# Modélisation Computationnelle des Processus de Résilience Sociale

Odilon Yapo M. Achiepo

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Odilon Yapo M. Achiepo. Modélisation Computationnelle des Processus de Résilience Sociale. Intel-ligence artificielle [cs.AI]. Institut national polytechnique de yamoussoukro, 2016. Français. NNT: .tel-04183250

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Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la
Recherche Scientifique

Institut National Polytechnique Houphouët
Boigny de Yamoussoukro

DOCTORAT THESE UNIQUE

Discipline :

SCIENCE INFORMATIQUE

Spécialité :

Mathématiques Computationnelles et Intelligence Artificielle

Thème :

MODELISATION COMPUTATIONNELLE DES PROCESSUS
DE RESILIENCE SOCIALE

Présentée par :

ACHIEPO Odilon Yapо Mélaine

Soutenue publiquement le 15 décembre 2016 devant le jury composé de :

<table><tr><td>YAO Benjamin</td><td>Professeur Titulaire, INP-HB, Côte d'Ivoire</td><td>Président du Jury</td></tr><tr><td>MENSAH Edoété Patrice</td><td>Maître de Conférences, INP-HB, Côte d'Ivoire</td><td>Directeur de Thèse</td></tr><tr><td>MAMA Ouattara</td><td>Professeur Titulaire, CIRES, Côte d'Ivoire</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>MULLON Christian</td><td>Directeur de Recherche, IRD, France</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>BABRI Michel</td><td>Maître de Conférences, INP-HB, Côte d'Ivoire</td><td>Examinateur</td></tr></table>
I) DEDICACE

En hommage à mon père, ESSOA Achiépo Louis Joseph

A la mémoire de ma mère, KOFFI Chi-Koffi Agnès

Quand ils ont demandé au Dalaï Lama ce qui le surprenait
le plus chez l'être humain, il a répondu :

« L'Homme ! Parce qu'il sacrifie sa santé pour gagner de l'argent. Puis, il sacrifie son argent pour recouvrer la santé. Il est si anxieux du futur qu'il ne vit pas dans le présent. Il vit comme s'il n'allait jamais mourir. Et finalement, il meurt sans jamais avoir vraiment vécu. »
II) REMERCIEMENTS

Je tiens à exprimer ici ma gratitude envers les nombreuses personnes qui m'ont aidé et soutenu d'une façon ou d'une autre dans la réalisation de cette thèse. Tout d'abord, mes remerciements vont à l'endroit du Prof. Mensah Patrice, mon Directeur de thèse, dont la disponibilité, les conseils, les orientations et la confiance qu'il m'a accordé m'ont été extrêmement précieux. Que tous les membres du LARIT trouvent ici l'expression de toute ma reconnaissance, en particulier nos différents encadreurs à savoir Prof. Babri Michel, Directeur du LARIT ; Prof. Loum Georges, Directeur du Conseil Scientifique du LARIT qui a eu l'amabilité de corriger minutieusement cette thèse avec toute l'attention qu'on lui connait et Prof. Oumatnaga Souleymane dont les encouragements et la disponibilité ont été une aide inestimable. Un merci particulier pour tous les membres de l'équipe « Modélisation, Intelligence Artificielle et Bases de Données » (MIADB) du LARIT pour leur aide sans faille, en particulier Dr. N'Guessan Gérard et Coulibaly Tiékoura. Je profite de l'occasion pour remercier sincèrement les responsables de l'INP-HB de Yamoussoukro avec à sa tête Dr. Koffi N'Guessan, le Directeur Général ; ainsi que toute la dynamique équipe de l'Ecole Doctorale Polytechnique (EDP), en particulier Prof. Yao Kouassi Benjamin, Directeur de l'EDP et Dr. Soro Doudjo pour tout le travail qu'ils font avec détermination ; Je n'oublierai pas Prof. Zoueu Thouakesseh Jérémie, Directeur de l'UMRI Electronique et Electricité Appliquée (UMRI 78) dont mon laboratoire d'accueil, le LARIT, fait partie.

Je tiens aussi à remercier tous les membres de l'Unité Mixte Internationale de
Recherche sur la Résilience (UMI Résilience) en particulier Prof. Mama Ouattara, Prof.
Mahieu Regis, Dr. Émérite Jean-Luc Dubois, Dr. Pierre Morand, Mme Djedje Magali et tous
ceux que je n'ai pas pu citer ici. Le fait de m'avoir accueilli et d'avoir intégré le projet de
Résiliométrie comme un axe de recherche de l'UMI Résilience m'a donné l'opportunité de
participer aux différentes rencontres et colloques internationaux sur la résilience et surtout de
bénéficier de la très grande expertise des membres de cet unité. Qu'ils trouvent encore
l'expression de toute ma gratitude. Un merci particulier à Dr. Alice Odounfa qui a bien voulu
mettre à ma disposition les données sur l'observatoire de la résilience dans la ville de Bouaké,
fruit de plusieurs années de travail ; Je n'oublierai pas Nathalie Rabemalanto pour les
applications sur les données de Madagascar au cours de mon séjour en France. Un merci tout
particulier à Dr. Christian Mullon pour avoir pris le temps de corriger intégralement cette
thèse et m'avoir fait bénéficier de ses nombreuses années d'expérience en tant que
Mathématicien travaillant sur les questions de modélisation de la résilience. Le séjour qu'il
m'a offert pour travailler avec lui à Bondy m'a permis d'améliorer considérablement ce
travail. Enfin, je ne peux clore ces remerciements sans en adresser à mes enfants pour ces
années de privation et surtout à ma femme, qui n'a cessé de m'encourager tout au long de ce
travail. Merci également à Monnet Rodatine, Agroéconomiste, qui a bien voulu lire cette
thèse et y apporter son point de vue.
Résumé

La résilience est un concept systémique, inobservable et multidimensionnel. Issue de la
physique des matériaux dans laquelle elle désigne la capacité d'un système à résister aux
chocs, la notion de résilience s'est étendue à de nombreux autres domaines. Ces dernières
années, face à l'instabilité politique de nombreux pays, doublée de la crise financière qui a
secoué le monde entier, l'usage de la résilience dans les sciences sociales est devenu une
préoccupation majeure. La résilience étant perçue ici comme la capacité d'un système à
rebondir face à un choc ayant engendré une rupture dans les habitudes sociales. Cependant,
l'étude des processus de résilience sociale est confrontée à des difficultés de modélisation.
L'objet de cette thèse est donc de proposer des modèles adaptés à la mesure, à l'analyse et à la
simulation des processus de résilience dans les sciences sociales. Plus précisément, cette thèse
vise à poser les fondements d'une discipline de modélisation de la résilience sociale, baptisée
« Résiliométrie », dont l'objectif est de proposer des adaptations des modèles computationnels
existants à la résilience sociale.

L'ensemble des travaux nous a permis de proposer une nouvelle discipline, la
résiliométrie, qui comprend une terminologie, une théorie, un ensemble de modèles et une
méthodologie. D'abord, des outils de représentation des processus de résilience et une
typologie des acteurs intervenant dans les processus de résilience ont été proposés. Ensuite,
des modèles de mesure de la résilience ainsi qu'une théorie de caractérisation mathématique
de la résilience, appelée théorie stochastique de la résilience, ont été proposés. Puis les
travaux ont donné lieu à de nombreux modèles permettant d'atteindre divers objectifs dont la
caractérisation des individus traumatisés, la compréhension de la dynamique des processus de
résilience, l'analyse des causes et effets les plus significatifs chocs traumatiques, l'analyse des
espoirs individuels à la résilience, la détermination des actions les plus efficaces pour
accroitre la résilience des individus et la simulation de l'impact des politiques de résilience
sur la situation de individus. Enfin, une méthodologie globale pour effectuer une étude de la
résilience, du moins par l'approche résiliométrique, a été proposée ainsi qu'une application
des méthodes développées sur des données issues de l'observatoire de la résilience chez les
populations adultes de Bouaké suite à la crise ivoirienne.

***Mots clés :*** Résiliométrie, Résilience Sociale, Modèles à Variables Latentes, Modèles d'Equations Structurelles, Modèles Graphiques Probabilistes, Apprentissage Artificiel, Statistique Multidimensionnelle, Systèmes Multi-Agents.
Abstrat

Resilience is a systemic, unobservable and multidimensional concept. Originated from
the physics of materials where it refers to the ability of a system to withstand shocks, the
concept of resilience has reached many other areas. In these recent years, in face of political
instability that has affected many countries, coupled with the financial crisis that shook the
world, the use of resilience in social sciences has become a major concern. Here, resilience is
seen as the ability of a system to bounce back from a shock that has caused a rupture in the
social habits. However, the study of social resilience process faces modeling challenges. The
purpose of this thesis is to propose models for the measurement, analysis and simulation of
resilience processes in the social sciences. Specifically, this thesis aims to lay the foundations
of a modeling discipline of social resilience, called « Resiliometrics », whose objective is to
propose adaptations of existant computational models for social resilience.

All the work allowed us to propose a new discipline, resiliometrics including a
terminology, a theory, a set of models and a methodology. First, several tools to represent the
processes of resilience and a typology of the actors involved in the process of resilience were
proposed. Then, models for measuring resilience and a mathematical theory of resilience
characterization, called the stochastic theory of resilience, were proposed. The work resulted
in a number of models for achieving various goals, including characterizing traumatized
individuals, understanding the dynamics of resilience processes, analyzing the most
significant causes and effects of traumatic shocks, analyzing Individual hopes to resilience,
determining the most effective actions to increase the resilience of individuals and simulating
the impact of resilience policies on the situation of individuals. Finally, a comprehensive
methodology for carrying out a resilience study, at least by a resiliometrics approach, has
been proposed as well as an application of the methods developed on data from the
observatory of resilience in the adult populations of Bouaké following the Ivorian crisis.

**Keywords** : Resiliometrics, Social Resilience, Latents Variables Models, Structural Equation Modeling, Probabilistic Graphical Modeling, Machine Learning, Multidimensional Statistics, Multi-Agents Systems.
IV) TABLE DES MATIERES

<table><tr><td>i) Dédicace</td><td>2</td></tr><tr><td>ii) Remerciements</td><td>3</td></tr><tr><td>iii) Résumé</td><td>4</td></tr><tr><td>iv) Table des matières</td><td>6</td></tr><tr><td>v) Sigles et abréviations</td><td>8</td></tr><tr><td>vi) Liste des figures</td><td>9</td></tr><tr><td>vii) Liste des tableaux</td><td>13</td></tr><tr><td>viii) Liste des algorithmes</td><td>14</td></tr><tr><td>INTRODUCTION GENERALE</td><td>16</td></tr><tr><td>PARTIE I : LES FONDEMENTS DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE</td><td>21</td></tr><tr><td>Chapitre 1 : Les processus de résilience sociale</td><td>22</td></tr><tr><td>1.1) Les schémas traumatiques des processus de résilience</td><td>23</td></tr><tr><td>1.2) Le schéma comportemental des processus de résilience</td><td>25</td></tr><tr><td>1.3) L'ontologie des processus de résilience</td><td>30</td></tr><tr><td>Chapitre 2 : Les fondements des modèles résiliométriques</td><td>35</td></tr><tr><td>2.1) Les modèles d'équations structurelles à variables latentes</td><td>35</td></tr><tr><td>2.2) Les aspects algorithmiques de l'approche PLS</td><td>38</td></tr><tr><td>PARTIE II : LES METHODES DE BASE DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE</td><td>46</td></tr><tr><td>Chapitre 3 : La mésure et la caractérisation de la résilience</td><td>47</td></tr><tr><td>3.1) Les modèles de mesure de la résilience</td><td>48</td></tr><tr><td>3.2) La théorie stochastique de la résilience</td><td>54</td></tr><tr><td>3.3) L'identification des états traumatiques latents</td><td>66</td></tr><tr><td>Chapitre 4 : L'identification des profils et des relations</td><td>75</td></tr><tr><td>4.1) Le calcul des profils des états psychologiques</td><td>76</td></tr><tr><td>4.2) L'identification des causes des chocs traumatiques</td><td>81</td></tr><tr><td>4.3) La détection des interactions entre les dimensions</td><td>92</td></tr><tr><td>PARTIE III : LES MODELES AVANCES DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE</td><td>104</td></tr></table>
<table><tr><td>Chapitre 5 : L'analyse de la dynamique des processus de résilience</td><td>105</td></tr><tr><td>5.1) Les transitions entre les états de vulnérabilité</td><td>105</td></tr><tr><td>5.2) La perception de la souffrance et états de vulnérabilité</td><td>113</td></tr><tr><td>5.3) Les réseaux bayésiens</td><td>124</td></tr><tr><td>5.4) L'analyse des actions de résilience</td><td>136</td></tr><tr><td>Chapitre 6 : L'analyse de la dynamique d'évolution des individus</td><td>140</td></tr><tr><td>6.1) Le calcul des trajectoires d'espoir à la résilience</td><td>140</td></tr><tr><td>6.2) Les systèmes multi-agents</td><td>150</td></tr><tr><td>6.3) Les modèles de dynamique individuelle</td><td>156</td></tr><tr><td>PARTIE IV : L'APPLICATION PRATIQUE DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE</td><td>159</td></tr><tr><td>Chapitre 7 : La pratique de la modélisation résiliométrique</td><td>160</td></tr><tr><td>7.1) Le protocole de collecte de données en Résiliométrie</td><td>160</td></tr><tr><td>7.2) Les éléments d'analyse résiliométrique</td><td>166</td></tr><tr><td>7.3) Les analyses résiliométriques sur données statiques</td><td>170</td></tr><tr><td>Chapitre 8 : Les analyses résiliométriques sur données de panels</td><td>182</td></tr><tr><td>8.1) Les analyses de base sur données de panels</td><td>184</td></tr><tr><td>8.2) L'analyse de la dynamique des états de vulnérabilité</td><td>195</td></tr><tr><td>8.3) L'analyse des espoirs individuels à la résilience</td><td>198</td></tr><tr><td>CONCLUSION GENERALE</td><td>204</td></tr><tr><td>ANNEXES</td><td>207</td></tr><tr><td>Annexe A : Rappels sur la théorie de la mesure</td><td>207</td></tr><tr><td>Annexe B : Références des publications de la thèse</td><td>209</td></tr><tr><td>Annexe B : Implémentation des outils de base en R</td><td>210</td></tr><tr><td>Annexe C : Quelques résultats des simulations</td><td>213</td></tr><tr><td>Annexe D : Extrait du questionnaire « adulte » de l'observatoire de Bouaké</td><td>214</td></tr><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>216</td></tr></table>
V) SIGLES ET ABBREVIATIONS

CART : Classification and Regression Tree

CCPR : Carte Comportementale des Processus de Résilience

CTPR : Carte Traumatique des Processus de Résilience

ECSI : European Customer Satisfaction Index

FI : Fonctions Institutionnelles

GSCA : Generalized Structural Component Analysis

HCD : Hypothèse des Capacités Décroissantes

HMM : Hidden Markov Models

INP-HB : Institut National Polytechnique Houphouët Boigny

IRD : Institut de Recherche et Développement

LARIT : Laboratoire de Recherche en Informatique et Télécommunication

LCM : Latent Class Models

LGCM : Latent Growth Curve Modeling

LISREL : Linear Structural Relationships

LREEM : Laboratoire de Recherche en Electronique et Electricité Appliqués

MCDL : Modèles de Croissance Douce Linéaire

MCDQ : Modèles de Croissance Douce Quadratique

MCI : Modèles à Causes Indépendantes

MCL : Modèles à Causes Liées

MDP : Modèles Dynamiques Perceptuels

MDI : Modèles de Dynamique Individuelle

MDT : Modèles de Dynamique Transitionnelle

MGP : Modèles Graphiques Probabilistes

MES : Modèles d'Equations Structurelles

MESVL : Modèles d'Equations Structurelles à Variables Latentes

MGSL : Modèles Génétiques à Structures Latentes

MIADB : Modélisation, Intelligence Artificielle et Bases de Données

MIMIC : Multiple Indicators Multiple Causals

MDM : Modèles Dynamiques de Mesure

MMR : Modèles de Mesure de la Résilience

MSM : Modèles Statiques de Mesure

MVA : Modèles de Variables d'Actions

PLSPM : Partial Least Square

PLSPM : Partial Least Square Path Modeling

RàPC : Raisonnement à Partir de Cas

RB : Réseaux Bayésiens

RFPC : Regression on First Principal Component

SMA : Systèmes Multi-Agents

TSR : Théorie Stochastique de la Résilience
VI) LISTE DES FIGURES

<table><tr><td>Figure 1 : Schéma traumatique des processus de résilience</td><td>23</td></tr><tr><td>Figure 2 : Schéma comportemental des processus de résilience</td><td>26</td></tr><tr><td>Figure 3 : Ontologie des processus de résilience</td><td>31</td></tr><tr><td>Figure 4 : Catégories de modèles d'équations structurelles à variables latentes</td><td>35</td></tr><tr><td>Figure 5 : Le modèle ECSI estimé par l'approche PLS sur des jeux de données</td><td>37</td></tr><tr><td>Figure 6 : Graphe associé à un modèle d'équations structurelles à variables latentes</td><td>38</td></tr><tr><td>Figure 7 : Structure d'une relation réflective</td><td>39</td></tr><tr><td>Figure 8 : Structure d'une relation formative</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure 9 : Structure d'une relation MIMIC</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure 10 : Exemple de relations entre variables latentes</td><td>41</td></tr><tr><td>Figure 11 : Exemple de modèle statique sans interactions</td><td>49</td></tr><tr><td>Figure 12 : Exemple de modèle statique avec interactions</td><td>50</td></tr><tr><td>Figure 13 : Exemple de modèle dynamique sans interactions</td><td>51</td></tr><tr><td>Figure 14 : Exemple de modèle dynamique avec interactions</td><td>52</td></tr><tr><td>Figure 15 : Exemple d'arbre de décision appliqué à la pratique du golf</td><td>76</td></tr><tr><td>Figure 16 : Exemple de modèle de causes indépendantes à effets indépendants</td><td>82</td></tr><tr><td>Figure 17 : Exemple de modèle de causes indépendantes à effets liés</td><td>83</td></tr><tr><td>Figure 18 : Exemple de modèle de causes liées à effets indépendants</td><td>84</td></tr><tr><td>Figure 19 : Exemple de modèle de causes liées à effets liés</td><td>85</td></tr><tr><td>Figure 20 : Exemple de données structurées en dimensions</td><td>92</td></tr><tr><td>Figure 21 : Exemple de chromosome codé sur 20 bits</td><td>99</td></tr><tr><td>Figure 22 : Principe de déroulement d'un algorithme génétique</td><td>100</td></tr><tr><td>Figure 23 : Exemple d'opération de croisement en un point</td><td>101</td></tr><tr><td>Figure 24 : Exemple d'opération de mutation à un bit</td><td>101</td></tr><tr><td>Figure 25 : Exemple de chaîne de Markov</td><td>108</td></tr><tr><td>Figure 26 : La structure de transition entre les états de vulnérabilité</td><td>111</td></tr><tr><td>Figure 27 : Exemple de modèle de Markov caché</td><td>114</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 28 : Exemple de structure temporelle d'un modèle dynamique perceptuel</td><td>120</td></tr><tr><td>Figure 29 : Automate interne d'un modèle dynamique perceptuel</td><td>121</td></tr><tr><td>Figure 30 : Relations entre états observés et états cachés dans les MDP</td><td>122</td></tr><tr><td>Figure 31 : Catégories de modèles graphiques probabilistes</td><td>125</td></tr><tr><td>Figure 32 : Exemple de graphe décrivant un processus</td><td>125</td></tr><tr><td>Figure 33 : Exemple de tables de probabilités dans un réseau bayésien</td><td>128</td></tr><tr><td>Figure 34 : Exemple de représentation causale</td><td>128</td></tr><tr><td>Figure 35 : Exemple de relation causale</td><td>129</td></tr><tr><td>Figure 36 : Types de connexions entre trois nœuds</td><td>130</td></tr><tr><td>Figure 37 : Exemple de réseau bayésien avec GeNles</td><td>135</td></tr><tr><td>Figure 38 : Exemple de graphe d'un modèle d'actions statiques</td><td>137</td></tr><tr><td>Figure 39 : Exemple de graphe d'un modèle d'actions dynamiques</td><td>138</td></tr><tr><td>Figure 40 : Exemple de modèle d'actions statiques</td><td>139</td></tr><tr><td>Figure 41 : Structure type de base d'un modèle de courbe de croissance latente</td><td>141</td></tr><tr><td>Figure 42 : Exemple de modèle de croissance douce linéaire</td><td>143</td></tr><tr><td>Figure 43 : Principales formes de courbes de croissance linéaire</td><td>144</td></tr><tr><td>Figure 44 : Formes de courbes de croissance à évolution constante</td><td>145</td></tr><tr><td>Figure 45 : Exemple de modèle de croissance douce quadratique</td><td>146</td></tr><tr><td>Figure 46 : Formes de courbes de croissance quadratique unidirectionnelle</td><td>147</td></tr><tr><td>Figure 47 : Formes de courbes de croissances quadratiques bidirectionnelles</td><td>148</td></tr><tr><td>Figure 48 : Les types d'utilisation des systèmes multi-agents</td><td>150</td></tr><tr><td>Figure 49 : Structure d'un agent</td><td>152</td></tr><tr><td>Figure 50 : Exemple de communication par partage d'informations</td><td>154</td></tr><tr><td>Figure 51 : Exemple de communication par envoi de messages</td><td>154</td></tr><tr><td>Figure 52 : Exemple d'un SMA dans NetLogo</td><td>155</td></tr><tr><td>Figure 53 : Exemple de code NetLogo</td><td>156</td></tr><tr><td>Figure 54 : Exemple de modèle de dynamique individuelle</td><td>158</td></tr><tr><td>Figure 55 : Extrait de la base de données d'observatoire de la résilience de Bouaké</td><td>170</td></tr><tr><td>Figure 56 : Importance des états de vulnérabilité dans un cas statique</td><td>173</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 57 : Degrés de perte des caractéristiques dans le cas statique en pourcentage</td><td>174</td></tr><tr><td>Figure 58 : Profils des états de vulnérabilité</td><td>175</td></tr><tr><td>Figure 59 : Classes latentes des individus dans un cas statique</td><td>176</td></tr><tr><td>Figure 60 : Résilience dans les états latents pour un cas statique</td><td>176</td></tr><tr><td>Figure 61 : Profils des états latents dans un cas statique</td><td>177</td></tr><tr><td>Figure 62 : Relations identifiées entre les dimensions dans un cas statique</td><td>178</td></tr><tr><td>Figure 63 : Modèle structurel d'un modèle de choc</td><td>181</td></tr><tr><td>Figure 65 : Importance des états de vulnérabilité au temps t = 2</td><td>186</td></tr><tr><td>Figure 66 : Importance des types de résilience au temps t = 3</td><td>187</td></tr><tr><td>Figure 67 : Degrés de pertes de caractéristiques en pourcentage au temps t = 1</td><td>188</td></tr><tr><td>Figure 68 : Degrés de pertes de caractéristiques en pourcentage au temps t = 2</td><td>188</td></tr><tr><td>Figure 69 : Degrés de pertes de caractéristiques en pourcentage au temps t = 3</td><td>189</td></tr><tr><td>Figure 70 : Profils des états de vulnérabilité au temps t = 1</td><td>189</td></tr><tr><td>Figure 71 : Profils des états de vulnérabilité au temps t = 2</td><td>190</td></tr><tr><td>Figure 72 : Profils des états de vulnérabilité au temps t = 3</td><td>190</td></tr><tr><td>Figure 73 : Profils des états latents au temps t = 1</td><td>191</td></tr><tr><td>Figure 76 : Relations entre les dimensions au temps t = 1</td><td>193</td></tr><tr><td>Figure 77 : Relations entre les dimensions au temps t = 2</td><td>194</td></tr><tr><td>Figure 78 : Relations entre les dimensions au temps t = 3</td><td>194</td></tr><tr><td>Figure 79 : Evolution des états de vulnérabilité dans le temps</td><td>195</td></tr><tr><td>Figure 80 : Evolution des pertes de caractéristiques dans le temps</td><td>195</td></tr><tr><td>Figure 81 : Importance initiale des états de vulnérabilité</td><td>196</td></tr><tr><td>Figure 82 : Evolution des transitions entre états de vulnérabilité</td><td>197</td></tr><tr><td>Figure 83 : Evolution des opinions selon les états de vulnérabilité</td><td>198</td></tr><tr><td>Figure 84 : Modèle externe estimé d'un modèle douce linéaire</td><td>199</td></tr><tr><td>Figure 85 : Modèle structurel estimé d'un modèle douce linéaire</td><td>199</td></tr><tr><td>Figure 86 : Modèle externe estimé d'un modèle douce quadratique</td><td>200</td></tr><tr><td>Figure 87 : Modèle structurel estimé d'un modèle douce quadratique</td><td>200</td></tr><tr><td>Figure 88 : Sens d'espoir à la résilience de l'individu 1</td><td>202</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 89 : Vitesse d'évolution de l'espoir à la résilience de l'individu 1</td><td>202</td></tr><tr><td>Figure 90 : Sens d'espoir à la résilience de l'individu 2</td><td>203</td></tr><tr><td>Figure 91 : Vitesse d'évolution de l'espoir à la résilience de l'individu 2</td><td>203</td></tr><tr><td>Figure 92 : Résilience de Holling à la proposition d'une Résiliométrie</td><td>204</td></tr><tr><td>Figure 93 : Modèle structurel de mesure dans un cas statique</td><td>213</td></tr><tr><td>Figure 94 : Modèle structurel de mesure dans un cas dynamique</td><td>213</td></tr></table>
VII) LISTE DES TABLEAUX

