# SUR UNE REPRESENTATION UNITAIRE DES EQUATIONS DE DIRAC-EINSTEIN

Jean Louis Jonot

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Jean Louis Jonot. SUR UNE REPRESENTATION UNITAIRE DES EQUATIONS DE DIRAC-EINSTEIN. 2016. hal-01345530v2

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Preprint submitted on 3 Sep 2016

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# SUR UNE REPRÉSENTATION UNITAIRE DES ÉQUATIONS DE DIRAC-EINSTEIN

JONOT JEAN LOUIS

ABSTRACT. On propose de donner une représentation unitaire des équations rélativistes d'Einstein et de Dirac. Dans les articles précédents, on a donné une généralisation de l'équation relativiste de Dirac en dehors d'un univers parallélisable. On remarque que dans l'opérateur de Dirac de rang 2 intervient le tenseur de courbure de la connexion de Levi-Civita, on est amené à faire l'hypothèse que cet opérateur est proportionnel à l'opérateur énergie-impulsion. On donne les conditions nécessaires pour que le tenseur induit par l'opérateur de Dirac de rang 2 soit un tenseur d'Einstein. Ce développement mathématique de représentation unitaire des équations de Dirac-Einstein permet de construire un pont entre relativité générale et physique quantique.

## 1. INTRODUCTION

On veut montrer que l'équation relativiste de Dirac

$$i\hbar\partial_0\psi = (mc^2\alpha^0 - i\hbar c\alpha^\nu\partial_\nu)\psi, \{\alpha^\nu : \nu = 1, 2, 3\} \quad (1.1)$$

et l'équation relativiste d'Einstein

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} \quad (1.2)$$

peuvent être définies par un unique opérateur. On remarque que l'équation 1.1, opère sur les sections $\psi$ du fibré trivial

$$(\mathbf{W} \times \mathbb{C}^4, \pi_1, \mathbf{W}, \mathbb{C}^4)$$

et que l'équation 1.2 est décrite à partir d'une métrique pseudo-riemannienne $g_{\mu\nu}$. On va construire un opérateur qui permet de faire intervenir ces deux notions.

## 2. SECTION DE DIRAC MÉTRISABLE

Le fibré considéré est le fibré tangent sur l'univers $\mathbf{W}$, noté $\xi_{\mathbf{W}} = (T\mathbf{W}, \pi, \mathbf{W}, \mathbb{R}^4)$, son complexifié est $\xi_{\mathbf{W}} \otimes \mathbb{C}$. On note $\zeta$, l'un des deux fibrés et $\Gamma(\zeta)$ les sections du fibré $\zeta$ qui sont les champs réels ou complexes de l'univers $\mathbf{W}$. Soit

$$T^{p,q}\zeta = (\otimes^p\zeta^*) \otimes (\otimes^q\zeta) \text{ et } \wedge^n\zeta^*$$

le fibré des $(p, q)$-tenseurs et des $n$-formes différentielles sur $\mathbf{W}$, $\zeta^*$ est le fibré dual.

<footnote>Date: 15/06/2016.</footnote>

<footnote n="1991">1991 Mathematics Subject Classification. 81T10,81T45,83C45,83C05.</footnote>

<footnote>Key words and phrases. Section de Dirac, Tenseur métrique, Tenseur énergie-impulsion, Endomorphisme de Dirac, Connexion de Levi-Civita. Tenseur de courbure.</footnote>
**Definition 1.** Une section de Dirac $\gamma$ sur $\mathbf{W}$ est un élément de $\operatorname{Hom}(\Lambda^1\zeta\otimes\zeta, \zeta)$, c'est-à-dire,

$$ \gamma(w) : E_w (\Lambda^1 \zeta \otimes \zeta) = E_w (\Lambda^1 \zeta) \otimes E_w (\zeta) \to E_w (\zeta), \forall w \in \mathbf{W} $$

est bilinéaire et pour tout champ $X \in \Gamma(\zeta)$ et $d \in \Gamma(\Lambda^1\zeta)$

$$ w \to \gamma(d \otimes X)(w) = \gamma(w)(d(w) \otimes X(w)), $$

est une $C^\infty$-application.

