SUR UN OPÉRATEUR QUI CONSERVE L'ALLURE D'UNE
FONCTION

par

DUMITRU RIPEANU

(Cluj)

§ 1. Dans cette note on indique un moyen de construire une fonction à deux variables $p(x, s)$ qui conserve l'allure de chaque fonction à une variable $f(x)$, au sens que si $f^{(\sigma)}(x) \ge 0$ ($\sigma = \overline{0, n}; x \in [a, b]$), alors $\varphi^{(\sigma)}(x) \ge \overline{0}$ ($\sigma = \overline{0, n}; x \in [a, b]$) où $\varphi(x) = \int_a^b p(x, s)f(s)ds$ (on entendra par la notation $x \in [a, b]$ que $x$ parcourt tout l'intervalle $[a, b]$, et par la notation $x, s \in [a, b]$ que $x$ et $s$ parcourent indépendemment l'un de l'autre tout l'intervalle $[a, b]$).

Le moyen en question est indiqué dans le théorème 1. On fait égale-
ment une application du théorème à un cas particulier et on obtient ainsi
une forme particulière de la fonction (théorèmes 2 et 3).

On désignera par $C^{(n, \bar{n})}[a, b]$ la classe des fonctions à deux variables $F(x, s)$ qui jouissent de la propriété que $F_x^{(\sigma)}(x, s)$ et $F_{s\sigma}^{(\sigma)}(x, s)$ sont des fonctions continues par rapport à $x$ et à $s$ ($x, s \in [a, b]$ ; $\sigma = \overline{0, n}$) et on se servira de la définition suivante :

Définition. On dira qu'une fonction $p(x, s) \in C^{(n, \bar{n})}[a, b]$ jouit de
propriété $P^{(n)}[a, b]$ si les relations $f^{(\sigma)}(x) \ge 0$ ($\sigma = \overline{0, n}$ ; $x \in [a, b]$), impli-
quent les relations $\varphi^{(\sigma)}(x) \ge 0$ ($\sigma = \overline{0, n}$ ; $x \in [a, b]$) pour la fonction.

$$
(1) \qquad \varphi(x) = \int_a^b p(x, s)f(s)ds
$$

pour toute fonction $f(x) \in C^{(n)}[a, b]$.
§ 2. Avec ces notations on présentera le

THÉORÈME 1. On obtient une fonction $p(x, s)$ à la propriété $P^{(n)}[a, b]$ de la manière suivante :

$$p(x, s) = \int_C^{x} \frac{(x-u)^{n-1}}{(n-1)!} \frac{d^n}{ds^n} \left[ (s-a)^n (s-b)^n A(u, s) \right] du + \\ + \sum_{\alpha=0}^{n-1} x^{\alpha} \frac{d^{\alpha}}{ds^{\alpha}} \left[ (s-a)^{\alpha} (s-b)^{\alpha} C_{\alpha}(s) \right]$$

où C est une constante arbitraire, $A(x, s)$ est une fonction quelconque de $C^{(n, n)}[a, b]$, non négative pour $x, s \in [a, b]$ et $C_\alpha(s)$ ($\alpha = \overline{0, n-1}$) sont des fonctions de $C^{(n-1)}[a, b]$, choisies de la manière suivante : on écrit

$$\psi_{n-l}(x, s) = \int_C^{x} \frac{(x-u)^{l-1}}{(l-1)! (l-s-a)^{n-l} (l-s-b)^{n-l}} \frac{dl}{ds^l} \left[ (s-a)^n (s-b)^n A(u, s) \right] du + \\ + \sum_{\alpha=n-l}^{n-1} \frac{\alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n+l+1)}{(s-a)^{n-l} (s-b)^{n-l-1}} \frac{d^{\alpha-n+l}}{ds^{\alpha-n+l}} \left[ (s-a)^\alpha (s-b)^\alpha C_\alpha(s) \right] x^{\alpha-n+l} \\ (l=\overline{1, n-1})$$

et on choisit $C_{n-1}(s)$ de telle manière que $\psi_{n-1}(x, s) \ge 0$ ($x, s \in [a, b]$), ensuite on choisit $C_{n-2}(s)$ de telle manière que-avec $C_{n-1}(s)$ déterminée de la sorte — on ait $\psi_{n-2}(x, s) \ge 0$ ($x, s \in [a, b]$) et on continue le procédé jusqu’au choix de $C_1(s)$ de telle manière que — avec $C_\alpha(s)$ ($\alpha = \overline{2, n-1}$) déterminées de la sorte-on ait $\psi_1(x, s) \ge 0$ ($x, s \in [a, b]$). On choisit enfin $C_0(s)$ de telle manière que-avec $C_\alpha(s)$ ($\alpha = \overline{1, n-1}$) déterminées de la sorte-on ait $p(x, s) \ge 0$ ($x, s \in [a, b]$).

