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# Une approche par milieu continu généralisé pour décrire les flambages locaux des structures minces

Noureddine Damil, Michel Potier-Ferry

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Noureddine Damil, Michel Potier-Ferry. Une approche par milieu continu généralisé pour décrire les flambages locaux des structures minces. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01507580

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Submitted on 13 Apr 2017

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# Une approche par milieu continu généralisé pour décrire les flambages locaux des structures minces

Noureddine DAMIL*, Michel POTIER-FERRY**

*Laboratoire de Calcul Scientifique en Mécanique
Faculté des Sciences Ben M'Sik
Université Hassan II - Mohammedia, BP 7955, Sidi Othman, Casablanca, Maroc
n.damil@univh2m.ac.ma

**Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, UMR CNRS 7554,
Université Paul Verlaine Metz
Ile du Saulcy, F-57045, Metz, France
michel.potierferry@univ-metz.fr

RÉSUMÉ. L'évolution des instabilités spatio-temporelles peut se décrire macroscopiquement par des équations d'amplitude génériques de type Ginzburg-Landau. On établit une variante de cette approche, qui permet de prendre en compte des couplages entre instabilités locales et globales et qui traite de la même manière le champ moyen et la fluctuation. Le modèle final est un milieu continu généralisé, où les contraintes généralisées sont des coefficients de Fourier de la contrainte microscopique. Cette nouvelle approche à deux échelles des instabilités cellulaires est présentée sur l'exemple d'une poutre sur fondation élastique.

ABSTRACT. Macroscopic descriptions of instability pattern formation can be obtained by generic amplitude equations of Ginzburg-Landau type. A variant of this approach is established, that permits to account for the coupling between local and global instabilities. The mean field and the amplitude of the fluctuations are governed by similar equations. The resulting model is a generalized continuum, where the generalized stresses are Fourier coefficients of the microscopic stress. This new double scale description of cellular instabilities is presented in the simple case of a beam on an elastic foundation.

MOTS-CLÉS : équation de Ginzburg-Landau, échelles multiples, instabilités locales, couplage local-global, flambage, plissement.

KEYWORDS: Ginzburg-Landau equation, multiple scale, local instability, local-global coupling, buckling, wrinckling.
# 1. Introduction

Dans de nombreuses instabilités, le mode a une longueur d'ondes très courte par rapport à la taille du domaine. Le plissement des membranes (Diaby et al, 2006) ou les instabilités thermo-convectives (Wesfreid et Zaleski, 1984) sont des exemples typiques de ces instabilités cellulaires. L'analyse de ces phénomènes repose, soit sur des simulations directes, soit sur des études de bifurcation de type Landau-Ginzburg. Les premières approches sont coûteuses lorsque les deux longueurs sont très différentes, les secondes sont limitées au voisinage du seuil de bifurcation car elles imposent des conditions trop restrictives sur l'évolution de la réponse du système.

On se propose de jeter les bases d'une nouvelle approche de type milieu continu généralisé, les inconnues comprenant au moins le champ moyen et l'amplitude des fluctuations. On montrera également comment ces nouveaux modèles continus se comportent après discrétisation.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Il faut au moins deux champs macroscopiques pour décrire un mode presque périodique : le champ moyen et l'amplitude des fluctuations.</figcaption></figure>

# 2. Les analyses classiques de bifurcation

La théorie des bifurcations évalue l'évolution d'un champ $U(\mathbf{x})$ en fonction d'un paramètre de charge scalaire $\lambda$ à partir d'un état singulier $U_0(\mathbf{x})$. Lorsque la bifurcation est symétrique, la branche bifurquée est décrite de façon approchée en fonction d'une amplitude qui est un paramètre réel :

$$U(\mathbf{x}) - U_0(\mathbf{x}) = aU_1(\mathbf{x}), \qquad \lambda = \lambda_c + \lambda_2 a^2. \qquad [1]$$

Lorsqu'il s'agit d'une instabilité cellulaire, l'amplitude devient un nombre complexe pour tenir compte de décalages de phase et elle est une fonction lentement variable dans l'espace pour tenir compte de modulations d'amplitude. La relation
entre l'amplitude et le chargement devient une équation différentielle connue sous le nom d'équation de Landau-Ginzburg. Dans le cas 2D, la bifurcation est décrite par :

$$U(x, y) - U_0(x) = [a(x) \exp(iqx) + \bar{a}(x) \exp(-iqx)]U_1(y) \quad [2]$$

$$\frac{d^2 a}{dx^2} + \alpha_1 (\lambda - \lambda_c) a - \alpha_2 a^2 \bar{a} = 0. \quad [3]$$

Cette analyse repose sur une approche asymptotique de type échelle double, où les variations de l'amplitude sont supposées lentes devant les variations de exp(iqx) (Segel, 1969, Newell et al, 1969, Damil et al, 1986). L'équation de Landau-Ginzburg [3] est indépendante du modèle considéré et l'amplitude n'est qu'un simple multiplicateur du mode de bifurcation. On propose ici une approche plus physique, où les amplitudes lentement variables sont des coefficients de Fourier des variables du problème considéré. Cela devrait permettre de décrire le couplage entre flambages locaux et globaux ou l'influence des plissements sur le comportement des membranes. Une de nos motivations est la description des défauts de planéité apparaissant à la sortie d'un laminoir.

