On pose alors, pour $s, t \in [-\bar{A}, A]$,

$$ \hat{\delta}_W(s, t) := \begin{cases} \delta_W(s, t) & \text{si } st \ge 0 \\ \infty & \text{si } st < 0 \end{cases}. $$

Cette pseudo-distance correspond au fait qu'on utilise la bijection par intervalles avec un intervalle correspondant au temps négatif et un intervalle correspondant au temps positif.

## Définition 2.20

Le quadrilatère de demi-aires A et $\bar{A}$, diagonale H, et discrépance $\Delta$ est le collage de $([-\bar{A}, A], \hat{\delta}_W)$ selon la relation d'équivalence $\{\delta_X = 0\}$, où $(X, W)$ a la loi précédemment décrite.

Les limites d'échelle des tranches composites discrètes et des quadrilatères à bords géodésiques discrets apparaissant dans la section 2.2.2.1, avec des caractéristiques prescrites, sont les analogues continus que nous venons de définir. On fixe 3 suites $(a_n) \in (\mathbb{N}^*)^\mathbb{N}$, $(l_n) \in (\mathbb{N}^*)^\mathbb{N}$ et $(\delta_n) \in \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ telles que

$$ \frac{a_n}{n} \underset{n \to \infty}{\to} A > 0, \quad \frac{l_n}{\sqrt{2n}} \underset{n \to \infty}{\to} L > 0 \quad \text{et} \quad \left(\frac{9}{8n}\right)^{1/4} \delta_n \underset{n \to \infty}{\to} \Delta \in \mathbb{R}. $$

## Proposition 2.21 $\leftarrow$ limite d'échelle des tranches composites [BM22] $\leftarrow$

Soit $Sl_n$ uniformément distribuée parmi l'ensemble des tranches composites d'aire $a_n$, longueur de bord $l_n$ et discrépance $\delta_n$. Alors l'espace métrique $(8n/9)^{-1/4} Sl_n$ tend en loi, au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff, vers une tranche composite (continue) d'aire A, longueur de bord L et discrépance $\Delta$.

Pour les quadrilatères, on fixe $(a_n) \in (\mathbb{N}^*)^\mathbb{N}$, $(\bar{a}_n) \in (\mathbb{N}^*)^\mathbb{N}$, $(h_n) \in (\mathbb{N}^*)^\mathbb{N}$ et $(\delta_n) \in \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ telles que

$$ \frac{a_n}{n} \underset{n \to \infty}{\to} A > 0, \quad \frac{\bar{a}_n}{n} \underset{n \to \infty}{\to} \bar{A} > 0, \quad \frac{h_n}{\sqrt{2n}} \underset{n \to \infty}{\to} H > 0, \quad \left(\frac{9}{8n}\right)^{1/4} \delta_n \underset{n \to \infty}{\to} \Delta \in \mathbb{R}. $$

## Proposition 2.22 $\leftarrow$ limite d'échelle des quadrilatères à bords géodésiques [BM22] $\leftarrow$

Soit $Qd_n$ uniformément distribuée parmi l'ensemble des quadrilatères à bords géodésiques de demi-aires $a_n$ et $\bar{a}_n$, diagonale $h_n$ et discrépance $\delta_n$. Alors l'espace métrique $(8n/9)^{-1/4} Qd_n$ tend en loi, au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff, vers un quadrilatère à bords géodésiques (continu) de demi-aires A et $\bar{A}$, diagonale H et discrépance $\Delta$.

Notre approche consiste à obtenir ces propositions à partir des cas connus du disque pour les tranches composites et de la sphère pour les quadrilatères. Plus précisément, nous commençons par obtenir dans [BM17] la convergence pour le disque brownien via des opérations de découpages similaires. Dans ce cas, l'objet codant est une forêt que l'on découpe en pièces élémentaires consistant en les arbres de la forêt. Les limites d'échelle des cartes correspondant à ces arbres, que l'on appelle tranches, sont obtenues et utilisées par Jean-François Le Gall dans [LG13]. Les tranches limite sont l'équivalent des tranches composites de longueur de bord et discrépance nulles. Dans ce cas, la définition 2.19 est adaptée en prenant pour X une excursion brownienne de longueur A. Une différence fondamentale avec ce que nous avons présenté ici réside en le fait que le nombre de ces tranches tend vers l'infini, ce qui nous amène à considérer un collage infini d'espaces métriques à la limite. On résout cette difficulté en montrant qu'une géodésique entre deux points typiques ne visite en fait qu'un nombre fini de tranches limites.
Il s'agit ensuite de lire les tranches composites et quadrilatères dans ces espaces connus. En fait, on utilise plutôt les versions non compactes correspondantes, à savoir le demi-plan brownien et le plan brownien, qui apparaissent comme limite d'échelle de quadrangulations infinies du demi-plan et du plan. L'intérêt est que ces derniers contiennent naturellement une famille de tranches composites et de quadrilatères et que leurs limites d'échelle contiennent un « flot continu » de tranches composites et de quadrilatères continus. Plus précisément, il s'agit de versions « libres » de ces objets et nous devons ensuite utiliser un argument de conditionnement.

Nous illustrons cela sur la figure 2.31, où l'on imagine le demi-plan brownien comme construit à partir d'une forêt étiquetée (continue) infinie. La portion du bord entre $L$ et $L'$ code une tranche libre $\text{Sl}^{(L,L')}$, la portion du bord entre $L'$ et $L''$ code une tranche libre $\text{Sl}^{(L',L'')}$ et le collage de ces tranches obtenu en collant la navette de la première sur la géodésique maximale de la seconde donne la tranche libre codée par la portion du bord entre $L$ et $L''$.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 2.31. Flot de tranches composites libres dans le demi-plan brownien. L'union des régions jaune foncé forme la tranche $\text{Sl}^{(L,L'')}$. Comme avant, les navettes sont en vert et les géodésiques maximales en rouge.</figcaption></figure>

### 2.2.2.3 Reconstitution des surfaces browniennes

Soit $(\mathcal{X}, \delta_{\mathcal{X}})$, $(\mathcal{Y}, \delta_{\mathcal{Y}})$ deux espaces métriques géodésiques et $\wp_{\mathcal{X}}, \wp_{\mathcal{Y}}$ deux géodésiques de même longueur $\ell$, respectivement dans $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$. La distance de l'union disjointe $\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}$ est définie par

$$ \delta_{\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}}(x, y) := \begin{cases} \delta_{\mathcal{X}}(x, y) & \text{si } x, y \in \mathcal{X} \\ \delta_{\mathcal{Y}}(x, y) & \text{si } x, y \in \mathcal{Y}. \\ \infty & \text{sinon} \end{cases} $$

On peut considérer le *collage de $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ selon $\wp_{\mathcal{X}}$ et $\wp_{\mathcal{Y}}$*, défini comme le *collage*

$$ G(\mathcal{X}, \mathcal{Y}; \wp_{\mathcal{X}}, \wp_{\mathcal{Y}}) := (\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}, \delta_{\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}})/\mathcal{R} $$

de $(\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}, \delta_{\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}})$ selon la relation d'équivalence $\mathcal{R}$ la plus grossière qui satisfait $\wp_{\mathcal{X}}(t) \mathcal{R} \wp_{\mathcal{Y}}(t)$ pour tout $t \in [0, \ell]$.

