On en déduit que la fonction $g$ est dans $L^2(\Omega)$. En particulier, l'ensemble $A$ des points $x$ tels que $g(x) = +\infty$ est de mesure nulle, ce qui implique qu'en tout point $x$ du complémentaire de $A$, la suite numérique $(g_N(x))$ converge vers $g(x)$. Autrement dit, la suite $(g_N)$ converge presque partout vers $g$. En remarquant que pour $p \ge 1$

$$|f_{N+p}(x) - f_N(x)| \le \sum_{n=N+1}^{N+p} |f_n(x) - f_{n-1}(x)| = g_{N+p}(x) - g_N(x), \quad (4.15)$$

on en déduit en utilisant le critère de Cauchy dans $\mathbb{R}$ que la suite de fonctions $(f_n)$ converge presque partout vers une fonction $f$. De plus, en passant à la limite sur $p$ dans (4.15), on vérifie que pour presque tout $x \in \Omega$ :

$$|f(x) - f_N(x)| \le g(x).$$

Par conséquent, $(f - f_N)$ appartient à $L^2(\Omega)$ et donc $f$ également. On obtient alors que $f_N$ converge vers $f$ dans $L^2(\Omega)$ en appliquant le théorème de convergence dominée de Lebesgue à la fonction $(f - f_N)^2$. On a ainsi montré qu'il existe une suite extraite de $(f_n)$ qui converge vers un élément $f$ dans $L^2(\Omega)$.

Il reste à montrer que toute la suite converge vers $f$ dans $L^2(\Omega)$. On raisonne par l'absurde en supposant le contraire. On peut alors extraire une sous-suite de $(f_n)$ dont les éléments restent éloignés de $f$ d'une distance $\varepsilon > 0$ fixée. Cela contredit le fait que la suite $(f_n)$ est de Cauchy, ce qui termine la démonstration. $\square$

Ce théorème montre que $L^2(\Omega)$ est un espace de Hilbert (dont nous verrons la définition au chapitre 5).

Nous aurons souvent recours dans la suite au résultat de densité suivant, qui est le pendant du théorème 4.4 (lorsque $\Omega = \mathbb{R}^d$) pour les fonctions $L^2$ :

**Théorème 4.17** $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$.

### 4.2.2 Transformation de Fourier dans $L^2$

On se limite désormais à $\Omega = \mathbb{R}^d$. Remarquons tout d'abord qu'une fonction $f$ de carré intégrable dans $\mathbb{R}^d$ appartient à $L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^d)$. En effet, si $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre que pour tout compact $K \subset \mathbb{R}^d$, on a :

$$\int_K |f| \, dx \le \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^d)} (\text{mes}(K))^{1/2},$$

où $\text{mes}(K)$ est la mesure de Lebesgue du compact $K$. En revanche, on peut trouver des fonctions de $L^2(\mathbb{R}^d)$ qui n'appartiennent pas à $L^1(\mathbb{R}^d)$, et donc on ne peut pas calculer la transformée de Fourier d'une fonction de carré intégrable en utilisant la formule (4.2). Nous allons dans ce qui suit définir la transformée de Fourier d'une manière indirecte en utilisant le théorème de densité 4.17.
Nous commençons par remarquer que pour $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb{R}^d)$, les fonctions $f\hat{g}$ et $\hat{f}g$ sont dans $L^1(\mathbb{R}^d)$ et

$$ \int_{\mathbb{R}^d} f \hat{g} \, dx = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f} g \, dx. \qquad (4.16) $$

On a effet

$$ \int_{\mathbb{R}^d} f \hat{g} \, dx = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^d} g(y) e^{-ix \cdot y} \, dy \right) dx, $$

et la fonction $f(x)g(y)e^{-ix \cdot y}$ étant intégrable dans $\mathbb{R}^{2d}$, on obtient en utilisant le théorème de Fubini que

$$ \int_{\mathbb{R}^d} f \hat{g} \, dx = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-iy \cdot x} \, dx \right) g(y) \, dy. $$

Nous aurons dans la suite besoin du lemme technique suivant :

**Lemme 4.18** Soient $f$ et $G_1$ deux fonctions intégrables avec

$$ \int_{\mathbb{R}^d} G_1(x) \, dx = 1. $$

On pose $G_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}G_1(x/\varepsilon)$ pour $\varepsilon > 0$ et $f_\varepsilon = G_\varepsilon * f$. Alors $f_\varepsilon$ converge vers $f$ dans $L^1(\mathbb{R}^d)$ lorsque $\varepsilon \to 0$.

**DÉMONSTRATION.** On commence par traiter le cas où $f = \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$, de support inclus dans la boule $B(0, R)$. En faisant le changement de variable $y = \varepsilon s$ dans la formule

$$ \varphi_\varepsilon(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x - y) G_\varepsilon(y) \, dy, $$

il vient que

$$ \varphi_\varepsilon(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x - \varepsilon s) G_1(s) \, ds. $$

On en déduit

$$ \varphi_\varepsilon(x) - \varphi(x) = \int_{\mathbb{R}^d} (\varphi(x - \varepsilon s) - \varphi(x)) G_1(s) \, ds, $$

d'où

$$ \begin{aligned} \|\varphi_\varepsilon - \varphi\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} &\le \int_{\mathbb{R}^{2d}} |\varphi(x - \varepsilon s) - \varphi(x)| |G_1(s)| \, dx \, ds, \\ \|\varphi_\varepsilon - \varphi\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} &\le \int_{\mathbb{R}^d} \int_{|x| \le R+1} |\varphi(x - \varepsilon s) - \varphi(x)| |G_1(s)| \, dx \, ds \\ &\quad + \int_{\mathbb{R}^d} \int_{|x| \ge R+1} |\varphi(x - \varepsilon s)| |G_1(s)| \, dx \, ds = I_1 + I_2. \end{aligned} $$
Dans la seconde intégrale, on a $\varphi(x - \varepsilon s) = 0$ lorsque $|\varepsilon s| \le 1$, donc

$$
\begin{align*}
I_2 &\le \int_{|s|\ge 1/\varepsilon} \int_{\mathbb{R}^d} |\varphi(x - \varepsilon s)| |G_1(s)| \,dx\,ds, \\
I_2 &\le \int_{|s|\ge 1/\varepsilon} |G_1(s)| \left( \int_{B(\varepsilon s, R)} |\varphi(x - \varepsilon s)| \,dx \right) \,ds,
\end{align*}
$$

et donc finalement

$$
I_2 \le ||\varphi||_{L^1(\mathbb{R}^d)} \int_{|s|\ge 1/\varepsilon} |G_1(s)| \,ds,
$$

cette dernière intégrale tendant vers 0 lorsque $\varepsilon \to 0$. Pour ce qui est de l'intégrale $I_1$,
la fonction de $(x, s)$ intégrée tend vers 0 presque partout en utilisant la continuité de $\varphi$.
Elle est par ailleurs majorée par $2||\varphi||_{L^\infty}|G_1(s)|$ qui est intégrable sur $B(0, R+1) \times \mathbb{R}^d$.
Par le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on conclut donc que $I_1$ tend
également vers 0 lorsque $\varepsilon \to 0$.

On considère maintenant une fonction de $L^1(\mathbb{R}^d)$. Pour $\alpha > 0$, par densité de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ dans $L^1(\mathbb{R}^d)$ on peut trouver $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ telle que $||f - \varphi||_{L^1} \le \alpha/3$ et $||f - \varphi||_{L^1}||G_1||_{L^1} \le \alpha/3$. En utilisant l'inégalité triangulaire, on a

$$
||f * G_{\varepsilon} - f||_{L^1(\mathbb{R}^d)} \le ||(f - \varphi) * G_{\varepsilon}||_{L^1(\mathbb{R}^d)} + ||\varphi * G_{\varepsilon} - \varphi||_{L^1(\mathbb{R}^d)} + ||\varphi - f||_{L^1(\mathbb{R}^d)}.
$$

D'après le théorème 2.23, le premier terme se majore par ||f - ϕ||<sub>L<sup>1</sup></sub>||G<sub>1</sub>||<sub>L<sup>1</sup></sub>, soit par α/3, il en est de même pour le troisième. Le second est majoré par α/3 dès que ε est suffisamment petit d'après la première partie du théorème. On a donc finalement

$$
||f * G_{\epsilon} - f||_{L^1(\mathbb{R}^d)} \le \alpha
$$

dès que $\varepsilon$ est suffisamment petit, d'où la conclusion.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

On utilise le lemme précédent pour montrer la formule de réciprocité pour les fonctions
de $L^1$ dont la transformée de Fourier est dans $L^1$.

**Proposition 4.19 (Formule de réciprocité)** *Soit f ∈ L¹(ℝ⁴) telle que *f̂* ∈ L¹(ℝ⁴).*

*On a*

$$
f = \bar{\mathcal{F}}(\hat{f}).
$$

DÉMONSTRATION. Si l’on explicite le membre de droite de l’égalité précédente, on obtient

$$
\bar{\mathcal{F}}(\hat{f})(x) = \frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d} e^{-iy \cdot \xi} f(y) \, dy \right) e^{ix \cdot \xi} \, d\xi.
$$

Nous serions tentés d'inverser l'ordre d'intégration dans cette intégrale double, mais la fonction $(\xi, y) \mapsto e^{i(x-y)\cdot\xi} f(y)$ n'est pas intégrable dans $\mathbb{R}^{2d}$. On introduit donc, pour $\varepsilon > 0$ et $x \in \mathbb{R}^d$, la fonction $(\xi, y) \mapsto e^{i(x-y)\cdot\xi} e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/4} f(y)$, qui est elle intégrable dans $\mathbb{R}^{2d}$, et on peut ainsi considérer

$$
I_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^{2d}} e^{i(x-y)\cdot\xi} e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/4} f(y) \, dy \, d\xi. \quad (4.17)
$$
Par application du théorème de Fubini, en intégrant d'abord par rapport à y on obtient

$$I_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{\mathbb{R}^d} e^{ix \cdot \xi} e^{-\varepsilon^2 |\xi|^2/4} \hat{f}(\xi) \, d\xi.$$

En utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, étant donnée l'hypothèse que $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R}^d)$, on obtient que $\lim_{\varepsilon \to 0} I_{\varepsilon}(x) = I(x)$, avec

$$I(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{\mathbb{R}^d} e^{ix \cdot \xi} \hat{f}(\xi) \, d\xi.$$

On voit donc que $I_{\varepsilon}(x)$ converge vers $\overline{\mathcal{F}}(\hat{f})(x)$ lorsque $\varepsilon \to 0$ en chaque point $x$. Pour $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$, on a

$$\langle I_{\varepsilon} - \overline{\mathcal{F}}(\hat{f}), \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} (I_{\varepsilon}(x) - \overline{\mathcal{F}}(\hat{f})(x))\varphi(x) \, dx.$$

Comme $I_{\varepsilon}$ est majorée au facteur $1/(2\pi)^{d/2}$ près par la constante $||\hat{f}||_{L^1}$, une nouvelle application du théorème de convergence dominée de Lebesgue montre que $I_{\varepsilon}$ converge vers $\overline{\mathcal{F}}(\hat{f})$ au sens des distributions.

Si maintenant on intègre d'abord par rapport à $\xi$ dans (4.17), on obtient

$$I_{\varepsilon}(x) = \int_{\mathbb{R}^d} G_{\varepsilon}(x-y)f(y) \, dy,$$

avec

$$G_{\varepsilon}(z) = \frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} e^{iz \cdot \xi} e^{-\varepsilon^2 |\xi|^2/4} \, d\xi,$$

c'est-à-dire $I_{\varepsilon} = G_{\varepsilon} * f$. On voit que $G_{\varepsilon}$ est au facteur $1/(2\pi)^{d/2}$ près la transformée de Fourier de la fonction $e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/4}$. En utilisant la transformée de Fourier de la Gaussienne donnée par (4.13), on obtient sans difficulté que

$$G_{\varepsilon}(z) = \frac{1}{\varepsilon^d} G_1\left(\frac{z}{\varepsilon}\right),$$

avec

$$G_1(z) = \frac{1}{\pi^{d/2}} e^{-|z|^2}.$$

La fonction $G_1$ étant d'intégrale égale à 1, en utilisant le lemme 4.18 on obtient que $G_{\varepsilon} * f$ converge vers $f$ dans $L^1(\mathbb{R}^d)$. On voit donc que $I_{\varepsilon}$ converge vers $f$ dans $L^1(\mathbb{R}^d)$, et donc en particulier au sens des distributions. Les fonctions $f$ et $\overline{\mathcal{F}}(\hat{f})$ sont égales en tant que distributions, et donc en tant qu'éléments de $L^1(\mathbb{R}^d)$. □
On en déduit le théorème suivant, qui définit la transformée de Fourier pour les fonctions de carré intégrable.

**Théorème 4.20** Pour $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, si $(\varphi_n)$ est une suite de fonctions de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ qui converge vers $f$ dans $L^2$, la suite $(\hat{\varphi}_n)$ converge dans $L^2$ vers une limite appelée la transformée de Fourier $\mathcal{F}$ de $f$, cette limite ne dépendant pas de la suite choisie. On définit de manière analogue la conjuguée de la transformée de Fourier $\overline{\mathcal{F}}$ de $f$. La transformée de Fourier $\mathcal{F}$ est une isométrie bijective de $L^2(\mathbb{R}^d)$ sur lui-même, d'inverse $\overline{\mathcal{F}}$.

**DÉMONSTRATION.** On voit tout d'abord que $\mathcal{F}$ conserve la norme $L^2$ des éléments de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$. Soient en effet deux éléments $f$ et $g$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$, et posons $h = \bar{g}$. Il est clair que $h \in L^1(\mathbb{R}^d)$ en vertu des théorèmes 4.6 et 4.7. En utilisant la relation (4.16) pour les fonctions $f$ et $h$, on a

$$ \int_{\mathbb{R}^d} f \hat{h} \, dx = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f} h \, dx. $$

On remarque ensuite que

$$ \mathcal{F}h = \overline{\mathcal{F}\bar{g}} = \overline{\overline{\mathcal{F}\hat{g}}} = \bar{g}, $$

cette dernière égalité provenant de la proposition 4.19. On a donc

$$ \int_{\mathbb{R}^d} f \bar{g} \, dx = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f} \overline{\hat{g}} \, dx. $$

On voit que la transformée de Fourier conserve le produit scalaire, et donc la norme $L^2$, pour les éléments de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$.

On utilise maintenant le fait que $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ est dense dans $L^2(\mathbb{R}^d)$. Pour $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, soit donc $(\varphi_n)$ une suite d'éléments de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ qui converge vers $f$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$. La suite $(\varphi_n)$ est donc de Cauchy dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$, on a $||\varphi_m - \varphi_n||_{L^2} \le \varepsilon$ pour $m, n$ assez grands. Comme $||\hat{\varphi}_m - \hat{\varphi}_n||_{L^2} = ||\varphi_m - \varphi_n||_{L^2}$ d'après ce qui précède, on en déduit que la suite $(\hat{\varphi}_n)$ est également de Cauchy dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, et converge dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ puisque cet espace est complet d'après le théorème 4.16. On appelle $\mathcal{F}f$ la limite de cette suite, dont on vérifie facilement qu'elle ne dépend pas de la suite choisie. On peut définir $\overline{\mathcal{F}}f$ de la même manière. En passant à la limite dans les relations

$$ ||\hat{\varphi}_n||_{L^2(\mathbb{R}^d)} = ||\varphi_n||_{L^2(\mathbb{R}^d)}, \quad \varphi_n = \overline{\mathcal{F}}(\hat{\varphi}_n), $$

on obtient les mêmes relations avec $f$, ce qui permet de conclure que $\mathcal{F}: L^2 \to L^2$ est une isométrie d'inverse $\overline{\mathcal{F}}$.

