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# Une adaptation de la régression bidimensionnelle aux polygones : un exemple en cognition spatiale

Frédéric Roulier

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Frédéric Roulier. Une adaptation de la régression bidimensionnelle aux polygones: un exemple en cognition spatiale. Cybergeo: Revue européenne de géographie / European journal of geography, 2018, 10.4000/cybergeo.29082. hal-04993198

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Submitted on 16 Mar 2025

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# Une adaptation de la régression bidimensionnelle aux polygones : un exemple en cognition spatiale

Frédéric Roulier

EDYSAN, FRE 3498 CNRS-UPJV

Maître de conférences

frederic.roulier@u-picardie.fr

## Résumé

La régression bidimensionnelle est une méthode statistique utilisée pour comparer deux surfaces. Elle s'appuie sur l'ajustement des positions de deux semis de points homologues structurant les deux surfaces à comparer. Les résultats de la régression bidimensionnelle concernent alors uniquement les points en question. L'article présente une méthode permettant d'étendre les résultats à des polygones, notamment dans un contexte cartographique. Elle complète pour cela la régression bidimensionnelle par deux interpolations successives. Pour illustrer ses possibilités, la méthode est appliquée à la restitution cartographique des représentations cognitives de fragments forestiers en Thiérache (France).

## Mots clés :

Régression bi-dimensionnelle, interpolation, cognition spatiale, forêt

## Abstract

Bidimensionnal regression is a statistical method used to compare two surfaces. It is based on the adjustment of the positions of two clouds of homologous points structuring the two surfaces to compare. The results of the bidimensional regression then concern only the points in question. The article presents a method to extend the results to polygons, especially in a map context. For this purpose, it complements the bidimensional regression by two successive interpolations. To illustrate its possibilities, the method is applied to the mapping of cognitive representation of forest fragments in Thiérache (France).

## Key words:

Bidimensional regression, interpolation, spatial cognition, forest

## Introduction

La régression bidimensionnelle est une méthode d'ajustement de données conçue par Waldo Tobler pour permettre de mesurer la ressemblance entre deux surfaces (Tobler 1965, 1977, 1994). Son principe, inspiré des travaux de D'Arcy Thompson<fnref n="1" /> sur la forme et la croissance (D'Arcy Thompson, 1994), consiste à calculer le degré de ressemblance de deux semis de points homologues structurant les deux surfaces, en les ajustant l'un sur l'autre selon le critère des

<footnote n="1">¹ D'Arcy Thompson, Professeur de zoologie à l'University College de Dundee en Écosse, publie en 1917 *On Growth and Form* (traduit en français en 1994 sous le titre *Forme et croissance*). Il s'agit d'un ouvrage dans lequel il présente sa théorie selon laquelle les formes dans la nature ne sont pas régies uniquement par les principes de la sélection darwinienne et de l'hérédité mais également et surtout par les principes mathématiques de forces s'exerçant sur la structure des êtres vivants.</footnote>
moindres carrés. L'opération d'ajustement s'accompagne d'un ensemble de paramètres qui ajoutent à l'intérêt de la méthode.

La régression bidimensionnelle est une technique statistique transdisciplinaire qui peut par exemple être employée pour mesurer la ressemblance de visages (Shi et al., 2005). Toutefois, la cartographie demeure l'application historique de la méthode développée par le géographe Waldo Tobler. Elle a dans ce domaine l'avantage de ne pas se limiter aux référentiels euclidiens. Ainsi a-t-elle été souvent appliquée en cartographie pour comparer un espace de référence mesuré selon la métrique euclidienne avec des espaces où les distances sont mesurées selon des métriques différentes ou inconnues : distance temps (Cauvin, 2005 ; Cauvin et al., 1987 ; Dusek, 2012), distance coût (Dusek, 2011), distance cognitive (Cauvin, 1984 a et 1984 b ; Kitchin, 1993 ; Friedman et Kohler, 2003). Elle peut être employée également pour mesurer les écarts de position liés aux erreurs de mesure entre une carte récente et une carte ancienne (Tobler, 1994). Toutes ces comparaisons spatiales sont rendues possibles car la régression bidimensionnelle s'appuie non sur les distances mais sur la position relative de points homologues présents sur les deux cartes.

De par sa conception, cette puissante méthode de comparaison présente cependant un inconvénient en cartographie : elle ne peut être appliquée qu'à des points. Cela entraîne deux conséquences. Premièrement, les résultats de l'analyse sur les écarts de localisation ne sont connus que globalement ou uniquement pour les entités ponctuelles qui ont permis de construire le modèle. L'analyse statistique des résultats ne peut concerner des lignes ou des polygones. Conséquemment, la méthode dicte le choix de l'échelle d'analyse car il est nécessaire que les entités servant à calculer le modèle statistique puissent adopter une implantation ponctuelle sur les cartes à comparer. Des éoliennes ou des puis de pétrole ne peuvent constituer le support à une analyse de régression bidimensionnelle qu'à grande échelle car ils peuvent être schématisés par des points. A petite échelle, ces points sont le plus souvent remplacées par des zones de formes et de tailles variées (champs pétrolifères ou zones de développement de l'éolien).

Or, l'espace géographique ne peut se résumer systématiquement sur les cartes à un ensemble de points. Comment utiliser la régression bidimensionnelle lorsque les objets de recherche correspondent à des polygones ou à des lignes sur une carte ? Cet article expose des compléments méthodologiques permettant de mesurer les écarts de localisation d'entités non ponctuelles. Nous allons proposer la démonstration uniquement pour des polygones, les objets d'implantation linéaire pouvant être convertis aisément par les logiciels de SIG en polygones par la création de zones tampons (buffers)<fnref n="2" />. Après une description générale de la régression bidimensionnelle, nous allons présenter les choix et adaptations méthodologiques détaillées que nous proposons. Pour Illustrer les possibilités de notre approche, nous allons chercher à traduire sous forme de cartes, la représentation cognitive qu'un groupe d'habitants a des fragments forestiers dans un espace rural de 25 km<fnref n="2" /> situé au nord du département de l'Aisne, en Thiérache<fnref n="3" />.

# I. Contexte méthodologique

La solution proposée pour exploiter la régression bidimensionnelle avec des polygones s'appuie sur des méthodes déjà éprouvées que nous présentons ici rapidement.

