# Probabilités a posteriori des paramètres d'une loi normale

Edgar Baticle

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## To cite this version:

Edgar Baticle. Probabilités a posteriori des paramètres d'une loi normale. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.327-332. hal-04092925

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Submitted on 9 May 2023

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# PROBABILITÉS A POSTERIORI DES PARAMÈTRES
D'UNE LOI NORMALE

## Edgar BATICLE

Je considère une loi normale dont la densité de probabilité est $h/\sqrt{\pi} e^{-h^2(x-n)^2}$. On a effectué une épreuve qui a donné les résultats $x_1, x_2, ..., x_n$. Je me propose de montrer qu'il est possible avec ces résultats, supposés indépendants, de calculer la probabilité du couple aléatoire (M, H), correspondant aux valeurs certaines $m$ et $h$ des paramètres, sans qu'il soit nécessaire de faire appel au théorème de Bayes.

Ce calcul repose sur la remarque suivante : "Si une variable z est une fonction croissante, ou décroissante, $\varphi(t)$ d'une autre variable $t$ et si Z et T sont deux variables aléatoires telles qu'on ait $Z = \varphi(T)$ on a :

$$ \mathrm{Pr}\{Z < z\} = \mathrm{Pr}\{\varphi(T) < \varphi(t)\} = \mathrm{Pr}\{T < t\} $$

ou

$$ \mathrm{Pr}\{Z < z\} = \mathrm{Pr}\{\varphi(T) < \varphi(t)\} = \mathrm{Pr}\{T < t\}, $$

selon que la fonction $\varphi(t)$ est croissante ou décroissante.

Si, de plus la fonction $\varphi(t)$, supposée croissante, varie de 0 pour $t = -\infty$ à 1 pour $t = +\infty$, $z = \varphi(t)$ est la fonction de répartition de la variable aléatoire T. Si la fonction $\varphi(t)$ est décroissante et varie de +1 pour $t = -\infty$ à 0 pour $t = +\infty$, $z = 1 - \varphi(t)$ est la fonction de répartition de T, et l'on a toujours $\mathrm{Pr}\{Z < z\} = z$ : la distribution de z sur le segment $(0, 1)$ est uniforme".

Cela posé, je considère la fonction de répartition des $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1, X_2, ..., X_n$ c'est-à-dire l'intégrale multiple $z = \iint...\iint e^{-h^2 \sum (x_i - m)^2} (h/\sqrt{\pi})^n dx_1 dx_2... dx_n$ dans laquelle les limites supérieures d'intégration sont $x_1, x_2, ..., x_n$. Soit $F_n(x_1, x_2, ..., x_n; m, h)$ cette fonction. Si les $\underline{x}_1, \underline{x}_2, ..., \underline{x}_n$ sont donnés, on voit ai-
sément que $F_n$ est une fonction décroissante de $\underline{m}$ et croissante de $\underline{h}$.

Je considère maintenant les variables aléatoires Z, M, H cor-
respondant respectivement à $\underline{z}$, $\underline{m}$, $\underline{h}$ et telles que l'on ait pour les
valeurs $\underline{x}_1, \underline{x}_2, \dots, \underline{x}_n : Z = F_n(x_1, x_2, \dots, x_n; M, H)$.

1/ - Quelles que soient les valeurs attribuées à M et H la fonction $F_n(x_1, x_2, \dots; m, h)$ est une fonction de répartition des $\underline{x}$ et la coordonnée $\underline{z}$ est telle que $\Pr\{Z < z\} = z$.

2/ - Si on donne à H la valeur certaine $\underline{h}$, on obtient

$$
Z_{\underline{h}} = F_{\underline{h}}(x_1, x_2, \dots, x_n; M, h)
$$

et l'on a pour la valeur certaine $\underline{m}$ :

$$
F_n(x_1, x_2, \dots, x_n; m, h) = z = \Pr\{Z_n < z\},
$$

et, d'après la remarque préliminaire, on a :

$$
\mathrm{Pr}\{Z_n < z\} = \mathrm{Pr}\{M > m \mid z\}
$$

De même, on aurait pour la valeur certaine $\underline{m}$ attribuée à
M :

$$
Z_m = F_n(x_1, x_2, \dots, x_n; m, H)
$$

et pour $H = h$ :

$$
F_n(x_1, x_2, \dots, x_n; m, h) = z = P\{Z_m > z\} = \Pr\{H < h \mid m\}
$$

3/ - Mais, du fait que Z = F_n(x_1 x_2 ... x_n; M, H) établit pour toute valeur certaine z attribuée à Z une relation fonctionnelle entre M et H telle que si M croît, H décroît, et réciproquement, M > m entraîne H < h.

