<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# L'analyse intrinsèque des distributions de probabilité

Étienne Halphen

► To cite this version:

Étienne Halphen. L'analyse intrinsèque des distributions de probabilité. Annales de l'ISUP, 1957, VI (2), pp.79-159. hal-04093719

HAL Id: hal-04093719

https://hal.science/hal-04093719

Submitted on 10 May 2023

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
8°V
64396
(6,II)

ÉTATIONS DE L'INSTITUT DE STATISTIQUE
DE L'UNIVERSITÉ DE PARIS

MÉMOIRES ET CONFERENCES SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS.
LA STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE, L'ÉCONOMÉTRIE

Comité de Direction : A. BARRIOL, H. BUNLE, L.-F. CLOSON, J. COMPEYROT, G. DARMOIS, F. DIVISIA, E. MORICE, J. RUEFF.

Rédaction : M. FRÉCHET, G. DARMOIS, M. ALLAIS, R. ROY, R. RIVET

Secrétaire de la Rédaction : D. DUGUÉ

ÉTIENNE HALPHEN

L'ANALYSE INTRINSÈQUE
DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ

(Mémoire écrit par Etienne Halphen en 1939-1940
non publié à l'époque en raison des événements)

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

VOL. VI - FASCICULE 2 - 1957

PARIS
11, Rue Pierre Curie
Toute la correspondance relative aux publications
doit être envoyée à l'adresse :

INSTITUT DE STATISTIQUE DE L'UNIVERSITE DE PARIS

INSTITUT HENRI POINCARÉ - 11, Rue Pierre Curie - PARIS (V°)

Les manuscrits doivent être envoyés à M. Daniel DUGUÉ,
à l'adresse précédente.
MÉMOIRES ET CONFÉRENCES SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS,
LA STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE, L'ÉCONOMÉTRIE

Comité de Direction : A. BARRIOL, H. BUNLE, L.-F. CLOSON, J. COMPEYROT, G. DARMOIS, F. DIVISIA, E. MORICE, J. RUEFF.

Rédaction : M. FRÉCHET, G. DARMOIS, M. ALLAIS, R. ROY, R. RIVET

Secrétaire de la Rédaction : D. DUGUÉ

ÉTIENNE HALPHEN

L'ANALYSE INTRINSÈQUE
DES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ

(Mémoire écrit par Etienne Halphen en 1939-1940
non publié à l'époque en raison des événements)

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

VOL. VI - FASCICULE 2 - 1957

PARIS
11, Rue Pierre Curie

DL 311.1957.1957.0
# INTRODUCTION

On sait que la géométrie venue vraisemblablement au jour sous des influences utilitaires, a cependant précédé de beaucoup par son développement théorique la science expérimentale : il en est résulté que la physique moderne, née quelque deux mille ans après Euclide a attendu trois siècles avant de se demander si le schéma euclidien était bien le plus adéquat à l'expérimentation. De même, lorsque la statistique scientifique s'est constituée, elle s'est trouvée avoir à sa disposition, dans le calcul des probabilités, un instrument théorique déjà perfectionné, et dont les usagers avaient acquis certaines habitudes de pensée. Parmi ces habitudes, la plus importante consistait à "penser continu" : que ce soit là une nécessité pratique, ce n'est pas contestable, le continu étant le seul objet sur lequel le mathématicien sache travailler efficacement. Mais les statisticiens savent bien que l'expérience sur laquelle ils opèrent est essentiellement discontinue.

Si j'insiste sur une idée aussi évidente, c'est qu'elle est généralement admise d'une manière trop implicite pour être consciente ; et c'est qu'en outre, si cette idée n'a pas grande importance pratique dans les calculs habituels, au contraire, les calculs que je vais développer par la suite n'auraient aucun sens si l'essentielle discontinuité des faits statistiques n'était pas constamment présente à l'esprit.

Eclairons cette remarque par un exemple :

Le type des lois de probabilité dites "continues" est certainement la loi des erreurs d'observations. Pour fixer les idées, si l'on mesure à la chaîne d'arpenteur la distance de deux lieux géographiques A et B, on trouvera des résultats qui varieront suivant une loi de GAUSS autour d'une valeur moyenne $\ell_0$.

La probabilité d'un écart moindre que x sera, dit-on

$$ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{x} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx = F(x) $$

$F(x)$ étant une fonction continue de x. Mais si l'on regarde de plus près, on se rendra compte qu'il est parfaitement absurde de considérer x comme une variable continue.
Indépendamment de la précision pratique du procédé (qui sera au
mieux de l'ordre du centimètre pour $l_0$ = 10 kilomètres), nous sommes
incapables de concevoir x écrit en milliardièmes de microns par exem-
ple (!) puisque nous sommes incapables de faire sur les instruments de
mesure que nous possédons une lecture de cet ordre de grandeur !

Nous ne rencontrerons donc jamais, avec nos instruments actuels, de
résultat numérique, même faux, avec plus d'un certain nombre de déci-
males : à supposer, par exemple, qu'il nous prenne fantaisie de déterminer
la mesure précédente de $l_0$ à l'aide d'un cathétomètre, x ne varierait
cependant pas de quantités inférieures au millième de micron. En sorte
que F (x) n'est définie, expérimentalement, que pour des valeurs discrè-
tes $x_1, x_2, \text{etc...}$. Si donc on persiste à utiliser, parce que plus commode,
la fonction de variable continue F (x), on devra ajouter la donnée de la
plus petite différence $x_2 - x_1$ possédant un sens expérimental. Nous appel-
lerons cette différence "seuil de repérage".

Ainsi donc, les résultats expérimentaux sur lesquels travaille le
statisticien forment toujours un ensemble discontinu - fini ou dénombra-
ble -, mais qu'il peut être commode de représenter par une (ou plusieurs)
variable continue : on précisera seulement que cette dernière doit être
"quantifiée", c'est-à-dire ne recevoir que certaines valeurs $x_i$.

La façon la plus simple de "quantifier" x est de supposer que les $x_i$ sont en progression arithmétique, et de donner la raison $I$ de cette pro- gression. Une variable x remplissant cette condition est plus adéquate qu'une autre à répéter le phénomène étudié ; nous l'appellerons une "variable propre".

En résumé, tandis que le mathématicien se contente de la fonction de
probabilité F (x), le statisticien doit en outre avoir présent à l'esprit les
notions de *variable propre* et de *seuil de repérage*.

Ces notions élucident complètement, par exemple, les classiques
"paradoxes" des probabilités géométriques. Il est clair par exemple que
si l'on choisit deux points au hasard sur une circonférence, la longueur de
la corde qui les joint n'est pas une "variable propre" : il suffit de se
représenter le cercle comme formé de cases d'égale grandeur, à la façon
d'un jeu de roulette : les longueurs des diverses cordes correspondantes
ne sont pas en progression arithmétique.

Ajoutons un mot : nous appellerons toujours événements les faits
dont nous étudions la probabilité d'apparition, qu'il s'agisse d'évènements
naturels, de résultats d'expérience, ou n'importe.
OBJET DE CES RECHERCHES

Dans les recherches habituelles, il est généralement admis que le
statisticien connaît, ou peut connaître, non seulement les probabilités des
événements, mais encore la (ou les) variable propre. Si l'on suppose
effectivement que cette variable soit unique, il n'y a pas de difficulté sauf
en ce qui concerne l'ordre des événements. Mais prenons l'exemple
suivant :

Etude du tir à la cible, le seuil de repérage étant de un millimètre.

On peut recouvrir la cible d'une courbe spiralée ou oscillante ayant
un "pas" de un millimètre ; puis, sur cette courbe, mesurer au millimètre
l'abscisse curviligne S, du point d'impact ; S sera évidemment une très
mauvaise variable de repérage, et, pour des raisons géométriques, nous
considérerons qu'il faut ici introduire deux variables, x et y : ce sont elles
qui devront être regardées comme variables propres.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Mais ce problème du choix des variables propres ne peut pas toujours
être résolu directement. Cela tient d'une part à ce que la notion même de
variable propre n'est pas toujours très claire : Par exemple, au jeu de la
rotoulette on regarde comme événements distincts la chute de la bille dans
chacune des 35 cases, abstraction faite ou non du nombre de tours de
circonférence accomplis par la bille avant de s'immobiliser.Si l'on note x
la case et y le nombre de tours, on obtient une description statistique du
résultat beaucoup moins suggestive qu'avec la seule variable x + 35 y,
laquelle suit sensiblement une loi de GAUSS.
D'autre part, il existe des cas où l'expérience ne fournit en aucune manière de variables propres, parce que de telles variables sont absurdes, au moins jusqu'à nouvel ordre ; supposons que l'on étudie la probabilité pour qu'un homme pris au hasard parmi les quelque deux milliards d'habitants de la terre parle le français, ou l'anglais, ou telle autre langue ; ces langues sont en si grand nombre qu'il serait avantageux d'introduire dans le problème des méthodes continues. Pourtant on ne peut certainement pas choisir rationnellement de variables de repérage, les faits lin guistiques n'étant pas véritablement des faits "ordonnés".

Les faits statistiques non ordonnés, voilà ce que nous allons tenter d'étudier. Une telle étude pourra n'avoir pas d'autre fin qu'elle-même. - D'autres fois, nous pourrons être plus ambitieux :

Par exemple, il est vraisemblable que les traits du caractère humain, impossibles à ordonner pour la plupart, sont des conséquences de la structure des chromosomes ; cette dernière est probablement, elle, susceptible d'être caractérisée par des variables aléatoires, donc d'être ordonnée. En étudiant les fréquences des traits psychologiques, on peut espérer reconstituer l'ordre caché des phénomènes à l'échelle germinale.
# POSITION DU PROBLÈME

Soit un ensemble d'événements $e_1, e_2, \dots, e_i, \dots, e_n$. Au cours de N épreuves, ces événements se sont produits respectivement $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ fois. Nous nous proposons d'étudier l'allure"de la distribution $\frac{\alpha_1}{N}, \dots, \frac{\alpha_n}{N}$, et, plus précisément, de comparer cette distribution à un ensemble de nombres $p_1, \dots, p_n$, indépendamment de leur ordre, de manière à estimer si les événements $\{ e_i \}$ peuvent être rangés dans un ordre où le $k^{\text{ème}}$ événement soit regardé comme possédant la probabilité $p_k$.

L'idée la plus simple qui vienne à l'esprit est de ranger les $\alpha_i$ par ordre décroissant, les $p_k$ de même, et de comparer rang à rang. Cette méthode, outre qu'elle se prêterait beaucoup plus mal aux études théoriques qu'à une réalisation numérique, est absolument inadmissible. Les $\alpha_k$ ont en effet, avec les $N p_k$ des écarts pouvant être considérables et de signe quelconque : la probabilité pour que leur ordre de grandeur décroissant soit précisément celui des $p_k$ correspondants, sera, dans les cas usuels, très loin de l'unité. C'est donc à une comparaison en bloc qu'il faut recourir, et pour cela nous chercherons à former des fonctions de $p_1, \dots, p_k, \dots, p_n$ analogues aux moments classiques.
P''... P'' analogues aux moments classiques, reprendra, et pour cela nous chercheraons à former des fonctions de P''... cannel, très lour de l'unité. C'est donc à une comparaison en diop de l'unité sont décisément celui des P'' correspondants, seraient dans les cases quelconque : la probabilité pour que leur ordre de grandeur décrit soit décisément celui des P'' correspondants, seraient dans les cases quelconque : la probabilité pour que leur ordre de grandeur décrit soit décisément celui des P'' correspondants, seraient dans les cases quelconque : la probabilité pour que leur ordre de grandeur décrit est un effet, avec les MP'' des scarts pouvait être considérablement et de plus qu'une réalisation numérique, est absolument indissimtable. Les a'' modifiées, outre qu'elle se présentait beaucoup plus mal aux études hypothético-ordre décroissant, les P'' de même, et de comparables tend à regarder. Cette p''tôt est plus simple du point de vue à l'essentiel et de regarder les a'' par a'' sont retenus comme basé sur la probabilité P''.

et les événements P'' pouvait être retenus dans un ordre ou le K'' évo- compounds P''... P'', indépendamment de leur ordre, de même à réduire et plus précisément, de comparer cette distribution à un exemple de (lot). Nous nous proposons d'étudier l'effet de la distribution P''... P'', évaluée, ces événements au sont produits respectivement à P''^k''... P''^k''.

POSITION DU PROBLÈME
# CHAPITRE PREMIER

# L'INSTRUMENT

## I - LES MOMENTS INTRINSÈQUES

Nous nous proposons d'attacher aux n nombres $p_1, p_2, \dots, p_n$, des nombres jouant le rôle de "moments", mais indépendants de l'ordre des $p_i$: ce seront donc des fonctions symétriques de ceux-ci. Nous devrons renoncer à des fonctions linéaires, la seule fonction linéaire symétrique étant la somme. Et c'est précisément parce que nous utiliserons des fonctions non linéaires qu'il fallait préciser tout d'abord comme nous l'avons fait la notion d'événements distincts.

Notre choix sera guidé par la remarque suivante :

Si nous n'attachons aucune variable aléatoire aux événements $e_i$, la seule "opération" que nous puissions effectuer sur eux est le "produit logi-que", consistant, étant donnés deux groupes d'événements : $e_1, \dots, e_n, e'_1, \dots, e'_n$, à envisager l'événement $e''_{ij}$ rencontre de l'événement $e_i$ avec l'événement $e'_j$. Si les deux groupes $e$ et $e'$ sont indépendants, le groupe $e''$ satisfait à la règle des probabilités composées :

$$p''_{ij} = p_i \times p'_j$$

Il est naturel d'imposer aux moments intrinsèques la condition de se combiner simplement par l'opération précédente. Le choix le plus naturel consiste en celui des quantités : $\sum_{i} p_i^{k+1}$. Nous les appellerons "moments intrinsèques d'ordre K" et les désignerons par $\Psi^{(k)}$.

On a alors : $\Psi^{(k)} = \Psi^{(k)} \Psi^{(k)}$ comme on s'en assure immédiatement :

$$\sum_{j} \sum_{i} (p_i p_j)^{k+1} = \sum_{j} p_i^{k+1} \sum_{j} p_j^{k+1}$$

L'exposant est noté $K + 1$ pour mettre en évidence la possibilité de désigner $\sum p^{k+1}$ par la notation $E(p^k)$. En particulier : $\Psi^{(0)} = 1$, et $\Psi^{(k)}$ peut être appelé "probabilité moyenne".

Nous avons donc réussi à attacher à une loi de probabilité (finie) des "moments" ne dépendant pas de l'ordre des événements, et doués d'une propriété simple. Il est du reste évident que, réciproquement, une loi de probabilité à n évènements est complètement déterminée (intrinsèquement) par la connaissance des n-1 premiers moments : les $p_i$ sont alors les solutions du système symétrique :
$$p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$$

$$p_1^2 + \dots + p_n^2 = \psi_{(1)}$$

$$p_1^n + \dots + p_n^n = \psi_{(n-1)}$$

Les formules de NEWTON permettent de ramener la résolution de ce système à celle d'une équation du n<sup>ème</sup> degré.

Sans insister sur cette méthode, qui est purement théorique, remarquons qu'elle s'applique encore si l'on définit des moments "d'ordres fractionnaires. Quel que soit h, le système :

$$p_1^{1/h} + p_2^{1/h} + \dots + p_n^{1/h} = \psi \left( \frac{1}{h} - 1 \right)$$

$$p_1^{2/h} + \dots + p_n^{2/h} = \psi \left( \frac{2}{h} - 1 \right)$$

$$p_1^{n/h} + \dots = \psi \left( \frac{n}{h} - 1 \right)$$

détermine les $p_i^{1/h}$ comme racines d'une équation du n<sup>ème</sup> degré.

## II - FONCTION CARACTÉRISTIQUE INTRINSÈQUE

Bien entendu, $\psi_{(k)}$ est clairement définie même lorsque K n'est ni entier ni fractionnaire ; ce qui nous conduit à envisager $\psi$ comme une fonction caractéristique attachée à la distribution $p_i$, mais indépendante de l'ordre des événements. Nous l'appellerons "fonction caractéristique intrinsèque", le mot intrinsèque étant souvent sous-entendu dans cette étude sans risque de confusion.

En désignant désormais par t la variable, il est clair que, pour une distribution finie, la connaissance de $\psi(t)$ partout est surabondante. Nous examinerons au chapitre II le cas général, mais dès maintenant voyons comment $\psi(t)$ détermine intrinsèquement une loi finie à n événements.

Deux réponses théoriques à cette question ont été données au paragraphe précédent. Remarquons qu'en prenant, dans la seconde solution, h grand, on utilise les valeurs de $\psi(t)$ au voisinage de $t = -1$, c'est-à-dire dans une région où $\psi(t)$ est relativement grande. Etudions maintenant le voisinage de $t = \infty$. $\psi(t)$ tend vers o, sa partie principale étant $p_i^{1/t}$, en désignant par $p_i$ le plus grand des $p_i$ supposé unique (1). Donc :

$$L p_i = \lim_{t \to \infty} \frac{\mathcal{L} \psi(t)}{1+t}$$

<footnote>(1) Pour simplifier la rédaction, je supposerai dans la suite tous les $p_i$ différents. Les modifications nécessaires lorsqu'il n'en est pas ainsi sont évidentes.</footnote>
Ayant ainsi déterminé $p_i$, on appliquera la même méthode à $\Psi(t) - p_i^{1+t}$, et l'on calculera de proche en proche les $p_i$ par ordre de grandeur décroissante.

L'avantage de cette méthode est de donner explicitement les $p_i$. En outre, elle s'appliquera sans changement aux probabilités dénombrables, le nombre n des événements n'étant pas intervenu dans le calcul. Elle nous apprend quelque chose de plus : pour qu'une fonction soit une fonction caractéristique, elle doit posséder un comportement asymptotique très particulier.

Cela dit, nous ne devons pas nous faire d'illusion : les $p_i$ ne sont connus, dans la pratique, qu'à une certaine approximation, et la moindre erreur sur un p modifie considérablement $p_i^{1+t}$ pour les grandes valeurs de t ; autrement dit : pour le but que nous nous étions proposé dans l'introduction, l'étude asymptotique de $\Psi(t)$ ne nous est d'aucun service.

### III - LE PROBLÈME DE L'AJUSTEMENT

Dans la pratique, la question se posera ainsi :

Les $p_i$ ne sont connus qu'avec une certaine approximation; $\Psi(t)$ est donc entachée d'erreurs : chercher une manière de caractériser $\Psi(t)$ réduisant autant que possible la part d'erreur, ou du moins la "localisant", de façon que les erreurs les plus fortes soient rejetées le plus loin possible.

Les moments intrinsèques répondent en partie à ce désideratum : $\Psi(0) = 1$ est connu exactement, et l'on se rendrait compte que l'erreur relative va en augmentant de $\Psi_{(1)}$ à $\Psi_{(2)}$ etc ... Mais ce procédé a le défaut de faire jouer un rôle spécial aux valeurs entières de t. En outre, il n'est pas bien commode de définir une courbe par la condition de passer par des points assignés. La seule méthode rationnelle pour éliminer le plus possible le rôle des valeurs asymptotiques est de se donner les dérivées successives de $\Psi(t)$ au point $t=0$ où $\Psi(t)$ est connue sans erreur.

Nous poserons :

$$ \Gamma_0 = \Psi_{(0)} = 1; \quad \Gamma_1 = \Psi'_{(0)} = \sum p L p = E (Lp); \quad \Gamma_2 = E (L^2 p) \text{ etc...} $$

Les $\Gamma_{k-1}$ ou "moments logarithmiques", déterminent complètement la fonction entière $\Psi(t)$.

Calculons l'erreur quadratique probable sur $\Gamma_k$ lorsqu'on prend comme estimation de $p_i$ la fréquence relative au cours de N épreuves.

L'erreur étant : $\eta = \sum [L^k p + K L^{k-1} p] \Delta p$, l'erreur quadratique probable est :

$$ N \sigma^2_{(\eta)} = \sum p L^{2k-2} (Lp + K)^2 - \sum^2 p L^{k-1} p (Lp + K) $$
On voit qu'elle croît très vite avec $K$. Pour $K = 1$ :

$$ \sigma_{(\Gamma_i)}^2 = \frac{\Gamma_2 - \Gamma_1^2}{N} $$

et nous verrons par la suite que le numérateur est en général de l'ordre de l'unité.

Pour $K = 2$, nous verrons que $\sigma$ est de l'ordre de $\frac{10}{\sqrt{N}}$ par exemple.

Et pour les valeurs élevées de $K$, $\sigma$ est très supérieur à $\frac{K!}{\sqrt{N}}$.

On voit maintenant la méthode qui sera employée pour les problèmes d'"ajustement intrinsèque" :

Soit $\{f_i\}$ un ensemble de fréquences expérimentales

Soit $\{p_j\}$ une loi de probabilité dépendant de l ou plusieurs paramètres

$\lambda_1, \lambda_2 \dots$ Nous calculerons les $\Gamma$ "expérimentaux" :

$$ \Gamma_1' = \sum f_L f, \quad \Gamma_2' = \sum f L^2 f \dots $$

ainsi que les $\Gamma$ "a priori" $\Gamma_1 (\lambda_1, \lambda_2 \dots)$, $\Gamma_2 (\lambda_1, \lambda_2 \dots)$.

Et nous ajusterons les $\lambda$ en égalant d'abord les $\Gamma_1$, puis les $\Gamma_2$, etc...

Le premier $\Gamma$ non employé pourra fournir une mesure de la précision de l'ajustement, mais sous réserve de son erreur probable qui, nous l'avons vu, est vite considérable.

Cette méthode, comme la méthode des moments en statistique classique, est fondée sur des considérations très empiriques. Elle sera justifiée au chapitre suivant par l'étude de la continuité fonctionnelle de $\Psi(t)$. Mais, tout comme en statistique classique, il est peu probable que ce soit la "meilleure" méthode : nous reparlerons de cette question au chapitre III.

Retenons simplement qu'elle est si commode qu'il sera toujours avantageux d'y recourir.

Avant de donner des exemples, notons que les $\Gamma$ ont un inconvénient par rapport aux moments intrinsèques : ils ne se combinent pas simplement lorsqu'on fait le "produit logique" de deux ensembles d'événements. Pour remédier à ce défaut, il suffit d'introduire, à côté de $\Psi(t)$, son logarithme que nous noterons : $- \varphi(t)$. La fonction $\varphi(t)$ est d'un manie- ment beaucoup plus pratique que $\Psi(t)$ ; nous la nommerons "fonction spécifique". Elle est additive pour le produit logique, ainsi que ses dérivées à l'origine que nous appellerons "moments spécifiques" et noterons $\gamma_1, \gamma_2 \dots \gamma_k \dots$.

On a : $\varphi(t) = - L \Psi(t)$

$$ \text{Donc: } \varphi'_{(t)} = - \frac{\Psi'(t)}{\Psi(t)}; \varphi''_{(t)} = \frac{\Psi'^2 - \Psi\Psi''}{\Psi^2}; \varphi''' = \frac{3\Psi\Psi'\Psi'' - 2\Psi'^3\Psi^2\Psi'''}{\Psi^3} $$
D'où, en faisant $t = 0$ :

$$ \gamma_0 = \varphi_{(0)} = 0; \gamma_1 = -\Gamma_1; \gamma_2 = \Gamma_1^2 - \Gamma_2; \gamma_3 = 3\Gamma_1 - 2\Gamma_1 - \Gamma_3 $$

$\gamma_1 = -\Gamma_1$ qui est positif jouera dans notre étude un rôle analogue à celui de l'écart-type en statistique classique et qui sera étudié au chapitre III. Au chapitre IV, nous verrons qu'il fournit une mesure très avantageuse de l'indépendance stochastique. Nous le nommerons "incertitude" et le noterons souvent H.

La constante $v = 2(\Gamma_2 - \Gamma_1^2) = -2\gamma_2$, que nous avons déjà rencontrée dans le calcul de l'erreur probable sur $\Gamma_1$, jouera un rôle fondamental dans l'étude de la loi de GAUSS. Nous l'appellerons "indice". Elle est positive.

## IV - EXEMPLES

1°/ Supposons les $p_i$ égaux : $p_i = \frac{1}{n}$

$$ \text{Alors : } \quad \psi(t) = n \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} = \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{t}} \quad \varphi(t) = -L \quad \psi(t) = tL \quad n $$

On en conclut :

$\Gamma_1 = -\varphi'(0) = -L \cdot n \cdot v = 0$. Et tous les moments spécifiques sont nuls à partir du second.

La valeur de $\Gamma_1$, est importante : c'est la plus faible possible pour une distribution à n événements. Nous y reviendrons au chapitre III. L'"incertitude" $H = L \cdot n$ est la plus grande possible pour n événements.

2°/ Supposons au contraire que $p_1 = 1$ tous les autres $p_i$ étant nuls.

$$ \text{Alors : } \quad \psi(t) = 1 \quad ; \quad \varphi(t) = 0 $$

L'incertitude est nulle : c'est sa plus faible valeur possible.

La comparaison de ces deux cas montre que $\Gamma_1$ semble lié à la "concentration" des probabilités autour d'un petit nombre de fortes valeurs : $H = 0$ signifie parallèlement qu'il n'y a aucune incertitude dans la prévision des événements.