Dans ce cas particulier, le fait que $\wp_{\mathcal{X}}$ et $\wp_{\mathcal{Y}}$ soient des géodésiques simplifie grandement l'équation (2.6). En effet, si $y_i \mathcal{R} x_{i+1}$ et $y_{i+1} \mathcal{R} x_{i+2}$, alors $\delta_{\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}}(y_i, x_{i+2}) = \delta_{\mathcal{X} \sqcup \mathcal{Y}}(x_{i+1}, y_{i+1})$. En d'autres
termes, utiliser deux fois la relation $\mathcal{R}$ ne crée pas de raccourcis. Ainsi, la distance du collage est la distance $\delta_G$ dont les restrictions à $\mathcal{X} \times \mathcal{X}$ et $\mathcal{Y} \times \mathcal{Y}$ sont $\delta_{\mathcal{X}}$ et $\delta_{\mathcal{Y}}$ respectivement, et

$$ \delta_G(x, y) = \delta_G(y, x) = \inf_{t \in [0, \ell]} \{\delta_{\mathcal{X}}(x, \wp_{\mathcal{X}}(t)) + \delta_{\mathcal{Y}}(\wp_{\mathcal{Y}}(t), y)\} \quad \text{si } x \in \mathcal{X}, y \in \mathcal{Y}. $$

Une procédure de collage similaire peut être définie pour deux géodésiques $\wp, \wp'$ de même longueur $\ell$ dans le même espace métrique géodésique $(\mathcal{X}, \delta)$. Dans ce cas, on définit $G(\mathcal{X}; \wp, \wp')$ comme le collage de $(\mathcal{X}, \delta)$ selon la relation d'équivalence la plus grossière contenant les couples $(\wp(t), \wp'(t))$, pour $t \in [0, \ell]$, et la distance du quotient se simplifie en

$$ \delta(x, y) \wedge \inf_{t \in [0, \ell]} \{\delta(x, \wp(t)) + \delta(\wp'(t), y)\} \wedge \inf_{t \in [0, \ell]} \{\delta(x, \wp'(t)) + \delta(\wp(t), y)\}. $$

On peut vérifier que l'opération de collage le long de géodésiques est « compatible » avec la convergence au sens de Gromov-Hausdorff au sens suivant. On rappelle qu'une *correspondance* entre deux espaces métriques $(\mathcal{X}, \delta_{\mathcal{X}})$ et $(\mathcal{Y}, \delta_{\mathcal{Y}})$ est un sous-ensemble $\mathfrak{R} \subseteq \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ dont les projections coordonnées sont $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ et que sa *distorsion* est

$$ \mathrm{dis}(\mathfrak{R}) := \sup \{ |\delta_{\mathcal{X}}(x, x') - \delta_{\mathcal{Y}}(y, y')| : (x, x'), (y, y') \in \mathfrak{R} \}. $$

Considérant, pour $1 \le i \le k$, des géodésiques $\wp_i^{\mathcal{X}}$ et $\wp_i^{\mathcal{Y}}$ de même longueur $\ell^i$, respectivement dans $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$, on dit que la correspondance $\mathfrak{R}$ est *compatible* avec ces géodésiques si, pour $1 \le i \le k$, $(\wp_i^{\mathcal{X}}(0), \wp_i^{\mathcal{Y}}(0)) \in \mathfrak{R}$ et $\mathfrak{R} \cap (\wp_i^{\mathcal{X}}([0, \ell^i]) \times \wp_i^{\mathcal{Y}}([0, \ell^i]))$ est une correspondance entre $\wp_i^{\mathcal{X}}([0, \ell^i])$ et $\wp_i^{\mathcal{Y}}([0, \ell^i])$. La *distance de Gromov-Hausdorff marquée* entre $(\mathcal{X}, (\wp_1^{\mathcal{X}}, \dots, \wp_k^{\mathcal{X}}))$ et $(\mathcal{Y}, (\wp_1^{\mathcal{Y}}, \dots, \wp_k^{\mathcal{Y}}))$ est définie comme

$$ \frac{1}{2} \inf_{\mathfrak{R}} \mathrm{dis}(\mathfrak{R}), $$

où la borne inférieure est prise sur l'ensemble des correspondances entre $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ qui sont compatibles avec $\wp_i^{\mathcal{X}}$ et $\wp_i^{\mathcal{Y}}$, $i \in \{1, \dots, k\}$.

**Proposition 2.23** ⇐ *convergence d'un collage le long de géodésiques [BM22]* ⇐

Soit $((\mathcal{X}_n, (\wp_n^1, \dots, \wp_n^k)))_n$ (resp. $((\mathcal{Y}_n, (\gamma_n^1, \dots, \gamma_n^l)))_n$) une suite d'espaces géodésiques compacts munis de géodésiques d'intérieurs dis joints deux à deux qui converge, au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff marquée, vers $(\mathcal{X}, (\wp^1, \dots, \wp^k))$ (resp. vers $(\mathcal{Y}, (\gamma^1, \dots, \gamma^l)))$. On suppose de plus que $\wp_n^1$ et $\gamma_n^1$ ont la même longueur pour chaque $n$. Alors

$$ (G(\mathcal{X}_n, \mathcal{Y}_n; \wp_n^1, \gamma_n^1), (\wp_n^2, \dots, \wp_n^k, \gamma_n^2, \dots, \gamma_n^l)) \xrightarrow{n \to \infty} (G(\mathcal{X}, \mathcal{Y}; \wp^1, \gamma^1), (\wp^2, \dots, \wp^k, \gamma^2, \dots, \gamma^l)) $$

au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff marquée.

De même, si on suppose que $\wp_n^1$ et $\wp_n^2$ ont la même longueur, alors

$$ G(\mathcal{X}_n; \wp_n^1, \wp_n^2) \xrightarrow{n \to \infty} G(\mathcal{X}; \wp^1, \wp^2) $$

et, à condition que $\wp_n^3, \dots, \wp_n^k$ restent des géodésiques dans $G(\mathcal{X}_n; \wp_n^1, \wp_n^2)$ pour tout $n$, alors cette convergence a également lieu au sens marqué, en considérant $(\wp_n^3, \dots, \wp_n^k)$ et $(\wp^3, \dots, \wp^k)$.

Afin de rentrer dans ce cadre, on voit une carte comme un espace géodésique compact, en considérant chaque arête comme isométrique à un segment réel de longueur 1 (c'est ce qu'on appelle le *graphe métrique* [BBI01] associé). La restriction aux sommets de la carte de la distance obtenue étant la distance de graphe, les deux espaces métriques correspondant à une carte sont à $d_{GH}$-distance inférieure à $1/2$.
On peut vérifier que les convergences des propositions 2.21 et 2.22 ont lieu au sens de la topologie de Gromov-Hausdorff marquée, en considérant les navette(s) et géodésique(s) maximale(s).

Ensuite, on peut voir que, conditionnellement aux quatre premières coordonnées du vecteur dis-
cret de la proposition 2.16, les pièces élémentaires d'une quadrangulation uniforme sont uniformé-
ment distribuées parmi celles qui ont les bons paramètres. Ainsi, une fois renormalisées par (8n/9)¹/⁴,
elles convergent vers leurs équivalents continus. La carte initiale étant obtenue par collage des pièces
discrètes, des applications successives de la proposition 2.23 permettent d'obtenir le théorème 1.13.

Avec cette approche, on retrouve aussi simplement les résultats de topologie et dimension de Haus-
dorff. En effet, les pièces élémentaires limites sont de topologie plane, de dimension de Hausdorff 4
et, pour les tranches composites, leurs bords ont dimension 2. Cela s'obtient encore une fois à partir
des cas connus de la sphère et du disque. Ensuite, le collage de ces pièces donne immédiatement la
dimension de Hausdorff. Pour la topologie, on observe que la surface de départ donne une certaine
décomposition en pièces élémentaires de topologie plane selon un schéma. Le collage de pièces limites,
également de topologie plane, selon le même schéma donne alors la même topologie.

2.2.3 Sphère brownienne et constructions alternatives dans le cas du disque

Afin de compléter la présentation, nous rappelons que la sphère brownienne peut être définie
comme le collage de $[0, 1]$ muni de la pseudo-distance

$$
s, t \in [0, 1] \mapsto W_s + W_t - 2 \max \left( \min_{[s \wedge t, s \vee t]} W, \min_{[s \vee t, 1] \cup [0, s \wedge t]} W \right)
$$

selon la relation d'équivalence {$\delta_X = 0$}, où X est une excursion brownienne normalisée et W est
la tête du serpent brownien dirigée par X. On peut également dire que c'est le collage d'une unique
tranche composite d'aire 1, longueur de bord 0, et discrépance 0 selon ses navette et géodésique maxi-
male, c'est-à-dire de $([0, 1], \delta_W)_{\{\delta_X=0\}}$ (on rappelle que l'on a adapté la définition 2.19 pour une lon-
gueur de bord nulle). Ainsi, le collage de la navette sur la géodésique maximale revient à prendre en
compte le second minimum dans la formule ci-dessus.

