ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

S. MANJRA

S. REMMAL

Rayon de convergence générique des équations différentielles à coefficients polynomiaux sur un corps de nombres

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 8, n° 2 (2001), p. 89-105

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# Rayon de convergence générique des équations différentielles à coefficients polynomiaux sur un corps de nombres

S. Manjra, S. Remmal

## Introduction

La fonction "Rayon de convergence générique" $R(M, \tau)$ ($\tau > 0$) d'un module différentiel $p$-adique $M$ introduite par Dwork-Robba a joué un rôle fondamental dans le développement de la théorie des équations différentielles $p$-adiques ainsi que dans ses applications arithmétiques : sommes exponentielles, fonctions $L$ d'une variété algébrique, théorie de transcendance, etc...(Cf. [CR], [Bo], [Re1], [A1], [A2]...). Le calcul de $R(M, \tau)$ est en général très difficile si on n'a pas une base cyclique et si la matrice de dérivation est petite [CD1]. Cependant, lorsque $M$ est un $k(x)$-module différentiel (où $k$ est un corps de nombres) les résultats de Christol-Dwork et Pons ainsi qu'une évaluation de cette fonction au voisinage des singularités ([RC]) nous ont permis de montrer que l'ensemble des pentes de tous les graphes des fonctions $R_v(M, \tau)$ (avec $v$ décrivant les places finies de $k$) est fini (théorème 3.1). Nous trouvons également des relations de comparaisons entre $R_v(M, 1)$ et le rayon de convergence $R_v(Y)$ de la matrice uniforme $Y$ des solutions formelles de Turrittin de $M$ en 0 dans le cas où $M$ est un module différentiel non soluble à coefficients éléments analytiques sur une couronne (théorème 2.2). Nous concluons ce travail par une application intéressante des résultats précédents aux $G$-modules. On vérifiera notamment que les propriétés "Bombieri", "local Bombieri" et "local Galochkin" (Cf. [CD2]6) sont équivalentes pour un $k(x)$-module différentiel régulier en 0 avec des exposants rationnels.

## 1 Définitions et rappels

Soit $K$ un anneau commutatif muni d'une dérivation $D$ et soit $k$ l'anneau des constantes de $D$. Un $K$-module différentiel $M$ est un module libre de rang $n$ sur $K$ muni d'un opérateur différentiel $\delta$, c'est-à-dire d'un $k$-endomorphisme de $M$ qui vérifie pour tout élément $a$ de $K$ et tout vecteur $m$ de $M$ :

$$ \delta(am) = a\delta(m) + D(a)m. $$

Pour respecter la tradition des équations différentielles, nous dirons qu'il est représenté
dans la base $\mathcal{E} = \{e_i\}$ par la matrice $G = (G_{ij})$ définie par :

$$ \delta(e_i) = \sum_{j=1}^{n} G_{ij} e_j \qquad \star $$

On notera alors : $G = \mathrm{Mat}(\delta, \mathcal{E})$.

Soit maintenant $\mathcal{F} = \{f_i\}$ une autre base de $\mathcal{M}$ et soit $Y = (Y_{ij}) \in \mathrm{GL}(n, K)$ la matrice de changement de base définie par : $f_i = \sum_{1 \le j \le n} Y_{ij} e_j$, en posant $Y[G] = \mathrm{Mat}(\delta, \mathcal{F})$, on trouve facilement :

$$ Y[G] = YGY^{-1} + D(Y)Y^{-1}. $$

On appellera solution dans $K$ du module $\mathcal{M}$ toute application $K$-lineaire $s$ de $\mathcal{M}$ dans $K$ telle que : $s(\delta(m)) = D(s(m)); \forall m \in \mathcal{M}$ c'est à dire :

$$ D(s(e_i)) = s(\delta(e_i)) = \sum_{j=1}^{n} G_{ij} s(e_j) \quad i = 1, 2, \dots, n. $$

Autrement dit, le vecteur $(s(e_1), \dots, s(e_n))$ est solution du système différentiel :

$$ DX = GX. $$

Inversement, étant donné un tel système différentiel (c'est à dire étant donné une matrice $G$), on peut lui associer le $K$-module $K^n$ où l'opérateur différentiel est défini dans la base canonique $\{e_i\}$ de $K^n$ par $\star$.

Si $L = D^n + a_{n-1}D^{n-1} + \dots + a_0 \in K[D]$. On lui associe le $K$-module différentiel $\mathcal{M} = K[D]/K[D].L$. Ce module est libre de rang $n$, de base $\{1, D, \dots, D^{n-1}\}$ avec $\delta(D^i) = D^{i+1}$ pour $i = 0, 1, \dots, n-1$ et $\delta(D^n) = -a_{n-1}D^{n-1} - \dots - a_0$.

D'autre part, lorsque $K$ est un corps de car $K = 0$, tout $K$-module différentiel $\mathcal{M}$ de rang $n$, possède un vecteur cyclique $c$ est à dire un élément de $\mathcal{M}$ tel que la famille $\{m, \delta(m), \dots, \delta^{n-1}(m)\}$ forme une base de $\mathcal{M}$ (pour plus de détails voir [De]). La donnée de $\mathcal{M}$ correspond finalement à celle d'un opérateur ou d'un système différentiel.

## 1.1 Modules différentiels algébriques

Soient $k$ un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique $0$ et $K = k((x))$ le corps des séries formelles à coefficients dans $k$. On sait que la clôture algébrique de $K$ est : $\bigcup_{m \in N} K_m$ (où $K_m = K(x^{1/m})$) et que la dérivation $D = \frac{d}{dx}$ de $K$ s'étend d'une manière unique sur $\bigcup_{m \in N} K_m$.

Si $G$ est sous la forme : $\sum_{s \ge l} G_s x^{s/m}$ avec $G_l \neq 0; G_s \in K$ (resp. $G_s \in M(n, k)$); on posera : $\mathrm{ord}_x G = l/m$.

**Définition 1.1** Soient $\mathcal{M}$ un $K$-module différentiel de rang $n$, $\mathcal{E}$ une base de $\mathcal{M}$, et $G = \mathrm{Mat}(\delta, \mathcal{E})$. On appelle rang de Poincaré-Katz de $\mathcal{M}$ le nombre :

$$ \mathrm{rk}_0(\mathcal{M}) = \sup_{m \in \mathcal{N}^*} \sup_{Y \in \mathrm{GL}(n, K_m)} \{\min\{-1, \mathrm{ord}_x Y[G]\}\}. $$
**Remarque:** Par construction, le nombre $rpk_0(M)$ ne dépend pas de la base choisie, de plus on a : $rpk_0(M) = rpk_0(K_m \otimes_K M)$.

Si $rpk_0(M) = -1$ (resp. $rpk_0(M) < -1$) on dira que $M$ a une singularité régulière (resp. irrégulière) en 0.

On dira qu'une matrice $G$ de $M(n, K)$ a une singularité régulière (resp. irrégulière) en 0, si le module associé a une singularité régulière (resp. irrégulière) en 0.

**Proposition 1.1** [Ka]-[BV]

Soit $M$ un $K$-module de rang $n$. Soit $G \in M(n, K)$ une matrice qui représente la dérivation $\frac{d}{dx}$ dans une base de $M$.

1) S'il existe une matrice $H \in GL(n, K_m)$ telle que $\alpha = \text{ord}_x H[G] < -1$ et $(x^{-\alpha}H[G])(0)$ soit non nilpotente alors $rpk_0(M) = \alpha$.