### 3. Un milieu continu généralisé déduit d'une approche à deux échelles

#### 3.1. L'exemple de la poutre non linéaire

On présente la démarche proposée sur un modèle classique de poutre non linéaire où g est une force de rappel de type fondation non linéaire (-g(v)=Cv+C<sub>3</sub>v<sup>3</sup>):

$$\frac{dn}{dx} + f = 0, \quad \frac{n}{ES} = \frac{du}{dx} + \frac{1}{2} \left( \frac{dv}{dx} \right)^2, \quad EI \frac{d^4 v}{dx^4} - \frac{d}{dx} \left( n \frac{dv}{dx} \right) - g = 0 \quad [4]$$

#### 3.2. L'analyse de Fourier à deux échelles

Toutes les inconnues du modèle sont écrites sous forme de séries de Fourier à coefficients lentement variables, par rapport aux évolutions des harmoniques :

$$U(x) = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} U_j(x) \exp(jiqx) \quad [5]$$
Notons que les coefficients de l'harmonique 0 sont réels, alors que tous les autres sont complexes, ce qui entraîne un doublement du nombre de degrés de liberté. On peut introduire une nouveau modèle « macroscopique », où les variables sont les coefficients de Fourier $U_j(x)$. Il se déduit du modèle microscopique [4] par simple identification des coefficients de Fourier dans chacune des équations du modèle. Bien entendu dans cette identification, les coefficients de Fourier $U_j(x)$ sont supposés constants sur une période. A titre d'exemple, nous présentons la relation de comportement au niveau zéro et l'équation de flexion au niveau un, avec quelques simplifications et en se limitant aux harmoniques de niveau 0 et 1:

$$ \frac{n_0}{ES} = \frac{du_0}{dx} + \left(\frac{dv_0}{dx}\right)^2 + \left|\frac{dv_1}{dx} + iqv_1\right|^2 \quad [6] $$

$$ EI \left( \frac{d}{dx} + iq \right)^4 v_1 - \left( \frac{d}{dx} + iq \right) (n_0 (v_1' + iqv_1)) + Cv_1 + 3C_3 (v_0^2 v_1 + v_1^2 \bar{v}_1) = 0 \quad [7] $$

On voit que ces équations ressemble au modèle initial, mais les non linéarités induisent des couplages entre l'évolution moyenne et l'amplitude des fluctuations. En particulier, le dernier terme de [6] permet d'expliquer la diminution des contraintes de compression due à un flambage local. Quant à l'équation de flexion [7], elle est bien sûr du 4ème ordre. Mais si on lui applique les hypothèses de l'approche asymptotique :

$$ \frac{d}{dx} = O(\sqrt{\epsilon}), \quad v_1 = O(\sqrt{\epsilon}), \quad \lambda - \lambda_c = O(\epsilon), \quad [7] $$

on retrouve l'équation du second ordre de Landau-Ginzburg. Ceci suggère que la résolution du nouveau modèle [7] fera apparaître des couches limites.

### 3.3. Interprétation en termes de milieu continu généralisé

La forme faible du modèle peut être obtenue en combinant les équations obtenues, telles que [5,6]. On peut aussi la déduire de la forme faible du modèle initial, en utilisant l'identité de Parseval (Damil et al, 2006). Ainsi la puissance virtuelle des efforts intérieurs fait apparaître les coefficients de Fourier des efforts de membrane et de flexion, ainsi que les déformations virtuelles correspondantes :

$$ P_{\text{int}} = - \int \sum_{j=-\infty}^{+\infty} (n_j \delta\gamma_{-j} + m_j \delta k_{-j}) dx \quad [8] $$

## 4. Conditions aux limites. Evaluation numérique.

L'écriture des conditions aux limites n'est pas simple dans ces approches de type « équation d'amplitude ». Comme dans d'autres approches de type asymptotique, les hypothèses de départ [5] ne sont pas forcément valables jusqu'au bord. Un remède simple serait de considérer le modèle macroscopique à l'intérieur du domaine, de revenir au modèle initial près des bords et de les raccorder. Mais il est aussi raisonnable d'espérer étendre le modèle macroscopique jusqu'au bord, comme
on le fait sans complexe en homogénéisation. Prenons l'exemple d'un encastrement
en x=0 et essayons de supposer que la fluctuation

$$
\mathrm{Re}(v_1 \exp(iqx)) = v_1^R(x) \cos(qx) - v_1^I(x) \sin(qx) \quad [9]
$$

satisfait les conditions d'encastrement. Ainsi les parties réelles et imaginaires de la
fluctuation satisfont aux conditions aux limites :

$$
v_1^R(0) = 0, \quad \frac{dv_1^R(0)}{dx} - qv_1^I(0) = 0. \qquad [10]
$$

Si on adopte l'approximation [7], on voit que l'amplitude v₁ s'annule au bord,
mais on ne dispose d'aucune information sur la dérivée.

