$$
\begin{align*}
A' \cap \{V' < s\} &= \bigcup_{p} \cap_{n \ge p} \bigcup_{k} \left( A'_{k,n} \cap \left\{ \frac{k-1}{n} \le V' < s \right\} \right) \\
&= \bigcup_{m} \cup_{p \ge m} \cap_{n \ge p} \bigcup_{k} \left( A'_{k,n} \cap \left\{ \frac{k-1}{n} \le V' < s - \frac{1}{m} \right\} \right).
\end{align*}
$$

D'où $A' \cap \{V' < s\} \in F_s$, puisque $\left\{ \frac{k-1}{n} \le V' < s - \frac{1}{m} \right\} \ne \emptyset$ et $n \ge m$ entraînent que $\frac{k}{n} \le s$, et que $A'_{k,n} \in F_{k/n}$.

Le lemme est ainsi établi.

A3.2 - Compte tenu du lemme A3.1, la démonstration du théorème 2.0.3 est une simple vérification ; montrons par exemple la propriété $(M'_3)$ : $\mu$ étant donnée, $V_n$ est, pour chaque $n$, un temps d'arrêt de la famille $(G_t)$ obtenue comme dans le lemme à partir de la mesure $P = P_\mu$ sur $(\Omega, F_\mu^\chi)$ (en effet, $G_t \supset G_t^{\chi})$. Soit alors $V'_n$ le temps d'arrêt de la famille $(F_{t+}^{\chi})$ associé à $V_n$ par le lemme ; on conclut en considérant la suite de temps d'arrêt $(V_n'')$, où $V_n'' = \text{Sup}_{\kappa \le n} V'_\kappa$.
# APPENDICE IV

## Prolongement d'un processus fortement markovien en un processus non interrompu

A titre d'application des résultats de la première partie de ce travail, on peut résoudre le problème de prolongement suivant :

**A4.1 - Position du problème** - Avec les notations, et en plus des hypothèses sur la fonction aléatoire $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t))$ introduites au n° 2.1.1 ci-dessus, on suppose que $X$ possède une famille $(\mathcal{M}_t)_{t \in R_+}$ d'opérateurs de meurtre, et admet le mode de raccordement libre $[0, 1]$, par exemple prendre pour $X$ la fonction aléatoire typique continue à droite (voir le n° 1.0.7) à valeurs dans l'espace B.C.D E.

On désigne par $(U_n)$ une suite croissante d'ouverts de E telle que $\bar{U}_n \subset U_{n+1}$ pour tout $n$, et $E = \bigcup_n U_n$, et on pose
$$S = S_E^X = \text{Sup} \, \sigma_{U_n}^X \quad (\text{voir le n° 2.0.9}).$$

On considère, par ailleurs une diffusion $(P_x)$ de $E_\delta$ dans $\hat{F}_\infty$ telle que le terme $\mathcal{X} = (\Omega, \omega_\delta, (X_t), (\theta_t), (P_x))$ soit un processus fortement markovien et que,

$$ (A4.1) \quad \mathcal{M}_\delta(P_x) = P_x^{(1)} \quad \text{pour chaque} \ x \in E_\delta \text{ et} $$

$$ (A4.2) \quad \sigma_{U_n} < \sigma_E \quad \text{P.S. pour chaque} \ x \in E. $$

On cherche alors une diffusion $(\bar{P}_x)$ de $E_\delta$ dans $\hat{F}_\infty$ telle que le terme $\mathcal{X} = (\Omega, \omega_\delta, (X_t), (\theta_t), (\bar{P}_x))$ soit un processus fortement markovien et que

$$ (A4.3) \quad \mathcal{M}_\delta(\bar{P}_x) = P_x \quad \text{pour chaque} \ x \in E_\delta, \text{ et} $$

$$ (A4.4) \quad \bar{P} \{ \sigma_E = +\infty \} = 1 \quad \text{pour chaque} \ x \in E. $$

<footnote>(1) Autrement dit $S = \sigma_E P_x P.S.$</footnote>
**A4.2 - REMARQUE** - La relation (A4.1) signifie que le processus $\mathcal{X}$ est tué à l'instant S, et la relation (A4.3) que $\mathcal{X}$ est le processus tué à l'instant S déduit du processus $\bar{\mathcal{X}}$, ce dernier étant non interrompu (relation (A4.4)).