La structure $\mathcal{M}$ dans ce cas est l'arbre brownien, que l'on peut définir comme le quotient métrique $([0, 1], \delta_X)_{\{\delta_X=0\}}$. Comme précédemment, les points de $\mathcal{M}$ sont munies d'étiquettes : pour $a \in \mathcal{M}$, son étiquette $W_a$ est définie comme la valeur commune de $W$ sur chacun de ses représentants. Notons qu'ici, nous n'avons pas translaté les étiquettes et celles-ci peuvent donc être négatives. Cela ne change rien pour les pseudo-distances que l'on considère. Le processus $(W_a)_{a \in \mathcal{M}}$ peut ainsi être vu comme un mouvement brownien indexé par un arbre brownien, au sens où, pour chaque segment de $\mathcal{M}$, les valeurs prises par le processus sur le segment forme un mouvement brownien et les mouvements browniens correspondant à des segments disjoints sont indépendants.

Nous terminons cette section en mentionnant que, dans le cas du disque, d'autres constructions ont été proposées par Jean-François Le Gall [LG19, LG20]. Dans ce cas, le codage que nous avons présenté dans les sections précédentes consiste en une unique forêt étiquetée. À la limite, le disque brow-nien $BD_L$ de périmètre $L$ s'obtient ainsi comme le collage d'une unique tranche composite d'aire 1, lon-gueur de bord $L$, et discrépance $0$ selon ses navette et géodésique maximale. On rappelle par ailleurs que les étiquettes donnent les distances à un point uniformément choisi dans la carte du disque.

La première construction de Jean-François Le Gall [LG19] consiste à voir le codage avec des éti-
quettes qui donnent la distance *au bord* de la carte. Elle utilise un quotient métrique similaire mais,
plutôt que d'utiliser le serpent brownien indexé par un pont de premier passage, le quotient est défini
à partir d'une *excursion* du processus précédent ($W_a)_{a \in \mathcal{M}}$. La mesure d'excursion en question à été
introduite et étudiée par Céline Abraham et Jean-François Le Gall [ALG18]. En gros, les excursions
correspondent aux composantes connexes de {$a \in \mathcal{M} : W_a \neq 0$} et sont indépendantes conditionnel-
lement à la taille du bord des composantes.
On obtient alors toujours un processus indexé par un arbre brownien mais les trajectoires issues du sommet racine de l'arbre (la classe d'équivalence dans $\mathcal{M}$ de 0) commencent à 0, restent strictement positives pendant un temps strictement positif et sont arrêtées si elles reviennent en 0. Avec cette approche, Jean-François Le Gall [LG19] montre en particulier que le complémentaire d'une boule de rayon donné centrée en un point uniformément choisi dans la sphère brownienne est une collection de disques browniens indépendants conditionnellement à leurs aires et périmètres. Visuellement, cela revient à couper la figure 1.13 selon un plan horizontal.

La seconde construction de Jean-François Le Gall [LG20] consiste à voir le codage avec des étiquettes qui donnent la distance à un point uniformément distribué sur le bord. Ici aussi, la construction est similaire. Dans la construction de la définition 2.19, le pont d'étiquettes du bord $B$ n'est plus un pont brownien de 0 à 0 multiplié par $\sqrt{3}$ mais maintenant un pont de Bessel 5-dimensionnel de 0 à 0 multiplié par $\sqrt{3}$. De plus, le processus $W$ est tronqué en ne conservant que les excursions de $X - \bar{X}$ sur lesquelles $W$ reste positif. Visuellement, le processus $(X, Z)$ de la définition 2.19 donne une forêt d'arbres browniens qui indexent des mouvements browniens (chaque arbre correspondant à une excursion de $X$ au-dessus du minimum passé $\bar{X}$). Le processus $(X, W)$ est ensuite obtenu en translatant les étiquettes arbre par arbre selon le pont d'étiquettes $B$ et on ne conserve que les arbres dont les étiquettes restent positives.

Cette construction permet notamment de montrer que les distances d'un point parcourant le bord d'un disque brownien à un point uniformément choisi sur le bord évoluent selon un processus de Bessel 5-dimensionnel alors que celles à un point uniformément choisi dans le disque évoluaient selon un mouvement brownien (dans les deux cas avec un facteur de variance $\sqrt{3}$).

## 2.3 Approches bijectives sur les cartes

### 2.3.1 Présentation

Nous présentons maintenant les approches bijectives entre classes de cartes similaires que nous avons introduites dans [Bet14] sur les quadrangulations du disque et améliorées dans [Bet20], où nous traitons les cartes planes biparties et, dans certains cas, quasibiparties. Dans cette section, nous ne considérons que des cartes planes. Rappelons qu'une carte plane est *bipartie* si et seulement si toutes ses faces sont de degrés pairs. Une carte plane est *quasibipartie* si elle possède exactement 2 faces de degré impair. Notons que, comme la somme des degrés des faces est égale au double du nombre d'arêtes, le nombre de faces avec un degré impair doit être pair; ainsi, les cartes quasibiparties sont les cartes les plus simples à considérer après les cartes biparties. Pour une meilleure visibilité et parce qu'elles jouent un rôle particulier, les faces de degré impair seront systématiquement colorées en orange.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>**FIGURE 2.32.** Une carte quasibipartie (car elle a exactement deux faces, $f_6$ et $f_{12}$, de degré impair) de type (20, 4, 8, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 6, 4, 7, 4, 2). Chaque face possède un coin marqué (représenté par une pointe de flèche).</figcaption></figure>
Dans ce cadre bijectif, il est plus naturel d'enraciner chacune des faces plutôt qu'une seule. Pour un r-uplet **a** = (a₁, ..., aₚ) d'entiers strictement positifs, notons M(**a**) le nombre de cartes planes ayant r faces, numérotées f₁, ..., fₚ, de degrés respectifs a₁, ..., aₚ, où chaque face possède un coin marqué. Le r-uplet **a** sera appelé le *type* de telles cartes (voir la figure 2.32). Par des considérations élémentaires et la formule caractéristique d'Euler, les entiers

$$E(\mathbf{a}) := \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{r} a_i \quad \text{et} \quad V(\mathbf{a}) := E(\mathbf{a}) - r + 2 \qquad (2.7)$$

sont respectivement les nombres d'arêtes et de sommets de cartes de type **a**. William Tutte [Tut62c] a montré que, quand au plus deux $a_i$ sont impairs, c'est-à-dire pour des cartes biparties ou quasibiparties,

$$M(\mathbf{a}) = \frac{(E(\mathbf{a}) - 1)!}{V(\mathbf{a})!} \prod_{i=1}^{r} \alpha(a_i), \quad \text{où} \quad \alpha(x) := \frac{x!}{[x/2]! [(x-1)/2]!} \qquad (2.8)$$

Nous avons noté $\lfloor \cdot \rfloor$ la fonction partie entière. La formule (2.8), communément appelée *formule des slicings de Tutte*, a ensuite été retrouvée par diverses méthodes. Par Robert Cori [Cor75, Cor76], à l'aide de ce qu'il appelle *bijection de transfert*, consistant essentiellement à transférer itérativement un degré d'une face à une face voisine, jusqu'à ce que la carte ait une structure très simple. Utilisant un codage bijectif par arbres bourgeonnants, Gilles Schaeffer [Sch97] l'a ensuite retrouvée dans le cas bipartie. Enfin, nous pouvons également l'obtenir en utilisant la bijection de Bouttier-Di Francesco-Guitter [BDG04] : voir [CF14] pour le calcul des fonctions génératrices associées en utilisant cette approche.

