<caption>Figure 61</caption>

Extrait de transcription des 4°E, Unités de sens 4E.De.10n.f56.39 à 4E.De.10n.f56.41

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>PE</td><td>Vous le dessinez au dos de la feuille il y aura plus de place</td><td></td><td></td><td>Molc3</td><td></td></tr><tr><td></td><td>EA<br>EB<br>EC<br>ED</td><td></td><td>Ne dessinent pas, discutent d'autre chose jusqu'à -8 :39, pendant 3min18s</td><td></td><td>Per<br>Per<br>Per<br>Per</td><td></td></tr><tr><td>4E.De.10n.f56.39</td><td>-8 :39</td><td>PE</td><td>Allez on corrige celui-là. Vous allez compter combien il y a de cubes dans l'un et combien de cubes dans l'autre et compter combien ça fait au total, hein ? combien il y a de cubes dans l'un et combien de cubes dans l'autre et compter combien ça fait au total</td><td>Mono</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td></td><td>EC<br>ED</td><td></td><td></td><td>Jouent avec une trousse</td><td></td><td>Per<br>Per</td></tr><tr><td>4E.De.10n.f56.40</td><td></td><td>PE</td><td>Je fais les flèches : comme ça, comme ça et comme ça comme ça (inaudible)</td><td>EcRe</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td></td><td></td><td></td><td>DeCo</td><td>Mln<br>AbRe<br>MoSy2</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Fois trois, plus x... c'est très bien</td><td>A ENR</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4E.De.10n.f56.41</td><td>-7 :27</td><td>PE</td><td>Allez maintenant on calcule combien on a de jetons</td><td>EcRe</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td></td><td>EA<br>EB<br>EC<br>ED</td><td></td><td>N'ont pas pris la correction, discutent</td><td></td><td></td><td>Per<br>Per<br>Per<br>D...</td></tr></tbody></table>

Dans la figure 61 ci-dessus, nous relevons des phrases révélant le plaisir que peuvent ressentir les élèves dans le fait d'avoir à la fois réussi une question et le fait d'avoir gagné :

<caption>Figure 62</caption>

Extrait de la transcription des 4°A, unité de sens 4A.Fa.10.f56.4 à 4A.Fa.10.f56.6, plaisir dans les apprentissages lié au jeu sérieux

<table><tbody><tr><td rowspan="4">4A.Fa.10.f56.4</td><td>EE</td><td>Ça et ça 20, et ça 8</td><td rowspan="4">EcEt</td><td rowspan="4">ErCa<br>CaCo</td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td>EE</td><td>Ça huit</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>ED</td><td>Ça c'est dix, ça c'est dix, ça c'est cinq et ça c'est un</td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="6">4A.Fa.10.f56.5</td><td>EF</td><td></td><td rowspan="6">EcEt</td><td rowspan="6">FaCo</td><td>Efface bien avec une brosse</td></tr><tr><td>EC</td><td>Ça c'est ...., un deux trois</td><td>Prend un cercle, Place les jetons et les cubes dedans</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Mime les grands et petits rectangles</td></tr><tr><td>EB</td><td>Tcho ! t'as réussi !</td><td>MEx<br>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>EC</td><td>Et maintenant faut doubler la mise !</td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.6</td><td>-41 :40</td><td></td><td rowspan="2">EcEt</td><td rowspan="2"></td><td>Molc2<br>ChCo</td></tr><tr><td>EE</td><td>Grand rectangle ça fait dix, et les petits c'est cinq</td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr></tbody></table>

D'autre part, si nous comptons le nombre de réponses correctes ou erronées, cela indique le nombre de tentatives d'essais de résolution de réponses, qui peut être un indice d'implication des élèves. Dans les corpus, elles ont été différenciées selon qu'il s'agissait de réponses de calcul, de développement ou de factorisation. Dans le diagramme ci-dessous nous avons regroupé en deux catégories, les réponses erronées et les réponses correctes :
<caption>Figure 63</caption>

Analyse comparative des types de réponses entre les 4°A et les 4°E

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Nous notons un plus fort nombre de réponses correctes pour les **4°A (40)** par rapport aux **4°E (25)**, et il en est de même pour le nombre de réponses erronées (**12 contre 6**), mais elles sont souvent suivies de réponses correctes car l'élève se corrige par la suite. L'erreur n'est pas considérée comme négative dans la mesure où l'élève essaye de répondre au lieu d'attendre la correction du professeur. Elle devient même constructive si elle est corrigée dans la foulée. Ces données confirment à nouveau l'hypothèse selon laquelle l'utilisation d'un jeu sérieux permet à l'élève de s'approprier de manière plus intense les notions.
## 2 ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES CLASSES DES 4°A ET DES 4°C

Ce paragraphe présente une analyse comparative entre les élèves de la classe utilisant la manipulation des artefacts (4°A) et les élèves de la classe utilisant seulement les images de ces artefacts (4°C), c'est-à-dire pas de manipulation et pas de dessins.

### 2.1 PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES

Nous présentons ici les différents documents du corpus figurant en annexe. Nous avons sélectionné les séances qui peuvent être comparables en termes de contenu et de questions abordées, la durée totale des morceaux transcrits des 4°A est de 26min15s et celle des 4°C est de 20min50s, on considèrera que c'est globalement équivalent et permettra une comparaison équitable en termes de temps écoulé.

<caption>Tableau 14</caption>

Présentation des séances transcrites et codées choisies pour l'étude comparative des 4°A et 4°C

<table><thead><tr><th>Classe</th><th>Date</th><th>Morceaux<br>transcrits et codés</th><th>Références</th><th>Durée</th><th>Numéro<br>d'annexe</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">4°A</td><td>10nov</td><td>Factorisation</td><td>4A_Fa_10nov_f56</td><td>10min</td><td>Annexe n°O</td></tr><tr><td rowspan="3">21<br>nov</td><td>Développement et<br>Factorisation</td><td>4A_FaDeRes_21nov_f56</td><td>9min45s</td><td>Annexe n°U</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_21nov_f55</td><td>3min</td><td>Annexe n°Q</td></tr><tr><td>Factorisation</td><td>4A_Fa_21nov_f55</td><td>3min34s</td><td>Annexe n°R</td></tr><tr><td rowspan="2">4°C</td><td>8 nov</td><td>Début d'activité</td><td>4C_DA_8nov_f49</td><td>5min</td><td>Annexe n°AA</td></tr><tr><td></td><td>Développer</td><td>4C_De_8nov_f49</td><td>3min50s</td><td>Annexe n°AB</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>21 nov</td><td>Factoriser</td><td>4C_Fa_21n_f56</td><td>12min</td><td>Annexe n°AC</td></tr></table>

## 2.2 LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)

Comme pour l'analyse comparative entre les 4°A et les 4°E, nous avons analysé les proportions des différents types d'échanges entre les deux classes : monologues (Mono), échanges tronqués (EcTr), échanges restreints (EcRe) et échanges étendus (EcEt) :

<caption>Figure 64</caption>

Répartition des types d'échanges pour la 4°A

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 65</figcaption></figure>

Répartition des types d'échanges pour la 4°C

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Il est intéressant de noter que la proportion des échanges tronqués est beaucoup plus importante pour les 4°C (43%) que pour les 4°A (22%). Le taux d'échanges restreints est équivalent, mais celui des échanges étendus est plus fort pour les 4°A. Nous interprétons cela comme un signe de réflexion plus approfondie pour les 4°A que pour le 4°C, les échanges s'étendant plus sur les questions initialement abordées.

Le graphique ci-dessous nous montre la répartition des interventions élèves ou professeurs, selon les deux classes :
<caption>Figure 66</caption>

Etude comparative du nombre d'interventions élèves ou professeurs, selon la 4°A ou la 4°C

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Nous notons un nombre d'interventions d'élèves assez similaire entre les deux classes, et une présence un peu moins forte du professeur pour les 4°A. Ces résultats sont présentés pour comprendre que les deux diagrammes circulaires ci-dessus sont équivalents en termes de calcul de proportions de types d'échanges car calculés sur un nombre similaire d'interventions. D'autre part, ils ne permettent pas d'apporter d'interprétations pour répondre à nos hypothèses.

## 2.3 LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET LA MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION

Nous allons comparer maintenant l'ensemble des séances des 4°A qui ont suivi les trois modes de Bruner, c'est-à-dire les modes enactif, iconique et symbolique, avec l'ensemble des séances des 4°C qui ont suivi seulement le mode symbolique, c'est-à-dire un cours n'utilisant que le langage mathématique. Nous rappelons que le temps global de l'ensemble des séances des 4°A et des 4°C est équivalent.

Dans un premier temps, nous allons comparer les diagrammes en barre qui représentent le nombre total d'actions qui ont été codées selon les critères présentés plus haut.
<caption>Figure 67</caption>

Etude comparative des modes selon Bruner, entre les 4°A et les 4°C

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Nous lisons sur ce diagramme en barres que les mises en actions qui ont été codées d'après les modes de représentations des connaissances selon Bruner montrent bien la différence de répartition entre la classe des 4°A qui a utilisé de manière relativement uniforme les trois modes, et la classe des 4°C qui a utilisé seulement le mode symbolique. Nous rappelons que le codage MoSy1 a été annoté lorsque l'élève tente de traduire en langage mathématique la valeur des jetons ou d'un dessin de jetons (précisons sans que ce soit correct), et le codage MoSy2 l'élève traduit correctement en langage mathématique la valeur des jetons ou d'un dessin de jetons. Nous observons un nombre équivalent pour le codage MoSy1 entre les deux classes, mais une nette différence pour le codage MoSy2 : 5 pour les 4°A contre 31 pour les 4°C. Nous interprétons cet écart par le fait que les 4°C ont eu davantage le temps de s'habituer au langage mathématique que les 4°A. En outre, ils semblent bénéficier davantage d'étayage de la part du professeur dans ce domaine en lisant les scores de MoSy3 (intervention du professeur) : 36 pour les 4°C contre 18 pour les 4°A.
Quant aux codages des signes révélant les processus d'abstraction chez les élèves, nous observons des résultats assez similaires pour le codage **ChCo** entre les deux classes, où l'élève s'engage dans une démarche de compréhension d'une notion ou d'un exercice.

<caption>Figure 68</caption>

Etude comparative des signes montrant le processus d'abstraction entre les 4°A et les 4°C

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Nous notons cependant des effectifs plus élevés chez les 4°A pour le nombre de codage **AbEm**, les élèves ont rencontré davantage de situations où ils sont en train d'apprendre un élément nouveau, peut-être parce qu'ils ont reçu une plus grande diversité de formes d'apprentissage pour une même notion. Pour les deux classes, le nombre de codages **AbRe** montre que les élèves ont réutilisé ce qu'ils avaient appris auparavant (durant l'expérimentation ou avant), d'ailleurs nous pouvons supposer qu'avec des séances supplémentaires, le score de **AbRe** aurait été plus important pour les deux classes, mais nous ne pouvons pas à ce stade prédire une prépondérance pour l'une ou l'autre classe.

Pour reprendre les mots de Barth (2001) dans la partie du cadre théorique, nous pourrions assimiler l'abstraction comme « *démarche intellectuelle* » (connaissance en cours d'acquisition) aux codages que nous avons choisis pour illustrer les trois modes de représentations des connaissances selon Bruner, et l'abstraction comme « *structure de cette »
connaissance » (connaissance acquise) aux codages que nous avons choisis pour illustrer l'abstraction empirique et l'abstraction réfléchissante. Avec cette lecture, il est intéressant de rapprocher le cumul des codages MoEn1, MoEn2, MoIc1, MoIc2, MoSy1 et MoSy2 qui sont révélateurs d'actions d'élèves dont les signes d'abstraction sont des signes de « démarche intellectuelle », avec les codages du diagramme ci-dessus qui comptabilise les signes d'abstraction empirique et l'abstraction réfléchissante :

<caption>Figure 70</caption>

Cumul des modes élèves (Bruner)

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 69</figcaption></figure>

Abstraction réfléchissante et empirique

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

L'écart que l'on peut noter entre les deux classes au sujet des signes d'abstraction comme démarche intellectuelle (cumul des modes élèves selon Bruner) entre en corrélation avec les signes d'abstraction comme structure des connaissances (cumul des signes d'abstraction et réfléchissante). On peut en déduire que le fait d'avoir permis aux élèves de 4°A de bénéficier de davantage de supports pour créer un nouveau concept (supports concrés, imagés ou symboliques) leur permet l'élaboration de plus de signes montrant la construction du nouveau concept, et l'on mesure davantage de signes d'abstraction comme produit fini de connaissance pour cette même classe.

## 2.4 ANALYSE COMPARATIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ

Nous avons comparé les corpus des interventions verbales (et non gestuelles) entre toutes les transcriptions auditives des classes de 4°A et 4°C que nous avons sélectionnées pour
la comparaison, et avons effectué une analyse lexicométrique avec le logiciel **IRaMuTeq**. Nous présentons ici les nuages de mots pour les deux corpus, la grosseur des mots et leurs emplacements dans le nuage nous montre l'importance numérique des formes dans le corpus.

Pour information, le corpus des **4°A** comptabilise **1438 occurrences dont 257 formes,** tandis que le corpus des **4°C** comptabilise **1689 occurrences dont 271 formes.**

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 72</figcaption></figure>

Nuage de mots des formes actives pour la 4°A avec IRaMuTeq

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 71</figcaption></figure>

Nuage de mots des formes actives pour les 4°C avec IRaMuTeq

Nous remarquons que le nuage de mots des **4°A** comporte une plus grande variété de formes dont la grosseur est bien visible, comparé au nuage des **4°C** où seuls deux mots « aller » et « fois » se font remarquer par rapport aux autres formes. Pour les **4°A**, nous retrouvons assez fortement les formes « cercle », « cube », « jeton » ainsi que « mettre » qui sont associés à l'utilisation du jeu, et la forme « développer » est aussi assez prépondérante, ce qui révèle que cette notion a bien pris sa place dans le jeu puis dans la séance qui a suivi. Pour les **4°C**, finalement la notion de « factoriser » sort à peine, et la notion développer n'apparaît pas. Nous retrouvons surtout le champ lexical des opérations comme « addition », « additionner », « soustraire », « parenthèse », « signe », « positif » qui appartient au langage mathématique.

Il est intéressant aussi de comparer les formes dites supplémentaires qui font partie de la grammaire pour structurer les phrases. Notre attention porte sur le pronom démonstratif « ça » qui sert à désigner un objet, un dessin ou un mot au tableau. Nous comptons **70** fois le mot « ça » pour les **4°A** et il s'agit de la forme supplémentaire la plus présente, contre un effectif de 46 pour les **4°C**. Les élèves et professeurs de la **4°A** sont donc davantage dans la désignation du sujet dont ils parlent par rapport aux **4°C**, et peut-être que cette façon de procéder révèle une
plus forte appropriation de la notion en cours de construction, ce qui confirmerait le paragraphe précédent.

## 2.5 LE SENS DE LA VARIABLE X

Un des objectifs dans la conception de ce jeu sérieux était de permettre à l'élève de comprendre que la variable *x* est bien un nombre mais que lorsque l'on effectue des opérations dans des expressions littérales, sa valeur inconnue bloque certaines opérations que l'on effectue habituellement lorsque nous n'avons que des nombres connus, ce qui lui donne un caractère à part entière qui l'empêche de se « mélanger » aux autres nombres. C'est pour cette raison que des cubes de couleur neutre représentent cette variable *x*, tandis que les jetons de couleurs contraires représentent des nombres relatifs connus. Sa désignation de « nombre mystère » dans le jeu avait pour objectif d'éviter de faire par la suite des erreurs de type $1+3x = 4x$, ou encore d'attribuer une valeur à *x* pour pouvoir finir les calculs. Cette erreur courante a été rencontrée lors de l'expérimentation avec les 4°C qui n'ont pas eu accès aux cubes. En voici un extrait :

<caption>Figure 73</caption>

Extrait du corpus des 4°C, unité de sens 4C.Fa.21n.f56.28 et 29, sens de la variable *x*

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">4C.Fa.21n.f56.28</td><td>PE</td><td>Qu'est-ce qui se répète, qu'est-ce qui se regroupe ensemble ?</td><td></td><td rowspan="10">EcEt</td><td>EcTr</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>ENR</td><td>X c'est combien ?</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ah ! x c'est combien ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ED</td><td>Un !</td><td></td><td>ErVa</td><td>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Non c'est pas un</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">ENR</td><td>Un</td><td></td><td>ErVa</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>Un</td><td></td><td>ErVa</td><td>MIn</td></tr><tr><td>Un</td><td></td><td>ErVa</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>Dix-huit</td><td></td><td>ErVa</td><td>MIn<br>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>-22 :30</td><td>PE</td><td>Qu'est-ce que c'est x ? c'est pas</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Une lettre</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>C'est une lettre</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Oui, mais c'est un ?</td><td></td><td>ErVa</td><td>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>-22 :15</td><td>EC</td><td></td><td>Se tourne pour taper la tête de son camarade</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td>4C.Fa.21n.f56.29</td><td>ENR</td><td>C'est quoi la question madame ?</td><td></td><td>EcRe</td><td></td><td>ChCo<br>MIn</td></tr></tbody></table>

Dans cet extrait, la question de la valeur du nombre *x* est posée par un élève, suite à la question du professeur qui cherchait à guider la classe vers une factorisation. Ils ont déjà abordé la notion de factorisation mais seulement sur des nombres, c'est la première fois qu'ils doivent factoriser une expression comportant une variable. Ils ont bien intégré que cette lettre
représentait un nombre, mais ils se trouvent embarrassés par le fait qu'on ne connait pas sa valeur. S'ouvre alors un débat sur sa valeur et chacun propose une valeur. Avant que le professeur puisse éclaircir le sens de cette variable x dont la valeur restera inconnue jusqu'au bout du calcul, cette perte de sens dans les calculs ouvre un temps de perturbations dans la classe, certains décrochent (« se tourne pour taper la tête de son camarade »), et la suite de la séance devient chaotique.

Nous avons rencontré plusieurs types d'erreurs au sujet de la variable x :

<caption>Figure 74</caption>

Exemple de cahier d'élève illustrant une erreur courante autour de la variable x

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Cet élève remplace instinctivement x par 1 pour développer son calcul, erreur que nous retrouvons plus bas dans des extraits de corpus.

<caption>Figure 75</caption>

Exemple d'erreur courante autour de la variable x

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Le cahier ci-dessus (peu lisible) illustre une erreur courante : $6 - 2x \dots = 4x \dots$ L'élève a effectué la soustraction avant la multiplication cachée se trouvant entre le 4 et le x.

L'élève du cahier ci-dessous montre la même erreur : « $26x - 6 = 20x$ »
<caption>Figure 76</caption>

Exemple d'erreur type autour de la variable

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Même si les deux nombres sont séparés par un x, l'erreur est commise car il a tendance à vouloir tout calculer, sans penser que nous avons en fait deux « familles » de termes : « les termes comportant des x », et les « termes sans x », qui ne peuvent être calculés ensemble à cause de la règle des priorités opératoires mentionnée ci-dessus.

Du côté des **4°A**, nous ne comptons à aucun moment de codage **ErVa** qui a été noté lorsque l'élève commet une erreur en lien avec le sens d'une variable. Mais comme il s'agit seulement de morceaux de séances transcrits, nous avons donc visionné une vidéo de la séance entière du 10 novembre (la 2° séance de jeu pour les 4°A) pour comptabiliser chaque opération correcte et chaque erreur, selon le type de question (**voir annexe W p 203**). Mises à part quelques erreurs de calcul ou de factorisation, aucune n'est rattachée au sens de la variable, représentée par les cubes. Il semblerait que l'idée de représenter les nombres de valeurs connus et les variables avec deux formes différentes ait aidé les **4°A** à pouvoir donner du sens aux règles de calcul relatives au calcul littéral.

## 2.6 LA MOTIVATION DANS LE TRAVAIL D'APPRENTISSAGE
<caption>Figure 77</caption>

Etude comparative des signes relatifs à la motivation, entre les 4°A et les 4°C

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

L'étude comparative des signes relatifs à la motivation entre les 4°A et les 4°C est assez proche de l'étude comparative entre les 4°A et les 4°E réalisée plus haut. Globalement, les effectifs de motivations intrinsèques et extrinsèques sont supérieurs pour les 4°A, tandis que les signes de perturbations sont trois fois plus élevés pour les 4°C. Ils confirment donc une nouvelle fois l'hypothèse selon laquelle l'utilisation d'un jeu sérieux renforce la motivation d'apprentissage tout en diminuant les sources de perturbations.

