### B-III-4 Etude expérimentale de la stabilité d'une lame dans un flux d'air

Afin de valider le modèle défini sur la lame bi-articulée aux paragraphes précédents et sur la lame souple en annexe B-C, on a utilisé le dispositif expérimental décrit au paragaphe B-II-3 (la "machine à ronfler"). Deux types d'oscillateurs ont été utilisés : l'oscillateur bi-articulé décrit fig B-II-8b et une lame souple en élastomère d'épaisseur 2.7 mm et de longueur variable. On a inséré un film piezo-électrique (SOLEF 40 µm, SOLVAY & Cie) au niveau de l'encastrement de l'oscillateur dans la partie fixe. Grâce aux contraintes qui lui sont appliquées lors de la déformation de la lame, ce film permet d'avoir une indication du mouvement de la lame près de l'encastrement.

Après avoir mesuré la réponse fréquentielle des oscillateurs, on les place dans la "machine à ronfler". Les hauteurs des canaux A et B sont alors réglées et on augmente très progressivement le débit d'air à l'intérieur du mécanisme jusqu'au moment de la bifurcation.

C'est cette étude expérimentale de la stabilité qui est décrite dans ce paragraphe.

### B-III-4-1 Réponse fréquentielle de la lame bi-articulée sans écoulement

Pour déterminer sa réponse fréquentielle, la lame bi-articulée est placée dans un dispositif qui permet de lui imprimer un mouvement de translation transversal piloté par un pot vibrant (voir figure B-III-8).

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>fig B-III-8 : Dispositif de mesure de la réponse fréquentielle.</figcaption></figure>

## Partie B : Stabilite d'une lame souple ...

L'accélération du mouvement de translation est captée par un accéléromètre (B & K 4575) branché sur un amplificateur de charge (IS PA 10). Le mouvement de la lame est estimé à l'aide du film pizo-électrique connecté à un amplificateur de charge (B & K 2635). Ces deux capteurs sont reliés aux entrées d'un analyseur de spectre (HP 3562A) alors que le pot vibrant est alimenté par la source de ce même analyseur via un amplificateur de puissance.

Deux types de mesures sont alors effectuées : une analyse en bruit blanc et une analyse en sinus glissant.

La figure B-III-9 donne les résultats de l'analyse en bruit blanc (moyenne de 20 mesures) : (a) réponse fréquentielle (film piezo-électrique / accéléromètre), (b) cohérence entre la réponse de la lame et le mouvement de translation, (c) spectre de puissance du signal de l'accéléromètre, (d) spectre de puissance du signal du film piezo-électrique.

La réponse fréquentielle permet de distinguer nettement les deux fréquences de résonance de l'oscillateur (premier pic à 3 Hz et second à 10,2 Hz). Toutefois la cohérence n'est plus très proche de 1 pour des fréquences inférieures à 4 Hz. Ceci est dû au fait que notre appareillage ne répond pas très bien à très basse fréquence. On peut, en effet, voir sur le spectre de puissance du signal de l'accéléromètre la décroissance de l'excitation avec la fréquence. Pour les fréquences inférieures à 4 Hz la mesure se trouve donc polluée par les bruits basses fréquences.

Ce problème peut être contourné dans une analyse par sinus glissant car on peut manuellement augmenter le gain de l'amplificateur de puissance d'alimentation du pot vibrant au fur et à mesure de la décroissance de la fréquence d'excitation améliorant ainsi la cohérence à basse fréquence. Les résultats de cette analyse sont présentés sur la figure B-III-10. En sinus glissant, la cohérence reste proche de 1 jusqu'à 2 Hz ce qui permet de mieux observer le premier pic.

Les valeurs lues pour les fréquences de résonance sont :

fréquence du premier mode : 2.82 Hz

fréquence du second mode : 9.99 Hz
<figure><img src="image_86.png" /></figure>

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>fig B-III-9 : Réponse fréquentielle de la lame bi-articulée en bruit blanc:</figcaption></figure>

(a) réponse-fréquentielle;

(b) cohérence;

(c) spectre de puissance de l'excitation;

(d) spectre de puissance de la réponse.

## Partie B : Stabilite d'une lame souple ...

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>fig B-III-10 : réponse fréquentielle de la lame bi-articulée en sinus glissant :
(a) réponse fréquentielle;
(b) cohérence.</figcaption></figure>

Cette réponse permet aussi d'estimer l'amortissement structural de la lame par le calcul de la largeur de bande à - 3 dB [LAL]. La largeur à - 3 dB du premier pic est δf = 0.14 Hz soit δf/f = 0.050. Cette valeur est reliée à l'amortissement réduit ε (voir paragraphe B-III-3-2, en négligeant le couplage par viscosité) par
B-III-4-2 Réponse fréquentielle de la lame bi-articulée dans l'écoulement

La lame bi-articulée est placée dans l'écoulement comme indiqué sur la figure B-III-12. Les capteurs (accéléromètre, film piezo-électrique) sont branchés de la même façon qu'au paragraphe précédent.

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>fig B-III-12 : Description du dispositif expérimental.</figcaption></figure>

$$ \epsilon \approx \frac{(\delta f/f)}{c_{11}} \qquad (B-III-50) $$

soit numériquement $\epsilon = 0.13$.

On peut rapprocher cette valeur de celle que l'on peut obtenir par la méthode du décrément logarithmique [LAL]. Lorsque l'on écarte la lame de sa position d'équilibre en tirant sur son extrémité on obtient pratiquement la réponse libre du mode 1. Or cette réponse (voir fig B-III-11) décroit d'un facteur 6.55 en 10 périodes, nous avons donc

$$ \epsilon = \frac{1}{\pi n c_{11}} \ln(X_0/X_n) \qquad (B-III-51) $$

où n est le nombre de périodes.

La valeur de $\epsilon$ ainsi calculé est donc $\epsilon = 0.16$ et elle est voisine de la valeur obtenue par la méthode de la largeur de bande à -3 dB.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>fig B-III-11 : Réponse libre de la lame bi-articulée.</figcaption></figure>

Si l'on fait le calcul de $\epsilon$ par la méthode de la largeur de bande à -3 dB sur le pic 2, on trouve $\epsilon = 0.093$. Cette valeur reste raisonnable bien que l'amortissement réduit du second mode soit important ce qui limite l'utilisation de cette méthode.
On détermine la vitesse du fluide :

- soit en mesurant le débit à l'aide de débitmètres placés entre la pompe d'aspiration et le reservoir et en divisant par la section de passage (somme des hauteurs des deux canaux × largeur);

- soit en mesurant la vitesse à l'aide d'un fil chaud situé 1 cm en-dessous de l'extrémité libre de la lame.

La première méthode permet d'obtenir une vitesse moyenne alors que la seconde permet, en plus, de visualiser les fluctuations temporelles autour de la vitesse moyenne et les variations de vitesse en fonction de la position transversale du fil chaud.

Le pot vibrant est fixé sur la structure de la "machine à ronfler" et assure un mouvement de translation d'ensemble dans la mesure des déformations possibles de la fixation de la "machine à ronfler" sur le réservoir. A basse fréquence le mouvement de translation est donc particulièrement faible ce qui explique la forme de la réponse fréquentielle que l'on peut obtenir quand la lame est dans le dispositif de mesure mais sans écoulement (fig B-III-13).

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>fig B-III-13 : réponse fréquentielle de la lame bi-articulée placée dans la "machine à ronfler" sans écoulement (analyse en bruit blanc, 10 moyennes)</figcaption></figure>

Les amplitudes des 2 pics sont réduites par rapport à l'analyse du paragraphe précédent (très fortement pour celle du premier pic) mais ces résonances restent visibles et leurs fréquences mesurables. Pour la détermination de ces fréquences, il est tout aussi légitime de se servir du spectre de puissance du signal du film piezo-électrique que de la réponse fréquentielle car le signal capté au niveau de l'accéléromètre ne contient pas toute l'information d'excitation de la lame bi-articulée. Ceci devient particulièrement sensible en présence d'un écoulement où une partie non négligeable des efforts exercés sur l'oscillateur provient des fluctuations aléatoires de pression dans l'écoulement.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>fig B-III-14 : Variation de la réponse fréquentielle (lissée) de la lame en fonction de la vitesse du fluide.</figcaption></figure>
La figure B-III-14 représente la variation de la réponse fréquentielle en fonction de la vitesse du fluide autour de la lame quand $H_a = H_b = 10.2$ mm et quand les deux canaux sont ouverts.

On peut constater que les fréquences des deux modes se rapprochent l'une de l'autre quand la vitesse croit. De plus, tout en restant prudent sur l'interprétation de l'amplitude des modes (voir plus haut), on peut remarquer un étalement du premier pic (indiquant une partie réelle de plus en plus négative) et une augmentation de l'amplitude et de l'acuité du second pic (indiquant une partie réelle négative se rapprochant de 0) jusqu'au moment de la bifurcation qui se produit par augmentation très brutale de l'amplitude du mouvement de la lame qui croit jusqu'à heurter les parois qui l'entourent.

Juste avant la bifurcation, la lame la plus proche de l'encastrement est presque immobile alors que la lame du bout a un mouvement plus sensible (dans le cas de la lame souple, c'est l'extrémité de cette lame que l'on peut voir bouger). Cette observation est en accord avec la théorie qui prévoit, qu'au moment de la bifurcation, le mouvement de la lame 1 est onze fois plus faible que celui de la lame 2 (ces deux mouvements sont en opposition de phase).

On peut adimensionnaliser ces résultats expérimentaux en divisant les fréquences par la fréquence du premier mode sans écoulement ($f_1 = 2.82$ Hz) et en calculant le coefficient $\gamma$ correspondant à chaque vitesse.

On rapelle que $\gamma$ est égal à $\frac{\rho B L^2}{m g H} U^2$ où (voir figure B-II-7b):

* $\rho$, masse volumique de l'air = 1.293 kg.m⁻³;

* B, largeur des lames = 43 mm;

* L, longueur effective des lames = 23.4 mm;

* m, masse des lames = 4.7 g;

* g, accélération de la pesanteur = 9.81 m.s⁻²;

* H, hauteur équivalente = 5.1 mm;

* U, vitesse moyenne du fluide.

Nous avons donc $\gamma = 0.1295 U^2$ où U est la vitesse en m.s⁻¹.

Dans l'exemple décrit ci-dessus, la vitesse critique est $U_{crit} = 4.79 \text{ m.s}^{-1}$ ce qui conduit à une valeur de $\gamma_{crit} = 2.97$.

Sur la figure B-III-15, on compare l'évolution des fréquences en fonction de $\gamma$ obtenue théoriquement (courbes) et expérimentalement (symboles). On remarque une homothétie suivant l'axe des $\gamma$ de ces deux courbes.

Par rapport à la valeur théorique de la vitesse que l'on peut calculer en considerant $\gamma_{crit} = 2.61$ (voir paragraphe B-III-3-6) l'erreur sur la vitesse critique est de 6.2%.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>fig B-III-15 : Variation de la fréquence des modes en fonction de $\gamma$ :
— théorie ($\gamma_{crit} = 2.6$), ○ expérimentation ($H_a = H_b = 10.2$ mm).</figcaption></figure>
### B-III-4-3 Etude expérimentale de la bifurcation

Sur la figure B-III-16, on a représenté les points de bifurcation pour différentes configurations en fonction de la vitesse, U, et de la hauteur équivalente, H.

On constate en effet une déviation quasi-systématique des points expérimentaux vers des vitesses plus grandes que celle que prévoit la théorie ($\gamma_{crit} \approx 2.6$). Cette déviation se produit aussi (et de façon plus importante) dans le cas d'une lame souple (voir annexe B-C). La théorie surrévalue donc les forces aérodynamiques par rapport aux forces de rappel de l'oscillateur.

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>fig B-III-16 : position des points de bifurcation en fonction de la hauteur équivalente, H, et de la vitesse, U pour la lame bi-articulée : — théorie ($\gamma_{crit} = 2.6$), ■ expérience.</figcaption></figure>

Plusieurs phénomènes peuvent expliquer la différence entre théorie et expérience.

Les premiers sont d'origine expérimentale. On remarque sur la figure B-III-17 qui représente une coupe transversale de la "machine à ronfler" que, pour des raisons de fabrication, il existe un jeu entre les parois réglables et la vitre de visualisation qui conduit à une légère surestimation de la vitesse utile, U. D'autre part, le jeu existant entre la lame et cette même vitre doit induire une diminution de la différence de pression entre les deux faces de la lame au voisinage des vitres. La largeur efficace, $B_e$, sur laquelle s'applique les forces de pression est donc inférieure à la largeur, B, intervenant dans le calcul des forces de raideur.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>fig B-III-17 : coupe transversale de la "machine à ronfler"</figcaption></figure>

D'autres explications de la différence entre théorie et expérience peuvent être cherchées dans les conséquences des hypothèses inhérentes au modèle :

- l'hypothèse de mono-dimensionalité du problème conduit à négliger l'effet de courbure des lignes de courant qui est l'effet prédominant en écoulement non-confiné [KOR];
- l'action viqueuse de l'air qui a tendance a augmenter la tension des lames (cisaillement à la paroi) n'a pas été prise en compte alors qu'il a été montré que cet effet peut être non négligeable dans le cas de lame extrêmement souple [DAT];

- l'action de la gravité n'a pas été pris en compte dans le modèle de lame souple (voir annexe B-C) parce qu'il n'existe pas de solution analytique de l'équation d'une poutre soumise à son propre poids [YOK] ...

Si l'on considère une largeur efficace de 90 % de la largeur effective de la lame, on effectue une homothétie suivant $\gamma$ qui ramène la plus part des points expérimentaux de la figure B-III-17 très près de la courbe théorique. Les seuls points qui restent alors éloignés de la courbe théorique sont ceux où les hauteurs $H_a$ et $H_b$ sont très faibles et ceux où la différence entre $H_a$ et $H_b$ est grande. Pour les premiers de ces points, il faudrait tenir compte des effets visqueux qui peuvent réduire la valeur du paramètre de controle critique. Pour les seconds, une grande différence entre les hauteurs des deux canaux induit des pertes de charges différentes et donc une vitesse plus faible dans le plus petit canal ce qui peut augmenter la valeur du paramètre critique (voir paragraphe B-III-3-5).

Le comportement de la lame est assez différent lorsque l'un des deux canaux est fermé. On constate alors :

- une légère déflexion statique de la lame vers le coté sans écoulement qui peut s'expliquer par les pertes de charge dans l'écoulement (voir paragraphe B-III-3-4) et par l'entrainement par viscosité de l'air dans la zone d'eau morte [BAT] qui provoque une dépression par rapport à la pression sans entrainement (voir fig B-III-18);

- une augmentation progressive de l'amplitude du mouvement.

Cette limitation de l'amplitude, lors de la perte de stabilité, est expliquable par le décollement de filets d'air quand l'amplitude du mouvement augmente (voir fig B-III-19).

En effet quand le système devient instable l'angle entre les lames et les parois atteint la limite pour laquelle on a décollement sur la seconde

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>fig B-III-18 : explication de la déflexion statique dans le cas où l'un des canaux est bouché.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>fig B-III-19 : décollement des filets d'air quand l'amplitude du mouvement augmente.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>fig B-III-20 : Valeurs extrèmes du déplacement de l'extrémité de la lame bi-articulée en fonction du débit quand les deux canaux sont ouverts (a), quand l'un est fermé (b).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

lame. Dans ce cas les efforts exercés sur cette lame décroissent sensiblement ce qui a pour effet de re-stabiliser le système autour d'un cycle limite très proche de la position d'équilibre devenu instable. Cet effet est compensé par l'écoulement de l'autre coté de la lame, quand les
deux canaux sont ouverts, et, dans ce cas, la croissance de l'amplitude ne se trouve donc pas freinée.

Cette augmentation progressive rend la détermination du point de bifurcation plus difficile que dans le cas où les deux canaux sont ouverts (voir fig B-III-20). Ce point de bifurcation est d'autre part différent du point où l'on peut dire que le dispositif expérimental "ronfle". En effet, tant que les lames ne touchent pas la paroi du coté de l'écoulement, la modulation de la pression dans le tube ouvert est quasi-sinusoïdale alors que dès que ce contact a lieu la variation de pression devient beaucoup plus importante et contient des harmoniques d'ordre élevé ce qui produit un son audible et semblable au ronflement.

On a représenté sur un même graphique (fig B-III-21) la valeur théorique de la vitesse critique en fonction de la hauteur (courbes), la valeur expérimentale de la vitesse à partir de laquelle le système oscille à une fréquence unique et où les mouvements sont perceptibles visuellement (carrés) et la valeur de la vitesse à partir de laquelle la lame touche la paroi du coté de l'écoulement (cercles).

En dépit de la difficulté de mesure, les points de bifurcation sont prédits assez correctement par la théorie. Les vitesses mesurées sont cette fois plus faibles que les vitesses prédites. En dehors d'une définition peut-être trop stricte du critère de stabilité (amplitude du signal supérieure à 2 fois l'amplitude pour des débits faibles), cette différence peut s'expliquer par le fait que l'on se rapproche, pour des hauteurs assez grandes, de la vitesse critique en champ libre qui est la limite supérieure de la vitesse de bifurcation quand H augmente [KOR].

On remarque que, comme le prévoit la théorie, la vitesse de l'air à la bifurcation ne dépend pas de la hauteur du coté fermé (voir $H_a = 5$ mm, $H_b = 5, 7, 5, 10, 12, 5, 15$ mm).

La vitesse à laquelle la lame touche la paroi du coté de l'écoulement ne dépend pas, non plus, de la hauteur du coté fermé et elle semble obéir à une loi du même type que celle qui gouverne la variation de la vitesse en fonction de la hauteur (avec un coefficient $\gamma_{crit}$ plus important.

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>fig B-III-21 : Position des points de bifurcation en fonction de la hauteur équivalente, H, et de la vitesse, U, quand un des conduit est fermé :</figcaption></figure>

- théorie ($\gamma_{crit} = 2.6$),

- perte de stabilité linéaire,

- début des chocs contre la paroi coté écoulement.
B STABILITE D'UNE LAME SOUPLE
DANS UN FLUX D'AIR

B-IV **CONCLUSIONS DE L'ETUDE DE LA STABILITE**
Dans cette partie, on a montré que le modèle le plus simple permettant d'expliquer le ronflement est un modèle à deux degrés de liberté mécanique soumis à un écoulement mono-dimensionnel. Ce modèle a été validé expérimentalement sur des géométries simples, et moyennant quelques raffinements des hypothèses, l'accord théorie-expérience est correct.

Dans ce paragraphe, on tente d'expliquer en termes simples le mécanisme de mise en vibration du voile du palais et de tirer les conclusions médicales de ce modèle à deux degrés de liberté.

### B-IV-1 MECANISME DE MISE EN VIBRATION DU VOILE DU PALAIS

Tout sytème mécanique continu, en particulier le voile du palais (VP), possède une infinité de fréquences propres (le système a un mouvement de réponse beaucoup plus important quand on le sollicite à une fréquence propre plutôt qu'à une autre fréquence, voir fig B-IV-1). Lorsqu'on excite le système à une de ses fréquences propres, il a une déformation appelée mode propre.

