que $u = \exp(N)$ pour un $N \in \mathbf{u}_{\mathcal{P}_{\varepsilon}}(k_F)$. La première, jointe au fait que $m$ est forcément unipotent (puisque $\exp(X)$ l'est), entraîne que $m = \exp(Y)$ pour un $Y \in \mathbf{m}_{\varepsilon, \text{nil}}(k_F)$. Cela démontre (8).

On peut donc supposer $m = \exp(Y)$ avec $Y \in \mathbf{m}_{\varepsilon, \text{nil}}(k_F)$. Il résulte de (8) et de la définition de $f_{b,2}$ que

$$ \sum_{u \in \mathcal{U}_{\mathcal{P}}(k_F)} f_{b,2}(xu) = \sum_{N \in \mathbf{u}_{\mathcal{P}_{\varepsilon}}(k_F)} \varphi_b(Y + N). $$

Puisque $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ est un sous-groupe parabolique propre de $\mathcal{G}_{\varepsilon,b}$, ceci est nul puisque $\varphi_b$ est cuspidale. Cela achève la preuve du lemme. $\square$

Reprenons la preuve de la proposition. On définit la distribution $D_{f_b}^G$. Notons $\theta_b$ sa fonction associée. Il est clair que son support est contenu dans la réunion des conjugués du support de $f_b$. D'après la construction de cette fonction et le lemme 4.7, ce support est contenu dans l'ensemble des $k^{-1}C(\varepsilon)k$ pour $k \in K_{\mathcal{F}_b}^0$. Donc le support de $\theta_b$ est contenu dans $C_G(\varepsilon)$ et il nous suffit de calculer $\theta_b(\varepsilon \exp(X))$ pour $X \in \mathcal{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. C'est le calcul que l'on a fait dans la section précédente. L'ensemble $\Gamma_{\varepsilon}$ contient $Z_G(\varepsilon)(F)K_{\mathcal{F}_b}^0$. Montrons que

(9) on peut remplacer l'ensemble $\Gamma_{\varepsilon}$ par $Z_G(\varepsilon)(F)K_{\mathcal{F}_b}^0$.

Il suffit de montrer que, si $\gamma \in \Gamma_{\varepsilon} - Z_G(\varepsilon)(F)K_{\mathcal{F}_b}^0$ et si $g \in G_{\varepsilon}(F)\gamma K_{\mathcal{F}_b}^0$, $g^{-1}\varepsilon \exp(X)g$ n'appartient pas au support de $f_b$. Supposons que $g^{-1}\varepsilon \exp(X)g$ appartienne à ce support. Comme on l'a dit ci-dessus, il existe donc $k \in K_{\mathcal{F}_b}^0$ et $Y \in \mathcal{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ tels que $g^{-1}\varepsilon \exp(X)g = k^{-1}\varepsilon \exp(Y)k$. En fixant un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\varepsilon^c \in Z(G)(F)$, et en élevant l'égalité précédente à la puissance $c$, on obtient $\exp(cg^{-1}Xg) = \exp(ck^{-1}Yk)$, d'où $\exp(g^{-1}Xg) = \exp(k^{-1}Yk)$, d'où aussi $g^{-1}\varepsilon g = k^{-1}\varepsilon k$. Mais alors $gk^{-1} \in Z_G(\varepsilon)(F)$ et $\gamma \in Z_G(\varepsilon)(F)K_{\mathcal{F}_b}^0$ contrairement à l'hypothèse. Cela démontre (9).

On peut donc supposer $\gamma \subset Z_G(\varepsilon)(F)$. On vérifie qu'alors, les constantes $m_{\gamma}$ intervenant dans la section précédente sont toutes égales. Le (i) du lemme ci-dessus assure que les fonctions $\varphi_{\gamma}$ intervenant dans l'assertion 5.7 (6) sont les images $\gamma\varphi_b$ de $\varphi_b$ par l'action de $\gamma$ sur $\mathcal{D}(\mathcal{g}_{\varepsilon})$. Cette assertion devient

$$ \theta_b(\varepsilon \exp(X)) = c_b \sum_{\gamma \in \gamma} \theta_{\gamma \varphi_b}(X), $$

où $c_b$ est une certaine constante non nulle. On pose $f = \sum_{b \in B} c_b^{-1} |\gamma|^{-1} f_b$. C'est un élément de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$. La distribution $D_f^G$ est à support dans $C_G(\varepsilon)$ et, en notant $\theta'$ sa fonction associée, on a

$$ \theta'(\varepsilon \exp(X)) = |\gamma|^{-1} \sum_{\gamma \in \gamma} \sum_{b \in B} \theta_{\gamma \varphi_b}(X) = |\gamma|^{-1} \sum_{\gamma \in \gamma} \theta_{\gamma \varphi}(X). $$

Mais $\varphi$ est invariante par $Z_G(\varepsilon)(F)$ donc par $\gamma$. D'où

$$ \theta'(\varepsilon \exp(X)) = \theta_{\varphi}(X) = \tau(X), $$
puis $\theta'(\varepsilon \exp(X)) = \theta_D(\varepsilon \exp(X))$ si $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ et $\varepsilon \exp(X) \in G_{\text{ell}}(F)$. Cela prouve (5) et la proposition. $\square$

**5.9. FILTRATION SUR LE GROUPE ET QUASI-CARACTÈRES.** — Notons $Qc(G)$ l'espace des quasi-caractères sur $G(F)$. Notons $Qc^n(G)$ la somme des $\text{Ind}_M^G(Qc(M))$ sur les Levi $M$ tels que $\dim(A_M) \ge n$.

**PROPOSITION.** — Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, on a l'égalité $Qc^n(G) = Qc(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$.

*Démonstration.* — L'inclusion $Qc^n(G) \subset Qc(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$ est évidente. Soit $D \in Qc(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$, notons $\theta$ sa fonction associée. L'hypothèse que $D$ appartient à $\text{Ann}^n I(G)^*$ signifie que, pour tout Levi $M$ tel que $\dim(A_M) < n$ et tout $m \in M_{\text{ell}}(F) \cap G_{\text{reg}}(F)$, on a $\theta(m) = 0$. Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$, notons $\theta_M$ la fonction définie presque partout sur $M(F)$ par $\theta_M(x) = D^G(x)^{1/2} D^M(x)^{-1/2} \theta(x)$ pour $x \in M(F)$. Notons $D_M$ la distribution qui s'en déduit. Par l'isomorphisme (1) de 3.2, $D$ s'envoie sur la somme des restrictions des $D_M$ à $\text{I}_{\text{cusp}}(M)^{W^G(M)}$. Montrons que

(1) il existe un quasi-caractère $D'_M \in Qc(M)$ tel que $D_M$ et $D'_M$ aient même restriction à $\text{I}_{\text{cusp}}(M)$.

Commençons par fixer un élément semi-simple $x \in M(F)$ et prouvons que

(2) il existe un voisinage $\mathfrak{V}$ de 0 dans $\mathfrak{m}_x(F)$ et, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{m}_x)$, il existe un nombre complexe $c_{\mathcal{D},\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}$ tel que $x \exp(Y)$ soit elliptique dans $M(F)$, on ait l'égalité

$$ \theta_M(x \exp(Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{m}_x)} c_{\mathcal{D}, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y). $$

Si $\dim(A_{M_x}) > \dim(A_M)$, un tel élément $x \exp(Y)$ n'est jamais elliptique dans $M(F)$ et l'assertion est triviale. Supposons $\dim(A_{M_x}) = \dim(A_M) = n$. Puisque $D$ est un quasi-caractère, on peut en tout cas fixer un voisinage $\mathfrak{V}'$ de 0 dans $\mathfrak{g}_x(F)$ et, pour tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_x)$, un nombre complexe $c'_{\mathcal{D},\mathcal{O}}$ de sorte que, pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}'$, on ait l'égalité

$$ (3) \qquad \theta(x \exp(Y)) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}_x)} c'_{\mathcal{D}, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y). $$

