# Application de l'erreur en relation de comportement modifiée à l'identification de propriétés élastiques hétérogènes

Mouldi Azzouna, Pierre Feissel, Pierre Villon

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Mouldi Azzouna, Pierre Feissel, Pierre Villon. Application de l'erreur en relation de comportement modifiée à l'identification de propriétés élastiques hétérogènes. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717846

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# Application de l'erreur en relation de comportement modifiée à l'identification de propriétés élastiques hétérogènes

Mouldi Ben Azzouna*, Pierre Feissel, Pierre Villon

Université de Technologie de Compiègne, Laboratoire Roberval UMR-CNRS 7337, {mouldi.ben-azzouna,pierre.feissel,pierre.villon}@utc.fr

**Résumé** — Ce travail aborde l'identification de propriétés élastiques à partir d'essais hétérogènes par approche inverse, basée sur les principes de l'erreur en relation de comportement modifiée et l'exploitation de mesures de champs. La démarche consiste à définir le problème d'identification en utilisant l'ensemble des données théoriques et expérimentales, avec prise en compte de l'aspect fiable et peu fiable de ces quantités.

**Mots clés** — erreur en relation de comportement modifiée, identification inverse, mesures de champs, perturbations de mesure,

## 1 Introduction

Les essais hétérogènes, pouvant coupler des effets matériau, géométrie et structure, sont difficilement exploitables par le biais de jauges de déformations ou d'extensomètres. Dans ce contexte, le recours aux mesures de champs (MdC) devient l'option la plus pertinente, permettant un accès aux champs cinématiques sur une partie de la surface de l'échantillon étudié, apportant des informations de plus en plus locales dans le domaine, dans le cas d'une modélisation 2D.

Au vu de la richesse de mesure obtenue par corrélation d'images numériques (CIN), des méthodes d'identification par approche inverse ont été dédiées ou adaptées à l'exploitation des MdC. [1] présente les grandes familles de méthodes (l'écart à l'équilibre, l'écart à la réciprocity, la méthode des champs virtuels...). Malgré la richesse de mesure par CIN, la connaissance des conditions aux limites (CL) reste imparfaite. De plus, les données expérimentales sont affectées par des perturbations de mesure, inhérentes aux moyens de mesure expérimentaux, ce qui conduit à l'altération des résultats d'identification, surtout dans le domaine élastique où le rapport signal/bruit est faible. Certaines stratégies se basent sur les mesures de champs pour définir les CL, évitant ainsi de les spécifier avec des hypothèses fortes. Ces CL sont néanmoins entachées de perturbations et imposées de manière forte. Ces deux questions conditionnent la qualité de l'identification et sont crucialles dans le choix de la méthode d'identification.

Parmi les stratégies d'identification, l'erreur en relation de comportement (ERdC) modifiée s'avère être une approche robuste vis-à-vis des perturbations de mesure [2]. Elle a été proposée dans [3], et par la suite adaptée aux mesures de champs dans [4, 5], et plus récemment dans [6]. Cette approche, appliquée ici dans le cadre de l'élasticité homogène et hétérogène en statique, présente des atouts face aux deux questions précédentes, en gérant notamment la méconnaissance des conditions aux limites.

## 2 Cadre de l'identification et formulation

Dans cette section, on définit le problème de référence qui servira de base pour la mise en œuvre de la stratégie d'identification. Pour cela, on considère une structure $\Omega$ soumise à un chargement statique et gouvernée par les équations de la mécanique. On s'intéresse ici à l'identification de ses propriétés élastiques. Dans FIGURE 1, le sous-domaine $\Omega_m$ correspond à une zone de mesure non nulle, et les MdC cinématiques sont représentées par un champ $\tilde{u} \in H_1(\Omega_m)$.

