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# Extension du modèle de dispersion de Taylor au régime convectif

Pierre-Olivier Logerais, Jean-Félix Durastanti, Abdelhak Ambari

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Pierre-Olivier Logerais, Jean-Félix Durastanti, Abdelhak Ambari. Extension du modèle de dispersion de Taylor au régime convectif. SFT 2010, May 2010, Le Touquet, France. hal-04124762

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Submitted on 2 Jul 2023

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# Extension du modèle de dispersion de Taylor au régime convectif

Pierre-Olivier LOGERAIS¹*, Jean-Félix DURASTANTI¹, Abdelhak AMBARI²

¹Centre d'Études et de Recherche en Thermique Environnement et Systèmes (CERTES)
IUT de Sénart, avenue Pierre Point - 77127 Lieusaint

* (auteur correspondant : pierre-olivier.logerais@univ-paris12.fr)

²Arts et Métiers ParisTech, EMT/LPMI

2, boulevard du Ronceray, BP 93525 - 49035 Angers Cedex 01

**Résumé** - La dispersion d'un soluté est étudiée dans un tube capillaire reliant deux réservoirs maintenus à des concentrations différentes. La résolution numérique de ce problème est confrontée au modèle de Taylor. La validité des résultats de Taylor est vérifiée numériquement pour le régime faiblement convectif ($Pe < 10$). Pour étendre la validité du modèle de Taylor, nous avons déterminé, en fonction du nombre de Péclet, les différents coefficients de diffusion apparents à introduire dans l'équation de Taylor en respectant un critère d'invasion du soluté dans le tube.

## Nomenclature

$C$ concentration en soluté

$\bar{C}$ concentration moyenne en soluté sur une section du tube

$D$ coefficient de diffusion moléculaire, $m^2.s^{-1}$

$D^*$ coefficient de diffusion apparent, $m^2.s^{-1}$

$D_{\text{mod}}^*$ coefficient de diffusion apparent modifié, $m^2.s^{-1}$

$D_{\text{Taylor}}^*$ coefficient de diffusion apparent du modèle de Taylor, $m^2.s^{-1}$

$H(t)$ fonction de Heaviside

$L$ longueur du tube, $m$

$Pe$ nombre de Péclet

$Q$ quantité de soluté dispersée

$r$ coordonnée radiale, $m$

$R$ rayon du tube, $m$

$Re$ nombre de Reynolds

$Sc$ nombre de Schmidt

$t$ temps, $s$

$\tau_C$ temps de convection, $s$

$\tau_D$ temps de diffusion latérale, $s$

$\bar{U}$ vitesse débitante, $m.s^{-1}$

$z$ coordonnée longitudinale, $m$

### Symboles grecs

$\gamma$ facteur de forme

$\theta$ coordonnée angulaire, rad

### Indices

$e$ entrée

$s$ sortie

$+$ grandeur adimensionnée

# 1. Introduction

La diffusion convective intervient dans de très nombreux processus naturels et industriels, en particulier lors de la dispersion d'un soluté dans un tube ou dans un milieu poreux [1-3]. En 1953, Taylor a proposé un modèle unidimensionnel basé sur la valeur moyennée transversalement pour décrire la dispersion d'un soluté dans un tube circulaire horizontal [4]. Dans ce modèle, un fluide newtonien en écoulement laminaire en régime faiblement convectif ($Pe < 10$), est considéré. L'extension du modèle de Taylor pour des grands nombres de Péclet en régime laminaire reste encore un enjeu, principalement pour la diffusion massique [5]. Dans le présent travail, on se propose de déterminer la limite de validité du modèle de Taylor actuel et d'en étendre l'application aux grands nombres de Péclet. En réutilisant la même approche du champ moyen, l'équation de diffusion convective est résolue en régime laminaire aux grands nombres de Péclet. Pour cela, les mêmes conditions aux limites que celles utilisées
par Taylor sont appliquées à la dispersion d'un soluté dans un tube circulaire horizontal reliant deux réservoirs à des concentrations différentes.

