# Détermination des surfaces de transformation de phase d'alliages à mémoire de forme anisotropes

Elie Gibeau, Karine Laverhne, Rachid Laydi, Christian Lexcellent

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Elie Gibeau, Karine Laverhne, Rachid Laydi, Christian Lexcellent. Détermination des surfaces de transformation de phase d'alliages à mémoire de forme anisotropes. CFM 2009 - 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. hal-03378380

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Submitted on 14 Oct 2021

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# Convexité et dualité en mécanique des matériaux à mémoire de forme

E. Gibeauª, K. Lavernhe-Taillardᵇ, R. Laydiª, C. Lexcellentª

a. FEMTO-STt – Département de Mécanique Appliquée (DMA), 24 rue de l'Epitaphe, 25000 BESANCON

b. ENS Cachan, 61 Avenue du Président Wilson 94235 CACHAN CEDEX

## Résumé :

Dans l'espace des contraintes, des surfaces d'initiation de la transformation de phase pour des alliages à mémoire de forme (AMF), présentant une dissymétrie entre la traction et la compression, sont construites. Dans ce papier, une extension du comportement des AMF isotropes à ceux sujets à une anisotropie, est aussi effectuée. Le transport des surfaces duales dans l'espace des déformations de transformation de la martensite associée est testé sur un alliage de CuAlBe polycristallin. Une confrontation entre les données expérimentales (chargements mécanique biaxiaux proportionnels) et les prédictions se montre satisfaisante.

## Abstract :

In the stress space, we built the yield surfaces of phase transformation initiation for shape memory alloys (SMA) exhibiting asymmetry between tension and compression. In the present work, an extension from isotropic to anisotropic SMA materials is done. In this context, the transport of the dual surfaces in the space of effective transformation strains of martensite is also done. Different biaxial proportional loadings are performed on an anisotropic Cu-Al-Be polycrystal and a confrontation between experiments and predictions is fair.

**Mots clefs :** alliages à mémoire de forme, surface de transformation martensitique, dualité, convexité

## 1 Introduction

Comme en plasticité, la détermination du domaine élastique de la phase mère austénitique est un point clé de la modélisation du comportement thermomécanique des AMF [1]. En général, les AMF ont un comportement dissymétrique entre la traction et la compression [2]. Comme leur comportement est insensible à la pression, seuls la contrainte de von Mises et le troisième invariant du déviateur des contraintes interviennent dans l'équation de la surface début de transformation.

Dans une publication récente [3], le cas des AMF isotropes a été résolu avec une attention particulière portée à la convexité des surfaces obtenues dans l'espace des contraintes. Le transport de ces surfaces dans l'espace des déformations de transformation de la martensite a été effectué aussi. Le présent travail consiste en une extension du cas idéal isotrope à celui plus réaliste de l'anisotropie concernant un alliage de CuAlBe polycristallin.

## 2 Contrainte équivalente pour un AMF anisotrope

Ce concept de contrainte équivalente a été étendue afin de prendre en compte l'anisotropie du matériau. Un tenseur « dilaté » $\tilde{\sigma}$ est obtenu par une transformation linéaire du tenseur des contraintes $\sigma$ :

$$ \tilde{\sigma} = \underline{D} \sigma \qquad (1) $$

où la transformation affine $\underline{D}$ est choisie telle que l'hyper-ellipse de Hill dans l'espace des contraintes $\sigma$ soit transformée en une hyper-sphère dans l'espace des contraintes $\tilde{\sigma}$.

On peut écrire le critère de Hill sous la forme classique :
$$F(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + G(\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + H(\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 + 2L\sigma_{12}^2 + 2M\sigma_{23}^2 + 2N\sigma_{13}^2 = 1 \quad (2)$$

où F, G, H, L, M, N sont les coefficients d'orthotropie du matériau.

Avec $D_{ij} = \frac{1}{v} D'_{ij}$, on a $\underline{D}$ de la forme suivante :

$$ \underline{D} = \frac{1}{v} \begin{bmatrix} \frac{2A}{3} \cos^2(\varphi) + \frac{2B}{3} \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & -\frac{A}{3} \cos^2(\varphi) - \frac{B}{3} \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & -\frac{A}{3} \cos^2(\varphi) - \frac{B}{3} \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \text{sym} & \left(\frac{A}{6} + \frac{B}{2}\right) \cos^2(\varphi) + \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{6}\right) \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & \left(\frac{A}{6} - \frac{B}{2}\right) \cos^2(\varphi) + \left(\frac{B}{6} - \frac{A}{2}\right) \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \text{sym} & \text{sym} & \left(\frac{A}{6} + \frac{B}{2}\right) \cos^2(\varphi) + \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{6}\right) \sin^2(\varphi) + \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{L} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{M} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{N} \end{bmatrix} \quad (3) $$

