suivre, il est crucial de préciser qu'il s'agit bien des contraintes quadratiques satisfaites par les signaux internes $(p, q)$ générés par tous les opérateurs $\Delta$ de l'ensemble $\Delta$.

Il est important de souligner aussi que rechercher les contraintes quadratiques de performance n'a de sens que si le système en question est stable. Même si certains types de performance demandés avec une structure des contraintes quadratiques associées peuvent impliquer la stabilité du système, ceci n'est pas le cas en général. Nous allons donc nous focaliser d'abord sur la stabilité.

### 6.3.3.1 Séparation de graphes

Pour étudier la stabilité d'un système, l'approche entrée-sortie s'intéresse à la stabilité interne du système. Le système est donc soumis aux entrées appliquées à l'intérieur de la boucle de rétroaction, comme représenté sur la Figure 6.3, et on cherche à établir la stabilité interne d'interconnexion $\Delta - M_{11}$ : pour tous les signaux bornés<fnref n="4" /> en entrée $w_1$ et $w_2$, les signaux internes $p$ et $q$ restent bornés.

Pour cela, les graphes de deux opérateurs, $\Delta$ et $M_{11}$, sont étudiés. S'il est possible de trouver un opérateur $\Pi$<fnref n="5" /> définissant les contraintes quadratiques complémentaires pour les deux graphes, alors la stabilité interne de l'interconnexion peut être assurée. En fonction de la nature des opérateurs définissant la boucle et les contraintes quadratiques, il existe plusieurs versions de théorèmes assurant la stabilité. Pour ces raisons, ce résultat fondamental est appelé Théorèmes de séparation de graphes [Safonov 1980], dont la version robuste est formulée comme suit.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Interconnexion pour étudier la stabilité interne</figcaption></figure>

Si, pour l'interconnexion de deux opérateurs<fnref n="6" /> : $M_{11}$ et $\Delta$, il existe un opérateur autoadjoint $\Pi$, tel que :

1. pour tout $\Delta$ dans $\Delta$, les signaux $p$ et $q$ tels que $p = \Delta(q)$ vérifient la contrainte

<footnote n="4">4. Dans le sens de la norme définie par le produit scalaire.</footnote>

<footnote n="5">5. Appelé également séparateur quadratique.</footnote>

<footnote n="6">6. Avec quelques hypothèses techniques dépendant du contexte sur la connectivité de l'ensemble $\Delta$ et une existence d'un opérateur $\Delta_0 \in \Delta$ assurant la stabilité interne.</footnote>
quadratique :

$$
\sigma(p, q, \Pi) \geq 0;
$$

2. les signaux p et q tels que $q = M_{11}(p)$, pour un $\varepsilon > 0$, vérifient la contrainte quadratique opposée :

$$
\sigma(p, q, \Pi + \varepsilon I) \le 0
$$

alors le système interconnecté représenté sur la Figure 6.3 est stable de façon interne
et robuste, c'est-à-dire pour tout Δ dans Δ.

Le scalaire ε > 0 est utilisé pour imposer à une de deux conditions <fnref n="7" /> d’être stricte. Dans ce cas-là, les deux conditions assurent que les graphes de Δ et de M₁₁ n’ont qu’un seul point commun, à savoir les signaux nuls (p, q) = (0, 0).

Dans le cas où l'opérateur $M_{11}$ est un opérateur LTI et de manière similaire à (6.4), la deuxième condition peut être simplifiée :

$$
\begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix}^* \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{bmatrix}}_{\Pi(j\omega)} \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix} \le -\varepsilon I - \varepsilon M_{11}^*(j\omega) M_{11}(j\omega) \le -\varepsilon I \qquad (6.12)
$$

Ces conditions, plutôt simples, peuvent être utilisées pour assurer la stabilité d'une classe
importante de systèmes, à condition d'avoir un bon choix de contraintes quadratiques ou, de
manière équivalente, de l'opérateur Π appelé séparateur dans ce contexte. Concrètement, on
recherche un opérateur Π satisfaisant la première condition. S'il est trouvé, la première condi-
tion peut être éliminée et tester la stabilité interne robuste revient donc à tester seulement la
condition 2. Ce résultat, assez général, peut être vu comme une extension du Théorème de
petit gain (si Π = $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$) ou du Théorème de passivité (si Π = $\begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix}$). L'inconvénient est
que les conditions de Théorèmes de séparation ne sont en général que suffisantes et la précision
ou le pessimisme<fnref n="8" /> du résultat, dépendra de la manière dont le système a été modélisé et plus
précisément comment il a été divisé en deux blocs interconnectés Δ (avec son ensemble Δ)
et $M_{11}$. Ceci est dû au fait que la représentation d'un système par interconnexion n'est pas
unique.

Cependant, en spécialisant le résultat à des classes particulières de systèmes interconnec-
tés et donc de types de l'ensemble Δ, il est possible d'établir un ensemble ΦΔ (voir (6.8))
d'opérateurs satisfaisant la condition 1. Cela permet parfois de démontrer que l'existence d'un
opérateur issu de cet ensemble et assurant la séparation de graphes (condition 2) est aussi
une condition nécessaire de stabilité robuste. Malheureusement, en général, afin d'obtenir une
condition qui puisse être vérifiée par un algorithme efficace<fnref n="9" />, il est nécessaire de restreindre la
recherche de l'opérateur à un sous-ensemble ΠΔ (souvent issu d'une paramétrisation affine,
voir (6.10)), ce qui a priori entraîne la perte de la nécessité, car, en général, ΠΔ ⊆ ΦΔ. Pour
la plupart des problèmes de conception de systèmes complexes considérés dans ce mémoire,
il est possible de démontrer que la perte de nécessité est inévitable, car elle est liée à la com-
plexité intrinsèque du problème considéré et non pas à l'approche considérée. Heureusement,
cette perte peut être grandement limitée si la représentation Δ − M11 et la paramétrisation
d'opérateurs sont choisies de manière appropriée, comme nous le verrons par la suite.

<footnote n="7">7. Il est toujours possible d'inverser la nature stricte de deux conditions, en remplaçant par exemple
$\Pi = \tilde{\Pi} - \varepsilon I$.</footnote>

<footnote n="8">8. En anglais conservatism.</footnote>

<footnote n="9">9. Par exemple par l'optimisation Linear Matrix Inequality (LMI), voir les sections suivantes.</footnote>
### 6.3.3.2 S-procédure

Comme évoqué précédemment, la S-procédure permet d'étudier la performance des systèmes (6.1) (voir aussi la Figure 6.1). Évaluer la performance du système selon la même interprétation robuste revient alors à tester si une ou plusieurs contraintes quadratiques de type (6.11) sont respectées par ces signaux externes $(z, w)$ (ou le graphe du système global) étant donné les contraintes quadratiques satisfaites par ces signaux internes $(p, q)$ (ou par le graph de tout $\Delta \in \Delta$). Par la suite, pour des raisons de clarté et d'illustration, l'opérateur $M$ est supposé être un opérateur LTI<fnref n="10" />.

Si, pour l'interconnexion stable de façon interne de deux opérateurs : $M$ et $\Delta$ qui appartiennent à un ensemble $\Delta$, voir (6.1) et la Figure 6.1, il existe l'opérateur auto-adjoint $\Pi$ tel que :

1. pour tout $\Delta$ dans $\Delta$, les signaux $p$ et $q$ tels que $p = \Delta(q)$ vérifient la contrainte quadratique :

$$ \sigma(p, q, \Pi) \geq 0; $$

2. la condition suivante est respectée $\forall \omega$ :

$$ \begin{bmatrix} M(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} \frac{\Pi^{22}(j\omega)}{0} & 0 & \frac{\Pi^{21}(j\omega)}{0} & 0 \\ \frac{-\Pi_p^{11}(j\omega)+\varepsilon I}{0} & 0 & \frac{-\Pi_p^{12}(j\omega)}{0} & 0 \\ \frac{\Pi^{12}(j\omega)}{0} & \frac{-\Pi_p^{21}(j\omega)}{0} & \frac{\Pi^{11}(j\omega)}{0} & \frac{-\Pi_p^{22}(j\omega)+\varepsilon I}{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M(j\omega) \\ I \end{bmatrix} \leq 0 \quad (6.13) $$

alors le graphe $(z, w)$ du système interconnecté (6.1) respecte la contrainte de performance (6.11) pour tout $\Delta$ dans $\Delta$.

Nous obtenons donc un résultat assez général qui permet de tester la performance du système. À titre d'exemple, pour une représentation d'état d'un système LTI, $\Delta$ est un opérateur diagonal d'intégrateurs, $\Delta = \frac{1}{s}I$, et $M$ est une matrice réelle : $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$, l'ensemble (6.10) peut être défini comme :

$$ \mathbf{\Pi}_{\Delta} = \left\{ \Pi \mid \exists P \in \mathbb{R} : P^T = P > 0, \Pi = \begin{bmatrix} 0 & P \\ P & 0 \end{bmatrix} \right\} \quad (6.14) $$

la condition (6.13) avec $\Pi^{perf} = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$ donne alors la condition du célèbre Lemme réel bornée [Boyd 1994].

De la même manière que pour la stabilité, des remarques similaires sur la suffisance et la nécessité de conditions établies peuvent être formulées ici. Néanmoins, comme pour la stabilité, en spécialisant le résultat à des classes particulières de systèmes interconnectés et donc de types de l'ensemble $\Delta$, les conditions à pessimisme limité, voire nécessaires et suffisantes, peuvent être obtenues. Par exemple, dans le cas d'une représentation d'état d'un système LTI, les conditions de Lemme réel borné, obtenues pour $\Pi^{perf} = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$ et la paramétrisation précédente (6.14), sont nécessaires et suffisantes.

<footnote n="10">10. Il est possible de ne pas utiliser cette hypothèse, mais les illustrations seront plus complexes et non nécessaires pour ce mémoire.</footnote>
### 6.3.4 De l'Analyse vers la Synthèse

Les conditions obtenues dans la sous-section précédente permettent de tester la stabilité et la performance d'un système représenté sous forme LFR (6.1). Ces conditions sont les conditions d'analyse permettant d'assurer la stabilité et un niveau de performance garanti pour un système, un choix de ces paramètres et un ensemble d'incertitudes données.

Si, pour une partie d'un système déjà conçu, on souhaite maintenant concevoir une autre partie de système de telle façon que le système global soit stable et assure un certain niveau de performance, il convient de se pencher sur les conditions de synthèse.

Dans ce cas-là, le schéma initial de la Figure 6.1 peut être aussi utilisé, mais l'opérateur $M$ est alors défini comme :

$$M = M_0 + M_1 H M_2 = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} \qquad (6.15)$$

où $M_0, M_1$ et $M_2$ sont les parties données et l'opérateur $H$ est un opérateur à synthétiser.

Le problème de synthèse est donc de trouver l'opérateur approprié $H$. Il est possible de démontrer que ce problème de synthèse est général et inclut comme cas particulier la synthèse de la commande en boucle ouverte (filtre) ou en boucle fermée (correcteur), la synthèse d'une partie d'un circuit, des interconnexions de sous-systèmes, etc. La transformation du problème de la synthèse de la commande en boucle fermée sous forme d'un problème général de synthèse de l'opérateur $H$ considéré en (6.15) est illustrée dans l'annexe A.

Par la suite, en appliquant la séparation de graphe et la S-procédure au nouveau système augmenté, la stabilité interne et un certain niveau de performance<fnref n="11" /> seront assurés pour tout $\Delta$ dans $\Delta$ dont les signaux $p$ et $q$ sont tels que $p = \Delta(q)$ et vérifient une certaine contrainte quadratique :

$$\sigma \left( p, q, \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11} & \Pi^{12} \\ \Pi^{21} & \Pi^{22} \end{bmatrix}}_{\Pi} \right) \geq 0;$$

si les conditions suivantes sont respectées :

Performance :

$$\begin{bmatrix} M(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} \Pi^{22}(j\omega) & 0 \\ 0 & -\Pi_p^{11}(j\omega) + \varepsilon I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Pi^{21}(j\omega) & 0 \\ 0 & -\Pi_p^{12}(j\omega) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Pi^{11}(j\omega) & 0 \\ 0 & -\Pi_p^{22}(j\omega) + \varepsilon I \end{bmatrix} \underbrace{(M_0 + M_1 H M_2)}_{I} (j\omega) \le 0 \quad (6.16)$$

$$\text{Stabilité : } \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix} \le -\varepsilon I$$

où, comme précédemment, l'opérateur augmenté $M$ est supposé être un opérateur LTI et la partie $M_{11}$ de l'opérateur $M$ est sa partie gauche supérieure, voir la structure définie en (6.15). Les deux conditions précédentes doivent être vérifiées sauf pour certains types de contraintes de performance définies par $\Pi^{perf}$ où la première condition (de la performance) implique automatiquement la deuxième condition (celle de la stabilité).

<footnote n="11">11. Définie par la contrainte (6.11).</footnote>
<figure><img src="image_21.png" /></figure>
# Démarche de Conception proposée

## Contents

<table><tr><td>7.1 Introduction</td><td>81</td></tr><tr><td>7.2 Vers un outil de conception</td><td>81</td></tr><tr><td>7.2.1 Recherche d'une paramétrisation adaptée.</td><td>83</td></tr><tr><td>7.2.2 Résolution de conditions d'analyse et de synthèse.</td><td>84</td></tr><tr><td>7.3 Optimisation pour la conception</td><td>86</td></tr><tr><td>7.3.1 La nécessité d'algorithmes de résolution efficaces</td><td>86</td></tr><tr><td>7.3.2 Transformation à une optimisation LMI</td><td>86</td></tr><tr><td>7.3.3 Au-delà d'une simple transformation à une optimisation LMI</td><td>87</td></tr></table>

## 7.1 Introduction

Dans le chapitre précédent, un cadrage assez générique des outils de la Commande robuste et de ses extensions ainsi que les conditions d'analyse et de synthèse associées ont été introduits. Dans ce chapitre sera proposée une démarche de conception unifiée de systèmes complexes basée sur ces conditions. Quelques détails sur les classes de problèmes d'optimisation découlant de cette démarche seront ensuite également exposés afin de comprendre au mieux les enjeux de leur intégration dans les outils de Conception Assistée par l'Ordinateur (CAO).

## 7.2 Vers un outil de conception

Nous avons vu que grâce à l'approche entrée-sortie, il est possible de dériver les conditions d'Analyse et de Synthèse des systèmes dynamiques modélisés sous forme d'une LFR. Les conditions obtenues peuvent alors être exploitées en conception de systèmes complexes.

La démarche proposée dans ce manuscrit s'inspire beaucoup de la Commande Robuste et de ses extensions et combine de manière complémentaire la phase d'analyse et la phase de synthèse. Sa version, assez générale, se divise en plusieurs étapes dont la complexité de réalisation dépend du type de système en question et des (ensembles d') opérateurs le modélisant. Dans tous les cas, pour une représentation équivalente d'un système, le niveau de complexité du problème de synthèse est toujours un cran supérieur à celui de l'analyse. C'est pour ces raisons-là que, même si le problème de synthèse est plus intéressant, le problème d'analyse occupe lui aussi une place importante en conception de systèmes complexes et dans la démarche proposée. Il est en effet possible, pour un niveau de complexité algorithmique similaire, d'analyser le comportement dynamique de systèmes beaucoup plus complexes que ceux que l'on ne peut synthétiser.

La conception d'un système passe alors par plusieurs itérations incluant une phase de synthèse, avec des hypothèses simplificatrices, et une phase d'analyse plus générale permettant
de valider les hypothèses et de garantir le comportement obtenu sur un modèle beaucoup plus représentatif de la réalité. Une troisième phase de conception incluant les simulations et les expériences sur les démonstrateurs réels, constitue aussi une étape cruciale de conception, car elle permet une validation finale du système conçu. Cette dernière phase, conduite sur le modèle de simulation le plus proche du système réel, est néanmoins très coûteuse en temps et en ressources, raison pour laquelle on préfère n'y parvenir qu'à la fin du processus de conception, après plusieurs itérations synthèse-analyse, ce qui explique pourquoi cette phase n'est que peu abordée dans ce manuscrit.

Afin de simplifier le problème de conception et pour être réaliste, nous considérons que l'ensemble entier d'opérateurs $\Phi_{\Delta}$ défini en (6.8) n'est pas forcément connu. Une recherche de la paramétrisation $\Pi_{\Delta}$ est donc nécessaire. La démarche générale de conception des systèmes complexes proposée dans ce mémoire peut alors se résumer par l'Algorithme à deux phases suivant :

**Algorithmme 1** Démarche de Conception

La démarche de Conception proposée consiste en une succession, parfois itérative, de deux phases : une d'Analyse et une de Synthèse, à différents niveaux du système complexe ainsi que dans différentes parties le constituant en supposant que la modélisation du système sous forme d'une LFR (ou une LFR des LFRs) est déjà réalisée.

**Phase d'Analyse :** Étant donné la LFR (6.1), un ensemble $\Delta$ et une contrainte de performance (6.11) à assurer :

1. Trouver une paramétrisation appropriée des contraintes quadratiques respectées par tout $\Delta \in \Delta$, c'est-à-dire un sous-ensemble d'opérateurs $\Pi_{\Delta} \subseteq \Phi_{\Delta}$, tel que la contrainte quadratique

$$ \forall \Delta \in \Delta, \quad \sigma(\Delta(q), q, \Pi) \geq 0 $$

soit respectée pour tout $\Pi \in \Pi_{\Delta}$.

2. Tester s'il existe un opérateur $\Pi \in \Pi_{\Delta}$ tel que la condition (6.12) de la séparation de graphes soit respectée (pour la Stabilité) et la condition (6.13) de la S-procédure soit respectée (pour la Performance).

**Phase de Synthèse :** Étant donné la LFR (6.1), un ensemble $\Delta$ et une contrainte de performance (6.11) à assurer :

1. Trouver une paramétrisation appropriée des contraintes quadratiques respectées par tout $\Delta \in \Delta$ c'est-à-dire les sous-ensembles d'opérateurs $\Pi_{\Delta} \subseteq \Phi_{\Delta}$, tels que la contrainte quadratique

$$ \forall \Delta \in \Delta, \quad \sigma(\Delta(q), q, \Pi) \geq 0 $$

soit respectée pour tout $\Pi \in \Pi_{\Delta}$.

2. Calculer l'opérateur $H$, la partie à concevoir de l'opérateur $M$ (6.15), tel qu'il existe un opérateur $\Pi \in \Pi_{\Delta}$ satisfaisant les conditions (6.16) issues de la Séparation de graphes et de la S-procédure (pour la Performance et la Stabilité).

Regardons maintenant en détail les étapes proposées de la phase d'analyse et de synthèse afin de déterminer s'il est possible de les intégrer aux outils de CAO.
### 7.2.1 Recherche d'une paramétrisation adaptée.

Les premières étapes de la Phase d'Analyse et de Synthèse sont les mêmes et peuvent être simplifiées si les ensembles $\Delta$ sont les ensembles pour lesquels il existe déjà, dans la littérature, des paramétrisations précises. Ces ensembles, dans ce cas précis, sont appelés des ensembles de blocs élémentaires, voir le Tableau 7.1 pour une liste non exhaustive de blocs élémentaires ainsi que la structure de paramétrisation associée exprimée dans le domaine fréquentiel<fnref n="1" />. Il est important de souligner le caractère modulaire de l'approche proposée. En effet, si les opérateurs $\Delta$ contiennent une combinaison bloc diagonale des différents blocs élémentaires $\Delta_i$, la paramétrisation finale peut être facilement obtenue aussi par le biais d'une combinaison bloc diagonale de paramétrisations séparées $\Pi_{\Delta_i}$.

<table><caption>TABLE 7.1 – Paramétrisations connues</caption><thead><tr><th>Ensemble d'opérateurs Δ</th><th>Structure de paramétrisation Π<sub>Δ</sub><br>disponible, domaine fréquentiel</th><th>Sources</th></tr></thead><tbody><tr><td>1. Incertitudes<br>paramétriques : Δ = δI,<br>δ ∈ ℝ, |δ| ≤ 1</td><td><table><tr><td>-D(jω)</td><td>G(jω)</td></tr><tr><td>G*(jω)</td><td>D(jω)</td></tr></table>, avec<br><table><tr><td>D*(jω)=D(jω)>0</td></tr><tr><td>G*(jω)=-G(jω)</td></tr></table></td><td>[Fan 1991]</td></tr><tr><td>2. Incertitudes dynamiques<br>LTI : Δ = Δ<sub>LTI</sub>,<br>||Δ<sub>LTI</sub>(s)||<sub>∞</sub> ≤ 1</td><td><table><tr><td>-d(jω) I</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>d(jω) I</td></tr></table>, avec<br>d(jω) > 0</td><td>[Fan 1991]</td></tr><tr><td>3. Paramètres bornés<br>variants : Δ = δ(t) I,<br>δ(t) ∈ ℝ, |δ(t)| ≤ 1</td><td><table><tr><td>-D</td><td>G</td></tr><tr><td>G<sup>T</sup></td><td>D</td></tr></table>, avec<br>D<sup>T</sup> = D > 0<br>G<sup>T</sup> = -G</td><td>[El Ghaoui 1994]</td></tr><tr><td>4. Dynamiques Temps<br>Variant : Δ = Δ<sub>TV</sub>,<br>||Δ<sub>TV</sub>||<sub>L2</sub> ≤ 1</td><td><table><tr><td>-dI</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>dI</td></tr></table>, avec<br>d > 0</td><td>[Shamma 1995]</td></tr><tr><td>5. Intégrateurs : Δ(s) = 1/s I</td><td><table><tr><td>0</td><td>P</td></tr><tr><td>P</td><td>0</td></tr></table>, avec<br>P* = P > 0</td><td>[Trentelman 1991]</td></tr><tr><td>6. Retards incertains<br>Δ(s) = (e<sup>τs</sup> - 1) I</td><td><table><tr><td>W(jω)</td><td>W(jω)+γ(jω)S(jω)</td></tr><tr><td>W*(jω)+γ(jω)S(jω)</td><td>0</td></tr></table>,<br>avec<br>S*(jω)=S(jω)>0<br>W*(jω)=W(jω)<br>et<br>γ(jω) = <table><tr><td>cot(πω/2+j), ∀ω∈[0, 2π/τ]</td></tr><tr><td>0, ∀ω∈[2π/τ, +∞]</td></tr></table></td><td>[Scorletti 1997b]</td></tr><tr><td>7. Vecteurs incertains dans<br>un ellipsoïde</td><td></td><td>[Bombois 2001]</td></tr><tr><td>8. Autres vecteurs incertains</td><td></td><td>[Scorletti 2007]</td></tr><tr><td>9. Autres opérateurs</td><td></td><td>[Megretski 1997, Veenman 2016]</td></tr></tbody></table>

Dans le cas contraire, la recherche d'une paramétrisation s'avère nécessaire. Une telle recherche peut être accomplie analytiquement en exploitant les propriétés particulières de l'ensemble donné $\Delta$, voir par exemple le cas des opérateurs variant dans le temps de manière harmonique de la section 10.3. Néanmoins, dans le cas où la recherche de la paramétrisation

<footnote n="1">1. Pour alléger le manuscrit, les paramétrisations de 3 derniers cas ne sont pas données, mais peuvent être retrouvées dans les articles correspondants.</footnote>
est nécessaire, l'étape ne peut malheureusement pas être intégrée dans les outils de CAO, et
doit être effectuée au préalable par un automaticien expérimenté.

Cependant, si les sous-opérateurs $\Delta_i$ (constituant $\Delta$) de ces ensembles sont eux-mêmes
modélisés sous forme d'une LFR des blocs élémentaires (le système global est modélisé par
une LFR de LFRs), la recherche de la paramétrisation des contraintes quadratiques peut être
effectuée par optimisation. Comme ce sera montré dans ce manuscrit, il est alors possible,
avec les outils présentés de l'approche entrée-sortie, de propager les paramétrisations connues
dans la littérature $\Pi_{\Delta_i}$ des contraintes quadratiques des blocs élémentaires $\Delta_i$ vers une
nouvelle paramétrisation de contraintes quadratiques $\Pi_{\Delta}$ de l'ensemble $\Delta$. Cette idée sera
pleinement exploitée dans l'analyse hiérarchique de la performance de systèmes complexes
(voir section 8.2). En conclusion, à partir du moment où les paramétrisations de blocs élé-
mentaires sont connues, il est possible d'intégrer la première étape de la Phase d'Analyse et
celle de la Synthèse dans les outils de CAO, même si, pour cela, il est nécessaire de propager
les contraintes quadratiques.

7.2.2 Résolution de conditions d'analyse et de synthèse.

Pour finir, la dernière étape des deux phases de conception (Analyse et Synthèse) peut
être résolue par l'optimisation et peut donc également être intégrée dans les outils de CAO.
Pour y arriver, un point bloquant pratique peut être la dépendance de la fréquence $\omega$ aux
conditions d'analyse (6.12), (6.13) ou de synthèse (6.16) obtenues. En effet, dans le cas des
opérateurs $\Pi_{\Delta}$ ou $\Pi^{perf}$ dynamiques$^2$, les conditions obtenues sont de dimension infinie, car
elles doivent être testées pour tout $\omega^3$. Même si ces conditions sont convexes, la résolution
numérique est pratiquement impossible. Pour résoudre ce problème, deux approches sont
envisageables : (i) l'approche basée sur le Lemme Kalman Yakubovich Popov (KYP) et
(ii) l'approche basée sur la grille fréquentielle. Prenons à titre d'illustration l'exemple de la
condition de stabilité (6.12), la même démarche peut être appliquée aux autres conditions.

L'approche KYP. Si la matrice centrale de (6.12) peut être factorisée comme suit :

$$
\begin{bmatrix} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{bmatrix} = \Psi^*(j\omega) M_{\Pi} \Psi(j\omega) \quad (7.1)
$$

avec une matrice réelle symétrique $M_{\Pi}$ et une fonction de transfert matricielle stable $\Psi(s)$ d'ordre fini de dimensions compatibles, il est possible d'appliquer le Lemme KYP [Trentelman 1991, Rantzer 1996, Iwasaki 2005] pour obtenir l'équivalence entre la condition (6.12) avec la factorisation (7.1) :

$$
\forall \omega, \quad \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix}^* \Psi^*(j\omega) M_{\Pi} \Psi(j\omega) \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix} \le -\epsilon I
$$

et la condition indépendante de la fréquence : il existe une matrice symétrique $P > 0$, telle que

$$
\begin{bmatrix} I & 0 \\ A & B \\ C & D \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 0 & P & 0 \\ P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M_{\Pi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ A & B \\ C & D \end{bmatrix} \le -\epsilon I. \quad (7.2)
$$

où les matrices A, B, C et D sont les matrices de représentation d'état de dimensions
appropriées, associées à l'opérateur LTI $\Psi \begin{bmatrix} I \\ M_{11} \end{bmatrix}$.