Démonstration. On fixera un nombre $h$ de la suite 1, 2, ..., $n$ auquel cas on déduit de (1)

$$(2) \qquad \varphi^{(h)}(x) = \int_{a}^{b} f(s) \, \hat{p}_{xh}^{(h)}(x, s) \, ds$$

et on considérera une fonction $\Phi_h(x, s) \in C^{(n, n)}[a, b]$ pour laquelle

$$(3) \qquad 1^{\circ} \frac{\partial^h}{\partial s^h} \Phi_h(x, s) = \hat{p}_{xh}^{(h)}(x, s) \left( = \frac{\partial^h}{\partial x^h} p(x, s) \right).$$

$$2^{\circ} \frac{\partial^{\alpha}}{\partial s^{\alpha}} \Phi_{h}(x, s) \Big|_{s=a} = \frac{\partial^{\alpha}}{\partial s^{\alpha}} \Phi_{h}(x, s) \Big|_{s=b} = 0 \quad (\alpha = \overline{0, h-1}) \\ 3^{\circ} \operatorname{sg} \Phi_{h}(x, s) = \operatorname{sg}(-1)^{h} \text{ pour } x, s \in [a, b].$$

Dans ce cas, la formule d’intégration par parties généralisée et (2) donnent

$$(4) \qquad \varphi^{(h)}(x) = \int_{a}^{b} f(s) \frac{\partial^{h}}{\partial s^{h}} \Phi_{h}(x, s) ds = \sum_{\alpha=0}^{h-1} (-1)^{h-1-\alpha} f^{(h-1-\alpha)}(s) \frac{\partial^{\alpha}}{\partial s^{\alpha}} \Phi_{h}(x, s) \Big|_{\substack{s=b \\ s=a}} + \\ + (-1)^{h} \int_{a}^{b} f^{(h)}(s) \Phi_{h}(x, s) ds = (-1)^{h} \int_{\alpha}^{a} f^{(h)}(s) \Phi_{h}(x, s) ds \ge 0.$$

Une telle fonction $\Phi_h(x, s)$ est, par exemple, la fonction

$$\Phi_h(x, s) = (s - a)^h (s - b)^h A_h(x, s)$$

où $A_h(x, s)$ est une fonction quelconque de $C^{(n, n)}[a, b]$, nonnégative pour $x, s \in [a, b]$. Dans ce cas, la relation 1° de (3) donne

$$(5) \qquad p(x, s) = \int_{C(s)}^{\alpha} \frac{(x-u)^{h-1}}{(h-1)!} \frac{d^h}{ds^h} \left[ (s-a)^h (s-b)^h A_h(u, s) \right] du + \sum_{\alpha=0}^{h-1} B_{\alpha}(s) x^{\alpha}$$

où $C(s), B_\alpha(s)$ ($\alpha = \overline{0, h-1}$) sont des fonctions arbitraires de $s$, de la classe $C^{(n)}[a, b]$.

On fera en (5) $h = n$ et on obtiendra un $p(x, s) = \bar{p}(x, s)$ pour lequel la relation (4) a lieu pour $h = n$ (parceque (5) donne

$$\hat{p}_{xh}^{(n)}(x, s) = \frac{d^n}{ds^n} \left[ (s - a)^n (s - b)^n A_n(x, s) \right],$$

de sorte que une intégration par parties donne

$$\varphi^{(n)}(x) = \int_{a}^{b} f(s) \hat{p}_{xh}^{(n)}(x, s) ds = (-1)^n \int_{a}^{b} f^{(n)}(s) (s-a)^n (s-b)^n A_n(x, s) ds \ge 0$$

et dans lequel on déterminera successivement les fonctions $B_\alpha(s)$ de telle manière que les relations (3) (et par conséquent aussi la relation (4)) soient satisfaites pour $h = n-1, n-2, \dots, 1$ et enfin que la relation (4) ait lieu aussi pour $h = 0$.
A cet effet on déduira de (5)

