## Estimation de la statistique de test et de la p-value

Pour effectuer le B-test de significativité des blocs latents, on se sert donc de la statistique de test $\Delta(GoF) = \theta_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}) - \theta_{GoF}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P})$. Sur chaque sous-population $\mathcal{P}_n^k$, cette statistique de test est estimée par $\hat{\Delta}_{GoF}^k = \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}_n^k) - \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P}_n^k)$. Ainsi, une estimation fiable de la statistique de test est donnée par :

$$ \hat{\Delta}_{GoF} = (1/K) \sum_{k=1}^{K} \hat{\Delta}_{GoF}^{k} = (1/K) \sum_{k=1}^{K} (\hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}_{n}^{k}) - \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}_{j}|\mathcal{P}_{n}^{k})) $$

En considérant la population $\mathcal{P}_N$ toute entière, $\Delta(GoF) = \theta_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}) - \theta_{GoF}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P})$ a pour estimation la quantité $\hat{\Delta}_{GoF}^0 = \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}_N) - \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P}_N)$. La valeur $|\hat{\Delta}_{GoF}^0|$ sert de valeur « nulle de référence » dont les fluctuations sont étudiées à travers la distribution des valeurs $\hat{\Delta}_{GoF}^k$ simulées aléatoirement. Considérons le vecteur $\Psi_{GoF} = (\Psi_{GoF}^k)_{k \in [1,K]}$ de longueur K et tel que :

$$ \forall k \in [1, K], \Psi_{GoF}^{k} = \begin{cases} 1: & \text{si } |\hat{\Delta}_{GoF}^{k}| > |\hat{\Delta}_{GoF}^{0}| \\ 0: & \text{si } |\hat{\Delta}_{GoF}^{k}| \le |\hat{\Delta}_{GoF}^{0}| \end{cases} $$

La p-value correspondant au test et obtenue par simulation est donnée par la quantité :

$$ \hat{p}_v = (1/K) \sum_{k=1}^{K} \Psi_{GoF}^{k} $$

## Algorithme du B-test de significativité des blocs latents

Le B-test de significativité des blocs latents est un test non paramétrique basé essentiellement sur les principes de la simulation. L'algorithme de ce test est le suivant :

**Algorithme 6 : B-test de significativité des blocs latents**

1. Entrées : $\mathcal{G}(\xi_1, \dots, \xi_J), \mathcal{P}_N, K, \hat{\Delta}_{GoF}^0$

2. $\Delta_{GoF} = 0_{1:K}$

3. $\Psi_{GoF} = 0_{1:K}$

4. Pour $(k \in [1:K])$ {

5. a) $\hat{\Delta}_{GoF}^k = \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}|\mathcal{P}_n^k) - \hat{\theta}_{GoF}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P}_n^k)$

6. b) $\Delta_{GoF}[k] = \hat{\Delta}_{GoF}^k$

7. c) Si $(|\hat{\Delta}_{GoF}^k| > |\hat{\Delta}_{GoF}^0|)$ {

8. $\Psi_{GoF}[k] = 1$

9. } Sinon {

10. }

11. }

12. $\hat{\Delta}_{GoF} = (1/K) \sum_{k=1}^{K} \Delta_{GoF}[k]$

13. }

14. $\hat{p}_v = (1/K) \sum_{k=1}^{K} \Psi_{GoF}[k]$

15. }

16. Sorties : $\hat{\Delta}_{GoF}, \hat{p}_v$
### 4.2.3) LE R-TEST DE SIGNIFICATIVITE DES BLOCS LATENTS

Le B-test de significativité des blocs latents suit une procédure classique de construction de tests statistiques par les techniques de simulation. Cependant, il est aisé de constater que ce test ne pourra s'utiliser véritablement que sur des super-calculateurs. En effet, une estimation correcte de la p-value associée à ce test nécessite au minimum dix mille (10.000) réplications dans le calcul de l'indice $\Delta_{GoF}$ de chaque bloc. Or, une estimation de $\Delta_{GoF}$ nécessite deux estimations PLSPM dont une pour le modèle complet (avec tous les blocs) et une pour le modèle contraint (sans le bloc étudié). On a donc besoin, pour un test correct, de vingt milles (20.000) estimations PLSPM. Or, les modèles PLSPM figurent parmi les plus complexes et demandent des temps de calculs relativement importants. Dans R, le temps nécessaire à une seule estimation est environ une seconde. Par conséquent, il faut près de 20.000 secondes, soit 5h30mn, pour effectuer correctement un test pour un seul bloc ! Il s'en suit que, avec la technologie actuelle des micro-ordinateurs, l'usage du B-test reste problématique. Il est donc nécessaire de disposer d'une alternative fiable. L'objet du R-test de significativité des blocs latents est de combler les insuffisances du B-test afin de permettre une évaluation de la significativité des blocs en un temps de calcul acceptable sur un micro-ordinateur ordinaire.

#### Principe du R-test de significativité des blocs latents

Considérons les notations mathématiques suivantes :

* $\check{\mathcal{G}}(\xi_1, \dots, \xi_J)$ un MESVL constitué de $J$ variables latentes $\xi_1, \dots, \xi_J$.

* $\check{\mathcal{G}}_j(\xi_1, \dots, \xi_J)$ le MESVL $\mathcal{G}(\xi_1, \dots, \xi_K)$ dans lequel le bloc $\xi_j$ a été supprimé

* $\check{\mathcal{P}}_N$ une population de $N$ individus fournissant les variables manifestes des $(\xi_j)_{j \in [1, J]}$

* $\check{\theta}_\omega(\mathcal{M}|\mathcal{P})$ les valeurs des lodings du modèle externe du MESVL $\mathcal{M}$ obtenues avec la population $\mathcal{P}$

* $\check{\theta}_\omega^j(\mathcal{M}|\mathcal{P})$ les valeurs des lodings $\theta_\omega(\mathcal{M}|\mathcal{P})$ sans ceux correspondant au bloc $j \in [1, J]$

* $\check{\theta}_\omega^*(\mathcal{M}|\mathcal{P})$ une estimation du paramètre inconnu $\theta_\omega(\mathcal{M}|\mathcal{P})$

Le R-test de significativité des blocs latents est fondé sur les deux grandes idées suivantes :

1. Si une variable latente d'un modèle d'équations structurelles à variables latentes est significative, la suppression du bloc correspondant dans le modèle entrainera une modification significative des lodings du modèle externe. Il en est de même d'un groupe de variables latentes.

2. La significativité des différences entre lodings peut être évaluée correctement par le test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés.

Partant de ces deux idées, l'étude de la significativité de la variable latente $\xi_j$ revient à tester les hypothèses suivantes :
$$
\begin{cases}
H_0: \Delta(\omega) = \theta_{\omega}^j(\mathcal{G}|\mathcal{P}) - \theta_{\omega}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P}) = 0 \\
H_1: \Delta(\omega) = \theta_{\omega}^j(\mathcal{G}|\mathcal{P}) - \theta_{\omega}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P}) \neq 0
\end{cases}
$$

Estimation de la statistique de test et de la p-value

Pour effectuer le R-test de significativité des blocs latents, on se sert de la statistique et de la p-value du test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés (test bilatéral). Ainsi, tout le calcul revient à recupérer les lodings $\hat{\theta}_{\omega}^{j}(\mathcal{G}|\mathcal{P})$ issus de l'estimation du modèle plein (non contraint) et les lodings $\hat{\theta}_{\omega}(\mathcal{G}_{j}|\mathcal{P})$ correspondants issus de l'estimation du modèle contraint. Ces deux types de lodings sont des séries de données numériques de même taille. C'est sur ces séries que s'effectue le test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés dont la statistique de test et la p-value correspondante sont ceux du R-test. Ainsi, notons :

• $\omega_k^j(\mathcal{G})$ la $k^{eme}$ valeur des lodings $\hat{\theta}_{\omega}^j(\mathcal{G}|\mathcal{P})$

• $\omega_k(\mathcal{G}_j)$ la $k^{eme}$ valeur des lodings $\hat{\theta}_{\omega}(\mathcal{G}_j|\mathcal{P})$

Le test des rangs est basé sur les différences entre les valeurs des lodings de même rang qui sont données par :

$$
d_k = \omega_k^j(\mathcal{G}) - \omega_k(\mathcal{G}_j)
$$

Une fois ces différences obtenues, on détermine les rangs des éléments de la série des valeurs absolues des différences (application de la statistique d'ordre) :

$$
R_k = \text{rang}(|d_k|)
$$

Lorsque *S* rangs $R_c$ sont ex-aequos, on leur affecte (à tous) le rang moyen $\bar{R}_S$ correspondant
à la moyenne arithmétique de leurs rangs et définie par :

$$
\bar{R}_S = \frac{R_e}{S}
$$

Ces rangs permettent de calculer la somme des rangs des valeurs absolues des différences. Pour ce faire, on sépare ces rangs en deux parties. On considère, d'une part, les rangs $R_k$ pour lesquels les différences $d_k$ sont positives; et d'autre part, les rangs $R_k$ pour lesquels les différences $d_k$ sont négatives. Puis on effectue les sommes des rangs de chaque catégorie, ce qui permet d'obtenir deux valeurs (sommes de rangs) $R^+$ et $R^-$.
Techniquement, les deux valeurs $R^+$ et $R^-$ sont définies par :

$$R^+ = \sum_{d_k>0} R_k$$

$$R^- = \sum_{d_k \le 0} R_k$$

La statistique du test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés appliquée aux lodings est celle du R-test de significativité des blocs latents et est donnée par :

$$S_R = \min(R^+, R^-)$$

Les valeurs critiques de cette statistique de test sont calculées par simulation Monte-Carlo et sont disponibles dans la majorité des logiciels statistiques. Elles permettent d'obtenir automatiquement les p-values associées aux valeurs de la statistique de test.

## Algorithme du R-test de significativité des blocs latents

Le R-test de significativité des blocs latents est un test non paramétrique basé sur les principes des tests des rangs, et plus précisément du test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés. L'algorithme de ce test est le suivant :

### Algorithme 7 : R-test de significativité des blocs latents

1. Entrées : $G(\xi_1, \dots, \xi_J), P_N$

2. Estimer le modèle PLSPM plein (avec le bloc $j$)

3. Récupérer les lodings $\hat{\theta}_{\omega}^j(G|P)$

4. Estimer le modèle PLSPM contraint (sans le bloc $j$)

5. Récupérer les lodings $\hat{\theta}_{\omega}^j(G|P)$

6. Faire le test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons appariés avec $\hat{\theta}_{\omega}^j(G|P)$ et $\hat{\theta}_{\omega}(G|P)$

7. Récupérer la statistique de test $\hat{S}_R$ et la p-value $\hat{p}_v$ du test effectué

8. Sorties : $\hat{S}_R, \hat{p}_v$
### 4.2.4) L'ALGORITHME D'IDENTIFICATION DES CAUSES DES CHOCS

L'identification de la significativité des causes des chocs est une application directe des tests de significativité des blocs latents aux modèles résiliométriques des causes des chocs. Pour présenter l'algorithme correspondant, notons :

* $\sqrt{m_i}$, $i \in [1, 4]$ un des quatre types de modèles résiliométriques des causes des chocs

* $\sqrt{T(\mathscr{C}_j|\{m_i, \mathcal{P}_N\})}$ un test de significativité du choc $\mathscr{C}_j$ effectué en considérant le modèle $m_i$ et les données issues de la population $\mathcal{P}_N$ (B-test ou R-test)

En considérant les notations utilisées tout au long de ce chapitre ainsi que celles introduites ci-avant, l'algorithme d'identification des causes significatives des chocs est le suivant :

<caption>Algorithme 8 : Identification des causes significatives des chocs</caption>

1. Entrées : $m_i, \mathcal{P}_N$

2. $\Omega_S = 0_{1:C}$

3. $\Omega_{pv} = 0_{1:C}$

4. for ($j \in [1 : C]$) {

5. a) Faire le test $T(\mathscr{C}_j|\{m_i, \mathcal{P}_N\})$

6. b) Affecter la valeur de la statistique de test à $\Omega_S[j]$

7. c) Affecter la valeur de la p-value du test à $\Omega_{pv}[j]$

8. }

9. Sorties : $\Omega_S, \Omega_{pv}$

L'approche d'analyse des causes des chocs est aisément utilisable pour l'analyse des effets significatifs de ces chocs. Cependant, une telle utilisation nécessite une attention particulière sur la signification de ces effets et surtout la définition des dimensions associées (blocs). Il est important de noter que les causes et les effets sont des concepts inobservables, et ce raisonnement doit guider toute conception en modélisation résiliométrique.

Aussi, il faut souligner que les tests de significativité des blocs latents sont des tests d'une portée globale. Ils sont nullement spécifiques à la Résiliométrie et peuvent faire l'objet de nombreuses adaptations. Au niveau du B-test, on peut par exemple envisager un changement de l'indice de mesure de la qualité des modèles, étendre l'algorithme au cas de plusieurs blocs, etc. Quant au R-test, on pourrait envisager l'utilisation des poids externes ou des coefficients structurels en lieu et place des lodings. Enfin, sur le plan purement théorique, le B-test se fonde sur les techniques de bootstrap. C'est une version relativement complexe du test non paramétrique de permutation ([BEF82], [CHI05]).
## 4.3) LA DETECTION DES INTERACTIONS ENTRE LES DIMENSIONS

Pour étudier la structure d'interactions entre les différentes dimensions, considérons les notations suivantes :

* ✓D le nombre de dimensions de résilience prise en compte

* ✓T l'horizon temporel de mesure de la résilience

* ✓N le nombre de panélistes utilisés dans la collecte de données

* ✓$\xi_d^t$ la variable latente de la dimension $d \in [1, D]$ au temps $t \in [1, T]$

* ✓$X_{dj}^t$ la $j^{ème}$ variable manifeste associée à la variable latente $\xi_d^t$ (bloc $d$)

* ✓$x_{dj}^t$ le vecteur de valeurs de la variable manifeste $X_{dj}^t$ prise par les panélistes

* ✓$n_d^t$ le nombre de variables manifestes du bloc $d$ au temps $t$

* ✓$n$ le nombre total de variables manifestes (à chaque temps $t$)

L'enjeu de la modélisation consiste à découvrir automatiquement la structure des interactions à partir uniquement des informations collectées sur les individus et structurées en dimensions comme le montre la figure suivante :

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 20 : Exemple de données structurées en dimensions</figcaption></figure>
### 4.3.1) L'APPROCHE STRUCTURELLE GSCA

Les modèles d'équations structurelles à variables latentes en général, et le PLS path modeling (approche PLS) en particulier souffrent d'une limitation importante qui concerne l'absence d'un critère global à optimiser dans l'estimation des paramètres inconnus, à savoir les poids (lodings) des variables manifestes et les coefficients structurels. C'est pour combler cette lacune que le modèle GSCA a été proposé ([HWA84], [MAT93], [TEN08]). Il s'agit d'une méthode de MESVL qui est basée sur l'optimisation d'un critère global tout en conservant tous les avantages liés au PLSPM.

Dans le contexte de la résilience, la méthode GSCA n'est utile que lorsque les relations de causalité entre les différentes dimensions de la résilience sont relativement bien connues. Dans ce cas, la méthode GSCA évalue la pertinence de telles relations au vue des données expérimentales disponibles. Toutefois, si l'on n'a aucune idée des relations qui gouvernent les interactions entre les différentes dimensions de la résilience, les méthodes d'équations structurelles à variables latentes, dans leurs formulations actuelles, ne sont d'aucun secours. En effet, pour l'instant, il n'existe aucune technique d'apprentissage automatique des relations structurelles entre les variables latentes. C'est pourquoi cette thèse propose une variante de MESVL capable d'apprendre automatiquement le modèle structurel exclusivement à partir des données.

Le modèle GSCA sépare les variables endogènes des variables exogènes et applique la notion de variable endogène aussi bien sur les variables latentes que sur les variables manifestes. Ainsi, les variables manifestes des blocs formatifs sont considérées comme exogènes et celles des blocs réflectifs sont considérées comme endogènes. Pour faciliter la transposition du cadre GSCA au PLSPM, nous conserverons les notations du type PLSPM utilisées dans le chapitre 2, en exhibant les vecteurs et matrices classiquement utilisés dans les notations GSCA. Dans toute la suite de cette partie, on considérera les notations supplémentaires suivantes :

* ✓ $Z_{endo}$ le vecteur de toutes les variables manifestes endogènes

* ✓ $Z_{exo}$ le vecteur de toutes les variables manifestes exogènes

* ✓ $L_{endo}$ le vecteur de toutes les variables latentes endogènes

* ✓ $L_{exo}$ le vecteur de toutes les variables latentes exogènes

* ✓ $Z = [Z_{endo}, Z_{exo}]$ le vecteur de toutes les variables manifestes

* ✓ $\Psi = [Z_{endo}, L_{endo}]$ le vecteur de toutes les variables endogènes (manifestes et latentes)

* ✓ $\Gamma = [L_{endo}, L_{exo}]$ le vecteur de toutes les variables latentes

* ✓ $E_L$ le vecteur d'erreurs sur les variables latentes dans le modèle structurel

* ✓ $E_M$ le vecteur d'erreurs d'ajustement des variables manifestes dans le modèle de mesure

* ✓ $E_\delta$ le vecteur d'erreurs d'ajustement des variables latentes dans le modèle de mesure

* ✓ $V$ la matrice des relations endogènes (manifestes reflectives et latentes endogènes)
## Notations matricielles des MESVL

Techniquement, si l'on arrive à trouver la structure d'interactions recherchée, elle correspondra au modèle d'équations structurelles à variables latentes décrit par le système d'équations suivant ($\forall t \in [1, T]$) :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\xi_d^t &= \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^t x_{dj}^t + \delta_d^t \\
\xi_d^t &= \sum_{\xi_k^t \to \xi_d^t} \beta_{dk}^t \xi_k^t + \sum_{\xi_k^{t-1} \to \xi_d^t} \gamma_{dk}^t \xi_k^{t-1} + \zeta_d^t
\end{aligned}
\right. 
$$

Sur la base de ces notations, il est possible de fournir une écriture matricielle du modèle d'équations structurelle à variables latentes. En effet, lorsque le modèle de mesure comporte un ensemble de blocs réflectifs, on peut écrire :

$$ 
\begin{align*}
\xi_d^t &= \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^t x_{dj}^t + \delta_d^t \\
&\Rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \xi_1^1 \\ \vdots \\ \xi_D^1 \\ \xi_1^T \\ \vdots \\ \xi_D^T \end{pmatrix}}_{t\Gamma} = \underbrace{\begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}}_{tW} \underbrace{\begin{pmatrix} x_{11}^1 \\ \vdots \\ x_{1n_1}^1 \\ \vdots \\ x_{D1}^T \\ \vdots \\ x_{Dn_D}^T \end{pmatrix}}_{tZ} + \underbrace{\begin{pmatrix} \delta_1^1 \\ \vdots \\ \delta_{D_e}^1 \\ \vdots \\ \delta_1^T \\ \vdots \\ \delta_{D_e}^T \end{pmatrix}}_{tE_\delta} \\
&\Rightarrow {}^t\Gamma = {}^tW^tZ + {}^tE_\delta = {}^t(ZW + E_\delta) \\
&\Rightarrow \Gamma = ZW + E_\delta
\end{align*}
$$

De la même façon, lorsque le modèle de mesure comporte un ensemble de blocs formatifs, les relations entre les variables manifestes et leurs variables latentes s'écrivent :

$$ 
\begin{align*}
x_{dj}^t &= \pi_{dj}^t \xi_d^t + \epsilon_{dj}^t \\
&\Rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} x_{11}^{1(endo)} \\ \vdots \\ x_{1n_1}^{1(endo)} \\ \vdots \\ x_{I1}^{T(endo)} \\ \vdots \\ x_{In_I}^{T(endo)} \end{pmatrix}}_{tZ_{endo}} = \underbrace{\begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}}_{tC} \underbrace{\begin{pmatrix} \xi_1^1 \\ \vdots \\ \xi_D^1 \\ \vdots \\ \xi_1^T \\ \vdots \\ \xi_D^T \end{pmatrix}}_{t\Gamma} + \underbrace{\begin{pmatrix} \epsilon_{11}^1 \\ \vdots \\ \epsilon_{1n_1}^1 \\ \vdots \\ \epsilon_{I1}^T \\ \vdots \\ \epsilon_{In_I}^T \end{pmatrix}}_{tE_M} \\
&\Rightarrow {}^tZ_{endo} = {}^tC^t\Gamma + {}^tE_M = {}^t(\Gamma C + E_M) \\
&\Rightarrow Z_{endo} = \Gamma C + E_M
\end{align*}
$$
Enfin, en notant $D_{endo}$ le nombre de dimensions endogènes ($D$ étant le nombre total de dimensions), les relations décrites par le modèle structurel, c'est-à-dire les différentes relations entre les variables latentes s'écrivent :

$$
\begin{align*}
\xi_d^t &= \sum_{\xi_k^t \to \xi_d^t} \beta_{dk}^t \xi_k^t + \sum_{\xi_k^{t-1} \to \xi_d^t} \gamma_{dk}^t \xi_k^{t-1} + \zeta_d^t \\
\Rightarrow \quad \underbrace{\begin{pmatrix} \xi_1^{1(endo)} \\ \vdots \\ \xi_1^{1(endo)} \\ \xi_{D_{endo}}^{1(endo)} \\ \vdots \\ \xi_1^{T(endo)} \\ \vdots \\ \xi_{D_{endo}}^{T(endo)} \end{pmatrix}}_{^t L_{endo}} &= \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & (\beta_{dk}^t + \gamma_{dk}^{t+1}) & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{^t B} \underbrace{\begin{pmatrix} \xi_1^1 \\ \vdots \\ \xi_D^1 \\ \vdots \\ \xi_1^T \\ \vdots \\ \xi_D^T \end{pmatrix}}_{^t \Gamma} + \underbrace{\begin{pmatrix} \zeta_1^1 \\ \vdots \\ \zeta_{D_{endo}}^1 \\ \vdots \\ \zeta_1^T \\ \vdots \\ \zeta_{D_{endo}}^T \end{pmatrix}}_{^t E_L} \\
\Rightarrow \quad {}^t L_{endo} &= {}^t B {}^t \Gamma + {}^t E_L = {}^t (\Gamma B + E_L) \\
\Rightarrow \quad L_{endo} &= \Gamma B + E_L
\end{align*}
$$

Principe de la méthode GSCA

Ainsi, les modèles d'équations structurelles à variables latentes peuvent simplement se résumer par le système de trois équations matricielles suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Gamma = ZW + E_{\delta} \\
Z_{endo} = \Gamma C + E_{M} \\
L_{endo} = \Gamma B + E_{L}
\end{array}
\right.
$$

Si l'on note $A = [C, B]$ et $E = [E_M, E_L]$, en combinant les deux dernières équations, l'ensemble des variables endogènes est donné par :

$$
\begin{align*}
\Psi &= [Z_{\text{endo}}, L_{\text{endo}}] = [\Gamma C + E_M, \Gamma B + E_L] = \Gamma[C, B] + [E_M, E_L] \\
\Rightarrow \Psi &= \Gamma A + E
\end{align*}
$$

Dans la méthode GSCA, les erreurs contenues dans le vecteur $E_\delta$ sont inexistantes ($E_\delta = 0$).
Ceci est dû au fait que l’algorithme d’estimation calcule directement la relation $\Gamma = ZW$ une fois les lodings $W$ estimés, $Z$ étant connu apriori. Par conséquent, en prenant en compte la première relation qui établie que $\Gamma = ZW + E_\delta = ZW$ on a :

$$
\begin{align*}
\Psi &= \Gamma A + E = ZWA + E \\
\Rightarrow E &= \Psi - ZWA
\end{align*}
$$
La méthode GSCA cherche les paramètres du MESVL, c'est-à-dire les éléments des matrices V, W et A qui permettent de minimiser les erreurs de mesure. Techniquement, en notant tr(.) l'opérateur trace d'une matrice carrée, le problème revient à chercher le minimum de la fonction suivante :

$$ 
\begin{align*}
f(W, C, B) &= \operatorname{tr}(E^t E) \\
&= \operatorname{tr}[(ZV - ZWA)^t(ZV - ZWA)] \\
&= \operatorname{tr}[(\Psi - ZWA)^t(\Psi - ZWA)]
\end{align*}
$$

L'optimisation d'une telle fonction est très complexe. Pour ce faire, la méthode GSCA utilise l'algorithme des moindres carrées alternés. La méthode GSCA est très utile pour étudier les relations entre les différentes dimensions de résilience. Cependant, son utilisation exige des connaissances à priori sur ces relations, ce qui n'est pas évident. Pour palier ce défaut, cette thèse propose une variante de MESVL capable d'apprendre automatiquement le modèle structurel exclusivement à partir des données. La méthode proposée consiste à calculer automatiquement le modèle structurel qui permet de minimiser un critère dérivé du critère global de l'approche GSCA en utilisant les algorithmes génétiques.