Pour tout section $d \in \Gamma(\Lambda^1\zeta)$, on note $\gamma^d$ l'endomorphisme de $\Gamma(\zeta)$ défini par

$$ \gamma^d : \Gamma(\zeta) \to \Gamma(\zeta), \gamma^d(X) = \gamma(d \otimes X), $$

on se fixe une carte $W$ de $\mathbf{W}$, $\{\partial_\mu : \mu = 0, 1, 2, 3\}$ est le local frame associé à cette carte et $\{d^\nu : \nu = 0, 1, 2, 3\}$ le local frame dual vérifiant $d^\nu \otimes \partial_\mu = \delta_\mu^\nu$. Soit $\gamma^\nu$ l'endomorphisme de $\Gamma_W(\zeta)$ défini par $\gamma^\nu = \gamma^{d^\nu}$, la famille $\{\gamma^\nu : \nu = 0, 1, 2, 3\}$ est la famille des endomorphismes de Dirac sur la carte $W$ et le tenseur de Poisson $\gamma^{\mu\nu}$ est défini par $\gamma^{\mu\nu} = \text{Trace}(\gamma^\mu\gamma^\nu)$.

**Remark 1.** Si les $\{\gamma^\nu : \nu = 0, 1, 2, 3\}$ sont dans l'algèbre de Clifford, on a

$$ \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}\mathbf{I}_4, $$

on peut prendre $\gamma^{\mu\nu} = 4g^{\mu\nu}$.

**Definition 2.** On dit que la section de Dirac est métrisable si la matrice $(\gamma^{\mu\nu})$ est inversible.

Pour une section de Dirac métrisable, on définit le tenseur métrique $g_{\mu\nu}$ par $(g_{\mu\nu}) = \frac{1}{4}(\gamma^{\mu\nu})^{-1}$.

**Lemma 1.** La métrique $g_{\mu\nu}$ est indépendante du choix de la carte $W$.

*Proof.* La preuve est dans [1]. □

### 3. LES OPÉRATEURS DE DIRAC

Soit $\nabla$ la connexion de Levi-Civita associée à la métrique $g$ définie par le tenseur $g_{\mu\nu}$, l'opérateur de Dirac de rang 1 est défini par

$$ H_1 = \gamma \otimes \nabla \text{ avec } H_1(X)(w) = \gamma(w)(\nabla X(w)), \forall w \in \mathbf{W} $$

et tout champ $X \in \Gamma(\zeta)$. Toute connexion $\nabla$ sur $\mathbf{W}$ a une extension [4]

$$ d_n^\nabla : \Gamma(\Lambda^n \zeta \otimes \zeta) \to \Gamma(\Lambda^{n+1} \zeta \otimes \zeta) $$

avec,

$$ d_0^\nabla = \nabla, \Lambda^0 \zeta \otimes \zeta = \zeta $$

et

$$ d_n^\nabla (\phi \otimes X) = d\phi \otimes s + (-1)^n \phi \wedge \nabla X, \phi \in \Lambda^n \zeta. $$

Le commutateur d'une famille finie d'endomorphismes de Dirac $\{\gamma^\alpha\}$ est

$$ [\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n] = \sum_{\tau \in \text{Perm}\{1, 2, \dots, n\}} \varepsilon(\tau) \gamma^{\tau(1)} \circ \gamma^{\tau(2)} \circ \dots \circ \gamma^{\tau(n-1)} \circ \gamma^{\tau(n)}, $$

et l'anticommutateur est défini par,

$$ \{\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n\} = \sum_{\tau \in \text{Perm}\{1, 2, \dots, n\}} \gamma^{\tau(1)} \circ \gamma^{\tau(2)} \circ \dots \circ \gamma^{\tau(n-1)} \circ \gamma^{\tau(n)}. $$
**Remark 2.** Quand on parle de symétrisé ou d'antisymétrisé de la famille

$$ \{\gamma^{\alpha}, \alpha = 1, \dots, n\}, $$

on pose respectivement

$$ S(\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n) = \frac{1}{n!} \{\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n\} $$

et

$$ \mathcal{A}(\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n) = \gamma^1 \wedge \gamma^2 \wedge \dots \wedge \gamma^n = \frac{1}{n!} [\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n], $$

ces définitions interviennent dans la construction des espaces de Fock [3].

