du rapport numérique dépendant de leurs grandeurs respectives considérées absolument; 2° l'idée du rapport des directions ou sens auxquels elles appartiennent, rapport qui en est l'identité ou l'opposition.

C'est dans cette remarque que s'amorce déjà l'approche géométrique. Argand introduit en effet l'idée de sens (qu'il appelle aussi direction!) ce qui induit implicitement un modèle de représentation des réels sur un axe orienté.

Ensuite, à nouveau de même que Wallis (rien ne permet d'induire cependant une paternité), Argand se propose de chercher à exprimer la moyenne géométrique entre deux unités de directions opposées, c'est-à-dire la quantité x qui vérifie la proportion : $+1: +x :: +x:-1$. Bien sûr, un tel x vérifie $xx=-1$ et est donc imaginaire. Voilà en quels termes Argand soulève la question et se propose de la résoudre.

"On est arrêté ici comme on l'a été en voulant continuer au delà de 0, la progression arithmétique décroissante, car on ne peut égaler x à aucun nombre positif ou négatif ; mais puisqu'on a trouvé plus haut que la quantité négative, imaginaire lorsque la numération était appliquée à de certaines espèces de grandeurs, devenait réelle lorsque l'on combinait d'une certaine manière l'idée de grandeur absolue avec l'idée de direction, ne serait-il pas possible d'obtenir le même succès relativement à la quantité dont il s'agit, quantité réputée imaginaire par l'impossibilité où l'on est de lui assigner une place dans l'échelle des quantités positives ou négatives ?"

Cette réflexion nous éclaire sur la nature du débat philosophique qui est en filigrane dans tout ce qui touche à l'extension de la notion de nombre. Où se trouve donc la limite de cet imaginaire que certains cherchent à transgresser, à rationaliser pour élargir le champ du possible, alors que le poids des habitudes impose à la plupart de rester dans le domaine de ce qui a une représentation immédiate et concrète ? Argand en essayant d'analyser comment on en est venu petit à petit à ramener les nombres négatifs du côté du réel, cherche l'inspiration pour donner aux racines des nombres négatifs un aspect concret, réel. Sa réponse est simple... Encore fallait-il y penser.

"En y réfléchissant, il a paru qu'on parviendrait à ce but si l'on pouvait trouver un genre de grandeurs auquel pût s'allier l'idée de direction, de manière que, étant adoptées deux directions opposées, l'une pour les valeurs positives, l'autre pour les valeurs négatives, il en existât une troisième telle que la direction positive fût à celle dont il s'agit comme celle-ci à la direction négative."

De là à représenter les grandeurs réelles sur un axe, puis à considérer l'axe orthogonal passant par l'origine, il n'y a qu'un pas qu'Argand n'a plus de peine à franchir. Sur un tel axe il marque deux quantités unitaires qu'il identifie respectivement comme $+\sqrt{-1}$ et $-\sqrt{-1}$. Le principe de la représentation géométrique est ainsi posé. Argand commence alors à mieux délimiter son objet, un premier pas sera de préciser les définition des outils dont il va se servir.

Dès les premières démonstrations faisant intervenir des lignes, l'auteur remarque qu'il n'est pas nécessaire que le départ des directions soit fixé à un point unique (...) mais que KA désigne en général une grandeur égale à KA et prise dans la même direction. La notion de vecteur est ainsi déterminée bien qu'encore implicitement. Argand les appelle des lignes en direction ou lignes dirigées.

Pour relier ces lignes dirigées aux nombres complexes, il se donne alors une unité primitive et établit que les lignes parallèles à l'unité primitive s'écrivent $±a$ alors que les lignes qui lui sont orthogonales s'écrivent $±b\sqrt{-1}$. Finalement toutes les lignes dirigées s'écrivent $±a±b\sqrt{-1}$, qui contient une partie réelle et une partie imaginaire.

Après avoir souligné l'inaptitude de dénominations telles que *absurde*, *impossible* ou *imaginaire* à désigner les racines carrés des nombres négatifs, il désigne les trois types précédents respectivement par les termes de quantité *prime*, *quantité médiane* et *quantité intermédiaire*.

Argand établit ensuite les opérations sur les nombres complexes et donne en correspondance les constructions géométriques qui s'y rapportent. Son exposé se place sous un angle de praticien plus que de théoricien, les propriétés algébriques des opérations ne sont jamais dégagées en tant que telles, ce qui est du reste la norme à l'époque. La fin de l'essai est consacrée à diverses applications du nouveau calcul.

Wessel et Argand ont bien mis à jour la même théorie et s'appliquent également à résoudre le même type de problèmes. Pourtant il est intéressant de remarquer comment leurs démarches initiales diffèrent tant sur la problématique que sur la méthode d'investigation. Le premier se place avant tout dans l'optique de recherche d'un calcul géométrique rendant compte analytiquement du concept de direction à l'aide d'une seule grandeur, alors que le deuxième
cherche à donner un sens concret à l'idée de racine de nombres négatifs. On peut suggérer que l'œuvre de Wessel est moins restrictive, en effet grâce à sa position, tout le début de son essai ne se limite pas au plan, ce n'est qu'avec la multiplication que cette restriction apparaît. Dans ce sens Wessel avait déjà jetté les fondements d'un calcul vectoriel tridimensionnel. Pourtant les idées de l'époque poussaient à reproduire le schéma des opérations connues sur les nombres réels c'est-à-dire une structure de corps et d'algèbre, ce qui ne permit pas à Wessel de prolonger son calcul géométrique à l'espace. L'existence de structures moins "complètes" n'apparaîtra vraiment qu'avec les quaternions qui sur ce point révolutionneront la notion de structure algébrique en détruisant le principe de permanence.

Sans avoir connaissance des travaux antérieurs sur le sujet, J. Warren, présenta une théorie de la représentation géométrique des complexes en 1829, dans un livre intitulé *A treatise on the geometrical representation of the square roots of negative quantities*. La présentaion de Warren est particulièrement soignée et il avait, semble-t-il, une idée assez précise des propriétés algébriques des opérations qu'il introduit.

A peu près au même moment, en 1828, en France, C. V. Mourey publie *La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires*. A la fin de son livre, il prétend qu'il existe une algèbre bien supérieure à celle qu'il vient d'élaborer en dimension deux, et qui s'étend à trois dimensions, mais nous ne possèdons aucune trace de découvertes éventuelles.

Finalement après toutes ces publications isolées, dont les contenus n'ont fait que redécouvrir le même concept, sans jamais réussir à gagner une audience assez large pour faire école, Gauss, en 1831, grace à un texte assez court va attirer l'attention de la communauté mathématique sur le nouveau calcul. C'est grâce à sa renommée que l'intérêt des mathématiciens va être capté et que la représentation géométrique des complexes va devenir une méthode couramment utilisée.

Gauss a prétendu qu'il avait eu l'idée d'une représentation géométrique des complexes très tôt, et il est vrai que l'on peut en voir des traces dans certains de ses écrits datant de 1799. Cependant le premier texte dans lequel on le voit exposer clairement son point de vue date de 1831. En fait l'article s'intitule *Theoria residuorum biquadraticum, commentatio secunda*. Comme son nom l'indique, il se présente plutôt comme des notes à propos de la théorie des résidus biquadratiques, que vraiment comme un exposé exhaustif sur la question de la représentaion géométrique des complexes. La présentation de Gauss est très succiente est presqu'entièrement rhétorique. Plus que le texte en lui-même, c'est le contexte dans lequel, il fut publié qui permit de faire passer l'idée. La prise de position de Gauss joua le rôle d'amorce et permis de faire découvrir à un public très large une nouvelle théorie qui ne manquait pas de références bibliographiques. Bien sûr Gauss utilisa ensuite la représentation des complexes dans d'autres textes et contribua à en perfectionner les applications, mais il n'est pas certain qu'il ait eu une position très claire sur le bien fondé des nombres complexes et il semble bien qu'il ne leur ait jamais vraiment reconnu le statut de nombre à part entière.

L'adhésion de Cauchy est beaucoup plus franche et permit de donner aux nombres complexes la place privilégiée qu'ils occupent encore aujourd'hui au sein des mathématiques. Son *Mémoire sur les quantités géométriques* ([CA] t.XIV, pp.175-202), datant de 1847, présente la théorie de la représentation géométrique des complexes dans un exposé complet, entièrement cohérent et rigoureux et sous un aspect très moderne. Encore une fois Cauchy réalise ainsi la synthèse des travaux antérieurs, qui donna à la nouvelle théorie sa pleine maturité.

Ainsi en ce début de XIXème siècle, les nombres complexes commencèrent à changer de statut, cette transformation allait ouvrir les portes à de nouvelles recherches en particulier dans le domaine de ce qu'on appellerait l'analyse complexe. Il faudra toutefois encore plusieurs dizaines d'années pour faire tomber tous les détracteurs, qui jusqu'à l'aube du XXème siècle continuèrent leurs critiques.

Du point de vue de la géométrie et du calcul vectoriel, les conséquences dépassèrent largement la seule utilisation possible en géométrie plane. On a vu que presque tous ceux qui ont eu l'idée de la représentation géométrique des complexes, ont dans la foulée essayé de généraliser leur méthode à l'espace. Le rêve d'un calcul géométrique intrinsèque, en germe depuis Leibniz, prit en effet, avec cette nouvelle possibilité, des allures de réalité. Si bien que dans la première moitié du XIXème siècle de nombreux mathématiciens se lancèrent dans la prospection de ce que l'on appela les systèmes hypercomplexes.
## d - Les quaternions et les systèmes hypercomplexes.

W. R. Hamilton acquit très jeune une solide renommée. Sa réussite exceptionnelle au *Trinity College* de Dublin fit le tour des cercles d'intellectuels dublinois. Si bien qu'alors qu'il était encore undergraduate, il se vit proposer une chaire d'astronomie et fut bientôt nommé *Royal Irish Astronomer*. A l'âge de trente-deux ans, il fut élu président de la *Royal Irish Academy*. Ses premiers travaux portaient en apparence sur l'optique, mais en fait leur contenu était entièrement mathématique. De plus la méthode géométrique mise au point dans ces recherches avait également des applications en dynamique.

C'est vers les années 1830, qu'il porta de façon décisive son intérêt sur la nature de l'algèbre. En 1835, il publie sa *Theory of conjugate functions or algebraic couples* ; with an elementary essay on algebra as the science of Pure Time ([HA1] V.III, pp.3-97), dont on trouve un résumé substantiel et commenté par l'auteur dans la préface des *Lectures on Quaternions* ([HA1] V.III, pp.117-159).

Dans cet article dont la teneur est tout autant de nature philosophique que mathématique, Hamilton élabore une interprétation de "l'algèbre non plus seulement comme un Art, un Langage ou une science avant tout de la Quantité, mais plutôt comme une science de l'Ordre en Progression. Dans cette conception, il est entendu que la Progression dont il est question est comprise comme étant continue et unidimensionnelle : s'étendant indéfiniment en avant et en arrière, mais dans aucune direction latérale. Et bien que les états successifs d'une telle progression puissent (sans doute) être représentés par des points sur une ligne, [j'ai cependant pensé que] leur simple succession serait mieux conçue en les comparant à des instants (moments) dans le temps, débarrassés toutefois de toute référence de cause à effet ; de façon que le Temps considéré ici puisse être dit abstrait, idéal, pur, comme cet Espace, qui est l'objet de la géométrie. De cette façon [Hamilton] fut conduit à regarder l'Algèbre comme LA SCIENCE DU TEMPS PUR".

On reconnaît bien sûr une familiarité avec Kant, mais Hamilton a lui-même dit n'avoir eu connaissance de l'œuvre du philosophe allemand qu'après avoir élaboré sa propre théorie.

Hamilton reprend ainsi en détail toutes les opérations algébriques classiques sur les nombres et en donne une interprétation en terme d'instants et de moments (steps in time). En les interprétant comme des retours dans le temps, les quantités négatives trouvent du coup, dans sa théorie une place de choix, qu'on ne leur accordait pas encore à l'époque, dans l'algèbre classique. Pourtant Hamilton reconnaît que dans son système, pas plus que dans le système traditionnel, il n'y a de place pour les nombres dont le carré serait négatif.

Pour répondre à cette demande, il élabore alors une algèbre sur des couples d'instants et de moments. Il définit d'abord une addition de ces couples, puis une multiplication par un "scalaire" a, qu'il interprète bientôt comme la multiplication par le couple (a,0). Il cherche ensuite à définir une multiplication des couples entre eux, c'est-à-dire en fait la multiplication d'un couple de moments par un couple de nombres. Plus ou moins implicitement, il cherche une loi qui conserve les propriétés "habituelles" des opérations. Cette démarche n'est cependant pas encore toujours clairement explicitée. Néanmoins en suivant cette voie et en essayant de prolonger les cas particuliers déjà définis, il en arrive, après avoir explicité des critères d'esthétique et de simplicité, à la conclusion que la loi de multiplication ne peut avoir qu'une seule forme (à un "isomorphisme" près) qui est : $(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1b_1-a_2b_2,a_1b_2+a_1b_1)$. Il lui est facile alors de remarquer que $(0,1)(0,1)=(-1,0)$.

Avec ses couples algébriques ou ses fonctions conjuguées, Hamilton construit donc un modèle des nombres complexes en terme de couples de réels sur lesquels on a construit des lois vérifiants certains principes de permanence. Cette démarche, qui avec les recherches ultérieures d'Hamilton va prendre encore un caractère beaucoup plus systématique et explicite, jette un regard entièrement nouveau sur la nature de l'algèbre. On peut dire qu'Hamilton, comme d'autres algébristes anglais de la même époque, qui ont des approches cependant différentes et indépendantes (cf chap IV-§1)), est un des premiers à pressentir le concept de structure algébrique. En dépit de son interprétation en terme de Temps Pur, il montre surtout qu'il est possible d'élaborer une algèbre cohérente sur des objets purement formels, en suivant une problématique uniquement interne à la nature des opérations.

Poursuivant son but, en le rendant de plus en plus formulable, Hamilton essaie ensuite d'élaborer une algèbre sur les triplets. Il lui semble en effet tout à fait normal de prolonger ses recherches naturellement dans cette voie, et comme on a pu donner des complexes une interprétation géométrique dans le plan, il espère pouvoir également donner de ces triplets une interprétation dans l'espace. Les premières opérations (addition, multiplication par un scalaire) sont créées ainsi sans difficultés. Il semble par contre beaucoup plus délicat de construire une
multiplication entre triplets. Dans ses prospections le mathématicien irlandais est en contact avec d'autres chercheurs qui poursuivent le même but, comme J. T. Graves et A. De Morgan. Les trois hommes se lancent dans des tentatives qui échouent toutes dans un premiers temps. Après une période de semi abandon, il semble que les recherches reprennent sur ce sujet au début de l'année 1843. A cette période Hamilton a clairement délimité l'objet de sa recherche. Les nouveaux nombres et leurs opérations devront dans son esprit vérifier les propriétés suivantes :

- L'associativité pour l'addition et la multiplication.

- La commutativité pour l'addition et la multiplication.

- La distributivité de la multiplication sur l'addition.

- La division ne devra pas être "ambiguë", c'est-à-dire que quels que soient les triplets T et T', il existe toujours un et un seul triplet D tel que TD=T'.

- La propritété des modules sera respectée, c'est-à-dire que si $a^2+b^2+c^2$ est le carré du module du triplet (a,b,c), le carré du module du produit de deux triplets est égal au produit des carrés des modules.

Les propriétés d'existence d'un élément neutre pour l'addition comme pour la multiplication n'ont jamais été explicitées par Hamilton. En fait, elles sont en quelque sorte incluses dans la définition de ce que sont une addition et une multiplication pour Hamilton. L'existence d'un symétrique pour l'addition fait de même corps avec la nature de l'opération. Si bien qu'avec ces implicites, on peut dire en langage moderne, qu'il cherche à construire sur $\mathbb{R}^3$, une structure de corps commutatif, muni d'une norme multiplicative. De plus comme il voit la multiplication externe comme un cas particulier de la multiplication des triplets : $a(b,c,d)=(a,0,0)(b,c,d)$, on peut dire qu'il cherche en plus une structure d'espace vectoriel.

Cette idée qu'une nouvelle structure algébrique devait vérifier toutes les propriétés de $\mathbb{R}$, était très forte à l'époque et les résultats sur les nombres complexes encourageaient à chercher dans cette voie. On appelait cela le principe de permanence. La découverte des quaternions devait être le premier coup porté à ce principe, puisqu'on avait dû abandonner la commutativité, il s'effondra entièrement quand Frobenius et C. S. Peirce démontrèrent, en termes modernes, que $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ et les quaternions sont les seuls corps qui soient une $\mathbb{R}$-algèbre de dimension finie.

Après de nombreuses tentatives sur les triplets, Hamilton qui avait de plus en plus orienté ces recherches vers une interprétation des vecteurs de l'espace en vint à de nouvelles considérations. Une des idées fondamentales qui le mit sur la voie des quaternions est l'analyse qu'il fit du rapport de deux vecteurs ([HA2], T.I, pp.107-163 et [SM2] pp.677-683). Il explique que, pour rendre compte du rapport de deux vecteurs de l'espace il faut connaître le rapport des longueurs des deux vecteurs et une rotation qui permet de passer de la direction du premier à celle du second. Il est donc nécessaire de disposer de quatre éléments, un sert à déterminer la longueur relative des deux lignes comparées, et les trois autres sont en général nécessaires pour déterminer entièrement leur direction relative. A nouveau, de ces trois derniers éléments, un représente l'inclinaison mutuelle, ou l'élongation des deux lignes, ou la grandeur de l'angle qu'elles forment, alors que les autres servent à déterminer la direction de l'axe, perpendiculaire à leur plan commun, autour duquel une rotation de l'angle précédent est effectuée, dans un sens selectionné auparavant comme positif, pour passer (de la façon la plus simple et donc dans le plan des deux lignes) de la direction de la ligne-diviseur à la direction de la ligne-dividende.

Cette remarque fondamentale va lui permettre, en abandonnant la voie des triplets, de mettre sur pied la théorie des quaternions, qui sont à un isomorphisme près des quadruplets de réels.

Poursuivant l'idée précédente, il considère trois rotations autour de trois axes rectangulaires, chacune d'angle droit, ce qu'il appelle des versors. Algébriquement ces trois rotations qu'il note i, j et k vérifient les propriétés fondamentales : $ij=k$, $ji=-k$, $ik=-ki=-j$ et $jk=-kj=i$ et $i^2=j^2=k^2=-1$. A partir de là, Hamilton construit les lois d'addition et de multiplication sur les nombres de la forme $q=w+xi+yj+zk$, où les quantité w, x, y et z sont des réels. Sur l'ensemble des quaternions ainsi définis, le principe de permanence est presqu'entièrement conservé à l'exception remarquable que la multiplication n'est pas commutative.

Bien que la non commutativité de la composition des endomorphismes fût connue, la découverte des quaternions fut sur ce point beaucoup plus importante et joua un rôle fondamental dans la réflexion autour du concept de loi de composition.

Les quaternions fournissent également un calcul géométrique très intéressant. Dans un quaternion on distingue en effet la partie scalaire : w, de la partie vectorielle xi+yj+zk. On peut représenter de façon univoque chaque vecteur de l'espace par une partie vectorielle de quaternion, ce qu'on appelle un quaternion pur. La somme et le produit par un scalaire induits de ceux sur les quaternions, fournissent ainsi la structure linéaire. Le produit de deux vecteurs
(xi+yj+zk)(x'i+y'j+z'k) n'est pas un vecteur, mais il est constitué d'une partie scalaire, qui est ce que l'on appelle aujourd'hui le produit scalaire, alors que sa partie vectorielle, est le produit vectoriel. On définit sur les quaternions une conjugaison et une norme sur le modèle des complexes. Un quaternion pur se caractérise par le fait que son conjugué est égal à son opposé et la norme d'un quaternion pur correspond à la norme euclidienne. Enfin les quaternions sont particulièrement pratiques pour représenter les rotations, puisqu'à un coefficient multiplicatif près chaque q définit une unique rotation : u --> quq⁻¹.

Hamilton et ses successeurs développèrent largement les applications des quaternions à de nombreux problèmes de géométrie aussi bien que de physique.

La popularité de l'auteur et la foi qu'il mit dans sa découverte assurèrent une célébrité internationale immédiate aux quaternions. Hamilton, qui consacra les vingt-deux dernières années de sa vie à prolonger ses recherches sur les quaternions, dont il pensait qu'ils allaient révolutionner les mathématiques, créa autour de lui une véritable école quaternioniste. Dans le domaine de la physique mathématique les deux grands héritiers d'Hamilton sont Taits et Maxwell, le premier fit découvrir au second, qui avait déjà jetté les bases de sa théorie de l'électromagnétisme, les possibilités des quaternions et les deux amis développèrent une théorie qui resta longtemps sans égale. La grande puissance des quaternions vient de la facilité d'utilisation qu'ils offrent dans les calculs vectoriels et principalement dans l'utilisation des concepts différentiels, ils permettent d'alléger des formules, donc de les rendre plus lisibles et d'en étendre le champ des utilisations.

La renommée des quaternions dépassa également les frontières du Royaume Uni. En France, A. Allé regret fut un des premiers, en 1862, à publier un ouvrage sur les quaternions non écrit par Hamilton ; en Italie Bellavitis se fit l'ambassadeur du nouveau système de nombres hypercomplexes, enfin aux Etats-Unis la théorie d'Hamilton inspira l'œuvre de Benjamin Peirce, dont on a pu dire qu'elle fut la première contribution américaine originale aux mathématiques.

Pourtant les quaternions ne devaient jamais réellement révolutionner le monde des mathématiques comme le pensait leur créateur. Leur contribution originale est loin d'être négligeable, mais elle doit être relativisée. En 1894, les *Proceedings of the Royal Society of Edinburgh* se firent l'écho d'une querelle, qui avait éclaté entre Taits et Cayley au sujet de l'importance des quaternions, le premier soutenait que ceux-ci avaient apporté à la géométrie en dimension trois un outil sans égal, alors que le second, quoique soutenant l'intérêt des quaternions en tant que structure algébrique originale, non seulement soulignait le caractère restrictif de leur représentation limitée à la dimension trois mais auusi pensait que leur application à la géométrie n'était qu'une façon déguisée de faire des calculs sur les coordonnées cartésiennes. Il montra sur des exemples, que les simplifications apportées dans les calculs par l'emploi des quaternions, qui rendent les raisonnement plus synthétiques, masquent la signification du résultat qu'il faut traduire en termes de coordonnées cartésiennes pour le comprendre. Comme souvent, la réalité se trouve sûrement entre ces deux positions un peu extrêmes. Que les quaternions restent limités à la dimension trois est sûrement la critique de fond qui est la plus importante. Les développements ultérieurs du calcul vectoriel montrèrent combien cette restriction était un obstacle. Les dernières critiques de Cayley peuvent par contre s'appliquer à tous les systèmes de calcul vectoriel. Elles sont en fait très semblables aux reproches que Leibniz a fait à l'utilisation des coordonnées en géométrie (cf § 1).

Dans le domaine du calcul vectoriel, la découverte de Grassmann, contemporain d'Hamilton mais qui resta toute sa vie incompris, finit néanmoins, après quelques adaptations, par prendre le dessus sur le calcul avec les quaternions, on reconnut ainsi la supériorité du calcul de l'extension, comme modèle de calcul vectoriel. En physique cependant, et en particulier dans les domaines de l'électricité et de l'électromagnétisme, l'utilisation des quaternions fut plus efficace et aussi plus durable. Il n'en reste pas moins que le calcul vectoriel moderne a supplanté les quaternions dans tous les domaines, et que ceux-ci ne sont plus utilisés que comme des curiosités.

La non commutativité du produit des quaternions reste leur attrait principal ; quand C.S. Peirce et Frobenius eurent démontré, indépendamment, qu'ils représentaient le seul exemple de R-algèbre non commutative de dimension finie, qui soit aussi un corps, leur spécificité algébrique les rendit uniques, ce qui assura leur pérennité. L'abandon de la commutativité fut le point de départ de l'émergence du concept de loi de composition interne et de l'étude des propriétés de ses lois, dont Hamilton avait introduit et nommé pour la première fois les principales. Prolongeant les vues d'Hamilton, Graves et Cayley créèrent indépendamment et à deux ans d'intervalle, le premier les *Octonions* et le deuxièmes les *Octaves*, qui sont les mêmes objets et que l'on peut voir comme des couples de quaternions formant, en langage moderne, un
R-espace vectoriel de dimension huit, muni d'un produit qui n'est ni commutatif, ni associatif. Comme la découverte des quaternions avait été guidée par la représentation des rotations dans l'espace, les octaves répondent au même problème pour la dimension quatre.

