POINTS ENTIERS SUR LES COURBES DE GENRE 0

PAR

DIMITRIOS POULAKIS (THESSALONIQUE)

**1. Introduction.** Soient $K$ un corps de nombres de degré $d$ et $O_K$ l'anneau des entiers de $K$. On notera $\bar{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $D_K$ le discriminant de $K$. Considérons un polynôme $F(X, Y) \in K[X, Y]$, absolument irréductible, tel que la courbe algébrique $C$ définie par l'équation $F(X, Y) = 0$ soit de genre 0. Notons $\Sigma$ l'ensemble des anneaux de valuation discrète $V$, dans le corps des fonctions $\bar{K}(C)$ de $C$, qui contiennent le corps $\bar{K}$, et $\Sigma_\infty$ l'ensemble des éléments de $\Sigma$ qui se trouvent au-dessus de l'anneau de valuation discrète de $\bar{K}(X)$ qui est définie par $1/X$. On sait d'après Siegel ([12]) que si $\Sigma_\infty$ contient au moins trois éléments distincts, la courbe $F(X, Y) = 0$ n'a qu'un nombre fini de points entiers sur $K$. Toutefois, bien qu'il est connu qu'on peut calculer un majorant explicite de la taille des points entiers de $F(X, Y) = 0$ sur $K$ ([5], [11]), il n'y a nulle trace dans la littérature d'un tel majorant. Dans cette note nous calculons un majorant explicite de la taille des points $S$-entiers de $F(X, Y) = 0$ sur $K$, en réduisant ce problème au problème de déterminer les solutions d'une équation de Thue en $S$-entiers; puis en utilisant une majoration de la taille des solutions de l'équation de Thue en $S$-entiers, dûe à Győry ([2]), on déduit notre résultat.

Soit $V(K) = \{|v : v \in M(K)\}$ l'ensemble des valeurs absolues normalisées de $K$ ([4], chap. 2, §1). Soit $S$ un sous-ensemble fini de $V(K)$ qui contient les valeurs absolues archimédiennes. Rappelons que l'anneau des $S$-entiers de $K$ est l'ensemble $O_{K,S}$ qui contient les éléments $x \in K$ tels que $|x|_v \le 1$ pour tout $|v|$ qui n'appartient pas à $S$. Si $v \in M(K)$, on note $d_v$ le degré local correspondant; alors si $\bar{x} = (x_0 : \dots : x_n)$ est un point de l'espace projectif $\mathbf{P}^n(K)$, posons

$$H_K(\bar{x}) = \max \prod_{v \in M(K)} \{|x_0|_v, \dots, |x_n|_v\}^{d_v} \quad \text{et} \quad H(\bar{x}) = H_K(\bar{x})^{1/d}.$$

On appelle les quantités $H_K(\bar{x})$ et $H(\bar{x})$ hauteur de $\bar{x}$ (relativement à $K$) et hauteur absolue de $\bar{x}$ respectivement. Lorsque $x \in K$, on note $H_K(x) =$

<footnote n="1991">1991 Mathematics Subject Classification: 11D57.</footnote>

<footnote>Key words and phrases: point $S$-entier, courbe algébrique, hauteur.</footnote>
$H_K((1:x))$. Soit $f \in K[X_1, \dots, X_n] - \{0\}$. Par hauteur $H_K(f)$ et hauteur absolue $H(f)$ de $f$ nous entendrons respectivement la hauteur et la hauteur absolue du point projectif défini par les coefficients de $f$.

Soit $C : F(X, Y) = 0$ une courbe de genre 0 telle que l'ensemble $\Sigma_\infty$ contient au moins trois anneaux. Notons $N$ le degré total de $F$, $s$ le nombre des éléments de l'ensemble $S$ et $P(S)$ un entier positif tel que la norme de tout idéal premier (entier) $\wp$ de $K$ qui correspond à une valeur absolue non-archimédienne de $S$ satisfait $N_K(\wp) < P(S)$. Alors nous montrons le résultat suivant :

**THÉORÈME.** Sous les hypothèses précédentes la courbe $C$ possède un nombre fini de points $S$-entiers. De plus, si $x, y \in O_{K,S}$ avec $F(x, y) = 0$, on a

$$ \max\{H_K(x), H_K(y)\} < \exp\{N^{10^6 d^2 s^3 N^{5N+10}} P(S)^{300sdN^{3N+4}} |D_K|^{65dsN^{3N+4}} H_K(F)^{6000sd^2N^{3N+10}}\}. $$

