# La formation de capital fixe est-elle suffisamment flexible ?

François Legendre, Fabrice Paretti

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François Legendre, Fabrice Paretti. La formation de capital fixe est-elle suffisamment flexible?. 1994. halshs-04697016

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CAHIERS ECO & MATHS

94.01

LA FORMATION DE CAPITAL FIXE
EST-ELLE SUFFISAMMENT FLEXIBLE ?

François LEGENDRE

Fabrice PARETTI

MAD
La formation de capital fixe est-elle
suffisamment flexible ?

François Legendre<fnref n="1" /> et Fabrice Paretti<fnref n="2" />

L'investissement s'est-il comporté, en France au cours de ces vingt dernières années, comme les théories le suggèrent ? A-t-il été, notamment, suffisamment volatile ? Un modèle simple d'accélérateur aurait conduit à des fluctuations plus marquées ; c'est ce que constatent Épaulard [1992], Glachant et Nivet [1989] et Morin, Norotte et Venet [1987] en soulignant que le modèle d'accélérateur a perdu de son pouvoir explicatif. Il reste que des formulations plus éclectiques (de type accélérateur-profit d'un usage courant en modélisation macro-économétrique) permettent de rendre compte de façon (assez) satisfaisante de l'évolution de l'investissement depuis les années 1970.

Cependant, dans ces formulations de type accélérateur-profit, le rôle du pro-
fit reste ambigu. S'agit-il d'une variable retraçant l'intervention d'une contrainte de
financement (le profit permettant l'investissement) ou s'agit-il d'une variable à inter-
préter comme l'anticipation des profits futurs (le profit motivant l'investissement) ?

Les formulations de type accélérateur, par l'importance qu'elles accordent à la
demande, peuvent être rattachées à une tradition keynésienne. En revanche, il est
plus difficile d'identifier la filiation des formulations accordant une place prépondé-
rante au profit. Si ce dernier est analysé comme rendant compte d'une contrainte de
financement, il faut sans doute se tourner vers l'un des avatars du courant keynésien,
parce que cela revient à souligner l'importance des imperfections sur les marchés fi-
nanciers et la présence d'un rationnement du crédit. Si c'est plutôt la profitabilité
(la différence entre le taux de profit et le coût d'usage du capital) qui est mise
en avant pour justifier le profit comme argument de la décision d'investissement,
il devient alors difficile d'apporter une réponse très nette. En effet, d'un côté, Ma-
linvaud [1987] a développé une modélisation où, via l'incertitude sur les débouchés
futurs, la profitabilité joue un rôle prépondérant. D'un autre côté, une perspective
néo-classique<fnref n="3" /> conduit, elle-aussi, à des formulations assez semblables de la décision
d'investissement. Cette perspective s'oppose-t-elle alors au corpus standard propre
à la théorie néo-classique n'accordant, pour allouer les ressources, un rôle qu'aux
seules variables de prix ?

L'objet de ce travail est double. Dans une première partie, nous montrons qu'une
formulation particulière du processus productif (qui mêle une hypothèse de rende-
ments constants et une hypothèse de coûts d'ajustement), s'inscrivant dans une
tradition néo-classique, permet d'obtenir *la profitabilité* comme argument des dé-
cisions d'emploi des facteurs de production. Ce résultat est maintenant assez bien

<footnote n="1">¹Université de Paris I, MAD et Commissariat général du Plan, Service économique.</footnote>

<footnote n="2">²Université de Paris I, MAD.</footnote>

<footnote n="3">³mais renouvelée, en adoptant notamment une hypothèse de coûts d'ajustement.</footnote>
connu et nous nous sommes surtout attachés à présenter le plus clairement possible
le modèle et ses implications. Dans une seconde partie, nous cherchons à tester la va-
lidité d'une telle modélisation en développant une expérimentation économétrique.
Cet exercice appliqué s'appuie sur des données annuelles de branches industrielles
françaises. Il nécessite le recours à une méthode d'estimation particulière (la mé-
thode des moments généralisés) car, si d'un côté nous avons retenu une hypothèse
d'anticipations rationnelles, d'un autre côté, nous n'avons pas voulu spécifier le mode
de formation effectif des anticipations. Cette méthode ne livre en contrepartie que
des enseignements limités : nous montrons que notre spécification n'est en général
pas rejetée par les données et que les coûts d'ajustement absorberaient entre 0,1 %
et 4,2 % de la valeur ajoutée selon les branches.

# 1 Théorie néo-classique et coûts d'ajustement

Nous voulons souligner, en premier lieu, que l'hypothèse de coûts d'ajustement permet de sensiblement renouveler l'interprétation des décisions de production que délivre la théorie néo-classique. En second lieu, nous montrons l'importance qu'il convient d'accorder à la spécification des coûts d'ajustement.

## 1.1 Un vrai-faux modèle préliminaire

Dans un souci didactique, nous développons un premier modèle très simple permettant de mettre en évidence les résultats essentiels liés à une approche reposant sur la conjonction, dans une perspective néo-classique, d'une hypothèse de rendements constants et d'une hypothèse de coûts d'ajustement.

L'entreprise, au temps $t$, produit un bien en quantité $y_t$ à l'aide d'un seul facteur de production employé en quantité $x_t$ en recourant à une technique à rendements constants (la fonction de production est homogène de degré un soit, au cas particulier de ce modèle, linéaire) :

$$y_t = F(x_t) = ax_t \quad a > 0$$

Le paramètre $a$ est la productivité moyenne de l'input $x$, aussi égale à la productivité marginale constante quelque soit le niveau de production.

Cette rigidité de la structure productive<fnref n="4" /> ne permet pas une allocation des ressources selon les modalités mises en avant par la théorie néo-classique, reposant notamment sur la flexibilité du rapport input - output.