A la suite d'Hamilton et de Cayley, on se dirigea plutôt vers la recherche d'algèbre sur les n-uplets, en abandonnant l'existence d'inverses mais en essayant de conserver l'associativité du produit, ce que l'on appela, après Frobenius, les systèmes hypercomplexes.

B. et C.S. Peirce contribuèrent largement à l'avancée de cette théorie à partir des années 1870. A leur suite, vers la fin du siècle, devant l'infinité des possibilités, on en vint à poser des conditions intrinsèques sur ces systèmes. Cette théorie devait bientôt rejoindre d'autres préoccupations sur les anneaux et les corps, elle fut très en vogue parmi les élèves de S. Lie.

Un type de systèmes hypercomplexes qui joue encore un rôle important dans la théorie des groupe de Lie et en topologie différentielle porte le nom d'algèbre de Clifford. Ces nombres furent en effet découvert par W. Clifford en 1878, ils forment une R-algèbre non commutative de dimension 2n, et permettent de représenter les rotations dans les espaces de dimension n.

Les quaternions n'eurent donc qu'une suprématie éphémère sur le calcul vectoriel, mais leur contribution à l'émergence de l'algèbre linéaire est beaucoup plus fondamentale, si ce n'est directe. Ils suscitèrent par effet reporté l'exploration des structures linéaires de dimension plus que trois et jouèrent un rôle fondamental dans l'émergence des concepts de loi de composition et de structure algébrique.

## e - Grassmann et sa théorie de l'extension

A la même époque qu'Hamilton, en Allemagne, vêcut un mathématicien qui, faute de renommée, resta toute sa vie un obscur professeur du secondaire. Pourtant ses travaux méritaient encore plus que ceux du chercheur irlandais, que l'on s'y intéressât. Même la postérité n'a qu'à moitié rendu justice à son génie méconnu. Or une bonne reconnaissance de son œuvre, à son époque, l'eût certainement placé au panthéon des mathématiciens ; le mépris de sa position et surtout la trop grande distance philosophique qui séparait Grassmann du monde scientifique de son temps, l'isolèrent d'une communauté qui ne l'accepta jamais comme l'un des siens, il n'obtint jamais de poste à l'université. On ne reconnut les mérites de ses recherches que lorsqu'elles furent enfin comprises après que d'autres travaux en eurent redécouvert des résultats partiels, quelques décennies plus tard.

H. G. Grassmann était le troisième d'une famille de douze enfants. Son père, J. G. Grassmann, théologien de formation enseignait les mathématiques et la physique au lycée de Stettin. Il publia quelques articles de recherche, en particulier une théorie de l'espace (Raumlehre), dont son fils fit plus tard référence. A l'opposé d'Hamilton, ce dernier était un étudiant médiocre, qui après des études sans brio obtint un poste d'enseignant au lycée technique de Berlin. Après un an dans la capitale allemande, il revint s'installer à Stettin, où il passa le reste de sa vie à enseigner dans différentes écoles secondaires. Malgré cet extérieur morne, H.G. Grassmann était un être passionné et doué d'une puissance de travail remarquable. Outre les mathématiques et la physique, il s'intéressait aux langues et à la théologie et publia des livres dans tous ces domaines, il éleva également une famille de onze enfants.

Le premier travail scientifique d'importance de Grassmann concerne une théorie du flux et du reflux : *Theorie der Ebbe und Flut*, qu'il acheva en 1840 mais qui ne fut jamais publiée entièrement de son vivant. Dans cet ouvrage, Grassmann expose déjà les principes de ce qui allait devenir en 1844 son *Ausdehnungslehre*, que l'on peut traduire par théorie de l'extension. Un extrait d'une lettre de 1847, qu'il envoya à Adhémar Barré, Comte de Saint-Venant, qui venait de publier deux ans plus tôt, un article de six pages exposant des idées proches de celle de Grassmann, bien que beaucoup moins complètes [SA], nous renseigne sur ce fait.

"Comme je lisais l'extrait de votre article sur les sommes et les différences géométriques, qui a été publié dans les "comptres-rendus", je fus frappé par la merveilleuse similitude entre vos résultats et les découvertes que j'ai faites déjà aussi tôt que 1832. (...)

J'ai conçu ma première idée de la somme et de la différence géométriques de deux lignes et plus, et aussi du produit géométrique de deux ou trois lignes lors de cette année (1832). Cette idée est en tous points identique à celle présentée dans cet extrait de votre article. Mais puisque je fus pendant longtemps occupé à des fins toutes différentes, je ne pus développer cette idée. Ce fut seulement en 1839, que je fus conduit à nouveau vers cette idée et que j'ai pousuivi cette analyse géométrique jusqu'à un point, où elle devrait être applicable à toute la mécanique. Il m'a été possible d'appliquer cette méthode d'analyse à la théorie des marées, et je fus, par là, étonné de la simplicité des calculs qui en résultèrent." ([CR] p.56).
Ces "idées" que Grassmann avait découvertes plus de dix ans avant Saint-Venant, sont les suivantes. La remarque de départ est que la ligne BA est l'opposée de la ligne AB, suite à quoi on définit la somme des lignes de même direction, puis celles de lignes quelconques en nombre quelconque (fini). La différence est définie par opposition à la somme. On a vu que ce premier pas, en germe dans le parallélogramme des forces avait été franchi par plusieurs chercheurs de cette époque. Mais les deux hommes vont plus loin, ils commencent par voir que la différentiation n'utilisant que les sommes, les différences et les multiplications ou divisions par un scalaire, le calcul différentiel peut être facilement prolongé aux quantités géométriques. Ceci permet par exemple d'exprimer la loi fondamentale de la dynamique sous forme "vectorielle".

Grassmann et Saint-Venant définissent également le produit de deux lignes comme étant l'aire relative du parallélogramme orienté, si bien que quand on inverse les termes du produit, celui-ci change de signe. Ils définissent également le produit de trois lignes ou d'un parallèlogramme par une ligne comme le volume relatif du parallélépipède orienté. Ils définissent alors sur ces quantités géométriques des opérations d'addition et de soustraction et y appliquent le calcul différentiel. Chacun présente des applications à la mécanique.

On reconnaît bien sûr dans cette démarche une similitude avec les idées de Möbius. Pourtant il est important de signaler que d'abord Grassmann a dit n'avoir eu connaissance du contenu du Calcul Barycentrique qu'après avoir élaboré son propre système, et qu'ensuite il est clair que même si Möbius a eu l'idée d'aire et de volume relatifs, il n'a jamais envisagé de les concevoir comme des produits de lignes.

Le système que propose Grassmann est donc une œuvre originale. Ses vues dépassent, même dès 1840, celles de Saint-Venant. Par exemple, au lieu de considérer le produit de deux lignes comme seulement l'aire relative du parallèlogramme, il le définit comme le parallèlogramme lui-même si bien que deux produits sont égaux ssi non seulement les aires sont égales et de même signe mais encore si les deux paires de lignes sont dans des plans parallèles. Son produit géométrique, qui dans l'Ausdehnungslehre sera appelé produit extérieur, est donc très proche du produit vectoriel actuel, il en porte les mêmes caractéristiques mais au lieu d'être un autre vecteur, donc un objet de même nature, c'est un objet d'ordre supérieur, ceci est un des principes fondamendaux de la théorie de l'extension.

Grassmann est également amené à considérer que le produit de deux points est un vecteur. De plus il met en évidence la plupart des propriétés, ce qu'il appelle des harmonies, de ces lois qui lui font entrevoir les possibilités de son nouveau système.

Alors que Saint-Venant ne développait pas plus avant ses idées, ses recherches devaient mener Grassmann à l'élaboration d'une théorie d'un niveau très élevé qui reprend les quelques notions résumées ci-dessus en les englobant dans un tout beaucoup plus vaste et aussi beaucoup plus complexe. L'aboutissement de ce travail est la parution en 1844 d'un ouvrage intitulé "Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre von Magnetismus und die Krystallonomie erläutert."

Cette œuvre est quelque chose d'unique dans l'histoire des mathématiques. Les idées qui y sont exposées aussi bien que la forme imprégnée de considérations philosophiques, avaient à leur époque un aspect entièrement nouveau qui en rendit l'accès particulièrement difficile, si bien que la complexité de l'œuvre est sûrement la raison principale de son échec.

Dans une introduction de nature philosophique, Grassmann commence par présenter dans les grandes lignes, sa vision des mathématiques. Grassmann était certainement conscient de la difficulté d'accès de son ouvrage. Il a dit que cette introduction pouvait être sautée sans que cela ne nuise à la compréhension du reste de son ouvrage. Ceci n'est cependant pas tout à fait exact. En effet ces quelques pages, s'il est vrai qu'elles ont rebuté la plupart des premiers lecteurs à cause de leur grande généralité, sont en quelque sorte la clé du génie de Grassmann, et nous éclaire d'autant sur le contenu mathématique qui suit. D'un point de vue historique et épistémologique, elles représentent en tous cas un témoignage fondamental pour comprendre comment une telle théorie a pu émerger. Pour une étude approfondie de ce passage nous renvoyons à l'article de D. Flament [FL], sur lequel nous nous sommes appuyés.

Grassmann commence par faire une distinction entre les sciences réelles, qui figurent l'être dans la pensée -un être lui-même indépendant de la pensée- et les sciences formelles, qui ont pour objet ce qui est posé par la pensée elle-même. Au sein des sciences formelles, il distingue celles qui examinent les principes généraux (la dialectique ou logique), de celles qui examinent le particulier posé par la pensée (la mathématique pure). La mathématique pure est la science de l'être particulier en tant que devenu par la pensée. Nous appelons l'être particulier, pris dans ce sens, une forme-pensée ou tout simplement une forme. Ainsi la mathématique pure est théorie des formes. (les citations sont données dans la traduction proposée par D. Flament)
Cette distinction permet de mieux comprendre la position de Grassmann par rapport à la géométrie, celle-ci est du domaine des sciences réelles, puisqu'elle se réfère à un être réel : l'espace. La théorie qu'il se propose de créer est, elle, entièrement du domaine du formel, et la géométrie ne peut ainsi être considérée que comme une application de la théorie des formes en fonction d'une perception que l'on a du réel et de l'espace. Cette vision fondamentale permit à Grassmann d'entrevoir la possiblité d'une théorie aussi vaste qui dépasse et transcende le seul domaine de la géométrie. D'un autre côté, on peut comprendre comment de telles idées mises en avant de son propos mathématique ont pu rebuter les mathématiciens de l'époque, qui n'étaient pas prêts à envisager la géométrie et ses rapports avec l'algèbre sous cet angle. D'autant que cette prise de position va influencer toute la forme du livre. Grassmann présente en effet les concepts sous leur aspect le plus général. La géométrie lui sert d'appui intuitif, aussi bien que de terrain d'applications (il en donne certaines à la fin de chaque chapitre), mais son propos premier est une théorie essentiellement abstraite, qui l'oblige à l'introduction de nombreux concepts nouveaux associés à beaucoup de vocabulaire. Ce point de vue méthodologique qui aujourd'hui nous semble satisfaisant autant que familier était inconnu à l'époque et fut largement reproché à Grassmann.

Après ce préambule très général, l'auteur pose les piliers de sa théorie. Pour lui, *une forme créée par la pensée peut l'avoir été de deux manières : soit par un acte simple générateur, soit par un acte double de pose et de liaison ; le premier acte donne la forme continue ou la grandeur au sens étroit, le second donne la forme discrète ou forme-liaison.* De plus il distingue le concept du distinct par lequel un être devenu est coordonné à un autre particulier et le concept de l'égal par lequel il est sub-ordonné avec d'autres particuliers à un général commun. Du croisement de ces deux distinctions, dont il précise que les limites ne sont pas toujours très nette, il déduit une séparation en quatre genres qui divisent les formes. On reporte ci-dessous d'après le schéma proposé par Flament, ces quatre types :

<table><tr><td>DISCRET / DISTINCT<br>Théorie des combinaisons</td><td>CONTINU / DISTINCT<br>Grandeurs extensives<br>Ausdehnungslehre</td></tr><tr><td>DISCRET / EGAL<br>Théorie des nombres</td><td>CONTINU / EGAL<br>Grandeurs intensives<br>Théorie des fonctions<br>calcul intégral et différentiel</td></tr></table>

Grassmann porte donc son intérêt sur ce qu'il appelle les formes continues distinctes. Il précise en ces termes sa définition : "Le devenir continu, analysé dans ses moments, paraît telle une génération continue en fixant ce qui est déjà devenu. Dans la forme d'extension, ce qui est en train d'être engendré est chaque fois posé comme une chose distincte ; si maintenant nous ne fixons pas à chaque fois ce qui est devenu, nous parvenons au concept de changement continu. Nous appellons élément générateur, ce qui subit ce changement, et, quelque soit l'état que prend l'élément générateur lors de son changement, il est élément de la forme continue."

Pour illustrer son propos, Grassmann donne l'exemple d'un point qui, en se déplaçant de façon continu engendre la ligne, de la même façon qu'une ligne se déplaçant selon une autre ligne engendre un parallèlogramme... Ce seront dans la suite les exemples qui lui permettront de donner les premières applications de sa théorie. Il définit alors un Domaine ou Système, c'est l'ensemble de tous les éléments qui peuvent être engendrés suivant la même loi. Par exemple une droite est le domaine des points engendrés à partir d'un point et d'un déplacement dans une direction, c'est un système de premier échelon. Si il y a deux lois de changements distinctes (i.e. des déplacements dans deux directions), le domaine est un plan donc un domaine de deuxième échelon, si on ajoute une troisième direction indépendante, alors tout l'espace infini est engendré (comme système de troisième échelon) au moyen de ces trois directions.

En géométrie, on ne peut aller au delà de trois directions, mais dans l'Ausdehnungslehre, le nombre de directions indépendantes peut croître à l'infini.

Pour finir cette introduction, Grassmann propose une théorie générale des formes, qui selon lui devrait précéder toutes les théories en mathématiques pures, puisqu'elle présente toutes les vérités qui ne supposent que les concepts généraux d'égalité, de diversité, de liaison et de séparation. Cette présentation, qui est d'un degré d'abstraction exceptionnel pour l'époque, est en fait une étude des structures algébriques possibles sur les formes. L'approche de Grassmann est très moderne. Après avoir défini le concept d'égalité, qui apparaît sous l'aspect plus général de relation d'équivalence, il définit ce qu'il appelle une liaison synthétique, qui est en langage
moderne une loi de composition interne. Une liaison synthétique est dite *simple* si elle possède les propriétés de *commutativité* et d'**associativité**. A partir d'une liaison synthétique, il définit ensuite la liaison analytique correspondante qui est en fait la loi réciproque. Il déduit alors les propriétés principales de composition avec ses deux lois, il définit la *forme indifférente* qui est l'élément neutre et il donne, dans le cas de liaisons simples, l'équivalent de la règle des signes dans la suppression des parenthèses. A la fin de cette première partie Grassmann donne le nom d'**addition** à une liaison synthétique simple et de **soustraction** à la loi analytique associée, ce qui devait éclairer tout en le rendant sceptique le lecteur de l'époque.

Ces vues particulièrement généralistes et très abstraites étaient en effet loin des habitudes de ce milieu du XIXème siècle. Il faut comprendre qu'un tel exposé pouvait choquer le lecteur au point de lui faire renoncer à poursuivre.

Dans la même verve Grassmann définit ensuite une deuxième liaison *d'échelon plus élevé* suivant, et en définit la propriété de *distributivité* par rapport à la première. Il appelle cette liaison une *multiplication*. Puis il définit la division, ou plutôt les divisions car sa multiplication n'est pas nécessairement commutative. Il établit pour finir quelques règles de calcul.

Cette introduction est donc un passage fondamental. Du point de vue du contenu, elle n'est pas vitale pour la suite, mais par sa forme et les choix tant épistémologiques que méthodologiques qui y sont faits, elle est très importante pour le lecteur et surtout pour l'historien. A sa lecture on mesure l'originalité de son auteur, et on comprend mieux la nature de son œuvre. Grassmann met à jour dans ces quelques pages des concepts entièrement nouveaux, qui jouent un rôle central dans la façon actuelle d'aborder l'algèbre linéaire, et ses relations avec la géométrie.

Sa définition du concept de générateur avec ses multiples facettes, la possibilité pour la dimension de croître à l'infini justement en rapport avec le concept de génération, l'idée que la géométrie n'est qu'une application de la théorie de l'extension beaucoup plus vaste, sont des points qui apparaissent ici pour la première fois.

La méthodologie qu'il emploie, enfin, est particulièrement moderne et révolutionnaire pour son temps. Exposer les concepts les plus généraux, pour ensuite en voir les applications concrètes comme il nous le propose ici est le point de départ de la démarche générale pour l'étude des structures algébriques, qui ne sera mise au point qu'au siècle suivant. Etant donnée l'époque, Grassmann joue ici le rôle de précurseur et est en avance de plusieurs décennies.

Commenter le détail du contenu mathématique de l'Ausdehnungslehre prendrait beaucoup de place et ce travail ne peut entrer dans le cadre restreint de notre étude. La matière théorique qu'il contient est vaste et pour la plupart, les concepts introduits sont neufs et très riches. Par ailleurs pour présenter les grandes lignes de la démarche de Grassmann, nous préférons nous référer à l'édition de 1862. Dans cette dernière, l'introduction telle que nous l'avons présentée ci-dessus a été supprimée, et le contenu mathématique strict a été remanié et enrichi des dernières découvertes de l'auteur, y compris par sa lecture des travaux de ses contemporains.

Dans un style qui lui reste très personnel, Grassmann a non seulement anticipé tous les grands concepts du calcul vectoriel, mais ses travaux sont aussi très proches d'une théorie des espaces vectoriels tels qu'on les envisage aujourd'hui.

Dans cette théorie, le point d'un espace général formel est l'élément de base. Une combinaison linéaire de points, dans un sens équivalent à celui de Möbius, est une forme de première espèce. En particulier si la somme des poids ou des coefficients du système de points est nulle, la forme définie est un "vecteur". On voit ici comment Grassmann réussit à déjouer la difficulté sur laquelle Möbius avait butée. Par exemple un vecteur peut être représenté par la différence de deux points : l'origine et l'extrémité. Grâce à la multiplication extérieure, on peut alors construire des formes d'espèce de plus en plus élevée (en géométrie on s'arrête à la quatrième espèce). Sur l'ensemble des formes de chaque espèce, Grassmann met en évidence une structure algébrique, qui est en fait la structure d'espace vectoriel. Grâce, à la fin de chaque chapitre, à des applications tant en géométrie que dans divers domaines de la physique, l'auteur montre comment sa théorie peut permettre de résoudre efficacement de nombreux problèmes. Il introduit outre le *produit extérieur*, dont on a vu qu'il était pour la dimension trois, l'équivalent de notre produit vectoriel, également un *produit intérieur* qui est, lui, l'équivalent du produit scalaire.

Dans l'édition de 1862, Grassmann est très proche d'une définition abstraite de la notion d'espace vectoriel, et la linéarité des opérations qu'il utilise est centrale dans son étude. Les notions formelles d'indépendance linéaire, de base ou de dimension de ce qu'il appelle un système ou domaine sont clairement dégagées. Pour la première fois, on trouve l'équivalent de la formule sur la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels :

$$ \mathrm{Dim}(F+G) = \mathrm{Dim}F + \mathrm{Dim}G - \mathrm{DimF} \cap \mathrm{DimG}. $$
Enfin, bien que les principes fondamentaux soient les mêmes qu'en 1844, il s'est inspiré, surtout pour la forme de présentation, des recherches d'Hamilton et de Cayley sur les systèmes hypercomplexes. Dans ce sens, ce qu'il présente contient les fondements de ce que l'on appela à sa suite l'algèbre extérieure. Mais l'introduction d'un produit régressif, particulièrement complexe, nuisit à la lisibilité de cette partie de l'œuvre de Grassmann. Il faudra attendre que H. Poincaré et surtout E. Cartan s'intéressent à nouveau à ce sujet, dont ils montrèrent l'importance en Géométrie Différentielle, pour que l'on redécouvre ce passage.

En fait l'œuvre de Grassmann, incomprise en son temps, fut l'objet de plusieurs découvertes ultérieures partielles, qui chaque fois dévoilèrent une portion de son génie, jusqu'au milieu du XXème siècle. Ce n'est que petit à petit que l'on comprit que sa théorie de l'extension était une anticipation des théories de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre multilinéaire, alors que la plupart de ses résultats furent redécouverts par d'autres.

A la sortie de la première édition de 1844, Grassmann envoya des exemplaires de son livre à différents mathématiciens. Aucun d'eux ne daigna faire une réponse digne de ce nom, et il y a fort à parier qu'aucun ne fit réellement l'effort de comprendre ce que cette œuvre originale renfermait.

Gauss qui était certainement la figure la plus importante du monde mathématique de l'époque, se contenta de répondre une brève lettre dans laquelle il signalait qu'il avait lui-même travaillé sur un sujet voisin dont il avait publié les résultats en 1831 (la représentation géométrique des complexes) et que, très occupé, il n'avait pas le temps de se consacrer à une étude appronfondie de l'œuvre.

Möbius, qui était certainement celui qui était le plus proche mathématiquement de Grassmann, a reconnu le génie de ce dernier, mais il semble ne jamais avoir accepté son approche philosophique. Dans une lettre datée du 2 février 1845, il expose très clairement son aversion en ces termes :

> "Je réponds que j'ai été sincèrement heureux de voir en vous un esprit proche, mais notre familiarité touche seulement aux mathématiques, pas à la philosophie. Comme je me souviens vous l'avoir dit en personne, je suis étranger au domaine de la spéculation philosophique. Je ne suis pas préparé pour apprécier d'une façon adaptée l'élément philosophique dans votre excellent travail, qui repose à la base de l'élément mathématique, ni même à le comprendre correctement. Je me suis suffisamment rendu compte de cela lors des nombreuses tentatives d'étude ininterrompue que j'ai faites de votre travail ; à chaque fois j'ai été arrêté par la grande généralité philosophique."

Cette inaptitude avouée de Möbius à accepter ou même à comprendre le point de vue philosophique de Grassmann, montre combien ce dernier était en avance sur son époque. Grassmann, désespéré de voir que son travail était incompris, s'était résolu à demander à Möbius d'en faire un rapport. Sur la base des arguments avancés ci-dessus ce dernier refusa.

La nature du reproche de Möbius, même s'il n'est qu'implicite, est éclaircie par la correspondance de ce dernier avec le philosophe E.F. Apelt. Ce dernier pense qu'une philosophie erronnée des mathématiques est à la base du travail de Grassmann, et que le caractère essentiel de la connaissance mathématique, son côté intuitif (Anschaulichkeit), semble en être bannie. Pour lui, une théorie aussi abstraite de l'extension comme il (Grassmann) la cherche peut seulement être développée à partir des concepts, mais la source de la connaissance mathématique n'est pas dans les concepts mais dans l'intuition.

Möbius semble se ranger à cette opinion.

C'est un débat fondamental qui se profile dans ces lettres, qui est à rapprocher du débat contemporain autour de la géométrie et de la notion d'espace, qui se prolongea jusqu'au début du XXème siècle. Est-ce que les mathématiques sont le reflet d'une réalité formalisée théorisée, dont les résultats sont validés par leur adéquation au réel ou est-ce que ce n'est qu'une pure construction de l'esprit qui ne justifie que par des raisonnements intrinsèques ? La découverte des géométries non euclidiennes fut une des grandes étapes dans le changement des mentalités à l'égard de la géométrie et finalement de la nature des mathématiques en général. La conception d'un monde mathématique clos entièrement formalisable à partir de quelques axiomes allait culminer avec l'école Bourbakiste. Cependant le débat sur la nature des mathématiques fait encore couler beaucoup d'encre, même si le XXème siècle a consacré une approche formelle de cette discipline. En tous cas, un changement de point de vue aussi radical que celui que proposait Grassmann, n'était visiblement pas fait pour convaincre la communauté mathématique de ce milieu de XIXème siècle.

Grassmann découvrant l'article de Saint-Venant en 1847, écrivit à Cauchy en lui envoyant deux copies de l'Ausdehnungslehere, une pour lui une pour Saint-Venant. Il n'eut jamais de
réponse de Cauchy, dont on ne sait pas s'il a lu le livre. Il n'a en tous cas jamais donné le
manuscript à Saint-Venant qui le réclama lui-même à Grassmann en 1853.