<footnote n="2">² Un buffer de 3 mètres par exemple autour d'un objet linéaire suffit à créer une surface exploitant la méthode présentée.</footnote>

<footnote n="3">³ L'article a été réalisé dans le cadre du projet de recherche *smallFOREST* dont l'objectif est d'évaluer la relation entre biodiversité et services écosystémiques dans les petits fragments forestiers de 8 sites européens répartis sur un transect nord-sud. Les analyses des différents *work packages* portent sur des fenêtres de 5 km de côté.</footnote>
## 1.1 La régression bidimensionnelle : un ajustement de points

La régression bidimensionnelle permet de mesurer le degré de ressemblance entre deux surfaces notées Z et W. La surface Z correspond en cartographie aux données mesurées selon un référentiel cartographique précis. Nous les appellerons les "données de référence". La surface W correspond aux données à comparer. Nous les appellerons, les "données images". La surface Z est structurée par un ensemble de points de coordonnées bidimensionnelles XY non confondus : les points de référence. La surface W est également structurée par un ensemble de points de coordonnées bidimensionnelles UV non confondus et homologues des points de la surface Z : les points images. Fondamentalement, la méthode est pensée comme une évolution de l'ajustement ordinaire de deux variables unidimensionnelles (Galton, 1886). Plus précisément, la régression bidimensionnelle permet d'ajuster au mieux, selon le critère des moindres carrés, les points de la surface image sur ceux de la surface de référence. L'opération consiste à appliquer une translation, une rotation et une mise à l'échelle du nuage de points à ajuster. La régression bidimensionnelle fournit deux types de résultats.

Les premiers concernent les nouvelles coordonnées des points ajustés. Les écarts résiduels après ajustement (résidus de la régression) entre les points homologues révèlent le degré de congruence entre les deux surfaces à comparer. Ces écarts résiduels peuvent être visualisés par un vecteur de déplacement dont la norme correspond à l'écart entre points homologues après ajustement. L'indice RMSE (Root Mean Square Error) est un indicateur de l'erreur moyenne. Il est souvent utilisé pour montrer l'écart moyen entre les valeurs prédites par un modèle et les valeurs observées. Le RMSE peut donc être calculé en régression bidimensionnelle pour quantifier les différences mesurées en unités de carte.

La régression bidimensionnelle fournit par ailleurs plusieurs types de paramètres globaux. Les premiers correspondent à la matrice de transformation des points à ajuster. Ces paramètres ne sont pas exploitables pour un commentaire et n'ont d'utilité que calculatoire. Les seconds paramètres correspondent aux paramètres de transformation de la surface ajustée : translation sur l'axe des x, translation sur l'axe des y, rotation et mise à l'échelle (homothétie). La troisième série de paramètres correspond à la qualité globale de l'ajustement : il s'agit notamment de l'indice r² mesurant la variance expliquée et de l'indice de déplacement DI1 mesurant la variance non expliquée. On peut leur ajouter l'indice de Gordon dont la valeur en pourcentages exprime les déplacements. Des tests statistiques ont plus récemment été développés pour évaluer la qualité des modèles d'ajustement (Nakaya, 1997).

## 1.2 L'interpolation des positions : une solution graphique insuffisante

En succédant à l'ajustement, l'interpolation des positions apporte une première solution à l'application de la régression bidimensionnelle aux polygones (figure 1). Sur le plan visuel, l'ajustement par régression bidimensionnelle informe en effet uniquement sur les écarts entre deux ensembles de points grâce aux vecteurs de déplacement. En vue d'ensemble, la comparaison des deux surfaces est donc difficile à effectuer. En revanche, si l'on considère que ces points structurent un espace continu, il est possible de généraliser les écarts grâce à une méthode d'interpolation des positions. Une grille à mailles carrées ou hexagonales fournit par exemple un ensemble de polygones réguliers figurant un espace continu dont il est facile d'apprécier les déformations produites par la propagation des écarts calculés par le modèle. Le principe de l'interpolation de position peut donc être appliqué à d'autres formes géométriques que le point, ce qui permet de rendre compte des déformations de polygones ou de lignes. Il ne s'agit là cependant que d'un complément strictement visuel et aucune statistique ne peut être
rattachée à ce stade aux entités non ponctuelles<fnref n="4" />. Cette étape n'est par ailleurs envisageable que si le nombre de points est suffisant et si ces derniers sont bien répartis.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1. Ajustement et interpolation des positions</figcaption></figure>

## 1.3 Solution proposée

Comment mesurer, en particulier dans un contexte cartographique, l'écart de position par la régression bidimensionnelle lorsque l'objet de recherche ne correspond pas à des points sur une carte mais à des polygones ? La méthode proposée consiste à exploiter et compléter le principe de l'interpolation dont l'objectif général est d'estimer des valeurs intermédiaires à partir d'un ensemble de données numériques. Le principe de l'interpolation sera appliqué sur des données de localisation exprimées sous la forme de coordonnées X et Y (interpolation de position) puis sur des données thématiques (interpolation de valeurs thématiques). La méthode exposée procède en quatre étapes successives (figure 2).

1. La première étape réalise une comparaison spatiale grâce à un ajustement par régression bidimensionnelle à partir de deux jeux de points homologues : les points de référence inscrits dans l'espace où se situent les polygones et les points images à comparer.

2. La seconde étape consiste à étendre les résultats de l'ajustement à une grille formant un espace continu couvrant le périmètre des polygones grâce à une méthode d'interpolation de position des points.

3. La troisième étape permet de générer une surface d'imprécision<fnref n="5" /> des localisations grâce à une méthode d'interpolation des valeurs thématiques des centres de mailles interpolées. Ces valeurs correspondent d'une part aux écarts (en unités de carte) entre points interpolés et non interpolés de la grille et d'autre part aux valeurs mesurant les forces de déformation de la grille.

