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FEIXES DE HOMOTOPIA E A DINÂMICA TEMPORAL EM BURACOS NEGROS

João Paulo da Silva Pereira

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João Paulo da Silva Pereira. FEIXES DE HOMOTOPIA E A DINÂMICA TEMPORAL EM BURACOS NEGROS. 2024. hal-04875333

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Submitted on 8 Jan 2025

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# FEIXES DE HOMOTOPIA E A DINÂMICA TEMPORAL EM BURACOS NEGROS: APLICAÇÕES EM ANÁLISE DE DADOS

Autor: PEREIRA<fnref n="1" />

## RESUMO

Neste estudo, investiguei a relação entre noções de topologia algébrica, tais como feixes de homotopia, e a dinâmica temporal em buracos negros, utilizando métodos de análise de dados. A metodologia sugere que as mudanças e perturbações no espaço-tempo em áreas extremas, tais como os buracos negros, podem ser representadas por meio de estruturas topológicas complexas. Isso permite a análise de informações provenientes dessas áreas, tais como observações astrofísicas e simulações numéricas. No âmbito da mecânica estatística e teoria de sistemas dinâmicos, a análise de dados será empregada para analisar essas dinâmicas, concentrando-se na cohomologia resultante de homotopias de cadeia. O objetivo é explorar como essas ferramentas podem proporcionar uma nova visão para a descrição e interpretação dos fenômenos temporais ligados aos buracos negros.

**Palavras-chave:** Feixes. Homotopia. Dinâmica Temporal. Buracos Negros. Análise de Dados.

<footnote n="1">¹ João Paulo da Silva Pereira: tecnólogo em ciência de dados, concluinte de matemática licenciatura e da especialização em análise de dados e matemática aplicada, e estatística aplicada. Áreas: topologia geral, topologia algébrica, sistemas dinâmicos, física matemática, geometria diferencial, e assim por diante. E-mail: silvapereiraoajoluap1720@gmail.com.</footnote>
# Introdução

A topologia algébrica e a análise de dados se revelam instrumentos eficazes para entender os sistemas físicos complexos, como os presentes na relatividade geral, especialmente na dinâmica dos buracos negros. O conceito de feixes de homotopia, que é um dos princípios básicos da topologia algébrica, pode vir a ser utilizado como uma forma de ilustrar a progressão em sistemas dinâmicos espaciais e temporais. Por sua vez, os feixes de homotopia são estruturas matemáticas que possibilitam a análise da continuidade e da deformação de espaços topológicos, principalmente explicando como essas deformações podem ser geridas e classificadas.

No que concerne os buracos negros, a progressão do tempo e do espaço em torno de seu horizonte de eventos pode ser concebido como uma sequência de deformações topológicas, e a dinâmica temporal pode ser interpretada como uma mudança entre estados topológicos. Com a aplicação de feixes de homotopia faz-se possível a formalização dessa transição, oferecendo, com isso, uma perspectiva matemática para os fenômenos ligados à dilatação do tempo, dentre outras coisas.

Por fim, com esta pesquisa foi possível criar uma ponte entre a teoria matemática da homotopia e a análise de dados, com o intuito de criar modelos computacionais capazes de lidar com os dados astrofísicos, como os gerados por telescópios e observatórios para ondas gravitacionais. A cohomologia, ligada a esses feixes de homotopia, pode trazer novas formas de analisar e entender a dinâmica temporal que influencia o comportamento de sistemas próximos a buracos negros.

# Desenvolvimento

## 1. Feixes de Homotopia
Um feixe $F$ sobre um espaço topológico $X$ é uma estrutura matemática que associa a cada aberto $U \subset X$ um conjunto $F(U)$, que é uma seção sobre $U$. A condição de consistência entre as seções de $U_i$ e $U_j$ sobre as interseções $U_i \cap U_j$ deve ser respeitada. Matematicamente, isso pode ser descrito como:

* Para cada conjunto aberto $U \subset X$, existe uma coleção de seções $\Gamma(U, F)$, que é um espaço vetorial ou grupo topológico.