Notons $\tau$ la fonction du membre de droite, qui est définie presque partout sur $\mathfrak{g}_x(F)$. Soit $L^x$ un Levi de $G_x$ tel que $\dim(A_{L^x}) < n$ et soit $Y \in [\text{ell}_x(F) \cap \mathfrak{V}]$. On note $L$ le commutant de $A_{L^x}$ dans $G$. Alors $x \in L(F)$, $L_x = L^x$, $A_L = A_{L^x}$ et $x \exp(Y)$ est elliptique dans $L(F)$. Puisque $\dim(A_L) < n$, $\theta(x \exp(Y)) = 0$. Donc $\tau(Y) = 0$. Puisque $\tau$ est combinaison linéaire de fonctions homogènes pour l'action de $F^{\times,2}$ par homothéties, on peut supprimer ci-dessus la restriction : $Y \in \mathfrak{V}'$. La restriction de $\tau$ à $\mathfrak{g}_{x, \text{tn}}(F)$ est donc la fonction associée à un élément de $Qc_0(\mathfrak{g}_x) \cap \text{Ann}^n I(\mathfrak{g}_x)^*$, avec les notations de 5.6. D'après le lemme de ce paragraphe, on peut écrire cet élément comme somme sur les $L^x \in \mathcal{L}_{\min}^{G_x, n}$ de distributions $\text{Ind}_{L^x}^{G_x}(d_{L^x})$, où $d_{L^x} \in Qc(I^x)$. On peut supposer que $M_x \in \mathcal{L}_{\min}^{G_x, n}$ et que $d_{M_x}$ est invariante par $W^{G_x}(M_x)$. Notons $\tau_x$ la
fonction associée à $d_{M_x}$. En utilisant 5.4 (3), on vérifie que l'on a l'égalité

$$ \tau(Y) = c D^{G_x}(Y)^{-1/2} D^{M_x}(Y)^{1/2} \tau_x(Y) $$

pour presque tout $Y \in \mathfrak{m}_{x,\text{ell}}(F) \cap \mathfrak{m}_{x,\text{tn}}(F)$, où $c = |W^{G_x}(M_x)|$. D'autre part, si $\mathfrak{V}'$ est assez petit, il existe $c' > 0$ tel que

$$ D^G(x \exp(Y))^{1/2} D^M(x \exp(Y))^{-1/2} = c' D^{G_x}(Y)^{1/2} D^{M_x}(Y)^{-1/2} $$

pour tout $Y \in \mathfrak{V}' \cap \mathfrak{m}_x(F)$ tel que $x \exp(Y) \in G_{\text{reg}}(F)$. L'égalité (3) entraîne

$$ \theta_M(x \exp(Y)) = cc' \tau_x(Y) $$

pour presque tout $Y \in \mathfrak{V}' \cap \mathfrak{m}_{x,\text{ell}}(F) \cap \mathfrak{m}_{x,\text{tn}}(F)$. Cette fonction est de la forme du membre de droite de l'égalité de l'assertion (2). En prenant $\mathfrak{V} = \mathfrak{V}' \cap \mathfrak{m}_x(F)$, cela résout cette assertion (2).

On peut supposer que le membre de droite de l'égalité de cette assertion est invariant par l'action du groupe $\text{Norm}_{G_x}(M_x)(F)$. Posons

$$ V_x = \{m^{-1}x \exp(Y)m \mid m \in M(F), Y \in \mathfrak{V}\}. $$

Quitte à restreindre $\mathfrak{V}$, cet ensemble est ouvert et fermé dans $M(F)$. On définit un quasi-caractère $d_x$ de $M(F)$, à support dans $V_x$, dont la fonction associée satisfait à

$$ \theta_{d_x}(m^{-1}x \exp(Y)m) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{m}_x)} c_{\mathcal{D}, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, Y) $$

pour tout $m \in M(F)$ et $Y \in \mathfrak{V}$. Cette fonction coïncide avec $\theta_M$ sur $V_x \cap M_{\text{ell}}(F)$. On construit ces ensembles $V_x$ et ces quasi-caractères $d_x$ pour tout élément semi-simple $x \in M(F)$. La réunion des $V_x$ est $M(F)$ tout entier, on peut en extraire un recouvrement localement fini $M(F) = \bigcup_{j \in J} V_{x_j}$. Il existe une famille $(\alpha_j)_{j \in J}$, où $\alpha_j$ est une fonction localement constante sur $M(F)$, invariante par conjugaison et à support dans $V_{x_j}$, de sorte que $\sum_{j \in J} \alpha_j(m) = 1$ pour tout $m \in M(F)$. En utilisant la remarque (5) de 5.2, la distribution

$$ D'_M = \sum_{j \in J} \alpha_j d_{x_j} $$

est bien définie puisque le recouvrement est localement fini, c'est un quasi-caractère et elle coïncide avec $D_M$ sur les éléments elliptiques de $M(F)$, donc elle a même restriction que $D_M$ à $\text{I}_{\text{cusp}}(M)$. Cela démontre (1).

La distribution

$$ \sum_{M \in \mathcal{L}^n} |W^G(M)|^{-1} \text{Ind}_M^G(D'_M) $$

appartient à $Qc^n(G)$ et, d'après 3.2, son image dans $\text{Gr}^n I(G)^*$ est égale à celle de $D$. Cela démontre l'inclusion

$$ Qc(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^* \subset (Qc(G) \cap \text{Ann}^{n+1} I(G)^*) + Qc^n(G). $$

L'inclusion $Qc(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^* \subset Qc^n(G)$ s'en déduit par récurrence descendante sur $n$. Cela démontre la proposition. $\square$
5.10. **UN DEUXIÈME THÉORÈME.** — Notons $Qc_0(G)$ l'espace des quasi-caractères de niveau 0 sur $G(F)$.

**THÉORÈME.** — L'application $D^G : \mathcal{D}(G) \to I(G)^*$ est un isomorphisme de $\mathcal{D}(G)$ sur $Qc_0(G)$.

*Démonstration.* — Compte tenu du théorème 5.7, il suffit de prouver que $Qc_0(G)$ est contenu dans l'image de l'application $D^G$. Soit $n \in \mathbb{Z}$. Prouvons que

(1) $Qc_0(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$ est contenu dans la somme de $D^G(\mathcal{D}^n(G))$ et de $Qc_0(G) \cap \text{Ann}^{n+1} I(G)^*$.

Remarquons que $D^G(\mathcal{D}^n(G))$ est contenu dans $Qc_0(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$ d'après 5.7. Soit $D \in Qc_0(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^*$. Pour $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$, on a défini dans le paragraphe précédent la distribution $D_M$ sur $M(F)$, de fonction associée $\theta_M$, et on a prouvé l'existence d'un quasi-caractère $D'_M$ sur $M(F)$ qui coïncidait avec $D_M$ sur $M_{\text{ell}}(F)$. Montrons que

(2) $D'_M$ est de niveau 0 sur les elliptiques.

D'après les remarques (2) et (4) de 5.8 et le lemme 4.6, on peut fixer $\varepsilon \in G(F)_{p'} \cap M(F)$ et démontrer que, pour tout $X \in \mathfrak{m}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$ tel que $\varepsilon \exp(X) \in M_{\text{ell}}(F)$, la fonction $\lambda \mapsto \theta_{D'_M}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ appartient à $E$. Pour un tel $X$, on a par définition

$$ \theta_{D'_M}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = \theta_M(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} D^M(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{-1/2} \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)). $$

D'après le (ii) du lemme 4.5, la fonction

$$ \lambda \mapsto D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} D^M(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{-1/2} $$

est produit d'une constante et d'une puissance entière de $|\lambda|$. Puisque $D \in Qc_0(G)$, la fonction $\lambda \mapsto \theta_D(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ appartient à $E$. Il en résulte que la fonction $\lambda \mapsto \theta_{D'_M}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ appartient à $E$, d'où (2).

D'après la proposition 5.8, il existe donc $D''_M \in D^M(\mathcal{D}_{\text{cusp}}(M))$ tel que $D''_M$ coïncide avec $D'_M$ sur $M_{\text{ell}}(F)$, donc aussi avec $D_M$. La distribution

$$ \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} |W^G(M)|^{-1} \text{Ind}_M^G(D''_M) $$

appartient alors à $D^G(\mathcal{D}^n(G))$ et son image dans $\text{Gr}^n I(G)^*$ est égale à celle de $D$. Cela prouve (1).

Pour $n = a_{M_{\min}} + 1$, on a $Qc_0(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^* = \{0\} = D^G(\mathcal{D}^n(G))$. Grâce à (1), on démontre par récurrence descendante que $Qc_0(G) \cap \text{Ann}^n I(G)^* = D^G(\mathcal{D}^n(G))$ pour tout $n$. Pour $n = a_G$, cela démontre l'égalité $Qc_0(G) = D^G(\mathcal{D}(G))$. $\square$

## 6. REPRÉSENTATIONS ET REPRÉSENTATIONS DE NIVEAU 0

6.1. **REPRÉSENTATIONS DE NIVEAU 0.** — Notons $\text{Irr}(G)$ l'ensemble des classes d'isomorphismes de représentations lisses irréductibles de $G(F)$ (dans des espaces complexes). Une telle représentation $\pi$, dans un espace $V$, est dite de niveau 0 si et seulement
s'il existe une facette $\mathcal{F} \in \mathrm{Fac}(G)$ telle que l'espace des invariants $V_{\mathcal{F}}^{K_{\mathcal{F}}^{+}}$ soit non nul. On note $\mathrm{Irr}(G)^0$ le sous-ensemble des (classes d'isomorphismes de) représentations de niveau 0 et $\mathrm{Irr}(G)^{>0}$ celui des représentations qui ne sont pas de niveau 0. On note $p^0$ la projection $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] \to \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)^0]$ qui annule $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)^{>0}]$. On sait que $p^0$ est associée à l'action d'un idempotent du centre de Bernstein, cf. [5, Cor. 3.9(i)]. Il se déduit de cet idempotent une action sur divers objets, par exemple $C_{\mathcal{C}}^{\infty}(G(F))$, que l'on note encore $p^0$. On sait que $p^0$ commute, en un sens compréhensible, aux opérations d'induction et de passage au module de Jacquet : par exemple, si $P$ est un sous-groupe parabolique de $G$ de composante de Levi $M$ et si $\pi^M \in \mathrm{Irr}(M)$, alors $p^0(\mathrm{Ind}_P^G(\pi^M)) = \mathrm{Ind}_P^G(p^0(\pi^M))$, cf. [26, Th. 5.2].