Par conséquent, la valeur commune de $\Pr\{M > m\}|_n$ et $\Pr\{H < h\}|_m$ est égale à $\Pr\{M > m; H < h\}$.

Cela étant admis, on sait que si on appelle $\underline{\mu}$ et $\underline{\sigma}$ la moyenne et l'écart-type empirique des $x_i \dots x_n$, l'intégrale multiple ci-dessus se ramène, à une constante près, à l'intégrale double
$$ \iint h^n e^{-nh^2[\sigma^2+(\mu-m)^2]} \sigma^{n-2} d\mu d\sigma. $$ Or, cette intégrale peut s'écrire :

$$
\iint h^{n-1} e^{-nh^2} \left[ \sigma^2 + (\mu-m)^2 \right]^{n-2} d\sigma \, d(\mu-m) \, d\left(\frac{h}{\sigma}\right)
$$
Si, laissant fixes $\mu$ et $\sigma$, qui résultent de l'épreuve, je considère $\underline{h}$ et $\overline{m}$ comme variables, on pourra écrire :

$$z = K \iint h^{n-1} e^{-nh^2 [\sigma^2 + (\mu-m)^2]} dm dh.$$

Donc $z$ - en supposant $\underline{k}$ déterminé par la condition que $z = 1$ pour $\overline{m}$ et $\underline{h}$ infinis ($\underline{h}$ étant d'ailleurs essentiellement positif) - est la probabilité que $M$ est supérieur à $\overline{m}$ et $H$ inférieur à $\underline{h}$.

La densité de probabilité du couple aléatoire (M, H) est donc, à un facteur constant près :

$$h^{n-1} e^{-nh^2 [\sigma^2 + (\mu-m)^2]}$$

En intégrant par rapport à $\underline{h}$ de 0 à $+\infty$ on voit que la densité de probabilité de $\overline{m}$ est proportionnelle à $[\sigma^2 + (\mu - m)]^{-n/2}$, et si on pose $\frac{\mu - m}{\sigma} = \cot \theta$ on trouve que la densité de probabilité de $\theta$ est $A_n \sin^{n-2}\theta$, avec $A_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin^{n-2}\theta = 1$. D'où $A_n = 1/\sqrt{\pi} \cdot \frac{\Gamma_n}{\frac{1}{2}} : \frac{\Gamma_{n-1}}{\frac{1}{2}}$.

De même, on trouverait en intégrant par rapport à $\overline{m}$ que la densité de probabilité de $H$ est $K e^{-nh^2\sigma^2} h^{n-2}$ avec $K \sim \frac{2}{\Gamma_{n-1}} \frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{1}{2}} \sigma^{n-1}$.

Il est à remarquer que l'expression trouvée pour la densité de probabilité du couple (M, H) est celle qu'on aurait obtenue en appliquant le théorème de Bayes avec la probabilité a priori virtuelle $\frac{d_n}{h}$ proposée par divers auteurs.

Les résultats précédents trouvent une application particulièrement importante dans l'interprétation des résultats d'épreuves quantitatives sur échantillons, quand on admet la validité de la loi de Laplace-Gauss.

1/ - On peut, en premier lieu, se proposer de rechercher quelle est la probabilité a posteriori d'une valeur donnée de la moyenne (m) du caractère étudié dans la population-mère.

La formule énoncée ci-dessus donne le résultat cherché. On a :
$$
\mathrm{Pr}\{M \geq m\} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \int_{0}^{\theta} \sin^{n-2}\theta \, d\theta,
$$

formule dans laquelle $\underline{n}$ est l'effectif de l'échantillon et $\theta$ un angle
auxiliaire tel que l'on ait $\cot^2 \theta = \frac{(m - \mu)^2}{\sigma^2}$

C'est d'ailleurs le problème inverse qu'on a le plus souvent
à résoudre : on cherche la valeur de m qui a une probabilité donnée
de ne pas être atteinte ou d'être dépassée.

Il s'agit là d'une technique connue sur laquelle il n'y a pas
lieu d'insister et qui rejoint la théorie de l'intervalle de confiance.
D'ailleurs cot θ n'est autre que la variable t de Student.

2/ - Il faut remarquer que la probabilité de la moyenne n'est
pas toujours la plus importante. Par exemple, quand on se préoc-
cupe du degré de sécurité sur lequel on peut compter dans l'utili-
sation du lot d'où l'on a extrait l'échantillon soumis à l'épreuve,
ce qui importe c'est que le caractère envisagé ait une probabilité
d'être atteint (ou, selon le cas, dépassé) qu'on puisse considérer
comme négligeable.

Pour répondre à cette question, nous cherchons la densité de
probabilité d'une valeur x de la variable, compte tenu des résultats
de n essais.