Nous allons donner une interprétation bijective pour les identités combinatoires suivantes, ce qui permet en quelque sorte de « faire grossir » des cartes en ajoutant à une carte bipartie deux nouveaux coins, soit sur la même face, soit sur deux faces différentes. Par « ajouter un coin à une face », on entend faire augmenter de 1 le degré de la face en question.

**Proposition 2.24** *ajout de deux coins à la même face [Bet20]*

Soit **a** = (a₁, ..., aₚ) ∈ (2N*)^r un r-uplet d'entiers *pairs* strictement positifs. On définit le r-uplet
$\tilde{a} = (\tilde{a}_1, \dots, \tilde{a}_r) := (a_1 + 2, a_2, \dots, a_r)$. Alors l'identité suivante est vérifiée :

$$(a_1 + 1)(a_1 + 2) E(\mathbf{a}) M(\mathbf{a}) = \lfloor \tilde{a}_1/2 \rfloor \lfloor (\tilde{a}_1 - 1)/2 \rfloor V(\tilde{a}) M(\tilde{a}). \qquad (2.9)$$

**Proposition 2.25** *ajout d'un coin à chacune de deux faces différentes [Bet20]*

Soit **a** = (a₁, ..., aₚ) ∈ (2N*)^r un r-uplet d'entiers *pairs* strictement positifs. On définit le r-uplet
$\tilde{a} = (\tilde{a}_1, \dots, \tilde{a}_r) := (a_1 + 1, a_2 + 1, a_3, \dots, a_r)$. Alors l'identité suivante est vérifiée :

$$(a_1 + 1)(a_2 + 1) E(\mathbf{a}) M(\mathbf{a}) = \lfloor \tilde{a}_1/2 \rfloor \lfloor \tilde{a}_2/2 \rfloor V(\tilde{a}) M(\tilde{a}). \qquad (2.10)$$

Pour le r-uplet (2, ..., 2), il est facile de voir que $M(2, ..., 2) = 2^{r-1}(r-1)!$ car il n'y a qu'une seule carte avec r faces de degrés 2 et une première face choisie avec son coin marqué, et il y a $(r-1)!$ façons d'ordonner les faces restantes et $2^{r-1}$ façons de choisir les coins marqués restants. À l'aide de cette condition initiale et des propositions ci-dessus (avec l'évidente échangeabilité des coordonnées de **a**), on obtient une nouvelle preuve de (2.8) dans le cas où chaque $a_i \ge 2$. Le cas manquant (où il y a une coordonnée de **a** égale à 1) peut être obtenu en utilisant la proposition supplémentaire 2.27 ci-dessous.

Nous utilisons des bijections que nous appelons *slit-slide-sew*, et dont l'idée est la suivante. Nous interpréterons les membres de (2.9) et (2.10) comme comptant des cartes munies d'éléments distingués. Plus précisément, dans tous les cas, le terme en M compte des cartes d'un certain type et les trois
préfacteurs compteront quelque chose dont le nombre ne dépend que de ce type : ce peut être un coin, une arête, un sommet, ou quelque chose d'un peu plus compliqué. Par exemple, le membre gauche de (2.10) compte des cartes de type $\mathbf{a}$ avec un coin distingué dans $f_1$, un coin distingué dans $f_2$ et une arête distinguée (pour tout $i$, il y a $a_i + 1$ coins dans $f_i$ en raison du coin déjà marqué).

La méthode repose sur un principe de découpage le long d'un chemin et recollement après un léger décalage. Sans trop rentrer dans les détails, à l'aide des éléments distingués, on choisit de façon canonique un chemin le long duquel on « coupe » puis on recolle en créant un léger décalage. Cette opération modifie légèrement la carte le long du chemin mais n'affecte pas ses faces, sauf les deux situées aux extrémités du chemin. De nouveaux éléments distingués apparaissent naturellement dans la carte résultante et l'image du chemin initial pourra être retrouvé à l'aide de ces nouveaux éléments, afin de pouvoir inverser la construction.

En outre, nous décomposons nos bijections en deux « sous-bijections » d'intérêt propre, qui peuvent être pensées comme « transférant » un coin d'une face, disons $f_{r+1}$, à une autre face, disons $f_1$. Dans le cas où $f_{r+1}$ a un degré 1, elle disparaît en quelque sorte en un sommet. Nous avons choisi d'utiliser une $r+1$-ième face pour ces opérations car les bijections précédentes s'obtiennent comme des compositions des suivantes en utilisant une face supplémentaire. Plus précisément, par une légère modification, on peut transformer une arête distinguée en une face supplémentaire de degré 2 et utiliser deux fois les bijections interprétant les identités suivantes afin de transférer les deux coins de la face supplémentaire sur les faces souhaitées.

**Proposition 2.26** $\iff$ transfert d'un coin d'une face de degré au moins deux [Bet20] $\iff$

Considérons un $r + 1$-uplet $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_{r+1})$ d'entiers strictement positifs avec $a_{r+1} \ge 2$, et tel que toutes les coordonnées sont paires ou tel que seulement $a_{r+1}$ et une autre coordonnée sont impaires. Soit aussi $\tilde{\mathbf{a}} = (\tilde{a}_1, \dots, \tilde{a}_{r+1}) := (a_1 + 1, a_2, \dots, a_r, a_{r+1} - 1)$. Alors l'identité suivante est vérifiée :

$$ (a_1 + 1) \lfloor a_{r+1}/2 \rfloor M(\mathbf{a}) = \lfloor \tilde{a}_1/2 \rfloor (\tilde{a}_{r+1} + 1) M(\tilde{\mathbf{a}}). \quad (2.11) $$

**Proposition 2.27** $\iff$ transfert d'un coin d'une face de degré un [Bet20] $\iff$

Soit $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_r, 1)$ un $r + 1$-uplet d'entiers strictement positifs avec deux coordonnées impaires et soit $\tilde{\mathbf{a}} = (\tilde{a}_1, \dots, \tilde{a}_r) := (a_1 + 1, a_2, \dots, a_r)$. Alors l'identité suivante est vérifiée :

$$ (a_1 + 1) M(\mathbf{a}) = \lfloor \tilde{a}_1/2 \rfloor V(\tilde{\mathbf{a}}) M(\tilde{\mathbf{a}}). \quad (2.12) $$

On peut avoir l'impression qu'il manque un facteur dans le membre gauche de (2.12) mais en réalité, il faut voir la $r + 1$-ième face (de degré 1) comme un second élément distingué, de sorte qu'il y a bien deux éléments distingués dans chacun des membres de (2.11) et (2.12).

Commençons par préciser la terminologie. On rappelle qu'une demi-arête est une arête donnée avec l'une de ses deux orientations. Pour une demi-arête $h$, on note $h^-$ son origine, $h^+$ sa cible, et $\text{rev}(h)$ son inverse (la même arête avec l'autre orientation). Il sera pratique de considérer les coins comme des demi-arêtes n'ayant pas d'origine, seulement une cible. En particulier, si $c$ est un coin, on notera $c^+$ le sommet incident. Par convention, distinguer un coin le « divise » en deux nouveaux coins. En d'autres termes, lorsque l'on distingue le même coin pour la seconde fois, on doit préciser lequel de ses deux côtés est distingué : voir la figure 2.33.
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 2.33. Les deux manières différentes de distinguer deux fois le même coin.</figcaption></figure>

**Définition 2.28** ⇐ chemin ⇐

Un chemin d'un sommet $v$ à un sommet $v'$ est une suite finie $P = (P_1, P_2, \dots, P_\ell)$ de demi-arêtes telles que $P_1^- = v$, pour $1 \le k \le \ell - 1$, $P_k^+ = P_{k+1}^-$, et $P_\ell^+ = v'$. Sa longueur est l'entier $[P] := \ell$. Par convention, le chemin vide a une longueur 0.