2) Il existe $m \in \mathbb{N}^*$ et une matrice $H \in GL(n, k(x^{1/m}))$ telle que :

$$ \text{ord}_x H[G] = rpk_0(M). $$

3) Si $\{m, \delta(m), \dots, \delta^{n-1}(m)\}$ est une base de $M : \delta^n(m) + a_{n-1}\delta^{n-1}(m) + \dots + a_0 = 0$, alors :

$$ rpk_0(M) = \inf_i \left\{ \frac{\text{ord}(a_i)}{n-i}, -1 \right\}. $$

Soit $L = D^n + a_{n-1}D^{n-1} + \dots + a_0 \in K[D]$. on dit que $L$ possède une singularité régulière (resp. irrégulière) en 0 si

$$ rpk_0(L) = \inf_i \left\{ \frac{\text{ord}(a_i)}{n-i}, -1 \right\} = -1 $$

(resp. $rpk_0(L) < -1$). D'autre part; on notera $rpk_\zeta(L)$ (resp. $rpk_\infty(L)$) le rang de Poincare-Katz de l'opérateur obtenu à partir de $L$ par le changement :

$x \to x - \zeta = z$ (resp. $x \to 1/x = z$) en 0, autrement dit $rpk_\zeta(L)$ (resp. $rpk_\infty(L)$) caractérise la nature de la singularité de $L$ en $\zeta$ (resp. à l'infini). $L$ peut s'écrire sous la forme : $x^n L = (x \frac{d}{dx})^n + b_{n-1}(x \frac{d}{dx})^{n-1} + \dots + b_0 \in k[[x]]\left[x \frac{d}{dx}\right]$ si $rpk_0(L) = -1$. Dans ce cas le $K$-module $K[D]/K[D]L$ possède une base dans laquelle $\frac{d}{dx}$ est représentée par une matrice $G \in M(n, \frac{1}{x}k[[x]])$.

**Décomposition de Krull-Turrittin:**

**Proposition 1.2** [Ba] et [RC]

Soit $G$ une matrice de $M(n, K)$, alors :

1) Si $G$ a une singularité régulière en 0, il existe une matrice $Y \in GL(n, K)$ et une matrice $C \in M(n, k)$ telles que :

$$ Y^{-1}[G] = \frac{1}{x}C $$

Ce qui revient à dire que $Y \exp(C \log(x))$ est une solution formelle de l'équation différentielle $\frac{d}{dx}(Z) = G(x)Z$.

2) Si $G$ a une singularité irrégulière en 0 telle que $rpk_0(G) = -l < -1$, il existe un entier $m$ diviseur de $n!$, des matrices $Y \in GL(n, K_m)$, $C \in M(n, k)$ triangulaire supérieur
et des matrices $C_{r_i}$ de $M(n, k)$ diagonales commutant deux à deux et commutant avec $C$ tels que :

$$Y^{-1}[G] = C_{r_1}x^{r_1} + \dots + C_{r_q}x^{r_q} + \frac{1}{x}C$$

$r_1 = \text{rpk}_0(\mathcal{M}) < \dots < r_q < -1$ et $\text{mr}_i \in \mathbb{Z}$ pour $i = 1, \dots, q$. Autrement dit, la matrice $Y \exp(\frac{C_{r_1}}{r_1+1}x^{r_1+1} + \dots + \frac{C_{r_q}}{r_q+1}x^{r_q+1} + C \log x)$ est solution du système $\frac{d}{dx}(Z) = G(x)Z$.

Soient $m$ un entier naturel non nul, $\mathcal{M}$ un $K$-module différentiel de rang $n$ et $G(x)$ une matrice représentant $\frac{d}{dx}$ dans une base de $\mathcal{M}$. Posons $M_m = K_m \otimes_K \mathcal{M}$ le module différentiel obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par le changement de variables : $x \to x^{1/m} = z$ c'est à dire le $k((z))$-module différentiel de rang $n$ tel que la matrice $mz^{m-1}G(z^m)$ représente la dérivation $\frac{d}{dz} = mz^{m-1}\frac{d}{dz}$ dans une base de $M_m$.

### Remarques 1.1

1) Si $\text{rpk}_0(\mathcal{M}) < -1$, la proposition(1.2) montre que la dérivation $\frac{d}{dx}$ est représentée dans une base de $M_m$ par une matrice $F = Y^{-1}(z)[mz^{m-1}G(z^m)]$ telle que :
$$F = mC_{r_1}z^{s_1} + \dots + mC_{r_q}z^{s_q} + m\frac{1}{x}C \text{ avec } s_i = \text{mr}_i + m - 1 \in \mathbb{Z} \text{ pour } i = 1, \dots, q.$$

2) Si $G \in M(n, \frac{1}{x}K[[x]])$ alors :

a) il existe une matrice $H \in GL(n, K[x, \frac{1}{x}])$ (transformation de Schearing) telle que les valeurs propres de $(xH[G])(0)$ n'aient pas des différences dans $E^*$.

b) si $F \in M(n, \frac{1}{x}K[[x]])$ est une autre matrice qui représente la dérivation $\frac{d}{dx}$ dans une autre base de $\mathcal{M}$, les matrices $(xG)(0)$ et $(xF)(0)$ auront les mêmes valeurs propres modulo $\mathbb{Z}$.

### Définitions 1.1

1) Les valeurs propres de la matrice $C$ de la proposition 1.2 seront appelées les exposants de $G$.

2) La matrice $Y$ de la même proposition sera appelée matrice de réduction.

## 1.2 Modules différentiels $p$-adiques

Soient $\mathcal{C}_p$ le complété de la clôture algébrique de $\mathcal{Q}$ pour la valeur absolue ultramétrique $|\cdot|$ associée à $p$ et $\Omega_p$ une extension de $\mathcal{C}_p$ compléte, algébriquement close, dont l'ensemble $|\Omega_p|$ des valeurs absolues est $\mathbb{R}_+^*$ et dont le corps résiduel est transcendant sur celui de $\mathcal{C}_p$.

**Définition** : On dit que $t_r \in \Omega_p$ est un point générique de valeur absolue $r$ ; $(r \in \mathbb{R}_+^*)$, si $|t_r| = r$ et $D^-(t_r, r) \cap \mathcal{C}_p^* = \emptyset$.

Un tel point existe pour tout $r \in \mathbb{R}_+^*$. On appelle $D^-(t_r, r)$ un disque générique.

Soient $0 \le r_1 < r_2$. On note $\mathcal{H}_{[r_1, r_2]}$ l'anneau des éléments analytiques dans la couronne $C([r_1, r_2]) = \{x \in \Omega_p \mid r_1 < |x| < r_2\}$ c'est à dire le complété pour la norme :

$$||f|| = \sup_{x \in \mathcal{C}} |f(x)|$$
de l'anneau des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathcal{C}_p$ sans pôles dans $C$. C'est un sous-anneau de l'anneau des fonctions analytiques dans $C$:

$$ \mathcal{A}_{[r_1, r_2]} = \{ \sum_{i \in \mathcal{E}} a_i x^i | a_i \in \mathcal{C}_p \text{ et } \forall r \in [r_1, r_2] : \lim_{i \to \pm\infty} |a_i|^{r^i} = 0 \}. $$

Dans le cas d'un intervalle fermé, on a : $\mathcal{H}_{[r_1, r_2]} = \mathcal{A}_{[r_1, r_2]}$.