Le parti pris de l'ERdC modifiée est de séparer les grandeurs en quantités fiables et quantités moins fiables. Dans notre cas, la séparation est celle du TABLEAU 1 :
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Modèle 2D associé au problème d'identification</figcaption></figure>

<table><caption>TABLEAU 1 – Quantités fiables et non fiables dans le cas élastique</caption><thead><tr><th>Fiables</th><th></th><th>Peu fiables</th></tr></thead><tbody><tr><td>Équilibre :</td><td><u>div</u> <u>σ</u> = 0</td><td>Relation de comportement :</td><td><u>σ</u> = C(θ)ε</td></tr><tr><td>Compatibilité cinématique :</td><td>ε = 1/2 (∇u + ∇<sup>T</sup>u)</td><td>Mesures :</td><td>u = ũ</td></tr><tr><td>Bords libres :</td><td><u>σ</u>·n = 0</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

avec $\mathbb{C}$ le tenseur de rigidité, paramétré par les propriétés matériau $\theta$ et pouvant être homogène ou hé- térogène, isotrope ou anisotrope, $\underline{u}$ est le vecteur des déplacements, $\underline{\underline{\sigma}}$ le tenseur des contraintes et $\underline{\underline{\varepsilon}}$ le tenseur des déformations.

Le bord est réparti comme suit : $\partial_f \Omega$ où l'on peut disposer d'informations fiables, typiquement des bords libres, et $\Omega \setminus \partial_f \Omega$ contenant des informations incertaines, comme la contrainte répartie et les liaisons. Dans la suite, le bord $\Omega \setminus \partial_f \Omega$ sera considéré comme méconnu. Les seules CL prises en compte seront les bords libres, si disponibles dans $\partial_f \Omega$.

Les quantités peu fiables de l'ERdC modifiée sont les mesures, puisque entachées d'erreurs, et la relation de comportement, car susceptible de ne pas être parfaitement représentative du comportement réel.

La formulation du problème d'identification consiste alors à confronter l'ensemble des données théo- riques et expérimentales. Les équations fiables sont vérifiées de manière exacte et servent à définir les espaces d'admissibilité cinématique et statique, respectivement $u_{Ad}$ et $S_{Ad}$, tels que :

$$ egin{cases} u_{Ad} = \{\underline{u} \in H_1(\Omega)\} \\ S_{Ad} = \{\underline{\underline{\sigma}} \in H_{\text{div}}(\Omega) / \underline{\underline{\sigma}} = 0 \text{ dans } \Omega, \underline{\underline{\sigma}} \cdot \underline{n} = 0 \text{ sur } \partial_f \Omega\} \end{cases} \quad (1) $$

Dans un deuxième temps, les quantités peu fiables sont vérifiées au mieux, par la minimisation d'une fonctionnelle comportant deux termes relatifs aux deux équations considérées comme incertaines. Cette fonctionnelle s'écrit :

$$ J(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta}) = \int_{\Omega} \frac{1}{2} (\underline{\underline{\sigma}} - \mathbb{C} \underline{\underline{\varepsilon}}(\underline{u})) \mathbb{C}^{-1} (\underline{\underline{\sigma}} - \mathbb{C} \underline{\underline{\varepsilon}}(\underline{u})) d\Omega + \alpha \int_{\Omega_m} \frac{1}{2} (\underline{u} - \underline{u}^*)^2 d\Omega_m \quad (2) $$

$J$ est composée d'une énergie et du carré d'une distance. $\alpha$ est un hyper-paramètre qui peut jouer deux rôles : un rôle d'adimensionnement des deux termes, et un rôle de pondération entre les deux. Cet hyper- paramètre est ici le ratio entre une estimation de l'énergie élastique du problème de référence et le carré des mesures, et s'écrit comme :

$$ \alpha = \gamma \times p, \text{ avec } p \in [0, 1] $$

où $\gamma$ est le ratio énergie élastique/carré des mesures, et $p$ le ratio des poids affectés à $J_2$ et $J_1$. Dans la suite, l'identification sera menée avec un poids égal pour les deux composantes ($p = 1$). Le problème d'identification s'écrit alors :

$$ \begin{gathered} \text{Trouver } (\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta}) \text{ qui minimisent : } J(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta}) \\ \text{sous les contraintes : } (\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}) \in u_{Ad} \times S_{Ad} \end{gathered} $$

