# Utilisation d'un jeu sérieux en mathématiques : de la manipulation d'objets à l'abstraction des notions de calcul littéral en 4e et 3e

Elsa Birckel-Lespets

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Elsa Birckel-Lespets. Utilisation d'un jeu sérieux en mathématiques : de la manipulation d'objets à l'abstraction des notions de calcul littéral en 4e et 3e. Mathématiques [math]. 2023. dumas-04761211

HAL Id: dumas-04761211

https://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-04761211v1

Submitted on 31 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

# Utilisation d'un jeu sérieux en mathématiques
De la manipulation d'objets à l'abstraction des
notions de calcul littéral en 4° et 3°

Elsa Birckel-Lespets

Mémoire en vue de l'obtention du grade de master MEEF4

Métiers de l'Enseignement, de l'Éducation et de la Formation

Pratique et Ingénierie de la Formation

Médiation Scientifique et Culturelle

INSPE de la Polynésie Française

Université de la Polynésie Française

Sous la direction de Rodica Ailincai et Jean Chaumine

Mai 2023
A mes enfants,

Elio

Arthur

César

Eva
Résumé

Le travail de recherche que présente ce mémoire étudie dans quelle mesure l'utilisation d'un jeu sérieux en mathématiques, mettant en action les élèves par la manipulation d'objets, favorise l'abstraction des notions de calcul littéral. Un artefact a été conçu spécialement pour l'expérimentation qui a été menée auprès de cinq classes de 4° et 3°. Cet outil pédagogique a permis d'analyser d'une part si la mise en forme des trois modes de représentations des connaissances de Bruner (le mode « enactif », le mode « iconique » et le mode « symbolique ») permettait d'accompagner les élèves à l'abstraction de ces notions. D'autre part, il a permis de mesurer en quoi l'aspect ludique renforçait les apprentissages, en comparaison à une activité dépourvue de cet aspect.

Mots-clés : manipuler pour apprendre, artefact, jeu sérieux, calcul littéral, socioconstructivisme, trois modes enactif–iconique–symbolique, motivation.
Ce mémoire a été rédigé dans les normes APA 7ème édition.
Remerciements

Je remercie particulièrement mes deux directeurs de mémoire, Rodica Ailincai et Jean Chaumine. Rodica Ailincai, pour sa clairvoyance éducative et pédagogique qui a ouvert mon regard à de nouveaux horizons à explorer, et son indéniable qualité de guide bienveillante. Jean Chaumine pour ses conseils pertinents et son aide éclairante sur les aspects mathématiques et méthodologiques de recherche.

Je remercie Mirna Tehaamoana sans qui l'expérimentation n'aurait pas pu se faire, pour son
accueil chaleureux, ses conseils, et la confiance qu'elle m'a accordée pour mon expérience
pédagogique alternative.

Je remercie également Jean-Jacques Salone, car en un temps record, il m'a permis d'orienter efficacement mes recherches dans une direction pertinente.

Mes remerciements vont aussi à mes collègues de promotion, dont les encouragements ont été
précieux pour avancer sur le chemin du savoir.

Je remercie chaleureusement ma famille. Mes parents, Antoine et Florence, qui ont toujours cru en moi, pour m'avoir permis concrètement de dégager du temps dans ma vie de maman pour aboutir à la réalisation de mes projets. Mon mari, Samuel, pour son soutien constant, pour son regard aimant qui a toujours été pour moi une énergie d'épanouissement. Mes quatre enfants, Eva, César, Arthur et Elio, débordants de vie et source d'inspiration quotidienne, pour le respect qu'ils m'ont accordé dans ce projet d'étude.
Sommaire

<table><tr><td>RESUME</td><td>3</td></tr><tr><td>REMERCIEMENTS</td><td>5</td></tr><tr><td>LISTE DES SIGLES ET ACRONYMES</td><td>11</td></tr><tr><td>INTRODUCTION</td><td>12</td></tr><tr><td>CHAPITRE 1 : CADRE THEORIQUE ET REVUE DE LITTERATURE</td><td>15</td></tr><tr><td>1 CADRE THEORIQUE</td><td>15</td></tr><tr><td>1.1 L'APPRENTISSAGE DE L'ABSTRACTION ET LA FORMATION DES CONCEPTS</td><td>15</td></tr><tr><td>1.1.1 Définition des termes abstraction et concept</td><td>15</td></tr><tr><td>1.1.2 L'abstraction empirique et l'abstraction réfléchissante</td><td>17</td></tr><tr><td>1.1.3 Comment apprendre l'abstraction : la formation des concepts</td><td>18</td></tr><tr><td>1.1.4 Les obstacles à la compréhension</td><td>23</td></tr><tr><td>1.2 UN SUPPORT PEDAGOGIQUE POUR LA MOTIVATION DANS LES APPRENTISSAGES : LE JEU SERIEUX</td><td>24</td></tr><tr><td>1.2.1 Définition de la motivation intrinsèque et extrinsèque</td><td>24</td></tr><tr><td>1.2.2 La dimension du jeu dans les apprentissages</td><td>26</td></tr><tr><td>1.2.3 La Théorie des Situations Didactiques</td><td>28</td></tr><tr><td>1.2.4 Le constructivisme et le socioconstructivisme</td><td>29</td></tr><tr><td>1.2.5 La zone proximale de développement</td><td>32</td></tr><tr><td>1.3 UN CHEMIN VERS L'ABSTRACTION : L'ETAPE CONCRETE</td><td>33</td></tr><tr><td>1.3.1 Quelques exemples de pédagogies « alternatives »</td><td>34</td></tr><tr><td>1.3.2 Les neurosciences dans les apprentissages</td><td>35</td></tr><tr><td>1.3.3 La théorie des intelligences multiples</td><td>38</td></tr><tr><td>1.4 LA MEDIATION INSTRUMENTALE : L'UTILISATION D'UN ARTEFACT POUR APPRENDRE</td><td>41</td></tr><tr><td>1.4.1 Définition de la médiation scientifique instrumentale</td><td>41</td></tr><tr><td>1.4.2 Définition de la manipulation et d'un artefact</td><td>43</td></tr><tr><td>1.4.3 La théorie de la médiation sémiotique</td><td>44</td></tr><tr><td>1.5 CREATION D'UN JEU SERIEUX POUR DECOUVRIR LES NOTIONS « DEVELOPPER » ET « FACTORISER » EN CLASSE DE 4°</td><td>46</td></tr><tr><td>1.5.1 Les directives ministérielles des accompagnements de programme (les compétences chercher et représenter, le calcul littéral)</td><td>46</td></tr><tr><td>1.5.2 Un guide fondamental pour enseigner : la résolution de problème au cycle 4</td><td>48</td></tr><tr><td>1.5.3 Présentation du jeu sérieux : « Le jeu du livreur »</td><td>49</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1.5.4</td>
      <td>Modèle théorique pour l'analyse : les trois modes de représentations</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6</td>
      <td>CONCLUSION PARTIELLE POUR LE CADRE THEORIQUE :</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>REVUE DE LITTERATURE</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>POINT SUR LA REVUE DE LITTERATURE AU SUJET DE L'UTILISATION DES ARTEFACTS.</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2</td>
      <td>ANALYSE DES POINTS D'EFFICACITE ET DES OBSTACLES FACE A L'UTILISATION DES ARTEFACTS.</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.1</td>
      <td>Un relevé des points d'efficacité :</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.2</td>
      <td>Un relevé des obstacles et difficultés :</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3</td>
      <td>POINT SUR LA REVUE DE LITTERATURE AU SUJET DE L'UTILISATION DE JEUX SERIEUX</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.1</td>
      <td>Un relevé des points d'efficacité :</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.2</td>
      <td>Un relevé des obstacles et difficultés :</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4</td>
      <td>CONCLUSION PARTIELLE POUR LA REVUE DE LITTERATURE</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">CHAPITRE 2 : METHODOLOGIE.</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>LA POPULATION CIBLE.</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1</td>
      <td>CONTEXTE DE PROTOCOLE D'EXPERIMENTATION.</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2</td>
      <td>LA CLASSE DE 4°A :</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3</td>
      <td>LA CLASSE DE 4°E :</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4</td>
      <td>LA CLASSE DE 4°C :</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5</td>
      <td>LA CLASSE DE 3°F :</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6</td>
      <td>LA CLASSE DE 3°D :</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>OUTILS ET INSTRUMENTS DE RECUEILS DE DONNEES</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3</td>
      <td>METHODES D'ANALYSE</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>LA MICROGENETIQUE DIDACTIQUE</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1</td>
      <td>Présentation de cette méthode d'analyse.</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.2</td>
      <td>Adaptation de cette méthode d'analyse à notre corpus.</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>CHOIX DES MOMENTS A ANALYSER PENDANT LES SEANCES.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">CHAPITRE 3 : RESULTATS ET DISCUSSION</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES CLASSES DES 4°A ET DES 4°E</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1</td>
      <td>PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES UTILISEES POUR CETTE ETUDE</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2</td>
      <td>LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3</td>
      <td>LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET LA MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4</td>
      <td>ANALYSE QUALITATIVE DE QUELQUES TRAVAUX D'ELEVES.</td>
      <td>101</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1.5</td>
      <td>ANALYSE COMPARATIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6</td>
      <td>LA MOTIVATION DANS LE TRAVAIL D'APPRENTISSAGE</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES CLASSES DES 4°A ET DES 4°C</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2</td>
      <td>LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3</td>
      <td>LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET LA MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4</td>
      <td>ANALYSE COMPARATIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.5</td>
      <td>LE SENS DE LA VARIABLE X</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6</td>
      <td>LA MOTIVATION DANS LE TRAVAIL D'APPRENTISSAGE</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3</td>
      <td>ANALYSE EVOLUTIVE DES 4°A SUR LES TROIS SEANCES</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES UTILISEES POUR CETTE ETUDE</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>EVOLUTION DES COMPOSANTES DE SAVOIR</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>EVOLUTION DES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>ANALYSE EVOLUTIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>EVOLUTION DE LA MOTIVATION DANS TRAVAIL D'APPRENTISSAGE</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4</td>
      <td>ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES 3°F ET LES 3°D</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>LES MISES EN ACTIONS ET LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>LA MOTIVATION DANS TRAVAIL D'APPRENTISSAGE</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5</td>
      <td>ANALYSE DES RESULTATS DU QUESTIONNAIRE</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>LE BESOIN DE MANIPULER DES ARTEFACTS</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>L'ETAPE ICONIQUE</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>LA PLUS-VALUE DU JEU SERIEUX VUE PAR LES ELEVES</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6</td>
      <td>SYNTHESE DES RESULTATS</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7</td>
      <td>DISCUSSION</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">CONCLUSION</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">SITOGRAPHIE</td>
      <td>156</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
TABLES DES TABLEAUX.................................................................................................................. 156

TABLES DES FIGURES.................................................................................................................. 157

ANNEXES................................................................................................................................................. 160

1 PRESENTATION DU JEU DU LIVREUR.................................................................................. 160

1.1 ANNEXE A : CARTES « MISSIONS » .................................................................................. 160

1.2 ANNEXE B : « PLAQUES DES VALISES » ET « PLATEAU DES ILES ».................................................. 164

1.3 ANNEXE C : TRADUCTION EN LANGAGE MATHEMATIQUE .................................................... 165

1.4 ANNEXE D : EXTRAIT DU « LIVRET DES MISSIONS ACCOMPLIES » .................................................. 166

2 FICHE DE COURS DONNES EN CLASSE.................................................................................. 168

2.1 ANNEXE E : ACTIVITE 4°A 21 NOVEMBRE (DECOUPES EN PETITS MORCEAUX) .................................................. 168

2.2 ANNEXE F : FICHE LEÇON 4°A 21 NOVEMBRE (INSTITUTIONNALISATION DES NOTIONS REDUIRE, DEVELOPPER ET FACTORISER).................................................................................................................. 169

2.3 ANNEXE G : FICHE ACTIVITE/LEÇON 4°E 10 NOVEMBRE................................................................. 170

2.4 ANNEXE H : INSTITUTIONNALISATION 4°E 22 NOVEMBRE ................................................................. 171

2.5 ANNEXE I : COURS DES 3°D 10 NOVEMBRE ET COURS DES 3°F 9 NOVEMBRE .................................................. 172

2.6 ANNEXE J : QUESTIONNAIRE .................................................................................................................. 173

3 CORPUS DES SEANCES FILMEES, TRANSCRITES ET CODEES.................................................. 174

3.1 ANNEXE K : CODAGE DE 4A_DA_9NOV_F55.................................................................................. 174

3.2 ANNEXE L : CODAGE DE 4A_DA_9NOV_F56.................................................................................. 177

3.3 ANNEXE M : CODAGE DE 4A_De_9NOV_F55.................................................................................. 181

3.4 ANNEXE N : CODAGE DE 4A_De_9NOV_F56.................................................................................. 184

3.5 ANNEXE O : CODAGE DE 4A_FA_10NOV_F56.................................................................................. 186

3.6 ANNEXE P : CODAGE DE 4A_DEFA_21NOV_F55.................................................................................. 191

3.7 ANNEXE Q : CODAGE DE 4A_De_21NOV_F55.................................................................................. 195

3.8 ANNEXE R : CODAGE DE 4A_FA_21NOV_F55 .................................................................................. 200

3.9 ANNEXE S : CODAGE DE 4A_FADERES_21NOV_F55 .................................................................................. 203

3.10 ANNEXE T : CODAGE DE 4A_FADE_21NOV_F56.................................................................................. 205

3.11 ANNEXE U : CODAGE DE 4A_FADERES_21NOV_F56.................................................................................. 210

3.12 ANNEXE V : VISIONNAGE 4A_9NOV_F55.................................................................................. 215

3.13 ANNEXE W : VISIONNAGE 4A_10NOV_F56.................................................................................. 217

3.14 ANNEXE X : CODAGE DE 4E_DA_10NOV_F56.................................................................................. 219

3.15 ANNEXE Y : CODAGE DE 4E_De_10NOV_F56.................................................................................. 224

3.16 ANNEXE Z : CODAGE DE 4E_FA_24NOV_F55.................................................................................. 237
<table><tr><td>3.17</td><td>ANNEXE AA : CODAGE DE 4C_DA_8NOV_F49</td><td>246</td></tr><tr><td>3.18</td><td>ANNEXE AB : CODAGE DE 4C_DE_8NOV_F49</td><td>251</td></tr><tr><td>3.19</td><td>ANNEXE AC : CODAGE DE 4C_FA_21NOV_F56</td><td>254</td></tr><tr><td>3.20</td><td>ANNEXE AD : CODAGE DE 3D_DA_9NOV_F55</td><td>266</td></tr><tr><td>3.21</td><td>ANNEXE AE : CODAGE DE 3D_DA_9NOV_F56</td><td>273</td></tr><tr><td>3.22</td><td>ANNEXE AF : CODAGE DE 3F_DA_9NOV_F49</td><td>277</td></tr><tr><td>3.23</td><td>ANNEXE AG : CODAGE DE 3F_DA_9NOV_F55</td><td>283</td></tr></table>
## Liste des sigles et acronymes

**APA** American Psychological Association

**APMEP** Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public

**CAFFA** Certificat d'Aptitude aux Fonction de Formateur Académique

**CEDRE** Cycle des Évaluations Disciplinaires Réalisées sur des Échantillons

**COPIRELEM** Commission Permanente des IREM sur l'Enseignement Élémentaire

**DEPP** Direction de l'Evaluation de la Prospective et de la Performance

**INSPE** Institut National Supérieur du Professorat et l'Éducation

**IREM** Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

**PISA** Programme International pour le Suivi et les Acquis des élèves

**SCOLA** Système de Communication Ouvert et Ludique pour les Apprentissages

**TIMSS** Trends in Mathematics and Science Study
# Utilisation d'un jeu sérieux en mathématiques :
De la manipulation d'objets à l'abstraction des notions de calcul
littéral en 4° et 3°

## Introduction

L'enseignement des mathématiques en France au primaire et au secondaire connait une dégradation tant du point de vue du niveau scolaire, que l'on a pu mesurer auprès des élèves, que du point de vue des enseignants qui expriment une réelle souffrance dans leur métier, corrélée notamment à cette baisse de niveau. C'est le constat que partagent Cédric Villani et Charles Torossian dans leur rapport publié en 2018 et intitulé « 21 mesures pour l'enseignement des mathématiques ». Avant de proposer des pistes de solutions pour remédier à cette dégradation, ils ont opéré un état des lieux et se sont largement appuyés sur les résultats d'enquêtes auprès des élèves français des douze années précédant leur étude.

Le programme Pisa (Programme international pour le suivi des acquis des élèves) (Ministère de l'Education Nationale, 2018), évalue des élèves de 15 ans (sortant du collège) dans 85 pays participants. Sur les 335 établissements PISA en France métropolitaine et Outre-mer, cette baisse de niveau est avérée, même chez les meilleurs élèves. L'évaluation TIMSS 2015 (Trends in International Mathematics and Science Study) (Ministère de l'Education Nationale, 2015) place la France au dernier rang des 19 pays participants. L'évaluation nationale de l'enquête CEDRE de la direction de l'évaluation de la prospective et de la performance (Depp) (Rosenwald, 2017), indique que 42,4 % des élèves ont une maîtrise fragile des mathématiques, voire de grandes difficultés.

Ce constat alarmant nous a poussés à réfléchir aux leviers que nous pourrions mettre en place au sein de classes de collège, pour atteindre plusieurs objectifs : permettre aux élèves en difficulté de raccrocher aux enseignements et ainsi leur permettre de pouvoir progresser ; permettre aux élèves plus doués d'élargir leur réflexion au sujet du sens qu'ils accordent aux mathématiques et ainsi leur permettre d'augmenter leur niveau ; permettre enfin aux enseignants de retrouver le plaisir d'apprendre dans les deux sens du terme : plaisir éprouvé par les élèves en situation d'apprentissage, et plaisir d'enseigner, qui tous deux contribuent à
la satisfaction professionnelle. Le manque de sens dont les élèves se plaignent souvent, la perte de plaisir face aux tâches d'apprentissage demandées que les professeurs rencontrent souvent dans les classes, nous ont poussés à explorer et à tenter de mettre en œuvre la 5e des vingt-et-une mesures que le rapport de Cédric Villani et Charles Torossian (2018) proposait :

> « Mathématiques : efficacité, plaisir et ambition pour tous. Les étapes d'apprentissage. Dès le plus jeune âge, mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur : la manipulation et l'expérimentation ; la verbalisation ; l'abstraction. »

Force est de constater que les recherches en supports pédagogiques remplissant les objectifs mentionnés ci-dessus restent rares aujourd'hui pour le cycle 4, malgré les quatre années qui nous séparent de la publication de ce rapport, et qui auraient pu laisser l'occasion aux professeurs inspirés d'innover en matière d'enseignement. Pour viser à l'« efficacité » mentionnée dans cette 5° mesure, nous avons dans un premier temps, avant toute expérimentation auprès des élèves, engagé des recherches afin de concevoir un support pédagogique utilisable en classe de 4° et 3°, permettant aux élèves à la fois de manipuler, expérimenter, verbaliser et les mener vers l'abstraction. L'artefact que nous avons fabriqué prend la forme d'un « jeu sérieux », dont nous expliciterons les composantes plus tard. Il ne s'agit cependant pas de l'objet de ce travail.

Notre problématique de recherche s'inscrit dans la phase suivante, lors de l'utilisation de cet outil pendant les cours donnés en classe : **dans quelle mesure l'utilisation et la manipulation des artefacts favorisent-elles l'abstraction de la notion du calcul littéral en classe de 4° et 3° ?**

L'expérimentation que nous avons menée ne portait pas seulement sur la séance d'utilisation de cet artefact, mais aussi sur les suivantes, afin de pouvoir confirmer ou infirmer les deux hypothèses suivantes :

**Hypothèse 1 : La mise en forme des trois modes de représentation de Bruner (le mode « enactif », le mode « iconique » et le mode « symbolique ») dans une activité mathématique permet d'accompagner les élèves à l'abstraction sur la notion du calcul littéral en 4°.**
**Hypothèse 2 :** L'utilisation d'un jeu sérieux motive les élèves à effectuer une activité et à s'approprier de manière plus intense les notions, par rapport à une activité sans aspect ludique, en 4° et en 3°.

Nous avons choisi le collège de Taaone à Pirae (Tahiti, Polynésie française), pour mettre en œuvre notre expérimentation sur une durée de quatre semaines en novembre 2022. Afin de pouvoir mesurer la plus-value que pouvait apporter un jeu sérieux, nous avons délivré différents cours dont le contenu était proche du point de vue des notions abordées et des exercices proposés, mais en variant la forme des supports auprès de plusieurs classes de 4° et 3°. Pour mesurer avec précision un maximum d'éléments, nous avons filmé sous plusieurs angles de vue les élèves durant les séances.

Dans ce mémoire, nous présentons dans un premier temps le cadre théorique, c'est-à-dire les concepts et théories convoqués par la recherche, en lien direct avec notre problématique. Nous avons fait appel à la fois aux concepts qui ont pu nous aider à concevoir notre artefact, choix étroitement liés avec les concepts et théories qui nous ont permis par la suite de mesurer les effets sur les élèves. Dans cette partie, nous présentons aussi en détail le jeu sérieux qui nous a servi pour l'expérimentation. Nous proposons une sélection de résultats de la recherche pour présenter la revue de littérature, afin d'explorer ce qui a déjà été mené autour de cette problématique.

Dans un deuxième temps, nous présentons la méthodologie de l'expérimentation expliquant en détail comment se sont déroulées les séances de cours et comment ont été réalisées les captations filmées. Vient ensuite la présentation des méthodes d'analyses de cette expérimentation, que nous avons enrichie par une triangulation des méthodes.

Nous poursuivons dans une troisième partie par l'analyse des résultats du dépouillement des données.

La synthèse est ensuite mise en confrontation avec la revue de littérature dans une partie intitulée *discussion*.

La *conclusion* offrira une réponse à nos deux hypothèses de départ en lien avec notre problématique, ainsi qu'une formulation de nouvelles questions de recherches que notre étude a pu soulever.
# Chapitre 1 : Cadre théorique et revue de littérature

## 1 CADRE THEORIQUE

Notre recherche porte sur l'étude de la plus-value de l'utilisation d'un artefact et sa manipulation à travers un jeu sérieux, dont l'objectif est de faciliter l'abstraction de concepts mathématiques. Dans cette partie nous allons tout d'abord présenter les grandes lignes au sujet du processus d'abstraction, puis l'intérêt didactique de l'utilisation de jeu sérieux en classe. Puis nous allons faire le point sur la recherche au sujet de l'importance de l'étape concrète dans un apprentissage, et ensuite des moyens pour la mise en place de cette étape à travers le choix d'un artefact, outil de médiation instrumentale. Nous terminerons par la présentation d'un jeu sérieux conçu spécialement pour cette étude et pour son analyse en classe.

### 1.1 L'APPRENTISSAGE DE L'ABSTRACTION ET LA FORMATION DES CONCEPTS

#### 1.1.1 Définition des termes abstraction et concept

> « L'apprentissage des mathématiques nécessite un mécanisme cognitif dans la formation de ses concepts, celui de l'abstraction » (Radford et al., 2009)

Avant d'entrer dans les détails, nous allons donner deux définitions qui nous seront utiles tout le long de cette partie présentant le cadre théorique. Elles seront suivies d'un exemple concret pour illustrer ce qui lie et différencie ces deux définitions.