$$
(6) \quad \begin{aligned}
\mathcal{P}_{x^{n-l}}^{(n-l)}(x, s) = & \int_{C(s)}^{x} \frac{(x-u)^{l-1}}{(l-1)!} \frac{d^n}{ds^n} \left[ (s-a)^n (s-b)^n A_n(u,s) \right] du + \\
& + \sum_{\alpha=n-l}^{n-1} \alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n+l+1) B_{\alpha}(s) x^{\alpha-n+l}
\end{aligned}
$$

avec

$$
(7) \quad B_{\alpha}(s) = \frac{d^{\alpha}}{ds^{\alpha}} [(s-a)^{\alpha} (s-b)^{\alpha} C_{\alpha}(s)]
$$

où $C_{\alpha}(s)(\alpha = \overline{n-l, n-1})$ sont des fonctions arbitraires de $C^{(n-1)}[a, b]$ et
on prendra $C(s) = C = \text{Const.}$, auquel cas

$$
(8) \quad \Phi_{n-l}(x, s) = \int_C^x \frac{(x-u)^{l-1}}{(l-1)!} \frac{dl}{ds^l} \left[ (s-a)^n (s-b)^n A_n(u,s) \right] du + \\
\qquad + \sum_{\alpha=n-l}^{n-1} \alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n+l+1) \frac{d^{\alpha-n+l}}{ds^{\alpha-n+l}} \left[ (s-a)^\alpha (s-b)^\alpha C_x(s) \right] x^{\alpha-n+l}.
$$

En ce cas, pour un $l$ fixé de la suite 1, 2, ..., $n-1$, les relations 1° et 2° de (3) (avec $1 \le h = n-l \le n-1$) sont satisfaites. Pour assurer la satisfaction de la condition 3° de (3), il suffit d'écrire $\Phi_{n-l}(x, s)$ de (8) sous la forme

$$
(9) \quad \Phi_{n-l}(x, s) = (s-a)^{n-l} (s-b)^{n-l} \psi_{n-l}(x,s)
$$

avec

$$
\psi_{n-l}(x, s) = \frac{\Phi_{n-l}(x, s)}{(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} = \int_C^x \frac{(x-u)^{l-1}}{(l-1)!} \cdot \frac{1}{(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} .
$$

$$
(10) \quad \begin{aligned}
& \cdot \frac{dl}{ds^l} \left[ (s-a)^n (s-b)^n A_n(u,s) \right] du + (n-l)! C_{n-l}(s) + \\
& + \sum_{\alpha=n-l+1}^{n-1} \frac{\alpha(\alpha-1) \dots (\alpha-n+l+1)}{(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} \frac{d^{\alpha-n+l}}{ds^{\alpha-n+l}} \left[ (s-a)^\alpha (s-b)^\alpha C_\alpha(s) \right] x^{\alpha-n+l}
\end{aligned}
$$

(il va de soi que si $l=1$, la somme $\Sigma$ manque). On choisira donc $C_{n-1}(s)$
de telle manière que l'on ait $\psi_{n-1}(x, s) \ge 0$ pour $x, s \in [a, b]$. On fera
ensuite en (10) $l=2$ et on choisira $C_{n-2}(s)$ de telle manière que-avec $C_{n-1}(s)$

déterminée ci-dessus-on ait dans les mêmes conditions $\psi_{n-2}(x, s) \ge 0$. En continuant le procédé on choisit (pour $l=n-1$ en (1)) $C_1(s)$ de telle manière que l'on ait $\psi_1(x, s) \ge 0$, auquel cas (9) donne la relation $3^\circ$ de (3) pour $h=n-1, n-2, \dots, 1$. Cette relation est satisfaite pour $h=n$, ainsi qu'on l'a fait remarquer à la suite de la relation (5), et pour qu'elle soit satisfaite aussi pour $h=0$, il suffit-ainsi qu'il résulte de (2) — de prendre en (5) (avec $h=n$), $B_0(s)$ de telle manière que la fonction $p(x, s)$ dans laquelle $B_\alpha(s)(\alpha=1, \overline{n-1})$ sont données par (7) avec $C_\alpha(s)(\alpha=\overline{1, n-1})$ choisies comme il a été indiqué ci-dessus-soit nonnégative pour $x, s \in [a, b]$. Les relations (3) (et par conséquent aussi (4)) ont donc lieu pour $h=n, n-1, \dots, 0$, ce qui démontre le théorème.

