Journal de l'École polytechnique
Mathématiques

Jean-Loup WALDSPURGER

Représentations et quasi-caractères de niveau 0; endoscopie
Tome 8 (2021), p. 193-278.

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# REPRÉSENTATIONS ET QUASI-CARACTÈRES DE NIVEAU 0; ENDOSCOPIE

PAR JEAN-LOUP WALDSPURGER

RÉSUMÉ. — Soient $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$ et $G$ un groupe réductif connexe défini sur $F$. On suppose que $p$ est grand relativement à $G$. Soit $G'$ un groupe endoscopique de $G$. D'après Arthur, il existe un homomorphisme de transfert spectral. Grosso modo, à une combinaison linéaire stable de représentations admissibles et irréductibles de $G'(F)$, il associe une combinaison linéaire de représentations admissibles et irréductibles de $G(F)$. On note transfert cet homomorphisme. Notons $p^{0,G}$ le projecteur de Bernstein tel que, pour une représentation admissible et irréductible $\pi$ de $G(F)$, on a $p^{0,G}(\pi) = \pi$ si $\pi$ est de niveau 0 et $p^{0,G}(\pi) = 0$ si $\pi$ est de niveau strictement positif. On définit de même $p^{0,G'}$. On démontre que $p^{0,G'}$ préserve l'espace des combinaisons linéaires stables de représentations admissibles et irréductibles de $G'(F)$ et que $p^{0,G} \circ \text{transfert} = \text{transfert} \circ p^{0,G'}$.

ABSTRACT (Representations and quasi-characters of level 0; endoscopy)

Let $F$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$ and let $G$ be a connected reductive group over $F$. We assume that $p$ is large relatively to $G$. Let $G'$ be an endoscopic group of $G$. Following Arthur, we have, roughly speaking, a spectral transfer morphism, denoted by transfert, which, to a stable finite linear combination of irreducible admissible representations of $G'(F)$, associates a finite linear combination of irreducible admissible representations of $G(F)$. Let $p^{0,G}$ be the Bernstein's projector such that, for an irreducible admissible representation $\pi$ of $G(F)$, we have $p^{0,G}(\pi) = \pi$ if $\pi$ has level 0 and $p^{0,G}(\pi) = 0$ if $\pi$ has strictly positive level. Define similarly $p^{0,G'}$. We prove that $p^{0,G'}$ preserves the space of stable finite linear combinations of irreducible admissible representations of $G'(F)$ and that $p^{0,G} \circ \text{transfert} = \text{transfert} \circ p^{0,G'}$.

TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>Introduction</td><td>195</td></tr><tr><td>1. Les données</td><td>198</td></tr><tr><td>1.1. Le corps local</td><td>198</td></tr><tr><td>1.2. Notations diverses</td><td>199</td></tr><tr><td>1.3. Groupes algébriques</td><td>199</td></tr><tr><td>1.4. Le groupe G</td><td>200</td></tr><tr><td>2. L'immeuble de G</td><td>200</td></tr><tr><td>2.1. Facettes, groupes parahoriques</td><td>200</td></tr><tr><td>2.2. Description des facettes</td><td>201</td></tr><tr><td>2.3. Groupes de Levi</td><td>202</td></tr></table>

CLASSIFICATION MATHÉMATIQUE PAR SUJETS (2020). — 22E50.

MOTS-CLEFS. — Représentations de niveau 0, transfert endoscopique.
<table><tbody><tr><td>3. Espaces de fonctions et de distributions.</td><td>203</td></tr><tr><td>3.1. Les espaces I(G) et I(G)*.</td><td>203</td></tr><tr><td>3.2. Filtrations.</td><td>204</td></tr><tr><td>3.3. Éléments compacts et topologiquement unipotents.</td><td>205</td></tr><tr><td>3.4. Facettes, fonctions et distributions.</td><td>206</td></tr><tr><td>3.5. Variantes de D(G).</td><td>207</td></tr><tr><td>3.6. Calcul de D<sup>G</sup><sub>f</sub>(f<sub>S</sub>).</td><td>208</td></tr><tr><td>3.7. Relèvement de fonctions à G(F).</td><td>213</td></tr><tr><td>3.8. Un espace de fonctions.</td><td>214</td></tr><tr><td>3.9. Deux espaces en dualité.</td><td>216</td></tr><tr><td>3.10. Un corollaire.</td><td>216</td></tr><tr><td>3.11. Injectivité de D<sup>G</sup>.</td><td>217</td></tr><tr><td>3.12. Variantes avec caractère central.</td><td>217</td></tr><tr><td>4. Éléments compacts, p'-éléments.</td><td>218</td></tr><tr><td>4.1. Retour sur les éléments topologiquement unipotents.</td><td>218</td></tr><tr><td>4.2. Éléments topologiquement nilpotents et exponentielle.</td><td>219</td></tr><tr><td>4.3. Éléments p'-compacts.</td><td>220</td></tr><tr><td>4.4. p'-éléments.</td><td>221</td></tr><tr><td>4.5. Décomposition de G(F) associée aux p'-éléments.</td><td>223</td></tr><tr><td>4.6. Le cas d'un Levi.</td><td>225</td></tr><tr><td>4.7. Un lemme sur les classes de conjugaison et les éléments p'-compacts mod Z(G).</td><td>225</td></tr><tr><td>4.8. Un corollaire.</td><td>226</td></tr><tr><td>4.9. Un lemme sur les éléments p'-compacts et les espaces de Levi.</td><td>227</td></tr><tr><td>4.10. Points fixes dans Imm(G<sub>AD</sub>) d'un élément p'-compact mod Z(G).</td><td>228</td></tr><tr><td>5. Quasi-caractères.</td><td>229</td></tr><tr><td>5.1. Transformées de Fourier et intégrales orbitales.</td><td>229</td></tr><tr><td>5.2. Quasi-caractères et quasi-caractères de niveau 0.</td><td>230</td></tr><tr><td>5.3. Variante.</td><td>233</td></tr><tr><td>5.4. Induction de quasi-caractères.</td><td>233</td></tr><tr><td>5.5. L'espace D(g).</td><td>235</td></tr><tr><td>5.6. Filtrations sur l'algèbre de Lie.</td><td>237</td></tr><tr><td>5.7. Un premier théorème.</td><td>238</td></tr><tr><td>5.8. Restriction aux éléments elliptiques d'un quasi-caractère sur G(F) de niveau 0.</td><td>243</td></tr><tr><td>5.9. Filtration sur le groupe et quasi-caractères.</td><td>247</td></tr><tr><td>5.10. Un deuxième théorème.</td><td>249</td></tr><tr><td>6. Représentations et représentations de niveau 0.</td><td>249</td></tr><tr><td>6.1. Représentations de niveau 0.</td><td>249</td></tr><tr><td>6.2. Représentations elliptiques.</td><td>250</td></tr><tr><td>6.3. Le résultat de [36].</td><td>251</td></tr><tr><td>6.4. Surjectivité.</td><td>252</td></tr><tr><td>6.5. Produit scalaire elliptique.</td><td>253</td></tr><tr><td>6.6. Un lemme préliminaire.</td><td>255</td></tr><tr><td>6.7. Caractérisation des représentations de niveau 0.</td><td>256</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>7. Endoscopie</td><td>257</td></tr><tr><td>7.1. Données endoscopiques</td><td>257</td></tr><tr><td>7.2. Décomposition de C[Ell(G)]</td><td>259</td></tr><tr><td>7.3. Le cas quasi-déployé</td><td>261</td></tr><tr><td>7.4. L'hypothèse (Hyp)<sub>endo</sub>(G)</td><td>261</td></tr><tr><td>7.5. Représentations de niveau 0 et données auxiliaires</td><td>262</td></tr><tr><td>7.6. Correspondance entre éléments semi-simples</td><td>262</td></tr><tr><td>7.7. Facteur de transfert</td><td>263</td></tr><tr><td>7.8. Actions des centres</td><td>263</td></tr><tr><td>7.9. Un premier résultat de transfert</td><td>264</td></tr><tr><td>7.10. Une réciproque partielle</td><td>266</td></tr><tr><td>7.11. Le théorème principal</td><td>269</td></tr><tr><td>8. Quelques conséquences</td><td>271</td></tr><tr><td>8.1. Le cas quasi-déployé derechef</td><td>271</td></tr><tr><td>8.2. Transfert de fonctions</td><td>271</td></tr><tr><td>8.3. Stabilité dans l'espace D<sub>cusp</sub></td><td>272</td></tr><tr><td>8.4. Transfert et module de Jacquet</td><td>272</td></tr><tr><td>8.5. L'espace D<sub>cusp</sub>(G) et le transfert</td><td>274</td></tr><tr><td>Références</td><td>276</td></tr></table>

## INTRODUCTION

Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique nulle et soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur $F$. On s'intéresse ici aux représentations admissibles et irréductibles de $G(F)$ dans des espaces vectoriels complexes. On note $\text{Irr}(G)$ l'ensemble des classes d'isomorphismes de ces représentations. Dans le cas où $G$ est un groupe classique, on sait associer à toute $\pi \in \text{Irr}(G)$ un paramètre de Langlands, cela grâce aux résultats de Harris et Taylor, Henniart, Arthur et Mok. Dans le cas général, l'existence de ce paramètre reste conjecturale. Moy et Prasad ont défini le niveau de $\pi$, cf. [25, Th. 5.2]. Notons $\text{Irr}(G)^0$ le sous-ensemble des représentations de niveau 0. Dans le cas où $G$ est adjoint, Lusztig a défini dans [23] un paramétrage du sous-ensemble de $\text{Irr}(G)^0$ formé des représentations de réduction unipotente, qui est un bon candidat pour être celui de Langlands. L'hypothèse que $G$ est adjoint a été récemment levée par Solleveld, cf. [31]. On peut espérer que leurs méthodes permettent de paramétrer $\text{Irr}(G)^0$ tout entier. Hormis le cas des groupes classiques, savoir quelles conditions caractérisent le paramétrage de Langlands n'est pas clair, du moins pour l'auteur. Il y a en tout cas une condition minimale : le paramétrage doit satisfaire à des conditions de compatibilité à l'endoscopie. D'où une question préalable que l'on formule ici en termes vagues : le niveau 0 se conserve-t-il par endoscopie ? Dans cet article, nous répondons positivement à cette question, pourvu que la caractéristique résiduelle $p$ de $F$ soit grande relativement à $G$ (ou que $G$ soit petit relativement à $p$, c'est une question de point de vue).

Pour tout ensemble $X$, notons $C[X]$ l'espace vectoriel complexe de base $X$. En associant à toute représentation son caractère-distribution, on définit une injection
$\Theta : \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] \to \mathrm{I}(G)^*$, où $\mathrm{I}(G)^*$ est l'espace des distributions sur $G(F)$ invariantes par conjugaison. Définissons le projecteur de Bernstein $p^0 : \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] \to \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)^0]$ qui annule toute représentation irréductible qui n'est pas de niveau 0.

Supposons d'abord que $G$ est quasi-déployé. On sait définir le sous-espace $\mathrm{SI}(G)^* \subset \mathrm{I}(G)^*$ des distributions stables. On note $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^{\mathrm{st}}$ le sous-espace des $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]$ telles que $\Theta_{\pi} \in \mathrm{SI}(G)^*$ (ici, $\pi$ n'est plus irréductible, c'est une combinaison linéaire à coefficients complexes de représentations irréductibles). Une conséquence de l'article [3] est qu'il existe une projection naturelle $p^{\mathrm{st}} : \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] \to \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^{\mathrm{st}}$. Notre premier résultat est le

**THÉORÈME 1.** — *Supposons que $G$ soit quasi-déployé et que l'hypothèse (Hyp)($G$) soit satisfaite. Alors on a l'égalité $p^{\mathrm{st}} \circ p^0 = p^0 \circ p^{\mathrm{st}}$.*

Cf. le corollaire 7.3. L'hypothèse (Hyp)(G), précisément énoncée en 1.4, est l'hypothèse sur $p$ évoquée plus haut. Grosso-modo, elle suppose $p \ge c(G) \mathrm{val}_F(p)$, où $c(G)$ est un entier dépendant de $G$ et $\mathrm{val}_F$ est la valuation usuelle de $F$.

Revenons au cas d'un groupe $G$ quelconque. Soit $G'$ une donnée endoscopique elliptique de $G$, cf. 7.1. Une telle donnée est un triplet dont l'un des termes est un groupe endoscopique $G'$, qui est quasi-déployé sur $F$. En général, on doit fixer des données auxiliaires pour définir un facteur de transfert. Pour simplifier l'introduction, supposons que cela ne soit pas nécessaire et fixons un facteur de transfert défini sur un sous-ensemble de $G'(F) \times G(F)$. Toujours en conséquence de [3], il y a alors un homomorphisme de transfert spectral

$$ \text{transfert} : \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G')]^{\mathrm{st}} \to \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]. $$

**THÉORÈME 2.** — *Supposons que l'hypothèse (Hyp)$_{\text{endo}}(G)$ soit satisfaite. Alors on a l'égalité $p^0 \circ \text{transfert} = \text{transfert} \circ p^0$.*

Cf. le théorème 7.11. L'hypothèse (Hyp)$_{\text{endo}}(G)$ renforce (Hyp)(G), cf. 7.4, et implique que (Hyp)(G') est satisfaite. Évidemment, le premier $p^0$ vit sur G et le second sur G'. Remarquons que ce dernier conserve l'espace $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G')]^{\mathrm{st}}$ d'après le premier théorème.

L'application $p^0$ est un projecteur de Bernstein et il s'en déduit un tel projecteur sur divers objets, par exemple l'espace $C_c^{\infty}(G(F))$ des fonctions à valeurs complexes sur $G(F)$, localement constantes et à support compact. Les théorèmes ci-dessus ont des contreparties pour les espaces de fonctions, cf. 8.1 et 8.2.

La méthode utilisée pour prouver ces théorèmes est de caractériser les représentations de niveau 0 par le développement local de leurs caractères. Notons $\mathfrak{g}$ l'algèbre de Lie de $G$. On sait définir l'exponentielle $\exp$ qui envoie un voisinage de 0 dans $\mathfrak{g}(F)$ sur un voisinage de 1 dans $G(F)$. Sous l'hypothèse (Hyp)(G), ces voisinages peuvent être choisis les plus gros possibles. À savoir l'ensemble $\mathfrak{g}_{\mathrm{tn}}(F)$ des éléments topologiquement nilpotents dans $\mathfrak{g}(F)$ et l'ensemble $G_{\mathrm{tu}}(F)$ des éléments topologiquement unipotents dans $G(F)$. Il en est de même pour tout sous-groupe réductif connexe de $G$.
Soit $D \in I(G)^*$ une distribution invariante et localement intégrable sur $G(F)$, donc associée à une fonction $\theta_D$ définie presque partout sur $G(F)$, invariante par conjugaison et localement intégrable. Nous dirons que $D$ est un quasi-caractère si et seulement si $\theta_D$ satisfait à la condition suivante. Soit $x \in G(F)$ un élément semi-simple, notons $G_x$ la composante neutre de son commutant dans $G$. Alors il existe un voisinage $\mathfrak{V}_x$ de 0 dans $g_x(F)$ de sorte que la fonction $X \mapsto \theta_D(x \exp(X))$ définie presque partout sur $\mathfrak{V}_x$ soit combinaison linéaire de transformées de Fourier d'intégrales orbitales nilpotentes sur $g_x(F)$. Harish-Chandra a démontré que le caractère de toute représentation irréductible était un quasi-caractère (d'où la terminologie « quasi-caractère »), cf. [12, Th. 16.2]. Appelons $p'$-élément un élément $\varepsilon \in G(F)$ qui est semi-simple et satisfait à la condition suivante. Fixons une extension finie $F'$ de $F$ contenant toutes les valeurs propres de l'opérateur ad$(\varepsilon)$ agissant dans $g$ et notons $\Sigma$ l'ensemble de ces valeurs propres. Notons aussi $|\cdot|_{F'}$ la valeur absolue usuelle de $F'$. Alors, pour tout $\sigma \in \Sigma$ telle que $|\sigma|_{F'} = 1$, $\sigma$ est une racine de l'unité d'ordre premier à $p$. Soit $D \in I(G)^*$ une distribution invariante localement intégrable. Nous dirons que $D$ est un quasi-caractère de niveau 0 si et seulement si, pour tout $p'$-élément $\varepsilon \in G(F)$, la fonction $X \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(X))$ définie presque partout sur $g_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ est combinaison linéaire de transformées de Fourier d'intégrales orbitales nilpotentes sur $g_{\varepsilon}(F)$. Autrement dit, le développement est valable sur le plus gros voisinage possible dans $g_{\varepsilon}(F)$.

**THÉORÈME 3.** — *Supposons l'hypothèse (Hyp)(G) satisfaite. Soit $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$. Alors $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0]$ si et seulement si $\Theta_\pi$ est un quasi-caractère de niveau 0.*

Cf. 6.7. Le fait que le caractère d'une représentation de niveau 0 se développe sur de gros voisinages se trouve déjà dans la littérature, par exemple dans des articles de S. DeBacker, J.-L. Kim, F. Murnaghan, cf. [8, Th. 3.5.2], [17, Th. 5.3.1]. Mais je ne crois pas que l'on y trouve la réciproque.

Il s'avère que cette caractérisation des représentations de niveau 0 « passe bien » à l'endoscopie et cela nous permet d'en déduire les théorèmes 1 et 2.

Pour démontrer le théorème 3, on doit décrire l'espace des quasi-caractères de niveau 0. Pour que cette introduction reste d'une longueur raisonnable, donnons un simple exemple. Soit $\mathcal{F}$ un sommet de l'immeuble de Bruhat-Tits du groupe adjoint de $G$. On lui associe un groupe parahorique $K_{\mathcal{F}}^0 \subset G(F)$. Notons $K_{\mathcal{F}}^+$ son plus grand sous-groupe distingué pro-$p$-unipotent. On sait qu'il existe un groupe réductif connexe $G_{\mathcal{F}}$ défini sur le corps résiduel $k_F$ de $F$, de sorte que $K_{\mathcal{F}}^0/K_{\mathcal{F}}^+ \simeq G_{\mathcal{F}}(k_F)$, cf. [32, § 3.4]. Soit $f: G_{\mathcal{F}}(k_F) \to \mathbb{C}$ une fonction invariante par conjugaison et cuspidale. Par l'isomorphisme précédent, on la considère comme une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^0$, invariante par translations par $K_{\mathcal{F}}^+$, et on l'étend en une fonction sur $G(F)$, nulle hors de $K_{\mathcal{F}}^0$. Notons $A_G$ le plus grand sous-tore central de $G$ qui soit déployé sur $F$ et fixons des mesures de Haar sur $G(F)$ et $A_G(F)$. On définit la distribution $D_f$ qui, à une fonction $\varphi \in C_c^\infty(G(F))$, associe

$$D_f(\varphi) = \int_{A_G(F) \setminus G(F)} \int_{G(F)} \varphi(g^{-1}xg)f(x) \, dx \, dg.$$

J.É.P. — M., 2021, tome 8
L'intégrale n'est pas absolument convergente mais converge dans l'ordre indiqué. On montre que $D_f$ est un quasi-caractère de niveau 0, cf. 5.7. On généralise cette construction dans deux directions. D'une part en considérant non pas des groupes parahoriques mais des fixateurs de points de l'immeuble, qui donnent naissance à des groupes non connexes sur $k_F$. D'autre part, en induisant de telles distributions définies sur des groupes de Levi de $G$. On montre alors que tout quasi-caractère de niveau 0 est obtenu par cette construction convenablement généralisée, cf. 5.10. Ce qui relie les distributions ci-dessus aux représentations de niveau 0 est la formule calculant le caractère d'une telle représentation que l'on a obtenue dans un article antérieur, cf. [36].

Signalons un résultat curieux. Les constructions ci-dessus conduisent naturellement à la définition d'un sous-espace de l'espace des quasi-caractères de niveau 0, noté $D^G[\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)]$ dans l'article. Ce sous-espace est relié à celui des caractères des représentations de niveau 0 qui sont elliptiques au sens d'Arthur, cf. [2]. Mais il ne lui est pas égal. On montre en 8.3 et 8.5 qu'il possède néanmoins les mêmes propriétés magiques de ces espaces de caractères, démontrées par Arthur dans [3]. À savoir que, dans le cas où $G$ est quasi-déployé, leur stabilité se lit sur les éléments elliptiques du groupe et que, dans le cas général, le transfert entre de tels quasi-caractères se lit lui aussi sur les éléments elliptiques des groupes en question.

L'hypothèse (Hyp)(G) est utilisée de deux façons. D'une part, elle entraîne diverses propriétés concernant le groupe G. Par exemple, il existe une extension $F'$ de F de degré fini et premier à p telle que G soit déployé sur $F'$. Ou bien, l'ordre du groupe des composantes connexes du centre de G est premier à p. Pour ces propriétés, une hypothèse plus faible serait suffisante. D'autre part, comme on l'a déjà dit, l'hypothèse (Hyp)(G) entraîne que l'exponentielle est définie sur les plus gros voisinages possibles. On peut envisager de remplacer l'exponentielle par un substitut, comme dans [16, § 1.8], ce qui permettrait d'améliorer grandement l'hypothèse sur p. Cela semble possible mais pas très facile et on a préféré y renoncer. La certitude est qu'une restriction sur p est nécessaire : les résultats seraient faux pour $G = SL_p$.

Les liens entre niveau, paramétrage et endoscopie ont fait l'objet de plusieurs travaux récents. Citons [27] et aussi [19] et [20], où l'auteur étudie des sous-catégories de celle des représentations de niveau 0.

*Remerciements.* — Je remercie vivement les rapporteurs dont les remarques ont permis la correction d'un nombre à peine dénombrable d'erreurs qui se trouvaient dans la première version de l'article.

# 1. LES DONNÉES

## 1.1. LE CORPS LOCAL.
Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique nulle. On note $\mathbf{o}_F$ son anneau d'entiers, $\mathbf{o}_F^\times$ le groupe des unités, $\mathfrak{p}_F$ l'idéal maximal, $k_F = \mathbf{o}_F/\mathfrak{p}_F$ le corps résiduel, $p$ la caractéristique de $k_F$, $|\cdot|_F$ la valeur absolue usuelle, $\text{val}_F$ la valuation.
Fixons une clôture algébrique $\overline{F}$ de $F$, resp. $\overline{k}_F$ de $k_F$. Notons $F^{\text{nr}}$ la plus grande extension non ramifiée de $F$ contenue dans $\overline{F}$. On note $\Gamma_F$ le groupe de Galois de $\overline{F}/F$ et $I_F$ son sous-groupe d'inertie, c'est-à-dire le groupe de Galois de $\overline{F}/F^{\text{nr}}$.

## 1.2. NOTATIONS DIVERSES.
Quand un groupe abstrait $H$ agit sur un ensemble $X$, on note $X^H$ le sous-ensemble des points fixes. Si $Y$ est un sous-ensemble de $X$, on note $\text{Norm}_H(Y)$ le sous-ensemble des éléments de $H$ dont l'action conserve $Y$.

Si $X$ est un ensemble, on note $\mathbb{C}[X]$ le $\mathbb{C}$-espace vectoriel de base $X$.

## 1.3. GROUPES ALGÉBRIQUES.
Posons $K = F$ ou $K = k_F$. Soit $H$ un groupe algébrique défini sur $K$. On note $H^0$ sa composante neutre et $Z(H)$ le centre de $H$. Les sous-groupes algébriques de $H$ que l'on considérera seront implicitement supposés définis sur $K$, sauf mention explicite du contraire.

Supposons $H$ réductif et connexe. On appelle Levi de $H$ une composante de Levi d'un sous-groupe parabolique de $G$ (tous deux définis sur $K$ comme on vient de le dire). On note $H_{\text{AD}} = H/Z(H)$ le groupe adjoint. Pour $x \in H$, on note $x_{\text{ad}}$ son image dans $H_{\text{AD}}$, $x_{ss}$ la partie semi-simple de $x$, $Z_H(x)$ le commutant de $x$ dans $H$ et $H_x = Z_H(x)^0$.

On utilise les notations d'Arthur concernant les Levi et paraboliques : si $M$ est un Levi, $\mathcal{L}(M)$ est l'ensemble des Levi contenant $M$ et $\mathcal{P}(M)$ est l'ensemble des sous-groupes paraboliques de $H$ de composante de Levi $M$. Si $P$ est un sous-groupe parabolique de $H$, on note $U_P$ son radical unipotent.

Soit $T$ un tore défini sur $K$. On note $X^*(T)$, resp. $X_*(T)$, les groupes de caractères algébriques de $T$, resp. de sous-groupes à un paramètre. Pour ces définitions, $T$ est vu comme un tore sur la clôture algébrique $\overline{K}$, c'est-à-dire que les caractères ou cocaractères ne sont pas forcément définis sur $K$. Si $K = F$, on note $T(F)_c$ le plus grand sous-groupe compact de $T(F)$. La définition de $X^*(T)$ s'étend au cas où $T$ est un groupe diagonalisable, c'est-à-dire un sous-groupe algébrique d'un tore.

Soit $H$ un groupe réductif connexe défini sur $K$. On note $A_H$ le plus grand sous-tore de $Z(H)$ qui soit défini et déployé sur $K$. On pose $a_H = \text{dim}(A_H)$ et $\mathcal{A}_H = X_*(A_H) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$. On appelle sous-tore déployé maximal de $H$ un sous-tore de $H$ qui est déployé sur $K$ et est maximal parmi les sous-tores déployés sur $K$. Ces sous-tores déployés maximaux sont en bijection avec les groupes de Levi minimaux de $H$ : à un sous-tore $A$ est associé son commutant $Z_H(A)$.

Soit $H$ un groupe réductif connexe défini sur $k_F$. On appelle espace tordu sous $H$ une variété algébrique $\tilde{H}$ définie sur $k_F$, munie de deux actions algébriques à droite et à gauche de $H$ commutant entre elles et telles que, pour chacune des actions, $\tilde{H}$ soit un espace principal homogène sous $H$. On impose de plus ici que $\tilde{H}(k_F) \neq \emptyset$. Cette terminologie a été introduite par Labesse. Une partie de la théorie habituelle des groupes réductifs s'étend aux espaces tordus. Ainsi, on définit les notions de sous-espace parabolique ou d'espace de Levi. On envoie pour tout cela au premier chapitre de [24].
1.4. LE GROUPE $G$. — On fixe pour tout l'article un groupe réductif connexe $G$ défini sur $F$. Soit $N \ge 1$ un entier tel qu'il existe un plongement de $G$ dans $\text{GL}(N)$. On impose l'hypothèse

$$ (\text{Hyp})(G) \qquad p \ge (2 + \text{val}_F(p))N. $$

Cela entraîne qu'il existe une extension $F'$ de $F$ de degré premier à $p$ telle que $G$ soit déployé sur $F'$. Plus généralement, pour tout tore défini sur $F$ de dimension inférieure ou égale au rang de $G$, il existe une telle extension telle que le tore soit déployé sur $F'$. L'hypothèse $(\text{Hyp})(G)$ implique $(\text{Hyp})(H)$ pour tout sous-groupe réductif connexe $H \subset G$ défini sur $F$.

On fixe un Levi minimal $M_{\min}$ de $G$. On pose simplement $A = A_{M_{\min}}$, $\mathcal{A} = A_{M_{\min}}$, $\mathcal{L}_{\min} = \mathcal{L}(M_{\min})$. On définit $W^G = \text{Norm}_{G(F)}(A)/M_{\min}(F)$.

Quand un objet a été défini relativement à notre groupe $G$, nous noterons souvent l'objet analogue défini relativement à un autre groupe $H$ en ajoutant un exposant $H$ dans la notation. Par exemple, si $M \in \mathcal{L}_{\min}$, on note $\mathcal{L}_{\min}^M$ le sous-ensemble des $L \in \mathcal{L}_{\min}$ qui sont contenus dans $M$. Le groupe $W^G$ agit sur $\mathcal{L}_{\min}$. Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}$, on note $N_{W^G}(M)$ le fixateur de $M$ dans $W^G$ et $W^G(M) = N_{W^G}(M)/W^M$.

On munit $G(F)$ d'une mesure de Haar. Plus généralement, pour tout sous-groupe fermé unimodulaire $J$ de $G(F)$, on suppose $J$ muni d'une mesure de Haar.

## 2. L'IMMEUBLE DE $G$

2.1. FACETTES, GROUPES PARAHORIQUES. — On note $\text{Imm}(G_{\text{AD}})$ l'immeuble de Bruhat-Tits sur $F$ du groupe adjoint $G_{\text{AD}}$. Cet ensemble est réunion d'appartements associés aux sous-tores déployés maximaux de $G$ ou encore aux Levi minimaux de $G$. On note $\text{App}(A_M)$ l'appartement associé à un tel Levi $M$. L'appartement $\text{App}(A_M)$ est un espace affine euclidien sous l'espace vectoriel réel $A_M/A_G$. Pour $x, y \in \text{App}(A_M)$, on note $x - y$ l'élément de $A_M/A_G$ tel que $x = y + (x - y)$.

L'immeuble se décompose aussi en réunion disjointe de facettes, chaque facette étant contenue dans (au moins) un appartement. On note $\text{Fac}(G)$ l'ensemble des facettes et $\text{Fac}(G, A)$ le sous-ensemble des facettes contenues dans $\text{App}(A)$. Le groupe $G(F)$ agit sur l'immeuble. Pour $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$, notons $K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ le stabilisateur de $\mathcal{F}$ dans $G(F)$.

Introduisons le groupe $\hat{G}$ dual de Langlands de $G$. Modulo le choix d'une paire de Borel épinglée de $\hat{G}$, ce groupe est muni d'une action de $\Gamma_F$. Le groupe $\Gamma_F/I_F$ agit sur $X^*(Z(\hat{G})^{I_F})$. Notons $\mathcal{N} = X^*(Z(\hat{G})^{I_F})^{\Gamma_F/I_F}$ le sous-groupe des invariants. Kottwitz a défini un homomorphisme surjectif $w_G : G(F) \to \mathcal{N}$, cf. [18, § 7].

Soit $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$. Notons $\mathcal{N}(\mathcal{F})$ l'image de $K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ par $w_G$ et, pour tout $\nu \in \mathcal{N}$, notons $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ l'ensemble des $g \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ tels que $w_G(g) = \nu$ (on a donc $K_{\mathcal{F}}^{\nu} \neq \emptyset$ si et seulement si $\nu \in \mathcal{N}(\mathcal{F})$). L'ensemble $K_{\mathcal{F}}^{0}$ est le sous-groupe parahorique de $G(F)$ associé à $\mathcal{F}$, cf. [11, Prop. 3]. Notons $K_{\mathcal{F}}^{+}$ le plus grand sous-groupe distingué et pro-$p$-unipotent dans $K_{\mathcal{F}}^{0}$. Bruhat et Tits ont associé à $\mathcal{F}$ un schéma en groupes $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$ défini sur $\mathfrak{o}_F$. On a $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}(\mathfrak{o}_F) = K_{\mathcal{F}}^{0}$. Notons $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$ la partie réductive de la fibre spéciale de $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$.
C'est un groupe réductif connexe défini sur $k_F$ et $K_F^0/K_F^+$ est isomorphe à $G_F(k_F)$, cf. [13, Prop. 3.7]. Pour $\nu \in \mathcal{N}(\mathcal{F})$, il existe un espace tordu $G_F^\nu$ sous $G_F$ de sorte que $K_F^\nu/K_F^+$ s'identifie à $G_F^\nu(k_F)$. Faute de référence, indiquons brièvement la construction de cet espace tordu. Rappelons la propriété suivante. Pour $g \in G(F)$, notons $\text{Ad}(g)$ la conjugaison par $g$. Soit $\mathcal{F}'$ l'image de $\mathcal{F}$ par l'action de $g$ sur $\text{Imm}(G_{\text{AD}})$. Alors $\text{Ad}(g)(K_F^0) = K_{\mathcal{F}}^0$, et l'application $\text{Ad}(g)$ se descend en un isomorphisme algébrique $\overline{\text{Ad}(g)} : G_{\mathcal{F}} \to G_{\mathcal{F}}'$. Fixons un élément $x \in K_F^\nu$. En appliquant ce qui précède, on dispose d'un automorphisme algébrique $\overline{\text{Ad}(x)}$ de $G_{\mathcal{F}}$. On définit $G_F^\nu$ comme la variété algébrique $G_{\mathcal{F}}$ munie des deux actions de $G_{\mathcal{F}}$ :

$$ G_{\mathcal{F}} \times G_{\mathcal{F}}^{\nu} \times G_{\mathcal{F}} \to \overline{G_{\mathcal{F}}^{\nu}} \\ (a, y, b) \mapsto ay \overline{\text{Ad}(x)}(b). $$

Pour $g \in K_F^\nu$, on écrit $g = hx$ avec $h \in K_F^0$. Alors l'image de $g$ dans $G_F^\nu(k_F)$ est égale à celle de $h$ dans $G_F(k_F) = G_F^\nu(k_F)$. À isomorphisme près, cette construction ne dépend pas du choix de l'élément $x$.