# 3 ANALYSE EVOLUTIVE DES 4°A SUR LES TROIS SEANCES

Nous allons maintenant étudier l'évolution de la classe des 4°A sur trois séance (1°séance : 9 novembre ; 2° séance : 10 novembre ; 3° séance : 21 novembre), afin de mesurer l'impact que l'utilisation du jeu sérieux pouvait avoir sur les différents domaines étudiés. Nous avons au total un peu plus d'une heure de film transcrits et codés.
## 3.1 PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES UTILISEES POUR CETTE ETUDE

<caption>Tableau 15</caption>

Présentation des parties transcrites et codées pour l'étude évolutive des 4°A

<table><thead><tr><th>Classe</th><th>Date</th><th>Morceaux<br>transcrits et<br>codés</th><th>Références</th><th>Durée</th><th>Cumul<br>durée</th><th>Numéro<br>d'annexe</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">4°A</td><td rowspan="4">9<br>nov</td><td>Début d'activité</td><td>4A_DA_9nov_f55</td><td>5min</td><td rowspan="4">15,5min</td><td>Annexe n°K</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_9nov_f55</td><td>3min7s</td><td>Annexe n°M</td></tr><tr><td>Début d'activité</td><td>4A_DA_9nov_f56</td><td>5min</td><td>Annexe n°L</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_9nov_f56</td><td>2min21s</td><td>Annexe n°N</td></tr><tr><td>10<br>nov</td><td>Factorisation et<br>début d'activité</td><td>4A_Fa_10nov_f56</td><td>10 min</td><td>10 min</td><td>Annexe n°O</td></tr><tr><td rowspan="5">21<br>nov</td><td>Différenciation<br>développer et<br>factoriser</td><td>4A_DeFa_21nov_f55<br>4A_DeFa_21nov_f56</td><td>9min47s<br>11minutes</td><td rowspan="5">40,5min</td><td>Annexe n°P</td></tr><tr><td>Développement<br>et Factorisation</td><td>4A_FaDeRes_21nov_f56</td><td>9min45s</td><td>Annexe n°T</td></tr><tr><td>Développement<br>et Factorisation</td><td>4A_FaDeRes_21nov_f55</td><td>5min30s</td><td>Annexe n°U</td></tr><tr><td>Développement</td><td>4A_De_21nov_f55</td><td>3min</td><td>Annexe n°S</td></tr><tr><td>Factorisation</td><td>4A_Fa_21nov_f55</td><td>3min34s</td><td>Annexe n°Q</td></tr></tbody></table>

Un document supplémentaire, Visionnage de 4A_10nov_f56 (annexe W) servira à l'analyse de l'évolution des 4°A mais il ne s'agit pas d'une transcription verbale et gestuelle, seulement d'un comptage de réponses correctes ou erronées en lien avec les composantes du savoir sur la séance entière du 10 novembre, pour un seul groupe filmé.
Nous rappelons que la **1° séance** est celle du 9 novembre et qu'elle portait sur la découverte des règles du jeu et un essai d'une demi-heure environ. La **2° séance** est celle du 10 novembre et les élèves ont à nouveau joué au jeu avec la consigne de traduire en langage mathématique leur mission sur le plateau de jeu. La **3° séance** est celle du 21 novembre où les notions « développer » et « factoriser » sont introduites, les images des missions (mode iconique) ainsi que leur traduction en mode symbolique sont largement utilisées dans cette séance.

## 3.2 EVOLUTION DES COMPOSANTES DE SAVOIR

<caption>Figure 78</caption>

Etude évolutive des composantes de savoir, 4°A

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

Ce diagramme en barre présente le comptage des différents points relatifs aux composantes de savoir cités plus haut dans la méthodologie, mais que nous rappelons ici :
- Calcul Correct (CaCo) ;
- Erreur de Calcul (ErCa) ;
- Réduction Correcte (ReCo) ;
- Erreur de Réduction (ErRe) ;
- Développement Correct (DeCo) ;
- Erreur de Développement (ErDe) ;
- Facteur Commun correct (FaCo) ;
- Factorisation entre Parenthèses correct (FaPa) ;
- Erreur de Factorisation (ErFa) et Erreur de sens pour la Variable (ErVa). La lecture de l'étude comparative porte sur les trois séances avec les **4°A**, mais nous avons rajouté le comptage de ces 10 éléments de codages du document **V4A_10nov_f55**. Le temps imparti aux transcriptions/comptage n'est pas uniforme entre ces trois séances, nous en tenons compte pour notre analyse (voir le tableau ci-dessus).
Nous pouvons observer que pour la 1° séance (en bleu), la prise en main du jeu leur permet de réaliser quelques réussites, quelques erreurs, mais les effectifs restent faibles car le dispositif est nouveau pour eux. Les questions de factorisation ne sont pas encore abordées car les cartes « missions » se trouvent en fin de partie. Pour la 2° séance (le temps de comptage est beaucoup plus long), les effectifs s'en ressentent. Néanmoins, les élèves se sont emparés du jeu et ils réalisent des scores positifs dans les quatre notions abordées : le calcul avec des nombres relatifs, la réduction, le développement et la factorisation. Ils sont en général allés au bout de la partie, c'est-à-dire qu'ils ont parcouru tout le jeu et ont gagné 30 pièces (entre 1 et 6 pièces par mission accomplis). Pour la 3° séance, le nombre de réussites relatives aux deux notions ciblées, soient le développement et la factorisation, le score est beaucoup plus important. Pour cette séance, le professeur s'adresse à la classe entière, une réussite peut être attribuée à l'intervention d'un seul élève pour toute la classe. Mais ces deux notions semblent être petit à petit bien intégrées, le nombre d'erreurs est lui aussi plus conséquent car proportionnel aux nombres d'essais de réponses.

## 3.3 EVOLUTION DES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER ET MISE EN CORRELATION AVEC LE PASSAGE A L'ABSTRACTION

<caption>Figure 79</caption>

Etude évolutive des modes selon Bruner, 4°A

<figure><img src="image_68.png" /></figure>
En ce qui concerne les codages relatifs aux signes en lien avec les modes de représentation des connaissances selon Bruner, comme pour les deux études comparatives ci-dessus, les séances 1 et 2 (en bleu et orange) montrent bien les modes enactif et iconique pleinement utilisés. En revanche la séance 3 (en gris) est plus tournée vers les modes iconiques et symboliques. On remarque un fort score de MoIc3 et MoSy3 pour la 3° séance, le professeur guidant bien plus les élèves pour le passage de l'image au langage symbolique. En effet, ce passage-là demandait un réel accompagnement de la part de l'enseignant car il s'agissait d'un saut de traduction métaphorique de l'artefact au langage mathématique.

L'exemple ci-dessous nous le montre bien. Lors de la 3° séance, les élèves doivent effectuer une question de développement, sachant qu'ils ont à disposition la question en langage mathématique sur un papier, et la même question représentée avec le dessin des jetons sur un autre papier qu'ils ont auparavant mis ensemble :

Consigne : **développer** $5 \times (x + 6)$.

Sachant que l'image associée était la suivante :

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

Voici l'extrait de l'échange qu'il y a eu entre le professeur et les élèves du groupe :

<caption>Figure 80</caption>

Extrait de la séance 4A_FaDeRes_21n_f56 unité de sens 9, de l'étape iconique à l'étape symbolique

<table><tbody><tr><td rowspan="2">4A.FDR.21n.f56.9</td><td>PE</td><td>Alors vous en êtes où ? vous avez fait le premier ? on a dit que c'était celui-ci</td><td>Arrive pour aider</td><td rowspan="2">EcRe</td><td rowspan="2"></td><td rowspan="2">Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td><strong>Est-ce que ça vous aide si il y a le dessin avec ?</strong></td><td>Montre le papier avec le dessin à côté du papier avec la question</td></tr><tr><td rowspan="6">4A.FDR.21n.f56.10</td><td>EC</td><td><strong>Oui</strong></td><td><strong>Répond immédiatement</strong></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Toi ça t'aide ?</td><td>S'adresse à EC</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et toi ça t'aide ?</td><td>S'adresse à EB</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EB</td><td></td><td>Fait oui avec sa tête</td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Fait oui avec sa tête (moins franc)</td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Alors je les laisse à côté</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FDR.21n.f56.11</td><td>EA</td><td>Je peux avoir le calcul ?</td><td></td><td rowspan="4">EcRe</td><td rowspan="4"></td><td>Mln</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ouais tu veux le calcul, tu vois pas d'ici ?</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EA</td><td>oui</td><td>Hoche la tête</td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Ha t'as pas fini d'écrire ? là y a plus... moins six...<br><strong>sinon t'as compris comment on fait ?</strong></td><td>S'adresse à ED</td><td></td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Fait non de la tête</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Tu distribue un nombre, celui-là... t'as compris ?</td><td>Dessine des flèches sur l'exemple de la fiche leçon</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Fait oui de la tête</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr></tbody></table>
Dans l'unité de sens **4A.FDR.21n.f56.9**, le professeur interroge les élèves pour avoir leur avis sur l'utilité du dessin pour les aider à comprendre la question à effectuer. Les trois affirment qu'ils ont besoin du dessin pour comprendre. Puis dans l'unité de sens **4A.FDR.21n.f56.11**, l'élève ED semble n'avoir toujours pas compris la méthode utilisée avec le mode symbolique. L'étayage du professeur devient alors indispensable dans ce saut qu'est la traduction en langage mathématique. Finalement, l'élève semble avoir compris.

Lorsque nous rapprochons ces résultats de l'étude évolutive des signes montrant le processus d'abstraction, nous remarquons un score régulier pour le codage **ChCo**, les élèves montrent régulièrement une intention de comprendre l'enjeu des questions abordées. Nous notons cependant un effectif intéressant du nombre de **AbEm** pour la 3° séance, le cours d'institutionnalisation des notions « développer » et « factoriser » semble porter du fruit car les élèves offrent beaucoup de signes d'abstraction empirique.

<caption>Figure 81</caption>

Etude évolutive des signes montrant le processus d'abstraction, 4°A

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

En effet, nous nous sommes inspirés de la méthode de la formation des concepts selon Barth (2001), qui met en avant le besoin de définir un concept par la liste de ses attributs, l'accès à une liste d'exemples et de contre-exemples, et une étiquette désignant le concept pour le comprendre dans son ensemble. Les élèves avaient accès aux attributs, exemples et contre-
exemples et étiquettes sous forme de papiers disposés sur la table. Ils devaient former deux catégories avec d'un côté tout ce qui avait un lien avec le concept « développer », et de l'autre le concept « factoriser ». Cette activité de différenciation leur a permis de bien cerner ces deux concepts, et d'être prêts ensuite à pouvoir appliquer ces deux méthodes aux exercices. Il s'agissait ici d'une nouvelle activité ou le mode enactif était à nouveau à l'œuvre (visible sur le diagramme en barre ci-dessus).

## 3.4 ANALYSE EVOLUTIVE AVEC LE LOGICIEL IRAMUTEQ

<caption>Figure 82</caption>

Etude évolutrice du nombre d'occurrences par minute, 4°A

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

A l'aide du logiciel IRamuTeq, nous avons pu calculer le nombre d'occurrences par séance, puis nous avons calculé le nombre d'occurrences par minute pour comparer l'évolution. Nous remarquons un taux plus fort pour la 1° séance, les interactions entre élèves sont plus riches à ce moment-là. Il semblerait ensuite qu'ils sont légèrement plus dans une réflexion intérieure comme temps d'appropriation de nouvelles notions, en lien avec le jeu ou les notions mathématiques.
## 3.5 EVOLUTION DE LA MOTIVATION DANS TRAVAIL D'APPRENTISSAGE

<caption>Figure 83</caption>

Etude évolutive de la fréquence du nombre de signes montrant la motivation PAR MINUTE, 4°A

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

Nous rappelons que nous n'avons pas d'équité en termes de temps écoulé pour les trois séances transcrites, nous avons donc choisi d'effectuer un calcul de fréquence par minute, afin d'opérer à une analyse quantitative évolutive de manière précise. Nous notons un fort taux de motivation intrinsèque **MIn** pour le 1° séance, l'envie d'apprendre le fonctionnement du jeu y est peut-être pour quelque chose. C'est lors de la 2° séance que le taux de motivation extrinsèque **MEx** est le plus fort, sans doute parce que le concept du jeu étant bien acquis, le plaisir de jouer et donc de gagner prend le dessus. Le taux de perturbation est nul pour la 2° séance, les élèves étant accaparés par l'envie de jouer. En revanche, dès qu'une difficulté de compréhension ou de la nouveauté est présente dans un cours, nécessairement certains décrochent et perturbent les apprentissages (d'eux-mêmes ou d'autrui). Le taux de **MIn** reste cependant plutôt élevé pour les trois séances, l'envie d'apprendre est donc plutôt constante.
# 4 ANALYSE COMPARATIVE ENTRE LES 3°F ET LES 3°D

Ce paragraphe présente une analyse comparative entre les élèves de la classe utilisant la simple manipulation des artefacts (3°F) et les élèves de la classe utilisant le jeu complet avec son aspect ludique et la manipulation des artefacts (3°D).

Pour confirmer certains points de recherches, nous avons effectué une expérimentation en plus de celle avec les classes de 4°, afin de pouvoir explorer davantage ce que l'aspect ludique pouvait apporter à un artefact pouvant être manipulé. Nous avons donc transcrit et codé une durée totale de 15 minutes d'une séance avec les 3°D utilisant le jeu, et une durée totale de 15 minutes d'une séance avec les 3°F utilisant les mêmes jetons et cubes, mais sans règles de jeu et sans les plateaux des valises et des îles qui font partie intégrante du jeu. Pour cette deuxième classe nous avons donc supprimé l'aspect ludique, et l'avons remplacé par une fiche leur permettant de suivre certaines des questions se trouvant sur les cartes missions. Pour les deux classes, les élèves étaient placés en groupe et nous avons filmé les débuts de mise en activité.

## 4.1 PRESENTATIONS DES PARTIES TRANSCRITES ET CODEES

<caption>Tableau 16</caption>

Présentation des séances transcrites et codées pour l'étude comparative entre les 3°D et les 3°F

<table><thead><tr><td>Classe</td><td>Date</td><td>Morceaux transcrits et codés</td><td>Références</td><td>Durée</td><td>Numéro d'annexe</td></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">3°D</td><td rowspan="2">9 nov</td><td>Début d'activité</td><td>3D_DA_9nov_f55</td><td>10 min41 sec</td><td>Annexe n°AD</td></tr><tr><td>Début d'activité</td><td>3D_DA_9nov_f56</td><td>5 min30 sec</td><td>Annexe n°AE</td></tr><tr><td rowspan="2">3°F</td><td rowspan="2">9nov</td><td>Début d'activité</td><td>3F_DA_9nov_55</td><td>5min</td><td>Annexe n°AF</td></tr><tr><td>Début d'activité</td><td>3F_DA_9nov_f49</td><td>10min</td><td>Annexe n°AG</td></tr></tbody></table>
## 4.2 LES INTERACTIONS (ENTRE ELEVES ET PROFESSEUR/ELEVES)

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 84</figcaption></figure>

Répartition des types d'échanges, 3°F

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 85</figcaption></figure>

Répartition des types d'échanges, 3°F

Si nous analysons les types d'échanges, nous observons un score important d'échanges restreints pour les 3°F, mais un score plus fort d'échanges tronqués pour les 3°D, les élèves utilisant le jeu. Sa prise en main semble être longue à démarrer. Mais si nous analysons le nombre d'interventions élèves ou professeurs dans le diagramme en barre ci-dessous, nous observons plus d'interventions d'élèves en 3°D, ce qui a pu gonfler le nombre d'échanges tronqués.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 86</figcaption></figure>

Nombre d'interventions élèves ou professeurs, en 3°D et en 3°F
## 4.3 LES MISES EN ACTIONS ET LES TROIS MODES DE REPRESENTATIONS DES CONNAISSANCES SELON BRUNER

En ce qui concerne les mises en actions selon les modes de représentations des connaissances selon Bruner, nous observons que le score MoEn1 est nettement plus fort en 3°D qu'en 3°F, les élèves ayant un but du jeu sont plus enclins à vouloir utiliser les jetons pour répondre à une mission que ceux qui ont une consigne à résoudre sur une fiche. En revanche, le sens associé à l'artefact suscite autant de discussions entre élèves ou avec le professeur (MoEn2), et il semblerait que le professeur ait davantage eu l'occasion d'en discuter avec les élèves en 3°D (MoEn3). Sa traduction en langage mathématique n'a été abordé qu'en 3°F, l'emplacement sur la fiche permettait cette traduction dès le début de l'activité tandis que les 3°D étaient encore sur la découverte du jeu.

<caption>Figure 87</caption>

Etude comparative des modes selon Bruner, entre les 3°D et les 3°F

<figure><img src="image_76.png" /></figure>
## 4.4 LA MOTIVATION DANS TRAVAIL D'APPRENTISSAGE

Le point intéressant à analyser entre ces deux classes tourne autour des signes montrant la motivation. Nous remarquons un effectif similaire des motivation intrinsèque (MIn) entre les deux classes, elles sont toutes les deux prêtent à apprendre des notions nouvelles et s'investissent de manière équivalente. En revanche, l'effectif de motivations extrinsèques (MEx) révèle que l'apport ludique offrirait plus de facteurs de motivation pour les 3°D, l'envie de réussir les différentes étapes du jeu ajoutant probablement de la motivation dans les actions. Le score plus élevé de signes révélant les éléments perturbateurs confirme cela dans la classe de 3°F qui semblerait davantage s'ennuyer.

<caption>Figure 88</caption>

Etude comparative des signes montrant la motivation

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

# 5 ANALYSE DES RESULTATS DU QUESTIONNAIRE

Il nous a semblé pertinent d'interroger les élèves sur leur ressenti quant au dispositif qu'ils avaient pu utiliser, et l'aide que cela a pu ou non leur apporter. C'est à la toute fin de l'expérimentation que nous avons questionné leur avis, afin qu'ils puissent s'exprimer sur leur expérience. Mais comme ils n'avaient pas vécu les mêmes expérimentations, les questions ont légèrement été adaptées, comme l'emploi du conditionnel pour ceux qui n'avaient pas eu accès
à tous les éléments de l'artefact. En revanche, seule la classe des 4°C n'a pas été questionnée, n'ayant eu accès à aucun élément du jeu, il aurait été trop complexe pour eux de se projeter dans une expérience qu'ils n'avaient pas du tout vécue. Les différents questionnaires sont en pièces jointes. Pour plus de facilité dans la lecture des résultats, nous présentons des diagrammes circulaires comportant le titre de la question, la classe, et les choix de réponses à cocher.

Pour rappel :

<caption>Tableau 17</caption>

Rappel protocole d'expérimentation pour toutes les classes

<table><thead><tr><td>Classes</td><td>Mode d'expérimentation</td></tr></thead><tbody><tr><td>4°A</td><td>Utilisant le jeu sérieux en entier, images sur un fiche pour la dernière séance, découverte des notions.</td></tr><tr><td>4°E</td><td>Utilisant seulement les images de l'artefact sur des fiches, découverte des notions.</td></tr><tr><td>4°C</td><td>Utilisant le langage mathématique seulement (pas de questionnaire), découverte des notions.</td></tr><tr><td>3°D</td><td>Utilisant le jeu sérieux en entier, images sur un fiche pour la dernière séance, révision des notions.</td></tr><tr><td>3°F</td><td>Utilisant les objets et les images de l'artefact, mais sans la dimension ludique, révision des notions.</td></tr></tbody></table>

## 5.1 LE BESOIN DE MANIPULER DES ARTEFACTS

Nous les avons questionnés sur leur besoin de passer par l'étape de la manipulation d'objets (d'artefacts) pour comprendre des notions abstraites, c'est-à-dire l'étape enactive selon Bruner. Voici les résultats des classes 4°A, 3°D et 3°F aux questions 2) et 4), sachant qu'elles ont toutes les trois utilisé les jetons sur les tables :
<caption>Figure 89</caption>

Trois résultats à la question 2) du questionnaire pour les 4°A, 3°D et 3°F

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Il semblerait que le fait d'avoir eu accès à la manipulation de l'artefact (cubes et jetons) ait globalement **apporté de l'aide** à ces trois classes, mais seulement dans une certaine mesure pour les 3° qui connaissaient déjà les notions de calcul littéral : l'artefact a peut-être pu alourdir les notions finalement déjà acquises, ou bien peut-être a pu rajouter un éclaircissement à ce qui était resté obscur. Pour les 4°A, 39% ont affirmé que cela les avait « beaucoup » aidés, un score intéressant car l'artefact était ici une porte d'entrée à la découverte des notions développer et factoriser.

Les élèves de ces trois classes ayant toutes eu accès à la manipulation, il est intéressant de les interroger sur un renouvellement de cette méthode sur d'autres chapitres, et peut-être un besoin qu'ils ressentent de passer à nouveau par un artefact pour les apprentissages en mathématiques. C'est le sujet de la question 4) dont nous présentons les résultats ci-dessous :

<caption>Figure 90</caption>

Trois résultats à la question 4) du questionnaire pour les 4°A, 3°D et 3°F

<figure><img src="image_79.png" /></figure>
Pour les 4°A et les 3°D, environ la moitié ou plus expriment un besoin d'avoir cette approche de manière régulière, mais peut-être aussi à chaque chapitre (ici seulement 13% et 11%, mais une nuance est à apporter dans la présentation du questionnaire, la case « pour chaque chapitre » était peut-être moins visible). En revanche, les 3°F qui ont utilisé les artefacts sans la dimension ludique montrent un intérêt plus modéré de cet outil. Le format jeu sérieux serait donc peut-être une plus-value à ne pas négliger si l'on souhaite réitérer l'expérience.