On note $\dot{\mathcal{H}}_{[r_1, r_2]}$, $\dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$ respectivement les corps des quotients des anneaux: $\mathcal{H}_{[r_1, r_2]}$ et $\mathcal{A}_{[r_1, r_2]}$. Pour chaque élément $a$ de $\dot{\mathcal{H}}_{[r_1, r_2]}$ il existe un polynôme $P$ de $\mathcal{C}_p[x]$ tel que $Pa \in \mathcal{H}_{[r_1, r_2]}$.

Pour tout $r \in [r_1, r_2]$, on définit une valeur absolue $|r|$ sur $\dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$ en posant :

$$ |f|_r = |f(t_r)|. $$

et une norme $\|\cdot\|_r$ sur $M(n, \dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]})$ en posant : $\|G\|_r = \sup_{ij} |G_{ij}|_r$ où $G = (G_{ij}) \in M(n, \dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$).

La dérivation $\frac{d}{dx}$ de $\mathcal{C}_p(x)$ se prolonge en une dérivation continue des anneaux $\mathcal{H}_{[r_1, r_2]}$, $\mathcal{A}_{[r_1, r_2]}$, $\dot{\mathcal{H}}_{[r_1, r_2]}$ et $\dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$. De plus on a, pour tout $r \in [r_1, r_2]$ et $f \in \dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$, l'inégalité suivante :

$$ \left| \frac{1}{n!} \left(\frac{d}{dx}\right)^n (f) \right|_r \leq r^{-n} |f|_r ; \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. $$

### Remarques 1.2

1) Si $f \in \dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$, alors la fonction : $\rho \mapsto \log|f|_{ep}$ est continue, affine par morceaux sur l'intervalle $] \log r_1, \log r_2]$, et convexe si $f \in \mathcal{A}_{[r_1, r_2]}$.

2) Si $f \in \dot{\mathcal{H}}_{[r_1, r_2]}$, alors la fonction : $\rho \mapsto \log|f|_{ep}$ est continue même aux extrémités.

(Cf. [CR]).

## 1.3 Rayon de convergence générique

La grande différence entre la théorie des équations différentielles complexes et la théorie des équations différentielles $p$-adiques est qu'une solution $p$-adique ne converge pas jusqu'à la première singularité contrairement à une solution complexe. Ceci nous amène à introduire le rayon de convergence des solutions au voisinage d'un point.

Soient $M$ un $\dot{\mathcal{A}}_{[r_1, r_2]}$-module différentiel de rang $n$, $G = \text{Mat}(\delta, \mathcal{E})$ et $G_s = \text{Mat}(\delta^s, \mathcal{E})$, les matrices $(G_s)_{s \ge 0}$ sont alors liées par la formule de récurrence :

$$ G_0 = I, \quad G_{s+1} = D(G_s) + G_s G. $$

Si $t$ est un point générique de la couronne $C$, on vérifie aisément que la matrice :

$$ U_{G,t}(x) = \sum_{s=0}^{\infty} G_s \frac{(x-t)^s}{s!} $$

est (l'unique) solution de l'équation différentielle : $\frac{d}{dx}U_{G,t} = GU_{G,t}$ avec $U_{G,t}(t) = I$. En particulier, si $z$ est dans le disque de convergence de $U_{G,t}$, on aura :

$$ U_{G,z}(x) = U_{G,t}(x)U_{G,t}^{-1}(z). $$
Par définition, la matrice $\mathcal{U}_{G,t}$ est analytique dans le disque "ouvert" de centre $t_r$ et de rayon $\lim_{s \to \infty} \|G_s/s!\|_r^{-1/s}$.

Posons :

$$R(G, r) = \inf\left(\liminf_{s \to \infty} \|G_s/s!\|_r^{-1/s}, r\right).$$

Soit maintenant $Y = (Y_{ij}) \in GL(n, \mathbb{A}_{r_1, r_2}[\mathbb{h}])$, alors : $R(G, r) = R(Y[G], r)$; autrement dit ce rayon ne dépend pas de la base dans laquelle on le calcule. Pour plus de détails voir [CD].

Nous sommes amenés à définir le rayon de convergence de $\mathcal{M}$ au bord du disque $D(0, r^{-})$ en posant :

$$R(\mathcal{M}, r) = \min\left(\liminf_{s \to \infty} \|G_s/s!\|_r^{-1/s}, r\right).$$

**Remarques:**

1) On dira que $\mathcal{M}$ est soluble en $r$ si $\liminf_{\rho \to r} R(\mathcal{M}, \rho) = r$.

2) Par le théorème de Lutz on a : $R(\mathcal{M}, r) > 0$ pour tout $r > 0$.

**Proposition 1.3**

Soit $\mathcal{M}$ un $\mathbb{A}_{r_1, r_2}[\mathbb{h}]$-module.

1) Soit $\mathcal{M}_h$ le $\mathbb{A}_{r_1|\mathbb{h}|, r_2|\mathbb{h}|}[\mathbb{h}]$-module obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par le changement : $x \to xh = z$, $h \in \mathcal{C}_p$, alors pour tout $r \in [r_1, r_2[$, $R(\mathcal{M}_h, r|\mathbb{h}|) = R(\mathcal{M}, r)|\mathbb{h}|$.

2) Soit $\mathcal{M}_\infty$ le $\mathbb{A}_{r_2^{-1}, r_1^{-1}}[\mathbb{h}]$-module obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par le changement : $x \to 1/x = z$, alors pour tout $r \in [r_1, r_2[$, $R(\mathcal{M}_\infty, r^{-1}) = R(\mathcal{M}, r)r^{-2}$.

3) Soit $\mathcal{M}_m$ le $\mathbb{A}_{r_1^m, r_2^m}$-module obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par le changement : $x \to x^{1/m} = z$, $m \in \mathbb{N}^*$, $|m|_p = 1$, alors pour tout $r \in [r_1, r_2[$

$$R(\mathcal{M}_m, r^m) = R(\mathcal{M}, r)r^{m-1}.$$

4) Soit $\mathcal{M}_a$ le $\mathbb{A}_{r_1, r_2}$-module obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par le changement : $x \to x - a = z$, $a \in \mathcal{C}_p$ et $|a|_p \le r_1$, alors $R(\mathcal{M}_a, r) = R(\mathcal{M}, r)$ pour tout $r \in [r_1, r_2[$.

La démonstration de cette proposition est simple.

**Remarque :** Dans le cas où $\mathcal{M}$ est un $\mathbb{H}_{r_1, r_2}$-module, d'après le théorème ci-dessous, l'égalité dans 4) de la proposition précédente reste valide même en $r_1$.

On trouve dans les travaux de Christol-Dwork et E. Pons (Cf. [CD1] et [Po]) les propriétés essentielles du rayon de convergence générique qu'on peut résumer dans le théorème ci-dessous :

**Théorème 1.1**

Soient $0 \le r_1 < r_2$ deux réels.

1) Soit $\mathcal{M}$ un $\mathbb{A}_{r_1, r_2}$-module, alors la fonction : $r \mapsto \log R(\mathcal{M}, \exp(r))$ est définie continue sur $]\log r_1, \log r_2[$ et son graphe $P_{r_1, r_2}$ est un polygone dont les côtés ont des pentes rationnelles à dénominateurs inférieurs ou égaux au rang de $\mathcal{M}$.