### 4.3.2) LES ALGORITHMES GENETIQUES

De nombreux problèmes peuvent se formuler sous la forme d'une fonction objective à optimiser en prenant en compte un ou plusieurs critères. La diversité et l'importance des problèmes d'optimisation ont donné naissance à de nombreux travaux de recherches. Dans le domaine de l'Intelligence Artificielle, le développement des méta-heuristiques d'optimisation est de plus en plus privilégié. Ces méthodes ont pour principe de simuler un mécanisme physique ou biologique pouvant conduire à l'obtention de solutions optimales à un problème d'optimisation mathématique, quelle que soit sa complexité. Cette approche a donné des résultats très satisfaisants dans de nombreux domaines. Les méta-heuristiques d'optimisation les plus connues sont les algorithmes génétiques (AG). Le principe des algorithmes génétiques est de fournir une simulation informatique de la théorie néo-darwinienne de l'évolution biologique des espèces. Cette théorie intègre la génétique moderne à la théorie de l'évolution des espèces. La méthode présente l'avantage de fournir une population de solutions grâce à une modélisation mathématique et informatique visant à mimer le processus biologique de génération d'individus selon les opérateurs génétiques de croisement et de mutation. Les individus capables de survivre sont sélectionnés parmi les solutions les plus performantes au sens du critère à optimiser ([BAP06], [BEN01], [JOH03]). L'optimisation est un domaine aux applications illimitées. Initialement étudiées par les mathématiciens, les techniques d'optimisation ont donné lieu à la Recherche Opérationnelle. Depuis de nombreuses années, le domaine s'est enrichi par des méthodes informatiques, notamment celles issues de l'Intelligence Artificielle.
## Généralités sur l'optimisation

Une méthode d'optimisation peut être définie comme un procédé permettant d'obtenir de meilleures solutions à des problèmes de maximisation ou de minimisation d'une fonction objective. D'un point de vue pratique, il existe deux catégories d'approches d'optimisation : l'approche mathématique et l'approche par les méta-heuristiques. L'approche mathématique cherche des solutions exactes ou approchées par des procédés mathématiques. Très souvent, ce type d'approche, bien que très efficace sur des problèmes réguliers, reste incapable de trouver des optimums globaux. En effet, les méthodes mathématiques sont en général basées sur l'algorithme de descente du gradient qui a l'inconvénient d'être piégé par les optimums locaux. En ce qui concerne les méta-heuristiques, ce sont des méthodes qui cherchent des solutions aux problèmes d'optimisation par simulation informatique d'une réalité de la vie. Malgré le fait qu'une heuristique, par définition, ne donne aucune garantie d'aboutir à la solution recherchée, les méta-heuristiques d'optimisation donnent des résultats très satisfaisants en pratique. Par conséquent, cette approche est de plus en plus utilisée dans le milieu industriel. L'une des forces des méta-heuristiques d'optimisation est leur capacité de se soustraire du piégeage des optimums locaux (convergent vers les optimums globaux).

Il existe plusieurs catégories de méta-heuristiques d'optimisation. Certaines méta-heuristiques sont issues des modes de résolution de problèmes par l'homme (la méthode de recherche avec tabous), d'autres sont issues d'analogies avec les phénomènes de la physique (la méthode du recuit simulé) et d'autres encore sont dérivées des analogies avec des phénomènes biologiques (les algorithmes évolutionnaires et les essais particuliers). C'est dans cette dernière catégorie que se situent les algorithmes génétiques qui sont la forme la plus connue des systèmes bio-inspirés de la catégorie des algorithmes évolutionnaires, permettant de résoudre des problèmes de natures diverses, y compris les problèmes d'optimisation difficile. Les algorithmes évolutionnaires sont des méta-heuristiques d'inspiration biologique qui simulent la théorie néo-darwinienne d'évolution biologique des espèces. Ce type de méthodes fournit une population de solutions à un problème d'optimisation et non pas une solution unique comme c'est le cas avec les méthodes d'optimisation mathématique.

## La théorie Néo-Darwinienne de l'évolution

Darwin avait développé une théorie sur la manière dont les espèces biologiques (animales, végétales et humaines) évoluent au fil du temps sur la base d'un certain nombre de constats et d'observations. Selon cette théorie, chez les animaux et les végétaux, les descendants sont trop nombreux par rapport à la quantité de ressources disponibles pour leur survie. Par conséquent, il n'y a pas suffisamment de places pour tout le monde dans le jeu de l'évolution. Par exemple, une morue peut pondre plus de six (6) millions d'œufs en une seule fois et un éléphant donne naissance à dix-neuf (19) millions de descendants en 750 ans.
Au niveau des populations humaines, selon les travaux de l'économiste Malthus, la population augmente plus vite que la production des ressources, notamment alimentaires. Cependant, il a été constaté que l'effectif global de la population reste relativement stable d'année en année.

Il ressort de tout ce qui précède que, sans limitation, une population d'espèce s'accroît de façon exponentielle. Mais en réalité, les ressources naturelles et un certain nombre de facteurs limitants empêchent cet accroissement exponentiel des espèces au fil des générations. En plus de ces facteurs limitants dus en général au fait que le caractère limité des ressources entraine une mortalité aussi importante, il existe des variations entre les individus d'une même espèce qui gouvernent la capacité de survie des espèces. En effet, à chaque génération, les descendants diffèrent non seulement de leurs parents, mais diffèrent aussi entre eux. Par conséquent, les individus qui présentent les meilleures variations par rapport au milieu sont favorisés et engendrent plus de descendants que les moins aptes. Il en résulte que la population se modifie graduellement au fur et à mesure que les caractères favorables s'accumulent au fil des générations : c'est la loi de la sélection naturelle qui est le fondement de l'évolution des espèces.

## Le Néodarwinisme et sa simulation

Le Darwinisme, tel que présenté, a connu de nombreuses critiques. Tout d'abord, cette théorie est basée uniquement sur des constats. Elle n'explique ni pourquoi la reproduction des espèces est surabondante, ni ce qui crée la variabilité observée chez les individus d'une même espèce. En plus de cela, la loi de la sélection naturelle ne crée rien de nouveau, elle ne fait que conserver un individu moyen adapté aux conditions de survie. Aussi, la transmission des caractères aux descendants n'est pas en accord avec les lois de la génétique moderne. Enfin, la concurrence vitale et la lutte pour la vie ne sont pas des phénomènes généraux. Face à ces critiques et les nouvelles connaissances en Génétique, la théorie darwinienne a été revisée ; ce qui a donné naissance à la théorie synthétique de l'évolution biologique des espèces encore connue sous le nom de néodarwinisme.

Le néodarwinisme est la synthèse de la théorie de la sélection naturelle (Darwin) et de la théorie de l'hérédité (Mendel). Dans cette théorie, la reproduction des espèces est gouvernée par les gènes qui subissent, au cours des générations, des opérations de recombinaison (croisements) et de mutations. Ainsi, la sélection naturelle se résume à un mécanisme de choix des individus les plus aptes à former la génération suivante et l'évolution correspond au résultat d'une altération progressive des êtres vivants au cours des générations. Selon cette théorie, l'évolution n'agit pas directement sur les êtres vivants, elle opère en réalité sur les chromosomes contenus dans leur ADN. Et cette évolution possède essentiellement deux composantes, à savoir la sélection et la reproduction. La sélection garantie une reproduction plus fréquente des chromosomes les plus forts et la reproduction constitue la phase durant laquelle s'effectue l'évolution des espèces proprement dite.
Dans les années 1960, John H. Holland expliqua comment ajouter de l'intelligence dans un programme informatique avec des procédés d'échanges et de modifications de bits. Du fait de la ressemblance du codage binaire au matériel génétique, il considéra les bits comme du matériel génétique, les opérations d'échanges de bits comme une simulation du croisement génétique et les opérations de modifications des bits comme une simulation de la mutation génétique. En 1975, Holland formalisa ses travaux sous le terme d'algorithmes génétiques. Puis, en 1989, David E. Goldberg ajouta, à la théorie des algorithmes génétiques, une idée nouvelle. Selon celle-ci, le fait que l'individu est lié à un environnement par son code d'ADN pourrait correspondre au fait qu'une solution soit liée à un problème par son indice de qualité. Puis, il se chargea de la vulgarisation de la méthode des algorithmes génétiques. Les algorithmes génétiques sont donc des méta-heuristiques de la catégorie des algorithmes évolutionnaires dont le principe est de simuler, à l'aide d'un ordinateur, la théorie néodarwinienne de l'évolution biologique des espèces. L'objectif d'une telle simulation est de pouvoir apporter un ensemble de solutions plus adaptées à un problème d'optimisation donné.

## Les bases des algorithmes génétiques

La théorie des algorithmes génétiques propose une formalisation d'un problème d'optimisation sous la forme des notions de la théorie synthétique de l'évolution sur la base d'un certain nombre d'analogies. Ainsi, un paramètre du problème est un gène, un vecteur de valeurs de tous les paramètres est un chromosome, la position d'un paramètre dans le vecteur est son lotus, une solution potentielle correspond à un individu, un ensemble de solutions constitue une population, une itération est une génération et la fonction objective est utilisée pour évaluer le niveau d'adaptabilité des individus. En plus de cela, il faut pouvoir trouver une correspondance binaire à une solution quelconque. Par conséquent, chaque paramètre est codé sous forme d'un gène (ensemble de bits de longueur fixe) et l'on rassemble l'ensemble des valeurs des paramètres dans un vecteur de solution. Ainsi, toute solution doit être codée sous forme d'un chromosome (suite de bits). Un exemple de solution codée sur 20 bits sous la forme d'un chromosome est donné par la figure suivante :

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 21 : Exemple de chromosome codé sur 20 bits</figcaption></figure>

Le principal avantage du codage binaire est que l'on peut facilement coder, en informatique, n'importe quel objet en binaire (méthode utilisée classiquement par les ordinateurs). On peut donc représenter aisément des réels, des entiers, des chaînes de caractères, etc. Pour effectuer la simulation artificielle de l'évolution naturelle, les algorithmes génétiques utilisent le principe décrit à la figure suivante :
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 22 : Principe de déroulement d'un algorithme génétique<fnref n="4" /></figcaption></figure>

Les algorithmes génétiques partent d'un ensemble quelconque de chromosomes de départ (solutions potentielles), qui sont en général choisis aléatoirement. Puis, l'algorithme fait évoluer la population initiale pour aboutir à une population d'arrivée (les chromosomes solutions). Les individus de la population d'arrivée doivent être les plus adaptés (au sens de la fonction à optimiser), c'est-à-dire, doivent permettre d'avoir une valeur minimale ou maximale de la fonction objective, sous la contrainte de maintenir la taille de la population constante au fur et à mesure des itérations successives (de génération en génération). Il existe cinq opérations fondamentales dans la théorie des algorithmes génétiques qui s'effectuent récursivement jusqu'à l'obtention de la population la plus adaptée. Ces opérations sont :

1) L'évaluation des performances des chromosomes

2) La sélection des chromosomes pouvant participer à la reproduction

3) Le croisement de certains chromosomes sélectionnés

4) La mutation de certains chromosomes sélectionnés

5) La sélection des chromosomes devant constituer la nouvelle génération

## Les opérateurs génétiques

Dans les AG, la simulation de l'acte de sexualité biologique se fait par la sélection pour la reproduction qui consiste en la sélection d'un petit nombre de chromosomes performants qui peuvent subir les opérations génétiques. Les méthodes de sélection pour reproduction sont de plusieurs types (choix proportionnels aux performances, choix proportionnels aux rangs,

<footnote n="4">⁴ https://reussirlem1info.files.wordpress.com/2012/03/expo-algo-gc3a9nc3a9tiques-ouessai.pptx</footnote>
méthode des tournois). Pour effectuer la simulation artificielle de l'évolution naturelle, les algorithmes génétiques partent d'un ensemble de solutions potentielles quelconque de chromosomes dont les performances sont fonctions de l'image des correspondances des chromosomes (en grandeurs réelles) par la fonction objective. Quant à la simulation du croisement génétique, elle se fait avec l'opérateur de croisement dont le principe est d'obtenir deux (2) nouveaux enfants à partir de deux (2) parents choisies aléatoirement selon une probabilité $p_{crois}$. Il existe plusieurs types de croisements dont les plus utilisés sont le croisement en 1 point, le croisement en 2 points et le croisement uniforme (avec masque). Par exemple, la figure suivante présente le croisement en 1 point :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 23 : Exemple d'opération de croisement en un point</figcaption></figure>

La simulation de la mutation génétique se fait par l'opérateur de mutation qui consiste à obtenir un (1) ou deux (2) nouveau(x) enfant(s) à partir d'un (1) seul parent choisi aléatoirement selon une probabilité $p_{mut}$. Il existe des mutations à un (1) bit ou des mutations à plusieurs bits. Par exemple, la figure suivante présente une mutation en un seul bit :

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 24 : Exemple d'opération de mutation à un bit</figcaption></figure>

Enfin, le mécanisme de sélection naturelle est simulé par l'opération de sélection pour le remplacement. En effet, comme les opérations de mutation et de croisement augmentent la taille de la population, pour la maintenir constante, il faut choisir les chromosomes les plus aptes à former la génération suivante (population à maintenir constante). Il existe plusieurs méthodes de sélection (roulette du casino, élitisme, méthode des tournois). Pour plus de détails sur les différents opérateurs ainsi que des exemples concrets d'applications industrielles des algorithmes génétiques, le lecteur pourra consulter le livre très complet de Johann Dréo et al ([JOH03]).
### 4.3.3) LE MODELE GENETIQUE DES STRUCTURES LATENTES

Le modèle génétique des structures latentes (MGSL) ou latent's structures genetics modeling (LSGM) se propose d'apprendre le sous-modèle interne d'un modèle d'équations structurelles à variables latentes uniquement à partir des données collectées sur les variables manifestes et la spécification du modèle externe. Elle se sert des algorithmes génétiques pour calculer le modèle structurel en optimisant le critère global dérivé de celui sur lequel est fondée la méthode GSCA.

La méthode MGSL est une contribution de cette thèse au domaine des équations structurelles à variables latentes. Elle est suscitée par un problème issu des besoins de modélisation de la résilience, à savoir la nécessité d'apprendre automatiquement les relations structurelles entre les variables latentes en spécifiant uniquement le modèle de mesure. Bien que la méthode GSCA fournisse un critère global à optimiser, il est quasiment impossible de rechercher directement les paramètres du modèle permettant d'optimiser un tel critère. En pratique, la méthode GSCA utilise une procédure alternée en deux étapes. Cependant, du fait de l'usage de la spécification RAM, l'approche GSCA suscite deux remarques qui peuvent permettre une estimation directe par des techniques d'optimisation :

1) L'approche GSCA est fondée sur la spécification RAM (Reticular Action Modeling). Par conséquent, l'équation fondamentale reste l'équation $ZV = ZWA + E$. Les matrices $V$, $W$ et $A$ sont donc les matrices caractéristiques de l'approche GSCA.

2) Si l'on dispose d'une estimation du modèle structurel par l'approche PLS (PLSPM), on peut en déduire des estimations $\hat{V}$, $\hat{W}$ et $\hat{A}$ des matrices $V$, $W$ et $A$ respectivement.

3) Une estimation acceptable du critère $f(V, W, A) = tr[(ZV - ZWA)^t(ZV - ZWA)]$ peut être donnée par $\hat{I}(V, W, A) = tr[(\hat{V} - \hat{W}\hat{A})^t(\hat{V} - \hat{W}\hat{A})]$

Si l'on considère les trois remarques, il est possbile de rechercher la structure du modèle PLSPM permettant de minimiser le critère $\hat{f}(V, W, A)$ par une procédure directe et globale d'optimisation. L'approche MGSL est basée sur ce principe d'estimation en utilisant la technique des algorithmes génétiques comme méthode d'optimisation.

#### L'algorithme MGSL

Contrairement au modèle GSCA qui cherche une estimation des paramètres inconnus, l'objectif de la méthode est de rechercher le modèle structurel qui optimise le critère $\mathcal{I}(\theta)$ en utilisant un algorithme génétique. Comme les relations structurelles peuvent être décrites par une matrice triangulaire supérieure comportant des valeurs 0 ou 1, tout le problème revient à chercher la matrice optimale qui minimise le critère $\mathcal{I}(\theta)$, $\theta$ étant le triplet $(V, W, A)$.
Pour ce faire, posons :

✓ *n* la taille des populations à chaque génération

✓ $\mathcal{P}_n^k$ la population de la $k^{eme}$ génération

✓ $I_i^k$ le $i^{eme}$ chromosome de la population $\mathcal{P}_n^k$

✓ $\mathbb{P}_{\text{crois}}$ la probabilité de croisement des chromosomes

✓ $\mathbb{P}_{\text{mut}}$ la probabilité de mutation des chromosomes

✓ *S* la spécification du modèle externe (modèles de mesure)

✓ $D_I$ les informations sur les panélistes (données)

✓ $M_i^k$ la matrice du modèle interne correspondant au chromosome $I_i^k$

✓ $\Gamma_i^k = \text{plspm}(S, M_i^k)$ l'estimation PLSPM correspondant au chromosome $I_i^k$

✓ $\hat{\mathcal{I}}(\Gamma_i^k)$ la valeur de $\hat{\mathcal{I}}(\theta)$ du chromosome $I_i^k$ (pour le modèle $\Gamma_i^k$)

Dans les modèles MGSL, le modèle externe est spécifié. Et c'est sur la base de ce modèle et des données collectées que le modèle interne est calculé automatiquement. Dans ce cas, un chromosome est une suite de données binaires correspondant à un modèle interne. Ainsi, En considérant les notations définies, l'algorithme du modèle MGSL est le suivant :

<caption>Algorithme 9 : Modèle Génétique des Structures Latentes</caption>

1. Entrée : *S*, *D*I, *n*, $\mathbb{P}_{\text{crois}}$, $\mathbb{P}_{\text{mut}}$
2. Pour chaque population $\mathcal{P}_n^k$
3. Pour chaque chromosome $I_i^k$ :
4. a) Créer la matrice $M_i^k$ du modèle interne correspondant au chromosome $I_i^k$
5. b) Estimer le modèle $\Gamma_i^k = \text{plspm}(S, M_i^k | D_I)$
6. c) Calculer la valeur $\hat{\mathcal{I}}(\Gamma_i^k)$
7. Fin pour
8. Choisir les individus les plus performants pour la modification
9. Croiser les individus sélectionnés selon une probabilité $\mathbb{P}_{\text{crois}}$
10. Faire muter les individus sélectionnés avec une probabilité $\mathbb{P}_{\text{mut}}$
11. Effectuer les remplacements pour créer la génération $\mathcal{P}_n^{k+1}$ ($k = k + 1$)
12. Fin Pour
13. Si convergence non atteinte, aller à 3.
14. Retenir le meilleur individu de la dernière génération obtenue
15. Créer la matrice du modèle interne correspondant au meilleur chromosome
16. Estimer le modèle PLSPM final correspondant au meilleur chromosome
17. Sortie : le modèle structurel du PLSPM final
# PARTIE III : LES MODELES AVANCES DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE
# CHAPITRE 5 : L'ANALYSE DE LA DYNAMIQUE DES PROCESSUS DE RESILIENCE

L'étude de la dynamique des processus de résilience peut revêtir plusieurs formes. Elle n'a de sens que pour des études à passages repétés sur un panel d'individus. Par conséquent, l'utilisation des méthodes d'analyse de la dynamique des processus de résilience exige que les mêmes informations soient collectées sur les mêmes individus à plusieurs périodes de temps. L'idéal est que la périodicité de collecte de données soit constante (chaque semaine, chaque deux semaines, chaque mois, chaque trimestre, chaque semestre, chaque année, etc.). Cependant, les méthodes résiliométriques n'exigent pas forcément que les intervalles de temps entre les périodes de collectes de données soient uniformes. Cette propriété est simplement souhaitable mais nullement nécessaire. L'essentiel est de disposer des mêmes données collectées sur les mêmes individus à plusieurs dates différentes.

En ce qui concerne la problématique même de la dynamique, cette thèse s'intéresse à trois aspects. Tout d'abord, les individus pouvant changer d'état de vulnérabilité d'une période à une autre, il est légitime de rechercher les caractéristiques de ces transitions d'états de vulnérabilité. Ensuite, les individus ayant leurs propres opinions de leurs situations de souffrance, il est important de pouvoir prévoir les états de vulnérabilité des individus dans le temps à partir des opinions qu'ils ont de leur propre situation de souffrance. Une telle possibilité pourrait être exploitée pour effectuer des études rapides et légères en collectant des informations sur ces opinions, étant entendu que l'état de vulnérabilité peut être prédit avec une précision acceptable. Le nombre de panélistes effectivement utilisé pour les études de résilience devant être limité pour des raisons de côtés par rapport à la population entière, cette modélisation fournit un moyen d'extrapoler les études aux individus ne faisant pas partie des panélistes via une collecte rapide d'informations relativement simples (opinions sur leurs situations de souffrance et variables structurelles caractéristiques). Enfin, la recherche d'actions de résilience efficaces est une préoccupation qui sera abordée dans ce chapitre.

## 5.1) LES TRANSITIONS ENTRE LES ETATS DE VULNERABILITE

L'étude des transitions entre les différents états de vulnérabilité est de prime abord relativement complexe. En effet, elle dépend des réponses concrètes aux questions que l'on se pose sur la manière de définir des états de vulnérabilité. Cependant, en ce qui concerne la Résiliométrie, une telle question trouve sa réponse dans la théorie stochastique de la résilience. Cette théorie nous fournit un moyen pratique d'identifier les capacités de rebond des individus. En plus de cela, elle offre un moyen de les catégoriser grâce à la notion de degré de rebond. En exploitant judicieusement les notions de cette théorie et en couplant ces notions avec la théorie des chaines de Markov, il est possible d'étudier les lois qui gouvernent les transitions entre les états de vulnérabilité et d'en étudier les propriétés.
Les chaines de Markov ont été introduites pour la première fois par le mathématicien russe Andrei Andreevich Markov (1856-1922). A la suite de Markov, l'étude des processus dits markoviens a pris une importance croissante dans le domaine des probabilités. Les chaînes de Markov ont aujourd'hui des applications dans de nombreux disciplines dont l'économie, la finance, l'informatique ou la physique.

## 5.1.1) LA THEORIE DES AUTOMATES

La notion d'automate est avant tout une notion mathématique. Il s'agit d'une méthode de modélisation représentable sous une forme graphique. Les automates sont des modèles graphiques utilisés dans la modélisation de plusieurs phénomènes. L'une des applications les plus spectaculaires reste de loin son utilisation à des fins électroniques pour la construction des ordinateurs. Cependant, ce type de modèles mathématiques est utilisé dans de nombreux domaines pour effectuer des tâches aussi diverses que l'implémentation des langages formels, la modélisation de systèmes automatiques (guichets automatiques, etc.), le traitement des chaines de caractères (expressions régulières), etc. Il s'agit d'un des outils les plus utilisés dans le traitement automatique du langage naturel et dans la modélisation de la parole.

### Définition 5.1.1.1 : Automate fini

On appel automate fini un quintuplet $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ dans lequel :

* $Q$ désigne un ensemble fini d'états

* $\Sigma$ un alphabet (ensemble fini de symboles)

* $Q_0 \in Q$ le sous-ensemble des états initiaux

* $Q_F \in Q$ le sous-ensemble des états terminaux

* $\delta: Q \times \Sigma \rightarrow 2^Q$ une fonction de transition décrivant les états $\delta(q, a)$, c'est-à-dire donnant le(s) états(s) d'arrivée(s) à partir de la connaissance du nœud de départ (q) et d'un symbole d'arc donné (a).

Exemple : Considérons le quintuplet $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ définie par :

* $Q = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \Sigma = \{a, b, c\}$

* $\delta(1, a) = 3, \delta(3, a) = \{2, 4, 5\}, \delta(1, c) = 5, \delta(3, a) = \{3, 5\}, \delta(3, b) = 4, \delta(2, c) = 1$

* $Q_0 = \{1, 3\}, Q_F = \{1, 2, 5\}$

Le quintuplet $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ tel que spécifié est un automate fini.

### Définition 5.1.1.2 : Automate déterministe

L'automate fini $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ est dit déterministe si et seulement si :

$\forall (q, a) \in Q \times \Sigma, \text{card}(\delta(q, a)) \le 1$, c'est-à-dire que les $\delta(q, a)$ contiennent au plus un seul élément. Les automates finis déterministes sont notés AFD et les automates finis non déterministes sont notés AFN.
**Définition 5.1.1.3 : Automate complet**

L'automate fini $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ est dit complet si et seulement si :

$\forall (q, a) \in Q \times \Sigma, \mathrm{card}(\delta(q, a)) = 1, \text{ c'est-à-dire que chaque } \delta(q, a) \text{ contient exactement un} \\
\text{élément. Les automates complets sont donc des automates déterministes particuliers.}$

**Définition 5.1.1.4 : Graphe d'un automate fini déterministe**

On appelle représentation graphique d'un automate fini déterministe $A$, le graphe orienté $G_A$ pour lequel :

* $Q$ est l'ensemble des nœuds représentés par des cercles

* $\Sigma$ est l'ensemble des symboles des arcs représenté par des flèches orientées

* $Q_0 \in Q$ est l'ensemble des nœuds initiaux comportant une flèche sans nœud d'origine

* $Q_F \in Q$ est l'ensemble des nœuds terminaux représentés par deux cercles

* $\delta: Q \times \Sigma \to 2^Q$ est une fonction de transition décrivant les noeuds $\delta(q, a)$, c'est-à-dire donnant le(s) nœud(s) d'arrivée à partir du nœud de départ (q) et d'un symbole d'arc donné (a).

**Définition 5.1.1.5 : Chaine acceptée par un automate**

La chaine $u = a_1 \dots a_l$ sera acceptée par l'automate fini $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ s'il existe une séquence (non unique) de $l+1$ états $(q^0, \dots, q^l)$ telle que :

* $q^0 \in Q_0$

* $q^l \in Q_F$

* $\forall i \in [0, l-1], q^{i+1} \in \delta(q^i, a_{i+1})$

La notion d'acceptation correspond à la notion de reconnaissance d'une chaine par l'automate. Il s'agit des chaines que l'automate est capable de générer du fait de sa structure. C'est cette possibilité des automates qui est exploitée dans les expressions régulières utilisées dans la manipulation des chaines de caractères par voie logicielle.