<footnote n="2">2. De l'opérateur M également.</footnote>

<footnote n="3">3. En réalité, l'espace vectoriel défini par les fonctions matricielles en $j\omega$ est de dimension infinie.</footnote>
Le Lemme KYP peut être vu comme une application particulière de la S-procédure [Scherer 1997b, Iwasaki 2000], où l'opérateur $\Psi \begin{bmatrix} I \\ M_{11} \end{bmatrix}$ est modélisé par une LFR (6.1) et en utilisant la paramétrisation (6.14) et $\Pi^{perf} = M_{\Pi}$. Cette approche permet en effet de transformer la condition fréquentielle de dimension infinie en une condition indépendante de fréquence de dimension finie, mais avec les inconnues supplémentaires.

L'inconvénient de cette approche est d'une part la nécessité d'avoir une représentation d'état de l'opérateur $\Psi$, ce qui peut être compliqué, voire impossible, selon le type d'opérateur $\Pi$ en question. D'autre part, dans la mesure où l'ordre de $\Psi$ est limité, la paramétrisation factorisée correspondante $\Pi_{\Delta}^{\Psi}$ :

$$ \Pi_{\Delta}^{\Psi} = \{ \Pi = \Pi^{*} \mid \forall i \in \{1, \dots, d\} \ \exists \tau_{i} \geq 0 : \Pi = \Psi^{*} \left( \sum_{i=1}^{d} \tau_{i} M_{\Pi_{i}} \right) \Psi \} \quad (7.3) $$

où les matrices données $M_{\Pi_i}$ sont telles que $\forall i \in \{1, \dots, d\}$, $M_{\Pi_i} = M_{\Pi_i}^T$ et

$$ \forall \Delta \in \Delta, \forall q, \sigma \left( \overbrace{\Delta(q)}^{p}, q, \overbrace{\Psi^* M_{\Pi_i} \Psi}^{\Pi_i} \right) \geq 0, $$

peut être encore plus réduite dans le sens que $\Pi_{\Delta}^{\Psi} \subseteq \Pi_{\Delta} \subseteq \Phi_{\Delta}$. Dans ce cas-là, le niveau de pessimisme peut être encore plus important. Cependant, un choix approprié de la matrice $\Psi(s)$, par exemple en forme d'une factorisation co-prime ou d'une factorisation rationnelle co-prime [Zhou 1995, Scorletti 2006b], et de son ordre, permet d'obtenir les résultats précis et à complexité limitée.

**L'approche grille fréquentielle.** Selon cette approche, la condition (6.12) est testée fréquence par fréquence, en fixant une grille fréquentielle appropriée contenant un nombre suffisant, mais fini, de fréquences à tester. Cette approche habituellement adoptée en $\mu$-analyse [Doyle 1982, Fan 1991] permet, en effet, sans introduction de la représentation d'état associée aux opérateurs $\Pi$, de limiter la complexité algorithmique. En outre, vu que l'opérateur $\Pi$ et le système $M_{11}$ sont LTI, l'analyse pour les fréquences différentes peut être réalisée en parallèle.

L'avantage de cette approche est qu'elle permet donc de tester les conditions dépendant de fréquences sans introduction de la représentation d'état supplémentaire ni complexité ou pessimisme excessifs.

Son inconvénient, par contre, est le risque lié à la variation brusque de $M_{11}(j\omega)$; par exemple dans le cas de systèmes mal amortis, où il est possible d'omettre un pic de résonance entre les deux fréquences successives. Ce risque peut néanmoins être mitigé en choisissant la grille de fréquence prenant en compte l'information disponible sur le système $M_{11}$ : son caractère passe-bas (pour les systèmes physiques) permet, par exemple, de limiter la plage de fréquences d'intérêt. En outre, il est possible d'utiliser les méthodes d'affinement de la grille de fréquences proposées en [Lawrence 1996, Lawrence 2000]. Il est également possible de combiner l'approche par grille de fréquences avec l'approche KYP en réalisant l'analyse par plages de fréquences [Ferreres 1998, Iwasaki 2005], voir aussi notre article [C.16], mais cela nécessite quand même de fixer une représentation d'état pour l'opérateur $\Pi$.

Avant de présenter en détails les outils de conception proposés dans les chapitres qui suivent, les méthodes d'optimisation, nécessaires pour accomplir les étapes discutées précédemment, sont présentées ci-après.
## 7.3 Optimisation pour la conception

### 7.3.1 La nécessité d'algorithmes de résolution efficaces

Comme illustré dans la section précédente, plusieurs étapes de la démarche de conception des systèmes complexes proposée peuvent être accomplies par l'optimisation. Elles peuvent donc être intégrées dans l'outil de conception assistée par l'ordinateur de métier. Ceci permet d'augmenter la productivité et la maitrise de la conception, la généralité des systèmes considérés ainsi que le niveau d'exigence et la finesse de compromis du cahier des charges considéré.

Cependant, l'efficacité d'une telle démarche d'intégration dépend fortement de la disponibilité des algorithmes de résolution de ces problèmes d'optimisation ainsi que de leur temps d'exécution. En général, plus la représentation du système est complexe et donc proche de la réalité, plus la complexité algorithmique des problèmes d'optimisation associés à la conception de ce système est élevée. Ceci constitue une limitation importante de l'efficacité pratique d'utilisation de l'optimisation pour la conception. Cependant, les efforts de formulation du problème d'optimisation ainsi que sa transformation permettent de limiter la complexité algorithmique.

En effet, en formulant un problème d'optimisation de manière directe (optimisation brute), nous tombons généralement dans une classe de problèmes d'optimisation dite globale. Cette classe de problèmes d'optimisation demande peu d'efforts pour la formulation et la transformation du problème initial et présente l'avantage d'être très générique et exploitable pour une classe de modèles très généraux. Elle possède cependant plusieurs inconvénients : présence de plusieurs minimums, forte dépendance du résultat d'optimisation au point d'initialisation, un temps de résolution prohibitif, etc.

Pour ces raisons, il est plus intéressant d'essayer de transformer le problème d'optimisation brute en une classe de problèmes d'optimisation convexe qui possèdent un seul minimum et dont la solution ne dépend donc pas du point d'initialisation [Ben-Tal 2001, Nesterov 2004]. En outre, si la classe de problèmes d'optimisation est restreinte à l'optimisation convexe sous contraintes LMI (Linear Matrix Inequality), il existe alors un algorithme de résolution efficace [Nesterov 1994] implémenté dans de nombreux logiciels tels que LMI Lab de Robust Control Toolbox™ de Matlab® [Balas 2021], CVX [CVX Research 2020], yalmip [Löfberg 2004] et autres. L'optimisation LMI, bien qu'ayant un algorithme de résolution à temps raisonnable d'exécution (décrit par une fonction polynomiale en fonction de la taille du problème), est apparue suffisamment générale pour traiter des problèmes d'Automatique [Boyd 1994] complexes.

Une contrainte LMI est définie par l'ensemble de vecteurs (variables de décision) 4 :

$$ \{ \xi \in \mathbb{R}^{n_{\xi}} | F_0 + \sum_{i=1}^{n_{\xi}} \xi_i F_i > 0 \} \qquad (7.4) $$

où les $F_i$ sont des matrices carrées symétriques et $\xi_i$ représente $n_{\xi}$ variables de décision. Cette représentation recouvre les contraintes avec les variables de décision matricielles qui apparaissent de manière affine.

### 7.3.2 Transformation à une optimisation LMI

Dans le cadre de la transformation d'un problème brut d'optimisation en problème d'optimisation sous contraintes LMI, 3 cas de figure sont possibles, voir la démarche LMI proposée

<footnote n="4">4. On peut remarquer une certaine similitude en la structure de contrainte LMI (7.4) et celle de l'ensemble de paramétrisation (6.10), ce qui souligne une importance pratique de la paramétrisation proposée.</footnote>
dans [Scorletti 1997a, Scorletti 2006a] : le Problème est formulé naturellement (quasi directement) comme un problème LMI, une Transformation équivalente en optimisation LMI peut être obtenue ou une Relaxation en optimisation LMI est nécessaire, voir les exemples de telles transformations en Annexe B. Le premier cas arrive souvent dans le cas de problèmes d'analyse simples. Concernant le deuxième cas de figure, la formulation du problème d'optimisation sous forme LMI n'est pas forcément directe et un certain nombre de mécanismes de transformations équivalentes est nécessaire pour arriver à l'optimisation LMI. Dans le troisième cas, en revanche, la complexité du problème d'optimisation ne permet pas une transformation équivalente à une optimisation LMI et le problème initial est simplifié. La version simplifiée est choisie de telle sorte que (i) sa résolution garantit le respect des conditions du problème initial et on parle alors de *relaxation* du problème d'optimisation, et (ii) qu'elle puisse être transformée en optimisation LMI. La relaxation introduit inévitablement du pessimisme dans les conditions simplifiées obtenues (conditions seulement suffisantes) et il est donc important d'estimer et de limiter son niveau. Malheureusement, la plupart des problèmes de conception de systèmes complexes relèvent du cas de figure où la relaxation est nécessaire, et la gestion du niveau de pessimisme s'impose donc. Dans ce cas-là, les deux approches, à savoir l'optimisation globale et l'optimisation LMI sont complémentaires. Dans ce cas, il est en effet très pertinent de procéder en deux étapes : (i) résoudre dans un premier temps le problème d'optimisation LMI simplifié et (ii) utiliser la solution obtenue comme point d'initialisation d'optimisation globale qui correspond au problème initial et permet davantage d'affiner la solution. Mes activités de recherches se sont principalement focalisées sur la première étape d'une telle démarche, comme le reflète ce manuscrit.

### 7.3.3 Au-delà d'une simple transformation à une optimisation LMI

Dans la sous-section précédente, nous avons souligné l'importance de la transformation de différentes étapes du problème d'analyse et de synthèse sous forme d'optimisation LMI même si elle nécessite une relaxation provoquant donc un certain pessimisme. Cette démarche s'avère nécessaire afin de disposer d'algorithmes efficaces de résolution et de réussir l'intégration efficace de l'approche de conception proposée dans des outils CAO.

Néanmoins, pour la conception des systèmes modernes, cette démarche n'est pas une condition suffisante pour qu'une telle intégration soit efficace. En effet, la complexité croissante des systèmes modernes impose une taille de problème optimisation si importante que même transformé en un problème d'optimisation LMI (de manière équivalente ou via une relaxation), le temps de sa résolution reste prohibitif et non exploitable. C'est d'ailleurs pour cela que dans ce manuscrit, de tels systèmes sont appelés systèmes complexes. Les exemples typiques de systèmes complexes sont les réseaux de sous-systèmes dynamiques interconnectés de grande dimension pouvant être décrits par la Figure 6.2 avec *N* de l'ordre du millier.

En réalité, pour un problème de conception donné la démarche de sa transformation en un problème d'optimisation LMI n'est pas unique. Comme nous allons le voir par la suite, si les propriétés structurelles du problème sont prises en compte, il est possible d'obtenir le problème d'optimisation LMI de complexité raisonnable et avec un pessimisme limité. Ce problème d'optimisation est, en général, un ensemble de sous-problèmes d'optimisation de dimensions réduites obtenus suite à une certaine décomposition fixée par la structure même du problème. La prise en compte de la structure joue donc un rôle crucial en réduction de complexité de problèmes de conception.

Deux voies ici sont possibles. Soit le problème d'optimisation est formulé directement et on cherche à le transformer en prenant en compte la structure au niveau de l'algorithme d'optimisation, ce qui nécessite des connaissances pointues d'optimisation numérique et de
ses algorithmes de résolution. Soit la structure du problème initial de la conception est prise en compte dès l'étape de sa formulation ce qui nécessite des connaissances pointues en Automatique.

Dans ce manuscrit la deuxième voie est choisie, pour des raisons évidentes de connaissance de l'auteur, mais aussi parce qu'elle suit une démarche similaire à ce qui a été présenté dans ce chapitre. Outre, comme nous allons le voir, cette deuxième voie permet d'introduire un indicateur supplémentaire de réglage du compromis complexité/pessimisme.
# Exploitation de la structure en conception de systèmes

## Contents

<table><tr><td>8.1 Introduction</td><td>89</td></tr><tr><td>8.2 Analyse hiérarchique de la robustesse</td><td>89</td></tr><tr><td>8.2.1 Définition du problème et approche proposée</td><td>89</td></tr><tr><td>8.2.2 Propagation de contraintes quadratiques</td><td>92</td></tr><tr><td>8.2.3 Incertitude de gain, incertitude de phase et incertitude mixte</td><td>93</td></tr><tr><td>8.2.4 Quelques remarques sur l'extension de l'approche hiérarchique</td><td>97</td></tr><tr><td>8.3 Commande Robuste de systèmes Multi-Agents</td><td>98</td></tr><tr><td>8.3.1 Définition du problème</td><td>98</td></tr><tr><td>8.3.2 Lien global-local</td><td>99</td></tr><tr><td>8.3.3 Choix de la caractérisation de sous-systèmes</td><td>100</td></tr><tr><td>8.3.4 Performance relative pour imposer les contraintes fréquentielles</td><td>101</td></tr><tr><td>8.3.5 Localisation et observation distribuées</td><td>102</td></tr><tr><td>8.4 Identification pour la commande de systèmes Multi-Agents</td><td>102</td></tr></table>

## 8.1 Introduction

Ce chapitre est dédié à la présentation des résultats du développement de méthodes visant à faciliter la conception de systèmes interconnectés de grande dimension. Dans un premier temps, la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 de la démarche de conception proposée est utilisée pour réaliser l'analyse de la robustesse de systèmes LTI de grande dimension prenant en compte la structure hiérarchique de ces derniers. Le même algorithme est ensuite déployé afin d'étendre la Commande Robuste aux systèmes Multi-Agents en exploitant, là-encore, l'information disponible sur la topologie de leur interconnexion.

## 8.2 Analyse hiérarchique de la robustesse

### 8.2.1 Définition du problème et approche proposée

Comme nous l'avons vu précédemment pour la conception de systèmes complexes, la complexité sous-jacente peut rester un obstacle pour le développement d'outils de conception efficaces et ce, même si les problèmes d'optimisation associés sont transformés en problèmes d'optimisation LMI. La présente section montre toutefois que la prise en compte de la structure du problème de conception permet de contourner cet obstacle. Nous nous focalisons sur les problèmes d'analyse de la performance de systèmes complexes à grande dimension. Cette problématique est une extension de la méthode d'analyse proposée dans la section 5.2.
Grâce au développement technologique et à la miniaturisation des composants, l'interconnexion de systèmes complexes pour former des systèmes de grande dimension en réseau s'est largement répandue dans les différents domaines technologiques. Des systèmes de plus en plus complexes sont ainsi conçus afin d'atteindre les niveaux de performance souhaités. Cependant, durant la phase de fabrication, la performance nominale est susceptible d'être dégradée en raison des dispersions technologiques, du vieillissement des composants, de la difficulté de modélisation précise et d'autres incertitudes. L'objectif est donc de parvenir à garantir le niveau de performance visé en dépit de ces incertitudes.

Considérons un problème d'analyse de performance robuste d'un système de grande dimension LTI décrit par une LFR avec une structure hiérarchique à deux niveaux telle que représentée sur la Figure 8.1. Ici, le système global (premier niveau hiérarchique) est une LFR des N sous-systèmes locaux $\Omega_i$ et un opérateur LTI décrivant l'interconnexion $M_\Omega$. Les sous-systèmes locaux sont incertains et leur agrégation bloc-diagonale appartiennent à un ensemble incertain $\Omega$ :

$$ \Omega = \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} (\Omega_i) \in \Omega = \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} (\Omega_i). $$

Les sous-systèmes locaux (deuxième niveau hiérarchique) sont eux-mêmes une LFR d'un opérateur LTI connu $M_i$ et l'opérateur LTI incertain $\Delta_i$. Les opérateurs incertains $\Delta_i$ sont supposés être des blocs élémentaires dans le sens qu'ils appartiennent chacun à un ensemble d'incertitudes donné $\Delta_i$ pour lesquels il existe dans la littérature les paramétrisations $\Pi_{\Delta_i} =$

$$ \begin{bmatrix} \Pi_i^{11} & \Pi_i^{12} \\ \Pi_i^{21} & \Pi_i^{22} \end{bmatrix} $$ précises de type (6.10), voir le Tableau 7.1.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR) avec une structure hiérarchique</figcaption></figure>

Le problème considéré est celui de l'évaluation de la stabilité robuste du système global et de sa performance robuste, celle-ci étant définie par rapport au graphe $(z, w)$ et par la contrainte quadratique (6.11) pour tous les opérateurs $\Delta_i \in \Delta_i$. Ce problème présente deux
grandes difficultés : (i) l'analyse de la robustesse du système incertain est connue NP difficile [Braatz 1994] et (ii) la grande dimension et les contraintes structurelles du système global qui complexifient le problème d'analyse de la stabilité ou de performance du système global même dans le cas nominal sans incertitudes [Moylan 1980, Vidyasagar 1981, Fax 2004, Lestas 2006, Olfati-Saber 2007, Lestas 2010, Lestas 2012].

Deux possibilités existent pour résoudre ce problème : une approche directe et une approche hiérarchisée, cette dernière étant proposée dans le présent manuscrit. L'approche directe permet de prendre en compte la difficulté d'analyse de la robustesse avec les outils de la Commande Robuste proposée précédemment, mais ne tient pas compte de la difficulté liée à la grande dimension et aux contraintes structurelles du problème. En revanche, l'approche hiérarchisée permet de traiter de manière appropriée ces deux difficultés et présente l'avantage d'utiliser les mêmes outils de la Commande Robuste et ses extensions.

### Approche directe

Après quelques manipulations, la LFR initiale à deux niveaux hiérarchiques de la Figure 8.1 peut être transformée en une LFR à un seul niveau hiérarchique, tel que représenté dans la Figure 6.2, voir aussi (6.1) avec $\Delta = \text{bdiag}_{i=1}^N (\Delta_i) \in \Delta$ et un opérateur global $M$ correspondant. L'analyse de robustesse peut alors être réalisée, voir la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1. Ici, la première étape n'est pas nécessaire, car $\Delta_i \in \Delta_i$ sont des blocs élémentaires. Pour effectuer la deuxième étape, une paramétrisation $\Pi_{\Delta}$ peut être définie comme :

$$ \Pi_{\Delta} = \begin{bmatrix} \text{bdiag}_{i=1}^N (\Pi_i^{11}) & \text{bdiag}_{i=1}^N (\Pi_i^{12}) \\ \text{bdiag}_{i=1}^N (\Pi_i^{21}) & \text{bdiag}_{i=1}^N (\Pi_i^{22}) \end{bmatrix} \quad (8.1) $$

avec

$$ \begin{bmatrix} \Pi_i^{11} & \Pi_i^{12} \\ \Pi_i^{21} & \Pi_i^{22} \end{bmatrix} = \Pi_{\Delta_i} \quad (8.2) $$

les paramétrisations connues pour chaque ensemble $\Delta_i$. La deuxième étape de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 revient alors à tester s'il existe un opérateur $\Pi \in \Pi_{\Delta}$ tel que la condition (6.12) (pour la Stabilité) et la condition (6.13) (pour la Performance) soient respectées pour :

<table><thead><tr><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>bdiag<sup>N</sup><sub>i=1</sub> (Δ<sub>i</sub>)</td><td>(8.1) et (8.2) ainsi que Tableau 7.1</td><td>(6.11)</td></tr></tbody></table>

Toutefois, les problèmes d'optimisation associés peuvent s'avérer très complexes. Cette complexité est décrite par une fonction polynomiale d'ordre 3 (complexité moyenne d'optimisation LMI en fonction de nombre de variables [Nesterov 1994]) dans le nombre $N$ de sous-systèmes.

Cette complexité, en plus de la grande taille $N$, est due au fait que la structure hiérarchique du système d'origine n'est pas prise en compte. En effet, étant donné que le calcul de l'opérateur global $M$ emploie l'inversion<fnref n="1" />, la structure, initialement présente dans l'opérateur $M_{\Omega}$ et décrivant l'interconnexion de sous-systèmes<fnref n="2" />, est alors détruite au niveau de l'opérateur $M$ décrivant la nouvelle interconnexion. Il n'est donc plus possible d'exploiter les propriétés structurelles fortes du problème initial afin de réduire la complexité des problèmes d'optimisation associés, en tout cas en utilisant les algorithmes d'optimisation LMI traditionnels [Nesterov 1994].

<footnote n="1">1. d'opérateurs ou de matrices complexes dans le domaine fréquentiel.</footnote>

<footnote n="2">2. généralement il s'agit d'une structure creuse, avec beaucoup de zéros, représentant l'absence d'interconnexion entre certains sous-systèmes.</footnote>
## Approche hiérarchisée

La deuxième approche est basée sur l'idée de la propagation des cônes, initialement introduite par Safonov [Safonov 1983a] au début des années 1980, puis réactualisée dans le contexte de l'optimisation LMI dans [Scorletti 1997a] et développée dans nos travaux, notamment sous forme d'outil de conception, voir la thèse de Khaled Laib [T.1] que j'ai co-encadrée et les publications [C.8], [C.12], [C.14], [C.16] et [A.5] (voir l'annexe pour ce dernier article). Cette approche consiste à décomposer le problème global d'analyse de la robustesse en plusieurs problèmes locaux d'analyse de la robustesse plus simples. Contrairement aux approches qui proposent de réaliser une décomposition du problème d'optimisation de l'approche directe au niveau de l'algorithme de résolution [Anderson 2012, Anderson 2014], la décomposition est ici réalisée dès la formulation du problème. Elle exploite la structure hiérarchique de ce dernier sans se limiter à des types d'interconnexion spécifiques comme dans [Kao 2009, Jönsson 2010].

Dans cette approche, le problème considéré est résolu en deux étapes, selon l'architecture hiérarchique en question. La première étape consiste à propager les paramétrisations de contraintes quadratiques $\Pi_{\Delta_i}$ des blocs élémentaires $\Delta_i$ à la paramétrisation de contraintes quadratiques $\Pi_{\Omega}$ de l'opérateur $\Omega$. Comme ce sera illustré par la suite, cette étape peut être résolue sous la forme de plusieurs sous-problèmes d'optimisation indépendants de petite taille. La seconde étape consiste alors à appliquer la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 en exploitant la paramétrisation obtenue $\Pi_{\Omega}$, avec

<table><thead><tr><th>M</th><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M<sub>Ω</sub></td><td>Ω</td><td>Π<sub>Ω</sub></td><td>(6.11)</td></tr></tbody></table>

Contrairement à l'approche directe, la complexité globale des problèmes d'optimisation associés aux deux étapes est ici radicalement réduite. Elle est décrite soit comme une fonction affine en nombre de sous-systèmes $N$ (si les sous-problèmes de la première étape sont résolus en série), soit comme une fonction logarithmique en nombre de sous-systèmes $N$ (si les sous-problèmes de la première étape sont résolus en parallèle), voir [A.5] disponible en annexe.

Cette réduction importante de la complexité est obtenue en prenant en compte directement et naturellement la structure hiérarchique du problème. Le problème d'analyse initial est en effet décomposé en plusieurs problèmes d'analyse de petite taille et de faible complexité selon la hiérarchie inhérente du système global. Les problèmes d'analyse du même niveau hiérarchique sont indépendants et peuvent être résolus en parallèle, ce qui permet de les résoudre encore plus facilement. En outre, suite à la propagation des paramétrisations $\Pi_{\Delta_i} \rightarrow \Pi_{\Omega}$, pour procéder à la deuxième étape de l'approche hiérarchique, l'ensemble uncertain $\Omega$, qui peut être complexe et structuré, est remplacé par sa paramétrisation $\Pi_{\Omega}$ qui peut être vue comme un ensemble plus simple d'incertitudes non structurées. Ceci résulte en une réduction supplémentaire de complexité du problème d'analyse initiale. Néanmoins, afin de réaliser l'analyse hiérarchique de la robustesse, il est indispensable de résoudre le problème de la propagation de la paramétrisation des contraintes quadratiques entre deux niveaux hiérarchiques du système global ce qui est présenté par la suite.

### 8.2.2 Propagation de contraintes quadratiques

Similaire au (6.10), la paramétrisation des contraintes quadratiques $\Pi_{\Omega}$ de l'opérateur $\Omega$ est définie comme suit :
$$ \Pi_{\Omega} = \left\{ \Pi = \Pi^* \mid \begin{array}{l} \forall i \in \{1, \dots, N\} \\ \forall j \in \{1, \dots, d\} \\ \exists \tau_{ij} \ge 0 \end{array} \right. , \Pi = \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} \left( \sum_{j=1}^{d} \tau_{ij} \Pi_{ij}^{11} \right) & \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} \left( \sum_{j=1}^{d} \tau_{ij} \Pi_{ij}^{12} \right) \\ \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} \left( \sum_{j=1}^{d} \tau_{ij} \Pi_{ij}^{21} \right) & \mathbf{bdiag}_{i=1}^{N} \left( \sum_{j=1}^{d} \tau_{ij} \Pi_{ij}^{22} \right) \end{array} \right] \quad (8.3) $$

où l'indice *i* représente le numéro de sous-système alors que l'indice *j* représente le numéro de l'opérateur linéaire auto-adjoint utilisé pour la paramétrisation 3. Ici, les variables $\tau_{ij}$ joueront le rôle de variables de décision lors de l'étape 2 de l'analyse hiérarchique, alors que les opérateurs

$$ \Pi_{ij} = \begin{bmatrix} \Pi_{ij}^{11} & \Pi_{ij}^{12} \\ \Pi_{ij}^{21} & \Pi_{ij}^{22} \end{bmatrix} $$

peuvent être vus comme la base de la paramétrisation. Cette base est obtenue grâce à la propagation des contraintes quadratiques de l'étape 1 de l'analyse hiérarchique. Ceci est accompli en résolvant (possiblement plusieurs fois) la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 pour chaque LFR du niveau 2 de la Figure 8.1 en construisant plusieurs opérateurs de performance $\{\Pi_{i1}^p, \dots, \Pi_{ij}^p, \dots, \Pi_{id}^p\}$ assurant la contrainte de type (6.11) pour chaque ième LFR à partir d'une paramétrisation $\Pi_{\Delta_i}$ du bloc élémentaire $\Delta_i$. Profitant de la double nature des contraintes quadratiques (permettant à la fois de caractériser un système incertain ou de définir sa performance), la base est alors définie par :

$$ \Pi_{ij} = \Pi_{ij}^{p} $$

La qualité de cette base définit la précision et le pessimisme du résultat de l'analyse globale. Plus la base est riche ou, autrement dit, plus elle comporte d'éléments $\Pi_{ij}$, plus le résultat final est précis, car l'ensemble $\Pi_{\Omega}$ est proche de l'ensemble $\Phi_{\Omega}$. Toutefois, l'introduction d'éléments dans la base augmente le nombre de problèmes d'optimisation à résoudre lors de la première étape hiérarchique ainsi que le nombre de variables de décision lors de la deuxième étape hiérarchique. Il y a donc un compromis à trouver entre la complexité du calcul et la précision du résultat. Ce compromis, contrairement à l'approche directe introduite au début de cette section, peut être fixé par l'utilisateur dans l'approche d'analyse hiérarchique proposée ici. En outre, l'approche d'analyse hiérarchique proposée permet d'améliorer considérablement la précision du résultat final pour un nombre d'éléments de base donné et limité. Ceci grâce à deux points : (i) les éléments de base : $\{\Pi_{i1}, \dots, \Pi_{id}\}$ sont indépendants et permettent de capturer les informations de différente nature de chaque sous-système *i* au niveau hiérarchique 2 ; (ii) chaque élément de base $\Pi_{ij}$ est optimisé de manière à décrire le plus précisément possible le sous-système *i* en question. La sous-section suivante propose les éléments de base qui répondent à ces deux points.

