# Prédétermination des Crues de L'oued Inaouène à L'Aide des Méthodes Statistiques, Maroc Septentrional

Hamouch Chakir

Chaaouan Jamal

Laboratoire Espace, Histoire, Dynamiques et Développement Durable

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Maroc

Doi:10.19044/esj.2023.v19n33p202

Submitted: 11 August 2023

Accepted: 23 November 2023

Published: 30 November 2023

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OPEN ACCESS

Cite As:

Chakir H. & Jamal C. (2023). *Prédétermination des Crues de L'oued Inaouène à L'Aide des Méthodes Statistiques, Maroc Septentrional*. European Scientific Journal, ESJ, 19 (33), 202. https://doi.org/10.19044/esj.2023.v19n33p202

## Résumé

À l'instar des cours d'eau de la rive du Sud de la Méditerranée, l'oued Inaouène est soumis aux épisodes exceptionnels de pluies qui engendrent des crues plus ou moins dévastatrices. La séparation des crues des hautes eaux ordinaires est loin d'être évidente pour un régime méditerranéen en raison de la difficulté de tracer un seuillage pour des débits extrêmement variant dans le temps et dans l'espace. Le recours aux méthodes statistiques probabilistes a permis de pallier ce problème et d'estimer en conséquence les crues d'Inaouène pour différentes périodes de retour. La méthode statistique de GUMBEL a donné de meilleures estimations des crues fréquentes et habituelles, alors que la méthode GRADEX a bien permis de prédire les crues de fréquence rare à très rare dont l'effet est inestimable pour l'environnement et l'économie.

**Mots-clés:** Oued inaouène, crue, Gumbel, GRADEX, climat, Statistique
# Prediction of Floods in the Inaouène River Using Statistical Methods in Northern Morocco

Hamouch Chakir

Chaaouan Jamal

Laboratoire Espace, Histoire, Dynamiques et Développement Durable

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Maroc

## Abstract

Like the rivers on the southern Mediterranean shore, the Oued Inaouène experiences exceptional rainfall episodes that lead to more or less devastating floods. Distinguishing between flood peaks and regular high-water levels is far from straightforward for a Mediterranean regime due to the challenge of establishing thresholds for flow rates that vary significantly in time and space. Using probabilistic statistical methods has helped overcome this issue, enabling the estimation of Inaouène's floods for different return periods. The statistical method of Gumbel provided better estimates for frequent and common floods, while the GRADEX method accurately predicted rare to very rare floods, which have immeasurable effects on the environment and the economy.

**Keywords:** Inaouene valley, flood, Gumbel, GRADEX, Climate, Statistic

## 1. Introduction

D'une superficie de 3710 km², au nord du Maroc, le bassin de l'oued Inaouène constitue l'un des principaux bassins-versants formant la haute vallée du Sebou. L'emplacement du bassin d'Inaouène est assez typique car son relief est formé à la fois par les affleurements de la chaine rifaine et du Moyen-atlas. Le climat est de type méditerranéen semi-aride à subhumide. Les précipitations montrent une répartition temporelle avec une succession d'années sèches et d'années humides. El Garouani et Tribak (2006). En réponse aux caractéristiques du climat semi-aride, le régime de l'oued Inaouène montre des variations saisonnières avec une période de crues et une période d'étiages. El Garouani et Tribak (2006). Ce type du climat régnant sur le bassin est caractérisé par une grande variabilité pluviométrique rendant imprévisible les périodes de crues. Les cumuls pluviométriques exceptionnels que reçoit le bassin d'Inaouène pendant certaines périodes de l'année, accroissent les volumes d'eau en transit de manière extraordinaire et favorisent l'apparition des crues susceptibles de submerger, dans certains cas, le lit majeur de la plaine alluviale.
Selon les données climatiques de l'agence du bassin hydraulique du Sebou, le bassin d'Inaouène reçoit des précipitations moyennes annuelles variant entre 360 mm et environ 1100 mm. La moyenne de la lame d'eau précipitée est de l'ordre de 584 mm/m², l'équivalent de 58,4 millions m³ d'eau en an. Néanmoins, les pluies ne tombent pas de façon proportionnelle dans l'ensemble du bassin en raison de l'hétérogénéité orographique. Dans les parties montagnardes élevées, les précipitations reçues sont importantes, le cas pour le massif de Tazekka et à Bab Boudir où le total annuel est supérieur à 700 mm, voire à 900 mm et dans les montagnes de Taïnaste au Prérif, entre 800 et 900 mm. En revanche, dans la basse vallée d'Inaouène les précipitations sont très faibles, inférieures à 500 mm.