En 1853, Cauchy publie son mémoire *Sur les clés algébriques* ([CA] T.XI pp. 439-445),
qui présente, sous une forme légèrement différente, des méthodes développées par Grassmann.
Celui-ci se résolu à faire une demande de priorité à l'Académie des Sciences en 1854. La
commission chargée de statuer comprenait Cauchy lui-même, et aucune décision ne fut prise.
Cauchy mourut en 1857, et l'affaire fut enterrée. Peut-on accuser le célèbre mathématicien de
plagiat ? C'est peu probable, mais son attitude face à la demande de Grassmann est par contre
impardonnable. Saint-Venant semble avoir eu une assez bonne connaissance du travail de
Grassmann et en avoir apprécié l'originalité. Cependant il n'entretint pas de correspondance et ne
se fit pas non plus l'ambassadeur en France de son collègue allemand.

Hamilton semble avoir eu pour la première fois l'occasion de parcourir l'Ausdehnungslehre
en 1852. Sa première réaction fut brutale, il pensait que pour comprendre un tel charabia, il lui
faudrait apprendre d'abord à fumer! L'année suivante, il dût reprendre sa lecture, car on trouve
dans sa correspondance des éloges très flatteurs à l'égard du petit professeur allemand. Il semble
avoir fait du livre une étude très détaillée et il en donne quelques éléments dans son introduction
des lectures on Quaternions. Cependant l'appréciation d'Hamilton, alors au sommet de sa gloire,
sur le travail de Grassmann fut toujours empreinte d'une certaine condescendance. Finalement au
delà des éloges un peu formelles, il avait surtout retenu que Grassmann bien que l'ayant précédé
dans ses découvertes n'avait pas réussi à découvrir les Quaternions, il ne compris jamais, à
moins qu'il ne voulût pas l'admettre, que la théorie de Grassmann dépassait la portée de ses
propres travaux.

En Italie, Grassmann reçut une certaine reconnaissance de la part de Bellavitis, qui eut
connaissance de ses travaux vers 1850 et les deux hommes échangèrent quelques lettres. Par
ailleurs, L. Cremona, qui semblait être un grand admirateur de Grassmann, publia en 1860 dans
les Nouvelles Annales de mathématiques, un bref exposé de ses travaux.

Finalement très peu de mathématiciens avaient pris la peine de s'intéresser de près au travail
de Grassmann, son livre les avait rebutés dès les premières pages. Les invendus finirent dans les
décharges. Grassmann bien que fort déçu ne se découragea pas. En 1862, il propose une
deuxième version de son Ausdehnungslehre épurée, remaniée et enrichie de façon à le rendre
plus accessible et plus en relation avec les découvertes contemporaines. Outre l'introduction, de
nombreuses considérations philosophiques furent gommées et un effort dans le choix du
vocabulaire pour désigner les nouveaux concepts fut consenti. D'un autre côté l'approche fut
repensée et la démarche devenue plus précise, fut exposée en des termes plus clairs. Bref,
Grassmann répondait aux critiques de forme qui lui avaient été faites, alors que sa théorie s'était
encore enrichie. En fait même si d'un point de vue mathématique strict, cette deuxième version
était plus satisfaisante, la disparition de toutes les justifications de type méthamathématique
rendait la lecture de ce travail, d'un niveau d'abstraction élevé, encore plus difficile que la
version de 1844.

L'accueil fut aussi froid, si ce n'est plus, que la première fois. Grassmann en fut fort
affecté, on ne lui connaît d'ailleurs plus de travaux mathématiques d'importance après cette date.
Il concentra son énergie sur des recherches dans d'autres domaines, ainsi il finit la traduction du
Sanskrit en allemand du Rig-Veda.

Pourtant, le temps aidant, ses idées commencèrent à être appréciées, principalement parce
que d'autres les redécouvraient dans le cadre de nouvelles théories. N'ayant jamais réussi à
obtenir un poste dans une université, Grassmann n'avait pas à proprement parler de disciples, si
ce n'est deux de ses fils et un de ses frères. Principalement trois mathématiciens de renom se
firent, de son vivant, les défenseurs des travaux de Grassmann, ce sont : Hankel, Clebsch et
Schlegel. Malheureusement les deux premiers moururent trop tôt pour avoir eu une influence
durable. On doit à Hankel dans sa Theorie der complexen Zahlensysteme, de 1867, une bonne
présentation des idées de Grassmann appliquées à la représentation géométrique des nombres
complexes. Ce mémoire joua un rôle assez important dans la diffusion des idées de
l'Ausdehnungslehre. Schlegel défendit dans plusieurs articles les thèses grassmanniennes, mais
cet homme trop radical n'a pas su faire la critique nécessaire qui s'imposait en fonction des
nouvelles idées de l'époque et sa position trop partisane a nui à l'appréciation de sa démarche.

Grassmann mourut en 1877. En 1892, Felix Klein, l'auteur du programme d'Erlangen
(1872), contacta F. Engel pour lui confier la publication des œuvres complètes de Grassmann.
Celui-ci commença ce travail en 1894, en 1911 il le clôturait par la rédaction d'une biographie
[GR].
La postérité rendit hommage au génie de Grassmann, quoique de façon discrète et indirecte. Gibbs et Heaviside mirent en place le calcul vectoriel moderne dans la fin des années 1870 et le début des années 80, indépendamment du travail de Grassmann. Gibbs découvrit l'Ausdehnungslehre, après avoir mis au point son propre système et devint un grand admirateur de Grassmann.

L'influence de Grassmann devait être plus sensible dans des domaines plus théoriques de l'algèbre. La reprise et le prolongement par Peano en 1889, des théories de Grassmann devait, après quelques décennies d'oubli, être le point de départ de la théorie axiomatique des espaces vectoriels (cf Ch. suivant). Enfin on retrouve le nom de Grassmann dans des théories encore plus modernes comme l'algèbre extérieure ou d'autres parties de l'algèbre multilinéaire.

L'œuvre et le destin de Grassmann restent un exemple presqu'unique dans l'histoire des mathématiques. Il est difficile de savoir si ce point d'exception peut être mis en relation, que ce soit de cause ou d'effet, avec la nature de l'algèbre linéaire... La démarche philosophique suivie par Grassmann pour arriver à sa théorie est certainement caractéristique de certaines spécificités des concepts de l'algèbre linéaire. On a vu par exemple combien étaient centraux pour lui le formalisme et les rapports de sa théorie générale avec la géométrie. De là à penser que la difficulté à faire accepter son œuvre est, pour une part au moins, dûe à la nature intrinsèque des concepts en jeu, il n'y a qu'un pas. Bien sûr on a vu combien la position "sociale" de Grassmann est aussi un facteur important. Il n'en reste pas moins qu'autant que ses travaux, l'accueil qu'ils reçurent est un renseignement d'ordre épistémologique important pour notre étude.

De plus lors de leur création par Grassmann, les techniques "vectorielles" qu'il utilisait n'étaient pas indispensables. Les problèmes de géométrie ou de physique qu'il résolvait avec dextérité certes, étaient résolubles, au moins en grande partie, par les méthodes classiques de coordonnées. Devant l'effort à consentir pour pouvoir entrer dans les vues entièrement nouvelles de Grassmann, le gain éventuel pouvait paraître bien mince à un lecteur pas trop motivé. Ce n'est que petit à petit que les méthode proposées par Grassmann furent utilisées ou redécouvertes sous d'autres formes. D'illustres mathématiciens comme Peano ou Burali-Forti s'en firent les ambassadeurs dans les décennies suivantes (cf chapitre IV-2). Les travaux de Grassmann trouvèrent une application dans la théorie de la relativité, qui repose sur les principes élémentaires de la géométrie vectorielle et utilise le calcul tensoriel déjà en germe dans L'Ausdehnungslehre [BO].

On peut se demander toutefois si l'œuvre de Grassmann fut jamais réellement comprise dans toute sa richesse, avant que tous les outils de l'algèbre linéaire moderne ne furent mis en place et permirent a posteriori de comprendre le génie de cet homme incompris.

A la fin du XIXème siècle, le rêve de Leibniz est quasiment accompli. On peut dire que les bases d'un calcul géométrique intrinsèque sont acquises, même s'il existe encore des doutes et des interrogations. Les querelles entre quaternionistes et partisans des vecteurs et du calcul "grassmannien" n'auront vite plus vraiment de sens. Les liens entre géométrie et algèbre linéaire prennent dès lors un aspect très fort et les deux domaines suivront dans une dialectique constante une part de leur progrès en parallèle. Pourtant autant la géométrie s'émancipe dans des voies très diverses, autant l'évolution de l'algèbre linéaire devra passer par une phase de rupture progressive avec la géométrie classique. Cette dernière étape déjà entamée au cours du XIXème siècle se révèlera vraiment au début du XXème siècle, où l'on étendra l'algèbre linéaire à de multiples domaines de plus en plus divers. Par exemple, on verra un langage géométrique audacieusement généralisé envahir l'analyse fonctionnelle. C'est dans la première moitié du XXème siècle que l'algèbre linéaire va ainsi devenir le domaine que nous connaissons, universel et présent dans de multiples théories.
IV - La naissance de l'algèbre linéaire moderne

Avec Grassmann, un tournant important dans l'histoire de l'algèbre linéaire est en germe. Pourtant l'œuvre de Grassmann, longtemps ignorée, n'a pu imposer ce changement de point de vue. Ce sont en fait les travaux d'autres algéristes, dont Cayley est le principal représentant, qui vont amener une évolution notable. Grâce à leurs travaux, se crée un nouveau domaine que l'on qualifiera d'algèbre linéaire et qui se distingue du calcul vectoriel et de la géométrie. Pendant une période allant d'environ 1840 à 1930, cette nouvelle branche des mathématiques rassemblera autour de la théorie des déterminants et de celle des matrices, les principaux résultats sur les espaces vectoriels vus comme ensembles de n-uplets de nombres. Dans les travaux de Hilbert, notamment, en analyse fonctionnelle, apparaît de façon systématique l'utilisation d'espaces vectoriels de dimension infinie. Ceux-ci sont plutôt vus comme des cas limites d'espaces de dimension finie. Ainsi dans un premier temps, on étend les méthodes des déterminants par des passages à la limite plus ou moins périlleux. Ce n'est que vers 1930, que l'on comprendra vraiment que la plupart des résultats peuvent être obtenus sans l'aide des déterminants et donc être prolongés à la dimension infinie. L'approche axiomatique, amorcée par Grassmann et vraiment initialisée par Peano, finira alors par s'imposer, après quarante ans d'ignorance.

1 - Une première étape : la géométrie en dimension n.

Le calcul sur les coordonnées en géométrie analytique aussi bien que l'extension de l'algèbre à de nouveaux objets, ont conduit tout naturellement à introduire les même opérations que sur les triplets, sur des n-uplets pour n quelconque. Cette étape n'était nullement une révolution mais simplement une extension prévisible, d'une pratique devenue courante. Un deuxième pas qui devait, lui, demander plus d'efforts, a consisté à légitimer ces calculs sur les n-uplets. Jusqu'au début du XVIIIème siècle, il n'est pas rare en effet de trouver des remarques, signalant la possibilité théorique de calculer sur des n-uplets, mais s'empressant de rajouter que cela n'a pas de sens donc -sous-entendu- pas d'intérêt.

Möbius par exemple dans son *Barycentrische Calcul*, en 1827, montre que deux figures rectilignes ou planes égales et similaires (i.e. à chaque point d'une figure correspond un point de l'autre, tels que la distance entre deux points de l'une est toujours égale à la distance entre les deux points correspondants sur l'autre) coïncident toujours alors que ceci n'est pas vrai pour des figures en trois dimensions. En analysant la méthode qui l'a conduit à ce résultat, il remarque alors que pour qu'un tel résultat soit vrai dans l'espace, il faudrait que l'on puisse laisser un système faire une demi révolution dans un espace de quatre dimensions. Mais il s'empresse de rajouter que puisqu'un tel espace ne peut être conçu, ainsi la coïncidence est dans ce cas impossible. ([MO] T.I pp. 181-183, [SM2] pp.525-526).

Il faudra encore quelques temps pour que des mathématiciens aventureux osent franchir l'interdit et appliquent le langage de la géométrie "classique" à des espaces de dimension supérieure et en déduisent des applications.

Le premier exemple vraiment déterminant dans cette voie est celui de Cayley. Celui-ci est l'héritier de DeMorgan et Peacock, les célèbres algéristes anglais, qui les premiers systèmatisèrent la recherche de nouvelles algèbres. Ceux-ci croyaient pouvoir trouver sur de nouveaux ensembles une structure possédant toutes les propriétés des nombres, comme cela avait été le cas avec les nombres complexes.

Cayley abandonne cette idée, mise en défaut par la découverte des Quaternions puis des Octaves. il définit la somme de n-uplets et leur multiplication par un scalaire et en donne les propriétés. Il définit ainsi la structure d'espace vectoriel de dimension finie, en prenant un point de vue descriptif et non axiomatique.

Ses recherches sur les transformations linéaires et sur les matrices dont il est le premier à systématiser l'emploi (cf chap II), l'amènent à dégager la plupart des concepts de l'algèbre linéaire dans ce cadre.

Une de ses premières utilisations de n-uplets à des fins géométriques apparaît dans un article (en français) de 1846 sous le titre de *Sur quelques résultats de la géométrie de position* ([CY], T.I, pp.317-328).
L'idée est très simple, il considère n points dans l'espace et il coupe les $N_2$ doites ($N_j$ désigne le nombre d'arrangements possibles de j points) et les $N_3$ plans qu'ils définissent, par un plan. Il montre ainsi qu'il est toujours possible, quelque soit n, de trouver $N_2$ points situés deux à deux sur $N_3$ droites.

Après avoir donné une interprétation de ce résultat pour n=5, Cayley nous dit : "Le théorème général I, peut être considéré comme l'expression d'un fait analytique, qui doit également avoir lieu en considérant quatre coordonnées au lieu de trois. Ici une interprétation géométrique a lieu, qui s'applique aux points dans l'espace. On peut en effet, sans recourir à aucune notion métaphysique à l'égard de la possibilité de l'espace à quatre dimensions, raisonner comme suit (tout cela pourra aussi être traduit facilement en langue purement analytique) : En supposant quatre dimensions de l'espace, il faudra considérer des lignes déterminées par deux points, des demi-plans déterminés par trois points, et des plans déterminés par quatre points; (deux plans se coupent alors suivant un demi-plan, etc...). L'espace ordinaire doit être considéré comme plan, et il coupera un plan selon un point ordinaire. Tout cela posé : en considérant un nombre n de points, et en les combinant deux à deux, trois à trois, et quatre à quatre par des lignes, des demi-plans et des plans, puis coupant le système par l'espace considérer comme plan, on obtient le théorème suivant de géométrie à trois dimensions :

THEOREME VII. On peut former un système de $N_2$ points, situés trois à trois dans $N_3$ droites qui elles-mêmes sont situées quatre à quatre dans $N_4$ plans. (...)

" De même en considérant un espace à $p+2$ dimensions, on obtient la proposition suivante encore plus générale :

THEOREME IX. On peut former dans l'espace un système de $N_p$ points, qui passent $p+1$ à $p+1$ par $N_{p+1}$ droites, situées $p+2$ à $p+2$ dans $N_{p+2}$ plans, ou bien pour la géométrie plane, un système de $N_p$ points, situés $p+1$ à $p+1$ dans $N_{p+1}$ droites."

Bien sûr on ne peut pas encore parler ici de géométrie en dimension supérieure à trois, puisque les résultats sont tous exprimés en géométrie plane ou à trois dimensions. Mais le passage par des dimensions plus élevées est explicite et Cayley définit clairement les objets de la géométrie à quatre dimensions dont il dit qu'ils n'ont rien de métaphysique.

Cet article de Cayley est très récent dans sa carrière, on voit qu'il semble vouloir prendre des précautions par rapport à des réticences éventuelles. Il est intéressant de remarquer que bien qu'il mentionne la méthode analytique, il utilise uniquement un langage géométrique pour décrire les espaces à plus de trois dimensions.

A la suite des travaux de Cayley et de son inséparable ami Sylvester, mais aussi de ceux de Jordan par exemple, l'essor de la géométrie à n dimensions va s'accélérer. La généralisation des espaces projectifs et les débuts de la géométrie algébrique vont suivre et aider à l'élaboration des nouveaux théorèmes.

Ces débuts de l'algèbre linéaire, qui commence à exister en tant que champ unifié de concepts, voient la généralisation du langage géométrique à tous les domaines où l'on appliquait jusqu'à maintenant les résultats de la théorie des déterminants. On ne peut pas dire en ce sens qu'il y ait pléthore de résultats nouveaux. On assiste plutôt à une unification de registres jusqu'alors distincts, et à la création d'un langage issu de la géométrie mais qui devient celui de l'algèbre linéaire.

Cependant à la fin du XIXème siècle le concept de structure algébrique est encore à l'état embryonnaire, si bien que cette algèbre linéaire naissante ne s'appuie pas encore sur des bases bien définies. En 1888 pourtant, G. Peano qui appartenait déjà sur beaucoup de points au siècle suivant, avait donné, en s'appuyant sur l'œuvre de Grassmann, la définition axiomatique d'un espace vectoriel. Il fallut encore une quarantaine d'année, pour que l'on comprenne l'importance d'une telle approche.

## 2 - Les premières approches axiomatiques

### a - G. Peano

En 1888 le mathématicien italien Giuseppe Peano a trente ans, depuis deux ans il est professeur à l'Accademia Militare de Turin. Son premier ouvrage d'importance est paru en 1884 et consiste en un traité de calcul infinitésimal, d'après un cours de A. Genocchi. En 1887, il publie son *Applicazioni Geometriche del calcolo infinitesimale* [PE1] dans la préface duquel il
cite Möbius, Bellavitis, Hamilton et Grassmann, d'une manière qui prouve qu'il connaissait bien ces quatre auteurs. L'analyse succinte qu'il propose de leurs œuvres et de leurs importances relatives par rapport à la problématique de la recherche d'un calcul géométrique est d'ailleurs fort intéressante.

Peano est resté célèbre pour la courbe qui porte son nom et qui remplit le plan, pour son système d'axiomes des nombres entiers -le premier du genre- et surtout comme l'un des fondateurs de la logique mathématique et un des ambassadeurs de la méthode axiomatique.

Son troisième ouvrage de taille s'intitule *Calcolo Geometrico secundo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva* [PE2], il parut en 1888. Comme le titre l'indique, ce travail est en grande partie inspiré de "l'Ausdhenungslehre" de H. Grasssmann, il précise tout de même en introduction : "*Les formations Géométriques et les opérations qui sont exposées ici figurent dans l'Ausdehnungslhere. Mais je crois toutes nouvelles les définitions données ici, le mode de traitement et de nombreuses formules (...)*". De fait Peano a non seulement su dégager de l'œuvre de Grassmann les principaux concepts, mais il les expose d'une façon beaucoup plus attrayante et compréhensible. Il a su élaguer pour ne garder que l'essentiel. Bien sûr une certaine richesse contenue dans Grassmann disparaît sous la plume de Peano, mais ce qui reste est exposé avec rigueur et clarté dans un style très épuré ou l'on sent l'influence de logiciens tels que G. Boole, E. Schröder ou C.S. Pierce, dont Peano connaissait les travaux. Dans sa qualité d'exposition, cette œuvre est assez unique pour l'époque, et fit beaucoup, bien que tardivement, pour la diffusion des travaux de Grassmann tant en Italie qu'en France.

Peano, qui à cette époque n'avait pas encore acquis la réputation de logicien qu'on lui connaît à présent, commence son ouvrage par une sorte de préambule, annoncé dans le titre, sur les "opérations de logique déductive". Dans ce chapitre d'introduction il présente un ensemble assez important de résultats de logique où il fait usage d'un langage très moderne. Il présente les opérations logiques sur les ensembles et les propositions comme des opérations algébriques et compare les propriétés de la somme et du produit avec celles de l'intersection et de l'union. On le voit aussi se poser le problème de la redondance de certains symboles et de certaines propriétés et essayer de réduire au minimum leur nombre. Sa démarche est en ce sens très proche de la démarche axiomatique dont il sera l'un des précurseurs.

Cette introduction qui représente vingt pages sur les cent soixante-dix du livre n'est pas absolument indispensable à la lecture de ce qui suit, si ce n'est pour quelques notations qui sont réutilisées. Par ailleurs la richesse du propos fait que ce chapitre aurait aussi bien pu à lui seul faire l'objet d'une publication indépendante. Peano ne nous dit pas grand chose du lien qu'il faut voir entre les deux théories. Pourtant leur juxtatposition n'est pas fortuite et doit nous interroger. Plus que par ses résultats, cette introduction semble importante par ce qu'elle représente. Comme pour la version de 1844 de l'Ausdehnungslehre de H. Grassmann, elle donne une certaine vision de l'auteur sur les mathématiques et sa façon de les aborder. On comprendra alors que l'approche de Peano est avant tout formelle, au sens où il s'intéresse aux relations que les objets ont entre eux, ce que l'on appellera plus tard leur structure algébrique, plus qu'à leur nature propre. Cette introduction est donc annonciatrice déjà de l'aboutissement du *Calcolo geometrico*, qui peut être vu comme le début de la théorie axiomatique des espaces vectoriels.

En effet, outre la clarté de l'exposé, et l'introduction d'applications nouvelles en mécanique et en géométrie différentielle, une des innovations de Peano est de donner, dans son dernier chapitre, des définitions très générales des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ (sous le nom de *systèmes linéaires*) et des applications linéaires (sous le nom de *transformations linéaire*), qui sont très proches des définitions axiomatiques actuelles. Il étudie également les premiers concepts fondamentaux tels que : indépendance linéaire, base ou dimension (dont il voit qu'elle peut être infinie)... sous un angle nouveau. C'est certainement la première fois que l'on va aussi loin et surtout que l'on approche de l'algèbre linéaire moderne de façon aussi significative. Grassmann, comme nous l'avons dit plus haut, n'était pas loin non plus, sur certains points il avait même obtenus des résultats plus avancés que ce que propose Peano, mais il lui manquait finalement un bon point de départ, c'est-à-dire une définition claire et maniable des espaces vectoriels, sous leur forme la plus générale.

Nous allons maintenant regarder de plus près comment Peano, en reprenant les idées de Grassmann est arrivé à ce stade fondamental.
## i- Sur l'introduction des "formations géométriques"

Dans le chapitre I du *calcolo Geometrico*, Peano, après avoir défini les notions de volume, de surface puis de segment orientés, définit des formations géométriques de quatre espèces différentes. Il définit également des opérations sur ces formations et en dégage des propriétés très générales qui ne dépendent pas de l'espèce. Il veut ainsi montrer que l'on peut opérer sur ces formations géométriques comme sur n'importe quels objets algébriques. Comme il le dit lui-même dans sa préface : "*le calcul géométrique consiste en un système d'opérations applicables aux êtres géométriques, analogues à celles que l'algèbre effectue sur les nombres...*". Comme ses prédecesseurs, qu'il cite, il poursuit le rêve de Leibniz de créer un calcul géométrique intrinsèque (cf Chap III).

Les considérations sur les volumes, surfaces et segments orientés sont très géométriques et assez concrètes ; Peano en profite pour introduire son vocabulaire. Puis il définit les quatre espèces d'objets géométriques d'une façon purement formelle comme des systèmes de points, segments, surfaces ou volumes affectés de nombres. Pour les désigner, il utilise la notation des combinaisons linéaires formelles. A ce stade, cette écriture n'a vraiment de sens, autre que purement formel, que pour les formations de quatrième espèce puisque Peano a défini auparavant les opérations de somme et de multiplication par un nombre uniquement pour les volumes orientés. Sur ces bases abstraites il commence à batir son édifice en définissant la nullité d'une formation de première, deuxième ou troisième espèce, puis une "égalité" (c'est en fait une relation d'équivalence) entre les formations d'une même espèce en se ramenant chaque fois à ce qu'il a défini pour la quatrième espèce. Il remarque immédiatement que deux formations qui ne diffèrent que par l'ordre de leurs termes sont égales. On peut remarquer au passage l'ambiguïté du mot "égal" qui désigne en fait les éléments d'une même classe d'équivalence. Peano ne fait d'ailleurs mention que de la propriété de transitivité qu'il cite comme théorème ; la réfléxivité et la symétrie ne sont pas dégagées. Il s'attache ensuite à donner un sens plus concret aux formations en déterminant géométriquement les cas d'égalité pour chaque espèce.

Arrivé à ce stade, il décide de désigner points, segments, surfaces et volumes d'une part et formations de n'importe quelle espèce d'autre part par les mêmes lettres (A,B,C... pour les premiers et S,S'... pour les seconds). Il va alors pouvoir mettre en place une structure.