Un chemin $P$ est auto-évitant s'il ne visite pas deux fois le même sommet, c'est-à-dire

$$|\{P_1^-, \dots, P_{[P]}^-, P_{[P]}^+\}| = [P] + 1.$$

L'inverse du chemin $P = (P_1, P_2, \dots, P_\ell)$ est $\text{rev}(P) := (\text{rev}(P_\ell), \text{rev}(P_{\ell-1}), \dots, \text{rev}(P_1))$.

Soit $P$ un chemin. On note $P_{i \to j}$ le chemin $(P_i, \dots, P_j)$ si $1 \le i \le j \le [P]$, ou le chemin vide sinon. Si $q$ est un autre chemin satisfaisant $q_1^- = P_{[P]}^+$, on définit

$$P \bullet q := (P_1, \dots, P_{[P]}), q_1, \dots, q_{[q]}$$

la concaténation de $P$ avec $q$. La notion de distance que nous utilisons est encore la distance de graphe. La *géodésique la plus à gauche* d'un coin $c$ à un sommet ou à un coin est construite comme suit. Tout d'abord, on considère toutes les géodésiques de $c^+$ au sommet ou au sommet correspondant au coin. On prend l'ensemble de tous les premiers pas de ces géodésiques. En partant de $c$, on sélectionne la première demi-arête à sa gauche qui appartient à cet ensemble. Autrement dit, on tourne dans le sens horaire autour de $c^+$ et on sélectionne la première demi-arête de cet ensemble que l'on rencontre. On itère le processus à partir de cette demi-arête jusqu'à atteindre le sommet visé. Remarquons que ce chemin peut être vide si $c^+$ est le sommet visé, et qu'il s'agit d'une géodésique. La *géodésique la plus à droite* d'un coin à un sommet ou à un coin est définie de manière similaire, en remplaçant le mot *gauche* par le mot *droite* dans la définition précédente; voir la figure 2.34.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 2.34. Découpe d'une carte le long de la géodésique la plus à gauche $P$ d'un coin $c$ à un coin $c'$. Cela crée une copie gauche $\mathbb{L}$ et une copie droite $\mathbb{R}$ du chemin $P$. Les coins marqués et les noms des faces n'apparaissent pas.</figcaption></figure>

À l'aide de deux coins $c$ et $c'$ et d'un chemin auto-évitant $P$ allant de $c^+$ à $c'^+$ dans une carte $m$,
on peut découper la carte **m** le long de $\mathbb{P}$ du coin **c** au coin $c'$ en dédoublant chaque arête de $\mathbb{P}$. Dans l'objet résultant, il y a deux copies du chemin initial $\mathbb{P}$, une à gauche de $\mathbb{P}$ et une à sa droite. Celles-ci sont respectivement appelées *copie gauche* et *copie droite* de $\mathbb{P}$ : voir la figure 2.34.

**Remarque 2.29**

Notons que, si $c$ et $c'$ n'appartiennent pas à la même face de **m**, alors l'objet résultant est une carte, alors qu'il s'agit de deux cartes séparées si $c$ et $c'$ appartiennent à la même face de **m**.

On dit qu'un demi-arête $h$ s'approche d'un sommet $v$ si $d_m(h^+, v) < d_m(h^-, v)$, qu'elle s'éloigne de $v$ si $d_m(h^+, v) > d_m(h^-, v)$ et qu'elle est *parallèle* à $v$ si $d_m(h^+, v) = d_m(h^-, v)$. Dans les figures et pictogrammes suivants, on représente les demi-arêtes à l'aide de demi-pointes de flèche et on utilise les notations abrégées $\rightarrow v$ et $\leftarrow v$ pour signifier que l'on s'approche ou que l'on s'éloigne de $v$ : voir la figure 2.35. Si l'arête $e$ n'est pas parallèle au sommet $v$, on notera $\vec{ev}$ la demi-arête correspondante à $e$ qui s'approche de $v$. On utilisera également toutes les définitions précédentes pour un coin au lieu d'un sommet; dans ce cas, le sommet en question sera le sommet incident au coin. La géodésique *la plus à gauche* et la géodésique *la plus à droite* d'une demi-arête $h$, dirigée vers un sommet ou un coin, vers ce dernier sommet ou coin est définie par la procédure décrite précédemment, en prenant la demi-arête $h$ comme point de départ ($h$ ne fait pas partie de la géodésique).

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>**FIGURE 2.35.** Représentation pictographique d'une demi-arête $h$ s'approchant d'un sommet $v$, et d'une demi-arête $h'$ s'éloignant de $v$.</figcaption></figure>

On termine cette section par quelques faits élémentaires pour les cartes planes biparties et quasi-biparties, illustrés sur la figure 2.36. Rappelons que, d'après le théorème de Jordan, un cycle dans une carte plane sépare toujours la carte en exactement deux composantes connexes.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>**FIGURE 2.36.** Illustration de la proposition 2.30. Le nombre à côté d'un sommet représente la distance de ce sommet à un sommet fixé non représenté. À gauche. Une face dans une carte bipartie. La moitié des demi-arêtes s'approchent du sommet fixé. À droite. Une face de degré impair dans une carte quasibipartie. Une arête est parallèle au sommet fixé et exactement la moitié des demi-arêtes restantes s'approchent du sommet fixé.</figcaption></figure>
**Proposition 2.30** — répartition des demi-arêtes incidentes à une face [Bet20] —

(i) Dans une carte bipartie, aucune arête ne peut être parallèle à un sommet. Plus précisément, pour une face donnée et un sommet donné, exactement la moitié des demi-arêtes incidentes à la face s'approchent du sommet, l'autre moitié s'en éloignant.

(ii) Dans une carte quasibipartie, un cycle a une longueur impaire si et seulement s'il sépare les deux faces de degrés impairs. De plus, pour tout sommet $v$ fixé, parmi les a demi-arêtes incidentes à une face de degré impair, exactement une est parallèle à $v$, exactement $(a-1)/2$ s'approchent de $v$ et exactement $(a-1)/2$ s'éloignent de $v$. Pour une face de degré pair, zéro ou deux de ses demi-arêtes incidentes sont parallèles à $v$, et les demi-arêtes incidentes restantes sont également réparties entre celles qui s'approchent de $v$ et celles qui s'éloignent de $v$.

## 2.3.2 Ajout de deux coins

### 2.3.2.1 Ajout à la même face

On fixe un $r$-uplet $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_r) \in (2\mathbb{N}^*)^r$ et on définit $\tilde{\mathbf{a}} := (a_1 + 2, a_2, \dots, a_r)$ comme dans l'énoncé de la proposition 2.24. On considère, d'une part, l'ensemble $\mathcal{M}$ des quadruples $(\mathbf{m}; e, c, c')$ où $\mathbf{m}$ est une carte plane de type $\mathbf{a}$, $e$ est une arête distinguée et $c, c'$ sont deux coins distingués de la face $f_1$. D'autre part, on considère l'ensemble $\tilde{\mathcal{M}}$ des quadruples $(\tilde{\mathbf{m}}; v, h, h')$ où $\tilde{\mathbf{m}}$ est une carte plane de type $\tilde{\mathbf{a}}$ ayant un sommet distingué $v$ et deux demi-arêtes distinguées distinctes $h$ et $h'$ incidentes à la face $f_1$, et qui s'approchent de $v$. Le pictogramme suivant résume ces définitions (le +2 rouge à droite signifie que la taille de $f_1$ a augmenté de 2, et la pointe de flèche rouge est le coin marqué de $f_1$):

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

La proposition 2.30.(i) permet de voir que les cardinaux des ensembles $\mathcal{M}$ et $\tilde{\mathcal{M}}$ sont exactement les membres de (2.9), rappelée ci-dessus. On présente maintenant une bijection explicite entre ces deux ensembles, qui donne ainsi une interprétation combinatoire de la proposition 2.24. Voir les figures 2.37 et 2.38.