La topographie du bassin est caractérisée par la dominance d'un relief accidenté, généralement collinaire, au nord, et montagnard, au sud du bassin. D'après les indices de pente utilisés, le système de pente du bassin d'Inaouène paraît généralement raid. L'accidenté du relief et la brutalité du système de pentes favorisent la transmission des eaux vers l'embouchure en entraînant des crues synchroniques et conséquentes à cause de l'effet de chasse d'eau.

La végétation est un facteur variable selon les saisons climatiques. Trois interventions majeures du couvert végétal sur le plan hydrologique : l'infiltration, l'interception et la transpiration. Généralement, la végétation est considérée comme facteur régulateur de l'écoulement fluvial car elle contribue à retenir l'eau pendant la phase humide et donc à la reconstitution des réserves hydriques qui soutiennent les cours d'eau pendant la phase d'étiage. Selon les cartes végétales de Direction Régionale des Eaux et Forêts, le taux de recouvrement forestier est un peu faible pour le bassin d'Inaouène (16 %). Cette surface est répartie essentiellement sur le Môyen-atlas et certaines zones dans le Prérif (Tainaste, Bab Mrouj,...) et elle est composée par les quercus (chênes) et les landes et aussi par les forêts artificielles (reboisement).

Géologiquement, le bassin d'Inaouène se situe à la jonction de trois grands domaines structuraux qui, du nord au sud, sont : le complexe prérifain méridional, le sillon Sud-rifain et le Moyen Atlas septentrional. Plusieurs formations se rencontrent au sein du complexe prérifain, les plus anciennes sont les formations triasiques, des marnes rouges associées à d'importantes masses de gypse blanc à rougeâtre.

Plus loin à l'extrémité Nord-est du bassin à Tainaste, des affleurements calcaires et dolomitiques du lias et crétacé supérieurs forment un relief rocheux appelé les Sofs, et qui constituent le contact avec le Rif Méridional. Ensuite, il y a les marnes blanches à silex de l'Éocène qui affleurent sous forme de klippes visibles au NW de Taza. Finalement il y a l'Oligocène, peu représenté, qui est formé de grès en gros bancs brun-roux Robillard (1978). Le détroit Sud-rifain comporte essentiellement des marnes miocènes discordances sur les structures moyen-atlasiques, au sud, et surmonté par le
Complexe prérifain, au nord (Leblanc, 1971, in Bouchta, 1983). Le sillon renferme aussi des formations quaternaires (dépôts fluviaux de l'Oued Inaouène), qui s'organisent dans des terrasses fluviales.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figura 1. Coupe géologique dans le sillon sud-rifain (d'après Robillard, 1978)</figcaption></figure>

Le Moyen-atlas est caractérisé par une structure diversifiée rassemblant à la fois les reliefs plissés, les structures sub-tabulaires et enfin par le massif primaire de Tazekka formé essentiellement par des schistes, des quartzites et des grès. Dans le coté du Moyen-atlas où l'ensemble structural plissé s'affronte avec la causse moyen-atlasique subtabulaire Robillard (1978), les formations liasiques constituent la majorité du terrain. Elles sont composées de marno-calcaires du Lias supérieur et de calcaires et dolomies dans le Lias Moyen et inférieur.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figura 2.** Localisation géographique du bassin-versant d'Inaouène</figcaption></figure>

La crue se réfère à une élévation soudaine et transitoire du niveau d'eau dans un cours d'eau, résultant de précipitations abondantes, de la fonte des neiges ou d'autres facteurs hydrologiques, entraînant un débordement des berges du cours d'eau Goudie, A. (2013).

Les crues diffèrent des hautes eaux ordinaires par leur volume ainsi que par leur caractère bref et extrême. Toutefois, leur détermination effective reste loin d'être évidente en raison de la difficulté d'assigner des seuils hydrologiques plus adaptés qui permettent de séparer les crues des hautes eaux
ordinaires. Cependant, les méthodes statistiques probabilistes restent les approches les plus communément utilisées pour pallier ce problème de seuillage et définir des crues probables plus ou moins expressives de l'événement en soi-même.