> D'après le dictionnaire Larousse en ligne, « *l'abstraction* est une opération intellectuelle qui consiste à isoler par la pensée l'un des caractères de quelque chose et à le considérer indépendamment des autres caractères de l'objet ». Par ailleurs, « *un concept* est une idée générale et abstraite que se fait l'esprit humain d'un objet de pensée concret ou abstrait, et qui lui permet de rattacher à ce même objet les diverses perceptions qu'il en a, et d'en organiser les connaissances. »

Autrement dit, *l'abstraction* est un processus cognitif qui permet la formation d'un concept, qui lui est un regroupement d'objets de pensée selon un élément commun. Ainsi,
l'élève en apprentissage crée des liens et exprime son expérience progressivement et à un niveau conceptuel de plus en plus riche (Radford et al., 2009).

Prenons l'exemple d'un des apprentissages du calcul littéral en 4° : l'élève doit être capable d'acquérir le concept de **factorisation**. C'est-à-dire que dans un énoncé d'exercice, si on lui demande par exemple de factoriser l'expression littérale $4x + 20$, il doit d'abord reconnaître que cette expression peut s'écrire $4 \times x + 4 \times 5$, afin qu'elle ressemble au concept de somme de deux produits comportant un facteur commun de la forme $k \times a + k \times b$, où $k, a$ et $b$ sont des nombres relatifs, ici $k$ est le nombre 4, $a$ vaut $x$ et $b$ vaut 5. Puis il doit utiliser le concept **factoriser une expression littérale comportant un facteur commun en écrivant $k \times (a + b)$** qui est cette fois-ci un concept d'action, c'est-à-dire qu'il doit produire une réponse : $4 \times x + 4 \times 5 = 4 \times (x + 5)$. Mais au-delà de la simple exécution de tâche, il doit être capable de comprendre le sens de l'égalité entre ce qui est donné au départ et ce qu'il vient d'écrire, qui est encore un autre concept. Il doit ensuite vérifier que sa réponse correspond bien au concept **produit de deux nombres** qui prouve qu'il a bien exécuté une **factorisation**.

A partir d'un simple exemple d'exercice de mathématiques de 4°, nous avons illustré que l'élève pouvait utiliser cinq concepts pour une seule réponse. Il s'agit ici de l'exercice d'application d'une leçon préalablement étudiée avec l'élève. Les concepts qu'il a mobilisés dans cet exercice sont donc le fruit du *processus d'abstraction* de ces cinq notions abordées lors de leçons précédentes : **factorisation** (qui est un concept qui englobe les sous-concepts suivants), **somme de deux produits comportant un facteur commun, factoriser une expression littérale comportant un facteur commun, sens de l'égalité entre ce qui est donné au départ et ce qu'il vient d'écrire et produit de deux nombres**.

De fait, l'élève a utilisé d'autres concepts, mais vus bien en amont, ce qui rend négligeable le fait de les mentionner dans cet exemple (comme le concept des nombres, le concept de l'addition ou la commutativité de la multiplication...). Seul un concept déjà abordé les années précédentes attire notre attention : celui du sens du nombre $x$, que nous développerons ultérieurement.

Nous allons maintenant nous pencher sur ce *processus d'abstraction*, c'est-à-dire détailler les étapes cognitives lors de la formation d'un concept.
1.1.2 L'abstraction empirique et l'abstraction réfléchissante

Selon Piaget (1974) :

Toute connaissance nouvelle suppose une abstraction (...). On peut alors distinguer
deux sortes d'abstraction selon leurs sources exogènes et endogènes (...). Il existe tout
d'abord un type d'abstraction que nous appelons **empirique** (...) parce qu'elle tire son
information des objets eux-mêmes (...). Mais il en existe une seconde, qui est
fondamentale, car elle recouvre tous les cas d'abstractions logico-mathématiques :
nous l'appellerons **l'abstraction réfléchissante** parce qu'elle est tirée, non pas des
objets, mais des coordinations d'actions (ou d'opérations), donc des activités mêmes
du sujet. (Piaget, 1974, pp. 81-82)

Il nous est apparu important de nous appuyer sur la distinction entre ces deux types d'abstraction, que l'on pourrait assigner à des temps différents dans le processus de la formation de concepts. Pour employer une métaphore, si un enfant veut apprendre à jongler, il doit d'abord savoir lancer une seule balle pour en mesurer son poids, sa texture, la force qu'il doit exercer pour atteindre une certaine hauteur. Si les balles de jonglage représentent les nouveaux concepts qu'il doit intégrer dans son esprit, il s'agirait ici du moment de l'abstraction empirique. Le moment où il commence à jongler avec deux, puis trois balles serait le moment de l'abstraction réfléchissante, où la coordination, la place de chaque balle au bon moment crée une nouvelle action bien plus riche et intéressante par rapport à la maîtrise du lancer des balles isolées.

Il en est de même des concepts que l'élève acquiert dans ses apprentissages. Pour reprendre l'exemple ci-dessus au sujet du concept **factoriser**, la mise en relation, dans le bon ordre, des cinq concepts mobilisés pour répondre à une petite question relève de l'abstraction réfléchissante, qui est un « *processus de formation des connaissances de nature endogène* » (Piaget, 1974). Celle de l'abstraction empirique est de nature exogène. Cela signifie que l'élève reçoit de l'extérieur (ici de la part du professeur de mathématiques) les cinq concepts lors de leçons vues précédemment, ou de savoirs déjà acquis. Pour l'élève, le pas à franchir pour l'abstraction réfléchissante peut être une grande marche à gravir, car il forme à ce moment-là une nouvelle connaissance, une « *structuration* » et une « *réorganisation* » des idées empiriques. Elle est de nature endogène car c'est l'élève qui crée ces nouveaux liens, ce qui revient à « projeter ce qui a été abstrait sur un plan de connaissance supérieur ». Ainsi, même si l'élève a compris chacun des cinq concepts abordés dans la leçon, il se retrouve parfois en
difficulté lorsqu'il doit **projeter**, reconnaitre les bons concepts, **réfléchir** à leur agencement pour répondre à la consigne **factoriser**. Lorsque ce chemin d'abstraction réfléchissante a été franchi, cet **acte créateur** aboutit à un nouvel « **instrument de connaissance** ». On peut alors considérer que certains des cinq concepts cités ci-dessus - produits d'abstractions empiriques - sont, à un moment antérieur, passés par le processus d'abstraction réfléchissante, comme celui de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit de deux nombres.

Par la suite, l'élève pourra ainsi réutiliser le concept **factoriser**, auparavant alourdi par la réflexion de l'abstraction réfléchissante, de façon plus naturelle, car passé à un niveau supérieur de plan de connaissance. Il pourra par exemple l'utiliser pour la résolution d'un problème ou la résolution d'équation nécessitant l'utilisation d'une factorisation.

On peut maintenant se poser la question de comment accompagner au mieux l'élève dans ces processus d'abstractions, qu'elle soit empirique ou réfléchissante.

### 1.1.3 Comment apprendre l'abstraction : la formation des concepts

Selon Radford et al. (2009), « *l'abstraction est l'un des processus cognitifs les plus élémentaires* ».

En effet, c'est par cette action intellectuelle que nous parvenons depuis notre tendre enfance à catégoriser une foule d'idées, tout ce que nous avons pu identifier en regroupant dans notre esprit les caractéristiques de chacune, afin de pouvoir par évocation mentale les reconnaitre ou les réutiliser. Et cette opération intellectuelle n'est pas réservée à l'Homme (Expérience effectuée sur des chimpanzés consistant à classer cinq objets comestibles et cinq objets non comestibles par Savage-Rumbaugh, 1980).

Mais cette démarche intellectuelle peut s'avérer beaucoup plus complexe lors de la phase d'apprentissage d'un savoir enseigné. Pour que l'enseignant soit au clair sur la façon dont il peut au mieux accompagner l'élève, il est important qu'il différencie toutes les étapes de ce processus d'abstraction. Selon Barth (2001) :
Quand on doit s'approprier une connaissance nouvelle, deux choses interviennent : la **structure de cette connaissance** et la **démarche intellectuelle** qu'il faudrait déployer pour l'acquérir. C'est comme un problème à résoudre : il faut séparer la nature du problème des stratégies qui permettent de le résoudre. La représentation initiale qu'on se fait d'un problème à résoudre est primordiale pour sa résolution. (Barth, 2001, p.31)

Mais avant d'entamer la résolution d'un problème, l'élève doit d'abord en réaliser l'existence, en mesurer le sens, en dégager la problématique. Le cheminement de pensée qui va alors s'opérer pourra être guidé par l'enseignant dans un premier temps, mais davantage pour mettre en lumière ce que l'élève sait déjà, et l'aider à utiliser ses savoirs et savoir-faire pour résoudre un nouveau problème. Le rôle de l'enseignant a pour objectif à ce moment-là de le guider sur les **stratégies mentales** qu'il a déjà utilisées auparavant, et de les réutiliser de manière adaptée. L'élaboration de cette **stratégie mentale** est la première phase de l'abstraction, et quand elle sera maîtrisée et réutilisable par l'élève, la deuxième phase d'abstraction sera celle du concept comme produit fini, c'est-à-dire la **structure** de cette nouvelle connaissance.

Précisément, la **stratégie mentale** que l'on utilise pour la création d'un nouveau concept n'est pas nouvelle, mais souvent inconsciente. Barth nous propose la méthode suivante pour aider les élèves à conscientiser cette démarche :

> Quand on acquiert un **concept**, on apprend ainsi à reconnaître et à distinguer les **attributs** qui le spécifient. (...) Pour pouvoir désigner la **combinaison d'attributs**, on la nomme par un mot qui est un symbole arbitraire : **une étiquette**. Elle nous permet de regrouper tous les **exemples** qui possèdent la même combinaison d'attributs dans la même catégorie, quelles qu'en soient les différences par ailleurs. » (Barth, 2001, p.37)

L'enseignant peut organiser la découverte des **attributs d'un concept** comme bon lui semble. Ce qui est important, c'est que l'élève comprenne que tant qu'il n'a pas intégré la combinaison complète de tous ces attributs, il ne pourra acquérir le nouveau concept. C'est par une liste conséquente d'exemples et de **contre-exemples** (Barth estime que cette liste n'est souvent pas assez dense de la part des enseignants) que l'élève atteindra une idée précise de tous les attributs, et donc comprendra dans toute sa largeur l'étiquette qui a été désignée pour nommer ce nouveau concept. « *Pratiquement toute connaissance est structurée de cette façon, y compris le programme scolaire et à tous les niveaux* ».

Voici une modélisation (figure 1) qui schématise la structure opératoire d'un concept :
<caption>Figure 1</caption>

Modélisation de la structure opératoire du concept (proposée par l'auteur)

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Pour reprendre le concept factoriser, voici un exemple de stratégie mentale en cinq étapes que l'enseignant peut utiliser pour mettre en lumière la liste de ses attributs, on y retrouve des sous-concepts cités plus haut :

1° étape : Trouver une stratégie pour répondre à la consigne (donné à l'élève) :

Calculer mentalement : $5×8 + 5×2$ ; $3×6 + 9×3$ ; $13×3 + 13×7$ ; $24×30 + 24×70$.

L'élève qui connait ses tables de multiplication pourra aisément répondre aux deux premières questions. En revanche les deux suivantes pourront lui poser des difficultés. L'enseignant peut guider l'élève en lui posant la question suivante :

**Pour le calcul $13×3 + 13×7$, combien de fois a-t-on le nombre 13 au total ?** L'élève peut répondre intuitivement « il y est deux fois », car écrit deux fois, ce qui est correct du point de vue de l'écriture symbolique. Mais en le guidant autrement, il peut comprendre qu'en fait nous avons 3 fois et 7 fois ce nombre 13, c'est-à-dire 10 fois au total. La stratégie mentale utilisée ici facilite alors le calcul mental, et la réponse 130 sort naturellement. Ce qui permet d'ouvrir une nouvelle question de l'enseignant : « Comment écrire cette stratégie de calcul qui a été opérée mentalement ? ». L'élève décrit alors oralement : « j'ai fait $3 + 7$ pour compter le nombre de fois où figure le nombre 13, puis j'ai calculé $13×10$. » L'enseignant peut alors guider l'élève pour qu'il utilise les symboles mathématiques qu'il connaît déjà (ici les parenthèses) pour traduire en un seul calcul ce qu'il vient de dire : « $13×3 + 13×7 = 13×(3 + 7) = 13×10 = 130$. »

Cette stratégie de calcul sera alors renouvelée dans chacun des quatre calculs.
**2° étape :** C'est par la répétition de ces quatre *exemples* que se dégagent les premiers *attributs* du concept « factoriser », qui pourront être dans un premier temps nommés verbalement par les élèves, en cherchant les points communs entre ces exemples, car « *l'acquisition d'un concept nécessite une interaction verbale* » (Barth, 2001, p.47) :

- Pour factoriser il faut avoir une somme de plusieurs produits

- Il faut avoir un facteur commun dans chacun de ces produits

- Factoriser c'est écrire une seule fois le facteur commun, puis le signe × puis écrire entre parenthèses la somme des autres facteurs communs

- Le calcul de départ est égal au nouveau calcul factorisé (appelé la forme factorisée)

- Quand on a factorisé on peut ensuite continuer le calcul si c'est possible

**3° étape :** Cette liste d'attributs n'est pas complète car il manque le cas de la soustraction. Selon un même schéma d'exemples, on introduit la factorisation d'une différence. On peut alors modifier, toujours oralement, deux des attributs précédents :

- Pour factoriser il faut avoir une somme ou une différence de plusieurs produits

- Factoriser c'est écrire une seule fois le facteur commun, puis le signe × puis écrire entre parenthèses la somme ou la différence des autres facteurs communs

**4° étape :** La *liste des attributs* étant maintenant complète, l'élève va pouvoir laisser une trace écrite de ce nouveau concept dans sa leçon, en donnant une *étiquette* à cette liste. Mais la formulation orale, bien qu'explicite pour l'élève, est trop lourde pour une description écrite. L'utilisation du *langage mathématique symbolique* permet de résumer ces phrases pour définir de façon complète ce nouveau concept :

<caption>Figure 2</caption>

Schéma représentant la factorisation par un nombre k (proposé par l'auteure)
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit.

k, a et b désignent des nombres : $k \times a + k \times b = k \times (a + b)$ et $k \times a - k \times b = k \times (a - b)$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**5° étape :** On peut ensuite proposer une liste de calculs de départ, et l'élève devra dire si l'on peut factoriser ou non. On peut aussi montrer une liste de calculs comportant des erreurs type de factorisation que l'élève devra déceler. Ainsi, l'apport des *contre-exemples* aux côtés de nouveaux *exemples* permettra à l'élève de peaufiner la compréhension de chacun des attributs, en variant au maximum tous les cas de figures.

En résumant ces cinq étapes mentionnées dans l'exemple de ci-dessus, se dégage la **stratégie mentale** que l'enseignant a utilisée, qui peut être un modèle de conscientisation d'acquisition de concept que l'élève peut réutiliser dans n'importe quel domaine, l'ordre des étapes pouvant varier selon la construction pédagogique employée par l'enseignant. On y retrouve les trois phases d'abstraction en tant que *démarche intellectuelle*, et pour la dernière étape l'abstraction en tant que *structure de connaissance* :

**1° étape : La généralisation** : « opération mentale par laquelle on étend à une classe entière ce qui a été observé sur un nombre limité de cas singuliers appartenant à cette classe » (Barth, 2001). C'est la première phase d'abstraction.

**2° étape :** Nommer l'étiquette du concept, reconnaître et distinguer les premiers attributs qui le spécifient.

**3° étape : Extension des attributs** pour une abstraction complète du concept.

Ces deux dernières étapes sont regroupées dans la deuxième phase d'abstraction.

**4° étape : Codification des représentations**, des idées, pour pouvoir les réutiliser, les communiquer (Bruner). C'est la dernière phase du processus d'abstraction.

**5° étape : Evaluation de la compréhension du concept** par des exemples et contre-exemples, et des exercices. L'élève arrive au stade de l'abstraction comme « produit fini ».
Nous avons présenté et illustré par un exemple la formation d'un concept, par le processus d'abstraction selon le modèle de Barth. Nous nous demandons maintenant quels pourraient être les obstacles de compréhension en apportant un éclairage supplémentaire de Herscovics, N. & Bergeron (1982).

### 1.1.4 Les obstacles à la compréhension

La compréhension selon Musial & Tricot (2020) serait définie par le « processus d'élaboration d'une connaissance spécifique d'une situation, d'un texte, d'un objet, d'une image, d'un fait, etc. ». En mathématiques, ce processus peut poser des difficultés à de nombreux élèves : « depuis longtemps le besoin de comprendre a été identifié comme le problème majeur dans l'apprentissage de la mathématique. » (Herscovics & Bergeron, 1982). La question que l'on peut se poser maintenant est : quels sont les obstacles à la compréhension, notamment au processus d'abstraction en mathématiques ?

Selon les travaux de Herscovics et Bergeron (1982) :

> Les théories du traitement de l'information (Simon, 1979), et du constructivisme piagétien (Piaget, 1972) (...) ont conduit à l'identification de **quatre niveaux de compréhension** : le premier, celui de l'intuition, le second impliquant des procédures, le troisième traitant de l'abstraction, et le dernier niveau, celui de la formalisation.

Dans le paragraphe précédent, nous pourrions assimiler le premier niveau de compréhension, celui de l'intuition, à celui de 1. la généralisation, car nous partons de calculs simples et réalisables par l'élève pour en faire émerger l'ébauche d'une idée nouvelle. Le niveau impliquant les procédures (« étape de mathématisation qui agence et coordonne les connaissances intuitives et les prérequis »), et l'étape traitant de l'abstraction, aux étapes 2. Nommer l'étiquette du concept et 3. Extensions des attributs.

J'aimerais m'attarder sur le dernier niveau de compréhension, la formalisation, assimilée à la 4. Codification des représentations, qui présente souvent des difficultés pour certains élèves. En effet :

> Plusieurs recherches récentes ont montré que la **représentation symbolique** de la mathématique pose des problèmes cognitifs particuliers à tous les niveaux scolaires, du primaire à l'université. Par exemple, Ginsburg (1977) et Carpenter et Moser (1979) ont
rapporté que nombre d'enfants pouvaient se débrouiller dans la résolution de problèmes tant qu'ils n'étaient pas obligés de les traiter de façon symbolique. Herscovics (1979) a montré la même chose pour l'algèbre au secondaire, et Clement (1982) pour l'universitaire. (Herscovics et Bergeron, 1982, p.586)

Pour résumer cette première partie, les obstacles à la compréhension peuvent se situer à plusieurs niveaux. L'enseignant se doit de veiller à concevoir son cours de façon que chacune de ces étapes soit abordées, et prévoir en amont où la difficulté peut jaillir. Si la conscientisation de la *démarche intellectuelle* du processus d'abstraction d'un concept, ainsi que celle de la *structure de la connaissance* proposée par Barth (2001) peuvent lever un certain nombre d'obstacles de compréhension, il demeure celui du passage à l'utilisation de la représentation symbolique, qui dans le calcul littéral se traduit par *langage mathématique*. Nous présenterons dans la partie 5 du cadre théorique une proposition de support pour que l'élève découvre et s'exerce à pratiquer la factorisation, sans la symbolisation habituelle. En particulier, dans l'apprentissage du calcul littéral, l'utilisation du nombre noté avec une lettre, x par exemple, est souvent un obstacle majeur, et peut bloquer toute la compréhension et le sens du concept *factoriser*.

En outre, des recherches plus « récentes » que celles de 1979 présentent un autre obstacle à la compréhension des mathématiques, plutôt d'ordre psychologique : celui du manque de motivation pour entrer dans un apprentissage de la part d'un élève. Nous allons développer dans cette deuxième partie l'état de la recherche à ce sujet, et mettre en valeur ce qui pourrait devenir des leviers possibles pour aider les élèves à trouver l'énergie nécessaire pour s'engager sur le chemin de l'abstraction mathématique.

## 1.2 UN SUPPORT PEDAGOGIQUE POUR LA MOTIVATION DANS LES APPRENTISSAGES : LE JEU SERIEUX

### 1.2.1 Définition de la motivation intrinsèque et extrinsèque

Pour Lieury et Fenouillet (2019), la **motivation** désigne une « force intra-individuelle qui peut avoir des déterminants internes ou externes et qui permet d'expliquer la direction, le déclenchement, la persistance et l'intensité du comportement ou de l'action. (...) Les besoins sont à la source de toutes les motivations humaines. »
Cette force intra-individuelle fait souvent défaut dans les apprentissages des mathématiques. Dans ce paragraphe, nous allons présenter les différentes formes de motivations, et cerner les causes d'un manque de volonté à la mise au travail que l'on peut percevoir chez les élèves.

Tout d'abord, notons que ce rejet de la matière se manifeste seulement à partir du collège. En effet, selon l'étude Cedre (Ministère de l'Education Nationale, 2014) :

> 38 % des 18-24 ans déclarent que les mathématiques étaient leur matière préférée à l'école primaire. Le problème n'est donc pas tant de motiver les élèves, que de ne pas les démotiver et de trouver les moyens de cultiver la curiosité, la créativité et le plaisir dans l'activité mathématique. » (Villani & Torossian, 2018, p.13)

Pour ne pas perdre ce plaisir initial que l'enfant peut avoir dans l'apprentissage des mathématiques, on peut d'abord essayer de comprendre plus précisément à quels types de motivations il peut faire appel. Pour reprendre la définition de la motivation citée ci-dessus, la force « intra-individuelle » peut avoir des « déterminants internes ou externes ». Plus loin, Alain Lieury et Fabien Fenouillet reformulent ces termes en désignant la *motivation intrinsèque* et la *motivation extrinsèque*. (Lieury & Feunouillet, 2019)

La *motivation intrinsèque* est définie par « *la recherche d'une activité pour l'intérêt qu'elle procure en elle-même* ; elle correspond à l'intérêt, la curiosité, c'est-à-dire au sens *courant de la motivation*. » (Lieury & Feunouillet, 2019). En d'autres termes, la motivation intrinsèque que peut ressentir l'élève en entrant dans une activité mathématique se situerait au plaisir d'apprendre, à son envie d'enrichir son savoir, de créer des nouveaux concepts, de satisfaire son besoin de comprendre des phénomènes observables que peut lui présenter son enseignant.

La *motivation extrinsèque* « regroupe un large éventail de motivations contrôlées par les renforcements, les notes, les prix, l'argent. » (Lieury & Feunouillet, 2019). Nous pouvons remarquer que l'attrait d'une bonne note peut rester une motivation suffisante pour que l'élève se mette au travail. Mais dépourvue de *motivation intrinsèque*, les activités mathématiques peuvent devenir un « fardeau écrasant de règles et de symboles qu'il s'agit d'apprendre par cœur, et de manipulations dénuées de sens. » (Herscovics & Bergeron, 1982). Et dans le pire des cas, les élèves qui ont malheureusement rencontré trop de fois l'obstacle de la
compréhension ont en plus perdu la *motivation extrinsèque* de la note, en plus de la *motivation intrinsèque* du plaisir d'apprendre.