On note $\mathrm{Temp}(G)$ le sous-ensemble de $\mathrm{Irr}(G)$ des représentations tempérées et on pose $\mathrm{Temp}(G)^0 = \mathrm{Temp}(G) \cap \mathrm{Irr}(G)^0$.

Si $\xi$ est un caractère de $A_G(F)$, on note $\mathrm{Irr}(G)_{\xi}$ le sous-ensemble de $\mathrm{Irr}(G)$ des représentations dont le caractère central coïncide avec $\xi$ sur $A_G(F)$. On définit de même $\mathrm{Irr}(G)^0_{\xi}$, $\mathrm{Temp}(G)_{\xi}$ etc. Évidemment, $\mathrm{Irr}(G)^0_{\xi}$ est vide si $\xi$ n'est pas modérément ramifié et $\mathrm{Temp}(G)_{\xi}$ est vide si $\xi$ n'est pas unitaire.

Pour toute représentation irréductible $\pi$, on note $\Theta_{\pi}$ son caractère-distribution. D'après Harish-Chandra, c'est un quasi-caractère, cf. [12, Th. 16.2]. On note $\theta_{\pi}$ sa fonction associée. Par linéarité, l'application $\pi \mapsto \Theta_{\pi}$ se prolonge en une application

$$ \Theta : \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] \to \mathrm{I}(G)^* $$

qui est injective.

## 6.2. REPRÉSENTATIONS ELLIPTIQUES.
Arthur a défini un ensemble de « représentations elliptiques », cf. [2, § 3]. Une telle représentation est une combinaison linéaire finie, à coefficients dans $\mathbb{C}$, de représentations irréductibles tempérées. Sa définition dépend de divers choix, en particulier de normalisations d'opérateurs d'entrelacement. Nous supposons ces choix fixés et nous notons $\mathrm{Ell}(G)$ l'ensemble des représentations elliptiques. C'est un ensemble linéairement indépendant. L'espace $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)]$ ne dépend pas des choix. Pour un Levi $M \in \mathcal{L}_{\min}$, le sous-espace $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)] \subset \mathbb{C}[\mathrm{Temp}(M)]$ est invariant par l'action naturelle du groupe $W^G(M)$ sur $\mathbb{C}[\mathrm{Temp}(M)]$. On note $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)]^{W^G(M)}$ le sous-espace des invariants. On a alors la décomposition en somme directe

$$ \mathbb{C}[\mathrm{Temp}(G)] = \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathrm{Ind}_{M}^{G}(\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)]^{W^{G}(M)}). $$

Introduisons l'application d'Harish-Chandra $H_G : G(F) \to A_G$, notons $A_G^*$ l'espace vectoriel réel dual de $A_G$ et $A_{G,\mathbb{C}}^*$ son complexifié. Un élément $\chi \in A_{G,\mathbb{C}}^*$ définit un caractère de $G(F)$, que l'on note encore $\chi$, défini par $\chi(g) = \exp(\langle \chi, H_G(g) \rangle)$. Si $\pi \in \mathrm{Irr}(G)$, on note $\pi_{\chi}$ la représentation $\pi_{\chi}(g) = \chi(g)\pi(g)$. Si $\chi \in iA_G^*$, cette opération $\pi \mapsto \pi_{\chi}$ conserve l'espace $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)]$. On note $\mathrm{Ell}(G)_{\mathbb{R}}$ l'ensemble des $\pi_{\chi}$ pour $\pi \in \mathrm{Ell}(G)$ et $\chi \in A_G^*$. On a alors la décomposition plus générale

$$ (1) \qquad \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)] = \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathrm{Ind}_{M}^{G}(\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)_{\mathbb{R}}]^{W^{G}(M)}). $$
Via l'injection $\Theta$, cette décomposition est compatible avec la filtration de $I(G)^*$ définie en 3.2. C'est-à-dire que, pour $n \in \mathbb{Z}$, l'intersection de $\text{Ann}^n I(G)^*$ et de l'image de $\Theta$ est égale à l'image par cette injection de la sous-somme de l'expression ci-dessus, où on limite la sommation aux $M$ tels que $\dim(A_M) \ge n$. En particulier, l'application composée

$$ (2) \qquad \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\mathbb{R}}] \xrightarrow{\Theta} \text{I}(G)^* \to \text{I}_{\text{cusp}}(G)^* $$

est injective.

En fait, chaque représentation elliptique est combinaison linéaire de sous-représentations d'une même induite d'une série discrète d'un Levi de $G$. Il en résulte d'une part que toute représentation elliptique admet un caractère central. D'autre part que ou bien toutes ces composantes sont de niveau 0, ou bien aucune ne l'est. On note $\text{Ell}(G)^0$, resp. $\text{Ell}(G)^{>0}$, les représentations elliptiques du premier cas, resp. du second. Puisque $p^0$ « commute » à l'induction, on obtient des variantes des égalités précédentes telles que

$$ \begin{align} (3) \qquad \mathbb{C}[\text{Temp}(G)^0] &= \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \text{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\text{Ell}(M)^0]^{W^G(M)}); \notag \\ \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0] &= \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \text{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\text{Ell}(M)^{0}_{\mathbb{R}}]^{W^G(M)}); \notag \\ \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^{>0}] &= \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \text{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\text{Ell}(M)^{>0}_{\mathbb{R}}]^{W^G(M)}). \end{align} $$

Il y a aussi des variantes de ces égalités en imposant que toutes les représentations se transforment selon un caractère fixé $\xi$ de $A_G(F)$.

### 6.3. LE RÉSULTAT DE [36].
Soit $\pi \in \text{Irr}(G)^0$. En [36], on a associé à $\pi$ un élément de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ que l'on avait noté $\Theta_{\pi, \text{cusp}}^G$. On modifie légèrement la définition en y incluant les mesures $\text{mes}(A_G(F)\backslash K_J^\dagger)^{-1}$ qui intervenaient dans les formules de cette référence. On note $\Delta_{\pi, \text{cusp}}^G$ ou simplement $\Delta_{\pi, \text{cusp}}$ l'élément de $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ ainsi obtenu.

Soit $M$ un Levi de $G$. Choisissons un sous-groupe parabolique $P \in \mathcal{P}(M)$. On associe au module de Jacquet $\pi_P$ un élément $\Delta_{\pi_P, \text{cusp}}^M$. Notons $\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M$ sa projection dans $\mathcal{D}_{\text{cusp}, G-\text{comp}}(M)$, autrement dit sa restriction au sous-ensemble des éléments de $M(F)$ qui sont compacts mod $Z(G)$. Elle ne dépend pas du choix de $P$.

Le résultat principal de [36] est que

(1) $\Theta_\pi$ coïncide sur $G_{\text{comp}}(F)$ avec la distribution

$$ \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} |W^M| |W^G|^{-1} D^G[\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M]. $$

Autrement dit, notons $\Delta_\pi$ l'image naturelle de

$$ \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} |W^M| |W^G|^{-1} \Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M $$
dans $\mathcal{D}_{G-\text{comp}}(G)$. Alors $\Theta_{\pi}$ coïncide avec $D^G[\Delta_{\pi}]$ sur $G_{\text{comp}}(F)$. On prolonge $\pi \mapsto \Delta_{\pi}$ par linéarité en une application

$$ \Delta : \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0] \to \mathcal{D}_{G-\text{comp}}(G). $$

**REMARQUE.** — La somme intervenant dans (2) peut se récrire

$$ (2) \qquad \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} |W^G(M)|^{-1} D^G[\Delta_{\pi M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M]. $$

6.4. **SURJECTIVITÉ.** — Soit $\xi$ un caractère unitaire et modérément ramifié de $A_G(F)$. L'application $\Delta$ se restreint en une application linéaire $\mathbb{C}[\text{Temp}(G)_{\xi}^0] \to \mathcal{D}_{G-\text{comp},\xi}(G)$.

**LEMME**

(i) L'application $\Delta : \mathbb{C}[\text{Temp}(G)_{\xi}^0] \to \mathcal{D}_{G-\text{comp},\xi}(G)$ est surjective.

(ii) L'application $\Delta_{\text{cusp}} : \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}^0] \to \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ est bijective.