Le groupe $K_F^0$ fixe tout point de $\mathcal{F}$. Pour $\nu \in \mathcal{N}(\mathcal{F})$, il existe une permutation isométrique $\sigma_{\mathcal{F},\nu}$ de $\mathcal{F}$ telle que tout élément de $K_F^\nu$ agisse dans $\mathcal{F}$ par cette permutation. On note $\mathcal{F}^\nu$ le sous-ensemble des points fixes de $\sigma_{\mathcal{F},\nu}$ dans $\mathcal{F}$. Pour tout appartement contenant $\mathcal{F}$, $\mathcal{F}^\nu$ est l'intersection de $\mathcal{F}$ avec un sous-espace affine de cet appartement. Soit $x \in \mathcal{F}$. Alors le fixateur de $x$ dans $G(F)$ est la réunion des $K_F^\nu$ sur les $\nu \in \mathcal{N}(\mathcal{F})$ tels que $\sigma_{\mathcal{F},\nu}$ fixe $x$.

On note $\text{Fac}^*(G)$ l'ensemble des couples $(\mathcal{F}, \nu)$, où $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$ et $\nu \in \mathcal{N}(\mathcal{F})$. On note $\text{Fac}_{\text{max}}^*(G)$ le sous-ensemble des $(\mathcal{F}, \nu)$ tels que $\mathcal{F}^\nu$ est réduit à un point. On note $\text{Fac}^*(G, A)$ et $\text{Fac}_{\text{max}}^*(G, A)$ les sous-ensembles des $(\mathcal{F}, \nu)$ tels que $\mathcal{F} \subset \text{App}(A)$.

### REMARQUE.
— L'indice max est contestable puisqu'il s'agit de couples $(\mathcal{F}, \nu)$ tels que $\mathcal{F}^\nu$ est de dimension minimale. Ce sont plutôt les groupes qui leur sont attachés qui sont maximaux. En tout cas, on conserve cette notation de [36] pour simplifier les références.

Du schéma en groupes $\mathcal{G}_F$ se déduit une sous-$\mathcal{O}_F$-algèbre de Lie $\mathfrak{k}_F$ de $\mathfrak{g}_F$. On note $\mathfrak{k}_F^+$ son radical pro-$p$-nilpotent. Le quotient $\mathfrak{k}_F/\mathfrak{k}_F^+$ s'identifie à l'espace des points sur $k_F$ de la partie réductive de l'algèbre de Lie de $\mathcal{G}_F$.

On peut aussi considérer l'immeuble étendu $\text{Imm}(G) = \text{Imm}(G_{\text{AD}}) \times \mathcal{A}_G$, qui est muni d'une action de $G(F)$. Pour $x = (y, a) \in \text{Imm}(G)$, avec $y \in \text{Imm}(G_{\text{AD}})$ et $a \in \mathcal{A}_G$, le fixateur de $x$ dans $G(F)$ est le sous-groupe des éléments $g \in G(F)$ qui fixent $y$ et tels que $w_G(g)$ appartienne au sous-groupe de torsion $\mathcal{N}_{\text{tors}}$ de $\mathcal{N}$.

## 2.2. DESCRIPTION DES FACETTES.
— Pour $a \in A(F)$, on note $a_\mathcal{Z}$ l'élément de $X_*(A)$ tel que $\langle x^*, a_\mathcal{Z} \rangle = -\text{val}_F(x^*(a))$ pour tout $x^* \in X^*(A)$. Le noyau de cet homomorphisme $a \mapsto a_\mathcal{Z}$ n'est autre que le plus grand sous-groupe compact $A(F)_c$ de $A(F)$. L'action sur l'immeuble du groupe $A(F)$ conserve $\text{App}(A)$. Pour $a \in A(F)$ et $x \in \text{App}(A)$, on a $ax = x + a_\mathcal{Z}$, où ici $X_*(A)$ est vu comme un sous-groupe de $\mathcal{A}$. L'action du groupe
Norm$_G(A)(F)$ conserve aussi l'appartement App$(A)$. Notons $M_{\min}(F)_c$ l'unique sous-groupe compact maximal de $M_{\min}(F)$. L'action de $\text{Norm}_G(A)(F)$ se quotiente en une action du groupe $\text{Norm}_G(A)(F)/M_{\min}(F)_c$.

Notons $\Sigma$ l'ensemble des racines réduites de $A$ dans $G$. Fixons un sommet spécial de App$(A)$ que l'on note $0$ qui nous permet d'identifier App$(A)$ et $\mathcal{A}/\mathcal{A}_G$. À tout $\alpha \in \Sigma$ est associé un sous-ensemble $\Gamma_{\alpha}$ de $\mathbb{Q}$, qui est l'image réciproque dans $\mathbb{Q}$ d'un sous-ensemble fini de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Pour $c \in \Gamma_{\alpha}$, on note $c^+$ le plus petit élément de $\Gamma_{\alpha}$ strictement supérieur à $c$ et $c^-$ le plus grand élément de $\Gamma_{\alpha}$ strictement inférieur à $c$. On note $H_{\alpha,c}$ l'hyperplan affine de App$(A)$ défini par l'équation $\alpha(x) = c$. Alors la décomposition en facettes de App$(A)$ est définie par la famille d'hyperplans $(H_{\alpha,c})_{\alpha \in \Sigma, c \in \Gamma_{\alpha}}$. À toute facette $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G, A)$ sont associés un sous-ensemble $\Sigma_{\mathcal{F}} \subset \Sigma$ et, pour tout $\alpha \in \Sigma$, un élément $c_{\alpha,\mathcal{F}} \in \Gamma_{\alpha}$ de sorte que $\mathcal{F}$ soit le sous-ensemble des éléments $x \in \text{App}(A)$ qui satisfont aux relations

$$
(1) \alpha(x) = c_{\alpha, \mathcal{F}} \text{ pour tout } \alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}};
$$

$$
(2) c_{\alpha, \mathcal{F}} < \alpha(x) < c_{\alpha, \mathcal{F}}^{+} \text{ pour tout } \alpha \in \Sigma - \Sigma_{\mathcal{F}}.
$$

Pour $\alpha \in \Sigma$, notons $U_{\alpha}$ le groupe radiciel associé à $\alpha$. À tout $c \in \Gamma_{\alpha}$ est associé un sous-groupe ouvert compact $U_{\alpha,c}$ de $U_{\alpha}(F)$ de sorte que les propriétés suivantes soient satisfaites :

$$
(3) \text{ si } c, c' \in \Gamma_{\alpha} \text{ et } c < c', \text{ alors } U_{\alpha,c} \subsetneq U_{\alpha,c'};
$$

$$
(4) \text{ quelle que soit } \mathcal{F} \in \text{Fac}(G, A), \text{ on a } U_{\alpha}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{0} = U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}} ; \text{ on a } U_{\alpha}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{+} = \\
U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}^{-}} \text{ si } \alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}} \text{ et } U_{\alpha}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{+} = U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}} \text{ si } \alpha \notin \Sigma_{\mathcal{F}}.
$$

Notons $M_{\min}(F)^* = \{m \in M_{\min}(F)_c \mid w_G(m) = 0\}$. C'est un sous-groupe d'indice fini de $M_{\min}(F)_c$. Pour toute facette $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G, A)$, $K_{\mathcal{F}}^0$ est le sous-groupe de $G(F)$ engendré par les $U_{\alpha}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0$ et par le groupe $M_{\min}(F)^*$. Les $\mathfrak{o}_F$-algèbres $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$ et $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^+$ admettent une description similaire. Il en résulte que les groupes $K_{\mathcal{F}}^0$ et les $\mathfrak{o}_F$-algèbres $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$ et $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^+$ caractérisent les facettes. C'est-à-dire

$$
(5) \text{ soient } \mathcal{F}, \mathcal{F}' \in \text{Fac}(G); \text{ supposons } K_{\mathcal{F}}^{0} = K_{\mathcal{F}'}^{0}, \text{ ou } \mathfrak{k}_{\mathcal{F}} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F}'} \text{ ou } \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F}'}^{+}; \text{ alors } \mathcal{F} = \mathcal{F}'.
$$

Pour $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G, A)$, il existe un unique Levi $M_{\mathcal{F}} \in \mathcal{L}_{\min}$ tel que $\mathcal{A}_{M_{\mathcal{F}}}/\mathcal{A}_G$ soit l'espace vectoriel réel engendré par les $x-y$ pour $x,y \in \mathcal{F}$. Pour $(\mathcal{F},\nu) \in \text{Fac}^*(G, A)$, il existe un unique Levi $M_{\mathcal{F},\nu} \in \mathcal{L}_{\min}$ tel que $\mathcal{A}_{M_{\mathcal{F},\nu}}/\mathcal{A}_G$ soit l'espace vectoriel réel engendré par les $x-y$ pour $x,y \in \mathcal{F}^{\nu}$. On a évidemment $M_{\mathcal{F}} \subset M_{\mathcal{F},\nu}$.

2.3. **GROUPES DE LEVI.** — Soit $M \in \mathcal{L}_{\min}$. Considérons le sous-ensemble $\text{Imm}(G_{\text{AD}}, M)$ de $\text{Imm}(G_{\text{AD}})$ réunion des appartements $\text{App}(A_{M'})$ associés aux Levi minimaux $M'$ contenus dans $M$. Le groupe $\mathcal{A}_M$ agit sur chacun de ces appartements et ces actions se recollent en une action sur la réunion. De plus, $\text{Imm}(G_{\text{AD}}, M)$ est conservé par l'action de $M(F)$. Le quotient de $\text{Imm}(G_{\text{AD}}, M)$ par l'action de $\mathcal{A}_M$, muni de son action de $M(F)$, s'identifie canoniquement à l'immeuble $\text{Imm}(M_{\text{AD}})$. En particulier, $\text{App}(A)/\mathcal{A}_M$ s'identifie à l'appartement $\text{App}^M(A)$ associé à $M_{\min}$ dans l'immeuble $\text{Imm}(M_{\text{AD}})$. On note $p_M : \text{App}(A) \to \text{App}^M(A)$ cette projection.
L'action sur l'immeuble du groupe $\text{Norm}_G(M)(F)$ conserve $\text{Imm}(G_{\text{AD}}, M)$ et se descend en une action sur $\text{Imm}(M_{\text{AD}})$. Cette action permute les éléments de $\text{Fac}(M)$. Pour $\mathcal{F}_M \in \text{Fac}(M)$, on note $K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger,G}$ le sous-groupe des éléments de $\text{Norm}_G(M)(F)$ qui conservent $\mathcal{F}_M$. Il contient $K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger}$, comme sous-groupe distingué.

Notons $\text{Norm}_G(M, A)$ le normalisateur commun de $M$ et $A$ dans $G$. L'action du groupe $\text{Norm}_G(M, A)(F)$ dans $\text{Imm}(M_{\text{AD}})$ conserve $\text{App}^M(A)$.

Pour $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G, A)$, il existe une unique facette notée $\mathcal{F}^M \in \text{Fac}(M, A)$ telle que $p_M(\mathcal{F}) \subset \mathcal{F}^M$. Si $\mathcal{F}$ est décrit par les relations (1) et (2) de 2.2, $\mathcal{F}^M$ est l'ensemble des $x \in \text{App}^M(A)$ qui satisfont aux relations

$$ (1) \quad \alpha(x) = c_{\alpha, \mathcal{F}} \text{ pour tout } \alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}} \cap \Sigma^M; $$

$$ (2) \quad c_{\alpha, \mathcal{F}} < \alpha(x) < c_{\alpha, \mathcal{F}}^{+} \text{ pour tout } \alpha \in \Sigma^M - \Sigma_{\mathcal{F}} \cap \Sigma^M. $$

De l'inclusion $Z(\hat{G}) \to Z(\hat{M})$ se déduit un homomorphisme naturel $\mathcal{N}^M \to \mathcal{N}$. Le diagramme

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

est commutatif. Posons $M_{\text{ad}} = M/Z(G)$. On a aussi un homomorphisme naturel $\mathcal{N}^M \to \mathcal{N}^{M_{\text{ad}}}$. Notons $\mathcal{N}_{G-\text{comp}}^M$ l'image réciproque dans $\mathcal{N}^M$ du sous-groupe de torsion de $\mathcal{N}^{M_{\text{ad}}}$. Alors l'homomorphisme $\mathcal{N}^M \to \mathcal{N}$ se restreint en un homomorphisme injectif $\mathcal{N}_{G-\text{comp}}^M \to \mathcal{N}$, cf. [36, 6(1)]. On identifie $\mathcal{N}_{G-\text{comp}}^M$ à son image dans $\mathcal{N}$. On note $\text{Fac}_{G-\text{comp}}^*(M)$ le sous-ensemble des $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}^*(M)$ tels que $\nu \in \mathcal{N}_{G-\text{comp}}^M$ (avec les variantes $\text{Fac}_{\text{max},G-\text{comp}}^*(M)$ etc.). Remarquons que, pour $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}_{G-\text{comp}}^*(M)$ et pour $n \in K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger,G}$, la conjugaison par $n$ conserve l'ensemble $K_{\mathcal{F}_M}^{\nu}$.

### 3. ESPACES DE FONCTIONS ET DE DISTRIBUTIONS

3.1. LES ESPACES $I(G)$ ET $I(G)^*$. — Le groupe $G(F)$ agit sur l'espace $C_c^\infty(G(F))$ par conjugaison : pour $g \in G(F)$ et $f \in C_c^\infty(G(F))$, $gf$ est la fonction $x \mapsto f(g^{-1}xg)$. On note $I(G)$ le quotient de $C_c^\infty(G(F))$ par le sous-espace complexe engendré par les $gf - f$ pour $f \in C_c^\infty(G(F))$ et $g \in G(F)$.

On note $G_{\text{reg}}$ le sous-ensemble des éléments fortement réguliers de $G$. Soit $f \in C_c^\infty(G(F))$. Pour $x \in G_{\text{reg}}(F)$, on définit l'intégrale orbitale

$$ I^G(x, f) = D^G(x)^{1/2} \int_{A_{G_x}(F) \setminus G(F)} f(g^{-1}xg) \, dg, $$

où $D^G$ est le discriminant de Weyl usuel. L'espace $I(G)$ est aussi le quotient de $C_c^\infty(G(F))$ par le sous-espace des $f \in C_c^\infty(G(F))$ telles que $I^G(x, f) = 0$ pour tout $x \in G_{\text{reg}}(F)$.

On appelle distribution invariante sur $G(F)$ une forme linéaire sur $C_c^\infty(G(F))$ qui se quotiente en une forme linéaire sur $I(G)$. On identifie une telle distribution à la forme linéaire quotient. On note $I(G)^*$ l'espace des distributions invariantes sur $G(F)$.
Soient $M$ un Levi de $G$ et $D^M \in I(M)^*$. On définit une distribution $\text{Ind}_M^G(D^M) \in I(G)^*$ de la façon suivante. On fixe un sous-groupe parabolique $P \in \mathcal{P}(M)$. Comme on l'a dit, des mesures de Haar sont fixées sur $M(F)$, $U_P(F)$ et $G(F)$. Il s'en déduit ce que l'on peut appeler une pseudo-mesure invariante à droite sur $P(F)\backslash G(F)$. Précisément, c'est une forme linéaire non pas sur $C_c^\infty(P(F)\backslash G(F))$ mais sur l'espace des fonctions localement constantes $\varphi: G(F) \to \mathbb{C}$ qui satisfont à la relation $\varphi(mug) = \delta_P(m)\varphi(g)$ pour tous $m \in M(F)$, $u \in U_P(F)$ et $g \in G(F)$, où $\delta_P$ est le module usuel. Cette pseudo-mesure est caractérisée par l'égalité

$$ \int_{G(F)} f(g) dg = \int_{P(F)\backslash G(F)} \int_{M(F)} \int_{U_P(F)} f(mug) du dm dg $$

pour tout $f \in C_c^\infty(G(F))$. On définit la fonction $f_{U_P}$ sur $M(F)$ par

$$ f_{U_P}(m) = \delta_P(m)^{1/2} \int_{U_P(F)} f(mu) du, $$

puis la distribution $\text{Ind}_M^G(D^M)$ par l'égalité

$$ \text{Ind}_M^G(D^M)(f) = \int_{P(F)\backslash G(F)} D^M((^g f)_{U_P}) dg. $$

Cela ne dépend pas du choix de $P$.

On dit que $x \in G_{\text{reg}}(F)$ est elliptique si le commutant $T$ de $x$ dans $G$ est un tore elliptique modulo $Z(G)$, c'est-à-dire si $A_T = A_G$. On note $G_{\text{ell}}(F)$ le sous-ensemble des éléments elliptiques dans $G_{\text{reg}}(F)$ (la notation étant un peu abusive : il n'y a pas de sous-ensemble algébrique $G_{\text{ell}}$ de $G$). On dit qu'une fonction $f \in C_c^\infty(G(F))$ est cuspidale si et seulement si les intégrales orbitales de $f$ sont nulles en tout point $x \in G_{\text{reg}}(F) - G_{\text{ell}}(F)$. Autrement dit si $f$ est annulée par $\text{Ind}_M^G(D^M)$ pour tout Levi propre $M$ et tout $D^M \in I(M)^*$. On note $C_{\text{cusp}}(G(F))$ l'espace des fonctions cuspidales et $I_{\text{cusp}}(G)$ son image dans $I(G)$.

On dit que $f$ est très cuspidale si et seulement si, pour tout sous-groupe parabolique propre $P$ de $G$, de composante de Levi $M$, la fonction $f_{U_P}$ est nulle. En fait, $I_{\text{cusp}}(G)$ est aussi l'image dans $I(G)$ de l'espace des fonctions très cuspidales, cf. [35, Lem. 2.7]. Pour une fonction $f$ très cuspidale, on définit une distribution $D_f \in I(G)^*$ par l'égalité

$$ D_f(\varphi) = \int_{A_G(F)\backslash G(F)} \int_{G(F)} \varphi(x^{-1}gx)f(g) dg dx. $$

La double intégrale n'est pas absolument convergente mais converge dans cet ordre, cf. [36, Lem. 9].

## 3.2. FILTRATIONS.
On fixe un ensemble de représentants $\mathcal{L}_{\min} \subset \mathcal{L}_{\min}$ des classes de conjugaison de Levi de $G$. Pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$, notons $\mathcal{L}_{\min}^n$ le sous-ensemble des $M \in \mathcal{L}_{\min}$ tels que $a_M = n$ (on peut évidemment se limiter aux $n$ appartenant à l'intervalle $\{a_G, \dots, a_{M_{\min}}\}$).

On définit une filtration sur $I(G)$ de la façon suivante. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, notons $\text{Fil}^n I(G)$ l'image dans $I(G)$ du sous-espace des $f \in C_c^\infty(G(F))$ qui satisfont à la
condition : pour tout Levi $M$ tel que $a_M > n$ et tout $m \in G_{\text{reg}}(F) \cap M(F)$, on a
$I^G(m, f) = 0$. On a

$$ \mathrm{Fil}^{a_G^{-1}} I(G) = \{0\} \subset \mathrm{Fil}^{a_G} I(G) = \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G) \subset \cdots \subset \mathrm{Fil}^{a_{M_{\min}}} I(G) = \mathrm{I}(G), $$

et, en posant $\mathrm{Gr}^n I(G) = \mathrm{Fil}^n I(G)/\mathrm{Fil}^{n-1} I(G)$, on a

$$ \mathrm{Gr}^n I(G) \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M)^{W^G(M)}, $$

cf. 1.4 pour la définition du groupe $W^G(M)$, qui agit naturellement sur $\mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M)$.

Notons $\mathrm{Ann}^n I(G)^*$ l'annulateur de $\mathrm{Fil}^{n-1} I(G)$ dans $I(G)^*$. On a

$$ \mathrm{Ann}^{a_{M_{\min}}+1} I(G)^* = \{0\} \subset \mathrm{Ann}^{a_{M_{\min}}} I(G)^* \subset \cdots \subset \mathrm{Ann}^{a_G} I(G)^* = \mathrm{I}(G)^*, $$

et, en posant $\mathrm{Gr}^n I(G)^* = \mathrm{Ann}^n I(G)^*/\mathrm{Ann}^{n+1} I(G)^*$, on a

$$ (1) \qquad \mathrm{Gr}^n I(G)^* \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M)^{*W^G(M)}. $$

On vérifie que $\mathrm{Ann}^n I(G)^*$ est le sous-espace de $I(G)^*$ engendré par les distributions induites $\mathrm{Ind}_M^G(I(M)^*)$ pour les Levi $M$ de $G$ tels que $a_M \ge n$. Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$ et $d^M \in I(M)^*$, l'image de $\mathrm{Ind}_M^G(d^M)$ dans $\mathrm{Gr}^n I(G)^*$ est nulle dans les composantes $\mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M')^{*W^G(M')}$ de (1) pour $M' \ne M$ et est l'image naturelle de $d^M$ dans $\mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M)^{*W^G(M)}$ (c'est-à-dire la restriction de $d^M$ à $\mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(M)^{W^G(M)}$).

### 3.3. ÉLÉMENTS COMPACTS ET TOPOLOGIQUEMENT UNIPOTENTS.
Soit $x \in G(F)$. On dit que $x$ est compact si et seulement s'il est contenu dans un sous-groupe compact de $G(F)$, c'est-à-dire si l'adhérence $\overline{x^Z}$ du groupe $x^Z$ engendré par $x$ est compacte. On dit qu'il est compact mod $Z(G)$ si et seulement si l'image $x_{\text{ad}}$ de $x$ dans $G_{\text{AD}}(F)$ est compacte. On dit que $x$ est topologiquement unipotent si et seulement si $\lim_{n \to \infty} x^{p^n} = 1$

Fixons un sous-tore maximal $T$ de $G$ contenant la partie semi-simple $x_{ss}$ de $x$ et fixons une extension finie $F'$ de $F$ telle que $T$ soit déployé sur $F'$. Alors :

- $x$ est compact si et seulement si $\chi(x_{ss}) \in \mathfrak{o}_{F'}^\times$ pour tout $\chi \in X^*(T)$; $x$ est compact mod $Z(G)$ si et seulement si $\chi(x_{ss}) \in \mathfrak{o}_{F'}^\times$ pour tout $\chi \in X^*(T)$ tel que la restriction de $\chi$ à $Z(G)$ soit triviale; $x$ est topologiquement unipotent si et seulement si $\chi(x_{ss}) = 1 + \mathfrak{p}_{F'}$ pour tout $\chi \in X^*(T)$.

D'autre part, $x$ est compact mod $Z(G)$ si et seulement s'il existe $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(G)$ tel que $x \in K_{\mathcal{F}}^\dagger$. L'ensemble des éléments compacts, resp. compacts mod $Z(G)$, est un sous-ensemble ouvert et fermé de $G(F)$ invariant par conjugaison. Soit $M$ un Levi de $G$, soit $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*(M)$ et soit $x \in K_{\mathcal{F}_M}^\nu$. Alors $x$ est compact mod $Z(G)$ si et seulement si $\nu \in \mathcal{N}_{G-\mathrm{comp}}^M$.

On note $G_{\mathrm{comp}}(F)$ l'ensemble des éléments de $G(F)$ qui sont compacts mod $Z(G)$ (il serait plus correct de le noter $G_{\mathrm{compmod} Z(G)}$...). On note $G_{\mathrm{tu}}(F)$ l'ensemble des éléments topologiquement unipotents de $G(F)$. On note $I(G)^*_{\mathrm{comp}}$ l'ensemble des distributions dont le support est contenu dans $G_{\mathrm{comp}}(F)$.
### 3.4. FACETTES, FONCTIONS ET DISTRIBUTIONS.
Soit $(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)$. On note $C_{\text{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$ l'espace des fonctions sur $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$ qui sont invariantes par conjugaison par $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}(k_F)$ et qui sont cuspidales. On munit cet espace du produit hermitien défini par

$$ \langle f, f' \rangle = |\mathcal{G}_{\mathcal{F}}(k_F)|^{-1} \sum_{x \in \mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)} \bar{f}(x) f'(x). $$

Il est défini positif. Soit $f \in C_{\text{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$. L'espace $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$ s'identifie à $K_{\mathcal{F}}^{\nu}/K_{\mathcal{F}}^{\pm}$. On identifie $f$ à une fonction sur ce quotient $K_{\mathcal{F}}^{\nu}/K_{\mathcal{F}}^{\pm}$, on la relève en une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ puis on l'étend en une fonction sur $G(F)$ par 0 hors de $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. On note $f_{\mathcal{F}}$ la fonction ainsi obtenue. Elle est très cuspidale, cf. [36, Lem. 10]. On déduit de $f_{\mathcal{F}}$ une distribution $D_{f_{\mathcal{F}}}$, cf. 3.1, que l'on note simplement $D_f$. Le support de cette distribution est contenu dans $G_{\text{comp}}(F)$.

Notons $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ le sous-ensemble des familles

$$ (f_{\mathcal{F},\nu})_{(\mathcal{F},\nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)} \in \prod_{(\mathcal{F},\nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)} C_{\text{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}) $$

qui satisfont à la condition : pour tout $\nu \in \mathcal{N}$, l'ensemble des $(\mathcal{F}, \nu') \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)$ tels que $\nu' = \nu$ et $f_{\mathcal{F},\nu'} \neq 0$ est fini.

Pour $f = (f_{\mathcal{F},\nu})_{(\mathcal{F},\nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$, la somme $\sum_{\mathcal{F},\nu} D_{f_{\mathcal{F}},\nu}$ est définie. En effet, chaque $D_{f_{\mathcal{F}},\nu}$ est à support dans l'ouvert fermé $w_G^{-1}(\nu)$ et, pour tout $\nu$, il n'y a qu'un nombre fini de $(\mathcal{F}, \nu')$ tels que $\nu' = \nu$ et $f_{\mathcal{F},\nu'} \neq 0$. Pour tout compact $C$ de $G(F)$, il n'y a donc qu'un nombre fini de $(\mathcal{F}, \nu)$ tels que le support de $D_{f_{\mathcal{F}},\nu}$ coupe $C$. On pose $D_f = \sum_{\mathcal{F},\nu} D_{f_{\mathcal{F}},\nu}$. Cela définit une application linéaire

$$ D : \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) \to I(G)^*_{\text{comp}}. $$

### REMARQUE.
Quand un élément de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ sera noté $f$, on notera son image $D_f$ ou $D_f^G$ comme ci-dessus. Quand l'élément sera noté plus symboliquement $d$, on notera son image $D[d]$ ou $D^G[d]$.

Pour $\nu \in \mathcal{N}$, notons $\mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$ le sous-espace des

$$ f = (f_{\mathcal{F},\nu'})_{(\mathcal{F},\nu') \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G)} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) $$

tels que $f_{\mathcal{F},\nu'} = 0$ pour $\nu' \neq \nu$. On a $\mathcal{D}_{\text{cusp}} = \prod_{\nu \in \mathcal{N}} \mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$. Le groupe $G(F)$ agit naturellement sur $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ en respectant les sous-espaces $\mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$. Il est clair que, pour $f \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ et $g \in G(F)$, on a $D_{f-f} = 0$. Pour $\nu \in \mathcal{N}$, notons $\mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$ l'espace des coinvariants, c'est-à-dire le quotient de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$ par le sous-espace engendré par les $g\mathbf{f} - \mathbf{f}$ pour $\mathbf{f} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$ et $g \in G(F)$. On pose $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) = \prod_{\nu \in \mathcal{N}} \mathcal{D}_{\text{cusp}}^{\nu}(G)$. Il y a un homomorphisme naturel $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) \to \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$.

### REMARQUE.
Si $\mathcal{N}$ est fini, $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ est le quotient des coinvariants de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$. Si $\mathcal{N}$ est infini, c'est un quotient de cet espace de coinvariants.

L'application $D$ se quotiente en une application linéaire

$$ D : \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) \to I(G)^*_{\text{comp}}. $$
Notons $\mathcal{D}'(G)$ la somme directe des $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$ où $M$ parcourt les Levi de $G$. On définit une application linéaire

$$D^G : \mathcal{D}'(G) \to I(G)^*$$

qui, à $\sum_M d^M$, associe $\sum_M \text{Ind}_M^G(D^M[d^M])$. Le groupe $G(F)$ agit naturellement sur l'espace $\mathcal{D}'(G)$. En effet, un élément $g \in G(F)$ envoie un Levi $M$ sur le Levi $gMg^{-1}$, une facette $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(M)$ sur une facette $(g\mathcal{F}_M, g\nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(gMg^{-1})$ et une fonction $f_{\mathcal{F}_M, \nu} \in C_{\text{cusp}}(M_{\mathcal{F}_M}^\nu)$ sur une fonction $g(f_{\mathcal{F}_M, \nu}) \in C_{\text{cusp}}((gMg^{-1})^{g\nu}_{g\mathcal{F}_M})$. Alors $g$ envoie $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$ sur $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(gMg^{-1})$ et cette application se quotiente en une application de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$ sur $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(gMg^{-1})$. Il est clair que, pour $g \in G(F)$ et $f \in \mathcal{D}'(G)$, on a $D_{g\mathcal{f}-f}^G = 0$. On note $\mathcal{D}(G)$ le quotient des coinvariants pour cette action de $G(F)$ dans $\mathcal{D}'(G)$. L'application précédente se quotiente en une application linéaire

$$D^G : \mathcal{D}(G) \to I(G)^*.$$

### 3.5. VARIANTES DE $\mathcal{D}(G)$.
Soit $M$ un Levi de $G$. On note $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$ le sous-espace des éléments

$$f = (f_{\mathcal{F}_M, \nu})_{(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(M)}$$

de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$ tels que $f_{\mathcal{F}_M, \nu} = 0$ si $\nu \notin \mathbb{N}_{G-\text{comp}}^M$. On note $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$ son image dans $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$. On note $\mathcal{D}'_{G-\text{comp}}(G)$ la somme directe des $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$ où $M$ parcourt les Levi de $G$. On définit comme dans la section précédente le quotient des coinvariants $\mathcal{D}_{G-\text{comp}}(G)$, qui s'identifie à un sous-espace de $\mathcal{D}(G)$. L'application $D^G$ se restreint en une application linéaire

$$D^G : \mathcal{D}_{G-\text{comp}}(G) \to I(G)^*_{\text{comp}}.$$

Il y a une projection naturelle $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M) \to \mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$ qui, à un élément

$$(f_{\mathcal{F}_M, \nu})_{(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(M)} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$$

associe l'élément

$$(f_{\mathcal{F}_M, \nu})_{(\mathcal{F}_M, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}, G-\text{comp}}^*(M)}$$

de $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$. Cette projection se quotiente en une projection de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$ sur $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$.