**Remarques.** 1. Dans le cas où le corps $K$ contient les racines de l'équation $F(1, Y) = 0$, on a une majoration plus précise :

$$ \max\{H_K(x), H_K(y)\} < \exp\{N^{2900d^2s^3N^{10}} P(S)^{11sdN^2} |D_K|^{7dsN^3} H_K(F)^{220sdN^9}\}. $$

2. Supposons que $F \in \mathbb{Q}[X, Y]$; alors si $x, y \in \mathbb{Z}$ avec $F(x, y) = 0$, le théorème entraîne

$$ \max\{|x|, |y|\} < \exp\{N^{10^6 N^{5N+10}} H_Q(F)^{6000N^{10+3N}}\}. $$

**2. Construction d'une fonction qui paramétrise $C$.** Considérons $F(X, Y)$ comme polynôme en $Y$ et notons $D(X)$ son discriminant; on a $\deg D < 2N^2$. Alors il existe une place finie $X = x_0$, où $x_0$ est un entier avec $1 \le x_0 \le 2N^2$, qui est non-ramifiée dans $\bar{K}(C)$. Par conséquent pour tout $V \in \Sigma$, au-dessus de $X = x_0$, le développement de Puiseux d'une fonction $\Theta$ (dans une clôture algébrique de $\bar{K}(X))$ avec $F(X, \Theta) = 0$ est

$$ \Theta = \sum_{s=s_0}^{\infty} a_s X_V^s, $$

où $X_V = X - x_0$ et $s_0 \ge 0$. Comme

$$ F(X_V + x_0, \sum_{s=s_0}^{\infty} a_s X_V^s) = 0, $$

le théorème d'Eisenstein ([8], [10]) entraîne qu'il existe un corps de nom-bres $K'$, avec $[K' : K] \le n$, tel que $a_s \in K'$ ($s = s_{s_0}, s_{s_0+1}, \dots$) et son
discriminant $D_{K'}$ vérifie l'inégalité

$$ (2.1) \qquad |D_{K'}| \le N^{630dN^7} |D_K|^N H_K(F)^{48N^7}. $$

Comme $a_s \in K'(s = s_{s0}, s_{s0+1}, \dots)$, il en résulte que pour tout $V \in \Sigma$, au-dessus de $X = x_0$, le diviseur $V$ est défini sur $K'$ ([9], page 186).

Si $U \in \Sigma$ et $f \in \bar{K}(C)$ notons $\text{ord}_U(f)$ l'ordre de la fonction $f$ en $U$. Soit $W$ un anneau de $\Sigma$ au-dessus de $X = x_0$. Considérons le $\bar{K}$-espace $L(W)$ des fonctions $f \in \bar{K}(C)$ telles que $\text{ord}_W(f) \ge -1$ et $\text{ord}_U(f) \ge 0$, pour tout élément $U$ de $\Sigma$ autre que $W$. La dimension de $L(W)$ est 2. D'après [9], théorème A2, il existe des polynômes

$$ q(X) = \sum_{i} q_i X^i \quad \text{et} \quad c_i(X, Y) = \sum_{i,j} c_{ij} X^i Y^j \quad (i=1,2) $$

avec

$$ (2.2) \qquad \deg q < 2N^3, \quad \deg_X c_i < 5N^3, \quad \deg_Y c_i < n, $$

et

$$ (2.3) \qquad H(c_{ij}) < N^{2930N^{11}} H(F)^{370N^{13}}, \quad H(q_i) < N^{5N^6} H(F)^{2N^4}, $$

tels que les fractions

$$ (2.4) \qquad c_i(X, Y)/q(X) \quad (i=1,2) $$

représentent une base de l'espace $L(W)$. Le diviseur $W$ est rationnel sur $K'$. Alors le théorème B2 de [9] entraîne que les coefficients des polynômes $q(X)$ et $c_i(X, Y)$ se trouvent dans $K'$. Comme la dimension de $L(W)$ est 2, une des fractions (2.4) représente une fonction $T \in K'(C)$ non constante; on a donc $\text{ord}_W T = -1$. Ceci entraîne $K'(C) = K'(T)$.