**Démonstration.** — Notons ici $q_{\xi}$ la projection de $C_{c}^{\infty}(G(F))$ dans $C_{c,\xi}^{\infty}(G(F))$ ou de $I(G)$ dans $I_{\xi}(G)$. On a le diagramme naturel

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Les applications $p_2$ et $p_3$ sont les restrictions et $p_1 = p_2 \circ D^G$. Le triangle de droite est donc commutatif. La partie gauche du diagramme l'est d'après 6.3 (1). Montrons que (1) $p_2 \circ p_3 \circ \Theta$ est surjective.

Notons que l'espace $(q_{\xi}(\mathcal{I}\mathcal{E}(G)))^*$ est de dimension finie. Chaque élément de $\mathcal{E}(G)$ est invariant par un groupe $K_{\mathcal{F}}^+$ pour une certaine facette $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G)$. Donc $\mathcal{E}(G)$ est annulé par toute représentation qui n'est pas de niveau 0. D'après [15, Th. 0(d)] (plus exactement une variante avec caractère central), l'application $\mathbb{C}[\text{Temp}(G)_{\xi}] \to (q_{\xi}(\mathcal{I}\mathcal{E}(G)))^*$ similaire à $p_2 \circ p_3 \circ \Theta$ est surjective. D'après la propriété précédente, on peut aussi bien remplacer $\text{Temp}(G)_{\xi}$ par $\text{Temp}(G)_{\xi}^0$, d'où (1).

Une variante avec caractère central de la proposition 3.9 nous dit que l'application $p_1$ est un isomorphisme. Alors le (i) de l'énoncé se déduit de (1).

En utilisant 6.3 (1), l'injectivité de l'application du (ii) se déduit de celle de l'application (2) de 6.2. D'après le (i) déjà démontré et la relation (3) de 6.2, pour démontrer la surjectivité de l'application du (ii), il reste à prouver que, si $M$ est un Levi propre de $G$, si $\pi^M \in \mathbb{C}[\text{Ell}(M)_{\xi}^0]$ et si l'on note $\pi = \text{Ind}_M^G(\pi^M)$, alors $\Delta_{\pi, \text{cusp}} = 0$. La projection $I(G)^* \to I_{\text{cusp}}(G)^*$ annule toutes les distributions dont le support ne coupe pas $G(F)_{\text{comp}}$, car tout élément elliptique régulier est compact mod $Z(G)$. La projection de $\Theta_{\pi}$ est donc égale à celle de $D^G[\Delta_{\pi}]$. Cette projection $I(G)^* \to I_{\text{cusp}}(G)^*$ annule aussi toutes les distributions induites à partir d'un Levi propre. Il en résulte que la projection de $\Theta_{\pi}$ est nulle et que la projection de $D^G[\Delta_{\pi}]$ est égale à celle
de $D^G[\Delta_{\pi, \text{cusp}}]$. Donc la projection dans $I_{\text{cusp}}(G)^*$ de $D^G[\Delta_{\pi, \text{cusp}}]$ est nulle. D'après le (ii) du corollaire 3.10, on a donc $\Delta_{\pi, \text{cusp}} = 0$, ce qui achève la démonstration. $\square$

### 6.5. PRODUIT SCALAIRE ELLIPTIQUE.
Fixons un caractère unitaire $\xi$ de $A_G(F)$. L'espace

$$ \mathbb{C}[\text{Temp}(G)_{\xi}] = \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \text{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\text{Ell}(M)_{\xi}]^{W^G(M)}) $$

est muni d'un produit scalaire elliptique noté $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\text{ell}}$, cf. [2, § 6]. Les composantes ci-dessus indexées par un Levi propre sont dans le noyau de ce produit. Par contre, le produit se restreint en un produit hermitien défini positif sur $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]$, pour lequel $\text{Ell}(G)_{\xi}$ est une base orthogonale. Rappelons la définition du produit scalaire. Fixons un ensemble $\mathcal{T}_{\text{ell}}$ de représentants des classes de conjugaison de sous-tores elliptiques maximaux de $G$. Pour $T \in \mathcal{T}_{\text{ell}}$, on pose $W(T) = \text{Norm}_G(T)(F)/T(F)$ et on munit $A_G(F)\backslash T(F)$ de la mesure de Haar de masse totale 1. Pour $\pi, \pi' \in \mathbb{C}[\text{Temp}(G)_{\xi}]$, on a alors

$$ (1) \qquad \langle \pi, \pi' \rangle_{\text{ell}} = \sum_{T \in \mathcal{T}_{\text{ell}}} |W(T)|^{-1} \int_{A_G(F) \backslash T(F)} \overline{\theta_{\pi}(t)} \theta_{\pi'}(t) D^G(t) dt. $$

Remarquons que ceci ne dépend d'aucune mesure.

On va munir $\mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ d'un produit scalaire que l'on appelle aussi elliptique. Pour $\mathcal{F}, \mathcal{F}' \in \text{Fac}(G)$, notons $N(\mathcal{F}, \mathcal{F}')$ l'ensemble des $g \in G(F)$ tels que $g\mathcal{F} = \mathcal{F}'$ et fixons un ensemble de représentants $\overline{N}(\mathcal{F}, \mathcal{F}')$ du quotient

$$ A_G(F) K_{\mathcal{F}'}^0 \backslash N(\mathcal{F}, \mathcal{F}') $$

On a établi en 3.5 une décomposition

$$ (2) \qquad \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) = \prod_{\nu \in \mathcal{N}} \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^{\nu}. $$

On écrit $\boldsymbol{f} = \prod_{\nu \in \mathcal{F}} \boldsymbol{f}^{\nu}$ la décomposition d'un élément $\boldsymbol{f} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$. Fixons $\nu \in \mathcal{N}$. Soient $(\mathcal{F}, \nu), (\mathcal{F}', \nu) \in \text{Fac}_{\max}^*(G)$ et soient $f \in C_{\text{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}}^{\nu})$ et $f' \in C_{\text{cusp}}(\mathcal{G}_{\mathcal{F}'}^{\nu})$. On pose

$$ \langle f, f' \rangle_{\text{ell}} = \text{mes}(A_G(F) \backslash A_G(F) K_{\mathcal{F}}^0)^2 \sum_{g \in \overline{N}(\mathcal{F}, \mathcal{F}')} \langle {}^g f, f' \rangle. $$

Ce produit se prolonge par linéarité en un produit sur $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^{\nu}$. Soient $\boldsymbol{f}, \boldsymbol{f}' \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$. On voit que $\langle \boldsymbol{f}^{\nu+\nu'}, \boldsymbol{f}'^{\nu+\nu'} \rangle = \langle \boldsymbol{f}^{\nu}, \boldsymbol{f}'^{\nu} \rangle$ pour tout $\nu \in \mathcal{N}$ et tout $\nu' \in w_G(\overline{A_G(F)})$. On pose

$$ \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{f}' \rangle_{\text{ell}} = \sum_{\nu \in \mathcal{N}/w_G(A_G(F))} \langle \boldsymbol{f}^{\nu}, \boldsymbol{f}'^{\nu} \rangle_{\text{ell}}. $$

On vérifie que, pour $g \in G(F)$, $\langle {}^g \boldsymbol{f}, \boldsymbol{f}' \rangle_{\text{ell}} = \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{f}' \rangle_{\text{ell}}$. C'est-à-dire que ${}^g \boldsymbol{f} - \boldsymbol{f}$ appartient au noyau du produit scalaire elliptique. Celui-ci se descend donc en un produit sur $\mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$.
**PROPOSITION. — L'application**

$$ \begin{gathered} \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)^0_\xi] \to \mathcal{D}_{\mathrm{cusp},\xi}(G) \\ \pi \mapsto \Delta_{\pi,\mathrm{cusp}} \end{gathered} $$

est un isomorphisme isométrique pour les produits scalaires elliptiques.

**Démonstration.** — On peut supposer que l'ensemble de représentants $\underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A)$ est stable par l'opération $(\mathcal{F}, \nu) \mapsto (\mathcal{F}, \nu+\nu')$ pour tout $\nu' \in w_G(A_G(F))$. Représentons $\Delta_{\pi, \mathrm{cusp}}$ comme un élément de

$$ \prod_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A)} C_{\mathrm{cusp}}(\mathbf{G}_{\mathcal{F}}^{\nu}) K_{\mathcal{F}}^{\dagger}, $$

cf. 3.9. On note $(f_{\pi, \mathcal{F}, \nu})_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A)}$ cet élément. Soit

$$ T \in \mathcal{J}_{\mathrm{ell}} \quad \text{et} \quad t \in T(F) \cap G_{\mathrm{reg}}(F). $$

D'après [36, 18(3)], on a l'égalité

$$ \theta_{\pi}(t) = D^{G}(t)^{-1/2} \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^{*}(G, A)} I^{G}(t, f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}). $$

On a identifié ici l'élément $f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}$ à la fonction $(f_{\pi, \mathcal{F}, \nu})_{\mathcal{F}}$. La somme est finie car les termes ne sont non nuls que si $\nu = w_G(t)$.

**REMARQUE.** — La formule de la référence contient un terme $\mathrm{mes}(A_G(F) \setminus K_{\mathcal{F}}^{\dagger})^{-1}$ que l'on a incorporé à la définition de $f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}$.