* As seções sobre interseções $U_i \cap U_j$ devem ser compatíveis, ou seja, a coleção de seções sobre $U_i \cap U_j$ deve ser obtida pela "união" das seções sobre $U_i$ e $U_j$.

Formalmente, temos o feixe $F$ sobre $X$ que satisfaz a propriedade de que, se $\{U_i\}$ é uma cobertura aberta de $X$, então:

$$ \Gamma(U, F) = \bigcup_i \Gamma(U_i, F), $$

onde a condição de gluing garante que as seções em interseções se combinam de maneira consistente.

De outra forma, seja $X$ um espaço topológico e $F$ um feixe sobre $X$, ou seja, um sistema que associa a cada aberto $U \subset X$ um conjunto $f(U)$, que pode ser um espaço vetorial, um grupo, ou mais geralmente, um objeto algébrico. A condição de gluing exige que, dado uma cobertura aberta $\{U_i\}$ de $X$, as seções $s_i \in f(U_i)$ devem ser compatíveis nas interseções $U_i \cap U_j$, isto é, a coleção $\{s_i\}$ deve ser uma única seção na interseção $U_i \cap U_j$, ou seja:
$$f(U_i \cap U_j) \supseteq \mathrm{Im}(f(U_i) \cap f(U_j)).$$

Esta propriedade faz possível a utilização do feixe para analisar as características locais e globais de espaços topológicos, que são essenciais para descrever a deformação contínua do espaço-tempo que subjaz um buraco negro.

Ao conectar os feixes de homotopia a um espaço-tempo curvo, tal como a estrutura local do espaço-tempo no qual está um buraco negro, cada fibra posicionada em um ponto, para cada um dos pontos, pode representar as características dinâmicas, tais como o campo gravitacional ou a geometria do objeto. Ao modelarmos a evolução de um buraco negro, como a fusão de dois buracos negros, através de um feixe de homotopia, podemos observar como a topologia do espaço-tempo muda durante o acontecimento. As partes das fibras têm a capacidade de se modificar à medida que o buraco negro se deforma por causa da interação gravitacional.

## 2. Dinâmica Temporal e Homotopia em Buracos Negros

A homotopia é uma deformação contínua de funções entre espaços topológicos. Se considerarmos duas funções $f, g: X \to Y$, elas são homotópicas se existe uma função contínua $H: X \times [0, 1] \to Y$ tal que:

$$H(x, 0) = f(x) \text{ e } H(x, 1) = g(x), \forall x \in X.$$

Dentro do cenário de buracos negros, a homotopia pode ser empregada para representar a constante transformação da geometria do espaço-tempo, como ocorre durante a fusão de dois buracos negros. Esta fusão ilustra a deformação do espaço-tempo de um buraco negro com o passar do tempo, podendo ser ilustrada por uma homotopia do espaço-tempo em relação à variável temporal.
O comportamento temporal dos buracos negros é caracterizado pela transformação do Espaço-Tempo (ET), que pode ser representada como uma sequência de homotopias. Por exemplo, com a sucessão do tempo, o ET no que concerne dois buracos negros separados pode vir a tornar-se um único buraco negro resultante da fusão. Com isso, cada estado do ET representa uma parte do ET. Cada condição do ET representa uma parte do feixe de homotopia. Esta progressão, assim, pode ser interpretada como uma variação do ET de um dado estado inicial e final, onde a constante transformação é regulada pelas homotopias.

Em modelos de dinâmica temporal em relação aos buracos negros, o ET $M$ pode ser descrita como uma variedade diferenciável, na sua definição geral. E a evolução de um sistema de buracos negros pode ser modelado por uma sequência de homotopias, que é o feixe de homotopia.