4. La quatrième étape affecte aux polygones les valeurs interpolées de la surface d'imprécision.

<footnote n="4">⁴ La régression bidimensionnelle est au sens stricte, une méthode d'ajustement par les moindres carrées et de nombreuses publications la présente comme telle (Friedman et Kohler, 2003 ; Nakaya, 1997 ; Kitchin et Blades, 2002). Toutefois, l'interpolation des positions se révèle si utile à la mise en évidence des résultats graphiques de l'ajustement qu'elle est parfois considérée comme la seconde étape de la régression bidimensionnelle (Tobler (1994), Cauvin, 1984(a), Cauvin et al., 2008).</footnote>

<footnote n="5">⁵ Le terme "imprécision" est employé ici dans le sens où les points images ajustés ne correspondent pas exactement aux points de référence.</footnote>
La méthode proposée procède donc de manière indirecte pour associer à des
polygones une information sur les écarts de localisation.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2. La méthode générale</figcaption></figure>

II. La méthode détaillée

2.1 Les données en entrée

Les données en entrée de la méthode doivent adopter le format vectoriel car ce dernier permet d'accéder aux coordonnées X et Y de trois types de points. Le premier type correspond aux points homologues permettant de calculer la régression bidimensionnelle. On distingue les points de référence (parfois appelés points sources) et les points images dont on compare la position avec celle des points de référence. Ces points structurent les deux espaces à comparer (l'espace de référence et l'espace image). Les points de référence et les points images sont mis en correspondance par l'intermédiaire d'un identifiant commun. Le second type de points correspond à ceux délimitant les mailles carrées d'une grille correspondant à la surface de référence. Cette grille a deux fonctions. Elle permet de montrer visuellement les déformations de la surface de référence par une interpolation des positions sur un espace continu. Elle permet ensuite de quantifier l'imprécision des localisations pour l'ensemble de la surface de référence grâce à une interpolation de valeurs affectée au centre de chaque maille. Le troisième type de points correspond à ceux délimitant les polygones destinés à recueillir les données sur l'imprécision des positions. Ces polygones sont considérés comme des éléments illustratifs car ils ne construisent pas le modèle. Notons que les points structurant d'autres éléments illustratifs peuvent être ajoutés (points, lignes ou polygones). Ils sont localisés dans l'espace de référence et peuvent être interpolés comme la grille pour mieux montrer les déformations. La
démonstration suivante porte sur un jeu de données réduit à quatre points de référence, quatre points images, les points d'une grille à mailles carrées et ceux de quatre polygones (figure 3).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. Les données en entrée de la démonstration</figcaption></figure>

## 2.2 L'ajustement par régression bidimensionnelle

Waldo Tobler a envisagé quatre modèles d'ajustement : euclidien, affine, projectif et curvilinéaire. Les trois premiers modèles sont linéaires et appliquent chacun une translation, une rotation et une homothétie à la variable ajustée. Nous avons utilisé le modèle euclidien pour les ajustements (figure 4). Il s'agit du modèle le plus utilisé des quatre et qui ne nécessite que quatre paramètres à calculer. Lorsque le référentiel géographique correspond à la variable {$xi, yi$} et les points images à comparer correspondent à la variable ajustée {$ui, vi$}, le modèle d'ajustement euclidien peut être présenté de manière matricielle sous la forme suivante :

$$ \begin{pmatrix} x'i \\ y'i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_1 & -\beta_2 \\ \beta_2 & \beta_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_i \\ v_i \end{pmatrix} $$

Où {$x'i, y'i$} correspondent aux coordonnées ajustées par régression bidimensionnelle et {$ui, vi$} indiquent les coordonnées des points images. Les paramètres d'interception $\alpha_1$ et $\alpha_2$ appliquent une translation des coordonnées respectivement sur les axes horizontal et vertical. Les paramètres de pente de la matrice $\beta$ sont utilisés pour calculer une homothétie isotrope $\phi$ (Φ) ainsi qu'une rotation thêta ($\theta$) capable d'obtenir la meilleure correspondance, au sens des moindres carrés. Une valeur de facteur d'échelle $\Phi$ supérieure à 1 indique une expansion, alors qu'une valeur inférieure à 1 révèle une contraction. Enfin une valeur positive de $\theta$ indique une rotation dans le sens antihoraire et une valeur négative une rotation dans le sens horaire. La qualité d'ajustement est rendue par la part de variance expliquée ($r^2$, avec une correspondance totale de $r^2=1$), la part de variance non expliquée (Friedman et Kohler, 2003) représentée par l'indice de déplacement DI1 et l'erreur quadratique moyenne RMSE indiquant la moyenne des écarts en unités de carte. Lorsque les points images sont ajustés sur les points de référence, la régression bidimensionnelle peut être décrite par les paramètres suivants :
Les coordonnées ajustées.

Coordonnée x ajustée : $x'i = \alpha1 + \beta1 * ui - \beta2 * vi$

Coordonnée y ajustée : $y'i = \alpha2 + \beta2 * ui + \beta1 * vi$

Où :

Les paramètres de matrice :

Beta1 $\beta1 = (cov ux + cov vy)/(var u + var v)$

Beta2 $\beta2 = (cov uy - cov vx)/(var u + var v)$

Alpha1 $\alpha1 = \bar{x} - \beta1 * \bar{u} + \beta2 * \bar{v}$

Alpha2 $\alpha2 = \bar{y} - \beta2 * \bar{u} - \beta1 * \bar{v}$

Les paramètres de transformation :

Échelle (phi) $\Phi = \sqrt{\beta1^2 + \beta2^2}$

Rotation (theta)

$$ \theta = \frac{180 * \tan^{-1}(\beta2, \beta1)}{\pi} $$

La qualité de l'ajustement :

Part de la variance expliquée

$$ r^2 = 1 - \frac{\sum[(x - x')^2 + (y - y')^2]}{\sum[(x - \bar{x})^2 + (y - \bar{y})^2]} $$

Part de la variance non expliquée

$$ DI1 = \frac{\sum[(x - x')^2 + (y - y')^2]}{\sum[(x - \bar{x})^2 + (y - \bar{y})^2]} $$

Ereur quadratique moyenne

$$ RMSE = \frac{\sqrt{\sum[(x - x')^2 + (y - y')^2]}}{K} $$
Où K= nombre de points

<table><caption>Figure 4. Résultats de l'ajustement</caption><tr><td>Alpha1</td><td>2.328</td></tr><tr><td>Alpha2</td><td>0.603</td></tr><tr><td>Beta1</td><td>0.395</td></tr><tr><td>Beta2</td><td>-0.110</td></tr><tr><td>Phi</td><td>0.411</td></tr><tr><td>Theta</td><td>-15.560</td></tr><tr><td>Deltax</td><td>-1.378</td></tr><tr><td>Deltay</td><td>-4.351</td></tr><tr><td>Rsquare</td><td>0.904</td></tr><tr><td>DI1</td><td>0.096</td></tr><tr><td>RMSE</td><td>1.393</td></tr></table>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