Il reste à vérifier que la transformée de Fourier définie ainsi sur $L^2$ étend effectivement celle définie sur $L^1$ par la formule (4.2), c'est-à-dire que les deux définitions coïncident pour les fonctions de $L^1 \cap L^2$. On utilise à cette fin un raffinement des théorèmes 4.4 et 4.17 qui précise que pour tout $f \in L^1 \cap L^2$, il existe une suite de fonctions $\varphi_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ telle que $(\varphi_n)$ converge vers $f$ simultanément dans $L^1$ et dans $L^2$. D'après (4.4), il en résulte que $\hat{\varphi}_n$ converge uniformément vers la transformée de
Fourier de $f$ calculée par la formule (4.2) (c'est un élément de $C^0(\mathbb{R}^d)$), tandis que $(\hat{\phi}_n)$ converge en norme $L^2$ vers la transformée de Fourier de $f$ définie dans la première partie de la démonstration (c'est un élément de $L^2(\mathbb{R}^d)$). Ces deux limites coïncident donc presque partout. $\square$

Compte tenu de l'importance de ce résultat, nous explicitons la conservation par la transformation de Fourier du produit scalaire dans $L^2$ (identité de Parseval) et de la norme associée (identité de Plancherel).

**Théorème 4.21 (Identité de Parseval)** *Pour tous $f$ et $g$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, on a*

$$ (f,g)_{L^2} = (\hat{f}, \hat{g})_{L^2} $$

**Théorème 4.22 (Identité de Plancherel)** *Pour tout $f$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, on a*

$$ ||f||_{L^2} = ||\hat{f}||_{L^2}. $$

En pratique, lorsque l'on cherche à calculer la transformée de Fourier d'une fonction de $L^2(\mathbb{R}^d)$ qui n'est pas dans $L^1(\mathbb{R}^d)$, il n'est pas nécessaire de construire une suite d'approximations dans $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$. En effet, on a le

**Théorème 4.23** *Soit $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$. Alors $\hat{f}$ est la limite dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ lorsque $n \to +\infty$ de la suite de fonctions*

$$ \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{|x| \le n} e^{-ix \cdot \xi} f(x) dx. $$

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de remarquer que la suite $(f_n)$ des fonctions de $L^1 \cap L^2$ égales à $f$ pour $|x| \le n$ et 0 sinon tend vers $f$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, en vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue. Donc $\hat{f}_n$ tend vers $\hat{f}$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ d'après l'identité de Plancherel. $\square$
# Chapitre 5
## Espaces de Hilbert

Ce chapitre est consacré aux espaces de Hilbert dont nous donnons la définition et les principales propriétés. Il s'agit d'une classe particulière d'espaces vectoriels normés complets dont la norme dérive d'un produit scalaire, ce qui leur confère une structure très riche.

L'ensemble des propriétés spécifiques aux espaces de Hilbert repose sur un résultat fondamental : il s'agit du théorème de la projection qui prouve l'existence d'un opérateur de projection sur un sous-ensemble convexe et fermé. Comme on le verra, sa démonstration met en jeu une utilisation conjointe du critère de Cauchy et de propriétés élémentaires telles que le théorème de Pythagore.

Une conséquence importante en est le théorème d'identification de Riesz qui prouve qu'un espace de Hilbert est isomorphe à son dual, ce qui conduit dans de nombreux cas à identifier l'espace et son dual.

Plus généralement, nous démontrerons au chapitre 7 une conséquence très utile du théorème de la projection : il s'agit du théorème de Lax-Milgram qui constitue, dans le cadre des espaces de Sobolev, un outil puissant pour l'étude des problèmes aux limites dits elliptiques.

La notion de base hilbertienne est introduite à la fin du chapitre, et illustrée par l'exemple, très important en pratique, des séries de Fourier. Il est à noter que dans ce chapitre les espaces vectoriels que nous considérons sont construits sur le corps $\mathbb{C}$ des complexes.

### 5.1 Propriétés élémentaires

Soit $H$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$. Nous allons tout d'abord poser quelques définitions.

**Définition 5.1** Une application $\ell$ de $H$ dans $\mathbb{C}$ est dite anti-linéaire si

$$ \ell(u + v) = \ell(u) + \ell(v) \text{ et } \ell(\lambda u) = \bar{\lambda}\ell(u), \forall u \in V, \forall v \in V, \forall \lambda \in \mathbb{C}. $$

Dans la suite, une application anti-linéaire de $H$ dans $\mathbb{C}$ sera encore appelée forme
anti-linéaire sur $H$, tandis qu'une application linéaire de $H$ dans $\mathbb{C}$ sera encore appelée
forme linéaire sur $H$.

**Définition 5.2** On dit qu'une application de $H \times H$ dans $\mathbb{C}$ qui au couple $(u, v)$ associe $b(u, v)$ est une forme sesquilinéaire sur $H \times H$ si pour tout $u \in H$, l'application $v \to b(v, u)$ est linéaire et l'application $v \to b(u, v)$ est anti-linéaire.

On vérifie sans difficulté le

**Lemme 5.3 (Identité du parallélogramme)** Soit $b$ une forme sesquilinéaire sur $H \times H$. Alors pour tout couple $(u, v)$ de $H \times H$,

$$b(u + v, u + v) + b(u - v, u - v) = 2(b(u, u) + b(v, v)).$$

**Définition 5.4** Une forme sesquilinéaire $b$ sur $H \times H$ est dite hermitienne si pour tout couple $(u, v)$ de $H \times H$,

$$b(u, v) = \overline{b(v, u)}.$$

Bien entendu, si $b$ est une forme sesquilinéaire hermitienne sur $H$, alors $b(u, u) \in \mathbb{R}$ pour tout $u \in H$.

**Définition 5.5** Une forme sesquilinéaire hermitienne $b$ sur $H \times H$ est dite positive si pour tout $u \in H$, $b(u, u) \ge 0$.

Nous allons maintenant démontrer deux propriétés très utiles des formes sesquilinéaires hermitiennes positives.

**Lemme 5.6 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)** Soit $b$ une forme sesquilinéaire hermitienne positive $b$ sur $H \times H$. Alors, pour tout couple $(u, v)$ de $H \times H$,

$$|b(u, v)| \le b(u, u)^{1/2} b(v, v)^{1/2}.$$

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de remarquer que pour tout $t$ réel, $b(u + tv, u + tv) \ge 0$. Ceci s'écrit aussi :

$$b(u, u) + 2t \mathfrak{Re}(b(u, v)) + t^2 b(v, v) \ge 0.$$

Il s'agit d'un polynôme de degré 2 en $t$ qui est positif ou nul pour tout réel $t$. On peut donc affirmer que son discriminant est négatif ou nul, ce qui s'écrit :

$$(\mathfrak{Re} b(u, v))^2 \le b(u, u) b(v, v).$$

Si $b(u, v)$ est réel la démonstration est terminée. Sinon, on choisit $\lambda \in \mathbb{C}$ de module 1 tel que $b(u, \lambda v)$ soit réel (c'est toujours possible) et on pose $t = \lambda s$. On raisonne alors de la même façon sur la variable réelle $s$. $\square$
De l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit immédiatement le

**Lemme 5.7 (Inégalité de Minkowski)** Soit $b$ est une forme sesquilinéaire hermitienne positive $b$ sur $H \times H$. Alors, pour tout couple $(u, v)$ de $H \times H$,

$$b(u + v, u + v)^{1/2} \leq b(u, u)^{1/2} + b(v, v)^{1/2}.$$

**DÉMONSTRATION.** En effet, on a

$$b(u + v, u + v) = b(u + v, u) + b(u + v, v).$$

Il suffit alors d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux deux termes à droite de l'égalité. $\square$

Enfin, on a la

**Définition 5.8** Une forme sesquilinéaire hermitienne positive $b$ sur $H \times H$ est dite définie si la propriété suivante est satisfaite : si $u \in H$ est tel que $b(u, u) = 0$, alors $u = 0$. On dit alors que $b$ est un produit scalaire sur $H$.

Nous pouvons maintenant montrer qu'un produit scalaire sur $H$ permet de définir une norme sur $H$ (voir la définition 1.3).

**Lemme 5.9** Si $(u, v)_H$ est un produit scalaire sur $H$, alors l'application

$$u \to (u, u)_H^{1/2}$$

est une norme sur $H$.

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de remarquer que l'inégalité de Minkowski n'est rien d'autre que l'inégalité triangulaire ; les deux autres propriétés sont immédiates. $\square$

Ceci nous permet de poser la

**Définition 5.10** Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire et qui est complet pour la norme associée.

Nous avons déjà vu un exemple d'espace de Hilbert : si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$, l'espace $L^2(\Omega)$ est un espace de Hilbert (voir le paragraphe 4.2.1). Dans le chapitre 6, nous introduirons d'autres espaces de Hilbert très utiles pour l'étude des équations aux dérivées partielles.

Un autre exemple classique est l'espace $\ell^2$ constitué des suites de nombres complexes $a = (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n|^2 < +\infty.$$
**Proposition 5.11** *L'espace $\ell^2$, muni du produit scalaire*

$$ (a, b) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \bar{b}_n, $$

est un espace de Hilbert.

**DÉMONSTRATION.** Remarquons tout d'abord que si $a$ et $b$ sont dans $\ell^2$, alors $|a_n + b_n|^2 \le 2(|a_n|^2 + |b_n|^2)$, donc $(a+b) \in \ell^2$. Autrement dit, $\ell^2$ est un espace vectoriel. Par ailleurs, pour tout $n$, $2|a_n b_n| \le |a_n|^2 + |b_n|^2$, donc la série $\sum a_n \bar{b}_n$ est absolument convergente. On peut ainsi munir $\ell^2$ du produit scalaire défini dans l'énoncé de la proposition.

Montrons maintenant que $\ell^2$ muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel complet. Soit $a^j = (a_n^j)$ une suite de Cauchy dans $\ell^2$. Alors, pour tout $\varepsilon > 0$, on a pour $j$ et $k$ assez grands $\sum |a_n^j - a_n^k|^2 < \varepsilon^2$. Il en résulte que, pour chaque $n$ fixé, la suite $(a_n^j)_j$ est de Cauchy dans $\mathbb{C}$ et converge donc vers un complexe que nous notons $a_n$.

Montrons enfin que la suite $a$ de terme général $a_n$ est dans $\ell^2$ et que la suite $a^j$ converge vers $a$ dans $\ell^2$. On a pour $j$ et $k$ assez grands et pour tout $N$

$$ \sum_{n=0}^{N} |a_n^j - a_n^k|^2 < \varepsilon^2. $$

En passant à la limite sur $k$ dans l'inégalité précédente, on trouve que pour $j$ assez grand, on a pour tout $N$, $\sum_{n=0}^{N} |a_n^j - a_n|^2 < \varepsilon^2$, et donc pour $j$ assez grand

$$ \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n^j - a_n|^2 < \varepsilon^2. $$

Ce qui précède prouve que la suite $a - a^j$ appartient à $\ell^2$, par conséquent $a \in \ell^2$, et enfin que la suite $a^j$ converge vers $a$ dans $\ell^2$. $\square$

## 5.2 Le théorème de projection

A partir de maintenant, $H$ désigne un espace de Hilbert. Son produit scalaire et la norme associée sont notés $(u, v)$ et $\|u\|$.

On rappelle tout d'abord la

**Définition 5.12** On dit qu'un sous-ensemble $K$ de $H$ est convexe si pour tout couple $(u, v)$ de $K \times K$ et pour tout réel $t$ compris entre 0 et 1, $(1-t)u + tv$ appartient à $K$.

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat fondamental suivant :

**Théorème 5.13 (de projection)** *Soit $K \subset H$ un convexe fermé non vide.*
(i) Pour tout $u$ dans $H$, il existe un unique élément de $K$ que l'on notera $Pu$ tel que :

$$ ||u - Pu|| \leq ||u - v||, \forall v \in K. $$

(ii) De plus, $Pu$ est caractérisé par la propriété suivante :

$$ Pu \in K \text{ et } \Re(u - Pu, v - Pu) \leq 0 \quad \forall v \in K. \qquad (5.1) $$

$Pu$ est appelé la projection de $u$ sur $K$ et vérifie $P^2u = Pu$.

**DÉMONSTRATION.** On commence par montrer l'existence de $Pu$ : posons

$$ d = \inf_{v \in K} ||u - v|| $$

et considérons une suite minimisante $(v_n)$, c'est-à-dire

$$ v_n \in K \text{ et } ||u - v_n|| \to d \text{ quand } n \to +\infty. $$

En appliquant l'identité du parallélogramme à $a = u - v_n$ et $b = u - v_m$, on trouve :

$$ ||2u - v_n - v_m||^2 + ||v_m - v_n||^2 = 2(||u - v_n||^2 + ||u - v_m||^2). $$

Comme $K$ est convexe, $(v_n + v_m)/2 \in K$ et par définition de $d$, on a

$$ ||2u - v_n - v_m||^2 = 4||u - \frac{v_n + v_m}{2}||^2 \geq 4d^2. $$

Par conséquent

$$ ||v_m - v_n||^2 \leq 2(||u - v_n||^2 + ||u - v_m||^2) - 4d^2. $$

Ceci prouve que la suite $(v_n)$ est de Cauchy dans $H$. Comme $H$ est complet, elle converge donc vers un élément de $H$ que nous notons $Pu$ tel que $||u - Pu|| = d$. Enfin, comme $K$ est fermé, $Pu \in K$.

Montrons maintenant l'unicité de $Pu$ : supposons qu'il existe deux éléments de $K$, notés $Pu$ et $\tilde{Pu}$, tels que :

$$ ||u - Pu|| = ||u - \tilde{Pu}|| = d. $$

Alors, en appliquant l'identité du parallélogramme à $a = u - Pu$ et $b = u - \tilde{Pu}$, on trouve :

$$ ||2u - Pu - \tilde{Pu}||^2 + ||Pu - \tilde{Pu}||^2 = 4d^2. $$

En utilisant à nouveau la convexité de $K$ et la définition de $d$, on voit que :

$$ ||2u - Pu - \tilde{Pu}||^2 = 4||u - \frac{Pu + \tilde{Pu}}{2}||^2 \geq 4d^2, $$
d'où, nécessairement $||Pu - \tilde{Pu}|| = 0$.

Montrons enfin la caractérisation de $Pu$. Vérifions d'abord que $Pu$ satisfait (5.1). Soit $v \in K$ et $t \in ]0, 1]$. Alors $w = (1-t)Pu + tv \in K$ et par conséquent, $||u - w|| \ge d$. Or

$$ 
\begin{align*} 
||u - w||^2 &= ||(u - Pu) + t(Pu - v)||^2 \\
&= ||u - Pu||^2 + 2t \mathfrak{Re}(u - Pu, Pu - v) + t^2 ||Pu - v||^2 \\
&= d^2 + 2t \mathfrak{Re}(u - Pu, Pu - v) + t^2 ||Pu - v||^2. 
\end{align*} 
$$

On a donc

$$ 2t \mathfrak{Re}(u - Pu, Pu - v) + t^2 ||Pu - v||^2 \ge 0. $$

En divisant par $t$ puis en faisant tendre $t$ vers 0, on obtient finalement (5.1). Réciproquement, soit $w \in K$ tel que

$$ \mathfrak{Re}(u - w, w - v) \ge 0, \forall v \in K. $$

Alors, pour tout $v \in K$

$$ ||u - v||^2 = ||(u - w) + (w - v)||^2 = ||u - w||^2 + ||w - v||^2 + 2 \mathfrak{Re}(u - w, w - v) $$

et par conséquent $||u - v||^2 \ge ||u - w||^2$. Ceci montre que $w = Pu$. $\square$

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Bien entendu, le théorème précédent s'applique au cas où $K$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$. L'opérateur $P$ a dans ce cas plusieurs propriétés remarquables :

**Lemme 5.14** Soit $E$ un sous-espace vectoriel fermé de $H$ et $P$ l'opérateur qui à $u \in H$ associe sa projection $Pu$ sur le sous-espace $E$. Alors on a les propriétés suivantes :

(i) Pour tout $u \in H$, $Pu$ est caractérisé par

$$ Pu \in E \text{ et } (u - Pu, v) = 0, \forall v \in E. \qquad (5.2) $$

(ii) $P$ est un opérateur linéaire de $H$ dans $H$.