En effet il définit la somme de deux formations de même espèce et remarque immédiatement la commutativité (P1) et l'associativité (P2). Il détermine ensuite le produit d'une formation par un nombre (réel) et remarque les deux pseudo-distributivités $x(S+S')=xS+xS'$ (P3) et $(x+y)S=xS+yS$ (P4). Il énonce alors trois propriétés de stabilité de l'égalité avec les opérations (en se contentant de dire qu'elles sont faciles à démontrer) soit $S=S' \Rightarrow S+S''=S'+S''$ (P5); $S=S'$ et $S''=S''' \Rightarrow S+S''=S'+S'''$ (P6) et $S=S' \Rightarrow xS=xS'$ (P7). Il dit alors que "les équations géométriques pourront être sommées et multipliées par des nombres de la même façon que les équations algébriques" et pour achever la ressemblance, il introduit quatre nouvelles "notations": $Sx=xS$ (N1); $-S=(-1)S$ (N2); $S-S'=S+(-S')$ (N3); $S/S'=x \Leftrightarrow S=xS'$ (N4).

A partir de là, Peano s'attache à définir des produits de formations entre elles et ne s'intéresse plus directement à la somme ou au produit par un nombre. On peut donc considérer (en langage moderne) qu'il a achevé la description de la structure d'espace vectoriel. Il est intéressant alors de regarder quelles sont les dissemblance entre les propriétés dégagées par Peano et la définition actuelle d'espace vectoriel.

- Peano ne dit pas explicitement ni que l'addition est une opération interne ni que la multiplication par un nombre est une loi externe, mais c'est compris dans ses définitions et il n'y a pas vraiment de raisons d'insister, ce n'est toutefois pas dégagé comme une propriété significative.

- Pour ce qui concerne la structure de groupe, Peano énonce clairement la commutativité et l'associativité, par contre les concepts d'élément neutre et d'opposé ne sont pas vraiment bien dégagés. Le symbole $0$ apparaît dans la définition de la nullité d'une formation ; il est donc dit implicitement qu'il existe une formation nulle. Que sous-entend cependant Peano et surtout que doit comprendre le lecteur ? Le simple choix de vocabulaire (nul, zéro) induit-il la propriété d'être élément neutre ? Il semble bien que le rôle du zéro ne soit pas dégagé du symbolisme qu'il transporte et que la propriété d'existence d'un élément neutre ne soit pas significative pour une addition. De même la notation (N2) pourrait faire croire à l'existence et la définition d'un
opposé, mais cela reste au niveau de la notation. D'ailleurs les propriétés énoncées ne sont pas suffisantes pour prouver que (-1)S (même si on le note -S) est l'opposé de S ; il faudrait, outre 1S=S et (P4), une propriété induisant 0S=0. Pour les mêmes raisons si la notation (N3) définit une soustraction, celle-ci n'a a priori aucune raison d'être l'opération opposée de l'addition. Peano semble donc définir des notions seulement liées à l'addition en fonction de la multiplication externe. En fait une autre hypothèse consite à penser qu'il comprend l'existence d'un opposé et d'une soustraction dans le mot même d'addition et qu'il ne juge donc pas utile de faire mention de ces propriétés. Ses notations feraient alors référence à des choses implicitement connues. Dans les deux cas néanmoins on peut constater ici une faiblesse dans la construction de Peano. Cette faiblesse est pourtant le reflet d'une perception assez générale à l'époque et prouve combien le concept de loi de composition était encore mal défini.

- Il reste les quatre axiomes de la structure d'espace vectoriel:

$$ (A1) (x+y)S=xS+yS \quad (A2) x(S+S')=xS+xS' \quad (A3) x(yS)=(xy)S \quad et \quad (A4) 1S=S $$

Peano en énonce deux (A1) et (A2) qui sont respectivement les propriétés (P4) et (P3). Mais il n'est fait aucune mention des deux autres, et ils ne sont pas déductibles des propriétés énoncées par ailleurs. Par contre, ils sont facilement vérifiables avec les définitions de Péano.

Or l'axiome (A4) sert un peu de lien entre les deux opérations: il est en effet fondamental pour permettre de donner à nS la signification de "la somme de n fois S". Comme pour l'élément neutre et l'opposé on peut supposer que pour Peano, cette écriture est implicitement contenue dans les propriétés d'une addition.

(A3) comme (A1) et (A2) est une règle de calcul nécessaire à la bonne coexistence des deux lois. Il est plus étonnant que Peano ne la cite pas.

Les propriétés (P5) (P6) et (P7) n'apparaissent pas dans la définition actuelle d'un espace vectoriel. Or ce sont des propriétés de l'égalité (au sens d'identité) à l'égard de n'importe quelle loi, elles ne sont donc pas déductibles des axiomes mais sont d'un autre domaine encore plus général. Dans l'optique de Peano les choses sont un peu plus complexes du fait que son égalité est une relation d'équivalence liée à la nature des objets. Ces propriétés énoncent donc des identités entre classes d'équivalence. La démarche de Peano est ici similaire à celle de Grassmann, qui avait lui aussi mis en relief la notion de classes d'équivalence d'objets géométriques et la stabilité des lois par rapport aux relations.

La notation (N1) n'est pas très importante, elle permet simplement de ne pas se soucier dans les écritures de la position du scalaire par rapport au vecteur. Cette habitude a disparu en langage moderne.

(N4) prépare déjà la suite sur la multiplication des formations entre elles. Elle n'a pas d'intérêt pour la structure linéaire à proprement parler.

On voit ainsi que les deux démarches, l'actuelle et celle Peano, ne vont pas sans quelques différences. Néanmoins si l'on néglige des points secondaires tels que l'importance accordée par Peano à "l'égalité" entre formations ou les notations (N1) et (N4), que lui manquait-il alors pour avoir donné un énoncé complet des axiomes de la structure d'espace vectoriel ? Essentiellement quatre points : l'existence d'un élément neutre, d'un opposé, l'axiome (A4) et l'axiome (A3).

On a vu que les trois premiers points sont en quelque sorte compris implicitement dans les définitions des opérations. Au lieu d'être reconnues comme des propriétés et d'être identifiées comme telles, ce sont pour Peano des vérités inhérentes à la nature des objets en jeu. L'existence de l'élément neutre et d'un opposé apparaîtra plus clairement avec l'étude de la structure de groupe, on verra que Peano lui même comprendra la nécessité de A4. L'oubli de l'axiome A3 est d'une autre nature, cela nous étonne de la part de quelqu'un d' aussi scrupuleux que Peano, mais cette maladresse sera réparée au dernier chapitre où la pseudo-associativité apparaît.

Dans les chapitres suivants Peano reprend les grandes lignes de l'Ausdehnungslehre (version 1862) dans un exposé très élagué et particulièrement bien construit. Comme Grassmann, il donne des applications à la fin de chaque chapitre. Il montre, en particulier, que dans l'espace, si trois vecteurs sont tels que leur produit, qui est en fait leur déterminant, est non nul, tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.

## ii- Sur l'introduction des systèmes linéaires

Le neuvième et dernier chapitre est de nature tout à fait différente, Peano y définit ce qu'il appelle des "sytèmes linéaires". Pour lui ce sont des ensembles caractérisés par deux opérations et certaines propriétés élémentaires, ou axiomes, qu'il énonce.
Il s'inspire, sans que ce soit explicite, des propriétés dégagées pour les formations géométriques dans le chapitre I, qu'il essaie de généraliser. On peut voir dans ce chapitre, l'efficacité du choix fait dès le début, de fonder le calcul géométrique sur des bases initiales minimales (presque axiomatiques) : cela permet une généralisation presque immédiate.

La définition des systèmes linéaires de Peano est, semble-t-il la première définition axiomatique d'un espace vectoriel réel. Cependant elle est déjà très proche de la définition actuelle. Pour mieux mesurer la distance qui séparait Peano de ce que l'on utilise aujourd'hui comme définition, nous donnons ci-dessous une traduction littérale de l'introduction du chapitre IX du calcolo Geometrico.

N.B. Nous avons fait nous-même cette traduction et nous avons choisi de garder les tournures impersonnelles et sur le mode passif, même si elles ne sont pas toujours en accord avec la grammaire française, parce qu'elles nous semblent mieux rendre compte du texte original.

"Transformations de systèmes linéaires.

72. Il existe des systèmes d'êtres pour lesquels sont données les définitions suivantes :

1. Il est défini l'égalité de deux êtres *a* et *b* du système c'est-à-dire qu'il est défini une proposition, indiquée par *a=b*, qui exprime une condition entre deux êtres du système, satisfaite par certains couples d'êtres, et pas par d'autres, et qui satisfait aux équations logiques :

$$ (a=b)(b=a), (a=b) \prec (b=c) < (a=c) $$

(Dans le symbolisme actuel : (a=b) ssi (b=a) et si (a=b et b=c) alors (a=c).)

2. Il est défini la somme de deux êtres *a* et *b*, ce qui veut dire qu'il est défini un être, indiqué par *a+b*, qui appartient aussi au système donné, et qui satisfait aux conditions :

$$ (a=b) < (a+c=b+c), a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c. $$

Et la valeur commune des deux membres de la dernière égalité sera indiqué par $a+b+c$.

(la première égalité veut dire si (a=b) alors (a+c=b+c).)

3. Etant donnés *a* un être du système, et *m* un nombre entier et positif, avec l'écriture *ma* nous entendons la somme de *m* êtres égaux à *a*. Il est facile de reconnaître étant donnés *a*, *b*... des êtres du système, *m*, *n*... des nombres entiers et positifs, que

$$ (a=b) < (ma=mb); m(a+b)=ma+mb; (m+n)a=ma+na; m(na)=(mn)a; la=a. $$

Nous supposons qu'il soit attribué une signification à l'écriture *ma*, quelque soit le nombre réel *m*, de façon que les équations précédentes soient encore satisfaites. L'être *ma* sera dit produit du nombre (réel) *m* par l'être *a*.

4. Enfin nous supposons qu'il existe un être du système, que nous dirons être nul, et que nous indiquerons par 0, tel que, quelque soit l'être *a*, le produit du nombre 0 par l'être *a* donne toujours l'être 0, ou

$$ 0a = 0. $$

Si à l'écriture *a-b* on attribut la signification *a+(-1)b* on déduit :

$$ a-a=0 ; a+0=a. $$

DEF. Les systèmes d'êtres pour lesquels sont données les définitions 1,2,3,4, de façon que soient satisfaites les conditions imposées, sont dits systèmes linéaires.

On déduit que si *a*, *b*, *c*... sont des êtres d'un même système linéaire, *m*, *n*, *p*... des nombres réels, toutes les fonctions linéaires homogènes de la forme $ma+nb+nc+...$ représentent un être du même système.

Les nombres réels et les formations d'une même espèce de l'espace constituent des systèmes linéaires.

Les formations de première espèce sur une droite ou dans un plan, les vecteurs du plan ou de l'espace constituent de même des systèmes linéaires etc... Mais les points de l'espace ne constituent pas un système linéaire parce que leur somme, d'après la définition donnée, ne donne plus des points, mais des formations quelconques de première espèce. (...)

Bien sûr Peano ne prend pas la peine de poser l'existence des lois avant d'en exposer les propriétés, mais mélange plutôt un peu les deux démarches, il ne parle pas non plus d'axiomes mais de définition données (a priori). Pourtant on peut dire que sa présentation de la structure de système linéaire est axiomatique, au sens moderne du terme.

La remarque qu'il fait immédiatement après avoir donné sa définition, qui consiste à dire que toute combinaison linéaire d'éléments d'un système linéaire appartient à ce même système, nous montre qu'il a tout à fait saisi la spécificité d'un espace vectoriel. Cette remarque élémentaire est cependant fondamentale car elle est le point d'appui des premières
démonstrations de propriétés de la structure, on sait qu'elle est aussi caractéristique de la notion de sous-espace vectoriel.

Reprenons maintenant en détail chacun des points de la définition précédente.

Le paragraphe 1 est consacré à la définition de "l'égalité". Peano y définit en fait une relation d'équivalence ; pourtant s'il énonce les propriétés de symétrie et de transitivité, il ne fait pas mention de la réflexivité (il y a déjà une amélioration par rapport au chapitre I puisqu'il parle de la symétrie). En fait une relation qui serait symétrique et transitive pourrait ne pas être d'équivalence si et seulement s'il existait des éléments en relation avec aucun autre (pas même avec eux-mêmes). En effet si pour tout a il existe b tel que aRb par symétrie on a bRa et par transitivité comme aRb et bRa on a aRa donc la relation est reflexive. Or dans le paragraphe 3, Peano avec sa définition de la multiplication par un entier positif impose que $1a=a$ donc a est toujours en relation avec un autre élément (1a) et "l'égalité" est donc bien réflexive. Du point de vue de la cohésion de l'édifice, il n'y a donc pas de faille possible, il n'empêche que, du point de vue de la démarche, il y a dans cet oubli une faiblesse. Comme on l'a dit pour le chapitre I, ce point a cependant une place un peu périphérique par rapport à la structure même, puisque pour les espaces vectoriels modernes la question de l'égalité est réglée en amont de la définition de la structure. Par ailleurs ce point est assez spécifique des formations géométriques puisqu'il n'est pas du tout général que les espaces vectoriels apparaissent, hors le cadre de la géométrie, comme des ensembles de classes d'équivalence d'objets plus connus.

Le paragraphe 2 commence par la définition de la somme de deux "êtres" (ou vecteurs en langage moderne), calquée presque mot pour mot, sur la définition moderne de loi de composition interne. Peano impose ensuite trois propriétés : la compatibilité avec l'égalité, la commutativité et l'associativité. Ce sont les mêmes que dans le chapitre I, l'élément neutre et l'opposé ne sont pas encore cités.

Dans le paragraphe 3, il commence par définir à partir de la somme, la multiplication des êtres par les nombres entiers et positifs. Il en cite cinq propriétés qui sont outre la compatibilité avec l'égalité, les restrictions à N des quatre axiomes modernes des espaces vectoriels. On peut s'interroger sur ce choix que Peano n'explicite pas. Il y a bien sûr la ressemblance avec ce qu'il a dit sur les formations géométriques, mais d'une part nous n'avons pas plus de justifications à ce stade et surtout, il a rajouté ici deux propriétés par rapport au chapitre 1. Il est tout à fait frappant que Peano arrive de but en blanc sur les quatre "bonnes" propriétés. Bien sûr, c'est sûrement le fruit de plusieurs tâtonnements, dont il ne fait pas mention, cela n'en reste pas moins remarquable. Pour les deux distributivités et la pseudo-associativité, on peut se dire qu'une certaine ressemblance avec les propriétés déjà émises dans les recherches sur les systèmes hypercomplexes a pu guider Peano. Pour le quatrième axiome, les explications sont moins faciles. On peut avancer l'hypothèse que de voir la multiplication externe comme le prolongement de la multiplicciaion "naturelle" par les entiers (la structure de $\mathbb{Z}$-module des groupes commutatifs), a dû aider Peano à dégager cette propriété que $1a=a$, comme fondamentale.

En effet, pour définir la multiplication par un réel, il suppose que l'on sache attribuer un sens à ma pour m réel quelconque de façon à prolonger la multiplication par les entiers naturels, c'est-à-dire que, non seulement cette multiplication coïncide sur les entiers naturels, mais aussi qu'elle vérifie les cinq mêmes propriétés, donc les quatre axiomes de la définition moderne et la compatibilité avec l'égalité. Cette façon un peu intuitive de voir la multiplication externe est un point original. Peano aurait très bien pu faire disparaître cette démarche de la définition et n'en donner que les résultats. S'il a préféré en laisser une trace, c'est sûrement qu'il la juge importante. Or dans la définition moderne on remarquera que ce point de vue est presqu'entièrement gommé.

Dans le paragraphe 4, Peano suppose l'existence d'un "être nul" qui est le résultat de la multiplication de n'importe quel "être" par le nombre 0. Ceci est un peu contradictoire avec ce qui précède puisque en 3 on est censé avoir donné une signification à tout "ma" donc en particulier à "0a". Hormis ce problème de déontologie, on peut se demander si ce 0 ainsi défini a le même statut qu'un élément neutre pour l'addition (au sens moderne).

Il est clair que dans la définition moderne, où 0 est défini comme élément neutre pour l'addition, on déduit des axiomes que $0a=0$, pour tout a. Peano nous dit au contraire que si tous les 0a sont identiques, alors avec les autres axiomes on déduit : $a+0=a$ et $a-a=0$, si on donne à a-b la signification de $a+(-1)b$. Il ne fait pas les démonstrations, mais en effet, en n'utilisant que des propriétés qu'il a énoncées auparavant, on a les égalités suivantes:

$$a+0 = 0+a = 0a+1a = (0+1)a = 1a = a,$$
et $a-a=a+((-1)a) = (1a)+((-1)a) = (1+(-1))a = 0a = 0$.

La définition de Peano est donc équivalente à la définition actuelle. Elles sont très semblables, la seule différence est que Peano remplace l'existence d'un élément neutre et d'éléments symétriques, par la propriété que tous les 0a doivent être égaux.

Il nous semble utile ici de faire quelques remarques sur les axiomes de la structure d'espace vectoriel.

1 - L'existence d'un neutre et de symétrique ou une propriété équivalente comme celle de Peano est indispensable dans les axiomes.

En effet posons $E\{a,b,c\}$ avec :

$$a+a=a, b+b=b, c+c=c, a+b=b+a=a+c=c+a+b=c+b=c,$$

$$\text{et } \lambda a=a, \lambda b=b \text{ et } \lambda c=c \text{ pour tout } \lambda \text{ réel. } (E,+,.)$$

$(E,+,.)$ possède toutes les propriétés de la structure d'espace vectoriel sauf qu'il n'y a pas d'élément neutre (donc pas de symétrique) pour l'addition. Bien sûr 0a, 0b et 0c sont distincts.

2 - Par contre la commutativité de l'addition se déduit des autres propriétés (que ce soit avec le système d'axiome de Peano ou l'actuel).

En effet on a pour tout $a$ et $b$ de $E$ :

$$a+a+b+b=2a+2b=2(a+b)=a+b+a+b,$$

en simplifiant alors à gauche par $a$ et à droite par $b$ on obtient :

$$a+b=b+a.$$

On pourrait donc avoir une définition des espaces vectoriels ne comportant que l'associativité de l'addition, les deux distributivités, la pseudo-associativité, $1a=a$ et $0a=0b$ pour tout $a$ et $b$. Cette façon de voir les choses privilégie en quelque sorte la loi externe.

Il est fort probable qu'à la suite de Peano, on ait préféré la définition actuelle, parce qu'elle rappelle mieux celle de groupe. Quand on a commencé à regarder l'algèbre comme l'étude des structures plutôt que comme l'étude des équations, la classification des ensembles selon leurs ressemblances a aussi amené à comparer les différentes structures entre elles. Ainsi la structure d'espace vectoriel est-elle apparue comme une sur-structure de celle de groupe commutatif. De fait on comprend mieux pourquoi on a préféré la définition actuelle à celle de Peano, qui contient cependant une propriété de moins et semble dans certains cas pouvoir donner des vérifications moins lourdes.

Par ailleurs, l'addition est la première des deux lois et il semble peut-être plus "logique" de mettre dans les axiomes les propriétés de cette loi, plutôt que des propriétés de la loi externe qui permettent de les déduire. C'est peut-être aussi une des raisons pour lesquels on a gardé la commutativité de l'addition dans les axiomes alors qu'elle est totalement déductible des autres axiomes.

Néanmoins Peano réussit à donner une définition axiomatique de la structure d'espace vectoriel en tous points équivalente à la définition actuelle, très peu différente et en tous cas pas moins efficace si ce n'est plus. C'est surtout un des premiers exemples d'explicitation d'une structure algébrique, par la donnée d'un ensemble hypothético-déductif de définitions données a priori.

Après avoir donné cette définition Peano définit de façon identique à ce qui se fait encore de nos jours, les notions de dépendance linéaire, d'indépendance linéaire, de dimension et de coordonnées. Pour la dimension il dit que c'est *le nombre maximum d'êtres indépendants entre eux que l'on puisse prendre dans un système linéaire*. Cependant il n'a pas introduit le concept de famille génératrice et donc sa notion de dimension n'a pas encore tout le sens qu'on lui donne aujourd'hui. En effet il n'a pas les moyen de démontrer que toutes les familles libres maximales sont aussi génératrices minimales et qu'elles ont le même nombre d'éléments. Il montre en définissant les coordonnées qu'une famille libre maximale est génératrice et que chaque vecteur s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des éléments de la famille. De plus on peut penser qu'implicitement Peano a compris que toute famille libre maximale a toujours le même nombre d'éléments. Ainsi il présente ce que l'on appellerait en langage actuel un changement de base en prenant pour deuxième famille libre maximale une famille ayant le même nombre d'éléments que la première, il montre ainsi comment calculer les coordonnées dans la nouvelle famille. Cette imperfection dans la théorie proposée par Peano est quelque peu surprenante et mérite à ce titre d'être signalée, d'autant que Grassmann, bien qu'ayant une théorie moins claire, semble, lui, avoir mieux saisi ce point, le concept de dimension est dans une certaine mesure plus richement exploité dans l'Ausdehnungslehere.
Peano remarque également qu'un système linéaire peut avoir un nombre infini de dimensions. Dans les applications à la fin du chapitre, il dit que l'ensembles des polynômes de degré au plus n, est un système linéaire de dimension n+1 et que l'ensemble des polynômes quelconques possède une infinité de dimensions. C'est le seul exemple d'espace de dimension infinie qu'il donne, on peut donc penser que l'idée qu'il en a est surtout comme "état limite" d'un espace de dimension finie dont la dimension grandit de plus en plus.

Peano définit ensuite *une transformation linéaire*, qu'il dit être une *opération distributive*. De façon générale, il définit la notion application linéaire d'un espace vectoriel quelconque dans un autre. Il réserve aux endomorphismes le nom de *substitutions*. Puis il remarque que l'on peut définir sur des transformations linéaires des opérations d'addition, de multiplication par un scalaire et de multiplication (à condition que l'ensemble d'arrivée de la première soit l'ensemble de départ de la seconde). Il donne les principales propriétés de ces opérations, en particulier il remarque la non commutativité du produit.

Il ne dit cependant pas que l'ensemble des susbstitutions d'un système linéaire est lui-même un système linéaire. Cette lacune peut nous étonner, mais il faut bien avoir à l'esprit que les idées exposées ici sont déjà très en avance sur leur époque et on ne peut reprocher à Peano d'avoir manqué même de si près cette remarque. Accepter les opérateurs linéaires comme eux-mêmes de simples objets algébriques, qui peuvent avoir la même structure que les objets sur lesquels ils opèrent est un pas de plus dans la formalisation qui ne sera vraiment franchi que lorsque la notion de structure algébrique sera devenue courante.

Peano démontre ensuite qu'une transformation linéaire est entièrement connue par la donnée des images des éléments d'une famille libre maximale. Il propose alors une notation, analogue aux substitutions en notant dans une matrice 2xn les éléments de la famille au dessus de chacune de leur image. Cette notation permet de rendre compte des opérations entre transformations, mais elle est bien sûr moins pratique que la notation matricielle actuelle que Peano n'a pas utilisée.

Enfin très brièvement Peano propose quelques éléments de calcul infinitésimal généralisés aux vecteurs et à leurs transformations.

Ce que nous venons de résumer couvre douze pages du livre de Peano. Pourtant, cela contient aussi une première tentative d'étude systématique d'une structure définie par des axiomes.

Les concepts les plus fodamentaux sont ainsi bien dégagés, bien sûr il y a quelques lacunes. Ainsi le concept de dimension est encore un peu flou, surtout à cause de l'absence de la notion de famille génératrice et il n'est pas question de sous-espace vectoriel. Mais Peano a construit les premières fondations, ce qui représente l'étape fondamentale. Il faudra plusieurs années avant que l'on ne comprenne l'importance d'une telle approche, et que l'on prolonge et reprenne l'étude des espaces vectoriels dans cette voie.

## b - Burali-Forti et Marcolongo

Parmi les premiers successeurs de Peano on trouve le duo formé par C. Burali-Forti et F. Marcolongo, qui ont certainement beaucoup fait pour la diffusion des idées de Grassmann et de Peano.

Le premier a écrit en 1897, une *introduction à la géométrie différentielle* suivant la méthode de H. Grassmann [BU1], dans laquelle il reprend les principales idées de l'Ausdehnungslehre, en les rendant plus accessibles et plus au goût du jour. Dans sa préface il retrace un bref historique du calcul géométrique en insistant sur la suprématie de Grassmann dans ce domaine, et en reconnaissant l'importance du travail de Peano pour rendre l'Ausdehnungslehre accessible.