### 8.2.3 Incertitude de gain, incertitude de phase et incertitude mixte

Étant donné que les sous-systèmes de niveau local sont LTI, on se place dans le domaine fréquentiel. Pour construire chaque élément de base $\Pi_{ij}$ de chaque sous-système *i*, il convient de trouver des matrices complexes dépendantes de fréquences $X(j\omega)$, $Y(j\omega)$, $Z(j\omega)$ telles que pour tout $\Delta_i \in \Delta_i$, il existe $\varepsilon > 0$ :

<footnote n="3">3. dont le nombre total *d*, pour une question de simplicité, est ici supposé être identique pour chaque sous-système.</footnote>
$$ \forall \omega, \quad \begin{bmatrix} \Delta_i \star M_i(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \underbrace{\begin{bmatrix} X(j\omega) - \varepsilon I & Y(j\omega) \\ Y^*(j\omega) & Z(j\omega) - \varepsilon I \end{bmatrix}}_{\Pi_{i,j}(j\omega)} \begin{bmatrix} \Delta_i \star M_i(j\omega) \\ I \end{bmatrix} \ge 0 \quad (8.4) $$

En appliquant la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1, avec

<table><thead><tr><th>M</th><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M<sub>i</sub>(jω)</td><td>Δ<sub>i</sub></td><td>Π<sub>Δi</sub> (8.2), voir Tableau 7.1</td><td>[X(jω) Y(jω)<br>Y*(jω) Z(jω)]</td></tr></tbody></table>

la condition précédente est respectée s'il existe

$$ \Pi_i = \begin{bmatrix} \Pi_i^{11} & \Pi_i^{12} \\ \Pi_i^{21} & \Pi_i^{22} \end{bmatrix} \in \Pi_{\Delta i} $$

tel que pour tout $\omega$ et un scalaire $\varepsilon > 0$ :

$$ \begin{pmatrix} M_i(j\omega) \\ I \end{pmatrix}^* \begin{pmatrix} \Pi_i^{22}(j\omega) & 0 \\ 0 & -X(j\omega) + \varepsilon I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Pi_i^{21}(j\omega) & 0 \\ 0 & -Y(j\omega) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Pi_i^{11}(j\omega) \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_i(j\omega) \\ I \end{pmatrix} \le 0 \quad (8.5) $$

Comme discuté dans la sous-section 7.2.2 du chapitre précédent, la recherche de matrices dépendantes de fréquence est un problème de dimension infinie et il existe deux approches pour contourner cette difficulté : (i) l'approche basée sur le Lemme KYP et (ii) l'approche basée sur la grille fréquentielle. Cependant, la solution privilégiée ici est celle du domaine fréquentiel. Cette approche permet, sans introduction de la représentation d'état associée aux opérateurs $\Pi_i$, $X$, $Y$ et $Z$, de limiter la complexité algorithmique. En outre, vu que les systèmes sont LTI, l'analyse pour les différentes fréquences peut être réalisée en parallèle.

Trois catégories d'éléments de base de nature différente sont proposées. Dans le domaine fréquentiel, ils peuvent être interprétés comme une incertitude non structurée englobant les effets d'incertitude $\Delta_i$ au niveau de la réponse fréquentielle de sous-système $\Omega_i(s) = \Delta_i \star M_i(s)$ ou, autrement dit, la manière dont l'incertitude d'un niveau hiérarchique est propagée au niveau hiérarchique suivant. Il s'agit de l'incertitude de gain, de l'incertitude de phase et de l'incertitude mixte. Ci-après, une interprétation graphique simple de ces trois catégories dans le cas de sous-systèmes Single Input Single Output (SISO) ou monovariables<fnref n="4" /> est donnée. Les problèmes d'optimisation LMI permettant d'augmenter la précision de la base dans le cas général de sous-systèmes Multi Input Multi Output (MIMO) ou multivariables<fnref n="5" /> sont détaillés dans l'article [A.5] en annexe, voir également [T.1].

## Incertitude de gain

En imposant la contrainte $X(j\omega) < 0$, la condition (8.5) garantie pour chaque entrée $q_i(j\omega)$ l'existence d'un ellipsoïde dans l'espace complexe de signaux de sortie $p_i(j\omega) = \Omega_i(j\omega)q_i(j\omega) = \Delta_i \star M_i(j\omega)q_i(j\omega)$ incluant tout signal $p_i(j\omega)$ quel que soit $\Delta_i \in \Delta_i$ et la fréquence $\omega$. L'orientation et la taille de cet ellipsoïde sont définies par les matrices $X(j\omega) < 0$,

<footnote n="4">4. à une entrée et une sortie.</footnote>

<footnote n="5">5. à plusieurs entrées et plusieurs sorties.</footnote>
$Y(j\omega)$ et $Z(j\omega)$. La taille minimale de l'ellipsoïde incluant tout signal $p_i(j\omega)$ décrit alors l'information sur le gain de l'incertitude propagée. La Figure 8.2 illustre cette inclusion avec

$$X(j\omega) = -1, \quad Y(j\omega) = c(j\omega), \quad Z(j\omega) = r^2(j\omega) - c^2(j\omega) \quad (8.6)$$

où $c(j\omega)$ est le centre du disque (ellipsoïde pour la dimension 1 complexe) et $r(j\omega)$ est son rayon.

Pour que cet élément de base décrive le plus précisément possible l'incertitude propagée, la taille de l'ellipsoïde doit être minimisée. Différentes mesures de taille d'ellipsoïde et leur minimisation sous forme d'optimisation LMI ont été proposées dans [C.8].

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Incertitude de type gain. Les points verts et roses délimitent la zone d'incertitude propagée $\Omega_i$ alors que le cercle rouge définit les bornes de l'ellipsoïde (8.5) et (8.6).</figcaption></figure>

### Incertitude de phase

Tout comme pour le gain, l'information concernant la phase de l'incertitude propagée est extrêmement importante. Pour la prendre en compte, il est nécessaire de définir deux conditions de performance de type (8.4), avec

$$ 
\begin{aligned}
X_1(j\omega) &= 0 & X_2(j\omega) &= 0 \\
Y_1(j\omega) &= \Psi(j\omega)(I + j\alpha I) & Y_2(j\omega) &= \Psi(j\omega)(I - j\alpha I) \\
Z_1(j\omega) &= -(Y_1^*C + C^*Y_1) & Z_2(j\omega) &= -(Y_2^*C + C^*Y_2)
\end{aligned} 
\quad (8.7) $$

Chaque condition individuelle définit un hyperplan dans l'espace de signaux de sortie $p_i(j\omega)$ dont l'orientation est fixée par $Y_i(j\omega)$ et la distance de l'origine par $Z_i(j\omega)$, voir [C.12]. Dans le cas de sous-systèmes monovariables, les deux conditions combinées définissent un cône centré en un point $C$, dont l'angle principal $\beta$ est défini comme $\beta = 2 \arctan(\alpha^{-1})$, voir la Figure 8.3. La maximisation du paramètre $\alpha$ pour un point $C$ donné sous contrainte (8.4) avec les matrices (8.7) permet d'avoir une description plus précise de la phase de l'incertitude propagée. Ce problème d'optimisation sous forme d'optimisation LMI est détaillé, pour le cas général multivariable, dans [C.14], [T.1] et [A.5] en se basant sur l'extension de la phase d'un système multivariable : rang numérique (ou numerical range en anglais) [Owens 1984, Tits 1999].
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Incertitude de type phase. Les points verts et roses délimitent la zone d’incertitude propagée $\Omega_i$ alors que les lignes rouges définissent les bornes du cône (8.5) et (8.7)</figcaption></figure>

### Incertitude mixte

Un autre élément de base intéressant peut être défini de manière similaire au cas précédent par deux hyperplans situés dans l'espace des signaux de sortie, $p_i(j\omega)$ caractérisés cette fois-ci par une orientation parallèle :

$$ 
\begin{aligned}
X_1(j\omega) &= 0 & X_2(j\omega) &= 0 \\
Y_1(j\omega) &= Y(j\omega) & Y_2(j\omega) &= -Y(j\omega) \\
Z_1(j\omega) &= Z(j\omega) & Z_2(j\omega) &= h(j\omega)I - Z(j\omega)
\end{aligned}
\qquad (8.8) $$

La Figure 8.4 illustre dans un cas simple monovariable la bande ainsi créée.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Incertitude de type phase et gain. Les points verts et roses délimitent la zone d’incertitude propagée $\Omega_i$ alors que les lignes rouges définissent les bornes de la bande (8.5) et (8.8)</figcaption></figure>

La minimisation de la distance $h$ entre les deux hyperplans pour une orientation donnée $y$ permet d'avoir une description plus précise de l'incertitude incluant l'information sur la phase,
mais aussi sur le gain. Les problèmes d'optimisation LMI associés à un cas multivariable général sont donnés dans [C.12], [T.1] et [A.5].

### 8.2.4 Quelques remarques sur l'extension de l'approche hiérarchique

Trois catégories d'éléments de base $Π_{ij}$ permettant d'inclure l'incertitude propagée selon différentes caractéristiques simples, mais importantes : gain, phase ou information mixte, ont été proposées dans la sous-section précédente. Plusieurs problèmes d'optimisation peuvent être résolus à l'étape 1 (locale) de l'approche hiérarchique, afin de trouver plusieurs disques/cônes à rayon/angle minimisé pour différents centres $c$ ainsi que plusieurs bandes avec différentes orientations. L'ensemble de tous les éléments de base obtenus enrichiront la base pour la paramétrisation (8.3) à utiliser à l'étape 2 de l'approche hiérarchique (globale).

Cependant, pour un problème d'analyse de robustesse donné, il arrive souvent qu'un nombre très limité de caractérisation au niveau local soit nécessaire. Typiquement, la combinaison d'une information sur le gain, voir le disque à rayon minimisé de la Figure 8.2, et sur la phase, voir le cône d'angle minimisé de la Figure 8.3, est largement suffisante pour obtenir le résultat d'analyse de robustesse d'un niveau de précision élevé. Les imprécisions du premier niveau hiérarchique peuvent être cachées au deuxième niveau hiérarchique grâce à la robustesse apportée par les boucles de rétroaction présentes dans la topologie d'interconnexion de sous-systèmes.

La même démarche d'analyse hiérarchique peut être facilement déployée pour des systèmes à plusieurs niveaux hiérarchiques mélangeant à la fois les blocs de bases $\Delta_i^l$ et les sous-systèmes $\Omega_i^l$ à chaque niveau hiérarchique $l$, voir, par exemple, le système de la Figure 8.5. La seule différence est que plusieurs étapes de propagation de paramétrisations de contraintes quadratiques $Π_{\Delta_i^l} → Π_{\Omega_{l-1}}$ devront alors être réalisées.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Structure hiérarchique générale</figcaption></figure>
## 8.3 Commande Robuste de systèmes Multi-Agents

Comme pour le problème de l'analyse de la robustesse de système de grande dimension, la structure de la topologie d'interconnexion peut être exploitée pour simplifier les conditions de la synthèse de la commande de système de grande dimension.

Cette thématique de recherche, démarrée durant ma thèse [T.0], se focalise sur la commande décentralisée de systèmes identiques (au moins dans le cas du modèle nominal) qu'on retrouve dans le domaine de systèmes interconnectés intelligents ou systèmes Multi-Agents [Wooldridge 2001, Fax 2004] et constitue une extension des méthodes de commande proposées dans la section 5.4.

Même si à l'origine de la méthode proposée, l'application visée est la conception du réseau de PLLs [A.7], [C.2]-[C.4], [C.6], [C.9], [C.11], l'idée principale de la contribution théorique [A.2], [C.5], [C.7] est d'étendre les outils de la Commande Robuste aux systèmes Multi-Agents, afin de synthétiser les correcteurs locaux de chaque sous-système assurant un niveau de performance du réseau globale exprimé dans le domaine fréquentiel. Ce type de performance s'avère effectivement important dans la littérature relative aux Multi-Agents [Tonetti 2009, Tonetti 2010] et l'extension de la commande $H_\infty$ dans ce cadre-là est très pertinente.

L'idée sous-jacente est d'exploiter l'information disponible sur la topologie d'interconnexion et le fait que les sous-systèmes sont identiques<fnref n="6" /> pour transformer les conditions assurant la stabilité et la performance du système global en conditions locales. La synthèse locale de la commande d'un sous-système indépendant peut alors être facilement réalisée<fnref n="7" /> afin de garantir les objectifs globaux. Cette idée, initialement inspirée par l'application en Microélectronique<fnref n="8" />, prend tout son sens dans les autres applications et disciplines.

### 8.3.1 Définition du problème

Considérons un problème de synthèse de lois de commande pour un système LTI décrit par une LFR représentée sur la Figure 8.6. Le système global est une LFR de N sous-systèmes LTI $I_N \otimes \Omega^9$ et un opérateur LTI d'interconnexion $M_\Omega$. Chaque sous-système $\Omega$ est supposé être identique et est lui-même une LFR du procédé $H$ et du correcteur $K$. On cherche à synthétiser un correcteur $K$ qui assure la stabilité du système global :

$$T_{w \to z} = \left( I_N \otimes \left( \underbrace{H \star K}_{\Omega} \right) \right) \star M_\Omega$$

et un niveau de performance globale défini par une matrice réelle $\Pi^{perf}$ et la contrainte quadratique (6.11) vis-à-vis des signaux externes $w$ et $z$.

Le problème en question peut être vu comme un cas particulier de la commande décentralisée [Sandell 1978, Lunze 1991, Geromel 1994] qui est connue pour être complexe [Blondel 1997]. Les deux difficultés inhérentes à ce problème sont : les contraintes structurelles dans la loi de commande (aspect décentralisé) et le grand nombre de sous-systèmes $N$ (aspect grande taille).

<footnote n="6">6. au moins dans le cas nominal.</footnote>

<footnote n="7">7. par exemple grâce aux méthodes traditionnelles de la Commande Robuste.</footnote>

<footnote n="8">8. il s'agit d'un réseau de PLLs dont la conception habituellement consiste en une transformation du problème initial en conception d'une seule PLL séparée et de l'analyse de l'impact de son comportement au sein du réseau entier.</footnote>

<footnote n="9">9. où $\otimes$ représente le produit de Kronecker [Brewer 1978]</footnote>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR) pour la commande de systèmes Multi-Agents</figcaption></figure>

8.3.2 Lien global-local

Pour réduire la complexité du problème de synthèse, on peut exploiter la structure hié-
rarchique du système global (à deux niveaux dans cet exemple). L'idée principale est de
transformer le problème de synthèse globale (avec les contraintes structurelles et de grande
taille) en un problème de synthèse locale (sans contraintes structurelles et de petite taille)
en établissant un lien, pour une topologie d'interconnexion donnée, entre le comportement
du système global $T_{w \to z}$ et celui du sous-système local $\Omega = H \star K$. Étant donné qu'il est
possible et facile d'effectuer la synthèse de loi de commande pour le sous-système local en
exploitant le lien global-local établi, la stabilité et la performance du système global peuvent
être facilement garanties.

Pour ce faire, nous procédons en deux étapes. Premièrement, supposons que le sous-
système Ω est tel que son graphe $(p_i, q_i)$ pour tout $i$ satisfait la contrainte quadratique :

$$
\sigma(p_i, q_i, \Pi_{XYZ}) \geq 0 \tag{8.9}
$$

où

$$
\Pi_{XYZ} = \begin{bmatrix} X & Y \\ Y^T & Z \end{bmatrix}
$$

avec les matrices réelles X, Y et Z de dimension appropriée telles que Π<sub>XYZ</sub> soit de rang plein. D'une certaine manière, cette contrainte permet de caractériser le comportement désiré du sous-système local Ω et est généralement appelée la contrainte de dissipativité.

Dans ce cas-là, l'opérateur $I_N \otimes \Omega$ satisfait la contrainte quadratique suivante pour toute
matrice réelle symétrique $P > 0$ :

$$
\sigma \left( p, q, \begin{bmatrix} P \otimes X & P \otimes Y \\ P \otimes Y^T & P \otimes Z \end{bmatrix} \right) \geq 0.
$$

En définissant l'ensemble de paramétrisations :

$$
\mathbf{\Pi}_{\Delta} = \left\{ \Pi \mid \begin{array}{l} \exists P \in \mathbb{R}^{N \times N}: \\ P^T = P > 0 \end{array} \; , \; \Pi = \begin{bmatrix} P \otimes X & P \otimes Y \\ P \otimes Y^T & P \otimes Z \end{bmatrix} \right\}, \qquad (8.10)
$$
valable pour l'opérateur $I_N \otimes \Omega$, l'application de la Phase d'Analyse de l'Algorithmme 1 avec :

<table><thead><tr><th>M</th><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M<sub>Ω</sub></td><td>{I<sub>N</sub> ⊗ Ω}</td><td>(8.10)</td><td>(6.11)</td></tr></tbody></table>

est alors possible, ce qui permet d'obtenir les conditions de stabilité et de performance du système global, voir la condition (6.12) [C.5] et la condition (6.13) [A.2].

Maintenant, si pour des matrices X, Y et Z données, il existe un opérateur $\Pi \in \Pi_{\Delta}$ tel que les conditions (6.12) et (6.13) sont respectées, il suffit alors, pour assurer la stabilité et la performance du système global, de calculer le correcteur garantissant que le sous-système $\Omega = H \star K$ satisfait la contrainte (8.9) pour $p_i = H \star K(q_i)$. Ceci représente la deuxième étape de l'approche proposée et, dans le cas où $X \ge 0$<fnref n="10" />, elle peut être accomplie soit grâce à l'optimisation proposée dans [Scherer 1997a], voir cas B, soit par la commande $H_{\infty}$ standard [Gahinet 1994]<fnref n="11" />, après un changement :

$$ \hat{H} \star K(s) = (-X)^{-\frac{1}{2}} (H \star K(s) + X^{-1}Y) (Z - Y^T X^{-1}Y)^{-\frac{1}{2}}. $$

L'approche proposée, inspirée de [Scorletti 2001], permet de réduire considérablement la complexité du problème de synthèse, car la condition (8.9) est locale. Cependant, même si la condition (8.9) est locale, elle garantit la stabilité et la performance globales lorsque les sous-systèmes sont interconnectés, selon la topologie définie par l'opérateur $M_{\Omega}$. Cette condition garantit alors un lien entre le comportement du sous-système local et celui du système global.

Le prix à payer pour cette réduction de la complexité est un pessimisme inévitable étant donné que les conditions (6.12) et (6.13), avec la paramétrisation (8.10), assurent la stabilité et la performance non seulement pour l'interconnexion de sous-systèmes, $\Omega = H \star K$ mais aussi pour tous les sous-systèmes identiques respectant (8.9). Cependant, de manière complémentaire à [Scorletti 2001], le fait que les sous-systèmes sont identiques a pu être exploité afin de réduire le niveau de pessimisme et de complexité initial pour obtenir des conditions à la fois simples et concrètement exploitables pour la synthèse<fnref n="12" />.

### 8.3.3 Choix de la caractérisation de sous-systèmes

L'approche proposée peut être résolue par optimisation pour les matrices X, Y et Z données. Cependant, le choix de ces matrices influence fortement la qualité et le niveau de pessimisme du résultat obtenu car il impacte directement la paramétrisation utilisée (8.10). Même si le choix de ces matrices est imposé pour certains résultats disponibles dans la littérature, voir l'approche basée sur la passivité [Chopra 2005, Arcak 2007] ($X = 0, Y = I$ et $Z = 0$) ou du petit gain [Chopra 2007] ($X = -I, Y = 0$ et $Z = I$), la question du choix approprié des matrices par optimisation est une question très intéressante.

Malheureusement, le choix simultané de X, Y, Z et de la matrice P, tout en synthétisant le correcteur assurant (8.9) et en respectant les conditions d'analyse (6.12) et (6.13), définit un problème d'optimisation bilinéaire. En général, il n'existe donc pas d'algorithmes efficaces permettant de le résoudre. Néanmoins, dans le cas de sous-systèmes scalaires identiques, un problème d'optimisation quasi convexe a été proposé [C.5], [A.2]. Il consiste à fixer, sans perte de généralité, un des 3 paramètres, x, y ou z, et à optimiser les deux autres afin d'assurer la

<footnote n="10">10. Condition de convexité facilement applicable dans le cas pratique.</footnote>

<footnote n="11">11. Il est ainsi possible, en plus de la stabilité et la performance globales, assurer la stabilité et performance locales ce qui peut être intéressant de point de vue d'application.</footnote>

<footnote n="12">12. Cela veut dire donc que l'approche proposée peut être facilement adaptée au cas de sous-systèmes différents, mais avec une augmentation possible du niveau de pessimisme et de la complexité.</footnote>
condition (6.12) ou (6.13) tout en relâchant la contrainte locale (8.9). Cette démarche nous a permis d'augmenter la flexibilité de la synthèse du correcteur local $K$ qui assure la stabilité et la performance globale définie par la matrice $\Pi^{perf}$ et la contrainte (6.11). Dans le cas où la matrice de performance est choisie comme $\Pi^{perf} = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$, la borne supérieure sur la norme $H_\infty$ du système global peut alors être garantie.

### 8.3.4 Performance relative pour imposer les contraintes fréquentielles

Cependant, d'un point de vue pratique, ce n'est pas la borne supérieure sur la norme $H_\infty$ de l'opérateur global qui est pertinente. Ce qui nous intéresse en réalité, c'est d'assurer des contraintes fréquentielles, c'est-à-dire les bornes supérieures qui dépendent de fréquences sur les modules de la réponse fréquentielle de certaines fonctions de transfert globales [Tonetti 2009, Tonetti 2010]. En règle générale, il est possible d'imposer les contraintes fréquentielles [Zhou 1995, Skogestad 2005] en définissant les pondérations et le critère $H_\infty$ et en bornant la norme $H_\infty$ du système augmenté.

Nous avons proposé une démarche similaire dans notre approche [A.2], mais contrairement à ce qui est fait traditionnellement, les pondérations ont été choisies sous forme d'une LFR des sous-systèmes $\Omega = H \star K$ [C.7], voir la Figure 8.7, plutôt que de LFRs d'intégrateurs (sous forme d'une représentation d'état). Ceci nous a permis de renforcer davantage le lien « comportement global-local » et d'imposer les contraintes fréquentielles sur la fonction <fnref n="13" /> de transfert global $T_{w \to z}$ grâce à la fonction de transfert locale $\Omega = H \star K$. Étant donné qu'il est facile d'imposer la forme du module de la fonction de transfert local, par la commande $H_\infty$ standard par exemple [Skogestad 2005], la contrainte fréquentielle de la fonction de transfert globale est imposée de manière relative vis-à-vis des contraintes fréquentielles garanties sur la fonction de transfert local.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR) du système global augmenté de pondérations $W_e$ et $W_s$</figcaption></figure>

La seule exigence nécessaire pour imposer la performance relative est d'être capable de décrire les contraintes fréquentielles voulues sous forme d'une LFR en sous-systèmes $\Omega$. Pour certains types de contraintes, ceci peut être assez facilement réalisé de manière manuelle, alors que pour d'autres, une optimisation sera peut-être nécessaire. Cette optimisation nécessite l'extension de la factorisation spectrale dans le cas de représentations d'état (ou fonctions de transfert) aux systèmes LFR plus généraux, discutés dans le chapitre 9.

<footnote n="13">13. En réalité, sur le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert.</footnote>
### 8.3.5 Localisation et observation distribuées

La démarche de synthèse de commande de systèmes Multi-Agents a prouvé sa pertinence pour les problèmes de localisation et d'observation dans le domaine du Traitement du Signal et de l'information distribué [C.13], [C.17], [C.19]. Ces problèmes peuvent en effet être vus comme des cas particuliers de commande. L'algorithme de localisation distribuée étudié [Khan 2009] est un algorithme convexe de calcul distribué de la position d'un ensemble de capteurs basé sur les coordonnées barycentriques [Möbius 1827]. Il peut être vu comme un problème de commande de systèmes Multi-Agents. L'exploitation de la Commande Robuste et l'application de l'approche proposée ont permis d'étendre cet algorithme au cas de correcteurs dynamiques. Pour l'observation distribuée, le traitement du problème comme commande décentralisée a permis d'étendre le résultat du retour scalaire d'état du système local [Khan 2014] au cas de retour d'état local par une matrice générale. Dans les deux problématiques, les extensions ont permis de mieux gérer le compromis entre la vitesse de convergence de l'estimation et le rejet du bruit inhérent à la communication.

Pour obtenir ces résultats pertinents, plusieurs améliorations de la méthode de synthèse décrite précédemment ont été développées.