**3. Les zéros et les pôles de $X$.** Comme $X \in K'(T)$, il existe des éléments $a, a_1, \dots, a_s, b_1, \dots, b_t$ de $\bar{K}$ tels que

$$ X = a(T - a_1) \dots (T - a_s)/(T - b_1) \dots (T - b_t). $$

Alors on a $\text{ord}_W X = s - t$. D'autre part, la fonction $X$ n'a ni zéro ni pôle en $W$. Il en résulte que $s = t$. D'après nos hypothèses, $\Sigma_\infty$ contient au moins trois anneaux distincts; alors $s = t = n \ge 3$ et au moins trois des nombres $b_1, \dots, b_t$ sont deux-à-deux distincts. Considérons des coordonnées homogènes $(x : y : z)$ et notons $T_h$ et $F_h$ les homogénisés des $T$ et $F$. Les zéros de la fonction $X$ sont les couples $(0, y)$, où $F(0, y) = 0$ et éventuellement quelques points à l'infini, $(x : y : 0)$ avec $F_h(x : y : 0) = 0$. On déduit donc que les nombres $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ sont parmi les nombres $T(0, y)$ avec $F(0, y) = 0$ et $T_h(x : y : 0)$ avec $F(x : y : 0) = 0$. En utilisant (2.2) et (2.3) on trouve

$$ (3.1) \qquad H(a_i), H(b_i) < N^{2940N^{12}} H(F)^{375N^{12}} \quad (i=1, \dots, n). $$
Posons $f(T) = (T - a_1) \dots (T - a_n)$ et $g(T) = (T - b_1) \dots (T - b_n)$. Alors l'inégalité (3.1) et le théorème 5.9, page 211 de [14], entraînent

$$ (3.2) \qquad H(f), H(g) < N^{2950N^{13}} H(F)^{375N^{13}}. $$

Comme $K'(C) = K'(T)$, les coefficients des $af(T)$ et $g(T)$ se trouvent dans $K'$. Soit $z$ tel que $F(1, z) = 0$; alors on a $a = g(T(1, z))/f(T(1, z))$. On en déduit que

$$ (3.3) \qquad H(a) < N^{7350N^{14}} H(F)^{950N^{14}}. $$

**4. Calcul d'un discriminant.** Soient $\varrho_1, \dots, \varrho_\mu$ les différentes racines de $F_h(1, Y, 0) = 0$. Posons $L = K'(\varrho_1, \dots, \varrho_\mu)$. Dans cette section nous allons calculer une majoration pour le discriminant $D_L$ de $L$, que nous allons utiliser dans la section suivante. Soit $\delta$ le plus petit entier positif tel que les nombres $\delta\varrho_1, \dots, \delta\varrho_\mu$ soient des entiers de $L$. Posons

$$ F_1(Y) = (Y - \delta\varrho_1) \dots (Y - \delta\varrho_\mu) $$

et notons $D(F_1)$ le discriminant de $F_1(Y)$. La formule de transitivité des discriminants entraîne

$$ |D_L| \le |D_{K'}|^{|n|} |N_{K'}(D(F_1))|^{|n|}. $$

D'autre part, on a

$$ |N_{K'}(D(F_1))| \le H_{K'}(D(F_1)) \le N^{7dN^2} H_K(F_1)^{2N^2}. $$

Il en résulte que

$$ (4.1) \qquad |D_L| \le N^{7dN^2n^n} |D_{K'}|^{|n|} H_K(F_1)^{2N^2n^n}. $$

Considérons le polynôme

$$ F'_1(Y) = (Y - \delta\varrho_1) \dots (Y - \delta\varrho_n), $$

où $\varrho_1, \dots, \varrho_n$ sont les racines de $F_h(1, Y, 0) = 0$ avec multiplicité. En utilisant le théorème 5.9, page 211 de [12], on déduit

$$ \delta < 2^{dn-1} \left( \max_{1 \le i \le \mu} \{H(\varrho_i)\} \right)^{dn} \le N^{2dN} H_K(F)^n. $$