En effet, en notant $p_t$ le prix de l'output et $q_t$ le prix de l'input, la solution du programme de maximisation du profit de l'entreprise (noté $\pi_t$ avec $\pi_t = p_t y_t - q_t x_t$), en supposant que cette dernière est "preneuse" de prix sur ces deux marchés, se réduit à la fonction (discontinue) de demande $x_t^d$, pour l'input $x$, suivante :

$$\text{si } ap_t < q_t \quad x_t^d \text{ est égal à zéro}$$

$$\text{si } ap_t = q_t \quad x_t^d \text{ est indéterminé}$$

$$\text{si } ap_t > q_t \quad x_t^d \text{ est infini}$$

<footnote n="4">⁴l'impossibilité, via les variations du niveau de la production, d'obtenir une égalisation de la productivité marginale du facteur de production à son coût.</footnote>
Les deux termes de la comparaison sont respectivement $ap_t$ (la productivité marginale en termes nominaux de l'input) et $q_t$ (le coût en termes nominaux de l'input). En l'absence de flexibilité du premier terme, la solution retenue est nécessairement discontinue, conduisant par exemple l'entreprise à vouloir produire une quantité infinie si la productivité marginale du facteur de production est supérieure à son coût.

Un moyen pour lever cette indétermination repose sur l'hypothèse de coûts d'ajustement, les coûts qu'il y aurait à faire varier la quantité d'input employée. Mais le programme de l'entreprise change alors de nature en intégrant une dimension intertemporelle. Nous supposons que l'entreprise, au temps $t$, cherche à déterminer son plan de production optimal ($x_t$ et ainsi $y_t$) en connaissant $p_t$ et $q_t$, en ignorant précisément l'évolution future de ces deux prix (ces deux grandeurs doivent ainsi être anticipées par l'entreprise et nous retenons l'hypothèse d'anticipations rationnelles) et en étant contrainte par le niveau d'input employé au temps $t-1$ ($x_{t-1}$ constitue de la sorte la condition initiale du problème).

Les coûts d'ajustement doivent être spécifiés comme une fonction convexe de la variation du niveau de l'input pour traduire l'idée d'un ajustement de plus en plus coûteux au fur et à mesure de plus grandes variations de l'échelle de la production. Il s'agit là simplement de retracer le caractère assez largement irréversible des décisions de production. Le plus simple est alors de retenir la spécification quadratique suivante, au temps $t$ :

$$ \frac{1}{2} b p_t (\Delta x_t)^2 \quad b > 0 \quad \Delta x_t \equiv x_t - x_{t-1} $$

Le terme $p_t$ provient de la nécessité de spécifier les coûts d'ajustement en termes nominaux. Ces derniers s'interprètent ainsi comme un manque à produire qui vient diminuer le chiffre d'affaires. Soit l'écriture suivante du profit au temps $t$ :

$$ \pi_t = p_t y_t - q_t x_t - \frac{1}{2} b p_t (\Delta x_t)^2 $$

L'hypothèse de coûts d'ajustement introduit un lien entre les différentes périodes et le programme de l'entreprise prend la forme de la révision, au temps $t$, de tous ses plans de production présent et futurs en maximisant un critère correspondant à l'actualisation des flux présent et futurs de profit :

$$ \max E_t \sum_{\tau=0}^{\infty} R^{\tau} \{ p_{t+\tau} y_{t+\tau} - q_{t+\tau} x_{t+\tau} - \frac{1}{2} b p_{t+\tau} (\Delta x_{t+\tau})^2 \} \quad x_{t-1} \text{ fixé} $$

sous la contrainte :

$$ y_{t+\tau} = ax_{t+\tau} \quad \tau = 0, 1, 2, \dots $$

où $R$ est un facteur d'actualisation constant ($R < 1$) conduisant à déprécier les flux futurs de revenus. $E_t$ est l'opérateur d'espérance mathématique conditionnelle à l'ensemble d'information disponible à l'instant $t$ (cet ensemble intègre notamment $p_t$ et $q_t$).

Les conditions du premier ordre de ce programme prennent la forme suivante :

$$ E_t R^{\tau} \{ ap_{t+\tau} - q_{t+\tau} - bp_{t+\tau} \Delta x_{t+\tau} \} + E_t R^{\tau+1} bp_{t+\tau+1} \Delta x_{t+\tau+1} = 0 \quad \tau = 0, 1, 2, \dots $$
Pour $\tau = 0$, c'est-à-dire pour dériver la règle déterminant $x_t$, l'équation suivante (encore appelée équation d'Euler) est obtenue :

$$ \Delta x_t = E_t \left[ \frac{Rp_{t+1}}{p_t} \Delta x_{t+1} \right] + \frac{1}{bp_t} (ap_t - q_t) $$

Cette règle de décision s'interprète de la façon suivante. L'ajustement à réaliser aujourd'hui — le terme $\Delta x_t$ — dépend de l'ajustement à réaliser demain tel qu'il peut être anticipé aujourd'hui — le terme $E_t(Rp_{t+1}/p_t)\Delta x_{t+1}$ — et de l'incitation qu'il y a à produire aujourd'hui modulé par l'ampleur des coûts d'ajustement — le terme $(1/bp_t)(ap_t - q_t)$. La seconde partie de ce dernier terme (la quantité $ap_t - q_t$) peut recevoir une interprétation plus suggestive encore : elle correspond à la profitabilité, le profit nominal généré par une unité d'input.

Ainsi, ce modèle d'essence néo-classique conduit à intégrer le profit courant (mais aussi tous les profits futurs anticipés en résolvant explicitement le modèle) comme argument de la décision de production. Il s'oppose sur ce point à la logique propre à cette théorie n'accordant habituellement un rôle qu'aux variables de prix, conçues comme les seuls signaux permettant une allocation efficace des ressources.

