# Analyse historique de l'émergence des concepts élémentaires d'algèbre linéaire.

Jean-Luc Dorier

► To cite this version:

Jean-Luc Dorier. Analyse historique de l'émergence des concepts élémentaires d'algèbre linéaire.. IREM de Paris. IREM de Paris, 7, 1990, Cahier de DIDIREM, Michèle Artigue, 2-86612-100-7. hal-02138152

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

7

JUIN 1990

CAHIER DE DIDIEREM

ANALYSE HISTORIQUE DE L'EMERGENCE DES CONCEPTS
ELEMENTAIRES D'ALGEBRE LINEAIRE

Par Jean-Luc DORIER

Institut fourier
BP 74
38402 St Martin d'Hères Cedex
France

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

UNIVERSITE-PARIS VII
Analyse historique
de l'émergence
des concepts élémentaires
d'algèbre linéaire

par

Jean-luc DORIER

Institut fourier

BP 74

38402 St Martin d'Hères Cedex

France
# Sommaire

## Introduction

1- Pourquoi une étude historique ? p 5

2- Les approches existentes - Leurs limites p 5

3- Explication de notre méthode d'investigation p 7

4- Plan commenté p 7

## I. La "préhistoire" de l'algèbre linéaire

1- Les civilisations anciennes p 10

a- Les Babyloniens p 10

b- Les Egyptiens p 11

c- La méthode de fausse position p 11

d- Les Chinois p 12

e- Les Indiens p 12

f- Les Grecs p 12

g- Les équations indéterminées p 14

2- Des Arabes jusqu'à l'après Renaissance en Occident

a- Les Arabes p 15

b- La Renaissance et ses retombées en Occident p 16

## II. Les problèmes "linéaires" aux XVIIIème et XIXème siècles

p 19

1- Les progrès dans la résolutions des systèmes d'équations linéaires. La théorie des déterminants p 20

2- Panorama des autres problèmes linéaires p 27

a- Le paradoxe de Cramer : un des premiers problèmes d'indépendance linéaire p 27

b- Autour de la notion de combinaison linéaire p 29

c- Les transformations linéaires et la théorie des matrices p 30

d- Les formes quadratiques et bilinéaires p 33

e- Les équations différentielles linéaires p 34

## III. L'algèbre linéaire à travers l'histoire de la géométrie

1- La naissance de la géométrie analytique p 36

2- La naissance du "calcul vectoriel" p 41

a- Les premiers pas p 41

b- Les premiers systèmes de "calcul géométrique" p 43

i- Le calcul barycentrique de Möbius p 43

ii- Le calcul des équipollences de Bellavitis p 44

c- La représentation géométrique des "complexes" p 45

d- Les quaternions et les systèmes hypercomplexes p 51

e- Grassmann et la théorie de l'extension p 54
IV- La naissance de l'algèbre moderne

1- Une première étape : la géométrie en dimension n p 61

2- Les premières approches axiomatiques
   a- G. Peano p 62
   i- Sur l'introduction des "formations géométriques" p 64
   ii- Sur l'introduction des systèmes linéaires p 65
   b- Burali-Forti et Marcolongo p 69
3- Les espaces à une infinité de dimensions p 71
4- Vers une théorie unique p 77

V- Aperçu de l'évolution de l'enseignement
de l'algèbre linéaire, principalement en France p 81

Conclusion p 88

Index des noms cités p 90

Bibliographie p 92
# Introduction

## 1 - Pourquoi une étude historique ?

La théorie axiomatique des modules ou des espaces vectoriels est une découverte de la fin du siècle précédent qui n'a pris son essor qu'après 1920. Pourtant la résolution des équations linéaires numériques en une ou même deux ou trois variables est un problème, qui a occupé les "mathématiciens" depuis l'antiquité. Entre ces deux pôles extrêmes, que séparent des dizaines de siècles, les mathématiciens de tous les temps ont posé quelques jalons, plus ou moins décisifs et importants, et aussi plus ou moins espacés dans le temps. Chacun de ces jalons, la façon dont il se situe par rapport aux autres en fonction du contexte mathématique ambiant, sont autant de renseignements qui peuvent nous permettre de mieux appréhender le sens, la nature épistémologique des premiers concepts d'algèbre linéaire.

C'est dans ce sens qu'une étude historique de la genèse de ces concepts nous semble être un travail préliminaire nécessaire avant une étude didactique. En faisant référence au cahier *Epistémologie et didactique* de M. Artigue [AI1], nous allons brièvement argumenter cette position.

L'algèbre linéaire, telle qu'on la présente aux étudiants, est un savoir enseigné, au sens défini par Y Chevallard [CE], c'est-à-dire qu'elle est le fruit de la *transposition didactique* d'un savoir savant achevé, à l'aspect lisse et parfait. La genèse des concepts qui forment ce savoir a disparu des manuels d'enseignement. Qui pourrait d'ailleurs demander à un étudiant de refaire le chemin de ces dizaines de siècles, faits de découvertes géniales mais aussi d'avancées timides, de doutes, d'ambiguïtés, d'erreurs et de régressions même peut-être ? Il serait absurde et naïf de vouloir reconstruire à travers l'enseignement un processus historique. D'où la nécessité de construction de genèses artificielles. Pourtant si l'enseignement doit se distancier de l'évolution épistémologique réelle des concepts, on peut dire en citant M. Artigue (op. cit.) que l'analyse de genèses historiques est un promontoire d'observation quand il s'agit d'analyser un processus d'enseignement donné, ou la base de travail, s'il s'agit d'élaborer une genèse artificielle.

De plus, la nature épistémologique des concepts est d'autant plus importante que comme le souligne G. Brousseau [BR1-2], l'erreur -en mathématique- est constitutive du sens de la connaissance acquise. Cette constatation l'a amené à introduire en didactique le concept d'obstacle épistémologique. En ce sens la genèse historique est une aide non seulement pour détecter, dans les erreurs observées chez l'apprenant, certains obstacles épistémologiques, mais aussi pour essayer de trouver un moyen de dépasser ces obstacles, étant entendu que le transfert nécessite une analyse comparée des conditions historiques et didactiques dans lesquelles apparaît chaque obstacle. Encore une fois il faut se méfier de ne pas confondre les deux types de phénomènes et l'analyse de la genèse historique ne peut être une aide que dans la mesure où l'analyse didactique du problème est suffisante.

Ces deux raisons générales nous ont conduit à essayer d'avoir une idée plus précise de ce que contenait la genèse des concepts élémentaires d'algèbre linéaire dans une opique épistémologique, avant d'aborder l'aspect didactique pur de la question de leur enseignement.

## 2 - Les approches existantes - Leurs limites.

Nous donnons en début de notre bibliographie la liste des ouvrages généraux d'histoire des mathématiques et des sciences que nous avons consultés. Ils présentent dans les grandes lignes, l'évolution des concepts d'algèbre linéaire. Cependant l'aspect globalisant de ces ouvrages ne laisse pas beaucoup de place à l'explicitation des différents éléments de cette évolution. De plus dans le cas particulier de l'algèbre linéaire, qui n'a été un domaine unifié que tardivement, l'éparpillement des domaines ayant joué un rôle parfois important dans la genèse, fait que la partie de ces ouvrages exclusivement réservée à l'algèbre linéaire est souvent réduite et constituée de nombreux renvois. On découvre ainsi des éléments variés en rapport avec l'algèbre linéaire, mais leur explicitation n'est pas toujours faite avec comme premier souci d'éclairer l'histoire de celle-ci. Aussi cette méthodologie, parfaitement justifiée par la problématique de ces ouvrages, a tendance parfois à perdre le lecteur dans des méandres, où il ne retrouve pas de fil directeur.
Dans un cahier précédent [RI], J. Robinet présente une genèse des concepts d'algèbre linéaire depuis l'antiquité jusqu'à l'aube du XXème siècle. Dans une première approche, cette analyse nous semble un outil suffisant pour comprendre les aspects essentiels de cette genèse et se faire une idée suffisante du sens des concepts en jeu. Pourtant certains points tels que les liens avec l'étude des systèmes d'équations linéaires, la genèse du concept de rang ou le rôle joué par la théorie axiomatique nous semblent nécessiter une analyse plus détaillée. Par ailleurs des éléments contenus dans différents autres ouvrages laissent apparaître des points importants à éclaircir.

En outre, à notre connaissance, l'algèbre linéaire n'a pas été l'objet d'autres monographies qui étudient les principaux aspects de sa genèse.

Certains ouvrages présentent des monographies sur des sujets connexes ou même sur une partie de cette genèse. Ainsi le livre de T. Muir [MU], présente, à l'appui de nombreuses citations de textes originaux -souvent traduits-, une histoire très détaillée des déterminants. Nous avons pu y retrouver des éléments importants ayant trait à l'histoire de l'algèbre linéaire, dans une proportion cependant minime par rapport à l'ampleur de l'ouvrage. La théorie des déterminants en liaison avec l'étude des solutions des systèmes linéaires est une étape importante dans la genèse de l'algèbre linéaire, par ailleurs bien plus vaste. De plus certains résultats théoriques sur les déterminants ont aussi joué un rôle dans l'extension du calcul algébrique à des objets nouveaux, ce qui a été un facteur d'évolution important pour l'algèbre linéaire. Néanmoins la plus grosse partie de l'histoire des déterminants n'a pas de rapport ou des rapports très lointains avec l'algèbre linéaire élémentaire. Aussi le livre de T. Muir nous apporte une information précise mais partielle et non nécessairement présentée dans l'optique qui nous intéresse.

De même le livre de M. Crowe [CR] présente une étude détaillée de la genèse de l'analyse vectorielle. Il est une source intéressante pour mieux comprendre les rapports entre la géométrie ou certains domaines de la physique et l'algèbre linéaire. Ce livre étudie, en utilisant des citations et des références nombreuses, l'évolution de l'idée de système vectoriel à usage pour la physique et la géométrie, ce qui constitue une phase importante dans l'évolution de l'algèbre linéaire. Pourtant en accord avec le but fixé, cette étude présente comme des points marginaux, voire même passe sous silence des aspects de cette évolution qui laissent déjà entrevoir l'idée d'un concept plus large de vecteurs et qui sont donc des éléments fondamentaux vis à vis de l'algèbre linéaire.

Sur un autre plan l'étude faite par D. Flament de la *lineale Ausdehnungslehre* de Grassmann présente un intérêt capital par rapport à notre sujet. Ce travail riche est important pour notre recherche, dont il dépasse largement les attentes sur ce point précis de la genèse de l'algèbre linéaire.

Voilà donc un panorama, à notre connaissance assez exhaustif, de la bibliographie accessible touchant à la genèse des concepts élémentaires de l'algèbre linéaire. Cet état des lieux nous a semblé insatisfaisant, par rapport à notre but, sur deux points essentiels :

- Plusieurs étapes de cette genèse ne nous semblent pas avoir été entièrement développées et éclaircies. Ce sont, dans les grandes lignes, les suivantes :

Le lien entre l'étude des systèmes linéaires et l'émergence des premiers concepts.

La genèse de concepts centraux tels que celui de rang.

Le passage de résultats épars à une théorie unifiée.

L'apparition des premières approches axiomatiques et les raisons de leur prédominance tardive.

- Par ailleurs il nous semblait important de regrouper dans une même approche tous les points de cette genèse, même si certains avaient pu être déjà développés ailleurs. Il nous semblait en effet que ce nouvel éclairage permettrait de leur donner leur réelle importance et de mieux situer la place de chaque événement par rapport à l'ensemble. On sait que l'objectivité pure est impossible en histoire, peut-être encore moins en histoire des sciences, surtout si on a une finalité épistémologique. Ainsi il semble utile que si un passage de cette histoire a pu avoir un rôle important dans la genèse des concepts d'algèbre linéaire, il soit relaté à ce titre et dans une étude dont le but est d'expliciter cette genèse, pour mieux comprendre le sens des concepts étudiés.

Nous avons donc choisi de faire un travail de synthèse en regroupant tous les éléments qui nous permettraient de mieux comprendre ce qui avait participé à l'émergence des concepts élémentaires d'algèbre linéaire et à leur regroupement dans une théorie axiomatisée des espaces
vectoriels. Et dans le même temps nous avons décidé de développer plus particulièrement et de façon originale les points qui avaient été jusqu'alors, nous semble-t-il, délaissés dans les autres analyses.

Par ailleurs, dans la mesure où ce qui est enseigné actuellement à l'université, sous le label explicite d'algèbre linéaire est avant tout la théorie axiomatique des espaces vectoriels, il nous importait tout particulièrement de nous donner comme aboutissement l'étude de l'émergence des principes élémentaires de cette théorie et les raisons sous-jacentes à sa prédominance en algèbre linéaire.

D'une façon générale, il nous a semblé important de ne pas sous-estimer la complexité du problème et en conséquence, nous avons essayé de ne négliger aucune piste tout en évaluant au mieux l'intérêt qu'on avait à l'explorer. Cependant il nous a fallu faire des choix et nous avons aussi pu oublier, faute de les connaître, certaines pistes.

Ceci nous amène à expliciter notre méthode d'investigation.

### 3 - Explicitation de notre méthode d'investigation

La lecture des ouvrages, que nous avons signalés plus haut, nous a permis de nous faire une idée générale des grandes étapes de cette genèse et pour certaines même, une idée plus précise de leur contenu. C'est de là aussi que viennent les principales références bibliographiques des ouvrages originaux que nous avons consultés.

Ainsi les considérations assez générales que nous faisons dans notre étude sur des points du développement des concepts d'algèbre linéaire ou même plus largement sur l'évolution des mathématiques, ce qui forme en quelque sorte le squelette ou le ciment de notre exposé est le fruit du recoupement de plusieurs lectures d'ouvrages d'histoire des mathématiques ou des sciences. En ce sens on peut considérer que cela fait partie du "domaine public", pourtant la formulation et l'organisation nous sont entièrement personnelles et n'engagent que nous.

Pour le contenu plus détaillé des points développés dans notre étude, nous avons essayé au maximum de fonder nos opinions sur les lectures d'originaux, ou d'extraits issus de compilations [SM2] ou cités dans des monographies ([CR], [MU], [FL] etc.). Nous citons alors toujours nos références le plus précisément possible en donnant la version du livre que nous avons utilisée et en signalant si c'est une traduction -nous donnons toutefois les références de la première édition entre parenthèse si elle nous est connue-. Quand nous avons jugé que cela pouvait éclairer notre propos, nous avons donné des citations de ces ouvrages. Si nécessaire, nous avons alors traduit ces passages en français.

Quand nous n'avons pu disposer d'un original, nous nous sommes contentés de rapporter ce qu'en disent les ouvrages généraux d'histoire. Dans ce cas nous avons essayé au maximum de faire le recoupement de plusieurs sources. En pratique, dans la plupart des cas, nous avons pu trouver des traces d'un même fait dans au moins trois ou quatre des ouvrages suivants : [AHM], [BO1], [DA], [SM1] et [BO], complétés le plus souvent par d'autres sources générales. Ce sont tous les cinq des ouvrages assez complets et complémentaires. Toutefois il nous est arrivé, quoique très rarement de ne trouver un élément que dans un ou deux ouvrages seulement, et de ne pas pouvoir disposer des références citées, nous avons alors préféré renoncer à mentionner ces faits.

### 4 - Plan commenté

Le plan que nous avons adopté correspond à une double exigence chronologique et épistémologique. Nous avons donc essayé de diviser notre étude en grandes périodes que nous avons elles-mêmes séparées selon les grands thèmes d'évolution. Nous avons ainsi distingué :

#### 1- La "préhistoire de l'algèbre linéaire".

Dans ce chapitre nous dressons un panorama très rapide des techniques de résolution d'équations et de systèmes linéaires, en une ou plusieurs variables, connues dans différentes civilisations antiques d'Europe et d'Asie. Puis nous retraçons les principales étapes de l'évolution de l'algèbre d'abord chez les Arabes puis à travers l'Occident à la suite de la Renaissance. Nous montrons comment la naissance du symbolisme algébrique a permis de changer de point de vue dans l'étude des équations puis des systèmes linéaires, en permettant de passer du cadre numérique à celui des coefficients indéterminés réalisant ainsi la première étape importante dans la genèse de l'algèbre linéaire.
Pour ce premier chapitre, nous nous sommes contentés essentiellement de deuxièmes lectures, étant donné que les originaux sont difficiles d'accès, et nous ne prétendons pas avoir été exhaustif., ni très précis. Nous avons cependant examiné certains points dans les *Eléments d'Euclide et les Arithmetiques* de Diophante. Nos principales sources, à part celles citées explicitement en référence à ce chapitre sont : [SM1], [BO] et [DA].

Pendant les XVIIIème et XIXèmes siècles, l'algèbre linéaire apparaît, sans être unifiée, dans de nombreux domaines. Dans les deux chapitres suivants nous en présentons les aspects principaux en séparant ceux liés à la géométrie (chap. III) des autres (chap. II). Ce choix se justifie à nos yeux à cause des liens très spécifiques qui existent entre la géométrie et l'algèbre linéaire, et dont l'enseignement se fait d'ailleurs l'écho.

## II. Les problèmes linéaires aux XVIIIème et XIXème siècles.

Nous avons essayé de proposer ici un découpage en grands thèmes.

1. Les progrès dans la résolution des systèmes d'équations linéaires. La théorie des déterminants.

Le début de ce paragraphe est inspiré du livre de T. Muir (op. cit.). Ayant une problématique générale différente, nous avons toutefois plus spécifiquement essayé de dégager en quoi la théorie des déterminants a permis de faire de l'étude des systèmes linéaires le premier terrain d'émergence des concepts de combinaison linéaire et de dépendance linéaire.

Dans la deuxième partie de ce paragraphe, nous présentons, d'après une étude personnelle de l'œuvre originale, la contribution de Frobenius à l'émergence du concept de rang, en particulier grâce à l'introduction du concept de dépendance linéaire sur les solutions et non plus sur les équations.

2. a Le paradoxe de Cramer : un des premiers problèmes d'indépendance linéaire.

A partir d'une analyse personnelle des textes originaux, nous présentons, dans ce paragraphe, une des premières situations qui a fait apparaître une application du concept de dépendance linéaire.

2-b Autour de la notion de combinaison linéaire.

2-c Les transformations linéaires et la théorie des matrices

2-d Les formes quadratiques et bilinéaires

2-e Les équations différentielles linéaires

Ces paragraphes sont des paragraphes de synthèse. Nous avons seulement partiellement pu vérifier les sources originales (quand la bibliographie est signalée). Les idées développées sont des recoupements de diverses lectures, en particulier [AHM], [BO1] et [BO]. Nous avons fait un travail plus documenté sur Gauss, Lagrange, Cayley et Eisenstein.

## III L'algèbre linéaire à travers l'histoire de la géométrie.

Tout ce chapitre est sûrement le passage le plus documenté de notre étude, et nous avons utilisé plusieurs ouvrages d'histoire des mathématiques, il est donc aussi moins original. Il a été en particulier influencé par la lecture du livre de Crowe (op. cit.). Nous avons aussi essayé dans la mesure du possible de travailler sur les originaux et le travail très détaillé de D. Flament [FL] nous a beaucoup aidé pour la rédaction du paragraphe sur Grassmann.

Par ailleurs pour donner son originalité à ce chapitre, nous avons voulu dépasser dans notre analyse, le simple cadre de la géométrie et montrer dans les travaux cités ce qui préparait déjà la suite et contenait en germe, implicitement ou même explicitement les généralisations futures de la notion d'espace. C'est en effet ce qui nous a semblé être le plus pertinent par rapport à la genèse des concepts d'algèbre linéaire, et qui n'est pas toujours bien dégagé dans les autres études. Dans cet optique, la place de Grassmann est fondamentale, parce qu'à partir d'une réflexion générale philosophique il est un des premiers à avoir tant élargi la notion d'espace et à proposer un calcul géométrique généralisé. Aussi avons-nous étayé le paragraphe sur Grassmann par des détails sur sa vie personnelle, parce qu'il nous a semblé que ceux-ci pouvaient peut-être permettre de mieux comprendre ses motivations et aussi parce qu'il est également un exemple assez unique et que son isolement a certainenement eu une influence sur ses découvertes comme sur leur destin.
#### IV La naissance de l'algèbre linéaire moderne.

Ce chapitre est essentiellement basé sur des lectures personnelles d'originaux. Nous avons voulu y retracer le passage de résulats épars à un domaine unifié de l'algèbre linéaire, où les espaces vectoriels apparaissent sous l'aspect descriptif de n-uplets. Puis nous étudions le passage progressif à la dimension infinie et parallèlement les premières axiomatisations et enfin les évolutions plus récentes qui ont conduit à la prédominance de l'approche axiomatique et à la théorie des espaces vectoriels et des modules.

Nous avons en particulier développé une étude entièrement personnelle de la première explicitation d'une définition axiomatique des espaces vectoriels par Peano, ainsi que de quelques autres définitions axiomatiques apparues au début du siècle.

#### V. Aperçu de l'évolution de l'enseignement de l'algèbre linéaire, principalement en France.

Ce chapitre est basé sur une étude que nous avons faite des programmes officiels de mathématiques des lycées et des classes préparatoires depuis 1930, ainsi que de quelques manuels d'enseignements de niveau universitaire. Il permet de se faire une idée sommaire de l'évolution de l'enseignement de l'algèbre linéaire pendant ces soixantes dernières années. Il permettra également de faire le lien avec nos préoccupations didactiques, développées dans les deux autres parties de ce travail.
# I- "Préhistoire" de l'Algèbre Linéaire

## 1- Les civilisations anciennes

L'algèbre linéaire, telle que nous la connaissons de nos jours, est un domaine récent des mathématiques -la définition des espaces vectoriels n'a vraiment été achevée qu'au début du XXème siècle. Pourtant on peut considérer que sa genèse participe d'un très long processus de maturation et il est intéressant de revenir aux premières civilisations antiques pour retrouver ses sources lointaines. En effet depuis que les hommes ont tenté de comprendre le monde qui les entoure, ils ont été amenés à construire des systèmes numériques et les principes élémentaires de l'arithmétique, de la géométrie, de l'astronomie ou de la musique. Cette nécessité s'est fait jour pour résoudre des problèmes pratiques liés à l'agriculture, au commerce, à la stratégie militaire, à des questions d'héritage ou de maintenance, mais aussi dans l'étude de l'astronomie, de la musique, du dessin ou de l'architecture.

Dans de nombreuses civilisations, le statut de mathématicien n'existait pas en tant que tel.

Dans l'Egypte ou la Babylone antiques, comme en Chine, les "mathématiciens", sont des fonctionnaires au service de l'appareil d'état, ils doivent en gérer les finances, les biens, l'armées et les constructions, ils sont également astrologues.

En Inde, leur activité est inséparable de la religion et de l'étude du sanskrit, on les appelle des *jyotirvids* (spécialistes des astres).

C'est d'abord chez les Grecs que la mathématique accède à un statut noble qui va de pair avec la philosophie, et c'est cette tradition qui, via les Arabes, pénétrera l'Occident et se développera à partir de la Renaissance.

Donc au début, les mathématiques et tout spécialement l'arithmétique ont, avant tout, des fonctions utilitaires. Ainsi, bien avant que le concept d'équation n'ait été acquis, grâce aux méthodes de l'arithmétique, et sous forme rhétorique, on s'est employé à resoudre des problèmes modélisables par des équations linéaires (ou affines), voire par des systèmes d'équations linéaires, en une, ou même deux ou trois variables.

Sans prétendre faire un exposé exhaustif, nous allons donner ci-dessous un panorama aussi large que possible des types de problèmes linéaires ainsi rencontrés et des techniques de résolution utilisées à différentes époques dans différentes civilisations anciennes, pour celles dont nous disposons d'éléments suffisants, pour avoir une idée précise sur l'état de leurs connaissances.