Entre 1907 et 1908, les deux mathématiciens publient cinq notes dans les *Rendiconti del circolo matematico di Palermo*, [BU2] qui mettent au point et unifient les notations, et par là les méthodes, du calcul vectoriel. En 1909, ils publient *Elementi di calcolo vettoriale con numerose applicazioni alla geometrica alla mecanica et alla fisica-matematica*, dont une traduction française paraît l'année suivante [BU3]. Cet ouvrage est un bilan des résultats et des utilisations du calcul vectoriel, et en particulier de ses liens avec la géométrie analytique. On y trouve l'aboutissement des notes précédemment publiées dans les *Rendiconti di Palermo*, sur l'unification des notations et de nombreuses applications du calcul vectoriel à la géométrie et à la physique. Dans la préface les auteurs rendent à nouveau hommage à Grassmann et à Peano. De plus on trouve en appendice, une étude des formes de deuxième, troisième et quatrième espèces, selon la théorie de Grassmann, où les auteurs essaient de dégager des propriétés communes de ces objets géométriques, un peu comme l'avait fait Peano. Ils ne se posent toutefois pas le problème de la
minimalité du nombre de propriétés, qu'il faudrait considérer pour obtenir un système hypothétique-déductif suffisant. Ils n'ont donc apparemment pas dans l'idée de donner une définition axiomatique.

Pourtant la même année, ils publient *Omografie vettoriali* [BU4], qui commence par une définition très générale des *systèmes linéaires*, selon le vocabulaire de Peano. Cette définition peut être considérée comme une définition axiomatique, mais elle comporte cependant trop de propriétés au départ, voici en effet son contenu :

"Soient U une classe d'êtres et a, b, ... des éléments quelconques et m, n, ... des nombres réels. On définit la somme $a+b$ de deux éléments quelconques de U et le produit ma ou am, d'un élément quelconque a de U par un nombre réel m, de façon que les conditions suivantes soient vérifiées :

(1) $a+b$ est un élément déterminé de U;

(2) il existe un élément de U, que l'on indiquera par 0, nul pour l'opération +, c'est-à-dire tel que quelque soit l'élément a de U, on a $a+0=a$;

(3) $a+b=b+a$;

(4) $a+(b+c)=(a+b)+c$;

(5) $a+c=b+c$ équivaut à $a=b$;

(6) ma est un élément déterminé de U;

(7) $ma=0$ équivaut à $m=0$ ou $a=0$;

(8) pour $m≠0$ ma=mb équivaut à $a=b$;
pour $a≠0$ ma=na équivaut à $m=n$;

(9) $m(a+b)=ma+mb$; $(m+n)a = ma+na$;

Si toutes ces conditions sont vérifiées, on dira que U est un système linéaire."

Cette définition est assez surprenante et nous allons la regarder de plus près. La première question qu'il faut se poser est de savoir si elle est équivalente à la définition actuelle. A priori, il y a plus de propriétés que les axiomes que l'on donne aujourd'hui, mais il en manque aussi trois : l'existence d'un opposé pour tout élément, $m(na)=(mn)a$ et $1a=a$.

Or considérons R avec l'addition habituelle et comme loi externe : $m*a=-ma$, on obtient ainsi un ensemble qui possède toutes les propriétés énoncées par Burali-forti et Marcolongo dans leur définition, pourtant il ne vérifie pas la pseudo-associativité – $m*(n*a)=mna$ et $(mn)*a=-mna$ – ni $1*a=a$.

Si par contre on rajoute à la définition ci-dessus la propriété de pseudo-associativité, on a $m(1a)=ma$ donc par (8), on obtient que $1a=a$. En utilisant alors (9) et (7) on obtient : $(-1)a+1a=0a=0$, donc l'existence d'un opposé pour tout élément. Ainsi pour que la définition précédente soit équivalente à la définition actuelle, il suffit de rajouter la pseudo-associativité.

Par ailleurs dans cette définition des propriétés se déuisent des autres. Ainsi grâce à (2), (5) et (9) on a que $0a=0a+0=0a+0a$ donc que $0a=0$, de la même façon on a que $m0=0$, donc une partie de (7) se déduit des autres propriétés. Par ailleurs $ma+(-m)a=0a=0$, en utilisant ceci et (9) dans (7) on montre que c'est équivalent à (7) (moyennant : $1a=a$).

Il n'est pas très utile d'essayer de montrer dans le détail comment cet ensemble de propriétés peut se réduire à un système minimal non redondant, d'autant plus que le point de départ n'est pas entièrement exact de toutes façons. Il ressort de la courte analyse précédente que la définition proposée, bien que sur beaucoup de points semblable à celle de Peano ou celle que l'on utilise actuellement, est en définitive plutôt maladroite, puisqu'elle est à la fois redondante et plus faible que la définition actuelle alors qu'elle comporte plus "d'axiomes". Il est étonnant de voir, que bien que les auteurs eussent eu connaissance du livre de Peano, ils n'aient pas repris sa définition. C'est sans doute une preuve que la notion d'axiome et l'intérêt d'un sytème hypothétique-déductif minimal n'étaient pas, en ce début de siècle, des idées faciles à concevoir.

Toutefois, en dépit de ce mauvais départ, dans la suite de ce premier chapitre, les auteurs reprennent les idées de Peano de façon très semblable. Ils proposent même des résultats significativement plus avancés sur deux points :

- Ils définissent un espace de dimension n comme un système linéaire qui possède n éléments indépendants et tel que toute famille de n+1 éléments est liée. On voit donc un progrès par rapport à la définition de Peano (cf plus haut), dans laquelle n'apparaît pas la deuxième condition. Cependant cette deuxième condition peut être obtenue comme une conséquence de l'existence d'une famille génératrice finie, ce qui est un des résultats les plus fondamentaux de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie. Le mettre dans la définition est trompeur, cela impose le résultat mais évite, voire empêche, d'en donner une démonstration. L'amélioration de la théorie sur ce point n'est donc pas très sensible, c'est remplacer un implicite par une ambiguïté, substitution peu convaincante dont on peut se demander si elle est vraiment positive.
- Après avoir remarqué comme Peano, que l'on peut additionner et multiplier par un scalaire les applications linéaires de U dans U', Burali-Forti et Marcolongo disent explicitement qu'elles forment elles mêmes un système linéaire. Comme nous l'avons signalé plus haut, ce point est important, il montre une maturité par rapport au concept d'espace vectoriel. C'est en effet un signe d'une bonne acquisition de ce concept que de pouvoir le faire fonctionner à un degré plus élevé d'abstraction.

Cet ouvrage n'est donc guère plus important que celui de Peano, il est même en quelque sorte en régression sur le plan de l'axiomatique. Pourtant c'est un des premiers ouvrages où une définition abstraite de la structure d'espace vectoriel est le point de départ de la théorie, dans le livre de Péano, elle en était l'aboutissement. En ce sens ce livre est capital. Il semblerait que sa diffusion ait permis de faire connaître cette définition des espaces vectoriels (on verra par exemple qu'on en retrouve la trace chez Banach) même s'il ne permit pas plus d'imposer l'approche axiomatique en algèbre linéaire.

### 3 - Les espaces à une infinité de dimensions.

Après avoir prolongé les résultats de la géométrie analytique à des espaces de dimension n quelconque, il était tentant de résoudre des problèmes linéaires faisant intervenir des suites infinies de nombres. Les progrès sur la convergence des séries et l'étude des fonctions analytiques allaient ainsi bientôt permettre de franchir ce pas et de généraliser les résultats de la théorie des déterminants et de l'algèbre linéaire en dimension n à une infinité de dimensions, sans encore utiliser de théorie axiomatique des espaces vectoriels.

Dès la deuxième moitié du XIXème siècle, on trouve quelques pas aventureux dans ce sens, mais les justifications sont souvent bien minces et les résultats se contentent de généralisations purement formelles et en quelque sorte gratuites. Un des premiers exemples de traitement rigoureux de ce genre de questions se trouve sous la plume de H. Poincaré.

Dans un article de 1886, qui s'intitule *Sur les déterminants d'ordre infini* ([PO], T.5, pp.95-107), celui-ci fait référence à un problème résolu par M. Hill, en 1877, dont il se propose de faire une démonstration plus rigoureuse. A propos d'un problème sur le mouvement de la lune, M. Hill avait été amené à résoudre l'équation différentielle suivante :

$$ \frac{d^2 w}{dt^2} + \Theta w = 0 $$

où $\Theta$ est une série de la forme : $\Theta_0 + 2\Theta_1 \cos t + \dots + 2\Theta_n \cos nt + \dots$

Une solution de cette équation est donnée par la série de terme général $b_n e^{(n+c)t}$, où les quantités $b_n$ et $c$ sont déterminées par les deux conditions suivantes :

1. La série en question est convergente

2. Les équations linéaires en nombre infini suivantes :

$$ (1) \sum_{p=-\infty}^{+\infty} (\Theta_{n-p} b_p) - (n+c)^2 b_n = 0 \quad \text{pour n variant de } -\infty \text{ à } +\infty. $$

sont satisfaites.

Poincaré démontre d'abord le lemme suivant. Il considère un système d'une infinité d'équations en une infinité de variables ayant des 1 sur la diagonale. Si on désigne par $a_{n,p}$ le terme général, on a donc, $a_{n,n}=1$. Il montre alors que si la série à double entrée de terme général $a_{n,p}$ ($n \neq p$) converge absolument alors la suite des déterminants $D_n$, obtenus en ne prenant que les n premières équations et les n premières variables, converge. Il montre qu'avec la même condition, la suite des déterminants partiels où on aurait inversé l'ordre des lignes ou des colonnes ou remplacé une ligne par une suite de termes bornés par une constante converge également. Il parle dans ce cas de déterminant infini.

Il applique ensuite ce lemme au cas des équations (1). En posant $a_{n,p} = \Theta_{n-p} / (\Theta_0 - (n+c)^2)$, il se ramène au cas où les éléments de la diagonales valent 1. Il choisit alors c de façon que le déterminant infini noté $D(c)$, du système ainsi formé soit nul, alors en remplaçant les éléments
de la ligne d'indice 0 par la série des $x_i$, il obtient un nouveau déterminant infini qui est une fonction linéaire des $x_i$, il note $A_i$ les coefficients des $x_i$. Il montre alors que si on remplace la série des $x_i$ par successivement les séries des $(a_{n,p})_{n \in \mathbb{Z}}$, pour p variant de $-\infty$ à $+\infty$, on trouve à chaque fois un nouveau déterminant nul : pour $p \neq 0$, car dans le système il y a deux lignes identiques et pour $p=0$, car c'est $D(c)$. La suite des $A_i$ apparaît ainsi comme des solutions $b_n$ pour les équations (1).

Nous avons voulu détailler un peu le contenu de la démonstration pour bien montrer quel était le genre de calculs en une infinité de dimensions qui se faisaient à l'époque en utilisant la théorie des déterminants. On voit que l'on est ici plus dans le domaine de l'analyse infinitésimale que dans celui de l'algèbre, si ce n'est que les séries rencontrées ont des termes indéterminés. Il est d'ailleurs significatif à ce titre que l'article que nous venons de citer soit dans un chapitre des œuvres de Poincaré que les éditeurs (vers 1950) ont dénommé *Algèbre de l'infini*.

Ce type de démarche consistant à faire de l'algèbre linéaire en dimension infinie, en utilisant les résultats de la dimension finie et de la convergence des séries sera utilisé et amélioré pendant encore quelques décennies.

Ces méthodes seront particulièrement explorées entre autres par Hilbert ([HI], T.3, pp.94-140), Töplitz [TO], Schmidt [SC], Volterra, Hadamard, Von Neumann, Rész, Fréchet, Fredholm etc....

Hilbert qui est sans doute le plus illustre de ceux-ci, est aussi celui qui a mis au point le plus de résultats dans ce domaine. Au cours de recherches sur les équations intégrales, il crée la géométrie des espaces fonctionnels. Il est amené ainsi à considérer des formes bilinéaires en une infinité de variables. Les problèmes de convergence des séries l'amènent alors à introduire l'espace H, qui portera son nom, qui est constitué des suites infinies de complexes dont la série des carrés des modules est sommable. Il établit ensuite une théorie des formes bilinéaires sur l'espace H, introduit des notions de produit scalaire, de fonctions orthogonales, de norme, de projection et même de dualité sur des espaces de dimension infinie et inaugure ainsi l'utilisation du langage géométrique dans l'analyse fonctionnelle. En fait, les véritables raisonnements d'algèbre linéaire se font en dimension finie grâce à des projections orthogonales sur des espaces euclidiens isomorphes à $\mathbb{R}^n$, les résultats en dimension infinie sont ensuite obtenus par des passages à la limite.

Dans tous ces travaux les outils fondamentaux d'algèbre linéaire ne sont guère différents de ceux déjà utilisés par Frobenius ou Cayley, mais les objets sur lesquels ils sont appliqués, sont de nature très différentes. On s'habitue peu à peu à une généralisation du langage de la géométrie à des problèmes entièrement détachés de la géométrie. De plus toutes les notions linéaires sont étendues dans le domaine de l'infini, on parle de famille infinie de vecteurs, de matrice et de déterminant infinis, on utilise ainsi des opérateurs linéaires dans des espaces de type H, même des notions comme celle de valeur propre sont étendues à la dimension infinie, Hilbert par exemple établit les résultats fondamentaux de la théorie spectrale des formes bilinéaires bornées sur H.

Ainsi, lors des deux premières décennies du XXème siècle, les applications de la théorie linéaire, c'est-à-dire essentiellement des déterminants et des formes bilinéaires, avec leurs ramifications, deviennent très étendues et commencent à toucher à pratiquement toutes les branches de mathématiques. Dans le même temps, comme nous l'avons déjà signalé, on commence à entrevoir que les résultats obtenus par les déterminants ne sont pas absolument nécessaires à la plupart des démonstrations et que l'on peut plutôt raisonner à partir des concepts de dépendance linéaire et de rang pour arriver à des résultats en dimension finie, qui se généralisent plus facilement à la dimension infinie. On trouve une des premières traces explicite de cette attitude dans un article de Töplitz datant de 1909 [TO]. L'auteur s'y intéresse aux solutions des systèmes linéaires en une infinité d'équations ne comportant chacune qu'un nombre fini de variable, ce qu'il appelle un système *Zeilenfinit*.

Dans son introduction, il distingue parmi les théorèmes sur la résolution des systèmes linéaires (finis) ceux dans lesquels les déterminants interviennent dans le contenu de l'énoncé, de ceux pour lesquels les déterminants ne sont qu'un outil dans la preuve. Il cite alors trois théorèmes du deuxième type. Il propose ensuite des démonstrations n'utilisant pas la théorie des déterminants, mais les concepts de dépendance linéaire et de rang et montre enfin que ces théorèmes se généralisent alors facilement au cas des systèmes *Zeilenfinit*. Cette démarche
conduit Töplitz a l'idée qu'il serait intéressant d'introduire une notion de rang généralisé qui pourrait prendre pour valeur non seulement un entier, mais aussi l'infini dénombrable. Il ne prolonge toutefois pas cette idée.

Malgré la grande généralité de ces travaux et leur audace par rapport à ce qui s'était fait jusque là, personne n'ose, n'a l'idée ou ne voit la nécessité, d'introduire une théorie générale basée sur des axiomes de structure et la définition de Peano reste toujours ignorée.

Il est difficile de vraiment savoir comment s'est amorcé le tournant décisif qui allait peu à peu donner à l'approche axiomatique la place qu'on lui connaît aujourd'hui. Le passage de la dimension trois aux dimensions finies quelconques puis à la dimension infinie "dénombrable", fut relativement lent et pour sa réalisation, on dut combattre de nombreuses réticences, mais jusque là, l'évolution s'était faite dans une certaine continuité d'approche, comme une généralisation progressive mais somme toute assez naturelle de concepts au spectre de plus en plus large. Cependant la généralité de plus en plus grande des espaces envisagés de même que la diversité des domaines abordés par les nouvelles méthodes sont autant de raisons qui ont favorisé l'émergence d'une nouvelle approche. Par ailleurs comme Töplitz, certains mathématiciens commencèrent à préférer des méthodes n'utilisant pas les déterminants, dont la généralisation à un nombre infini de dimension n'allait pas sans poser des problèmes tant conceptuels que pratiques. Un des premiers mathématiciens à avoir lancé un programme d'étude organisé autour d'une approche axiomatique des problèmes liés aux opérateurs linéaires sur les espaces fonctionnels est S. Banach.

En 1920 Le jeune Banach, soutient sa thèse de Doctorat à l'université de Léopold (Pologne). Cette thèse publiée deux ans plus tard, s'intitule *Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales* ([BA], V.II, pp.306-348).

Après avoir cité les travaux de plusieurs de ses illustres prédécesseurs sur les équations fonctionnelles, il se propose de généraliser certains de leurs résultats à des espaces de fonctions encore plus généraux. Mais en définitive c'est une nouvelle approche qu'il propose permettant d'englober dans une même théorie unifiée tout ce qui concerne le sujet. Voilà en quels termes Banach la présente :

> "L'ouvrage présent a pour but d'établir quelques théorèmes valables pour différents champs fonctionnels, que je spécifie dans la suite. Toutefois, afin de ne pas être obligé à les démontrer isolément pour chaque champ particulier, ce qui serait bien pénible, j'ai choisi une voie différente que voici : je considère d'une façon générale les ensembles d'éléments dont je postule certaines propriétés, j'en déduis des théorèmes et je démontre ensuite de chaque champ fonctionnel particulier que les postulats adoptés sont vrais pour lui."

On reconnaît bien sûr explicitement les étapes de la démarche adoptée dans le cas d'une étude de structure algébrique au sens moderne du terme. Et c'est bien en fait ce que fait Banach dans la suite.

La structure qu'il définit est ce que l'on appelle aujourd'hui d'espace de Banach, c'est-à-dire d'espace vectoriel normé complet. Il définit celle-ci par la donnée de trois séries d'axiomes. La première série correspond à la structure d'espace vectoriel, la deuxième à la définition d'une norme et la troisième à la définition de la complétude.

Pour les deux dernières définitions, Banach donne exactement les définitions actuelles. Sa définition d'un espace vectoriel est plus intéressante, la voilà telle qu'il la donne :

> "Soit E une classe composée tout au moins de deux éléments, d'ailleurs arbitraires, que nous désignerons par exemple par X, Y, Z, ...

a, b, c désignant les nombres réels quelconques, nous définissons pour E les deux opérations suivantes :

1) l'addition des éléments de E

$X + Y, X + Z, ...$

2) la multiplication des éléments de E par un nombre réel

$aX, bY, ...$

Admettons que les propriétés suivantes sont réalisées :

$I_1$. X+Y est un élément bien déterminé de la classe E,

$I_2$. $X+Y = Y+X,$

$I_3$. $X+(Y+Z) = (X+Y)+Z,$

$I_4$. $X+Y=Y+Z$ entraîne $Y=Z,$
I₅. Il existe un élément de la classe de E déterminé $\Theta$ et tel qu'on ait toujours $X+\Theta = X$,

I₆. a.X est un élément bien déterminé de la classe de E,

I₇. a.X = Θ équivaut à X = Θ ou a=0,

I₈. a≠0 et a.X = a.Y entraîne X = Y,

I₉. X ≠ Θ et a.X = b.X entraîne a = b,

I₁₀. a.(X+Y) = a.X+a.Y,

I₁₁. (a+b)X = a.X + b.X,

I₁₂. 1.X = X,

I₁₃. a.(b.X) = (a.b).X.

Nous introduisons en même temps les définitions suivantes :

(a) $-X = (-1)X$

(b) $(X-Y) = X+(-1)Y.$

Toutes les règles algébriques des signes + et - et de la multiplication (d'un élément de E par un nombre) restent valables pour un système E. Comme exemples d'un tel système peuvent servir : les vecteurs, les formes de Grassmann, les quaternions, les nombres complexes, etc."

Tout d'abord remarquons que Banach ne donne pas de nom à cette structure intermédiaire, mais en fait il ne donnera pas non plus de nom à la structure complète.

Sa définition semble être inspirée de celle donnée par Burali-Forti et Marcolongo (cf §-2-b de ce chapitre). Elle en diffère essentiellement sur les seuls deux points suivants :

- Elle possède toutes les propriétés de la définition de Burali-Forti, mais dans les propriétés 4, 8 et 9, Banach met des implications où ses deux prédécesseurs avaient mis des équivalences.

- Elle possède en plus les propriétés 12 et 13.

Elle est donc toujours redondante mais elle est cette fois équivalente à la définition actuelle. Regardons en effet les choses de plus près.

- Les axiomes numérotés 7, 8 et 9 peuvent être déduits des autres et ne sont donc pas utiles dans la définition.

- Les axiomes 1 et 6 expriment la stabilité des lois dans l'ensemble E.

- A part l'axiome 4, les 7 axiomes restant sont ceux que l'on utilise aujourd'hui dans la définition d'espace vectoriel (il ne manque que l'existence des opposés).

- L'axiome 4 exprime la régularité de l'addition et se substitue, par rapport à la définition moderne, à l'existence d'un opposé pour chaque élément de E.

En effet de 11 et 7 on déduit que 0.X+0.X=0.X=0.X+Θ et donc par 4, que 0.X=Θ ; grâce à 11 et 12 on montre alors que 1.X+(-1).X=0.X=Θ et de même que (-1).X+1.X=Q donc X admet (-1).X comme opposé.

De plus la régularité est bien un axiome utile. En effet $\mathbb{R}$ muni de la multiplication et de la loi externe de puissance en posant que 0$^{\lambda}$=0, pour tout $\lambda$ réel, est un ensemble qui possède tous les axiomes d'espace vectoriel, sauf la régularité de la multiplication ou l'existence d'un symétrique pour 0, ce qui revient au même problème.

Ainsi il est clair que l'on obtient ici une définition équivalente à celle utilisée actuellement ou à celle de Peano.

- Comme précédemment la commutativité de l'addition peut se déduire du reste des axiomes.

- De plus ici, à condition de garder la commutativité de l'addition, on peut déduire l'existence d'un élément neutre pour l'addition des axiomes 1, 2, 3, 4, 6, 10, 11, 12 et 13. En effet pour cela il suffit, comme on l'a vu précédemment de montrer que pour tout X et Y on a 0.X=0.Y (cet élément est alors le neutre en effet par 11 et 12 : X+0.X=1.X+0.X=(1+0).X=1.X=X). Or on a toujours grâce à 11 : 0.X+0.X=(0+0).X=0.X donc 0.X+0.Y=0.X+0.X+0.Y=0.X+0.Y+0.Y, grâce à 2 et 4 on déduit alors en simplifiant à droite par 0.x et à gauche par 0.Y (ce qui demande la commutativité ou une double régularité) que 0.X=0.Y.

Donc le système de propriétés proposé par Banach est redondant, il peut se réduire aux axiomes 1, 3, 4, 6, 10, 11, 12, 13 et au choix 2 ou 5. Mais il définit bien la structure d'espace vectoriel au sens actuel.
Banach se rendra compte de la redondance de sa définition puisqu'en 1932 dans sa
monographie intitulée *Théorie des opérations linéaires* ([BA], V.II, pp.19-217) on trouve une
définition axiomatique des espaces vectoriels ne comportant que ce minimum d'axiomes (il a
gardé la commutativité et écarté l'existence du neutre).

Cette monographie, qui est une œuvre d'une très grande richesse, est une synthèse de plusieurs travaux antérieurs et il est fort probable que Banach ait vu la redondance de ses premiers axiomes avant de publier ce livre. On peut noter par exemple que dans un article de 1929 intitulé : *Sur les fonctionnelles linéaires* ([BA], V.II, pp.375-380), il considère dès les premières lignes *un ensemble vectoriel normé E*, mais il n'en précise pas la définition. Par contre au paragraphe suivant il définit clairement la notion de sous-espace vectoriel en ces termes : "*un ensemble G ⊆ E* sera dit linéaire, lorsqu'il contient toute combinaison linéaire $a_1x_1+a_2x_2$ de deux quelconques de ses éléments $x_1, x_2$."