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>fig B-IV-1 : réponse d'un système continu en flexion</figcaption></figure>

Lorsque l'on augmente la fréquence d'excitation du VP, on atteint successivement les différents modes.
**Mode 1** : la fréquence d'excitation atteint la première fréquence propre du VP. Celui-ci se met à osciller et présente une déformation de plus en plus importante à mesure que l'on s'éloigne du point d'attache sur le palais dur (voir fig B-IV-2).

**Mode 2** : la fréquence d'excitation atteint la deuxième fréquence propre du VP. La déformation prend alors une nouvelle forme. Une région du VP reste immobile (nœud de vibration) alors que les parties situées de part et d'autre de cette région se déforment de façon opposée (voir fig B-IV-2).

**Mode 3 et suivants** : lorsque la fréquence atteint les autres fréquences propres du VP, celui-ci se déforme de façon de plus en plus complexe et avec une amplitude de plus en plus faible.

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>fig B-IV-2 : géométrie du pharynx rétro-basi-lingual et définition des deux premiers modes propres.</figcaption></figure>

On ne considère par la suite que les deux premiers modes de vibration puisqu'on a montré qu'ils suffisent à expliquer le ronflement : lorsque le VP est soumis aux turbulences de l'air, il oscille très légèrement

(quelques dixièmes de millimètre) et cette oscillation peut être considérée comme la somme pondérée d'une oscillation suivant le mode 1 à la première fréquence propre et d'une oscillation suivant le mode 2 à la deuxième fréquence propre. Si les turbulences cessent le VP retourne rapidement à sa position de repos.

Quand le VP oscille suivant le mode 1 et que l'on fait passer de l'air autour de lui (pendant l'inspiration), la vitesse de l'air qui passe du coté où s'est déplacé le VP (voir fig B-IV-3) est plus importante à l'extrémité libre du VP qu'en amont de celle-ci car la section de passage de l'air la plus faible est à l'extrémité (conservation du débit). Le théorème de BERNOULLI montre que la pression diminue quand la vitesse de l'air augmente. Du coté du déplacement du VP, la pression qui s'exerce en amont de l'extrémité est donc plus importante que la pression qui s'exerce à l'extrémité du VP. De la même façon, on montre que la pression qui s'exerce en amont de l'extrémité, du coté opposé au déplacement du VP, est plus faible que la pression à l'extrémité du VP. La différence de pression entre les deux faces du VP crée donc une force (dF) qui a tendance à ramener le VP à sa position de repos. L'action de l'air a donc tendance à augmenter la raideur du mode 1. Il revient plus rapidement à sa position de repos sous l'action de l'air et la fréquence propre augmente. On peut voir sur la figure B-IV-2 que l'air a, au contraire, tendance à diminuer la raideur du mode 2 et donc à diminuer sa fréquence propre.

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>fig B-IV-2 : Détermination de l'effort aérodynamique sur les modes</figcaption></figure>
Plus la vitesse de l'air inspiré augmente, plus l'action de l'air sur le voile du palais devient importante et plus les fréquences des deux modes propres se rapprochent l'une de l'autre.

Comme la répartition des forces de rappel en présence et en l'absence du flux d'air inspiratoire est différente, l'action de l'air change aussi la forme des modes propres (voir fig B-IV-3). La nouvelle forme du mode propre est la somme pondérée des déformations des modes 1 et 2 en l'absence d'écoulement. On dit que l'écoulement d'air **couple** les deux modes. Les nouvelles formes des modes propres en présence d'écoulement se ressemblent de plus en plus au fur et à mesure de l'augmentation de la vitesse de l'air.

<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>fig B-IV-3 : déformation du mode 1 sous l'action de l'air</figcaption></figure>

Pour une certaine vitesse de l'air, dite vitesse critique, les fréquences et les formes des deux modes propres du VP deviennent égales. Cette vitesse critique dépend de la forme du VP, de sa raideur, de sa masse, de la hauteur entre le VP et la paroi postérieure du pharynx ($H_a$) et de la hauteur entre le VP et la langue ($H_b$).

A la vitesse critique, le rapport des amplitudes des modes 1 et 2 est fixé. Pour pouvoir décrire une oscillation due aux turbulences de l'air, on doit considérer un déphasage entre les mouvements des deux modes.

L'énergie que l'air fournit au VP (par unité de temps) est le produit de la vitesse de déplacement par la force exercée par l'air. Si le mouvement du VP et la force sont en phase (voir fig B-IV-4), l'énergie gagnée par le VP au cours d'une période est nulle. Au contraire, si l'on a déphasage, le VP peut tirer de l'énergie du flux d'air inspiratoire (voir fig B-IV-4).

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>fig B-IV-4 : énergie fournie par le flux d'air au VP :</figcaption></figure>

(a) force et mouvement en phase;

(b) force et mouvement déphasés.

Pour des vitesses de l'air supérieures à la vitesse critique, les forces de pression dues au couplage sont déphasées par rapport au mouvement. Tout mouvement, même très faible, s'amplifie donc (le VP devient instable) et n'est limité que par les chocs contre la langue et la paroi postérieure du pharynx. Ce grand mouvement du VP entraine des modulations de la vitesse et de la pression de l'air dans toutes les voies aériennes et produit le bruit de ronflement.

Dans le cas d'un ronflement où la bouche est fermée, il est possible que l'amplification des mouvements du VP soit stoppée par des phénomènes de
décollement des filets d'air entre le VP et la paroi postérieure. Le VP a dans ce cas des mouvements moins importants (il peut ne pas frapper la paroi postérieure du pharynx) et les variations de vitesse et de pression sont plus faibles. Les fréquences de vibration étant d'autre part très basses, il peut donc exister marginalement (pour des vitesses de l'air supérieures à la vitesse critique mais néanmoins pas trop importantes) des "ronflements silencieux".

### B-IV-2 CONDITIONS D'APPARITION DU RONFLEMENT

Nous avons vu (voir paragraphe B-III-2-1 et annexe B-C) qu'il existait un nombre sans dimension $\gamma$ qui contenait toute la physique du problème. Quand ce nombre dépasse une valeur donnée (qui ne dépend que de la forme des modes propres et du rapport entre la première et la seconde fréquence propre) le voile du palais (VP) se met à osciller. Ce nombre semble avoir des valeurs différentes dans le cas de la lame bi-articulée et dans celui de la lame souple mais en réalité il peut dans les deux cas se mettre sous la forme :

$$ \gamma = \frac{\rho U^2}{\mu e H \Omega_1^2} \qquad (B-IV-1) $$

où $\rho$ est la masse volumique de l'air,

$U$ est la vitesse du fluide,

$\mu$ est la masse volumique du VP,

$e$ est l'épaisseur du VP,

$H$ est la hauteur équivalente telle que : $\frac{1}{H} = \frac{1}{H_a} + \frac{1}{H_b}$,

$\Omega_1$ est la première pulsation propre du VP.

On peut dégager la contribution du VP de celle de l'écoulement en écrivant la condition de ronflement sous la forme :

$$ \rho \frac{U^2}{H} > \mu e \gamma_{crit} \Omega_1^2 \qquad (B-IV-2) $$

Le terme de droite ne dépend que des caractéristiques du VP et permet donc de renseigner sur les types de VP les plus susceptibles de se mettre à ronfler. Le terme de gauche indique, pour un VP donné, les caractéristiques

de l'écoulement les plus propices au ronflement.

Cette séparation en deux parties du critère de stabilité permet de distinguer deux grands types de ronfleurs.

Certaines personnes ont un VP propice au ronflement : il se met à vibrer pour des conditions d'écoulement normales (la normalité étant, ici, définie par les personnes qui ne ronflent pas et ne font pas d'apnées). Ces ronfleurs peuvent être appelés "ronfleurs purs" et les traitements chirurgicaux peuvent diminuer la tendance au ronflement.

D'autres personnes peuvent, au contraire, avoir un voile du palais normal mais présenter une diminution de la section de passage du pharynx (sous l'action de la dépression inspiratoire) telle que le ronflement se produit. Ces ronfleurs peuvent être appelés "ronfleurs à tendance apnéeïque". Le traitement le plus adapté semble être alors le traitement par pression positive continue (PPC). Le risque des traitements chirurgicaux est alors de transformer des ronfleurs en apnéeïques silencieux.

### B-IV-3 VOILE DU PALAIS ET RONFLEMENT

Plus le terme : $\mu e \gamma_{crit} \Omega_1^2$ est petit plus le voile du palais (VP) a tendance à se mettre à ronfler. Un VP est d'autant plus susceptible de ronfler que :

- ses deux premières pulsations propres sont proches;

- sa première pulsation propre est faible.

La pulsation propre étant le rapport d'un terme de raideur sur un terme de masse, pour augmenter une pulsation propre, il faut soit augmenter la raideur soit diminuer la masse.

La solution la plus simple pour faire les deux choses à la fois est de diminuer la longueur du VP (dans le cas de la lame souple, on peut voir que la longueur est un paramètre très important car il intervient à la puissance 4). C'est cette diminution de longueur que l'on réalise,
chirurgicalement, lors de l'UPP (uvulo-palato-pharyngoplastie).

Pour diminuer la masse, on peut enlever, toujours par chirurgie, des tissus
qui n'interviennent pas dans la raideur du VP (tissus adipeux, luette).

La diminution du tonus musculaire, due à l'alcool, au sédatif, à la grande
fatigue ..., diminue la première pulsation propre du VP et favorise donc le
ronflement. Elle augmente aussi la compliance du pharynx et intervient,
certainement de façon prépondérente, dans les conditions d'écoulement.

Pour augmenter la raideur, on peut penser à l'utilisation d'implants
raidisseurs ou de cicatrices artificielles (moins souples que les tissus).
Ces deux techniques permettent aussi d'écarter les modes propres si l'on
raidit plus particulièrement l'extrémité du VP (on doit, naturellement,
faire attention de respecter alors les autres fonctions du VP :
déglutition, parole, ...)

B-IV-4 CONDITIONS D'ECOULEMENT ET RONFLEMENT

Le terme d'écoulement intervenant dans l'apparition du ronflement est :
ρ U²/H. On a intégré la hauteur équivalente H dans le terme d'écoulement
car on a vu, au cours de la modélisation d'une apnée obstructive
(paragraphe A-II-2), que la hauteur du conduit vélopharyngé varie en
fonction du débit inspiré. Si l'on considère un ronflement bouche fermée,
le terme d'écoulement se calcule directement à l'aide de ce modèle d'apnée.
Sur la figure B-IV-5, on a représenté la valeur de ce terme en fonction de
la dépression d'aspiration pour un exemple déjà traité au paragraphe A-II-2
(largeur : b = 3 cm, longueur du rétrécissement : L = 2 cm, coefficients de
pertes dans le nez : K₁ = 1.34 10⁵ Pa.m⁻³.s et K₂ = 1.11 10⁸ Pa.m⁻⁶.s²,
hauteur intitiale : h₀ = 3 mm, pression statique nécessaire à la fermeture
du conduit : Δp_f = 690 Pa).

On remarque que le terme d'écoulement devient maximum (Δp = 890 Pa) nettement après le débit maximal (Δp = 330 Pa). Le ronflement a donc tendance à apparaitre alors que l'on a déjà un phénomène de limitation de débit dans le pharynx (débit de 0.2 l/s quand le terme d'écoulement est maximal alors que le débit maximal est de 0.64 l/s). Ce phénomène avait déjà été observé dans des études médicales [SCHW, LII].

Partie B : Stabilite d'une lame souple ...

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>fig B-IV-5 : variation de ρ.U²/H en fonction de la dépression d'aspiration pour l'exemple donné dans le texte (rappel de la hauteur et du débit en fonction de la dépression d'aspiration, fig A-19(a)).</figcaption></figure>

Le ronflement apparaît pour des dépressions inspiratoires d'autant plus élevées que la hauteur initiale est grande à compliance égale (la compliance est proportionnelle à h₀/Δp_f).

Ce modèle explique bien le scénario qui se produit lors de l'augmentation
de pression sous pression positive continue (PPC).

En supposant la dépression inspiratoire maximum du patient fixée, quand on
augmente la pression de PPC, on fait disparaitre tout d'abord les apnées (voir paragraphe A-II-2-3) et on augmente progressivement le débit d'inspiration (fig A-21). Le terme d'écoulement impliqué dans l'apparition du ronflement étant maximal un peu avant la pression de fermeture dynamique des voies aériennes, le ronflement apparait aussitôt que les apnées ont disparu. Lorsqu'on augmente encore la pression de PPC on fait aussi disparaitre le ronflement.

La discrimination entre les "ronfleurs purs" et les "ronfleurs à tendance apnéïque" est importante pour le choix de la thérapeutique à utiliser (PPC ou UPP). La mesure de la compliance du pharynx peut donner un outil diagnostic supplémentaire pour guider ce choix. Dans la partie C, on montre que l'étude de la fréquence fondamentale du ronflement donne des indications sur cette compliance pharyngée.

### B STABILITE D'UNE LAME SOUPLE DANS UN FLUX D'AIR

#### B-V BIBLIOGRAPHIE
[ARN] V. ARNOLD, Equations différentielles ordinaires, 4ème édition, Editions MIR, Moscou, 1988.

[AUR] Y. AUREGAN, Etude acoustique du ronflement, Rapport de D.E.A. de l'Université du Maine, Le Mans, 1990.

[BAT] G. K. BATCHELOR, Fluid dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1967.

[BER] C. D. BERTRAM, T. J. PEDLEY, A mathematical model of unsteady collapsible tube behaviour, J. Biomechanics, 15-1, 39-50, 1982.

[BUI] D. BUISINE, Interaction fluide-structure, flottement de paroi, couplage fort-stabilité, Actes du 9ème congrès de mécanique, Lille, 1988.

[CAR] J. CARR, Applications of centre manifold theory, Applied Mathematical Sciences 35, Springer-Verlag, N.Y., 1981.

[DAR] J. C. DARROZES, C. FRANCOIS, Mécanique des fluides incompressibles, Lecture note in Physics 163, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

[DAT] S. K. DATTA, W. G. GOTTENBERG, Instability of an elastic strip hanging in an airstream, J. Appl. Mech, Transaction of the ASME, 195-198, March 1975.

[DOW] E. H. DOWELL, Aeroelasticity of plates and shells, Noordhoff International Publishing, Leyden, 1975.

[GRO] J. B. GROTBERG, S. H. DAVIS, Fluid-dynamic flapping of a collapsible channel : sound generation and flow limitation. J. Biomechanics, 13, 219-230, 1980.

[GUC] J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcation of vector fields, Applied Mathematical Sciences 42, Springer-Verlag, N.Y., 1983.

[GUP] V. GUPTA, T. A. WILSON, G. S. BEAVERS, A model for vocal cord excitation, J. Acoust. Soc. Am., 54-6, 1607-1617, 1973.
[HIL] A. O. ST HILAIRE, T. A. WILSON, G. S. BEAVERS, Aerodynamic excitation of the harmonium reed, J. Fluid Mech., 49-4, 803-816, 1971.

[HIR] A. HIRSCHBERG, R. W. A. VAN DE LAAR, J. P. MARROU-MAURIERES, A. P. J. WIJNANDS, H. J. DAME, S. G. KRUIJSWIJK, A. J. M. HOUSTMA, A quasi-stationary model of air flow in reed channel of single-reed woodwind instruments, Acustica, 70, 146-153, 1990.

[HOR] J. HORSTEN, On the analysis of moving heart valves : a numerical fluid-stucture interaction model, Thèse de l'université technique de Eindhoven, Eindhoven, 1990.

[ISH] K. ISHIZAKA, M. MATSUDAIRA, Fluid Mechanical Considerations of Vocal Cord Vibration, Speech Communications Research Laboratory Monograph Number 8, Santa Barbara, 1972.

[ISH 2] K. ISHIZAKA, M. MATSUDAIRA, T. KANETO, Input acoustic-impedance measurement of the subglottal system, J. Acoust. Soc. Am., 60-1, 190-197, 1976.

[KER] J. KERGOMARD, Cours d'électro-acoustique du D.E.A. d'acoustique appliqué de l'université du Maine, Le Mans, 1989.

[KOR] A. KORNECKI, E. H. DOWELL, J. O'BRIEN, On the aeroelastic instability of two-dimensional panels in uniform incompressible flow, J. Sound Vib, 47(2), 163-178, 1976.

[LAL] M. LALANNE, P. BERTHIER, J. DER HAGOPIAN, Mécanique des vibrations linéaires, Ed Masson, 2ème édition, Paris, 1986.

[LAN] R. LANDL, A mathematical model for vortex-excited vibrations of bluff bodies, J. Sound Vib., 42(2), 219-234, 1975.

[LII] G. LIISTRO, D. C. STĂNESCU, C. VERITER, D. O. RODENSTEIN, G. AUBERT-TULKENS, Patern of snoring in obstructive sleep apnea patients and in heavy snorers, Sleep, 14(6), 517-525, 1991.

[LUG] H. J. LUGT, Vortex flow in nature and technology, John Wiley & Sons, N. Y., 1983.

[MAN] P. MANNEVILLE, Structures dissipatives chaos et turbulence, Collection Aléa Saclay, Gif-sur-Yvette, 1991.

[MAN 2] P. MANNEVILLE, From chaos to turbulence in fluid dynamics, Cours de l'école d'été du CISM, Udine, Juillet 1990.

[NEM] S. MEMAT-NASSER, G. HERRMANN, Some general considerations concerning the destabilizing effect in nonconservative systems, ZAMP, 17, 305-313, 1966.

[PAI] M. P. PAÏDOUSSIS, N. T. ISSID, Dynamic stability of pipes conveying fluid, J. Sound Vib, 33(3), 267-294, 1974.

[PER] P. PERRIER, Etude d'un modèle continu des cordes vocales sous forme de deux poutres bi-articulées -premières simulations-, Thèse de l'Institut Polytechnique de Grenoble, 1982.

[ROC] Y. ROCARD, L'instabilité en mécanique, Ed Masson et Cie, Paris, 1954.

[SCH] H. SCHLICHTING, Boundary-layer théorie, Ed Mc Graw-hill, 3ème édition, N.Y., 1968.

[SCHW] A. R. SCHWARTZ, P. L. SMITH, R. A. WISE, A. R. GOLD, S. PERMUTT, Induction of upper airway occlusion in sleeping individuals with subatmospheric nasal pressure, J. Appl. Physiol., 64(2), 535-542, 1988.

[TIM] S. TIMOSHENKO, D. H. YOUNG, W. WEAVER JR., Vibration problems in engineering, John Wilet & Sons, 4ème édition, N. Y., 1974.

[TRI] D. J. TRITTON, Physical fluid dynamics, Oxford Science Publications, 2ème édition, Oxford, 1988.

[WEA] D. S. WEAVER, On the non-conservative nature of "gyroscopic conservative" systems, J. Sound Vib., 36(3), 435-437, 1974.
[WEL] M. C. WELSH, A. N. STOKES, R. PARKER, Flow-resonant sound interaction in a duct containing a plate, part 1: semi-circular leading edge, J. Sound Vib., 95(3), 305-323, 1984.