Du côté des 4°E qui n'ont eu accès qu'aux images et aux objets mais sans pouvoir les toucher ou les manipuler (seul le professeur les montrait), voici leurs résultats :

<caption>Figure 91</caption>

Résultats aux questions 2) et 4) du questionnaire pour les 4°E

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

La moitié exprime le besoin de toucher ce qu'ils voient (moyennement et beaucoup), donc qu'une simple image ne leur suffirait pas pour comprendre les questions posées. Quant au besoin d'utiliser plus souvent du matériel à manipuler, il semblerait que le fait de ne pas y avoir eu accès, ils n'ont pas connu ce que cela pourrait leur apporter véritablement, leur besoin est donc majoritairement « un peu de temps en temps », moindre que les trois autres classes. On pourrait dire que les classes précédentes y ont peut-être « pris goût ».

## 5.2 L'ETAPE ICONIQUE

La question 3) du questionnaire interrogeait les élèves sur la plus-value du dessin des jetons et cubes en termes de compréhension des questions, c'est à dire l'étape iconique selon Bruner.
<caption>Figure 92</caption>

Trois résultats à la question 3) du questionnaire pour les 4°A, 3°D et 3°F

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Les 4°A et les 3°D avaient dans un premier temps accès aux images par les cartes « missions », sans formulation mathématique. Dans un deuxième temps, ils avaient tous une fiche avec des images et des questions en langage mathématique, mais n'avaient plus les jetons. Les 3°F eux ont des questions mathématiques avec l'image et les jetons. Même s'il semblerait que ce soit davantage le cas lorsqu'il y a l'utilisation du jeu, dans tous les cas, l'aide de l'image représentative a majoritairement aidé les élèves. Et c'est confirmé par les résultats de la 4°E qui n'a pas utilisé l'artefact, la moitié considère que les dessins les ont beaucoup aidé.

<caption>Figure 93</caption>

Résultats aux questions 2) et 3) du questionnaire pour les 4°E

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

## 5.3 LA PLUS-VALUE DU JEU SERIEUX VUE PAR LES ELEVES
Pour conclure ces résultats, les élèves ont été interrogés sur le besoin d’utiliser des jeux sérieux en classe pour mieux apprendre. Voici un groupement des réponses, les 4°A et 3°D qui ont utilisé le jeu, et les 4°E et 3°F qui n’ont pas utilisé le jeu.

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 95</figcaption></figure>

Résultats à la question 1) du questionnaire pour les 4°A et 3°D

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 94</figcaption></figure>

Résultats à la question 1) du questionnaire pour les 4°E et 3°F

Notons que pour les 4°A et 3°D, plus de la moitié des élèves ont beaucoup apprécié utiliser un jeu sérieux pour apprendre, et sont sûrement prêts à renouveler l'expérience. Les 4°E et 3°F sont un peu moins emballés par l'efficacité d'une telle idée de dispositif, mais semblent être quand même partants pour essayer (72% cumulent le moyennement et beaucoup). Nous lisons par ces réponses un intérêt plutôt fort du jeu sérieux comme un outil d'apprentissage, et des élèves davantage convaincus lorsqu'ils ont pu en vivre l'expérience.
# 6 SYNTHESE DES RESULTATS

Nous présentons dans cette partie une synthèse des résultats ci-dessus.

Dans la première étude comparative entre les 4°A et les 4°E, nous avons mesuré l'apport en première phase du mode enactif chez les 4°A qui n'était pas présente chez les 4°E, mais toutes deux comportaient les modes iconiques et symboliques. Il semblerait que la manipulation d'objets à travers l'artefact ait apporté aux élèves de 4°A une diversité dans les apprentissages, c'est-à-dire dans les différentes approches de la notion (objets, images, symboles) que l'on retrouve dans les codages des modes selon Bruner et dans l'analyse avec le logiciel IRaMuTeq. On mesure aussi un nombre plus grand d'occasions pour l'élève de se mettre en action dans sa réflexion par les gestes intelligents qu'il crée, il enrichit ainsi le nombre de signes montrant les moments d'abstractions, que ce soit en mesurant les mises en actions selon les modes de Bruner, ou en mesurant les signes révélant l'acquisition des connaissances.

L'utilisation des images (mode iconique) apporte une aide aux deux classes, notamment pour la traduction en langage mathématique. Les résultats du questionnaire nous le confirment, ainsi que les extraits du corpus. Il semblerait que les élèves de 4°A qui ont eu les objets réels entre les mains s'approprient davantage la phase iconique que ceux qui n'ont les dessins que sur les fiches, mais les 4°E prennent plus facilement un crayon pour représenter eux-mêmes le langage symbolique. Les élèves des 4°E ont bénéficié davantage d'aide du professeur, et sûrement la configuration de la classe et le support pédagogique y sont pour quelque chose. Les 4°A étaient donc davantage en autonomie dans leur travail.

En ce qui concerne la dimension ludique, les élèves des 4°A ont manifesté plus de signes révélant la motivation, que ce soit la motivation intrinsèque ou extrinsèque. D'ailleurs, l'ennui était bien moins visible pour cette classe que pour les 4°E, parfois même laissant paraître des signes de plaisir ou de joie dans la pratique du jeu. Ils ont d'ailleurs davantage essayé de répondre aux questions, que leurs réponses soient finalement justes ou fausses.

Dans la deuxième étude comparative, celle entre les 4°A et les 4°C, nous avons cette fois-ci analysé les écarts que l'on pouvait mesurer entre ceux qui abordaient les notions du calcul littéral avec le jeu (objets, dessins, symboles), et ceux qui n'utilisaient aucun artefact, mais seulement le langage mathématique.
Nous avons pu observer que les 4°A avaient davantage d'échanges étendus et restreints, et les 4°C plus d'échanges tronqués, ce qui pourrait révéler une réflexion plus approfondie pour les élèves disposant du jeu. Comme pour l'étude comparative précédente, les trois modes de Bruner étant tous accessibles, les 4°A sont plus actifs et de manière plus variée que les 4°C qui eux n'utilisent qu'un seul mode. Ces derniers ont d'ailleurs eux aussi plus bénéficié d'aide de la part du professeur, qui menait le cours au tableau, donc dirigeait aussi la réflexion collective. Ce qui nous amène à comparer les signes d'abstraction : que ce soient les signes montrant l'abstraction comme démarche intellectuelle pour élaborer les concepts que l'on mesurait avec les codages relatifs aux trois modes de Bruner, ou les signes révélant l'abstraction comme connaissance acquise, les 4°A montrent davantage de ces signes que les 4°C. Il semblerait que la variété de représentations des concepts dont dispose le jeu enrichisse le processus d'abstraction chez les 4°A.

Des erreurs dites « courantes » rattachées à la variable (ici notée *x*) sont présentes à plusieurs reprises pour les 4°E mais pas pour les 4°A comme le montre l'analyse.

En ce qui concerne la motivation, l'analyse comparative est la même que pour celle avec les 4°E, davantage de signes montrant la motivation intrinsèque et la motivation extrinsèque, et plus de signes de perturbations pour les 4°C.

Pour l'étude évolutive de la 4°A, nous observons bien l'évolution des trois phases du mode enactif, vers le mode iconique, et vers le mode symbolique, le long des trois séances. Le passage au langage mathématique semblait être difficile pour les élèves qui ont eu davantage besoin d'aide de la part du professeur. Comme dit plus haut, le mode iconique a été un réel appui pour certains, un besoin de se détacher de l'objet pour en commencer la représentation abstraite. Nous notons une augmentation de signes d'abstractions le long des séances et un besoin constant de chercher à comprendre les différents points abordés. La motivation intrinsèque était elle aussi constante, car elle va de pair avec l'envie de comprendre. En revanche la motivation extrinsèque diminue le long des séances, le plaisir de jouer étant de moins en moins présent.

L'étude comparative entre les 3°F et 3°D confirme les résultats ci-dessus : la dimension ludique dont a bénéficié la 3°D apporte davantage de motivation extrinsèque aux apprentissages et diminue ainsi les signes de perturbations. En revanche, la motivation intrinsèque est équivalente, l'envie d'agrandir ses connaissances est la même. Notons quand même que
l'artefact a été pris en main (pour répondre aux questions) plus souvent avec le support du jeu qu'avec simplement la fiche de questions, ce qui montrerait que la dimension ludique suscite plus de mises en actions dans les apprentissages.

Pour finir cette synthèse des résultats, le point de vue des élèves est riche d'informations : l'approche des mathématiques par la manipulation d'objets paraît être pour un grand nombre d'élèves un moyen d'enseignement qui devrait être renouvelé plus souvent, voire régulièrement, peut-être y ont-ils rencontré une approche qui leur correspondait pour les aider à comprendre davantage les notions. La dimension ludique comme aide aux apprentissages semble aussi susciter de l'intérêt auprès des élèves, notamment ceux qui en ont en fait l'expérience, plus convaincus que ceux qui ne connaissent pas.

De manière globale, il semblerait que le temps de la mise en place du jeu devienne du temps en moins pour la maîtrise de la notion mathématique dans le langage mathématique. C'est un point qui sera discuté, parmi d'autres, dans le paragraphe ci-dessous.
# 7 DISCUSSION

Avant d'ouvrir la discussion entre les résultats de notre expérimentation et la revue de littérature présentée dans une partie précédente, nous devons rappeler que nous avons disposé de peu de temps pour l'expérimentation ainsi que pour le dépouillement de ses captations filmées. Les résultats auraient pu être différents avec un plus grand nombre d'expérimentations, et une analyse plus longue dans le temps pour mesurer et comparer de manière plus précise les effets, positifs et négatifs, et l'apport du dispositif mis en œuvre.

Néanmoins, nos résultats rentrent souvent en résonnance avec les résultats de la recherche, que ce soit du point de vue de l'efficacité du procédé, ou des pièges dans l'élaboration pédagogique que nous avons pu rencontrer. Nous présentons cette discussion d'un point de vue chronologique par rapport au déroulement de l'expérimentation.

Le manque de motivation de la part des élèves face aux apprentissages mathématiques était le point de départ de notre recherche. Ce constat a été mesuré (Villani &Torossian, 2018), et nous voulions le mettre en lumière lors de nos études comparatives : la classe des 4°C était la classe dite « tampon » c'est-à-dire celle qui ne bénéficiait d'aucune mise en œuvre avec artefacts. Effectivement, lors des deux séances d'expérimentation, elle montre moins de signes de motivation intrinsèques et extrinsèques que la 4°A.

Ensuite, lors de la conception du jeu sérieux, nous avons pris conscience qu'une mauvaise utilisation du matériel peut nuire aux apprentissages (Corriveau et Jeannotte, 2015), le dispositif doit être une aide à la compréhension et non la simplification d'un concept. A travers les résultats du questionnaire donné aux élèves, il semblerait qu'une bonne proportion des élèves ait considéré cet outil comme une aide à la compréhension. Du point de vue du « malentendu sémiotique » (Assude, 2017), il semblerait que la formulation des questions sur les cartes « missions » ait présenté des difficultés de compréhension de la part des élèves, la présence du professeur a été nécessaire plus que prévu au moins dans le lancement du jeu.

Toujours dans la conception du jeu, l'articulation didactique/ludique (Pelay, 2011) a été très difficile à mettre en place. Maintenir la tension jusqu'au bout de la partie entre l'envie de continuer le jeu et l'envie d'apprendre était un vrai défi. Le score relevant le nombre de questions réalisées ou tentées de l'être, le nombre constant de signes de motivations et le taux
faible de perturbations pourraient nous laisser penser que cette tension positive a été maintenu jusqu'au bout. Ce qui confirmerait l'hypothèse de Pelay qui affirme que l'on peut jouer et apprendre en même temps, dans la mesure où l'on reste dans la zone proximale de développement où l'élève peut apprendre de lui-même jusqu'à un certain point où l'intervention du professeur est nécessaire.

Lors de la première séance, nous retrouvons les résultats de l'expérimentation avec l'« Ecole de la deuxième chance » (Assude, Feuilladieu et Dunan, 2015) qui affirmait que la manipulation d'objets permettait aux élèves de rentrer plus facilement dans l'activité mathématique, et pour certains de renouer avec cette matière. D'autre part, le rapport de l'élève au problème en est modifié, notamment par rapport à la peur de commettre une erreur (Medici, Ricci & Rinaldi, 2017). En effet, le score élevé de mode enactif pour les 4°A, les 3°D et 3°F révèlerait une plus forte envie d'essayer de la part des élèves, souvent globalement plus inactifs en 4°E ou 4°C. Le nombres d'erreurs commises est aussi plus élevé pour ces classes, il semblerait qu'ils ont davantage osé répondre, peu importe s'ils commettaient des erreurs, sachant que le livret des solutions était à leur disposition, ne portant pas de jugement sur les réponses négatives de la part des élèves. Le score globalement plus fort de motivation intrinsèque confirme aussi que l'envie d'apprendre et de réussir est plus engagée.

Du point de vue de l'autonomie, comme le soulignent les résultats de la recherche nommée SCOLA concernant l'étude des jeux sérieux auprès de trente collèges, la volonté de rendre les élèves autonomes a pu être mesurée dans le nombre plus important d'échanges et d'aide mutuelle entre élèves. Ainsi, l'hétérogénéité a pu être davantage gérée, contrairement aux 4°C et 4°E qui ont bénéficié d'un cours plus frontal, donc faisant participer un nombre plus restreint d'élèves. Néanmoins, nous retrouvons aussi la difficulté supplémentaire de l'adaptation que nécessite un nouveau support, et finalement l'aide à nouveau réquisitionnée du professeur. Nous avons choisi de ne pas introduire de dimension numérique au jeu sérieux (contrairement à l'étude SCOLA) pour ne pas souffrir des problèmes techniques que l'on peut souvent rencontrer.

Nous notons une difficulté lors du passage au mode symbolique. Il est en effet un point de difficulté régulièrement levé (Corriveau et Jeannotte, 2015), la manipulation d'objets pour apprendre doit garder sa « fonction ultime de permettre le passage du concret à l'abstrait ». Nous avons voulu éviter un « passage trop abrupt » (Assude, 2017) en offrant dans un premier temps le choix aux élèves de traduire leurs questions en langage mathématique, en leur donnant
une fiche « traduction » afin de s'y référer autant qu'ils estiment en avoir besoin. Malgré tout, le nombre restreint de questions sous forme de dessins, traduites en langage mathématique lors du jeu, le temps que cela a demandé lors de la dernière séance pour effectuer les questions de développement et factorisation et le nombre d'interventions du professeur pour aider les élèves dans cette étape montrent que le passage au mode symbolique reste un point difficile à aborder, voire semblerait alourdir l'objectif premier qui serait maîtriser les concepts étudiés. La question du temps semble avoir une part particulièrement importante dans la gestion de ce passage délicat. Certains considèrent la manipulation d'objets comme un gain de temps au raisonnement mathématiques (Medici, Ricci & Rinaldi, 2017), tandis que d'autres y voient une perte de temps pour accéder à la généralisation des concepts rencontrés (Assude, Feuilladieu et Dunan, 2015).

En ce qui concerne les conséquences du point de vue de l'abstraction, la manipulation d'objets « favoriserait le raisonnement » (Corriveau & Jeannotte, 2018) : la variété plus grande des signes montrant l'utilisation des différents modes de Bruner, le nombre plus important d'échanges étendus, et d'échanges de tout type entre élèves, le nombre plus grand de signes révélant l'abstraction (notamment empirique), sont autant de signes révélant que le raisonnement en est renforcé. D'autre part, la manipulation d'objets permettrait aussi de « comprendre plus en profondeur », de donner plus de « sens mathématique » aux apprentissages (Audrin, 2020) : du point de vue de l'analyse des erreurs autour du sens de la variable commises par les 4°C sur leur cahier, celles-ci révéleraient un manque de compréhension des calculs autour du développement, du sens que l'on accorderait à des techniques opératoires que l'on peut apprendre et répéter sans en connaître la profondeur. Les réponses des élèves à la question du besoin de renouveler régulièrement une telle expérimentation afin de mieux comprendre les mathématiques pourrait laisser penser que cet artefact ait donné davantage de sens à leurs apprentissages.

Dans les séances suivant le jeu, nous retrouvons les résultats démontrant que l'alternance de manipulation, verbalisation et représentation aident l'élève à se créer des images mentales qu'il va pouvoir réutiliser ensuite (Berlanger & Gilbert, 2017). Dans notre dispositif, la création d'images représentant les objets renforçant le mode iconique était une aide à la création d'images mentales. Pour toutes les classes sauf pour les 4°C, cette étape a été à la fois un sujet de conversation entre élèves ou avec le professeur, et considérée de manière positive concernant l'aide que cela a pu apporter dans la résolution des questions. On peut le voir aussi dans le choix de dessiner soi-même les objets comme une aide pour répondre aux questions.
Une étude plus approfondie dans les séances suivantes aurait permis de mesurer l'utilisation de ces images mentales comme un signe d'abstraction réfléchissante.

Nous pouvons conclure ce temps de discussion en disant que nous retrouvons beaucoup de résultats du point de vue de la recherche. Mais comme le sujet de la manipulation d'artefacts en cours de mathématiques du cycle 4 est encore trop peu exploré, et que notre étude est basée sur trop peu d'éléments exploitables, nous pouvons mesurer à quel point les nombreux paramètres mis en jeu sont autant de points obscurs, invitant à éviter les conclusions trop hâtives. Néanmoins, il semblerait que la notion de plaisir dans les apprentissages soit tout de même vraiment accentuée, ce qui engagerait beaucoup plus les élèves dans la découverte de nouvelles notions. Même s'il semble qu'une telle situation adidactique devienne un moteur pour le raisonnement mathématique en découverte de nouvelles notions (expérimentation), elle peut toujours apporter un éclaircissement notamment sur le sens que contiennent les concepts abordés, comme nous avons pu l'observer dans l'expérimentation avec les 3°. Cette dernière confirme les résultats de la recherche sur l'expérimentation auprès des étudiants en formation de professeurs du primaire, qui semblent redécouvrir le sens profond du calcul mathématique (Audrin, 2020).
Conclusion

Les travaux de recherche que nous avons engagés sur la thématique de l'utilisation d'artefacts en cours de mathématiques, et l'expérimentation que nous avons menée dans cinq classes de collège, nous ont permis d'explorer et d'analyser des éléments répondant à la problématique présentée dans l'introduction de ce mémoire : **dans quelles mesures l'utilisation et la manipulation des artefacts favorisent-elles l'abstraction de la notion du calcul littéral en classe de 4° et 3° ?**

Nous avons volontairement choisi de ne pas développer toutes les étapes de la conception du jeu sérieux « Le livreur » dans ce mémoire, situation adidactique utilisant les atouts du socioconstructivisme. Rappelons cependant qu'il s'agit d'un outil de médiation scientifique, dans la mesure où son objectif est de rendre plus accessible auprès des élèves un savoir mathématique soulevant souvent des difficultés de compréhension, étant à la fois un outil de médiation instrumentale qui fonctionne en autonomie, mais aussi de médiation humaine car le professeur apporte l'étayage nécessaire pour sa prise en main, de la compréhension des règles du jeu à son utilisation mathématique. Lors de sa création, chaque détail a été pensé de manière à répondre aux exigences pédagogiques d'un artefact ludique permettant aux élèves de s'approprier progressivement les notions exigées par le programme de 4° : révision des opérations avec les nombres relatifs, réinvestissement de la notion de réduction à travers les cubes, jetons et cercles multiplicateurs, puis découverte des notions de développement et factorisation. Ce mémoire n'a pas non plus vocation à évaluer notre outil, même si nous sommes conscients que l'efficacité de ce dispositif peut largement influencer la validité de nos résultats. Nous nous appuyons sur l'avis positif qu'a pu donner la professeure nous accueillant dans ses classes, titulaire du CAFFA (Certificat d'Aptitude aux Fonction de Formateur Académique). Dans ce mémoire, nous avons préféré mesurer les effets de ce jeu sérieux sur les apprentissages des élèves et mener nos recherches dans ce sens.

Relativement au nombre peut-être trop restreint de captations filmées, notamment sur les séances qui ont suivi l'utilisation du jeu, nous avons néanmoins pu dégager un certain nombre d'éléments nous permettant de valider, dans une certaine mesure, nos deux hypothèses de départ, que nous rappelons ci-après :
**Hypothèse 1** : La mise en forme des trois modes de représentation de Bruner (le mode « enactif », le mode « iconique » et le mode « symbolique ») dans une activité mathématique permet d'accompagner les élèves à l'abstraction sur la notion du calcul littéral en 4°.

**Hypothèse 2** : L'utilisation d'un jeu sérieux motive les élèves à effectuer une activité et à s'approprier de manière plus intense les notions par rapport à une activité sans aspect ludique, en 4° et en 3°.

L'hypothèse 1 orientait nos recherches sur la plus-value apportée par la manipulation intelligente du matériel mis à disposition incluant les trois modes de la connaissance selon Bruner, l'hypothèse 2 se concentrait davantage sur l'apport ludique du dispositif.