On ne peut pas assurer que Banach ait eu connaissance des travaux de Peano, mais il est clair en tout cas qu'il en prend la suite, pour ce qui concerne la théorie des espaces vectoriels. Pourtant son but est tout autre, nous sommes maintenant très loin de la géométrie et même de l'Ausdehnungslehre. Banach donne les exemples des formes de Grassmann ou des quaternions mais c'est seulement à titre indicatif, il utilise, lui, des espaces fonctionnels donc de dimension infinie. En ce sens l'approche axiomatique lui est d'un grand secours puisqu'il élargit le concept d'espace vectoriel et n'a plus, comme ses prédécesseurs, à se ramener systématiquement à une infinité dénombrable de coordonnées par projection et limite de séries. Les espaces de Hilbert apparaissent alors comme des cas particuliers des espaces de Banach plus généraux.

Cependant les études de Banach ne sont pas du domaine de l'algèbre linéaire pure, puisque ce sont surtout les structures topologiques qui l'intéressent dans les problèmes d'analyse fonctionnelle. Cependant son étude des opérateurs linéaires permettra de faire progresser cette théorie d'une façon sensible.

Nous donnons ci-dessous quelques extraits de la préface de la *Théorie des opérateurs linéaires* ([BA], V.II, pp.19-21), qui nous éclaire sur la perception de Banach sur la nature et l'importance des théories linéaires.

"La théorie des opérations linéaires, crée par V. Volterra, a pour objet l'études des fonctions définies dans les espaces à une infinité de dimensions. Dans plusieurs domaines très importants des mathématiques cette théorie a pénétré d'une façon essentielle : il suffit de rappeler que la théorie des équations intégrales et le calcul des variations se sont trouvés contenus comme des cas particuliers dans les principales sections de la théorie générale des opérations. (...) Il y a des parties importantes des mathématiques dont la connaissance vraiment approfondie n'est possible qu'à l'aide de la théorie des opérateurs. Telles sont aujourd'hui la théorie des fonctions de variable réelle, équations intégrales, calcul des variations etc.

Cette théorie mérite donc avec raison, aussi bien pour sa valeur esthétique que par la portée de ses raisonnements (même abstraction faite de ses nombreuses applications) l'intérêt de plus en plus croissant que lui prêtent les mathématiciens. Aussi on ne s'étonnera pas à l'opinion de M. J. Hadamard, qui considère la théorie des opérations comme une des plus puissantes méthodes de recherche de la mathématique contemporaine.

Le livre présent contient la première partie de l'algèbre des opérations. Il est consacré à l'étude des opérations dites linéaires, qui correspondent à celle des formes linéaires $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n$ de l'algèbre.

La notion d'opérateur linéaire peut être définie comme suit. Soient $E$ et $E_1$ deux espaces formés d'éléments quelconques, mais où une addition associative et l'élément zéro sont supposés définis. Soit $y=U(x)$ une fonction (opération, transformation) qui fait correspondre à tout élément $x$ de $E$ un élément $y$ de $E_1$ (dans le cas où $E_1$ est en particulier l'espace des nombres réels, cette fonction porte aussi le nom de fonctionnelle). Si, quels que soient $x_1$ et $x_2$ de $E$, on a $U(x_1+x_2)=U(x_1)+U(x_2)$. l'opération $U(x)$ s'appelle additive. Si en outre $E$ et $E_1$ sont des espaces métriques, c-à-d. que dans chacun d'eux la distance des éléments est définie, on peut considérer les opérations $U(x)$ continues. Or, les opérations à la fois additives et continues s'appellent linéaires.

Dans ce livre je me suis proposé de recueillir surtout les résultats concernant les opérations linéaires définies dans certains espaces généraux (...) Je donne aussi des interprétations des théorèmes généraux dans diverses disciplines mathématiques. (...)"
La première partie de cette préface nous montre combien Banach comme apparemment la plupart des mathématiciens de son époque, commençait à voir l'importance de l'étude des transformations pour mieux comprendre la nature des objets. Klein avec le programme d'Erlangen (1872) avait déjà compris et admirablement mis en œuvre ce principe pour l'étude des différentes géométries. Depuis la fin du XIXème siècle cette tendance s'était amorcée, avec Banach elle arrive à une phase décisive.

La deuxième partie de cette préface nous donne un résumé des concepts élémentaires qui sous-tendent l'œuvre de Banach. On pourra remarquer que sa définition des espaces E et E₁ est un peu hâtive, puisqu'il n'y fait pas allusion à la loi externe. On peut se demander pourquoi il ne se contente pas de dire que E et E₁ sont des espaces vectoriels, ce qui lui aurait évité cette périphrase elliptique et finalement inexacte. Cette attitude nous laisse supposer que le concept d'espace vectoriel n'était pas en 1932, encore très familier dans la communauté mathématique. Comme nous l'avons signalé plus haut, dans le corpus du livre, Banach donne une définition axiomatique des espaces vectoriels qui est plus complète. On a vu qu'elle équivalait à la définition actuelle ou à celle de Peano tout en étant un peu différente, elle est aussi formée de "vrais axiomes", c'est-à-dire qu'il n'y a pas de redondance.

Par ailleurs la définition d'un opérateur linéaire qu'il donne dans la préface est celle qu'il reprend dans le livre même, elle peut choquer le lecteur actuel. En effet elle privilégie l'aspect topologique sur l'aspect algébrique, elle est surtout restrictive puisqu'elle ne concerne que les espaces métriques et qu'elle exclut les opérateurs linéaires non continus (au sens actuel). Mais Banach définit aussi les opérateurs *homogènes* (i.e. $U(aX)=aU(X)$) ; ainsi un opérateur linéaire actuel est pour Banach un opérateur additif homogène. Cette distinction avec les habitudes actuelles ne joue donc finalement que sur un choix de vocabulaire.

Dans la suite du livre, l'auteur introduit plusieurs structures algébriques, à commencer par celle de groupe. Cependant Banach ne prend pas la peine faire la remarque qu'un espace vectoriel est un groupe. La jugeait-il comme trop trivial pour être signalée ? On ne peut pas douter qu'il se l'était faite à lui-même, c'est donc un choix et non un oubli. L'étude des structures emboitées est devenue un point si familier pour un mathématicien de la fin du XXème siècle, que ce choix nous surprend, il nous rappelle aussi que l'approche de Banach était très nouvelle pour son temps et que certaines règles implicites de ce type d'étude n'étaient pas encore mises en place.

Rentrer dans les détails des résultats démontrés par Banach dépasserait le but que nous nous sommes assignés au début de cette analyse. De plus la nature de ses travaux relèvent plus du domaine de la topologie et de l'analyse fonctionnelle qu'à proprement parler de celui de l'algèbre linéaire. Il est cependant important de remarquer que c'est un des premiers exemples où des concepts très généraux d'algèbre linéaire sont utilisés dans un cadre axiomatique, par ailleurs certains des concepts utilisés par Banach ne sont déjà plus élémentaires (valeurs propres ou dualité par exemple). Or il introduit concrètement de nombreux espaces vectoriels fonctionnels auxquels il applique les résultats de sa théorie, elle-même élaborée dans un cadre entièrement abstrait.

Avec les travaux de Banach, s'établit également la spécificité de l'algèbre linéaire en dimension infinie. Dans la théorie des opérateurs linéaires, il met au point les principaux résultats sur la dualité, définie pour la première fois de façon tout à fait générale. En particulier, il donne le premier exemple d'espace non isomorphe à son dual. D'autre part il définit la notion de dimension linéaire, qui est le pendant de la dimension pour les espaces de dimension infinie. Ce concept ne se définit que par comparaison : E est de dimension linéaire inférieure à F, si il est isomorphe à un sous-espace vectoriel fermé de F. Cette notion seulement valable dans un cadre topologique permet de comparer la "taille" des espaces vectoriels fonctionnels. Ainsi après avoir établi quelques résultats en particulier sur la dimension des espaces LP, Banach pose la question de savoir s'il existe des espaces ayant même dimension linéaire mais n'étant pas isomorphes. Dans le livre qui nous intéresse, la réponse à cette question reste ouverte, mais la même année avec S. Mazur, Banach présente une note qui sera introduite par E. Cartan à l'Académie des Sciences de Paris dans laquelle, ils donnent un exemple de tels espaces vectoriels ([BA], V.II, pp.431-433).

L'œuvre de Banach est certainement l'un des premiers exemples où une définition axiomatique des espaces vectoriels a été indispensable pour atteindre les résultats énoncés. Du même coup le type de problèmes soulevés est très éloigné de celui qui a permis aux premiers concepts d'algèbre linéaire d'apparaître, nous sommes en apparence en effet, complètement
détachés de l'étude des systèmes d'équations linéaires. Pourtant rappelons que dans sa préface Banach compare les opérateurs linéaires aux formes linéaires de l'algèbre (cf passage cité plus haut). En ce sens cette filiation lointaine, qui part des premières résolutions antiques de problèmes linéaires en une variable, est encore présente.

Ainsi la théorie axiomatique des espaces vectoriels, qui n'avait jamais réussi vraiment à convaincre, trouve ici sa pleine justification -a posteriori- au sujet de problèmes fort éloignés de ceux qui en avaient permis une première ébauche. Ce premier pas franchi, les besoins de la science moderne allaient peu à peu faire en sorte que l'on rassemble tous les résultats d'algèbre linéaire en une seule théorie de nature axiomatique, restructurant ainsi de façon opaque pour le lecteur non averti, la longue et méandreuse genèse de concepts dont les multiples facettes se fondirent en un seul moule.

## 4 - Vers une théorie unique

Pour boucler la boucle, il nous faut maintenant voir comment toutes ces questions d'abord éparses qui ont participé même faiblement à la génèse des concepts modernes d'algèbre linéaire ont été relues et regroupées dans une théorie unique et unificatrice, centralisant dans un contexte abstrait les résultats des différents domaines vus sous un même éclairage. Cette étape de reconstitution a demandé un esprit de synthèse très fort autant qu'une bonne connaissance de nombreuses théories, pour certaines encore en cours.

Mais avant tout il nous faut essayer de comprendre quelles sont les raisons qui ont pu amener une telle réorganisation des connaissances autour d'un même pôle. Il ne semble pas qu'il y ait eu de nécessité absolue interne aux mathématiques ou même venant des applications de l'algèbre à des domaines extra-mathématiques. Les causes d'un tel changement semblent plutôt être de nature philosophique ou esthétiques, elles sont peut-être aussi bien matérielles.

Il semble en effet qu'au début du XXème siècle les mathématiques ont subi de profond bouleversements dans leur organisation, à cause d'un accroissement prodigieux des travaux et des résultats ainsi que de l'interdépendance de plus en plus forte et complexe entre les différents domaines. Le vieux cloisement Algèbre, Analyse et Géométrie, se trouva du même coup ne plus rendre compte d'une réalité beaucoup moins sectorialisée. Dans le même temps la priorité donnée à l'étude des transformations sur les objets eux-mêmes et la généralisation du concept de structure algébrique offrirent la possibilité d'une organisation plus adaptée de l'édifice mathématiques. Dans ce nouveau schéma organique, l'algèbre linéaire venait en quelque sorte trouver à point une place privilégiée allait pouvoir changer de statut.

Il semble ainsi, qu'en ce début de XXème siècle, l'histoire de l'algèbre linéaire prenne un nouveau tour. Bien sûr de nouveaux concepts et résultats ainsi que des ramifications plus riches vont continuer de se développer au gré des nouvelles découvertes et des nécessités de celles-ci, mais les concepts élémentaires ont atteint une maturité informelle telle, que l'élaboration des fondations de la théorie de l'algèbre linéaire va répondre, comme nous allons le voir, avant tout à des nécessités didactiques, esthétiques ou "métacognitives" plutôt qu'à un réel besoin des mathématiques dans leur fonctionnement "élémentaire".

Aussi notre étude qui s'est fixée pour but de retracer la génèse des concepts élémentaires de l'algèbre linéaire, touche à sa fin. Nous allons, à partir de maintenant, nous désintéresser des ouvrages de recherche pure pour porter notre attention sur les livres de synthèse ou d'enseignement qui vont prendre le relais dans cette dernière phase de l'élaboration des fondements de la théorie axiomatique des espaces vectoriels.

Depuis la fin du XIXème siècle et après la découverte des notes d'E. Galois, avec les travaux de nombreux mathématiciens comme Kronecker, Dirichlet, Kummer Dedekind, Weber, E. Nœther, Artin etc... L'algèbre prenait peu à peu l'allure moderne qu'on lui connaît aujourd'hui. En 1871, Dedekind republie le *Vorlesungen über Zahlentheorie* de Dirichlet et rajoute un supplément dans lequel il définit, en en donnant pour la première fois des définitions de type axiomatique, les structures d'anneau, d'idéal, de corps et de module ([DE], suppléments XI, pp. 434-640). Dedekind est aussi le premier à considérer les extensions de corps comme des espaces vectoriels. Par ailleurs en 1898, dans son *Traité d'algèbre*, Weber donne la première définition très générale et de caractère axiomatique de la structure de groupe (toutefois encore différente de l'actuelle) ([WE], V.II, pp.3-7).

Une première synthèse des nouvelles théories d'algèbre est dûe à E. Steinitz, dans des travaux datant de 1910 et regroupés sous le titre de *Algebraische Theorie der Körper* [ST]. Ce livre est une première tentative d'exposé systématique des résultats d'algèbre par l'étude des
structures définies axiomatiquement de façon très moderne. Sur le plan de l'algèbre linéaire, il est toutefois fort discret, ce qui en fait son principal défaut. Comme beaucoup d'œuvres de précurseurs, il a été préféré par la suite à des ouvrages plus achevés, mais qui se sont inspirés de près ou de loin de cette première tentative.

Ainsi en 1930-1931, Van Der Waerden publie sa *Moderne Algebra* [VA1], qui est un pas de plus dans la refonte des théories algébriques et en particulier qui marque un progrès décisif dans le domaine de l'algèbre linéaire et plus largement de la linéarisation de l'algèbre. Cet ouvrage aux qualités didactiques incontestables et qui s'adresse d'ailleurs à des étudiants, donne une présentation complète et entièrement réorganisée de quasiment toutes les théories algébriques de l'époque sous leur aspect le plus récent. Il eut un succès très grand à travers le monde. Son auteur en proposa plusieurs rééditions, la première en 1937-1940 et la dernière et cinquième édition en 1967. Par ailleurs l'ouvrage fut traduit en anglais pour la première fois, d'après la deuxième version allemande, en 1949-1950 [VA2].

Nous donnons ci-dessous l'organigramme proposé par Van der Waerden, pour la lecture des différents chapitres (d'après la première version), ce qui nous donnera une idée non seulement du contenu mais encore des relations faites par l'auteur entre les différents domaines.

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Vue d'ensemble sur les chapitres des deux volumes et leurs liens logiques.

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1 : Les ensembles.

3 : Les anneaux.

5 : Les corps.

8 : Les ensembles infinis.

10 : Les corps réels.

12 : La Théorie générale des idéaux.

14 : Les entiers algébriques.

16 : Les systèmes hypercomplexes.

2 et 6 : Les groupes.

4 : Les polynômes.

7 : La théorie de Galois.

9 : les corps infinis.

11 : L'élimination.

13 : Les idéaux de polynômes.

15 : L'algèbre linéaire.

17 : théorie des représentations.

On voit dans ce schéma que l'organisation du livre de Van Der Waerden est très proche de ce qu'on fait encore actuellement. L'algèbre linéaire occupe apparemment une place périphérique, à côté des système shypercomplexes (que l'on commençait d'ailleurs à appeler des algèbres). En fait Van Der Waerden introduit des concepts linéaires avant le chapitre 15.

Dans la première version, il ne définit pas explicitement la notion d'espace vectoriel avant ce chapitre, mais dans le chapitre 5 (à propos des corps), il considère des extensions de corps comme des espaces vectoriels et consacre un paragraphe à la notion de dépendance linéaire sur un corps ([VA1], T.1, pp95-99 ou [VA], T.1, pp. 99-104).

Il commence par se donner un anneau G, contenant un corps D, ce qui est un cas particulier d'espace vectoriel. Pourtant dans tout le paragraphe, il n'utilise jamais d'autre produit que le produit des éléments de l'anneau par ceux du corps ce qui fait que ses démonstrations et ses résulats resteraient valables dans le cas le plus général d'un espace vectoriel sur $\Delta$. D'ailleurs dans la deuxième édition, sans presque rien modifier du contenu de ce chapitre, Van
Der Waerden considère au lieu de G, un module sur $\Delta$, c'est-à-dire un espace vectoriel, (sauf que le corps $\Delta$ n'est pas forcément commutatif).

Dans les deux versions le but de l'auteur est de définir le degré d'une extension de corps, ceci revient donc à définir la dimension de G vu comme espace vectoriel sur $\Delta$ -ce qui n'est dit explicitement que dans la version de 1940-. Voici comment il s'y prend.

Il commence par définir ce que veut dire qu'un élément de G dépend linéairement sur $\Delta$ d'autres éléments de G. Puis il définit le fait que plusieurs éléments de G sont linéairement indépendants. Il donne alors les deux théorèmes élémentaires suivants :

1. Chaque $u_i$ est linéairement dépendant des $u_1, \dots, u_n$.

2. Si $v$ est linéairement dépendant des $u_1, \dots, u_n$, mais pas des $u_1, \dots, u_{n-1}$, alors $u_n$ est linéairement dépendant des $v, u_1, \dots, u_{n-1}$.

En cinq corollaires, et avec des démonstrations analogue à ce que l'on fait encore aujourd'hui, il arrive ainsi au résultat fondamental suivant :

- si deux systèmes de vecteurs sont équivalents (i.e. chaque vecteur de l'un dépend linéairement des vecteurs de l'autre) et que les vecteurs de chacun sont linéairement indépendants, alors ils ont le même nombre de vecteurs.

Nous dirions aujourd'hui que deux systèmes libres engendrant le même sous-espace vectoriel ont le même nombre de vecteurs. Mais à quelques distinctions de vocabulaire près c'est le même résultat.

Ensuite il définit les parties de G de rang fini, comme des ensembles dont tous les éléments dépendent linéairement sur $\Delta$, d'un nombre fini de leurs éléments, ce qui sous-entend qu'il a fait une distinction très claire entre les espace de dimension finie et les autres. Il peut alors définir la notion de dimension qu'il appelle le *rang linéaire*.

Dans un sixième et dernier corollaire, il démontre enfin qu'un sous-espace d'un espace de rang fini sur $D$ est lui-même de rang fini et de rang linéaire inférieur. Il établit alors la loi de multiplicité dans le cas de deux extensions de corps superposées : $[F:H]=[F:G][G:H]$.

Dans la deuxième version, Van Der Waerden consacre le chapitre suivant à l'application de ces résultats à la résolution des sytèmes d'équations linéaires sur un corps quelconque.

Dans les deux versions on voit donc que Van Der Waerden arrive de façon entièrement abstraite avec très peu de présupposés et aucune utilisation de déterminants ou même de systèmes d'équations à donner de façon très claire, les fondements essentiels de la théorie axiomatique des espaces vectoriels de dimension finie. Cette étape est capitale, et l'auteur semble l'avoir compris. Dans le chapitre 15, qui s'intitule *Algèbre linéaire*, l'auteur commence par définir la notion générale de module (à droite) sur un anneau unitaire (non nécessairement commutatif).

Dans un premier temps il donne la définition suivante : " un module à droite sur un anneau $K$ est un groupe abélien, avec $K$ comme domaine multiplicatif à droite satisfaisant les règles suivantes en plus de celles de groupes :

$$ (a+b)\lambda = a\lambda + b\lambda $$

$$ a(\lambda + \mu) = a\lambda + a\mu $$

$$ a.\lambda \mu = a\lambda \cdot \mu $$

Il note $M_0$ l'ensemble des éléments du module qui multipliés par l'unité de $K$ donnent 0 et $M$ l'ensemble de ceux qui donnent eux-mêmes. Il remarque alors que tout élément d'un module s'écrit de façon unique comme somme d'un élément de $M_0$ et d'un élément de $M : a=(a-1.a) +1.a$.

Se fondant sur cette remarque il décide de ne plus considérer que des modules dans lesquels l'unité de $K$ est un opérateur unitaire, ce qui revient à rajouter dans les axiomes la propriété $1.a=a$. Il obtient ainsi la définition moderne de module dont les espaces vectoriels sont un cas partculier quand l'ensemble des opérateurs est corps (commutatif).

Dans un premier paragraphe, il garde cette définition générale et définit de façon tout à fait moderne les principales notions élémentaires : dépendance linéaire, base, composantes des vecteurs sur une base, applications linéaires, matrices. Il montre que deux modules ayant des bases comportant le même nombre d'éléments sont isomorphes et que l'ensemble des matrices carrés d'ordre $n$ est une algèbre.

Dans le deuxième paragraphe, l'auteur considère que $K$ est un corps et que $M$ est de rang
Dans le deuxième paragraphe, l'auteur considère que K est un corps et que M est de rang fini. Il redémontre que la dimension est unique en la caractérisant comme la longueur de la chaîne quand on décompose M, en une succession de sous groupes distingués de façon irréductible et non répétitive. Il utilise donc un résultat de la théorie des groupes, mais il signale également la démonstration du chapitre 5, faite pour les extensions de corps (cf plus haut). Il donne (ou redonne dans le cas de la deuxième version) une interprétation de ces résultats appliqués à la résolution des systèmes d'équations linéaires à coefficients dans un corps quelconque.

Dans les paragraphes suivants, que nous ne détaillerons pas, Van Der Waerden établit les principaux résultats élémentaires de la théorie des modules et des représentations et donne des démonstrations dans un cas très générale des résultats fondamentaux de la réduction des matrices et de l'étude des formes quadratiques et hermitiennes.

On trouve donc dans cet ouvrage, et ce dès la version de 1930, les principaux résultats élémentaires d'algèbre linéaire traités dans un cadre abstrait très général, sous une forme quasi identique à ce qui se fait encore aujourd'hui. On peut donc dire qu'à cette date s'achève en quelque sorte la longue génèse des concepts les plus élémentaires, enfin regroupés -à des fins avant tout didactiques et esthétiques- dans une théorie générale axiomatisée. Dans le même temps, on l'a vu au chapitre précédent, l'analyse fonctionnelle permit de dégager clairement la notion de dualité et de préciser les résultats de l'algèbre linéaire en dimension infinie.

Ainsi après 1930, l'algèbre linéaire moderne est née. Encore hésitante elle n'a pas entièrement défini ses frontières, ni unifié tous ses résultats, mais ce ne sont plus que des détails et déjà les prolongements sont en cours (en algèbre multilinéaire et avec les modules essentiellement). Depuis cette branche des mathématiques n'a cessé non seulement d'accroître ses ramifications mais encore de gagner de plus en plus de domaines mathématiques ou paramathématiques dans ses applications. L'inflation de "linéarité" dans les théories et les modélisations a rendu cet outil indispensable à un nombre sans cesse croissant d'utilisateurs si bien qu'il serait trop long, si ce n'est impossible de faire une liste de toutes les applications possibles, ce à quoi nous ne nous risquerons pas.

Pour conclure notre analyse nous allons maintenant rapidement regarder quelle évolution l'algèbre linéaire a suivi dans l'enseignement français, ce qui est le dernier stade d'évolution d'une théorie arrivée à maturité dans ses fondements.
V - Aperçu de l'évolution de l'enseignement de l'algèbre linéaire, principalement en France.

L'utilisation des vecteurs en géométrie est vraiment apparue de façon significative dans les programmes du secondaire dans les années 1930. On distinguait à cette époque les notions de vecteurs libres, liés ou glissants. Les techniques de calcul vectoriel firent ainsi leur entrée dans le système éducatif du second degré français, créant un certain renouveau, bien que très relatif, dans la géométrie, mais ne bouleversant pas vraiment les habitudes. Cette situation n'évolua guère jusque dans les années soixante.

Avec le livre de Van Der Waerden, "l'algèbre moderne" a touché peu à peu les étudiants des troisièmes cycles universitaire de tous les pays occidentaux. Une génération de mathématiciens, à laquelle appartient par exemple J. Dieudonné, pour ne citer que lui, a ainsi découvert le nouveau visage de l'algèbre à travers ce livre aux qualités didactiques incontestables et dont les exercices ne pouvaient laisser indifférents les esprits curieux et aventureux.

Le mouvement qui a conduit à cette métamorphose était parti, nous l'avons vu, de l'école allemande essentiellement, petit à petit cependant le relais semble être d'abord passé aux mains des américains. Ainsi en 1941, avant même la parution de la première traduction anglaise du livre de Van Der Waerden, G. Birkhoff et S. Mac Lane publient la première édition de leur livre *A survey of Modern Algebra* [BI-ML1]. Cet ouvrage touchera de nombreuses promotions d'étudiants à travers ces multiples rééditions - la dernière semble dater de 1967-. On y trouve une approche didactique de l'algèbre moderne destinée aux étudiants *undergraduate* -équivalent des premiers cycles français-. Dans leur préface, les auteurs précisent qu'ils ont voulu faire comprendre l'approche formelle et abstraite de l'algèbre moderne, mais en en donnant de nombreuses applications concrètes. De plus pour favoriser la participation active des étudiants ils proposent de nombreux exercices tant sur des résultats de la théorie formelle que sur des applications pratiques.