<table><tr><td>Tableau 1 : Types de relations de base des processus de résilience</td><td>32</td></tr><tr><td>Tableau 2 : Types prédéfinis dans les processus de résilience</td><td>33</td></tr><tr><td>Tableau 3 : Types de modèles de mesure de la résilience</td><td>48</td></tr><tr><td>Tableau 4 : Paramètres de calcul dans les arbres de décision</td><td>77</td></tr><tr><td>Tableau 5 : Effectifs de transition sur deux périodes</td><td>111</td></tr><tr><td>Tableau 6 : Effectifs de transition sur plus de deux périodes</td><td>112</td></tr><tr><td>Tableau 7 : Matrice de transition entre les états de vulnérabilité</td><td>121</td></tr><tr><td>Tableau 8 : Matrice de relations entre auto-perceptions et états de vulnérabilité</td><td>122</td></tr><tr><td>Tableau 9 : Matrice des états initiaux de vulnérabilité</td><td>123</td></tr><tr><td>Tableau 10 : Variables des études des actions</td><td>162</td></tr><tr><td>Tableau 11 : Variables des études des chocs</td><td>162</td></tr><tr><td>Tableau 12 : Variables des études des processus de résilience</td><td>163</td></tr><tr><td>Tableau 13 : Solutions analytiques de base de la Résiliométrie</td><td>166</td></tr><tr><td>Tableau 14 : Solutions analytiques prototypes de la Résiliométrie</td><td>167</td></tr><tr><td>Tableau 15 : Dimensions de la résilience et indicateurs retenus</td><td>168</td></tr><tr><td>Tableau 16 : Variables retenues pour des rôles particuliers</td><td>169</td></tr><tr><td>Tableau 17 : Estimations de la résilience et ses dimensions dans un cas statique</td><td>172</td></tr><tr><td>Tableau 18 : Estimation statique des degrés de rebond et des états de vulnérabilité</td><td>173</td></tr><tr><td>Tableau 20 : Résultats de significativité des causes</td><td>181</td></tr><tr><td>Tableau 21 : Résultats de significativité des effets</td><td>181</td></tr><tr><td>Tableau 22 : Estimation de la résilience et ses dimensions dans un cas dynamique</td><td>184</td></tr><tr><td>Tableau 23 : Estimations dynamique des degrés de rebond et états de vulnérabilité</td><td>185</td></tr><tr><td>Tableau 24 : Estimations des degrés de perte de caractéristiques dans un cas dynamique</td><td>187</td></tr><tr><td>Tableau 25 : Catégories d'espoir à la résilience</td><td>201</td></tr></table>
VIII) LISTE DES ALGORITHMES

<table><tr><td>Algorithme 1 : PLS Path Modeling de base</td><td>43</td></tr><tr><td>Algorithme 2 : Estimation de la résilience et de ses dimensions</td><td>53</td></tr><tr><td>Algorithme 3 : Calcul des types de capacité et des degrés de rebond</td><td>63</td></tr><tr><td>Algorithme 4 : Calcul de la matrice de Phi-similarité</td><td>74</td></tr><tr><td>Algorithme 5 : Identification des états traumatiques latents</td><td>80</td></tr><tr><td>Algorithme 6 : B-test de significativité des blocs latents</td><td>87</td></tr><tr><td>Algorithme 7 : R-test de significativité des blocs latents</td><td>90</td></tr><tr><td>Algorithme 8 : Identification des causes significatives des chocs</td><td>91</td></tr><tr><td>Algorithme 9 : Modèle Génétique des Structures Latentes</td><td>103</td></tr><tr><td>Algorithme 10 : Calcul de la matrice de transition entre les états de vulnérabilité</td><td>113</td></tr><tr><td>Algorithme 11 : Algorithme de Baum-Welch</td><td>117</td></tr><tr><td>Algorithme 12 : Calcul de la fonction foward</td><td>118</td></tr><tr><td>Algorithme 13 : Calcul de la fonction backward</td><td>118</td></tr><tr><td>Algorithme 14 : Algorithme de Viterbi</td><td>119</td></tr><tr><td>Algorithme 15 : Calcul d'estimation des modèles dynamiques perceptuels</td><td>124</td></tr><tr><td>Algorithme 16 : Prévision des séquences d'états de résilience</td><td>124</td></tr><tr><td>Algorithme 17 : Algorithme PC d'apprentissage de structure</td><td>134</td></tr><tr><td>Algorithme 18 : Modèles d'actions</td><td>139</td></tr><tr><td>Algorithme 19 : Calcul des courbes linéaires d'espoir à la résilience</td><td>145</td></tr><tr><td>Algorithme 20 : Calcul des courbes quadratiques d'espoir à la résilience</td><td>149</td></tr><tr><td>Algorithme 21 : Prétraitement des données et génération des bornes de résilience avec R</td><td>170</td></tr><tr><td>Algorithme 22 : Mise en œuvre d'un modèle statique de mesure avec R</td><td>171</td></tr><tr><td>Algorithme 23 : Typologie en états latents avec modèle statique</td><td>176</td></tr><tr><td>Algorithme 24 : Interactions entre les dimensions pour cas statique</td><td>178</td></tr><tr><td>Algorithme 25 : Génération de données simulées en R</td><td>179</td></tr><tr><td>Algorithme 26 : Mise en oeuvre d'analyse des chocs avec R</td><td>180</td></tr><tr><td>Algorithme 27 : Génération de données dynamiques en langage en R</td><td>182</td></tr></table>
<table><tr><td>Algorithme 28 : Mise en œuvre d'un modèle dynamique de mesure avec R</td><td>183</td></tr><tr><td>Algorithme 29 : Typologie en états latents avec modèle dynamique</td><td>191</td></tr><tr><td>Algorithme 30 : Interactions entre les dimensions pour cas dynamique</td><td>193</td></tr><tr><td>Algorithme 31 : Mise en oeuvre des modèles d'espoir à la résilience avec R</td><td>201</td></tr><tr><td>Algorithme 32 : Spécification des variables à partir de formules en R</td><td>210</td></tr><tr><td>Algorithme 33 : Calcul des positions des manifestes en R</td><td>210</td></tr><tr><td>Algorithme 34 : Ordre optimal des latentes de la matrice structurelle en R</td><td>211</td></tr><tr><td>Algorithme 35 : Calcul de la matrice des relations structurelles en R</td><td>211</td></tr><tr><td>Algorithme 36 : Calcul des paramètres d'un PLSPM à partir des formules en R</td><td>212</td></tr><tr><td>Algorithme 37 : Estimation d'un PLSPM spécifié par des formules en R</td><td>212</td></tr></table>
Le concept de résilience est un concept polysémique, systémique, inobservable et multidimensionnel. Sur le plan étymologique, le mot résilience vient du latin « resilire » qui signifie « rebondir ». Son étude scientifique est issue de la physique des matériaux dans laquelle elle désigne la capacité d'un système à résister aux chocs, puis s'est étendue à de nombreux domaines dont l'ingénierie, l'écologie, la psychologie, la sécurité alimentaire et les sciences environnementales. Ces dernières années, on assiste à un nombre important de programmes et tentatives de compréhension et de maîtrise de la résilience dans l'ensemble des sciences sociales. Cet intérêt suscite des travaux de recherches aussi bien au niveau théorique que pratique. Loin d'être une mode, la notion de résilience semble s'imposer comme la dimension conceptuelle nouvelle qui, si elle n'est pas prise en compte, rendrait non seulement infructueuse toute tentative de compréhension des chocs et leurs impacts, mais aussi rendrait inefficace les politiques sociales dans le contexte actuel de la mondialisation. En effet, les chocs, qui étaient rares dans les décennies passées, sont devenus les évènements de la vie quotidienne avec lesquels il faudrait pouvoir s'accommoder. De nos jours, la survie de tout système social semble donc dépendre de plus en plus de ses capacités de résilience. C'est dans ce cadre que se situe cette thèse dont l'objet est d'apporter une contribution mathématique et informatique aux questions relatives à la modélisation de la résilience dans le domaine des sciences sociales.

## Contexte

La notion de résilience est une notion très ancienne dont l'origine remonte entre le Ier et le IIe siècle après Jésus-Christ ([IDR15]). Le sens qui lui est attribué a évolué au fil du temps. Dans les premiers siècles, le concept a été utilisé essentiellement dans le domaine littéraire. Ainsi, Ovidis s'en est servi pour désigner l'action de rétrécissement ou le fait de se contracter et Sénèque l'a utilisé pour désigner l'action de bondir ([ALE13]). Parmi ses anciens sens littéraires figure son usage par Cicéron pour désigner le fait de revenir en sautant ([GAF34]). Au XVIIe siècle, le terme résilience a été utilisé dans le domaine de la lexicographie par Thomas Blount comme étant le fait de revenir sur un mot ([ROG12]). C'est surtout au XIXe siècle que le concept a commencé à être un sujet d'étude dans les domaines scientifiques et techniques avec les travaux de Rankine en métallurgie. La résilience désignait alors le retour d'un solide à son état initial suite à une déformation de celui-ci causée par une force extérieure ([RAN58]). Dans cette même période, le concept a resurgit dans le domaine de la littérature grâce à Lewis et Short. D'ailleurs, c'est à ces auteurs que l'on doit l'idée de rebond associée à la résilience et qui est admise encore de nos jours ([LEW79], [LEW90]).

En 1973, la notion de résilience va connaître une renaissance particulière avec les travaux de Holling au point que celui-ci sera considéré comme le père de la résilience en tant que sujet d'étude scientifique. En effet Holling s'est intéressé non seulement à l'usage de la notion de résilience dans le domaine de la physique des matériaux, mais aussi et surtout à la possibilité de son extension en écologie. Il introduit deux définitions de la résilience dans l'optique de
rendre le concept opérationnel ([CSH73]). Selon la première définition, la résilience est
perçue comme la résistance aux perturbations. Cette résilience, que Holling qualifie
d'ingénierie, peut être mesurée par la vitesse de retour à un état d'équilibre après un choc.
Selon la seconde définition opérationnelle, la résilience est assimilée au processus de rebond,
suite à un choc, vers une situation de non-équilibre. La résilience se calcule, dans un tel cas,
par l'amplitude de la perturbation pouvant être absorbée avant que le système se restructure
en quelque chose de nouveau. Holling qualifie cette dernière de résilience écologique. Dès
lors, la capacité à absorber une perturbation, l'homéostasie et la persistance sont associés à la
notion de résilience. A partir des travaux de Holling, l'étude du concept de résilience va se
généraliser dans les sciences environnementales, humaines et sociales. Dans les années 80, les
auteurs comme Werner, Smith, Garmezy et Masten se sont penchés sur le concept de
résilience dans un cadre purement psycho-sociale. Dans ce contexte, la résilience est définie
comme la capacité à faire face à une adversité ou un traumatisme. Elle traduit donc la capacité
de continuer à vivre malgré des contraintes psychologiques et sociales ([WER82], [GAR86]).

Depuis le début du XXIe, la résilience est devenue une préoccupation d'ordre scientifique, industrielle et politique. En 2002, elle est étudiée dans les systèmes socio-écologiques par Gunderson et Holling. Ces auteurs ont mis en exergue le fait que la notion de résilience pouvait correspondre à une transformation et une auto-réorganisation ([GUN02]). Ce type de travaux scientifiques s'est intensifié à cause des nombreux chocs constatés. En effet, depuis plus d'une décennie, le monde entier fait face à un nombre important de catastrophes naturelles comme le problème des estuaires au Sénégal; de chocs techniques comme la panne d'électricité d'Août 2003 aux Etats unis qui a touché 50 millions de personnes dans les États de l'est et du Midwest; de situations d'instabilité politique comme la crise en Côte d'Ivoire; de chocs économiques à l'image de la crise financière qui a secoué le monde entier. En Janvier 2005, à la conférence mondiale sur la prévention des catastrophes organisée par l'Organisation des Nations Unies (ONU), les différents pays ont adopté la déclaration dite de Hyogo ([NAT05a], [NAT05b]). Il s'agit d'un engagement des Etats à développer une culture de résilience dans leurs différentes organisations. Cette forme de résilience, appelée résilience organisationnelle par Benoît Robert ([BER09]) correspond à la capacité de survie des systèmes organisationnels (structures, infrastructures et populations) face aux chocs naturels, technologiques et économiques. Cet engagement à conduit à la mise en place d'importantes politiques de sécurité nationale dont l'objectif est d'accroître la résilience des populations. Dans bon nombre de pays comme les Etats Unis, l'Australie et le Canada, ces politiques sont matérialisées par la création de départements de résilience ayant pour objet de développer et d'implanter des démarches managériales pour accroître la résilience de leurs systèmes. En Afrique, un programme dénommé « Alliance Global pour la Résilience Sahel et Afrique de l'Ouest » (AGIR) a été initié par les pays de l'Union Economique et Monétaire Ouest Africaine (UEMOA) dans le but d'accroître la résilience des cultures et des systèmes de production alimentaire face aux menaces issues notamment du changement climatique. Il s'agit d'assurer la sécurité alimentaire des peuples africains et d'éradiquer la faim.
Dans les milieux universitaires la recherche de moyens d'opérationnalisation du concept de résilience semble s'imposer et réoriente certains travaux de recherche. Le premier aspect est la prise en compte d'un ensemble de comportement dans l'étude de la résilience comme les capacités adaptatives des systèmes mise en relief par Walker, Adger et leurs collaborateurs ([WAL06], [ADG11]). Certains auteurs comme Walker, Cooper et Welch se sont penchés sur les question de gouvernance adaptative, le fait de faire face et de s'adapter aux chocs ([WAL11], [WEL13]). D'autres comme Rogers, Walkate ont abordé la résilience en examinant le fait de rebondir de l'avant à partir des expériences vécues et des leçons apprises ([ROG12], [WAK13]). Parmi ces travaux de plus en plus nombreux, un certain nombre se préoccupe plus de la recherche d'un cadre analytique opérationnel de la résilience. C'est dans cet optique que se situe le projet RIMA mise en place par la FAO et destiné à adapter la modélisation économétrique à l'analyse de la résilience. C'est dans ce même ordre d'idée qu'en 2010, une unité mixte internationale de recherche sur la résilience (UMI Résilience) a été créée conjointement par le Centre Ivoirien de Recherches Economiques et Sociales (CIRES) et l'Institut de Recherche et de Développement (IRD). A la date de rédaction de cette thèse, elle regroupait des chercheurs de la France, de la Côte d'Ivoire, du Sénégal, du Madagascar et du Mali. Les travaux de l'UMI Résilience visent à redéfinir la notion de résilience en termes de capacité de rebond et de processus comme souligné par Dubois et Mama ([JLU14]) et en tant qu'éthique de la souffrance à partir des travaux de Mahieu ([FRA14]). A terme, les recherche devraient permettre de clarifier le sens des termes associés, de formaliser les théories afférentes provenant des disciplines comme la sociologie, l'anthropologie, la psychologie, l'économie, l'écologie, etc. en les intégrant dans un cadre conceptuel et analytique cohérent, d'identifier les différents acteurs impliqués dans les processus de résilience, de définir une ontologie du domaine et de développer des outils mathématiques et informatiques dédiés à la conception des études ainsi qu'à l'analyse et à la modélisation des processus de résilience.

## Problématique

Les différentes rencontres mondiales sur la résilience, les rencontres relatives au projet AGIR, les rencontres scientifiques de l'UMI Résilience et beaucoup d'autres encore centrées sur les questions de résilience ont permis de mieux cerner les contours de la notion de résilience quant à son application aux sciences sociales. Cependant, malgré des avancées considérables, les théories développées sont nombreuses et leur harmonisation n'est pas toujours facile. Une analyse des conclusions des différents débats dans ces rencontres et colloques montre que de nombreuses questions restent à élucider. Toutefois, un consensus semble se dégager sur des points essentiels à savoir la nécessité :

* d'avoir une compréhension commune des processus de résilience

* d'identifier les différents acteurs des processus de résilience

* de disposer de modèles de mesure de la résilience et de ses dimensions

* de disposer de modèles de compréhension des processus de résilience

* de disposer de modèles de simulation des processus de résilience
Cette thèse vise essentiellement à définir un mécanisme capable de fournir des réponses mathématiques et informatiques claires aux préoccupations ci-dessus énumérées. La solution proposée consiste à développer une discipline de modélisation propre à l'étude de la résilience. L'objet de cette thèse est de poser les fondements de cette discipline. Il s'agit d'une discipline, que nous proposons de baptiser « Résiliométrie » ([ACH15], [AHM13]). Elle est comparable à l'économétrie, la biométrie et la sociométrie mais adaptée à la modélisation des processus de résilience sociale. Nous proposons de développer la Résiliométrie en nous servant de la panoplie de modèles computationnels existants en Mathématiques Appliquées (modèles mathématiques) et en Intelligence Artificielle (modèles informatiques). La caractéristique principale que nous assignons à la Résiliométrie est de privilégier les modèles dont les résultats s'obtiennent par un processus algorithmique (modèles computationnels) et produisant des résultats sous la forme de graphiques intuitifs et faciles à interpréter par des non spécialistes. Les différents modèles de Résiliométrie pourront être implémentés avec des logiciels et langages informatiques libres afin de les rendre accessibles aux personnes intéressées par la modélisation de la résilience sociale.

## Approche méthodologique

Le contenu de cette thèse sera constitué de revues de littérature sur les processus de résilience dans les sciences sociales et de présentation de techniques de modélisation mathématique et informatique retenues. Ces recherches documentaires seront complétées par des travaux plus techniques visant à l'adaptation des techniques de modélisation retenues au contexte de la résilience sociale. Pour les besoins de cette thèse, l'approche de modélisation principale retenue est celle des Modèles d'Equations Structurelles à Variables Latentes. Elle est complétée par d'autres méthodes comme la théorie mathématique de la mesure, les Modèles Graphiques Probabilistes (Réseaux Bayésiens), les Systèmes Multi-Agents (Simulation Multi-Agent), les automates probabilistes (Processus Markoviens), l'Ingénierie des Ontologies et l'Apprentissage Artificiel. L'ensemble du travail de cette thèse est composé de huit (8) chapitres subdivisées en quatre (4) parties de deux (2) chapitres chacune.

La première partie est libellée « Les fondements de la proposition d'une Résiliométrie » et comprend les chapitres 1 et 2. Le chapitre 1 intitulé « Les processus de résilience sociale » présente des outils de cartographie des processus de résilience, une ontologie des processus de résilience et les acteurs intervenant dans les processus de résilience. Ce chapitre vise à faciliter la compréhension des processus de résilience à travers la mise en place d'outils universels simples utilisables quel que soit le processus de résilience étudié. Le chapitre 2 intitulé « Les fondements des modèles résiliométriques » décrit la principale catégorie de modèles sur laquelle s'appuie le développement de la Résiliométrie, à savoir les modèles d'équations structurelles à variables latentes, et principalement l'approche PLS (PLS Path Modeling). Ce chapitre est une revue de littérature sur cette approche de modélisation. Il insiste, de ce fait, sur les aspects théoriques sous-jacents et les algorithmes qui en découlent. La présentation se limite à la base théorique nécessaire au développement initial des modèles résiliométriques. Elle ne vise donc pas à présenter toutes les extensions possibles de ce type de modèles.
La deuxième partie est intitulée « Les méthodes de base de la proposition d'une Résiliométrie » et comprend les chapitres 3 et 4. Le chapitre 3 intitulé « Caractérisation et mesure de la résilience » présente les premiers outils de Résiliométrie. Il s'agit des contributions relatives à la caractérisation mathématique de la résilience et à la mesure de la résilience. Ce chapitre présente la théorie stochastique de la résilience proposée pour permettre un calcul mathématique, via un algorithme approprié, permettant d'analyser les capacités de rebond et les propensions à la souffrance des individus traumatisés. Il présente aussi des modèles de mesure de la résilience qui constituent l'approche résiliométrique de mesure de la résilience et des dimensions de celle-ci. Le chapitre 4 intitulé « Chocs et dimensions de la résilience » présente l'approche résiliométrique permettant d'effectuer l'identification des causes des chocs traumatiques étudiés. Cette approche est basée sur des tests dont l'objectif est de fournir une identification des causes les plus significatives du choc considéré. Le chapitre présente aussi des modèles permettant de comprendre les interactions entre les dimensions.

La troisième partie est libellée « Les modèles avancés de la proposition d'une Résiliométrie » et comprend les chapitres 5 et 6. Le chapitre 5 intitulé « Etats psychologiques latents des individus » présente l'approche résiliométrique permettant de classifier les individus selon leurs états cognitifs latents. L'enjeu d'une telle typologie est de permettre l'établissement de profils des individus qui ont l'aptitude à la résilience. Le chapitre décrit aussi l'approche résiliométrique pour calculer les trajectoires que suivent les espoirs que les individus ont de devenir résilient au fil du temps. Le chapitre 6 intitulé « dynamique des processus de résilience » présente l'approche résiliométrique de compréhension des lois régissant la dynamique d'évolution des transitions d'états de résilience des individus dans le temps. Il s'agit d'une part du passage des individus d'un état de résilience à un autre, et d'autre part, des relations entre la perception que les individus ont de leur propre situation de souffrance et leur état effectif de résilience. Ce chapitre présente aussi l'approche résiliométrique pour l'analyse de l'efficacité des politiques et actions de résilience. Il s'agit de modèles destinés d'une part à l'analyse de politiques et actions qui ont déjà été effectuées. D'autre part, ces mêmes modèles sont utilisables pour l'identification des politiques et actions optimales susceptibles d'avoir un impact significativement positif sur la résilience des individus souffrants.

La dernière partie est intitulée « L'application pratique de la proposition d'une Résiliométrie » et comprend les chapitres 7 et 8. Le chapitre 7 intitulé « Pratique de la modélisation résiliométrique » présente les aspects méthodologiques de collecte de données adaptés à une étude de la résilience par l'approche de modélisation résiliométrique. Ce chapitre contient les principes de conception d'une étude de la résilience. Il présente aussi des applications pratiques de la Résiliométrie sur des données relatives à la crise ivoirienne ainsi que des illustrations des principaux algorithmes de Résiliométrie applicables sur des données en coupe instantanée. Le chapitre 8 intitulé « Les analyses résiliométriques sur données de panels » présente les différents types d'analyses et de résultats que l'on peut obtenir lorsque les mêmes données sont collectées sur les mêmes individus sur plusieurs périodes. On y décrit des
extensions des analyses statiques au cas dynamique ainsi que des méthodes utilisables uniquement sur ce type de données.

# PARTIE I : LES FONDEMENTS DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE
# CHAPITRE 1 : LES PROCESSUS DE RESILIENCE SOCIALE

La modélisation des processus de résilience passe par la maîtrise des différentes étapes d'évolution de ces processus. Pour mieux cerner les contours, une bonne compréhension de la résilience est plus que nécessaire du point de vue théorique. Dans ce contexte, la résilience n'a pas de définition unique. La définition donnée à la résilience dépend du domaine dans lequel elle est étudiée. Dans le domaine de la physique, la résilience est définie comme la capacité d'un matériel à retrouver son état initial à la suite d'un choc ou d'une déformation ([CSH73]). En écologie, le même terme traduit la capacité d'un écosystème ou d'une espèce à retrouver un fonctionnement et/ou un développement normal après avoir subi un traumatisme ([SYL05]). En psychologie, elle correspond à la capacité de surmonter un choc traumatique grave pour se refaire une vie et s'épanouir à nouveau ([KOU14a]). Cette thèse s'intéresse principalement à la résilience d'un point de vue social. Dans ce domaine, la définition de l'Ethologue français d'origine juive, Boris Cyrulnik, adoptée par l'UMI Résilience, est celle qui sera retenue. Selon Boris Cyrulnik, la résilience se définie comme la capacité d'une personne, d'un groupe social ou d'un environnement à surmonter une souffrance ; cette capacité dépendant du niveau de vulnérabilité face à la souffrance ([BCY03], [BCY82]). Ainsi, la fragilité de chaque personne aux différents moments de son existence est très importante dans la définition de la résilience. Régis Mahieu soutient que la fragilité traduit nécessairement la perte générale de capacité. Or, cette perte générale de la capacité est, selon Ricœur, la caractérisation éthique de la souffrance, la douleur ayant trait à « des affects ressentis comme localisés ». Il est donc clair que la résilience, en économie et dans les sciences sociales, n'est qu'une éthique de la souffrance. Par conséquent, la résilience désigne la perte d'un élément de la capacité et permet de distinguer les cas de souffrance ([MAH12]).