## 2. Description du problème

Un tube circulaire de rayon $R$ et de longueur $L$ relie deux grands réservoirs. Le réservoir amont contient une solution ayant une concentration en soluté $C_e$, alors que le réservoir aval est maintenu à une concentration $C_s=0$ (figure 1). La concentration dans le tube, notée $C$, est initialement nulle.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Conditions aux limites et initiales pour le tube reliant les deux réservoirs.</figcaption></figure>

Un écoulement laminaire de type Poiseuille est établi dans le tube. Sa vitesse débitante est notée $\bar{U}$. La longueur du tube est supposée suffisamment grande devant son rayon. Ceci se traduit par la faible valeur du facteur de forme du tube $\gamma = R/L \ll 1$. Par ailleurs, les dimensions des réservoirs sont considérées très grandes par rapport aux dimensions du tube afin d'assurer la constance des concentrations des conditions aux limites. Enfin, la paroi du tube est supposée imperméable au solvant et au soluté.

## 3. Équations et modélisation numérique

Ce problème peut être modélisé de deux façons : par un modèle en deux dimensions axisymétrique permettant de restituer le cas « réel » et par le modèle unidimensionnel intégré en champ moyen de Taylor.

### 3.1. Modélisation du cas « réel »

Dans le modèle « réel », à cause de la symétrie de révolution (axisymétrie) autour de l'axe $Oz$ (figure 2), seule une demi-section longitudinale du tube est traitée.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Modèle pour le cas « réel ».</figcaption></figure>
La répartition de la concentration en soluté dans le tube est obtenue en résolvant l'équation de diffusion convective. Elle est donnée par l'expression (1) en considérant les variables adimensionnées suivantes : $C_+ = \frac{C}{C_e}$ ; $r_+ = \frac{r}{R}$ ; $z_+ = \frac{z}{R}$ ; $t_+ = \frac{t}{\tau_D}$ avec $\tau_D = \frac{R^2}{D}$ qui est le temps de diffusion massique latérale et $Pe = \frac{\overline{UR}}{D} = Re Sc$ le nombre de Péclet.

$$ \frac{\partial C_+}{\partial t_+} + Pe \frac{\partial C_+}{\partial z_+} = \left( \frac{\partial^2 C_+}{\partial r_+^2} + \frac{1}{r_+} \frac{\partial C_+}{\partial r_+} + \frac{\partial^2 C_+}{\partial z_+^2} \right) \quad (1) $$

Des concentrations réduites à l'entrée du tube égale à 1 et en sortie égale à 0 sont imposées (figure 1). Comme la paroi du tube est isolante, une condition de dérivée nulle pour la concentration est appliquée. Les conditions aux limites et initiales sont récapitulées à travers les relations (2) suivantes, où $H(t)$ est la fonction de Heaviside.

$$ \left\{ \begin{array}{ll} C_+(r_+, z_+ = 0, t_+) = H(t) & \forall t_+ \\ C_+(r_+, z_+ = 1/\gamma, t_+) = 0 & \forall t_+ \\ \left. \frac{\partial C_+}{\partial r_+} \right|_{r_+ = 1} = 0 & \forall t_+ \\ C_+(r_+, z_+, t_+) = 0 & 0 \le z_+ \le 1/\gamma \text{ et } t_+ \le 0 \end{array} \right. \quad (2) $$

L'équation de diffusion convective (1) est résolue dans le régime instationnaire à l'aide de la méthode des volumes finis (code Fluent). La taille des cellules est choisie très inférieure au rayon $R$ du tube et adaptée aux gradients de concentration. Une précision du second ordre est prise pour la résolution spatiale. Pour la résolution temporelle, le pas de temps est choisi très inférieur au temps de diffusion latérale $\tau_D$ lorsque le régime est faiblement convectif ($0 \le Pe \le 1$). En régime convectif ($Pe \gg 1$), il est pris très inférieur au temps de convection

$$ \tau_c = \frac{R}{U} = \frac{\tau_D}{Pe}. $$

## 3.2. Modèle de Taylor

Dans ses travaux, Taylor a proposé une réécriture de l'équation de diffusion convective en une équation intégrée unidimensionnelle (3). La dispersion du soluté est décrite uniquement selon la direction longitudinale de coordonnée $z$, puisque la concentration est moyennée pour chacune des sections du tube circulaire. Il introduit dans l'équation (3) un coefficient de diffusion apparent qui traduit le rehaussement de la diffusion par la convection. Ce coefficient est communément noté $D^*$. Il dépend du nombre de Péclet $Pe$ avec $D^* = D \left( 1 + \frac{Pe^2}{48} \right)$.