3°/ Nous prendrons encore comme exemple les lois binomiales $(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^N$

Pour $N = 1$ la loi est $\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$ $H_1 = 0,69 \quad v = 0,00$

$N = 2$ $\frac{1}{2} \quad \frac{1}{4} \quad \frac{1}{4}$ $H_1 = 1,03 \quad v = 0,24$

$N = 3$ $\frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8} \quad \frac{1}{8}$ $H_1 = 1,24 \quad v = 0,40$

4°/ Etudions maintenant d'une manière systématique la loi "polynomialie" :

$$ P(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = \frac{N}{\alpha_1! \alpha_2! \dots \alpha_n!} p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_n^{\alpha_n} $$
dans laquelle il y a autant d'événements distincts que d'ensembles de
nombres entiers $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ dont la somme soit égale à N. Nous symboli-
serons par $\langle \alpha \rangle$ un tel ensemble. La fonction caractéristique s'écrit donc :

$$
\Psi_{(t)} = \sum_{\langle \alpha \rangle} P_{\alpha}^{1+t}
$$

Il ne semble guère possible d'obtenir pour $\psi(t)$ une expression
exacte plus simple ; aussi en chercherons-nous seulement une évaluation
approchée en faisant les hypothèses employées dans l'étude dite "du $\chi^2$" :

N assez grand pour que, dans la somme précédente, seules les valeurs de $\alpha_i$ voisines de $Np_i$ donnent une contribution appréciable ; assez grand aussi pour que la formule de STIRLING soit applicable à ces $\alpha_i$

Posons alors : $\frac{\alpha_i}{N} = p_i + \epsilon_i = p_i + \frac{K_i}{N}$, les $K_i$ étant des nombres dont les valeurs possibles, pour un indice i donné, varient de quantités entières. En outre : $\sum_i K_i = 0$.

$$
\text{On a : } L P \{\alpha\} \# \left(N + \frac{1}{2}\right) L N - \sum_{i} \left(\alpha_{i} + \frac{1}{2}\right) L \alpha_{i} - \frac{n-1}{2} + \sum \alpha_{i} L p_{i}
$$

D'où sans difficulté :

$$
- LP \# N \sum \left( \left(p + \frac{K}{N}\right)L\left(1 + \frac{K}{Np}\right) + \frac{1}{2} \right) \left[ \sum L(Np + K) - LN + n - 1 \right] :
$$

La partie principale de - LP se réduit alors à :

$$
- LP \# \sum_i \frac{K_i^2}{N p_i} + LA
$$

en tenant compte de $\sum_i K_i = 0$, et $A$ ne dépendant pas des $K_i$.

Donc P{α} s'écrit :

$$
P \{\alpha\} \# A e^{-\sum_{i} \frac{K_i^2}{N p_i}}
$$

L'exposant est ce que, dans la mesure de l'ajustement, on appelle le
$\chi^2$. La fonction caractéristique est :

$$
\psi(t) \# A^{(1+t)} \sum e^{-(1+t) \sum \frac{K_i^2}{N p_i}} \sum_{\{K\}}
$$

où le symbole $\sum_{\{K\}}$ exprime une sommation pour tous les $K_i$ dont la somme est nulle. Nous admettrons que cette sommation équivaut à une intégration en regardant les $K_i$ comme des variables continues :

$$
\psi(t) \# A^{1+t} \underbrace{\iint \dots \int}_{n-1} \left(\frac{\dots}{\dots}\right) e^{-(1+t) \sum \frac{X_i^2}{N p_i}} dx_1 \dots dx_{n-1}
$$

en désignant par D le domaine $x_n = - (x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1})$, où $x_1, x_2, \dots, x_n$ varient de $-\infty$ à $+\infty$. L'exposant, dans l'intégrale, étant une forme quadratique à n-1 variable, si l'on désigne par B la valeur de l'intégrale pour $t=0$, il suffit de poser $(1+t)x_i^2 = u_i^2$ pour obtenir :

$$
\psi(t) \# A^{1+t} \frac{B}{(\sqrt{1+t})^{n-1}}
$$
En faisant $t = 0$, on voit que $AB = 1$

$$ \text{D'où finalement } \Psi(t) \# \frac{A^t}{\frac{n-1}{(1+t)^2}} $$

$$ \text{Et par suite : } \varphi(t) \# Kt + \frac{n-1}{2} L(1+t) $$

Nous verrons par la suite que cette formule exprime intrinsèquement le fait bien connu que, pour N grand, la loi du polynôme se comporte comme une loi de GAUSS à n-1 variables.

$$ \text{L'incertitude a pour partie principale : } H \sim \frac{n-1}{2} LN $$

$$ \text{L'indice est : } v = -2 \quad \varphi''(0) = n - 1. $$

## V - CAS DES PROBABILITÉS DÉNOMBRABLES

Ce cas ne présente aucune difficulté spéciale. Sa seule particularité consiste en ce que la fonction caractéristique y est définie par une série, et n'existe pas pour toutes les valeurs de t. Il peut en résulter que les moments logarithmiques ou spécifiques n'existent pas, ou pas tous, ou ne déterminent plus certainement la loi.

Pour la commodité, nous supposerons les p rangés par grandeurs décroissantes.

$$ \text{Nous aurons, par définition : } \Psi_{(t)} = p_1^{l+t} + p_2^{l+t} + \dots $$

Le second membre étant une série à termes positifs, convergente pour $t = 0$, et par conséquent pour toute valeur positive de t.

Plus généralement, si la série converge pour $t = t'$, elle converge pour toute valeur $t > t'$. Si elle diverge pour $t = t''$, elle diverge pour $t < t''$. Si l'on partage en deux classes les valeurs de t pour lesquelles la série ou converge, ou diverge, ou établit une coupure qui définit un nombre $\alpha$.

Ce dernier est du reste sûrement compris entre 0 (pour lequel la série converge) et -1 (pour lequel la série diverge). Donc il existe une borne de convergence $\alpha$ telle que la série converge pour $t > \alpha$ et diverge pour $t < \alpha$. D'ailleurs, pour $t = \alpha$, il peut arriver soit qu'elle converge, soit qu'elle diverge.

Ce sont là des propriétés très simples, et du reste bien connues, des séries de DIRICHLET.

Plus généralement, on peut donner à t des valeurs imaginaires : on verra (sans difficulté) que la série converge ou diverge suivant que la partie réelle de t, $R(t)$ est supérieure ou inférieure à $\alpha$. Pour $R(t) = \alpha$ on ne peut rien dire de général.

Ainsi $\varphi(t)$ est définie dans le demi-plan $R(t)>\alpha$. Il est facile de voir qu'elle est holomorphe dans ce domaine : soit en effet $t_0$ une valeur
de t dont la partie réelle soit supérieurs à $\alpha$. Considérons un nombre réel $\beta$ tel que : $\alpha < \beta < R$ ($t_0$).

La série dérivée terme à terme $\sum p_i^{1+t_0} L p_i$ a ses termes inférieurs en module à ceux de $\sum p_i^{1+\beta}$. Autrement dit, lorsque $t_0$ varie de manière que $R$ ($t_0$) reste supérieur à $\beta$, la série dérivée converge uniformément : elle est donc la dérivée de $\phi(t)$, et $\phi(t)$ est holomorphe dans le domaine $R$ ($t>\beta$ quel que soit $\beta>\alpha$ c. q. f. d.

La suite des dérivées de $\phi(t)$ au point $\beta$ détermine donc $\phi(t)$ qui est ainsi caractérisée par une suite de "moments" :

$\sum p^{1+\beta} L p, \sum p^{1+\beta} L^2 p, \text{etc...}$ En particulier si $\alpha < 0$, $\phi(t)$ est déterminée par les moments logarithmiques.

Il nous reste à montrer que $\phi(t)$ détermine les $p_i$.

Montrons d'abord qu'une série telle que $\phi(t)$ tend vers 0 pour $t \to \infty$. Il est possible, en effet, quel que soit $\varepsilon$, de choisir $t$ assez grand pour que $p_i^t < \varepsilon$, pourvu que $p_1$ soit < 1. Il en sera de même de $p_2^t, p_3^t, \dots$. Nous aurons alors : $p_1^{1+t} < \varepsilon p_1, p_2^{1+t} < \varepsilon p_2, \dots$

$$ \text{Donc :} \qquad \phi(t) < \varepsilon (p_1 + p_2 + \dots) = \varepsilon $$

Cherchons maintenant la partie principale de $\phi(t)$ : les $p_i$ sont tous $\le p_1$, et $< p_1$ à partir d'un certain rang $K+1$ (sinon $\sum p_i$ serait divergente).

$$ \text{Posons :} \qquad \phi(t) = p_1^{1+t} [k + \phi_1(t)] $$

$\phi_1(t)$ est une série de même forme que $\phi(t)$, dont tous les termes sont < 1 et qui converge pour $t=0$. Le raisonnement fait précédemment montre que $\phi_1(t)$ (tend vers 0 pour $t \to \infty$). Donc :

$$ L \phi(t) = (1+t) L p_1 + L (K + \phi_1(t)) $$

montre que :

$$ L p_1 = \lim_{t \to \infty} \frac{L \phi(t)}{1+t} $$

$\phi(t)$ détermine ainsi $p_1$. On aura ensuite :

$$ K = \lim_{p_1^{1+t}} \frac{\phi(t)}{p_1^{1+t}} $$

$$ \text{Et :} \qquad \phi_1(t) = \frac{\phi(t)}{p_1^{1+t}} - K $$

Connaissant $\phi_1$, on déterminera comme précédemment le premier $p_i < p_1$. Et ainsi de proche en proche $\phi(t)$ détermine tous les $p_i$.

On peut, comme exemple, envisager la loi : $p_i = \frac{A}{i^2}$ qui se rencontre, asymptotiquement, dans l'étude des fractions continues. Sa fonction caractéristique :

$$ \phi(t) = A^{t+1} \sum_{i=2}^{t} \frac{1}{i^2} $$

introduit la fonction $\xi$ de RIEMANN.
Il eût été souhaitable d'avoir un résultat simple pour la loi de POISSON.
Malheureusement, la fonction de S : $\sum \frac{\alpha^m}{(m!)^s}$ qui s'introduit ici ne paraît
guère susceptible d'être ramenée à une forme plus simple. Je pense qu'il
faudra se contenter de calculer numériquement les premiers moments
logarithmiques de la loi de POISSON sous la forme d'une table suivant les
valeurs du paramètre : il est facile de voir que le domaine d'holomorphie,
pour cette loi, comprend tout le demi-plan ouvert : $R(t) > -1$

Remarquons, en terminant, qu'une fonction ne sera pas en général
fonction caractéristique d'une loi de probabilité dénombrable : elle ne peut
l'être qu'à condition de posséder les propriétés asymptotiques que nous
avons étudiées pour déterminer les $p_i$. Au contraire nous verrons qu'en
étendant la définition de $\phi(t)$ aux distributions dites "continues", la
fonction caractéristique ne sera plus astreinte en apparence du moins qu'à
des conditions d'inégalité (sauf la condition $\phi_0 = 1$)
des conditions d'ingérence (sont la condition $\Phi^0 = 1$)

fonction caractéristique de sa forme plus étudiée en abondance du moins d'un équivalent la définition de $\Phi(t)$ aux distributions dites "continues", laquelle du point de vue de possesser les probabilités attribuées de son l'issue du condition de posséder les probabilités attribuées de son fonction caractéristique d'une lot de probabilité déterminable : il est possible en général

bien plus étudié, qu'une fonction de sa forme en général pour cette lot, compris tout le demi-plein ouvert : $\Omega(t) > 0$ : valeur du paramètre : il est facile de voir que le domaine d'élémentaire, logarithmique de la lot de POISSON sous la forme d'une table suivant les études se contenter de calculer un déterminement les premières moments pour une acceptée d'issue ramassée à une forme plus simple, le besoin du Malgré tout, la fonction de $\Omega = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$ duquel il est parallèle il est d'acceptable d'avoir un résultat simple pour la lot de POISSON.
# CHAPITRE II

## ÉTUDE INTRINSÈQUE D'UNE LOI CONTINUE

### I - PRÉLIMINAIRES

Conformément à une remarque faite au début, nous ne regarderons une loi continue de distribution que comme un instrument mathématique commode pour étudier un grand nombre d'événements. Du point de vue intrinsèque, on peut toujours, pour les calculs, ranger ces événements par probabilités décroissantes - comme nous l'avons fait jusqu'à présent - ; en sorte que les fonctions que nous rencontrerons dans cette étude pour-ront toujours être supposées définies sur une demi-droite seulement (dans le cas d'une variable), et non croissantes. En outre, on supposera toujours que la variable employée est une "variable propre", et l'on donnera le "seuil de repérage" $\Delta x = \frac{1}{\rho}$. Ce dernier sera supposé assez petit pour que l'on puisse remplacer une expression de la forme $\sum f(x_i) \Delta x_i$ par l'inté-grale $\int f(x) dx$.

Cette façon de procéder ne donne lieu à aucune difficulté pour les distributions symétriques et à un seul sommet. C'est ainsi que, dans l'étude intrinsèque, la loi de GAUSS :

$$y dx = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma^2}} dx \quad (-\infty ; +\infty)$$

sera remplacée par la loi monotone "équivalente"

$$\frac{2}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(2x)^2}{2\sigma^2}} d(2x) \quad (0, +\infty)$$

où, pour une valeur donnée de y, on a ajouté les valeurs absolues des x correspondantes, en conservant le seuil de repérage. En changeant de variable propre, on peut remplacer x par $\frac{\sigma u}{\sqrt{2}}$ et le seuil de repérage $\Delta x = \frac{1}{\rho} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$. La loi de u s'écrit alors :

$$\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \quad \text{du} \quad (0 \le u \le +\infty)$$
Il n'y a plus aucun intérêt à introduire l'écart type ; on peut toujours
le prendre égal à $\sqrt{2}$ en modifiant seulement le seuil de repérage. On
pourra appeler variable "réduite" la variable u précédente.

Une question plus délicate se pose dans l'étude intrinsèque des lois
dissymétriques ou à plusieurs sommets. Du point de vue pratique, on
pourrait repasser par les valeurs discontinues $f(x_i)$, les ranger par gran-
deurs décroissantes, et refaire l'interpolation sur ces valeurs. Mais le
problème théorique se résout aisément de la manière suivante :

Nous ne ferons sur $f(x)$ pas d'autre hypothèse que de la supposer
mesurable - et, ici, positive.

Soit alors u la mesure de l'ensemble sur lequel $f(x) > y$. u est une
fonction non croissante de y, qui ne possède donc que des singularités de
première espèce. Pour une telle singularité $y_1$, attribuons à u toutes les
valeurs comprises entre les limites d'indétermination :

$u(y_1 - o)$ et $u(y_1 + o)$. Dès lors u ne peut passer d'une valeur à une autre sans franchir toutes les valeurs intermédiaires, et chacune de ces valeurs intermédiaires n'est prise ou qu'une fois, ou pour tout un segment de l'axe des y. On peut donc regarder y comme une fonction non croissante de u, fonction uniforme sauf aux points de discontinuité où elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre y ($u_2 - o$) et y ($u_2 + o$). On peut conven- tionnellement supprimer ces valeurs intermédiaires et obtenir ainsi comme une fonction uniforme et monotone de u, définie dans un intervalle qui sera au plus $(0, +\infty)$.

La variable u est du reste une fonction de x définie partout, et l'on
voit aisément, par la définition même de u, que pour toute fonction continue
g(y), l'intégrale de LEBESGUE $\int_{-\infty}^{+\infty} g(y) dx$ est égale à $\int_{0}^{+\infty} g(y) du$, cette
dernière étant une intégrale de RIEMANN. Nous dirons que y(u) est
l' "image monotone" de y(x).

En particulier, si $\int_{(e_0)}^{} y(x) dx$ est la probabilité de l'ensemble $e_0$
sur lequel $y_0$ est supérieur à une valeur donnée y, on peut la remplacer
par $\int_{0}^{u_0} y(u) du$.

L'image monotone y(u) de la distribution y(x) est donc équivalente à
cette dernière du point de vue intrinsèque. Il est du reste évident qu'elle
est unique, tandis qu'à une fonction non croissante y(u) il correspond une
infinie variété de distributions y(x), lesquelles correspondent, dans le
domaine continu, à toutes les permutations que l'on peut effectuer sur une
suite de probabilités discontinues $p_1, p_2, ...$

Dans la suite, l'étude intrinsèque théorique d'une distribution sera
toujours faite sur l'image monotone ; mais dans la pratique on se
rappellera que :

$$
\int_{0}^{+\infty} g(y) \, du = \int_{-\infty}^{+\infty} g(y) \, dx
$$

du moins pour g continue, seul cas que nous rencontrerons.
## II - FONCTION CARACTÉRISTIQUE INTRINSÈQUE

Supposons que des événements $e_1, e_2, \dots, e_i, \dots$, en nombre élevé ou en infinité dénombrable, aient des probabilités $p_1, p_2, \dots$ rangées pour la commodité par grandeurs décroissantes ; admettons de plus que ces probabilités puissent se représenter approximativement par les valeurs $f(x_1)\Delta x, f(x_2)\Delta x, \dots$ du produit $f(x)\Delta x$ pour des $\Delta x$ égaux entre eux. Nous dirons que $x$ est une variable propre, à l'aide de laquelle la distribution est sensiblement représentée par une densité de probabilité $f(x)$, le seuil de repérage étant $\frac{1}{p} = \Delta x$. Nous aurons du reste :

$$ \sum_{x_i}^{x_\omega} f(x_i) \Delta x = 1 \quad \text{soit sensiblement} \quad \int_0^\infty f(x) \, dx = 1 $$

Il est possible de faire d'autres conventions, avec lesquelles la dernière égalité aurait lieu rigoureusement : mais comme elles ne me dispenseraient pas, dans la suite, d'approximations de ce type, on ne ferait que compliquer l'exposition en y recourant ; nous admettrons toujours, dans la suite, la possibilité de remplacer les sommes par les intégrales correspondantes. Cela posé, nous avons appelé fonction caractéristique intrinsèque la fonction :

$$ \Phi_{(t)} = \sum p_i^{1+t} = \sum f(x_i)^{1+t} (\Delta x_i)^{1+t} $$

$$ \Phi_{(t)} = (\Delta x_i)^t \sum f(x_i)^{1+t} \quad \text{soit sensiblement :} \quad \int_0^\infty f(x)^{1+t} \, dx $$

Le seuil de repérage ne figurant que par le terme exponentiel $p^t$, on songe à l'éliminer en posant :

$\varphi(t) = -L\varphi(t)$ On voit que $\varphi''(t)$ ne dépendra plus du seuil de repérage, et comme, d'autre part, on doit avoir $\varphi_{(0)} = 0$, $\varphi''(t)$ définit $f(x)$ au seuil de repérage près aussi bien que $\Phi_{(t)}$. Nous verrons qu'effectivement $\varphi''(t)$ caractérise $f(x)$, aussi peut-on l'appeler"fonction spécifique".

Le calcul précédent introduit d'autre part la fonction :

$$ \bar{\Phi}_{(t)} = \int f^{1+t} \, dx \text{ qui jouera un grand rôle dans la suite et que nous appelons "fonction caractéristique réduite".} $$

De même, à côté des moments logarithmiques $\Gamma_1, \Gamma_2, \dots$, nous utiliserons parfois les moments réduits :

$$ \gamma_1 = \int f L f \, dx \qquad \gamma_2 = \int f L^2 f \, dx $$

Il convient de noter que l'indice $v = 2(\Gamma_2 - \Gamma_1^2)$ = $2(\gamma_2 - \gamma_1^2)$ car sa valeur n'est autre que $\varphi''_{(0)}$ et ne dépend donc pas du seuil de repérage.

Une dernière remarque : la fonction $f(x)$ n'est en somme assujettie à qu'à la condition : $\int_{x_i}^{x_i+1} f(x) \, dx \neq p_i$ ; ne serait-il pas possible, dans ces conditions, de choisir $f(x)$ de manière à avoir rigoureusement :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
$$ \sum p_i^{1+t} = \frac{1}{\rho t} \bar{\phi}(t) ? $$

Il n'en est rien : nous verrons que $\phi(t)$ est arbitraire dans de très larges limites, tandis que $\sum p_i^{1+t}$ est astreinte à des conditions très restrictives concernant son comportement asymptotique ; nous retrouvons ici le fait que l'allure de $\phi(t)$ pour les valeurs élevées de t n'est pas significative pour le statisticien.

### III - ETUDE DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE RÉDUITE (1)

En vue d'établir que la fonction spécifique $\phi''_{(t)} = -\frac{d}{dt} \mathcal{L} \bar{\phi}(t)$ **caractérisé** une distribution intrinsèque, nous commencerons par étudier la fonction $\bar{\phi}(t) = \int_{0}^{+\infty} f_{(x)}^{1+t} dx$, où t peut recevoir n'importe quelle valeur, réelle ou complexe, et $f^{1+t}$ étant toujours pris avec la détermination qui est réelle pour t réel.

**Premier cas.** Nous supposerons d'abord que $f_{(+0)}$, borne supérieure de la fonction non croissante $f(x)$, existe et soit finie. Comme $f(x)$ est positive, et que $\int_{0}^{+\infty} f_{(x)} dx$ existe, $f_{(x)}$ est inférieure à l'unité à partir d'une certaine valeur $x_0$. Pour $x > x_0$, $f_{(x)}^{1+t}$ décroit en module lorsque la partie réelle de t augmente. Soit u cette partie réelle, v la partie imaginaire ; si l'intégrale : $\int_{x_0}^{+\infty} f_{(x)}^{1+u_0} dx$ a un sens pour une certaine valeur de $u_0$ il en sera de même de $\int_{x_0}^{+\infty} f_{(x)}^{1+u+iv} dx$ quel que soit $u > u_0$.

Et par suite :

$$ \bar{\phi}_{(t)} = \int_{0}^{x_0} f^{1+t} dx + \int_{x_0}^{+\infty} f^{1+t} dx $$

aura un sens pour toute valeur de t dont la partie réelle sera supérieure à $u_0$.

Si au contraire $\bar{\phi}(t)$ n'a pas de sens pour $u_0$, elle n'en aura pas d'avantage pour $R(t) < u_0$. On en conclut que $\phi(t)$ est définie dans le demi-plan à droite d'une certaine parallèle à l'axe imaginaire, le comportement sur la frontière pouvant d'ailleurs être quelconque. En faisant $t = 0$ et $t = -1$ on voit que ce domaine contient au moins le demi-plan fermé à droite de l'axe imaginaire, et au plus le demi-plan ouvert à droite de $R(t) = -1$;

<footnote>(1) Dans tout ce qui suit, afin d'éviter une rupture dans la continuité de l'exposition, les démonstrations seront faites sans rien supposer de connu en dehors des théorèmes tout à fait classiques.</footnote>
à moins toutefois que $f(x)$ ne s'annule pour une valeur finie de $x$, auquel cas $\bar{\Phi}(t)$ est définie dans tout le plan.

Le raisonnement précédent montre en outre que l'intégrale :

$\int_{0}^{\infty} L f \cdot f^{1+t} dx$ converge uniformément par rapport à $t$ dans le domaine $R(t) \ge u_0 + \epsilon$ quel que soit $\epsilon > 0$ pourvu que $\int_{0}^{\infty} f^{1+t} dt$ converge pour $R(t) = u_0$. Donc $\bar{\Phi}(t)$ possède une dérivée dans ce domaine, et comme, de par sa définition, c'est une fonction uniforme de $t$, le domaine $R(t) \ge u_0 + \epsilon$ est un domaine d'holomorphie. On notera que ce domaine comprend au moins le demi-plan ouvert à droite de l'axe imaginaire.

**Cas général.** Si $f(x)$ n'est pas bornée au voisinage de l'origine, on décomposera $\Phi(t)$ en deux parties par le nombre $x_0$ tel que :$f(x_0 + o) \le 1$ et que $f(x_0 - o) \ge 1$.

$$ \Phi(t) = \int_{0}^{x_0} f^{1+t} \, dx + \int_{x_0}^{+\infty} f^{1+t} \, dx = \bar{\Phi}_{1}(t) + \bar{\Phi}_{2}(t) $$

$\bar{\Phi}_1(t)$ s'étudie comme précédemment, et $\bar{\Phi}_2(t)$ conduit à des conclusions analogues mais inversées : son domaine de définition est le demi-plan à gauche d'une certaine droite $R(t) = u_2$, son domaine d'holomorphie étant ce même demi-plan ouvert. D'ailleurs $u_2$ peut être infini, mais n'est jamais inférieur à l'unité. Si donc $u_1$ est l'abscisse inférieure du domaine de $\bar{\Phi}_1(t)$, les circonstances suivantes pourront se rencontrer :

1°/$u_2 = \infty$. $\bar{\Phi}(t)$ est holomorphe dans un demi-plan.

2°/$u_2$ fini, mais supérieur à $u_1$. $\bar{\Phi}(t)$ est holomorphe dans l'intervalle ouvert limité par deux parallèles à l'axe imaginaire.

3°/$u_1 = u_2 = 1$. $\Phi(t)$ n'est définie que sur l'axe imaginaire.

Voici des exemples de ces diverses circonstances :

$$ \underline{\text{Loi de GAUSS}} \quad f(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx \qquad \bar{\Phi}_{(t)} = \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^t \int_0^{\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-(1+t)x^2} \, dx $$

$$ \bar{\Phi}(t) = \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^t \frac{1}{\sqrt{t+1}} \quad \text{Le domaine de définition comprend tout le demi-plan ouvert à droite de } R(t) = -1. $$

$\bar{\Phi}(t)$ est uniforme et holomorphe dans ce domaine ; on peut la prolonger analytiquement dans tout le plan, mais ainsi prolongée elle ne peut plus être regardée comme fonction caractéristique et cesse du reste d'être uniforme.

$$ \underline{\text{Loi de CAUCHY}} : f(x) = \frac{2}{\pi} \frac{1}{1+x^2} \qquad \Phi(t) = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{1+t} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{1+t}} $$

$$ \bar{\Phi}(t) \text{ est définie et holomorphe dans le demi-plan } R(1+t) > \frac{1}{2} \text{ ou } R(t) > -\frac{1}{2}. $$
En particulier, $\bar{\Phi}(t)$ est holomorphe à l'origine, et y possède des dérivées de tous ordres qui la caractérisent. Ainsi, les moments logarithmiques $\Gamma_1, \Gamma_2, \text{etc...}$ existent même pour la loi de CAUCHY, et, comme nous l'établirons ultérieurement, ils la caractérisent intrinsèquement.