Fixons $\nu \in \mathbb{N}$. Notons $I(G)^*_{\text{comp}}$ le sous-espace des distributions invariantes à support contenu dans $G_{\text{comp}}(F) \cap w_G^{-1}(\nu)$. Pour un Levi $M$ de $G$, notons $\mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}^\nu(M)$ le sous-espace des

$$f = (f_{\mathcal{F}_M, \nu'})_{(\mathcal{F}_M, \nu') \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(M)} \in \mathcal{D}_{\text{cusp},G-\text{comp}}(M)$$

tels que $f_{\mathcal{F}_M, \nu'} = 0$ si $\nu' \neq \nu$. À l'aide de ces espaces, on définit comme ci-dessus un espace $\mathcal{D}_{G-\text{comp}}^\nu(G)$. On a des isomorphismes naturels

$$\mathcal{D}_{G-\text{comp}}(G) \simeq \prod_{\nu \in \mathbb{N}} \mathcal{D}_{G-\text{comp}}^\nu(G),$$

$$I(G)^*_{\text{comp}} \simeq \prod_{\nu \in \mathbb{N}} I(G)^*_{\text{comp}},$$
et l'application $D^G$ s'identifie au produit de ses restrictions

$$D^G : \mathcal{D}_{G-\text{comp}}^{\nu}(G) \to \text{I}(G)^{*\nu}_{G-\text{comp}}.$$

3.6. **CALCUL DE $D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}})$**. — Soit $(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}^*(G, A)$. On a défini le Levi $M_{\mathcal{F},\nu} \in \mathcal{L}_{\min}$ au paragraphe 2.2. Posons simplement $M = M_{\mathcal{F},\nu}$. On associe à $\mathcal{F}$ la facette $\mathcal{F}^M \in \text{Fac}(M, A)$. L'élément $\nu$ appartient à $\mathcal{N}_{G-\text{comp}}^M(\mathcal{F}^M)$, $(\mathcal{F}^M, \nu)$ appartient à $\text{Fac}^*_{\max}(M, A)$, $G_{\mathcal{F}}$ s'identifie à $M_{\mathcal{F}^M}$ et $G_{\mathcal{F}}^{\nu}$ s'identifie à $M_{\mathcal{F}^M}$, cf. [36, Lem. 6]. Soit $f \in C_{\text{cusp}}(M_{\mathcal{F}^M})$. On identifie $f$ à une fonction sur $G_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$, puis à une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^{\nu}/K_{\mathcal{F}}^{+}$, que l'on relève en une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. On prolonge cette fonction en une fonction sur $G(F)$, nulle hors de $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. On note $f_{\mathcal{F}}$ la fonction sur $G(F)$ obtenue ainsi. Elle est par construction invariante par conjugaison par $K_{\mathcal{F}}^0$.

Soient $L \in \mathcal{L}_{\min}$, $(\mathcal{F}', \nu') \in \text{Fac}^*_{\max,G-\text{comp}}(L, A)$ et $f' \in C_{\text{cusp}}(L_{\mathcal{F}'})$. On a défini la distribution $D_{f'}^G = \text{Ind}_L^G(D_{f'}^L)$ sur $G(F)$. Notons $N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$ l'ensemble des $n \in \text{Norm}_G(A)(F)$ tels que $nMn^{-1} = L$ et $n\mathcal{F}^M = \mathcal{F}'$. Cet ensemble (qui peut être vide) est invariant à gauche par $A_L(F)(K_{\mathcal{F}', L, \mathcal{F}')^0 \cap \text{Norm}_G(A)(F))$. On fixe un ensemble de représentants $\underline{N}(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$ du quotient

$$A_L(F)(K_{\mathcal{F}', L, \mathcal{F}')^0 \cap \text{Norm}_G(A)(F))\backslash N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$$

### PROPOSITION

(i) $D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) \neq 0$ seulement si $\nu = \nu'$ et $N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}') \neq \emptyset$.

(ii) Supposons $\nu = \nu'$ et $N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}') \neq \emptyset$. Alors

$$D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = \text{mes}(K_{\mathcal{F}}^0) \text{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0) \text{mes}(A_L(F)_c)^{-1} \sum_{n \in \underline{N}(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')} \langle \overline{n\bar{f}}, f' \rangle.$$

### REMARQUES

(1) La fonction $\overline{nf}$ est celle définie en 3.4.

(2) Supposons $M = L$, $\mathcal{F}^M = \mathcal{F}'$ et $\nu = \nu'$. Si $f'$ est invariante par $K_{\mathcal{F}', L, \mathcal{F}}^{\nu, G}$, la formule du (ii) se simplifie et devient

$$D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = \text{mes}(K_{\mathcal{F}}^0) \text{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0) \text{mes}(A_L(F)_c)^{-1} [K_{\mathcal{F}', L, \mathcal{F}}^{\nu, G} : A_L(F) K_{\mathcal{F}', L, \mathcal{F}}^0] \langle \bar{f}, f' \rangle.$$

*Démonstration.* — Puisque $f_{\mathcal{F}}$ est à support dans $w_G^{-1}(\nu)$ et que $D_{f'}^G$ est à support dans $w_G^{-1}(\nu')$ il est clair que $D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = 0$ si $\nu \neq \nu'$. Supposons désormais $\nu = \nu'$.

Fixons un sous-groupe parabolique $Q \in \mathcal{P}(L)$. Commençons par calculer $f_{\mathcal{F},U_Q}$. On sait définir la facette $\mathcal{F}^L \subset \text{Imm}(L_{\text{AD}})$. Si $M \subset L$, on a évidemment $(\mathcal{F}^L)^M = \mathcal{F}^M$ et la fonction $f_{\mathcal{F}^L}$ sur $L(F)$ est bien définie.

**LEMME 1.** — On a les égalités

$$f_{\mathcal{F}, U_Q} = \begin{cases} 0, & \text{si } M \not\subset L, \\ \text{mes}(U_Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^+) f_{\mathcal{F}^L} & \text{si } M \subset L. \end{cases}$$

*Démonstration.* — Rappelons que, pour $\ell \in L(F)$, on a $f_{\mathcal{F},U_Q}(\ell) = \int_{U_Q(F)} f_{\mathcal{F}}(\ell u) \, du$. Le groupe $Q$, resp. $L$, détermine un sous-groupe parabolique $Q$ de $G_{\mathcal{F}}$, resp. une composante de Levi $L$ de $Q$, de sorte que l'image de $Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0$, resp. $L(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0$,
dans $G_{\mathcal{F}}(k_F)$ soit $Q(k_F)$, resp. $L(k_F)$. Supposons que $f_{\mathcal{F},U_Q} \neq 0$. Alors $Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu} \neq \emptyset$ et il existe un sous-espace parabolique $Q^{\nu}$ de $G_{\mathcal{F}}^{\nu}$, associé au parabolique $Q$, de sorte que l'image dans $G_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$ de $Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ soit $Q^{\nu}(k_F)$. Notons $L^{\nu}$ le normalisateur de $L$ dans $Q^{\nu}$. Posons $V = U_Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0$. Fixons $\ell \in L(F)$ tel que $f_{\mathcal{F},U_Q}(\ell) \neq 0$. On écrit

$$f_{\mathcal{F},U_Q}(\ell) = \int_{U_Q(F)/V} \int_V f_{\mathcal{F}}(\ell uv) \, dv \, du.$$

Fixons $u \in U_Q(F)$ tel que l'intégrale intérieure soit non nulle. L'élément $\ell u$ appartient à $Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. Décomposons son image dans $Q^{\nu}(k_F)$ en $\ell u$ avec $\ell \in L^{\nu}(k_F)$ et $u \in U_Q(k_F)$. On voit alors que

$$\int_V f_{\mathcal{F}}(\ell uv) \, dv = c \sum_{v \in U_Q(k_F)} f(\ell v),$$

où $c > 0$ est une constante provenant des mesures et où on a identifié $f$ à une fonction sur $G_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$. Cette fonction est cuspidale. La somme ci-dessus est donc nulle si $Q^{\nu} \neq G_{\mathcal{F}}^{\nu}$. Notre hypothèse de non-nullité implique donc $Q^{\nu} = G_{\mathcal{F}}^{\nu}$, d'où aussi $Q = L = G_{\mathcal{F}}$. Le tore $A$ détermine un sous-tore déployé maximal $A$ de $G_{\mathcal{F}}$. On a $X_*(A) \simeq X_*(A)$. Les sous-tores $A_{M_{\mathcal{F}}}$ et $A_L$ déterminent des sous-tores $A_{M_{\mathcal{F}}}$ et $A_L$. Par définition de $M_{\mathcal{F}}$, $A_{M_{\mathcal{F}}}$ est le plus grand sous-tore déployé contenu dans le centre de $G_{\mathcal{F}}$. Par définition de $L$, ce groupe est le commutant de $A_L$ dans $G_{\mathcal{F}}$. L'égalité $L = G_{\mathcal{F}}$ entraîne donc $A_L \subset A_{M_{\mathcal{F}}}$. D'où aussi $A_L \subset A_{M_{\mathcal{F}}}$. Puisque $Q^{\nu} = G_{\mathcal{F}}^{\nu}$, on a $K_{\mathcal{F}}^{\nu} = (Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu})K_{\mathcal{F}}^{+}$. On a aussi

$$K_{\mathcal{F}}^{+} = (K_{\mathcal{F}}^{+} \cap Q(F))(K_{\mathcal{F}}^{+} \cap U_{\overline{Q}}(F)),$$

où $\overline{Q}$ est le parabolique de composante de Levi $L$ opposé à $Q$. Donc

$$K_{\mathcal{F}}^{\nu} = (Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu})(K_{\mathcal{F}}^{+} \cap U_{\overline{Q}}(F)).$$

On sait que l'ensemble $K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap \text{Norm}_G(A)(F)$ est non vide, cf. [6, 7.4.4]. Mais un élément de $\text{Norm}_G(A)(F)$ qui appartient à $Q(F)U_{\overline{Q}}(F)$ appartient forcément à $\text{Norm}_L(A)(F)$. Soit donc $w \in K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap \text{Norm}_L(A)(F)$. Il agit naturellement dans $A$ et conserve $A_{M_{\mathcal{F}}}$. Par définition de $M = M_{\mathcal{F},\nu}$, $A_M$ est le plus grand sous-tore de $A_{M_{\mathcal{F}}}$ contenu dans l'ensemble des points fixes de l'action de $w$. Puisque $w \in L(F)$, ce sous-tore contient $A_L$. Donc $A_L \subset A_M$ et $M \subset L$. Cela démontre la première assertion du lemme.

Supposons maintenant $M \subset L$. Alors, pour $\ell \in L(F)$ et $u \in U_Q(F)$, on a $\ell u \in K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ si et seulement si $\ell \in K_{\mathcal{F}}^{\nu_L}$ et $u \in U_Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{+}$ (cela résulte de [36, Lem. 6]). On voit que la fonction $f_{\mathcal{F},U_Q}$ est à support dans $K_{\mathcal{F}}^{\nu_L}$ et que, pour un élément $\ell$ de ce groupe, on a $f_{\mathcal{F},U_Q}(\ell) = \text{mes}(U_Q(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{+})f(\ell)$, où $\ell$ est l'image de $\ell$ dans $L_{\mathcal{F}}^{\nu_L}(k_F) \simeq M_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$. Par définition de la fonction $f_{\mathcal{F},L}$, on obtient la deuxième assertion du lemme, ce qui achève sa preuve. $\square$

Supposons $M \subset L$. Posons

$$I_{\mathcal{F}L, \mathcal{F}'}(f, f') = \int_{L(F)} f_{\mathcal{F}L}(\ell) f_{\mathcal{F}'}(\ell) \, d\ell.$$
## LEMME 2

(i) Si $\mathcal{F}^L \neq \mathcal{F}'$, alors $I_{\mathcal{F}^L, \mathcal{F}'}(f, f') = 0$.

(ii) Si $\mathcal{F}^L = \mathcal{F}'$, alors $M = L$, $\mathcal{F}^M = \mathcal{F}'$ et $I_{\mathcal{F}^L, \mathcal{F}'}(f, f') = \text{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0)\langle \bar{f}, f' \rangle$.

*Démonstration.* — Ici, tout se passe dans $L$, on peut aussi bien supposer $L = G$ pour simplifier les notations. On a donc $\mathcal{F}^L = \mathcal{F}$. Supposons $\mathcal{F} \neq \mathcal{F}'$. Dans l'appartement App($A$), fixons un segment $[x, x']$ joignant un point $x \in \mathcal{F}^\nu$ à un point $x' \in \mathcal{F}^{\nu'}$. L'hypothèse $\mathcal{F} \neq \mathcal{F}'$ entraîne que $x \neq x'$. Il y a une facette $\mathcal{F}'' \in \text{Fac}(G, A)$ et un élément $x'' \in ]x, x']$ tel que le segment $[x'', x']$ soit contenu dans $\mathcal{F}''$. D'après ce que sont les supports de $f_{\mathcal{F}}$ et $f_{\mathcal{F}''}$, on a

$$I_{\mathcal{F}, \mathcal{F}'}(f, f') = \int_{K_{\mathcal{F}'}^{\nu} \cap K_{\mathcal{F}'}^{\nu'}} f_{\mathcal{F}}(g) f_{\mathcal{F}'}(g) dg.$$

Si $K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap K_{\mathcal{F}'}^{\nu'} = \emptyset$, cette intégrale est nulle et on a démontré (i). Sinon, considérons un élément $g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap K_{\mathcal{F}'}^{\nu'}$. L'action de $g$ sur l'immeuble fixe $x$ et $x'$, donc aussi tout le segment $[x, x']$. En particulier, il fixe $[x'', x']$, donc $g \in K_{\mathcal{F}''}^{\nu'}$. On a $w_G(g) = \nu$, donc $g \in K_{\mathcal{F}''}^{\nu''}$. Alors $[x'', x'] \subset \mathcal{F}''\nu$. Cela entraîne $\mathcal{F}'' \neq \mathcal{F}'$ car l'hypothèse

$$(\mathcal{F}', \nu) \in \text{Fac}_{\max}^{*}(G, A)$$

(rappelons que l'on a supposé $L = G$) signifie que $\mathcal{F}''\nu$ est réduit à un unique point, qui est donc $x'$. Le point $x'$ est adhérent à $\mathcal{F}'$, donc toute la facette $\mathcal{F}'$ est contenue dans l'adhérence de $\mathcal{F}'$. Cela entraîne $K_{\mathcal{F}''}^0 \subset K_{\mathcal{F}'}^0$. En général, il n'y a pas de relation d'inclusion entre les ensembles $K_{\mathcal{F}''}^{\nu''}$ et $K_{\mathcal{F}'}^{\nu'}$ mais, si l'on suppose que l'intersection de ces deux ensembles n'est pas vide, alors $K_{\mathcal{F}''}^{\nu''} \subset K_{\mathcal{F}'}^{\nu'}$. Ici, l'intersection des deux ensembles contient $g$. On sait qu'alors il existe un sous-groupe parabolique propre $\mathbf{P}$ de $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}$ et un sous-espace parabolique $\mathbf{P}^\nu$ de $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}^\nu$ associé à $\mathbf{P}$, de sorte que l'image de $K_{\mathcal{F}''}^0$ dans $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}(k_F)$ soit $\mathbf{P}(k_F)$ et que l'image de $K_{\mathcal{F}''}^{\nu''}$ dans $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}^{\nu'}(k_F)$ soit $\mathbf{P}^\nu(k_F)$. Il est facile d'identifier l'ensemble $U_{\mathbf{P}}(k_F)$ en décrivant les facettes $\mathcal{F}'$ et $\mathcal{F}''$ comme en 2.2. On a forcément

$$\Sigma_{\mathcal{F}''} \subset \Sigma_{\mathcal{F}'}, \quad c_{\alpha, \mathcal{F}''} = c_{\alpha, \mathcal{F}'} \text{ si } \alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}''} \text{ et } c_{\alpha, \mathcal{F}''} = c_{\alpha, \mathcal{F}'} \text{ ou } c_{\alpha, \mathcal{F}'}^{-} \text{ si } \alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}'} - \Sigma_{\mathcal{F}''}.$$

Notons $\Xi$ l'ensemble des $\alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}'} - \Sigma_{\mathcal{F}''}$ tels que $c_{\alpha, \mathcal{F}''} = c_{\alpha, \mathcal{F}'}$. Alors $U_{\mathbf{P}}(k_F)$ est l'image dans $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}(k_F)$ de $\prod_{\alpha \in \Xi} U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}'}^\nu}$. Notons $V$ ce dernier groupe. Il est inclus dans $K_{\mathcal{F}'}^0$. Montrons qu'il est inclus dans $K_{\mathcal{F}'}^+$. En effet, soit $\alpha \in \Xi$. Les définitions entraînent que $\alpha(x'') > \alpha(x') = c_{\alpha, \mathcal{F}'}$. A fortiori, $\alpha(x) > \alpha(x'') > c_{\alpha, \mathcal{F}'}$. Si $\alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}}$, on a $c_{\alpha, \mathcal{F}} = \alpha(x) > c_{\alpha, \mathcal{F}'}$ donc

$$c_{\alpha, \mathcal{F}}^{-} \geq c_{\alpha, \mathcal{F}'} \quad \text{et} \quad K_{\mathcal{F}}^{+} \cap U_{\alpha}(F) = U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}^{-}} \supset U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}'}.$$

Si $\alpha \notin \Sigma_{\mathcal{F}}$, $c_{\alpha, \mathcal{F}}$ est le plus grand élément de $\Gamma_{\alpha}$ qui soit strictement inférieur à $\alpha(x)$, donc $c_{\alpha, \mathcal{F}} \geq c_{\alpha, \mathcal{F}'}$. On a encore $K_{\mathcal{F}}^+ \cap U_{\alpha}(F) = U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}^-} \supset U_{\alpha, c_{\alpha, \mathcal{F}}'}$. Cela démontre l'assertion. On peut alors écrire

$$I_{\mathcal{F}, \mathcal{F}'}(f, f') = \int_{(K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap K_{\mathcal{F}'}^{\nu'})/V} \int_V f_{\mathcal{F}}(gv) f_{\mathcal{F}'}(gv) \, dv \, dg.$$
On vient de voir que $V \subset K_{\mathcal{F}}^{+}$ et $f_{\mathcal{F}}$ est invariante par ce groupe donc l'intégrale se récrit

$$I_{\mathcal{F}, \mathcal{F}'}(f, f') = \int_{(K_{\mathcal{F}}^{\nu} \cap K_{\mathcal{F}'}^{\nu})/V} f_{\mathcal{F}}(g) \int_{V} f'_{\mathcal{F}'}(gv) \, dv \, dg.$$

Pour $g$ intervenant dans cette intégrale, notons $\bar{g}$ son image dans $G_{\mathcal{F}'}^{\nu}(k_F)$. On a en fait $\bar{g} \in P^{\nu}(k_F)$. À une constante positive près provenant des mesures, l'intégrale intérieure n'est autre que

$$\sum_{\bar{u} \in U_{\mathcal{P}}(k_F)} f'(\bar{g}\bar{u}).$$

Ceci est nul car $f'$ est cuspidale. Donc $I_{\mathcal{F}, \mathcal{F}'}(f, f') = 0$, ce qui démontre le (i) de l'énoncé.

Supposons maintenant $\mathcal{F} = \mathcal{F}'$. Alors $M = M_{\mathcal{F},\nu} = M_{\mathcal{F}',\nu} = G$ puisque $(\mathcal{F}',\nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\mathrm{max}}(G, A)$. D'où $\mathcal{F}^M = \mathcal{F}' = \mathcal{F}$. Un calcul immédiat donne la formule (ii) de l'énoncé, ce qui démontre celui-ci. $\square$

Après ces préliminaires, démontrons la proposition. Notons $N$ un ensemble de représentants du quotient

$$\mathrm{Norm}_L(A)(F) \setminus \mathrm{Norm}_G(A)(F) / (\mathrm{Norm}_G(A)(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0).$$

Fixons un sous-groupe parabolique $Q \in \mathcal{P}(L)$. On définit comme en 3.1 une pseudo-mesure sur $Q(F) \backslash G(F)$. On sait que $G(F)$ est union disjointe des ensembles $Q(F)nK_{\mathcal{F}}^0$ quand $n$ décrit $N$. Pour tout $n \in N$, introduisons la fonction $\varphi_n$ sur $G(F)$ à support dans $Q(F)nK_{\mathcal{F}}^0$ telle que

$$\varphi_n(\ellunk) = \delta_Q(\ell) \quad \text{pour tous } \ell \in L(F), u \in U_Q(F), k \in K_{\mathcal{F}}^0.$$

On note $m_n$ la valeur de son intégrale contre la pseudo-mesure sur $Q(F) \backslash G(F)$. Puisque $f_{\mathcal{F}}$ est invariante par $K_{\mathcal{F}}^0$, la définition de $D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}})$ se récrit

$$(3) \qquad D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = \sum_{n \in N} m_n D_{f'}^L((n(f_{\mathcal{F}}))_{U_Q}).$$

Pour $n \in N$, l'action de $n$ transporte $\mathcal{F}$ en une facette $n\mathcal{F}$, le Levi $M = M_{\mathcal{F},\nu}$ en le Levi $nMn^{-1} = M_{n\mathcal{F},\nu}$, la facette $\mathcal{F}^M$ en une facette $n\mathcal{F}^M \in \mathrm{Fac}(nMn^{-1}, A)$ et $f$ en une fonction $^nf \in C_{\mathrm{cusp}}((nMn^{-1})_{n\mathcal{F}^M}^{\nu})$. On a $^n(f_{\mathcal{F}}) = (^nf)_{n\mathcal{F}}$. On applique le lemme 1 en y remplaçant $\mathcal{F}$ par $n\mathcal{F}$ et $f_{\mathcal{F}}$ par $(^nf)_{n\mathcal{F}}$. Cette assertion nous dit que la contribution $D_{f'}^L((^nf)_{U_Q})$ de $n$ à la formule (3) est nulle si $nMn^{-1} \not\subset L$. On note $N^0$ le sous-ensemble des $n \in N$ tels que $nMn^{-1} \subset L$. Pour $n \in N^0$, cette contribution est mes$(U_Q(F) \cap K_{n\mathcal{F}}^+)D_{f'}^L((^nf)_{(n\mathcal{F})^L})$. Par définition, on a

$$(4) \qquad D_{f'}^L((^nf)_{(n\mathcal{F})^L}) = \int_{A_L(F) \backslash L(F)} \int_{L(F)} (^nf)_{(n\mathcal{F})^L} (x^{-1}\ell x) f'_{\mathcal{F}'}(\ell) \, d\ell \, dx.$$

Notons $N'_n$ un ensemble de représentants du quotient

$$A_L(F)(K_{\mathcal{F}', \nu}^0 \cap \mathrm{Norm}_L(A)(F)) \setminus \mathrm{Norm}_L(A)(F) / (K_{(n\mathcal{F})^L}^0 \cap \mathrm{Norm}_L(A)(F)).$$
On utilise maintenant la décomposition en union disjointe

$$L(F) = \bigsqcup_{n' \in N'_n} A_L(F) K_{\mathcal{F}', n'}^0 K_{(n\mathcal{F})^L}^0$$

Pour $n' \in N'_n$, notons $m'_{n'}$ la mesure de

$$A_L(F) \setminus A_L(F) K_{\mathcal{F}', n'}^0 K_{(n\mathcal{F})^L}^0$$

Puisque les fonctions $({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L}$, resp. $f'_{\mathcal{F}'}$, sont invariantes par conjugaison par $K_{(n\mathcal{F})^L}^0$, resp. $K_{\mathcal{F}'}^0$, la formule (4) se récrit

$$D_{f'}^L({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L} = \sum_{n' \in N'_n} m'_{n'} \int_{L(F)} {}^{n'}({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L}(\ell) f'_{\mathcal{F}'}(\ell) d\ell.$$

Pour $n'$ apparaissant ci-dessus, on a $^{n'}({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L} = (^{n'n}f)_{(n'n\mathcal{F})^L}$ avec des définitions similaires aux précédentes. Remarquons que $M_{n'n\mathcal{F},\nu} = n'nM(n'n)^{-1}$. La formule ci-dessus se récrit

$$D_{f'}^L({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L} = \sum_{n' \in N'_n} m'_{n'} I_{(n'n\mathcal{F})^L, \mathcal{F}'}({}^{n'n}f, f').$$

Pour tout $n'$, on applique le lemme 2 en y remplaçant $\mathcal{F}$ par $n'n\mathcal{F}$ et $f$ par $^{n'n}f$. Le (i) de ce lemme nous permet de nous limiter aux $n'$ tels que

$$n'nM(n'n)^{-1} = L, \quad (n'n\mathcal{F})^L = n'n\mathcal{F}^M = \mathcal{F}'.$$

Notons $N_n'^0$ l'ensemble des $n' \in N_n'$ satisfaisant à ces conditions. En utilisant le (ii) du lemme 2, on obtient

$$D_{f'}^L({}^n f)_{(n\mathcal{F})^L} = \sum_{n' \in N_n'^0} m'_{n'} \operatorname{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0) \langle \overline{^{n'n}f}, f' \rangle.$$

En rassemblant ces calculs, on obtient

$$(5) \quad D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = \sum_{n \in N^0} \sum_{n' \in N_n'^0} m_n \operatorname{mes}(U_Q(F) \cap K_{n\mathcal{F}}^+) m_{n'} \operatorname{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0) \langle \overline{^{n'n}f}, f' \rangle.$$

On vérifie que de l'application

$$\{(n, n') | n \in N^0, n' \in N_n'^0\} \to \operatorname{Norm}_G(A)(F) \\ (n, n') \mapsto n'n$$

se déduit une bijection de l'ensemble de départ sur le quotient

$$A_L(F)(K_{\mathcal{F}'}^0 \cap \operatorname{Norm}_G(A)(F)) \setminus N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$$

Si $N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$ est vide, on a donc $D_{f'}^G(f_{\mathcal{F}}) = 0$, ce qui démontre le (i) de la proposition. Supposons $N(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}') \neq \emptyset$. On peut supposer que $\underline{N}(M, \mathcal{F}^M, L, \mathcal{F}')$ est égal à l'ensemble des $n'n$ pour $(n, n')$ comme ci-dessus. Pour un tel couple, on vérifie
les propriétés suivantes

$$K_{n\mathcal{F}}^0 \cap Q(F) = (K_{n\mathcal{F}}^0 \cap L(F))(K_{n\mathcal{F}}^0 \cap U_Q(F)),$$

$$K_{n\mathcal{F}}^0 \cap L(F) = K_{(n\mathcal{F})^L}^0, \qquad \text{cf. [36, Lem. 6]}$$

$$K_{n\mathcal{F}}^0 \cap U_Q(F) = K_{n\mathcal{F}}^+ \cap U_Q(F),$$

$$m_n = \mathrm{mes}(K_{\mathcal{F}}^0) \mathrm{mes}(K_{(n\mathcal{F})^L}^0)^{-1} \mathrm{mes}(K_{n\mathcal{F}}^+ \cap U_Q(F))^{-1};$$

$$\mathrm{mes}(K_{(n\mathcal{F})^L}^0) = \mathrm{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0);$$

$$m'_{n'} = \mathrm{mes}(A_L(F) \setminus A_L(F) K_{\mathcal{F}'}^0) = \mathrm{mes}(K_{\mathcal{F}'}^0) \mathrm{mes}(A_L(F)_c)^{-1}.$$

En utilisant ces propriétés, la formule (5) devient celle du (ii) de la proposition. □

### 3.7. RELÈVEMENT DE FONCTIONS À G(F).
Pour $(\mathcal{F}, \nu) \in \mathrm{Fac}^*(G)$, notons $C(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$ l'espace des fonctions à valeurs complexes sur $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}(k_F)$ et notons $\mathcal{E}_{\mathcal{F}}^{\nu}$ l'espace des fonctions sur $G(F)$, à support dans $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ et invariants par multiplication à droite ou à gauche par $K_{\mathcal{F}}^{+}$. Ces espaces s'identifient comme en 3.4 : pour une fonction $f \in C(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$, on identifie $f$ à une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^{\nu}/K_{\mathcal{F}}^{+}$, on la relève en une fonction sur $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ puis on l'étend en une fonction sur $G(F)$ par 0 hors de $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. On note $f_{\mathcal{F}}$ la fonction obtenue, qui appartient à $\mathcal{E}_{\mathcal{F}}^{\nu}$.

Soit $M$ un Levi de $G$ et soit $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{G-\mathrm{comp}}(M)$. Fixons une facette $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(G)$ telle que

$$(\mathcal{F}, \nu) \in \mathrm{Fac}^*(G), \quad M_{\mathcal{F}, \nu} = M_{\mathcal{F}_M, \nu} \quad \text{et} \quad \mathcal{F}^M = \mathcal{F}_M.$$

C'est possible d'après [36, Lem. 6 & 7]. On a $M_{\mathcal{F}_M}^{\nu} = \mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}$ donc $C(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu}) = C(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$. Ainsi, pour $f \in C(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})$, on définit la fonction $f_{\mathcal{F}} \in \mathcal{E}_{\mathcal{F}}^{\nu}$.