$$ \frac{\partial \bar{C}_+}{\partial t_+} + Pe \frac{\partial \bar{C}_+}{\partial z_+} = D^* \frac{\partial^2 \bar{C}_+}{\partial z_+^2} \quad (3) $$

Pour aboutir à l'équation (3), Taylor a formulé deux hypothèses. La première est que la diffusion longitudinale est négligeable par rapport au transport longitudinal. La seconde est que le temps de diffusion latérale $\tau_D$ est inférieur au temps convectif $\tau_c$ ($Pe < 1$), d'où une atténuation rapide des variations autour de la valeur moyenne sous l'action de la diffusion moléculaire. La concentration peut alors être moyennée sur chacune des sections du tube. Typiquement, le modèle de Taylor est valable pour $0 \le Pe < 7$ [5].
L'équation de diffusion convective moyennée de Taylor (3) est résolue en utilisant la méthode des différences finies avec un schéma explicite. Ce schéma a été programmé avec le code « Mathematica 7 ».

### 3.3. Extension du modèle de Taylor

Notre objectif est d'étendre le formalisme du champ moyen utilisé par Taylor. Ceci se fera en déterminant la bonne valeur du coefficient de diffusion apparent $D^*$ à introduire dans l'équation (3), dans le cas où l'écoulement reste à faible nombre de Reynolds et pour lequel le nombre de Péclet est grand. Cette situation correspond au cas de la diffusion massique où le nombre de Schmidt est très élevé ($Sc \approx 1000$). La procédure adoptée pour résoudre ce problème consiste donc à la détermination, à partir des résultats de la modélisation du cas « réel », du bon coefficient de diffusion apparent $D^*$ à utiliser dans l'équation du champ moyen (3) qui donnerait la même évolution spatio-temporelle de la concentration moyenne $\bar{C}$ dans le tube.

Les résultats numériques seront illustrés par la suite à travers l'exemple d'un tube ayant un facteur de forme $\gamma = 0,02$. L'étude se fera pour des nombres de Péclet $0 \le Pe \le 1000$, qui correspondent à la diffusion massique d'un traceur dans de l'eau.

## 4. Résultats et discussion

Les résultats numériques obtenus sont analysés dans le cas faiblement convectif (pour $0 \le Pe \le 1$) et comparés à ceux obtenus analytiquement par Taylor. L'autre cas correspond au régime où la convection est prédominante ($1 < Pe \le 1000$). Rappelons que ce cas ne peut pas être traité facilement analytiquement et qu'il a fait l'objet de plusieurs propositions semi-empiriques pour l'extension du coefficient de diffusion apparent $D^*$ [5,6].

### 4.1. Régime faiblement convectif ($0 \le Pe \le 1$)

La figure 3 montre l'évolution de la répartition de la concentration moyenne sur chacune des sections du tube pour $Pe = 0,5$ dans le cas « réel » et dans celui du modèle de Taylor. Des résultats similaires sont obtenus pour les autres nombres de Péclet dans l'intervalle ici considéré.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Évolution de la répartition de la concentration moyenne dans le tube en régime faiblement convectif.</figcaption></figure>
Une excellente adéquation est vérifiée entre la solution obtenue à l'aide du modèle de Taylor et celle donnée par la résolution numérique du cas « réel ». Ajoutons, qu'aux temps « très » courts, par exemple $t_+ \le 1$ pour $Pe = 0$, le modèle de Taylor n'est pas en accord avec le cas « réel » car l'atténuation du gradient de concentration n'a pas eu le temps d'avoir lieu sur une section. Par ailleurs, il faut souligner qu'aux temps longs, la quantité totale de soluté dans le tube est plus grande quand le nombre de Péclet devient plus élevé.