Fixons un ensemble de représentants $\mathcal{N}$ des orbites dans $\mathcal{N}$ pour l'action de $w_G(A_G(F))$ par addition. Notons $\underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A; \mathcal{N})$ le sous-ensemble des éléments $(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A)$ tels que $\nu \in \mathcal{N}$. La formule ci-dessus se récrit

$$ \theta_{\pi}(t) = D^{G}(t)^{-1/2} \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^{*}(G, A; \mathcal{N})} \sum_{\nu' \in w_G(A_G(F))} I^{G}(t, f_{\pi, \mathcal{F}, \nu+\nu'}). $$

Parce que la restriction à $A_G(F)$ du caractère central de $\pi$ est $\xi$, on voit que la somme intérieure n'est autre que

$$ \mathrm{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \int_{A_G(F)} I^G(ta, f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}) \xi(a)^{-1} da. $$

D'où

$$ \theta_{\pi}(t) = \mathrm{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \int_{A_G(F)} D^G(ta)^{-1/2} \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A; \mathcal{N})} I^G(ta, f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}) \xi(a)^{-1} da. $$

La formule (1) devient

$$ \langle \pi, \pi' \rangle_{\mathrm{ell}} = \mathrm{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \cdot \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \underline{\mathrm{Fac}}_{\mathrm{max}}^*(G, A; \mathcal{N})} \sum_{T \in \mathcal{T}_{\mathrm{ell}}} |W(T)|^{-1} \int_{T(F)} D^G(t)^{1/2} I^G(t, \overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}) \theta_{\pi'}(t) dt. $$
Les fonctions $f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}$ sont cuspidales, leurs intégrales orbitales sont nulles hors des éléments elliptiques. La formule de Weyl conduit donc à l'égalité

$$ \langle \pi, \pi' \rangle_{\text{ell}} = \text{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G, A; \mathcal{N})} \Theta_{\pi'}(\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}). $$

Fixons $(\mathcal{F}, \nu)$ intervenant ci-dessus. Puisque la fonction $f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}$ est à support compact mod $Z(G)$, on peut exprimer $\Theta_{\pi'}(\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}})$ à l'aide de $\Delta_{\pi'}$. Puisque la fonction $f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}$ est cuspidale, les distributions induites ne comptent pas, d'où

$$ \Theta_{\pi'}(\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}) = D^G[\Delta_{\pi', \text{cusp}}](\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}). $$

Ceci est calculé par la proposition 3.6 et la remarque (2) qui la suit. On obtient

$$ \Theta_{\pi'}(\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}) = c_{\mathcal{F}} \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle, $$

où

$$ c_{\mathcal{F}} = \text{mes}(K_{\mathcal{F}}^0)^2 \text{mes}(A_G(F)_c)^{-1} [K_{\mathcal{F}}^{\dagger} : A_G(F) K_{\mathcal{F}}^0]. $$

De la même façon, on a

$$ \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle_{\text{ell}} = d_{\mathcal{F}} \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle, $$

où

$$ d_{\mathcal{F}} = \text{mes}(A_G(F) \setminus A_G(F) K_{\mathcal{F}}^0)^2 [K_{\mathcal{F}}^{\dagger} : A_G(F) K_{\mathcal{F}}^0]. $$

D'où

$$ \Theta_{\pi'}(\overline{f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}}) = c_{\mathcal{F}} d_{\mathcal{F}}^{-1} \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle_{\text{ell}}, $$

puis

$$ \langle \pi, \pi' \rangle_{\text{ell}} = \text{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G, A; \mathcal{N})} c_{\mathcal{F}} d_{\mathcal{F}}^{-1} \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle_{\text{ell}}. $$

On vérifie que

$$ c_{\mathcal{F}} = \text{mes}(A_G(F)_c) d_{\mathcal{F}}. $$

D'où

$$ \langle \pi, \pi' \rangle_{\text{ell}} = \sum_{(\mathcal{F}, \nu) \in \text{Fac}_{\text{max}}^*(G, A; \mathcal{N})} \langle f_{\pi, \mathcal{F}, \nu}, f_{\pi', \mathcal{F}, \nu} \rangle_{\text{ell}}. $$

Par définition, la membre de droite n'est autre que $\langle \Delta_{\pi, \text{cusp}}, \Delta_{\pi', \text{cusp}} \rangle_{\text{ell}}$. Cela démontre que l'application de l'énoncé est isométrique. Elle est bijective d'après le (ii) du lemme 6.4. Cela achève la démonstration. □

## 6.6. UN LEMME PRÉLIMINAIRE.
Rappelons que l'on a défini en 5.8 la notion de quasi-caractère sur $G(F)$ de niveau 0 sur les elliptiques.

**LEMME.** — *Soit $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)]$. Supposons que $\Theta_{\pi}$ soit un quasi-caractère de niveau 0 sur les elliptiques. Alors $\pi$ appartient à $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)]^0$.*
Démonstration. — On peut décomposer la représentation $\pi$ en $\pi = \sum_{i=1,...,h} \pi_i$ où chaque $\pi_i$ est combinaison linéaire de représentations irréductibles dont le caractère central se restreint à $A_G(F)$ en un même caractère $\xi_i$. On suppose les $\xi_i$ tous distincts. Par interpolation, on peut trouver une famille de nombres complexes $(c_j)_{j=1,...,h}$ et une famille $(a_j)_{j=1,...,h}$ d'éléments de $A_G(F)$ de sorte que

$$ \Theta_{\pi_i}(g) = \sum_{j=1,...,h} c_j \Theta_{\pi}(a_j g) $$

pour tout $g \in G(F)$. Puisque $\Theta_{\pi}$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur les elliptiques, cette formule entraîne que $\Theta_{\pi_i}$ l'est aussi. Cela nous ramène au cas où $\pi$ elle-même est combinaison linéaire de représentations irréductibles dont le caractère central se restreint à $A_G(F)$ en un même caractère que l'on note $\xi$. On peut aussi tordre le problème par un élément $\chi \in A_G^* : \Theta_{\pi_\chi}$ est encore un quasi-caractère de niveau 0 sur les elliptiques et, si l'on prouve que $\pi_\chi$ appartient à $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)]_R^0$, la même assertion s'ensuit pour $\pi$. On peut donc supposer $\xi$ unitaire. D'après la proposition 5.8, il existe $d' \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ tel que $\Theta_{\pi}$ coïncide avec $D^G[d']$ sur $G_{\text{ell}}(F)$. Rappelons que $A_G(F)$ agit naturellement sur $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$. On note $(a, \delta) \mapsto \delta^a$ cette action. L'élément $d'$ n'a pas forcément de caractère central pour l'action de $A_G(F)$ mais on peut le remplacer par un élément qui admet $\xi$ pour tel caractère central. En effet, on peut d'abord remplacer $d'$ par l'intégrale $\int_{A_G(F)_c} \xi(a)^{-1} d'a$. Cela ne modifie pas la propriété ci-dessus puisque $\pi$ se transforme par $A_G(F)$ selon $\xi$. Mais cela assure que $A_G(F)_c$ agit sur $d'$ selon le caractère $\xi$. Utilisons la décomposition (2) de 6.5 et écrivons $d' = \prod_{\nu \in \mathbb{N}} d'^{\nu}$. Pour tout $\nu \in \mathbb{N}$, $D^G(d'^{\nu})$ est à support dans $w_G^{-1}(\nu)$ et coïncide avec $\Theta_{\pi}$ sur $G_{\text{ell}}(F) \cap w_G^{-1}(\nu)$. Fixons un ensemble de représentants $\mathbb{N}$ des orbites de l'action par addition de $w_G(A_G(F))$ dans $\mathbb{N}$. On voit qu'il existe un unique $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ tel que $d'^{\nu} = d'^{\nu'}$ pour tout $\nu \in \mathbb{N}$. Puisque $\pi$ se transforme par $A_G(F)$ selon $\xi$, $\Theta_{\pi}$ coïncide avec $D^G(d)$ sur $G_{\text{ell}}(F)$. D'après le (ii) du lemme 6.4, il existe $\pi^0 \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)]_\xi^0$ tel que $\Delta_{\text{cusp}}(\pi^0) = d$. Alors, d'après l'assertion (1) de 6.3, $\Theta_{\pi^0}$ coïncide sur $G_{\text{ell}}(F)$ avec $D^G(d)$, donc aussi avec $\Theta_{\pi}$. D'après l'injectivité de l'application (2) de 6.2, on a $\pi = \pi^0$, ce qui achève la démonstration. $\square$

## 6.7. CARACTÉRISATION DES REPRÉSENTATIONS DE NIVEAU 0

Théorème. — Soit $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$. Alors $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0]$ si et seulement si $\Theta_{\pi}$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur $G(F)$.