En appui de la synthèse de nos résultats, éclairée par les résultats de la recherche, nous pouvons émettre comme éléments de réponse à l'hypothèse 1 que la manipulation d'objets, employés comme une métaphore de situations-problèmes, permettrait effectivement d'accompagner les élèves sur le chemin de l'abstraction, plus précisément en termes de sens qu'ils peuvent donner aux symboles mathématiques qu'ils devront ensuite manipuler à plus grande échelle lors de calculs à effectuer. Le sens métaphorique que nous leur offrons aurait l'avantage de permettre à un plus grand nombre d'entrer dans l'activité, d'oser essayer de répondre aux questions, en diminuant la peur de l'erreur : nous avons mesuré davantage de mises en actions de la part des élèves, des échanges plus étendus entre eux, et davantage de signes montrant l'abstraction empirique, c'est-à-dire l'intégration de notions nouvelles, avant de pouvoir être réemployées dans des situations similaires.

D'ailleurs, ce support semble avoir permis aux élèves d'éviter de commettre une erreur de sens courante dans le calcul littéral en lien avec la variable, qui est habituellement reprise dans le cours en corrigeant les problèmes techniques liés à cette erreur, par répétition d'exercices suivant un modèle correct. L'objectif n'était pas d'éviter l'erreur, qui a une place positive dans les apprentissages lorsqu'elle permet aux élèves d'analyser plus en profondeur un nouveau concept (l'erreur devenant un contre-exemple), mais plutôt de permettre à l'élève de saisir, dès le début de la séquence, le statut de la lettre représentant une variable comme étant un nombre, dont la valeur « mystère » chamboule parfois la compréhension des règles de calculs. En cela, l'utilisation de l'artefact permettrait au concept « réduire » (réutilisée dans les notions « développer » et « factoriser ») d'être renforcé par la compréhension de l'un des
attributs suivants, habituellement difficile à mettre en œuvre dans les calculs par certains élèves : « les priorités de calcul sont conservées même en présence d'une lettre représentant un nombre ».

Nous rajoutons une précision à la validité de l'hypothèse 1 : la représentation du mode « enactif » semble accentuer les apprentissages lorsque ce mode est pleinement employé par les élèves, c'est-à-dire lorsqu'ils manipulent des artefacts au moins sur une bonne partie de la séance, et pas seulement comme démonstration par la manipulation seule du professeur devant une classe entière. L'étape « iconique » semble être alors davantage efficace, elle deviendrait alors un outil permettant à l'élève de se créer plus facilement des images mentales (étape d'abstraction empirique) plus faciles à réutiliser pour de nouvelles questions (étape d'abstraction réfléchissante).

Nous atténuons la validité de l'hypothèse 1 lorsque nous analysons le passage au mode « symbolique ». Le fait d'avoir introduit un artefact dont il faut découvrir d'abord les règles qui lui sont propres, semble prolonger le déroulement de la séquence, mais aussi apporter une difficulté supplémentaire qui est celle de la traduction en langage mathématique. Ce passage n'a pas lieu lorsqu'on utilise seulement le format symbolique dès le début (format de cours sans artefact). Ce passage délicat est à double tranchant : soit l'élève fragile se perd puis décroche, l'artefact perd alors tout son intérêt, et le temps qui a été accordé à sa mise en place devient inutile ; soit l'élève prend confiance en lui car la marche a été franchie, et il est prêt à utiliser les images mentales qu'il s'est construites pour devenir ensuite performant dans la technicité des calculs symboliques, car il a saisi le sens profond des concepts étudiés. C'est cette étape-là que nous n'avons malheureusement pas pu évaluer et mesurer en détail lors de notre expérimentation. Ce sont à la fois les résultats de la recherche qui le mentionnent, mais aussi les bribes de conversations que nous avons pu entendre autour de l'expérimentation, malheureusement non enregistrés pour être intégrées dans le corpus.

L'hypothèse 2 explore deux idées sous-jacentes. En effet, d'une part, puisque l'artefact peut pleinement fonctionner sans « règles de jeu », nous avons voulu mesurer la plus-value de l'association « artefact/ludique » par rapport à l'artefact seul (étude comparative entre les 3°D et les 3°F, et l'étude comparative entre les 4°A et les 4°E). D'autre part, nous avons mesuré ce qu'un jeu sérieux pouvait apporter par rapport à une activité sans artefact et sans dimension ludique (étude comparative entre les 4°A et les 4°C). Finalement, il en ressort globalement les mêmes résultats : l'aspect ludique de la mise en œuvre d'un jeu sérieux augmenterait à la fois
les indices de motivation de la part des élèves, mais surtout la motivation extrinsèque, la motivation intrinsèque étant assez équivalente dans les deux cas. Elle aurait l'avantage de renforcer les mises en actions des élèves, de favoriser les échanges entre eux, et donc de valoriser les atouts du socioconstructivisme. D'autre part, les élèves montrent moins de signes d'ennui car les signes de perturbations sont à ce moment-là diminués. L'hypothèse 2 est donc confirmée, dans la mesure ou l'apport ludique est intégré de manière à maintenir l'articulation didactique/ludique le plus longtemps possible pour maintenir l'envie de se saisir des apprentissages que recèle le jeu sérieux. L'utilisation d'un artefact semble être plus efficace si la dimension ludique y est intégrée, pour éviter peut-être une lassitude de son utilisation (nous l'avons brièvement perçu dans la classe des 3°D lors de la séance qui a suivi celle où ils utilisaient seulement l'artefact sans le format jeu qui lui est associé, séance non analysée). Néanmoins, cette utilisation demande aussi plus de temps car les règles du jeu peuvent parfois être difficile à comprendre.

Ce bilan, plutôt positif dans le fait d'avoir partiellement validé les deux hypothèses de recherche, ouvre néanmoins plusieurs questionnements latents.

Notre artefact, élaboré dans le but d'offrir aux élèves une entrée alternative aux notions du calcul littéral en 4° et 3°, et renforcé par un aspect ludique pour faire de lui un jeu sérieux, est-il concrètement réutilisable par d'autres professeurs ? Un début de réponse a pu nous être apporté lors de l'engouement manifesté par les professeurs qui ont pu l'essayer lors de l'événement Ludovia en février 2023 à Punaauia (Tahiti, Polynésie française). Mais sa mise en œuvre dans une classe demande de l'énergie, tant dans la préparation, que dans le réinvestissement dans les séances suivantes de sa dimension métaphorique pour manipuler le langage mathématique. Sa plus-value en vaut-elle vraiment la peine ?

Par ailleurs, comment multiplier la création de nouveaux artefacts, comportant ou non une dimension ludique, afin de proposer aux professeurs désireux de répondre à la 5° mesure pour l'enseignement des mathématiques de faire manipuler, expérimenter, verbaliser et abstraire les élèves ? Quelle place complémentaire peut-on donner aux usages numériques ? Lors du stage du semestre 10, nous avons pu explorer cette piste sur plusieurs niveaux et dans plusieurs thèmes du programme, mais les critères de validité et d'efficacité de tels outils pédagogiques restent à définir, l'état de la recherche ne fournissant pas suffisamment d'éléments guidant les professeurs de collège dans cette démarche.
Pour finir, le travail de recherche et la mise en œuvre de son expérimentation que j’ai
pu entreprendre pour la rédaction de ce mémoire ont grandement enrichi mes attentes
professionnelles en termes d’exploration de nouvelles pratiques pédagogiques, et par ce biais
m’ont permis de réfléchir avec des connaissances renouvelées aux questions liées à la
didactique des mathématiques. Ils m’ont permis de découvrir en quoi consistait la recherche en
sciences de l’éducation, d’affiner mes connaissances sur les étapes d’apprentissage des élèves,
leurs besoins et leurs limites. Il serait intéressant de mesurer l’efficacité de l’utilisation
d’artefacts à manipuler de manière régulière par les élèves en cours de mathématiques au niveau
collège à une plus grande échelle, et de pouvoir apporter des éléments de réponses aux
questionnements évoqués ci-dessus. Ce pourrait être le champ d’étude d’une thèse, avec pour
objectif final de convaincre et d’accompagner un certain nombre d’enseignants voulant tenter
l’utilisation régulière d’artefacts, et permettre aux élèves qui en bénéficient de prendre plaisir à
pratiquer les mathématiques, chacun à leur niveau, en progressant dans ce domaine.
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Zone Proximale de Développement (2020, 8 octobre). Dans Wikipédia.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Zone_proximale_de_d%C3%A9veloppement

## Sitographie

Recherche avancée : matériel de manipulation et type=article de périodique ou revue (univ-irem.fr) consulté le 05/03/2023

Recherche avancée : matériel de manipulation et type=actes de colloques, de congrès, de séminaire (univ-irem.fr) le 05/03/2023

## Tables des tableaux

<table><tr><td>Tableau 1</td><td>70</td></tr><tr><td>Tableau 2</td><td>71</td></tr><tr><td>Tableau 4</td><td>72</td></tr><tr><td>Tableau 5</td><td>74</td></tr><tr><td>Tableau 6</td><td>75</td></tr><tr><td>Tableau 7</td><td>76</td></tr><tr><td>Tableau 8</td><td>77</td></tr><tr><td>Tableau 9</td><td>78</td></tr><tr><td>Tableau 10</td><td>79</td></tr><tr><td>Tableau 11</td><td>85</td></tr><tr><td>Tableau 12</td><td>86</td></tr><tr><td>Tableau 13</td><td>89</td></tr><tr><td>Tableau 14</td><td>94</td></tr><tr><td>Tableau 15</td><td>109</td></tr><tr><td>Tableau 16</td><td>120</td></tr><tr><td>Tableau 17</td><td>127</td></tr><tr><td>Tableau 18</td><td>131</td></tr></table>
Tables des figures

<table><tr><td>Figure 1</td><td>20</td></tr><tr><td>Figure 2</td><td>21</td></tr><tr><td>Figure 3</td><td>30</td></tr><tr><td>Figure 4</td><td>31</td></tr><tr><td>Figure 5</td><td>32</td></tr><tr><td>Figure 6</td><td>36</td></tr><tr><td>Figure 7</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure 8</td><td>41</td></tr><tr><td>Figure 9</td><td>42</td></tr><tr><td>Figure 10</td><td>43</td></tr><tr><td>Figure 11</td><td>45</td></tr><tr><td>Figure 12</td><td>50</td></tr><tr><td>Figure 13</td><td>52</td></tr><tr><td>Figure 14</td><td>52</td></tr><tr><td>Figure 15</td><td>53</td></tr><tr><td>Figure 16</td><td>53</td></tr><tr><td>Figure 17</td><td>53</td></tr><tr><td>Figure 18</td><td>56</td></tr><tr><td>Figure 19</td><td>58</td></tr><tr><td>Figure 20</td><td>70</td></tr><tr><td>Figure 21</td><td>70</td></tr><tr><td>Figure 22</td><td>70</td></tr><tr><td>Figure 23</td><td>70</td></tr><tr><td>Figure 24</td><td>71</td></tr><tr><td>Figure 25</td><td>71</td></tr><tr><td>Figure 26</td><td>72</td></tr><tr><td>Figure 27</td><td>72</td></tr><tr><td>Figure 28</td><td>72</td></tr><tr><td>Figure 29</td><td>72</td></tr><tr><td>Figure 30</td><td>74</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 31</td><td>74</td></tr><tr><td>Figure 32</td><td>75</td></tr><tr><td>Figure 33</td><td>75</td></tr><tr><td>Figure 34</td><td>76</td></tr><tr><td>Figure 35</td><td>76</td></tr><tr><td>Figure 36</td><td>77</td></tr><tr><td>Figure 37</td><td>77</td></tr><tr><td>Figure 38</td><td>79</td></tr><tr><td>Figure 39</td><td>79</td></tr><tr><td>Figure 40</td><td>80</td></tr><tr><td>Figure 41</td><td>80</td></tr><tr><td>Figure 42</td><td>80</td></tr><tr><td>Figure 43</td><td>85</td></tr><tr><td>Figure 44</td><td>88</td></tr><tr><td>Figure 45</td><td>88</td></tr><tr><td>Figure 46</td><td>90</td></tr><tr><td>Figure 47</td><td>91</td></tr><tr><td>Figure 49</td><td>95</td></tr><tr><td>Figure 48</td><td>95</td></tr><tr><td>Figure 50</td><td>96</td></tr><tr><td>Figure 51</td><td>97</td></tr><tr><td>Figure 52</td><td>99</td></tr><tr><td>Figure 53</td><td>100</td></tr><tr><td>Figure 54</td><td>100</td></tr><tr><td>Figure 55</td><td>101</td></tr><tr><td>Figure 56</td><td>102</td></tr><tr><td>Figure 57</td><td>102</td></tr><tr><td>Figure 58</td><td>103</td></tr><tr><td>Figure 59</td><td>104</td></tr><tr><td>Figure 60</td><td>106</td></tr><tr><td>Figure 61</td><td>107</td></tr><tr><td>Figure 62</td><td>107</td></tr><tr><td>Figure 63</td><td>108</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 65</td><td>110</td></tr><tr><td>Figure 64</td><td>110</td></tr><tr><td>Figure 66</td><td>111</td></tr><tr><td>Figure 67</td><td>112</td></tr><tr><td>Figure 68</td><td>113</td></tr><tr><td>Figure 70</td><td>114</td></tr><tr><td>Figure 69</td><td>114</td></tr><tr><td>Figure 72</td><td>115</td></tr><tr><td>Figure 71</td><td>115</td></tr><tr><td>Figure 73</td><td>116</td></tr><tr><td>Figure 74</td><td>117</td></tr><tr><td>Figure 75</td><td>117</td></tr><tr><td>Figure 76</td><td>118</td></tr><tr><td>Figure 77</td><td>119</td></tr><tr><td>Figure 78</td><td>121</td></tr><tr><td>Figure 79</td><td>122</td></tr><tr><td>Figure 80</td><td>123</td></tr><tr><td>Figure 81</td><td>124</td></tr><tr><td>Figure 82</td><td>125</td></tr><tr><td>Figure 83</td><td>126</td></tr><tr><td>Figure 84</td><td>128</td></tr><tr><td>Figure 85</td><td>128</td></tr><tr><td>Figure 86</td><td>128</td></tr><tr><td>Figure 87</td><td>129</td></tr><tr><td>Figure 88</td><td>130</td></tr><tr><td>Figure 89</td><td>132</td></tr><tr><td>Figure 90</td><td>132</td></tr><tr><td>Figure 91</td><td>133</td></tr><tr><td>Figure 92</td><td>134</td></tr><tr><td>Figure 93</td><td>134</td></tr><tr><td>Figure 95</td><td>135</td></tr><tr><td>Figure 94</td><td>135</td></tr></table>
# Annexes

## 1 PRESENTATION DU JEU DU LIVREUR

### 1.1 ANNEXE A : CARTES « MISSIONS »

<figure><img src="image_85.png" /></figure>
<table><tr><td><strong>N°3</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td><td><strong>N°10</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td><td><strong>N°17</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td><td><strong>N°24</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td><td><strong>N°31</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td></tr><tr><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur. Pour t'aider à trouver, rajoute deux jetons de même forme mais de couleurs différentes, puis enlève.</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur.</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur. Pour t'aider à trouver, rajoute deux jetons de même forme mais de couleurs différentes, puis enlève.</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur. Pour t'aider à trouver, rajoute deux jetons de même forme mais de couleurs différentes, puis enlève.</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur. Pour t'aider à trouver, rajoute deux jetons de même forme mais de couleurs différentes, puis enlève.</td></tr><tr><td><strong>N°4</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>4x 2x J'enlève</td><td><strong>N°11</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>5x 3x J'enlève</td><td><strong>N°18</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>6x 2x J'enlève</td><td><strong>N°25</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>J'enlève</td><td><strong>N°32</strong><br>Ta marchandise de DEPART:<br><br>2x 3x</td></tr><tr><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Calcule puis regroupe les ⚙️ dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Calcule puis regroupe les ⚙️ dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Calcule puis regroupe les ⚙️ dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur. Pour t'aider à trouver, rajoute deux jetons de même forme mais de couleurs différentes, puis enlève.</td><td><strong>Ta MISSION :</strong><br>Calcule puis regroupe les ⚙️ dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons</td></tr></table>
N°5

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever le cercle multiplicateur et pose le bon nombre de 🟧 et de jetons (le moins de jetons

N°12

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule puis regroupe les 🟩 dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons

N°19

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule puis regroupe les 🟩 dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons

N°26

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule puis regroupe les 🟩 dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons

N°33

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule puis regroupe les 🟩 dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons

N°6

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever les cercles multiplicateurs et pose le bon nombre de 🟩 et de jetons.

Si tu n'as pas assez de tu peux utiliser un nouveau cercle multiplicateur.

N°13

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever les cercles multiplicateurs et pose le bon nombre de 🟩 et de jetons.

Si tu n'as pas assez de tu peux utiliser un nouveau cercle multiplicateur.

N°20

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever les cercles multiplicateurs et pose le bon nombre de 🟩 et de jetons.

Si tu n'as pas assez de tu peux utiliser un nouveau cercle multiplicateur.

N°27

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever le cercle multiplicateur et pose le bon nombre de 🟩 et de jetons (le moins de jetons

N°34

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule pour enlever les cercles multiplicateurs et pose le bon nombre de 🟩 et de jetons.

Si tu n'as pas assez de tu peux utiliser un nouveau cercle multiplicateur.
<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

Ta MISSION :

Choisis un cercle
multiplicateur et remplis-le
de ♡ et de jetons d'une
seule couleur (le moins
possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Ta MISSION :

Choisis un cercle
multiplicateur et remplis-le
de ♡ et de jetons d'une
seule couleur (le moins
possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

Ta MISSION :

Choisis un cercle
multiplicateur et remplis-le
de ♡ et de jetons d'une
seule couleur (le moins
possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

Ta MISSION :

Choisis un cercle
multiplicateur et remplis-le
de ♡ et de jetons d'une
seule couleur (le moins
possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Ta marchandise de
DEPART :

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

Ta MISSION :

Calcule, puis choisis un
cercle nouveau
multiplicateur et remplis-le
de ♡ et de jetons d'une
seule couleur (le moins
possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_106.png" /></figure>
1.2 ANNEXE B : « PLAQUES DES VALISES » ET « PLATEAU DES ILES »

<figure><img src="image_107.png" /></figure>
## 1.3 ANNEXE C : TRADUCTION EN LANGAGE MATHEMATIQUE

# Double ta mise !

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

### Traduction en langage mathématiques

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

$$ \text{○} = +1 $$

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

$$ \text{○} = -1 $$

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

$$ \text{■} = +5 $$

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

$$ \text{■} = -5 $$

<figure><img src="image_113.png" /></figure>

$$ \text{■} = +10 $$

<figure><img src="image_114.png" /></figure>

$$ \text{■} = -10 $$

* On additionne ensemble les jetons mis dans la valise

<figure><img src="image_115.png" /></figure>

* On multiplie en rajoutant des parenthèses si besoin

<figure><img src="image_116.png" /></figure>

* On soustrait en rajoutant des parenthèses si besoin

* Nombre mystère :

<figure><img src="image_117.png" /></figure>

$$ \text{Cubical} = \mathcal{X} $$
1.4 ANNEXE D : EXTRAIT DU « LIVRET DES MISSIONS ACCOMPLIES »

<table><thead><tr><th>Carte N°</th><th>Mission accomplie !</th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td><img src="image_7.png" alt="Mission accomplie ! - 3 × 3 cube, 1 red circle"></td></tr><tr><td>8</td><td><img src="image_8.png" alt="Mission accomplie ! - 3 × 3 cube, 2 red circles"></td></tr><tr><td>9</td><td><img src="image_9.png" alt="Mission accomplie ! - 3 × 3 cube, 3 red circles, 1 horizontal line"></td></tr><tr><td>10</td><td><img src="image_10.png" alt="Mission accomplie ! - 4 × 4 cube, 4 green circles"></td></tr><tr><td>11</td><td><img src="image_11.png" alt="Mission accomplie ! - 4 × 4 cube, 2 red lines"></td></tr><tr><td>12</td><td><img src="image_12.png" alt="Mission accomplie ! - 4 × 4 cube, 4 red circles, 1 red circle"></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Carte N°</th><th>Mission accomplie !</th></tr></thead><tbody><tr><td>13</td><td><img src="image_13.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 green circles"></td></tr><tr><td>14</td><td><img src="image_14.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 red circles, 2 red lines"></td></tr><tr><td>15</td><td><img src="image_15.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 red circles, 2 red lines"></td></tr><tr><td>16</td><td><img src="image_16.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 green circles"></td></tr><tr><td>17</td><td><img src="image_17.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 red circles"></td></tr><tr><td>18</td><td><img src="image_18.png" alt="Mission accomplie ! - 8 × 8 cube, 8 red circles, 4 red circles"></td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>Carte N°</th><th>Mission accomplie !</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>(+15) + (-2) = 13</td></tr><tr><td>2</td><td>2x + 3x + (+2) + (-5)<br>= 5x + (-3)<br>(ou = 5x - 3)</td></tr><tr><td>3</td><td>(-11) - (+5)<br>= -16</td></tr><tr><td>4</td><td>4x + (-11) - 2x<br>= 2x + (-11)<br>(ou = 2x - 11)</td></tr><tr><td>5</td><td>5×(x + 6)<br>= 5x + 30</td></tr><tr><td>6</td><td>4×(x + 5) + 2×(2x - 10)<br>4x + 20 + 4x - 20<br>= 8x</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Carte N°</th><th>Mission accomplie !</th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>6x - 3<br>= 3×(2x - 1)</td></tr><tr><td>8</td><td>(-11) + (+7) = -4</td></tr><tr><td>9</td><td>4x + 2x + (-16) + (+5)<br>= 6x + (-11)<br>(ou = 6x - 11)</td></tr><tr><td>10</td><td>(+15) - (+1)<br>= +14</td></tr><tr><td>11</td><td>5x + 10 - 3x<br>= 2x + 10</td></tr><tr><td>12</td><td>3×(2x - 7)<br>= 6x - 21</td></tr></tbody></table>
# 2 FICHE DE COURS DONNES EN CLASSE