## 2. Méthodologie

Afin d'estimer et de caractériser les crues de l'oued Inaouène, des méthodes statistiques prédictives sont convoquées, qui consistent à étudier les événements « hydrologiques » passés afin de déduire les probabilités d'apparition tout en mettant en œuvre un modèle fréquentiel sur leur comportement. Pour ce faire, deux méthodes ont été retenues, sachant que l'une complète l'autre, à savoir l'ajustement statistique par la loi de Gumbel et la méthode de GRADEX.

<table><caption>**Tableau 1.** Caractéristiques de la station hydrométrique de Bab Marzouka</caption><thead><tr><td>Longitude</td><td>Latitude</td><td>Altitude (m²)</td><td>Surface contrôlée (km²)</td></tr></thead><tbody><tr><td>400922</td><td>615490</td><td>350</td><td>1510</td></tr></tbody></table>

La loi de Gumbel, également connue sous le nom de distribution de type I de Gumbel, est une loi de probabilité utilisée pour modéliser les valeurs extrêmes. Elle a été formulée par Emil Julius Gumbel, un mathématicien allemand, dans les années 1950. Sa fonction de répartition F(x) s'exprime de la manière suivante :

$$F(x) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{x-a}{b}\right)\right)$$

(Eq. 1)

$$\text{Avec la variable réduite suivante : } u = \frac{x-a}{b}$$

Avec *a* et *b* qui sont des paramètres du modèle de Gumbel. L'estimation des paramètres *a* et *b* de l'ajustement peut se faire graphiquement (ajustement à l'œil ou à l'aide d'une régression statistique), ou selon une approche mathématique comme la méthode des moments qui consiste à égaler les moments des échantillons avec les moments théoriques de la loi. Par la méthode des moments, les paramètres ont *a* et *b* sont calculés d'après les formules:
Avec

$$
\begin{cases}
\hat{b} = \frac{\sqrt{6}}{\pi} \hat{\sigma} \\
\hat{a} = \hat{\mu} - \hat{b}\gamma.
\end{cases}
\quad \text{avec } \gamma = 0.5772 \text{ (constante d'Euler).}
$$

(Eq.2)

σ : écart-type des valeurs composant l'échantillon.

μ : moyenne de l'échantillon.

Dès lors, il est possible d'estimer les débits dont la représentation graphique
est une droite d'équation :

$$
\hat{Q} = \hat{a} + \hat{b} \cdot u \tag{Eq. 3}
$$

Avec : u : variable réduite

(Gumbel).

À l'inverse de la méthode de Gumbel que l'on a appliquée uniquement sur les débits, le GRADEX (Gradient d'une Distribution Exponentielle) est une méthode assez complète car elle sert des données pluviométriques lors de l'estimation des crues, mais elle est spécifiquement conçue pour les crues de fréquence rare à très rare. Elle comprend un certain nombre d'étapes:

* ajustement des précipitations maximales journalières annuelles selon une distribution de Gumbel ;

* ajustement des débits moyens journaliers maximaux annuels selon une distribution de Gumbel. Ceci est après le fait d'avoir transformé les [m³/s] en [mm/24h] ;

* déterminer les débits moyens maximaux de temps de retour T5 et 100 ans en appliquant la méthode du GRADEX et en utilisant le débit décennal comme point pivot.

3. Résultats et discussion

Les basses et les très basses eaux sont la particularité hydrologique la
plus observée et constatée dans le régime d'Inaouène durant toute l'année.
Néanmoins, les crues restent des phénomènes assez impressionnants dans le
régime. Cependant, on peut observer un certain nombre de crues qui peuvent
faire plus de 100 fois un module annuel.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figura 3. Variations interannuelles des débits maximums annuels de l'oued Inaouène</figcaption></figure>

**3.1. Estimation par la loi de Gumbel**

À première vue du résultat d'ajustement de Gumbel, il apparaît que les débits maximaux de crues des deux stations hydrologiques d'Inaouène s'ajustent adéquatement avec la droite de Gumbel, à l'exception de certaines valeurs extrêmes au niveau de Bab Marzouka où l'on observe un écartement des points pour les valeurs de plus de 800 m³/s (u > 3).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figura 4. Droite d'ajustement des débits maximaux à la loi de Gumbel</figcaption></figure>

