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# Analyse numérique d'inéquations associées à des problèmes de temps d'arrêt optimaux en contrôle stochastique

Maurice Goursat, Jean-Pierre Quadrat

► To cite this version:

Maurice Goursat, Jean-Pierre Quadrat. Analyse numérique d'inéquations associées à des problèmes de temps d'arrêt optimaux en contrôle stochastique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-154, IRIA. 1976, pp.30. hal-04716382

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Analyse numérique
d'inéquations
associées à des problèmes
de temps d'arrêt optimaux
en contrôle stochastique

M. Goursat, J.P. Quadrat

Rapport de Recherche n°154

Janvier 1976
# ANALYSE NUMÉRIQUE D'INÉQUATIONS ASSOCIÉES A DES PROBLEMES DE TEMPS D'ARRÊT OPTIMAUX EN CONTRÔLE STOCHASTIQUE

M. Goursat, J.P. Quadrat

IRIA/LABORIA

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## Résumé :

Nous nous intéressons ici au problème de contrôle stochastique suivant : contrôle continu et temps d'arrêt optimal pour une diffusion stochastique. Ce problème dans le cas stationnaire se ramène à la résolution d'une inéquation variationnelle elliptique non linéaire dont nous faisons l'analyse numérique. Nous construisons les problèmes approchés ; nous montrons la convergence de l'approximation et donnons une majoration de résolution dont nous montrons la convergence et donnons des résultats numériques sur un exemple-test.

## Abstract :

The following stochastic problem is considered : continuous control and optimal stopping time for stochastic diffusions. In the stationary case the solution of this problem is obtained by solving a non linear elliptic variational inequality of which we study the numerical analysis. A finite elements method is used : we prove the convergence of the approximation and give a majorant for the error. Then we give an algorithm, prove its convergence and give numerical results for a test example.
# INTRODUCTION

L'évolution de nombreux systèmes physiques ou économiques peut être modélisée par des processus stochastiques, dont certains paramètres (contrôles) sont à notre disposition.

Le problème de contrôle optimal consiste alors à choisir au mieux ces paramètres c.a.d. à minimiser l'espérance du ''cout'' de l'évolution du système, en général sur une période choisie à priori : l'horizon(fini ou infini). Dans certain cas l'horizon apparaît comme un contrôle supplémentaire.

Exemples: -choix de remplacement d'un matériel en fonction de son degré d'usure;-temps d'arrêt de la saisie de donnée pour l'estimation d'un paramètre en fonction de sa qualité(intervalle de confiance);-arrêt dans un jeu en fonction des gains etc...

Les processus que nous considérons ici sont des diffusions stochastiques.Le cas du contrôle optimal sur une période fixée se ramène à la résolution d'une équation de Bellman;le cas du temps d'arrêt optimal(horizon à contrôler) à la résolution d'une inéquation variationnelle(I.V.)non linéaire.
De nombreux auteurs se sont intéressés à ce problème
par exemple SHERIAEV [12], STRATANOVITCH [44], CHERNOF [4], BENSOUSSAN-
ERIEDMAN [2], VAN MOERBEKE [45], BENSOUSSAN-LIONS [4]....

Nous nous intéressons ici essentiellement à l'analyse numérique
de ce problème dans le cas stationnaire. Le schéma d'approximation
sera le suivant: éléments finis parallèle à l'épipédiques-constants par
éléments pour le contrôle-linéaire par composante par élément
pour la solution de l'I.V. On montre l'existence et l'unicité
de la solution approchée, la convergence du schéma, et on donne
une majoration d'erreur dans $H^1$. On présente un algorithme de
résolution du problème approché. On prouve la convergence de cet
algorithme. On donne quelques résultats numériques.
Le plan sera le suivant

## Introduction

1) Position du problème

1.1 Le problème de contrôle stochastique

1.2 L'inéquation variationnelle à résoudre

2) Existence et unicité de la solution de l'I.V.

3) Approximation de l'I.V.

3.1 Construction du problème approché

3.2 Convergence de l'approximation et majoration de l'erreur

4) Résolution numérique

4.1 Algorithme de résolution

4.2 Exemple et résultats numériques
# 1) Position du problème

## 1.1 Le problème de contrôle stochastique

Soit $\mathcal{O}$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ tel que $\mathcal{O} = \{x \in \mathbb{R}^n ; \phi(x) > 0\}$ de frontière $\Gamma = \{x \in \mathbb{R}^n ; \phi(x) = 0\}$ où $\phi$ est une application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ de classe $C^2$ et telle que $|\nabla \phi| \ge 1$ sur $\Gamma$.

Considérons les fonctions suivantes:

$$ - \sigma: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^{n_2} \quad \mathcal{C}^1 \text{ telle que } a = \frac{1}{2} \sigma^+ \sigma^- \text{ soit coercif} \\ x \qquad [\sigma_{ij}(x)] $$

$$ - u: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m \text{ borélienne bornée} $$

$$ - b: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^n \text{ borélienne en } x, \text{ uniformément lipschitzienn} \\ x \in \mathcal{U} \quad [b(x, \mathcal{U})] \\ \text{en } \mathcal{U}, \text{ et bornée} $$

On note $\gamma$ le champ de vecteur $\gamma(x) = a \cdot \nabla \phi(x)$

$$ \Omega = \mathcal{C}(0, \gamma; \bar{\Omega}) $$

$$ \mathcal{V}_t = \mathcal{V}(x(s), s(t)) \text{ x}(-\cdot) \in \Omega \text{ et } \mathcal{V}_0 = \mathcal{V}_{\infty} $$

Les théorèmes 3.1 et 5.8 de Strook Varadhan $[\cdot]_{\Omega \times \mathcal{M}}$ montrent l'existence et l'unicité d'une mesure $P_{\cdot, \cdot}^U$ solution du problème sous-martingale $(a, b(u), \ell=0, \gamma)$ partant de $x$ à l'instant $0$. $\ell$ désigne le temps passé à la frontière.
Remarque:

Le problème de sousmartingale signifie qu'il existe un
brownien w et un processus continu croissant $\xi$ (croissant strictement
sur la frontière) tels que:

$$
x_t - x - \int_0^t b(x_s) ds - \int_0^t \gamma(x_s) d\xi_s = \int_0^t \sigma(x_s) dw_s, \quad x_t \in \bar{\Omega} \quad \mathbb{W}
$$

Soit $\mathcal{F}$ un ouvert de $\bar{\sigma}$, $\tau$ le temps de sortie de $\mathcal{F}$.