Si le « besoin est à la source de toute motivation humaine » (Lieury & Feunouillet, 2019), l'enseignant peut trouver des pistes pour faire renaître ce besoin d'apprendre. Nous avons vu précédemment quels pouvaient être les obstacles à la compréhension à différents niveaux. Si ceux-ci ne sont pas levés, la *motivation intrinsèque* en est atteinte, et les activités proposées ne peuvent plus répondre à un besoin d'enrichir ses connaissances. Robert Butler (1954) a mis en évidence un besoin qui ne pouvait pas être régulé naturellement par l'état intérieur : il s'agit du besoin de curiosité. Ce serait un besoin d'origine biologique qui se situerait au niveau du cerveau, qui a besoin de stimulus pour réguler son activité (Herscovics & Bergeron, 1982).

Une des pistes qui pourrait stimuler ce besoin de curiosité est celle de l'utilisation du jeu. En effet, celui-ci est un « comportement spontané qui dure toute la vie. (...) Nous tenons ce besoin inné de nos cousins les animaux. » (Herscovics & Bergeron, 1982). L'enseignement étant parfois trop conceptuel, la dimension ludique pourrait donc être une passerelle pour lever certains obstacles de la mise au travail. Dans le paragraphe suivant, nous explorerons comment intégrer la dimension du jeu dans une action pédagogique dans le but de redynamiser la motivation d'apprendre à l'élève.

### 1.2.2 La dimension du jeu dans les apprentissages

Selon Balancier (2012), « le jeu propose une structuration des connaissances en différents espaces ou modules, tout en exigeant d'effectuer plusieurs tâches en parallèle. Le jeu (...) s'appuie sur nos émotions et nos actions et il est vecteur de dopamine » (la dopamine est l'hormone dite « du plaisir »). Le jeu a donc une double fonction : il permet de construire le savoir en structurant les connaissances, et il est source de plaisir. Or, « le plaisir et le désir sont des moteurs fondamentaux des apprentissages » (Villani & Torossian, 2018). Il élargit son propos en citant Huizinga : « Observer l'homme au travers du prisme du jeu est éclairant à plus d'un titre (...) car l'homme est bien un homo ludens et la vie un jeu ! » (Huizinga, 1951). Par cette expression, on comprend que le jeu fait partie de la nature humaine, et qu'il est un facteur fondamental de tout ce qui se produit au monde.
On en vient alors à se poser la question : qu'est-ce qu'un jeu ? Brougère (2005) tente de définir **cinq caractéristiques qui pourraient définir le jeu** :

- « **Le second degré** : le second degré est la caractéristique première du jeu. C'est le critère qui donne à l'activité son caractère ludique et fictif.

- **La décision** : ce critère désigne le choix de s'engager ou non dans le jeu mais également la succession de choix nécessaires lors d'un jeu ; décider quel coup jouer, où placer sa pièce etc.

- **La règle** : la règle permet d'organiser la décision dans le second degré.

- **La frivolité** : la frivolité correspond à l'idée de gratuité, à l'idée d'une activité sans conséquence au regard des conséquences de nos conduites dans la vie quotidienne. Le jeu donne l'occasion d'essayer des stratégies qui ne seraient pas tentées dans un cadre ordinaire.

- **L'incertitude** : le dénouement du jeu est toujours incertain. » (Résumé par Maillet Ponge, 2020)

Il existe une foule innombrable de jeux, et tous ont la caractéristique de permettre à leur utilisateur d'apprendre ou de s'exercer sur un nouveau savoir ou savoir-faire, ne serait-ce que les règles qui leurs sont assignées. Si pour beaucoup de jeux, ces apprentissages n'ont pas vraiment de fin utile en soi, le fait de maîtriser des nouvelles compétences sont stimulantes et procure du plaisir. Le jeu peut alors devenir un puissant support pédagogique s'il « combine une intention « sérieuse » - de type pédagogique, informative, communicationnelle, marketing, idéologique ou d'entraînement - avec des ressorts ludiques » (« Jeu sérieux », 2023) : il s'agit alors d'un jeu sérieux. Mais si l'on veut créer un jeu sérieux pour introduire l'apprentissage d'un concept du programme scolaire, alors « il faut trouver le bon équilibre entre aspects ludiques et objectifs pédagogiques. » (Balancier, 2012), afin que l'un de ces deux éléments ne perde pas de son intérêt.

Le support jeu sérieux comme activité mathématique semble être pertinent selon la Théorie des situations didactiques de Brousseau (1997), que nous allons développer dans la section suivante.
### 1.2.3 La Théorie des Situations Didactiques

Nous présentons dans cette section une brève présentation de la théorie des situations didactiques selon Brousseau (1997), en exposant une liste choisie de définitions qui en sont les termes clés :

Une situation est l'ensemble des circonstances dans lesquelles une personne se trouve, et des relations qui l'unissent à son milieu.

Une situation didactique est « une situation où se manifeste directement ou indirectement une volonté d'enseigner » (Brousseau, 1997). Les exercices et activités de mathématiques sont des situations didactiques.

Une situation adidactique est une situation d'apprentissage dans laquelle le professeur a « l'intention d'enseigner un contenu mathématique tout en laissant à l'élève la marge de manœuvre et d'initiative la plus grande possible » (Kuzniak, 2005). Il s'agit donc des activités mathématiques où l'élève est moins guidé par le professeur.

Les situations didactiques et adidactiques sont organisées pour permettre un apprentissage. La différence principale entre les deux situations se situe au niveau de la position et du rôle des acteurs par rapport au savoir à enseigner. Dans une situation adidactique, « le professeur se met en retrait et doit se donner pour objectif principal d'établir les conditions "les plus favorables à la mise en action de l'élève » . (Kuzniak, 2005)

Selon les caractéristiques du jeu de Brougère (2005) et les définitions de Brousseau (1997), le format du jeu sérieux pour une activité mathématique semble être pertinent et remplit les critères de situation adidactique. En effet, l'élève a un espace de « décision » qui lui offre donc une « marge de manœuvre » et de prise d'« initiative ». La « règle » du jeu offre un cadre dans lequel le professeur peut insérer « un contenu mathématique ». La « frivolité » est une condition des « plus favorables pour la mise en action de l'élève », ainsi que l'« incertitude » de l'issue du jeu, qui nourrit la motivation extrinsèque de gagner la partie. Mais c'est la motivation intrinsèque qui serait la plus mise en valeur car la volonté d'apprendre un nouveau savoir est l'objectif principal, la peur de l'échec étant grandement diminuée car nous évoluons dans le « second degré ».
Pour exemple, citons l'expérience d'une école publique qui couvre le niveau collège et
le début du lycée de New York, **Quest to learn**, qui semble être convaincue de la pertinence du
jeu sérieux dans les apprentissages scolaires, car tous les cours sont délivrés sous forme de jeux
sérieux, créés par le professeur, ou par les élèves.

Ses résultats, étudiés de près, sont sur le site de Quest to learn
(https://www.q2l.org/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=3458293&type=d&pREC_ID=239037
4), consulté en février 2023):

Selon une nouvelle étude de l'Université de New York, les élèves des collèges et lycées de l'école publique de New York Quest to Learn réalisent une croissance significative de leurs compétences en pensée critique, en raisonnement, en résolution de problèmes et en communication.

L'apport du jeu sérieux entraîne donc une répercussion positive sur des compétences très recherchées par les entreprises, et les élèves viennent avec plaisir à l'école pour apprendre (94% de taux de fréquentation).

Après avoir exploré les différentes formes de motivations, et l'apport du jeu sérieux dans les apprentissages, explorons davantage ce qui peut alimenter la motivation intrinsèque dans une situation d'apprentissage : le constructivisme (théorie développée par Piaget, 1975) et le socioconstructivisme (théorie développée par Vygotsky, 1980).

1.2.4 Le constructivisme et le socioconstructivisme

Développée par Piaget (1975) en réaction au behaviorisme, le constructivisme est une théorie de l'apprentissage fondée sur l'idée suivante :

Chaque apprenant construit la réalité, ou du moins l'interprète, en se basant sur sa perception d'expériences passées. Selon le modèle constructiviste, l'acquisition de connaissance ne se réalise pas par simple empilement mais passe par une réorganisation de conceptions mentales précédentes, un travail de construction ou de reconstruction » (Chekour et al., 2015).

Il est donc important que l'enseignant soit conscient des expériences passées de l'élève,
par une vérification des acquis antérieurs, mais aussi par l'analyse de situations de la vie
courante déjà rencontrées auparavant. L'apport d'un savoir nouveau se greffe donc sur des savoirs acquis, par une réorganisation des connaissances entre les anciennes et les nouvelles.

Face à un savoir nouveau, l'élève peut « soit incorporer les informations perçues au sein de sa structure cognitive (assimilation), soit modifier sa structure cognitive afin d'incorporer les éléments nouveaux provenant de la situation (accommodation) » (Kerzil, 2009), lorsqu'il ne réussit pas à l'assimiler.

Voici une illustration schématique (figure 3) (Musial & Tricot, 2020) de ce qui peut se jouer dans le processus d'assimilation des nouveaux concepts, construits de façon spiralée, selon le modèle constructiviste :

<caption>Figure 3</caption>

Exemple d'un canevas de planification en spirale (Musial & Tricot, 2020, p.146)

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

La méthode de la théorie constructiviste peut donc être une réponse pour lever les obstacles à la compréhension, car l'élève évolue dans un environnement cognitif avec des points de repères, ses connaissances antérieures. Il peut donc construire son savoir et avancer avec assurance sur le chemin de l'assimilation de nouveaux concepts et enrichir ses connaissances. En outre, l'élève est « actif dans la recherche de sens ce qui lui confère une plus grande motivation qui lui permet de mieux ancrer les enseignements » (« Piaget et le constructivisme », 2020). Un jeu sérieux rentre bien dans le cadre de la théorie du constructivisme car l'élève est actif, il construit son savoir en jouant et en assimilant au fur et à mesure les divers éléments du jeu, en particulier le savoir à enseigner que l'enseignant a choisi d'intégrer au jeu.
Plus tard, Vygotsky (1943/1985) élargit cette théorie en y intégrant le rôle interactif dont l'élève peut bénéficier avec les personnes de son entourage : le socioconstructivisme. L'Encyclopédia Universalis définit le socioconstructivisme comme « une technique éducative dans laquelle chaque apprenant est l'agent de son apprentissage et de l'apprentissage du groupe, par le partage réciproque des savoirs ». L'apprentissage est vu comme l'acquisition de connaissances grâce aux échanges entre l'enseignant et les élèves ou entre élèves. Les élèves n'apprennent pas seulement grâce à la transmission de connaissances par l'enseignant mais aussi grâce aux interactions (Doise & Mugny, 1981).

Dans un jeu sérieux non solitaire, la concurrence entre les joueurs, ou bien les échanges au sein d'une même équipe, ou encore les interactions verbales avec l'animateur-enseignant sont autant d'opportunités pour alimenter le débat entre les protagonistes sur les questions de validation de réponses, de compréhension des questions, de stratégies de recherches... Nous pouvons rajouter que la « co-résolution d'une tâche prescrite par l'enseignant et répondant à une situation-problème, les actes de langage ne sont pas que de simples vecteurs de communication. Ils participent au développement d'une motivation intrinsèque par laquelle l'élève « impliqué » devient acteur de ses apprentissages » (Moussu et al., 2005). Nous pouvons conclure que l'activité du jeu sérieux rentre donc bien dans le cadre de la théorie du socioconstructivisme, et dévient une réelle source de motivation dans les apprentissages.

Nous pouvons résumer les trois théories citées précédemment à l'aide du schéma suivant (figure 4 réalisée par Andrée-Caroline Boucher), qui inclut en plus la théorie du *connectivisme* ou *connected learning*, qui ne sera pas développée dans ce mémoire.

<caption>Figure 4</caption>

Schéma des Théories de l'apprentissage (Boucher, 2023)
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

### 1.2.5 La zone proximale de développement

Le rôle de l'enseignant dans la mise en place du jeu sérieux doit être juste et efficace. En effet, pour que la situation soit *adidactique*, il doit se positionner suffisamment en retrait pour que l'élève puisse être « mis en action », et qu'ainsi il puisse construire de lui-même son savoir. Mais il doit avoir pensé son activité pour qu'elle ne soit ni trop difficile, ni trop facile, afin que l'élève puisse progresser. Aussi, il doit être disponible pour l'accompagner dans le franchissement des étapes, ou avoir la possibilité d'être aidé par ses pairs. Ce juste milieu est appelé par Vygostki (1934/1985) la « Zone Proximale de Développement » (figure 5), zone imaginaire « délimitée par le niveau de résolution de problèmes d'un enfant seul (son niveau actuel) et le niveau qu'il peut atteindre lorsqu'il est aidé par un adulte expert. » (Ailincai, 2005) C'est en concevant ses activités éclairées par ce concept, que l'enseignant diminuera au maximum les obstacles à la compréhension.

<caption>Figure 5</caption>

« Zone Proximale de Développement » (2020) (Vygostki, 1934/1985), source Wikipédia l'Encyclopédie
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Pour conclure cette deuxième section, nous avons balayé les théories de l'apprentissages qui pouvaient valider l'efficacité de l'utilisation d'un jeu sérieux en classe, comme les cinq caractéristiques du jeu selon Brougère (2005), la théorie de l'apprentissage selon Brousseau (1997), le concept de constructивisme selon Bruner, les concepts de socioconstructивisme et de zone proximale de développement selon Vygotski (1934/1985). Elles ont justifié qu'un jeu sérieux pouvait être un moteur de motivation pour l'entrée dans les apprentissages, mais aussi un levier pour lever les obstacles à la compréhension et au processus d'abstraction.

Dans la section suivante, nous allons explorer un chemin plus large que celui de l'utilisation d'un jeu sérieux pour accompagner l'élève sur le chemin de l'abstraction : l'étape concrète. Nous allons d'abord découvrir à travers la présentation de trois pédagogies alternatives ce qui est entendu par « étape concrète ». Puis nous allons faire le point sur la recherche du point du vue des neurosciences, et de la théorie des intelligences multiples. Et enfin nous observerons plus attentivement la pédagogie de Maria Montessori, qui donne une place centrale au matériel pédagogique sensoriel.

## 1.3 UN CHEMIN VERS L'ABSTRACTION : L'ETAPE CONCRETE

Au cours du XX° siècle, plusieurs pédagogies dites « alternatives » ont été développées par certains pédagogues ou groupes de chercheurs en pédagogie, convaincus que les pédagogies contemporaines de leur époque n'étaient pas suffisamment efficaces ou source de motivations pour les élèves. Les pédagogies présentées ci-après ont en commun la volonté d'accompagner
l'élève vers le chemin de l'abstraction de concepts, de façon différente que les pédagogies plus courantes, elles intègrent l'étape concrète.

### 1.3.1 Quelques exemples de pédagogies « alternatives »

Les pédagogies « alternatives » sont présentées par Wagnon (2018) comme « une autre façon d'éduquer, d'enseigner, de comprendre les apprentissages, les relations humaines, pour repenser notre société ». Un des principes de ces éducations nouvelles est la suivante : « L'éducation fonctionnelle (est) centrée sur les intérêts de l'enfant, il s'agit de s'adapter aux besoins de l'enfant, et non de déterminer ce qu'il est utile de faire apprendre, les habitudes à faire contracter, les exercices propres à obtenir les résultats visés. » (Wagnon, 2018). En cela, répondre aux besoins de l'enfant avant de vouloir lui inculquer « une masse de connaissances » répond à cette mise en avant de la motivation intrinsèque, qui fonctionne par la réponse à un besoin, car rappelons que le besoin est à la source de toute motivation humaine. De façon très brève, nous présentons ici trois pédagogies alternatives qui ont attiré notre attention dans le champ de notre recherche, car elles ont en point commun la planification d'applications concrètes pour ancrer les apprentissages abstraits :

**La pédagogie Montessori** : Maria Montessori médecin psychologue met au point sa nouvelle pédagogie en 1907 : « elle promeut l'autonomie, l'auto-régulation, la coopération entre pairs d'âges variés et l'apprentissage à partir de matériels sensoriels et autocorrectifs » (Courtier, 2019). « Elle considérait que l'immobilité de l'enfant était problématique parce qu'elle était convaincue que le mouvement et la pensée sont très étroitement liés. C'est pourquoi le mouvement fait partie intégrante du programme éducatif qu'elle a développé » (Stoll-Lillard, 2018). Aujourd'hui encore, les classes dites « Montessori » sont remplies de matériels sensitifs pensés pour aborder une grande quantité de savoirs et savoirs-faires, mis à disposition du libre choix des élèves, selon leurs besoins d'apprentissages. L'objectif étant un apprentissage sans obligation de résultats s'appuyant sur le concret pour aller progressivement vers l'abstrait.

* **La pédagogie Freinet** : L'instituteur Célestin Freinet et son épouse Elise Freinet ont mis au point leur pédagogie en 1964 : « Une tentative originale de mise en œuvre d'une approche naturelle fondée sur la coopération, l'expression libre des enfants et le travail. Elle s'appuie sur différentes techniques dont les plus connues sont l'imprimerie, le plan de travail, la production de textes libres, les enquêtes et
conférences, la correspondance scolaire, la réunion de coopérative, des ateliers d'expression et de création.» (Lescouarch, 2010). Il utilise le « tâtonnement expérimental comme méthode de découverte et d'apprentissage », et développe le « matérialisme pédagogique » ou la mise à disposition d'un matériel scolaire adapté ».

* **La méthode de Singapour** : pédagogie élaborée par le Ministère de l'Education de Singapour : « l'organisation de notions et de compétences, l'approche concrète – imagée – abstraite, l'importance accordée à la résolution de problèmes, la modélisation (représentation par un schéma d'un concept ou d'une situation mathématique) et la pratique guidée » (Mounier & Grapin, 2019). « Chaque notion mathématique est introduite par une phase concrète de manipulation, puis est progressivement modélisée, simplifiée par des représentations adaptées à l'âge des élèves et à la complexité des notions » (Kritter, 2019).

Que ce soit en phase de découverte d'une notion, en support pour exprimer un concept déjà acquis, ou encore pour comprendre un énoncé de problème, la place de la manipulation concrète d'objets tient une place importante dans ces trois pédagogies. Leur notoriété semble prouver la réussite de ces pédagogies alternatives. Nous allons maintenant chercher du côté des découvertes récentes en neurosciences si cette réussite est réellement validée, notamment sur la question de cette étape concrète.

### 1.3.2 Les neurosciences dans les apprentissages

Depuis que l'imagerie cérébrale existe, les neurosciences ont pu grandement aider les sciences de l'apprentissage à se développer. Par exemple, Dehaene (2017) décrit qu'on peut visualiser les zones du cerveau qui sont activées lorsque l'on dicte un énoncé mathématique à des mathématiciens (le cortex pariétal, le cortex temporal, le cortex frontal), mais qui ne s'activent pas pour un énoncé d'une autre nature (figure 6). Il existe donc des zones du cerveau dédiées seulement aux mathématiques (zones bleues) qui ne recouvrent pas les zones dédiées au langage. Cependant, ces zones du langage peuvent être activées en premier lieu (en vert sur le schéma ci-dessous) pour une première compréhension de l'énoncé, puis rapidement après les zones consacrées au « sens du nombre » sont ensuite toujours activées pour tout raisonnement mathématique (en bleu) :
<caption>Figure 6</caption>

Comparaison des régions du cerveau activées par une activité mathématique (en bleu) et par une activité langagière (en vert) chez les mathématiciens et les non-mathématiciens (Amalric & Dehaene, 2016)

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Berthier (2016) met en lumière la place du langage : « Il n'y a pas de raisonnement d'exercice mathématique sans la construction du langage ». Prado (2018) confirme que « les neurones du sens des quantités seraient toujours impliqués dans les tâches mathématiques, y compris lors des raisonnements les plus complexes. » Même si cette zone du sens des quantités (idem que « le sens des nombres ») est toujours activée, d'autres réseaux s'activent en plus selon si l'on manipule du langage mathématique (le *symbolisme mathématique*), ou si l'on pense à des concepts mathématiques (et des réseaux encore différents si l'on utilise purement la linguistique) (Dehaene, 2017).

Dehaene (2017) poursuit en présentant une autre étude réalisée sur des mathématiciens aveugles et non aveugles, qui montre dans les deux cas « qu'on a besoin des entrées visuelles pour construire des représentations dans notre cerveau ». Le cerveau a donc besoin de représentations imagées pour concevoir les mathématiques. Mais le langage a aussi sa place pour une première approche. En effet :

> *En développant son intelligence linguistique, [l'enfant] gagne en capacité d'abstraction et de manipulation symbolique. Mais comme nous l'avons montré, avec Peter Bryant, cela provoque aussi des perturbations et des erreurs qui n'existaient pas avec l'intelligence Visuo-spatiale, plus rapide, plus fluide et plus économique (du point de vue du coût cognitif)* (Houdé & Borst, 2019, p.101).

Le langage est à la fois une aide pour aider à concevoir les notions de mathématiques, mais il peut à certains moments devenir une entrave, un obstacle à la compréhension lorsqu'il
est utilisé dans le symbolisme du langage mathématiques. Le recours à la représentation imagée peut devenir une passerelle, efficace et rapide, pour à nouveau revenir au sens premier de notion mathématique abordée. Nous y reviendrons plus tard lors de la présentation du jeu sérieux utilisé lors de notre expérimentation.

D'autre part, Alain Berthoz (1997), neurophysiologiste français, décrit un sixième sens, celui du mouvement. Il affirme que celui-ci peut « inventer des hypothèses, modéliser et trouver des solutions que [ceux qui l'utilisent] projettent au dehors ». En ce sens, Berthoz prouve que le mouvement, par exemple mis en œuvre sur un objet, peut de lui-même mener le cerveau sur le chemin de l'abstraction. Il conseille alors aux enseignants de mathématiques d'utiliser le mouvement pour conceptualiser :

> Le cerveau dans le corps et dans l'espace est certes important pour l'éducation physique et sportive dans le programme scolaire, de la maternelle au lycée, mais aussi pour les aspects dits cognitifs telle la géométrie et la construction mentale 3D de l'espace en mathématiques. Il faut faire se déplacer les élèves pour qu'ils comprennent les concepts. C'est une pédagogie du corps dans l'espace » (Berthoz, 2019, p.40).

