# TD de statique

M.L.M. François

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M.L.M. François. TD de statique. Licence. Mécanique des solides et des systemes: partie I: statique, Nantes, France. 2025, pp.10. hal-05457062

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Submitted on 13 Jan 2026

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# Mécanique des solides et des systèmes (partie I : statique)
## Recueil de Travaux Dirigés

Module XLG3PU040 — Nantes Université— M. François

Version du 13 janvier 2026

## 1 Produit vectoriel, norme et changements de base

La base ($\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$) est orthonormée directe. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont :

$$ \vec{u} = \frac{\vec{e}_x + \vec{e}_y}{\sqrt{2}}, \quad \vec{v} = \frac{\vec{e}_x - \vec{e}_y}{\sqrt{2}} $$

a. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux et normés.

b. Calculer $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ en utilisant le calcul par composantes puis les propriétés sur les produits vectoriels des vecteurs de base.

c. Vérifier, en utilisant le théorème vu en cours, que $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ forme une autre base orthonormée directe. Faire un dessin.

d. Soit un vecteur $\vec{F}(-2, 1, \sqrt{3})$ dans la base $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. Calculer sa norme dans cette base.

e. Calculer $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.

f. Calculer les composantes de $\vec{F}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$. Calculer sa norme dans cette base. On observera que la norme est un invariant.

g. Calculer l'aire $a$ du triangle OAB, pour $\overrightarrow{OA} = (2, -5, 1)$ et $\overrightarrow{OB} = (3, 0, -1)$.

## 2 Équilibre d'une échelle

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Équilibre d'une échelle</figcaption></figure>

Une personne est montée sur une échelle, appuyée sur un mur et inclinée d'un angle $\theta$. On néglige la masse de l'échelle devant la masse $m$ de la personne. Le problème est plan. On donne les dimensions :

$$ AB = L $$

$$ AC = a \in [0, L] $$
Le contact en B est supposé glissant, la réaction du mur est perpendiculaire au mur : $\vec{F}_B = F_{Bx}\vec{e}_x$. Par contre, à cause du frottement au sol, la réaction du sol est de direction quelconque : $\vec{F}_A = F_{Ax}\vec{e}_x + F_{Ay}\vec{e}_y$. Le poids de la personne est $\vec{P} = -mg\vec{e}_y$.

a. Calculer les vecteurs $\vec{CA}$ et $\vec{CB}$.

b. Poser les équations du principe fondamental de la statique appliqué au système échelle + personne. On calculera les moments au point C.

c. Résoudre toutes les inconnues statiques en fonction des données du problème.

d. La loi de Coulomb sur le frottement des corps implique que l'échelle ne glisse pas en A si et seulement si : $|F_{Ax}| \le F_{Ay} \tan(\varphi)$ où $\varphi > 0$ est l'angle de frottement entre les deux corps. Préciser la hauteur critique $a_c$ du domaine $a \in [0, a_c]$ pour lequel la condition de Coulomb est respectée. A quelle condition la personne peut-elle monter tout en haut de l'échelle sans danger ?

## 3 Équilibre d'un voilier

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Équilibre d'un voilier</figcaption></figure>

On considère l'équilibre d'un voilier à quille, ramené à un problème plan, soumis aux forces suivantes :

— le poids $-P\vec{v}$ de l'ensemble de la coque et du mat, exercé au point G

— le poids $-p\vec{v}$ de la quille lestée, exercé au point Q

— la force du vent $-F_W\vec{e}_x$, exercé au point W

— la poussée d'Archimède $F_A\vec{v}$, exercée au point A

— la force hydrodynamique de la quille (et de la coque) $F_D\vec{e}_x$, exercée au point D

Le repère de calcul est $(G, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$, où $\vec{e}_z$ est la normale au plan du problème. Le vecteur unitaire (normé) $\vec{v}$ définit la verticale ascendante. On suppose $\theta \in ]0, \pi/2]$. Les longueurs sont données par $GA = h$, $GW = H$, $GD = d$, $GQ = D$.

a. Donner les composantes de $\vec{v}$ et celles de $\vec{e}_y \wedge \vec{v}$.

b. Déterminer les deux équations issues du théorème de la résultante.

c. En déduire une relation entre $F_A$ et $P + p$, puis une relation entre $F_D$ et $F_W$.
d. Déterminer l'équation issue du théorème du moment résultant. On calculera les moments au point G. On pourra utiliser le résultat de la question a. On demande le résultat sous forme d'une seule équation scalaire et en fonction des distances (h, H, d, D).

e. En déduire la valeur de cosθ en fonction des rapports F<sub>W</sub>/P, H/D, h/D, d/D et p/P.

f. Application numérique : calculer l'angle θ, en degrés, pour F<sub>W</sub>/P = 0, 1, H/D = 5, h/D = 0, 5, d/D = 0, 5 et p/P = 0, 1.

g. Calculer cet angle si le bateau n'a pas de lest, c'est à dire si p/P = 0 ? Commenter le résultat obtenu.

h. On peut être surpris du point d'application A de la poussée d'Archimède F̅_A. La coque est demi-circulaire, de centre A. La pression p d'un fluide induit une force dF = -pπdS, sur tout élément de surface dS et de normale n (sortant du solide). Démontrer que ce système de forces est équivalent à une force F̅_A (que l'on ne précisera pas) appliquée en A.