## a- Les Babyloniens

Les tablettes babyloniennes montrent, que depuis le haut âge babylonien (environ 1800 av J.-C.) jusqu'à l'époque de l'Empire Séleucide (vers 300 ap J.-C.), les problèmes que se posaient leurs mathématiciens n'évoluèrent guère. Traduits en langage moderne, ils consistent essentiellement en la résolution d'équations linéaires ou quadratiques en une inconnue et de systèmes contenant une équation linéaire et une équation quadratique en deux inconnues. De tels problèmes étaient bien sûr posés avec des valeurs numériques explicites, et provenaient de réalités quotidiennes (répartition des récoltes, échanges de monnaies et de marchandises, calcul d'intérêts simples ou composés, calcul de taxes etc...). Leur résolution était entièrement basée sur le discours : les tablettes énoncent une suite de règles à effectuer sans donner de justification, et il n'y a aucun recours à un langage symbolique même primaire.

Le système numérique babylonien était fait d'un mélange de base soixante et de base dix, avec un principe de position. Les multiplications se faisaient en référence à des tables (certainement établies par additions successives) et les seuls rationnels connus étaient ceux dont le dénominateur est un produit de facteurs premiers de soixante (d'où l'intérêt de la base soixante, à cause du grand nombre de diviseurs). En fait ils utilisaient tous les rationnels exprimables de façon finie en base soixante, ce qui forme un anneau. Les divisions (ramenées à des multiplications) et les extractions de racines carrées (qui se faisaient en correspondance avec des tables de carrés préétablies) n'étaient alors concevables, que si elles pouvaient se mener entièrement dans cet anneau.

Néanmoins, malgré ces outils rudimentaires, les calculateurs babylonniens font preuve de beaucoup d'habileté. Pour les systèmes, la méthode utilisée revient à résoudre une des équations par rapport à une inconnue puis à substituer la solution dans l'autre équation. Dans le cas où figure l'équation $x+y=a$, on trouve également le recours à un changement de variables par $x=a/2+s$ et $y=a/2-s$ (idem avec $x-y=a$), la deuxième équation est alors en la seule variable $s$.
## b- Les Egyptiens

Le Papyrus utilisé pour l'écriture en Egypte s'est beaucoup moins bien conservé que les tablettes d'argile babyloniennes, si bien que les sources concernant la civilisation des Pharaons sont beaucoup moins nombreuses. Les *Papyrus d'Ahmès ou de Rhind* et de *Moscou* datant tous deux d'environ 1650 av J.-C. et le *Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes* sont les principales. De ce que l'on peut voir, les connaissances des scribes égyptiens sur les équations linéaires étaient encore plus rudimentaires que celles des Babyloniens.

Comme ces derniers, les Egyptiens résolvaient des problèmes concrets énoncés de façon rhétorique sans presque utiliser de symboles (tout au plus un signe pour l'addition et la soustraction ainsi que pour la racine carrée). Il existait deux systèmes numériques tous deux décimaux, l'un n'était pas positionnel (système hiéroglyphique), l'autre évitait la multiplication des symboles par des règles de position (système hiératique). Les seuls rationnels utilisés étaient les inverses d'entiers (ou quantième) et la fraction 2/3 qui semble jouir d'un statut privilégié. Ceci obligeait à des calculs très longs pour ramener toute fraction en une somme de quantièmes distincts et de 2/3.

On ne trouve que quelques rares exemples simples et isolés de résolution de systèmes de deux équations en deux inconnues.

La résolution des équations linéaires en une variable se faisait par essais successifs mais, malgré la lourdeur des calculs, il semble que la dextérité des scribes confèrent à cette méthode une certaine efficacité.

Un exemple célèbre du Papyrus Rhind consiste à résoudre l'équation suivante : $x + (1/7)x = 19$ (en langage moderne).

La méthode employée est en substance la suivante :

"Prenons une unité de 7.

Une fois fait 7.

(1/7) fois fait 1.

1+(1/7) fois fait 8.

Autant de fois qu'il faut multiplier 8 pour faire 19, il faudra multiplier 7 pour obtenir le résultat.

Une fois fait 8.

Deux fois font 16.

(1/2) fois fait 4.

(1/4) fois fait 2.

(1/8) fois fait 1.

Au total, $2+(1/4)+(1/8)$ font 19.

Multiplions $2+(1/4)+(1/8)$ par 7, et on obtiendra le résultat.

Une fois fait $2+(1/4)+(1/8)$.

Deux fois font $4+(1/2)+(1/4)$.

4 fois font $9+(1/2)$.

Au total 7 fois font $16+(1/2)+(1/8)$ qui est le résultat."

([SM1] vol.II p.436)

## c- La méthode de fausse position

Cette technique, par essais successifs, est en quelque sorte l'ancêtre de la méthode de fausse position. Celle-ci était connue des Chinois et des Indiens et fut introduite en Europe par les Arabes. Elle sera jusqu'au XVIIIème siècle au moins, la plus usitée, si ce n'est la seule connue, des méthodes de résolution des équations linéaires en une variable.

Son nom ainsi que la façon de l'appliquer ont bien sûr connu des variantes au cours des âges et des civilisations. Elle garde cependant toujours une structure de fond quasi identique.

Voici, en langage moderne, en quoi elle consiste.

Soit à résoudre l'équation $ax+b=0$. On fait deux essais $x_1$ et $x_2$ qui donnent des valeurs $v_1$ et $v_2$ qui, en général ne sont pas 0, alors par soustraction, on obtient : $a(x_1-x_2) = (v_1-v_2)$.

Par ailleurs on a, $x_2v_1 = a x_2x_1 + bx_2$ et $x_1v_2 = a x_1x_2 + bx_1$

donc par soustraction : $b(x_2-x_1) = x_2v_1 - x_1v_2$
En divisant les deux équations ainsi obtenues, on obtient :

$$x = \frac{b}{a} = \frac{x_1 v^2 - x_2 v^2}{x_1 - x_2}$$

Bien sûr les deux divisions de la fin n'étaient, en général, pas explicites et on utilisait une forme rhétorique revenant à une règle de trois ou de proportionnalité, pour conclure.

### d- Les Chinois

L'un des plus grands classiques des mathématiques de la Chine antique est l'Arithmétique en neuf sections (K'iu-ch'ang Suan-Shu). L'auteur et la date d'origine de ce traité nous sont inconnus. Cependant il est généralement reconnu qu'il date d'avant 1000 av J.-C., et on a même prétendu qu'il daterait du 27ème siècle avant notre ère!

Deux des sections ont trait aux équations linéaires. La première énonce la règle de fausse position à travers de nombreux exemples concrets. La seconde fournit maints problèmes conduisant à des systèmes de deux équations linéaires en deux inconnues, dont l'une apparaît toujours avec le coefficient 1 : $y=ax+b$ et $y=a \cdot x - b$. Une règle de résolution est donnée, elle revient en substance à un processus d'addition et d'élimination classique. En pratique le raisonnement devait s'appuyer sur l'utilisation de bambous, que les Chinois utilisaient à cette époque pour compter.

Ce livre eut une influence très importante dans toute l'Asie orientale pendant de nombreux siècles.

Il faut attendre probablement le premier siècle de notre ère et le mathématicien Sun-tzï, pour voir des progrès se dessiner. Ce dernier résoud par une méthode d'élimination, un problème qui revient au système $2x+y=96$ et $2x+3y=144$.

A partir de ce moment, on peut dire que les techniques de résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues furent connues en Chine.

### e- Les Indiens

Les sources que l'on possède concernant l'Inde antique sont beaucoup moins fiables. Il est à peu près certain, que les indiens connaissaient une forme de la règle de fausse position et que c'est d'eux que les Arabes la tiendraient.

Par ailleurs, Mahavira écrit, certainement aux environs de 850, le Ganita-Sara-sangraha. Dans ce traité, on trouve de nombreux problèmes, dont la résolution est équivalente à celle de systèmes de plusieurs équations linéaires à plusieurs inconnues, et qui sont résolus par une technique d'éliminations successives des inconnues.

Il est à noter que les Indiens utilisaient un système numérique décimal de position, connaissaient le zéro et les nombres négatifs et qu'ils avaient la possibilité de distinguer différentes inconnues en leur donnant des noms de couleurs, ce qui permettait de les faire intervenir en même temps, sans risque de méprise, dans des équations.

Pour se donner une idée du genre de problèmes concrets soulevés en voici un exemple proposé par Mahavira : " le prix de 9 citrons et de 7 pommes est de 107 ; le prix de 7 citrons et de 9 pommes est de 101. O toi arithméticien, dis-moi rapidement le prix d'un citron et d'une pomme, après avoir bien distingué ces deux prix."

Malgré son caractère très réaliste un tel énoncé peut très bien avoir été créé de toutes pièces, seulement à des fins didactiques, pour l'éducation des scribes. Cette remarque est d'ailleurs valable pour les autres civilisations étudiées ici, les problèmes "à habillage" semblent en effet être une invention didactique universelle et très ancienne!

### f- Les Grecs

La Mathématique grecque se caractérise surtout par la prédominance de la Géométrie. Depuis Thalès et l'école ionienne, c'est en géométrie que s'exerce l'esprit de déduction et l'art de la démonstration et même si Platon, par exemple, préconise l'entraînement au calcul pour les jeunes enfants, on peut dire que l'arithmétique et, a fortiori les prémices d'algèbre, si tant est qu'il y en ait eu, ne se sont guère développés, dans la période grecque classique.

Ainsi les nombres n'ont le plus souvent d'existence qu'à travers des représentations géométriques. L'un des facteurs de "retard" de l'algèbre grecque réside dans l'impossibilité, imposé par la prédominance de la géométrie, à additionner des grandeurs d'unités différentes (longueurs aires et volumes, ou unité de temps etc...). Les équations ne sont également
abordées que géométriquement. Ainsi dans le livre I des *Eléments*, Euclide montre-t-il comment construire un parallélogramme d'aire égale à celle d'un triangle ou d'un quadrilatère donnés, s'appuyant sur un segment et un angle donné (proposition 44 et 45).

Cette application du calcul des aires resta pendant longtemps la méthode géométrique utilisée pour résoudre l'équation linéaire $ax=b$. Il suffit de construire le rectangle de côté a et d'aire b, le deuxième côté est alors la solution cherchée. Euclide donne d'autres applications plus complexes permettant de résoudre géométriquement des équations ou systèmes d'équations. Un des plus connus est le système $x+y=a$ (ou $x-y=a$) et $xy=b^2$, qui se réduit à $x(x-a)=b^2$. Ce problème revient à trouver x tel que sur la figure ci-dessous. Les proposition 5 et 6 du livre II des *Eléments* permettent de résoudre ce problème.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

De façon isolée, on trouve néanmoins quelques approches intéressantes de résolution de systèmes d'équations linéaires, indépendamment de considérations géométriques. Ainsi, aux environs de 380 av J.-C., Thymaridas de Paros, donne une règle pour résoudre le système de n équations suivant :

$$ egin{cases} x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} = s \\ x_0 + x_1 = a_1 \\ \vdots \\ x_0 + x_{n-1} = a_{n-1} \end{cases} $$

Cette méthode, à laquelle il donne le nom de "fleur", est déjà la technique classique d'addition.

Les *Eléments* d'Euclide, écrits au début du troisième siècle avant Jesus Christ, ont inspiré les mathématiciens occidentaux jusqu'au début du XXème siècle, et restent encore aujourd'hui un modèle de rigueur dans la construction déductive. Selon la tradition Hellenique, dont les *Eléments* sont une sorte d'aboutissement, l'approche est essentiellement géométrique (cf précédemment). Pourtant on trouve dans le livre V, une théorie des proportions qui échappe à ce critère. On attribue parfois ce livre V à Eudoxe de Cnide (vers 400-355 av J.-C.), mais le fait est mal établi.

Jusqu'alors les Grecs utilisaient la notion de rapport, qui permettait de comparer deux grandeurs commensurables, c'est-à-dire multiples entiers d'une même unité. Or depuis Pythagore, ils avaient découvert l'existence de grandeurs incommensurables, en essayant de comparer la diagonale du carré à son côté. Euclide introduit la notion de proportion pour des *Grandeur*, objets abstraits, qu'il ne définit vraiment nulle part, mais qui apparaissent pouvoir aussi bien être des longeurs, que des aires, des volumes, des poids, des angles ou des intervalles de temps sans aucune contrainte de commensurabilité.

Il commence son exposé par 18 définitions dont il déduit, avec les principes élémentaires du livre I, mais sans recours au postulat dont le contenu est géométrique, 25 théorèmes qui établissent les propriétés des grandeurs et des rapports de grandeurs. Pour ce qui nous occupe, la définition la plus intéressante est celle qu'il donne des grandeurs ayant la même raison ou proportionnelles :

"Des grandeurs sont dites être en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième étant comparés à d'autres équimultiples de la deuxième et de la quatrième, chacun à chacun, les premiers équimultiples surpassent chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois.
Les grandeurs qui ont la même raison sont dites proportionnelles."

(traduction F. Peyrard, 1819) [PE].

C'est sur cette définition essentiellement, que repose tout le livre V. En langage moderne, elle s'écrit :

$a/b=c/d$ ssi, pour tous entiers $m$ et $n$ :

si $ma > nb$ alors $mc > nd$

si $ma = nb$ alors $mc = nd$

et si $ma < nb$ alors $mc < nd$.

Cette définition comporte, en germe, la construction des réels par les coupures, comme la réalisera Dedekind à l'aube du XXème siècle. Mais Euclide n'avait nullement l'intention de construire un ensemble de nombres.

De plus s'il refuse l'évidence géométrique, il n'a pas non plus recours à l'arithmétique. Toutes ses démonstrations reposent uniquement sur les 18 définitions de départ, si bien que sa théorie peut apparaître comme la première de type axiomatique, utilisant des relations linéaires sur des objets abstraits. Cependant elle restera pendant de nombreux siècles, l'unique exemple d'une telle démarche.

La théorie des proportions est utilisée par Euclide, en géométrie plane dans le livre VI et ensuite en arithmétique dans les livres VII, VIII et IX.

Il faut ensuite attendre Diophante, et ses *Arithmétiques*, au IIIème siècle de notre ère, pour voir apparaître des études arithmétiques en tant que telles, dégagées de considérations géométriques et pourtant empreintes d'un souci de méthode et d'exposition logique.

Cette œuvre gigantesque, qui fut sûrement le fruit d'un travail collectif comporte treize livres. Les problèmes sont tous numériques, mais en général, les données ne sont explicitées qu'après un exposé théorique du problème, ce qui en élargit le contenu. De plus, Diophante utilise essentiellement une forme rhétorique classique mais il fait également intervenir quelques notations symboliques, pour la soustraction (l'addition et la multiplication sont toutes deux indiquées par la simple juxtaposition), les puissances et les racines des inconnues, mais il ne dispose que d'un symbole pour toutes les inconnues. S'il écrit de véritables équations, il ne fait par contre jamais d'opération sur celles-ci. Cette formulation intermédiaire entre la rhétorique pure et le symbolisme algébrique (achevé au XVIIème), a été appelée *l'algèbre syncopée*.

Le nombre d'inconnues dans les équations considérées par Diophante, peut aller jusqu'à six. Plusieurs systèmes d'équations linéaires apparaissent et sont résolus par des méthodes de substitutions ou de changements de variables (du genre si $x+y=s$, $x=s/2+a$ et $y=s/2-a$, comme les babyloniens!). Diophante ne considère que des solutions rationnelles et positives.

Cette œuvre aura une influence durable sur les mathématiques occidentales, par ses traductions d'abord en arabe, puis en latin à la Renaissance, et les commentaires et prolongements qu'elle suscita. On ne trouve cependant pas de traces (depuis au moins le Xème siècle) des quatre derniers livres et en fait, seuls les six premiers sont bien connus.

## g- Les équations indéterminées

Pour le moment nous n'avons parlé implicitement, que de systèmes d'équations possédant une solution unique.

Diophante le premier a étudié la résolution d'équations ou de systèmes indéterminés, c'est-à-dire possédant plusieurs solutions. On trouve également de tels systèmes en Chine dans les œuvres de Ch'ang K'iu-Kien, vers 575, et en Inde dans les écrits de Arayabhata au début du sixième siècle.

Donnons un exemple de tels problèmes. Par exemple le problème des cent volailles chinoises. Ce problème semble être apparu au sixième siècle en Chine, on en trouve une autre version dans l'œuvre de Mahavira en Inde (vers 850), ainsi qu'une troisième version européenne, certainement introduite par les Arabes au moment de l'infiltration des idées d'Orient.

"Si un coq vaut 5 sapeks, une poule, 3 sapeks, et trois poulets ensemble, 1 sapek, combien de coqs de poules et de poulets, dont on a 100 en tout, vaudront tous ensemble 100 sapeks ?"

De tels problèmes ne sont indéterminés que dans la mesure où les conditions extérieures ne sont pas trop contraignantes. Ici par exemple, seules les solutions avec trois entiers naturels ont un sens, le problème n'a donc en fait que quatre solutions possibles.
Ces types de problèmes sont assez anecdotiques, et jusqu'au XVème siècle au moins, on ne les a considérés que comme des curiosités, que l'on traitait au coup par coup.

Diophante, par exemple, qui ne considère pas que des équations linéaires, développe des techniques très élaborées pour trouver des solutions particulières de ces systèmes indéterminés, mais qui sont tous des cas d'espèce avec des changements de variables fort habiles, mais sans réelles méthodes d'investigation, si bien qu'il n'y a aucune possibilité prédictive dans la résolution de tels systèmes.

Avec les traductions latines des *Arithmétiques* de Diophante, au début de la Renaissance, revient le goût pour les problèmes indéterminés. L'études des solutions rationnelles (puis seulement entières avec Fermat) de telles équations constitue ce que l'on appella alors *l'analyse diophantienne*. Bachet De Meziriac (1581-1638), outre une traduction largement commentée des œuvres de Diophante, publie *Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres* (1612 et 1624), dans lequel pour la première fois en Occident, il donne de façon systématique les solutions entières des équations du type $ax+by=c$. Il démontre également l'identité dite de Bezout sur l'existence, pour deux nombres premiers entre eux a et b, de deux entiers x et y, tels que $ax+by=1$ (Bezout en donna une généralisation dans l'anneau des polynômes à coefficients réels).

Fermat (1601-1665) qui avait eu connaissance, des ouvrages de Bachet, qu'il avait d'ailleurs largement annotés, se passionna lui aussi pour l'analyse diophantienne, et posa les fondements de la théorie des nombres, en restreignant le premier le champs d'étude aux seuls entiers. Les nombreux problèmes soulevés par Fermat ne furent pour certains résolus qu'aux siècles suivants, par ses successeurs illustres dont Euler et Gauss sont les plus connus.

## 2- Des Arabes à l'après Renaissance en Occident

### a- Les Arabes

Dès le VIIème siècle, Bagdad, au carrefour de l'Orient et de l'Occident est devenue un grand centre scientifique où les bibliothèques sont riches en ouvrages tant grecs, qu'indiens, persans ou mésopotamiens (Babylone n'est qu'à 160 km de Bagdad). Pendant deux siècles, la prospérité économique aidant, cet héritage est assimilé, et à partir du IXème siècle, se développe une véritable culture mathématique arabe qui va permettre des progrès décisifs dans l'élaboration du calcul algébrique tant abstrait que technique.

Au IXème siècle, Al-Khwarizmi publie le *Précis sur le calcul de al-jabr et al-muqabala*. Le mot "al-jabr", qui a donné le terme d'algèbre, veut dire complément ou remplissage, au départ il désignait l'opération qui consiste, pour se débarrasser d'un terme à soustraire, à l'additionner des deux côtés d'une égalité. Après Al-Khwarizmi, on trouve ce nom sur tous les traités se référant au sujet.

Cet ouvrage capital a non seulement influencé toute la mathématique arabe mais aussi par ses traductions latines, tout l'occident du Moyen-Age jusqu'à la Renaissance. L'auteur avait défini, dans des ouvrages antérieurs, un système numérique décimal (sans utilisation de symboles), il utilisait un nombre très proche de notre 0 et avait défini, entre autres, les quatre opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Il utilisait parfois des nombres irrationnels. L'arithmétique qu'il développe est entièrement rhétorique et n'utilise aucun symbole ; mais l'inconnue, son carré et la racine d'une équation ont une dénomination propre. Les coefficients des équations doivent toujours être positifs.

Al Khwarizmi ramène toutes les équations en une variable, à six types canoniques, dont l'équation linéaire, dont il fait une étude complète avec des coefficients numériques. Il ne considère jamais les racines négatives des équations. Enfin il étudie, à travers essentiellement des problèmes d'héritage (rendus ardus par la loi coranique), des systèmes d'équations linéaires en plusieurs variables, dont certaines indéterminées, qu'il résoud par des méthodes de substitution.

Le gros progrès, semble-t-il, dans cet ouvrage, vient du souci de classification des équations. L'équation même prend un réel statut, qu'elle n'avait pas encore, surtout chez les Grecs, et c'est un pas décisif de l'arithmétique vers l'algèbre qui est franchi.

A partir de ce moment tout un courant, parfois influencé également par des phénomènes extérieurs, telle que la publication, au Xème siècle, de la traduction des œuvres de Diophante, va progresser rapidement vers des résultats tant techniques que théoriques.

Abu-Kamil (fin du IXème, début du Xème siècle), premier disciple d'Al-Khwarizmi, développe surtout les résultats sur la résolution d'équations quadratiques et les calculs sur les quantités irrationnelles du second ordre.
Avec Al-Karagi (fin du Xème, début du XIème siècle), l'algèbre définit réellement son objet comme étant le calcul arithmétique sur des quantités contenant une inconnue. Dans son livre *Al-Fakhri*, Al-Karagi précise en effet que l'art du calcul a pour but la détermination des grandeurs inconnues à l'aide de ce qui est connu. De plus avant de résoudre des problème il prend soin d'exposer de façon assez formelle les outils de calcul qu'il va utiliser, on peut ainsi voir dans son œuvre les premiers signes d'un exposé des règles de calcul sur les polynômes.

Par la suite, et jusqu'au milieu du XVème siècle, où l'apogée est atteinte et où le déclin s'entame, les résultats théoriques s'accumulent et l'algèbre aussi bien que l'arithmétique s'enrichissent. Pourtant les résultats concernent surtout les équations de degré élevé, alors que la résolution des équations linéaires ou des systèmes ne fait pas d'avancée significative.

Il faut noter toutefois, l'évolution constante de la notion de nombre déjà bien avancée, avec Al-Khayyam, au XIème siècle. Ce dernier développe une théorie des fractions continues et fait en parallèle, une analyse philosophique, de la théorie des *proportions* du livre V des *Eléments* d'Euclide. A ce moment, les nombres irrationnels positifs sont devenus très familiers aux Arabes, alors que certains mathématiciens d'Occident refuseront de leur donner un véritable statut, encore au XVIème siècle.

## b- La Renaissance et ses retombées en Occident

Avec la Renaissance, l'Occident retrouve le goût pour la mathématique grecque, le développement du commerce facilitant les échanges, on apprend aussi à connaître les grands auteurs arabes. La découverte par Regiomontanus, collectionneur allemand, des *Arithmétiques* de Diophante en 1464 et la rediffusion du *Liber Abaci* de Fibonacci (1202), qui présentait un panorama complet des connaissances arabes de l'époque sont les deux points les plus significatifs de ce renouveau de la science occidentale.