(iii) Pour tout $u \in H$, $||Pu|| \le ||u||$. $P$ est donc un opérateur continu de $H$ dans $H$. On dit que $P$ est l'opérateur de projection orthogonale sur $E$.

**DÉMONSTRATION.** Commençons par montrer la caractérisation. Soient $u \in H$, $v \in E$ et $\lambda \in \mathbb{C}$. D'après le théorème précédent,

$$ \mathfrak{Re}(u - Pu, w - Pu) \le 0, \forall w \in E. $$

En particulier, si $w = Pu + \lambda v$ (qui appartient bien à $E$ puisque $E$ est un espace vectoriel), on trouve $\mathfrak{Re}(u - Pu, \lambda v) \le 0$. En choisissant $\lambda = (u - Pu, v)$ on trouve finalement

$$ |(u - Pu, v)|^2 \le 0, $$
d'où $(u - Pu, v) = 0$. Réciproquement, si $w \in E$ est tel que $(u - w, v) = 0$, $\forall v \in E$, alors on a aussi, puisque $w - v \in E$,

$$ (u - w, w - v) = 0. $$

Ainsi,

$$ ||u - v||^2 = ||u - w||^2 + ||w - v||^2, \forall v \in E, $$

d'où

$$ ||u - w|| = \min_{v \in E} ||u - v||. $$

Autrement dit, $w = Pu$.

Montrons maintenant que $P$ est un opérateur linéaire de $H$ dans $H$. Pour tout $u \in H$ et $\lambda \in \mathbb{C}$, on a $\lambda Pu \in E$ et

$$ \lambda(u - Pu, v) = (\lambda u - \lambda Pu, v) = 0, \forall v \in E. $$

D'après la caractérisation (5.2), cela prouve que $P(\lambda u) = \lambda Pu$. On prouve de même que $P(u + v) = Pu + Pv, \forall u, v \in H$.

Enfin, pour tout $u$ dans $H$, on a $(u - Pu, Pu) = 0$, donc $||u||^2 = ||u - Pu||^2 + ||Pu||^2$, d'où $||Pu|| \le ||u||$. $\square$

Avant d'énoncer quelques corollaires importants de ce lemme, il nous faut introduire la définition suivante :

**Définition 5.15** Soit $F$ un sous-ensemble de $H$. On appelle espace orthogonal à $F$ et on note $F^{\perp}$ le sous-espace vectoriel de $H$ défini par :

$$ F^{\perp} = \{u \in H; (u, v) = 0, \forall v \in F\}. $$

Remarquons que $F^{\perp}$ est fermé. En effet, si une suite $(u_n)$ d'éléments de $F^{\perp}$ converge vers $u \in H$, on a $(u_n - u, v) \to 0$ pour tout $v \in H$, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Par conséquent $(u, v) = 0$ pour tout $v \in F$.

On a tout d'abord le

**Corollaire 5.16** Si $E$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$, alors :

$$ H = E \oplus E^{\perp}. $$

**DÉMONSTRATION.** Notons $P$ la projection orthogonale sur $E$. Alors, si $u \in H$, $u = (u - Pu) + Pu$ avec $Pu \in E$ et $u - Pu \in E^{\perp}$ d'après le lemme 5.14 (i). Pour établir l'unicité d'une telle décomposition, on remarque que si

$$ u_1 + u_2 = 0 \text{ avec } u_1 \in E \text{ et } u_2 \in E^{\perp}, $$

on a immédiatement $||u_1||^2 + ||u_2||^2 = 0$, d'où $u_1 = u_2 = 0$. $\square$
Ce résultat nous donne une caractérisation très utile des sous-espaces denses d'un espace de Hilbert.

**Corollaire 5.17** Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$. Alors $F$ est dense dans $H$ si et seulement si $F^{\perp} = \{0\}$.

**DÉMONSTRATION.** Notons $E$ l'adhérence de $F$. Vérifions que

$$E^{\perp} = F^{\perp}.$$

En effet, il est clair que $F \subset E$ implique que $E^{\perp} \subset F^{\perp}$. Soit maintenant un élément $u$ de $F^{\perp}$, on a donc $(u, v) = 0$ pour tout $v \in F$. Pour tout $v \in E$, il existe une suite $(v_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers $v$ dans $H$. En passant à la limite dans l'égalité $(u, v_n) = 0$, il vient $(u, v) = 0$, soit $u \in E^{\perp}$. Par ailleurs, $E$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$. Par conséquent, d'après le corollaire précédent,

$$H = E \oplus E^{\perp} = E \oplus F^{\perp}.$$

Ceci prouve que $E = H$ si et seulement si $F^{\perp} = \{0\}$.

□

Nous allons conclure ce paragraphe en démontrant un résultat important pour la suite. En utilisant le théorème de la projection, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme entre un espace de Hilbert $H$ et son dual, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur $H$. Ce résultat, dû à Riesz, conduira souvent à identifier un espace de Hilbert à son dual.

**Théorème 5.18 (de Riesz)** Soit $\ell$ une forme linéaire continue sur $H$. Alors il existe un et un seul élément $u \in H$ tel que

$$\ell(v) = (v, u) \quad \forall v \in H.$$

De plus

$$|||\ell||| := \sup_{v \in H, v \neq 0} \frac{|\ell(v)|}{||v||} = ||u||.$$

**DÉMONSTRATION.** Notons tout d'abord que si $\ell = 0$, le résultat est immédiat. On suppose donc que $\ell \neq 0$ et on note $E$ le noyau de la forme $\ell$ :

$$E = \{v \in H; \ell(v) = 0\}.$$

Comme $\ell$ est linéaire et continue, $E$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$. Comme $E^{\perp}$ n'est pas réduit à $\{0\}$, il contient un élément non nul $w$. Cet élément n'appartient donc pas à $E$, soit $\ell(w) \neq 0$. Pour tout $v \in H$, posons

$$v = \frac{\ell(v)}{\ell(w)}w + \left(v - \frac{\ell(v)}{\ell(w)}w\right) = v_1 + v_2.$$
On a $v_1 \in E^\perp$ tandis que $v_2 \in E$. On en déduit

$$ (v, w) = \frac{\ell(v)}{\ell(w)} ||w||^2. $$

On pose enfin

$$ u = \frac{\overline{\ell(w)}}{||w||^2} w, $$

et l'on voit que pour tout $v \in H$, $(v, u) = \ell(v)$, ce qui achève la preuve de l'existence du $u$.

L'unicité est elle immédiate, de même que l'identité $|||\ell||| = ||u||$. $\square$

## 5.3 Bases hilbertiennes

On se limite dans la suite aux espaces de Hilbert séparables, c'est-à-dire admettant un sous-ensemble dénombrable dense. La quasi-totalité des espaces de Hilbert associés aux problèmes de la physique sont séparables : ce cas “particulier” est en fait très général ! Tout espace de Hilbert séparable possède une base hilbertienne (dénombrable), qui généralise la base orthonormale en dimension finie. Ainsi par exemple, on peut montrer facilement, à l'aide du théorème de Stone-Weierstraß, que les fonctions $e^{in\theta}/\sqrt{2\pi}$, pour $n \in \mathbb{Z}$, constituent une base hilbertienne de $L^2(]0, 2\pi[$. Plus généralement, la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints compacts (qui n'est pas abordée dans ce cours) permet de construire diverses bases hilbertiennes, destinées à diagonaliser des opérateurs aux dérivées partielles. Nous considérons donc exclusivement dans ce paragraphe le cas d'un espace de Hilbert $H$ séparable et de dimension infinie.

Rappelons tout d'abord les définitions essentielles suivantes.

**Définition 5.19** On dit qu'un espace de Hilbert $H$ est séparable s'il existe un sous-ensemble dénombrable et dense dans $H$.

**Définition 5.20** Soit $H$ un espace de Hilbert séparable. On appelle base hilbertienne de $H$ toute famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $H$ de norme 1 et orthogonaux deux à deux, c'est-à-dire

$$ (e_m, e_n) = \delta_{mn}, $$

telle que le sous-espace formé par les combinaisons linéaires finies d'éléments de la suite $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ soit dense dans $H$.

On a le

**Théorème 5.21** Tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie admet une base hilbertienne.
**DÉMONSTRATION.** Soit $H$ un espace de Hilbert séparable de dimension infinie et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un sous-ensemble dense dans $H$. A plus forte raison, l'espace vectoriel $F$ engendré par les $f_n$, c'est-à-dire formé par les combinaisons linéaires finies des $f_n$, est dense dans $H$. On peut alors extraire de la suite $(f_n)$ une sous-suite dont tous les vecteurs $f_n$ sont linéairement indépendants (en effet, si l'un d'eux est une combinaison linéaire finie des autres, on peut le supprimer de la suite $(f_n)$ sans modifier l'espace $F$).

On applique alors le procédé d'othonormalisation de Schmidt à la sous-suite $(f_n)$ : on pose $e_0 = f_0/||f_0||$ et par récurrence, pour tout $n \ge 0$,

$$e_{n+1} = \frac{f_{n+1} - \sum_{m=0}^{n} (f_{n+1}, e_m)e_m}{||f_{n+1} - \sum_{m=0}^{n} (f_{n+1}, e_m)e_m||}.$$

Par construction, la famille $(e_n)$ est orthonormée et elle engendre l'espace $F$ qui est dense dans $H$. C'est donc bien une base hilbertienne de $H$. $\square$

**Remarque 5.22** La réciproque est également vraie. Si un espace de Hilbert $H$ admet une base hilbertienne, alors il est séparable. En effet, l'ensemble dénombrable formé de toutes les combinaisons linéaires finies d'éléments de la base à coefficients dont les parties réelles et imaginaires sont rationnelles est dense dans $H$.

On aura besoin dans la suite du lemme suivant.

**Lemme 5.23** Soit $H$ un espace de Hilbert et $(u_n)$ une suite d'éléments de $H$ tels que les $u_n$ soient deux à deux orthogonaux. Alors la série $\sum u_n$ converge si et seulement si la série $\sum ||u_n||^2$ converge, et

$$\left\| \sum u_n \right\|^2 = \sum ||u_n||^2.$$

**DÉMONSTRATION.** Supposons que la série $\sum u_n$ soit convergente dans $H$ et posons $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$. Les $u_n$ étant orthogonaux deux à deux, on a

$$||S_N||^2 = \sum_{n=0}^{N} ||u_n||^2.$$

La suite $(S_N)$ converge par hypothèse, ce qui est donc aussi le cas pour la série numérique $\sum ||u_n||^2$.

Réciproquement, on suppose que la série $\sum ||u_n||^2$ converge. On a, les $u_n$ étant deux à deux orthogonaux,

$$||S_{N+M} - S_N||^2 = \sum_{n=N+1}^{N+M} ||u_n||^2 = ||S_{N+M}||^2 - ||S_N||^2.$$

La suite numérique ($||S_N||$) est convergente, donc de Cauchy dans $\mathbb{R}$. La suite $(S_N)$ est donc également de Cauchy dans $H$, et finalement converge dans $H$. $\square$
On en arrive maintenant au théorème le plus important de ce paragraphe.

**Théorème 5.24** Soit $H$ un espace de Hilbert séparable et $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une base hilbertienne de $H$.

(i) Tout élément $u \in H$ peut s'écrire de manière unique sous la forme

$$u = \sum (u, e_n)e_n,$$

avec

$$||u||^2 = \sum |(u, e_n)|^2.$$

(ii) Réciproquement, étant donnée une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathbb{C}$ tels que $\sum |a_n|^2 < +\infty$, alors la série $\sum a_n e_n$ converge dans $H$ vers un élément $u$ tel que pour tout $n$, $a_n = (u, e_n)$.

**DÉMONSTRATION.** Pour montrer la partie (i) du théorème, considérons $u \in H$ et posons $S_N = \sum_{n=0}^{N} (u, e_n)e_n$. On a

$$(S_N, u) = \sum_{n=0}^{N} |(u, e_n)|^2 = ||S_N||^2.$$

On en déduit que $||S_N||^2 \le ||S_N|| ||u||$, soit $||S_N|| \le ||u||$, et la série numérique $\sum |(u, e_n)|^2$ est donc convergente. D'après le lemme 5.23, la série $\sum (u, e_n)e_n$ est donc convergente dans $H$. Si $v \in H$ désigne la limite, on a pour $N \ge n$, $(S_N, e_n) = (u, e_n)$. En passant à la limite $N \to +\infty$, il vient que $(v, e_n) = (u, e_n)$ pour tout $n$, soit $v = u$ d'après le corollaire 5.17.

Montrons maintenant la partie (ii). Si la série $\sum |a_n|^2 = \sum ||a_n e_n||^2$ converge, alors par le lemme 5.23, la série $\sum a_n e_n$ converge dans $H$ vers un élément $u$. Posant $S_N = \sum_{n=0}^{N} a_n e_n$, on a pour $N \ge n$, $(S_N, e_n) = a_n$. En passant à la limite $N \to +\infty$, il vient que $a_n = (u, e_n)$ pour tout $n$, ce qui termine la preuve. $\square$

Du théorème précédent on déduit le corollaire suivant :

**Corollaire 5.25** Tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie est isomorphe à $\ell^2$.

En effet, soit $H$ un espace de Hilbert séparable de dimension infinie et $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une base hilbertienne de $H$. Alors l'application $T$ qui à $u \in H$ associe la suite $(u, e_n)$ définit un isomorphisme de $H$ dans $\ell^2$.

**Exemple 5.26** Nous allons terminer ce paragraphe par l'exemple des séries de Fourier dans l'espace $H = L^2(]0, 2\pi[)$. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, on note $e_n$ la fonction suivante :

$$e_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{inx}.$$
Montrons que la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ forme une base hilbertienne de $H$. Il est facile de vérifier que les fonctions $(e_n)$ forment une famille d'éléments de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Pour montrer que cette famille est dense, il nous suffit d'après le corollaire 5.17 de vérifier que si $f \in H$ est tel que tous ses coefficients de Fourier sont nuls :

$$ \int_{0}^{2\pi} f(x)e^{-inx} dx = 0, \text{ pour tout } n \in \mathbb{Z}, $$

alors la fonction $f$ est identiquement nulle.

Soit donc $f$ une telle fonction. On a alors

$$ \int_{0}^{2\pi} f(x)p(x) dx = 0 $$

pour tout polynôme trigonométrique $p$, c'est-à-dire pour toute fonction de la forme suivante :

$$ p(x) = \sum_{n=0}^{N} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)), \quad a_n, b_n \in \mathbb{C}. $$

Or, d'après le Théorème de Stone-Weierstraβ, toute fonction $g$ continue sur $]0, 2\pi[$ et telle que $g(0) = g(2\pi)$ est limite uniforme de polynômes trigonométriques. On a donc pour toute fonction $g$ continue et périodique :

$$ \int_{0}^{2\pi} f(x)g(x) dx = 0. $$

On conclut à la nullité de $f$ en utilisant par exemple la densité des fonctions continues à support compact dans $L^2(]0, 2\pi[$), donnée par le théorème 4.17.

En conclusion, nous pouvons affirmer que pour toute fonction $f$ de $L^2(]0, 2\pi[$), la série de Fourier de $f$ :

$$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} (f, e_n) e_n $$

converge dans $L^2$ vers $f$. On a a fortiori

$$ \int_{0}^{2\pi} |f(x)|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \left| \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{-inx} dx \right|^2. $$

•
# Chapitre 6

## Espaces de Sobolev

Nous allons dans ce chapitre étudier des espaces vectoriels de distributions particuliers, appelés espaces de Sobolev. Une propriété importante est qu’il s’agit d’espaces de Hilbert. Pour de nombreuses équations aux dérivées partielles issues de la physique, l’espace de Sobolev adapté à la résolution de l’équation peut s’interpréter comme l’espace des solutions d’énergie finie. Nous nous contenterons de définir et étudier les espaces de Sobolev d’ordre entier $H^m(\Omega)$ dans le cas d’un ouvert $\Omega$ quelconque, en étant plus précis sur l’espace $H^1(\Omega)$, qui joue un rôle fondamental dans l’analyse des équations aux dérivées partielles d’ordre 2. Indiquons enfin que l’on peut généraliser la notion d’espace de Sobolev $H^s(\Omega)$ pour $s \in \mathbb{R}$, mais cela nécessite des outils non abordés dans ce cours.