Pour obtenir une loi bornée non holomorphe à l'origine (et par suite non caractérisée par ses moments logarithmiques) il faut recourir à des fonctions à convergence très lente telles que : $\frac{A}{1+x L^2 x}$. Pour celle-ci, le domaine de définition est le demi-plan fermé à droite de l'axe imaginaire. Mais elle est caractérisée par ses dérivées au point $t = +1$, c'est-à-dire :

$$E(p \perp p), E(p \perp L^2 p), \text{etc...}$$

A une loi telle que $A e^{-x^2} \sqrt[3]{x}$ correspond le domaine : $-1 < R(t) < +2$.

Enfin la loi $\frac{A}{x L^2 x}$ ne possède de fonction caractéristique que sur l'axe imaginaire.

## IV - LA FONCTION SPÉCIFIQUE CARACTERISE LA DISTRIBUTION INTRINSÈQUE

L'étude entre autres du domaine d'holomorphie de $\bar{\Phi}(t)$ montre que cette dernière fonction ne peut être choisie arbitrairement. Cependant, comme la fonction caractéristique classique, elle n'est astreinte qu'à des conditions assez peu restrictives, et le problème qui se pose maintenant est celui-ci :

Sachant que $\bar{\Phi}(t)$ est une fonction caractéristique intrinsèque (réduite) détermine-t-elle la loi de distribution ?

Il va de soi que la question ne se pose que du point de vue intrinsèque, c'est-à-dire que la loi ne peut être déterminée qu'à une "permutation" près sur les abscisses : seule l' "image monotone" pourra être unique.

Nous allons établir qu'effectivement la fonction non croissante $f(x)$ ($x \ge 0$) telle que $\int_0^{+\infty} f(x)^{1+t} dx$ prenne des valeurs connues sur l'axe imaginaire est unique.

On peut écrire : $\bar{\Phi}(t) = \int_0^\infty e^{(1+t)Lf(t)} dx$, ce qui suggère de poser :

$\mathop{\text{Lf}}(x) = -u$. En convenant de donner à $u$, aux points de discontinuité, les valeurs comprises dans l'intervalle d'indétermination, on peut en tirer : $x = g(u)$, $u$ prenant toutes les valeurs de l'intervalle :

$$-L f (+0), -L f (-a)$$

en appelant à la valeur, en général infinie, à partir de laquelle $f(x)$ s'annule. En posant $g(u) = c^{te}$ en dehors de l'intervalle précédent, on peut
toujours admettre que u prend toutes les valeurs de $-\infty$ à $+\infty$. Si $g(u)$ fonction non croissante, admet une discontinuité de première espèce, on conviendra de donner à x toutes les valeurs de l'intervalle d'indétermination.

Finalement $\bar{\Phi}(t)$ s'écrit sous la forme d'une intégrale de LEBESGUE STIELJES :

$$ \bar{\Phi}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(1+t)u} dg(u) $$

et le problème qui se pose consiste à tirer $g(u)$ de cette équation intégrale, sachant que $g(u)$ existe, est croissante et s'annule pour $u = -\infty$.

La dernière condition s'applique au cas où $f(+o) = +\infty$ ; mais si $f(+o)$ est bornée, elle se réduit à $g[-Lf(+o)] = 0$.

Quant au domaine dans lequel $\bar{\Phi}(t)$ est supposée connue, nous le réduirons au minimum, c'est-à-dire à l'axe imaginaire $t = is$ sur lequel nous savons que $\bar{\Phi}$ est toujours définie.

La marche suivie sera la suivante :

1°/ nous résoudrons le problème formellement, en supposant remplies toutes les conditions dont nous aurons besoin.

2°/ nous examinerons les conditions de validité de la solution ainsi obtenue, en distinguant les circonstances possibles par ordre de complexité croissante ;

3°/ nous dégagerons les conclusions de cette étude.

## 1° - SOLUTION FORMELLE.

Posant, sur l'axe imaginaire, $t = is$ et sous des conditions (A) que nous étudierons plus loin :

$$ \bar{\Phi}_{(is)} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(1+is)u} g'(u) du $$

$$ \text{ou :} \qquad \bar{\Phi}_{(is)} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-isu} e^{-u} g'(u) \, du \qquad (2) $$

D'où, sous certaines conditions (B), par la formule de réciprocity de FOURIER :

$$ e^{-u} g'(u) = \frac{1}{2\pi^*} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{isu} \bar{\Phi}(is) \, ds \qquad (3) $$

$$ \text{ou :} \qquad g'(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(1+is)u} \bar{\Phi}(is) \, ds \qquad (3') $$

En admettant qu'il soit légitime d'intégrer sous le signe $\int$ et se rappelant que $g(-\infty) = 0$ :
$$ g(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(1+is)u} \frac{\Phi(is)}{1+is} ds \quad (7) $$

## 2° - VALIDITÉ DES FORMULES PRÉCEDENTES.

La condition (A) sous laquelle on peut remplacer l'intégrale de STIELJES (1) par l'intégrale ordinaire (2) est que $g(u)$ soit absolument continue ; ce sera par exemple le cas si $f(x)$ satisfait à une "anti-condition" de LIPSCHITZ : dans tout intervalle fini, il existe un nombre positif $K$ tel

$$ \text{que :} \qquad \left| \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \right| > K. $$

Pour que $e^{-u}g'(u)$ soit alors représentable par son intégrale de FOURIER (3), elle doit remplir des conditions beaucoup trop restrictives pour notre sujet. Mais nous établirons directement (4) en nous inspirant d'un raisonnement de M. LEBESGUE sur l'intégration de la série de FOURIER :

La fonction $e^{-u}g(u)$ est à variation bornée dans tout intervalle borné. Montrons qu'elle est absolument sommable de $-\infty + \infty$. En effet :

$$ I_{\alpha}^{\beta} = \int_{\alpha}^{\beta} e^{-u} g(u) du = \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} e^{-u(x)} g[u(x)] d(u(x)) $$

$$ I_{\alpha}^{\beta} \le \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} e^{-u(x)} g[u(x)] \cdot u_x dx $$

puisque $u(x)$ est non décroissante :

$$ I_{\alpha}^{\beta} \le \int_{\alpha}^{b} f(x) \cdot x \cdot \left( - \frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx = - \int_{\alpha}^{b} x f'(x) dx $$

En intégrant par parties :

$$ I_{\alpha}^{\beta} \le [-x f(x)]_{\alpha}^{b} + \int_{\alpha}^{b} f(x) dx $$

Lorsque $\alpha$ et $\beta$ tendent respectivement vers $-\infty$ et $+\infty$, $a$ tend vers $0$, $b$ vers $+\infty$ et le second membre tend vers $+1$. $e^{-u}g(u)$ est donc sommable, et, comme elle est positive, elle l'est absolument.

On sait que dans ces conditions $e^{-u}g(u)$ est représentable par son intégrale de FOURIER :

$$ e^{-u} g(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{isu} \varphi(is) ds $$
où l'on a posé :

$$ \varphi(is) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-isu} e^{-u} g(u) du $$

Ou :

En intégrant par parties :

$$ \varphi(is) = \left[ - \frac{e^{-(1+is)u}}{1+is} g(u) \right]_{-\infty}^{+\infty} + \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-(1+is)u}}{1+is} d_g(u) $$

$$ \text{Donc } \varphi(is) = \frac{\bar{\Phi}(is)}{1+is} \text{ car } e^{-u} g(u) = x f(x) \text{ lorsque } |u| \to \infty $$

Ce qui établit **sans aucune restriction** la formule (4)

$$ g(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(1+is)u} \frac{\Phi(is)}{1+is} ds \quad (4) $$

Au contraire de la formule (3'), cette dernière ne suppose plus rien sur la continuité de $g(u)$. Aux points de discontinuité, elle donne à $g(u)$ la valeur $\frac{1}{2}[g(u+o) + g(u-o)]$: mais nous conviendrons d'y adjoindre toutes les valeurs comprises entre $g(u-o)$ et $g(u+o)$ ; il est alors possible de tirer $u$ en fonction de $g(u) = x$. D'où l'on conclut finalement :

$$ f(x) = e^{-u(x)} $$

$x$ variant de 0 à $+\infty$.

On n'oubliera pas que ce résultat n'a été obtenu qu'en postulant l'existence de la fonction non croissante $f(x)$

### 3° - CONCLUSIONS.

Nous venons d'établir que la connaissance de $\bar{\Phi}(is)$ pour toutes les valeurs réelles de $s$ détermine complètement l'image monotone d'une loi de probabilité, autrement dit détermine intrinsèquement cette loi. Comme pour la fonction caractéristique classique, $\bar{\Phi}(is)$ ne peut être choisie quelconque : elle doit vérifier les conditions $\bar{\Phi}(o) = 1, |\bar{\Phi}(is)| \le 1$. Enfin, elle doit être telle que $g(u)$ soit non décroissante. Mais à cela près, elle est arbitraire. Dans l'avenir, sauf spécification contraire, nous désignerons par $\Phi$ une fonction connue pour être une fonction caractéristique.

Le cas échéant, nous affecterons des mêmes indices les fonctions $\Phi(t), g(u), f(x)$ correspondantes. Enfin, les fonctions $g(u)$ et $f(x)$ seront en général supposées complétées aux points de discontinuité de manière à donner une courbe continue C.
Notons maintenant que, contrairement à ce qui se passe dans l'étude classique, $\Phi(t)$ n'est guère intéressante que pour les valeurs réelles de t cela pour les raisons suivantes :

La fonction caractéristique classique est un instrument de raisonnement surtout, tandis que la fonction intrinsèque est un instrument de travail, le *seul* instrument de travail expérimental.

La fonction classique est réelle sur l'axe imaginaire pour les lois symétriques, et de toute manière ses parties réelle et imaginaire se séparent aisément ; rien de tel ne se produit ici.

Enfin, la fonction classique peut n'être pas définie sur l'axe réel ; cette circonstance, nous l'avons remarqué, ne se présentera pratiquement jamais pour la fonction intrinsèque.

Pour ces raisons, nous ne regarderons désormais l'étude de $\Phi$ (is) que comme une préparation à l'étude sur l'axe réel, et *dans la suite nous supposerons* $\Phi(t)$ définie sur un segment fini de cet axe comprenant l'origine : $\alpha, \beta$. Plus précisément, nous admettrons que $\bar{\Phi}(t)$ soit holomorphe dans tout le domaine : $\alpha \le R(t) \le \beta$

Pour déterminer intrinsèquement une loi, il nous suffira de posséder des informations équivalent à la connaissance de $\Phi$ sur l'axe imaginaire. On en conclut que :

La connaissance de $\bar{\Phi}(t)$ sur le segment $\alpha, \beta$ de l'axe réel détermine intrinsèquement la densité de probabilité.

La connaissance des moments logarithmiques réduits : $\gamma_1, \gamma_2, \dots$ détermine intrinsèquement la densité de probabilité. (Puisque $\gamma_1, \gamma_2, \dots$ sont les dérivées à l'origine de la fonction holomorphe $\Phi(t)$).

Il en est de même pour les moments spécifiques réduits :
$$ -\gamma_1, \frac{\gamma_1}{2} = \gamma_2 - \gamma_1^2, \text{ etc... qui sont les dérivées } \bar{\Phi}'(0), \bar{\Phi}''(0) \text{ ... de la fonction } -L\bar{\Phi}(t) \text{ holomorphe à l'origine.} $$

Examinons maintenant le rôle du seuil de repérage.

On a :

$\Phi$ et $\bar{\Phi}$ coincident donc si $\rho = 1$. Si $\rho$ n'est pas égal à 1, faisons un changement de variable en prenant $\frac{1}{\rho}$ pour unité : $\rho x = x'$, $dx' = \rho dx$, et la loi de $x'$ s'écrit : $f(x) dx = \frac{1}{\rho} f(x') dx'$. On en conclut que $\Phi(t)$ est la fonction caractéristique réduite pour la variable $x'$ : A la donnée de $\Phi(t)$ il est inutile d'ajouter celle du seuil de repérage, une modification du seuil se réduisant à un changement d'unité. Autrement dit : tandis que $\Phi(t)$ détermine intrinsèquement la loi et l'échelle, $\Phi(t)$ détermine la loi et le seuil. Dans la suite, à moins d'indication contraire, le seuil de repérage sera pris pour unité.

Si l'on veut, maintenant, déterminer la loi sans préciser ni l'échelle, ni le seuil, il suffit de se donner :
$\varphi''(t) = -\frac{d^2}{dt^2} L \varphi(t)$. Connaissant $\varphi''$, $\varphi$ est déterminée à une fonction linéaire près : $\varphi(t) = At + B + \varphi_o(t)$.

On détermine $B$ par la condition : $\varphi_{(0)}=0$. Et $A$ caractérise le seuil. Il revient au même de se donner les moments spécifiques à partir du second : $\frac{v}{2} = \gamma_2 - \gamma_1^2 \dots$

Terminons par une remarque sur la théorie des fonctions :

Pour calculer $\varphi(t)$, il n'est pas nécessaire de remplacer la loi de probabilité par son image monotone, mais celle-ci est alors déterminée par la formule $(\cdot)$. D'après la définition de l'image monotone, on obtient le résultat suivant :

Si $f(x)$ est une fonction non négative sommable sur un ensemble $e$, la mesure de l'ensemble sur lequel $f(x)>a$ est égale à $\Phi(a-o)$ où $\Phi(a)$ est la fonction :

$$ \Phi(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{1+is} \int_{(e)} \left[ \frac{f(x)}{a} \right]^{1+is} dx $$

Ce résultat s'étend à une fonction $f(x)$ bornée inférieurement par un nombre $-\lambda$, en remplaçant, dans $\Phi(a)$, $f(x)$ et $a$ par $f(x)+\lambda$ et $a+\lambda$. Il n'est pas évident qu'il s'étende à toute fonction absolument sommable dans $(e)$.

## V - SUITE DE DISTRIBUTION

Nous avons vu qu'entre les lois intrinsèques et les fonctions spécifiques, il existe une correspondance biunivoque. Nous allons examiner maintenant si cette correspondance est bicontinue du moins pour certaines définitions de la continuité fonctionnelle.

Pour des raisons exposées précédemment, nous nous contenterons d'étudier des fonctions caractéristiques toutes définies sur un segment $\alpha\beta$ de l'axe réel comprenant l'origine.

$1/\alpha$ / Limite intrinsèque d'une suite de distributions.

Nous dirons qu'une distribution $\alpha_n$ converge intrinsèquement vers $\alpha_0$ lorsque l'image monotone de $\alpha_n$ converge vers celle de $\alpha_0$ ; c'est-à-dire lorsque :

$$ \int_{0}^{x} f_{n}(x) dx \longrightarrow \int_{0}^{x} f_{0}(x) dx $$

$f(x)$ étant la densité de probabilité de l'image monotone.

On sait que la convergence des intégrales indéfinies précédentes est nécessairement uniforme.

Il y a plus : comme nous n'étudions que des fonctions $f_n(x)$ monotones, la convergence des intégrales entraîne la convergence des
fonctions elles-memes (du moins moyennant nos conventions sur les points de discontinuité).

Ce résultat sera surtout utile pour les fonctions g (u) :

$$
\text{En posant :} \qquad G_n(u) = \int_{-\infty}^{u} g_n(u) \, du
$$

la convergence de $G_n$ vers $G_o$ entraîne celle de $g_n$ vers $g_o$, et par suite
celle de la courbe $C_n$ vers $C_o$, donc la convergence intrinsèque de $\mathcal{L}_n$ vers
$\mathcal{L}_o$. Toutefois, l'uniforme convergence de $G_n$ n'entraîne celle de $g_n$ que si
$g_o$ est continue.

2°/ $\Psi(t)$ fonctionnelle continue de la distribution intrinsèque.

$f_n^{1+t}(x)$ forme une suite intégrable.

Le critère de M. LEBESGUE sera souvent utilisable :

Si $f_n(x)$ reste inférieure à une fonction $F(x)$ telle que :

$$
\int_0^\infty F^{1+t} dx \text{ ait un sens, la convergence de } f_n \text{ vers } f_o \text{ entraîne celle de } \psi_n(t) \\
\text{vers } \psi_o(t) \text{ ; la convergence est uniforme dans tout intervalle fermé de } t_i \\
\text{satisfaisant à la condition précédente.}
$$

Un cas particulier important est le suivant :

Supposons que $f_n (+0)$ reste inférieur à un même nombre fixe M. Comme $f(+1) \le 1$, $f_n^{1+t}(x)$ forme une suite intégrable dans l'intervalle $(0, 1)$. Mais dans l'intervalle $(1, +\infty)$ $f_n^{1+t}(x)$ reste inférieure à $f_n(x)$. Comme $f_n(x)$ forme une suite intégrable, il résulte alors d'une généralisation due à YOUNG du critère de M. LEBESGUE qu'il en est de même de $f_n^{1+t_1}(x)$. Donc :

Si les $f_n (+0)$ sont bornés individuellement et dans leur ensemble, la convergence intrinsèque des distributions suffit à assurer la convergence uniforme des $\psi_n(t)$ sur le demi-axe positif $(0, +\infty)$.

Si de plus $f_n(x)$ s'annule pour une valeur de $x$ indépendante de $n$, la convergence aura lieu sur tout l'axe réel, uniformément sur tout intervalle.

3°/ La distribution intrinsèque, fonctionnelle continue de $\psi(t)$.

Nous ferons d'abord la démonstration sur l'axe imaginaire, de manière
à pouvoir utiliser la formule.

Comme celle-ci contient une intégrale non absolument convergente,
nous tournerons la difficulté en intégrant formellement :

$$
G_n(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{(1+is)u} \varphi_n(is)}{(1+is)} ds
$$
puis nous légitimerons cette formule par la méthode déjà employée :

On voit aisément que, pourvu que $\Gamma_1$ existe, $e^{-u} G_n(u)$ est absolument sommable, et par suite représentable par son intégrale de FOURIER ; et cette dernière, par intégration par parties, donne la formule.

Dans celle-ci, la quantité qui figure sous le signe $\int$ est inférieure en module à : $\frac{e^u}{1+s^2}$ et forme donc, lorsque n varie, une suite intégrable. La convergence de $G_n$ entraîne celle de $g_n$, et comme la limite d'une fonction non décroissante est elle-même non décroissante, il n'est pas nécessaire de savoir que $\phi_0$ est une fonction caractéristique pour affirmer que :

Si $\psi_n(t)$ holomorphe à l'origine, converge sur l'axe imaginaire vers $\psi_0(t)$, $L_n$ converge intrinsèquement vers $L_0$.

Pour obtenir un résultat correspondant sur l'axe réel, il suffira d'introduire une condition de normalité. En partageant $\phi(t)$ en deux parties l'une croissante, l'autre décroissante comme nous l'avons fait dans l'étude du domaine d'holomorphie, on voit immédiatement que :

Si les fonctions $\phi_n(t)$ sont définies et bornées dans leur ensemble pour $\alpha < 0$ et pour $\beta > 0$, elles forment une famille normale dans le domaine $\alpha < R(t) < \beta$. La convergence de $\phi_n(t)$ est alors assurée en tout point de l'axe imaginaire :

Par la convergence de $\phi_n(t)$ sur le segment $\alpha \beta$.

Ou par la convergence terme à terme de la suite des moments logarithmiques ou des moments spécifiques.

Dans les mêmes conditions, d'après ce qui précède, la convergence intrinsèque des lois est aussi réalisée.

En particulier :

Si $\psi_0(t)$ est définie sur $\alpha \beta$, la convergence uniforme de $\psi_n$ vers $\psi_0$ sur $\alpha \beta$ entraîne la convergence intrinsèque des lois.

Remarquons que si $\phi_0(t)$ est holomorphe à l'origine, sa série de TAYLOR y possède un rayon de convergence positif r. Désignons alors par $\alpha$ et $\beta$ deux nombres l'un négatif, l'autre positif, inférieurs en valeur absolue à r et à l. Soient $\Gamma_k^{(n)}$ le $K^{ème}$ moment logarithmique $\phi_n^{(k)}(0)$ et supposons que $\Gamma_k^n$ tende vers $\Gamma_k^0$ de façon que $|\Gamma_k^n - \Gamma_k^0| < K!\epsilon$ pour un n supérieur à un nombre convenable $N(\epsilon)$. Cela suffit pour que les coefficients de TAYLOR de $\phi_n$ tendent uniformément vers ceux de $\phi_0$ et que $\phi_n(\alpha)$ par exemple diffère de moins de $\frac{\epsilon}{1+\alpha}$ de la somme des valeurs absolues des termes de la série $\phi_0(\alpha)$, donc soit bornée à partir d'un certain rang. Ainsi :

Si $\Gamma_K^n$ tend vers $\Gamma_K^0$ uniformément par rapport à K et si les $\Gamma_k^0$ sont les moments logarithmiques correspondant à une fonction caractéristique holomorphe à l'origine, la distribution $L_n$ converge intrinsèquement vers $L_0$.
# CHAPITRE III

## APPLICATIONS

### LES DEUX POINTS DE VUE

La notion de "loi intrinsèque" conduit, comme toute abstraction, à
deux manières complémentaires d'envisager la même question :

1°/ Etant données plusieurs lois isomorphes $L_1, L_2, \text{etc... chercher}$
leurs propriétés communes, en s'efforçant de réduire l'expression de
ces propriétés à des formes invariantes par rapport à l'isomorphie :
c'est le point de vue comparatif.

2°/ Etant donnée une loi L, chercher, sans la comparer à d'autres lois,
celles de ses propriétés que l'on peut définir sans spécifier l'ordre
des événements, c'est le point de vue direct.

Le second point de vue est naturellement plus séduisant que le
premier. Mais il est en général moins fructueux comme on le sait par
exemple en comparant le calcul vectoriel (direct) ou calcul tensoriel
(comparatif).

Un autre motif donne une importance spéciale au point de vue
comparatif : même lorsque nous étudions des événements non ordonnés,
nous avons souvent la conviction qu'il doit exister une manière de les
ordonner qui est "la bonne", qui correspond à "la nature des choses" :
cet "ordre naturel", nous espérons que la statistique pourra nous le
suggérer parfois. Cependant, il ne faut pas oublier que dans certaines
questions de physique (statistiques de BOSE-EINSTEIN, de FERMI-
DIRAC) ce problème d'ordonner les événements peut être en contra-
diction étrange avec l'intuition : mais précisément les physiciens ont
actuellement tendance, en pareils cas, à donner le pas à la statistique
sur l'intuition, et à réviser, si nécessaire, l'image fournie par cette
dernière.

Nous commencerons par une étude sommaire des résultats qui
fournit le point de vue direct. Puis nous passerons à la méthode
comparative.
## INÉGALITÉS INTRINSÈQUES

En statistique classique, la connaissance des deux premiers moments permet, par l'inégalité de TCHEBITCHEFF, de limiter l'intervalle qui renferme une probabilité totale donnée. En statistique intrinsèque, nous obtiendrons des résultats analogues par la connaissance du premier moment spécifique :

$$ - \sum p \perp p = H. $$

Etablissons d'abord un résultat très simple.

Si K nombres positifs $p_1, p_2, \dots, p_K$ ont une somme données P, l'expression $H_K = \sum_{i=1}^K p_i \perp p_i$ est maximum lorsque les $p_i$ sont égaux à $\frac{P}{K}$, et minimum lorsque l'un des $p_i$ est égal à P, les autres étant nuls.

Le résultat est immédiat pour K = 2, en considérant la courbe :
$y = x \perp x + (P - x) \perp (P - x)$. Pour $K > 2$, on remarque que si deux des p sont inégaux, on majore $H_K$ en les remplaçant tous deux par leur moyenne. Comme d'autre part $H_K$ est bornée et continue, elle atteint sa borne supérieure, et cela n'est possible que lorsque tous les $p_i$ sont égaux.

Au contraire; on minore $H_K$ en remplaçant un $p_i$ par zéro et en augmentant d'autant un autre p. Comme $H_K$ est borné inférieurement, l'énoncé est démontré.

Cela posé, rangeons les n événements d'une distribution finie par probabilités décroissantes, et considérons les K premiers événements. Nous allons chercher comment la connaissance de H permet de relier K et la probabilité totale P de ces événements.

$$ \text{On a : } - \sum_{i=1}^{K} p_i \perp p_i \le - P \perp \frac{P}{K} \qquad - \sum_{i=1}^{n} p_i \perp p_i \le -(1-P) \perp \frac{I-P}{n-K} $$

$$ \text{D'où : } \qquad P \perp \frac{K}{P} + (1-P) \perp \frac{n-K}{1-P} \ge H $$

$$ \text{Cette formule ne parait intéressante que pour } P = \frac{1}{2} $$

$$ \text{Elle s'écrit, en posant alors } K = K' : $$

$$ \perp 2 K' + \perp 2 (n - K') \ge 2 H. $$

$$ \text{Nous poserons souvent : } H = - \perp \bar{\omega}. \text{ Alors :} $$

$$ K' (n-K') \ge \frac{1}{4 \bar{\omega}^2} $$

$$ \text{Ou : } \qquad \bar{\omega} K' \cdot (\bar{\omega} n - K') \ge \frac{1}{4} $$

$$ \text{D'où l'on déduit : } K' = \frac{n}{2} \pm \frac{\theta}{2} \sqrt{n^2 - \frac{1}{\bar{\omega}^2}} \quad (0 \le \theta \le 1) $$

Pour $\bar{\omega} = \frac{1}{n}$, $K' = \frac{n}{2}$, ce qui était évident a priori, car ce cas correspond à des $p_i$ tous égaux entre eux.
On remarquera que $\mathop{\mathrm{L}\bar{\omega}} = \sum \mathop{\mathrm{p} \perp \mathrm{p}}$ définit $\bar{\omega}$ comme une "probabilité moyenne logarithmique" c'est la "moyenne" la plus intéressante dans les applications. Nous l'appellerons : "probabilité efficace". Elle est comprise entre $\frac{1}{n}$ et 1.

