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ANNALES MATHÉMATIQUES
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BLAISE PASCAL

BRUNO DESCHAMPS & PAUL RODRIGUEZ

De l'instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires

Volume 32, n° 1 (2025), p. 33-39.

https://doi.org/10.5802/ambp.432

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Cet article est mis à disposition selon les termes de la licence

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques Blaise Pascal
de l'université Clermont Auvergne, UMR 6620 du CNRS

Clermont-Ferrand — France

Publication membre du centre

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Mersenne pour l'édition scientifique ouverte

CENTRE
MERSENNE

http://www.centre-mersenne.org/

e-ISSN : 2118-7436
# De l'instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires

BRUNO DESCHAMPS

PAUL RODRIGUEZ

## Résumé

Grâce à une généralisation du théorème de Brauer–Cartan–Hua, nous montrons qu’à l’exact contraire du cas extérieur, quand on dispose d’une extension galoisienne, finie, intérieure et concentrique alors aucune extension galoisienne intermédiaire stricte n’est stable par l’action du groupe de Galois.

## On the Instability of Intermediate Galois Extensions

### Abstract

Thanks to a generalization of the Brauer–Cartan–Hua theorem, we show that, to the exact opposite of the outer case, when we take a concentric finite inner Galois extension there exists no strict intermediate Galois extension invariant under the action of the Galois group.

## 1. Introduction

*Notations.* Si $H$ désigne un corps, et $a \in H^*$, on notera $I(a) : x \mapsto axa^{-1}$ l'automorphisme intérieur associé à l'élément $a$. Si $\Omega \subset H^*$, on notera $\text{Int}(\Omega) = \{I(a), a \in \Omega\}$. Pour toute extension de corps $H/K$, on notera $\text{Int}(H/K)$ l'ensemble des $K$-automorphismes intérieurs de $H$ et $\tilde{K} = \{x \in H \mid \forall y \in K, xy = yx\}$ le commutant (ou centralisateur) de $K$ dans $H$. On remarquera alors que $\text{Int}(H/K) = \text{Int}(\tilde{K}^*)$.

La théorie de Galois généralisée aux corps gauches<fnref n="1" /> n’est pas bien plus compliquée que celle du cas des corps commutatifs. Il faut juste prêter attention aux automorphismes intérieurs. Essentiellement, pour une extension galoisienne $H/K$ finie, les correspondances galoisiennes s’opèrent entre l’ensemble des extensions intermédiaires de $H/K$ et l’ensemble des sous-$N$-groupes de $\text{Gal}(H/K)$. Rappelons qu’un sous-groupe $G < \text{Gal}(H/K)$ est appelé $N$-groupe, si l’ensemble

$$ \mathcal{A}_G = \{x \in H^* \mid I(x) \in G\} \cup \{0\} $$

forme un sous-corps de $H$. La qualité, pour une extension intermédiaire $H/M/K$, d’être galoisienne sur $K$ se caractérise alors par le fait que le plus petit sous-$N$-groupe qui contient le normalisateur $\mathcal{N}_{\text{Gal}(H/K)}(\text{Gal}(H/M))$ est égal à $\text{Gal}(H/K)$ tout entier (on

<footnote>Mots-clés : Théorie de Galois des corps gauches.</footnote>

<footnote>Classification Mathématique (2020) : 12E15.</footnote>

<footnote n="1">¹Nous renvoyons le lecteur à [1] et [3] pour un exposé complet de cette théorie.</footnote>
dit que Gal(H/M) est N-invariant). On voit que cette condition d'être N-invariant est, a priori, plus faible que celle d'être distingué. En fait, la distinction d'un sous-groupe caractérise la stabilité de l'extension associée :

**Proposition 1.1.** Soit H/K une extension galoisienne finie. Pour qu'une extension intermédiaire H/M/K soit stable (i.e. l'orbite de M sous l'action de Gal(H/K) est ponctuelle), il faut et il suffit que Gal(H/M) soit distingué dans Gal(H/K). En particulier, une extension intermédiaire stable est galoisienne sur K et l'on a donc, en toute généralité,

$$M/K \text{ galoisienne} \iff M \text{ est stable} \iff \text{Gal}(H/M) \triangleleft \text{Gal}(H/K).$$

