# TD Anisotropie et composites

M.L.M. François

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M.L.M. François. TD Anisotropie et composites. Master. TD Anisotropie, Nantes, France. 2025, pp.3. hal-05457019

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Submitted on 13 Jan 2026

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# T.D. d'anisotropie et composites

M2 MFS, Module XMS3PE712, Nantes Université, M. L. M. François

Version du 17 octobre 2025

## 1 Exercices de calcul tensoriel

Pour les applications numériques on prendra **U**(3, 4, 0) et **V**(4, -3, 0). Les vecteurs **u** et **v** sont les vecteurs normés colinéaires respectivement à **U** et **V**.

a. Calculer le projecteur **P** sur la direction de **U**.

b. Calculer le projecteur **Q** sur le plan $\mathbf{U}^{\perp}$ orthogonal à **U**.

c. Vérifier que $\mathbf{P} \cdot \mathbf{U} = \mathbf{U}$, que $\mathbf{Q} \cdot \mathbf{U} = 0$, et la caractéristique des projecteurs $\mathbf{P}\mathbf{O}\mathbf{P} = \mathbf{P}$ et $\mathbf{Q}\mathbf{O}\mathbf{Q} = \mathbf{Q}$. Vérifier que $\mathbf{P} + \mathbf{Q} = \mathbf{I}$ et commenter.

d. Calculer les déterminants de **P** et **Q** et commenter le résultat.

e. Calculer le tenseur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}$ correspondant à une traction d'intensité $\boldsymbol{\sigma}$ dans la direction **u**.

f. Compléter la base $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$. Écrire la matrice de changement de base de la base canonique vers cette base. Donner $\boldsymbol{\sigma}$ dans la base $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$. Par les formules de changement de base, retrouver le tenseur $\boldsymbol{\sigma}$ dans la base canonique. Conclusion sur l'efficacité de cette méthode par rapport à celle de la question (e).

g. Calculer le déviateur de ce tenseur : $\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} = \boldsymbol{\sigma} - \mathrm{trace}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I}/3$

h. Calculer le critère de Von Mises $\sqrt{3}/2\|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}\|$ dans la base canonique puis dans la base naturelle $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$

i. Calculer le tenseur des contraintes correspondant à un état de cisaillement pur $\boldsymbol{\Sigma} = \tau(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{u})$.

j. Calculer la trace, la norme et le critère de Von Mises de $\boldsymbol{\Sigma}$ dans la base canonique et dans la base naturelle $(\mathbf{u}, \mathbf{m}, \mathbf{p})$.

## 2 Exploitation d'une rosette de jauges de déformation

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Jauges (projet hotspot 4) et rosette à 120 degrés</figcaption></figure>

a. Une rosette à 120 degrés est constituée de 3 jauges. On dispose des mesures de la déformation $e_1$ de la jauge a à 0 degrés, $e_2$ de la jauge c à 60 degrés, $e_3$ de la jauge b à 120 degrés, où les angles sont mesurés par rapport à l'axe $x$. Déterminer la matrice donnant les trois composantes ($\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{12}$) du tenseur des déformations en fonction des trois mesures ($e_1, e_2, e_3$).
### 3 Module d'Young d'un matériau tétragonal

On considère l'élasticité plane (2D) d'un matériau tétragonal, c'est à dire qui possède le groupe de symétrie $D_4$, celui du carré, que possède le motif dans la figure 2. On rappelle la forme du tenseur d'élasticité tétragonal en base naturelle de Bechterew 2D :

$$ \bar{S} = \begin{bmatrix} S_{1111} & S_{1122} & 0 \\ S_{1111} & S_{1111} & 0 \\ s & 2S_{1212} & 0 \end{bmatrix} \qquad (1) $$

où s indique la symétrie de la matrice. D'autre part, on rappelle l'expression du module d'Young dans la direction **n** d'angle $\theta$ :

$$ \begin{aligned} E(\mathbf{n}) &= (n_i n_j S_{ijkl} n_k n_l)^{-1} \\ \mathbf{n} &= (\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned} $$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Motif avec groupe de symétrie $D_4$ (Wikipedia)</figcaption></figure>

a. Calculer l'équation de la polaire du module d'Young $E(\theta)$.

b. Exprimer $E^{-1}(\theta)$ sous la forme $aC^2 + b$, où $C = \cos(2\theta)$, à l'aide des formules de trigonométrie suivantes :

$$ \cos^2(\theta) = \frac{1+C}{2} $$

$$ \sin^2(\theta) = \frac{1-C}{2} $$

c. La figure 3 donne l'allure de la fonction $E(\theta)$. Depuis vos résultats précédents, déterminer les valeurs $E_m = E(\pi/4)$ et $E_M = E(0)$ du module d'Young en fonction des $S_{ijkl}$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Polaire du module d'Young $E(\theta)$</figcaption></figure>

d. En déduire les conditions pour que $E(\theta) > 0, \forall \theta$.

e. Que se passerai-t-il concrètement s'il existait un $E(\theta) < 0$ ? En faisant l'analogie avec un ressort, pour quelle raison physique est-ce impossible ?

f. Donner la condition pour que $E$ ne dépende pas de $\theta$. Préciser la valeur de $S_{1212}$ dans ce cas. Écrire la matrice $\bar{S}$ correspondante. Combien de constantes d'élasticité indépendante a-t-on ? Quelle classe de symétrie reconnait-on ?
g. On considère de nouveau le tenseur d'élasticité $\mathbb{S}$ de l'équation [1]. Donner les composantes $M_{ij}$ de la matrice de rotation de $\pi/4$ (le sens importe peu). Calculer la composante $S'_{1112}$ du tenseur $\mathbb{S}'$ qui est le tourné de $\mathbb{S}$ de $\pi/4$.