Rapidement des écoles se forment surtout en Italie et en Espagne, où se trouvent les traducteurs les plus expérimentés, mais aussi en France, en Allemagne et en Angleterre. Des résolutions d'équations de plus en plus hardies se font jour, grâce à Ferrari, Tartaglia, Bombelli ou Cardan (vers le milieu du XVIème siècle) pour ne citer que les plus illustres. Le concept de nombre évolue aussi, on commence à considérer des racines négatives d'équations et même des racines "impossibles" ou "imaginaires" qui sont, en fait des complexes. Bombelli par exemple, considère les racines des équations comme des sommes algébriques de nombres positifs affectés des quatre signes *piu, meno, piu de meno et meno di meno*, qui sont en langage moderne +, -, +i, -i. Sa théorie est toutefois encore peu développée, et ce ne sont que les embryons des nombres complexes qu'il faut voir là.

L'attrait pour les mathématiques grandit rapidement, la redécouverte des écrits anciens stimule des recherches novatrices qui offrent des prolongements consistants. Le mathématicien accède alors à des emplois autres que subalternes, et son statut social et scientifique ne cesse de s'élever. Les grands du monde font de plus en plus appel aux services des mathématiciens, dont les tâches se diversifient. Le XVIIème siècle voit la naissance en Europe, des Académies des sciences, sur le modèle plus précoce des sociétés italiennes. L'une des plus célèbres est celle de l'abbé Marin Mersenne qui réunissait à Paris, Pascal, Descartes, Fermat, Robertval et Desargues. Les mathématiciens prennent alors l'habitude de communiquer entre eux. Des théories même inachevées deviennent ainsi accessibles.

C'est aussi au niveau du symbolisme algébrique, que les progrès accomplis pendant la Renaissance seront particulièrement sensibles.

Si ça et là, on a vu quelques tentatives d'utilisations de symboles, telle que l'algèbre syncopée de Diophante, l'algèbre reste jusqu'au XVème siècle essentiellement rhétorique, ce qui n'en facilite pas la tâche.

Aux alentours de 1484, Nicolas Chuquet fait preuve dans son *Triparty* de beaucoup d'audace pour son époque, dans l'utilisation des symboles. Son ouvrage ne fut jamais entièrement publié, mais seulement diffusé en quelques copies manuscrites. De larges extraits furent publiés en 1880 par A. Marre dans le Bulletin Boncompagni et une des meilleures sources reste encore les plagiats de Maistre Etienne de la Roche dans son *Arithmétique* publié en 1520 et 1538.

Chuquet utilise le terme de "nombre premier" pour désigner l'inconnue qu'il note 1¹. Ainsi ce que nous noterions 5x aujourd'hui serait pour lui 5¹. Il utilise des notations pour le signe somme (p), le signe moins (m), la barre de fraction, les puissances nèmes (n entier relatif) (6³ par exemple veut dire 6x³ alors que 5²m désigne 5x⁻²), les racines nèmes (R²⁵ désigne la racine carrée de 5).
Par exemple :

$R^3 \subset P R^2 \subset \mathbb{R}^{151}$ est $6^2 \times 3$ par $R^3 \subset \mathbb{R}^3$

désigne en langage moderne :

$$ (5+(15x)^{1/2})^{1/3}=(6x^2-3)/(3x)^{1/3}. $$

Il énonce comme des évidences les règles d'addition des exposants dans le produit de puissances, et quelques règles de simplification dans les calculs de quotients où interviennent des puissances de x.

Ensuite il résoud de nombreux problèmes numériques énoncés dans un cadre abstrait, par utilisation de la règle fausse position et surtout (c'est là son originalité) de la "Règle des premiers" qui consiste en une méthode algébrique, c'est-à-dire en des manipulations sur les expressions contenant l'inconnue selon des principes énoncés auparavant. Bien qu'il montre le plus souvent une connaissance avancée pour son époque de la notion de nombre (négatifs, irrationnels et utilisation du zéro), Chuquet n'est pas à l'abri de calculs qui nous paraissent laborieux ainsi que de lacunes ou de maladresses, surtout à propos de l'existence ou l'indétermination des solutions notamment. Néanmoins son œuvre reste un des premiers exemples d'utilisation très avancée de symbolisme algébrique, préfigurant celles de successeurs illustres tels que Cardan, Tartaglia ou Bombelli.

Au XVIème siècle, on voit se généraliser l'utilisation de notations symboliques plus ou moins habiles et entreprenantes, c'est ce que l'on a appelé *l'algèbre numéreuse*. En particulier l'utilisation des majuscules des premières lettres de l'alphabet pour désigner plusieurs inconnues, permet de mieux gérer la résolution de systèmes d'équations. Nous avons pour l'instant essentiellement parlé de mathématiciens italiens et français, mais, à la même époque, une école allemande se développe aussi qui prend le nom de Coss (chose, cosa en italien, couramment employée pour désigner l'inconnue). Les principaux mathématiciens allemands de cette période sont C. Rudolff, qui en 1525 introduit la notation actuelle de la racine carrée et Stifel (1487-1567).

Mais c'est surtout au mathématicien français François Viète que l'on doit le saut décisif vers le symbolisme actuel, parachevé quelques années plus tard par Descartes.

François Viète (1540-1603) était un politique ; conseiller privé d'Henri IV, il s'adonnait aux mathématiques pendant son temps libre. Son œuvre la plus célèbre est l'Isoge in artem analyticam (l'Art analytique), le terme d'analyse est à prendre ici au sens grec, par opposition à la synthèse. Plus encore que les résultats démontrés dans cet ouvrage, ce sont les notations employées qui en font l'originalité. L'innovation de Viète vient dans l'unification qu'il a réalisée de l'utilisation des nouveaux symboles de l'algèbre et de la tradition de la géométrie à utiliser les lettres pour désigner des quantités non spécifiées, ce que l'on appellerait aujourd'hui des indéterminées. Il désigne ainsi dans une équation, les coefficients indéterminés par des consonnes et les inconnues par des voyelles. Il utilise les notations $Aq$ pour le carré de l'inconnue, $Ac$, pour son cube, $Aqq$, pour sa puissance quatrième etc... Il emploie par ailleurs, les signe $+$ et $-$ actuels (substituant la coutume germanique à celle latine des $p$ et $m$), mais pas encore de signe d'égalité. Il ne semble pas également avoir encore compris l'intérêt d'égaler à zéro les équations, un mérite que l'on doit encore une fois à Descartes.

Avec ces nouvelles notations fort maniables, Viète écrit de véritables expressions algébriques sur lesquelles il opère comme avec des quantités numériques. Pourtant il répugne encore à l'emploi des nombres négatifs. Il distigue trois étapes dans le processus algébrique : la Zététique, qui met en équation, la Poristique, qui concerne le maniement des expressions littérales et l'Exégétique ou Rhétique, qui revient au domaine initial (arithmétique ou géométrique) pour énoncer la solution définitive.

On peut donc dire que Viète fut le précurseur de ce qu'il appela lui-même la *logistica speciosa* par opposition à la *logistica numerosa* antérieure. Entre autres, Viète donna, le premier, les relations qui lient les coefficients (il a créé le mot) et les solutions d'une équation polynomiale.

Son œuvre eu une large influence. Au début du XVIIème siècle, les mathématiciens adoptèrent et améliorèrent les notations qu'il avait inventées. Descartes donna le dernier coup de pinceau en instituant le symbolisme algébrique des équations, sous sa forme actuelle (en particulier par l'emploi des premières lettres de l'alphabet pour les coefficients et des dernières pour les inconnues). Les seules différences avec nos notations actuelles sont le signe égal qui sera vite remplacé par le signe moderne et la notation $xx$ au lieu de $x^2$, qui subsistera jusqu'au XVIIIème siècle.
A l'aube du XVIIème siècle, on peut donc dire que l'on a délimité le champ et les moyens d'action de l'algèbre. Sa dépendance vis-à-vis de la géométrie n'est guère plus qu'une habitude désuète. Descartes, en utilisant l'algèbre pour résoudre des problèmes de géométrie, révolutionne ce point de vue. Pour lui, l'algèbre n'est pas une science, au sens où elle ne donne pas de connaissance sur le monde physique, mais il voit en elle, une possibilité de rendre les mathématiques mécaniques, et de permettre une économie d'efforts. Plaçant l'algèbre au même niveau que la logique comme une des composantes fondamentales de sa *Méthode*, il l'affranchit de la géométrie, même s'il persiste à ne pas en voir l'utilité au delà de son utilisation pour cette dernière ou l'arithmétique.

Les nouvelles découvertes en calcul infinitésimal, tout au long du XVIIème siècle vont un peu eclipser l'intérêt pour l'algèbre pendant ce siècle. Elles vont aussi permettre de mieux délimiter les deux domaines d'étude donnant à l'algèbre sa réelle indépendance au sein de l'édifice mathématique, dont elle constitue depuis un des piliers centraux.

Les techniques de résolution de systèmes d'équations linéaires, n'ont finalement guère évoluées au cours de cette période ; si les calculs explicites se font au coup par coup, avec assez de succès, le problème reste toujours de pouvoir prévoir le nombre ou l'existence de solutions. Les systèmes indéterminés ne sont pas encore, non plus, un objet d'étude institué. Finalement si une résolution pratique se satisfait du savoir-faire empirique existant, il manque une étude systématique des systèmes linéaires, pour que la question soit vue dans son ensemble.

Or si nous avons décrit les grandes lignes de l'évolution de l'arithmétique vers l'algèbre, et une brève genèse des notations algébriques, c'est qu'il nous semble que ces deux évolutions représentent des passages obligés vers une étude plus théorique des systèmes d'équations linéaires, qui sera, à la fin du XVIIème siècle et au cours du siècle suivant, le point de départ des premiers concepts d'algèbre linéaire.

La possibilité d'écrire formellement des équations avec plusieurs inconnues et des coefficients indéterminés représente une première étape qui permettra de considérer au moins implicitement une équation linéaire comme un objet algébrique, une forme linéaire (le mot apparaît dès le XVIIIème siècle) et donc de décrire l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires en fonction des coefficients indéterminés des équations mais aussi des relations (de dépendance linéaire) entre les équations. Dans le chapitre qui suit, nous verrons entre autres choses, comment ces dernières évolutions se sont déroulées.
II- Les problèmes "linéaires"
aux XVIIIème et XIXème siècles

Avant que l'algèbre linéaire n'apparaisse en tant que domaine à part entière et cohérent, entre la fin du XIXème et le début du XXème siècle, les mathématiciens ont soulevé et étudié de nombreux problèmes de type linéaire, qui relèveront ensuite de la nouvelle branche qui permettra de les unifier, voire de les simplifier, aussi bien que d'en résoudre de nouveaux.

La linéarité de ces problèmes était plus ou moins apparente aux mathématiciens de l'époque et si certains rapprochements furent faits, ils n'étaient en général que superficiels, si bien que la plupart de ces problèmes ont eu, malgré des similitudes qui aujourd'hui nous semblent évidentes, des évolutions indépendantes les unes des autres. Par ailleurs ces problèmes n'ont bien sûr pas tous eu le même poids dans la genèse des concepts d'algèbre linéaire, certains n'ayant que tardivement été intégrés dans la problématique linéaire n'ont même pas eu d'effet direct. Il est fort difficile d'apprécier a posteriori, la place que chacun des problèmes occupe du point de vue épistémologique ou stratégique dans cette lente maturation. Nous avons essayé, dans ce chapitre, de donner un panorama aussi détaillé et exhaustif que possible. D'une façon générale, nous avons seulement cité, sans entrer dans les détails, les problèmes qui nous ont semblé, bien que relevant a posteriori du domaine de l'algèbre linéaire, n'avoir que peu d'influence sur l'émergence d'un concept, nous avons par contre plus détaillé les situations qui nous ont paru être constitutive d'un enrichissement épistémologique par rapport à un concept aujourd'hui faisant parti de l'algèbre linéaire (comme l'étude théorique des systèmes d'équations linéaires ou le paradoxe de Cramer par exemple). Il est évident que cette tâche est subjective, et qu'il y a dans notre choix une délimitation fictive à opérer. Notre parti pris par rapport à l'épistémologie (cf introduction) ne peut que conduire à cet état de fait.

Nous avons écarté de ce chapitre les questions liées à la géométrie et à la représentation de l'espace, qui nous semblent occuper une place tellement à part et importante que nous leur avons consacré le chapitre III.
# 1- Les progrès dans la résolution des systèmes d'équations linéaires. La théorie des déterminants.

On a vu, dans le chapitre précédent, que depuis les Babyloniens, on savait résoudre des systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues. Au XVIIème siècle, les techniques pratiques de résolution, par élimination et substitution, sont largement utilisées pour résoudre des systèmes linéaires numériques, comportant le plus souvent autant d'équations que d'inconnues, et avec des équations indépendantes (c'est-à-dire le cas dit de Cramer où il y a unicité de la solution). Les autres cas sont regardés comme des curiosités ou des amusements dont on donne quelques solutions (dans le cas de l'indétermination) ou dont on se contente de dire qu'ils sont mal posés. La résolution de systèmes linéaires manquait donc encore d'une théorie générale, dont le premier pas devait être la résolution de systèmes à coefficients indéterminés.

Il semblerait qu'il ait fallu attendre le milieu du XVIIIème siècle, pour voir ce premier pas franchi de façon décisive. Il a sûrement été motivé par l'apparition dans des problèmes de géométrie algébrique ou de mécanique de systèmes linéaires dont les coefficients sont fonctions de paramètres.

En fait, on trouve dans une lettre adressée par Leibniz, au Marquis De L'Hospital en 1693, un exposé sur une méthode pour trouver la condition d'élimination dans un système linéaire de n+1 équations à n inconnues ([SM2] p 267 ou [MU] T.1, V.1, pp 6-10). Cette lettre, ainsi qu'un article de Leibniz, certainement antérieur, sur le même sujet ne furent publiés pour la première fois que respectivement en 1850 et 1863, et n'eurent sans doute aucune influence sur les découvertes concernant la théorie des déterminants, qui en 1850 avait atteint sa pleine maturité.

Il est toutefois remarquable de voir que, plus de cinquante ans avant Cramer, Leibniz avait exposé clairement la première utilisation d'un déterminant.

Dans sa lettre à L'Hospital, il commence par vanter les mérites de l'utilisation d'une nouvelle notation, qu'il a mise au point, des coefficients d'un système linéaire par double numérotage. *Le nombre feint* (nom donné à sa notation qui a l'allure d'un nombre mais n'en est pas un) étant de deux caractères, le premier (me) marque de quelle équation il est, le second (me) marque à quelle lettre il apppartient. En fait il note ij le coefficient que nous noterions aujourd'hui $a_{ij}$, (l'indice de variable i=0 repère les termes constants qu'il place en début d'équation). A voir le soin que Leibniz met à justifier les avantages de cette pratique et les allusions qu'il fait à la surprise de L'hopital, auquel il avait appramment déjà exposé les grandes lignes de sa technique, on peut juger de l'innovation apportée ici.

Il développe ensuite la méthode d'élimination dans le cas de 3 équations à deux variables (i=0,1,2 et j=1,2,3), il insiste sur l'apport de sa nouvelle notation qui donne aux calculs des harmonies qui non seulement (lui) servent de garants, mais encore (lui) font entrevoir d'abord des règles ou des théorèmes. De fait il écrit la condition d'élimination dans son cas particulier, qui n'est autre que l'annulation du déterminant du système, que Leibniz écrit, après avoir légèrement modifié ses notations :

$$ 
\begin{array}{l@{\quad}l}
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 1 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
\\[1em]
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
\end{array}
\end{array}
$$

(Avec ses notations antérieures cela donnerait :

$$ 10.21.32+11.22.30+12.20.31 = 10.22.31+11.20.32+12.21.30. $$

Il en déduit ensuite, par simple induction sur la position des indices, un "théorème général, pour quelque nombre de lettres et d'équations simples qu'on puisse prendre". Il énonce sa règle en latin, nous en donnons ci-dessous une traduction.

Etant donné un nombre quelconque d'équations, qui soit suffisant pour éliminer des quantités inconnues qui n'excèdent pas le premier degré : pour l'équation finale, premièrement il faut prendre toutes les combinaisons possibles de coefficients, dans lesquelles il n'y a qu'un coefficient de chaque équation, deuxièmement une fois ces combinaisons placées du même côté de l'équation finale, elles ont des signes différents si elles ont autant de facteurs semblables qu'il est indiqué par le nombre qui est un de moins que le nombre de quantités inconnues ; les autres ont le même signe.
Un lecteur actuel peut être choqué par la façon pour le moins rapide que Leibniz a de généraliser, mais il faut savoir que cette pratique était habituelle au XVIIème. Dans le cas présent, il semble que Cauchy ait été le premier à démontrer ces résultats entoute rigueur pour un nombre quelconque de variables (vers 1812). Au moins dans cette démonstration, Leibniz s'appuie sur une notation qui semble justifier la généralisation. D'ailleurs l'auteur évalue lui-même la valeur sa démonstration par la remarque suivante. Une partie du secret de l'Analyse (au sens de Platon et de Viète ou Descartes) consiste dans la caractéristique, c'est-à-dire dans l'art de bien employer les notes (notations) dont on se sert, et vous voyez, Monsieur, par ce petit échantillon, que Viète et des Cartes n'en n'ont pas encore connu tous les mystères.

L'algorithme de formation du déterminant, que propose Leibniz, prend dans son énoncé rhétorique, un aspect un peu ésotérique. Cet énoncé est d'ailleurs incomplet et ambigu : il oublie de préciser que dans les combinaisons de coefficients, il en faut non seulement qu'un seul par équation mais encore un seul par variable, de plus la règle des signes n'est pas très claire. Le fait qu'un déterminant ne se calcule que sur un tableau "carré" n'est pas non plus très clairement dégagé. A ce sujet, la formule "*le nombre suffisant d'équations pour éliminer les quantités inconnues*" donne un renseignement très laconique, qui montre qu'à l'époque on était peu familier avec les problèmes de dépendance linéaire.

Cependant on peut se demander pourquoi Leibniz n'a pas jugé bon de publier cette découverte, dont il semble pourtant entrevoir l'importance. Néanmoins il faudra attendre, 1748 avec Maclaurin et surtout 1750, avec Cramer, pour retrouver des résultats consistants sur la résolution générale des sytèmes linéaires.

Dans son traité "Introduction à l'analyse des courbes algébriques", publié à Genève en 1750, ([MU] T.1, V.1, pp 11-14), Cramer démontre en effet que l'équation d'une courbe algébrique de degré n est déterminable quand on en connait n(n+3)/2 points. Il étudie en détail le cas n=2. Il montre que cela revient à résoudre un système de 5 équations linéaires, obtenu en substituant les coordonnées des cinq points connus dans l'équation A+By+Cx+Dyy+Exy+xx=0, dont A, B, C, D et E sont les cinq inconnues. Il est ainsi amené à examiner le cas général de résolution d'un système linéaire 5x5 (non homogène).

On remarquera que le point de vue est différent de celui de Leibniz, puisque ici, on a un système "carré" et on cherche une expression générale des solutions et non une condition d'élimination.

Pour écrire les coefficients du système, Cramer utilise une lettre majuscule avec un indice placé en haut, qu'il appelle exposant en précisant qu'ils "ne marquent pas comme à l'ordinnaire les puissances". Par exemple $Z^2$ désigne le coefficient de la variable z dans la deuxième équation. Les termes constants sont notés $A^i$ et apparaissent de l'autre côté du signe égal par rapport au reste de l'équation.

Il énonce alors une "Règle générale" dont il dit qu'elle s'obtient à "l'examen de ces formules" (i.e. les équations du système). Cette règle dit que l'on trouve les solutions d'un système nxn en formant n fractions qui ont un même dénominateur. Cramer énonce ainsi la Règle qui lui permet de calculer ce dénominateur commun : il a autant de termes qu'il y a de divers arrangements de n choses différentes. Chaque termes est composé des lettres ZYXV, &c., toujours écrites dans le même ordre, mais auxquelles on distribue comme exposants, les n premiers chiffres rangés en toutes les manières possibles.(...) On donne à ces termes le signe + ou - selon la Règle suivante. Quand un exposant est suivi dans le même terme, médiatement ou immédiatement, d'un exposant plus petit que lui, j'appellerai cela un dérangement. Qu'on compte pour chaque terme, le nombre de dérangements : s'il est pair ou nul, le terme aura le signe + ; s'il est impair, le terme aura le signe -.

Suivent alors des exemples avec trois variables. Cette règle de formation du déterminant est plus explicite que celle de Leibniz, elle se rapproche de la version moderne. On y voit apparaître la notion de signature d'une permutation, qu'il définit par la parité du nombres de dérangements. Il y a un progrès sensible dans l'exhaustivité et la clarté de l'énoncé par rapport à la règle de Leibniz. Malgré l'aspect entièrement rhétorique, on est assez proche dans l'idée, d'un énoncé formalisé.

Par contre il n'y aucune démonstration et les résultats sont énoncés sans aucune justification, seuls les exemples et la pratique en valident le contenu.

Cramer termine sa règle en donnant le moyen de calculer les numérateurs : "en remplaçant, dans le calcul du dénominateur, pour chaque variable, la lettre lui correspondant par un A".
Le problème de l'annulation du dénominateur n'est pas envisagé ce qui limite la porté théorique. En fait Cramer ne se place que dans l'optique d'une simplification pratique pour le calcul numérique explicite des coefficients de l'équation d'une courbe algèbrique (son problème de départ) ; si bien que sa règle n'est qu'un algorithme de résolution donné à des fins calculatoires. Il n'empêche que cette démarche ouvre la voie aux résultats plus théoriques. En ce sens les points essentiels sont l'emploi astucieux de notations adaptées aux systèmes linéaires et l'intérêt porté à une résolution générale avec coefficients indéterminés.

La règle énoncée par Cramer eut dès sa publication, un grand succès tant auprès des mathématiciens que dans l'enseignement. Ceci fit dire au mathématicien français Gergonne que cette méthode était tellement en faveur, que les examens aux écoles des services publics ne roulaient pour ainsi dire que sur elle ; on était admis ou rejeté suivant qu'on la possédait bien ou mal. ([MU] T.1, V.1, p 14).

Avec Cramer, naît la théorie des déterminants, qui allait être en vogue pendant plusieurs décennies et vite dépasser le simple cadre de la résolution des systèmes linéaires. Les déterminants s'avéreront être l'un des outils les plus puissants pour l'algèbre linéaire en dimension finie et seront de fait le principal moteur à faire des théorèmes d'algèbre linéaire jusqu'au début du XXème siècle.

En ce sens une bonne partie de l'histoire des déterminants est indissociable de celle de l'algèbre linéaire. Pourtant si la théorie des déterminants a permis, une fois les fondements de l'algèbre linéaire posés, d'obtenir rapidement des résultats, elle n'a pourtant eu qu'un rôle assez modéré dans l'émergence même des concepts élémentaires d'algèbre linéaire.

L'un des points les plus décisifs de l'histoire des déterminants, dans cette fin de XVIIIème siècle, est leur apparition au détour de nombreux problèmes dans des domaines assez variés (courbes algébriques, mécanique, mouvement des planètes, équations différentielles linéaires, calcul intégral, etc...). Ceci a permis de repérer, d'une façon concrète et visible, bien qu'encore superficielle et peu productive, le caractère linéaire de certains problèmes. En ce sens les déterminants ont annoncé, de façon souterraine, le caractère unificateur et simplificateur que l'on reconnaît aujourd'hui à l'algèbre linéaire en général.