Pour un quadruple $(\mathbf{m}; e, c, c') \in \mathcal{M}$, puisque $\mathbf{m}$ est bipartie, l'arête $e$ ne peut pas être parallèle à $c$; les demi-arêtes $\tilde{e}^c$ et $\tilde{e}^{c'}$ sont donc bien définies. On dit que $(\mathbf{m}; e, c, c')$ est *simple* si $\tilde{e}^c = \text{rev}(\tilde{e}^{c'})$, et *pincé* si $\tilde{e}^{c'} = \tilde{e}^{c}$.
**Ajout de deux coins à la même face (cas simple).** Soit $(\mathfrak{m}; e, c, c') \in \mathcal{M}$ un quadruple simple.

**Étape a. Définition du chemin.** On note $\mathcal{C}$ la géodésique la plus à droite de $\vec{e}^c$ à $c$ et $\mathcal{C}'$ la géodésique la plus à droite de $\vec{e}^{c'}$ à $c'$ et on définit le chemin *auto-évitant* $\mathbb{P} := \text{rev}(\mathcal{C}) \bullet \vec{e}^c \bullet \mathcal{C}'$.

**Étape b. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\mathfrak{m}$ le long de $\mathbb{P}$ de $c$ à $c'$, notant $\mathbb{I}$ et $\mathfrak{r}$ les copies gauche et droite de $\mathbb{P}$ dans les cartes obtenues. On recolle $\mathbb{I}_{1\to[\mathbb{P}]-1}$ sur $\mathfrak{r}_{2\to[\mathbb{P}]}$, dans le sens où l'on identifie $\mathbb{I}_k$ avec $\mathfrak{r}_{k+1}$ pour $1 \le k \le [\mathbb{P}] - 1$.

**Étape c. Marquage.** On note $\tilde{\mathfrak{m}}$ la carte finalement obtenue et on définit comme résultat de la construction le quadruple $(\tilde{\mathfrak{m}}; \mathbb{I}_{[\mathcal{C}]}^{+}, \mathfrak{r}_1, \text{rev}(\mathbb{I})_1)$.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 2.37. La construction de $\tilde{\mathcal{M}}$ à $\tilde{\mathcal{M}}$ dans le cas simple. À l'aide des éléments distingués $c, c'$ et $e$, on définit le chemin $\mathbb{P}$. Ensuite, on découpe le long de $\mathbb{P}$ puis on recolle après un léger décalage. On obtient une carte ayant trois éléments distingués, $h, h'$ et $v$. On a ainsi ajouté 2 coins à la face $f_1$ non bornée. Sur cette figure, le seul coin marqué représenté est celui de $f_1$.</figcaption></figure>
**Ajout de deux coins à la même face (cas pincé).** Soit $(\mathfrak{m}; e, c, c') \in \mathcal{M}$ un quadruple pincé.

**Étape a. Définition du chemin.** On note $\mathcal{C}$ la géodésique la plus à droite de $\vec{e}^c$ à $c$ et $\mathcal{C}'$ la géodésique la plus à droite de $\vec{e}^{c'}$ à $c'$ et on définit le chemin $\mathcal{P} := \text{rev}(\mathcal{C}) \bullet \text{rev}(\vec{e}^c) \bullet \vec{e}^{c'} \bullet \mathcal{C}'$.

Posant $i \ge 1$ le plus petit entier tel que $\mathcal{C}_i \ne \mathcal{C}'_i$, on a alors $\{\mathcal{C}_i^+, \dots, \mathcal{C}_{[\mathcal{C}]}^+\} \cap \{\mathcal{C}'_i^+, \dots, \mathcal{C}^{'+}_{[\mathcal{C}']}\} = \emptyset$ par définition des géodésiques les plus à droite. Le chemin $\mathcal{P}$ est ainsi composé du chemin auto-évitant $\text{rev}(\mathcal{C}_{i \to [\mathcal{C}]} \bullet \mathcal{C}'_{i \to [\mathcal{C}']})$ avec le chemin auto-évitant $\vec{e}^c \bullet \mathcal{C}_{1 \to i-1}$ (visité deux fois, d'abord à l'envers puis à l'endroit), greffé soit à sa gauche soit à sa droite.

**Étape b. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\mathfrak{m}$ le long de $\mathcal{P}$ de $c$ à $c'$, en contournant la partie pincée. Cela divise encore $\mathfrak{m}$ en deux sous-cartes avec une copie de $\mathcal{P}$ sur leurs bords mais, cette fois, une des copies est un chemin auto-évitant tandis que l'autre copie va et vient le long d'une « chaîne pendante » de $i$ arêtes à un moment donné. On note toujours les copies gauche et droite de $\mathcal{P}$ par $\mathbb{I}$ et $\mathbb{R}$ et on recolle $\mathbb{I}_{1 \to [\mathcal{P}]-1}$ sur $\mathbb{R}_{2 \to [\mathcal{P}]}$.

**Étape c. Marquage.** On note $\tilde{\mathfrak{m}}$ la carte finalement obtenue et on définit comme résultat de la construction le quadruple $(\tilde{\mathfrak{m}}; v, \mathbb{r}_1, \text{rev}(\mathbb{I})_1)$, où $v$ est le sommet à la pointe de la chaîne pendante.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>**FIGURE 2.38.** La construction de $\tilde{\mathcal{M}}$ à $\tilde{\mathcal{M}}$ dans le cas pincé. À l'aide des éléments distingués $c, c'$ et $e$, on définit le chemin $\mathcal{P}$. Ensuite, on découpe le long de $\mathcal{P}$ puis on recolle après un léger décalage, en contournant maintenant sa partie pincée. On obtient une carte ayant trois éléments distingués, $h, h'$ et $v$.</figcaption></figure>
On passe à la construction inverse, illustrée sur la figure 2.39. Le fait que cette construction est bien l'inverse de la construction précédente deviendra plus clair au cours de la section 2.3.3.

**Suppression de deux coins à la même face** Soit un quadruple $(\tilde{m}; v, h, h') \in \tilde{M}$.

**Étape A. Définition du chemin.** On considère le coin $c_h$ délimité par $h$ et son prédécesseur dans le contour de la face $f_1$ de $\tilde{m}$, et on note $\mathbb{h}$ la géodésique la plus à gauche de ce coin à $v$. On définit $c_{h'}$ et $\mathbb{h}'$ de la même manière avec $h'$ au lieu de $h$ et on pose $p' := \mathbb{h} \cdot \text{rev}(\mathbb{h}')$.

Comme $h$ s'approche de $v$, on a $[\mathbb{h}] \ge 1$ et $\mathbb{h}_1 = h$. Selon que $\mathbb{h}$ et $\mathbb{h}'$ se rencontrent avant d'atteindre $v$ ou non, le chemin $p'$ est soit auto-évitant, soit pincé au sens précédent.

**Étape B. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\tilde{m}$ le long de $p'$ de $c_h$ à $c_{h'}$, notant $\mathbb{l}'$ et $\mathbb{r}'$ les copies gauche et droite de $p'$ dans les cartes résultantes. On recolle $\mathbb{l}'_{2 \to [p']}$ sur $\mathbb{r}'_{1 \to [p']-1}$.