$\tilde{\varphi}: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ positive bornée, borélienne en x, u
$$ \tilde{\varphi}(x,u) = \varphi(x,u) + f(x) $$
lipschitzienne uniformément en u,

$f \ge 0 \in L^p(\Omega).$

$F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} W^{2,p}(\bar{\Omega})$ positive

$g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \quad g|_{\Gamma} \in W^{1/2, p}(\Gamma) \ge 0$

Le problème de contrôle à résoudre s'écrit :

$$
(1.1) \quad \min_{u \in \mathcal{U}} \quad \mathrm{E}_{x,0} \int_0^\tau e^{-\lambda s} \tilde{\varphi}(x_s, u(x_s)) ds + \int_0^\tau g(x_s) d\xi_s + e^{-\lambda \bar{\sigma}} \mathrm{E}(x_\tau) \quad \mathbb{W}
$$
# 1.2 Conditions suffisantes d'optimalité: l'inéquation variationnelle

## I.V.

### 1.2.1 Présentation formelle

On considère le système d'inéquations suivant:

$$ 
\begin{gather*}
\left\{ \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2 y - \lambda y}{\partial x_i \partial x_j} + \operatorname{Min}_{u \in U(x)} \left\{ \sum_i b_{ii}(x,u) \frac{\partial y}{\partial x_i} + \varphi(x,u) \right\} + f(x) \right) \ge 0 \right. \\
(1.2) \qquad \left. y(x) - F(x) \le 0 \right. \qquad \text{dans } \mathcal{O} \\
\left. \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2 y - \lambda y}{\partial x_i \partial x_j} + \operatorname{Min}_{u \in U(x)} \left\{ \sum_i b_{ii}(x,u) \frac{\partial y}{\partial x_i} + \varphi(x,u) \right\} + f(x) \right) (y(x) - F(x)) = 0
\end{gather*}
$$

$$ 
\begin{cases}
y(x) - F(x) < 0 \\
(1.3) \quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial y}{\partial x} + g \ge 0 \\ (y(x) - F(x)) \left( \frac{\partial y}{\partial x} + g \right) = 0 \end{array} \right.
\end{cases}
$$

sur $\Gamma$

En supposant qu'il existe y solution de (1.2), (1.3) de classe $C^2$ nous allons montrer que y donne la solution de (1.1) Pour cela appliquons la formule d'Eto (cf. Strook Varadhan [13]) à $e^{-\lambda_t} y(x)$ avec

$$ (1.4) \quad u \in \operatorname{ArgMin}_{v \in U(x)} \left( \sum_i b_{ii}(x,u) \frac{\partial y}{\partial x_i} + \varphi(x,u) \right): $$

$$ (1.5) \quad E^{x,o} e^{-\lambda_T y(x_T) - y(x) - E^{x,o} \int_0^T -\lambda e^{-\lambda s} y(x_s) + e^{-\lambda s} \mathbb{E}_T(y)(x_s)} (\theta) ds - \int_0^T \frac{\partial y}{\partial \theta} (x_s) d\theta_s = 0 $$

$$ \text{où } \langle \theta \rangle = \begin{cases} 1 & \text{si } x_s \in \mathcal{O} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

$\tau$ = temps de sortie de l'ouvert défini par :
$$
(1.6) \quad \varphi = \{x \in \mathcal{X} / L(y)(x) + f(x) = 0\} \cap \{x \in \Gamma / \frac{\partial y}{\partial \nu} + g = 0\}
$$

L est l'opérateur

$$
(1.7) \quad \overline{\bigwedge}_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \in \min_{M \in \mathcal{M}} \left( \sum_i b_i(x, u) \frac{\partial}{\partial x_i} + \varphi(x, u) \right) - \lambda I
$$

(1.4) et (1.5) entraînent que

$$
y(x) = E^{x,0} \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda s} \tilde{\varphi}(x_s, u(x_s)) ds + \int_{0}^{\tau} g(x_s) d\xi_s + e^{-\lambda \tau} F(x_{\tau})
$$

Si la diffusion est régie par un contrôle __u__ ne vérifiant
pas (1.4) et si l'ouvert __\tilde{\sigma}__ définissant le temps d'arrêt (maintenant
__\tilde{\tau}__) est différent de __\sigma__ alors la formule d'Ito (1.2) (1.3) entraîne :
(1.8) $y(x) \le E^{x,0} \int_0^{\tilde{\tau}} e^{-\lambda s} \varphi(x_s, u(x_s)) ds + E^{x,0} \int_0^{\tilde{\tau}} g(x_s) d\xi_s + e^{-\lambda \tilde{\tau}} F(x_{\tilde{\tau}})$

Q.E.D.

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Remarque:

L'hypothèse de régularité C² de y est trop restrictive

un lemme de Rishel [M] amélioré par Bensoussan Lions [1] montre
qu' elle peut être affaiblie à y ∈ W'(σ) p suffisamment grand.
1.2.2 Formulation précise de l'I.V. à résoudre

Soit $\mathcal{U}$ une multiapplication de graphe borélien, à valeurs
fermées dans un compact fixe:

$$
(1.9) \quad \mathcal{O}_{x} \xrightarrow{\mathcal{U}} \mathbb{R}^{m} \xrightarrow{\mathcal{U}(x)}
$$

on définit

$$
(1.10) \quad \Pi : \mathcal{O}_{x,w}^{n} \xrightarrow{R} \mathbb{R} \qquad \Pi(x,w) = \min_{u \in \mathcal{U}(x)} \Psi(x,u,w) \text{ avec}
$$

$$
(1.11) \quad \Psi(x,u,w) = \sum_{i} b_{i}(x,u) w_{i} + \mathcal{P}(x,u)
$$

On peut alors encore définir l'opérateur encore noté u

$$
\begin{flalign*}
& (1.12) & \quad \begin{aligned}[t]
\mathcal{U}: \quad & L^p(\mathcal{O}; \mathbb{R}^n) && \longrightarrow L^p(\mathcal{O}; \mathbb{R}^m) \\
& \mathbf{z} & && \xrightarrow{x \longrightarrow} \mathcal{U}(x, \mathbf{z}(x)) \quad \text{où} \\
& \mathcal{U}(x, \mathbf{w}) && \stackrel{\text{ArgMin}}{=} \Psi(x, u, \mathbf{w}) \\
& \mathcal{U} \in \mathcal{U}(x) & &&
\end{aligned} &
\end{flalign*}
$$