2) Si $\mathcal{M}$ est un $\mathbb{A}_{r_1, r_2}$-module, alors ce graphe est concave.

3) Si $\mathcal{M}$ est un $\mathbb{H}_{r_1, r_2}$-module, alors la fonction : $r \mapsto \log R(\mathcal{M}, \exp(r))$ est continue sur $[\log r_1, \log r_2]$ et son graphe est un polygone à un nombre fini de côtés.
La propriété 2) de la proposition 1.3 montre que le théorème ci-dessus reste vrai même dans le cas $r_2 = \infty$.

Soit $Y \in M(n, \mathcal{C}_p((x)))$, on note $r(Y)$ le plus grand nombre réel positif $r$ tel que les coefficients de la matrice $Y$ soient analytiques dans la couronne $C([0, r])$. Et si en particulier $Y \in GL(n, \mathcal{C}_p((x)))$, on appellera rayon de convergence de $Y$ le nombre : $R(Y) = \inf(r(Y), r(Y^{-1}))$.

### Remarques 1.3

Soient $\mathcal{M}$ un $\mathcal{C}_p(x)$-module de rang $n$, $G$ une matrice qui représente $\frac{d}{dx}$ dans une base de $\mathcal{M}$ et $Y \in GL(n, \mathcal{C}_p[[x^{1/m}]])$ ($m \le n$)! une matrice de réduction de $G$ en 0 (voir proposition 1.2 avec $k = \mathcal{C}_p$), alors on a :

1) $R(Y) > 0$ Si les exposants de $G$ sont des nombres algébriques (Cf. [Ba]).

2) $R(Y)$ est indépendant de la matrice $G$, autrement dit si $G'$ est une autre matrice qui représente $\frac{d}{dx}$ dans une autre base de $\mathcal{M}$ et $Z$ une matrice de réduction associée à $G'$ en 0, alors $R(Y) = R(Z)$ (Cf. [Ch],[RC]).

## 2 Comparaison entre $R(Y_G)$ et $R(G, 1)$ dans le cas non soluble

Dans ce paragraphe nous donnerons une comparaison entre le rayon de convergence d'une matrice de réduction d'un module $\mathcal{M}$ au voisinage d'un point singulier régulier et le rayon de convergence générique de $\mathcal{M}$ en 1. Pour cela nous aurons besoin du principe de transfert au voisinage d'un point singulier régulier.

Un élément de $\mathcal{C}_p$ est appelé nombre de Liouville s'il existe un nombre $r < 1$ pour lequel l'inégalité : $|\lambda - n|_p < r^{|n|\infty}$ se produit pour une infinité d'entier $n$ de $\mathbb{Z}$.

**Remarque :** Tout élément algébrique sur $\mathbb{Q}$ n'est pas un nombre de Liouville.

### Théorème 2.1 principe de transfert [Ch]

Soit $\mathcal{M}$ un $\mathcal{C}_p(x)$-module de dimension $n$. Soit $G \in M(n, \mathcal{C}_p(x))$ une matrice qui représente la dérivation $x^{\frac{d}{dx}}$ dans une base de $\mathcal{M}$ qui n'a pas de singularités dans le disque $D^{-}(0, R)$. Supposons que les valeurs propres de $G(0)$ soient dans $E_p$ et leurs différences ne soient pas des nombres de Liouville, alors il existe $Y \in GL(n, \mathcal{C}_p[[x]])$ telle que : $Y[G] = G(0)$ et pour $0 < r < R$ on a :

$$R(\mathcal{M}, r) = r \quad \text{ssi} \quad R(Y) \geq r.$$

$$\text{Autrement dit, } R(Y) = \sup\{0 < r < R \mid R(\mathcal{M}, r) = r\}.$$

### Théorème 2.2 (cas singulier régulier)

Soit $\mathcal{M}$ un $\mathcal{C}_p(x)$-module de dimension $n$. Soit $G$ une matrice de $M(n, \mathcal{C}_p(x))$, n'ayant pas de singularités dans le disque $D^{-}(0, 1)$, qui représente $x^{\frac{d}{dx}}$ dans une base de $\mathcal{M}$ telle que les exposants de $G(0)$ soient dans $E_p$ et leur différences ne soient pas des nombres de Liouville. Soit $Y \in GL(n, \mathcal{C}_p[[x]])$ une matrice de réduction de $G$ en 0 telle
que $R(Y) < 1$. Soient $\beta$ (resp. $\beta'$) la plus grande pente différente de 1 (resp. la plus petite pente) du graphe $P_{[0,1]}$, alors:

$$1) R(Y) \geq R(M, 1)^{1/(1-\beta)}.$$

$$2) R(M, 1) \geq R(Y)^{1-\beta'}.$$

**Démonstration:** la condition : $R(Y) < 1$ entraine que le polygone $P_{[0,1]}$ posséde au moins deux pentes. D'après les théorèmes 1.1 et 2.1, il existe des nombres réels : $r_i$, $C_i$ et des nombres rationnels à dénominateurs dans $[1, n]$ : $\beta_i$, $i = 1, ..., m$ tels que :

$$0 < r_0 = R(Y) < r_1 \le \dots \le r_m = 1 \text{ et } C_m = R(M, 1)$$

et

$$R(M, r) = \begin{cases} r & \text{si } r \in [0, r_0] \\ r^{\beta_{i+1}} C_{i+1} & \text{si } r \in [r_i, r_{i+1}]; 0 \le i < m. \end{cases}$$

La concavité de la fonction $R(M, \cdot)$ entraine que :

$$\beta' = \beta_m \le \dots \le \beta_1 = \beta < 1.$$

Par continuité de la fonction $R(M, \cdot)$ sur $[0, 1]$, on aura en tout point $r_i$ ($0 \le i < m$) :

$$r_i^{\beta_i - \beta_{i+1}} C_i = C_{i+1}.$$

Donc d'une part, on a :

$$C_1 \ge C_2 \ge \dots \ge C_m = R(M, 1).$$

Or :

$$R(Y) = r_0^{\beta_1} C_1$$

d'où :

$$R(Y) = C_1^{\frac{1}{1-\beta_1}} \ge R(G, 1)^{\frac{1}{1-\beta_1}}.$$

Et d'autre part, on a :

$$R(Y) = r_0 = r_0^{\beta_1} C_1$$

et

$$C_{i+1} = r_i^{\beta_i - \beta_{i+1}} C_i \ge R(Y)^{\beta_{i+1} - \beta_i} C_i \text{ pour } i \ge 1.$$

En particulier : $R(M, 1) = C_m \ge R(Y)^{1-\beta'}$.

**corollaire 2.1**

En particulier on a : $R(Y) \ge R(M, 1)^n$.