Pour tirer toutes les conséquences de l'irréversibilité des décisions de production introduite par l'hypothèse de coûts d'ajustement, il serait nécessaire de résoudre explicitement le modèle, par substitutions successives par exemple. Pour $\tau = 0$ et $\tau = 1$, les conditions du premier ordre prennent la forme suivante :

$$ \Delta x_t = \frac{R}{p_t} E_t [p_{t+1} \Delta x_{t+1}] + \frac{1}{bp_t} (ap_t - q_t) $$

et

$$ E_t p_{t+1} \Delta x_{t+1} = R E_t [p_{t+2} \Delta x_{t+2}] + \frac{1}{bp_t} E_t [ap_{t+1} - q_{t+1}] $$

soit, par substitution :

$$ \Delta x_t = \frac{R^2}{p_t} E_t [p_{t+2} \Delta x_{t+2}] + \frac{R}{bp_t} E_t [ap_{t+1} - q_{t+1}] + \frac{1}{bp_t} (ap_t - q_t) $$

Il apparaît de la sorte que la décision courante dépend de toute la chronique, présente et future, de l'incitation à produire telle qu'elle peut être anticipée aujourd'hui — le terme $E_t[ap_{t+\tau} - q_{t+\tau}]$. Nous ne détaillons pas plus ce mode de résolution<fnref n="5" />.

L'hypothèse de coûts d'ajustement permet ainsi de renouveler assez profondement l'approche néo-classique, sur au moins les quatre points suivants :

1. En introduisant, même de façon sommaire, de l'irréversibilité dans les décisions de production, l'environnement futur de l'entreprise acquiert un rôle prépondérant. La nécessité d'anticiper cet environnement futur est de la sorte soulignée.

2. Cette hypothèse permet de lever l'indétermination affectant le niveau de l'offre (de bien) et de la demande (de facteurs de production) quand les rendements sont constants. Elle donne notamment un contenu précis aux notions, large- ment développées dans les manuels, de "coût marginal à court terme" et de "coût marginal à long terme".

<footnote n="5">⁵cf. Sargent [1978], Hénin [1983] ou Laurent et Legendre [1987].</footnote>
3. Une théorie de l'entreprise, absente dans le modèle canonique d'équilibre général à la Arrow-Debreu, est ébauchée ; cette théorie est proche de celle qui met l'accent sur les investissements spécifiques concédés par les entreprises<fnref n="6" />. Les coûts d'ajustement, en effet, peuvent s'interpréter comme des investissements spécifiques réalisés par une entreprise. Concernant le travail, ils recouvrent, par exemple, l'ensemble des coûts de formation conférant aux salariés de l'entreprise un savoir-faire particulier. Cette théorie de l'entreprise permet de donner un sens à la valeur de l'entreprise et au système des droits de propriété (dans le modèle élémentaire d'équilibre général, les ménages louent les biens d'équipement aux entreprises ; celles-ci n'ont pas d'existence propre).

4. Pour ce qui a trait aux décisions d'investissement, cette approche peut être reliée à la littérature portant sur le “q” de Tobin ; cf. Hayashi [1982].

Il nous faut maintenant revenir au modèle initial car la spécification utilisée pour les coûts d'ajustement souffre de ne pas être homogène. Ce point est détaillé dans la sous partie suivante.

## 1.2 Un modèle simple homogène

Jusqu'à maintenant, nous avons retenu la formulation suivante pour les coûts d'ajustement :

$$ \frac{1}{2} b p_t (\Delta x_t)^2 \quad \Delta x_t \equiv x_t - x_{t-1} $$

Cette spécification n'est cependant pas correcte car elle fait porter la convexité de la fonction de coût (retraçant l'irréversibilité de décision de production) sur la variation absolue du facteur de production. C'est donc, implicitement, admettre que les plus petites entreprises supportent des coûts d'ajustement négligeables. Il faut, au contraire, adopter une formulation où, pour une même variation relative de l'échelle de la production (une variation de 10 % par exemple), une entreprise deux fois plus grande qu'une première supporte des coûts d'ajustement qui ne soit que le double de la première (et non le quadruple comme ce serait le cas avec la formulation faisant intervenir la variation absolue).

Pour s'en tenir à une spécification simple, en notant $G(\Delta x_t, x_t)$ la fonction de coût d'ajustement associée à une variation absolue de $x$ d'un montant $\Delta x_t$ pour atteindre le niveau $x_t$, cette fonction peut s'écrire de la façon suivante :

$$ G(\Delta x_t, x_t) = \frac{1}{2} b p_t \left(\frac{\Delta x_t}{x_t}\right)^2 x_t = \frac{1}{2} b p_t \frac{(\Delta x_t)^2}{x_t} \quad \Delta x_t \equiv x_t - x_{t-1} $$

Elle est ainsi homogène de degré un en ses deux arguments (c'est cette homogénéité que nous recherchons), c'est-à-dire qu'elle présente la propriété suivante :

$$ G(\lambda \Delta x_t, \lambda x_t) = \lambda G(\Delta x_t, x_t) \quad \forall \lambda > 0 $$

<footnote n="6">⁶cf., par exemple, la présentation très claire de Tirole [1988], chapitre 1.</footnote>
La modélisation en temps discret introduit une ambiguïté pour définir un taux de croissance. Il est en effet possible de retenir l'une des deux définitions suivantes :

$$ \frac{\Delta x_t}{x_t} \quad \text{et} \quad \frac{\Delta x_t}{x_{t-1}} $$

Nous retenons, de façon inhabituelle, la première définition parce qu'elle conduit à une écriture plus simple de l'équation d'Euler. En adoptant cette nouvelle spécification des coûts d'ajustement, le programme de l'entreprise devient :

$$ \begin{gather*} \max E_t \sum_{\tau=0}^{\infty} R^{\tau} \{ p_{t+\tau} y_{t+\tau} - q_{t+\tau} x_{t+\tau} - \frac{1}{2} b p_{t+\tau} (\dot{x}_{t+\tau})^2 x_{t+\tau} \} \\ x_{t-1} \text{ fixé et } \dot{x}_{t+\tau} \equiv \frac{x_{t+\tau} - x_{t+\tau-1}}{x_{t+\tau}} \end{gather*} $$

sous la contrainte :

$$ y_{t+\tau} = ax_{t+\tau} \quad \tau = 0, 1, 2, \dots $$

Les conditions du premier ordre sont de la forme suivante (pour $\tau = 0, 1, 2, \dots$) :

$$ E_t R^{\tau} \left\{ a p_{t+\tau} - q_{t+\tau} - b p_{t+\tau} \left( \dot{x}_{t+\tau} - \frac{1}{2} (\dot{x}_{t+\tau})^2 \right) \right\} + E_t R^{\tau+1} b p_{t+\tau+1} \dot{x}_{t+\tau+1} = 0 $$

