■
FIGURES
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3.2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 3.3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 3.4</figcaption></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 7.2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 7.3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7.4</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 7.5</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 7.6</figcaption></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 7.7</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 7.8</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 7.9</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 7.10</figcaption></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 7.11</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 7.12</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 7.13</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 7.14</figcaption></figure>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 7.15</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 7.16</figcaption></figure>