Sur l'ensemble de distances entre les points d'un ensemble.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

E étant un ensemble donné de points (situé dans l'espace à m dimension) désignons par $D(E)$ l'ensemble de toutes les distances entre deux points quelconques de l'ensemble E. L'opération $D$ fait donc correspondre à tout ensemble de points $E$ un ensemble de nombres réels non négatifs $D(E)$ (Distanzmenge de E). Dans cette Note je prouverai (§ 1) que si $E$ est un ensemble mesurable (B), $D(E)$ est mesurable (L), mais pas nécessairement mesurable (B) <fnref n="1" />. Je démontrerai notamment que si $E$ est un ensemble (A) de M. Souslin (dans l'espace à m dimensions), $D(E)$ est aussi un ensemble (A), et qu'il existe un ensemble plan $G_0$ <fnref n="2" />), $E$, pour lequel $D(E)$ est non mesurable (B).

Or, je prouverai (§ 3) qu'il existe un ensemble linéaire E mesurable (L), pour lequel l'ensemble $D(E)$ est non mesurable (L).

En 191 M. Lebesgue a remarqué (sans le démontrer) <fnref n="3" />) que l'opération qui consiste à joindre les points d'un ensemble $E$ deux à deux permet de former les ensembles non mesurables (B) à partir d'ensembles mesurables (B). Je prouverai (§ 2) que cette opération effectuée sur un ensemble plan $G_0$, peut donner un ensemble non mesurable (B), et qu'elle transforme toujours un ensemble (A) en un ensemble (A).

<footnote n="1">¹) Cf. *Fund Math.* t. V, p. 337, Problème 27.</footnote>

<footnote n="2">²) C'est-à-dire produit d'une infinité dénombrable d'ensembles ouverts.</footnote>

<footnote n="3">³) *Ann. Ec. Normale* (3) XXXV, p. 242.</footnote>
§ 1. Il s'ensuit sans peine des résultats de M. Souslin <fnref n="1" />) qu'il existe un ensemble $G_δ$ plan, $P$, dont la projection $\Pi$ sur l'axe d'abscisses n'est pas mesurable (B), et tel que les coordonnées $(x, y)$ de points de $P$ satisfont aux inégalités $0 < x < 1$, $0 < y < 1$. A tout point $p(x, y)$ de $P$ faisons correspondre un point $q$ du plan, dont les coordonnées polaires $(\rho, \theta)$ sont

$$ \rho = x \text{ et } \theta = y. $$

Soit $Q$ l'ensemble de tous les points $q$ qui correspondent ainsi aux points $p$ de $P$. On voit sans peine que les ensembles $P$ et $Q$ sont homéomorphes et que l'ensemble de toutes les distances $\rho$ des points $q(\rho, \theta)$ de $Q$ à l'origine de coordonnées coïncide avec l'ensemble $\Pi$. Or, $P$ étant un $G_δ$ et $Q$ étant un homéomorphe de $P$, $Q$ est aussi un $G_δ$ <fnref n="2" />). Donc, $Q$ est un ensemble plan $G_δ$, tel que l'ensemble de distances de points de $Q$ à l'origine des coordonnées est non mesurable (B) <fnref n="3" />).

On voit sans peine qu'on pourrait déterminer l'ensemble $Q$ de sorte que son diamètre soit $< 1/2$ et que la distance de $Q$ à l'origine des coordonnées soit $> 1/2$ (Il suffirait à ce but de déterminer l'ensemble $P$ de sorte que les coordonnées $(x, y)$ de ses points satisfassent aux inégalités $3/4 < x < 1$ et $0 < y < 1/2$). Supposons que l'ensemble $Q$ est défini de sorte et désignons par $E$ l'ensemble composé de l'ensemble $Q$ et du point $(0, 0)$: ce sera encore un ensemble $G_δ$. Or, il est évident que l'ensemble de toutes ces distances entre deux points de $E$ qui sont $> 1/2$ coïncide avec l'ensemble de toutes les distances de points de $Q$ à l'origine des coordonnées, et parsuite est non mesurable (B). Par conséquent l'ensemble $D(E)$ de toutes les distances entre deux points de $E$ est non mesurable (B).

Nous avons ainsi démontré qu'il existe un ensemble $G_δ$ plan, $E$, (tel que l'ensemble $D(E)$ est non mesurable (B) <fnref n="4" />).