### LEMME.
L'image de $f_{\mathcal{F}}$ dans $I(G)$ ne dépend pas du choix de $\mathcal{F}$.

**Démonstration.** — Soit $\mathcal{F}' \in \mathrm{Fac}(G)$ satisfaisant aux mêmes conditions que $\mathcal{F}$. On doit prouver que les images dans $I(G)$ de $f_{\mathcal{F}}$ et $f_{\mathcal{F}'}$ sont égales. On peut supposer $\mathcal{F} \neq \mathcal{F}'$ sinon c'est évident. On ne perd rien à supposer que $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{G-\mathrm{comp}}(M, A)$. Notons $X$ l'image réciproque de $\mathcal{F}_M^{\nu}$ dans $\mathrm{Imm}(G_{AD})$. C'est un sous-ensemble de $\mathrm{App}(A)$. Les ensembles $\mathcal{F}^{\nu}$ et $\mathcal{F}^{\nu'}$ sont contenus dans $X$ et sont des ouverts de cet ensemble, cf. [36, Lem. 7]. Fixons des points $x \in \mathcal{F}^{\nu}$ et $x' \in \mathcal{F}^{\nu'}$. Le découpage de $\mathrm{App}(A)$ en facettes induit un découpage du segment $[x, x']$ en points et segments ouverts. C'est-à-dire que l'on a des points $x_i$ pour $i = 1, \dots, n$, des facettes $\mathcal{F}_i$ pour $i = 1, \dots, n-1$ et des facettes $\mathcal{F}_i''$ pour $i = 1, \dots, n$ de sorte que

$$ \begin{align*} [x, x_1] &= [x, x'] \cap \mathcal{F}, & [x_n, x'] &= [x, x'] \cap \mathcal{F}'; \\ [x_i, x_{i+1}] &= [x, x'] \cap \mathcal{F}_i & \text{pour } i = 1, \dots, n-1; \\ \{x_i\} &= [x, x'] \cap \mathcal{F}_i'' & \text{pour } i = 1, \dots, n. \end{align*} $$

Un élément $k \in K_{\mathcal{F}_M}^{\nu}$ appartient à la fois à $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ et $K_{\mathcal{F}'}^{\nu}$. Donc son action sur $\mathrm{Imm}(G)$ fixe tout le segment $[x, x']$. Il en résulte que $\nu$ appartient à $\mathcal{N}(\mathcal{F}_i)$ et à $\mathcal{N}(\mathcal{F}_i'')$ pour tout $i$ et que l'on peut aussi bien ajouter des exposants $\nu$ dans les égalités ci-dessus, par exemple $[x_i, x_{i+1}] = [x, x'] \cap \mathcal{F}_i'$. On décrit les facettes comme en 2.2. Parce que
$M \supset M_{\mathcal{F},\nu} \supset M_{\mathcal{F}}$, on a $\Sigma_{\mathcal{F}} = \Sigma_{\mathcal{F}M}$ et, parce que $\mathcal{F}^M = \mathcal{F}_M$, on a $c_{\alpha, \mathcal{F}} = c_{\alpha, \mathcal{F}_M}$ pour tout $\alpha \in \Sigma^M$. Il en est de même en remplaçant $\mathcal{F}$ par $\mathcal{F}'$. Fixons $i = 1, \dots, n-1$. L'ensemble $\Sigma_{\mathcal{F}_i}$ est celui des $\alpha$ tels que, pour un point $y \in \mathcal{F}_i$, ou pour tout point $y \in \mathcal{F}_i$, $\alpha(y)$ appartient à $\Gamma_\alpha$. Puisque $[x, x'] \cap \mathcal{F}_i$ est ouvert dans $[x, x']$, il revient au même de dire que $\alpha \in \Sigma_{\mathcal{F}} \cap \Sigma_{\mathcal{F}'}$ et $c_{\alpha, \mathcal{F}} = c_{\alpha, \mathcal{F}'}$. La description ci-dessus entraîne alors $\Sigma_{\mathcal{F}_i} = \Sigma_{\mathcal{F}} = \Sigma_{\mathcal{F}'} = \Sigma_{\mathcal{F}_M}$. Donc $M_{\mathcal{F}_i} = M_{\mathcal{F}}$. L'espace $A_{M_{\mathcal{F}_i, \nu}}$ est le sous-espace des points fixes de l'action de l'élément $k$ ci-dessus dans $A_{M_{\mathcal{F}_i}}$. Il en est de même en remplaçant $\mathcal{F}_i$ par $\mathcal{F}$. Puisque $M_{\mathcal{F}_i} = M_{\mathcal{F}}$, cela entraîne $M_{\mathcal{F}_i, \nu} = M_{\mathcal{F}_M, \nu}$. Enfin, on a évidemment $\mathcal{F}^M = \mathcal{F}_M$. Cela démontre que chaque facette $\mathcal{F}_i$ satisfait aux mêmes conditions que $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$. On peut définir une fonction $f_{\mathcal{F}_i}$ pour tout $i$ et il nous suffit de démontrer successivement que les fonctions $f_{\mathcal{F}}$, $f_{\mathcal{F}_1}$, \dots, $f_{\mathcal{F}_{n-1}}$ et $f_{\mathcal{F}'}$ ont même image dans $I(G)$. On est ramené au cas de facettes consécutives, autrement dit au cas $n=1$ dans notre construction. Notons simplement $\mathcal{F}'' = \mathcal{F}_1''$. Les facettes $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$ déterminent des espaces paraboliques $\mathbf{P}^\nu$ et $\mathbf{P}^{\nu'}$ de $\mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu : K_{\mathcal{F}}^\nu$ est inclus dans $K_{\mathcal{F}''}^\nu$ et $\mathbf{P}^\nu(k_F)$ est l'image de $K_{\mathcal{F}}^\nu$ dans $\mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)$. Ils ont un espace de Levi commun $\mathbf{M}^\nu$, qui est isomorphe à $\mathbf{G}_{\mathcal{F}}^\nu$ et à $\mathbf{G}_{\mathcal{F}'}^\nu$, ou encore à $\mathbf{M}_{\mathcal{F}_M}^\nu : \text{c'est l'image de } K_{\mathcal{F}}^\nu \cap K_{\mathcal{F}'}^\nu$. La fonction $f$ s'identifie à une fonction sur $\mathbf{M}^\nu(k_F)$. Notons $f^\mathbf{P}$ la fonction sur $\mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)$, à support dans $\mathbf{P}^\nu(k_F)$, telle que $f^\mathbf{P}(mu) = f(m)$ pour tous $m \in \mathbf{M}^\nu(k_F)$ et $u \in U_\mathbf{P}(k_F)$. Il résulte des constructions que $f_{\mathcal{F}} = (f^\mathbf{P})_{\mathcal{F}''}$. Définissons une fonction $f''$ sur $\mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)$ par l'égalité

$$f''(g) = |\mathbf{P}(k_F)|^{-1} \sum_{x \in \mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)} f^\mathbf{P}(x^{-1}gx)$$

pour tout $g \in \mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)$. En posant $c = |\mathbf{G}_{\mathcal{F}''}^\nu(k_F)||\mathbf{P}(k_F)|^{-1}$, on voit que les fonctions $f''_{\mathcal{F}''}$ et $c(f^\mathbf{P})_{\mathcal{F}''}$ ont même image dans $I(G)$. Il en est donc de même des fonctions $f''_{\mathcal{F}''}$ et $cf_{\mathcal{F}}$. On a utilisé l'espace $\mathbf{P}^\nu$ pour construire $f''$. On peut refaire la construction en utilisant l'espace $\mathbf{P}^{\nu'}$. Le point est que la fonction $f''$ obtenue est la même, c'est la fonction « induite » de $f$. Donc les fonctions $f''_{\mathcal{F}''}$ et $cf_{\mathcal{F}'}$ ont même image dans $I(G)$ et il en est de même des fonctions $f_{\mathcal{F}}$ et $f_{\mathcal{F}'}$. Cela achève la démonstration. $\square$

### REMARQUE.
— Le groupe $K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger, G}$ agit naturellement sur $M_{\mathcal{F}_M}^{\nu}(k_F)$ et sur $C(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})$. Pour $g \in K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger, G}$ et $f \in C(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})$, notons $gf$ l'image de $f$ par l'action de $g$. Il résulte du lemme que les fonctions $(gf)_{\mathcal{F}}$ et $f_{\mathcal{F}}$ ont même image dans $I(G)$.

### 3.8. UN ESPACE DE FONCTIONS.
— On note $\mathcal{E}(G)$ le sous-espace de $C_c^\infty(G(F))$ engendré par les $\mathcal{E}_\mathcal{F}^\nu$ quand $(\mathcal{F}, \nu)$ décrit $\mathrm{Fac}^*(G)$. On note $I\mathcal{E}(G)$ l'image de $\mathcal{E}(G)$ dans $I(G)$.

Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}$, le groupe $\mathrm{Norm}_G(A)(F) \cap \mathrm{Norm}_G(M)(F)$ agit sur l'ensemble $\mathrm{Fac}^*_{\max,G-\mathrm{comp}}(M, A)$. Fixons un ensemble de représentants $\underline{\mathrm{Fac}}^*_{\max,G-\mathrm{comp}}(M, A)$ des orbites. Pour chaque $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}^*_{\max,G-\mathrm{comp}}(M, A)$, l'action du groupe $K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger, G}$ sur $C(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})$ conserve l'espace $C_{\mathrm{cusp}}(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})$ et on note $C_{\mathrm{cusp}}(M_{\mathcal{F}_M}^{\nu})^{K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger, G}}$ le sous-espace
des invariants. On pose

$$ \mathcal{E}(G, M) = \bigoplus_{(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\mathrm{max},G-\mathrm{comp}}(M, A)} C_{\mathrm{cusp}}(\mathbf{M}^\nu_{\mathcal{F}_M})^{K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger,G}}. $$

Pour tout $(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\mathrm{max},G-\mathrm{comp}}(M, A)$, fixons comme dans la section précédente une facette $\mathcal{F}_M^G \in \mathrm{Fac}(G, A)$ telle que

$$ (\mathcal{F}_M^G, \nu) \in \mathrm{Fac}^*(G, A), \quad M_{\mathcal{F}_M^G, \nu} = M \quad \text{et} \quad (\mathcal{F}_M^G)^M = \mathcal{F}_M. $$

Pour $f \in C_{\mathrm{cusp}}(\mathbf{M}^\nu_{\mathcal{F}_M})^{K_{\mathcal{F}_M}^{\dagger,G}}$, on a défini la fonction $f_{\mathcal{F}_M^G}$ sur $G(F)$. L'application $f \mapsto f_{\mathcal{F}_M^G}$ se prolonge par linéarité en une application de $\mathcal{E}(G, M)$ dans $\mathcal{E}(G)$. On note $e(G, M) : \mathcal{E}(G, M) \to \mathrm{I}\mathcal{E}(G)$ la composée de cette application et de la projection $\mathcal{E}(G) \to \mathrm{I}\mathcal{E}(G)$. On note $\mathrm{Im}(e(G, M))$ l'image de $e(G, M)$.

LEMME. — On a l'égalité $\mathrm{I}\mathcal{E}(G) = \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathrm{Im}(e(G, M))$.

Démonstration. — Soit $(\mathcal{F}, \nu) \in \mathrm{Fac}^*(G)$ et $f \in C(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^\nu)$. On veut prouver que l'image de $f_{\mathcal{F}}$ dans $\mathrm{I}(G)$ appartient à la somme des $\mathrm{Im}(e(G, M))$. On ne perd rien à supposer $f$ invariante par conjugaison par $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}(k_F)$. On sait que l'on peut écrire $f$ comme somme finie de fonctions « induites » $\mathrm{Ind}_{\mathcal{M}^\nu}^{\mathcal{G}^\nu}(f_{\mathcal{M}^\nu})$ (la définition a été rappelée dans la preuve précédente), où $\mathcal{M}^\nu$ est un espace de Levi de $\mathcal{G}^\nu$ et $f_{\mathcal{M}^\nu}$ est une fonction cuspidale sur $\mathcal{M}^\nu(k_F)$ invariante par conjugaison par $\mathcal{M}(k_F)$ (cette décomposition résulte par exemple de [4, Th. 2.11]). On peut aussi bien supposer que $f$ est l'une de ces fonctions induites, disons $f = \mathrm{Ind}_{\mathcal{M}^\nu}^{\mathcal{G}^\nu}(f')$. Fixons une telle fonction et un espace parabolique $\mathcal{P}^\nu$ de composante de Levi $\mathcal{M}^\nu$. Au sous-groupe parabolique $\mathcal{P}$ correspond une facette $\mathcal{F}' \in \mathrm{Fac}(G)$ dont l'adhérence contient $\mathcal{F}$. On a encore $(\mathcal{F}', \nu) \in \mathrm{Fac}^*(G)$ d'après l'existence d'un espace $\mathcal{P}^\nu$ de parabolique associé $\mathcal{P}$. On a vu dans la preuve précédente que les images dans $\mathrm{I}(G)$ de $f_{\mathcal{F}}$ et de $f'_{\mathcal{F}}$ étaient proportionnelles. Cela nous ramène au problème de départ où l'on a remplacé $\mathcal{F}$ et $f$ par $\mathcal{F}'$ et $f'$. En oubliant cette construction, on peut supposer $f$ cuspidale.

On peut conjuguer $\mathcal{F}$ et $f$ par un élément de $G(F)$, cela ne change pas l'image de $f_{\mathcal{F}}$ dans $\mathrm{I}(G)$. On peut donc supposer $\mathcal{F} \subset \mathrm{App}(A)$. Posons $M = M_{\mathcal{F},\nu}$. On a défini la facette $\mathcal{F}^M \subset \mathrm{Imm}(M_{\mathrm{AD}})$ associée à $\mathcal{F}$. On a $\nu \in \mathcal{N}_{G-\mathrm{comp}}^M(\mathcal{F}^M)$ d'après [36, Lem. 6(i)]. La dernière assertion de ce lemme et l'égalité $M = M_{\mathcal{F},\nu}$ entraînent que $\mathcal{F}^M, \nu$ réduit à un point, c'est-à-dire que $(\mathcal{F}^M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\mathrm{max}}(M, A)$. De nouveau, par conjugaison, on peut supposer

$$ M \in \mathcal{L}_{\min} \text{ et } (\mathcal{F}^M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\mathrm{max},G-\mathrm{comp}}(M, A). $$

Les espaces $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^\nu$ et $\mathcal{M}_{\mathcal{F}^M}^\nu$ s'identifient, on peut considérer $f$ comme un élément de $C_{\mathrm{cusp}}(\mathcal{M}_{\mathcal{F}^M}^\nu)$. Remarquons que $\mathcal{F}$ satisfait aux les mêmes propriétés que la facette $\mathcal{F}_M^G$ que l'on a fixée plus haut. D'après le lemme 3.7, les fonctions $f_{\mathcal{F}}$ et $f_{\mathcal{F}_M^G}$ ont même image dans $\mathrm{I}(G)$. La fonction $f$ n'est pas forcément invariante par conjugaison par $K_{\mathcal{F}^M}^{\dagger,G}$. Mais, d'après la remarque 3.7, on peut moyenner $f$ par l'action de ce groupe sans changer l'image de $f_{\mathcal{F}}$ dans $\mathrm{I}(G)$. On peut donc supposer $f$ invariante par $K_{\mathcal{F}^M}^{\dagger,G}$.
On a alors $f \in \mathcal{E}(G, M)$ et l'image de $f_{\mathcal{F}}$ dans $\mathrm{I}(G)$ est égale à l'image de $f$ par l'application $e(G, M)$. $\square$

3.9. **DEUX ESPACES EN DUALITÉ.** — Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}$, notons $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M)$ l'image dans $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G)$ de l'espace $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp},G-\mathrm{comp}}(M)$. Si $M = G$, $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G; G)$ est simplement l'espace $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(G)$ déjà défini. On a

$$ \mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G) = \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M). $$

Pour tout $M \in \mathcal{L}_{\min}$, on vérifie que le sous-espace

$$ (1) \qquad \prod_{(\mathcal{F}_M, \nu) \in \mathrm{Fac}^*_{\max, G-\mathrm{comp}}(M, A)} C_{\mathrm{cusp}}(\mathbf{M}^\nu_{\mathcal{F}_M})^{K^{\dagger,G}_{\mathcal{F}_M}} \subset \mathcal{D}_{\mathrm{cusp},G-\mathrm{comp}}(M) $$

s'envoie bijectivement sur $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M)$.

**PROPOSITION**

(i) Pour tout $M \in \mathcal{L}_{\min}$, l'application $e(G, M)$ est injective et la restriction de l'application $D^G$ à $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M)$ est injective.

(ii) $\mathrm{I}\mathcal{E}(G)$, resp. $D^G(\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G))$, est somme directe des $\mathrm{Im}(e(G, M))$, resp. des $D^G(\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M))$, quand $M$ décrit $\mathcal{L}_{\min}$.

(iii) Soient $M, L \in \mathcal{L}_{\min}$. L'application

$$ \begin{gathered} \mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M) \to \mathrm{Im}(e(G; L))^* \\ \boldsymbol{f} \mapsto (D_{\boldsymbol{f}}^G)|_{\mathrm{Im}(e(G; L))} \end{gathered} $$

est nulle si $M \neq L$ et est un isomorphisme si $M = L$.

**Démonstration.** — Tous ces espaces sont sommes ou produits d'espaces indexés par des couples $(\mathcal{F}_M, \nu)$. Pour des raisons de support, on peut fixer $\nu \in \mathcal{N}$ et remplacer tous les espaces par les sous-espaces analogues où on se limite au couples $(\mathcal{F}_M, \nu')$ tels que $\nu' = \nu$, cf. 3.5. On gagne que ces espaces sont de dimension finie. En fait, d'après (1), les espaces $\mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G, M)$ et $\mathcal{E}(G, M)$ deviennent isomorphes. Fixons une base $(\boldsymbol{f}_{i,M})_{i=1,...,n_M}$ de $\mathcal{E}(G, M)$, réunion de bases orthogonales des espaces $C_{\mathrm{cusp}}(\mathbf{M}^\nu_{\mathcal{F}_M})^{K^{\dagger,G}_{\mathcal{F}_M}}$ intervenant. En appliquant la proposition 3.6 et la remarque (2) qui la suit, on voit que la matrice

$$ (D_{\boldsymbol{f}_{i,M}}^G (e(G, L)(\overline{\boldsymbol{f}_{j,L}})))_{\substack{M, L \in \mathcal{L}_{\min}, \\ i=1, \dots, n_M, \\ j=1, \dots, n_L}} $$

est diagonale, de coefficients diagonaux non nuls. Compte tenu du lemme précédent, cela entraîne toutes les assertions de l'énoncé. $\square$

## 3.10. UN COROLLAIRE

**COROLLAIRE**

(i) L'application linéaire $D^G : \mathcal{D}_{G-\mathrm{comp}}(G) \to \mathrm{I}(G)^*$ est injective.

(ii) L'application linéaire composée $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(G) \xrightarrow{D^G} \mathrm{I}(G)^* \to \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G)^*$ est injective.
Démonstration. — Cela résulte de la proposition précédente, en se rappelant que $\mathcal{E}(G; G)$ est formé d'après sa définition de fonctions cuspicales. $\square$

3.11. INJECTIVITÉ DE $D^G$. — Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}$, notons $\mathcal{D}(G, M)$ l'image dans $\mathcal{D}(G)$ de l'espace $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)$. On a $\mathcal{D}(G) = \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathcal{D}(G, M)$.

PROPOSITION

(i) L'application $D^G : \mathcal{D}(G) \to \mathrm{I}(G)^*$ est injective.

(ii) Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, l'espace $D^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^n \mathrm{I}(G)^*$ est égal à la somme des $D^G(\mathcal{D}(G, M))$ où $M$ parcourt les éléments de $\mathcal{L}_{\min}$ tels que $a_M \ge n$.

Démonstration. — Notons $\mathcal{D}^n(G)$ la somme des $\mathcal{D}(G, M)$ où $M$ parcourt l'ensemble de Levi indiqué ci-dessus. Par construction, on a

$$ \mathcal{D}^n(G) = \mathcal{D}^{n+1}(G) + \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathcal{D}(G, M). $$

Il résulte des définitions que, pour tout $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$, $\mathcal{D}(G, M)$ est l'image naturelle dans $\mathcal{D}(G)$ de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)^{W^G(M)}$. On a aussi $\mathcal{D}^G(\mathcal{D}^n(G)) \subset \mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^n \mathrm{I}(G)^*$. On en déduit une suite d'applications

$$ \begin{aligned} \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathcal{D}_{\text{cusp}}(M)^{W^G(M)} &\to \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathcal{D}(G, M) \to \mathcal{D}^n(G)/\mathcal{D}^{n+1}(G) \\ &\xrightarrow{\delta^n} (\mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^n \mathrm{I}(G)^*)/(\mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^{n+1} \mathrm{I}(G)^*) \\ &\to \mathrm{Gr}^n \mathrm{I}(G)^* \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{I}_{\text{cusp}}(M)^*{}^{W^G(M)}. \end{aligned} $$

Le corollaire précédent, appliqué aux Levi $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$, implique que l'application composée est injective. Les deux premières applications de la suite sont surjectives. Il en résulte que $\delta^n$ est injective. Pour $n = a_G$, on a

$$ \mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^{a_G} \mathrm{I}(G)^* = \mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) = \mathcal{D}^G(\mathcal{D}^n(G)). $$

L'injectivité de $\delta^n$ pour tout $n$ entraîne alors par récurrence que, pour tout $n$, on a

$$ \mathcal{D}^G(\mathcal{D}(G)) \cap \mathrm{Ann}^n \mathrm{I}(G)^* = \mathcal{D}^G(\mathcal{D}^n(G)) \text{ et } \mathrm{Ker}(\mathcal{D}^G) \subset \mathcal{D}^n(G). $$

Pour $n = a_{M_{\min}} + 1$, cette dernière relation implique l'injectivité de $\mathcal{D}^G$. $\square$

3.12. VARIANTES AVEC CARACTÈRE CENTRAL. — Pour un groupe topologique abélien et localement compact $X$, nous appelons caractère de $X$ un homomorphisme continu de $X$ dans $\mathbb{C}^\times$. Soit $\xi$ un caractère de $A_G(F)$. On note $C_{c,\xi}^\infty(G(F))$ l'espace des fonctions sur $G(F)$, à valeurs complexes, localement constantes, telles que

$$ f(ag) = \xi(a)^{-1}f(g) \quad \text{pour tous } a \in A_G(F) \text{ et tout } g \in G(F) $$

et telles que l'image dans $A_G(F)\backslash G(F)$ du support de $f$ soit compacte. Pour $f \in C_c^\infty(G(F))$, notons $f_\xi$ la fonction définie par

$$ f_\xi(g) = \int_{A_G(F)} f(ag)\xi(a) \, da. $$
L'application linéaire $f \mapsto f_\xi$ est une surjection de $C_c^\infty(G(F))$ sur $C_{c;\xi}^\infty(G(F))$. De même que l'on a défini $I(G)$, on définit l'espace $I_\xi(G)$. L'action de $A_G(F)$ sur $C_c^\infty(G(F))$ se descend en une action sur $I(G)$. Le groupe $A_G(F)$ agit dualement sur $I(G)^*$. L'espace $I_\xi(G)^*$ dual de $I_\xi(G)$ s'identifie au sous-espace des éléments de $I(G)^*$ qui se transforment selon $\xi$. Précisément, un élément $d$ de ce sous-espace s'identifie à l'élément de $I_\xi(G)^*$ qui envoie $f_\xi$ sur $d(f)$ pour tout $f \in C_c^\infty(G(F))$.

Soit $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(G)$. Le groupe $A_G(F)$ est contenu dans $K_J^\dagger$. Il agit par multiplication sur ce groupe. La multiplication par $a \in A_G(F)$ envoie un sous-ensemble $K_J^\nu$ sur $K_J^{\nu+\nu_a}$, où on a posé $\nu_a = w_G(a)$. Si $(\mathcal{F}, \nu) \in \mathrm{Fac}_{\max}^*(G)$, on a aussi $(\mathcal{F}, \nu + \nu_a) \in \mathrm{Fac}_{\max}^*(G)$. Dans ce cas, la multiplication par $a$ se descend en un isomorphisme encore noté

$$a : C_{\mathrm{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}) \to C_{\mathrm{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu+\nu_a}).$$

Ces isomorphismes définissent une action de $A_G(F)$ sur l'espace $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(G)$ (on prendra soin de la distinguer de l'action par conjugaison, qui est triviale). L'action du sous-groupe $A_{G,\mathrm{tu}}(F)$ est triviale. L'action se descend en une action sur $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(G)$ que l'on note $(a, \mathbf{f}) \mapsto \mathbf{f}^a$. Soit $\xi$ un caractère modérément ramifié de $A_G(F)$, c'est-à-dire trivial sur $A_{G,\mathrm{tu}}(F)$. On note $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp},\xi}(G)$ le sous-espace des éléments $\mathbf{f} \in \mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(G)$ tels que $\mathbf{f}^a = \xi(a)\mathbf{f}$ pour tout $a \in A_G(F)$.

Plus généralement, on définit de même les variantes « à caractère central » de beaucoup d'objets déjà définis (au sens ci-dessus : il s'agit d'un caractère $\xi$ de $A_G(F)$). On les note en ajoutant un indice $\xi$ dans les notations. Notons en particulier l'égalité

$$(1) \qquad D^G(\mathcal{D}(G)) \cap I(G)^*_{\xi} = D^G(\mathcal{D}_{\xi}(G)),$$

qui résulte aisément de l'injectivité de $D^G$. Plus généralement, si $\xi_1, \dots, \xi_n$ sont des caractères de $A_G(F)$,

$$(2) \qquad D^G(\mathcal{D}(G)) \cap \left( \sum_{i=1,\dots,n} I(G)^*_{\xi_i} \right) = D^G \left( \sum_{i=1,\dots,n} \mathcal{D}_{\xi_i}(G) \right).$$

*Démonstration.* — On peut supposer les $\xi_i$ distincts. Par interpolation, si $d$ appartient au membre de gauche, les composantes $d_i$ de $d$ dans chaque $I(G)^*_{\xi_i}$ sont combinaisons linéaires finies de translatisés $d^a$ pour des $a \in A_G(F)$. Or ces $d^a$ appartiennent tous à $D^G(\mathcal{D}(G))$. Donc $d_i \in D^G(\mathcal{D}(G)) \cap I(G)^*_{\xi_i}$ et il reste à appliquer l'égalité (1). $\square$

## 4. ÉLÉMENTS COMPACTS, $p'$-ÉLÉMENTS

### 4.1. RETOUR SUR LES ÉLÉMENTS TOPOLOGIQUEMENT UNIPOTENTS.
Pour $x \in G_{\mathrm{tu}}(F)$, l'homomorphisme $n \mapsto x^n$ de $\mathbb{Z}$ dans $G(F)$ se prolonge en un homomorphisme continu $z \mapsto x^z$ de $\mathbb{Z}_p$ dans $G(F)$. Il en résulte que,

(1) si $J \subset G(F)$ est un sous-groupe fermé et s'il existe un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $x^c \in J$, alors $x \in J$.

On a :

(2) l'application naturelle $G_{\mathrm{tu}}(F) \to G_{\mathrm{AD},\mathrm{tu}}(F)$ est surjective; ses fibres sont les orbites de l'action par multiplication de $(Z(G)^0)_{\mathrm{tu}}(F)$ dans $G_{\mathrm{tu}}(F)$.
Démonstration. — Notons $\pi : G \to G_{AD}$ l'homomorphisme naturel. L'hypothèse (Hyp)(G) entraîne que $G_{AD}(F)/\pi(G(F))$ est d'ordre premier à $p$. Pour $y \in G_{AD,tu}(F)$, il y a donc un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $y^c \in \pi(G(F))$. D'après (1), $y$ appartient à $\pi(G(F))$. Soit $x \in G(F)$ tel que $\pi(x) = y$. On décompose $x = x_{ss}x_u$, où $x_{ss}$ est semi-simple, $x_u$ est unipotent et $x_{ss}$ et $x_u$ commutent. Fixons un sous-tore maximal $T$ de $G$ tel que $x_{ss} \in T(F)$ et fixons une extension galoisienne finie $F'$ de $F$, de degré $d$ premier à $p$, de sorte que $T$ soit déployé sur $F'$. Posons $T_{ad} = T/Z(G)$. L'élément $\pi(x_{ss})$ est topologiquement unipotent. La projection $T_{tu}(F') \to T_{ad,tu}(F')$ s'identifie à

$$X_*(T) \otimes_Z (1 + \mathfrak{p}_{F'}) \to X_*(T_{ad}) \otimes_Z (1 + \mathfrak{p}_{F'}).$$

Elle est surjective car l'hypothèse (Hyp)(G) implique que l'image de $X_*(T)$ dans $X_*(T_{ad})$ est un sous-groupe d'indice fini premier à $p$. On peut donc choisir $x_1 \in T_{tu}(F')$ tel que $\pi(x_1) = \pi(x_{ss})$. L'élément $x_2 = \text{Norme}_{F'/F}(x_1)$ appartient à $T_{tu}(F)$ et on a $\pi(x_2) = \pi(x_{ss}^d)$. D'après (1), cela implique qu'il existe $x_3 \in T_{tu}(F)$ tel que $\pi(x_3) = \pi(x_{ss})$. L'élément $x_3x_u$ appartient à $G_{tu}(F)$ et satisfait à $\pi(x_3x_u) = y$. Cela démontre la première assertion.

L'hypothèse (Hyp)(G) entraîne que $Z(G)/Z(G)^0$ est d'ordre premier à $p$. La seconde assertion s'en déduit par le même argument qui prouvait ci-dessus que $y$ appartient à $\pi(G(F))$. $\square$

On a :

(3) pour $x \in G_{tu}(F)$, l'image réciproque de $Z_{G_{AD}}(x_{ad})$ dans $G$ est égale à $Z_G(x)$.

Démonstration. — Notons simplement $Z_G(x_{ad})$ cette image réciproque. Il est bien connu que $Z_G(x)$ est un sous-groupe distingué d'indice fini dans $Z_G(x_{ad})$ et l'hypothèse (Hyp)(G) implique que cet indice est premier à $p$. Soit $g \in Z_G(x_{ad})$. Il existe donc un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $g^c$ commute à $x$. Puisque $g \in Z_G(x_{ad})$ il existe $z \in Z(G)$ tel que $g^{-1}xg = zx$. On a alors $z^c = 1$. Or, puisque $x$ et $g^{-1}xg$ sont topologiquement unipotents, $z$ est lui aussi topologiquement unipotent. L'égalité $z^c = 1$ entraîne alors que $z = 1$, donc $g \in Z_G(x)$. $\square$

On utilisera souvent la propriété suivante :

(4) soit $x$ un élément semi-simple de $G(F)$ et soit $y \in Z_G(x)(F) \cap G_{tu}(F)$; alors $y \in G_{x,tu}(F)$.

En effet, l'ordre du groupe $Z_G(x)/G_x$ est borné par le nombre d'éléments du centre du revêtement simplement connexe de $G_{AD}$. Il est donc premier à $p$ d'après (Hyp)(G).

4.2. ÉLÉMENTS TOPOLOGIQUEMENT NILPOTENTS ET EXPONENTIELLE. — On note $\mathfrak{g}$ l'algèbre de Lie de $G$. On appelle « conjugaison » par $G$ l'action adjointe de $G$ dans $\mathfrak{g}$. Pour $g \in G$, on note cette action de $g$, soit $\text{ad}(g)$, soit $X \mapsto gXg^{-1}$. On note $\mathfrak{g}_{\text{reg}}$ l'ensemble des éléments semi-simples réguliers de $\mathfrak{g}$.

Soit $X \in \mathfrak{g}(F)$, fixons un sous-tore maximal $T$ de $G$ tel que $X_{ss} \in t(F)$ et fixons une extension finie $F'$ de $F$ telle que $T$ soit déployé sur $F'$. L'élément $X$ est dit topologiquement nilpotent si et seulement si $\chi(X_{ss}) \in \mathfrak{p}_{F'}$ pour tout $\chi \in X^*(T)$ (cela
ne dépend pas du choix de $T$). Une autre caractérisation est la suivante. Fixons une sous-algèbre d'Iwahori $\mathfrak{b}$ de $\mathfrak{g}$, c'est-à-dire $\mathfrak{b} = \mathfrak{t}_{\mathfrak{F}}$ pour une facette $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(\mathcal{G})$ de dimension maximale. Notons $\mathfrak{u}$ son radical pro-$p$-nilpotent, c'est-à-dire $\mathfrak{u} = \mathfrak{t}_{\mathfrak{F}}^{+}$ pour la même facette. Alors $\mathfrak{X}$ est topologiquement nilpotent si et seulement si $\mathfrak{X}$ est conjugué par un élément de $\mathfrak{G}(\mathfrak{F})$ à un élément de $\mathfrak{u}(\mathfrak{F})$. On note $\mathfrak{g}_{\mathrm{tn}}(\mathfrak{F})$ l'ensemble des éléments topologiquement nilpotents de $\mathfrak{g}(\mathfrak{F})$.