Les extensions de rang $n$ d'une section $\gamma$ sont les éléments $\gamma_n$ de

$$ \operatorname{Hom}(\Lambda^n \zeta \otimes \zeta, \zeta) $$

définis par

$$ \gamma_n((d^1 \wedge d^2 \wedge \dots \wedge d^n) \otimes X) = [\gamma^1, \gamma^2, \dots, \gamma^n](X), X \in \Gamma(\zeta) $$

$$ \forall \tau = 1, 2, \dots, n, \quad \gamma^{\tau} = \gamma^{d^{\tau}} \text{ et on prolonge } \gamma_n \text{ par } C^{\infty}(\mathbf{W}, \mathbb{K})\text{-linéarité sur} $$

$$ \Lambda^n \zeta \otimes \zeta, \mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{K} = \mathbb{C}. $$

**Definition 3.** L'opérateur de Dirac de rang $n$ associé à la section de Dirac métrisable $\gamma$ est l'endomorphisme de $\Gamma(\zeta)$

$$ H_n = \gamma_n \otimes \nabla_{n-1} \text{ avec } \nabla_{n-1} = d_{n-1}^{\nabla} \circ \dots \circ d_0^{\nabla}, $$

$$ \text{et } H_n(X) = \gamma_n(\nabla_{n-1}X), \forall X \in \Gamma(\zeta). $$

Une équation d'état de rang $n$ associée à la l'opérateur de Dirac $H_n$ est une équation locale de la forme

$$ H_n(X) = \lambda X, $$

où $\lambda$ est une $C^\infty$-application définie sur une carte $W$ de $\mathbf{W}$ et $X \in \Gamma_W(\zeta)$, $\lambda$ est une fonction propre locale de l'opérateur $H_n$.

### 4. REPRÉSENTATION LOCALE DE $H_1$ ET $H_2$

On s'intéresse à la représentation locale des opérateurs

$$ H_1 = \gamma \otimes \nabla \text{ et } H_2 = \gamma_2 \otimes \nabla_1, $$

où $\nabla_1 = d_1^{\nabla} \circ d_0^{\nabla} = R^{\nabla}$ est la courbure de la connexion $\nabla$. On se place dans une carte de trivialisation $W$ de $\zeta$. On pose $\gamma_{\beta}^{\nu\sigma} = (\gamma^{\nu})_{\beta}^{\sigma}$ les coefficients de la matrice de $\gamma^{\nu}$ dans le local frame.

**Theorem 1.** L'opérateur $H_1$ de l'équation d'état du premier ordre est

$$ H_1 = \gamma^{\nu} D_{\nu}, \qquad (4.1) $$

$\gamma^{\nu}$ sont les quatre endomorphismes de Dirac définies par le "local frame" avec $D_{\nu} = L_{\nu} + \Gamma_{\nu}$, $L_{\nu}$ est l'opérateur de Lie et $\Gamma_{\nu}$ est l'opérateur de Christoffel. Les équations d'état sur les champs s'écrivent localement,

$$ \gamma_{\beta}^{\nu\sigma} (\partial_{\nu} X^{\beta} + X^{\alpha} \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}) = \lambda X^{\sigma}, \quad 0 \le \sigma \le 3. $$

*Proof.* La preuve est dans [1] □
**Remark 3.** $\Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}$ sont les symboles de Christoffel de la connexion $\nabla$. Dans le local frame $\{\partial_{\nu} : \mu = 0, 1, 2, 3\}$, si $X = X^{\alpha}\partial_{\alpha}$ alors

$$ \nabla\partial_{\alpha} = \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta} d^{\nu} \otimes \partial_{\beta}, $$

$L_{\nu}(X) = \mathcal{L}_{\nu}(X^{\alpha})\partial_{\alpha}$, $\mathcal{L}_{\nu}$ est la dérivée de Lie le long du champ $\partial_{\nu}$ et la matrice de l'opérateur de Christoffel $\Gamma_{\nu}$ dans le local frame est $(\Gamma_{\nu})_{\alpha}^{\beta} = \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}$.