Le problème est alors résolu dans sa globalité à travers une minimisation séquentielle, par rapport aux champs admissibles puis aux paramètres matériau :

$$ \min_{(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta})} J(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta}) \iff \min_{\underline{\theta}} \min_{(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}})} J(\underline{u}, \underline{\underline{\sigma}}, \underline{\theta}) $$
En pratique, on fait le choix de séparer ce problème en deux : un problème de base qui construit les champs de contraintes et de déplacement optimaux, à paramètres $\theta$ fixés, et un problème d'identification qui consiste à identifier les paramètres matériau en se basant sur les champs précédemment définis.

## 2.1 Le problème de base

Le problème de base s'écrit donc, pour un jeu de paramètres $\theta$ fixé :

Trouver les champs $\underline{u}, \underline{\sigma}$ minimisant :

$$J(\underline{u}, \underline{\sigma}) = \int_{\Omega} \frac{1}{2} (\underline{\sigma} - C \underline{\varepsilon}(\underline{u})) C^{-1} (\underline{\sigma} - C \underline{\varepsilon}(\underline{u})) d\Omega + \alpha \int_{\Omega_m} \frac{1}{2} (\underline{u} - \tilde{\underline{u}})^2 d\Omega_m = J_1 + \alpha J_2 \quad (3)$$

sous les contraintes :

$$\underline{u} \in \mathcal{U}_{Ad}, \quad \underline{\sigma} \in \mathcal{S}_{Ad} \quad (4)$$

La fonctionnelle $J$ exprime un écart au comportement à travers le terme $J_1$ et une distance quadratique aux mesures à travers le terme $J_2$, permettant une vérification au mieux des équations peu fiables. Au final, les champs mécaniques recherchés sont construits à partir de toutes les données disponibles.

## 2.2 Le problème d'identification

La deuxième étape est le problème d'identification des propriétés matériau et consiste alors à trouver les meilleurs paramètres $\theta_{opt}$ du modèle en minimisant une fonction coût $G$, définie à partir des champs solution construits dans l'étape précédente (3, 4), telle que :

$$G(\underline{u}(\underline{\theta}), \underline{\sigma}(\underline{\theta})) = \min_{(\underline{u}, \underline{\sigma})} J(\underline{u}, \underline{\sigma}) \quad (5)$$

La fonction coût associée au problème d'identification a, ici, la même expression que la fonctionnelle du problème de base $J$, mais est fonction des champs solution $\underline{u}$ et $\underline{\sigma}$. Le problème d'identification s'écrit alors :

Trouver les paramètres $\theta$ minimisant :

$$G(\underline{\theta}) = J(\underline{u}(\underline{\theta}), \underline{\sigma}(\underline{\theta})) = G_1 + \alpha G_2 \quad (6)$$

avec :

$$\underline{\theta} = \arg \min_{\underline{\theta}} G(\underline{\theta}) \quad (7)$$

où l'estimation de $G$ implique la résolution du problème de base.

# 3 Résolution du problème de base

Le choix qui est fait dans cette étude est de formuler le problème d'identification global en déplacements plutôt qu'en contraintes. Le champ de contrainte recherché sera alors remplacé par un champ de déplacement statiquement admissible. En effet, on peut montrer facilement qu'un champ de contrainte $\underline{\sigma}$ peut s'exprimer en fonction d'un champ de déplacement $\underline{v}$ :

$$\exists \underline{v} / \underline{\sigma}(\underline{v}) = C \underline{\varepsilon}(\underline{v})$$

## 3.1 Discrétisation de type Éléments Finis

L'expression du problème sous forme Éléments Finis (EF) consiste à projeter l'ensemble des équations sur un espace EF où les champs de déplacement sont donnés sous la forme :

$$\underline{u}(\underline{x}) = \Phi(\underline{x}) U, \quad \underline{v}(\underline{x}) = \Phi(\underline{x}) V \quad (8)$$
où $\Phi(\underline{x})$ est la matrice des fonctions de forme et $U$ et $V$ les vecteurs des inconnues nodales, associés aux
champs $\underline{u}$ et $\underline{v}$.

