# Dynamomètre à compensation inertielle – Application à l'identification des lois de coupe en fraisage à grande vitesse

Stéphanie Bissey-Breton, Arnaud Larue, François Lapujolade

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Stéphanie Bissey-Breton, Arnaud Larue, François Lapujolade. Dynamomètre à compensation inertielle – Application à l'identification des lois de coupe en fraisage à grande vitesse. 17e congrès Français de Mécanique, Aug 2005, Troyes, France. hal-00021054

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Dynamomètre à compensation inertielle – Application à
l'identification des lois de coupe en fraisage à grande vitesse

Stéphanie Bissey, Arnaud Larue, François Lapujoulade

Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers (ENSAM), centre de Paris et de Cluny
151 Boulevard de L'Hopital
75013 PARIS

Résumé :

La mesure des efforts de coupe grâce à un dynamomètre piézoélectrique avec compensation inertielle, ayant une bande passante plate jusqu'à 8kHz, permet d'analyser en détail le comportement des outils de fraisage en grande vitesse de rotation (tests jusqu'à 40000 tr/min). On montre comment la précision des mesures permet d'identifier une loi de coupe valable pour une large gamme d'outils à partir d'un nombre très réduit d'essais, c'est-à-dire dans des conditions économiques acceptables.

Abstract:

The measurement of cutting forces from a piezoelectric dynamometer using inertial compensation techniques (band-width up to 8kHz), allows to analyze in detail the behaviour of cutters in High speed milling (tests realized up to 40000 rpm). This paper shows how the accuracy of the measurements allows us to identify a cutting law valid for a large range of tools from a very small number of tests, i.e. under acceptable economic conditions.

Mots clefs :

Mesure et Calcul des efforts de coupe ; identification ; lois de coupe.

1 Introduction

Le calcul des forces de coupe en fraisage intervient à différents stades de la préparation du processus de fabrication : choix ou dimensionnement des outils et des machines, prédiction des déformations et des vibrations, optimisation des paramètres d'usinage, ... Ce domaine a fait l'objet de très nombreux articles et les principes de base sont bien établis. Il est possible d'établir des modèles qui permettent de calculer les forces de coupe en fraisage avec une bonne précision. Celle-ci est d'autant meilleure, que les modèles utilisés sont plus raffinés, mais avec une contrepartie très pénalisante qui est la nécessité de connaître un nombre important de constantes (ou coefficients) caractéristiques du couple formé par le matériau coupé et l'outil utilisé. Les modèles les plus simples ne prennent en compte qu'un ou deux coefficients, telle la pression spécifique de coupe qui est très souvent disponible dans des bases de données, mais ne permettent pas de calculer l'évolution temporelle de l'effort de coupe dans les configurations d'usinage très variées qu'on rencontre en fraisage 5 axes. L'utilisation des modèles plus complexes rend nécessaire l'expérimentation pour déterminer les constantes de coupe. Le coût de cette expérimentation est d'autant plus sensible que les résultats ne sont valables que pour un matériau et un outil donnés.

Notre objectif est de montrer qu'il est possible d'obtenir des modèles de complexité moyenne valables pour une large famille d'outil dans un matériau donné. L'expérimentation est alors réduite à celle d'un petit nombre d'outils représentatifs de la famille. L'objectif est atteint en réintroduisant au niveau des relations de coupe (ou lois de coupe) les deux variables, angle de coupe et obliquité, qui complètent la représentation de l'interaction de l'arête de coupe avec la matière en plus des variables habituelles : épaisseur, largeur et vitesse de coupe. On aboutit alors à des constantes qui sont caractéristiques de l'action d'un type d'arête dans une
matière donnée. Le type d'arête est principalement dépendant de la matière de l'outil, du revêtement et de la préparation d'arête. Tout outil employant ce type d'arête appartient alors à la même famille quelle que soit sa forme géométrique, cylindrique, hémisphérique, rayonnée, ... Il est aussi possible d'inclure des outils ayant des obliquités ou des angles de coupe évolutifs comme c'est souvent le cas pour les fraises hémisphériques, à condition que l'arête reste du même type partout. Le domaine d'application privilégié est celui des fraises monoblocs.