Pour $\tau = 0$, la condition du premier ordre fournit l'expression suivante pour $\dot{x}_t$ :

$$ \dot{x}_t = E_t \left[ \frac{R p_{t+1}}{p_t} \dot{x}_{t+1} \right] + \frac{1}{bp_t} (ap_t - q_t) + \frac{1}{2} (\dot{x}_t)^2 $$

Cette expression ne constitue cependant qu'une résolution incomplète pour les deux raisons suivantes :

* comme précédemment, le modèle n'est pas complètement résolu (il faudrait expliciter le terme $E_t [(Rp_{t+1}/p_t)\dot{x}_{t+1}]$);

* à la différence du modèle développé ci-avant, l'équation d'Euler n'est plus linéaire puisqu'elle intègre le terme quadratique $\frac{1}{2}(\dot{x}_t)^2$.

La définition que nous avons retenu pour le taux de croissance en temps discret ($\dot{x}_t \equiv (x_t - x_{t-1})/x_t$) permet d'obtenir, dans l'équation d'Euler, un terme quadratique contemporain (c'est-à-dire un terme $\dot{x}^2$ au temps $t$). Par contre, en retenant la définition usuelle ($\dot{x}_t \equiv (x_t + -x_{t-1})/x_{t-1}$), l'équation d'Euler aurait présenté la forme suivante, pour $\tau = 0$ :

$$ \dot{x}_t = E_t \left[ \frac{R p_{t+1}}{p_t} \dot{x}_{t+1} \right] + \frac{1}{bp_t} (ap_t - q_t) + \frac{1}{2} E_t (\dot{x}_{t+1})^2 $$

Le terme quadratique est alors relatif à la période $t+1$, ce qui rend nécessaire son anticipation. C'est pour contourner les difficultés liées au traitement économétrique de cette dernière formulation que nous préférons retenir la définition précédente du taux de croissance.
Un problème similaire — celui du “calage” temporel dans une modélisation en temps discret — survient si un décalage est introduit dans le processus productif. La technique de production est représentée par l'équation suivante :

$$y_{t+\tau} = ax_{t+\tau-1}$$

Ce n'est alors plus l'incitation courante à produire qui intervient dans l'équation d'Euler, mais un terme de la forme suivante :

$$\frac{1}{bp_t}E_t[Rap_{t+1} - q_t]$$

où $E_t Rap_{t+1}$ est la productivité marginale (actualisée et anticipée) de $x_t$.

Ce modèle d'entreprise — très simple — doit cependant être amendé afin de permettre d'en obtenir un modèle néo-classique d'investissement. Ce point, ainsi que la présentation des résultats des tests économétriques, font l'objet de la seconde partie de ce travail.

# 2 La décision d'investissement

Nous présentons, dans un premier temps, le modèle finalement utilisé dans notre expérimentation économétrique. Nous livrons, dans un second temps, les résultats de cet exercice appliqué.

## 2.1 Un modèle néo-classique d'investissement

Notre présentation précédente doit être remaniée afin d'obtenir un modèle apte à expliciter les comportements d'investissement<fnref n="7" />. Pour ce faire, nous retenons une représentation de l'activité productive distinguant, ainsi qu'il en est habituel en macro-économie appliquée, deux facteurs de production, le capital (noté $K$) et le travail (noté $L$). Le produit (noté $Q$) est relié aux stocks des deux facteurs via une fonction de production à rendements constants :

$$Q_t = F(K_t, L_t)$$

Le capital, bien durable, se déprécie à chaque période $t$ du montant $\delta K_{t-1}$ ($\delta$ est un taux de dépréciation constant compris entre 0 et 1) ; en revanche, il s'accroît du montant $I_t$, l'investissement brut de la période. Son évolution est ainsi retraçée par l'équation suivante :

$$K_t = K_{t-1} - \delta K_{t-1} + I_t = (1-\delta)K_{t-1} + I_t$$

Nous considérons l'investissement comme immédiatement productif (c'est là encore l'ambigüité des formulations en temps discret) ; par contre, il occasionne des coûts d'ajustement, spécifiés de la façon suivante :

$$G(I_t, K_t) = \frac{1}{2} bp_t \left( \frac{I_t}{K_t} - \delta \right)^2 K_t$$

<footnote n="7">⁷Notre modèle est très proche de celui proposé notamment par Bond et Meghir [1990].</footnote>
Comme nous l'avons expliqué précédemment, la fonction de coût d'ajustement est homogène de degré un en $I_t$ et $K_t$. De plus, cette dernière fait intervenir via le terme $I_t/K_t - \delta$ le taux d'accumulation net (de l'investissement de remplacement) de sorte que l'entreprise ne subit pas de coûts d'ajustement quand elle se contente de renouveler à l'identique son stock de capital. En effet, quand $I_t = \delta K_{t-1}$, on a $K_t = K_{t-1}$ et $I_t/K_t - \delta = 0$ ; ainsi $G(\delta K_{t-1}, K_t) = 0$. Nous postulons de la sorte l'absence de coûts bruts d'ajustement : les coûts d'ajustement ne sont liés qu'aux modifications de l'échelle de la production.