### 6.1 Les espaces $H^m(\Omega)$

Les espaces de Sobolev sont définis à partir de l'espace $L^2(\Omega)$ introduit au paragraphe 4.2.1.

**Définition 6.1** Si $\Omega$ désigne un ouvert de $\mathbb{R}^d$ et $m$ un entier naturel, on appelle espace de Sobolev d'ordre $m$ et on note $H^m(\Omega)$ l'espace vectoriel suivant :

$$H^m(\Omega) = \{u \in L^2(\Omega); \partial^\alpha u \in L^2(\Omega), \forall \alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha| \le m\}, \quad (6.1)$$

où

$$|\alpha| = \sum_{j=1,...,d} \alpha_j \text{ et } \partial^\alpha u = \frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_d^{\alpha_d}}.$$

Précisons que dans cette définition la dérivée $\partial^\alpha u$ est à prendre au sens de $\mathcal{D}'(\Omega)$. Il découle de la définition que

$$H^{m'}(\Omega) \subset H^m(\Omega) \subset H^0(\Omega) = L^2(\Omega), \quad \text{si } 0 \le m \le m'.$$

Des propriétés de $L^2(\Omega)$, on déduit immédiatement la
**Proposition 6.2** $H^m(\Omega)$ est un espace vectoriel et l'application

$$ (u, v) \to \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha| \le m} \int_{\Omega} \partial^{\alpha} u \partial^{\alpha} \bar{v} \, dx $$

est un produit scalaire sur $H^m(\Omega)$ que l'on notera $(u, v)_{H^m}$. La norme associée est notée $||u||_{H^m}$.

Montrons maintenant qu'il s'agit d'espaces complets.

**Proposition 6.3** *L'espace $H^m(\Omega)$, muni de la norme $||\cdot||_{H^m}$ est complet.*

**DÉMONSTRATION.** Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $H^m(\Omega)$. Alors $\partial^\alpha u_n$ est de Cauchy dans $L^2(\Omega)$ pour tout $\alpha \in \mathbb{N}^d$ tel que $|\alpha| \le m$. Comme $L^2(\Omega)$ est complet, la suite $u_n$ converge dans $L^2(\Omega)$ vers une fonction $u$. De même, il existe pour chaque $\alpha \neq 0$ une fonction $g_\alpha \in L^2(\Omega)$ telle que

$$ \partial^\alpha u_n \to g_\alpha \in L^2(\Omega). $$

Pour montrer que $u_n \to u$ dans $H^m(\Omega)$, il suffit de vérifier que $\partial^\alpha u = g_\alpha$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$. Or, pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$, on a :

$$ \langle \partial^{\alpha} u, \varphi \rangle = \langle u, (-1)^{|\alpha|} \partial^{\alpha} \varphi \rangle = \lim \langle u_n, (-1)^{|\alpha|} \partial^{\alpha} \varphi \rangle = \lim \langle \partial^{\alpha} u_n, \varphi \rangle = \langle g_{\alpha}, \varphi \rangle, $$

ce qui termine la démonstration.

□

Pour $m \in \mathbb{N}$, on définit l'espace $H_0^m(\Omega)$ comme suit.

**Définition 6.4** On appelle $H_0^m(\Omega)$ l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^m(\Omega)$.

L'espace $H_0^m(\Omega)$ est par conséquent un sous-espace fermé de l'espace de Hilbert $H^m(\Omega)$, et donc un espace de Hilbert muni de la norme induite de $H^m(\Omega)$. Dans le cas où $\Omega = \mathbb{R}^d$, on admet le résultat suivant :

**Théorème 6.5** Pour tout entier naturel $m$, l'espace $H_0^m(\mathbb{R}^d)$ coïncide avec l'espace $H^m(\mathbb{R}^d)$.

Notons que le théorème précédent revient exactement à dire que $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ est dense dans $H^m(\mathbb{R}^d)$. Il est important de noter que ce résultat n'est plus vrai pour $\Omega \neq \mathbb{R}^d$, sauf pour $m = 0$, ce que l'on comprendra en étudiant le cas $m = 1$ (paragraphe 6.2).

On termine ce paragraphe par une caractérisation du dual de $H_0^m(\Omega)$.

**Définition 6.6** Pour tout entier naturel $m$, on note $H^{-m}(\Omega)$ l'espace des distributions $u$ telles qu'il existe une constante $C$ avec

$$ \forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), \quad |\langle u, \varphi \rangle| \le C ||\varphi||_{H^m}. $$

Le théorème suivant permet d'identifier $H^{-m}(\Omega)$ au dual de $H_0^m(\Omega)$.
**Théorème 6.7** On a les deux résultats suivants.

(i) Pour tout $u \in H^{-m}(\Omega)$, l'application $\varphi \mapsto \langle u, \varphi \rangle$ définie de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $\mathbb{C}$ se prolonge en une forme linéaire continue sur $H_0^m(\Omega)$. On notera $\langle u, v \rangle_{H^{-m}, H^m}$ ce prolongement pour $v \in H_0^m(\Omega)$.

(ii) Le prolongement précédent identifie $H^{-m}(\Omega)$ au dual de $H_0^m(\Omega)$ : pour toute forme linéaire $\ell$ continue sur $H_0^m(\Omega)$, il existe un et un seul $u \in H^{-m}(\Omega)$ tel que

$$ \forall v \in H^m(\Omega), \quad \ell(v) = \langle u, v \rangle_{H^{-m}, H^m}. $$

**DÉMONSTRATION.** La première partie du théorème est une application directe de la proposition 1.15 avec $E = H_0^m(\Omega)$, $F = \mathbb{C}$, $A = \mathcal{D}(\Omega)$ et $f : \varphi \mapsto \langle u, \varphi \rangle$. Montrons maintenant la seconde partie. Soit $\ell$ une forme linéaire continue sur $H_0^m(\Omega)$. On a en particulier pour tout compact $K \subset \Omega$ et $\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$,

$$ |\ell(\varphi)| \le C ||\varphi||_{H^m} = C \sqrt{\sum_{|\alpha| \le m} \int_{\Omega} |\partial^\alpha \varphi|^2 dx} \le C \sqrt{N} \sup_{|\alpha| \le m} ||\partial^\alpha \varphi||_{L^2(\Omega)}, $$

où $N$ est le nombre de multi-indices concernés. On utilise maintenant le fait que

$$ ||\partial^\alpha \varphi||_{L^2(\Omega)} \le \sqrt{\mathrm{mes}(K)} \sup_{x \in K} |\partial^\alpha \varphi(x)|, $$

les deux inégalités précédentes aboutissant au fait qu'il existe une constante $C_K$ telle que

$$ |\ell(\varphi)| \le C_K \sup_{|\alpha| \le m} \sup_{x \in K} |\partial^\alpha \varphi(x)|, $$

ce qui montre que $\ell$ restreinte à $\mathcal{D}(\Omega)$ est une distribution $u$. On a $|\langle u, \varphi \rangle| = |\ell(\varphi)| \le C ||\varphi||_{H^m}$ pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$, ce qui montre que $u \in H^{-m}(\Omega)$. Les deux formes linéaires $\ell$ et $v \mapsto \langle u, v \rangle_{H^{-m}, H^m}$ coïncident sur l'espace dense $\mathcal{D}(\Omega)$ et donc sur $H_0^m(\Omega)$.

□

## 6.2 Le cas particulier $H^1(\Omega)$

La définition générale (6.1) devient dans le cas $m = 1$

$$ H^1(\Omega) = \left\{ u \in L^2(\Omega); \frac{\partial u}{\partial x_j} \in L^2(\Omega), \forall j = 1, \dots, d \right\}, $$

le produit scalaire de $H^1(\Omega)$ étant

$$ (u, v) \mapsto \int_{\Omega} \left( u \bar{v} + \sum_{j=1,...,d} \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial \bar{v}}{\partial x_j} \right) dx = \int_{\Omega} \left( u \bar{v} + \nabla u \cdot \nabla \bar{v} \right) dx, $$

où $\nabla u$ désigne le vecteur de $\mathbb{R}^d$ formé par les $d$ composantes $\partial u / \partial x_j$.
### 6.2.1 Notion de trace

Dans un domaine borné $\Omega$ de classe $C^1$ et pour une fonction $u$ continue jusqu'au bord du domaine, soit $u \in C^0(\bar{\Omega})$, la restriction de la fonction $u$ sur le bord du domaine $\partial\Omega$ est naturellement parfaitement définie. Si l'on considère maintenant une fonction de $L^2(\Omega)$, une telle restriction n'a pas de sens car $\partial\Omega$ est de mesure nulle dans $\mathbb{R}^d$. En effet, d'après la définition 2.31, le bord $\partial\Omega$ est formé de la réunion de graphes de fonctions $C^1$ de $\mathbb{R}^{d-1}$ dans $\mathbb{R}$, et le lecteur pourra se convaincre en exercice que de tels graphes sont des ensembles de mesure nulle dans $\mathbb{R}^d$. Dans ce paragraphe on veut montrer qu'en revanche on peut donner un sens à cette restriction pour une fonction de l'espace de Sobolev $H^1(\Omega)$, on parlera alors pour une telle fonction de trace sur $\partial\Omega$. On considère à cette fin un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$ au sens de la définition 2.31. Nous noterons $L^2(\partial\Omega)$ l'espace des fonctions $u$ définies presque partout sur $\partial\Omega$ et telles que

$$ \int_{\partial\Omega} |u(x)|^2 d\sigma(x) < +\infty, $$

où cette intégrale de surface est définie à l'aide de la formule locale (2.12) et de la partition de l'unité donnée par le théorème 2.32. On peut montrer facilement que $L^2(\partial\Omega)$ est un espace vectoriel, que l'application

$$ (u, v) \mapsto (u, v)_{L^2(\partial\Omega)} = \int_{\partial\Omega} u\bar{v} \, d\sigma $$

définit un produit scalaire sur $L^2(\partial\Omega)$ qui est un espace complet pour la norme associée. Nous allons montrer dans un premier temps la proposition suivante :

**Proposition 6.8** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$. Il existe une constante $C$ telle que pour toute fonction $u$ de $C^1(\bar{\Omega})$,

$$ ||u||_{L^2(\partial\Omega)} \leq C ||u||_{H^1(\Omega)}. $$

**DÉMONSTRATION.** Reprenons les notations de la définition 2.31. Pour un point $x^* \in \partial\Omega$, on utilise donc un système de coordonnées locales $(\underline{x}, x_d)$ dans le voisinage $\omega = \mathcal{O} \times J$ du point $x^*$, le domaine $\Omega$ étant localement (c'est-à-dire dans $\omega$) défini par $x_d > F(\underline{x})$. On note $J = ]a, b[$ de sorte que $F(\bar{O}) \subset ]a, b[$ (voir figure 2.4). On suppose dans un premier temps que la fonction $u$ est à support dans $\omega$. Pour $(\underline{x}, x_d) \in \Omega \cap \omega$, on a

$$ u(\underline{x}, F(\underline{x})) = u(\underline{x}, x_d) - \int_{F(\underline{x})}^{x_d} \frac{\partial u}{\partial x_d}(\underline{x}, t) \, dt. $$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient que

$$ |u(\underline{x}, F(\underline{x}))|^2 \leq 2|u(\underline{x}, x_d)|^2 + 2(b - F(\underline{x})) \int_{F(\underline{x})}^{b} \left| \frac{\partial u}{\partial x_d}(\underline{x}, t) \right|^2 dt. $$
On intègre alors l'inégalité précédente en $x_d$ dans l'intervalle $]F(\underline{x}), b[$. On obtient

$$ (b - F(\underline{x})) |u(\underline{x}, F(\underline{x}))|^2 \le 2 \int_{F(\underline{x})}^b |u(\underline{x}, t)|^2 dt + 2(b - F(\underline{x}))^2 \int_{F(\underline{x})}^b \left| \frac{\partial u}{\partial x_d}(\underline{x}, t) \right|^2 dt. $$

En utilisant le fait que $F(\overline{\mathcal{O}}) \subset ]a, b[$, il existe une constante $C$ telle que

$$ |u(\underline{x}, F(\underline{x}))|^2 \le C \int_{F(\underline{x})}^b |u(\underline{x}, t)|^2 dt + C \int_{F(\underline{x})}^b \left| \frac{\partial u}{\partial x_d}(\underline{x}, t) \right|^2 dt. $$

En remarquant que la fonction $\underline{x} \mapsto |\nabla F(\underline{x})|$ est bornée sur $\overline{\mathcal{O}}$ puisque $F$ est de classe $C^1$, il vient

$$ |u(\underline{x}, F(\underline{x}))|^2 \sqrt{1 + |\nabla F(\underline{x})|^2} \le C \int_{F(\underline{x})}^b |u(\underline{x}, t)|^2 dt + C \int_{F(\underline{x})}^b \left| \frac{\partial u}{\partial x_d}(\underline{x}, t) \right|^2 dt, $$

pour une nouvelle constante $C$. En introduisant enfin la mesure de surface

$$ d\sigma(x) = \sqrt{1 + |\nabla F(\underline{x})|^2} d\underline{x} $$

et en intégrant en $\underline{x}$ sur $\mathcal{O}$,

$$ \int_{\partial \Omega \cap \omega} |u(x)|^2 d\sigma(x) \le C \int_{\Omega \cap \omega} (|u(x)|^2 + |\nabla u(x)|^2) dx. $$

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque de $C^1(\overline{\Omega})$, on utilise un recouvrement du compact $\partial\Omega$ (l'ouvert $\Omega$ étant borné) par une famille finie d'ouverts $\omega_p$, $p = 1, \dots, P$, et par le théorème 2.32 une partition de l'unité associée $\psi_p$, $p = 1, \dots, P$. On remarque que les fonctions $\psi_p$ satisfont la propriété

$$ 1 = \left( \sum_{p=1}^{P} \psi_p \right)^2 \le P \sum_{p=1}^{P} \psi_p^2. $$

On a alors

$$ \int_{\partial \Omega} |u(x)|^2 d\sigma(x) \le P \sum_{p=1}^{P} \int_{\partial \Omega \cap \omega_p} |u(x)\psi_p(x)|^2 d\sigma(x) $$

et l'on utilise l'inégalité de trace précédente pour chaque fonction $u \psi_p$, dont on note que le support est dans $\omega_p$. La proposition 6.8 est montrée. $\square$
On admet le résultat de densité suivant.

**Théorème 6.9** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$. L'espace $C^\infty(\bar{\Omega})$ est dense dans $H^1(\Omega)$.

On en déduit immédiatement le théorème de trace suivant dans $H^1(\Omega)$.

**Théorème 6.10** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$. L'application $\gamma : C^1(\bar{\Omega}) \to L^2(\partial\Omega)$ de restriction sur le bord se prolonge en une application linéaire continue, notée encore $\gamma$ et appelée trace, de $H^1(\Omega)$ sur $L^2(\partial\Omega)$. Il existe donc une constante $C$ telle que pour tout $u \in H^1(\Omega)$,

$$||\gamma u||_{L^2(\partial\Omega)} \leq C ||u||_{H^1(\Omega)}.$$

**DÉMONSTRATION.** Le preuve est une application directe de la proposition 1.15 avec $E = H^1(\Omega)$, $F = L^2(\partial\Omega)$, $A = C^1(\bar{\Omega})$ et $f = \gamma$, la continuité de $\gamma$ résultant de la proposition 6.8 et la densité de $C^1(\bar{\Omega})$ résultant du théorème 6.9. $\square$

**Remarque 6.11** Le théorème de trace 6.10 que nous venons de démontrer n'est pas optimal au sens où l'application $\gamma : H^1(\Omega) \to L^2(\partial\Omega)$ n'est pas surjective : les éléments de $L^2(\partial\Omega)$ ne sont pas en général les traces sur $\partial\Omega$ d'élements de $H^1(\Omega)$. L'image de $H^1(\Omega)$ par $\gamma$ est formé par l'espace de Sobolev fractionnaire $H^{1/2}(\partial\Omega)$, qui est strictement inclus dans $L^2(\partial\Omega)$ et qu'il est possible de définir au prix de notions supplémentaires non introduites dans le présent cours.