*Démonstration.* Posons $G = \text{Gal}(H/M)$, de sorte que $M = H^G$. On a alors

$$M = H^G \text{ est stable} \iff \forall \sigma \in \text{Gal}(H/K), H^G = \sigma(H^G) = H^{\sigma G \sigma^{-1}}.$$

Si $\sigma G \sigma^{-1}$ est lui aussi un N-groupe, on pourra affirmer, grâce aux correspondances galoisiennes, que $H^G = H^{\sigma G \sigma^{-1}} \implies \sigma G \sigma^{-1} = G$. Montrons que c'est bien toujours le cas :

$$\begin{align*} \mathcal{A}_{\sigma G \sigma^{-1}}^* &= \{x \in H^* | I(x) \in \sigma G \sigma^{-1}\} = \{x \in H^* | \sigma^{-1} \circ I(x) \circ \sigma \in G\} \\ &= \{x \in H^* | I(\sigma^{-1}(x)) \in G\} = \{x \in H^* | \sigma^{-1}(x) \in \mathcal{A}_G^*\} = \sigma(\mathcal{A}_G^*). \end{align*}$$

Puisque $G$ est un N-groupe l'ensemble $\mathcal{A}_G$ est un corps et il en est donc de même de $\sigma(\mathcal{A}_G) = \mathcal{A}_{\sigma G \sigma^{-1}}$, c'est-à-dire que $\sigma G \sigma^{-1}$ est bien un N-groupe. $\square$

Lorsque l'extension H/K est extérieure (e.g. lorsque H est commutatif), c'est-à-dire lorsque Gal(H/K) ne contient aucun automorphisme intérieur, tous les sous-groupes sont des N-groupes et l'on a donc l'équivalence

$$M/K \text{ galoisienne} \iff M \text{ est stable.}$$

L'objet de cette note est de montrer qu'en toute généralité, cette équivalence n'est pas valable : quand on introduit des automorphismes intérieurs un phénomène d'instabilité peut apparaître. Introduisons quelques éléments de terminologie : si H/K désigne une extension galoisienne finie, on dira qu'elle est *stable* (resp. *totalement stable*) si toute extension intermédiaire H/M/K galoisienne sur K (resp. a priori quelconque) est stable sous l'action de Gal(H/K). Une extension non stable sera qualifiée d'instable et l'on réservera la terminologie de *totalement instable* lorsque, à part les cas $M = K$ et $M = H$, aucune extension intermédiaire H/M/K n'est stable sous l'action de Gal(H/K).

Comme on vient de le rappeler, on voit qu'une extension galoisienne finie extérieure H/K est toujours stable, mais on notera qu'elle n'est que rarement totalement stable, cette dernière condition équivalent en fait à dire que tout sous-groupe de Gal(H/K) est distingué. Dans une extension totalement stable, tout sous-corps intermédiaire est en fait
galoisien sur $K$, la réciproque étant fausse (voir exemple en fin de texte). Enfin, on notera
que pour être à la fois totalement stable et totalement instable il faut et il suffit d'être
simple (i.e. sans extension intermédiaire, e.g. d'ordre premier).

Dans ce texte, on commence par étudier le cas des extensions qui sont galoisiennes, intérieures (i.e. Gal(H/K) = Int(H/K)) et finies. On montre (corollaire 2.3) qu'à l'exact contraire du cas extérieur, quand H/K est supposée en plus concentrique (i.e. Z(H) = Z(K)) alors elle est totalement instable. Pour autant, il existe des situations dans le cas intérieur non concentrique où l'équivalence reste vraie et où l'on peut même assurer du caractère totalement stable (voir corollaire 2.4). Finalement, en application de ces résultats nous proposons dans la section 3, un découpage systématique pour une extension galoisienne finie donnée en trois parties « totalement stable/totalement instable/stable ».