Nous supposons que l'emploi peut être librement ajusté (absence de coûts d'embauche, de formation, de licenciements, etc.). Cette hypothèse est tout-à-fait contestable ; elle a le seul intérêt de respecter la hiérarchie habituellement retenue pour caractériser l'ajustement des facteurs de production, le capital étant tenu pour un facteur de production moins flexible que l'emploi.

Pour tenir compte des fluctuations relativement amples du taux d'intérêt à long terme au cours des vingt dernières années, nous définissons le facteur d'actualisation de la façon suivante :

$$R_{t+\tau} = \prod_{i=1}^{\tau} (1+r_{t+i})^{-1} \quad \text{pour } \tau > 0$$

où $r_{t+i}$ est le taux d'actualisation spécifique de la période $t + i$ ($R_t$, conventionnellement, est pris égal à un).

Enfin, en notant respectivement $p_t$, $q_t$ et $w_t$ les prix de l'output, des biens d'équipement et du travail, le programme de l'entreprise s'écrit :

$$\max E_t \sum_{\tau=0}^{\infty} R_{t+\tau} \{p_{t+\tau} Q_{t+\tau} - \frac{1}{2} b p_{t+\tau} \left( \frac{I_{t+\tau}}{K_{t+\tau}} - \delta \right)^2 K_{t+\tau} - q_{t+\tau} I_{t+\tau} - w_{t+\tau} L_{t+\tau} \}$$

sous les contraintes (pour $\tau = 0, 1, 2, \dots$) :

$$Q_{t+\tau} = F(K_{t+\tau}, L_{t+\tau}) \quad \text{et} \quad K_{t+\tau} = (1-\delta)K_{t+\tau-1} + I_{t+\tau}$$

avec $K_{t-1}$ fixé. Comme le facteur travail est librement ajustable, une condition nécessaire d'optimalité est l'égalisation, en $\tau = 0$, de la productivité marginale du travail au salaire réel, soit :

$$p_t \frac{\partial F}{\partial L_t} = w_t$$

Par ailleurs, la fonction de production, homogène de degré un en $K$ et $L$, vérifie la propriété suivante :

$$F(K_t, L_t) = \frac{\partial F}{\partial K_t} \times K_t + \frac{\partial F}{\partial L_t} \times L_t$$

ce qui permet d'exprimer la productivité marginale du capital de la façon suivante :

$$\frac{\partial F}{\partial K_t} = \frac{F(K_t, L_t) - (w_t/p_t)L_t}{K_t}$$

Cette dernière est ainsi égale au taux de profit brut réel moyen.
En remplaçant $I_{t+\tau}$ par son expression en fonction de $K_{t+\tau}$ et de $K_{t+\tau-1}$ et $Q_{t+\tau}$ par ses déterminants, le programme de l'entreprise devient :

$$
\max E_t \sum_{\tau=0}^{\infty} R_{t+\tau} \left\{ p_{t+\tau} F(K_{t+\tau}, L_{t+\tau}) - \frac{1}{2} bp_{t+\tau} \left( \frac{K_{t+\tau} - (1-\delta)K_{t+\tau-1}}{K_{t+\tau}} - \delta \right)^2 K_{t+\tau} - \right. \\
\left. q_{t+\tau} (K_{t+\tau} - (1-\delta)K_{t+\tau-1}) - w_{t+\tau} L_{t+\tau} \right\}
$$

La condition du premier ordre par rapport à $K_t$ (pour $\tau = 0$) est de la forme suivante :

$$
p_t \frac{\partial F}{\partial K_t} - \frac{1}{2} bp_t \left( \frac{K_t - (1-\delta)K_{t-1}}{K_t} - \delta \right)^2 + bp_t \left( \frac{K_t - (1-\delta)K_{t-1}}{K_t} \right)^2 - \\
(1+\delta)bp_t \frac{K_t - (1-\delta)K_{t-1}}{K_t} + \delta bp_t - q_t + \\
E_t R_{t+1} \left[ (1-\delta)bp_{t+1} \left( \frac{K_{t+1} - (1-\delta)K_t}{K_{t+1}} - \delta \right) + (1-\delta)q_{t+1} \right] = 0
$$

Cette expression s'interprète plus facilement en définissant les termes suivants.
D'un côté, le coût d'usage du capital, noté $c_t$ :

$$
c_t = q_t - \frac{1-\delta}{1+r_{t+1}} q_{t+1}
$$

Une unité de capital coûte aujourd'hui $q_t$ ; à la période suivante, elle se déprécie de $\delta$ et sa valeur actualisée n'est plus égale qu'à $q_{t+1}/(1+r_{t+1})$. De l'autre côté, l'incitation à investir moyenne réelle, noté $\phi_t$ :

$$
\phi_t = \left( \frac{p_t Q_t - w_t L_t - 1/2 bp_t (I_t / K_t - \delta)^2 K_t}{K_t} - c_t \right) / p_t = \\
\left( \frac{p_t F(K_t, L_t) - G(I_t, K_t) - w_t L_t}{K_t} - c_t \right) / p_t
$$

L'expression se réécrit alors, en utilisant la détermination de la productivité marginale du capital mise en évidence ci-avant :

$$
\frac{I_t}{K_t} = E_t \left[ \frac{1}{1+r_{t+1}} \frac{1-\delta p_{t+1}}{1+\delta p_t} \frac{I_{t+1}}{K_{t+1}} - \delta \right] + \frac{1}{1+\delta} \frac{1}{b} E_t[\phi_t] + \frac{\delta}{1+\delta} + \frac{1}{1+\delta} \left( \frac{I_t}{K_t} \right)^2
$$

Elle intègre l'ensemble des déterminants détaillés dans la première partie de ce
travail. Deux différences apparaissent cependant :