On définit également l'opérateur encore noté

$$
(1.13) \quad \Pi : L^p(\mathcal{O}; \mathbb{R}^n) \underset{z}{\longrightarrow} L^p(\mathcal{O}) \xrightarrow{x \longrightarrow} \Pi(x, z(x))
$$

on peut en effet montrer les propriétés de mesurabilité pour
définir correctement ces deux opérateurs cf. par ex. Quadrat [10]
On montre également que $\Pi$ est lipschitzien.

(1.14) $\mathcal{U}$ désignera dorénavant : $\{ u \in L^p(\mathcal{O}; \mathbb{R}^m) : u(x) \in \mathcal{U}(x) \text{ p.p.} \}$
Soit alors les espaces $V \subset H \subset V'$ avec $V=H^1(\sigma)(\text{ou } H_0^1(\sigma))$
$f \in L^2(\sigma) \ge 0$

On définit la forme bilinéaire suivante $\mathcal{H}, \mathcal{V} \in \mathcal{H}$

$$
(1.15) \quad \begin{gathered}
a_{\lambda}(y,v) = \int_{\sigma} \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_j} + \sum_j a_{ij,i} \frac{\partial y}{\partial x_j} v + y \right) dx \\
\text{avec } a_{ij,i} = \sum_i \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_i}
\end{gathered}
$$

et on suppose qu'$\alpha > 0$ et $\mu$ tels que

$$
(1.16) \quad a_{\lambda}(y,y) \ge \alpha \|y\|^2 + \mu |y|^2 \quad (\| \| \text{et } \| \| \text{ désignent resp. les normes dans } H \text{ et } V)
$$

Remarquons que si (1.16) est vérifiée pour $\lambda_0$ il en est de même $\nexists \lambda \ge \lambda_0$.

On définit la forme linéaire :

$$
(1.17) \quad l(v) = \int_{\sigma} f v dx + \int_{\Gamma} g v d\Gamma
$$

On note D l'opérateur gradient

$$
(1.18) \quad y \longrightarrow D y = \left\{ \frac{\partial y}{\partial x_i} \quad i=1,\dots,n \right\}
$$

Le problème s'écrit: trouver $y \in V$ solution de

$$
(1.19) \quad \begin{cases} y \le F \\ a_{\lambda}(y,v-y) - (\Pi(Dy),v-y) - l(v-y) \ge 0 \ \forall v \le F \end{cases}
$$

Si $V=H^1(\sigma)$ (1.19) est équivalent à (1.2) (1.3)
Si $g=0$ on peut prendre $V=H_0^1(\Omega)$, alors (1.19) est équivalent à

$$
(1.20) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
A_\lambda y - \Pi(Dy) - f \le 0 & \text{dans } \partial \Omega \\
\\
y - F \le 0 & \\
\\
(A_\lambda y - \Pi(Dy) - f)(y - F) = 0 &
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.21) \quad y=0 \text{ sur } \Gamma \\
\text{avec } A_\lambda \text{ défini par}
$$

$$
(1.22) \quad A_{\lambda} y = - \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\partial y}{\partial x_j} + \lambda y
$$

Remarque:

La solution de (1.20) (1.21) donne la solution du problème
de contrôle stochastique suivant (sous l'hypothèse $y \in W^{1,p}$):

$$
\mathrm{d}x_t = b(x_t, u(x_t)) \mathrm{d}t + \sigma(x_t) \mathrm{d}w_t
$$

$$
\mathcal{L} \text{ ouvert de } \mathbb{R}^n
$$

$$
\tau = \inf \{ t ; x_t \notin \mathcal{L} \}
$$

$$
\tau_2 = \inf \{ t ; x_t \notin \mathcal{O} \}
$$

$$
y(x) = \inf_{\tau \in \mathcal{T}} \mathbb{E}^{x, \tau}( \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda t} \tilde{\tau} \tilde{\tau}_4 \langle x_t, u(x_t) \rangle dt + e^{-\lambda \tau} \mathcal{F}(x_\tau) \chi_{\tau \le \tilde{\tau}_4} )
$$

$$
\chi_{\tau \le \tilde{\tau}_4}(\omega) = \begin{cases} 1 & \text{si } \tilde{\tau}(\omega) < \tilde{\tau}_4(\omega) \\ 0 & \text{si } \tilde{\tau}(\omega) \ge \tilde{\tau}_4(\omega) \end{cases}
$$
## 2) Existence et unicité de la solution du problème continue

Notons

$$c_{\lambda}(y, v) = a_{\lambda}(y, v) - \int f(Dy), v)$$

c_λ a les propriétés suivantes:

- Monotanie $\forall \lambda_0 \text{et } \beta > 0 \ \nexists \lambda \ge \lambda_0 \ c_{\lambda}(y, y-v) - c_{\lambda}(v, y-v) \ge \|y-v\|^2$

- Hemi-continuité $\lim_{(--)0} c_{\lambda}(y-\rho w, v) = c_{\lambda}(y,v)$

- Borné sur tout borné de $V \times V$

- $c_{\lambda}(y, y)$ est faiblement inf compact

- cf. Quadrat [40]

D'après les théorèmes 8.2 et 8.3 Ch. 2 Lions [9] on a le

### Théorème 2.1

Sous les hypothèses du paragraphe précédent, il existe $\lambda_0$ tel que $\forall \lambda \ge \lambda_0$ le problème $c_{\lambda}(y, v-y) \ge l(w-y) \ \forall v \in V \ \ v, y \in \mathbb{F}$ admet une solution unique.

le théorème est également vrai$\forall \lambda \ge \lambda_0$ cf par ex. Bensoussan-Lions [1]

### Remarque 2.1

La remarque 2.5 de Brezis Stampacchia [3] donne sous les hypothèses données ci-dessus la regularité $W^{2,p}(\sigma)$ de la solution. également Des majorations analogues à Bensoussan Friedman [2] donne le résultat.
### 3) Approximation de l'I.V.