Remarquons que la condition que $E$ soit un ensemble plan était essentielle dans la construction de notre exemple; or, je ne sais pas,

<footnote n="1">¹) Voir: M. Souslin. C. R. t. 164 (note du 8 janvier 1917); aussi Fund. Math., t. V, p. 158.</footnote>

<footnote n="2">²) d'après un théorème de M. Mazurkiewicz; pour la démonstration voir p. e. M. Lavrentieff, Fund. Math. t. VI, p. 151.</footnote>

<footnote n="3">³) Il est évident que si $Q$ est un ensemble $G_δ$ linéaire, l'ensemble de distances des points de $Q$ à l'origine des coordonnées est aussi un $G_δ$.</footnote>

<footnote n="4">⁴) On voit sans peine que si $E$ est un ensemble $F_σ$ (dans l'espace à $m$ dimensions), $D(E)$ est aussi un $F_σ$.</footnote>
si l'ensemble de distances d'un $G_δ$ linéaire peut être non mesurable ($B$).

D'autre part on peut démontrer sans peine que l'ensemble des distances d'un ensemble (A) (dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions) est toujours un ensemble (A). Soit p. e. E un ensemble (A) plan. Désignons par S l'ensemble de tous les systèmes $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ où $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont des points de E. Il résulte sans peine de la théorie des ensembles (A) que S est un ensemble (A) (situé dans l'espace à 4 dimensions). Or, l'ensemble D(E) est évidemment l'ensemble de tous les nombres $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$, où $(x_1, y_1) \in E$ et $(x_2, y_2) \in E$: c'est donc une image continue de l'ensemble $S(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2})$ étant une fonction continue du point $(x_1, y_1, x_2, y_2)$. L'image continue d'un ensemble (A) étant un ensemble (A), on en conclut que D(E) est un ensemble (A), c. q. f. d.

**§ 2.** *E* étant un ensemble plan, désignons par $\varphi(E)$ l'ensemble-somme de tous les segments qu'on obtient en joignant deux points quelconques de l'ensemble $E^1$). Nous prouverons qu'il existe un ensemble *E* qui est un $G_δ$ plan et pour lequel l'ensemble $\varphi(E)$ est non mesurable (*B*).

Soit à ce but $P$, comme dans le § 1, un ensemble $G_δ$ plan, dont la projection $\Pi$ sur l'axe d'abscisses est non mesurable ($B$), et tel que les coordonnées $(x, y)$ de points de $P$ satisfont aux inégalités $x > 0$ et $y > 0$.

A tout point $p(x, y)$ de $P$ faisons correspondre un point $q(\xi, \eta)$ du plan, aux coordonnées

$$ \xi = x(y + 1), \quad \eta = y. $$

Soit $Q$ l'ensemble de tous les points $q$ correspondant ainsi aux points $p$ de $P$. On voit sans peine que $Q$ est un homéomorphe de $P$, donc un ensemble $G_δ$.

Désignons maintenant par $E$ l'ensemble composé de l'ensemble $Q$ et du point $(0, -1)$: c'est donc un ensemble $G_δ$. Or, on voit sans peine que l'ensemble de points, où l'axe d'abscisses rencontre

<footnote n="1">¹) Remarquons que pour tout ensemble plan $E$, $\varphi\varphi(E)$ est le plus petit ensemble convexe contenant $E$ (c'est-à-dire contenant tout segment dont les extrémités il contient), et qu'on a toujours $\varphi\varphi\varphi(E) = \varphi\varphi(E)$. Cf. W. Sierpiński: *Wektor* (Warszawa 1914 p. 268) et S. Straszewicz: *Inaugural-Dissertation, Zürich 1914*, p. 28 ss.</footnote>
l'ensemble $\varphi(E)$, est précisément l'ensemble $\Pi$, d'où résulte tout de
suite que l'ensemble $\varphi(E)$ ne peut être mesurable (B), c. q. f. d.

Or, si $E$ est un ensemble (A) (plan), $\varphi(E)$ est aussi un ensemble (A). En effet, désignons par $S$ l'ensemble de tous les systèmes $(x_1, y_1, x_2, y_2, t)$, où $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont des points de $E$ et $t$ est un nombre réel de l'intervalle $(0, 1)$. L'ensemble $E$ étant un ensemble (A), $S$ est un ensemble (A) dans l'espace à 5 dimensions. Or, $\varphi(E)$ est évidemment une image continue de $S$, comme ensemble de tous les points du plan aux coordonnées $(x, y)$, où $x=x_1+ (x_2-x_1)t$, $y=y_1+(y_2-y_1)t$, correspondant aux systèmes $(x_1, y_1, x_2, y_2, t)$ de $S$. Donc $\varphi(E)$ est un ensemble (A), c. q. f. d.