La fonctionnelle $J$ s'écrit sous sa forme discrète comme :

$$
J(U, V) = \frac{1}{2} (U - V)^{\mathrm{T}} K (U - V) + \frac{\alpha}{2} (\Pi U - \tilde{U})^{\mathrm{T}} (\Pi U - \tilde{U}) \quad (9)
$$

avec $K$ la matrice de rigidité globale, $\tilde{U}$ le vecteur colonne qui contient les déplacements mesurés dans $\Omega_m$, et $\Pi$ un opérateur d'extraction/projection du maillage EF vers la grille régulière des mesures.

Ne traitant sur le bord que le cas de la contrainte répartie fiable (bord libre), les degrés de liberté (ddl) du domaine seront différenciés selon l'endroit. Ainsi, les ddl sur le bord entier $\partial\Omega$ porteront l'indice "b", les ddl sur le bord fiable $\partial_f\Omega$ porteront l'indice "f" tandis que les ddl du bord sans informations $\partial\Omega\setminus\partial_f\Omega$ porteront l'indice "c", tels que : $b = c \cup f$. Les ddl du domaine intérieur porteront l'indice "i" et "o" sera l'indice de tous les ddl. Les contraintes discrètes s'écrivent alors :

$$
\begin{align*}
\underline{\operatorname{div}} \underline{\sigma} &= \underline{0} \implies K_{i\circ} \underline{V} = \underline{0} \\
\underline{\sigma} \cdot \underline{n} &= \underline{0} \implies K_{f\circ} \underline{V} = \underline{0}
\end{align*}
$$

Les deux contraintes impactent uniquement les lignes de la matrice de rigidité globale et peuvent donc
être condensées en une seule équation :

$$
K_{if \circ} V = 0 \tag{10}
$$

avec “*if*” l’indice regroupant les ddl “*i*” et “*f*”.

3.2 Introduction d'un Lagrangien

La première étape pour appliquer la stratégie d'identification est donc d'exprimer le problème de base (3, 4) puis de le résoudre. Ce problème étant un problème de minimisation sous contrainte, on introduit le Lagrangien suivant, avec un seul multiplicateur pour les deux contraintes (10) :

$$
\mathcal{L}(U, V, \Lambda) = J(U, V) - \Lambda^{\mathrm{T}} (K_{if \circ} V) \quad (11)
$$

Afin d'obtenir le système différentiel que doivent vérifier les champs solution, on exprime la stationnarité
de $\mathcal{L}$ ($d\mathcal{L} = 0$) avec $d\mathcal{L}$ qui a pour expression :

$$
d\mathcal{L} = \begin{cases}
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial U}, \delta U\right) = \delta U^\mathrm{T} \left(K(U-V) + \alpha(\Pi^\mathrm{T}\Pi U - \Pi^\mathrm{T}\tilde{U})\right) \\
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}, \delta V\right) = \delta V^\mathrm{T} \left(K_{if\circ}^\mathrm{T} \Lambda - K(U-V)\right) \\
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Lambda}, \delta \Lambda\right) = \delta \Lambda^\mathrm{T} K_{if\circ} V
\end{cases}
$$

$$
\text{avec } U = \begin{bmatrix} U_i \\ U_b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U_i \\ U_c \\ U_f \end{bmatrix}, \quad V = \begin{bmatrix} V_i \\ V_b \end{bmatrix} \text{ et } \Lambda = \begin{bmatrix} \Lambda_i \\ \Lambda_f \end{bmatrix}
$$

De plus, si l'on pose $\Lambda_2 = \begin{bmatrix} \Lambda \\ \Lambda_c \end{bmatrix}$ avec $\Lambda_c = 0$, alors $K_{if\circ}^\mathrm{T}\Lambda = K\Lambda_2$. On obtient ainsi le système d'équations suivant :

$$
\begin{equation}
K(U - V - \Lambda_2) = 0, \Lambda_c = 0 \tag{13a}
\end{equation}
$$

$$
(K + \alpha \Pi^T \Pi) U - K V = \alpha \Pi^T \tilde{U} \quad (13b)
$$

$$
K_{if \circ} V = 0 \tag{13c}
$$

où $(U - V - \Lambda_2)$ correspond à un mouvement de corps rigide choisi nul, le résultat étant indépendant de
ce choix, et à $V$ donné, (13b) a un défaut de rang $\le 3$.