En outre l'engouement que subirent les déterminants au XVIIIème siècle, a fait que certains mathématiciens ont développé beaucoup d'adresse pour calculer des déterminants particuliers en dehors de toute application concrète, développant ainsi une branche un peu stérile des mathématiques où seule l'habileté technique est de mise. Nous n'allons donc pas donner ici, de récit détaillé ni exhaustif de l'évolution de la théorie des déterminants ([MU]), ce qui nous entraînerait dans trop de détails dont la plupart ne sont d'ailleurs guère significatifs par rapport à notre but. Nous allons simplement dans un premier temps, donner les grandes lignes de cette évolution, pour ce qui concerne uniquement la résolution des systèmes d'équations linéaires. Dans un deuxième temps, nous ferons allusion aux interventions des déterminants dans les problèmes linéaires que nous examinerons dans les paragraphes suivants.

Après Cramer et jusqu'en 1812, de nombreux mathématiciens essentiellement français, puis allemands (Bezout, Vandermonde, Laplace, Lagrange, Hindenburg, Rothe, Gauss, Monge, Hirsch, Binet, Prasse, Wronski...) s'attachèrent à améliorer l'énoncé de l'algorithme de formation d'un déterminant (le nom n'existe pas encore, Laplace en 1772 introduit le terme de résultante, qui sera remplacé après 1812 par le terme de déterminant introduit par Cauchy). Ils démontrent également les premiers résultats sur les déterminants en tant qu'objets d'étude indépendants. Cette période est un temps de première maturation, où les intérêts se dessinent, sans que les avancées soient très visibles.

Pour voir des progrès très significatifs, il faut attendre Cauchy qui en 1812 publie son "Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite de transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment". ([CA] T.I pp 91-169 ou [MU] T.1, V.1, pp 92-131).

Le point de vue de Cauchy est très différent de tous ceux qui l'ont précédé. Pour la première fois, on peut lire un exposé exhaustif et cohérent sur les déterminants, où l'auteur, en partant d'une définition précise, démontre de façon rigoureuse et souvent très élégante non seulement tous les résultats alors connus (mais pas forcément entièrement démontrés) mais aussi de substantiels prolongements. Le point de départ n'est nullement la résolution de systèmes linéaires, qui n'apparait que comme une application a posterori de la théorie.

Cauchy s'intéresse aux propriétés des fonctions symétriques permanentes et alternées de plusieurs variables, qu'il désignera lui-même, plus tard, par le vocabulaire actuel de fonctions symétriques et alternées. Il introduit la notion de fonction symétrique engendrée par une fonction K, notée S(K) et que l'on forme en additionnant toutes les valeurs obtenues par
permutation des indices dans l'expression de K. Il faut en plus mut multiplier chaque terme par la
signature de la permutation pour obtenir la fonction alternée, notée S(±K). Il étudie ensuite les
propriétés de ces fonctions.

Pour définir le déterminant il utilise alors un artifice fort astucieux. Il considère
S(±a₁a₂²...aₙ) dont il démontre qu'elle vaut a₁a₂...aₙ mutliplié par le produit des (aᵢ-aⱼ) pour
i>j ; il définit alors le déterminant comme la fonction obtenue en remplaçant les exposants par
un deuxième indice. Cette modification purement formelle lui permet d'obtenir rapidement des
théorèmes tels que l'annulation d'un déterminant ayant deux lignes égales (il utilise une
représentation en tableau parfois bordé par une accolade, mais jamais la notation moderne avec
les barres). Les résultats qu'il a établis lors de l'étude des fonctions symétriques, sont ainsi les
piliers théoriques sur lesquels il s'appuie ensuite pour retrouver les résultats généraux sur les
déterminants.

Il démontre les premières propriétés élémentaires, puis il définit le système adjoint, comme étant le système formé de ce que l'on appelle aujourd'hui les cofacteurs du système initial. Après avoir établi des relations entre cofacteurs et inconnues d'un système, il en déduit aisément les formules trouvées par Cramer qui donnent les valeurs des inconnues comme fraction dont le dénominateur commun est le déterminant du système ; pas plus que ses prédécesseurs Cauchy n'envisage le cas où ce déterminant s'annulerait.

Après quelques précisions sur les notations et l'étude du cas particulier du système que
l'on nomme aujourd'hui, à tort, du nom de Vandermonde, il forme le système adjoint du
système adjoint, qu'il appelle adjoint du deuxième ordre, et il montre que l'on retrouve ainsi le
système initial à un coefficient multiplicatif près qui est un quotient de déterminant. On peut voir
ici, la première démonstration du caractère involutif de la dualité.

Cauchy consacre une deuxième section, aux systèmes composés de deux autres systèmes.
Le résultat central qu'il énonce ici, concerne le fait que le déterminant d'un tel système se trouve
être le produit des déterminants des systèmes constituants. Cauchy dit avoir été inspiré dans ses
recherches par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques de deux et trois variables.
Celui-ci, le premier avait écrit une transformation linéaire sur les variables (x,y,z) sous forme
de tableau (ancêtre de la matrice) et remarqué que deux transformations linéaires successives
donnaient encore une transformation linéaire dont il donna le tableau correspondant (cf § 2).

En même temps que Cauchy, mais indépendamment, Binet avait obtenu le résultat sur le
produit de deux déterminants ; les deux amis, qui avaient pris connaissance de leurs résultats
respectifs, firent d'ailleurs leur exposé devant l'Institut le même jour.

Cauchy énonce également une règle pour dégager un des systèmes composants, dans
laquelle on reconnait la formule d'inversion d'une matrice par transposition de la matrice
adjointe et division par le déterminant.

Enfin dans une dernière section Cauchy innove entièrement, il examine des relations entre
les différents mineurs d'un système et établit des résultats concernant les systèmes, qu'il
qualifie de dérivés, obtenus à l'aide de ces mineurs. En particulier, il énonce des règles de
formation du déterminant à l'aide des mineurs.

La contribution de Cauchy est essentielle sur le plan de l'élaboration de la théorie dans un
tout cohérent. L'avancée dans des voies nouvelles est aussi fondamentale. Cauchy
institutionnalise ainsi un nouveau cadre d'approche théorique dans lequel il englobe tous les
résultats existants et qu'il prolonge dans des directions neuves. Il joue ainsi un rôle de
legislateur qui a porté à maturité une théorie naissante, traçant déjà le chemin de ses
successeurs.

Pourtant par rapport au problème de la résolution des systèmes linéaires, la question de
l'annulation du déterminant est encore évitée... Ce problème ne semble pas d'ailleurs avoir été
soulevé avant le milieu du XIXème siècle. La théorie des déterminants a essentiellement évolué
au début du XIXème, vers des applications nouvelles, des calculs de déterminants particuliers,
et la consolidation des bases jetées par Cauchy.

La résolution de systèmes non carrés ou de déterminant nul, commence à être étudiée
d'une façon systématique à partir de 1860 environ ([MU] T.2,V.3, pp 83-93).

En 1861, le mathématicien anglais H. J. S Smith énonce à l'aide des déterminants, les
conditions pour qu'un système de quatre équations à deux inconnues admette une solution.

En 1862, L'italien N. Trudi montre que dans un système nxn, si le déterminant est nul
ainsi qu'un des déterminants obtenu en remplaçant les coefficients correspondant à une
variable, par les termes constants (i.e le numérateur du quotient qui définit la variable dans un
système de Cramer), alors les (n-1) déterminants ainsi formés pour chacune des autres variables sont nuls. Il montre également qu'alors une des équations se déduit des autres par combinaison linéaire.

Il montre par ailleurs que dans un système comprenant une équation de plus que de variables, si le déterminant obtenu en bordant par la colonne des termes constants est nul, alors toute équation du système est déductible des autres par combinaison linéaire, ce qui ramène à un système carré.

En 1864, R. Baltzer, en Allemagne, démontre que dans un système homogène nxn, s'il existe un mineur d'orde $k<n$ non nul et que tous les mineurs d'ordre supérieur sont nuls, le système admet des solutions autres que $(0,0...0)$, autrement dit le système est *compatible*. Il dit également d'une façon un peu vague que le système est alors indéterminé d'ordre $(n-k)$, mais l'idée de rang n'est pas encore bien dégagée.

Le mathématicien anglais C. L. Dodgson, plus connu sous le pseudonyme de Lewis Carroll, qu'il utilisa pour écrire *Alice in Wonderland*, est un des premiers à donner une étude exhaustive de la résolution des systèmes nxm, dans son ouvrage *An elementary treatise on determinants*, publié à Londres en 1864. Voici dans l'ordre où il les donne, une traduction des principaux résultats qu'il y démontre :

a- Dans un système de n équations à $n+r$ inconnues, si un mineur primaire (i.e d'ordre $n$) n'est pas nul, le système est compatible (i.e a des solutions) ; de plus n'importe quelles valeurs arbitrairement données aux variables non connectées avec ce mineur donne une valeur unique pour les autres inconnues. (Il cite comme corollaire, que pour un système homogène de n équations à $n+1$ inconnues, dans un $(n+1)$-uplet solution, le quotient $x_i/x_j$ est toujours égal au quotient des mineurs primaires obtenus en éliminant la ième (respectivement la jème) colonne dans le tableau des coefficients.) (Prop. II)

b- Dans un système de n équations à $n-r$ inconnues, si le tableau augmenté (i.e le tableau des coefficients bordé par la colonne des termes constants) n'est pas évanescent (i.e un de ces mineurs primaire n'est pas nul), le système est incompatible. (Prop. III)

c- Dans un système de n équations à $n+r$ inconnues ($r$ pouvant valoir 0), si le tableau non augmenté est évanescent, alors que le tableau augmenté ne l'est pas, le système est incompatible. (Prop. V)

d- Dans un système de n équations linéaires à $n-r$ inconnues, s'il y a $n-r$ équations dont le tableau non augmenté n'est pas évanescent, et si quand ces $n-r$ équations, sont bordées par successivement chacune des équations restantes, chaque ensemble de $n-r+1$ équations a un tableau augmenté évanescent, alors (1) le système est compatible, (2) il n'y a qu'une solution et (3) les équations restantes sont dépendantes des $n-r$ équations citées plus haut. (Prop. VIII)

e- Dans un système de n équations à $n+r$ inconnues, s'il y a $n-k$ équations dont le tableau non augmenté n'est pas évanescent et si quand ces $n-k$ équations sont bordées successivement par chacune des équations restantes, chaque ensemble ainsi formé de $n-k+1$ équations a son tableau augmenté évanescent, (1) les équations sont compatibles, (2) si on prend un des mineurs non nul du tableau augmenté de ces $n-k$ équations, les $k+r$ inconnues, dont les coefficients n'y sont pas contenus, peuvent se voir attribuer des valeurs arbitraires, chaque $(n-k)$-uplet de valeurs donnant une solution unique au système, et (3) les équations restantes dépendent des dites $(n-k)$ équations. (Prop. X, cor.)

Avec ces cinq cas, toutes les possibilités sont envisagées et entièrement résolues, au moins pour ce qui est de l'évanescence ou non des équations. La question de la dépendance des équations et de "la dimension" de l'ensemble des solutions est également entièrement dégagée, bien que la notion de rang du système n'apparaisse pas encore clairement.

Dodgson ajoute à la suite des théorèmes concernant plus spécifiquement les systèmes homogènes :

f- Dans un système homogène de n équations à $n-r$ inconnues, dont le tableau non augmenté est évanescent, il y a un $(n-r)$-uplet solution dont deux composantes au moins ne sont pas nulles, et $r+1$ des équations sont dépendantes du reste. Réciproquement s'il y a une solution non nulle, le tableau non augmenté est évanescent. (Prop. X, cor. xix)

Il y a dans cette proposition, en germe, l'expression d'une condition de dépendance linéaire de $(n-r)$ vecteurs d'un espace de dimension $n$. De plus la conclusion sur la dépendance des équations est un résultat fort intéressant. C'est sous une forme moins forte, le fait que dans un système les vecteurs lignes ont même rang que les vecteurs colonnes, ici on a seulement une majoration du rang. Ce résultat de dualité est un point clé de beaucoup de démonstrations d'algèbre linéaire en dimension finie, c'est pourquoi il est utile d'en remarquer les prémices
même sous une forme amputée. Il faudra bien sûr attendre que la notion de rang soit dégagée, avant que ce résultat ne puisse être énoncé clairement. Il énonce ensuite :

g- *Un système homogène de n équations à n+r inconnues a toujours un (n+r)-uple solution dont deux composantes au moins ne sont pas nulles. (Prop. XII)*

h- Si un système homogène de n équations à n+r inconnues a une solution non nulle, et si en effaçant les coefficients correspondants aux composantes non nulles de cette solution, le tableau obtenu est évanescent, alors le tableau entier est évanescent. (Prop. XV, cor.)

g) est un résultat fondamental pour l'algèbre linéaire. Avec le langage des espaces vectoriels, il devient : n+r vecteurs d'un espace de dimension n sont toujours liés, sous cette forme c'est en fait la clé du théorème de la dimension, qui dit que toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d'éléments.

Ensuite Dodgson énonce un critère général pour qu'un système linéaire non homogène soit compatible, qui revient à dire qu'il doit exister un mineur d'ordre m non nul, et que les équations correspondantes bordées tour à tour par chacune des équations restantes, ont un tableau augmenté évanescent.

Le traité de Dodgson passe donc en revue tous les cas de figure qui peuvent se présenter dans la résolution d'un système linéaire, qu'il soit homogène ou non, qu'il soit carré, redondant ou qu'il possède au contraire moins d'équations que d'inconnues. Il ne restera plus à ses successeurs, qu'à peaufiner la formulation et regrouper les cas en des propositions plus compactes.

Après une première tentative en 1875, le mathématicien français, E. Rouché publie en 1880 un article, *Notes sur les équations linéaires*, où il résume très clairement les différents cas de résolution d'un système d'équations linéaires ([RO] et [MU] T.2, V.3, pp91-92).

L'ambition de Rouché est de montrer que l'on peut tout réduire à un seul théorème qui, par sa simplicité extrême et son entière généralité, mérite, ce me semble, d'attirer l'attention. On peut dire qu'il a sûrement réussi, puisqu'on enseigne encore aujourd'hui son théorème, sous le nom de règle de Rouché.

Il commence par définir le déterminant principal d'un système, comme étant un quelconque des déterminants non nuls de plus grand ordre extraits du système. Ensuite il définit les déterminants caractéristiques comme étant tous les déterminants obtenus en bordant le déterminant principal à droite par les termes tout connus et en dessous par les coefficients de chacune des équations restantes. Il précise que pour le cas où l'ordre du déterminant principal est égal au nombre n d'équations, on conviendra que les déterminants caractéristiques sont nuls et d'ordre $n+1$. Il énonce alors son théorème général.

Pour que n équations linéaires à m inconnues soient compatibles, il faut et il suffit que les déterminants caractéristiques du système soient tous nuls.

Dans cette hypothèse, le système a une solution unique ou est indéterminé suivant que l'ordre de ses déterminants caractéristiques surpasse ou non le nombre des inconnues.

Après avoir démontré fort élégamment ce théorème, en trouvant un système d'équations équivalentes définies par des déterminants, il précise le cas où tous les coefficients du système sont nuls, qu'il inclut dans son théorème en définissant alors les déterminants caractéristiques comme étant les termes tous connus.

Il donne ensuite le moyen de calculer les solutions et précise la nature de l'indétermination, en deux propositions, où n désigne le nombre d'équations, m celui des inconnues et p l'ordre du déterminant principal :

1- Si $p=m$, ce qui suppose $n \ge m$ (...) le système a une solution unique qui est donnée par la règle suivante, qui est une généralisation de celle de Cramer.

Le dénominateur commun des inconnues est le déterminant principal du système, et chaque numérateur s'obtient en remplaçant, dans ce déterminant principal, les éléments de la verticale de même indice que l'inconnue considérée par les termes tout connus correspondants.

2- Si $p<m$, le système est indéterminé. Les inconnues dont les indices sont ceux des verticales qui concourent à la formation du déterminant principal s'expriment en fonction des autres inconnues, qui restent arbitraires, sous la forme de fractions ayant pour dénominateur le déterminant principal ; chaque numérateur est le déterminant déduit du déterminant principal en y remplaçant par les expressions $k_1-a_1p+1 \quad x_{p+1}^1 \dots -a_1^m x_m$, ..., $k_p-a_p p+1 \quad x_{p+1}^p \dots -a_p^m x_m$, les éléments de la verticale de même indice que l'inconnue considérée (...) on dit que l'indétermination est d'ordre $m-p$.
Avec cet ouvrage on peut dire que la théorie de résolution des systèmes linéaires est quasiment achevée. Il ne restera plus dans ce domaine qu'à dégager les notions de rang du système et de dimension de l'ensemble des solutions, qui seront les fondations de la notion d'espace vectoriel de dimension finie.

Ce rôle a été rempli, en grande partie, par les travaux de F. G. Frobenius.

Dans son article "Ueber das Pfaffsche problem" publié en 1875 ([FR] T.1 pp 255-261), il introduit la notion d'indépendance linéaire des solutions qu'il désigne indifféremment, malgré l'ambiguïté, par les deux mots *unabhängig* (indépendant) et *verschieden* (distinct). Le premier terme était déjà employé pour l'indépendance linéaire des équations.

La définition qu'il donne est la suivante :"des solutions $A_1(x), \dots, A_n(x)$, ($x=1,\dots,k$) sont dites indépendantes ou distinctes, si $c_1 A_a^{(1)} + \dots + c_k A_a^{(k)}$ ne peut pas s'annuler pour $a=1,\dots, n$, sans que $c_1, \dots, c_k$ ne soient tous nuls, en d'autres termes quand les $k$ formes linéaires $A_1(x) u_1 + \dots + A_k(x) u_k$ sont indépendantes."

Cette définition est une innovation, elle allie l'idée de dépendance linéaire depuis longtemps utilisée pour les formes linéaires (ou les équations ce qui revient au même) à l'utilisation des "vecteurs de dimension n" repérés par leurs coordonnées, comme les avait introduits Cayley, une trentaine d'années auparavant.

Frobenius, qui semble être très au courant de tous les résultats sur la théorie des déterminants utilise, dans la suite de ses démonstrations, des résultats tels que le calcul d'un déterminant en fonction de certains de ses mineurs comme l'avait montré Cauchy ou des résultats plus récents mis au point par Krœnecker ou Weierstrass.

Il démontre tout d'abord assez facilement, qu'un système homogène de m équations indépendantes à n inconnues (n>m) admet (n-m) solutions indépendantes et que c'est le maximum de solutions indépendantes qu'un tel système puisse admettre, c'est-à-dire que n-m+1 solutions sont toujours dépendantes. Il dit ensuite que la solution générale de l'équation est une combinaison linéaire quelconque de ces (n-m) solutions indépendantes.

Sa démonstration reste très formelle, elle repose sur l'existence de (n-m) n-uplets qui peuvent compléter les lignes du tableau des coefficients du système, de façon à obtenir un déterminant nxn qui ne s'annule pas. Les cofacteurs de chacune des lignes ainsi rajoutées forment (n-m) solutions indépendantes. Frobenius utilise ici le fait que si les mineurs principaux des n-m solutions ne sont pas tous nuls, alors ces solutions sont indépendantes. Au passage, il montre que les mineurs principaux de (n-m) quelconques solutions indépendantes se "comportent de la même façon" (i.e. s'annulent en même temps) que les mineurs principaux correspondants du tableau des coefficients des équations linéaires.

Il considère ensuite un système de m équations homogènes à n (n>m) inconnues qui possède n-m solutions indépendantes pour tout k. Il démontre alors que l'on peut trouver une solution dont les k premiers coefficients sont nuls, les autres étant les solutions du système tronqué des k premières colonnes, ssi $k \le (n-m)$ ou si tous les mineurs d'ordre (n-k) du système des (n-k) dernières colonnes sont nuls.

Frobenius s'intéresse ensuite pour un instant à des résultats plus généraux. Il montre que dans un système homogène quelconque, dont tous les mineurs d'ordre (m+1) s'annulent, les mineurs d'ordre m construits sur m lignes quelconques, se comportent de la même façon que les mineurs correspondants construits sur m autres lignes.

De quoi il déduit que si dans un système homogène, dont tous les mineurs d'ordre m+1 sont nuls, on peut trouver m lignes et m colonnes qui n'ont pas tous leurs mineurs principaux nuls, alors l'intersection de ces m lignes et de ces m colonnes forme un mineur d'ordre m non nul.

Le reste de son article, autour du problème de Pfaff, concerne des résultats moins généraux, à propos des déterminants symétriques et alternés entre autres.

Avec ces résultats, Frobenius défriche le terrain, pour la notion de rang, à laquelle, sans la dégager complètement il vient de donner tout son sens ou plutôt tous ces sens. Les idées en germes chez Dodgson ou Rouché sont ici développées en tant que telles. Le problème initial sur les conditions de résolubilité et le calcul des solutions est remplacé par celui d'une description en termes d'invariant, des caractéristiques de l'ensemble des solutions. Le fait que Frobenius ne travaille qu'avec des systèmes homogènes peut laisser penser, en outre, qu'il avait saisi l'importance de la structure vectorielle qui sous-tend la structure affine des solutions d'un système avec second membre.
En 1879 dans son article *Ueber homogene totale Differentialgleichungen* ([FR], T.1, p 435), Frobenius introduit pour la première fois le terme de rang ainsi : "quand dans un déterminant tous les mineurs d'ordre $m+1$ s'annulent, mais qu'un des mineurs d'ordre $m$ ne s'annule pas, j'appelle m le rang du déterminant.

La définition est encore incomplète, puisqu'elle ne concerne que les déterminants donc des systèmes carrés. Mais la même année cette fois à propos des formes linéaires, dans son article *Theorie die lineare Formen mit Ganzen Coefficienten* ([FR], T.1, pp 504-516), il définit le rang d'un nombre quelconque de formes linéaires, en un nombre quelconque d'inconnues.

Enfin en 1905, dans son article intitulé *Zur theorie der linearen gleichungen* ([FR] T.III pp. 349-354), Frobenius reprend la plupart de son article de 1875. Il a maintenant à sa disposition les notions de rang et de matrice, ce qui facilite sa tâche et rend son exposé très clair, il donne entre autres, un critère de résolubilité d'un système non homogène. Pour ce faire il montre que le rang de la matrice comprenant les coefficients du système et la colonne des seconds membres est au plus un de plus que celui de la matrice des seuls coefficients ; le critère de résolubilité est alors que ces deux rangs soient identiques.

On peut dire qu'ainsi s'achève la longue histoire de la résolution des équations linéaires numériques. On a pu mesurer le déséquilibre qui existe, dans l'évolution, entre les deux périodes avant et après le XVIIIème siècle.

En fait il y a eu un glissement progressif dans la problématique après le virage amorcé par Leibniz et Cramer. Les résulats sont devenus de plus en plus abstraits et finalement de peu d'intérêt pour les calculateurs, qui étaient depuis longtemps satisfaits. Les systèmes d'équations numériques linéaires ne sont qu'un prétexte (central) à un domaine d'étude beaucoup plus vaste, qui jusqu'au XXème siècle restera éclaté. Nous allons maintenant en étudier quelques autres aspects.

## 2 - Panorama des autres problèmes linéaires

### a- Le paradoxe de Cramer : un des premiers problèmes d'indépendance linéaire.

Au XVIIème siècle, les progrès sur les courbes algébriques, rendus possibles par les débuts de la géométrie analytique (cf Chap. III), sont tels que les deux résultats suivants sont communément admis :

- Deux courbes algébriques planes de degrés respectifs m et n se coupent généralement en mn points.

- $n(n+3)/2$ points déterminent une seule courbe algébrique de degré n.

Avec la correspondance que permet la géométrie analytique entre courbes algébriques planes d'ordre n et polynômes de degré n en deux variables réelles, les deux problèmes se ramènent aisément à des questions de résolution de systèmes d'équations linéaires.