T. A. WILSON, G. S. BEAVERS, operating modes of the clarinet, J. Acoust. Soc. Am., 56(2), 653-658, 1974.

[YOK] T. YOKOYAMA, vibration of a hanging Timoshenko beam under gravity, J. Sound Vib., 141(2), 245-258, 1990.

B STABILITE D'UNE LAME SOUPLE
DANS UN FLUX D'AIR

B-VI ANNEXES
# ANNEXE B-A

## MODELE ACOUSTIQUE DES VOIES RESPIRATOIRES

La longueur L de la masse en mouvement considéré au paragraphe B-II-2, est très faible devant les longueurs d'ondes acoustiques que l'on considère ici. En effet, le ronflement étant un phénomène basse fréquence (<110 Hz [AUR]), les longueurs d'ondes acoustiques associées ($\lambda$ = c/f) sont au minimum de 1,8 m (même en prenant une vitesse du son réduite à 200 m/s pour tenir compte de la compressibilité des parois comme le suggère GUPTA et coll [GUP]). Ces longueurs d'onde sont donc très grandes devant la longueur du voile du palais (≈ 4cm) et la pression acoustique peut, en première approximation, être considérée constante le long de la masse en mouvement.

En notant $Y_n$ et $Y_p$ les admitances d'entrée du nez (vue du voile du palais) et des voies aériennes en aval du voile du palais, le problème acoustique peut se mettre sous la forme du schéma de la figure B-A-1 et on peut donc écrire :

$$ \tilde{u} = (Y_n + Y_p) \tilde{p} \qquad (B-A-1) $$

où $\tilde{u}$ est la vitesse acoustique à l'entrée du nez et de l'oro-pharynx (les sections d'entrée des deux cotés, S, sont supposées indentiques) provenant de la variation de débit due au mouvement de la masse.

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Fig B-A-1 : Schéma acoustique du modèle</figcaption></figure>

Du point de vue acoustique on considère le nez comme un resonateur dont la première fréquence de résonance se situe vers 350 Hz [FEN] et les voies
aériennes inférieures comme un tube de longueur $L_p$ ($L_p \approx 25$ cm) dans lequel le son se propage à 200 m/s et débouchant dans l'espace infini [GUP, ISH2]. Avec ces hypothèses et pour des fréquences inférieures à 400 Hz, l'admitance d'entrée du nez peut s'écrire [KER] :

$$Y_n = \frac{1}{j \omega L_n} + j \omega C_n$$

$$\text{soit en posant } \omega_n = \frac{1}{\sqrt{L_n C_n}} (\approx 700 \pi \text{ rd.s}^{-1})$$

$$Y_n = \frac{1}{j \omega L_n} \left( 1 - \frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right). \qquad (B-A-2)$$

Dans le cadre des mêmes hypothèses, l'expression de l'admitance d'entrée de la partie des voies aériennes en aval de l'étranglement est :

$$Y_p = \frac{1}{j \rho c \operatorname{tg}\left(\frac{\omega}{c} l_p\right)} \quad \text{où } c = 200 \text{ m.s}^{-1} \text{ et } l_p = 25 \text{ cm.}$$

Pour les fréquences inférieures ou voisines de la première fréquence de résonance, la tangente se developpe sous la forme : $\frac{1}{\operatorname{tg}(x)} \approx \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2}{3}\right)$, et l'expression de l'admitance $Y_p$ devient :

$$Y_p = \frac{1}{j \omega L_p} + j \omega C_p \quad \text{avec } L_p = \rho l_p \text{ et } C_p = \frac{1}{3} \frac{1}{\rho c^2}.$$

L'admitance totale du circuit vaut alors :

$$Y_t = \frac{\tilde{u}}{\tilde{p}} = \frac{1}{j \omega L_t} + j \omega C_t \quad \text{avec} \quad \frac{1}{L_t} = \frac{1}{L_n} + \frac{1}{L_p} \qquad (B-A-3) \\ \text{et} \quad C_t = C_n + C_p.$$

Pour des fréquences assez basses, on est donc en présence d'un circuit résonant dont la fréquence de résonance et comprise entre la fréquence de résonance du nez et celle de la partie inférieure des voies respiratoires et donc aux environs de 300 Hz (voir fig B-A-2).

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>fig B-II-2 : Impédance du nez, des voies aériennes inférieures et impédance totale équivalente pour la configuration indiquée en encadré.</figcaption></figure>
# ANNEXE B-B

## ADIMENSIONNALISATION DES EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LAME
### BI-ARTICULEE DANS UN FLUX D'AIR

On peut écrire l'équation B-III-12 sous la forme :

$$ mL^2 [M] \frac{d^2}{dT^2}(\Theta) + mgL [K] (\Theta) + \frac{\rho B L^2}{H} U^2 [A] (\Theta) = (0) \quad (B-B-1) $$

où

[M] est la matrice de masse,

[K] est la matrice de raideur,

[A] est la matrice de raideur aérodynamique,

(Θ) est le vecteur $\begin{pmatrix} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{pmatrix}$.

En introduisant le temps adimensionnel : $t = \Omega T = \omega_1 \sqrt{\frac{g}{L}} T$ et en la divisant par mgL, cette équation peut s'écrire :

$$ \omega_1^2 [M] \frac{d^2}{dt^2}(\Theta) + [K](\Theta) + \gamma [A](\Theta) = (0) \quad (B-B-2) $$

Soit $\phi_1$ et $\phi_2$ deux vecteurs propres de l'équation sans le terme aérodynamique. Si l'on forme la matrice de changement de base $[\phi]$ dont les deux colonnes sont $a\phi_1$ et $b\phi_2$, on aura :

$$ t^{[\phi]} [M] [\phi] = \begin{bmatrix} a^2 M_1 & 0 \\ 0 & b^2 M_2 \end{bmatrix} \quad (B-B-3a) $$

et

$$ t^{[\phi]} [K] [\phi] = \begin{bmatrix} a^2 M_1 \omega_1^2 & 0 \\ 0 & b^2 M_2 \omega_2^2 \end{bmatrix} \quad (B-B-3b) $$

où $\omega_2$ est la seconde pulsation propre adimensionnelle.

Si l'on choisit a tel que $a_1^2 M_1 \omega_1^2 = 1$ et b tel que $b_2^2 M_2 \omega_2^2 = 1$, la matrice $[\phi]$ ainsi formée est appelée matrice des vecteurs propres normalisés, $[\phi_N]$.
Dans le cas de l'équation (B-B-2), cette matrice s'écrit :

$$ [\phi_N] = \frac{1}{\sqrt{3 - \frac{6 \sqrt{7}}{7}}} \begin{bmatrix} \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{7}}{6} & \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{7}}{6} \\ \sqrt{\frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{7}}{6}} & \sqrt{\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{7}}{6}} \\ -\frac{5}{2} + \frac{8 \sqrt{7}}{6} & -\frac{5}{2} - \frac{8 \sqrt{7}}{6} \\ \sqrt{\frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{7}}{6}} & \sqrt{\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{7}}{6}} \end{bmatrix} \quad (B-B-4) $$

soit numériquement :

$$ [\phi_N] = \begin{bmatrix} 0.6296 & 1.3946 \\ 0.9006 & -2.9247 \end{bmatrix} $$

Les coordonnées dans la base des vecteurs propres normalisés, $\theta_1$ et $\theta_2$, sont données par :

$$ \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = [\phi_N] \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} \quad (B-B-5) $$

Dans cette base, l'équation (B-B-2) s'écrit :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} + t^{[\phi]} [A] [\phi] \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (B-B-6) $$

Cette relation est bien identique à la relation (B-III-13) car :

$$ t^{[\phi]} [A] [\phi] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} + \frac{13 \sqrt{7}}{63} & -1 - \frac{3 \sqrt{7}}{7} \\ \frac{1}{3} + \frac{5 \sqrt{7}}{21} & -\frac{10}{9} - \frac{29 \sqrt{7}}{63} \end{bmatrix} \quad (B-B-7) $$

On effectue les calculs de la même façon lorsque l'on tient compte de la raideur des articulations. Dans ce cas la matrice de changement de base
normalisée s'écrit :

$$ [\phi_{NR}] = \begin{bmatrix} 0.5883 & 1.2753 \\ 0.8045 & -2.6912 \end{bmatrix}. \qquad (B-B-8) $$

C'est cette matrice qui est utilisée dans la suite des calculs. Quand on ajoute, par exemple, le terme d'amortissement structurel à l'équation (B-B-1), il s'écrit $\xi \cdot [CS] \frac{d}{dT}(\theta)$. Le terme à ajouter à l'équation (B-B-2) est $\frac{\xi}{\text{mgL}} \omega_1 \sqrt{\frac{g}{L}} [CS] \frac{d}{dt}(\theta) = \epsilon \omega_1 [CS] \frac{d}{dt}(\theta)$. La matrice d'amortissement adimensionnel utilisée dans la relation (B-III-20) s'écrit donc

$$ \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} = {}^t[\phi] \cdot (\omega_1 \cdot [CS]) \cdot [\phi] . \qquad (B-B-9) $$

### ANNEXE B-C

#### STABILITE D'UNE LAME FLEXIBLE DANS UN FLUX D'AIR

##### B-C-1 Modélisation de la poutre

On considère une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre (voir fig B-C-1). L'action de la pesanteur sur cette poutre est négligée. Ses mouvements sont supposés petits (hypothése de linéarité) ($W(X,T) \ll H_a, H_b$).

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>fig B-C-1 : géométrie du modèle</figcaption></figure>

L'équation du mouvement de cette poutre s'écrit :

$$ D \frac{\partial^4 W}{\partial X^4} + M \frac{\partial^2 W}{\partial T^2} = \Delta P(X, T), \qquad (B-C-1) $$

où

$$ - D = \frac{E e^3}{12}; $$

- E est le module d'Young;

- e est l'épaisseur de la lame;

- M = $\mu e$;

- $\mu$ est la masse volumique de la lame;

- $\Delta P(X, T)$ est la différence de pression de part et d'autre de la lame.
En posant $x = \frac{X}{L}$, $w = \frac{W}{L}$, $\tau = \Omega T$ (où $\Omega = \frac{1}{L^2}\sqrt{\frac{D}{M}}$), (B-C-1) s'écrit :

$$ \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + \frac{\partial^2 w}{\partial \tau^2} = \frac{L}{D} \Delta P(x, t). \qquad (B-C-2) $$

L'équation (B-C-2), quand $\Delta P = 0$, et les conditions aux limites (encastré à une extremité et libre à l'autre) conduisent à la détermination des pulsations propres, $\omega_1$, et des formes propres, $w_1(x)$, que l'on choisit normalisées (c.a.d. $\int_0^1 w_1(x) \cdot w_j(x) \, dx = \delta_{ij}$ et $\int_0^1 w_1(x) \cdot \frac{\partial^4 w_j(x)}{\partial x^4} \, dx = \omega_1^2 \delta_{ij}$). Les 2 premiers modes sont définis fig B-C-2.

<figure><img src="image_113.png" /></figure>

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>fig B-C-2 : 2 premiers modes propres de la lame</figcaption></figure>

## B-C-2 Détermination des équations aéro-élastiques

Comme au paragraphe B-III-1-2, le fluide est supposé parfait en écoulement monodimensionnel. Les relations (B-III-7) restent donc valables et on peut écrire :

$$ \begin{aligned} \Delta P(X, T) &= P_b(X, T) - P_a(X, T) \\ &= \rho \frac{U^2}{H} (W^* - W(X, T)) \end{aligned} \qquad (B-C-3) $$

$$ \text{où } \frac{1}{H} = \frac{1}{H_a} + \frac{1}{H_b}. $$

L'équation (B-C-2) devient :

$$ \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + \frac{\partial^2 w}{\partial \tau^2} + \rho \frac{L^4 U^2}{D H} (w^* - w(x, \tau)) = 0. \qquad (B-C-4) $$

Si l'on ne considère que les 2 premiers modes propres de cette poutre, le déplacement peut s'écrire sous la forme $w(x, \tau) = A_1(\tau) \cdot w_1(x) + A_2(\tau) \cdot w_2(x)$.

On projette l'équation (B-C-4) sur les modes en la multipliant par $w_1(x)$ ($i = 1,2$) et en l'intégrant de 0 à 1.

On a donc 2 équations :

$$ \ddot{A}_1 + \omega_1^2 A_1 + \rho \frac{L^4 U^2}{D H} \{[w_1(1) \int_0^1 w_1(x) \, dx - 1] A_1 + [w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx] A_2\} = 0 $$

$$ \ddot{A}_2 + \omega_2^2 A_2 + \rho \frac{L^4 U^2}{D H} \{[w_1(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx] A_1 + [w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx - 1] A_2\} = 0 $$

(B-C-5)

Ces équations peuvent s'écrire sous une forme semblable à l'équation (B-III-13) en posant $t = \omega_1 \cdot \tau$ et $\beta = \omega_2 / \omega_1$ :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{A}_1 \\ \ddot{A}_2 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad (B-C-6) $$

où

$\gamma = \rho \frac{L^4 U^2}{D H \omega_1^2}$ est un nombre adimensionnel;

$a_{11} = w_1(1) \int_0^1 w_1(x) \, dx - 1 = 0.5660$;

$a_{12} = w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx = -1.5660$;

$a_{21} = w_1(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx = 0.8679$;

$a_{22} = w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx - 1 = -1.8679$.

Les coefficients aéro-élastiques, $a_{ij}$, ne dépendent que des conditions aux limites. On peut voir, dans le cas qui nous intéresse (libre à une
extrémité et encastré à l'autre), qu'il existe un couplage non-potentiel entre les modes qui peut conduire à une instabilité oscillante par couplage des modes. Si, par contre, cette poutre est simplement en appui au deux extrémités ($w_i(1) = 0$), il n'existe pas de couplage entre les modes et la bifurcation ne peut se produire que par divergence (quand $\gamma$ est supérieur à 1, la raideur deviendrait négative). Ce comportement différent des plaques selon leurs conditions aux limites à déjà été mis en évidence dans l'étude aéroélastique des plaques en espace infini (voir par exemple [DOW]).

### B-C-3 Etude de la stabilité

L'équation (B-C-6) étant identique à l'équation (B-III-13), la valeur du paramètre critique est aussi donné par (voir (B-III-15)) :

$$ \gamma_{\text{crit}} = \frac{\beta^2 - 1}{a_{11}^2 - a_{22}^2 + 2 \sqrt{-a_{12} a_{21}}} \quad (\text{B-C-7}) $$

La valeur numérique de ce coefficient est déterminée à partir des valeurs des $a_{ij}$ données plus haut et de $\beta = 6.2733$ [TIM] et elle vaut :

$$ \gamma_{\text{crit}} = 8.04533. \quad (\text{B-C-8}) $$

L'instabilité se produit alors quand la vitesse dépasse la valeur $U_{\text{crit}}$ où :

$$ U_{\text{crit}}^2 = \frac{\gamma_{\text{crit}} \omega_1^2 H D}{\rho L^4} = \frac{\gamma_{\text{crit}} \mu H e \Omega_1^2}{\rho} \quad (\text{B-C-9}) $$

### B-C-4 Influence des modes d'ordre supérieur

Les relations B-C-5 se généralise simplement lorsque l'on tient compte des modes d'ordre supérieur :

$$ \ddot{A}_i + \beta_i^2 A_i + \gamma \left[ \sum_{j=1}^{\infty} \alpha_j w_j^* A_j - A_i \right] = 0 \quad (\text{B-C-10}) $$

où

## Partie B : Stabilité d'une lame sauple ...

$w(x, \tau) = \sum_{i=1}^{\infty} A_i(\tau) w_i(x)$, $w_i(x)$ sont les modes propres normalisés,

$\beta_i = \frac{\omega_i}{\omega_1}$, $\omega_i$ sont les pulsations propres normalisées,

$\alpha_i = \int_0^1 w_i(x) dx$,

$w_j^* = w_j(1)$.

En remplaçant les grandeurs de la relation (B-C-10) par leurs valeurs numériques ($\omega_1 = 3.516$, $\omega_2 = 22.03$, $\omega_3 = 61.68$, $\omega_4 = 120.90$, $w_i^* = 2$ si $i$ impair, $w_i^* = -2$ si $i$ est pair, $\alpha_1 = 0.783$, $\alpha_2 = 0.433$, $\alpha_3 = 0.256$, $\alpha_4 = 0.128$, $\gamma_{\text{crit}} = 8.045$, $\omega_{\text{crit}} = 13.42$) et en écrivant ces relations au moment de la bifurcation, les amplitudes des différents modes sont données par :

$$ \begin{pmatrix} -9.0 & -12.6 & 12.6 & -12.6 & \dots \\ 7.0 & 9.5 & 7.0 & -7.0 & \dots \\ 4.1 & -4.1 & 292.4 & -4.1 & \dots \\ 2.9 & -2.9 & 2.9 & 1174.9 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} \quad (\text{B-C-11}) $$

soit

$$ A_2 \approx -1.38 A_1 $$

$$ A_3 \approx -0.03 A_1 $$

$$ A_4 \approx 0.006 A_1 $$

L'hypothèse selon laquelle seuls les deux premiers modes ont une importance dans le problème de la stabilité se trouve donc validée car les amplitudes des modes d'ordre supérieur à 2 sont très faibles jusqu'au moment de la bifurcation et leurs pulsations propres sont très éloignées de la pulsation critique. Le système est donc bien fortement confiné (voir B-I-1).

### B-C-5 Prise en compte l'amortissement et de l'instationnarité

On peut ajouter à l'équation (B-C-6) un terme d'amortissement structurel modal de la forme [LAL] :

$$ \varepsilon \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{A}_1 \\ \dot{A}_2 \end{pmatrix} \quad (\text{B-C-12}) $$
où ε est l'amortissement structurel réduit.

La relation (B-III-32) qui donne la différence de pression entre les deux faces de la lame en écoulement instationnaire reste valable ici puisqu'elle avait été démontrée pour une forme quelconque de lame flexible. Si, comme on l'a fait dans le cas de la lame bi-articulée, on ne garde que le terme d'amortissement non stationnaire il faut ajouter à l'équation B-C-6 le terme :

$$ \gamma \mathcal{Y} t \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \dot{A}_1 \\ \dot{A}_2 \end{pmatrix} \qquad (B-C-12) $$

$$ \begin{array}{l} \text{où} \\ d_{11} = w_1(1) \int_0^1 w_1(x) \, dx - \int_0^1 w_1(x) w_1(x) \, dx = 0.30, \\ d_{12} = w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx - \int_0^1 w_2(x) w_1(x) \, dx = -0.06, \\ d_{21} = w_1(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx - \int_0^1 w_1(x) w_2(x) \, dx = 0.40, \\ d_{22} = w_2(1) \int_0^1 w_2(x) \, dx - \int_0^1 w_2(x) w_2(x) \, dx = 0.09. \end{array} $$

et $w_i(x)$ est la primitive de $w_i(x)$ qui s'annule en 0.