La matrice de l'opérateur $H_2 = \gamma_2 \otimes R^{\nabla}$ dans le local frame est de la forme $(h_{\rho}^{\sigma})$ avec

$$ h_{\rho}^{\sigma} = \frac{1}{2} [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}]_{j}^{\sigma} R_{\rho\nu\mu}^{j} = \frac{1}{2} (\gamma_{j}^{\nu\tau} \gamma_{\tau}^{\mu\sigma} - \gamma_{j}^{\mu\tau} \gamma_{\tau}^{\nu\sigma}) R_{\rho\nu\mu}^{j}, $$

où $R_{\rho\nu\mu}^{j}$ est le tenseur de courbure de la connexion $\nabla$ défini dans le local frame par

$$ [\nabla_{\partial_{\nu}}, \nabla_{\partial_{\mu}}] \partial_{\sigma} = (\partial_{\nu} \Gamma_{\mu\sigma}^{\tau} + \Gamma_{\nu k}^{\tau} \Gamma_{\mu\sigma}^{k} - \partial_{\mu} \Gamma_{\nu\sigma}^{\tau} - \Gamma_{\mu k}^{\tau} \Gamma_{\nu\sigma}^{k}) \partial_{\tau} = R_{\sigma\mu\nu}^{\tau} \partial_{\tau}. $$

**Theorem 2.** Si on pose

$$ \mathbf{R}_{\nu\mu} = (R_{\sigma\mu\nu}^{\tau}), $$

la matrice de l'opérateur $H_2$ s'écrit

$$ \mathbf{H}_2 = \mathcal{A}(\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}) \mathbf{R}_{\nu\mu} = \gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\mathbf{R}_{\nu\mu}. \qquad (4.2) $$

*Proof.* La preuve est dans [2]. $\square$

## 5. LES ÉQUATIONS RELATIVISTES GÉNÉRALISÉES DE DIRAC-EINSTEIN

La section de Dirac $\gamma$ est définie sur les champs **réels**. Pour cette section de Dirac $\gamma$, l'équation 4.2 se met sous la forme

$$ h_{\rho}^{\sigma} = \gamma_{\tau}^{\nu\sigma} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\nu\mu}^{j} \qquad (5.1) $$

en abaissant l'indice $\sigma$ on a

$$ h_{\sigma\rho} = \gamma_{\sigma\tau}^{\nu} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\nu\mu}^{j}, \quad \gamma_{\sigma\tau}^{\nu} = g_{\sigma\alpha} \gamma_{\tau}^{\nu\alpha} $$

si l'on fait l'hypothèse que ce tenseur est proportionnel au tenseur énergie-impulsion ou au tenseur de Ricci, il faut que ce tenseur soit symétrique

$$ \gamma_{\sigma\tau}^{\nu} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\nu\mu}^{j} = \gamma_{\rho\tau}^{\nu} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\sigma\nu\mu}^{j}, \qquad (5.2) $$

ensuite on peut écrire l'équation généralisée relativiste sous la forme

$$ \gamma_{\sigma\tau}^{\nu} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\nu\mu}^{j} = \kappa T_{\sigma\rho}, \quad \kappa = \frac{8\pi G}{c^4}. \qquad (5.3) $$