En utilisant les techniques d'élimination alors connues, MacLaurin est l'un des premier en 1720 à conjecturer le premier résultat, sans en trouver de démonstration. Euler se penche également sur la question, il entrevoit la nécessité d'introduire des points imaginaires et des points à l'infini, mais ne peut dépasser l'explicitation de cas particuliers. Bezout, qui a donné son nom au théorème, démontre le résultat d'une façon non entièrement satisfaisante du point de vue de la rigueur et seulement dans le cas où les deux courbes n'ont pas de directions asymptotiques communes. Il faudra en fait attendre les travaux de Plücker pour avoir une démonstration complète de ce résultat vers 1830.

Cependant ce résultat est, dès le milieu du XVIIIème siècle, admis bien qu'indémontré. Citons sur ce point Euler ([EU], T.XXVI, p37) : " (...) Cette proposition, bien qu'on en trouve nulle part, à ce que je sache, une démonstration assez rigoureuse, est pourtant très certaine, comme je le montrerai ci-après ; et les conséquences, qui en ont été tirées, sont si claires qu'il ne reste pas le moindre doute de ce côté-là."

Cette attitude assez choquante de nos jours était tout à fait admise, encore jusqu'à une époque récente. La validité des conséquences que l'on peut tirer d'une proposition suffit à en assurer le bien fondé.

La deuxième proposition est un problème de dénombrement, une équation polynomiale de degré n en deux variables comporte $(n+1)(n+2)/2$ coefficients, qui déterminent à un facteur multiplicatif près une seule équation, il faut donc $n(n+3)/2$ relations, donc points, pour déterminer une courbe algébrique plane de degré n.
Le paradoxe auquel Cramer a laissé son nom apparaît dès que $n \ge 3$. En effet on a alors $n^2 \ge n(n+3)/2$, si bien que deux courbes algébriques de même ordre semblent avoir en commun plus de points ($n^2$) qu'il n'en suffit pour déterminer entièrement une seule ! On sait bien sûr que le problème vient de ce que $n^2$ points ne suffisent à déterminer une seule courbe d'ordre n, que lorsqu'ils conduisent à des équations indépendantes, ce qui n'est pas le cas si on prend des points communs à deux courbes... Ce fait aujourd'hui élémentaire, ne semblait donc pas clairement analysé avant Euler.

MacLaurin est l'un des premiers à relever ce paradoxe en 1720. Cramer en parle également dans son traité de 1750, *Introduction à l'analyse des courbes algébriques*, celui-là même dans lequel il a introduit les déterminants. Cramer semble avoir soumis le problème à L. Euler, qui y consacra, la même année, un article intitulé *Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes* ([EU], T.XXVI, pp 33-45).

Dans cet article, Euler commence par énoncer les deux théorèmes cités plus haut. Il en developpe ensuite les conséquences respectives, qui lui permettent de bien mettre en lumière le paradoxe, qu'il prend soin d'explicitier pour $n=3, 4$ et $5$, avant de dire que la même contradiction apparaît pour tous les ordres plus élevés.

Il réexamine alors les deux propositions et leurs conséquences et en déduit que le paralogisme ne peut découler que de la deuxième proposition, c'est-à-dire du fait qu'une courbe plane algébrique d'ordre n est définie par $n(n+3)/2$ points. Il explicite la faille en ces termes :

"(...) en réfléchissant bien sur l'état de cette proposition, nous remarquerons qu'il peut y avoir des cas, où $(nn+3n)/2$ points donnés ne sont pas suffisants pour déterminer la courbe d'ordre n, qui peut être tirée par ces points, ou ce qui revient au même, que $(nn+3n)/2$ équations ne suffisent pas à déterminer autant de coefficients (...)."

Pour illustrer cette remarque, il commence par le cas d'une droite, dont il remarque qu'elle ne peut être définie par deux points que s'ils ne sont pas confondus, ce qui revient à dire que deux équations linéaires en deux variables ne déterminent une solution unique qu'à condition que ces deux équations soient différentes entre elles, ou que l'une ne soit pas déjà comprise dans l'autre. C'est une façon rhétorique bien lourde d'exprimer que deux équations sont proportionnelles.

Il est d'ailleurs amusant de remarquer qu'Euler brouille les cartes en donnant comme exemple les équations : $3x-2y=5$ et $4y=6x-10$, comme s'il cherchait à rendre la proportionnalité moins apparante.

Il examine ensuite le cas de trois équations, et montre qu'outre le cas précédent où une équation est comprise dans une autre, il se peut qu'une équation soit comprise dans les deux autres, et il donne un exemple. On voit ici la notion de dépendance linéaire se forger au coup par coup, le passage de deux à trois équations est dans ce sens fondamental. Les systèmes de plus de trois équations n'apporteront pas ensuite de changements substantiels. De fait Euler examine encore le cas de quatre équations, puis il énonce la règle générale suivante : "Quand on soutient que pour déterminer n quantités inconnues, il suffit d'avoir n équations qui expriment leur rapport mutuel, il faut y ajouter cette restriction que toutes les équations soient différentes entre elles, ou qu'il n'y en ait aucune qui soit déjà renfermée dans les autres."

Avec cette proposition un peu laconique, le concept de dépendance linéaire est encore imparfaitement dégagé, puisque d'une part la formulation en est purement rhétorique et que d'autre part Euler continue de distinguer le cas où deux équations sont semblables, cas qui n'a pourtant rien de spécifique, au delà des apparences et entre entièrement dans la formulation générale qui suit. C'est néanmoins pour l'époque un progrès décisif que d'avoir dégagé, par rapport à une problématique, le concept d'équations dépendantes en montrant que les conditions qu'elles déterminent sur les inconnues sont alors moins nombreuses qu'il n'y paraît.

De fait la notion de dépendance linéaire d'équations ou de formes linéaires est un concept qui s'affirmera, à la suite d'Euler, et sera très couramment employé (cf § précédent). Si bien qu'on peut dire qu'à partir de la fin du XVIIIème siècle, c'est un point acquis, qui permettra de nombreux progrès.

Dans ce même article, Euler n'est pas très loin de dégager également la notion de rang. Revenant à son problème initial, il examine les divers cas de dépendance en fonction des positions relatives des points choisis. Il montre tout d'abord que cinq points ne suffisent pas à déterminer une unique conique si et seulement si quatre de ces points sont alignés, et qu'alors toutes les coniques qu'ils définissent sont dégénérées. Pour les courbes d'ordre 3, il montre qu'il y a des cas d'indétermination pour des courbes non dégénérées, mais il ne fait pas une étude systématique.
L'examen de l'ordre 4, qu'il généralise ensuite aux ordres supérieurs, est plus intéressant. Euler dit : "Quand deux courbes du quatrième ordre s'entrecoupent en 16 points, puisque 14 points, lorsqu'ils conduisent à des équations toutes différentes entre elles, sont suffisants pour déterminer une ligne de cet ordre, ces 16 points seront toujours tels que trois ou plusieurs des équations qui en résultent sont déjà comprises dans les autres. de sorte que ces 16 points ne déterminent (rien de) plus que s'il y en avait que 13 ou 12 ou encore moins, et partant pour déterminer la courbe entièrement on pourra encore à ces 16 points, ajouter un ou deux points."

Tout ceci est très empirique. Entre autres le cas où les un ou deux points rajoutés pour déterminer la courbe n'apporteraient que des équations dépendantes des autres ne semble pas avoir été envisagé. Mais on voit bien l'idée de rang se dessiner dans cette façon de compter le nombre de relations de dépendance linéaire en fonction du nombre de points utiles pour déterminer la courbe. En langage moderne on dirait qu'un système d'équations déterminées par 16 points communs à deux courbes d'ordre trois est toujours au plus de rang 13, donc qu'il existe au moins trois relations de liaisons indépendantes et qu'il faut un système de rang 14 pour déterminer entièrement une et une seule courbe algébrique plane d'ordre 4.

On a vu au paragraphe précédent que la notion de rang en germe dans beaucoup de traités sur les équations linéaires a mis longtemps avant de surgir de façon claire. Il faut dire que c'est une notion délicate et complexe, c'est aussi un des points les plus fondamentaux de l'algèbre linéaire de dimension finie.

Avec cet exemple, qui est l'un des premiers où des concepts d'algèbre linéaire apparaissent (de façon implicite) aussi clairement, on voit le chemin qu'il restait encore à parcourir et la simplification que pourra apporter la théorie linéaire dans des questions de cet ordre.

## b- Autour de la notion de combinaison linéaire

En fait avant même les combinaisons linéaires d'équations, Euler avait été amené à considérer des combinaison linéaires de solutions d'une équation différentielle linéaire. Pourtant comme d'Alembert ou Lagrange, qui l'ont suivi dans cette voie, s'il montre qu'on obtient une solution en faisant n'importe quelle combinaison linéaire, il ne se soucie pas de l'indépendance linéaire des solutions. En particulier, ces auteurs ne peuvent arriver à l'idée de base de solutions.

Le premier à avoir défriché le terrain dans ce domaine semble être Cauchy ([AHM] V.1, p 60). Il ramène la condition de dépendance des solutions à la condition de résolubilité d'un système exprimant qu'une solution et ses (n-1) dérivées successives prennent des valeurs déterminées. Wronski introduira en 1815, le déterminant, qui depuis porte son nom, et qui est celui du système proposé. La condition de résolubilité revient ainsi à la non-annulation de ce déterminant.

La parenté entre les systèmes d'équations linéaires numériques et différentielles a pu être remarqué par de nombreux mathématiciens tant il est vrai que les deux domaines furent très en vogue pendant les XVIIIème et XIXème siècles. Les rapprochements resteront cependant limités dans l'emploi pour les deux domaines de déterminants. Ceux-ci jouèrent le rôle d'interface dans une dialectique qui a permis de faire progresser les deux théories en parallèle sans qu'il n'y ait réellement de communications directes.

La notion de combinaison linéaire à coefficients entiers semble être également apparue assez tôt dans des domaines distincts tels que les périodes de fonctions elliptiques ou abéliennes (Gauss, Abel, Jacobi), les nombres alébriques (Dirichlet, Gauss, Jacobi) et les formes quadratiques (Gauss). Gauss, dans ses *Disquisitiones Arithmeticae* éditées en 1802, s'intéresse à de nombreux problèmes liés à ce que l'on appelle aujourd'hui la structure de $\mathbb{Z}$-module. Cette notion ne sera cependant pas dégagée avant les travaux de Dirichlet sur les anneaux à la fin du XIXème siècle. Gauss, s'il n'essaie pas de regrouper ses résultats en une théorie générale, semble cependant conscient de certaines similitudes. Par exemple à la suite de la démonstration d'un résultat sur l'ordre des classes de formes quadratiques binaires, il ajoute : "On remarquera sur le champ l'analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des n°s 45 et 49 (théorème de Fermat) ; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec la sujet de la section III." ([GA2] p377 ou [GA1] T.I, p 371).

Cette remarque s'arrête cependant là, et les deux théories resteront disjointes pendant encore plusieurs décennies.
On a vu au paragraphe précédent, comment Frobenius a introduit et utilisé en 1875, l'indépendance linéaire de n-uplets dans un langage tout à fait moderne.

### c- Les transformations linéaires, et la théorie des matrices

Des transformations linéaires de figures géométriques ou de courbes apparaissent très tôt, comme l'inversion chez Viète ou Fermat ou l'"affinité" d'Euler ([EU], *De similitudine et affinate linearum curvarum*, T.IX, pp.240-250). Mais la seule transformation linéaire connue et apliquée à tout l'espace restera pendant longtemps la projection. Par ailleurs les changements de coordonnées cartésiennes ou substitutions linéaires, selon le vocabulaire de l'époque, conduisent également à des problèmes très voisins de ceux liés aux transformations linéaires.

Dans son mémoire *Problema algebricum ob affectiones prorsus singulares memorabile*, de 1770, L. Euler présente une étude très riche sur les changements d'axes orthogonaux ([EU] T.VI, pp 287-315). Ses découvertes apparaissent a posteriori, comme les premiers résultats significatifs sur les transformations orthogonales.

Il commence par remarquer que dans un tableau 3x3, si on a les six relations, qui en langage moderne reviennent à dire que les trois vecteurs colonnes sont orthonormés, alors on a les mêmes relations sur les lignes. Ce qui se traduit aujourd'hui en disant que la transposée d'une matrice orthogonale est encore une matrice orthogonale. Ensuite il déduit de ces douze relations, neuf nouvelles relations qui expriment, toujours en langage moderne, que chaque terme est l'opposé de son cofacteur. En fait Euler commet ici une négligence puisque ceci n'est vrai que dans le cas d'une isométrie négative, pour une isométrie positive chaque terme de la matrice est égal à son cofacteur. Ce résultat revient encore à dire, puisque le déterminant d'une matrice orthogonale vaut 1 ou -1 que la matrice inverse d'une matrice orthogonale est égale à sa transposée.

Il applique alors ces résultats à l'étude des transformations linéaires $X=Ax+By+Cz$, $Y=Dx+Ey+Fz$, $Z=Gx+Hy+Iz$ telles que $x^2+y^2+z^2=1$, $X^2+Y^2+Z^2=0$. Il montre que cette condition est équivalente à six équations sur A, B, C, D, E, F, G, H et I, qui sont celles qu'il vient d'étudier. Puis il cherche à déterminer les neuf coefficients en fonction de paramètres. Il semble qu'il ait déjà en tête l'idée intuitive, qui lui servira à généraliser son étude à plusieurs variables, qu'il suffit de trois paramètres pour déterminer les neufs coefficients puisque ceux-ci sont définis par six conditions "indépendantes".

Il commence par étudier le cas de deux coordonnées, une substitution orthogonale dépend dans ce cas de 4 coefficients liés par trois relations. Il détermine alors les coefficients de la façon depuis devenue classique, c'est-à-dire en introduisant deux angles, dont chaque coefficient est un sinus ou un cosinus d'après les relations $A^2+B^2=1$ et $C^2+D^2=1$. Mais quand il arrive à la condition $AB+CD=0$ qui équivaut à dire que le cosinus de la différence des angles est nul, il en déduit que cette différence est de 90°, et oublie le cas symétrique, où elle pourrait être de 270°, si bien qu'il ne prend en compte que le changement de repère avec inversion de l'orientation ou en terme de transformations, il ne considère que les symétries. Cette erreur qui revient à négliger l'orientation est cependant cohérente avec la première erreur commise par Euler et signalée plus haut. De fait elle se retrouve tout au long du traité.

Il montre ensuite qu'un changement d'axes orthogonaux, en dimension trois, peut s'écrire comme la composée de trois changements ne portant chacun que sur deux axes. Dans sa démonstration il introduit trois angles, ceux justement que nous appelons encore aujourd'hui les angles d'Euler. Il existe cependant une différence avec la pratique actuelle puisqu'en fait, à cause de son erreur initiale, Euler utilise des symétries-rotations et non les rotations, que l'on a pris l'habitude d'employer depuis.

Euler ne s'arrête pas là, il démontre un résultat analogue pour quatre puis cinq coordonnées, et même généralise à un nombre n quelconque de coordonnés. Cette étude au delà de trois coordonnées est un fait assez surprenant car il n'y a, semble-t-il, nulle part ailleurs dans l'œuvre d'Euler trace d'une idée de géométrie à n dimensions. Idée qui de plus n'était pas encore dans les courants de l'époque.

Le résultat qu'il énonce, et qui est du reste incomplet, à cause de la non prise en compte de l'orientation, revient à dire en termes modernes qu'un changement d'axes orthogonaux en dimension n peut se décomposer en le produit de $n(n-1)/2$ isométries négatives ne modifiant chacune, que deux axes à la fois. Son argumentation repose sur l'idée empirique que comme les $n^2$ inconnues définissant un changement d'axes dépendent des $n(n+1)/2$ conditions exprimant que les nouveaux axes sont orthonormés, elles peuvent être définies par $n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$ paramètres. Mais il n'est jamais fait mention de la dépendance éventuelle des relations, qui ne sont d'ailleurs pas linéaires.
Il n'en reste pas moins, que malgré ces imperfections, ce mémoire est remarquable pour l'époque et restera pendant longtemps le seul travail valable sur le sujet.

Pour voir un progrès sensible, il faudra attendre 1846, que A. Cayley, puis C. Hermite, redémontrent ces résultats à l'aide des techniques plus sophistiquées de la théorie des déterminants

Dans d'autres travaux de géométrie, Euler a démontré des résultats partiels sur les isométries affines du plan et de l'espace, mais il n'en a jamais donné de classification complète.

La primeur de cette tâche semble revenir à Chasles, dans un article de 1830.

A la fin du XVIIIème siècle et dans la première moitié du XIXème, c'est essentiellement dans des travaux sur les formes quadratiques, qu'apparaissent les substitutions linéaires.

D'abord avec Lagrange pour deux variables. Dans son mémoire *Recherches d'arithmétiques* de 1773 ([LA], T.II, pp. 695-795), celui-ci s'intéresse aux nombres qui peuvent être représentés par une forme quadratique de deux variables à coefficients entiers. Il est ainsi amené à examiner les transformations de formes quadratiques par substitutions des variables en d'autres. Plus précisément il recherche les substitutions qui laissent invariantes certaines propriétés de la forme initiale. De fait sa première remarque, qu'il énonce comme une évidence, est que la substitution doit être linéaire pour que la transformée soit encore une forme quadratique, ce qu'il exprime ainsi : "Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu'on ne saurait employer d'autres substitutions que celles-ci : y=Ms+Nx, z=ms+nx, s et x étant deux nouvelles indéterminées et M, N, m, n des nombres arbitraires.". Il remarque ensuite que le discriminant, auquel il ne juge pas nécessaire de donner de nom, de la forme quadratique ainsi obtenue est le produit du discriminant de la forme initiale par $(Mn-Nm)^2$, c'est-à-dire, pour nous, le carré du déterminant de la substitution, mais il ne dégage pas cette dernière notion.

Quelques vingt-cinq ans plus tard, dans ses *disquisitiones arithmeticae*, Gauss enrichit largement les travaux de Lagrange et les élargit au cas des *formes ternaires*, c'est-à-dire avec trois variables ([GA2] ou [GA1] T.I). Il introduit une écriture "matricielle" des formes quadratiques, mais qui n'est pas la notation par matrice symétrique actuelle. Il note en effet :

$$ \text{et} \quad \begin{array}{l} \ax^2+2bxy+cy^2 \quad \text{par } (a,b,c) \\ \ax^2+a'x'^2+a''x''+2bx'x''+2b'xx''+2b''xx' \quad \text{par} \quad \begin{pmatrix} a & a' & a'' \\ b & b' & b'' \end{pmatrix} \end{array} $$

Il définit néanmoins, mais sans explication, ce qu'il appelle le déterminant d'une forme ternaire. C'est le discriminant moderne, c'est-à-dire le déterminant de la matrice symétrique, mais la présentaion de Gauss ne le laisse nullement transparaître. Rappelons, pour éclaircir cet imbroglio de noms, que le terme de déterminant, dans son sens actuel ne sera employé qu'après le mémoire de Cauchy de 1812, alors que le terme de discriminant ne sera introduit, par Sylvester, pour les formes quadratiques, qu'une trentaine d'année plus tard.

Comme Lagrange, Gauss utilise des transformations linéaires dans une grande partie de ses travaux. Ainsi pour noter la substitution linéaire qui fait passer de x, x,' x", à y=αx+βx'+γx", y=α'x+β'x'+γ'x", y=α"x+β"x'+γ"x", il utilise l'écriture suivante :

$$ \alpha, \beta, \gamma ; \alpha', \beta', \gamma' ; \alpha'', \beta'', \gamma'' \quad (S) $$

Cette notation est très proche de celle de la matrice de passage, comme on l'utilise de nos jours. Surtout Gauss lui donne de l'opérationnalité. En effet il démontre un résultat qui revient à dire que la composée de deux substitutions linéaires est encore une substitution linéaire de la façon suivante :

"Si la forme ternaire $f$ renferme la forme ternaire $f'$ et celle-ci la forme $f''$, la forme $f$ renfermera aussi la forme $f''$. Car on voit facilement que si $f$ se change en $f'$ par la substitution

$$ \alpha, \beta, \gamma ; \alpha', \beta', \gamma' ; \alpha'', \beta'', \gamma'' $$

et $f$ en $f'$ par la substitution

$$ \delta, \varepsilon, \xi ; \delta', \varepsilon', \xi' ; \delta'', \varepsilon'', \xi'' $$

f se changera en $f'$ par la transformation

$$ \alpha\delta + \beta\delta' + \gamma\delta'', \quad \alpha\varepsilon + \beta\varepsilon' + \gamma\varepsilon'', \quad \alpha\xi + \beta\xi' + \gamma\xi'' ; $$

$$ \alpha'\delta + \beta'\delta' + \gamma'\delta'', \quad \alpha'\varepsilon + \beta'\varepsilon' + \gamma'\varepsilon'', \quad \alpha'\xi + \beta'\xi' + \gamma'\xi'' ; $$

$$ \alpha''\delta + \beta''\delta' + \gamma''\delta'', \quad \alpha''\varepsilon + \beta''\varepsilon' + \gamma''\varepsilon'', \quad \alpha''\xi + \beta''\xi' + \gamma''\xi'' . $$

(On aura compris qu'une forme en renferme une autre si on peut déduire la seconde de la première par une substitution linéaire.)
Cette fois la substitution est écrite en tableau, comme une matrice, mais cela n'a l'air de tenir apparemment qu'à des raisons typographiques. On reconnait en tout cas, le produit des deux matrices de passages, qui apparaît ici pour la première fois.

Comme nous l'avons déjà signalé au paragraphe précédent, et comme il le dit lui-même, Cauchy, dans son mémoire sur les déterminants ([CA], T.I, pp 91-92), cite cette notation de Gauss en disant qu'elle lui aurait inspiré sa formule sur le produit de deux déterminants. Il semble bien également que Cauchy ait utilisé la suite du traité de Gauss. En effet ce dernier introduit la notion de "forme quadratique adjointe", c'est-à-dire en termes modernes, dont les coefficients sont les cofacteurs de la matrice symétrique, et il montre, que quand on passe d'une forme f à une autre f' par une substitution S, on passe de la forme adjointe de f à la forme adjointe de f' par une substitution dont les coefficients sont les cofacteurs de ceux de S.

Il semble néanmoins que ces débuts des notations matricielles aient mis un temps assez long avant de se dégager. Il faut dire qu'avec la naissance de la théorie des déterminants, un amalgame entre les deux notions persistera pendant encore quelques décennies, avant que le concept de matrice ne se dégage vraiment.

Dans son mémoire, *Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, Welche des kreistheilung ihre Entstehung verdanken*, sur les formes cubiques ternaires à coefficients entiers, publiés en 1844-1845, G. Eisenstein reprend les notations de Gauss et les rend encore plus opérationnelles ([EI] T.1, pp 178-244). Il représente une substitution linéaire par ce qu'il appelle *un système* et qu'il note :

$$ \left\{ \begin{matrix} \alpha & \alpha' & \alpha'' \\ \beta & \beta' & \beta'' \\ \gamma & \gamma' & \gamma'' \end{matrix} \right\} = (S) $$

Un pas de plus est donc franchi vers la notation matricielle actuelle, dont cette forme d'écriture est quasi-identique. L'auteur définit explicitement le déterminant d'un système ou d'une susstitution, et comme pour Lagrange et Gauss, son point de départ est centré sur l'intérêt pour l'arithmétique des substitutions de déterminant 1.

Comme Gauss, Eisenstein utilise l'expression d'une substitution composée de deux autres, c'est-à-dire le produit matriciel. Il remarque d'ailleurs que ce produit n'est pas commutatif. Il utilise également le système inverse d'un système de déterminant 1, dont il montre qu'il a encore des coefficients entiers et un déterminant égal à 1. Il utilise la notation 1/S pour désigner cette nouvelle substitution.