La résilience socio-économique s'intéresse uniquement aux cas de souffrance. En effet, les cas des personnes, des groupes sociaux ou des environnements non souffrants ne peuvent pas être discernés, ce qui est connu comme étant l'effet Anna Karenine. L'étude et la modélisation de la résilience doit donc se concentrer et se limiter uniquement à tout ce qui concerne les situations de souffrance. La modélisation de la résilience n'est donc qu'une modélisation de la souffrance des individus, des groupes sociaux ou des environnements. Ces modèles doivent prendre en compte des informations sur les modes de résilience, les types et les quantités de souffrance notamment morale, l'origine et la nature de la souffrance ressentie, le partage de cette souffrance avec les autres membres de la société, l'intensité de la souffrance mesurée par des variables d'échelles, les conséquences de ce ressentiment, les moyens perçus pour rebondir en insistant sur les sentiments négatifs comme la vengeance, l'envie, la frustration, etc. Et il est essentiel, d'après Mahieu, qu'une telle modélisation puisse mettre en exergue l'élément perturbant à l'origine de la souffrance ([MAH11]).
# 1.1) LES SCHEMAS TRAUMATIQUES DES PROCESSUS DE RESILIENCE

Les processus de résilience sont très complexes. Dans la littérature actuelle, les mécanismes sous-jacents à la résilience sont décrits de différentes manières. Cependant, si l'on s'en tient à la résilience comme éthique de la souffrance, nous proposons de résumer tout processus de résilience à l'aide de deux représentations :

* ✓ une représentation centrée sur le choc traumatique (schéma traumatique)

* ✓ une représentation centrée sur l'individu traumatisé (schéma comportemental)

## 1.1.1) LES CARACTERISTIQUES DU SCHEMA TRAUMATIQUE

Du point de vue global par rapport au choc, nous proposons de schématiser tout processus de résilience par la figure suivante :

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1 : Schéma traumatique des processus de résilience</figcaption></figure>

Le schéma traumatique des processus de résilience est un outil fournissant une visualisation globale des processus de résilience centrée sur un choc traumatisant. Elle a été élaborée à partir des théories et des descriptions issues de différents travaux sur la résilience
([BCY03], [BCY01a], [BCY01b], [JMA14], [MAH12], [MAH11]). Son premier objectif est de fournir un langage commun de communication et une compréhension uniforme et consensuelle de tout processus de résilience sociale. Le schéma traumatique des processus de résilience met en relief trois principales dimensions à prendre en compte dans la modélisation de la résilience à savoir le choc, l'environnement social et les individus de l'environnement. En plus des différentes dimensions, le schéma traumatique des processus de résilience sert aussi à visualiser la dynamique des différentes dimensions et leurs différentes interactions. Ainsi, on y découvre un découpage temporel des états du choc en trois phases qui sont respectivement la phase des origines du choc, la phase de l'intensité du choc et la phase des effets du choc. Quant à l'environnement social, il passe aussi par trois stades à savoir la situation avant le choc, la situation pendant le choc et la situation après le choc. Enfin, contrairement à la dynamique des deux autres dimensions, les différents individus connaissent quatre étapes d'évolutions qui sont respectivement l'étape des pleines capacités (initialement), le moment de la perte des capacités, la période de la souffrance et la période de résilience.

### 1.1.2) LE CADRE DU TRAUMATISME

#### La dimension choc

Un choc provient d'un ensemble de facteurs qui sont à l'origine du choc. Une fois le choc déclenché, la gravité de ces facteurs détermine son intensité. Et lorsqu'il prend fin, il laisse des effets aussi bien sur l'environnement socio-économique que sur les individus évoluant dans cet environnement.

#### La dimension Environnement

L'environnement socio-économique, par rapport au choc, passe par trois phases. Une première phase de violence sournoise située avant le choc. Cette phase comporte les éléments non nécessairement visibles préparant au choc, les facteurs dont le choc tire ses origines. Puis, le déclenchement du choc induit une phase dans laquelle l'environnement est caractérisé par des turbulences socio-économiques qui peuvent aller de quelques secondes à de nombreuses années. Enfin, lorsque prend fin les temps de turbulence, l'environnement rentre dans une phase de stabilité relative par rapport à la phase de turbulence.

#### Les individus traumatisés

La dimension individu est certainement la plus complexe car la plus analysée avec des théories différentes et selon des axes de réflexions divers. Cependant, la conception de la résilience comme éthique de la souffrance permet de faire le point sur les différents acquis en la matière. Avant le choc, chaque individu dispose d'un certain nombre de capacités. Ici, la notion d'individu doit être comprise au sens statistique du terme. Les individus peuvent être des personnes physiques ou morales, des groupes sociaux ou des environnements physiques. Lorsque survient le choc, chaque individu perd progressivement de ses capacités jusqu'à la fin
du choc. Cette perte de capacité peut être brutale comme relativement lente. Une fois le choc achevé, chaque individu se trouve dans un état de souffrance. Dès lors, l'individu met en jeu trois comportements antagonistes à savoir l'adaptabilité, la résignation et la résilience. Dans le cas où la capacité d'adaptation prime, l'individu arrive à un stade où sa capacité de transformation lui permet de se frayer un chemin pour rebondir. Dès cet instant, il passe de la contenance de sa souffrance au développement d'une résilience.

## L'hypothèse du cycle cognitif traumatique

Sur le plan de la réalité sociale, il n'est pas rare de voir des individus ayant perdu des capacités (suite à un licenciement par exemple) s'assimiler eux-mêmes à des enfants qui ont besoin d'être pris en charge. De façon similaire, un sujet humain devenu très âgé est généralement réduit au stade d'enfant aussi bien dans ses besoins quotidiens qu'au niveau psychique et intellectuel. Il est donc réaliste de supposer que, lorsque survient un choc, tout individu traumatisé passe nécessairement par les trois stades identifiés par Cyrulnik ([BCY01b]). Ainsi, chaque individu traumatisé passe d'abord par un stade affectif, puis par un stade intime, et fini par se retrouver dans un stade spirituel : c'est l'hypothèse du cycle cognitif traumatique.

## 1.2) LE SCHEMA COMPORTEMENTAL DES PROCESSUS DE RESILIENCE

La compréhension de l'évolution du comportement des individus traumatisés est essentielle dans l'étude de la résilience. Contrairement à le schéma traumatique, le schéma comportemental des processus de résilience prend appui sur une hypothèse fondamentale. L'hypothèse de base qui soutient la cartographie comportementale est que le processus de résilience « naturel » découvert dans le suivi de l'évolution des sujets humains par Boris Cyrulnik n'est pas spécifique au cycle de vie allant de l'enfance à l'âge adulte. Il s'agit plutôt d'un principe général qui est applicable à tout individu ayant subi un choc traumatique. Ainsi, tout individu ayant subi un choc traumatique devient un enfant d'un point de vue cognitif et non d'un point de vue physique.

## L'universalité du cycle cognitif traumatique

Les travaux du professeur Cyrulnik ont concerné des sujets humains (enfants) de diverses classes sociales observés pendant trente (30) ans. Même si la plupart des auteurs généralisent les différents stades identifiés et les mécanismes par lesquels ils deviennent résilients, cette généralisation se limite à la nature biologique des sujets (enfance, adolescence et adulte). L'intérêt de l'hypothèse du cycle cognitif traumatique est de relâcher la contrainte « biologique » et de reconsidérer l'interprétation initiale d'un point de vue cognitif (enfance, adolescence et adulte). La substitution de l'interprétation biologique par l'interprétation cognitive établie l'universalité des mécanismes sous-jacents aux processus de résilience sociale.
# L'origine de l'interprétation cognitive du cycle traumatique

L'interprétation cognitive n'est vraiment pas nouvelle, elle a simplement été négligée par les théoriciens de la résilience et n'a pas été sérieusement étudiée. En effet, les travaux du professeur Cyrulnik établissaient une évolution des réponses cognitives et du développement du cerveau en accord avec les réponses sociales observées. Il faudrait donc s'approprier cette interprétation car son adoption permet d'apporter des réponses à de nombreuses préoccupations, notamment celles liées à l'identification des agents intervenant dans les processus de résilience sociale.

## 1.2.1) LES STADES COGNITIFS

### Les phases du schéma comportemental

Les phases comportementales par lesquelles passent les individus traumatisés peut être obtenue par la figure suivante :

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2 : Schéma comportemental des processus de résilience</figcaption></figure>
Le schéma comportemental des processus de résilience est un outil fournissant une visualisation compacte des processus de résilience centrée sur un individu traumatisé. Elle a été élaborée à partir des théories et des descriptions issues des différents travaux du professeur Boris Cyrulnik sur la compréhension des mécanismes qui gouvernent les processus de résilience chez les sujets humains, depuis l'enfance jusqu'à l'âge adulte en passant par l'adolescence. L'objectif du schéma comportemental des processus de résilience est de fournir un langage commun de communication et une compréhension commune des comportements individuels dans les processus de résilience sociale.

### 1.2.2) LES AGENTS DES PROCESSUS DE RESILIENCE

#### L'identification des agents

Sur la base de l'hypothèse du cycle cognitif traumatique, l'un des apports de la cartographie comportementale des processus de résilience est l'identification des acteurs intervenant dans les processus de résilience. L'identification des acteurs des processus de résilience est très importante pour une compréhension des mécanismes de résilience sociale. La première tentative en la matière a consisté en une adaptation des secteurs institutionnels classiques utilisés en comptabilité nationale à savoir les institutions financières, les institutions non financières, l'administration publique, les institutions sans but lucratif au service des ménages, les ménages et le reste du monde. Cependant, cette adaptation pose essentiellement trois problèmes. D'abord, un secteur institutionnel comme celui des institutions sans but lucratif au service des ménages peut servir de tuteur de résilience comme d'individu dont la résilience est à étudier. Ensuite, plusieurs secteurs institutionnels peuvent être par exemple des tuteurs de résilience à la fois. Enfin, les secteurs institutionnels sont conçus sans référence à la nature positive ou négative de leurs actions sur l'économie, les individus et l'environnement. Par conséquent, il est évident qu'il est impossible d'adapter les secteurs institutionnels à la résilience dans le but d'identifier les grandes catégories d'acteurs socio-économiques. Du fait des limitations dans l'adaptation des secteurs institutionnels à la résilience, il est nécessaire de changer de paradigme et de s'orienter vers la recherche d'acteurs du point de vue fonctionnel relativement à la résilience en prenant en compte l'impact positif ou négatif de leurs actions sur celle-ci. Dans ce contexte, il vaut mieux parler d'agents de résilience en les regroupant en des Fonctions Institutionnelles (FI) au lieu de secteurs institutionnels (SI). On distingue ainsi six Fonctions Institutionnelles à savoir les agents individus, les agents activateurs, les agents tuteurs, les agents identitaires, les agents éducateurs et les agents de croyance.

#### Les agents individus

Les agents individus sont les agents dont on étudie la résilience pour un choc traumatique donné. Il en existe quatre (4) types à savoir les personnes (physiques), les groupes (groupes de personnes physiques), les personnes morales (structures) et les espaces
(zones géographiques). Avant le choc, les individus disposent d'un certain nombre de capacités. Mais lorsque survient un choc traumatique, certaines capacités sont affaiblies et d'autres perdues ; ce qui met l'individu dans un état de souffrance relativement accentué selon la gravité des pertes subies. Ces capacités peuvent être aussi bien d'ordre économique que sanitaire, moral, etc. La souffrance met l'individu dans un état affectif dans lequel les émotions priment sur la raison. Dans cette phase, le besoin d'un ou plusieurs tuteurs est essentiel car la sensibilité de l'individu à la souffrance et aux actions pour l'atténuer est très forte. Le besoin de tuteurs devient une préoccupation majeure pendant cette période dont la durée dépend des capacités de l'individu et de l'intensité relative du choc sur l'individu. La disponibilité ou non de tuteurs et les comportements de ces tuteurs créent un ensemble de ressentiments plus ou moins négatifs chez l'individu. Ces ressentiments peuvent être une entrave à la résilience de l'individu en cas de démission des tuteurs (non réponses à l'appel de détresse) ou de prison affectif (aide excessive). Pour que l'individu soit résilient au stade affectif (résilience précoce ou infantile), les tuteurs doivent alterner les soutiens avec des non réponses de façon judicieuse (selon Cyrulnik).

Passée la phase affective, l'individu rentre dans une phase intime dans laquelle le raisonnement prend le dessus. Dans cette phase, l'individu s'est déjà forgé une opinion sur le comportement de la société à son endroit face à sa souffrance et a adopté un ensemble de comportements selon son vécu dans la phase affective. Une fois la phase intime (qui est la plus longue) passée, l'individu entre dans une dernière phase qui est la phase spirituelle. Elle est caractérisée par un intérêt de l'individu marqué pour la spiritualité. Dans cette dernière phase, les individus, n'ayant pas réussi à être résilients dans la phase affective et dans la phase intime, ont encore une chance de l'être selon le niveau de solidité de leurs croyances religieuses ou philosophiques.

## Les agents tuteurs

On retrouve dans la littérature sur la résilience, la notion de tuteurs de résilience qui correspond globalement aux auteurs des actions en direction des individus traumatisés en vue d'accroitre la résilience. Cependant, la littérature ne fait pas cas de la nature des actions explicites en direction des individus visant à accroitre leur souffrance. Cette catégorie d'actions peut être qualifiée d'actions de souffrance en opposition aux actions de résilience qui visent à accroitre la résilience. Ainsi, un tuteur n'est pas nécessairement un tuteur de résilience car il peut être aussi un tuteur de souffrance selon les impacts de ses actions sur la résilience des individus traumatisés. La notion de tuteur de souffrance peut sembler dans un premier temps étrange. Mais de nombreuses situations montrent le bien fondé de cette catégorie de tuteurs. En effet, selon Mahieu ([MAH12]), Harsanyi remet en cause le moralisme de l'analyse économique qui s'interdit les actes immoraux. Dans ce même ordre d'idée, Mahieu ([MAH11]) précise que la résilience a le mérite de rappeler comment l'économie produit entre autres de la violence, ce qui fait de la souffrance la principale caractéristique de l'humanité. Et cette souffrance n'est pas exceptionnelle car la tendance perverse des acteurs économiques n'est pas interpersonnelle mais plutôt inhérente à la nature
même de l'économie, qu'elle soit une pure théorie libérale de la production ou une dictature du prolétariat. On peut renchérir en remarquant que la notion de tuteur de souffrance est en accord avec les théories de Boris Cyrulnik car le tuteur peut amener l'individu traumatisé à être résilient (tuteur de résilience) ou pas (tuteur de souffrance) s'il l'emprisonne dans une prison affective ou est absent par rapport aux cris de détresse des individus qu'il est censé soutenir. Il semble aussi opportun de préciser que la notion de tuteur doit aussi être circonscrite car son usage actuel inclus les acteurs éducatifs de la phase intime. Il faudrait limiter le terme tuteur seulement dans les premiers instants du traumatisme (la phase affective) en accord avec Boris Cyrulnik, le tuteur n'étant nécessaire que pour un individu dans une situation d'enfance cognitive, faible et ayant besoin d'une protection et d'un soutien avant de savoir ce qu'il convient de faire par lui-même.

## Les agents activateurs

Les théories de base sur la résilience définissent des tuteurs de résilience comme tous ceux qui contribuent d'une manière ou d'une autre à accroître la résilience des individus. Cette vision est très restrictive car trop globale. En effet, certaines actions sont délibérément orientée vers les individus tandis que d'autres impactent les individus de façon indirecte comme des externalités positives ou négatives. C'est aux acteurs de cette deuxième catégorie d'impact que le terme activateur est réservé. Les activateurs mènent des actions sur l'environnement en réponse à un choc aux premiers instants de la survenue de celui-ci. Ces actions sont menées par les activateurs dans le but de se protéger eux-mêmes ou pour profiter du choc et ont pour effet l'accroissement indirect de la résilience ou de la souffrance des individus dans la phase affective. Il est important de comprendre que les activateurs ne visent pas explicitement les individus et leurs actions n'impactent les individus que de façon indirecte. Selon le type d'impact que les actions des activateurs ont sur la résilience des individus (à l'image des tuteurs), on a deux types d'activateurs, à savoir les activateurs de résilience et les activateurs de souffrances.

## Les agents identitaires

En cas de démission des tuteurs dans la phase affective, un individu traumatisé arrivé au stade intime voudrait combler l'affection qu'il n'a pas reçu en intégrant des groupes identitaires (appelés groupes affectifs par B. Cyrulnik) avec lesquels il pose des actions négatifs l'éloignant de plus en plus d'un état résilient. L'individu qui intègre un groupe identitaire le fait dans le but de pouvoir s'affirmer. Ce groupe identitaire devient pour lui un substitut de l'affection qu'il n'a pas reçu. Mais un groupe identitaire est caractérisé par les comportements et les actes socialement négatifs qui éloignent ses adeptes de la résilience (bandes de malfaiteurs, groupes terroristes, groupes de rébellion, cercle de prostituées, groupe de brouteurs, etc.)
## Les agents éducatifs

Lorsqu'un individu traumatisé, à la phase affective, a été mis dans une prison affective (aide ou soutien excessif), cette aide ne pouvant perdurer du fait même de son caractère très ponctuel, à terme, l'individu se sent déboussolé, dépressif et sans repère et adopte un comportement de résignation à l'état intime qui l'éloigne de plus en plus d'un état résilient. Dans ces deux situations, c'est à la société, via les acteurs éducatifs, que revient le devoir de remplacer valablement l'absence de tuteurs. Toutefois, pour être efficaces, les acteurs éducatifs doivent éviter d'apporter une aide directe de type affectif. Ils doivent plutôt jouer un rôle d'encadrement et fournir un espace d'expression dans lequel les individus s'expriment, exercent leurs talents, réalisent leurs rêvent et apportent de l'aide et du soutien à la société toute entière. Il s'agit d'une seconde chance de résilience que possèdent les individus n'ayant pas acquis la capacité de résilience à l'état affectif, de devenir résilient (résilience construite, adolescente). Cette responsabilité incombe aux acteurs éducatifs qui, en cas de faillite à leur mission, conduiront la société dans un malaise social profond qui aura pour corrolaire l'augmentation des vices sociaux tels que les crimes, les bandes armées, la prostitution, les dépressions, les suicides, les rébellions, le terrorisme, etc.

## Les agents de croyance

Les acteurs du stade affectif sont essentiellement les agents de croyance. En effet, lorsque les individus traumatisés arrivent à l'état spirituel sans être résilients, ceux qui auront développé un attachement à des valeurs et croyances spirituelles solides deviendront résilients, que ces croyances soient religieuses ou issues de philosophies de vie. Selon Boris Cyrulnik, les individus qui deviennent résilients à la phase spirituelle (résilience tardive ou adulte) ne sont pas troublés lorsqu'on remet en cause le salut auquel ils croient, leur foi étant bien enracinée et leur procurant une sérénité et une stabilité cognitive leur permettant de rebondir face au traumatisme. Mais ceux qui n'arrivent pas à être résilients, même s'ils ont des croyances, sont déstabilisés et manifestent de la colère ou de l'agressivité dès lors que leur salut, objet de leur croyance est remis en cause. Il s'en suit que les structures sociales garant de telles valeurs et croyances ont une très grande importance dans les processus de résilience, et ce sont ces organisations qui sont désignées sous le terme d'agents de croyances.

## 1.3) L'ONTOLOGIE DES PROCESSUS DE RESILIENCE

La résilience sociale n'ayant pas encore connu de consensus sur les concepts et les terminologies utilisés, la nécessité d'une ontologie approuvée par tous est d'une importance capitale. Une ontologie peut être définie, selon Gruber, comme une spécification rendant partiellement compte d'une conceptualisation. Cette spécification implique ou comprend une certaine vue du monde par rapport à un domaine donné. Cette vue est souvent conçue comme un ensemble de concepts, leurs définitions et leurs interactions ([ABD07], [AUD07]). Plus précisément, l'ontologie consiste en la définition d'un ensemble d'objets reconnus comme
existant dans un domaine. Par conséquent, construire une ontologie c'est aussi décider de la manière d'être et d'exister des objets. Les ontologies sont donc des moyens de formaliser des connaissances d'un domaine et de les partager ([SYL05]). Dans la littérature, les ontologies ont fait l'objet de nombreux travaux de recherche. En Intelligence Artificielle, elles sont utilisées essentiellement pour le développement du web sémantique. Du point de vue technique, les ontologies sont exprimées dans les langages de la logique de description. Le langage de base de description des ressources d'une ontologie sont le Ressource Description Framework (RDF) et son extension à RFD Schéma (RDFS). Cependant, avec les besoins du web sémantique, certains langages formels se sont imposés et ont été standardisés par le consortion WWW. Le langage OWL (Ontology Web Language) est aujourd'hui la référence en matière de spécification des concepts et des relations entre les concepts (ontotogie) ; et le langage SPARQL est utilisé comme langage de requête pour interroger les ontologies ([THI11]). Dans le cadre de cette thèse, l'essentiel de l'usage des ontologies se limite à une représentation formelle des processus de résilience.

### 1.3.1) LES ENTITES DE L'ONTOLOGIE

La définition d'une ontologie commence par la spécification des entités du domaine. Une entité peut être définie comme un élément tangible ou intangible, un objet, un concept ou une réalité qui prend « vie » dans l'univers modélisé. Dans le cas des processus de résilience, la figure suivante présente les différentes entités que l'on retrouve dans tout processus de résilience, quel qu'en soit la nature :

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3 : Ontologie des processus de résilience</figcaption></figure>

Cette figure montre que tout processus de résilience doit comporter un environnement caractérisé par un choc, les causes de ce choc et les actions que les différents agents (individus et acteurs) posent dans cet environnement. L'environnement doit comporter des agents formés
d'une part, par des individus traumatisés et d'autre part, par les acteurs dont les actes influent directement ou indirectement sur les individus. Ces actions peuvent aussi bien accentuer la souffrance des individus qu'augmenter leur propension à la résilience. Enfin, les individus étant les principaux agents des processus de résilience, c'est auprès de ceux-ci que seront collectées les informations de compréhension des processus de résilience. Ces informations concernent aussi bien les informations relatives aux capacités des individus, à leurs ressentiments, leurs souhaits et les moyens par lesquels ils pensent pouvoir sortir de la souffrance (propositions).

### 1.3.2) LES RELATIONS ENTRE LES ENTITES

Dans une ontologie, les différentes entités entretiennent des relations entre elles et disposent de propriétés. Ces caractéristiques sont représentées généralement sous la forme de relations au sens mathématique du terme. Ces relations peuvent donc être fonctionnelles, transitives, admettre une relation inverse, etc.

#### Les catégories de relations

Le tableau suivant donne les relations communes aux processus de résilience :

<table><caption>Tableau 1 : Types de relations de base des processus de résilience</caption><thead><tr><th>Sujet</th><th>Relation</th><th>Objet</th><th>Types propriétés</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Choc</td><td>Est un choc de type</td><td>Type choc</td><td>Object</td></tr><tr><td>A une intensité</td><td>Numérique</td><td>Data</td></tr><tr><td rowspan="2">Cause</td><td>Est une cause de type</td><td>Type cause</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est une cause du choc</td><td>Choc</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Acteur</td><td>Est un acteur de type</td><td>Type acteur</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est originaire de</td><td>Type origine</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Individu</td><td>Est dans l'état de type</td><td>Type état</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est un individu de type</td><td>Type individu</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Capacité</td><td>Est une capacité de type</td><td>Type capacité</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est possédée par</td><td>Individu</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Sentiment</td><td>Est un sentiment de type</td><td>Type sentiment</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est un sentiment éprouvé par</td><td>Individu</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Souhait</td><td>Est un souhait de type</td><td>Type souhait</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est un souhait de</td><td>Individu</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Proposition</td><td>Est une proposition de type</td><td>Type proposition</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est une proposition de</td><td>Individu</td><td>Object</td></tr><tr><td rowspan="2">Action</td><td>Est une action de type</td><td>Type action</td><td>Object</td></tr><tr><td>Est une action menée par</td><td>Agent (act. + indiv)</td><td>Object</td></tr></tbody></table>
Les propriétés identifiées dans ce tableau sont celles qui sont communes à tous les processus de résilience, quelles qu'elles soient. Cependant, selon les particularités des processus étudiés, d'autres relations peuvent être ajoutées. Il s'agit généralement des caractéristiques propres au choc considéré, à chaque type d'acteurs et aux individus.