On peut définir une application exponentielle $\exp$ qui envoie un voisinage de 0 dans $\mathfrak{g}(\mathfrak{F})$ sur un voisinage de 1 dans $\mathfrak{G}(\mathfrak{F})$ et qui est équivariante pour les actions par conjugaison de $\mathfrak{G}(\mathfrak{F})$. Sous l'hypothèse (Hyp)(G), ces voisinages sont les plus grands possibles, c'est-à-dire qu'on dispose de l'application exponentielle

$$ \exp : \mathfrak{g}_{\mathrm{tn}}(\mathfrak{F}) \to \mathfrak{G}_{\mathrm{tu}}(\mathfrak{F}) $$

équivariante pour les actions par conjugaison de $\mathfrak{G}(\mathfrak{F})$ et qui un homéomorphisme entre les ensembles de départ et d'arrivée, cf. [9, App. B] pour cette propriété et celles ci-dessous.

Pour $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(\mathcal{G})$, l'exponentielle se restreint en des homéomorphismes de $\mathfrak{g}_{\mathrm{tn}}(\mathfrak{F}) \cap \mathfrak{t}_{\mathcal{F}}$ sur $\mathfrak{G}_{\mathrm{tu}}(\mathfrak{F}) \cap K_{\mathcal{F}}^{0}$ et de $\mathfrak{t}_{\mathcal{F}}^{+}$ sur $K_{\mathcal{F}}^{+}$. Il s'en déduit une bijection

$$ (\mathfrak{g}_{\mathrm{tn}}(\mathfrak{F}) \cap \mathfrak{t}_{\mathcal{F}})/\mathfrak{t}_{\mathcal{F}}^{+} \to (\mathfrak{G}_{\mathrm{tu}}(\mathfrak{F}) \cap K_{\mathcal{F}}^{0})/K_{\mathcal{F}}^{+}. $$

On peut prolonger les paires $K_{\mathcal{F}}^{0} \supset K_{\mathcal{F}}^{+}$ et $\mathfrak{t}_{\mathcal{F}} \supset \mathfrak{t}_{\mathcal{F}}^{+}$ en des suites $(K_{\mathcal{F},n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(\mathfrak{t}_{\mathcal{F},n})_{n \in \mathbb{N}}$ de sorte que

$$ - K_{\mathcal{F}}^{0} = K_{\mathcal{F},0}, K_{\mathcal{F}}^{+} = K_{\mathcal{F},1}, K_{\mathcal{F},n} \supset K_{\mathcal{F},n+1}, \cap_{n \in \mathbb{N}} K_{\mathcal{F},n} = \{1\}; $$

$$ - \mathfrak{t}_{\mathcal{F}} = \mathfrak{t}_{\mathcal{F},0}, \mathfrak{t}_{\mathcal{F}}^{+} = \mathfrak{t}_{\mathcal{F},1}, \mathfrak{t}_{\mathcal{F},n} \supset \mathfrak{t}_{\mathcal{F},n+1}, \cap_{n \in \mathbb{N}} \mathfrak{t}_{\mathcal{F},n} = \{0\}; $$

- pour $n \ge 1$, $K_{\mathcal{F},n}$ est un sous-groupe distingué de $K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ et $\mathfrak{t}_{\mathcal{F},n}$ est un $\mathfrak{o}_F$-idéal de $\mathfrak{t}_{\mathcal{F}}$;

- pour $n \ge 1$, $K_{\mathcal{F},n} = \exp(\mathfrak{t}_{\mathcal{F},n})$ et l'exponentielle se réduit en un isomorphisme de groupes de $\mathfrak{t}_{\mathcal{F},n}/\mathfrak{t}_{\mathcal{F},n+1}$ sur $K_{\mathcal{F},n}/K_{\mathcal{F},n+1}$.

### 4.3. ÉLÉMENTS $p'$-COMPACTS.
Soit $x \in \mathfrak{G}(\mathfrak{F})$. On dit que $x$ est

- $p'$-compact si et seulement s'il existe un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $x^c = 1$;

- $p'$-compact mod $\mathfrak{Z}(\mathcal{G})$ si et seulement si l'image $x_{\mathrm{ad}}$ de $x$ dans $\mathfrak{G}_{\mathrm{AD}}(\mathfrak{F})$ est $p'$-compacte.

Pour $x \in \mathfrak{G}(\mathfrak{F})$, fixons un sous-tore maximal $T$ de $\mathcal{G}$ contenant $x_{\mathrm{ss}}$. Alors :

- $x$ est $p'$-compact si et seulement $x = x_{\mathrm{ss}}$ et il existe un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\chi(x)^c = 1$ pour tout $\chi \in X^*(T)$;

- $x$ est $p'$-compact mod $\mathfrak{Z}(\mathcal{G})$ si et seulement $x = x_{\mathrm{ss}}$ et il existe un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\chi(x)^c = 1$ pour tout $\chi \in X^*(T)$ dont la restriction à $\mathfrak{Z}(\mathcal{G})$ est triviale.

Puisque les classes de conjugaison de sous-tores maximaux de $\mathcal{G}$ sont en nombre fini, on peut choisir une extension $F'/F$ d'ordre premier à $p$ telle que tout sous-tore maximal de $\mathcal{G}$ soit déployé sur $F'$. Notons $c$ le nombre d'éléments non nuls de son corps résiduel. C'est un entier premier à $p$. On voit qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de conjugaison par $\mathfrak{G}(\mathfrak{F})$ d'éléments $p'$-compacts et que l'on a $x^c = 1$ pour
tout élément $p'$-compact de $G(F)$. Plus généralement, on a $x^c \in G_{\text{tu}}(F)$ pour tout élément compact $x \in G(F)$. On a :

(1) tout élément compact $x \in G(F)$ s'écrit de façon unique $x = x_{p'}x_{tu}$, où $x_{p'}$ est $p'$-compact, $x_{tu} \in G_{\text{tu}}(F)$ et $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent; de plus, $x_{p'}$ et $x_{tu}$ appartiennent à $\overline{x^Z}$.

*Démonstration*. — Comme on vient de le dire, $x^c$ est topologiquement unipotent. Soit $c'$ l'inverse de $c$ dans $\mathbb{Z}_{p}$. On pose $x_{tu} = (x^c)^{c'}$ et $x_{p'} = xx_{tu}^{-1}$. Ces termes satisfont aux conditions requises et on voit que ce sont les seules solutions possibles. $\square$

On déduit de (1) et de 4.1 (2) et (3) que

(2) tout élément $x \in G(F)$ compact mod $Z(G)$ s'écrit $x = x_{p'}x_{tu}$, où $x_{p'}$ est $p'$-compact mod $Z(G)$, $x_{tu} \in G_{\text{tu}}(F)$ et $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent; le groupe $(Z(G)^0)_{\text{tu}}(F)$ agit sur l'ensemble des solutions : un élément $z \in (Z(G)^0)_{\text{tu}}(F)$ envoie le couple $(x_{p'}, x_{tu})$ sur $(x_{p'}z^{-1}, x_{tu}z)$; les solutions forment une unique orbite pour cette action; de plus, pour toute solution $(x_{p'}, x_{tu})$, les deux éléments $x_{p'}$ et $x_{tu}$ appartiennent à l'adhérence du groupe $Z(G)(F)x^Z$.

On utilisera aussi la variante suivante. Soit $\mathcal{Z}$ un sous-groupe algébrique de $Z(G)$. Pour $x \in G(F)$, on dit que $x$ est compact mod $\mathcal{Z}$, resp. $p'$-compact mod $\mathcal{Z}$, si et seulement si l'image de $x$ dans $(G/\mathcal{Z})(F)$ est compacte, resp. $p'$-compacte. Supposons que le quotient $Z(G)(F)/\mathcal{Z}(F)$ soit compact. Alors $x$ est compact mod $\mathcal{Z}$ si et seulement s'il est compact mod $Z(G)$ (la propriété analogue pour « $p'$-compact » est évidemment fausse). On a

(3) tout élément $x \in G(F)$ compact mod $Z(G)$ s'écrit $x = x_{p'}x_{tu}$, où $x_{p'}$ est $p'$-compact mod $\mathcal{Z}$, $x_{tu} \in G_{\text{tu}}(F)$ et $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent; le groupe $\mathcal{Z}_{\text{tu}}(F)$ agit sur l'ensemble des solutions comme en (2); les solutions forment une unique orbite pour cette action.

4.4. *p'-éléments*. — Soit $x \in G(F)$. On lui associe un sous-groupe parabolique $Q[x]$ de $G$ et une composante de Levi $L[x]$ de $Q[x]$ de la façon suivante, cf. [7]. L'élément $x_{ss}$ agit par conjugaison sur $\mathfrak{g}$. On fixe une extension galoisienne finie $F'$ de $F$ telle que toutes les valeurs propres appartiennent à $F'^{\times}$. On note $\Sigma$ l'ensemble de ces valeurs propres et, pour $\sigma \in \Sigma$, $\mathfrak{g}_{\sigma}$ l'espace propre. Alors l'algèbre de Lie $\mathfrak{q}[x]$ est la somme des $\mathfrak{g}_{\sigma}$ sur les $\sigma \in \Sigma$ telles que $|\sigma|_{F'} \le 1$ et $\mathfrak{l}[x]$ est la somme des $\mathfrak{g}_{\sigma}$ sur les $\sigma \in \Sigma$ telles que $|\sigma|_{F'} = 1$. Le couple $(Q[x], L[x])$ étant uniquement défini et ne dépendant que de $x_{ss}$, il est défini sur $F$ et conservé par $Z_G(x_{ss})$. Cela entraîne

(1) $Z_G(x_{ss}) \subset L[x]$, a fortiori $Z_G(x) \subset L[x]$ et $x \in L[x]$.

Par construction, $x$, vu comme élément de $L[x]$, est compact mod $Z(L[x])$ (on dira que $x$ est compact dans $L[x]$ mod $Z(L[x])$). Le Levi $L[x]$ est le plus grand Levi $L$ de $G$ tel que $x$ appartienne à $L$ et que $x$ soit compact dans $L$ mod $Z(L)$.

Nous dirons que $x$ est un $p'$-élément si et seulement si $x$ est $p'$-compact dans $L[x]$ mod $Z(L[x])$. Avec les notations ci-dessus, cela équivaut à ce que $x = x_{ss}$ soit
semi-simple et, pour tout $\sigma \in \Sigma$ telle que $|\sigma|_F = 1$, $\sigma$ soit une racine de l'unité d'ordre premier à $p$. On note $G(F)_{p'}$ l'ensemble des $p'$-éléments de $G(F)$.

### LEMME

(i) Tout élément $x \in G(F)$ s'écrit $x = x_{p'}x_{tu}$ où $x_{p'}$ est un $p'$-élément, $x_{tu}$ est topologiquement unipotent et $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent.

(ii) Pour une telle décomposition, les éléments $x_{p'}$ et $x_{tu}$ appartiennent à $L[x](F)$ et on a $L[x_{p'}] = L[x]$.

(iii) Pour une telle décomposition, on a

$$Z_G(x) = Z_G(x_{p'}) \cap Z_G(x_{tu}) \quad \text{et} \quad G_x = (G_{x_{p'}})_{x_{tu}}.$$

(iv) La décomposition est unique modulo l'action de $(Z(L[x])^0)_{tu}(F)$ similaire à celle de 4.3 (2).

**Démonstration.** — Considérons une décomposition $x = yx_{tu}$ où $x_{tu}$ est topologiquement unipotent et $y$ et $x_{tu}$ commutent. Montrons que

$$(2) \qquad y, x_{tu} \in L[x] \quad \text{et} \quad L[x] = L[y].$$

Les éléments $y$ et $x_{tu}$ commutent à $x$ et la première assertion résulte de (1). Notons ici $x_{ad}$, $y_{ad}$ et $x_{tu,ad}$ les images de $x$, $y$ et $x_{tu}$ dans $L[x]_{AD}(F)$. L'adhérence $\overline{y_{ad}}^Z$ du groupe engendré par $y_{ad}$ est contenue dans le produit des deux groupes $\overline{x_{ad}}^Z$ et $\overline{x_{tu,ad}}^Z$. Ce dernier groupe est compact puisque $x_{tu}$ est topologiquement unipotent. Le premier est compact par définition de $L[x]$. Donc $\overline{y_{ad}}^Z$ est compacte, c'est-à-dire que $y$ est compact mod $Z(L[x])$. Or $L[y]$ est le plus grand Levi $L$ tel que $y \in L$ et $y$ soit compact mod $Z(L)$. Donc $L[x] \subset L[y]$. On obtient l'inclusion opposée en échangeant les rôles de $x$ et $y$ (on a $y = xx_{tu}^{-1}$). Cela prouve (2).

On a vu que $x$ appartenait à $L[x]$ et était compact mod $Z(L[x])$. En appliquant 4.3 (2) dans le groupe $L[x]$, on obtient une décomposition $x = x_{p'}x_{tu}$ où $x_{p'}$, $x_{tu} \in L[x](F)$, $x_{p'}$ est $p'$-compact mod $Z(L[x])$, $x_{tu}$ est topologiquement unipotent et $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent. D'après (2), on a $L[x_{p'}] = L[x]$, donc $x_{p'}$ est $p'$-compact mod $Z(L[x_{p'}])$, donc c'est un $p'$-élément. Cela démontre (i).

Pour une décomposition $x = x_{p'}x_{tu}$ comme en (i), les éléments $x_{p'}$ et $x_{tu}$ commutent à $x$ donc appartiennent à $L[x]$ d'après (1). Cela démontre la première assertion de (ii) et la seconde résulte de (2). En définitive, les décompositions $x = x_{p'}x_{tu}$ satisfaisant à (i) sont exactement les décompositions dans $L[x](F)$ où l'on impose que $x_{p'}$ est $p'$-compact mod $Z(L[x])$. Le (iv) résulte donc de 4.3 (2) appliqué dans le groupe $L[x]$.

Pour (iii), les commutants $Z_G(x)$ et $Z_G(x_{p'})$ sont contenus dans $L[x]$ d'après (1) et la dernière assertion de (ii). On ne perd rien à supposer $L[x] = G$. Il est clair que $Z_G(x_{p'}) \cap Z_G(x_{tu}) \subset Z_G(x)$. L'image $x_{tu,ad}$ de $x_{tu}$ dans $G_{AD}$ appartient à l'adhérence du groupe engendré par $x_{ad}$. L'image $g_{ad}$ d'un élément $g \in Z_G(x)$ commute donc à $x_{tu,ad}$. D'après 4.1 (2), cela implique que $g \in Z_G(x_{tu})$. Alors $g$ appartient forcément aussi à $Z_G(x_{p'})$. Cela démontre la première égalité de (iii). La composante neutre de $Z_G(x_{p'}) \cap Z_G(x_{tu})$ est clairement $(G_{x_{p'}})_{x_{tu}}$, d'où la seconde égalité. $\square$
Pour $x \in G(F)$, appelons $p'$-décomposition de $x$ une décomposition $x = x_{p'}x_{tu}$ satisfaisant aux conditions du (i) de l'énoncé.

4.5. DÉCOMPOSITION DE $G(F)$ ASSOCIÉE AUX $p'$-ÉLÉMENTS. — Pour tout $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, posons $C(\varepsilon) = \varepsilon G_{\varepsilon,tu}(F) = \varepsilon \exp(\mathfrak{g}_{\varepsilon,tu}(F))$. Évidemment, l'action de $G(F)$ par conjugaison conserve $G(F)_{p'}$ et, pour $g \in G(F)$, on a $gC(\varepsilon)g^{-1} = C(g\varepsilon g^{-1})$. Posons

$$C_G(\varepsilon) = \bigcup_{g \in G(F)} C(g^{-1}\varepsilon g) = \bigcup_{g \in G(F)} g^{-1}C(\varepsilon)g.$$

On a déjà utilisé le discriminant de Weyl $D^G(x)$ d'un élément $x \in G(F)$. Il y a de même un discriminant de Weyl $D^G(X)$ pour un élément $X \in \mathfrak{g}(F)$.

LEMME

(i) Pour $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, l'ensemble $C_G(\varepsilon)$ est ouvert et fermé.

(ii) Pour $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, il existe un nombre réel $d^G(\varepsilon) > 0$ tel que, pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,tu}(F)$, on ait

$$D^G(\varepsilon \exp(X)) = d^G(\varepsilon) D^{G_{\varepsilon}}(X).$$

(iii) On a les égalités

$$G(F) = \bigcup_{\varepsilon \in G(F)_{p'}} C(\varepsilon) = \bigcup_{\varepsilon \in G(F)_{p'}} C_G(\varepsilon).$$

(iv) Soient $\varepsilon, \varepsilon' \in G(F)_{p'}$. Alors $C(\varepsilon) = C(\varepsilon')$ ou $C(\varepsilon) \cap C(\varepsilon') = \emptyset$. L'égalité a lieu si et seulement s'il existe $z \in (Z(L[\varepsilon]))^0_{tu}(F)$ tel que $\varepsilon' = \varepsilon z$. Dans ce cas, on a

$$L[\varepsilon] = L[\varepsilon'], \quad G_{\varepsilon} = G_{\varepsilon'} \quad \text{et} \quad z \in G_{\varepsilon,tu}(F).$$

Démonstration. — La propriété suivante est bien connue (cf. [12, Cor. 2.4]): soit $x \in G(F)$ un élément semi-simple et $V'_x$ un voisinage de 1 dans $G_x(F)$; alors il existe un voisinage $V_x$ de 1 dans $G_x(F)$ contenu dans $V'_x$ tel qu'en posant

$$B(x, V_x) = \{g^{-1}xyg \mid y \in V_x, g \in G(F)\},$$

cet ensemble $B(x, V_x)$ soit ouvert et fermé. Appliquons ceci à un élément semi-simple $x \in C(\varepsilon)$. On a $G_x \subset G_{\varepsilon}$ d'après le (iii) du lemme 4.4. Prenons

$$V'_x = \{y \in G_x(F) \mid xy \in C(\varepsilon)\},$$

dont on déduit un voisinage $V_x$. D'après le choix de $V'_x$, $B(x, V_x)$ est contenu dans $C_G(\varepsilon)$. La réunion des $B(x, V_x)$ quand $x$ parcourt les éléments semi-simples de $C(\varepsilon)$ contient tous ces éléments semi-simples. Étant invariante par conjugaison, elle contient tous les éléments semi-simples de $C_G(\varepsilon)$ et contient en fait $C_G(\varepsilon)$ tout entier : un élément quelconque est conjugué à un élément arbitrairement voisin de sa partie semi-simple. Mais $G_{\varepsilon,tu}(F)$ est compact modulo conjugaison par $G_{\varepsilon}(F)$ et donc $C_G(\varepsilon)$ est compact modulo conjugaison par $G(F)$. On peut extraire un sous-recouvrement de $C_G(\varepsilon)$ par un nombre fini d'ensembles $B(x, V_x)$. Il s'agit en fait d'une réunion finie puisque ces ensembles sont contenus dans $C_G(\varepsilon)$. Puisqu'ils sont ouverts et fermés, on obtient (i).
Les deux parties de la formule (ii) sont insensibles au remplacement de $X$ par sa partie semi-simple. On peut donc supposer $X$ semi-simple. On fixe un sous-tore maximal $T$ de $G_\varepsilon$ tel que $X \in t(F)$. On a aussi $\varepsilon \in T(F)$ puisque $T$ commute à $\varepsilon$. Fixons une extension finie $F'$ de $F$ telle que $T$ soit déployé sur $F'$. On note $\Sigma$ l'ensemble des racines de $T$ dans $G$, $\Sigma^{L[\varepsilon]}$, resp. $\Sigma^{G_\varepsilon}$, le sous-ensemble des racines dans $L[\varepsilon]$, resp. $G_\varepsilon$. On a $\Sigma^{G_\varepsilon} \subset \Sigma^{L[\varepsilon]}$. Par définition,

$$D^G(\varepsilon) = \left| \prod_{\alpha \in \Sigma} (1 - \alpha(\varepsilon \exp(X))) \right|_F$$
$$D^{G_\varepsilon}(X) = \left| \prod_{\alpha \in \Sigma^{G_\varepsilon}} \alpha(X) \right|_F.$$

Puisque $\exp(X)$ est topologiquement unipotent, $\alpha(\exp(X))$ appartient à $1 + \mathfrak{p}_{F'}$ pour tout $\alpha \in \Sigma$. A fortiori $|\alpha(\exp(X))|_{F'} = 1$. Si $\alpha \in \Sigma - \Sigma^{L[\varepsilon]}$, on a $|\alpha(\varepsilon)|_{F'} \neq 1$ par définition de $L[\varepsilon]$. Puisque $|\alpha(\exp(X))|_{F'} = 1$, on a

$$|1 - \alpha(\varepsilon \exp(X))|_{F'} = |1 - \alpha(\varepsilon)|_{F'}$$

qui est non nul. Si $\alpha \in \Sigma^{L[\varepsilon]}$, $\alpha(\varepsilon)$ est une racine de l'unité d'ordre premier à $p$ puisque $\varepsilon$ est $p$-compact mod $Z(L[\varepsilon])$. Cette racine est égale à 1 si et seulement si $\alpha \in \Sigma^{G_\varepsilon}$. Si $\alpha \in \Sigma^{L[\varepsilon]} - \Sigma^{G_\varepsilon}$, on a

$$\alpha(\varepsilon) \in \mathfrak{o}_{F'}^\times - (1 + \mathfrak{p}_{F'}) \quad \text{et} \quad \alpha(\exp(X)) \in 1 + \mathfrak{p}_{F'}$$

donc encore

$$|1 - \alpha(\varepsilon \exp(X))|_{F'} = |1 - \alpha(\varepsilon)|_{F'} = 1.$$

Enfin, si $\alpha \in \Sigma^{G_\varepsilon}$, on a $\alpha(\varepsilon) = 1$ donc

$$|1 - \alpha(\varepsilon \exp(X))|_{F'} = |1 - \alpha(\exp(X))|_{F'} = |1 - \exp(\alpha(X))|_{F'}$$

avec $\alpha(X) \in \mathfrak{p}_{F'}$, donc

$$|1 - \alpha(\varepsilon \exp(X))|_{F'} = |\alpha(X)|_{F'}.$$

L'assertion (i) en résulte.

Le (i) du lemme 4.4 implique la première égalité du (i) d'où triviallement la deuxième.

Soient $\varepsilon, \varepsilon' \in G(F)_{p'}$. Supposons $C(\varepsilon) \cap C(\varepsilon') \neq \emptyset$ et fixons $x$ dans cette intersection. On peut écrire

$$x = \varepsilon u = \varepsilon' u' \quad \text{avec } u \in G_{\varepsilon, \text{tu}}(F) \text{ et } u' \in G_{\varepsilon', \text{tu}}(F).$$

Ces deux décompositions sont des $p$-décompositions. D'après le (iv) du lemme 4.4, il existe $z \in (Z(L[\varepsilon]))^0_{\text{tu}}(F)$ tel que $\varepsilon' = \varepsilon z$. Inversement, s'il existe un tel $z$, l'assertion (2) de 4.4 appliquée à $x = \varepsilon' = \varepsilon z$ nous dit que $L[\varepsilon] = L[\varepsilon']$. D'après l'assertion (1) de 4.4, on a

$$G_\varepsilon = L[\varepsilon]_\varepsilon \quad \text{et} \quad G_{\varepsilon'} = L[\varepsilon']_{\varepsilon'} = L[\varepsilon]_{\varepsilon'}.$$

Puisque $z \in Z(L[\varepsilon])^0(F)$, l'égalité $\varepsilon' = \varepsilon z$ entraîne que $L[\varepsilon]_{\varepsilon'} = L[\varepsilon]_\varepsilon$ donc aussi $G_{\varepsilon'} = G_\varepsilon$. On a aussi $z \in G_{\varepsilon, \text{tu}}(F)$ et on en déduit que

$$C(\varepsilon') = \varepsilon' G_{\varepsilon', \text{tu}}(F) = \varepsilon z G_{\varepsilon, \text{tu}}(F) = \varepsilon G_{\varepsilon, \text{tu}}(F) = C(\varepsilon).$$

Cela démontre (iv).

□
4.6. LE CAS D'UN LEVI. — Soit $M$ un Levi de $G$. On a dans $M$ la même propriété que dans $G$, à savoir

$$M(F) = \bigcup_{\varepsilon \in M(F)_{p'}} C^M(\varepsilon),$$

où $C^M(\varepsilon) = \varepsilon \exp(\mathfrak{m}_{\varepsilon, \text{tn}}(F))$. Le lemme ci-dessous énonce une propriété plus fine.

LEMME. — Soit $M$ un Levi de $G$. Alors

(i) $G(F)_{p'} \cap M(F) \subset M(F)_{p'}$;

(ii) $M(F) = \bigcup_{\varepsilon \in G(F)_{p'} \cap M(F)} C^M(\varepsilon)$.

Démonstration. — Soit $\varepsilon \in G(F)_{p'} \cap M(F)$. Pour démontrer que $\varepsilon \in M(F)_{p'}$, on doit prouver que toute valeur propre de $\text{ad}(\varepsilon)$ dans $\mathfrak{m}(F)$ qui est de valeur absolue 1 dans une extension convenable de $F$, est une racine de l'unité d'ordre premier à $p$. Mais une valeur propre de $\text{ad}(\varepsilon)$ dans $\mathfrak{m}(F)$ est aussi une valeur propre de $\text{ad}(\varepsilon)$ dans $\mathfrak{g}(F)$. La propriété voulue résulte du fait que $\varepsilon \in G(F)_{p'}$.

Soit $x \in M(F)$. Écrivons une $p'$-décomposition de $x$ dans $G(F) : x = \varepsilon \exp(X)$, où $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. On a $A_M \subset G_x$ puisque $x \in M(F)$ et $G_x \subset G_{\varepsilon}$ d'après le (iii) du lemme 4.4. Donc $A_M \subset G_{\varepsilon}$, ce qui implique $\varepsilon \in M(F)$. Alors $\exp(X) = \varepsilon^{-1}x$ appartient aussi à $M(F)$. On en déduit que $X$ appartient à $\mathfrak{m}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ donc $x$ appartient à $C^M(\varepsilon)$, où $\varepsilon$ appartient à $G(F)_{p'} \cap M(F)$. $\square$

4.7. UN LEMME SUR LES CLASSES DE CONJUGAISON ET LES ÉLÉMENTS $p'$-COMPACTS MOD $Z(G)$

LEMME. — Soit $\varepsilon \in G(F)$ un élément $p'$-compact mod $Z(G)$ et soit $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$. Supposons $\varepsilon \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$. Soit $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F) \cap \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$. Alors, pour tout élément $x \in \varepsilon \exp(X) K_{\mathcal{F}}^{+}$, il existe $Y \in \mathfrak{g}_{\varepsilon}(F) \cap \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+}$ tel que $x$ soit conjugué à $\varepsilon \exp(X+Y)$ par un élément de $K_{\mathcal{F}}^{+}$.

La preuve est standard, on la rappelle pour être complet.

Démonstration. — Fixons un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\varepsilon^c \in Z(G)(F)$. On introduit les deux polynômes

$$P(T) = c^{-1}(T^{c-1} + \cdots + T + 1),$$

$$Q(T) = c^{-1}(1-T)(c-1+(c-2)T+\cdots+T^{c-2})$$

à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$. On a $P(T) + Q(T) = 1$. L'opérateur $\text{ad}(\varepsilon)$ dans $\mathfrak{g}(F)$ est semi-simple et ses valeurs propres dans $\overline{F}$ sont des racines $c$-ièmes de l'unité. Alors l'espace $\mathfrak{g}$ se décompose en somme de l'espace propre associé à la racine 1, qui est $\mathfrak{g}_{\varepsilon}$, et de l'espace somme des espaces propres associés aux racines différentes de 1, notons-le $\mathfrak{g}_{\ne 1}$. L'opérateur $P(\text{ad}(\varepsilon))$, resp. $Q(\text{ad}(\varepsilon))$, est le projecteur sur l'espace $\mathfrak{g}_{\varepsilon}$, resp. $\mathfrak{g}_{\ne 1}$, relativement à cette décomposition. On introduit des suites $(K_{\mathcal{F},n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n})_{n \in \mathbb{N}}$ comme en 4.2. L'action $\text{ad}(\varepsilon)$ par conjugaison conserve $\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n}$ pour tout $n$. On a donc

$$\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\varepsilon} \oplus \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\ne 1},$$

où $\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\varepsilon} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n} \cap \mathfrak{g}_{\varepsilon}(F) = P(\text{ad}(\varepsilon))(\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n})$

et $\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\ne 1} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n} \cap \mathfrak{g}_{\ne 1}(F) = Q(\text{ad}(\varepsilon))(\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n})$.
Posons $\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n}/\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n+1}$. L'opérateur $\mathrm{ad}(\varepsilon)$ se réduit en un opérateur de cet espace,
que l'on note encore $\mathrm{ad}(\varepsilon)$. On a encore

$$
(1) \qquad \bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n} = \bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n,\varepsilon} \oplus \bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n,\neq 1},
$$

$$
\text{où} \quad \bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n,\varepsilon} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\varepsilon}/\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n+1,\varepsilon} = P(\mathrm{ad}(\varepsilon))(\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n})
$$

et
$$ \bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n,\neq 1} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\neq 1}/\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n+1,\neq 1} = Q(\mathrm{ad}(\varepsilon))(\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n}). $$

On va prouver par récurrence sur $n \ge 1$ qu'il existe

$$
Y_n \in \mathfrak{g}_{\varepsilon}(F) \cap \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+}, \quad Z_n \in \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n} \quad \text{et} \quad k_n \in K_{\mathcal{F}}^{+}
$$

tels que

$$
k_n^{-1} x k_n = \varepsilon \exp(X + Y_n) \exp(Z_n).
$$

Pour $n=1$, il suffit de prendre $Y_1 = 0$, $k_1 = 1$ et pour $Z_1$ l'élément de $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+}$ tel que
$x = \varepsilon \exp(X) \exp(Z_1)$. Supposons ces termes définis au rang $n$. Posons

$$
x_n = \varepsilon \exp(X + Y_n).
$$

Notons $\bar{Z}_n$ la réduction de $Z_n$ dans $\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n}$ et décomposons $\bar{Z}_n$ en $\bar{Z}_{n,\epsilon} + \bar{Z}_{n,\epsilon+1}$ conformément à la décomposition (1). Relevons $\bar{Z}_{n,\epsilon}$ en un élément $Y'_n \in \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n,\epsilon}$. Les opérateurs $\mathrm{ad}(\exp(X+Y_n))$ et $\mathrm{ad}(x_n)$ conservent eux aussi les espaces $\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n'}$ pour tout $n'$ et ils se descendent en des opérateurs sur $\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n}$. Parce que $\exp(X+Y_n)$ commute à $\epsilon$, ces opérateurs commutent à $\mathrm{ad}(\epsilon)$ donc préservent la décomposition (1). Sur l'espace $\bar{\mathfrak{k}}_{\mathcal{F},n\neq 1}$, les valeurs propres de $\mathrm{ad}(\epsilon)$ sont toutes différentes de 1 tandis que l'opérateur $\mathrm{ad}(X+Y_n)$ est nilpotent. Il en résulte que $1 - \mathrm{ad}(x_n^{-1})$ est inversible sur cet espace. On peut donc fixer un élément $Y''_n \in \mathfrak{k}_{\mathcal{F},n}$ tel que $\bar{Z}_{n,\epsilon+1}$ soit la réduction de $(1 - \mathrm{ad}(x_n^{-1}))(Y''_n)$. Posons $h_n = \exp(Y''_n)$. C'est un élément de $K_{\mathcal{F},n}$. On a

$$
h_n x_n \exp(Z_n) h_n^{-1} = x_n \exp(\mathrm{ad}(x_n^{-1})(Y_n'')) \exp(Z_n) \exp(-Y_n'').
$$

Mais on voit que

$$
\exp(\mathrm{ad}(x_n^{-1})(Y_n'')) \exp(Z_n) \exp(-Y_n'') \in \exp(Y_n') K_{\mathcal{F},n+1}.
$$

Il existe $Y_{n+1} \in \mathfrak{g}_\epsilon(F) \cap \mathfrak{k}_F^+$ tel que $\exp(X+Y_n) \exp(Y_n') = \exp(X+Y_{n+1})$. En posant $k_{n+1} = h_n k_n$, on obtient $k_{n+1}^{-1} x k_{n+1} = \epsilon \exp(X+Y_{n+1}) z_{n+1}$ avec $z_{n+1} \in K_{\mathcal{F},n+1}$ et il reste à prendre pour $Z_{n+1}$ l'élément de $\mathfrak{k}_{\mathcal{F},n+1}$ tel que $z_{n+1} = \exp(Z_{n+1})$ pour obtenir les éléments cherchés au rang $n+1$.