Démonstration :

-Si $\beta \le 0$ alors par la concavité du graphe et le principe de transfert, on aura :
$$R(Y) = R(M, R(Y)) \ge R(M, 1) \ge R(M, 1)^n.$$

-Si $0 < \beta < 1$ alors par définition : $\beta \le \frac{n-1}{n}$ et comme $R(M, 1) \le 1$, alors :

$$R(Y) \ge R(M, 1)^{\frac{1}{1-\beta}} \ge R(M, 1)^n.$$
**corollaire 2.2**

Soit $\mathcal{M}$ un $\mathcal{C}_p(x)$-module de dimension $n$. Soit $G$ une matrice de $M(n, \mathcal{C}_p(x))$ ($r > 0$), n'ayant pas de singularités dans le disque $D^-(0, r)$, qui représente $x^{\frac{d}{dx}}$ dans une base de $\mathcal{M}$ telle que les exposants de $G(0)$ soient dans $\mathcal{Z}_p$ et leurs différences ne soient pas des nombres de Liouville. Soit $Y \in \text{GL}(n, \mathcal{C}_p[[x]])$ une matrice de réduction de $G$ en 0 telle que: $R(Y) < r$. Soient $\beta$ (resp. $\beta'$) la plus grande pente différente de 1 (resp. la plus petite pente) du graphe $P_{|0,r|}$, alors :

$$1) R(Y)r^{-1} \geq (R(\mathcal{M}, r)r^{-1})^{1/1-\beta}.$$

$$2) R(\mathcal{M}, r)r^{-1} \geq (R(Y)r^{-1})^{1-\beta'}.$$

la démonstraton se déduit du théorème précédent et de la proposition (1.3).

# 3 Polygone de convergence

On suppose dorénavant que $k$ est un corps de nombres. On notera $S$ l'ensemble de toutes les places finies $\nu$ normalisées sur $k$. On note $|\pi|_\nu$ la valeur absolue d'une solution dans $\overline{\mathbb{Q}}$ de l'équation : $x^{p-1} = -p$ où $p$ est le seul nombre premier tel que : $|p|_\nu < 1$.

Si $\mathcal{M}$ est un $k(x)$-module différentiel alors, pour chaque place finie $\nu$ de $k$, $\mathcal{M}$ peut être considéré comme un $\mathcal{C}_p(x)$-module (où $|p|_\nu < 1$). Les quantités : $R_\nu(\mathcal{M},.)$, $R_\nu(Y)$, $\mathcal{H}_{\nu|r_1,r_2}$ et $\mathcal{P}_{\nu|r_1,r_2}$ désigneront alors respectivement le rayon de convergence générique, le rayon de convergence de la matrice de réduction $Y$, l'anneau des éléments analytiques sur la couronne $C_\nu(|r_1,r_2|) = \{x \in \Omega_p \mid r_1 < |x|_\nu < r_2\}$ et le graphe de la fonction $r \to \log R_\nu(\mathcal{M},e^r)$ associés à la place finie $\nu$ de $k$ définies précédemment pour chaque $p$.

Dans ce paragraphe, nous montrerons que si $\mathcal{M}$ est un $k(x)$-module différentiel alors, sauf pour un nombre fini de places finies de $k$, les polygones de convergence de $\mathcal{M}$ associés aux différentes places finies $\nu$ de $k$ ont la même première pente qui est égale à $-rkp_0(\mathcal{M})$. Ensuite nous donnerons une minoration de la variation de la pente du polygone de convergence d'un $\mathcal{H}_{\nu|r_1,r_2}$-module au voisinage d'un point singulier fini non nul. Ce qui nous permettra de prouver que l'ensemble des pentes des polygones de convergence d'un $k(x)$-module associés aux différentes places finies $\nu$ est fini.

**Proposition 3.1**

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$ associé au système différentiel $\frac{d}{dx} - \frac{1}{x}C$ où $C \in \mathcal{M}(n, k)$, alors pour toute place $\nu \in S$ il existe une constante $0 < c_\nu \le 1$, dépendant seulement des valeurs propres de la matrice $C$, telle que :

$$R_{\nu}(\mathcal{M}, r) = rc_{\nu}; \forall r > 0$$

**Proposition 3.2**

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$ associé au système différentiel $\frac{d}{dx} - G$ où $G = C_{s_1}x^{s_1} + \dots + C_{s_q}x^{s_q} + \frac{1}{x}C$ telle que :

1) les $C_{s_i}$ sont des matrices carrées diagonales non nulles, à coefficients dans $k$, commutant deux à deux et commutant avec la matrice $C \in \mathcal{M}(n, k)$.
2) $s_q < \dots < s_1 < -1$ et $s_i \in \mathbb{Z}$ $i = 1, \dots, q$.

Alors il existe un sous-ensemble $S_0 \subset S$ fini, tel que pour toute place finie $\nu \in S - S_0$, il existe $0 < c_\nu \le 1$ tel que :

$$R_\nu(\mathcal{M}, r) = \inf\{\inf_{1 \le i \le q} \{r^{-s_i} |\pi|_\nu |C_{s_i}|^{-1}\}, rc_\nu\} ; \forall r > 0.$$

L'évaluation du rayon de convergence générique, dans les propositions 3.1 et 3.2, resulte du calcul de rayon de convergence des opérateurs différentiels de la forme : $\frac{d}{dx} - \frac{\alpha}{x^s}$ où $\alpha \in \mathcal{C}_p^*$ et $s \in \mathbb{N}^*$:

**Lemme 3.1 [RC]**

Soient $\alpha \in \mathcal{C}_p^*$, $s \in \mathbb{N}^*$ et $r > 0$. Alors

$$R\left(\frac{d}{dx} - \frac{\alpha}{x^s}, r\right) = \begin{cases} rc \text{ où } 0 < c \le 1 & \text{si } s = 1 \\ \inf(r, r^s |\pi| |\alpha|^{-1}) & \text{si } s > 1 \text{ et } |s - 1|_p = 1 \end{cases}$$

Dans tout le reste de ce travail, $S_0$ désignera l'ensemble fini des places de la proposition 3.2.

Considèrons la matrice de réduction $Y$ de la proposition 1.2. Comme pour tout $r < R_\nu(Y)$, le rayon de convergence générique $R_\nu(\mathcal{M}, r)$ peut être calculé à partir de n'importe quelle base de $\mathcal{M}$ puisque le disque générique $D^{-}(t_r, r)$ (où $|t_r|_p = r$; $|p|_\nu < 1$) est contenu dans la couronne $C([0, R_\nu(Y)]$. Nous pouvons donc choisir une base $e$ de $\mathcal{M}$ telle que $\mathrm{mat}(\frac{d}{dx}, e)$ soit une matrice canonique.

Les proposition 3.1, 3.2 et la propriété 3) de la proposition 1.3 permettent d'avoir:

**corollaire 3.1**

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$.

1) Si $\mathrm{rpk}_0(\mathcal{M}) = -l < -1$, alors il existe une matrice $A \in \mathcal{M}(n, \mathcal{Q})$ et un sous-ensemble $S_0 \subset S$ fini de sorte que pour toute place finie $\nu \in S - S_0$, il existe $0 < \epsilon_\nu < R_\nu(Y)$ tels que :

$$R_{\nu}(\mathcal{M}, r) = r^l |\pi|_{\nu} |A|_{\nu} ; \forall 0 < r < \epsilon_{\nu}.$$

2) Si $\mathrm{rpk}_0(\mathcal{M}) = -1$, alors pour toute place finie $\nu$, il existe $0 < \epsilon_\nu < R_\nu(Y)$ et une constante $0 < c_\nu \le 1$ tels que :

$$R_{\nu}(\mathcal{M}, r) = rc_{\nu} ; \forall 0 < r < \epsilon_{\nu}.$$

**Remarques 3.1**

1) Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$ tel que $\mathrm{rpk}_0(\mathcal{M}) < -1$, alors, sauf pour un nombre fini de places, il existe $\epsilon_\nu > 0$ tel que l'on ait : $R_\nu(\mathcal{M}, r) = r^l |\pi|_\nu$ pour $0 < r < \epsilon_\nu$.