## Les types prédéfinis

Les ontologies comportent des types non primitifs. Dans le cas des processus de résilience, les types de chocs, d'individus, de capacités, d'états, de sentiments, d'acteurs, d'origines et d'actions sont nécessaires dans la définition d'un certain nombre de relations. Le tableau suivant donne les modalités que peuvent prendre ces types :

<table><caption>Tableau 2 : Types prédéfinis dans les processus de résilience</caption><thead><tr><th>Environnement</th><th>Types</th><th>Description</th><th>Modalités</th></tr></thead><tbody><tr><td>Choc</td><td>Type choc</td><td>Catégories possibles de chocs traumatisants</td><td>Social, Economique, Environnemental, Technologique</td></tr><tr><td rowspan="4">Individu</td><td>Type individu</td><td>Catégories possibles d'individus concernés par la résilience sociale</td><td>Personne, Groupe, Structure, Espace</td></tr><tr><td>Type capacité</td><td>Caractérisation des capacités des individus traumatisés</td><td>Affaiblie, Perdues, Désirée</td></tr><tr><td>Type état</td><td>Etat par lesquels passent les individus traumatisés</td><td>Affectif, Intime, Spirituel</td></tr><tr><td>Type sentiment</td><td>Nature des ressentiments des individus traumatisés</td><td>Positif, Négatif</td></tr><tr><td rowspan="3">Environnement</td><td>Type acteur</td><td>Catégories d'acteurs intervenant dans les processus de résilience</td><td>Tuteur, Activateur, Identitaire, Educatif, Croyance</td></tr><tr><td>Type origine</td><td>Environnement géographique de vie des acteurs des processus de résilience</td><td>Locale, Etrangère</td></tr><tr><td>Type action</td><td>Résultats des actions menées par les acteurs des processus de résilience</td><td>Résilience, Souffrance</td></tr></tbody></table>

Ces types prédéfinis sont communs à tous les processus de résilience. En général, les relations spécifiques à une catégorie particulière de résilience ne nécessitent pas de types complexes, mais plutôt des types standards comme les nombres entiers, réels et les chaînes de caractères
L'ontologie intègre les schémas traumatique et comportemental des processus de résilience.
Elle prend en compte les interactions entre ceux-ci et possède l'avantage d'être un modèle
informatique qui peut servir à partager cette conception des processus de résilience à l'échelle
mondial. En effet, l'enjeu des outils proposés dans ce chapitre réside dans le fait qu'ils
permettent d'avoir une compréhension uniforme des processus de résilience et de partager
cette compréhension dans l'ensemble de la communauté scientifique. Le schéma traumatique,
le schéma comportemental et l'ontologie fournissent des niveaux de détails diffréents et leur
utilisation conjointe permet de mieux cerner les processus de résilience. Le schéma
traumatique met en relief les grandes étapes de tout processus de résilience, le schéma
comportemental décrit les grands stades d'évolution des individus ayant subits un
traumatisme et l'ontologie permet de les combiner dans un composant logiciel qui peut servir
à développer des applications informatique redistribuables à grande échelle (Bases de données
à base ontologique, recherche d'informations pour une étude de la résiliencec, développement
d'applications basés sur les données des processus de résilience, etc.).
# CHAPITRE 2 : LES FONDEMENTS DES MODELES RESILIOMETRIQUES

La Résiliométrie se propose d'adapter les modèles issus des Mathématiques Appliquées et de l'Intelligence Artificielle aux réalités des processus de résilience. Toutefois, le développement de la Résiliométrie reste, en grande partie, centré sur les modèles d'équations structurelles à variables latentes, et particulièrement autour de l'approche PLS. Cette classe de modèles présente l'avantage de fournir des outils permettant d'analyser des concepts de haut niveau non directement mesurables comme la pauvreté, la loyauté, le doute, la vulnérabilité, la spiritualité, l'intelligence, etc. Le recours à ces concepts exige qu'ils soient décrits par un ensemble d'indicateurs observables ou mesurables. Ce type de modèles reste très utilisé pour l'étude des relations complexes et de concepts de haut niveau en sciences sociales, notamment en psychologie.

## 2.1) LES MODELES D'EQUATIONS STRUCTURELLES A VARIABLES LATENTES

Les modèles d'équations structurelles à variables latentes (MESVL) sont une classe de méthodologies statistiques qui permettent d'estimer et d'analyser des relations complexes entre des variables latentes mesurées elles-mêmes au travers de variables observées dites manifestes. Les MESVL comportent un certain nombre de catégories avec des spécificités propres comme le montre la figure suivante:

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 4 : Catégories de modèles d'équations structurelles à variables latentes</figcaption></figure>
Les modèles d'équations structurelles à variables latentes utilisent un vocabulaire spécifique. Ce vocabulaire cherche à établir une correspondance entre les concepts réels et le formalisme mathématique utilisé. La plupart des notions utilisées correspondent à une réalité concrète.

**Définition 2.1.1 : Variable manifeste**

Une variable manifeste est une variable pour laquelle on peut fournir directement une mesure. Ce type de variables correspond à des mesures ou des observations (âge, sexe, revenu, information recueillie par une variable d'échelle, etc.)

**Définition 2.1.2 : Variable latente**

Une variable latente est une variable dont il est impossible de fournir directement une mesure. Ce type de variables correspond en général à des concepts (résilience, souffrance, vulnérabilité, émergence, etc.)

Dans les MESVL, chaque variable latente est décrite par une ou plusieurs variables manifestes, le nombre de variables manifestes pouvant varier d'une variable latente à une autre. Pour une variable latente donnée, il est possible de calculer un score à attribuer à chaque individu sur la base des variables manifestes utilisées pour décrire la variable latente en question. Ce score, qui n'est qu'une mesure statistique, est appelé abusivement « estimation de la variable latente ». Il est très important de garder à l'esprit que l'estimation de la variable latente ne peut être considérée comme une quantification absolue du dit concept. Il s'agit simplement d'une représentation scientifiquement acceptable de ce concept inobservable dans un espace mathématique arbitraire. Le seul intérêt d'une telle mesure est de permettre d'effectuer valablement des raisonnements statistiques.

**Définition 2.1.3 : Modèle d'équations structurelles à variables latentes**

Un modèle d'équations structurelles à variables latentes est un système d'équations reliant d'une part chaque variable latente à ses variables manifestes et d'autre part, les différentes variables latentes entre elles.

**Définition 2.1.4 : Modèle de mesure (modèle externe)**

Le modèle de mesure (ou modèle externe) d'un modèle d'équations structurelles à variables latentes est le sous-modèle du MESVL décrivant les relations entre chaque variable latente et les variables manifestes qui lui sont associées.

**Définition 2.1.5 : Modèle structurel (modèle interne)**

Le modèle structurel (ou modèle interne) d'un modèle d'équations structurelles à variables latentes est le sous-modèle du MESVL décrivant les relations entre les différentes variables latentes.
## Définition 2.1.6 : Graphe associé à un MESVL

Un graphe associé à un modèle d'équations structurelles à variables latentes est un graphe orienté dont les nœuds sont les variables. Dans ce graphe, les nœuds correspondants aux variables manifestes sont représentés par des carrés et ceux correspondants aux variables latentes sont représentés par des cercles. Les arcs du graphe traduisent les relations de causalité entre les différents nœuds.

Un exemple de MESVL utilisé dans le domaine du Marketing est le modèle ECSI (European Customer Satisfaction Model). Une estimation de ce modèle est donnée par la figure suivante:

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 5 : Le modèle ECSI estimé par l'approche PLS sur des jeux de données<fnref n="1" /></figcaption></figure>

Le graphe associé à un modèle d'équations structurelles à variables latentes est basé sur un ensemble de conventions qui sera utilisé tout au long de cette thèse. Ces conventions concernent aussi bien les nœuds du graphe que leurs arcs. Selon ces conventions, les rectangles désignent les variables manifestes, les cercles sont réservés aux variables latentes et les arcs étant orientés de la variable « cause » vers la variable « effet » ou « conséquence ».

Dans la littérature, les MESVL comprennent deux grandes approches. La première approche, la méthode LISREL, a été développée par Jöreskog en 1970 et la seconde approche, l'approche PLS, a été développée par Herman Wold en 1982. Ces deux approches ont toujours été opposées au point où la méthode LISREL est qualifiée de « modélisation dure » (hard modeling) et l'approche PLS de « modélisation douce » (soft modeling). Le lecteur intéressé par l'approche PLS et ses applications pourra consulter les références [BAH96], [BAY00], [BKL02], [CHI96], [JOR00] et [TEN99]. La thèse de Doctorat de Jacobowics ([EMJ08]) fournit certainement une vision plus générale et plus détaillée de l'approche PLS. La figure

<footnote n="1">¹http://cedric.cnam.fr/~saporta/STA201%20-%20Equations%20structurelles%20-%201%20-%20Jakobowicz.pdf</footnote>
suivante donne la structure du graphe correspondant à un modèle d'équations structurelles à
variables latentes :

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 6 : Graphe associé à un modèle d'équations structurelles à variables latentes</figcaption></figure>

Du point de vue de la théorie des MESVL, l'approche PLS est la version la plus connue et la plus utilisée d'une classe de modèles plus vaste connue sous l'appellation de MESVL basée sur des composantes. Dans cette catégorie de modèles, la causalité est formulée en termes d'espérance conditionnelle linéaire. En plus, cette catégorie d'approches privilégie la recherche d'une optimalité prédictive. Ainsi, plutôt que de valider un modèle sur le plan de la qualité d'ajustement, on utilisera des indices de qualité prédictive proposés par Chin en 1998, Tenenhaus et al. en 2005.

## 2.2) LES ASPECTS ALGORITHMIQUES DE L'APPROCHE PLS

Du point de vue de la Résiliométrie, les MESVL basés sur la covariance (essentiellement la méthode LISREL), ne sont pas appropriés. En effet, ce type de modèles analyse directement la structure de covariance sans fournir une estimation explicite des variables latentes. Par conséquent, pour développer des modèles de mesures de la résilience et de ses dimensions, seuls les MESVL basés sur les composantes seront exploités. Le formalisme des modèles d'équations structurelles à variables latentes basés sur les composantes est donc le formalisme de référence en Résiliométrie. Sur le plan technique, la méthode LISREL exige de fortes hypothèses sur la distribution des données et demande des centaines d'observations; alors que l'approche PLS nécessite très peu d'hypothèses sur la distribution des données et est utilisable dans des situations où l'on ne dispose que d'un petit nombre d'observations.
Ainsi, dans le contexte de la Résiliométrie, seule l'approche PLS est utilisée du fait qu'elle répond à une logique computationnelle et est moins exigeante en terme d'hypothèses distributionnelles, critères fondamentaux en Résiliométrie dans la mesure où les modèles sont a-théoriques. D'une façon générale, tous les modèles d'équations structurelles à variables latentes basés sur les composantes (PLSPM, FPCA, GSCA) ont une formulation mathématique de base très proche. Pour la présentation des bases des MESVL, le formalisme PLSPM sera utilisé. Pour ce faire, posons :

* ✓ K le nombre de variables latentes

* ✓ $\xi_k$ la $k^{eme}$ variable latente

* ✓ $J_k$ le nombre de variables manifestes associées à $\xi_k$

* ✓ $x_{ki}$ la $i^{eme}$ variable manifeste associée à $\xi_k$ (bloc $k$)

* ✓ N le nombre total de variables manifestes (tous les blocs confondus)

Les notations utilisées classiquement dans les MESVL et introduites dans ce chapitre sont propres aux situations de coupes instantanées. Dans le cas de la résilience, les données utilisées peuvent être des données de panels ; ce qui nécessite des versions de notations relativement plus complexes. Par conséquent, selon les chapitres, d'autres notations plus spécifiques seront introduites lorsque cela s'avère nécessaire. Le rôle des notations supplémentaires est de prendre en compte des particularités des méthodes développées dans les chapitres dans lesquels elles seront introduites.

## Spécification du modèle structurel : cas réflectif

Une variable latente est dite réflective lorsque toutes les variables manifestes sont des conséquences ou des résultats de la variable latente. Une telle relation a la représentation graphique suivante :

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 7 : Structure d'une relation réflective</figcaption></figure>

Si on note $\pi_{kj}$ le coefficient (ou loading) représentant la relation entre $x_{kj}$ et $\xi_k$ et $\epsilon_{kj}$, le terme d'erreur associé à la mesure de $x_{kj}$, le modèle de mesure correspondant à un bloc réflexif se formalise sous la forme de $J_k$ équations du type :

$$x_{kj} = \pi_{kj}\xi_k + \epsilon_{kj}$$
## Spécification du modèle structurel : cas formatif

Une variable latente est dite formative lorsque les variables manifestes sont des causes de la variable latente. Une telle relation a la représentation graphique suivante :

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 8 : Structure d'une relation formative</figcaption></figure>

Si on note $\omega_{kj}$ le coefficient (poids externes) représentant la relation entre $\xi_k$ et $x_{kj}$ et $\delta_k$, le terme d'erreur correspondant à cette spécification, le modèle de mesure correspondant à un bloc formatif se formalise sous la forme d'une équation du type :

$$ \xi_k = \sum_{j=1}^{J_k} \omega_{kj}x_{kj} + \delta_k $$

## Spécification du modèle structurel : cas MIMIC

La variable latente est dite à indicateurs multiples et à causes multiples (MIMIC) lorsqu'elle entretient des relations réflectives avec certaines variables manifestes et formatives avec d'autres. Une telle relation a la représentation graphique suivante :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 9 : Structure d'une relation MIMIC</figcaption></figure>

Si on note $R_k$ et $F_k$ le nombre de variables manifestes réflectives et formatives respectivement d'un bloc MIMIC, le modèle de mesure utilisant un schéma MIMIC se
formalise sous la forme de $R_k$ équations de type réflectif et d'une équation du type formatif suivants :

$$x_{kr} = \pi_{kr}\xi_k + \epsilon_{kr}$$

$$\xi_k = \sum_{j=1}^{F_k} \omega_{kj}x_{kj} + \delta_k$$

## Spécification du modèle structurel

La relation entre une variable latente endogène $\xi_k$ et les variables latentes $\xi_j (j \neq k)$ qui sont censées l'expliquer à la structure graphique suivante :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 10 : Exemple de relations entre variables latentes</figcaption></figure>

Si l'on note $\beta_{jk}$ les coefficients structurels représentant la relation entre $\xi_k$ et les $\xi_j$ qui lui sont liées, $\zeta_k$ l'erreur associée à cette spécification et $\xi_j \to \xi_k$ le fait que $\xi_j$ est une variable explicative de $\xi_k$, le modèle structurel est formé d'une équation de la forme suivante :

$$\xi_k = \sum_{\xi_j \to \xi_k} \beta_{kj} \xi_j + \zeta_k$$

Dans la littérature PLSPM, le modèle structurel, c'est-à-dire les différentes relations entre les variables latentes, peut être estimé par des techniques légèrement différentes. Ces techniques sont appelées des schémas d'estimation.
Les schémas d'estimation du modèle structurel

Pour présenter les différents schémas d'estimation utilisés dans les modèles PLSPM,
considérons les notations suivantes :

✓ $\hat{\xi}_k^{ext}$ l'estimation de $\xi_k$ en utilisant les équations du modèle externe

✓ $\hat{\xi}_k^{int}$ l'estimation de $\xi_k$ en utilisant les équations du modèle interne

✓ $\hat{\beta}_{kj}$ l'estimation des coefficients structurels $\beta_{kj}$

✓ $X_k$ le vecteur des variables manifestes $x_{ki}$ associées à $\xi_k$

✓ ∝ l'opérateur d'égalité après standardisation de la valeur correspondante

✓ cfo1s(y|x) le coefficient de régression linéaire simple de y sur x

✓ cor(x, y) le coefficient de corrélation linéaire entre x et y

En plus de ces notations, considérons l'opérateur *sign*(x) permettant de capter le signe de x et définie par :

$$
\operatorname{sign}(x) = \begin{cases} +1 & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases}
$$

Si l'on suppose connus tous les poids externes $\omega_{kj}$ reliant les variables latentes à leurs manifestes, l'estimation PLS d'une variable latente endogène se fait par la relation :

$$
\hat{\xi}_k^{int} \propto \sum_{\xi_j \to \xi_k} c_{kj} \hat{\beta}_{kj} \hat{\xi}_j^{ext}
$$

Dans cette relation, les coefficients $c_{kj}$ sont destinés à capter les relations qu'entretiennent les différentes variables latentes entre elles. Ainsi :

$$
c_{kj} = \begin{cases} 1 & \text{si } \xi_j \to \xi_k \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
$$

Les coefficients $\hat{\beta}_{kj}$, qui sont des estimations des coefficients structurels $\beta_{kj}$ peuvent être
obtenus de trois (3) façons différentes. Dans la théorie PLS, les différentes manières d'obtenir
des estimations des coefficients structurels sont appelées des schémas. Ainsi, on a :

• Schéma centroïde : $\hat{\beta}_{kj} = sign(\text{cor}(\hat{\xi}_k^{ext}, \hat{\xi}_j^{ext}))$

• Schéma factoriel : $\hat{\beta}_{kj} = \text{cor}(\hat{\xi}_k^{ext}, \hat{\xi}_j^{ext})$

• Schéma structurel : $\hat{\beta}_{kj} = \begin{cases} cfo1s(\hat{\xi}_k^{ext}|\hat{\xi}_j^{ext}) & \text{si } \xi_j \to \xi_k \\ \text{cor}(\hat{\xi}_k^{ext}, \hat{\xi}_j^{ext}) & \text{si } \xi_j \leftarrow \xi_k \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$
## Les modes de mise à jour des poids d'estimation

L'approche PLS est une approche computationnelle, donc algorithmique. Le jeu d'estimation prend appui essentiellement sur les poids externes $\omega_{kj}$. A la première itération, ces poids sont choisis arbitrairement, ce qui permet d'effectuer les premières estimations. Toutefois, pour effectuer les calculs aux itérations suivantes, ces poids sont mis à jour, à chaque itération. Il existe deux (2) manières d'effectuer ces mises à jours. Les différentes manières de mettre à jour les poids externes sont appelées des modes d'estimations. Ainsi, si l'on note $\omega_k = (\omega_{kj})_{1\le j\le J}$ le vecteur rassemblant tous les poids externes (tout bloc confondu), on a les deux modes d'estimations suivants :

$$ \bullet \text{ Mode A : } \omega_k = ({}^t\hat{\xi}_k^{\text{int}} {}^t\hat{\xi}_k^{\text{int}})^{-1} ({}^tX_k) {}^t\hat{\xi}_k^{\text{int}} $$

$$ \bullet \text{ Mode B : } \omega_k = ({}^tX_k X_k)^{-1} ({}^tX_k) {}^t\hat{\xi}_k^{\text{int}} $$

Quel que soit le mode d'estimation choisi (mode A ou mode B), les différents coefficients sont calculés sous la contrainte que ${}^t\omega_k {}^tX_k X_k \omega_k = J$.

## L'algorithme d'estimation PLSPM

L'estimation du modèle PLSPM se fait par l'algorithme PLS. En désignant par $i$ les différentes itérations, le principe de l'algorithme PLSPM est le suivant :

### Algorithme 1 : PLS Path Modeling de base

1. Fixer arbitrairement les poids du modèle externe :
$$ \omega_{kj} = (\omega_{kj})_{i=0} $$

2. Estimer les variables latentes en se basant sur les poids externes initiaux :
$$ \hat{\xi}_k^{\text{ext}} \propto \sum_{j=1}^{J_k} \omega_{kj} x_{kj} $$

3. Ré-estimer les variables latentes en se basant sur le modèle interne :
$$ \hat{\xi}_k^{\text{int}} \propto \sum_{\xi_j \to \xi_k} c_{kj} e_{kj} \hat{\xi}_j^{\text{ext}} $$

4. Mettre à jour les poids en utilisant le mode A ou le mode B

5. Répéter les étapes 2) et 3) et 4) jusqu'à convergence de l'algorithme

En théorie, la convergence de l'algorithme est prouvée dans le cas de deux variables latentes. Cependant, même si au-delà de deux dimensions, cette convergence n'est pas prouvée mathématiquement (pas encore démontrée), elle est constatée dans les applications réelles.
## L'estimation du modèle structurel

L'algorithme PLS de base fournit uniquement des scores standardisés pour les variables latentes. Les coefficients structurels estimés $\hat{\beta}_{kj}$ ne constituent pas des estimateurs définitifs, mais plutôt des poids intermédiaires pour le calcul des scores $\xi_k^{int}$ des variables latentes $\xi_k$. Une fois ces scores disponibles, les coefficients structurels définitifs $\hat{\beta}_{kj}^{struct}$ sont obtenus grâce à une régression linéaire multiple de scores des variables latentes endogènes sur les scores des variables latentes qui leur sont associés :

$$ \xi_k^{int} = \sum_{\xi_j \to \xi_k} \beta_{kj} \xi_j^{int} + \zeta_k $$

Il est important de noter que l'usage de la régression linéaire multiple (OLS) peut entrainer l'obtention de coefficients de régression négatifs lorsque des variables latentes estimées $\xi_k^{int}$ présentent une multicolinéarité. Dans ce cas, Tenenhaus ([TEN98]) suggère l'utilisation de la régression PLS<fnref n="2" /> en lieu et place de la régression OLS. Toutefois, en Résiliométrie, un tel sens de variation peut être exploité judicieusement pour mettre en exergue des comportements spécifiques à certains individus.

## Les indicateurs locaux de qualité

Il existe, dans la littérature, de nombreux indicateurs de mesure de la qualité du PLSPM. Dans cette partie nous présentons deux de ces indices à savoir la communauté (communality) et la redondance (redundancy).

* **La communauté** : la communauté associée au bloc $k$ ($H_k^2$) est la proportion de la variance de toutes les variables manifestes $x_{kj}$ expliquée par la variable latente $\xi_k$. Elle évalue la qualité du modèle de mesure du bloc $k$ et est définie par :

$$ H_k^2 = \frac{1}{J_k} \sum_{j=1}^{J_k} \text{cor}^2(x_{kj}, \hat{\xi}_k^{int}) $$

* **La redondance** : la redondance associée au bloc $k$ ($F_k^2$) est la proportion de la variance de toutes les variables manifestes $x_{kj}$ et latentes $\{\xi_j | \xi_j \to \xi_k\}$ expliquée par la variable latente $\xi_k$. Elle évalue la qualité du modèle de mesure localisé autour du bloc $k$. Si on note $R^2_{y \times \{x_1, \dots, x_p\}}$ le coefficient de détermination associé à la régression linéaire multiple de la variable $y$ sur les $p$ variables $x_1, \dots, x_p$, l'indice de redondance associé au bloc $k$ est donné par :

$$ F_k^2 = H_k^2 \times R^2_{\hat{\xi}_k^{int} \times \{\hat{\xi}_j^{int} | \xi_j \to \xi_k\}} $$

<footnote n="2">² La régression PLS (une technique de régression) est à distinguer de l'Approche PLS (un MESVL)</footnote>
La qualité du modèle global

La communauté et la redondance sont des indicateurs de qualité ne permettant que d'évaluer
une partie du modèle. Tenenhaus et al (2004) ont proposé un indicateur de qualité globale du
modèle PLSPM appelé « Goodness of Fit » (GoF). Si on considère l'ensemble des
redondances H<sub>k</sub><sup>2</sup> associées à toutes les J variables latentes ξ<sub>k</sub> (donc des blocs), la moyenne
arithmétique des communautés est donnée par :

$$
\overline{H}^2 = \frac{1}{J} \sum_{k=1}^{J} H_k^2
$$

De façon similaire, en notant $E_{endo}$ l'ensemble des variables latentes endogènes, si l'on considère l'ensemble des coefficients de détermination $R_k^2$ associés à toutes les variables latentes endogènes $\xi_k \in E_{endo}$, la moyenne arithmétique des coefficients de détermination est donnée par :

$$
\bar{R}^2 = \frac{1}{\mathrm{card}(E_{\mathrm{endo}})} \sum_{\xi_k \in E_{\mathrm{endo}}} R_k^2
$$

L'indicateur GoF : L'indicateur Goodness of Fit (GoF) est défini comme la moyenne géométrique de la moyenne des communautés de tous les blocs du modèle et de la moyenne arithmétique des coefficients de détermination associés aux variables latentes endogènes. Il fournit une mesure acceptable de la qualité globale du modèle et est défini par :

$$
GoF = \sqrt{\overline{H}^2 + \overline{R}^2}
$$
# PARTIE II : LES METHODES DE BASE DE LA PROPOSITION D'UNE RÉSILIOMÉTRIE
# CHAPITRE 3 : LA MESURE ET LA CARACTERISATION DE LA RESILIENCE

L'une des opérations fondamentales dans l'étude de la résilience est sans aucun doute la construction d'une mesure fiable de celle-ci. Dans la littérature, un certain nombre de travaux relatifs à la mesure de la résilience ont été déjà effectués. Toutes ces tentatives sont menées en considérant la résilience par rapport à la situation d'équilibre qui est la situation avant la survenue du choc traumatique. Selon une synthèse des différentes approches, effectuées dans [CAR11], Rimm et Lawton se servent des théories spectrales de l'algèbre linéaire en utilisant les valeurs propres de la dynamique à l'équilibre comme mesure de la résilience qu'ils calculent par simulation. Quant aux auteurs Ortz et Wolf, ils proposent d'utiliser le temps de retours dans un état proche de l'état avant perturbations comme mesure de la résilience. Cet indicateur est plutôt lié à l'usage originel de la notion de résilience dans les sciences physiques dans laquelle la résilience est synonyme de reprise de la forme initiale d'un matériau lorsque celui-ci subit une déformation ou un choc (tests de résilience). D'autres travaux sont basés sur la théorie du chaos. C'est dans ce cadre que se situent les travaux de Van Coller et al qui utilisent la taille des bassins d'attraction à l'équilibre comme mesure de la résilience. Toujours selon [CAR11], les travaux de Ludwig et al, basés sur la théorie du chaos, préconisent de prendre, comme mesure de la résilience, la distance aux points de bifurcation. De nombreux travaux relativement récents ont recours à la théorie de la viabilité. En général, cette théorie est utilisée pour fournir une caractérisation mathématique de la résilience. Cependant, sur la base de cette théorie, Sophie Martin a proposé un indicateur de mesure de la résilience basé sur les caractéristiques du noyau de viabilité ([SOP05b]).