Pour une première évaluation numérique de cette approche, on a considéré le
modèle de poutre [4] linéarisé, en imposant une contrainte de membrane n=-λ, avec
EI=1, C=1. Cela revient à chercher les modes de flambage d'une poutre sur
fondation. Ce problème a des solutions analytiques : pour λ inférieur à 2, ce sont des
harmoniques amorties, qui correspondent à des modes de bord ; pour λ supérieur à
2, on obtient une combinaison de deux harmoniques, qui conduit alors à des modes
oscillants et modulés.

Notons qu'au voisinage de la charge de bifurcation λ=2, la 3ème équation [4] a des solutions de type exp(iqx) et exp(-iqx), où q est voisin de l'unité. Mais quand on passe à l'amplitude v₁, les nombres d'ondes sont décalés d'une unité : l'harmonique q devient voisine de zéro, ce qui veut dire qu'elle est lentement variable, comme on l'espérait. Mais l'harmonique -q se transforme en une harmonique -2q. Cela signifie que les équations d'amplitude telles que [7] ont des solutions lentement variables, mais aussi des solutions rapidement variables. On attend donc que le processus de discrétisation filtre les solutions rapidement variables, ce qui peut se faire en ne discrétisant pas trop finement.

L'équation [7] linéarisée a donc été discrétisée par éléments finis. Comme cette
équation ressemble beaucoup à une équation de poutre en flexion, on a choisi des
éléments de Hermite. C'est effectivement un des avantages de cette procédure, de
pouvoir appliquer à l'équation d'enveloppe la même méthode de discrétisation que
pour le modèle initial. Notons néanmoins que le nombre de degrés de liberté par
nœud passe de 2 à 4, puisque l'amplitude est un nombre complexe.

On a considéré une poutre encastrée : dans ce cas l'équation de Landau-Ginzburg [3] prédit une enveloppe sinusoïdale. La poutre a été choisie longue, en sorte que le mode ait 50 cellules. En bloquant les valeurs de v₁ aux extrémités, on retrouve le mode attendu avec un seul élément : cela montre l'efficacité potentielle de la méthode, qui permet de remplacer une discrétisation à une échelle inférieure à la période par un maillage avec des éléments comprenant un grand nombre de périodes. Si on bloque v₁ et sa dérivée, il n'est bien sûr plus possible de retrouver une enveloppe sinusoïdale. Néanmoins on retrouve presque ce mode avec une
dizaine d'éléments (soit un pour 5 cellules), avec une couche limite très localisée près des bords. Dans ce cas, la couche limite fait apparaître les solutions oscillantes évoquées plus haut, mais seulement lorsque la taille de la maille est inférieure à la taille de la cellule.

**5. Conclusions et perspectives**

On a présenté une approche de la formation d'instabilités quasi-périodiques, par une méthode à deux échelles conduisant à un milieu continu généralisé. Les contraintes macroscopiques ainsi définies sont des coefficients de Fourier du champ de contraintes microscopiques. Il est clair que cette approche mérite d'être explorée lorsque les modes ont une longueur d'onde petite devant la longueur macroscopique. Elle semble beaucoup plus flexible que les méthodes de type Landau-Ginzburg. Il est relativement aisé de trouver les équations d'amplitude en élasticité 2D ou 3D, pour les équations de Navier-Stokes et pour un grand nombre de modèles. Si la discrétisation de ces modèles ne parait pas demander une imagination exceptionnelle, la prise en compte des conditions aux limites sera probablement toujours un peu délicate. La question du nombre d'harmoniques à utiliser n'a pas été discutée : dans le cas général, il en faut au moins trois (q, 2q, 0) pour pouvoir retrouver l'équation de Landau-Ginzburg.

**6. Bibliographie**

Diaby A., Le Van A., Wielgosz C., «Modélisation du plissage dans les structures membranaires », *Revue Européenne de Mécanique Numérique*, vol.13, n° 1-2-3 (Giens 2005), 2006, p. 143-154.

Damil N., Potier-Ferry M., «Wavelength selection in the postbuckling of a long rectangular plate», *International Journal of Solids and Structures*, vol.22, 1986, p.511-526.

Damil N., Potier-Ferry M., «A generalized continuum approach to describe instability pattern formation by a multiple scale analysis», *Comptes Rendus Mécanique*, vol. 334, 2006, p. 674-678.

Newell, A., Whitehead J., «Finite band width, finite amplitude convection », *Journal of Fluid Mechanics*, vol.38, 1969, p.279-303.

Segel L., «Distant side walls cause slow amplitude modulation of cellular convection», *Journal of Fluid Mechanics*, vol.38, 1969, p. 203-224.

Wesfreid J.E., Zaleski S. (Editors), *Cellular Structures in instabilities*, Lecture Notes in Physics 210, Heidelberg, Springer-Verlag, 1984.