**Définition 5.1.1.6 : Langage accepté par un automate**

L'ensemble des chaînes acceptées par l'automate $A = (Q, \Sigma, \delta, Q_0, Q_F)$ est appelé le langage accepté par cet automate et est noté $L(A)$.

**Automate probabiliste**

Un automate probabiliste est une généralisation des automates finis non déterministes. Dans ce type d'automates, chaque transition est équipée d'une probabilité. Les transitions sont représentées par des matrices stochastiques appelées matrices de transition. Les langages reconnus par les automates probabilistes sont appelés des langages stochastiques. Les automates probabilistes sont utilisés dans la modélisation de nombreux processus aléatoires mettant en jeu des transitions dynamiques entre états ou des séquences d'évènements.
Les plus connus et certainement les plus utilisés sont les processus markoviens, en particulier les chaînes de Markov et les modèles de Markov cachés. Le concept d'automate probabiliste a été introduit par Michael Rabin en 1963. Cependant, sans qu'ils soient ainsi nommés, les automates probabilistes ont été introduits dans le domaine des mathématiques à travers le calcul stochastique au début du 20e siècle avec les travaux de Markov et de Kolmogorov.

### 5.1.2) LES CHAINES DE MARKOV

L'objet des chaînes de Markov ([AGI10], [CHI05a], [CHI05b]) est l'étude des processus dits sans mémoire dont l'évolution future ne dépend que du passé immédiat qui a conduit à l'état présent. Les chaînes de Markov sont des automates probabilistes comme le montre la figure suivante :

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 25 : Exemple de chaîne de Markov<fnref n="5" /></figcaption></figure>

#### Notations mathématiques

Pour mieux présenter cette théorie, considérons les notations suivantes :

* $E = \{E_1, \dots, E_S\}$ un ensemble fini de S états

* $\mathcal{F}$ une tribu sur E

* $(\mathcal{F}_t)_{1\le t\le T}$ une filtration de E

* $\mathbb{P}$ une mesure de probabilités sur l'espace mesurable $(E, \mathcal{F})$

<footnote n="5">⁵ https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain</footnote>
De manière concrète, E représente l'ensemble des états dans lesquels peut se trouver le processus étudié. La filtration représente le temps et $\forall t \in [1, T]$, la tribu $\mathcal{F}_t$ contient les informations disponibles sur l'évolution du processus jusqu'à cet instant $t$ (inclus).

### Définition 5.1.2.1 : Matrice de transition

On appelle matrice de transition P sur E, un ensemble de valeurs numériques $(p(i, j))_{1 \le i, j \le S}$ tel que :

* $\forall (i, j) \in [1, S]^2$, $p(i, j) \ge 0$

* $\sum_{j=1}^{S} p(i, j) = 1$

Dans cette définition, il est important de remarquer que $\forall i \in [1, S]$, $p(i, \cdot)$ est une probabilité. Les matrices de transition possèdent des propriétés remarquables. On a :

* $p^0(i, j) = \delta_{ij}$ correspondant à la matrice identité sur E

* $p^1(i, j) = p(i, j)$

* $\forall n \in \mathbb{N}$, $p^{n+1}(i, j) = \sum_{k=1}^{S} p^n(i, k)p(k, j)$

Ces relations montrent que si P est une matrice de transition, $\forall n \in \mathbb{N}$, $P^n$ est aussi une matrice de transition. En plus de cela, $\forall n \in \mathbb{N}$, $P^n$ représentera la probabilité que, partant de l'état $i$, le processus se retrouve dans l'état $j$ en $n$ unités de temps plus tard.

### Définition 5.1.2.2 : Chaînes de Markov

On appelle chaîne de Markov (homogène), tout processus aléatoire $(X_t)_{1 \le t \le T}$, de loi de probabilité initiale $\mu$ à valeurs dans E, et de matrice de transition P telle que :

* $X_0 \sim \mu$

* $\forall t \in \mathbb{N}$, $P(X_{t+1} = E_s|\mathcal{F}_t) = P(X_t = E_s)$

Le second point de la définition traduit le fait que le processus est sans mémoire, ce qui est connue comme étant la propriété de Markov.

### Définition 5.1.2.3 : Temps de retour dans un état

Considérons le nombre entier positif défini par l'expression suivante :

$$ \sigma(s) = \inf\{t \ge t, X_t = E_s\}. $$

Du point de vue des probabilités, $\sigma(s)$ est bel et bien un temps d'arrêt. En effet, $\forall t \in \mathbb{N}^*$, $\{\sigma(s) \le t\} = \bigcup_{\tau=0}^{t} \{X_\tau = E_s\}$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable car tous les constituants $X_t$ sont $\mathcal{F}_t$-mesurables (donc les $X_\tau$).
Caractérisation d'un état et du processus

Soit $(X_t)_{1\le t\le T}$ un processus markovien et $\sigma(s) = \inf\{t \ge s, X_t = E_s\}$ le temps de retour à l'état $E_s$. On a les propriétés suivantes :

• Si $\mathbb{P}(\{\sigma(s) \le \infty\}) = 1$ l'état $E_s$ est dit récurrent

• Si $\mathbb{P}(\{\sigma(s) \le \infty\}) < 1$ l'état $E_s$ est dit transient

• Si $\forall j \in [1, S], \mathbb{P}(\{X_{t+1} = E_s | X_t = E_s\}) = 1$, l'état $E_s$ est dit absorbant

Le fait que l'état $E_s$ soit récurrent signifie qu'une fois que le processus passe par l'état $E_s$, on est sûr et certain qu'il y retournera en un temps fini. Par conséquent, le processus passera une infinité de fois dans cet état presque sûrement. Pour un état transient, lorsque le processus y passe une fois, on est sûr qu'il n'y repassera qu'un nombre fini de fois. Quant à un état absorbant, le processus ne peut pas en sortir une fois qu'il y entre. Le processus $(X_t)_{1\le t\le T}$ est dit récurrent si tous ses états sont récurrents. De même, il est dit transient si tous ses états sont transients.

5.1.3) LES MODELES DYNAMIQUES TRANSITIONNELS

Dans cette thèse, le modèle d'analyse des transitions se limitera essentiellement aux quatre états de vulnérabilité obtenus avec la médiane. Sa généralisation à d'autres types de décompositions reste relativement simple.

Processus de transition entre les états de vulnérabilité

Pour étudier les transitions entre les différents états de vulnérabilité, considérons les notations suivantes :

• $E = \{VA, VG, VL, NV\}$ l'ensemble des états de vulnérabilité (selon les quartiles)

• $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$

• $\mathbb{P}$ la probabilité uniforme sur $(E, \mathcal{P}(E))$

• $n_{ij}$ le nombre d'individus qui sont passés de l'état $E_i$ à la date $t$ à $E_j$ à $t+1$

• $P = (p(i,j))_{1\le i,j\le 4}$ la matrice de transition entre les différents états

Les chaînes de Markov sont des modèles qui peuvent se représenter aisément sous la forme d'un graphe de relations entre les différents états. La chaîne de Markov correspondante aux transitions entre les états de vulnérabilité est décrite par le schéma suivant :
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 26 : La structure de transition entre les états de vulnérabilité</figcaption></figure>

La chaîne de Markov est décrite totalement lorsqu'on associe au graphe de l'automate, la distribution des probabilités de transition. Le tableau permettant d'estimer les éléments de la matrice de transition est le suivant :

<table><caption>Tableau 5 : Effectifs de transition sur deux périodes</caption><thead><tr><th rowspan="2">Effectifs (n<sub>ij</sub>)</th><th colspan="4">Etat au temps t + 1</th><th rowspan="2">TOTAL</th></tr><tr><th>VA</th><th>VG</th><th>VL</th><th>VA</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Etat au temps t</th><th>VA</th><td>n<sub>11</sub></td><td>n<sub>12</sub></td><td>n<sub>13</sub></td><td>n<sub>14</sub></td><td>n<sub>1.</sub></td></tr><tr><th>VG</th><td>n<sub>21</sub></td><td>n<sub>22</sub></td><td>n<sub>23</sub></td><td>n<sub>24</sub></td><td>n<sub>2.</sub></td></tr><tr><th>VL</th><td>n<sub>31</sub></td><td>n<sub>32</sub></td><td>n<sub>33</sub></td><td>n<sub>34</sub></td><td>n<sub>3.</sub></td></tr><tr><th>NV</th><td>n<sub>41</sub></td><td>n<sub>42</sub></td><td>n<sub>43</sub></td><td>n<sub>44</sub></td><td>n<sub>4.</sub></td></tr><tr><th colspan="2">TOTAL</th><td>n<sub>.1</sub></td><td>n<sub>.2</sub></td><td>n<sub>.3</sub></td><td>n<sub>.4</sub></td><td>n</td></tr></tbody></table>

En partant de ce tableau, il est possible de donner une interprétation concrète aux effectifs marginaux lignes et colonnes, ainsi :

* $n_{i.} = \sum_{j=1}^{4} n_{ij}$ est le nombre d'individus qui sont dans l'état $E_i$ à la date $t$

* $n_{.j} = \sum_{i=1}^{4} n_{ij}$ est le nombre d'individus qui sont dans l'état $E_j$ à la date $t + 1$

Le nombre d'individus total vérifie donc la relation $n = \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} n_{ij}$. Ainsi, les éléments de la matrice de transition sont obtenus par :

$$ \forall (i, j) \in [1, 4]^2, p(i, j) = n_{ij}/n. $$

Et on a bien $$ \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} p(i, j) = (1/n) \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} n_{ij} = 1 $$
## Prise en compte de plusieurs périodes d'observations

Les calculs tels que décrits ci-avant ne sont valables que lorsque l'on considère deux périodes successives $t$ et $t+1$. Or, en pratique, la résilience s'étudie sur plusieurs périodes. De ce fait, les effectifs doivent prendre en compte cette réalité. Pour ce faire, considérons les notations suivantes :

* $\Lambda_t(\omega) \in E$ l'état de vulnérabilité de l'individu $I_\omega \in \Omega_I$ au temps $t \in [1, T]$

* $N_{ij}$ le nombre de cas $(E_i, E_j)$ rencontrés avec $E_i$ au temps $t$ et $E_j$ en $t+1$

Le tableau permettant d'estimer les éléments de la matrice de transition devient donc le suivant :

<table><caption>Tableau 6 : Effectifs de transition sur plus de deux périodes</caption><thead><tr><th rowspan="2">Effectifs (N<sub>ij</sub>)</th><th colspan="4">Etat au temps t + 1</th><th rowspan="2">TOTAL</th></tr><tr><th>VA</th><th>VG</th><th>VL</th><th>NV</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Etat au temps t</th><th>VA</th><td>N<sub>11</sub></td><td>N<sub>12</sub></td><td>N<sub>13</sub></td><td>N<sub>14</sub></td><td>N<sub>1.</sub></td></tr><tr><th>VG</th><td>N<sub>21</sub></td><td>N<sub>22</sub></td><td>N<sub>23</sub></td><td>N<sub>24</sub></td><td>N<sub>2.</sub></td></tr><tr><th>VL</th><td>N<sub>31</sub></td><td>N<sub>32</sub></td><td>N<sub>33</sub></td><td>N<sub>34</sub></td><td>N<sub>3.</sub></td></tr><tr><th>NV</th><td>N<sub>41</sub></td><td>N<sub>42</sub></td><td>N<sub>43</sub></td><td>N<sub>44</sub></td><td>N<sub>4.</sub></td></tr><tr><th colspan="2">TOTAL</th><td>N<sub>..1</sub></td><td>N<sub>..2</sub></td><td>N<sub>..3</sub></td><td>N<sub>..4</sub></td><td>N</td></tr></tbody></table>

Considérons la variable définie par :

$$ \delta_t(\omega, i, j) = \begin{cases} 1 & \text{si } \Lambda_t(\omega) = E_i \text{ et } \Lambda_{t+1}(\omega) = E_j \\ 0 & \text{si non} \end{cases} $$

Les effectifs des individus permettant d'estimer la matrice de transition sont donnés par la relation suivante :

$$ N_{ij} = \sum_{t=1}^{T-1} \sum_{\omega \in \Omega_I} \delta_t(\omega, i, j) $$

Par définition, l'effectif total n'est plus celle de la population mais tient compte de la longueur des périodes consécutives considérées, c'est à dire égal à $n(T - 1)$.

On a donc :

$$ N = \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} N_{ij} = \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} \sum_{t=1}^{T-1} \sum_{\omega \in \Omega_I} \delta_t(\omega, i, j) = n(T - 1) $$
Ainsi, les éléments de la matrice de transition sont obtenus par :

$$
\forall (i, j) \in [1, 4]^2, p(i, j) = N_{ij}/N = N_{ij}/n(T - 1).
$$

$$
\text{Et on a bien } \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} p(i, j) = (1/N) \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} N_{ij} = 1
$$

Cette procédure est plus générale et la considération de deux périodes n’est qu’un cas
particulier. En notant Φ(ξ_t | I_i) l’opération de détermination de l’état de vulnérabilité de
l’individu I_i à partir de l’estimation de la résilience ξ_t au temps t (TSR), l’algorithme de
calcul de la matrice caractérisant les transitions entre les états de vulnérabilité est le suivant :

<caption>Algorithme 10 : Calcul de la matrice de transition entre les états de vulnérabilité</caption>

1. Entrées : $n, T, \Omega_I, (\xi_t)_{t \in [1,T]}$
2. $\Lambda = 0_{1:n,1:T}$ // Tableaux des états de vulnérabilité (TSR)
3. Pour $(t \in [1, T])${
4. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Pour $(i \in [1, n])${
5. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a) Calculer $\Lambda_t(I_i) = \Phi(\xi_t|I_i)$
6. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b) $\Lambda[i, t] = \Lambda_t(I_i)$
7.
8. }
9. }
10. $P = 0_{1:4,1:4}$ // Matrice de transitions
11. Pour $(1 \in [1, 4])${
12. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Pour $(j \in [1, 4])${
13. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a) $N_{ij} = 0$
14. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b) Pour $(\omega \in \Omega_I)${
15. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Pour $(t \in [1, T-1])${
16. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$N_{ij} = N_{ij} + \delta_t(\omega, i, j)$
17.
18. }
19. }
20. c) $P[i, j] = N_{ij}/n(T-1)$
21. }
22. }
23. Sorties : $\Lambda, P$

5.2) LA PERCEPTION DE LA SOUFFRANCE ET ETATS DE VULNERABILITE

Dans l'étude des processus de résilience, un des aspects les plus importants est d'identifier un ensemble d'actions ou de politiques susceptibles d'accroitre significativement la résilience des individus. Il s'agit de savoir, parmi un ensemble d'actions ou de politiques possibles, quelles sont celles qui sont susceptibles de produire un meilleur résultat.
Il peut s'agit aussi bien de choisir une action optimale qu'une combinaison d'actions. Pour se faire, isoler ces différentes actions sans prendre en compte leurs différentes interactions serait une erreur d'appréciation. En effet, une action peut bien avoir des avantages sur certains critères, mais impacter négativement certains autres. Il est donc important de définir un ensemble d'actions en prenant soin d'examiner leurs éventuelles interactions.

### 5.2.1) LES MODELES DE MARKOV CACHES

Les modèles de Markov cachés ou HMM (Hidden Markov Model) sont des automates probabilistes très utilisés sur des données séquentielles. C'est l'une des méthodes les plus utilisées en reconnaissance de la parole et dans la modélisation des séquences génomiques (ADN). Il s'agit d'une extension des chaînes de Markov. Un HMM est composé techniquement de deux chaînes de Markov interconnectées dont l'une est observée et l'autre cachée (inobservable directement). L'enjeu est de modéliser le processus caché en se basant sur le processus observable ([ANC10], [DRL10]). Il existe trois problèmes fondamentaux liés aux modèles de Markov cachés. Le premier est de retrouver la probabilité qu'une séquence d'observations ait été générée par un modèle de Markov caché donné. Les algorithmes qui permettent de calculer les probabilités correspondontes sont des algorithmes de programmation dynamique appelés Forward et Backward. Le second problème est de retrouver la séquence d'états cachés la plus probable pour une séquence d'observations donnée. On utilise l'algorithme de Viterbi pour résoudre ce problème. Le dernier problème concerne l'apprentissage des modèles de Markov cachés uniquement à partir des données. L'apprentissage consiste à déterminer les matrices de transition et le vecteur d'initialisation. La solution à ce problème est donnée par l'algorithme de Welch-Baum. La figure suivante donne un exemple de modèle de Markov caché :

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 27 : Exemple de modèle de Markov caché<fnref n="6" /></figcaption></figure>

<footnote n="6">⁶ http://shawnhymel.com/portfolio/hidden-markov-models-in-gpgpu-hmm-cuda</footnote>
Ce modèle de Markov caché modélise l'évolution des activités (Walk, Shop et Clean) sur la base des observations effectuées sur l'évolution du temps (Start, Rainy, Sunny). Il part du principe que l'activité menée dépend de l'état du temps. Cependant, seul l'état du temps peut être observé. De ce fait, le modèle se propose de prévoir la séquence des activités effectuées correspondant à une succession d'états d'évolution du temps.

## Modèle de Markov caché

Considérons deux chaînes de Markov $(X_t)_{1\le t\le T}$ et $(Y_t)_{1\le t\le T}$ définies comme suit :

* $(X_t)_{1\le t\le T}$ un processus caché ayant un ensemble fini de N états $E = \{E_1, \dots, E_N\}$

* $(Y_t)_{1\le t\le T}$ un processus observable pouvant prendre M symboles $V = \{V_1, \dots, V_M\}$

* $a(i, j) = \mathbb{P}(X_{t+1} = E_i|X_t = E_j)$ les probabilités de transition entre les différents états dans lesquels peut se trouver le processus caché

* $b_j(k) = \mathbb{P}(Y_t = V_k|X_t = E_j)$ les probabilités d'observation des symboles non cachés lorsque le processus caché est dans un état spécifique.

* $\pi_i = \mathbb{P}(X_0 = E_i)$ la probabilité que le processus caché soit initialement dans l'état $E_i$, c'est à dire débute dans cet état.

### Définition 5.2.1.1 : Modèle de Markov caché

Un modèle de Markov caché est un triplet $\Lambda = (A, B, \pi)$ dans lequel :

* $A = (a(i, j))_{1\le i,j\le N}$ représente la matrice de transition entre les différents états du processus caché $(X_t)_{1\le t\le T}$

* $B = (b_j(k))_{(j,k)\in[1,N]\times[1,M]}$ représente la matrice d'observation des symboles de V lorsque le processus caché est dans l'état $E_j$

* $\pi = (\pi_i)_{1\le i\le N}$ représente le vecteur des probabilités initiales des différents états $E_i$ du processus caché

Par définition, on a les propriétés suivantes :

* $\forall (i, j) \in [1, N]^2$, $a(i, j) \ge 0$ et $\sum_{j=1}^N a(i, j) = 1$

* $\forall (j, k) \in [1, N] \times [1, M]$, $b_j(k) \ge 0$ et $\sum_{k=1}^M b_j(k) = 1$

* $\forall i \in [1, N]$, $\pi_i \ge 0$ et $\sum_{i=1}^N \pi_i = 1$

Exemple de HMM : Un HMM est totalement défini par la donnée du triplet $\Lambda = (A, B, \pi)$. Ainsi, considérons les trois matrices réelles suivantes :

$$A = \begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0 & 0,3 & 0,7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0,5 & 0,5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ et } \pi = \begin{pmatrix} 0,6 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}$$
L'automate $\Lambda = (A, B, \pi)$ à trois états $E = \{1, 2, 3\}$ (cachés) permettant de générer un symbole de l'alphabet défini par $V = \{a, b\}$ est un modèle de Markov caché.

### 5.2.2) L'UTILISATION DES AUTOMATES HMM

#### L'apprentissage des paramètres

Dans la plupart des applications réelles, la structure du HMM est inconnue. On ne dispose en général que d'un ensemble fini de $K$ séquences $O = (O_k)_{1 \le k \le K} = \{O_k^1, \dots, O_k^t, \dots, O_k^T\}_{1 \le k \le K}$ observées sur un horizon temporel $T$ ; les éléments observés étant les symboles du processus observable, c'est à dire $O_k^t \in V, \forall (k,t) \in [1, K] \times [1, T]$. Le but de l'apprentissage est de fournir une estimation acceptable du HMM, c'est-à-dire une estimation de chaque paramètre du triplet $\Lambda = (A, B, \pi)$ en se basant uniquement sur les séquences observées. En supposant que les séquences $(O_k)_{1 \le k \le K}$ sont indépendantes, la vraisemblance d'observation de cette séquence s'écrit :

$$ \mathbb{P}(O|\Lambda) = \prod_{k=1}^{K} \mathbb{P}(O_k|\Lambda) $$

L'idée de l'estimation des paramètres est de trouver les paramètres $A, B$ et $\pi$ qui permettent de maximiser la vraisemblance. Pour ce faire, on se sert d'une technique de ré-estimation qui permet de raffiner les estimations de proche en proche selon la procédure suivante :

1) On choisit un ensemble initial $\Lambda_0$ de paramètres

2) On calcule $\Lambda_1$ à partir de $\Lambda_0$, puis $\Lambda_2$ à partir de $\Lambda_1$, etc. jusqu'à convergence

A chaque itération $p$, disposant de l'estimation $\Lambda_p$ de $\Lambda$, on cherche à calculer une amélioration $\Lambda_{p+1}$ de telle sorte que $\mathbb{P}(O|\Lambda_{p+1}) \ge \mathbb{P}(O|\Lambda_p)$ grâce au principe de l'algorithme EM. En pratique, on se sert de l'algorithme de Baum-Welch. En effet, Baum a proposé des formules de ré-estimations permettant d'atteindre les objectifs d'estimation fixés. Pour ce faire, considérons les notations suivantes :

* $\xi_t^k(i, j) = \mathbb{P}(\{X_t = E_i, X_{t+1} = E_j\}|O^k, \Lambda)$ la probabilité que, étant donné une séquence $O^k$ de longueur $T$ et un HMM $\Lambda$, le symbole $N_{ij,k}$ soit observé quand le processus caché est dans l'état $E_i$, et que le symbole $O_{t+1}^k$ soit observé quand le processus caché est dans l'état $E_j$.

* $\gamma_t^k(i) = \mathbb{P}(\{X_t = E_i\}|O^k, \Lambda)$ la probabilité que, étant donné une séquence $O^k$ de longueur $T$ et un HMM $\Lambda$, le symbole $O_t^k$ soit observé quand le processus caché est dans l'état $E_i$.