De fait les grandes qualités de cet ouvrage, en ont fait un classique du genre. La place qu'y occupe l'algèbre linéaire est grande et fondamentale, et la présentation qui en est faite est, malgré quelques différences dans les toutes premières versions, très voisine de ce qu'on trouve encore dans la plupart des manuels actuels. Petit à petit des théories plus tardivement achevées telles que la dualité ou l'algèbre multilinéaire ont été rajoutées aux différentes rééditions.

En 1967, conscients des progrès encore faits depuis 1941 dans l'organisation de l'algèbre, les mêmes auteurs ont publié un ouvrage intitulé *Algebra*, qui se place à un niveau sensiblement plus élevé que le *survey*, mais poursuit les mêmes buts didactiques pour les mêmes étudiants *undergraduate* aussi bien que pour leur aînés. Les auteurs ont centré leur exposé autour de la théorie des catégories dont ils ne font toutefois pas un exposé général, mais qu'ils essaient d'illustrer et d'utiliser pour clarifier leur présentation. En 1970, J. Weil présente une traduction française en deux volumes de la deuxième édition, préfacée par J. Dieudonné [BI-ML2]. Cette dernière parution eut un certain succès en France parmi les étudiants des universités et des classes préparatoires.

D'un autre côté, à la suite de l'œuvre de Banach, l'utilisation de l'algèbre linéaire s'est généralisée en analyse fonctionnelle, qui restera le domaine privilégié de création d'espaces vectoriels. Les premiers résultats significatifs d'analyse fonctionnelle n'ont cependant jamais fait l'objet d'enseignement avant les deuxièmes cycles universitaires. A ce niveau ils furent par contre introduit assez tôt et ont pris depuis une ampleur de plus en plus grande. A titre indicatif, signalons que la première édition du fameux livre de W. Rudin, qui est encore aujourd'hui une référence de choix sur le sujet, date de 1968 [RU]. Ce domaine des mathématiques représente aujourd'hui une part importante de l'enseignement des mathématiques pour la maîtrise, et cette situation est peut-être un des facteurs importants qui ont conduit à un enseignement précoce de l'algèbre linéaire élémentaire.

Il est difficile de savoir quand l'enseignement de l'algèbre linéaire est apparu, en France, sous sa forme moderne. Il est certain que l'initiative est venue de certains professeurs dans leurs universités et d'abord pour les étudiants des troisième et second cycles. Ce n'est que dans le
courant des années cinquante que l'on a envisagé de l'introduire dès les premiers cycles. Et encore l'évolution fut lente et ce n'est qu'à la fin de la décennie, que l'algèbre linéaire a fait son entrée dans les programmes officiels des concours aux grandes écoles scientifiques, environ dix ans avant l'introduction de la définition axiomatique des espaces vectoriels en classe de seconde et du théorème de la dimension en classe de première...

En 1947, sous le pseudonyme collectif de N. Bourbaki, un groupe de mathématiciens français publie, le chapitre 2 (intitulé *Algèbre linéaire*) du livre II (Algèbre) de la première partie (les structures fondamentales de l'analyse) de ses éléments de mathématiques [BO2]. Cette gigantesque œuvre est devenue rapidement une référence unique dans tous les domaines des mathématiques et a eu, et a encore, une influence sans pareille sur les mathématiques et principalement sur leur enseignement, surtout en France, mais aussi dans le reste du monde où elle bénéficie d'une grande notoriété. Pour ce qui concerne l'algèbre linéaire, le présent volume présente tout d'abord la notion la plus générale de module à gauche sur un anneau (comme Van Der Waerden). Les espaces vectoriels apparaissent alors comme des modules unitaires sur un corps. Les notions élémentaires d'algèbre linéaire sont présentées de façon entièrement formelle et selon un ordre logique très soigné qui ne concède rien à la rigueur. Bien sûr c'est avant tout un traité pour initiés et on ne peut pas dire que ce soit en ce sens un livre d'enseignement mais plutôt un livre de synthèse et de référence. Cependant son influence est certaine dans les choix de présentation ou de vocabulaire qu'ont pu faire les professeurs dans leur cours ou les auteurs pour la rédaction de leur manuel d'enseignement. L'impact des éléments de mathématiques, et du séminaire créé par le même groupe, est en quelque sorte de nature sociale, puisqu'il a agi de façon déterminante dans la communauté mathématique entre 1950 et 1970, on peut ainsi parler de l'avant et de l'après bourbakisme.

C'est essentiellement dans l'après bourbakisme que se développent les premières tentatives d'enseignement de l'algèbre moderne, et en particulier de l'algèbre linéaire, d'abord dans les seconds cycles puis dans les premiers cycles des université françaises.

Jusqu'au début des années soixantes, l'infiltration des mathématiques modernes (le mot était lancé), ne touchait que très partiellement les premiers cycles.

Du côté des classes préparatoires aux Grandes Ecoles, il fallait vaincre la machine administrative. La première brèche est ouverte avec la réforme de 1956, qui réorganisa non seulement le fonctionnement administratif des classes préparatoires, mais aussi le contenu de ce qu'on y enseignait.

Le précis de *Mathématiques spéciales* de R. Gouyon doit, au dire de son auteur, son contenu au programme du concours d'entrée à l'école Polytechnique de 1956 [GO]. Or on y trouve la définition suivante des espaces vectoriels :

" Considérons un ensemble d'éléments dont chacun est défini par une suite de n nombres d'un corps K :

$A = (a^1, a^2, ..., a^n), B = (b^1, b^2, ..., b^n), \text{etc.}$

Généralisant la définition d'un vecteur par ses composantes cartésiennes, nous dirons que l'ensemble ($E_n$) des éléments de ce type est un espace vectoriel à n dimension pourvu que ce soit définies :

1. L'égalité $A=B$ par les n conditions $a^1=b^1, a^2=b^2, ..., a^n=b^n$

2. L'addition, par $A+B = (a^1+b^1, a^2+b^2, ..., a^n+b^n)$;

3. La multiplication par un scalaire, du coprs K, par :

$\lambda A = (\lambda a^1, \lambda a^2, ..., \lambda a^n).$

Dans la suite l'auteur définit, les notions de dépendance linéaire et de bases et démontre en utilisant des techniques de résolution de systèmes linéaires que toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même nombre d'éléments. Il introduit les matrice et les présente comme des transformations d'espaces vectoriels puis il applique ces résultats à l'étude théorique des systèmes d'équations linéaires et aux résultats élémentaires sur les déterminants.

Cette présentation de l'algèbre linéaire paraît donc particulièrement anachronique en 1956, malgré les revendications de nouveauté, explicitées dans l'introduction par l'auteur. Ce livre qui présente par ailleurs d'autres qualités est paru en 1958 et sera encore publié en 1961.

Cependant à la rentrée de 1956, par un texte officiel, remanié en 1963 et 1965, l'algèbre moderne fait son entrée dans les programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles.

Il faudra en fait attendre encore quelques années avant que les livres d'enseignement se mettent dans le bain. Ainsi en 1956, J. Bass publie la première édition de son *Cours de mathématiques* [BS], mais il faut attendre la quatrième édition de 1968 pour y voir l'algèbre linéaire y prendre l'allure qu'on lui connaît aujourd'hui.
En 1963 P. et M.L. Dubreil publient leurs *leçons d'algèbre moderne*, qui est l'un des premiers livres français d'enseignement sur le sujet [DU]. Les espaces vectoriels y sont traités en dimension quelconque et à l'aide de l'axiome de Zorn, les auteurs y démontrent fort élégamment l'existence de bases infinies et de supplémentaires dans un espace quelconque. Ce livre s'adresse bien sûr essentiellement à des étudiants au moins en licence.

Les premiers cours présentant l'algèbre sous une forme moderne et d'un niveau accessible en premier cycle, et publiés par des maisons d'édition, apparaissent surtout à partir du milieu des années soixante. Ces ouvrages n'ont pas tous la même approche et leurs qualités didactiques sont certainement très distinctes ; il nous serait cependant trop long d'en faire une analyse ici, aussi nous contenterons-nous de donner dans un ordre chronologique les références de quelques ouvrages qui ont, semble-t-il, eu une influence en France :

- P.R. Halmos, *Finite dimensional vector spaces*, Princeton University Press 1941 / D. Van Nostrand Co. Inc., 1958.

- Queysanne, *Algèbre MP et spéciales A et A'*, Armand-Colin, Collection U série Mathématiques dirigée par A. Revuz, Paris, 1964.

- S. Lang, *Algebra*, Addison-Wesley Publishing Co. Inc., 1965.

- Godement, *Cours d'Algèbre*, Hermann éd., Paris, 1966.

- L. Chambadal et J-L. Ovaert, *Cours de Mathématiques*, Gauthier-Villars, Paris, 1966.

- G. Cagnac, E. Ramis, J. Commeau, *Traité de mathématiques spéciales (4 tomes)*, Masson, Paris, 1967.

- A. Doneddu, *Algèbre et géométrie - math sup et spé*, Dunod, Paris, 1968.

La plupart de ces ouvrages ont été l'objet de rééditions qui sont encore pour certaines utilisées par les étudiants actuels. Pour ce qui concerne l'algèbre linéaire ils ont tous un contenu minimal commun assez identique et que l'on peut assez bien résumer par ces quelques lignes d'un texte officiel de 1967 [PG], fixant le programme minimum de mathématiques des premières années des premiers cycles de type MP (mathématiques-physique) dans les facultés des sciences :

"Algèbre linéaire sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ :

- *Espace vectoriel, sous-espace vectoriel, famille génératrice, famille libre, espace de dimension finie, base*

- *Application linéaire, noyau, image, rang, espaces d'applications linéaire, composistion des applications linéaires*

- *Calcul matriciel.*

- *Formes multilinéaires alternées de degré maximum. Déterminants*

- *Equations linéaires*

La présentation des concepts de l'algèbre linéaire est sensiblement identique dans tous ces livres et héritée plus ou moins directement de Bourbaki, même si les modules ont disparu et si il y a un effort pour rendre les démonstrations plus accessibles et moins dépouillées.

Dans le même temps l'enseignement secondaire fait preuve d'un immobilisme assez remarquable. En 1960, la géométrie analytique dans l'espace n'est enseignée de façon élémentaire que dans la classe de mathématiques élémentaires (équivalent de la terminale C). En 1967, on trouve une ligne dans les programmes stipulant qu'une étude des structures algébriques élémentaires pourra être faite de façon non systématique, à l'occasion des divers points du programme. Cependant dans le courant des années soixante, un vaste débat allait s'ouvrir qui conduirait à la fin de la décennie à une réforme de fond de l'enseignement secondaire, connue sous le nom fameux de "réforme des maths modernes". L'enseignement de l'algèbre linéaire est un des points clefs de cette réforme, jusque-là ignorée par les programme elle allait en effet en devenir un des éléments centraux, principalement à cause des liens qu'elle entretient avec la géométrie.

En 1963, A. et G. Revuz publient le deuxième tome des cours de l'APMEP sur les espaces vectoriels [RE1], le premier tome publié l'année précédente portait sur les structures de groupe, anneau et corps. Dans l'introduction de ce livre, A. Revuz insiste sur le fait qu'il s'adresse à des enseignants à qui il doit permettre de compléter leur culture mathématique. Il présente cependant son point de vue sur ce qui devrait être enseigné, selon lui, à propos des espaces vectoriels non seulement en propédeutique (premier cycle universitaire) mais aussi dans le secondaire des lycées. Ce fait est important surtout quand on sait qu'A. Revuz fit partie de la commission Lichnerowicz qui aboutit à la fin des années soixante à l'introduction de l'algèbre linéaire
moderne dans les lycées. Il n'est d'ailleurs pas inintéressant de compléter la lecture des cours de l'APMEP par celle de *Mathématiques moderne - Mathématiques vivantes* , [RE2], sorte de petit pamphlet paru également en 1963, qui nous renseigne tant sur la position personnelle de Revuz que sur la situation de tension qui régnait alors au sein de la communauté mathématique face au problème de la rénovation de l'enseignement des mathématiques.

En 1964 paraissent également deux livres célèbres portant sur les rapports de la géométrie avec l'algèbre linéaire et qui tous deux tout en se plaçant au dessus de la mêlée, font des propositions plus ou moins implicites pour l'enseignement de la géométrie et de l'algèbre linéaire dans le secondaire. Ce sont : *Algèbre linéaire et géométrie élémentaire* de J. Dieudonné [DI] et *l'enseignement de la géométrie* de G. Choquet [CH].

Le premier présente la géométrie comme un cas particulier de l'algèbre linéaire : il lui suffit
de rajouter aux axiomes d'espace vectoriel un axiome sur la dimension (trois vecteurs du plans
ou quatre vecteurs de l'espace sont toujours linéairement dépendants), et les axiomes d'existence
d'un produit scalaire. Il retrouve ainsi les principaux résultats des géométries euclidienne et
affine à deux et trois dimensions.

Le deuxième est moins systématique et construit une axiomatique de la géométrie, qui part
des notions tirées du monde sensible (parallèle perpendiculaire et distance) et qui sans être un
simple cas particulier de l'algèbre linéaire, permet toutefois d'utiliser très vite les outils souples
et fécondes de l'algèbre.

Ces deux ouvrages ne se veulent pas, tout comme le cours de l'APMEP, être un cours type
pour des élèves mais s'adressent avant tout aux enseignants, les auteurs prennent cependant,
plus ou moins explicitement (cf la longue introduction de Dieudonné) des positions sur
l'enseignement, et celles-ci auront leur poids dans la suite des débats.

Toute la communauté mathématique de l'époque n'était pas entièrement acquise aux idées
nouvelles et certains défendaient encore le maintien du "classissisme" dans l'enseignement
secondaire. L'écart dans l'approche entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur
devenait pourtant tel, que le premier ne semblait plus du tout préparer au second. Les
conservateurs durent finalement céder et dans la fin des années soixante, les maths modernes
font leur entrée dans l'enseignement secondaire. Beaucoup d'encre a coulé et coulera encore à
propos de cette réforme et nous ne nous risquerons pas à verser notre pièce dans un dossier déjà
bien épais.

Nous contentant des faits, nous reproduisons seulement les quelques lignes des
programmes officiels de 1969, touchant à l'algèbre linéaire.

En seconde C :

" Introduction de la locution "espace vectoriel" - Exemples : $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, fonction affines, fonctions en escalier, fonctions affines par intervalle.

Combinaison linéaire de vecteur du plan, définition de l'indépendance et de la dépendance linéaire.

Définition d'une base du plan vectoriel.

Coordonnées d'un vecteur du plan dans une base déterminée. Coordonnées d'une somme,
du produit par un nombre. Condition de dépendance linéaire de deux vecteurs. Interprétation
vectorielle d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

Application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même ou dans un autre.

Exemples : forme linéaire, homothétie vectorielle, projection vectorielle du plan sur une droite, d'une droite sur une autre.

Application affine du plan vectoriel dans lui-même, translation, définition d'une droite affine du plan vectoriel, représentation paramétrique d'une telle droite.

Définition d'un segment du plan vectoriel, d'une partie convexe. Exemples, intersection d'ensembles convexes.

Groupe des dilatations du plan vectoriel. Exemple de sous-groupes remarquables.

Représentation cartésienne (affine) dans le plan. Coordonnées d'un point, changement de coordonnées, par translation.

Equation cartésienne d'une droite. Equation d'une droite définie par un point et un vecteur, par deux points. Interprétation géométrique du signe d'un polynôme du premier degré à deux variables. Résolution géométrique des systèmes d'équations et d'inéquations du premier degré à deux inconnues."

Ce programme présente donc l'algèbre linéaire essentiellement par ses applications à la géométrie plane mais avec un parti pris de formalisme et l'introduction du vocabulaire et des défintions les plus généraux.
La même année, le programme de première C propose de présenter plus ou moins les mêmes notions dans le cadre de l'espace à trois dimensions. En 1970 viennent se rajouter l'étude des espaces de dimension finie quelconque, avec le théorème de la dimension (toutes les baces ont le même nombre d'éléments), l'étude des applications linéaires avec la définition du noyau et de l'image et l'équivalence entre injectivité et surjectivité et la représentation matricielle (limitée à n=2 ou 3) et enfin l'étude des espaces affines.

Le programme de terminale C est surtout consacré à la classification des transformations affines et vectorielles du plan et de l'espace avec en particulier l'étude détaillée des isométries et des similitudes affines et vectorielles.

Ces programmes, que l'on peut qualifier d'ambitieux, avaient pour but de donner aux élèves un aperçu des principales notions d'algèbre linéaire à travers la géométrie, tout en introduisant les premiers concepts de façon tout à fait générale et formelle. Cet enseignement se substitua dans une certaine mesure à l'enseignement "classique" de la géométrie. Il ne nous appartient pas ici d'en juger les défaut et les qualités. Signalons simplement comme un fait observable, que cette approche formelle ne parût pas aussi simple aux élèves ni aux enseignants que l'avaient pensé les artisans de la réforme. Pour diverses raisons, qui ne tiennent peut-être pas qu'à la nature intrinsèque des mathématiques, les maths modernes telles qu'elles furent enseignées semblent avoir repoussé quelques générations d'élèves. L'algèbre linéaire, à laquelle on reproche aisément d'être trop abstraite, a apparemment particulièrement rebuté les élèves des lycées.

Les programmes de 1969 sont restés en vigueur, sans modification fondamentale, jusqu'en 1981, où une nouvelle réforme (celle de la seconde indifférenciée) les a à nouveau sensiblement modifiés. Les perspectives d'un enseignement de masse et les constats d'échec dans l'enseignement des "maths modernes" ont favorisé un certain recul de l'algèbre linéaire. Ainsi dans le programme de la seconde "indifférectiée", n'apparaît plus d'enseignement de l'algèbre linéaire en tant que telle.

En classe de première S, il fut réduit à ces deux phrases : "Aucune théorie générale des espaces vectoriels et des applications linéaires n'est au programme. Il n'y aura pas lieu de donner d'autres exemples d'espaces vectoriels que les ensembles de vecteurs de la droite, du plan et de l'espace."

En Terminale C, on conserva cependant la théorie générale des espaces vectoriels de dimension finie, avec dans les grandes lignes : le théorème de la dimension, la représentation matricielle, l'interprétation géométrique de la résolution des systèmes d'équations linéaires, la notion de supplémentaire, les projections et symétries, mais pas de calcul matriciel. Le tout est accompagné du commentaire suivant : "Il s'agit de mettre ces notions en œuvre sur des exemples variés en s'appuyant sur l'étude du modèle fondamental $R^n$, dans les exercices, l'entier n sera numériquement fixé (de façon raisonnable)."

On assiste ici à un recul très net de l'enseignement de l'algèbre linéaire, surtout sensible bien sûr au niveau des contenus. Mais le report intégral sur la terminale a créé un effet de raccourcissement dans le temps d'enseignement qui a rendu le programme de la terminale trop ambitieux, signant ainsi l'arrêt de mort à court terme de l'algèbre linéaire au niveau des lycées.

En effet dans les nouveaux programmes de 1985 (encore en vigueur en 1990, à quelques modifications de détail près) on peut dire que l'algèbre linéaire a quasiment disparu de l'enseignement secondaire. A peine en trouve-t-on quelques traces en géométrie ou à propos de la résolution des systèmes linéaires.

En seconde, il ne reste que la représentation graphique des systèmes linéaires 2x2, et les techniques de résolution numérique, ainsi que les rudiments des géométries vectorielles et analytique planes.

En première S, le programme de géométrie présente quatre objectifs dont un est la pratique de l'outil vectoriel, avec ce commentaire : " le calcul vectoriel n'est pas à considérer comme une fin en soi et le passage aux coordonnées doit tenir une place modeste, il est essentiel de centrer les activités autour de l'étude des configurations. (...)." Le produit scalaire et l'orthogonalité sont toutefois explicitement au programme.

En terminale C, on trouve l'enseignement de la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires, mais sans étude systématique. On soulignera son aspect algorithmique, mais la mise en forme de l'algorithme est hors programme.
Pour la géométrie, les directives sont les suivantes :

" Approfondir la géométrie du plan et de l'espace à travers l'étude d'objets géométriques et de l'action des transformations sur ces objets.

A propos de l'études des projections et des transformations, la linéarité des applications vectorielles associées doit être mise en évidence et exploitée, mais l'étude des applications linéaires et a fortiori des applications affines n'est pas au programme. (...)

Outil vectoriel : barycentre, repère et base, produit vectoriel et produit mixte. Déterminant de deux vecteurs du plan."

On peut donc dire que l'enseignement de l'algèbre linéaire dans les lycées, s'il a été ambitieux à ses débuts n'a fait qu'un passage fulgurant, puisqu'en moins de vingt ans, il a presqu'entièrement disparu des programmes. En cette fin de XXème siècle, un élève sortant de terminale C, c'est-à-dire du plus haut niveau mathématique des lycées, en sait moins que les contemporains de Cramer sur la résolution des systèmes linéaires, ignore totalement la notion d'espace à plus de trois dimensions et a sur le calcul vectoriel, des conceptions voisines de celles que l'on avait au milieu du XIXème siècle. Ce n'est pas forcément une critique mais un constat mettant en parallèle l'évolution de l'algèbre linéaire en tant que théorie mathématique et en tant que sujet d'enseignement.

Dans le même temps des modifications de programme sont aussi intervenues dans les programmes des classes préparatoires scientifiques.

Une première refonte apparaît en 1972, faisant suite à l'introduction des maths modernes dans le secondaire. Les additions de programme en algèbre linéaire sont principalement l'étude des espaces affines, les notions élémentaires d'algèbre multilinéaire et l'étude des espaces vectoriels euclidiens et hermitiens. Il est bien stipulé que l'étude des modules et des groupes opérant sur un ensemble restent hors du programme. Jusqu'en 1987, le programme des classes de mathématiques supérieures et spéciales est resté assez stable et l'enseignement de l'algèbre linéaire n'y a guère évolué, au moins officiellement. Suite aux réformes de 1985, dans l'enseignement secondaire, il a fallu faire des réajustements en 1987. Nous citons ci-dessous les extraits du texte officiel de ces programmes, en rapport avec notre sujet :

" Les allégements :

a) Structures algébriques usuelles.

Le vocabulaire à connaître a été allégé notamment en ce qui concerne les anneaux, les corps ainsi que l'algèbre linéaire. le champs d'étude a été restreint : pour toute l'algèbre linéaire et pour les polynômes on s'est placé dans le cas où le corps de base est un sous-corps de $C.(...)$

c) Chapitres comportant des difficultés conceptuelles ou techniques importantes :

En algèbre linéaire : l'étude de la dualité est reportée en deuxième année, celle des automorphismes orthogonaux n'est conservée qu'en dimension inférieure à trois, en relation avec la géométrie.

L'étude des transformations géométriques a été réduite à l'essentiel : les transformations z -> aconj(z) + b et la réduction des antidéplacements de l'espace ont été supprimés. (...)

2) Lignes directrices :

b) En algèbre générale : le seul objectif visé est la mise en évidence, à partir des situations courantes figurant au programme, de quelques structures élémentaires. Il n'est donc pas prévu d'étudier systématiquement les structures (groupe, anneau, corps), il convient de se limiter au vocabulaire strictement indispensable.

c) En algèbre linéaire : l'objet est double. Disposer d'un vocabulaire général commode pour l'étude des problèmes linéaires intervenant dans l'ensemble du programme ; avoir une bonne maîtrise des espaces de dimension finie et de leurs relations avec les espaces $K^n$.

La résolution des systèmes linéaires, l'inversion des matrices et la théorie du rang constituent des objectifs importants. En revanche pour la réduction des matrices, il s'agit d'une prise de contact et toute étude systématique de la réduction n'est pas au programme.

d) L'étude de la géométrie sera l'occasion de nombreux problèmes utilisant de l'algèbre linéaire et de l'analyse et inversement, elle servira le plus souvent possible de guide pour l'intuition dans ses disciplines."
Le recul est ici moins franc que dans l'enseignement secondaire. Il est encore un peu tôt pour bien mesurer l'impact de la disparition de l'algèbre linéaire du secondaire dans les performances au début du supérieur. Il n'est pas impossible cependant que cela impose quelques allégements supplémentaires dans les programmes des premières années de l'enseignement du supérieur, c'est une tendance qui se dessine déjà dans les premiers cycles de certaines universités.

