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# Commande Robuste pour la conception des systèmes complexes

Anton Korniienko

► To cite this version:

Anton Korniienko. Commande Robuste pour la conception des systèmes complexes. Automatique / Robotique. Université Claude Bernard Lyon 1, 2022. tel-03582532

HAL Id: tel-03582532

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Submitted on 21 Feb 2022

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ECOLE CENTRALE DE LYON

Mémoire pour l'obtention de

L'Habilitation à Diriger des Recherches

de l'Université Claude Bernard Lyon 1

Présentée par

Anton KORNIENKO

Commande Robuste pour la
conception des systèmes complexes

soutenue publiquement le 07 février 2022

Devant un jury composé de :

Rapporteurs :

Jean-Marc BIANNIC - Directeur de Recherche, ONERA Toulouse

Marc JUNGERS - Directeur de Recherche CNRS, CRAN, Université de Lorraine

Olivier SENAME - Professeur des Universités, Grenoble-INP

Examineurs :

Suzanne LESECQ - Directrice de Recherche, CEA, Grenoble

Pascal DUFOUR - Maître de Conférences, HDR, Université Claude Bernard Lyon 1

Gérard SCORLETTI - Professeur des Universités, Ecole Centrale de Lyon
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Remerciements

On réussit mieux une aventure quand on est bien accompagné! L'Habilitation à Diriger des Recherches n'est pas une exception. Il serait impossible d'obtenir les résultats des travaux de recherches, exposés dans ce manuscrit, sans un tel entourage professionnel et personnel que j'ai eu la chance d'avoir. Je voudrais donc remercie toutes les personnes qui m'ont accompagné de près ou du loin ces 10 dernières années.

Je remercie les membres de mon jury pour leur travail d'analyse, pour leurs commentaires et des suggestions intéressantes pour les recherches futures.

Je remercie toute l'équipe d'étudiants, doctorants, postdocs, ingénieurs de recherche, etc. que j'ai pu co-encadrer. Vous êtes une vraie équipe de choc!

Je remercie tous mes collègues du laboratoire et de l'école avec qui j'ai pu travailler et avoir des échanges riches tout au long de cette période que ce soit pour des sujets scientifiques, de l'enseignement ou tous simplement autour d'un café, d'une bière ou d'un verre de « kagnak » ukrainien. Un merci spécial à mes collègues d'Ampère : Gérard, Éric, Xavier, Florent, sans vous mes activités de recherche et d'enseignement auraient été surement moins passionnantes.

Mes remerciements vont aux collègues d'autres laboratoires et d'universités avec qui nous avons pu collaborer et plus particulièrement à Ian, Moises, Marc, Usman, Håkan.

Je remercie les collègues de secteur privé (ou semi-privé). Merci pour vos efforts à la fois pédagogiques, permettant d'expliquer les enjeux et problèmes pratiques, mais aussi méthodologiques, nécessaires pour comprendre la partie plus formelle de mes recherches. Un merci spécial à Christophe, Nicolas, Micha et Guillaume. Nos collaborations sont au cœur de ma thématique de recherche.

Mes remerciements vont évidemment à ma famille en Ukraine et en France, pour leur soutien et patience. Un merci tout particulier à mes enfants et à toi, Marion.
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**Résumé** : Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches fait un bilan de mes activités d'enseignement et de recherche sur la période 2012-2021. La première partie présente brièvement ces activités, alors que la seconde se focalise sur la synthèse de mes travaux de recherche. Ma thématique de recherche s'articule autour du développement de méthodes de conception de systèmes complexes. Ces méthodes se basent sur la Commande Robuste et ses extensions : approche entrée-sortie, dissipativité, analyse par les contraintes intégrales quadratiques. Mes principales contributions en recherche peuvent être classées en deux catégories : le déploiement des méthodes de la Commande Robuste dans d'autres disciplines et le développement de nouvelles méthodes destinées à la conception de systèmes. La première catégorie démontre le grand potentiel de la Commande Robuste pour la conception de systèmes et soulève plusieurs défis scientifiques audacieux. Ces défis sont axés sur le besoin actuel de méthodes de conception efficaces permettant de prendre en compte la complexité algorithmique face à la croissance impressionnante de la taille et de la complexité dynamique de systèmes technologiques modernes. La seconde partie des contributions présentées est destinée à relever ces défis en proposant en plus des méthodes de conceptions pertinentes en réponse à la problématique pragmatique considérée, les nouveaux résultats théoriques originaux et applicables aux autres problèmes de conception. Il s'agit notamment de la synthèse de commande décentralisée dans le contexte de Systèmes Multi-Agents, de l'analyse hiérarchisée de la performance robuste, d'une synthèse des systèmes LFRs ainsi que de la commande et de l'analyse de systèmes à paramètres variants harmoniquement dans le temps.

**Mots clés** : Commande Robuste, Conception de systèmes, Approche entrée-sortie, Dissipativité, IQC, Commande $H_\infty$, $\mu$-analyse, Commande décentralisée, systèmes LFT, synthèse LFR, systèmes modulés.
Robust control for complex system design

**Abstract** : This manuscript presents my teaching and research activities from 2012 to 2021. The first part is dedicated to a brief description of these activities while the second part is focused on the synthesis of my research activities. My research subject is the development of the design methods for complex systems. These methods are based on the Robust Control and its extensions : input-output approach, dissipativity, integral quadratic constraint analysis. My main contributions in research can be split in two categories : deployment of Robust Control methods in other disciplines and development of new methods for the system design. The first category illustrates a strong potential of Robust Control for the system design and raises ambitious scientific challenges. These challenges underline the necessity for efficient design methods that can take into account the algorithmic complexity implied by growing size and dynamic complexity of the modern technological systems. The second part of the contributions is dedicated to address these challenges. In addition to propose the design methods relevant with respect to the pragmatic problem under consideration, obtained original theoretical results are applicable to other design problems. Particularly, this includes the decentralized control synthesis in the context of Multi-Agent systems, the hierarchical analysis of the robust performance, the synthesis of LFR systems and the control and analysis of the systems with harmonically varying parameters.

**Keywords** : Robust Control, System design, Input-Output approach, $H_\infty$ synthesis, $\mu$-analysis, Decentralized control, LFT systems, LFR synthesis, system with modulation.
# Table des matières

## I Curriculum et bilan des activités 1

### 1 Curriculum Vitae 3

1.1 Renseignements généraux 3

1.2 Formation 4

1.3 Expérience professionnelle 4

### 2 Activités d'enseignement et administratives 5

2.1 Aperçu général 5

2.2 Détail des activités 5

2.3 Activité administratives pour l'enseignement 10

2.4 Activités administratives 10

### 3 Activités de recherche 11

3.1 Aperçu général 11

3.2 Activité collectives et collaborations 12

3.3 Projets de recherche financés 13

3.4 Autres activités académiques 20

### 4 Liste de travaux et publications 21

4.1 Encadrement 21

4.1.1 Thèses 21

4.1.2 Autres encadrements 31

4.2 Publications 32

4.3 Rapports techniques 36

4.4 Séminaires présentés 37

## II Synthèse des travaux de recherche 39

### Liste d'abréviations 41

### Notations 43

### Introduction Générale 45

### 5 Déploiement de la Commande Robuste dans d'autres disciplines 51

5.1 Introduction 51

5.2 Analyse de tolérance de circuits électroniques 52

5.2.1 Problème considéré 52

5.2.2 De la μ - analyse vers un outil de conception de circuits 52

5.2.3 Problématique scientifique sous-jacente 54

5.3 Analyse de robustesse de capteurs inertiels 55

5.3.1 Évaluation de la précision de mesure des capteurs inertiels 56

5.3.2 Variance d'Allan basée modèle 56

5.3.3 Problématique scientifique sous-jacente 56

5.4 Commande Robuste en Microélectronique 58
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>5.4.1</td>
      <td>Commande Robuste pour les PLLs</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.2</td>
      <td>Commande Robuste des capteurs inertiels</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.3</td>
      <td>Problématique scientifique sous-jacente</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Commande active de vibrations en Mécatronique</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.1</td>
      <td>Problématique scientifique sous-jacente</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6</b></td>
      <td><b>Cadre général de la Commande Robuste</b></td>
      <td><b>69</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Modélisation des systèmes complexes</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Approche entrée-sortie</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.1</td>
      <td>Contraintes quadratiques pour caractériser un système</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.2</td>
      <td>Contraintes quadratiques pour définir la performance</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.3</td>
      <td>Conditions de performance et de stabilité</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.4</td>
      <td>De l'Analyse vers la Synthèse</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7</b></td>
      <td><b>Démarche de Conception proposée</b></td>
      <td><b>81</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Vers un outil de conception</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.1</td>
      <td>Recherche d'une paramétrisation adaptée.</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.2</td>
      <td>Résolution de conditions d'analyse et de synthèse.</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Optimisation pour la conception</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.1</td>
      <td>La nécessité d'algorithmes de résolution efficaces</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.2</td>
      <td>Transformation à une optimisation Linear Matrix Inequality (LMI)</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.3</td>
      <td>Au-delà d'une simple transformation à une optimisation LMI</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>8</b></td>
      <td><b>Exploitation de la structure en conception de systèmes</b></td>
      <td><b>89</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Analyse hiérarchique de la robustesse</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Définition du problème et approche proposée</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Propagation de contraintes quadratiques</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.3</td>
      <td>Incertitude de gain, incertitude de phase et incertitude mixte</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.4</td>
      <td>Quelques remarques sur l'extension de l'approche hiérarchique</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Commande Robuste de systèmes Multi-Agents</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.1</td>
      <td>Définition du problème</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.2</td>
      <td>Lien global-local</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.3</td>
      <td>Choix de la caractérisation de sous-systèmes</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.4</td>
      <td>Performance relative pour imposer les contraintes fréquentielles</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.5</td>
      <td>Localisation et observation distribuées</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Identification pour la commande de systèmes Multi-Agents</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>9</b></td>
      <td><b>Synthèse de systèmes LFR, dans le domaine fréquentiel</b></td>
      <td><b>105</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Définition du problème</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Synthèse LFR, sous-systèmes sans perte</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.1</td>
      <td>Synthèse du module</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.2</td>
      <td>Factorisation spectrale Linear Fractional Representation (LFR)</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Synthèse LFR, sous-système avec pertes</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Outils de conception de filtres BAW</td>
      <td>113</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td><b>10 Conception de systèmes modulés</b></td><td><b>115</b></td></tr><tr><td>10.1 Introduction</td><td>115</td></tr><tr><td>10.2 Modélisation et synthèse de lois de commande de systèmes modulés</td><td>116</td></tr><tr><td>10.2.1 Problématique et Démodulation synchrone</td><td>116</td></tr><tr><td>10.2.2 Modèle des enveloppes</td><td>118</td></tr><tr><td>10.2.3 Commande H<sub>∞</sub> des enveloppes</td><td>119</td></tr><tr><td>10.3 Analyse de systèmes variants de manière harmonique</td><td>121</td></tr><tr><td>10.3.1 Définition du problème</td><td>121</td></tr><tr><td>10.3.2 Paramétrisation dynamique du paramètre variant harmoniquement dans le temps</td><td>123</td></tr><tr><td>10.3.3 Résolution efficace du problème d'analyse</td><td>124</td></tr><tr><td>10.3.4 Extensions de la paramétrisation</td><td>125</td></tr><tr><td><b>Conclusion et Perspectives</b></td><td><b>127</b></td></tr><tr><td><b>Annexes</b></td><td><b>133</b></td></tr><tr><td><b>A Transformation du problème de commande</b></td><td><b>135</b></td></tr><tr><td><b>B Transformations en optimisation LMI</b></td><td><b>139</b></td></tr><tr><td>B.1 Problème est formulé naturellement comme un problème LMI</td><td>139</td></tr><tr><td>B.2 Transformation équivalente en optimisation LMI</td><td>139</td></tr><tr><td>B.3 Relaxation en optimisation LMI</td><td>141</td></tr><tr><td><b>Bibliography</b></td><td><b>143</b></td></tr></table>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Première partie

Curriculum et bilan des activités
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Contents

<table><tr><td>1.1</td><td>Renseignements généraux</td><td>3</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Formation</td><td>4</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Expérience professionnelle</td><td>4</td></tr></table>

1.1 Renseignements généraux

Anton KORNIENKO

Maître de Conférences section 61 à l'Ecole Centrale de Lyon, département Automatique pour l'Ingénierie des Systèmes (AIS) du Laboratoire Ampère (UMR 5005)

Docteur en Sciences de l'Université de Lyon en Automatique - Ecole Centrale de Lyon

Master d'Aviation et Astronautique de l'Université Nationale Technique d'Ukraine « Institut Polytechnique de Kiev »

Né le 27 février 1985 à Moukatchevo, Ukraine

Marié

Nationalité ukrainienne et française

Adresse professionnelle :

Laboratoire Ampère
36, avenue Guy de Collongue
69134 Ecully Cedex

Tél : +33 (0)4 72 18 60 42

e-mail : anton.korniienko@ec-lyon.fr

Page WEB : https://cv.archives-ouvertes.fr/tony-ecl

Adresse personnelle

11B, route de Vienne
69007 Lyon

Tél : +33 (0)6 81 44 93 72
## 1.2 Formation

- **2008-2011** : Doctorat en Sciences de l'École Doctorale "Électronique, Électrotechnique et Automatique" (ED EEA), École Centrale de Lyon, soutenue le 06 décembre 2011

Doctorat Automatique et Traitement du Signal, intitulé de la thèse :

Réseau de PLLs distribuées pour synthèse automatique d'horloge de MPSOCs syn-
chrones

Laboratoires d'accueil : Laboratoire d'Électronique des Technologies de

l'Information, CEA, LETI, MINATEC, Grenoble et Laboratoire Ampère

Encadrants : Eric Colinet (CEA) et Gérard Scorletti, Eric Blanco (Ampère)

JURY

<table><tr><td>Président du jury</td><td>M. Ian O'CONNOR</td><td>Professeur des Universités, École Centrale de Lyon</td></tr><tr><td>Rapporteur</td><td>M. Jamal DAAFOUZ</td><td>Professeur des Universités, ENSEM Nancy</td></tr><tr><td>Rapporteur</td><td>M. Yann LE GORREC</td><td>Professeur des Universités, ENSMM Besançon</td></tr><tr><td>Examinateur</td><td>M. Stéphane FONT</td><td>Chef de Département SSE, SUPÉLEC</td></tr><tr><td>Examinateur</td><td>M. Dimitri GALAYKO</td><td>Professeur des Universités, UPMC, Paris VI</td></tr><tr><td>Invité</td><td>M. Jérôme JUILLARD</td><td>Professeur adjoint, HDR, SUPÉLEC</td></tr><tr><td>Encadrant</td><td>M. Eric COLINET</td><td>Chercheur, HDR, CEA, LETI, MINATEC</td></tr><tr><td>Encadrant</td><td>M. Eric BLANCO</td><td>Maître de Conférences, École Centrale de Lyon</td></tr><tr><td>Directeur de thèse</td><td>M. Gérard SCORLETTI</td><td>Professeur des Universités, École Centrale de Lyon</td></tr></table>

- **2002-2008** : Diplôme de Master d'Aviation et Astronautique, Université Nationale
  Technique d'Ukraine « Institut Polytechnique de Kiev »

Mention : excellent

Spécialité : Systèmes de gestion des Appareils volants

Faculté : Systèmes d'Aéronautique et d'Aérospatial

- **2006-2007** : Diplôme d'Étude Supérieure d'Option, 3A École Centrale de Lyon

Métier : Recherche et Développement

Option : Transport Terrestre

## 1.3 Expérience professionnelle

- **Depuis 09/2012** : Maître de conférences, École Centrale de Lyon et Laboratoire Ampère
  UMR CNRS 5005

- **02/2015 – 07/2015** : Chercheur invité, KTH Royal Institute of Technology, Stockholm,
  Département : Automatic Control School of Electrical Engineering

- **10/2011 – 08/2012** : Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche (une demi-
  charge d'enseignement), École Centrale de Lyon et Laboratoire Ampère UMR CNRS
  5005

- **10/2008 – 09/2011** : Doctorant, Laboratoire Architecture et Intégration Radiofréquence
  (LAIR) du CEA, LETI, MINATEC, Grenoble
# Activités d'enseignement et administratives

## Contents

<table><tr><td>2.1 Aperçu général</td><td>5</td></tr><tr><td>2.2 Détail des activités</td><td>5</td></tr><tr><td>2.3 Activité administratives pour l'enseignement</td><td>10</td></tr><tr><td>2.4 Activités administratives</td><td>10</td></tr></table>

## 2.1 Aperçu général

Déjà durant mon doctorat, je me suis intéressé à l'enseignement et à la pédagogie. J'ai ainsi pu donner mes premiers enseignements en Traitement du signal et l'Automatique en tant que vacataire à l'Ecole Centrale de Lyon. Depuis la fin de ma thèse, j'ai cumulé 10 ans d'expérience d'enseignement d'abord en tant qu'Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche (une demi-charge d'enseignement) et puis en tant que Maître de conférences. La majorité des heures d'enseignement a été dispensée à des élèves en formation initiale de l'École Centrale de Lyon en cursus ingénieur et en master. La répartition de la charge assumée est donnée dans la Tableau 2.1.

J'interviens actuellement en Tronc Commun à l'École Centrale de Lyon (élèves de première année, niveau équivalent L3), en encadrant essentiellement des Travaux Pratiques (TP), Bureaux d'Études (BE) et Travaux Dirigés (TD). De plus, je suis coresponsable de deux cours de Parcours Electif (élèves de deuxième année, niveau équivalent M1) et de deux cours de niveau M2 (en 3e année et parcours GSA Master EEEA).

J'ai également repris la responsabilité d'un tutoriel sur la Robustesse de systèmes dynamiques au niveau de formation des doctorants à l'Ecole Doctoral EEA de Lyon.

Ensemble avec mes collègues du Laboratoire, nous avons monté et réalisé un module "Automatique fréquentielle pour la conception et l'analyse de systèmes" dans le cadre de la formation continue proposée par l'École Centrale de Lyon.

## 2.2 Détail des activités

L'École Centrale de Lyon valorise les efforts des enseignants qui intègrent à tous les niveaux de leurs cours une composante de leurs activités de recherche. Ceci permet d'assurer la diffusion et la visibilité de ses laboratoires de recherche et de sensibiliser les étudiants à la formation par la recherche. Pour ces raisons-là, j'ai centré le contenu des enseignements dont je suis responsable sur mes thématiques de recherche et notamment sur le contrôle des vibrations (cours "Systèmes mécatroniques intelligents" en 2A avec M. Collet), sur la Commande Robuste (cours 3A cursus ingénieur et Master GSA "Automatique Avancée" avec X. Bombois et "Robustesse et Optimisation Convexe" avec G. Scorletti).
<table><caption>TABLE 2.1 – Tableau de synthèse des activités d'enseignement</caption><thead><tr><th colspan="2">Répartition d'heures (eqTD)<br>d'enseignement, Formation initiale</th><th>2009-2011</th><th>2011-2012</th><th>2012-2013</th><th>2013-2014</th><th>2014-2015</th><th>Moyen<br>depuis<br>2015</th></tr><tr><th colspan="2">Total sur période</th><th colspan="6">Maître de conférences</th></tr><tr><th colspan="2"></th><th colspan="2">Vacataire</th><th colspan="2">½ ATER</th><th colspan="2">Maître de conférences</th></tr><tr><th colspan="2"></th><th>82h</th><th>90h</th><th>196h</th><th>195h</th><th>140.5h</th><th>250h /an</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">1A ou L3<br>Automatique Linéaire,<br>Traitement du Signal</td><td>TD</td><td>22h</td><td>38h</td><td>80h</td><td>63h</td><td>40h</td><td>70h</td></tr><tr><td>TP/BE</td><td>60h</td><td>52h</td><td>70h</td><td>62h</td><td>46h</td><td>60h</td></tr><tr><td>Tutorat</td><td>-</td><td>-</td><td>3h</td><td>3h</td><td>3h</td><td>3h</td></tr><tr><td rowspan="5">2A ou M1<br>Systèmes automatisés de<br>production,<br>Systèmes mécatroniques<br>intelligents</td><td>Cours</td><td>-</td><td>-</td><td>15h</td><td>15h</td><td>6h</td><td>15h</td></tr><tr><td>TD</td><td>-</td><td>-</td><td>9h</td><td>6h</td><td>-</td><td>6h</td></tr><tr><td>TP/BE</td><td>-</td><td>-</td><td>16h</td><td>20h</td><td>-</td><td>16h</td></tr><tr><td>Tutorat</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>3h</td><td>5h</td><td>5h</td></tr><tr><td>Projets</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>5h</td><td>-</td><td>4h</td></tr><tr><td rowspan="4">3A ou M2, niveau<br>doctorant<br>Automatique avancé,<br>Robustesse et<br>Optimisation Convexe</td><td>Cours</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>19.5h</td><td>27h</td></tr><tr><td>TP/BE</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>6h</td><td>6h</td></tr><tr><td>Projets</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>15h</td><td>-</td><td>17h</td></tr><tr><td>TFE</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>3h</td><td>9h</td><td>6h</td></tr><tr><td colspan="2">Responsabilités administratives</td><td>-</td><td>-</td><td>3h</td><td>-</td><td>6h</td><td>15h</td></tr></tbody></table>
### Enseignement en tronc commun

Les enseignements en tronc commun du cursus ingénieur représentent une part importante des interventions du département EEA à l'École Centrale de Lyon plus particulièrement en Automatique et Traitement du signal. Ainsi, je me suis investi dans l'enseignement de ces matières proprement dites ainsi que dans les enseignements transversaux en accord avec l'Énergie électrique (Régulation et entrainement électrique) et l'Électronique (Conversion analogique numérique). Il s'agit ici surtout de l'encadrement de TD, TP et de BE, d'activités d'aide et de restitutions du projet d'autonomie ainsi que d'évaluation d'élèves et de correction de tests.

### Enseignement parcours électif, niveau M1

J'ai pris également en charge la responsabilité du cours « Systèmes mécatroniques intelligents » en 2A de cursus ingénieur ainsi que l'enseignement de sa partie Automatique. C'est un cours transversal qui depuis, sous ma responsabilité, a évolué afin de renforcer l'approche système ainsi que l'intégration des aspects Automatique avec deux autres disciplines : Mécanique et Electronique. Ce module est centré autour de deux exemples issus de ma thématique de recherche en collaboration avec Manuel Collet (Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes) sur le contrôle actif de vibrations et a permis de promouvoir les activités de recherche de nos Laboratoires.

De plus, j'ai monté la partie de cours « Systèmes automatisés de production » portant sur les bases de l'Automatique discrète et la modélisation par les Réseaux de Petri. Dans ce cours, sous la responsabilité d'un collègue du laboratoire Emmanuel Boutleux, les étudiants apprennent la programmation des automates et Grafcet dans le contexte de systèmes de production. La partie dont je suis responsable, en revanche, permet d'introduire une perspective plus générale de modélisation des systèmes à évènements discrets, sortant du cadre de systèmes de production.

### Enseignement en Automatique, niveau M2

En troisième année, en tant que Maître de Conférences, j'ai participé à la création de deux nouveaux cours pour le niveau équivalent M2 : (i) un Module Optionnel Disciplinaire en troisième année en formation d'ingénieur et (ii) un module en Master Recherche EEEA Parcours Génie des Systèmes Automatisés (GSA).

