# Effets des ondes de gravité sur la propagation infrasonore : application à la caractérisation de source

Elodie Noëlé, Christophe Millet, Fanny Lehmann

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Elodie Noëlé, Christophe Millet, Fanny Lehmann. Effets des ondes de gravité sur la propagation infrasonore : application à la caractérisation de source. La stratosphère et ses interfaces : Dynamique, transport et couplages associés, CNRS INSU; LEFE; ONERA; LACy; Sorbonne Université; LATMOS; LMD; LISA; CNRM; CEA; LPC2E; LOA; LAERO, Oct 2025, Paris, France. hal-05305184

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Submitted on 9 Oct 2025

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# Effets des ondes de gravité sur la propagation infrasonore : application à la caractérisation de source

Elodie NOELE¹,⁴, Christophe MILLET¹,²

*En collaboration avec Fanny LEHMANN³*
# Contexte

**Objectif** : à partir de signaux infrasonores ou de pertes par transmission enregistrés dans des stations, estimer rapidement l'énergie W ou les paramètres de source $(t_d, P_p)$

**Contraintes** : les approches numériques classiques reposent sur des solveurs précis, mais coûteux.

**Besoin opérationnel** : disposer d'outils capables de fournir non seulement un estimation rapide, mais aussi une quantification de l'erreur associé à l'énergie estimée.

**Approche proposée** : apprendre directement l'opérateur de propagation $(a,s) \rightarrow u$ à partir de bases de données synthétiques en utilisant de l'apprentissage statistique et des méthodes d'inférence bayésienne.

**Effets des ondes de gravité sur la propagation infrasonore** : application à la caractérisation de

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# Physique de la propagation

## Modélisation:

Formes d'onde $p = u *_{t} p_{0}$ avec

$$ \Delta u - c_{\text{eff}}^{-2} \partial_{tt} u = \delta \quad (1) $$

**Entrée:** $c_{\text{eff}} = \sqrt{\gamma r T} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{\mathbf{x}}$ où $\mathbf{v}$ représente le vent.

**Sortie:** Fonction de Green $u(\mathbf{x}, t)$.

## Résolution dans l'espace spectral

Pour $c_{\text{eff}}(\mathbf{x}) \approx c_{\text{eff}}(z)$ avec $\hat{u} = \mathcal{F}(u)$ (1) se réduit à un problème aux valeurs propres.

Expansion modale dans $(r, z)$ pour $\theta$ fixé

$$ \hat{u}(r) \sim \sum_{j} A_{j} \hat{u}_{j}(z) H_{0}^{(1)}(k_{j} r) $$

$A_j = \hat{u}_j(0)$ pour une source ponctuelle

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# Dispersion statistique et ondes de gravité

$$R = \max_{\text{Strato}} \frac{c_{\text{eff}}(z)}{c_{\text{eff}}(0)}$$

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## Conséquences :

* Canaux de guidage → infrasons portés sur de longues distances.

* Zones d'ombre → pertes de signal, variabilité forte des TL.

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# Cas d'application

## Explosions annuelles à Hukkakero

### ■ Observations réelles

- Campagne annuelle de destruction d'explosifs hors d'usage à Hukkakero (2014-2024)

- Signaux infrasonores enregistrés à IS37 (à 320 km du site de l'explosion).

### ■ Augmentation de données par génération de BDD

- Pour chaque jour de campagne, des profils d'onde de gravité (perturbations stochastiques) sont générées grâce à une paramétrisation<fnref n="1" />.

- Les signaux et les pertes par transmission sont calculées grâce à un outil de calcul par modes normaux

### ■ Entraînement

- 2 versions: FNO1D (pour les pertes par transmission) and FNO2D (signaux)

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<footnote n="1">¹ Pauget, Millet, Lott</footnote>
# Données d'entrée et de sortie

## Pertes par transmission

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IS37

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Coût de calcul?