* $\alpha_t^k(i) = \mathbb{P}(\{O_k^1 \dots O_k^t, X_t = E_i\}|\Lambda)$ la probabilité d'observation du début de la séquence $O_k$ tandis que le processus caché se retrouve dans l'état $E_i$ à l'instant $t$ (forward)
* $\beta_t^k(i) = \mathbb{P}(\{O_k^t \dots O_k^T, X_t = E_i\}|\Lambda)$ la probabilité d'observation de la fin de la séquence $O_k$ tandis que le processus caché se retrouve dans l'état $E_i$ à l'instant $t$ (backward)

Les fonctions forward et backward sont estimés en utilisant l'algorithmme forward et l'algorithmme backward respectivement. L'intérêt de ces deux fonctions réside dans le fait qu'elles simplifient considérablement les calculs. En effet, on a les relations suivantes :

$$ \bullet \quad \mathbb{P}(O|\Lambda) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \alpha_t^k(i)\beta_t^k(i) $$

$$ \bullet \quad \xi_t^k(i, j) = \frac{\alpha_t^k(i)a_{ij}b_j(O_{t+1}^k)\beta_t^k(j)}{\mathbb{P}(O^k|\Lambda)} $$

$$ \bullet \quad \gamma_t^k(i) = \sum_{j=1}^{N} \xi_t(i, j) \frac{\alpha_t^k(i)\beta_t^k(i)}{\mathbb{P}(O^k|\Lambda)} $$

En notant $|E|$ le cardinal de l'ensemble $E$, Baum-Weich a réussi à établir que l'estimation EM des paramètres du HMM revient à considérer l'estimateur $\bar{\Lambda} = (\bar{A}, \bar{B}, \bar{\pi})$ défini par :

$$ \bullet \quad \bar{\pi}_i = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \gamma_1^k(i) $$

$$ \bullet \quad \bar{a}(i, j) = \frac{\sum_{k=1}^{K} \sum_{t=1}^{|O^k|-1} \xi_t^k(i, j)}{\sum_{k=1}^{N} \sum_{t=1}^{|O^k|-1} \gamma_t^k(i)} $$

$$ \bullet \quad \bar{b}_j(l) = \frac{\sum_{k=1}^{K} \sum_{\{t=1|O_t^k=V_l\}}^{|O^k|-1} \gamma_t^k(j)}{\sum_{k=1}^{K} \sum_{t=1}^{|O^k|-1} \gamma_t^k(j)} $$

Les formules établies par Baum sont calculées à l'aide de l'algorithmme de Baum-Welch décrit dans le tableau suivant :

### Algorithme 11 : Algorithme de Baum-Welch

1. Fixer des valeurs initiales $(A_0, B_0, \pi_0)$ pour le triplet $(A, B, \pi)$

2. Définir le HMM initial $\Lambda_0 = (A_0, B_0, \pi_0)$

3. $k = 0$

4. Tant que (la convergence n'est pas réalisée) faire :

5. Considérer le HMM $\Lambda_k$

6. Pour ce modèle $\Lambda_k$ :

7. Calculer les $\xi(i, j), \forall (i, j) \in [1, n]^2$

8. Calculer les $\gamma_t(i), \forall (i, t) \in [1, n] \times [1, T-1]$

9. Calculer $\bar{A}, \bar{B}, \bar{\pi}$ à l'aide des formules de ré-estimation

10. Prendre comme HMM $\Lambda_{k+1} = (\bar{A}, \bar{B}, \bar{\pi})$

12. $k = k + 1$

13. Fin tant que

14. Sortie : $\Lambda_{k+1} = (\bar{A}, \bar{B}, \bar{\pi})$
## Le calcul des probabilités d'observation des séquences

Etant donné un HMM $\Lambda = (A, B, \pi)$ et une séquence $O = \{O_1, \dots, O_t, \dots, O_T\}$ de longueur $T$ ($O_t \in V, \forall t \in [1, T]$), il est possible de calculer la probabilité que cette séquence soit émise par le HMM. En pratique, on utilise l'algorithme de forward-backward. Dans ce cas, la séquence étant unique, lorsque le processus est dans l'état $E_i$, les fonctions forward et backward sont données par $\alpha_t(i) = \mathbb{P}(\{O_1 \dots O_t, X_t = E_i\}|\Lambda)$ et $\beta_t(i) = \mathbb{P}(\{O_t \dots O_T, X_t = E_i\}|\Lambda)$. Par conséquent, la probabilité que cette séquence soit émise par le HMM est donnée par la relation:

$$ \mathbb{P}(O|\Lambda) = \sum_{i=1}^{N} \alpha_{t}^{k}(i)\beta_{t}^{k}(i) $$

Les algorithmes forward et backward sont les suivants :

### Algorithme 12 : Calcul de la fonction forward

1. Entrees : $\Lambda = (A, B, \pi), O = \{O_1, \dots, O_t, \dots, O_T\}$

2. Pour $(i \in [1, n])\{\alpha_1(i) = \pi_i b_i(O_1)\}$

3. $t = 1$

4. Tant que ($t < T$) faire :

5. $j = 1$

6. Tant que ($j \le n$) faire :

7. $\alpha_{t+1}(j) = [\sum_{i=1}^{n} a_{t}(i)a_{ij}]b_{j}(O_{t+1})$

8. $j = j + 1$

9. 
10. Fin Tant que

11. $t = t + 1$

12. Fin Tant que

13. Sortie: $\mathbb{P}(O|\Lambda) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{T}(i)$

### Algorithme 13 : Calcul de la fonction backward

1. Entrees : $\Lambda = (A, B, \pi), O = \{O_1, \dots, O_t, \dots, O_T\}$

2. Pour $(i \in [1, n])\{\beta_T(i) = 1\}$

3. $t = T - 1$

4. Tant que ($t \ge 1$) faire :

5. $i = 1$

6. Tant que ($i \le n$) faire :

7. $\beta_t(i) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$

8. $i = i + 1$

9. 
10. Fin Tant que

11. $t = t - 1$

12. Fin Tant que

13. Sortie: $\mathbb{P}(O|\Lambda) = \sum_{i=1}^{n} \beta_1(i)$
La recherche du chemin optimal

Un des aspects les plus séduisants des modèles de Markov cachés est leur capacité à identifier
la meilleure séquence d'états cachés ayant engendrée une séquence de symboles observés.
Ainsi, étant donné un HMM $\Lambda = (A, B, \pi)$ et une séquence $O = \{O_1, \dots, O_t, \dots, O_T\}$ de
longueur $T$ ($O_t \in V, \forall t \in [1, T]$), il est possible de calculer le meilleur chemin d'états cachés
du HMM correspondant à cette observation. Techniquement, il s'agit de trouver la meilleure
suite d'états $Q^* = Q_1 \dots Q_t \dots Q_T$ de longueur $T$ ($Q_t \in E, \forall t \in [1, T]$) qui maximise la
quantité $\mathbb{P}(Q, O|\Lambda)$. Pour ce faire, on définit la variable intermédiaire suivante :

$$
\delta_t(i) = \mathop{\mathrm{Max}}_{Q_1, \dots, Q_{t-1}} \mathbb{P}(Q_1, \dots, \{Q_t = s_i\}, O_1, \dots, O_t, \dots, O_T | \Lambda)
$$

Cette variable vérifie la relation de récurrence suivante :

$$
\delta_{t+1}(j) = [\underset{i}{Max} \delta_t(i) a_{ij}] b_j(O_{t+1})
$$

Dans les modèles de Markov cachés, la recherche du chemin optimal est un problème
d'optimisation qui se résout grâce à l'algorithme de Viterbi. Cet algorithme, basé sur le calcul
des quantités $\delta_t(i)$, est le suivant :

Algorithme 14 : Algorithme de Viterbi

1. Entrées : $\Lambda = (A, B, \pi)$, $O = \{O_1, \dots, O_t, \dots, O_T\}$

2. Pour $i \in [1, n]$

3. $\delta_1(i) = \pi_i b_i(O_1)$

4. $\psi_1(i) = 0$

5. }

6. $t = 2$

7. Tant que ($t \le T - 1$) faire :

9. $j = 1$

10. Tant que ($j \le n$) faire :

11. $\delta_t(j) = \mathop{\mathrm{Max}}_{1 \le i \le n} [\delta_{t-1}(i) a_{ij}] b_j(O_t)$

12. $\psi_t(j) = \underset{1 \le i \le n}{\mathrm{ArgMax}}[\delta_{t-1}(i)a_{ij}]$

13. $j = j + 1$

14. Fin Tant que

16. $t = t + 1$

17. Fin Tant que

18. $P^* = \mathop{\mathrm{Max}}_{1 \le i \le n} [\delta_T(i)]$

19. $Q_T^* = \underset{1 \le i \le n}{\mathrm{ArgMax}}[\delta_T(i)]$

20. $t = T - 1$

21. Tant que ($t \ge 1$) faire :

23. $Q_t^* = \psi_{t+1}(Q_{t+1}^*)$

24. $t = t - 1$

25. Fin Tant que

26. Sortie : $Q^* = Q_1 \dots Q_t \dots Q_T$
### 5.2.3) LES MODELES DYNAMIQUES PERCEPTUELS

L'étude de la résilience est intimement liée à la manière dont les individus s'arragent pour faire face à la souffrance. D'une manière générale, l'opinion que l'individu a de sa propre situation de souffrance peut conditionner son attitude face à cette souffrance. En effet, de nombreux travaux sur la résilience mettent en exergue le fait que l'auto-perception joue un grand rôle dans les processus de résilience. Il est donc important de considérer la perception que les individus ont de leur propre niveau de souffrance en leur posant directement la question à chaque collecte de données. Du point de vue de la Résiliométrie, la principale utilisation de l'auto-perception du niveau de souffrance est de pouvoir développer un modèle permettant de prédire, de manière fiable, l'état de vulnérabilité à partir de ces opinions. Techniquement, on se sert des modèles de Markov cachés afin de prendre en compte l'aspect dynamique des capacités de rebond. Il s'agit donc de prévoir une séquence d'états de vulnérabilité sur la base d'une séquence (observée) d'auto-perception. Pour ce faire, considérons les notations suivantes :

* $E = \{VA, VG, VL, NV\}$ l'ensemble des quatre états de vulnérabilité calculables

* $D = \{faible, moyen, fort\}$ l'appréciation des individus de leur niveau de souffrance

* $(\psi_t)_{1\le t\le T}$ le processus caché ayant $E$ pour ensemble d'états

* $(V_t)_{1\le t\le T}$ le processus observé ayant $D$ pour ensemble de symboles

* $\psi_{it} \in E$ l'état de vulnérabilité de l'individu $I_i$ au temps $t$

* $V_{it} \in D$ l'appréciation que l'individu $I_i$ a de son niveau de souffrance au temps $t$

La dynamique perceptuelle correspondant à la prévision des séquences d'états de vulnérabilité des individus sur la base des séquences d'appréciation de leur propre niveau de souffrance. La structure temporelle des modèles dynamiques (MDP) perceptuels est la suivante :

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 28 : Exemple de structure temporelle d'un modèle dynamique perceptuel</figcaption></figure>
La matrice de transition dans les MDP (A)

La structure temporelle des modèles de dynamiques perceptuels représente le processus inter temporel de génération des séquences d'états de vulnérabilité (états cachés) à partir des suites de perceptions d'états de souffrance (états observables). Elle exhibe donc la structure externe finale du modèle. Cependant, les mécanismes internes restent cachés. En réalité, cette structure externe est engendrée, de façon interne, par l'automate suivant :

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 29 : Automate interne d'un modèle dynamique perceptuel</figcaption></figure>

Cet automate est une chaîne de Markov et permet de comprendre le processus interne de génération des séquences d'états cachés (les états de vulnérabilité). Elle gouverne le processus de transition entre les différents états de vulnérabilité et est caractérisée par la matrice de transition suivante :

$$A = (a(i,j))_{1 \le i,j \le 4} \text{ avec } a(i,j) = \mathbb{P}(\psi_{t+1} = E_i | \psi_t = E_j)$$

Dans la pratique, on adopte une disposition de la matrice sous la forme d'un tableau plus lisible. Cette matrice prend la forme suivante :

<table><caption>Tableau 7 : Matrice de transition entre les états de vulnérabilité</caption><thead><tr><th rowspan="2">Probabilités a(i,j)</th><th colspan="4">Etat caché au temps t + 1</th><th rowspan="2">TOTAL</th></tr><tr><th>VA</th><th>VG</th><th>VL</th><th>NV</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Etat caché au temps t</th><th>VA</th><td>a<sub>11</sub></td><td>a<sub>12</sub></td><td>a<sub>13</sub></td><td>a<sub>14</sub></td><td>1</td></tr><tr><th>VG</th><td>a<sub>21</sub></td><td>a<sub>22</sub></td><td>a<sub>23</sub></td><td>a<sub>24</sub></td><td>1</td></tr><tr><th>VL</th><td>a<sub>31</sub></td><td>a<sub>32</sub></td><td>a<sub>33</sub></td><td>a<sub>34</sub></td><td>1</td></tr><tr><th>NV</th><td>a<sub>41</sub></td><td>a<sub>42</sub></td><td>a<sub>43</sub></td><td>a<sub>44</sub></td><td>1</td></tr></tbody></table>
La matrice de génération de symboles dans les MDP (B)

Les états cachés (nœuds de l'automate) n'étant pas observés, ils sont eux-mêmes modélisés par une seconde chaîne de Markov. Ainsi, au niveau de chaque nœud, chaque état caché est obtenu à partir de l'automate suivant :

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 30 : Relations entre états observés et états cachés dans les MDP</figcaption></figure>

Cet automate est une chaîne de Markov et permet de comprendre le processus interne de génération des symboles d'états observés par les états cachés (états de vulnérabilité). Il gouverne donc les relations entre les états observés et les états cachés et est caractérisé par la matrice d'observation des symboles suivante :

$$
B = (b_j(k))_{(j,k) \in [1,4] \times [1,3]} \text{ avec } b_j(k) = \mathbb{P}(V_t = D_k | \psi_t = E_j)
$$

Dans la pratique, on adopte une disposition de la matrice sous la forme d'un tableau plus
lisible. Cette matrice prend la forme suivante :

<table><caption>Tableau 8 : Matrice de relations entre auto-perceptions et états de vulnérabilité</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th rowspan="2">Probabilités b<sub>j</sub>(k)</th>
      <th colspan="3">Etats observés (D<sub>k</sub> &isin; D)</th>
      <th rowspan="2">TOTAL</th>
    </tr>
    <tr>
      <th>Faible</th>
      <th>Moyen</th>
      <th>Fort</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <th rowspan="4">Etats cachés<br/>(E<sub>j</sub> &isin; E)</th>
      <td>VA</td>
      <td>b<sub>1</sub>(1)</td>
      <td>b<sub>1</sub>(2)</td>
      <td>b<sub>1</sub>(3)</td>
      <td>1</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VG</td>
      <td>b<sub>2</sub>(1)</td>
      <td>b<sub>2</sub>(2)</td>
      <td>b<sub>2</sub>(3)</td>
      <td>1</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VL</td>
      <td>b<sub>3</sub>(1)</td>
      <td>b<sub>3</sub>(2)</td>
      <td>b<sub>3</sub>(3)</td>
      <td>1</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>NV</td>
      <td>b<sub>4</sub>(1)</td>
      <td>b<sub>4</sub>(2)</td>
      <td>b<sub>4</sub>(3)</td>
      <td>1</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
## La matrice des états initiaux ($\pi$)

La spécification complète d'un HMM nécessite, la connaissance des probabilités que le processus caché qui gouverne les états de vulnérabilité démarre dans chacun des états. Ces probabilités sont décrites par la matrice des états initiaux suivante :

$$ \pi = (\pi_i)_{1 \le i \le 4} \text{ avec } \pi_i = \mathbb{P}(\psi_0 = E_i) $$

Dans la pratique, on adopte une disposition de la matrice sous la forme d'un tableau plus lisible. Cette matrice prend la forme suivante :

<table><caption>Tableau 9 : Matrice des états initiaux de vulnérabilité</caption><thead><tr><th rowspan="2">Probabilités $\pi_i$</th><th colspan="4">Etats cachés $E_i \in E$</th><th rowspan="2">TOTAL</th></tr><tr><th>VA</th><th>VG</th><th>VL</th><th>NV</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>$\pi_1$</td><td>$\pi_2$</td><td>$\pi_3$</td><td>$\pi_4$</td><td>1</td></tr></tbody></table>

## Aspect algorithmique des modèles dynamiques perceptuels

Les modèles dynamiques perceptuels ne sont rien d'autres que des modèles de Markov cachés $\Lambda = (A, B, \pi)$ particuliers dans lesquels les états cachés sont les états de vulnérabilité et les états observés sont les symboles décrivant la perception que les individus ont de leur propre situation de souffrance. L'ensemble du modèle est donc estimé, dans un premier temps, à partir des données collectées sur les individus grâce à l'algorithme de Baum-Welch. Puis, dans un second temps, le modèle estimé est exploité pour la prévision des séquences d'états de vulnérabilité les plus probables sous-jacents à des séquences d'auto-appréciations données. Cette deuxième partie est effectuée en utilisant l'algorithme de Viterbi. Ainsi, la phase d'estimation fournit la structure du modèle, c'est-à-dire les éléments caractérisant la dynamique de transition entre les états de vulnérabilité; et la phase de prévision fournit un moyen de simuler des suites d'états de vulnérabilité les plus probables en réponse à des suites d'auto-perceptions données correspondant à des évolutions de situations de souffrance dans le temps. Considérons les notations suivantes :

* $n$ le nombre d'individus utilisés pour la collecte de données

* $\Omega_I$ l'ensemble des individus avec les informations collectées sur ceux-ci

* $T$ l'horizon temporel considéré

* $\xi_t$ l'estimation de la résilience au temps $t \in [1, T]$

* $\Phi(\xi_t | I_i)$ l'opération de détermination de l'état de vulnérabilité de l'individu $I_i$ à partir de $\xi_t$ (TSR)

* $\mathcal{B}(\Gamma, \Omega_I)$ l'opération d'application de l'algorithme de Baum-Welch à partir des états $\Gamma$ et des données de $\Omega_I$
Sur la base des notations définies, l'algorithm e d'estimation des modèles dynamiques
perceptuels est le suivant :

<caption>Algorithme 15 : Calcul d'estimation des modèles dynamiques perceptuels</caption>

1. Entrées : $n, T, \Omega_I, (\xi_t)_{t \in [1, T]}$

2. $\Gamma = 0_{1:n,1:T}$ // Tableaux des états de vulnérabilité

3. Pour $t \in [1, T]${

4. Pour $i \in [1, n]${

5. $\Gamma[i, t] = \Phi(\xi_t | I_i)$

6. }

7. }

9. $\Lambda(A, B, \pi) = \mathcal{B}(\Gamma, \Omega_I)$ // Estimation du modèle (algorithme de Baum-Welch)

10. Sorties : $\Gamma, \Lambda$

Une fois le modèle dynamique perceptuel $\Lambda = \Lambda(A, B, \pi)$ estimé, en considérant la séquence $V(1 : \tau) = V_1 \dots V_\tau$, $\tau \in [1, T]$ de $\tau$ symboles d'auto-perception, et en votant $\mathcal{V}(\cdot)$ l'opération d'estimation par l'algorithme de Viterbi, la séquence d'états de vulnérabilité la plus à même de générer la séquence de symbole $V(1 : \tau)$ est donnée par l'algorithme suivant :

<caption>Algorithme 16 : Prévision des séquences d'états de résilience</caption>

1. Entrées : $\Lambda, V(1 : \tau)$

2. Calcul : $\psi(1 : \tau) = \mathcal{V}(V(1, \tau), \Lambda)$ // Application de l'algorithme de Viterbi

3. Sortie : $\psi(1 : \tau)$ // Séquence de $\tau$ états de vulnérabilité

5.3) LES RESEAUX BAYESIENS

Les modèles graphiques probabilistes (MGP) constituent un formalisme puissant
permettant de représenter graphiquement un ensemble de lois de probabilités conditionnelles.
Ils sont adaptés à la gestion de processus complexes et sont d'une utilisation extrêmement
flexible. Dans la littérature, les MGP comprennent deux grandes approches. La première
approche, les champs de Markov aléatoires, utilise des graphes non orientés. Quant à la
seconde approche, les réseaux bayésiens (RB), elle a été développée par Judea Pearl
([JUD99], [JUD91], [JUD09]) et utilisent des graphes orientés. Les champs de Markov
aléatoires sont en général utilisés pour la modélisation des relations spatiales comme dans les
images et les systèmes géographiques. Les réseaux bayésiens, par contre, sont utilisés dans
presque tous les domaines, notamment en Informatique, en Robotique, dans les Sciences
Sociales, en Industrie, etc. Du point de vue théorique, les réseaux bayésiens constituent une
méthode généralisant de nombreux paradigmes de modélisation dont les modèles de Markov
cachés (MMC), les filtres de Kalman, les réseaux de neurones artificiels (RNA), etc.
L'excellent livre de Patrick Naïm, Phillipes Leray et al. ([PAT07]) fournit des détails sur les aspects théoriques et pratiques des réseaux bayésiens. La figure suivante donne une vue synthétique de l'ensemble des modèles graphiques probabilistes les plus connus et les plus utilisés dans les applications pratiques :

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 31 : Catégories de modèles graphiques probabilistes</figcaption></figure>

### 5.3.1) LE FORMALISME DES RESEAUX BAYÉSIENS

Considérons la figure suivante qui décrit le diagnostic d'une panne dans un ordinateur :

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 32 : Exemple de graphe décrivant un processus<sup>7</sup></figcaption></figure>

Ce graphe est une manière très intuitive de modéliser le processus de diagnostic d'une panne dans un système informatique. Il traduit le fait que, pendant les tempêtes (Stormy Weather),

<footnote n="7">7 http://blogs.cisco.com/security/understanding-security-through-probability</footnote>
les coups de foudre peuvent créer des courts-circuits au niveau des lignes électriques pour provoquer une panne électrique (Power Failure). Cet incident électrique peut à son tour provoquer un dysfonctionnement du système d'exploitation (OS Failure) et peut aussi, lorsque la puissance est très grande, entraîner une panne du matériel informatique (Hadware Failure). La panne du matériel peut à son tour entraîner un plantage du système (System Crash). Mais une panne du système peut également se produire sans temps orageux à travers un virus (Malware) qui est aussi susceptible d'infecter le Système d'exploitation (OS Failure). De plus, une défaillance du système d'exploitation peut directement provoquer une panne du système informatique. Ce graphe n'est rien d'autre qu'un réseau bayésien. Les réseaux bayésiens ont pour fondement le théorème de Bayes.

## Théorème de Bayes

Les réseaux bayésiens sont basés sur le théorème de Bayes. Pour mieux comprendre le théorème de Bayes et ses implications, posons :

* ✓ $X_i$ une variable aléatoire quelconque décrivant un phénomène

* ✓ $K_i$ le nombre de modalités de la variable aléatoire $X_i$

* ✓ $x_{is}$ la $s^{eme}$ modalité de la variable aléatoire $X_i$

* ✓ N le nombre total de variables aléatoires décrivant le phénomène

Selon la théorie des probabilités, si l'on considère la $k^{eme}$ modalité $x_{jk}$ d'une variable aléatoire $X_j$, la probabilité d'observation de cette modalité peut être calculée en considérant toute les modalités $x_{is}$ d'une variable aléatoire $X_i$ quelconque selon la règle suivante :

$$ \forall s \in [1, K_i], \mathbb{P}(X_j = x_{jk}) = \sum_{s=1}^{K_i} \mathbb{P}(X_j = x_{jk}, X_i = x_{is}) $$

En considérant les règles des probabilités conditionnelles, la probabilité à postériori de $X_i$ connaissant $X_j$ est donnée par :

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}(X_j = x_{jk} | X_i = x_{is}) &= \frac{\mathbb{P}(X_i=x_{is}, X_j=x_{jk})}{\mathbb{P}(X_i=x_{is})} \\ \Rightarrow \mathbb{P}(X_i = x_{is}, X_j = x_{jk}) &= \mathbb{P}(X_j = x_{jk} | X_i = x_{is})\mathbb{P}(X_i = x_{is}) \end{aligned} $$

Avec ces deux résultats précédents, on peut en déduire la probabilité apriori d'avoir $X_j$ conditionnellement à $X_i$. En effet :

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}(X_i = x_{is} | X_j = x_{jk}) &= \frac{\mathbb{P}(X_i=x_{is}, X_j=x_{jk})}{\mathbb{P}(X_j=x_{jk})} \\ &= \frac{\mathbb{P}(X_j=x_{jk} | X_i=x_{is})\mathbb{P}(X_i=x_{is})}{\sum_{s=1}^{K_i} \mathbb{P}(X_j=x_{jk}, X_i=x_{is})} \\ \Rightarrow \mathbb{P}(X_i = x_{is} | X_j = x_{jk}) &\propto \mathbb{P}(X_j = x_{jk} | X_i = x_{is})\mathbb{P}(X_j = x_{jk}) \end{aligned} $$

Cette formule traduit le fait que, si l'on connaît la probabilité à priori de $X_i$ et celle d'avoir $X_j$ conditionnellement à $X_i$, l'on peut en déduire la probabilité à postériori de $X_i$
connaissant $X_j$. Elle constitue la base de l'inférence bayésienne utilisée comme fondement dans les réseaux bayésiens. Cette règle permet une révision des croyances en un phénomène selon les nouvelles informations que nous recevons sur ce phénomène.

## Réseaux Bayésiens

Encore appelés systèmes experts probabilistes, les réseaux bayésiens sont des outils de représentation des connaissances sur un système et de raisonnement automatique sur ces connaissances. Ils ont été introduits par Judea Pearl dans les années 1980 et se sont révélés de puissants outils très pratiques pour la représentation de connaissances incertaines et le raisonnement à partir d'informations incomplètes. Les réseaux bayésiens sont des outils de simulation qui permettent d'observer le comportement d'un système complexe dans des contextes et des conditions qui ne sont pas nécessairement accessibles à l'expérimentation. Sur le plan conceptuel, les réseaux bayésiens sont des modèles graphiques combinant la théorie des graphes et la théorie des probabilités. Techniquement, si l'on a $P(X)$ l'ensemble des nœuds parents associés au nœud $X$ d'un réseau bayésien, la définition formelle des réseaux bayésiens est la suivante :

### **Définition 5.3.1.1 : Réseau Bayésien**

Un réseau bayésien est un couple $(G, \Theta)$ avec :

* $G$ un graphe orienté sans cycle

* $\Theta$ une distribution de probabilité définie sur les variables du graphe

* A chaque nœud de $G$ est associée une variable aléatoire et une seule

* Soit $\{X_1, \dots, X_N\}$ l'ensemble des variables aléatoires (nœuds du graphe). Le graphe sans cycle obéit à la propriété suivante :

$$ \Theta = \mathbb{P}(X_1, \dots, X_K) = \prod_{i=1}^{K} \mathbb{P}(X_i | \mathcal{P}(X_i)) $$

Un réseau bayésien est complètement décrit lorsque l'on dispose de deux éléments essentiels. Tout d'abord, une structuration graphique des relations entre les variables aléatoires du modèle sous la forme d'un graphe de causalité. Ensuite en chacun des nœuds du graphe, une distribution de probabilités conditionnelles des modalités de la variable aléatoire du nœud considéré connaissant les valeurs prises par ses nœuds parents. La figure suivante, extraite d'un tutoriel de Phillipe Leray présenté lors de la 8ème rencontre scientifique dédiée à l'Extraction de Connaissances à Partir des Données, présente un exemple de réseau bayésien avec sa structure graphique et les tables de probabilités associées à chacun des nœuds (les variables aléatoires considérées) :
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 33 : Exemple de tables de probabilités dans un réseau bayésien<fnref n="8" /></figcaption></figure>

Ce réseau bayésien modélise le processus de déclenchement d'une alarme de sécurité dans un environnement souvent soumis à des séismes. Comme le montre la figure le réseau bayésien est un graphe orienté dans lequel les nœuds représentent les variables et les arcs les relations de dépendance. Chaque nœud est doté d'une table de probabilités conditionnelles qui est une modélisation des croyances en la survenue des différentes possibilités.