Premièrement, le choix de contraintes fréquentielles et des pondérations sous forme d'une LFR de sous-systèmes $\Omega$ a été adapté aux objectifs de la localisation et l'observation distribuées [C.13], [C.19].

Deuxièmement, le cas où la topologie de l'interconnexion n'est pas connue à l'avance, crucial pour la localisation distribuée, a été considéré [C.17]. La matrice qui décrit la topologie de l'interconnexion a été traitée comme une incertitude. Elle a été intégrée dans l'opérateur $\Delta$ de la LFR générique avec les sous-systèmes $\Omega$, voir (6.1) et Figure 6.1. En exploitant ses propriétés structurelles, imposées par l'algorithme de localisation distribuée proposé, il a été possible de définir un ensemble $\Delta$ et une paramétrisation $\Pi_{\Delta}$ augmentés généralisant la paramétrisation (8.10). Suivant ensuite une démarche similaire, une méthode de synthèse de la loi de commande décentralisée assurant la stabilité et la performance du système global a été développée et cela, quelle que soit la topologie d'interconnexion proposée par l'algorithme.

Troisièmement, le choix de la caractérisation de sous-systèmes décrite dans la sous-section 8.3.3 a été étendu aux cas des sous-systèmes multivariables. Il s'avère que le choix diagonal $X = xI$, $Y = yI$ et $Z = zI$ permet d'obtenir des résultats précis [C.19].

## 8.4 Identification pour la commande de systèmes Multi-Agents

Les approches d'analyse hiérarchique de la robustesse et de la Commande Robuste de Multi-Agents, proposées dans les sections 8.2 et 8.3, ont également contribué à l'extension de l'identification pour la commande aux systèmes Multi-Agents. En effet, l'importante simplification algorithmique de ces approches grâce à l'exploitation des propriétés structurelles d'interconnexion des systèmes en question a permis de développer une méthode de la synthèse de l'expérience de l'identification minimisant son coût tout en garantissant la performance globale du système réel, voir les articles [C.20] et [A.4].

Sans rentrer dans les détails, l'identification permet d'obtenir un modèle nominal du système et d'estimer une incertitude sur ses paramètres provoquée généralement par le bruit de mesure et par le fait que l'expérience d'identification est limitée dans le temps. En général, plus le signal d'excitation est riche, en termes de puissance, moins l'incertitude peut être obtenue, et réciproquement. Cependant, l'augmentation de la puissance du signal d'excitation coûte cher et peut perturber davantage le fonctionnement du système. La synthèse de l'expérience d'identification en utilisant le moins de puissance possible, mais en garantissant
tout de même que l'incertitude obtenue soit suffisamment faible pour assurer les objectifs de la commande, est une question très intéressante. Ce paradigme général, proposé initialement dans les travaux de thèse [Bombois 2000], voir aussi [Barenthin 2008, Bombois 2014], pour un système contenant une boucle de rétroaction, a pu être généralisé à des systèmes en réseaux à plusieurs boucles de rétroaction tels que les systèmes Multi-Agents.
<figure><img src="image_29.png" /></figure>
# Synthèse de systèmes LFR, dans le domaine fréquentiel

## Contents

<table><tr><td>9.1 Introduction</td><td>105</td></tr><tr><td>9.2 Définition du problème</td><td>105</td></tr><tr><td>9.3 Synthèse LFR, sous-systèmes sans perte</td><td>107</td></tr><tr><td>9.3.1 Synthèse du module</td><td>108</td></tr><tr><td>9.3.2 Factorisation spectrale LFR</td><td>110</td></tr><tr><td>9.4 Synthèse LFR, sous-système avec pertes</td><td>112</td></tr><tr><td>9.5 Outils de conception de filtres BAW</td><td>113</td></tr></table>

## 9.1 Introduction

Dans ce chapitre, une méthode de synthèse de systèmes sous forme d'une représentation fractionnelle linéaire (ou LFR, an anglais) assurant un niveau de performance défini dans le domaine fréquentiel est proposée. Cette méthode, en plus de répondre au problème de synthèse de pondérations LFR exploité dans la section 8.3.4, permet de résoudre plusieurs autres problèmes intéressants comme la synthèse de l'interconnexion de sous-systèmes ou des filtres fréquentiels.

Un défi et donc une contribution théorique importante ici porte sur l'extension de la factorisation spectrale aux systèmes LFR. Deux cas de figures sont considérés ci-après : (i) les systèmes LFR sans perte pour lesquels l'extension directe de la méthode de synthèse traditionnelle a été possible et (ii) les systèmes LFR avec pertes dont la synthèse a nécessité le développement d'une toute nouvelle approche.

## 9.2 Définition du problème

Dans ce chapitre, un problème de synthèse de systèmes sous forme similaire au chapitre précédent est considéré. Il s'agit d'une LFR

$$H(\Omega(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star M_{\Omega}$$

de N sous-systèmes LTI SISO Ω et la matrice réelle $M_{\Omega}$ décrivant l'interconnexion, voir la Figure 9.1. Les signaux entrée-sortie $w$ et $z$ sont supposés scalaires<fnref n="1" />.

<footnote n="1">1. Même si l'extension au cas de système global multivariable est possible, elle n'a que peu de pertinence vis-à-vis de l'utilisation du résultat par la suite.</footnote>
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Synthèse de systèmes LFR</figcaption></figure>

L'objectif est de synthétiser $M_Ω$ pour un ensemble de N sous-systèmes identiques donnés de telle sorte que l'opérateur global soit stable et satisfasse :

$$ \begin{aligned} |H(\Omega(j\omega))| < U, \quad \forall \omega \in [\omega_u^- \omega_u^+] \\ |H(\Omega(j\omega))| > L, \quad \forall \omega \in [\omega_l^- \omega_l^+] \end{aligned} \qquad (9.1) $$

avec les valeurs réelles positives $U$, $L$ et les plages de fréquences $[\omega_l^- \omega_l^+]$, $[\omega_u^- \omega_u^+]$ données<fnref n="2" />.

Ce problème formalise le problème de la synthèse d'interconnexion d'un réseau de N sous-systèmes donnés [C.10] assurant la stabilité et les bornes supérieures $U$ et inférieures $L$ sur le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert globale $H$. Dans l'approche fréquentielle, telle que la synthèse $H_∞$ par exemple, les bornes sur le module de la réponse fréquentielle sont en effet utilisées pour assurer la performance d'un système [Skogestad 2005].

Le problème formulé constitue également une extension du problème de la synthèse de fonctions de pondérations (utilisées en commande $H_∞$) sous forme de la représentation d'état traditionnelle ($\Omega = \frac{1}{s}$) aux fonctions de pondérations sous forme d'une LFR en l'opérateur $Ω$ général. L'utilité d'une telle extension a été présentée dans la sous-section 8.3.4.

Enfin, le problème contribue à l'extension des problèmes de la conception de filtres fréquentiels [Darlington 1984, Parks 1987] étudiés en détail dans la thèse d'Arthur Perodou [T.3] que j'ai co-encadré. En effet, traditionnellement, la conception de filtres fréquentiels inclue la synthèse et l'implémentation d'une fonction de transfert $H(s)$ rationnelle en la variable de Laplace ($s$ ou $z$) dont la réponse fréquentielle respecte un gabarit<fnref n="3" />. A condition de choisir une factorisation adaptée pour la fonction de transfert recherchée<fnref n="4" />, une optimisation efficace pour la synthèse de la fonction de transfert peut être trouvée dans le cas de filtres continus [Rossignol 2001, Rossignol 2003] ou de filtres discrets à réponse impulsionnelle finie [Davidson 2002, Davidson 2010]. Dans ces approches, les filtres sont modélisés sous forme

<footnote n="2">2. Sans perte de généralité et pour des raisons d'illustration seulement, ces deux plages de fréquences sont considérées ici, mais il est possible de prendre en compte plusieurs contraintes fréquentielles sur plusieurs plages de fréquences.</footnote>

<footnote n="3">3. généralement imposé sur son module $|H(j\omega)|$.</footnote>

<footnote n="4">4. La question n'est pas étudiée en détails dans ce manuscrit, mais peut être retrouvée dans la thèse [T.3]</footnote>
d'une représentation d'état traditionnelle, c'est-à-dire des LFR en $\Omega = \frac{1}{s}$ dans le cas continu ou en $\Omega = \frac{1}{z}$ dans le cas discret. Le problème considéré dans cette section est alors une extension de la conception des filtres fréquentiels au cas plus général de filtres représentés sous forme d'une LFR en $\Omega$ ou d'une fonction de transfert $H(\Omega(s))$ rationnelle en la variable $\Omega(s)$ quelconque.

Cette extension apporte plusieurs avantages. Premièrement, les filtres fréquentiels<fnref n="5" /> sont généralement implémentés non pas sous forme d'une interconnexion d'intégrateurs ou d'opérateurs de retard, mais sous forme d'une interconnexion d'autres briques de base, modélisées par un opérateur plus complexe $\Omega$. Afin d'être au plus proche de l'implémentation, il semble donc naturel que les modèles opérés lors de la synthèse soient, eux aussi, sous forme d'une interconnexion de $\Omega$ [C.18].

Deuxièmement, comme nous l'avons déjà vu dans le chapitre précédent, voir la section 8.2, même s'il est possible de transformer le problème en synthèse sous forme de représentations d'état, la prise en compte de la structure hiérarchique<fnref n="6" /> permet de réduire la complexité algorithmique de la conception surtout pour un nombre $N$ et l'ordre $n$ élevés de sous-systèmes.

Enfin, le caractère générique du résultat de synthèse, lors d'une évolution de la technologie et donc de changement de briques de base $\Omega$ (filtres continus, discrets, LC, RLC, BAW, etc.), permet d'obtenir une méthodologie prête à être déployée. Il est également possible de changer le niveau de finesse de la modélisation de $\Omega$ sans remettre en cause l'approche de conception générale.

Le problème considéré ici peut être vu comme un cas « dégénéré » du problème de synthèse introduite dans la sous-section 6.3.4. En effet, il s'agit de la synthèse en boucle ouverte, où il n'y a pas de partie déjà conçue, $M_0 = 0$, la partie à concevoir est donc $K = M_\Omega$ avec $M_1 = I$ et $M_2 = I$.

Pour résoudre le problème, nous avons d'abord adopté et étendu le résultat de la synthèse de filtres fréquentiels en représentation d'état [Rossignol 2001, Rossignol 2003] avec $\Omega(s) = \frac{1}{s}$ au cas de sous-systèmes $\Omega(s)$ plus généraux, mais sans perte, voir [C.23]. Ensuite, basée sur ce résultat, une nouvelle approche est proposée dans le cas de sous-systèmes $\Omega(s)$ plus généraux incluant les pertes possibles, voir [C.24], disponible en annexe.

## 9.3 Synthèse LFR, sous-systèmes sans perte

Considérons ici les sous-systèmes $\Omega$ sans perte, c'est-à-dire les systèmes qui peuvent être décrits par la contrainte quadratique (6.2) avec égalité :

$$ \sigma(p, q, \Pi) = \int_{0}^{\infty} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix}^{T} \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11} & \Pi^{12} \\ \Pi^{21} & \Pi^{22} \end{bmatrix}}_{\Pi} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix} dt = 0. \quad (9.2) $$

La séparation des graphes présentée en section 6.3 est toujours applicable ici. En outre, la S-procédure peut-être facilement adaptée à ce cas-là.

Un tel sous-système peut être caractérisé de manière précise par la condition (9.2) avec un opérateur $\Pi$ bien choisi. Nous considérons par la suite l'opérateur statique :

$$ \Pi = \begin{bmatrix} x & y \\ y & z \end{bmatrix} \quad (9.3) $$

<footnote n="5">5. Ainsi que les autres systèmes dynamiques</footnote>

<footnote n="6">6. Niveau local de sous-système $\Omega$ et niveau global $\Omega I_N \star M_\Omega$</footnote>
avec les scalaires réels x, y, z fixés, définissant alors la contrainte dans le domaine fréquentiel suivante :

$$ \forall \omega \in \mathbb{R}, \quad \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right]^* \left[ \begin{array}{cc} x & y \\ y & z \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right] = 0. \qquad (9.4) $$

Un exemple de tels systèmes sont les inductances, les condensateurs idéaux (intégrateur $\Omega = \frac{1}{s}$ ou dérivateur $\Omega = s$ purs) avec $x = z = 0$ et $y = 1$ ou leur interconnexion qui forme un circuit électronique, un filtre analogique LC [C.23] par exemple, avec $x, y$ et $z$ plus généraux.

En plus de la contrainte définie pour toutes les fréquences $\omega \in \mathbb{R}$ et vu les objectifs (9.1), deux autres contraintes sont définies également. Ces dernières sont restreintes seulement sur les intervalles de fréquence donnés et sont définies par les scalaires réels $x_u, x_l, z_u, z_l$ et les scalaires complexes $y_u, y_l^7$ :

$$ \forall \omega \in [ \omega_u^- \quad \omega_u^+ ], \quad \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right]^* \left[ \begin{array}{cc} x_u & y_u \\ y_u^* & z_u \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right] = 0 \qquad (9.5a) $$

$$ \forall \omega \in [ \omega_l^- \quad \omega_l^+ ], \quad \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right]^* \left[ \begin{array}{cc} x_l & y_l \\ y_l^* & z_l \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Omega(j\omega) \\ I \end{array} \right] = 0. \qquad (9.5b) $$

L'approche traditionnellement utilisée pour la synthèse des filtres sous la représentation d'état ($\Omega = \frac{1}{s}$, voir [Rossignol 2001, Rossignol 2003]) est composée de deux étapes : (i) synthèse du module respectant le gabarit fréquentiel similaire à (9.1), (ii) factorisation spectrale permettant d'extraire une fonction de transfert stable du module synthétisé. Ces deux étapes sont généralisées au cas des LFR avec $\Omega$ quelconque sans perte.

### 9.3.1 Synthèse du module

À cette étape, le module au carré $|H(\Omega(j\omega))|^2$ de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert recherchée $H(\Omega(s))$ qui assure (9.1) est synthétisé. La raison principale pour laquelle non pas la fonction de transfert même, mais son module est synthétisé est la non-convexité de la condition sur la borne inférieure. Un changement de variable est alors effectué :

$$ \forall \omega \in \mathbb{R}, \quad |H(\Omega(j\omega))|^2 = M_H(\omega) = \frac{\mathcal{B}(j\omega)^* X_N \mathcal{B}(j\omega)}{\mathcal{B}(j\omega)^* X_D \mathcal{B}(j\omega)} \qquad (9.6) $$

où pour une base donnée $\mathcal{B}$, on cherche les matrices réelles symétriques $X_N$ et $X_D$ assurant la contrainte (9.1) au carré.

Un choix traditionnel de la base, voir la factorisation co-prime [Zhou 1995, Scorletti 2006b]<fnref n="8" />, d'un ordre donné $N$ est :

$$ \mathcal{B}(s) = \frac{1}{d(s)} \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ s^N \end{bmatrix} $$

où le dénominateur $d(s)$ est choisi stable d'ordre $N$. Ce choix permet de générer les modules de toutes les fonctions de transfert rationnelles en la variable de Laplace $s$ et d'ordre $N$.

De manière similaire, nous avons proposé une base de la forme :

$$ \mathcal{B}(\Omega(s)) = \frac{1}{d(\Omega(s))} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ \Omega(s) \\ \vdots \\ \Omega(s)^N \end{bmatrix} $$

<footnote n="7">7. Même s'il est possible de retrouver les opérateurs associés et de décrire la contrainte quadratique dans le domaine temporel (de type (9.2)), ce ne sera pas nécessaire dans ce manuscrit.</footnote>

<footnote n="8">8. Déjà discutées dans la section 7.2.2</footnote>
avec un dénominateur fixé $d(\Omega(s))$ stable, ce qui permet de générer les modules de toutes les fonctions de transfert rationnelles en une variable plus générale $\Omega(s)^9$. En outre, comme dans le cas du $\mathcal{B}(s)$ qui est modélisé sous la forme d'une représentation d'état, la base proposée admet une LFR en $\Omega(s)$ :

$$ \mathcal{B}(\Omega(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star \underbrace{\begin{bmatrix} A_B & B_B \\ C_B & D_B \end{bmatrix}}_{M_B} \quad (9.7) $$

similaire à la Figure 9.1 où $M_\Omega$ est remplacé par $M_B$. Il est alors possible d'appliquer la démarche de conception proposée, voir l'Algorithme 1, pour synthétiser le module respectant (9.1) au carré qui s'écrit maintenant comme :

$$ \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* (X_N - U^2 X_D) \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) < 0, \forall \omega \in [\omega_u^- \omega_u^+] \quad (9.8a) $$

$$ \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* (L^2 X_D - X_N) \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) < 0, \forall \omega \in [\omega_l^- \omega_l^+] \quad (9.8b) $$

Cependant, pour que le changement de variable soit bien posé<fnref n="10" />, deux conditions supplémentaires doivent être respectées :

$$ \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* (X_N) \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) \geq 0, \forall \omega \in \mathbb{R} \quad (9.9a) $$

$$ \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* (X_D) \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) > 0, \forall \omega \in \mathbb{R} \quad (9.9b) $$

La caractérisation (9.4) permet de définir la paramétrisation d'opérateur $\Omega(s)I_N$ :

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{SP}} = \left\{ \Pi \mid \exists P \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} \right\}, \quad (9.10) $$

alors que les caractérisations (9.5), définissent deux autres paramétrisations :

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{SP}}^{u} = \left\{ \Pi \mid \exists P, D \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P, D^T = D, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_u D & y_u D \\ y_u D & z_u D \end{bmatrix} \right\} \quad (9.11a) $$

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{SP}}^{l} = \left\{ \Pi \mid \exists P, D \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P, D^T = D, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_l D & y_l D \\ y_l D & z_l D \end{bmatrix} \right\} \quad (9.11b) $$

Quatre conditions définies précédemment (9.8) et (9.9) peuvent alors être assurées en appliquant la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1, avec $x, y, z, x_u, y_u, z_u, x_l, y_l, z_l$ donnés et la combinaison de l'opérateur $M$, de l'ensemble $\mathbf{\Delta}$, de la paramétrisation $\mathbf{\Pi}_{\mathbf{\Delta}}$ et de l'opérateur de performance $\Pi^{\text{perf}}(j\omega)^{11}$ suivante :

<table><thead><tr><th>Condition</th><th><i>M</i></th><th><b>&Delta;</b></th><th><b>&Pi;</b><sub>&Delta;</sub></th><th><i>&Pi;</i><sup><i>perf</i></sup>(<i>j&omega;</i>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>(9.8a)</td><td><i>M<sub>B</sub></i></td><td>{<i>&Omega;</i>(<i>s</i>)<i>I<sub>N</sub></i>}</td><td><b>&Pi;</b><sub><i>&Omega;</i><sub>SP</sub></sub><sup><i>u</i></sup> définie en (9.11a)</td><td>[<i>U<sup>2</sup>X<sub>D</sub> - X<sub>N</sub></i> <i>0</i><i>0</i>], &forall; <i>&omega;</i> &isin; [<i>&omega;<sub>u</sub></i><sup>-</sup> <i>&omega;<sub>u</sub></i><sup>+</sup>]</td></tr><tr><td>(9.8b)</td><td><i>M<sub>B</sub></i></td><td>{<i>&Omega;</i>(<i>s</i>)<i>I<sub>N</sub></i>}</td><td><b>&Pi;</b><sub><i>&Omega;</i><sub>SP</sub></sub><sup><i>l</i></sup> définie en (9.11b)</td><td>[<i>X<sub>N</sub> - L<sup>2</sup>X<sub>D</sub></i> <i>0</i><i>0</i>], &forall; <i>&omega;</i> &isin; [<i>&omega;<sub>l</sub></i><sup>-</sup> <i>&omega;<sub>l</sub></i><sup>+</sup>]</td></tr><tr><td>(9.9a)</td><td><i>M<sub>B</sub></i></td><td>{<i>&Omega;</i>(<i>s</i>)<i>I<sub>N</sub></i>}</td><td><b>&Pi;</b><sub><i>&Omega;</i><sub>SP</sub></sub> définie en (9.10)</td><td>[<i>X<sub>N</sub></i> <i>0</i><i>0</i>], -<i>&epsilon;</i><i>I</i>, &forall; <i>&omega;</i> &isin; <i>&mathbb{R}</i></td></tr><tr><td>(9.9b)</td><td><i>M<sub>B</sub></i></td><td>{<i>&Omega;</i>(<i>s</i>)<i>I<sub>N</sub></i>}</td><td><b>&Pi;</b><sub><i>&Omega;</i><sub>SP</sub></sub> définie en (9.10)</td><td>[<i>X<sub>D</sub></i> <i>0</i><i>0</i>], &forall; <i>&omega;</i> &isin; <i>&mathbb{R}</i></td></tr></tbody></table>

ce qui revient à résoudre les 4 problèmes d'optimisation LMI.

<footnote n="9">9. Le changement de variable proposé permet alors non seulement de convexifier la contrainte de borne inférieure, mais aussi de remplacer le problème d'optimisation de dimension infinie (comme l'est l'espace vectoriel associé aux fonctions rationnelles) par un problème d'optimisation de dimension finie.</footnote>

<footnote n="10">10. Le module est non négatif et $\mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* (X_D) \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) \neq 0$</footnote>

<footnote n="11">11. où le paramètre $\varepsilon$ est utilisé afin de rendre la relation (6.11) non stricte. Du point de vue résolution numérique ce paramétrage n'a pas d'importance étant donné que seulement les conditions strictes peuvent être numériquement testées.</footnote>
### 9.3.2 Factorisation spectrale LFR

Une fois que le module respectant les gabarits fréquentiels est synthétisé, une fonction de transfert stable dont la réponse fréquentielle réalise le module doit être extraite. Il s'agit donc de trouver $H(\Omega(s))$ stable et de taille minimale, à une entrée et à une sortie, sous la forme représentée sur la Figure 9.1 telle que (9.6) soit respectée.

Ce problème est connu sous le nom de factorisation spectrale. Son utilisation dépasse largement le cadre de la synthèse de filtres fréquentiels et on le retrouve dans beaucoup d'autres problèmes en Automatique et Traitement du Signal [Wiener 1949, Youla 1961, Anderson 1973, Faurre 1979, Zhou 1996].

Dans notre problème, la procédure de factorisation spectrale a été généralisée au cas de systèmes LFR en $\Omega$ [C.24]. Elle a été appliquée séparément au dénominateur et au numérateur du module synthétisé (9.6). On cherche alors les facteurs spectraux de taille minimale $H_D$ et $H_N$, sous forme d'une LFR en $\Omega$ et partageant le même ordre $N$ et le même dénominateur $d(\Omega(s))$ que la base $\mathcal{B}(\Omega(s))$ (9.7) :

$$H_D(\Omega(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star \left[ \frac{A_B}{C_D} \middle| \frac{B_B}{D_D} \right] \quad H_N(\Omega(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star \left[ \frac{A_B}{C_N} \middle| \frac{B_B}{D_N} \right]$$

ce qui revient à calculer les vecteurs lignes $[C_D \ D_D]$, $[C_N \ D_N] \in \mathbb{R}^{1 \times (N+1)}$ tels que les conditions suivantes soient respectées :

$$\begin{array}{lll}
\forall \omega \in \mathbb{R}, & \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* X_N \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) = H_N(\Omega(j\omega))^* H_N(\Omega(j\omega)) & \\
\forall \omega \in \mathbb{R}, & \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* X_D \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) = H_D(\Omega(j\omega))^* H_D(\Omega(j\omega)). & (9.12)
\end{array}$$

Une fois ces vecteurs calculés, la LFR $H(\Omega(s))$ est obtenue :

$$H(\Omega(s)) = H_N(\Omega(s))H_D^{-1}(\Omega(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star \left[ \frac{A_B - B_B D_D^{-1} C_D}{C_N - D_N D_D^{-1} C_D} \middle| \frac{B_B D_D^{-1}}{D_N D_D^{-1}} \right].$$

Il est important de remarquer, qu'étant donné que les dénominateurs de $H_N$ et $H_D$ se simplifient, la stabilité du facteur spectral recherché $H$ est assurée si $H_D$ est inversement stable.

Sans rentrer dans les détails, considérons par la suite le cas de la factorisation spectrale du dénominateur $H_D$, la factorisation spectrale du numérateur $H_N$ étant similaire. Les détails de la factorisation de systèmes LFR dans le cas plus général MIMO peuvent être retrouvés dans [C.24], disponible en annexe, ou dans [T.3].

Pour cela, définissons la notation compacte :

$$Q(P) := \begin{bmatrix} A_B & B_B \\ I & 0 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} -zP & -yP \\ -yP & -xP \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_B & B_B \\ I & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} C_B^T \\ D_B^T \end{bmatrix} X_D \begin{bmatrix} C_B & D_B \end{bmatrix}$$

qui correspond à la partie gauche de (6.13) obtenu après l'application de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1, avec

<table><thead><tr><th>M</th><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M<sub>B</sub></td><td>{Ω(s)I<sub>N</sub>}</td><td>Π<sub>Ω<sub>SP</sub></sub> définie en (9.10) avec x,y,z données</td><td><b>[</b> X<sub>D</sub> 0<br>0 0<br><b>]</b></td></tr></tbody></table>

afin d'assurer (9.9).
S'il existe une matrice $P^T = P \in \mathbb{R}^{N \times N}$ telle que $Q(P) \ge 0$<fnref n="12" />, alors il est possible de factoriser $Q(P)$ comme :

$$Q(P) = F^T(P)F(P)$$

avec une matrice réelle $F(P) \in \mathbb{R}^{k \times (N+1)}$ et un $k \ge 1$.

Dans ce cas-là, il existe même une matrice $(P^R)^T = P^R \in \mathbb{R}^{N \times N}$ telle que

$$Q(P^R) \ge 0 \text{ et } \mathrm{rank}(Q(P^R)) = 1,$$

en conséquence $k$ peut être choisi $k = 1$ et $F(P^R) = [C_D \ D_D]$ obtenant :

$$Q(P^R) = [C_D \ D_D]^T [C_D \ D_D]. \quad (9.13)$$

En utilisant la décomposition en valeurs singulières de $Q(P^R)$, les matrices $C_D$ et $D_D$ peuvent alors être calculées.