On peut extraire des suites $(Y_n)_{n \ge 1}$ et $(k_n)_{n \ge 1}$ des sous-suites convergentes (en
fait, on n'en a même pas besoin, les suites définies ci-dessus convergent). À la limite,
on obtient des éléments $Y \in \mathfrak{g}_\epsilon(F) \cap \mathfrak{k}_F^+$ et $k \in K_F^+$ tels que $k^{-1}xk = \epsilon \exp(X+Y)$.
Cela achève la preuve.
$\square$

4.8. UN COROLLAIRE

COROLLAIRE. — Soit $\varepsilon \in G(F)$ un élément $p'$-compact mod $Z(G)$, soit $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(G)$ et soit $g \in G(F)$. Supposons que $\varepsilon \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ et que $g^{-1}\varepsilon g$ appartienne à $\varepsilon K_{\mathcal{F}}^{+}$. Alors $g$ appartient à $Z_{G}(\varepsilon)(F)K_{\mathcal{F}}^{+}$.
Démonstration. — D’après le lemme précédent, quitte à multiplier $g$ à droite par un élément de $K_F^+$, on peut supposer $g^{-1}\varepsilon g = \varepsilon \exp(Y)$ avec $Y \in g_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. Puisque $\varepsilon$ et $g^{-1}\varepsilon g$ sont tous deux $p$-compacts mod $Z(G)$, l’assertion 4.3 (2) entraîne que $Y \in \mathfrak{z}(G)(F)$. Donc $g$ appartient à l’image réciproque dans $G$ de $Z_{G_{\text{ad}}}(\varepsilon_{\text{ad}})$. On a déjà dit que le groupe $Z_G(\varepsilon)$ est d’indice fini premier à $p$ dans cette image réciproque. Il existe donc un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $g^c \in Z_G(\varepsilon)$. Mais, puisque $Y$ est central, on a $g^{-c}\varepsilon g^c = \varepsilon \exp(cY)$. Donc $Y = 0$ et $g^{-1}\varepsilon g = \varepsilon$, c’est-à-dire $g \in Z_G(\varepsilon)(F)$. $\square$

## 4.9. UN LEMME SUR LES ÉLÉMENTS $p$-COMPACTS ET LES ESPACES DE LEVI

LEMME. — Soit $\varepsilon \in G(F)$ un élément $p$-compact mod $Z(G)$ et soit $(\mathfrak{F}, \nu) \in \text{Fac}^*(G)$. Supposons $\varepsilon \in K_F^\nu$. Notons $\bar{\varepsilon}$ la réduction de $\varepsilon$ dans $G_F^\nu(k_F)$. Soit $\mathbf{P}^\nu$ un espace parabolique de $G_F^\nu$. Supposons $\bar{\varepsilon} \in \mathbf{P}^\nu(k_F)$. Alors il existe une composante de Levi $\mathbf{M}^\nu$ de $\mathbf{P}^\nu$ telle que $\bar{\varepsilon} \in \mathbf{M}^\nu(k_F)$.

La preuve s’inspire de celle de [29, Lem. 9].

Démonstration. — On note $\mathbf{P}$ le sous-groupe parabolique de $G_F$ associé à $\mathbf{P}^\nu$. L’espace $\mathbf{u}_{\mathbf{P}}$ possède une filtration finie $(\mathbf{u}_i)_{i=1,...,n}$ définie par récurrence par $\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_{\mathbf{P}}$ et, pour $i \ge 1$, $\mathbf{u}_{i+1}$ est l’espace engendré par les $[U_1, U_i]$ pour $U_1 \in \mathbf{u}_1$ et $U_i \in \mathbf{u}_i$. La filtration se termine par $\mathbf{u}_n = \{0\}$. On note $\mathbf{U}_i = \exp(\mathbf{u}_i)$. Les $\mathbf{U}_i$ sont des sous-groupe distinguishés de $\mathbf{U}_{\mathbf{P}}$, les quotients $\mathbf{U}_i/\mathbf{U}_{i+1}$ sont abéliens et isomorphes aux $\mathbf{u}_i/\mathbf{u}_{i+1}$. On a $\mathbf{U}_n = \{1\}$. Nous allons prouver par récurrence sur $i$ que (1) il existe une composante de Levi $\mathbf{M}_i$ et un élément $u_i \in \mathbf{U}_i(k_F)$ tels que $\text{ad}(\bar{\varepsilon})(\mathbf{M}_i) = \text{ad}(u_i)(\mathbf{M}_i)$.

Pour $i = 1$, on choisit pour $\mathbf{M}_1$ n’importe quelle composante de Levi de $\mathbf{P}$. Puisque $\bar{\varepsilon} \in \mathbf{P}^\nu(k_F)$, $\text{ad}(\bar{\varepsilon})(\mathbf{M}_1)$ est encore une telle composante de Levi de $\mathbf{P}$ et on sait que deux telles composantes sont conjuguées par un élément de $\mathbf{U}_{\mathbf{P}}(k_F) = \mathbf{U}_1(k_F)$. On choisit pour $u_1$ l’élément qui conjugue $\mathbf{M}_1$ en $\text{ad}(\bar{\varepsilon})(\mathbf{M}_1)$. Supposons le problème résolu au rang $i \ge 1$. Fixons un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\varepsilon^c \in Z(G)$. On voit par récurrence sur un entier $m \ge 1$ que

$$ \text{ad}(\bar{\varepsilon}^m)(\mathbf{M}_i) = \text{ad}(u_{i,m})(\mathbf{M}_i), $$

où $u_{i,m} = \text{ad}(\bar{\varepsilon}^{m-1})(u_i) \cdots \text{ad}(\bar{\varepsilon})(u_i)u_i$. Pour $m = c$, on obtient $\mathbf{M}_i = \text{ad}(u_{i,c})(\mathbf{M}_i)$, donc $u_{i,c} = 1$. Remarquons que $\text{ad}(\bar{\varepsilon})$ conserve la filtration $(\mathbf{U}_j)_{j=1,...,n}$. En notant $X_i$ la réduction de $u_i$ dans $\mathbf{U}_i(k_F)/\mathbf{U}_{i+1}(k_F)$ et en écrivant ce groupe additivement, on obtient

$$ \text{ad}(\bar{\varepsilon}^{c-1})(X_i) + \cdots + \text{ad}(\bar{\varepsilon})(X_i) + X_i = 0. $$

Par le même argument que dans la preuve de 4.7, cela entraîne l’existence d’un élément $Y_i \in \mathbf{U}_i(k_F)/\mathbf{U}_{i+1}(k_F)$ tel que $X_i = Y_i - \text{ad}(\bar{\varepsilon})(Y_i)$. On relève $Y_i$ en $v_i \in \mathbf{U}_i(k_F)$ et on pose $\mathbf{M}_{i+1} = \text{ad}(v_i)(\mathbf{M}_i)$. On calcule

$$ \text{ad}(\bar{\varepsilon})(\mathbf{M}_{i+1}) = \text{ad}(u_{i+1})(\mathbf{M}_{i+1}), $$
où $u_{i+1} = \text{ad}(\bar{\epsilon})(v_i)u_i v_i^{-1}$. Par construction de $v_i$, on voit que $u_{i+1} \in \mathcal{U}_{i+1}(k_F)$, ce qui résout le problème en $i+1$.

Pour $i = n$, le Levi $M = M_n$ est conservé par $\text{ad}(\bar{\epsilon})$. Alors $M^{\nu} = \bar{\epsilon}M$ est une composante de Levi de $P^{\nu}$ contenant $\bar{\epsilon}$. $\square$

### 4.10. POINTS FIXES DANS Imm($G_{AD}$) D'UN ÉLÉMENT $p'$-COMPACT MOD $Z(G)$

Soit $\epsilon \in G(F)$ un élément $p'$-compact mod $Z(G)$. Notons $M$ le commutant dans $G$ du tore déployé $A_{G_{\epsilon}}$. C'est un Levi de $G$. On a $\epsilon \in M$ et $G_{\epsilon} \subset M$ ($\epsilon$ et $G_{\epsilon}$ commutent à $A_{G_{\epsilon}}$). On a aussi $A_M = A_{G_{\epsilon}}$. En effet, puisque $G_{\epsilon} \subset M$, on a $A_{G_{\epsilon}} \subset M$ et, puisque $M$ commute à $A_{G_{\epsilon}}$ par construction de $M$, on a $A_{G_{\epsilon}} \subset A_M$. Inversement, puisque $\epsilon \in M$, on a $A_M \subset G_{\epsilon}$ et, puisque $A_M$ commute à $M$, donc aussi au sous-ensemble $G_{\epsilon}$, on a $A_M \subset A_{G_{\epsilon}}$.

Comme en 2.3, notons $\text{Imm}(G_{AD}, M)$ la réunion dans $\text{Imm}(G_{AD})$ des appartements $\text{App}(A_{M'})$ associés aux Levi minimaux $M'$ de $M$. L'action de $M(F)$ sur $\text{Imm}(G_{AD})$ conserve le sous-ensemble $\text{Imm}(G_{AD}, M)$, il en est donc de même des actions de $\epsilon$ et de $G_{\epsilon}(F)$. L'espace vectoriel $A_M/A_G$ agit naturellement sur $\text{Imm}(G_{AD}, M)$ (il agit sur chaque $\text{App}(A_{M'})$ et ces actions se recollent). Cette action commute à celles de $\epsilon$ et de $G_{\epsilon}(F)$. Notons $\text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon}$ et $\text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}$ les sous-ensembles de points fixes de l'action de $\epsilon$ dans $\text{Imm}(G_{AD})$, resp. $\text{Imm}(G_{AD}, M)$. L'ensemble $\text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}$ est stable par l'action de $A_M/A_G$. On note $\text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}/(A_M/A_G)$ l'ensemble quotient. L'action de $G_{\epsilon}(F)$ se descend en une action sur ce quotient.

#### PROPOSITION

(i) On a l'égalité $\text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon} = \text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}$.

(ii) L'ensemble $\text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}/(A_M/A_G)$ muni de son action de $G_{\epsilon}(F)$ s'identifie canoniquement à $\text{Imm}(G_{\epsilon,AD})$.

(iii) Soit $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$ telle que

$$ \mathcal{F} \cap \text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon} \neq \emptyset. $$

Alors l'image de $\mathcal{F} \cap \text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon}$ est contenue dans une facette $\mathcal{F}' \in \text{Fac}(G_{\epsilon})$. L'action naturelle de $\epsilon$ sur $K_{\mathcal{F}}^0$ se descend en une action algébrique sur $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$ et le groupe $\mathcal{G}_{\epsilon, \mathcal{F}}$ s'identifie à la composante neutre $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\epsilon, 0}$ du sous-groupe des points fixes $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\epsilon}$ par cette action. Le groupe $K_{\mathcal{F}}^0$ est le groupe des $g \in G_{\epsilon}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^0$ tels que $w_{G_{\epsilon}}(g) = 0$. On a

$$ K_{\mathcal{F}}^{+} = G_{\epsilon}(F) \cap K_{\mathcal{F}}^{+}, \quad \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}' = \mathfrak{g}_{\epsilon}(F) \cap \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}, \quad \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+} = \mathfrak{g}_{\epsilon}(F) \cap \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+}. $$

**Démonstration.** — Dans la seconde preuve de [30, Th. 1.9], G. Prasad et J.-K. Yu démontrent que $\text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon} = \text{Imm}(G_{AD}, M)^{\epsilon}$ et que cet ensemble, muni de son action de $G_{\epsilon}(F)$, s'identifie à l'immeuble étendu du groupe $G_{\epsilon,ad} = G_{\epsilon}/Z(G)$. L'identification est canonique à translations près par les éléments de $A_M/A_G$. Cela équivaut aux assertions (i) et (ii). Soit $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$ telle que $\mathcal{F} \cap \text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon} \neq \emptyset$. Soit $x \in \mathcal{F} \cap \text{Imm}(G_{AD})^{\epsilon} \neq \emptyset$, notons $y$ son image dans $\text{Imm}(G_{\epsilon,AD})$. Soit $\mathcal{F}' \in \text{Fac}(G_{\epsilon})$ la facette à laquelle appartient $y$. Plongeons les immeubles pour les groupes adjoints dans les immeubles étendus. Comme on le sait, on peut définir un schéma en groupes $G_x$
défini sur $\mathfrak{o}_F$ satisfaisant entre autres que $\mathcal{G}_x(\mathfrak{o}_F)$ est le sous-groupe des éléments de $G(F)$ dont l'action sur l'immeuble étendu $\text{Imm}(G)$ fixe $x$. On sait que la partie réductive de la composante neutre de sa fibre spéciale n'est autre que $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$. Dans [29, § 3], cf. en particulier les définitions de 3.1 de cette référence, Prasad montre que $\varepsilon$ agit naturellement sur $\mathcal{G}_x$ et il définit la composante neutre $\mathcal{G}_x^{\varepsilon,0}$ du sous-schéma des points fixes $\mathcal{G}_x^{\varepsilon}$. Il prouve que la composante neutre $\mathcal{G}_{\varepsilon,y}^0$ de $\mathcal{G}_{\varepsilon,y}$ s'identifie à ce schéma $\mathcal{G}_x^{\varepsilon,0}$. En passant aux parties réductives des fibres spéciales, on obtient que $\mathcal{G}_{\varepsilon,\mathcal{F}'}$ s'identifie à $\mathcal{G}_{\mathcal{F}'}^{\varepsilon,0}$. Cela entraîne

$$ (1) \qquad K_{\mathcal{F}'}^0 \subset K_{\mathcal{F}}^0 \cap G_{\varepsilon}(F). $$

En passant aux algèbres de Lie, l'égalité $\mathcal{G}_{\varepsilon,y}^0 = \mathcal{G}_x^{\varepsilon,0}$ entraîne aussi

$$ (2) \qquad \mathfrak{k}_{\mathcal{F}'} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F}} \cap \mathfrak{g}_{\varepsilon}(F), \quad \mathfrak{k}_{\mathcal{F}'}^{+} = \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^{+} \cap \mathfrak{g}_{\varepsilon}(F). $$

D'après 2.2 (5), ces égalités entraînent que $\mathcal{F}'$ ne dépend pas de $x$ et est uniquement déterminée, ce qui est la première assertion de (iii). L'égalité

$$ (3) \qquad K_{\mathcal{F}'}^{+} = K_{\mathcal{F}}^{+} \cap G_{\varepsilon}(F) $$

se déduit par l'exponentielle de la seconde égalité de (2).

On peut préciser (1). D'après la définition de $K_{\mathcal{F}'}^0$, $K_{\mathcal{F}'}^0$ est contenu dans l'ensemble des $g \in K_{\mathcal{F}}^0 \cap G_{\varepsilon}(F)$ tels que $w_{G_{\varepsilon}}(g) = 0$. Inversement, un tel $g$ fixe $x$ donc aussi $y$ (la projection de $\text{Imm}(G_{\text{AD}})^{\varepsilon}$ sur $\text{Imm}(G_{\varepsilon,\text{AD}})$ étant compatible avec l'action de $G_{\varepsilon}(F)$). Donc $g \in K_{\mathcal{F}'}^{\dagger}$. Puisque $w_{G_{\varepsilon}}(g) = 0$, on a $g \in K_{\mathcal{F}'}^0$. Cela démontre l'assertion de l'énoncé concernant $K_{\mathcal{F}'}^0$. $\square$

# 5. QUASI-CARACTÈRES

## 5.1. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET INTÉGRALES ORBITALES.
Plusieurs notions que l'on a introduites sur le groupe $G(F)$ ont des analogues sur l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}(F)$. Pour $f \in C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$ et $X \in \mathfrak{g}_{\text{reg}}(F)$, on définit l'intégrale orbitale $I^G(X, f)$. On définit aussi l'espace $I(\mathfrak{g})$ quotient de $C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$ par le sous-espace des fonctions dont toutes les intégrales orbitales sont nulles.

On fixe un caractère continu $\psi$ de $F$ de conducteur $\mathfrak{p}_F$ et une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $\langle \cdot, \cdot \rangle$ sur $\mathfrak{g}(F)$, invariante par conjugaison par $G(F)$. On sait que l'on peut la choisir telle que, pour toute $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$, $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^+$ soit le « dual » de $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$, c'est-à-dire que $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^+$ est l'ensemble des $X \in \mathfrak{g}(F)$ tels que $\langle X, Y \rangle \in \mathfrak{p}_F$ pour tout $Y \in \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$. On suppose qu'il en est ainsi. On définit la transformation de Fourier $f \mapsto \hat{f}$ dans $C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$ par

$$ \hat{f}(X) = \int_{\mathfrak{g}(F)} f(Y) \psi(\langle X, Y \rangle) dY, $$

où $dY$ est la mesure auto-duale. La transformation $f \mapsto \hat{f}$ de $C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$ se descend en une transformation de $I(\mathfrak{g})$.

Notons $\text{Nil}(\mathfrak{g})$ l'ensemble des orbites nilpotentes dans $\mathfrak{g}(F)$. Pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g})$, on fixe une mesure sur $\mathcal{O}$ invariante par conjugaison. Cela permet de définir l'intégrale orbitale $I_{\mathcal{O}}$ sur $C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$, puis sa transformée de Fourier $f \mapsto I_{\mathcal{O}}(\hat{f})$. Notons $\mathfrak{g}_{\text{reg}}$
l'ensemble des éléments semi-simples et réguliers de $\mathfrak{g}$. D'après Harish-Chandra ([12, Th. 4.4]), il existe une fonction $\hat{j}(\mathfrak{o})$ localement intégrable sur $\mathfrak{g}(F)$ et localement constante sur $\mathfrak{g}_{\text{reg}}(F)$, de sorte que

$$I_{\mathfrak{o}}(\hat{f}) = \int_{\mathfrak{g}(F)} f(Y) \hat{j}(\mathfrak{o}, Y) dY$$

pour toute $f \in C_c^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$.

Notons $E$ l'espace des fonctions sur $\mathfrak{o}_F$ engendré par les fonctions $\lambda \mapsto |\lambda|^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$. Il est immédiat que, si deux éléments de $E$ coïncident sur $\mathfrak{p}_F^n$ pour un entier $n \ge 0$, alors, ils sont égaux.

On sait que, pour tout $\mathfrak{o} \in \text{Nil}(\mathfrak{g})$ et pour tout $Y \in \mathfrak{g}_{\text{reg}}(F)$, la fonction $\lambda \mapsto \hat{j}(\mathfrak{o}, \lambda^2 Y)$ définie sur $\mathfrak{o}_F$, appartient à $E$.

## 5.2. QUASI-CARACTÈRES ET QUASI-CARACTÈRES DE NIVEAU 0.
Si $\theta$ est une fonction localement intégrable sur $G(F)$ et invariante par conjugaison, il lui est associée la distribution invariante $D$ sur $G(F)$ définie par

$$D(f) = \int_{G(F)} f(g)\theta(g) dg.$$

On appelle quasi-caractère de $G(F)$ une distribution invariante $D$ sur $G(F)$ associée à une fonction $\theta_D$ sur $G(F)$ localement intégrable et invariante par conjugaison, qui satisfait à la propriété suivante :

(1) pour tout $x \in G(F)$ semi-simple, il existe un voisinage $\mathfrak{V}$ de $0$ dans $\mathfrak{g}_x(F)$ et, pour tout $\mathfrak{o} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_x)$, il existe un nombre complexe $c_{D,\mathfrak{o}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}$, on ait l'égalité

$$\theta_D(x \exp(Y)) = \sum_{\mathfrak{o} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_x)} c_{D,\mathfrak{o}} \hat{j}(\mathfrak{o}, Y).$$

## REMARQUES

(2) Le voisinage $\mathfrak{V}$ n'est évidemment pas uniquement déterminé, par contre les constantes $c_{D,\mathfrak{o}}$ le sont car les fonctions $\hat{j}(\mathfrak{o})$ sont linéairement indépendantes dans tout voisinage de $0$.

(3) Appliquée à $x$ fortement régulier, cette propriété implique que, quitte à modifier $\theta_D$ sur un ensemble de mesure nulle, on peut supposer $\theta_D$ définie et localement constante sur $G_{\text{reg}}(F)$.

(4) La condition que $\theta_D$ est localement intégrable est redondante car une fonction invariante par conjugaison et satisfaisant à la condition (1) est automatiquement localement intégrable.

(5) Soit $D \in I(G)^*$ et soit $\alpha$ une fonction sur $G(F)$, localement constante et invariante par conjugaison. On définit la distribution $\alpha D$ par $(\alpha D)(f) = D(\alpha f)$. Si $D$ est un quasi-caractère, alors $\alpha D$ l'est aussi.

Soit $f \in C_c^{\infty}(G(F))$ une fonction très cuspidale. On a défini la distribution $D_f$ en 3.1. On a :

(6) $D_f$ est un quasi-caractère.
Cf. [34, 5.9]. La fonction $\theta_{D_f}$ se calcule de la façon suivante. Soit $x \in G_{\text{reg}}(F)$. Notons $M^x$ le commutant de $A_{G_x}$ dans $G$. C'est le plus petit Levi $M'$ tel que $x \in M'(F)$. De plus $x$ est elliptique dans $M^x(F)$. On sait définir l'intégrale orbitale pondérée

$$J_{M^x}^G(x, f) = D^G(x)^{1/2} \int_{A_{M^x}(F) \backslash G(F)} f(g^{-1}xg) v_{M^x}(g) dg.$$

Le poids $v_{M^x}$ est calculé relativement à un sous-groupe compact spécial de $G(F)$ fixé, cf. [1], mais, parce que $f$ est très cuspidale, l'intégrale ci-dessus ne dépend pas de ce choix, cf. [34, Lem. 5.2]. Pour tout tore déployé $A'$, posons $m(A') = \text{mes}(A'(F)_c)$. D'après [36, 9(1)], on a alors

$$(7) \qquad \theta_{D_f}(x) = (-1)^{a_{M^x} - a_G} D^G(x)^{-1/2} m(A_{M^x}) m(A_G)^{-1} J_{M^x}^G(x, f).$$

On appelle quasi-caractère de niveau 0 une distribution invariante $D$ associée à une fonction $\theta_D$ sur $G(F)$ localement intégrable et invariante par conjugaison, qui satisfait à la condition

(8) pour tout $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)$, il existe un nombre complexe $c_{D,\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,\text{tn}}(F)$, on ait l'égalité

$$\theta_D(\varepsilon \exp(Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)} c_{D,\mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y).$$

On a des variantes de ces définitions pour l'algèbre de Lie. Soit $D$ une distribution invariante sur $\mathfrak{g}(F)$ associée à une fonction $\theta_D$ sur $\mathfrak{g}(F)$ localement intégrable et invariante par conjugaison. On dit que $D$ est un quasi-caractère si $\theta_D$ satisfait à la condition

(9) pour tout $X \in \mathfrak{g}(F)$ semi-simple, il existe un voisinage $\mathfrak{V}$ de 0 dans $\mathfrak{g}_X(F)$ et, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_X)$, il existe un nombre complexe $c_{D,\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}$, on ait l'égalité

$$\theta_D(X + Y) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_X)} c_{D,\mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y).$$

On dit que c'est un quasi-caractère de niveau 0 si $\theta_D$ est à support dans $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$ et que, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g})$, il existe un nombre complexe $c_{D,\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$, on ait l'égalité

$$\theta_D(Y) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g})} c_{D,\mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y).$$

Si $f \in C_c^\infty(\mathfrak{g}(F))$ est une fonction très cuspidale, on définit la distribution $D_f$ sur $\mathfrak{g}(F)$ comme on l'a fait sur le groupe. Cette distribution est un quasi-caractère.

## LEMME

(i) *Tout quasi-caractère sur $G(F)$, resp. $\mathfrak{g}(F)$, de niveau 0 est un quasi-caractère.*

(ii) *soit $D$ un quasi-caractère sur $G(F)$ ; alors $D$ est de niveau 0 si et seulement si, pour tout $\varepsilon \in G(F)_{p'}$ et presque tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,\text{tn}}(F)$, la fonction $\lambda \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ définie sur $\mathfrak{o}_F$ appartient à $E$, cf. 5.1.*
(iii) Fixons une décomposition $G(F) = \bigcup_{\varepsilon \in B} C_G(\varepsilon)$, où $B$ est un sous-ensemble de $G(F)_{p'}$. Soit $D$ une distribution invariante associée à une fonction $\theta_D$ qui satisfait à la condition (8) restreinte aux $\varepsilon \in B$. Alors $D$ est un quasi-caractère de niveau 0.

*Démonstration.* — Il résulte de [34, Lem. 6.3(iii)] que, pour tout quasi-caractère $D$ de niveau 0 sur $\mathfrak{g}(F)$, il existe une fonction très cuspidale $f$ telle que $D$ coïncide avec $D_f$ sur $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$. Puisque $D_f$ est un quasi-caractère, $D$ l'est aussi, cf. remarque (5).

Soit maintenant $D$ un quasi-caractère de niveau 0 sur $G(F)$. Soit $x \in G(F)$ un élément semi-simple. Écrivons une $p'$-décomposition $x = \varepsilon \exp(X)$ avec $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. Soit $Y \in \mathfrak{g}_x(F)$. D'après 4.4 (1), on a $Y \in \mathfrak{g}_\varepsilon(F)$ et $Y$ commute à $X$. Donc $x \exp(Y) = \varepsilon \exp(X+Y)$. Si $Y$ est assez petit, $X+Y$ est topologiquement nilpotent. Par hypothèse sur $D$, on a donc

$$ \theta_D(x \exp(Y)) = \theta_D(\varepsilon \exp(X + Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)} c(D, \mathcal{O}) \hat{j}(\mathcal{O}, X + Y). $$

Notons $D'$ le quasi-caractère de niveau 0 sur $\mathfrak{g}_\varepsilon(F)$ dont la fonction $\theta_{D'}$ associée est définie par

$$ \theta_{D'}(Z) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)} c(D, \mathcal{O}) \hat{j}(\mathcal{O}, Z) $$

pour $Z \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. On vient de voir que c'est un quasi-caractère. L'hypothèse que $x$ est semi-simple implique que $X$ l'est aussi. Il existe donc un voisinage $\mathfrak{V}$ de 0 dans $(\mathfrak{g}_\varepsilon)_X(F)$ tel que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}$, on ait l'égalité

$$ \theta_{D'}(X + Y) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}((\mathfrak{g}_\varepsilon)_X)} c_{D', \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y). $$

Autrement dit, $\theta_D(x \exp(Y))$ est égal à l'expression de droite pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}$. Puisque $(\mathfrak{g}_\varepsilon)_X = \mathfrak{g}_x$, c'est exactement la condition (1) requise. Donc $D$ est un quasi-caractère, ce qui démontre (i).

Soit $D$ un quasi-caractère sur $G(F)$. Si $D$ est de niveau 0, la propriété énoncée au (ii) résulte de ce que les fonctions $\lambda \mapsto \hat{j}(\mathcal{O}, \lambda^2 X)$ appartiennent à $E$. Inversement, supposons la propriété en question satisfaite. Soit $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, fixons un voisinage $\mathfrak{V}$ et des constantes $c_{D, \mathcal{O}}$, de sorte que (1) soit satisfaite. Soit $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ et supposons $\varepsilon \exp(\lambda X) \in G_{\text{reg}}$ pour tout $\lambda \in \mathfrak{o}_F$ (ceci est vérifié pour presque tout $X$). Les fonctions

$$ \lambda \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) $$

$$ \text{et} \quad \lambda \mapsto \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)} c_{D, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, \lambda^2 X) $$

appartiennent toutes deux à $E$ (la première par hypothèse). Pour un entier $n$ assez grand, $\lambda^2 X$ appartient à $\mathfrak{V}$ pour tout $\lambda \in \mathfrak{p}_F^n$, donc les deux fonctions coïncident sur $\mathfrak{p}_F^n$. Elles sont alors égales. Pour $\lambda = 1$, cela démontre l'égalité

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(X)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_\varepsilon)} c_{D, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, X) $$
et cela pour presque tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. Donc $D$ est un quasi-caractère de niveau 0, ce qui démontre (ii).

Pour (iii), il s'agit de voir que (8) est aussi satisfaite pour $\varepsilon \in G(F)_{p'} - B$. Ce problème étant insensible à la conjugaison par $G(F)$, on peut supposer que $\varepsilon \in C(\varepsilon')$ pour un $\varepsilon' \in B$. Écrivons $\varepsilon = \varepsilon' \exp(Z)$, avec $Z \in \mathfrak{g}_{\varepsilon', \text{tn}}(F)$. D'après le (iv) du lemme 4.5, on a $G_{\varepsilon} = G_{\varepsilon'}$ et $Z$ est un élément central dans $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$. Pour $Y \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$, on a alors $\varepsilon \exp(Y) = \varepsilon' \exp(Z + Y)$ et, en appliquant l'hypothèse (8) pour $\varepsilon'$, on a

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})} c_{D, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Z + Y). $$

Mais les fonctions $\hat{j}(\mathcal{O})$ sont invariantes par translations par tout élément central dans $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$. Le $Z$ disparaît de l'expression ci-dessus et on aboutit à une expression comme en (8) de $\theta_D(\varepsilon \exp(Y))$. $\square$

### REMARQUE

(10) Cette preuve et la remarque (4) entraînent qu'une fonction $\theta_D$ invariante par conjugaison par $G(F)$ et satisfaisant à la condition (8) est forcément localement intégrable.

5.3. **VARIANTE.** — Soit $Z$ un sous-groupe algébrique de $Z(G)$ tel que $Z(G)(F)/Z(F)$ soit compact.

LEMME. — Soit $\theta$ une fonction définie presque partout sur $G_{\text{comp}}(F)$, invariante par conjugaison et satisfaisant à la condition suivante :

— pour tout élément $\varepsilon \in G(F)$ qui est $p'$-compact mod $Z$, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})$, il existe un nombre complexe $c_{\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$, on ait l'égalité

$$ \theta(\varepsilon \exp(Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})} c_{\mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y). $$

Alors $\theta$ est la fonction associée à un quasi-caractère de niveau 0.

Démonstration. — C'est un cas particulier du (iii) du lemme 5.2 : on prend pour ensemble $B$ la réunion de celui des éléments de $G(F)_{p'}$ qui ne sont pas $p'$-compacts mod $Z(G)$ et de l'ensemble des éléments $p'$-compacts mod $Z$. On a bien $G(F) = \bigcup_{\varepsilon \in B} C_G(\varepsilon)$ d'après 4.3 (3). Puisque $\theta$ est à support dans $G_{\text{comp}}(F)$, cette fonction est nulle sur $C_G(\varepsilon)$ si $\varepsilon$ n'est pas $p'$-compact mod $Z(G)$. Elle satisfait par hypothèse le développement requis sur $C_G(\varepsilon)$ si $\varepsilon$ est $p'$-compact mod $Z$. $\square$

### 5.4. INDUCTION DE QUASI-CARACTÈRES

LEMME. — Soient $M$ un Levi de $G$ et $D^M$ un quasi-caractère de $M(F)$. Posons $D = \text{Ind}_M^G(D^M)$.