## 2.3 La généralisation des écarts par interpolation des positions

L'interpolation complète souvent la régression bidimensionnelle pour généraliser les déformations et permettre de mieux apprécier visuellement les écarts de forme (Cauvin 1984b). Dans notre méthode, l'interpolation de points est appliquée en premier à la grille et à ses centres de mailles pour calculer ensuite la surface d'imprécision mais elle peut être utilisée pour les polygones ou tout autre élément cartographique (figure 5).
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5. Généralisation par interpolation de points des écarts observés entre les deux surfaces</figcaption></figure>

La méthode choisie est l'interpolation multiquadratique (Hardy, 1971). Il s'agit d'une méthode d'interpolation, dite exacte, dans le sens ou l'application de la fonction aux points de contrôle ne modifie pas leur localisation. Pour B. Jenny et L. Lorenz Hurni (2011) qui l'utilisent pour la comparaison de cartes anciennes et modernes, la méthode a l'avantage de minimiser l'influence des écarts trop importants et d'empêcher la production de lignes fermées. L'équation générale se présente sous la forme :

$$u = Da, v = Db$$

ou *u*, *v* correspondent respectivement aux écarts horizontaux et verticaux entre chaque point de contrôle et son homologue interpolé, D est la matrice de distances euclidiennes entre les points de contrôle et *a*, *b* les paramètres recherchés d'interpolation

Les points de contrôle correspondent aux points de référence et les points de contrôle homologues interpolés correspondent aux points images ajustés. On cherche donc dans un premier temps à résoudre deux systèmes d'équation pour déterminer les paramètres *a* et *b* :

$$u_1 = d_{11} a_1 + d_{12} a_2 + d_{13} a_3 + \cdots d_{1n} a_n$$

$$u_2 = d_{21} a_1 + d_{22} a_2 + d_{23} a_3 + \cdots d_{2n} a_n$$

$$u_n = d_{n1} a_1 + d_{n2} a_2 + d_{n3} a_3 + \cdots d_{nn} a_n$$

$$v_1 = d_{11} b_1 + d_{12} b_2 + d_{13} b_3 + \cdots d_{1n} b_n$$

$$v_2 = d_{21} b_1 + d_{22} b_2 + d_{23} b_3 + \cdots d_{2n} b_n$$

$$v_n = d_{n1} b_1 + d_{n2} b_2 + d_{n3} b_3 + \cdots d_{nn} b_n$$
Où $u_i$ et $v_i$ correspondent respectivement aux écarts horizontaux et verticaux entre le point de référence $p_i$ et son homologue image ajusté $p'_i$ ($p'_i - p_i$) ; $d_{ij}$ la matrice de distances euclidiennes entre les points de contrôle de référence $p_i$ et $p_j$ ; $a_i$ et $b_i$ sont les paramètres inconnus des deux systèmes d'équation. Ces deux systèmes de n équations à n inconnues a et b peuvent être résolus par une élimination de Gauss Jordan, dite *Pivot de Gauss*.

Les paramètres $a_i$ et $b_i$ sont dans un second temps utilisés pour déterminer la position de nouveaux points à interpoler. Soit un point P à interpoler d'abscisse X et d'ordonnée Y. Le déplacement horizontal u est donné par la somme des distances de chaque point de référence $p_i$ à P multipliée par le coefficient $a_i$ associé au point de référence. Le déplacement vertical v est donné par la somme des distances de chaque point de référence $p_i$ à P multipliée par le coefficient $b_i$ associé au point de référence. Ce qui peut se résumer par :

Déplacement horizontal :

$$u = \sum_{i=1}^{n} a_i S_i$$

Déplacement vertical :

$$v = \sum_{i=1}^{n} b_i S_i$$

Où $S_i$ est la distance entre le point à interpoler P et le point de référence $p_i$. Les points à interpoler correspondent en priorité à une grille permettant une estimation des différences de forme sur l'ensemble d'une surface mais ils peuvent correspondre également à tout type de vecteur d'illustration supplémentaire. Par ailleurs, les nouvelles positions étant dépendantes des paramètres a et b, il est relativement simple, si nécessaire, d'amplifier ou de réduire les déformations en multipliant ces paramètres par une constante. Les coordonnées du point interpolé deviennent :

$$X''_{i} = X_{i} + u$$

$$Y''_{i} = Y_{i} + v$$

## 2.4 Le calcul des surfaces d'imprécision par interpolation de valeurs

L'imprécision correspond pour nous initialement aux différences de localisation entre les points de référence et les points images après ajustement. Cette imprécision traduite alors sous la forme de vecteurs de déplacement, est nulle si les deux jeux de points sont identiques et qu'il y a correspondance totale. Mais, l'imprécision peut également mesurer les différences de localisation entre les points avant et après interpolation. Ces différences peuvent s'exprimer sous la forme de valeurs numériques en chaque point. Une surface continue d'imprécision peut ainsi être calculée en interpolant des valeurs contenues en chaque centre de maille interpolée à l'étape précédente. Deux types de valeurs numériques sont susceptibles d'être prises en compte pour calculer cette surface d'imprécision : l'inexactitude et la distorsion (Cauvin et al., 1998).

L'inexactitude correspond à la norme des vecteurs de déplacement entre points homologues après ajustement. Le RMSE en représente donc la valeur moyenne. Interpolés pour l'ensemble d'un maillage, les vecteurs forment un champ vectoriel (figure 6). La donnée correspond dans ce cas à la longueur des vecteurs de déplacement en chaque centre de maille, c'est-à-dire à une mesure des écarts.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 6. Le champ vectoriel</figcaption></figure>

Norme des vecteurs de déplacement des centres de mailles :

$$ \|\vec{c''c}\| = \sqrt{(cx - c''x)^2 + (cy - c''y)^2} $$

Où cx, cy désignent les coordonnées des centres de mailles avant interpolation et c''x, c''y désignent les coordonnées des centres de mailles après interpolation.