On remarquera par exemple qu'en remplaçant $n$ et $K'$ par $n\bar{\omega}$ et $K'\bar{\omega}$, nous avons obtenu une inégalité de type "réduit" : $\overline{K'} (\bar{n} - \overline{K'}) \ge \frac{1}{4}$

$$ \text{Ou :} \qquad \overline{K'} = \frac{\bar{n}}{2} + \frac{\theta}{2} \sqrt{\bar{n}^2 - 1} $$

Nous obtiendrons un résultat plus important en reliant $P$ non plus à $K$, mais à $p_K$ que nous poserons égal à $\frac{1}{\lambda}$.

Le plus grand des $p_i$ est ici $p_1$, mais pour utiliser une notation ne préjugeant pas de l'ordre des $p_i$, nous le désignerons dans l'avenir par $p_o$

$$ \text{On a :} \qquad \sum_{i=1}^{n} p_i \perp \lambda \quad p = \sum_{i=1}^{n} p_i \perp p + \mathop{\mathrm{L}}\lambda = \mathop{\mathrm{L}}\lambda \bar{\omega} $$

$$ \text{Ou :} \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i \perp \lambda \quad p_i + \sum_{K'=1}^{n} p_{i'} \perp \lambda \quad p_i = \mathop{\mathrm{L}}\lambda \bar{\omega} $$

Par définition de $\lambda$ et de $K$, $\mathop{\mathrm{L}}\lambda p_i$ est négatif pour $i > K$.

On en conclut :

$$ \sum_{i=1}^{k} p_i \perp \lambda p_i \ge \mathop{\mathrm{L}}\lambda \bar{\omega} $$

Et comme

$$ p_i \le p_o \quad \mathop{\mathrm{P}}\mathop{\mathrm{L}}\lambda p_o \ge \mathop{\mathrm{L}}\lambda \bar{\omega} $$

Pourvu alors que

$$ \lambda_{p_o} \ge 1 : $$

$$ P \ge \frac{\mathop{\mathrm{L}}\lambda \bar{\omega}}{\mathop{\mathrm{L}}\lambda p_o} $$

Telle est l'inégalité fondamentale que nous avions en vue. On remarquera que, pour $\lambda \sim \infty$, $P$ tend vers l'unité. L'inégalité précédente jouera, en statistique intrinsèque, le rôle de l'inégalité de TCHEBITCHEFF. Ecrite :

$$ P \ge \frac{\mathop{\mathrm{L}}\lambda - H}{\mathop{\mathrm{L}}\lambda + \mathop{\mathrm{L}}p_o} $$

elle justifie le nom d'_incertitude donnée à $H$, en montrant que plus $H$ est grand plus il faut aller loin vers les petites probabilités pour réunir une probabilité totale $P$ suffisamment voisine de l'unité, donc pour "prévoir" les événements ayant des chances de se produire. Si l'on veut encore, $H$ mesure l'"émiettement" des probabilités en un grand nombre de petites valeurs $H = \mathop{\mathrm{L}}n$, valeur maximum possible avec n événements, tous les événements sont également probables, l'_incertitude est d'autant plus considérable que n est plus élevé.

Pour $H=0$, un seul événement est possible : on peut prévoir à coup sûr. Nous verrons que cette interprétation de $H$ comme mesure de la
notion intuitive d'incertitude donne lieu à des énoncés remarquables, concernant la loi de GAUSS d'une part, et la théorie de la dépendance stochastique de l'autre.

Bien que ce ne soit pas le lieu de philosopher, on peut se demander s'il ne serait pas possible, par ce moyen, d'arriver à fonder sur des bases précises la théorie de l'induction. On sait que la notion de probabilité est là, défaillante : un nombre fini d'expériences donne toujours une probabilité nulle à une composition donnée d'une urne infinie. Il est donc nécessaire de substituer un autre concept à celui de probabilité : peut être convenablement utilisé, celui d'incertitude ?

$$ \text{Venons à la formule} \quad P \ge \frac{\underline{L} \lambda + \underline{L} \bar{\omega}}{\underline{L} \lambda + \underline{L} p_o} $$

On peut l'écrire encore :

$$ P \ge \frac{1 + \frac{\underline{L} \bar{\omega}}{\underline{L} \lambda}}{1 + \frac{\underline{L} p_o}{\underline{L} \lambda}} $$

Lorsque $\lambda$ est grand, le second membre a pour partie principale :

$$ 1 - \frac{\underline{L} \frac{p_o}{\bar{\omega}}}{\underline{L} \lambda} \text{ou } 1 - \frac{a}{\underline{L} \lambda} $$

$$ \text{en posant :} \qquad a = \underline{L} \frac{p_o}{\bar{\omega}} > 0. $$

Pour la loi de GAUSS, on voit que la limite obtenue pour $1-P$ est du même ordre ($\frac{1}{x^2}$) que dans l'inégalité de TCHEBITCHEFF. Pour la loi de LAPLACE elle sera moins bonne. Pour la loi de CAUCHY elle sera de l'ordre de $\frac{1}{L_x}$ ce qui est médiocre, mais l'inégalité de TCHEBITCHEFF ne s'applique plus du tout.

Nous allons obtenir maintenant une limite meilleure en considérant le second moment spécifique :

$$ -\frac{v}{2} = \underline{L}^2 \bar{\omega} - \sum p \underline{L}^2 p = \sum p (\underline{L}^2 \bar{\omega} - \underline{L}^2 p) = \sum p \underline{L} \frac{1}{p \bar{\omega}} \underline{L} \frac{p}{\bar{\omega}} = \frac{1}{2} $$

Remplaçons dans cette formule $\frac{p}{\bar{\omega}}$ par $\frac{\mu p}{\bar{\omega}}$. Le second membre s'accroit de : $\underline{L} \mu \sum p \underline{L} \frac{1}{p \bar{\omega}}$, c'est-à-dire de $2 \underline{H} \underline{L} \mu$. En désignant alors par $K$ le rang du dernier événement pour lequel $\frac{\mu p}{\bar{\omega}}$ est supérieur à l'unité ($p \ge \frac{\bar{\omega}}{\mu}$) on peut écrire :

$$ \left\{ \sum_{i=1}^{K} + \sum_{k=1}^{n} \right\} p \underline{L} \frac{1}{p \bar{\omega}} \underline{L} \frac{\mu p}{\bar{\omega}} = 2 \underline{H} \underline{L} \mu - \frac{v}{2} $$

Dans $\sum_{K+1}^n$ tous les termes sont négatifs. En les supprimant, il vient :

$$ \sum_{i=1}^{K} p \underline{L} \frac{1}{p \bar{\omega}} \underline{L} \frac{\mu p}{\bar{\omega}} \ge 2 \underline{H} \underline{L} \mu - \frac{v}{2} $$
Ou en décomposant : $L \frac{1}{p\bar{\omega}}$ en $H + L \frac{1}{p}$ :

$$H \sum p L \frac{\mu P}{\bar{\omega}} + \sum p L \frac{1}{p} L \frac{\mu P}{\bar{\omega}} \geq 2 H L \mu - \frac{\nu}{2}$$

En majorant $p$ par $p_0$,

$$H P L \frac{\mu p_0}{\bar{\omega}} + L \frac{\mu p_0}{\bar{\omega}} \sum_{i=1}^{K} p L \frac{1}{p} \geq 2 H L \mu - \frac{\nu}{2}$$

Or $\sum_{i=1}^{K} p L \frac{1}{p}$ est inférieur à $P L \frac{\mu}{\bar{\omega}} - L \mu$ (On le voit aisément par un calcul analogue à celui qui nous avait donné l'inégalité précédente). On en conclut, en posant toujours $L \frac{p_0}{\bar{\omega}} = a$

$$(L\mu + a)(2HP + PL\mu - L\mu) \geq 2HL\mu - \frac{\nu}{2}$$

$$\text{Ou enfin :} \quad P > \frac{L^2\mu + (2H+a)L\mu - \frac{\nu}{2}}{L^2\mu + (2H+a)L\mu + 2Ha}$$

$$\text{Sous la forme :} \quad P > \frac{1 - \frac{\nu}{L^2\mu + (2H+a)L\mu}}{1 + \frac{2Ha}{L^2\mu + (2H+a)L\mu}}$$

On en conclut, $2 Ha$ étant positif :

$$P \geq 1 - \frac{2Ha + \frac{\nu}{2}}{L^2\mu + (2H+a)L\mu}$$

Cette formule donne pour $1-P$ une limite plus rapidement convergente que la précédente : son grand intérêt vient de ce que, pratiquement, elle n'exige pas plus d'information, le terme $\frac{\nu}{2}$ étant en général petit par rapport à $2 Ha$.

On pourra donc admettre sans grande erreur

$$1 - P(<) \frac{2 Ha}{L^2\mu}$$

Pour la loi de GAUSS, $\nu$ est effectivement égal à 1, et l'on obtient une évaluation de l'ordre de $\frac{1}{x^4}$, donc nettement meilleure que par la formule de TCHEBITCHEFF. En posant $p_k = \frac{\bar{\omega}}{\mu} = \frac{1}{\lambda}$ comme précédemment, on obtient:

$$P \geq 1 - \frac{2Ha + \frac{\nu}{2}}{L\lambda\bar{\omega} \cdot L\lambda p_0}$$
En résumé, nous avons obtenu trois inégalités permettant, par la connaissance de H, de limiter la probabilité totale des "petits événements", de même que l'écart-type permettait, en statistique classique, de limiter la probabilité totale des événements éloignés de la moyenne.

## LA LOI DE GAUSS

Une question se pose alors naturellement : existe-t-il une relation entre ces deux évaluations de la "dispersion" que sont respectivement l'écart type et l'incertitude ?

Cette question, bien entendu, n'appartient plus à la théorie intrinèsque : elle forme pont, en quelque sorte, entre celle-ci et la théorie classique. La réponse est la suivante :

Si l'on connait, l'une des deux grandeurs $\sigma$ et H, l'autre possède une borne supérieure ou inférieure, et celle-ci est atteinte pour la loi de GAUSS.

Pour nous rendre compte du résultat, nous utiliserons d'abord le calcul des variations : nous ferons la démonstration rigoureuse et directe ensuite.

On peut toujours prendre comme origine la moyenne. Alors :

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 \qquad \int f \cdot x \, dx = 0 \qquad \int f \cdot x^2 \, dx = \sigma^2 \qquad \int f L f \, dx = -H $$

(L'unité de longueur étant le seuil de repérage).

L'extremum lié de H s'obtient en annulant la variation première de :

$$ \int (a x^2 + b x + c - L f) f \, dx $$

Ce qui donne : $a x^2 + bx + c = 1 + L f$.

L'axième devrait être un trinôme du second degré en x, on obtient une loi de GAUSS.

D'ailleurs, celle-ci ne peut être que : $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$

Calculons H :

$$ H = \int \left( \frac{x^2}{2\sigma^2} + L\sigma\sqrt{2\pi} \right) f(x) \, dx = \frac{1}{2} + L\sigma\sqrt{2\pi} $$

que l'on peut écrire : $H = L\sigma\sqrt{2\pi e}$.

On en tire : $\sigma\bar{\omega} = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}$

Nous devons donc nous attendre à ce que, pour une loi non Gaussienne, l'égalité précédente devienne une inégalité, c'est-à-dire :

$$ H \le L \sigma \sqrt{2\pi e}, \text{ ou } : \sigma \bar{\omega} \ge \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \quad (1) $$
Pour le vérifier, rappelons que, si $f(x)$ et $g(x)$ sont deux lois de probabilités, on a :

$$\int f L g \, dx \le \int f L f \, dx$$

l'égalité n'ayant lieu que si les deux lois coïncident presque partout. Prenons alors :

$$g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$

Nous obtenons :

$$- \int \left( \frac{x^2}{2\sigma^2} + L\sigma\sqrt{2\pi} \right) f(x) \, dx \le \int f L f \, dx$$

c'est-à-dire précisément la formule (1).

Ainsi la connaissance de $\sigma$ borne supérieurement $H$; la connaissance de $H$ borne inférieurement $\sigma$.

REMARQUE 1. $\int f L f \, dx$ n'est égal à $H$, telle que nous l'avons définie, que si le seuil de repérage est pris pour unité, et s'il est petit par rapport à $\sigma$. S'il n'en est pas ainsi, on ne voit plus très bien le sens définitif de l'intégrale précédente, mais bien entendu ses principales propriétés subsistent.

REMARQUE 2. $\sigma$ n'est pas la seule grandeur bornée inférieurement lorsqu'on connaît $H$. Il en est de même par exemple de l'écart moyen, et celui-ci atteint sa borne pour la loi de LAPLACE.

Le résultat précédent permet une interprétation curieuse de la loi des erreurs :

Admettons que la précision des instruments de mesure employés dans une série d'expérience soit liée à l'écart type des résultats. Si nous opérons toujours avec les mêmes instruments, l'écart type a priori reste constant. Dire alors que les erreurs, qui ont un écart type donné, suivent la loi de GAUSS, c'est prendre la loi qui a la plus forte "incertitude": cette loi ne doit pas être regardée alors comme une loi réelle, mais comme une loi de sécurité; elle représente les pires circonstances que nous risquions de rencontrer, celles où nous serons le moins bien ren-seignés.

On notera à ce propos que si l'on mesure la précision par un autre écart que l'écart type, par exemple l'écart moyen, on obtient des lois (LAPLACIENNE ou autres) qui, intrinsèquement, s'éloignent peu de la loi de GAUSS. (Par exemple la fonction spécifique est $At + \frac{1}{2}L(1+t)$ dans un cas, $At + L(1+t)$ dans l'autre). En sorte que, pour les problèmes d'estimation, il n'importe pas beaucoup d'avoir affaire à l'une ou l'autre d'entre elles.
Pour terminer, rappelons que la loi de GAUSS d'écart type $\sigma$ (le seuil de repérage, petit devant $\sigma$, étant toujours pris pour unité) a pour fonction spécifique :

$$ \varphi(t) = At + \frac{1}{2} L (1 + t) $$

comme nous l'avons vu au chapitre II. L'incertitude est :

$$ H = \varphi'(0) = A + \frac{1}{2} = L \sigma \sqrt{2\pi} e $$

ce qui détermine $A$ :

$$ A = L \sigma \sqrt{2\pi} \cdot \text{D'ailleurs } \bar{\omega} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} e} \qquad P_o = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} $$

$$ \text{donc } a = L \frac{P_o}{\bar{\omega}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Enfin : } v = 1. $$

## L'AJUSTEMENT INTRINSÈQUE PAR LA LOI DE GAUSS

Nous avons indiqué au chapitre 1 la méthode générale d'ajustement intrinsèque par les moments spécifiques. Nous allons revenir sur ce problème en nous attachant surtout au cas où la loi est présumée gaussienne.

Nous supposons que N épreuves indépendantes portant sur n événements $e_i$ ont donné des fréquences relatives $p_i' = \frac{\alpha_i}{N}$. Nous avons d'autre part des raisons de croire que la loi de probabilité de ces n événements a peut-être une certaine forme : $\{p_j\}$ ; mais nous ignorons comment se correspondent les indices i et j, et même s'il est raisonnable de regarder les e comme suivant la loi $\{p_j\}$. Nous traiterons d'abord avec cette dernière question dans le cas où $\{p_j\}$ est la loi de GAUSS :

$$ P_j = \sqrt{\frac{2}{\sigma 2\pi}} e^{-\frac{x_j^2}{2\sigma^2}} $$

l'indice j variant de 0 à n - 1 et $\sigma$ étant grand devant le seuil de repérage pris pour unité ; en outre, nous supposerons n assez grand pour être remplacé par l'infé dans les sommations. La fonction spécifique des $\{p_j\}$ est sensiblement :

$$ \varphi(t) = t L \sigma \sqrt{2\pi} + \frac{1}{2} L (1 + t) $$

Les $p_i'$ nous permettent de calculer une fonction caractéristique expérimentale :

$$ \Psi(t) = \sum \left( \frac{\alpha_i}{N} \right)^{1+t} $$

et une fonction spécifique expérimentale : $\Phi(t) = -L\Psi(t)$.

On pourra tracer les courbes représentatives de $\varphi(t)$ et $\Phi(t)$ et les comparer. Elles passent toutes deux par l'origine, et sont en ce point sensiblement linéaires. Nous commencerons par comparer leurs tangentes, dont les pentes sont les incertitudes "a priori" : H, et "expérimentale" ou "présumée" : H'. Nous choisirons $\sigma$ de manière que $H = H'$ c'est-à-dire :

$$ \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{H' - \frac{1}{2}} $$
Les dérivées suivantes sont pour la loi de GAUSS :

$$ \gamma_2 = -\frac{1}{2} \qquad \gamma_3 = +1 \qquad \gamma_4 = -3 \dots $$

Nous déterminerons les moments spécifiques expérimentaux

$$ \gamma'_2 = \Gamma'_1^2 - \Gamma'_2, \dots \text{ avec : } \Gamma'_i = \sum \left( \frac{\alpha_i}{N} \right) L \frac{\alpha_i}{N}, \quad \Gamma'_2 = \sum \frac{\alpha_i}{N} L^2 \frac{\alpha_i}{N}, $$

et nous comparerons ces valeurs aux précédentes : les écarts ne devront pas dépasser trop les écarts quadratiques probables.

Calculons ces derniers.

Nous avons déjà calculé l'écart type de $\gamma_1 = -\Gamma_1 = H$ :

$$ \bar{\Delta}^2 H = \frac{\Gamma_2 - \Gamma_1^2}{N} = \frac{1}{2N} $$

Pour $\gamma_2 = \Gamma_1^2 - \Gamma_2$ nous avons : $\Delta\gamma_2 = 2\Gamma_1 - \Delta\Gamma_1$

c'est-à-dire :

$$ \Delta\gamma_2 = 2\Gamma_1 \sum (1 + Lp) \Delta p - \sum (2Lp + L^2 p) \Delta p $$

Ou : $ -\Delta\gamma_2 = \sum [L^2 p + 2(1+H)Lp + 2H] \Delta p $

On sait qu'alors, en se bornant à la partie principale :

$$ N\bar{\Delta}^2 \gamma_2 = \sum p [ ]^2 - \sum^2 p [ ] $$

On trouve ainsi :

$$ \bar{\Delta}^2 \gamma_2 = \frac{3}{N} $$

Un calcul analogue donne, pour $\gamma_3$ :

$$ \bar{\Delta}^2 \gamma_3 = \frac{24^{3/4}}{N} $$

Il est assez remarquable que les résultats précédents ne dépendent pas de H. Le calcul précédent a été fait en partant de l'identité :

$$ -\Phi'(t) = \varphi'(t) \Phi(t) $$

qui, par dérivacons successives, donne pour :

$$ t=0: -\Gamma_1 = \gamma_1, -\Gamma_2 = \Gamma_1\gamma_1 + \gamma_2; -\Gamma_3 = \Gamma_2\gamma_1 + 2\Gamma_1\gamma_2 + \gamma_3 \dots $$

Il ne reste plus qu'à remplacer $\gamma_1, \gamma_2 \dots$ par $H_1 - \frac{1}{2} \dots$ pour obtenir de proche en proche $E(Lp), E(L^2 p) \dots$ Mais on peut simplifier les calculs si l'on sait que H doit finalement s'éliminer : on le remplace par 0 partout. Voici la justification de cette méthode :

La probabilité que des événements de probabilités $p_1 \dots p_n$ se produisent avec des fréquences $f_1 \dots f_n$ au cours de N épreuves a pour logarithme, lorsque N est grand (CF chapitre 1) :

$$ LP \# - N \sum f \frac{f}{p} $$
Si $f(x)$ et $p(x)$ sont des fonctions continues interpolant $f$ et $p$ le seuil de repérage étant $\frac{1}{\rho} : LP \# - N \int f(x) L \frac{f(x)/\rho}{\rho(x)} dx = - N \int f(x) L \frac{f}{\rho} dx$.

Ainsi : La probabilité d'obtenir la courbe $f(x)$ pour des événements de densité de probabilité $p(x)$ ne dépend pas du seuil de repérage - pourvu que $N$ soit suffisamment grand (revoir le calcul du chapitre 1).

Or, au lieu de prendre $\rho = 1$ et de faire varier $H$ avec la courbe $p(x)$, on peut fixer la courbe $p(x)$ et faire varier $\rho$. Bien que la courbe $p(x)$ reste invariable, naturellement la loi dénombrable $p_i$ varie avec $\rho$ ainsi que $H$: on peut caractériser la variation de la loi $p_i$ en disant qu'elle reste semblable à elle-même ; ce fait se traduit, comme nous le savons, par l'invariance de $\phi''(t)$. Si alors à chaque loi $p(x)$ on fait correspondre les mêmes courbes de fréquence $f(x)$, nous savons que $\gamma'_2, \gamma'_3, \dots$ ne dépendent que de $f(x)$ et pas de $\rho$. Donc $\sum P(\gamma'_2 - \gamma_2)^2$ par exemple ne dépend pas de $\rho$ puisque chaque terme en est indépendant (à condition de faire correspondre entre elles les lois semblables). Ainsi: les erreurs probables sur les grandeurs invariantes vis-à-vis de la similitude sont elles-memes indépendantes du seuil donc de $H$.

Que conclure des calculs ci-dessus ? que les erreurs sur $H'$ et sur $v' = -2\gamma'_2$ sont petites. D'une façon précise, l'erreur sur $H=L\sigma\sqrt{2\pi}$ est même partie principale que celle qu'on obtiendrait en calculant les moments classiques. Pour l'ajustement d'une loi de GAUSS, l'usage de $H'$ est aussi précis que celui de $\sigma'$ (1), du moins quant aux parties principales (on sait que la précision exacte est nécessairement moins bonne) (2).

Quant à la précision relative sur $v$, elle est meilleure que sur $\mu_4$. D'autre part, le calcul de $H$ et celui de $\Gamma_2$ n'exigent que des additions lorsqu'on possède des tables numériques de $x L \times x$ et $x L^2 \times (3)$ : leur emploi est donc avantageux même en statistique classique. Il ne peut remplacer que l'emploi des moments d'ordre pair. Mais on simplifie notablement les calculs sans accroître les erreurs de façon appréciable en remplaçant la moyenne $m$ par la médiane. Quant au troisième moment $\mu_3$ servant à mesurer la dissymétrie, on peut lui substituer l'expression :

$$ \frac{1}{2} \left\{ \sum_{+} - \sum_{-} \right\} p_{i}^{\prime} L p_{i}^{\prime} \quad (\quad ) $$

où les signes $\sum_+$ et $\sum_-$ désignent respectivement les sommations à droite et à gauche de la médiane.

Ainsi $H$ et $v$ tiendront lieu avantageusement de $\mu_2$ et $\mu_4$ dans l'ajustement d'une loi de GAUSS et dans l'estimation de la correction de l'ajustement. L'usage de $v$ fournit en particulier un procéder d'une bonne précision pour distinguer une loi de GAUSS ($v=1$) d'une loi de LAPLACE ($v=2$).

<footnote>(1) Dans ces lignes et les suivantes, j'abandonne le point de vue intrinsèque, ou du moins je ne m'y restreins pas.</footnote>

<footnote>(2) Voir : DUGUE, Journal de l'Ecole Polytechnique.</footnote>

<footnote>(3) On trouvera la première à la fin de cet ouvrage.</footnote>
Quant à $m_1$ et $\mu_3$, on pourra les remplacer, pour simplifier les calculs, par la médiane et l'expression.

On notera encore que le calcul de $\sigma$, à l'aide de $H$, ne nécessite plus le calcul antérieur de $m_1$.

Dans les dernières lignes, nous avons supposé les événements ordonnés nous plaçant sur le terrain de la statistique classique. Revenons à présent au point de vue intrinsèque.

Nos $p'_i$ expérimentaux nous ont donné une fonction spécifique expérimentale $\Phi(t)$ ne s'écartant pas trop de la fonction $\varphi(t) = At + \frac{1}{2}(1+t)$, ce que nous avons reconnu soit graphiquement, soit en comparant les moments spécifiques.

$$|H' - H| = \theta \frac{1}{\sqrt{2} N}$$

$$|v' - v| = \theta \sqrt{\frac{6}{N}}$$

$$|\gamma'_3 - \gamma_3| = \theta \frac{5}{\sqrt{N}}$$

en désignant par $\theta$ des nombres qui ne doivent pas dépasser par exemple 2 ou $2\ 1/2$.

Le problème qu'il faudra maintenant résoudre est le suivant :

Peut-on faire correspondre les indices i et j de manière que l'événement $e_i$ (qui s'est présenté avec la fréquence $p'_i$) puisse raisonnablement avoir la probabilité $p_j$ ?

Pour résoudre cette question, nous appliquerons la méthode du maximum de likelihood, en cherchant pour quel ordre des indices j l'expression $\sum p'_i \le p_j$ est maximum. Ou : $\sum p'_i \le \frac{1}{p_j}$ minimum.

Nous poserons : $\lfloor \frac{1}{p_j} \rfloor = \lambda_j$ et nous cherchons le minimum de la forme bilinéaire à termes positifs : $\sum \lambda_j p'_i$

Lorsque la forme n'a que deux termes, on voit immédiatement que ceux-ci doivent être rangés par ordres de grandeur inverses. Il est facile d'en conclure que le fait est général ; et, si les $p'_i$ sont numérotés par grandeur décroissante, nous rangerons les $\lambda_j$, donc les $\frac{1}{p_j}$, par grandeur croissante.

Finalement :

A défaut d'autres indications provenant de la nature du problème (1) nous rangerons les p et p' dans le même ordre.

Nous retrouvons ainsi le procédé que l'intuition nous avait suggéré dans l'introduction. Mais je crois que, néanmoins, la notion de fonction caractéristique intrinsèque, en tant qu'instrument de calcul mathématique, garde tout son intérêt.

<footnote>(1) Cette restriction est essentielle : un statisticien ne doit jamais être absurde ...</footnote>
Une question se poserait ici :

Les p ayant été rangés comme il vient d'être dit, on peut mesurer leur ajustement aux p'par la méthode du $\chi^2$. Serait-il possible de calculer ce $\chi^2$ à l'aide des fonctions spécifiques $\varphi(t)$ et $\Phi(t)$ ?