§ 3. On appliquera ce théorème à un cas particulier, notamment au
cas où en (5) (avec $h = n$), on a $A_n(u, s) = 1$, $B_0(s) \equiv C_0 = \text{Const.}$, et en
(7) on a $C_\alpha(s) \equiv C_\alpha = \text{Const.} (\alpha = \overline{1, n-1})$ et $C = 0$.

En ce cas, on présentera le

THÉORÈME 2. La fonction

$$
p(x, s) = \sum_{\alpha=0}^{n-1} C_{\alpha} x^{\alpha} \frac{d^{\alpha}}{ds^{\alpha}} [(s-a)^{\alpha} (s-b)^{\alpha}] + \frac{x^n}{n!} \frac{d^n}{ds^n} [(s-a)^n (s-b)^n]
$$

dans laquelle les constantes $C_\alpha (\alpha = 0, n-1)$ sont données par les relations

$$
C_{n-l} = \frac{1}{(n-l)!} \left( \frac{1}{l!} m_{n-l,l} + \sum_{\sigma=1}^{l-1} \frac{(n-l+\sigma)!}{\sigma!} m_{n-l,\sigma} C_{n-l+\sigma} \right)
$$
$$
l = \frac{1}{n},
$$

et

$$
m_{q,\sigma} = - \min_{x,s \in [a,b]} \frac{x^{\sigma}}{(s-a)^q (s-b)^q} \frac{d^{\sigma}}{ds^{\sigma}} \left[ (s-a)^{q+\sigma} (s-b)^{q+\sigma} \right] \\
(0 \le q \le n-1; \ 1 \le \sigma \le n-q)
$$

jouit de la propriété $P^{(n)}[a, b]$.

Démonstration. Dans notre cas le théorème 1 donne

$$
(11) \quad p(x, s) = \sum_{\alpha=0}^{n-1} C_{\alpha} \frac{d^{\alpha}}{ds^{\alpha}} \left[ (s-a)^{\alpha} (s-b)^{\alpha} \right] x^{\alpha} + \frac{x^n}{n!} \frac{d^n}{ds^n} \left[ (s-a)^n (s-b)^n \right]
$$

$$
(12) \quad \psi_{n-l}(x, s) = (n-l)! C_{n-l} + \\
\qquad + \sum_{\sigma=1}^{l-1} \frac{(n-l+\sigma)(n-l+\sigma-1)\dots(\sigma+1)}{(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} C_{n-l+\sigma} x^{\sigma} \frac{d^{\sigma}}{ds^{\sigma}} \left[ (s-a)^{n-l+\sigma} (s-b)^{n-l+\sigma} \right] + \\
\qquad + \frac{x^l}{l!(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} \frac{dl}{ds^l} \left[ (s-a)^n (s-b)^n \right]. \quad (l = \overline{1, n-1}).
$$
Il reste, pour obtenir en (11) une solution du problème, à déterminer les constantes $C_α$ ($α = 0, n-1$) de telle manière que — ainsi qu'il est spécifié dans le théorème 1 — on ait en (12)

$$ \psi_{n-l}(x, s) \ge 0 (l = 1, n-1) \text{ et en (11) } p(x, s) \ge 0. $$

On pourrait éventuellement tâcher de déterminer les valeurs minimales des constantes $C_α$ ($α = 0, n-1$) qui satisfont à ces inégalités. Dans cette note ce point ne sera pas abordé. On indiquera un système de valeurs (probablement non les moindres) de ces constantes qui satisfont à ces conditions. A cet effet on écrira

$$ (13) \qquad m_{q,\sigma} = \max_{x, s \in [a, b]} \frac{-x^\sigma}{(s-a)^q (s-b)^q} \frac{d^\sigma}{ds^\sigma} \left[ (s-a)^{q+\sigma} (s-b)^{q+\sigma} \right] \\ \qquad \qquad \qquad (0 \le q \le n-1; 1 \le \sigma \le n-q) $$

et on remarquera que conformément au théorème de Rolle $\frac{d^\sigma}{ds^\sigma} [(s-a)^{q+\sigma} \cdot (s-b)^{q+\sigma}]$ possède dans $(a, b)$ au moins $\sigma$ racines d'ordre impair de multiplicité.