Un des points les plus innovateurs de ce traité vient de l'utilisation systématique d'écritures algébriques portant sur les substitutions et leur multiplication. Par exemple on trouve ([EI], p 207) :

$$ S \times (\frac{1}{S} \times S') = S \times \frac{1}{S} \times S' = \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \times S' = S' $$

Un peu plus loin, il veut résoudre l'équation S x X = S', et après avoir fait remarquer que : 1/S x S x X = X, il dit qu'on trouve X = 1/S x S'.

Une telle liberté dans l'utilisation du symbolisme algébrique est un fait remarquable pour l'époque, où cette pratique était encore réservée aux seuls domaines numériques.

L'article de A. Cayley, *A memoir of the theory of matrices*, publié en 1858 ([CY], T.2, pp 475-496) a le mérite de rassembler pour la première fois tous les résultats connus à l'époque sur les matrices carrées et rectangulaires.

Cayley définit une matrice carrée comme étant *un ensemble de quantités arrangées en carré*, e.g.

$$ \begin{vmatrix} (a, b, c) \\ a', b, c' \\ a'', b'', c'' \end{vmatrix} $$

Il se restreint donc en pratique aux matrices 3x3 (il utilise aussi des matrices 2x2). Il précise que la notation de telles matrices se deduit naturellement d'une notation abrégée pour un ensemble d'équations linéaires. La notation qu'il emploie est alors :

$$ (X, Y, Z) = \begin{pmatrix} (a, b, c) & (x, y, z) \\ a', b, c' & a'' & b'', c'' \end{pmatrix} $$
Ce n'est qu'à la fin de cet article après avoir défini, les matrices rectanglaires, leur transposition et leur produit, qu'il remarque qu'en utilisant les transposés de (X, Y, Z) et (x, y, z), c'est-à-dire en écrivant les triplets en colonne, cette notation est un cas particulier du produit matriciel. Il persiste toutefois a garder la notation en ligne qu'il semble trouver plus pratique.

Après avoir donné cette définition, Cayley annonce ses intentions et le contenu de son mémoire. Nous donnons ci-dessous, une traduction du début de ce passage, qui tout en résumant ce qui va suivre, donne une idée de la démarche adoptée.

(...) On verra que les matrices (de même ordre) se comportent comme de simples quantités ; elles peuvent être additionnées, multipliées ou composées ensemble, etc... : la loi d'addition des matrices est exactement semblable à celle de l'addition des quantités algébriques ordinaires ; pour ce qui est de leur multiplication (ou composition), Il y a une particularité car les matrices ne sont pas en général inversibles, il est néanmoins possible de former les puissances (positives ou négatives, entières ou rationnelles) d'une matrice, et donc d'atteindre la notion de fonctions rationnelle et intégrale, ou plus généralement de fonction algébrique d'une matrice. (...)

On voit clairement que l'optique adoptée par Cayley est très moderne, il est très proche de l'idée de structure algébrique, qui était il faut le dire déjà dans le vent à l'époque (cf chapitre IV). De fait il définit les lois d'addition, de multiplication par un nombre, et de produit des matrices carrés, et en énonce les principales propriétés, que l'on pourrait résumer aujourd'hui en disant que l'ensemble des matrices carrées de même ordre forme une algèbre. Notons toutefois qu'il ne mentionne pas explicitement la distributivité de la multiplication interne sur l'addition, ni la pseudo-associativité de la multiplication externe.

Cayley énonce ensuite le théorème dit de Cayley-Hamilton, c'est-à-dire que le polynôme caractéristique d'une matrice s'annule quand on substitue à l'indéterminée la matrice elle-même. Il en donne quelques applications. Ce dernier théorème est d'ailleurs le seul résultat vraiment nouveau dans ce mémoire.

Cayley garde pour la fin une approche très succinte des matrices rectangulaires, dont il pense qu'elles ont beaucoup moins d'intérêt. Il en définit la transposition et le produit.

En fait il semblerait que le mémoire de Cayley, ainsi qu'un mémoire équivalent de Laguerre datant de 1867, n'eurent pratiquement pas d'écho et de fait les résultats les plus importants sur les matrices, en particulier ceux ayant trait aux problèmes de réduction, ont pris naissance à travers l'étude des formes bilinéaires.

## d- Les formes quadratiques et bilinéaires

On a vu au paragraphe précédent, comment l'étude des formes quadratiques à coefficients entiers s'est développée en relation avec l'arithmétique, grâce principalement à Lagrange, Gauss, Eisenstein et Cayley.

Parallèlement, par l'utilisation de la géométrie analytique, l'étude des formes quadratiques se développe à travers celle des coniques puis des quadriques. Fermat le premier montre que les coniques peuvent être définies comme les courbes planes représentées par une équation quadratique binaire.

Euler résoud partiellement le problème de la réduction des formes quadratiques ternaires, en vue de montrer leur adéquation avec les quadriques ([EU], T.IX, pp 379-392). Dans un traité intitulé *De superficiebus secundi ordinis* (en annexe de l'Introductio in Analysisin infinitorium publié en 1748), il considère l'équation générale d'une surface du second ordre. Par une méthode analytique des plus simples, il montre que l'on peut par substitution linéaire, réduire l'équation à $αzz+βyy+γzz = aa$ à condition qu'une certaine quantité, que l'on reconnaîtra comme le discriminant de la forme quadratique, ne soit pas nul. Il essaie alors, en utilisant ses trois angles (cf § précédent), de montrer comment se fait le changement de coordonnées, mais il reste très vague et incomplet. En particulier le fait que les nouveaux coefficients de la forme réduite sont les valeurs propres de la matrice et donc les solutions d'une équation du troisième degré est entièrement passé sous silence.

En 1758, Euler est amené à rechercher les axes d'inertie d'un solide, animé d'un mouvement uniforme. Ce problème est en fait très analogue au précédent, mais il ne semble pas s'en rendre compte. Cependant il donne cette fois une solution satisfaisante du problème, en exhibant une équation de degré trois, qu'il réduit d'abord au degré deux pour montrer ensuite qu'elle a trois racines réelles.
En 1773, Dans un article intitulé, *Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation*, Lagrange présente une solution moins "géométrique" du même problème, sans utiliser d'angle. Comme il l'explique dans son introduction, il veut en fait que les outils utilisés par Euler apparaissent comme des conséquences de sa méthode purement analytique, qui ne présuppose rien sur les propriétés des axes de rotations ([LA], T.II, pp 579-616). De fait il ramène le problème à une équation du troisième degré, dont il montrera correctement en 1788, après avoir commis une erreur dans son premier traité, qu'elle a trois solutions réelles.

Encore une fois c'est à Cauchy que revient l'initiative d'avoir achevé la question de la réduction des formes quadratiques en liaison avec la démonstration de l'existence des trois valeurs propres réelles d'une matrice symétrique réelle.

Mais à partir de la deuxième moitié du XIXème siècle, l'étude des formes quadratiques va prendre un essor considérable, leur étude se généralise d'abord au cas de n variables, puis elle s'élargit bientôt aux formes bilinéaires en deux séries quelconques de variables $x=(x_1, ..., x_n)$ et $y=(y_1, ..., y_m)$. Ce dernier pas franchi, cette théorie se confond entièrement avec celles des matrices rectangulaires et leur réduction.

Si on appelle A la matrice d'une forme bilinéaire $f$, on a $f(x,y)=xA^t y$ ainsi quand on fait un double changement de coordonnées, $t'x'=U^{t'}x$ et $t'y'=V^{t'}y$, on obtient une nouvelle matrice $A'=U^{t'}UA$. De nombreux mathématiciens ont ainsi cherché à dégager des invariants de ces matrices par certaines substitutions linéaires. Selon les préoccupations de chacun, les recherches s'appliquent aux cas où la matrice A est à coefficients entiers, réels ou complexes, ou à ceux où A est une matrice carrée symétrique, symétrique gauche ou hermitienne ... On fait aussi des distinctions selon la nature de U et V.

Ces recherches connurent une époque très prolifique, car les mathématiciens de la deuxième moitié du XIXème siècle ont montré pour le sujet un grand intérêt ([AHM] pp 97-101). Les principaux résultats sont des théorèmes sur les valeurs propres, ou sur la réduction des matrices à des formes triangulaires (réduction de Jordan) ou encore des applications à l'arithmétique, entre autres.

Quelques-uns des mathématiciens les plus illustres ayant participé à l'élaboration de cette théorie sont : Jacobi, Cayley, Sylvester, Hermite, Cauchy, H.J Smith, Weierstrass, Jordan, Kroenecker, Frobenius ... Ce dernier joua le rôle de législateur ; comme Cauchy pour les déterminants, il a rassemblé entre 1877 et 1880, les principaux résultats en les présentant à l'intérieur d'une théorie unifiée et complète. A partir de cette date, on peut dire que l'étude des formes quadratiques et bilinéaire aussi bien que le calcul matriciel ont atteint leur pleine maturité.

## e- Les équations différentielles linéaires

Comme nous l'avons dit au paragraphe b), les équations différentielles linéaires ont été à côté des équations linéaires numériques un des principaux moteurs de l'avancée de la théorie des déterminants et de la théorie linéaire. Les précurseurs dans la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre n sont d'Alembert, Lagrange et Euler. Si tous trois remarquent que la solution générale d'une équation homogène peut s'exprimer sous forme de combinaison linéaire de n solutions, aucun d'eux ne soulève par contre le problème de l'indépendance des solutions, par ailleurs seul d'Alembert exprime clairement que la solution générale de l'équation avec second membre s'obtient par addition d'une solution particulière à la solution générale de l'équation homogène associée.

Cauchy semble encore être le premier à donner, dans son cours de l'école Polytechnique, un exposé complet et rigoureux de ces résultats.

Par ailleurs, aux environs de 1770, Lagrange est amené à introduire le premier exemple d'opérateur et de dualité dans un espace fonctionnel ([LA] T.I, pp 471-668). Mais il ne peut pas bien sûr faire le rapprochement avec les mêmes notions dans le domaine des formes quadratiques, puisque celles-ci ne seront dégagées par Gauss, qu'une trentaine d'années plus tard.

Dans son étude de l'équation différentielle linéaire générale d'ordre n : $L(x)=c_0x+c_1x^2+...+c_nx^{(n)}$ où les $c_i$, comme x sont des fonctions de t, Lagrange introduit de façon purement numérique et sans le désigner par un nom, une nouvelle expression en y qu'il caractérise par la relation suivante valable pour toutes fonctions y et z n fois continument dérivables et s'annulant ainsi que leurs (n-1) premières dérivées en a et b.:
$$ \int_a^b z L(y) \, dt = \int_a^b y L^*(z) \, dt, $$

En termes modernes, $L^*$ est l'opérateur dual de L par rapport au produit scalaire defini par l'intégrale sur $[a;b]$, dans l'espace des fonctions n fois continument dérivables et s'annulant ainsi que leurs (n-1) premières dérivées en a et b.

Toutefois cette interprétation n'était pas envisageable à l'époque et le calcul de Lagrange, bien que fort hardi et astucieux, n'eut pas de suite avant longtemps.

C'est aussi à propos des équations différentielles qu'apparut l'un des premiers exemples de valeurs propres, avant que cette notion ne fût même dégagée en tant que telle. C'est de nouveau à Lagrange que l'on doit ce fait.

Celui-ci dans un article de 1762, s'intéresse aux "petits mouvements" autour de la position d'équilibre d'un système dépendant de n paramètres. Cela le conduit à un système d'équations linéaires de la forme :

$$ x_i'' = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \quad (i = 1 \text{ à } n) $$

où les $a_{ij}$ sont des constantes. Il s'inspire alors de la méthode donnée par Euler pour résoudre une équation linéaire d'ordre n à coefficients constants, ce qui l'amène à chercher des solutions sous la forme $x_i(t)=y_i e^{rt}$ où r et les $y_i$ sont des constantes à déterminer. Ce problème revient finalement à résoudre le système linéaire :

$$ r^2 y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} y_j \quad (i = 1 \text{ à } n) $$

Lagrange n'utilise pas de déterminant. Son raisonnement est très empirique, il se contente de dire qu'en essayant d'éliminer les $y_i$ tour à tour dans les équations, on aboutit finalement à une dernière équation où l'un des $y_i$ peut être mis en facteur d'une quantité de degré n en $r^2$. L'annulation de ce polynôme en $r^2$ consistue donc la condition d'élimination qui est nécessaire pour obtenir une solution non nulle du système. Sans soulever le problème des racines multiples de l'équation en $r^2$, il conclut que l'on peut trouver n valeurs de $r^2$ qui donnent les solutions cherchées, en restant très vague sur les conditions d'explicitation de la solution générale.

En termes modernes, on dirait que $r^2$ doit être une valeur propre de la matrice des $a_{ij}$. On sait qu'à la condition que la matrice soit diagonalisable, en prenant n vecteurs propres indépendants, on définit n solutions $x_i(t)=y_i e^{rt}$ qui déterminent une base de solutions.

Lagrange rencontre un problème identique dans un article de 1774 intitulé *Recherches sur les équations séculaires des mouvements des nœuds* ([LA] T.VI pp 635/655-666). Il le résoud de façon analogue sans toutefois mentionner la ressemblance, qu'il n'a pas dû cependant manquer d'apercevoir.

Il faudra attendre que la théorie de la diagonalisation des matrices soit achevée pour que la question de la résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants soit entièrement éclaircie.

Nous arrêterons là les exemples de problèmes "linéaires" qui ont pu se présenter dans ces deux siècles, indépendamment d'une théorie unifiée. Comme nous l'avons déjà dit, nous ne prétendons pas avoir été exhaustif dans notre exposé, pourrait-on d'ailleurs l'être ? Nous pensons simplement avoir montré une assez grande variété d'exemples dans des domaines fort différents qui devrait permettre de rendre compte de l'étendue de ces questions.

Nous espérons avoir éclairé les conditions qui ont précédé et dans une certaine mesure conditionné l'apparition de l'algèbre linéaire. Pourtant si tous ces problèmes épars ont joué le rôle de catalyseurs, deux autres grands axes de développement, au moins, furent des éléments fondamentaux dans ce processus d'émergence. Ce sont d'une part les tentatives "d'algébrisation" de la géométrie accompagnées de l'élargissement de la géométrie à des espaces plus généraux et d'autre part les progrès du formalisme algébrique avec l'extension des calculs à de nouveaux objets et la naissance du concept de structure algébrique.
### III - L'algèbre linéaire à travers l'histoire de la géométrie

#### 1- La naissance de la géométrie analytique

Depuis les Grecs, la géométrie représente le domaine de prédilection des mathématiques. Au sortir de la Renaissance, l'Algèbre plus récente et moins noble, directement héritée des Arabes, ne semblait pas pouvoir exercer aussi bien les talents de l'esprit créatif. Pourtant à la suite de Viète, l'enrichissement et la plus grande maniabilité du langage symbolique ouvrent de nouveaux horizons. L'objet de l'algèbre se trouve élargi et l'on commence à entrevoir la possibilité d'appliquer les nouvelles méthodes analytiques aux démonstrations de géométrie. L'approche grecque encore en vigueur voulait que l'on donne aux équations une représentation géométrique, de façon à en justifier en quelque sorte l'existence. Cette idée est à la source par exemple du principe d'homogénéité, qui veut que l'on n'additionne entre elles que des grandeurs de même dimension (unités, carrées, cubes, etc...).

Fermat et Descartes indépendamment et presque en même temps vont renverser cette hiérarchie séculaire, ils montrent que les problèmes de géométrie peuvent être résolus par les techniques algébriques, qui permettent des progrès considérables ; ce seront les débuts de la géométrie analytique, promise à un avenir florissant et qui jouera un rôle précurseur et moteur fondamental dans l'émergence du calcul vectoriel et donc de l'algèbre linéaire. Cette étape représente l'un de ces points phares qui jalonnent l'histoire des mathématiques, elle permit non seulement de montrer avec facilité des résultats qui demandaient auparavant une grande agilité et des résultats préliminaires encombrants, mais aussi elle ouvre la porte à de nouvelles notions et permet d'envisager des problèmes radicalement différents, notamment avec l'introduction du calcul infinitésimal, qui annonce ce que l'on appellera plus tard la géométrie différentielle.

L'idée de repérer les points du plan par la longueur de deux segments convenablement choisis était déjà en germe chez les Grecs. Par ailleurs en Astronomie, dès la plus haute antiquité, on a repéré la position des points dans l'espace à l'aide de deux coordonnées angulaires, la hauteur au dessus de l'horizon et l'écart par rapport à un méridien. Mais tant qu'on ne cherche pas à exprimer une relation entre les grandeurs, cette technique reste sans suite. Dans l'œuvre d'Appolonius, on trouve explicitement des équations de coniques selon des axes de coordonnées rectangulaires, mais cette pratique reste isolée et ne débouche pas vraiment sur des résultats importants. Selon une méthode très différente, Nicole Oresme, dans la fin du XIVème siècle introduit le repérage par un système de coordonnées rectangulaires, qu'il nomme longitude et latitude et donne la condition pour que trois points soient alignés, ce qui revient à donner l'équation d'une ligne droite. Oresme propose une généralisation à la dimension trois et même à un espace de dimension quatre. Mais à cet époque les rudiments du langage symbolique et l'état de dénuement dans lequel se trouvait l'algèbre n'autorisait guère de hardiesse. Il faudra en fait attendre le XVIIème siècle pour voir des progrès significatifs dans ce domaine se dessiner.

Pierre De Fermat (1601-1665) fut toute sa vie magistrat au parlement de Toulouse, par ailleurs père d'une famille nombreuse, il ne consacra aux mathématiques qu'une partie de son temps libre. De ce fait son œuvre est éclectique et éparse. Elle se compose essentiellement de courts mémoires sous forme de lettres, écrites entre autres au père Mersenne ou à Pascal, et qui ne furent en général pas publiées de son vivant. C'est en fait son fils aîné, Samuel, qui publia en 1679, une partie seulement de l'œuvre de son père, sous le titre de Varia opera [FE1].

L'un des mémoires les plus importants de Fermat est intitulé *Ad locos Planos et Solidos Isagoge* et est daté de 1643, bien que la correspondance semble prouver que la plupart des résultats furent établis entre 1636 et 1638 ([FE2] t.III, pp 85-96).

Fermat était un disciple de Viète, dont il avait adopté la méthode et les notations, auxquelles il restera d'ailleurs fidèle toute sa vie. Dans ce mémoire qui est l'une de ses premières œuvres connues, il met en œuvre la méthode analytique de Viète pour résoudre des problèmes de géométrie. Nous donnons ci-dessous un extrait de l'introduction de cet essai (d'après la traduction française depuis le latin in [IT1] pp 209-210)
Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique dans son genre, les espèces des courbes sont en nombre indéfini, cercle, parabole, hyperbole, ellipse, etc...

Toutes les fois que les extrémités de la quantité inconnue qui décrit le lieu suit une ligne droite ou circulaire, le lieu est dit plan ; si elle décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est solide ; pour les autres courbes, on l'appelle lieu de ligne. Nous n'ajouterons rien sur ce dernier cas, car la connaissance du lieu de ligne se déduit facilement, au moyen de réductions de l'étude des lieux plans ou solides.

Il est commode pour établir des équations, de prendre les deux quantités inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous supposerons droit, et de se donner la position et une extrémité de l'une d'elles ; pourvu qu'aucune des deux quantités inconnues ne dépasse le carré, le lieu sera plan ou solide ainsi qu'on le verra clairement ci-après.

Ainsi il commence par l'équation d'une droite :

Nous donnons ici une traduction d'après la traduction anglaise tirée de [SM2] pp 389-396, nous avons respecté le nom des variables et des paramètres ainsi que la forme générale du discours, par contre pour des questions de lisibilité, nous avons remplacé la symbolique des équations encore mi-rhétorique à la façon de Viète par le symbolisme moderne (par ex z plano - d in a aequatur b in e, devient z²-da=bc).

Soit NZM une ligne droite, de position donnée, avec le point N fixe. Soit NZ la quantité inconnue a et ZI (la ligne tracée pour former l'angle NZI) l'autre quantité inconnue e.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Si da=be, le point I décrira une ligne de position fixée. En effet nous aurons b/d=a/e. Ainsi le quotient a:e est donné, comûme l'angle Z. Donc le triangle NIZ zt l'angle INZ sont déterminés. Mais le point N et la position de la ligne NZ sont donnés, et ainsi la position de NI est déterminée. La synthèse est aisée.

En n'utilisant que la similitude des triangles puis en s'appuyant sur les coniques d'Appolonius, Fermat exhibe ainsi plusieurs formes d'équations de droites et de coniques, qui en résumé et en langage moderne sont :

$$m^2-dx=by \text{ (droite)}$$

$$xy=m^2 \text{ (hyperbole)}$$

$$m^2+xy=ax+by \text{ (hyperbole)}$$

$$x^2=py \text{ (parabole)}$$

$$b^2-x^2=py \text{ (parabole)}$$

$$b^2-x^2=y^2 \text{ (cercle)}$$

$$b^2-2dx-x^2=y^2+2ry \text{ (cercle)}$$

$$(b^2-x^2)/y^2=p/q \text{ (ellipse)}$$

$$b^2-2x^2=2xy+y^2 \text{ (ellipse)}$$

Pour ce dernier cas plus complexe Fermat utilise un changement de coordonnées ([SM2]) :

Le type d'équations le plus difficile est celui contenant des termes en ae avec a² et e². Soit $b^2-2a^2 = 2ae+e^2$.

Additionnons a² de chaque côté de façon à obtenir a+e comme facteur de l'un des membres. Alors $b^2-a^2 = a^2+2ae+e^2$.

Remplaçons a+e par e ; alors, d'après le développement précédent, le cercle MI satisfera l'équation ; c'est-à-dire, $MN^2-NZ^2=ZI^2$. Posons $VI=NZ=a$, on a $ZV=e$.
Dans ce problème, on cherche le point V ou l'extrémité de la ligne e. Il est donc nécessaire de trouver, et d'indiquer, la ligne sur laquelle le point V est situé.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Soit MR parallèle à ZI et égale à MN. Tirons NR qui coupe IZ, prolongée en O. Puisque MN=MR, NZ=ZO. Mais NZ=VI, donc, par addition, VO=ZI. Donc $MN^2-NZ^2=VO^2$. Mais le triangle NMR est connu, donc le quotient $NM^2:NR^2$ est donné, comme aussi les quotients $NZ^2: NO^2$ et $(MN^2-NZ^2):(NR^2-NO^2)$. Mais nous avons montré que $OV^2=MN^2-NZ^2$. Donc le quotient $(NR^2-NO^2):OV^2$ est connu. Mais les points N et R sont donnés comme l'angle NOZ. Donc, comme nous venons de le montrer, le point V est sur une ellipse.

Avec ces quelques extraits on saisit mieux la nature du travail de Fermat. Son idée géniale de départ consiste à repérer un point mobile par deux grandeurs (a et e), et surtout d'utiliser ses deux inconnues comme des objets algébriques à part entière, indépendamment du contexte géométrique, et même si les retours sur le cadre géométrique sont constants. Fermat n'est cependant pas entièrement dégagé de la coutume grecque, ainsi comme Viète, il ne transgresse pas le principe d'homogénéité.