## 4.2. Régime convectif ($1 < Pe \le 1000$)

L'évolution spatio-temporelle de la répartition de la concentration moyenne sur chacune des sections du tube donnée dans le cas « réel » est comparée à celle obtenue par l'application du modèle de Taylor original pour une situation de forte convection (figure 4). L'écart entre les deux résultats est très important.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : Évolution de la répartition de la concentration moyenne dans le tube en régime fortement convectif.</figcaption></figure>

En effet, cet écart est d'autant plus élevé que le nombre de Péclet est grand. Cependant, il reste faible jusqu'à $Pe = 10$ confirmant la validité du modèle de Taylor pour le régime faiblement convectif [5]. Au-delà, pour les grands nombres de Péclet, la différence commence à s'accentuer en raison de la convection qui devient prédominante. Ceci correspond à une augmentation apparente du coefficient de diffusion dans le modèle de Taylor. En effet, l'approximation du champ moyen pour la concentration n'est plus valable pour les grands nombres de Péclet. Pour étendre le formalisme du modèle de Taylor, il faut déterminer une valeur adéquate pour le coefficient de diffusion apparent $D^*$ à introduire dans l'équation (3) selon un critère différent que celui d'une concentration moyennée sur une section. Ce critère doit nous permettre de retrouver la même évolution spatio-temporelle pour la dispersion du soluté pour $0 \le Pe \le 1000$. Pour aboutir à cet objectif, il nous a semblé judicieux de considérer l'évolution de la quantité de soluté dispersée dans le tube $Q(t)$ en comparant les résultats de la modélisation numérique à ceux obtenus à partir de l'équation de Taylor en utilisant le coefficient de diffusion apparent corrigé.

$$Q(t) = \int_{0}^{R} \int_{0}^{L} C(r, z, t) dr dz \quad (4)$$

Dans cette approche, la bonne valeur de $D^*$ retenue est celle qui conduit au bon accord dans l'évolution temporelle de la quantité $Q(t)$. L'exemple pour $Pe = 1000$ est présenté sur la figure 5. La valeur trouvée est $D_{mod}^* = 570 D$ alors que celle obtenue à partir du modèle
initial de Taylor serait $D_{Taylor}^* = 20834 D$. En calculant l'ensemble des valeurs corrigées du coefficient de diffusion, noté désormais $D_{mod}^*$ pour $0 \le Pe \le 1000$, nous avons contribué à une extension du modèle de Taylor. Cependant, il faut noter que ce nouveau modèle basé sur notre critère proposé est en bon accord avec les résultats obtenus à partir du modèle de Taylor non-modifié pour $0 \le Pe \le 1$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 : Évolution de la quantité de soluté dispersée.</figcaption></figure>

**5. Conclusion**

L'extension du modèle de Taylor pour des grands nombres de Péclet en régime laminaire a été obtenue en introduisant un critère d'invasion du soluté dans le tube. La limitation du modèle de Taylor à décrire la diffusion convective en régime laminaire est liée au critère fixé par Taylor. Celui-ci consiste à supposer que la concentration s'est uniformisée dans chaque section. Un modèle reproduisant le cas « réel » a été confronté aux solutions de l'équation de dispersion de Taylor. Le choix du critère d'invasion nous a permis, dans un premier temps, de vérifier la validité du modèle de Taylor en régime faiblement convectif ($Pe < 10$). Les écarts présentés par le modèle de Taylor par rapport à la réalité ont ensuite été appréciés en régime fortement convectif puis corrigés par l'utilisation des nouveaux coefficients de diffusion apparents déterminés à partir de ce nouveau critère. Une expression générale permettant l'extension de la détermination d'un coefficient de diffusion apparent en régime moyennement convectif est enfin possible.

**Références**

[1] K. Azer, C.S. Peskin, A one-dimensional model of blood flow in arteries with friction and convection based on the Womersley velocity profile, *Cardiovascular Engineering*, 7-2 (2007), 51-73.

[2] D.C. Dalal, B.S. Mazumder, Unsteady convective diffusion in viscoelastic fluid flowing through a tube, *International Journal of Non Linear Mechanics*, 33-1 (1998), 135-150.

[3] A. Nakayama, F. Kuwahara, An equation for thermal dispersion flux transport and its mathematical modelling for heat and fluid flow in a porous medium, *Journal of Fluid Mechanics*, 563 (2006), 81-96.

[4] Sir G. I. Taylor, Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, *Proceedings of the Royal Society*, London Series, A 219 (1953), 186-203.

[5] R.F. Probstein, *Physicochemical Hydrodynamics, An Introduction*, Wiley-Interscience, New York (1994).

[6] V.J. Charette, E. Evangelista, R. Chertcoff, H. Auradou, J.P. Hulin, I. Ippolito, Influence of the disorder on solute dispersion in a flow channel, *EPJ Applied Physics*, 39-3 (2007), 267-274.