## 2 Modélisation des efforts en coupe oblique

La méthode de base est classique et décrite dans de nombreux articles ou livres [1], [2]. Elle consiste à segmenter les arêtes de l'outil, à déterminer les conditions de travail de chaque segment, à en déduire la force produite par chaque segment par application de la relation de coupe et à faire la sommation de toutes ces forces. Cette méthode repose sur une hypothèse qui est celle de l'indépendance des segments car on fait le calcul sur un segment en ignorant ce qui se passe sur les segments adjacents. Elle est satisfaite pour des arêtes peu courbées et dont les caractéristiques évoluent peu. Elle est en défaut dans les zones de forte courbure ou anguleuses, bec d'outil par exemple, dans les zones présentant des morphologies très variables, brises copeaux complexes, et dans les zones où la formation du copeau obéit a des règles particulières, parties proches de l'axe en coupe en bout.

La segmentation et la détermination des conditions de travail de chaque segment font appel à toutes les informations qui définissent la forme de l'outil, la cinématique de l'outil par rapport à la pièce et la forme de la pièce (surfaces limites). Il s'agit essentiellement de calculs géométriques et cinématiques. Le travail de chaque segment est caractérisé par 5 paramètres de coupe qui sont la vitesse de coupe ($V_c$), l'épaisseur de coupe ($h$), la largeur de coupe ($b$), l'angle d'obliquité ($\lambda s$) et l'angle de coupe normal ($\gamma m$).

Les deux derniers ne dépendent que de l'outil. La vitesse de coupe et l'épaisseur de coupe sont liées à la géométrie de l'outil, sa cinématique et aux conditions d'usinage. La largeur de coupe dépend de la segmentation. Chaque segment travaille dans une configuration de coupe oblique définie par la figure 1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Principes de la coupe oblique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Repères de la coupe oblique</figcaption></figure>

La largeur de coupe correspondant au segment d'arête AB est la distance A'B' prise orthogonalement à la vitesse de coupe. L'épaisseur de coupe est la distance séparant le point P de l'arête de la surface libre de la pièce dans la direction normale au plan de coupe. Nous ne détaillons pas ici les méthodes qui permettent de la déterminer, avec plus ou moins de précision, en fonction de la position angulaire occupée par le point P au cours de la rotation de l'outil.

Le repère le plus couramment utilisé pour décrire la force de coupe est le repère $\{\vec{h}, \vec{v}, \vec{o}\}$ défini par la figure 2. Pour une fraise cylindrique hélicoïdale, il correspond au repère $\{\vec{r}, \vec{t}, \vec{a}_x\}$, où $\vec{r}$, $\vec{t}$ et $\vec{a}_x$ sont respectivement les directions radiales, tangentielles et axiales. Dans le repère $\{\vec{h}, \vec{v}, \vec{o}\}$, la relation de coupe utilisée par Altintas [2] devient :

$$ 
\begin{aligned}
Fh &= Kh_1 b + Kh_2 h b \\ 
Fv &= Kv_1 b + Kv_2 h b \\ 
Fo &= Ko_1 b + Ko_2 h b
\end{aligned} 
\quad (1) 
$$

L'application de cette relation à l'ensemble des segments d'un outil suppose que l'angle d'obliquité $\lambda s$ et l'angle de coupe $\gamma m$ soient les mêmes partout. Les six constantes $Kh_1$, $Kh_2$, $Kv_1$, $Kv_2$, $Ko_1$, $Ko_2$
dépendent de ces angles. Mettre ces six constantes sous la forme de fonctions des deux paramètres, $\lambda s$ et $\eta$ conduirait à un trop grand nombre de nouvelles constantes, par exemple : $Kh_1 = Kh_{10} + Kh_{11} \cdot \lambda s$, ... Nous allons montrer qu'il est possible d'obtenir des relations plus simples en supposant que le copeau glisse sur la face de coupe dans une direction caractérisée par l'angle d'écoulement $\lambda e$ (figure 2). Pour cela nous allons utiliser un repère $\{\vec{g}, \vec{n}, \vec{a}\}$ lié à l'arête et à la face de coupe de l'outil. La force de coupe se met alors sous la forme :

$$ \vec{F} = F_n \cdot \vec{n} + F_f \cdot \vec{f} = F_n \cdot \vec{n} + F_g \cdot \vec{g} + F_a \cdot \vec{a} \quad (2) $$

$$ \text{avec :} \quad F_g = F_f \cdot \cos(\lambda e + \lambda n) \text{ et } F_a = F_f \cdot \sin(\lambda e + \lambda n) \quad (3) $$

$$ \text{où l'angle } \lambda n \text{ est donné par : } \tan \lambda n = \sin \eta \cdot \tan \lambda s \quad (4) $$