Démonstration. — Supposons $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0]$. D'après 6.3 (1) et le théorème 5.7, $\Theta_{\pi}$ coïncide avec un quasi-caractère de niveau 0 sur les éléments de $G(F)$ qui sont compacts mod $Z(G)$. Soit $\varepsilon \in G(F)_{p'}$, supposons que $\varepsilon$ n'est pas compact mod $Z(G)$. Alors $L[\varepsilon]$ est un Levi propre et on a

$$ L[\varepsilon \exp(X)] = L[\varepsilon] \quad \text{et} \quad Q[\varepsilon \exp(X)] = Q[\varepsilon] \quad \text{pour tout} \quad X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F). $$

D'après [7, Th. 5.2], on a $\theta_{\pi}(\varepsilon \exp(X)) = \delta_{Q[\varepsilon]}(\varepsilon \exp(X))^{1/2} \theta_{\pi_{Q[\varepsilon]}}(\varepsilon \exp(X))$ pour tout $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \text{tn}}(F)$. Un même calcul qu'au (ii) du lemme 4.5 montre que $\delta_{Q[\varepsilon]}(\varepsilon \exp(X)) = \delta_{Q[\varepsilon]}(\varepsilon)$. La représentation $\pi_{Q[\varepsilon]}$ est de niveau 0. Puisque $L[\varepsilon] \subsetneq G$, on peut raisonner
par récurrence sur le rang semi-simple de $G$ et supposer prouvé que $\Theta_{\pi_{Q[\varepsilon]}}$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur $L[\varepsilon](F)$. Autrement dit que, pour des constantes $c_{\mathcal{O}}$ convenables, on a

$$ \theta_{\pi_{Q[\varepsilon]}}(\varepsilon \exp(X)) = \sum_{\mathcal{O} \in \mathrm{Nil}(\mathcal{I}[\varepsilon]_{\varepsilon})} c_{\mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, X) $$

pour tout $X \in \mathcal{I}[\varepsilon]_{\varepsilon, \mathrm{tn}}(F)$. Puisque $\mathcal{I}[\varepsilon]_{\varepsilon} = \mathfrak{g}_{\varepsilon}$, on en déduit un développement analogue de $\theta_{\pi}(\varepsilon \exp(X))$. Donc $\Theta_{\pi}$ coïncide avec un quasi-caractère de niveau 0 sur $C_G(\varepsilon)$. Ceci est donc vrai pour tout $\varepsilon \in G(F)_{p'}$ et cela signifie que $\Theta_{\pi}$ est un quasi-caractère de niveau 0.

Pour $n \in \mathbb{Z}$, notons $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^n$ la sous-somme de l'expression 6.2 (1) où l'on somme sur les Levi $M \in \mathcal{L}_{\min}^m$ pour $m \ge n$. On va prouver

(1) soit $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^n$; supposons que $\Theta_{\pi}$ est un quasi-caractère de niveau 0 sur $G(F)$; alors $\pi$ appartient à la somme de $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^{n+1}$ et de

$$ \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)^0_{\mathbb{R}}])^{W^G(M)}. $$

Écrivons $\pi = \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \mathrm{Ind}_M^G(\pi^M)$, où $\pi^M \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)_{\mathbb{R}}]^{W^G(M)}$ et $\pi^M = 0$ si $a_M < n$. Le caractère $\Theta_{\pi}$ appartient à $Qc_0(G)$ par hypothèse donc à $Qc_0(G) \cap \mathrm{Ann}^n I(G)^*$. D'après le (ii) de la proposition 3.11 et le théorème 5.10, cet espace a même image dans $\mathrm{Gr}^n I(G)^*$ que

$$ \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{Ind}_M^G (D^M (\mathbb{D}_{\mathrm{cusp}}(M)^{W^G(M)})). $$

Autrement dit, pour tout $M \in \mathcal{L}_{\min}^n$, on peut fixer $d^M \in \mathbb{D}_{\mathrm{cusp}}(M)^{W^G(M)}$ tel que $\Theta_{\pi^M}$ coïncide avec $D^M(d^M)$ sur les éléments elliptiques de $M(F)$. A fortiori, $\Theta_{\pi^M}$ est un quasi-caractère sur $M(F)$ de niveau 0 sur les elliptiques. D'après le lemme 6.6, $\pi^M$ appartient à $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)^0_{\mathbb{R}}]$ et donc aussi à $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(M)^0_{\mathbb{R}}]^{W^G(M)}$. Posons $\sigma = \sum_{M \in \mathcal{L}_{\min}^n} \mathrm{Ind}_M^G(\pi^M)$. Alors $\Theta_{\pi}$ et $\Theta_{\sigma}$ ont même image dans $\mathrm{Gr}^n I(G)^*$. Donc $\pi - \sigma$ appartient à $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)]^{n+1}$. Puisque $\sigma$ appartient au dernier espace indiqué dans l'assertion (1), cela démontre cette assertion.

D'après le sens « seulement si » déjà démontré du théorème, l'assertion (1) implique le sens « si » par récurrence descendante sur $n$. $\square$

## 7. ENDOSCOPIE

### 7.1. DONNÉES ENDOSCOPIQUES.
On note $W_F$ le groupe de Weil de $F$. Il contient le groupe d'inertie $I_F$. On note $I_F^s$ le groupe d'inertie sauvage de $F$, c'est-à-dire le $p$-Sylow du groupe $I_F$.

La théorie de l'endoscopie a été développée par Langlands et ses successeurs. Nous ne la reprendrons pas et nous adopterons sa formulation telle qu'elle figure dans [24]. Une donnée endoscopique de $G$ est un triplet $G' = (G', \mathcal{G}', s)$, où $G'$ est un groupe réductif connexe défini et quasi-déployé sur $F$, $\mathcal{G}'$ est un sous-groupe du $L$-groupe $L^G = \hat{G} \times W_F$ et $s$ est un élément semi-simple du groupe complexe $\hat{G}$. Le triplet satisfait aux conditions décrites en [24, I.1.5]. En particulier, le groupe $\hat{G}'$ s'identifie à
la composante neutre $Z_{\hat{G}}(s)^0$ du commutant $Z_{\hat{G}}(s)$. On dit que la donnée est elliptique si $Z(\hat{G})^\Gamma$ est un sous-groupe d'indice fini de $Z(\hat{G}')^\Gamma$. On définit comme en [24, I.1.10] une correspondance entre classes de conjugaison stable d'éléments semi-simples dans $G'(F)$ et $G(F)$ (on parlera aussi bien d'une correspondance entre éléments semi-simples dans $G'(F)$ et $G(F)$). On dit que la donnée est relevante s'il existe un couple d'éléments $(x', x) \in G'_{\text{reg}}(F) \times G_{\text{reg}}(F)$ qui se correspondent. Nous ne considérerons que des données relevantes. Une donnée elliptique est toujours relevante.

L'hypothèse (Hyp)(G) a les conséquences suivantes :

(1) il existe une extension de F de degré premier à p telle que le groupe $G'$ soit déployé sur cette extension ;

(2) $W_F \cap \mathcal{G}'$ est un sous-groupe de $W_F$ d'indice fini premier à $p$.

*Démonstration*. — Le (1) résulte de ce que le rang de $G'$ est le même que celui de $G$ et que l'on a déjà remarqué que, pour tout tore sur $F$ de dimension inférieure ou égale à ce rang, il existe une extension $F'$ de $F$ de degré premier à $p$ telle que ce tore soit déployé sur $F'$.

Pour (2), fixons une telle extension galoisienne $F'$ de $F$ de degré premier à $p$, telle que $G'$ soit déployé sur $F'$. L'action de $\Gamma_{F'}$ sur $\hat{G}'$ est triviale, a fortiori l'action de $\Gamma_{F'}$ sur $\hat{G}$ est triviale. Le noyau de l'homomorphisme naturel $W_F \to \text{Gal}(F'/F)$ est $W_{F'}$. Par définition, la projection $\mathcal{G}' \to W_F$ est scindée, c'est-à-dire que l'on peut fixer un homomorphisme continu $i : W_F \to \mathcal{G}'$ qui est une section de cette projection. Pour $w \in W_F$, écrivons $i(w) = (j(w), w)$. La restriction de $j$ à $W_{F'}$ est un caractère de ce groupe à valeurs dans $Z_{\hat{G}}(s)$. Notons $W^1$ le sous-groupe des $w \in W_{F'}$ tels que $j(w) \in Z_{\hat{G}}(s)^0$. L'hypothèse (Hyp)(G) implique que $Z_{\hat{G}}(s)^0$ est un sous-groupe de $Z_{\hat{G}}(s)$ d'indice premier à $p$. Donc $W^1$ est d'indice fini premier à $p$ dans $W_{F'}$, donc aussi dans $W_F$. Pour $w \in W^1$, on a $(1, w) = j(w)^{-1}i(w)$ et ce terme appartient à $\mathcal{G}'$ puisque $j(w) \in Z_{\hat{G}}(s)^0 = \hat{G}' \subset \mathcal{G}'$. Donc $W^1 \subset W_F \cap \mathcal{G}'$ et (2) est démontré. $\square$

On a besoin de munir toute donnée endoscopique $\mathcal{G}'$ de données auxiliaires $G'_1, C_1, \hat{\xi}_1$, cf. [24, I.2.1]. Le tore $C_1(F)$ est naturellement muni d'un caractère $\lambda_1 : C_1(F) \to \mathbb{C}^\times$. Il y a une notion d'unitarité pour de telles données, cf. loc. cit. I.7.1, qui implique que $\lambda_1$ est unitaire. Nous dirons que les données auxiliaires sont modérément ramifiées si et seulement si elles satisfont aux conditions suivantes :

(3) $G'_1$ et $C_1$ sont déployés sur une extension de F de degré premier à p ;

(4) on a $\hat{\xi}_1(1, w) = (1, w)$ pour tout $w \in I_F^s$.