La relation (A4.2) signifie que "le processus $\mathcal{X}$ ne meurt pas à l'intérieur de $E''(1)$; cette propriété est essentielle pour permettre la construction du processus $\bar{\mathcal{X}}$ indiquée ci-dessous par prolongement de la diffusion $(P_x)$ de $\mathcal{X}$ sur le même espace de trajectoires $\Omega$: en effet, on va construire la diffusion $(\bar{P}_x)$, par une suite transfinie de prolongements successifs, de manière à ce qu'elle charge seulement les trajectoires qui, chaque fois qu'elles frôlent le point $\delta$, ressautent dans $E$ à l'instant de frôlement tant que celui-ci est fini(2). Pour que ceci soit possible, il faut au moins que ce saut dans $E$ soit possible au premier instant de frôlement de $\delta$, c'est-à-dire que (A4.2) soit vérifiée.

Formellement, ces considérations peuvent être exprimées comme suit :

**A4.3 - La suite de temps d'arrêt Transfinie** $(T_a)$ - Soit $T$ un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t)$. On définit d'abord, par récurence sur $n$, la suite $(T^{(n)})$ de temps d'arrêt en posant,

$$T^{(1)} = T, \quad T^{(n+1)} = T^{(n)} + T_o \theta_{T(n)}, \quad (n > 1);$$

et on pose,

$$T^{(\omega)} = \sup_n T^{(n)}.$$

(1) Cette relation est satisfaite, par exemple, par le processus induit sur un ouvert par le mouvement brownien, ou un processus non interrompu.

(2) Il va sans dire que le processus ainsi obtenu ne sera pas quasi continu à gauche (n° 2.0.2). On trouvera dans l'article récent de P.A. Meyer "Sur les relations entre diverses propriétés des processus de Markov" (à paraître) l'exposé d'une méthode de prolongement d'un processus standard en un processus standard pour lequel $X_{\sigma_{\epsilon}} = \delta$ P.S dès que $\sigma_{\epsilon} < \omega$ et $X_{\bar{\sigma}_{\epsilon}}$ existe. Cette méthode de construction peut aussi être utilisée ici, mais ne permet pas d'obtenir la diffusion $(\bar{P}_x)$ sur le même espace de trajectoires.

(1)

(2)

(3)
On définit ensuite par induction transfinie, la suite transfinie $(T_a)_{a \in \Delta}$ de temps d'arrêt, en posant (1) :

$$T_0 = 0$$

$$T_1 = T$$

$$T_{a+1} = T_a^{(\infty)} \quad (\alpha \in \Delta)$$

$$T_{\beta} = \sup_{a<\beta} T_a \quad (\beta \in \Delta, \beta \text{ ordinal limite}).$$

On a alors,

LEMME - La suite transfinie $(T_a)_{a \in \Delta}$ a les propriétés suivantes :

(A4.5) Pour tout $\alpha \in \Delta$, $T_a$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t)$.

(A4.6) $T_{\beta} = T_{\alpha} + T_{\beta} \circ \theta_{T_{\alpha}}$ pour tout $\alpha < \beta$.

(A4.7) Si $T$ est un temps terminal$^{(2)}$, il en est de même de $T_{\alpha}$ pour tout $\alpha \in \Delta$.

(Vérification sans grosses difficultés).

### A4.4 - Schéma d'une construction de la diffusion $(\bar{P}_x)$ - On se donne d'abord une répartition conditionnelle terminale (3) $\pi$ après la suite $(\sigma_{u_n})$ de temps d'arrêt.