La question analogue n'a pas été résolue, à notre connaissance, en statistique classique. Ici, elle est encore bien plus difficile : **théoriquement**, on sait la résoudre, puisqu'on sait calculer une loi de probabilité connaissant $\varphi(t)$. **En second lieu**, la bicontinuité fonctionnelle de la correspondance entre $\varphi(t)$ et la loi nous assure que $\chi^2$ tend vers 0 lorsque $\Phi$ tend vers $\varphi$ (sous certaines réserves). Il serait souhaitable d'aller plus loin, mais **il semble que, pratiquement, la petitesse des écarts : $\gamma'_1 - \gamma'_1, \gamma'_2 - \gamma'_2, \gamma'_3 - \gamma'_3$ soit un test satisfaisant d'ajustement intrinsèque.**

## LES LOIS NORMALES

L'importance, en statistique, de la notion de "fonction caractéristique" ou "fonction génératrice", vient de ce qu'elle rend compte d'une manière simple de certaines opérations, telles que l'addition ou la multiplication des variables aléatoires. La fonction spécifique a été introduite, au début de cette étude, en relation avec le "produit logique" ou encore "composition" de deux ensembles d'événements indépendants. Cette composition sera l'objet d'une étude spéciale au chapitre IV, mais du point de vue intrinsèque pur nous en parlerons dès maintenant.

Soit $e_i$ et $e'_j$ deux ensembles d'événements, et $e''_{ij}$ l'événement rencontre de $e_i$ et de $e'_j$. Nous ferons dans la suite usage de la notation suivante :

Nous aurons rarement à désigner l'**unique** événement $e_i$ ; généralement l'indice i figurera sous un signe de sommation. Aussi nous abstiendrons-nous d'écrire l'accent dans $e'_j$ **le seul fait d'appeler** j l'indice **signifiera qu'il s'agit d'un événement e'_j**.

De même au lieu de $e''_{ij}$ nous écrirons simplement $e_{ij}$. D'une manière analogue $H_i$ désignera l'incertitude du premier ensemble d'événements : $H_i = -\sum p_i \perp p_i$, tandis que $H_j$, l'indice étant muet, concernera $e'$ et que $H_{ij}$ signifiera : $-\sum\sum p_{ij} \perp p_{ij}$

Quand nous aurons à désigner le 1er, le Kème événement $e_i$, nous le noterons $e_{(1)}$, $e_{(k)}$, ou encore, en cas de confusion $e_{i|}$, $e_{k|}$ suivant la notation classique.

Si les événements $e_i$ et $e_{ij}$ sont à probabilités indépendantes, on a : $p_{ij} = p_i p_j$.

Dans ce chapitre, nous considérons comme intrinsèquement équivalentes (isomorphes) deux distributions formées des mêmes probabilités quels que soient leurs ordres. Le symbole $p_{ij}$ doit donc être regardé comme à un seul indice : $p_{ij} = p_k$, et le fait que deux événements $e_{ij}$ figurent sur une même ligne ou une même colonne sera ici négligé (ce sera l'objet du chapitre suivant).
Si $p_{ij} = p_i \cdot p_j$, la fonction spécifique $\varphi_{ij}(t)$ est la somme des fonctions spécifiques $\varphi_i$ et $\varphi_j$. En particulier, si les $e_i$ et les $e_j$ suivent une loi de GAUSS :

$$p_i = \frac{1}{\sigma_i \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma_i^2}} \quad \Delta x_i, p_j = \frac{1}{\sigma_j \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y_j^2}{2\sigma_j^2}} \quad 2 \Delta y_j$$

$e_{ij}$ suit une loi de GAUSS à deux variables :

$$p_{ij} = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2} e^{-\frac{x_1^2}{2\sigma_1^2} - \frac{y_2^2}{2\sigma_2^2}} \quad \Delta x_i \Delta y_j$$

En posant : $\Delta x \Delta y = \frac{1}{\rho}$ on pourra assimiler $p_{ij}$ à une loi continue, et faire les calculs correspondant par des intégrales doubles. Sans recourir à ce procédé, nous savons que si :

$$\varphi_i(t) = At + \frac{1}{2} L(1+t) \qquad \varphi_j(t) = Bt + \frac{1}{2} L(1+t)$$

alors : 	$\varphi_{ij}(t) = Ct + L(1+t)$

Si maintenant, laissant de côté le double indice, nous rangeons les $p_{ij}$ par grandeurs décroissantes, $p_k$, nous pourrons représenter approximativement $p_k$ par une courbe continue $f(z)$ ($o \le z$). On voit aisément qu'à $\varphi_{ij}(t)$ correspond la loi de LAPLACE. Ainsi :

La loi de GAUSS à deux variables est isomorphe de la loi de LAPLACE à une variable.

Si l'on regarde, avec la plupart des statisticiens, la loi de GAUSS comme la loi fondamentale (1), on voit que la loi de LAPLACE peut être obtenue en partant d'une loi de GAUSS plane, fendant le plan par deux demi-droites issues du centre, et repliant les deux demi-plans à la manière d'un éventail. En même temps, on remplace les distances au centre par leurs racines carrées, de manière à obtenir une variable propre.

Dans cette double opération, l'origine est un point singulier, ce qui explique le point anguleux de la loi de LAPLACE.

Plus généralement, une loi de GAUSS à n variables a pour fonction spécifique

$$At + \frac{n}{2} L(1+t)$$

Elle est isomorphe de la loi $y_0$ e

$$e^{-\left(\frac{x}{x_0}\right)^2}$$

Le fait essentiel, c'est que n est caractérisé par le second moment spécifique : $\gamma_2 = -\frac{n}{2}$.

C'est en vue de la formule précédente que nous avons appelé indice la quantité $v = -2\gamma_2 = 2(\Gamma_2 - \Gamma_1^2)$.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<footnote>(1) Sa stabilité vis-à-vis de l'addition lui donne une valeur privilégiée par rapport à la loi de LAPLACE.</footnote>
La loi de GAUSS à plusieurs variables donne donc une importance particulière aux lois de la forme $y_o e^{-x^k}$. Nous les appellerons : "lois intrinsèques normales" (2)

Nous allons les étudier sommairement.

Il n'est pas possible d'exprimer simplement $y_o$ en fonction de K; mais en supposant $y_o$ connu dans :

$$y = y_o e^{-\left(\frac{x}{x_o}\right)^k}$$

on obtient par intégration par parties :

$$E\left(\frac{x}{x_o}\right)^k = \frac{1}{k}$$

$$\text{On en tire :} \qquad H = \frac{1}{k} + \mathcal{L} \left(\frac{1}{y_o}\right)$$

La fonction spécifique s'obtient aisément :

$$\varphi(t) = At + \frac{1}{k} \mathcal{L}(1 + t)$$

$$\text{Avec : } H = \frac{1}{k} + A. \text{ D'où } A = \mathcal{L} \frac{1}{y_o}$$

$$\text{Ensuite : } \gamma_2 = - \frac{1}{k}. \text{ D'où : } v = \frac{2}{k}$$

$$\text{L'erreur probable sur H est : } \overline{\Delta^2 H} = \frac{1}{K N}$$

Quant à l'erreur sur $v$, un calcul analogue à celui indiqué pour la loi de GAUSS donne :

$$\overline{\Delta^2 v} = \frac{2 v (2 + v)}{N}$$

On notera que l'erreur absolue sur l'indice croît avec celui-ci, à peu près proportionnellement. Ce fait est assez gênant, car nous verrons qu'il importe de savoir distinguer les valeurs de $v$ voisines des divers entiers : c'est donc l'erreur **absolue** qui précisément nous intéresse. L'écart type tolérable sera au maximum de l'ordre de $\frac{1}{2}$, mais si possible de $\frac{1}{4}$. On voit ainsi que :

$$\begin{array}{l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l}
\text{pour } v = 1 & \text{on devra prendre} & N & \sim & 25 \text{ et si possible } \sim 100 \\
\text{'' } = 2 & \text{''} & 65 & \text{''} & 250 \\
\text{'' } = 3 & \text{''} & 120 & \text{''} & 500 \\
\text{'' } = 4 & \text{''} & 200 & \text{''} & 800 \\
\text{'' } = 5 & \text{''} & 280 & \text{''} & 1100
\end{array}$$

Pour $v = 10$, on trouve $N \sim 1000$ dans la première colonne : cela marque à peu près la limite pratique d'utilisation du procédé.

<footnote>(2) Ce nom me semble tout à fait indiqué ; je ne crois pas qu'il prête à confusion avec le terme de "loi normale" sous lequel on désigne la loi de GAUSS réduite.</footnote>
Quant à $\gamma_3$ sa valeur est $v$ pour une loi normale. Sa valeur expérimentale fournit un test d'exactitude pour le quotient $\frac{\gamma_3}{v} = g$. g mesure la "normalité" : il doit être voisin de l'unité.

$$L'erreur sur \gamma_3 \ est \ donnée \ par \ : \ \bar{\Delta}^2 \gamma_3 = \frac{3 v (5 + 3 v + \frac{v^2}{4})}{N}$$

L'erreur sur $g$ est ainsi en négligeant l'erreur sur $v$ :

$$\bar{\Delta}^2 g = \frac{3 (\frac{v}{4} + 3 + \frac{5}{v})}{N}$$

Elle est minimum pour $v$ voisin de $4 \frac{1}{2}$ et varie très lentement dans cette région. Pratiquement :

Pour $v = 1$, l'écart type sur $g$ est environ :

$\frac{1}{2}$ pour $N \sim 100$

$\frac{1}{4}$ " 400

$\frac{1}{6}$ " 1 000

Mais lorsque $v$ varie de 2 à 10, on peut regarder cet écart type comme pratiquement constant et égal à :

$\frac{2}{5}$ pour $N \sim 100$

$\frac{1}{5}$ " 400

$\frac{1}{8}$ " 1 000

Ainsi, lorsque $v$ ne dépasse pas 10, g fournit un test de normalités assez utilisable. Si l'on songe que, pour la loi de GAUSS, il correspond au sixième moment réduit $\mu_6$, sa précision est fort satisfaisante. Nous verrons comment, même pour $v>1$, il correspond encore à un moment d'ordre 6. Nous l'appellerons le "gaussien", nom qui sera justifié par l'interprétation des lois normales.

Signalons, pour terminer, un procédé simple pour calculer l'indice. Il consiste à remarquer que, pour une loi normale, on a : $H + L p_o = \frac{v}{2}$. Mais on devra prendre garde qu'en évaluant $p_o$ par la plus grande fréquence expérimentale $p'_o$, on le suretime presque sûrement. Si donc l'ordre des événements est effectivement inconnu, la relation précédente se prête plutôt au calcul de $p_o$ en partant de $v$. Mais si les événements sont ordonnés, la détermination graphique de $p_o$ peut se faire avec une assez bonne précision, parfois, pour fournir une valeur satisfaisante de $v$ (à condition d'admettre que la loi est normale).
# CONCLUSIONS : ANALYSE INTRINSÈQUE D'UNE LOI DE FRÉQUENCE

Nous arrivons à la partie la plus importante mais la plus aventureuse aussi de cette étude, celle - du reste - qui nous a suggéré toute la théorie. Les hypothèses que nous allons faire sont, évidemment, d'un caractère assez téméraire, et prétent sans doute à de fortes contestations. Nous les ferons seulement comme des hypothèses de travail : l'application à des cas concrets, et spécialement à la biologie, montrera si ces hypothèses sont fécondes, donc légitimes ; montrera également quel en est le champ d'application.

Le problème que nous avons en vue est le suivant :

Etant donnés des événements $e_i$ que nous ne savons pas ordonner (1) mais qui, dans une série de N épreuves, se sont produits respectivement $\alpha_i$ fois, chercher un ordre caché sous ces événements.

L'hypothèse de travail que nous utiliserons consiste à admettre que les variables "naturelles" sont indépendantes et gaussiennes.

Il n'est pas possible de définir ce que sont des variables "naturelles". Nous supposerons en avoir une idée intuitive suffisante. On pourrait dire que ce sont celles qui caractérisent les données "élémentaires" du problème, les phénomènes physiques "simples". Tout cela reste aussi vague et nous n'y insisterons pas. Disons qu'une variable "naturelle" est celle dont l'emploi dans le calcul ou la description du phénomène est le plus "commode", et contentons-nous de ce pragmatisme, qui est, après tout, à la base de toute science (2).

L'idée que les variables "naturelles" doivent être "indépendantes" est admise plus ou moins par tous les statisticiens. Nous y reviendrons au chapitre suivant et appellerons "canonique" un ensemble complet de variables vérifiant une telle condition.

Que les variables "naturelles" doivent suivre la loi de GAUSS, cela sera bien plus contesté (3) : cela se justifie partiellement par la commodité de cette loi ; par le fait qu'elle représente asymptotiquement la loi du binôme, par sa stabilité vis-à-vis de l'addition. Mais c'est l'expérience qui montrera seule si cette hypothèse est légitime, et nous ne la discuterons pas a priori.

Ces hypothèses faites, en présence des événements non ordonnés $e_i$ de fréquences expérimentales $p_i = \frac{\alpha_i}{N}$ voici comment nous pourrons procéder :

<footnote>(1) D'autres fois, nous saurons incomplètement le faire.</footnote>

<footnote>(2) Notons cependant qu'une variable naturelle doit être une variable propre, c'est-à-dire posséder un seuil de repérage expérimental uniforme.</footnote>

<footnote>(3) J'ai donné moi-même quelques pages plus haut, une interprétation de la loi des erreurs qui contribuerait à affaiblir l'importance de la loi de GAUSS.</footnote>
1°/ Nous essayerons de nous assurer que les eᵢ sont bien des événements propres, c'est-à-dire que les événements distincts sont bien ceux que nous distinguons.

Ce sera le point le plus délicat de la méthode : cette notion d'événements distincts est parfois claire (par exemple les linguistes de l'école française considèrent l'individualité d'une langue comme une notion bien définie, du moins à un moment donné : il n'y a pas transition continue d'une langue à une autre voisine parce que deux hommes ont une conscience claire de parler ou de ne pas parler la même langue). Mais en général on se heurtera à de grandes difficultés; par exemple, en économie politique, on doit regarder comme égale-ment distinctes des grandeurs (fortunes, chiffres d'affaires, ...) en progression géométrique et non en progression arithmétique, et la variable propre sera souvent ainsi le logarithme de la grandeur étudiée : comment en décider ? En pratique, c'est en cherchant précisément une variable gaussienne qu'on tranche la question bien souvent ; il y a là un cercle vicieux qui montre ce fait (qu'on ne devrait jamais perdre de vue en statistique) : dans l'élaboration d'une théorie, l'esprit humain suit toujours une double démarche, du concret à l'abstrait et de l'abstrait au concret, et ces deux phases se complè-tent étroitement, et alternent par un mouvement de balancier en serrant de plus en plus près la réalité.

On n'oubliera pas, d'autre part, que la classification des faits dépend de notre façon de les envisager : le facteur sujet est toujours présent dans l'étude de l'objet (l'exemple typique est celui des proba-bilités géométriques) ; à nous de chercher la manière la plus avantageuse de regarder le réel.

2°/ Les événements ayant enfin été distingués (au moins provisoirement) nous examinerons si nous possédons des informations ou des intuitions permettant de les ordonner, de fixer le nombre de variables dont ils paraissent dépendre, voire de prévoir le type de loi de probabilité qui paraît devoir leur convenir.

Ce sont là des méthodes classiques de la statistique, il n'y a pas lieu d'y insister : dans la mesure où elles nous donneront des résul-tats, complets ou partiels, ce que je vais dire maintenant des méthodes intrinsèques fournira un moyen de contrôle souvent avantageux (nous avons noté la commodité des calculs intrinsèques même dans les problèmes d'ajustement classique). Dans la mesure où les considéra-tions que je viens de rappeler seront inapplicables, ou contestables, ou insuffisantes, nous recourrons aux méthodes intrinsèques, c'est-à-dire :

3°/ Nous étudierons la fonction spécifique expérimentale :

$$ \Phi (t) = - \mathcal{L} \Psi (t) \text{ avec } \Psi = \sum p_i t^{i+t} $$

soit par la méthode graphique, soit plutôt en calculant les moments logarithmiques :

$$ \Gamma'_1 = \sum p' \mathcal{L} p' \qquad \Gamma'_2 = \sum p' \mathcal{L}^2 p' \qquad \Gamma'_3 = \sum p' \mathcal{L}^3 p' $$
(calculs n'exigeant, avec les tables nécessaires, que des additions)
et les moments spécifiques γ ou plutôt :

$$L'incertitude : H' = -\Gamma'_1$$

$$L'indice : v' = 2 ( \Gamma'_2 - \Gamma'_1^2 )$$

$$Le gaussien : g' = \frac{-\Gamma'_3 + 3\Gamma'_2\Gamma'_1 - 2\Gamma'_1^3}{2(\Gamma'_2 - \Gamma'_1^2)}$$

On pourra commencer par examiner si $g'$ est voisin de l'unité, avec la précision calculée au paragraphe précédent. Si oui, on peut espérer représenter les événements par des variables gaussiennes.

Le nombre de ces dernières est alors donné par l'indice, avec une précision que nous avons évaluée plus haut. Si nous sommes en droit de choisir pour $v$ un entier, nous pourrons admettre alors l'existence de variables à l'aide desquelles la loi de probabilité s'exprimera par une loi de GAUSS. De celle-ci, nous connaîtrons la probabilité maxima, ou encore la somme des déviations types, à l'aide de l'incertitude $H'$. Ici s'arrête le rôle de l'analyse intrinsèque.

4°/ Pour aller plus loin, en particulier pour déterminer quelles sont les variables gaussiennes, calculer leurs déviations respectives (dont on ne connaît que la somme), il faudra reprendre la question du point de vue concret; ce dernier seul, en particulier, peut nous donner le centre de la loi, soit par la moyenne, soit, plus simplement par les médianes.

5°/ L'analyse des événements $e_i$ étant ainsi "dégrossie", une étude plus poussée sera faite en combinant les méthodes classiques et les méthodes intrinsèques. Je pense, par exemple, que les méthodes intrinsèques peuvent rendre des services dans l'étude de portions de courbes de fréquence, surtout des portions monotones ou symétriques. N'oublions pas, en effet, qu'une fonction monotone est complètement déterminée par sa fonction spécifique, et celle-ci garde un sens même lorsque l'intégrale de la fonction dans la région étudiée n'est pas égale à l'unité. C'est ainsi que pour une courbe ayant deux sommets très éloignés (telles les courbes de résonnance en acoustique ou en électro-magnétique), on pourra calculer les fonctions spécifiques de chaque portion voisine d'un sommet et comparer ainsi ces portions à la loi de GAUSS.

6°/ Ce dernier exemple nous conduit à dire quelques mots de la question suivante :

Lorsqu'une courbe de fréquence résulte de la superposition de deux ou plusieurs courbes simples, on n'est pas en présence d'une variable propre. Chaque événement se décompose en deux, par exemple, que l'on a confondus et dont on a ajouté les probabilités. Pour rappeler l'exemple classique, la classification par tailles d'une population peut conduire à considérer comme un seul événement le fait pour un homme de mesurer l'm 70 qu'il appartienne à la race A ou à la race B. On peut obtenir ainsi une courbe à deux sommets, alors qu'il conviendrait d'envisager le phénomène comme le produit de deux autres :
Le fait d'appartenir à la race A ou à la race B, les probabilités étant $p_A$ et $p_B$ ;

Le fait d'avoir une certaine taille (à un centimètre près par exemple) les probabilités étant $p_i$.

Alors la rencontre d'événements de chacune des catégories a une probabilité : $p_{A_i}$ ou $p_{B_i}$ et en réunissant ces deux termes en un seul : $p_i = (p_{A_i} + p_{B_i})$ on masque l'allure du phénomène (1).

Il n'est pas possible de faire une théorie intrinsèque complète de ce fait : les grandeurs intrinsèques se prêtent particulièrement mal à l'addition des courbes de fréquence (ce qui est naturel, cette opération supposant les événements ordonnés).

Toutefois, il est possible en général de prévoir dans quel sens jouera le fait précédent :

Soit p la probabilité d'un événement e. Décomposons celui-ci en une somme de deux événements e' et e'' de probabilités respectives x et p-x. L'indice v subit une variation qui est sensiblement :

$$2\Delta\Gamma_2 - 4\Gamma_1\Delta\Gamma_1$$

C'est-à-dire :

$$y = 2 \left[ x L^2 x + (p-x) L^2 (p-x) - pL^2 p \right] + 4 H \left[ x L x + (p-x) L (p-x) - pL p \right]$$

En construisant la courbe représentative de y(x), on voit que y est positif pourvu que p soit inférieur à $\bar{\omega}\sqrt{2}$, ou, sinon, que x ne soit pas trop voisin de $\frac{p}{2}$. Lorsque la même opération se fera non plus sur un terme, mais sur tous, nous devons donc nous attendre à ce que, presque toujours, v augmente.

Par conséquent :

_On reconnaîtra que plusieurs événements distincts ont été confondus à ce que v sera trop faible._

Par exemple, nous devrons chercher à interpréter dans ce sens une valeur de v inférieure à l'unité **systématiquement** (c'est-à-dire d'une quantité impossible à attribuer aux erreurs expérimentales).

Terminons par une remarque essentielle :

Si l'on ne croit pas à la "gaussivité" des variables "naturelles", on pourra parfois faire sur elles d'autres hypothèses. Les calculs que j'ai développés ne s'appliqueront plus, mais les méthodes resteront les mêmes (bien que sans doute d'une utilisation plus difficile).

Il est encore trop tôt pour donner de la théorie précédente des applications pratiques. Nous essaierons seulement d'éclairer les idées développées sur quelques exemples théoriques.

<footnote>(1) $p_A$ et $p_i$ ne sont pas indépendants.</footnote>
## EXEMPLES.

1°/ Comme premier exemple, nous rappellerons le résultat obtenu dans l'étude de la loi polynômiale. Nous avons vu qu'on considérant comme autant d'événements distincts $e_i$ l'apparition simultanée $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ fois d'événements indépendants de probabilités respectives $p_1, \dots, p_n$ pour toutes les combinaisons distinctes d'entiers $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ dont la somme N, la fonction spécifique tend asymptotiquement vers :

$$A + \frac{n-1}{2} L (1+t) \text{ lorsque N croit indéfiniment.}$$

Ainsi : la loi polynomiale tend à être intrinsèquement normale. Sachant cela, et seulement cela, nous serons tentés, conformément au paragraphe précédent, de chercher si on peut représenter asymptotiquement la loi par une loi gaussienne, et a n-1 variables puisque l'indice est n-1. En fait, on sait que cette tentative sera couronnée de succès.

Ici, nous connaissons d'avance le résultat (1). Mais l'exemple est néanmoins une bonne illustration de la méthode. En outre, même si l'on n'allait pas plus loin, le seul fait de connaître l'allure intrinsèque de la loi du polynôme suffirait à fournir la loi du $\chi^2$. En effet, la probabilité $P_i$ du terme en $(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ est $e^{-\chi_i^2}$. La probabilité des $\chi$ inférieurs à $\chi_i$ est $\sum_{j=0}^{\chi_i} e^{-\chi_j^2}$. Mais $\chi$ n'est pas une variable propre. Appelons $x$ une telle variable : c'est une fonction de $\chi$ ; nous savons qu'elle suit une loi normale d'indice n-1 ; nous savons enfin, en prenant son seuil de repérage pour unité, que :

$$e^{-\frac{(\frac{x}{a})}{n-1}} \Delta x = e^{-\frac{(\frac{x}{a})^2}{n-1}} = e^{-\chi^2}$$

On en tire : $x = a \chi^{n-1}$ D'où $dx = a (n-1) \chi^{n-2} d\chi$

Ce qui donne finalement la loi du $\chi^2$ :

$$a (n-1) \chi^{n-2} e^{-\chi^2} d\chi$$

Il ne reste plus qu'à déterminer a de manière que la probabilité totale soit égale à l'unité.

On remarquera que les calculs précédents pourraient être renversés : Si l'on connaissait la signification du $\chi^2$ et que l'on ait obtenu expérimentalement sa loi de probabilité, on en déduirait la loi normale de la variable propre $x$, c'est-à-dire la normalité intrinsèque de la loi polynômiale ; celle-ci à son tour suggérerait une représentation gaussienne à n-1 variables.

2°/ Reprenons l'exemple, donné dans l'introduction, du tir à la cible avec des carreaux numérotés et de surfaces égales.

<footnote>(1) M'est-il permis d'avouer que lorsque j'ai fait ce calcul j'avais oublié le résultat en question (sauf pour n=2) en sorte que je me suis trouvé dans les circonstances psychologiques prévues par la méthode ?</footnote>
<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>13</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

On trouvera expérimentalement que les fréquences p'; outre leurs oscillations d'allure périodique, suivent une loi intrinsèquement Laplacienne $\Phi(t) = A_t + L(1+t)$

En fait l'expérience permettra seulement de calculer les 3 premiers moments spécifiques, et le gaussien g' sera voisin de l'unité. L'indice v' sera voisin de 2, et nous penserons à représenter les événements par deux variables gaussiennes.

Cet exemple appelle une remarque sur certains rôles de la loi de GAUSS : dire que le tir à la cible suit une loi de GAUSS à deux variables, c'est dire que les erreurs physiologiques suivent une loi de GAUSS. Ce rôle de la loi de GAUSS en biologie peut être indépendant de son rôle dans d'autres questions d'erreurs (par exemple les erreurs dues aux phénomènes météorologiques en astronomie, aux trépidations du sol dans un laboratoire, etc...). On n'oubliera pas que les principales erreurs expérimentales ont pour cause l'imprécision de jugement de nos sensations, même lorsque les mesures sont faites automatiquement : cet automatisme n'étant jamais que celui d'appareils construits par des hommes, donc imparfaits pour des causes physiologiques.