Il faut souligner que tous ces travaux, basés sur la notion d'équilibre, définissent la résilience d'une manière particulière afin qu'elle coïncide avec la mesure fournie. Mais aucune d'elle ne cherche à estimer directement la résilience car elle est inobservable par nature, donc pas directement mesurable. Néanmoins, la tendance actuelle est de proposer une estimation directe du concept de résilience en utilisant la théorie statistique des modèles d'équations structurelles à variables latentes (MESVL) à travers l'approche PLS ([AAP13], [CON03], [KOU14b]). Dans le contexte de la résilience, la construction d'un modèle de mesure doit prendre en compte deux éléments essentiels, à savoir, les différentes dimensions de la résilience et les évolutions des variables observées (manifestes) dans le temps. La résilience et ses différentes dimensions sont essentiellement des concepts inobservables et multidimensionnels. La mesure de la résilience et de ses dimensions nécessitent donc une approche de modélisation des systèmes complexes capables de fournir une évaluation des variables latentes. Les modèles que nous proposons se situent donc dans ce cadre et ont l'avantage d'être généraux et plus adaptés à la nature inobservable (latente) et multidimensionnelle de la résilience.
## 3.1) LES MODELES DE MESURE DE LA RESILIENCE

Les modèles proposés sont essentiellement des versions de modèles PLSPM. Toutefois, la prise en compte de la dimension temporelle et des éventuelles interactions complexifient les notations par rapport à l'approche PLS. Pour ce faire, posons :

* ✓ D le nombre de dimensions de résilience prise en compte

* ✓ T l'horizon temporel de mesure de la résilience

* ✓ N le nombre de panélistes utilisés dans la collecte de données

* ✓ $N_{endo}$ le nombre total de variables latentes endogènes du modèle (hors résilience)

* ✓ $n_d^t$ le nombre de variables manifestes du bloc $d \in [1, D]$ au temps $t \in [1, T]$

* ✓ $X_{dj}^t$ la $j^{eme}$ variable manifeste associée à la dimension $\xi_d^t$ (bloc $d$)

* ✓ $x_{dj}^t$ le vecteur de valeurs de la variable manifeste $X_{dj}^t$ prise par les panélistes

* ✓ $\xi_d^t$ l'estimation de la dimension $d \in [1, D]$ au temps $t \in [1, T]$

* ✓ $\xi_d^t$ l'estimation de la résilience avec les informations collectées en $t$

* ✓ $\xi_{t_1:t_2}^t$ l'estimation de la résilience avec les informations collectées de $t_1$ à $t_2$

* ✓ $\omega_{dj}^t$ le coefficient de la régression de $\xi_d^t$ sur $X_{dj}^t$

* ✓ $\delta_d^t$ le terme d'erreur de la régression de $\xi_d^t$ sur $X_{dj}^t$

* ✓ $\beta_{dk}^t$ le coefficient de la régression de la dimension $\xi_d^t$ sur la dimension $\xi_k^t$

* ✓ $\gamma_{dk}^t$ le coefficient de la régression de la dimension $\xi_d^t$ sur la dimension $\xi_k^{t-1}$

* ✓ $\zeta_d^t$ le terme d'erreur de la régression de la dimension $\xi_d^t$ sur les dimensions $\xi_k^t$ et $\xi_k^{t-1}$

* ✓ $\pi_{dj}^t$ le coefficient de la régression de la variable manifeste $X_{dj}^t$ sur la résilience $\xi^t$

* ✓ $\nu_{dj}^t$ le terme d'erreur de régression de la variable manifeste $X_{dj}^t$ sur la résilience $\xi^t$

* ✓ $\theta_d^t$ le coefficient de la dimension $d$ dans l'équation de la résilience au temps $t$

* ✓ $\mu^t$ le terme d'erreur associé à l'équation de la résilience au temps $t$

Il existe essentiellement quatre modèles résiliométriques de mesures de la résilience. Le tableau suivant décrit les spécificités de chaque modèle :

<table><caption>Tableau 3 : Types de modèles de mesure de la résilience</caption><thead><tr><th colspan="3">INTERACTIONS TEMPORELLES</th></tr><tr><th colspan="2">SANS INTERACTION</th><th>AVEC INTERACTION</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2">HORIZON TEMPOREL</th><th>STATIQUE</th><td>Modèle statique de mesure sans interaction</td><td>Modèle statique de mesure avec interaction</td></tr><tr><th>DYNAMIQUE</th><td>Modèle dynamique de mesure sans interaction</td><td>Modèle dynamique de mesure avec interaction</td></tr></tbody></table>
### 3.1.1) LES MODELES STATIQUES DE MESURE

Les modèles statiques de mesure sont caractérisés par le fait que la résilience est mesurée uniquement avec les informations collectées à une date $t = \tau$ fixée. Il en existe de deux types selon que l'on prenne en compte les interactions entre les différentes dimensions ou pas.

#### Modèles statiques de mesure sans interactions

La structure graphique du modèle statique de mesure sans interaction est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 11 : Exemple de modèle statique sans interactions</figcaption></figure>

Le modèle statique de mesure sans interactions comporte autant de blocs formatifs que de dimensions considérées et un unique bloc réflectif dont les variables manifestes sont toutes les variables manifestes considérées, tout bloc confondu. Ainsi, le modèle statique de mesure sans interaction correspond au système formé par les $D(n + 1) + 1$ équations suivantes :

$$ egin{cases} 
\xi_d^\tau = \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^\tau x_{dj}^\tau + \delta_d^\tau & \text{(il y a } D\text{ equations)} \\ 
x_{dj}^\tau = \pi_{dj}^\tau \xi^\tau + \nu_{dj}^\tau & \text{(il y a } D \times n \text{ equations)} \\ 
\xi^\tau = \sum_{d=1}^{D} \theta_d^\tau \xi_d^\tau + \mu^\tau & \text{(il y a 1 equation)} 
\end{cases} $$
## Modèle statique de mesure avec interactions

La structure graphique du modèle statique de mesure avec interactions est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 12 : Exemple de modèle statique avec interactions</figcaption></figure>

Le modèle statique de mesure avec interactions comporte autant de blocs formatifs que de dimensions considérées et un unique bloc réflectif dont les variables manifestes sont toutes les variables manifestes considérées, tout bloc confondu. Ainsi, le modèle statique avec interaction correspond au système formé par les $D(n + 1) + N_{endo} + 1$ équations suivantes (certaines pouvant être nulles) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\xi_d^\tau = \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^\tau x_{dj}^\tau + \delta_d^\tau \quad \text{(il y a } D \text{ equations)} \\
\\
\xi_d^\tau = \sum_{k=1}^{D} \beta_{dk}^\tau \xi_k^\tau + \zeta_d^\tau \quad \text{(il y a } N_{endo} \text{ equations)} \\
\\
x_{dj}^\tau = \pi_{dj}^\tau \xi^\tau + \nu_{dj}^\tau \quad \text{(il y a } D \times n \text{ equations)} \\
\\
\xi^\tau = \sum_{d=1}^{D} \theta_d^\tau \xi_d^\tau + \mu^\tau \quad \text{(il y a 1 equation)}
\end{array}
\right.
$$
### 3.1.2) LES MODELES DYNAMIQUES DE MESURE

Dans les modèles dynamiques, les informations sont collectées sur plusieurs périodes $\{1, \dots, T\}$. Il en existe de deux types, avec ou sans interactions.

#### Modèle dynamique de mesure sans interactions

La structure graphique du modèle dynamique de mesure sans interactions est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 13 : Exemple de modèle dynamique sans interactions</figcaption></figure>

Ce modèle correspond au système formé par les $D(2T + n - 1) + 1$ équations suivantes :

$$ egin{cases} 
\xi_d^t = \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^t x_{dj}^t + \delta_d^t & \text{(il y a } D \times T \text{ equations)} \\ 
\xi_d^t = \gamma_{dd}^t \xi_d^{t-1} + \zeta_d^t & \text{(il y a } D(T-1) \text{ equations)} \\ 
x_{dj}^T = \pi_{dj}^T \xi_d^T + \nu_{dj}^T & \text{(il y a } D \times n \text{ equations)} \\ 
\xi^{1:T} = \sum_{d=1}^{D} \theta_d^T \xi_d^T + \mu^T & \text{(il y a 1 equation)} 
\end{cases} $$
## Modèle dynamique de mesure avec interactions

La structure graphique du modèle dynamique de mesure avec interactions est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 14 : Exemple de modèle dynamique avec interactions</figcaption></figure>

Le modèle dynamique de mesure avec interactions comporte autant de blocs formatifs que de dimensions considérées pour chaque date *t*. Le nombre de blocs réflectifs est donc important. La résilience est estimée en considérant toutes les variables manifestes de la dernière période *T*, toute dimension confondue. Ce modèle correspond au système formé par les $D(2T + n - 1) + N_{endo} + 1$ équations suivantes :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\xi_d^t = \sum_{j=1}^{n_d} \omega_{dj}^t x_{dj}^t + \delta_d^t \quad \text{(il y a } D \times T \text{ equations)} \\[1.5ex]
\xi_d^t = \sum_{\xi_k^t \to \xi_d^t} \beta_{dk}^t \xi_k^t + \sum_{\xi_k^{t-1} \to \xi_d^t} \gamma_{dk}^t \xi_k^{t-1} + \zeta_d^t \quad \text{(il y a } D(T-1) + N_{endo} \text{ equations)} \\[1.5ex]
x_{dj}^T = \pi_{dj}^T \xi^T + \nu_{dj}^T \quad \text{(il y a } D \times n \text{ equations)} \\[1.5ex]
\xi^{1:T} = \sum_{d=1}^{D} \theta_d^T \xi_d^T + \mu^T \quad \text{(il y a 1 equation)}
\end{array}
\right.
$$
## Algorithme des modèles de mesure

Du point de vue de la Résiliométrie, l'essentiel de l'estimation des modèles de mesure de la résilience se fait avec l'algorithme PLS classique. Les différents types de modèles ne sont rien d'autre que différentes modes de spécification du PLSPM. Techniquement, l'algorithme PLS a pour rôle de fournir une estimation du modèle externe et du modèle interne. Son usage n'a d'intérêt que dans la mesure où il est possible de récupérer les estimations numériques du concept de résilience et des dimensions considérées. Par conséquent, en notant plspm(.) l'opération d'estimation d'un MESVL par l'approche PLS, l'algorithme de mesure de la résilience et de ses dimensions est le suivant :

<caption>Algorithme 2 : Estimation de la résilience et de ses dimensions</caption>

1. $\Omega_D = \{d \mid d \in [1, D]\}$ // Ensemble des dimensions considérées
2. $\mathcal{M} = \{m_i \mid i \in [1, 4]\}$ // Ensemble des 4 Modèles de mesure
3. $\mathcal{R}(\hat{\xi}_d, \hat{\xi}) = \text{plspm}(\Omega_D, \mathcal{M})$ // Estimation PLSPM du modèle spécifié
4. $\Theta_R = \emptyset$ // Ensembles des estimations totales
5. Pour $(d \text{ in } \Omega_D)$ {
6. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a) $\Delta_d = \emptyset$ // Ensemble des estimations de $\xi_d$
7. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b) Pour $(t \text{ in } [1, T])$ {
8. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;i) $\hat{\xi}_d|\mathcal{R} \leftarrow \frac{\{\hat{\xi}_d|\mathcal{R}\}-E(\{\hat{\xi}_d|\mathcal{R}\})}{\sigma_{\{\hat{\xi}_d|\mathcal{R}\}}}$
9. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ii) $\Delta_d \leftarrow \Delta_d \cup \{\hat{\xi}_d|\mathcal{R}\}$
10. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}
11. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;c) $\Theta_R = \Theta_R \cup \Delta_d$
12. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}
13. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}
14. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}
15. $\mathcal{R} = \Theta_R \cup \{\hat{\xi}|\mathcal{R}\}$ // Sortie de l'algorithme de mesure

Les modèles de mesure de la résilience sont des modèles PLSPM de type hiérarchique avec une ou plusieurs variables latentes d'ordre 1. Ces variables latentes d'ordre 1 sont essentiellement celles qui représentent la résilience. Elles ne disposent à priori pas de variables manifestes propres. Le fait de leur donner comme variables manifestes l'ensemble de toutes les variables latentes utilisées a une justification théorique bien fondée due à l'usage de l'approche PLS comme modèle de mesure ([TEN01]). Il aussi est important de remarquer que, dans l'algorithme d'estimation de la résilience et de ses dimensions, les valeurs estimées par PLSPM sont centrées et réduites dans le résultat final. En effet, ces valeurs numériques obtenues ne sont que des « proxys » et n'ont pas de sens dans l'absolu en dehors des traitements qualitatifs qu'on peut en faire. De ce fait, nous préconisons qu'elles soient centrées et réduites pour éliminer l'effet d'éventuelles unités de mesure des variables manifestes. Techniquement, cette opération permet de stabiliser les différentes variabilités, les ramenant toutes à l'unité (1). Elle brisent aussi le cycle des interprétations fallacieuses des valeurs moyennes de la résilience et de ses dimensions en les ramenant à zéro (0), ce zéro désignant un comportement centriste en terme de résilience ou de ses dimensions.
## 3.2) LA THEORIE STOCHASTIQUE DE LA RESILIENCE

L'une des questions les plus légitimes qui vient à l'esprit lorsqu'on parle de résilience est certainement la suivante : « Etant donné un individu souffrant d'un choc traumatique bien précis, est-il résilient ou pas à l'instant où il est observé ? ». Cette question soulève le problème général de la caractérisation de la résilience. L'approche actuellement utilisée dans le cadre de la résilience est basée sur la théorie mathématique de la viabilité développée par le Mathématicien Français Jean-Pierre Aubin ([AUB97], [AUB91]). Le développement de la théorie de viabilité a commencé depuis la fin des années 1980 à partir de l'analyse multivoque pour étudier les évolutions des systèmes complexes en avenir incertain soumis à des contraintes de viabilité. Son champ d'application, initialement centré sur les systèmes évolutionnaires en sciences économiques, s'est élargi aux sciences sociales, à la démographie, à la finance, à l'environnement et aux sciences de l'ingénieur.

Cependant, la théorie de la viabilité modélise les capacités sous la forme d'équations différentielles ou d'inclusions différentielles, ce qui est problématique du fait du caractère aléatoire de l'évolution des capacités. Une autre limite sérieuse de l'approche par la théorie de la viabilité est l'usage de variables de contrôles car cette théorie est développée dans le cadre des systèmes commandés ([SOP05a], [SOP05b]). Or, l'étude de la résilience, notamment sociale, ne suppose pas qu'il faille nécessairement contrôler le système étudié. En plus, dans la théorie de viabilité, les contraintes de viabilités (limites des capacités) non seulement doivent être en petit nombre (4 à 6 au maximum), mais doivent surtout être constantes pour une capacité donnée, donc indépendantes des individus et du temps. Cette hypothèse n'est pas réaliste dans le cadre de la résilience, dans la mesure où un niveau d'une capacité peut être insuffisant pour un individu et largement au-dessus des espérances d'un autre et même varier avec le temps pour un individu donné. Enfin, la notion fondamentale de noyau de viabilité tel que défini dans la théorie de viabilité souffre d'une inadaptation aux situations de résilience portant seulement sur une partie des capacités considérées et non sur l'ensemble de toutes les capacités.

Face à ces insuffisances, et dans le souci d'être plus proche des idées intuitives qui gouvernent la notion de résilience, nous proposons une approche de caractérisation de la résilience appelée « théorie stochastique de la résilience ». L'objet de la théorie stochastique de la résilience est de fournir un cadre formel et une approche mathématique permettant de caractériser la résilience et de fournir une identification de l'état de résilience des individus dans l'espace axiomatique résiliométrique considéré. En effet, le problème de caractérisation de la résilience met en exergue quatre sous problèmes fondamentaux qui peuvent être mis en exergue par les questions suivantes : De quel choc s'agit-il et quels sont les individus considérés ? Quel est l'instant ou la période à laquelle l'état de résilience est-il recherché ? Quelles sont les capacités individuelles par rapport auxquelles la résilience est recherchée ? La résilience concerne combien de capacités considérées à la fois ?
Ces questions montrent que le problème d'identification de l'état de résilience des individus souffrants est un problème mal posé. Tout d'abord, il ne peut y avoir d'individus résiliens ou non dans l'absolu. En effet, les individus sont résiliens ou pas dans l'environnement d'un choc précis, à un instant précis de la dynamique sociale et relativement à un ensemble bien défini de capacités considérées. Ensuite, la notion même de résilience est ambiguë et mérite d'être spécifiée. En effet, la résilience peut concerner aussi bien une seule capacité, une partie de celles-ci ou l'ensemble de toutes les capacités considérées. C'est donc pour pallier aux insuffisances de la théorie de viabilité dans le contexte de la résilience qu'une nouvelle théorie est proposée dans le cadre de cette thèse pour caractériser la résilience. La théorie stochastique de la résilience est basée sur l'axiomatique des espaces résiliométriques. Les espaces dits résiliométriques sont construits à partir des fondements de la théorie mathématique de la mesure (voir annexe A). Il s'agit de définir des notions nouvelles rendant opérationnelles la résilience sur le plan mathématique en levant toute ambiguïté. Cette axiomatique est un cadre formel dans lequel le problème d'identification des états de résilience des individus est décidable avec un ensemble de solutions acceptables.

Il est cependant très important de noter que la résilience comporte deux aspects indissociables, à savoir la capacité de rebond des individus traumatisés et le processus par lequel ceux-ci arrivent à rebondir. La théorie stochastique de la résilience se limite à caractériser essentiellement la capacité de rebond. Toutefois, son utilisation successive sur plusieurs périodes différentes (aspect dynamique) permet d'apprécier des propriétés de la dynamique du processus de rebond.

Pour une présentation plus formelle de le TSR, notons :

* C un choc traumatique

* Ω_I l'ensemble des individus considérés

* Ω_X l'ensemble des caractéristiques quantifiées (variables) considérées

* μ une mesure (résiliométrique) de la résilience et de ses dimensions

* T l'horizon temporel de mesure de la résilience
### 3.2.1) LES ESPACES E-RESILIOMETRABLES

Une analyse du concept de résilience en termes de capacité de rebond montre qu'en plus du choc considéré, la spécification des individus étudiés et des caractéristiques observées chez ceux-ci constituent le strict minimum dont on a besoin pour discourir sur la résilience. Pour mettre en exergue ce noyau irréductible comme fondement de toute analyse de la capacité de rebond, la notion d'environnement résiliométrique a été introduite.

#### Définition 3.2.1.1 : Environnement résiliométrique

On appelle environnement résiliométrique, noté E, la spécification d'un choc traumatique, d'un ensemble d'individus dont la résilience au choc spécifié est étudiée et d'un ensemble de variables décrivant les caractéristiques des individus dont on souhaite étudier l'évolution par rapport au choc, ces variables devant être structurées en dimensions. Un environnement résiliométrique est donc la donnée d'un triplet $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ dans lequel C désigne un choc traumatique, $\Omega_I$ représente l'ensemble des individus considérés et $\Omega_X$ est l'ensemble des capacités (variables) considérées structurées en dimensions.

Une fois l'environnement résiliométrique défini, l'ensemble de l'axiomatique des espaces résiliométriques est déduit de la théorie mathématique de la mesure avec quelques adaptations permettant de prendre en compte les spécificités de la résilience. L'enjeu d'une telle adaptation réside dans le fait de donner une interprétation concrète aux notions définies.

#### Définition 3.2.1.2 : Filtration résiliométrique fondamentale

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. On appelle filtration résiliométrique fondamentale, la filtration $(\Omega_t)_{t \in [1,T]}$ des cumuls d'observations faites sur les individus étudiés sur la période d'étude relativement aux variables spécifiées dans E. Les éléments de cette filtration sont définis par $\forall t \in [1,T], \Omega_t = \{X_{ij}^\tau | i \in \Omega_I, X_j \in \Omega_X, \tau \le t\}$.

#### Définition 3.2.1.3 : Ensemble résiliométrique fondamental

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique et $(\Omega_t)_{t \in [1,T]}$ la filtration résiliométrique fondamentale associée. On appelle ensemble résiliométrique fondamental, l'ensemble $\Omega$ des observations faites sur les individus étudiés sur la période d'étude relativement aux variables spécifiées dans E. On a donc :

$$ \Omega_E = \bigcap_{t=1}^{T} \Omega_t $$

#### Définition 3.2.1.4 : Tribu résiliométrique fondamentale

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique, $(\Omega_t)_{t \in [1,T]}$ la filtration résiliométrique fondamentale associée. On appelle tribu résiliométrique fondamentale, la tribu $\mathcal{F}$ engendrée par l'ensemble des éléments de la filtration résiliométrique fondamentale. Ainsi, on a $\mathcal{F}_E = \sigma(\Omega_t, t \in [1,T])$.
**Définition 3.2.1.5 : Espace E-résilométrable**

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique ayant pour ensemble résiliométrique fondamental, l'ensemble $\Omega$ et pour tribu résiliométrique fondamentale $\mathcal{F}$. On appelle espace E-résilométrable, l'espace mesurable $(\Omega_E, \mathcal{F}_E)$.

L'espace E-résilométrable est avant tout un espace mesurable au sens de la théorie de la mesure. Cependant, sa définition est tributaire à l'ensemble résiliométrique fondamental. Il est donc impératif de bien définir l'environnement résiliométrique considéré. L'intérêt d'utiliser la notion d'ensemble résiliométrique fondamental est de pouvoir ramener le calcul des espaces résiliométriques aux principes de la théorie des ensembles en accord avec le sens pratique et intuitif qu'ils peuvent revêtir. Cette approche présente l'avantage de permettre une prise en compte de situations complexes avec des algorithmes relativement simples se réduisant à la manipulation d'ensembles au sens mathématique du terme.

## 3.2.2) LES ESPACES E-RESILIOMETRES

L'espace E-résilométrable contient tout ce qui est nécessaire comme information pour mesurer la résilience et analyser la capacité de rebond des individus. Toutefois, il ne fournit aucune méthode permettant une mesure effective de la résilience. C'est pourquoi la définition d'une mesure de résilience s'impose pour parachever l'axiomatique. Pour y parvenir, les notions de mesures résiliométriques et d'espaces E-mesurés sont introduites.

**Définition 3.2.2.1 : mesure résiliométrique**

Soit $E$ un environnement résiliométrique et $(\Omega_E, \mathcal{F}_E)$ un espace E-résilométrable. On appelle mesure résiliométrique sur $\mathcal{F}_E$, toute application $\mu : \mathcal{F}_E \to [-1, 1]$ telle qu'il existe un graphe $G_X$ sur $\Omega_X$ avec $\forall A \subset \mathcal{F}_E, \mu(A|G_X) \in [-1, 1]$.

Telle que définie, une mesure résiliométrique est une application capable de fournir un ensemble de valeurs comprises entre -1 et 1 à partir d'un ensemble de données collectées sur des variables et d'une structure graphique établissant des relations entre ces variables. Le fait qu'une mesure résiliométrique puisse prendre des valeurs négatives est très important. En effet, cela permettra, dans certaines conditions, de distinguer des situations de dégradation des capacités de rebonds, des situations d'amélioration de celles-ci. La propriété de non positivité des mesures résiliométriques est donc imposée par des considérations purement pratiques liées aux réalités sociales. L'hypothèse mathématique de positivité d'une mesure est donc relâchée pour des raisons évidentes de nécessité d'interprétation et de portée pratique de la TSR.
## Propriété des mesures résiliométriques

Toute application permettant de déterminer la valeur de résilience d'un individu en utilisant les modèles résiliométriques statiques et dynamiques de mesure, est une mesure résiliométrique. Il est important de comprendre que les modèles de mesure de la résilience, qu'ils soient statiques ou dynamiques, ne sont pas eux-mêmes des mesures résiliométriques. En effet, ces modèles fournissent des vecteurs de valeurs comprises entre -1 et 1 alors qu'une mesure résiliométrique ne doit fournir qu'une seule valeur dans cet intervalle. Ce sont donc les procédures, basées sur ces modèles, mais fournissant des valeurs uniques (donc individuelles) qui sont des mesures résiliométriques.

### Définition 3.2.2.2 : Espace E-résilométré

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique auquel est associé un espace $E$-résilométrable $(\Omega_E, \mathcal{F}_E)$. Soit $\mu$ une mesure résiliométrique définie sur $\mathcal{F}_E$. On appelle espace $E$-résilométré, l'espace mesuré $(\Omega_E, \mathcal{F}_E, \mu)$.

L'espace $E$-résilométré contient aussi bien les informations que les modèles nécessaires pour mesurer la résilience. Il a l'avantage de clarifier le contexte analytique de la capacité de rebond. Son usage assure l'unicité de la représentation du problème d'étude de la résilience en termes de capacité de rebond et fournit un moyen de communication unique permettant de porter un jugement scientifiquement pertinent sur les résultats des analyses.