## 6.2.2 Formules de Green

On considère à nouveau un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$, le vecteur normal sortant étant noté $n$, et l'on veut étendre les formules de Green établies dans les corol- laires 2.35, 2.36 et 2.37 pour des fonctions $u$ et $v$ dans $C^m(\bar{\Omega})$ ($m = 1$ ou $2$) au cas des fonctions $u$ et $v$ dans $H^m(\Omega)$ ($m = 1$ ou $2$). En utilisant le théorème de densité 6.9 et la formule de Green du corollaire 2.35, on obtient immédiatement le

**Théorème 6.12** Pour tous $u$ et $v$ dans $H^1(\Omega)$ et tout $i = 1, \dots, d$, on a

$$\int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} dx = - \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v dx + \int_{\partial \Omega} \gamma u \gamma v n_i d\sigma.$$

Dorénavant, la trace de $u$ sur $\partial\Omega$ sera notée simplement $u$ au lieu de $\gamma u$. A partir de la formule de Green du théorème 6.12, on déduit sans difficulté les deux suivantes : pour tous $u$ dans $H^2(\Omega)$ et $v$ dans $H^1(\Omega)$,

$$\int_{\Omega} (\Delta u) v \, dx = - \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx + \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \, d\sigma \quad (6.2)$$

et : pour tous $u$ et $v$ dans $H^2(\Omega)$,

$$\int_{\Omega} \{ (\Delta u) v - u (\Delta v) \} \, dx = \int_{\partial \Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial n} v - u \frac{\partial v}{\partial n} \right) \, d\sigma, \quad (6.3)$$
où l'on rappelle que $\partial u/\partial n$ désigne $\nabla u \cdot n$, et les composantes du champ de vecteurs $\nabla u$ sur $\partial\Omega$ sont à comprendre au sens des traces.

### 6.2.3 Caractérisation de $H_0^1(\Omega)$

On rappelle que $H_0^1(\Omega)$ est l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^1(\Omega)$, qu'il constitue un espace de Hilbert muni de la norme induite de $H^1(\Omega)$, et qu'il diffère de $H^1(\Omega)$ si $\Omega \neq \mathbb{R}^d$. On souhaite maintenant caractériser l'espace $H_0^1(\Omega)$ à l'aide de la trace pour un domaine borné de classe $C^1$. A cette fin, on admet le résultat suivant.

**Théorème 6.13** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$. L'espace $H_0^1(\Omega)$ coïncide avec celui des fonctions de $H^1(\Omega)$ dont le prolongement par 0 dans tout $\mathbb{R}^d$ est dans $H^1(\mathbb{R}^d)$.

On notera que le théorème 6.13 revient à dire que l'espace $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans le sous-espace des fonctions de $H^1(\Omega)$ dont le prolongement par 0 dans tout $\mathbb{R}^d$ est dans $H^1(\mathbb{R}^d)$. Donnons maintenant une nouvelle caractérisation de $H_0^1(\Omega)$ à l'aide de la trace.

**Théorème 6.14** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$ de classe $C^1$. L'espace $H_0^1(\Omega)$ est l'ensemble des fonctions de $H^1(\Omega)$ dont la trace sur $\partial\Omega$ est nulle.

**DÉMONSTRATION.** Considérons tout d'abord $u \in H_0^1(\Omega)$, qui est donc la limite dans $H^1(\Omega)$ d'une suite $(\varphi_n)$ d'éléments de $\mathcal{D}(\Omega)$. Comme la trace des $\varphi_n$ sur $\partial\Omega$ est nulle, il vient d'après le théorème 6.10 que la trace de $u$ sur $\partial\Omega$ est nulle également.

Réciproquement, considérons une fonction $u \in H^1(\Omega)$ telle que sa trace sur $\partial\Omega$ soit nulle. On appelle $\tilde{u}$ son prolongement par 0 dans $\mathbb{R}^d$. Il est clair que $\tilde{u} \in L^2(\mathbb{R}^d)$. Montrons que pour $i = 1, \dots, d$, $\partial\tilde{u}/\partial x_i \in L^2(\mathbb{R}^d)$. Soit donc $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$. Par définition de la dérivée au sens des distributions,

$$ \langle \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}, \varphi \rangle = - \langle \tilde{u}, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \rangle = - \int_{\Omega} u \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} dx. $$

En utilisant le théorème 6.12, il vient

$$ \langle \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}, \varphi \rangle = \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} \varphi dx - \int_{\partial \Omega} u \varphi n_i d\sigma. $$

Compte tenu que la trace de $u$ sur $\partial\Omega$ est nulle, on obtient que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$,

$$ \langle \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{\partial u}{\partial x_i} \varphi dx, $$

où $\tilde{\partial u/\partial x_i}$ désigne la prolongement par 0 de $\partial u/\partial x_i \in L^2(\Omega)$ dans $\mathbb{R}^d$. On conclut que $\partial \tilde{u}/\partial x_i$ s'identifie à un élément de $L^2(\mathbb{R}^d)$, et donc que $\tilde{u} \in H^1(\mathbb{R}^d)$. Il s'ensuit d'après le théorème 6.13 que $u \in H_0^1(\Omega)$, ce qui achève la preuve. $\square$
### 6.2.4 Le cas $d=1$

Dans le cas monodimensionnel, l'espace $H^1(I)$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, bénéficie de propriétés supplémentaires par rapport à la dimension quelconque, ce qui justifie une étude spécifique. En particulier, les fonctions de $H^1(I)$ sont continues sur $\bar{I}$. Plus précisément, on a le

**Théorème 6.15** On a $H^1(I) \subset C^0(\bar{I})$ et pour tout $u \in H^1(I)$,

$$u(y) - u(x) = \int_x^y u'(t) \, dt, \quad \forall x, y \in \bar{I}. \qquad (6.4)$$

**DÉMONSTRATION.** Pour $x_0$ fixé dans $I$, on pose pour $x \in I$

$$v(x) = \int_{x_0}^{x} u'(t) \, dt,$$

$v$ étant bien définie puisque $u' \in L^2(I) \subset L^1_{\text{loc}}(I)$. En reprenant les arguments de la preuve du lemme 3.12, on voit que $v$ est continue sur $\bar{I}$ est que la dérivée au sens des distributions de $v$ coïncide avec $u'$. On a donc $(v-u)' = 0$ au sens des distributions dans $I$, soit $v = u + C$, où $C$ est une constante. La fonction $u$ coïncide donc presque partout avec une fonction continue sur $\bar{I}$. L'identité (6.4) découle immédiatement du fait que $v = u + C$. $\square$

**Remarque 6.16** A partir de l'identité (6.4) on peut obtenir un résultat un peu plus précis que $H^1(I) \subset C^0(\bar{I})$. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on voit en effet que pour tous $x, y \in \bar{I}$,

$$|u(x) - u(y)| \le \sqrt{|x - y|} \sqrt{\int_x^y |u'(t)|^2 dt} \le ||u||_{H^1(I)} \sqrt{|x - y|}.$$

Donc $H^1(I) \subset C^{0,1/2}(\bar{I})$, où pour $\alpha \in [0,1[$ l'espace de Hölder $C^{0,\alpha}(\bar{I})$ est formé par l'ensemble des fonctions $u$ de $C^0(\bar{I})$ telles que pour une constante $C$,

$$|u(x) - u(y)| \le C |x - y|^{\alpha}, \quad \forall x, y \in \bar{I}.$$

On déduit immédiatement de (6.4) une formule d'intégration par parties pour les fonctions de $H^1(I)$.

**Corollaire 6.17** Pour tous $u$ et $v$ dans $H^1(I)$,

$$\int_x^y u'v \, dt = - \int_x^y uv' \, dt + u(y)v(y) - u(x)v(x), \quad \forall x, y \in \bar{I}.$$

On voit donc que la notion de trace pour les fonctions de $H^1(I)$ est parfaitement définie en tout point $x_0 \in \bar{I}$ puisque ces fonctions sont continues sur $\bar{I}$. On précise ce constat dans le théorème 6.19, qui nécessite le résultat suivant sur le prolongement continue à $\mathbb{R}$ des fonctions de $H^1(I)$, que nous admettrons.
**Proposition 6.18** Pour tout intervalle $I \subset \mathbb{R}$, il existe un opérateur de prolongement $P: H^1(I) \to H^1(\mathbb{R})$ linéaire et continu tel que

(i) $Pu|_I = u$ pour tout $u \in H^1(I)$,

(ii) il existe une constante $C$ telle que

$$||Pu||_{H^1(\mathbb{R})} \leq C ||u||_{H^1(I)}, \quad \forall u \in H^1(I).$$

**Théorème 6.19** On a $H^1(I) \subset C_b^0(\bar{I})$, où $C_b^0(\bar{I})$ est l'espace des fonctions continues et bornées sur $\bar{I}$, et il existe une constante $C$ telle que pour tout $u \in H^1(I)$,

$$\sup_{x \in \bar{I}} |u(x)| \leq C ||u||_{H^1(I)}. \qquad (6.5)$$

En particulier, l'application qui à une fonction de $H^1(I)$ associe sa valeur en un point $x_0 \in \bar{I}$ est une forme linéaire continue. Plus précisément, pour tout $u \in H^1(I)$,

$$|u(x_0)| \leq C ||u||_{H^1(I)}.$$

**DÉMONSTRATION.** On commence par le cas $I = \mathbb{R}$. Soit $u \in H^1(\mathbb{R})$. En vertu du théorème de densité 6.5, il existe une suite de fonctions $(\varphi_n) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_n \to u$ dans $H^1(\mathbb{R})$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$,

$$\varphi^2(x) = 2 \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) \varphi'(t) \, dt.$$

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient

$$|\varphi(x)|^2 \leq 2||\varphi||_{L^2(\mathbb{R})}||\varphi'||_{L^2(\mathbb{R})},$$

soit

$$|\varphi(x)| \leq \sqrt{||\varphi||_{L^2(\mathbb{R})}^2 + ||\varphi'||_{L^2(\mathbb{R})}^2} = ||\varphi||_{H^1(\mathbb{R})}.$$

Il s'ensuit que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$,

$$\sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)| \leq ||\varphi||_{H^1(\mathbb{R})}.$$

La suite $(\varphi_n)$ étant de Cauchy dans $H^1(\mathbb{R})$, elle est également de Cauchy dans $C_b^0(\mathbb{R})$, qui est complet. Elle converge donc dans $C_b^0(\mathbb{R})$ vers un certain $v \in C_b^0(\mathbb{R})$. Comme $(\varphi_n)$ converge simultanément vers $u$ et $v$ au sens des distributions, on a $u = v$. On obtient l'inégalité (6.5) en passant à la limite dans l'inégalité

$$\sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi_n(x)| \leq ||\varphi_n||_{H^1(\mathbb{R})}.$$

La deuxième partie du théorème résulte immédiatement de l'inégalité (6.5) et de la continuité de $u$.
On traite maintenant le cas d'un intervalle $I$ quelconque. Soit $P$ un opérateur de prolongement tel que défini par la proposition 6.18. En appliquant le résultat précédent montré pour $I = \mathbb{R}$, il vient que pour tout $u \in H^1(I)$,

$$ \sup_{x \in \mathbb{R}} |Pu(x)| \leq C ||Pu||_{H^1(\mathbb{R})}. $$

Il existe donc une nouvelle constante $C'$ telle que

$$ \sup_{x \in \bar{I}} |u(x)| \leq \sup_{x \in \mathbb{R}} |Pu(x)| \leq C ||Pu||_{H^1(\mathbb{R})} \leq C' ||u||_{H^1(I)}, $$

ce qui achève la preuve.

□

On déduit du théorème 6.19 le fait que les fonctions de $H^1(\mathbb{R})$ tendent vers 0 à l'infini.

**Corollaire 6.20** *Pour tout $u \in H^1(\mathbb{R})$,*

$$ \lim_{x \to \pm\infty} u(x) = 0. $$

**DÉMONSTRATION.** Soit $u \in H^1(\mathbb{R})$. Par le théorème de densité 6.5, il existe une suite de fonctions $(\varphi_n) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_n \to u$ dans $H^1(\mathbb{R})$. On déduit de l'inégalité (6.5) appliquée à $u - \varphi_n$ que $\sup_{x \in \mathbb{R}} |u(x) - \varphi_n(x)| \to 0$. Pour tout $\varepsilon > 0$, choisisons un $n$ assez grand pour que $\sup_{x \in \mathbb{R}} |u(x) - \varphi_n(x)| < \varepsilon$. Pour $|x|$ assez grand on a $\varphi_n(x) = 0$, et donc $|u(x)| < \varepsilon$, ce qui termine la preuve. □

**Remarque 6.21** *On a montré que les fonctions de $H^1([0, 1])$ sont continues sur $[-1, 1]$. En revanche, les fonctions de $H^1(B_d(0, 1))$, où $B_d(0, 1)$ est la boule unité de $\mathbb{R}^d$, ne sont pas continues en général pour $d \geq 2$. On pourra pour s'en convaincre considérer pour $d = 2$ l'exemple suivant :*

$$ u(x, y) = \theta(\sqrt{x^2 + y^2}), $$

où $\theta(r) = (\log 1/2r)^k$, avec $k \in ]0, 1/2[$. Le lecteur vérifiera que la fonction $u$ est dans $H^1(B_2(0, 1))$ mais n'est pas continue en 0.

On peut ajouter que le corollaire 6.20 n'est pas valable pour les fonctions de $L^2(\mathbb{R})$, et qu'il n'est pas valable non plus pour les fonctions de $H^1(\mathbb{R}^d)$ avec $d \geq 2$.
# Chapitre 7

## Etude variationnelle des problèmes elliptiques

La notion de formulation variationnelle joue un rôle fondamental dans la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP), en particulier des équations aux dérivées partielles elliptiques. Les EDP elliptiques sont celles dans lesquelles la variable temporelle est absente, soit parce que le phénomène physique décrit est stationnaire (indépendant du temps), soit parce le temps a été éliminé par application préalable de la transformée de Fourier (passage au domaine fréquentiel). Le méthode variationnelle fournit alors un cadre théorique simple pour montrer le caractère bien posé d'une EDP, c'est-à-dire l'existence et l'unicité de la solution, qui plus est la stabilité de cette solution vis-à-vis des données. La méthode variationnelle correspond à ce que les mécaniciens appellent le principe des travaux (ou puissances) virtuelles, principe qui se trouvera rigoureusement justifié dans le présent chapitre. Enfin, la méthode variationnelle est la base de la méthode des éléments finis : cette méthode numérique permet en pratique d'approcher la solution d'une EDP pour des géométries complexes.