D'un autre côté, en post-multipliant (9.13) par $(\Omega(s) \cdot I_N) \star \begin{bmatrix} A_B & B_B \\ I_N & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ et en le prémultipliant par la même expression transposée conjuguée, suite aux quelques manipulations et avec

$$F(T(s)) = (\Omega(s) \cdot I_N) \star \begin{bmatrix} A_B & B_B \\ A_B & B_B \end{bmatrix} = (I - A_B (\Omega(s) \cdot I))^{-1} B_B$$

on obtient :

$$-F(\Omega(-s))^T \begin{bmatrix} I \\ \Omega(-s) \cdot I \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} zP^R & yP^R \\ yP^R & xP^R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \\ \Omega(s) \cdot I \end{bmatrix} F(\Omega(s)) \quad (9.14)$$

$$+ \mathcal{B}(\Omega(-s))^T X_D \mathcal{B}(\Omega(s)) = H_D(\Omega(-s))^T H_D(\Omega(s)) \quad (9.15)$$

En évaluant l'équation précédente en $s = j\omega$, sa première partie (9.14) est annulée grâce à (9.4) et donc le facteur spectral minimal obtenu $H_D(\Omega(s))$ respecte bien (9.12).

Pour réaliser la factorisation, il faut donc pouvoir calculer une matrice $P^R$ qui assure la contrainte du rang :

$$\mathrm{rank}(Q(P^R)) = 1.$$

Même si, en général, cette contrainte n'est pas convexe, dans ce cas particulier, il existe une solution efficace qui est liée au problème de résolution des équations de Riccati. En effet, on peut démontrer que la matrice $Q(P)$, est congruente avec une matrice $\hat{Q}(P)$ via une transformation congruence $\Phi^{13}$ :

$$Q(P) = \Phi^T \underbrace{\begin{bmatrix} \hat{R}(P) & 0 \\ 0 & \hat{D}^T X_D \hat{D} \end{bmatrix}}_{\hat{Q}(P)} \Phi$$

avec

$$\hat{R}(P) := \hat{A}^T(-P)+(-P)\hat{A}+\hat{C}^T X_D \hat{C}-((-P)\hat{B}+\hat{C}^T X_D \hat{D})(\hat{D}^T X_D \hat{D})^{-1}(\hat{B}^T(-P)+\hat{D}^T X_D \hat{C}). \quad (9.16)$$

<footnote n="12">12. Ce qui est assuré à l'étape de synthèse de module et donc les conditions (9.9) ne sont pas restrictives en ce sens.</footnote>

<footnote n="13">13. La matrice non singulière $\Phi$ peut être calculée en se basant sur la procédure de "loop-shifting" pour transformer la LFR en $\Omega$ (9.7) en une LFR en opérateurs passifs $\hat{\Omega}$</footnote>
La matrice $P^R$ est alors calculée comme une solution minimale<fnref n="14" /> de l'équation de Riccati [Jungers 2017, Zhou 1996] :

$$ \hat{R}(P) = 0. $$

Deux possibilités existent pour cela :

1. Utiliser les méthodes numériques basées sur la construction d'une matrice dite Hamiltonienne [Arnold 1984, Boyd 1994, Zhou 1996];

2. Résoudre le problème d'optimisation LMI suivant [Willems 1971a, Trentelman 1991] :

$$ \begin{array}{ll} \min_{P=P^T} & \mathrm{trace}(P) \\ \text{subject to} & \hat{R}(P) \ge 0. \end{array} $$

L'avantage de la première méthode est qu'elle est plus stable numériquement, par contre la deuxième méthode offre plus de souplesse comme cela sera présenté plus tard.

## 9.4 Synthèse LFR, sous-système avec pertes

Considérons maintenant les sous-systèmes $\Omega$ avec les pertes possibles, c'est-à-dire les systèmes qui peuvent être décrits par la contrainte quadratique (6.2) générale c'est-à-dire

$$ \forall \omega \in \mathbb{R}, \quad \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} x & y \\ y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix} \ge 0. \qquad (9.17) $$

pour les scalaires réels $x, y, z$ fixés et de manière similaire

$$ \forall \omega \in [\omega_u^- \quad \omega_u^+], \quad \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} x_u & y_u \\ y_u^* & z_u \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix} \ge 0 \qquad (9.18a) $$

$$ \forall \omega \in [\omega_l^- \quad \omega_l^+], \quad \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} x_l & y_l \\ y_l^* & z_l \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Omega(j\omega) \\ I \end{bmatrix} \ge 0 \qquad (9.18b) $$

pour les scalaires réels $x_u, x_l, z_u, z_l$ et les scalaires complexes $y_u, y_l$ également fixés.

À cause de la contrainte précédente, la démarche de la synthèse en deux étapes proposée ne peut pas être appliquée. En effet, même si l'étape de synthèse du module est toujours valable, voir la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 avec la paramétrisation :

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{AP}} = \left\{ \Pi \mid \exists P \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P > 0, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} \right\}, \qquad (9.19) $$

ou respectivement

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{SP}}^u = \left\{ \Pi \mid \exists P, D \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P > 0, D^T = D > 0, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_u D & y_u D \\ y_u D & z_u D \end{bmatrix} \right\} \qquad (9.20a) $$

$$ \mathbf{\Pi}_{\Omega_{SP}}^l = \left\{ \Pi \mid \exists P, D \in \mathbb{R}^{N \times N} : P^T = P > 0, D^T = D > 0, \Pi = \begin{bmatrix} xP & yP \\ yP & zP \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_l D & y_l D \\ y_l D & z_l D \end{bmatrix} \right\} \qquad (9.20b) $$

<footnote n="14">14. En effet, afin d'assurer la stabilité du facteur spectral global $H(\Omega(s))$, comme cela a été déjà indiqué, la propriété minimum-phase du facteur spectrale $H_D$ doit être assurée ce qui correspond à la solution minimale ou stabilisée de l'équation Riccati [Willems 1971b, Trentelman 1991].</footnote>
l'étape de la factorisation spectrale pourra produire une erreur :

$$E(P^R, \Omega(j\omega)) = F(\Omega(j\omega))^* \begin{bmatrix} I \\ \Omega(j\omega) \cdot I \end{bmatrix}^* \begin{bmatrix} zP^R & yP^R \\ yP^R & xP^R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \\ \Omega(j\omega) \cdot I \end{bmatrix} F(\Omega(j\omega)) \ge 0$$

car, par exemple pour le dénominateur

$$\forall \omega \in \mathbb{R}, -E(P_D^R, \Omega(j\omega)) + \mathcal{B}(\Omega(j\omega))^* X_D \mathcal{B}(\Omega(j\omega)) = H_D(\Omega(j\omega))^* H_D(\Omega(j\omega)). \quad (9.21)$$

Cette erreur n'est pas forcément nulle et donc le module du facteur spectral extrait, ne respectera pas forcément les contraintes fréquentielles imposées (9.1). Pour palier à ce problème, une nouvelle démarche a été proposée, voir les détails en [C.24], disponible en annexe, ou dans [T.3]. L'idée principale est d'anticiper et de prendre en compte l'erreur de factorisation à l'étape de la synthèse du module. Au lieu de chercher le module de $H(\Omega(s))$ sous forme (9.6), on le cherche sous forme :

$$\forall \omega \in \mathbb{R}, \quad |H(\Omega(j\omega))|^2 = M_H(\omega) = \frac{\mathcal{B}(j\omega)^* X_N \mathcal{B}(j\omega) - E(P_N^R, \Omega(j\omega))}{\mathcal{B}(j\omega)^* X_D \mathcal{B}(j\omega) - E(P_D^R, \Omega(j\omega))} \quad (9.22)$$

Cette démarche nécessite néanmoins de résoudre les deux étapes en une seule, car à l'étape de la synthèse de module il est nécessaire de connaitre l'erreur commise lors de la factorisation. Les deux matrices $P_N^R$ et $P_D^R$ solutions minimales de l'équation de Riccati

$$\hat{R}(P_N^R) = 0$$

$$\hat{R}(P_D^R) = 0$$

sont alors calculées par optimisation LMI, voir la 2ème possibilité dans la sous-section précédente. Au vu de couplages entre deux solutions, la résolution par matrice Hamiltonienne n'est en effet plus possible.

## 9.5 Outils de conception de filtres BAW

La méthode de synthèse des systèmes LFR proposée précédemment a pu être exploitée pour développer les outils de conception de filtres BAW. Ces filtres sont utilisés dans les applications modernes en télécommunication avec les contraintes très exigeantes au niveau de gabarit fréquentiel à respecter<fnref n="15" /> et de la place occupée sur le circuit intégré. Pour ces raisons, l'utilisation de composants traditionnels (condensateurs et inductances) comme pour les filtres LC classiques est limitée. Les briques de base utilisées en conception et implémentation de ces systèmes sont donc les résonateurs acoustiques (BAW ou Surface Acoustic Wave (SAW)), d'où le nom du filtre. Cependant la conception de filtres BAW est un problème très complexe. En effet, contrairement aux filtres LC classiques, les contraintes structurelles d'implémentation des filtres BAW sont beaucoup plus fortes ce qui nécessite, pour leur conception, de faire appel à l'optimisation non-convexe. Les méthodes de la Commande Robuste et ses extensions ont permis de réduire la complexité algorithmique du problème de conception en le reformulant sous forme d'une optimisation sous contraintes matricielles bilinéaires (ou l'optimisation Bilinear Matrix Inequality (BMI), en anglais), voir [A.8], tout en spécialisant l'algorithme de sa résolution. Néanmoins, comme pour tous les problèmes d'optimisation non-convexe, le résultat de résolution de ce problème d'optimisation BMI reste dépendant du point d'initialisation.

<footnote n="15">15. Il s'agit notamment d'exigence pour les bandes de transition étroites entre la bande passante et la bande de réjection, on parle d'une sélectivité du filtre.</footnote>
Par ailleurs, la conception de filtres BAW peut être formalisée de manière similaire au problème considéré au début de ce chapitre. Seulement, il s'agit cette fois-ci de synthétiser une fonction de transfert rationnelle, non pas en une seule variable $\Omega$, mais en deux variables sans perte $\Omega_s$ et $\Omega_p$. Ces dernières représentent la dynamique des résonateurs connectés respectivement en série et en parallèle du circuit [T.3].

L'extension de l'approche de synthèse LFR proposée aux systèmes LFR à deux variables, c'est-à-dire :

$$ \mathrm{bdiag}(\Omega_s(s) \cdot I_{N_1}, \Omega_p(s) \cdot I_{N_2}) \star M_{\Omega} $$

avec $N_1$ sous-systèmes LTI SISO $\Omega_1$ et $N_2$ sous-systèmes LTI SISO $\Omega_2$, a permis d'obtenir un point d'initialisation "convenable" à ce problème d'optimisation non-convexe et donc de proposer un outil pertinent de conception de filtres BAW, voir les détails dans la thèse [T.3].
# Conception de systèmes modulés

## Contents

<table><tr><td>10.1 Introduction</td><td>115</td></tr><tr><td>10.2 Modélisation et synthèse de lois de commande de systèmes modulés</td><td>116</td></tr><tr><td>10.2.1 Problématique et Démodulation synchrone</td><td>116</td></tr><tr><td>10.2.2 Modèle des enveloppes</td><td>118</td></tr><tr><td>10.2.3 Commande $H_\infty$ des enveloppes</td><td>119</td></tr><tr><td>10.3 Analyse de systèmes variants de manière harmonique</td><td>121</td></tr><tr><td>10.3.1 Définition du problème</td><td>121</td></tr><tr><td>10.3.2 Paramétrisation dynamique du paramètre variant harmoniquement dans le temps</td><td>123</td></tr><tr><td>10.3.3 Résolution efficace du problème d'analyse</td><td>124</td></tr><tr><td>10.3.4 Extensions de la paramétrisation</td><td>125</td></tr></table>

## 10.1 Introduction

Dans ce chapitre, ma thématique de recherche la plus récente est présentée. Elle concerne la conception de systèmes temps variant. Il s'agit de systèmes où la variation de certains paramètres peut être décrite par une fonction harmonique à une fréquence fixe ou temps variant. On retrouve ce type de systèmes dans plusieurs domaines d'ingénierie (en Aéronautique, Télécommunication, Génie Électrique, Microélectronique, etc.), où on cherche à imposer un cahier des charges en commandant plutôt les enveloppes des signaux que les signaux mêmes. Nous appellerons par la suite une telle commande, la commande des enveloppes et les systèmes concernés, les systèmes modulés. Pour réaliser la commande des enveloppes, il est, en effet, nécessaire d'avoir un moyen pour mesurer les enveloppes d'un signal périodique (son amplitude/phase ou alors sa partie en phase/quadrature) ce qui est souvent implémenté en utilisant la modulation.

L'idée principale de l'approche proposée ici est de voir les blocs réalisant la conversion « les signaux directs ↔ les enveloppes de signaux » comme des convertisseurs et, par analogie à ce qui est fait pour les convertisseurs analogiques-numériques [Johnson 1955, Åström 1997], proposer un modèle de synthèse de l'ensemble incluant le système et les convertisseurs. Cela permet, sous certaines hypothèses d'idéalité de convertisseurs, d'obtenir un modèle simplifié mais qui prend en compte la dynamique principale des convertisseurs et pour laquelle une méthode de synthèse de loi de commande maîtrisée et efficace peut être obtenue (la commande $H_\infty$ ou Linéaire Paramètre Variant (LPV), par exemple), voir la section 10.2. Ce modèle simplifié est inspiré de la représentation en phaseurs, habituellement utilisée dans le domaine de capteurs inertiels résonnants et en électronique de puissance, et de leur extension.

Par la suite, afin de prendre en compte les non-idéalités de convertisseurs, un modèle plus réaliste d'analyse est proposé incluant explicitement les gains harmoniquement variant dans
le temps. Une méthodologie générale d'analyse, basée sur l'approche de conception proposée, est alors développée pour ce type de modèles, voir la section 10.3.

## 10.2 Modélisation et synthèse de lois de commande de systèmes modulés

### 10.2.1 Problématique et Démodulation synchrone

Dans cette section, nous considérons le problème de commande des systèmes modulés, étudié dans la thèse de Fabricio Saggin [T.4] que j'ai co-encadré, voir également l'article [C.27], disponible dans les annexes. Il s'agit des systèmes pour lesquels les signaux à l'intérieur de la boucle fermée peuvent être modélisés par une fonction sinusoïdale dont la phase est définie par rapport à une fonction positive $\phi_{Ph}(t)$ :

$$ \phi_{Ph}(t) = \int_{0}^{t} \omega_{Ph}(\tau) d\tau + \phi_{Ph}^{0} \quad (10.1) $$

avec une phase initiale $\phi_{Ph}^{0}$ et une fréquence instantanée décrite par une fonction bornée $\omega_{Ph}(t) : 0 \le \omega_{Ph,1} \le \omega_{Ph}(t) \le \omega_{Ph,2}$. Typiquement, la fréquence instantanée $\omega_{Ph}(t)$ tend vers une constante à l'infinie.

On retrouve ce type de systèmes dans les applications où, dans le régime permanent, les signaux de référence, de perturbation, de commande et/ou de sorties contrôlées sont les signaux harmoniques, voir, par exemple, la commande des machines électriques [Venkatasubramanian 1994], des capteurs inertiels résonants [Boivin 2002, Saukoski 2008, Kempe 2011], des systèmes en domaine radiofréquence [Troeng 2017], etc..

Afin de faciliter l'implémentation de la commande de systèmes de ce type, le correcteur impose/contrôle non pas le signal lui-même $u$, mais son enveloppe $\underline{u}$, tout en utilisant les mesures disponibles des enveloppes d'autres signaux (référence, sortie contrôlée, perturbation, etc.) voir la Figure 10.1 pour un exemple d'un tel système. On appellera cette commande, *commande des enveloppes*, à l'opposition de la *commande directe*, traditionnellement utilisée dont l'exemple est présenté sur la Figure 10.2. Dans ce cas-là, il est en effet possible d'implémenter le correcteur discret à une fréquence d'échantillonnage (beaucoup) plus faible que la fréquence instantanée $\omega_{Ph}(t)$ étant donné que la dynamique de l'enveloppe $\underline{u}$ est, en général, plus limitée que celle du signal même correspondant $u$. Cette réduction de la fréquence d'échantillonnage est impossible dans le cas de la commande directe, voir la Figure 10.2, en vue du respect des conditions du théorème de Shannon.

L'enveloppe d'un signal modulé $v(t)$ :

$$ v(t) = V(t) \cos (\phi_{Ph}(t) + \phi_v(t)) \quad (10.2) $$

est définie par un signal complexe $\underline{v}(t)$ et donc par deux composantes $\underline{v}_1(t)$ et $\underline{v}_2(t)$. Plusieurs possibilités existent, soit la représentation polaire :

$$ \underline{v}(t) = V(t)e^{j\phi_v(t)}, \text{ avec pour amplitude } \underline{v}_1(t) = V(t) \text{ et pour phase } \underline{v}_2(t) = \phi_v(t) $$

associée directement à l'équation (10.2), soit la représentation cartésienne :

$$ \underline{v}(t) = \underline{v}_{\mathbb{R}}(t) + j\underline{v}_{\mathbb{C}}(t), \text{ avec les parties réelle } \underline{v}_1(t) = \underline{v}_{\mathbb{R}}(t) \text{ et imaginaire } \underline{v}_2(t) = \underline{v}_{\mathbb{C}}(t) \quad (10.3) $$
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Commande par les enveloppes.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Commande directe.</figcaption></figure>

puisque (10.2) peut être réécrite comme :

$$ \underline{v}(t) = \underline{v}_{\mathbb{R}}(t) \cos(\phi_{Ph}(t)) - \underline{v}_{\mathbb{C}}(t) \sin(\phi_{Ph}(t)). \quad (10.4) $$

Pour implémenter la commande des enveloppes, voir la Figure 10.1, il est nécessaire d'implémenter les convertisseurs du domaine d'enveloppes au domaine de singaux « e2s » et inversement « s2e ». Si l'implémentation de bloc « e2s » ne pose pas beaucoup de soucis (surtout en discret)<fnref n="1" />, l'implémentation du bloc inverse « e2s » est plus délicate. En effet, avant même d'évoquer les questions d'implémentation, il existe un problème d'ambiguïté, car pour un signal général de la forme (10.2) ou (10.4), il existe une infinité de couples $v_1(t), v_2(t)$ représentant son enveloppe. Néanmoins, en utilisant la théorie des signaux analytiques et en imposant certaines contraintes sur le support du spectre des signaux $v(t), v_1(t)$ et $v_2(t)$ (voir les contraintes sur les phaseurs dynamiques en [Rubiola 2009]), la transformée Hilbert peut être utilisée afin d'extraire un couple unique $v_1(t), v_2(t)$ [Gabor 1946, Vakman 1977, Venkata-subramanian 1994, Picinbono 1997]. Même si pratiquement, à cause de la présence du bruit, les conditions sur le support des spectres des signaux ne sont pas strictement assurées, la démodulation synchrone [Lathi 1998, Saukoski 2008] peut être utilisée pour l'extraction d'une estimation de l'enveloppe $\underline{v}$ d'un signal $v$. Cette estimation est d'autant plus exacte que les filtres passe-bas, utilisés dans la démodulation synchrone, sont proches de filtres idéaux.

Pour la suite de cette section, à l'étape de la synthèse du correcteur, nous considérons que la démodulation synchrone est idéale et peut être utilisée pour extraire l'enveloppe d'un signal modulé. L'influence de la non-idéalité de ce système électronique peut être prise en compte à l'étape d'analyse<fnref n="2" /> en utilisant les outils présentés dans la section 10.3.

Il est intéressant de remarquer que les opérations de passage du domaine enveloppes

<footnote n="1">1. Car il s'agit juste d'une simple multiplication par sinus/cosinus.</footnote>

<footnote n="2">2. En réalité aussi partialement à l'étape de synthèse, voir [C.27].</footnote>
au domaine des signaux et inversement, font intervenir dans la boucle des non-linéarités même si le système à commander initial G est un système LTI. Cela empêche l'utilisation des outils de synthèse LTI, bien maitrisés et puissants (par exemple la commande $H_\infty$) ce qui constitue un désavantage important malgré l'avantage notable de l'implémentation. C'est pour cela que, par la suite, nous considérons deux problèmes. Le premier problème consiste à proposer un modèle des enveloppes G décrivant la dynamique des enveloppes des signaux de telle sorte qu'elle préserve le caractère linéaire du modèle initial G. Le deuxième problème concerne la question du niveau de la performance qu'on peut atteindre par la commande directe (Figure 10.2) versus la commande par les enveloppes (Figure 10.1).

### 10.2.2 Modèle des enveloppes

Pour construire un modèle décrivant la dynamique des enveloppes, nous choisissons la représentation cartésienne des enveloppes (10.3). La raison principale est que la démodulation synchrone permet d'estimer la partie réelle (aussi appelée en phase) et la partie imaginaire (aussi appelée en quadrature) d'une enveloppe, et les opérations supplémentaires sont nécessaires pour passer au module et la phase d'enveloppe (représentation polaire). Ces opérations réalisent un calcul non linéaire et éloignent davantage le comportement du modèle recherché d'un modèle linéaire.

Supposons que le système à commander G est LTI et est modélisé sous la forme d'une représentation d'état, c'est-à-dire, une LFR en intégrateurs (6.1) avec

$$ \Delta(s) = \frac{1}{s} I_n \quad \text{et} \quad M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}. $$

Dans ce cas, le modèle en enveloppes dynamiques associé à G est donné par :

$$ \begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + B[\cos(\phi_{Ph}(t)) & -\sin(\phi_{Ph}(t))]u(t) \\ \underline{y}(t) = s2e(Cx(t) + D[\cos(\phi_{Ph}(t)) & -\sin(\phi_{Ph}(t))]\underline{u}(t)) \end{cases}, \quad (10.5) $$

avec $\underline{u}(t) = [u_\mathfrak{R}(t), u_\mathfrak{I}(t)]^T$ et $\underline{y}(t) = [\underline{y}_\mathfrak{R}(t), \underline{y}_\mathfrak{I}(t)]^T$ les enveloppes des signaux u et y respectivement et x le vecteur de la représentation d'état.

À condition que la démodulation synchrone réalise de manière idéale l'opération « s2e », le modèle précédent peut être représenté de manière équivalente par la représentation d'état linéaire suivante<fnref n="3" /> :

$$ G: \begin{cases} \dot{x}(t) = \underline{A}(\omega_{Ph}(t))x(t) + \underline{B}u(t) \\ \underline{y}(t) = \underline{C}x(t) + \underline{D}u(t) \end{cases} \quad (10.6) $$

avec nouveau vecteur d'états $\underline{x}(t) = [\underline{x}_\mathfrak{R}(t), \underline{x}_\mathfrak{I}(t)]^T$ associé à $x(t)$ et les matrices

$$ \underline{A}(\omega_{Ph}(t)) = \begin{bmatrix} A & \omega_{Ph}(t)I_n \\ -\omega_{Ph}(t)I_n & A \end{bmatrix}, \quad \underline{B} = \mathbf{bdiag}(B, B), \quad \underline{C} = \mathbf{bdiag}(C, C), \quad \underline{D} = \mathbf{bdiag}(D, D) $$

voir [C.27], disponible dans les annexes. Il s'agit donc d'une LFR (6.1).

On appellera par la suite, $G$ le modèle des enveloppes de G. Contrairement à la modélisation initiale (10.5), ce dernier modèle est beaucoup plus simple de point de vue dynamique. En outre, dans le cas où la fréquence instantanée est constante $\omega_{Ph}(t) = \omega_{Ph}^\infty$, le modèle obtenu est LTI.

Même si le cas de la fréquence variable a été traité dans la thèse [T.4] dans le cadre d'une commande LPV, nous considérons par la suite le cas de la fréquence instantanée constante.

<footnote n="3">3. Il est également possible d'établir le modèle de représentation d'état complexe équivalente à (10.6).</footnote>

<footnote n="4">4. Ce qui est le cas dans un large spectre d'applications, surtout en régime permanent.</footnote>
### 10.2.3 Commande $H_\infty$ des enveloppes

La modélisation proposée dans la sous-section précédente ouvre des perspectives très intéressantes au niveau du développement de la commande de systèmes modulés. Elle permet, en effet, d'atteindre les méthodes de commande basée sur le déploiement quasi direct de la Commande Robuste proposée en section 5.4 à ce cadre des systèmes sans pour autant augmenter beaucoup leur complexité. Il est néanmoins important de poser la question de l'équivalence de la commande des enveloppes de systèmes modulés vis-a-vis de la commande directe traditionnellement utilisée en Automatique. Cette question est très intéressante. En effet, comme discuté au début de cette section, la commande des enveloppes possède un avantage incontournable au niveau de l'implémentation. En outre, avec une modélisation adaptée proposée précédemment, il est possible d'appliquer les méthodes de synthèse linéaires exactement comme pour la commande directe, il n'y a donc plus d'inconvénient à ce niveau-là. La question est alors la suivante : est-ce que le niveau de performance atteignable par la commande des enveloppes est moins important (désavantage), plus important (deuxième avantage) ou alors équivalent à la commande directe ?

Pour cela, considérons la commande $H_\infty$ dans les deux cas en reprenant la démarche proposée dans l'annexe A. La Figure 10.3 représente l'architecture générale de la commande, voir LFR de la boucle fermée $T_{w \to z}$ définit en (A.2).

Pour la commande directe, selon la démarche habituelle [Skogestad 2005], on définit le procédé augmenté $P$, sous forme d'une représentation d'état, c'est-à-dire une LFR en intégrateurs (A.1) avec

$$ \Delta(s) = \frac{1}{s} I_n \quad \text{et} \quad \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{qu} \\ M_{21} & M_{22} & M_{zu} \\ M_{yp} & M_{yw} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_P & B_P \\ C_P & D_P \end{bmatrix}. \quad (10.7) $$

Ce procédé inclut le système à commander, $G$ mais aussi les pondérations, les signaux entrée/sortie externes $w/z$ et les signaux entrée/sortie $u/y$ connectées au correcteur $K$. Le correcteur $K$, quant à lui, est aussi défini sous forme d'une représentation d'état avec le même ordre $n$, voir LFR en intégrateurs (A.3) avec

$$ \Delta_K(s) = \frac{1}{s} I_n \quad \text{et} \quad M_K = \begin{bmatrix} A_K & B_K \\ C_K & D_K \end{bmatrix}. $$

Avec ces notations, on définit la fonction de transfert en boucle fermée entre l'entrée $w$ et la sortie $z$ externes $T_{w \to z}$ peut être calculé en utilisant (A.4). La commande $H_\infty$ consiste alors à calculer des matrices $A_K, B_K, C_K, D_K$ telles que le système en boucle fermée $T_{w \to z}$ soit stable et de norme $H_\infty$ bornée : $\|T_{w \to z}\|_\infty \le \gamma$, avec une valeur $\gamma$ proche de 1. La dernière contrainte permet de traduire les exigences de la performance (en termes de poursuite des consignes, rejet de perturbations, filtrage du bruit, limitation de la commande, etc.).