Avec mon collègue Éric Blanco, nous avons commencé par entièrement repenser l'ancien Module Optionnel Disciplinaire « Automatique avancée » (16h CM, 12h BE) en le focalisant sur les méthodes de conception de correcteurs modernes et avancées, telles que la commande optimale LQ/LQG, la commande $H_2$ et la commande robuste $H_\infty$. Une deuxième évolution de ce module a été réalisée avec l'implication d'un autre collègue, Xavier Bombois, permettant de poser un cadre commun entre la commande optimale et la commande $H_\infty$ afin de voir les avantages et les limites de chacune, notamment à travers d'un nouveau bureau d'études sous Matlab.

Ensuite, en collaboration avec mon collège Gérard Scorletti, nous avons créé le nouveau module « Robustesse et Optimisation Convexe » (16h CM). Ce module fait partie du Parcours Génie des Systèmes Automatisés (GSA) du Master Recherche EEEA co-accrédité entre l'Université de Lyon 1 et l'École Centrale de Lyon. Il porte sur l'analyse de la stabilité et de la performance robustes et sur l'utilisation d'outils associés d'optimisation convexe.

Ces deux nouveaux cours concernent mes thématiques de recherche ce qui me permet de remplir un double objectif : (i) la transmission de mes connaissances dans ces domaines tout
en améliorant ma propre compréhension et la pédagogie ; (ii) le recrutement de masters en stage ou de doctorants passionnés par mes activités de recherche.

## Projet spécifique d'option Aéronautique

Ensemble avec mon collègue, Gérard Scorletti, sur une demande d'étudiants, nous avons été initiateurs d'un nouveau projet spécifique en option aéronautique « Guidage et pilotage » autour de la dynamique du vol d'un avion et son contrôle. Les projets spécifiques de l'option aéronautique (entre 5-12 étudiants, selon année) sont choisis par les étudiants de l'option et sont ouverts uniquement à condition d'avoir un nombre de choix suffisant.

Notre proposition a reçu non seulement un retour positif des étudiants, mais aussi des recommandations et encouragements à poursuivre cette activité de la part du Conseil de pilotage de l'option incluant nos partenaires industriels externes.

Suite à ces recommandations, le projet a évolué avec une implication de mes autres collègues du Laboratoire : Paolo Masionni (INSA Lyon), Laurent Bako, Giacomo Casadei. Depuis l'année dernière, je suis le responsable de ce projet. Il inclut désormais une partie de cours magistrale sur la dynamique du vol d'avion, les bureaux d'études et le travail en autonomie encadré sur la commande d'un modèle d'avion Boeing 747. L'objectif final est d'améliorer la stabilité du vol d'avion et sa manœuvrabilité avec les méthodes de commande moderne (LQ/LQG/$H_\infty$). Cette thématique complète parfaitement les cours « Automatique avancé », décrit précédemment, proposant un exemple concret de commande multivariable, l'aspect peu abordé auparavant. Mon implication pédagogique concerne la commande $H_\infty$. Actuellement, notre projet est systématiquement choisi par les étudiants (parmi 2 premiers choix cette année).

## Projet d'élèves

Je propose les sujets et assure également le (co)encadrement de projets au niveau de 2e année de cursus d'ingénieur (1 par an en moyen). Un projet est un mini stage sur des problèmes d'ingénierie ou de recherche donnant lieu à un rapport et à une soutenance orale. Ces problèmes sont en lien avec mes thématiques de recherche et permettent en plus de la diffusion de recruter les futurs masters et doctorants.

## Tutorat

Nous avons mis en place au sein de notre école un système de tutorat personnel de nos élèves. Chaque enseignant suit un certain nombre d'étudiants (environ 6-8) au cours de leur cursus afin de discuter ensemble de leurs avancées académiques, leurs préférences disciplinaires ainsi que de leurs motivations dans le choix d'options d'études. Par ce moyen, nous aidons et conseillons nos élèves dans la construction de leur projet professionnel.

Parallèlement, j'assure le tutorat de travaux de fin d'études (TFE) en entreprise ou en laboratoire.

## Formation continue

Convaincu de l'importance de la diffusion de l'Automatique dans les autres disciplines pour le développement de ma thématique de recherche (précisée dans le chapitre 3), j'ai été initiateur d'une proposition de formation professionnelle qui a été organisée ensemble avec les collègues du laboratoire, G. Scorletti et X. Bombois. Cette formation, proposée à la demande
de l'entreprise Asygn, s'adresse aux chercheurs et ingénieurs, désireux d'acquérir ou de per-
fectionner des compétences en Automatique vues sous l'angle « conception de systèmes ». Elle
propose de balayer les méthodes d'identification, d'analyse et de synthèse robustes basées sur
la représentation fréquentielle des signaux, des plus traditionnelles aux plus avancées en les
illustrant sur des cas pratiques en Microélectronique.

Cette formation a joué un rôle important dans nos collaborations futures avec Asygn,
voir, par exemple, le projet [P.12].

## Activités internationales d'École

Dans le cadre d'une politique internationale tournée vers les pays de l'Est, l'Ecole Centrale de Lyon a décidé de m'investir dans le développement des relations avec les établissements d'études supérieures d'Ukraine. Étant le correspondant de l'Ukraine pour les échanges aca-démiques, je suis l'initiateur de cette démarche à laquelle je prends une part très active. Ainsi, j'ai remporté et géré (avec les collègues du bureau international de l'établissement) avec succès le projet européen de mobilité de crédits Erasmus+ KA107 entre l'Ecole Cen-trale de Lyon et deux universités ukrainiennes : l'Université Nationale Technique d'Ukraine "Institut Polytechnique de Kiev" (KPI) et l'Université Nationale Taras Chevtchenko de Kiev (TSNUK), voir les détails dans le Tableau ci-dessous :

<table><tr><td><strong>Projet</strong></td><td colspan="2">Erasmus+ 2017-1-FR01-KA107-035931</td></tr><tr><td><strong>Durée</strong></td><td colspan="2">26 mois : 01/06/2017 au 31/07/2019</td></tr><tr><td><strong>Budget utilisé</strong></td><td colspan="2">215 kE (95% de budget initial)</td></tr><tr><td><strong>Mobilité étudiants</strong></td><td>Entrants : 17</td><td>Sortants : 6</td></tr><tr><td><strong>Mobilité du personnel</strong></td><td>Entrants : 39</td><td>Sortants : 9</td></tr><tr><td>dont pour suivre une formation</td><td>Entrants : 39</td><td>Sortants : 5</td></tr><tr><td>dont pour donner un cours</td><td>Entrants : 0</td><td>Sortants : 4</td></tr><tr><td><strong>Mobilité totale</strong></td><td><strong>Entrants : 46</strong></td><td><strong>Sortants : 15</strong></td></tr></table>

Ce projet, en plus de financer les bourses de mobilité pour les étudiants (dans les deux direc-
tions), a permis d'organiser et de réaliser plusieurs formations et visites de nos laboratoires
de recherche respectifs pour le personnel des trois établissements. Dans ce cadre-là, j'ai pu
me déplacer plusieurs fois à Kiev afin de présenter l'Ecole Centrale de Lyon et ses Labo-
ratoires en général (voir nombreux exposés [S.19] et [S.20]), ainsi que mes thématiques de
recherche (voir [S.21]). J'ai également pu réaliser plusieurs présentations et visites du La-
boratoire Ampère sur place, à Ecully, pour les délégations d'une trentaine de personnes :
chercheurs, enseignants-chercheurs, personnel administratif et direction des établissements
ukrainiens.

Dans le cadre de ce même projet, j'ai été invité à donner un cours aux étudiants de la
Faculté d'Aviation et Spatial et de la Faculty of Instrumentation Engineering. A cet effet, j'ai
monté un cours proche de ma thématique de recherche : "From classical to advanced control
design, $H_\infty$ synthesis perspective". Ce module de niveau L3-M1 a été dispensé 3 fois, à raison
de 15-20 étudiants par session de formation d'une durée d'une semaine et a permis, en outre,
de diffuser les activités de recherche française (et les miennes en particulier) aux étudiants
ukrainiens.
## 2.3 Activité administratives pour l'enseignement

En plus des activités présentées ci-dessus, je suis depuis 2013, le correspondant de l'École Centrale de Lyon pour le parcours Génie des Systèmes Automatisés (GSA) du Master EEEA (Electronique, Energie Electrique, Automatique). Tous les parcours de ce Master sont coac-crédités entre l'Université de Claude Bernard Lyon 1 et l'École Centrale de Lyon. Mon rôle consiste à cogérer le parcours du côté de l'ECL : évaluer les dossiers de candidature, participer à la préparation de l'évaluation du HCERES, d'une nouvelle maquette, établir le programme pédagogique, m'assurer de la synchronisation de l'emploi du temps, prendre part au jury de soutenances finales de stages de fin d'études, etc.. Le parcours GSA a pour vocation de former les étudiants à l'Ingénierie des Systèmes Automatisés et comprend la conception, la modé-lisation, la simulation, l'analyse des systèmes et la commande de ces systèmes, qu'ils soient continus ou discrets. Il est ouvert aux élèves centraliens en double cursus (ingénieur-master) mais aussi aux étudiants externes (candidatures directes ou via Campus-France).

Au cours de mon mandat, le nombre moyen d'élèves de cursus ingénieur prenant part de ce Master a doublé, ce qui est un bon indicateur de l'efficacité de nos efforts de la diffusion, surtout si l'on prend en compte le cursus ingénieur est un cursus généraliste. Une part im-portante de ces étudiants poursuit en doctorat, y compris dans notre Laboratoire et dans ma thématique de recherche.

## 2.4 Activités administratives

Depuis mars 2021 je suis membre élu du Conseil Scientifique de l'École Centrale de Lyon. Étant actif en construction de relations internationales de l'École, je fais partie également de la Commission des Échanges Universitaires (CEU) de l'École Centrale de Lyon dont l'objectif est l'étude et évaluation de projets de mobilité internationale d'étudiants entrants et sortants.
# Activités de recherche

## Contents

<table><tr><td>3.1 Aperçu général</td><td>11</td></tr><tr><td>3.2 Activité collectives et collaborations</td><td>12</td></tr><tr><td>3.3 Projets de recherche financés</td><td>13</td></tr><tr><td>3.4 Autres activités académiques</td><td>20</td></tr></table>

## 3.1 Aperçu général

### Centres d'intérêt

Commande robuste, Conception des systèmes complexes, Diffusion de l'Automatique dans d'autres disciplines, Applications de la commande robuste à l'analyse et la commande de systèmes interconnectés.

### Établissements de recherche

J'ai effectué ma thèse entre octobre 2008 et septembre 2011 au Commissariat à l'Énergie Atomique et aux Énergies Alternatives (CEA) Grenoble au sein du Laboratoire Architecture et Intégration Radiofréquence (LAIR) en collaboration avec le Laboratoire Ampère à Lyon.

Après la thèse, en octobre 2011, j'ai intégré le Laboratoire Ampère en tant que Atta-ché Temporaire d'Enseignement et de Recherche au sein du Département Méthodes pour l'Ingénierie des Systèmes (MIS), groupe Automatique Commande et Modélisation (ACM).

Depuis septembre 2012 et jusqu'à aujourd'hui, je continue à effectuer ma recherche au La-boratoire Ampère mais en tant que Maître de Conférences. Le département de mon affectation est le même malgré qu'il a changé récemment son nom à Département de l'Automatique pour l'Ingénierie des Systèmes (AIS).

Laboratoire Ampère est unité mixte de recherche CNRS (UMR CNRS 5005) dont les thématiques se focalisent sur la gestion et l'utilisation rationnelle de l'énergie dans les systèmes en relation avec leur environnement, l'optimisation de la conception de systèmes complexes, leur commande, analyse et observation. C'est un laboratoire pluridisciplinaire qui couvre trois disciplines principales : Génie Électrique, Automatique et Biologie et favorise l'équilibre entre des activités académiques (tournées vers le fondamental) et en partenariat industriel (tournées vers les applications).

Les départements du laboratoire assurent la gouvernance globale et incarnent des socles de compétences ciblées. Ils sont organisés en priorités de recherche : projets de recherche quinquennaux appartenant à un ou plusieurs départements et dont l'objectif est d'organiser l'animation scientifique de recherche et d'aligner nos compétences avec les défis actuels de la société. Depuis janvier 2020, je suis co-responsable de la priorité « Conception intégrée des systèmes dynamiques ». La défit principal de cette priorité est au cœur de ma thématique
de recherche et consiste en un développement de la méthodologie efficace et déploiement de l'approche système dans le cadre de conception de systèmes modernes complexes. Cette thématique a pris de l'ampleur au sein du Laboratoire ces dernières années et s'appuie sur une maitrise de la complexité algorithmique de méthodes développées et une intégration des différentes étapes de conception dans un cadre unifié et systématique.

Entre février et juillet 2015, j'ai été chercheur invité à KTH Royal Institute of Technology à Stockholm au sein du département Automatic Control School of Electrical Engineering, voir le projet [P.9].

## 3.2 Activité collectives et collaborations

### Collaborations nationale et internationales

1. D. Galayko, Maître de Conférences, HdR à Sorbonne Université, Laboratoire LIP6 et J. Juillard, Professeur des universités à CentraleSupélec, Laboratoire GEEPS et E. Colinet R&D/Innovation director, HdR, co-foundateur de Apix Analytics, sur la conception de réseau de boucles à verrouillage de phase pour une génération du signal d'horloge du processeur, voir les brevets [B.1], [B.2], les revues [A.2] et [A.7], les congrès [C.1]-[C.7], [C.9] et [C.11] ainsi que le rapport [R.1].

2. M. Ferber, Assistant Professor à l'Université fédérale de Santa Catarina (UFSC), Campus Joinville, sur l'analyse de la robustesse de circuits électriques, voir les revues [A.1] et [A.3], le congrès [C.15] et le rapport [R.3].

3. M. Dinh, Ingénieur d'étude à l'INRAE sur l'analyse hiérarchique de la robustesse, voir l'encadrement [T.1], la revue [A.5], les congrès [C.8] et [C.12], les rapports [R.2], [R.7].

4. H. Hjalmarsson, Professor at KTH Royal Institute of Technology, Stockholm, sur l'identification pour la commande de systèmes en réseau, voir la revue [A.4], le congrès [C.20], le rapport [R.5].

5. U. A. Khan, Associate Professor à Tufts University, Boston sur Le Traitement du Signal distribué Multi-Agents : estimation et localisation de capteurs en réseau, voir les congrès [C.13], [C.17] et [C.19], le rapport [R.6].

6. M. Collet, Directeur de recherche CNRS, Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes (LTDS), sur le contrôle distribué de vibrations, voir les encadrements [T.2], [T.6], et [PD.3], la revue [A.6], le congrès [C.22].

7. I. O'Connor, Professeur des Universités à l'École Centrale de Lyon, Institut des Nano-technologies de Lyon (INL) sur la conception des filtres électroniques, voir les encadrements [T.3] et [PD.2], la revue [A.8], les congrès [C.18] et [C.23].

8. M. Zarudniev, Ingénieur de Recherche et M. Pelissier, Head of RF Architecture and IC Design Lab, CEA, LETI, Grenoble sur la conception de synthétiseurs de fréquences, voir les encadrements [T.3], [PD.1], [M.1], [M.3] le brevet [B.3], la revue [A.8], les congrès [C.10], [C.18] et [C.24].

9. C. Le Blanc et N. Delorme, Ingénieurs d'Asygn, Grenoble, sur les nouvelles architecture de commande de capteurs MEMS inertiels, voir les congrès [C.25] et [C.30].

10. G. Papin et Y. David, Ingénieurs de Tronics Microsystem, TDK company, Crolles, sur l'optimisation de capteurs MEMS inertiels, voir les encadrements [M.5] et [IR.1], le congrès [C.29].
### Séjours en laboratoire

- Control & Dynamical Systems and Bioengineering Group of California Institute of Technology (Pasadena, Etats Unis), invité par R.M. Murray et par Eric Colinet (en détachement à Caltech) une semaine en juillet 2011, voir [S.2].

- Département de Génie Électrique, Evolutionary Computing Lab d'Université Fédérale du Minas Gerais (Belo Horizonte, Brésil) invité par Joao Antonio Vasconcelos et Moises Ferber une semaine en avril 2014, voir [S.7] et [S.8].

- Département d'Automatique et d'Energie, Groupe de Commande, Automatique et Robotique de l'Université Fédérale du Rio Grande do Sul (Porto Alegre, Brésil) invité par Joao Manoel Gomes Da Silva quatre jours en avril 2014, voir [S.9].

- Département de l'Automatique et Systèmes de l'Université Fédérale de Santa Catalina (Florianópolis, Brésil) invité par Alexandre Trofino une semaine en avril 2014 et septembre 2018, voir [S.10].

- Delft Center on Systems and Control, Delft University of Technology invité par X. Bombois (Delft, Pays-Bas) une semaine en septembre 2014.

- Department of Automatic Control School of Electrical Engineering, KTH Royal Institute of Technology (Stockholm, Suède) invité par Håkan Hjalmarsson pour une visite de 6 mois février-juillet 2015, voir [S.12] et [S.13].

- Department of Electrical and Computer Engineering, Tufts University (Boston, États-Unis) invité par Usman A. Khan une semaine en juillet 2016, voir [S.16].

- Faculté d'Aviation et Spatial, l'Université National Technique d'Ukraine "Institut Polytechnique de Kiev" (Kyiv, Ukraine) invité par Aleksandr Zbrutsky, une semaine en avril 2013, en avril 2018 et en février 2019, voir [S.5], [S.19] et [S.21].

- Institute of High Technologies of Taras Shevchenko National University of Kyiv (Kyiv, Ukraine) invité par Valeriy Skryshevsky en avril 2013 et en novembre 2017, voir [S.20].

### Participation à des jurys de thèse de doctorat

*Participations à jurys de thèse, extérieurs*

En tant qu'examenateur de thèse :
Sjoerd Boersma, *Towards closed-loop dynamical wind farm control : model development and control applications*, Delft University of Technology, Pays-Bas 15 Janvier 2019.

## 3.3 Projets de recherche financés

Aujourd'hui je prends des responsabilités scientifiques en créant ou en participant à la création d'un certain nombre de projets. Ceci me permet non seulement de mener à bien les travaux de recherche autour de ma thématique de recherche (décrite dans la deuxième partie de ce document), mais aussi de constituer autour d'elle une véritable équipe de recherche mixant à la fois le personnel permanent du laboratoire (avec leur expertise correspondante) et le personnel contractuel.

Ainsi, la liste synthétique des projets de recherche dont j'ai pris une part active est donnée ci-dessous en 3 catégories : Contrats de recherche directs, Contrats doctoraux ou Projet internes, Projets de recherche évalués par les instances extérieurs.
Contrats de recherche directs

<table><tr><td>[P.1]</td><td>Conception de nouvelles architectures de PLLs</td></tr><tr><td>Participants</td><td>E. Blanco, G. Scorletti</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>22,2 k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Avril -Septembre 2012 (6 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Contrat industriel direct CEA - Laboratoire Ampère</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 Master Recherche sur 6 mois</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Poursuivre la collaboration entre le Laboratoire Ampère et le CEA, LETI, Grenoble sur ma thématique de recherche et financer un stage de Master Recherche, voir [M.1] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Responsable local</td></tr></table>

Contrats doctoraux établissement ou Projets issus de financement interne

<table><tr><td>[P.2]</td><td>Analyse hiérarchisée de la robustesse</td></tr><tr><td>Participants</td><td>G. Scorletti (co-encadrant)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>8 k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Septembre 2013 - Aout 2014 (12 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>École Centrale de Lyon (projet interne) : Soutien aux thématiques émergentes et aux projets transversaux</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 Master Recherche sur 12 mois</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Approfondir la collaboration entre le Laboratoire Ampère et la TU Delft, avec le projet [P.4], ouvrir un nouveau volet dans ma thématique de recherche sur l'analyse de la robustesse de système en réseau de grande dimension, financer un stage de Master Recherche, voir [M.2] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Porteur</td></tr></table>
<table><tr><td>[P.3]</td><td>Identification pour la commande de systèmes interconnectés</td></tr><tr><td>Participants</td><td>X. Bombois</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>2k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>mars - juillet 2016 (4 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Projet de financement de stage interne du Laboratoire Ampère</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 Master Recherche sur 4 mois</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Poursuivre les études sur le sujet de l'identification des systèmes en réseau, voir le projet [P.9], financer le stage de Master [M.4] et continuer la collaboration entre le Laboratoire Ampère et la KTH Royal Institute of Technology.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Porteur</td></tr></table>

<table><tr><td>[P.4]</td><td>Analyse hiérarchisée de la performance</td></tr><tr><td>Participants</td><td>F. Morel, G. Scorletti (co-encadrants de thèse)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 100k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Octobre 2013 - Septembre 2016 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>École Centrale de Lyon, Contrat Doctoral</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant sur 3 ans</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Initier des recherches transdisciplinaires entre l'Automatique et le Génie électrique, ouvrir un nouveau volet dans ma thématique de recherche sur l'analyse de la robustesse de systèmes en réseau de grande dimension ainsi que financer une thèse, voir [T.1] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Porteur</td></tr></table>

<table><tr><td>[P.5]</td><td>Active vibration control in a specific zone of smart structures</td></tr><tr><td>Participants</td><td>M. Collet (LTDS), G. Scorletti (co-encadrants)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 100k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Février 2016 - Janvier 2019 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Bourse Chinese Scholarship Council</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant sur 3 ans</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Approfondir la recherche et l'interet de la commande robuste en contrôle de vibrations, implémenter le prototype preuve de concept et financer une thèse [T.2]</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Contributeur</td></tr></table>
<table><tr><td>[P.6]</td><td>Commande distribuée de vibrations</td></tr><tr><td>Participants</td><td>M. Collet (LTDS), G. Casadei, G. Scorletti (co-encadrants)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 100k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Octobre 2019 - Septembre 2022 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>École Centrale de Lyon, Contrat Doctoral</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant sur 3 ans</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Prendre en compte les aspects distribués pour la commande robuste de vibration, financer une thèse, voir [T.6] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Contributeur</td></tr></table>

<table><tr><td>[P.7]</td><td>Compromis énergie-information dans un réseau de capteurs/actionneurs en contrôle actif de vibration</td></tr><tr><td>Participants</td><td>F. Mieyeville, J. Huillery (co-encadrants de thèse)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 100k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Octobre 2021 - Septembre 2024 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>École Centrale de Lyon, Contrat Doctoral</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant sur 3 ans</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Proposer un formalisme permettant évaluer et optimiser le compromis énergie-information dans le cadre applicatif d'un réseau de capteurs/actuateurs dédié au contrôle de vibrations ainsi que financer une thèse, voir [T.7] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Contributeur</td></tr></table>
Projets de recherche évalués

[P.8]

<table><tr><td></td><td>LOPSY : Low phase noise radio-frequency synthesis architecture</td></tr><tr><td>Participants</td><td>E. Blanco, G. Scorletti (co-encadrants), M. Pelissier, M. Zarudniev (encadrants CEA, Grenoble)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 200 k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Mai 2014 - Avril 2015 (12 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Institut CARNOT CEA, contrat de recherche avec LAIR, LETI, CEA de Grenoble</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>2 post-doctorants d'un an (à Ampère et au CEA)</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Le projet de recherche en collaboration avec le Laboratoire Ampère et le CEA, LETI, MINATEC, sur ma thématique de recherche, avec la réalisation d'un circuit intégré démonstrateur de la PLL à deux degrés de liberté pour la preuve de concept (voir le brevet [B.3]), le développement de méthodes d'automatique de conception et d'analyse associées et le financement de deux post-doctorats dont un post-doctorant au Laboratoire Ampère, voir [PD.1] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Responsable local</td></tr></table>

[P.9]