### 7.1 Quelques exemples de problèmes aux limites

#### 7.1.1 Le problème de Dirichlet

Considérons le problème d'électrostatique suivant. Dans une cavité $\Omega$ sont réparties des charges électriques selon une densité $\rho(x)$ connue et l'on cherche à calculer le champ électrique $E$ satisfaisant

$$ \mathrm{div}(\varepsilon E) = \rho \text{ et } \mathrm{rot} E = 0 \text{ dans } \Omega, $$

où $\varepsilon$ est une constante qui désigne la permittivité diélectrique du milieu. De plus, si la paroi de la cavité est métallique, assimilable à un conducteur parfait, la composante tangentielle du champ électrique doit s'annuler sur cette paroi.
Pour résoudre ce problème, on remarque que $E$ dérive d'un potentiel électrostatique, soit $u$ :

$$E = \nabla u$$

qui doit vérifier l'équation suivante :

$$-\Delta u = f,$$

où $f = -\rho/\varepsilon$ (le signe “-” sera commode dans la suite). De plus le potentiel $u$ doit prendre une valeur constante sur chaque composante connexe de la frontière $\partial\Omega$ : en effet, sa dérivée tangentielle n'est autre que la trace tangentielle de $E$. Considérons pour simplifier le cas d'une cavité simplement connexe. L'ajout d'une constante au potentiel électrostatique ne modifiant pas le champ électrique, on peut imposer à $u$ de s'annuler identiquement sur le bord de $\Omega$. On est alors conduit à résoudre le problème suivant : trouver une fonction $u$ telle que

$$\begin{cases} -\Delta u = f & \text{dans } \Omega, \\ u = 0 & \text{sur } \partial\Omega. \end{cases} \qquad (7.1)$$

Ce problème est appelé *problème de Dirichlet*. L'équation aux dérivées partielles sa-
tisfaite par $u$ est appelée *équation de Poisson*. La condition imposée à $u$ sur le bord
du domaine est appelée une *condition aux limites de type Dirichlet homogène*. Si l'on
considère une cavité non simplement connexe, on peut imposer à $u$ de prendre des va-
leurs constantes distinctes sur chacune des composantes connexes de $\partial\Omega$. Cela revient
à imposer une différence de potentiel. La condition aux limites obtenue dans ce cas est
dite de type *Dirichlet non homogène*.

7.1.2 Le problème de Neumann

Considérons maintenant le problème des vibrations acoustiques d'un fluide com-
pressible dans une cavité $\Omega$. En régime harmonique, la pression est de la forme

$$\mathcal{P}(x, t) = \Re\mathcal{e}(u(x)e^{-i\omega t})$$

où $u$ est une fonction de $x \in \Omega$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ et elle satisfait l'équation suivante :

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathcal{P}}{\partial t^2} - \Delta \mathcal{P} + \alpha \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial t} = \mathfrak{Re}(f(x)e^{-i\omega t})$$

où $c$ désigne la célérité du son, $\alpha$ le coefficient de dissipation (supposé strictement positif) et $f$ la densité volumique de sources acoustiques (à valeurs complexes). Si le bord de la cavité est rigide et vibre à la pulsation $\omega$, on doit imposer une condition de glissement des particules sur la paroi qui s'exprime sous la forme suivante :

$$\frac{\partial \mathcal{P}}{\partial n} = \mathfrak{Re}(g(x)e^{-i\omega t}) \text{ sur } \partial\Omega.$$
Il en résulte que la fonction $u$ est solution du problème suivant : trouver une fonction $u$ telle que

$$ egin{cases} -\Delta u + \nu u = f \quad \text{dans } \Omega, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = g \quad \text{sur } \partial\Omega, \end{cases} \qquad (7.2) $$

avec

$$ \nu = - \frac{\omega^2}{c^2} - i\omega\alpha. $$

Ce problème est dit de Neumann. L'équation aux dérivées partielles satisfaite par $u$ est appelée équation de Helmholtz. La condition imposée à $u$ sur le bord du domaine est appelée une condition aux limites de type Neumann (non homogène si $g \neq 0$ et homogène sinon).

### 7.1.3 Autres exemples

Nous avons présenté ci-dessus deux exemples fondamentaux de problèmes aux limites elliptiques. En réalité, il existe une grande variété de problèmes issus de la physique, conduisant à des équations aux dérivées partielles elliptiques différentes ou à des conditions aux limites différentes.

Ainsi par exemple, dans un milieu non homogène, les coefficients de l'équation aux dérivées partielles ne sont pas constants, mais dépendent des coordonnées d'espace. L'équation de Poisson prend alors la forme suivante :

$$ \operatorname{div} (\mu \nabla u) = \rho f, $$

où $\mu$ et $\rho$ désignent deux fonctions de la variable $x$. Ce sont des données du problème.

Bien entendu, les conditions aux limites ne sont pas toujours du même type sur tout le bord de la cavité. Ainsi, on peut avoir une condition de Dirichlet sur une partie du bord et une condition de Neumann sur l'autre partie. On dit alors que l'on a affaire à un problème mixte Dirichlet-Neumann.

De plus, les conditions aux limites ne sont pas toutes du type Dirichlet ou Neumann. Par exemple, on peut écrire sur le bord du domaine une condition qui relie la valeur de l'inconnue à sa dérivée normale. C'est le cas de la condition de Fourier (également appellée condition de Robin) qui s'écrit sous la forme

$$ \alpha \frac{\partial u}{\partial n} + \beta u = g \quad \text{sur } \partial \Omega, $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des coefficients donnés. C'est une condition intermédiaire entre la condition de Dirichlet et celle de Neumann : pour $\alpha = 0$ on retrouve la condition de Dirichlet, et pour $\beta = 0$ celle de Neumann.

Notons enfin que dans les exemples que nous avons considérés, l'inconnue du problème était toujours une fonction scalaire, à valeurs réelles (pour le potentiel électrostaticque) ou complexes (pour la pression acoustique en régime harmonique). Il existe des problèmes pour lesquels l'inconnue est un champ de vecteurs. C'est le cas par
exemple des équations d'équilibre d'un corps élastique, dont la solution est le champ de déplacement. C'est aussi le cas des équations de Maxwell dont la solution est le champ électromagnétique.

## 7.2 Formulations variationnelles

Notre objectif est maintenant de montrer que les problèmes que nous avons introduits dans le paragraphe précédent sont *bien posés* à condition de choisir un cadre fonctionnel adéquat. On dit qu'un problème est bien posé lorsqu'il admet une solution, que cette solution est unique et qu'elle dépend continûment des données du problème. Autrement dit, pour montrer qu'un problème est bien posé, il faut établir un résultat d'existence, un résultat d'unicité et un résultat de stabilité.

Jusqu'à présent, nous sommes restés peu précis dans l'énoncé des problèmes de Dirichlet (7.1) et de Neumann (7.2). En effet, nous n'avons pas dit quelle régularité devait avoir la solution $u$. On pourrait être tenté de chercher une solution à ces problèmes dans un espace du type $C^2(\bar{\Omega})$, ce qui reviendrait à chercher des solutions *classiques* de (7.1) et de (7.2) au sens où les dérivées secondes seraient interprétées au sens classique. Une bonne raison de ne pas le faire est qu'une théorie assurant la caratère bien posé de ces problèmes dans l'espace $C^2(\bar{\Omega})$ n'existe pas ! La théorie que nous allons présenter ici assure la caractère bien posé de ces problèmes et conduit naturellement, comme on va le voir, à travailler dans le cadre des espaces de Sobolev définis au chapitre précédent.

Dans ce paragraphe, nous allons montrer que l'on peut écrire une formulation faible équivalente aux problèmes (7.1) et (7.2). Le terme faible signifie que le degré de dérivation de la solution a été abaissé. Plus précisément, la première formulation dite *forte* fait intervenir l'opérateur Laplacien qui est d'ordre 2, alors que la formulation faible ne comprendra que des dérivées d'ordre 1.

La démarche à suivre pour obtenir cette formulation faible n'est pas la même, suivant que l'on considère le problème de Dirichlet ou celui de Neumann. Nous les traiterons donc séparément. De plus pour les exemples physiques particuliers que nous avons considérés, la solution est à valeurs réelles pour le problème de Dirichlet et à valeurs complexes pour le problème de Neumann. Ces deux exemples nous permettront donc d'illustrer la méthode variationnelle dans un espace de Hilbert réel ou complexe. Mais au préalable nous examinons un cas simplifié dans $\mathbb{R}^d$ tout entier, ce qui permet de s'affranchir des conditions aux limites.

### 7.2.1 Un cas simplifié dans l'espace libre

On considère le problème suivant, pour une distribution $f$: trouver les distributions $u$ à valeurs réelles satisfaisant (au sens des distributions) l'équation

$$ -\Delta u + u = f \quad \text{dans } \mathbb{R}^d. \qquad (7.3) $$
Les deux membres de l'équation ci-dessus étant des éléments de $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)$, on peut leur appliquer une fonction test $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$, ce qui donne

$$ \langle \sum_{j=1,...,d} -\frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2}, \varphi \rangle + \langle u, \varphi \rangle = \langle f, \varphi \rangle, $$

soit

$$ \sum_{j=1,...,d} \left\langle \frac{\partial u}{\partial x_j}, \frac{\partial \varphi}{\partial x_j} \right\rangle + \langle u, \varphi \rangle = \langle f, \varphi \rangle. $$

Limitons-nous maintenant au cas où la donnée $f$ est dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ et supposons que $u$ est solution de l'équation (7.3) dans $H^1(\mathbb{R}^d)$. On peut alors transformer les crochets de distribution en intégrales, soit

$$ \int_{\mathbb{R}^d} \nabla u \cdot \nabla \varphi \, dx + \int_{\mathbb{R}^d} u \varphi \, dx = \int_{\mathbb{R}^d} f \varphi \, dx. $$

Cette équation est de la forme

$$ a(u, \varphi) = \ell(\varphi), \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d), \qquad (7.4) $$

où $a$ est le produit scalaire de $H^1(\mathbb{R}^d)$ et $\ell$ est l'application qui à un élément $v$ de $H^1(\mathbb{R}^d)$ associe son produit scalaire dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ avec $f$. Il est clair que $a$ est une forme bilinéaire continue de $H^1(\mathbb{R}^d)$. Vérifions que $\ell$ est une forme linéaire continue sur $H^1(\mathbb{R}^d)$. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $L^2(\mathbb{R}^d)$, on a

$$ |\ell(v)| = \left| \int_{\mathbb{R}^d} f v \, dx \right| \le ||f||_{L^2(\mathbb{R}^d)} ||v||_{L^2(\mathbb{R}^d)} \le ||f||_{L^2(\mathbb{R}^d)} ||v||_{H^1(\mathbb{R}^d)}. \quad (7.5) $$

En utilisant la densité de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ dans $H^1(\mathbb{R}^d)$ (voir théorème 6.5) on peut maintenant montrer la validité de l'équation (7.4) pour $v \in H^1(\mathbb{R}^d)$ et pas seulement $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$. Soit $v \in H^1(\mathbb{R}^d)$ et considérons en effet une suite $(\varphi_n)$ d'éléments de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ convergeant vers $v$ dans $H^1(\mathbb{R}^d)$. Par la continuité de $a$ et de $\ell$, on a pour deux constantes $C_u$ et $C_f$

$$ |a(u, \varphi_n - v)| \le C_u ||\varphi_n - v||_{H^1(\mathbb{R}^d)} $$

et

$$ |\ell(\varphi_n - v)| \le C_f ||\varphi_n - v||_{H^1(\mathbb{R}^d)}, $$

de sorte que $a(u, \varphi_n) \to a(u, v)$ et $\ell(\varphi_n) \to \ell(v)$ quand $n \to +\infty$. On voit donc qu'une solution $u \in H^1(\mathbb{R}^d)$ de l'équation (7.3) satisfait

$$ \int_{\mathbb{R}^d} \nabla u \cdot \nabla v \, dx + \int_{\mathbb{R}^d} uv \, dx = \int_{\mathbb{R}^d} fv \, dx, \quad \forall v \in H^1(\mathbb{R}^d). \quad (7.6) $$

L'équation (7.6) s'appelle une *formulation variationnelle*, dans laquelle la fonction $v$ joue le rôle de *fonction test*. Comme on l'avait annoncé, cette formulation ne fait plus
intervenir que des dérivées d'ordre 1. On remarque par ailleurs que la fonction test vit dans le même espace que la solution : ici, l'espace $H^1(\mathbb{R}^d)$. Ceci garantit le fait qu'il y ait autant d'équations (à une fonction test correspond une équation) que d'inconnues. Par analogie avec la dimension finie, on peut penser qu'il s'agit d'une condition nécessaire pour que le problème soit bien posé.

Réciproquement, supposons que $u \in H^1(\mathbb{R}^d)$ soit solution de l'équation variationnelle (7.6). En choisissant $v = \varphi \in D(\mathbb{R}^d) \subset H^1(\mathbb{R}^d)$ et en déroulant les étapes précédentes en sens inverse, on voit que $u$ satisfait l'équation 7.3 au sens des distributions. On résume les résultats précédents en énonçant le

**Théorème 7.1** Pour $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, une fonction $u \in H^1(\mathbb{R}^d)$ est solution de l'équation (7.3) au sens des distributions si et seulement si elle satisfait la formulation variationnelle (7.6).

Ce théorème établit l'équivalence entre l'équation (7.3) et la formulation variationnelle (7.6) pour une fonction $u$ dans $H^1(\mathbb{R}^d)$. Il nous restera donc, pour montrer le caractère bien posé de (7.3), à vérifier le caractère bien posé de (7.6). Cela sera une conséquence du théorème de Lax-Milgram que nous montrerons plus loin.

### 7.2.2 Le problème de Dirichlet

Considérons maintenant un ouvert borné $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ de classe $C^1$ au sens de la définition 2.31. Supposons que pour $f \in L^2(\Omega)$, la fonction $u \in H^1(\Omega)$ soit solution du problème de Dirichlet (7.1), l'équation

$$ -\Delta u = f \quad \text{dans } \Omega \qquad (7.7) $$

étant satisfaite au sens des distributions et la condition aux limites $u = 0$ sur $\partial\Omega$ étant satisfaite au sens de la trace. En effet, la trace de la fonction $u$ sur le bord $\partial\Omega$ a bien un sens comme fonction de $L^2(\partial\Omega)$ en vertu du théorème 6.10. Comme de plus cette trace est nulle, on a $u \in H_0^1(\Omega)$ en vertu du théorème 6.14. En appliquant les deux membres de l'équation (7.7), qui sont des éléments de $D'(\Omega)$, à une fonction test $\varphi \in D(\Omega)$, on obtient

$$ \langle -\Delta u, \varphi \rangle = \langle f, \varphi \rangle, $$

et en procédant comme dans l'exemple précédent il vient

$$ \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla \varphi \, dx = \int_{\Omega} f \varphi \, dx. $$

On a donc à nouveau

$$ a(u, \varphi) = \ell(\varphi), \quad \forall \varphi \in D(\Omega), $$

la forme bilinéaire $a$ et la forme linéaire $\ell$ étant définies sur $H_0^1(\Omega)$ par

$$ a(u, v) = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx, \quad \ell(v) = \int_{\Omega} f v \, dx. $$
La forme bilinéaire $a(u, v)$ est continue : en effet, en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient

$$|a(u, v)| \le \left( \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx \right)^{1/2} \le \|u\|_{H^1(\Omega)} \|v\|_{H^1(\Omega)}, \quad (7.8)$$

pour tout couple $(u, v) \in H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$. La forme linéaire $\ell(v)$ est une forme linéaire continue : en effet, en appliquant à nouveau l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on vérifie que

$$|\ell(v)| \le \left( \int_{\Omega} |f|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int_{\Omega} |v|^2 dx \right)^{1/2} \le C_{\ell} \|v\|_{H^1(\Omega)}, \quad (7.9)$$

pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$, où l'on a posé

$$C_{\ell} = \|f\|_{L^2(\Omega)}.$$

Puisque l'espace $H_0^1(\Omega)$ est défini comme l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^1(\Omega)$, en procédant par densité comme dans l'exemple précédent il vient que $u \in H_0^1(\Omega)$ satisfait

$$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_{\Omega} f v \, dx \quad \forall v \in H_0^1(\Omega). \quad (7.10)$$

Réciproquement, supposons que $u \in H_0^1(\Omega)$ soit solution du problème (7.10). La trace de $u$ sur $\partial\Omega$ est nulle par le théorème 6.14 et en choisissant $v = \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ dans (7.10) on obtient l'équation (7.7), satisfaite au sens des distributions. Résumons par le

**Théorème 7.2** *Pour $f \in L^2(\Omega)$, une fonction $u \in H^1(\Omega)$ est solution du problème de Dirichlet (7.1) si et seulement si $u \in H_0^1(\Omega)$ et satisfait la formulation variationnelle (7.10).*

On remarque que dans la formulation variationnelle (7.10) la condition aux limites de Dirichlet est imposée fortement à la solution (par opposition à la condition de Neumann, comme on le verra plus loin). Elle intervient dans la définition de l'espace fonctionnel. On dit que c'est une condition essentielle.