Il en résulte que

$$ H_K(F'_1) < \delta^{dn} H_K(F) < N^{2d^2N^2} H_K(F)^{2dN^2}. $$

Alors la proposition 2.4, page 57 de [4], donne

$$ (4.2) \qquad H_K(F_1) \le 4^{dN} H_K(F'_1) \le N^{3d^2N^2} H_K(F)^{dN^2}. $$

Les inégalités (2.1), (4.1) et (4.2) entraînent donc

$$ (4.3) \qquad |D_L| \le N^{635dN^{N+7}} |D_K|^{N^{N+1}} H_K(F)^{50dN^{N+7}}. $$
**5. Démonstration du théorème.** Notons $O_{K'}$ l'anneau des entiers de $K'$ et $S'$ l'ensemble des valeurs absolues de $K'$ qui prolongent les éléments de $S$. Considérons les homogénisés $f_h(X, Y)$ et $g_h(X, Y)$ des polynômes $f(T)$ et $g(T)$ respectivement. Soit $\delta$ le plus petit entier positif tel que $\delta f_h, \delta g_h \in O_{K'}[X, Y]$. Le théorème 5.9, page 211 de [14], et les inégalités (3.2) et (3.3) donnent

$$ (5.1) \qquad \delta < N^{8100dN^{15}} H_K(F)^{1100N^{15}}. $$

Les polynômes $f_h$ et $g_h$ n'ont pas de facteur commun; alors leur seul zéro commun est (0,0). Le théorème IV de [6] et les inégalités (3.2) entraînent qu'il existe des polynômes $P_1, P_2, P_3, P_4$ dans $O_{K'}[X, Y]$, des entiers positifs $\varepsilon, \zeta$ et $u, v$ dans $O_{K'}$ tels que

$$ (5.2) \qquad P_1(X, Y)\delta a f_h(X, Y) + P_2(X, Y)\delta g_h(X, Y) = X^{\varepsilon} u $$

et

$$ (5.3) \qquad P_3(X, Y)\delta a f_h(X, Y) + P_4(X, Y)\delta g_h(X, Y) = Y^{\zeta} v, $$

avec

$$ \varepsilon, \zeta \le (8n)^4 \quad \text{et} \quad H_{K'}(u), H_{K'}(v) < \Omega $$

où

$$ \Omega = N^{7 \cdot 10^9 d^2 N^{22}} H_K(F)^{8 \cdot 10^8 d N^{22}}. $$

Soit $x, y \in O_{K,S}$ avec $F(x, y) = 0$. Alors il existe $t \in K'$ tel que $x = af(t)/g(t)$. On peut écrire $t = \xi/\eta$, où $\xi, \eta \in O_{K'}$ et le plus grand commun diviseur des $\xi, \eta$ divise un entier $\Phi$ de $O_{K'}$, avec

$$ N_{K'}(\Phi) \le |D_{K'}|^{h_{K'}(h_{K'}^{-1})/2}, $$

où $h_{K'}$ est le nombre des classes de $K'$. Alors on a $x = af_h(\xi, \eta)/g_h(\xi, \eta)$. On déduit de (5.2) et (5.3) que $\delta g_h(\xi, \eta) | \xi^\varepsilon u$ et $\delta g_h(\xi, \eta) | \eta^\zeta v$; il en résulte que

$$ \delta g_h(\xi, \eta) | \Phi^{\max\{\varepsilon, \zeta\}} uv. $$

Soit $s'$ le nombre des éléments de $S'$. On sait, d'après [1], qu'il existe une base $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{s'-1}$ de la partie sans torsion du groupe des $S'$-unités de $K'$ avec

$$ (5.4) \qquad H(\varepsilon_i) < \exp\{(sN^{640dN^8} |D_K|^N H_K(F)^{48N^7} \log P(S))^{sn}\}. $$