Cette densité de probabilité est, d'après ce qui est établi ci-
dessus, proportionnelle à l'intégrale

$$
\iint h e^{-h^2 (x-m)^2} \times h^{n-1} e^{-h^2 \sum (x_i - m)^2} dh dm
$$

prise de 0 à +∞ pour h et de -∞ à +∞ pour m.

Posons

$$
(n + 1)s' = \sum x_i^2 + x
$$

$$
\text{et} \quad (n + 1) \mu' = \sum x_i + x
$$

Le coefficient de $-h^2$ dans l'exponentielle devient alors :

$$
(n + 1) \left[ (m - \mu')^2 + s'^2 - \mu'^2 \right]
$$

Faisons le changement de variable
$$h = (n + 1)^{-1/2} [(m - \mu')^2 + s'^2 - (\mu'^2)]^{-1/2} u$$

L'intégrale double devient :

$$\int_{u=0}^{\infty} \int_{m=-\infty}^{+\infty} u^n e^{-u} (n+1)^{-\frac{n+1}{2}} [(m - \mu')^2 + s'^2 - (\mu'^2)]^{-\frac{n+1}{2}} du \, dn$$

On voit qu'elle est proportionnelle à :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} [(m - \mu')^2 + s'^2 - (\mu'^2)]^{-\frac{n+1}{2}} dm$$

qui devient si on fait le nouveau changement de variable :

$$m - \mu' = t(s'^2 - \mu'^2)^{1/2} :$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} (1 + t^2)^{-\frac{n+1}{2}} (s'^2 - \mu'^2)^{-\frac{n}{2}} dt$$

Elle est donc proportionnelle à $(s'^2 - \mu'^2)^{-n/2}$.

Evaluons $s'^2 - \mu'^2$ en fonction de $\sigma$, $\mu$, $x$. On a :

$$\begin{aligned}
s'^2 - \mu'^2 &= \frac{1}{(n+1)^2} \left\{ (n+1)(\sum x_i^2 + x^2) - \left[ (\sum x_i)^2 + 2x \sum x_i + x^2 \right] \right\} \\
&= \frac{1}{(n+1)^2} \left[ (n+1)(n\sigma^2 + n\mu^2 + x^2) - (n^2\mu^2 + 2nx + x^2) \right] \\
&= \frac{n}{(n+1)^2} \left[ (n+1)\sigma^2 + (x - \mu)^2 \right] = \frac{n}{n+1} \left[ \sigma^2 + \frac{(x - \mu)^2}{n+1} \right]
\end{aligned}$$

Si on pose $\frac{(x - \mu)^2}{(n + 1)\sigma^2} = \cot^2\varphi$, la densité de probabilité de $\varphi$ sera $A_n \sin^{n-2}\varphi$ et sa fonction de répartition :

$$\int_{0}^{\varphi} A_n \sin^{n-2}\varphi \, d\varphi = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} \int_{0}^{\varphi} \sin^{n-2}\varphi \, d\varphi$$

La loi de probabilité de $\varphi$ est donc la même que celle de $\vartheta$ et l'on passe de $\vartheta$ à $\varphi$ par la relation $\cot^2\vartheta = (n + 1) \cot^2\varphi$. Une seule table suffit pour le calcul des probabilités de $\underline{m}$ et de $\underline{x}$.

Si on appelle $k$ ($K = \cot \varphi$) l'écart normé de $x$ par rapport à
la moyenne empirique $\mu$, les valeurs de $k$, en fonction de $n$ pour les probabilités 0,001; 0,002; 0,010, sont données par le tableau ci-dessous :

<table><thead><tr><th>p</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th><th>12</th><th>15</th><th>...</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,010</td><td>9,8</td><td>5,8</td><td>4,6</td><td>4,2</td><td>3,55</td><td>3,4</td><td>3,2</td><td>3,1</td><td>2,9</td><td>2,8</td><td>2,57</td></tr><tr><td>0,002</td><td>22,6</td><td>10,5</td><td>7,2</td><td>6,1</td><td>5,2</td><td>4,7</td><td>4,56</td><td>4,45</td><td>3,9</td><td>3,6</td><td>3,09</td></tr><tr><td>0,001</td><td>31,4</td><td>13,2</td><td>8,9</td><td>7</td><td>5,9</td><td>5,4</td><td>5</td><td>4,7</td><td>4,3</td><td>4</td><td>3,29</td></tr></tbody></table>

M. Edgar Baticle m'a remis cette note le 7 mai 1960, à la fin d'une séance de Séminaire de Statistique. Bien que tous les participants du Séminaire n'aient pas été d'accord avec les conclusions de l'auteur nous publions ce travail en raison de son intérêt.

Daniel Dugué

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