* l'expression inclut un terme supplémentaire (le terme $\delta/(1+\delta)$ destiné à assurer, quand l'incitation à investir (présente et future) est nulle, que l'investissement soit égal à l'investissement de remplacement ;

* le terme d'incitation à investir doit être anticipé puisqu'il intègre le coût d'usage du capital comportant, parce que ce dernier est un bien durable, des termes relatifs à la période $t+1$ (les termes $q_{t+1}$ et $r_{t+1}$).
Comme notre expérimentation économétrique repose sur la substitution des variables réalisées aux variables anticipées, il est judicieux d'introduire la notation suivante, correspondant à une quantité observable :

$$ \psi_t = (1+\delta)\frac{I_t}{K_t} - \frac{1-\delta}{1+r_{t+1}}\frac{p_{t+1}}{p_t}\left[\frac{I_{t+1}}{K_{t+1}} - \delta\right] - \delta - \left(\frac{I_t}{K_t}\right)^2 $$

L'équation d'Euler se réécrit alors :

$$ E_t \psi_t = \frac{1}{b} E_t \phi_t $$

et prend la forme d'un modèle linéaire où $1/b$ est le seul coefficient inconnu à estimer. En définissant $\varepsilon_{t+1}^{\psi}$ et $\varepsilon_{t+1}^{\phi}$ les erreurs d'anticipation sur respectivement $\psi_t$ et $\phi_t$ :

$$ \psi_t = E_t \psi_t + \varepsilon_{t+1}^{\psi} $$

$$ \phi_t = E_t \phi_t + \varepsilon_{t+1}^{\phi} $$

l'expression, en définitive, est de la forme suivante :

$$ \psi_t = \frac{1}{b}\phi_t + \varepsilon_{t+1}^{\psi} - \frac{1}{b}\varepsilon_{t+1}^{\phi} = \frac{1}{b}\phi_t + u_t \quad \text{avec} \quad u_t = \varepsilon_{t+1}^{\psi} - \frac{1}{b}\varepsilon_{t+1}^{\phi} $$

Elle ne peut toutefois pas faire l'objet d'une estimation par les moindres carrés ordinaires car le régresseur (le terme $\phi_t$) entretient une corrélation avec le terme d'erreur de l'équation (le terme $u_t$). En effet, ces deux termes comprennent $\varepsilon_{t+1}^{\phi}$, l'erreur d'anticipation relative à $\phi_t$.

Nous exploitons une condition nécessaire de rationalité des anticipations — à savoir l'absence de corrélation entre l'erreur d'anticipation et le passé de la quantité anticipée — en utilisant une méthode de variables instrumentales. Nous ne nous engageons donc pas sur la voie qui consisterait à spécifier explicitement un mode de formation particulier des anticipations.

Une autre source de biais peut relever de ce que l'incitation à investir $\phi_t$ est observée avec erreur. On a alors :

$$ \phi_t = E_t \phi_t + \varepsilon_{t+1}^{\phi} + e_t^{\phi} $$

où $e_t^{\phi}$ est l'erreur de mesure. Le modèle s'écrit maintenant :

$$ \psi_t = \frac{1}{b}\phi_t + \varepsilon_{t+1}^{\psi} - \frac{1}{b}\varepsilon_{t+1}^{\phi} - \frac{1}{b}e_t^{\phi} = \frac{1}{b}\phi_t + u_t \quad \text{avec} \quad u_t = \varepsilon_{t+1}^{\psi} - \frac{1}{b}\varepsilon_{t+1}^{\phi} - \frac{1}{b}e_t^{\phi} $$

Le terme d'erreur présente ainsi une structure proche de celle d'un processus moyenne mobile d'ordre un (MA(1)) dès qu'est supposée une corrélation entre $\varepsilon_t^{\phi}$ et $e_t^{\phi}$. Le choix des instruments et de la méthode d'estimation doit tenir compte de cette structure.
## 2.2 Les résultats de l'expérimentation économique

Le modèle que nous proposons d'estimer est très simple. Bien que nous ayons retenu l'hypothèse d'anticipations rationnelles, notre méthode d'estimation ne nécessite pas d'expliciter la formation effective des anticipations. L'estimation permet de révéler la valeur que pourrait prendre le paramètre b, paramètre structurel caractérisant complètement les coûts d'ajustement. La forme estimée n'autorise pas, par exemple, la mise en œuvre d'exercices variantiels pour évaluer les conséquences de recommandations de politique économique. En revanche, nos résultats pourraient être exploités pour calibrer un modèle d'équilibre général calculable.

Notre objectif est, d'une part, d'évaluer la pertinence de ce modèle néo-classique d'investissement et, d'autre part, d'obtenir une information sur la valeur que pourrait prendre le paramètre b de la fonction de coût d'ajustement. Ces objectifs nous conduisent à tester le modèle en utilisant des données de branche. Ce choix a un double avantage. En premier lieu, l'équation estimée se présente sous une forme très contrainte. Il est alors assez naturel de spécifier l'hétérogénéité propre aux données en admettant que le paramètre b puisse varier d'une branche à l'autre. En second lieu, en ajustant le modèle pour chacune des branches industrielles, nous mettons en œuvre un (assez) sévère protocole d'expérimentation. En multipliant les estimation économétriques, nous multiplions la possibilité d'un rejet du modèle.

L'annexe A détaille précisément la correspondance entre les notations retenues dans ce travail et les variables utilisées, issues de la Comptabilité nationale. Il s'agit de données annuelles disponibles de 1970 à 1987⁸. Nous avons exploité le niveau de détail "T" de la nomenclature distinguant 18 branches industrielles.