## 2.1 ANNEXE E : ACTIVITE 4° A 21 NOVEMBRE (DECOUPES EN PETITS MORCEAUX)

<table><tr><td>5×(x + 6) =</td><td>4×(2x + (-10)) =</td><td>4×(5 + x) + 2×(-10 + 2x) =</td></tr><tr><td>3x + (-12) =</td><td>4x + 10 =</td><td>6x + 3 =</td></tr></table>

<table><tr><td><strong>DEVELOPPER</strong><br>une expression<br>littérale :</td><td><strong>FACTORISER</strong><br>une expression<br>littérale :</td></tr><tr><td><strong>Définition</strong> : c'est « distribuer »<br>un nombre qui multiplie une<br>parenthèse, en multipliant<br>chaque terme de la parenthèse.</td><td><strong>Définition</strong> : c'est « rassembler »<br>dans une parenthèse, les<br>facteurs multipliés par un<br>même nombre, appelé le<br><em>facteur commun</em>.</td></tr><tr><td><strong>Avec les jetons</strong> :</td><td><strong>Avec les jetons</strong> :</td></tr><tr><td>Cela revient à compter le nombre de<br>cubes et de jetons en « appliquant le<br>cercle multiplicateur ».</td><td>Cela revient à trouver le bon cercle<br>multiplicateur pour regrouper les<br>cubes et jetons à l'intérieur.</td></tr></table>

<figure><img src="image_118.png" /></figure>
## 2.2 ANNEXE F : FICHE LEÇON 4°A 21 NOVEMBRE (INSTITUTIONNALISATION DES NOTIONS REDUIRE, DEVELOPPER ET FACTORISER)

### Le Calcul littéral - Utilisation du jeu Le Livreur

Rappel de la traduction en langage mathématiques du jeu :

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

= +1 ;

<figure><img src="image_120.png" /></figure>

= +5 ;

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

= -1 ;

<figure><img src="image_122.png" /></figure>

= -5 ;

<figure><img src="image_123.png" /></figure>

= x

Nombre mystère

Dans le jeu Le livreur nous avons vu trois types de questions :

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

Traduction :

<figure><img src="image_125.png" /></figure>

Traduction :

<figure><img src="image_126.png" /></figure>

Traduction :

**Définition de ....................:**
réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la **forme la plus simple possible**, en rassemblant les termes de même nature.

**Définition de ....................:**
c'est « **distribuer** » un nombre qui multiplie une parenthèse, en multipliant chaque terme de la parenthèse.

**Définition de ....................:**
c'est « **rassembler** » dans une parenthèse, les facteurs multipliés par un même nombre, appelé le facteur commun.
## 2.3 ANNEXE G : FICHE ACTIVITE/LEÇON 4°E 10 NOVEMBRE

### Le calcul littéral 4°E

Prénom :

Traduction en langage mathématiques :

<figure><img src="image_127.png" /></figure>

= +1 ;

<figure><img src="image_128.png" /></figure>

= +5 ;

<figure><img src="image_129.png" /></figure>

= -1 ;

<figure><img src="image_130.png" /></figure>

= -5 ;

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

= x

<figure><img src="image_132.png" /></figure>

Nombre mystère

**Définition Réduire** : réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme la plus simple possible, en rassemblant les termes de même nature.

Regroupe les ⚪ dans un cercle multiplicateur, et réduis au max le nombre de jetons avec une seule couleur.

<figure><img src="image_133.png" /></figure>

<figure><img src="image_134.png" /></figure>

<figure><img src="image_135.png" /></figure>

<figure><img src="image_136.png" /></figure>

<figure><img src="image_137.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Réduis :

<figure><img src="image_138.png" /></figure>

<figure><img src="image_139.png" /></figure>

<figure><img src="image_140.png" /></figure>

<figure><img src="image_141.png" /></figure>

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Réduis :

Réduis :

$$3x - 6 + 4x + 10 =$$

**Définition Développer** : développer une expression littérale, c'est « distribuer » un nombre qui multiplie une parenthèse, en multipliant chaque terme de la parenthèse :

Calculer pour enlever le cercle multiplicateur :

<figure><img src="image_143.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Développe :

Dessine :

$$2 \times (3x + 4)$$

Développe :

Développe :

$$5 \times (7 - 2x) =$$

Développe :

$$2 \times (6x + 3) + 3 \times (-4 + 2x) =$$

**Définition Factoriser** : factoriser une expression littérale, c'est « rassembler » dans une parenthèse, les facteurs multipliés par un même nombre :

Choisis un cercle multiplicateur et remplis-le de ⚪ et de jetons d'une seule couleur (le moins possible, tout dans le cercle).

<figure><img src="image_144.png" /></figure>

<figure><img src="image_145.png" /></figure>

<figure><img src="image_146.png" /></figure>

<figure><img src="image_147.png" /></figure>

<figure><img src="image_148.png" /></figure>

<figure><img src="image_149.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Factorise :

<figure><img src="image_150.png" /></figure>

<figure><img src="image_151.png" /></figure>

<figure><img src="image_152.png" /></figure>

<figure><img src="image_153.png" /></figure>

<figure><img src="image_154.png" /></figure>

<figure><img src="image_155.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Factorise :
## 2.4 ANNEXE H : INSTITUTIONNALISATION 4°E 22 NOVEMBRE

**Exercice :** **Sous chaque dessin** représentant des jetons et des cubes, traduire en langage mathématiques, en choisissant dans la liste d'expressions littérales, puis entourer la consigne que l'on pourrait vous poser entre **développer** ou **factoriser** :

$$5 \times (x + 6)$$

$$4 \times (2x + (-10))$$

$$3x + (-12)$$

$$6x + 3$$

$$4x + 10$$

$$4 \times (5 + x) + 2 \times (-10 + 2x)$$

<figure><img src="image_156.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?

<figure><img src="image_158.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?

<figure><img src="image_159.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?

<figure><img src="image_160.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?

<figure><img src="image_161.png" /></figure>

Développer ou Factoriser ?
## 2.5 ANNEXE I : COURS DES 3°D 10 NOVEMBRE ET COURS DES 3°F 9 NOVEMBRE

### Le calcul littéral 3°D

Traduction en langage mathématiques :

<figure><img src="image_162.png" /></figure>

$$ \text{= +1 ;} $$

<figure><img src="image_163.png" /></figure>

$$ \text{= +5 ;} $$

<figure><img src="image_164.png" /></figure>

$$ \text{= -1 ;} $$

<figure><img src="image_165.png" /></figure>

$$ \text{= -5 ;} $$

Nombre mystère

<figure><img src="image_166.png" /></figure>

$$ \text{= x ;} $$

<figure><img src="image_167.png" /></figure>

$$ \text{= x²} $$

**Définition Réduire** : réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme la plus simple possible, en rassemblant les termes de même nature.

Regroupe les ⚪ dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons avec une seule couleur.

<figure><img src="image_168.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Réduis :

Traduis les données de départ :

Réduis :

Réduis :

$$ 6 \times 7x - 1 - 10x + 3 = $$

Réduis :

$$ 3x - (2x + 4) = $$

Réduis :

$$ 4 \times (-5) \times x + 3x^2 - 2 + x^2 = $$

**Définition Développer** : développer une expression littérale, c'est « distribuer » un nombre qui multiplie une parenthèse, en multipliant chaque terme de la parenthèse :

Reproduis, puis calcule pour enlever le cercle multiplicateur :

<figure><img src="image_169.png" /></figure>

Traduis les données de départ :

Développe :

Dessine :

$$ 2 \times (3x + 4) $$

Développe :

Développe :

$$ 5x(7 - 2x) = $$

$$ -4x(x + 3) = $$

<figure><img src="image_170.png" /></figure>

Calcule l'aire du rectangle et développe.

Que vaut l'aire du rectangle lorsque $x=5$ ?
## 2.6 ANNEXE J : QUESTIONNAIRE

Classe de 4°A Nom : .................................... Prénom : ....................................

Voici un petit questionnaire sur votre ressenti lors des cours que je vous ai donnés. Il suffit de cocher la bonne case :

1) En cours de mathématiques, j'aime bien que l'on utilise un JEU pour apprendre :

<figure><img src="image_171.png" /></figure>

☐ Pas du tout ;

<figure><img src="image_172.png" /></figure>

☐ Un peu ;

<figure><img src="image_173.png" /></figure>

☐ Moyennement ;

<figure><img src="image_174.png" /></figure>

☐ Beaucoup

2) Le fait d'utiliser et toucher DES CUBES ET JETONS m'ont aidé à répondre aux questions posées :

<figure><img src="image_175.png" /></figure>

☐ Pas du tout ;

<figure><img src="image_176.png" /></figure>

☐ Un peu ;

<figure><img src="image_177.png" /></figure>

☐ Moyennement ;

<figure><img src="image_178.png" /></figure>

☐ Beaucoup

3) Les DESSINS de jetons et cubes m'ont aidé à comprendre ou faire les exercices sur le calcul littéral :

<figure><img src="image_179.png" /></figure>

☐ Pas du tout ;

<figure><img src="image_180.png" /></figure>

☐ Un peu ;

<figure><img src="image_181.png" /></figure>

☐ Moyennement ;

<figure><img src="image_182.png" /></figure>

☐ Beaucoup

4) Je trouve que l'on devrait utiliser plus souvent du MATERIEL A MANIPULER pour comprendre les mathématiques :

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

☐ Non pas besoin ;

<figure><img src="image_184.png" /></figure>

☐ peut-être un peu de temps en temps ;

<figure><img src="image_185.png" /></figure>

☐ Oui régulièrement ;

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

☐ Pour chaque chapitre

5) J'aurais pu comprendre ce chapitre sur le calcul littéral SANS JETONS ET SANS DESSINS :

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

☐ Non je n'aurais rien compris ;

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

☐ Un peu sans doute ;

<figure><img src="image_189.png" /></figure>

☐ Je pense que j'aurais

moyennement compris ;

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

☐ Oui je pense que j'aurais tout compris
# 3 CORPUS DES SEANCES FILMEES, TRANSCRITES ET CODEES

## 3.1 ANNEXE K : CODAGE DE 4A_DA_9NOV_F55

Codage de 4A_DA_9nov_f55 (Début d'activité ; 4°A ; 9 novembre ; groupe filmé par farenati 55)

Collège Taaone - Pirae - Polynésie Française - 9 novembre 2022 - Elsa Birckel-Lespets anime le cours et transcrit la vidéo - Séance 4°A de 9H à 10h - durée 49min 50sec

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">4A.DA.9n.f55.1</td><td rowspan="3">- 32 :55</td><td>EB</td><td>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur</td><td>Tire une carte et la lit (carte n°29)</td><td rowspan="3">EcRe</td><td rowspan="3"></td><td>MI<sub>n</sub></td></tr><tr><td>EB</td><td>Ça, ça et celui-là</td><td>Prend les jetons dans le bol pour refaire la carte</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>Molc1</td></tr><tr><td>EC</td><td>Réduis au max ta marchandise en une seule couleur</td><td>Prend la carte mission et la relit</td><td>MI<sub>n</sub><br>ChCo</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>EB</td><td>En une seule couleur</td><td>Prend des jetons du bol pour mettre dans la valise mission accomplie</td><td></td><td>MoEn1<br>MoEn2</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.DA.9n.f55.2</td><td>ED</td><td></td><td>Vide la trousse de EC</td><td rowspan="2">Mono</td><td>Per</td></tr><tr><td>EC</td><td>Attention ça colle, et ça ça colle pas</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.DA.9n.f55.3</td><td>EB</td><td></td><td>Regarde le livret des solutions puis le repose</td><td rowspan="5">EcEt</td><td>Mex</td></tr><tr><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>replace des jetons dans le bol en mettant des jetons de couleurs différentes mais de même forme ensemble</td><td>CaCo</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>Min<br>Molc1<br>AbEm<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Recommence son geste pour montrer à EB</td><td></td><td>Min<br>MoEn2<br>MoEn1<br>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td>Et voilà c'est bon, fastoche</td><td></td><td></td><td>Mex<br>MIn</td></tr><tr><td>EB</td><td>Et voilà, c'est fini !</td><td>Redéplace des jetons</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.DA.9n.f55.4</td><td>EC</td><td></td><td>Prend le livret des solutions et le feuillete</td><td rowspan="5">EcRe</td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Avance le pion d'une étoile</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>EE</td><td>Numéro 29</td><td>Prend la carte mission</td><td></td><td>Molc1<br>MIn<br>MEx</td></tr><tr><td>EC</td><td>29 ... 29...</td><td>Trouve la ligne 29 du livret</td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EC</td><td>Et oui c'est juste ! c'est juuuste !</td><td>Avec le sourire, agite ses doigts pour montrer sa joie</td><td>CaCo</td><td>MEx<br>MIn</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.DA.9n.f55.5</td><td>EC</td><td>C'est à vous maintenant</td><td>Range ses pions dans le bol</td><td rowspan="2">EcTr</td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>C'est à vous, hé !</td><td></td><td>Per</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Joue a se coller des papiers sur les doigts</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Tire une carte !</td><td></td><td>EcRe</td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Tire une carte</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Non ici</td><td>Montre le 1° paquet</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Prend une nouvelle carte</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="8">4A.DA.9n.f55.6</td><td>PE</td><td>Vous avez compris comment ça marche ?</td><td>PE arrive</td><td>EcRe</td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>Oui on a fini</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Vous êtes déjà là ?</td><td>Montre le pion sur lîle de Moorea</td><td></td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Non il faut avancer sur les étoiles</td><td>Déplace le pion</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>Vous avez fait une mission chacun ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ENR</td><td>non</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>Vous vous avez gagné une pièce ?</td><td>Montre la carte des pièces</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>oui</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>PE</td><td>Oui ? très bien c'est parfait !</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="7">4A.DA.9n.f55.7</td><td>EE</td><td></td><td>Reproduit les jetons de la carte n°22</td><td>EcEt</td><td>Molc1<br>MoEn1<br>Min</td></tr><tr><td>PE</td><td></td><td>PE regarde EE puis s'en va</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EE</td><td>Réduis au max ta marchandise d'une seule couleur</td><td>Lit la carte</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EF</td><td>(inaudible)</td><td>Regarde la carte pour essayer de comprendre. Montre du doigt les jetons de la carte</td><td></td><td>Molc1<br>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td>ED</td><td>(inaudible)</td><td>Rajoute un jeton manquant</td><td></td><td>MoEn1</td></tr><tr><td>EE</td><td>(inaudible)</td><td>Montre du doigt les jetons pour vérifier</td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EE</td><td>Réduis au max ta marchandise d'une seule couleur</td><td>Essaye de comprendre</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>-<br>27 :55</td><td>EF</td><td>inaudible</td><td>Montre du doigt les jetons pour expliquer</td><td></td><td>MoEn1<br>ChCo</td></tr></tbody></table>
## 3.2 ANNEXE L : CODAGE DE 4A_DA_9NOV_F56

### Codage de 4A_DA_9nov_f56 (Début d'activité ; 4°A ; 9 novembre ; groupe filmé par farenati 56)

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

Transcription de -33 :40 à -28 :40 : 5min

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">4A.DA.9n.f56.1</td><td>- 33 :40</td><td>PE</td><td>une équipe commence, les autres regardent, après c'est l'autre équipe. C'est vous qui commencez</td><td></td><td>Mono</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td></td><td>pioche une carte et regarde, puis la montre à EF. Elle la repose et EHe en prend une autre (la carte n°23).</td><td></td><td></td><td>MIn Molc1</td></tr><tr><td></td><td>EF</td><td></td><td>choisit le bon cercle multiplicateur, prend les bon jetons.</td><td></td><td></td><td>MoEn1 MIn</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>le grand...le petit carré... ça, ça... tu mets la marchandise là</td><td>s'adresse à EF</td><td>Mono</td><td></td><td>MoEn2 ChCo</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td></td><td></td><td>Elles vérifient si la marchandise correspond bien à la carte.</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DA.9n.f56.2</td><td>EF</td><td>fais voir le livret des solutions</td><td></td><td>Mono</td><td></td><td>Molc2<br>ChCo</td></tr><tr><td>EHe</td><td></td><td>déplace les cercles et pions sur la 2° valise, enlève les jetons</td><td></td><td></td><td>MoEn1</td></tr><tr><td>EHe</td><td>Cercle multiplicateur... d'une seule couleur... le cercle multiplicateur il faut le changer en ça ...</td><td>lit la mission<br>essaye de prendre le livret des solutions.</td><td>Mono</td><td></td><td>MoEn1<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>ETi</td><td></td><td>retient EHe pour leur éviter de tricher en regardant le livret</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DA.9n.f56.3</td><td>PE</td><td>vous avez tiré votre première carte ? Attends ça c'est ... vous le regardez que quand t'as vraiment fini ta mission sinon ça sert à rien. C'est là votre truc ? elle est où la carte ? elle est là d'accord. Donc là du coup qu'est-ce que vous devez faire ?</td><td>arrive pour aider</td><td>EcRe</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EF</td><td>là on fait ça</td><td>remet les jetons de départ, redéplace les jetons dans la 2° valise pour montrer à PE</td><td></td><td>ReCo</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>ChCo<br>AbEm</td></tr><tr><td>PE</td><td>oui c'est bien. Ca veut dire que la valise ... ? ça doit être plus léger. Il faut que ça fasse le même dessin que là.</td><td>montre le livret</td><td>EcEt</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EF</td><td>ça c'est la moitié</td><td></td><td></td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr></table>
<table><tr><td></td><td>PE</td><td>donc ça c'est où ? Regardez ce que vous pouvez faire. Ça c'est combien ça ?</td><td>prend un jeton grand rectangle</td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>ça c'est deux comme ça</td><td>prend deux petits rectangles</td><td></td><td>MoEn2<br>MoEn1<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>ça c'est deux comme ça</td><td></td><td></td><td>MoEn3<br>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>on pourrait faire ça, et puis on enlève ça</td><td></td><td>ErCa</td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>non on ne peut enlever que quand c'est deux couleurs différentes. On vérifie sur le livret ? allez-y. C'est la carte combien ? Vous avez commencé par quel paquet ?</td><td>enlève deux petits rectangles de couleurs différentes.</td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td rowspan="6">4A.DA.9n.f56.4</td><td>EF</td><td>c'est faux c'est fois sept !</td><td>vérifie dans le livret</td><td rowspan="6">EcEt</td><td>ErCa</td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>et oui regardez vous avez combien là ?</td><td>Montre les jetons</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EF</td><td>ha oui</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>EHe</td><td>ha oui</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>alors on va dire que c'est le début du jeu vous avez le droit à une erreur. Vous avancez d'un pion. Ça c'est le point de départ. Pour l'instant vous faites les cartes d'une pièce. Et vous remportez une pièce. Donc là vous êtes là.</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EF</td><td></td><td>entoure une pièce sur la carte pièces</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="4">4A.DA.9n.f56.5</td><td rowspan="4">- 30 :05</td><td>PE</td><td>à vous. Vous prenez une carte.</td><td>s'adresse à l'autre équipe</td><td rowspan="4">EcRe</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ENR</td><td>n'importe quelle ?</td><td></td><td rowspan="2">MIn</td></tr><tr><td>ETu</td><td></td><td>prend la même carte que les autres car elle l'avait reposé dessus.</td></tr><tr><td>PE</td><td>n'importe laquelle ça dépend où il est votre pion. Allez-y vous reproduisez ça là-dessus. C'est bon ?</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="6">4A.DA.9n.f56.6</td><td rowspan="6"></td><td>ETu et ETi</td><td></td><td>reproduisent sur la valise de départ.</td><td></td><td>MoEn1<br>MIn</td></tr><tr><td>EF</td><td></td><td>prend leur carte et la repose sous le paquet car elle a vu que c'était la même. Puis il repose tout dans le bol.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ENR</td><td>c'est vrai on est filmés ?</td><td></td><td rowspan="3">EcRe</td><td rowspan="3">Per</td></tr><tr><td>EF</td><td>c'est la même ?</td><td>redonne une carte <u><b><i>carte n°16</i></b></u>.</td></tr><tr><td>ETi</td><td>ouais mais on voit pas nos têtes.</td><td></td></tr><tr><td></td><td>ETu</td><td></td><td>Recommence à prendre les jetons de la nouvelle carte.</td><td></td><td>MoEn1<br>Molc1<br>MIn</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.DA.9n.f56.7</td><td rowspan="3"></td><td>ENR</td><td>C'est quoi ta mission ?</td><td></td><td rowspan="3">EcEt</td><td rowspan="3"></td><td>MoEn2<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>ETi</td><td>Mets le dedans. Pourquoi on a mis cinq ?</td><td></td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td>EHe</td><td></td><td>Réexplique à ETi. Elle lui montre les cercles (les trucs)</td><td>Molc1<br>AbEm</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>- 28 :15</td><td>EF</td><td>Montre-moi ta mission ? en fait tu as ...cinq ? tu dois... attends ... tu dois mettre un seul dans un seul Mais il va falloir...</td><td>EF explique à ETu en montrant la carte.</td><td></td><td>MoEn2<br>MIn<br>ChCo<br>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>- 28 :40</td><td>ETi</td><td></td><td>Reprend des jetons pour les mettre dans la valise de départ (8 en tout)</td><td></td><td>MoEn1<br>AbEm</td></tr></table>