Maria Montessori avait mis au cœur de ses recherches comment le mouvement du corps pouvait exercer une influence sur le cerveau en cours d'apprentissage, et critique la vision de son époque qui séparait la pensée, et la représentation de son corps :

> Une des plus grandes erreurs de notre temps est de considérer le mouvement en soi comme quelque chose de séparé des fonctions supérieures (...) Le développement cérébral est nécessairement lié au mouvement et en dépend. La théorie et la pratique éducative doivent être fondamentalement inspirées par cette idée. (Montessori, 1967 à 1995, p. 141-142)

Un siècle après les travaux de Maria Montessori, ses théories sont éprouvées par la recherche en psychologie, et il en ressort que de « nombreux théoriciens affirment désormais qu'il est préférable d'envisager la **cognition comme étant incarnée** » (Barsalou, 2002 ; Lakoff & Johnson, 1999 ; Shapiro, 2011). Si la **cognition** est définie par « l'Ensemble des structures et activités psychologiques dont la fonction est la connaissance » (Larousse, s.d.), et le terme **incarner** par « représenter en soi, soi-même (une chose abstraite) » (Le Robert, s.d.), nous comprenons que l'approche d'une connaissance par le biais du corps en mouvement est plus efficace que si l'on enlève cette dimension charnelle. Une étude sur des enfants utilisant un
boulier illustre bien ce propos (Stigler, 1984) : il semblerait que les élèves habitués à calculer
sur un boulier sont plus compétents et plus rapides à résoudre un problème que ceux qui ne
savent pas l'utiliser, même s'ils n'en ont pas un sous la main. Ceci est expliqué par « *le fait de
rendre concret quelque chose de symbolique grâce à une utilisation habituelle de l'abaque
(boulier) permet de meilleurs calculs.* » (Stigler, 1984). Cette étude a été menée à nouveau (30
ans après) mais aussi sur des élèves utilisant un boulier numérique (Flanagan, 2013)
(représentation d'un boulier sur une tablette par exemple) : ceux qui utilisaient le boulier réel
étaient nettement meilleurs pour la résolution de problèmes nouveaux (Stoll Lillard, 2018). Le
corps en mouvement dans la 3° dimension semble apporter plus de compétences en abstraction
que s'il est en mouvement seulement dans la 2° dimension.

En réunissant toutes ces informations, on comprend que lors d'un apprentissage d'une
notion mathématique, pour que la zone consacrée au sens des quantités soit activée, l'utilisation
du langage et donc de la verbalisation de ce qui est compris est une étape inévitable (à haute
voix ou dans sa tête). Mais elle peut aussi devenir source de confusion lors de l'utilisation du
symbolisme. L'emploi de la représentation imagée est un renforcement efficace, voire un
passage obligé pour conceptualiser les notions ou les problèmes à résoudre.

L'utilisation du mouvement peut être aussi pertinente, car il fonctionne comme un sens
à part entière et permet de suivre le processus d'abstraction recherché. En cela, les recherches
en neurosciences confirment ce qu'avaient pressenti intuitivement Montessori et Freinet. La
pédagogie de Singapour plus récente, semble s'être emparée de ces résultats pour développer
sa méthode.

Nous allons maintenant brièvement présenter la théorie des intelligences multiples de Gardner, qui offre un regard méthodique sur la diversité cognitive de tout un chacun.

1.3.3 La théorie des intelligences multiples

Nous venons de survoler les zones du cerveau qui peuvent être activées lors d'un
raisonnement mathématique. L'étude a été menée sur des mathématiciens afin de repérer plus
clairement les zones de leur activité réflexive. Mais d'autres études montrent, dans une moindre
mesure, que les mêmes zones sont activées pour des sujets adultes ou enfant, non experts dans
la matière. La question que l'on peut se poser alors est : existe-t-il une appétence particulière
pour les mathématiques ? Nomme-t-on cela l'intelligence ? Comment un enseignant peut-il
accompagner une classe aux divers niveaux d'intelligence ?

Gardner a cherché durant de nombreuses années ce qui pouvait définir l'intelligence. Il
propose tout d'abord une définition générale :

L'intelligence implique la capacité à résoudre des problèmes ou à produire des biens ayant une valeur dans un contexte culturel ou collectif précis. La compétence à résoudre des problèmes permet d'aborder une situation dans laquelle un but doit être atteint et de déterminer le chemin approprié pour y parvenir » (Gardner, 2008, p.32).

A partir de cette conception de l'intelligence, il en est arrivé à déterminer non pas une
forme d'intelligence, mais huit groupements de formes d'intelligence : l'intelligence
verbale/linguistique, l'intelligence visuelle/spatiale, l'intelligence logico/mathématique,
l'intelligence musicale/rythmique, l'intelligence corporelle/kinesthésique, l'intelligence
naturaliste, l'intelligence interpersonnelle, et enfin l'intelligence intrapersonnelle.

Nous choisissons de décrire quatre de ces intelligences car elles sont en résonnance avec
nos travaux de recherche (extraites du site www.intelligences-multiples.org) :

**L'intelligence logico-mathématique** « permet l'analyse des causes et conséquences d'un fait, l'émission d'hypothèses, la compréhension de phénomènes complexes, la manipulation des chiffres et l'exécution des opérations mathématiques »

**L'intelligence visuospatiale** « permet à l'individu de se faire une représentation spatiale du monde dans son esprit. Elle donne la possibilité de créer des œuvres d'art et artisanales, d'agencer harmonieusement des vêtements, des meubles, des objets, de penser en images. »

**L'intelligence kinesthésique** « est la capacité d'utiliser son corps ou une partie de son corps pour communiquer ou s'exprimer dans la vie quotidienne ou dans un contexte artistique, pour réaliser des tâches faisant appel à la motricité fine, pour apprendre en manipulant des objets, pour faire des exercices physiques ou pratiquer des sports. »

**L'intelligence linguistique** « est la capacité d'utiliser des mots et le langage pour exprimer ou saisir des idées complexes, ou pour comprendre les autres. »

Il existerait donc une diversité cognitive, la question n'étant pas de savoir si elle est
innée ou acquise, mais plutôt de chercher à utiliser cette information pour comprendre comment
accompagner au mieux l'élève dans le processus d'abstraction. Et même si nous travaillons sur
des notions mathématiques, les élèves n'étant pas tous des futurs mathématiciens, il faut
pouvoir les aider en leur proposant des supports (des médiums) leur permettant d'utiliser telle
ou telle appétence. Gardner donne donc ce conseil aux enseignants :

Le principe mathématique ne peut pas être entièrement traduit en mots (un médium langagier), ni en modèles spatiaux (un médium spatial). (...) L'enseignant doit tenter de trouver une route différente pour arriver au contenu mathématique – une métaphore dans un autre médium. (...) une analogie kinesthésique pourrait s'avérer adaptée dans certains cas. (Gardner, 2008, p.54)

On retrouve les résultats des neurosciences cités plus haut. La résolution de problème – qui au départ peut être de nature tout à fait disparate même s'il s'agit ici de problèmes de nature mathématique – peut être abordée ou résolue non pas seulement par l'intelligence logico-mathématique, mais aussi par l'intelligence linguistique, en verbalisant ce qui est compris ; ou encore par l'intelligence visuo-spatiale en le traitant par un support visuel donné ou un schéma à produire ; ou enfin par l'intelligence kinesthésique, en offrant des objets à manipuler afin qu'une métaphore s'opère et que l'élève puisse « aborder » le problème et trouve ensuite le « chemin pour parvenir » à sa résolution.

Environ 110 ans se sont écoulés entre les premiers travaux de Montessori qui
commençait à mettre en place sa pédagogie auprès de quelques enfants, et la rédaction du
rapport intitulé 21 mesures pour les mathématiques, de Villani & Torossian (2018) qui s'adresse
à tous les enseignants de la maternelle au collège qui enseignent les mathématiques en France.
Ce guide fondamental regroupe tout ce que nous avons présenté précédemment, et parmi les
nombreux conseils qui y sont prodigués, une des « mesures » résume notre dernière section :

Figure 7

Extrait du rapport 21 mesures pour l'enseignement des mathématiques, 5° mesure (Villani & Torossian, 2018)

MATHÉMATIQUES : EFFICACITÉ, PLAISIR ET AMBITION POUR TOUS

5

Les étapes d'apprentissage

Dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur

- la manipulation et l'expérimentation;

- la verbalisation;

- l'abstraction.
A cela nous ajoutons qu'il est aussi central d'intégrer l'étape imagée, qui pourrait parfois remplacer la verbalisation, lorsque les mots manquent. Néanmoins, convaincus que la manipulation et l'expérimentation peuvent être une étape nécessaire pour certaines notions de mathématique abordées en classe, une nouvelle question se pose à nous, notamment en lisant la « mesure » précédente n°4 :

Figure 8

Extrait du rapport 21 mesures pour l'enseignement des mathématiques, 4° mesure (Villani & Torossian, 2018)

4

Équipement

Proposer à toutes les écoles un équipement de base, accompagné de tutoriels, favorisant les manipulations d'objets réels ou virtuels.

Que pouvons-nous mettre en place précisément pour introduire cette étape de manipulation ? Souvent bien plus développée à l'école élémentaire, elle fait cruellement défaut au niveau collège, ainsi que les tutoriels qui vont de pair avec le matériel.

Dans la section suivante nous allons développer un début de réponse en faisant appel à la *médiation scientifique instrumentale*, et explorer le champ théorique pour un emploi efficace, l'objectif étant l'abstraction de nouveaux concepts mathématiques. Puis nous terminerons cette première partie du cadre théorique en présentant un exemple de *médiation scientifique instrumentale*, la création d'un *jeu sérieux*.

## 1.4 LA MEDIATION INSTRUMENTALE : L'UTILISATION D'UN ARTEFACT POUR APPRENDRE

### 1.4.1 Définition de la médiation scientifique instrumentale

> « La médiation scientifique et culturelle est une forme de diffusion pédagogique des connaissances qui cherche à mettre le savoir (et éventuellement ses limites et ses incertitudes) à portée de tous et chacun. » Elle permet, entre autres, de « favoriser le développement de la curiosité », « développer l'esprit critique », « former à la démarche expérimentale et scientifique », « proposer un autre regard sur les arts et les sciences (une science amusante) » (Ailincai, 2022).

La médiation peut être le processus résultant soit de l'action directe d'une personne (médiation humaine) soit de l'action indirecte exercée à travers des instruments (médiation instrumentale) (Rézeau, 2002). L'« équipement de base » dont les écoles devraient se doter
(Villani & Torossian, 2018), « *accompagné de tutoriels* », peut rentrer dans cette définition de « *médiation instrumentale* » . En s'appuyant sur la modélisation de la médiation scientifique par Eastes & Pellaud (2004) (figure 9), nous pouvons affiner une liste de critères pour que cet « équipement » atteigne son objectif de mettre le savoir mathématique à la portée de toutes les formes d'intelligences citées ci-dessus :

<caption>Figure 9</caption>

Modélisation : « la médiation scientifique aujourd'hui » (Eastes & Pellaud, 2004)

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

A *l'origine*, nous pouvons rappeler la difficulté de la part de certains élèves d'entreprendre le chemin de l'abstraction, ainsi que les obstacles à la compréhension et le manque de motivation à entrer dans une activité mathématique. *L'objectif* devient alors celui d'accompagner les élèves dans une démarche socio-constructiviste et sur le chemin de l'abstraction. *L'outil* qui est alors proposé est une *situation didactique* à proposer en classe qui permet aux élèves d'apprendre par eux-mêmes des nouveaux concepts au programme, en échangeant entre eux. La *mise en œuvre* se fait sous la forme d'un jeu sérieux, mettant en avant différents médiums cognitifs comme la manipulation, la schématisation, la verbalisation et le symbolisme. Nous proposons donc, pour poursuivre notre étude, un support de *médiation instrumentale* car c'est bien par l'instrument que l'élève rentrera en contact avec le savoir enseigné. Mais il s'agit aussi d'une *médiation humaine* car d'une part les interactions entre élèves enrichiront les découvertes (tutorat entre pairs). Mais aussi la présence du *médiateur*, en
l'occurrence le professeur de mathématiques, aura pour fonction celui d'étayage. Bruner définit ce dernier comme « *une interaction entre l'adulte et l'enfant dans laquelle l'adulte essaie à travers une communication adaptée, en y apportant les reformulations adéquates, de conduire l'enfant vers la résolution d'un problème qu'il ne saurait résoudre seul.* » (Robo, 2021)

L'intégration de la manipulation d'objets nous emmène vers le concept d'artefact, que nous allons définir ci-après.

### 1.4.2 Définition de la manipulation et d'un artefact

Selon le dictionnaire Le Robert, manipuler signifie « manier avec soin en vue d'expériences, d'opérations scientifiques ou techniques », sachant que manier veut dire « avoir en main, entre les mains tout en déplaçant, en remuant », et que dans notre cas il s'agit d'expériences mathématiques. Nous devons donc penser un ou des objets qui soient manipulables, qu'ils puissent être porteurs de sens mathématique et qu'ils puissent être aussi des vecteurs de création de nouveaux concepts mathématique pour leurs utilisateurs. La création d'un tel objet s'appelle un artefact, c'est-à-dire « un objet transformé par l'homme pour une certaine fin » (Rabarbel, 1995). Trouche (2017) prolonge l'idée d'artefact qui, associé à une utilisation pour une type de tâche précis, devient un instrument (figure 10) : il est porteur d'un schème d'utilisation. Le schème selon Piaget (« Schème », 2023) est une « structure ou organisation des actions telles qu'elles se transforment ou se généralisent lors de la répétition de cette action en des circonstances semblables ou analogues. Il s'agit d'un noyau ou squelette de savoir-faire, adaptable à un grand nombre de situations ».

<caption>Figure 10</caption>

La construction d'un instrument, par un sujet donné, à partir d'un artefact donné, modélisation inspirée par Trouche (2011)
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

La conception d'un artefact avec cette ambition d'utilisation de schèmes pour aider à l'abstraction de nouveau concept ne se fait pas au hasard. Les enseignants et chercheurs considèrent parfois que « les significations mathématiques liées à l'usage d'un artefact sont transparentes pour les élèves » (Mariotti & Maracci, 2010) et que la situation ne justifie pas une médiation du professeur. Pour éviter cette erreur de considération et donner pleinement sa valeur pédagogique à l'artefact, Bussi & Mariotti (2008) proposent la **Théorie de Médiation sémiotique**, que nous présentons ci-après.

### 1.4.3 La théorie de la médiation sémiotique

La théorie de la médiation sémiotique est un « modèle visant à décrire et expliquer le processus qui commence par l'utilisation par l'élève d'un outil spécifique pour accomplir une tâche et conduit à l'appropriation par l'élève d'un contenu mathématique particulier » (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008, p. 51). La sémiotique est définie par le dictionnaire Le Larousse, comme étant une « science générale des modes de production, de fonctionnement et de réception des différents systèmes de signes qui assurent et permettent une communication entre individus et/ou collectivités d'individus ». Le modèle de la théorie de la médiation sémiotique se concentre dans la préparation d'étapes dans une activité que l'enseignant aura pris soin de mettre en œuvre en mettant en place des allers-retours entre les « signes-artefact » (c'est-à-dire le sens donné aux objets utilisés ou parties de l'objet dans l'artefact) et les « signes mathématiques » qui lui sont associés (c'est-à-dire le sens métaphorique qui peut se dégager vers le sens commun des mathématiques). Ces allers-retours peuvent être représentés de manière cyclique, passant par trois étapes, tantôt l'utilisation des artefacts pour l'émergence de ses signes, tantôt pour une appropriation individuelle et le chemin vers sa traduction en signes mathématiques, tantôt des discussions en classe (petits groupes ou classe entière) pour une validation commune des « signes mathématiques » nés des « signes-artefact », animées de près par l'enseignant-médiateur :
<caption>Figure 11</caption>

Le cycle didactique (Mariotti & Maffia, 2018)

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

C'est en revenant sur l'utilisation de l'artefact que les élèves peuvent continuer à délivrer un sens plus riche à l'artefact proposé, et ainsi utiliser son « potentiel sémiotique », à l'ancrer dans le savoir mathématique enseigné, puis à poursuivre le chemin de la métaphore engagée pour accéder à d'autres concepts plus complexes. A travers ce modèle de médiation *instrumentale*, la place de l'enseignant est cruciale dans son rôle de médiation *humaine*, un peu comme un chef d'orchestre au milieu d'une « polyphonie de voix articulées sur un objet mathématique, qui est une des raisons d'être de l'activité d'enseignement-apprentissage » (Bartolini Bussi M. G., 1998, p. 68).

Ainsi, l'utilisation d'un *artefact* par un enseignant, respectant le cycle didactique présenté ci-dessus, devient un support de médiation scientifique sémiotique permettant le processus d'abstraction d'abord empirique (première phase du cycle), puis d'abstraction réfléchissante (phases suivantes du cycle). Les concepts mathématiques visés et choisis par l'enseignant sont alors élaborés en respectant le cycle spiralé d'assimilation socio-constructiviste, les échanges entre pairs et avec le professeur alimentant cette construction de savoirs. En outre, ils permettent à la diversité cognitive de chaque élément d'une classe de se retrouver à un moment ou un autre plus à l'aise pour l'émergence de sens et ainsi accéder à la compréhension du savoir et à la maîtrise abstraite des signes mathématiques (car les intelligences kinesthésiques, visuo-spatiales, linguistiques, et logico-mathématiques sont activées). Si cet artefact est de plus intégré dans un cadre ludique respectant les caractéristiques d'un jeu, alors ce jeu sérieux peut s'avérer très efficace en terme pédagogique.

D'un point de vue théorique l'utilisation et la manipulation d'artefacts favoriseraient l'abstraction de certaines notions en mathématiques. Depuis toujours les artefacts sont utilisés
intuitivement pour les toutes petites classes pour enseigner le sens du nombre, ils le sont aussi de plus en plus dans les classes élémentaires, notamment depuis que Montessori a encouragé leur utilisation pour faciliter les apprentissages. En revanche, leur utilisation dans les classes de collège devient beaucoup plus rare, voire inexistante par un bon nombre de professeurs. La raison est évidemment que les savoirs enseignés dans le secondaire se prêtent bien moins à une métaphore portée par un artefact, l'utilisation et la maitrise du langage mathématique étant une priorité didactique. Et pourtant, face au désijnérêt croissant pour les mathématiques dans ces années collèges, et face aux difficultés de plus en plus nombreuses que les élèves peuvent rencontrer, nous pensons que l'invention d'artefacts adaptés au niveau scolaire, et aux exigences du programme dans la matière pourraient être davantage développées et étudiées.
C'est pourquoi, nous allons dans la section suivante présenter la conception d'un jeu sérieux, élaboré spécialement pour mesurer de façon concrète quels seraient les plus-values d'un tel support, du point de vue du passage à l'abstraction de nouveaux savoirs. Son utilisation en classe servira à l'analyse précise de sa pertinence pédagogique, qui sera présentée dans la 2° partie de ce mémoire. Nous avons choisi d'introduire les notions de calcul littéral en classe de 4°, notamment la réduction d'expressions littérales, et en particulier la distributivité (développer une expression littérale), et la factorisation.

## 1.5 CREATION D'UN JEU SERIEUX POUR DECOUVRIR LES NOTIONS « DEVELOPPER » ET « FACTORISER » EN CLASSE DE 4°

Nous allons d'abord rappeler les directives ministérielles afin d'ancrer au plus près du programme ce jeu sérieux, notamment du point de vue des compétences, du calcul littéral et de la résolution de problème au cycle 4. Puis nous allons présenter l'artefact et les règles du jeu sérieux, afin de comprendre plus finement les analyses présentées dans la partie suivante.
Nous présenterons enfin le cadre théorique que nous avons choisi pour analyser cette plus-value : les trois modes de représentations selon Bruner (1973).

### 1.5.1 Les directives ministérielles des accompagnements de programme (les compétences chercher et représenter, le calcul littéral)

Depuis la réforme de l'enseignement au collège, projet porté par la ministre de l'Éducation nationale Najat Vallaud-Belkacem, le socle commun de compétences a pris place :
> « une compétence est l'aptitude à mobiliser ses ressources (connaissances, capacités, attitudes) pour accomplir une tâche ou faire face à une situation complexe ou inédite. Compétences et
connaissances ne sont ainsi pas en opposition ». (BO n°17.04.2015). Les cinq compétences à évaluer de manière transversale et tout au long de l'année en mathématique sont : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. Elles sont toutes mises en œuvre à travers notre jeu sérieux. En effet, la compétence Représenter (« Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres », « donner à voir les objets mathématiques, progression dans la vision du réel et dans l'appréhension des objets mathématiques abstraits »), permettra à l'élève de Modéliser (« traduire en langage mathématique une situation réelle », ici traduire les « sens-artefacts » en sens mathématiques) et la compétence Chercher (« S'engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter », la manipulation ici est à l'honneur) seront des objectifs centraux, car c'est par la représentation de départ au travers de l'artefact et sa modélisation que l'élève sera amené à chercher, puis à Raisonner (« résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées, (...) mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs »), et Calculer (« Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles, etc.) »). C'est dans la dimension du jeu en équipe que l'élève sera amené à Communiquer (« faire le lien entre le langage naturel et le langage algébrique – distinguer des spécificités du langage mathématique par rapport à la langue française - expliquer à l'oral ou à l'écrit (...), comprendre les explications d'un autre et argumenter dans l'échange »).

Les accompagnements de programme nous guident aussi dans l'approche de l'utilisation du calcul littéral. Pour résumer, le cycle 3 se concentre sur la valeur d'abréviation, et le cycle 4 a divers objectifs : traduire un programme de calcul ; décrire une propriété générale ; démontrer qu'une propriété est vraie ; modéliser et résoudre des problèmes ; variable de fonction. Et enfin, ils délivrent un dernier conseil sur l'utilisation de la manipulation : « Il convient aussi de laisser vivre, de façon différenciée et aussi longtemps que nécessaire pour certains élèves, des procédures de tâtonnement ou faisant appel à la manipulation, l'expérimentation, la schématisation ainsi que les formulations intermédiaires, même maladroites ou peu rigoureuses, tout en indiquant les limites de ces formulations. » Ainsi, le support du jeu sérieux devient un moyen d'exprimer la pédagogie de manière différenciée, et l'on peut imaginer une mise à disposition du jeu ou ses composantes sur un plus long terme de façon que les élèves en difficulté aient la possibilité de revenir sur l'artefact, et de faire circuler une fois de plus le cycle didactique cité plus haut, par exemple pour la résolution de problèmes.
1.5.2 Un guide fondamental pour enseigner : la résolution de problème au cycle 4

Pour donner suite au rapport de Villani & Torossian (2018) : *21 mesures pour l'enseignement des mathématiques*, un guide a été édité pour accompagner les professeurs et les formateurs pour fournir de plus amples détails afin de guider la mise en application de ce qui est au cœur de l'enseignement des mathématiques : la résolution de problèmes mathématiques.

Nous avons relevé deux aspects qui faisaient écho à nos recherches :

Le calcul littéral :

Vergnaud, Cortès et Favre-Artigue (1988) ont montré que « *le passage entre arithmétique et algèbre dans le traitement des problèmes était difficile pour les élèves* ».

D'un côté, avec l'arithmétique, l'élève acquiert des compétences de calcul avec des nombres et peut ainsi résoudre des problèmes en choisissant les opérations et les nombres adéquats, en progressant pas à pas du connu (les nombres choisis) vers l'inconnu (la réponse à la résolution de problèmes). De l'autre, avec l'algèbre, on exprime des quantités et ce qui les relie, mais avec dès le départ des nombres inconnus, qu'on représente symboliquement généralement par des lettres, incluant les règles arithmétiques.

Il est donc important de « *structurer l'enseignement de l'algèbre* » pour plus de clarification : au cours du cycle 4, on peut distinguer deux dimensions de l'algèbre : *outil et objet* (Douady, 1986).