#### 3.1 Construction du problème approché

Soit :

- $(V_\xi, P_\xi, x_\xi)$ une approximation interne convergente de V

- $(H_\eta, q_\eta, s_\eta)$ une approximation interne convergente de H

verifiant $f_1 \ge f_2 \Rightarrow q_\eta a_\eta f_1 \ge q_\eta s_\eta f_2$

- $(W_\eta, \bar{q}_\eta, \bar{s}_\eta)$ une approximation interne convergente de W

$W$ espace des contrôles ; $U \subset W$ ; $W$ sera $L^q(\sigma; R^m)_{k<p<\infty}$

On impose de plus aux deux dernières approximations :

$$ \nexists z \in L^2(\omega; R^n) \quad \Pi_\eta(z) = \min_{u \in U} q_\eta s_\eta \left( b(\cdot, \bar{q}_\eta \bar{s}_\eta u(\cdot)) \cdot z + \int b(\cdot, \bar{q}_\eta \bar{s}_\eta u(\cdot)) \right) $$
d'exister

On pose :

$$ c_{\lambda\eta}(p_{\xi}v_{\xi}, p_{\xi}v_{\xi}) = a_{\lambda}(p_{\xi}v_{\xi}, p_{\xi}v_{\xi}) - (\Pi_{\eta}(D(p_{\xi}v_{\xi})), p_{\xi}v_{\xi}) $$

Le problème approché de (1.19) s'écrit alors :

$$ (3.1) \quad \begin{gathered} \text{Trouver } y_{\xi} \in V_{\xi} : p_{\xi} y_{\xi} \le F \\ c_{\lambda\eta}(p_{\xi}v_{\xi}, p_{\xi}(v_{\xi}-y_{\xi})) \ge l(p_{\xi}(y_{\xi}-v_{\xi}), \nexists v_{\xi} \in V_{\xi}, p_{\xi}v_{\xi} \le F) \end{gathered} $$

Donnons maintenant un lemme qui nous servira plusieurs fois

dans la suite :
### Lemma 3.1

Soit $k$ un nombre indépendant de $\eta$ :
$$ 
\begin{aligned}
& \frac{1}{k} \left| \Pi_{\eta}(z_1) - \Pi_{\eta}(z_2) \right| \le (1-q_{\eta} s_{\eta}) \left| \Pi_{\eta}(z_2) - \Pi_{\eta}(z_1) \right| + z_2 - z_1 \left| L^2(\sigma; R^n) + (\bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} - I) u_2 \right| L^2(\sigma; R^m) \\
& \qquad + |z_2| L^2(\sigma; R^n) | (\bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} - I) u_2 | L^q(\sigma; R^m)
\end{aligned}
$$
avec $\sigma > 2$ et $\frac{2+2}{p-q}=1$.

$u_2$ vérifiant $\Pi(z_2) = \Psi(u_2, z_2)$

enfin
$$ \left| \Pi_{\eta}(z_1) - \Pi_{\eta}(z_2) \right| \le k |z_2 - z_1| L^2(\sigma; R^n) $$
démonstration dans le Quadrat $[0,10]$

### Existence et unicité du problème approché (3.1)

On munit $V_{\xi}$ du produit scalaire usuel dans $R^N$, noté $[\cdot, \cdot]$.
(N=dimension de $V_{\xi}$)

Le problème (3.1) se réécrit :

$$ (3.2) \qquad [P_{\xi}^{\prime} A_{\lambda} P_{\xi} V_{\xi} - P_{\xi}^{\prime} \Pi_{\eta} (D R_{\xi} V_{\xi}), V_{\xi} - V_{\xi}] \ge [f_{\xi}, V_{\xi} - V_{\xi}] \quad \forall V_{\xi} $$
avec $f_{\xi}$ définie par $[f_{\xi}, V_{\xi}] = \mathbf{1}(P_{\xi} V_{\xi})$, $P_{\xi} V_{\xi}, P_{\xi} V_{\xi} \le F$

On écrira (3.2) sous la forme :

$$ (3.3) \qquad [C_{\lambda\eta\epsilon}(y_\epsilon) - f_\epsilon, V_\epsilon - y_\epsilon] \ge 0 \quad \forall V_\epsilon, P_\epsilon V_\epsilon, P_\epsilon V_\epsilon \le F $$

c_λ a les propriétés suivantes:
-Monotonie: $\exists \lambda_0, \beta > 0 : \forall \lambda > \lambda_0$

$$c_{\lambda\eta} (p_{\xi} v_{\xi}, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}) - c_{\lambda\eta} (p_{\xi} v_{\xi}, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}) \geq \beta \|p_{\xi} v_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}\|^2$$

-Continuité de $C_{\lambda\xi\eta}^{(\cdot)}$

cf. Quadrat [10]

Montrons maintenant l' *existence d'une solution du problème* approché (on reprend la démonstration des 7.8.1 et 8.2 ch. 2 Lions [9])

$$\text{Soit } B_R = \{ v_\xi \in V / \|v_\xi\|_{K_R} \leq \beta \text{ et } K_R = K \cap B_R \text{, } K = \{ v_\xi \in V / p_\xi v_\xi \leq F \} \}$$

Soit alors $y_\xi^R$ solution de:

$$(3.4) \quad [C_{\lambda, \xi, \eta} (y_\xi^R, v_\xi^R - y_\xi^R)] \geq [f_\xi, v_\xi^R - y_\xi^R] \quad \forall v_\xi^R \in K_R, y_\xi^R \in K_\xi^R$$

ou encore

$$(3.5) \quad [y_{\xi}^{R}, v_{\xi}^{R} - y_{\xi}^{R}] \geq [y_{\xi}^{R} - C_{\lambda, \xi, \eta} (y_{\xi}^{R}) - f_{\xi}, v_{\xi}^{R} - y_{\xi}^{R}] \quad \forall v_{\xi}^{R} \in K_{\xi}^{R}, y_{\xi}^{R} \in K_{\xi}^{R}$$

On note $P_\xi$ la projection sur $K_\xi^R$ pour $[, ]$ ; (3.5) est équivalent

$$y_{\xi}^{R} = P_{\xi} (y_{\xi}^{R} - C_{\lambda, \xi, \eta} (y_{\xi}^{R}) - f_{\xi})$$

grâce à la continuité de $C_{\lambda\xi\eta}$ on peut appliquer le th. du point fixe de Brouwer à l'application $w\rightarrow P_\xi(w-C_{\lambda\xi\eta}(w)-f_\xi)$ qui assure l' existence de la solution $y_\xi^R$ de (3.4).