FLOWS [4, 5]

~24 hrs pour 5 000 couples

Complexité: par
ACP, 100
composantes
suffisent à
expliquer les TL
à 90%

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# Problématique

Comment peut-on estimer de manière fiable les paramètres caractéristiques d'une source explosive (énergie, durée de phase positive, surpression maximale) à partir d'observations infrasonores, en tenant compte de la variabilité atmosphérique, en s'appuyant sur des modèles substituts de propagation et une inférence bayésienne (MLE/MCMC) ?

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## Objectif

* Retrouver les paramètres caractéristiques de source (énergie W, durée de phase positive $t_p$, maximum de surpression $P_p$) en tenant compte de la variabilité du ou des milieux de propagation.

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## Méthodologie

* Calcul d'un maximum de vraisemblance $P(W|IS) \sim P(IS|fixed W)P(W)$ à partir d'observations IS (signaux) et d'un modèle de source en champ proche avec une approche bayésienne et avec un modèle substitut pour calculer $IS$

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# Principe des opérateurs neuronaux (1/2)

## ■ Idée générale derrière les opérateurs neuronaux

* Soit $G$, la fonction de green de l'EDP (équations aux dérivées partielles)
  $L(a)x = f$, alors $x = G * x$.

* On modélise $G$ avec un noyau $k_\theta: G(p, q) \approx k_\theta(p, q, a(p), a(q))$ et pour tout $x: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^m$, la forme générale d'un opérateur neuronal est donnée par :

$$K_{\theta}x(p) = \int k_{\theta}(p, q, a(p), a(q))x(q)dq.$$

* Pour les FNO : $k_\theta(p, q, c(p), c(q)) = k_\theta(p - q) \Rightarrow K_\theta x(p) = k_\theta * x$.

## ■ Architecture

* Architecture itérative:
  $$(a(p), p) \to X^{(0)} \to \dots \to X^{(L)} \to u(p),$$
  $$X^{(l)} = \sigma_l([W^{(l)} + K(a)]X^{(l-1)} + b^{(l)}).$$

* Avec $P$ et $Q$, respectivement, les couches de projection et de réduction.

* Soit $K$, un noyau de convolution, le théorème de convolution implique :

$$K(a)x = F^{-1}\left(\underbrace{F(\kappa)}_{\mathbb{R}} F(x)\right)$$

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$[a(p_i)]_i, p \in \mathbb{R}^3$

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R (Fourier filters)

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## ■ Où, $R$, sont les poids (complexes) appris pour chaque couche
Effets des ondes de gravité sur la propagation infrasonore : application à la caractérisation de

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# Principe des opérateurs neuronaux (2/2)

## Troncature en fréquences

* En pratique, on tronque R avec les **m** premiers modes pour avoir un opérateur de rang faible.

* La convolution dans un FNO se réécrit ainsi:

$$X^{(k+1)} = \sigma(F^{-1}(\underbrace{\mathbf{R}F(X^{(k)})}_{\downarrow})) \quad \mathbf{U} \quad \mathbf{U}^{\mathrm{T}}X^{(k)}$$

## Aparté : Extension aux opérateurs neuronaux sur graphes

* La base de Fourier des FNO peut être remplacée par les vecteurs propres du laplacien du graphe.

* Le MLP dans les FNO est remplacé par un MPNN.

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# Zones d'erreur du FNO

La distribution du rapport de célérité effective sépare deux régimes :

* $R<1 \rightarrow$ profils défavorables à la création d'un guide d'ondes, plus sensibles aux perturbations.

* $R \ge 1 \rightarrow$ profils favorables, propagation plus robuste. Les cartes d'erreur absolue montrent que les plus fortes erreurs apparaissent :

* Dans les **zones d'ombre acoustiques** (faible signal, forte variabilité).

* Lorsque le profil moyen est fortement perturbées par les ondes de gravité.

Les courbes de TL révèlent que le FNO capture bien les tendances moyennes, mais :

* Sous-estime les creux dans les zones d'ombre.

* Lisse les oscillations fines induites par la multi-réfraction des ondes de gravité.