Dans sa dimension *outil*, l'algèbre est mobilisée pour les problèmes de calculs, et la résolution d'équations et d'inéquations, l'utilisation des fonctions. En d'autres termes, l'algèbre est utilisé comme support de résolution de problème, elle a une fin utile.

Dans sa dimension *objet*, l'algèbre est un « ensemble structuré d'objets avec des propriétés spécifiques, des représentations sémiotiques associées à différents registres et des modes de traitement » (Duval, 1995).

C'est cette dernière dimension qui sera abordée dans le jeu sérieux, plus précisément autour de la découverte puis de la maîtrise des propriétés spécifiques de la *réduction*, du *développement* et de la *factorisation* d'expressions algébriques. L'objectif étant de travailler sur les représentations sémiotiques de ces trois modes de traitement. Mais le jeu a aussi pour
objectif plus lointain de développer la dimension *outil*, pour la résolution de problèmes en tout genre.

Le deuxième aspect que nous avons relevé dans ce guide porte sur une des formes de la pratique pédagogique :

L'utilisation de la manipulation d'objets :

Les recherches actuelles orienteraient une introduction de la pré-algèbre (étape intermédiaire entre l'arithmétique et l'algèbre) plus tôt dans la scolarité. Ce faisant on souhaite permettre à l'élève de « construire des représentations mentales associées aux écritures algébriques ». En effet, des erreurs types comme « $x + 3 = 3x$ » ou encore « $x + x = x^2$ », seraient levées plus en amont par des « représentations à l'aide de matériel de manipulation (réglettes © Cuisenaire, cubes emboîtables, etc.) ». De plus elle « favorise la verbalisation entre élèves. Cela permet en outre de « vérifier la pertinence des stratégies mises en œuvre par les élèves tout en développant leur autonomie ». Il s'agit ici d'un des objectifs principaux de ce jeu sérieux : aider les élèves, à l'aide de matériel à se familiariser avec « les règles spécifiques » du calcul littéral à travers la manipulation de petits objets de diverses couleurs et formes : ce sera notre *artefact*.

Nous allons maintenant présenter plus précisément la structure de cet artefact, ses ambitions pédagogiques et sa dimension ludique.

### 1.5.3 Présentation du jeu sérieux : « Le jeu du livreur »

Rappelons que ce jeu est à destination d'élèves d'une classe de 4°, mais comme nous venons de le voir précédemment, il peut être largement proposé à des élèves de 5° voire de 6° dans un objectif d'introduction à la pré-algèbre.

Nous allons dans un premier temps développer son intérêt médiatique sémiotique, en expliquant le choix de ce qui constitue l'artefact. Puis nous allons présenter les règles du jeu à proprement parlé et son intérêt du point de vue socio-constructiviste.

Lorsque les élèves pratiquent l'algèbre, certaines règles d'arithmétique doivent préalablement être maîtrisées, en particulier l'addition et la soustraction des nombres relatifs, ce qui est souvent un réel obstacle à la compréhension de l'algèbre qui vient ensuite, souvent par manque de sens attribué à ces opérations. Nous avons donc choisi d'introduire des jetons
bicolores représentant les nombres relatifs (par exemple rouge pour les nombres négatifs et verts pour les nombres positifs), avec trois formes pour permettre de calculer avec des petits ou des plus grands nombres, mais seulement des nombres entiers : un petit rond pour 1 unité, un petit rectangle pour 5 unités, et un grand rectangle pour 10 unités, positifs ou négatif selon la couleur. Ces jetons représentent des nombres relatifs mais on n'utilise pas ces termes en début de jeu, ni les techniques opératoires de l'addition et la soustraction qui ont été abordées auparavant en classe de 5°. On part du principe que deux jetons de même forme et de couleurs contraires ont la capacité de disparaître quand ils sont mis ensemble. En fait, en terme symbolique, cela revient à dire que par exemple (+5) + (-5) = 0, c'est-à-dire deux nombres opposés s'annulent quand on les additionne.

Ensuite nous avons introduit des « cercles multiplicateurs » avec l'inscription $2 \times ; 3 \times ; 4 \times ; 5 \times ; 6 \times ; 7 \times$ ou $8 \times$) qui ont pour rôle de multiplier les jetons que l'on poserait à l'intérieur par le nombre inscrit sur ce cercle, le but étant que l'élève compte combien cela donne de jetons. Ainsi l'opération de la multiplication des nombres relatifs est aussi introduite mais seulement dans sept cas très simples.

Puis un cercle intitulé « j'enlève » pour introduire la soustraction de nombres relatifs, afin de comprendre notamment le sens d'enlever un nombre négatif.

Et enfin, nous avons introduit des petits cubes couleur neutre (couleur du bois) qui représentent des « nombres mystères », qui sont présentés comme étant des nombres mais dont on ne saura jamais la valeur tout le long du jeu (figure 12). Ils représentent une variable et seront par la suite symboliquement traduis par la lettre x.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 12</figcaption></figure>

Les objets de l'artefact, Le jeu du Livreur

L'artefact est utilisé en plusieurs étapes, à travers des consignes rédigées sur des cartes que les élèves tirent au hasard. Leurs formulations utilisent des images représentant les objets,
et le vocabulaire rattachés à ceux-ci (signes artefact), et non à sa valeur mathématique (signes mathématiques). Les solutions aux questions sont disponibles sur un petit livret, dont le numéro des cartes est référencé, afin que l'élève soit en parfaite autonomie.

Dans un premier temps, l'élève apprivoise les jetons colorés et les cercles « j'enlève » pour commencer à s'exercer sur des opérations simples et qu'ils sont sensés déjà connaitre, mais sans faire intervenir de signes mathématiques pour éviter tout obstacle lié à la symbolique. Ils apprivoisent ainsi les « signes-artefacts » des jetons rouges et verts, et revisitent ainsi l'addition et la soustraction des nombres relatifs.

Dans un deuxième temps, les cubes « pions mystères » sont introduits, ils doivent s'habituer à compter les valeurs des jetons mis ensemble, mais sans mélanger les valeurs cubes aux valeurs jetons, ainsi ils se préparent à ne pas mélanger entre eux les nombres connus et les nombres inconnus, car ils sont distincts dans le sens de leur valeur, pour par exemple ne pas confondre par la suite 2 + 3x et 5x (il s'agit donc ici de pré-algèbre). Ils découvrent ainsi la réduction des expressions littérales.

Dans un troisième temps, l'introduction des cercles multiplicateurs qu'ils remplissent de jetons colorés et de cubes va leur permettre de compter combien cela donnera de jetons colorés et de cubes mystères. Par ces exercices il va découvrir la distributivité simple, l'action d'une multiplication sur une groupement de nombres connus et inconnus. Les cercles multiplicateurs représentent donc des parenthèses multipliées par un nombre entier.

Enfin, à partir d'un certain nombre de jetons colorés et de cubes mystères préalablement bien choisis par l'enseignant, ils devront trouver un cercle multiplicateur adéquat pour réécrire la même somme, mais regroupé dans un cercle. Par ces exercices il va découvrir la factorisation, qu'il pourra ensuite comprendre comme le sens contraire de la distributivité.

Après, et seulement après la maîtrise de l'artefact, l'élève sera amené à traduire les signes-artefacts en signes mathématiques, en étant guidé par l'étayage d'un feuillet de traduction. Il pourra continuer à répondre aux mêmes consignes, mais aura la possibilité de traduire ce qu'il a trouvé avec les objets en langage mathématique, et pourra aussi vérifier ses réponses dans le même livret des solutions.

Nous avons ensuite conçu un support ludique pour que cet artefact devienne l'élément central d'un jeu sérieux.
**Le Jeu du Livreur** : la classe est divisée en petits groupes de 4 à 6 élèves autour de tables en îlots. Deux équipes de deux ou trois élèves s'affrontent.

**Thème et but du jeu** : deux livreurs de marchandises (les deux équipes) doivent chacun leur tour accomplir des « missions de livraisons » entre des îles. A chaque mission accomplie, un livreur reçoit 1 à 3 pièces selon la difficulté de la mission. La première équipe qui a remporté 30 pièces gagne la partie.

Pour cela, les élèves tirent chacun leur tour une carte (figure 13) sur laquelle sont dessinés des jetons qu'ils doivent reproduire avec de vrais jetons en les posant sur une plaque devant eux : « les valises » (figure 14), précisément sur la valise « Marchandises de départ ».
Ils ont une mission à accomplir, par exemple « réduire au maximum le nombre de jetons en une seule couleur » (sachant que deux jetons de mêmes formes et même couleurs disparaissent) (figure 15). Ils posent de nouveaux jetons, dont la valeur est égale à ce qui est dessiné sur la carte « mission », et qui respectent la « mission » demandée, puis vérifient leur résultat sur le livret des solutions. Si c'est correct, ils avancent d'une case « étoile », un pion qu'ils ont posé sur un plateau central représentant les îles (figure 16) et cochent sur une carte « pièces » le nombre de pièces gagnées, correspondant au nombre de pièces dessinées au dos de la carte (figure 13). Si leur réponse est fausse, ils restent sur place. Ensuite ils choisissent de tirer une autre carte rapportant une, deux ou trois pièces, selon si c'est facile, moyennent facile ou difficile. Ils peuvent ainsi choisir de gagner plus ou moins vite des pièces, mais doivent être capables de répondre à la « mission » donnée par la carte.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 13</figcaption></figure>

Une carte mission

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 14</figcaption></figure>

La plaque des valises (une par équipe)
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 15</figcaption></figure>

Les joueurs posent des vrais jetons sur la zone «
merchandise de départ »

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 16</figcaption></figure>

Le plateau des îles (une par îlot) avec les
cartes missions à tirer

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 17</figcaption></figure>

Deux équipes en train de jouer

Quelques extraits du jeu du Livreur se trouvent dans les **annexes A à D** p.143.

Ce jeu respecte bien les caractéristiques du jeu selon Brougère (2005). En effet :
- **Le second degré** : le thème d'un livreur avec des marchandises à livrer et des missions à remplir emmène l'élève dans le monde imaginaire avec ses propres règles et ses objectifs.

- **La décision** : l'élève doit choisir le niveau de difficulté en choisissant une carte pour savoir s'il souhaite avancer vite ou non, mais court le risque de rater les questions et rester sur place. Il a une marge de manœuvre et de décision à chaque tour de jeu.

- **La règle** : elle est simple, si sa réponse est juste il gagne des pièces et peut choisir davantage sa prochaine carte. S'il perd, son adversaire prend de l'avance.

- **La frivolité** : si ce jeu était donné à jouer en dehors du cours de mathématiques, les joueurs ne se rendraient pas compte qu'ils font des mathématiques, l'envie de gagner renforce la frivolité. Lorsqu'ils franchissent l'étape de la traduction mathématique, on comprend le côté « sérieux » du jeu et l'apprentissage qui a été intégré dans ses objectifs, mais la frivolité reprend le dessus car si la traduction en langage mathématique est correcte, ils gagnent le double des pièces mises en jeu par la carte. Le fait de jouer avec des jetons attire l'élève et lui permet de franchir des obstacles liés au symbolisme.

- **L'incertitude** : à chaque carte tirée, on ne connait pas son contenu par avance, et on ne sait pas si sa mission sera accomplie ou non par l'élève. On ne sait pas non plus qui remportera la partie.

Ce jeu sérieux intitulé *Le Livreur* a été expérimenté en classe de 4°, les séances ont été filmées par plusieurs tablettes placées devant des petits groupes. Les interactions entre les élèves et avec le professeur, mais aussi les gestes qu'ils ont effectués attirent particulièrement notre attention. A travers l'analyse de ces échanges verbaux et des actes produits, nous nous intéressons aux différents éléments constitutifs de la conception de cet artefact, notamment ceux qui permettent aux élèves de parvenir à l'abstraction des concepts abordés. Pour résumer tous les éléments théoriques que nous avons choisi de présenter dans toute cette première partie du mémoire, la théorie des trois modes de représentations selon Bruner (1973) nous a semblé être un bon résumé pour cadrer notre analyse de recherche. Avant de rappeler quelle est la problématique de notre étude et quelles sont les hypothèses qui seront analysées, nous allons
présenter la théorie des trois modes de représentations, et préciser quels seront les axes de notre recherche.

### 1.5.4 Modèle théorique pour l'analyse : les trois modes de représentations

Pour Bruner (1973), les êtres humains se représentent les connaissances du monde de trois façons : la première représentation passe par l'action qu'il nomme le *mode enactif*, la seconde par les images qu'il nomme le *mode iconique*, et la troisième par les symboles qu'il nomme le *mode symbolique* (comme le langage ou les mathématiques). C'est par l'évolution de ces trois modes de représentation que le *développement cognitif* est défini par Bruner.

#### Le mode enactif :

Pour Bruner, l'apprentissage se fait d'abord dans l'action, connaître c'est d'abord agir, c'est un savoir-faire. Quand on manipule, avec ses sens tout en étant en mouvement, on acquiert une connaissance qui peut rester au stade de « concept-en-acte », ou bien être réutilisée pour aller au-delà. Ce mode est très utilisé dans la petite enfance, mais aussi dans chaque nouveau savoir-faire à acquérir. Pour notre étude, il est utilisé comme la première des trois étapes sur le chemin du processus d'abstraction.

#### Le mode iconique :

Ce mode cognitif est une étape d'abstraction sous forme d'image mentale, c'est-à-dire de capacité à pouvoir se représenter quelque chose sans l'avoir devant les yeux. S'il suit le mode enactif, alors c'est l'action qui est transformée en image mentale, comme un résumé. Par exemple, cela permet à l'élève de distinguer mentalement la valeur des jetons utilisés dans le jeu selon leur forme ou leur couleur, et de pouvoir s'imaginer d'autres jetons de valeurs égales, sans les avoir devant lui. Lorsque l'élève dépasse le concept de valeurs données aux jetons et se trouve à même de pouvoir faire mentalement des opérations et répondre aux consignes (missions) donnés par les cartes, selon leur forme ou leur couleur, il passe de l'abstraction « empirique » à l'abstraction « réfléchissante ».
## Le mode symbolique

Ce troisième mode de représentation a un objectif qui se situe à un niveau supérieur d'abstraction. Il s'agit d'une « traduction de la représentation iconique en une représentation abstraite ». Un « mot ni ne désigne son signifié du doigt, ni ne lui ressemble comme une image» (Bruner, 1973). On peut alors communiquer sa pensée à soi-même et aux autres. Le mode symbolique permet une « plus grande condensation d'informations » comme c'est le cas à travers le langage mathématique. Pour Bruner, le langage serait « un symptôme d'une capacité d'abstraction ». (Barth, 1985). A travers le jeu, lorsque l'élève aura la capacité de traduire son raisonnement iconique en raisonnement symbolique, en utilisant le langage mathématique qu'il connait déjà et les nouveaux éléments qu'il vient de découvrir (le développement et la factorisation), alors ce sera un critère important d'évaluation d'un niveau d'abstraction symbolique atteint.

Pour illustrer le passage entre ces trois modes, voici une gravure sur bois (figure 18), attribuée à Martin Schongauer, est issue de la Margarita Philosophica de Gregor REISCH (1508).

<caption>Figure 18</caption>

Abacistes et Algoristes, par Martin Schongauer : La Margarita philosophica, 1508, Georg Reisch, *Margarita philosophica cum additionibus novis*, Basilae, Schottus, 1508, Bibliothèque municipale de Rouen

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
Elle représente deux hommes effectuant des calculs, celui de droite avec un abaque (des jetons) et celui de gauche avec des symboles mathématiques. La femme au centre est une allégorie de l'Arithmétique. Elle tourne son regard vers celui qui utilise le langage mathématique, car il semble être plus rapide que son confère qui utilise l'abaque. Il est évident qu'aujourd'hui nous sommes tous convaincus que la réflexion mathématique est bien plus efficace avec langage symbolique, notamment celui des chiffres arabes, mais ce n'était pas le cas avant le XV° siècle où il fallait encore convaincre les usagers du calcul.

Bien entendu, notre objectif n'est pas de faire tourner la tête de Dame Arithmétique à nouveau vers l'utilisateur des jetons, mais plutôt de faire vivre aux élèves les trois modes de représentations de la connaissance de Bruner (1973), le mode enactif, le mode iconique et le mode symbolique, à travers une activité cadrée dans le temps : une séance de cours mettant en activité le jeu « Le livreur ». « Mais l'apprentissage selon Bruner ne se conçoit pas de manière linéaire mais plutôt dans un processus spiralé où les trois modes se complètent et où leur interaction est essentielle pour l'apprentissage » (Robo, 2021). C'est pourquoi les séances qui suivent l'utilisation du jeu ont été pensées pour faire fonctionner à plusieurs reprises le cycle didactique de Mariotti & Maffia (2018), afin de réactiver à tour de rôle les trois modes de représentations.

## 1.6 CONCLUSION PARTIELLE POUR LE CADRE THEORIQUE :

Pour conclure cette partie traitant du cadre théorique, nous présentons une modélisation qui regroupe et résume tous les résultats de la recherche présentés ci-dessus, leurs articulations, les uns qui agissent sur les autres (figure 19). Au centre et comme point de départ de notre recherche : **l'Artefact pour manipuler**.

Deux champs d'études s'en dégagent :
- L'Artefact transformé en Jeu sérieux, support d'apprentissage qui alimente la motivation d'apprendre de la part de l'élève et intensifie le processus d'abstraction.

- L'Artefact mettant en œuvre les trois modes de représentations des connaissances selon Bruner, alimentant à chaque étape le processus d'abstraction.

<caption>Figure 19</caption>

Modélisation résumant le cadre théorique du mémoire (proposée par l'auteure).

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Cette modélisation nous servira de support schématique pour l'analyse des séances filmées en classe. Nous rappelons que les deux concepts étudiés sont ceux de la *distributivité* et de la *factorisation* abordées en classe de 4°.
Notre problématique de recherche était : **dans quelle mesure l'utilisation et la manipulation des artefacts favorisent-elles l'abstraction de la notion du calcul littéral en classe de 4° et 3° ?**

Nous avons axé nos recherches autour de ces deux hypothèses :

**Hypothèse 1 :** La mise en forme des trois modes de représentation de Bruner (le mode « enactif », le mode « iconique » et le mode « symbolique ») dans une activité mathématique permet d'accompagner les élèves à l'abstraction sur la notion du calcul littéral en 4°.

**Hypothèse 2 :** L'utilisation d'un jeu sérieux motive les élèves à effectuer une activité et à s'approprier de manière plus intense les notions de distributivité et de factorisation par rapport à une activité sans aspect ludique, en 4° et en 3°.

Pour analyser les plus-values de chacun de ces éléments, nous avons réalisé l'expérience dans plusieurs classes, en variant l'utilisation ou non d'un des modes de représentation des connaissances, ou en intégrant ou non la dimension ludique d'un jeu. Les séances ont été filmées en deux ou trois points dans la classe, la plupart des séances étant en îlots. Une partie des échanges verbaux filmés dans ces vidéos a été transcrite, et enrichie avec une description de la gestuelle des élèves au cours des séances. Les interactions entre les élèves et avec les professeurs présents ont fait l'objet d'une attention particulière. Un questionnaire a été distribué à tous les élèves en fin de séquence.
# 2 REVUE DE LITTERATURE

## 2.1 POINT SUR LA REVUE DE LITTERATURE AU SUJET DE L'UTILISATION DES ARTEFACTS

Nous allons dans un premier temps présenter une revue de littérature sur la manipulation d'artefacts pour l'apprentissage des mathématiques.

Nous avons effectué une recherche avancée sur le moteur de recherche Publimath, portail des IREM (Instituts de Recherche pour l'Enseignement des Mathématiques), base de ressources pour l'enseignement des mathématiques. La recherche a d'abord été effectuée par les mots-clés « matériel de manipulation » dans la catégorie « articles de périodiques ou revue » : on dénombre 123 articles à ce sujet, mais seulement 11 articles concernent les niveaux du cycle 4, dont seulement 3 entre 2018 et aujourd'hui, c'est-à-dire depuis la publication du rapport de Villani & Torossian (2018) sur les 21 mesures pour les mathématiques. Quand la recherche s'effectuait dans la catégorie « actes de colloques, de congrès de séminaires », deux colloques de COPIRELEM (Commission Permanente des IREM sur l'Enseignement Élémentaire) semblent s'être emparés de la question de l'utilisation d'artefact pour l'enseignement et les apprentissages des mathématiques entre 2017 et 2019, mais aucune recherche pour le niveau du cycle 4 (au-delà de la 6°). Seul un article de la revue APMEP datant de 1983 relatant des Journées nationales de l'APMEP de 1982 semble montrer un intérêt précurseur à cette innovation pédagogique de ces dernières années, mais le niveau collège en faisait partie.

Une autre recherche a été effectuée dans le moteur de recherche Google Scholar (moteur de recherche pour les articles universitaires) avec les mots clés « manipuler pour apprendre les mathématiques ». Nous n'avons retenu que les articles qui semblaient pertinents avec notre sujet d'étude et qui comportaient une analyse didactique : une expérimentation dans une classe avec des élèves porteurs de handicaps (Assude, 2017) ; une expérimentation à la Haute Ecole Pédagogique pour la formation des futurs enseignants de primaire en Suisse (Audrin, 2020) ; une expérimentation avec des élèves de l'école de la deuxième chance (plus de 16 ans) lors d'un stage de découverte de la recherche en mathématiques (Assude, Feuilladieu & Dunand, 2015) ; une expérimentation avec le logiciel scratch et une comparaison entre l'utilisation d'objets tangibles et d'objets virtuels (Crisci, 2018) ; un article d'analyse sur un corpus formé
d'articles autour du thème « matériel de manipulation » (Corriveau & Jeannotte, 2018).

Nous avons aussi utilisé les résultats d'une thèse sur une étude comparative des interactions à visée d'apprentissage dans l'étude de l'utilisation des artefacts entre la Polynésie et la Guyane (Robo, 2021), ainsi qu'une étude critique des manuels intitulés “ Méthode de Singapour ” (Mounier & Grapin, 2019).

## 2.2 ANALYSE DES POINTS D'EFFICACITE ET DES OBSTACLES FACE A L'UTILISATION DES ARTEFACTS

Cette analyse porte uniquement sur les résultats de la recherche concernant des expérimentations faisant intervenir la manipulation d'artefacts, et non sur les articles qui présentent des activités pédagogiques dans le but d'être réemployées en classe par les enseignants.

Les travaux de Claudia Corriveau et Doris Jeannotte de l'Université de Laval nous a semblé être un bon élément d'appui pour notre analyse comparative, car elles ont constitué un corpus qui rassemble 98 articles professionnels francophones et anglophones (provenant des bibliothèques virtuelles ERIC et Publimath, ou Vivre le Primaire) déterminés par les mots-clés « matériel de manipulation », ou réflexion générale sur la manipulation, ou encore concernant l'arithmétique. Nous complétons au fur et à mesure notre compte-rendu avec les articles trouvés en parallèle, cités plus haut.