<table><tr><td></td><td>Identification for Robust Control of Network Large-Scale System</td></tr><tr><td>Participants</td><td>X. Bombois, G. Scorletti (Ampère), H. Hjalmarsson (KTH)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>15 k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Fevrier 2015 - Juillet 2015 (6 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Région Rhône-Alpes, bourse de mobilité CMIRA</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>Pas de ressources humaines supplémentaires</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Élargir mes compétences scientifiques dans le domaine de l'identification des systèmes en réseau, intensifier la collaboration entre le Laboratoire Ampère et KTH Royal Institute of Technology, financer le séjour scientifique de 6 mois à Stockholm.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Porteur</td></tr></table>
<table><tr><td>[P.10]</td><td>Structronic @ Lyon</td></tr><tr><td>Participants</td><td>M. Collet (LTDS), G. Scorletti</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>205k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Septembre 2015 – août 2017 (24 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Institut CARNOT Ingénierie @ Lyon</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 postdoc de 5 mois</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Ouvrir un nouveau volet de l'utilisation de la commande robuste en conception de systèmes mécatroniques pour le contrôle de vibration de systèmes flexibles, financer un post-doctorat [PD.3].</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Contributeur</td></tr></table>

<table><tr><td>[P.11]</td><td>Commande Robuste pour la Conception et l'Analyse de filtre BAW</td></tr><tr><td>Participants</td><td>I. O'Connor (INL, co-encadrant), G. Scorletti (co-encadrant)</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>≈ 100 k€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Avril 2016 - Mars 2019 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Région Rhône-Alpes, financement de thèses ARC6 « Technologies de l'Information et de la Communication et Usages Informatiques Innovants »</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant sur 3 ans</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Approfondir la collaboration entre le Laboratoire Ampère et le CEA, LETI, Grenoble en continuant les recherches initiées durant ma thèse et durant les travaux en thèse de M. Zarudniev (CEA), voir [C.10]. Développer la collaboration avec l'INL. Financer un stage et une thèse dans le champ d'application : la conception et l'analyse de filtres BAW, voir [M.3] et [T.3] pour plus de détails.</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Porteur et responsable local</td></tr></table>
<table><tr><td>[P.12]</td><td>NEXT4MEMS : Conception d'une nouvelle génération capteurs inertiels MEMS/NEMS pour la filière industrielle française</td></tr><tr><td>Participants</td><td>X. Bombois, G. Scorletti</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>20M€ (dont 1M€ pour Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Novembre 2016 – Octobre 2021 (60 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Projet de recherche et développement Structurants pour la Compétitivité (PSPC) financé par la Banque Publique d'Investissement de France</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>4 doctorants (36 mois), 1 post-doc (6 mois), 2 masters de recherche (6 mois), 2 ingénieurs de recherche (7-9 mois)</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Concevoir une nouvelle génération de capteurs inertiels MEMS et l'électronique de commande associée. Initier la collaboration dans le domaine d'applications de la Commande robuste à la conception Microélectronique avec entreprise ASYGN et Tronics Microsystems (TDK) et leurs partenaires industriels. Financer les stages [M.5], [M.6], thèses [T.4], [T.5], [Tc.1], [Tc.2], post-doctorant [PD.4] et ingénieurs de recherche [IR.1], [IR.2]</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Responsable local</td></tr></table>

<table><tr><td>[P.13]</td><td>Projet CIFRE : Commande Robuste pour un capteur inertiel résonant MEMS auto-oscillant et paramètres variant</td></tr><tr><td>Participants</td><td>G. Scorletti</td></tr><tr><td>Budget total du projet</td><td>110K€</td></tr><tr><td>Durée</td><td>Novembre 2021 – Octobre 2024 (36 mois)</td></tr><tr><td>Organisme Financeur</td><td>Tronics Microsystems (TDK) et l'ARNT</td></tr><tr><td>Ressources humaines</td><td>1 doctorant (36 mois)</td></tr><tr><td>Objectif</td><td>Ce projet de thèse CIFRE fait suite au projet Next4Mems [P.12]. Il se focalise sur le développement et l'évaluation d'une nouvelle architecture de commande de capteurs inertiels MEMS ainsi que sa méthode de conception. Il permet d'explorer les nouvelles idées et d'évaluer de nouvelles architectures afin d'améliorer encore la prise en compte des variations de la température tout en simplifiant l'implémentation et en réduisant la puissance de calcul nécessaire. Financer la thèse [T.8]</td></tr><tr><td>Mon rôle</td><td>Responsable local</td></tr></table>
3.4 Autres activités académiques

Je suis relecteur dans les revues et conférences suivantes : IEEE Conference on Decision & Control, IEEE American Control Conference, IEEE Control Systems Letters, IEEE Trans- sactions on Automatic Control, IEEE Transactions on Control Systems Technology, IEEE Transactions on Circuit and Systems, Mathematical Problems in Engineering, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Automatica, Sensors.
# Liste de travaux et publications

## Contents

<table><tr><td>4.1</td><td>Encadrement</td><td>21</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Thèses</td><td>21</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Autres encadrements</td><td>31</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Publications</td><td>32</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Rapports techniques</td><td>36</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Séminaires présentés</td><td>37</td></tr></table>

Un grand nombre de mes publications sont disponibles à l'adresse suivante : https://cv.archives-ouvertes.fr/tony-ecl.

## Mémoire de thèse

[T.0] A. Korniienko, Réseau de PLLs distribuées pour synthèse automatique d'horloge de MPSOCs synchrones. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 252 pages, décembre 2011, tel-00676933.

## 4.1 Encadrement

Durant mes activités de recherche, j'ai pu encadrer plusieurs doctorants, postdoctorants, stagiaires M2 et ingénieurs de recherche.

### 4.1.1 Thèses

#### Thèses co-dirigées, soutenues

[T.1] Khaled Laib, Analyse hiérarchisée de la robustesse des systèmes incertains de grande dimension. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 268 pages, Juillet 2017, tel-01689820.
<table><tr><td>Directeur de thèse</td><td>G. Scorletti, Professeur, Laboratoire Ampère</td></tr><tr><td>Co-encadrants</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 45%), F. Morel (Maître de Conférences, Laboratoire Ampère), M. Dinh (Ingénieur d'Etude INRAE)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>1 Revue : [A.5], 3 Conférences : [C.14],[C.16] et [C.21]</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2013 - 18/07/2017 : 3 ans et 10 mois</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>M. Laib est actuellement en postdoc à l'Université de Cambridge</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Les avancées majeures en analyse de performance des systèmes représentés par des modèles linéaires stationnaires avec la prise en compte explicite des incertitudes de modélisation ont produit des outils effectifs basés sur de l'optimisation robuste. Les enjeux actuels de systèmes en réseau issus d'application du domaine de Génie électrique ou d'Electronique rendent cruciale leur extension aux modèles de grande dimension. L'objectif de la thèse est d'explorer cette extension en mettant en place une approche hiérarchisée de l'analyse.</td></tr></table>

**Resumé** : Ces travaux de thèse concernent l'analyse de la robustesse (stabilité et performance) de systèmes linéaires incertains de grande dimension avec une structure hiérarchique. Ces systèmes sont obtenus en interconnectant plusieurs sous-systèmes incertains à travers une topologie hiérarchique. L'analyse de la robustesse de ces systèmes est un problème à deux aspects : la robustesse et la grande dimension. La résolution efficace de ce problème en utilisant les approches usuelles est difficile, voire impossible, à cause de la complexité et de la grande taille du problème d'optimisation associé. La conséquence de cette complexité est une augmentation importante du temps de calcul nécessaire pour résoudre ce problème d'optimisation. Afin de réduire ce temps de calcul, les travaux existants ne considèrent que des classes particulières de systèmes linéaires incertains de grande dimension. De plus, la structure hiérarchique de ces systèmes n'est pas prise en compte, ce qui montre, de notre point de vue, les limitations de ces résultats. Notre objectif est d'exploiter la structure hiérarchique de ces systèmes afin de ramener la résolution du problème d'analyse de grande taille à la résolution d'un ensemble de problèmes d'analyse de faible taille, ce qui aura comme conséquence une diminution du temps de calcul. De plus, un autre avantage de cette approche est la possibilité de résoudre ces problèmes en même temps en utilisant le calcul parallèle. Afin de prendre en compte la structure hiérarchique du système incertain de grande dimension, nous modélisons ce dernier comme l'interconnexion de plusieurs sous-systèmes incertains qui sont eux-mêmes l'interconnexion d'autres sous-systèmes incertains, etc.. Cette technique récursive de modélisation est faite sur plusieurs niveaux hiérarchiques. Afin de réduire la complexité de la représentation des systèmes incertains, nous construisons une base de propriétés de dissipativité pour chaque sous-système incertain de chaque niveau hiérarchique. Cette base contient plusieurs éléments qui caractérisent des informations utiles sur le comportement de systèmes incertains. Des exemples de telles caractérisations sont : la caractérisation de la phase incertaine, la caractérisation du gain incertain, etc.. L'obtention de chaque élément est relaxée comme un problème d'optimisation convexe ou quasi-convexe sous contraintes LMI. L'analyse de la robustesse de systèmes incer-
tains de grande dimension est ensuite faite de façon hiérarchique en propageant ces bases de propriétés de dissipativité d'un niveau hiérarchique à un autre. Nous proposons deux algorithmes d'analyse hiérarchique qui permettent de réduire le temps de calcul nécessaire pour analyser la robustesse de ces systèmes. Un avantage important de notre approche est la possibilité d'exécuter des parties de ces algorithmes de façon parallèle à chaque niveau hiérarchique ce qui diminuera de façon importante ce temps de calcul. Pour finir et dans le même contexte de système de grande dimension, nous nous intéressons à l'analyse de la performance dans les réseaux électriques et plus particulièrement «l'analyse du flux de puissances incertaines dans les réseaux électriques de distribution». Les sources d'énergies renouvelables comme les éoliennes et les panneaux solaires sont influencées par plusieurs facteurs : le vent, l'ensoleillement, etc.. Les puissances générées par ces sources sont alors intermittentes, variables et difficiles à prévoir. L'intégration de telles sources de puissance dans les réseaux électriques influencera les performances en introduisant des incertitudes sur les différentes tensions du réseau. L'analyse de l'impact des incertitudes de puissances sur les tensions est appelée «analyse du flux de puissances incertaines». La détermination de bornes sur les modules des différentes tensions est formulée comme un problème d'optimisation convexe sous contraintes LMI.

[T.2] Peng Wang, *Active vibration control in a specific zone of smart structures*. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 198 pages, Mars 2019, tel-02108253.

<table><tr><td>Directeurs de thèse</td><td>M. Collet (Directeur de recherche CNRS, LTDS), G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrants</td><td><b>A. Korniienko</b> (taux d'encadrement 40%), X. Bombois (Directeur de recherche CNRS, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Publications</td><td><b>1 Revue</b> : [A.6], <b>1 Conférence</b> : [C.22]</td></tr><tr><td>Durée</td><td>17/02/2016 - 16/02/2019 : <b>3 ans</b></td></tr><tr><td>Devenir</td><td>M. Wang est actuellement ingénieur de recherche chez Huawei, Chine</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.5]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>L'objectif a été de développer des méthodes de conception de correcteurs réalisant le contrôle des vibrations dans une zone spécifique et localisée d'une structure mécanique et de les valider sur un banc expérimental. Les méthodes proposées se basent sur la Commande robuste et permettent de réaliser une réduction de modèle appropriée tout en tenant compte l'erreur de réduction ainsi obtenu.</td></tr></table>

*Resumé*: This research aims at solving a particular vibration control problem of smart structures. We aim at reducing the vibration in a specific zone of the smart structure under the disturbance that covers a wide frequency band. Moreover, at this specific zone, neither actuation nor sensing is possible. Here we face several main challenges. First, we need to control the vibration of a specific zone of the structure while we only have access to measurements at other zones. Second, the wide bandwidth of the disturbance implies that numerous modes should be controlled at the same time which requires the use of multiple actuators and sensors. This leads to a MIMO controller which is difficult to
obtain using classical controller design methods. Third, the so-called spillover problem must be avoided which is to guarantee the closed-loop stability when the model-based controller is applied on the actual setup. To tackle these challenges, we investigate two control strategies : the centralized control and the distributed control.For centralized control, we propose a methodology that allows us to obtain a simple MIMO controller that accomplishes these challenges. First, several modeling and identification techniques are applied to obtain an accurate low-order model of the smart structure. Then, an $H_\infty$ control based synthesis method with a particularly proposed $H_\infty$ criterion is applied. This $H_\infty$ criterion integrates multiple control objectives, including the main challenges. In particular, the spillover problem is transformed into a robust stability problem and will be guaranteed using this criterion. The obtained $H_\infty$ controller is a standard solution of the $H_\infty$ problem. The final controller is obtained by further simplifying this $H_\infty$ controller without losing the closed-loop stability and degrading the performance. This methodology is validated on a beam structure with piezoelectric transducers and the central zone is where the vibration should be reduced. The effectiveness of the obtained controller is validated by simulations and experiments.For distributed control, we consider the same beam structure and the same control objectives. There exist methods aiming at designing distributed controllers of spatially interconnected system. This research proposes a FEM based method, combined with several model reduction techniques, that allows to spatially discretize the beam structure and deduce the state-space models of interconnected subsystems. The design of distributed controllers will not be tackled in this research.
[T.3] Arthur Perodou, Frequency Design of Passive Electronic Filters : a Modern System Approach. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 276 pages, Décembre 2019, tel-02487272.

<table><tr><td>Directeurs de thèse</td><td>I. O'Connor (Professeur, INL), G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrants</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 40%), M. Zarudniev (Ingénieur-Chercheur CEA, MINATEC, LETI)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>1 Revue : [A.8], 3 Conférences : [C.18], [C.23], [C.24]</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/04/2016 - 30/09/2019 : 3 ans 6 mois</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>M. Perodou est actuellement ATER dans notre laboratoire</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.11]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>La nécessité d'une minimisation de la consommation d'énergie dans les applications actuelles de systèmes radiofréquences rend l'usage d'un nouveau type de filtre à résonateurs couplés d'onde acoustique (Bulk Acoustic Wave : BAW-filtre) très prometteur. Néanmoins, l'utilisation d'outils de conception classiques pour ce type de filtres est très complexe et chronophage. Dans ce contexte cette thèse propose une nouvelle méthode systématique de conception de filtres BAW afin d'assurer la performance globale du filtre exigée par le cahier de charge. Cette démarche est réussie grâce à l'extension des méthodes de synthèse de filtres aux systèmes modélisés par les représentations linéaires fractionnaires (LFT) issues de la Commande Robuste.</td></tr></table>

**Resumé** : The current explosion of communicating devices (smartphones, drones, IoT ...), along with the ever-growing data to be transmitted, produces an exponential growth of the radiofrequency bands. All solutions devised to handle this increasing demand, such as carrier aggregation, require to synthesise frequency filters with stringent industrial requirements (performance, energy consumption, cost ...). While the technology of acoustic wave (AW) resonators, that seem to be the only passive micro-electronic components available to fulfil these requirements, is mature, the associate design problem becomes dramatically complex. Traditional design methods, based on the intuition of designers and the use of generic optimisation algorithms, appear very limited to face this complexity. Thus, systematic and efficient design methods need to be developed. The design problem of AW filters happens to be an instance of the more general design problem of passive electronic filters, that played an important role in the early development of Linear Control and System theory. Systematic design methods were developed in particular cases, such as for LC-ladder filters, but do not enable to tackle the case of AW filters. Our aim is then to revisit and generalise these methods using a modern System approach, in order to develop systematic and efficient design methods of passive electronic filters, with a special focus on AW filters. To achieve this, the paradigm of convex optimisation, and especially the sub-class of Linear Matrix Inequality (LMI) optimisation, appears for us a natural candidate. It is a powerful framework, endowed
with efficient solvers, able to optimally solve a large variety of engineering problems in a low computational time. In order to link the design problem with this framework, it is proposed to use modern tools such as the Linear Fractional Transformation (LFT) representation and a mathematical characterisation coming from Dissipative System theory. Reviewing the different design methods, two design approaches stand out. The first approach consists in directly tuning the characteristic values of the components until the frequency requirements are satisfied. While very flexible and close to the original problem, this typically leads to a complex optimisation problem with important convergence issues. Our first main contribution is to make explicit the sources of this complexity and to significantly reduce it, by introducing an original representation resulting from the combination of the LFT and the Port-Hamiltonian Systems (PHS) formalism. A sequential algorithm based on LMI relaxations is then proposed, having a decent convergence rate when a suitable initial point is available. The second approach consists of two steps. First, a transfer function is synthesised such that it satisfies the frequency requirements. This step is a classical problem in Control and Signal Processing and can be efficiently solved using LMI optimisation. Second, this transfer function is realised as a passive circuit in a given topology. To this end, the transfer function needs to satisfy some conditions, namely realisation conditions. The issue is to get them with a convex formulation, in order to keep efficient algorithms. As this is generally not possible, an idea is to relax the problem by including common practices of designers. This leads to solve some instances of a general problem denoted as frequency LFT filter synthesis. Our second main contribution is to provide efficient synthesis methods, based on LMI optimisation, for solving these instances. This is achieved by especially generalising the spectral factorisation technique with extended versions of the so-called KYP Lemma. For particular electronic passive filters, such as bandpass LC-ladder filters, this second approach allows to efficiently solve the design problem. More generally, it provides an initial point to the first approach, as illustrated on the design of a particular AW filter.

[T.4] Fabricio Saggin, Robust control for MEMS inertial sensors. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 268 pages, Septembre 2021, tel-03363650.

<table><tr><td>Directeurs de thèse</td><td>X. Bombois (Directeur de recherche CNRS, Laboratoire Ampère), G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrant</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 40%)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>1 Revues soumis, 6 Conférences : [C.25], [C.26], [C.27], [C.28], [C.29]</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2017 - 13/09/2021 : 3 ans 11 mois</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>M. Saggin est actuellement en ingénieur de recherche chez JXSENS</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.12]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Cette thèse fait partie du projet NEXT4MEMS. L'objectif est ici de proposer de nouvelles architectures avec leur méthode de conception pour le circuit électronique réalisant la boucle de rétroaction de capteurs inertiels en exploitant les méthodes de synthèse de la Commande Robuste (H<sub>∞</sub>, LPV et leur adaptation).</td></tr></table>
**Resumé** : Micro-electro-mechanical systems (MEMS) gyroscopes are micromachined devices used to measure the angular rate of objects. They are ubiquitous in many applications thanks to their low cost, low power consumption, and ease of integration into electronic devices. However, when compared to traditional gyroscopes, MEMS gyroscopes have degraded performance. To improve their performance, feedback control loops are widely used. MEMS gyroscopes are composed of two perpendicular vibrating modes : the drive mode and the sense mode. The working principle is based on the transfer of energy between these modes caused by the Coriolis force, which is proportional to the angular rate. Then, by controlling the drive mode oscillations with an excitation frequency and by estimating the Coriolis force, the angular rate can be recovered. Moreover, the better the drive mode oscillations are controlled and the Coriolis force is estimated, the better is the measure. The control architectures are usually optimized in terms of cost and simple implementation. Most of them are based on the complex envelope (amplitude and phase) of the signals, such that simple PI controllers can be used to independently regulate the amplitude and phase of the oscillations along each axis. To extract the complex envelope of the oscillating signals, nonlinear elements are introduced in the control loops. Moreover, the couplings between the drive and sense modes, as well as the dependence on environmental conditions, are not taken into account. The associated methods do not provide guarantees of stability or performance for the closed-loop system. An alternative approach is to consider the classical feedback control architecture, referred to as the direct control architecture, based on the signals themselves instead of their complex envelope. For this architecture, advanced control techniques have been developed for vibration control of mechanical systems. The potential interest is to explicitly take into account the different couplings and the dependence on the environmental condition, with formal guarantees of stability and performance. Nevertheless, their applicability to MEMS gyroscopes, including implementability, is still an open question. A possible reason is the inherent complexity of the controllers. In this thesis, we aim to propose design methods for both control architectures, guaranteeing stability and a certain performance level for the MEMS gyroscope, and to experimentally validate the obtained controllers. In the first part, we review the literature on MEMS gyroscopes and define the key performance indicators of the sensor, which are not usually connected to the closed-loop performance specifications. Then, by using an input-output approach, we establish the relationships between the performance indicators and the closed-loop behavior. These relationships are a valuable tool for the control design and constitute the first contribution of this thesis. Based on these relationships, we then propose design methods for the direct control architecture. First, we consider the case where the MEMS gyroscope works with a fixed operating condition and the excitation frequency, which is set to the drive-mode resonance one. In this context, the control objectives include the tracking of a sinusoidal signal and standard $H_\infty$ synthesis is applied for the controller design. The excitation frequency, however, may vary over time. A control objective is then to track a “time-varying-frequency sinusoidal” signal. We reveal that this particular problem can be formulated as a weighted L2 criterion with a new class of weighting functions modeling “time-varying-frequency sinusoidal” signals. We then revisit the theory of complex envelopes, which allows us to define a formal framework for the analysis of the envelope-based control architectures. If the complex envelope is ideally measured in real time, we establish links between the direct control approach and the envelope-based ones. These links reveal that the performances achieved with both strategies are equivalent. When the signal envelope cannot be ideally measured, the same framework allows us to precisely model the no-
nidealities and to design controllers with formal guarantees of stability. These results are also an important contribution of this thesis. The last part is dedicated to the controller design for their digital implementation on two platforms : a flexible one, which can implement complex control architectures ; and a platform designed for the so-called electro-mechanical ΣΔ, which is a very particular control architecture. For both platforms, the practical results validate the proposed methods.

[T.5] Jorge Ayala-Cuevas, Performance validation of MEMS sensors using uncertain and time-varying models. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon, 189 pages, Décembre 2021, disponible bientôt.

<table><tr><td>Directeur de thèse</td><td>G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrant</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 50%)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>1 Revues soumis, 2 Conférences : [C.26], [C.28]</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2017 - 07/12/2021 : 4 ans 2 mois</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>M. Ayala-Cuevas est actuellement en postdoc à CentraleSupélec</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.12]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Cette thèse fait partie du projet NEXT4MEMS. L'objectif est ici de développer des méthodes d'analyse de la performance robuste basés sur la séparation des graphes (IQC) pour des systèmes temps variant (harmoniques) afin de développer un outil de validation de la performance des boucles de rétroaction de capteurs gyroscopiques.</td></tr></table>

*Resumé* : MEMS gyroscopes are micro sensors that measure the angular rate of an object with respect to a reference frame, by estimating the Coriolis force. The estimation is obtained thanks to the feedback control of the poorly damped spring-mass system oscillations coupled to synchronous demodulation. In spite of their attractive advantages, they suffer of manufacturing dispersion and an important sensitivity to temperature changes. The controllers are designed using strongly simplified models, without a certified performance level. This PhD work focuses on the pre-experimental performance validation of the designed control, using models that are more realistic, that is, approaching the validation as a dynamical system analysis problem. Due to synchronous demodulation, the system is modeled as linear system with Harmonically Time-Varying (HTV) parameters, i.e. parameters that are sinusoidal functions of the time. We address the analysis of Linear Harmonically Time-Varying (LHTV) systems by adopting an Integral Quadratic Constraints (IQC) approach. A key step to apply the IQC framework is to characterize HTV parameters by IQCs defined by a set of functions named multipliers. In this work, we introduce new classes of HTV multipliers which dramatically reduce the conservatism of the analysis results. Commercialized MEMS gyroscope must verify accuracy and output noise specifications, defined by standards. We propose model-based performance criteria in order to evaluate these specifications. Most of the proposed tools are given in the form of convex optimization problems. The most important accuracy specification is the Scale Factor Nonlinearity (SFNL), which is recast as robust optimization problem. The standard procedure to evaluate the output noise
of MEMS gyroscopes is the Allan variance which is a time-domain statistical tool computed from long-term measures of the gyroscope output. This signal-based method is recast as a model-based analysis tool by adopting a generator filter approach. Different cases are investigated, from LTI models to classes of LHTV models that are relevant for the MEMS gyroscope application, including uncertainties. The proposed approaches are validated using experimental results. Finally, the proposed systems analysis tools are applied to the validation of alternative control strategies that require more complex architectures than the classical LTI control.