En moyenne, l'erreur reste contenue (~4 dB), mais la variabilité (±3–4 dB) est fortement corrélée aux erreurs de propagation.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Rapport de célérité effective pour 113 évènements avec 132 réalisations/évenements</figcaption></figure>

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Utiliser la dispersion statistique pour le calcul de la vraisemblance

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■ La dispersion (±σ) induite par les GW et la **variabilité quotidienne** des TL au niveau de la station IS37 (i.e. TL(320 km)) sont correctement restituées pour l'ensemble d'entraînement.

■ Pour les 4 dernières années appurtenant à l'ensemble de test, les erreurs de validation sont de l'ordre de quelques dB, excepté pour certaines dates.

■ Architecture FNO1D avec 6 couches, 128 neurones/couches, 64 modes. De nouvelles fréquences peuvent être ajoutées en modifiant $Q_{\text{TL}}$. L'entraînement dure environ 2h avec 1 GPU Nvidia Quadro RTX 8000.

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# Inférence bayésienne

A partir de données observées (ici, calculées par le FNO), nous utilisons deux approches pour estimer l'énergie W de la source:

L'approche par Maximum Likelihood Estimation (MLE) où nous cherchons W qui maximise notre vraisemblance :

$$P(W|TL) = \int_{P_{src}(f,r,W)} \rho_{TL} (P_{FNO} - P_{src}, f, r, GW)w(f)df \qquad P_{src} = \frac{p_0 t_0}{\sqrt{2\pi}} \frac{\omega t_0}{1+\omega^2 t_0^2}$$

L'approche par (ACP+) Markov Chain Monte Carlo (MCMC) à partir de notre MLE pour obtenir nos intervalles de confiance à 95% avec z = TL ou z, coordonnées réduites calculées à partir des TL.

$$\alpha = \min(1, \frac{p(W|z)}{p(W',|z)})$$

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# Résultats

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Estimation des
formes d'ondes
par FNO

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TL (dB)

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Event # 97

Calcul de
vraisemblance

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Estimation de l'énergie
maximisant la
vraisemblance et de
l'incertitude associée

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Ensemble d'entraînement (~ 93 jours)

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Ensemble de validation (~ 20 jours)

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# Conclusion et perspectives

* Pipeline complet : profils du milieu de propagation → opérateurs neuronaux (FNO) → sorties estimées → calcul de vraisemblance → estimation des paramètres de source avec les incertitudes associées.

* Validation : précision < 8 %, temps de calcul ≈ 1000.

* Résultats : robustesse face aux perturbations atmosphériques, généralisation sur de nouveaux profils.

* Perspectives

* Extension vers la 3D et milieux dynamiques (atmosphère variable dans le temps).

* Fusion multimodale (sismique, infrasons, blast) pour une caractérisation plus robuste.

* Estimation jointe de paramètres de source.

* Intégration dans des pipelines opérationnels pour la surveillance et la prise de décision.

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Références

Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). *Bayesian Data Analysis* (3rd ed.). Chapman & Hall/CRC.

Kingma, D. P., & Ba, J. (2015). Adam: A method for stochastic optimization. *ICLR 2015*.

Kinney, G. F., & Graham, K. J. (1985). *Explosive Shocks in Air*. Springer.

Kovachki, N., Li, Z., Liu, B., Azizzadenesheli, K., Bhattacharya, K., Stuart, A., & Anandkumar, A. (2023). Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces. *Journal of Machine Learning Research*, 24, 1–97.

Le Pichon, A., Blanc, E., & Hauchecorne, A. (2012). *Infrasound Monitoring for Atmospheric Studies* (2nd ed.). Springer.

Li, Z., Kovachki, N., Azizzadenesheli, K., Liu, B., Bhattacharya, K., Stuart, A., & Anandkumar, A. (2021). Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations. *arXiv:2010.08895*.

Loshchilov, I., & Hutter, F. (2019). Decoupled weight decay regularization. *ICLR 2019*.

Tipping, M. E., & Bishop, C. M. (1999). Probabilistic Principal Component Analysis. *Journal of the Royal Statistical Society: Series B*, 61(3), 611–622.

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