Les composantes usuelles $Fh, Fv$ et $Fo$ s'obtiennent facilement à partir de $Fg, Fn$ et $Fa$. Ce qui conduit à mettre la relation de coupe sous la forme :

$$ F_n = f_n(h, b, \lambda s, \gamma_n, Vc) \quad F_f = f_f(h, b, \lambda s, \gamma_n, Vc) \quad \lambda e = f_{\lambda}(h, b, \lambda s, \gamma_n, Vc) \quad (5) $$

Quelle forme faut-il donner à ces trois fonctions ? Les mesures effectuées en fraisage n'apportent pas de réponse directe à cette question, car il faut procéder par identification de la relation de coupe, ce qui suppose connue sa forme. Pour pouvoir séparer facilement les influences des cinq paramètres de coupe, il faut opérer en tournage sur des disques ou à l'extrémité de tubes. Une fraise à denture droite, ayant une arête du type de celles des outils de la famille étudiée, est fixée sur le dynamomètre. Son inclinaison ou son décalage par rapport à l'axe de rotation de la pièce permet de faire varier facilement $\lambda s$ et $\eta$. Des résultats pour différents matériaux coupés sont décrits dans [3] et [4]. Les principaux résultats sont les suivants :

- L'angle d'écoulement $\lambda e$ est pratiquement proportionnel à l'angle d'obliquité $\lambda s$ (figure 2).

- Les influences de l'épaisseur de coupe et de la largeur de coupe respectent bien une relation de la forme : $F = (F_0 + A(\lambda s) \cdot h)b$, tout au moins pour des valeurs assez faibles de $h$, typiquement inférieures à 0.2mm (figure 3). Pour des valeurs plus importantes, le recours à une formulation non linéaire en fonction de $h$ est nécessaire, surtout pour la composante $Ff$.

- L'influence de $\eta$ reste limitée et sensiblement linéaire. Il est possible de l'introduire grâce à un terme correctif multiplicatif de la forme : $(1 + K_{\gamma}(\gamma_n - \gamma_{n0}))$. L'angle $\gamma_{n0}$ est l'angle de coupe le plus représentatif de la famille d'outil.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 2 – Angle d'écoulement en fonction de l'angle d'obliquité pour $h = 0.025, 0.05, 0.1, 0.15$ mm (Acier Z35cn1702 Fraise carbure non revêtue)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 3 – Evolution de la composante $F_n$ en fonction de $h$ pour différentes valeurs de $\lambda s$</figcaption></figure>

Finalement la forme retenue pour la relation de coupe est la suivante :

$$ \lambda e = K_{\lambda e} \cdot \lambda s \quad \text{avec} \quad A_n = K_n \left( \frac{1}{\cos \lambda s} \right)^{K_n \lambda s} \quad (6) $$

$$ Ff = (K_{f0} + A_f \cdot h)b \cdot (1 + K_{fg}(\gamma_n - \gamma_{n0})) \quad \text{avec} \quad A_f = K_f \left( \frac{1}{\cos \lambda s} \right)^{K_f \lambda s} $$

Cette relation contient 7 coefficients principaux et 2 coefficients secondaires pour introduire la correction due à l'angle $\eta$. Pour la composante $Ff$, il est possible d'introduire l'influence de $h$ sous la forme : $(K \cdot h^\alpha)$ si le besoin d'une forme non linéaire se fait sentir.
3 Identification de la relation de coupe en fraisage cylindrique

Pour identifier la relation de coupe liée à une famille d'outils, pour un matériau coupé donné, il faut réaliser un nombre minimal d'essais sur un nombre limité d'outils représentatifs. En tenant compte du fait que la variation de l'épaisseur de coupe est crée automatiquement par la rotation de la fraise, on peut montrer qu'il suffit de 3 outils et de réaliser un essai pour chacun avec la mesure des 3 composantes de l'effort de coupe pour identifier les 9 constantes. Ceci est peu réaliste en raison de l'imperfection du modèle et des erreurs expérimentales. La relation de coupe permet de prévoir les efforts de coupe dans toutes les configurations d'usinage compatibles pour tous les outils de la famille. Mais il est préférable d'être dans une situation « d'interpolation » plutôt que « extrapolation », ce qui signifie qu'il vaut mieux que les outils testés et les configurations d'essais englobent l'ensemble des configurations possibles. Par exemple, il vaut mieux utiliser 2 outils ayant des angles d'hélice de 10° et 60° que 2 outils à 20° et 30°, pour ensuite prévoir le comportement d'un outil à 45°.

Bien qu'il soit possible d'utiliser des outils de type hémisphérique ou rayonné, la géométrie de ces outils n'est pas toujours parfaitement connue, ce qui introduit des facteurs d'erreur importants. Il est donc préférable d'utiliser des fraises cylindriques simples.