La prise en compte de l'amortissement structurel et de l'amortissement instationnaire conduit à une nouvelle valeur de $\gamma_{crit}$. Pour un amortissement structurel réduit de 0.1 (valeur expérimentale), cette nouvelle valeur du paramètre de contrôle critique est 8.33 et c'est le mode 2 qui devient instable.

## B-C-6 Etude expérimentale de l'instabilité

Des lames en élastomère souple de différentes longueurs et d'épaisseur 2.7 mm, munies d'un film piezo-électrique, ont été réalisées. Le module d'YOUNG du matériau a été déterminé par la mesure des fréquences propres et il vaut $1.8 \times 10^6 \text{ N.m}^{-2}$.

La figure B-C-3 représente la vitesse de bifurcation de lames en fontion de la longueur L quand $H_a$ et $H_b$ sont constants (points expérimentaux (carrés) et théorie avec $\gamma_{crit} = 8.33$ (courbe)). On constate une surestimation de la vitesse mesurée par rapport à la vitesse prédite de l'ordre de 12% (voir discussion au paragraphe B-III-4-3). La proportionnalité de la vitesse avec l'inverse du carré de la longueur est par contre bien reçue.

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>fig B-C-3 : variation de la vitesse critique U avec la longueur L de la lame souple ($H_a = 3.5 \text{ mm}$, $H_b = 5 \text{ mm}$): ■ points expérimentaux, — théorie ($\gamma_{crit} = 8.33$).</figcaption></figure>
## Partie C

# Etude de la fréquence d'un système aéroélastique avec chocs
AVANT PROPOS

Quand le voile du palais est devenu instable, ses mouvements s'amplifient et, dans la plupart des cas, il vient heurter la langue et la paroi postérieure du pharynx. Ces mouvements sont responsables d'une modulation du flux inspiratoire. Il se produit alors un bruit important : le ronflement.

Le problème que l'on se pose dans cette partie C est de savoir si l'on peut donner un modèle simple du mouvement du voile du palais. Un tel modèle permettrait de prévoir les caractéristiques du bruit produit, notamment la fréquence fondamentale du ronflement, et de les relier aux caractéristiques du voile du palais et de l'écoulement inspiratoire.

Pour étudier ce problème, on propose une étude expérimentale, sur maquette, des phénomènes qui se produisent lors des grands mouvements de l'oscillateur, puis on utilise un modèle numérique de ces mouvements pour aboutir à une modèle analytique simple qui permet de décrire l'évolution de la fréquence fondamentale.
C ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME AEROELASTIQUE AVEC CHOCS

C-I ETUDE EXPERIMENTALE DU COMPORTEMENT D'UNE LAME SOUPLE INSTABLE DANS UN FLUX D'AIR CONFINE
C-I-1 ETUDE DES MOUVEMENTS DE LA LAME BI-ARTICULEE DEVENUE INSTABLE

Dans le cadre d'un stage de l'université technique d'Eindhoven, RIJPKEMA a étudié, pour une configuration donnée (fig C-I-1), les mouvements de la lame souple dans la "machine à ronfler" après la bifurcation [RIJ]. Cette même configuration a été étudiée au Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine (LAUM) avec les moyens de mesure décrits dans la partie B.

La "machine à ronfler" est, à Eindhoven, alimentée à l'aide d'une pompe centrifuge dont on peut faire varier le débit aspiré en réglant la vitesse de rotation. On mesure les dépressions moyennes par rapport à la pression atmosphérique dans les deux canaux d'amenée d'air (notées $\bar{p}_a$ et $\bar{p}_b$ sur la fig C-I-1) et dans le conduit d'aspiration (notée $\bar{p}_p$ sur la fig C-I-1) à l'aide de micro-manomètres BETZ (précision ± 1 Pa). Les pressions fluctuantes sont mesurées (à l'aide de capteurs de pression piezo-électriques PCB KISTLER 5001 branchés sur des amplificateurs de charge) dans les conduits d'amenée d'air et sous la lame bi-articulée (notées $\bar{p}_a$, $\bar{p}_b$ et $\bar{p}_c$ sur la fig C-I-1).

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>fig C-I-1 : Géométrie de la "machine à ronfler" durant les travaux à l'université de Eindhoven [RIJ].</figcaption></figure>
La dépression moyenne dans les canaux d'amenée permet de connaitre la vitesse de l'air dans ces canaux en utilisant les relations de BERNOULLI :

$$ \bar{p}_a = \frac{1}{2} \rho \bar{U}_a^2 \quad \text{et} \quad \bar{p}_b = \frac{1}{2} \rho \bar{U}_b^2 $$

Au moment de la bifurcation ces dépressions valent $\bar{p}_a = 0.4$ Pa et $\bar{p}_b = 13.5$ Pa, ce qui conduit à des vitesses $\bar{U}_a = 0.78$ m.s⁻¹ et $\bar{U}_b = 4.5$ m.s⁻¹. Par conservation du débit, ces valeurs permettent de calculer les vitesses du fluide à l'extrémité de la lame : $\bar{U}_a^* = 3.9$ m.s⁻¹ et $\bar{U}_b^* = 4.5$ m.s⁻¹. L'imprécision de la mesure de la pression $\bar{p}_a$ ne permet pas d'observer si les pertes de charge sont, comme il est prévisible, un peu plus importantes dans le canal A que dans le canal B. Si l'on tient compte de la correction de largeur et d'une perte de charge deux fois plus importante dans le canal A que dans le canal B, la valeur théorique de la vitesse à la bifurcation est de $3.9$ m.s⁻¹ ce qui représente une erreur de 13% par rapport à la mesure (voir B-III-3-5 et B-III-4-3).

Après la bifurcation, la lame se met à osciller en venant heurter la paroi la plus proche (coté canal A) avec l'extrémité de la lame 2. Ce mouvement est périodique et est appelé par la suite ST (simple touche). La fréquence du mouvement ST juste après la bifurcation ne subit qu'une légère augmentation (+ 2%) par rapport à la fréquence du mode 2 qui devient instable (voir fig C-I-2).

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>fig C-I-2 : Variation de la fréquence en fonction de la vitesse moyenne de l'air dans le canal B [RIJ].</figcaption></figure>

Lorsque la vitesse de l'air augmente, la fréquence de l'oscillation augmente progressivement et les mouvements des deux lames se déphasent. Pour certaines vitesses, on constate la présence d'un sous-harmonique 2 (doublement de période) plus ou moins marqué.

Pour une vitesse moyenne dans le canal B de 7 m.s⁻¹, la lame 1 vient à son tour heurter la paroi du coté A (ce mouvement est nommé DT (double touche)). Le mouvement reste périodique mais la fréquence augmente brutalement de 8.9 Hz à 12.1 Hz (ce saut de fréquence n'a pas été retrouvé lors des manipulations faites au Mans, pour les mêmes hauteur $H_a$ et $H_b$, où un reservoir de grandes dimensions est placé entre la pompe d'alimentation et la machine à ronfler pour stabiliser la pression). Le mouvement des lames est reconstitué sur la figure C-I-3 à partir d'un enregistrement vidéo des lames éclairées par un stroboscope (on appelle $W_1$ et $W_2$ le mouvement de l'extrémité des lames 1 et 2).

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>fig C-I-3 : Mouvements de l'extrémité des lames 1 et 2 pendant le mouvement DT (adapté de [RIJ]).</figcaption></figure>

Lorsque la vitesse de l'air augmente encore, la lame 2 vient toucher la paroi du coté B et le mouvement devient irrégulier (mouvement TT (triple touche)). La lame bi-articulée semble hésiter entre deux régimes d'oscillations et la "machine à ronfler" produit alors un bruit ressemblant à celui d'un moteur à combustion interne mal réglé.

Quand la différence de hauteur entre les deux cotés n'est pas si grande,
les deux lames peuvent toucher des deux cotés (mouvement QT (quadruple touche)).

Lorsque l'on diminue la vitesse de l'air, on observe une hystérèse sur les vitesses de l'air nécessaire au passage d'un type de mouvement à l'autre. Cette hystérèse se retrouve au niveau du début du mouvement : la vitesse à laquelle le mouvement s'arrête est plus faible que la vitesse où il débute. Ce phénomène indique la présence de plusieurs cycles limites à une même dépression d'aspiration. Le mouvement se trouve attiré par l'un ou l'autre de ces cycles limites suivant ses conditions initiales (voir fig C-I-4).

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

fig C-I-4 : Coexistence de deux cycles limites (le point d'équilibre et le mouvement ST) dans le plan de phase et bassins d'attraction de ces deux cycles limites.

Le type de comportement décrit plus haut se retrouve quand on utilise une lame souple au lieu d'une lame bi-articulée (voir fig C-I-5). Pour les faibles vitesses, seule l'extrémité de la lame souple heurte les parois (mouvement ST) alors que, pour des vitesses plus importantes, on assiste d'abord à un contact avec la paroi au milieu de la lame puis à un choc de l'extrémité (mouvement DT). Le problème de l'étude de la lame souple est que le point de contact du milieu de la lame en mouvement DT change de position avec la vitesse. En cela le mouvement de la lame bi-articulée est plus simple à modéliser puisque l'on connait exactement la position des points où se produit le contact lame-paroi.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>mouvement ST</figcaption></figure>

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>mouvement DT</figcaption></figure>

fig C-I-5 : définition des mouvements ST et DT pour une lame souple.
### C-I-2 VARIATIONS DE LA FREQUENCE

Comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, la fréquence du mouvement de la lame augmente avec la vitesse de l'air, elle est aussi dépendante des hauteurs des canaux A et B qui l'entourent.

Un des buts de l'étude des "grands mouvements" est de relier la fréquence fondamentale aux caractéristiques physiologiques du ronfleur en action. Il est donc paru intéressant de relier expérimentalement la fréquence à la vitesse de l'air et aux hauteurs $H_a$ et $H_b$ dans le cas où l'un des canaux est fermé (cas du ronflement avec la bouche fermée).

La figure C-I-6 montre la variation de la fréquence fondamentale moyenne en fonction de la vitesse moyenne. Pour certaines conditions d'écoulement, le mouvement n'est pas périodique ou présente des sous-harmoniques. Dans ce cas la fréquence moyenne est la fréquence pour laquelle le spectre de puissance du signal issu du film piezo-électrique est maximum (voir fig C-I-7). La vitesse moyenne est obtenue en divisant le débit mesuré par la section de passage dans le canal ouvert quand la lame est au repos (hauteur $H_a$ × largeur B).

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>fig C-I-6 : Variation de la fréquence en fonction de la vitesse moyenne et de la hauteur du canal fermé (mesures faites au Mans).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>fig C-I-7 : (a) Signal du film piezo-electrique montrant un sous-harmonique d'ordre 4, (b) transformé de FOURIER de ce signal.</figcaption></figure>

On peut remarquer sur la fig C-I-6 que la fréquence augmente quasi-linéairement avec la vitesse lorsque celle-ci est assez importante (la limite inférieure de linéarité correspond à la vitesse pour laquelle les lames touchent les deux parois (mouvements TT ou QT)). Au contraire, la fréquence diminue, à vitesse du fluide constante, lorsque l'on éloigne la paroi du canal fermé.

Si l'on cherche une loi empirique simple qui permet de tenir compte de ces résultats, on se rend compte que la différence entre la fréquence moyenne du mouvement et la fréquence du système au moment où il bifurque est proportionnelle à la vitesse moyenne et inversement proportionnelle à la hauteur totale du passage ($H_a + H_b$) lorsque les vitesses du fluides sont assez importantes et des hauteurs pas trop grandes (ces limitations correspondent au fait que, pour que cette loi empirique soit valide, il faut que les lames touchent des deux cotés).

On peut donc définir un nombre de STROUHAL : $St = \frac{(f_{moy} - f_{bif})(H_a + H_b)}{U_{moy}}$ et dire que, lorsque l'on a contact des 2 cotés, $St$ est constant. Ce nombre sans dimension est tracé sur la figure C-I-8 en fonction de la vitesse du fluide. La valeur de $St$ vers laquelle converge les courbes vaut dans le cas présent $\approx 4 \times 10^{-3}$.
Lorsque les deux canaux sont ouverts, la même loi empirique est applicable mais la valeur du nombre de STROUHAL est égale à $8 \times 10^{-3}$.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>C-I-8 : Variation du nombre de STROUHAL en fonction de la vitesse</figcaption></figure>

### C-I-3 ETUDE DE L'ECOULEMENT AUTOUR DE LA LAME BI-ARTICULEE DEVENUE INSTABLE

On a représenté, sur la figure C-I-9, les pressions fluctuantes $\tilde{p}_a$, $\tilde{p}_b$ et $\tilde{p}_c$ au cours d'un mouvement DT et on a rappelé le mouvement des lames (cf fig C-I-3). Pour les différents points indiqués sur la figure C-I-9, on a réalisé une visualisation de l'écoulement du fluide par effet SCHLIEREN en injectant du CO$_2$ au niveau du point d'attache de la lame et sur la paroi du coté du canal A (voir figure C-I-10).

Plusieurs points importants sont à noter :

- Les variations de pression à l'intérieur de la machine à ronfler sont très importantes. Dans le tube d'amené d'air A, l'amplitude de pression est d'environ 200 Pa, soit un niveau acoustique de 140 dB SPL.

- La pression dans les tubes d'amenée d'air peut être supérieure à la pression atmospérique. Ce phénomène ne peut s'expliquer que par des effets instationnaires : lorsque de l'air circule dans un tube et qu'on le ferme brutalement, l'inertie du fluide contenu en amont de la fermeture conduit à une augmentation de la pression, qui peut alors dépasser la pression atmosphérique.

- Des oscillations ont lieu après chaque variation importante de pression. Elle correspond aux effets acoustiques : lors d'une expérience où l'un des canaux est fermé, si l'on adjoint au bouchon de caoutchouc rigide (qui sert à boucher le conduit) un cône de mousse dont la pointe est dirigée vers l'oscillateur (qui diminue fortement le coefficient de réflexion acoustique du conduit), on constate une disparition presque complète de ces oscillations. Le mouvement et la forme moyenne de variations de pression ne se trouvent pas affectés par ce changement (voir fig C-I-11).

- La visualisation de l'écoulement du coté A, n'est pas simple à interpréter à cause du mélange très rapide des lignes d'émission avec le reste de l'écoulement (le nombre de REYNOLDS moyen : $Re$ = Vitesse moyenne $\times H_a / \nu$ = 1400). On peut toutefois constater que le flux d'air est interrompu sur les clichés (9), (1) et (2), qu'il reprend sur les clichés (3) et (4) pour s'interrompre de mouveau sur le cliché (5). Sur ce
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>fig C-I-9 : Variation de pression dans les tubes d'amenée d'air A (a), B (b) et sous l'oscillateur (c). Mouvement des lames (d).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>fig C-I-10 : Visualisation de l'écoulement du coté A lors d'un mouvement DT (clichés obtenus à l'Université Technique d'Eindhoven).</figcaption></figure>
cliché, on observe que l'air émis le long de la paroi a tendance à remonter dans le tube. Au moment où la lame 2 décolle de la paroi, un tourbillon se forme à son extrémité (fig C-I-12a). Le cliché (6) montre que lors de cette ouverture le flux d'air ne se rétablit pas instantanément (contrairement à ce qui se passe cliché (3) quand la lame 1 décolle de la paroi). Par la suite, lorsque la lame 2 s'éloigne du coté A, on assiste à la formation d'un jet en sortie de la lame 1 (voir cliché (9) et fig C-I-12b).

- Ce comportement est confirmé par l'analyse, au fil chaud, de la vitesse de l'air le long de la paroi du coté A (le fil chaud est placé transversalement à l'écoulement à 0.5 mm de la paroi). On peut voir sur la figure C-I-13 que la vitesse de l'air croît brutalement au point 1 qui correspond à l'ouverture du passage au niveau de la lame 1. Elle diminue à partir du point 4 qui correspond à la fermeture du passage à l'extrémité de la lame 2 pour augmenter plus faiblement lors de la réouverture du canal. La vitesse redevient plus faible à partir du point 7 qui correspond au début de la formation du jet.

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>fig C-I-13 : Vitesse du fluide le long de la paroi A lors d'un mouvement DT.</figcaption></figure>

- Une autre analyse au fil chaud a été réalisée lors du mouvement ST d'une lame souple en mesurant les vitesses du fluide pour différentes positions

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>fig C-I-11 : Signaux de pression en présence (a) et en l'absence (b) de reflexion acoustique dans le tube fermé (les échelles ne sont, hélas, pas indentiques sur les deux tracés).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>fig C-I-12 : Visualisation de l'écoulement du coté A lors d'un mouvement DT montrant la formation d'un tourbillon à l'ouverture de lame 2 (a) et la formation d'un jet en sortie de lame 1 (b) (clichés obtenus à l'Université Technique d'Eindhoven).</figcaption></figure>
du fil chaud dans le canal (voir fig C-I-14) et en les synchronisant au mouvement à l'aide du signal de la lame piezo. Elle permet de confirmer la création d'un jet dont la vitesse est importante le long des parois lorsque le conduit se ferme.

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>fig C-I-14 : Mesure au fil chaud de la vitesse de l'air sous une lame souple en mouvement ST (les traits verticaux représentent la norme de la vitesse en différents points de la section)</figcaption></figure>

C ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME AEROELASTIQUE AVEC CHOCS

C-II MODELISATION DU COMPORTEMENT DE LA LAME BI-ARTICULEE INSTABLE AVEC DES CHOCS
### C-II-1 MODELISATION DES CHOCS

On a vu dans la partie B qu'à partir du moment où la lame souple a bifurqué, elle tire de l'énergie du fluide qui l'environne. Pour qu'un régime stable puisse de nouveau s'établir lorsque la lame vient heurter les parois, il est nécessaire que le choc entre la lame et la paroi dissipe de l'énergie. Un des modèles possibles de cette dissipation est de considérer que la vitesse du point où se fait le contact est inversée et divisée par un facteur constant [SHA2].

Si l'on considère un choc à l'extrémité de la lame 2 (voir fig C-II-1a), cette condition peut s'écrire :

$$ \dot{\theta}_1^+ + \dot{\theta}_2^+ = -r (\dot{\theta}_1^- + \dot{\theta}_2^-) \qquad (C-II-1) $$

où

$\dot{\theta}_i^+$ est la vitesse angulaire de la lame i après le choc,

$\dot{\theta}_i^-$ est la vitesse angulaire de la lame i avant le choc,

r est un coefficient de restitution compris entre 0 et 1 (0 correspond à un choc mou et 1 à un choc élastique).