Au final, la solution du problème de base s'obtient par la résolution du système linéaire suivant :

$$
\begin{bmatrix} U \\ \Lambda \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} \alpha \Pi^\mathrm{T} \Pi & K_{\circ if} \\ K_{if \circ} & -K_{if \circ} \end{bmatrix}}_{M}^{-1} \times \begin{bmatrix} \alpha \Pi^\mathrm{T} \tilde{U} \\ 0 \end{bmatrix} \quad (14)
$$
Dans la présente approche, les problèmes direct et adjoint sont couplés dès le départ et résolus donc en même temps. Lorsque la zone de mesure ne couvre pas la taille totale de l'échantillon testé, i.e $\Omega_m \subset \Omega$, un noyau est susceptible d'apparaître. Ces deux problèmes sont alors résolus via une décomposition QR de la matrice M (14).

### 3.3 Calcul explicite du gradient de G

Un intérêt de l'utilisation de la même fonctionnelle pour définir le problème de base et le problème d'identification est l'accès immédiat au gradient de la fonction coût G (6). La fonction coût et sa dérivée s'expriment en fonction du Lagrangien comme suit :

$$G(\theta) = \mathcal{L}(U(\theta), V(\theta), \Lambda(\theta), \theta) \qquad (15)$$

$$\frac{\partial G}{\partial \theta_k} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta_k} + \underbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial U}}_{=0} \frac{\partial U}{\partial \theta_k} + \underbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}}_{=0} \frac{\partial V}{\partial \theta_k} + \underbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Lambda}}_{=0} \frac{\partial \Lambda}{\partial \theta_k} \qquad (16)$$

Les dérivées partielles du Lagrangien par rapport aux champs U, V et Λ sont nulles car ces derniers sont solution du problème de base, et $\theta_k$ est le $k$-ème paramètre matériau du vecteur $\theta$ recherché. Ainsi, le problème de base donne accès à la fonction coût et son gradient.

## 4 Identification de propriétés isotropes homogènes

Pour évaluer la stratégie d'identification présentée, on procède, dans un premier temps, à son application à l'identification de propriétés isotropes homogènes en s'appuyant sur un exemple numérique. On s'intéressera en particulier à souligner l'intérêt du rajout d'informations fiables sur le bord.

### 4.1 Essai et identification

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Simulation d'un essai de flexion 3 points (géometrie et champs de déplacement)</figcaption></figure>

FIGURE 2 représente une simulation d'un essai de flexion trois points sur une plaque rectangulaire et les champs de déplacement associés. La plaque est maillée avec des éléments T3 et a un comportement élastique homogène. Un premier calcul de référence permet de construire des mesures de déplacement $U_0$ sur la surface entière de l'éprouvette, avec des propriétés matériau de référence qui sont ici les coefficients de Lamé $\lambda_0$ et $\mu_0$. Par ailleurs, les déplacements étant disponibles sur un maillage EF, on construit une grille de mesures régulière de taille $70 \times 30$ afin d'y projeter les déplacements. Des perturbations de mesures, notées $\delta\tilde{U}$, sont fabriquées à partir d'un bruit blanc Gaussien, et rajoutées aux mesures. Ainsi, les déplacements mesurés s'écrivent comme la somme des déplacements de références projetés sur la grille de mesures, et des perturbations :