Pour la commande des enveloppes, les mêmes exigences de performance peuvent être imposées par la commande $H_\infty$ par une approche similaire. Pour cela, le procédé augmenté $\mathcal{L}$ est choisi comme le modèle des enveloppes de $P$ et donc une LFR (A.1) avec

$$ \Delta(s) = \frac{1}{s} I_{2n} \quad \text{et} \quad \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{qu} \\ M_{21} & M_{22} & M_{zu} \\ M_{yp} & M_{yw} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_P & \omega_{Ph}^\infty I_n & B_P & 0 \\ -\omega_{Ph}^\infty I_n & A_P & 0 & B_P \\ C_P & 0 & D_P & 0 \\ 0 & C_P & 0 & D_P \end{bmatrix}. \quad (10.8) $$
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Représentation (LFR) pour la synthèse</figcaption></figure>
Après quelques permutations des entrées/sorties de $\tilde{\mathcal{P}}^5$, il est possible de définir la fonction de transfert globale $\mathcal{T}_{w \to z}$ selon (A.4). On cherche alors un correcteur des enveloppes $\mathcal{K}$ sous forme d'une représentation d'état, voir LFR en intégrateurs (A.3) avec

$$ \Delta_K(s) = \frac{1}{s} I_{2n} \quad \text{et} \quad M_K = \begin{bmatrix} \frac{A_K}{C_K} & \frac{B_K}{D_K} \end{bmatrix} $$

tel que le système en boucle fermée $\mathcal{T}_{w \to z}$ soit stable d'une norme $H_\infty$ bornée : $\|\mathcal{T}_{w \to z}\|_\infty \le \gamma$, avec une valeur $\gamma$ proche de 1.

En appliquant la phase de Synthèse de l'Algorithme 1 pour ces deux cas, avec

<table><thead><tr><th>Commande</th><th>
  <table><tbody><tr><td>M</td><td>M<sub>u</sub></td></tr><tr><td>M<sub>y</sub></td><td>0</td></tr></tbody></table></th><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Directe</td><td>(10.7)</td><td>{<sup>1</sup>&frasl;<sub>s</sub> I<sub>2n</sub>}</td><td>Voir le Tableau 7.1,</td><td>[<sup>-I</sup>&frasl;<sub>0</sub> 0]</td></tr><tr><td>Enveloppes</td><td>(10.8)</td><td>{<sup>1</sup>&frasl;<sub>s</sub> I<sub>4n</sub>}</td><td>ligne 5 ou (6.14)</td><td>[0 <sup>γ<sup>2</sup>I</sup>&frasl;<sub>0</sub>]</td></tr></tbody></table>

et la procédure de transformation équivalente en optimisation LMI décrite en Annexe B, les conditions d'existence de deux correcteurs $K$ et $\mathcal{K}$ assurant la stabilité et $\|T_{w \to z}\|_\infty \le \gamma$ et $\|\mathcal{T}_{w \to z}\|_\infty \le \gamma$ respectivement sont obtenues.

Ces conditions ont permis de démonter qu'il existe un correcteur de commande des enveloppes $\mathcal{K}$ si et seulement s'il existe un correcteur de commande directe $K$ [C.27]. Ce résultat permet de conclure qu'en dépit du fait que les matrices du correcteur des enveloppes $\mathcal{K}$ ont, a priori, plus de degrés de liberté, il n'y pas d'avantages au niveau de la performance assurée par rapport au correcteur direct $K$. Tout correcteur direct peut alors être transformé en correcteur des enveloppes sans concessions vis-à-vis de la performance assurée, en fixant :

$$ \left[ \begin{array}{c|c} \underline{A_K} & \underline{B_K} \\ \hline \underline{C_K} & \underline{D_K} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc|cc} A_K & \omega_{Ph}^\infty I_n & B_K & 0 \\ -\omega_{Ph}^\infty I_n & A_K & 0 & B_K \\ C_K & 0 & D_K & 0 \\ 0 & C_K & 0 & D_K \end{array} \right]. $$

# 10.3 Analyse de systèmes variants de manière harmonique

## 10.3.1 Définition du problème

Comme nous l'avons vu, dans la section précédente, dans les nombreuses applications (en Aéronautique, Génie Électrique, Microélectronique, etc.) en raison de l'implémentation, il est intéressant d'utiliser la commande des enveloppes, voir le schéma de la Figure 10.1. Sous l'hypothèse de l'idéalité de la démodulation synchrone et si la fréquence de modulation $\omega_{Ph}(t) = \omega_{Ph}^\infty$ est constante, cette commande peut être développée par la commande $H_\infty$. Cependant, le modèle plus réaliste d'un tel système modulé, prenant en compte la non-idéalité de la démodulation synchrone (voir [C.27]), est représenté sur la Figure 10.4, avec $F_{LP}$ étant la fonction de transfert associée au filtre passe-bas de la démodulation synchrone et l'opérateur $\Delta(\omega_{Ph}^\infty)$ définit comme :

$$ \Delta(\omega_{Ph}^\infty) = \begin{bmatrix} \cos(2\omega_{Ph}^\infty t) & -\sin(2\omega_{Ph}^\infty t) \\ -\sin(2\omega_{Ph}^\infty t) & \cos(2\omega_{Ph}^\infty t) \end{bmatrix}. \quad (10.9) $$

<footnote n="5">5. Liées au fait que l'ordre des entrées/sorties $[w^T, u^T]^T/[z^T, y^T]^T$ de $P$ n'est pas conservé après leur dédoublement.</footnote>
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Commande par les enveloppes avec la démodulation non idéale.</figcaption></figure>

Dans ce cas, il s'agit d'un système Linéaire Harmoniquement Temps Variant (LHTV) contenant une combinaison de gains de type : $\theta^{\omega_0}(t) = \cos(\omega_0 t + \phi) I_k$, avec une fréquence donnée $\omega_0$ et une phase initiale incertaine $\phi$. La prise en compte des effets de tels gains constitue un défi scientifique sur lequel mes activités de recherche récentes se sont focalisées et permet une extension des méthodes d'analyse de Commande Robuste traditionnelles présentées dans la section 5.3.

Il est intéressant de remarquer que le système en question peut être modélisé sous forme d'une LFR (6.1), avec $\Delta = \Delta(\omega_{Ph}^\infty)$. L'étape 1 de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 de la démarche de conception proposée 6, voir la sous-section 7.2.1, se focalise sur la recherche d'une paramétrisation appropriée $\Pi_\Delta \subseteq \Phi_\Delta$ des contraintes quadratiques respectées par tout $\Delta \in \Delta$. Par la suite, ceci permet de résoudre le problème d'analyse de la stabilité ou de la performance en l'étape 2 de la Phase d'Analyse du même Algorithme. Dans certains cas d'opérateurs $\Delta$ et de leurs ensembles $\Delta$, il existe déjà dans la littérature un catalogue riche d'une telle paramétrisation qui permet d'obtenir le résultat d'analyse finale précise et efficace, voir le Tableau 7.1. Pour rappel, on cherche une paramétrisation qui soit non seulement la plus précise, mais qui permette aussi de transformer le problème d'optimisation associé en un problème d'optimisation efficace, sous contraintes LMI par exemple. Malheureusement, dans le cas des systèmes LHTV, les paramétrisations existantes ne sont pas adaptées.

Premièrement, le gain $\theta^{\omega_0}(t)$ peut être vu comme un paramètre borné variant dans le temps de manière arbitraire. Il est donc possible d'utiliser la paramétrisation existante dans la littérature [El Ghaoui 1994], voir la ligne 3 du Tableau 7.1. Cependant, la variation harmonique est un cas particulier de variation, surtout si l'on se limite à la fréquence spécifique $\omega_0$. La paramétrisation en question caractérise donc non seulement les paramètres variant dans le temps de manière harmonique à la fréquence $\omega_0$, mais aussi les paramètres variant de manière non harmonique 7, voir arbitraire. Le résultat de l'étape 2 de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 peut être très pessimiste.

Pour cette raison, nous nous sommes penchés sur la question d'obtention d'une paramétrisation plus spécifique et précise dans le contexte de systèmes LHTV, voir les travaux de

<footnote n="6">6. Ainsi que l'étape 1 de la Phase de Synthèse de l'Algorithme 1.</footnote>

<footnote n="7">7. Y compris les paramètres variants dans le temps de manière harmonique à d'autres fréquences $\omega \neq \omega_0$.</footnote>
thèse de Jorge Ivan Ayala Cuevas [T.5] que j’ai co-encadré ainsi que l’article [C.26] disponible en annexe.

L'introduction de la fréquence dans la paramétrisation suivante

$$
\Pi_{TV} = \left\{ \Pi \mid \exists D, G \in \mathbb{R}^{k \times k} : \begin{array}{l} D^T = D > 0 \\ G^T = -G \end{array} , \Pi = \begin{bmatrix} -D & G \\ G^T & D \end{bmatrix} \right\} \quad (10.10)
$$

proposée pour les paramètres bornés variants, voir la ligne 3 du Tableau 7.1 est une piste inté-
ressante à explorer. En effet, la paramétrisation (10.10) est définie par un opérateur linéaire
auto-adjoint statique, indépendant de la fréquence où la variable de décision symétrique<fnref n="8" />
D traduit le fait que le paramètre variant est borné et répété k fois, alors que la variable
de décision antisymétrique G traduit le fait que ce paramètre répété est réel. Un paramètre
incertain borné, mais constant est aussi un cas particulier d'un paramètre borné variant dans
le temps et l'utilisation de la paramétrisation (10.10) mène à un résultat d'analyse très pes-
simiste. L'introduction de la fréquence, ou le passage de la paramétrisation statique (10.10)
à la paramétrisation dynamique :

$$
\Pi_{TI} = \left\{ \Pi \mid \exists D(j\omega), G(j\omega) \in \mathbb{C}^{k \times k} : \begin{array}{l} D(j\omega)^* = D(j\omega) > 0 \\ G(j\omega)^* = -G(j\omega) \end{array} , \Pi(j\omega) = \begin{bmatrix} -D(j\omega) & G(j\omega) \\ G(j\omega)^* & D(j\omega) \end{bmatrix} \right\} \quad (10.11)
$$

utilisé dans ce cas-là, voire la ligne 1 du Tableau 7.1, a permis une réduction considérable du pessimisme d'analyse [Meinsma 1997, Meinsma 2000]$^9$. Le problème qui se pose est alors de trouver une paramétrisation dynamique, dépendante de fréquences dans le cas de l'ensemble :

$$
\Delta_H = \{ \Delta : \mathcal{L}_{2e}^k \to \mathcal{L}_{2e}^k | \exists \phi \in [0, 2\pi[, \forall t, \Delta(q)(t) = \theta^{\omega_0}(t)q(t), \theta^{\omega_0}(t) = \cos(\omega_0 t + \phi) \}
\quad (10.12)
$$

contenant les gains harmoniques cos(ω₀t + φ) Iₖ. Il est intéressant de remarquer, qu'étant
donné que les gains harmoniques sont répétés, cet ensemble d'opérateurs couvre égale-
ment les cas de plusieurs fonctions harmoniques dont les fréquences sont multiples entiers
ω₀, 2ω₀, 3ω₀, ..., etc.

Ce problème est partiellement résolu dans [Megretski 1997] qui propose la paramétrisation prenant en compte la nature bornée, harmonique à la fréquence $\omega_0$ des opérateurs $\Delta_H$. Cependant, elle ne permet pas de prendre en compte le fait que la fonction $\theta^{\omega_0}(t)$ est réelle, car elle ne dispose pas de variable antisymétrique $G$. L'extension de ce résultat au cas de paramétrisation incluant les deux parties symétrique et antisymétrique est proposée dans la sous-section suivante.

Ensuite, même si une paramétrisation dynamique pour l'ensemble (10.12) a été intro-
duite dans [Megretski 1997], une optimisation efficace l'utilisant n'a pas été proposée pour
effectuer l'étape 2 de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1. Deux solutions sont développées
dans nos travaux, voire la sous-section d'après. Enfin, basées sur la paramétrisation d'opé-
rateurs (10.12), des paramétrisations pour les ensembles d'opérateurs LHTV plus généraux,
comportant le déphasage fixe entre différentes fonctions harmoniques, sont introduites à la
fin de cette section.

10.3.2 Paramétrisation dynamique du paramètre variant harmoniquement
dans le temps

La difficulté principale pour obtenir la paramétrisation dynamique, et donc dépendant de
la fréquence dans le domaine fréquentiel, pour l'opérateur (10.12), est le fait que $\theta^{\omega_0}$ est un

<footnote n="8">8. symmetric scaling en littérature anglo-saxonne.</footnote>

<footnote n="9">9. voire d'obtenir les conditions LMI suffisantes et nécessaires.</footnote>
gain variant dans le temps. Néanmoins, cette variation est bien spécifique (harmonique) et grâce à la propriété de modulation de la transformé de Fourier

$$e^{j\omega_0 t} p(t) \rightarrow p(j(\omega - \omega_0))$$

il est possible d'obtenir la paramétrisation dépendante de la fréquence, mais dans laquelle il existe un lien entre les fréquences $\omega$ et $\omega \pm \omega_0$.

Une première paramétrisation peut alors être proposée, voir les détails en [C.26], disponible en annexe :

$$\Pi_H^I = \left\{ \Pi \left| \begin{array}{l} \exists D(j\omega) \in \mathbb{C}^{k \times k} : \\ D(j\omega)^* = D(j\omega) > 0 \end{array} \right. , \Pi(j\omega) = \begin{bmatrix} -2D(j\omega) & 0 \\ 0 & D(j(\omega + \omega_0)) + D(j(\omega - \omega_0)) \end{bmatrix} \right\} \quad (10.13)$$

Cette paramétrisation, correspond à la paramétrisation proposée en [Megretski 1997], permet d'inclure l'information non seulement concernant la nature bornée de l'opérateur $\Delta \in \Delta_H$ et le fait qu'il est répété, mais aussi qu'il est harmonique à la fréquence $\omega_0$. Cependant cette paramétrisation n'inclue pas l'information sur la nature réelle du paramètre variant $\theta^{\omega_0}(t) \in \mathbb{R}, \forall t$. Nous avons donc proposé l'extension de la paramétrisation (10.13) :

$$\Pi_H^{II} = \left\{ \Pi \left| \begin{array}{l} \exists D(j\omega), G(j\omega) \in \mathbb{C}^{k \times k} : \\ D(j\omega)^* = D(j\omega) > 0 \\ G(j\omega)^* = -G(j(\omega + \omega_0)) \end{array} \right. , \Pi(j\omega) = \begin{bmatrix} -2D(j\omega) & G(j\omega) \\ G^*(j\omega) & D(j(\omega + \omega_0)) + D(j(\omega - \omega_0)) \end{bmatrix} \right\} \quad (10.14)$$

où le fait que le gain variant soit réel est bien pris en compte grâce à la partie antisymétrique $G$ de l'opérateur de manière similaire comme pour la paramétrisation connue de D-G scaling (10.11).

### 10.3.3 Résolution efficace du problème d'analyse

Une fois la paramétrisation trouvée, afin de résoudre le problème d'analyse, l'étape 2 de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 doit être résolue, c'est-à-dire trouver un opérateur $\Pi \in \Pi_{\Delta} = \Pi_{H}^{II}$ tel que la condition (6.12) soit respectée (pour la Stabilité) et la condition (6.13) soit respectée (pour la Performance). Comme cela a déjà été évoqué, voir la sous-section 7.2.2, les conditions obtenues dépendent de la fréquence et donc les problèmes d'optimisation associés sont de dimension infinie. L'application directe de deux approches existantes pour contourner ce problème, voir la sous-section 7.2.2, bien maitrisées dans le cas de la paramétrisation (10.11) (l'incertitude constante réelle bornée), n'est pas possible ici. La difficulté principale est liée à la factorisation de la paramétrisation associée pour l'approche basée Lemme KYP et à la prise en compte de liens existants entre différentes fréquences pour l'approche basée grille fréquentielle.

Pour l'approche basée Lemme KYP, il n'est malheureusement pas possible de proposer une factorisation de l'ensemble d'opérateurs (10.14) de type $\Psi_{\Pi}^*(j\omega)M_{\Pi}\Psi_{\Pi}(j\omega)$ avec une matrice réelle symétrique $M_{\Pi}$ et une fonction de transfert matricielle stable $\Psi_{\Pi}(s)$ d'ordre fini. Ceci est lié au fait que la partie antisymétrique $G$ est périodique dans le domaine fréquentiel et elle ne permet pas d'avoir une représentation d'état ou une matrice de fonction de transfert rationnelle d'ordre fini. Nous nous focalisons donc à la factorisation de l'ensemble (10.13). Pour une factorisation donnée $D(j\omega) = \Psi(j\omega)^*M_D\Psi(j\omega)^{10}$, grâce à la propriété suivante :

$$ \begin{aligned} D(j(\omega + \omega_0)) + D(j(\omega - \omega_0)) &= \Psi_{+}^* M_D \Psi_{+} + \Psi_{-}^* M_D \Psi_{-} \\ &= \frac{1}{2} (\Psi_{+} + \Psi_{-})^* M_D (\Psi_{+} + \Psi_{-}) \\ &+ \frac{1}{2} (-j(\Psi_{+} - \Psi_{-}))^* M_D (-j(\Psi_{+} - \Psi_{-})) \end{aligned} $$

<footnote n="10">10. obtenu de manière traditionnelle, voir sous-section 7.2.2</footnote>
avec $\Psi_+ = \Psi(j(\omega + \omega_0))$ et $\Psi_- = \Psi(j(\omega - \omega_0))$, les opérateurs de l'ensemble $\Pi_H^I$ peuvent
être factorisés comme :

$$
\Pi(j\omega) = \begin{bmatrix} -2D(j\omega) & 0 \\ 0 & D(j(\omega + \omega_0)) + D(j(\omega - \omega_0)) \end{bmatrix} = \Psi_{\Pi}^{*}(j\omega) M_{\Pi} \Psi_{\Pi}(j\omega)
$$

$$
\text{avec } \Psi_{\Pi}(j\omega) = \begin{bmatrix} \Psi & 0 \\ \Psi_+ + \Psi_- & 0 \\ 0 & -j(\Psi_+ - \Psi_-) \end{bmatrix} \text{ et } M_{\Pi} = \begin{bmatrix} -2M_D & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}M_D & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}M_D \end{bmatrix}.
$$

Grâce à la modélisation de systèmes modulés [C.27], voir les détails en section 10.2 et
la thèse [T.4], il a été possible de proposer une représentation d'état réelle pour l'opérateur
$\Psi_{\Pi}$ ce qui nous a permis, suite à l'application du Lemme KYP, de résoudre de manière
efficace les problèmes d'analyse de stabilité et de performance de systèmes variant de manière
harmonique dans le temps.

En outre, nous avons également proposé, une procédure systématique de choix de la
grille fréquentielle pour résoudre les problèmes d'analyse avec la paramétrisation plus géné-
rale (10.14) 11 dans le domaine fréquentiel, voir les détails en [T.5].

10.3.4 Extensions de la paramétrisation

Dans certaines applications qui contiennent la démodulation synchrone ou les matrices de
rotations par exemple, le système peut être modélisé comme une LFR d'un opérateur linéaire
M et bloc Δ contenant non pas un, mais plusieurs gains variants dans le temps de manière
harmonique :

1. Deux fonctions harmoniques couplées :

$$
\theta^{\omega_0}(t) = \begin{bmatrix} \cos(\omega_0 t + \phi)I & 0 \\ 0 & \cos(\omega_0 t + \phi + \psi)I \end{bmatrix} \quad (10.15)
$$

2. Matrice harmonique pleine

$$
\theta^{\omega_0}(t) = \begin{bmatrix} \cos(\omega_0 t + \phi)I & \cos(\omega_0 t + \phi + \psi_1)I \\ \cos(\omega_0 t + \phi + \psi_2)I & \cos(\omega_0 t + \phi + \psi_3)I \end{bmatrix} \quad (10.16)
$$

où $\phi$ est une phase incertaine et $\psi$, $\psi_1$, $\psi_2$, $\psi_3$ sont les déphasages connus entre différentes
fonctions harmoniques toutes à la fréquence $\omega_0$.

Des paramétrisations adaptées à ces cas plus généraux ainsi que les factorisations et les
grilles fréquentielles adaptées pour la résolution efficace des problèmes d'analyse associés,
similaires au cas d'un gain harmonique, ont été également proposées dans [T.5].

Ces résultats, en cours de publication, ne sont pas une simple combinaison bloc diagonal
de la paramétrisation précédente (10.14). En effet, en plus de prendre en compte la nature
bornée, répétée, réelle et fréquentielle de gains harmoniques, ils incluent l'information sur le
déphasage précise $\psi_i$ entre les gains harmoniques ce qui s'avère crucial pour une réduction
de niveau de pessimisme de résultat obtenu.

<footnote n="11">11. avec la partie antisymétrique et périodique $G(j\omega)$.</footnote>
<figure><img src="image_35.png" /></figure>
# Conclusion et Perspectives

## Bilan

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches a été l'occasion de faire le bilan sur mes activités d'enseignement et de recherche de ces 10 dernières années. Sa première partie présente brièvement ces activités, les encadrements auxquels j'ai pris une part active, la liste des publications scientifiques ainsi que des projets réalisés qui ont permis à la fois de définir les objectives de recherche pertinents et de donner les moyens à leur réalisation.

Sa partie scientifique est quant à elle focalisée sur la synthèse de mes principaux travaux de recherche présentés de manière à favoriser une cohérence globale de ces derniers tout en soulignant ma thématique de recherche dans la communauté de l'Automatique en général et au sein du Laboratoire en particulier.

Ni trop théoriques ou fondamentales ni trop appliquées, mes contributions sont surtout axées sur les apports méthodologiques de l'Automatique visant un bon équilibre entre ces deux facettes. Sans minimiser l'importance des aspects théoriques ou pratiques de la recherche, je trouve fort intéressant et très motivant la synergie qu'il est possible de faire émerger, quand un effort complémentaire est dépensé pour renforcer le lien et un échange mutuel entre la théorie et la pratique. J'insiste sur le mot synergie, car, contrairement à ce qui est habituellement pensé, il ne s'agit pas uniquement du transfert unidirectionnel des résultats théoriques vers les applications, mais aussi du processus inverse<fnref n="12" />, par lequel un nouveau résultat théorique découle de l'application. Cette démarche est à mon avis au cœur d'un développement méthodologique qui trouve un fort impact en conception de systèmes dynamiques complexes. C'est précisément autour de cet axe que j'ai décidé de construire ma thématique de recherche.

Ainsi, dans ce mémoire, j'illustre l'efficacité d'une telle démarche de développement méthodologique sur plusieurs exemples concrets présentés dans le chapitre 5, à travers de l'aproche unifiée de conception proposée dans les chapitres 6 et 7 et des contributions théoriques des chapitres 8, 9 et 10.

Plus concrètement, l'idée de la modélisation de systèmes complexes sur plusieurs niveaux hiérarchiques, couramment exploitée en Microélectronique, a incité plusieurs contributions fortes en Automatique.

Premièrement, une méthode d'analyse de la robustesse originale, dite hiérarchique et permettant de maîtriser la complexité algorithmique d'analyse et d'accroître ainsi la portée des méthodes d'analyse basées sur les IQC aux systèmes interconnectés de grande dimension a été proposée. Pour ce faire, le problème de la construction et de la propagation des paramètres de contraintes quadratiques d'un niveau hiérarchique à l'autre, a été formulé et résolu par optimisation LMI. La qualité et la quantité d'éléments de base d'une telle paramétrisation déterminent la précision du résultat final, mais influencent aussi la complexité du calcul en laissant un degré de liberté supplémentaire pour fixer le compromis complexité/précision. Cette même idée d'exploitation de la structure hiérarchique, ici à deux niveaux, a contribué au développement d'une nouvelle commande décentralisée avec une simplification algorithmique considérable. Dans ce cas-là, le système est modélisé sous forme d'une LFR en sous-systèmes identiques. L'utilisation des contraintes quadratiques et de l'idée de représenter les pondérations aussi sous forme d'une LFR en mêmes sous-systèmes ont permis de transformer les conditions de la performance et de la stabilité du système global en conditions locales pou-

<footnote n="12">12. d'une rétroaction !</footnote>
vant être facilement assurées par la commande $H_∞$ standard. Ces deux contributions sont présentées dans le chapitre 8.

Deuxièmement, la nécessité de maîtriser la complexité algorithmique des méthodes de conception de systèmes complexes modernes a motivé l'extension de la synthèse de filtres fréquentiels aux systèmes sous forme d'une LFR en variable généralisée, présentée dans le chapitre 9. Une telle modélisation est inhérente aux systèmes dynamiques complexes et peut en effet être vue comme une généralisation de la représentation d'état. Dans le cas où la variable généralisée respecte une contrainte quadratique sans perte, la généralisation de la démarche traditionnelle en deux étapes a été rendue possible grâce à l'extension originale de la factorisation spectrale. Dans le cas d'une LFR en variable généralisée avec les pertes et impliquant une erreur lors de la factorisation spectrale, une nouvelle méthode de synthèse en une étape prenant en compte cette erreur a été développée.

Différentes contributions théoriques ont également pu émerger dans le domaine des capteurs inertiels. Dans ce domaine, la commande des systèmes modulés a des avantages très intéressants en termes d'implémentation. Cependant, elle souffre de l'absence d'un cadre de conception systématique maîtrisé à cause de la présence dans la boucle de rétroaction des opérations de multiplication par les fonctions harmoniques. La modélisation par les enveloppes et la commande $H_∞$ des enveloppes proposées dans le chapitre 10 ont non seulement posé ce cadre maîtrisé de conception, mais ont également proposé une méthode originale de la commande des systèmes modulés à complexité comparable au cadre de la commande traditionnelle de systèmes LTIs. En outre, une nouvelle classe de multiplieurs a également été introduite dans le contexte d'analyse par les IQC pour traiter les non-idéalités d'implémentation des systèmes modulés. Il s'agit d'un multiplieur fréquentiel basé sur la propriété de modulation. Il a servi de base pour tout un catalogue de multiplieurs et de méthodes de résolution à complexité raisonnable du problème de l'analyse de la robustesse de systèmes à paramètres variants harmoniquement dans le temps.