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>fig C-II-1 : (a) Choc à l'extrémité de la lame 2. (b) Choc à l'extrémité de la lame 1.</figcaption></figure>
On obtient une seconde relation entre les vitesses angulaires avant et après le choc en écrivant que, durant le choc (de durée infiniment brève), la force de contact, F(t), qu'exerce la paroi sur la lame 2 est très supérieure à toutes les autres forces en jeu. La variation du moment dynamique, calculé en $O_1$, de l'ensemble des deux lames est donc égale à l'intégrale du moment en $O_1$ de cette force F(t) entre les instants $t^-$ et $t^+$ (qui sont les instants de début et de fin du choc que l'on fait tendre l'un vers l'autre) :

$$2L \int_{t^-}^{t^+} F(t) dt = \int_{t^-}^{t^+} \delta(O_1, 1+2) dt = M L^2 \left(\frac{11}{6} (\dot{\theta}_1^+ - \dot{\theta}_1^-) + \frac{5}{6} (\dot{\theta}_2^+ - \dot{\theta}_2^-)\right) \quad (C-II-2)$$

où

$\delta(O_1, 1+2)$ est le moment dynamique des lames 1 et 2 au point $O_1$, L est la longueur des lames, M est la masse des lames.

On écrit la même relation sur la lame 2 :

$$L \int_{t^-}^{t^+} F(t) dt = \int_{t^-}^{t^+} \delta(O_2, 2) dt = M L^2 \left(\frac{1}{2} (\dot{\theta}_1^+ - \dot{\theta}_1^-) + \frac{1}{3} (\dot{\theta}_2^+ - \dot{\theta}_2^-)\right), \quad (C-II-3)$$

on élimine l'intégrale sur la force entre les deux relations, ce qui conduit à :

$$5 (\dot{\theta}_1^+ - \dot{\theta}_1^-) + (\dot{\theta}_2^+ - \dot{\theta}_2^-) = 0. \quad (C-II-4)$$

L'ensemble des deux relations (C-II-1) et (C-II-4) permet de calculer les vitesses angulaires après le choc si l'on connait les vitesses avant le choc.

Il est aisé de montrer que ces relations correspondent effectivement à une diminution de l'énergie cinétique de l'ensemble des deux lames. Cette diminution est égale à :

$$\frac{7 M L^2}{24} (1-r^2) (\dot{\theta}_1^- + \dot{\theta}_2^-)^2, \quad (C-II-5)$$

ce qui montre, qu'en cas de choc élastique (r=1), l'énergie cinétique est conservée.

Si le choc a lieu à l'extrémité de la lame 1 (voir fig C-II-1b), on obtient de la même façon :

$$\begin{gathered} \dot{\theta}_1^+ = -r\dot{\theta}_1^- \\ 3 (\dot{\theta}_1^+ - \dot{\theta}_1^-) + 2 (\dot{\theta}_2^+ - \dot{\theta}_2^-) = 0 \end{gathered} \quad (C-II-6)$$

et dans ce cas l'énergie cinétique diminue à chaque choc de :

$$\frac{7 M L^2}{12} (1-r^2) (\dot{\theta}_1^-)^2. \quad (C-II-7)$$
### C-II-2 MODELISATION STATIONNAIRE DE L'ECOULEMENT

#### C-II-2-1 Modèle sans perte

On a constaté expérimentalement, au chapitre C-I, que l'écoulement, lorsque les lames viennent heurter les parois, n'était ni stationnaire, ni monodimensionnel. Le modèle présenté dans ce paragraphe a néanmoins ces deux caractéristiques car il permet d'obtenir des résultats relativements simples qui seront par la suite discutés à la lumière des hypothèses posées.

On reprend, en conservant les mêmes notations, les équations du paragraphe B-III-2 avant leur linéarisation qui n'est a priori plus licite ici.

L'équation de conservation du débit dans le canal A, entre une section d'abscisse X et la section de sortie, s'écrit :

$$ U_a(X) = \frac{H - W^*}{H - W(X)} U \qquad (C-II-8) $$

où le déplacement est donné par

$$ W(X) = \begin{cases} \Theta_1 \cdot X & \text{si } 0 \le X \le L \\ \Theta_1 \cdot L + \Theta_2 \cdot (X-L) & \text{si } L \le X \le 2L \end{cases} \qquad (C-II-9) $$

D'autre part, le théorème de BERNOULLI appliqué dans le canal A, entre les sections X et 2L, se met sous la forme :

$$ P_a(X) = P^* + \frac{\rho}{2} (U^2 - U_a^2(X)) = - \frac{\rho}{2} U_a^2(X). \qquad (C-II-10) $$

La pression dans la section X peut donc s'écrire :

$$ P_a(X) = - \frac{\rho}{2} U_a^2 (X) \qquad (C-II-11) $$

où

$$ A_i(X) = \left( \frac{H - L\Theta_1 - L\Theta_2}{H - X\Theta_1} \right)^2 \quad \text{si } 0 \le X \le L $$

et

$$ A_i(X) = \left( \frac{H_a - L\Theta_1 - L\Theta_2}{H_a - L\Theta_1 - (X-L)\Theta_2} \right)^2 \quad \text{si } L \le X \le 2L. $$

La pression dans le canal B s'obtient en changeant $H_a \to H_b$, $\Theta_1 \to -\Theta_1$ et $\Theta_2 \to -\Theta_2$ dans les relations ci-dessus.

Les moments sur les lames 1 et 2, $M_1$ et $M_2$, s'obtiennent par intégration de la pression calculée ci-dessus le long des lames :

$$ \begin{align} \rightarrow M_1 &= \int_0^L (P_b(X) - P_a(X)) \cdot X \cdot B \cdot dX \tag{C-II-12a} \\ &= \frac{\rho}{2} B L^2 U^2 (M B_1 - M A_1) \nonumber \end{align} $$

où

$$ M A_1 = -(1-w_2)^2 \left[ \frac{1}{w_1(1-w_1)} + \frac{1}{w_1^2} \ln(1-w_1) \right] - \frac{1-w_2}{1-w_1} $$

$$ M B_1 = -(1+bw_2)^2 \left[ \frac{-1}{bw_1(1+bw_1)} + \frac{1}{b^2w_1^2} \ln(1+bw_1) \right] - \frac{1+bw_2}{1+bw_1} $$

$$ \text{avec } w_1 = \frac{L\Theta_1}{H_a}, \quad w_2 = \frac{L(\Theta_1 + \Theta_2)}{H_a} \quad \text{et} \quad b = \frac{H}{H_b}, $$

$$ \begin{align} \rightarrow M_2 &= \int_L^{2L} (P_b(X) - P_a(X)) \cdot (L-X) \cdot B \cdot dX \tag{C-II-12b} \\ &= \frac{\rho}{2} B L^2 U^2 (M B_2 - M A_2) \end{align} $$

où

$$ M A_2 = - \frac{(1-w_2)^2}{(w_2-w_1)^2} \ln\left(\frac{1-w_2}{1-w_1}\right) - \frac{1-w_2}{w_2-w_1} $$

$$ M B_2 = - \frac{(1+bw_2)^2}{b^2(w_2-w_1)^2} \ln\left(\frac{1+bw_2}{1+bw_1}\right) + \frac{1+bw_2}{b(w_2-w_1)} $$
On a tracé sur la figure C-II-2 le moment adimensionnel ($M_1/( - \frac{\rho}{2} B L^2 U^2)$) en fonction de $w_1$ avec $w_2 = 0.5$ et $b = 0.5$. On remarque que le moment devient infini lorsque l'extrémité de la lame 1 vient toucher l'une ou l'autre des parois car dans ce modèle, par la conservation du débit, la vitesse devient infinie au niveau du contact lorsque l'extrémité de la lame 1 est très proche de la paroi. Pour éviter ce phénomène non réaliste, il faut tenir compte des pertes visqueuses qui se produisent alors et pour cela deux stratégies sont possibles :

- la première possiblité est de considérer des pertes de charge concentrées à l'endoit du contact entre la lame 1 et la paroi;

- la seconde possibilité (pour éviter d'avoir une vitesse infinie) est d'introduire un décollement des filets d'air dans la section la plus faible.

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>fig C-II-2 : Variation du moment adimensionnel sur la lame 1, (a), et sur la lame 2, (b), en fonction de $w_1$ quand $w_2 = 0.5$ et $b = 0.5$ (le trait continu représente le modèle ci-dessus et les pointillés le moment linéarisé (voir paragraphe B-III-2)).</figcaption></figure>

### C-II-2-2 Prise en compte de pertes visqueuses dans l'étranglement

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>fig C-II-3 : Prise en compte de pertes dans l'étranglement</figcaption></figure>

En tenant compte de pertes de charges concentrées au niveau de la section $S_E$ (voir fig C-II-3) et en considérant la dépression $P^*$ comme une constante, le théorème de BERNOULLI permet d'écrire :

$$P^* + \frac{\rho}{2} (1 + \xi(\theta_1, \theta_2, U_a)) U_a^2 = P_{atm} = 0 \quad (C-II-13)$$

où $\xi$ est un coefficient de perte de charge qui peut dépendre de la position des lames 1 et 2 et de la vitesse du fluide.

Une modélisation simple de cette perte de charge est de considérer l'étranglement comme un canal de longueur C (très inférieure à la longueur L des lames) et de hauteur $H_a - L \theta_1$. Le coefficient de perte de charge se met alors sous la forme (voir relation A-II-4) :

$$\xi = 24 \nu C \frac{(H - W_2)}{(H - W_1)^3} \frac{1}{U_a} \quad (C-II-14)$$

où $\nu$ est la viscosité cinématique de l'air, $W_1 = L \theta_1$ et $W_2 = L (\theta_1 + \theta_2)$
La vitesse $U_a$ s'écrit donc :

$$U_a = \sqrt{\left(\zeta \frac{1-w_2}{(1-w_1)^3}\right)^2 + \frac{2 P^*}{\rho} - \zeta \frac{1-w_2}{(1-w_1)^3}} \quad (C-II-15)$$

où $w_1 = W_1/H_a$, $w_2 = W_2/H_a$ et $\zeta = \frac{12 \nu C}{H_a^2}$ (on rappelle que $P^*$ est négative).

La vitesse de l'air du coté B est obtenue de la même façon en remplacant $w_1$ par $-bw_1$ et $w_2$ par $-bw_2$.

En tenant compte de la relation (C-II-13), la pression qui s'exerce sur la lame 2 s'écrit :

$$P_a(X) = - \frac{\rho}{2} U_a^2 (\xi + A_1(X)). \quad (C-II-16)$$

Le moment exercé par l'air sur la lame 2 est alors égal à

$$MP_2 = \frac{\rho}{2} B L^2 (U_b^2 (MB_2 - \frac{\xi}{2}) - U_a^2 (MA_2 - \frac{\xi}{2})). \quad (C-II-17)$$

En amont de l'étranglement, la pression s'écrit :

$$P_a(X) = - \frac{\rho}{2} U_a^2 A_1(X), \quad (C-II-18)$$

et le moment sur la lame 1 vaut donc :

$$MP_1 = \frac{\rho}{2} B L^2 (U_b^2 MB_1 - U_a^2 MA_1). \quad (C-II-19)$$

On peut remarquer sur la figure C-II-4 que la prise en compte de pertes de charge localisées au niveau de l'étranglement entraine une "saturation" des moments exercés par l'air sur les lames. Le niveau et la position du début de la saturation dépendent du nombre sans dimension :

$$\left(\frac{12 \nu C}{H_a^2}\right)^2 \frac{\rho}{2P^*}.$$

Plus ce nombre est grand plus la saturation intervient rapidement.

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>fig C-II-4 : Variation du moment adimensionnel en tenant compte des pertes (trait continu) et sans en tenir compte (pointillés) sur la lame 1, (a), et sur la lame 2, (b).</figcaption></figure>

### C-II-2-3 Prise en compte du décollement à l'étranglement

Un second modèle possible pour limiter la vitesse lorsque la lame 1 vient toucher une paroi est de supposer qu'il y a formation d'un jet au niveau de l'étranglement (voir fig C-II-5). Dans ce cas la vitesse dans le jet, s'il reste parallèle, est égale à la vitesse $U$ et la pression dans la région décollée est égale à la pression $P^*$.

Si l'on suppose que le décollement se produit dans la région A, le moment sur la lame 2 est égal à :

$$MD_2 = \frac{\rho}{2} B L^2 U^2 (M_b + \frac{1}{2}). \quad (C-II-20)$$
<figure><img src="image_136.png" /></figure>

fig C-II-5 : Prise en compte du décollement dans l'étranglement

Si le décollement se produit dans la partie B, on change $M_b$ en $-M_a$ et $\frac{1}{2}$ en $-\frac{1}{2}$.

Si l'on a décollement du coté A, la pression en amont est donnée par

$$P_a(X) = - \frac{\rho}{2} U^2 \left( \frac{H_a - L\Theta_1}{H_a - X\Theta_1} \right)^2 \quad (C-II-21)$$

et le moment sur la lame 1 vaut

$$MD_1 = \frac{\rho}{2} B L^2 U^2 (MB_1 - MAD_1) \quad (C-II-22)$$

où

$$MAD_1 = - \frac{1-w_1}{w_1} - \left( \frac{1-w_1}{w_1} \right)^2 \ln(1-w_1) - 1 \quad (C-II-23)$$

Si le décollement a lieu du coté B, on remplace dans les deux relations ci-dessus $MB_1$ par $MDB_1$, $MAD_1$ par $MA_1$ et $w_1$ par $-bw_1$. Ces moments sont tracés sur la figure C-II-6.

Si l'on considère que le décollement a lieu dès que la valeur de $w_1$ est différente de la valeur de $w_2$, le moment présente une discontinuité de pente en $w_1 = w_2$ et, en dehors de cette valeur, le moment est très réduit par la prise en compte du décollement. Si le décollement se produit pour une valeur donnée de l'angle de divergence du canal, on assiste à une discontinuité de la valeur du moment.

<figure><img src="image_137.png" /></figure>

fig C-II-6 : Variation du moment adimensionnel avec un décollement qui se produit quand $w_1 - w_2 = 0.25$ (trait continu fort) et sans en tenir compte (pointillés) sur la lame 1, (a), et sur la lame 2, (b).

Ce modèle avec décollement est extrèmement rudimentaire, il ne prend notamment pas en compte :

- la divergence du jet issu de l'étranglement et son éventuel rattachement aux parois;
- le décollement qui peut se produire sur la lame 1;

- les effets non stationnaires qui peuvent rendre ce phénomène différent suivant que la lame se rapproche ou s'éloigne de la paroi.

### C-II-2-4 Approximation de la valeur des moments aérodynamiques

La description stationnaire de l'écoulement autour des lames lors des mouvements de grande amplitude montre que le moment aérodynamique qui s'exerce sur les lames est assez voisin de l'approximation linéaire lorsque l'extrémité de la lame 1 n'est pas proche d'une paroi. Lorsqu'elle s'en rapproche le modèle sans perte prévoit une vitesse qui tend vers l'infini au niveau de la section minimale. Ce phénomène n'étant pas physiquement admissible il est nécessaire de tenir compte de pertes lorsqu'il se produit. Ces pertes peuvent être de plusieurs natures (pertes visqueuses (paragraphe C-II-2-2) ou inertielles (paragraphe C-II-2-3)). Elles conduisent à une limitation de la vitesse dans l'étranglement et donc à une limitation des moments qui s'exercent sur les lames.

L'approximation linéaire des moments, développée dans la partie B, présente une valeur finie lorsque l'extrémité de la lame 1 vient toucher une paroi, on peut donc dire que "la linéarisation est équivalente à la prise en compte de pertes dans l'écoulement lorsque l'extrémité de la lame 1 est voisine de la paroi". La description des effets aérodynamiques stationnaires sur les lames lors des mouvements de forte amplitude par un modèle linéaire est donc moins stupide qu'il pouvait le sembler a priori. Cette description, qui a l'avantage de la simplicité, présente, de plus, l'intérêt de limiter les non-linéarités aux chocs contre les parois.

### C-II-3 SIMULATION NUMERIQUE DU COMPORTEMENT DES LAMES

#### C-II-3-1 Description du programme de calcul

Le programme de calcul numérique de simulation du comportement des lames est basé sur la discrétisation du temps (environ 500 incréments temporels par période du mouvement) : à partir de la position à un instant donné, on calcule la position à l'instant suivant par la méthode de RUNGE-KUTTA d'ordre 4 [LEG]. Cette méthode permet d'introduire des moments qui ne dépendent pas linéairement de la position.

Si l'on part d'un vecteur $p(i) = (W_1(i), W_2(i), \dot{W}_1(i), \dot{W}_2(i))$ où $W_i$ désigne la position de l'extrémité de la lame i ($i = 1,2$) et $\dot{W}_i$ sa dérivée par rapport au temps, les équations de la dynamique permettent de calculer la dérivée de ce vecteur par rapport au temps $dp(i) = (\dot{W}_1(i), \dot{W}_2(i), \ddot{W}_1(i), \ddot{W}_2(i))$. Les deux premières composantes de $dp(i)$ sont égales aux deux dernières de $p(i)$. Les dérivées secondes sont calculées par une relation du type :

$$ \begin{pmatrix} \ddot{W}_1 \\ \ddot{W}_2 \end{pmatrix} = - [M]^{-1} \cdot \left\{ [C] \begin{pmatrix} \dot{W}_1 \\ \dot{W}_2 \end{pmatrix} + [K] \begin{pmatrix} W_1 \\ W_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} M_1(W_1, W_2, \dot{W}_1, \dot{W}_2) \\ M_2(W_1, W_2, \dot{W}_1, \dot{W}_2) \end{pmatrix} \right\} \quad (C-II-24) $$

où

[M] est la matrice de masse,

[C] est la matrice d'amortissement structurel,

[K] est la matrice de raideur structurelle,

$M_1$ et $M_2$ sont les moments aérodynamiques dont le calcul a fait l'objet du paragraphe C-II-2.

Connaissant le vecteur $p(i)$ et sa dérivée, on calcule, par la méthode de RUNGE-KUTTA, la position $p(i+1)$. Dans le sous-programme de calcul de RUNGE-KUTTA, on vérifie à chaque pas que la position de l'extrémité des lames reste inférieure à la hauteur des canaux ($H_a$ et $H_b$). Si tel n'est pas le cas, c'est qu'il se produit un choc avec une paroi on ajuste alors la valeur de l'incrément temporel pour que la position de la lame qui vient heurter une paroi soit égale à la hauteur du canal avec une erreur relative maximum de $10^{-4}$ par valeur inférieure. On applique alors les relations de
choc déterminées au paragrphe C-II-1 pour déterminer les nouvelles valeurs de $\dot{W}_1$ et $\dot{W}_2$. Ce nouveau vecteur $p(i+1)$ devient la condition initiale de l'incrémentation suivante. Un organigramme descriptif de ce programme est donné sur la figure C-II-7.

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>fig C-II-7 : Organigramme du programme de calcul de simulation</figcaption></figure>

### C-II-3-2 Comportement des lames en simulation numérique

Quelle que soit l'expression adoptée pour les moments aéro-dynamiques (modélisation sans perte, avec pertes visqueuses, avec décollement ou modélisation linéaire), la perte de stabilité des oscillations, dont l'amplitude de départ est faible, se produit pour la valeur des paramètres prévue par le modèle linéaire de la partie B (dans la simulation numérique, c'est le premier mode qui devient instable car les effets d'amortissement non stationnaires n'ont pas été pris en compte).