### 3.2.3) LES FORMES DE CAPACITE ET DE GRE DE REBOND

L'axiomatique des espaces résiliométriques permet de bien clarifier les éléments de base sur lesquels prend appui une analyse des capacités de rebond. Il s'agit du point de départ pour une caractérisation mathématique de la résilience. Cependant, cette axiomatique à elle seule est insuffisante pour lever toute ambiguïté. En effet, dans un espace résilométré, le sens du terme résilience en tant que capacité de rebond face au choc considéré, choc ayant altéré éventuellement les caractéristiques considérées, reste bien défini lorsque cet espace ne contient qu'une seule caractéristique. Dès lors que le nombre de caractéristiques considérées excède l'unité, le sens pratique de la capacité de rebond reste encore flou, ce qui est le cas en général. Il devient donc impératif de fournir des définitions opérationnelles de la capacité de rebond susceptibles de lever toute ambigüité dans la compréhension de ce qu'on évalue et étudie exactement. Pour ce faire, Notons :

* C un choc traumatique considéré

* $\Omega_I$ l'ensemble des individus sur lesquels le choc est étudié

* $\Omega_X$ l'ensemble des caractéristiques quantifiables (variables) considérées chez les individus

* T l'horizon temporel de mesure de la résilience

* N le nombre d'individus utilisés dans la collecte de données

* J le nombre de caractéristiques quantifiables considérées structurées en dimension
## Caractéristiques quantifiables et capacités

Il est bon de comprendre qu'une capacité est un concept inobservable. La capacité de rebond est donc apprécié par les caractéristiques quantifiables des individus. La théorie stochastique de la résilience étudie donc la capacité de rebond des individus sur la base de leurs caractéristiques quantifiable. La quantification d'une caractéristique est importante. Les caractéristiques peuvent être quantifiée par nature (revenue, notes d'évaluation, etc) ou l'être par des transformations mathématiques (analyses factorielles, indicateurs synthétiques, etc.). Toutefois, certaines hypothèses sont effectuées sur cette capacité latente pour qu'elle soit cohérente avec la théorie proposée.

## Hypothèse des capacités décroissantes (HCD)

Le principe de base d'un espace résilométré est que le choc induit nécessairement de la souffrance résultant d'une perte de capacités. Dans les espaces résiliométriques, les capacités sont étudiées indirectement via les caractéristiques des individus. Nous partons du principe que la perte d'une capacité se traduit par une diminution des caractéristiques quantifiables associées à cette capacité et qu'une telle diminution des caractéristiques quantifiables est compatible avec l'idée d'une dégradation de la capacité de rebond : c'est l'hypothèse des capacités décroissantes.

## Portée de l'HCD et résilience

Sous l'hypothèse des capacités décroissantes, un individu est résilient par rapport à une capacité donnée si la baisse de capacité se traduit par une diminution des caractéristiques quantifiables associées à cette capacité, à un niveau acceptable pour lui, compte tenu de ses responsabilités sociales. Cette conception est conforme à l'idée que l'on a intuitivement du concept de résilience. Il est donc logique de considérer ce principe comme une caractérisation de la résilience et d'en fournir une formalisation mathématique afin de rendre opérationnelle la notion de résilience.

### Définition 3.2.3.1 : Bornes de résilience individuelles

Le niveau minimum d'une caractéristique quantifiable à partir duquel un individu n'est plus à même de faire face à ses responsabilités sociales liées à cette caractéristique est appelé la borne de résilience de la caractéristique en question pour l'individu considéré.

Il est important de comprendre que cette borne est individuelle et non collective. Si, sous l'effet initial du choc, le niveau de la caractéristique diminue sans franchir cette borne, on dira que l'individu a développé une adaptabilité par rapport à cette caractéristique. Mais si cette borne est dépassée sous l'effet initial du choc, l'individu est dans un état de souffrance par rapport à la capacité incriminée. Dans cette deuxième situation, si les actions des tuteurs et activateurs de résilience (stade affectif), des agents éducatifs (stade intime) et des agents de croyance (stade spirituel) arrivent à rehausser le niveau de cette caractéristique au-dessus de la borne de résilience, l'individu a acquis une capacité de rebond suffisante pour devenir résilient par rapport à cette caractéristique. Les bornes de résilience individuelles deviennent donc les éléments fondamentaux de caractérisation de la capacité de rebond d'un individu par
rapport à une caractéristique de l'espace résilométré considéré. Et il est fondamental de comprendre que, pour un individu, sa borne de résilience relative à une caractéristique donné peut changer avec le temps compte tenu des réalités du moment.

### Définition 3.2.3.2 : Support de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $D_X \subset \Omega_X$ une partie non vide des caractéristiques et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$ donné. On appelle support de rebond sur $E$ relativement à $D_X$ au temps $t$, l'ensemble $\mathcal{R}_{D_X}^t = \{i \in \Omega_I | X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t, X_j^t \in D_X\}$ des individus ayant leurs caractéristiques $D_X$ au-delà des bornes de résilience individuelles correspondantes.

### Propriétés

* $1 \le \text{Card}(D_X) \le \text{Card}(\Omega_X)$

* $0 \le \text{Card}(\mathcal{R}_{D_X}^t) \le \text{Card}(\Omega_I)$

### Définition 3.2.3.3 : Capacité relative de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $D_X \subset \Omega_X$ une partie des caractéristiques et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$. On dit que l'individu $i$ a une capacité de rebond dans $E$ par rapport aux caractéristiques $D_X$ au temps $t$ s'il appartient au support de rebond $\mathcal{R}_{D_X}^t$ de $E$.

### Définition 3.2.3.4 : Incapacité relative de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $D_X \subset \Omega_X$ une partie des caractéristiques et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatibles avec son mode de vie à l'instant $t$. On dit que l'individu $i$ a une incapacité de rebondir dans $E$ par rapport aux caractéristiques $D_X$ au temps $t$ s'il n'appartient pas au support de rebond $\mathcal{R}_{D_X}^t$ de $E$.

### Définition 3.2.3.5 : Degré de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$ donné et soit $D_{it}^X \subset \Omega_X$ l'ensemble des caractéristiques de $E$ pour lesquelles l'individu $i$ a une capacité de rebond à l'instant $t$. On appelle degré de rebond de l'individu $i$, notée $\delta_{it}$, la proportion de caractéristiques de $E$ relativement auxquelles cet individu a une capacité de rebond, c'est-à-dire :

$$ \delta_{it}^X = \frac{\text{Card}(D_{it}^X)}{\text{Card}(\{\Omega_X | t\})} $$
### Propriétés

$$ \forall (i, t) \in \Omega_I \times [1, T], \ 0 \le \delta_{it}^X \le 1 $$

La capacité de rebond est toujours relative à un environnement résiliométrique donné et spécifique à un instant $t$ donné. Cependant, deux situations particulières méritent d'être soulignées. La première concerne les situations dans lesquelles on ne s'intéresse qu'à une seule caractéristique à la fois (cas unitaires). Quant à la seconde, elle concerne les situations dans lesquelles l'on prend en compte toutes les caractéristiques à la fois (cas absolus).

### Définition 3.2.3.6 : Capacité unitaire de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $X_j \subset \Omega_X$ une caractéristique donnée et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$ donné. On dit que l'individu $i$ a une capacité unitaire de rebond dans $E$ par rapport à $X_j$ au temps $t$, si et seulement s'il a une capacité de rebond par rapport à l'ensemble constitué de la seule caractéristique $D_{it}^X = \{X_j^t\}$.

### Définition 3.2.3.7 : Incapacité unitaire de rebond

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $X_j \subset \Omega_X$ une caractéristique donnée et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$ donné. On dit que l'individu $i$ a une incapacité unitaire de rebond dans $E$ par rapport à $X_j$ au temps $t$, si et seulement s'il a une incapacité de rebond par rapport à l'ensemble constitué de la seule caractéristique $D_{it}^X = \{X_j^t\}$.

### Théorème 3.2.3.1

Dans l'analyse de toute capacité unitaire de rebond, le support de redond est l'ensemble des individus pour lesquels l'unique caractéristique considérée est au-delà des bornes de résilience individuelles compatibles avec les modes de vie des individus à l'instant $t$ donné. Le support de rebond est donc égal à $\mathcal{R}_{D_X}^t = \{i \in \Omega_I | X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t\}$ et, pour tout individu $i$ ayant une capacité unitaire de rebond, son degré de rebond est donné par :

$$ \delta_{it}^X = \begin{cases} \frac{1}{\text{Card}(\{\Omega_X | t\})} & \text{si l'individu } i \text{ a une capacite de rebond} \\ 0 & \text{si l'individu } i \text{ a une incapacite de rebond} \end{cases} $$

### Preuve du théorème 3.2.3.1

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $X_j \subset \Omega_X$ une caractéristique donnée et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatibles avec son mode de vie à l'instant $t$ donné. L'individu $i$ a une capacité unitaire de rebond dans $E$ par rapport à $X_j$ au temps $t$, si et seulement si $D_{it}^X = \{X_j^t\}$ et $X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t$, d'où :
$$
\begin{align*}
\mathcal{R}_{D_X}^t &= \{i \in \Omega_I | X_{ik}^t \ge \alpha_{ik}^t, X_k^t \in \mathcal{D}_X\} \\
&= \{i \in \Omega_I | X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t, X_j^t \in \mathcal{D}_X\} \bigcup_{k \ne j} \underbrace{\{i \in \Omega_I | X_{ik}^t \ge \alpha_{ik}^t, X_k^t \in \mathcal{D}_X\}}_{=\emptyset} \\
&= \{i \in \Omega_I | X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t, X_j^t \in \mathcal{D}_X\} \\
&= \{i \in \Omega_I | X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t\}
\end{align*}
$$

$$
\delta_{it} = \frac{\mathrm{Card}(\mathcal{D}_{it}^{X})}{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})} = \frac{\mathrm{Card}(\{X_{j}\})}{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})} = \frac{1}{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})}
$$

**Définition 3.2.3.8 : Capacité absolue de rebond**

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement. On dit que l'individu $i$ a une capacité absolue de rebond dans $E$ au temps $t$ si et seulement s'il a une capacité de rebond par rapport à l'ensemble de toutes les caractéristiques $\mathcal{D}_{it}^X = \{\Omega_X|t\}$

**Définition 3.2.3.9 : Incapacité absolue de rebond**

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. On dit que l'individu $i$ a une incapacité absolue de rebond dans $E$ au temps $t$, si et seulement s'il a une incapacité de rebond par rapport à l'ensemble de toutes les caractéristiques $\mathcal{D}_{it}^X = \{\Omega_X|t\}$

**Théorème 3.2.3.2**

Dans l'analyse de toute capacité absolue de rebond, le support de rebond est l'ensemble des individus pour lesquels toutes les caractéristiques considérées sont au-delà des bornes de résilience individuelles compatibles avec le mode de vie des individus à l'instant $t$ donné. Le support de rebond est donc égal à $\mathcal{R}_{D_X}^t = \{i \in \Omega_I | \bigcap_{j=1}^J \{X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t\}\}$.

**Preuve du théorème 3.2.3.2**

Soit $E = (C, \Omega_I, \Omega_X)$ un environnement résiliométrique. Soit $X_j \subset \Omega_X$ une caractéristique donnée et $\alpha_{ij}^t$ la borne de résilience de l'individu $i$ pour la caractéristique $X_j$ compatible avec son mode de vie à l'instant $t$ donné. L'individu $i$ est a une capacité absolue de rebond au temps $t$ si et seulement si $\mathcal{D}_{it}^X = \{\Omega_X|t\}$. D'où :

$$
\begin{align*}
\mathcal{R}_{D_X}^t &= \{i \in \Omega_I | \bigcap_{j=1}^J \{X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t, X_j^t \in \mathcal{D}_X\}\} \\
&= \{i \in \Omega_I | \bigcap_{j=1}^J \{X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t, X_j^t \in \Omega_X\}\} \\
&= \{i \in \Omega_I | \bigcap_{j=1}^J \{X_{ij}^t \ge \alpha_{ij}^t\}\}
\end{align*}
$$

$$
\delta_{it} = \frac{\mathrm{Card}(\mathcal{D}_{it}^{X})}{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})} = \frac{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})}{\mathrm{Card}(\{\Omega_{X}|t\})} = 1
$$
## Algorithme de calcul des types de degrés de rebond

L'évaluation des différents types de capacité et degrés de rebond s'effectue de façon individuelle. L'algorithme suivant en fournit les principes de calcul:

### Algorithme 3 : Calcul des types de capacité et des degrés de rebond

1. Entrées : $t \in [1, T]$, $\mathcal{D}_X^t \subset \Omega_X$ et $\{\alpha_{ij}^t, (i, j) \in \Omega_I \times \mathcal{D}_X^t\}$

2. $\text{Card}(\Omega_I) = n$ et $\text{Card}(\mathcal{D}_X^t) = J_t$

3. // Calcul de la capacité relative de rebond

4. $T = 0_{(n,J_t)}$

5. Pour $(i \in [1, n])${

6. Pour $(j \in [1, J_t])${

7. $\Delta_{ij}^t = X - \alpha_{ij}^t$

8. Si $(\Delta_{ij}^t \ge 0)$ $T[i, j] = 1$

9. }

10. }

11. // Calcul des degrés de rebond

12. $D_r = 0_{1:n}$

13. Pour $(i \in [1, n])${

14. $D_r[i] = \text{sum}(T[i, ]) / J_t$

15. }

16. // Calcul de la capacité absolue de rebond

17. $R_a = 0_{1:n}$

18. Pour $(i \in [1, n])${

19. Si $(Dr[i] == 1)$ $R_a[i] = 1$

20. }

21. Sortie : $T, D_r, R_a$

### 3.2.4) LA PERTE DE CARACTERISTIQUES ET SOUFFRANCE

La théorie stochastique de la résilience permet de donner un sens précis à la notion de capacité de rebond et définie la notion de degré de rebond. Toutefois, l'analyse de la capacité de rebond est un premier pas à une analyse de la propension à la souffrance induite par la vulnérabilité causée par la perte de caractéristiques. La capacité de rebond et la propension à la souffrance peuvent être perçues comme des problèmes duaux. Il s'ensuit que la théorie stochastique de la résilience peut fournir des éléments techniques permettant d'analyser la propension à la souffrance de façon plus directe. Cette analyse prend appui sur l'idée qu'une perte de caractéristique augmente la propension à la souffrance, du moins au sens d'une augmentation du niveau de vulnérabilité suite à l'altération de la caractéristique concernée.
### Définition 3.2.4.1 : Degré de perte d'une caractéristique

On appelle degré de perte d'une caractéristique $X_j \in \Omega_X$ au temps $t \in [1, T]$, la proportion d'individus ayant une incapacité unitaire de rebond par rapport à cette capacité, c'est-à-dire :

$$ \mu_{X_j}^t = 1 - \frac{Card(\mathcal{R}_{\{X_j\}}^t)}{Card(\Omega_I)} $$

Le degré de perte d'une caractéristique permet d'apprécier l'impact du choc traumatique sur cette caractéristique au sein de la population. Plus le choc a un impact négatif sur une caractéristique, plus le degré de perte de cette caractéristique est élevé (proche de 1). Les caractéristique les moins impactées négativement par le choc au sein de la population ont un degré de perte faible (proche de 0).

### Définition 3.2.4.2 : Propension à la souffrance d'un individu

On appelle propension à la souffrance d'un individu i au temps $t \in [1, T]$ relativement aux capacités $\mathcal{D}_X \subset \Omega_X$, la proportion de caractéristiques $X_j \in \mathcal{D}_X$ pour lesquels cet individu a une incapacité unitaire de rebond.

#### Propriété

A une date $t$ donnée, la propension à la souffrance d'un individu par rapport à un ensemble de caractéristiques est égale au complémentaire à un de son degré de rebond par rapport à ce même ensemble de capacités. Ainsi, on a :

$$ S_{it}(\mathcal{D}_X) = 1 - \delta_{it}^X $$

La propension à la souffrance d'un individu par rapport à un ensemble de capacités est une mesure de la propension à la souffrance de cet individu si l'on ne considère que ces caractéristiques. Ainsi, une propension à la souffrance faible (proche de 0) traduit une possibilité de souffrance faible, voir une possibilité d'absence de souffrance dans l'accomplissement des responsabilités liées à l'ensemble des capacités considérées. De même, une propension à la souffrance élevé (proche de 1) traduit une possibilité élevé de souffrance dans l'accomplissement des responsabilités liées à l'ensemble des capacités considérées, voir une possibilité de souffrance résultant d'une incapacité totale d'accomplir ces responsabilité. Il est important de comprendre que, tout comme la résilience, la souffrance, bien que résultant d'un sorte de privation, est un processus relativement complexe. L'approche analytique utilisée dans la théorie stochastique de la résilience se limite essentiellement à apprécier la privation de capacités par la dégradation de caractéristiques. Cette approche ne permet donc que d'aborder la souffrance en terme de possibilité plus ou moins grande de souffrir suite à la détérioration de caractéristiques; et doit être compris et interpréter comme tel. Il ne s'agit donc nullement di spéculer sur l'existence et la quantification d'une souffrance avec certitude, mais plutôt de mettre en lumière le niveau risque de souffrance résultant d'une perte de caractéristiques.
### 3.2.5) LES ETATS DE VULNERABILITE

La théorie stochastique de la résilience fournit un moyen simple et efficace pour savoir si un individu a une capacité ou une incapacité de rebond et permet de calculer le degré de rebond de celui-ci. Il permet aussi d'apprécier le risque de souffrance à travers le niveau de perte des caractéristiques de l'individu suite au choc traumatique subit. Il reste toutefois possible de regrouper les individus selon leur degré de rebond. Il est toutefois raisonnable de considérer que le degré de rebond est un bon indicateur du niveau de vulnérabilité de l'individu. Partant de ce principe, la théorie stochastique de la résilience classifie les individus en des catégories, appelés états de vulnérabilité, selon leur degré de rebond.

D'un point de vue technique, il existe une infinité de manière de procéder. Toutefois, il semble naturel qu'un regroupement par quartile soit privilégiée d'une part à cause de la nature interprétable de ces indicateurs en Statistique et d'autre part, à cause de leur robustesse face aux individus atypiques. Ainsi, en utilisant la médiane (le 2ᵉ quartile), quatre états de vulnérabilités peuvent être définis :

* La vulnérabilité absolue (VA)

* La vulnérabilité grave (VG)

* La vulnérabilité légère (VL)

* La non vulnérabilité (NV)

**Définition 3.2.5.1 : Vulnérabilité absolue**

Un individu est dit absolument vulnérable s'il a une incapacité absolue de rebond, c'est à dire un degré de rebond nul.

**Définition 3.2.5.2 : Vulnérabilité grave**

Un individu est dit gravement vulnérable s'il a une capacité de rebond à un degré strictement inférieur à 50%.

Les individus non résilients et absolument résilients ne peuvent être résilients inférieurs. Cette notion ne concerne que les individus relativement résilients dans l'absolu, c'est-à-dire ayant un degré de vulnérabilité compris dans l'intervalle $[0, 100[$ (en %).

**Définition 3.2.5.3 : Vulnérabilité légère**

Un individu est dit légèrement vulnérable s'il a une capacité de rebond à un degré supérieur ou égal à 50%.

**Définition 3.2.5.4 : Non vulnérabilité**

Un individu est dit non vulnérable s'il a une capacité absolue de rebond, c'est à dire un degré de rebond égal à 1.
## 3.3) L'IDENTIFICATION DES ETATS TRAUMATIQUES LATENTS

L'univers post-choc est un univers complexe dans lequel les individus traumatisés subissent de nombreuses évolutions cognitives. En dehors du fait que certains individus sont résilients et d'autres pas, ceux-ci adoptent des comportements particuliers. Il est donc possible d'établir une typologie des individus sur la base de l'évolution de leurs situations. Du point de vue pratique, un des enjeux de la Résiliométrie est de pouvoir identifier les états latents (non observables directement) dans lesquels se trouvent les individus traumatisés. Ces états sont des dispositions psychologiques qui gouvernent ou expliquent l'aptitude à la résilience des individus. Pour un individu donné, son état psychologique latent qui engendre son comportement réel face au choc, dépend de la situation sociale qui prévaut non seulement au niveau de son environnement, mais aussi au niveau de l'évolution même de ses capacités individuelles intrinsèques. Une des préoccupations majeures de la Résiliométrie est de pouvoir identifier l'état psychosociologique dans lequel se trouvent chacun des individus traumatisés considérés. Comme le souligne Raymond Boudon ([RAY62]), « les sciences humaines sont, dans une certaine mesure, des sciences de la classification : l'étude des stratifications sociales, les typologies sociologiques, l'étude des aptitudes psychologiques, celle des zones socio-économiques en écologie, etc., impliquent, de par leur nature, des problèmes de classification. ». D'une manière générale, l'intérêt d'identifier des états latents réside dans la possibilité d'établir une typologie des individus selon leurs états psychologiques latents. D'un point de vue technique, cette caractérisation nécessite le recours aux méthodes de classification non supervisées (clustering, typologie). Parmi les méthodes de typologies existantes, la technique qui semble mieux adaptée à la résilience est le modèle des classes latentes (MCL ou LCM). Des présentations de la théorie de base des MCL pourraient être trouvées dans [BKL02] et [CEL92].

### 3.3.1) LE MODELE DES CLASSES LATENTES

Le modèle des classes latentes permet d'effectuer un regroupement des individus selon leur appartenance à des groupes inobservables directement appelés des classes latentes. Les modèles de classes latentes constituent une approche de classification automatique (classification non supervisée ou clustering) basée sur la théorie des probabilités. Ils utilisent essentiellement la technique des modèles de mélanges. En effet, il est intuitif de considérer une population comme étant composée d'un mélange de groupes d'individus ayant des comportements semblables. Sur le plan probabiliste, on considère les distributions des variables décrivant les classes comme invariantes à l'intérieur d'une classe et différentes d'une classe à une autre.
## Notations mathématiques

Dans le contexte de la résilience, l'utilisation du modèle des classes latentes nécessite des informations sur la résilience et les dimensions de celle-ci. Plus précisément, la classification prend appui sur des mesures de la résilience et de ses dimensions. Toutefois, comme le modèle des classes latentes requiert des variables qualitatives, un mécanisme de discrétisation des valeurs numériques est nécessaire. Ainsi, considérons les notations suivantes :

* ✓*T* l'horizon temporel de mesure de la résilience

* ✓*N* le nombre d'individus utilisés dans la collecte de données

* ✓*ξ* le nombre de dimensions considérées

* ✓*K*<sub>j</sub> le nombre de modalités issues de la discrétisation de la dimension *X*<sub>j</sub> (*j* ∈ [1, *J*])

* ✓*X*<sub>jk</sub> la *k*<sup>eme</sup> modalité de la dimension *X*<sub>j</sub> discrétisée

* ✓*Y*<sup>*t*</sup><sub>ijk</sub> la variable binaire prenant la valeur 1 si le *i*<sup>eme</sup> individu prend la modalité *X*<sub>jk</sub> de la variable *X*<sub>j</sub> au temps *t* ∈ [1, *T*], et 0 sinon

* ✓*Y*<sup>*t*</sup><sub>ij</sub> = (*Y*<sub>i1j</sub>, ..., *Y*<sub>iK<sub>j</sub>j</sub>) les valeurs prises par le *i*<sup>eme</sup> individu relativement au vecteur binaire orthogonal associé aux modalités de la dimension discrète *X*<sub>j</sub> à l'instant *t*

* ✓*Y*<sup>*t*</sup><sub>i</sub> = (*Y*<sub>i1</sub>, ..., *Y*<sub>iJ</sub>) les valeurs binaires prises par le *i*<sup>eme</sup> individu pour toutes les variables qualitatives orthogonalisées au temps *t*

* ✓*R* le nombre de classes latentes recherchées (états cognitifs latents)

* ✓*C*<sub>r</sub> la *r*<sup>eme</sup> classe latente recherchée (*r* ∈ [1, *R*])

* ✓*p*<sub>r</sub> le poids associé à la classe latente *C*<sub>r</sub>.

## Discrétisation des variables

Pour la résilience, sa discrétisation se fait par le calcul des états de résilience via la théorie stochastique de la résilience. Cependant, la discrétisation des dimensions se fait en utilisant les quantiles d'ordre *α*, plus précisément, les quartiles. Il est aussi possible d'utiliser les déciles pour une discrétisation plus fine.