Thèses co-dirigées, en cours

[T.6] Eva Markiewicz, Commande décentralisée : application au contrôle des vibrations. Universités de Lyon, École Centrale de Lyon.

<table><tr><td>Directeur de thèse</td><td>G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère), M. Collet (Directeur de recherche CNRS, LTDS)</td></tr><tr><td>Co-encadrant</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 30%), G. Casadei (Maître de Conférences, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>Pas de revues ou conférences</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2019 - en cours</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>Thèse en cours</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.6]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Le contrôle actif des vibrations s'est largement développé ses dernières années avec l'utilisation de structures de commande centralisées, voir thèse [T.2]. Si ce type d'architecture permet d'obtenir un haut niveau de performance, sa mise en œuvre pratique est assez lourde et est peu adaptée pour traiter de vibrations qui se produiraient « localement ». C'est pour cela que dans cette thèse, la stratégie de commande locale et décentralisée est envisagée. Si un correcteur local peut contrôler des vibrations localisées, il est néanmoins important d'assurer que l'action de l'ensemble des correcteurs locaux (ou décentralisés) soit coordonnée afin de contrôler les vibrations globales du système mécanique.</td></tr></table>
[T.7] Halim Ould Lahsen, Compromis énergie-information dans un réseau de capteurs/actionneurs en contrôle actif de vibration. Universités de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1.

<table><tr><td>Directeur de thèse</td><td>F. Mieyeville (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrant</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 20%), J. Huillery (Maître de Conférences, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>Pas de revues ou conférences</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2021 - en cours</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>Thèse en cours</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Projet [P.7]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Cette thèse vise à établir un cadre conceptuel et formel de la vision unifiée énergie-information et la mettre en application au travers d'un banc expérimental 2D de contrôle actif de vibration par réseau de l'Internet des Objets distribué. La contrainte l'autonomie élevée de ces systèmes repose de manière plus exacerbée que jamais la question du rapport entre l'énergie et l'information. Au-delà de l'évaluation classique du coût énergétique de l'information (sa collecte, son traitement numérique et sa transmission), les questions fondamentales à se poser sont plus globales et nécessite de considérer le signal physique d'une manière unifiée : source d'information, source d'énergie et moyen possible de communication et contrôle.</td></tr></table>

[T.8] Cécile Pernin, Commande Robuste pour un capteur inertiel résonant MEMS auto-oscillant et paramètres variant. Universités de Lyon, Ecole Centrale de Lyon.

<table><tr><td>Directeur de thèse</td><td>G. Scorletti (Professeur, Laboratoire Ampère)</td></tr><tr><td>Co-encadrant</td><td>A. Korniienko (taux d'encadrement 40%), G. Papin (Ingénieur R&D, PhD, Tronics Microsystems)</td></tr><tr><td>Publications</td><td>Pas de revues ou conférences</td></tr><tr><td>Durée</td><td>01/10/2021 - en cours</td></tr><tr><td>Devenir</td><td>Thèse en cours</td></tr><tr><td>Financement</td><td>Thèse CIFRE, voir le Projet [P.13]</td></tr><tr><td>Sujet</td><td>Le sujet proposé a pour objectif principal de développer et d'évaluer une nouvelle architecture de commande de capteurs inertiels MEMS ainsi que sa méthode de conception. L'enjeu est d'assurer un niveau élevé de performance en dépit de variations des conditions environnementales et plus particulièrement de température.</td></tr></table>
Thèses coordonnées dans le cadre du projet, soutenues

[Tc.1] Kévin Colin, *Data Informativity for the Prediction Error Identification of MIMO Systems*. Identification of a MEMS Gyroscope, 303 pages, octobre 2020, tel-03114994, financée dans le cadre du projet [P.12].

[Tc.2] Federico Morelli, *Optimal identification experiment design : contributions to its robustification and to its use for dynamic network identification*. Resonance Frequency Tracking, 179 pages, janvier 2021, tel-03267982, financée dans le cadre du projet [P.12].

4.1.2 Autres encadrements

Post-Docs encadrés

[PD.1] Marco Forgione, *Low phase noise radio-frequency synthesis architecture (LOPSY)*, septembre 2014 – août 2015 (12 mois), projet associé [P.8].

[PD.2] Hassan Omran, *Etude de faisabilité de conception du filtre radiofréquence reconfigurable à base de résonateurs BAW couplés*, septembre 2015 – août 2016 (12 mois), voir projet [P.11].

[PD.3] Elen Skow, *Multi-piezoelectric patch thin beam model for automatic control*, septembre 2016 - janvier 2017 (5 mois), projet associé [P.10].

[PD.4] Arthur Perodou, *G-scaling for stability analysis of harmonic time-varying systems*, mai - octobre 2019 (6 mois), projet associé [P.12].

Masters/stages ingénieur encadrés

[M.1] Olesya Mokrenko, *Redéfinition de l'architecture de la PLL à l'aide des outils de l'Automatique avancée*, avril – octobre 2012. Niveau d'encadrement 80 %, projet associé [P.1]. Olesia Mokrenko a soutenu une thèse au CEA, LETI, MINATEC Grenoble, actuallement elle traivaille chez Air Liquide en tant qu'ingenieure de recherche.

[M.2] Sjoerd Boersma, *Propagation d'incertitudes, approche hiérarchique d'analyse de la performance*, septembre 2013 – août 2014 (MSc thesis, TU Delft, 1 an), niveau d'encadrement 70 %, projet associé [P.2]. Sjoerd Boersma as soutenu une thèse à la TU Delft, Pays-Bas, il est actuellement postdoc à Wageningen University, Pays-Bas.

[M.3] Arthur Perodou, *Etude de faisabilité de conception du filtre radiofréquence reconfigurable à base de résonateurs BAW couplés*, octobre 2015 – mars 2016 (6 mois), niveau d'encadrement 20 %, projet associé [P.11]. Arthur Perodou a soutenu la thèse [T.3] dans notre Laboratoire.

[M.4] Selman Lounes, *Identification pour la commande de systèmes interconnectés*, mars – juillet 2016 (4 mois). Niveau d'encadrement 50 %, projet associé [P.3]. Selman Lounes est actuellement ingénieur chez Renault-Nissan-Mitsubishi.

[M.5] Eva Markiewicz, *Commande robuste de gyromètres MEMS*, avril-septembre 2019 (6 mois), niveau d'encadrement 80 %, projet associé [P.12]. Eva Markiewicz est actuellement en thèse [T.6]. dans notre Laboratoire.

[M.6] Cécile Pernin, *Evaluation expérimentale d'une commande de gyromètre*, juin - novembre 2020 (6 mois), niveau d'encadrement 60 %, projet associé [P.12]. Cécile Pernin est actuellement en thèse [T.8] dans notre Laboratoire.
[IR.1] Anthony El Hajj, *Commande robuste d'un gyromètre et étude de la stabilité dans différents environnements*, mai-novembre 2020 (7 mois), projet associé [P.12]. Anthony El Hajj est actuellement en thèse CIFRE chez EDF à Lille.

[IR.2] Cécile Pernin, *Développement et validation de la commande phaseur d'un gyroscope MEMS*, janvier - juillet 2021 (7 mois), projet associé [P.12].

## 4.2 Publications

Les co-auteurs doctorants ou stagiaires que j'ai (co)encadrés au moment de la publication sont soulignés en **ligne pleine** et sont en **bleu**. En cohérence avec la section 3.2, les co-auteurs collaborateurs réguliers dans le cadre de collaborations extérieures sont soulignés (Microélectronique, INL, Lyon ; CEA, LETI, Asygn, Tronics Microsystem, TDK, Grenoble ; LIP6, Laboratoire GEEPS, Paris), **souligné ondulé** (Contrôle distribué de vibrations, LTDS, Lyon), en **italique** (Analyse Hiérarchique de robustesse, INRA), en **italique** et soulignés **une fois** (Circuit électriques, UFSC, Joinville, Brésil), en **italique** et soulignés **deux fois** (Identification pour la commande, KTH, Stockholm, Suède), en **italique** et **souligné ondulé** (Traitement du Signal et Multi-Agents, Tufts University, Boston, États-Unis).

*Articles de revues, acceptés ou publiés*

[A.1] M. Ferber, A. Korniienko, G. Scorletti, C. Vollaire, F. Morel, L. Krähenbühl, *Systematic LFT Derivation of Uncertain Electrical Circuits for Worst-Case Tolerance Analysis*, *IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility*, vol. 57, no. 5, pp. 937-946, Oct. 2015, DOI: 10.1109/TEMC.2015.2419455, hal-01181163.

[A.2] A. Korniienko, G. Scorletti, E. Colinet, E. Blanco, *Performance Control for Interconnection of Identical Systems : Application to PLL network design*, *International Journal of Robust and Nonlinear Control*, Wiley, vol. 26, no. 1, pp. 3-27, Jan. 2016, DOI: 10.1002/rnc.3285, hal-01083781.

[A.3] M. Ferber, A. Korniienko, J. Löfberg, F. Morel, G. Scorletti, C. Vollaire, *Worst-case Analysis of Electronic Networks in Intervals of Frequency*, *International Journal of Numerical Modelling : Electronic Networks, Devices and Fields*, Wiley, vol. 31, no. 2, pp. e2249, April 2017, DOI : 10.1002/jnm.2249, hal-01559420.

[A.4] X. Bombois, A. Korniienko, H. Hjalmarsson, G. Scorletti, *Optimal identification experiment design for the interconnection of locally controlled systems*, *Automatica*, vol. 89, pp.169-179, March 2018, DOI : 10.1016/j.automatica.2017.12.014, hal-01492050.

[A.5] K. Laib, A. Korniienko, M. Dinh, G. Scorletti and F. Morel, *Hierarchical robust performance analysis of uncertain large scale systems*, *IEEE Transactions on Automatic Control*, vol. 63, no. 7, pp. 2075-2090, July 2018, DOI :10.1109/TAC.2017.2762468, hal-01616980.

[A.6] P. Wang, A. Korniienko, X. Bombois, M. Collet, G. Scorletti, E. Skow, C. Wang, K. Colin, *Active vibration control in specific zones of smart structures*, *Control Engineering Practice*, vol. 84, pp. 305-322, March 2019, DOI : 10.1016/j.conengprac.2018.12.005, hal-01984008.

[A.7] D. Galayko, C. Shan, E. Zianbetov, M. Javidan, A. Korniienko, O. Billoint, F. Anceau, E. Colinet, E. Blokhina, J. Juillard, *Synchronized Interconnected ADPLLs for*
Distributed Clock Generation in 65 nm CMOS Technology. *IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs*, vol. 66, no. 10, pp.1673-1677, July 2019, DOI: 10.1109/TCSII.2019.2932029. hal-02318785.

[A.8] A. Perodou, **A. Korniienko**, G. Scorletti, M. Zarudniev, J.B. David, I. O'Connor, Frequency Design of Lossless Passive Electronic Filters : A State-Space Formulation of the Direct Synthesis Approach, *IEEE Transactions on Circuits and Systems I : Regular Papers*, vol. Early Acces, pp.1-14, November 2020, DOI : 10.1109/TCSI.2020.3034300, hal-03010860.

*Articles de conférences*, avec comité de lecture, publiés

[C.1] **A. Korniienko**, E. Colinet, and C. Condemine, « Performance enhancement of a closed-loop accelerometer tuned close to its instability regime », *IEEE Conf. Newcas-Taisa*, Toulouse, France, juin-juillet 2009, pp. 1-4, hal-01181267.

[C.2] **A. Korniienko**, E. Colinet, G. Scorletti, E. Blanco, « $H_\infty$ loop shaping control for distributed PLL network », *IEEE Conf. PRIME*, Cork, Ireland, juillet 2009, pp. 336-339, hal-00411525, hal-01181180

[C.3] **A. Korniienko**, E. Colinet, G. Scorletti, E. Blanco, D. Galayko, J. Juillard, « A clock network of distributed ADPLLs using an asymmetric comparison strategy », *IEEE International Symposium on Circuits and Systems ISCAS*, Paris, France, mai-juin 2010, pp. 3212-3215, hal-00550425.

[C.4] M. Javidan, E. Zianbetov, F. Anceau, D. Galayko, **A. Korniienko**, E. Colinet, G. Scorletti, J.-M. Akré, J. Juillard, « All-digital PLL array provides reliable distributed clock for SOCs », *IEEE International Symposium on Circuits and Systems ISCAS*, Rio de Janeiro, Brazil, mai 2011, pp. 2589-2592, hal-00655799.

[C.5] **A. Korniienko**, G. Scorletti, E. Colinet, E. Blanco, J. Juillard, D. Galayko, « Control Law Synthesis for Distributed Multi-Agent Systems : Application to Active Clock Distribution Networks », *IEEE American Control Conference*, San Francisco, USA, juin-juillet 2011, pp. 4691-4696, hal-01181176.

[C.6] J.-M. Akre, J. Juillard, M. Javidan, E. Zianbetov, D. Galayko, **A. Korniienko**, E. Colinet, « A Design Approach for Networks of Self-Sampled All-Digital Phase-Locked Loops », *European Conference on Circuit Theory and Design*, Linköping, Sweden, août 2011, pp. 725-728, hal-00633011.

[C.7] **A. Korniienko**, G. Scorletti, E. Colinet, E. Blanco, « Approche de la performance relative pour la commande de systèmes de grande dimension », *Conférence Internationale Francophone d'Automatique*, Grenoble, France, juillet 2012, hal-00684302, hal-01181170.

[C.8] M. Dinh, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « Embedding of Uncertainty Propagation : Application to the Hierarchical Performance Analysis », *IFAC Joint conference : 5th Symposium on System Structure and Control*, Grenoble, France, février 2013, vol.5, pp. 190-195, hal-00793948.

[C.9] E. Zianbetov, D. Galayko, F. Anceau, M. Javidan, C. Shan, O. Billoint, **A. Korniienko**, E. Colinet, G. Scorletti, J.-M. Akré, J. Juillard, « Distributed clock generator for synchronous SoC using ADPLL network », *IEEE Custom Integrated Circuits Conference*, San Jose, États-Unis, septembre 2013, vol. 1, no. 4, pp. 22-25, hal-01053768.

[C.10] M. Zarudniev, **A. Korniienko**, G. Scorletti, P. Villard, « Network internal signal feedback and injection : Interconnection matrix redesign », *IEEE Conference on Decision and Control*, Florence, Italie, décembre 2013, pp. 2441-2446, hal-00871119.
[C.11] D. Galayko, E. Blokhina, E. Zianbetov, A. Dudka, F. Anceau, E. Colinet, **A. Korniienko**, J. Juillard, P. Basset, « Complexity in heterogeneous systems on chips : Design and analysis challenges », *IEEE International Symposium on Circuits and Systems ISCAS*, Melbourne, Australie, juin 2014, pp.1997-2000, hal-01103744.

[C.12] M. Dinh, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « Convex Hierarchical Analysis for the Performances of Uncertain Large-Scale Systems », *IEEE Conference on Decision and Control*, Los Angeles, États-Unis, décembre 2014, pp. 5979-5984, hal-01089428v2.

[C.13] U. A. Khan, **A. Korniienko**, K. H. Johansson « An $H_\infty$- based approach for robust sensor localization », *IEEE Conference on Decision and Control*, Osaka, Japon, décembre 2015, pp. 1719-1724, hal-01266215.R

[C.14] K. Laib, **A. Korniienko**, G. Scorletti, F. Morel « Phase IQC for the Hierarchical Performance Analysis of Uncertain Large Scale Systems », *IEEE Conference on Decision and Control*, Osaka, Japon, décembre 2015, pp. 5953-5958, hal-01266225.

[C.15] M. Ferber, **A. Korniienko**, J. Löfberg, F. Morel, G. Scorletti, C. Vollaire, « Efficient Robustness Analysis of Electronic Networks in the Frequency Domain », 10th International Symposium on Electric and Magnetic Fields, avril 2016, hal-01984210v1.

[C.16] S. Boersma, **A. Korniienko**, K. Laib, J.W. van Wingerden, « Robust Performance Analysis for a Range of Frequencies », *IEEE American Control Conference*, Boston, Etats-Unis, juillet 2016, pp. 5664-5670, hal-01484249.

[C.17] **A. Korniienko**, U. A. Khan, G. Scorletti, « Robust sensor localization with locally-computed, global $H_\infty$-design », *IEEE American Control Conference*, Boston, Etats-Unis, juillet 2016, pp. 6375-6380, hal-01484252.

[C.18] **A. Perodou**, **A. Korniienko**, M. Zarudniev, G. Scorletti, Ian O'Connor, « On Motivations for Designing Analog Filters Under LFT Framework », *IFAC 2017 World Congress*, Jul.2017, Toulouse, France, hal-01984935.

[C.19] F. Saadatniaki, **A. Korniienko**, G. Scorletti, U. A. Khan, « On the input-output approach towards distributed estimation », *European Control Conference 2018*, Limassol, Cyprus, June 2018, pp. 2152-2157, hal-1984222.

[C.20] **A. Korniienko**, X. Bombois, H. Hjalmarsson, G. Scorletti, « Hierarchical Robust Analysis for Identified Systems in Network », *9th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'18)*, Florianopolis, Brazil, September 2018, vol. 51, no. 25, pp 383-389, hal-01984244.

[C.21] K. Laib, **A. Korniienko**, F. Morel, G. Scorletti, « LMI based approach for power flow analysis with uncertain power injection », *9th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'18)*, Florianopolis, Brazil, September 2018, vol. 51, no. 25, pp 310-315, hal-01984248.

[C.22] P. Wang, G. Scorletti, **A. Korniienko**, M. Collet, « Multi-variable model reduction of smart structure in active vibration control », *9th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'18)*, Florianopolis, Brazil, September 2018, vol. 51, no. 25, pp 441-446, hal-01800664.

[C.23] **A. Perodou**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, I. O'Connor, « Systematic Design Method of Passive Ladder Filters using a Generalised Variable », *Conference on Design of Circuits and Integrated Systems (DCIS)*, Lyon, France, Novembre 2018, pp. 1-6, hal-01984417.

[C.24] **A. Perodou**, **A. Korniienko**, M. Zarudniev, G. Scorletti, « Frequency Design of Interconnected Dissipative Systems : A Unified LMI Approach », *IEEE Conference on Decision and Control*, Miami, Etats-Unis, Décembre 2018, pp. 6250-6255, hal-01984416.
[C.25] K. Colin, F. Saggin, C. Le Blanc, X. Bombois, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « Identification-Based Approach for Electrical Coupling Compensation in a MEMS Gyroscope », *2019 IEEE International Symposium on Inertial Sensors and Systems (INERTIAL)*, Naples, FL, United States, Apr 2019, pp.1-4, hal-02174925.

[C.26] J. Ayala-Cuevas, F. Saggin, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « Stability Analysis of Time-Varying Systems with Harmonic Oscillations Using IQC Frequency Domain Multipliers », *IEEE Conference on Decision and Control*, Nice, France, 2019, pp. 5193-5198, hal-03093309v1.

[C.27] F. Saggin, G. Scorletti, **A. Korniienko**, « A novel phasor control design method : application to MEMS gyroscopes », *IEEE American Control Conference (ACC)*, Denver, CO, USA, July 2020, pp. 3236-3241, hal-03091710.

[C.28] F. Saggin, J. Ayala-Cuevas, **A. Korniienko**, G. Scorletti. « On the Parameter-dependent $H_\infty$ control for MEMS gyroscopes : synthesis and analysis », *IFAC 2020 World Congress*, Berlin, Germany, July 2020, pp. available soon, hal-03091713.

[C.29] F. Saggin, **A. Korniienko**, G. Papin, E. Markiewicz, Y. David, A. El Hajj, G. Scorletti, « $H_\infty$ Design of an EM-ΣΔ Feedback for MEMS Gyroscopes », *IEEE DGON Inertial Sensors and Systems (ISS)*, Braunschweig, Germany, September 2020, pp. 1-20, hal-03091684.

[C.30] F. Saggin, **A. Korniienko**, C. Le Blanc, C. Pernin, G. Scorletti, « Digital Robust control of MEMS Gyroscopes », *2021 IEEE International Symposium on Inertial Sensors and Systems (INERTIAL)*, United States, March 2021, pp.1-4, hal-03202412.

Brevets, déposés

[B.1] E. Colinet, D. Galayko, and **A. Korniienko**, « Device for generating clock signals for asymmetric comparison of phase », WO2011051407A1 (PCT/EP2010/066405), octobre 2010, hal-01085054.

[B.2] E. Colinet, **A. Korniienko**, « Device and method for compensating a signal propagation delay », DD 12189 ST (PCT/EP2011/0192350), décembre 2010, hal-01085059.

[B.3] **A. Korniienko**, G. Scorletti, E. Blanco, M. Pelissier, M. Zarudniev, O. Mokrenko, « Boucles à verrouillage de phase à degrés de liberté multiples et son procédé de conception et de fabrication », déposé en France/Europe en 2015 (EP2996249) et étendu à l'international depuis 2017 (US20160079991), hal-01984030.
## 4.3 Rapports techniques

*Rapports* technique, disponible en ligne

[R.1] **A. Korniienko**, G. Scorletti, E. Colinet, E. Blanco, « Control Law Design for Distributed Multi-Agent Systems ». *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon. France. Octobre 2011, hal-00630543.

[R.2] **M. Dinh**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « Convex Hierarchical Analysis for the Performances of Uncertain Large-Scale Systems », *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, avril 2013, hal-01006045.

[R.3] **M. Ferber**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, C. Vollaire, F. Morel, L. Krähenbühl, J. Vasconcelos « Systematic LFT Derivation of Uncertain Electrical Circuits for Worst-Case Tolerance Analysis. Rapport technique » Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon. France. juillet 2014, hal-01073934.

[R.4] **K. Laib**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, F. Morel. Hierarchical Performance Analysis of Uncertain Large Scale Systems using Uncertain Phase IQC Characterization, Rapport technique Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, février 2015, hal-01198999v4.

[R.5] **A. Korniienko**, X. Bombois, *H. Hjalmarsson*, and G. Scorletti, « Hierarchical Robust Analysis for Identified Systems in Network », *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, Aout 2018, hal-01823875v1.

[R.6] **A. Korniienko**, *U. A. Khan*, G. Scorletti, « Robust sensor localization with locally-computed, global $H_\infty$-design », *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, Février 2016, hal-01277722.

[R.7] **K. Laib**, **A. Korniienko**, *M. Dinh*, G. Scorletti and F. Morel, « Hierarchical approach to investigate the robust performance of uncertain large scale systems », *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, Mai 2016, hal-01306918.