### 2.2.1 Un relevé des points d'efficacité :

Une première analyse portait sur les éléments axiologiques du discours, c'est-à-dire les buts, aux fonctions, aux finalités et aux principes. Il en ressort que les fonctions du matériel peuvent être classées en deux types : ceux de nature à « *favoriser l'apprentissage en général* » c'est-à-dire donner du sens, la construction d'idées, d'apprendre par l'expérience, ce qui renverrait à l'abstraction empirique, et ceux de nature à « *favoriser le raisonnement mathématique* », c'est-à-dire généraliser, permettre de valider, d'organiser et soutenir le raisonnement mathématique, ce qui renverrait à l'abstraction réfléchissante. Mais « ces
fonctions sont dans l'ensemble sous-tendues par la fonction “ultime” de permettre le passage
du concret à l'abstrait ou de l'informel au formel ». (Corriveau & Jeannotte, 2019)

Dans les résultats de nos articles choisis, le cas de l’utilisation de matériel dans une classe avec des élèves porteurs de handicaps (surdité), « le recours au concret et à la manipulation est vu comme une priorité et un leitmotiv dans la justification du choix des situations proposées aux élèves », afin de les simplifier au maximum (Assude, 2017).

D'autre part, dans l'expérimentation des jeunes décrocheurs de l'Ecole de la deuxième
chance à Marseille (Assude, Feuilladieu & Dunan, 2015), qui ont connu dans leur scolarité une
incompréhension de la matière des mathématiques considérée comme trop abstraite, le « stage
Hippocampe-mathématiques » auquel ils participaient était pour eux une occasion de
comprendre le pouvoir de généralisation des mathématiques à travers un jeu intitulé la « Tour
de Hanoï » : ils devaient déplacer des rondelles sur des tiges et trouver, à l'aide de la
généralisation par l'outil mathématique, une optimisation de résolution de problème. Le point
d'efficacité est que ces jeunes sont rentrés dans l'activité de recherche et ont renoué pendant ce
temps avec les mathématiques, grâce à la manipulation des rondelles.

En ce qui concerne l'expérimentation autour du logiciel Scratch (Crisci, 2018), nous
retenons que le type de manipulation d'objets tangibles et le type de manipulation virtuelle
doivent vivre en parallèle dans les activités de la classe de mathématiques pour leur
complémentarité, notamment en ce qui concerne la résolution de problèmes.

Au sujet de la thèse de Robo (2021), il semblerait que l’utilisation des artefacts et gestes
soit un moyen d’étayage de la part des enseignants, et qu’ils permettent d’influencer et de
prolonger les interactions et le travail collaboratif. Les artefacts rattachés au quotidien ou à la
culture de l’élève permettent davantage de prolonger les interactions, donc de maintenir l’élève
dans une situation d’apprentissage.

Lors des colloques de COPIRELEM, des résultats intéressants sur les points d'efficacité
apparaissent aussi (Medici et al., 2017) : « la possibilité de manipuler des objets modifie le
rapport de l'élève au problème, rend la recherche de la solution plus plaisante et plus rapide,
fait passer les tâches de notation dans un second temps, facilite les essais et libère l'esprit de
l'erreur à éviter à tout prix. ». En outre, il permet un gain de temps et permet à l'élève de rentrer
plus facilement dans la résolution de problèmes.
Dans ce même colloque, une des rares expérimentations en classe de collège nous éclaire sur un renforcement de l'apprentissage des opérations avec des fractions à l'aide de gabarits et de transparents (Berlanger & Gilbert, 2017) : l'objectif étant de faire émerger progressivement le sens de ces opérations. C'est par l'alternance entre la manipulation, la représentation et la verbalisation que les images mentales vont se créer chez l'élève, images qu'il pourra réutiliser facilement par la suite.

Toujours dans le colloque COPIRELEM, mais l'année suivante, la question de l'artefact est développée par Sabena (2018) : elle montre que « les gestes peuvent contribuer au développement d'argumentations qui s'appuient sur des considérations empiriques pour passer à un plan hypothétique où l'on approche la généralité. » Elle développe trois caractéristiques spécifiques de ces gestes : la contraction sémiotique, le caractère condensant des gestes, l'utilisation de l'espace gestuel dans un sens métaphorique. En d'autres termes, elle argumente le fait qu'utiliser des gestes permet un résumé des savoirs en cours d'acquisition du point de vue sémiotique, ce qui est précieux pour la mémorisation et la réutilisation de ce savoir.

L'article présentant une expérimentation avec des étudiants en formation à la Haute Ecole Pédagogique relate une innovation pédagogique de formation de futurs enseignants de primaire (Audrin, 2020) : le formateur propose une activité sur la numération et le sens des opérations en utilisant des billes en une base autre que 10. Il se trouve que ces étudiants ont généralement eu des difficultés avec les mathématiques étant plus jeune, la redécouverte du sens du nombre à travers cette manipulation a permis à de nombreux étudiants de comprendre en profondeur le sens des opérations, ce qui a permis une augmentation des résultats positifs dans la matière aux examens par rapport aux années précédentes (de 80% à 90%), mais surtout un nouvel engouement pour la didactique des mathématiques par une augmentation du choix d'un thème mathématique pour le mémoire de fin d'étude (de 7% à 19%, de 2016 à 2017). Le plaisir d'apprendre a rejailli pour cette matière et pourra certainement être transmis avec plus d'ardeur à leurs futurs élèves.

L'analyse des manuels intitulés « Méthode de Singapour » (Mounier & Grapin, 2019) valorise le fait que cette pédagogie mettant au centre trois étapes (l'étape concrète, l'étape imagée et l'étape abstraite) est explicite et systématique et permet aux élèves des « stratégies efficaces de résolution de problèmes mathématiques ». Les professeurs de Singapour utilisent tous cette méthode et reçoivent de façon très régulière des formations pour qu'elles soient
exploitées pour la réussite des élèves. Le succès de cette méthode est réel, les élèves arrivent régulièrement premiers dans les tests internationaux PISA.

Les points positifs qui montrent un renforcement des apprentissages par la manipulation de matériel sont nombreux, et ce à travers une diversité des publics, des jeunes enfants en maternelle aux adultes futurs professeurs, en passant par les jeunes adultes décrocheurs ou des enfants sourds. Outre le plaisir renouvelé à entrer dans le raisonnement mathématique et la résolution de problèmes, son efficacité se joue dans le temps perdu puis regagné dans les apprentissages et renforce les savoirs en cours d'acquisition, tant dans la mémorisation que dans la réutilisation des nouveaux savoirs. Ces méthodes permettent une interaction plus riche entre les élèves et avec l'enseignant.

Mais il existe aussi de nombreux obstacles et des pièges à éviter.

### 2.2.2 Un relevé des obstacles et difficultés :

Pour reprendre les travaux de Claudia Corriveau et Doris Jeannotte (2018), une analyse sur les éléments praxiques du corpus (des pratiques, des prescriptions, des normes et des us et coutumes) a pu mettre en valeur que même si l'utilisation de matériel de manipulation est perçue comme nécessaire par les enseignants du primaire, ils regrettent de ne pas les utiliser assez en classe, souvent ne « sachant pas et comment le réinvestir en classe » (Corriveau et Jeannotte, 2015). Il en ressort que les recommandations sont relativement vagues et qu'elles outillent peu les enseignants. Il semblerait que, parmi ceux et celles qui partagent une expérience d'utilisation du matériel dans laquelle on peut dégager une pratique, ce sont souvent des chercheuses ou chercheurs et des formatrices ou des formateurs et non des enseignantes ou des enseignants qui en sont les auteurs, peut-être aussi parce que les enseignants ne s'y reconnaissent pas. Il est mentionné aussi qu'une mauvaise utilisation du matériel peut nuire aux apprentissages (Corriveau et Jeannotte, 2015).

D'autre part, dans l'expérimentation avec les enfants sourds se dégage le piège de vouloir transposer de manière « trop abrupte » la symbolique mathématique à partir du matériel utilisé. De là nait un « malentendu sémiotique », c'est-à-dire un écart trop grand entre la conceptualisation de l'élève et la représentation qu'en a l'enseignant. Un passage au mode iconique aurait pu lever cette difficulté (Assude, 2017). Le passage des objets concrets aux
permet d'enrichir la représentation, à comprendre de quoi l'on parle, mais il va falloir à un
moment donné « bloquer » l'utilisation du matériel pour forcer à utiliser les objets
mathématiques symboliques et accéder ainsi à la résolution de problème (CRAP Cahiers
Pédagogiques, 2017).

Le champ de création d'ingénieries pédagogiques à ce sujet pour le cycle 4 semble
avoir besoin d'être conquis.

## 2.3 POINT SUR LA REVUE DE LITTERATURE AU SUJET DE L'UTILISATION DE JEUX SERIEUX

En nous concentrons uniquement sur les jeux sérieux utilisés en cours de
mathématiques, nous avons seulement choisi trois études : la thèse de Nicolas Pelay traitant du
jeu et des apprentissages mathématiques en contexte d'animation scientifique (2011) ;
l'expérimentation à grande échelle intitulée SCOLA (Système de Communication Ouvert et
Ludique pour les Apprentissages) qui relate les conditions et contraintes de l'usage de jeux
sérieux (ici jeux numériques) en classe de mathématiques portant sur 30 collèges (en région
PACA, 2015) ; l'utilisation en classe d'un jeu sérieux sur table interactive avec objets tangibles
pour favoriser l'activité des élèves (Kubicki, Pasco & Arnaud, 2014).

### 2.3.1 Un relevé des points d'efficacité :

Pelay (2011) a étudié l'utilisation de jeux sérieux en mathématiques pour des enfants et
adolescents en séjour de vacances. Un nombre important d'expérimentations a montré qu'il
'était « possible de jouer et d'apprendre des mathématiques simultanément et sans contraction »
(Pelay, 2011). La dimension de plaisir dans le fait de « développer des stratégies et
raisonnements mathématiques dans les jeux » a pu être attestée. D'autre part, dans la conception
des situations (ici le jeu sérieux), il en ressort que l'articulation entre jeu et apprentissage
implique la « prise en charge explicite du jeu dans l'élaboration théorique » : le « contrat
didactique et ludique », c'est-à-dire l'ensemble des règles et comportements entre l'animateur
et les participants qui lient les deux dimensions didactique et ludique.

Le projet SCOLA, piloté par un consortium d'universités et d'entreprises de l'industrie
du design numérique, propose une plateforme de jeux sérieux (ici jeux vidéos) en
mathématiques pour les classes de collège. L'analyse de cette expérimentation auprès des
collégiens d'une trentaine de collèges (Ladage & Ravestein, 2015) a rapporté que les élèves ont
apprécié le côté ludique et différent des mathématiques étudiées en classe, et que cela a permis une augmentation de la « motivation », au moins au début. Du côté des professeurs, il a été apprécié de pouvoir laisser en autonomie les « bons » élèves pour s'occuper de ceux qui sont plus « en difficulté ». De plus, ces jeux sérieux ont constitué une bonne « introduction » aux notions abordées dans le programme.

Dans l'étude d'objets tangibles sur une table interactive avec des élèves en cours préparatoire, Kubicki, et al. (2014) ont questionné les effets des jeux sérieux sur les apprentissages des élèves. Il s'avère qu'un tel jeu sérieux permet d'« augmenter le temps des élèves sur la tâche et [de] favoriser la coopération à la résolution de problèmes. »

### 2.3.2 Un relevé des obstacles et difficultés :

Dans la thèse de Pelay (2011), la dimension de l'incertitude au sein des règles du jeu doit garder une place importante pour ne pas supprimer l'aspect ludique, même si le « pôle didactique » tend à la supprimer lorsqu'il peut apporter une réponse à l'incertitude au départ ludique.

Dans la revue de littérature proposée par Young et ses collègues (Young et al., 2012) au sujet des effets des jeux sérieux sur l'apprentissage des élèves (pour l'ensemble des disciplines), il semblerait qu'en mathématiques il existe encore trop peu d'études. Il y a seulement 12 ans, les jeux sérieux développés dans cette matière avaient des « contenus pauvres ou la démarche d'apprentissage est intégrée de manière inefficace ».

Pour reprendre l'étude du projet SCOLA, les jeux vidéo sérieux étaient pensés pour maximiser l'autonomie des élèves, mais en réalité l'adaptation à ce nouveau dispositif rendait ces derniers très demandeurs auprès des professeurs. Les problèmes techniques ont été aussi un grand frein à la fluidité du projet ainsi que le manque de compréhension des règles de jeu (l'aspect ludique), mais aussi le sujet du contenu disciplinaire.

## 2.4 CONCLUSION PARTIELLE POUR LA REVUE DE LITTERATURE

Pour conclure au sujet de ces trois études concernant les jeux sérieux en mathématiques, l'engouement pour ce support pédagogique s'est développé ces dernières années, il est un vrai facteur de plaisir et de motivation pour les élèves et leur permet de rentrer avec beaucoup plus de facilité dans les apprentissages. Quand l'articulation didactique/ludique est efficace, cela
permet aux élèves de pouvoir raisonner de façon plus naturelle, et plus durable, et devient une
bonne alternative pour gérer l'hétérogénéité dans les classes. Il faut cependant rester prudent
quant au choix des aspects ludiques autant que des aspects didactiques ; que l'un soit au service
de l'autre, afin de maintenir une tension propre au développement du raisonnement, et garder
comme cap la résolution de problèmes. Il serait prudent de réfléchir en amont à tout ce qui
pourrait poser des difficultés dans le déroulement du jeu, notamment du point de vue de la
compréhension des éléments d'apprentissages mais aussi des règles de jeu qui gouvernent le
pôle ludique.
# Chapitre 2 : Méthodologie

## 1 LA POPULATION CIBLE

L'expérimentation a été réalisée à l'occasion du stage du semestre 9, entre le 17 octobre et le 25 novembre 2022, au collège de Taaone, situé dans la commune de Pirae, à Tahiti en Polynésie française. Ce collège fait partie d'un groupe scolaire comprenant école primaire, collège et lycée. Il comporte 682 élèves, deux classes bilangue (Tahitien ou espagnol), deux sections sportives (Foot et judo). Neuf élèves de section foot sont internes. Le collège accueil un public mixte en termes de classes sociales, et environ la moitié des élèves sont boursiers (319 élèves). Les classes avec lesquelles j'ai conduit l'expérimentation sont les 4°A, 4°C, 4°E, 3°D et 3°F.

### 1.1 CONTEXTE DE PROTOCOLE D'EXPERIMENTATION

L'expérimentation a été exécutée par l'observation filmée de trois classes de 4° traitant toutes les trois de la notion du « calcul littéral », particulièrement des concepts « réduire », « développer », et « factoriser ». Deux professeurs étaient présents dans toutes les séances. L'observation mène à une étude comparative sur la façon dont les élèves acquièrent ces notions selon l'utilisation ou non par le professeur de la manipulation d'objets (mode enactif), la représentation par schéma (mode iconique), ou seulement le langage mathématique (mode symbolique). Cette observation conduit aussi à une étude évolutive d'élèves d'une même classe sur plusieurs séances. L'expérimentation analyse également l'apport ludique avec l'utilisation d'un jeu élaboré à cet effet. Nous pourrons observer plus particulièrement la différence sur une deuxième expérimentation avec deux classes de 3°, toujours sur la notion de calcul littéral. Une classe de 3° utilise le jeu pendant une heure et redécouvre les notions de calcul littéral, une autre classe de 3° redécouvre les notions de calcul littéral sans le support du jeu, mais avec le même matériel et les mêmes questions.
## 1.2 LA CLASSE DE 4°A :

C'est la classe qui utilise le dispositif du jeu sérieux comme introduction au calcul littéral, entre autres au développement et à la factorisation. Ainsi, elle utilise de manière cyclique le mode enactif, le mode iconique et le mode symbolique. La dimension ludique a aussi sa place. L'observation a été menée sur trois séances, dont les deux premières ont été consacrées entièrement à l'utilisation du jeu, afin de laisser le temps aux élèves de s'approprier le fonctionnement et les règles du jeu, et de pouvoir ainsi réaliser les « missions » des cartes en concentrant leur réflexion mathématique liée au calcul littéral.

<caption>Tableau 1</caption>

4°A, mercredi 9 novembre 9h-10h : Découverte du jeu, utilisation pendant une demi-heure (mode enactif – mode iconique – mode ludique)

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 20</strong><br>Classe de 4°A, 9 novembre, tablette f56</td><td><strong>Figure 21</strong><br>Plan du groupe filmé par f56, 4°A</td></tr><tr><td><img src="image_0_0_0.png" alt="Figure 20: Student playing a video game, with a clock showing 23:46"></td><td><img src="image_0_0_1.png" alt="Figure 21: Group of students, some with white boards and pens, one with a blue square and text 'Elève non reconnu ENR' and a blue square with a white border"></td></tr><tr><td><strong>Figure 22</strong><br>Classe de 4°A, 9 novembre, tablette f55</td><td><strong>Figure 23</strong><br>Plan du groupe f55, 4°A</td></tr><tr><td><img src="image_0_0_2.png" alt="Figure 22: Student playing a video game, with a clock showing 23:46"></td><td><img src="image_0_0_3.png" alt="Figure 23: Group of students, some with white boards and pens, one with a blue square and text 'Elève non reconnu ENR' and a blue square with a white border"></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
- Prérequis : les élèves n'ont jamais fait de calcul littéral cette année

- Formation de cinq groupes de six élèves de niveaux scolaires mélangés

- Les tables sont en îlots, le matériel de jeu est déjà en place

- Explication des règles du jeu, sans mentionner la notion de calcul littéral

- Les élèves jouent pendant 1 heure, deux groupes sont filmés (une tablette ne fonctionnait pas)

- Au bout de 20 minutes, règle de jeu supplémentaire : les élèves sont invités à traduire les questions en langage mathématique à l'aide d'un feutre effaçable sur la plaque des valises, pour doubler leurs points. En réalité peu d'élèves tentent de traduire.

Tableau 2

4°A, jeudi 10 novembre 13h-14h : Reprise de leur partie de jeu ; traduction en langage mathématique (mode enactif – mode iconique - mode symbolique – mode ludique)

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmés pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 24</strong><br>4°A, 10 novembre, tablette f56<br><br><img src="image_groupe_f56.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 25</strong><br>Plan du groupe filmé par f56, 4°A<br><br><table><tr><td>Professeur PE</td><td>EA</td><td>EF</td></tr><tr><td>Professeur PM</td><td>EB</td><td>EE</td></tr><tr><td>Elève non reconnu ENR</td><td>EC</td><td>ED</td></tr></table></td></tr></tbody></table>
- Nouvelle partie du jeu, même format de classe.

- Cette fois-ci, les élèves ont la consigne d'utiliser la traduction en langage mathématiques à chaque carte (et doublent ainsi leurs points)

<caption>Tableau 3</caption>

4°A, 21 novembre 8h – 9h : institutionnalisation des notions Réduire, Développer et Factoriser (mode enactif – mode iconique - mode symbolique)

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 26</strong><br>4°A, 21 novembre, tablette f56<br><br><img src="image_0_0.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 27</strong><br>Plan de groupe filmé par f56, 4°A<br><br><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">Professeur PE<br>Professeur PM<br>Elève non reconnu ENR</div><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">EA<br>EB<br>EC</div><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">EF<br>EE<br>ED</div></td></tr><tr><td><strong>Figure 28</strong><br>4°A, 21 novembre, tablette f55<br><br><img src="image_0_1.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 29</strong><br>Plan de groupe filmé par f55, 4°A<br><br><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">Professeur PE<br>Professeur PM<br>Elève non reconnu ENR</div><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">EA<br>EB<br>EC</div><div style="text-align: center; margin-bottom: 10px;">EF<br>EE<br>ED</div></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
- Prérequis : les élèves ont eu une heure de cours avec leur professeur habituel entre le jeudi 10 et le lundi 21 novembre : ils ont fait des exercices sur la notion de « réduire ». Pour cette heure de cours, ils sont à nouveau en petits groupes autour de tables en îlots.

- A partir de deux dessins de cartes « missions » projetés au tableau, institutionnalisation à l'oral des deux notions « développer » et « factoriser » par le professeur.

- Distribution d'étiquettes « définition » et « exemples » à déplacer sur la table (voir annexe E p.155) : par petits groupes, les élèves doivent différencier en deux catégories de cartes les notions de Développer et Factoriser (cartes avec trois définitions de leçon, trois définitions s'appuyant sur le dessin de jetons, trois exemples de dessins illustrant des jetons dont la mission serait « développer », et deux autres dont la mission serait « factoriser », et enfin six autres étiquettes représentant ces mêmes exemples mais en langage mathématique. Ainsi, les élèves sont en démarche d'abstraction empirique par la différenciation des deux concepts « factoriser » et « développer », à l'aide d'exemples et de contre-exemples, et dans le mode iconique et symbolique. Le fait de devoir déplacer ces étiquettes pour former les catégories fait partie du mode enactif.

- Une fiche leçon est distribuée aux élèves (voir annexe F p.156), pour l'institutionnalisation écrite des notions de Réduire, Développer et Factoriser par le professeur. Le document est projeté au tableau : à partir d'exemples de dessin de cartes « missions » du jeu que les élèves traduisent en langage mathématique, ils peuvent lire les définitions des trois notions afin de retrouver le titre des définitions manquantes. Ensuite, ils effectuent la question en langage mathématique (réduire, développer ou factoriser).

- A partir des étiquettes encore en place sur les tables, les élèves exécutent par écrit les questions des exemples sur leurs cahiers (ils ont donc à disposition sous leurs yeux à la fois le mode symbolique et le mode enactif).
## 1.3 LA CLASSE DE 4°E :

C'est la classe qui utilise le mode iconique en introduction des notions du calcul littéral. Nous ne proposons pas le dispositif du jeu, donc pas de mode enactif ou de mode ludique, mais nous utilisons les images se trouvant sur les cartes « missions » pour construire les cours, d'où le mode iconique. Un support sous forme de fiche mêlant définitions, exemples et exercices sert pour les deux séances avec cette classe (voir annexe G p.157). Lors de la première séance, les élèves sont placés par petits groupes, et lors de la deuxième séance, la classe est sous forme frontale tournée vers le tableau et le professeur.

<caption>Tableau 4</caption>

4°E, jeudi 10 novembre 12h – 13h : Travail sur fiche exercices/leçon, réduire et développer, mode iconique

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 30</strong><br>4°E, 10 novembre, mode iconique<br><br><img src="image.png" alt="Figure 30: Professeur PE, Professeur PM, Elève non reconnu ENR"></td><td><strong>Figure 31</strong><br>Plan de groupe filmé, 4°E<br><br><div>Professeur PE</div><div>EA</div><div>ED</div><div>Professeur PM</div><div>Elève non reconnu ENR</div><div>EB</div><div>EC</div></td></tr></tbody></table>

- Prérequis : les élèves ont fait une heure d'exercices sur la réduction dans le calcul littéral le cours précédent

- Les élèves sont par petits groupes autour de tables en îlots, niveaux mélangés.

- Distribution de fiches exercices/leçon à compléter
- Présentation des valeurs objets : jetons positifs et négatifs, cubes « nombre mystère », cercles multiplicateurs, mais seul le professeur en dispose.

- Les élèves réalisent le 1° exercice, guidés par le professeur pour clarifier la consigne en lien avec les dessins

- Mise à disposition de feuilles blanches par groupe pour dessiner les objets s'ils estiment en avoir besoin

- Traduction du dessin en langage mathématique, puis résolution de la question avec les symboles.

- Les élèves continuent seuls, les corrections sont faites au fur et à mesure.
Institutionnalisation des concepts : Réduire puis développer.