**Teorema (Homotopia da Dinâmica Espacial em Buracos Negros):** Se $M$ é um ET representado por uma variedade diferenciável $M$, e $M_1$ e $M_2$ representam diferentes estados do sistema de buracos negros (como buracos negros isolados e sua fusão), então existe uma homotopia $H: M \times [0, 1] \to M$ tal que:

$$H(x, 0) = M_1, H(x, 1) = M_2, \forall x \in M.$$

Isto é, o sistema pode ser deformado de uma dada estrutura inicial $M_1$ a uma dada estrutura final $M_2$ ao longo do parâmetro $t$. A transformação topológica que ocorre pode ser representada pela supracitada homotopia.

### 3. Cohomologia e Aplicações

Para se estudar as propriedades globais do ET à medida que ele evolui, pode-se utilizar a cohomologia de um feixe de homotopia. No contexto dos buracos negros, a cohomologia pode capturar a evolução das distorções topológicas à
medida que o tempo passa. Formalmente, a cohomologia associada a um feixe $F$ sobre $X$ (um espaço topológico) é dada por:

$$ \mathcal{H}^*(X, F) = \lim_{\rightarrow} \mathcal{H}^*(U, F), $$

onde $\{U\}$ é uma cobertura aberta de $X$, e $\mathcal{H}^*(U, F)$ são os grupos de cohomologia associados às seções de $F$ sobre os abertos $U$. As classes de cohomologia podem ser usadas para estudar as transições entre estados do ET, capturando as transformações e distorções durante eventos como fusões de buracos negros ou a passagem de matéria através de um buraco negro.

Entender a formação e evolução das singularidades durante a fusão de tais objetos ainda é um dos maiores desafios na pesquisa de cohomologia voltada aos buracos negros. Desta forma, a cohomologia pode ser um instrumento eficaz para explorar a forma como a topologia do ET se modifica em torno dessas singularidades. Ademais, a estrutura da cohomologia pode oferecer uma forma de representar as transições entre distintos estados do ET, como a criação e a desagregação de buracos negros.

## 4. Análise de Dados e Métodos Estatísticos

A homologia persistente é um instrumento da topologia algébrica empregado para examinar a "persistência" de propriedades topológicas, tais como buracos e ciclos, em informações. Dentro do cenário de buracos negros, a homologia persistente pode ser empregada para analisar as propriedades topológicas do ET conforme ele se transforma, como ocorre durante uma fusão de buracos negros, por exemplo.

A ideia principal da homologia persistente é avaliar a persistência ou desaparecimento de estruturas topológicas em diversas escalas de resolução (baseadas em um parâmetro, como o tempo). No que diz respeito a buracos negros,
isso pode ser aplicado para analisar a evolução das diversas áreas do ET (próximas
à singularidade ou ao horizonte de eventos) ao longo de um certo período.

Definição (Homologia Persistente): O objeto de estudo da homologia persistente é a quantidade de tempo que determinadas características topológicas irão existir, como buracos ou ciclos, à medida que a escala de filtragem de dados é alterada. Mas formalmente, seja $X$ um espaço topológico e $\{X_t\}$ uma filtragem de espaços topológicos $X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_n$, a homologia persistente analisa as classes de homologias associadas a esses espaços à medida que a filtragem é alterada, revelando quais das características topológicas persistem ao longo das diferentes escalas.

Em sistemas dinâmicos, como a fusão de buracos negros, a homologia persistente pode ser utilizada para estudar como as características topológicas do ET (como buracos ou ciclos) evoluem ao longo do tempo.

A Análise de Componentes Principais (PCA) é comumente empregada para diminuir a complexidade de dados. A análise de componentes principais pode ser empregada na dinâmica temporal de buracos negros, diminuindo a complexidade dos dados espaciais e temporais e reconhecendo padrões na transformação do ET. Por fim, os feixes de homotopia podem servir como fundamento para categorizar as distorções no ET, possibilitando uma análise mais eficaz de grandes quantidades de dados astrofísicos.