(i) La distribution $D$ est un quasi-caractère.

(ii) Si $D^M$ est de niveau 0, $D$ est de niveau 0.
Preuve. Le (i) est démontré dans [35, Lem. 2.3]. On note $\theta_{D^M}$ la fonction associée à $D^M$. Pour $x \in G_{\text{reg}}(F)$, l'ensemble $\{g^{-1}xg \mid g \in G(F) \cap M(F)\}$ se décompose en un nombre fini de classes de conjugaison par $M(F)$. Fixons un ensemble $X_M(x)$ de représentants de ces classes. Par un calcul d'intégration facile, $D$ est associé à la fonction $\theta_D$ définie sur $G_{\text{reg}}(F)$ par la formule

$$ (1) \qquad \theta_D(x) = \sum_{y \in X_M(x)} D^G(x)^{-1/2} D^M(y)^{1/2} \theta_{D^M}(y). $$

Soient $\varepsilon \in G(F)_{p'}$ et $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. Posons $x = \varepsilon \exp(X)$ et supposons $x \in G_{\text{reg}}(F)$. Pour tout $y \in X_M(x)$, soit $g_y \in G(F)$ tel que $g_y^{-1}xg_y = y$. Posons $\varepsilon_y = g_y^{-1}\varepsilon g_y$ et $X_y = g_y^{-1}Xg_y$. On a $y = \varepsilon_y \exp(X_y)$ et ceci est une $p'$-décomposition de $y$. Le groupe $A_M$ commute à $y$ puisque $y \in M(F)$. Il commute à $\varepsilon_y$ et $X_y$ d'après le (iii) du lemme 4.4. Donc $\varepsilon_y \in M(F)$ et $X_y \in \mathfrak{m}_{\varepsilon_y}(F)$. De plus $\varepsilon_y$ est un $p'$-élément dans $M(F)$ d'après le (i) du lemme 4.6. Soit $\lambda \in F^\times$ tel que $\lambda X$ soit encore topologiquement nilpotent. Posons $x' = \varepsilon \exp(\lambda X)$. L'élément $x'$ appartient encore à $G_{\text{reg}}(F)$. Les éléments $\varepsilon_y \exp(\lambda X_y) = g_y^{-1}x'g_y$ sont tous des éléments de $M(F)$ conjugués à $x'$ par un élément de $G(F)$. Montrons que

(2) si $y, y' \in X_M(x)$, avec $y \neq y'$, alors $\varepsilon_y \exp(\lambda X_y)$ et $\varepsilon_{y'} \exp(\lambda X_{y'})$ ne sont pas conjugués par un élément de $M(F)$.

*Démonstration.* — Supposons qu'il existe $m \in M(F)$ tel que $m^{-1}\varepsilon_y \exp(\lambda X_y)m = \varepsilon_{y'} \exp(\lambda X_{y'})$. En posant $h = g_ymg_{y'}^{-1}$, on a alors $h^{-1}x'h = x'$. Puisque $x' \in G_{\text{reg}}(F)$, on a $h \in G_{x'}(F)$, d'où $h \in G_{\varepsilon}(F)$ d'après le (iii) du lemme 4.4. On voit alors que $m^{-1}\varepsilon_y m = \varepsilon_{y'}$, d'où aussi $m^{-1}\lambda X_y m = \lambda X_{y'}$. Il en résulte que $m^{-1}X_y m = X_{y'}$, puis que $m^{-1}ym = y'$. Mais cela est contradictoire avec la définition de $X_M(x)$, ce qui démontre (2).

En conséquence de (2), l'ensemble $X_M(x')$ a au moins autant d'éléments que $X_M(x)$. La situation étant symétrique en $x$ et $x'$, ces deux ensembles ont même nombre d'éléments. Alors (2) nous dit que l'on peut choisir pour $X_M(x')$ l'ensemble $\{\varepsilon_y \exp(\lambda X_y) \mid y \in X_M(x)\}$. On remplace maintenant $\lambda$ par $\lambda^2$, avec $\lambda \in \mathfrak{o}_F$. L'égalité (1) pour $\varepsilon \exp(\lambda^2 X)$ devient

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = \sum_{y \in X_M(x)} D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{-1/2} D^M(\varepsilon_y \exp(\lambda^2 X_y))^{1/2} \theta_{D^M}(\varepsilon_y \exp(\lambda^2 X_y)). $$

D'après le (ii) du lemme 4.5, cela se récrit

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = \sum_{y \in X_M(x)} d^G(\varepsilon)^{-1/2} D^{G_{\varepsilon}}(\lambda^2 X)^{-1/2} d^M(\varepsilon_y)^{1/2} D^{M_{\varepsilon_y}}(\lambda^2 X_y)^{1/2} \theta_{D^M}(\varepsilon_y \exp(\lambda^2 X_y)). $$

Comme fonction de $\lambda$, le terme $D^{G_{\varepsilon_y}}(\lambda^2 X)^{-1/2}$, resp. $D^{M_{\varepsilon_y}}(\lambda^2 X_y)^{1/2}$, est produit d'une constante et d'une puissance entière de $|\lambda|_F$. Si $D^M$ est de niveau 0, le terme $\theta_{D^M}(\varepsilon_y \exp(\lambda^2 X_y))$ appartient à $E$ d'après le (ii) du lemme 5.2. Donc la fonction $\lambda \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ appartient à $E$, ce qui prouve que $D$ est un quasi-caractère de niveau 0 d'après le même lemme. $\square$
Un cas particulier de la formule (1) nous servira plus tard. Supposons

$$x \in G_{\text{reg}}(F) \cap M_{\text{ell}}(F).$$

Fixons un ensemble de représentants $\underline{N}(M)$ du quotient $\text{Norm}_G(M)(F)/M(F)$. On vérifie que l'on peut choisir pour ensemble $X_M(x)$ l'ensemble

$$X_M(x) = \{n^{-1}xn \mid n \in \underline{N}(M)\}.$$

On a aussi $D^M(n^{-1}xn) = D^M(x)$ pour tout $n$. La formule devient

$$(3) \qquad \theta_D(x) = D^G(x)^{-1/2} D^M(x)^{1/2} \sum_{n \in \underline{N}(M)} \theta_{DM}(n^{-1}xn).$$

5.5. L'espace $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$. — Soit $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$. On note $\mathfrak{g}_{\mathcal{F}}$ l'algèbre de Lie du groupe $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}$ et $\mathfrak{g}_{\mathcal{F},\text{nil}}$ son sous-ensemble des éléments nilpotents. On note $C_{\text{cusp}}(\mathfrak{g}_{\mathcal{F},\text{nil}})$ l'espace des fonctions sur $\mathfrak{g}_{\mathcal{F}}(k_{\mathcal{F}})$, à valeurs complexes, à support nilpotent, qui sont invariantes par conjugaison par $\mathcal{G}_{\mathcal{F}}(k_{\mathcal{F}})$ et cuspidales. On note $\text{Fac}_{\text{max}}(G)$ l'ensemble des facettes réduites à un point (c'est-à-dire les sommets de l'immeuble).

À l'aide de ces objets, on définit des espaces $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g})$, $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g})$, $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$ et $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$ de façon similaire à ceux de 3.4. On pose

$$\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g}) = \bigoplus_{\mathcal{F} \in \text{Fac}_{\text{max}}(G)} C_{\text{cusp}}(\mathfrak{g}_{\mathcal{F},\text{nil}}),$$

$$\mathcal{D}(\mathfrak{g}) = \bigoplus_M \mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m}),$$

où $M$ parcourt les Levi de $G$. Le groupe $G(F)$ agit naturellement sur ces espaces et on note $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g})$ et $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$ les espaces de coinvariants. On définit une application linéaire $D^G : \mathcal{D}(\mathfrak{g}) \to \text{I}(\mathfrak{g})^*$ : pour un Levi $M$, une facette $\mathcal{F}_M \in \text{Fac}_{\text{max}}(M)$ et une fonction $f \in C_{\text{cusp}}(\mathfrak{m}_{\mathcal{F}_M,\text{nil}})$, on relève $f$ en une fonction $f_{\mathcal{F}_M}$ sur $\mathfrak{m}(F)$ qui est très cuspidale et on pose $D_f^G = \text{Ind}_M^G(D_{f_{\mathcal{F}_M}}^M)$ (en notant encore $\text{Ind}_M^G : \text{I}(\mathfrak{m})^* \to \text{I}(\mathfrak{g})^*$ l'homomorphisme d'induction). L'application $D^G$ se quotiente en une application définie sur $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$.

PROPOSITION

(i) L'application $D^G : \mathcal{D}(\mathfrak{g}) \to \text{I}(\mathfrak{g})^*$ est injective.

(ii) *Son image est l'espace des quasi-caractères de niveau 0 sur $\mathfrak{g}(F)$.*

*Démonstration.* — Pour $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$, notons $\mathcal{E}_{\mathcal{F},\text{nil}}$ l'espace des fonctions sur $\mathfrak{g}(F)$ à valeurs complexes à support dans $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}} \cap \mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$ et invariantes par translations par $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}}^+$. Notons $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ le sous-espace de $C_c^\infty(\mathfrak{g}(F))$ engendré par les $\mathcal{E}_{\mathcal{F},\text{nil}}$ pour $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$. On note $\text{I}\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ son image dans $\text{I}(\mathfrak{g})$. Les démonstrations des paragraphes 3.6 à 3.10 qui concernent des fonctions sur $G(F)$ s'adaptent à l'algèbre de Lie et conduisent aux mêmes conclusions :

(1) la composée de $D^G$ et de la restriction $\text{I}(\mathfrak{g})^* \to \text{I}\mathcal{E}(\mathfrak{g})^*$ est un isomorphisme de $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$ sur cet espace;

(2) l'application linéaire composée $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g}) \xrightarrow{D^G} \text{I}(\mathfrak{g})^* \to \text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g})^*$ est injective.

L'assertion (1) entraîne que $D^G$ est injective.
Notons $\mathcal{H}$ le sous-espace de $C_c^\infty(\mathfrak{g}(F))$ engendré par les fonctions $f$ pour lesquelles il existe une sous-algèbre d'Iwahori $\mathfrak{b}$ de $\mathfrak{g}$ de sorte que $f$ soit invariante par $\mathfrak{b}$. En notant $\mathfrak{u}$ le radical pro-$p$-nilpotent de $\mathfrak{b}$, cette invariance équivaut à ce que $\hat{f}$ soit à support dans $\mathfrak{u}$. En se rappelant que $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$ est l'ensemble des $X \in \mathfrak{g}(F)$ tels qu'il existe une telle algèbre $\mathfrak{u}$ de sorte que $X \in \mathfrak{u}$, on voit facilement que $\mathcal{H}$ est l'ensemble des fonctions $f$ tels que le support de $\hat{f}$ soit contenu dans $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$. Remarquons que, pour $f \in \mathcal{E}(\mathfrak{g})$, le support de $f$ est contenu dans $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$, donc $\hat{f} \in \mathcal{H}$. Notons $\mathcal{I}\mathcal{H}$ l'image de $\mathcal{H}$ dans $\mathcal{I}(\mathfrak{g})$ et $\hat{\mathcal{I}}\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ l'image de $\mathcal{I}\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ par transformation de Fourier.

Rappelons qu'un élément $X \in \mathfrak{g}(F)$ est dit entier s'il existe une facette $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$ de sorte que $X \in \mathfrak{k}_{\mathcal{F}}$. Notons $\mathcal{I}(\mathfrak{g})_{\text{ent}}^*$ l'espace des distributions invariantes sur $\mathfrak{g}(F)$ à support entier.

Soient $M$ un Levi de $G$, $\mathcal{F}_M \in \text{Fac}_{\text{max}}(M)$ et $f \in C_{\text{cusp}}(\mathfrak{m}_{\mathcal{F}_M, \text{nil}})$. On a $D_f^G = \text{Ind}_M^G(D_{f_{\mathcal{F}_M}}^M)$. On vérifie que la transformée de Fourier $\hat{D}_f^G$ de la distribution $D_f^G$ est égale à $\text{Ind}_M^G(D_{f_{\mathcal{F}_M}}^M)$. La fonction $\hat{f}_{\mathcal{F}_M}$ étant à support dans $\mathfrak{k}_{\mathcal{F}_M}$ donc entier, on a $\hat{D}_f^G \in \mathcal{I}(\mathfrak{g})_{\text{ent}}^*$. On note $\hat{D}^G(\mathcal{D}(\mathfrak{g}))$ l'image de $D^G(\mathcal{D}(\mathfrak{g}))$ par transformée de Fourier.

Notons $i : \mathbb{C}[\text{Nil}(\mathfrak{g})] \to \mathcal{I}(\mathfrak{g})^*$ l'application qui, à une orbite nilpotente $\mathcal{O}$, associe l'intégrale orbitale $I_{\mathcal{O}}$. Son image est bien sûr contenue dans $\mathcal{I}(\mathfrak{g})_{\text{ent}}^*$. On a un diagramme commutatif

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

L'application $j$ est l'injection naturelle. Les applications $\text{res}$ et $\text{r}$ sont les restrictions. Les applications $p_1$ et $p_2$ sont celles qui rendent le diagramme commutatif. Dans [8, Th. 2.1.5], DeBacker a prouvé les assertions suivantes :

(3) les applications $\text{res}$ et $p_1$ ont même image;

(4) $p_1$ et $p_2$ sont injectives.

Soit $f \in \mathcal{D}(\mathfrak{g})$. Par construction, $D_f^G$ est à support dans $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$. Pour prouver que $D_f^G$ est un quasi-caractère de niveau 0, il suffit de prouver que $D_f^G$ coïncide sur cet ensemble avec une combinaison linéaire de transformées de Fourier d'intégrales orbitales nilpotentes. D'après ce que l'on a dit ci-dessus, il suffit de prouver que $\hat{D}_f^G$ coïncide sur $\mathcal{H}$ avec une combinaison linéaire d'intégrales orbitales nilpotentes. Autrement dit, il suffit de prouver que $\text{res} \circ j(\hat{D}_f^G)$ appartient à l'image de $p_1$. Cela résulte de (3).

Inversement, soit $d$ un quasi-caractère de niveau 0. Notons $\hat{d}_1 \in \mathcal{I}\mathcal{H}^*$ la restriction de $\hat{d}$ à $\mathcal{I}\mathcal{H}$. Le quasi-caractère $d$ coïncide sur $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$ avec une combinaison linéaire de transformées de Fourier d'intégrales orbitales nilpotentes. Donc $\hat{d}$ coïncide sur $\mathcal{H}$ avec une combinaison linéaire d'intégrales orbitales nilpotentes. C'est-à-dire que $\hat{d}_1$ appartient à l'image de $p_1$. Soit $N_1 \in \mathbb{C}[\text{Nil}(\mathfrak{g})]$ tel que $\hat{d}_1 = p_1(N_1)$. Par transformation
de Fourier, l'assertion (1) dit que l'application $r \circ \text{res} \circ j$ est un isomorphisme. Il existe donc $f \in \mathcal{D}(\mathfrak{g})$ tel que $r(\hat{d}_1) = r \circ \text{res} \circ j(\hat{D}_f^G)$. D'après (3), il existe $N_2 \in \mathbb{C}[\text{Nil}(\mathfrak{g})]$ tel que $\text{res} \circ j(\hat{D}_f^G) = p_1(N_2)$. On a alors

$$p_2(N_2) = r \circ p_1(N_2) = r \circ \text{res} \circ j(\hat{D}_f^G) = r(\hat{d}_1) = r \circ p_1(N_1) = p_2(N_1).$$

D'après (4), cela entraîne $N_1 = N_2$. D'où

$$\hat{d}_1 = p_1(N_1) = p_1(N_2) = \text{res} \circ j(\hat{D}_f^G).$$

Autrement dit, les distributions $\hat{d}$ et $\hat{D}_f^G$ coïncident sur $\mathcal{H}$. Donc $d$ et $D_f^G$ coïncident sur $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$. Mais elles sont toutes deux à support dans cet ensemble. Donc $d = D_f^G$, ce qui achève la démonstration. $\square$

### 5.6. FILTRATIONS SUR L'ALGÈBRE DE LIE.
Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, notons $\text{Fil}^n I(\mathfrak{g})$ l'image dans $I(\mathfrak{g})$ du sous-espace des $f \in C_c^\infty(\mathfrak{g}(F))$ qui satisfont à la condition : pour tout Levi $M$ tel que $\dim(A_M) > n$ et tout $X \in \mathfrak{g}_{\text{reg}}(F) \cap \mathfrak{m}(F)$, on a $I^G(X, f) = 0$. On a

$$\text{Fil}^{a_G^{-1}} I(\mathfrak{g}) = \{0\} \subset \text{Fil}^{a_G} I(\mathfrak{g}) = \text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{g}) \subset \dots \subset \text{Fil}^{a_{M_{\min}}} I(\mathfrak{g}) = \text{I}(\mathfrak{g}),$$

et, en posant $\text{Gr}^n I(\mathfrak{g}) = \text{Fil}^n I(\mathfrak{g})/\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$, on a

$$\text{Gr}^n I(\mathfrak{g}) \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{W^G(M)}.$$

Notons $\text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$ l'annulateur de $\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$ dans $I(\mathfrak{g})^*$. On a

$$\text{Ann}^{a_{M_{\min}}+1} I(\mathfrak{g})^* = \{0\} \subset \text{Ann}^{a_{M_{\min}}} I(\mathfrak{g})^* \subset \dots \subset \text{Ann}^{a_G} I(\mathfrak{g})^* = I(\mathfrak{g})^*,$$

et, en posant $\text{Gr}^n I(\mathfrak{g})^* = \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*/\text{Ann}^{n+1} I(\mathfrak{g})^*$,

$$(1) \qquad \text{Gr}^n I(\mathfrak{g})^* \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}.$$

Notons $\text{Qc}_0(\mathfrak{g})$ l'espace des quasi-caractères de niveau 0 sur $\mathfrak{g}(F)$. Notons $\text{Qc}_0^n(\mathfrak{g})$ la somme des $\text{Ind}_M^G(\text{Qc}_0(\mathfrak{m}))$ sur les Levi $M$ tels que $\dim(A_M) \ge n$. Notons aussi $\mathcal{D}^n(\mathfrak{g})$ la somme des images dans $\mathcal{D}(\mathfrak{g})$ des $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})$ sur les mêmes Levi $M$.

LEMME. — Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, on a l'égalité

$$\text{Qc}_0^n(\mathfrak{g}) = \text{Qc}_0(\mathfrak{g}) \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^* = \mathcal{D}^G(\mathcal{D}^n(\mathfrak{g})),$$

et l'isomorphisme

$$\text{Qc}_0^n(\mathfrak{g})/\text{Qc}_0^{n+1}(\mathfrak{g}) \simeq \bigoplus_{M \in \mathcal{L}^n} \mathcal{D}^M(\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{W^G(M)}).$$

Démonstration. — L'égalité $\text{Qc}_0^n(\mathfrak{g}) = \mathcal{D}^G(\mathcal{D}^n(\mathfrak{g}))$ résulte des définitions et de la pro-
position 5.5 appliquée aux Levi $M$ tels que $\dim(A_M) \ge n$. Notons $I(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^*$ le sous-espace
des distributions sur $\mathfrak{g}(F)$ à support nilpotent. Autrement dit $I(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^* = i(\mathbb{C}[\text{Nil}])$
avec les notations de la preuve précédente. On a prouvé en [24, Prop. I.5.3] que
$I(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^* \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$ était la somme des $\text{Ind}_M^G(I(\mathfrak{m})_{\text{nil}}^*)$ où $M$ parcourt les Levi tels
que $\dim(A_M) \ge n$. Les filtrations sont invariantes par transformées de Fourier. Cela
résulte de ce que, pour toute $f \in C_c^\infty(\mathfrak{g}(F))$, tout Levi $M$ et tout $X \in \mathfrak{m}(F) \cap \mathfrak{g}_{\text{reg}}(F)$,
$I^G(X, \hat{f})$ ne dépend que des $I^G(Y, f)$ pour $Y \in \mathfrak{m}(F) \cap \mathfrak{g}_{\text{reg}}(F)$. Notons $\hat{I}(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^*$ l'image de $I(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^*$ par transformée de Fourier. On obtient que $\hat{I}(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^* \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$ est la somme des $\text{Ind}_M^G(\hat{I}(\mathfrak{m})_{\text{nil}}^*)$ où $M$ parcourt les Levi tels que $\text{dim}(A_M) \ge n$. Soit $d \in \mathcal{Q}c_0(\mathfrak{g}) \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$. Par définition d'un quasi-caractère de niveau 0, $d$ est la restriction à $\mathfrak{g}_{\text{tn}}(F)$ d'un élément $d_0 \in \hat{I}(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^*$. Puisque $d \in \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$, $d_0$ annule tout élément de $\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$ à support topologiquement nilpotent. L'espace $\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$ est invariant par l'action de $F^\times$ par homothétie. Puisque $\hat{I}(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^*$ est engendré par des éléments homogènes, sinon par l'action de $F^\times$, du moins par l'action du sous-groupe des carrés, dire que $d_0$ annule tout élément de $\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$ à support topologiquement nilpotent équivaut à dire qu'il annule tout $\text{Fil}^{n-1} I(\mathfrak{g})$, c'est-à-dire que $d_0 \in \hat{I}(\mathfrak{g})_{\text{nil}}^* \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^*$. Donc $d_0 = \sum_M \text{Ind}_M^G(d_{M,0})$, où l'on somme sur les Levi $M$ tels que $\text{dim}(A_M) \ge n$ et où $d_{M,0}$ est un certain élément de $\hat{I}(\mathfrak{m})_{\text{nil}}^*$. Donc $d = \sum_M \text{Ind}_M^G(d_M)$, où $d_M$ est la restriction de $d_{M,0}$ à $\mathfrak{m}_{\text{tn}}(F)$. Cet élément $d_M$ appartient à $\mathcal{Q}c_0(\mathfrak{m})$. Donc $d \in \mathcal{Q}c_0^n(\mathfrak{g})$. Cela démontre l'inclusion $\mathcal{Q}c_0(\mathfrak{g}) \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g})^* \subset \mathcal{Q}c_0^n(\mathfrak{g})$ et l'inclusion opposée est évidente.

On a

$$ \frac{\mathcal{Q}c_0^n(\mathfrak{g})}{\mathcal{Q}c_0^{n+1}(\mathfrak{g})} = \frac{D^G(\mathcal{D}^n(\mathfrak{g}))}{D^G(\mathcal{D}^{n+1}(\mathfrak{g}))} $$

et, d'après ce que l'on vient de prouver, cet espace s'envoie injectivement dans $\text{Gr}^n I(\mathfrak{g})^*$. Par définition, $D^G(\mathcal{D}^n(\mathfrak{g}))$ est la somme

$$ \text{de } D^G(\mathcal{D}^{n+1}(\mathfrak{g})) \text{ et de } D^G(\bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\text{min}}^n} \mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})). $$

Ce dernier espace a donc même image dans $\text{Gr}^n I(\mathfrak{g})^*$ que $\mathcal{Q}c_0^n(\mathfrak{g})/\mathcal{Q}c_0^{n+1}(\mathfrak{g})^*$. Soit

$$ M \in \mathcal{L}_{\text{min}}^n \text{ et } \mathbf{f} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m}). $$

L'image de $D_f^G$ dans $\text{Gr}^n I(\mathfrak{g})^*$ est nulle dans les composantes $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m}')^{*W^G(M')}$ de la décomposition (1) pour $M' \ne M$ et est l'image naturelle de $D_f^M$ dans $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$ pour $M' = M$ (c'est-à-dire l'image de $D_f^M$ dans $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^*$ que l'on restreint au sous-espace $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$). En moyennant sur le groupe $W^G(M)$, on obtient que $\mathcal{Q}c_0^n(\mathfrak{g})/\mathcal{Q}c_0^{n+1}(\mathfrak{g})$ s'identifie à la somme des images de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$ dans $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$. D'après le (2) de 5.5, $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$ s'envoie injectivement dans $\text{I}_{\text{cusp}}(\mathfrak{m})^{*W^G(M)}$, ce qui achève la démonstration. $\square$

## 5.7. UN PREMIER THÉORÈME

**THÉORÈME.** — L'image de l'application $D^G : \mathcal{D}(G) \to I(G)^*$ est formée de quasi-caractères de niveau 0 sur $G(F)$.

**Démonstration.** — En vertu du (ii) du lemme 5.4, il suffit de prouver que, pour tout élément $\mathbf{f} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$, $D_f^G$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur $G(F)$. La famille $\mathbf{f}$ peut être infinie mais la définition des quasi-caractères de niveau 0 est locale et, localement, seuls un nombre fini de fonctions de la famille $\mathbf{f}$ interviennent. On peut donc aussi bien supposer qu'il y a une seule fonction. C'est-à-dire que l'on peut fixer
($\mathcal{F}$, $\nu$) ∈ $\text{Fac}^*_{\text{max}}(G)$ et $f \in C_{\text{cusp}}(G_{\mathcal{F}}^{\nu})$ et supposer que $f$ est réduit à l'unique fonction $f$. On a alors $D_{\mathcal{f}}^{G} = D_{f_{\mathcal{F}}}^{G}$. C'est un quasi-caractère d'après 5.2 (6). On note $\theta$ sa fonction localement intégrable associée. Soit $\varepsilon$ un élément de $G(F)$ qui est $p'$-compact mod $Z(G)$. On doit calculer $\theta(\varepsilon \exp(X))$ pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ tel que $\varepsilon \exp(X)$ soit fortement régulier. On peut évidemment supposer $\nu = w_G(\varepsilon)$, sinon cette fonction est nulle. Fixons $X$. Notons $T$ le commutant de $X$ dans $G_{\varepsilon}$, qui est aussi le commutant de $\varepsilon \exp(X)$ dans $G$. Notons $M$ le commutant de $A_T$ dans $G$. C'est un Levi de $G$ contenant $\varepsilon$ et $\exp(X)$ par construction. On pose $M_{\varepsilon} = G_{\varepsilon} \cap M$. C'est un Levi de $G_{\varepsilon}$ et on a $X \in \mathfrak{m}_{\varepsilon}(F)$. L'élément $X$ est elliptique dans $\mathfrak{m}_{\varepsilon}(F)$ et $\varepsilon \exp(X)$ est elliptique dans $M(F)$. Notons que $A_T = A_{M_{\varepsilon}} = A_M$. D'après 5.2 (7), on a

$$ (1) \quad \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_M - a_G} D^G(\varepsilon \exp(X))^{-1/2} m(A_M) m(A_G)^{-1} J_M^G(\varepsilon \exp(X), f_{\mathcal{F}}) \\ = (-1)^{a_M - a_G} m(A_M) m(A_G)^{-1} \int_{A_M(F) \setminus G(F)} f_{\mathcal{F}}(g^{-1}\varepsilon \exp(X)g) v_M(g) \, dg. $$

Pour $g \in G(F)$, on a

$$ (2) \quad g^{-1}\varepsilon \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu} \text{ si et seulement si } g^{-1}\varepsilon g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu} \text{ et } g^{-1} \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{0}. $$

En effet, soit $c \ge 1$ un entier premier à $p$ tel que $\varepsilon^c \in Z(G)(F)$. Supposons $g^{-1}\varepsilon \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. Alors $g^{-1}\varepsilon^c \exp(cX)g \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$. On a aussi

$$ g^{-1}\varepsilon^c g \in Z(G)(F) \subset K_{\mathcal{F}}^{\dagger}. $$

Donc $g^{-1} \exp(cX)g \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$. Il en résulte que $g^{-1} \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{\dagger}$ et, puisque c'est un élément topologiquement unipotent, on a forcément $g^{-1} \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{0}$. Puisque $g^{-1}\varepsilon \exp(X)g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu}$, cela entraîne $g^{-1}\varepsilon g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. La réciproque est évidente. D'où (2).
On a aussi :

(3) la classe de conjugaison par $G(F)$ de $\varepsilon$ coupe $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ en un nombre fini de classes de conjugaison par $K_{\mathcal{F}}^{0}$.

En effet, notons $\text{Cl}(\varepsilon)$ cette classe de conjugaison par $G(F)$. C'est un sous-ensemble fermé de $G(F)$, donc son intersection avec $K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ est compacte. L'application

$$ Z_G(\varepsilon)(F) \setminus G(F) \longrightarrow \text{Cl}(\varepsilon) \\ g \longmapsto g^{-1}\varepsilon g $$

est un homéomorphisme. Puisque les orbites de l'action de $K_{\mathcal{F}}^{0}$ sur l'ensemble de départ sont ouvertes, il en est de même de celles sur l'ensemble d'arrivée. Puisque $\text{Cl}(\varepsilon) \cap K_{\mathcal{F}}^{\nu}$ est compact, il n'y a donc qu'un nombre fini de telles orbites, d'où (3).

Notons $\Gamma_{\varepsilon}$ l'ensemble des $g \in G(F)$ tels que $g^{-1}\varepsilon g \in K_{\mathcal{F}}^{\nu}$. En conséquence de (3), l'ensemble $G_{\varepsilon}(F) \setminus \Gamma_{\varepsilon}/K_{\mathcal{F}}^{0}$ est fini. Fixons-en un ensemble de représentants $\gamma$. Pour tout $\gamma \in \gamma$, définissons comme en 3.4 la facette $\gamma \mathcal{F}$ et posons

$$ m_{\gamma} = \text{mes}(G_{\varepsilon}(F) \cap K_{\gamma \mathcal{F}}^{0})^{-1}, $$
la mesure étant calculée relativement à la mesure implicitement fixée sur $G_\varepsilon(F)$.
On vérifie la formule d'intégration

$$ \int_{A_M(F)\setminus\Gamma_\varepsilon} \varphi(g) dg = \sum_{\gamma \in \gamma} m_\gamma \int_{A_M(F)\setminus G_\varepsilon(F)} \int_{K_\varepsilon^0} \varphi(g\gamma k) dk \, dg $$

pour toute fonction intégrable $\varphi$ sur $A_M(F)\setminus\Gamma_\varepsilon$. On applique cela à la fonction

$$ \varphi(g) = f_{\mathcal{F}}(g^{-1}\varepsilon \exp(X)g)v_M(g). $$

La fonction $f_{\mathcal{F}}$ est invariante par conjugaison par $K_\varepsilon^0$. On voit que

$$ f_{\mathcal{F}}(k^{-1}\gamma^{-1}g^{-1}\varepsilon \exp(X)g\gamma k) = (\gamma f)_{\gamma\mathcal{F}}(\varepsilon \exp(g^{-1}Xg)) $$

pour tous $\gamma \in \gamma$, $g \in G_\varepsilon(F)$ et $k \in K_\varepsilon^0$. Pour de mêmes $\gamma$ et $g$, posons

$$ v_{M,\gamma}(g) = \int_{K_\varepsilon^0} v_M(g\gamma k) \, dk. $$

Grâce à (1) et (2) et à l'égalité $A_{M_\varepsilon} = A_M$, on obtient

$$ (4) \quad \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_{M_\varepsilon} - a_G} m(A_{M_\varepsilon}) m(A_G)^{-1} \cdot \sum_{\gamma \in \gamma} m_\gamma \int_{A_{M_\varepsilon}(F) \setminus G_\varepsilon(F)} (\gamma f)_{\gamma \mathcal{F}} (\varepsilon \exp(g^{-1}Xg)) v_{M,\gamma}(g) \, dg. $$

Fixons $\gamma \in \gamma$. Par définition de cet ensemble, on a $\varepsilon \in K_{\gamma\mathcal{F}}^\nu$. Introduisons la facette $\mathcal{F}'_\gamma \in \mathrm{Imm}(G_{\varepsilon,\mathrm{AD}})$ associée à $\gamma\mathcal{F}$, cf. proposition 4.10 (iii). Le groupe $G_{\varepsilon,\mathcal{F}'_\gamma}$ est la composante neutre de $(G_{\gamma\mathcal{F}})^\varepsilon$. Notons $\bar{\varepsilon}$ la réduction de $\varepsilon$ dans $G_{\gamma\mathcal{F}}^\nu(k_F)$ et $(\gamma f)'$ la fonction sur $G_{\varepsilon,\mathcal{F}'_\gamma}(k_F)$, à support unipotent, définie par $(\gamma f)'(x) = (\gamma f)(\bar{\varepsilon}x)$, pour tout élément unipotent $x \in G_{\varepsilon,\mathcal{F}'_\gamma}(k_F)$. De $(\gamma f)'$ se déduit une fonction $(\gamma f)'_{\mathcal{F}'_\gamma}$ sur $G_\varepsilon(F)$.