Par conséquent

$$ (14) \qquad m_{q,\sigma} > 0 \quad (0 \le q \le n-1; 1 \le \sigma \le n-q). $$

On déterminera les constantes $C_{n-l}$ ($l = 1, n$) par la relation

$$ (15) \qquad C_{n-l} = \frac{1}{(n-l)!} \left( \sum_{\sigma=1}^{l-1} \frac{(n-l+\sigma)!}{\sigma!} C_{n-l+\sigma} m_{n-l,\sigma} + \frac{1}{l!} m_{n-l,l} \right)^* $$

En ce cas, on a en (12) $\psi_{n-l}(x, s) \ge 0 (l = 1, n-1)$, et en (11) $p(x, s) \ge 0$ pour $x, s \in [a, b]$. La démonstration de cette affirmation est immédiate. Il suffit de remarquer d'une part que (14) et (15) donnent $C_{n-l} > 0$ ($l = 1, n-1$), et dans ce cas (12) donne à l'aide de la relation $\min_{x, s \in [a, b]} F(x, s) = -\max_{x, s \in [a, b]} [-F(x, s)]$ avec

$$ F(x, s) = \frac{x^\sigma}{(s-a)^{n-l}(s-b)^{n-l}} \frac{d^\sigma}{ds^\sigma} \left[ (s-a)^{n-l+\sigma} (s-b)^{n-l+\sigma} \right] $$

$$ \psi_{n-l}(x, s) \ge (n-l)! C_{n-l} - \sum_{\sigma=1}^{l-1} \frac{(n-l+\sigma)!}{\sigma!} C_{n-l+\sigma} m_{n-l,\sigma} - \frac{1}{l!} m_{n-l,l} = 0 \quad (l = 1, n-1) $$

et d'autre part que la relation (14) a évidemment lieu aussi pour $q=0$ ($1 \le \sigma \le n$), auquel cas (11) donne

$$ \bar{p}(x, s) \ge C_0 - \sum_{\sigma=1}^{n-1} C_\sigma m_{0,\sigma} - \frac{1}{n!} m_{0,n} = 0 $$

conformément à (15) (avec $l=n$), ce qui démontre le théorème.

En appliquant la règle de Cramer au système d'équations linéaires (15) aux inconnues $C_0, C_1, \dots, C_{n-1}$ on obtient le

THÉORÉME 3. Le coefficient $C_{n-l}$ ($l=1, n$) du théorème 2 a l'expression

$$ (16) \qquad C_{n-l} = (-1)^{n-l} \frac{D_{n-l}}{(n-l)!} (l = 1, n) $$

où $D_{n-l}$ est la valeur du déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant

$$ \left| \begin{array}{cccccccccccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \frac{(2, 1)}{1!} & -1 & 0 & \dots & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \frac{(3, 2)}{2!} & \frac{(3, 1)}{1!} & -1 & \dots & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \multicolumn{12}{c}{\dots} \\ \frac{(l, l-1)}{(l-1)!} & \frac{(l, l-2)}{(l-2)!} & \frac{(l, l-3)}{(l-3)!} & \dots & \frac{(l, l-p)}{(l-p)!} & \dots & \frac{(l, 1)}{1!} & -1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \multicolumn{12}{c}{\dots} \\ \multicolumn{1}{c}{\left\{ \frac{(n-1, n-2)}{(n-2)!} \frac{(n-1, n-3)}{(n-3)!} \frac{(n-1, n-4)}{(n-4)!} \dots \frac{(n-1, n-p-1)}{(n-p-1)!} \right.} & & & & & & & & & & & & \\ \multicolumn{12}{c}{\left. \dots \frac{(n-1, n-l)}{(n-l)!} \frac{(n-1, n-l-1)}{(n-l-1)!} \frac{(n-1, n-l-2)}{(n-l-2)!} \dots \frac{(n-1, 1)}{1!} -1 \ 0 \right.} & & & & & & & & \\ \multicolumn{12}{c}{\left\{ \frac{(n, n, -1)}{(n-1)!} \frac{(n, n, -2)}{(n-2)!} \frac{(n, n-3)}{(n-3)!} \dots \frac{(n, n-p)}{(n-p)!} \dots \right.} & & & & & & & & \\ \multicolumn{12}{c}{\left. \dots \frac{(n, n-l+1)}{(n-l+1)!} \frac{(n, n, -l)}{(n-l)!} \frac{(n, n-l-1)}{(n-l-1)!} \dots \frac{(n, 2)}{2!} \frac{(n, l)}{1!} -1^* \right\} \right|} \end{array} \right. $$

<footnote>* il est bien entendu qu'au cas $l=1$, la somme $\Sigma$ manque</footnote>

<footnote>* chaque accolade représente une seule ligne du déterminant</footnote>