LEMME. — *Sous notre hypothèse (Hyp)(G), il existe des données auxiliaires modérément ramifiées et unitaires.*

*Démonstration*. — Choisir une suite

$$1 \to C_1 \to G'_1 \to G' \to 1$$

équivaut à choisir une suite duale

$$1 \to \hat{G}' \to \hat{G}'_1 \to \hat{C}_1 \to 1$$
Pour celle-ci, il y a le choix standard suivant. Fixons une paire de Borel $(\hat{B}', \hat{T})$ de $\hat{G}'$ préservée par l'action galoisienne. On pose $\hat{G}'_1 = (\hat{G}' \times \hat{T})/\mathrm{diag}(Z(\hat{G}'))$, où diag est le plongement diagonal. Le centre de $\hat{G}'_1$ est isomorphe à $\hat{T}$, donc est connexe. Le tore $\hat{C}_1$ est $\hat{T}/Z(\hat{G})$ et on sait bien que le groupe des caractères de ce tore possède une base conservée par $\Gamma_F$. Donc $C_1$ est un tore induit. Si $F'$ est une extension finie de $F$ de degré à $p$ sur laquelle $G'$ est déployé, les actions galoisiennes sur $\hat{G}'_1$ et $\hat{C}_1$ sont triviales sur $\Gamma_{F'}$. Duailement, $C_1$ est déployé sur $F'$ et, puisque $G'$ l'est aussi, $G'_1$ l'est également.

Pour construire $\hat{\xi}_1$ satisfaisant à (4), le mieux est de reprendre la preuve de Langlands [21, Lem. 4]. On s'aperçoit qu'il y a un unique argument à préciser. La clé de la preuve est que, quand $S_2 \to S_1$ est une injection de tores définis sur $F$, tout caractère $\chi_2 : S_2(F) \to \mathbb{C}^\times$ se prolonge en un caractère $\chi_1 : S_1(F) \to \mathbb{C}^\times$ (rappelons que, pour nous, caractère signifie homomorphisme continu). On doit préciser que tout caractère modérément ramifié $\chi_2$ se prolonge en un caractère modérément ramifié $\chi_1$. Le sous-groupe $S_{1,tu}(F)$ de $S_1(F)$ est compact, donc le produit $S_2(F)S_{1,tu}(F)$ est fermé dans $S_1(F)$. Puisque $\chi_2$ est modérément ramifié, il est trivial sur $S_{2,tu}(F) = S_2(F) \cap S_{1,tu}(F)$. Donc on peut prolonger $\chi_2$ en un caractère $\chi' : S_2(F)S_{1,tu}(F) \to \mathbb{C}^\times$ qui est trivial sur $S_{1,tu}(F)$. Puisque $S_2(F)S_{1,tu}(F)$ est fermé dans $S_1(F)$, on peut ensuite prolonger $\chi'$ en un caractère $\chi_1 : S_1(F) \to \mathbb{C}^\times$. Il est encore trivial sur $S_{1,tu}(F)$, c'est-à-dire qu'il est modérément ramifié.

Avec ce complément, la preuve de [21] permet de construire $\hat{\xi}_1$ satisfaisant à (4). Le même argument qu'en [24, I.7.1(3)] permet de le modifier afin d'assurer que les données sont unitaires. $\square$

On fixe un ensemble de représentants $\mathcal{E}(G)$ des classes d'équivalence de données endoscopiques elliptiques de $G$. Pour tout $G' = (G', \mathcal{G}', s) \in \mathcal{E}(G)$, on fixe des données auxiliaires $G'_1, C_1, \hat{\xi}_1$. On suppose que ces données auxiliaires sont modérément ramifiées et unitaires. On peut alors fixer et on fixe un facteur de transfert unitaire $\Delta_1$. Signalons que, pour nous, ce facteur ne contient pas le terme $\Delta_{IV}$ de [22], que nous avons incorporé à la définition des intégrales orbitales en suivant Arthur.

Toute donnée endoscopique $G'$ de $G$ apparaît comme une « donnée de Levi » d'une donnée endoscopique elliptique $G''$. Celle-ci n'est pas unique mais choisissons-la. Alors les données auxiliaires que l'on a fixées pour $G''$ se restreignent en des données auxiliaires pour $G'$. De même, si $M$ est un Levi de $G$, toute donnée endoscopique $M'$ de $G$ apparaît comme une « donnée de Levi » d'une donnée endoscopique elliptique $G'$ de $G$. De nouveau, elle n'est pas unique mais on en choisit une. Alors les données auxiliaires que l'on a fixées pour $G'$ se restreignent en des données auxiliaires pour $M'$.

## 7.2. DÉCOMPOSITION DE $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)]$. — Il y a une décomposition

$$ \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G) = \bigoplus_{G' \in \mathcal{E}(G)} \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G)_{G'} $$

où chaque facteur $\mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G)_{G'}$ est le sous-espace des $f \in \mathrm{I}_{\mathrm{cusp}}(G)$ dont les transferts à tout $G'' \neq G'$ sont nuls, cf. [24, Prop. I.4.11]. Fixons un caractère unitaire $\xi$ de $A_G(F)$.
Il y a une variante de la décomposition ci-dessus où l'on impose que les fonctions se
transforment selon ce caractère $\xi$. Duailement, il y a une décomposition

$$
(1) \qquad \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}] = \bigoplus_{G' \in \mathcal{E}(G)} \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}]_{G'}.
$$

Elle est orthogonale pour le produit scalaire elliptique. Pour $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}]$, notons
$\pi = \sum_{G' \in \mathcal{E}(G)} \pi_{G'}$ l'écriture de $\pi$ selon cette décomposition.

PROPOSITION

(i) $\mathrm{Si} \ \pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$, alors $\pi_{G'} \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$ pour tout $G' \in \mathcal{E}(G)$.

(ii) $\mathrm{Si} \ \pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{>0}]$, alors $\pi_{G'} \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{>0}]$ pour tout $G' \in \mathcal{E}(G)$.

Démonstration. — Soient $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}]$ et $G' \in \mathcal{E}(G)$. Soit $x \in G_{\mathrm{ell}}(F)$. On sait que les classes de conjugaison par $G(F)$ contenues dans la classe de conjugaison stable de $x$ forment un espace principal homogène sous l'action d'un groupe abélien fini $K(x)$. Pour $k \in K(x)$, notons $kx$ un représentant de l'image par $k$ de la classe de conjugaison de $x$ (on choisit $1x = x$). Notons $K(x)^{\vee}$ le groupe des caractères de $K(x)$. Chaque $G' \in \mathcal{E}(G)$ détermine un sous-ensemble $K(x)^{\vee}_{G'}$ de $K(x)^{\vee}$ et $K(x)^{\vee}$ est union disjointe des $K(x)^{\vee}_{G'}$ quand $G'$ décrit $\mathcal{E}(G)$. Pour tout $G' \in \mathcal{E}(G)$, on a alors l'égalité

$$
(2) \quad \theta_{\pi_{G'}}(x) = |K(x)|^{-1} \sum_{\kappa \in K(x)^{\vee}_{G'}} \sum_{k \in K(x)} \kappa(k) \theta_{\pi}(kx).
$$

Soient $\varepsilon \in G(F)$ un élément $p'$-compact mod $Z(G)$ et $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathrm{tn}}(F)$. Posons $x = \varepsilon \exp(X)$ et supposons $x \in G_{\mathrm{ell}}(F)$. Pour tout $k \in K(x)$, fixons $g_k \in G(\bar{F})$ tel que $kx = g_k^{-1}xg_k$. Posons $\varepsilon_k = g_k^{-1}\varepsilon g_k$ et $X_k = g_k^{-1}Xg_k$. Alors $x_k = \varepsilon_k \exp(X_k)$ est une $p'$-décomposition de $x_k$. Soit $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$, posons $y = \varepsilon \exp(\lambda^2 X)$. On a $K(x) = K(y)$ et on voit comme dans la preuve du lemme 5.4 que l'on peut choisir $y_k = \varepsilon_k \exp(\lambda^2 X_k)$ pour tout $k \in K(y)$. L'égalité (2) pour $y$ devient

$$
\theta_{\pi_{G'}}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = |K(x)|^{-1} \sum_{\kappa \in K(x)^{\vee}_{G'}} \sum_{k \in K(x)} \kappa(k) \theta_{\pi}(\varepsilon_k \exp(\lambda^2 X_k)).
$$

Supposons $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$. Comme fonctions de $\lambda$, les termes du membre de droite ap-
partiennent à $E$. Donc aussi la fonction $\lambda \mapsto \theta_{\pi_{G'}}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$. C'est-à-dire que $\theta_{\pi_{G'}}$
est un quasi-caractère de niveau 0 sur les elliptiques. D'après le lemme 6.6, $\pi_{G'}$ ap-
partient à $\mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$. Cela démontre le (i) de l'énoncé.