Dans le cas de modélisations non linéaires de l'écoulement, le mouvement peut devenir instable pour une valeur plus faible de la vitesse de l'air si les conditions initiales ($W_1(0), W_2(0), \dot{W}_1(0), \dot{W}_2(0)$) ne sont pas proches de la position d'équilibre. Cette remarque est cohérente avec l'existence d'une hystérèse observée expérimentalement sur la position du point d'instabilité. L'énergie apportée en un cycle aux lames peut être négative à faible amplitude et positive pour de fortes amplitudes.

Lorsque la vitesse du fluide dépasse la valeur critique, le mouvement des lames croit jusqu'au moment où l'extrémité de la lame 2 vient toucher une des parois. Si la modélisation de l'écoulement ne comporte pas de pertes la lame reste alors "collée" à la paroi. Si elle en comporte et que les hauteurs de deux canaux ($H_a$ et $H_b$) sont différentes, un mouvement périodique ST s'établit (voir fig C-II-8). En augmentant encore la vitesse, la lame 1 vient à son tour heurter la paroi et un mouvement DT périodique se produit. Si les hauteurs sont égales, l'extrémité de la lame 2 touche les deux parois (voir fig C-II-9a) et, en augmentant la vitesse, un mouvement QT (mouvement où les deux lames touchent les deux parois) s'établit (fig C-II-9b).

Pour des vitesses du fluide importantes et un coefficient de restitution supérieur à 0.4, le mouvement peut devenir non-périodique. On trace pour ces mouvements le temps entre deux chocs de la lame 2 sur la paroi A ($T_i$) en fonction de ce même temps entre les deux chocs précédents ($T_{i-1}$). Cette section de POINCARE (fig C-II-10a) est moins "belle" que celles obtenues pour des mouvements forcés d'un système à un degré de liberté mécanique avec chocs (voir fig C-II-11 et [SHA]). Ceci provient du fait que dans la simulation numérique proposée ci-dessus, l'espace des phases est de
<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>fig C-II-8 : Mouvement ST obtenu pour de vitesses de fluide faibles ($U = 6 \text{ m/s}$) lorsque les valeurs de la hauteur sont très différentes ($H_a = 15$, $H_b = 3 \text{ mm}$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>fig C-II-9 : Mouvements obtenus lorsque les hauteurs sont égales ($H_a = 5 \text{ mm}$) pour 2 valeurs de la vitesse. Quand $U = 5 \text{ m/s}$, seule la lame 1 touche les parois (a), quand $U = 15 \text{ m/s}$ les 2 lames touchent les 2 parois (mouvement QT).</figcaption></figure>

dimension 4, il est alors plus difficile de mettre directement en évidence une structure fractale que dans le cas d'un espace des phases de dimension 3. Néanmoins, le mouvement semble chaotique et présente des intermittences de zones régulières (périodiques) et irrégulières (voir fig C-II-10b) que l'on constate aussi expérimentalement.

Le comportement expérimental de la lame est donc globalement assez bien restitué par le modèle numérique stationnaire en prenant un coefficient de restitution faible ($\approx 0.1$).

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>fig C-II-10 : (a) Section de POINCARE donnant la période entre 2 chocs en fonction de la période précédent. (b) période entre deux chocs en fonction du numéro du choc.</figcaption></figure>
C-II-3-2 Variation de fréquence en simulation numérique

Le but de ce paragraphe est de déterminer comment varie la fréquence avec les différents paramètres de notre modèle numérique (on étudie ici un modèle numérique avec décollement).

Ces différents paramètres sont :

- la vitesse moyenne du fluide U;

- la hauteur H_a du canal A;

- la hauteur H_b du canal B;

- la longueur L des lames;

- la masse par unité de largeur M des lames;

- la masse volumique ρ de l'air;

- la raideur K des articulations (tenant compte de la pesanteur);

- l'amortissement D des articulations;

- l'angle φ à partir duquel on a décollement;

- le coefficient de restitution r.

A partir de ces 9 paramètres, on peut construire 6 nombres sans dimension en choisissant L, M et U comme variables dont les dimensions sont indépendantes :

$$- \frac{H}{L} = h_a;$$

$$- \frac{H_b}{L} = h_b;$$

$$- \frac{\rho L^2}{M} = m;$$

$$- \frac{K}{M L U^2} = k;$$

$$- \frac{D}{M L^2 U} = d;$$

- φ

- r

En utilisant le théorème π (ou théorème de VASCHY-BUCKINGHAM, voir par exemple [CAN]), la relation donnant la fréquence f du mouvement s'écrit

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

équations:

$$\begin{cases} \ddot{x} + x = \beta \cos(\omega t) & \text{si } -1 < x < 1 \\ \ddot{x}^* + r\dot{x}^* = & \text{si } x = -1 \text{ ou } x = 1 \end{cases}$$

pour $\beta=10, r=0,5, \omega=47$

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>fig C-II-11 : Section de POINCARE obtenue lors du mouvement forcé d'un système à un degré de liberté dont l'amplitude est limité (voir [SHA])</figcaption></figure>
sous la forme :

$$ \frac{f L}{U} = \mathcal{F}(h_a, h_b, m, k, d, r) $$

On constate à l'aide des "expériences numériques" que :

- la fréquence ne dépend pas de k et de d lorsque la valeur de la vitesse est assez grande (mouvement QT) (variation de moins de 1% de la fréquence en multipliant la raideur ou l'amortissement par 3);

- la fréquence ne dépend pas de l'angle $\varphi$ de décollement (variation de moins de 1% en divisant l'angle par 2);

- la fréquence dépend très peu du coefficient de restitution r tant que celui-ci reste inférieur à la valeur pour laquelle le mouvement devient non périodique ($r < 0.4$) (variation de 5% entre $r = 0$ et $r = 0.3$).

Le premier point peut s'expliquer par le fait que les efforts de raideurs de la lame deviennent rapidement négligeables devant les efforts aérodynamiques lorsque la vitesse augmente. De plus la dissipation d'énergie au moment du choc contre la paroi et très supérieure à la dissipation d'énergie dûe à l'amortissement des lames.

La fréquence est indépendante de l'angle de décollement car l'angle de la lame 2 est supérieur à l'angle de décollement (lorsqu'il prend des valeurs raisonnables ($2 < \varphi < 10°$) pendant la plus grande partie du mouvement (voir fig C-II-9-b).

Au cours du mouvement QT, la lame 1 vient heurter une paroi alors que la lame 2 est encore assez voisine de la paroi opposée. Les efforts aérodynamiques imposent, alors, à la lame 1 de rester au voisinage de la paroi qu'elle vient de heurter tant que la lame 2 ne s'est pas rapprochée suffisamment de cette paroi et tant que la vitesse initiale $V_0$ (voir fig C-II-12) est assez faible. En quelque sorte, la lame 1 "attend" la lame 2. Lorsque la vitesse initiale dûe au rebond est assez grande pour que la

lame 1 échappe à "l'attraction" de la paroi, le mouvement devient non périodique (coefficient de restitution supérieur à 0.4). Quand la lame 2 vient à son tour heurter la paroi, la lame 1 part rapidement en direction de la paroi opposée, sous l'action des efforts aérodynamiques. Elle l'atteint alors que la lame 2 est encore voisine de l'autre paroi, etc ...

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>fig C-II-12 : Comportement des lames lors d'un mouvement QT</figcaption></figure>

Dans le mouvement QT tout se passe donc comme si le coefficient de restitution était nul (la vitesse de départ des lames en quittant les parois est faible), ce qui explique l'indépendance de la fréquence et du coefficient de restitution.

Lors des simulations numériques, on constate d'autre part, la relative indépendance de la fréquence avec le rapport $H_a/H_b$ lorsque $H_a + H_b$ est constant (variation de la fréquence de 10% quand $H_a/H_b$ passe de 1 à 0.15). La fréquence varie donc avec $h = h_a + h_b$ plutôt qu'avec les deux hauteurs séparément.

La loi de variation de la fréquence se met alors sous la forme :

$$ \frac{f L}{U} = \mathcal{F}(h, m) \quad \text{où } h = \frac{H + H_b}{L} \quad \text{et } m = \frac{\rho L^2}{M} $$

L'évolution de la fréquence avec la vitesse est donc obligatoirement linéaire. Cette conclusion est vérifiée sur la fig C-II-13 où les points
issus des "expériences numériques" se rangent au voisinage de la droite
définie par :

$$
f - f_{\text{bif}} = \alpha (U - U_{\text{bif}})
$$

où $\alpha$ est une constante de proportionnalité,

$f_{\text{bif}}$ est la fréquence au moment de la perte de stabilité de la lame,
$U_{\text{bif}}$ est la vitesse au moment de la perte de stabilité de la lame.

<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>fig C-II-13 : variation de la fréquence avec la vitesse moyenne de l'air</figcaption></figure>

L'évolution de la fréquence avec la hauteur H = H_a + H_b est représentée sur la figure C-II-14 (les abscisses sont graduées en 1/H). On peut approximer la variation par :

$f - f_{\text{bif}} = \frac{\beta}{H}$ où $\beta$ est un coefficient de proportionnalité.

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>fig C-II-14 : Variation de la fréquence en fonction de la hauteur H
(1'échelle des hauteurs est graduées en 1/H)</figcaption></figure>

On se rend compte de la même façon que la différence entre la fréquence du mouvement et la fréquence au moment de la bifurcation est proportionnelle à la longueur L et inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse des lames (la variation de f avec la masse volumique ρ de l'air n'a pas été prévue dans le programme de simulation).

La loi de variation de la fréquence s'écrit donc :

$$
\frac{(f - f_{\text{bif}}) L}{(U - U_{\text{bif}})} = \delta \frac{\sqrt{m}}{h}, \quad \text{où } \delta \text{ est un coefficient de proportionnalité,}
$$

et se met sous la forme :

$$
\frac{(f - f_{\text{bif}}) H}{(U - U_{\text{bif}})} = 0.1 L \sqrt{\frac{\rho}{M}}. \qquad (C-II-25)
$$

Cette relation est semblable à la loi de variation de la fréquence observée
expérimentalement en dehors du coefficient correctif sur la vitesse.

Dans le cas de l'expérience, la masse par unité de largeur est de 140 g.m⁻¹ et le second membre de la relation C-II-25 est égal à 7.9 10⁻³. Cette valeur est celle trouvée pour le nombre de STROUHAL lors des expériences où les deux canaux sont ouverts (voir fig C-II-15).

<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>fig C-II-15 : Variation expérimentale du nombre de STROUHAL ($\Upsilon t =$ (f - f<sub>bif</sub>)(H<sub>a</sub> + H<sub>b</sub>)/U) en fonction de la vitesse quand les deux canaux sont ouverts (H<sub>a</sub> = 3 mm, H<sub>b</sub> = 5 mm).</figcaption></figure>
Au paragraphe précédent, il était indiqué que le comportement général de la lame bi-articulée observé expérimentalement était assez bien restitué par le modèle numérique. Dans ce paragraphe, on en arrive à une conclusion encore plus étonante, au regard de la complexité de l'écoulement que montre l'étude expérimentale, :

le mouvement de la lame bi-articulée et sa variation de fréquence, lorsque les lames touchent les deux parois, semblent bien décrits à l'aide d'un modèle où l'écoulement est unidimensionnel, quasi-stationnaire et avec des pertes par décollement et où la raideur propre de la lame est négligée.

Les effets non-stationnaires observés expérimentalement semblent donc avoir une influence faible sur la fréquence du mouvement. Une explication possible est qu'ils sont principalement importants aux moments de la fermeture du conduit (grande variation de la vitesse du fluide en un court laps de temps) et interviennent alors simplement dans le "collage" des lames contre la paroi et dans leurs renvois comme des phénomènes du second ordre.

### C-II-4 MODELE ANALYTIQUE SIMPLIFIE

Ce paragraphe a pour but d'établir un modèle analytique très simplifié du comportement de la lame bi-articulée lorsque les deux lames qui la composent viennent heurter les deux parois (mouvement QT).

Au paragraphe précédent, on a montré que, lors de tels mouvements, la raideur et l'amortissement propres de la lame devenaient négligeables devant la raideur dûe aux effets aéodynamiques. Il n'en est donc pas tenu compte ici. Le coefficient de restitution n'a, de même, pas une très grande influence sur le mouvement tant que sa valeur est faible. Il est pris égal à 0 dans ce modèle. Pour simplifier les calculs, on considère, de plus, une configuration symétrique ($H_a = H_b = \frac{H}{2}$) et on suppose le mouvement symétrique (expérimentalement, le fait que les canaux soient de même largeur n'entraîne pas automatiquement une symétrie du mouvement (voir par exemple fig C-II-16)).

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>T : période du mouvement</figcaption></figure>

fig C-II-16 : mouvement QT d'une lame bi-articulée et visualisation de l'écoulement par effet SCHLIEREN. On remarque l'absence de symétrie du mouvement en dépit d'une égalité de la hauteur des canaux.
Le mouvement étant supposé symétrique, il est étudié sur une demi-période. Cette demi-période est, elle même, décomposée en deux temps (voir fig C-II-12) :

- au moment où la lame 2 vient heuter une paroi, les deux lames repartent en direction de la paroi opposée que la lame 1 vient heurter au bout d'un temps $t_1$;

- la lame 1 reste alors voisine de la paroi qu'elle vient de heurter et ne repart que quand la lame 2 vient heurter cette même paroi (temps $t_1 + t_2$).

La période du mouvement sera donc $T = 2 (t_1 + t_2)$.

Les hypothèses énoncées ci-dessus peuvent paraître très limitatives. Si l'on voulait faire un calcul complet, il faudrait faire une analyse du type de celle décrite en annexe C-A pour un système à un degré de liberté avec un amortissement négatif. L'extension de ce type de calcul à des systèmes auto-oscillants à deux degrés de liberté conduit à des expressions si complexes qu'elles en deviennent inexploitables. Ceci est contraire à l'esprit fixé dans ce travail.

### C-II-4-1 Définition des notations

La configuration envisagée est celle décrite à la figure C-II-17.

<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>fig C-II-17 : Configuration étudiée dans ce modèle.</figcaption></figure>

On note $W_1$ et $W_2$ le déplacement de l'extrémité des lames 1 et 2 et on adimensionnalise ces quantités en les divisant par la hauteur des canaux : $H/2$ ($w_1 = 2W_1/H$ et $w_2 = 2W_2/H$).

Les grandeurs de masse, de force et de moment sont définies par unité de largeur puisque le problème est considéré comme plan.

On note :

- $M_2$ : le moment au point $O_2$ des actions de l'air sur la lame 2;

- $F_2$ : l'action de l'air sur la lame 2;

- $M_1$ : le moment en $O_1$ des actions de l'air et de la lame 2 sur la lame 1.

Les moments sont adimensionnalisés par $\frac{1}{2} \rho L^2 U^2$ et la force par $\frac{1}{2} \rho L U^2$ ($M_1 = \frac{1}{2} \rho L^2 U^2 m_1$, $M_2 = \frac{1}{2} \rho L^2 U^2 m_2$, $F_2 = \frac{1}{2} \rho L U^2 f_2$).

### C-II-4-2 Équations de la dynamique

Les équations du mouvement sont identiques à celles définies par la relation (B-III-1) à l'exception du terme de raideur que l'on néglige ici :

$$ML^2 \begin{bmatrix} 4/3 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \end{pmatrix} \qquad (C-II-26)$$

où M est la masse d'une lame par unité de largeur.

En l'écrivant avec les variables $w_1$ et $w_2$, cette relation devient :

$$M L H \begin{bmatrix} 5/6 & 1/2 \\ 1/6 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{w}_1 \\ \ddot{w}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \end{pmatrix}. \qquad (C-II-27)$$
### C-II-4-3 Calcul des moments aérodynamiques

Pendant la première des deux phases du mouvement définies ci-dessus, on considère que l'extrémité de la lame 2 reste voisine de la paroi qu'elle vient de frapper (cette hypothèse sera discutée par la suite). Les répartitions de pression pour les deux configurations extrèmes de cette phase sont données fig C-II-18.

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>fig C-II-18 : Répartition de pression pour les deux positions extrèmes de la phase 1 du mouvement.</figcaption></figure>

Lorsque la lame 2 vient heurter la paroi du coté A, la pression qui régne dans le canal A est égale à la pression atmosphérique (qui est considérée nulle) puisque qu'il n'y a pas d'écoulement. La pression qui s'exerce du coté B sur la lame 2 est égale à la dépression d'inspiration (- 1/2 ρ U²). Le moment m₂ est donc égal à - 1/2 et la force f₂ à - 1. Le calcul exact du moment sur la lame 1 se fait à l'aide de la relation (C-II-12), sa valeur est -1 - (4 ln(2) - 2) soit -1,77.

Lorsque la lame 1 vient heurter la paroi du coté B, si l'extrémité de la lame 2 ne s'est pas trop éloignée de la paroi A, la dépression régnant du coté A est négligeable devant la dépression d'aspiration qui agit de l'autre coté sur la lame 2. Le moment m₂ est donc voisin de - 0.5 et la force f₂ de - 1. Le débit étant nul du coté B, la pression qui s'applique sur la lame 1 du coté B est nulle. Le moment sur la lame 1 est donc uniquement dû à l'action de la lame 2 et vaut -1.

## Partie C : Etude de la fréquence

On considère donc le moment m₂ comme une constante pendant toute la phase 1 (m₂ = - 0.5) et on approxime la variation de m₁ avec w₁ par une droite (m₁ = - a/2 (w₁ + 1) - 1 où a est la valeur du moment appliqué par l'air sur la lame 1, au début de la phase 1. Une valeur légèrement supérieure à la valeur théorique (0.77) permet de suivre au mieux l'évolution de la valeur du moment. En choisissant a = 0.9, la divergence entre la valeur du moment m₂ linéarisé et sa valeur exacte est au maximum de 7 %.

Au début de la deuxième phase, le moment m₂ a la même valeur qu'à la fin de la phase 1 soit - 0.5. Lorsque w₂ devient égal à w₁, le moment sur la lame 2 s'annule. La lame 2 vient tout aussitôt toucher la paroi du coté B et l'on se retrouve au début de la phase 1. Le moment m₂ subit donc une discontinuité (il passe de 0 à 0.5 pour une variation très faible de la position w₂). Le moment m₁ subit de même une discontinuité mais sa valeur n'est pas intéressante pour cette étude puisque la lame 1 est supposée fixe.

De la même façon que pour m₁ dans la phase 1, on assimile la variation de m₂ pendant la phase 2 à une droite (m₂ = - 1/4 (w₂ + 1)).