Alors il existe une $S'$-unité $\varepsilon$ telle que la couple $(\xi\varepsilon, \eta\varepsilon)$ est une solution de l'équation

$$ \delta g_h(\Xi, H) = A = \varepsilon_1^{r_1} \dots \varepsilon_{s'-1}^{r_{s'-1}} B, $$

avec $0 \le r_1, \dots, r_{s'-1} \le n-1$ et $B \in O_{K'}$ tel que

$$ N_{K'}(B) < \Omega^2 |D_{K'}|^{2^{11}n^4h_{K'}^2}. $$
Soit $||B||$ la plus grande des valeurs absolues des conjugués de $B$. En vertu du lemme 3 de [3], on peut supposer, sans restreindre la généralité, que

$$ ||B|| < N_{K'}(B)^{1/d} \exp\{dn(25d^3n^3)^{dn}R_{K'}\}, $$

où $R_{K'}$ est le régulateur de $K'$; il en résulte que

$$ (5.5) \qquad H(B) < N_{K'}(B)^{1/d} \exp\{dn(25d^3n^3)^{dn}R_{K'}\}. $$

D'après le §3, le polynôme $g(T)$ a au moins trois racines distinctes. Supposons que $K$ contient les racines de l'équation $F(1, Y) = 0$; par conséquent, $g(T)$ se décompose dans $K$. Le corollaire 1.1 de [2] entraîne donc

$$ (5.6) \quad \max\{H_{K'}(\xi\varepsilon), H_{K'}(\eta\varepsilon)\} < \exp\{(25dsN^2)^{110s^2n^2}(R_{K'}h_{K'})^{ns+6} \\ \qquad \times P(S)^{10dn^2}(1 + \log dH(g)H(A))\}. $$

On sait, d'après [13], que

$$ (5.7) \qquad R_{K'} < 3^{dn}(dn)^2|D_{K'}|^{1/2} \max\{1, \log|D_{K'}|\}^{dn}; $$

aussi les résultats de [7] impliquent que

$$ (5.8) \qquad h_{K'} < 3|D_{K'}|^{dn}. $$

Alors les inégalités (3.2), (5.1) et (5.4)-(5.8) entraînent

$$ (5.9) \quad \max\{H_{K'}(\xi\varepsilon), H_{K'}(\eta\varepsilon)\} \\ < \exp\{N^{2890d^2s^3N^{10}} P(S)^{11sdN^2} |D_K|^{7dsN^3} H_K(F)^{220sdN^9}\}. $$

Comme $x = af_h(\xi\varepsilon, \eta\varepsilon)/g_h(\xi\varepsilon, \eta\varepsilon)$, (5.9), (3.2) et (3.3) entraînent

$$ (5.10) \quad \max\{H_K(x), H_K(y)\} \\ < \exp\{N^{2900d^2s^3N^{10}} P(S)^{11sdN^2} |D_K|^{7dsN^3} H_K(F)^{220sdN^9}\}, $$

ce qui démontre la remarque 1. Supposons que $K$ ne contient pas les racines de $g(T)$. Alors en considérant $L$ à la place de $K$ et en utilisant les majorations (4.3) et (5.10) nous déduisons le résultat.

## RÉFÉRENCES

[1] B. Brindza, On the generators of S-unit group in algebraic number fields, Bull. Austral. Math. Soc. 43 (1991), 325–329.

[2] K. Győry, On S-integral solutions of norm forms, discriminant forms and index form equations, Studia Sci. Math. Hungar. 16 (1981), 149–161.

[3] —, On the solutions of linear diophantine equations in algebraic integers of bounded norm, Ann. Univ. Budapest Eötvos Sect. Math. 22–23 (1970–1980), 225–233.

[4] S. Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970.

[5] —, Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer, New York, 1983.

[6] W. Masser and G. Wüstholtz, Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent. Math. 72 (1983), 407–464.
[7] M. Newmann, *Bounds for the class numbers*, in: Theory of Numbers, Proc. Sympos. Pure Math. 8, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1965, 70–77.

[8] W. M. Schmidt, *Eisenstein theorem on power series expansions of algebraic functions*, Acta Arith. 56 (1990), 161–179.

[9] —, *Construction and estimation of bases in function fields*, J. Number Theory 39 (1991), 181–224.

[10] —, *Integer points on curves of genus 1*, Compositio Math. 81 (1992), 33–59.

[11] J.-P. Serre, *Lectures on the Mordell–Weil Theorem*, Vieweg, 1989.

[12] C. L. Siegel, *Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen*, Abh. Preuss. Akad. Wiss. 1929.

[13] —, *Abschätzung von Einheiten*, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1969 (9), 71–86.

[14] J. H. Silvermann, *The Arithmetic of Elliptic Curves*, Springer, New York, 1986.

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE THESSALONIQUE
54006 THESSALONIQUE, GRÈCE

Reçu par la Rédaction le 1.7.1992