On considère ensuite la suite transfinie $(S_a)$ associée au temps terminal $S = \sup_n \sigma_{u_n}$, et on se donne

- pour chaque $\alpha \in \Delta$, une répartition conditionnelle terminale $\pi_a$ après la suite $(S_a^{(n)})$ de temps d'arrêt.

- pour chaque ordinal limite $\beta$, une suite $(\beta_n)$ crois-

<footnote>(1) $\Delta$ désignant l'ensemble des ordinaux dénombrables.</footnote>

<footnote>(2) $n^0 = 1,0,3$.</footnote>

<footnote>(3) Voir le n° 1.2.9.</footnote>
sant (strictement) vers $\beta$, et une répartition conditionnelle termi-
nale $\pi_{\beta}^l$ après la suite $(S_{\beta n})$ de temps d'arrêt.

Utilisant alors le théorème 1.2.6, on peut étendre par induc-
tion transfinie, pour chaque $x \in E_\delta$, la restriction de la mesure
$P_x$ à la tribu $\bigvee_n \hat{F}_{\sigma_{u_n}}$ en une mesure $\bar{P}_x$ sur $\hat{F}_\infty$ de telle sorte
que, pour $\Gamma \in \beta_\delta$,

$$
(A4.8) \quad \bar{P}_x \{ X_s \in \Gamma / \bigvee_n \hat{F}_{\sigma_{u_n}} \} = \pi(., \Gamma) \bar{P}_x \text{ P.S.}
$$

$$
(A4.9) \quad \bar{P}_x \{ X_{s_{a+1}} \in \Gamma / \bigvee_n \hat{F}_{s_{\beta_n}} \} = \pi_a(., \Gamma) \bar{P}_x \text{ P.S.}
$$

pour tout $\alpha \in \Delta$.

$$
(A4.10) \quad \bar{P}_x \{ X_{s_\beta} \in \Gamma / \bigvee_n \hat{F}_{s_{\beta_n}} \} = \pi_\beta^l(., \Gamma) \bar{P}_x \text{ P.S}
$$

pour tout ordinal limite $\beta$.

De plus, $\bar{P}_x$ est défini de façon unique par ces relations. Il
résulte alors des théorèmes 1.2.9 (alinéa 1)) et 1.3.1(1) que le
terme $\bar{\mathcal{X}} = (\Omega, \omega_\delta, (X_t), (\theta_t), (\bar{P}_x))$ est un processus fortement
markovien. En outre, la relation (A4.3) est vérifiée par construc-
tion même de $(\bar{P}_x)$.

Pour faire en sorte que le processus $\bar{\mathcal{X}}$ ainsi construit soit
non interrompu (relation A4.4), on peut montrer enfin (2) qu'il suf-
fit de choisir les répartitions conditionnelles $\pi, \pi_a, \pi_\beta^l$ de façon
à ce que les mesures $\pi(\omega, \cdot), \pi_a(\omega, \cdot)$ et $\pi_\beta^l(\omega, \cdot)$ ne chargent
pas le point $\delta$ pour toutes les trajectoires $\omega \in \Omega$ sur lesquelles
les suites de temps d'arrêt correspondantes ne stationnent pas
(relations (1.2.7) et (1.2.8), n° 1.2.5). Choix qui est toujours pos-
sible en prenant là des mesures ponctuelles.

On remarquera aussi que, inversement, en vertu du théorème
1.2.9 (alinéa 2)), toute diffusion $(\bar{P}_x)$ répondant au problème de
prolongement posé peut être obtenue par la construction précédente
pour un choix convenable des répartitions conditionnelles $\pi, \pi_a, \pi_\beta^l$.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<footnote>(1) En utilisant, en particulier, la propriété (A4.7) du lemme A4.3.</footnote>

<footnote>(2) Etablir, par induction transfinie, que $P_x\{\sigma_E = T_a < +\infty\} = 0$ pour tout $\alpha \in \Delta$, compte tenu de l'hypothèse (A4.2).</footnote>
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I.

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Bibliographie