## Graphe et circulation de l'information

Les réseaux bayésiens sont des modèles très séduisants par leur représentation graphique des relations entre les variables aléatoires. De manière intuitive, l'influence d'une variable *X* sur une variable *Y* peut être traduite par une relation de cause à effet allant de *X* vers *Y*. Une telle représentation graphique est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 34 : Exemple de représentation causale</figcaption></figure>

Cependant, une utilisation adéquate de ces modèles nécessite une bonne compréhension de la sémantique pratique de l'orientation des arcs. A ce propos, deux mises en garde méritent d'être faites :

<footnote n="8">⁸ http://www.egc.asso.fr/sdoc-101-egc08_tutoriel_reseaux_bayesien.pdf</footnote>
* **Interprétation causale** : le sens des flèches ne peut pas s'interpréter nécessairement comme une relation directe de cause à effet. Cette orientation signifie simplement que la connaissance que nous avons de *X* détermine celle que l'on a de *Y*. Dans certaines situations, elle peut traduire une simple influence. Dans ce cas, cette orientation signifie que si nous connaissons *X* avec certitude, notre opinion sur *Y* sera modifiée. Toutefois, dans d'autres situations, il peut s'agit d'une causalité dans le sens stricte. Dans ce cas, l'arc orienté signifie que si l'on connaît la valeur de *X*, on peux en déduire celle de *Y* avec certitude.

* **Circulation de l'information** : l'orientation des arcs, bien que traduisant une causalité dont le sens pratique dépend des deux variables aléatoires reliées, ne doit en aucun cas être considérée comme une indication de la direction dans laquelle doit circuler les flux d'information. En effet, l'information circule très bien de *Y* vers *X* tout comme elle circule de *X* vers *Y*, donc dans les deux sens. Il s'agit d'un point fondamental dans le raisonnement à base de réseaux bayésiens.

Pour bien comprendre le sens de circulation de l'information, considérons la relation causale suivante :

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 35 : Exemple de relation causale</figcaption></figure>

Cette relation causale traduit le fait que la survenance de la pluie a un impact sur l'état du jardin. Par conséquent, si la pluie est tombée, l'on est certain que le jardin est mouillé (sens normal de la flèche). Cependant, il est aussi vrai que si le jardin est sec, alors nous sommes presque certains que la pluie n'est pas tombée (sens contraire à l'orientation de la flèche). Ainsi, bien que la représentation causale soit orientée, l'information peut circuler dans les deux sens.

## Blocage de l'information et D-séparation

La circulation de l'information dans les deux sens du graphe causal d'un réseau bayésien permet de calculer l'effet d'une modification de l'importe quel nœud sur l'ensemble des autres nœuds de ce réseau bayésien. Mais cette circulation d'informations peut ne pas être possible dans certaines situations. De façon intuitive, on peut considérer de telles situations comme des blocages de l'information. Dans les réseaux bayésiens, la connaissance des situations dans lesquelles l'information est bloquée peut permettre des économies énormes de calculs en évitant de mettre à jour la connaissance que l'on a de certains nœuds suite à une modification d'un nœud bien précis. La figure suivante donne les types de connections qui peuvent s'établir entre trois nœuds d'un réseau bayésien :
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 36 : Types de connexions entre trois nœuds</figcaption></figure>

**Remarques** : à partir des types de connexions, il est aisé de vérifier que, dans une connexion convergente, l'information ne peut circuler de X vers Y que si la valeur de Z est connue. Alors que dans les connexions séries et les connexions divergentes, l'information ne peut circuler de X vers Y que si la valeur de Z est inconnue. Ces remarques donnent une idée intuitive de la notion de d-séparation.

**Définition 5.3.1.2 (intuitive) de la D-séparation :**

On dit que X est D-séparé de Y par Z si la connaissance de la valeur de Z bloque la circulation de l'information de X vers Y.

**Définition 5.3.1.3 (formelle) de la D-séparation :**

On dit que X est D-séparé de Y par Z si, pour tout chemin entre X et Y, l'une au moins des deux conditions suivantes est vérifiée :

* Le chemin converge en un nœud $W \neq Z$ et $W$ n'est pas une cause directe de $Z$

* Le chemin passe par $Z$ et est soit divergent, soit en série au nœud $Z$

**Généralisation** : Cette caractérisation de la D-séparation se généralise dans le cas où Z représente un ensemble de nœuds.

## 5.3.2) LA MISE EN ŒUVRE DES RESEAUX BAYESIENS

### Factorisation des probabilités jointes

Pour utiliser le théorème de Bayes dans les réseaux bayésiens notons :

* $K_i$ le nombre de possibilités (modalités) de la variable aléatoire $X_i$

* $P(X_i)$ l'ensemble des variables $X_j$ constitué des nœuds parents de $X_i$
Tout réseau bayésien obéit à la condition de Markov, c'est-à-dire que, dans un réseau bayésien, tout nœud est conditionnellement indépendant de ses descendants, connaissant ses parents. Par conséquent, la loi des probabilités jointes de K variables $X_i$ quelconques peut se factoriser grâce au théorème suivant :

$$ \mathbb{P}(X_1, \dots, X_K) = \prod_{i=1}^{K} \mathbb{P}(X_i | \mathcal{P}(X_i)) $$

La technique de factorisation des probabilités jointes $\mathbb{P}(X_1, \dots, X_K)$ constitue le mécanisme fondamental de calcul utilisé dans les réseaux bayésiens. A chaque variable aléatoire (nœud du graphe) est associé une distribution de probabilités. En pratique, il s'agit d'une table décrivant les probabilités d'observation de chaque modalité de la variable connaissant les valeurs prises par les nœuds parents. C'est donc à partir de cette distribution de probabilités que l'on simule la loi jointe correspondante lorsqu'on modifie des états de certains nœuds du graphe. Les réseaux bayésiens disposent de nombreux algorithmes pour apprendre aussi bien les paramètres (estimer les probabilités) que la structure du réseau sur la base des données. Toutefois, un réseau bayésien peut aussi être construit exclusivement par le recours à un ou plusieurs experts du domaine modélisé. Cependant, il est aussi possible de combiner, dans une même modélisation, les connaissances expertes et les données, même incomplètes. C'est cette flexibilité alliant les aspects qualitatifs et quantitatifs qui en font un outil privilégié dans de nombreux domaines.

## Inférence dans les réseaux bayésiens

L'inférence dans les réseaux bayésiens est effectuée grâce à la règle du chainage des probabilités conditionnelles suivante :

$$ \forall K \in [2, N], \mathbb{P}(X_1, \dots, X_K) = \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{K} \mathbb{P}(X_i | X_{i-1}, \dots, X_1) $$

Cette formule permet une mise à jour interactive des probabilités conditionnelles de n'importe quel nœud du réseau bayésien une fois des valeurs de nœuds sont fixées. C'est donc à la technique de factorisation que les réseaux bayésiens doivent leur capacité de simulation et leur utilisation à des fins de raisonnement automatique.

## Preuve de la règle du chainage

La règle du chainage est une propriété centrale et fondamentale dans les réseaux bayésiens. Elle peut être prouvée mathématiquement en ayant recours à un raisonnement par récurrence. En effet :

$$ \forall X_i, X_j, \text{ on a : } \mathbb{P}(X_i, X_j) = \mathbb{P}(X_i|X_j)\mathbb{P}(X_j) = \mathbb{P}(X_j|X_i)\mathbb{P}(X_i) $$
Pour $K = 2$, on a : $\mathbb{P}(X_1, X_2) = \mathbb{P}(X_2|X_1)\mathbb{P}(X_1)$
$= \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{2} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$

Pour $K = 3$, on a : $\mathbb{P}(X_1, X_2, X_3) = \mathbb{P}(X_3|X_2, X_1)\mathbb{P}(X_2, X_1)$
$= \mathbb{P}(X_3|X_2, X_1))\mathbb{P}(X_2|X_1)\mathbb{P}(X_1)$
$= \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{3} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$

Admettons que $\forall K \in [2, N]$, $\mathbb{P}(X1, \dots, X_K) = \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{K} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$

On a : $\mathbb{P}(X_1, \dots, X_{K+1}) = \mathbb{P}(\{X_1, \dots, X_K\}, X_{K+1})$
$= \mathbb{P}(X_{K+1}|X_K, \dots, X_1)\mathbb{P}(X_1, \dots, X_K)$
$= \mathbb{P}(X_{K+1}|X_K, \dots, X_1)\mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{2} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$
$= \mathbb{P}(X1, \dots, X_{K+1}) = \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{K+1} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$
$= \prod_{i=1}^{K+1} \mathbb{P}(X_i | X_{i-1}, \dots, X_1)$

Par conséquent, on a : $\forall K \in [2, N]$, $\mathbb{P}(X1, \dots, X_K) = \mathbb{P}(X_1) \prod_{i=2}^{K} \mathbb{P}(X_i|X_{i-1}, \dots, X_1)$

## Apprentissage des paramètres

L'apprentissage des paramètres des réseaux bayésiens à partir des données consiste à estimer le paramètre inconnu $\Theta$ qui est l'ensemble des probabilités conditionnelles nécessaires aux différentes tables de probabilités des nœuds en se servant des données $\mathcal{D}$ disponibles. Pour comprendre le principe de l'apprentissage des paramètres, dans le cas des nœuds comportant des variables aléatoires discrètes, notons :

* $x_{ij}$ la $j^{ème}$ modalité de la variable $X_i$

* $K_i$ le nombre de modalités de la variable aléatoire $X_i$ (un nœud du réseau bayésien)

* $x_{ik}^P$ la $k^{ème}$ configuration issue du croisement des modalités des parents de $X_i$

* $R_i$ le nombre de configurations issues du croisement des modalités des parents de $X_i$

* $\mathcal{N}_{i,j,k}$ le nombre de fois que l'on rencontre la configuration $\{X_i = x_{ij}|\mathcal{P}(X_i) = x_{ik}^P\}$

* $\mathcal{X} = (X_1, \dots, X_K)$ l'ensemble des $K$ variables des nœuds du réseau bayésien

* $x(\omega) = (x_1(\omega), \dots, x_K(\omega))$ les valeurs de l'individu $\omega$ pour les variables de $\mathcal{X}$

* $\mathcal{D} = (x(\omega))_{1\le\omega\le N}$, la base de données sur l'ensemble des $N$ individus
En considérant les modalités prises par l'individu $\omega$ de la base de données (un n-uplet), la probabilité d'observation des modalités de cet individu est donnée par :

$$
\begin{align*}
\mathbb{P}(\mathcal{X} = x(\omega)|\Theta) &= \mathbb{P}(X_1 = x_1(\omega), \dots, X_K = x_K(\omega) | \Theta) \\
&= \prod_{i=1}^{K} \mathbb{P}(X_i = x_{ij}(\omega)|\mathcal{P}(X_k) = x_{ik}(\omega), \Theta) \\
&= \prod_{i=1}^{K} \Theta_{i,j(\omega),k(\omega)}
\end{align*}
$$

En considérant tous les individus de la base de données, la vraisemblance d'observation de
l'échantillon complet est donnée par :

$$
\begin{align*}
L(\Theta, \mathcal{D}) = \mathbb{P}(\mathcal{D}|\Theta) &= \prod_{\omega=1}^{N} \mathbb{P}(\mathcal{X} = x(\omega)|\Theta) \\
&= \prod_{i=1}^{K} \prod_{\omega=1}^{N} \Theta_{i,j(\omega),k(\omega)} \\
&= \prod_{i=1}^{K} \prod_{j=1}^{K_i} \prod_{k=1}^{R_i} \Theta_{i,j,k}^{N_{i,j,k}}
\end{align*}
$$

Si l'on considère ce dernier résultat, la fonction de log-vraisemblance peut s'écrire :

$$
\mathcal{L}(\Theta, \mathcal{D}) = \log(L(\Theta, \mathcal{D})) = \sum_{i=1}^{K} \sum_{j=1}^{K_i} \sum_{k=1}^{R_i} N_{i,j,k} \log(\Theta_{i,j,k})
$$
$$
\text{Avec } \sum_{k=1}^{R_i} \Theta_{i,j,k} = 1
$$

La maximisation de la log-vraisemblance permet d'obtenir l'estimateur du maximum de
vraisemblance suivant :

$$
\hat{\Theta}_{i,j,k}^{MV} = \hat{\mathbb{P}}(X_i = x_{ij} | \mathcal{P}(X_i) = x_{ik}^{\mathcal{P}}) = \frac{N_{i,j,k}}{\sum_{k=1}^{R_i} N_{i,j,k}}
$$

Apprentissage de la structure

Lorsque des données sont disponibles, il est aussi possible d'apprendre la structure du réseau bayésien la plus adéquate aux données. Pour ce faire, notons :

• $\mathcal{X} = (X_1, \dots, X_K)$ l'ensemble des $K$ nœuds du réseau bayésien

• $\mathcal{G}$ le graphe complet non orienté reliant tous les nœuds

• $\mathrm{Adj}(\mathcal{G}, X_i)$ l'ensemble des nœuds adjacents à $X_i$ dans $\mathcal{G}$

• $\mathrm{Adj}(\mathcal{G}, X_{\{i \setminus j\}})$ l'ensemble des nœuds adjacents $X_i$, sauf $X_j$ dans $\mathcal{G}$

• $X_i - X_j$ le fait qu'il existe une arrête entre $X_i$ et $X_j$

• $X_i \rightarrow X_j$ le fait qu'il existe un arc orienté de $X_i$ vers $X_j$
• $X_i \rightsquigarrow X_j$ le fait qu'il existe un chemin dirigé allant de $X_i$ vers $X_j$

• $X_i \tilde{\sim} X_j$ le fait que $X_i$ et $X_j$ soient adjacents à $X_i - X_j$, $X_i \to X_j$ ou $X_j \to X_i$

• $(X_i \perp X_j)|S$ le fait que $X_i$ soit indépendant de $X_j$ sachant $S$

• $\mathcal{G}^{\perp}(X_i, X_j)$ l'ensemble des nœuds $S \in \mathcal{X}$ tels que $(X_i \perp X_j)|S$

Un algorithme capable d'apprendre automatiquement la structure d'un réseau bayésien à partir des données est le suivant :

<caption>Algorithme 17 : Algorithme PC d'apprentissage de structure</caption>

1. Construction d'un graphe non orienté à partir des données :
   $i \leftarrow 0$
2. Répéter
3. Recherche des indépendances conditionnelles d'ordre $i$
4. $\forall \{X_i, X_j\} \in \mathcal{X}^2$ tels que $X_i - X_j$ et $\text{Card}(\text{Adj}(\mathcal{G}, X_{\{i\setminus j\}})) \ge i$
5. $\forall S \subset \text{Adj}(\mathcal{G}, X_{\{i\setminus j\}})$ tel que $\text{Card}(S) = i$
6. si $(X_i \perp X_j)|S$ alors
7. $\checkmark$ Suppression des arrêtes $X_i - X_j$ dans $\mathcal{G}$
8. $\checkmark$ $\mathcal{G}^{\perp}(X_i, X_j) \leftarrow \mathcal{G}^{\perp}(X_i, X_j) \cup S$
9. $\checkmark$ $\mathcal{G}^{\perp}(X_j, X_i) \leftarrow \mathcal{G}^{\perp}(X_j, X_i) \cup S$
10. $i \leftarrow i + 1$
11. Jusqu'à $\text{Card}(\text{Adj}(\mathcal{G}, X_{\{i\setminus j\}})) \le i$, $\forall \{X_i, X_j\} \in \mathcal{X}^2$,
12. // Recherche des V-structures :
13. $\forall \{X_i, X_j, X_k\} \in \mathcal{X}^3$ tels que $\neg X_i \tilde{\sim} X_j$ et $X_i - X_k - X_j$,
14. si $X_k \notin \mathcal{G}^{\perp}(X_j, X_i)$ alors rajouter $X_i \to X_k \leftarrow X_j$ (V-structure)
15. // Ajout récursive des orientations $\to$ sur les arcs :
16. Répéter $\forall \{X_i, X_j\} \in \mathcal{X}^2$,
17. si $X_i - X_j$ et $X_i \rightsquigarrow X_j$ alors rajouter $X_i \to X_j$
18. si $\neg X_i \tilde{\sim} X_j$, $\forall X_k$ tel que $X_i \to X_k$ et $X_k - X_j$ alors $X_i \to X_j$
19. si $X_i \perp X_j$ le fait qu'il existe un chemin dirigé allant de $X_i$ vers $X_j$

Les solutions logicielles pour réseaux bayésiens

Les réseaux bayésiens disposent de nombreuses méthodes d'apprentissage de paramètres et un nombre aussi important d'algorithmes d'apprentissage des structures à partir des données. Il existe des techniques capables d'estimer les paramètres en présence de données incomplètes avec prise en compte de variables aléatoires continues. Certains algorithmes identifient les structures en exploitant les propriétés graphiques des probabilités conditionnelles. D'autres par contre utilisent un processus basé sur l'optimisation d'un score permettant d'évaluer l'adéquation d'un graphe orienté acyclique aux données considérées. Du fait de l'importance des réseaux bayésiens, de nombreux logiciels ont été développés pour leur implémentation et leur utilisation dont quelques-uns sont libres (open source).
L'essentiel de l'usage des réseaux bayésiens consiste, une fois les paramètres estimés, à simuler les conséquences d'une modification de certains nœuds sur l'ensemble des autres nœuds à travers des mises à jours automatiques des distributions de probabilités de l'ensemble des nœuds du réseau bayésien. Le logiciel open source le plus complet fournissant un interface graphique conviviale est le logiciel GeNIes comme le montre la figure suivante :

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 37 : Exemple de réseau bayésien avec GeNIes</figcaption></figure>

Le logiciel GeNIes comporte de nombreux algorithmes d'apprentissage, aussi bien des paramètres que des structures, à partir des données. Il peut facilement être utilisé par des non spécialistes en modélisation, comme les psychologues, les économistes, les sociologues, les environnementalistes, etc. Les éditeurs du logiciel GeNIes ont développé un composant logiciel nommé SMILE qui permet de développer directement un réseau bayésien par voie logiciel. Cet API existe pour les langages C, Java et Python. Cependant, certains langages de calculs scientifiques, notamment R, disposent de bibliothèques dédiées aux réseaux bayésiens. Les packages R les plus connus sont les packages « **bnlearn** » et « **deal** ».
## 5.4) L'ANALYSE DES ACTIONS DE RESILIENCE

Dans l'étude des processus de résilience, un des aspects les plus importants est d'identifier un ensemble d'actions ou de politiques susceptibles d'accroitre significativement la résilience des individus. Il s'agit de savoir, parmi un ensemble d'actions ou de politiques possibles, quelles sont celles qui sont susceptibles de produire un meilleur résultat. Il peut être question du choix d'une unique action optimale, ou d'une combinaison d'actions. Pour ce faire, une des solutions les plus simples et les plus efficaces consiste à modéliser la structure d'interactions entre ces différentes actions et leurs conséquences et à s'en servir pour simuler l'effet des résultats des actions les unes sur les autres. Il s'agit d'une formalisation de connaissances qualitatives permettant d'effectuer des raisonnements automatiques. Dans l'analyse des processus de résilience, il est légitime de s'intérriger sur les actions qui seraient optimales pour accroitre la résilience des individus. Dans ce contexte, la technologie des réseaux bayésiens constitue un outil idéal pour la modélisation du dispositif d'actions de résilience dans l'optique de simuler la meilleure pratique ou la combinaison de pratiques possibles, en ayant une idée de leurs impacts sur la résilience des individus. Cette technologie présente l'avantage de modéliser la connaissance experte que l'on a du problème et de s'en servir pour répondre à de nombreuses questions par un processus de simulation informatique correspondant à ce qu'il est convenu d'appeler un raisonnement automatique en Intelligence Artificielle. En Résiliométrie, les réseaux bayésiens sont utilisés pour le développement des modèles (de variables) d'actions. Les modèles d'actions modélisent essentiellement les relations d'interactions entre les variables d'actions (ou politiques). Les modèles d'actions ne sont rien d'autres que des réseaux bayésiens. Par conséquent, ils ne sont entièrement définis que si l'on précise le graphe de dépendance entre les variables nécessaires et les tables de probabilités associées à ces variables. Ainsi, considérons les notations suivantes :

* $n$ le nombre d'individus utilisés pour la collecte de données

* $K$ le nombre d'actions

* $\Omega_A$ l'ensemble des $K$ actions considérées

* $F_A \subset \Omega_A$ l'ensemble des actions qui ne sont impactées par aucune autre action

* $a_k \in \Omega_A$ la $k^{eme}$ action

* $T$ l'horizon temporel

* $A_k^t(i)$ l'impact de l'action $a_k$ au temps $t$ sur l'individu $I_i \in \Omega_I$

* $A_k^t = (A_k^t(i))_{i \in [1,n]}$ la variable d'impact de l'action $a_k$ au temps $t$

* $E_A = \{aucun, faible, moyen, important, fort\}$ l'ensemble des modalités des $A_k^t$

* $\mathcal{P}_t(A)$ les nœuds parents du nœud $A$ au temps $t$

* $\mathbb{P}(A)$ la distribution de probabilités associée au nœud $A$

En Résiliométrie, il existe essentiellement deux types de modèles d'actions selon que celles-ci sont appréciées en un instant donné ou sur plusieurs périodes, à savoir les modèles d'actions statiques (MAS) et les modèles d'actions dynamiques (MAD).
### 5.4.1) LES MODELES D' ACTIONS STATIQUES

D'une façon générale, les modèles d'actions sont des modèles permettant d'évaluer les actions les plus efficaces parmi celles qui ont été menées ou pour détecter les actions les plus susceptibles d'accroitre efficacement la résilience des individus. La structure du réseau bayésien correspondant est donnée par les relations de causes à effets pouvant exister entre les différentes actions. En effet, certaines actions peuvent avoir des influences sur d'autres. L'objet du graphe de dépendance consiste à spécifier, sur la base d'une connaissance experte du domaine d'étude, les relations d'interactions entre les différentes actions.

Les modèles de variables d'actions statiques sont caractérisés par le fait que les actions étudiées sont supposées indépendantes d'une période à une autre. Dans ce cas, la modélisation et l'étude des actions est effectuée pour chaque période $t = \tau$ donnée. Un exemple de graphe de modèles d'actions statiques est donné par la figure suivante :

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 38 : Exemple de graphe d'un modèle d'actions statiques</figcaption></figure>

Du point de vue de la modélisation par les réseaux bayésiens, une telle structure nécessite la définition des probabilités suivantes :

$$ \mathbb{P}(A_k^\tau), \forall a_k \in F_A \\ \mathbb{P}(A_k^\tau | \mathcal{P}_\tau(A_k^\tau)), \forall a_k \in \Omega_A \setminus F_A $$

Dans le cadre de la résilience, une action peut avoir un effet futur, et l'action à mener doit prendre en compte les actions passées. Dans une telle situation, la recherche des actions optimales doit se faire uniquement dans un cadre de modélisation dynamique des actions et de leurs effets sur la résilience des individus. Le but des modèles d'actions dynamiques est de permettre la prise en compte des aspects dynamiques dans la modélisation des relations entre les actions entreprises ou à entreprendre.
### 5.4.2) LES MODELES D' ACTIONS DYNAMIQUES

Les modèles d'actions dynamiques sont caractérisés par le fait que chaque action d'une période donnée est supposée être impactée par son historique immédiat, et la structure d'interactions entre les actions est conservée d'une période à une autre. Les modèles d'actions ont pour rôle de présenter l'importance des probabilités associées à chaque type d'appréciation (aucun, faible, moyen, important, fort) pour chaque variable d'action $A_k^t$. Un exemple de graphe de modèle d'actions dynamiques est donné par la figure suivante :

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 39 : Exemple de graphe d'un modèle d'actions dynamiques</figcaption></figure>

Du point de vue de la modélisation par les réseaux bayésiens, une telle structure nécessite la définition des probabilités suivantes :

$$ 
\begin{array}{l}
\text{À } t=1: \\
\mathbb{P}(A_k^1), \quad \forall a_k \in F_A \\
\mathbb{P}(A_k^1 | \mathcal{P}_1(A_k^1)), \quad \forall a_k \in \Omega_A \setminus F_A
\end{array}
$$

$$ 
\begin{array}{l}
\forall t \ge 2: \\
\mathbb{P}(A_k^t | A_k^{t-1}), \quad \forall a_k \in F_A \\
\mathbb{P}(A_k^t | \mathcal{P}_t(A_k^t) \cup A_k^{t-1}), \quad \forall a_k \in \Omega_A \setminus F_A
\end{array}
$$
# L'algorithmes des modèles d'actions

Considérons les notations suivantes :

* $\mathcal{D}_I$ l'ensemble des individus et de leurs appréciations $A_k^t$ des actions

* $\mathcal{G}_A$ le graphe spécifiant les relations entre les actions $A_k^t$

* $\mathcal{R}_B(\mathcal{G}|\mathcal{D})$ l'estimation du réseau bayésien de graphe $\mathcal{G}$ à partir des données $\mathcal{D}$

Sur la base des notations définies, l'algorithmes des modèles d'actions est le suivant :

## Algorithme 18 : Modèles d'actions

1. Entrées : $\mathcal{G}_A, \mathcal{D}_I$

2. $\Gamma = 0_{1:T,1:K}$

3. $\mathcal{M} = \mathcal{R}_B(\mathcal{G}_A|\mathcal{D}_I)$

4. Pour $t \in [1, T]$ {

5. for($k \in [1, K]$ {

6.     a) Récupérer la distribution de probabilité $\hat{p}_{kt}$ associé à $A_k^t$ à partir de $\mathcal{M}$

7.     b) $\Gamma[t, k] = \hat{p}_{kt}$

8.     c) Construire le diagramme en bandes $\Delta_i^t$ avec $\hat{p}_{kt}$

10. }

11. }

12. Sorties : $\Gamma, \{\Delta_k^t, \forall (k,t) \in [1, K] \times [1, T]\}$

L'algorithmes des modèles d'actions est utilisable aussi bien pour les modèles d'actions statiques que pour les modèles d'actions dynamiques. Le cas statique consiste à prendre $[1, T] = \{\tau\}$ c'est-à-dire $T = \tau = 1$. En pratique, il est conseillé de reproduire ces architectures de façon graphique avec un logiciel de réseaux bayésiens comme le montre la figure suivante développée avec le logiciel GeNIes :

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 40 : Exemple de modèle d'actions statiques</figcaption></figure>
# CHAPITRE 6 : L'ANALYSE DE LA DYNAMIQUE D'EVOLUTION DES INDIVIDUS

L'un des enjeux de l'analyse de la résilience est de pouvoir effectuer des analyses individuelles afin de mettre en exergue des spécificités propres à chaque individu. En modélisation, on parle de modèles centrés-individus par opposition aux modèles centrés-variables. Cette thèse utilise essentiellement deux types de modèles centrés-individus. Le premier concerne l'usage du modèle des courbes de croissance à variables latentes pour l'analyse de l'espoir que les individus ont de devenir résilients. En effet, on sait que les états de vulnérabilité permettent d'établir le profil des individus qui ont l'aptitude à la résilience. Cependant, il est évident que l'aptitude à la résilience est, dans une certaine mesure, tributaire de l'espoir que les individus ont à devenir résilients. Il n'y a rien à attendre d'un individu qui se résigne et ne trouve plus de raison (ou ne voit plus la nécessité) de se battre pour l'évolution de sa situation de souffrance. Aussi longtemps qu'un individu perd l'espoir de devenir résilient, il inhibe l'évolution de son propre processus de résilience. Il est donc primordial de pouvoir, à tout instant, déterminer l'espoir que les individus ont de sortir de leur situation de souffrance afin de pouvoir mener efficacement les actions appropriées. Quant à la seconde modélisation centrée-individu, elle concerne l'utilisation des systèmes multi-agents pour simuler la dynamique d'évolution des états de vulnérabilité des individus.