Quelles conditions sur les endomorphismes de Dirac a-t-on pour que l'équation 5.3 se ramène à l'équation d'Einstein? Il faut et il suffit que

$$ \gamma_{\sigma\tau}^{\nu} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\nu\mu}^{j} = R_{\sigma\rho} + \lambda g_{\sigma\rho}, \quad \lambda = -\frac{1}{2}R + \Lambda \text{ avec } g^{\sigma\rho} = 4 \text{ Trace } (\gamma^{\sigma}\gamma^{\rho}). \qquad (5.4) $$

**Remark 4.** On rappelle que $\gamma_{\sigma\tau}^{\nu} = g_{\sigma\eta}\gamma_{\tau}^{\nu\eta}$.

**Problem 1.** Existe-t-il quatre matrices $\gamma^{\nu} = (\gamma_{\tau}^{\nu\sigma})$ dans l'algèbre de Clifford $Cl_{1,3}(\mathbb{R})$, pour lesquelles les équations 5.2, 5.3 et 5.4 soient vérifiées? Si la réponse est affirmative, on peut unifier les équations de Dirac-Einstein, sur les champs réels, à partir d'une section de Dirac.

**Lemma 2.** On a

$$ R_{\rho}^{\sigma} = g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu} R_{\rho\mu\nu}^{j} \quad \text{et} \quad R = g^{\rho\nu} \delta_{j}^{\mu} R_{\rho\mu\nu}^{j} = g^{\tau\nu} \delta_{j}^{\mu} R_{\tau\mu\nu}^{j}. $$
**Theorem 3.** Le tenseur $h_{\sigma\rho}$ est le tenseur de Ricci si

$$ \gamma_{\tau}^{\nu\sigma} \gamma_{j}^{\mu\tau} = g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu}. \qquad (5.5) $$

*Proof.* Si $\gamma_{\tau}^{\nu\sigma}\gamma_{j}^{\mu\tau} = g^{\sigma\nu}\delta_{j}^{\mu}$ alors

$$ h_{\rho}^{\sigma} = \gamma_{\tau}^{\nu\sigma} \gamma_{j}^{\mu\tau} R_{\rho\mu\nu}^{j} = g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu} R_{\rho\mu\nu}^{j} = g^{\sigma\nu} R_{\rho\nu}, $$

et

$$ h_{\sigma\rho} = R_{\sigma\rho}. $$

□

**Remark 5.** Les matrices $\{\gamma^{\nu}\}$ vérifiant 5.5 vérifient $\text{Trace}(\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}) = 4g^{\nu\mu}$.

**Theorem 4.** Si les matrices de Dirac $\{\gamma^{\nu}\}$ vérifient

$$ [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}] = \mathcal{H}^{\nu\mu}, \quad (\mathcal{H}^{\nu\mu})_{j}^{\sigma} = g^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} - g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu}, $$

avec $\text{Tr}(\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}) = 4g^{\nu\mu}$ alors le tenseur $h_{\sigma\rho}$ induit par l'opérateur de Dirac de rang 2, s'identifie au tenseur de Ricci.

*Proof.* On a

$$ \begin{aligned} h_{\rho}^{\sigma} &= \frac{1}{2} [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}]_{j}^{\sigma} R_{\rho\nu\mu}^{j} = \frac{1}{2} (g^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} - g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu}) R_{\rho\nu\mu}^{j} \\ &= \frac{1}{2} g^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j} - \frac{1}{2} g^{\sigma\nu} \delta_{j}^{\mu} R_{\rho\nu\mu}^{j} \\ &= g^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j}, \quad \mathbf{R}_{\nu\mu} = -\mathbf{R}_{\mu\nu} \\ &= g^{\sigma\mu} R_{\rho\nu\mu}^{\nu} = g^{\sigma\mu} R_{\rho\mu} = R_{\rho}^{\sigma} \end{aligned} $$

et

$$ h_{\sigma\rho} = R_{\sigma\rho}. $$

□

Si on veut trouver un début d'unification des équations de Dirac-Einstein, il faut prouver l'existence de quatre endomorphismes de Dirac pour lesquels les relations suivantes sont vérifiées