En gros, les erreurs physiologiques sont dues à l'existence des seuils différentiels des sensations. Qu'au-dessous du seuil différentiel le jugement suive une loi de GAUSS, c'est là une question que l'on peut étudier expérimentalement.

On voit l'intérêt qu'il y aurait à savoir exactement le degré de validité de la loi de GAUSS en biologie.

3°/ Revenons enfin sur l'étude du jeu de la roulette.

On trouve que les 35 cases (que je supposerai numérotées de 1 à 35 dans l'ordre naturel) ont des fréquences très sensiblement égales. Donc $v = 0$. Ce résultat nous suggère, d'après ce que nous avons vu, que des événements distincts ont été réunis. Si alors nous distinguons l'arrêt de la bille dans la case i suivant qu'il s'est effectué après des nombres différents, k, de tours (je suppose pour simplifier que la bille soit toujours lancée du même point : sinon il faudrait changer à chaque fois le numérotage des cases) nous serons conduits à prendre comme variable le nombre total de cases parcourues : $i + 35 = j$. Et j suivra une loi de GAUSS.

Ces exemples, en attendant des applications à des questions nouvelles, feront comprendre, je l'espère, les possibilités et les limites de l'analyse intrinsèque : celle-ci suggère, mais, pas plus qu'aucune
méthode statistique, et même moins encore, elle ne résout complètement les questions. Plus qu'aucune méthode, elle exige le contrôle des faits pris en eux-mêmes : ce contrôle pouvait à la rigueur, en statistique classique, ne se faire qu'avant l'étude théorique ; en statistique intrinsèque, c'est, au contraire après la théorie que l'examen des faits devient indispensable. C'est le lieu, plus que jamais, de citer ces lignes de M. DARMOIS :

> "Les mathématiques et la théorie des probabilités ne sont que "des moyens que l'esprit emploie pour donner une réponse aux questions qu'il se pose. Mais il peut se poser des questions sans intérêt "ou sans issue, ou bien donner à des questions intéressantes des "réponses absurdes, même en employant correctement l'outil "mathématique".
# CHAPITRE IV

## SUR LA CORRÉLATION

AVERTISSEMENT. Ce chapitre a été rédigé de manière à pouvoir être lu indépendamment du reste de l'ouvrage.

### INTRODUCTION : DÉPENDANCE ET CORRÉLATION

La notion de corrélation a été surtout étudiée par des expérimentateurs et le domaine de cette étude est assez embrouillé. Nous voudrions tenter d'y mettre un peu d'ordre en dégageant les fondements théoriques d'une notion restée trop empirique.

Tout d'abord, distinguons clairement dépendance et corrélation.

1°/ Le terme de dépendance stochastique doit être réservé au calcul des probabilités. Ce n'est pas une notion expérimentale. Deux lois de probabilités sont indépendantes lorsque $p_{ij} = p_i \times p_j$ ; elles sont plus ou moins dépendantes suivant qu'elles sont plus ou moins "éloignées" de vérifier cette relation : nous verrons à donner un sens à cette notion.

2°/ Le terme de corrélation a toujours eu un sens nettement statistique, mais son emploi se ressent des débuts empiriques de la science statistique : les premiers statisticiens ont été surtout sensibles au fait que la valeur moyenne d'une grandeur x ne variait pas avec une grandeur y. Cette constance de la moyenne, pour être frappante, pour être même souvent suggestive, n'en est pas moins dépourvue de signification théorique profonde : une variation d'écart type est l'indice, autant que celui de la moyenne, d'une action d'un phénomène sur un autre.

Ce fait est aujourd'hui bien compris ; mais on tend à le masquer en conservant une terminologie amphibologique. Nous proposons de donner du mot "corrélation" la définition suivante, volontairement vague :

Le degré de corrélation entre deux variables aléatoires expérimentales est le degré de dépendance que nous pouvons raisonnablement attribuer à leurs lois (inconnues) de probabilité.
Nous précisons ainsi la valeur purement expérimentale du mot
corrélation, dont la dépendance n'est que l'image théorique. Il sera
possible de bien des manières d'évaluer le degré de corrélation ainsi
défini : la variation de la moyenne en est une, bien primitive sans doute,
à laquelle on pourra réserver le nom de : *corrélation empirique*.

3° Pour en terminer avec les questions de terminologie, ajoutons qu'avec M. DARMOIS nous appelons *covariation* la *corrélation* entre les variations épiséculaires ξ, η de deux variables, x, y, lorsque chacune de celles-ci est la somme x = X + ξ d'une partie X(t) fonction du temps et d'une partie aléatoire ξ. Le mot corrélation est, bien entendu, pris ici dans le sens que nous avons défini plus haut.

Nous commencerons par étudier la *dépendance de deux lois de probabilité*, essayant de donner un sens non purement empirique à l'expression "degré de dépendance". Ensuite nous examinerons comment utiliser les résultats obtenus pour évaluer la *corrélation entre deux lois de fréquence*.

Première Partie

LA NOTION DE DÉPENDANCE

1°/ NOTATION

La théorie de la dépendance stochastique peut se faire sans parler
de variables aléatoires, comme l'avait remarqué PEARSON. Nous
procéderons ainsi, mais pour abréger le langage, nous désignerons
par un mot unique une série complète d'événements e₁, e₂...eᵢ...eₙ :
nous la nommerons un "phénomène" et la noterons [i] suivant une
convention que nous allons expliquer. Par série complète nous enten-
dons que la probabilité totale pᵢ + ... + pₙ est égale à l'unité, et que
les événements sont indépendants et incompatibles.

Si maintenant [i] et [j] sont deux phénomènes formés respec-
tivement des événements e₁... eᵢ... eₙ, eᵢ'... eⱼ... eᵢ'' , la rencontre
de eᵢ' et de eⱼ est un événement eᵢⱼ'' que nous appellerons le "produit"
de eᵢ et de eⱼ ; eᵢ''ⱼ = eᵢ. eⱼ'' = eⱼ. L'ensemble des eᵢⱼ constitue
un "phénomène" que nous noterons [ij] et appellerons "produit" de [i]
et de[j] Lorsque toutes les probabilités pᵢⱼ seront égales à pᵢ. pⱼ, nous
dirons que [i] et [j] sont indépendants.

Nous appelons "incertitude" d'un phénomène [i] et désignons par
Hᵢ la quantité positive Hᵢ = -∑pᵢLpᵢ. Divers résultats (chapitre III)
montrent que la prévision du résultat d'un phénomène est d'autant
meilleure que H est plus petit. En particulier lorsque H = 0 un seul
evénement est possible et sa probabilité est égale à 1.

Nous venons de voir que nous simplifions les notations classiques
pᵢ₁, pᵢ₂, ..., pᵢⱼ en général, en effet, nous n'aurons pas besoin d'isoler
un des événements, et pour distinguer les événements des différents
phénomènes, nous nous contenterons de changer le nom de l'indice,
sans modifier sa place. De même nous ferons usage dans les somma-
tions d'indices muets dont le nom sera significatif du phénomène.
Ainsi Hᵢ sera l'incertitude du premier phénomène, Hⱼ celle du second,
Hij celle de leur produit nᵢ et nⱼ seront les nombres d'événements
de [i] et de [j]. En cas d'ambiguïté nous reviendrons à la notation
classique.

Enfin, nous désignerons par {pᵢ} ou simplement par {p} l'en-
semble des pᵢ, et par F {pᵢ} une fonction F (p₁ p₂... pₙ) des n varia-
bles p... pₙ.

2°/ "DEGRÉ" DE DÉPENDANCE.

Deux phénomènes [i] et [j] sont indépendants lorsque pᵢⱼ = pᵢ...pⱼ...
Lorsque cette égalité n'est pas vérifiée, il y a "dépendance".
Comment mesurer celle-ci ? On a recours en général à une notion
empirique de distance , distance quadratique analogue au χ² et qui
fournit le carré moyen de contingence :

$$
\varphi^2 = \sum \sum \frac{(p_{ij} - p_i \cdot p_j)^2}{p_i p_j}
$$

Mais il y a bien d'autres manières de distancier un espace abs-
trait et la précédente ne s'impose pas d'une manière exclusive. Nous
allons reprendre la question en la rattachant à la statistique, ce qui
n'est pas en contradiction avec la distinction faite au début : la notion
de dépendance n'appartient pas à la statistique, mais c'est en vue de
son utilisation en statistique qu'elle est utile.

Effectuons, sur le phénomène [ij] = [i].[j], une série de N
épreuves indépendantes. Nous obtiendrons des fréquences expérimen-
tales :

f_{ij} = \alpha_{ij} / N \text{ pour l'événement } e_{ij} \text{, et des fréquences } f_i = \sum_j f_{ij} \text{, } \\
f_j = \sum_i f_{ij} \text{ pour les } e_i \text{ et les } e_j \text{ : cet ensemble de fréquences } f_{ij} \\
\text{constitue le résultat de notre série d'épreuves, et nous le noterons R.}

Si les phénomènes [i] et [j] sont indépendants, le résultat R ne vérifiera pas nécessairement la relation fᵢⱼ = fᵢ. fⱼ, mais on doit s'attendre à ce que la probabilité pour qu'il la vérifie soit alors à son maximum.

Si les phénomènes [i] et [j] ne sont pas indépendants, la proba-
bilité d'un R indépendant sera d'autant plus faible, devons-nous penser,
que nous serons plus éloignés de l'indépendance. Si l'on veut, on peut
dire encore que : lorsque [i] et [j] ne sont pas indépendants, un
résultat R vérifiant fᵢⱼ = fᵢ fⱼ nous trompe sur la dépendance des phéno-
mènes, nous masque celle-ci. Moins ce résultat trompeur est à
craindre, plus nous regarderons les phénomènes comme dépendants.

Le degré de dépendance ne peut être correctement défini que par
la probabilité d'obtenir un R vérifiant fᵢⱼ = fᵢ fⱼ.

Malheureusement, cette probabilité est beaucoup trop difficile à
calculer. Au reste, elle dépend du nombre N des épreuves, et nous
ne devons nous intéresser qu'à sa partie principale lorsque N croit indéfiniment. Celle-ci elle-même est encore peu calculable. En revanche, on peut obtenir une probabilité qui est étroitement liée à la précédente : la probabilité P du plus probable des R vérifiant $f_{ij} = f_i$. $f_j$.

Cette manière de mesurer le degré de dépendance n'est pas encore parfaite, évidemment : mais elle trouvera sa justification complète dans la mesure de corrélation.

Calculons P. Le plus probable des R vérifiant $f_{ij} = f_i$. $f_j$ correspond au plus probable $\{f_i\}$ qui est $\{p_i\}$ et au plus probable $\{f_j\}$ qui est $\{p_j\}$. P est donc la probabilité d'obtenir pour $f_{ij}$ la valeur $p_i p_j$ c'est-à-dire pour $\alpha_{ij}$ la valeur $N_{P_i P_j}$. Cette probabilité est :

$$P = \frac{\prod (N_{P_i P_j}!)}{N!} \prod (p_{ij})^{N_{P_i P_j}}$$

La formule de STIRLING donne sans difficulté pour partie principale de LP :

$$LP \sim -N \sum \sum_{i,j} p_{ij} L \frac{p_{ij}}{p_i p_j}$$

Nous sommes ainsi conduits à prendre $\sum \sum_{i,j} p_{ij} L \frac{p_{ij}}{p_i p_j} = \Omega_{ij}$ comme mesure du degré de dépendance.

On peut l'écrire encore :

$$\Omega_{ij} = \sum \sum_{i,j} p_{ij} L p_{ij} - \sum_{i} p_i L p_i - \sum_{j} p_j L p_j = H_i + H_j - H_{ij}$$

Nous appellerons $\Omega_{ij}$ le module de dépendance :

Le module de dépendance de [i] et de [j] est l'excès sur l'incertitude du produit $[ij]$ de la somme des incertitudes de chaque phénomène $\Omega_{ij} = H_i + H_j - H_{ij}$.

La manière dont nous avons obtenu $\Omega$ suggère qu'il est minimum dans le cas de l'indépendance. Nous allons vérifier ce résultat ; mais on devra prendre garde que $-N\Omega$ n'est que la partie principale de LP et quand nous trouverons 0 pour minimum de $\Omega$, on ne devra pas en conclure qu'alors $P = 1$.

## 3°/ ADDITION DES INCERTITURES.

Une première démonstration du résultat annoncé consiste à chercher le minimum de $\Omega_{ij}$ lorsqu'on fait varier la loi $\{p_{ij}\}$ en maintenant fixes les lois $\{p_i\}$ et $\{p_j\}$. Il suffit de chercher le maximum de $H_{ij}$.

$$\text{On a : } dH_{ij} = \sum \sum (1 + L p_{ij}) dp_{ij} = \sum \sum L p_{ij} dp_{ij}$$

Mais les $p_{ij}$ sont liés par les relations :

$$\sum_{j} p_{ij} = p_i \quad \sum_{i} p_{ij} = p_j. \quad \text{Donc :}$$

$$\sum_{j} dp_{ij} = 0 \quad (i = 1, 2, \dots, n)$$

$$\sum_{i} dp_{ij} = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, n')$$
Pour annuler la différentielle liée de $H_{ij}$, nous déterminons des nombres $a_i$ indépendants de $j$, et $b_j$ indépendants de $i$, et nous annulons :

$$ (Lp_{ij} - a_i - b_j) dp_{ij} $$

Donc pour qu'il y ait maximum, il faut que $Lp_{ij}$ puisse se mettre sous la forme $a_i + b_j$, c'est-à-dire que $p_{ij}$ soit le produit d'une quantité ne dépendant que de $i$ et d'une quantité ne dépendant que de $j$ :

Pour que $\Omega_{ij}$ soit minimum, il faut que les probabilités soient indépendantes. (Le raisonnement ne s'applique que si tous les $p_{ij}$ sont $\neq 0$).

Calculons ce minimum :

$$ \Omega_o = \sum \sum p_{ij} \Leftrightarrow \frac{p_{ij}}{p_i p_j} = 0 $$

Ainsi, dans le cas de l'indépendance, $H_{ij} = H_i + H_j$.

En admettant alors provisoirement que ce cas correspond effectivement au minimum de $\Omega$, nous obtenons le théorème suivant :

Quand on compose deux phénomènes, l'incertitude du produit est au plus égale à la somme des incertitudes partielles ; elle ne lui est égale que dans le cas de l'indépendance ; elle lui est d'autant plus inférieure que les deux phénomènes sont plus étroitement dépendants.

Dans cette dernière phrase, il est entendu que le degré de dépendance est défini par la probabilité $P$ du résultat le plus probable vérifiant $f_{ij} = f_i \cdot f_j$ ; sinon ce serait une tautologie.

## 4°/ ÉTUDE DU MODULE DE DÉPENDANCE

Dans la pratique, on a l'habitude d'utiliser de préférence de grandeur variant entre des limites fixes, 0 et 1 par exemple. $\Omega_{ij}$ ne remplit pas cette condition, mais nous verrons qu'il suffit de considérer à sa place le quotient :

$$ \frac{\Omega_{ij}}{H_{ij}} = \omega_{ij} $$

que nous appellerons le "module réduit de dépendance".

Nous allons maintenant démontrer complètement le résultat annoncé :

**THÉORÈME.** Le module réduit de dépendance est toujours compris entre 0 et 1 ; il ne s'annule que pour l'indépendance stochastique ; il n'atteint la valeur 1 que pour la liaison biunivoque.

La dernière partie se démontre immédiatement. En effet $p_i \geq p_{ij}$ l'égalité n'ayant lieu que si la ligne i ne contient qu'une seule probabilité non nulle. De même $p_j \geq p_{ij}$. On en conclut :

$$ \Omega_{ij} \leq \sum \sum p_{ij} \Leftrightarrow \frac{p_{ij}}{(p_{ij})^2} = H_{ij}. \text{ Ou : } \omega_{ij} \leq 1 $$
L'égalité n'est possible que si dans chaque ligne et chaque colonne n'existe qu'une probabilité non nulle.

Pour démontrer la première partie, nous nous servirons de l'inégalité : $x \perp x \succsim x-1$, l'égalité n'ayant lieu que pour $x = 1$. La démonstration en est immédiate par le tracé de la courbe : $y = x \perp x$.

Nous prendrons pour $x$ la quantité : $\frac{P_{ij}}{P_i P_j}$ :

$$ \Omega_{ij} = \sum \sum p_i p_j \cdot \frac{P_{ij}}{p_i p_j} \cdot L \frac{P_{ij}}{p_i p_j} \succsim \sum \sum p_i p_j \left[ \frac{P_{ij}}{p_i p_j} - 1 \right] $$

Cette dernière quantité est nulle et $\Omega_{ij}$ est toujours positif à moins que tous les quotients $p_{ij} / p_i p_j$ ne soient égaux à l'unité (auquel cas $\Omega_{ij} = 0$). Donc : $\omega_{ij} > 0$

### LIAISON FONCTIONNELLE.
On appelle souvent "liaison fonctionnelle" ce que j'ai appelé liaison biunivoque. Cette expression, comme on le sait, est très défectueuse : la notion véritable de liaison fonctionnelle est beaucoup moins précise que celle d'indépendance. Nous aurons à la discuter, mais cela ne pourra se faire qu'au moyen de l'analyse intrinsèque ; aussi avons-nous réservé cette discussion pour le chapitre V.

On notera un fait intéressant : le théorème précédent et sa démonstration s'appliquent à des lois à un nombre quelconque d'indices. En particulier pour les trois indices $i, j, k$, on obtient les résultats suivants :

$$ o \le \frac{H_i + H_j + H_k - H_{ijk}}{2 H_{ijk}} \le 1 $$

la première égalité exprimant que les 3 phénomènes $[i]$, $[j]$ et $[k]$ sont indépendants, la seconde correspondant à une liaison biunivoque à un degré de liberté (incorrectement : une courbe)

$$ \text{Ensuite : } o \le \frac{H_{ij} + H_k - H_{ijk}}{H_k} \le 1 $$

La première égalité signifie que $[k]$ est indépendant de $[ij]$ ; la seconde correspond à la liaison biunivoque à deux degrés de liberté (incorrectement : surface) ; celle-ci peut d'ailleurs s'exprimer par d'autres relations rétablissant la symétrie entre $i, j, k$ lorsque celle-ci existe.

## 5°/ APPLICATIONS.

Si l'on veut utiliser le module de dépendance pour des représentations continues, on devra remplacer les sommes par des intégrales (1).

<footnote>(1) Il faudrait se reporter ici au chapitre II et à ce que nous y avons dit au seuil de repérage : mais celui-ci s'élimine à la fin du calcul (voir aussi chapitre III, sur les lois semblables, page 40).</footnote>
En appelant $f(x,y)$, $g(x)$ et $h(y)$ les densités de probabilité, nous poserons :

$$ \Omega_{xy} = \iint f \ln \frac{f}{gh} dx dy = \iint f \ln f \ln g \, dx dy - \iint g \ln g \, dx - \iint h \ln h \, dy $$

En particulier pour la loi de GAUSS à deux variables, on voit aisément que $\Omega$ ne dépend pas des unités de longueurs. En prenant alors la loi réduite, et désignant par $r$ le coefficient de corrélation, on trouve :

$$ \Omega_{xy} = \ln \frac{1}{1-r^2} (\omega_{xy} \text{n'a plus de sens (1)}) $$

La probabilité $P$ d'obtenir les fréquences indépendantes les plus probables est ainsi :

$$ P \# e^{-N\Omega} = (1-r^2)^{\frac{N}{2}} $$

Telle est, pour la loi normale, une signification du coefficient de corrélation.

Cherchons la partie principale de $\Omega$ au voisinage de l'indépendance. Pour cela, posons $p_{ij} = p_i p_j + \epsilon_{ij}$.

Nous aurons :

$$ \Omega = \sum \sum (p_i p_j + \epsilon_{ij}) \ln \left(1 + \frac{\epsilon_{ij}}{p_i p_j}\right) \# \frac{1}{2} \sum \sum \frac{\epsilon_{ij}^2}{p_i p_j} = \frac{\varphi^2}{2} $$

Cette dernière expression est la moitié du carré moyen de contin- gence qui apparaît comme d'un emploi équivalent à celui du module de dépendance lorsque les $\epsilon_{ij}$ sont suffisamment petits. Inversement, nous remplacerons souvent alors $\varphi^2$ par $2 \Omega$ cette dernière quantité étant, comme nous le verrons, d'un calcul plus aisé.

## 6°/ ERREUR PROBABLE.

Soient $e_{ij}$ des événements de probabilités respectives $p_{ij}$. Nous effectuons N épreuves : chaque événement se produira $\alpha_{ij}$ fois et sa fréquence $p'_{ij} = \alpha_{ij}/N$ sera plus ou moins voisine de $p_{ij}$. Si nous calculons $\Omega$ à l'aide des $p'_{ij}$ au lieu des $p_{ij}$, nous obtiendrons une "valeur présumée" $\Omega'$ plus ou moins voisine de $\Omega$. Nous allons estimer l'écart $\Omega' - \Omega = \Delta\Omega$ à craindre.

$$ \text{On a : } \Delta\Omega \# \sum \sum (1+L_{p_{ij}}) \Delta p_{ij} - \sum (1+L_{p_i}) \Delta p_i - \sum (1+L_{p_j}) \Delta p_j $$

$$ \text{Ou : } \Delta\Omega \# \sum \sum L_{\frac{p_{ij}}{p_i p_j}} \Delta p_{ij} $$

$$ \text{puisque } \sum \sum \Delta p_{ij} = 0, \quad \sum_j \Delta p_{ij} = \Delta p_i, \quad \sum_i \Delta p_{ij} = \Delta p_j $$

Si l'on pousse l'approximation jusqu'au second ordre :

$$ \Delta\Omega \# \sum \sum L_{\frac{p_{ij}}{p_i p_j}} \Delta p_{ij} + \sum \sum \frac{\Delta^2 p_{ij}}{p_{ij}} - \sum \frac{\Delta^2 p_i}{p_i} - \sum \frac{\Delta^2 p_j}{p_j} $$

<footnote>(1) A moins de définir le seuil de repérage (chapitre II)</footnote>
Or la valeur moyenne de $\Delta p_{ij}$ est zéro. Celle de $\Delta^2 p_{ij}$ est
$$ \frac{p(1-p)}{N} $$

On en conclut pour la valeur moyenne de $\Delta \Omega$ :

$$ \bar{\Delta} \Omega \# \frac{n_i n_j - 1}{N} - \frac{n_i - 1}{N} - \frac{n_j - 1}{N} = \frac{(n_i - 1)(n_j - 1)}{N} $$

$\bar{\Delta} \Omega$ représente l'erreur systématique ; on voit qu'elle est toujours par excès et ne dépend que des nombres d'événements et d'épreuves.

Quant à l'erreur quadratique probable, sa partie principale est,
suivant des calculs connus :

$$ \Delta^2 \Omega \# = \frac{\sum \sum p_{ij} L^2 \frac{p_{ij}}{p_i p_j} - \Omega^2}{N} $$

Donc $\sigma_{\Omega}$ est de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{N}}$ et l'erreur systématique est en général négligeable.

Il n'en va peut-être plus de même lorsque $\Omega$ est petit. Alors les
$p_{ij}$ sont voisins de $p_i p_j$, et nous poserons : $p_{ij} = p_i p_j + \epsilon_{ij}$.

On obtient comme valeur approchée de $\bar{\Delta}^2 \Omega$ :

$$ N \bar{\Delta}^2 \Omega \# = \sum \sum \frac{\epsilon_{ij}^2}{p_i p_j} \# 2\Omega $$

Au voisinage de l'indépendance, la partie principale de l'erreur quadratique est donc :

$$ \bar{\Delta}^2 \Omega \# = \frac{2 \Omega}{N} + \frac{K}{N^2} $$

Si $\Omega$ est très petit, $K$ ne sera négligeable que pour un nombre $N$ d'épreuves suffisamment élevé. Et pour $\Omega = 0$, il devient nécessaire de connaître $K$. On peut utiliser les résultats obtenus sur le carré moyen de contingence ($\phi'^2 \# 2 \Omega'$) :

$$ \sigma_{\Omega}^2 \# = \frac{2 (n_i + 1) (n_j + 1) - 8}{N^2} $$
Deuxième Partie

# LA NOTION DE CORRÉLATION

## I - LE MODULE DE CORRÉLATION

Soient $e_{ij}$ des événements dont nous ignorons la loi de probabilité $p_{ij}$, mais qui, au cours de N épreuves, se sont présentés avec des fréquences relatives : $f_{ij} = \alpha_{ij} / N$. Le module de dépendance de [i] et de [j] est la fonction :

$$ \Omega = \sum \sum p_{ij} L \frac{p'_{ij}}{p_i p_j} = \Phi \{p_{ij}\} $$

des probabilités inconnues $p_{ij}$.

Nous pouvons chercher une valeur présumée de $\Omega$ en prenant :
$$ \Omega' = \Phi \{f_{ij}\}, \text{ c'est-à-dire en prenant } p'_{ij} = f_{ij} \text{ comme valeurs présumées des } p_{ij}. $$
Ce procédé est le plus simple, et il est correct loin de l'indépendance, puisque l'erreur systématique est alors négligeable devant l'erreur accidentelle.

La grandeur expérimentale ainsi définie s'appellera module de corrélation. On ne doit pas le confondre avec le module de dépendance dont il n'est qu'une valeur présumée pas toujours la meilleure.

On peut encore, et c'est la méthode la plus intéressante, donner une définition directe du "degré de corrélation".