## Modélisation des classes latentes

La probabilité qu'un individu du groupe *C*<sub>r</sub> (classe latente inconnue) choisisse la modalité *X*<sub>jk</sub> de la variable *X*<sub>j</sub> au temps *t* est donnée par $\pi_{jkr}^t = P(Y_{jk}^t = 1 | C_r)$. On peut en déduire le profil d'un individu *i* relativement à ses valeurs pour les variables binaires $Y_j^t$ à un instant *t* donné par $\forall t \in [1, T]$ :

$$f(Y_i^t, \pi_r^t) = \prod_{j=1}^{J} \prod_{k=1}^{K_j} (\pi_{jkr}^t)^{Y_{ijk}^t} \quad \text{avec} \quad \sum_{k=1}^{K_j} \pi_{jkr}^t = 1$$
Si l'on considère l'ensemble des dimensions discrétisées pondérées par l'importance de leurs modalités, le profil d'un individu peut s'écrire $\forall t \in [1, T]$ :

$$ \mathbb{P}(Y_i^t | \pi^t, p^t) = \sum_{r=1}^{R} p_r^t \prod_{j=1}^{J} \prod_{k=1}^{K_j} (\pi_{jkr}^t)^{Y_{ijk}^t} \quad \text{avec} \quad \sum_{r=1}^{R} p_r^t = 1 $$

Ainsi, la vraisemblance d'appartenance des individus à chaque classes latente est données par :

$$ \mathcal{L}(\pi^t, p^t) = \prod_{i=1}^{N} \mathbb{P}(Y_i^t | \pi^t, p^t) = \prod_{i=1}^{N} \left[ \sum_{r=1}^{R} p_r^t \prod_{j=1}^{J} \prod_{k=1}^{K_j} (\pi_{jkr}^t)^{Y_{ijk}^t} \right] $$

Par conséquent, la log-vraisemblance de la loi régissant la répartition des valeurs des dimensions entre les différents individus est :

$$ \mathcal{L}(\pi^t, p^t) = \log(\mathcal{L}(\pi^t, p^t)) = \sum_{i=1}^{N} \ln \left( \sum_{r=1}^{R} p_r^t \prod_{j=1}^{J} \prod_{k=1}^{K_j} (\pi_{jkr}^t)^{Y_{ijk}^t} \right) $$

## Estimation des paramètres

La maximisation de la log-vraisemblance permet d'obtenir les paramètres $\hat{\pi}_{jkr}^t$, $\pi_{jkr}^t$, $\hat{p}_r^t$ et $p_r^t$ nécessaires pour avoir une meilleure description des profils de répartition des individus dans les classes latentes. Ainsi, la probabilité d'appartenance de chaque individu à une classe donnée est fournie par :

$$ \mathbb{P}(C_r | Y_i^t) = \frac{\hat{p}_r^t f(Y_i^t, \hat{\pi}_r^t)}{\sum_{q=1}^{R} \hat{p}_q^t f(Y_i^t, \hat{\pi}_q^t)} $$

Ces probabilités sont très complexes à déterminer. Dans la pratique, on se sert de l'algorithme dite EM (Expectation-Maximisation) qui fournit une estimation empirique des probabilités d'appartenance des individus aux différentes classes latentes (groupes inobservables). Les résultats de ces simulations sont des estimations correspondant aux quantités suivantes:

$$ \bullet \hat{p}_r^{t(new)} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \hat{\mathbb{P}}(C_r | Y_i^t) $$

$$ \bullet \hat{\pi}_{jr}^{t(new)} = \frac{1}{N} \frac{\sum_{i=1}^{N} Y_{ij} \hat{\mathbb{P}}(C_r | Y_i^t)}{\sum_{i=1}^{N} \hat{\mathbb{P}}(C_r | Y_i^t)} $$
## Nombre de classes

Le modèle des classes latentes fournit des probabilités d'appartenance à des classes latentes dont le nombre est fixé apriori. Toutefois, ces probabilités n'ont pas une interprétation naturelle et intuitive. En plus de cela, ces classes latentes sont des états cognitifs qui ne sont connus qu'à travers les individus qui sont dans ces états (individus affectés à ces classes).

### 3.3.2) LA DISTANCE PHI-H ET LA PHI-SIMILARITE

Dans cette thèse, la méthode de classification automatique (clustering) utilisée est le modèle de classes latentes. Le choix de ce modèle résulte de l'objectif visé qui est d'identifier des classes de comportements inobservables (classes latents) qui sont interprétables comme autant d'états psychologiques latents dans lesquels peuvent se trouver les individus traumatisés. Cela n'exclut en rien la possibilité de regrouper les individus en classes homogènes sur la base d'un certain nombre de critères fixés apriori. Cependant, de nombreuses méthodes existantes pour effectuer de telles typologies sont basées sur des métriques (k-means, k-méloïdes, classification hiérarchique, etc.). Or, dans le cadre de la résilience, de tels regroupements seront d'autant plus riches et intéressants qu'il est possible de prendre en compte à la fois des informations numériques (revenu par exemple), qualitatives (situation matrimoniale par exemple) ou textuelles (les avis sur des questions précises par exemple). Le livre très complet de Lebart L., Morineau A. et Piron M. ([LEB06]) fournit une présentation très technique avec des illustrations pratiques de nombreuses techniques de classification automatique.

Dans la littérature, les mesures de similarités utilisées ne prennent pas en compte les données textuelles. En plus, les approches utilisées sur les données qualitatives sont le plus souvent liées à de simples dénombrements d'individus qui n'ont pas nécessairement un sens du point de vue statistique. Pour ce faire, il nous a semblé judicieux de proposer un indice de similarité plus approprié. Sur le plan technique, une mesure de similarité doit posséder les propriétés suivantes :

* ✓ Réflexivité : Un individu étant, par principe, similaire à lui-même, la mesure de similarité doit être nécessairement réflexive.

* ✓ Symétrie : Si un individu A est similaire à un autre individu B alors il est nécessaire que B soit aussi similaire à A en utilisant la mesure de similarité.

* ✓ Non-transitivité : Une mesure de similarité ne doit pas nécessairement être transitive. Par conséquent, si un individu A est similaire à un individu B ; et si B est similaire à un autre individu C, il n'est pas impératif que l'application de la mesure de similarité permette de déduire que A est forcement similaire à C. La non exigence de la transitivité provient du fait que les caractéristiques qui définissent les similarités entre A et B et entre B et C ne sont pas nécessairement les mêmes.
Ainsi, l'indice de similarité proposé est développé en respectant les propriétés mathématiques ci-avant énumérées.

## Notations mathématiques de base

Considérons les notations mathématiques suivantes :

* $\mathcal{S} = (X_1, \dots, X_S) = (X_j)_{1 \le j \le S}$, l'ensemble des $S$ critères (variables) prises en compte dans l'évaluation des proximités entre les différents individus

* $\mathcal{N}$ l'ensemble des $N$ critères numériques parmi tous les critères pris en compte dans l'évaluation des proximités entre les différents individus

* $\mathcal{Q}$ l'ensemble des $Q$ critères catégoriels parmi tous les critères pris en compte dans l'évaluation des proximités entre les différents individus

* $\mathcal{T}$ l'ensemble des $T$ critères textuels parmi tous les critères pris en compte dans l'évaluation des proximités entre les différents individus

Tout d'abord, on peut écrire que $\mathcal{S} = \mathcal{N} \cup \mathcal{Q} \cup \mathcal{T}$ et on a $S = N + Q + T$. Ensuite, si on note $I_s$ et $I_c$ deux individus décrits par les critères considérés, et si l'on note $Sim(\cdot)$ la mesure de la similarité entre ces deux individus et $\Phi$ une réécriture de $Sim(\cdot)$, on a :

$$ 
\begin{align*}
Sim(I_s, I_c) &= Sim(\mathcal{S}_s, \mathcal{S}_c) \\
&= Sim(\{\mathcal{N}_s \cup \mathcal{Q}_s \cup \mathcal{T}_s\}, \{\mathcal{N}_c \cup \mathcal{Q}_c \cup \mathcal{T}_c\}) \\
&= \Phi(\{(\mathcal{N}_s, \mathcal{N}_c), (\mathcal{Q}_s, \mathcal{Q}_c), (\mathcal{T}_s, \mathcal{T}_c)\}) \\
&= \Psi(\alpha(\mathcal{N}_s, \mathcal{N}_c), \beta(\mathcal{Q}_s, \mathcal{Q}_c), \gamma(\mathcal{T}_s, \mathcal{T}_c)) \\
&= \Psi(\alpha(I_s, I_c), \beta(I_s, I_c), \gamma(I_s, I_c))
\end{align*}
$$

Les fonctions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ désignent des distances entre deux vecteurs de variables respectivement numériques, qualitatives et textuelles. Elles s'appliquent à chaque partie uniforme du vecteur décrivant un individu. Quant à la fonction $\Psi$, elle désigne l'expression mathématique finale de la mesure de similarité (la Phi-distance)

## La fonction $\alpha$ entre deux vecteurs numériques

$\alpha$ étant une distance entre deux vecteurs numériques, il semble naturelle de la définir en utilisant une distance de Minkowski. Par conséquent, d'une manière générale, on a :

$$ \alpha(I_s, I_c) = \sqrt[p]{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{ks} - X_{kc})^p} . $$

En pratique, on pourra se limiter à $p = 2$ qui correspond à la distance euclidienne. Ainsi, on prendra comme distance entre les variables numériques, la fonction définie par :

$$ \alpha(I_s, I_c) = \sqrt{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{ks} - X_{kc})^2} $$
La métrique α telle que définie possède les propriétés de réflexivité et de symétrie escomptées. En effet, on a :

$$
\alpha(I_s, I_s) = \sqrt{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{ks} - X_{ks})^2} = 0
$$

$$
\alpha(I_s, I_c) = \sqrt{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{ks} - X_{kc})^2} = \sqrt{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{kc} - X_{ks})^2} = \alpha(I_c, I_s)
$$

3.3 La fonction β entre deux vecteurs de variables qualitatives

$\beta$ étant une distance entre deux vecteurs de variables qualitatives, il semble naturel de
considérer le nombre de modalités communes entre les individus comme base de construction
de la métrique. Cependant, il faut prendre en compte le fait qu’il y a plusieurs variables
qualitatives. Si on note $X_{k\omega}$ la modalité de la variable $X_k$ prise par l’individu $I_\omega$, la
différence de modalité entre les individus $I_s$ et $I_c$ relativement à la variable $X_k$ est donnée
par :

$$
\beta_k(I_s, I_c) = \begin{cases} 1 & \text{si } X_{ks} = X_{kc} \\ 0 & \text{si } X_{ks} \neq X_{kc} \end{cases}
$$

La métrique $\beta$ est définie par :

$$
\beta(I_s, I_c) = \frac{K - \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)}{1 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)}
$$

La métrique $\beta$ telle que définie, possède les propriétés de réflexivité et de symétrie escomptées. En effet, on a :

$$
\beta(I_s, I_s) = \frac{K - \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_s)}{1 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_s)} = \frac{K - K}{1 + K} = 0
$$

$$
\beta(I_s, I_c) = \frac{K - \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)}{1 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)} = \frac{K - \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_c, I_s)}{1 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_c, I_s)} = \beta(I_c, I_s)
$$

La fonction γ entre deux vecteurs de données textuelles

La fonction $\gamma$ est une distance entre deux vecteurs de variables textuelles. Pour la définir,
nous considérerons la distance appelée « distance cosine ». Comme plusieurs variables
textuelles sont en jeu, nous proposons de construire une distance cosine par variable puis, de
faire leur somme pondérée par le poids relatif de chaque variable textuelle relativement aux
séquences de mots communs (à un facteur correctif près).
∀X_k ∈ 𝒯, notons Δ_{ks} et Δ_{kc} les corpus de la variable textuelle X_k correspondant respectivement aux individus I_s et I_c obtenus à partir d'une même suite d'opérations linguistiques, en particulier la même opération de segmentation de textes (tokenisation). Nous conseillons les opérations de mise en minuscule des textes, de suppression des espaces vides, de suppression des valeurs numériques, de suppression des ponctuations, de suppression des mots vides et de tokenization par mots. Une fois la tokenization effectuée, l'ensemble des mots de X_k communs aux individus I_s et I_c est donné par Δ_k = Δ_{ks} ∩ Δ_{kc}.

Notons $\tau_{kj} \in \Delta_k$ un terme (mot) rencontré $\delta_j^{ks}$ fois dans $\Delta_{ks}$ et $\delta_j^{kc}$ fois dans $\Delta_{kc}$. Le nombre de fois que le terme $\tau_{kj}$ est rencontré dans $\Delta_k$ est $\delta_{kj} = \text{Min}(\delta_j^{ks}, \delta_j^{kc})$. La distance cosine est définie par :

$$ \operatorname{cosine}_k(I_s, I_c) = \frac{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks} \cdot \delta_j^{kc}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks}} \sqrt{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{kc}}} $$

En considérant les poids $\lambda_k = \frac{1+\operatorname{Card}(\Delta_k)}{\sum_{k=1}^{k=T} (1+\operatorname{Card}(\Delta_k))}$, on obtient :

$$ \begin{aligned} \gamma(I_s, I_c) &= \sum_{k=1}^{k=T} \lambda_k (1 - \operatorname{cosine}_k(I_s, I_c)) \\ &= \frac{1}{\sum_{k=1}^{k=T} (1+\operatorname{Card}(\Delta_k))} \sum_{k=1}^{k=T} (1+\operatorname{Card}(\Delta_k)) \left(1 - \frac{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks} \cdot \delta_j^{kc}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks}} \sqrt{\sum_{j=1}^{\operatorname{card}(\Delta_k)} \delta_j^{kc}}}\right) \end{aligned} $$

Par construction, la métrique $\gamma$ telle que définie possède les propriétés de réflexivité et de symétrie escomptées. En effet, on a :

$$ \gamma(I_s, I_s) = \sum_{k=1}^{k=T} \lambda_k (1 - \operatorname{cosine}_k(I_s, I_s)) = \sum_{k=1}^{k=T} \lambda_k \left(1 - \frac{\langle X_{ks}, X_{ks} \rangle}{\|X_{ks}\| \cdot \|X_{ks}\|}\right) = 0 $$

$$ \gamma(I_s, I_c) = \sum_{k=1}^{k=T} \lambda_k \left(1 - \frac{\langle X_{ks}, X_{kc} \rangle}{\|X_{ks}\| \cdot \|X_{kc}\|}\right) = \sum_{k=1}^{k=T} \lambda_k \left(1 - \frac{\langle X_{kc}, X_{ks} \rangle}{\|X_{kc}\| \cdot \|X_{ks}\|}\right) = \gamma(I_c, I_s) $$

## La fonction Ψ de similarité globale

Les mesures $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des distances. Pour en déduire une mesure de similarité, on utilisera une interpolation polynomiale de Lagrange sur l'intervalle $[0, 1]$. En effet, notons $d_\alpha$, $d_\beta$ et $d_\gamma$ les valeurs normalisées de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$. On a donc $d_v = 1 - \frac{1}{1+v}$ avec $v \in \{\alpha, \beta, \gamma\}$ et en posant $\mu = \frac{d_\alpha+d_\beta+d_\gamma}{3} = 1 - \frac{\frac{1}{1+\alpha} + \frac{1}{1+\beta} + \frac{1}{1+\gamma}}{3}$, on a par construction $\mu \in [0, 1]$.
On veut construire la fonction $\Psi$ de telle sorte que $\Psi(0) = 100$, ($i \in [1, n]$), $\Psi(\frac{1}{2}) = 50$, $\Psi(\frac{3}{4}) = 25$ et $\Psi(1) = 0$. On dispose donc dans le plan d'un ensemble de 5 points $(x_i, y_i)_{1\le i\le 5}$ qui est l'ensemble $\{(0, 100), (\frac{1}{4}, 75), (\frac{1}{2}, 50), (\frac{3}{4}, 25), (1, 0)\}$. Le polynôme de Lagrange associé à chaque couple $(x_i, y_i)$ est donné par
$$l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{j=5} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$
ce qui permet d'obtenir :

$$\Psi(x) = \sum_{i=1}^{i=5} y_i l_i(x) = 100(1 - x)$$

Si on se conforme aux notations définies, on peut prendre comme mesure de similarité globale, la quantité définie par :

$$\begin{aligned} \mathrm{Sim}(T_s, T_c) &= \Psi(\mu(T_s, T_c)) \\ &= 100\left(1 - \frac{\frac{1}{1+\alpha(T_s, T_c)} + \frac{1}{1+\beta(T_s, T_c)} + \frac{1}{1+\gamma(T_s, T_c)}}{3}\right) \end{aligned}$$

Où :

$$\bullet \quad \alpha(I_s, I_c) = \sqrt{\sum_{X_k \in \mathcal{N}} (X_{ks}^2 + X_{kc}^2)}$$

$$\bullet \quad \beta(I_s, I_c) = \frac{K - \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)}{1 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k(I_s, I_c)}$$

$$\bullet \quad \gamma(I_s, I_c) = \frac{1}{\sum_{k=1}^{K} (1 + \mathrm{Card}(\Delta_k))} \sum_{k=1}^{K} (1 + \mathrm{Card}(\Delta_k)) \left(1 - \frac{\sum_{j=1}^{\mathrm{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks} \cdot \delta_j^{kc}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{\mathrm{card}(\Delta_k)} \delta_j^{ks}} \sqrt{\sum_{j=1}^{\mathrm{card}(\Delta_k)} \delta_j^{kc}}}\right)$$

L'indice de similarité tel que défini est décroissant avec le niveau de dissemblance des individus les uns par rapport aux autres, réflexive, symétrique et borné entre 0 et 100. En effet :

$$\bullet \quad \mathrm{Sim}(I_s, I_s) = 100\left(1 - \frac{\frac{1}{1+\alpha(I_s, I_s)} + \frac{1}{1+\beta(I_s, I_s)} + \frac{1}{1+\gamma(I_s, I_s)}}{3}\right) = 0$$

$$\bullet \quad \begin{aligned} \mathrm{Sim}(I_s, I_c) &= 100\left(1 - \frac{\frac{1}{1+\alpha(I_s, I_c)} + \frac{1}{1+\beta(I_s, I_c)} + \frac{1}{1+\gamma(I_s, I_c)}}{3}\right) \\ &= 100\left(1 - \frac{\frac{1}{1+\alpha(I_c, I_s)} + \frac{1}{1+\beta(I_c, I_s)} + \frac{1}{1+\gamma(I_c, I_s)}}{3}\right) \\ &= \mathrm{Sim}(I_c, I_s) \end{aligned}$$

* Le maximum de $\mathrm{Sim}(I_c, I_s)$ est obtenu si $\alpha(I_c, I_s) = \beta(I_c, I_s) = \gamma(I_c, I_s) = \infty$. Dans ce cas, on a $\mathrm{Sim}(I_c, I_s) = 100(1 - 0) = 100$.

* Le minimum de $\mathrm{Sim}(I_c, I_s)$ est obtenu si $\alpha(I_c, I_s) = \beta(I_c, I_s) = \gamma(I_c, I_s) = 0$. Dans ce cas, on a $\mathrm{Sim}(I_c, I_s) = 100(1 - 1) = 0$.

La Phi-distance est un indice de similarité très général. Son application va au-delà de la Résiliométrie. De par sa nature globale, la métrique peut être adaptée à d'autres domaines comme la statistique multidimensionnelle, l'apprentissage artificiel, la fouille de données et la
science des données (Data Science) dans lesquelles la variété des types de données est une caractéristique fondamentale.

## L'algorithme de calcul de la matrice de Phi-similarité

Dans la plupart des méthodes utilisant les indices de similarités, il s'agit d'évaluer les similarités entre plusieurs individus, ce qui revient à calculer les distances entre tous les couples possibles d'individus considérés sous la forme d'une matrice de similarités. En notant $\Omega_I$, l'ensemble des individus considérés, l'algorithme de calcul de la matrice de Phi-similarité entre plusieurs individus est le suivant :

### Algorithme 4 : Calcul de la matrice de Phi-similarité

1. Entrée : $\mathcal{N}$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{T}$, $\Omega_I$

2. $M = 0_{1:n,1:n}$ // Matrice des similarités entre les individus

3. Pour $(i \in \Omega_I)${

4. Pour $(j \in \Omega_I)${

5. $Si(i < j)${

6. a) Calculer $\alpha(I_i, I_j)$

7. b) Calculer $\beta(I_i, I_j)$

8. c) Calculer $\gamma(I_i, I_j)$

9. d) Calculer $\Psi(I_i, I_j) = 100[1 - (\frac{1}{1+\alpha(I_i, I_j)} + \frac{1}{1+\beta(I_i, I_j)} + \frac{1}{1+\gamma(I_i, I_j)})/3]$

10. e) $M[i, j] = \Psi(I_i, I_j)$

11. } Sinon {

12. }

13. }

14. }

15. Sortie : $M$

Une des applications d'un tel indice, dans l'analyse de la résilience, pourrait être la construction de systèmes de raisonnement à partir de cas (RàPC). Ce type de systèmes informatiques utilise essentiellement des métriques et, dans le contexte de la résilience, peut servir à la capitalisation des expériences en matière de politiques de résilience. Les indices de similarités classiques utilisés dans les systèmes actuels de RàPC ne prennent pas en compte les informations textuelles. En plus de cela, la prise en compte des données qualitatives est limitée à des tableaux d'absence-présence creuses avec un nombre de valeurs nulles croissant avec le nombre de modalités de chaque variable. Dans ce contexte, l'intérêt de l'indice de similarité proposé est double. D'une part, il prend en compte la diversité des types de données généralement recueillies dans le cadre de l'évaluation des proximités entre les individus (numérique, qualitative et textuelle) ; et d'autre part, elle présente l'avantage de préserver les deux propriétés théoriques de base d'un tel type d'indicateur, à savoir la réflexivité et la symétrie. En outre son caractère borné entre les valeurs 0 et 100 peut lui conférer une interprétation pratique en terme de pourcentage.
# CHAPITRE 4 : L'IDENTIFICATION DES PROFILS ET DES RELATIONS

L'un des problèmes les plus importants dans l'analyse de la résilience et préconisé par de nombreux auteurs est l'établissement du profil des individus qui ont l'aptitude à la résilience. Une solution à ce problème consiste à modéliser les états de vulnérabilité. Dans ce même ordre d'idée, la caractérisation des états psychologiques latents est essentielle. Cependant, d'un point de vue technique, une telle caractérisation peut se faire en modélisant les classes latentes obtenues. Ainsi, l'élaboration des profils des individus qui ont l'aptitude à la résilience ou les profils des individus qui se trouvent dans les états cognitifs latents peut se faire par les mêmes techniques de modélisation. Compte tenu de l'objectif de lisibilité et de facilité d'interprétation des résultats des modèles résiliométriques, la technique des arbres de décision sera utilisée pour cette modélisation.

Outre la détermination des profils des individus, la recherche des causes à l'origine d'un choc traumatique est une préoccupation majeure des analystes de la résilience. En effet, le choc est l'élément initiateur de tout processus de résilience. Il revêt donc un caractère particulièrement important. De nombreux auteurs préconisent que l'analyste de la résilience fasse une rétrospection pour examiner les causes principales significatives à l'origine du choc. Ainsi, Régis Mahieu précise que l'analyse de la résilience doit mettre en relief l'origine et la nature de la souffrance ressentie et qu'il est essentiel que la modélisation de la résilience puisse mettre en exergue l'élément perturbant à l'origine de la souffrance. C'est pourquoi la Résiliométrie se propose de fournir un cadre de référence pour l'examen des causes probables les plus significatives à l'origine du choc considéré.

En plus du choc, un des concepts fondamentaux dans l'étude de la résilience est sans aucun doute la notion de dimensions de la résilience. En effet, tout le monde s'accorde sur le fait que la résilience est inobservable, mais qu'elle peut revêtir plusieurs formes. Plus précisément, on admet que la résilience comporte plusieurs aspects que l'on désigne sous le terme « dimensions ». Malheureusement, cette notion de dimension est utilisée à tort et à travers au point que de nombreuses études l'utilisent pour désigner des variables observables directement. Sans entrer dans les détails théoriques, la notion de dimensions représente uniquement des aspects inobservables et correspond exactement à la notion de variable latente. Chaque dimension est décrite par un certain nombre d'indicateurs quantifiables numériquement appelés variables manifestes ou observables. La position de la Résiliométrie est que la résilience ne peut être étudiée directement à partie d'indicateurs observables. Les indicateurs observables doivent être regroupés en dimensions qui, elles, sont les constituants de la résilience. De ce fait, la résilience ne peut être étudiée que par ses dimensions qui, à leur tour, possèdent des variables numériques ou numérisables permettant de les caractériser.
C'est pourquoi, ce chapitre présente des modèles résiliométriques permettant d'établir les profils des individus, d'identifier les causes et effets significatifs des chocs et de détecter les interactions entre les différentes dimensions

## 4.1) LE CALCUL DES PROFILS DES ETATS PSYCHOLOGIQUES

Les états psychologiques latents sont la clé pour établir le profil des individus qui ont l'aptitude à la résilience. Il est évident que l'aptitude à la résilience est dans une certaine mesure tributaire à l'espoir que les individus ont à devenir résilients. En effet, il n'y a rien à attendre d'un individu qui se résigne et ne trouve plus de raison ou ne voit plus la nécessité de se battre pour l'évolution de sa situation de souffrance. Aussi longtemps qu'un individu perd l'espoir de devenir résilient, il inhibe l'évolution due à son propre processus de résilience. Il est donc primordial de pouvoir, à tout instant, déterminer l'espoir que les individus ont de sortir de leur situation de souffrance afin de pouvoir entreprendre efficacement les actions appropriées.