<caption>Tableau 5</caption>

4°E, mardi 22 novembre 12h – 13h : institutionnalisation / bilan différenciation étiquettes

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 32</strong><br>4°E, 22 novembre, mode iconique<br><br><img src="image.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 33</strong><br>Plan de groupe filmé, 4°E<br><br><div>Professeur PE</div><div>Professeur PM</div><div>Elève non reconnu ENR</div><div>EC</div><div>EB</div><div>EA</div></td></tr></tbody></table>

- Les élèves sont placés de façon frontale face au tableau.

- Distribution de la fiche de la semaine précédente

- Réactivation des valeurs objets
- Exercices type iconique sur la factorisation

- Institutionnalisation du concept factoriser

- Rappel sur un exemple concept développer

- Distribution d'une fiche par groupe avec des dessins de jetons et cubes (les mêmes qu'en 4°A), et liste d'expressions littérales à écrire sous les dessins : par petits groupes, les élèves traduisent en écrivant sous les dessins les expressions littérales proposées, et inscrivent si la consigne demandée est « développer » ou « factoriser ».

Les élèves exécutent les questions sur leurs cahiers.

## 1.4 LA CLASSE DE 4°C :

Nous proposons à cette classe les mêmes notions que pour les deux autres, avec les mêmes exercices, mais de façon plus courante, c'est-à-dire sans le dispositif du jeu, sans jetons et sans dessins. Seul le mode symbolique est utilisé. Pour les deux séances observées, la classe est en position frontale, face au tableau et au professeur.

<caption>Tableau 6</caption>

4°C, Mardi 8 novembre 9h – 10H : exercices forme courante :

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 34</strong><br>4°C, 8 novembre, tablette f49<br><br><img src="image.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 35</strong><br>Plan de groupe filmé par f49, 4°C<br><br><table><tr><td>Professeur PE</td><td>ED</td></tr><tr><td>Professeur PM</td><td>EC</td></tr><tr><td>Elève Non Reconnu ENR</td><td>EB</td></tr><tr><td></td><td>EA</td></tr></table></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
- Prérequis : les élèves ont déjà effectué des exercices de réduction dans le calcul littéral le cours d'avant

- Ils sont placés comme d'habitude en rang face au tableau

- Exercices animés par le professeur : questions écrites au tableau, correction sur le cahier en vert par les élèves. Les questions sont les mêmes que pour les deux autres classes, mais présentées en langage mathématique seulement.

- Notions abordées : réduire et développer. Comme il n'y a pas d'images ou de jetons, on ne peut pas utiliser la métaphore de la distribution du facteur pour toutes les valeurs placées dans le cercle multiplicateur. Nous allons donc nous inspirer de l'introduction de ce concept décrit dans la partie du cadre théorique : « c. »

Comment apprendre l'abstraction : la formation des concepts selon Barth », c'est-à-dire que le concept « développer » est introduit par deux calculs avec seulement des nombres (pas de lettres) aboutissant au même résultat. En plus, la justification de la généralisation est présentée par le calcul d'aire de deux rectangles.

Institutionnalisation : les formules de factorisation sont ensuite écrites sur le cahier. Puis entraînement sur des exemples.

<caption>Tableau 7</caption>

4°C, lundi 21 novembre 14h – 15h : Factoriser / bilan différenciation

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 36</strong><br>4°C, 21 novembre, tablette f55<br><br><img src="image.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 37</strong><br>Plan de groupe filmé par f55, 4°C<br><br><table><tr><td>Professeur PE</td><td>ED</td></tr><tr><td>Professeur PM</td><td>EC</td></tr><tr><td>Elève Non Reconnu ENR</td><td>EB</td></tr><tr><td></td><td>EA</td></tr></table></td></tr></tbody></table>

Réactivation de ce qui a été vu au dernier cours : une question pour développer.
- Exercices d'entraînement sur développer.

- Introduction du concept Factoriser : présenté comme le contraire de développer. Exemple à l'appui.

- Application de factorisation sur des exercices, les mêmes questions que pour les deux autres classes.

- Bilan en fin d'heure : plusieurs expressions de calcul littéral, déterminer si la consigne est « développer » ou « factoriser ». Résoudre les questions données selon la consigne adéquat. Mêmes questions que pour 4°A et 4°E.

## 1.5 LA CLASSE DE 3°F :

Sur le même modèle que la classe de 4°E, la classe de 3°F utilise le mode iconique pour une réactivation des notions du calcul littéral vues l'année précédente. Nous ne proposons pas le dispositif du jeu, en revanche, contrairement à la classe de 4°E, cette fois-ci les élèves ont à disposition le matériel au centre de la table pour les aider à comprendre les questions de la fiche. Les modes enactif, iconique et symbolique sont utilisés, mais pas le mode ludique. Nous utilisons les images se trouvant sur les cartes « missions » pour construire les cours, d'où le mode iconique. Un support sous forme de fiche mêlant définitions, exemples et exercices sert pour l'unique séance avec cette classe (voir annexe I p.159). Les élèves sont placés par petits groupes.

<caption>Tableau 8</caption>

3°F, mercredi 9 novembre 8h – 9h : fiches à compléter, matériel à disposition

<table><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead></table>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 38</figcaption></figure>

3°F, 9 novembre, tablette f49

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 39</figcaption></figure>

Plan de groupe filmé par f49, 3°F

- Prérequis : les élèves ont abordé la notion de calcul littéral l'année précédente

- Formation de 5 groupes de 6 élèves niveaux scolaires mélangés

- Les tables sont en îlots, le matériel est placé au centre, mais sans les plateaux liés au jeu

- Distribution de fiches exercices/leçon à compléter (voir en annexe)

- Présentation des valeurs objets : jetons positifs et négatifs, cubes « nombres mystère », cercles multiplicateurs

- Les élèves réalisent le 1° exercice, guidés par le professeur pour clarifier la consigne en lien avec les dessins

- Traduction du dessin en langage mathématique, puis résolution de la question avec les symboles.

- Les élèves continuent seuls, les deux professeurs viennent apporter leur aide
Institutionnalisation des concepts : Réduire puis développer.

1.6 LA CLASSE DE 3°D :

Comme les 4°A, les élèves de la classe utilisent le dispositif du jeu, mais cette fois-ci
pour une réactualisation des notions de calcul littéral. Les élèves sont en groupe autour des îlots.

<caption>Tableau 9</caption>

3°D, Mercredi 9 novembre 10h - 11h : jeu
<table><caption></caption><thead><tr><th>Photographie du groupe d'élèves filmés</th><th>Schéma du groupe filmé<br>pour transcription et codage</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Figure 40</strong><br>3°D, 9 novembre, tablette f55<br><br><img src="image_placeholder.png" alt="Photographie du groupe d'élèves filmés"></td><td><strong>Figure 41</strong><br>Plan de groupe filmé p f55, 3°D<br><br><div>Professeur PE</div><div>EA</div><div>ED</div><div>Professeur PM</div><div style="background-color: #4A86E8; color: white; font-weight: bold; text-align: center; padding: 5px 10px; margin-top: 5px; margin-bottom: 5px;">Elève non reconnu ENR</div><div>EB</div><div>EC</div></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption></figcaption></figure>

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

- Prérequis : les élèves ont abordé la notion de calcul littéral l'année précédente

- Formation de 5 groupes de 6 élèves de niveaux scolaires mélangés

- Les tables sont en îlots, le matériel de jeu est en place

- Explication des règles du jeu, sans mentionner la notion de calcul littéral

- Les élèves jouent pendant 1 heure, trois groupes sont filmés

- Au bout de 20 minutes, règle de jeu supplémentaire : les élèves sont invités à traduire les questions en langage mathématique pour doubler leurs points.

3°D, jeudi 10 novembre 9h- 10h :

La séance qui suit le jeu est une phase d'institutionnalisation des trois notions abordées dans le jeu la veille, soit réduire, développer et factoriser. Le cours prend support sur une fiche assez similaire de celle des 3°F, mais adaptée car l'autre classe n'a pas eu le jeu en introduction. Cette séance n'a pas été transcrite et codée.

<caption>Figure 42</caption>
3°D, 10 novembre, tablette f56

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

- Distribution de fiches exercices/leçon à compléter

- Rappel des valeurs objets : jetons positifs et négatifs, cubes « nombres mystère », cercles multiplicateurs

- Les élèves réalisent le 1° exercice, guidés par le professeur pour clarifier la consigne en lien avec les dessins

- Ils ont la possibilité de dessiner au dos de leur feuille

- Traduction du dessin en langage mathématique, puis résolution de la question avec les symboles.

- Les élèves continuent seuls

## 2 OUTILS ET INSTRUMENTS DE RECUEILS DE DONNEES

Pour exploiter de manière complète ce qui pourrait se dégager de cette expérimentation, nous avions besoin de pouvoir analyser en profondeur les signes qui révèleraient que l'élève est en train d'acquérir un savoir, c'est à dire pouvoir repérer le chemin de l'abstraction qui se forme petit à petit dans son esprit. C'est pour cela que nous avons choisi de filtrer les séances, afin de capter à la fois les échanges verbaux entre les élèves ou avec le professeur, mais aussi de pouvoir saisir l'importance de chacun des gestes, notamment lors de l'utilisation du jeu, car chaque mouvement peut être un signe de réflexion pour l'élève, et être porteur de sens pour l'analyse.

Nous avons disposé trois tablettes par séance, orientées vers les petits groupes formés autour des tables, ou bien devant un rang d'élèves lorsqu'ils étaient en position frontale. En
réalité, au mieux deux tablettes fonctionnaient vraiment à tour de rôle, soit par manque de place dans la mémoire interne, soit par manque de batterie. Après chaque journée d'expérimentation, les vidéos ont été enregistrées dans un espace de stockage personnel type cloud puis effacées des tablettes, afin de pouvoir avoir suffisamment de mémoire le jour suivant. Comme les vidéos étaient nombreuses et longues, il a fallu beaucoup de temps et de débit internet pour les téléverser dans cet espace de stockage, parfois des nuits entières. Ensuite, elles ont été nommées selon la classe, le groupe et l'heure. Pour pouvoir retrouver certains élèves observés, un plan de classe avec le nom des élèves a été réalisé en début de chaque séance par leur professeur. Ensuite, nous avons transcrits des moments choisis de chaque séance dans le but de les analyser. Nous décrivons les méthodes d'analyse utilisées dans le paragraphe ci-dessous.

D'autre part, pour analyser le ressenti des élèves et leur avis sur la question de l'utilisation d'un jeu sérieux et de la manipulation d'objets pour comprendre des nouvelles notions en mathématiques, nous leur avons distribué un questionnaire à choix multiples sous forme papier de cinq questions en toute fin d'expérimentation. Seule la classe des 4°C n'a pas eu ce questionnaire car ils n'avaient pas du tout utilisé d'artefact. Nous avons ensuite numérisé nominativement chaque réponse dans une feuille de calcul Excel afin d'établir des mesures statistiques.

Nous avons aussi photographié ou ramassé quelques feuilles d'élèves, ou des cahiers afin de pouvoir analyser leurs productions écrites.

## 3 METHODES D'ANALYSE

Pour une analyse riche et complète des séances d'activités avec les élèves, nous avons choisi quatre méthodes d'analyse pour une triangulation de méthodes. En effet, cela permet d'avoir à la fois une vision globale de l'étude, et de façon simultanée une approche plus précise selon les points étudiés. Cela permet ainsi de valider ou renforcer certaines analyses, ou bien d'ouvrir un nouveau point de vue. Ces quatre méthodes d'analyse n'ont pas le même poids les unes par rapport aux autres et n'ont pas nécessité le même temps pour le dépouillement. Néanmoins, elles se complètent et apportent à l'interprétation des résultats un gage de qualité.

Ces méthodes sont les suivantes :
1. La méthode d'analyse utilisée pour le dépouillement verbal et non verbal de l'analyse des séances filmées sera celle de la Microgénétique Didactique.

2. La méthode évaluant les questions effectuées pour certaines séances : cela peut être le comptage des questions réalisées sur le support vidéo sur une séance entière, ou bien l'analyse des réponses réalisées sur les cahiers ou les feuilles. Il s'agit donc d'une analyse à la fois quantitative (comptage du nombre de questions réussies, du nombre d'erreurs, de notions abordées), et qualitative (quel type d'erreur, quel dessin réalisé).

3. La méthode d'analyse quantitative qui étudie un Questionnaire à Choix Multiples distribué aux élèves en fin de séquence.

4. La méthode d'analyse qualitative à l'aide du logiciel IRAMuTeq (« Interface de R pour les Analyses Multidimensionnelles de Textes et de Questionnaires »), logiciel libre et ouvert d'analyse de données textuelles ou de statistique textuelle qui fonctionne en interface avec le langage R.

Nous allons maintenant présenter en détail chacune de ces méthodes.

## 3.1 LA MICROGENETIQUE DIDACTIQUE

### 3.1.1 Présentation de cette méthode d'analyse

La microgénétique didactique est définie comme l'« étude des processus d'acquisition des connaissances sur un temps court et dans une situation particulière » (Saada- Robert, M. et Balslev, K., 2006). En effet, c'est par les interactions verbales entre élèves et avec l'enseignant que l'on mesurera le processus d'abstraction des savoirs étudiés, à savoir celui de la factorisation et de la distributivité. Compte-tenu du nombre important de groupes filmés à travers toutes les séances (11 séances avec deux ou trois groupes soit plus de 22 films qui ont fonctionné), nous ciblerons l'analyse de seulement certains moments clés des séances où l'on pourra observer les connaissances en construction. Ainsi, nous employons la « microgenèse comme étude des transitions fines entre un stade développemental et un autre » (Saada- Robert, M. et Balslev, K., 2006) afin d'observer les moments-clés, les étapes de transition, les micro-instantanés de la progression « pas à pas » (« moment to moment process », Elster, 1994 ; « trial-by-trial acquisition », Siegler 1987, 1989, 1995).

L'analyse des gestes fera partie de notre étude autant que les échanges verbaux car il s'agit justement d'observer la portée du mouvement à travers l'assimilation des concepts. La
durée courte dans le temps de cette démarche qualitative « compréhensive-interprétative » fait partie de cette méthode d'analyse qui cherche à cerner les connaissances en construction lors d'une situation didactique.

Le chercheur a une posture à la fois inductive et déductive. Les catégories d'analyse sont élaborées à la fois à partir des composantes du savoir induites par le programme scolaire concernant précisément la factorisation et le développement (mais aussi de la réduction qui en fait partie) d'expressions littérales (posture inductive), et à la fois sur les éléments constitutifs de la situation même qui font émerger des patterns de compréhension ancrés dans le cadre théorique présenté précédemment (posture déductive).

Le dépouillement et l'analyse se fait en cinq phases (Tominska Conte, 2011) :

* **Première phase** : transcriptions des enregistrements vidéo en verbatims sur les échanges verbaux et leurs gestes associés, et seulement sur des moments choisis, classés selon les séances et les groupes observés ;

* **Deuxième phase** : découpage des verbatims en protocoles basés sur des unités de sens, c'est-à-dire des échanges verbaux entre élèves ou entre professeurs et élèves, autour d'un thème précis, par exemple pour la résolution d'un morceau de question. L'unité de sens change lorsque le professeur ou l'élève change de sujet ou de question, ou d'un autre élément au sein même d'une question. Chaque unité de sens est nommée selon la séance observée puis numérotée dans l'ordre chronologique.

Exemple : l'unité de sens 4E.DA.10n.f55.3 est l'unité de sens pour l'expérimentation en classe de 4°E (4E), le moment choisi pour la transcription étant le Début d'Activité (DA), cours du 10 novembre (10n), filmé avec la tablette numéro f55, unité de sens numéro 3.

* **Troisième phase** : codage des unités de sens selon le type d'échanges : monologue, échange tronqué, échange restreint, ou échange étendu, voir tableau ci-dessous.

* **Quatrième phase** : catégorisation interprétative selon les composantes du savoir des unités de sens (phase inductive, ce que l'on veut enseigner), voir tableau ci-dessous ;

* **Cinquième phase** : repérage des patterns des significations, c'est-à-dire les énoncés qui signifient la compréhension de la part de l'élève, ils « qualifient les états de la Zone de compréhension commune (Balslev, 2006, 2009, 2010) dans laquelle circulent
ces significations autour des composantes de savoir en jeu. » (Phase déductive, ce que l'élève apprend) : voir tableau ci-dessous.

### 3.1.2 Adaptation de cette méthode d'analyse à notre corpus

En s'inspirant des travaux de Kerbrat-Orecchioni (1998, p.236), les codages pour l'analyse des types d'échanges de la troisième phase du dépouillement et d'analyse seront présentés comme suit :

<caption>Tableau 10</caption>

Présentation du codage pour l'analyse des types d'échanges

<table><thead><tr><td>Type d'échange</td><td>Codage</td><td>Détails</td></tr></thead><tbody><tr><td>Monologue</td><td>Mono</td><td>Un enseignant ou un élève parle sans interruption de la part des écoutants, et sans attendre de réponse.</td></tr><tr><td>Echange Tronqué</td><td>EcTr</td><td>Un enseignant ou un élève énonce une phrase avec l'attente d'une réponse, mais elle reste sans réponse de la part de ses interlocuteurs.</td></tr><tr><td>Echange Restreint</td><td>EcRe</td><td>Deux ou plusieurs personnes échangent des phrases, mais leurs contenus sont brefs, type question/réponse non développées (deux ou trois au plus)</td></tr><tr><td>Echange Etendu</td><td>EcEt</td><td>Deux ou plusieurs personnes échangent des phrases et leurs contenus sont développés, rebondissent et se répondent à nouveau.</td></tr></tbody></table>

Pour illustrer les trois premières phases de cette analyse, nous présentons ici un exemple :

<caption>Figure 43</caption>
Exemple de transcription et de codage pour les trois premières phases de la méthode microgénétique, classe de 4°E 10 novembre tablette f55, sur les unités de sens de 3, 4 et 5.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

En appui du cadre théorique de la partie 1, nous présentons ici un tableau de codages de la **quatrième phase**, pour présenter les composantes du savoir en jeu :

<caption>Tableau 11</caption>

Présentation du codage pour l'analyse des composantes du savoir

<table><thead><tr><td>Composante du savoir</td><td>Code</td><td>Détails</td></tr></thead><tbody><tr><td><u>Calcul Correct</u></td><td>CaCo</td><td>L'élève effectue un calcul correctement (peu importe le mode enactif, iconique ou symbolique)</td></tr><tr><td><u>Errore de Calcul</u></td><td>ErCa</td><td>L'élève commet une erreur de calcul</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td><u>Facteur Commun</u></td><td>FaCo</td><td>L'élève détermine le facteur commun (peu importe le mode enactif, iconique ou symbolique)</td></tr><tr><td><u>Factoriser dans les Parenthèses</u></td><td>FaPa</td><td>L'élève remplit correctement les parenthèses lors de la factorisation (peu importe le mode enactif, iconique ou symbolique)</td></tr><tr><td><u>Érreur de Factorisation</u></td><td>ErFa</td><td>L'élève commet une erreur du type du type 3x + 5 = 3(x + 5)</td></tr><tr><td><u>Réduction Correcte</u></td><td>ReCo</td><td>L'élève réduit correctement l'expression littérale (peu importe le mode enactif, iconique ou symbolique)</td></tr><tr><td><u>Érreur Réduction</u></td><td>ErRe</td><td>L'élève commet une erreur du type 3 + 5x = 8x</td></tr><tr><td><u>Développement Correct</u></td><td>DeCo</td><td>L'élève développe correctement une expression littérale (peu importe le mode enactif, iconique ou symbolique)</td></tr><tr><td><u>Érreur Développement</u></td><td>ErDe</td><td>L'élève commet une erreur du type 3(x + 5) = 3x + 5</td></tr><tr><td><u>Érreur Variable</u></td><td>ErVa</td><td>L'élève commet une erreur du type x vaut 1 alors que x n'a pas de valeur définie</td></tr><tr><td><u>Transcription Correcte</u></td><td>TrCo</td><td>L'élève réussit à traduire un dessin ou des jetons en langage mathématiques</td></tr><tr><td><u>Érreur de Transcription</u></td><td>ErTr</td><td>L'élève commet une erreur de traduction en langage mathématique</td></tr></table>
Pour illustrer cette **quatrième phase**, nous présentons ici un exemple :

<caption>Figure 44</caption>

Exemple pour la 3° phase d'analyse, codage FaCo et FaPa pour la factorisation, classe de 4°E, 24 novembre, filmée par la tablette 56

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 45</figcaption></figure>

Illustration de ce qui a été réalisé par l'élève dans la figure précédente

<figure><img src="image_39.png" /></figure>
Pour finir, voici le tableau de codage de la cinquième phase, les *patterns de significations* :

<caption>Tableau 12</caption>

Présentation du codage autour des patterns de signification

<table><thead><tr><th>Patterns de signification</th><th>Code</th><th>Sous-patterns</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Mode Enactif</td><td>MoEn1</td><td>L'élève prend un jeton ou un cercle multiplicateur dans le but de faire un calcul</td></tr><tr><td>MoEn2</td><td>L'élève parle du sens du jeton</td></tr><tr><td>MoEn3</td><td>L'enseignant prend un jeton et explique son sens dans un calcul</td></tr><tr><td rowspan="3">Mode Iconique</td><td>MoIc1</td><td>L'élève montre ou parle d'une image représentant des jetons</td></tr><tr><td>MoIc2</td><td>L'élève dessine une image représentant des jetons dans le but de calculer</td></tr><tr><td>MoIc3</td><td>Le professeur montre une image pour expliquer son sens</td></tr><tr><td rowspan="3">Mode Symbolique</td><td>MoSy1</td><td>L'élève tente de traduire en langage mathématique la valeur des jetons ou d'un dessin de jetons.</td></tr><tr><td>MoSy2</td><td>L'élève traduit correctement en langage mathématique la valeur des jetons ou d'un dessin de jetons</td></tr><tr><td>MoSy3</td><td>Le professeur explique la valeur des jetons ou d'un dessin de jetons pour la traduction en langage mathématique, ou explique en langage mathématique</td></tr><tr><td>Motivation Intrinsèque</td><td>MIn</td><td>L'élève manifeste de la motivation dans son travail, en se mettant en action dans le but d'apprendre, ou par plaisir de jouer</td></tr><tr><td>Motivation Extrinsèque</td><td>MEx</td><td>L'élève manifeste de la motivation dans son activité dans le but de gagner, d'avoir une bonne note ou une approbation du professeur</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td><strong><u>Perturbation</u></strong></td><td><strong>Per</strong></td><td>L'élève perturbe les autres ou se distrait lui-même, la motivation est dons amoindrie</td></tr><tr><td><strong><u>Abstraction Empirique</u></strong></td><td><strong>AbEm</strong></td><td>L'élève a compris un élément simple en langage mathématique</td></tr><tr><td><strong><u>Abstraction Réfléchissante</u></strong></td><td><strong>AbRe</strong></td><td>L'élève a réutilisé ce qu'il a compris récemment dans une nouvelle question, en langage mathématique</td></tr><tr><td><strong><u>Cherche à Comprendre</u></strong></td><td><strong>ChCo</strong></td><td>L'élève cherche à comprendre une explication, ou à résoudre une question, ou pose une question</td></tr></table>

Pour illustrer cette cinquième phase, nous présentons ici un exemple :

<caption>Figure 46</caption>

Exemple pour la cinquième phase : MoEn1 ; MoEn2; MoIn et AbRe ; classe de 4°A, 9 novembre, tablette f55

<figure><img src="image_40.png" /></figure>
Figure 47:

Illustration de ce qui a été réalisé dans la transcription/description de la figure précédente, notamment dans la valise de droite (la traduction en langage mathématique a été rajoutée ici mais non réalisée par les élèves ce jour-là)

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

## 3.2 CHOIX DES MOMENTS A ANALYSER PENDANT LES SEANCES

Etant donné le nombre important de films récoltés (22 films de 45 minutes environ chacun), leur transcription et leur codage seraient trop chronophages, nous avons donc choisi d'analyser seulement certains passages clés qui seraient porteurs de moments explicites d'assimilation des concepts « factoriser » et « développer », ou bien de moments explicites démontrant la plus-value de l'apport ludique.