[R.8] **K. Laib**, **A. Korniienko**, F. Morel, G. Scorletti, « Convex LMI optimization for the uncertain power flow analysis », *Rapport technique* Laboratoire Ampère, École Centrale de Lyon, France, Juin 2018, hal-03091175

[R.9] **F. Saggin**, G. Scorletti, **A. Korniienko**. « On Phasor Control for Linear Time Invariant systems », *Rapport technique*, Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Avril 2019. hal-02068370

[R.10] **F. Saggin**, **J. Ayala-Cuevas**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « On the Parameter-dependent $H_\infty$ control for MEMS gyroscopes : synthesis and analysis », *Rapport technique*, Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Avril 2020. hal-02505581v3

[R.11] **F. Saggin**, **C. Pernin**, **A. Korniienko**, G. Scorletti, « On the Digital Control of MEMS Gyroscopes : a Robust Approach », *Rapport technique*, Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Janvier 2021. hal-03125932v1

*Livrables* dans le cadre d'un projet

[R.12] **A. Korniienko**, X. Bombois, G. Scorletti, T. Dehaeze, R. Bohoslavets, « Rapport d'Étude Bibliographique et d'Étude Déterminant les Fonctionnalités Devant Être Intégrées à la Plate-forme pour la Mise en Oeuvre des Algorithmes de Conception », *Livrable du projet N4M* [P.12], Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Aout 2017.
[R.13] F. Saggin, K. Colin, J. Ayala-Cuevas, F. Morelli, **A. Korniienko**, X. Bombois, G. Scorletti, « Développement de méthodes pour la conception », *Livrable du projet N4M* [P.12], Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Mars 2019.

[R.14] F. Saggin, K. Colin, J. Ayala-Cuevas, F. Morelli, E. Markiewicz, **A. Korniienko**, G. Scorletti, X. Bombois, A. El Hajj, « Application des algorithmes sur la plate-forme considérée (Tronics/TDK) », *Livrable du projet N4M* [P.12], Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Octobre 2020.

[R.15] F. Saggin, K. Colin, J. Ayala-Cuevas, F. Morelli, C. Pernin, **A. Korniienko**, G. Scorletti, X. Bombois, « Logiciel de conception et rapport final sur les algorithmes de conception et résultats expérimentaux (Tronics/TDK) », *Livrable du projet N4M* [P.12], Laboratoire Ampère, Ecole Centrale Lyon, France, Novembre 2021.

## 4.4 Séminaires présentés

[S.1] *Réseaux actifs de distribution d'horloges pour MPSOCs synchrones : les méthodes de contrôle associées*, Séminaire Département Méthodes pour l'Ingénierie des Systèmes, Laboratoire Ampère, Lyon, France. Février 2011.

[S.2] *Decentralized control of the Multi-Agents systems*, California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, États-Unis, Juillet 2011.

[S.3] *Réseau actif de distribution d'horloges pour MPSOCs synchrones : les méthodes de contrôle associées*, CEA, LETI, MINATEC, Grenoble, France. Octobre 2011.

[S.4] *μ-Analysis of Linear Electrical Circuits*, Séminaire Département Méthodes pour l'Ingénierie des Systèmes, Laboratoire Ampère, Lyon, France. Mars 2013.

[S.5] *Researches in Automatic Control : Ecole Centrale de Lyon, Séminaire à la Faculté d'Aviation et Spatial, l'Université National Technique d'Ukraine "Institut Polytechnique de Kiev"*. Avril 2013

[S.6] *μ-Analysis of Uncertain Linear Electrical Circuits*, Séminaire chez ASYGN Montbonnot-Saint-Martin, France. Juin 2013.

[S.7] *Worst-Case Performance Analysis, Practical Approach*, Department of Electrical Engineering, Evolutionary Computing Lab, UFMG, Belo Horizonte, Brésil, Avril 2014.

[S.8] *Design of Network Systems, Input-Output LFT approach*, Department of Electrical Engineering, Evolutionary Computing Lab, UFMG, Belo Horizonte, Brésil, Avril 2014.

[S.9] *Design of Network Systems, Input-Output LFT approach*, Department of Automation and Energy Systems, Group of Control, Automation and Robotics, UFRGS, Porto Alegre, Brésil, Avril 2014.

[S.10] *Design of Network Systems, Input-Output LFT approach*, Department of Automatic and Systems, UFSC, Brésil. Avril 2014.

[S.11] *Hierarchical Performance Robustness Analysis*, Department of Electrical Engineering, UFRGS, Porto Alegre, Brésil. Avril 2014.

[S.12] *H∞ Based Control Design of Network Systems, Input-Output LFT Approach*, Department of Automatic Control School of Electrical Engineering, KTH Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden. Février 2015.

[S.13] *Identification and Hierarchical analysis of Structured Large Scale Systems (LSS)*, Department of Automatic Control School of Electrical Engineering, KTH Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden. Février 2015.
[S.14] Journée TIPE "Structures : organisation, complexité, dynamique", Complexité dyna-
mique et boucles de rétroaction, École Centrale de Lyon, Ecully, France, juin 2015.

[S.15] Workshop on Mechanisms underlying local to global signals in networks : Local and Global Behavior, Robust Control System point of view, IXXI-ENS Lyon, France, mai 2016.

[S.16] *LFT Based Control Design of Network Systems*, Department of Electrical and Computer Engineering, Tufts University, Boston, USA, juillet 2016.

[S.17] *Automatique pour la conception de systèmes*, 10 ans de la vie du laboratoire Ampère, Lyon, France, mars 2017.

[S.18] *Complexité dynamique et boucles de rétroaction*, Rencontre INL-Ampère, Ecully, France, Janvier 2019.

[S.19] Ecole Centrale de Lyon, Engineering the future, Visite de l'Université Nationale Technique d'Ukraine « Institut Polytechnique de Kiev », Ukraine, avril 2017, novembre 2017, avril 2018, février 2019.

[S.20] Ecole Centrale de Lyon, Engineering the future, Visite de l'Université Nationale Taras Chevtchenko de Kiev, Ukraine, avril 2017, novembre 2017, avril 2018, février 2019.

[S.21] *Robustness of Dynamical Systems*, Belka WorkSpace, Université Nationale Technique d'Ukraine « Institut Polytechnique de Kiev », Ukraine, novembre 2017.
Deuxième partie

Synthèse des travaux de recherche
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Liste d'abréviations

<table><tr><td>BAW</td><td>Bulk Acoustic Wave</td><td>70</td></tr><tr><td>BMI</td><td>Bilinear Matrix Inequality</td><td>113</td></tr><tr><td>CAO</td><td>Conception Assistée par l'Ordinateur</td><td>81</td></tr><tr><td>IQC</td><td>Integral Quadratic Constraint</td><td>73</td></tr><tr><td>KYP</td><td>Kalman Yakubovich Popov</td><td>84</td></tr><tr><td>LFR</td><td>Linear Fractional Representation</td><td>69</td></tr><tr><td>LFT</td><td>Linear Fractional Transformation</td><td>70</td></tr><tr><td>LHTV</td><td>Linéaire Harmoniquement Temps Variant</td><td>122</td></tr><tr><td>LMI</td><td>Linear Matrix Inequality</td><td>77</td></tr><tr><td>LPV</td><td>Linéaire Paramètre Variant</td><td>115</td></tr><tr><td>LTI</td><td>Linéaire Temps Invariant</td><td>69</td></tr><tr><td>LTV</td><td>Linéaire Temps Variant</td><td>130</td></tr><tr><td>MEMS</td><td>Micro-Electro-Mechanical Systems</td><td>61</td></tr><tr><td>MIMO</td><td>Multi Input Multi Output</td><td>94</td></tr><tr><td>PLL</td><td>Phase Locked Loop</td><td>70</td></tr><tr><td>SAW</td><td>Surface Acoustic Wave</td><td>113</td></tr><tr><td>SFNL</td><td>Scale Factor Non Linearity</td><td>55</td></tr><tr><td>SISO</td><td>Single Input Single Output</td><td>94</td></tr><tr><td>SOS</td><td>Sum-Of-Square</td><td>129</td></tr><tr><td>VCO</td><td>Voltage Controlled Oscillator</td><td>58</td></tr></table>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Notations

$A^T \text{ ou } q^T$ est une transposée d'une matrice $A$ ou d'un vecteur $q$.

$A^* \text{ ou } q^*$ est une transposée-conjugée d'une matrice $A$ ou d'un vecteur $q$.

$I_n$ est une matrice identité de dimension $n \times n$.

$I$ est une matrice identité dont la dimension est omise car connue d'après le contexte ou non importante.

$F > 0$ pour une matrice réelle symétrique $F$ signifie « définie positive », c'est-à-dire toutes les valeurs propres de la matrice $F$ sont positives. Il en est de même pour d'autres relations : $F < 0/F \ge 0/F \le 0$.

$\mathbb{R}$ est l'ensemble de réels.

$\overline{\mathbb{R}}$ est l'ensemble de réels étendu incluant $\infty$.

$\mathcal{L}_2^k$ est un ensemble de fonctions carré-intégrables évaluées en $\mathbb{R}^k$.

$\mathcal{L}_{2e}^k$ est un ensemble de fonctions évaluées en $\mathbb{R}^k$ et dont la troncature au temps $T$ est carré-intégrable.

$T_{w \to z}$ est un opérateur reliant le signal $w$ à son entrée au signal $z$ à sa sortie.

**bdiag**($\Delta_1, \Delta_2$) est une agrégation bloc-diagonal de 2 opérateurs $\Delta_i$ définie comme

$$ \mathbf{bdiag}(\Delta_1, \Delta_2) = \begin{bmatrix} \Delta_1 & 0 \\ 0 & \Delta_2 \end{bmatrix}. $$

**bdiag**$^{N}_{i=1}$($\Delta_i$) est une agrégation bloc-diagonal de $N$ opérateurs $\Delta_i$ définie comme

$$ \mathbf{bdiag}^{N}_{i=1}(\Delta_i) = \begin{bmatrix} \Delta_1 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & \Delta_N \end{bmatrix}. $$

**bdiag**($\Delta_i$) est une agrégation bloc-diagonal d'opérateurs $\Delta_i$ dont la dimension et indexation sont omises car connues d'après le contexte ou non importante.

**bdiag**$^{N}_{i=1}$($\Pi_i$) est une agrégation bloc-diagonal d'ensembles d'opérateurs $\Pi_i$ similaire aux cas d'opérateurs.

$\langle f, g \rangle$ est le produit scalaire pour tout signaux $f, g$ définis sur un ensemble $\mathcal{H}$

$$ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{\infty} f^{*}(t)g(t)dt. $$

$\sigma(p, q, \Pi)$ est une forme quadratique définie par l'opérateur linéaire autoadjoint $\Pi$ pour les signaux $p$ et $q$ soit dans le domaine temporel :

$$ \int_{0}^{\infty} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix}^{T} \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11} & \Pi^{12} \\ \Pi^{21} & \Pi^{22} \end{bmatrix}}_{\Pi} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix} dt = \left\langle \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix}, \Pi \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix} \right\rangle $$

soit dans le domaine fréquentiel :

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \begin{bmatrix} p(j\omega) \\ q(j\omega) \end{bmatrix}^{*} \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{bmatrix}}_{\Pi(j\omega)} \begin{bmatrix} p(j\omega) \\ q(j\omega) \end{bmatrix} d\omega. $$
$\Phi_{\Delta}$ est un ensemble, associé à l'ensemble d'opérateurs $\Delta$, de tous opérateurs linéaires autoadjoints $\Phi$ satisfaisant la contrainte quadratique pour tout l'ensemble $\Delta : \sigma(p, q, \Phi) \ge 0$ pour tout signaux d'entrée $q$ et tout signaux de sortie $p = \Delta(q)$ générés par tout $\Delta \in \Delta$. Il est formellement défini comme :

$$ \Phi_{\Delta} = \left\{ \Phi = \Phi^* \mid \forall \Delta \in \Delta, \forall q, \sigma\left(\overbrace{\Delta(q)}^{p}, q, \Phi\right) \ge 0 \right\} $$

$\Pi_{\Delta}$ est un sous-ensemble de $\Phi_{\Delta}$ ($\Pi_{\Delta} \subseteq \Phi_{\Delta}$), appelé aussi une paramétrisation de contraintes quadratiques satisfaites par l'ensemble $\Delta$, qui est généré via une paramétrisation conique d'un ensemble fini d'opérateurs $\Pi_i$ satisfaisant la même contrainte quadratique pour tout l'ensemble $\Delta$ :

$$ \Pi_{\Delta} = \left\{ \Pi = \Pi^* \mid \forall i \in \{1, \dots, d\} \ \exists \tau_i \ge 0, \Pi = \sum_{i=1}^{d} \tau_i \Pi_i \right\}, $$

où les opérateurs donnés $\Pi_i$ sont tels que $\forall i \in \{1, \dots, d\}$, $\Pi_i = \Pi_i^*$ et

$$ \forall \Delta \in \Delta, \forall q, \sigma\left(\overbrace{\Delta(q)}^{p}, q, \Pi_i\right) \ge 0. $$
# Introduction Générale

## Évolution de carrière et contexte du projet de recherche

Ma carrière en tant qu'enseignant-chercheur se partage en deux périodes : (i) **une période initiale**, composée de mes cinq premières années d'activité (2012-2017), et (ii) **une période de structuration**, qui s'étend sur les cinq années d'activité suivantes (2017-2021).

Mes premières années d'activités de recherche se sont focalisées à la fois sur mon **dégration** au Laboratoire Ampère et sur la **construction de ma propre thématique de recherche**. Au commencement, j'ai été invité par mes collègues à rejoindre les projets de recherche en cours et les équipes déjà constituées afin de me familiariser avec leurs thématiques. Cela m'a permis de découvrir assez rapidement les différentes expertises présentes dans le laboratoire, ainsi que les thématiques de recherche couvertes. En croisant ces informations avec mes propres centres d'intérêt et compétences, j'ai décidé de lancer ma thématique sur la question suivante : « **Comment l'automatique peut-elle aider à développer des méthodes systématiques de conception de systèmes complexes dans différentes sciences de l'ingénieur** et, plus particulièrement, dans le domaine de la **microélectronique**». Les tra vaux sur cette thématique, à l'époque encore peu abordée dans le laboratoire, ont permis l'émergence de deux nouveaux axes : la commande et l'analyse des systèmes en réseaux et l'apport de l'automatique dans les autres sciences de l'ingénieur.

La pluridisciplinarité faisant partie de l'ADN du Laboratoire Ampère (mais aussi de l'Ecole Centrale de Lyon), cette proposition, au début discrète, a été soutenue par mes collègues plus expérimentés et a connu une montée en puissance importante. Ainsi, les cinq dernières années d'activités de recherche qui ont suivi cette étape initiale ont été marquées à la fois par la **structuration** et par la **maturation de ma thématique** et de mes contributions personnelles au sein du Laboratoire Ampère, ouvrant la voie de la préparation à l'Habilitation à Diriger des Recherches.

Au cours de cette seconde période, j'ai trouvé opportun de réunir **différents experts** de mon entourage professionnel proche (G. Scorletti, X. Bombois, C. Vollaire) autour de ma thématique, mais aussi d'établir des collaborations actives avec d'autres **laboratoires** (voir I. O'Connor d'INL, M. Dinh de l'INRAE, et U.A. Khan de Tufts University) et d'y associer des **institutions** et des **entreprises extérieures**. En effet, ces cinq ans de structuration et de maturation de la thématique ont permis de la rendre **visible bien au-delà du Laboratoire**. J'ai ainsi pu mettre en place et faire bénéficier au Laboratoire Ampère de **collaborations régulières** avec le CEA de Grenoble, avec la société grenobloise Asygn et avec Tronics Microsystem, une entreprise du groupe TDK établie à Crolles.

La réussite de cette démarche se manifeste à travers la qualité des projets de recherche menés (voir la section 3.3), ainsi que dans les encadrements scientifiques auxquels je prends une part active (voir la section 4.1). Le projet phare de ma thématique, dont je suis responsable côté Laboratoire Ampère, est incarné par le Projet Structurant Pour la Compétitivité (PSPC) **Next4MEMS** [P.12]. Avec un budget d'environ 1M€ pour la partie méthodologique dont je suis responsable, ce projet témoigne du haut degré de pertinence de l'approche proposée, car le Laboratoire Ampère est intégré dans le consortium composé des entreprises TDK-Tronics Microsystem, Asygn, iXblue et de l'institution Onera. Il montre également l'importance de l'**apport sociétal** et **économique** du projet, celui-ci étant évalué et financé par la Banque Publique d'Investissement de France dans le cadre du Programme d'Investissement pour l'Avenir, destiné à renforcer la **compétitivité du secteur de l'industrie française**.
des capteurs inertiels.

Ma nomination récente en tant que **co-responsable** de la priorité « **Conception intégrée des systèmes dynamiques** » au sein du département **Automatique pour l'ingénierie des systèmes** illustre elle aussi la pertinence de la démarche que j'ai engagée.
En effet, dans son tout nouveau projet présenté au HCERES, le Laboratoire Ampère est structuré en trois départements et six priorités de recherche. Les départements assurent la gouvernance globale et incarnent des **socles de compétences ciblées**, alors que les priorités consistent en des **projets de recherche quinquennaux** qui concilient nos thématiques avec les Objectifs de Développement Durable et de Responsabilité Sociétale (DDRS) et organisent l'**animation scientifique** au sein du département.

Potentiel de la Commande Robuste au-delà de l'Automatique

L'Automatique en général, dès son apparition comme science dans les années 1930, a joué
un **rôle important** pour la **conception de systèmes** dans différents domaines des sciences
de l'ingénieur. Les **boucles fermées** présentent des propriétés remarquables telles que le
rejet de perturbations non mesurées et la poursuite des signaux en dépit d'une **information
limitée** sur le **comportement réel du système**, qui sont à l'origine de ce postulat. En
effet, les architectures de ces systèmes ont non seulement intégré (de plus en plus) des boucles
de rétroaction, mais leurs méthodes de conception ont aussi inévitablement été basées sur
les méthodes de l'Automatique de l'époque, l'**Automatique fréquentielle classique**. Par
exemple, si l'on ouvre un livre de référence sur la conception des boucles à verrouillage de
phase (ou Phase Locked Loop (PLL) en anglais), [Rubiola 2009], on se rend compte que les
méthodes de l'Automatique fréquentielle classique basées sur la représentation des systèmes
par des **fonctions de transfert** et sur les travaux de [Nyquist 1932, Black 1934, Bode 1945]
y sont naturellement présentes.

Par la suite, avec le **développement des ordinateurs** dans les années 60,
l'**Automatique moderne** est apparue en proposant des **formulations mathématiques**
de problèmes de conception, en partie via l'**optimisation** [Kalman 1961, Kwakernaak 1972]
et en les résolvant grâce aux approches numériques basées sur les **équations de Riccati** [Ar-
nold 1984]. Ces nouvelles méthodes sont basées sur la **représentation d'état** des systèmes
et une large utilisation de l'**analyse** et du **calcul matriciels**, permettant ainsi d'étendre
le cadre des systèmes **monovariables** à des systèmes **multivariables**, qui dépassent ainsi
l'une des **grandes limitations** de l'Automatique fréquentielle classique. Même si le cadre de
la formulation mathématique basée sur l'**optimisation** des méthodes de conception de l'Auto-
matique moderne semble être plus pertinent, son utilisation massive dans d'autres domaines
des sciences de l'ingénieur est restée limitée. D'une part, le développement technologique
se limitait encore aux systèmes peu complexes et monovariables, qui ne nécessitaient pas
d'autres méthodes de conception que celles proposées par l'Automatique fréquentielle clas-
sique. D'autre part, la puissance de calcul numérique offerte par les ordinateurs ainsi que
l'implémentation limitée du calcul complexe en temps réel ne permettaient pas encore le dé-
ploiement vaste de méthodes proposées. Enfin, le formalisme mathématique proposé ignorait
malheureusement la prise en compte de l'information limitée sur le système réel et les pro-
priétés garanties de systèmes conçus souffraient d'un **manque de robustesse** <fnref n="1" />, un aspect
crucial en conception de systèmes réels.

La situation a évolué depuis le début des années 80, d'une part grâce à l'impressionnant **développement technologique** des systèmes modernes et, d'autre part, avec l'apparition

<footnote n="1">1. En effet, le modèle était supposé représenter exactement le vrai système.</footnote>
de la **Commande Robuste** en Automatique.

Le développement technologique a débloqué la possibilité de fabrication des systèmes de complexité remarquablenon seulement de point de vue de la taille (réseaux de systèmes interconnectés), d'exigences de cahier de charges (compromis multicritère coût/qualité) mais aussi de la robustesse (taille micro-, voire nanométrique).

En effet, les récents développements technologiques en Microélectronique (réseaux de pro-
cesseurs, de systèmes sur puce, de capteurs), en Génie électrique (réseaux Super et Micro-
Grid), en Mécatronique (systèmes de contrôle actif multiactionneurs multicapteurs) ou en
Informatique et en Traitement du Signal (Internet des Objets, Multi-Agents, réseaux so-
ciaux) font que la taille des systèmes technologiques actuels est de plus en plus grande
et qu'ils sont de plus en plus complexes. Reprenons l'exemple cité précédemment de la
conception d'une PLL. Alors qu'au début, on ne cherchait à concevoir qu'une seule PLL, il
faut aujourd'hui concevoir tout un réseau de PLLs. Face à cette explosion de la complexité,
dans des secteurs industriels de plus en plus vastes <fnref n="2" />, la conception basée modèle et
l'approche système ont été adoptées. Ces transformations, encore plus fréquentes aujour-
d'hui, nécessitent des outils et des méthodes de conception systématiques et adaptées
dont l'absence ne cesse de se manifester et que ni les méthodes de l'Automatique fréquentielle
classique ni celles de l'Automatique moderne ne peuvent malheureusement combler.

En effet, il est indispensable de proposer des outils et des algorithmes de conception
adaptés à la taille et à la complexité des systèmes considérés. Le développement de méthodes
de conception efficaces (compromis temps calcul/complexité) et systématiques pour ces sys-
tèmes est non seulement un défi, mais aussi une thématique cruciale pour notre société
actuelle, qui répond pleinement aux attentes des domaines applicatifs.

L'apparition de la Commande robuste en Automatique, qui coïncide avec le développe-
ment technologique discuté auparavant, présente un fort potentiel dans cette démarche. Les
méthodes de conception proposées par la Commande robuste ont, en effet, été fondées sur
l'idée qu'il est possible d'exploiter au mieux les qualités de l'Automatique fréquentielle et de
l'Automatique moderne tout en corrigeant leurs défauts. L'utilisation de l'optimisation pour
la conception de systèmes multivariables et la recherche d'un meilleur compromis dans le
cahier des charges de ces derniers tout en veillant à assurer leur robustesse sont devenues pos-
sibles grâce aux travaux de [Zames 1981, Safonov 1982, Safonov 1983b, Doyle 1982, Font 1995].
En outre, les progrès de l'optimisation numérique [Nesterov 1994] et notamment de l'optimi-
sation LMI [Boyd 1994], associés à une explosion de la puissance de calcul des ordinateurs,
ont permis d'inscrire la Commande Robuste dans un cadre de méthodes de conception sys-
tématiques et efficaces particulièrement pertinent pour la conception de systèmes complexes.

Malheureusement, à ce jour, les solutions issues de la Commande Robuste et de ses ex-
tensions ne sont pas entièrement exploitées dans les applications et les domaines scientifiques
cités. L'Automatique et son approche système sont évidemment toujours présentes dans les
différentes disciplines et les outils de Conception Assistée par l'Ordinateur (CAO) qui leur
sont associés, mais les méthodes sous-jacentes utilisées commencent à dater et ne sont plus
du tout adaptées aux enjeux et à la complexité discutés (aspects multivariables, réseaux,
efficacité, compromis performance/robustesse, etc.).

Selon moi, les deux raisons principales sont les suivantes : (i) la faible adaptation des concepts théoriques, parfois pointus, de l'automatique, auxquels les utilisateurs finaux sont insuffisamment sensibilisés et (ii), l'absence d'approche unifiée pour le développement de méthodes de conception pertinentes et facilement intégrables dans les outils CAO. Mes

<footnote n="2">2. Initialement en Aéronautique et spatial, mais aujourd'hui dans l'automobile, les télécommunications, l'agroalimentaire, l'électroménager, etc..</footnote>
activités de recherche se sont alors concentrées sur ces deux points.