## 3.3 ANNEXE M : CODAGE DE 4A_De_9NOV_F55

Codage de 4A_De_9nov_f55 (Développements ; 4°A ; 9 novembre ; groupe filmé par farenati 5() Transcription de -15 :11 à -12 :04 donc 3min7s)

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">4A.De.9n.F55.1</td><td rowspan="2">- 15 :11</td><td>EB</td><td></td><td>Prend carte n°12</td><td rowspan="4">EcEt</td><td></td><td>Min</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Prend les jetons dessinés sur la carte</td><td></td><td>Min<br>MoEn1</td></tr><tr><td rowspan="2">EA</td><td rowspan="2">(inaudible)</td><td></td><td>Prend des cubes pour compléter</td><td></td><td>Min<br>MoEn1<br>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>Parle en montrant la carte</td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>- 14 :41</td><td>EB</td><td>Calcule puis regroupe les cubes dans un seul cercle multiplicateur (un nouveau), et réduis au max le nombre de jetons</td><td>Lit la carte</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4A.De.9n.F55.2</td><td></td><td>EA</td><td>(inaudible)</td><td>Prend un cercle multiplicateur pour répondre à la mission</td><td>EcEt</td><td>DeCo</td><td>Min<br>MoEn1<br>MoEn2</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>EA</td><td>(inaudible)</td><td>Montre du doigt les jetons un à un pour compter quelque chose. Pose une question à EC</td><td>Min MoEn2 ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Là y en a Un deux trois</td><td>Montre les cubes avec un doigt en comptant</td><td>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Là y en a deux</td><td></td><td>MoEn2</td></tr><tr><td>- 14 :20</td><td>EA</td><td>Y en a six comme ça</td><td>Montre les cubes du doigt</td><td>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Du coup c'est quatre cubes ?</td><td>Montre les cubes du doigt</td><td>ChCo MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Tu vois, ça y a fois deux en tout</td><td>Déplace les jetons rouges puis mime le cercle multiplicateur</td><td>MoEn1 MoEn2 ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td></td><td>Montre du doigt chaque jetons</td><td>Min MoEn2</td></tr><tr><td>- 14 :01</td><td>EA</td><td>Deux quatre six, six comme ça et six comme ça</td><td>S'adresse à EC</td><td>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Comme ça, comme ça, comma ça</td><td>Montre du doigt chaque jeton</td><td>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Deux comme ça, du coup là ça fait six</td><td>Montre les cubes, puis prend un cercle multiplicateur</td><td>MoEn1 MoEn2 ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td></td><td>Pose le cercle fois six</td><td>AbRe MoEn1</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td></td><td>Pose le cube dans le cercle, puis jette le 2<sup>e</sup> qui ne sert plus à rien</td><td>DeCo MoEn1</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>(inaudible)</td><td>Réfléchis à voix haute</td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td>(inaudible)</td><td>Pose une question</td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td></td><td>Montre chaque jeton rouge</td><td>MoEn2</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>EA</td><td>Bon dix</td><td>Acquiesce</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="7">4A.De.9n.F55.3</td><td>EA</td><td>Bon dix</td><td>Acquiesce</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>C'est quelle carte ?</td><td>Prend le livret des solutions</td><td rowspan="7">EcRe</td><td></td><td>Mex</td></tr><tr><td>EC</td><td>Ha !</td><td>Cherche la solution. Montre la solution aux autres fais une grimace</td><td>DeCo<br>ErCa</td><td>Molc1</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Regarde le livret pour comprendre son erreur</td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td>EA</td><td>Ça c'est bon pour ça mais ça je sais pas...</td><td>Montre les cubes corrects mais pas les jetons</td><td></td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Cherche la prof dans la salle pour poser avoir une explication</td><td></td><td>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>EB</td><td>(inaudible)</td><td>Prend des jetons rouges pour se corriger, cherche du regard la prof pour explication</td><td></td><td>Min<br>MoEn1<br>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Joue avec son voisin d'en face</td><td></td><td>Per</td></tr></tbody></table>
## 3.4 ANNEXE N : CODAGE DE 4A_De_9NOV_F56

Codage de 4A_De_9nov_f56 (Développement 1 et 2 ; 4°A ; 9 novembre ; groupe filmé par farenati 56)

Collège Taaone – Pirae – Polynésie Française – 9 novembre 2022 – Elsa Birckel-Lespets anime le cours et transcrit la vidéo - Séance 4°A de 9H à 10h – durée 49min 50sec

Transcription de -6 :57 à -4 :36 ; durée : 2min21s

<figure><img src="image_193.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">4A.De.9n.f56.1</td><td>-6 :57</td><td>EFe</td><td>on va faire trois points là</td><td>tire une nouvelle carte du paquet trois pièces (carte n°19), puis donne le livret de solutions à ETu sans le regarder</td><td>Mono</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>je le connais... il est à la chapelle à Papeno, il habite sur le plateau de Papeno</td><td></td><td>EcTr</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>EFe</td><td></td><td>pose les jetons de la carte sur sa valise puis lis la mission</td><td>EcEt</td><td></td><td>MoEn1</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="5">4A.De.9n.f56.2</td><td></td><td>EFe</td><td>calcule pour enlever les cercles multiplicateurs</td><td>met deux ronds orange et enlève le petit rectangle</td><td></td><td>Molc1<br>MoEn2<br>MoEn1</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>combien de cubes ?</td><td></td><td></td><td>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EFe</td><td></td><td>reprend deux rectangles oranges</td><td>CaCo</td><td>MoEn1<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>deux fois quatre, deux quatre six</td><td></td><td></td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EFe</td><td>huit, on met qu'un cercle</td><td></td><td></td><td>MoEn2<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.De.9n.f56.3</td><td></td><td>ETu</td><td>les oranges c'est fois deux</td><td></td><td></td><td>MoEn2</td></tr><tr><td></td><td>ETu</td><td>c'est faux</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ETu</td><td>tu doubles ta mise ? c'est juste</td><td></td><td>DeCo</td><td>Molc1<br>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EHe</td><td>allez ! on avance notre pion, ça fait trois points !</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.De.9n.f56.4</td><td rowspan="4">-4 :36</td><td>ETu</td><td>c'est numéro cinq !</td><td>prend une nouvelle carte (n°5) donne le feutre à EHe et cherche le bon cercle</td><td>EcTr</td><td>MIn</td></tr><tr><td>EHe</td><td>(inaudible)</td><td>lui parler d'autre chose</td><td>EcTr</td><td></td></tr><tr><td>EHa</td><td></td><td>joue à empiler les cubes</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ETu</td><td></td><td>joue avec sa carte et écoute</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
## 3.5 ANNEXE O : CODAGE DE 4A_Fa_10NOV_F56

**Codage de 4A_Fa_10nov_f56 (Factorisation (début d'activité) ; 4°A ; 10 novembre ; groupe filmé par farenati 56)**

Il s'agit aussi du début d'activité de -44 :13 jusqu'à -34 :13 (10 minutes). Equipe 1: EA ; EB ; EC ; Equipe 2 : ED ; EE ; EF

<figure><img src="image_194.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.1</td><td rowspan="2">- 44 :13</td><td>EB</td><td></td><td>Prend <span style="color:red;">carte n°35 (factoriser)</span></td><td rowspan="6">EcEt</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EB</td><td></td><td>Prend le livret de solutions</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.Fa.10.f56.2</td><td></td><td>ED</td><td></td><td>Prend <span style="color:red;">carte N°28 (factoriser)</span></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Prend vite les jetons</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Dessine cercle, puis l'efface et prend carte cercle multiplicateur</td><td></td><td>Molc2<br>MoEn1</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Calcule, puis choisis un cercle nouveau multiplicateur et remplis-le de cubes et de jetons d'une seule couleur (le moins possible, tout dans le cercle)</td><td>Lit la mission</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>- 43 :28</td><td>EF</td><td>Il faut doubler la mise là</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>- 43 :27</td><td>EE</td><td></td><td>Prend le feutre pour traduire</td><td></td><td>MoSy1</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>AbEm<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>-<br>42 :02</td><td>EE</td><td></td><td>Montre du doigt les dessins<br>de la carte</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.3</td><td></td><td>EC</td><td>Calcule, puis choisis un cercle nouveau multiplicateur<br>et remplis-le de cubes et de jetons d'une seule<br>couleur (le moins possible, tout dans le cercle)</td><td>Lit la carte</td><td>EcTr</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.Fa.10.f56.4</td><td></td><td>EE</td><td>Ça et ça 20, et ça 8</td><td></td><td>EcEt</td><td>ErCa<br>CaCo</td><td>Molc1</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Traduit avec son feutre sur la<br>valise de départ</td><td></td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Ça huit</td><td>Efface</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Ça c'est dix, ça c'est dix, ça c'est cinq et ça c'est un</td><td>Montre les dessins,</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EF</td><td></td><td>Efface bien avec une brosse</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.Fa.10.f56.5</td><td>-<br>41 :48</td><td>EC</td><td>Ça c'est .... , un deux trois</td><td>Prend un cercle, Place les<br>jetons et les cubes dedans</td><td>EcEt</td><td>FaCo</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>ChCo<br>AbRe</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Ouvre le livret des solutions</td><td></td><td></td><td>MEx<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td>Tcho ! t'as réussi !</td><td></td><td></td><td>FaPa</td><td>MIn<br>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Danse de joie</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>-<br>41 :40</td><td>EC</td><td>Et maintenant faut doubler la mise !</td><td></td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.Fa.10.f56.6</td><td></td><td>EE</td><td>Grand rectangle ça fait dix, et les petits c'est cinq</td><td>Mime les grands et petits<br>rectangles</td><td>EcEt</td><td></td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Prend le livret pour voir la<br>solution des autres</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>-<br>41 :25</td><td>EE</td><td>Non il faut pas regarder !</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>EE</td><td>Il faut mettre... (inaudible)</td><td>Reforme les jetons selon la carte</td><td></td><td></td><td>MoIc1<br>MoIc2<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Prend la carte de traduction</td><td></td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.7</td><td>EC</td><td>Et nous aussi il faut qu'on en fasse</td><td>Pioche une nouvelle carte mission</td><td>EcTr</td><td></td><td>Min<br>MEx</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.8</td><td>EE</td><td>Ça et ça ça fait 20 et ça ça fait huit</td><td></td><td>EcRe</td><td>ErCa</td><td>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>On va faire 20 et huit</td><td></td><td></td><td></td><td>MoEn2</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.9</td><td>EC</td><td></td><td>Regarde le livret solutions écrites, efface ce qui avait été écrit</td><td></td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.10</td><td>EE</td><td>(inaudible)</td><td>Prend le feutre pour traduire par écrit</td><td>EcTr</td><td></td><td>MoSy1<br>AbRe</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.11</td><td>EC</td><td>Ha non ça c'est le x... alors ça fait... trois fois x</td><td>Vole le feutre de EE</td><td>Mono</td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="3">Fin début activité</td><td>EC</td><td>Trois fois x plus x plus x plus 15 égal 5 fois (x + 3)</td><td>Ecrit ce qu'il dit</td><td></td><td>FaCo</td><td>MoSy2<br>AbRe<br>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td>Hou ! hou !</td><td>Regarde la solution dans le livret, danse de joie</td><td></td><td>FaPa<br>ReCo</td><td>MEx<br>ChCo</td></tr><tr><td>EA</td><td>On a doublé la mise, ça fait six !</td><td></td><td>EcTr</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.12</td><td>EC</td><td></td><td>Efface ce qu'il a écrit</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Range les jetons</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Numéro 21</td><td>Tire une nouvelle <span style="color:red;">carte 21</span> (factoriser)</td><td></td><td></td><td>MIin</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.13</td><td>EE</td><td></td><td>Prend le livret</td><td>EcEt</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EF</td><td>Ça ça fait deux !</td><td>Montre les cubes</td><td></td><td></td><td>MoEn2<br>MoEn1</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="10">4A.Fa.10.f56.14</td><td>EE</td><td></td><td>Écrit la traduction dans la valise de départ</td><td></td><td>MoSy1 AbEm</td></tr><tr><td>ED</td><td>C'est pas un plus ? ça c'est plus</td><td>Montre l'écriture</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>Efface, puis réécrit</td><td></td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>EB</td><td></td><td>Sort les jetons pour refaire la carte</td><td></td><td>MoEn1 MIn</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Aide à mettre les jetons</td><td></td><td>MoEn1 MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td>Mais ! t'arrête de regarder dedans !</td><td>Prend le livret des mains de ED</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>EA</td><td>Hé madame ! on peut mettre tous les jetons dedans ?</td><td>En parlant du cercle et mettant les jetons et cubes dans le cercle</td><td>EcRe</td><td>MIn ChCo</td></tr><tr><td>PM</td><td>Oui mais ça veut dire que tu en enlèves, tu enlèves des jetons</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.Fa.10.f56.15</td><td>EC</td><td></td><td>Prend le livret pour regarder les solutions pour comprendre et tricher</td><td>Mono</td><td>MEx</td></tr><tr><td>EC</td><td>Attends... un deux trois quatre et un</td><td>Pose le livret et prend un cercle pour factoriser, puis reproduit la solution</td><td>FaCo FaPa</td><td>MEx MoEn1 MoEn2 ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Reprend le livret pour vérifier et comprendre</td><td></td><td>MIn ChCo</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.16</td><td>EB</td><td>Double la mise !</td><td>Ferme le livret que EC veut réouvrir</td><td>EcRe</td><td>MEx</td></tr><tr><td>EC</td><td>Attends-tends-tends !</td><td>Prend le feutre et traduit, efface, recommence</td><td></td><td>MIn MoSy1 ChCo</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.17</td><td>PM</td><td></td><td>Montre les jetons à EE</td><td>EcRe</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>Enlève deux jetons même forme couleurs contraires</td><td></td><td>MoEn1 AbEm</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td></td><td>PM</td><td>Tu peux pas ...(inaudible) ?</td><td>Pose un petit rectangle sur un grand</td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.18</td><td>- 37 :06</td><td>EA</td><td></td><td>Echange des jetons puis en enlève</td><td>EcEt</td><td>MoEn1 AbRe</td></tr><tr><td rowspan="10">4A.Fa.10.f56.19</td><td></td><td>PM</td><td>Combien ça fait de jaunes ?</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Ça fait trois</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>PM</td><td>non</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Dix, quinze seize</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>PM</td><td>Les cubes y en a deux<br/>Ça fait combien de cubes là ?</td><td>Enlève le cercle</td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>EE ED</td><td>Ça fait quatre</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>PM</td><td>On prend le cercle fois quatre, on met un cube, et on met combien de jetons ?</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Deux !</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>PM</td><td>Quatre fois deux ça fait huit</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Quatre !</td><td>Met les quatre jetons jaunes dans le cercle</td><td></td><td>MoEn1 AbRe</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.Fa.10.f56.20</td><td></td><td>EE</td><td>Maintenant faut regarder dans ça</td><td>Prend le livret des solutions partie traduction</td><td>EcRe</td><td>MEx MIn ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Ha du coup t'avais raison !</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Regarde partie jetons, c'est juste elle range les jetons</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td>4A.Fa.10.f56.21</td><td>- 34 :26</td><td>EE</td><td></td><td>Prend une nouvelle carte</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.Fa.10.f56.22</td><td>- 34 :23</td><td>PM</td><td>C'est juste ce que vous avez fait là !</td><td>A EC</td><td>EcRe</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Non ça on a fait nous même</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>-<br/>34 :13</td><td>PM</td><td>Ça ça veut dire quoi ?</td><td>Prend le feutre, montre valise mission accomplie. Ecrit la solution</td><td></td><td>MoSy3</td></tr></table>

## 3.6 ANNEXE P : CODAGE DE 4A_DEFA_21NOV_F55

### Activité différencier factoriser et développer selon la question 4A_DEFA_21NOV_F55

Les groupes doivent répertorier en deux catégories plusieurs exemples de question correspondant à développer ou factoriser

Durée : 9min47s

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">4A.DeFa.21n.f55.1</td><td rowspan="2">-<br/>32 :05</td><td>PE</td><td>Maintenant je vais vous distribuer des papiers pour voir ce que vous avez retenu, je vais vous distribuer des petits papiers, ok ? et vous allez faire des catégories</td><td></td><td rowspan="2">EcRe</td><td rowspan="2"></td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>PE</td><td>Alors écoutez, écoutez la consigne. Je vais vous distribuer des petites étiquettes. Ecoutez bien la consigne. Vous allez me faire deux catégories. D'un côté vous allez me faire une catégorie qui correspond à développer, et de l'autre une catégorie qui correspond à factoriser.</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Je redis il faut faire deux paquets. Le premier paquet c'est ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>ENR</td><td>C'est réduire</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Non, réduire on s'en fiche. Développer ! développer d'un côté et ... ?</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td></td><td>ENR</td><td>Factoriser</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Et factoriser d'un autre côté. C'est bon pour vous ?</td><td></td><td></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Allez je vous distribue les petits papiers</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.2</td><td rowspan="4">- 30 :51</td><td>PE</td><td>Deux catégories !</td><td>Papiers distribués au groupe f55</td><td rowspan="4">EcTr</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>Etale les papiers pour tous les voir (soit des dessins, soit du calcul littéral, soient les mots factoriser et développer, soient les définitions correspondant à développer ou factoriser)</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>Prend des papiers vers lui pour les lire</td><td>MoEn1<br>MoEn2<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>EE</td><td>(inaudible)</td><td>Prend des papiers dans ses mains</td><td>MoEn1<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.3</td><td rowspan="4"></td><td>EC</td><td></td><td>A fait deux colonnes avec d'un côté le titre factoriser, et de l'autre développer</td><td rowspan="4">EcRe</td><td>MoEn1<br>AbEm<br>MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td>Et il est où réduire ?</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>ED</td><td>Y a pas !</td><td></td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Y a pas réduire, y a que développer et factoriser</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td rowspan="3">4A.DeFa.21n.f55.4</td><td></td><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>Trois papiers avec jetons dans chaque colonne, mais pas de calcul littéral encore</td><td rowspan="3">EcRe</td><td></td><td>Molc1<br>AbEm<br>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>Enlève une étiquette avec un dessin pour développer, la colonne factoriser est correcte</td><td></td><td>Molc1<br>AbEm<br>MIn</td></tr><tr><td>-29:15</td><td></td><td></td><td>La 2° colonne développer est correcte</td><td>DeCo<br>DeCo<br>DeCo</td><td>AbEm</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.5</td><td></td><td>EB</td><td></td><td>Essaye de placer une étiquette calcul littéral</td><td rowspan="4">EcEt</td><td></td><td>MoSy1<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>Prend des nouvelles étiquettes calcul littéral</td><td></td><td>MoSy1<br>MoEn1<br>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Et ça, est-ce que ça va là ?</td><td>Pousse un papier</td><td></td><td>MoSy1<br>MoEn2<br>ChCo</td></tr><tr><td>-28:33</td><td>EE</td><td></td><td>Pousse le papier dans la colonne factoriser</td><td>FaCo</td><td>MoEn1</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.6</td><td></td><td>ED</td><td>Du coup ! alors...</td><td>Regarde un papier de EC</td><td rowspan="4">EcEt</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Six x plus trois</td><td></td><td></td><td>MoSy2</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Six x plus trois. Et ça ? quatre fois parenthèse deux x plus parenthèse moins dix parenthèse</td><td></td><td></td><td>MoSy1<br>AbRe<br>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Les papiers commencent à être regroupés entre dessins et écriture, trois paires en tout</td><td>FaCo<br>FaCo<br>FaCo</td><td>AbEm<br>AbEm<br>AbEm</td></tr></table>
<table><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.7</td><td>- 27 :23</td><td>EC</td><td>Bon allez on montre tout ça</td><td rowspan="4">EcRe</td><td rowspan="4"></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="3">- 26 :44</td><td>ED</td><td>Ça ça doit être ça alors ?</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td>Ça y est on a fini !</td><td>MEx</td></tr><tr><td>ED</td><td>Madame on a fini</td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.DeFa.21n.f55.8</td><td rowspan="4"></td><td>PE</td><td>Vous avez fini ? ça c'est développer ? là vous pensez qu'on va vous demander de développer c'est ça ?</td><td rowspan="4">EcRe</td><td rowspan="4"></td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>ED</td><td>Ouais</td><td>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Là vous les avez mis ensemble c'est ça ? oui c'est bien vous avez déjà fait la deuxième étape c'est bien ! on va voir si c'est juste</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça c'est ... ?</td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.DeFa.21n.f55.9</td><td rowspan="5"></td><td>EC</td><td>Euh...</td><td rowspan="5">EcEt</td><td rowspan="5">ErDe</td><td>MoEn1<br>AbEm</td></tr><tr><td>PE</td><td>Euh...</td><td>MoEn1</td></tr><tr><td>EC</td><td>Redéplace à nouveau les papiers</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ah oui là c'est mieux, là je suis plus d'accord. Et avec les jetons ?</td><td>Molc1<br>MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td>Là c'est juste !</td><td>Molc1<br>MIn</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.DeFa.21n.f55.10</td><td rowspan="2"></td><td>PE</td><td>Développer, cela revient à trouver le bon cercle multiplicateur pour regrouper les cubes et jetons à l'intérieur ? non ! cela à revient à compter le nombre de cubes et de jetons ?</td><td rowspan="2">EcTr</td><td rowspan="2">ErDe</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>ouais</td><td>MoEn1</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.DeFa.21n.f55.11</td><td rowspan="2"></td><td>PE</td><td>Ah oui là je suis plus d'accord, ok</td><td rowspan="2">EcTr</td><td rowspan="2">DeCo<br>DeCo<br>DeCo</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Alors, celui-là avec celui-là, développer, celui-là avec celui-là, développer, celui-là avec celui-là, développer</td><td>MoEn3</td></tr></table>
<table><tr><td></td><td>PE</td><td>Celui-là avec celui-là factoriser, Celui-là avec celui-là factoriser, Celui-là avec celui-là factoriser, c'est bien ! bravo !</td><td></td><td>FaCo FaCo FaCo</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Bravo !</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.DeFa.21n.f55.12</td><td>PE</td><td>Alors dites-moi, c'est qui le cerveau de l'équipe ?</td><td></td><td rowspan="5">EcRe</td><td></td></tr><tr><td>EE et EF</td><td>C'est lui !</td><td>Montrent du doigt EC</td><td></td></tr><tr><td>ED</td><td>On a fait ensemble</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>PE</td><td>Tu travailles toi d'habitude !</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ED</td><td>Oui on a fait ensemble</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td>4A.DeFa.21n.f55.13</td><td>- 22 :18</td><td>PE</td><td>Alors écoutez-moi, je vais vous distribuer des petites feuilles, et ça vous allez le déplacer au milieu sans changer l'ordre</td><td>EcTr</td><td></td></tr></table>