Pour conclure, afin d'étendre la portée de la démarche de conception proposée et ses contributions, plusieurs perspectives à court et à long termes méritent d'être suggérées.

# Perspectives à court terme

## Synthèse convexe de la commande Multi-agents

La commande de Multi-Agents proposée dans la section 8.3 est basée sur une optimisation non convexe si le choix de la caractérisation de sous-systèmes et la synthèse du correcteur sont réalisés en même temps. Le problème sous-jacent est lié aux contraintes structurelles fortes qui impliquent la non-convexité du problème d'optimisation de synthèse. L'échange de certaines informations spécifiques entre les correcteurs permet toutefois d'éviter ce problème.

Par exemple, dans la commande distribuée, les correcteurs de chaque sous-système sont autorisés à échanger des informations entre eux. Si cet échange est réalisé selon une typologie identique à celle de l'interconnexion des sous-systèmes, le choix simultané de la caractérisation et la synthèse des correcteurs de ces sous-systèmes assurant le comportement global du réseau semble être un problème d'optimisation convexe. En effet, dans les articles [D'Andrea 2003, Dullerud 2004], les auteurs proposent de modéliser l'aspect distribué du système via l'introduction d'une variable spatiale, en supplément de la variable temporelle, et d'étendre la commande $H_∞$ aux nouvelles classes d'opérateurs ainsi obtenus, voir également l'extension de la commande $H_∞$ aux systèmes spatialement distribués [Langbort 2004]. La reformulation de ces résultats dans le cadre unifié de la conception proposée dans ce manuscrit, voir chapitre 7, est une perspective très intéressante. Premièrement, cela permet de confronter la paramétrisa-
tion utilisée aux paramétrisations déjà connues en Commande Robuste et, éventuellement, de l'améliorer. Il sera ensuite possible de voir si la démarche peut être généralisée aux autres topologies d'interconnexion et d'échange d'informations et d'étendre les idées de la commande distribuée aux problèmes de la commande de systèmes Multi-agents <fnref n="13" />. Enfin, cela permet d'affiner la description de la performance recherchée <fnref n="14" /> afin d'inclure les objectifs originaux ouvrant la voie à ce qu'on appelle les matériaux intelligents (Smart materials, en anglais) dans le domaine Mécatronique. Ces systèmes sont dotés de propriétés remarquables, qui, en plus d'être reprogrammables, ne peuvent pas être obtenues avec les matériaux mécaniques traditionnels.

Ce travail, entamé dans la thèse d'Éva Markiewicz [T.6], permettra de généraliser la méthode de contrôle des vibrations proposée dans la thèse [T.2] au contexte distribué, voire à des systèmes Multi-agents. Il permet également de mieux maîtriser le compromis énergie/informations dissipées au sein d'un réseau de capteurs intelligents, qui est l'objet de la thèse de Halim Ould Lahsen [T.7] qui vient de démarrer.

## Extension de la synthèse LFR à plusieurs variables généralisées

Même si les premières étapes de l'extension de la synthèse LFR à deux variables généralisées ont été entreprises, voir la fin du chapitre 9, son utilisation en conception de filtres à deux dimensions <fnref n="15" /> reste limitée. Les filtres à plusieurs dimensions trouvent en effet leur intérêt dans les applications modernes du Traitement du Signal, mais la généralisation de la méthode de conception du chapitre 9 se heurte à quelques difficultés : la non-équivalence des ensembles générés par une fonction rationnelle et par une LFR à plusieurs variables, la difficulté à imposer la condition d'existence d'une factorisation spectrale à plusieurs variables ainsi que son calcul effectif. Les techniques de polynômes positifs (ou Sum-Of-Square (SOS) polynomials, en anglais) [Parrilo 2003] semblent être pertinentes dans cette généralisation, voir [Basu 2000, Avelli 2008]. Elles peuvent être interprétées selon l'approche proposée ici <fnref n="16" />, ce qui ouvre la voie à des généralisations intéressantes en exploitant, par exemple, la nature complexe des variables en question.

## Prise en compte des aspects variants dans le temps et non-linéaires

Le cadre LTI proposé en conception des capteurs inertiels, voir le chapitre 10, a permis de proposer une alternative très intéressante aux méthodes heuristiques de conception utilisées dans ce domaine. Cependant, une étude de la littérature montre que de plus en plus d'architectures de capteurs exploitent des éléments non-linéaires et temps variants afin d'accroître leur performance et la précision [M'Closkey 2001, Park 2012]. Cette tendance se confirme pour d'autres systèmes modernes où, suite aux exigences croissantes des cahiers des charges, les phénomènes non linéaires/temps variants ne peuvent plus être négligés, voire sont désirables. Malheureusement, la conception de ces nouveaux dispositifs se base en général sur des méthodes heuristiques. L'extension du cadre de conception proposé dans ce manuscrit à la conception maîtrisée de tels systèmes est très pertinente. Dans le contexte des capteurs inertiels, ce sujet sera abordé dans la thèse de Cécile Pernin [T.8] qui vient de démarrer.

<footnote n="13">13. Ces systèmes permettant également un échange d'informations supplémentaire entre les correcteurs.</footnote>

<footnote n="14">14. Par exemple de se focaliser sur une plage de fréquences restreinte plutôt que sur la plage entière couverte par la norme $H_\infty$.</footnote>

<footnote n="15">15. Il s'agit de filtres 2D, par exemple les filtres à réponse impulsionnelle finie [Roh 2007].</footnote>

<footnote n="16">16. La condition de la positivité d'un polynôme peut en effet être vue comme une application de la S-procédure particulière avec des contraintes quadratiques spécifiques.</footnote>
Pour réussir une telle démarche, deux grands défis doivent être résolus. Le premier concerne la conception des systèmes et plus particulièrement, en plus de la stabilité, le niveau de performance qui doit être assuré. Dans l'approche de conception basée modèle, c'est le critère mathématique qui permet de traduire ces exigences en définissant le problème d'optimisation associé. Toutefois, la définition d'un critère mathématique adapté au cadre des modèles non-linéaires et temps variants pose une problématique scientifique à part entière. En effet, la norme $H_\infty$ pondérée, utilisée comme un critère en Commande Robuste dans le cadre LTI, n'a pas une généralisation unique dans le cadre Linéaire Temps Variant (LTV) et non-linéaire. Il s'avère que la version la plus pertinente du critère mathématique est le $L_2$-gain incrémental pondéré [Fromion 1995, Fromion 2001] avec un choix approprié de pondérations.

Deuxièmement, l'extension du cadre LTI au cadre LTV et non-linéaire, implique une augmentation considérable de la complexité algorithmique pour satisfaire les conditions d'analyse et de synthèse minimisant le critère mathématique choisi. Il est donc crucial de proposer des méthodes de conception à complexité maîtrisée. Une approche de commande LPV [Shamma 1988, Apkarian 1995] adaptée au cadre de synthèse incrémentale [de Hillerin 2011, Hillerin 2011] semble être pertinente pour cet objectif et peut être utilisé en vue de généraliser la démarche de conception proposée ici.

## Perspectives à long terme

### Choix de la structure hiérarchique

Comme expliqué dans le chapitre 8, la prise en compte de la structure hiérarchique inhérente aux architectures des systèmes modernes permet de réduire fortement la complexité des conditions d'analyse de la robustesse ou de synthèse de la commande.

Jusqu'à maintenant, la question du choix de la structure hiérarchique n'a pas été traitée. La structure hiérarchique a été supposée donnée et égale à la structure hiérarchique qui apparaît naturellement dans le système réel (généralement à deux niveaux : le niveau global et le niveau des sous-systèmes locaux). Cependant, un système donné peut être modélisé selon plusieurs structures hiérarchiques<fnref n="17" />.

La réflexion autour de la manière d'exploiter ce nouveau degré de liberté pour réduire la complexité ou le niveau de conservatisme du résultat obtenu en analyse ou en synthèse constitue une autre perspective intéressante. Il est également possible de concevoir et de modifier la structure hiérarchique d'un système donné pour qu'il soit plus facile de garantir les propriétés globales voulues. L'exploitation des techniques de la décomposition de graphe cordal [Blair 1993], déjà utilisées pour la décomposition de problèmes d'optimisation parcellonnieux [Fukuda 2001] est une piste intéressante pour choisir la structure hiérarchique.

### Commande Robuste pour l'amélioration des algorithmes

Une autre piste intéressante est l'utilisation de la démarche proposée dans ce manuscrit pour analyser la performance des algorithmes issus de l'apprentissage par données ou en cybersécurité.

En effet, les réseaux de neurones peuvent être vus comme des réseaux de sous-systèmes interconnectés de grande taille. Les méthodes de la Commande Robuste et ses extensions montrent déjà leur pertinence lors de l'analyse de robustesse de ces systèmes [Fazlyab 2022].

<footnote n="17">17. Pour un système composé de 12 sous-systèmes interconnectés, en plus du niveau du système global et local, il est possible de rajouter les niveaux intermédiaires qui regroupent les sous-systèmes 2 par 2, 3 par 3 ou 4 par 4, etc..</footnote>
Les approches proposées ici permettront de prendre en compte l'architecture hiérarchique de ces réseaux, voire de proposer l'introduction de boucles de rétroaction afin de renforcer la robustesse des algorithmes associés.

Quant à la cybersécurité, la propriété de résilience recherchée des systèmes peut être vue comme une contrainte quadratique particulière à assurer [Perodou 2021]. L'adaptation de la démarche proposée dans ce manuscrit ouvre la voie pour enrichir cette contrainte et étendre l'approche à la cybersécurité des systèmes interconnectés en réseaux.
<figure><img src="image_36.png" /></figure>
Annexes
<figure><img src="image_37.png" /></figure>
# Transformation du problème de commande

Considérons un problème de commande en boucle fermée assez général. Dans ce cas-là, le schéma initial de la Figure 6.1 est enrichi de signaux entrée $u$ et sortie $y$ supplémentaires en définissant le procédé augmenté :

$$ P_{w \to z} : \left\{ \begin{array}{l} p = \Delta(q) \\ \left[ \begin{array}{c} q \\ z \\ y \end{array} \right] = \underbrace{\left[ \begin{array}{cc|c} M & M_u & \\ \hline M_y & 0 & \end{array} \right]}_{\begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} M \\ M_y \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} M_u \\ 0 \end{array} \right] \end{array}} \left( \left[ \begin{array}{c} p \\ w \\ u \end{array} \right] \right) . \end{array} \right. \quad (A.1) $$

Ensuite, le procédé augmenté $P_{w \to z}$ est mis en boucle fermée définissant un nouveau opérateur global $T_{w \to z}$ comme représenté sur la Figure A.1 et défini par :

$$ T_{w \to z} : \left\{ \begin{array}{l} p = \Delta(q) \\ p_K = \Delta_K(q_K) \\ \left[ \begin{array}{c} q \\ z \\ y \end{array} \right] = \underbrace{\left[ \begin{array}{cc|c} M & M_u & \\ \hline M_y & 0 & \end{array} \right]}_{\begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc|c} M_{11} & M_{12} & M_{qu} \\ \hline M_{21} & M_{22} & M_{zu} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} p \\ w \\ u \end{array} \right] \end{array}} \left( \left[ \begin{array}{c} p \\ w \\ u \end{array} \right] \right) . \end{array} \right. \quad (A.2) \\ \left[ \begin{array}{c} u \\ q_K \end{array} \right] = \underbrace{\left[ \begin{array}{cc} M_{11}^K & M_{12}^K \\ M_{21}^K & M_{22}^K \end{array} \right]}_{M_K} \left( \left[ \begin{array}{c} y \\ p_K \end{array} \right] \right) \end{array} $$

Ici, l'interconnexion d'un opérateur $M_K$ avec l'opérateur $\Delta_K$ définit la nouvelle partie à concevoir $K = T_{y \to u}$ :

$$ K = T_{y \to u} : \left\{ \begin{array}{l} p_K = \Delta_K(q_K) \\ \left[ \begin{array}{c} u \\ q_K \end{array} \right] = \underbrace{\left[ \begin{array}{cc} M_{11}^K & M_{12}^K \\ M_{21}^K & M_{22}^K \end{array} \right]}_{M_K} \left( \left[ \begin{array}{c} y \\ p_K \end{array} \right] \right) \end{array} \right. \quad (A.3) $$
alors que l'opérateur d'interconnexion initiale $M$ a été augmenté par deux blocs supplémentaires $M_u$ et $M_y$ définissant la manière dont l'opérateur $K$ est connecté au système initial.

Dans l'équation (A.3), l'opérateur $\Delta_K$ peut représenter les « briques de base » permettant de construire la partie à concevoir définissant donc un ensemble $\Delta_K$ et l'opérateur $M_K$, souvent choisi comme un opérateur LTI, décrit l'interconnexion de ces « briques de base ».

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE A.1 – Représentation (LFR) pour la synthèse</figcaption></figure>

Par la suite, après quelques manipulations, le système augmenté peut être redéfini en forme d'une LFR initiale, voir la Figure 6.1, comme :

$$ T_{w \to z} : \left\{ \begin{array}{l} \begin{bmatrix} p \\ p_K \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} \Delta & 0 \\ 0 & \Delta_K \end{bmatrix}}_{\tilde{\Delta}} \begin{bmatrix} q \\ q_K \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} q \\ \frac{q_K}{z} \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} \tilde{M}_{11} & \tilde{M}_{12} \\ \tilde{M}_{21} & \tilde{M}_{22} \end{bmatrix}}_{\tilde{M}} \begin{bmatrix} p \\ \frac{p_K}{w} \end{bmatrix} \end{array} \right. \quad (A.4) $$
A cette nouvelle LFR augmentée nous pouvons associer la représentation graphique de la Figure A.2 où l'opérateur $\tilde{\Delta}$ est un opérateur bloc diagonal de $\Delta$ et $\Delta_K$ appartenant à l'ensemble $\tilde{\Delta}$, alors que l'opérateur $\tilde{M}$, pour une répartition initiale donnée :

$$ \left[ \begin{array}{c|c} M & M_u \\ \hline M_y & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc|c} M_{11} & M_{12} & M_{qu} \\ M_{21} & M_{22} & M_{zu} \\ \hline M_{yp} & M_{yw} & 0 \end{array} \right] $$

est défini comme :

$$ \tilde{M} = \left[ \begin{array}{c|c} \tilde{M}_{11} & \tilde{M}_{12} \\ \hline \tilde{M}_{21} & \tilde{M}_{22} \end{array} \right] = \underbrace{\left[ \begin{array}{cc|c} M_{11} & 0 & M_{12} \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline M_{21} & 0 & M_{22} \end{array} \right]}_{\tilde{M}} + \underbrace{\left[ \begin{array}{c|c} M_{qu} & 0 \\ \hline 0 & I \\ \hline M_{zu} & 0 \end{array} \right]}_{\tilde{M}_u} M_K \underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} M_{yp} & 0 & M_{yw} \\ 0 & I & 0 \\ \hline 0 & 0 & M_y \end{array} \right]}_{\tilde{M}_y} $$

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE A.2 – Représentation (LFR) pour la synthèse simplifiée</figcaption></figure>

Cette nouvelle LFR et la décomposition de l'opérateur $\tilde{M}$ sont les même que dans la partie synthèse du chapitre 6, voir la décomposition (6.15) et la Figure 6.1.
<figure><img src="image_40.png" /></figure>
# Transformations en optimisation LMI

Sur le chemin de transformation d'un problème brut d'optimisation en un problème d'optimisation sous contraintes LMI, 3 cas de figures sont possibles, voir la démarche LMI proposée dans [Scorletti 1997a, Scorletti 2006a] : Problème formulé naturellement (quasi directement) comme un problème LMI ; Transformation équivalente en optimisation LMI et Relaxation en optimisation LMI.

## B.1 Problème est formulé naturellement comme un problème LMI

Cela arrive souvent dans le cas de problèmes d'analyse simples. Par exemple, comme nous l'avons déjà vu, le calcul de la norme $H_\infty$ d'un opérateur LTI sous forme (6.1) avec $\Delta = \frac{1}{s}I_n$, une matrice réelle donnée $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ revient à tester (6.13) avec $\Pi^{perf} = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$. Dans ce cas, une matrice réelle $\Pi$ est une variable de décision appartenant à l'ensemble $\Pi_\Delta$ défini en (6.14), voir aussi la ligne 5 du Tableau 7.1. En exécutant la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 avec

<table><thead><tr><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>{1/s I<sub>n</sub>}</td><td>Ligne 5 du Tableau 7.1 ou (6.14)</td><td><b>[</b> <table><tbody><tr><td>-I</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>γ<sup>2</sup> I</td></tr></tbody></table><b>]</b></td></tr></tbody></table>

la norme $H_\infty$ d'un opérateur LTI est calculée par le problème d'optimisation LMI indépendant de fréquence suivante :

$$ \begin{array}{ll} \min_{\gamma^2, P^T=P} & \gamma^2 \\ & P > 0 \\ \left(\begin{array}{c} M \\ I \end{array}\right)^T & \begin{array}{c|c} 0 & 0 \\ 0 & I \\ P & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \quad \begin{array}{c|c} P & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -\gamma^2 I \end{array} \\ & \left(\begin{array}{c} M \\ I \end{array}\right) \leq -\varepsilon I \end{array} $$

Comme nous pouvons le constater, les variables de décision $\gamma^2$ et $P$ interviennent de manière affine et les deux contraintes peuvent être transformées dans la forme (7.4).

## B.2 Transformation équivalente en optimisation LMI

Dans ce cas-là une formulation du problème d'optimisation sous forme LMI n'est pas forcément directe et certains nombres de mécanismes de transformations équivalentes sont nécessaires pour arriver à l'optimisation LMI. À titre d'exemple, reprenons le problème de synthèse $H_\infty$, voir la LFR (A.2), ce qui revient pour $\Delta = \frac{1}{s}I_n$, $\Pi^{perf} = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix}$, une
matrice réelle donnée $\begin{bmatrix} M \\ M_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_u \\ 0 \end{bmatrix}$, calculer une représentation d'état de l'opérateur K (A.3), c'est-à-dire $\Delta_K = \frac{1}{s}I_m$ et $M_K = \begin{bmatrix} A_K & B_K \\ C_K & D_K \end{bmatrix}$ tel que les conditions (6.16) soient satisfaites<fnref n="1" />.
Dans ce cas-là encore, étant donné que $\tilde{\Delta} = \frac{1}{s}I_{n+m}$, l'exécution de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 avec

<table><thead><tr><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th><th>Π<sup>perf</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>{1/s I<sub>n+m</sub>}</td><td>Ligne 5 du Tableau 7.1 ou (6.14)</td><td><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">[</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; border-collapse: collapse; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border: 1px solid black; padding: 0 5px;">-I</td><td style="border: 1px solid black; padding: 0 5px;">0</td></tr><tr><td style="border: 1px solid black; padding: 0 5px;">0</td><td style="border: 1px solid black; padding: 0 5px;">γ<sup>2</sup>I</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">]</span></td></tr></tbody></table>

permet de transformer le problème de recherche de correcteur pour un $\gamma$ donné en un problème de recherche de matrices $\tilde{P}^T = \tilde{P} > 0$ et $M_K$ telles que :

$$ \left( \begin{array}{c} \tilde{M} \\ I \end{array} \right)^T \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & \tilde{P} & 0 \\ 0 & I & 0 & 0 \\ \tilde{P} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\gamma^2 I \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{M} \\ I \end{array} \right) \leq -\varepsilon I $$

Comme on peut le remarquer, l'inégalité précédente ne dépend pas de façon affine des variables de décisions citées. Cependant, le lemme d'élimination [Boyd 1994] permet de réécrire la dernière condition de manière équivalente à une condition où la variable de décision $M_K$ est éliminée. Nous pouvons donc tester l'existence d'un correcteur qui assure la stabilité et une borne $\gamma$ sur la norme $H_\infty$ entre $w$ et $z$ si et seulement si pour des matrices réelles symétriques définies positives $\tilde{P}$ et $\tilde{Q}$ :

$$ \left(\overline{M_y}^{\perp}\right)^T \left(\begin{array}{c} \overline{M} \\ I \end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & \tilde{P} & 0 \\ 0 & I & 0 & 0 \\ \tilde{P} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\gamma^2 I \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \overline{M} \\ I \end{array}\right) \overline{M}_y^{\perp} \leq -\varepsilon I \quad (B.1) $$

$$ \left( \overline{M}_u^{T\perp} \right)^T \left( \begin{array}{c} \overline{M} \\ I \end{array} \right)^T \left( \begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & \tilde{Q} & 0 \\ 0 & \gamma^{-2} I & 0 & 0 \\ \tilde{Q} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -I \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \overline{M} \\ I \end{array} \right) \overline{M}_u^{T\perp} \leq -\varepsilon I \quad (B.2) $$

$$ \tilde{P}\tilde{Q} = \begin{bmatrix} P^{11} & P^{12} \\ P^{21} & P^{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q^{11} & Q^{12} \\ Q^{21} & Q^{22} \end{bmatrix} = I $$

où $\overline{M}_y^{\perp}$ et $\overline{M}_u^{T\perp}$ représentent les matrices orthogonales aux matrices $\overline{M}_y$ et $\overline{M}_u^{T\perp}$ respective-ment.

Si $m \ge n$ la dernière égalité peut être toujours vérifiée si la condition suivante est satis-faite :

$$ \begin{bmatrix} P^{11} & I \\ I & Q^{11} \end{bmatrix} \geq \varepsilon I \quad (B.3) $$

En conclusion, l'existence d'un correcteur qui assure la stabilité et une borne $\gamma$ sur la norme $H_\infty$ entre $w$ et $z$ est assurée si et seulement s'ils existent deux matrices réelles symé-triques $\tilde{P}$ et $\tilde{Q}$ telles que les contraintes LMI (B.1)-(B.3) sont satisfaites. Une fois que cette

<footnote n="1">1. Condition assurant la stabilité du système en boucle fermée est assurée dans ce cas-là par la condition de la performance.</footnote>
optimisation LMI est résolue, le correcteur $K$ peut être obtenu. Dans le cas où la minimisation de $\gamma$ sous contraintes (B.1)-(B.3) est nécessaire les conditions précédentes peuvent être facilement transformées en contraintes LMI en $\gamma, \tilde{P}, \tilde{Q}$ ce qui permet de résoudre le problème de synthèse $H_\infty$ [Gahinet 1994].

## B.3 Relaxation en optimisation LMI

Dans le cas où la complexité du problème d'optimisation ne permet pas une transformation équivalente à une optimisation LMI, le problème initial est simplifié. La version simplifiée est choisie de telle sorte que (i) sa résolution garantie le respect des conditions du problème initial, on parle de la *relaxation* du problème d'optimisation, et (ii) qu'elle puisse être transformée en optimisation LMI. La relaxation introduit inévitablement du pessimisme aux conditions simplifiées obtenues (conditions seulement suffisantes), il est donc important d'estimer et de limiter son niveau.

Prenons un exemple d'analyse de la stabilité robuste du système (6.1), avec un opérateur $M$ LTI interconnecté avec l'opérateur $\Delta$ contenant deux paramètres réels répétés et variant dans le temps de manière arbitrairement rapide. L'objectif est de tester la stabilité interne pour tout l'ensemble $\Delta$ d'opérateurs variant dans le temps, mais bornés :

$$ \Delta = \left\{ \Delta : \mathcal{L}_{2e}^{n_1+n_2} \to \mathcal{L}_{2e}^{n_1+n_2} \mid \forall t, \Delta(q)(t) = \begin{bmatrix} \delta_1(t)I_{n_1} & 0 \\ 0 & \delta_2(t)I_{n_2} \end{bmatrix} q(t), \begin{bmatrix} |\delta_1(t)| \le 1 \\ |\delta_2(t)| \le 1 \end{bmatrix} \right\} \quad (B.4) $$

La stabilité est assurée s'il existe un opérateur LTI auto-adjoint $\Pi \in \Phi_\Delta$ défini par (6.8) tel que la condition (6.12) soit assurée. Malheureusement, l'ensemble entier $\Phi_\Delta$ d'opérateurs $\Phi$ n'est pas connu et sa recherche peut poser des difficultés algorithmiques pour tester la condition (6.12), surtout s'il s'agit d'un ensemble de dimension infinie.

Par contre il est possible de relaxer ce problème, en considérant un sous-ensemble $\Pi_\Delta \subset \Phi_\Delta$ d'opérateurs [El Ghaoui 1994], voir aussi la ligne 3 du Tableau 7.1, défini :

$$ \Pi_{\Delta} = \left\{ \Pi \mid \begin{array}{l} \forall i \in \{1, 2\} \\ \exists D_i, G_i \in \mathbb{R}^{n_i \times n_i} : \begin{array}{l} D_i^T = D_i > 0, \\ G_i^T = -G_i \end{array} \end{array} : \Pi = \begin{bmatrix} -\mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(D_i) & \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(G_i) \\ \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(G_i^T) & \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(D_i) \end{bmatrix} \right\}. \quad (B.5) $$

En exécutant de la Phase d'Analyse de l'Algorithme 1 avec

<table><thead><tr><th>Δ</th><th>Π<sub>Δ</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>(B.4)</td><td>Ligne 3 du Tableau 7.1 ou (B.5)</td></tr></tbody></table>

la stabilité interne du système (6.1) avec un opérateur $M$ LTI et pour tout $\Delta$ appartenant à (B.4) est assurée si la condition suivante est respectée pour les matrices réelles $D_i^T = D_i > 0$, $G_i^T = -G_i$ :

$$ \forall \omega, \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix}^* \underbrace{\begin{bmatrix} -\mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(D_i) & \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(G_i) \\ \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(G_i^T) & \mathbf{b}\mathrm{diag}_{i=1}^2(D_i) \end{bmatrix}}_{\Pi} \begin{bmatrix} I \\ M_{11}(j\omega) \end{bmatrix} \le -\varepsilon I $$

La condition précédente est une condition LMI paramétrée par la fréquence $\omega$. Même si ce problème est convexe, comme vu précédemment, il contient une infinité de contraintes et donc sa résolution est pratiquement impossible. Par contre, dans ce cas-là la paramétrisation $\Pi_\Delta$ est indépendante de la fréquence et elle ne nécessite donc pas de factorisation supplémentaire avec une représentation d'état comme expliqué dans la sous-section 7.2.2². Une simple

<footnote n="2">2. En effet, la version factorisée de l'opérateur $\Pi$ est obtenue directement en choisissant $\Psi = I$ et $M_\Pi = \Pi$.</footnote>
application du Lemme KYP [Trentelman 1991, Rantzer 1996, Iwasaki 2005], en associant à l'opérateur $\begin{bmatrix} I \\ M_{11} \end{bmatrix}$ une représentation d'état $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ d'ordre $n$, nous donne :

$$ \forall i \in \{1, 2\} : \\ D_i^T = D_i > 0, \quad G_i^T = -G_i, \quad P^T = P > 0 \\ \begin{bmatrix} A^T P & PB \\ B^T P & 0 \end{bmatrix} + [C \ D]^T \underbrace{\begin{bmatrix} -\mathbf{bdiag}_i^2(D_i) & \mathbf{bdiag}_i^2(G_i) \\ \mathbf{bdiag}_i^2(G_i^T) & \mathbf{bdiag}_i^2(D_i) \end{bmatrix}}_{\Pi} [C \ D] \leq -\varepsilon I. $$

S'ils existent des matrices réelles $D_i, G_i \in \mathbb{R}^{n_i \times n_i}$, $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ assurant la condition précédente alors le système (6.1) avec un opérateur M LTI est stable pour tout $\Delta$ appartenant à (B.4). Les contraintes obtenues sont les contraintes LMI de dimension finie qui peuvent être testées pratiquement. Le prix à payer pour cette relaxation est le pessimisme possible du résultat.
Bibliography

[Allan 1966] D.W. Allan. *Statistics of atomic frequency standards*. Proceedings of the IEEE, vol. 54, no. 2, pages 221-230, 1966. (Cité en page 56.)