## 6.1) LE CALCUL DES TRAJECTOIRES D'ESPOIR A LA RESILIENCE

Lorsqu'un choc traumatique se présente, des actions individuelles ou collectives sont menées pour accroitre la résilience des individus souffrants. Avec le temps, parmi ceux qui ne sont pas résilients, certains espèrent encore l'être alors que d'autres perdent tout espoir de le devenir. Les individus qui ont l'espoir de parvenir à la résilience ont une tendance à l'action afin d'atténuer leurs souffrances et devenir résilients. Contrairement à eux, ceux qui ont perdu tout espoir ont plutôt une tendance à la résignation. L'espoir à la résilience est donc un état d'esprit (état psychologique latent) fondamental. De sa connaissance dépend l'efficacité des actions menées. Un individu n'ayant pas d'espoir à la résilience restera insensible à toute politique pour accroitre la résilience des individus. Il faut d'abord activer cet espoir en lui avant toute tentative pour accroitre sa résilience suite au choc traumatique considéré. Les individus ayant gardé l'espoir à la résilience n'ont pas besoin de sensibilisation particulière avant de mener les actions d'accroissement de la résilience à leur endroit. En effet, ils sont naturellement prédisposés à s'approprier les politiques et actions pour accroitre leur résilience comme des opportunités. L'objet de cette partie est de fournir une approche permettant d'identifier les tendances individuelles d'espoir à la résilience.
### 6.1.1) LES COURBES DE CROISSANCE A VARIABLES LATENTES

Les courbes de croissance à variables latentes ou latent growth curve modeling (LGCM) est une technique statistique utilisée pour estimer la croissance de données longitudinales sur une période de temps ([HAC06], [JAC05], [PRE08], [PRI06], [SON14], [TON08]). Elle est largement utilisée dans les sciences du comportement et les sciences sociales. Dans les LCGM, l'évolution d'un individu est modélisée comme une fonction d'un processus de croissance sous-jacent. La technique peut être utilisée pour étudier les changements systématiques, la croissance et la variabilité interindividuelle. La figure suivante présente la structure de base d'un modèle de courbe de croissance latente :

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 41 : Structure type de base d'un modèle de courbe de croissance latente<fnref n="9" /></figcaption></figure>

Cette structure type de base est une représentation graphique du système d'équations suivantes (hors relations de covariances) :

$$ egin{cases} Y_{ti} = \lambda_{1t}\eta_{1i} + \lambda_{2t}\eta_{2i} + \varepsilon_{ti} \\ \eta_{1i} = \alpha_1 + \zeta_{1i} \\ \eta_{2i} = \alpha_2 + \zeta_{2i} \end{cases} $$

Ainsi, dans les modèles LGCM, les paramètres des courbes de croissance sont modélisés comme des variables latentes. Cet exemple montre la modélisation d'une évolution linéaire de la croissance de la variable d'intérêt $Y = (Y_t)_{1\le t\le T}$ avec $T = 5$. Les paramètres sont donc l'ordonnée à l'origine (intercept) et la pente (slot) de chaque droite représentant la tendance de cette croissance. On peut étudier la vitesse de cette croissance en utilisant un modèle quadratique. Dans ce cas, un troisième paramètre (coefficient quadratique) est ajouté au modèle.

<footnote n="9">⁹ http://www.corwin.com/upm-data/23140_Chapter_1.pdf</footnote>
## Modélisation de la dynamique d'évolution

Toute la subtilité des modèles de courbes de croissance à variables latentes consiste à comprendre le mécanisme d'intégration de la dynamique temporelle dans le modèle. Cela passe par des variables manifestes construites selon le principe de construction des suites numériques suivantes (indexées par le temps) :

* $(\lambda_{1t})_{1\le t \le T}$ tel que $\forall t \in [1, T], \lambda_{1t} = 1$ pour l'intercept

* $(\lambda_{2t})_{1\le t \le T}$ tel que $\forall t \in [1, T], \lambda_{2t} = t - 1$ pour la pente

En cas de modélisation par une courbe quadratique, on utilise une suite $(\lambda_{3t})_{1\le t \le T}$ telle que $\forall t \in [1, T], \lambda_{3t} = (1-t)^2$. Ainsi, les valeurs des coefficients sont construits en utilisant $\lambda_{1t} = \{1, 1, 1, 1, \dots, 1\}$, $\lambda_{2t} = \{0, 1, 2, 3, \dots, T-1\}$ et $\lambda_{3t} = \{0, 1, 4, 9, \dots, (T-1)^2\}$.

## Les modèles résiliométriques de croissance

Dans l'approche résiliométrique, les LGCM sont adaptés au contexte du PLSPM par le développement de modèles dits de croissance douce (Soft growth modeling). Ces modèles ne sont rien d'autres qu'une approche PLSPM de la modélisation en courbes de croissance à variables latentes classique et constituent une contribution de la thèse au domaine des courbes de croissance. Les modèles de croissance douce peuvent aussi être appelés des modèles PLSGM (Partial Least Square Growth Models). La notion de « croissance » est empruntée aux courbes de croissance et le qualificatif « douce » vient du fait que l'approche PLSPM est qualifié de modélisation douce (soft modeling). Il existe deux types de modèles PLSGM selon que l'on veuille étudier le sens de la croissance (modèle linéaire) ou la vitesse de cette croissance (modèle quadratique). Considérons les notations suivantes :

* ✓T l'horizon temporel de collecte des données

* ✓n le nombre de panelistes utilisés

* ✓$\xi_t$ l'estimation de la résilience au temps t (modèle statique)

* ✓$\psi_t$ l'estimation de l'espoir à la résilience au temps t

* ✓$1_n$ le vecteur de longueur n constitué uniquement de 1

* ✓$\alpha$ l'ordonnée à l'origine de la courbe d'espoir à la résilience

* ✓$\beta$ la pente de la courbe d'espoir à la résilience

* ✓$\gamma$ le coefficient quadratique de la courbe d'espoir à la résilience

* ✓$\omega_t^v$ le coefficient de la régression de $v$ sur une fonction linéaire de $\xi_t$

* ✓$\delta_v$ le terme d'erreur de la régression de $v$ sur une fonction linéaire de $\xi_t$

* ✓$\mu$ le coefficient de la régression de $\eta$ sur $1_n$

* ✓$\nu$ le terme d'erreur de la régression de $\eta$ sur $1_n$

* ✓$\pi_v$ le coefficient de la régression de $\eta$ sur $v$

* ✓$\zeta$ le terme d'erreur de la régression de $\eta$ sur $v$
### 6.1.2) LES MODELES DE CROISSANCE DOUCE LINEAIRE

Les modèles de croissance douce linéaire permettent d'apprécier le sens de la croissance latente en postulant à une relation de croissance linéaire de la variable latente modélisée. Dans le cadre de la résilience, cela revient à considérer que l'espoir que les individus ont de devenir résilients évolue selon une progression linéaire avec le temps. La structure graphique de ces modèles est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 42 : Exemple de modèle de croissance douce linéaire</figcaption></figure>

Les modèles LGCM, d'une façon générale, partent du principe qu'il existe des différences individuelles dans la vitesse et la direction du changement. En d'autres termes, la dynamique d'espoir à la résilience est propre à chaque individu. Le facteur « intercept » $\alpha$ (ordonnée à l'origine) représente le niveau initial d'espoir à la résilience (lorsque la variable de temps est égale à zéro). Quant au facteur « slot » $\beta$ (pente), il représente le taux de croissance de l'espoir à la résilience.

Les modèles de croissance douce linéaire comportent deux variables latentes essentielles ($\alpha$ et $\beta$) qui sont les paramètres d'évolution de l'espoir à la résilience. Ce type de modèle correspond au système suivant formé par les $2(T + 1)$ équations :

$$ egin{cases} 
\alpha = \sum_{t=1}^{T} \omega_{t}^{\alpha} \xi_{t} + \delta_{\alpha} & \text{(il y a } T\text{ equations)} \\ 
\beta = \sum_{t=1}^{T} \omega_{t}^{\beta} (t-1) \xi_{t} + \delta_{\beta} & \text{(il y a } T\text{ equations)} \\ 
\eta = \mu 1_{n} + \nu & \text{(il y a } 1\text{ equation)} \\ 
\eta = \pi_{\alpha}\alpha + \pi_{\beta}\beta + \zeta & \text{(il y a } 1\text{ equation)} 
\end{cases} $$
## Graphiques et algorithme des croissances linéaires

Les modèles de croissance douce linéaire postulent à une relation de croissance linéaire de l'espoir à la résilience. Ainsi, la dynamique de l'espoir à la résilience est donnée par la relation :

$$ \psi_t = \alpha + \beta t $$

Partant de cette équation, si l'on note $\psi_{it}$, $\alpha_i$ et $\beta_i$ les valeurs de $\psi_t$, $\alpha$ et $\beta$ respectivement pour l'individu $i \in [1, n]$, la dynamique de l'espoir à la résilience propre à cet individu est donnée par la relation :

$$ \forall (i,t) \in [1,n] \times [1,T], \quad \psi_{it} = \alpha_i + \beta_i t $$

Cette relation est le socle de la modélisation en courbe de croissance douce linéaire car elle détermine les trajectoires des espoirs individuels à la résilience. Il est important de comprendre que l'espoir à la résilience étant impossible à estimer directement, il n'est pas utilisé de façon directe pour la modélisation. L'astuce des modèles de courbes de croissance à variables latentes est de considérer l'espoir à la résilience comme une variable latente dont les paramètres d'évolution sont aisément estimables en tant que variables latentes elles-même, ce qui permet de reconstituer indirectement la dynamique d'évolution de celui-ci. C'est ce principe qui fait des LGCM, une classe de modèles d'équations structurelles particulière. Dans les modèles de croissance douce linéaire, l'espoir à la résilience d'un individu ne peut revêtir que deux formes essentielles. Ces deux types de courbes possibles sont donnés par la figure suivante :

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 43 : Principales formes de courbes de croissance linéaire</figcaption></figure>

La forme de gauche traduit un espoir, c'est-à-dire une croissance progressive de l'espoir à la résilience avec le temps ; alors que la forme de droite correspond à un désespoir, c'est à dire une décroissance progressive de l'espoir de devenir résilient dans le temps.
Le paramètre $\alpha$ correspond au niveau initial d'espoir à la résilience. Plus la valeur de celui-ci est grande, plus l'individu correspondant possède initialement un grand espoir de devenir résilient. Quant au paramètre $\beta$, il représente la direction de la perte ou du regain d'espoir à la résilience. Si cette pente est positive alors l'individu espère devenir résilient. Si cette pente est négative alors l'individu désespère à devenir résilient. Sous l'hypothèse d'une évolution linéaire, il existe théoriquement une troisième forme possible d'évolution d'espoir à la résilience qui correspond à un espoir constant dans le temps. La figure suivante présente l'allure des courbes de ce type d'évolution :

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 44 : Formes de courbes de croissance à évolution constante</figcaption></figure>

Les individus qui gardent toujours le même espoir à la résilience méritent une attention particulière. En effet, ce phénomène peut traduire soit quelqu'un qui persiste à rester dans son désespoir, ou quelqu'un qui n'est pas réellement affecté par le choc ou qui s'y est adapté assez rapidement. Ces catégories d'individus ne sont pas affectées par les actions visant à accroître la résilience des individus. L'algorithme de calcul des trajectoires linéaires individuelles d'espoir à la résilience est le suivant :

**Algorithme 19 : Calcul des courbes linéaires d'espoir à la résilience**

1. Entrée : $n, T, (\xi_i)_{i \in [1, T]}$

2. $\Omega_I$ // Ensemble des individus avec les informations collectées sur eux

3. $\mathcal{M}$ // La spécification du modèle PLSGM linéaire

4. $\mathcal{R}(\alpha, \beta) = \text{plspm}(\Omega_I, \mathcal{M})$ // Estimation PLSGM du modèle spécifié (calcul de $\alpha, \beta$)

5. Pour $(i \in \Omega_I)${

6. f) Récupérer $\alpha_i$ // Valeur de $\alpha$ pour le $i^{ème}$ individu

7. g) Récupérer $\beta_i$ // Valeur de $\beta$ pour le $i^{ème}$ individu

8. h) $\psi_i = 0_{1:T}$ // Vecteur des valeurs d'espoir à la résilience du $i^{ème}$ individu

10. i) Pour $(t \in [1, T])${

12. i) Calculer $\psi_{it} = \alpha_i + \beta_i t$

13. ii) $\psi_i[t] = \psi_{it}$

14. }

15. j) Tracer la droite $\Delta_i$ d'équation $\psi(t) = \alpha_i + \beta_i t$

16. }

17. Sortie : $\psi_i, \Delta_i$
### 6.1.3) LES MODELES DE CROISSANCE DOUCE QUADRATIQUE

Les modèles de croissance douce quadratique postulent à une relation de croissance quadratique de la variable latente modélisée. Ce type de modèle sert uniquement à apprécier la vitesse avec laquelle la croissance latente s'effectue. Dans le cadre de la résilience, cela revient à considérer que la vitesse de l'espoir que les individus ont de devenir résilients suit une progression quadratique avec le temps. La structure graphique de ces modèles est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 45 : Exemple de modèle de croissance douce quadratique</figcaption></figure>

Dans les modèles de croissance douce quadratique, en plus des facteurs « intercept » $\alpha$ et « slot » $\beta$, il existe un facteur « quadratique » $\gamma$ qui représente la vitesse à laquelle s'effectue l'évolution de l'espoir à la résilience. Les modèles de croissance douce quadratique comportent donc trois variables latentes essentielles ($\alpha$, $\beta$ et $\gamma$) qui sont les paramètres d'évolution de l'espoir à la résilience. Ce type de modèle correspond au système suivant formé par les $3T + 2$ équations :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\alpha = \sum_{t=1}^{T} \omega_{t}^{\alpha} \xi_{t} + \delta_{\alpha} \quad (\text{il y a } T \text{ equations}) \\ 
\beta = \sum_{t=1}^{T} \omega_{t}^{\beta} (t-1) \xi_{t} + \delta_{\beta} \quad (\text{il y a } T \text{ equations}) \\ 
\gamma = \sum_{t=1}^{T} \omega_{t}^{\gamma} (t-1)^{2} \xi_{t} + \delta_{\gamma} \quad (\text{il y a } T \text{ equations}) \\ 
\eta = \mu l_{n} + \nu \quad (\text{il y a } 1 \text{ equation}) \\ 
\eta = \pi_{\alpha} \alpha + \pi_{\beta} \beta + \pi_{\gamma} \gamma + \zeta \quad (\text{il y a } 1 \text{ equation}) 
\end{array} 
\right. 
$$
## Graphiques et algorithmes des croissances quadratiques

Les modèles de croissance douce quadratique postulent à une relation de croissance quadratique de l'espoir à la résilience. Ainsi, la vitesse d'évolution de l'espoir à la résilience est donnée par la relation :

$$ \psi_t = \alpha + \beta t + \gamma t^2 $$

Partant de cette équation, si l'on note $\psi_{it}$, $\alpha_i$, $\beta_i$ et $\gamma_i$ les valeurs de $\psi_t$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ respectivement pour l'individu $i \in [1, n]$, la vitesse d'évolution de l'espoir à la résilience propre à cet individu est donnée par la relation :

$$ \forall (i, t) \in [1, n] \times [1, T], \quad \psi_{it} = \alpha_i + \beta_i t + \gamma_i t^2 $$

Dans les modèles de croissance douce quadratique, la vitesse de l'espoir à la résilience d'un individu peut revêtir quatre formes à direction unique (croissance unidirectionnelle). Ces quatre types de courbes possibles sont donnés par la figure suivante :

<figure><img src="image_46.png" /></figure>
Les deux formes du haut de la figure (haut droit et haut gauche) traduisent une perte progressive de la vitesse d'espoir à la résilience avec le temps, alors que les deux formes du bas de la figure (bas gauche et bas droit) correspondent à des individus dont la vitesse d'espoir à la résilience augmente progressivement avec le temps. Contrairement aux formes linéaires, le paramètre $\alpha$ correspond au niveau initial de la vitesse d'espoir à la résilience. Plus la valeur de celui-ci est grande, plus l'individu correspondant possède une grande vitesse initiale d'espoir à la résilience. Quant au paramètre $\beta$, il représente le taux de croissance de la vitesse initiale d'espoir à la résilience. Plus cette pente est élevée, plus l'évolution de l'espoir à la résilience se fait plus rapidement chez l'individu considéré. Quant au paramètre quadratique $\gamma$, il donne le sens de la vitesse d'évolution de l'espoir à la résilience.

Sous l'hypothèse d'une évolution quadratique, il existe théoriquement deux autres formes possibles d'évolution de la vitesse d'espoir à la résilience qui correspondent à des changements de vitesse relatif à l'espoir à la résilience à partir d'une période donnée. La figure suivante présente l'allure de ces deux types de courbes d'évolution :

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 47 : Formes de courbes de croissances quadratiques bidirectionnelles</figcaption></figure>

Les évolutions quadratiques bidirectionnelles de la vitesse d'espoir à la résilience sont caractérisées par l'existence d'un temps de rupture de direction ($t_{re}$). Le produit du temps de rupture par l'unité temporelle donne la durée d'accélération ou de décélération de l'espoir à la résilience ($d_{er}$). Cette durée peut traduire deux réalités : soit une accélération (cas d'une croissance jusqu'à $t_{re}$), soit une décélération (cas d'une décroissance jusqu'à $t_{re}$). Lorsque l'espoir à la résilience est croissant, une accélération traduit une augmentation rapide de l'espoir avec le temps et une décélération traduit un ralentissement de l'espoir avec le temps. Lorsque l'espoir à la résilience est décroissant, une accélération traduit une augmentation rapide du désespoir avec le temps et une décélération traduit un ralentissement du désespoir avec le temps.
L'algorithme de calcul des trajectoires quadratiques individuelles d'espoir à la résilience est le suivant :

<caption>Algorithme 20 : Calcul des courbes quadratiques d'espoir à la résilience</caption>

1. Entrée : $n, T, (\xi_t)_{t \in [1, T]}$
2. $\Omega_I$ // Ensemble des individus avec les informations collectées sur eux
3. $\mathcal{M}$ // La spécification du modèle PLSGM quadratique
4. $\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma) = \text{plspm}(\Omega_I, \mathcal{M})$ // Estimation PLSPM du modèle spécifié (calcul de $\alpha, \beta, \gamma$)
5. Pour $(i \in \Omega_I)$ {
6. a) Récupérer $\alpha_i$ // Valeur de $\alpha$ pour le $i^{\text{eme}}$ individu
7. b) Récupérer $\beta_i$ // Valeur de $\beta$ pour le $i^{\text{eme}}$ individu
8. c) Récupérer $\gamma_i$ // Valeur de $\gamma$ pour le $i^{\text{eme}}$ individu
9. d) $\psi_i = 0_{1:T}$ // Vecteur des valeurs d'espoir à la résilience du $i^{\text{eme}}$ individu
10. e) Pour $(t \in [1, T])$ {
11. i) Calculer $\psi_{it} = \alpha_i + \beta_i t + \gamma_i t^2$
12. ii) $\psi_i[t] = \psi_{it}$
13. }
14. }
15. f) Tracer la courbe $\mathcal{C}_i$ d'équation $\psi(t) = \alpha_i + \beta_i t + \gamma_i t^2$
16. }
17. Sortie : $\psi_i, \mathcal{C}_i$

Du point de vue de l'implémentation concrète de l'algorithme de calcul de l'espoir à la résilience, il est bon de savoir que le recours à l'algorithme PLSPM rend inapproprié l'usage des variables constantes. Dans le cas des variables nulles, il faut carrément les supprimer du modèle et de sa spécification. L'enjeu reste la variable manifeste de la dimension quadratique qui ne comporte que la valeur un (1) pour tous les individus. En effet, si cette variable est utilisée comme telle, l'algorithme PLSPM produira une erreur. Pour corriger ce problème, il faudrait perturber cette variable en l'additionnant avec une variable aléatoire uniforme négligable. Il est souhaitable d'utiliser une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle $[-0.01, 0.01]$ d'espérance mathématique nulle.
La notion d'agent est un concept utilisé dans beaucoup de domaines comme la sociologie, la biologie, la psychologie cognitive, la psychologie sociale, l'informatique, etc. Il n'existe pas de définition consensuelle d'un agent. On peut considérer, d'après Russsell, un agent comme une entité qui perçoit son environnement et agit sur celui-ci. Du point de vue de la modélisation, un agent est un système informatique, situé dans un environnement, et qui agit d'une façon autonome pour atteindre les objectifs (buts) pour lesquels il a été conçu ([DRO96], [FAB04]). La notion d'agent en informatique est utilisée dans une optique de Génie Logiciel pour développer des programmes manipulant des agents. Le concept d'agent peut être comparé au concept d'objet dans la programmation orientée objet, ou au concept de prototype dans la programmation orientée prototype. Mais il existe de très grandes différences entre un agent et un objet ou un prototype. En effet, selon Ferber, un agent est une entité autonome, réelle (robots, machines, humains, forêts, animaux, etc.) ou abstraite (composants logiciels, idées, etc.) capable d'agir sur elle-même et sur son environnement ; et qui, dans un univers multi-agents (plusieurs agents), peut communiquer avec d'autres agents, et dont le comportement est la conséquence de ses observations, de ses connaissances et de ses interactions avec les autres agents ([GIL95], [JAQ95]). Dans le domaine des sciences sociales, les systèmes multi-agents (SMA) sont utilisés pour simuler l'évolution d'une population d'agents afin de mieux comprendre la dynamique de plusieurs phénomènes dont la propagation de maladies dans une population, l'identification de comportements émergeants d'une colonie de fourmis, l'identification du mécanisme de propagation de feux de brousse, etc ([SAM09], [SHI00]). La typologie de l'usage des systèmes multi-agents est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 48 : Les types d'utilisation des systèmes multi-agents</figcaption></figure>

### 6.2.1) LA SIMULATION MULTI-AGENTS

Quel qu'en soit l'usage, les SMA possèdent une base théorique commune. Dans le contexte de la modélisation des processus de résilience sociale, seule la simulation multi-agent est utilisée. Il s'agit du développement de SMA permettant de simuler l'évolution d'une société d'agents et d'en étudier les propriétés, éventuellement émergentes.
## Généralités sur la simulation multi-agents

Encore appelé modèle micro-analytique par Collins et Jefferson ou simulation centrée-individu, la simulation multi-agents est une forme de modélisation permettant de représenter directement les individus, leurs comportements et leurs interactions dans le modèle. Elle prend appui sur deux grands principes. Le premier concerne l'idée selon laquelle il est possible de représenter, sous la forme d'un programme informatique, le comportement des individus qui agissent sur un environnement donné. Le second principe suppose qu'il est possible de représenter un phénomène comme le résultat des interactions d'un ensemble d'individus dont l'évolution de l'effectif résulte des comportements (coopération, lutte, reproduction, etc.) entre les différents individus, chacun disposant de ses propres éléments opératoires (ressources, stratégies, etc.). La simulation multi-agents possède l'avantage d'intégrer à la fois des paramètres quantitatifs (grandeurs numériques) et des paramètres qualitatifs (comportements, stratégies). Il est possible d'y intégrer à la fois des variables quantitatives, des équations mathématiques (relations linéaires, équations différentielles, etc.), et des règles symboliques.