$$\tilde{U} = \Pi U_0 + \delta \tilde{U} \qquad (17)$$

FIGURE 3(a) montre l'allure de l'allure de la fonction coût G en fonction des deux modules de Lamé. On peut remarquer que son minimum correspond à une vallée. En l'absence de données de type effort, le problème inverse est mal posé pour le couple $(\lambda, \mu)$. Les modules identifiés correspondent alors à un contraste de rigidité qui nécessite d'être recalé. Une façon de faire consiste à fixer un paramètre pour ne chercher que l'autre. Toujours en deux dimensions, FIGURE 3(b) montre le calcul du gradient à chaque point d'évaluation de la fonction coût. La ligne médiane continue représente la vallée de la fonction coût, où l'on remarque que les gradients, en traits bleus, sont bien évalués. L'étude en élasticité isotrope portera ensuite sur l'identification du module $\mu$ seul.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Fonction coût et gradient</figcaption></figure>

Afin de souligner l'intérêt de rajouter des informations fiables de type bord libre, l'identification avec l'ERdC modifiée a été menée pour 1000 tirages de bruit blanc Gaussien générés sur la grille de mesure, sans conditions aux limites puis avec l'information bord libre.

Les résultats d'identification sont tracés en termes de biais < $\frac{\mu}{\mu_0}$ > et d'écart-type $\sigma_{\frac{\mu}{\mu_0}}$, et normés par la valeur de référence. Les lignes continues noires représentent les résultats de l'identification sans CL

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Résultats d'identification sans CL et avec bord libre</figcaption></figure>

tandis que les lignes en gris sont relatives à l'identification avec prise en compte de l'information fiable sur les bords libres. Les lignes discontinues représentent la barre d'erreur < $\frac{\mu}{\mu_0}$ > $\pm\sigma_{\frac{\mu}{\mu_0}}$ en fonction du niveau de perturbation. Il en ressort que les résultats d'identification ont été améliorés avec le rajout d'informations fiables sur le bord.

## 4.2 Effet de la taille de la zone de mesure

Il est fréquent que la zone mesure ne couvre pas la totalité de la surface de l'éprouvette testée, soit parce que l'algorithme de CIN ne converge pas sur les bords, soit parce que la zone photographiée se concentre sur un endroit précis pour une plus grande résolution du cliché. Par conséquent, en plus des hypothèses fortes sur les CL faites avec des stratégies qui nécessitent la connaissance des efforts sur le bord, d'autres s'ajoutent afin de décrire la transmission des efforts sur le bord de la zone mesurée. Par conséquent, les bords libres, si ils existent, ne sont pas pris en compte. Avec l'ERdC modifiée, la résolution du problème de base se fait sur la taille entière de l'échantillon, indépendemment de la taille de la zone de mesure.

Ci-après, l'identification du coefficient $\mu$ est menée pour 1000 tirages de Monte-Carlo et deux niveaux de bruit (1% et 5%) avec la formulation tenant compte des bords libres. Les résultats sont tracés en terme de moyenne et d'écart-type en fonction du ratio des tailles $\Omega_m/\Omega$ qui varie de 100% à moins de 50%.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Identification avec une zone de mesure reconnue</figcaption></figure>

D'après FIGURE 5, il apparaît que l'erreur d'identification augmente quand le ratio $Ω_{m}/Ω$ diminue, mais reste raisonnable pour les tailles de mesure les plus petites.

# 5 Identification de propriétés orthotropes hétérogènes

## 5.1 Expérimentation numérique

Dans cette section, un composite stratifié est étudié à travers une simulation d'un essai de flexion trois points (FIGURE 6(a)). L'identification de l'ensemble de ses propriétés orthotropes hétérogènes a été menée pour 1200 échantillons de bruit. Afin de recaler les contrastes de rigidité, en l'absence d'information de type effort, la rigidité $Q_{yy}^{1}$, relative ici au matériau 1, a été fournie. L'algorithme d'identification utilisé est celui de Levenberg-Marquardt, qui s'avère être robuste et peu coûteux en temps de calcul.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Résultats d'identification pour deux niveaux de perturbations</figcaption></figure>

FIGURE 6(b) présente les résultats d'identification de sept propriétés orthotropes du bi-matériau pour deux niveaux de perturbation (2% et 5%), normées par les valeurs de références. L'erreur d'identification est raisonnable pour l'ensemble des propriétés orthotropes, même si relativement plus élevée pour $Q_{xy}$.