La distorsion, calculée par l'indice DI2, traduit pour sa part la cohérence des réponses par la mesure de la variabilité d'intensité et d'orientation des écarts. Une forte incohérence va se traduire localement par des contractions ou des dilatations de la surface. L'indice de distorsion DI2 (figure 7) correspond alors à la racine carrée de la moitié de la somme des carrés des dérivées partielles du nœud interpolé (d'après Cauvin, 1984(a)) :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 7. L'indice de distorsion (DI2)</figcaption></figure>

$$ D^2_{ij} = \frac{\left(\frac{x''_{i+1,j} - x''_{i-1,j}}{2 \cdot \Delta X}\right)^2 + \left(\frac{x''_{i,j+1} - x''_{i,j-1}}{2 \cdot \Delta Y}\right)^2 + \left(\frac{y''_{i+1,j} - y''_{i-1,j}}{2 \cdot \Delta X}\right)^2 + \left(\frac{y''_{i,j+1} - y''_{i,j-1}}{2 \cdot \Delta Y}\right)^2}{2} $$

Où ΔX et Δy correspondent à la longueur des côtés d'une maille de la grille d'origine et x'', y'' les coordonnées des mailles interpolées. Des valeurs comparables peuvent être obtenues en calculant le rapport entre la surface des cellules interpolées avec la surface d'une
cellule non interpolée, la valeur 1 correspondant à une absence de déformation, une valeur inférieure à 1, une contraction et une valeur supérieure à 1 une dilatation. La grille des nœuds utilisés doit correspondre à une interpolation non modifiée par une constante (taux de déformation de 100%) qui seule est conforme à l'ajustement.

Une fois chaque centre de maille valué par l'inexactitude et/ou la distorsion, la surface d'imprécision peut être calculée sous la forme d'un fichier raster en utilisant notamment une fonction d'un logiciel SIG (interpolation spline ou par voisins naturels par exemple).

## 2.5 La capture de l'imprécision par les polygones

La dernière étape consiste à calculer les valeurs moyennes d'imprécision pour chaque polygone en croisant ces derniers avec les valeurs d'une surface continue calculées à partir des données associées à chaque nœud de la grille interpolée (figure 8).

Les fonctions des logiciels SIG de type « statistiques zonales » peuvent être à cette fin sollicitées. Pour chaque polygone les statistiques suivantes peuvent être calculées<fnref n="6" /> : moyenne, maximum, minimum, écart type, valeur la plus fréquente, valeur la moins fréquente, somme des valeurs. Nous utiliserons uniquement la moyenne pour l'exemple illustratif.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 8. Transfert des valeurs d'imprécision vers les polygones</figcaption></figure>

# III. Exemple illustratif : représentations cognitives de polygones forestiers

L'analyse des représentations cognitives de l'espace constituent une application cartographique typique de la régression bidimensionnelle. Nous l'avons choisie pour illustrer notre méthode par un cas concret. L'exemple porte sur un ensemble de fragments forestiers qui jouent ici le rôle des polygones. Le contexte rural ajoute des contraintes méthodologiques que nous allons expliquer.

<footnote n="6">⁶ Extension spatial Analyst d'ArcGIS 10.2.</footnote>
### 3.1. Cognition spatiale des fragments forestiers dans l'Aisne

La cognition spatiale est définie comme "la connaissance et la représentation interne ou cognitive de la structure, des entités et des relations dans l'espace"<fnref n="7" /> (Hart et Moor, 1973). A l'échelle de l'individu, la cognition spatiale d'un environnement se traduit par le développement interne d'une représentation cognitive plus ou moins proche de l'espace qui lui sert de référence (Cauvin, 1999). Elle est structurée par des lieux, c'est à dire des repères parfaitement identifiés, reconnus par les individus en fonction de leurs motivations. Cette représentation cognitive est dynamique puisqu'elle peut s'affiner avec le temps et donc se rapprocher de la référence. Notons que l'étude des représentations cognitives de l'espace permet d'améliorer la compréhension des relations d'une population à son espace de vie, des territorialités et des comportements spatiaux qui s'y déploient. Cette étude peut donc contribuer à la création par les aménageurs d'un environnement efficace, c'est-à-dire lisible, où l'on s'oriente aisément et où finalement on se sent bien.

Nous souhaitons dans cet exemple obtenir des données sur la cognition spatiale de fragments forestiers figurés par des polygones. Il nous semble en effet que l'analyse des connaissances sur la localisation de cet objet mérite d'être abordée. Tel fragment de forêt est-il situé dans un espace bien connu le rendant facilement accessible ou au contraire appartient-il à un espace mal connu au sein duquel il n'est peut-être même pas identifié ? La loi du moindre effort (Zipf, 1949) suggère qu'en cas de besoin, les fragments forestiers les mieux situés feront l'objet d'une fréquentation. Ce genre d'information peut s'avérer utile pour la gestion forestière pour laquelle il est inutile d'entretenir ou même de maintenir des fragments inconnus ou mal identifiés. Ensuite, accéder aux connaissances du public permet de prévoir certains agissements. Ce que nous savons (ou croyons savoir) construit en effet nos attitudes, qui à leur tour déterminent nos comportements vis-à-vis de l'environnement naturel (McFarlane et Boxall, 2003 ; Tarrant et al., 2003). McFarlane et Hunt (2006) remarquent par exemple que les populations bien informées s'engagent plus volontiers dans des opérations d'activisme environnemental.

Pour Illustrer les possibilités de la méthode développée, nous allons donc chercher à traduire sous forme de cartes la représentation cognitive qu'un groupe d'habitants a des fragments forestiers inscrits dans une fenêtre de 25 km² située au nord du département de l'Aisne, en Thiérache (figure 9). Dans cet espace de culture bocagère, la forêt originelle a été morcelée au fil du temps par les activités humaines. Notons que les fragments forestiers font ici l'objet d'enjeux variés. Les fragments résiduels présentent en effet un intérêt tant sur le plan de la biodiversité hébergée (flore propre héritée du passé, parfois en limite de l'aire de diffusion, espèces protégées...) que pour les activités récréatives (la chasse en particulier) ou économiques (bois de chauffage, apiculture, reconversion agricole). Les enjeux de développement économique et de préservation de la biodiversité continuent ainsi de s'opposer. Ces enjeux se cristallisent à travers le Schéma Régional de Cohérence Ecologique (SRCE) des Hauts de France et sa Trame Verte et Bleue<fnref n="8" /> qui peinent à se finaliser. Une fois le schéma adopté, les usagers, constitués en associations de défense de l'environnement, pourront par ailleurs mener des actions contre un projet en s'appuyant sur un document comme le SRCE. Dans ce contexte, il apparaît pertinent de prévenir les conflits par une analyse des connaissances, sachant que les oppositions sont d'autant plus fortes que les corridors et réservoirs de biodiversité sont clairement identifiés et situés par les différents acteurs.