## 2. Cas des extensions intérieures

Pour étudier cette question d'instabilité, nous commençons par donner une généralisation d'un théorème dû à Cartan, Brauer et Hua :

**Théorème 2.1.** Soient $H$ un corps, $H_0 \subset H$ un sous-corps et $G = \text{Int}(H_0^*)$. Si $M \subset H$ est un sous-corps stable par $G$, alors, ou bien $M \subset \tilde{H}_0$, ou bien $H_0 \subset M$.

*Démonstration.* Un petit calcul élémentaire montre que, pour tout $a, b \in H$, on a

$$([b, a] - [b, a - 1])a = 1 - [b, a - 1]$$

où [·, ·] désigne le commutateur. Par hypothèse, pour tout $b \in M$ et tout $a \in H_0^*$, on a $[b, a] = b \cdot (ab^{-1}a^{-1}) \in M$, si bien que si $[b, a - 1]$ (qui est lui aussi élément de $M$) est différent de 1 alors, $a = ([b, a] - [b, a - 1])^{-1}(1 - [b, a - 1]) \in M$. Puisque $[b, a - 1] \neq 1 \Leftrightarrow [b, a] \neq 1$, on voit donc que, dès que $a \in H_0^*$ et $b \in M$ ne commutent pas, on a nécessairement $a \in M$.

Supposons que $M \subsetneq \tilde{H}_0$ et fixons alors un élément $b_0 \in M - \tilde{H}_0$ et un élément $a_0 \in H_0$ tel que $[b_0, a_0] \neq 1$. D'après ce qui précède, on a $a_0 \in M$. Pour tout $a \in H_0$, on a alors :

* si $[b_0, a] \neq 1$ alors $a \in M$, d'après ce qui précède;

* si $[b_0, a] = 1$ alors $[b_0, a+a_0] \neq 1$ (car $b_0(a+a_0)-(a+a_0)b_0 = b_0a_0-a_0b_0 \neq 0$) et donc, toujours d'après ce qui précède, $a+a_0 \in M$. Comme $a_0 \in M$, finalement $a \in M$.

On vient bien de prouver que, si $M \subsetneq \tilde{H}_0$ alors $H_0 \subset M$. $\square$

Si l'on choisit $H_0 = H$, alors $\tilde{H}_0 = Z(H)$ et l'on retrouve le
**Théorème** (Théorème de Cartan–Brauer–Hua). Si $H$ un corps et $M \subset H$ est un sous-corps de $H$ stable par tout automorphisme intérieur de $H$ alors, ou bien $M \subset Z(H)$, ou bien $M = H$.

La preuve, présentée dans [1, Theorem 3.9.2], inspire celle du théorème 2.1. Appliqué
au cas d'une extension intérieure le théorème 2.1 fournit alors le

**Théorème 2.2.** *Si $H/K$ désigne une extension galoisienne, intérieure et finie alors, pour toute extension intermédiaire $H/M/K$ différente de $K$, on a*

$$
M \text{ est stable} \iff \overline{Z(\tilde{K})} \subset M.
$$

Démonstration. Les extensions galoisiennes, intérieures et finies ont été étudiées dans [2].
Dans cet article, il est montré les propriétés suivantes :

$$
(1) \tilde{K} = K \text{ [2, Proposition7.a];}
$$

$$
(2) \quad \overline{Z(\tilde{K})} = K.\tilde{K} \approx K \otimes_{Z(\tilde{K})} \tilde{K} \quad [2, \text{Corollaire 15.b}];
$$

$$
(3) \quad Z(K) = Z(\tilde{K}) \text{ [2, Proposition 7.b];}
$$

$$
(4) \quad \overline{Z(\tilde{K})} = Z(K) \text{ [2, Théorème 10.b]}
$$

que nous allons utiliser pour montrer l'équivalence.