Montrons maintenant que $y_\xi^R$ est bornée indépendamment de R.
On a.

$$c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{R}, p_{\xi} y_{\xi}^{R} - p_{\xi} y_{\xi}^{R}) - c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{R}, p_{\xi} y_{\xi}^{R} - p_{\xi} y_{\xi}^{R}) \ge \|p_{\xi} y_{\xi}^{R} - p_{\xi} y_{\xi}^{R}\|_{\beta}^{2}$$

On peut prendre $y_{\xi}^{R}=0$ d'où:

$$c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{R}, p_{\xi} y_{\xi}^{R}) - c_{\lambda\eta}(0, p_{\xi} y_{\xi}^{R}) \ge \|p_{\xi} y_{\xi}^{R}\|_{\beta}^{2}$$

Mais

$$c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{R}, p_{\xi} y_{\xi}^{R}) \le |f_{\xi}| \|p_{\xi} y_{\xi}^{R}\|$$

et

$$c_{\lambda\eta}(0, p_{\xi} y_{\xi}^{R}) \le M |p_{\xi} y_{\xi}^{R}| \quad (\text{borné})$$

et donc

$$\|p_{\xi} y_{\xi}^{R}\| \le M + |f_{\xi}|$$

2(3.3)

ce qui assure l'existence d'une solution en faisant tendre

$R \rightarrow \infty$.

## Montrons l'unicité

Supposons qu'il existe deux solutions $y_{\xi}^{1}$ et $y_{\xi}^{2}$

$$c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{1}, p_{\xi}(y_{\xi}^{2} - y_{\xi}^{1})) \ge (f_{\xi}, p_{\xi}(y_{\xi}^{2} - y_{\xi}^{1}))$$

$$-c_{\lambda\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{2}, p_{\xi}(y_{\xi}^{2} - y_{\xi}^{1})) \ge -(f_{\xi}, p_{\xi}(y_{\xi}^{2} - y_{\xi}^{1}))$$

en sommant on obtient

$$-c_{\lambda\eta}(p_{\xi}(y_{\xi}^{2}-y_{\xi}^{1}), p_{\xi}(y_{\xi}^{2}-y_{\xi}^{1})) \ge 0 \quad \text{la coéxcivité} \Rightarrow y_{\xi}^{1}=y_{\xi}^{2}$$
### Théorème

Le problème 3.1 a une solution unique pour $\lambda \ge \lambda_0$.

## 3.2 Convergence de l'approximation et majoration d'erreur

### Théorème:

La solution du problème approché (3.1) $y_ξ$ converge dans V vers la solution y du problème continu (1.19) on a de plus la majoration d'erreur suivante:

$$ (3.6) \|y - p_ξ y_ξ\| \le k (\sqrt{|\theta|} \|y - p_ξ m_ξ\| + \|y - p_ξ m_ξ\| + |(I - q_η s_η)\Pi(y)| + |(\bar{q}_η \bar{s}_η - I)| \\ + |y|_W^1, p_·(\bar{q}_η \bar{s}_η - I)p_·|_L^q \quad \forall m_ξ, p_ξ m_ξ \le F \\ \text{avec } u \in \underset{\substack{\Pi \\ p \ge q}}{\operatorname{Argmin}} \Pi(Dy) \text{ et } 2<p<+\infty \text{ et } \frac{2+q}{p} = 1; \theta = A_λ y - \Pi(Dy) - f $$

### Démonstration

La monotonie du problème approché donne:

$$ \begin{align} & c_{\lambda\eta}(p_\xi y_\xi, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) - c_{\lambda\eta}(p_\xi m_\xi, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) \ge f \|p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi\|^2 \tag{3.7} \\ & c_{\lambda\eta}(p_\xi y_\xi, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) - c_\lambda(y, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) + c_\lambda(y, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) \nonumber \\ & \qquad - c_{\lambda\eta}(p_\xi m_\xi, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) \ge \beta \|p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi\|^2 \nonumber \end{align} $$

mais

$$ \begin{align} & c_{\lambda\eta}(p_\xi y_\xi, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) \le (f, p_\xi y_\xi - p_\xi m_\xi) \nonumber \\ & - c_\lambda(y, p_\xi y_\xi - y) \le (f, y - p_\xi y_\xi) \nonumber \end{align} $$

(3.7) donne
$$
(3.8) \quad (f, y - p_s m_\xi) - c_\lambda (y, y - p_s m_\xi) + c_\lambda (y, p_s y_s - p_s m_\xi) - c_{\lambda\eta} (p_s m_\xi, p_s y_s - p_s m_\xi) \\
\geq f, \quad \|p_s y_s - p_s m_\xi\|^2
$$

En posant

$$
\theta = A_{\lambda} y - \Pi(Dy) - f \quad (\theta \in L^p \text{ grâce à la régularité de } y)
$$

on obtient

$$
(f, y - p_s m_\xi) - c_\lambda (y, y - p_s m_\xi) \le |\theta| |y - p_s m_\xi|
$$

D'autre part

$$
c_{\lambda}(y, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} m_{\xi}) - c_{\lambda\eta}(p_{\xi} m_{\xi}, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} m_{\xi}) \le M \|y - p_{\xi} m_{\xi}\| / \|p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} m_{\xi}\| \\
+ (\Pi(Dy) - \Pi_{\eta}(Dp_{\xi} m_{\xi})), p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} m_{\xi})
$$