<footnote n="7">⁷ Pour une revue détaillée des fonctions et applications de la cognition spatiale, voir Montello et Raubal, 2012.</footnote>

<footnote n="8">⁸ Les lois Grenelle 1 (2009) et 2 (2010) constituent en France un cadre réglementaire pour la gestion durable de la forêt, notamment par la constitution de Trames Vertes et Bleues destinées à freiner l'érosion de la biodiversité en France. Les TVB s'intègrent dans des Schémas Régionaux de Cohérence Ecologique (SRCE), documents cadres identifiant des corridors et des réservoirs de biodiversité. Les SRCE doivent être pris en compte dans l'élaboration des documents d'urbanismes locaux (PLU, PLUi) et dans les documents régionaux de gestion forestière (DRA, SRA, SRGS).</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 9. La fenêtre d'étude</figcaption></figure>

## 3.2 Analyser les représentations cognitives par la régression bidimensionnelle

Pourquoi choisir la régression bidimensionnelle pour analyser les représentations cognitives dans ce cas précis ? Premièrement, ces dernières ne peuvent être appréhendées selon nous que par une comparaison avec une réalité objective mesurée.

Il nous faut donc une méthode capable de montrer les différences entre un espace de référence (l'espace objectif) et la représentation cognitive de cette référence (reflétant l'espace subjectif). Or, la régression bidimensionnelle est précisément une méthode de comparaison des espaces homologues. Elle doit nous permettre de montrer comment l'espace subjectif diffère de l'espace objectif.

La seconde raison tient au choix du mode d'obtention des représentations cognitives et donc au type de données traitées. Adoptant en effet la position de Stephen Kosslyn (1980, 1994), nous considérons ici que la représentation cognitive de l'espace qui se forme en nous est "comme une image" c'est-à-dire qu'elle est bidimensionnelle et analogique<fnref n="9" />. De ce point de vue, le croquis dessiné (la méthode retenue pour cet exemple) ou l'analyse multidimensionnelle des proximités constituent des moyens adaptés pour externaliser les représentations cognitives de l'espace car elles peuvent alors être figurées sous la forme de points caractérisés par leurs coordonnées X et Y. La régression bidimensionnelle apparaît par conséquent comme une méthode parfaitement adaptée pour exploiter ce type de données.

<footnote n="9">⁹ Il existe d'autres théories sur la nature de la représentation cognitive de l'espace. Pour Z. Pylyshin (1981), elle serait conceptuelle et propositionnelle (donc non bidimensionnelle). Pour A. Paivio, (1991), elle serait à la fois de nature propositionnelle et analogique (dual coding theory). Francisco Varela propose par ailleurs une perspective nouvelle en réintroduisant le rôle de l'expérience vécue dans le processus de la connaissance (Varela 1993).</footnote>
Enfin, la régression bidimensionnelle permet de résoudre le principal problème, celui de la comparaison. En effet la comparaison entre les deux espaces ne peut se faire a priori directement, car les échelles, orientations et origines d'un croquis dessiné et d'une carte de référence ne correspondent pas (Cauvin 1984(b), p11). La régression bidimensionnelle permet d'établir une forme de comparaison puisqu'elle neutralise lors de l'ajustement la taille, la position et l'orientation des deux semis de points structurant les deux surfaces, en l'espèce les deux espaces. La comparaison pratiquée est donc une comparaison basée sur la forme des cartes. La régression bidimensionnelle examine ainsi uniquement les positions relatives des points homologues. Dans cette comparaison par régression bidimensionnelle, l'espace objectif et l'espace subjectif correspondront respectivement à la surface de référence et à la surface image.

### 3.3 Problématique méthodologique

L'analyse des représentations cognitives de fragments forestiers par la régression bidimensionnelle pose toutefois des problèmes méthodologiques spécifiques. En effet, l'ajustement par régression bidimensionnelle a le plus souvent été appliqué à la ville pour analyser la cognition intra-urbaine par exemple à Strasbourg (Cauvin, 1984(a) ; Cauvin, 1984(b) ; Cauvin et al., 1998), Swansea (Kitchin, 1996), Edmonton (Friedman et Kohler, 2003), Pékin (Si Shen et al., 2007), Tokyo (Wakabayashi, 1994). Comment exploiter au mieux cette puissante méthode lorsque les connaissances relèvent d'un espace rural et, en l'occurrence, quelles sont les contraintes liées à l'étude de fragments forestiers ?

Les fragments forestiers, comme objets d'étude, présentent tout d'abord un double inconvénient pour en analyser la cognition spatiale par régression bidimensionnelle. Tout d'abord, ces fragments forestiers sont représentés sur une carte par des polygones dont la forme et la surface varient à l'intérieur de la fenêtre. Ils ne peuvent pas être raisonnablement assimilés à des points, seule forme géométrique utilisable par la régression bidimensionnelle. Ensuite, ces fragments de forêt ne sont que difficilement identifiables par les sujets à travers une dénomination précise. Or, ainsi que nous l'avons rappelé précédemment, un espace cognitif est structuré par des lieux reconnus. On ne peut donc construire le modèle cognitif directement sur ce type d'objet. La troisième difficulté rencontrée concerne les sources de données sur des emprises spatiales réduites en milieu rural. A surface équivalente, par rapport au milieu urbain, le nombre de personnes susceptibles d'être questionnées y est forcément plus limité et surtout le nombre de points de repère identifiables et exploitables en régression bidimensionnelle est bien plus faible. Comment solutionner ces trois problèmes ?

Pour obtenir des statistiques liées aux polygones, nous allons appliquer la méthode présentée dans cet article. Nous généraliserons donc à l'ensemble du secteur d'étude un modèle cognitif déterminé à partir de points homologues correspondant à une série de lieux précédemment identifiés. Nous interpolerons une grille figurant un espace continu et construirons une surface d'imprécision. Nous calculerons ensuite les statistiques de zones correspondant aux moyennes des valeurs contenues dans chaque polygone forestier de ce secteur d'étude. L'information sur la cognition spatiale sera donc calculée indirectement car elle sera déduite d'un ensemble de points de repère.