## LEMME

(i) Pour tout $g \in G_\varepsilon(F)$, on a l'égalité

$$ (\gamma f)_{\gamma\mathcal{F}}(\varepsilon \exp(g^{-1}Xg)) = (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_\gamma}(\exp(g^{-1}Xg)). $$

(ii) Si $\dim(A_{G_\varepsilon}) > \dim(A_G)$ ou si $\mathcal{F}'_\gamma$ n'est pas réduit à un point, $(\gamma f)' = 0$.

(iii) Supposons que $A_{G_\varepsilon} = A_G$ et que $\mathcal{F}'_\gamma$ soit réduit à un point, c'est-à-dire $\mathcal{F}'_\gamma \in \mathrm{Fac}_{\max}(G_\varepsilon)$. Alors $(\gamma f)'$ est cuspidale.

**Démonstration.** — Pour simplifier la notation, on suppose $\gamma = 1$, on pose $\mathcal{F}' = \mathcal{F}'_\gamma$ et $f' = (\gamma f)'$.

Pour $y \in K_\varepsilon^0 \cap G_\varepsilon(F)$, la réduction $\bar{y}$ de $y$ dans $G_\mathcal{F}(k_F)$ appartient à $(G_\mathcal{F})^\varepsilon(k_F)$. Mais, si $y$ est topologiquement unipotent, on peut remplacer dans cette relation le groupe $(G_\mathcal{F})^\varepsilon$ par sa composante neutre $G_{\varepsilon,\mathcal{F}'}$. De plus cette réduction $\bar{y}$ est unipotent. En appliquant cela à $y = \exp(g^{-1}Xg)$, on en déduit le (i) de l'énoncé.

Notons $\mathbf{A}_{\mathcal{F}'}$ le plus grand sous-tore central et déployé de $\mathbf{G}_{\varepsilon,\mathcal{F}'}$. Notons $\mathbf{M}'$ son commutant dans $\mathbf{G}_{\mathcal{F}}$, qui est un Levi de ce groupe. Fixons un élément $x_* \in X_*(\mathbf{A}_{\mathcal{F}'})$ en position générale, notons $\mathbf{P}'$ le sous-groupe de $\mathbf{G}_{\mathcal{F}}$ engendré par $\mathbf{M}'$ et par les groupes radiciels relatifs à l'action de $\mathbf{A}_{\mathcal{F}'}$ associés aux racines $\alpha$ telles que $\langle \alpha, x_* \rangle > 0$. C'est un élément de $\mathcal{P}(\mathbf{M}')$. Le tore $\mathbf{A}_{\mathcal{F}'}$ est contenu dans l'ensemble des points fixes de l'action de $\bar{\varepsilon}$ sur $\mathbf{G}_{\mathcal{F}}$. Il en résulte que cette action conserve $\mathbf{M}'$ et $\mathbf{P}'$. Alors
$P'^{\nu} = \bar{\epsilon}P'$ est un espace parabolique de $G_{\mathcal{F}}^{\nu}$ d'espace de Levi $M'^{\nu} = \bar{\epsilon}M'$. Sur la clôture algébrique $\bar{k}_F$, les valeurs propres de l'action de $\bar{\epsilon}$ dans $uP'$ sont des racines de l'unité, puisque $\epsilon$ est $p'$-compact mod $Z(G)$. L'espace des points fixes de l'action de $\bar{\epsilon}$ dans $g_{\mathcal{F}}$ est $g_{\epsilon, \mathcal{F}'}$, qui est inclus dans $m'$ par définition de $M'$. Donc les valeurs propres de l'action de $\bar{\epsilon}$ dans $uP'$ sont toutes différentes de 1. Il en résulte aisément que, pour tout élément unipotent $\bar{n} \in M'(k_F)$, l'action $1 - \text{ad}(\bar{\epsilon}\bar{n})$ dans $uP'(k_F)$ est un isomorphisme. Pour un tel élément $\bar{n}$, il s'en déduit l'égalité

$$ \sum_{\bar{u} \in U_{P'}(k_F)} f(\bar{\epsilon} \bar{n} \bar{u}) = \sum_{\bar{u} \in U_{P'}(k_F)} f(\bar{u}^{-1} \bar{\epsilon} \bar{n} \bar{u}). $$

Puisque $f$ est invariante par conjugaison, le membre de droite n'est autre que $|U_{P'}(k_F)|f(\bar{\epsilon}\bar{n})$. Supposons que $P'^{\nu}$ soit un espace parabolique propre de $G_{\mathcal{F}}^{\nu}$. Alors le membre de gauche est nul puisque $f$ est cuspidale et invariante par conjugaison. Dans ce cas $f(\bar{\epsilon}\bar{n}) = 0$. A fortiori, cela est vrai pour tout élément unipotent $\bar{n} \in G_{\epsilon, \mathcal{F}'}(k_F)$, auquel cas $f(\bar{\epsilon}\bar{n}) = f'(\bar{n})$. D'où $f' = 0$. Pour démontrer le (ii) de l'énoncé, il suffit de prouver que, sous les hypothèses de cette assertion, l'espace parabolique $P'^{\nu}$ est propre, ou encore que $M' \neq G_{\mathcal{F}}$. On démontre la contraposée de cette assertion. Supposons donc $M' = G_{\mathcal{F}}$. Notons $A_{\mathcal{F}}$ le plus grand sous-tore central déployé dans $G_{\mathcal{F}}$ et notons $A_{\mathcal{F}}^{\nu}$ le plus grand sous-tore contenu dans l'ensemble des points fixes de l'action de $\bar{\epsilon}$ dans $A_{\mathcal{F}}$. L'hypothèse $M' = G_{\mathcal{F}}$ signifie que $A_{\mathcal{F}}' \subset A_{\mathcal{F}}$. Puisque $\bar{\epsilon}$ agit trivialment sur $A_{\mathcal{F}}'$, cela entraîne $A_{\mathcal{F}}' \subset A_{\mathcal{F}}^{\nu}$ d'où l'égalité $A_{\mathcal{F}}' = A_{\mathcal{F}}^{\nu}$ car l'inclusion opposée est immédiate. Puisque $(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}_{\max}(G)$, on a $\dim(A_{\mathcal{F}}^{\nu}) = \dim(A_{\mathcal{F}})$. D'où $\dim(A_{\mathcal{F}}') = \dim(A_{\mathcal{F}})$. Or on a évidemment $\dim(A_{\mathcal{F}}') \geq \dim(A_{G_{\epsilon}}) \geq \dim(A_{\mathcal{F}})$. Ces trois dimensions sont donc égales. L'égalité $\dim(A_{\mathcal{F}}') = \dim(A_{G_{\epsilon}})$ équivaut à ce que $\mathcal{F}'$ soit réduit à un point. L'égalité des trois dimensions précédentes est donc le contraire de l'hypothèse de (ii), ce qui achève la démonstration de cette assertion.

Supposons maintenant que $\dim(A_{G_{\epsilon}}) = \dim(A_{\mathcal{F}})$ et que $\mathcal{F}'$ soit réduit à un point, prouvons que $f'$ est cuspidale. Fixons un sous-groupe parabolique propre $P'_{\epsilon}$ de $G_{\epsilon, \mathcal{F}'}$ de composante de Levi $M'_{\epsilon}$. Notons $A'$ le plus grand sous-tore central déployé de $M'_{\epsilon}$ et $M'$ le commutant de $A'$ dans $G_{\mathcal{F}}$. Fixons un élément $x_* \in X_*(A')$ tel que $\langle \alpha, x_* \rangle > 0$ pour toute racine $\alpha$ de $A'$ dans $uP'_{\epsilon}$. On définit un sous-groupe parabolique $P'$ de $G_{\mathcal{F}}$ par la condition : $uP'$ est la somme des espaces radiciels associés aux racines $\alpha$ de $A'$ dans $g_{\mathcal{F}}$ telles que $\langle \alpha, x_* \rangle > 0$. En supposant $x_*$ en position générale, $P'$ a pour composante de Levi $M'$ et on a $P' \cap G_{\epsilon, \mathcal{F}'} = P'_{\epsilon}$. De plus $P'$ est propre puisque $P'_{\epsilon}$ l'est. L'argument est maintenant similaire à celui de la preuve de (ii). L'ensemble $P'^{\nu} = \bar{\epsilon}P'$ est un espace parabolique de $G_{\mathcal{F}}^{\nu}$ d'espace de Levi $M'^{\nu} = \bar{\epsilon}M'$. Pour un élément unipotent $\bar{n} \in M'_{\epsilon}(k_F)$, on a les égalités

$$ \sum_{\bar{u} \in U_{P'_{\epsilon}}(k_F)} f'(\bar{n}\bar{u}) = \sum_{\bar{u} \in U_{P'_{\epsilon}}(k_F)} f(\bar{\epsilon}\bar{n}\bar{u}) = |U_{P'}(k_F)|^{-1} \sum_{\bar{x} \in U_{P'}(k_F)} \sum_{\bar{u} \in U_{P'_{\epsilon}}(k_F)} f(\bar{x}\bar{\epsilon}\bar{n}\bar{u}\bar{x}^{-1}) \\ = |U_{P'}(k_F)|^{-1} |U_{P'_{\epsilon}}(k_F)| \sum_{\bar{x} \in U_{P'}(k_F)} f(\bar{\epsilon}\bar{n}\bar{x}) $$
et cette dernière expression est nulle car $f$ est cuspidale. La nullité de la première expression signifie que $f'$ l'est. Cela démontre le lemme. $\square$

Notons $\gamma_{\max}$ le sous-ensemble des $\gamma \in \gamma$ tels que $\mathcal{F}'_{\gamma}$ soit réduit à un point. Si $\dim(A_{G_{\varepsilon}}) > \dim(A_G)$, le (ii) du lemme et la formule (4) impliquent que $\theta(\varepsilon \exp(X))=0$ et on a terminé. Supposons désormais $\dim(A_{G_{\varepsilon}}) = \dim(A_G)$. Alors les assertions (i) et (ii) du lemme entraînent que la formule (4) se transforme en

$$ (5) \quad \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_{M_{\varepsilon}} - a_G} m(A_{M_{\varepsilon}}) m(A_G)^{-1} \\ \qquad \cdot \sum_{\gamma \in \gamma_{\max}} m_{\gamma} \int_{A_{M_{\varepsilon}}(F) \setminus G_{\varepsilon}(F)} (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}} (\exp(g^{-1}Xg)) v_{M,\gamma}(g) dg. $$

Fixons $\gamma \in \gamma_{\max}$ et calculons $v_{M,\gamma}(g)$ pour $g \in G_{\varepsilon}(F)$. Le poids $v_M$ est calculé grâce au choix d'un sous-groupe compact spécial de $G(F)$. Fixons aussi un tel sous-groupe compact $K_{\varepsilon}$ du groupe $G_{\varepsilon}(F)$, qui permet de définir un poids $v_{M_{\varepsilon}}$. Une formule d'Arthur, que l'on a reprise en [34, Lem. 3.3], dit que, pour $g \in G_{\varepsilon}(F)$, $v_{M,\gamma}(g) - v_{M_{\varepsilon}}(g)$ est une somme finie de termes $v'_{Q_{\varepsilon}}(g)$, où $Q_{\varepsilon}$ est un sous-groupe parabolique propre de $G_{\varepsilon}$ contenant $M_{\varepsilon}$ et $v'_{Q_{\varepsilon}}$ est une fonction localement intégrable sur $G_{\varepsilon}(F)$ invariante à gauche par $M_{\varepsilon}(F)$ et par $U_{Q_{\varepsilon}}(F)$. Pour de telles données, notons $L_{\varepsilon}$ la composante de Levi de $Q_{\varepsilon}$ contenant $M_{\varepsilon}$. En utilisant la décomposition d'Iwasawa, on calcule

$$ \int_{A_{M_{\varepsilon}}(F) \setminus G_{\varepsilon}(F)} (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}} (\exp(g^{-1}Xg)) v'_{Q_{\varepsilon}}(g) dg \\ = c \int_{K_{\varepsilon}} \int_{A_{M_{\varepsilon}}(F) \setminus L_{\varepsilon}(F)} \int_{U_{Q_{\varepsilon}}(F)} (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}} (k^{-1}u^{-1}\ell^{-1} \exp(X)\ell uk) v'_{Q_{\varepsilon}}(\ell k) du \, d\ell \, dk, $$

où $c > 0$ ne dépend que des mesures de Haar. Puisque $X$ est régulier, l'intégrale intérieure en $u$ se transforme en

$$ c(X) \int_{U_{Q_{\varepsilon}}(F)} (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}} (k^{-1} \ell^{-1} \exp(X) \ell uk) \, du, $$

où $c(X) > 0$ est un certain déterminant. Or cette intégrale est nulle car $(\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}}$ est très cuspidale d'après le (iii) du lemme. Les fonctions $v'_{Q_{\varepsilon}}$ ne contribuent donc pas à la formule (5) et on peut récrire cette formule

$$ \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_{M_{\varepsilon}} - a_G} m(A_{M_{\varepsilon}}) m(A_G)^{-1} \\ \qquad \cdot \sum_{\gamma \in \gamma_{\max}} m_{\gamma} \int_{A_{M_{\varepsilon}}(F) \setminus G_{\varepsilon}(F)} (\gamma f)'_{\mathcal{F}'_{\gamma}} (\exp(g^{-1}Xg)) v_{M_{\varepsilon}}(g) dg. $$

En comparant avec 5.2 (7), on obtient

$$ \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_{G_{\varepsilon}} - a_G} m(A_{G_{\varepsilon}}) m(A_G)^{-1} \sum_{\gamma \in \gamma_{\max}} m_{\gamma} \theta_{\gamma}(\exp(X)), $$

où on a noté $\theta_{\gamma}$ la fonction associée au quasi-caractère $D_{(\gamma f)'}^{G_{\varepsilon}}$. Pour tout $\gamma \in \gamma_{\max}$, notons $\varphi_{\gamma}$ la fonction sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathcal{F}'_{\gamma}}(k_F)$, à support nilpotent, telle que $\varphi_{\gamma}(Y) = (\gamma f)'(\exp(Y))$ pour tout élément nilpotent $Y \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathcal{F}'_{\gamma}}(k_F)$. Il est clair que la fonction
$Y \mapsto \theta_{\gamma}(\exp(Y))$, définie sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$, n'est autre que la fonction associée à la distribution $D_{\varphi_{\gamma}}^{G_{\varepsilon}}$ sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$. Notons $\theta_{\varphi_{\gamma}}$ cette fonction. On obtient la formule finale

$$ (6) \qquad \theta(\varepsilon \exp(X)) = (-1)^{a_{G_{\varepsilon}} - a_{G}} m(A_{G_{\varepsilon}})m(A_{G})^{-1} \sum_{\gamma \in \gamma_{\max}} m_{\gamma} \theta_{\varphi_{\gamma}}(X). $$

On applique le (ii) de la proposition 5.5. Il entraîne que chaque fonction $\theta_{\varphi_{\gamma}}$ est combinaison linéaire de fonctions $Y \mapsto \hat{j}(\emptyset, Y)$ où $\emptyset$ parcourt les orbites nilpotentes de $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$. Il en est donc de même de la fonction $X \mapsto \theta(\varepsilon \exp(X))$. Cela signifie que $D_{f}^{G}$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur $G(F)$. $\square$

## 5.8. RESTRICTION AUX ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES D'UN QUASI-CARACTÈRE SUR $G(F)$ DE NIVEAU 0

Soit $D$ un quasi-caractère sur $G(F)$, notons $\theta_D$ sa fonction associée. Disons que $D$ est de niveau 0 sur les elliptiques si et seulement si $\theta_D$ satisfait à la condition suivante :

(1) pour tout élément $\varepsilon \in G(F)$ qui est $p$-compact mod $Z(G)$ et pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ tel que $\varepsilon \exp(X) \in G_{\text{ell}}(F)$, la fonction $\lambda \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ sur $\mathfrak{o}_F$ appartient à $E$.

### REMARQUES

(2) Pour $\varepsilon \in G(F)_{p'}$ et $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$, $\varepsilon \exp(X)$ ne peut être elliptique que si $A_{G_{\varepsilon}} = A_G$. A fortiori, $\varepsilon$ est $p$-compact mod $Z(G)$.

(3) La même preuve qu'au (ii) du lemme 5.2 montre que (1) équivaut à la condition : – pour tout élément $\varepsilon \in G(F)$ qui est $p$-compact mod $Z(G)$ et pour tout $\emptyset \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})$, il existe $c_{D, \emptyset} \in \mathbb{C}$ de sorte que, pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ tel que $\varepsilon \exp(X) \in G_{\text{ell}}(F)$, on ait l'égalité

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(X)) = \sum_{\emptyset \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})} c_{D, \emptyset} \hat{j}(\emptyset, X). $$

(4) Compte tenu de la remarque précédente, la même preuve qu'au (iii) du lemme 5.2 montre que, si $B$ est un sous-ensemble de $G(F)_{p'}$ tel que $G(F) = \bigcup_{\varepsilon \in B} C_G(\varepsilon)$, alors $D$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur les elliptiques si et seulement si la condition (1) est satisfaite pour tout $\varepsilon \in B$.

**PROPOSITION.** — Soit $D$ un quasi-caractère sur $G(F)$ de niveau 0 sur les elliptiques. Alors il existe $f \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ tel que $D$ coïncide avec $D_{f}^{G}$ sur $G_{\text{ell}}(F)$.

**Démonstration.** — Comme on l'a vu dans 3.5, l'espace $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ se décompose en produit d'espaces indexés par $\mathcal{N}$. Il en est de même de l'espace des quasi-caractères de niveau 0 sur les elliptiques. On peut donc fixer $\nu \in \mathcal{N}$ et supposer que $D$ est à support dans $w_G^{-1}(\nu)$. L'intersection $w_G^{-1}(\nu) \cap G_{\text{ell}}(F)$ est contenue dans une réunion finie d'ensembles $C_G(\varepsilon)$, où $\varepsilon$ est $p$-compact mod $Z(G)$. Ces ensembles sont disjoints ou confondus et ils sont ouverts et fermés. On peut fixer un élément $p$-compact mod $Z(G)$, supposer que $D$ est à support dans $C_G(\varepsilon)$ et prouver :

(5) il existe $f \in C_{\text{cusp}}(G)$ tel que $D_{f}^{G}$ soit à support dans $C_G(\varepsilon)$ et coïncide avec $D$ sur $C_G(\varepsilon) \cap G_{\text{ell}}(F)$.
Comme on l'a dit dans la remarque (2), on peut supposer $A_{G_{\varepsilon}} = A_{G}$, sinon la solution de (5) est triviale.

Écrivons comme dans la remarque (3)

$$ \theta_D(\varepsilon \exp(X)) = \sum_{\emptyset \in \mathrm{Nil}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})} c_{D, \emptyset} \hat{j}(\emptyset, X) $$

pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathrm{tn}}(F)$ tel que $\varepsilon \exp(X) \in G_{\mathrm{ell}}(F)$. Notons $\tau$ la fonction sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$, à support topologiquement nilpotent, qui est égale sur cet ensemble au membre de droite ci-dessus. En la moyennant sur le groupe $Z_G(\varepsilon)(F)/G_{\varepsilon}(F)$, on peut la supposer invariante par $Z_G(\varepsilon)(F)$. La fonction $\tau$ est la fonction associée à un quasi-caractère de niveau 0 sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon}(F)$. Celui-ci est de la forme $D_{\varphi}^{G_{\varepsilon}}$ pour un élément $\varphi \in \mathcal{D}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})$ d'après le (ii) de la proposition 5.5. Si on se restreint aux éléments elliptiques, les distributions induites disparaissent. Donc il existe $\varphi \in \mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})$ tel que $\tau$ coïncide avec $\theta_{D_{\varphi}^{G_{\varepsilon}}}$ sur $\mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathrm{ell}}(F)$. Fixons un tel $\varphi = (\varphi_b)_{b \in B}$, où $B$ est un sous-ensemble fini de $\mathrm{Fac}_{\mathrm{max}}(G_{\varepsilon})$. Parce que $\tau$ est invariante par $Z_G(\varepsilon)(F)$, on peut supposer que $\varphi$ l'est aussi (pour l'action naturelle de ce groupe sur $\mathcal{D}_{\mathrm{cusp}}(\mathfrak{g}_{\varepsilon})$). Puisque $A_{G_{\varepsilon}} = A_{G}$, $\mathrm{Imm}(G_{\varepsilon, \mathrm{AD}})$ s'identifie à $\mathrm{Imm}(G_{\mathrm{AD}})^{\varepsilon}$, cf. 4.10. Pour tout $b \in B$, il y a donc une unique facette $\mathcal{F}_b \in \mathrm{Imm}(G_{\mathrm{AD}})$ telle que $\mathcal{F}_b \cap \mathrm{Imm}(G_{\mathrm{AD}})^{\varepsilon} = b$. On a $\varepsilon \in K_{\mathcal{F}_b}^{\nu}$ et $\mathcal{F}_b^{\nu}$ est réduit à un point, autrement dit $(\mathcal{F}_b, \nu) \in \mathrm{Fac}_{\mathrm{max}}^{*}(G)$. De la fonction $\varphi_b$, on déduit une fonction $f_b$ sur $\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}^{\nu}(k_F)$ de la façon suivante. Par l'exponentielle, on identifie $\varphi_b$ à une fonction $f_{b,1}$ sur $\mathcal{G}_{\varepsilon, b}(k_F)$ à support unipotent, telle que $f_{b,1}(\exp(X)) = \varphi_b(X)$ pour tout élément nilpotent $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, b}(k_F)$. En notant $\bar{\varepsilon}$ la réduction de $\varepsilon$ dans $\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}^{\nu}(k_F)$, on définit une fonction $f_{b,2}$ sur $\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}^{\nu}(k_F)$, à support dans $\bar{\varepsilon}\mathcal{G}_{\varepsilon, b}(k_F)$, telle que $f_{b,2}(\bar{\varepsilon}x) = f_{b,1}(x)$ pour tout $x \in \mathcal{G}_{\varepsilon, b}(k_F)$. Enfin, on pose

$$ f_b(x) = |Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})(k_F)|^{-1} \sum_{y \in \mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}(k_F)} f_{b,2}(y^{-1}xy) $$

pour tout $x \in \mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}^{\nu}(k_F)$.

## LEMME

(i) On a l'égalité $f_b(\bar{\varepsilon} \exp(X)) = \varphi_b(X)$ pour tout élément nilpotent $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, b}(k_F)$.

(ii) la fonction $f_b$ appartient à $C_{\mathrm{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}^{\nu})$.

**Démonstration.** — Rappelons que, d'après la proposition 4.10, $\mathcal{G}_{\varepsilon, b}$ est la composante neutre du groupe $Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})$. Pour un élément nilpotent $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, b}(k_F)$, l'élément $\bar{\varepsilon} \exp(X)$ a pour composante semi-simple $\bar{\varepsilon}$ et pour composante unipotente $\exp(X)$. Le support de la fonction $f_{b,2}$ est formé de tel éléments. En conséquence, pour un tel élément $x = \bar{\varepsilon} \exp(X)$ et pour $y \in \mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}(k_F)$, on n'a $f_{b,2}(y^{-1}xy) \neq 0$ que si $y \in Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})(k_F)$. On obtient

$$ f_b(x) = |Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})(k_F)|^{-1} \sum_{y \in Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})(k_F)} f_{b,2}(\bar{\varepsilon} \exp(y^{-1}Xy)). $$

D'après la définition de $f_{b,2}$, le (i) de l'énoncé résulte de l'assertion :

– la fonction $\varphi_b$ est invariante par l'action de $Z_{\mathcal{G}_{\mathcal{F}_b}}(\bar{\varepsilon})(k_F)$.
D'après le corollaire 4.8, ce groupe est l'image naturelle dans $G_{\mathcal{F}_b}(k_F)$ du groupe $Z_G(\varepsilon)(F) \cap K_{\mathcal{F}_b}^0$. Or $\varphi$ est invariant par $Z_G(\varepsilon)(F)$, donc $\varphi_b$ est invariante par $Z_G(\varepsilon)(F) \cap K_{\mathcal{F}_b}^0$. Cela démontre (i).

Pour prouver (ii), on doit montrer que, pour tout espace parabolique propre $\mathbf{P}^{\nu}$ de $G_{\mathcal{F}_b}^{\nu}$ et pour tout $x \in \mathbf{P}^{\nu}(k_F)$, on a

$$ \sum_{u \in \mathcal{U}_{\mathbf{P}}(k_F)} f_b(xu) = 0. $$

Il suffit de prouver que, pour tout espace parabolique propre $\mathbf{P}^{\nu}$ de $G_{\mathcal{F}_b}^{\nu}$ et pour tout $x \in \mathbf{P}^{\nu}(k_F)$, on a

$$ (6) \qquad \sum_{u \in \mathcal{U}_{\mathbf{P}}(k_F)} f_{b,2}(xu) = 0. $$

En effet, la première assertion pour $\mathbf{P}^{\nu}$ résulte de la seconde appliquée à chaque espace $y^{-1}\mathbf{P}^{\nu}y$ pour $y \in G_{\mathcal{F}_b}(k_F)$. Fixons donc $\mathbf{P}^{\nu}$. Si $\mathbf{P}^{\nu}(k_F)$ ne coupe pas le support de $f_{b,2}$, l'assertion (6) est claire. Supposons que $\mathbf{P}^{\nu}(k_F)$ coupe ce support. Il existe donc un élément nilpotent $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,b}(k_F)$ tel que $\bar{\varepsilon} \exp(X) \in \mathbf{P}^{\nu}(k_F)$. Puisque $\bar{\varepsilon}$ et $\exp(X)$ commutent, puisque ad($\bar{\varepsilon}$) est d'ordre premier à $p$ tandis que ad($\exp(X)$) est d'ordre une puissance de $p$, ad($\bar{\varepsilon}$) appartient au groupe engendré par ad($\bar{\varepsilon} \exp(X)$). Ce dernier opérateur conserve $\mathbf{P}$, donc ad($\bar{\varepsilon}$) conserve lui aussi $\mathbf{P}$, c'est-à-dire $\bar{\varepsilon} \in \mathbf{P}^{\nu}(k_F)$. D'après le lemme 4.9, on peut fixer une composante de Levi $\mathbf{M}^{\nu}$ de $\mathbf{P}^{\nu}$ qui contient $\bar{\varepsilon}$. Notons $\mathbf{M}_{\varepsilon}$ et $\mathbf{P}_{\varepsilon}$ les composantes neutres des groupes des points fixes de l'opérateur ad($\bar{\varepsilon}$) dans $\mathbf{M}$ et $\mathbf{P}$. Le groupe $\mathbf{P}_{\varepsilon}$ est un sous-groupe parabolique de $G_{\varepsilon,b}$ et $\mathbf{M}_{\varepsilon}$ en est une composante de Levi. Montrons que

$$ (7) \qquad \mathbf{P}_{\varepsilon} \neq \mathbf{G}_{\varepsilon,b}. $$

Notons $\mathbf{A}_M$, resp. $\mathbf{A}_{\mathcal{F}_b}$ le plus grand sous-tore central déployé de $M$, resp. $\mathbf{G}_{\mathcal{F}_b}$. Notons $\mathbf{A}_{M,\varepsilon}$, resp. $\mathbf{A}_{\mathcal{F}_b,\varepsilon}$, la composante neutre du sous-groupe des points fixes de l'opérateur ad($\bar{\varepsilon}$) dans $\mathbf{A}_M$, resp. $\mathbf{A}_{\mathcal{F}_b}$. Puisque $\mathbf{P}^{\nu}$ est propre, $\mathbf{A}_{M,\varepsilon}$ contient strictement $\mathbf{A}_{\mathcal{F}_b,\varepsilon}$. Donc $\dim(\mathbf{A}_{M,\varepsilon}) > \dim(\mathbf{A}_{\mathcal{F}_b,\varepsilon}) \ge \dim(A_G)$. Le tore $\mathbf{A}_{M,\varepsilon}$ est contenu dans le plus grand sous-tore central déployé $\mathbf{A}_{M_{\varepsilon}}$ de $\mathbf{M}_{\varepsilon}$. Donc $\dim(\mathbf{A}_{M_{\varepsilon}}) > \dim(A_G)$. On a supposé $\dim(A_G) = \dim(A_{G_{\varepsilon}})$ et on a $\dim(A_{G_{\varepsilon}}) = \dim(\mathbf{A}_{G_{\varepsilon,b}})$ puisque $b$ est un sommet de Imm($G_{\varepsilon,AD}$). Donc $\dim(\mathbf{A}_{M_{\varepsilon}}) > \dim(\mathbf{A}_{G_{\varepsilon,b}})$, ce qui signifie que $\mathbf{M}_{\varepsilon}$ est un Levi propre de $\mathbf{G}_{\varepsilon,b}$. Cela démontre (7).

On peut dans (6) se restreindre au cas où $x \in \mathbf{M}^{\nu}(k_F)$, c'est-à-dire $x = \bar{\varepsilon}m$ avec $m \in \mathbf{M}(k_F)$. Montrons que

(8) si $m \notin \exp(\mathbf{m}_{\varepsilon,\mathrm{nil}})(k_F)$, l'ensemble des $u \in \mathcal{U}_{\mathbf{P}}(k_F)$ tels que $xu$ appartient au support de $f_{b,2}$ est vide; si $m = \exp(Y)$ avec $Y \in \mathbf{m}_{\varepsilon,\mathrm{nil}}(k_F)$, alors cet ensemble est contenu dans celui des $\exp(N)$ pour $N \in \mathbf{u}_{\mathcal{P}_{\varepsilon}}(k_F)$.

Dire que $xu$ appartient au support de $f_{b,2}$ implique que $xu = \bar{\varepsilon} \exp(X)$ avec $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,b,\mathrm{nil}}(k_F)$, ou encore $mu = \exp(X)$. Si on applique ad($\bar{\varepsilon}$) à cette égalité, puisque $X$ commute à $\bar{\varepsilon}$ et que ad($\bar{\varepsilon}$) conserve $\mathbf{M}$ et $\mathcal{U}_{\mathbf{P}}$, on obtient $mu = \mathrm{ad}(\bar{\varepsilon})(m) \mathrm{ad}(\bar{\varepsilon})(u)$, ce qui entraîne $m = \mathrm{ad}(\bar{\varepsilon})(m)$ et $u = \mathrm{ad}(\bar{\varepsilon})(u)$. Cette dernière relation implique