**Étape C. Marquage.** Dans la carte obtenue, $\mathbb{l}'_1$ et $(\text{rev}(\mathbb{r}'))_1$ sont des arêtes pendantes. On les supprime et on note respectivement $c$ et $c'$ les coins correspondant. On note $\mathbf{m}$ la carte que l'on obtient, $e$ l'arête correspondant à $\mathbb{l}'_{[\mathbb{h}]+1}$, et on définit comme résultat de la construction le quadruple $(\mathbf{m}; e, c, c')$.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>**FIGURE 2.39.** La construction de $\tilde{M}$ à $M$ (dans le cas simple sur cet exemple). À l'aide des éléments distingués $h, h'$ et $v$, on définit le chemin $p'$. Ensuite, on découpe le long de $p'$ puis on recolle après un léger décalage, en contournant sa partie pincée le cas échéant. Le sens dans lequel on effectue le décalage est l'inverse du sens utilisé dans la bijection d'ajout de coins. On obtient une carte ayant trois éléments distingués, $c, c'$ et $e$. On a ainsi supprimé 2 coins à la face $f_1$ non bornée. Sur cette figure, le seul coin marqué représenté est celui de $f_1$.</figcaption></figure>
### 2.3.2.2 Ajout à deux faces différentes

On utilise maintenant le cadre de la proposition 2.25 : on fixe $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_r) \in (2\mathbb{N}^*)^r$ et on définit $\tilde{\mathbf{a}} := (a_1 + 1, a_2 + 1, a_3, \dots, a_r)$. Soit $\mathcal{M}$ l'ensemble<fnref n="11" /> des quadruples $(\mathbf{m}; e, c, c')$ consistant en une carte plane $\mathbf{m}$ de type $\mathbf{a}$ ayant une arête distinguée $e$, un coin distingué $c$ dans la face $f_1$ et un coin distingué $c'$ dans la seconde face. Soit $\tilde{\mathcal{M}}$ l'ensemble des quadruples $(\tilde{\mathbf{m}}; v, h, h')$ où $\tilde{\mathbf{m}}$ est une carte plane de type $\tilde{\mathbf{a}}$ ayant un sommet distingué $v$ et deux demi-arêtes distinguées $h$ et $h'$ s'en approchant, $h$ étant incidente à $f_1$ et $h'$ étant incidente à $f_2$.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Le cardinal de $\mathcal{M}$ est clairement égal au membre gauche de (2.10) et on voit que celui de $\tilde{\mathcal{M}}$ est égal au membre droit de (2.10) grâce à la proposition 2.30.(ii). Les bijections interprétant la proposition 2.25 sont décrites exactement comme dans la section précédente : voir la figure 2.40. La seule différence est que les chemins $p$ et $p'$ ne déconnectent plus les cartes (cf. la remarque 2.29) ; cela n'a aucun effet sur la description des constructions.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 2.40. La construction de $\mathcal{M}$ à $\tilde{\mathcal{M}}$ dans le cas pincé.</figcaption></figure>

### 2.3.3 Transfert d'un coin

Voyons maintenant comment les bijections précédentes peuvent être décomposées en deux bijections plus élémentaires. Plus précisément, dans nos constructions, nous avons utilisé une arête $e$ et

<footnote n="11">11. Afin de ne pas surcharger les notations, on note encore $\mathcal{M}$ et $\tilde{\mathcal{M}}$ les ensembles en bijection, bien que leur définition change d'une section à l'autre.</footnote>
**Transfert d'un coin en s'approchant (par la gauche).** Soit $(\mathbf{m}; c, h') \in \mathcal{M}$.

**Étape α. Définition du chemin.** On considère le coin $c_{h'}$ délimité par $h'$ et son **prédécesseur** dans le contour de $f_{r+1}$, et on note $\mathbb{h}'$ la géodésique la plus à gauche de $c_{h'}$ à $c$.

**Étape β. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\mathbf{m}$ le long de $\mathbb{h}'$ de $c_{h'}$ à $c$, notant $\mathbb{I}'$ et $\mathbb{r}'$ les copies gauche et droite de $\mathbb{h}'$ dans la carte résultante. On recolle $\mathbb{I}'_{2 \to [\mathbb{h}']}$ sur $\mathbb{r}'_{1 \to [\mathbb{h}']-1}$.

**Étape γ. Marquage.** Dans la carte obtenue, on note $\mathbf{h}$ la demi-arête $\mathbb{r}'_{[\mathbb{h}']}$, on supprime l'arête pendante $\mathbb{I}'_1$ et on note $\mathbf{c}'$ le coin correspondant. Soit $\tilde{\mathbf{m}}$ la carte finale et $\Phi_{\text{left}}(\mathbf{m}; c, h') := (\tilde{\mathbf{m}}; c', h)$.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>**FIGURE 2.41.** Bijection de transfert à partir d'une face de degré au moins 2. Le fait que, sur cet exemple, le chemin de décalage touche l'autre face de degré impair est purement fortuit.</figcaption></figure>
**Transfert d'un coin en s'éloignant (par la droite).** Soit $(\tilde{m}; c', h) \in \tilde{M}$.

**Étape A. Définition du chemin.** On considère le coin $c_h$ délimité par $h$ et son **successeur** dans le contour de $f_1$, et on note $\mathbb{h}$ la géodésique la plus à droite de $c_h$ à $c'$.

**Étape B. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\tilde{m}$ le long de $\mathbb{h}$ de $c_h$ à $c'$, notant $\mathbb{l}$ et $\mathbb{r}$ les copies gauche et droite de $\mathbb{h}$ dans la carte résultante. On recolle $\mathbb{l}_{1\to[\mathbb{h}]-1}$ sur $\mathbb{r}_{2\to[\mathbb{h}]}$.

**Étape Γ. Marquage.** Dans la carte obtenue, on note $h'$ la demi-arête $\text{rev}(\mathbb{l})_1$, on supprime l'arête pendante $\mathbb{r}_1$ et on note $c$ le coin correspondant. Soit $\mathbf{m}$ la carte finale et $\Phi_{\text{right}}(\tilde{\mathbf{m}}; c', h) := (\mathbf{m}; c, h')$.

**Théorème 2.31** * bijections de transfert sans face de degré un [Bet20]*

Les applications $\Phi_{\text{left}} : \mathcal{M} \to \tilde{\mathcal{M}}$ et $\Phi_{\text{right}} : \tilde{\mathcal{M}} \to \mathcal{M}$ sont des bijections, inverse l'une de l'autre.

Nous incluons la preuve car elle est très courte et permet de mieux comprendre la nécessité d'utiliser des géodésiques les plus à gauche dans un sens et les plus à droite dans le sens inverse.

**Démonstration.** Les types des cartes sont clairement les bons. Les applications prennent leurs valeurs dans les ensembles annoncés et sont inverse l'une de l'autre, à condition de vérifier que les chemins de décalage correspondent et que les demi-arêtes distinguées sont orientées comme voulu.

Soit $(\mathbf{m}; c, h') \in \mathcal{M}$ et $(\tilde{\mathbf{m}}; c', h) := \Phi_{\text{left}}(\mathbf{m}; c, h')$. Vérifions que l'image dans $\tilde{\mathbf{m}}$ de $\text{rev}(\mathbb{r}')$ est $\mathbb{h}$. Cela impliquera que $h$ s'éloigne de $c'$, donc que $(\tilde{\mathbf{m}}; c', h) \in \tilde{\mathcal{M}}$, et que $\Phi_{\text{right}} \circ \Phi_{\text{left}}$ est l'identité sur $\mathcal{M}$.