### 4.1.1) LES ARBRES DE DECISION

Les arbres de décision sont une classe de techniques d'apprentissage supervisé qui ont l'avantage de fournir une visualisation simple des résultats de la modélisation comme le montre la figure suivante :

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 15 : Exemple d'arbre de décision appliqué à la pratique du golf<fnref n="3" /></figcaption></figure>

<footnote n="3">³ https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Decision_tree_model.png</footnote>
Cet arbre de décision décrit les conditions de pratique d'un jeu sportif selon un certain nombre de paramètres. Le modèle possède l'avantage de sélectionner automatiquement les paramètres suffisants pour obtenir des règles de décision fiables. Le lecteur intéressé par les détails et une étude avancée des arbres de décision pourra consulter [BRE84], [CBO02], [FES97], [IWI99], [RIK05] et [ZIG00].

## La construction des arbres de décision

Pour mieux comprendre le fondement théorique des arbres de décision, considérons les notations suivantes :

* ✓$C = \{C_1, \dots, C_K\}$ un ensemble de $K$ états dans lesquels peut se trouver un individu

* ✓$X = \{X_1, \dots, X_J\}$ un ensemble de $J$ variables binaires décrivant chaque individu

* ✓$V_j = \{a_1, \dots, a_{m_j}\}$ l'ensemble des modalités possibles du descripteur $X_j \in X$

* ✓$S_A = \{S_1, \dots, S_Q\}$ l'ensemble des $Q$ nœuds d'un arbre de décision, $A$ fournissant une description de classes $C_k \in C$ à partir des informations $X_j \in X$.

* ✓$N$ le nombre d'individus constituant la population totale

* ✓$T(s) \in [1, N]$ le nombre d'individus au nœud $s \in S_A$

* ✓$\Gamma_k(s)$ le nombre d'individus au nœud $s \in S_A$ faisant partie de la classe $C_k \in C$

* ✓$\Lambda(s, j, l)$ le nombre d'individus aux nœuds $s \in S_A$ possédant la modalité $a_l \in V_j$ de la variable $X_j \in X$

* ✓$\bar{\Lambda}(s, j, l)$ le nombre d'individus au nœud $s \in S_A$ ne possédant pas la modalité $a_l \in V_j$ de la variable $X_j \in X$

* ✓$\omega_k(s, j, l)$ le nombre d'individus au nœud $s \in S_A$, possédant la modalité $a_l \in V_j$ de la variable $X_j \in X$, qui font partie de la classe $C_k \in C$

* ✓$\bar{\omega}_k(s, j, l)$ le nombre d'individus au nœud $s \in S_A$, ne possédant pas la modalité $a_l \in V_j$ de la variable $X_j \in X$, qui font partie de la classe $C_k \in C$

## Le choix des attributs à chaque nœud

Avec les notations définies, on peut dresser, en un nœud $s \in S_A$, le tableau correspondant au partitionnement des individus de ce nœud selon une modalité $a_l \in V_j$ d'une variable $X_j \in X$ :

<table><caption>Tableau 4 : Paramètres de calcul dans les arbres de décision</caption><thead><tr><th>Nœud $s \in S_A$</th><th>$a_l \in V_j$</th><th>{$a_1, \dots, a_{l-1}, a_{l+1}, \dots, a_{m_j}$}</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>$C_1$</td><td>$\omega_1(s, j, l)$</td><td>$\bar{\omega}_1(s, j, l)$</td><td>$\Gamma_1(s)$</td></tr><tr><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td></tr><tr><td>$C_k$</td><td>$\omega_k(s, j, l)$</td><td>$\bar{\omega}_k(s, j, l)$</td><td>$\Gamma_k(s)$</td></tr><tr><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td><td>$\vdots$</td></tr><tr><td>$C_K$</td><td>$\omega_K(s, j, l)$</td><td>$\bar{\omega}_K(s, j, l)$</td><td>$\Gamma_K(s)$</td></tr><tr><td></td><td>$\Lambda(s, j, l)$</td><td>$\bar{\Lambda}(s, j, l)$</td><td>$T(s)$</td></tr></tbody></table>
A partir des éléments du tableau on a $\Gamma_k(s) = \omega_k(s, j, l) + \bar{\omega}_k(s, j, l)$, $\Lambda(s, j, l) = \sum_{k=1}^{K} \omega_k(s, j, l)$,
$\bar{\Lambda}(s, j, l) = \sum_{k=1}^{K} \bar{\omega}_k(s, j, l)$ et $T(s) = \Lambda(s, j, l) + \bar{\Lambda}(s, j, l) = \sum_{k=1}^{K} \Gamma_k(s)$.

Lorsque l'on choisit la variable $X_j$ comme variable de coupure du nœud et la modalité $a_l$ de cette variable comme critère de répartition des individus dans les classes (états), une mesure du désordre engendré par une telle répartition est donnée par l'entropie. Selon la théorie de l'information, l'entropie correspondant peut être estimée par :

$$E_C(j, l|s) = - \sum_{k=1}^{K} \left[ \frac{\omega_k(s, j, l)}{T(s)} \log\left(\frac{\omega_k(s, j, l)}{T(s)}\right) + \frac{\bar{\omega}_k(s, j, l)}{T(s)} \log\left(\frac{\bar{\omega}_k(s, j, l)}{T(s)}\right) \right]$$

L'idée est de rechercher le couple $(j^*, l^*)$ tel que la modalité $a_{l^*}$ de la variable $X_{j^*}$ fournisse la partition optimale, c'est-à-dire donnant la plus petite entropie. Techniquement, on a :

$$(j^*, l^*) = \underset{1 \le j \le J; 1 \le l \le m_j}{\operatorname{ArgMin}} \{E_C(j, l|s)\}$$

Les algorithmes d'arbres de décision sont très efficaces pour effectuer ce type de calculs en un temps raisonnable. Cependant, l'entropie n'est pas le seul critère utilisable. L'indice de Gini et le Khi-deux sont aussi utilisés dans certains algorithmes. Sur la base de nos notations, ces deux indicateurs peuvent être définis respectivement comme suit :

$$G_C(j, l|s) = \sum_{k=1}^{K} \left[ \frac{\Lambda(s, j, l) \omega_k(s, j, l)}{T(s) \Gamma_k(s)} \left(1 - \frac{\omega_k(s, j, l)}{\Gamma_k(s)}\right) + \frac{\bar{\Lambda}(s, j, l) \bar{\omega}_k(s, j, l)}{T(s) \Gamma_k(s)} \left(1 - \frac{\bar{\omega}_k(s, j, l)}{\Gamma_k(s)}\right) \right]$$

$$\chi_C^2(j, l|s) = \sum_{k=1}^{K} \left[ \left( \frac{\omega_k(s, j, l) - \Lambda(s, j, l) \Gamma_k(s) / T(s)}{\sqrt{\Lambda(s, j, l) \Gamma_k(s) / T(s)}} \right)^2 + \left( \frac{\bar{\omega}_k(s, j, l) - \bar{\Lambda}(s, j, l) \Gamma_k(s) / T(s)}{\sqrt{\bar{\Lambda}(s, j, l) \Gamma_k(s) / T(s)}} \right)^2 \right]$$

## L'élagage des arbres de décision

Lorsque le processus de construction d'un arbre de décision est mis en application, il produit un arbre $G_{max}$ possédant un nombre maximal de nœuds. Les feuilles d'un tel arbre sont pures, c'est-à-dire que les individus affectés aux feuilles de cet arbre appartiennent tous à la même classe $C_k$, ($k \in [1, K]$). Du point de vue de la théorie de l'apprentissage artificiel, ce processus engendre un sur-apprentissage en réalisant un apprentissage par cœur. Cette situation traduit une trop grande adaptation du modèle aux données, ce qui nuit au pouvoir de généralisation de ce modèle. En plus de cela, au niveau pratique, un tel arbre est trop long pour être exploité correctement car il est illisible. Pour pallier ces problèmes, les arbres de décision sont élagués afin d'obtenir des feuilles acceptables non nécessairement pures, mais qui font un compromis entre la capacité d'apprentissage et la capacité de généralisation.
Techniquement, plusieurs approches sont possibles. Cependant, en pratique, les algorithmes d'arbres de décision utilisent une procédure de post-élagage qui peut se faire en ayant recours soit à un échantillon test lorsque la quantité de données est importante, soit en utilisant la technique de validation croisée.

### 4.1.2) LES MODELES D'IDENTIFICATION DES PROFILS

La caractérisation des différents états (de vulnérabilité, latents) est basée sur les arbres de décision. Dans le contexte de la modélisation résiliométrique, le caractère simple et intuitif des résultats est fondamental. Dans ce contexte, les arbres de décision sont une classe de techniques à privilégier pour la caractérisation des états. Il est cependant important de noter que les variables utilisées pour caractériser les états latents doivent être choisies par le modélisateur parmi les variables structurelles décrivant les individus (hors variables manifestes associées aux dimensions). Ces variables peuvent être quantitatives et/ou qualitatives.

#### La caractérisation des états traumatiques latents

En plus des notations utilisées pour l'ensemble du chapitre, notons :

$$ \check{X}_{i}^{t} = (X_{1}^{t}, \dots, X_{l}^{t}) \text{ les variables numériques de caractérisations mesurées au temps } t $$

$$ \check{Z}_{m}^{t} = (Z_{1}^{t}, \dots, Z_{M}^{t}) \text{ les variables qualitatives de caractérisations observées au temps } t $$

Sans perte de généralités, on admettra que les variables qualitatives $Z_m^t$ sont toutes binaires. Cette hypothèse n'est pas restrictive car, dans la pratique, toute variable qualitative polytomique peut être ramenée à une série de variables qualitatives binaires moyennant une opération d'orthogonalisation appropriée. L'objet des arbres de décision est de fournir, sous la forme d'un arbre, une description sous forme de règles logiques du processus de génération des états traumatiques latents. On obtient donc un résultat sous la forme :

$$ \text{Si } i \in \Delta_{\alpha} \text{ et } i \in \Delta_{\beta} \dots \text{ alors } i \in C_{r} $$

Dans cette formule logique, les ensembles $\Delta_\omega$ sont des frontières de décisions prenant les formes $\Delta_\omega = \{X_i^t \le \omega\}$ et $\Delta_\omega = \{X_i^t > \omega\}$ pour les variables numériques, et la forme $\Delta_\omega = \{Z_m^t = \omega\}$ pour les variables qualitatives. Dans le cas des variables de décisions de type numérique, $\omega \in [\text{Min}(X_i^t); \text{Max}(X_i^t)]$ est un nombre réel alors que, dans le cas des variables qualitatives, $\omega$ représente une ou plusieurs modalités de la variable $Z_m^t$.
Dans le conteste de la caractérisation des états latents traumatiques, l'enjeu des arbres de décision est de trouver, à une itération donnée, non seulement la meilleure variable de décision $X_i^t$ ou $Z_m^t$, mais aussi la meilleure valeur de $\omega$ permettant d'obtenir la meilleure décision possible. Pour la construction des arbres de décisions, les algorithmes ID3 et CART sont préconisés car ils peuvent fournir correctement la solution recherchée. En effet, ces algorithmes cherchent séquentiellement les meilleures frontières de décision $\Delta_\omega$ qui optimise les critères que sont l'entropie, l'indice de Gini et la distance du Chi-deux dont l'efficacité et les propriétés statistiques sont bien connues.

## L'algorithme d'identification des états traumatiques latents

L'algorithme d'identification des états traumatiques latents a pour rôle de fournir un partitionnement des individus traumatisés et de caractériser ces partitions grâce à une description logique à travers un arbre de décision. Par conséquent, notons :

* $lcm(\cdot)$ le partitionnement par le modèle en classes latentes avec $\mathcal{T}$ comme résultat

* $dtm(\cdot)$ la modélisation des classes latentes par les arbres de décision de type ID3 ou CART dont les résultats sont représentés par $\mathcal{A}$

* G l'arbre de décision sous forme de graphe décrivant les règles logiques

L'algorithme d'identification des états traumatiques latents est le suivant :

<caption>Algorithme 5 : Identification des états traumatiques latents</caption>

1. // Ensemble des questions du test de résilience
$\Omega_X = \{X_j \mid j \in [1, J]\}$

2. // Ensemble des descripteurs des classes latentes
$\Omega_D = \{D_s \mid s \in [1, S]\}$

3. // Typologie par modèle des classes latentes
$\mathcal{T}(\hat{C}_r | r \in [1, R]) = \text{lcm}(\Omega_X | R)$

4. // Arbre de décision de caractérisation des classes
$\mathcal{A}(\hat{G}) = dtm(\Omega_D | \hat{C}_r)$

5. // Sortie de l'algorithme d'identification
$\mathfrak{R} = (\{\hat{C}_r, r \in [1, R] | \mathcal{T}\}, \hat{G} | \mathcal{A})$

Dans cet algorithme, les probabilités obtenues par le modèle des classes latentes ne sont que des intermédiaires. Dans l'algorithme final, seuls les états traumatiques latents identifiés (classes latentes) et l'arbre de décision utile à la caractérisation des classes sont conservés. La méthode développée consiste à exploiter conjointement les modèles de classes latentes et les arbres de décision dans la perspective d'identification et de caractérisation d'états traumatiques. Dans l'approche résiliométrique, ces deux étapes sont indissociables car l'objectif est de caractériser des classes obtenues par apprentissage non supervisé de type clustering.
## 4.2) L'IDENTIFICATION DES CAUSES DES CHOCS TRAUMATIQUES

Considérons les notations suivantes :

* ✓C le nombre de causes du choc

* ✓E le nombre d'effets du choc

* ✓$C_{endo}$ le nombre de causes endogènes du choc

* ✓$E_{endo}$ le nombre d'effets endogènes du choc

* ✓$\xi$ le choc traumatique considéré

* ✓$\mathcal{C}_i$ la $i^{eme}$ cause du choc traumatique

* ✓$\mathcal{E}_r$ le $r^{eme}$ effet du choc traumatique

* ✓$\xi$ le choc traumatique considéré

* ✓L le nombre de variables d'intensité du choc

* ✓$n_i$ le nombre de variables manifestes de la cause $\mathcal{C}_i$

* ✓$k_r$ le nombre de variables manifestes de l'effet $\mathcal{E}_r$

* ✓$X_l$ la $l^{eme}$ variable d'intensité du choc

* ✓$x_l$ une observation de la variable d'intensité $X_l$

* ✓$Y_{ij}$ la $j^{eme}$ variable manifeste de la cause latente $\mathcal{C}_i$

* ✓$y_{ij}$ une observation de la variable $Y_{ij}$

* ✓$Z_{rs}$ la $s^{eme}$ variable manifeste de l'effet latent $\mathcal{E}_r$

* ✓$z_{rs}$ une observation de la variable $Z_{rs}$

* ✓$\omega_{ij}$ le coefficient de la régression de $\mathcal{C}_i$ sur $Y_{ij}$

* ✓$\delta_i$ le terme d'erreur de la régression de $\mathcal{C}_i$ sur $Y_{ij}$

* ✓$\rho_{ik}$ le coefficient de la régression de $\mathcal{C}_i$ sur $\mathcal{C}_k$

* ✓$\nu_i$ le terme d'erreur de la régression de $\mathcal{C}_i$ sur $\mathcal{C}_k$

* ✓$\theta_{rs}$ le coefficient de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $Z_{rs}$

* ✓$\mu_r$ le terme d'erreur de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $Z_{rs}$

* ✓$\lambda_{rs}$ le coefficient de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $\mathcal{E}_s$

* ✓$\eta_r$ le terme d'erreur de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $\mathcal{E}_s$

* ✓$\pi_r$ le coefficient de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $\xi$

* ✓$\nu_r$ le terme d'erreur de la régression de $\mathcal{E}_r$ sur $\xi$

* ✓$\alpha_l$ le coefficient de la régression de $\xi$ sur $X_l$

* ✓$\epsilon$ le terme d'erreur de la régression de $\xi$ sur $X_l$

* ✓$\beta_i$ le coefficient de la régression de $\xi$ sur $\mathcal{C}_i$

* ✓$\zeta$ le terme d'erreur de la régression de $\xi$ sur $\mathcal{C}_i$

Il existe essentiellement quatre modèles résiliométriques d'identification des causes des chocs traumatiques. Ces modèles dépendent aussi bien de l'hypothèse que l'on effectue sur les causes (indépendantes ou liées) que de l'hypothèse sur les effets (indépendants ou liés) du choc traumatique considéré.
### 4.2.1) LES MODELES DE CAUSES INDEPENDANTES

Les modèles de causes indépendantes sont basés sur l'hypothèse selon laquelle les causes du choc n'entretiennent pas de relations entre elles. Il en existe deux types selon que l'on fasse l'hypothèse d'une indépendance entre les effets du choc ou pas.

#### Modèles de causes indépendantes à effets indépendants

La structure graphique des modèles de causes indépendantes à effets indépendants est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 16 : Exemple de modèle de causes indépendantes à effets indépendants</figcaption></figure>

Ce type de modèles correspond au système de $\sum_{r=1}^{E} k_r + E + C + 2$ équations suivant :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\mathcal{C}_i &= \sum_{j=1}^{n_j} \omega_{ij} y_{ij} + \delta_i && (\text{il y a } C \text{ equations}) \\
z_{rs} &= \theta_{rs} \mathcal{E}_r + \mu_{rs} && (\text{il y a } \sum_{r=1}^{E} k_r \text{ equations}) \\
\mathcal{E}_r &= \pi_r \xi + \nu_r && (\text{il y a } E \text{ equation}) \\
\xi &= \sum_{l=1}^{L} \alpha_l x_l + \epsilon && (\text{il y a } 1 \text{ equation}) \\
\xi &= \sum_{i=1}^{C} \beta_i \mathcal{C}_i + \zeta && (\text{il y a } 1 \text{ equation})
\end{aligned}
\right. 
$$
## Modèles de causes indépendantes à effets liés

La structure graphique des modèles de causes indépendantes à effets liés est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 17 : Exemple de modèle de causes indépendantes à effets liés</figcaption></figure>

Ce modèle correspond au système de $\sum_{r=1}^{E} k_r + E + E_{endo} + C + 2$ équations suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{C}_i = \sum_{j=1}^{n_j} \omega_{ij} y_{ij} + \delta_i \quad \text{(il y a C équations)} \\[1em]
z_{rs} = \theta_{rs} \mathcal{E}_r + \mu_{rs} \quad \text{(il y a } \sum_{r=1}^{E} k_r \text{ équations)} \\[1em]
\mathcal{E}_r = \pi_r \xi + \nu_r \quad \text{(il y a E équation)} \\[1em]
\mathcal{E}_r = \sum_{\mathcal{E}_s \to \mathcal{E}_r} \lambda_{rs} \mathcal{E}_s + \eta_r \quad \text{(il y a } E_{endo} \text{ équations)} \\[1em]
\xi = \sum_{l=1}^{L} \alpha_l x_l + \epsilon \quad \text{(il y a 1 équation)} \\[1em]
\xi = \sum_{i=1}^{C} \beta_i \mathcal{C}_i + \zeta \quad \text{(il y a 1 équation)}
\end{array}
\right.
$$
### 4.2.2) LES MODELES DE CAUSES LIEES

Dans les modèles de causes liées, les causes du choc sont supposées entretenir des relations entre elles. Il en existe deux types selon que les effets sont indépendants ou pas.

#### Modèles de causes liées à effets indépendants

La structure graphique des modèles de causes liées à effets indépendants est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 18 : Exemple de modèle de causes liées à effets indépendants</figcaption></figure>

Ce modèle correspond au système de $\sum_{r=1}^{E} k_r + E + C_{endo} + C + 2$ équations suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{C}_i = \sum_{j=1}^{n_j} \omega_{ij} y_{ij} + \delta_i \quad \text{(il y a C equations)} \\[1em]
\mathcal{C}_i = \sum_{\mathcal{C}_k \to \mathcal{C}_i} \rho_{ik} \mathcal{C}_k + v_i \quad \text{(il y a $C_{endo}$ equations)} \\[1em]
z_{rs} = \theta_{rs} \mathcal{E}_r + \mu_{rs} \quad \text{(il y a $\sum_{r=1}^{E} k_r$ equations)} \\[1em]
\mathcal{E}_r = \pi_r \xi + \nu_r \quad \text{(il y a $E$ equation)} \\[1em]
\xi = \sum_{l=1}^{L} \alpha_l x_l + \epsilon \quad \text{(il y a 1 equation)} \\[1em]
\xi = \sum_{i=1}^{C} \beta_i \mathcal{C}_i + \zeta \quad \text{(il y a 1 equation)}
\end{array}
\right.
$$
## Modèles de causes liées à effets liés

La structure graphique des modèles de causes liées à effets liés est donnée par la figure suivante :

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 19 : Exemple de modèle de causes liées à effets liés</figcaption></figure>

Ce modèle correspond au système de $\sum_{r=1}^{E} k_r + E + E_{endo} + C_{endo} + C + 2$ équations suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{C}_i = \sum_{j=1}^{n_j} \omega_{ij} y_{ij} + \delta_i \quad \text{(il y a C equations)} \\
\mathcal{C}_i = \sum_{\mathcal{E}_k \to \mathcal{E}_i} \rho_{ik} \mathcal{E}_k + v_i \quad \text{(il y a C}_{endo} \text{ equations)} \\
z_{rs} = \theta_{rs} \mathcal{E}_r + \mu_{rs} \quad \text{(il y a } \sum_{r=1}^{E} k_r \text{ equations)} \\
\mathcal{E}_r = \pi_r \xi + \nu_r \quad \text{(il y a E equation)} \\
\mathcal{E}_r = \sum_{\mathcal{E}_s \to \mathcal{E}_r} \lambda_{rs} \mathcal{E}_s + \eta_r \quad \text{(il y a } E_{endo} \text{ equations)} \\
\xi = \sum_{l=1}^{L} \alpha_l x_l + \epsilon \quad \text{(il y a 1 equation)} \\
\xi = \sum_{i=1}^{C} \beta_i \mathcal{C}_i + \zeta \quad \text{(il y a 1 equation)}
\end{array}
\right.
$$
### 4.2.3) LE B-TEST DE SIGNIFICATIVITE DES BLOCS LATENTS

L'enjeu des modèles d'identification des causes est essentiellement de mettre en exergue les causes significatives, et éventuellement les effets significatifs parmi ceux considérés. La modélisation PLSPM n'est donc pas utilisée ici pour estimer les variables latentes, mais plutôt pour étudier la significativité des variables latentes représentant les causes (et les effets éventuellement). Dans un tel contexte, il est impératif de disposer, du point de vue statistique, d'un mécanisme permettant de tester l'hypothèse de significativité d'un ou de plusieurs blocs dans un modèle d'équations structurelles à variables latentes. Malheureusement, un tel test n'existe pas encore dans la théorie des MESVL. C'est pourquoi, le test de significativité des blocs latents est proposé afin d'apporter une solution à ce problème. Le lecteur intéressé par la théorie des tests pourra consulter [ANI84], [BAR50], [COX77] et [GOD94].

#### Principe du B-test de significativité des blocs latents

Considérons les notations mathématiques suivantes :

* $\mathcal{G}(\xi_1, \dots, \xi_J)$ un MESVL constitué de $J$ variables latentes $\xi_1, \dots, \xi_J$.

* $\mathcal{G}_j(\xi_1, \dots, \xi_J)$ le MESVL $\mathcal{G}(\xi_1, \dots, \xi_K)$ dans lequel le bloc $\xi_j$ a été supprimé

* $\mathcal{P}_N$ une population de $N$ individus fournissant les variables manifestes des $(\xi_j)_{j \in [1, J]}$

* $\mathcal{K}$ le nombre de tirages aléatoires avec remise de $n \ll N$ individus de $\mathcal{P}_N$

* $\mathcal{P}_N^k \subset \mathcal{P}_N$ la $k^{ieme}$ sous-population de $\mathcal{P}_N$ d'effectif $n$ choisie aléatoirement.

* $\theta_{GoF}(M|P)$ une valeur de l'indice GoF du MESVL $M$ obtenue avec la population $P$

* $\hat{\theta}_{GoF}(M|P)$ une estimation du paramètre inconnu $\theta_{GoF}(M|P)$

Le B-test de significativité des blocs latents est fondé sur les deux grandes idées suivantes :

1. Si une variable latente d'un modèle d'équations structurelles à variables latentes est significative, la suppression du bloc correspondant dans le modèle entrainera une modification significative de l'indice de qualité globale GoF de ce modèle. Il en est de même d'un groupe de variables latentes.

2. La valeur de l'indice de qualité globale GoF issue de la population $\mathcal{P}_N$ peut être approchée avec une grande précision par la moyenne arithmétique de cet indice obtenu sur $K$ sous-populations $\mathcal{P}_N^k$ issues de tirages aléatoires des individus de $\mathcal{P}_N$ avec remise. Pour cela, il suffit que $K$ soit suffisamment grand (théorème central limite).

Partant de ces deux idées, l'étude de la significativité de la variable latente $\xi_j$ revient à tester les hypothèses suivantes :

$$ \begin{cases} H_0: \Delta(G_{GoF}) = \theta_{GoF}(\mathcal{G}|P) - \theta_{GoF}(\mathcal{G}_j|P) = 0 \\ H_1: \Delta(G_{GoF}) = \theta_{GoF}(\mathcal{G}|P) - \theta_{GoF}(\mathcal{G}_j|P) \neq 0 \end{cases} $$