## 3.7 ANNEXE Q : CODAGE DE 4A_De_21NOV_F55

**Codage de 4A_De_21NOV_F55 (Développement ; 4°A ; 21 novembre ; groupe filmé par farenati 55)**

Il s'agit du début de cours sur le développement, notamment la traduction des dessins en langage mathématiques et vocabulaire (sera suivi de l'activité de différenciation avec les papiers, puis de la résolution des questions sur le cahier). Equipe 1: EA ; EB ; EC ; Equipe 2 : ED ; EE ; EF

Durée : 3 minutes

<figure><img src="image_195.png" /></figure>
EC

ED

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">4A.De.21n.f55.1</td><td rowspan="2">- 38 :44</td><td>PE</td><td>Le deuxième type de questions ! attention on se concentre sur le deuxième dessin ?</td><td rowspan="2">2° dessin de la feuille leçon projetée au tableau</td><td rowspan="2">EcRe</td><td rowspan="2"></td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>EC</td><td>Ha madame c'est moi qui fais !</td></tr><tr><td rowspan="10">4A.De.21n.f55.2</td><td rowspan="10"></td><td>PE</td><td>Deuxième dessin, deuxième question on avait cette fois-ci, on avait cette fois-ci un cercle? comment il s'appelle ce deuxième cercle ? ...</td><td rowspan="10"></td><td rowspan="10">EcEt</td><td rowspan="10"></td><td>MEx</td></tr><tr><td>ENR</td><td>(inaudible)</td><td>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Oui cercle multiplicateur, c'est-à-dire que tout ce qui est à l'intérieur ... ?</td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>On le multiplie, on le multiplie ici par ?</td><td>MIn</td></tr><tr><td>ENR</td><td>trois</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Trois. D'accord ? donc on vous demandait combien, de compter combien il y avait de ...</td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td>De cubes !</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>De cubes ! et combien il y avait de ... ?</td><td>MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td>De ronds et de rectangles !</td><td>Molc1</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Molc1</td><td>MIn</td><td>ChCo</td><td>AbEm</td><td>MEx</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="4">4A.De.21n.f55.3</td><td></td><td>PE</td><td>De jetons ! d'abord on va traduire avant de compter. Combien ça fait ça ?</td><td rowspan="4">EcEt</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>deux fois x !</td><td></td><td>MoSy1</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Trois</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Trois fois x</td><td></td><td>MoSy1<br>MIn</td></tr><tr><td rowspan="10">4A.De.21n.f55.4</td><td rowspan="10">- 38:00</td><td>PE</td><td>Que représente le cercle en langage mathématique ?</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Parenthèse</td><td></td><td></td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Parenthèse ! et combien on met de cubes ?</td><td>Montre les cubes</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Trois ! deux deux</td><td></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et là ça ça fait combien ça ?</td><td>Montre les jetons</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Moins un moins un ! moins trois !</td><td></td><td>ErCa</td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça c'est moins cinq, ça c'est...</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Moins sept !</td><td></td><td>CaCo</td><td>MoSy1<br>AbEm<br>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Oui ! moins sept !</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Houou !</td><td>Manifeste de la joie</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="8">4A.De.21n.f55.5</td><td rowspan="8">- 37:26</td><td>PE</td><td>Egal. Maintenant on va compter combien ça fait de cubes</td><td></td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Ça fait trois</td><td></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Six !</td><td></td><td></td><td>Molc1<br>AbEm<br>MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td>Mais non ! ... six !</td><td></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Combien j'ai de cubes ?</td><td></td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Six ! six !</td><td></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça fait six ! on maintenant on compte combien on a de jetons</td><td></td><td>EcEt</td><td>ReCo</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Vingt et un ! vingt et un !</td><td></td><td></td><td>ErCa</td><td>Molc1<br>MIn</td></tr><tr><td>4A.De.21n.f55.6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>PE</td><td>Alors attention il y a du gris foncé, et si c'est en gris foncé, c'est... ?</td><td></td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Trois fois sept</td><td></td><td></td><td>MoSy2</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Si c'est dans les gris foncé c'est ... ?</td><td></td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Négatif</td><td></td><td></td><td>Molc1</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Négatif !</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Ha oui, trois fois moins sept !</td><td></td><td></td><td>CaCo</td><td>Molc1<br>MIn</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Vous imaginez je multiplie par trois ... ?</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Moins vingt et un !</td><td></td><td></td><td>DeCo</td><td>MoSy1<br>AbEm</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.De.21n.f55.7</td><td>EC</td><td>Et j'ai dit !</td><td rowspan="3">Compte sur ses doigt pour comprendre moins vingt et un</td><td rowspan="3">EcRe</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td>ED</td><td></td><td></td><td>MoEn1</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">- 36 :47</td><td>PE</td><td>Haaa ! t'avais dit moins vingt et un je l'avais pas entendu</td><td></td><td></td><td></td><td>MIn<br>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>Moins vingt et un, moins vingt et un</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="7">4A.De.21n.f55.8</td><td>- 36 :35</td><td>PE</td><td>Maintenant écoutez bien, écoutez bien ! chuuut<br>Ce qu'on vient de faire là ça porte un nom, écoutez bien... il faut retenir ce nom !</td><td rowspan="7">EcEt</td><td></td><td></td><td>MIn<br>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Réduction !</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Ça commence par un d, ça s'appelle ...</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Déduction !</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Développement</td><td></td><td></td><td>DeCo</td><td>MIn<br>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Hahaha !</td><td>rires</td><td></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Dé-ve-lo-per, C'était ça mais le verbe</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>On redit ça s'appelle ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Développer</td><td></td><td></td><td></td><td>AbEm</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>-<br/>36:00</td><td>PE</td><td>Dé-ve-lo-pper, ok c'est bon pour vous ?</td><td>Ecrit au tableau le mot</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.De.21n.f55.9</td><td></td><td>PE</td><td>C'est quoi développer ?</td><td></td><td rowspan="5">EcEt</td><td></td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td>Augmenter</td><td></td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Mais non ! hahaha !</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Ça développe</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Ça distribue, la multiplication distribue les nombres. C'est bon pour vous développer ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>-<br/>35:44</td><td>EC</td><td>Développer ça développe ! hahaha !</td><td>Se moque de lui-même</td><td></td><td></td></tr></table>
## 3.8 ANNEXE R : CODAGE DE 4A_Fa_21NOV_F55

**Codage de 4A_Fa_21nov_f55 (Factorisation ; 4°A ; 21 novembre ; groupe filmé par farenati 55)**

Il s'agit aussi du début de cours sur la factorisation après le développement, notamment la traduction des dessins en langage mathématiques et vocabulaire (suivi de l'activité avec les papiers, puis de la résolution des questions en langage mathématique)

**Transcription de -35 :42 à -32 :08 ; durée : 3 min 34 s**

<figure><img src="image_196.png" /></figure>

Equipe 1: EA ; EB ; EC ; Equipe 2 : ED ; EE ; EF

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">4A.Fa.21n.f55.1</td><td rowspan="3">- 35 :42</td><td>PE</td><td>Attention troisième type de question, vous êtes prêts ? là y avait pas de cercle. Vous voyez le dernier, il y a des choses qui se répètent.</td><td></td><td rowspan="3">EcRe</td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>ENR</td><td>On peut mettre dans le rond là</td><td></td><td>FaPa</td><td>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Oui ! on va mettre dans un cercle, vous allez choisir un cercle multiplicateur pour qu'il y ait moins de cubes et de jetons</td><td></td><td></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>4A.Fa.21n.f55.2</td><td></td><td>PE</td><td>S'il vous plaît je vais vous faire des choses juste après, vous inquiétez pas vous allez travailler, mais d'abord on travaille à l'oral, ok ? je compte sur vous</td><td>Frappe des mains pour avoir le silence</td><td>EcTr</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="5">4A.Fa.21n.f55.3</td><td>PE</td><td>Dites-moi, avant de rassembler dans un cercle, dites-moi comment je traduis ce qu'il y a là ? comment je traduis ? il y a combien de cubes mystères ?</td><td rowspan="5">EcEt</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>ENR</td><td>quatre</td><td>ChCo<br>Molc1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Comment je l'écris ?</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Quatre plus x !</td><td>ErRe<br>MoSy1</td></tr><tr><td>EE</td><td>Quatre fois x, quatre fois x !</td><td>ReCo<br>MEx<br>MoSy1</td></tr><tr><td rowspan="6">4A.Fa.21n.f55.4</td><td>PE</td><td>Très bien ! et pour les jetons ?</td><td rowspan="6"></td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Dix ! moins dix !</td><td>MEx<br>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et avec ça ?</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Douze !</td><td>MEx<br>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Plus ou moins ?</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Moins douze !</td><td>CaCo<br>MIn<br>MoSy2</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.Fa.21n.f55.5</td><td>PE</td><td>Très bien !</td><td rowspan="5">EcEt</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et là écoutez bien car c'est un peu compliqué. Y a une élève qui a déjà trouvé. Tu le dis pas d'accord ? Il faut trouver le bon cercle multiplicateur, s'il te plaît ! il faut trouver le bon cercle multiplicateur pour montrer les petits paquets que l'on peut faire, pour rassembler tout ça.</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Qu'est-ce qui se répète ? toi au fond</td><td>FaCo<br>ChCo<br>MIn<br>Molc2</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Fois deux</td><td>Molc3</td></tr><tr><td>PE</td><td>Fois deux très bien. Et si je prends fois deux, qu'est-ce que j'écris dedans ? on met quoi comme jetons ?</td><td>Molc3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Deux cubes, un triangle et un rond</td><td></td><td>ChCo</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="10">4A.Fa.21n.f55.6</td><td></td><td>ENR</td><td>C'est pas un triangle c'est un rectangle</td><td></td><td rowspan="10">EcEt</td><td></td><td>MoIc2</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>C'est pareil. Deux cubes, un rond, un rectangle</td><td></td><td>FaPa</td><td>AbRe<br>MoIc2</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Vas-y, deux cubes ? un rectangle ? et un rond</td><td>Vers un ENR</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td rowspan="5">- 33 :12</td><td>PE</td><td>Ça fait comment quand on traduit ça, ça fait ?</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Ça fait onze, ça fait six !</td><td></td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et comment je représente le cercle ? Comment je représente le cercle, avec des... ?</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>ENR</td><td>Parenthèses</td><td></td><td>MIn<br>ChCo<br>MoSy2</td></tr><tr><td>PE</td><td>Parenthèses. Et qu'est-ce que je mets dans la parenthèse ? je mets...</td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td rowspan="5">- 32 :25</td><td>EC</td><td>Quatre fois x</td><td></td><td>ErFa</td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Et non justement, dans la parenthèse ? deux x, Deux x plus ... ?</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Deux x plus moins six !</td><td></td><td>FaPa</td><td>MIn<br>MoSy2</td></tr><tr><td>PE</td><td>Deux x plus moins six, bien ! alors attention silence total, silence total ! chut</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Silence total</td><td></td><td>EcRe</td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.Fa.21n.f55.7</td><td></td><td>PE</td><td>Ce qu'on vient de faire, ça s'appelle, c'est-à-dire trouver le bon cercle multiplicateur pour remplir dedans, ça s'appelle ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Factoriser</td><td></td><td></td><td>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Factoriser, c'est bien ! ça s'appelle fac-to-ri-ser.</td><td>Ecrit au tableau</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">- 32 :08</td><td>PE</td><td>Alors on redit les trois mots de vocabulaire qu'on a vu</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>Développer ! et factoriser ! Développer ! et factoriser !</td><td></td><td></td><td>AbEm<br>MIn</td></tr></tbody></table>
## 3.9 ANNEXE S : CODAGE DE 4A_FaDeRes_21nov_f55

**Codage de 4A_FaDeRes_21nov_f55** (Factorisation et Développement résolution des questions ; 4°A ; 21 novembre ; groupe filmé par farenati 55) . Durée : 5min30s

<figure><img src="image_197.png" /></figure>
<table><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Ça veut dire quoi développer ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>EC</td><td>Ça veut dire distribuer</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Oui c'est ça, il faut compter combien il y en a. Vous pouvez vous aider des dessins, ça vous aide ou pas les dessins ?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>EC et ED</td><td>Ouais</td><td></td><td></td><td>MoIc1</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.FaDeRes.21n.f55.2</td><td rowspan="3">-9 :11</td><td>PE</td><td>Ok alors je les laisse à côté. Allez-y vous développer celui-là. Après vous en prenez un autre et vous le faites. Allez, allez-y, t'as compris comment on faisait ou pas ?</td><td></td><td>EcRe</td><td>MoIc3</td></tr><tr><td>EC</td><td>Bon c'est moi qui fait alors ?</td><td></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td>ED</td><td>Oui c'est toi qui a dit qui ferai</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FaDeRes.21n.f55.3</td><td rowspan="4">-7 :51</td><td>EC</td><td>Alors...</td><td>Ecrit mais invisible</td><td>EcRe</td><td>MoSy1</td></tr><tr><td>PE</td><td>Fini ? ici c'est le moins... quatre fois deux</td><td>4*(2x - 10), s'aide de la fiche avec dessins et avec chiffres</td><td></td><td>MoSy3<br>MoIc3</td></tr><tr><td>ED</td><td>huit</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>N'a rien écrit. Fin du cours.</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
## 3.10 ANNEXE T : CODAGE DE 4A_FADE_21NOV_F56

**Codage de 4A_FaDe_21nov_f56** (Factorisation et développement ; 4°A ; 21 novembre ; groupe filmé par farenati 56)

Les groupes doivent répertorier en deux catégories plusieurs exemples de question correspondant à développer ou factoriser. **Durée :** 11 minutes ; Différenciation de la factorisation et du développement avec les papiers, et la traduction des dessins en langage mathématiques et vocabulaire

<figure><img src="image_198.png" /></figure>

<table><thead><tr><td>Unité de Sens</td><td>Temps</td><td>locuteur</td><td>Enoncé du discours</td><td>Gestuelle significative</td><td>Type d'échange</td><td>Composantes du savoir</td><td>Patterns de compréhension</td></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">4A.FaDe.21n.f56.1</td><td rowspan="2">-30 :31</td><td rowspan="2">PE</td><td>Voici les papiers, vous les tournez tous, vous faites deux paquets, d'un côté tout ce qui correspond à factoriser, d'un côté tout ce qui correspond à développer. D'accord ? sachant que vous allez essayer de deviner la consigne qu'on va vous donner sur les questions.</td><td>Mélange les papiers</td><td>Mono</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Par exemple, ça c'est développer ou factoriser ? dans ce cas vous le mettez dans le paquet développer ou factoriser. Ça marche pour vous ?</td><td>Prend un papier avec un calcul à résoudre, s'en va sans attendre de réponse</td><td>EcTr</td><td></td><td>MoSy3</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="6">4A.FaDe.21n.f56.2</td><td></td><td>EB</td><td>Prend et lit les papiers pour commencer à classer.</td><td></td><td>ChCo MoEn1</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Aide EB à classer</td><td></td><td>ChCo MoEn1</td></tr><tr><td rowspan="2">-29 :32</td><td>EC</td><td>Lit une définition</td><td>Mono</td><td>MIn AbEm</td></tr><tr><td>EA</td><td>A son sac devant elle, elle ne peut pas voir les papiers, discute avec les autres</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>EF</td><td>Discute avec EA et EE en souriant mais ne regarde pas les papiers</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>Déballe une sucette, ne regarde pas les papiers</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.FaDe.21n.f56.3</td><td></td><td>EB</td><td>Tape la main de EC pour prendre un papier et le changer de place, montre un emplacement</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Déplace une définition</td><td></td><td>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td>Donne deux papiers à EF qui ne travaille pas</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Donne un coup de coude à EB</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td>Travaille là !</td><td>EcTr</td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.FaDe.21n.f56.4</td><td rowspan="3">-28 :32</td><td>ED</td><td>Hé madame !</td><td rowspan="3">EcRe</td><td rowspan="3"></td></tr><tr><td>PM</td><td>oui</td></tr><tr><td>ED</td><td>(inaudible)</td></tr><tr><td>4A.FaDe.21n.f56.5</td><td></td><td>EC</td><td>Parle à PM</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Caresse le bras de EB avec un papier</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td></td><td>EB</td><td>Tente de récupérer le papier de EC qui le garde dans sa main (pendant 30 sec)</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td></td><td>EF</td><td>Joue avec une barrette à cheveux</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.FaDe.21n.f56.6</td><td rowspan="2">-27 :57</td><td>EF</td><td>Prend les deux papiers qu'on lui a donné</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>EC</td><td>D'adresse à EB. Essaye de relire pour voir les classements</td><td></td><td>ChCo MIn AbEm</td></tr><tr><td rowspan="5">4A.FaDe.21n.f56.7</td><td rowspan="5">-27 :33</td><td>PE</td><td>Arrive pour vérifier le travail</td><td rowspan="5">EcEt</td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>Alors vous arrivez à faire les deux catégories ?</td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Montre du doigt un papier</td><td>ErDe</td></tr><tr><td>EC</td><td>Là, développer c'est rassembler ?</td><td>DeCo</td><td>AbEm</td></tr><tr><td>PE</td><td>Echange deux papiers</td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.FaDe.21n.f56.8</td><td rowspan="5"></td><td>PE</td><td>Ensuite, vos papiers là ?</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>Prend les papiers à gauche pour les déplacer sous une définition</td><td></td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Est-ce qu'on vous demande plutôt de factoriser ou de développer ? qu'est-ce qu'on va vous demander de faire ?</td><td>Prend un papier avec chiffres</td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>Factoriser</td><td>FaCo</td><td>ChCo AbEm</td></tr><tr><td>PE</td><td>Les autres est-ce que vous êtes d'accord ? pourquoi ?</td><td>Montre le papier à tout le groupe</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>EC</td><td>Parce qu'il n'y a pas les parenthèses</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>PE</td><td>Parce qu'il n'y a pas les parenthèses, et quand justement quand on veut factoriser...</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>EC</td><td>Y a pas</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>PE</td><td>Y a pas, et on veut ... ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>On cherche à en rajouter</td><td>Se tourne vers le tableau pour montrer une image projetée</td><td>FaPa</td><td>AbEm</td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Vas-y place-le</td><td>Donne le papier à EC</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Le place dans la colonne factoriser</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Oui voilà c'est ça.</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="6">4A.FaDe.21n.f56.9</td><td>PE</td><td>On va voir si vous avez compris...</td><td>Prend un nouveau papier</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Choisit un autre papier et le place dans la colonne développer</td><td>DeCo</td><td>MIn</td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Alors celui là c'est là, y a les parenthèses</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td>Montre du doigt le papier</td><td></td><td>ChCo</td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Ouais et du coup ?</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td>(inaudible)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="6">4A.FaDe.21n.f56.10</td><td>-26 :44</td><td>PE</td><td>A développer ouais c'est ça</td><td>Elle s'en va</td><td>DeCo</td><td>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Prend tous les autres papiers pour les répartir dans les deux catégories</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td></td><td>Prend tous les autres papiers pour les répartir dans les deux catégories</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td>-25 :31</td><td>EC</td><td>Madame !</td><td>Vient de finir (1 minute pour finir le classement)</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EA – ED – EE - EF</td><td></td><td>N'ont pas du tout participé, on joué et discuté, EF a cassé sa barrette ils ont ramassé</td><td></td><td>Per Per Per Per</td></tr></table>
<table><tr><td rowspan="4">4A.FaDe.21n.f56.11</td><td>-22 :23</td><td>PE</td><td>Alors à vous, vous avez fini ?</td><td>les petits bouts, ont rit ensemble</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Oui</td><td></td><td></td><td>ErFa</td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>C'est développer ça ?</td><td></td><td></td><td>FaCo</td><td>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>non</td><td>Déplace le papier dans la colonne factoriser</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FaDe.21n.f56.12</td><td></td><td>PE</td><td>Je vais vous demander une dernière chose, chaque dessin a son langage mathématique, alors vous allez me les faire correspondre en les posant dessus</td><td>Montre un exemple avec deux papiers</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>D'accord ? vous avez compris ? alors, parlez ensemble, dites si vous êtes d'accord ou pas</td><td>Regarde les autres, montre du doigt les uns et les autres</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>D'accord ?</td><td>Prend deux papiers, s'adresse à EC</td><td>EcTr</td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td></td><td>Se parfume</td><td></td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FaDe.21n.f56.13</td><td></td><td>EC</td><td></td><td>Déplace les papiers sans parler</td><td>FaCo<br>DeCo<br>FaCo<br>DeCo</td><td>AbEm<br>AbEm<br>AbEm<br>AbEm</td><td></td></tr><tr><td></td><td>PM</td><td></td><td>Distribue les feuilles de la leçon comportant les définitions</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Continue de réfléchir</td><td></td><td></td><td>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>-21 :11</td><td>EC</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
## 3.11 ANNEXE U : CODAGE DE 4A_FADERES_21NOV_F56