Mais d'après le lemme3.1 il existe k tel que :

$$
(\Pi(Dy) - \Pi_{\eta}(Dp_{\xi}m_{\xi})), p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}m_{\xi}) \le (\varepsilon(\eta) + k\|y - p_{\xi}m_{\xi}\|) \cdot \|p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}m_{\xi}\|
$$

avec

$$
\varepsilon(\eta) = |(I - q_\eta s_\eta)\Pi(Dy)| + |(\bar{q}_\eta \bar{s}_\eta - I)u|_{L^2} + |y|_{L^1} + |p_\eta|_{L^q}
$$

on obtient donc pour (3.8)

$$
(3.9) \quad \beta \| p_s y_s - p_s m_\xi \|^2 \le |\theta| \| y - p_s m_\xi \| + (\varepsilon(\eta) + k) \| y - p_s m_\xi \| \| p_s y_s - p_s m_\xi \|
$$

en notant

$$
a_1 = |\theta| |y - p_s m_\xi|
$$

$$
a_2 = \varepsilon(\eta) + (M+k) \cdot \|y - p_s m_\xi\|
$$
(3.9) se réécrit

$$ \beta z^2 < a_1 + a_2 z \quad z \to 0 $$

$$ d'où \ z \le a_2 + \frac{\sqrt{a_2^2 + 4\beta a_1}}{2\beta} $$

et donc il existe $k$ indépendant de $\xi$ et $\eta$ :

$$ z \le k(a_2 + \sqrt{a_1}) $$

d'où en utilisant l'inégalité triangulaire

$$ \|y - p_{\xi} y_{\eta}\| \le \|y - p_{\xi} m_{\xi}\| + \|p_{\xi} y_{\eta} - p_{\xi} m_{\xi}\| $$

le théorème ■

### Remarque

En général les contrôles ne convergent pas, par contre

$$ b(\cdot, q_\eta u_\eta(\cdot)) \longrightarrow b^*(\cdot) \quad \text{dans} \quad \mathcal{S}(L^\infty, L^1) $$

$$ \varphi(\cdot, q_\eta u_\eta(\cdot)) \longrightarrow \varphi^*(\cdot) \quad \text{dans} \quad \mathcal{V}(L^\infty, L^1) $$

$$ \text{avec } b^*Dy + \varphi^*=\Pi(Dy) \quad \text{Quadrat } [10] \blacksquare $$

### Remarque

On pourra choisir $m_\xi$ tel que $\|y - p_\xi m_\xi\| \to 0$

Cf. Goursat-Quadrat[8]. Dans le cas particulier $F=p_\xi F_\xi$ on prendra $m_\xi$=interpolé' de y. De plus on peut toujours se ramener à ce dernier cas en translatant de F la solution de 1.19. ■
4) Resolution numérique

4.1 Exemple d'approximation

On considère un ouvert $\mathcal{O}'$ parallèle à l'épipédique.

$\mathcal{O}_{\xi}$ et $\mathcal{O}_{\eta}$ deux partitions de $\mathcal{O}$ en parallèle à l'épipèdes telles que

$$ \mathcal{O} = \bigcup_{i,j} \mathcal{O}_{i,j} $$

$$ \mathcal{O}'_{\xi} = \bigcup_{j} \mathcal{O}_{j} $$

Dans ce qui suit nous prendrons $\mathcal{O}'_{\xi} = \mathcal{O}_{\eta}$

L'hypothèse d'existence de $\Pi_{\eta}(z)$ impose le type d'approximation des contrôles : fonctions constantes par élément. Nous prenons donc :

$(H_{\eta}, q_{\eta}, s_{\eta})$ avec :

$$ H_{\eta} = R^{N} \quad N = \text{nombre d'éléments} $$

$$ q_{\eta}: R^{N} \rightarrow L^{2}(\mathcal{O}) $$

$$ y_{\eta} = \sum_{i} y_{\eta}^{i} \chi_{i}(x) \quad \chi_{i}(x) = \chi_{\sigma_{i}}(x) $$

$$ s_{\eta}: L^{2}(\mathcal{O}) \rightarrow R^{N} $$

$$ y = \sum_{\eta} y_{\eta}^{i} = \frac{1}{\text{mes } \sigma_{i}} \int_{\sigma_{i}} y dx $$

$$ (W_{\eta}, \bar{q}_{\eta}, \bar{s}_{\eta}) $$

$$ W_{\eta} = R^{N \times m} $$

$$ q: R^{N \times m} \rightarrow L^{2}(\mathcal{O}; R^{m}) $$

$$ u_{\eta} = \sum_{i} u_{\eta}^{i} \chi_{i}(x) \quad u_{\eta}^{i} \in R^{m} $$

$$ s: L^{2}(\mathcal{O}; R^{m}) \rightarrow R^{N \times m} $$

$$ u = \sum_{\eta} u_{\eta}^{i} = \frac{1}{\text{mes}(\sigma_{i})} \int_{\sigma_{i}} u dx $$
Pour l'approximation de V nous allons prendre des éléments $Q_1$:

fonctions de base linéaires sur chaque composante (la majoration
d'erreur montre qu'il est inutile de prendre une approximation
d'ordre plus élevé)

$$
(V_{\xi}, p_{\xi}, r_{\xi})
$$

$$
V_{\xi} = R^{N_0} \qquad N_0 \text{ = nbre de noeuds}
$$

$$
p_{\xi}: \mathbb{R}^{N_0} \rightarrow \mathbb{H}^1 \\
y_{\xi} \qquad p_{\xi} y = \sum_{i=1}^{N_0} y_i e^{i(x)} \quad e^i = \text{fonction de base valant 1}
$$

au noeud i, o aux autres noeuds, linéaire par élément par composante de x.

$$
r_{\xi}: H^1 \rightarrow \mathbb{R}^{N_0} \\
y \qquad y(x_i) \qquad i = 1, \dots, N_0
$$

Remarque :

Si $V=H_0^1$ alors $V=\{y \in R^{N_0} : y_i=0 \text{ si i est un noeud de } \Gamma\}$.

Théorème 4.1

$$
\left[
\begin{array}{l}
\text{Si } y \in W^{2, p} ; u \in W^{1, q} \quad \infty > q > 2 \text{ on a la majoration :} \\
\\
\| y - p_{\xi} y \| \le k (\xi + \eta) \quad \text{avec y solution de (1.19) et } y_{\xi} \text{ de (3.1)} \\
\\
\text{si } u \in L^q \text{ on a seulement la convergence dans } H^1
\end{array}
\right.
$$

Démonstration

En utilisant le théorème précédent et Ciarlet Raviart [5]
on obtient le résultat dans le cas p < F = F sinon on tran late y de
Remarque :

L'ouvert considéré ici (parallèle à l'épipède) n'est pas de
frontière $C^2$, hypothèse nécessaire au théorème de Strook-Varadhan [J]
utilisé en 1. On peut rajouter une étape qui consiste à approcher
à l'avec de classe $C^2$ par un ouvert $O_\sigma$ à côtés parallèles aux axes,
ou utiliser des éléments finis isoparamétriques.