Cette droite de Gumbel permet ensuite d'estimer les valeurs des crues pour différentes phases de retour (Tableau 2). Une crue de fréquence de retour T a pour fréquence d'apparition F = 1-1/T. Ainsi, les crues estimées varient entre 322 et 785 m³/s pour des fréquences allant de 5 à 100 ans.
<table><caption>Tableau 2. Crues probables de l'oued Inaouène estimées par la méthode de Gumbel</caption><thead><tr><th>Quantiles</th><th>Période de retour</th><th>Probabilité<br>au<br>non-<br>dépassement</th><th>Variable u de<br>Gumbel</th><th>Débit<br>(m³/s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Crue quinquennale</td><td>5</td><td>0,8</td><td>1,5</td><td>322</td></tr><tr><td>Crue décennale</td><td>10</td><td>0,9</td><td>2,3</td><td>434</td></tr><tr><td>Crue cinquantenaire</td><td>50</td><td>0,98</td><td>3,9</td><td>680</td></tr><tr><td>Crue centennale</td><td>100</td><td>0,99</td><td>4,6</td><td>785</td></tr></tbody></table>

## 3.2 Estimation par la méthode de GRADEX

Comme pour les débits, les précipitations maximales annuelles ont été directement ajustées à la loi de Gumbel, loi des valeurs extrêmes. La station pluviométrique utilisée est celle de Taza avec

Une durée d'observation de 42 ans. L'ajustement des précipitations maximales journalières (série de 43 ans) selon la loi de Gumbel semble très pertinent, d'où l'on observe une distribution très proche des pluies observées autour de la droite d'ajustement. Grâce à la pente (b) de cette droite, on peut tracer ultérieurement la droite de GRADEX afin d'extraire les débits de pointe des crues rares.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figura 5. Droites d'ajustement des débits et d'extrapolation des débits de la station de Bab Marzouka</figcaption></figure>

L'application de la méthode de GRADEX sur les débits maximaux journaliers annuels a permis d'estimer les débits de pointe des crues rares et très rares de l'oued Inaouène. Quatre périodes de retour ont été retenues afin d'en déduire les crues, respectivement les crues de T50, T100, T500 et T1000. Pour ces périodes de retour, les crues d'Inaouène à Bab Marzouka jouent entre 819 et 1508 m³/s.
<table><caption>**Tableau 3.** Crues probables de l'oued Inaouène estimées par la méthode de GRADEX</caption><thead><tr><td>T [ans]</td><td>F(x) Hazen [-]</td><td>Variable u de Gumbel [-]</td><td>QT estimés ( [mm/24] )</td><td>QT estimés [m³/s]</td></tr></thead><tbody><tr><td>50</td><td>0,980</td><td>3,90</td><td>46,9</td><td>819</td></tr><tr><td>100</td><td>0,99</td><td>4,60</td><td>56,0</td><td>979</td></tr><tr><td>500</td><td>0,998</td><td>6,21</td><td>77,2</td><td>1349</td></tr><tr><td>1000</td><td>0,999</td><td>6,91</td><td>86,3</td><td>1508</td></tr></tbody></table>

Les seules limites que l'on peut signaler sur l'utilisation de la méthode de GRADEX restent dans les données pluviométriques. En effet, faute de manque des données pluviométriques journalières sur l'ensemble du bassin, on s'est contenté de l'utilisation des seules observations de la station de Taza (560 m), alors que les zones montagnardes très élevées pourraient recevoir des quantités beaucoup supérieures.

**Conclusion**

L'utilisation de la méthode statistique et l'ajustement par la loi de Gumbel a permis de déterminer des crues de périodes retour allant de cinq ans jusqu'aux crues de fréquence centennale. Pourtant, la fiabilité de cette méthode s'arrête à des crues de temps de retour égal ou inférieur à la période totale d'observation. Au-delà de cette marge, l'utilisation de la méthode de GRADEX est fortement recommandée, en raison de sa capacité de prédéterminer des crues de fréquence très rare, allant jusqu'à 1000 ans, parce qu'elle permet de pallier le problème de l'extrapolation des débits au-delà du domaine d'observation en s'appuyant sur des données pluviométriques et hydrologiques. En effet, les crues rares estimées par la méthode statistique sont médiocres, et en réalité, on les voit se reproduire chaque année, à l'inverse de la méthode de GRADEX dont les débits estimés sont véritablement exceptionnels.

**Conflit d'intérêts** : Les auteurs n'ont signalé aucun conflit d'intérêts.

**Disponibilité des données** : Toutes les données sont incluses dans le contenu de l'article.

**Déclaration de financement** : Les auteurs n'ont obtenu aucun financement pour cette recherche.

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