Ensuite, le modèle cognitif ne peut certes porter sur une identification directe des fragments forestiers. Nous allons néanmoins pratiquer une identification indirecte en recoupant les identifiants des fragments d'une carte de référence avec un croquis des zones correspondantes dessinées par chaque individu sur un fond de carte. Cette identification indirecte permet simplement de recenser les fragments forestiers reconnus par un sujet dans l'espace géographique mais ne permet pas de calculer le modèle cognitif car le code d'identification est arbitraire, propre au système d'information et n'est pas connu du sujet.
Enfin, le problème de la rareté des repères identifiables peut être résolu par une pré-enquête destinée à mieux identifier les lieux remarquables du secteur (village, lieux-dits, édifices...) ou par une extension de la zone d'étude. Nous avons choisi la première solution car la fenêtre était prédéterminée dans le projet de recherche.

### 3.4 Les données collectées

Deux cartes ont donc été demandées aux personnes enquêtées. La première carte est destinée à collecter les données nécessaires au calcul des paramètres de la régression bidimensionnelle correspondant au modèle cognitif (figure 10a). Il est demandé au répondant de situer sur une page blanche au format A3 une liste de vingt-deux points de repère inscrits dans la fenêtre de 5 km sur 5 km<fnref n="10" />, si besoin en dessinant d'autres éléments comme le réseau routier. Le choix de l'orientation de la page est libre. Cette tâche qui, en milieu intra-urbain, ne poserait aucun problème de par la multitude de repères, a nécessité ici une pré-enquête pour relever les points marquants du paysage. La fenêtre de travail étant relativement réduite, la liste des rares villages du secteur a été complétée par des lieux-dits pour constituer un ensemble de 22 lieux situés au plus proche de la zone d'étude. La formulation de la question est la suivante :

1. Localisez en dessinant des croix sur la page les 22 lieux suivants :
Indiquez sur votre dessin le nom des lieux ou le code numérique

1. Château d'eau de Froidestrées

2. Gergny

3. Sommeron

4. Rue d'en Haut

5. Bellevue

6. Lerzy

7. Petit sAint-Lot

8. Maison Picard

9. Grand Saint-Lot

10. La Cense Itas

11. La cour d'Enfant

12. La Fourcière

13. Rue Maillard

14. Saint Pierre Prez

15. Le Corbion

16. Le Bermont

17. Les Chauffours

18. La Gerbette

19. Chant des Oiseaux

20. Sorbais

21. Etréaupont

22. Lusoir

<footnote n="10">¹⁰ Taille des fenêtres dans laquelle s'inscrit cette recherche (cf. note n°1).</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 10. Exemples de croquis (individu n° 9)</figcaption></figure>

Les paramètres de la régression bidimensionnelle vont devoir être appliqués à des fragments forestiers inscrits dans l'espace de référence. Nous avons choisi d'utiliser uniquement les contours des polygones forestiers relevant de la représentation cognitive de la personne
enquêtée. La seconde carte demandée a donc pour objectif d'identifier ces fragments. Cependant, ces derniers ne peuvent être directement identifiés par une dénomination, en particulier les plus petits. Nous avons donc procédé indirectement en demandant aux personnes enquêtées de dessiner les zones où se situaient les bois selon elles (figure 10b). Une carte du secteur dépourvue des fragments forestiers mais disposant d'autres repères est présentée à la personne enquêtée qui doit dessiner sous forme de zones l'implantation approximative des fragments ou des groupes de fragments forestiers. En recoupant ces zones avec les données forestières d'une carte topographique, il est possible d'obtenir les fragments indirectement identifiés. Les données collectées auprès de la population sont complétées par la construction d'une grille au pas de 200 m. Les données d'illustration correspondent pour cet exemple au réseau routier et aux polygones forestiers inscrits dans la fenêtre. Ces données ont été vectorisées à partir de la BD ORTHO de l'IGN.

Quarante questionnaires ont été initialement obtenus en porte-à-porte ou sur rendez-vous. Seuls les individus s'étant exprimés sur les mêmes repères doivent être retenus pour ne pas fausser les conclusions sur la cognition spatiale en chaque lieu. Le groupe-test a donc dû être drastiquement réduit à un corpus homogène de 9 personnes et 11 points de repère.

## 3.5 Agrégation des données du modèle cognitif

Les points ou les croix dessinés sur les croquis sont initialement collectés, scannés, géoréférencés et codés au format *shapefile* individuellement pour ces 9 individus. Nous avons choisi de présenter les résultats de ce test sous forme agrégée en calculant des moyennes. Il faut cependant distinguer deux cas : les paramètres sur les représentations cognitives des individus qui reflètent la connaissance d'un espace par les individus ($r^2$, DI1) et les données sur la localisation cognitive qui reflète comment les lieux sont disposés dans la représentation cognitive d'un espace (localisation des lieux, RMSE). Selon Robert M. Kitchin et A. Stewart Fotheringham (1997, 1998), les statistiques moyennes sur les représentations cognitives des individus constituant un groupe doivent être obtenues à partir d'une agrégation des résultats numériques individuels<fnref n="11" />. Dans ce type d'agrégation, les paramètres d'ajustement sont calculés pour chaque individu puis moyennés. Toutefois, selon les deux auteurs, la localisation cognitive des lieux pour un groupe, peut être obtenue en moyennant les coordonnées des points dessinés par chaque individu (agrégation des localisations cognitives) puis en opérant l'ajustement<fnref n="12" />.

> "The strategy of collective aggregation is useful for measuring place cognition, but no inferences concerning the cognitive maps of individuals (individual cognition) can be drawn from such a strategy of analysis because it exaggerates individual cognition by removing residual errors." (Kitchin et Fotheringham, 1997, p. 278)

Nous avons donc réalisé deux types d'agrégation pour résumer les données du groupe :

1. Les paramètres moyens sur les représentations cognitives des individus ($r^2$, DI1) ont été calculés en moyennant les paramètres d'ajustement des individus (agrégation des résultats numériques individuels).