Un point très important est la forte influence des défauts géométriques ou cinématiques, en particulier de l'excentration de l'outil, sur les forces de coupe. Il est indispensable que la procédure de calcul de l'épaisseur de coupe tienne compte de ces défauts. Il faut donc les connaître. Leur mesure directe est difficile et souvent peu précise. Il est préférable de les considérer comme des valeurs à identifier. L'expérience montre que cette identification est facile car ce sont les seuls facteurs qui peuvent conduire à différencier les actions des différentes arêtes, à condition que les arêtes soient toutes du même type et dans le même état d'usure. Pour un même outil, des essais réalisés dans des conditions différentes conduisent à des résultats très voisins relativement à l'identification de l'excentricité.

L'expérimentation sur fraises cylindriques conduit néanmoins à une difficulté majeure, celle qui est relative à l'action de l'extrémité de l'outil. Plusieurs effets peuvent se superposer : présence d'un petit rayon de bec, non validité de l'hypothèse de base de la segmentation en ce qui concerne les segments d'extrémité, action des arêtes frontales liée à des déformations de l'outil, ... Il est clair que ces effets ne sont pas pris en compte par la relation de coupe qui n'est valable que pour des arêtes « latérales ». L'action de ces arêtes conduit à des efforts proportionnels à l'engagement axial *ap*. La figure 4 montre clairement que ce n'est pas le cas. Pour les fraises cylindriques, il faut donc ajouter au modèle purement latéral que nous avons exposé, un modèle qui décrive l'action de l'extrémité. A l'inverse, si on veut identifier la relation de coupe « latérale » à partir d'essais menés avec des fraises cylindriques, il faut trouver un moyen d'éliminer ces effets d'extrémité. Une méthode qui donne de bons résultats consiste à effectuer systématiquement deux essais avec deux valeurs différentes de l'engagement axial *ap*₁ et *ap*₂. Si on fait l'hypothèse que les effets d'extrémités sont les mêmes dans les deux cas, l'effort F = F₁ - F₂ obtenu en retranchant les résultats des deux essais correspond à l'action purement latérale d'un essai réalisé avec un engagement axial *ap* = *ap*₁ - *ap*₂.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

FIG. 4 – Composante Fy dans la direction perpendiculaire à l'avance en fonction de la position angulaire de l'outil. Acier : X38 CrMoV5 (AISI H11). Outil PWZ carbure non revêtu $\lambda s = 40°$. Opération de rainurage N = 2020 tr/min, $fz = 0.1$ mm.

4 Résultats expérimentaux

La famille d'outils testée est constituée d'outils en carbure monobloc non revêtus de la marque PWZ. Elle comporte des outils cylindriques, hémisphériques et rayonnés de diamètres et de nombre de dents variés. Le
matériau est l'acier X38 CrMoV 5 (AISI H11), utilisé pour les moules métalliques. Les mesures d'effort sont réalisées grâce à la table dynamométrique « DynaTK » développée par le laboratoire. Elle est basée sur l'utilisation de capteurs piézoélectriques et dotée d'une compensation inertielle qui lui confère une bande passante plate jusqu'à 8 kHz. Ce capteur est décrit dans les articles référencés par [5] et [6]. La qualité des résultats obtenus permet de les interpréter finement et facilite beaucoup l'identification des relations de coupe car le capteur introduit très peu de distorsion, notamment sur les fronts raides.

L'identification de la relation de coupe a été menée avec des fraises cylindriques de diamètres 20 mm avec des angles d'hélice de 0°, 20°, 40° et 60° et un angle de coupe de 4°. De nombreux essais ont été menés avec des engagements radiaux et des avances par dents variables. Pour l'identification, seuls les essais de rainurage sont retenus. Ils couvrent mieux l'ensemble des valeurs d'épaisseur de coupe et ils donnent des résultats expérimentaux de meilleure qualité en raison de l'absence d'excitation à haute fréquence (pas de choc).