## 5. Teoremas

Teorema (Persistência Topológica na Fusão de Buracos Negros): Seja $M_1$ e $M_2$ dois estados quaisquer diferentes de um dado sistema de buracos negros, representados por diferentes estruturas topológicas do ET. Se a evolução do ET, entre $M_1$ e $M_2$, pode ser modelada por uma sequência de homotopias $H_t$, então a homotopia persistente dessa sequência pode ser usada para identificar as características topológicas que permanecem constantes ao longo do tempo. Isso
pode incluir a persistência de buracos topológicos ou mudanças na estrutura global
do sistema durante a fusão.

Demonstratio:

1. Considere $M_1$ e $M_2$ como duas variedades topológicas com diferentes propriedades de buracos negros, sendo topologicamente distintos. A evolução de $M_1$ e $M_2$ é descrito como uma sequência de homotopias $H_t$, isto é, uma família contínua de mapas $H_t: M_1 \to M_2$ parametrizada por $t \in [0, 1]$, com $H_0 = M_1$ e $H_1 = M_2$.

2. Considere uma filtração topológica do $E_T$, que é uma sequência de inclusões de subespaços $E_T^{(0)} \subset E_T^{(1)} \subset \dots \subset E_T^{(n)}$. Cada $E_T^{(i)}$ pode ser um complexo simplicial que descreve a topologia do sistema em diferentes sistemas.

3. Para analisar a evolução topológica de $E_T$, será usada a teoria da persistência homológica. Ou por outra, será calculado os grupos de homologia $H_k(E_T^{(i)})$, ∀i, que se referem às propriedades topológicas (como buracos, conexões, e assim por diante). A persistência dessas características ao longo da evolução é dada pela persistência dos grupos de homologia.

4. Se enquanto a evolução de $M_1$ para $M_2$ certos buracos topológicos (representados por geradores de $H_k$) permanecerem constantes ao longo da filtragem, então a topologia associada a esses buracos persiste na fusão dos buracos negros. A persistência homológica mede o quanto durou essas características topológicas.

5. Portanto, pode-se afirmar que as propriedades topológicas que permanecem constantes durante a fusão de buracos negros podem ser identificadas, incluindo a persistência de buracos topológicos. E isso se encontra relacionado à forma como a sequência de homotopias descreve a transformação contínua de $M_1$ para $M_2$, preservando certas estruturas topológicas. ■
Teorema (Feixes de Homotopia em Redes de Dados): Se uma rede de dados ou sistema complexo pode ser representado como um espaço topológico $X$, então a evolução das conexões dinâmicas entre diferentes regiões pode ser modelada por um feixe $F$ sobre $X$. A evolução dessa rede ao longo do tempo pode ser descrita por uma sequência de homotopias $H_t$, associando a cada ponto $x \in X$ uma estrutura de evolução de dados, com a topologia da rede mudando ao longo do tempo de maneira contínua.

Demonstratio:

1. Considere que a rede de dados $X$ é um espaço topológico que descreve as regiões interconectadas de uma rede dinâmica. A rede não será tratada como um grafo simples. Suas conexões serão modeladas através de um feixe topológico $F$ sobre $X$. Temos que $\forall x \in X, \exists F_x$, uma seção associada. Ela descreve a estrutura de dados ou a conectividade da rede em torno de $x$.

2. Será descrita, a evolução das conexões na rede, por uma sequência de homotopias $H_t$ que deformam o feixe $F$ ao longo do tempo. Cada $H_t$ é uma homotopia que leva uma configuração inicial de conexões a uma configuração final. As conexões entre as regiões (a topologia da rede), muda de maneira contínua, mas as seções $F_x$ de $F$ evoluem de maneira suave.

3. A evolução das conexões dinâmicas ao longo do tempo pode ser descrita pela sequência de homotopias $H_t$, onde $t \in [0, 1]$. A cada $t$, o feixe $F$ descreve uma nova configuração de conexões da rede. A topologia da rede no instante $t$ é dada por uma subvariedade de $F$, e as mudanças nas conexões são descritas por uma transformação contínua.