**Remarque 7.3** *On pourra noter que le problème (7.1) n'a plus de sens en général pour une fonction de $H^1(\Omega)$ si le domaine $\Omega$ est un ouvert quelconque, c'est-à-dire si on n'impose pas une certaine régularité à $\Omega$, tout simplement parce que la trace sur le bord $\partial\Omega$ n'est alors pas définie. En revanche, la formulation variationnelle (7.10) a toujours un sens, car l'espace $H_0^1(\Omega)$ est défini pour un ouvert $\Omega$ quelconque.*

On peut d'ailleurs déjà remarquer que l'unicité du problème variationnel (7.10) est assurée. En effet, si $u$ et $\tilde{u}$ sont deux solutions du problème (7.10), alors $u_0 = u - \tilde{u}$ est solution du problème homogène (i.e. correspondant à un second membre $f$ nul) et vérifie :

$$\left\{ \begin{array}{l} u_0 \in H_0^1(\Omega) \\ \displaystyle \int_{\Omega} \nabla u_0 \cdot \nabla v \, dx = 0 \quad \text{pour tout } v \in H_0^1(\Omega). \end{array} \right.$$
En prenant $v = u_0$, on trouve que le gradient de $u_0$ est nul presque partout. Ceci prouve que $u_0$ est une fonction constante, mais comme elle s'annule sur le bord, elle est nécessairement identiquement nulle ; cela prouve l'unicité. L'existence et la stabilité résulteront du théorème de Lax-Milgram.

### 7.2.3 Le problème de Neumann

Le problème est à nouveau posé dans un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ de classe $C^1$ au sens de la définition 2.31. Supposons maintenant, pour $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in L^2(\partial\Omega)$, l'existence d'une solution $u \in H^2(\Omega)$ (à valeurs complexes) au problème de Neumann (7.2). La régularité de $u$ (qui est $H^2(\Omega)$ au lieu de $H^1(\Omega)$ seulement) donne un sens à la condition aux limites $\partial u/\partial n = g$ sur le bord $\partial\Omega$, les deux membres de l'égalité ayant un sens dans $L^2(\partial\Omega)$. Si $v$ est une fonction test appartenant à $H^1(\Omega)$, la formule de Green (6.2) conduit à l'identité suivante :

$$ \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \nu u \bar{v}) \, dx - \int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{v} \, d\sigma = \int_{\Omega} f \bar{v} \, dx. $$

On peut alors transformer le terme de bord en utilisant la condition aux limites. On trouve ainsi que $u \in H^2(\Omega)$ est solution du problème variationnel suivant :

$$ \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \nu u \bar{v}) \, dx = \int_{\Omega} f \bar{v} \, dx + \int_{\partial\Omega} g \bar{v} \, d\sigma, \quad \forall v \in H^1(\Omega). \quad (7.11) $$

Réciproquement, supposons que $u \in H^2(\Omega)$ est solution de la solution variationnelle (7.11). On doit distinguer deux étapes dans la démarche :

(i) On choisit tout d'abord la fonction test $v = \varphi$ dans $\mathcal{D}(\Omega)$. On trouve alors que

$$ \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla \bar{\varphi} + \nu u \bar{\varphi}) \, dx = \int_{\Omega} f \bar{\varphi} \, dx, $$

car le terme de bord est nul dans ce cas. Ceci permet de montrer que l'équation de Helmholtz

$$ -\Delta u + \nu u = f \quad (7.12) $$

est bien satisfaite au sens des distributions.

(ii) Il nous faut maintenant vérifier que $u$ satisfait la condition aux limites sur le bord $\partial\Omega$. Comme nous avons supposé que $u \in H^2(\Omega)$, à l'aide de la formule de Green (6.2) on trouve alors que pour tout $v \in H^1(\Omega)$,

$$ \int_{\Omega} (-\Delta u + \nu u) \bar{v} \, dx + \int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{v} \, d\sigma = \int_{\Omega} f \bar{v} \, dx + \int_{\partial\Omega} g \bar{v} \, d\sigma. $$

D'après (7.12), cela donne

$$ \int_{\partial\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial n} - g \right) \bar{v} \, d\sigma = 0, $$
pour tout $v \in H^1(\Omega)$. Mais l'image de l'application trace sur $H^1(\Omega)$ est dense dans $L^2(\partial\Omega)$, ce qui implique

$$ \frac{\partial u}{\partial n} = g \text{ sur } \partial\Omega. $$

On a montré le

**Théorème 7.4** Pour $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in L^2(\partial\Omega)$, une fonction $u \in H^2(\Omega)$ est solution du problème de Neumann (7.2) si et seulement si elle satisfait la formulation variationnelle (7.11).

Contrairement à la condition de Dirichlet, la condition de Neumann n'intervient pas dans l'espace fonctionnel (on ne peut d'ailleurs pas parler de la dérivée normale d'une fonction quelconque de $H^1(\Omega)$) mais elle est une conséquence de la formulation variationnelle (7.11) : on dit que c'est une condition naturelle.

**Remarque 7.5** Il peut paraître surprenant au lecteur d'avoir supposé $u \in H^2(\Omega)$ dans le théorème précédent alors que la formulation variationnelle (7.11) ne requiert que la régularité $H^1(\Omega)$. Cette régularité a été nécessaire pour donner un sens à la trace $\partial u/\partial n$ sur le bord $\partial\Omega$ (comme fonction de $L^2(\partial\Omega)$) et rendre licite la formule de Green (6.2). En fait, on peut montrer que le théorème est encore vérifié pour une fonction $u \in H^1(\Omega)$ : il faut pour cela montrer que la trace $\partial u/\partial n$ sur le bord $\partial\Omega$ a un sens (plus faible) pour les fonctions $u$ de $H^1(\Omega)$ à Laplacien dans $L^2(\Omega)$ et étendre la formule de Green (6.2) pour de telles fonctions.

### 7.2.4 Formulations variationnelles et énergie

Pour comprendre le terme variationnel, considérons par exemple le problème de Dirichlet (7.1) et introduisons la fonctionnelle suivante :

$$ J(v) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx - \int_{\Omega} f v dx. $$

Il s'agit en fait de l'énergie électrostatique contenue dans $\Omega$. Nous allons établir le

**Lemme 7.6** La fonction $u \in H_0^1(\Omega)$ est solution du problème (7.1) si et seulement si $u$ minimise la fonctionnelle $J$ sur l'espace $H_0^1(\Omega)$.

**DÉMONSTRATION.** Soit $u \in H_0^1(\Omega)$ une solution de (7.1), alors pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$ on a

$$ \begin{align*} J(u+v) &= \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla(u+v)|^2 dx - \int_{\Omega} f(u+v) dx \\ &= J(u) + \left( \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx - \int_{\Omega} f v \, dx \right) + \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx. \end{align*} $$
Comme $u$ est solution de (7.1), le terme entre parenthèses est nul, d'où

$$J(u + v) \geq J(u),$$

pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$, ce qui montre que $u$ minimise la fonctionnelle $J$.

Réciproquement, si $u$ minimise la fonctionnelle $J$, alors $J(u + tv) - J(u) \geq 0$ pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$ et tout $t \in \mathbb{R}$. L'identité précédente montre alors que

$$t \left( \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx - \int_{\Omega} f v \, dx \right) + \frac{t^2}{2} \int_{\Omega} |\nabla v|^2 \, dx \geq 0,$$

pour tout $t \in \mathbb{R}$. En divisant par $t$ pour $t > 0$ et $t < 0$ puis en faisant tendre $t$ vers 0, on obtient que le terme entre parenthèses est nul, et on vérifie que $u$ est bien solution de (7.1). □

En fait, imposer à $u$ d'être solution du problème variationnel revient à imposer à la fonctionnelle $J$ d'être stationnaire au voisinage de $u$. En effet, pour tout $v$ et pour $t$ proche de 0, on a au premier ordre

$$J(u + tv) - J(u) \approx t \left( \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx - \int_{\Omega} f v \, dx \right).$$

Autrement dit, la formulation variationnelle est obtenue en calculant les petites variations de l'énergie $J$.

## 7.3 Le théorème de Lax-Milgram

Nous avons vu dans le paragraphe précédent trois exemples de problèmes variationnels, les deux derniers étant issus de la physique. Plus généralement, nous appellerons formulation variationnelle tout problème du type suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ a(u, v) = l(v) \text{ pour tout } v \in V \end{array} \right. \qquad (7.13) $$

où

(i) $V$ est un espace de Hilbert réel (ou complexe) dont le produit scalaire est noté $(u, v)_V$ et la norme associée $\|u\|_V$.

(ii) $a(u, v)$ est une forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) continue sur $V \times V$, ce qui signifie qu'il existe une constante $C_a$ telle que

$$|a(u, v)| \leq C_a \|u\|_V \|v\|_V,$$

pour tout couple $(u, v) \in V \times V$.
(iii) $\ell(v)$ est une forme linéaire (ou antilinéaire) continue sur $V$, ce qui signifie qu'il existe une constante $C_\ell$ telle que

$$|\ell(v)| \leq C_\ell \|v\|_V,$$

pour tout $v \in V$.

Le théorème de Lax-Milgram, que nous allons maintenant énoncer et démontrer, permet d'établir le caractère bien posé d'un problème de ce type lorsque la forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) $a(u, v)$ vérifie une propriété supplémentaire : il s'agit de la coercivité que nous définissons ci-dessous.

**Définition 7.7** La forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) $a(u, v)$ est dite coercive sur $V$ s'il existe une constante strictement positive $\alpha$ telle que

$$|a(v, v)| \geq \alpha \|v\|_V^2 \quad \text{pour tout } v \in V.$$

**Remarque 7.8** Si $V$ est un espace de Hilbert réel ou si $a(u, v)$ est une forme hermitienne, il suffit pour établir la coercivité de montrer l'existence d'une constante strictement positive $\alpha$ telle que :

$$a(v, v) \geq \alpha \|v\|_V^2 \quad \text{pour tout } v \in V.$$

La coercivité est souvent définie de cette manière dans la littérature.

**Théorème 7.9 (de Lax-Milgram)** Si la forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) $a(u, v)$ est coercive sur $V$, alors le problème (7.13) admet une solution unique $u \in V$ et il existe une constante $C$ indépendante de la forme $\ell$ telle que :

$$\|u\|_V \leq C |||\ell||| \qquad (7.14)$$

**DÉMONSTRATION.** Notons tout d'abord que l'estimation de stabilité (7.14) est immédiate. En effet, si $u$ est la solution du problème, on a en vertu de la coercivité de la forme $a(u, v)$ et de la continuité de la forme $\ell(v)$ :

$$\alpha \|u\|_V^2 \leq |a(u, u)| = |\ell(u)| \leq \left( \sup_{v \in V, v \neq 0} \frac{|\ell(v)|}{\|v\|_V} \right) \|u\|_V = |||\ell||| \|u\|_V.$$

On obtient donc (7.14) avec $C = 1/\alpha$.

La démonstration du caractère bien posé est plus délicate. Elle s'appuie essentiellement sur le théorème de Riesz vu au chapitre précédent. En effet, on remarque que d'après ce théorème :

(i) Comme $\ell$ est une forme linéaire (ou antilinéaire) continue sur $V$, il existe un unique $f \in V$ tel que

$$\ell(v) = (f, v)_V \quad \text{pour tout } v \in V.$$
(ii) Comme pour tout $u \in V$, l'application $v \to a(u, v)$ est une forme linéaire (ou antilinéaire) continue sur $V$, il existe un unique $w_u \in V$ tel que

$$a(u, v) = (w_u, v)_V \text{ pour tout } v \in V.$$

L'application $A$ qui à $u$ associe $w_u$ est une application linéaire continue de $V$ dans $V$. En effet

$$\|Au\|_V^2 = (w_u, w_u)_V = a(u, w_u) \le C_a \|u\|_V \|w_u\|_V,$$

d'où :

$$\|Au\|_V \le C_a \|u\|_V \text{ pour tout } u \in V.$$

Le problème (7.13) s'écrit maintenant

$$\begin{cases} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ (Au, v)_V = (f, v)_V \text{ pour tout } v \in V, \end{cases}$$

soit encore

$$\text{Trouver } u \in V \text{ tel que } Au = f.$$

Autrement dit, pour démontrer le théorème, il suffit de montrer que l'opérateur $A$ est bijectif. Comme $V$ est a priori un espace de dimension infinie, nous allons montrer successivement l'injectivité et la surjectivité de $A$.

(i) Montrons que $A$ est injectif. En effet, la coercivité de la forme $a(u, v)$ permet de montrer que, pour tout $u \in V$ :

$$\alpha \|u\|_V^2 \le |a(u, u)| = |(Au, u)_V| \le \|Au\|_V \|u\|_V,$$

d'où

$$\|Au\|_V \ge \alpha \|u\|_V \text{ pour tout } u \in V. \qquad (7.15)$$

(ii) Montrons que $A$ est surjectif. A cette fin, considérons l'image de $A$, notée $R(A)$. Il s'agit d'un sous-espace vectoriel fermé de $V$ : en effet si $Au_n$ est une suite de Cauchy dans $V$ alors d'après (7.15), $u_n$ est également de Cauchy dans $V$. Par conséquent, $u_n$ converge vers un élément $u$ de $V$ et, par continuité de $A$, $Au_n$ converge vers $Au$. Autrement dit, la limite de la suite $Au_n$ appartient bien à $R(A)$. De plus, $R(A)$ est dense dans $V$. En effet, si ce n'était pas le cas, on pourrait trouver un élément $w \in V$ non nul qui soit orthogonal à $R(A)$, on aurait alors $(Aw, w)_V = 0$, ce qui implique, d'après la coercivité de $a$, la nullité de $w$ et aboutit à une contradiction. Il en résulte que $R(A) = V$, soit la surjectivité de l'opérateur $A$.

□
**Remarque 7.10** Il est important de noter que le théorème de Lax-Milgram est une généralisation du théorème de Riesz aux cas des formes bilinéaires non symétriques (espace de Hilbert réel) et des formes sesquilinéaires non hermitiennes (espace de Hilbert complexe). Autrement dit, dans le cas des formes bilinéaires symétriques (cas réel) et des formes sesquilinéaires hermitiennes (cas complexe), le théorème de Riesz est équivalent au théorème de Lax-Milgram. C'est en particulier le cas pour notre problème simplifié (7.6) ou le problème de Dirichlet (7.10). On notera en revanche que le théorème de Lax-Milgram est nécessaire dans le cas du problème de Neumann (7.11).

## 7.4 Application aux problèmes aux limites elliptiques

Nous sommes maintenant en mesure, grâce au théorème de Lax-Milgram, de montrer que les différents problèmes introduits aux paragraphes 7.1 et 7.2 sont bien posés.

### 7.4.1 Problème simplifié dans l'espace libre

Considérons tout d'abord, pour $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, l'équation (7.3) posée dans $H^1(\mathbb{R}^d)$ (fonctions à valeurs réelles). En vertu du théorème 7.1, cette équation est équivalente à une formulation variationnelle de type (7.13) où

$$V = H^1(\mathbb{R}^d), \quad a(u, v) = \int_{\mathbb{R}^d} (\nabla u \cdot \nabla v + uv) \, dx \text{ et } \ell(v) = \int_{\mathbb{R}^d} fv \, dx.$$

Il est clair que toutes les conditions du théorème de Max-Milgram sont réunies : $V$ est un espace de Hilbert, $a(u, v)$ est une forme bilinéaire continue et coercice sur $V \times V$, s'agissant du produit scalaire de $V$, $\ell(v)$ est une forme linéaire continue sur $V$ au vu de (7.5). On en déduit que la formulation variationnelle est bien posée, c'est-à-dire :

**Théorème 7.11** Pour tout $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, l'équation (7.3) a une solution unique $u$ dans $H^1(\mathbb{R}^d)$ satisfaisant

$$\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \le C \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^d)},$$

la constante $C$ étant indépendante de $f$.