## 4 Poutre en équilibre

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Équilibre d'une structure de Génie Civil</figcaption></figure>

Une poutre métallique subit un torseur des efforts extérieurs $T_e = \{F_e \vec{e}_y, M_e \vec{e}_z\}_A$. Elle est maintenue en O par une liaison pivot qui transmet la force inconnue $\vec{F}_O(F_{Ox}, F_{Oy})$ et en B par une liaison appui simple qui transmet une force inconnue verticale $\vec{F}_B(0, F_{By})$. Le problème est plan et la géométrie est donnée par :

$$ \vec{OA} = \frac{L}{2} \vec{e}_x \quad \vec{OB} = L \vec{e}_x \quad \vec{OC} = L \vec{e}_x $$

a. Analyser les mouvements possibles par les liaisons en O et en B. En déduire le torseur cinématique virtuel de ces liaisons. Poser le Principe des Puissances Virtuelles et en déduire l'allure des torseurs statiques donnés dans l'énoncé.

b. Quel est le point de calcul des moments qui vous permettra d'éliminer le plus d'inconnues ? Poser les trois équations du principe fondamental de la statique, sans résoudre pour l'instant.

c. Calculer la composante selon y de la force en 0.

d. Donner l'inéquation qui doit être vérifiée par ($F_e, M_e$) pour que la force en B soit positive selon y.

e. dans la réalité les appuis en O et en B ne sont pas exactement sur l'axe mais quelque peu décalés selon y. Cela change-t-il les résultats ?

f. Le constructeur souhaite remplacer les appuis en O et en B par un seul appui, une liaison pivot, qui ne peut donc transmettre qu'une force $\vec{F}_D$ en son point D(d, 0) inconnu. Calculer ce point D en posant l'équilibre du système. Représenter le nouveau système, commenter.

g. Calculer le pas et l'axe central du torseur des efforts extérieurs {$F_e \vec{e}_y, M_e \vec{e}_z$}_A. En déduire le résultat de la question précédente.

## 5 Étude d'une tête de vis

Les vis de fixation sont entrainées par une clé insérée dans leur tête. On s'intéresse ici aux têtes formées par un polygone régulier à N côtés. L'industrie produit des têtes à N ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 12}.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Clé hexagonale, vis à tête hexagonale (E. Maurin) et vis à tête triangulaire (Ali Baba)

La tête de vis à N côtés reçoit, de la part de la clé, N forces $\vec{F}_k$, avec $k \in \{0, \dots, N-1\}$ :

$$ \vec{F}_k = F \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{N}\right), \sin\left(\frac{2k\pi}{N}\right) \right) $$

respectivement exercées aux points $A_k$ :

$$ A_k = R \left( \cos \left( \frac{\pi}{N} + \frac{2k\pi}{N} \right), \sin \left( \frac{\pi}{N} + \frac{2k\pi}{N} \right) \right) $$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Efforts s'exerçants sur la tête de vis (cas représenté ici : N = 5)

a. Calculer la résultante $\vec{R}$ et le moment résultant $\vec{M}'$ en O de la force $\vec{F}_0$ (pour $k = 0$ et $N > 0$ quelconque).

b. En déduire le moment résultant $\vec{M}'_{tot}$ en O de l'action des N forces $\vec{F}_k$.

c. On souhaite que, pour un rayon R et une intensité de force F donnée, l'intensité $M'_{tot}$ du moment résultant soit maximale. En vous aidant du graphe suivant, et en considérant la difficulté à fabriquer un grand nombre de côtés, discuter du nombre optimum de côtés pour une tête de vis.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

d. De manière indépendante de ce qui précède, on analyse maintenant plus finement le contact entre la clé et la vis. On se donne la distribution de force linéique suivante, qui s'applique le long du segment $l_0A_0$ :

$$ \vec{p} = p\vec{e}_1 $$

$$ p(y) = \frac{q_0}{R} y $$

où $q_0$ est une constante (N/m)
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Distribution de pression sur le segment I₀A₀

Calculer la résultante $\vec{R}$ et le moment résultant $\vec{M}$ en O de ces forces distribuées. En déduire l'intensité du moment résultant des N contacts en fonction de q₀.

e. On souhaite que, pour un rayon R et une pression de contact p₀ donnée, l'intensité $M_{tot}^r$ du moment résultant soit maximale. À l'aide de la courbe ci-dessous, discuter du nombre de côté optimal.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

## 6 Équilibre d'un mur de soutènement

Un mur de soutènement sert à maintenir des terres. Celui que nous étudions est en forme de L. La partie horizontale qui reçoit le poids des terres équilibre les forces de pression agissant sur la partie verticale. Dans ce devoir, on assimilera cette terre à un liquide, ce qui correspond à un cas de sol saturé d'eau.