Avec :

$$ \begin{align} A &= \sqrt{\alpha \cos^2(\varphi) + \beta \sin^2(\varphi) + \gamma \cos(\varphi)\sin(\varphi)} \notag \\ B &= \sqrt{\alpha \sin^2(\varphi) + \beta \cos^2(\varphi) - \gamma \cos(\varphi)\sin(\varphi)} \notag \\ \varphi &= \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{\delta}{\beta - \alpha} \right) \notag \\ v &= \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (D'_{11} - D'_{12})^2 + (D'_{11} - D'_{13})^2 + (D'_{12} - D'_{13})^2 \right]} \tag{4} \\ \alpha &= \frac{3}{2}(F+H) \notag \\ \beta &= \frac{1}{2}F + \frac{1}{2}H + 2G \notag \\ \delta &= \sqrt{3}(H-F) \notag \end{align} $$

L'angle $\varphi$ dans l'équation (3), correspond à l'inclinaison de l'hyper-ellipse de Hill dans l'espace des contraintes $\underline{\sigma}$.

La contrainte équivalente du matériau anisotrope $\underline{\sigma}_{eq,ani}$ est simplement définie en remplaçant $\underline{\sigma}$ par $\underline{\sigma}'$ dans l'expression isotrope de $\underline{\sigma}_{eq,iso}$ qui s'écrit :

$$ \underline{\sigma}_{eq,iso} = \bar{\sigma} f(y_{\sigma}) \quad (5) $$

Avec :

$$ \bar{\sigma} = \left( \frac{3}{2} dev(\underline{\sigma}) : dev(\underline{\sigma}) \right)^{\frac{1}{2}} \quad \text{et} \quad y_{\sigma} = \frac{27 \det(dev(\underline{\sigma}))}{2 \bar{\sigma}^3} \quad (6) $$

Où $dev(\underline{\sigma})$ est le déviateur des contraintes, $\bar{\sigma}$ la contrainte au sens de Huber-von Mises et $y_{\sigma}$ le troisième invariant du déviateur des contraintes.

f a été choisi par Bouvet *et al.* [4] sous la forme :

$$ f(y_{\sigma}) = \cos\left(\frac{\arccos(1 - a(1 - y_{\sigma}))}{3}\right) \quad (7) $$
Ainsi la surface isotrope

$$F(\underline{\sigma}) = \sigma_{eq,iso} - \sigma_0 = \bar{\sigma}f(y_{\sigma}) - \sigma_0 = 0 \quad (8)$$

devient

$$F(\tilde{\sigma}) = \sigma_{eq,ani} - \sigma_0 = \bar{\sigma}f(y_{\tilde{\sigma}}) - \sigma_0 = 0 \quad (9)$$

La détermination des paramètres F, G, H, L, M, N s'obtient par des essais de traction et de cisaillement suivant les trois axes d'orthotropie.

Le paramètre de dissymétrie a été choisi comme la moyenne des résultats de traction - compression obtenus suivant les trois axes.

Une douzaine de chargements proportionnels ont été effectués pour (i) des tubes en traction (compression) – pression interne (figure 1) (ii) des cubes en bi- compression (figure 2) (iii) des tubes en traction (compression) – torsion (figure 3).

On peut noter que dans les trois cas, la prédiction recouvre bien les points expérimentaux.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG 1. Comparaison entre les résultats expérimentaux et la surface de charge anisotropique dans le demi-plan $(\sigma_{zz}, \sigma_{\theta\theta})$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG 2. Comparaison entre les résultats expérimentaux et la surface de charge anisotropique dans le quart plan $(\sigma_{22}, \sigma_{33})$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG 2. Comparaison entre les résultats expérimentaux et la surface de charge anisotrope dans le quart plan $(\sigma_{zz}, \sigma_{z\theta})$</figcaption></figure>

### 3 Surfaces duales dans l'espace des déformations de transformation associées à la martensite

Afin de les identifier, rappelons que le comportement pseudo-élastique obtenu par une transformation de phase (austénite ? martensite) isotherme permet d'écrire la déformation totale sous la forme :

$$ \underline{\varepsilon} = \underline{\varepsilon}_e + \underline{\varepsilon}_m z \quad (10) $$

Où $z$ est la fraction volumique de martensite. Théoriquement $z \in [0, 1]$ si la transformation de phase est totale et donc qu'il n'y a pas de saturation ce qui hélas est souvent le cas pour les polycristaux.