**Codage de 4A_FADERES_21NOV_F56** (Factorisation et Développement résolution des questions ; 4°A ; 21 novembre ; groupe filmé par farenati 56) . Durée : 9min45sec

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

<table><thead><tr><td>Unité de Sens</td><td>Temps</td><td>locuteur</td><td>Enoncé du discours</td><td>Gestuelle significative</td><td>Type d'échange</td><td>Composantes du savoir</td><td>Patterns de compréhension</td></tr></thead><tbody><tr><td>4A.FDR.21n.f56.1</td><td>-13 :13</td><td>PE</td><td>Sur votre cahier vous allez reprendre les questions de l'exercice où vous aviez les petites cartes à déplacer et là où vous avez mis dans la catégorie développer vous allez le développer, et là où vous mis dans la catégorie factoriser vous allez factoriser</td><td></td><td>Mono</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4A.FDR.21n.f56.2</td><td></td><td>PE</td><td>C'est bon pour vous ? ça veut dire que vous allez écrire une question, vous allez les prendre les unes après les autres, dans l'ordre que vous</td><td>PE arrive vers le groupe, prend un papier pour donner un exemple</td><td>EcTr</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td></td><td>voulez, vous en prenez une, là on vous demande de développer. Vous écrivez développer, vous écrivez ça, et vous développer. D'accord ? ici sur votre cahier, sous la feuille qu'on vient de coller.</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>C'est bon ? vous en prenez un, vous le développer. C'est bon vous avez compris ce qu'il faut faire ?</td><td>Mime le geste de pendre un papier au hasard. S'adresse à chaque élève du groupe.</td><td>EcTr</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.FDR.21n.f56.3</td><td>PE</td><td>Si vous voulez commencez par celui-là. C'est bon ? allez, vous l'écrivez sur votre cahier, et celui-là, allez on vous demande de développer</td><td>donne un papier, le pose au centre de la table, puis prend celui avec le dessin et le pose à côté</td><td>EcTr</td><td>MoEn3</td></tr><tr><td>EA</td><td>(inaudible)</td><td>Pose une question à PE</td><td>EcTr</td><td>ChCo</td></tr><tr><td rowspan="7">4A.FDR.21n.f56.4</td><td>PE</td><td>Pour développer vous dessinez des flèches, aussi sur votre cahier, allez je reviens dans deux minutes vous voir</td><td>Dessine des flèches sur le papier pour développer. PE s'en va</td><td>Mono</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Ecrit sur son cahier sous la feuille collée : développer, puis recopie le papier</td><td></td><td>MIn AbRe</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Joue avec son stylo et discute avec EF</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td>EE</td><td></td><td>Colle sa feuille</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ED</td><td></td><td>Parle avec EE</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td>EF</td><td></td><td>Discute et joue avec son stylo</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td>EA</td><td></td><td>Prend le papier de la question pour le lire</td><td></td><td>MIn ChCo</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.FDR.21n.f56.5</td><td>-10 :57</td><td></td><td>Echange son stylo contre un crayon papier pour</td><td>DeCo</td><td>MEx</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>pouvoir effacer s'il se trompe</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>EA</td><td></td><td>Joue avec le papier mais n'écrit pas</td><td></td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td></td><td>EB</td><td></td><td>N'a pas de cahier donc n'écrit pas</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">4A.FDR.21n.f56.6</td><td rowspan="2">-10 :05</td><td>EB</td><td></td><td>Prend le papier de EA pour le donner à EC</td><td></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Prend la feuille de leçon de EB, la retourne pour que EB puisse écrire dessus, lui pose le papier de la question devant pour qu'elle écrive</td><td></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FDR.21n.f56.7</td><td>-9 :40</td><td>EC</td><td></td><td>Donne un nouveau papier à EB</td><td></td><td></td><td>Min</td></tr><tr><td>-9 :11</td><td>EB</td><td></td><td>range le premier papier car la question est faite</td><td></td><td>ErCa</td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Colle sa feuille</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-8 :47</td><td>EC</td><td></td><td>Reprend son stylo pour écrire</td><td></td><td></td><td>MEx</td></tr><tr><td rowspan="2">4A.FDR.21n.f56.8</td><td></td><td>EC</td><td></td><td>Donne le papier numéro 1 à EA pour qu'elle travaille</td><td></td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td></td><td>Prend le papier</td><td></td><td></td><td>MIn ChCo</td></tr><tr><td rowspan="3">4A.FDR.21n.f56.9</td><td></td><td>PE</td><td>Alors vous en êtes où ? vous avez fait le premier ? on a dit que c'était celui-ci</td><td>Arrive pour aider</td><td>EcRe</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Est-ce que ça vous aide si il y a le dessin avec ?</td><td>Montre le papier avec le dessin à côté du papier avec la question</td><td></td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>Oui</td><td>Répond immédiatement</td><td></td><td></td><td>MoIc1</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>PE</td><td>Toi ça t'aide ?</td><td>S'adresse à EC</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Et toi ça t'aide ?</td><td>S'adresse à EB</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td></td><td>EB</td><td></td><td>Fait oui avec sa tête</td><td></td><td>MoIc1</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td></td><td>Fait oui avec sa tête (moins franc)</td><td></td><td>MoIc1</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Alors je les laisse à côté</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">4A.FDR.21n.f56.10</td><td>EA</td><td>Je peux avoir le calcul ?</td><td></td><td rowspan="3">EcRe</td><td>MIn<br>ChCo</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ouais tu veux le calcul, tu vois pas d'ici ?</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EA</td><td>oui</td><td>Hoche la tête</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">4A.FDR.21n.f56.11</td><td>PE</td><td>Ha t'as pas fini d'écrire ? là y a plus... moins six... sinon t'as compris comment on fait ?</td><td>S'adresse à ED</td><td rowspan="4">EcRe</td><td></td></tr><tr><td>ED</td><td></td><td>Fait non de la tête</td><td></td></tr><tr><td>PE</td><td>Tu distribue un nombre, celui-là... t'as compris ?</td><td>Dessine des flèches sur l'exemple de la fiche leçon</td><td>MoSy3</td></tr><tr><td>ED</td><td></td><td>Fait oui de la tête</td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>tu fais pareil sur celui-là. Du coup tu comptes, combien ça fait de x, combien ça fait de nombres</td><td>Montre le papier de la question</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.FDR.21n.f56.12</td><td>EC</td><td>C'est juste ça ?</td><td>Montre son cahier</td><td rowspan="5">EcEt</td><td>MEx<br>ChCo</td></tr><tr><td>-6 :35</td><td>PE</td><td>Alors... quatre fois deux x plus quatre fois moins dix, c'est bien. Maintenant tu vas compter combien ça fait</td><td>Regarde le cahier de EC (30 sec)</td><td>AbRe</td></tr><tr><td>EC</td><td>C'est réduire ?</td><td></td><td>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>PE</td><td>Ça s'appelle simplifier en fait. Réduire c'est rassembler (inaudible)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>EC</td><td></td><td>Fait oui de la tête</td><td>AbRe</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>(inaudible). C'est juste, t'as bien compris</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>4A.FDR.21n.f56.13</td><td>-6 :01</td><td>PE</td><td>Là y a un plus. Je vais te montrer avec le dessin. (inaudible)</td><td>Va aider EB. Prend le papier avec le dessin (1 :30)</td><td>EcEt</td><td></td><td>MoSy3<br/>MoIc3</td></tr><tr><td rowspan="6">4A.FDR.21n.f56.14</td><td>-5 :48</td><td>EA</td><td></td><td>Montre le mot développer sur la fiche leçon à ED</td><td rowspan="6">EcTr</td><td></td><td>MIn</td></tr><tr><td></td><td>ED -<br/>EE -<br/>EF - EA</td><td></td><td>Lisent la feuille leçon pour comprendre</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td></td><td>Écrit sur son cahier</td><td></td><td>MIn<br/>ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EE</td><td></td><td>Écrit sur son cahier</td><td></td><td>MIn ChCo</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td></td><td>Écrit au crayon. Pose son crayon puis prend son stylo pour écrire.</td><td>DeCo</td><td>MEx<br/>MEx<br/>AbRe</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">4A.FDR.21n.f56.15</td><td>-4 :33</td><td>PE</td><td></td><td>Quitte EB</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-4 :28</td><td>PE</td><td></td><td>Va aider EA</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ED</td><td>C'est 55 ?</td><td>Ferme son cahier</td><td rowspan="2">EcTr</td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td></td><td>EA</td><td></td><td>Écrit sur son cahier</td><td></td><td>ChCo<br/>MIn</td></tr><tr><td>-3 :34</td><td>PE</td><td>Ha ça a sonné ?</td><td>PE quitte EA (1 minute)</td><td>EcRe</td><td></td><td></td></tr></table>
## 3.12 ANNEXE V : VISIONNAGE 4A_9NOV_F55

Visionnage : pas de transcription, seulement analyse des questions effectuées par observation des gestes

V4A_9nov_f56 : suite de la transcription de début d'activités

<figure><img src="image_200.png" /></figure>

EABC : carte n°29 (CaCo) ; EDEF : carte n°22 (non finie)

<table><thead><tr><td>Timing</td><td>Equipe EABC ou EDEF</td><td>Gestes significatifs</td><td>Erreurs</td><td>Réussites</td></tr></thead><tbody><tr><td>-27 :22</td><td>ED</td><td>Lit le carte 22</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-26 :15</td><td>EABC</td><td>Carte 23 :</td><td>ErCa<br>ErRe</td><td></td></tr><tr><td>-22 :26</td><td>EDEF</td><td>Tire carte 30. Cherche aide professeur</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-21 :52</td><td>EABC</td><td>Tire <b>carte 16</b></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-20 :27</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour <b>carte 30</b></td><td>ErRe<br>ErCa</td><td></td></tr><tr><td>-19 :59</td><td>EABC</td><td>Ouvre livret des solutions pour <b>carte 16</b></td><td>ErCa</td><td>ReCo</td></tr><tr><td>-19 :33</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour <b>carte 30</b></td><td></td><td>CaRe</td></tr><tr><td>-19 :08</td><td>EABC</td><td>Tire <b>carte n°9</b></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-18 :41</td><td>EDEF</td><td>Coche 1 pièce</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-18 :30</td><td>EDEF</td><td>Tire <b>carte n°...</b></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-18 :20</td><td>PM</td><td>Aide EABC</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-18 :07</td><td>EABC</td><td>Ouvre livret des solutions pour <b>carte 9</b></td><td></td><td>CaCo<br>ReCo</td></tr><tr><td>-17 :50</td><td>EABC</td><td>Tire carte : non pas de carte car PE explique</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-17 :28</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour <b>carte ...</b></td><td></td><td>ReCo<br>CaCo</td></tr><tr><td>-17 :47</td><td>PE</td><td>Break pour expliquer des expliquer des nouvelles règles</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>-15 :11</td><td>EDEF</td><td>Prend carte n°1</td><td></td><td></td></tr><tr><td><b>-15 :11</b></td><td><b>EABC</b></td><td><b>Prend carte n°12 : développer</b></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-15 :07</td><td>PE</td><td>Distribue les fiches de traduction</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-12 :58</td><td>EABC</td><td>Ouvre livret des solutions pour carte ... ?</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-12 :28</td><td>EC</td><td>Cherche PE pour explications</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-12 :08</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour carte 1</td><td>CaCo</td><td></td></tr><tr><td>-11 :44</td><td>EABC</td><td>Rangent car non compris</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-11 :36</td><td>EDEF</td><td>Prend carte n°15</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-11 :39</td><td>EABC</td><td>Prend carte n°5 (développer)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-11 :02</td><td>EABC</td><td>EA essaye de résoudre</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-9 :42</td><td>EABC</td><td>Ouvre livret des solutions pour EDEF carte 15</td><td>ErCa</td><td></td></tr><tr><td>-9 :18</td><td>EDEF</td><td>Prend la carte n°2</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-8 :48</td><td>EABC</td><td>Ouvre livret des solutions pour carte 5</td><td>ErRe<br>ErDe</td><td>CaCo</td></tr><tr><td>-8 :29</td><td>EABC</td><td>Tire carte n°4</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-7 :17</td><td>EABC</td><td>Prend la fiche de traduction en langage mathématique</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-6 :53</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour carte 2</td><td>ErRe<br>ErCa</td><td></td></tr><tr><td>-5 :05</td><td>EDEF</td><td>Tire carte n° ...</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-5 :11</td><td>PE</td><td>Arrive pour compter les points</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-1 :57</td><td>EDEF</td><td>Ouvre livret des solutions pour carte ...</td><td>ErCa</td><td></td></tr></table>
## 3.13 ANNEXE W : VISIONNAGE 4A_10NOV_F56

Visionnage : pas de transcription, seulement analyse des questions effectuées par observation des gestes

### V4A_10nov_f55 : (groupe de f5( du 10nov)

<figure><img src="image_201.png" /></figure>

Equipe 1: EA ; EB ; EC ; Equipe 2 : ED ; EE ; EF

Rappel début d'activité : équipe 1 : **carte n°35 (factoriser)** ; équipe 2 : **carte n°28 : (factoriser)**

<table><thead><tr><th>Timing</th><th>Equipe EABC ou EDEF</th><th>Gestes significatifs</th><th>Erreurs</th><th>Réussites</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">-44 :13</td><td>Equipe 1</td><td>Carte N°35 (factoriser)</td><td></td><td>FaPa<br>FaCo<br>FaPa<br>ReCo</td></tr><tr><td>Equipe 2</td><td>Carte n°28 (factoriser)</td><td>ErCa<br>ErCa<br>ErCa<br>ErFa</td><td>CaCo<br>CaCo<br>CaCo<br>ReCo<br>FaCo<br>FaPa<br>FaPa</td></tr><tr><td>Equipe 1</td><td>Carte n°21 (factoriser)</td><td></td><td>FaCo<br>FaPa<br>CaCo</td></tr><tr><td>Equipe 2</td><td>Carte n°14 (factoriser)</td><td>ErFa<br>ErFa</td><td>CaCo<br>TrCo (aide)</td></tr><tr><td></td><td>Equipe 1</td><td>Carte n°6 (développer)</td><td>ErTr</td><td>CaCo<br>ReCo<br>DeCo</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td></td><td></td><td>TrCo (aide)</td></tr><tr><td></td><td>Equipe 1</td><td>Carte n°5 (développer)</td><td>CaCo<br>DeCo<br>TrCo</td></tr><tr><td></td><td>Equipe 1</td><td>Carte n°27 (développer)</td><td>(aide)<br>DeCo<br>CaCo<br>TrCo</td></tr><tr><td></td><td>Equipe 2</td><td>Carte n°13 (développer)</td><td>DeCo<br>CaCo<br>TrCo</td></tr><tr><td></td><td>Equipe 2</td><td>Carte n°7 (factoriser)</td><td>FaCo<br>FaPa</td></tr></table>
## 3.14 ANNEXE X : CODAGE DE 4E_DA_10NOV_F56

**Codage de 4E_DA_10NOV_F56** (Début d'activité - Réduire ; 4°E ; 10 novembre ; groupe filmé par farenati 56) : mode iconique et mode symbolique

Le cours débute par les explications de PE de -51 :03 à -51 :29

Cette transcription/codage est le début d'activité de -51 :29 jusqu'à -46 :29 (durée : 5 minutes)

<figure><img src="image_202.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Unité de Sens</th><th>Temps</th><th>locuteur</th><th>Enoncé du discours</th><th>Gestuelle significative</th><th>Type d'échange</th><th>Composantes du savoir</th><th>Patterns de compréhension</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">4E.DA.10n.f56.1</td><td>-51 :29</td><td>PE</td><td>On fait le début ensemble si vous voulez ? c'est quoi ça ?</td><td rowspan="4">Montre le petit rectangle gris au tableau</td><td rowspan="4">EcEt</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Plus cinq</td><td></td><td>MoSy2<br>MoIc1<br>AbEm</td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Plus cinq. C'est quoi ça ?</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td></td><td>EC</td><td>X</td><td></td><td>MoIc1<br>MoSy2<br>AbEm</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td></td><td>PE</td><td>Alors comme ils sont ensemble, on veut savoir combien ça fait en tout, on va utiliser une opération, quelle opération ?</td><td>Montre l'ensemble au tableau</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>La multiplication</td><td></td><td>ErCa</td><td>MoSy1</td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Non</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>ENR</td><td>Plus</td><td></td><td>CaCo</td><td>MoSy2</td><td></td></tr><tr><td></td><td>PE</td><td>Oui, ça veut dire qu'on additionne tout ce qu'il y a pour savoir combien ça fait. Alors on va pas savoir combien ça fait exactement mais on les additionne.</td><td></td><td></td><td>AbEm</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">4E.DA.10n.f56.2</td><td>PE</td><td>Le prochain c'est quoi ?</td><td>Montre un cube au tableau</td><td rowspan="3">EcRe</td><td></td><td>MoIc3</td></tr><tr><td>EA</td><td>X</td><td></td><td></td><td>MoIc1<br>MoSy2</td></tr><tr><td>PE</td><td>X, et le prochain, et cetera, je vous laisse réfléchir, allez-y, vous continuez la traduction de ça sur votre feuille. Pour l'instant on fait que la traduction, et après on va faire un calcul</td><td></td><td></td><td>MoSy3</td></tr><tr><td rowspan="5">4E.DA.10n.f56.3</td><td>EB</td><td>Ici on fait quoi ? ici on fait quoi ?</td><td></td><td rowspan="3">EcTr</td><td></td><td>ChCo<br>MIn</td></tr><tr><td>EB</td><td></td><td>Prend son crayon et essaye</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>-50 :30</td><td>ED</td><td></td><td>Prend son crayon et essaye</td><td></td><td>ChCo</td></tr><tr><td>-50 :14</td><td>EB</td><td>Madame tu peux venir, je peux te poser une question ?</td><td></td><td rowspan="2">EcRe</td><td></td><td>MIn<br>MEx</td></tr><tr><td>PE</td><td>Oui j'arrive</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4E.DA.10n.f56.4</td><td>-50 :00</td><td>EA - EC</td><td></td><td></td><td></td><td>Per</td></tr><tr><td>4E.DA.10n.f56.3</td><td></td><td>PE</td><td>Alors non parce que x au carré c'est x fois x, et non on multiplie pas les x entre eux ici</td><td>Arrive et regarde la feuille de EC</td><td>EcTr</td><td>ErRe</td><td>MoSy1<br>MoSy3</td></tr></tbody></table>