## Mes thématiques de recherche

Mes thématiques de recherche sont centrées sur le développement de méthodes de conception de systèmes complexes garantissant un haut niveau de performance basées sur l'approche système et l'Automatique. Par « système complexe », j'entends un système dont le comportement dynamique complexe rend caduque la mise en œuvre des méthodes traditionnelles et dont le cahier des charges et le niveau exigé de performance/robustesse imposent plusieurs compromis pour sa conception, celle-ci nécessitant une optimisation fine de son comportement.

Je m'intéresse ainsi tout particulièrement à la conception de systèmes résultant de l'interconnexion de nombreux sous-systèmes (grande échelle) soumis à de fortes contraintes structurelles (aspect distribué, décentralisé) et exposés à d'importantes variations environnementales et dispersions technologiques (incertitudes). Les systèmes en question embarquent une intelligence, souvent réalisée par une commande en boucle fermée et dont la synthèse nécessite une intégration importante de tous les aspects pluridisciplinaires du problème en un cadre unifié (approche système), efficace (complexité algorithmique) et maîtrisé de leur conception (outils CAO).

L'idée principale de la thématique de recherche proposée s'appuie d'une part sur les principes qui ont fait le succès de la **Commande Robuste**, à savoir la prise en compte de la complexité et du manque d'information sur les systèmes via la notion d'incertitude et les approches systématiques de conception de boucles de rétroaction basées sur l'**optimisation convexe** (plus particulièrement LMI) et, d'autre part, sur les extensions de la Commande Robuste à la **Théorie de Dissipativité** et à l'**Approche entrée-sortie**, permettant de renforcer la **pertinence** et la **maîtrise** des méthodes de conception développées.

Dans les thématiques de recherche que je propose, en plus du développement de méthodes fondées sur des bases théoriques solides, une place importante est consacrée aux **efforts pédagogiques** et à la construction d'une **couche supplémentaire** reliant l'automatique à d'autres disciplines. Elle permet de traduire/cacher les concepts pointus de l'automatique et de **mettre en avant une interface accessible** par un ingénieur de métier, ce qui est extrêmement important pour proposer des outils de conception de systèmes réels et **objectivement adaptés**. Ces efforts expliquent la **nature double de mes publications**, qui sont réalisées non seulement dans les journaux et conférences de référence en Automatique, mais aussi dans d'autres domaines disciplinaires, plus particulièrement en Électronique. Pour valider une nouvelle méthode de conception et la faire accepter par une communauté de sciences de l'ingénieur, la validation expérimentale revêt naturellement une place importante. La thématique de recherche et la démarche que j'ai proposées ont jusqu'alors emporté l'adhésion des parties concernées, car elles favorisent ce **transfert de méthodologie** entre l'Automatique et d'autres disciplines, voire vers le secteur privé et le monde industriel.

## Démarche proposée et défis scientifiques soulevés

La démarche scientifique que je propose est centrée à la fois sur la diffusion et le déploiement de la Commande Robuste dans différents domaines scientifiques et sur mes propres développements en automatique, à forte portée applicative.

Premièrement, elle est en effet focalisée sur une **problématique pragmatique concrète** et basée sur l'utilisation, dans la mesure du possible, du cadre largement maîtrisé et efficace
de la Commande Robuste. Deuxièmement, même si le potentiel de ce cadre n'est pas encore
complètement exploré, la conception des systèmes complexes modernes nécessite généralement
son extension et le **développement de nouvelles méthodes** de conception originales.
Pour augmenter l'efficacité et l'acceptabilité de ces nouvelles méthodes dans les domaines
scientifiques ciblés, un cadre de conception unifié et exploitant ce qui a déjà été développé,
est proposé.

La démarche suggérée s'inspire beaucoup de la problématique pragmatique des différentes
applications et des domaines de sciences de l'ingénieur étudiés. Cet aspect me semble d'une
importance cruciale. C'est pourquoi j'ai décidé de commencer la partie scientifique de ce
manuscrit par un chapitre qui présente une catégorie de problèmes de conception étudiés où
un déploiement des méthodes de la Commande Robuste « quasi direct » a été possible. Le
terme « direct » est utilisé ici, parce que le fort potentiel de la Commande Robuste a pu
être directement exploité et diffusé, voir la commande $H_∞$ et la $\mu$-analyse ainsi que leurs
extensions directes. Le terme « quasi » souligne le fait que les efforts particuliers ont dû être
consacrés à la mise en forme du problème et à son adaptation aux applications. Le chapitre 5
est rédigé de manière à mettre en avant ces efforts de mise en forme et de déploiement, sans
entrer dans les détails techniques.

La démarche proposée s'est avérée pertinente. D'une part, une méthodologie systématique
d'aide à la conception, réellement adaptée aux problématiques posées, a été systématiquement
proposée pour qu'un ingénieur de métier ne possédant pas de connaissances pointues en
Commande Robuste puisse l'utiliser sans que cela ne lui demande d'efforts excessifs. D'autre
part, une telle approche permet de **remettre à plat** les méthodes de conception déjà utilisées,
d'identifier clairement les idées intéressantes ainsi que leurs limites par rapport à ce
qui peut être fait dans le cadre déjà maîtrisé de la Commande Robuste. Cette démarche me
passionne beaucoup, car elle ouvre les questions et pose des défis scientifiques audacieux
en faisant émerger de nouvelles méthodes de conception qui sont pertinentes par rapport à
la problématique pragmatique considérée, mais qui vont aussi **au-delà**. Une **contribution
méthodologique originale**, exploitable dans d'autres domaines et applications, est alors
possible.

Plus concrètement, plusieurs questions scientifiques ont été soulevées par la suite. Comme
déjà mentionné, les récents progrès technologiques posent un réel défi pour la conception
des systèmes modernes. Le déploiement direct de méthodes existantes de conception de la
Commande Robuste, qu'elles soient basées sur la $\mu$-analyse ou sur la synthèse $H_∞$, n'est pas
adapté à la complexité et à la taille des modèles représentant les systèmes en question. Une
nouvelle approche permettant de gérer le **niveau complexité** doit donc être proposée.

Le cadre de l'analyse proposé par les **contraintes intégrales quadratiques** (Integral
Quadratic Constraint (IQC))<fnref n="3" /> et la modélisation basée sur les **représentations linéaires
fractionnelles** (LFR)<fnref n="4" /> forment un outil remarquable qui permet de traiter les problèmes
d'analyse de la robustesse des systèmes dynamiques. La question est de savoir comment
exploiter cet outil pour gérer le niveau de complexité quand il s'agit de l'étude de la robustesse
de systèmes de grande dimension.

En outre, nous avons développé cette méthode pour les **systèmes dits modulés**. Les
systèmes modulés sont les systèmes qui, pour des raisons d'application, intègrent des dispo-
sitifs de modulation et de démodulation. Mathématiquement, leurs modèles font apparaître
des multiplications par des fonctions harmoniques, ce qui nécessite une extension du cadre
des systèmes Linéaire Temps Invariant (LTI), aux systèmes Linéaire Temps Variant (LTV).

<footnote n="3">3. Une extension de la $\mu$-analyse.</footnote>

<footnote n="4">4. Une généralisation de la représentation d'état.</footnote>
Cependant, l'exploitation de la **nature harmonique particulière** de ces fonctions permet d'obtenir des nouvelles classes de IQCs ainsi que de nouvelles méthodes d'analyse de la robustesse de ces systèmes. Le défi sous-jacent est de savoir comment mettre en œuvre cette exploitation de manière à la fois simple et précise afin de proposer une méthode d'analyse basée sur une optimisation à peine plus compliquée que celle issue du cadre LTI standard et de la μ-analyse.

D'autre part, l'**approche entrée-sortie** présente un fort potentiel pour le développement d'une méthode de synthèse de la **commande décentralisée** appliquée aux systèmes Multi-agents et à complexité réduite. La question sous-jacente est de savoir comment tirer profit de l'information sur la **structure d'interconnexion** du **système global** afin d'obtenir des conditions d'analyse et de synthèse simples ne regroupant qu'un seul **sous-système local**.

Enfin, l'**extension originale** de la **factorisation spectrale** aux classes de systèmes LFR se révèle extrêmement intéressante pour la conception de systèmes composés d'une interconnexion de sous-systèmes et dont le cahier de charges est exprimé dans le domaine fréquentiel. L'architecture et l'implémentation réelle d'une grande majorité de systèmes modernes actuels sont, en effet, beaucoup plus proches des modèles LFR que des représentations d'état traditionnelles. Les méthodes de **synthèse** et d'**analyse** LFR sont donc au cœur de la simplification et de la pertinence des méthodes de conception des systèmes associés.

## Organisation du manuscrit

Le chapitre 5 présente mes contributions au déploiement des méthodes existantes de Commande Robuste dans les autres disciplines. Le développement de nouvelles méthodes de Commande Robuste destinées à la conception de systèmes complexes est présenté par la suite. Le cadre général de la Commande Robuste et de ses extensions est d'abord revisité dans le chapitre 6. Ensuite, une démarche de conception unifiée est proposée dans le chapitre 7 et déployée dans les chapitres 8-10.

Dans le chapitre 8, il s'agit d'abord de présenter les résultats du développement de méthodes qui facilitent la conception de systèmes interconnectés de grande dimension grâce à la prise en compte de la structure de leur interconnexion. Le chapitre 9 présente à son tour le développement de méthodes généralisant la synthèse de systèmes sous forme d'une représentation d'état à la représentation fractionnelle linéaire (LFR). Enfin, le chapitre 10 est consacré à la présentation des contributions les plus récentes en développement de méthodes pour la conception de systèmes modulés.
# Déploiement de la Commande Robuste dans d'autres disciplines

## Contents

<table><tr><td>5.1 Introduction</td><td>51</td></tr><tr><td>5.2 Analyse de tolérance de circuits électroniques</td><td>52</td></tr><tr><td>5.2.1 Problème considéré</td><td>52</td></tr><tr><td>5.2.2 De la μ - analyse vers un outil de conception de circuits</td><td>52</td></tr><tr><td>5.2.3 Problématique scientifique sous-jacente</td><td>54</td></tr><tr><td>5.3 Analyse de robustesse de capteurs inertiels</td><td>55</td></tr><tr><td>5.3.1 Évaluation de la précision de mesure des capteurs inertiels</td><td>56</td></tr><tr><td>5.3.2 Variance d'Allan basée modèle</td><td>56</td></tr><tr><td>5.3.3 Problématique scientifique sous-jacente</td><td>56</td></tr><tr><td>5.4 Commande Robuste en Microélectronique</td><td>58</td></tr><tr><td>5.4.1 Commande Robuste pour les PLLs</td><td>58</td></tr><tr><td>5.4.2 Commande Robuste des capteurs inertiels</td><td>61</td></tr><tr><td>5.4.3 Problématique scientifique sous-jacente</td><td>64</td></tr><tr><td>5.5 Commande active de vibrations en Mécatronique</td><td>64</td></tr><tr><td>5.5.1 Problématique scientifique sous-jacente</td><td>67</td></tr></table>

## 5.1 Introduction

Comme mentionné dans le chapitre précédent, la Commande Robuste présente un potentiel formidable pour le développement de méthodes et d'outils de conception de systèmes dans des domaines associés à différentes disciplines scientifiques. Mes activités de recherche ont contribué au déploiement et à la diffusion de la Commande Robuste dans ces disciplines et à l'exploitation réelle de ce potentiel.

Mes activités de recherche dont le développement méthodologique avaient atteint un degré de maturité suffisant pour être quasi directement applicable à différents cas de figure de domaines d'application concrets sont présentées dans ce chapitre.

Afin d'en amplifier la diffusion, des efforts particuliers ont été nécessaires pour, d'une part, adapter la méthodologie proposée aux besoins de conception et, d'autre part, la faire accepter par les chercheurs et ingénieurs des domaines concernés.

Même si les problèmes de conception considérés ici permettent une application quasi directe des méthodes de la Commande Robuste, leur extension dans un cadre plus général, en accord avec une évolution technologique des systèmes complexes actuels, reste limité. Ce chapitre permet alors de dégager plusieurs problématiques scientifiques originales qui sont au cœur de mes activités de recherches présentées dans les chapitres suivants.

Le présent chapitre s'attache dans un premier temps à la description des outils d'analyse de la robustesse de circuits électriques et de capteurs inertiels qui ont été développés, puis,
dans un deuxième temps, à la présentation des outils de synthèse de la commande en Micro-
électronique. Pour finir, mes contributions en commande active de vibration sont discutées à
la fin du chapitre.

5.2 Analyse de tolérance de circuits électroniques

5.2.1 Problème considéré

Lors de la conception d'un circuit électronique, d'importants efforts sont consacrés à l'analyse de sa tolérance aux incertitudes des composants électriques qui le constituent. En effet, même si le modèle nominal d'un circuit respecte bien le cahier des charges, son fonctionnement peut être dégradé quand le circuit est implémenté avec les composants réels. Les valeurs des différentes grandeurs physiques des composants ne sont jamais égales aux valeurs nominales. En outre, certains phénomènes étant mal ou non modélisés, le modèle plus réaliste du circuit contient alors des inductances et des capacités parasites. Ainsi, pour assurer son bon fonctionnement, et notamment sa compatibilité électromagnétique, il convient de réaliser une analyse de tolérance à ces incertitudes paramétriques lorsqu'il est implémenté [Garcia 2010]. Pour certaines applications critiques, à l'instar des stimulateurs cardiaques, des centrales nucléaires ou de la navigation autonome, la tolérance pire cas doit être garantie.

La Commande Robuste a un fort potentiel dans l'analyse de la tolérance pire cas de circuits électroniques. En effet, la μ-analyse [Doyle 1982, Fan 1991, Skogestad 2005] est une solution complémentaire aux méthodes basées sur les simulations Monte-Carlo, traditionnellement utilisées dans le domaine [Kettani 2006]. Dans le cadre de circuits linéaires, elle permet de résoudre quasi directement le problème considéré. Elle peut ainsi remplacer un nombre infini de simulations Monte-Carlo et accélérer considérablement la conception de circuits associés.

Malheureusement, même si la méthode μ-analyse est acceptée dans la communauté de l'Automatique et en particulier dans le domaine de l'Aéronautique, elle fait encore l'objet d'une certaine frilosité dans celui du Génie Électrique. Deux rares exemples de travaux proposés sont les articles [Tymerski 1996, Wang 2004]. Toutefois, les concepts théoriques d'Automatique avancée proposés, assez pointus, n'ont pas été suffisamment adaptés aux utilisateurs finaux, ce qui a empêché la diffusion de ces méthodes en Génie Électrique et leur exploitation réelle.

Le travail réalisé en collaboration avec Moises Ferber, à l'époque doctorant du Laboratoire
Ampère, voir les articles [A.1], [A.3], [C.15] et le rapport [R.3], nous a permis de construire
une couche supplémentaire, invisible pour les utilisateurs finaux, qui contribue à la diffusion
de la Commande Robuste dans le domaine de l'analyse de tolérance des circuits électriques
linéaires.

5.2.2 De la μ - analyse vers un outil de conception de circuits

En analysant la problématique et la méthodologie proposée dans les travaux [Ty-
merski 1996, Wang 2004, Doyle 1982, Fan 1991, Skogestad 2005], nous sommes arrivés à la
conclusion que l'application de la μ-analyse passe par une mise en forme particulière du
problème, c'est-à-dire par une représentation linéaire fractionnaire ou LFR du circuit, en uti-
lisant la Transformation linéaire fractionnaire ou Linear Fractional Transformation (LFT) <fnref n="1" />.
C'est précisément cette mise en forme particulière qui n'est pas toujours comprise par la
communauté d'ingénieurs et de chercheurs en Génie Électrique. Les méthodologies propo-

<footnote n="1">1. Ces notions seront détaillées par la suite de ce manuscrit, voir la section 6.2.</footnote>
sées en [Tymerski 1996, Wang 2004] souffrent de l'absence d'une procédure systématique et transparente de dérivation de la LFR à partir du modèle de circuit électrique associé.

En effet, dans l'article [A.1], une librairie de composants électriques a été proposée sous Matlab Simscape®, décrivant les incertitudes sur les valeurs nominales des composants ainsi que leurs valeurs parasites. Grâce à cette librairie, le simple remplacement des composants du modèle standard par ceux que nous avons proposés permet de construire la LFR associée directement exploitable par μ-analyse, également programmée sous Matlab, Robust Control Toolbox®, voir la Figure 5.1 pour une illustration. Étant donné que chaque ingénieur en Génie Électrique est capable de construire un modèle de circuit électronique linéaire, notre méthode systématique rend la μ-analyse directement accessible à toute communauté concernée. La Figure 5.2 fournit un exemple d'une telle analyse, avec une représentation des bornes sur le module de la réponse fréquentielle d'une fonction transfert, pour les entrée/sortie sélectionnées d'un circuit électronique contenant 26 paramètres incertains. Ce travail s'est concrétisé par une intégration de la méthode proposée dans le logiciel de conception de systèmes en Génie Électrique CEDRAT, acheté par Altair en 2016.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – 1) Modèle Simscape® standard d'un circuit électrique, 2) Modèle Simscape® du même circuit électrique avec les composants de la librairie proposée 3) Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR) du circuit électrique.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Résultat d’analyse de la tolérance d’un circuit basée sur la μ-analyse et la méthodologie proposée de la dérivation systématique de LFR. Résultat du calcul des bornes sur le module de la réponse fréquentielle d’un circuit électronique contenant 26 paramètres incertains : courbes rouges (μ-analyse), courbes noires (simulations Monte-Carlo, 10 000 tirages aléatoires). La courbe bleue est la réponse nominale et les courbes vertes représentent la réponse pour quelques tirages aléatoires de paramètres incertains.</figcaption></figure>

Par la suite, étant donné que le problème de la μ-analyse est résolu fréquence par fréquence et ce, dans le domaine fréquentiel, la méthode peut souffrir d'une certaine imprécision lorsqu'elle est appliquée à des systèmes fortement résonnants<fnref n="2" />. C'est pour cette raison que nous avons proposé, dans nos travaux [C.15] et [A.3], une extension de la librairie permettant de traiter la fréquence comme une autre incertitude paramétrique et d'effectuer la résolution par plage de fréquences en évitant ainsi tout risque d'omission d'un pic résonant.

Par ailleurs, une collaboration avec M. Löfberg, basée sur sa boîte à outils yalmip [Löfberg 2004], a abouti à une optimisation du calcul numérique de la méthode, rendant celui-ci encore plus efficace. La même démarche a ensuite été appliquée à l'analyse de la tolérance des systèmes dans le domaine Mécanique, voir les travaux de M. Ferber sur sa page personnelle : http://ferber.prof.ufsc.br/research/.

### 5.2.3 Problématique scientifique sous-jacente

L'efficacité de la méthodologie présentée ici reste malheureusement limitée aux circuits électroniques de taille raisonnable dépassant rarement une centaine de paramètres incertains.

<footnote n="2">2. Voir la discussion détaillée sur ce sujet à la fin de la sous-section 7.2.2.</footnote>
Or les progrès technologiques actuels nécessitent de plus en plus une méthode d'analyse de
la tolérance de circuits composés d'un nombre important de sous-systèmes, chacun pouvant
être modélisé avec une centaine de paramètres incertains. En outre, l'extension directe de
cette démarche aux autres domaines d'application considérant les problèmes d'analyse de la
robustesse d'un réseau de sous-systèmes interconnectés (réseaux de production et distribu-
tion de l'énergie, calcul distribué sur un réseau de microprocesseurs, dynamique de systèmes
biologiques, etc.), n'est pas possible étant donné le temps prohibitif de la résolution du pro-
blème associé d'optimisation. Le défi scientifique sous-jacent peut alors être dégagé. Il s'agit
de la question : comment étendre la méthodologie présentée aux systèmes en réseau de grande
taille, sans faire exploser le temps de calcul ? L'exploitation de la structure hiérarchique du
réseau de systèmes, proposée dans la section 8.2, définissant un des axes de mes recherches,
rend possible une telle extension.

5.3 Analyse de robustesse de capteurs inertiels

Mes travaux ont également contribué à la diffusion de la Commande Robuste dans le
domaine des capteurs inertiels dans le cadre d'une évaluation de la performance ou de la
précision des capteurs en se basant sur le modèle de ces derniers enrichi de l'incertitude.
L'idée principale ici est de proposer une alternative à la campagne de mesures expérimentale
menée afin d'évaluer la performance de capteurs. Cette alternative intéressante est basée sur
une méthode d'analyse mathématique. Elle nécessite d'une part d'établir un modèle et un
critère mathématiques adaptés et, d'autre part, de proposer un algorithme efficace de son
optimisation.

En effet, l'évaluation de la performance des capteurs est habituellement réalisée au cours
des dernières étapes de leur conception, par exemple sur les tables tournantes ou dans les
enceintes climatiques. Toutefois, ce processus, également appelé « caractérisation », est chro-
nophage et ne permet de détecter les problèmes de conception qu'à une étape tardive, expéri-
mentale, de cette dernière. Une méthode d'analyse basée modèle permet alors non seulement
de gagner du temps, mais aussi de mieux anticiper et de pallier les problèmes de conception.

Une partie de mes recherches s'est donc focalisée sur l'étude de la performance des capteurs inertiels MEMS, voir le travail de thèse de Jorge Ayala-Cuevas [T.5] que j'ai co-encadré dans le cadre du projet Next4MEMS [P.12]. Dans ce domaine et vu la taille des dispositifs étudiés, le niveau de dispersion technologique, la dépendance du comportement aux conditions environnementales<fnref n="3" />, les erreurs de modélisation et le niveau accru de précision demandé <fnref n="4" /> rendent le cadre de la Commande Robuste encore plus pertinent.

Deux types d'indicateurs de performance ont été considérés en détail [IEE 2018] : la précision de la mesure : (i) biais et non-linéarité du facteur d'échelle (ou Scale Factor Non Linearity (SFNL)) et (ii) le niveau du bruit : Variance d'Allan.

Ces travaux sont remarquables en ce qu'ils visent à soutenir la construction d'un modèle de
capteur prenant en compte la démodulation synchrone, souvent présente dans l'architecture
des capteurs, et l'adaptation des méthodes de Commande Robuste à ce cas particulier. En se
basant sur l'hypothèse d'un fonctionnement idéal de la modulation synchrone, les méthodes
existantes de la Commande Robuste ont bel et bien pu être adaptées et appliquées quasi
directement.

<footnote n="3">3. température, bruit, vibrations, humidité, etc.</footnote>

<footnote n="4">4. relative au prix et à la taille des capteurs MEMS.</footnote>
### 5.3.1 Évaluation de la précision de mesure des capteurs inertiels

Le problème d'évaluation du biais et de la SFNL a été transformé en un problème d'évaluation d'un critère mathématique dépendant d'un seul paramètre, dans un intervalle connu. La SFNL est définie comme une erreur relative maximale de la mesure d'un capteur vis-à-vis d'une caractéristique affine idéale entrée-sortie de ce dernier. Pratiquement, pour évaluer la SFNL, une campagne de mesures est réalisée pour plusieurs valeurs de grandeur à mesurer en entrée dans une plage fixée. Construction d'un modèle de capteur et d'un critère mathématique dépendant de la valeur de cette grandeur, permet une transformation du problème d'évaluation de la SFNL en un problème d'optimisation robuste.

La résolution de ce problème d'optimisation dans le domaine de Commande Robuste est connue, voir par exemple [Dinh 2005], ce qui nous a permis de proposer un outil d'évaluation basée modèle de ces caractéristiques des capteurs. Néanmoins, afin de réaliser cette transformation, un modèle du capteur a été développé en prenant en compte la modulation synchrone.