[Anderson 1973] B. D. O. Anderson et S. Vongpanitlerd. Network analysis and synthesis: a modern systems theory approach. Prentice-Hall, 1973. (Cité en page 110.)

[Anderson 2012] M.S. Anderson, A. Hansonson, S.H. Pakazad et A. Rantzer. *Distributed Robust Stability Analysis of Interconnected Uncertain Systems*. Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, pages 1548–1553, Dec 2012. (Cité en page 92.)

[Anderson 2014] M. S. Anderson, S. H. Pakazad, A. Hansson et A. Rantzer. *Robust stability analysis of sparsely interconnected uncertain systems*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 59, no. 8, pages 2151–2156, Aug 2014. (Cité en page 92.)

[Apkarian 1995] P. Apkarian, P. Gahinet et G. Becker. *Self-scheduled $H_\infty$ control of linear parameter-varying systems: a design example*. Automatica, vol. 31, no. 9, pages 1251–1261, September 1995. (Cité en page 130.)

[Arcak 2007] M. Arcak. *Passivity as a design tool for group coordination*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 52, no. 8, pages 1380–1390, Aug. 2007. (Cité en page 100.)

[Arnold 1984] W. F. Arnold et A. J. Laub. *Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations*. Proc. IEEE, vol. 72, no. 12, pages 1746–1754, December 1984. (Cité en pages 46 et 112.)

[Åström 1997] K. J. Åström et B. Wittenmark. Computer-Controlled Systems: Theory and Design. Prentice-Hall information and system sciences series. Prentice Hall, third edition, 1997. (Cité en page 115.)

[Avelli 2008] D. N. Avelli et H. L. Trentelman. *Algorithms for multidimensional spectral factorization and sum of squares*. Linear Algebra and its Applications, vol. 429, no. 5, pages 1114–1134, 2008. Special Issue devoted to selected papers presented at the 13th Conference of the International Linear Algebra Society. (Cité en page 129.)

[Balas 2021] G. Balas, R. Chiang, A. Packard et M. Safonov. *Robust Control Toolbox™ User's Guide*. Rapport technique, The MathWorks, Inc., 2021. (Cité en page 86.)

[Barenthin 2008] M. Barenthin, X. Bombois, H. Hjalmarsson et G. Scorletti. *Identification for control of multivariable systems: Controller validation and experiment design via LMIs*. Automatica, vol. 44, no. 12, pages 3070–3078, 2008. (Cité en page 103.)

[Basu 2000] S. Basu. *A constructive algorithm for 2-D spectral factorization with rational spectral factors*. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 47, no. 9, pages 1309–1318, 09 2000. (Cité en page 129.)

[Ben-Tal 2001] A. Ben-Tal et A. Nemirovski. Lectures on modern convex optimization: Analysis, algorithms and engineering applications. SIAM, 2001. (Cité en page 86.)

[Black 1934] H. S. Black. *Stabilized Feedback Amplifiers*. Bell Syst. Tech. J., vol. 13, pages 1–18, 1934. (Cité en page 46.)

[Blair 1993] Jean R. S. Blair et Barry Peyton. *An Introduction to Chordal Graphs and Clique Trees*. In Alan George, John R. Gilbert et Joseph W. H. Liu, editeurs, Graph Theory and Sparse Matrix Computation, pages 1–29, New York, NY, 1993. Springer New York. (Cité en page 130.)
[Blondel 1997] V. Blondel et J. N. Tsitsiklis. *NP-hardness of some linear control design problems*. SIAM J. of Control and Opt., vol. 35, no. 6, 1997. (Cité en page 98.)

[Bode 1945] H. W. Bode. Network analysis and feedback amplifier design. Van Nostrand, New York, 1945. (Cité en page 46.)

[Boivin 2002] B. Boivin, P. Coirault, L. Rambault et N. Maamri. *Modelling and H/sub /spl infin// controller applied to a gyrometer*. In IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, volume 4, page 6, 2002. (Cité en page 116.)

[Bombois 2000] X. Bombois. *Connecting Prediction Error Identification and Robust Control Analysis: a new framework*. PhD thesis, Université Catholique de Louvain, November 2000. (Cité en page 103.)

[Bombois 2001] X. Bombois, M. Gevers, G. Scorletti et B.D.O. Anderson. *Robustness analysis tools for an uncertainty set obtained by prediction error identification*. Automatica, vol. 37, no. 10, pages 1629-1636, 2001. (Cité en page 83.)

[Bombois 2014] X. Bombois. *Travaux sur l'identification pour la commande et la synthèse optimale de l'expérience d'identification*. HdR, Ecole Centrale de Lyon, January 2014. (Cité en page 103.)

[Boyd 1994] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron et V. Balakrishnan. Linear matrix inequalities in system and control theory. Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, PA., 1994. (Cité en pages 47, 78, 86, 112 et 140.)

[Braatz 1994] R. D. Braatz, P. M. Young, J. C. Doyle et M. Morari. *Computational complexity of μ calculation*. IEEE Trans. Aut. Control, 1994. In press. (Cité en page 91.)

[Brewer 1978] J.W. Brewer. *Kronecker products and matrix calculus in system theory*. Circuits and Systems, IEEE Transactions on, vol. 25, no. 9, pages 772-780, 1978. (Cité en page 98.)

[Chopra 2005] N. Chopra et M. W. Spong. *On synchronization of networked passive systems with time delays and application to bilateral teleoperation*. In Proceedings of the SICE Annual Conf., pages 3424-3429, Okayama, Jan. 2005. (Cité en page 100.)

[Chopra 2007] N. Chopra et M. W. Spong. *Delay-independent stability for interconnected nonlinear systems with finite L₂ gain*. In Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, pages 3847-3852, New Orleans, 2007. (Cité en page 100.)

[CVX Research 2020] Inc. CVX Research. *CVX: Matlab Software for Disciplined Convex Programming, version 2.2*. http://cvxr.com/cvx, August 2020. (Cité en page 86.)

[D'Andrea 2003] Raffaello D'Andrea et Geir E Dullerud. *Distributed control design for spatially interconnected systems*. IEEE Transactions on automatic control, vol. 48, no. 9, pages 1478-1495, 2003. (Cité en page 128.)

[Darlington 1984] S. Darlington. *A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors*. IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 31, no. 1, pages 3-13, 01 1984. (Cité en page 106.)

[Davidson 2002] T. N. Davidson, Z.-Q. Luo et J. F. Sturm. *Linear matrix inequality formulation of spectral mask constraints with applications to FIR filter design*. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 11, pages 2702-2715, 11 2002. (Cité en page 106.)

[Davidson 2010] T. N. Davidson. *Enriching the Art of FIR Filter Design via Convex Optimization*. IEEE Signal Processing Magazine, vol. 27, no. 3, pages 89-101, 05 2010. (Cité en page 106.)
[de Hillerin 2011] Safta de Hillerin, Gérard Scorletti et Vincent Fromion. *Reduced-complexity controllers for LPV Systems: Towards incremental synthesis*. In 2011 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, pages 3404–3409, 2011. (Cité en page 130.)

[Dinh 2005] Marc Dinh. *Synthèse dependant de paramètres par optimisation LMI de dimension finie : application a la synthèse de correcteurs re réglables*. PhD thesis, Thèse de doctorate de l'Université de Caen Basse-Normandie, UFR de Sciences, Ecole doctorale SIMEM, Dec 2005. (Cité en page 56.)

[Doyle 1982] J. Doyle. *Analysis of Feedback Systems with Structured Uncertainties*. IEE Proc., vol. 129-D, no. 6, pages 242–250, November 1982. (Cité en pages 47, 52 et 85.)

[Doyle 1991] J. Doyle, A. Packard et K. Zhou. *Review of LFT's, LMI's and μ*. In IEEE, editeur, IEEE Conf. Decision and Control, volume 2, pages 1227–1232, Brighton, England, December 1991. (Cité en page 70.)

[Dullerud 2004] Geir E Dullerud et Raffaello D'Andrea. *Distributed control of heterogeneous systems*. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 49, no. 12, pages 2113–2128, 2004. (Cité en page 128.)

[El Ghaoui 1994] L. El Ghaoui et G. Scorletti. *Control of Rational Systems Using Linear-Fractional Representations and LMIs*. In Proceedings of the IFAC Symposium on Robust Control, 1994. (Cité en pages 83, 122 et 141.)

[Fan 1991] M. K. H. Fan, A. L. Titse et J. C. Doyle. *Robustness in the presence of mixed parametric uncertainty and unmodeled dynamics*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 36, no. 1, pages 25–38, Jan 1991. (Cité en pages 52, 83 et 85.)

[Faurre 1979] P. Faurre, M. Clerget et F. Germain. Opérateurs positifs, application à l'hyperstabilité et aux processus aléatoires, volume 8 of *Méthodes Mathématiques de l'Informatique*. Dunod, 1979. (Cité en page 110.)

[Fax 2004] J.A. Fax et R.M. Murray. *Information flow and cooperative control of vehicle formations*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 49, no. 9, pages 1465 – 1476, Sep. 2004. (Cité en pages 91 et 98.)

[Fazlyab 2022] Mahyar Fazlyab, Manfred Morari et George J. Pappas. *Safety Verification and Robustness Analysis of Neural Networks via Quadratic Constraints and Semidefinite Programming*. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 67, no. 1, pages 1–15, 2022. (Cité en page 130.)

[Ferreres 1998] G. Ferreres et J.-M. Biannic. *A /spl mu/ analysis technique without frequency gridding*. In Proceedings of the 1998 American Control Conference, volume 4, pages 2294–2298, 1998. (Cité en page 85.)

[Font 1995] S. Font. *Méthodologie pour prendre en compte la robustesse des systèmes asservis: optimisation H∞ et approche symbolique de la forme standard*. PhD thesis, Université Paris XI Orsay, France, 1995. (Cité en page 47.)

[Fromion 1995] V. Fromion, S. Monaco et D. Normand-Cyrot. *A possible extension of H∞ control to the nonlinear context*. In IEEE Conf. Decision and Control, December 1995. (Cité en page 130.)

[Fromion 2001] V. Fromion, S. Monaco et D. Normand-Cyrot. *The weighted incremental norm approach: from linear to nonlinear H∞ control*. Automatica, vol. 37, no. 10, pages 1585–1592, 2001. (Cité en page 130.)

[Fukuda 2001] Mituhiro Fukuda, Masakazu Kojima, Kazuo Murota et Kazuhide Nakata. *Exploiting Sparsity in Semidefinite Programming via Matrix Completion I: General*
*Framework*. SIAM Journal on Optimization, vol. 11, no. 3, pages 647–674, 2001. (Cité en page 130.)

[Gabor 1946] D. Gabor. *Theory of communication. Part 1: The analysis of information*. Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part III: Radio and Communication Engineering, vol. 93, no. 26, pages 429–441, 1946. (Cité en page 117.)

[Gahinet 1994] P. Gahinet et P. Apkarian. *A Linear Matrix Inequality Approach to $H_\infty$ Control*. International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 4, pages 421–448, 1994. (Cité en pages 100 et 141.)

[Garcia 2010] E. Garcia. *Electromagnetic Compatibility Uncertainty, Risk, and Margin Management*. Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on, vol. 52, no. 1, pages 3–10, Feb 2010. (Cité en page 52.)

[Geromel 1994] J.C. Geromel, J. Bernussou et P.L.D. Peres. *Decentralized Control Through Parameter Space Optimization*. Automatica, vol. 30, no. 10, pages 1565–1578, 1994. (Cité en page 98.)

[Hillerin 2011] Safta De Hillerin. *Commande robuste de systèmes non linéaires incertains*. PhD thesis, Supélec, 2011. (Cité en page 130.)

[IEE 2018] *IEEE Standard for Sensor Performance Parameter Definitions*. IEEE Std 2700-2017 (Revision of IEEE Std 2700-2014), pages 1–64, 2018. (Cité en pages 55 et 63.)

[Iwasaki 2000] T. Iwasaki, G. Meinsma et M. Fu. *Generalized S-procedure and finite frequency KYP lemma*. Mathematical Problems in Engineering, vol. 6, pages 305–320, 2000. (Cité en page 85.)

[Iwasaki 2005] T. Iwasaki et S. Hara. *Generalized KYP lemma: unified frequency domain inequalities with design applications*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 50, no. 1, pages 41–59, 2005. (Cité en pages 84, 85 et 142.)

[Johnson 1955] G. W. Johnson, D. P. Lindorff et C. G. A. Nordling. *Extension of continuous-data system design techniques to sampled-data control systems*. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry, vol. 74, no. 4, pages 252–263, sep 1955. (Cité en page 115.)

[Jönsson 2010] U. Jönsson et C.-Y. Kao. *A scalable robust stability criterion for systems with heterogeneous LTI components*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 55, no. 10, pages 2219–2234, Oct 2010. (Cité en page 92.)

[Jungers 2017] M. Jungers. *Historical perspectives of the Riccati equations*. IFAC-PapersOnLine, vol. 50, no. 1, pages 9535–9546, 2017. 20th IFAC World Congress. (Cité en page 112.)

[Kalman 1961] R. E. Kalman et R. S. Bucy. *New Results in Linear Filtering and Prediction Theory*. Trans. ASME, Series D, vol. 83, pages 95–107, December 1961. (Cité en page 46.)

[Kao 2009] C. Kao, U. Jönsson et H. Fujioka. *Characterization of robust stability of a class of interconnected systems*. Automatica, vol. 45, no. 1, pages 217–224, Jan. 2009. (Cité en page 92.)

[Kempe 2011] V. Kempe. *Inertial MEMS - Principles and Practice*. Cambridge University Press, Cambridge, 2011. (Cité en pages 61 et 116.)

[Kettani 2006] H. Kettani et B.R. Barmish. *A new Monte Carlo circuit simulation paradigm with specific results for resistive networks*. Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on, vol. 53, no. 6, pages 1289–1299, June 2006. (Cité en page 52.)
[Khan 2009] U. A. Khan, S. Kar et J. M. F. Moura. *Distributed sensor localization in random environments using minimal number of anchor nodes*. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 5, pages 2000–2016, May 2009. (Cité en page 102.)

[Khan 2014] U. A. Khan et A. Jadbabaie. *Collaborative scalar-gain estimators for potentially unstable social dynamics with limited communication*. Automatica, vol. 50, no. 7, pages 1909–1914, 2014. (Cité en page 102.)

[Kwakernaak 1972] H. Kwakernaak et R. Sivan. Linear optimal control systems. John Wiley & Sons, 1972. (Cité en page 46.)

[Langbort 2004] Cédric Langbort, Ramu Sharat Chandra et Raffaello D'Andrea. *Distributed control design for systems interconnected over an arbitrary graph*. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 49, no. 9, pages 1502–1519, 2004. (Cité en page 128.)

[Lathi 1998] B. P. Lathi. Modern Digital and Analog Communication Systems. Oxford University Press, Inc., New York, NY, 3rd édition, 1998. (Cité en page 117.)

[Lawrence 1996] C.T. Lawrence, A. L. Tits et P. Van Dooren. *A Fast Algorithm for the Computation of an Upper Bound on the μ-Norm*. In 13th IFAC World Congress, volume 29, pages 3455–3460, San Francisco, USA, July 1996. (Cité en page 85.)

[Lawrence 2000] C.T. Lawrence, A.L. Tits et P. Van Dooren. *A Fast Algorithm for the Computation of an Upper Bound on the μ-norm*. Automatica, vol. 36, no. 3, pages 449–456, 2000. (Cité en page 85.)

[Lestas 2010] I. Lestas et G. Vinnicombe. *Heterogeneity and scalability in group agreement protocols: Beyond small gain and passivity approaches*. Automatica, vol. 46, pages 1141–1151, 2010. (Cité en page 91.)

[Lestas 2012] I. Lestas et G. Vinnicombe. *Stability certificates for networks of heterogeneous linear systems*. Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, pages 6915–6920, Dec 2012. (Cité en page 91.)

[Letas 2006] I. Letas et G. Vinnicombe. *Scalable decentralized robust stability certificates for networks of interconnected heterogeneous dynamical systems*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 51, no. 10, pages 1613–1626, Oct 2006. (Cité en page 91.)

[Löfberg 2004] J. Löfberg. *YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB*. In Proceedings of the CACSD Conference, Taipei, Taiwan, 2004. (Cité en pages 54 et 86.)

[Lunze 1991] J. Lunze. Feedback control of large scale systems. Prentice-Hall, 1991. (Cité en page 98.)

[M'Closkey 2001] R. T. M'Closkey, A. Vakakis et R. Gutierrez. *Mode Localization Induced by a Nonlinear Control Loop*. Nonlinear Dynamics, vol. 25, no. 1/3, pages 221–236, 2001. (Cité en page 129.)

[Megretski 1997] A. Megretski et A. Rantzer. *System Analysis via Integral Quadratic Constraints*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 42, no. 6, pages 819–830, June 1997. (Cité en pages 73, 83, 123 et 124.)

[Megretsky 1993] A. Megretsky et S. Treil. *Power Distribution Inequalities in Optimization and Robustness of Uncertain Systems*. Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, vol. 3, no. 3, pages 301–319, 1993. (Cité en page 73.)

[Meinsma 1997] G. Meinsma, Y. Shrivastava et Minyue Fu. *A dual formulation of mixed μ and on the losslessness of (D, G)-scaling*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 42, no. 7, pages 1032–1036, 1997. (Cité en page 123.)
[Meinsma 2000] G. Meinsma, T. Iwasaki et M. Fu. *When is (D,G)-scaling both necessary and sufficient*. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no. 9, pages 1755-1759, 2000. (Cité en page 123.)

[Möbius 1827] August Ferdinand Möbius. Der barycentrische calcul. 1827. (Cité en page 102.)

[Moylan 1980] P.J. Moylan. *A Connective Stability Result for Interconnected Passive Systems*. IEEE Trans. Aut. Control, pages 812-813, august 1980. (Cité en page 91.)

[Nesterov 1994] Yu. Nesterov et A. Nemirovsky. Interior point polynomial methods in convex programming: Theory and applications. SIAM, Philadelphia, PA, 1994. (Cité en pages 47, 86 et 91.)

[Nesterov 2004] Y. Nesterov. Introductory lectures on convex optimization. Numéro 87 de Applied optimization. Kluxer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London, 2004. (Cité en page 86.)

[Nyquist 1932] H. Nyquist. *Regeneration theory*. Bell Syst. Tech. J., vol. 11, pages 126-147, 1932. (Cité en page 46.)

[Oboe 2005] R. Oboe, R. Antonello, E. Lasalandra, G. Spinola Durante et L. Prandi. *Control of Z-Axis MEMS Vibrational Gyroscope*. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 10, no. 4, pages 364-370, 2005. (Cité en page 62.)

[Olfati-Saber 2007] R. Olfati-Saber, J.A. Fax et R.M. Murray. *Consensus and Cooperation in Networked Multi-Agent Systems*. Proc. IEEE, vol. 95, no. 1, pages 215-233, Jan. 2007. (Cité en page 91.)

[Owens 1984] D. H. Owens. *The numerical range : A tool for robust stability studies?* Systems and Control Letters, pages 153-158, 1984. (Cité en page 95.)

[Park 2012] S. Park, J. W. Song, B. Lee, H. Yoon, Y. J. Lee et S. Sung. *Autonomous Oscillation Control Loop Design for Amplitude Controlled, Frequency Read-Out-Type Resonant Sensors*. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 17, no. 6, pages 1009-1020, dec 2012. (Cité en page 129.)

[Parks 1987] T.W. Parks et C.S. Burrus. Digital filter design. Topics in Digital Signal Processing. John Wiley & Sons, New York, 1987. (Cité en page 106.)

[Parrilo 2003] Pablo A. Parrilo. *Semidefinite programming relaxations for semialgebraic problems*. Mathematical programming, vol. 96, no. 2, pages 293-320, 2003. (Cité en page 129.)

[Perodou 2021] Arthur Perodou, Christophe Combastel et Ali Zolghadri. *Towards Anomaly-Tolerant Systems by Dissipation Block Synthesis*. In 5th International Conference on Control and Fault-Tolerant Systems (IEEE SysTol), Saint-Raphael France, September 2021. (Cité en page 131.)

[Picinbono 1997] B. Picinbono. *On instantaneous amplitude and phase of signals*. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 45, no. 3, pages 552-560, 1997. (Cité en page 117.)

[Rantzer 1996] A. Rantzer. *On the Kalman-Yakubovich-Popov Lemma*. Systems and Control Letters, vol. 27, no. 5, January 1996. (Cité en pages 84 et 142.)

[Roh 2007] T. Roh, B. Dumitrescu et L. Vandenberghe. *Multidimensional FIR Filter Design Via Trigonometric Sum-of-Squares Optimization*. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol. 1, no. 4, pages 641-650, 2007. (Cité en page 129.)

[Rossignol 2001] L. Rossignol, G. Scorletti et V. Fromion. *Filter design under magnitude constraints is a finite dimensional convex optimization problem*. In IEEE Conf. Decision and Control, pages 3575-3580, December 2001. (Cité en pages 106, 107 et 108.)
[Rossignol 2003] L. Rossignol, G. Scorletti et V. Fromion. *Filter design: a finite dimensional convex optimization approach*. Int. J. Robust and Nonlinear Control, vol. 13, no. 14, pages 1317–1335, 2003. (Cité en pages 106, 107 et 108.)

[Rubiola 2009] E. Rubiola. Phase Noise and Frequency Stability in Oscillators. Cambridge University Press, Cambridge, 2009. (Cité en pages 46 et 117.)

[Rubiola 2010] E. Rubiola. Phase noise and frequency stability in oscillators. The Cambridge RF and microwave engineering series. Cambridge University Press, 2010. (Cité en page 58.)

[Safonov 1980] M. G. Safonov. Stability and robustness of multivariable feedback systems. MIT Press, Cambridge, 1980. (Cité en pages 72 et 76.)

[Safonov 1982] M. G. Safonov. *Stability margins of diagonally perturbed multivariable feedback systems*. IEE Proc., vol. 129-D, pages 251–256, 1982. (Cité en page 47.)

[Safonov 1983a] M. G. Safonov. *Propagation of Conic Model Uncertainty in Hierarchical Systems*. IEEE Trans. Circuits and Systems, pages 388–396, June 1983. (Cité en page 92.)

[Safonov 1983b] M. G. Safonov et J. Doyle. *Optimal scaling for multivariable stability margin singular value computation*. In Proceedings of MECO/EES 1983 Symposium, 1983. (Cité en page 47.)

[Sandell 1978] N. R. Sandell, P. Varaiya, M. Athans et M. G. Safonov. *Survey of Decentralized Control Methods for Large Scale Systems*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 23, no. 2, pages 108–128, 1978. (Cité en page 98.)

[Saukoski 2008] M. Saukoski. *System and Circuit Design for a Capacitive MEMS Gyroscope*. Ph. D. thesis, Helsinki University of Technology, 2008. (Cité en pages 116 et 117.)

[Scherer 1997a] C. Scherer, P. Gahinet et M. Chilali. *Multiobjective Output-Feedback Control via LMI Optimization*. IEEE Trans. Aut. Control, vol. 42, no. 7, pages 896–911, July 1997. (Cité en page 100.)

[Scherer 1997b] C.W. Scherer. *A full block S-procedure with applications*. In Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, volume 3, pages 2602–2607, San Diego, USA, December 1997. (Cité en page 85.)

[Scorletti 1997a] G. Scorletti. *Approche Unifiée de l'analyse et la commande des systèmes par formulation LMI*. PhD thesis, Université d'Orsay, Paris, France, 1997. In French. (Cité en pages 87, 92 et 139.)

[Scorletti 1997b] G. Scorletti et V. Fromion. *Robustness Analysis with Time Delays*. In IEEE Conf. Decision and Control, 1997. (Cité en page 83.)

[Scorletti 2001] G. Scorletti et G. Duc. *An LMI approach to decentralized $H_\infty$ control*. Int. J. Control, vol. 74, no. 3, pages 211–224, 2001. (Cité en page 100.)

[Scorletti 2006a] G. Scorletti. *Travaux sur l'approche LMI en Automatique*. HdR, Université de Caen, October 2006. (Cité en pages 72, 87 et 139.)

[Scorletti 2006b] G. Scorletti et V. Fromion. *Further results on the design of robust $H_\infty$ feedforward controllers and filters*. In 45th IEEE Conference on Decision and Control, December 2006. (Cité en pages 85 et 108.)

[Scorletti 2007] G. Scorletti, X. Bombois, M. Barenthin et V. Fromion. *Improved efficient analysis for systems with uncertain parameters*. In Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, pages 5038–5043, New Orleans, dec. 2007. (Cité en page 83.)