Dans ce modèle plan simplifié, on suppose un contact en O qui transmet une force $\vec{F}_O = F_{Ox}\vec{e}_x + F_{Oy}\vec{e}_y$ et un contact en A qui transmet une force verticale $\vec{F}_A = F_{Ay}\vec{e}_y$. La charge linéique dans le sol fluidifié vaut : $p(y) = \rho_s g(h-y)$ où g est l'accélération de la pesanteur et $\rho_s$ la masse surfacique du sol. Les surfaces horizontales et verticales du mur subissent cette pression, dirigée vers l'intérieur de la matière (voir figure). Le poids propre du mur est négligé.

a. Calculer la résultante $R_1\vec{e}_y$ et le moment résultant $M_1\vec{e}_z$ au point O, de la distribution de forces $-p(y)\vec{e}_y$ (en vert sur la figure) agissant sur la surface horizontale $x \in [e, b]$, $y = e$.

b. Calculer la résultante $R_2\vec{e}_x$ et le moment résultant $M_2\vec{e}_z$ au point O, de la distribution de forces $-p(y)\vec{e}_x$ (en bleu sur la figure) agissant sur les surfaces verticales.

c. En vous aidant de ces résultats, trouver les 3 équations déduites de l'équilibre du mur de soutènement.

d. Quelle est la condition sur $F_{Ay}$ pour que le mur ne bascule pas autour de O ? En déduire la longueur minimale b en fonction des autres données. Que vaut b lorsque $e \ll h$ ?

e. On considère le système composé des seules forces de pression des terres $-p(y)\vec{e}_x$ et $-p(y)\vec{e}_y$ (représentées en bleu). Calculer le point P($x_p$, 0) de l'axe central. En déduire la force unique équivalente à toutes les forces de pression puis retrouver la condition de non-basculement de la structure autour du point O.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 4 – Équilibre d'un mur de soutènement</figcaption></figure>

## 7 Centre de gravité d'un triangle

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 5 – Centre de gravité du triangle</figcaption></figure>

On souhaite calculer la position du CDG d'un triangle de base b et de hauteur h.

a. On rappelle l'expression générique de la surface :

$$S = \iint dx dy$$

Montrer que cela revient à faire une intégrale en y de la largeur courante $x_1(y) - x_0(y)$. Déterminer cette fonction et en déduire la surface du triangle.

b. Depuis la formule vue en cours, dans le cas 2D, déterminer la coordonnée selon y du centre de masse G du triangle (supposé homogène).

c. Déduire de la question précédente la position du CDG pour un triangle quelconque.

## 8 Centre de gravité d'une portion de cône

On considère le volume d'une portion de cône de base quelconque, de surface $S(z = 0) = S_0$ de hauteur h :

a. On rappelle la formule générique du volume :

$$V = \iiint dx dy dz$$

Montrer que cela revient à faire une intégrale en z de la surface courante $S(z)$. Déterminer cette fonction et en déduire le volume du cône.

b. Calculer la position du centre de gravité du solide selon z.
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 6 – Centre de gravité d'une portion de cône</figcaption></figure>

c. En déduire la masse et la position exacte du centre de gravité de la pyramide de Khéops, de 146,58 mètres de haut et 230,35 mètres de base. On prendra une masse volumique pour le calcaire de 2000 kg/m³ et on supposera la pyramide homogène.

d. On a déterminé la position selon z du CdG d'une pyramide à base quelconque. Supposant connue la position du CdG de la section en z = 0, quelle est la position du CdG du système ?

## 9 Centre de gravité d'un système de solides

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 7 – Centre de gravité de systèmes de solides</figcaption></figure>

a. On demande de calculer le centre de gravité d'un solide délimité par une sphère et un tronc de cône, de même axe, et en contact au sommet du cône (un pion d'échecs). On suppose la matière homogène.

b. Calculer le centre de gravité d'un parallélépipède rectangle de dimensions (L, l, h) percé en (L/3, l, h/3) d'un trou cylindrique de rayon r et d'axe y. Préciser les limites de validité de votre calcul.