2. Les paramètres sur la localisation cognitive des lieux (coordonnées x et y des points dans la représentation cognitive, RMSE) ont été obtenus en moyennant les coordonnées x et y des points images du groupe avant de procéder à l'ajustement des points de référence sur ces points images moyens (agrégation des localisations cognitives).

<footnote n="11">¹¹ Individual aggregation</footnote>

<footnote n="12">¹² Collective aggregation</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 11. Stratégie d'agrégation. D'après Kitchin et Fotherhingham (1997)</figcaption></figure>

## 3.6 Résultats et conclusion

Les traitements statistiques et cartographiques d'ajustement et d'interpolation ont été réalisés à l'aide du plugin *Morphoses* (http://morphoses.eu/) pour *MapWindow* (http://www.mapwindow.org/).

La première étape de traitement correspond au calcul du modèle cognitif du groupe. Ce modèle est calculé grâce à l'ajustement par régression bidimensionnelle des points de repère dessinés sur leurs homologues du référentiel géographique (figure 11a). Les principales statistiques du modèle montrent une relative méconnaissance du secteur. La qualité d'ajustement est plutôt faible (r² de 0.69) et l'écart moyen entre les positions du référentiel et celles de l'image (RMSE) s'établit à 603 mètres ce qui est beaucoup en regard de la taille du secteur. Concernant cette fois les résultats par lieux, on observe plusieurs incohérences entre certains vecteurs de déplacement, c'est-à-dire des orientations différentes voire opposées de ces
vecteurs. C'est notamment le cas entre les points 13 et 15 (Rue Maillard et Le Corbion) ou encore entre les points 7 et 9 (Petit Saint-Lot et Grand Saint-Lot), ce qui laisse présager un espace cognitif relativement déformé en ces lieux. Mais à ce stade aucune information n'est disponible sur l'écart de localisation des fragments forestiers.

La seconde étape est l'interpolation multiquadratique. Elle fournit une information visuelle plus précise de l'écart entre espace objectif et subjectif sur l'ensemble du secteur par la propagation des écarts sur une grille, sur un réseau routier ainsi que sur les fragments forestiers identifiés et non identifiés (figure 11b). L'interpolation est utilisée dans notre exemple principalement pour calculer un champ vectoriel destiné à calculer la surface d'inexactitude (figure 12a).

La troisième étape du traitement cherche à calculer les surfaces d'imprécision pour le secteur concerné. Pour cela, l'interpolation multiquadratique est appliquée à chaque centroïde des mailles de la grille. Les résultats de la distorsion (indice DI2) et d'écart (inexactitude) peuvent être ensuite associés aux centres des mailles de la grille interpolée ou de sa version non interpolée pour construire une surface continue correspondant par exemple à la distorsion (figure 12b). La surface d'imprécision de l'exemple présenté correspond à une interpolation par voisins naturels des valeurs d'inexactitude en chaque point interpolé de la grille (figure 13a). On observe que les écarts de localisation se situent principalement autour de Petit Saint-Lot, Froidestrée et le secteur entre Corbion et Rue Maillard.

La représentation cognitive de la localisation des fragments forestiers correspond au recoupement de la surface d'imprécision avec les fragments identifiés. La quatrième étape consiste donc à transférer les valeurs d'imprécision vers les polygones forestiers. L'exemple présenté concerne la surface d'inexactitude. Certains fragments étant très étendus, nous avons choisi de calculer les données, non directement pour les fragments mais pour un maillage de 40 m de côté, la méthode de calcul des valeurs d'imprécision par un polygone restant identique<fnref n="13" />. Autour de Petit Saint-Lot et Froidestrée les fragments sont petits et peu nombreux ; l'impact est donc faible sur la connaissance du milieu forestier.

<footnote n="13">¹³ En effet, la moyenne des valeurs pour un fragment entier peut dissimiler des situations locales très différentes voire opposées.</footnote>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 12. Étapes préparatoires : ajustement et interpolation de points</figcaption></figure>

On observe cependant que beaucoup de ces fragments n'ont pas été identifiés, ce qui confirme que le secteur est mal connu. A l'inverse, du côté du Corbion et Rue Maillard, des fragments plus importants sont concernés par l'écart. On constate d'ailleurs que ces écarts se neutralisent en partie car ils n'ont pas la même direction comme en témoigne la situation aux abords du fragment BT10 (figure 13b).

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 13. Création de la surface de distorsion</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 14. Capture de l'inexactitude par les polygones</figcaption></figure>

Cet article démontre que le calcul des écarts de position à l'aide de la régression bidimensionnelle n'est pas limité en cartographie aux entités ponctuelles. Il peut être appliqué à des polygones ou à des lignes converties en polygones. Ce calcul n'est donné qu'indirectement, le modèle devant être élaboré nécessairement à partir de points, ce qui signifie que la méthode n'apporte pas de solution aux contraintes liées à l'échelle d'analyse. La régression bidimensionnelle exige toujours une échelle suffisamment grande pour pouvoir associer les repères du modèle à des points sur une carte.

L'exemple vérifie que la méthode proposée peut être appliquée en cartographie au domaine de la cognition spatiale. Mais elle pourrait être utilisée pour transférer les résultats sur des polygones partout où la régression bidimensionnelle est employée pour montrer des différences de position entre deux semis de points homologues quelle qu'en soit leur nature : autres types de cartes, artefacts archéologiques, objets biologiques.... L'intérêt de la méthode présentée est de pouvoir ensuite rapporter les valeurs d'imprécision associées aux polygones avec d'autres données. Concernant la cognition spatiale de parcelles forestières, il serait ainsi possible de croiser par exemple les valeurs sur l'écart de localisation avec la représentation mentale des propriétés des fragments en questions (notamment sur le plan des services écosystémiques).

## Remerciements

Cette recherche a été financée dans le cadre de l'EraNet-BiodivERsA 2011-40 (projet smallFOREST, «Biodiversité et services écosystémiques des petits fragments forestiers dans les paysages européens»).

Je tiens ici à remercier vivement Colette Cauvin pour ses conseils et pour la documentation qu'elle a bien voulu me fournir. Je remercie également Alinda Friedman pour ses réponses et encouragements. La collecte des données nécessaires à l'expérimentation a été réalisée par Thomas Delaporte, étudiant en master de géographie à l'Université de Picardie Jules Verne. Qu'il en soit également remercié.
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