Par la suite, ce modèle de capteur a été enrichi avec d'autres incertitudes décrivant l'influence de la température, de l'environnement et des erreurs de modélisation. Grâce à la Commande Robuste, des outils d'évaluation du biais et de la SFNL avec différents scénarios de fonctionnement ont alors été proposés. Étant donné que ces outils d'évaluation sont basés modèle, ils permettent de remplacer un nombre important (voire infini) de caractérisations chronophages de capteurs pratiquées dans l'industrie. Cela ouvre la voie à la validation de la performance du capteur aux premiers stades de sa conception en discriminant facilement ces configurations non convenables.

### 5.3.2 Variance d'Allan basée modèle

Pour évaluer le niveau de bruit des capteurs, l'industrie recourt généralement à la variance d'Allan [Allan 1966]. Là encore, nous avons proposé un modèle de capteur prenant en compte la démodulation synchrone, et dont la norme $H_2$ permet de calculer la variance d'Allan.

Par la suite, après avoir enrichi le modèle avec des incertitudes liées aux variations de la température et de l'environnement ou à des erreurs de modélisation, un outil complet d'évaluation de la Variance d'Allan du capteur, basé sur le calcul de la norme $H_2$ robuste 5, a été proposé, voir la Figure 5.3 pour une illustration de résultat d'analyse comparé à l'estimation de la variance d'Allan sur le démonstrateur. Cette approche, basée modèle, permet de supprimer de l'étape de conception un nombre important d'expériences habituellement réalisées en industrie pour évaluer la variance d'Allan du capteur dans différents scénarios de fonctionnement.

### 5.3.3 Problématique scientifique sous-jacente

Même si les méthodes proposées d'analyse de la performance de capteurs inertiels ont démontré leur pertinence dans le cadre applicatif, elles ont été basées sur une hypothèse assez restrictive d'un fonctionnement idéal de la modulation synchrone. Le modèle des capteurs plus réaliste serait donc un modèle sans cette hypothèse d'idéalité. Seulement si l'on prend en compte explicitement les effets de la modulation synchrone, le cadre des méthodes d'analyse proposées n'est plus valable. En effet, un tel modèle, en plus des incertitudes traditionnelles, fait apparaître la multiplication par des fonctions harmoniques à la pulsation donnée. La prise en compte de la spécificité de ces fonctions et de leur impact sur la performance de capteurs, nécessite un développement des nouvelles méthodes de Commande Robuste et constitue alors

<footnote n="5">5. Maîtrisé par la communauté de la Commande Robuste.</footnote>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Variance d’Allan évalué par la méthode proposée (courbe bleue en pointillée) et son estimation sur le démonstrateur (courbe rouge pleine).</figcaption></figure>
une autre problématique scientifique de mes travaux de recherche, développée en détail dans la section 10.3.

## 5.4 Commande Robuste en Microélectronique

Dans le domaine Microélectronique, la plupart des systèmes présentent une architecture intégrant une ou plusieurs boucles de rétroaction. Ces boucles de rétroaction garantissent la poursuite des signaux de référence, le rejet des signaux de perturbation ou la mise en forme du bruit, mais surtout, elles préservent ces propriétés de manière robuste. Le dernier point est crucial pour la Microélectronique. Le niveau de dispersion technologique lors de la production, le faible rapport signal sur bruit et la petite taille des composants sont en effet à l'origine d'erreurs de modélisation relativement importantes. Les boucles de rétroaction apportent alors la robustesse indispensable à ces dispositifs, mais induisent aussi un risque d'instabilité non négligeable. La synthèse d'un correcteur (ou de la Commande) garantissant un comportement convenable du système global bouclé est alors une question essentielle, ce qui justifie la place importante de l'Automatique dans la conception de systèmes en Microélectronique.

Malheureusement, les méthodes actuelles de synthèse des boucles de rétroaction en Microélectronique se basent encore sur les méthodes de l'Automatique fréquentielle classique. Si ces méthodes ont été adaptées il y a quelques années, il subsiste aujourd'hui un certain décalage entre ce qu'elles peuvent offrir et les défis inhérents à la conception des systèmes actuels. En effet, la complexification croissante des systèmes modernes, la hausse des exigences de robustesse et de leurs cahiers des charges ainsi que la recherche d'optimisation fine et de compromis précis nécessitent des approches de synthèse de commande systématiques et intégrables dans le flux de conception des systèmes modernes en Microélectronique.

Même si les approches de la Commande Robuste semblent capables de relever ces défis, elles restent peu utilisées dans le domaine de la Microélectronique. Là encore, cela s'explique par la faible adaptation et acceptabilité des concepts théoriques assez pointus de la Commande Robuste en conception Microélectronique.

Mes travaux de recherche ont été en partie consacrés à l'adaptation et au transfert méthodologique de la Commande Robuste (et notamment Commande $H_\infty$ et $\mu$-analyse), afin de réduire ce fossé et contribuer à la diffusion de l'Automatique en Microélectronique. J'ai décidé d'illustrer la réussite d'une telle démarche avec deux exemples concrets : la Commande Robuste de boucles à verrouillage de phase (ou PLL) et de capteurs inertiels.

### 5.4.1 Commande Robuste pour les PLLs

Les boucles à verrouillage de phase, ou PLL, sont utilisées comme horloges pour synchroniser l'exécution d'opérations dans des systèmes d'électronique (télécommunication, mesure et instrumentation, informatique, etc.) ou tout simplement pour synthétiser un signal périodique avec certaines caractéristiques voulues (fréquence, phase, etc.) [Rubiola 2010]. Leur principe de fonctionnement consiste à commander en boucle fermée la phase du signal périodique produit par un oscillateur de fréquence variable, Voltage Controlled Oscillator (VCO), afin de le synchroniser avec un autre signal périodique produit par une source extérieure de référence. Une PLL traditionnelle est une boucle de rétroaction dont le schéma fonctionnel est représenté sur la Figure 5.4. En plus du VCO, on y trouve : un Comparateur de Phase, un dispositif permettant de générer un signal qui représente une image de la différence de phase entre deux signaux périodiques à son entrée et un Filtre, qui génère, à partir de la différence de phase mesurée, un signal de commande de la fréquence du VCO nécessaire à la synchronisation. Du point de vue de l'Automatique, le filtre de la PLL est considéré comme
un correcteur, car le signal de commande qu'il génère est destiné à imposer un bon comporte-
ment de la PLL dans sa globalité. L'utilisation de la PLL pour générer un signal périodique,
même si l'on en dispose déjà d'un à son entrée, présente deux intérêts.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Schéma fonctionnel d'une PLL traditionnelle</figcaption></figure>

Premièrement, les boucles à verrouillage de phase sont en réalité utilisées avec un diviseur
de fréquence dans la boucle de retour, voir la Figure 5.4. A sa sortie, la PLL génère donc un
signal périodique synchrone avec le signal périodique appliqué à son entrée, mais possédant
une fréquence plus élevée. D'autre part, il est possible de modifier cette fréquence en cours
de fonctionnement, sans changer le signal d'entrée. Ceci se révèle très intéressant d'un point
de vue applicatif.

Deuxièmement, dans le domaine de la Microélectronique de radiofréquence, il existe deux
types d'oscillateurs permettant de générer un signal périodique. Le premier, le Quartz, génère
un signal périodique pur, peu entaché de bruit <fnref n="6" />. L'inconvénient d'un Quartz est qu'il occupe
beaucoup de place sur la puce électronique où est réalisé le dispositif, ce qui en augmente le
coût, surtout si une démultiplication de sources du signal périodique est nécessaire. En outre,
la fréquence du signal généré par un Quartz est faible (de l'ordre de quelques centaines de
kHz) et ne peut pas être modifiée. Le second type d'oscillateur regroupe les oscillateurs en
anneaux, ce qui constitue une alternative compacte d'oscillateurs Quartz. Ils peuvent être
facilement intégrés à différents endroits sur une puce et permettent de générer un signal de
fréquence très flexible pouvant atteindre plusieurs dizaines de GHz. Néanmoins, l'inconvé-
nient est que les signaux périodiques issus des oscillateurs en anneaux sont très bruités. Les
boucles à verrouillage de phase sont utilisées pour éliminer les inconvénients de ces deux
types d'oscillateurs tout en gardant leurs avantages. Elles permettent de générer un signal
périodique de fréquence élevé, en différents endroits du circuit. De plus, le bruit est atténué
grâce <fnref n="7" /> à l'utilisation de la boucle de rétroaction et d'un signal périodique de faible bruit
(voire de faible fréquence) à son entrée.

Cependant, les exigences fortes en termes du bruit de phase du signal périodique généré
imposent de trouver un compromis lors de la conception des PLL modernes. Toutefois, les
méthodes de l'Automatique traditionnelle ne permettent pas de trouver ce compromis de
manière systématique. La conception de la PLL et de sa commande passe donc souvent par
toute une série d'essais et d'erreurs, sans garantie de trouver la solution optimale.

<footnote n="6">6. On parle aussi de haut niveau de stabilité fréquentielle ou de faible bruit de phase.</footnote>

<footnote n="7">7. Ou est mise en forme.</footnote>
Nos travaux, basés sur la Commande $H_\infty$, ont permis de proposer une méthode systématique pour la conception de lois de commande de la PLL répondant aux exigences de cahier des charges fixé par les profils de niveau du bruit de phase du Quartz et du VCO donnés. Afin que cette méthode soit acceptée et exploitée par les concepteurs en Microélectronique, nous avons proposé un critère $H_\infty$ adapté, dont le choix de signaux externes, de pondérations et du paramétrage de ces dernières permet de traduire le cahier de charges typiques en conception de PLLs.

Ce travail nous a permis de mettre en évidence une limite structurelle de la PLL qui influe sur la mise en forme du bruit de phase. En effet, à cause de la structure de commande à 1 degré de liberté (voir un seul filtre sur la Figure 5.4) de la PLL traditionnelle, il n'est pas possible de filtrer à la fois le bruit de phase du VCO<fnref n="8" /> et le bruit de phase du signal à l'entrée de la PLL. Il convient donc de trouver un compromis qui consiste traditionnellement à utiliser un Quartz à l'entrée de la PLL<fnref n="9" /> et à procéder à un filtrage important du bruit de phase du VCO.

Cette étude nous a donné une idée particulièrement intéressante. À condition qu'il soit possible d'estimer le bruit de phase d'un signal périodique, l'utilisation d'une architecture de commande à deux degrés de liberté (voir les deux filtres sur la Figure 5.5) permet de dépasser cette limite structurelle. Cela peut permettre soit d'obtenir un signal périodique avec un bruit de phase très faible (avec la structure Quartz et la PLL), soit de générer un signal de haute fréquence à bruit de phase raisonnable en utilisant la PLL sans Quartz, ce qui facilite considérablement l'intégration tout en diminuant le coût de fabrication.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Schéma fonctionnel d'une PLL à deux degrés de liberté.</figcaption></figure>

Après avoir vérifié l'absence d'une telle architecture de la PLL dans l'état de l'art et proposé à la fois un dispositif d'estimation en temps réel du bruit de phase d'un signal périodique et la méthode de synthèse de lois de commande systématique, nous avons déposé un brevet portant sur une PLL à architecture innovante avec une commande à plusieurs degrés de liberté [B.3].

Cette démarche a démontré que la Commande Robuste permet non seulement de synthé-

<footnote n="8">8. Généralement important.</footnote>

<footnote n="9">9. Générant le signal à faible bruit de phase.</footnote>
tiser la loi de commande de manière systématique pour une architecture donnée, mais aussi de concevoir des nouvelles architectures de dispositifs dépassant l'état de l'art. Le projet LOPSY qui a suivi [P.8] a apporté la preuve de concept du brevet déposé en réalisant un démonstrateur réel de la PLL à architecture innovante. Les résultats de la performance en matière de bruit de phase de la nouvelle PLL par rapport à l'architecture traditionnelle sont représentés sur la Figure 5.6 avec différents réglages de filtres.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Mesure expérimentale du bruit de phase de la PLL avec une architecture traditionnelle (courbe noire) et avec une architecture proposée (les courbes de couleurs représentent différents réglages de filtres obtenus par la commande $H_\infty$).</figcaption></figure>

### 5.4.2 Commande Robuste des capteurs inertiels

Les capteurs inertiels sont des dispositifs qui permettent de mesurer les grandeurs inertielles des mouvements d'un objet telles que la vitesse de rotation et l'accélération, ce qui est exploité, entre autres, dans les systèmes de navigation, d'orientation ou de stabilisation.

Les récentes avancées en fabrication de Microsystèmes Electroméchaniques (ou Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS)) ont permis une miniaturisation considérable des capteurs inertiels et une utilisation de plus en plus large dans des domaines d'applications divers et variés [Kempe 2011, Shaeffer 2013, Yole Développement (institution) 2020]. Les capteurs inertiels MEMS présentent en effet des avantages indéniables en matière d'intégration dans des systèmes électroniques, de coût et de consommation d'énergie. Néanmoins, à cause de diversions technologiques considérables à cette échelle et d'un faible rapport signal sur bruit, les capteurs inertiels MEMS ont une précision de mesure plus faible que leurs homologues macro.

Afin d'augmenter la précision de mesure, comme dans le cas de capteurs macros, on utilise la mesure en boucle fermée. En plus des aspects d'évaluation de la performance de capteurs inertiels, déjà évoqués précédemment, voir la section 5.3, l'aspect de leur commande est donc aussi très pertinent. Du point de vue de l'Automatique, le principe de mesure d'une grandeur
en boucle fermée consiste en une réjection de son effet sur l'élément sensible<sup>10</sup>. La grandeur à mesurer est considérée comme une perturbation et la commande assurant la régulation est alors liée à sa valeur<sup>11</sup>. Elle sert donc comme le signal de sortie du capteur, après un éventuel post-traitement. Dans ce cas-là, en plus d'avantages en matière de la qualité de la mesure<sup>12</sup>, la robustesse du système peut être grandement améliorée ce qui est crucial pour les MEMS. La commande en boucle fermée, et l'électronique la réalisant, peuvent en effet prendre en charge et compenser une grande partie des variations possibles de paramètres dues aux dispersions technologiques et à l'environnement, aux erreurs de modélisation, etc., relativement importants à l'échelle micrométrique. Il est donc naturel que la conception de ces systèmes soit basée sur l'approche système et l'Automatique.

En outre, dans le cas de capteurs résonnants comme le gyromètre, des mouvements périodiques doivent être créés avec une amplitude et une fréquence données afin de garantir leur bon fonctionnement. Une boucle de rétroaction supplémentaire est alors ajoutée pour exciter et contrôler ces mouvements. Bien que le système soit généralement conçu de telle sorte que les couplages entre la boucle d'excitation et la boucle de mesure soient minimisés, les imperfections de production et les exigences de performance accrues entraînent des couplages non négligeables et donc le système est en réalité multivariable.

Les récentes avancées dans l'électronique réalisant le contrôle offrent une possibilité d'embarquer de plus en plus d'intelligence et de boucles de rétroaction. Les cartes électroniques modernes sont capables d'assurer non seulement le traitement approprié des aspects multi-variables, mais aussi une compensation en temps réel des imperfections de la fabrication, des couplages parasites, de la dérive des paramètres du capteur, etc. [Oboe 2005, Zurich Instruments 2015]. Malheureusement, l'industrialisation d'une telle solution de capteurs inertiels MEMS sophistiqués reste très limitée. La présentation plénière du Dr. Mike Judy, de chez Analog Device, au congrès IEEE Inertial 2019 sur le sujet "High Performance Inertial Sensors at Analog Devices", témoigne qu'en dépit d'une évolution considérable de l'architecture mécanique et de son processus de fabrication, l'architecture de commande de capteurs inertiels MEMS et leur électronique n'ont pas évolué depuis une trentaine d'années. Une des raisons d'un tel constat est que les méthodes traditionnelles de l'Automatique actuellement utilisées pour la synthèse de la commande dans l'industrie inertielle ne sont malheureusement pas en mesure de répondre aux défis de conception d'un capteur MEMS intégrant pleinement le niveau d'intelligence offert par les cartes de l'électronique de contrôle modernes.

Parmi mes activités récentes de recherche, une partie a été consacrée au transfert de la Commande Robuste, jusqu'à maintenant négligée, dans le domaine de la conception de capteurs inertiels MEMS et de leur commande. Afin de réussir cette démarche, des efforts particuliers ont été consacrés à la pédagogie et à l'adaptation de notre méthodologie aux besoins de l'application, ainsi qu'à son transfert vers l'industrie.

Deux indicateurs concrets de la réussite de cette démarche ont vu le jour dans le cadre de la thèse de Fabricio Saggin [T.4] que j'ai co-encadrée dans le contexte du projet Next4MEMS [P.12].

Premièrement, une nouvelle méthode de calcul des lois de commande numérique de la boucle de mesure<sup>13</sup> du gyromètre a été développée. Basée sur la Commande $H_∞$, elle a été conçue pour une architecture donnée de la carte électronique [C.29]. Cette méthode a permis de gagner, pour le même gyromètre et selon le critère évalué, entre 5-40% d'amélioration de la performance par rapport à la méthode précédente, basée sur les approches de conception de

<footnote n="10">10. Par exemple une force inertielle sur le déplacement d'une masse.</footnote>

<footnote n="11">11. Généralement proportionnelle à la grandeur à mesurer.</footnote>

<footnote n="12">12. Augmentation de la bande passante de capteur, de la linéarité de la mesure, etc.</footnote>

<footnote n="13">13. Appellée aussi mode sens.</footnote>
<table><caption>TABLE 5.1 – Résultats d’évaluation de différents critères de précision de mesure [IEE 2018] de 6 gyromètres avec les lois de commande synthétisées par la méthodologie proposée comparée à la méthodologie traditionnelle</caption><thead><tr><th>Méthodologie</th><th>SFNL (ppm)</th><th>SFOT (%)</th><th>BOT (°/s)</th><th>RMS noise (°/s)</th><th>ARW (°/√h)</th><th>BI (°/h)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Traditionnelle</td><td>259</td><td>0.032</td><td>0.013</td><td>0.035</td><td>0.148</td><td>0.317</td></tr><tr><td>Proposée</td><td>150</td><td>0.029</td><td>0.010</td><td>0.020</td><td>0.097</td><td>0.302</td></tr><tr><td>Améliorations</td><td>32%</td><td>10%</td><td>22%</td><td>43%</td><td>34%</td><td>5%</td></tr></tbody></table>

modulateurs $\Sigma - \Delta$, voir le Tableau 5.1 et la Figure 5.7 où la Variance d’Allan, un indicateur clé de la dérive de capteurs inertiels [IEE 2018], est représentée. Dans ce cas, le défi principal a été de comprendre les limites de l’architecture de la commande imposée, ce qui sur le fond correspond aux contraintes structurelles de commande, et de proposer un critère $H_{\infty}$ adapté. Ce critère garantit non seulement la compatibilité avec les contraintes structurelles de correcteur, mais permet aussi d’accroître la robustesse du correcteur vis-à-vis des erreurs de modélisation de la partie mécanique du capteur et du relai présent dans l’architecture $\Sigma - \Delta$.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Variance d’Allan obtenue pour les deux capteurs, dont la commande du mode "sense" a été synthétisée par la méthode proposée (courbe rouge) et la méthode précédente traditionnellement employée par notre partenaire industriel.</figcaption></figure>

La méthode proposée s’est révélée plus systématique et maîtrisée que la méthode traditionnelle, mais aussi transparente pour les techniciens l’utilisant chez notre partenaire industriel. Elle est actuellement transférée chez Tronics Microsystems et intégrée dans le flux de conception d’une nouvelle gamme de gyromètres. A ce jour, en moyenne, le même niveau de performance a été atteint après le transfert et l’industrialisation, pour une population de 300 nouveaux capteurs fabriqués.

Deuxièmement, comme dans le cas de la commande de la PLL de la section précédente,
une nouvelle architecture de commande dite directe, basée sur la Commande Robuste, a été proposée et implémentée sur un démonstrateur en démontrant sa viabilité, voir [C.25] et [C.30]. Même si le niveau de performance de mesure obtenu sur le seul capteur testé est encore faible et qu'une optimisation complémentaire est nécessaire, cette contribution a été récompensée comme 3e meilleur papier d'étudiant lors du congrès de capteurs inertiels IEEE Inertial 2021 pour avoir osé et validé l'implémentation d'une nouvelle architecture de commande prometteuse. Ceci constitue un autre exemple concret du potentiel des méthodes de l'Automatique et de la Commande Robuste, en particulier pour l'évolution de l'architecture et l'amélioration de la conception de systèmes en Microélectronique.

### 5.4.3 Problématique scientifique sous-jacente

Comme pour les sections précédentes, le déploiement quasi direct de méthodes de la Commande robuste aux problèmes de commande dans le domaine Microélectronique, en plus de démontrer leur potentiel important, a permis de dégager plusieurs problématiques scientifiques ce qui a motivé le développement de nouvelles méthodes de conception de commande.

Premièrement, du fait des progrès technologiques récents, l'utilisation de plusieurs boucles de rétroactions interconnectées est de plus en plus fréquente dans les architectures de systèmes modernes. La conception de la commande qui assure le bon comportement d'une boucle séparée (objectif local) n'est plus suffisante. Il est désormais nécessaire d'assurer le bon comportement de la boucle, en prenant en compte son environnement, les interactions avec d'autres boucles de rétroactions, etc. Dans certaines applications (réseaux de PLL, réseaux de capteurs ou, plus généralement, réseaux de Multi-agents intelligents interconnectés) on cherche même à concevoir une commande assurant les objectifs globaux, un bon comportement de l'ensemble des boucles de rétroaction interconnectées. Face à ce constant, les méthodes de conception de commande basées sur une utilisation quasi directe de la Commande Robuste, développées dans cette section, ne sont plus adaptées. La question naturelle est alors : comment prendre en compte les contraintes structurelles, décentralisées de commande dans un contexte d'un réseau de boucles de rétroaction interconnectées, potentiellement de grande dimension ? Ceci définit toute une problématique scientifique à part entière qui nécessite un développement de nouvelles méthodes de conception de commande proposée dans la section 8.3.

Deuxièmement, comme dans le cas d'analyse, la modulation synchrone, souvent utilisée dans les capteurs inertiels, pose également la problématique scientifique très intéressante en ce qui concerne la commande. En effet, l'utilisation de l'architecture de commande basée sur la modulation dans la boucle de rétroaction présente beaucoup d'avantages d'implémentation, mais nécessite une extension des méthodes présentées ici. Même en prenant en compte l'hypothèse d'idéalité de la modulation synchrone, l'exploitation directe de méthodes proposées dans ce chapitre n'est pas possible à cause de la présence d'opérations de multiplication des signaux de la boucle par des fonctions harmoniques. La question sous-jacente est alors, est-il possible de proposer un cadre de modélisation adaptée à cette situation, mais qui reste raisonnable de point de vue de la complexité algorithmique ? Cette problématique fait partie d'un des axes récents de mes activités de recherche et est présentée en détail dans la section 10.2.

## 5.5 Commande active de vibrations en Mécatronique

Un autre exemple de la diffusion de la Commande Robuste que je voudrais mettre en avant, c'est celui en Mécatronique. Il s'agit du travail de la thèse de Peng Wang [T.2] que j'ai co-encadré dans le cadre du projet [P.5] sur le contrôle actif des vibrations d'une structure mécanique flexible. L'objectif était de contrôler les vibrations sur une plage de fréquence
large et dans des zones spécifiques de la structure mécanique qui ne sont pas accessibles à la mesure.

Pour atteindre cet objectif, une méthodologie complète incluant les étapes de Modélisation, d'Identification, de Commande et d'Analyse Robustes a été proposée [A.6].