2) Si $\mathcal{M}$ est un $k(x)$-module de rang $n$, alors pour toute place finie $\nu \in S - S_0$, il existe $\epsilon_\nu \in \mathbb{R}$ tel que :

$$\frac{d \log R_{\nu}(\mathcal{M}, e^{\rho})}{d \rho} (\rho) = - \mathrm{rpk}_0(\mathcal{M}) ; \forall \rho < \epsilon_{\nu}.$$
En particulier si $\mathcal{M}$ n'a pas de singularités dans $C_\nu(]0, r[)$ où $\nu \in S - S_0$, alors :

$$ \frac{d^{-} \log R_{\nu}(\mathcal{M}, e^{\rho})}{d\rho} (\log r) \leq -rpk_{0}(\mathcal{M}). $$

3) Si $\mathcal{M}$ est un $k(\frac{1}{x})$-module n'a pas de singularités dans $C_\nu(|r, \infty[)$ de rang $n$ où $\nu \in S - S_0$, on trouve :

$$ \frac{d^{+} \log R_{\nu}(\mathcal{M}, e^{\rho})}{d\rho} (\log r) \geq 2 + rpk_{\infty}(\mathcal{M}). $$

La démonstration se déduit du théorème 1.1, de 2) proposition 1.3 et du corollaire 3.1.

Cette remarque nous permet de retrouver une forme affaiblie du théorème de Katz [Ka]:

### corollaire 3.2

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module tel que $R_\nu(\mathcal{M}, 1) > |\pi|_\nu$ pour presque toute les places finies $\nu$, alors $\mathcal{M}$ n'a que des singularités régulières.

Démonstration : Supposons que $\mathcal{M}$ ait une singularité irrégulière en $\zeta \in \bar{\mathbb{Q}}$. La proposition 1.3 permet de supposer que $\zeta = 0$. Soit $S'$ le sous-ensemble de $S$ contenant toutes les places finies $\nu$ pour lesquelles toutes les singularités finies non nulle ont la valeur absolue 1 avec $R_\nu(\mathcal{M}, r) = r^{|\pi|_\nu}(l = -rpk_0(\mathcal{M}))$ pour $r$ assez petit. Clairement $S - S'$ est fini. Soit maintenant $\nu \in S'$, $\mathcal{M}$ est alors un $\mathcal{H}_{\nu,]0,1[}$-module. D'après la concavité de la fonction : $\rho \mapsto \log R_\nu(\mathcal{M}, e^\rho)$ sur l'intervalle $]-\infty, 0[$ et la remarque précédente on aura : $R_\nu(\mathcal{M}, 1) \le |\pi|_\nu$, ce qui contredit les hypothèses.

### Lemme 3.2

Soient $p$ un nombre premier fixé et $G \in M(n, \dot{H}_{r_0-\epsilon, r_0+\epsilon})$ ($0 < \epsilon < r_0$) telle que toutes les singularités de $G$, dans $\{x \in \Omega_p | r_0 - \epsilon < |x| < r_0 + \epsilon\}$, aient la valeur absolue $r_0$. Soit $m$ le degré du polynôme unitaire minimal $P(x)$ tel que $P(x)G \in M(n, \mathcal{H}_{r_0-\epsilon, r_0+\epsilon})$. Soit $\beta$ (resp. $\beta'$) la plus petite pente du graphe $P|_{r_0-\epsilon, r_0}$ (resp. la plus grande pente du graphe $P|_{r_0, r_0+\epsilon}$), alors :

$$ 1) \text{Si } R(G, r_0) < r_0, \beta \ge \beta' - m. $$

$$ 2) \text{Si } R(G, r_0) = r_0, \beta \ge \beta'. $$

Autrement dit, si $R(G, r_0) < r_0$, alors :

$$ \frac{d^{-} \log R(G, e^{\rho})}{d\rho} (\log r_0) - \frac{d^{+} \log R(G, e^{\rho})}{d\rho} (\log r_0) \geq -m. $$

Dans le cas où $R(G, r_0) = r_0$, le graphe $P|_{r_0-\epsilon, r_0+\epsilon}$ est concave.

Démonstration:1) Par construction de $P$ on a :

$$ |P|_r = \begin{cases} r_0^m & \text{si } r \le r_0 \\ r^m & \text{si } r \ge r_0. \end{cases} $$
Comme $R(G, r_0) < r_0$, alors par continuité, il existe $0 < \epsilon_0 < \epsilon$ tel que :

$$R(G, r) = \liminf_{s \to \infty} \|G_s/s!\|_r^{-1/s} ; \forall r \in [r_0 - \epsilon_0, r_0 + \epsilon_0].$$

Posons $F_1 = P(x)G_1 = P(x)G$ et $F_g = P(x)^g G_g$, $\forall s \in \mathbb{N}$. Clairement $F_g \in M(n, \mathcal{H}_{[r_0-\epsilon_0, r_0+\epsilon_0]})$ pour tout entier $s$. Et comme l'enveloppe supérieure de fonctions convexes est convexe, il en résulte que les fonctions :

$$\rho \mapsto \log \|F_s\|_{e^\rho} = \max_{ij} \log |(F_s)_{ij}|_{e^\rho}$$

sont convexes sur $\log(r_0 - \epsilon_0), \log(r_0 + \epsilon_0)$. La fonction :

$$h(\rho) = \limsup_{s \to \infty} \left( \frac{1}{s} \log \|F_s/s!\|_{e^\rho} \right)$$

qui est limite supérieur de fonctions convexes est également convexe. D'autre part :

$$h(\rho) = \begin{cases} m \log r_0 + \limsup_{s \to \infty} \left( \frac{1}{s} \log \|G_s/s!\|_{e^\rho} \right) & \text{si } \rho \le \log r_0 \\ m\rho + \limsup_{s \to \infty} \left( \frac{1}{s} \log \|G_s/s!\|_{e^\rho} \right) & \text{si } \rho \ge \log r_0 \end{cases}$$

c'est à dire

$$h(\rho) = \begin{cases} m \log r_0 - \log R(G, e^\rho) & \text{si } \rho \le \log r_0 \\ m\rho - \log R(G, e^\rho) & \text{si } \rho \ge \log r_0 \end{cases}$$

et puisque

$$\frac{d^- \log R(G, e^\rho)}{d\rho}(\rho) \text{ et } \frac{d^+ \log R(G, e^\rho)}{d\rho}(\rho)$$

existent et sont finis en tout point de l'intervalle $\log(r_0 - \epsilon_0), \log(r_0 + \epsilon_0)$, alors en vertu de la convexité de la fonction $h$ sur le même intervalle on aura :

$$-\frac{d^- h(\rho)}{d\rho}(\rho) + \frac{d^+ h(\rho)}{d\rho}(\rho) = -\frac{d^- \log R(G, e^\rho)}{d\rho}(\rho) - \frac{d^+ \log R(G, e^\rho)}{d\rho}(\rho) + m \ge 0$$

pour tout $\rho \in \log(r_0 - \epsilon_0), \log(r_0 + \epsilon_0)$ et en particulier en $\log r_0$. D'où 1).