Les grandeurs a et e sont en fait en langage moderne les coordonnées "cartésiennes" du point I dans un repère orthonormé dont l'origine est en N et un des axes est porté par MN. Pourtant Fermat ne désigne pas deux axes et une origine comme on a l'habitude de le faire à présent. Il se contente en fait de donner un segment [NM] qui semble jouer le rôle d'unité des abscisses, mais ce segment reste fondamentalement attaché à la figure et ne lui préexiste pas. Par ailleurs, le calcul de l'ordonnée se fait par projection sur ce même axe, ainsi les deux coordonnées ne semblent pas jouer un rôle symétrique. Les deux quantités inconnues ne reçoivent pas de noms ; dans des mémoires ultérieurs, Fermat les désignera par les termes de "portion de diamètre" et "appliquée" respectivement pour abscisse et ordonnée.

Dans la suite des démonstrations, on peut mesurer avec quelle dextérité il manipule les expressions algébriques toujours dans la tradition de Viète aussi bien qu'on voit combien il connaît les traités anciens de géométrie. Cette introduction (Isagoge) est en fait un mémoire très court d'environ huit pages, alors qu'un appendice sur des résolutions de problèmes faisant intervenir des lieux solides vient pratiquement en doubler le volume.

En conclusion de l'Isagoge, Fermat ajoute : "Nous avons donc embrassé dans un exposé bref et lucide tout ce que les anciens ont laissé inexplicité sur les lieux plans et solides."

Ce traité présente de fait une innovation capitale pour la mathématique de l'époque. Malgré sa briéveté, il est riche en qualités non seulement pour la nouveauté du sujet mais aussi pour le côté didactique de l'exposé, qui le rend parfois supérieur à la Géométrie de Descartes. On peut se demander ce qu'il aurait pu donner comme prolongements si Fermat n'avait pas souffert d'un tel isolement et avait pu confronter ses vues avec quelques disciples.

L'idée essentielle ici est que l'objet géométrique devient par l'intermédiaire de deux quantités numériques un objet algébrique. Cette sorte de mutation est la porte ouverte à des idées révolutionnaires, Fermat lui-même utilisera son idée et partant des équations de courbes "géométriques" (on dirait aujourd'hui algébriques) il détermine en appliquant sa propre méthode de recherche des extrema, l'équation de la tangente en un point. Méthode qu'il généralisera entre 1640 et 1660 aux courbes "mécaniques" (aujourd'hui appelées transcendentes). Il jetait ainsi les fondements de ce que l'on allait ensuite appeler la géométrie différentielle et qui apparaîtra comme l'une des branches les plus riches de la géométrie analytique.
En 1637, donc avant la parution de l'Isagoge, mais certainement après sa conception, René Descartes publie son fameux Discours de la Méthode. Ce traité philosophique est suivi de trois appendices :

- *La dioptrique* sur la taille des verres de lunette.

- *Les météores* qui propose une cosmogonie.

- *La géométrie*.

Ce dernier texte d'un peu plus de cent pages est divisé en trois livres. Le philosophe y aborde de nombreux problèmes de géométrie, souvent dans la tradition des anciens, mais avec des méthodes entièrement nouvelles.

Il est frappant dès l'abord, de constater, malgré l'impossibilité matérielle de plagiat, la similitude des problématiques entre Descartes et Fermat. Pourtant contrairement au second, le premier ne semble pas avoir subi directement, voire même pas du tout, l'influence de Viète et de ses disciples. Sa formation par les pères jésuites de la Flèche était faite essentiellement d'un solide enseignement élémentaire classique. On ne peut dire avec certitude ce que le jeune Descartes, qui a beaucoup voyagé, a pu lire, mais il apparaît que son œuvre est avant tout le fruit original d'un esprit travailleur et éminemment inventif. La Géométrie est une de ces quelques œuvres qui ont marqué profondément l'histoire des mathématiques.

Descartes apparaît comme un être vif, friand de discussions et dont les lectures sont souvent superficielles. Son génie consiste dans la qualité qu'il a à assimiler rapidement et à réaliser les synthèses les plus heureuses de ce qu'il a glané de ci de là. Ainsi le langage symbolique qu'il a déjà fixé quand il écrit les géométries semble emprunter le meilleur des différents courants de l'époque, dans une création personnelle rendant le tout cohérent. C'est d'ailleurs à peu de détails près, le langage que l'on emploie encore aujourd'hui (cf Chap. I §2-b).

L'idée de départ de Descartes est que tous les problèmes de géométrie peuvent facilement se réduire à des termes tels qu'il n'est besoin par la suite que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire. Ainsi il prend une ligne qu'il nomme l'unité, pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion. Il montre alors comment les quatre ou cinq opérations de l'arithmétique (l'extraction de racine est une sorte de division) sont applicables en géométrie. Dans cette première étape, on pourrait croire qu'il ne se dégage guère de la tradition grecque, puisqu'en fait il justifie l'algèbre par son application à la géométrie. Pourtant le choix d'une unité montre bien une problématique distincte. Ainsi dès la troisième page Descartes fait un sort au sacro-saint principe d'homogénéité, qui depuis toujours limitait la portée de l'algèbre. Il explique que l'on peut par exemple chercher à tirer la racine cubique de $aabb-b$, pour ce faire, il faut penser que la quantité aabb est divisée une fois par l'unité et que l'autre quantité b est multipliée deux fois par la même. Voilà bien là, la preuve que ce n'est plus l'algèbre que l'on justifie par la géométrie mais bien une tentative "d'algébrisation" de la géométrie, c'est-à-dire que l'on utilisera tout ce dont l'algèbre dispose pour résoudre les problèmes de géométrie. En fait l'idée de Descartes, adepte de l'universalité, est de réconcilier algèbre et géométrie ; il reproche à la première d'être une science aveugle qui poursuit des calculs sans but, la géométrie lui donne un objet, quant à la seconde il lui reproche de s'enfermer dans la représentation graphique qui en limite les interprétations, l'algèbre est un moyen d'échapper à ce carcan. Descartes diffère en cela de Viète, pour qui la représentation géométrique était l'aboutissement du calcul algébrique, l'exégétique ou rhétique selon ses propres termes. Descartes est en faveur d'une sorte de dialectique entre les deux modes, où la hierarchie n'est pas de mise, la figure est le point de départ et aussi celui d'arrivée, mais c'est le calcul algébrique qui forme le noyau dur de la démonstration.

Descartes pose ensuite les fondements de sa méthode analytique en ces termes : " Ainsi voulant résoudre un problème quelconque, on doit d'abord le considérer comme déjà fait et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, autant à celles qui sont connues qu'aux autres. Puis sans faire de différence entre les lignes qui sont connues et celles qui ne le sont pas, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus naturellement de tous de quelle manière elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu'à ce qu'on ait trouvé un moyen d'exprimer une même quantité de deux façons : ce qui se nomme une équation car les termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. "

Descartes donne ensuite une explication sur le nombre d'équations que l'on doit trouver et sur la façon de les réduire, en fonction du nombre d'inconnues, puis il consacre le Livre I à résoudre quelques problèmes élémentaires où n'interviennent que des lignes droites et des cercles.

Ce principe fondamental posé, Descartes met sa méthode en pratique pour résoudre des problèmes plus complexes, généralement anciens, dont la plupart sont tirés de l'œuvre de Pappus. Comme Fermat, il donne les équations des droites et des principales formes de coniques.
Le Livre II commence par une introduction sur la nature des courbes et la différence entre les courbes géométriques, c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte (ce sont en fait ce que l'on appelle aujourd'hui les courbes algébriques) et les courbes mécaniques, parce qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement (comme la conchoïde ou la cissoïde). Il précise ensuite la distinction en ces termes : "(...) pour comprendre ensemble toutes (les lignes courbes) qui sont dans la nature, et les classer par ordre en plusieurs catégories, je ne peux rien dire de mieux que tous les points, de celles qu'on peut nommer géométriques, (...), ont nécessairement un rapport avec tous les points d'une ligne droite, et celui-ci peut être exprimé par une équation."

Compte tenu des connaissances de l'époque, il faut bien comprendre que cette équation est forcément polynomiale, on retrouve ainsi la définition des courbes algébriques actuelles. Descartes définit ensuite une classification de ces courbes géométriques par groupe de deux degrés, ainsi pour lui les courbes ayant une équation de degré un ou deux sont du premier genre, si le degré est trois ou quatre, la courbe est du deuxième genre etc... C'est à Fermat, après avoir médité sur ce point de l'œuvre de Descartes, que revient l'idée de classer les courbes géométriques indépendamment pour chaque valeur du degré de l'équation.

Voilà maintenant comment Descartes met en œuvre sa méthode pour exprimer une courbe à l'aide d'une équation.

Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de la ligne courbe EC, et sur cette ligne AB, je choisis un point, comme A, pour commencer ce calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre parce qu'on est libre de les prendre tels qu'on veut, car encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois de quelque façon qu'on les prenne, on peut toujours faire en sorte que la ligne paraisse du même genre, ainsi qu'il est aisé de le démontrer.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l'instrument qui sert à la décrire est appliqué, je trace à partir de ce point C, la ligne CB parallèle à GA et parce que CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l'une y et l'autre x.

On voit donc que comme Fermat, Descartes ne désigne réellement qu'un seul des axes de coordonnées et une origine, et que malgré l'arbitraire qu'il laisse, ces deux éléments semblent bien être liés à la figure, ils n'ont finalement qu'une existence relative et c'est une différence fondamentale de la démarche qui consiste à poser a priori l'existence d'un repère pour tout le plan, qui pourra donc se rapporter à n'importe quelle figure. De plus il fait la mesure de l'ordonnée e, en quelque sorte par projection sur l'axe, cette façon de faire introduit de façon intrinsèque une dissymétrie entre les deux coordonnées dont on sait de nos jours qu'elle n'a pas de raison d'exister et qui de fait persistera pendant près d'un siècle. Ainsi même si le nom de Descartes reste historiquement attaché aux coordonnées que l'on appelle cartésiennes, on voit que ce dernier était encore assez loin de la forme actuelle, non seulement sur des points de détails mais aussi sur des questions plus fondamentales. Il faudra attendre la deuxième moitié du XVIIIème siècle pour arriver à l'utilisation actuelle du repérage en coordonnées cartésiennes.

Dans la suite de la Géométrie, Descartes met en place les principales méthodes de la géométrie analytique, à travers la résolution de nombreux problèmes. Sa propre conclusion résume assez bien ce que son œuvre a pu apporter aux mathématiques.

"Mon but n'est pas de faire un gros livre, et j'essaie plutôt d'en dire le plus possible en peu de mots, comme on constatera peut-être que j'ai fait si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous les problèmes d'un même genre, j'ai à la fois donné la façon de les réduire à une infinité d'autres différents, et ainsi de résoudre chacun d'eux d'une infinité de façons ; outre cela ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite, tous ceux qui sont solides en coupant d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composé, en coupant d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composé que la
parabole; il ne faut que suivre la même méthode pour construire à l'infini tous ceux qui sont plus composés. Car en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas difficile de trouver les autres. Et j'espère que la postérité me saura gré, non seulement des choses que j'ai expliquées ici mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de lui laisser le plaisir de les découvrir."

Si l'œuvre de Fermat, restée non publiée pendant plus de trente ans, n'a finalement guère eu d'influence, la Géométrie de Descartes connut parmi ses contemporains un succès immédiat et créa une émulation sans précédent. Une nouvelle ère était née, présidée par la scission entre géométrie synthétique et géométrie analytique. Chacune des deux méthodes devait réunir ses adeptes et bientôt de vastes polémiques entre puristes et "pervertis" verraient le jour, mais pour l'heure le vent était en poupe et les résultats accessibles par la méthode analytique s'étendirent à tous les domaines connus en géométrie donnant des démonstrations souvent fort simples et permettant par une nouvelle approche des découvertes jusqu'alors inaccessibles.

Pour donner quelques points de repères, disons que F. Van Schooten exprime en 1649 les premières formules de changement de repère, c'est cependant à Euler, vers 1748, que revient semble-t-il, le privilège d'avoir le premier donné des formules très claires, c'est également lui le premier qui affirme l'équivalence des deux axes de coordonnées. Wallis considère pour la première fois, en 1655, des coordonnées négatives. Newton puis Bernoulli inventent les coordonnées polaires. Avant la fin du XVIIème siècle, on applique la géométrie analytique à l'espace. C'est enfin seulement dans la deuxième moitié du XVIIIème siècle avec J. L. Lagrange et G. Monge, que la géométrie analytique acquièrent réellement ses lettres de noblesse et prend la forme que nous lui connaissions.

## 2 - La naissance du "calcul vectoriel"

### a - Les premiers pas

Bien qu'elle a eu depuis ses débuts des détracteurs, la méthode analytique est rapidement devenue la méthode la plus utilisée en géométrie. Deux reproches de fond lui sont pourtant souvent fait.

Le premier tient à l'arbitraire apparemment inutile que l'on introduit par l'utilisation d'un repère. D'un point de vue philosophique choisir un système de coordonnées qui, bien que fondamental pour la résolution, n'existe pas a priori dans la question et n'apparaît plus dans la réponse, pose un problème que l'on pourrait presque qualifier d'éthique. Surtout que souvent la partie purement analytique de la résolution éloigne du sens "géométrique" de la situation et tout en amenant "naturellement" à la réponse jette un voile sur la perception visuelle que l'on pourrait avoir du problème. En outre principalement en physique le problème de l'indépendance des résultats par rapport au repère peut être dans certains problèmes un point crucial, difficile à résoudre.

Le deuxième reproche est venu avec l'amélioration des performances de la technique analytique qui avait pour corollaire avec la difficulté croissante des démonstrations, l'allongement constant des calculs impliqués dans celles-ci. Ainsi on se trouva rapidement face à des calculs qui prenaient de plus en plus de place d'autant que le formalisme algébrique n'aidait guère pour s'y retrouver, à des étapes du raisonnement où le sens "géométrique" se trouvait enfoui sous des masses d'équations et de notations.

Ces deux inconvénients ont certainement beaucoup influencé la recherche d'un calcul géométrique, c'est-à-dire intrinsèque prenant les objets géométriques eux-mêmes comme outils de calcul.

A côté du strict domaine de la géométrie, cette idée puise ses sources dans différents domaines : en physique tout d'abord, où l'on avait depuis l'antiquité l'habitude de représenter de nombreuses grandeurs par des "vecteurs" -le terme n'existe pas encore-, en opposition aux grandeurs "scalaires", mais encore dans le domaine du calcul algébrique qui n'a cessé depuis sa création de s'élargir à des catégories d'objets de plus en plus vastes.

Pour ce qui est des "vecteurs", le premiers pas vers le calcul géométrique réside dans l'utilisation du parallélogramme des forces comme moyen de représenter la résultante de deux forces. Cette pratique se rencontre déjà chez certains auteurs grecs, et elle est assez répandue aux XVIème et XVIIème siècles. Au début du XIXème, on peut dire qu'elle est un outil habituel dans la représentation des phénomènes physiques. Pourtant malgré l'évidente parenté de cette pratique avec le calcul géométrique, il semblerait qu'elle n'ait pas eu un rôle vraiment déterminant si ce n'est qu'elle en représente l'exemple le plus évident d'utilisation. En effet rien ne laisse penser que l'idée d'interpréter le parallélogramme des forces comme une addition de vecteurs ne
soit apparue avant que le concept de calcul géométrique ait été créé. En fait le tracé du parallélogramme n'est resté longtemps qu'un moyen pratique de figurer la résultante de deux forces, mais sans qu'on l'interprète comme une opération au sens algébrique du terme. On avait établi une correspondance pratique entre des phénomènes physiques et une réalité géométrique, mais aucun lien algébrique ne servait d'intermédiaire. Cette dernière étape apparaît plus comme une conséquence que comme vraiment un précurseur du calcul géométrique.

L'élargissement des calculs algébriques d'abord aux nombres négatifs, aux irrationnels, puis aux premiers modèles de nombres complexes a certainement eu un rôle beaucoup plus important dans la génèse du calcul vectoriel, en permettant peu à peu d'envisager l'idée de créer des opérations algébriques sur des objets, idée qui finit par se dégager entièrement du concept même de nombre.

En fait la première tentative significative pour créer un calcul géométrique semble être dûe à l'initiative de Leibniz vers 1679, c'est-à-dire quarante-deux ans après La Géométrie de Descartes. Dans une lettre à C. Huygens datée du 8 septembre 1679, Leibniz exprimant sa déception par rapport à la géométrie analytique énonce le principe d'un calcul géométrique en ces termes : ([CR] pp.3-5)

"Je ne suis toujours pas satisfait de l'algèbre, parce qu'elle ne donne pas les méthodes les plus courtes ni les constructions les plus belles en géométrie. C'est pourquoi je crois que, pour ce qui concerne la géométrie, nous avons toujours besoin d'une analyse qui soit distinctement géométrique ou linéaire et qui exprimera directement les situations comme l'algèbre exprime directement les grandeurs. Et je crois que j'en ai trouvé le moyen et que nous pouvons représenter les figures et même les machines et les mouvements par des lettres comme l'algèbre représente les nombres ou les grandeurs. Je vous envoie un essai qui me semble être important."

En introduction de cet essai, l'auteur décrit plus largement son but.

"J'ai découvert certains éléments d'une caractéristique qui est entièrement différente de l'algèbre, qui aura de grands avantages en représentant à l'esprit exactement et d'une façon fidèle à sa nature, même sans figure, tout ce qui dépend du sens de la perception. L'algèbre est seulement la caractéristique des nombres et des grandeurs indéterminés, mais elle n'exprime pas directement les situations, les angles, et les mouvements. Or il est souvent difficile d'analyser les propriétés d'une figure par le calcul, et encore plus de trouver des constructions et des démonstrations géométriques adéquates, même quand on a fini le calcul algébrique. Mais cette nouvelle caractéristique, qui s'appuie sur les figures visuelles, ne peut pas manquer de nous donner la solution, la construction et la démonstration géométrique tout dans le même temps, et de façon naturelle et dans une même analyse, c'est-à-dire dans une procédure déterminée."

On comprend mieux à la lecture de ces quelques lignes, la nature des reproches faits à la géométrie analytique et les espoirs que Leibniz fonde dans un calcul géométrique intrinsèque qui tout en ayant les avantages de maniabilité et de fiabilité de l'algèbre permettra également de rendre compte de tous les aspects spécifiques de la géométrie et qui ne sont pas pris en compte dans une résolution analytique où les outils algébriques appauvrissent les concepts en jeu et empêchent parfois même a posteriori de reconstruire le sens géométrique de la démonstration. Leibniz espérait pouvoir ainsi réconcilier algèbre et géométrie en prenant en compte dans une méthode de nature analytique le côté intuitif de la méthode synthétique.

Mais il manquera son but.

Il fonde sa géométrie des situations sur une relation de congruence entre ensembles de points : deux couples de points sont congruents si dans chaque couple les deux points sont à la même distance, deux triplets sont congruents si les deux triangles sont superposables etc... Il peut ainsi définir une sphère comme l'ensemble des points X tels que AX est congru à AB ; AX congru à BX détermine un plan ; ABC congru à ABX un cercle ; AX congru à BX congru à CX, une droite ; AX congru à BX congru à CX conru à DX, un point etc... Leibniz applique son calcul à la résolution de quelques problèmes assez élémentaires, mais ne donnera jamais de suite, on peut penser qu'il a lui-même compris les limitations que son système lui imposerait rapidement.

Comme beaucoup de ses lettres, cet essai de Leibniz ne fut publié pour la première fois qu'en 1833, il n'était alors pas démodé et comportait des éléments intéressants, qui n'avaient finalement que peu évolué dans cet espace d'un siècle et demi. Ainsi à sa publication, la société mathématique allemande Jablonowski Gesellschaft, fortement intéressée par ces travaux, lança une compétition, offrant un prix à celui qui fournirait la meilleure théorie dans le prolongement des idées de Leibniz. Un mathématicien alors inconnu entra en lice et gagna, il s'appelait H. G. Grassmann. On verra pourtant que son Ausdehnunglehre dépasse largement la tentative de Leibniz et ne lui doit aucune sorte de paternité.
Mais revenons en 1679, et à l'œuvre de Leibniz en son temps. Bien sûr son système ne permit pas de répondre à ses espérances. Les raisons en sont finalement assez claires pour un lecteur de la fin du XXème siècle. Avec sa relation de congruence, Leibniz ne garde du bipoint finalement que la longueur, c'est-à-dire qu'il le restreint à une grandeur unidimensionnelle. Or sans comprendre son erreur, il avait lui-même annoncé en introduction que ne rendre compte que d'une grandeur ne pouvait suffir en géométrie, puisqu'il dit que l'algèbre ne rend pas bien compte des situations des angles etc... On mesure bien là l'écart entre les prévisions particulièrement justes et en avance sur leur époque, et le système réellement proposé, qui se situe bien deçà des ambitions émises en introduction. Même si sa congruence entre triplets présentait une notion plus riche, il était encore loin de l'idée de vecteur, et donc d'un calcul géométrique vraiment efficace. Un premier pas eut été de voir que AB et BA pouvait être différencié, puis de pouvoir distinguer les directions dans l'espace.

Néanmoins malgré cet échec, l'apport de Leibniz est grand, la lucidité de sa démarche fait de lui, comme d'ailleurs dans le cas des déterminants (cf Ch.II §.1), un visionnaire de génie qui a anticipé de plusieurs dizaines d'années des idées révolutionnaires. En effet son analyse de la relation entre algèbre et géométrie est non seulement un constat fort juste des limites de la méthode analytique mais encore une anticipation très réaliste des qualités que devrait posséder un calcul géométrique. Sa description rend en ce sens tout à fait compte des préoccupations qui vont agiter le monde mathématique dans la fin du XVIIIème siècle et une bonne partie du XIXème.

## b - Les premiers systèmes de "calcul géométrique"

### i - Le calcul barycentrique de Möbius

A. G. Möbius était professeur d'astronomie à Leipzig et ses recherches sur la mécanique céleste l'ont rapproché de la géométrie. Son ouvrage le plus célèbre est certainement *Der barycentrische Calcul (ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet)* publié en 1827, mais dont il conçut les premiers éléments dès 1818 ([MO] T.I, pp.1-388, et [SM2] pp.670-676).

Dans ce livre exposé avec beaucoup de clarté, Möbius définit un calcul géométrique qui, sans répondre entièrement au rêve de Leibniz, permet d'éviter les principaux défauts que celui-ci reprochait aux coordonnées cartésiennes. De plus le calcul barycentrique de Möbius se rapproche en beaucoup de points du calcul vectoriel actuel.

Dès le tout début de son livre Möbius introduit une addition et une notion de rapport entre les lignes de même direction, il note au passage qu'un changement de sens correspond à un changement de signe, c'est-à-dire que $BA=-AB$. On a vu comment cette idée assez simple, mais pas encore courante à l'époque, avait fait défaut à Leibniz dans sa tentative de créer un calcul géométrique. Möbius fait preuve d'une grande liberté dans son approche des quantités géométriques. Ce qu'il note simplement $AB$ correspond à la notion actuelle de vecteur, ou de segement orienté. Il considère également que la surface d'un triangle est orientée, suivant l'ordre des trois points qui le déterminent et définit ainsi la surface relative d'un triangle qui est une quantité avec un signe et qu'il note par les trois lettres des sommets $(ABC=BCA=CAB=-BAC=-ACB=-CBA)$, de même il définit le volume relatif d'une pyramide.