Pourtant l'importance de l'algèbre linéaire dans les autres théories mathématiques n'a cessé de croître au cours du XXème siècle, et rares sont les mathématiciens qui peuvent se passer de cet outil qui est également présent dans de nombreuses modélisations scientifiques (en physique, chimie, biologie, économie, statistique etc...).
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Conclusion

Il est difficile de tirer des conclusions générales après une telle étude, sans en réduire la portée. Nous allons cependant essayer de dégager de ce travail, les éléments essentiels qui composent la genèse des premiers concepts d'algèbre linéaire afin de mieux cerner les grands traits de leur nature épistémologique.

Les concepts d'algèbre linéaire ont eu très rapidement une nature polymorphe. Ils apparaissent, même implicitement, à des périodes parfois très rapprochées, dans différents domaines : les systèmes d'équations linéaires, la géométrie, l'arithmétique, l'étude des quadriques, les transformations linéaires, les équations différentielles, etc...

Cependant l'étude des systèmes linéaires a été, dès le départ, un domaine privilégié. Elle a été à l'origine de l'émergence des tout premiers concepts, et a aussi été le cadre de l'élaboration des premiers résultats théoriques même informels. En particulier le concept de rang s'est dégagé pas à pas de l'étude de plus en plus approfondie des systèmes linéaires, depuis le paradoxe de Cramer jusqu'aux travaux de Frobenius. Ce concept nous semble jouer un rôle central dans la théorie des espaces vectoriels de dimension finie, il est aussi l'objet des premières démonstrations très spécifiques de ce domaine. Or on a pu voir que son émergence a nécessité de nombreuses adaptations et changements de point de vue.

Par ailleurs, même si l'étude des systèmes linéaires a connu une période moins productive entre la fin du XVIIIème siècle et la fin du siècle suivant, la généralisation aux systèmes en une infinité de variables a été pendant la fin du XIXème et le début du XXème siècle, le cadre principal où se faisaient les progrès dans l'étude des espaces de dimension infinie.

Ainsi l'étude des systèmes linéaires a eu un rôle durable et important dans la genèse des concepts d'algèbre linéaire, non seulement à leurs débuts, où elle en était le cadre principal de développement, mais encore récemment même si c'est sous un aspect généralisé.

La géométrie a été aussi un des cadres privilégiés du développement des concepts d'algèbre linéaire. Elle a joué le rôle d'observatoire duquel sont parti les généralisations de plus en plus vastes. C'est une sorte de laboratoire d'essai, qui a permis de mettre au point les idées maitresses, que l'on a exportées ensuite, avec le vocabulaire, à d'autres domaines. C'est principalement la généralisation du concept d'espace qui a permis l'éclatement, or ce phénomène est complexe et relève de plusieurs causes dont il est difficile d'évaluer les importances relatives.

Il faut bien distinguer cependant la généralisation par l'étude des structures et la généralisation par augmentation du nombre de coordonnées. Ces deux aspects sont complémentaires par rapport à l'algèbre linéaire mais ils ont eu des sources et des conséquences différentes. Nous avons pensons l'avoir bien montré plus haut.

Longtemps une unification implicite des "concepts linéaires" s'est faite autour de certains aspects de la théorie des déterminants. Et puis la définition descriptive des espaces vectoriels comme n-uplets de nombres a rassemblé la plupart de ces résultats, de façon encore très informelle et sans qu'il y ait de réelle théorie centrale. L'œuvre de Grassmann et les premières approches axiomatiques à la fin du XIXème siècle offraient des outils théoriques plus puissants et proposaient un cadre plus général, mais il furent ignorés pour des raisons diverses, dont le fait qu'on n'en voyait pas l'utilité.

Le passage à une théorie axiomatique regroupant tous les concepts a été tardif. Les raisons qui l'ont justifié tiennent essentiellement à des soucis didactique et d'organisation. Cette unification est un des aspects d'une transformation générale de l'édifice des mathématiques qui s'est opérée dans la première moitié du XXème siècle, faisant de l'algèbre non plus l'étude des équations mais l'étude des structures. Par ailleurs, les applications à des espaces de fonctions, et principalement les travaux de Banach ont montré l'intérêt théorique de l'approche axiomatique pour rendre compte des résulats de l'algèbre linéaire en dimension infinie.
Ainsi l'utilisation de la théorie axiomatique des espaces vectoriels comme cadre privilégié (voire unique) de l'étude des concepts et des résultats de l'algèbre linéaire est une découverte et un choix récents. Ce choix obéit essentiellement à un souci d'organisation, l'unification et la simplification de l'étude de différents domaines avec des outils et des méthodes semblables. Il n'est pourtant réellement nécessaire que dans le cadre des espaces de dimension infinie et pour des questions non élémentaires.

Voilà les grandes lignes de cette genèse, que nous avons pu dégager. Ils sont les points phares qui nous donnent les éléments fondamentaux pour donner un sens plus précis aux concepts élémentaires d'algébre linéaire, pour mieux connaître leur nature épistémologique.
INDEX DES NOMS CITES DANS LES CHAPITRES II, III ET IV

<table><thead><tr><th>Nom prénom(s)</th><th>dates</th><th>nationalité</th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>ABEL Niels Heinrich</td><td>1802-1829</td><td>N</td><td>29</td></tr><tr><td>ALEMBERT Jean le Rond d'</td><td>1717-1783</td><td>F</td><td>29, 34</td></tr><tr><td>ARGAND Jean Robert</td><td>1768-1822</td><td>CH/F</td><td>45, 46, 48 - 50</td></tr><tr><td>ARTIN Emil</td><td>1898-1962</td><td>A/D</td><td>77</td></tr><tr><td>BALTZER Heinrich</td><td>1818-1887</td><td>D</td><td>24</td></tr><tr><td>BANACH Stefan</td><td>1892-1945</td><td>P</td><td>73 - 77</td></tr><tr><td>BARRE Adhémar Comte de St-Venant</td><td>1797-1886</td><td>F</td><td>54 - 55, 58 - 59</td></tr><tr><td>BELLAVITIS Giusto conte</td><td>1803-1880</td><td>I</td><td>44 - 45, 53, 59</td></tr><tr><td>BEZOUT Etienne</td><td>1739-1783</td><td>F</td><td>15, 22, 27</td></tr><tr><td>BINET Jacques</td><td>1786-1856</td><td>F</td><td>22, 23</td></tr><tr><td>BUEE l'abbé</td><td></td><td>F</td><td>44, 46, 48</td></tr><tr><td>BURALI-FORTI Cesare</td><td>1861-1931</td><td>I</td><td>60, 69 - 71, 74</td></tr><tr><td>CARROLL Lewis (voir DODGSON)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>CAUCHY Augustin Louis</td><td>1789-1857</td><td>F</td><td>21, 22-23, 29, 31, 32<br>34, 45, 46, 50, 59</td></tr><tr><td>CAYLEY Arthur</td><td>1821-1895</td><td>GB</td><td>26, 31, 32-33, 34<br>53 - 54, 61 - 62</td></tr><tr><td>CHASLES Michel</td><td>1793-1880</td><td>F</td><td>31</td></tr><tr><td>CLEBSCH Rudolf</td><td>1833-1872</td><td>D</td><td>59</td></tr><tr><td>CLIFFORD William</td><td>1845-1879</td><td>GB</td><td>54</td></tr><tr><td>CRAMER Gabriel</td><td>1704-1752</td><td>CH/F</td><td>21-22, 27-28</td></tr><tr><td>CREMONA Antonio Luigi</td><td>1830-1903</td><td>I</td><td>59</td></tr><tr><td>DEDEKIND Julius Wilhem Richard</td><td>1831-1916</td><td>D</td><td>77</td></tr><tr><td>DESCARTES René du Perron</td><td>1596-1650</td><td>F</td><td>16, 17-18, 39-41</td></tr><tr><td>DIRICHLET Gustav Peter Lejeune</td><td>1805-1859</td><td>D</td><td>29, 77</td></tr><tr><td>DODGSON Charles (Lewis Carroll)</td><td>1832-1898</td><td>GB</td><td>24-25</td></tr><tr><td>EISENSTEIN Ferdinand</td><td>1823-1852</td><td>D</td><td>32</td></tr><tr><td>ENGEL Friedrich</td><td>1861-1941</td><td>D</td><td>59</td></tr><tr><td>EULER Leonhard</td><td>1707-1783</td><td>CH</td><td>15, 27-29, 30-31, 33,<br>34, 35</td></tr><tr><td>FERMAT Pierre de</td><td>1601-1665</td><td>F</td><td>15, 16, 29, 30, 33<br>36 - 38, 40</td></tr><tr><td>FRANCAIS Jacques-Frédéric</td><td>1775-1833</td><td>F</td><td>48</td></tr><tr><td>FRECHET Maurice</td><td>1878-1973</td><td>F</td><td>72</td></tr><tr><td>FREDHOLM Ivar Erik</td><td>1866-1927</td><td>S</td><td>72</td></tr><tr><td>FROBENIUS Georg Ferdinand</td><td>1849-1917</td><td>D</td><td>26-27, 34, 52</td></tr><tr><td>GAUSS Carl Friedrich</td><td>1777-1855</td><td>D</td><td>15, 22, 23, 29, 31 - 32,<br>33, 34, 45, 50</td></tr><tr><td>GERGONNE Joseph Diaz</td><td>1771-1859</td><td>F</td><td>48</td></tr><tr><td>GIBBS Josiah Willard</td><td>1839-1903</td><td>GB</td><td>60</td></tr><tr><td>GRASSMANN Hermann Günter</td><td>1809-1877</td><td>D</td><td>34, 53, 54 - 60, 61<br>62 - 71</td></tr><tr><td>HADAMARD Jacques</td><td>1865-1963</td><td>F</td><td>72</td></tr><tr><td>HAMILTON William, Rowan</td><td>1805-1865</td><td>IRL</td><td>51 - 54, 59</td></tr><tr><td>HANKEL Hermann</td><td>1839-1873</td><td>D</td><td>59</td></tr><tr><td>HEAVISIDE Oliver</td><td>1850-1925</td><td>GB</td><td>60</td></tr><tr><td>HERMITE Charles</td><td>1822-1901</td><td>F</td><td>31, 34</td></tr><tr><td>HILBERT David</td><td>1862-1943</td><td>D</td><td>61, 72</td></tr><tr><td>HILL George William</td><td>1838-1914</td><td>USA</td><td>71</td></tr><tr><td>HOSPITAL Guillaume Marquis de l'</td><td>1661-1704</td><td>F</td><td>20-21</td></tr><tr><td>JACOBI Carl Gustav Jacob</td><td>1804-1851</td><td>D</td><td>29, 34</td></tr><tr><td>JORDAN Alexis Claude Thomas</td><td>1814-1897</td><td>F</td><td>34</td></tr><tr><td>KLEIN (Christian) Felix</td><td>1849-1925</td><td>D</td><td>59</td></tr></tbody></table>
INDEX DES NOMS CITES DANS LES CHAPITRES II, III ET IV

<table><thead><tr><th>Nom prénom(s)</th><th>dates</th><th>nationalité</th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>KRONECKER Leopold</td><td>1823-1891</td><td>D</td><td>26, 77</td></tr><tr><td>KUMMER Ernst</td><td>1810-1893</td><td>D</td><td>77</td></tr><tr><td>LAGRANGE Joseph Louis</td><td>1738-1813</td><td>F</td><td>22, 29, 31, 33, 34-35</td></tr><tr><td>LAGUERRE Edmond Nicolas</td><td>1834-1886</td><td>F</td><td>33</td></tr><tr><td>LEIBNIZ Gottfried Wilhelm von</td><td>1646-1716</td><td>D</td><td>20-21, 42-43, 44</td></tr><tr><td>LIE Marius Sophus</td><td>1842-1899</td><td>N</td><td>46, 54</td></tr><tr><td>MACLAURIN Colin</td><td>1698-1746</td><td>GB</td><td>21, 27-28</td></tr><tr><td>MARCOLONGO</td><td></td><td>I</td><td>69-71, 74</td></tr><tr><td>MAXWELL James Clerk</td><td>1831-1879</td><td>GB</td><td>53</td></tr><tr><td>MOEBIUS August Ferdinand</td><td>1790-1868</td><td>D</td><td>43-44, 55, 58, 61</td></tr><tr><td>MONGE Gaspard</td><td>1746-1818</td><td>F</td><td>22</td></tr><tr><td>MORGAN Augustus De</td><td>1806-1871</td><td>GB</td><td>61</td></tr><tr><td>MOUREY</td><td></td><td>F</td><td>45, 50</td></tr><tr><td>NEUMANN Carl Von</td><td>1832-1925</td><td>D</td><td>72</td></tr><tr><td>NOETHER Amalie Emmy</td><td>1882-1935</td><td>D</td><td>77</td></tr><tr><td>ORESME Nicole</td><td>1320-1382</td><td>F</td><td>36</td></tr><tr><td>PEACOCK George</td><td>1791-1858</td><td>GB</td><td>61</td></tr><tr><td>PEANO Giusseppe</td><td>1852-1932</td><td>I</td><td>60, 61, 62-69, 69-71, 73</td></tr><tr><td>PEIRCE Benjamin</td><td>1809-1880</td><td>USA</td><td>53, 54</td></tr><tr><td>PEIRCE Charles Sanders (fils de Benjamin)</td><td>1839-1914</td><td>USA</td><td>52, 54, 63</td></tr><tr><td>POINCARE Jules Henri</td><td>1854-1912</td><td>F</td><td>71-72</td></tr><tr><td>RIESZ Frédéric</td><td>1880-1956</td><td>H</td><td>72</td></tr><tr><td>ROUCHE Eugène</td><td>1832-1910</td><td>F</td><td>25-26</td></tr><tr><td>SAINT-VENANT Comte De (Voir BARRE)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>SCHLEGEL</td><td>1843-1905</td><td>D</td><td>59</td></tr><tr><td>SCHMIDT Erhard</td><td>1876-1959</td><td>D</td><td>72</td></tr><tr><td>SERVOIS</td><td>1767-1847</td><td>F</td><td>48</td></tr><tr><td>SMITH Henry John Stanley</td><td>1826-1883</td><td>GB</td><td>23, 34</td></tr><tr><td>STEINITZ Ernst</td><td>1871-1928</td><td>D</td><td>77-78</td></tr><tr><td>SYLVESTER James</td><td>1814-1897</td><td>GB</td><td>31, 34, 62</td></tr><tr><td>TAITS</td><td></td><td>GB</td><td>53</td></tr><tr><td>TOEPLITZ Otto</td><td>1881-1940</td><td>D</td><td>72-73</td></tr><tr><td>VAN DER WAERDEN</td><td></td><td></td><td>78-80</td></tr><tr><td>VANDERMONDE Alexandre Théophile</td><td>1735-1796</td><td>F</td><td>22, 23</td></tr><tr><td>VIETE François</td><td>1540-1603</td><td>F</td><td>17, 30</td></tr><tr><td>VOLTERRA Vito</td><td>1860-1940</td><td>I</td><td>72, 75</td></tr><tr><td>WALLIS John</td><td>1616-1703</td><td>GB</td><td>45-46</td></tr><tr><td>WARREN</td><td></td><td>GB</td><td>45, 50</td></tr><tr><td>WEBER Heinrich</td><td>1842-1913</td><td>D</td><td>77</td></tr><tr><td>WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm</td><td>1815-1897</td><td>D</td><td>26, 34</td></tr><tr><td>WESSEL Caspar</td><td>1745-1818</td><td>N</td><td>45, 46-48, 49-50</td></tr><tr><td>WRONSKI Josef Maria</td><td>1776-1853</td><td>P/F</td><td>29</td></tr></tbody></table>
Références bibliographiques

Pour faciliter la lecture nous avons regroupé au début les ouvrages généraux. Puis nous avons ordonné les autres références, par chapitre, dans l'ordre où nous les citons dans le texte.
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## Ouvrages généraux d'histoire et encyclopédies :

[AHM] - Abrégé d'histoire des Mathématiques (2 Vol.), sous la direction de J. DIEUDONNE - Hermann, Paris, 1978.

[BO1] - N. BOURBAKI, *Eléments d'histoire des mathématiques*, Hermann, Coll. Histoire de la pensée n°IV, Paris, 1960.

[EU] - *Encyclopædia Universalis*, France S.A., Paris, 1968.

[EB] - *Encyclopædia Britannica*, C.C Gillepsie Ed., Scribners, 1970-1978.

[HGS] - *Histoire générale des sciences (4 vol.)*, publiée sous la direction de R. TATON, Presses Universitaires de France, Paris, 1958.

[DSB] - *Dictionary of scientific bibliography (16 vol.)*, sous la direction de C. C. GILLEPSIE, Charles scribner's sons, New-York, 1970.

[ESM] - *Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées*, Gauthier-Villars et Teubner, Paris-Leipzig, 1904-1914.

[EM] - *Encyclopédie méthodique - Mathématiques (3 vol.)*, par MM D'ALEMBERT, L'Abbé BOSSUT, De La LANDE, Le Marquis de CONDORCET et Alii, (Paris 1784) / ACL ed., Paris 1987.

[DA] - A. DAHAN-DALMEDICO et J. PFEIFFER, *Une histoire des mathématiques - Routes et dédales*, ed. du Seuil Coll. Point Sciences, Paris, 1986. (Première édition sous le titre *Routes et dédales*, Etudes vivantes, Paris, 1982.)

[BO] - C. B. BOYER, *A history of Mathematics*, John Wiley & sons, Inc., New-York, 1968.

[SM1] - D. E. SMITH, *History of Mathematics (2 vol.)*, Dover publications, Inc., New-York, 1958.

[SM2] - D. E. SMITH, *A source book in mathematics*, (McGraw-Hill Book Co., Inc., 1929) / Dover publications, Inc., New-York, 1959.

[IT1] - J. ITARD, *Essai d'histoire des mathématiques*, réunis et introduit par R. Rashed, Librairie scientifique et technique Albert Blanchard, Paris, 1984.

[RC] - *La Rigueur et le Calcul*, Groupe inter-IREM épistémologie et histoire des Mathématiques, CEDIC, Paris, 1962.

[MFA] - *Mathématiques au fil des âges*, Groupe inter-Irem épistémologie et histoires des mathématiques, Bordas/Gauthier-Villars, Paris 1987.

[IR] - *Bulletin spécial Inter-IREM histoire des mathématiques et épistémologie*, Irem de Lille, 1979.

[RO] - *Esquisse d'une génèse des notions d'algèbre linéaire enseignées en DEUG*, Cahier de Didactique des mathématiques n°19, IREM de Paris VII, 1986.

[CR] - M. CROWE, *A history of vector analysis - The evolution of the idea of a vectorial system*, University of Notre-Dame Press, Notre-Dame (USA) - London, 1967.

## Références spécifiques à l'introduction :

[AI1] - M. ARTIGUE, *Epistémologie et didactique*, Cahier DIDIREM n°3, IREM de Paris VII, Juin 1989.

[BR1] - G. BROUSSEAU, *La problématique et l'enseignement des mathématiques*, XXVIIème Rencontre de la CIEAEM, Louvain La neuve, 1976.

[BR2] - G. BROUSSEAU, *les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques*, in "Recherches en Didactique des Mathématiques", Vol. 4-2, pp.164-198, 1983.

[CE] - Y CHEVALLARD, *La transposition didactique*, La pensée sauvage, Grenoble, 1985.

## Références spécifiques au chapitre I :

[UN] - *Le courrier de l'UNESCO - Voyage au pays des mathématiques*, Paris, novembre 1989.

[HE1] - T. L. HEATH, *A history of Greek Mathematics*, Oxford at the Clarendon Press, 1921.

[HE2] - T. L. HEATH, *A manual of Greek Mathematics*, (Oxford University press 1931) / Dover Publications, Inc., New-york, 1963.
[HE3] - T. L. HEATH, *Euclid's Elements*, (translated with introduction and commentary by), (Cambridge University Press) / Dover Publication Inc., New-York, 1956.

[HE4] - T. H. HEATH, *Diophantus of Alexandra. A study in the history of Greek Algebra*, (Cambridge University Press, 1885-1910) / Dover Publication Inc., New-York, 1964.

[PE] - F. PEYRARD, *Les œuvres d'Euclide*, (traduites littéralement par), (C-F. Patris, Paris, 1809) / Librairie scientifique et technique Albert Blanchard, Paris, 1966.

[IT2] - J. ITARD, *Les livres arithmétiques d'Euclide*, Hermann, coll. Histoire de la pensée n°X, Paris, 1961.

Références spécifiques au chapitre II :

[MU] - T. MUIR, *The theory of determinant in the historical order of development (2 tomes, 4 volumes)*, (St Martin Press Inc., 1906-1923) / Dover Publications Inc., New York, 1960.

[CA] - A. L. CAUCHY, *Œuvres complètes (26 vol.)*, Gauthier-Villars, Paris, 1882-1956.

[RO] - E. ROUCHE, *Notes sur les équations linéaires, in Journal de l'Ecole Polytechnique*, quarante-huitième cahier, tome XXIX, pp 221-228, Gauthier-Villars, Paris, 1880.

[FR] - F. G. FROBENIUS, *Gesammelte abhandlungen (3 vol.)*, édité sous la direction de J-P. Serre, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New-york, 1968.

[EU] - L. EULER, *Opera omnia* (62 Vol.), Orell Füssli Turici, Lausanne, 1911-1976.

[LA] - J-L. LAGRANGE, *Œuvres complètes (14 Vol)*, Gauthier-Villars, Paris 1867-1892.

[GA1] - C.F. GAUSS, *Werke (12 vol.)*, Göttingen, 1870-1927.

[GA2] - C.F. GAUSS, *Recherches arithmétiques (Disquisitiones Arithmeticae)*, traduction de A.C.M. Poulet-Delisle, Courcier, Paris, 1807.

[EI] - G. EISENSTEIN, *Mathematische werke (2 vol.)*, Chelsea publising company, New-York, 1975.

[CY] - A. CAYLEY, *The collected mathematical papers (13 vol.)*, (Cambridge at the university press 1889)/ Johnson reprint corporation, New-York, 1963.

Références spécifiques au chapitre III :

[FE1] - P. DE FERMAT, *Varia Opera de Pietri de Fermat Senatoris Tolosani*, Toulouse 1679, Edition réimprimée par heliotoypie Berlin 1861.

[FE2] - P. DE FERMAT, *Oeuvres, 4 tomes et un supplément, publiées par les soins de P. Tannery et C. Henri*, Paris 1891-1912.

[DE1] - R. DESCARTES, *Le discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences*, Leyden 1637.

[DE2] - R. DESCARTES, *la géométrie*, réédité et préfacé par M. Leclerc et J-C. Juhel, ed. de L'AREFPPI, Nantes 1984.

[MO] - A.F. MOEBIUS, *Gesammelte Werke (4 Vol.)*, Dr. Martin Sändig oHG, Wiesbaden, 1967.

[WE] - C. WESSEL, *Essai sur la représentation analytique de la direction*, traduit par H.G. Zeuthen, ed. H. Valentiner et T.N. Thiele, Copenhage-Paris, 1897.

[AR] - R. ARGAND, *Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques*, nouveau tirage de la deuxième édition préfacée par M. J. Houël et augmentée d'une introduction de M. J. Itard, Blanchard, Paris, 1971. (premier tirage 1874).

[HA1] - W. R. HAMILTON, *Collected mathematical papers (3 tomes)*, edited for the Royal Irish Academy by H. Halberstam and R. E. Ingram, Cambridge at the university press, 1967.

[HA2] - W. R. HAMILTON, *Elements of quaternions (2 Vol)*, ed. C.J. Joly, reprint of the second edition (first published in Dublin, 1866) by Chelsea Publising Co, New-York, 1969.

[SA] - A. BARRE, Comte de SAINT-VENANT, *Mémoire sur les sommes et les différences géométriques, et sur leur usage pour simplifier la mécanique*, in *Comptes-rendus de l'Académie des Sciences*, 21, Paris, 1845.

[GR] - H. G. GRASSMANN, *Gesammlte mathematische und physikalische Werke, (3 Vol.)*, Leiptzig 1894-1911.

[FL] - D. FLAMENT, *Die lineale Ausdehnungslehre (1844) de Grassmann*, in *comptes-rendus du colloque 1830-1930 : Un siècle de Géométrie*, à paraître chez Springer.

[BO] - G. BOULIGAND, *Leçons de géométrie vectorielle, préliminaire à l'étude de la théorie d'Einstein*, Vuibert, Paris, 1924.