Le modèle à estimer est de la forme :

$$ \psi_t = \frac{1}{b} \phi_t + u_t $$

avec, rappelons le, les définitions suivantes :

$$ \psi_t = (1+\delta) \frac{I_t}{K_t} - \frac{1-\delta}{1+r_{t+1}} \frac{p_{t+1}}{p_t} \left[ \frac{I_{t+1}}{K_{t+1}} - \delta \right] - \delta - \left( \frac{I_t}{K_t} \right)^2 $$

$$ \phi_t = \left( \frac{p_t F(K_t, L_t) - G(I_t, K_t) - w_t L_t}{K_t} - c_t \right) / p_t $$

Nous avons retenu comme instruments, en plus de la constante, les variables suivantes :

$$ \phi_{t-2}, \phi_{t-3}, \frac{I_{t-1}}{K_{t-1}}, \frac{I_{t-2}}{K_{t-2}}, \frac{I_{t-3}}{K_{t-3}}, \left(\frac{I_{t-1}}{K_{t-1}}\right)^2, \left(\frac{I_{t-2}}{K_{t-2}}\right)^2, \left(\frac{I_{t-3}}{K_{t-3}}\right)^2, \frac{p_{t-1}}{p_{t-2}}, \frac{p_{t-2}}{p_{t-3}}, \frac{1}{1+r_{t-1}} \text{ et } \frac{1}{1+r_{t-2}} $$

Nous n'avons ainsi utilisé que des variables définies entre $t-3$ et $t-1$ afin d'être cohérent avec nos hypothèses portant sur le terme d'erreur. Ces instruments, par

<footnote n="8">⁸1987 est la dernière année pour laquelle nous disposions du partage de la valeur ajoutée.</footnote>
hypothèse, ne sont pas corrélés avec $u_t$. Nous ne nous sommes pas contentés d'introduire comme variables instrumentales les valeurs retardées de la variable explicative ($\phi_{t-2}$ et $\phi_{t-3}$). Nous avons aussi inclu toutes les variables pouvant faire a priori parti de l'ensemble d'information utilisé pour prévoir $\phi_t$. C'est notamment le cas du taux d'accumulation $I/K$, du taux d'accumulation au carré $(I/K)^2$, du taux d'inflation $p/p_{-1}$ et du facteur d'actualisation $1/(1+r)$.

Les résultats sont rassemblés dans le tableau 1. La méthode d'estimation est celle des moments généralisés en retenant une structure MA(1) pour le terme d'errreur. Les écarts types estimés sont robustes à la présence d'hétéroscédasticité. Dans la première colonne sont rapportées les estimations du coefficient $1/b$ pour chaque branche ; dans la deuxième colonne, la valeur de la statistique de Student (dont la validité n'est qu'asymptotique) ; dans la troisième colonne, l'estimation du coefficient $b$, déduite de l'estimation précédente ; dans la quatrième colonne, la probabilité critique du test proposé par Hansen [1982] généralisant celui de Sargan [1958] ; et enfin, dans la dernière colonne, la part des pertes imputables aux coûts d'ajustement dans la valeur ajoutée en moyenne sur la période d'estimation.

Les résultats sont dénués de signification pour cinq branches, les branches T08, T11, T16, T17 et T21 ; le coefficient estimé étant négatif (il s'agirait d'un gain d'ajustement !). Pour les branches T08 (Minerais et métaux non ferreux) et T17 (Construction navale et aéronautique, armement) il est reconnu que les statistiques ne présentent pas un degré de fiabilité très élevé. Pour les trois autres branches, le modèle est invalidé. Toutefois, le coefficient estimé n'est jamais significativement différent de zéro au risque standard de première espèce de 5 %. Nous pouvons donc conclure que les données ne permettent pas de rejeter le modèle.

Par contre le coefficient estimé présente le signe attendu pour les treize autres branches industrielles. Comme il est difficile d'évaluer a priori quel pourrait être l'ordre de grandeur du coefficient $b$, nous avons porté dans la dernière colonne du tableau 1 la part des pertes (dans la valeur ajoutée) imputables aux coûts d'ajustement. Cela permet d'apprécier de façon moins unilatérale les résultats. En effet, $b$ apparaît excessivement élevé dans seulement deux branches : les branches T15A (Matériels électriques et électroniques professionnels) et T22 (Presse et édition). Cette part y est respectivement de 43 % et de 13 % ! Toutefois, le coefficient estimé n'est pas, pour ces deux branches, significativement différent de zéro.

Pour les onze branches restantes, cette part est comprise entre 0,10 % et 4,2 % ; en moyenne (brute, ce calcul n'a pas grand sens) elle vaut 1,7 %. Ce dernier chiffre est très vraisemblable et s'oppose aux évaluations généralement obtenues par ailleurs qui sont beaucoup plus élevées<fnref n="9" />. Deux raisons concourent, en effet, pour justifier une éventuelle surestimation du paramètre $b$. La première raison est liée au modèle théorique utilisé. Finalement, il n'y a que les coûts d'ajustement qui sont invoqués pour expliquer le fait que l'investissement est trop peu volatile (au regard d'une fonction de demande de capital qui résulterait d'une hypothèse de rendements constants). C'est donc concentrer sur ce paramètre l'ensemble des arguments conduisant la réalité à être plus "visqueuse" que la représentation qu'en offre cette théorie. Il ne serait ainsi pas étonnant que le paramètre $b$ soit surestimé. La seconde raison