2) Si $R(G, r_0) = r_0$, alors du fait que $R(G, r)$ est toujours inférieur à $r$, il est clair qu'on a : $\beta \ge 1 \ge \beta'$.

**Théorème 3.1** Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$, alors l'ensemble contenant les pentes des polygones de convergence de $\mathcal{M}$ associés aux différentes places finies $\nu$ est fini.

Démonstration: Soit $G \in M(n, k(x))$ une matrice qui représente la dérivation $\frac{d}{dx}$ dans une base de $\mathcal{M}$. Soit $\nu$ une place finie fixée dans $S$. Désignons par $r_{i,\nu}; i = 1, \dots, q$ les valeurs absolues (associées à $\nu$) des singularités finies non nulles de $G$ telles qu' : $0 < r_{1,\nu} \le r_{2,\nu} \le \dots \le r_{q,\nu}$. Posons :

$$m_{i,\nu} = \inf\{\deg P \mid P \in k[x], PG \in M(n, \mathcal{H}_{\nu, r_{i-1,\nu}, r_{i+1,\nu}})\}; i = 2, \dots, q-1;$$
$$m_{1,\nu} = \inf\{\deg P \mid P \in k[x], PG \in M(n, \mathcal{H}_{\nu,0,r_2,\nu})\};$$

$$m_{q,\nu} = \inf\{\deg P \mid P \in k[x], PG \in M(n, \mathcal{H}_{\nu,r_{q-1},\nu,\infty})\};$$

et

$$\beta_{i,\nu}^{-} = \frac{d^{-} \log R_{\nu}(M, e^{\rho})}{d\rho} (\log r_{i,\nu}) \quad \text{et} \quad \beta_{i,\nu}^{+} = \frac{d^{+} \log R_{\nu}(M, e^{\rho})}{d\rho} (\log r_{i,\nu})$$

pour $i = 1, ..., q$.

D'après le lemme précédent, on a : $\beta_{i,\nu}^{-} \ge \beta_{i,\nu}^{+} - m_i$ pour $i = 1, 2, ..., q$.

Soit $\beta_{j_0}$ une pente d'un côté du polygone $P_{\nu,|r_{j,\nu},r_{j+1,\nu}|}$, donc par concavité sur chaque intervalle $\log(r_{i,\nu})$, $\log(r_{i+1,\nu})$, on a d'une part :

$$\beta_{j_0} \le \beta_{j,\nu}^{+} \le \beta_{1,\nu}^{-} + \sum_{i=1}^{j} m_{i,\nu} \le \beta_{1,\nu}^{-} + \sum_{i=1}^{q} m_{i,\nu}$$

et d'autre part :

$$\beta_{j_0} \ge \beta_{j+1,\nu}^{-} \ge \beta_{q,\nu}^{+} - \sum_{i=j+1}^{q} m_{i,\nu} \ge \beta_{q,\nu}^{+} - \sum_{i=1}^{q} m_{i,\nu}.$$

Comme l'entier

$$m = \sum_{i=1}^{q} m_{i,\nu} = \inf\{\deg P \mid P \in k[x], PG \in M(n, k[x])\}$$

est indépendent de la place $\nu$, alors :

$$\beta_{q,\nu}^{+} - m \le \beta_{j_0} \le \beta_{1,\nu}^{-} + m.$$

-Si maintenant $\nu \in S - S_0$, alors d'après la remarque 3.1 on a : $\beta_{1,\nu}^{-} \le -rpk_0(M)$ et $\beta_{q,\nu}^{+} \ge 2 + rpk_{\infty}(M)$. D'où :

$$2 - m + rpk_{\infty}(M) \le \beta_{j_0} \le m - rpk_0(M).$$

Or les pentes du polygone de convergence $P_{\nu}$ sont rationnelles à dénominateurs dans $[1, n]$, l'ensemble :

$$\{\beta_{\nu} \in \mathbb{R} \mid \beta_{\nu} \text{ est une pente de } P_{\nu}, \nu \in S - S_0\}$$

est donc fini d'après la théorème 1.1. Et comme l'ensemble $S_0$ est fini, il sera de même pour :

$$\{\beta_{\nu} \in \mathbb{R} \mid \beta_{\nu} \text{ est une pente de } P_{\nu}, \nu \in S\}.$$

**Conséquence:** en particulier si $M$ n'a que $0$ et $\infty$ comme singularités, alors toute pente $\beta_{\nu}$ de $\{P_{\nu} \mid \nu \in S - S_0\}$ est comprise entre $-rpk_0(M)$ et $2 + rpk_{\infty}(M)$.
# 4 G-modules et G-fonctions

Soit $(a_s)_{s \ge 0}$ une suite de nombres algébriques vérifiant les conditions suivantes :

(G) : il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $s$ :

$(G_1)$ : les conjugués de $a_s$ sont de valeurs absolues (archimédienne) inférieure à $C^s$.

$(G_2)$ : le dénominateur commun à $a_0, a_1, \dots, a_s$ est de valeur absolue (archimédienne) inférieure à $C^s$.

**Définition 4.1** Une fonction $f$, solution d'un opérateur de $k[x, \frac{d}{dx}]$, est dite une G-fonction si elle est de la forme : $\sum_{s \ge 0} a_s x^s$, où les $a_s$ vérifient les conditions précédentes.

Notons que les G-fonctions forment une $\overline{\mathbb{Q}}[x]$-sous-algèbre de $\overline{\mathbb{Q}}[[x]]$ stable par dérivation.

Soit $\phi \in k(x)[\frac{d}{dx}]$. On dit que $\phi$ est un G-opérateur s'il verifie la condition suivante $\prod_{\nu \in S} R_\nu(\phi, 1) \neq 0$ (Cf. [A1]V5.2).

Techniquement, il est parfois plus commode de travailler avec des modules différentiels sur $\overline{\mathbb{Q}}(x)$ plutôt qu'avec des opérateurs différentiels. Les définitions sont compatibles au sens où $\overline{\mathbb{Q}}(x)[\frac{d}{dx}]/\overline{\mathbb{Q}}(x)[\frac{d}{dx}]\phi$ est G-module si et seulement si $\phi$ l'est.

Si $\phi$ est un G-opérateur, on aura : $R_\nu(\phi, 1) > |\pi|_\nu$ pour toute place $\nu$ au-dessus d'un ensemble de nombres premiers de densité 1. En vertu du théorème de Katz ([A1]V5.2), $\phi$ n'a que des singularités régulières à exposants rationnels.

**Théorème 4.1** (Chudnovsky) [A1]

Soit $f \in \overline{\mathbb{Q}}[[x]]$ une G-fonction, et soit $\phi \in k(x)[\frac{d}{dx}]$ un opérateur non nul d'ordre minimal tel que $\phi f = 0$. Alors $\phi$ est un G-opérateur.

**Lemme 4.1**

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)$-module de rang $n$, et soit $\mathcal{N}$ le $k(x)$-module obtenu à partir de $\mathcal{M}$ par un des changements figurant dans la proposition 1.3, alors :

$$R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) = R_{\nu}(\mathcal{N}, 1)$$

sauf pour un nombre fini de places finies $\nu$.

La démonstration est une conséquence immédiate de la proposition 1.3 et la remarque qui la suit.