Nous ignorons les valeurs des $p_{ij}$ ; il se peut que ces valeurs soient stochastiquement indépendantes, bien que nous n'ayons pas $f_{ij} = f_i \cdot f_j$. Pour étudier la "vraisemblance" de cette hypothèse, nous chercherons la loi indépendante $p'_{ij} = p'_i \cdot p'_j$ la mieux ajustée aux fréquences expérimentales $f_{ij}$, en employant le maximum de likelihood. - On trouve $p'_i = f_i, p'_j = f_j$. Il reste à déterminer la probabilité pour que les $f_{ij}$ aient été produites par cette loi $p'_{ij}$. Un calcul en tout point semblable à celui qui nous a donné $\Omega$ (bien que fréquences et probabilités soient permutées), conduit à : $L P \sim N \Omega'$

$$ \text{en posant précisément } \Omega' = \Phi \{f_{ij}\} $$

Cette définition du degré de corrélation me semble la seule correcte.

Or, elle justifie, inversement, la définition que nous avons adoptée pour $\Omega$, grâce à cette remarque évidente :

Lorsque le nombre N des épreuves croît indéfiniment, le module de corrélation converge en probabilité vers le module de dépendance.

Enonçons au-dessous la définition directe de $\Omega'$ :

La vraisemblance pour que les phénomènes [i] et [j] soient indépendants, lorsqu'on sait qu'au cours de N épreuves les événements $e_{ij}$ se sont produits avec des fréquences $f_{ij}$, a pour logarithme : $LP \# - N \Omega'$.
## II - RECHERCHE DE LA CORRÉLATION (phénomènes indépendants du temps)

Dans la définition du module de corrélation, nous avons supposé implicitement que la loi de probabilités :{pᵢⱼ} ne dépendait pas du temps, ou que, du moins, les N épreuves étaient faites durant une période assez brève pour que l'influence du temps soit négligeable.

Il n'en est pas toujours ainsi dans la pratique, aussi est-il nécessaire de spécifier que nous allons d'abord nous borner à ce cas.

Soit donc S une série de N épreuves indépendantes au cours de laquelle l'événement eᵢⱼ, de probabilité inconnue mais constante pᵢⱼ, s'est produit αᵢⱼ fois. Le problème qui intéresse en premier lieu le statisticien n'est pas de connaître le degré de dépendance Ω des pᵢⱼ inconnues, mais plutôt de savoir si l'on peut ou non admettre que Ω = 0.

C'est à cette préoccupation que répond notre définition directe du module de corrélation, grandeur expérimentale donnée par :

$$N \Omega' = \sum \sum \alpha_{ij} L \alpha_{ij} - \sum \alpha_j L \alpha_i - \sum \alpha_j L \alpha_j + N L N.$$

Suivant les cas, nous serons plus ou moins exigeants sur la grandeur de P = e⁻⁶NΩ'. Admettons par exemple qu'une probabilité de l'ordre de 10⁻⁶ soit regardée comme équivalent à une impossibilité ; cela correspond à NΩ' de l'ordre de 15. Si donc NΩ' atteint ou dépasse une telle valeur, nous serons en droit d'exclure une hypothèse d'indépendance entre [i] et [j] : c'est en cela que consiste vraiment l'idée de corrélation.

Une fois de plus, on voit que les renseignements que l'on peut demander à la statistique sont principalement de caractère négatif : nous apprenons qu'il y a quelque chose", mais nous ne pouvons dire en quoi ce quelque chose consiste. Inversement, si la statistique ne décèle rien, cela ne prouve pas qu'il n'y ait rien" : on sait que la probabilité avec un dé d'amener un résultat pair est stochastiquement indépendante de la probabilité d'amener un multiple de 3, bien que ces deux catégories d'événements soient étroitement liées.

Aussi une petite valeur de NΩ' est-elle, au contraire, d'une grande, très peu significative : si nous avons des raisons de croire à la non-corrélation physique de [i] et [j], la non-corrélation statistique confirme notre hypothèse, mais il ne faut pas en demander plus. Une forte corrélation statistique, au contraire, nous contraindra à réviser notre analyse, surtout si une nouvelle série d'épreuves, une augmentation de N, une modification des conditions expérimentales nous redonnent pour NΩ' des valeurs systématiquement élevées.

Peut-on aller plus loin ?

Il est d'usage, lorsque Ω' présente, au cours des épreuves, une certaine stabilité, d'y voir une valeur présumée du module de dépendance Ω. Les calculs d'erreur que nous avons faits indiqueront les conditions dans lesquelles ce procédé est légitime : mais il ne nous semble pas très intéressant en lui-même. La connaissance du module de dépendance n'est pas très instructive, à moins de faire certaines hypothèses
sur la structure des faits étudiés : ces hypothèses concernent la notion de variables naturelles, notion obscure dont nous avons parlé à la fin du chapitre précédent.

L'existence d'une corrélation entre deux phénomènes [i] et [j] ou deux variables $x_i$ et $y_j$ peut indiquer que les événements $e_{ij}$ dépendent de plus de deux paramètres, et que $x$ et $y$ sont des fonctions plus ou moins heureusement choisies des"vrais" paramètres : l'analyse intrinsèque sera d'un certain secours pour éclaircir cette question, mais naturellement le problème devra être repris directement.

Mais la corrélation entre $x$ et $y$ peut signifier simplement que le nombre des paramètres étant correct, leur choix ne l'est pas. Alors, mais alors seulement, une faible valeur de $\Omega$ est intéressante, et suggère que les paramètres corrects pour représenter les faits ne diffèrent pas beaucoup de $x$ et $y$. Enfin, une forte valeur de $\Omega$ pourra suggérer une réduction du nombre de paramètres, c'est-à-dire une liaison fonctionnelle entre $x$ et $y$.

Dans tous les cas, ce sont des problèmes d'analyse intrinsèque qui sont ainsi posés : celui du nombre des variables relève du chapitre III ; celui de la nature des variables ("variables canoniques") sera examiné au chapitre V, ainsi que celui de la liaison fonctionnelle.

Tirons de ces lignes une conclusion sur laquelle on n'insistera jamais trop :

La principale fonction de la statistique est d'inciter à de nouvelles recherches concrètes, de faire réviser d'anciennes interprétations dont elle a montré l'invraisemblance. La statistique infirme les théories fausses plus qu'elle ne confirme les théories exactes : ces dernières, elle ne peut que timidement les suggérer.

## CORRÉLATION ENTRE PHÉNOMÈNES DÉPENDANT DU TEMPS

Soit encore S une série d'épreuves portant sur des événements $e_{ij}$ nous supposons maintenant que la probabilité $p_{ij}$ varie avec le temps, ou, plus généralement, varie suivant les épreuves. Si cette variation est quelconque, il semble impossible d'obtenir aucun résultat, et la méthode classique des "Time series" construites avec les fréquences nous paraît dépourvue de toute signification. Dire que les $\alpha_{ij}$ rencontrés au cours des épreuves sont plus ou moins en"corrélation apparente" n'a vraiment aucun sens : il est parfaitement possible qu'à chaque instant : $p_{ij}(t) = p_i(t) \times p_j(t)$ et que néanmoins les valeurs moyennes $\bar{p}_{ij}$, $\bar{p}_i$ et $\bar{p}_j$ ne vérifient pas le moins du monde, même d'une manière approchée : $\bar{p}_{ij} = \bar{p}_i \bar{p}_j$. Or les $\alpha_{ij}$ ne nous renseignent que sur les valeurs moyennes : $\bar{p}_{ij} = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} p_{ij}(t) \, dt$.

Inversement, et c'est ce qui arrivera le plus souvent, on peut avoir $\bar{p}_{ij} \neq \bar{p}_i \bar{p}_j$ bien que [i] et [j] présentent une forte dépendance : $\Omega_{ij}(t)$ très différent de zéro.
Nous n'étudierons donc la corrélation entre [i] et [j] que moyennant l'hypothèse suivante :

Bien que les $p_{ij}$ inconnus varient au cours de la série d'épreuves S, il est possible de découper celle-ci en K séries partielles (chacune du même nombre N d'épreuves, par exemple, pour simplifier l'exposition) $S^1$, $S^2$... $S^k$ à l'intérieur de chacune desquelles $\{p_{ij}\}$ soit sensiblement constant.

Par exemple S se situera dans le temps sur un siècle, et les $S^i$ seront des séries décennales d'épreuves annuelles. Appelons $\beta_{ij}$ le nombre d'apparitions de $e_{ij}$ dans une série $S^i$. Même si $p_{ij}$ varie légèrement dans $S^i$, la relation $p_{ij} = p_i p_j$ se conserve sur les moyennes $\bar{p}_{ij}$ et $\bar{p}_i, \bar{p}_j$ prises dans $S^i$ pourvu que les variations soient assez lentes.

Soient alors $\Omega'$, $\Omega'^2$... les modules de corrélation dans $S^1, S^2, \dots$. La vraisemblance pour que [i] et [j] soient indépendants a pour logarithme : N $\Omega'$ dans $S^1$, - N $\Omega'$ : dans $S^2$ etc..., donc : - KN $\Omega'$ : dans S en désignant par $\Omega'$ la valeur moyenne :

$$ \Omega' = \frac{\Omega'^1 + \dots + \Omega'^k}{K} $$

C'est donc la valeur $\Omega'$ précédente qui jouera maintenant le rôle du module de corrélation, au lieu du module de corrélation apparente que l'on calculerait à l'aide des fréquences totales dans S.

Telle est la solution du premier problème.

Etudions le second, c'est-à-dire l'évaluation de $\Omega$ lorsque $\Omega'$ diffère beaucoup de zéro. Pour lui donner un sens, il faut supposer que, bien que $\{p_{ij}\}$ varie dans S, $\Omega$, lui ne varie pas. Mais plus généralement, on peut chercher une valeur présumée de sa moyenne dans S: $\bar{\Omega}$. La solution la plus naturelle consiste à prendre pour valeur présumée de $\bar{\Omega}$ la valeur moyenne des $\Omega'^1$... $\Omega'^k$, c'est-à-dire $\Omega'$. Mais il faut prendre garde qu'ici le calcul d'erreur n'est plus le même qu'au paragraphe précédent. D'abord, l'erreur systématique doit être calculée sur le nombre partiel N d'épreuves et non pas sur KN :

$$ \bar{\Delta} \bar{\Omega} = \bar{\Delta} \Omega = \frac{(n_i - 1) (n_j - 1)}{N} $$

Ensuite, l'écart type devra être calculé également sur chaque série partielle, puis divisé par $\sqrt{K}$. Si nous sommes loin de l'indépendance, l'écart type dans chaque série est de la forme $\frac{A}{\sqrt{KN}}$, où nous pouvons supposer que A ne dépend pas de la série. L'écart type sur $\bar{\Omega}$ est donc :

$$ \sigma_{\bar{\Omega}} = \frac{A}{\sqrt{KN}} $$

Cette valeur est la même que nous aurions obtenue pour une loi ne dépendant pas du temps ; l'erreur systématique est plus forte, mais calculable, l'erreur accidentelle est la même : notre méthode est donc aussi précise que $\{p_{ij}\}$ soit constant, ou qu'il varie - pourvu que cette variation ne soit pas trop rapide - du moins loin de l'indépendance.
Si en effet Ω # o l'erreur accidentelle est de l'ordre de $\frac{1}{N}$, ce qui donne :

$$ \sigma_{\Omega} = \frac{B}{N \sqrt{K}} $$

au lieu de $\frac{B}{NK}$ que nous aurions obtenu pour une loi constante. Pour Ω # o, la précision est moins bonne, mais on n'oubliera pas que Ω est alors bien moins intéressant que Ω' qui conserve toute sa signification. Mais on prendra garde que si N est petit, les parties principales des erreurs peuvent ne pas suffire.

Toute la difficulté de la méthode consiste à juger si dans les séries partielles S' les $p_{ij}$ sont suffisamment constants ou linéaires. C'est en étudiant la nature du problème qu'on pourra se faire une idée à ce sujet. Faisons pourtant une remarque : il est souvent possible d'admettre que, bien que $\{p_{ij}\}$ varie, le "degré" de dépendance Ω entre [i] et [j] ne varie pas, parce que traduisant une corrélation physique entre ces deux phénomènes. Alors les nombres $Ω'_1, Ω'_2, ... Ω'_k$ doivent osciller autour de Ω suivant une loi de probabilité que l'on pourrait déterminer, et dont nous avons évalué l'écart type. Si l'écart type expérimental est de l'ordre de la valeur prévue, cela tendra à confirmer nos hypothèses ; mais il faudrait calculer l'erreur probable sur l'écart type, et celle-ci sera en général beaucoup trop élevée pour que la méthode soit applicable.

Un autre procédé consiste à faire croître le nombre K des séries partielles, et à chercher si Ω' paraît avoir une certaine stabilité à partir d'une valeur suffisante de K.

Enfin, indiquons les conséquences d'une hypothèse incorrecte sur les S', autrement dit, cherchons ce qui se passe lorsqu'on réunit des lois de probabilités nettement différentes dans une même série.

Si les lois sont fortement dépendantes, il en résultera en général un abaissement apparent de la corrélation ; ce sera même sûrement le cas si, $\{p_{ij}\}$ ayant varié, $\{p_i\}$ et $\{p_j\}$ sont restées constantes : *unfractionnement insuffisant de S* conduit d'ordinaire à sous-évaluer la corrélation lorsque *celle-ci est forte*.

Si au contraire [i] et [j] sont indépendants, nous devrons nous attendre à *surévaluer la corrélation*.

Mais aux faits précédents s'en superpose un autre, *l'altération de l'erreur systématique* : celle-ci peut avoir l'un ou l'autre sens. Ce fait est capital ; il explique que l'on puisse obtenir pour $Ω'_1, Ω'_2, ... Ω'_k$ des valeurs systématiquement inférieures à $\frac{(n_i - 1)(n_j - 1)}{N}$ : lorsqu'il en sera ainsi, ce sera un indice sûr que le fractionnement de S n'aura pas été poussé assez loin, ou même qu'il est impossible de former des séries partielles S' à lois de probabilité stables. (Etudier le terme $\frac{1}{N^2}$)

## LA COVARIATION.

Un cas particulièrement important de corrélation entre phénomènes dépendant du temps est celui de la covariation. Rappelons les données du problème :
On étudie deux phénomènes se déroulant dans le temps, et repérés chacun par une variable x (t), y (t) ; la méthode des variations concomitantes consiste à modifier **artificiellement** le premier phénomène de manière à obtenir diverses courbes x₁(t), x₂(t), etc...

En comparant celles-ci aux courbes y₁(t), y₂(t) ... correspondantes, on peut en déduire une certaine **corrélation** entre les deux phénomènes.

Supposons maintenant que nous ne possédions qu'une couple de courbes. La méthode précédente ne s'applique plus. Mais il peut arriver que la courbe x (t), régulière ou non dans son ensemble, présente des oscillations ξ (t) distribuées "au hasard". La comparaison des ξ (t) aux η (t) correspondants fournit alors **naturellement** les conditions réalisées plus haut **artificiellement** pour l'application de la méthode des variations concomitantes.

On n'oubliera pas, à cette occasion, comme l'a montré BERNSTEIN que, tandis que les $\Delta x$ systématiques sont de l'ordre de $\Delta t$, les $\Delta x$ aléatoires, c'est-à-dire $\xi$, sont de l'ordre de $\sqrt{\Delta t}$, ce qui permet de négliger parfois les premiers.

Quant à la comparaison des $\xi$ et des $\eta$, qui constitue le problème statistique de la covariation, elle fournit un exemple typique de corrélation entre lois dépendant du temps, et sera traitée par la méthode indiquée au paragraphe précédent. Il faudra pour cela diviser en cases les intervalles de variation de $\xi$ et de $\eta$. Pour réduire les erreurs, il y a avantage à prendre un petit nombre de cases, et le plus simple me paraît être d'en prendre 2 : les eij seront alors les accroissements et diminutions simulwanées de x et de y et l'on pourra répartir entre les deux les cas d'invariances. On obtient ainsi un tableau de la forme :

<table><thead><tr><th></th><th>y croît</th><th>y décroît</th></tr></thead><tbody><tr><td>x croît</td><td>β + +</td><td>β + -</td></tr><tr><td>x décroît</td><td>β - +</td><td>β - -</td></tr></tbody></table>

où $\beta_{++}$ et $\beta_{--}$ sont majorés chacun de $\frac{1}{2}$ chaque fois que x croît et que y reste constant.

De tels tableaux seront établis pour chaque période S' jugée suffisamment stable, et la moyenne des $\Omega'$ nous informera sur la corrélation possible entre x et y.
CONCLUSIONS

Nous espérons que les notions théoriques qui précèdent paraitront
suffisamment claires, et qu'en particulier les sens respectifs des mots
"dépendance" et "corrélation" sont convenablement dégagés. On n'oubliera
pas que, même lorsque les calculs de dépendance et de corrélation sont
formellement identiques, leurs valeurs restent totalement différentes, l'un
des termes appartenant à la science mathématique abstraite, l'autre à la
statistique, science travaillant sur le concret.

Nous souhaitons également que le terme "degré de corrélation" appa-
raisse comme autre chose qu'une quantité empirique s'annulant lorsque
fᵢⱼ = fᵢ fⱼ, et que les définitions que nous en avons données indiquent dans
quelle voie on peut trouver un sens théorique à une notion intuitive.

Pour terminer, nous ferons remarquer que le module de corrélation n'a pas qu'un intérêt théorique : il peut se trouver que <u>son calcul est plus facile que celui d'aucune autre mesure de la corrélation, même du coefficient de corrélation.</u> Il se réduit en effet à des additions et soustractions.

Sa valeur est : Ω' = ΣΣ(fᵢⱼ) - Σ(fᵢ) - Σ(fⱼ) en posant (x) = x L x il suffit de posséder une table de cette fonction pour n'avoir plus qu'à ajouter les valeurs numériques de (fᵢⱼ) etc...

On trouvera cette table à la fin de l'ouvrage. Mais au lieu de la dres-
ser pour x compris entre 0 et 1, nous l'avons établie pour x entier de
1 à ..., de manière à utiliser directement, au lieu des fréquences fij,
les répétitions αij. Voici comment on procédera.

$$
N \Omega' \text{ peut s'écrire : } \sum \sum (\alpha_{ij}) - \sum (\alpha_i) - \sum (\alpha_j) + (N)
$$

Les parenthèses du second membre ne contiennent que des entiers, et
C' on obtient immédiatement N Ω' qui est la grandeur intéressante.

Quant à l'erreur probable, si on admet pour un Ω une valeur pas trop grande, on aura un ordre de grandeur satisfaisant en prenant :

$$
\sigma_{\Omega}^{2} \# \frac{2\Omega}{N} \# \frac{2N\Omega'}{N^2}
$$

Si on admet Ω = 0 ou seulement Ω ≠ 0, on se reportera aux calculs
faits plus haut.

Mais on n'oubliera pas ce que nous avons dit du module de dépendance Ω, qui est beaucoup moins intéressant que le module de corrélation Ω', et l'on se reportera à la page 61 pour ce qui est de la portée véritable de l'idée de corrélation (sauf la corrélation normale).
# CHAPITRE V

## ÉTUDE INTRINSÈQUE DE LA COMPOSITION

### I - LA NOTION D'HOLOMORPHIE

Au chapitre III nous avons appliqué les méthodes intrinsèques à l'étude de lois à 2 indices ($p_{ij}$): dans cette méthode, nous faisions complètement abstraction de l'ordre des cases renfermant les diverses probabilités; deux lois ($p_{ij}$) et ($p_{Ke}$) étaient isomorphes lorsqu'on pouvait ramener la seconde à la première par une permutation quelconque sur les cases du tableau représentant ($p_{Ke}$).

Une telle permutation est trop générale lorsqu'on s'intéresse au phénomène [ij] considéré comme résultant de la composition, du "produit", des phénomènes [i] et [j]: dans ce cas, on peut encore effectuer n'importe quelle permutation sur les lignes i ou sur les colonnes j ; mais si deux cases se trouvent sur une même ligne ou sur une même colonne cette particularité doit être respectée : une permutation remplissant cette condition, réduite par conséquent à une permutation de lignes et de colonnes, se nommera une "holomorphie".

L'holomorphie est donc, pour les lois à plusieurs indices, une forme plus restrictive de l'isomorphie. On pourrait encore définir une autre catégorie de permutation, respectant seulement le contenu de chaque ligne : cela peut, dans certaines questions, avoir quelque intérêt, mais nous ne nous en occuperons pas.

La question se pose alors tout naturellement est la suivante :

De même que nous avons caractérisé intrinsèquement une loi par des invariants d'isomorphie, peut-on la caractériser par des invariants d'holomorphie, de manière à reconnaître immédiatement si deux lois sont ou non holomorphes ?

De tels invariants seront qualifiés de "semi-intrinsèques"; deux lois holomorphes seront considérées comme étant "semi-intrinsèquement" la même loi.

Il semble que la solution la plus simple du problème précédent consiste à utiliser la fonction à deux arguments u et v :

$$ \Psi(u, v) = \sum_{i} \sum_{j} p_{ij} p_{i}^{u} p_{j}^{v} $$
Nous la nommerons "fonction d'holomorphie". Comme elle est à deux arguments, nous ne risquerons pas de la confondre avec la fonction d'isomorphie que nous noterons encore $\Psi$ (t). Quant aux fonctions d'isomorphie de $[i]$ et de $[j]$, nous les noterons $\Psi_i$ (t) et $\Psi_j$ (t).

La fonction d'holomorphie est évidemment invariante vis-à-vis de l'holomorphie, mais pas, en général, vis-à-vis de l'isomorphie. En fait, nous allons voir qu'elle caractérise semi-intrinsèquement la loi ($p_{ij}$).

Nous ferons la démonstration générale avec une représentation continue, les indices $i$ et $j$ étant remplacés par les variables $x$ et $y$, et les seuils de repérages étant pris pour unités. En appelant $f(x, y)$, $g(x)$ et $h(y)$ les densités de probabilités, on a immédiatement :

$$ \Psi(u, v) = \iint f(x, y) g(x)^u h(y)^v dx dy $$

Nous écrivons $=$ et non pas $\#$ par convention ; nous avons déjà constaté que dans ce genre de question on peut introduire diverses expressions sous forme d'intégrale sans parler de seuil de repérage. Ce dernier est nécessaire pour donner un sens concret aux expressions envisagées, mais non pas pour un traitement purement mathématique. En faisant $v = 0$ dans l'équation ci-dessus, il vient :

$$ \Psi(u, 0) = \iint f(xy) g(x)^u dx dy = \int g(x)^{1+u} dx = \Psi_x(u) $$

De la même manière, on verra que : $\Psi(0, v) = \Psi_y(v)$. D'après le chapitre II, nous voyons ainsi que la connaissance de $\Psi(u,v)$ détermine à une "permutation" près, $g(x)$ et $h(y)$ : en particulier, détermine complètement $g$ et $h$ si on les astreint à être définies pour $x \ge 0$, $y \ge 0$ et à être décroissantes. Posons alors : $\mathcal{L} g(x) = X$, $\mathcal{L} h(y) = Y$. $x$ et $y$ sont des fonctions uniformes et monotones de $x$ et $y$ (moyennant les conventions usuelles). Donc $f(x, y)$ peut se noter : $F(X, Y)$.

$$ \text{Alors } \Psi(u, v) = \iint e^{uX+vY} F(X, Y) dx(X) dy(Y) $$

C'est là une équation classique de LAPLACE à deux variables. La connaissance de $\Psi(u, v)$ pour les valeurs imaginaires pures de $u$ et de $v$ détermine complètement $F(X, Y)$, donc $f(x, y)$, comme on le sait (voir par exemple les démonstrations relatives aux fonctions caractéristiques classiques à deux variables : l'équation précédente est de la même forme).

Sans qu'il soit nécessaire d'insister sur cette question, la fonction d'holomorphie générale ne devant guère nous servir dans la suite, nous voyons que :

Une loi à double entrée est caractérisée semi-intrinsèquement par sa fonction d'holomorphie.

Lorsque $\Psi(u, v)$ est holomorphe au voisinage de $u = v = 0$, on peut donc caractériser semi-intrinsèquement une loi par ses "bi-moments" logarithmiques :
$$ \Gamma_{\infty} = 1 \qquad \Gamma_{10} = \Gamma_{1}^{i} \qquad \Gamma_{01} = \Gamma_{1}^{j} \qquad \Gamma_{11} = \sum \sum p_{ij} \mathcal{L}_{p_i} \mathcal{L}_{p_j} \quad \text{etc} $$

On pourra si l'on veut introduire une fonction "bispécifique" $\varphi(u, v) =$ $- \mathcal{L} \Psi(u, v)$, et des "bi-moments" spécifiques : $\gamma_{\infty}$, $\gamma_{01}$, $\gamma_{10}$, $\gamma_{11}$ etc...

On remarquera que : $\gamma_{11} = \Gamma_{11} - \Gamma_{10}$. $\Gamma_{01}$ est nul dans le cas de l'indépendance. Mais il ne s'agit pas d'un extremum. Connaissant $p_i$ et $p_j$, l'équation $\gamma_{11} = 0$ établit entre les $p_{ij}$ une relation linéaire, laquelle, jointe aux $n_i + n_j$ équations $\sum_j p_{ij} = p_i$ et $\sum_j p_{ij} = p_j$ qui ne sont pas indépendantes et se réduisent à $n_i + n_j - 1$, laisse à $(p_{ij})$ $n_i n_j - n_i - n_j = (n_i - 1)(n_j - 1) - 1$ degrés d'arbitraire. Lorsque $n_i = n_j = 2$, alors $\gamma_{11}$ fournit une mesure de la dépendance stochastique.

Mais il ne semble pas que les grandeurs semi-intrinsèques aient grand intérêt pratique, et nous passerons à des questions théoriques plus importantes.