### C-II-4-4 Calcul de la fréquence du mouvement

Pendant la phase 1, les équations de la dynamique s'écrivent :

$$ M L H \begin{bmatrix} 5/6 & 1/2 \\ 1/6 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{w}_1 \\ \ddot{w}_2 \end{pmatrix} = - \frac{1}{2} \rho L^2 U^2 \begin{pmatrix} \frac{a}{2} (w_1 + 1) + 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \quad (C-II-28) $$

On peut extraire de ce système une relation sur w₁ qui s'écrit :

$$ \ddot{w}_1 + \frac{6}{7} \Lambda a w_1 = - \frac{6}{7} \left(a + \frac{1}{2}\right) \Lambda \quad (C-II-29) $$

$$ \text{où } \Lambda = \frac{1}{2} \rho \frac{L U^2}{M H} $$

Les conditions initiales (t=0) sur le mouvement sont w₁ = 1 et ω₁ = 0 (les relations de choc (C-II-1 et 4) font diminuer la vitesse initiale du mouvement de la lame 1 si elle a déjà quitté la paroi au moment du choc).
Le déplacement de l'extrémité de la lame 1 s'écrit alors :

$$w_1(t) = \frac{2a + 0.5}{a} \cos\left(\sqrt{\frac{6}{7} \Lambda a} \cdot t\right) - \frac{a + 0.5}{a} \quad (C-II-30)$$

Au temps $t_1$, la lame 1 vient toucher la paroi B soit : $w_1(t_1) = -1$. On a donc :

$$\cos(\sqrt{\frac{6}{7} \Lambda a} \cdot t_1) = \frac{1}{4a + 1} = 0.217.$$

La durée de la première phase est donc égale à :

$$t_1 = 2.176 \sqrt{\frac{M H}{\rho L U^2}} \quad (C-II-31)$$

A l'aide de la relation (C-II-28), on peut calculer la position de l'extrémité de la lame 2 au moment où la lame 1 touche la paroi B. On trouve $w_2(t_1) = 0.224$. Il est donc difficile de dire que l'extrémité de la lame 2 reste voisine de la paroi A au cours de la phase 1, ce qui remet en cause les hypothèses sur la valeur des moments. Le moment sur la lame 2 est en effet de 0.3 à la fin de la phase 1 au lieu de 0.5 comme prévu. Néanmoins le moment $m_1$ et le mouvement de la lame 1 sont peu affectés par cette variation de $w_2$ (variation de 5 % de $t_1$ quand la valeur constante du moment $m_2$ passe de 0.5 à 0.3). On prend donc les résultats de l'analyse précédente comme conditions initiales pour la phase 2.

L'équation du mouvement de la lame 2 pendant la phase 2 ($w_1$ est constant et égal à -1) est donnée par :

$$M H L \frac{\ddot{w}_2}{3} = - \frac{1}{2} \rho L^2 U^2 \frac{1}{4} (w_2 + 1). \quad (C-II-32)$$

Au temps $t=0$, début de la phase 2, la position est égale à $w_2 = 0.224$. La vitesse initiale est donnée par les relations de percussion (C-II-6), sachant que les vitesses des lames ($\dot{w}_1^-$, $\dot{w}_2^-$) avant l'impact de la lame 1 contre la paroi B se calculent à l'aide des relations établies pendant la phase 1 et valent :

$$\dot{w}_1^- = -1.549 \sqrt{\frac{\rho L U^2}{M H}} \quad \text{et} \quad \dot{w}_2^- = -0.857 \sqrt{\frac{\rho L U^2}{M H}}.$$

La vitesse de la lame 2 ($\dot{w}_2^+$) augmente (en valeur absolue) après l'impact et vaut :

$$\dot{w}_2^+ = \dot{w}_2^- + \frac{\dot{w}_1^-}{2} = -1.631 \sqrt{\frac{\rho L U^2}{M H}} \quad (C-II-33)$$

Le déplacement de l'extrémité de la lame 2 se met alors sous la forme :

$$w_2(t) = 1.224 \cos\left(\sqrt{\frac{3}{4}} \Lambda \cdot t\right) - 2.663 \sin\left(\sqrt{\frac{3}{4}} \Lambda \cdot t\right) - 1 \quad (C-II-34)$$

Le bout de la lame 2 vient frapper la paroi B à l'instant $t_2$ ($w_2(t_2) = -1$). Cet instant est défini par :

$$t_2 = 0.7034 \sqrt{\frac{M H}{\rho L U^2}} \quad (C-II-35)$$

la fréquence $f$ du mouvement de la lame bi-articulée s'écrit alors :

$$f = 0.1736 \sqrt{\frac{\rho L U^2}{M H}} \quad (C-II-36)$$

On peut tout de suite remarquer que la fréquence théorique reste proportionnelle à la vitesse du fluide mais qu'elle devient proportionnelle à la racine carrée du rapport de la longueur des lames sur la hauteur totale des deux canaux alors que l'expérience et la simulation numérique incitaient à penser qu'elle était proportionnelle à ce rapport.

Malgré ses hypothèses simplificatrices importantes, ce modèle décrit correctement le coefficient de proportionnalité entre la fréquence du mouvement et la vitesse du fluide (voir fig C-II-19). Toutefois un décalage constant en fréquence (ou en vitesse) sépare les points issus de la simulation numérique et de l'expérience de la droite tirée de ce modèle.
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>fig C-II-19 : Comparaison de la fréquence des points issus de la simulation numérique (cercles) et des résultats du modèle (droite).</figcaption></figure>

Pour améliorer le modèle proposé ci-dessus, il faudrait prendre en compte une variation des moments $m_1$ et $m_2$ pendant la phase 1 en fonction de la position des deux lames puisque la position de l'extrémité de la lame 2 a une influence faible durant la phase 1 mais peut être pas totalement négligeable sur les conditions initiales de la phase 1.

Mais l'amélioration principale de ce modèle viendra, très certainement, d'une meilleure prise en compte des phénomènes qui se déroulent lorsque les lames sont très proches des parois. C'est en effet à ce moment que tous les phénomènes complexes apparaissent : chocs, variations importantes des moments aérodynamiques, pertes visqueuses, formation de jet et de tourbillons, variations importantes de la vitesse du fluide entrainant des effets instationnaires sur l'écoulement, ...

L'étude du mouvement d'une lame souple instable dans un flux d'air limité par des parois est donc loin d'être close.

Pour aller plus loin dans cette étude, il serait utile de refaire des expériences sur la lame bi-articulée en étudiant l'influence de paramètres qui n'ont pu l'être faute de temps. On peut, par exemple, faire varier :

- la longueur L des lames;

- le rapport entre les longueurs des deux lames (qui a toujours été pris égal à 1 dans cette étude);

- la masse des lames (soit en changeant l'épaisseur, soit en changeant le matériau utilisé (lames en balsa et en acier));

- la longueur des tubes d'amené d'air ...

Il serait aussi intéressant d'étudier la loi de variation de fréquence d'une lame flexible pour pouvoir la comparer à celle de la lame bi-articulée.

De plus, du point de vue théorique, en dehors de la modélisation plus précise des phénomènes au voisinage des parois, il reste à étudier le problème de la stabilité des solutions périodiques (qui n'a été qu'effleuré ici). Cette analyse permettrait de savoir si les mouvements non-périodiques observés expérimentalement (voir par exemple fig C-II-20) sont dûs à des fluctuations aléatoires de pression dans la "machine à ronfler" ou sont intrinséques à la dynamique de la lame souple.

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>fig C-II-20 : Signal du film piézo lors d'un mouvement non périodique.</figcaption></figure>
C ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME
AEROELASTIQUE AVEC CHOCS

C-III CONCLUSION MEDICALE
La fréquence fondamentale d'un système aéroélastique qui, devenu instable, vient heurter les parois qui l'entourent varie de façon importante avec la vitesse de l'air et la hauteur du passage (voir fig C-I-6 où l'on remarque que la fréquence passe de 8 Hz à 55 Hz suivant les conditions d'écoulement). Cela permet de penser que la fréquence fondamentale est un paramètre pertinent pour l'étude du ronflement.

Une relation empirique reliant cette fréquence aux caractéristiques de l'écoulement a été établie au paragraphe C-I-2. Elle montre qu'un nombre sans dimension *Lt* est constant quelque soit les conditions d'écoulement. Ce nombre est dit nombre de STROUHAL et vaut $Lt = (f - f_0) \cdot H/U$ où f est la fréquence fondamentale du ronflement, $f_0$ est la fréquence du ronflement au moment de l'apparition de celui-ci (fréquence la plus basse), H est la hauteur du passage vélo-pharyngé et U la vitesse de l'air dans ce passage. La valeur de *Lt* est constante chez un individu donné car elle ne dépend que de la masse et de la longueur du voile du palais.

Chez un ronfleur qui ne fait pas d'apnées ("ronfleur pur"), la compliance du pharynx est peu importante. La section de passage, au niveau de l'oropharynx est donc peu dépendante de la dépression inspiratoire (H est une constante). La variation de fréquence du ronflement est alors directement proportionnelle au débit d'air inspiré. Chez un ronfleur sujet à des apnées ("ronfleur apnéïque"), sous l'action de la dépression inspiratoire la section de passage diminue et le débit se trouve limité (voir le modèle d'apnée de la partie A). Pour un même débit inspiratoire (supérieur au débit critique pour lequel on a ronflement), l'évolution de fréquence est plus importante chez un "ronfleur apnéïque" que chez un "ronfleur pur" car la section de passage est alors plus faible et la vitesse plus importante.

La mesure de la fréquence fondamentale (associé à une mesure du débit) permet donc de donner une indication de la compliance des parois de l'oropharynx. Elle présente l'avantage par rapport aux autres méthodes (reflexion acoustique, radiographie, endoscopie ... (voir paragraphe A-I-2-2)) de pouvoir se pratiquer simplement pendant le sommeil du patient. Toutefois elle nécessite de connaitre un certain nombre de paramètres physiologiques difficiles à estimer en respiration spontanée.
Une possibilité de variation (presque) controlée de la section de passage de l'oropharynx est donnée par l'utilisation de la pression positive continue (PPC). On a remarqué [AUR] que la fréquence fondamentale du ronflement varie avec la pression de PPC appliquée (voir fig C-III-1). La diminution de fréquence constatée est dûe à l'augmentation de calibre des voies aériennes supérieures (VAS) sous l'action de la pression (voir fig 4-9 et 10) mais peut aussi être imputée à des variations de débit inspiratoire qui n'avaient pas été mesurées à l'époque.

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>fig C-III-1 : Variation de la fréquence fondamentale du ronflement chez un patient lors d'une mise sous PPC en fonction de la pression appliquée dans le masque nasal.</figcaption></figure>

Un protocole d'étude où l'on mesure simultanément la fréquence fondamentale du ronflement et le débit inspiratoire, pendant des mises sous PPC, est en cours de réalisation au laboratoire d'exploration fonctionnelle respiratoire et du sommeil du CHRU d'Angers.

Au cours de ces mesures (voir fig C-III-2), on déterminera notamment :

- la fréquence fondamentale du ronflement (grâce à un logiciel d'extraction en temps réel du fondamental réalisé par J. PUAUD du Laboratoire

d'Acoustique de l'Université du Maine);

- le débit inspiratoire (grâce à un débitètre à diaphragme monté sur le tuyau d'arrivée d'air sous pression);

- la pression dans le masque nasal;

- la pression œsophagienne (qui donne la dépression inspiratoire).

Les autres grandeurs typiques des enregistrements polygraphiques noctures continueront à être stockées sur un ordinateur et pourront être synchronisées à la mesure de fréquence fondamentale grâce à l'aide de J. PINGUET (PDG de la société CIDELEC).

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>fig C-III-2 : Dispositif expérimental de mesure de la fréquence sous PPC.</figcaption></figure>
Ces données permettront une confrontation des modèles d'apnée et de ronflement avec la réalité de la "mécanique humaine" dont la géométrie et les caractéristiques sont infiniment plus complexes que les lames et les conduits parallélépipédiques étudiées jusqu'ici et qui présente l'inconvénient (du point de vue du mécanicien) d'être sous l'asservissement permanent du cerveau (changement en temps réel des caractéristiques physiologiques).

Les modèles présentés ci-dessus seront donc sûrement amenés à évoluer mais offrirons une grille de lecture des résultats des mesures sans laquelle ceux-ci seraient très difficilement exploitables.

### C ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME AEROELASTIQUE AVEC CHOCS

#### C-IV BIBLIOGRAPHIE
[AUR] Y. AUREGAN, Etude acoustique du ronflement, Rapport de stage de D.E.A. d'acoustique appliqué de l'Université du Maine, Le Mans, 1990.

[CAN] S. CANDEL, Mécanique des fluides, Ed. Dunod Université, Paris, 1990.

[GUC] J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcation of vector fields, Applied Mathematical Sciences 42, Springer-Verlag, N.Y., 1983.

[LEG] J. LEGRAS, Méthodes et techniques de l'analyse numérique, Dunod, Paris, 1971.

[RIJ] L.W.A. RIJPKEMA, Snoring as an aeroelastic problem, Rapport de stage de l'université technique de Eindhoven, R-1138-S, Eindhoven, Dec 1991.

[SHA] S. W. SHAW, P.J. HOLMES, A periodically forced piecewise linear oscillator, J. Sound Vib., 90(1), 129-155, 1983.

[SHA2] S.W. SHAW, The dynamics of a harmonically excited system having rigid amplitude constraints, ASME Journal of Applied Mechanics, 52, 453-464, 1985.
C ETUDE DE LA FREQUENCE D'UN SYSTEME
AEROELASTIQUE AVEC CHOCS

C-V ANNEXE
# ANNEXE C-A
## ETUDE D'UN SYSTEME AUTO-OSCILLANT A 1 DEGRE DE LIBERTE
### DONT L'AMPLITUDE DU MOUVEMMENT EST LIMITEE

### C-A-1 Equations du mouvement

On considère le système défini à la figure C-A-1. Il est composé d'une masse M, d'un ressort de raideur K et d'un amortisseur. Pour que le système puisse osciller, il faut que l'amortissement A soit négatif.

Le mouvement X de la masse est limité en $X = X_0$ et $X = -a \cdot X_0$ par des parois rigides. On suppose que le choc est instantané mais que le choc dissipe de l'énergie de telle sorte que la vitesse après le choc soit plus faible et opposée à la vitesse avant le choc. On peut écrire [SHA2]:

$$ \dot{X}(t_{\text{choc}}^{+}) = r \cdot \dot{X}(t_{\text{choc}}^{-}) \qquad (C-A-1) $$

où

$\dot{X}(t_{\text{choc}}^{+})$ est la vitesse après le choc,

$\dot{X}(t_{\text{choc}}^{-})$ est la vitesse avant le choc,

$r$ est le coefficient de restitution compris entre 0 et 1.

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>fig C-A-1 : modèle à 1 degré de liberté auto-oscillant limité en amplitude.</figcaption></figure>
### C-A-2 Mouvements périodiques ne touchant qu'une paroi

Si l'amplification $\delta$ est inférieure à 1, la solution générale de l'équation C-A-3a s'écrit :

$$x(t) = e^{\delta t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)) \quad (C-A-4)$$
où

$$\omega = \sqrt{1 - \delta^2}$$

A et B sont des constantes déterminées par les conditions initiales.

Un mouvement est périodique, de période T, si on se retrouve dans les mêmes conditions de déplacement et de vitesse au temps $t_0$ et au temps $t_0 + T$.

Si l'on choisit comme origine des temps $t_0 = 0$, l'instant où la masse commence à quitter la paroi $x=1$, les conditions initiales sont :

$$\begin{cases} x(0) = 1 = A \\ \dot{x}(0)^+ = V_0 = \delta.B + \omega.A \quad (V_0 < 0) \end{cases}$$

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>fig C-A-2 : exemple de mouvement périodique</figcaption></figure>

Lorsque la masse est entre les deux parois, le mouvement est gouverné par l'équation :

$$M \ddot{x} + A \dot{x} + K x = 0. \quad (C-A-2)$$

On peut adimensionaliser cette équation en posant :

$x = \frac{X}{X_0}$, $t = \sqrt{\frac{K}{M}} \cdot T$ (où T est le temps) et $\delta = \frac{-A}{2\sqrt{KM}}$ (où $\delta$ est l'amplification).

Avec ces nouvelles variables, l'équation C-A-2 s'écrit :

$$\ddot{x} - 2\delta \dot{x} + x = 0 \quad (C-A-3a)$$

et les conditions de chocs deviennent :

$$\dot{x}^+ = -r \dot{x}^- \quad \text{quand } x = 1 \text{ et } x = -a. \quad (C-A-3b)$$

Le mouvement de la masse est obligatoirement croissant puisque l'amortissement est négatif (amplification $\delta$ positive). A partir de conditions initiales différente de $x_0 = 0$ et $\dot{x}_0 = 0$, la masse vient donc frapper l'une des parois.

Sans perte de généralité, on peut supposer que $a \ge 1$ (un simple changement de variable ($x = X/aX_0$) permet de se ramener à ce cas). Un premier type de mouvement est donc celui où la masse touche la paroi $x = 1$ sans toucher la paroi $x = -a$. Il se produit pour des valeurs faibles de l'amplification. Lorsque l'amplification augmente la masse vient heurter les deux parois.

On s'intéresse, aux paragraphes suivants, aux solutions de C-A-3 qui sont périodiques pour les deux types de mouvement.
qu'on peut aussi écrire :

$$ \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} = [N] \begin{pmatrix} 1 \\ V_0 \end{pmatrix} \quad \text{ou} \quad [N] = \frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} \delta & -1 \\ -\omega & 0 \end{bmatrix}. \qquad (C-A-5) $$

Pour avoir un mouvement de période T, on doit avoir $x(T) = 1$ et $\dot{x}(T)^+ = V_0$ soit aussi $\dot{x}(T)^- = - \frac{V_0}{r}$ (voir fig C-A-2).

Les coordonées à l'instant T sont données par :

$$ x(T) = 1 = e^{\delta T} (A \sin(\omega T) + B \cos(\omega T)) $$

$$ \dot{x}(T)^- = - \frac{V_0}{r} = e^{\delta T} (A (\delta \sin(\omega T) + \omega \cos(\omega T)) + B (\delta \cos(\omega T) - \omega \sin(\omega T))) $$

qui peut aussi se mettre sous la forme

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{V_0}{r} \end{pmatrix} = [M] \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \quad \text{où} \quad [M] = e^{\delta T} \begin{bmatrix} \sin(\omega T) & \cos(\omega T) \\ \delta \sin(\omega T) & \omega \sin(\omega T) \\ +\omega \cos(\omega T) & -\delta \cos(\omega T) \end{bmatrix}. \qquad (C-A-6) $$

On peut donc écrire l'équation :

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{V_0}{r} \end{pmatrix} = [M] \cdot [N] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ V_0 \end{pmatrix}. \qquad (C-A-7) $$

Pour que cette équation ait une solution, il faut que :

$$ \det([M] \cdot [N] - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{r} \end{bmatrix}) = 0 \qquad (C-A-8) $$

soit

$$ \omega (\text{re}^{\delta T} - e^{-\delta T}) - \delta (1 + r) \sin(\omega T) + \omega (1-r) \cos(\omega T) = 0 \qquad (C-A-9) $$

Les valeurs de T qui vérifient l'équation transcendante (C-A-9), quand $\delta$ et $\omega$ sont fixés, sont donc les périodes des mouvements où la masse ne touche qu'une paroi et sont tracées sur la figure C-A-3 en fonction de r et $\delta$.