En voici la description ainsi que la justification d'un tel choix :

* Début de la mise en activité lors d'une séance (les cinq premières minutes), quelles que soient la séance ou la consigne, et après explications des règles du jeu ou des consignes. En effet, ce moment peut être porteur ou non de motivation face à la mise au travail, qui peut ensuite s'estomper par lassitude. Il peut aussi montrer des moments d'abstraction empiriques car nous sommes au début.

* Résolution de question comportant la consigne « développer », que ce soit sous forme que l'on trouve couramment dans une consigne d'exercice, ou avec les dessins, ou avec les jetons, ou consigne posée de façon figurée sur une carte comportant cette « mission ».

* Résolution de question comportant la consigne « factoriser », que ce soit sous forme que l'on trouve couramment dans une consigne d'exercice, ou avec les dessins, ou
avec les jetons, ou consigne posée de façon figurée sur une carte comportant cette
« mission ».

Les vidéos sont, dans un premier temps, visionnées en entier pour repérer ces moments,
dont le minutage sera minutieusement noté afin de les retrouver et d'en effectuer la
transcription, verbale et gestuelle. Certaines vidéos n'ont pu être évaluées car des élèves se sont
placés devant l'écran durant une grande partie de la séance, ou bien la captation du son était
trop mauvaise pour en analyser le contenu. La description de ce qui se faisait au tableau par le
professeur a été écrite de mémoire (car professeur non filmé) et en appui du support papier qui
était à disposition des élèves (ces éléments rajoutés sont sûrs car le professeur et le transcripteur
sont la même personne).
# Chapitre 3 : Résultats et discussion

Les films ont été transcrits et codés selon la méthode d'analyse de la microgenèse présentée ci-dessus, le corpus est disponible dans la partie annexe. Selon les axes de lecture des résultats, nous avons précisé pour chaque partie les morceaux transcrits utilisés afin de pouvoir les consulter si besoin.

Nous avons choisi cinq axes de lecture pour analyser nos résultats. D'abord deux **analyses comparatives : une entre les 4°A et les 4°E** afin de mesurer les différences entre les élèves qui utilisent l'artefact sous forme de jeu et ceux qui utilisent seulement les images de cet artefact ; puis une autre **analyse comparative entre les 4°A et les 4°C** pour mesurer les différences entre les élèves qui utilisent l'artefact sous forme de jeu et ceux n'utilisent aucun artefact. Puis nous avons effectué une **analyse évolutive de la classe des 4°A** sur les trois séances de l'expérimentation. Pour approfondir notre analyse, nous avons en plus effectué une **analyse comparative entre deux classes de 3°**, une utilisant le jeu sérieux dans son ensemble et l'autre n'utilisant que les matériels à manipuler, afin de mesurer la plus-value de l'aspect ludique.

Pour finir, nous présentons les résultats du questionnaire évaluant l'avis des élèves afin d'analyser leur ressentis.

## 1 ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES CLASSES DES 4°A ET DES 4°E

Ce paragraphe présente une analyse comparative entre les élèves de la classe utilisant la *manipulation* des artefacts (4°A) et les élèves de la classe utilisant seulement les *images* de ces artefacts (4°E).
## 1.1 PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES UTILISEES POUR CETTE ETUDE

Nous présentons ici les différents documents du corpus figurant en annexe. Dans les références, f55 et f56 correspondent aux noms des tablettes qui filment les différents groupes d'élèves. Nous avons sélectionné les séances qui peuvent être comparables en termes de contenu et de questions abordées, la durée totale des morceaux transcrits des 4°A est de 47,2min et celle des 4°E de 43 min, ce qui est globalement équivalent et permettra une comparaison équitable en termes de temps écoulé.

<caption>Tableau 13</caption>

Présentation des séances transcrites et codées pour l'étude comparative des 4°A et 4°E

<table><thead><tr><th>Classe</th><th>Date</th><th>Morceaux<br>transcrits et codés</th><th>Références</th><th>Durée</th><th>Numéro<br>d'annexe</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">4°A</td><td rowspan="4">9 nov</td><td>Début d'activité</td><td>4A_DA_9nov_f55</td><td>5min</td><td>Annexe n°K</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_9nov_f55</td><td>3min7s</td><td>Annexe n°M</td></tr><tr><td>Début d'activité</td><td>4A_DA_9nov_f56</td><td>5min</td><td>Annexe n°L</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_9nov_f56</td><td>2min21s</td><td>Annexe n°N</td></tr><tr><td>10<br>nov</td><td>Factorisation et<br>début d'activité</td><td>4A_Fa_10nov_f56</td><td>10min</td><td>Annexe n°O</td></tr><tr><td rowspan="4">21<br>nov</td><td>Développement et<br>Factorisation</td><td>4A_FaDeRes_21nov_f56</td><td>9min45s</td><td>Annexe n°U</td></tr><tr><td>Développement et<br>Factorisation</td><td>4A_FaDeRes_21nov_f55</td><td>5min30s</td><td>Annexe n°S</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_21nov_f55</td><td>3min</td><td>Annexe n°Q</td></tr><tr><td>Factorisation</td><td>4A_Fa_21nov_f55</td><td>3min34s</td><td>Annexe n°R</td></tr><tr><td></td><td>Début d'activité</td><td>4E_DA_10nov_f56</td><td>5 min</td><td>Annexe n°X</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td rowspan="2">4°E</td><td>10 nov</td><td>Développement</td><td>4E_De_10nov_f56</td><td>28min10s</td><td>Annexe n°Y</td></tr><tr><td>24 nov</td><td>Factorisation et début d'activité</td><td>4E_Fa_24nov_f56</td><td>9min50s</td><td>Annexe n°Z</td></tr></table>

## 1.2 LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)

Pour commencer, nous avons analysé les proportions des différents types d'échanges entre les deux classes : monologues (Mono), échanges tronqués (EcTr), échanges restreints (EcRe) et échanges étendus (EcEt) :

<caption>Figure 48</caption>

Répartition des types d'échanges pour la 4°A

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 49</figcaption></figure>

Répartition des types d'échanges pour les 4°E

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Les deux classes ont un profil globalement similaire, les échanges restreints et étendus mis ensemble sont équivalents pour les deux classes, soit **70%** pour chacune. Ceci montre que dans les deux cas, les échanges entre élèves ou avec le professeur sont riches et servent à construire les connaissances par les interactions verbales et non-verbales. On note un taux légèrement plus important d'échanges étendus pour les **4°A**. Néanmoins, les interactions sont plus nombreuses entre élèves par rapport aux échanges professeur/élèves pour les **4°A** que pour les **4°E**, comme le montre le diagramme en bâtons ci-dessous. Les échanges étendus ou restreints sont donc plus attribués aux réflexions entre élèves pour les **4°A**, par rapport aux **4°E** qui ont bénéficié plus longuement de l'aide du professeur, ce que nous allons montrer plus bas.
<caption>Figure 50</caption>

Etude comparative du nombre d'interactions verbales ou non-verbales professeurs ou élèves, entre les 4°A et 4°E

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

## 1.3 LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET LA MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION

Nous allons comparer maintenant l'ensemble des séances des 4°A qui ont suivi les trois modes de Bruner, c'est-à-dire les modes *enactif*, *iconique et symbolique*, avec l'ensemble des séances des 4°E qui ont suivi seulement les modes *iconique et symbolique*. Nous rappelons que le temps global de l'ensemble des séances est équivalent.

Dans un premier temps, nous allons comparer les diagrammes en barre qui représentent le nombre total d'actions qui ont été codées selon les critères présentés plus haut, en attirant l'attention sur le fait que les codes **MoEn3**, **MoIc3** et **MoSy3** sont rattachés aux actions du professeur.
<caption>Figure 51</caption>

Etude comparative des trois modes de représentations des connaissances selon Bruner, entre les 4°A et les 4°E

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Nous lisons dans le diagramme des 4°A une répartition plus étendue des mises en actions par rapport aux 4°E, notamment dans les modes enactifs MoEn1 et MoEn2, ce qui est tout à fait normal car les élèves ont eu l'occasion de manipuler les artefacts. En revanche, une différence mérite notre attention au sujet du mode iconique MoIc1 (« L'élève montre ou parle d'une image représentant des jetons ») : dans les deux classes, l'utilisation d'images représentant les jetons, les cubes et les cercles était dans le support pédagogique comme étape précédant le mode symbolique. Or, la classe 4°A comptabilise 40 actions codées MoIc1 contre 14 seulement pour la classe 4°E, soit près de trois fois plus pour les 4°A. Nous pourrions donc penser que l'utilisation des objets réels en amont ou en simultané permet aux élèves de s'approprier de manière plus forte le sens des représentations iconiques, et les engage donc plus dans les actions tournant autour de ces images, soit en les montrant du doigt au moment de leur réflexion, soit en parlant de ces images. Nous pouvons lire ainsi davantage de signes d'abstraction en tant que processus de structuration des connaissances lorsqu'il y a manipulation d'artefacts que lorsque l'on utilise seulement l'image de ces artefacts, même s'ils ont été montrés en vrai aux 4°E par le professeur pour une compréhension plus fine de ces représentations imagées.
En ce qui concerne le mode iconique MoIc2 (« L'élève dessine une image représentant des jetons dans le but de calculer »), seuls les 4°E étaient invités à dessiner les artefacts pour répondre aux questions, dans un emplacement prévu à cet effet ou sur une feuille blanche, leur étude comparative n'a donc pas lieu d'être.

Nous confirmons l'analyse du paragraphe précédent au sujet de l'intervention des professeurs : en effet, les modes iconiques MoIc3 (« Le professeur montre une image pour expliquer son sens ») est presque deux fois plus représenté pour les 4°E (64 actions) que les 4°A (29 actions), ce qui montrerait que les élèves de 4°E ont eu davantage besoin d'aide pour l'explication des images que les 4°A.

Du côté du mode symbolique, les élèves des 4°E ont largement plus eu l'occasion d'aborder les questions en langage mathématique que les 4°A, même s'il y a eu une séance en moins. Pour les 4°E, on compte 19 tentatives de réponses en mode symbolique (MoSy1), et 41 réponses correctes (MoSy2), contre 22 MoSy1 et 5 MoSy2 pour les 4°A. Ceci pourrait être interprété d'une part par le fait que nous avons manqué de matériel pour filmer la 2° séance des 4°A, où les élèves étaient invités à traduire toutes leurs questions en langage mathématique, nous n'avons malheureusement pas pu mesurer ces moments importants pour notre étude alors qu'en fait, ils avaient vraiment passé à la traduction. D'autre part, l'utilisation d'un artefact sous forme de jeu prend du temps avec les élèves, nous en avons donc manqué pour aller plus loin dans l'utilisation seule du langage mathématique.

Nous rappelons que lors du codage des morceaux transcrits, nous avons repéré les paroles ou gestes des élèves qui pouvaient être signes de processus d'abstraction, et nous les avons répartis en trois catégories : lorsque l'élève cherche à comprendre une explication, ou à résoudre une question, ou pose une question (ChCo), lorsque l'élève a compris un élément simple en langage mathématique (AbEm) et lorsque l'élève a réutilisé ce qu'il a compris récemment dans une nouvelle question, en langage mathématique (AbRe). Le comptage respectifs des deux classes est représenté dans le diagramme en barre ci-dessous :
<caption>Figure 52</caption>

Etude comparative sur les signes montrant un processus d'abstraction entre les 4°A et les 4°E

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Nous observons une proportion plus forte d'élèves qui cherche à comprendre une consigne d'exercice ou une question du professeur pour la classe 4°A (83 contre 66 pour les 4°E). Pour mettre en relation avec le paragraphe ci-dessus et en regardant plus précisément les contenu des transcriptions, il se trouve qu'un nombre important de codage **ChCo** rentre en corrélation avec les actions du professeur qui montre une aide plus forte dans les cours des 4°E, mais la plupart du temps devant la classe entière. En effet, nous avons montré au paragraphe précédent en présentant le nombre de codages **MoEn3** et **MoSy3** illustrant les sollicitations du professeur envers les élèves, qu'il était beaucoup plus important que pour les 4°A. Malgré tout, les élèves des 4°A ont un score plus important de **ChCo** car ils réfléchissent plus souvent ensemble aux réponses aux questions que de manière guidée par le professeur : ceci montrerait qu'ils s'emparent plus naturellement du procédé de socioconstructivisme d'apprentissage de façon autonome.
Voici deux illustrations dans les transcriptions des deux classes qui montrent des situations où les élèves cherchent à comprendre : pour les 4°A une situation où ils sont en autonomie et pour les 4°E une situation où ils sont en conversation avec un enseignant :

<caption>Figure 53</caption>

Exemple illustrant les codages ChCo pour les 4°A, travaillant plus en autonomie

<table><caption>Figure 54</caption><tr><td>4A.Fa.10.f56.3</td><td>EC</td><td>Calcule, puis choisis un cercle nouveau multiplicateur et remplis-le de cubes et de jetons d'une seule couleur (le moins possible, tout dans le cercle)</td><td>Lit la carte</td><td>EcTr</td><td>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.Fa.10.f56.4</td><td>EE</td><td>Ça et ça 20, et ça 8</td><td></td><td>EcEt</td><td>ErCa<br>CaCo</td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>Traduit avec son feutre sur la valise de départ</td><td></td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td>EE</td><td>Ça huit</td><td>Efface</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>ED</td><td>Ça c'est dix, ça c'est dix, ça c'est cinq et ça c'est un</td><td>Montre les dessins,</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td>EF</td><td></td><td>Efface bien avec une brosse</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.Fa.10.f56.5</td><td>-41 :48</td><td>Ça c'est ..., un deux trois</td><td>Prend un cercle, Place les jetons et les cubes dedans</td><td>EcEt</td><td>FaCo</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Ouvre le livret des solutions</td><td></td><td></td><td>MEx<br>ChCo</td></tr><tr><td>EB</td><td>Tcho ! t'as réussi !</td><td></td><td></td><td>FaPa</td><td>Mln</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Danse de joie</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr></table>

Exemple illustrant les codages ChCo pour les 4°E, conversation entre professeur (au tableau) et élèves

<table><tr><td>4E.De.10n.f56.12</td><td>EB</td><td>Reprend son stylo pour écrire</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="12">4E.De.10n.f56.13</td><td>PE</td><td>Et là qu'est-ce que j'ai, c'est quoi le rond clair ?</td><td rowspan="12">EcEt</td><td></td><td>Mln</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Mois un.</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>Mois un. Et là ?</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Moins deux</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça fait moins deux et là ?</td><td></td><td></td><td>MoSy2</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Moins cinq</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça fait moins cinq. Ça fait combien ?</td><td></td><td></td><td></td><td>Mln</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Moins cinq moins deux</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça fait combien ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ENR</td><td>Moins sept</td><td></td><td>CaCo</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça fait moins sept, ouais ! ok vous êtes prêts ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-27 :12</td><td>ENR</td><td>Oui</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">4E.De.10n.f56.14</td><td>EB</td><td>T'as dedans, du coup madame elle a (inaudible)</td><td>Pointe avec son crayon cercle et son intérieur, parle à EA</td><td>EcRe</td><td></td><td>Mln</td></tr><tr><td>EA</td><td>(inaudible) ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EB</td><td>Là là là</td><td>Montre avec son crayon, puis gomme ses traits</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr></table>

D'autre part, nous notons plus de signes d'abstraction empirique (AbEm) pour les 4°A, mais deux fois plus d'abstractions réfléchissantes (AbRe) pour la classe des 4°E. Comme cité plus haut, la prise en main de l'artefact avec les 4°A a pris du temps, mais aussi de l'énergie intellectuelle car il fallait en comprendre le fonctionnement, notamment les stratégies pour
manipuler les objets. Cette phase-là a donc pris le temps sur celui de l'abstraction réfléchissante dédiée au langage mathématique à cause du temps délimité par celui de l'expérimentation.

## 1.4 ANALYSE QUALITATIVE DE QUELQUES TRAVAUX D'ELEVES

Dans la photographie suivante, nous pouvons observer la progression de l'élève entre la 1° question et la 3° question :

<caption>Figure 55</caption>

Exemple d'une fiche d'élève illustrant sa progression

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Au début, l'élève pense à compter d'abord les $x$, puis compte les nombres entre eux. Dans la 2° question, l'élève rassemble en même temps le nombre de $x$ et les nombres entre eux. Pour la 3°, le dessin n'a pas été nécessaire, il a réduit directement. Dans l'ensemble des copies, nous remarquons peu d'erreurs du typer $7x + 4 = 11x$, l'objectif pédagogique de ne pas mélanger les $x$ et les nombres semble être atteint.

Dans l'illustration suivante, nous pouvons remarquer une tentative de résolution de la question : « Réduis $3x - 6 + 4x + 10$ » à l'aide d'un dessin réalisé par les élèves du groupe. Tout n'est pas colorié pour faire des valeurs positives, mais le nombre d'éléments est correct. La réduction n'a pas encore eu lieu en langage symbolique mais nous percevons le besoin de revenir à une représentation iconique.
<caption>Figure 56</caption>

Exemple de dessin d'élève illustrant l'utilisation du mode iconique MoIc2

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

L'illustration ci-dessous montre le même intérêt à passer par une représentation iconique avant de répondre à la question en langage mathématique :

<caption>Figure 57</caption>

Exemple de fiche d'élève illustrant le besoin de traduire en image iconique

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

## 1.5 ANALYSE COMPARATIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ

Nous avons choisi de comparer les corpus des interventions verbales (et non gestuelles) entre toutes les transcriptions auditives des deux classes. Nous avons effectué une analyse lexicométrique avec le logiciel IRAMUTEQ et nous présentons ici les deux arbres de similitudes,
c'est-à-dire le lien qui est établi entre les verbes et noms, selon la quantité d'apparition des occurrences. Plus la branche est épaisse, plus le lien est fort.

Pour information, le corpus des 4°A comprend 2260 occurrences dont 327 formes, et le corpus des 4°E comprend 3376 occurrences dont 339 formes.

<caption>Figure 58</caption>

Analyse lexicométrique avec IRaMuTeq, arbre des similitudes pour la 4°A

<figure><img src="image_50.png" /></figure>
<caption>Figure 59</caption>

Analyse lexicométrique avec IRaMuTeq, arbre des similitudes pour la 4°E

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

A l'image de la figure 51 représentant l'étude comparative des modes de représentations selon Bruner (page 91), nous observons sur ces deux arbres des similitudes et un étalement des occurrences plus étendu pour la 4°A que pour la 4°E. Cela pourrait s'expliquer par le fait que cette classe a davantage diversifié ses actions sur les trois séances puisque les élèves ont réfléchi selon les trois modes de représentations des connaissances selon Bruner. D'ailleurs, le nœud de branche le plus gros se trouve en haut autour du mot « cercle » (sous-entendu cercle multiplicateur), auquel les mots « cubes » et « jetons » sont rattachés en gros. La branche principale s'entend ensuite vers le bas en rencontrant les verbes « mettre » puis « aller », où
l'on trouve aussi les mots « carte » et « regarder », pour finir par le mot « développer ». De façon décroissante en termes de grosseur de branches, on suit ainsi le chemin du mode enactif autour des objets manipulés, vers le mode iconique (avec les mots « carte » et « regarder »), pour finir vers le mode symbolique où le concept « développer » commence à être abordé.

Si l'on observe l'arbre des similitudes des 4°E (figure 59), le mot « aller » est un nœud de branches important et plus central. Autour de lui gravitent des mots relatifs à une consigne d'exercices comme « calculer », « utiliser », « réduire », « traduire », « égal » ... La branche montante relève du champ lexical lié aux formes dessinées, avec des termes comme « cube », « jeton », « cercle », « multiplicateur », on y retrouve ainsi le mode iconique. Puis vers le bas, on lit le nœud de branches autour du mot « fois », le sens de cette opération a donc une place importante, c'est l'entrée dans le mode symbolique.

## 1.6 LA MOTIVATION DANS LE TRAVAIL D'APPRENTISSAGE

Notre deuxième hypothèse portait la motivation liée à l'utilisation d'un jeu sérieux en classe de 4°, et ses conséquences sur les apprentissages. Pour pouvoir comparer les signes révélant la motivation, nous rappelons que nous avons utilisé les codages suivants : **MIn** relatant la motivation intrinsèque, c'est-à-dire celle qui montre que l'élève se met en action car il a envie d'apprendre, d'agrandir ses connaissances, il essaye de résoudre les questions ; **MEx** relatant la motivation extrinsèque, c'est-à-dire celle qui montre que l'élève se met en action car il a envie de gagner la partie de jeu, ou qu'il veut avoir une bonne note, ou bien qu'il veut faire plaisir au professeur ou montrer qu'il est fort aux yeux des autres ; **Per** révèle des situations de perturbations, c'est-à-dire des signes contraires à la motivation, par exemple un élève qui s'amuse avec un autre élément de l'activité, ou bien qui cherche à faire rire ses voisins.

Voici un diagramme en barre présentant les effectifs des trois codages mentionnés ci-dessus, qui permet de comparer les deux classes :
<caption>Figure 60</caption>

Etude comparative sur les signes relatifs à la motivation, entre les 4°A et les 4°E

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Ce diagramme montre des écarts assez importants entre les deux classes : les élèves des 4°A semblent montrer plus de signes de motivations intrinsèques (MIN) par rapport aux élèves de 4°E (77 contre 49), et l'écart est encore plus fort pour la motivation extrinsèque (MEx), avec 39 signes pour les 4°A contre 14 pour les 4°E. D'autre part, les signes qui montrent que les élèves perturbent les apprentissages sont 3,5 fois plus important en 4°E qu'en 4°A. Nous pouvons conclure de ces résultats que l'utilisation d'un jeu sérieux génère de manière plus importante des actes verbaux ou gestuels révélant la motivation des élèves pour apprendre des nouveaux savoirs (MIN), et la dimension du gain à l'issue du jeu engage davantage les élèves dans les apprentissages (MEx). En outre, il semblerait que l'ennui est moins présent car ils sont moins tentés de se détacher de l'activité mathématique pour s'adonner à d'autres divertissement (Per), le jeu sérieux aiderait donc à intensifier les démarches d'apprentissages.

L'exemple ci-dessous l'illustre bien : en 4°E le professeur s'adresse à la classe entière pour corriger une question et les élèves semblent ne pas être réceptifs :