Le théorème fondamental sur lequel repose sa théorie est le suivant :

" Etant donné un système de n points A, B, C, ..., N, avec respectivement les coefficients a, b, c, ..., n, dont la somme n'est pas nulle, il existe un et un seul point, le centroïde S, Ayant les propriétés suivantes : si on trace des droites parallèles par chaque point et par le point S, dans une direction quelconque, et si ces lignes coupent un plan quelconque en A', B', C',..., S', respectivement, on a toujours :

$$ a.AA' + b.BB' + ... + n.NN' = (a+b+...+n).SS' $$

en particulier quand le plan passe par S on a :

$$ a.AA' + b.BB' + ... + n.NN' = 0. $$

Möbius traduit ce résultat d'invariance par l'écriture symbolique suivante : $aA+bB+...+nN \neq S$. Il utilise ainsi les points assignés d'un poids comme des objets algébriques. Le type d'opération en jeu ici est cependant d'une nature très spéciale. La première spécificité vient de l'impossibilité de définir la somme de points dont la somme des poids serait nul. Möbius dit qu'alors le centroïde est à l'infini, mais il ne précise pas vraiment en quel sens. Si on considère tous les points associés au poids nul comme un seul, cet élément peut être considéré comme l'élément neutre, la difficulté vient alors du fait que si cet élément peut apparaître dans une somme partielle, il n'est jamais en revanche le barycentre de points, puisque si la somme des poids est nul, le barycentre est infini.
On peut toutefois s'en tirer formellement à condition alors de ne pas égaler à zéro, on peut, avec le calcul barycentrique, utiliser les mêmes règles de transformation des égalités qu'avec une addition ordinaire. Möbius définit même ce qu'est une annulation : $aA+bB+...+nN \neq 0$, signifie d'une part que $a+b+...+n=0$ et que (par exemple) $bB+...+nN \neq A$. Cette définition permet d'égaler formellement à zéro, mais la difficulté conceptuelle est toujours existante : on ne peut rien dire d'une somme qui vérifie la première condition sans la seconde.

Si le calcul barycentrique n'est pas entièrement satisfaisant d'un point de vue théorique pour l'algèbre, il s'avère par contre très performant d'un point de vue pratique dans la résolution de problèmes géométriques.

Möbius montre que les points d'une droite (respectivement d'un plan et de l'espace) peuvent s'exprimer comme les barycentres de deux (respectivement trois et quatre) points. Il établit ensuite les relations de proportionnalité qui relient les coordonnées barycentriques aux distances entre les points sur une droite, aux surfaces des triangles dans un plan et aux volumes des pyramides dans l'espace. Il montre également comment on peut faire des changements de repère barycentrique. Enfin il applique les nouvelles techniques à la résolution de nouveaux problèmes.

L'invention de Möbius est une étape importante dans la génèse du calcul vectoriel, même si elle n'a finalement pas eu d'influence sur la suite des découvertes. Le calcul barycentrique ne correspond pas entièrement à l'idéal rêvé par Leibniz, puisque l'arbitraire du choix d'un repère n'est pas écarté. Pourtant il permet de travailler directement sur les objets géométriques et donc de donner plus de sens aux opérations algébriques qui ne sont plus "aveugles". Le système proposé est pourtant plus une technique de calcul pratique et particulièrement adaptée à certains problèmes que véritablement une théorie algébrique achevée.

Möbius fut l'un des premiers à avoir connaissance des travaux de Grassmann, qui dans sa théorie de l'extension incluait le calcul barycentrique comme un cas particulier. A la suite d'une correspondance assez suivie entre les deux hommes, le premier améliora sa théorie à partir des idées du second. Après la découverte et l'acceptation d'un calcul vectoriel performant en dimension trois, le calcul barycentrique n'apparaît plus aussi intéressant, pourtant il n'en reste pas moins que cette méthode est encore utilisée et qu'elle donne pour certains types de problèmes des résolutions particulièrement adaptées. Par ailleurs, les travaux de Möbius ont inspiré Von Staudt dans sa mise au point des coordonnées projectives, qui permirent de dégager la géométrie projective de toutes considérations métriques et d'en mieux comprendre la véritable nature.

## ii - Le calcul des équipollences de Bellavitis

Entre 1832 et 1835, le mathématicien italien G. Bellavitis publia différents articles dans lesquels il exposa sa théorie des équipollences. Selon ses propres aveux, cette méthode lui avait été inspirée par un livre de l'abbé Buée sur une tentative de représenter les complexes par des quantités géométriques (cf § suivant). Bellavitis, quant à lui, refusa toute sa vie une légitimité aux nombres imaginaires et sa théorie des équipollences, bien que très proche de la structure des nombres complexes, appartient entièrement au domaine géométrique.

Bellavitis définit deux lignes comme équipollentes si elles sont égales (c'est-à-dire de même longueur), parallèles et dirigées dans le même sens. On reconnaîtra bien sûr la définition moderne, si bien que ses lignes ne sont rien d'autres que nos vecteurs actuels. Il définit ensuite l'addition de deux ou plusieurs lignes arrangées de façon que l'extrémité de chaque ligne coïncide avec l'origine de la suivante. Il dit que la somme ne change pas quand on remplace une ligne par une autre qui lui est équipollente, ce qui permet de définir une somme pour n'importe quelles lignes modulo l'équipollence. Il définit également le produit d'une ligne par un nombre. Il précise alors que dans une équation (sous-entendu linéaire) comportant des lignes on peut faire les mêmes opérations que dans une équation algébrique, ce qui revient à reconnaître indirectement et en langage moderne que les vecteurs munis de l'addition forment un groupe abélien.

Bellavitis se restreint ensuite au plan. Il y définit la notion d'inclinaison, qui correspond à l'angle que fait un ligne avec l'horizontale dirigée de la gauche vers la droite, l'inclinaison est donc une mesure entre 0° et 360°, en langage moderne, elle correspond exactement à l'argument de l'affixe complexe de la ligne. Il définit alors une multiplication entre les lignes : le produit de deux lignes est une ligne dont l'inclinaison est la somme des deux inclinaisons et dont la longueur est le produit des deux longueurs. Il est bien clair, et l'auteur lui-même l'a reconnu, que ceci correspond exactement au produit des affixes complexes.
Le théorème fondamental de Bellavitis est le suivant :

"Dans les équipollences, les termes sont transposés, substitués, additionnés, soustraits, multipliés, divisés, etc... En bref, on effectue toutes les opérations algébriques qui seraient légitimes si on avait affaire à des équations, et les équipollences qui en résultent sont toujours exactes (i.e. les opérations sont toujours définies et univoques). Comme nous l'avons dit plus haut, les équipollences non linéaires ne peuvent se référer qu'à des figures dans un même plan."

Même si le résultat de Bellavitis est très proche de ce que l'on obtient grâce à la représentation géométrique des complexes, que nous discuterons plus en détail dans le paragraphe suivant, son œuvre reste originale et méritait à ce titre une place à part dans notre étude.

On peut bien sûr critiquer les raisons un peu sectaires qui empêchèrent Bellavitis de donner une interprétation de son travail en termes de nombres complexes, il n'en reste pas moins que cet entêtement donne à sa théorie une plus grande universalité. D'abord parce qu'il définit l'addition pour toutes les lignes de l'espace (on verra que Wessel avait fait de même) ainsi que le produit par un nombre, mais aussi parce qu'il réussit à présenter une structure algébrique sur des objets géométriques sans aucun intermédiaire de nature algébrique. Du coup sa référence est l'ensemble des réels, il ne cherche pas à établir un isomorphisme, mais il reconnaît que formellement on opère sur des lignes comme sur des nombres (réels). Dans son théorème, il identifie le statut particulier des opérations linéaires. Dans ce sens il est un des précurseurs du calcul vectoriel en géométrie de l'espace, c'est le premier à définir d'un seul coup, bien qu'implicitement, la nature des objets (pour définir les vecteurs de la géométrie, on utilise encore l'équipollence de nos jours) et leur structure d'espace vectoriel.

Enfin Bellavitis se montra très habile à donner des applications de sa méthode à des résolutions de problèmes de géométrie et de physique.

### c - La représentation géométrique des "complexes"

La recherche d'un calcul géométrique intrinsèque semble avoir occupé plusieurs mathématiciens de la fin du XVIIIème siècle. Un autre grand problème qui datait d'assez longtemps et devait persister jusqu'au début du XXème siècle, et était fort débattu au début du XIXème, était celui de la légitimité des racines des nombres négatifs, et de ce que l'on appelle aujourd'hui les nombres complexes (le terme est de Gauss), mais qui s'appelaient à l'époque absurdes, impossibles ou imaginaires, etc.

Or la possibilité de trouver à ces nombres un correspondant géométrique dans le plan devait d'un seul coup, permettre non seulement de donner une réponse satisfaisante au calcul géométrique plan, mais aussi de légitimer l'utilisation des nombres complexes en en montrant une certaine "réalité".

Il est remarquable de voir que le concept de représentation géométrique des complexes fut découvert à trois périodes distantes de quelques années et par au moins six mathématiciens différents, le tout très vraisemblablement de façon entièrement indépendante. Singulièrement tous sauf Gauss, c'est-à-dire : Wessel, Argand, L'abbé Buée, Mourey et Warren, n'étaient pas très connus et en marge du monde mathématique de leur temps. Ceci explique certainement en partie au moins, que bien que leurs travaux fussent tout à fait valables, ils n'eurent que peu d'influence.

En effet, il a fallu attendre que Gauss apporte sa pierre à l'édifice pour que le monde mathématique daigne s'y intéresser.

En France, Cauchy fut le premier mathématicien de renom à utiliser largement les "nombres complexes" et leur représentation géométrique, il en montra de nombreuses applications, en particulier dans ses Exercices d'analyse et de physique mathématique ([CA] T. XIV).

On trouve une première trace de l'idée de représenter les nombres *imaginaires* par des moyens géométriques dans un texte de Wallis. Dans son *Traité d'algèbre*, publié en 1685, celui-ci essaie, à l'aide de plusieurs comparaisons imagées, de montrer que si les nombres imaginaires n'ont pas de réalité, comme pour les nombres négatifs, il n'en est pas moins possible et non absurde d'en considérer l'existence (cf extraits in [SM2], pp. 46-54). Ainsi pour lui il est naturel de considérer la moyenne géométrique de deux nombres de signes opposés, bien que celle-ci soit nécessairement un nombre *imaginaire*. Pour illustrer son propos, il donne alors une interprétation géométrique de ce fait. Sur un même axe il place trois points A, B et C dans cet ordre, tels que $AB=b$ et $BC=c$, b et c étant deux quantités positives.
Il trace alors le cercle de diamètre AC.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Il est clair que si P désigne un des points d'intersection du cercle avec la droite perpendiculaire à AC en B, la distance BP qui vaut le sinus de l'angle POB (si on prend $b+c/2$ comme unité de longueur) est égale à $+bc$. Wallis propose alors par analogie de représenter la moyenne géométrique de $(-b)$ et $c$ par la tangente du même angle sur le même cercle c'est-à-dire par $B'P$. Mais cette interprétation n'est pas vraiment utilisée par l'auteur dans d'autres circonstances.

En fait Wallis réalise une construction géométrique en rapport avec un calcul algébrique faisant intervenir un nombre imaginaire, mais il ne réinvestit pas cette construction dans un cadre algébrique, ce manque d'opérationnalité rend sa tentative très limitée. De même il essaie ensuite plusieurs représentations géométriques, mais aucune ne s'avère très fructueuse, pour les mêmes raisons essentiellement ; si bien que si l'on peut voir en Wallis un précurseur du concept de représentation géométrique des complexes, on ne peut pas dire qu'il ait vraiment contribué à la création d'un calcul géométrique, sa préoccupation était plus de donner une légitimité aux nombres imaginaires, que de créer une structure algébrique sur les quantités géométriques.

Il faudra en fait attendre plus d'un siècle avant que des avancées significatives soient faites dans la voie de la création d'un calcul géométrique utilisant les complexes.

Dans ses œuvres, Cauchy donne un aperçu historique des découvertes dans le domaine qui nous intéresse, on y trouve les quelques lignes reproduites ici ([CA] T. XIV, p. 175, note 1) :

"Une grande partie des résultats de ces recherches avait été, à ce qu'il paraît, obtenue, même avant le siècle présent et dès l'année 1786, par un savant modeste, M. Henri-Dominique Truel, qui après les avoir consignés dans divers manuscrits, les a communiqués, vers l'année 1810, à M. Augustin Normand, constructeur de vaisseaux au Havre."

Pourtant à part par cette note de Cauchy, personne n'a jamais eu de trace de l'existence de cette première découverte. La question n'est d'ailleurs pas fondamentale, puisque quand bien même elle aurait existé, elle n'a en tout cas pas eu d'effets.

Pendant longtemps on a attribué à l'abbé Buée et à Argand, la paternité quasi simultanée de la représentation géométrique des complexes.

Du premier on présenta un *Mémoire sur les quantités imaginaires*, en français devant la *Royal Society of London* le 20 juin 1805, ce mémoire fut publié, sans traduction, en 1806 dans les *Transactions of the Royal Society*.

Le second publia un *Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques* qui parut pour la première fois en 1806 [AR]. Mais nous reviendrons sur l'œuvre d'Argand, plus en détail plus loin.

En fait les historiens durent revenir sur ces points quand, grâce à une traduction française parue en 1897, on découvrit qu'un obscur ingénieur géomètre norvégien, nommé Wessel, avait présenté en 1797 devant l'Académie Royale du Danemark, un mémoire intitulé *Om directionens analytiske betegning*. Ce texte s'avèra en effet être la première découverte (dont on ait des traces précises) de la représentation géométrique des complexes. Publiant pour la première fois de son histoire une œuvre n'émanant pas de l'un de ses membres, l'Académie Royale du Danemark avait fait paraître l'œuvre de Wessel en 1799. Malgré l'intérêt et la grande nouveauté du sujet ce traité ne fut pas traduit et tomba complétement dans l'oubli jusqu'en 1896 ; peu après Sophus Lie republia le texte original ; on fit paraître une traduction française l'année suivante.

Le point de départ de Wessel est géométrique, il ne cherche pas directement à justifier l'existence des nombres complexes mais selon ses propres termes à représenter analytiquement les directions, c'est-à-dire à exprimer les lignes droites de façon que dans une équation ne faisant intervenir qu'une ligne inconnue, les autres étant connues, à la fois la longueur et la direction de la ligne inconnue puissent être exprimées". ([WE] ou [SM2] pp. 55-66). On voit donc que la problématique de Wessel est d'élaborer des éléments d'un calcul géométrique, en fait dans la pratique Wessel ne s'intéressera qu'à un nombre très réduit de problèmes principalement la construction et l'étude des polygônes réguliers- ce qui relativise sa démarche.

Wessel commence par constater qu'avec les techniques algébriques classiques, une direction ne peut-être modifiée qu'en son opposée, si bien qu'une direction étant fixée, on ne peut considérer en même temps des lignes que dans deux directions opposées.
Il explique alors que son but est, sans en modifier les règles, de prolonger le calcul algébrique à toutes les lignes de l'espace, en prenant en compte l'infinité des directions possibles. Nous citons ci-dessous les dernières lignes de son introduction :

"Mon but dans les chapitres suivants sera :

I. D'abord de définir les règles de telles "opérations".

II. Ensuite de démontrer leurs applications quand les lignes sont dans le même plan, par deux exemples.

III. De définir la direction de lignes prises dans des plans différents par une nouvelle méthode "d'opération" qui n'est pas algébrique.

IV. Au moyen de cette méthode, de résoudre des problèmes sur les polygones plans et sphériques.

V. Finalement de déduire de la même manière les formules ordinaires de trigonométrie sphérique.

Dans la première partie, qui est celle qui nous intéresse le plus ici, Wessel part de considérations géométriques. Son point de départ concerne la variation dans la distance d'un point à un plan quand le point se déplace selon une ligne droite. Il appelle axe, la droite passant par le point et perpendiculaire au plan et distingue trois cas :

- Si la ligne de déplacement est perpendiculaire à l'axe, l'effet est nul sur la distance.

- Si elle est alignée avec l'axe (il dit alors qu'elle est directe), la distance est, d'après lui, diminuée ou augmentée d'autant que la longueur de la ligne. (Ce résultat est cependant faux, si le déplacement est tel que le point passe d'un côté à l'autre du plan!)

- Enfin quand la ligne de déplacement fait un angle oblique avec l'axe (ou est indirecte d'après son vocabulaire), seulement une partie de sa longueur est additionnée ou soustraite à la distance.

Pour expliquer l'effet de la ligne de déplacement sur la *ligne absolue* définissant la distance, Wessel définit la somme de deux lignes droites en ces termes : "deux lignes droites sont additionnées si on les unit de telle façon que la seconde commence là où la première finit, et alors on passe une ligne droite du premier au dernier point des lignes unies."

On retrouve dans cet énoncé la règle du parallèlogramme et implicitement la notion de représentant de vecteur. Pourtant dans ce qui a précédé, en particulier dans les maladresses, on a pu mesurer combien la notion de somme de deux quantités géométriques pouvait à l'époque choquer les mentalités. Depuis les Grecs en effet, on avait l'habitude de ne caractériser les lignes que par leur longueur ; faire intervenir le sens comme le fait Wessel est déjà un fait remarquable, prendre en compte la direction, surtout dans une opération de type algébrique, représente une innovation de taille.

Dans le paragraphe deux de cette première partie, Wessel s'attache à étendre cette addition à n'importe quel nombre fini de lignes droites, dont il ne suppose pas qu'elle sont coplanaires. Il remarque que l'ordre dans lequel on additionne est sans importance, ce qui prouve qu'il utilise implicitement une relation d'équivalence sur les lignes droites (notre relation d'équipollence). Cette remarque revient bien sûr en les amalgamant à montrer l'associativité et la commutativité de la somme.

Le paragraphe trois est très court mais fort intéressant : "Si la somme de plusieurs longueurs, largeurs et hauteurs vaut zéro, alors la somme des longueurs, la somme des largeurs et la somme des hauteurs valent chacune zéro."

Ce court argument peut sembler anodin, il contient pourtant un des principes fondamentaux bien qu'élémentaires du calcul vectoriel en dimension trois.

Dans le paragraphe quatre, Wessel définit le produit de deux lignes se trouvant dans un même plan que l'unité. Il introduit alors, de façon assez abrupte, dès le paragraphe suivant, une ligne d'unité absolue qu'il désigne par +1, et une ligne unitaire, perpendiculaire et ayant même origine, qu'il désigne par le symbole $+\epsilon$. Il montre ainsi, avec les opérations définies précédemment, que $-1$ désigne la ligne unitaire opposée à l'unité absolue et que nécessairement $+\epsilon=\sqrt{-1}$, alors que les règles habituelles de calcul sont conservées.

Dans les paragraphes qui suivent, il établit que les rayons du cercle unité s'écrivent $\cos\epsilon+\epsilon\sin\epsilon$ et qu'enfin n'importe quelle ligne d'un plan s'écrit $\rho\cos\rho+\rho\sin\rho$. De plus il continue de montrer que ses nouvelles opérations ne bousculent pas les pratiques déjà existantes, en particulier que l'on retrouve les formules de trigonométrie habituelles.

Ces fondations étant posées, Wessel développe ensuite le calcul des quotients et des puissance de lignes géométrique plus quelques calculs particuliers puis il donne deux applications de sa méthode à des problèmes de géométrie.
Dans un dernier temps, il développe une manière de représenter les changements de direction dans l'espace. Il commence par considérer trois unités dans des directions perpendiculaires deux à deux qu'il désigne respectivement par +1, +ε et +η, et montre que toutes les lignes de l'espace peuvent être représentées par une combinaison linéaire de ces trois unités. Par analogie avec ce qui précède, il pose que εε et ηη sont tous deux égaux à -1. Il définit alors la multiplication comme la rotation et l'extension d'un vecteur par l'autre. Dans ce sens, il examine le produit par cosu+εsinu et cosv+εsinv, qui correspondent respectivement à une rotation autour de +η d'angle u et autour de +ε d'angle v. Il montre comment ces deux opérations peuvent se combiner. Mais la difficulté apparaît dans la possibilité de représentation des rotations autour de l'axe +1. Ce cas n'est en fait pas envisagé par Wessel. Il paraît très probable qu'il ait buté ici et ait réalisé les sérieuses complications qu'apportent la dimension trois, sans pouvoir les surmonter.

En particulier pour pouvoir représenter les rotations autour de +1, il aurait fallu pouvoir définir les produits εη et ηε. On sait a postériori, avec les quaternions, sur lesquels nous reviendrons dans le chapitre suivant, que la solution nécessite l'introduction de quatre unités et l'abandon de la commutativité du produit. Wessel, peut-être à l'image de son époque, n'étaient pas encore assez mûrs, pour ce genre de révolution qu'Hamilton mettra de nombreuses années à mettre au point, près d'un demi-siècle plus tard. Cependant cette première tentative est un semi échec mais aussi un semi succès puisqu'elle permit à son auteur de démontrer quelques résultats intéressants en particulier de trigonométrie sphérique.

Comme nous l'avons expliqué plus haut, l'œuvre de Wessel resta ignorée, elle n'en reste pas moins la première réussite dans le domaine de la création d'un calcul géométrique et reste à ce titre exemplaire même si l'histoire lui a réservé un rôle secondaire.

Le livre de l'abbé Buée ne semble pas avoir eu beaucoup d'influence directe. Plus importante fut par contre la contribution d'Argand.

Il s'en est pourtant fallu de peu pour que son *Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques*, paru en 1806 [AR], passât inaperçu. Dans un premier temps, il ne fut pas publié et seules quelques copies -sans nom d'auteur-circulèrent dans un milieu très restreint, sans que l'audience ne semble vouloir s'élargir.

En 1813, un officier d'artillerie de Metz, J-F. Français publia dans les *Annales Mathématiques de Gergonne* (T.IV, pp.61-71) une note intitulée *Nouveaux principes de Géométrie de position, et interprétation géométrique des symboles imaginaires* (cf in [AR] pp.63-74), dans laquelle il développait les principes d'un calcul géométrique utilisant les nombres complexes. Or à la fin de cette note Français précisait : "Je dois, au surplus, à la justice de déclarer que le fond de ces idées nouvelles ne m'appartient pas. Je l'ai trouvé dans une lettre de M. Legendre à feu mon frère (Legendre la tenait lui-même d'un autre mathématicien) (...) Je désire que la publicité que je donne aux résultats auxquels je suis parvenu puisse déterminer le premier auteur de ces idées à se faire connaître, et à mettre au jour le travail qu'il a fait lui-même sur le sujet."

Bien sûr, le dit mathématicien était Argand, qui, à la lecture de la note de Français, se fit identifier. "L'affaire" suscita l'intérêt de Gergonne et de Servois. Tout ceci donna lieu à un débat resté célèbre et dont les *Annales* se firent l'écho. Tour à tour les quatre mathématiciens publièrent des notes répondant aux précédents. Finalement Argand publia un résumé remarquable de sa théorie, remaniant quelques points en s'appuyant sur les critiques de ses trois collègues ; en particulier, il donna une démonstration particulièrement satisfaisante du théorème fondamental de l'algèbre.

Parallèlement à ce débat sur la représentation des nombres complexes, Argand, Français et Servois tentèrent tous trois indépendamment et tout aussi infructueusement d'étendre le calcul géométrique à l'espace. Des trois tentatives, seule celle du dernier devait rester dans l'histoire et fut mentionnée par Hamilton, qui toutefois la connut apparemment trop tard pour pouvoir s'en être inspiré.

Contrairement à celui de Wessel, le point de départ d'Argand est algébrique. Il est en fait en ce sens plus proche de la démarche de Wallis. Comme lui, il commence par parler des nombres négatifs, dont il faut le rappeler, en ce début de XIXème siècle, la légitimité n'était pas encore acquise. Il dégage ainsi deux spécificités des nombres relatifs. *La première est que, selon l'espèce de grandeurs à laquelle on applique la numération, la quantité négative est réelle ou imaginaire* ; la seconde est que, deux quantités d'une espèce susceptible de fournir des valeurs négatives étant comparées entre elles, l'idée de leur rapport est complexe. Elle comprend 1° l'idée