$$ \text{Trace}(\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}) = 4g^{\nu\mu}, \quad \{\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}\}_{j}^{\sigma} = 2g^{\nu\mu}\delta_{j}^{\sigma} \text{ et } [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}]_{j}^{\sigma} = g^{\sigma\mu}\delta_{j}^{\nu} - g^{\sigma\nu}\delta_{j}^{\mu}, \quad (5.6) $$

sous l'hypothèse de l'existence de telles matrices, l'équation relativiste de Dirac sur les champs **réels** s'écrit

$$ H_1(X) = \eta X $$

et l'équation relativiste s'écrit sous forme matricielle

$$ H_2 = \left( \frac{1}{2} R - \Lambda \right) G + \kappa T, $$

on va généraliser ces notions aux tenseurs d'Einstein d'ordre $\lambda$.

**Definition 4.** Un tenseur d'Einstein d'ordre $\lambda$ est un tenseur qui s'écrit, dans le local frame, sous la forme

$$ R_{\sigma\rho} + \lambda g_{\sigma\rho}, $$

où $\lambda$ est une $\mathbb{C}^{\infty}$-application définie dans une carte de trivialisation, $R_{\sigma\rho}$ est le tenseur de Ricci et $g_{\sigma\rho}$ est le tenseur métrique.
**Definition 5.** Le tenseur de Ricci $R_{\mu\nu}$ est inversible s'il existe un tenseur $S^{\mu\nu}$ tel que

$$S^{\mu\tau} R_{\tau\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} \text{ ou } R_{\nu\tau} S^{\tau\mu} = \delta^{\mu}_{\nu}.$$

**Remark 6.** Le tenseur $S^{\mu\tau}$ est unique si il existe.

**Lemma 3.** Si $R_{\mu\nu}$ est inversible il existe un unique tenseur $\varepsilon^{\sigma\mu}$ tel que

$$\varepsilon^{\sigma\mu} R_{\mu\rho} = g^{\sigma}_{\rho}. \qquad (5.7)$$

*Proof.* Si on pose $\mathcal{R} = (\mathcal{R}_{\rho}^{\mu})$, $\mathcal{R}_{\rho}^{\mu} = R_{\mu\rho}$ et $\mathcal{E} = (\mathcal{E}_{\mu}^{\sigma})$, $\mathcal{E}_{\mu}^{\sigma} = \varepsilon^{\sigma\mu}$ alors 5.7 s'écrit

$$\mathcal{E}\mathcal{R} = \mathcal{G}, \mathcal{G} = (g_{\rho}^{\sigma}),$$

le tenseur $R_{\mu\rho}$ est inversible si et seulement si $\mathcal{R}$ est inversible donc

$$\mathcal{E} = \mathcal{G}\mathcal{R}^{-1},$$

le tenseur $\varepsilon^{\sigma\mu}$ existe et est unique.

□

**Notation 1.** Si le tenseur de Ricci $R_{\mu\nu}$ est inversible, on note $\mathcal{G}^{\nu\mu}$ ($\lambda$) la matrice définie par

$$(\mathcal{G}^{\nu\mu}(\lambda))^{\sigma}_{j} = (g^{\sigma\mu} + \lambda\varepsilon^{\sigma\mu})\delta^{\nu}_{j} - (g^{\sigma\nu} + \lambda\varepsilon^{\sigma\nu})\delta^{\mu}_{j}.$$

**Theorem 5.** Si le tenseur de Ricci est inversible et les endomorphismes de Dirac vérifient

$$[\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}] = \mathcal{G}^{\nu\mu}(\lambda)$$

alors le tenseur $h_{\sigma\rho}$ induit par l'opérateur de Dirac $H_2$ de rang 2 est un tenseur d'Einstein d'ordre $\lambda$. En particulier, pour