## II - HOLOMORPHIE ET ISOMORPHIE

La connaissance de $\Psi(u, v)$ caractérise semi-intrinsèquement la loi $(p_{ij})$, donc, a fortiori, la caractérise intrinsèquement : elle doit donc suffire à déterminer $\Psi(t)$. Malheureusement il ne semble pas que le calcul de cette dernière fonction puisse être effectué, en général, d'une manière simple ; c'est là un grave défaut de $\Psi(u, v)$, et peut-être y aurait-il lieu de la remplacer par une autre fonction ; nous n'avons pas obtenu de résultat dans ce sens. Pratiquement, nous avons surtout en vue la composition de lois indépendantes, et dans ce cas les résultats sont simples.

$$ \text{On a : } \quad \Psi(u, v) = \sum \sum p_i p_j p_i^u p_j^v = \Psi_i(u) \Psi_j(v) $$

D'autre part, on sait qu'alors :

$$ \Psi(t) = \Psi_i(t) \Psi_j(t) = \Psi(t, t). $$

Rappelons cependant que, d'après le chapitre IV, on a l'inégalité :

$$ \Psi'_{t}(0) \geq \Psi'_{u}(0, 0) + \Psi'_{v}(0, 0) $$

car le second membre n'est autre que $\Gamma_{1}^{i} + \Gamma_{1}^{j}$

Nous allons maintenant revenir sur l'étude de l'isomorphie dans le cas des lois à double entrée représentées par des variables continues. Cette étude ne différera de celle du chapitre II qu'en ce que nous nous astreindrons à représenter les lois de probabilités avec deux variables au lieu d'une; cela introduit dans la question une plus grande arbitraire ; pour la limiter, imposons à la loi une condition qui généralisera la condition de monotonie pour le cas d'une seule variable : nous chercherons les lois décroissantes à symétrie circulaire.
Soit $f(x, y)$ la densité de probabilité d'une telle loi. Nous la noterons encore, conventionnellement, $f(r^2)$.

$$ \text{On a :} \qquad \Psi(t) = \iint f(x, y)^{1+t} \, dx \, dy = \iint f(r^2)^{1+t} \, r \, dr \, d\theta. $$

En intégrant d'abord par rapport à $\theta$:

$$ \Psi(t) = \pi \int_{0}^{\infty} f(r^2)^{1+t} d(r^2) $$

Au facteur $\pi$ près, cette équation est identique à l'équation intégrale étudiée au chapitre II, en posant : $x = r^2$. Nous en concluons que, si l'on sait que $\Psi(t)$ est une fonction d'isomorphie, sa connaissance détermine complètement $f(r^2)$, lorsqu'on impose à celui-ci la condition d'être décroissante.

Nous allons déduire de ce résultat un moyen de transformer l'une dans l'autre deux lois doubles ayant la même fonction d'isomorphie.

Lorsqu'il s'agit de lois discontinues, $(p_{ij})$, $(p_{ke})$, il suffit dans la seconde de permuter convenablement les cases pour la rendre identique à la première. Quelle sera l'opération analogue sur des variables continues ? Ce sera un changement de variables biunivoque, et conservant l'aire :

$$ X = X(x, y), \quad Y = Y(x, y) \text{ avec : } \frac{D(XY)}{D(Xy)} = 1 $$

si l'on admet l'existence des dérivées premières.

En fait, nous n'avons pas besoin de cette hypothèse. Nous supposerons seulement que $X(x, y)$ et $Y(x, y)$ conservent les mesures bidimensionnelles.

Soient donc : $g(x, y)$ et $G(X, Y)$ deux densités de probabilités ayant la même fonction d'isomorphie $\Psi(t)$.

Soit : $m(a)$ la mesure de l'ensemble $e$ sur lequel $g(x, y) \ge a$.
et : $M(a)$ la mesure de celui $E$ où : $G(X, Y) \ge a$.

$$ \text{Posons : } m(a) = \pi r^2, \quad M(a) = \pi R^2. $$

**Admettons** qu'il existe une transformation biunivoque conservant l'aire et faisant correspondre $e$ et $E$ avec les cercles de centre $0$ et de rayons respectifs $r$ et $R$ : l'existence d'une telle transformation dépend des restrictions qu'on lui impose, et de conditions d'analysis situs correspondantes que nous supposerons remplies. En posant alors $f(r^2) = a$, $F(R^2) = a$, on voit que $f(r^2)$ est une densité de probabilité qui admet $\Psi(t)$ pour fonction d'isomorphie, et il en est de même de $F(R^2)$. Donc $f$ et $F$ sont identiques, d'après le résultat précédemment établi, et $r = R$ puisque $f(r^2) = F(R^2)$:
En transformant $e$ en cercle puis le cercle en $E$, la transformation de $(x, y)$ en $(X, Y)$ est ainsi réalisée (1). Ainsi :

Lorsque deux lois de probabilité $g(x, y)$ et $G(X, Y)$ ont la même fonction d'isomorphie, on peut les transformer l'une dans l'autre par un changement de coordonnées conservant l'aire - Sous réserve de conditions d'analyse situs.

Cet énoncé complète celui du paragraphe précédent que nous pouvons énoncer ainsi :

Lorsque deux lois $g(x, y)$ et $G(X, Y)$ ont la même fonction d'iso-morphie on peut les transformer l'une dans l'autre par un changement de coordonnées séparé : $X = X(x), Y = Y(y)$, conservant les mesures linéaires.

### III - LE PROBLÈME DES VARIABLES CANONIQUES

Nous sommes maintenant en mesure d'étudier le problème suivant : Des événements, repérés avec les variables $x$ et $y$, suivent une certaine loi de probabilité $f(x, y)$. Si $y$ et $y$ ne sont pas à probabilités indépendantes, dans quelle mesure peut-on les remplacer par d'autres variables de repérage $X$ $(x, y)$ et $Y$ $(x, y)$ qui soient, elles, indépendantes ?

Il importe tout d'abord de bien préciser les conditions imposées à $X$ et $Y$. Dans certains cas, ils devront être des combinaisons linéaires de $x$ et $y$ ; ce cas relève des méthodes classiques et nous ne l'examinerons pas.

En général, la condition essentielle à imposer au changement de variable est seulement de respecter la notion d'événements "également distincts" (voir introduction), donc de conserver le seuil de repérage, qui est ici une surface : c'est la condition de conservation de l'aire que nous avons examinée précédemment.

Nous avons autrefois (2) étudié le problème en cherchant les variables $X, Y$ conservant l'aire et rendant minimum le module de dépendance. Nous avons obtenu le résultat suivant :

Les variables $X, Y$ doivent être telles que la loi des probabilités totales soit une fonction de leur loi de probabilités indépendantes :

$$p_{XY} = \Phi(p_X, p_Y).$$

Or, si l'on se donne $p_X$ et $p_Y$ et que l'on cherche une loi $p_{XY}$ pour laquelle $X$ et $Y$ vérifient la condition ci-dessus, on s'aperçoit (du moins sous des conditions d'un caractère assez général) qu'il n'y en a pas

<footnote>(1) Il n'était pas nécessaire de passer par l'intermédiaire d'une famille de cercles. Nous ne l'avons fait que pour rendre plus intuitif le raisonnement, les énoncés portant sur les mesures d'ensembles étant compliqués à formuler.</footnote>

<footnote>(2) C.R.A.S., 206, 1938, pages 804-806 : "Recherches des variables aléatoires les plus indépendantes".</footnote>
d'autres que $p_X, p_Y$. Cela suggère que, s'il existe un changement de variables rendant le module de dépendance minimum, le minimum est zéro. Autrement dit, en appelant "canoniques" les variables les plus indépendantes:

Il n'y a pas d'autres variables canoniques que des variables effective-ment indépendantes.

Nous verrons par la suite que ce résultat est purement théorique, et que le problème **statistique** des variables canoniques subsiste : cela tient à ce que nous venons de poser le problème en variables continues, ce qui n'a pas de sens expérimental.

Quoi qu'il en soit, nous allons montrer que l'analyse intrinsèque résout très simplement le problème théorique tel que nous en arrivons à le poser : **représenter une loi double $f(x, y)$ à l'aide de variables indépendantes.**

Pour résoudre le problème, nous remarquerons que la loi inconnue $g(X) h(Y) = f(x, y)$ doit être isomorphe de la loi donnée. En appelant donc $\Psi_1(t)$ et $\Psi_2(t)$ les fonctions d'isomorphie de $g(X)$ et de $h(Y)$, on doit avoir :

$$ \Psi_1(t) \quad \Psi_2(t) = \Psi(t) = \iint f^{1+t} dx dy $$

Réciproquement, supposons que $g(X)$ et $h(Y)$ aient respectivement $\Psi_1$ et $\Psi_2$ pour fonctions d'isomorphie, et que $\Psi_1, \Psi_2 = \Psi$. Alors la loi $g(X) h(Y)$ admet $\Psi_1(u) \Psi_2(v)$ pour fonction d'holomorphie, ce qui la détermine complètement. Or elle admet $\Psi(t)$ pour fonction d'isomorphie, donc il existe une transformation conservant l'aire permettant de passer de $g(X) h(Y)$ à $f(x, y)$.

Concluons :

La recherche des variables indépendantes est un problème équivalent à celui de la décomposition en produit de la fonction d'isomorphie.

Une restriction doit cependant être faite à l'énoncé précédent :

La transformation de $(x, y)$ en $(X, Y)$ sera généralement astreinte à des conditions de **continuité** qui pourront rendre incorrect le théorème précédent. Mais la démarche que nous avons suivie restera valable, et c'est le problème de la correspondance entre des familles de domaines qui devra être discuté dans chaque cas : le problème de statistique que nous nous étions posé est entièrement ramené à des problèmes purement mathématiques, difficiles certes, mais bien connus.

Le problème de la décomposition en produit d'une fonction d'isomorphie est entièrement analogue au problème classique correspondant sur les fonctions caractéristiques. Il est plus difficile, car on n'a plus affaire ici, à des fonctions entières, comme c'est souvent le cas. On notera qu'une loi normale est décomposable d'une infinité de manières en produit de lois normales. (Il est possible qu'il existe à ce sujet un théorème analogue à celui de LEVY-CRAMER, et d'après lequel ce serait le seul mode de décomposition d'une loi normale).
REFLEXIONS SUR LA CONTINUITÉ

Nous avons dit dans l'introduction que la notion de loi continue de
probabilité n'avait pas de sens expérimental ; en fait, l'analyse intrinsèque
a été fondée entièrement sur la notion des lois discontinues, ou de seuil de
repérage : un théorème tel que celui d'après lequel la loi de LAPLACE à
une variable est isomorphe de la loi de GAUSS à deux variables n'aurait
vraiment aucun sens autrement. Et pourtant, on est frappé de ce que
l'isomorphie entre ces deux lois, qui ne serait qu'approchée avec des
lois discontinues, est rigoureuse avec les lois continues d'interpolation.

On doit également se souvenir que la modification du seuil de repérage introduit la notion de lois "semblables", notion qui ne serait qu'approchée avec des lois discontinues, qui devient rigoureuse avec des lois continues:

Pour représenter par une loi continue une loi double discontinue $p_{ij}$, nous devons imaginer que dans chaque case $C_{ij}$ est répartie une densité de probabilité $f(x, y)$ telle que
$$ \int \int_{C_{ij}} f(xy) \, dx \, dy = p_{ij} $$
La fonction $f$ peut être choisie d'une infinité de façons ; la plus simple est la densité homogène $\frac{p_{ij}}{S}$ ; mais ce n'est pas nécessairement la plus avantageuse. En général, on admet que le seuil de repérage avec lequel on expérimente n'est pas définitif et qu'il sera possible de le diminuer. On souhaite alors que la fonction $f(x, y)$ convienne encore pour ce nouveau seuil, et pour cela on lui impose certaines conditions intuives de "régularité" : si l'on admet que, en perfectionnant les instruments de mesure, on pourra réduire sans limite le seuil de repérage, il doit alors exister une fonction $f$ et une seule (sauf une modification sur un ensemble de mesure nulle) qui conviendra toujours. La physique moderne suggère, il est vrai, que cette diminution du seuil de repérage possèdera fatalement une limite : mais cette limite est si petite par rapport aux seuils actuels que l'arbitraire qui en résulterait pour $f(x, y)$ est tout à fait négligeable, dans la pratique. Pourtant l'existence de cette limite me semble présenter un grand intérêt théorique, en montrant que, si le seuil de repérage n'est pas une limite définitive, le principe de son introduction est vraiment dans la nature des choses : la structure de l'univers, celle d'une loi de probabilité, sont presque impensables sous l'aspect du continu.

**Concluons :** la grandeur du seuil expérimental de repérage n'est fixée que provisoirement, et nous chercherons à interpoler les résultats expérimentaux par des lois théoriques prévoyant l'utilisation de seuils plus petits ; mieux : mathématiquement nous irons jusqu'à prévoir une suite de seuils tendant vers zéro, et nous utiliserons pour cela des fonctions continues. Mais la suppression du seuil n'est jamais envisagée que comme une limite, c'est en partant de la notion de seuil et de lois discontinues que nous arriverons à définir des lois continues. Le concept de continu n'est qu'un concept idéal, forgé artificiellement par l'esprit humain pour la commodité des raisonnements - peut-être aussi pour anticiper sur les résultats de l'expérience : mais le principe de HEISENBERG ne permet plus guère ce genre d'interprétation.
Ces remarques conduisent à une modification considérable dans la manière d'envisager une fonction d'isomorphie.

Jusqu'à présent, nous considérions les lois de probabilité discontinues, $p_i$, représentées aussi par $p_i = f(x_i) \Delta x_i$; ou par $p_i = \int_{x_i-1}^{x_i} f(x) dx$ et c'est la fonction : $\sum p_i^{1+t}$ qui nous intéressait. La fonction expérimentale $\sum f_i^{1+t}$ devait être voisine de la précédente et converger en probabilité vers elle pour un nombre infini d'épreuves. Ce fait reste exact, mais dans les calculs il était plus commode d'utiliser, au lieu de : $\sum p_i^{1+t}$, la valeur approchée $\Delta x_i^{1+t} \int f(x)^{1+t} dx$.

Pourquoi ne pas introduire systématiquement cette dernière ?

Il y a une difficulté : $\sum f_i^{1+t}$, converge en probabilité rigoureusement vers la première, et d'une manière approchée seulement vers la seconde ; on peut éviter cet inconvénient en substituant aux $f_i$ discontinus une fonction $g(x)$ d'interpolation choisie "au mieux", et si le choix en est satisfaisant, la convergence en probabilité redeviendra parfaite :

$$ \int g(x)^{1+t} dx \rightarrow \int f(x)^{1+t} dx \text{ presque sûrement} $$

Résumons-nous :

Le calcul des probabilités et la statistique sont deux sciences profondément différentes, l'une abstraite, l'autre expérimentale mais dont chacune a besoin de l'autre. Si l'expérience a besoin de la théorie pour l'expliquer, inversement le calcul des probabilités ne peut clairement définir certaines notions qu'en fonction de ses applications statistiques ; un exemple frappant est fourni par la dualité entre module de dépendance, notion abstraite, définie à l'aide de la statistique, et : module de corrélation, notion statistique définie à l'aide du calcul des probabilités. De même la fonction d'isomorphie a été définie d'abord rigoureusement en statistique, et d'une façon approchée en calcul des probabilités. Mais on pourra maintenant regarder comme rigoureuse la définition théorique par une intégrale, et comme approchée la définition statistique par une somme.

Dès lors, on remplacera partout le signe # par le signe $=$, et réciproquement.

## APPLICATIONS -

Les réflexions précédentes sont absolument nécessaires pour poser comme il convient le problème expérimental des variables canoniques.

Supposons qu'un ensemble d'événements ait été repéré à l'aide des deux phénomènes [i] et [j] (ou, si l'on préfère, des deux variables $x_i$ et $y_i$). Si [i] et [j] ne sont pas indépendantes nous le reconnaîtrons expérimentalement à ce que le module de corrélation $\Omega'_{ij}$ est trop éloigné de zéro. Nous chercherons alors à grouper autrement les événements, suivant des lignes [K] et des colonnes [$\ell$] : nous pourrons chercher le groupement pour lequel $\Omega'_{K\ell}$ est le plus petit possible. Evidemment, à moins de mettre toujours les événements sur une seule ligne, le minimum
de Ω' ne sera pas en général zéro (comme c'était le cas avec des variables continues). Mais cela provient de ce que nous avons affaire, ici, à des cases que nous nous interdisons de fractionner. La figure ci-contre montre comment devrait être fait le quadrillage avec les variables continues canoniques X, Y : au lieu de cela, notre procédé groupe les cases ij en files se rapprochant le mieux possible des sortes de rubans X, X + Δ'X, et par les indices K, l définis précédemment, ne représentent qu'approximativement la décomposition en variables canoniques.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Néanmoins, on pourra pratiquement admettre que le groupement K, l qui donne à Ω' la plus petite valeur, donne une idée convenable des variables cherchées X, Y, ce qui fournira un procédé pour obtenir celles-ci. C'est le procédé qu'on pourra employer lorsque la distribution $f_{ij}$ ne suggérera pas une loi de probabilité simple.

Lorsqu'au contraire les $f_{ij}$ seront bien représentés par une densité de probabilité continue simple, f(x, y), il vaudra mieux commencer par rechercher les décompositions canoniques de celles-ci, et en déduire les variables X (x, y) et Y (x, y) correspondantes.

Il ne semble guère possible d'en dire plus sur ce problème, tant que des applications concrètes n'en auront pas été faites, qui préciseront dans quel sens orienter des recherches plus complètes.

Nous allons seulement indiquer comment, à cette question, se rattache celle de la "liaison fonctionnelle" entre deux variables $x_i$, $x_j$, ou deux phénomènes [i] et [j].

## LA NOTION DE LIAISON FONCTIONNELLE -

Habituellement on admet qu'il existe une notion de liaison fonctionnelle parfaite, tout comme il en existe une d'indépendance stochastique parfaite, et l'on cherche à caractériser cette liaison parfaite par une équation de la forme $F(p_1, ..., p_n) = 0$. En écrivant alors que F est, non plus nul, mais petit, on aura le "voisinage" de la liaison fonctionnelle. On sait que ce procédé n'a donné de résultat que pour la liaison *biunivoque*, qui n'est au fond qu'une liaison *linéaire*. Pour éclairer le problème, nous le poserons comme nous avions posé celui du "degré" d'indépendance :

Le "degré" de liaison sera la vraisemblance pour que des $f_{ij}$ donnés aient été produits par des $p_{ij}$ en liaison fonctionnelle.

On s'aperçoit alors que ce problème n'a rien de commun avec celui de l'indépendance, et que les méthodes usuelles pour le traiter ne peuvent
conduire qu'à des calculs absurdes : car si un $p_{ij}$ est nul, il est impossible que le $f_{ij}$ correspondant ne le soit pas.

A moins d'introduire la notion d'erreur expérimentale : seule une erreur peut produire un événement qui, dans les conditions théoriques admises, avait une probabilité nulle. Il n'y a pas de liaisons fonctionnelles plus ou moins fortes, il n'y a que des liaisons fonctionnelles parfaites plus ou moins masquées par des erreurs expérimentales.

Si donc un phénomène [ij] établit entre [i] et [j] ou $x_i$ et $y_j$ une liaison fonctionnelle, nous le reconnaîtrons à ce que [ij] peut être représenté par une variable z ($x, y$) combinée avec une variable d'erreur ou "perturbation", $\zeta$ ; cette dernière étant assujettie à certaines conditions. Nous admettrons les conditions suivantes :

1. $\zeta$ petit (ne pouvant pas dépasser une certaine limite $\zeta_0$). avec une probabilité appréciable: à nous de fixer chaque fois $\zeta_0$. suivant les données de l'expérience).

2. Il semble raisonnable d'admettre l'indépendance de $\zeta$ et de z, mais cette condition ne nous sera pas utile.

3. Nous pourrons fréquemment supposer $\zeta$ gaussien.

Au lieu de parler des variables z et $\zeta$ nous reviendrons à notre notation habituelle [K] pour z et $[\ell]$ pour $\zeta$. On voit que le problème posé est celui d'une décomposition canonique de [ij] en [K] et $[\ell]$, avec des conditions pour $[\ell]$.

Or, sous la condition d'indépendance entre [K] et $[\ell]$, nous connaissions la somme des incertitudes :

$$H_K + H_\ell = H_{K\ell} = H_{ij} \text{ ; sinon } H_K + H_\ell > H_{ij}$$

La première condition imposée à $\zeta$ nous donnera une limite $\epsilon$ pour $H_1$. Nous devrons donc avoir :

$$\epsilon > H_{\ell} > H_{ij} - H_K$$

ou :

$$H_K \geq H_{ij} - \epsilon$$

Tout le problème consistera alors à juger si une telle valeur de $H_K$ est ou non admissible, et pour cela nous en chercherons une limite supérieure.

Il n'est pas possible de donner pour cette recherche une méthode générale. Si on a des raisons de penser qu'à chaque valeur de $x$ ne doit correspondre qu'une valeur de $z_K$, alors $H_j$ est une évaluation satisfaisante de $H_K$, les $p_K$ n'étant pas très différents des $p_i$. Si au contraire on suppose $z_K$ uniforme en $y_j$, c'est $H_j$ qu'il conviendra d'envisager ; s'il est uniforme par rapport aux deux, nous retrouvons la notion classique de liaison biunivoque avec la condition $\omega_{ij} \neq 1$ étudiée au chapitre IV. Une autre hypothèse intéressante est la suivante :
Dans le domaine étudié, les diverses valeurs de $z_K$ ont sensiblement même probabilité.

S'il en est ainsi, $H_K$ est à peine inférieure à : $\mathcal{L}\lambda$, $\lambda$ étant le nombre de valeurs distinctes de $z$, c'est-à-dire le nombre de cases remplies par $z$. On en tire :

$$ \mathcal{L}\lambda > H_{ij} - \epsilon $$

ce qui fournit une limite inférieure de $\lambda$ : si par exemple le tableau des [i j] est à 10 lignes et 10 colonnes, un $\lambda$ de l'ordre de 12 à 15 est acceptable, tandis que $\lambda = 50$ est incompatible avec la notion pratique de courbe (une courbe de PEANO n'ayant vraiment pas de sens en statistique !). L'inégalité ci-dessus est toujours correcte, mais elle sous-évalue beaucoup trop $\lambda$, sauf dans l'hypothèse indiquée. Si donc $p_K$ peut varier beaucoup dans le champ du tableau, nous devrons chercher pour $H_K$ des évaluations plus serrées. Nous pourrons par exemple faire sur $z_K$ l'hypothèse de la normalité, calculer son indice $v_K = v_{ij} - 1$ en admettant que $\zeta$ soit gaussien, et nous servir de

$$ \frac{v}{2} = \mathcal{L} \frac{p_o}{\omega} = \mathcal{L} p_o + H_K $$

$$ \text{D'où :} \qquad H_K = \mathcal{L} \frac{1}{p_o} + \frac{v_K}{2} \ge H_{ij} - \epsilon $$

Cette inégalité fournit une limite supérieure pour $p_o$, probabilité maxima des $z_K$. Or nous pourrons assez bien évaluer $p_o$, en prenant par exemple le plus grand des $p_i$ ou le plus grand des $p_j$, et nous verrons si l'inégalité précédente est ou non acceptable.

On voit que la notion de liaison fonctionnelle est beaucoup moins simple que celle de corrélation, et que son étude ne peut guère être entreprise sans l'analyse intrinsèque.
# CONCLUSIONS GÉNÉRALES

Quelques problèmes théoriques demeurent, qu'il importerait de pouvoir résoudre. Le plus intéressant est celui de la décomposition des fonctions d'holomorphie. Le plus important, sans doute, est celui de l'évaluation du $\chi^2$ à l'aide des fonctions spécifiques. Enfin, il serait souhaitable de connaitre les fonctions spécifiques de certaines lois importantes : binôme, POISSON ; mais à cet égard les types de PEARSON sont précieux ; car ils conduisent à des intégrales qui s'expriment par les fonction eulériennes, et que l'on peut donc calculer par les tables classiques.

Mais c'est de l'application de l'analyse intrinsèque à des problèmes expérimentaux que l'on doit attendre la justification éventuelle des méthodes que nous avons exposées. L'expérience seule nous apprendra si ces méthodes sont fécondes, et si les hypothèses qui en constituent le fondement sont légitimes. Et parmi les champs d'applications possibles, c'est sans doute la biologie, ou, comme disent les Anglais, la "biométrie" qui fournira le meilleur terrain d'expérience.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>INTRODUCTION</td><td>79</td></tr><tr><td>OBJET DE CES RECHERCHES</td><td>81</td></tr><tr><td>POSITION DU PROBLÈME</td><td>83</td></tr><tr><td>CHAPITRE PREMIER : L'instrument</td><td>85</td></tr><tr><td>CHAPITRE II : Etude intrinsèque d'une loi continue</td><td>95</td></tr><tr><td>CHAPITRE III : Applications</td><td>109</td></tr><tr><td>CHAPITRE IV : Sur la corrélation</td><td>131</td></tr><tr><td>Première partie : La notion de dépendance</td><td>132</td></tr><tr><td>Deuxième partie : La notion de corrélation</td><td>139</td></tr><tr><td>Conclusions</td><td>145</td></tr><tr><td>CHAPITRE V : Etude intrinsèque de la composition</td><td>147</td></tr><tr><td>CONCLUSIONS GÉNÉRALES</td><td>158</td></tr></table>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td>CONCLUSIUNE GENERALES</td><td>128</td></tr><tr><td>CHAPITRE V : Etude intrinsèque de la composition</td><td>147</td></tr><tr><td>Conclusions</td><td>145</td></tr><tr><td>Deuxième partie : La action de corrélation</td><td>138</td></tr><tr><td>Première partie : La action de dépendance</td><td>135</td></tr><tr><td>CHAPITRE IV : Sur la corrélation</td><td>131</td></tr><tr><td>CHAPITRE III : Applications</td><td>109</td></tr><tr><td>CHAPITRE II : Etude intrinsèque d'une lot continue</td><td>98</td></tr><tr><td>CHAPITRE PREMIER : L'illustration</td><td>86</td></tr><tr><td>POSITION DU PROBLÈME</td><td>83</td></tr><tr><td>ORSET DE CES RECHERCHES</td><td>81</td></tr><tr><td>INTRODUCTION</td><td>79</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>
BIBLIOTHEQUE NATIONALE DE FRANCE

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

3 7502 00092030 8