## 5.2 Identification du module de cisaillement d'un composite cousu

On s'intéresse ici à l'identification du module de cisaillement d'un composite stratifié verre-polyester (CMO) à partir d'un essai de flexion trois points. Ce dernier a été cousu pour pallier au phénomène de délaminage. Un mouchetis a été appliqué sur une éprouvette rectangulaire (FIGURE 7(a)) et des images ont été acquises au cours de l'essai dans le plan des coutures. Des champs de déplacement ont ensuite été obtenus avec une approche locale de CIN.

Recherchant un seul paramètre, l'identification a été menée avec deux méthodes d'identification inverse, en évaluant les fonctions coût correspondantes dans un intervalle de recherche donné. Les autres propriétés sont fournies et considérés comme fiables dans la présente étude. Dans FIGURE 7(b) sont représentées la fonction coût de l'ERdC modifiée avec l'information bord libre, en rouge, et celle relative
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>(a) Configuration de l'essai</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>(b) Fonctions coût de deux approches d'identification inverse</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 7 – Identification par ERdC modifiée</caption>

à l'approche inverse de recalage par EF (FEMU) [1]. Cette dernière a été appliquée avec des CL de type Dirichlet, obtenues sur le bord de la zone de mesure à partir du champ cinématique mesuré. De telles CL contiennent inévitablement des perturbations de mesure et influencent la qualité de l'identification. Le module identifié avec la méthode FEMU est $G_{xy} = 4264$ MPa alors que l'ERdC modifiée donne un module $G_{xy} = 4732$ MPa. Une comparaison entre ces deux méthodes a été menée en élasticité isotrope dans [7] et montre une meilleure identification avec l'ERdC modifiée.

# 6 Conclusion

Une approche inverse basée sur l'ERdC modifiée a été mise en place. Elle repose principalement sur la confrontation de toutes les données disponibles et permet d'identifier sans conditions aux limites. Par ailleurs, la résolution d'un problème de base non standard donne accès à la fonction coût et son gradient. L'identification a été menée à partir de données synthétiques perturbées, pour des matériaux homogènes et hétérogènes, isotropes et orthotropes, et montre la robustesse de l'approche proposée vis-à-vis des perturbations, ainsi que pour des zones de mesure ne couvrant qu'une partie de l'éprouvette testée. Cette méthode a d'ores et déjà été appliquée sur des données expérimentales pour caractériser des modules de cisaillement à l'échelle macro. La méthodologie peut être appliquée aux échelles méso ou micro.

# Références

[1] Avril S., Bonnet M., Bretelle A-S., Grédiac M., Hild F., Ienny P., Latourte F., Lemosse D., Pagano S., Pagnacco E., Pierron F. Identification from measurements of mechanical fields. *Exp Mech* **48** 381-402. 2008

[2] Feissel P., Allix O. Modified constitutive relation error identification strategy for transient dynamics with corrupted data : The elastic case. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering* **196** 1968-1983. 2007

[3] Ladevèze P., Reynier M., Maya N. Error on the constitutive relation in dynamics. *H.D. BUI M. T. . A.*, Ed., *Inverse problems in Engineering* 251-256. 1994

[4] Calloch S., Dureisseix D., Hild F. Identification de modèles de comportement de matériaux solides : utilisation d'essais et de calculs. *Technologies et Formations* **100** 36-41. 2002

[5] Latourte F. Identification des paramètres d'une loi élastoplastique de Prager et calcul de champs de contrainte dans des matériaux hétérogènes. *Ph.D thesis* (Université de Montpellier 2). 2007

[6] Florentin E., Lubineau G. Identification of the parameters of an elastic material model using the constitutive equation gap method. *Comput Mech* **46** 521-531. 2010

[7] Ben Azzouna M., Feissel P., Villon P. Identification of elastic properties from full-field measurements - Applying the modified constitutive relation error strategy. *15th European Conference on Composite Materials* Venise, Italie. 2012