## 10 Pompe hydraulique à pistons axiaux

Ces composants hydrauliques sont utilisés comme pompe afin de générer une puissance hydraulique ou comme moteur afin de la convertir en puissance mécanique. Ils équipent divers engins de chantier, militaires, agricoles...
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 8 – La pompe hydraulique et sa vue en coupe</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 9 – Schéma cinématique de la pompe hydraulique</figcaption></figure>

sont choisis pour leur importante puissance massique et leur fiabilité. Le schéma cinématique ci-contre va être
utilisé pour les calculs. Le plateau 0 est de normale $\vec{n}(\sin \theta, 0, \cos \theta)$. Le piston 2 subit une force $-pS\vec{e}_z$ due à la
pression du fluide. Le barillet 3 subit un moment $M_O \vec{e}_z$ fourni par l'extérieur.

a. On isole le solide 1 (patin). On donne $\vec{AB} = I \vec{n}$. Pour les liaisons en A et en B, donner le torseur cinématique virtuel et en déduire le torseur des efforts transmissibles. Poser ensuite le théorème de la résultante et en déduire l'allure de $\vec{F}_{B2\to1}$

b. On isole le solide 2 (piston). Analyser la liaison en C et donner son torseur transmissible. Poser le théorème de la résultante et en déduire $\vec{F}_A$ et $\vec{F}_C$

c. On isole le solide 3 (barillet). Analyser la liaison en D et donner son torseur transmissible. Poser le théorème du moment résultant en D et en projection selon $\vec{e}_z$ et en déduire la relation finale entre le moment $M_O$ et la pression $p$. On précise que $R$ est la distance entre les projetés de D et de C dans le plan $[x, y]$.

d. Le système de distribution fait en sorte que la pression $p = p_0 > 0$ pour $\varphi \in [0, \pi] + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{N}$) et $p = 0$ pour le reste. Calculer le travail $W = \int M_0 d\varphi$ reçu par le système sur un tour. En déduire la puissance moyenne de la pompe hydraulique qui possède 5 pistons, qui tourne à 1000 tours /mn, fonctionne à 350 bars, avec $S = 1\text{cm}^2$, $\theta = 20$ degrés et $R = 30$ mm.

11 Équilibre d'un vélo en 3D

Un cycliste fait du sur-place (ou track stand) (Figure 10a). La roue avant est dans un plan vertical et le cadre du vélo est légèrement couché, à cause de l'angle de chasse $\theta$ de la fourche (Figure 10b).

Le paramétrage est donné figure 11. La roue avant touche le sol en O, la roue arrière en A et elles subissent respectivement les forces $\vec{F}_O$ et $\vec{F}_A$ de la part du sol. Le poids du vélo est négligé devant le poids $\vec{P} = -mg\vec{e}_z$ du cycliste qui s'exerce en G. La fourche et le cadre sont en liaison pivot de centre B et d'axe $[B, \vec{u}]$. Cet axe coupe le plan du sol $z = 0$ au point K. L'ensemble fourche et roue avant est noté (1). L'ensemble cycliste et roue arrière
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 10 – a) technique du sur place. b) position du vélo</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 11 – Schéma du vélo en équilibre statique</figcaption></figure>

est noté (2). La roue avant, et donc les points O, K, B et le vecteur $\vec{u}$, sont dans le plan [Oxz].
On donne les distances et les vecteurs suivants :

$OK = a$

$KA = L$

$\vec{KB} = h\vec{u}$

$$ \vec{BG} = \begin{vmatrix} r \\ r' \\ H \end{vmatrix} $$

$$ \vec{BA} = \begin{vmatrix} R \\ R \\ -h \cos \theta \end{vmatrix} $$

a. Donner les composantes du vecteur unitaire $\vec{u}$ et des vecteurs $\vec{OK}$ et $\vec{KB}$. (1 point)

b. On considère l'équilibre du système composé du vélo et du cycliste. À l'aide du Principe Fondamental de la Statique calculer les forces $\vec{F_O} = F_O\vec{e}_z$ et $\vec{F_A} = F_A\vec{e}_z$ et la longueur $r'$.

c. À l'aide de l'expression de $r'$ obtenue à la question précédente, vérifier que les points O, G, et A sont dans un même plan vertical. On pourra utiliser pour cela une propriété géométrique du produit vectoriel. Représenter graphiquement cette propriété sur la figure 11.

d. On note le torseur transmissible par la liaison pivot en B comme suit :

$$ \{\mathcal{T}(2 \to 1)\} = \{ \vec{R} \ \vec{M} \ \}_B $$

Expliquer d'où vient la propriété $\vec{M} \cdot \vec{u} = 0$. (1 point)

e. Isoler la partie 1 (roue avant et fourche). Faire le bilan des actions mécaniques s'exerçant dessus et poser les équations du Principe Fondamental de la Statique. On ne demande pas de remplacer $F_0$ par sa valeur trouvée à la question b.

f. Vérifier la propriété $\vec{M} \cdot \vec{u} = 0$. Le cycliste a-t-il besoin de tenir le guidon pour cet équilibre ?