⇒. Si $M$ est stable, alors comme $\text{Gal}(H/K) = \text{Int}(H/K) = \text{Int}(\tilde{K}^*)$, on peut appliquer
le théorème 2.1 avec $H_0 = \tilde{K}$ et l'on trouve que :

* soit $\tilde{K} \subset M$, mais comme $K \subset M$, on a alors en utilisant la propriété (b) que $\overline{Z(\tilde{K})} = K.\tilde{K} \subset M$;

* soit $M \subset \tilde{K} = K$ (d'après la propriété (a)) et l'on a $M = K$, ce qui est exclu.

$\Leftarrow.$ On a $\text{Gal}(H/M) = \text{Int}(H/M) = \text{Int}(\tilde{M}^*)$ et puisque $\overline{Z(\tilde{K})} \subset M$, on voit que
$\tilde{M} \subset \overline{Z(\tilde{K})} = Z(K) = Z(\tilde{K})$ (d'après les propriétés (c) et (d)). Si l'on prend $x \in \tilde{M}^*$
et $y \in \tilde{K}^*$ alors $yxy^{-1} = x$ (puisque $x \in Z(\tilde{K})$), et donc $I(y)I(x)I(y)^{-1} = I(x)$ : le
groupe $\text{Gal}(H/M) = \text{Int}(\tilde{M}^*)$ est (trivialement) distingué dans $\text{Gal}(H/K) = \text{Int}(\tilde{K}^*)$ et
la proposition 1.1 permet de conclure. $\square$

Si $H/K$ est supposée, en plus, concentrique alors $Z(H) = Z(K)$ et donc $\overline{Z(K)} = H$ :
l'extension $H/\overline{Z(K)}$ est alors triviale et l'on en déduit le
**Corollaire 2.3.** *Toute extension galoisienne, intérieure, finie et concentrique est totalement instable.*

Le cadre d'application le plus immédiat du corollaire 2.3 est celui des $k$-algèbres
à division, c'est-à-dire des corps de dimension finie sur leur centre $k$. Si $H$ désigne
une $k$-algèbre à division, alors $H/k$ est finie et concentrique par définition et elle est
galoisienne et intérieure en vertu du théorème de Skolem-Noether. Très souvent, on
dispose d'extensions intermédiaires strictes $H/M/k$ qui sont galoisiennes sur $k$ et qui
fournissent donc des exemples d'extensions galoisiennes instables. Par exemple, si l'on
considère le corps $H$ des quaternions d'Hamilton, il est de dimension 4 sur son centre
$\mathbb{R}$. Les extensions intermédiaires strictes de $H/\mathbb{R}$ sont donc toutes d'ordre 2 et, étant
obtenues par l'adjonction à $\mathbb{R}$ d'un élément de $H - \mathbb{R}$, il s'agit d'extensions galoisiennes
de $\mathbb{R}$ (toutes isomorphes à $\mathbb{C}$)<fnref n="2" />. L'extension $H/\mathbb{C}$ fournit aussi un exemple d'extension
non simple qui est totalement instable bien que toutes ses extensions intermédiaires soient
galoisiennes sur $\mathbb{R}$. Le théorème 2.2 a aussi pour conséquence le

**Corollaire 2.4.** *Toute extension galoisienne, intérieure et finie $H/K$ telle que $K = \overline{Z(K)}$ est totalement stable.*