<footnote n="9">⁹cf., par exemple, Épaulard [1992].</footnote>
<table><caption>Tableau 1: Les résultats
(méthode des moments généralisés)†</caption><thead><tr><th>Branche</th><th>1/b</th><th>Student</th><th>b&#770;</th><th>P††</th><th>PMCA†††</th></tr></thead><tbody><tr><td>T07 Minerais et métaux ferreux</td><td>0,075</td><td>5,0</td><td>13</td><td>0,82</td><td>4,2</td></tr><tr><td>T08 Minerais et métaux non ferreux</td><td>-0,10</td><td>-4,9</td><td>-10</td><td>0,86</td><td>-15</td></tr><tr><td>T09 Matériaux de construction</td><td>0,034</td><td>20</td><td>29</td><td>0,83</td><td>1,7</td></tr><tr><td>T10 Verre</td><td>0,044</td><td>7,5</td><td>23</td><td>0,87</td><td>0,10</td></tr><tr><td>T11 Chimie de base, fibres synth.</td><td>-0,0096</td><td>-1,3</td><td>-104</td><td>0,84</td><td>-2,1</td></tr><tr><td>T12 Parachimie et pharmacie</td><td>0,030</td><td>68</td><td>34</td><td>0,84</td><td>3,3</td></tr><tr><td>T13 Fonderie et travail des métaux</td><td>0,039</td><td>36</td><td>26</td><td>0,86</td><td>1,0</td></tr><tr><td>T14 Mécanique</td><td>0,044</td><td>14</td><td>23</td><td>0,83</td><td>1,3</td></tr><tr><td>T15A Matériels élec. et électro. prof.</td><td>0,0015</td><td>0,63</td><td>646</td><td>0,84</td><td>43</td></tr><tr><td>T15B Biens d'équipement ménagers</td><td>0,029</td><td>15</td><td>34</td><td>0,85</td><td>1,6</td></tr><tr><td>T16 Matériels de transport terrestre</td><td>-0,016</td><td>-1,9</td><td>-62</td><td>0,85</td><td>-4,6</td></tr><tr><td>T17 Construction nav. et aéro., arm.</td><td>-0,039</td><td>-1,7</td><td>-25</td><td>0,84</td><td>-2,7</td></tr><tr><td>T18 Textiles et habillement</td><td>0,019</td><td>1,9</td><td>52</td><td>0,85</td><td>0,60</td></tr><tr><td>T19 Cuirs et chaussures</td><td>0,033</td><td>15</td><td>30</td><td>0,83</td><td>0,29</td></tr><tr><td>T20 Bois, meubles et industries div.</td><td>0,021</td><td>36</td><td>48</td><td>0,87</td><td>3,0</td></tr><tr><td>T21 Papier, carton</td><td>-0,030</td><td>-1,8</td><td>-33</td><td>0,84</td><td>-4,4</td></tr><tr><td>T22 Presse et édition</td><td>0,0027</td><td>1,7</td><td>376</td><td>0,85</td><td>13</td></tr><tr><td>T23 Caoutchouc et matières plast.</td><td>0,011</td><td>1,7</td><td>88</td><td>0,83</td><td>1,3</td></tr></tbody></table>

† cf. le corps du texte pour la discussion sur les instruments utilisés.

†† *P* est la probabilité critique du test de validité des contraintes de surindentification imposées par les instruments, cf. Hansen [1982].

††† Part moyenne des coûts d'ajustement dans la valeur ajoutée de la branche en %.

relève des méthodes économétriques. Le biais à craindre, lors de l'estimation, est un biais vers zéro (qu'il relève de l'erreur d'anticipation $\epsilon_{t+1}^{\phi}$ ou de l'erreur de mesure $\epsilon_t^{\phi}$). Le paramètre estimé $1/b$ serait affecté d'un biais vers zéro et, en conséquence, le paramètre $b$ serait surestimé.

Il ne semble pas que notre expérimentation souffre de ce défaut et nous sommes ainsi en mesure de présenter des résultats très vraisemblables. Enfin, les résultats du test proposé par Hansen [1982] (cf. l'avant dernière colonne du tableau 1) constituent un autre élément favorable à la validation de notre travail empirique. En effet, l'hypothèse nulle de ce test (la validité des contraintes apportées par les instruments) n'est jamais rejetée.

## Conclusion

La formation de capital fixe est-elle suffisamment flexible ? D'une part, l'atonie (relative) de l'investissement en France depuis 1970 nous conduit à relativiser la pertinen-
ce du modèle traditionnel d'accélérateur. D'autre part, l'hypothèse de coûts d'ajustement, appliquée à l'étude des décisions de production, permet d'assez profondément renouveler la modélisation, dans une perspective néo-classique, des comportements d'investissement. Elle conduit notamment à introduire, comme argument de la décision d'investissement, la profitabilité.

La validité empirique d'une telle spécification ne semble pas être remise en cause par notre expérimentation économique.

## Annexe A : construction des séries

**Les séries de capital** Afin d'être cohérent avec notre hypothèse de dépréciation constante (au cours du temps) du capital, nous avons calculé le taux de dépréciation implicite de la Comptabilité nationale puis la moyenne de ce taux. C'est cette dernière quantité qui a été utilisée pour reconstruire une nouvelle série de capital en utilisant comme niveau initial celui fourni par la Comptabilité nationale et comme incrément la formation brute de capital fixe des Comptes annuels.

**Les autres séries** Le tableau suivant établit la correspondance entre les notations de ce travail et les données des Comptes annuels.

<table><thead><tr><th>Notation</th><th>Intitulé</th><th>Tableau <sup>†</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>p<sub>t</sub>F(K<sub>t</sub>, L<sub>t</sub>) - G(I<sub>t</sub>, K<sub>t</sub>)</td><td>Valeur ajoutée brute par branche</td><td>03.13</td></tr><tr><td>w<sub>t</sub>L<sub>t</sub></td><td>Rémunération des salariés par branche</td><td>03.23</td></tr><tr><td>p<sub>t</sub></td><td>Déflateur de la valeur ajoutée brute par branche</td><td>03.13 et 03.14</td></tr><tr><td>I<sub>t</sub></td><td>Formation brute de capital fixe des SQS et EI par branche</td><td>03.18</td></tr><tr><td>q<sub>t</sub></td><td>Déflateur de la formation brute de capital fixe des SQS et EI par branche</td><td>03.17 et 03.18</td></tr></tbody></table>

† Numéro du tableau dans le Rapport sur les comptes de la Nation.

Enfin, pour $r_t$, nous avons utilisé le taux d'intérêt sur les obligations fourni par l'OCDE (source : Main Economic Indicators).

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