$$\lambda = -\frac{1}{2}R + \Lambda,$$

l'équation relativiste d'Einstein s'écrit

$$h_{\sigma\rho} = \kappa T_{\sigma\rho} \text{ ou } H_2 = \kappa T.$$

*Proof.* On a

$$\begin{align*}
h_{\rho}^{\sigma} &= \frac{1}{2} [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}]_{j}^{\sigma} R_{\rho\nu\mu}^{j} = \frac{1}{2} \left( (g^{\sigma\mu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\mu}) \delta_{j}^{\nu} - (g^{\sigma\nu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\nu}) \delta_{j}^{\mu} \right) R_{\rho\nu\mu}^{j} \\
&= \frac{1}{2} (g^{\sigma\mu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\mu}) \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j} - \frac{1}{2} (g^{\sigma\nu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\nu}) \delta_{j}^{\mu} R_{\rho\nu\mu}^{j} \\
&= (g^{\sigma\mu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\mu}) \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j} \\
&= g^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j} + \lambda \varepsilon^{\sigma\mu} \delta_{j}^{\nu} R_{\rho\nu\mu}^{j} = g^{\sigma\mu} R_{\rho\mu} + \lambda \varepsilon^{\sigma\mu} R_{\rho\mu} \\
&= R_{\rho}^{\sigma} + \lambda g_{\rho}^{\sigma},
\end{align*}$$

par abaissement de l'indice $\sigma$,

$$h_{\sigma\rho} = R_{\sigma\rho} + \lambda g_{\sigma\rho}.$$

Si $\lambda = -\frac{1}{2}R + \Lambda$, alors

$$h_{\sigma\rho} = G_{\sigma\rho} + \Lambda g_{\sigma\rho},$$

où $G_{\sigma\rho}$ est le tenseur d'Einstein, $\Lambda$ la constante cosmologique et

$$h_{\sigma\rho} = \kappa T_{\sigma\rho}.$$

□
## 6. CONCLUSION

Pour donner une représentation unitaire des équations relativistes de Dirac et d'Einstein à l'aide d'une section de Dirac $\gamma$, il faut montrer l'existence de quatre endomorphismes $\{\gamma^{\nu}\}$ dans l'algèbre de Clifford $Cl_{1,3}(\mathbb{R})$,

$$ \{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\} = 2g^{\mu\nu} \mathbf{I}_4 $$

avec $g_{\mu\nu}$ est un tenseur métrique, pour lequel le tenseur de Ricci $R_{\rho\mu}$ est inversible, tels que

$$ [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}] = \mathcal{G}^{\nu\mu} \left(-\frac{1}{2}R + \Lambda\right), \qquad (6.1) $$

avec

$$ \varepsilon^{\sigma\mu} R_{\rho\mu} = g_{\rho}^{\sigma}. $$

L'équation de Dirac s'écrit

$$ H_1(X) = \eta X, $$

pour un champ $X$ de masse spectrale $\eta$ qui est une fonction propre locale $C^{\infty}$ de l'opérateur de Dirac $H_1$ de rang 1 et l'équation relativiste d'Einstein s'écrit

$$ h_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}, $$

$T_{\mu\nu}$ est le tenseur énergie-impulsion et $h_{\mu\nu} = g_{\mu\kappa}h_{\nu}^{\kappa}$, $(h_{\nu}^{\kappa})$ est la matrice de l'opérateur de Dirac de rang 2. Si le tenseur de Ricci n'est pas inversible, 6.1 se ramène à

$$ [\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}] = \mathcal{H}^{\nu\mu}. $$

## REFERENCES

[1] Jonot J.L., "Opérateurs de Dirac", hal.archives-ouvertes.fr(2016)

[2] Jonot J.L., "Sur les opérateurs de Dirac de rang supérieur et l'équation relativiste d'Einstein", hal.archives-ouvertes.fr(2016)

[3] Jonot J.L., "Quantification des fibrés des états", hal.archives-ouvertes.fr(2015)

[4] Kobayashi S. and Nomizu K., "Foundations of Differential Geometry", vol. 1 & 2, Wiley-Interscience, (1996)

E-mail address: jean-louis.jonot@ac-versailles.fr