Les $k$-algèbres à division fournissent aussi un moyen simple d'illustrer ce corollaire :
si $H$ désigne une $k$-algèbre à division, on sait que les extensions commutatives maximales
$H/K/k$ sont caractérisées par la relation $K = \tilde{K}$. Pour une telle extension, on a $K = Z(K)$
et donc $\overline{Z(\tilde{K})} = \tilde{K} = K$. Ainsi, par application du corollaire 2.4, dans l'extension
galoisienne intérieure finie $H/K$ l'équivalence « galoisienne $\Leftrightarrow$ stable » est bien valable
pour toute extension intermédiaire. Dans cette situation, il n'y aucune raison pour que
$H/K$ soit sans extensions intermédiaires (et donc que la propriété soit triviale) comme
le montre l'exemple suivant : on se donne un corps commutatif $k$ et deux $k$-algèbres à
division $H_1, H_2$ de dimensions respectives $p^2$ et $q^2$, où $p$ et $q$ sont des entiers premiers
entre eux. Les indices $\text{Ind}(H_1) = p$ et $\text{Ind}(H_2) = q$, étant premiers entre eux, on a
$\text{Ind}(H_1 \otimes_k H_2) = \text{Ind}(H_1)$. $\text{Ind}(H_2)$ et donc $H = H_1 \otimes_k H_2$ est une $k$-algèbre à division
(de dimension $p^2q^2$) qui contient canoniquement $H_1$ et $H_2$. On se donne maintenant $K_1$ et
$K_2$ deux sous-corps commutatifs maximaux de $H_1$ et $H_2$ respectivement et l'on considère
$K = K_1 \otimes_k K_2$. C'est une $k$-algèbre incluse dans $H$, elle est donc intègre et étant de
dimension finie, c'est un corps (commutatif). Puisque $[K : k] = [K_1 : k]$, $[K_2 : k] = pq$,
c'est une extension commutative maximale de $k$ dans $H$ et l'extension $H/K$ vérifie donc
les hypothèses du corollaire 2.4. Le compositum $M = K.H_2$ fournit alors un exemple
d'extension intermédiaire stricte de $H/K$. En effet, il est d'abord clair que $K \neq M$ car

<footnote n="2">²Plus systématiquement, si l'on considère une $k$-algèbre $H$ obtenue par produit croisé d'une extension galoisienne de corps commutatifs $L/k$ et d'un élément de $H^2(L/k)$ alors $L$ est une extension galoisienne intermédiaire instable.</footnote>
sinon $H_2 \subset K$ et $q^2 = [H_2 : k]$ devrait $pq = [K : k]$. Pour montrer que $M \neq H$ on
raisonne par l'absurde. Au niveau des centralisateurs, on a

$$
\widetilde{H}_1 = \mathcal{C}_H(H_1) = \mathcal{C}_H(H_1 \otimes_k k) = \mathcal{C}_{H_1}(H_1) \otimes_k \mathcal{C}_{H_2}(k) = k \otimes_k H_2 = H_2
$$

ainsi les corps $H_1$ et $H_2$ sont commutants l'un de l'autre dans $H$. On peut donc écrire<fnref n="3" />

$$
H = M \implies \widetilde{H} = \widetilde{K} \cdot \widetilde{H}_2 = \widetilde{K} \cap \widetilde{H}_2 \implies k = K \cap H_1
$$

ce qui est visiblement impossible car $K_1 \subset K \cap H_1$.

3. Cas général

Si l'on se donne une extension galoisienne finie $H/K$ alors le sous-groupe $\text{Int}(H/K)$ est visiblement distingué dans $\text{Gal}(H/K)$ si bien que, si l'on pose $M = \overline{\text{Int}(H/K)}$ alors $M/K$ est galoisienne extérieure et $H/M$ est galoisienne intérieure. L'extension $\overline{Z(M)/M}$ est alors galoisienne intérieure [2, Théorème 10] tout comme $H/\overline{Z(M)}$. Ce qui précède fournit alors un découpage systématique de $H/K$ :

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Références

[1] Paul M. Cohn. *Skew fields. Theory of general division rings*, volume 57 of *Encyclopaedia of Mathematics and Its Applications*. Cambridge University Press, 1995.

[2] Bruno Deschamps. Arithmétique des extensions intérieures. *J. Algebra*, 620 :50–88, 2023.

[3] Nathan Jacobson. *Structure of rings*, volume 37 of *Colloquium Publications*. American Mathematical Society, 1956.

<footnote n="3">³La propriété $\overline{A \cdot B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ est valable pour toute paire $\{A, B\}$ de sous-corps d'un corps donné (voir [2, Lemme 3]).</footnote>
BRUNO DESCHAMPS

Département de Mathématiques - Le Mans
Université

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CNRS Laboratoire de Mathématiques Nicolas
Oresme - Université de Caen Normandie

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bruno.deschamps@univ-lemans.fr

PAUL RODRIGUEZ

Département de Mathématiques - école Normale
Supérieure de Lyon

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paul.rodriguez@ens-lyon.fr