h. En observant la figure 3, quel sont les éléments de symétrie (plans de symétrie et axes de symétrie) du tenseur d'élasticité ? En déduire la forme (au sens de l'équation [1]) de la matrice $\bar{S}'_{I,J}$ des composantes de $\mathbb{S}'$ dans la base naturelle.

i. On rappelle qu'une matrice $\bar{M}$ est définie positive si, pour tout vecteur $\bar{\nabla}$, alors $\bar{\nabla} \cdot (\bar{M} \cdot \bar{\nabla}) > 0$. Cela revient aussi à dire que toutes les valeurs propres de $\bar{M}$ sont positives. Montrer que, puisqu'un tenseur d'élasticité $\mathbb{C}$ est défini positif, alors les modules d'Young sont forcément positifs. Le résultat est-il généralisable en 3D ?

# 4 Module de compressibilité en symétrie cubique

Nous avons étudié en master 1 le module de compressibilité hydrostatique $\mathcal{K}$ du sel NaCl. Nous avions admis implicitement qu'une déformation sphérique, du type $\boldsymbol{\varepsilon} = \varepsilon \mathbf{I}$, était associée à une contrainte sphérique, du type $\boldsymbol{\sigma} = \sigma \mathbf{I}$. Nous allons vérifier ici cette assertion est vraie et identifier le module de compressibilité $\mathcal{K}$ en fonction des composantes du tenseur d'élasticité $\mathbb{C}$.

Un tenseur d'élasticité $\mathbb{C}$ de symétrie cubique, dans sa base de Bechterew naturelle, est de la forme suivante :

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \frac{3k+4\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k+4\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k+4\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \end{bmatrix} $$

où $(k, \mu, G)$ sont trois constantes d'élasticité. On rappelle la correspondance entre les composantes en base de Bechterew et en base canonique : $\bar{C}_{11} = C_{1111}$, $\bar{C}_{12} = C_{1122}$, $\bar{C}_{44} = 2C_{2323}$.

a. Vérifier qu'une déformation sphérique est un tenseur propre de $\mathbb{C}$.

b. En déduire le module de Kelvin $3\mathcal{K}$ associé.

c. L'allure du tenseur des souplesses $\mathbb{S}$ est en tout point similaire à celle du tenseur des rigidités $\mathbb{C}$ ci-dessus. Pourquoi ?

d. Calculer les composantes $\bar{S}_{I,J}$ du tenseur des souplesses $\mathbb{S}$, dans cette même base de Bechterew, en fonction de $(K, \mu, G)$. On rappelle que $\mathbb{C} : \mathbb{S} = \mathbf{I}$.

e. Calculer la valeur de l'invariant $\mathbf{I} : \mathbb{S} : \mathbf{I}$ (où $\mathbf{I}$ est le tenseur identité du second ordre), tout d'abord en fonction des composantes $\bar{S}_{I,J}$ de $\mathbb{S}$, supposées connues puis, si vous avez fait la question précédente, en fonction de $(K, \mu, G)$.

f. On rappelle l'expression de la matrice de Bond utilisée pour les rotations de tenseurs 3D :

$$ R \begin{bmatrix} R_{11}^2 & R_{12}^2 & R_{13}^2 & \sqrt{2}R_{12}R_{13} & \sqrt{2}R_{11}R_{13} & \sqrt{2}R_{11}R_{12} \\ R_{21}^2 & R_{22}^2 & R_{23}^2 & \sqrt{2}R_{22}R_{23} & \sqrt{2}R_{21}R_{23} & \sqrt{2}R_{22}R_{21} \\ R_{31}^2 & R_{32}^2 & R_{33}^2 & \sqrt{2}R_{33}R_{32} & \sqrt{2}R_{33}R_{31} & \sqrt{2}R_{31}R_{32} \\ \sqrt{2}R_{21}R_{31} & \sqrt{2}R_{22}R_{32} & \sqrt{2}R_{23}R_{33} & R_{22}R_{33} + R_{23}R_{32} & R_{21}R_{33} + R_{23}R_{31} & R_{22}R_{31} + R_{21}R_{32} \\ \sqrt{2}R_{11}R_{31} & \sqrt{2}R_{12}R_{32} & \sqrt{2}R_{13}R_{33} & R_{12}R_{33} + R_{13}R_{32} & R_{13}R_{31} + R_{11}R_{33} & R_{11}R_{32} + R_{12}R_{31} \\ \sqrt{2}R_{11}R_{21} & \sqrt{2}R_{12}R_{22} & \sqrt{2}R_{13}R_{23} & R_{12}R_{23} + R_{13}R_{22} & R_{13}R_{21} + R_{11}R_{23} & R_{11}R_{22} + R_{12}R_{21} \end{bmatrix} $$

Déterminer la matrice de rotation $R_{ij}$ (en base canonique) autour de $\mathbf{e}_3$ et d'angle $\pi/4$. En déduire la matrice de Bond exprimée ci-dessus en base de Bechterew.

g. Calculer les composantes du tenseur $\mathbb{C}$ tourné par la rotation $R$ données par : $R(C)_{I,J} = R_{IP}R_{JQ}C_{PQ} = R_{IP}C_{PQ}R_{QI}^T$.