Observons encore qu'on pourrait démontrer sans peine que l'en-
semble $\varphi(E)$ n'est pas nécessairement mesurable (L) superficielle-
ment, si l'ensemble (plan) $E$ l'est.

§ 3. Nous allons maintenant à démontrer que la mesurabilité
au sens de M. Lebesgue d'un ensemble linéaire *E* n'entraîne pas
celle de l'ensemble *D* (*E*).

Admettons la proposition *P* suivante: „Si *E* est un ensemble linéaire mesurable (*L*), l'ensemble *D* (*E*) est aussi mesurable (*L*)“.
Il en résulte tout de suite la proposition *Π* que voici: „Si *E* est un ensemble linéaire mesurable (*L*), l'ensemble Δ (*E*) de toutes les différences *x*,—*y*>, où *x* et *y* sont des points de *E*, est aussi mesurable (*L*)“.
En effet, *D* (*E*) est l'ensemble de tous les nombres |*x*−*y*|, où *x* et *y* sont des points de *E*, donc Δ (*E*) se compose de l'ensemble *D* (*E*) et de son image symétrique par rapport au point 0.

Désignons généralement par $E^*$ l'ensemble de tous les nombres
de la forme $rx$, où $r$ est un nombre rationnel et $x$ un point de $E$.
On voit sans peine que si $E$ est un ensemble mesurable ($L$), $E^*$
l'est aussi. Or, $\Delta(E^*)$ est évidemment l'ensemble $E_2$ de tous les
nombres de la forme $r_1x_1 + r_2x_2$, où $r_1$ et $r_2$ sont rationnels et
$x_1$ et $x_2$ sont des points de $E$. Donc, d'après la proposition $\Pi$, $E_2$
est mesurable ($L$). Il est de même de l'ensemble $E_4 = \Delta(E_2^*)$ qui
est évidemment l'ensemble de tous les nombres de la forme $r_1x_1 +
+ r_2x_2 + r_3x_3 + r_4x_4$, où $r_1, r_2, r_3, r_4$ sont des nombres rationnels
et $x_1, x_2, x_3, x_4$ sont des points de $E$. Généralement, en posant
$E_{2n+2} = \Delta(E_{2n}^*)$, pour $n=1, 2, 3, \dots$, nous concluons que les en-
semblés $E_{2n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) sont tous mesurables ($L$), donc aussi
leur somme

$$E_2 + E_4 + E_6 + \dots$$

qui est évidemment l'ensemble $R(E)$ de tous les nombres de la forme

$$r_1 x_1 + r_2 x_2 + \dots + r_m x_m$$

où $m$ est un nombre naturel, $r_1, r_2, \dots, r_m$ sont des coefficients rationnels, et $x_1, x_2, \dots, x_m$ sont des points de $E$.

Nous avons donc démontré que si la proposition $P$ était vraie, la mesurabilité ($L$) de l'ensemble $E$ entrainerait toujours celle de l'ensemble $R(E)$.

Or, soit $B$ une base de M. Hamel mesurable ($L$), $b$ — un nombre de $B$ différent de 0. J'ai démontré autrefois dans ce journal<fnref n="1" />) qu'il existe des bases hameliennes mesurables ($L$), et que si $B$ est une base hamelienne, $b$ un nombre de $B$ différent de 0, $H$—l'ensemble qu'on obtient en supprimant dans $B$ l'élément $b$, l'ensemble $R(H)$ est toujours non mesurable ($L$). Il existe donc des ensembles $E$ mesurables ($L$), pour lesquels l'ensemble $R(E)$ est non mesurable ($L$), ce qui est incompatible avec la conséquence que nous avons tiré plus haut de la proposition $P$.

Donc la proposition $P$ n'est pas vraie, ce pui prouve qu'il existe un ensemble linéaire mesurable ($L$), dont l'ensemble de distances est non mesurable ($L$), c. q. f. d.

<footnote n="1">¹) *Fund. Math.* t. 1, p. 107 et p. 108.</footnote>