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

fig C-A-3 : Evolution de la période du mouvement, T, en fonction de l'amplification, $\delta$, et du coeficient de restitution, r.

Pour voir si la solution périodique que l'on vient de trouver est stable, on détermine si une légère perturbation des conditions initiales du mouvement à tendance à se résorber où à s'amplifier.

Pour cela on considère le système dans une configuration donnée (par exemple $x = 1, \dot{x} > 0$) et on étudie la variation de la vitesse de la masse dans la même configuration à la période suivante<fnref n="1" />.

<footnote n="1">¹ Ceci revient à considérer une section de POINCARRE de la trajectoire (ici elle se réduit à l'ensemble des vitesses d'impact d'une même trajectoire) et une carte de POINCARRE qui, ici, associe à une vitesse d'impact la vitesse à l'impact suivant. Si la dérivée DP de cette carte est inférieure à 1 pour la solution périodique, celle-ci est stable [GUC]. Cette dérivée vaut $\frac{d\dot{x}_i}{dx_i}$ où $x_i$ indique la vitesse à l'impact i.</footnote>
On note $V_i$ la vitesse de l'impact i et $V_{i+1}$ la vitesse à l'impact suivant et $t_i$ le temps entre ces deux impacts.

La vitesse $V_{i+1}$ peut se calculer à partir des conditions initiales par :

$$V_{i+1} = - \frac{e^{\frac{\delta t_i}{\omega}}}{\omega} \left( (\delta^2 + \omega^2) \sin(\omega t_i) + (\delta \sin(\omega t_i) + \omega \cos(\omega t_i)) \frac{V_i}{r} \right) \quad (C-A10)$$

Si l'on cherche la dérivée de $V_{i+1}$ par rapport à $V_i$, on doit tout d'abord calculer la dérivée de $t_i$ par rapport à $V_i$ et pour cela, on dérive la relation donnant la condition d'impact :

$$1 = e^{\frac{\delta t_i}{\omega}} \left[ \cos(\omega t_i) + \frac{V_i + \delta r}{r\omega} \sin(\omega t_i) \right] \quad (C-A-11)$$

par rapport à $V_i$, ce qui conduit à :

$$\frac{dt_i}{dV_i} = \left( (\delta^2 + \omega^2) \sin(\omega t_i) + (\delta \sin(\omega t_i) + \omega \cos(\omega t_i)) \frac{V_i}{r} \right) = \sin(\omega t_i).$$

Pour le mouvement périodique (voir relation C-A-6), on remplace $t_i$ par $T$ et $\frac{V_i}{r}$ par $\frac{V_0}{r}$ et la relation ci-dessus peut se simplifier (en tenant compte de la relation (C-A-7)) en :

$$\left. \frac{dt_i}{dV_i} \right|_{mouvement \ périodique} = \frac{r \sin(\omega T) e^{\frac{\delta T}{\omega}}}{\omega V_0} \quad (C-A-12)$$

On peut maintenant calculer la dérivée de la relation (C-A-10) par rapport à $V_i$, ce qui tout calcul fait donne :

$$\left. \frac{dV_i}{dV_i} \right|_{mouvement \ périodique} = r^2 e^{\frac{2\delta T}{\omega}} \quad (C-A-13)$$

La condition de stabilité du mouvement périodique est donc :

$$T < \frac{1}{\delta} \ln(\frac{1}{r}) \quad (C-A-14)$$

On a représenté sur la figure C-A-4 la période du mouvement en fonction de $r$ et $\delta$ en mettant à zéro les périodes où le mouvement est instable. Quand

on réalise des simulations numériques du mouvement, on se rend compte que les mouvements instables correspondent à des conditions où l'énergie gagnée en un cycle n'est pas entièrement dissipée au moment du choc (r proche de 1 (choc élastique) ou $\delta$ proche de 1 (grande amplification)). Le mouvement a donc une amplitude croissante vers les x négatifs et vient donc nécessairement heurter la paroi $x = -a$. Les mouvements à un seul contact où $\delta$ est supérieur à 1 sont, de la même façon, tous instables.

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>fig C-A-4 : Evolution de la période du mouvement, T, en fonction de l'amplification, $\delta$, et du coefficient de restitution, r en mettant à zéro les périodes des mouvements instables.</figcaption></figure>
### C-A-3 Mouvements périodiques touchant les deux parois

Si l'amplification est inférieure à 1, l'amplitude du mouvement peut se mettre sous la formede la relation (C-A-4) et A et B sont donnés par la relation (C-A-5). Si l'on cherche les solutions périodiques qui heutent successivement les parois x=1 et x=-a, le mouvement à la forme définie sur la figure C-A-5.

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>fig C-A-5 : Exemple de mouvement périodique</figcaption></figure>

Si l'on considère que la vitesse, au moment où la masse quitte la paroi x=1 est égale à $V_0$, les conditions d'impact sur la paroi x=-a sont données par :

$$ \begin{pmatrix} -a \\ V_1 \end{pmatrix} = [M_1] \cdot [N] \begin{pmatrix} 1 \\ V_0 \end{pmatrix} \quad \text{où } [M_1] = e^{\delta t_1} \begin{bmatrix} \sin(\omega t_1) & \cos(\omega t_1) \\ \delta \cdot \sin(\omega t_1) & \omega \cdot \sin(\omega t_1) \\ +\omega \cdot \cos(\omega t_1) & -\delta \cdot \cos(\omega t_1) \end{bmatrix}, \quad (C-A-15) $$

[N] est donné par (C-A-5), et $t_1$ est le temps entre le choc sur la paroi x=1 et le choc sur la paroi x=-a.

On détermine les conditions de choc sur la paroi x=1 de la même façon et pour que le mouvement soit périodique il faut que :

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{V_0}{r} \end{pmatrix} = [M_2] \cdot [N] \begin{pmatrix} -a \\ -rV_1 \end{pmatrix} \quad (C-A-16) $$

où $[M_2]$ à la même forme que $[M_1]$ en remplaçant $t_1$ par $t_2$ (le temps entre le choc sur la paroi x=-a et le choc sur la paroi x=1).

Au total, on peut écrire :

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{V_0}{r} \end{pmatrix} = [M_2] \cdot [N] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{r} \end{bmatrix} \cdot [M_1] \cdot [N] \begin{pmatrix} 1 \\ V_0 \end{pmatrix} \quad (C-A-17) $$

Pour que cette équation ait une solution, il faut que :

$$ \det \begin{bmatrix} M_2 \cdot [N] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{r} \end{bmatrix} \cdot [M_1] \cdot [N] & - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{r} \end{bmatrix} \end{bmatrix} = 0 \quad (C-A-18) $$

Ce qui s'écrit :

$$ \begin{gathered} \mathrm{re}^{\delta(t_1+t_2)} - \mathrm{e}^{-\delta(t_1+t_2)} + 2\cos(\omega t_1)\cos(\omega t_2) + \frac{r^2+1+2r\delta^2}{r\omega^2} \sin(\omega t_1)\sin(\omega t_2) = 0 \quad (C-A-19) \\ \delta(t_1+t_2) = \delta(t_1+t_2) \quad (C-A-20) \end{gathered} $$

Une autre équation reliant $t_1$ et $t_2$ est obtenue en écrivant la première équation de (C-A-17) (qui relie $t_1, t_2$ et $V_0$) et remplaçant la valeur de $V_0$ par celle obtenue par la première relation de (C-A-15) :

$$ \begin{gathered} r \sin(\omega t_1) e^{-\delta t_2} - \sin(\omega t_2) e^{\delta(t_1+t_2)} + a[r \cos(\omega t_2)\sin(\omega t_1) - \cos(\omega t_1)\sin(\omega t_2)] = 0 \quad (C-A-20) \\ \delta(t_1+t_2) = \delta(t_1+t_2) \quad (C-A-21) \end{gathered} $$

Lorsque l'amplification est supérieure à 1, on obtient le même type d'équations que le système (C-A-19), (C-A-20) où les sinus et cosinus sont remplacés par des sinus et cosinus hyperboliques. Ces équations sont très difficilement exploitables alors que l'on peut se rendre compte en observant le résultat d'un calcul numérique à partir des équations de
départ (voir fig C-A-6) que :

- la variation de la fréquence, $f = 1/(t_1 + t_2)$, avec l'amplification $\delta$ est quasi-linéaire lorsque la masse touche des 2 cotés;

- la fréquence ne dépend pas de la valeur de la valeur limite a, sauf au voisinage de la transition entre les mouvements où l'on a contact d'un coté et des 2 cotés.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>fig C-A-6 : Variation de la fréquence du mouvement avec l'amplification $\delta$
obtenue numériquement :
* $o : r = 0.5, a = 5$;
* $+ : r = 0.5, a = 10$;
* $\* : r = 0.2, a = 5$.</figcaption></figure>

Le second point permet de penser qu'en dehors de la transition entre les deux types de mouvement, le terme de raideur est faible devant les termes d'accélération et d'amortissement. Dans ce cas, l'équation (C-A-3a) devient :

$$ \ddot{x} - 2\delta \dot{x} = 0, \qquad (C-A-21) $$

la solution générale s'écrit alors : $x = A e^{2\delta t} + B$ et, de la même façon que pour les équations (C-A-15 et 16), on peut écrire :

$$ V_1 = e^{2\delta t_1} V_0 \quad \text{et} \quad -\frac{V_0}{r} = -r e^{2\delta t_2} V_1. \qquad (C-A-22) $$

La fréquence du mouvement, $f = 1/(t_1 + t_2)$, peut donc s'écrire :

$$ f = - \frac{\delta}{\ln(r)} \qquad (C-A-23) $$

En dehors du cas $r = 1$ (choc élastique), tous ces mouvements périodiques sont stables.

Cette approximation sera d'autant plus précise que les vitesses de déplacement de la masse seront rapides. Elle sera donc valide quand r n'est pas trop proche de 0 (pour un coefficient de restitution nul, la vitesse après le choc est nulle et la raideur intervient au voisinage des parois) et quand $\delta$ est supérieur à la valeur pour laquelle la masse commence à toucher des deux cotés.
## Conclusion
CONCLUSION

"Pourquoi les hommes et les femmes ronflent-ils ?", telle est l'une des questions posées au début de ce travail. Curieusement, les explications de ce phénomène courant manquaient de précision et d'exactitude du point de vue de la physique.

La création d'un modèle biomécanique était donc une condition sine qua non pour expliquer l'apparition du ronflement, ses liens avec les apnées obstructives du sommeil, l'évolution de sa fréquence fondamentale et la forme des signaux de ronflement que l'on peut capter à l'aide d'un microphone.

La démarche adoptée dans ce travail consiste à simplifier au maximum l'étude pour aboutir à un modèle permettant, d'une part, de déterminer les phénomènes physiques responsables du ronflement et, d'autre part, de dégager les paramètres principaux intervenant dans ce problème.

Des expériences montrent que des bruits semblables à des ronflements sont produits par des dispostifs de géométrie très simple dans lesquels une lame très souple est soumise à un écoulement d'air. La complexité de la forme de l'arrière-gorge n'étant pas la cause première du ronflement, la géométrie du problème est simplifiée : le voile du palais est assimilé à une lame parallélépipédique et les conduits à des cylindres de base rectangulaire.

Les parois du conduit respiratoire sont composées de tissus élastiques. Cette élasticité est prise en compte lors du modèle d'apnée puisqu'elle en est la principale responsable. Elle intervient très sommairement dans l'acoustique par la réduction de la vitesse du son. Dans le modèle de ronflement, l'élasticité du voile du palais est considérée mais les parois sont supposées fixes. Leur souplesse n'intervient qu'au moment du choc sous
la forme d'un coefficient de restitution et lorsque l'on relie le modèle d'apnée et le modèle de ronflement. L'étude montre que tout se passe, au moment du choc, comme si le voile du palais restait "collé" à la paroi (la vitesse de rebond est nulle) sous l'action des efforts de l'air lorsqu'ils sont suffisamment importants. Le type de modélisation du choc n'a donc qu'une influence faible sur les résultats du modèle.

Le nombre de degrés de liberté mécaniques considéré dans ce problème, au niveau du voile du palais, est limité au nombre juste suffisant pour expliquer les phénomènes. Dans un premier temps, des modèles à un degré de liberté mécanique ont été envisagés. Pour espérer avoir une instabilité du voile du palais conduisant au ronflement, il faut alors considérer un écoulement instationnaire. Mais, pour les deux types d'instationnarité envisagés (acoustique et décollement), les ordres de grandeur montrent que ces modèles ne sont pas appliquables au ronflement. Ces conclusions sont confirmées par une étude expérimentale.

Le modèle le plus simple permettant d'expliquer le ronflement, est alors un modèle à deux degrés de liberté mécaniques. L'instationnarité de l'écoulement n'est alors plus nécessaire pour produire une instabilité : elle n'intervient que comme un facteur correctif. L'instabilité du voile du palais se produit par le couplage non-potentiel de ses deux premiers modes propres de vibration sous l'action de l'air inspiré. Dans le cas d'un écoulement stationnaire et non visqueux autour d'une lame non amortie, l'étude de l'apparition du ronflement se réduit à déterminer les conditions pour lesquelles un nombre adimensionnel contenant tous les paramètres importants du phénomène dépasse une valeur critique. L'analyse de l'influence de divers facteurs correctifs (amortissement, instationnarité de l'écoulement, viscosité de l'air...) sur cette valeur critique montre que l'amortissement dû aux effets instationnaires dans le fluide impose au système de bifurquer sur le deuxième mode pour une valeur critique du nombre adimensionnel voisine de la valeur sans amortissement. L'accord entre ce modèle d'apparition du ronflement et une étude sur une maquette simplifiée des voies aériennes supérieures est bon. Les conclusions de ce modèle concordent avec les constatations médicales empiriques.

Un modèle d'apnée obstructive permet de relier la section de passage et le débit inspiré à la dépression inspiratoire. Il montre que la section de passage décroit quand la dépression augmente et que le débit est sujet à un

phénomène de limitation.

Quand ces deux modèles sont reliés, ils mettent en évidence le fait que le ronflement à tendance à se produire, chez certaines personnes, au moment où le débit est limité. Ces personnes sont appellées "ronfleur à tendance apnéïque" et sont à distinguer des ronfleurs pour lesquels les caractéristiques du voile du palais suffisent à expliquer le ronflement ("ronfleurs purs"). Ces deux types de ronfleurs ont des indications thérapeutiques différentes et le diagnostic de l'une ou l'autre de ces pathologies peut être facilité par la connaissance de la compliance pharyngée au cours de la nuit.

Lorsque le voile du palais est devenu instable, il vient heurter les parois du pharynx et le dos de la langue. Ce mouvement entraine des variations de débit et de pression importantes dans l'oro-pharynx produisant le bruit du ronflement. Ce mouvement est édudié dans le cas où le voile du palais est assimilé à une lame bi-articulée (dont les chocs contre la paroi sont plus faciles à modéliser que dans le cas d'une lame flexible). Une visualisation de l'écoulement et des mesures au fil chaud sur une maquette montrent des phénomènes de mécanique des fluides complexes (formation de jets et de tourbillons instationnaires). Une loi simple (le nombre de STROUHAL est constant) permet toutefois de relier la fréquence du mouvement à la vitesse moyenne du fluide et à la hauteur du canal où a lieu le mouvement. Cette même loi se retouve lors d'une simulation numérique en considérant l'écoulement quasi-stationnaire. La valeur du nombre de STROUHAL est reliée aux caractéristiques de la lame par une analyse dimensionnelle. La similitude entre l'expérience et un modèle quasi-stationnaire laisse penser que les effets instationnaires n'ont qu'une influence faible sur la fréquence.

Un modèle analytique très simple permet de trouver une loi du même type. Il n'a, hélas, pas reçu tous les développements souhaitables faute de temps. De même, il serait intéressant de refaire des expériences en variant un certain nombre de paramètres dont l'influence n'a pas été étudiée dans cette étude (longueur de la lame, masse volumique de la lame,...) et de chercher si les lames souples ont le même type de comportement.

La détermination de cette loi empirique confirme que la fréquence fondamentale est un paramètre pertinent de l'étude du ronflement. Une
utilisation de cette étude de la fréquence fondamentale va être faite au
C.H.R.U. d'Angers : la mesure simultanée du débit et de la dépression
inspiratoire, de la pression appliquée dans un masque nasal et de la
fréquence du ronflement permettra de donner une indication de la compliance
vélo-pharyngée et donc d'améliorer le diagnostic des syndromes d'apnées du
sommeil et du ronflement.

Cette étude a, d'autre part, permis une meilleure compréhension d'un
certain nombre de phénomènes aéroélastiques qui peuvent s'appliquer à des
domaines voisins : modélisation d'autres phénomènes respiratoires
(crépitants, sibilants, ...), modélisation de la parole (par exemple le R
russe, ...), modélisation du mouvement des lèvres dans les instruments à
vent à embouchure (cuivre), ...

Elle montre aussi que l'on peut réaliser une source acoustique de très
basse fréquence et de niveau important à partir d'un élément souple et
d'une source de débit d'air. Cette source présente la caractéristique
d'être quasi-sinusoïdale pour des débits faibles et riche en harmoniques
pour de débits plus importants.

Cette étude devra se poursuivre en considérant le mouvement du voile du
palais connu. Il devient alors une source acoustique indépendante de la
charge pour les voies aériennes. Des renseignements sur la géométrie de
celles-ci pourront alors être extraits de la position des formants du
ronflement.
## TITRE :

Contribution à l'étude des bruits respiratoires : modélisation du ronflement.

## RESUME :

Dans la première partie, nous montrons que l'instabilité du voile du palais qui conduit au ronflement se produit par la coalescence de ses deux premiers modes propres de vibration sous l'action des efforts aérodynamiques ( flutter ). La stabilité du voile du palais est controlée par un nombre sans dimension dépendant des caractéristiques physiques et géométriques du voile du palais ainsi que des conditions d'écoulement déterminées à l'aide d'un modèle d'apnées obstructives du sommeil.

La seconde partie est consacrée à l'étude des mouvements du voile du palais devenu instable dont l'amplitude est limitée par des chocs contre les parois du pharynx. Nous avons établi une loi empirique simple qui permet de relier la fréquence du mouvement aux conditions d'écoulement (le nombre de STROUHAL construit avec l'amplitude du mouvement est constant). Une simulation numérique et un modèle analytique en écoulement stationnaire compte tenu du décollement permettent de retrouver le même type de loi.

## SUMMARY :

In the first part, we show that the soft palate instability which products snoring comes from flutter. The soft palate stability is controlled by a single dimensionless number which depends on soft palate carateristics and flow conditions determined by a sleep apnea model.

The movements of the instable soft palate are studied in the second part when the amplitude is limited by impacts against pharyngeal walls. An empirical law gives a relation between the frequency of the snores, the inertial proprieties of the soft palate and the flows conditions.

## MOTS-CLES

biomécanique

apnée

instabilité acoustique

mécanique fluide

non linéarité

ronflement

aéroélasticité

instabilité aérodynamique

choc mécanique