4.2 Algorithme de résolution

$$
\[
\text{(4.1)} \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\underset{\xi}{u_{\xi}^{0}} & \text{donné on calcule } y_{\xi}^{0} \text{ puis } u_{\xi}^{1}, \dots, u_{\xi}^{n}, y_{\xi}^{n}, u_{\xi}^{n+1}, \dots \\[1em]
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\text{\underline{Etape 1} Calcul de } y_{\xi}^{n} \text{ à partir de } u_{\xi}^{n} \text{ en résolvant l'I.V.} \\[1em]
& \text{linéaire suivante:} \\[1em]
& a_{\lambda}(p_{\xi}^{n}, q_{\xi}^{n}, p_{\xi} v_{\xi}, q_{\xi} v_{\xi}) - (q_{\xi} s_{\xi} \Psi(Dp_{\xi} y_{\xi}^{n}, \bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n}), p_{\xi} v_{\xi} - p_{\xi}^{n} y_{\xi}^{n}) \ge l(p_{\xi} v_{\xi} - p_{\xi}^{n} y_{\xi}^{n}) \\[1em]
& \qquad \qquad p_{\xi}^{n} y_{\xi}^{n} \ll F \qquad \forall \mathbf{y} \in p_{\xi}^{n} V_{\xi} \ll F \\[1em]
\text{(4.2)} \qquad & \underset{\xi}{u_{\xi}^{n+1}} \in \mathcal{J}(y_{\xi}^{n}) = \{u_{\xi}: q_{\xi} s_{\xi} \Psi(Dp_{\xi} y_{\xi}^{n}, \bar{q}_{\xi} u_{\xi}) = \prod_{\eta} (Dp_{\xi} y_{\xi}^{n})\} \\[1em]
& \text{Notons } \Lambda_{\mathbf{y}}^{u}, \text{ la matrice définie par}
\end{array}
\right.
\]
$$

Notons $\Lambda_{\mathbf{y}}^{u}$ la matrice définie par

$$
(4.3) \quad [y_{\xi}, A_{\xi}^{u}, v_{\xi}] = a_{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) - (q_{\xi} s_{\xi} \Psi(Dp_{\xi} y_{\xi}, \bar{q}_{\xi} u_{\xi}), p_{\xi} v_{\xi}) \quad \forall y_{\xi}, v_{\xi} \in V_{\xi}
$$
Nous faisons l'hypothèse :

$$
(4.4) \quad \begin{cases} A_{\xi}^{u}, & \text{a tous ses termes hors diagonaux négatifs ou nuls} \\ \forall u_{\eta}: \bar{q}_{\eta} u_{\eta} \in \mathcal{U}. & \end{cases}
$$
Remarque

Cette hypothèse est réalisée en dimension 1 ou 2 dès que $\xi$
est suffisamment petit par le type d'approximation utilisé,
pour un opérateur dont la partie principale est le laplacien.
cf. Quadrat [10].

Cette hypothèse est suffisante pour obtenir la propriété
du maximum discret et une interprétation probabiliste du pro-
blème approché en terme de contrôle de chaîne de Markov.

L'algorithme s'interprète alors comme un algorithme de Howard
généralisé.

Théorème 4.2

∃λ₀ ∀λ ≥ λ₀, sous l'hypothèse (4.4) y_ξ^n tend en décroissant vers la solution y_ξ^* de (3.1)

Toute suite convergente de u_ξ^n converge vers un élément de
J(y_ξ^*).

Démonstration

a) $y_{\xi}^{n} \ge 0 \forall n$

en remplacant dans (4.1) $v_\xi = \sup(\dot{y}_\xi^n, 0)$ $v_\xi = \dot{y}_\xi^n + \bar{y}_\xi^n$ on obtient:
$$y_{\xi}^{n+1} A_{\lambda\xi\xi}^{n+1} y_{\xi} - a_{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}^{-n}, p_{\xi} y_{\xi}^{-n}) - q_{\xi} s_{\xi} b(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n+1}) D_{p_{\xi}} w, p_{\xi} y_{\xi}^{-n}) \geq 0$$
car f et g et F sont positifs.

l'hypothèse (4.4) et la coercivité de la somme des 2 derniers termes donnent le résultat.

$$b) y_{\xi}^{n} \geq y_{\xi}^{n+1}$$

en prenant dans (4.1)$_n$ $v_\xi = \sup(y_\xi^n, y_{\xi}^{n+1})$

dans (4.1)$_{n+1}$ $v_\xi = \inf(y_\xi^n, y_{\xi}^{n+1})$

et en additionnant les deux inéquations obtenues il vient:

$$(4.5) a_{\lambda} (p_{\xi} w, p_{\xi} w^{-}) - (q_{\xi} s_{\xi} b(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n+1})) D_{p_{\xi}} w, p_{\xi} w^{-}) \geq (R, p_{\xi} w^{-})$$

avec :

$$w = y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n+1}$$

$$R = q_{\xi} s_{\xi} \left( (b(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n}) - b(q_{\xi} u_{\xi}^{n+1})) D_{p_{\xi}} y_{\xi}^{n} + \varphi(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n}) - \varphi(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n+1}) \right)$$

or

$R \ge 0$ grâce à (4.2) et à $(y \ge 0 \Rightarrow p \ge y \ge 0)$ pour les éléments finis choisis ici)

(4.5) se récrit:

$$w + A_{\lambda\xi\xi}^{n+1} w^{-} - a_{\lambda}(p_{\xi} w^{-}, p_{\xi} w^{-}) - (q_{\xi} s_{\xi} b(\bar{q}_{\xi} u_{\xi}^{n+1})) D_{p_{\xi}} w^{-}, p_{\xi} w^{-}) \geq 0$$

et comme pour la positivité cela entraîne $w^{-} = 0$ et donc

$$y_{\xi}^{n} \geq y_{\xi}^{n+1}$$
le théorème s'obtient alors comme dans Quadrat [10].