Il faut bien comprendre que les différentes représentations se situent au niveau micro, c'est-à-dire au niveau de l'individu, au sens statistique du terme. Les individus (agents) interagissent non seulement entre eux, mais aussi avec l'environnement. Le développement d'un système de simulation multi-agents revient à la construction informatique d'un « micro-monde artificiel » sur un ordinateur dont il est possible de contrôler toutes les caractéristiques et de reproduire des séries d'expérimentations comme s'il s'agissait de situations de laboratoire. Ferber ([JAQ95]) compare les systèmes de simulation multi-agents aux maquettes de format réduit utilisées en aéronautique ou en construction navale. Pour lui, la seule différence entre un système de simulation multi-agent et une maquette de construction aéronautique ou navale réside dans le fait que le modèle multi-agents est exprimé sous la forme d'une entité informatique (un programme) alors que le modèle de l'aéronef ou du bateau est exprimé dans une structure physique (une maquette).

En pratique, une fois développé, un système multi-agents est utilisé de façon interactive par l'utilisateur. Celui-ci change les paramètres du modèle (conditions environnementales) afin d'observer leurs effets sur la dynamique du système. Ainsi, l'on est capable d'observer directement le déplacement des individus et les modifications de leurs comportements. Par conséquent, ces simulations sont utilisées pour tester de nombreuses hypothèses dans des conditions qu'il peut être impossible d'obtenir dans la réalité, soit par principe éthique, soit du fait de la nature même du phénomène. Enfin, dans ce type de modèle, des comportements globaux inattendus peuvent émerger des interactions complexes entre individus. Il est donc possible d'obtenir des comportements au niveau macro uniquement à partir des règles d'interactions qui gouvernent les individus au niveau micro.
## La notion d'agent

**Définition 6.2.1.1** : Un agent est une entité physique (entité réelle) ou abstraite (entité virtuelle) plongée dans un environnement sur lequel elle est capable d'agir. Il dispose d'une capacité de perception et de représentation partielle de l'environnement et peut communiquer avec d'autres agents. Un agent possède un ensemble de tendances (objectifs, fonction de satisfaction, etc.) et peut agir d'une façon autonome afin d'atteindre ses objectifs.

De par sa définition, un agent est donc une entité réelle ou abstraite caractérisée par son autonomie dans la prise de décision, ses connaissances sur lui-même et sur les autres agents, et sa capacité à agir sur l'environnement dans lequel il évolue. La structure d'un agent peut être représentée par la figure suivante :

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 49 : Structure d'un agent</figcaption></figure>

Dans la littérature, il existe deux (2) types d'agents, à savoir les agents cognitifs et les agents réactifs. Les agents cognitifs disposent d'une représentation explicite de leur environnement et d'une mémoire leur permettant de tenir compte du passé. Les agents cognitifs sont très complexes à mettre en œuvre et seul un petit nombre peut être utilisé. Quant aux agents réactifs, ils n'ont ni une connaissance explicite de leur environnement, ni une mémoire de leur histoire. Ce type d'agents pose des actions en réponse à des stimuli de l'environnement. Il est plus aisé d'utiliser un très grand nombre d'agents réactifs dans la modélisation d'une réalité. Cependant, la frontière entre la nature cognitive et réactive des agents n'est pas très nette dans de nombreuses situations. Dans de nombreuses applications réelles, on peut trouver des agents jouant des rôles à la fois cognitifs et réactifs (agents hybrides). Pour des questions d'efficacité, il faudrait mieux s'affranchir d'une telle distinction en se concentrant sur la représentation des agents et leurs interactions selon les réalités de l'environnement modélisé.
# Les systèmes multi-agents

**Définition 6.2.1.2** : On appelle système multi-agents (ou SMA), un sextuple $\mathcal{S} = (\mathcal{E}, \mathcal{A}, \mathcal{O}, \mathcal{R}, \mathcal{P}, \mathcal{L})$ désignant un système composé de :

1. Un espace vectoriel $\mathcal{E}$ muni d'une métrique. Cet espace représente l'environnement (en général le plan réel muni de la distance euclidienne).

2. Un ensemble $\mathcal{A}$ représentant l'ensemble des agents. Les agents sont les entités actives du système.

3. Un ensemble $\mathcal{O}$ représentant l'ensemble des objets de l'environnement. Les objets sont les entités passifs du système et peuvent être perçus, créés, détruits et modifiés par les agents. Leur position peut être déterminée à chaque instant.

4. Un ensemble $\mathcal{R}$ représentant l'ensemble des relations qu'entretiennent les agents entre eux ou les objets entre eux.

5. Un ensemble $\mathcal{P}$ représentant les différentes opérations permettant aux agents de percevoir, produire, consommer, transformer et manipuler les objets.

6. Un ensemble $\mathcal{L}$ désignant l'ensemble des lois de l'univers modélisé. Il s'agit des règles d'application des opérations et la réaction de l'environnement suite à ces tentatives de modification.

Un système multi-agents peut donc être considéré comme un système distribué composé d'un ensemble d'agents situés dans un certain environnement. Ces agents interagissent entre eux selon un système de communication spécifique. Le mode de communication entre les agents est donc fondamental dans la mise en œuvre des SMA. Le mode de communication est aussi lié à la manière dont les agents perçoivent leur environnement et interagissent avec celui-ci. D'une manière générale, dans un SMA, chaque agent a une vue partielle de l'environnement. Il ne perçoit l'environnement que de manière locale. De ce fait, il n'y a aucun contrôle global dans un système multi-agents, mais des comportements individuels localisés sur des parties de l'environnement.

Du point de vue théorique, la communication est un domaine extrêmement vaste et les nombreuses théories y afférents se sont développées dans plusieurs domaines comme la sociologie, la psychologie, etc. La communication désigne l'ensemble de processus physiques et psychologiques par lequel s'effectue l'opération de mise en relation d'un émetteur avec un ou plusieurs récepteurs, dans l'intention d'atteindre certains objectifs. Il s'agit d'une forme particulière d'action ayant pour objectif, non pas de transformer l'environnement, mais plutôt de modifier les schémas de représentations mentales des agents récepteurs (buts, croyances, etc.). Elle peut revêtir plusieurs formes (ordre, information, etc.). Dans le contexte des SMA, comme le souligne si bien J. Ferber, la communication n'est pas une simple question d'entrée-sortie classique dans les systèmes informatiques, il faut plutôt la modéliser comme un acte pouvant influer sur l'état des autres agents de l'environnement.
## L'organisation des SMA

Il existe deux (2) types principaux de systèmes multi-agents, à savoir les SMA à contrôle centralisé et les SMA à contrôle distribué. Dans un SMA à contrôle centralisé, les agents ne communiquent pas directement. Ils perçoivent l'environnement à travers un espace commun et global de partage d'informations qui leur sert de réserve de stimulus et dont l'évolution leur permet d'agir et de modifier leur comportement. La communication est donc indirecte et implicite, elle se fait par partage d'informations. L'architecture d'un tel SMA est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 50 : Exemple de communication par partage d'informations</figcaption></figure>

Contrairement aux SMA à contrôle centralisé, dans les SMA à contrôle distribué, les agents communiquent directement entre eux grâce à des messages qu'ils s'envoient les uns aux autres de manière explicite. L'agent récepteur d'un message peut modifier son comportement ou pas en toute autonomie selon ses propres buts, le niveau de ses ressources et conformément à sa propre stratégie. Un exemple d'architecture d'un SMA à contrôle distribué est donné par la figure suivante :

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 51 : Exemple de communication par envoi de messages</figcaption></figure>
Implémentation d'un SMA

Un SMA est avant tout un modèle informatique basé sur la description des agents, des interactions entre ces agents et l'environnement dans lequel ils évoluent. Il s'agit donc de programmer, au sens informatique du terme, cette description à l'aide d'un outil approprié. A cet effet, plusieurs solutions existent dans de nombreux langages de programmations (Scala, Java, Small Talk, C, etc.). Malheureusement, ces langages sont relativement complexes à utiliser et nécessitent une solide base en programmation. Cependant, il existe des langages plus simples dont le langage Logo développé pour apprendre la programmation aux enfants de façon ludique. Une version plus puissante de ce langage (NetLogo) a été développée et adaptée au développement des SMA. En réalité, NetLogo est à la fois un langage de programmation et un logiciel dédié au développement de modèles de simulation multi-agents. Il s'agit d'une des solutions les plus simples qui existe dans ce domaine, mais qui reste extrêmement puissante pour des applications industrielles. Dans le cadre de la simulation des processus de résilience sociale, NetLogo est la plateforme et le langage idéal. Hormis son apprentissage relativement simple par rapport aux autres outils existants, les deux modes de communications peuvent être implémentés et même combinés dans le modèle de simulation développé. Le modèle est développé sur la plateforme qui sert aussi à l'exploitation du modèle par l'utilisateur final. La figure suivante présente l'environnement de simulation de NetLogo (onglet « Interface ») avec un exemple de modèle simulant la dynamique de propagation du VIH-SIDA au sein d'une population d'individus (les agents) :

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 52 : Exemple d'un SMA dans NetLogo</figcaption></figure>
Dans l'environnement NetLogo, l'onglet « Code » fournit l'interface de codage permettant de programmer le modèle en utilisant le langage NetLogo. La figure suivante présente une partie du code du modèle de simulation de la propagation du VIH-SIDA ci-avant présenté :

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 53 : Exemple de code NetLogo</figcaption></figure>

Une fois la description spécifiée et programmée, l'essentiel de l'usage des SMA consiste à simuler le comportement des agents dans l'environnement en faisant varier les paramètres ajustables du modèle. Un tel modèle computationnel dans le contexte de la résilience, est sans aucun doute, un outil idéal pour la simulation de la dynamique d'évolution des états de résilience des individus dans le temps.

## 6.3) LES MODELES DE DYNAMIQUE INDIVIDUELLE

Les modèles de dynamique individuelle sont des modèles de simulation multi-agents. Il s'agit donc de programmes informatiques basés sur une description des règles régissant l'évolution des individus suite aux valeurs prises par les différentes variables d'actions. Ces modèles sont des modèles de simulation du comportement d'un ensemble d'agents dans un environnement donné. Dans le cadre de la modélisation de la résilience, il s'agit de préciser à quoi correspond un agent, les relations qu'entretiennent ces agents ainsi que les variables permettant aux agents de percevoir et d'agir sur leur environnement.
Dans le contexte des politiques de résilience, les actions elles-mêmes constituent des variables, ainsi que certains paramètres nécessaires. Les modèles de dynamique individuelle sont donc composées de paramètres et de relations.

### 6.3.1) LES PARAMETRES DE DYNAMIQUE INDIVIDUELLE

#### Les agents

Ce sont essentiellement les individus ayant subi le choc traumatique considéré. Une proportion de ces individus est résiliente et une autre ne l'est pas. L'enjeu du modèle est de pouvoir visualiser interactivement l'évolution des états de vulnérabilité représentant les capacités de rebond des individus dans le temps. Le taux initial d'individus dans chaque état de vulnérabilité est donc un paramètre important des modèles de dynamique individuelle.

#### L'environnement

L'environnement est l'espace physique dans lequel évoluent les individus. Il s'agit ici d'un système de coordonnées géométriques définissant un espace vectoriel. Dans cet espace, la position de n'importe quel individu est parfaitement connue à partir de ses coordonnées.

#### Les actions

La dynamique des individus est étudiée afin de vérifier l'efficacité des actions retenues sur la croissance de la résilience des individus. C'est justement la possibilité de modifier des modalités des actions qui est à la base de la simulation afin d'en identifier celles qui sont optimales au sens de l'accroissement de la capacité de rebond des individus. Ainsi, les différentes actions sont des paramètres des modèles de dynamique individuelle.

#### Les variables de simulation

Certaines variables sont nécessaires pour effectuer des simulations. Elles permettent d'initialiser le modèle et de modifier l'état initial de l'environnement. Dans les modèles de dynamique individuelle, la taille de la population initiale, les taux initiaux d'individus se trouvant dans chaque état de vulnérabilité sont des variables de simulations essentielles.

#### Les atouts individuels

Dans les modèles de dynamique individuelle, il est possible de prendre en compte les atouts individuels. Pour ce faire, il suffit de définir des variables correspondant à chaque caractéristique individuelle à prendre en compte (âge, situation matrimoniale, salaire, etc.). Les atouts individuels comprennent bien certaines caractéristiques de groupes dans lesquels se trouvent ces individus.
### 6.3.2) LES RELATIONS DE DYNAMIQUE INDIVIDUELLE

#### La dynamique de rebond

Dans les modèles de dynamique individuelle, les conditions de passage des individus d'un état de vulnérabilité à un autre doivent être explicitement définies. Cette définition peut comprendre des équations mathématiques, des règles logiques, etc. Cependant, l'attribution d'un état de rebond à un agent doit être clairement programmée et le changement d'état correspondant doit être appliqué en temps réel sur l'individu dans son évolution dans l'environnement.

#### Les stratégies individuelles

La prise en compte des stratégies individuelles consiste à définir les règles qui gouvernent la prise en compte des variables d'atouts individuels dans la modification des autres variables décrivant la dynamique des individus.

La figure suivante présente le prototype d'un exemple de modèle de dynamique individuelle développé avec NetLogo. Pour des raisons de simplification, on admettra que les individus résilients sont ceux qui ont un degré de rebond supérieur à 50% et les autres sont considérés comme non résilients :

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 54 : Exemple de modèle de dynamique individuelle</figcaption></figure>
# PARTIE IV : L'APPLICATION PRATIQUE DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE
# CHAPITRE 7 : LA PRATIQUE DE LA MODELISATION RESILIOMETRIQUE

L'objectif final de la Résiliométrie est de rendre opérationnel le concept de résilience en utilisant une approche computationnelle de modélisation. L'intérêt des théories et modèles résiliométriques réside dans leur application sur des cas pratiques. Il subsiste cependant une question de taille, à savoir, comment utiliser concrètement la Résiliométrie sur des cas réels et concrets. Cela passe par la clarification de la méthodologie à adopter pour une étude des processus de résilience par l'approche résiliométrique. L'objet de ce chapitre est de présenter toute la méthodologie nécessaire pour une application de la Résiliométrie ainsi qu'une application de quelques méthodes résiliométriques sur des données réelles issues du cas pratique de l'étude du processus de résilience face à la crise ivoirienne dans la ville de Bouaké.

## 7.1) LE PROTOCOLE DE COLLECTE DE DONNEES EN RESILIOMETRIE

Le processus de collecte de données est le point d'entrée de l'application des techniques de la Résiliométrie. Si les données ne sont pas collectées comme l'exigent les algorithmes, les méthodes seront inutilisables. Pour collecter des données sur les processus de résilience, trois éléments doivent guider la conception à savoir le type d'étude, les individus et les variables. Dans les analyses de base, il existe trois types d'études résiliométriques :

* Etude du choc

* Etude des processus de résilience

* Etude des actions

L'étude du choc consiste à rechercher les principales causes du choc traumatique considéré et éventuellement les effets. Les études des processus de résilience, elles, consistent à mesurer la résilience et ses dimensions, étudier les capacités de rebond des individus, identifier d'autres états cognitifs latents chez les individus, déterminer les profils des individus se trouvant dans les différents état de vulnérabilité, étudier les relations entre les dimensions de la résilience, déterminer les trajectoires d'espoir à la résilience des individus et prévoir l'état de résilience des individus à partir de la perception qu'ils ont de leur propre situation de souffrance. Quant aux études des actions, elles visent essentiellement à analyser le niveau d'efficacité des actions déjà menées ou à découvrir les plus susceptibles d'avoir un impact positif significatif sur la croissance de la résilience des individus.
### 7.1.2) INDIVIDUS ET DYNAMIQUE

Les individus utilisables dans la collecte de données sur la résilience sont ceux ayant
subi le choc traumatique considéré. En théorie, tout individu traumatisé peut être une source
d'information acceptable. Cependant, la nécessité d'analyser la dynamique de la résilience
impose, dans l'idéal, un suivi régulier des mêmes individus initialement utilisés pour la
collecte de données dans le temps. Les études de la résilience exigent donc un panel
d'individus sur lesquels les mêmes informations sont collectées de temps en temps.

Il est donc important, pour une question de fiabilité des informations et de faisabilité
des études de résilience, de s'assurer de la disponibilité des individus pour une étude sur le
long terme. Ainsi, la motivation des individus est un paramètre à prendre en compte dans
toute étude de la résilience. Les données nécessaires pour une meilleure étude des processus
de résilience sont donc essentiellement des données de panels (ou données longitudinales). Il
s'agit de collecter les mêmes informations sur un nombre prédéfini d'individus sur plusieurs
périodes.

Cependant, la plupart des modèles résiliométriques fournissent des versions statiques
qui rendent possibles les études ponctuelles sur des individus utilisés une seule fois. Le seul
problème réside dans l'impossibilité de prendre en compte les aspects dynamiques, lorsque les
études ponctuelles sont répétées sur des individus différents à chaque fois.

#### Caractérisation des individus

Bien que les informations dynamiques soient collectées sur les différents individus
traumatisés du panel, la mise en relief des spécificités des différents états ne peut se faire que
par des caractéristiques structurelles propres à ces panélistes. Ainsi, les panélistes seront
caractérisés par un certain nombre d'attributs relativement stables dans le temps, du moins
constants sur un long terme. Ces informations concernent en général des caractéristiques
socioculturelles comme le sexe, la région ou la zone d'habitation, le type d'habitat, la race ou
l'ethnie, la date de naissance, la religion, etc. Ces caractéristiques sont en général qualitatives,
même s'il n'est pas exclu de collecter des informations de nature numérique comme l'âge, la
taille, etc.

La principale propriété de ces données structurelles est qu'elles ont une chance très
faible de changer significativement tout au long de la période de suivi des panélistes. Ainsi,
Dans le protocole de collecte de données, une matrice de caractérisation des panélistes doit
être mise en place dès l'opération de constitution du panel. La constitution de cette matrice
demande un questionnaire ou formulaire approprié et dédié uniquement à la collecte des
informations structurelles sur les panélistes.
### 7.1.2) VARIABLES ET DIMENSIONS

La conception des variables dépend du type d'étude à mener. Certaines études nécessitent des variables latentes décrites par des variables manifestes. D'autres demandent des variables observables ne décrivant aucune variable latente.

#### Etudes des actions

Dans les études des actions, les données collectées se réduisent uniquement à l'appréciation du niveau d'efficacité de chaque action par les différents individus. A chaque action est associée une variable. Dans ce type d'études, l'identification des variables nécessaires se réduit donc à l'identification des actions dont l'efficacité est à étudier. La collecte de données suit la structure décrite par le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 10 : Variables des études des actions</caption><thead><tr><th>Types de variables</th><th>Variables latentes</th><th>Variables manifestes</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Actions entreprises ou à entreprendre</td><td rowspan="3">(pas de variables latentes)</td><td>L'appréciation de l'efficacité de la 1<sup>e</sup> action</td></tr><tr><td>L'appréciation de l'efficacité de la 2<sup>e</sup> action</td></tr><tr><td>Etc.</td></tr></tbody></table>

#### Etudes des chocs

Dans les études des chocs, trois éléments doivent être considérés à savoir les causes du choc, les effets du choc et le choc lui-même. Chaque cause et chaque effet doivent être définis à un niveau de concept car il s'agit de variables latentes. De même, le choc lui-même est considéré comme une variable latente. Ainsi, les causes et les effets sont des concepts qui doivent être décrits par des variables numériques observables censées les caractériser. Quant au choc lui-même en tant que variable latente, il doit être décrit par un ensemble de variables numériques permettant d'apprécier l'intensité du choc. La collecte de données suit donc la structure décrite par le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 11 : Variables des études des chocs</caption><thead><tr><th>Types de variables</th><th>Variables latentes</th><th>Variables manifestes</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Causes du choc</td><td>1<sup>e</sup> cause</td><td>Les variables décrivant la 1<sup>e</sup> cause</td></tr><tr><td>2<sup>e</sup> cause</td><td>Les variables décrivant la 2<sup>e</sup> cause</td></tr><tr><td>Etc.</td><td>Etc.</td></tr><tr><td rowspan="3">Effets du choc</td><td>1<sup>e</sup> effet</td><td>Les variables décrivant le 1<sup>e</sup> effet</td></tr><tr><td>2<sup>e</sup> effet</td><td>Les variables décrivant le 2<sup>e</sup> effet</td></tr><tr><td>Etc.</td><td>Etc.</td></tr><tr><td>Intensité du Choc</td><td>Choc</td><td>Les variables décrivant l'intensité du choc</td></tr></tbody></table>
## Etudes des processus de résilience

Dans les études des processus de résilience, presque toutes les variables collectées sont des variables quantifiées numériquement décrivant des dimensions. La notion de dimension de résilience est fondamentale et doit guider la conception des variables. Chaque dimension prise en compte est donc décrite par un certain nombre de variables manifestes. Il est très important, d'associer à chaque variable manifeste décrivant une dimension, la limite minimale à partir de laquelle l'individu « enquêté » considère qu'il y a un problème relativement à la caractéristique décrite par cette variable. En plus de ces variables, l'auto-appréciation de leur situation de souffrance doit être collectée sur les individus. Cette variable qualitative est essentielle pour pouvoir effectuer une prévision de la résilience effective des individus. La collecte de données suit donc la structure décrite par le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 12 : Variables des études des processus de résilience</caption><thead><tr><th>Types de variables</th><th>Variables latentes</th><th>Variables manifestes</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Dimension de la résilience</td><td rowspan="2">1<sup>e</sup> dimension</td><td>Les variables décrivant la 1<sup>e</sup> dimension</td></tr><tr><td>Les limites des variables de la 1<sup>e</sup> dimension</td></tr><tr><td rowspan="2">2<sup>e</sup> dimension</td><td>Les variables décrivant la 2<sup>e</sup> dimension</td></tr><tr><td>Les limites des variables de la 2<sup>e</sup> dimension</td></tr><tr><td></td><td>Etc.</td><td>Etc.</td></tr><tr><td>Situation de souffrance</td><td>(pas de variable latente)</td><td>Auto-perception de la situation de souffrance</td></tr></tbody></table>

La définition des dimensions à prendre en compte dépend des particularités de l'étude et du domaine d'application de la Résiliométrie. En ce qui concerne le domaine des sciences sociales, en partant des travaux réalisés par de nombreux auteurs, un travail synthétique sur les dimensions de la résilience a été effectué dans le cadre de cette thèse. Ce travail a permis de retenir dix dimensions jugées fondamentales dans les processus de résilience sociale.

### 7.1.3) LES DIMENSIONS DE LA RESILIENCE SOCIALE

L'analyse de la résilience, du moins par l'approche résiliométrique, reste tributaire aux dimensions retenues. Même s'il n'est pas possible de figer les dimensions pour tous les domaines dans lesquelles le concept de résilience est applicable, il est possible, pour un domaine bien spécifique, d'en fournir une orientation, voire un standard. C'est dans ce contexte que, sur la base de nombreuses études et travaux de recherches, les auteurs Coulibaly Tiekoura, Achiépo Odilon et al ([COU15]) ont proposé dix dimensions de la résilience sociale. Ces dimensions se veulent universelles sans que les indicateurs utilisés pour les caractériser soient figés car ceux-ci dépendent en grande partie de l'objectif et des contraintes de l'étude.
Les dimensions retenues résultent d'une synthèse de celles proposées par plusieurs auteurs et organismes. Plus précisément, ces dimensions sont issues des travaux de Boris Cyrulnick, de Berkes, Colding et Folke, de Hollnagel et al., de Woods (2006), de Westrum (2006), de Wolin (1995), de Manciaux (1999), de Vanistendael et Lecomte (2000), de l'USAID (2011), de Connor et Davidson (2003), de Lyons (1991), de Clausen (1993), de Werner (2001), de Werner et Smith (1992), de Rutter (1985), de Jean-Michel Reinert (2013), de Achiépo Odilon (2014) et de Kouadio Odounfa Alice (2015). En plus de ces auteurs, les dimensions prises en comptent incluent celles utilisées dans l'élaboration d'outils de mesure de la résilience comme la « résilience scale for adults » (RSA) proposée par Odin Hjemdal, Oddgeir Friborg, Monica Martinussen et H. Rosenvingeen (2001), et la « Connor Davidson Resilience Scale » (CD-RISC) issue des travaux de Kathryn Connor et Jonathan Davidson (2003). Le choix de ces dimensions est effectué selon trois critères essentiels. Tout d'abord, la fréquence de la dimension (ou ses synonymes) dans les différents travaux. Ensuite, le degré de corrélation de la dimension avec la notion de résilience et la crédibilité de la source de publication. Enfin, l'importance que la dimension proposée accorde aux aspects personnels et environnementaux de la résilience. Suite à ce travail, les dix dimensions essentielles de la résilience sociale sont les suivantes :

1) Le sens de la cohérence

2) La prise de conscience

3) Le sens de l'humour

4) Le sentiment de non culpabilité

5) L'attitude pro-sociale

6) L'habileté à résoudre des problèmes

7) La perception d'efficacité

8) L'adaptation au milieu

9) Le sentiment de contrôle interne

10) La spiritualité

## Le sens de cohérence

C'est un caractère qui peut aider un individu à prévenir une déstructuration et une rupture en cas de situation très stressante. Ce sentiment suggère un recul, une objectivation et une analyse de la situation adverse. Les personnes qui ont un sens de cohérence élevé peuvent s'avérer moins facile à atteindre sur le plan du comportement et de l'émotivité par les stresseurs qu'elles subissent. De plus, le sens de la cohérence détermine la capacité à maîtriser les incohérences et les événements de la vie.