**Remarque 7.12** Notons que le caractère bien posé de la formulation variationnelle ne nécessite pas que $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$, il suffit que $f$ soit dans le dual de $H^1(\mathbb{R}^d)$, soit $f \in H^{-1}(\mathbb{R}^d)$ (voir définition 6.6).

### 7.4.2 Le problème de Dirichlet

Considérons maintenant le problème de Dirichlet homogène (7.1), dont l'inconnue $u$ est une fonction à valeurs réelles et la donnée $f$ appartient à $L^2(\Omega)$, le domaine $\Omega$ étant borné et de classe $C^1$.
D'après le théorème 7.2, le problème (7.1) est équivalent à une formulation variationnelle de type (7.13) où

$$V = H_0^1(\Omega), \quad a(u, v) = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx \text{ et } \ell(v) = \int_{\Omega} f v \, dx.$$

Avant tout, il nous faut vérifier que

(i) $V$ est un espace de Hilbert : nous avons vu au chapitre précédent que $H_0^1(\Omega)$ est un espace de Hilbert pour la norme induite de $H^1(\Omega)$.

(ii) $a(u, v)$ est une forme bilinéaire continue sur $V \times V$ : on l'a montré en (7.8).

(iii) $\ell(v)$ est une forme linéaire continue sur $V$ : on l'a montré en (7.9).

Pour pouvoir appliquer le théorème de Lax-Milgram et affirmer que le problème (7.10) est bien posé, il suffit maintenant d'établir la coercivité de la forme bilinéaire $a$. Cela n'a rien d'évident : en effet, il s'agit de prouver l'existence d'une constante strictement positive $\alpha$ telle que

$$\int_{\Omega} |\nabla v|^2 \, dx \geq \alpha \int_{\Omega} (|v|^2 + |\nabla v|^2) \, dx,$$

pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$.

Remarquons tout d'abord que ce résultat est faux pour un domaine $\Omega$ quelconque. Ainsi par exemple, supposons $\Omega = \mathbb{R}^d$ et soit $v \in \mathcal{D}(\Omega)$, alors la suite de fonctions

$$v_n(x) = \frac{1}{n^{d/2}} v\left(\frac{x}{n}\right)$$

contredit l'inégalité ci-dessus ; en effet

$$\int_{\Omega} |\nabla v_n|^2 \, dx = \frac{1}{n^2} \int_{\Omega} |\nabla v|^2 \, dx \text{ et } \int_{\Omega} |v_n|^2 \, dx = \int_{\Omega} |v|^2 \, dx.$$

En revanche, la coercivité de $a$ est vérifiée dès que $\Omega$ est borné dans au moins une direction de l'espace (c'est le cas en particulier des domaines bornés). Cela résulte alors de l'inégalité de Poincaré qui fait l'objet du lemme suivant :

**Lemme 7.13 (Inégalité de Poincaré)** Soit $\Omega$ un ouvert vérifiant : il existe $R$ et $\alpha \in \mathbb{R}^d$, $\alpha \neq 0$, tels que

$$\Omega \subset \left\{ x \in \mathbb{R}^d, -R < \sum_{i=1}^{d} \alpha_i x_i < R \right\}.$$

Alors il existe une constante $C$ telle que

$$\int_{\Omega} |v|^2 \, dx \leq C \int_{\Omega} |\nabla v|^2 \, dx \quad \forall v \in H_0^1(\Omega). \qquad (7.16)$$
DÉMONSTRATION. Sans perte de généralité on peut supposer que $\alpha = (1, 0, \dots, 0)$ (il suffit d'appliquer une rotation des axes), c'est-à-dire $\Omega \subset \{x \in \mathbb{R}^d, -R < x_1 < R\}$. Si $\psi \in \mathcal{D}(\Omega)$, alors, à condition de prolonger $\psi$ par 0 à l'extérieur de $\Omega$, on peut considérer que $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ et l'on a

$$ \psi(x_1, x_2, \dots, x_d) = \int_{-\infty}^{x_1} \frac{\partial \psi}{\partial x_1}(t, x_2, \dots, x_d) \, dt, $$

pour tout $x \in \mathbb{R}^d$. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on montre alors que

$$ |\psi(x_1, x_2, \dots, x_d)|^2 \le 2R \int_{\mathbb{R}} \left| \frac{\partial \psi}{\partial x_1}(t, x_2, \dots, x_d) \right|^2 dt. $$

En intégrant cette inégalité sur $\Omega$, on obtient finalement

$$ \int_{\Omega} |\psi|^2 dx \le 4R^2 \int_{\Omega} \left| \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \right|^2 dx. $$

A plus forte raison, on a donc établi l'inégalité (7.16) avec $C = 4R^2$ pour tout $\psi \in \mathcal{D}(\Omega)$. On peut alors conclure en remarquant que, par densité de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H_0^1(\Omega)$, l'inégalité reste vraie pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$. $\square$

En conclusion, nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :

**Théorème 7.14** Pour toute fonction $f \in L^2(\Omega)$, il existe une et une seule fonction $u \in H_0^1(\Omega)$ telle que $-\Delta u = f$ dans $\Omega$ (au sens des distributions), c'est-à-dire vérifiant le problème (7.1). De plus, il existe une constante $C$ ne dépendant que du domaine $\Omega$ telle que

$$ \|u\|_{H^1(\Omega)} \le C \|f\|_{L^2(\Omega)}. $$

DÉMONSTRATION. Le domaine $\Omega$ est borné par hypothèse. L'inégalité de Poincaré est donc vérifiée, et la forme bilinéaire

$$ a(u, v) = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx $$

est donc coercive sur $H_0^1(\Omega)$ : en effet, pour tout $v \in H_0^1(\Omega)$

$$ a(v, v) = \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx \ge \frac{1}{2C} \int_{\Omega} |v|^2 dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx \ge \min \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2C} \right) \|v\|_{H^1(\Omega)}^2. $$

Les autres propriétés ayant déjà été vérifiées, on peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram à la formulation variationnelle (7.10) ce qui prouve l'existence d'une unique solution $u \in H_0^1(\Omega)$ à l'équation $-\Delta u = f$ dans $\Omega$. $\square$
### 7.4.3 Le problème de Neumann

Considérons maintenant le problème de Neumann (7.2), dont l'inconnue $u$ est une fonction à valeurs complexes et dont les données $f$ et $g$ appartiennent respectivement à $L^2(\Omega)$ et $L^2(\partial\Omega)$, le domaine $\Omega$ étant borné et de classe $C^1$. La formulation variationnelle correspondante est à nouveau de type (7.13) où

$$V = H^1(\Omega), \quad a(u, v) = \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \nu u \bar{v}) \, dx \quad \text{et} \quad \ell(v) = \int_{\Omega} f \bar{v} \, dx + \int_{\partial \Omega} g \bar{v} \, d\sigma.$$

A nouveau, il nous faut vérifier que

(i) $V$ est un espace de Hilbert : c'est immédiat.

(ii) $a(u, v)$ est une forme sesquilinéaire continue sur $V \times V$ : en effet, en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient

$$|a(u, v)| \le \left( \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dx \right)^{1/2} + |\nu| \left( \int_{\Omega} |u|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int_{\Omega} |v|^2 dx \right)^{1/2},$$

d'où

$$|a(u, v)| \le (1 + |\nu|) \|u\|_{H^1(\Omega)} \|v\|_{H^1(\Omega)},$$

pour tout couple $(u, v) \in V \times V$.

(iii) $\ell(v)$ est une forme linéaire continue sur $V$ : en effet, en appliquant à nouveau l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on vérifie que

$$|\ell(v)| \le \left( \int_{\Omega} |f|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int_{\Omega} |v|^2 dx \right)^{1/2} + \left( \int_{\partial \Omega} |g|^2 d\sigma \right)^{1/2} \left( \int_{\partial \Omega} |v|^2 d\sigma \right)^{1/2},$$

soit

$$|\ell(v)| \le \|f\|_{L^2(\Omega)} \|v\|_{L^2(\Omega)} + \|g\|_{L^2(\partial\Omega)} \|v\|_{L^2(\partial\Omega)}.$$

On rappelle alors le résultat de continuité de l'application trace (voir le théorème 6.10) qui garantit l'existence d'une constante $C$ telle que

$$\|v\|_{L^2(\partial\Omega)} \le C \|v\|_{H^1(\Omega)}.$$

On a donc finalement

$$|\ell(\psi)| \le C_{\ell} \|\psi\|_{H^1(\Omega)},$$

pour tout $v \in V$, où l'on a posé $C_{\ell} = \|f\|_{L^2(\Omega)} + C \|g\|_{L^2(\partial\Omega)}$.

Pour appliquer le théorème de Lax-Milgram nous allons maintenant établir la coercivité de la forme bilinéaire $a$.

**Lemme 7.15** Si $\nu \in C \setminus \mathbb{R}^-$, alors la forme sesquilinéaire

$$a(u, v) = \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \nu u \bar{v}) \, dx$$

est coercive sur $H^1(\Omega)$.
DÉMONSTRATION. Remarquons tout d'abord que l'on peut écrire le nombre complexe $\nu$ sous la forme

$$\nu = \rho e^{i\theta} \text{ avec } -\pi < \theta < \pi.$$

On note $\sqrt{\nu}$ la racine complexe de $\nu$ suivante :

$$\sqrt{\nu} = \sqrt{\rho} e^{i\theta/2},$$

pour tout $v \in H^1(\Omega)$, on a alors

$$|a(v, v)| = \sqrt{\rho} \left| \frac{1}{\sqrt{\nu}} a(v, v) \right| \geq \sqrt{\rho} \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{\sqrt{\nu}} a(v, v) \right).$$

Or

$$\mathfrak{Re} \left( \frac{1}{\sqrt{\nu}} a(v, v) \right) = \int_{\Omega} \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{\sqrt{\nu}} \right) |\nabla v|^2 dx + \int_{\Omega} \mathfrak{Re} \left( \sqrt{\nu} \right) |v|^2 dx,$$

et il facile de voir que $\mathfrak{Re}(1/\sqrt{\nu})$ et $\mathfrak{Re}(\sqrt{\nu})$ sont deux nombres réels strictement positifs. Plus précisément, on obtient ainsi l'inégalité suivante :

$$|a(v, v)| \geq \min(1, \rho) \cos(\theta/2) \|v\|_{H^1(\Omega)}^2,$$

pour tout $v \in H^1(\Omega)$.

□

On peut conclure en énonçant le

**Théorème 7.16** Si $\nu \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^-$, le problème variationnel : trouver $u \in H^1(\Omega)$ satisfaisant (7.11) admet, pour toutes fonctions $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in L^2(\partial\Omega)$, une et une seule solution $u \in H^1(\Omega)$, et il existe une constante $C$ (indépendante des données $f$ et $g$) telle que

$$\|u\|_{H^1(\Omega)} \leq C (\|f\|_{L^2(\Omega)} + \|g\|_{L^2(\partial\Omega)}) .$$

Si de plus la solution $u \in H^2(\Omega)$, alors elle est solution du problème (7.2).

**Remarque 7.17** Dans le cas où $\nu$ est égal à 0, on peut montrer que le problème variationnel précédent admet une solution, unique à une constante additive près, si et seulement si les données $f$ et $g$ satisfont la relation de compatibilité suivante :

$$\int_{\Omega} f(x) dx + \int_{\partial\Omega} g(x) d\sigma = 0.$$

Plus généralement, lorsque $\nu$ est un réel négatif, la question de l'existence et de l'unicité de la solution ne rentre plus dans le cadre du théorème de Lax-Milgram. En utilisant un résultat connu sous le nom d'alternative de Fredholm, on peut montrer que l'existence et l'unicité de la solution sont encore assurées sauf pour une suite de valeurs de $\nu$ qui correspondent à des fréquences propres du problème.
Bibliographie

[1] J.-M. Bony, *Cours d'Analyse - Théorie des Distributions et Analyse de Fourier*, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2001.

[2] H. Brezis, *Analyse Fonctionnelle. Théorie et Applications*, Masson, 1983.

[3] W. Rudin, *Real and Complex Analysis*, McGraw-Hill, 1966 (traduction française : *Analyse Réelle et Complexe - Cours et Exercices*, Dunod, 1988).

[4] L. Schwartz, *Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques*, Masson, 1965.

[5] M. Willem, *Analyse Harmonique Réelle*, Hermann, 1995.
# Index

anti-linéaire (forme), 90

Banach (espace de), 14

base hilbertienne, 97

Beppo-Levi (théorème de), 32

bien posé (problème), 114

$C^0(D)$, 9

$C^m(\Omega)$, $C^m(\bar{\Omega})$, 10

$C_0^\infty(\Omega)$, 49

Cauchy (suite de), 13

Cauchy-Schwarz (inégalité de), 81, 90

changement de variable, 37

coercive (forme bilinéaire), 121

complet (espace), 13

complété (d'un espace), 15

continuité

d'une application, 11

uniforme, 11

convergence

d'une série, 18

d'une suite, 11

des distributions, 62

dominée (théorème de), 32

en moyenne, 10

monotone (théorème de), 32

normale, 18

uniforme, 10

convexe (ensemble), 92

convolutifs (ensembles), 67

convolution

dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)$, 69

dans $L^1(\mathbb{R}^d)$, 36, 80

dans $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$, 67

coordonnées

polaires, 38

sphériques, 39

$\mathcal{D}(\Omega)$, $\mathcal{D}'(\Omega)$, 49

$\mathcal{D}_K(\Omega)$, 49

$\mathcal{D}^0(\Omega)$, 25

définie (forme), 91

dense (ensemble), 15

dérivée

d'une distribution, 53

normale, 46

difféomorphisme, 37

Dirac (mesure de), 52, 54, 60, 63, 65, 71

Dirichlet (condition de), 112

distribution, 50

division (des distributions), 60

dualité (produit de), 50

équivalence (relation d'), 15

équivalentes (normes), 10

faible (formulation), 114

Fischer-Riesz (théorème de), 30

Fourier (transformation de)

dans $L^1$, 74

dans $L^2$, 87

frontière (d'un ouvert), 40

Fubini (théorème de), 34

gaussienne (fonction), 78

gradient, 46

Green (formule de), 45, 106

$H^m(\Omega)$, 101

$H_0^m(\Omega)$, 102

Heaviside (fonction de), 50

Helmholtz (équation de), 113

hermitienne (forme), 90
Hilbert (espace de), 91

intégrale
de Lebesgue, 25
de Riemann, 22, 31
de surface, 41, 44
impropre, 31
semi-convergente, 31
intégration par parties, 45

jacobien, 37
jacobienne (matrice), 37

$\mathcal{L}^1(\Omega)$, 28
$L^1(\Omega)$, 29
$L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, 51
$L^2(\Omega)$, 81
$\ell^2$, 91
laplacien, 46
Lax-Milgram (théorème de), 121
Lebesgue (théorème de), 32
localement (intégrable), 51

mesurable (fonction), 26
Minkowski (inégalité de), 81, 91
multiplication (des distributions), 58
multipôle, 52, 54

négligeable (ensemble), 24
Neumann (condition de), 113
normale extérieure, 40, 43
norme, 10, 91

ordre (d'une distribution), 51
orthogonal (espace), 95

parallélogramme (identité du), 90
Parseval (identité de), 88
partition de l'unité, 44
Plancherel (identité de), 88
Poincaré (inégalité de), 124
Poisson (équation de), 112
presque partout, 23
produit scalaire, 91
projection, 93

prolongement (par densité), 17
restriction (d'une distribution), 64
Riemann-Lebesgue (théorème de), 74
Riesz (théorème de), 96
sauts (formule des), 55
semi-norme, 10, 51
séparable (espace), 97
séries, 18
sesquilinéaire (forme), 90, 120
Sobolev (espaces de), 101
Stokes (formule de), 40, 45
support
d'une distribution, 64
d'une fonction, 25
test (fonction), 48, 49
trace, 104
variationnelle (formulation), 114
vp(1/x) (valeur principale), 52, 54, 60