Pour le transport de l'espace des contraintes $\underline{\sigma}$ vers l'espace des déformations de transformation associées à la martensite $\underline{\varepsilon}_m$ établi par Laydi et Lexcellent [3], on peut prendre par exemple pour la traction – compression.

$$ \underline{\sigma} = \sigma_0 \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \alpha \in [0, 2\pi] \quad (11) $$

Pour chaque valeur de $\alpha$, on calcule $y_\sigma$, $f(y_\sigma)$, $f'(y_\sigma)$ et le tenseur déviatorique des contraintes normalisé et

$$ \underline{N}_\sigma = \frac{3}{2\sigma} \mathrm{dev}(\underline{\sigma}) \quad (12) $$

Et son tenseur orthogonal

$$ \underline{N}_\sigma^\perp = \frac{1}{\sqrt{1 - y_\sigma^2}} (2\underline{N}_\sigma^2 - 1 - y_\sigma \underline{N}_\sigma) \quad (13) $$

De plus en se servant de la règle de normalité de $\underline{\varepsilon}_m$ à la surface $F(\underline{\sigma}) = 0$ (ce qui a été vérifié expérimentalement [4]), on obtient

$$ \underline{\varepsilon}_m = \gamma F'(\underline{\sigma}) = \gamma \left( f(y_\sigma) \underline{N}_\sigma + 3(1 - y_\sigma^2)^{1/2} f'(y_\sigma) \underline{N}_\sigma^\perp \right) \quad (14) $$

Dans le cas anisotrope, la surface duale a pour équation
$$g(\underline{\epsilon}_m) = \epsilon_{meq,ani} - \epsilon_0 = 0 \qquad (15)$$

Avec

$$\epsilon_{meq,ani} = \frac{\overline{\tilde{\epsilon}_m}}{\sqrt{f^2(y_{\bar{\sigma}}) + 9(1 - y_{\bar{\sigma}}^2)(f'(y_{\bar{\sigma}}))^2}} \quad \text{et} \quad \underline{\tilde{\epsilon}_m} = \underline{D^{-1}\epsilon_m} \qquad (16)$$

Les figures 4, 5 et 6 correspondent aux figures 1,2 et 3 respectivement.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG 4. Surface duale dans l'espace $\underline{\epsilon}_m$ de la surface de charge en figure 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG 5. Surface duale dans l'espace $\underline{\epsilon}_m$ de la surface de charge en figure 2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG 6. Surface duale dans l'espace $\underline{\epsilon}_m$ de la surface de charge en figure 3</figcaption></figure>

De surcroît, $g(\underline{\epsilon}_m)$ peut être écrite sous la même forme que $F(\underline{\sigma})$.

$$g(\underline{\epsilon}_m) = H(\underline{\epsilon}_m) - \gamma = \overline{\epsilon}_m h(\underline{\epsilon}_m) - \gamma = \epsilon_{m,eq,iso} - \gamma = 0 \quad (17)$$

Or, Laydi et Lexcellent ont montré que [3] :

$$dev(\underline{\sigma}) = \sigma_0 \frac{H'(\underline{\epsilon}_m)}{\gamma} \quad (18)$$

Il en résulte un résultat classique en mécanique des matériaux à savoir que pour les chargements proportionnels :

$$\underline{\sigma} : \dot{\underline{\epsilon}}_m = \sigma_{eq,iso} \dot{\epsilon}_m \quad (19)$$

Dans le cas anisotrope, on peut démontrer que la même relation existe [1], [2] :

$$\underline{\sigma} : \dot{\underline{\epsilon}}_m = \sigma_{eq,ani} \dot{\epsilon}_m \quad (19)$$

## References

[1] Lexcellent Ch., Boubakar M.L., Bouvet Ch., Calloch S. 2006 About modelling the shape memory alloy behaviour based on the phase transformation surface identification under proportional loading and anisothermal conditions *International Journal of Solids and Structures*, Volume 43, Issues 3-4, February 2006, Pages 613-626

[2] Burkart M.W. and Read T.A. 1953. Diffusionless phase transformation in the Indium-Thallium system. *Journal of Metals*. 5: 1516-1524

[3] Laydi R.L., Lexcellent Ch. 2008 Yield criteria for shape memory materials : convexity conditions and surface transport *Mathematics and Mechanics of Solids*

[4] Bouvet, C., Calloch, S., Lexcellent, C., 2002. Mechanical behaviour of a Cu-Al-Be shape memory alloy under multi-axial proportional and non proportional loadings. *J. Eng. Mater. Technol.* 124, 112-124