**Théorème 4.2**

Soit $\mathcal{M}$ un G-module de rang $n$. Soit $Y \in \text{GL}(n, \overline{\mathbb{Q}}[[x]])$ une matrice de réduction de $\mathcal{M}$ en $\zeta \in \overline{\mathbb{Q}}$. Alors pour tout sous-ensemble non vide $S' \subset S$ on a :

$$\prod_{\nu \in S'} R_{\nu}(Y) \neq 0.$$
**Démonstration :** D'une part, on sait que les $G$-modules sont stables par des changements rationnels de la variable $x$ (lemme 4.1), donc on peut supposer que $\zeta = 0$. D'autre part, soit $T$ l'ensemble des $\nu \in S'$ tel que toutes les éventuelles singularités non nulles $\zeta$ de $M$ vérifient $|\zeta|_{\nu} = 1$ et tous les exposants sont dans $\mathbb{E}_p$ où $|p|_{\nu} < 1$. D'ou nécessairement $S' - T$ est fini. Notons $S_1$ le sous ensemble de $T$ tel que l'on a pour chaque $\nu \in S_1$, $R_{\nu}(Y) \ge 1$ de telle sorte que $M$ est un $\mathcal{H}_{\nu|0,1}[-)$-module pour toute $\nu \in T - S_1$. D'après le corollaire (2.1) on a :

$$ \prod_{\nu \in T} R_{\nu}(Y) \geq \prod_{\nu \in T - S_1} R_{\nu}(Y) \geq \prod_{\nu \in T - S_1} R_{\nu}(M, 1)^n \geq \prod_{\nu \in S} R_{\nu}(M, 1)^n \neq 0 $$

car $R_{\nu}(M, 1) \le 1$. Et comme $S' - T$ est fini et $R_{\nu}(Y) > 0$ pour tout $\nu \in S$ alors :
$$ \prod_{\nu \in S'} R_{\nu}(Y) \neq 0. $$

En particulier, si on note $S'$ l'ensemble de toutes les places $\nu \in S$ telles que $R_{\nu}(Y) \le 1$, on obtiendra : $\prod_{\nu \in S} \inf(R_{\nu}(Y), 1) = \prod_{\nu \in S'} R_{\nu}(Y) \neq 0$.

### corollaire 4.1

1) Soit $S'$ un sous-ensemble de $S$, alors si $f$ est une $G$-fonction, on aura :
$$ \prod_{\nu \in S'} \tau_{\nu}(f) \neq 0. $$

2) Soit $Y \in GL(n, \mathbb{Q}[[x]])$ telle que les coefficients de $Y$ et $Y^{-1}$ soient des $G$-fonctions, alors : $\prod_{\nu \in S} R_{\nu}(Y) \neq 0$.

**Démonstration :** 1) se déduit des théorèmes 4.1 et 4.2

2)-a) Posons : $r_{\nu}(Y) = \inf_{ij} r_{\nu}(Y_{ij})$, alors $\prod_{\nu \in S'} r_{\nu}(Y) \neq 0$ pour tout $S' \subset S$.

En effet, si on munit l'ensemble $[1, n] \times [1, n]$ de l'ordre lexicographique $\ge$ et si on pose $S_{1,1} = \{\nu \in S' | r_{\nu}(Y) = r_{\nu}(Y_{11})\}$ et pour $(i, j) \ge (1, 1)$:

$$ S_{ij} = \{\nu \in S' - \bigcup_{(i,j) \ge (u,v)} S_{u,v} \mid r_{\nu}(Y) = r_{\nu}(Y_{ij})\}, $$

la famille $(S_{ij})_{ij}$ formera une partition de $S'$. D'où :

$$ \prod_{\nu \in S'} r_{\nu}(Y) = \prod_{i,j \in S_{i,j}} r_{\nu}(Y) = \prod_{i,j \in S_{i,j}} r_{\nu}(Y_{i,j}). $$

Or, d'après 1), on a $\prod_{\nu \in S_{i,j}} r_{\nu}(Y_{i,j}) \neq 0 \forall i, j \in [1, n]$. Par suite $\prod_{\nu \in S'} r_{\nu}(Y) \neq 0$.

Et par la même démarche, on montre que : $\prod_{\nu \in S'} r_{\nu}(Y^{-1}) \neq 0$.

2-b) Si on note $S'$ l'ensemble de toutes les places $\nu \in S$ telles que : $r_{\nu}(Y) > r_{\nu}(Y^{-1})$, on obtiendra à partir de a) :

$$ \prod_{\nu \in S} R_{\nu}(Y) = \prod_{\nu \in S-S'} \tau_{\nu}(Y) \prod_{\nu \in S'} \tau_{\nu}(Y^{-1}) \neq 0. $$
**Théorème 4.3**

Soit $\mathcal{M}$ un $k(x)[\frac{d}{dx}]$-module de rang $n$, ayant 0 comme singularité régulière à exposants rationnels. Soit $Y \in GL(n, \mathbb{Q}[\{x\}])$ une matrice de réduction de $\mathcal{M}$ en 0. Si

$$ \prod_{\nu \in S} R_{\nu}(Y) \neq 0 $$

alors $\mathcal{M}$ est un $G$-module.

**Démonstration :** soit $T$ le sous-ensemble de toutes les places $\nu \in S$ pour lesquelles, toutes les éventuelles singularités finies non nuls de $\mathcal{M}$ sont de valeurs absolues (associées à $\nu$)1, tous les exposants en 0 sont dans $\mathbb{Z}_p$ avec $|p|_{\nu} < 1$. Nécessairement $S-T$ est fini. Désignons par $S_1$ le sous-ensemble de toutes les places $\nu \in T$ pour lesquelles : $R_{\nu}(Y) \ge 1$ et par $\beta$ la borne inférieure de l'ensemble fini des pentes des polygones de convergence de $\mathcal{M}$ associées aux différentes places de $S$ (théorème 3.1). $\mathcal{M}$ est alors un $\mathcal{H}_{\nu,0,1}$-module pour toute place $\nu \in T-S_1$. D'après le théorème (2.2), on aura :

$$ \prod_{\nu \in T} R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) = \prod_{\nu \in T-S_1} R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) \ge \prod_{\nu \in T-S_1} R_{\nu}(Y)^{1-\beta} \ne 0 $$

car par le principe de transfert on a : $R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) = 1 \quad \forall \nu \in S_1$. Et comme $S-T$ est fini et $R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) > 0$ pour tout $\nu \in S$ alors : $\prod_{\nu \in S} R_{\nu}(\mathcal{M}, 1) \ne 0$. Par suite $\mathcal{M}$ est un $G$-module.

**Remarques 4.1**

1) Les théorèmes 4.1 et 4.2 montrent que les conditions "Bombieri" (B) et "local Bombieri" (LB) (Cf. [CD2]6) sont équivalentes en un point singulier régulier à exposants rationnels.

2) Le corollaire 4.1 montre que la condition "local Galochkin" (LG) entraine (LB)(Cf. [CD2])6.

3) Une consequence importante de ce travail est de donner une caractérisation p-adique des E-opérateurs. On montrera notamment dans [MR] une version d'une conjecture d'Yves André(Cf. [A2]).

**References**

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[Re2] S. REMMAL, *Équations différentielles p-adiques à point singuliers irréguliers et Principe de transfert*, thèse de doctorat d'état. (Fès, Maroc, 1991)

U.F.R : Géométrie arithmétique
Département de mathématiques et informatiques
Faculte des sciences de Fès
B.P : 1976. Atlas-Fes. Maroc
E-mail : remmal@wanadoo.net.ma