Les deux principaux défis de ce travail ont été le développement d'un modèle et du critère $H_∞$ adaptés à l'application. En effet, dans le domaine Mécatronique, les modèles généralement obtenus par les éléments finis ne sont pas forcément adaptés aux objectifs de la commande. Ils sont à la fois trop complexes sur certains aspects et insuffisamment précis sur d'autres. Nous avons donc développé une procédure de recalage des paramètres du modèle basé sur l'identification et une méthode de réduction d'ordre du modèle complet obtenu [C.22]. La méthode de réduction d'ordre proposée est applicable aux systèmes multivariable et minimise l'erreur due à la réduction sur une plage de fréquence choisie par l'utilisateur. Cette approche nous a permis d'améliorer la précision du modèle, notamment au niveau de l'information sur la phase dans la plage de fréquence d'intérêt, et de tronquer le modèle au-delà de cette plage ayant peu d'intérêt pour la commande. La troncature génère une erreur qui peut aussi être bornée, la borne obtenue étant exploitée pour garantir la robustesse de la commande. Le critère $H_∞$ proposé assure, en plus de la robustesse, la réduction de l'énergie des vibrations dans les zones spécifiques.

Il est remarquable que le niveau de réduction de l'énergie prédite par le modèle soit très proche de ce qui a été observé sur le démonstrateur, voir les Figures 5.8 et 5.9, confirmant ainsi la qualité du modèle et de la loi de commande développées.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – Valeur singulière maximale du modèle réduit en boucle ouverte (courbe bleue) et en boucle fermée (courbe rouge), représentant la réduction de l'énergie de vibrations pré-dites par le modèle selon les fréquences. Les lignes verticales délimitent la plage de fréquence d'intérêt.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 5.9 – Estimation de la valeur singulière maximale en boucle ouverte (courbe bleue) et en boucle fermée (courbe rouge), représentant la réduction de l'énergie de vibrations observée sur le démonstrateur selon les fréquences. Les lignes verticales délimitent la plage de fréquence d'intérêt.</figcaption></figure>
5.5.1 Problématique scientifique sous-jacente

Même si les travaux de recherche sur l'extension de la thématique présentée ici sont encore en cours <fnref n="14" />, voir les thèses d'Eva Markiewicz [T.6] et de Halim Ould Lahsen [T.7], que je co-encadre, il est important également de souligner une problématique scientifique sous-jacente. Pour les raisons d'implémentation pratique et grâce aux possibilités offertes par le progrès technologique, une extension de la commande active de vibrations dans un cadre de la commande spatialement distribuée (multi-capteurs / multi-actionneurs) ou décentralisée (réseaux d'agents décentralisés) est d'une importance cruciale. Il semble en effet possible de revisiter la commande $H_∞$ traditionnelle afin de l'adapter au contexte distribué.

<footnote n="14">14. et ne seront pas présentés dans ce manuscrit.</footnote>
<figure><img src="image_17.png" /></figure>
# Cadre général de la Commande Robuste

## Contents

<table><tr><td>6.1 Introduction</td><td>69</td></tr><tr><td>6.2 Modélisation des systèmes complexes</td><td>69</td></tr><tr><td>6.3 Approche entrée-sortie</td><td>72</td></tr><tr><td>6.3.1 Contraintes quadratiques pour caractériser un système</td><td>72</td></tr><tr><td>6.3.2 Contraintes quadratiques pour définir la performance.</td><td>75</td></tr><tr><td>6.3.3 Conditions de performance et de stabilité</td><td>75</td></tr><tr><td>6.3.4 De l'Analyse vers la Synthèse</td><td>79</td></tr></table>

## 6.1 Introduction

Ce chapitre a pour objectif de fixer le cadre général des méthodes et outils de la Commande Robuste, ainsi que ses extensions. Ce cadre s'avère très pertinent vis-à-vis des objectifs de conception de systèmes complexes et sera utilisé dans les chapitres suivants de ce mémoire afin de proposer une démarche générale de conception de systèmes qui sera appliquée ensuite à des classes de systèmes et problèmes plus concrets.

La Représentation Fractionnaire Lineaire (Linear Fractional Representation (LFR) en anglais) pour la modélisation de systèmes complexes sera présentée dans un premier temps, ainsi que l'approche entrée-sortie et les conditions assez génériques d'Analyse et de Synthèse.

## 6.2 Modélisation des systèmes complexes

La modélisation et la représentation mathématique de systèmes dynamiques sont des aspects clés pour la conception basée modèle de ces derniers. La question est non seulement de disposer du modèle le plus représentatif de la réalité possible, mais aussi suffisamment simple pour pouvoir l'exploiter de manière efficace. Ce compromis « représentativité-complexité » est particulièrement crucial pour la conception des systèmes modernes complexes.

Les représentations traditionnelles des systèmes dynamiques, qu'il s'agisse de la représentation d'état (équations différentielles ordinaires) ou de la fonction de transfert (dans le cas d'un système Linéaire Temps Invariant (LTI)), ne sont pas forcément adaptées à la complexité sous-jacente des systèmes actuels. En effet, ces derniers sont souvent composés de plusieurs sous-systèmes interconnectés avec de nombreuses incertitudes, des parties variantes dans le temps, voire non-linéaires et de dimension infinie. Une représentation hiérarchisée de ces systèmes, très fréquemment exploitée en Microélectronique, permettrait de régler plus finement ce compromis, mais nécessite de sortir du cadre traditionnel de la modélisation.
Pour ces raisons et dans le contexte de la Commande Robuste, une Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR) [Doyle 1991] a été proposée. Expliquée de manière simple, une LFR est une interconnexion de deux opérateurs, telle que représentée sur la Figure 6.1 et décrite par l'équation :

$$ T_{w \to z} : \left\{ \begin{array}{l} p = \Delta(q) \\ \begin{bmatrix} q \\ z \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix}}_{M} \begin{pmatrix} p \\ w \end{pmatrix} \end{array} \right. \qquad (6.1) $$

où $T_{w \to z}$ est un opérateur global reliant le signal d'entrée $w$ avec le signal de sortie $z$. Dans le cas où le système (6.1) est LTI et en associant les fonctions de transfert $\Delta(s)$ et $M(s)$ aux opérateurs $\Delta$ et $M$ via la transformée de Laplace, il est possible de calculer la fonction de transfert $T_{w \to z}(s)$ grâce à la Transformation Linéaire Fractionnelle<fnref n="1" /> (Linear Fractional Transformation (LFT)) comme suit :

$$ T_{w \to z}(s) = M_{22}(s) + M_{21}(s) \Delta(s) (I - M_{11}(s) \Delta(s))^{-1} M_{12}(s) $$

Dans la suite de ce mémoire, cette opération sera utilisée avec sa notation compacte :

$$ \Delta \star \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} (s) := M_{22}(s) + M_{21}(s) \Delta(s) (I - M_{11}(s) \Delta(s))^{-1} M_{12}(s) $$

Il sera également intéressant de définir une autre notation compacte pour une opération LFT dans l'autre sens :

$$ \begin{bmatrix} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{bmatrix} \star K(s) := H_{11}(s) + H_{12}(s) K(s) (I - H_{22}(s) K(s))^{-1} H_{21}(s) $$

avec deux opérateurs LTI $H$ et $K$.

Dans la représentation (6.1), l'opérateur $\Delta$ est souvent l'opérateur qui pose le plus de difficultés pour la conception de système. Il peut inclure la dynamique du système, des certitudes, des parties variant dans le temps, des non-linéarités, un grand ensemble de sous-systèmes à concevoir voire de dimension infinie ou une combinaison de tous ces aspects. On peut parfois lui associer tout un ensemble d'opérateurs $\Delta$. L'opérateur $M$ est quant à lui souvent considéré comme la partie la plus « maîtrisée » du système : la partie nominale du modèle et/ou décrivant l'interconnexion connue à l'avance ou non de sous-systèmes. Dans ce dernier cas, l'opérateur $\Delta$ est un opérateur bloc diagonal $\Delta = \text{diag}_{i=1}^N (\Delta_i)$ et la Figure 6.1 peut être précisée comme illustré sur la Figure 6.2.

La LFR est une généralisation de la représentation d'état. En effet, dans le cas où $\Delta$ est un opérateur intégral (dans le domaine Laplace $\Delta(s) = \frac{1}{s}I_N$) et où $M$ est une matrice réelle de dimensions appropriées $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$, une représentation d'état est obtenue.

On peut donc voir qu'une représentation d'état, en termes de LFRs, est tout simplement une interconnexion des intégrateurs. Cependant, dans des systèmes complexes modernes, les sous-systèmes le constituant ne sont pas forcément des intégrateurs, mais d'autres systèmes dynamiques plus généraux (par exemple, Phase Locked Loop (PLL) dans les systèmes de distribution du signal d'horloge [T.0], ou résonateurs dans les filtres BAW (Bulk Acoustic

<footnote n="1">1. Il est possible de définir LFT dans le cas plus général non-linéaire. Cependant pour ne pas trop alourdir le propos et parce que cette définition simple est bien suffisante pour ce manuscrit, cette définition simple dans le cas LTI est utilisée.</footnote>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Une représentation Fractionnaire Linéaire (LFR)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Interconnexion sous forme d'une Représentation Fractionnaire Linéaire (LFR)</figcaption></figure>
Wave (BAW)) [T.3]). Il est bien évidemment possible, après quelques transformations, de représenter également un tel système sous forme de représentation d'état, mais, dans une telle représentation, la structure hiérarchique, système global $T_{w \to z}$ et systèmes locaux $\Delta_i$ (voir la Figure 6.2), sera perdue. En outre, une LFR peut être composée d'autres LFRs (LFR de LFRs) permettant ainsi de représenter le système sur plusieurs niveaux hiérarchiques où le système global est constitué d'une interconnexion de sous-systèmes qui sont, eux-mêmes, une interconnexion d'autres sous-systèmes, etc.

Dans la suite de ce mémoire, nous allons voir que la structure hiérarchique des LFRs sera pleinement exploitée pour réduire la complexité de problèmes de conception sous-jacents. Cette idée est d'autant plus pertinente que la hiérarchisation des modèles est en adéquation avec ce qui est généralement fait en modélisation dans les disciplines de métiers. L'exploitation de la structure hiérarchique, par exemple en Microélectronique (niveau système, niveau circuit électronique, niveau transistors), est en effet un aspect crucial.

## 6.3 Approche entrée-sortie

Comme évoqué dans l'introduction de ce chapitre, l'approche entrée-sortie est une extension très pertinente de la Commande Robuste. Elle se base sur la description du comportement d'un système sous forme de contraintes quadratiques [Yakubovich 1973]. Les contraintes quadratiques ont un rôle double. Elles peuvent décrire avec plus ou moins de précisions le comportement et différentes propriétés d'un système (ou d'une partie d'un système) ou caractériser la performance visée fixant ainsi les objectifs de la conception. Étant donné les contraintes quadratiques, il est donc possible d'assurer la stabilité du système, grâce à la séparation de graphes [Safonov 1980]. Combiné avec la S-procédure [Yakubovich 1977], un certain niveau de performance du système peut être également assuré en plus de la stabilité. Ces notions sont brièvement présentées dans cette section en suivant des idées similaires abordées dans [Scorletti 2006a].

### 6.3.1 Contraintes quadratiques pour caractériser un système

Pour un système donné, l'ensemble des couples signaux d'entrée-signaux de sortie, par exemple $(p, q)$, est appelé *graphe*. L'étude du comportement du système peut alors être réalisée en se focalisant davantage sur son graphe que sur sa description mathématique interne. L'idée est de caractériser le graphe d'un système par une ou plusieurs contraintes quadratiques vérifiées par les couples signaux d'entrée-signaux de sortie. Une contrainte quadratique assez générale, pour un signal $q$ et un signal $p$, peut être définie par un opérateur linéaire auto-adjoint $\Pi^2$ comme :

$$ \sigma(p, q, \Pi) = \int_{0}^{\infty} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix}^{T} \underbrace{\begin{bmatrix} \Pi^{11} & \Pi^{12} \\ \Pi^{21} & \Pi^{22} \end{bmatrix}}_{\Pi} \begin{bmatrix} p(t) \\ q(t) \end{bmatrix} dt \geq 0 \quad (6.2) $$

Il est important de remarquer que même si nous utilisons principalement la relation non négative dans ce manuscrit, les deux signes de contraintes sont possibles, $\sigma(p, q, \Pi) \geq 0$ ou $\sigma(p, q, -\Pi) = \sigma(p, q, \tilde{\Pi}) \leq 0$ ainsi que l'égalité : $\sigma(p, q, \Pi) = 0$.

Pour l'instant, focalisons-nous sur la contrainte quadratique (6.2). Si les signaux $q$ et $p$ sont respectivement à l'entrée et à la sortie d'un opérateur $\Delta$, c'est-à-dire $p = \Delta(q)$, on dit alors que le graphe $(p, q)$ de l'opérateur $\Delta$ satisfait la contrainte quadratique précédente.

<footnote n="2">2. Un opérateur linéaire $\Pi$ d'un espace $\mathcal{H}$ vers espace $\mathcal{H}$ est un opérateur auto-adjoint, notation compacte $\Pi = \Pi^*$, si $\forall f, g \in \mathcal{H}$ on a $\langle \Pi f, g \rangle = \langle f, \Pi g \rangle$, où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ définit le produit scalaire sur l'ensemble $\mathcal{H}$.</footnote>
La contrainte quadratique introduite est aussi appelée contrainte quadratique intégrale ou Integral Quadratic Constraint (IQC) [Megretski 1997]. Elle est exprimée dans le domaine temporel. Néanmoins, dans certains cas (une majorité dans ce mémoire), il est plus convenable d'exprimer la contrainte quadratique dans le domaine fréquentiel. Ainsi, grâce au Théorème de Parseval-Plancherel, la contrainte précédente peut être réécrite dans le domaine fréquentiel comme :

$$ \sigma(p, q, \Pi) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \begin{array}{c} p(j\omega) \\ q(j\omega) \end{array} \right]^* \underbrace{\left[ \begin{array}{cc} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{array} \right]}_{\Pi(j\omega)} \left[ \begin{array}{c} p(j\omega) \\ q(j\omega) \end{array} \right] d\omega \geq 0 \quad (6.3) $$

Maintenant, si l'opérateur $\Delta$ est un opérateur LTI dont le graphe respecte la condition (6.3), cette dernière est équivalente à [Megretsky 1993] :

$$ \left[ \begin{array}{c} \Delta(j\omega) \\ I \end{array} \right]^* \underbrace{\left[ \begin{array}{cc} \Pi^{11}(j\omega) & \Pi^{12}(j\omega) \\ \Pi^{21}(j\omega) & \Pi^{22}(j\omega) \end{array} \right]}_{\Pi(j\omega)} \left[ \begin{array}{c} \Delta(j\omega) \\ I \end{array} \right] \geq 0, \quad \forall \omega \in \bar{\mathbb{R}} \quad (6.4) $$

ce qui définit une contrainte quadratique simple, non intégrale.

En fonction de la nature de l'opérateur linéaire $\Pi$ utilisé pour définir la contrainte quadratique, cette dernière peut être statique ou dynamique. Si l'opérateur $\Pi$ est sans mémoire (statique) ou indépendant de la fréquence 3, à l'instar d'une matrice réelle, la contrainte quadratique est appelée *statique*. Si, au contraire, l'opérateur $\Pi$ possède de la mémoire ou est dépendant de la fréquence, la contrainte quadratique est appelée *dynamique*. En fonction des objectifs visés, la contrainte quadratique statique peut s'avérer tout à fait pertinente. Dans d'autres situations, il peut être nécessaire d'inclure la dynamique dans l'opérateur $\Pi$.

## Contrainte quadratique pour la caractérisation précise d'un opérateur

La contrainte quadratique introduite peut caractériser les propriétés d'un opérateur $\Delta$ tel que $p = \Delta(q)$. En effet, dans ce cas-là, la contrainte

$$ \sigma \left( p, q, \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix} \right) \geq 0 $$

révèle la propriété de passivité de l'opérateur, alors que la contrainte

$$ \sigma \left( p, q, \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \right) \geq 0 $$

caractérise son $L_2$-gain (ou la norme $H_\infty$ dans le cas LTI).

Il est évident qu'une contrainte quadratique ne caractérise pas forcément de manière précise le comportement d'un opérateur donné $\Delta$. En effet, si $\Delta$ est un opérateur passif, la contrainte $\sigma \left( p, q, \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix} \right) \geq 0$ décrit non seulement son graphe, mais aussi le graphe de tous les opérateurs passifs imaginables.

D'un côté, on peut voir cela comme une *limitation* imposée par un manque de précision, mais la précision de la caractérisation d'un opérateur peut être améliorée en combinant plusieurs contraintes quadratiques bien choisies. Supposons que (le graphe de) l'opérateur $\Delta$

<footnote n="3">3. Même si l'on distingue la pulsation, en rad/sec, de la fréquence, en Hz, tout au long de ce manuscrit le terme « fréquence » sera utilisé.</footnote>
satisfait $d$ contraintes quadratiques définies par $\Pi_1, \Pi_2, \dots, \Pi_d$. La contrainte quadratique combinée :

$$ \forall \tau_i \ge 0, i = \{1, 2, \dots, d\}, \quad \sigma \left( p, q, \sum_{i=1}^{d} \tau_i \Pi_i \right) \ge 0 \qquad (6.5) $$

permet alors de caractériser l'opérateur de manière beaucoup plus précise, car il constitue non pas une, mais une infinité de contraintes quadratiques. En se basant sur $d$ d'opérateurs linéaires auto-adjoints $\Pi_i$, nous pouvons ainsi définir tout un ensemble d'opérateurs linéaires auto-adjoints

$$ \hat{\Pi} = \left\{ \Pi = \Pi^* \mid \forall i \in \{1, \dots, d\} \ \exists \tau_i \ge 0, \ \Pi = \sum_{i=1}^{d} \tau_i \Pi_i \right\} \qquad (6.6) $$

pour lequel les contraintes quadratiques correspondantes seront forcément satisfaites :

$$ \sigma(p, q, \Pi) \ge 0, \quad \forall \Pi \in \hat{\Pi}. \qquad (6.7) $$

Dans ce cas-là, on parle d'une *paramétrisation* des contraintes quadratiques grâce aux paramètres non négatifs $\tau_i$. Il est évident que d'autres types de paramétrisation sont envisageables. Nous en verrons quelques exemples plus tard dans ce manuscrit.

## Contrainte quadratique pour la caractérisation robuste des opérateurs

D'un autre côté, la capacité des contraintes quadratiques à caractériser plusieurs opérateurs peut être vue comme un *avantage*. Surtout dans le cas où non pas un opérateur $\Delta$, mais tout un ensemble d'opérateurs $\Delta$ doit être caractérisé. Cette vision *robuste* sera adoptée dans la suite de ce manuscrit, car elle est très pertinente quand les opérateurs en question modélisent un système incluant des dispersions technologiques, des incertitudes, des parties imprécises ou variantes dans le temps, *etc.* Dans ce cas-là, un ensemble d'opérateurs auto-adjoints décrivant tous les opérateurs $\Delta \in \Delta$ peut être introduit. Notons cet ensemble $\Phi_{\Delta}$ et définissons-le par la suite comme :

$$ \Phi_{\Delta} = \left\{ \Phi = \Phi^* \mid \forall \Delta \in \Delta, \forall q, \sigma \left( \underbrace{\Delta(q)}_{p}, q, \Phi \right) \ge 0 \right\} \qquad (6.8) $$

En général, il n'est pas facile de trouver l'ensemble $\Phi_{\Delta}$ pour un ensemble d'opérateurs $\Delta$ donné et une paramétrisation simple similaire à (6.6), mais applicable à tout ensemble $\Delta$, peut être proposée. Soit $\{\Pi_1, \Pi_2, \dots, \Pi_d\}$ un ensemble d'opérateurs linéaires auto-adjoints donnés tel que $\forall \Delta \in \Delta, \forall q$ :

$$ \sigma \left( \underbrace{\Delta(q)}_{p}, q, \Pi_i \right) \ge 0. \qquad (6.9) $$

Il est alors possible de définir la paramétrisation de l'ensemble d'opérateurs $\Delta$ suivante :

$$ \Pi_{\Delta} = \left\{ \Pi = \Pi^* \mid \forall i \in \{1, \dots, d\} \ \exists \tau_i \ge 0, \Pi = \sum_{i=1}^{d} \tau_i \Pi_i \right\}. \qquad (6.10) $$

Cette dernière paramétrisation ne définit qu'un sous-ensemble de $\Phi_{\Delta}$, c'est-à-dire :

$$ \Pi_{\Delta} \subseteq \Phi_{\Delta} $$
Néanmoins, dans certains cas spécifiques de l'ensemble $\Delta$ et si les contraintes quadratiques élémentaires (définit par $\Pi_i$) sont choisies de manière appropriée, la paramétrisation de contraintes quadratiques (6.10) peut décrire très précisément l'ensemble d'opérateurs. En général, plus l'ensemble $\Pi_\Delta$ est proche de l'ensemble $\Phi_\Delta$, plus la description de l'ensemble $\Delta$ par les contraintes quadratiques associées sera précise.

### 6.3.2 Contraintes quadratiques pour définir la performance

Précédemment, nous avons vu que les contraintes quadratiques permettent de décrire ou caractériser un système avec précision. Une autre interprétation des contraintes quadratiques est aussi possible : elles peuvent aussi définir l'objectif de performance du système à concevoir. En effet, soit l'opérateur $T_{w \to z}$ (6.1) modélisant le système global. La contrainte quadratique

$$ \sigma \left( z, w, \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{bmatrix} \right) \geq 0 $$

permet de borner le $L_2$-gain de l'opérateur et donc d'évaluer la performance du système. Il est donc possible de fixer l'objectif pour le système à concevoir, en termes de valeur maximale $\gamma$ à ne pas dépasser, ou de concevoir le système minimisant la valeur de $\gamma$. Il est évident que d'autres types de performance sont envisageables. Des exemples seront présentés plus tard dans ce manuscrit.

Pour l'instant, sans rentrer dans les détails, nous définissons une contrainte quadratique de performance plus générale suivante :

$$ \exists \varepsilon > 0, \quad \sigma(z, w, \Pi^{perf} - \varepsilon I) \geq 0 \qquad (6.11) $$

avec un opérateur linéaire auto-adjoint

$$ \Pi^{perf} = \begin{bmatrix} \Pi_p^{11} & \Pi_p^{12} \\ \Pi_p^{21} & \Pi_p^{22} \end{bmatrix} $$

où le scalaire $\varepsilon > 0$ est utilisé pour imposer la condition stricte, souvent nécessaire pour des raisons pratiques de définition de la performance.

Dans la suite de ce chapitre, tester ou assurer un niveau de performance revient soit à vérifier la condition (6.11) soit à optimiser (minimiser ou maximiser) certains paramètres clés de l'opérateur $\Pi^{perf}$.

Selon la même idée que précédemment, plusieurs types de contraintes quadratiques de performance peuvent être évalués pour le même système.

### 6.3.3 Conditions de performance et de stabilité

Après avoir introduit les contraintes quadratiques, il est donc possible d'établir les conditions pour assurer un niveau de performance ainsi que la stabilité de système. Ces conditions jouent un rôle important dans l'approche entrée-sortie et seront utilisées pour la conception des systèmes complexes de ce mémoire.

En profitant de l'interprétation double de contraintes quadratiques présentées précédemment, la question de l'étude de la performance du système (6.1) peut être formulée comme suit : rechercher les contraintes quadratiques respectées par le graphe du système global $(z, w)$ (définissant la performance), connaissant les contraintes quadratiques satisfaites par ces signaux internes $(p, q)$ ou par le graphe de $\Delta$. D'après la vision robuste des résultats qui vont