Avec la figure 2.42 comme aide visuelle, on raisonne par l'absurde en supposant que $\mathbb{h} \neq \text{rev}(\mathbb{r}')$ (on note encore $\text{rev}(\mathbb{r}')$ son image dans $\tilde{\mathbf{m}}$). Alors $\mathbb{h}$ doit quitter le chemin $\text{rev}(\mathbb{r}')$ à un certain point (partant à gauche ou à droite) et y revenir à un autre point (par sa gauche ou par sa droite). On vérifie que ces quatre possibilités contredisent le fait que $\mathbb{h}'$ est la géodésique la plus à gauche de $c_{h'}$ à $c$.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>**FIGURE 2.42.** La géodésique la plus à gauche $\mathbb{h}'$ de $c_{h'}$ à $c$ (dans $\mathbf{m}$) devient la géodésique la plus à droite $\mathbb{h}$ de $c_h$ à $c'$ (dans $\tilde{\mathbf{m}}$). La figure se lit en regardant d'abord à gauche où sont représentées quatre possibilités dans $\tilde{\mathbf{m}}$. L'image de $\mathbb{h}'$ devient $\mathbb{r}'$ dans $\tilde{\mathbf{m}}$ et est représentée en rouge. Si $\mathbb{h} \neq \text{rev}(\mathbb{r}')$, alors il emprunte l'un des chemins violets; le symbole $\le$ (resp. $<$) indique que la longueur du chemin violet est inférieure (resp. strictement inférieure) à la longueur de la partie contournée. On retrace alors la situation initiale dans $\mathbf{m}$ avant le décalage sur la droite de la figure. On observe que chacune des quatre possibilités contredit la définition de $\mathbb{h}'$.</figcaption></figure>
On montre que $\Phi_{\text{right}}$ est à valeurs dans $\mathcal{M}$ et que $\Phi_{\text{left}} \circ \Phi_{\text{right}}$ est l'identité sur $\tilde{\mathcal{M}}$ de même. ✡

### 2.3.3.2 Transfert à partir d'une face de degré un

Passons maintenant à la proposition 2.27. Soit $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_r, 1)$ un $r+1$-uplet d'entiers strictement positifs avec deux coordonnées impaires et soit $\tilde{\mathbf{a}} = (\tilde{a}_1, \dots, \tilde{a}_r) := (a_1 + 1, a_2, \dots, a_r)$. Soit $\mathcal{M}$ l'ensemble des cartes planes de type $\mathbf{a}$ ayant un coin distingué dans la face $f_1$ et $\tilde{\mathcal{M}}$ l'ensemble des cartes planes de type $\tilde{\mathbf{a}}$ ayant un sommet distingué $v$ et une demi-arête distinguée incidente à la face $f_1$ s'approchant de $v$.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Les constructions sont très similaires aux précédentes; voir la figure 2.43.

**Transfert d'un coin d'une face de degré un (par la droite).** Soit $(\mathbf{m}; c) \in \mathcal{M}$.

**Étape A. Définition du chemin.** Soit $\mathbb{P}$ la géodésique la plus à droite de l'unique coin de $f_{r+1}$ à $c$.

**Étape B. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\mathbf{m}$ le long de $\mathbb{P}$ de l'unique coin de $f_{r+1}$ à $c$, notant $\mathbb{l}$ et $\mathbb{r}$ les copies gauche et droite de $\mathbb{P}$ dans la carte résultante. On définit de plus $\mathbb{l}_0$ comme l'inverse de l'unique demi-arête incidente à $f_{r+1}$. On recolle $\mathbb{l}_{0 \to [\mathbb{P}]-1}$ sur $\mathbb{r}_{1 \to [\mathbb{P}]}$, supprimant ainsi $f_{r+1}$.

**Étape Γ. Marquage.** Dans la carte obtenue, on note $\mathbb{h}$ la demi-arête $\text{rev}(\mathbb{l})_1$ et $\mathbb{v}$ le sommet $\mathbb{l}_0^-$. On note alors $\tilde{\mathbf{m}}$ la carte finale et on définit $\Phi_{\text{right}}^{1}(\mathbf{m}; c) := (\tilde{\mathbf{m}}; v, h)$.

**Transfert d'un coin en s'approchant (par la gauche).** Soit $(\tilde{\mathbf{m}}; v, h) \in \tilde{\mathcal{M}}$.

**Étape α. Définition du chemin.** On considère le coin $c_h$ délimité par $\mathbb{h}$ et son **prédécesseur** dans le contour de $f_1$, et on note $\mathbb{P}'$ la géodésique la plus à gauche de $c_h$ à $v$.

**Étape β. Découpe, décalage, recollement.** On découpe $\tilde{\mathbf{m}}$ le long de $\mathbb{P}'$ à partir de $c_h$ et on s'arrête à $v$, sans déconnecter la carte au niveau de $v$. On note $\mathbb{l}'$ et $\mathbb{r}'$ les copies gauche et droite de $\mathbb{P}'$ dans la carte résultante. On recolle $\mathbb{l}'_{2 \to [\mathbb{P}']}$ sur $\mathbb{r}'_{1 \to [\mathbb{P}']-1}$, créant ainsi une nouvelle face de degré 1, que l'on nomme $f_{r+1}$.

**Étape γ. Marquage.** Dans la carte obtenue, on supprime l'arête pendante $\mathbb{l}'_1$ et on note $c$ le coin correspondant. On note $\mathbf{m}$ la carte finale et on définit $\Phi_{\text{left}}^{1}(\tilde{\mathbf{m}}; v, h) := (\mathbf{m}; c)$.
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 2.43. Les bijections de transfert dans le cas d'une face de degré 1.</figcaption></figure>

Théorème 2.32 ♦ bijections de transfert avec une face de degré un [Bet20] ♦

Les applications $\Phi_{\text{right}}^{1} : \mathcal{M} \to \tilde{\mathcal{M}}$ et $\Phi_{\text{left}}^{1} : \tilde{\mathcal{M}} \to \mathcal{M}$ sont des bijections, inverse l'une de l'autre.

### 2.3.3.3 Décomposition des bijections d'ajout / suppression de coins en bijections de transfert

Pour terminer, expliquons sur les figures 2.44 et 2.45 comment les bijections d'ajout / suppression de coins peuvent s'obtenir comme composées de deux bijections de transfert. On considère un *r*-uplet $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_r)$ d'entiers pairs strictement positifs et une carte *m* de type *a* avec une arête distinguée *e* et deux coins distingués *c* et *c'* (soit de la même face soit de deux faces différentes). On définit d'abord la carte $\mathbf{m}'$ de type $(a_1, \dots, a_r, 2)$ en remplaçant l'arête distinguée *e* par une *r* + 1-ième face $f_{r+1}$ de degré 2 en dédoublant l'arête *e*; le coin marqué de cette face est choisi arbitrairement. Soit ensuite $\mathbf{h}''$ l'unique demi-arête incidente à $f_{r+1}$ qui s'éloigne de *c*. On définit $(\mathbf{m}''; c'', \mathbf{h}') := \Phi_{\text{right}}(\mathbf{m}'; c, \mathbf{h}'')$, tout en gardant la trace de *c'* dans la carte résultante. La carte $\mathbf{m}''$ est de type $(a_1 + 1, a_2, \dots, a_r, 1)$ et on
déginit finalement $(\tilde{m}; v, h') := \Phi_{\text{right}}^{1}(m''; c')$, tout en gardant la trace de $h$ dans la carte résultante.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 2.44. À lire de haut en bas. Décomposition d'une bijection d'ajout / suppression en deux bijections de transfert dans le cas simple. On part d'une carte avec deux coins *c* et *c'* et une arête *e*. On remplace *e* par une face supplémentaire de degré 2. On transfère un coin de cette nouvelle face vers *c*, créant ainsi une arête orientée *h*. Enfin, on transfère le coin restant de la nouvelle face vers *c'*, la face devient un sommet *v* et on crée une arête orientée *h'*. On a ainsi ajouté 1 degré au voisinage de chaque coin *c* et *c'*.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 2.45. Décomposition d'une bijection d'ajout / suppression en deux bijections de transfert dans le cas pincé. À lire de haut en bas.</figcaption></figure>

Nous prétendons que $(\tilde{m}; v, h, h')$ est le résultat de la bijection d'ajout / suppression de l'une des sections 2.3.3.1 ou 2.3.3.2. Dans **m**, la bijection d'ajout / suppression utilise deux géodésiques, l'une dirigée vers *c* et l'autre dirigée vers *c'*. Clairement, dans l'application de $\Phi_{\text{right}}$ à $(\tilde{m}'; c, h'')$, le chemin de décalage dans **m'** correspond à la géodésique dirigée vers *c*. Il suffit alors de vérifier que l'image dans **m''** de la géodésique dirigée vers *c'* correspond au chemin de décalage utilisé par $\Phi_{\text{right}}^1$. Cela provient du fait que l'application $\Phi_{\text{right}}$ ne modifie la carte que le long de la géodésique dirigée vers *c*, qui, par définition, ne peut traverser la géodésique dirigée vers *c'*.
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