## La prise de conscience

C'est la capacité à identifier les problèmes, leurs sources et à chercher des solutions tout en étant à l'écoute des autres. La prise de conscience caractérise les individus sur lesquels une action efficace peut être menée et connaitre un succès. Les individus n'ayant pas pris conscience de leur situation de souffrance ne peuvent devenir résilients.
## Le sens de l'humour

Cette capacité est, selon Freud, la plus élevée de toutes. Elle est très étudiée dans les recherches sur la résilience. On en trouve dans les travaux de B. Cyrulnik, de Stefan Vanistendael et de Jacques Lecomte. Gisèle Tessier définit l'humour comme « un état d'esprit qui permet de surmonter les contrariétés et les chagrins en les tournant en dérision. Ainsi sont mis à distance, par le sourire, les affects trop pénibles; l'humour est donc une ressource pour nous sortir des épreuves ».

## Le sentiment de non culpabilité

La culpabilité est un sentiment qui se manifeste souvent par de l'angoisse et/ou une dépression fréquente. On la définit comme une émotion relative à un individu ou à un groupe social et qui repose sur le sentiment, qu'il soit justifié ou non, que l'on porte une responsabilité personnelle dans un événement fâcheux. Ainsi, pour beaucoup de chercheurs, avoir un sentiment de non culpabilité, contribue fortement à la résilience de l'individu.

## L'attitude pro-sociale

Les attitudes pro-sociales permettent à un individu, lorsque le besoin se fait sentir, d'avoir recours à des ressources et à un soutien social tel qu'un tuteur. Tous les auteurs préoccupés par le concept de la résilience en viennent à mentionner les relations avec autrui et l'importance, pour l'individu, d'avoir des attitudes pro-sociales et des aptitudes relationnelles lui permettant d'établir des contacts avec les autres.

## L'habilité à résoudre les problèmes

Cette caractéristique correspond à l'aptitude à chercher des solutions aux problèmes qui se posent, à trouver des ressources. Elle est un gage de l'action pour les individus, étant entendu que l'habileté à résoudre les problèmes est une caractéristique fondamentale de la résilience.

## La perception d'efficacité personnelle

Cette dimension concerne les croyances des personnes en leurs capacités à réaliser leurs ambitions. Il n'y a rien à attendre des individus qui projettent une image négative d'eux-mêmes car la perception que l'on a de soi détermine notre disposition mentale à la résilience.

## L'adaptabilité aux milieux

Le milieu de vie ou de travail peut influencer positivement ou négativement l'individu. La capacité d'adaptation à ce milieu est donc une caractéristique importante permettant à l'individu d'activer son processus de résilience quel que soit le milieu dans lequel il se trouve.

## Le sentiment de contrôle interne

Ce sentiment incite l'individu à croire qu'il a personnellement le contrôle sur une situation. Il permet à une personne d'être active dans la résolution d'un problème étant donné sa conviction de pouvoir modifier une situation.
## La spiritualité

Certains spécialistes des sciences humaines avancent que la spiritualité est un facteur qui contribue hautement à la résilience. Elle est l'un des facteurs qui donne du sens à la vie. Elle se réfère au sens, au but et aux valeurs de la vie humaine. Les croyances spirituelles peuvent conduire à la résilience lorsque les actions sociales sont inefficaces.

## 7.2) LES ELEMENTS D'ANALYSE RESILIOMETRIQUE

### Les solutions d'analyse résiliométrique de base

La plupart des modèles et théories résiliométriques sont implémentés à l'aide du langage R ([JON09], [RCO13], [RIH96]) sous la forme de fonctions. Le tableau suivant donne les principales solutions analytiques de base de la Résiliométrie :

<table><caption>Tableau 13 : Solutions analytiques de base de la Résiliométrie</caption><thead><tr><th rowspan="2">N</th><th rowspan="2">Fonctions R développées</th><th rowspan="2">Objectifs de l'analyse</th><th colspan="2">Types de données</th></tr><tr><th>Instantanées</th><th>Panels</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="5">1</td><td rowspan="5">rkmesure()</td><td>Mesure de la résilience et de ses dimensions</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>Identification des états de vulnérabilité des individus</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>Détermination du profil des individus des différents états de vulnérabilité</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>Calcul des paramètres d'espoir à la résilience</td><td></td><td>×</td></tr><tr><td>Calcul des paramètres de dynamique d'évolution des états de vulnérabilité</td><td></td><td>×</td></tr><tr><td rowspan="2">2</td><td rowspan="2">rklatent()</td><td>Classification des individus selon leurs états cognitifs latents</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>Détermination des profils des individus se trouvant dans les différents états cognitifs latents</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>3</td><td>rkespoir()</td><td>Calcul des trajectoires des espoirs que les individus ont de devenir résilients</td><td></td><td>×</td></tr><tr><td>4</td><td>rkdimension()</td><td>Identification des interactions entre les dimensions</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>5</td><td>rkchoc()</td><td>Analyse de la significativité des causes et des effets du choc</td><td>×</td><td></td></tr></tbody></table>
Les algorithmes ont été développés à l'aide du langage R. Les solutions analytiques de base de la Résiliométrie disposent de versions utilisables sur des données en coupes instantannées (collectées en une seule fois) et de versions utilisables sur des données de panels (collectées plusieurs fois sur les mêmes individus). Les analyses sur données de panels possèdent l'avantage de prendre en compte l'aspect dynamique de la résilience. La fonction de base est la fonction **rkmesure** dont les résultats sont exploités par la plupart des autres fonctions. En pratique, l'usage de ces fonctions nécessite que l'utilisateur soit initié au logiciel R. Une telle initiation doit être prévue dans la vulgarisation de la Résiliométrie.

Outre les méthodes disponibles sous forme de fonctions R, deux types de modèles nécessitent une interaction avancée avec l'utilisateur. En effet, leur usage nécessite que l'utilisateur modifie interactivement certains paramètres et observe leurs effets. Pour ce faire, il est plus judicieux de se référer à des outils logiciels fournissant de telles fonctionnalités. Les modèles qui sont proposés dans ce cadre sont des prototypes devant être adaptés par l'utilisateur en fonction de la réalité modélisée. Le tableau suivant donne les solutions analytiques de la Résiliométrie nécessitant l'usage d'un logiciel spécialisé :

<table><caption>Tableau 14 : Solutions analytiques prototypes de la Résiliométrie</caption><thead><tr><th rowspan="2">N</th><th rowspan="2">Objectifs de l'analyse</th><th rowspan="2">Prototypes de modèles développés</th><th rowspan="2">Outils logiciels</th><th colspan="2">Types de données</th></tr><tr><th>Statiques</th><th>Panels</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Analyse de l'efficacité des actions entreprises ou à envisager</td><td>Modèles de variables d'action</td><td>GeNIes</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>2</td><td>Simulation de l'évolution des états de résilience des individus selon les combinaisons d'actions</td><td>Modèles dynamiques individuelles</td><td>NetLogo</td><td></td><td>×</td></tr></tbody></table>

L'utilisation des prototypes de modèles nécessite que l'utilisateur se familiarise avec les plateformes logicielles correspondantes. Dans la vulgarisation de la Résiliométrie, la prise en main de ces outils doit être envisagée pour une plus grande efficacité.

## Présentation des données utilisées

Dans le cadre de cette thèse, les données utilisées sont issues de l'observatoire de la résilience dans la ville de Bouaké (Côte d'Ivoire). En effet, la Côte d'Ivoire a connu une longue période de crise militaro-politique, allant de 2002 à 2012. Cette crise a déstructuré tous les secteurs de l'activité économique et a engendré de nombreuses fractures sociales. Les régions les plus touchées sont le centre et l'ouest du pays. C'est ainsi que, dans le cadre des activités de l'UMI Résilience, la ville de Bouaké a été choisie pour mener des enquêtes relatives à la résilience de la population ([KOU14b]). Ces enquêtes sont effectuées avec quatre questionnaires destinés respectivement aux ménages, aux jeunes, aux adultes et aux personnes âgées.
Dans cette thèse, seules des données relatives aux adultes sont exploitées car ces études et les questionnaires sont élaborés en dehors du cadre de la Résiliométrie. Il est donc évident que la structure des questionnaires et la nature des données collectées ne cadrent pas complètement avec les exigences de la Résiliométrie. Certaines données nécessaires comme les bornes de résilience n'existent pas ; d'autres, comme les informations structurelles sur les panélistes ne sont pas collectées de façon explicite et directe. En plus de cela, la stratification des questionnaires ne permet pas d'utiliser les tranches d'âges (jeunes, adultes, personnes âgées) pour caractériser les différents états, étant donné que chaque catégorie d'individus est étudiée isolément. Ainsi, dans le cadre de l'application des méthodes résiliométriques, l'usage des données relatives à l'observatoire de la résilience à Bouaké est donc limité aux analyses possibles avec les données disponibles. Par conséquent, pour les besoins de présentation des résultats des méthodes non utilisables sur les données disponibles, des données simulées seront utilisées. Ces données pourront être aléatoirement générées ou composées à partir des données disponibles. Dans ces situations, les résultats n'ont aucune prétention de refléter une quelconque réalité. Il s'agit uniquement d'illustrer les méthodes résiliométriques développées.

Les données utilisées pour l'analyse de la résilience des populations adultes de Bouaké suite à la crise ivoirienne sont constituées de 22 variables issues des enquêtes de l'observatoire de la résilience de Bouaké et collectées sur 117 adultes. La résilience est étudiée en prenant en compte cinq (5) des dix dimensions énumérées relatives à la résilience sociale. La répartition de ces variables en dimensions est donnée par le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 15 : Dimensions de la résilience et indicateurs retenus</caption><thead><tr><th>DIMENSIONS</th><th>INDICATEURS</th><th>NUMERO</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Sens de l'humour (SDH)</td><td>Sens de l'humour (senshum)</td><td>6.3</td></tr><tr><td>Créativité (creativite)</td><td>6.12</td></tr><tr><td rowspan="4">Attitude pro-sociale (APS)</td><td>Communication (communic)</td><td>6.1</td></tr><tr><td>Sociabilité (sociabilite)</td><td>6.2</td></tr><tr><td>Altruiste (altruiste)</td><td>6.8</td></tr><tr><td>Réseaux relationnels (relation)</td><td>6.9</td></tr><tr><td rowspan="3">Habileté à resoudre des problèmes (HRP)</td><td>Capacité à planifier (planific)</td><td>6.13</td></tr><tr><td>Aptitude à chercher les solutions (solution)</td><td>6.15</td></tr><tr><td>Degré d'autonomie (autonome)</td><td>6.18</td></tr><tr><td rowspan="3">Sentiment de contrôle interne (SCI)</td><td>Estime de soi (estime)</td><td>6.4</td></tr><tr><td>Confiance en soi (confiance)</td><td>6.5</td></tr><tr><td>Foi en son propre avenir (favenir)</td><td>6.6</td></tr><tr><td rowspan="3">Spiritualité (SPI)</td><td>Optimisme (optimisme)</td><td>6.11</td></tr><tr><td>Persévérance (persever)</td><td>6.14</td></tr><tr><td>Attachement à la religion (religion)</td><td>6.25</td></tr></tbody></table>

En plus des variables de description des dimensions, d'autres sont utilisées pour jouer des rôles bien précis. Le tableau suivant donne ces variables et les rôles qui leur sont assignés :
<table><caption>Tableau 16 : Variables retenues pour des rôles particuliers</caption><thead><tr><th>ROLES</th><th>VARIABLES</th><th>NUMERO</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Caractéristiques structurelles (variables descriptives)</td><td>Quartier (quartier)</td><td>0.3</td></tr><tr><td>Exercez-vous une activité quelconque ? (activite)</td><td>1.1</td></tr><tr><td>Etes-vous marié ? (mariage)</td><td>2.8</td></tr><tr><td>Avez-vous été victime de violences liées à la crise ? (violence)</td><td>4.1</td></tr><tr><td rowspan="2">Variables d'intensités du choc</td><td>Situation politique actuelle (politique)</td><td>8.1</td></tr><tr><td>Situation économique actuelle (economie)</td><td>8.2</td></tr><tr><td>Auto-perception de sa situation de souffrance</td><td>Perception des conditions de vie par rapport à l'année dernière (perception)</td><td>1.16</td></tr></tbody></table>

## Les limites des données réelles et données simulées

Les données réelles disponibles sont insuffisantes pour illustrer toutes les analyses résiliométriques possibles. En effet, ces données ne peuvent servir qu'à fournir une estimation de la résilience et de ses dimensions, et ce, dans un contexte purement statique. Il s'ensuit que, si elles sont utilisées comme telles, il est impossible d'identifier les états de résilience des individus et de calculer les profils d'évolution des états de vulnérabilité. En effet, aucune analyse dynamique ne peut être effectuée puisque ces données sont collectées en une seule fois. Pour palier ces problèmes, cette thèse aura recours à des données simulées à partir des données réelles disponibles par des procédures aléatoires, ce qui permettra de disposer des données de panels. Il est donc important de comprendre qu'en dehors des analyses statiques, tout ce qui a trait aux aspects dynamiques est essentiellement basée sur un tirage aléatoire des données censées représentés les observations des périodes suivantes. Les résultats issues des analyses dynamiques doivent être compris comme telles. Il y a donc une hypothèse relativement forte selon laquelle, les données que l'on aurait eues si on avait collecté trois fois les données sur les mêmes adultes de Bouaké suivraient un processus aléatoire tel que fournit par l'algorithme de génération aléatoire du panel proposé.

## Détermination des bornes de résilience

Une manière simple d'obtenir des bornes de résilience pour chaque caractéristique consiste à demander aux individus d'en fournir eux-mêmes. Cette pratique a l'inconvénient de conférer un caractère subjectif à ces bornes. Une autre approche consiste à générer aléatoirement les bornes de résilience dans le spectre des valeurs observées sur les individus. C'est cette option qui est utilisée dans cette thèse. Elle possède la caractéristique de n'être pas subjective. Cependant, le tirage aléatoire est critiquable car, d'un point de vue algorithmique, elles dépendent de l'ordre d'apparition des individus dans la base de données. L'idéal serait de développer des méthodes permettant de calculer les bornes de résilience individuelles sur la base de la distribution des caractéristiques étudiées. Cet aspect, non abordé dans cette thèse, pourrait faire l'objet de recherches futures.
## 7.3) LES ANALYSES RESILIOMETRIQUES SUR DONNEES STATIQUES

Les analyses statiques prennent appui sur les données extraites de l'enquête de Bouaké. Un extrait de cette base de données est donné par la figure suivante :

<table><caption>Figure 55 : Extrait de la base de données d'observatoire de la résilience de Bouaké</caption><thead><tr><th></th><th>A</th><th>B</th><th>C</th><th>D</th><th>E</th><th>F</th><th>G</th><th>H</th><th>I</th><th>J</th><th>K</th><th>L</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>quartier</td><td>activite</td><td>marriage</td><td>violence</td><td>communic</td><td>sociabilite</td><td>senshum</td><td>estime</td><td>confiance</td><td>favenir</td><td>altruiste</td><td>relation</td></tr><tr><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td></tr><tr><td>5</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td></tr><tr><td>6</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>5</td><td>5</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>7</td><td>4</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td><td>5</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>8</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>9</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td>10</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td></tr><tr><td>11</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td>12</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><td>13</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td></tr><tr><td>14</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>4</td></tr><tr><td>15</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td>16</td><td>5</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td>17</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Pour illustrer toutes les méthodes résiliométriques, les analyses statiques seront effectuées en utilisant des données générées selon l'algorithmme suivant :

Algorithme 21 : Prétraitement des données et génération des bornes de résilience avec R

1. library(xlsx)

2. base <- read.xlsx(file="dbadulte.xls", sheetIndex=1, header=TRUE)

3. base$quartier <- factor(paste("Q", base$quartier, sep=""))

4. base$activite <- factor(ifelse(base$activite==1, "Oui", "Non"))

5. base$mariage <- factor(ifelse(base$mariage==1, "Marie", "Seul"))

6. base$violence <- factor(ifelse(base$violence==1, "Oui", "Non"))

7. base$perception <- factor(ifelse(base$perception==1, "Meuilleur", ifelse(base$perception==2, "Identique", "Mauvaise")))

8. # Generation aleatoire des bornes individuelles pour les 15 capacites (var manifestes)

9. index.manif <- 5:19 # indexes des variables manifestes (dans base)

10. nbmanif <- length(index.manif)

11. set.seed(1000)

12. borne <- as.data.frame(matrix(sample中央 seq(1,5,by=0.5), nrow = base)*nbmanif), nrow = base)*nbmanif), ncol = nbmanif)))

13. names(borne) <- paste("b", names(base)[index.manif], sep=".")

14. # base finale

15. basef <- data.frame(base, borne)

16. # specification des indexes des types de variables dans la base.f

17. base desc <- basef[,1:4] # variables de caracterisation

18. v. percep <- basef[,22] # variables d'auto-perceptions (qualitative)

19. mbase <- basef[,c(1:4,20:22)] # base des variables manifestes et leurs bornes

20. index.manif <- 1:15 # variables manifestes (numeriques)

21. index.borne <- 16:30 # variables de caracterisation

22. #
L'algorithme fournit des données pour la mise en œuvre des méthodes résiliométriques propres aux jeux de données collectés en un instant donné (coupes instantanées). On y trouve la base de données principale (mbase) composée non seulement des données sur les variables manifestes censées décrire les différentes dimensions de la résilience, mais aussi des bornes de résilience correspondantes aux caractéristiques (les variables manifestes) prises en compte. On y trouve aussi la base de données de description des individus (base desc) constituée des informations structurelles permettant de les caractériser. Outre ces deux bases de données, les index des variables manifestes (index.manif) et ceux des bornes qui leur sont associées (index.borne) issus de la base de données principale doivent être précisés. Ces index doivent apparaître dans deux vecteurs de même longueur de telle sorte que les éléments de même indice correspondent à une variable manifeste et à sa borne respectivement.

## Implémentation avec R

Un exemple d'implémentation d'un modèle de mesure statique avec le langage R est donné par l'algorithme suivant :

<caption>Algorithme 22 : Mise en œuvre d'un modèle statique de mesure avec R</caption>

1. ###########################################
2. ########################################### MESURE STATIQUE DE LA RESILIENCE ###########################################
3. ###########################################
4. source("rkmesure.R")
5. # Spécification d'un modèle statique sans interactions
6. smodele <- "# modele de mesure"
7. SDH =~ senshum+creativite
8. APS =~ communic+sociabilite+altruiste+relation
9. HRP =~ planific+solution+autonome
10. SCI =~ estime+confiance+favenir
11. SPI =~ optimisme+persever+religion
12. "
13. # Spécification d'un modèle statique avec interactions
14. smodele <- "# modele de mesure"
15. SDH =~ senshum+creativite
16. APS =~ communic+sociabilite+altruiste+relation
17. HRP =~ planific+solution+autonome
18. SCI =~ estime+confiance+favenir
19. SPI =~ optimisme+persever+religion
20. # interactions
21. SPI ~ APS+HRP
22. SDH ~ APS
23. "
24. # Estimation d'un modèle statique (avec ou sans interactions)
25. res.stat <- rkmesure(smodele, mbase, index.manif, index.borne, base desc, scale=FALSE,
26. igraph=TRUE, ograph=FALSE, graphe.resilience=TRUE,
27. graphe.souffrance=TRUE, profil=TRUE, min.split=15)
28.
29.
L'objet « res.stat » contient l'estimation de la résilience (et de ses dimensions), les états de vulnérabilité de chaque individu, et plusieurs autres informations. La détermination des états de vulnérabilité est effectuée en appliquant la théorie stochastique de la résilience. Outre ces informations qui peuvent être exploitées ultérieurement, l'algorithme fournit des graphiques permettant d'avoir une appréciation rapide des grandes tendances.

## Mesure de la résilience

Les estimations de la résilience et de ses dimensions, fournies en sortie de l'algorithme sur la base des informations utilisées, sont données par le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 17 : Estimations de la résilience et ses dimensions dans un cas statique</caption><thead><tr><th></th><th>SDH</th><th>APS</th><th>HRP</th><th>SCI</th><th>SPI</th><th>resilience</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>-0.5299756</td><td>-0.06629362</td><td>-0.368063</td><td>-0.8467757</td><td>-0.1789465</td><td>-0.4690995</td></tr><tr><td>2</td><td>0.03800162</td><td>-1.700939</td><td>-0.6723588</td><td>-0.4431522</td><td>-1.179163</td><td>-1.03327</td></tr><tr><td>3</td><td>-0.5299756</td><td>-0.4440255</td><td>-0.731537</td><td>-0.8467757</td><td>-1.550008</td><td>-0.9177702</td></tr><tr><td>4</td><td>-0.5299756</td><td>-0.4440255</td><td>-1.439436</td><td>-0.8467757</td><td>-1.739407</td><td>-1.136302</td></tr><tr><td>5</td><td>-0.9045592</td><td>0.6714168</td><td>0.09471883</td><td>0.3093361</td><td>0.01045162</td><td>0.1404717</td></tr><tr><td>6</td><td>-0.9045592</td><td>0.378725</td><td>-0.6131805</td><td>-0.06690802</td><td>0.4158606</td><td>-0.1724679</td></tr><tr><td>7</td><td>0.1346984</td><td>0.1026801</td><td>0.7835694</td><td>-0.06690802</td><td>0.0450148</td><td>0.2530704</td></tr><tr><td>8</td><td>-0.9045592</td><td>-0.6350303</td><td>-1.016784</td><td>-1.190422</td><td>-0.7737536</td><td>-1.088074</td></tr><tr><td>9</td><td>1.077259</td><td>1.466665</td><td>0.4983224</td><td>1.056606</td><td>0.3812974</td><td>1.152953</td></tr><tr><td>10</td><td>0.6059788</td><td>0.2936849</td><td>0.03554055</td><td>1.056606</td><td>-0.5843555</td><td>0.392868</td></tr><tr><td>11</td><td>0.6059788</td><td>-1.22152</td><td>0.09471883</td><td>-0.06690802</td><td>-1.808533</td><td>-0.5693656</td></tr><tr><td>12</td><td>0.6059788</td><td>-0.8395106</td><td>-0.6723588</td><td>0.6666724</td><td>1.192115</td><td>0.03872127</td></tr><tr><td>13</td><td>-0.4332788</td><td>0.3114382</td><td>1.187173</td><td>0.3093361</td><td>0.01045162</td><td>0.409315</td></tr><tr><td>14</td><td>-0.4332788</td><td>-0.9277221</td><td>-1.479566</td><td>-0.06690802</td><td>-0.1789465</td><td>-0.8323874</td></tr><tr><td>15</td><td>-0.4332788</td><td>-0.06629362</td><td>0.7835694</td><td>-0.4568419</td><td>0.0450148</td><td>-0.008785025</td></tr></tbody></table>

L'algorithme est aussi capable de fournir les graphiques du modèle externe et du modèle structurel correspondants au modèle de mesure de la résilience. Il est aussi capable de traiter aussi bien les modèles sans interactions que les modèles avec interactions. Toutes ces estimations sont effectuées au niveau individuel, qu'il s'agisse de la résilience ou de ses dimensions. En général, les modèles de mesure étant utilisés pour l'estimation de la résilience et ses dimensions, les représentations graphiques des modèles internes et externes n'ont pas un grand intérêt. En plus, en cas de nombreuses dimensions, ces graphiques peuvent devenir illisibles. Cependant, l'algorithme implémenté conserve ces possibilités pour des raisons techniques de vérification de bon fonctionnement des procédures implémentées.

## Calcul des degrés de rebond et des états de vulnérabilité

L'application de la théorie stochastique de la résilience permet d'obtenir le degré de rebond et l'état de vulnérabilité de chaque individu comme le montre le tableau suivant :
<table><caption>Tableau 18 : Estimation statique des degrés de rebond et des états de vulnérabilité</caption><thead><tr><th></th><th>paneliste</th><th>degre</th><th>vulnerabilite</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>60</td><td>legere</td></tr><tr><td>2</td><td>2</td><td>46.67</td><td>grave</td></tr><tr><td>3</td><td>3</td><td>46.67</td><td>grave</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>53.33</td><td>legere</td></tr><tr><td>5</td><td>5</td><td>73.33</td><td>legere</td></tr><tr><td>6</td><td>6</td><td>46.67</td><td>grave</td></tr><tr><td>7</td><td>7</td><td>80</td><td>legere</td></tr><tr><td>8</td><td>8</td><td>33.33</td><td>grave</td></tr><tr><td>9</td><td>9</td><td>93.33</td><td>legere</td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>66.67</td><td>legere</td></tr><tr><td>11</td><td>11</td><td>46.67</td><td>grave</td></tr><tr><td>12</td><td>12</td><td>60</td><td>legere</td></tr><tr><td>13</td><td>13</td><td>60</td><td>legere</td></tr><tr><td>14</td><td>14</td><td>66.67</td><td>legere</td></tr><tr><td>15</td><td>15</td><td>40</td><td>grave</td></tr></tbody></table>

Comme dans le cas des modèles de mesure, le calcul des degrés de rebond et des états de vulnérabilité se font au niveau de chaque individu. L'algorithme fournit aussi un graphique de visualisation simple de l'importance des individus qui se trouvent dans chaque état de vulnérabilité comme le montre la figure suivante :

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 56 : Importance des états de vulnérabilité dans un cas statique</figcaption></figure>