<table><thead><tr><th>λs</th><th>Kλe</th><th>Kn0</th><th>An</th><th>Kf0</th><th>Af</th></tr></thead><tbody><tr><td>0°</td><td>-</td><td>18</td><td>2411</td><td>34</td><td>743</td></tr><tr><td>20°</td><td>0.45</td><td>23</td><td>2482</td><td>42</td><td>738</td></tr><tr><td>40°</td><td>0.51</td><td>23</td><td>2869</td><td>30</td><td>916</td></tr><tr><td>60°</td><td>0.45</td><td>17</td><td>3633</td><td>38</td><td>1526</td></tr></tbody></table>

Les facteurs An et Af suivent bien les relations décrites dans l'équation (6) comme le montre la figure5.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 5 – Evolution des facteurs An et Af en fonction de l'angle d'hélice λs</figcaption></figure>

En prenant les valeurs moyennes des autres coefficients, on obtient une relation de coupe avec les valeurs suivantes (équation 6) :

$$K\lambda e = 0.47 \quad Kn_0 = 20.3 \quad Kn = 2407 \quad Kn\lambda s = 0.708 \quad Kf_0 = 36 \quad Kf = 710 \quad Kf\lambda s = 1.08$$

Des essais complémentaires avec des outils ayant un angle de coupe de 10° permettent d'obtenir les coefficients correcteurs $Kn_g = -0.012$ et $Kf_g = -0.015$.

L'application de cette relation de coupe à des outils de la même famille mais présentant des différences significatives avec les outils utilisés pour l'identification, donne des résultats qui sont bien illustrés par les cas suivants. Les figures 6 et 7 correspondent à des fraises cylindriques de nombre de dents et de diamètres différents. La figure 8 montre le cas d'une fraise de morphologie différente utilisée avec une inclinaison de 30°. On constate un bon accord entre les valeurs expérimentales et les valeurs calculées. Cet accord est moins bon dans le cas de la fraise hémisphérique (figure 8), mais celle-ci est utilisée avec une épaisseur de coupe moyenne de 0.02 mm au lieu de 0.08 pour les essais d'identification en rainurage avec 0.1 mm d'avance.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 6 – Fraise cylindrique Ø20 5 dents λs 30° m 12° ap 1.5mm ae 15mm fz 0.1 N 2020tr/min</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 7 – Fraise cylindrique Ø12 2dents $\lambda s 27° \mu 10° ap 2mm ae 9mm fz 0.1mm N 3270tr/min$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 8 – Fraise hémisphérique Ø16 2dents $\lambda s 30° \mu 10° ap 2mm ae 1mm fz 0.1mm N 3790tr/min$ Inclinaison 30°</figcaption></figure>

4.1.1 Conclusion

Les essais que nous avons menés montrent la possibilité d'utiliser une relation de coupe unique, incluant les influences des angles d'obliquité et de coupe, pour une large famille d'outils à condition qu'ils utilisent le même type d'arête. La relation de coupe est obtenue à partir d'un nombre limité d'essais portant sur quelques outils de la famille, de préférence en géométrie cylindrique. Il est donc possible de caractériser avec précision le comportement d'une famille d'outil dans un matériau donné. La relation de coupe obtenue permet de prévoir ultérieurement les forces de coupe subis par un outil de la famille dans des conditions d'utilisation très variées.

La relation de coupe et la procédure d'identification peuvent être améliorées notamment si l'on souhaite traiter plus efficacement le cas des faibles épaisseurs de coupe. Il faut également développer un modèle pour rendre compte des effets liés à l'extrémité des outils, effets qui deviennent prépondérants lorsque l'engagement axial est petit. Une méthode semblable est en cours de développement pour les opérations de plongée oblique et pour des opérations de trèflage.

Nous remercions vivement la société PWZ qui a rendu possible cette étude en fournissant les outils nécessaires.

References

[1] M.E. Merchant, Basic mechanics of the metal process, Trans. ASME Journal of applied Mechanics, p. 168-175, 1944.

[2] Y. Altintas, Metal Cutting Mechanics, Machine Tool vibrations and CNC Design, Cambridge University Press, ISBN 0-521-65973-6, 2000.

[3] F. Lapujoulade, A. Khellouki, Identification de lois de coupe en fraisage latéral à partir d'essais de tournage, Integrated Design and Production CPI'2003, 2003, Meknès (Maroc).

[4] S. Bissey, G. Poulachon, F.Lapujoulade, Integration of tool geometry in prediction of cutting forces during milling of hard materials, 5th IDMME (Int. Conf. on Integrated Design and Manufacturing in Mechanical Engineering), 2004, Bath (Angleterre).

[5] F. Lapujoulade, Measuring of cutting forces during fast transient periods, First French and German Conference on High Speed Machining, p 372-376, 1997, Metz.

[6] F. Lapujoulade, G. Coffignal, J.Pimont, Evaluation des forces de coupe en fraisage à grande vitesse, 2th IDMME, Mai 1998, UTC Compiègne.