4. Para entender as características topológicas da rede, pode-se calcular os grupos de homologia $H_k(X)$ para distintos instantes $t$. A análise da persistência homológica desses grupos permite identificar as características que permanecem constantes ao longo do tempo e entender como as conexões da rede se organizam novamente.
5. Portanto, a evolução das conexões da rede de dados é descrita por homotopias $H_t$, que deformam o feixe $F$ de forma contínua. Assim, a análise topológica da rede, usando homologia e persistência homológica, nos permite compreender as mudanças na estrutura da rede e identificar as características persistentes das conexões. ■

Teorema (Interação de Singularidades): Se $M_1$ e $M_2$ representam duas configurações iniciais de buracos negros com singularidades $S_1$ e $S_2$, a fusão desses buracos negros pode ser descrita por uma homotopia $H$ que resulta na transformação das singularidades $S_1$ e $S_2$ em uma nova singularidade $S_3$.

Demonstratio:

1. Considere que $M_1$ e $M_2$ são variedades topológicas que representam dois estados diferentes de um sistema de buracos negros, cada uma contendo uma singularidade. Essas singularidades $S_1$ e $S_2$ são pontos em $M_1$ e $M_2$ onde as condições de curvatura tornam-se indefinidas.

2. A fusão dos buracos negros pode ser modelada por uma homotopia $H$ entre $M_1$ e $M_2$, que descreve uma transformação contínua desses espaços. A homotopia $H_t$ leva a configuração inicial $M_1$ para $M_2$, de forma que as singularidades $S_1$ e $S_2$ se aproximam e se fundem.

3. Durante o processo de fusão, as singularidades $S_1$ e $S_2$ se combinam em uma nova singularidade $S_3$. A homotopia $H_t$ descreve a transformação contínua do ET tal que as singularidades se fundem em um novo ponto de singularidade, preservando a topologia do ET em uma nova configuração.

4. Para descrever formalmente a fusão de singularidades, usarei a teoria das singularidades em topologia diferencial, que permite modelar como pontos de singularidade podem se combinar durante a evolução do sistema. A fusão
pode ser analisada usando teoria das bifurcações, que descreve a mudança
da estrutura topológica quando as singularidades se aproximam e se fundem.

5. Portanto, a fusão de singularidades $S_1$ e $S_2$ em uma nova singularidade $S_3$ é descrita por uma homotopia $H_t$ entre $M_1$ e $M_2$. Assim, a transformação contínua da topologia do ET preserva a estrutura global, mas as singularidades se combinam para formar uma nova singularidade, o que pode ser modelado rigorosamente usando a homotopia e teoria das bifurcações. ■

Conclusão e Considerações Finais

No presente estudo elucidei o uso de feixes de homotopia, homotopia, cohomologia e análise topológica dos dados, a fim de analisar a dinâmica temporal de sistemas físicos complexos, como buracos negros. A topologia algébrica proporciona os instrumentos indispensáveis para expressar como as mudanças de estados topológicos no ET podem ser descritas, enquanto a análise de dados, em específico a homologia persistente e a PCA, possibilita uma nova estratégia computacional para tratar dados astrofísicos complexos.

Contudo, se faz necessário implementar de fato esta modelagem, além de especificar como ela será feita. A matemática da topologia algébrica, incluindo feixes de homotopia e homologia persistente, possibilita o desenvolvimento de novas ferramentas, como a oferecida aqui, para o estudo da dinâmica de sistemas complexos.

O uso de tal ferramenta em física possibilita uma análise mais contundente sobre como as estruturas topológicas do ET variam em relação ao tempo. Revelando, assim, insights importantes sobre a real natureza do tempo no buraco negro. Além disso, com tal estudo, consegui aplicações em análise de dados, ao oferecer novas maneiras de estudar fenômenos complexos em sistemas de redes e dados de alta dimensão.
Porquanto, a matemática aqui oferecida, fornece apenas uma boa base teórica, mas a modelagem “precisa” de buracos negros envolve também aspectos computacionais e numéricos, que são complementares ao estudo topológico. E tais modelagens devem ser realizadas para a validação ou não de tal modelo.

REFERÊNCIAS

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