### Remarque:

Pour résoudre (4.1) on utilisera par exemple la méthode de relaxation avec projection cf. par ex. Glowinski-Lions-Trémo lières [6].

## 4.2. Exemple et résultats numériques

On prend $O=]0,1[x]0,1[$

L'inéquation à résoudre est:

$$ egin{cases} 
-\Delta v + v - \text{Min}\{u_1 \frac{\partial v}{\partial x} + u_2 \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{1}{2}(u_1^2 + u_2^2)\} \leq f \\ 
v \leq F \\ 
(-\Delta v + v - \text{Min}\{ } -f(v-F) = 0. 
\end{cases} $$

conditions aux limites:

$$ egin{cases} 
\frac{\partial v}{\partial x} \leq 0 \\ 
v \leq F \\ 
\frac{\partial v}{\partial y} (v-F) = 0 
\end{cases} $$

on prend

$F=1$
$$f = \begin{cases} 2 \sin(\chi y) \in [1/4, 3/4] \times [1/4, 3/4] \\ -f_1 - f_2 + f_3 + 1/2 (f_4^2 + f_5^2) \end{cases}$$

avec

$$f_1 = -4^8 \cdot 2 \cdot (y-1/4)^2 (y-3/4)^2 \left( (2 \cdot x-1)^2 + 2(x-1/4)(x-3/4) \right)$$

$$f_2 = -4^8 \cdot 2 \cdot (x-1/4)^2 (x-3/4)^2 \left( (2 \cdot y-1)^2 + 2(y-1/4)(y-3/4) \right)$$

$$f_3 = -4^8 \cdot (x-1/4)^2 (x-3/4)^2 (y-1/4)^2 (y-3/4)^2 + 1$$

$$f_4 = -4^8 \cdot 2 \cdot (2x-1)(x-1/4)(x-3/4)(y-1/4)^2 (y-3/4)^2$$

$$f_5 = -4^8 \cdot 2 \cdot (2y-1)(y-1/4)(y-3/4)(x-1/4)^2 (x-3/4)^2$$

La solution est alors

$$y = \begin{cases} f_3 \sin(\chi y) \in [1/4, 3/4] \times [1/4, 3/4] \\ 1 \sin(\chi y) \end{cases}$$

et le contrôle

$$u_1 = -\frac{\partial y}{\partial x}, \quad u_2 = \frac{\partial y}{\partial y} \quad \text{sur } (x,y) \in [1/4, 3/4] \times [1/4, 3/4]$$

pas de discrétisation : $h = (h_1, h_2)$ avec $h_1 = h_2 = 1/20$

les tests d'arrêts sont :

- pour la relaxation $2.5 \cdot 10^{-5}$ pour la norme $L^1$ discrète de la différence de deux itérés (Résolution de l'I.V à u fixé)
-pour les itérations de minimisation :2.5 10⁻⁵ pour la
norme L¹ discrète de la différence de deux itérés.

Nombre d'itérations de minimisation 4 en partant de u=0

Nombre total d'itérations de relaxation 77( 38,24,14,1 pour chacune des itérations de minimisation)

Erreur discrète en norme L¹ :6 10⁻³

la figure 1 représente une coupe de la solution, la figure 2
une coupe de l'erreur (x=1/2).
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1</figcaption></figure>

Coupes de la solution V

courbes : ① $V(0,5,y)$
② $V(0,3,y)$
$y \in (0,1)$
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 2</figcaption></figure>

Coupes de l'erreur

<table><thead><tr><th>courbes :</th><th>1) Ŷ(0,5,y) - V(0,5,y)</th><th>2) Ŷ(0,3,y) - V(0,3,y)</th><th>y &isin; (0,1)</th><th>V</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>solution exacte</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>solution calculée</td></tr></tbody></table>
## Conclusion

Deux approches possibles pour résoudre numériquement ces problèmes de temps d'arrêt optimaux sont:

- la méthode probabiliste (Kushner-Chen-Fu-Yu [7]) qui consiste à approcher la diffusion par une chaine de Markov. La convergence en loi de la chaine de Markov contrôlée vers la diffusion contrôlée ("invariant principle" Strook-Varadhan [43]) donne la convergence ponctuelle du coût.

- la méthode d'analyse fonctionnelle exposée ici permet d'obtenir (lorsqu'elle s'applique : cadre coercif) des résultats plus forts : convergence $H^1$ du coût et majoration d'erreur.
Bibliographie

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[2] A.BENSOUSSAN-A.FRIEDMAN Nonlinear inéqualities and differential
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[3] H.Brezis -G.Stampacchia Sur la régularité de la solution d'inéquations elliptiques Bull.Soc.Math.France p.153-180 1968

[4] H.Chernoff Optimal stochastic control Sankya série A v.30 T.3 1968

[5] Ph.Ciarlet P.A.Raviart Cours sur les éléments finis Paris 6 1972

[6] R.Glowinski J.L.Lions R.Trémolières Analyse numérique d'inéquations variationnelles à paraitre Dunod

[7] H.Kushner Chen-Fu-Yu Approximations existence and numerical procedures for optimal stochastic control J.Math.Analysis and Appl. p.573-587 1974

[8] M.Goursat J.P.Quadrat Analyse numérique d'inéquations associés à des problèmes de contrôle impulsionnel Rapport Laboria à paraitre
[9] J.L.Lions Quelques méthodes de résolution de problèmes aux limites non linéaires Dunod 1969

[10] J.P.Quadrat Analyse numérique de l'équation de Bellman associée aux problèmes de contrôle de diffusion Rapport Laboria 1975

[11] R.W.Rishel Weak solution of a partial differential equation of dynamic programming SIAM J.of control NOv.1971

[12] A.N.Shiriaev Statistical Sequential Analysis Am.Math.Soc. vol.38 1973

[13] D.W.Strook S.R.Varadhan Diffusion process with boundary condition Com.on pure and applied math. 1971

[14] R.Stratanovitch Conditionnal Markov processes and their application to the theory of optimal control Elsevier 1968

[15] P.Van Moerbeke An optimal stopping problem with linear reward Thèse Université de Louvain