Supposons $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{>0}]$, soit $\sigma \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$. Parce que la décomposition (1) est orthogonale, on a

$$
\langle \pi_{\mathcal{G}'}, \sigma \rangle_{\mathrm{ell}} = \langle \pi_{\mathcal{G}'}, \sigma_{\mathcal{G}'} \rangle_{\mathrm{ell}} = \langle \pi, \sigma_{\mathcal{G}'} \rangle_{\mathrm{ell}}.
$$

On vient de prouver que $\sigma_{\mathcal{G}'}$ était de niveau 0. Donc le produit de droite est nul.
Il en est de même de celui de gauche. Cela étant vrai pour tout $\sigma \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{0}]$, cela
entraîne $\pi_{\mathcal{G}'} \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)_{\xi}^{>0}]$. $\square$
### 7.3. LE CAS QUASI-DÉPLOYÉ.
— Supposons $G$ quasi-déployé. On note $\text{SI}(G)$ le quotient de $C_c^\infty(G(F))$ par le sous-espace des fonctions dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. En identifiant les intégrales orbitales à des formes linéaires sur $I(G)$, c'est aussi le quotient de $I(G)$ par le sous-espace des éléments dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. Notons $\text{SI}(G)^*$ l'espace des distributions stables sur $G(F)$, c'est-à-dire le dual de $\text{SI}(G)$. On note $\mathbb{C}[\text{Irr}(G)]^{\text{st}}$ le sous-espace des $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$ telles que $\Theta_{\pi} \in \text{SI}(G)^*$. On définit de même des espaces $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)]^{\text{st}}$ etc.

On définit une projection linéaire $p^{\text{st}} : \mathbb{C}[\text{Irr}(G)] \to \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]^{\text{st}}$ de la façon suivante. Il y a une donnée endoscopique elliptique maximale $G = (G, \mathcal{L}G, 1)$ que l'on suppose appartenir à $\mathcal{E}(G)$. Dans la décomposition (1) de 7.2, on a l'égalité $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]^{\text{st}} = \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]$. Alors $p^{\text{st}} : \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}] \to \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]^{\text{st}}$ est la projection associée à cette décomposition (1) de 7.2, c'est-à-dire qu'elle annule les composantes $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]_{G'}$ pour $G' \neq G$. Plus généralement, le sous-espace $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\mathbb{R}}]^{\text{st}}$ est engendré par les $\pi_{\chi}$, où $\pi$ parcourt $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]^{\text{st}}$, $\xi$ parcourt le groupe des caractères unitaires de $A_G(F)$ et $\chi$ parcourt $A_G^*$. On définit $p^{\text{st}} : \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\mathbb{R}}] \to \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\mathbb{R}}]^{\text{st}}$ de sorte que, si $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]$ et $\chi \in A_G^*$, on ait $p^{\text{st}}(\pi_{\chi}) = p^{\text{st}}(\pi)_{\chi}$. Le corollaire XI.3.1 de [24] équivaut à l'égalité suivante, similaire à 6.2 (1) :

$$ (1) \qquad \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]^{\text{st}} = \bigoplus_{M \in \mathcal{L}_{\min}} \text{Ind}_M^G (\mathbb{C}[\text{Ell}(M)_{\mathbb{R}}]^{\text{st}, W^G(M)}). $$

Des projections que l'on vient de définir pour chaque Levi se déduit alors la projection $p^{\text{st}}$ cherchée.

#### COROLLAIRE

(i) Pour $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0]$, on a $p^{\text{st}}(\pi) \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^0]^{\text{st}}$. Pour $\pi \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^{>0}]$, on a $p^{\text{st}}(\pi) \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)^{>0}]^{\text{st}}$.

(ii) On a l'égalité $p^0 \circ p^{\text{st}} = p^{\text{st}} \circ p^0$.

**Démonstration.** — Le (i) résulte immédiatement de la proposition 7.2 et le (i) est équivalent au (i). $\square$

### 7.4. L'HYPOTHÈSE $(\text{Hyp})_{\text{endo}}(G)$.
— Il n'est pas clair que l'hypothèse $(\text{Hyp})(G)$ que nous avons posée entraîne $(\text{Hyp})(G')$ pour tout groupe endoscopique $G'$ de $G$, et encore moins qu'elle entraîne $(\text{Hyp})(G'_1)$ pour un groupe auxiliaire $G'_1$. Considérons l'hypothèse

$$ (\text{Hyp})_{\text{endo}}(G) \left\{ \begin{array}{ll} \text{l'hypothèse (Hyp)}(G) \text{ est satisfaite;} & \\ \text{pour tout } G' \in \mathcal{E}(G), \text{ les hypothèses } (\text{Hyp})(G') \text{ et } (\text{Hyp})(G'_1) & \\ \text{sont satisfaites.} & \end{array} \right. $$

Puisque l'hypothèse $(\text{Hyp})(G)$ implique $(\text{Hyp})(M)$ pour tout Levi $M$ de $G$ et d'après ce que l'on a dit à la fin de la section 7.1, l'hypothèse $(\text{Hyp})_{\text{endo}}(G)$ a les conséquences suivantes :

- pour toute donnée endoscopique $G'$ de $G$ (pas forcément elliptique), les hypothèses $(\text{Hyp})(G')$ et $(\text{Hyp})(G'_1)$ sont satisfaites;

- pour tout Levi $M$ de $G$, l'hypothèse $(\text{Hyp})_{\text{endo}}(M)$ est satisfaite.

Dans la suite de la section, nous imposons l'hypothèse renforcée $(\text{Hyp})_{\text{endo}}(G)$.
### 7.5. REPRÉSENTATIONS DE NIVEAU 0 ET DONNÉES AUXILIAIRES.
Soit $\mathcal{G}' = (\mathcal{G}', \mathcal{G}', s)$ une donnée endoscopique relevante de $G$. On s'intéresse exclusivement aux représentations irréductibles de $G'_1(F)$ dont le caractère central coïncide avec $\lambda_1$ sur $C_1(F)$. On note $\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}$ l'ensemble de ces représentations, avec les variantes $\text{Temp}(G'_1)_{\lambda_1}$, $\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}^0$ etc. Ces ensembles dépendent du choix des données auxiliaires. Pour que les résultats qui suivent aient vraiment un sens, il vaut mieux qu'ils n'en dépendent pas trop. Selon le formalisme que l'on a développé en [24], pour deux choix de données auxiliaires, il y a une bijection canonique entre les ensembles associés à chacune des données. Expliquons cela. Choisissons d'autres données auxiliaires modérément ramifiées $(G'_2, C_2, \hat{\xi}_2)$. Notons $G'_{12}$ le produit fibré de $G'_1$ et $G'_2$ au-dessus de $G'$. On a deux suites exactes

$$1 \to C_2 \to G'_{12} \to G'_1 \to 1, \quad 1 \to C_1 \to G'_{12} \to G'_2 \to 1.$$

On a introduit en [24, I.2.5] un homomorphisme $\lambda_{12} : G'_{12}(F) \to \mathbb{C}^\times$. Sa restriction à $C_1(F) \times C_2(F)$ est le produit des caractères $\lambda_1$ et $\lambda_2^{-1}$. Soit $\pi_1 \in \text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}$, réalisée dans un espace complexe $V$. Par la première suite ci-dessus, $\pi_1$ se relève en une représentation $\pi_{12}$ de $G'_{12}(F)$. La restriction à $C_1(F)$, resp. $C_2(F)$, de son caractère central est $\lambda_1$, resp. 1. Posons $\pi_{21} = \lambda_{12}^{-1} \otimes \pi_{12}$. Alors la restriction à $C_1(F)$, resp. $C_2(F)$, du caractère central de $\pi_{21}$ est 1, resp. $\lambda_2$. La représentation $\pi_{21}$ se descend par la deuxième suite ci-dessus en une représentation $\pi_2$ de $G'_2(F)$ dans $V$ dont le caractère central coïncide avec $\lambda_2$ sur $C_2(F)$. L'application $\pi_1 \mapsto \pi_2$ est une bijection de $\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}$ sur $\text{Irr}(G'_2)_{\lambda_2}$. Parce que $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont unitaires, le caractère $\lambda_{12}$ l'est aussi et la bijection envoie $\text{Temp}(G'_1)_{\lambda_1}$ sur $\text{Temp}(G'_2)_{\lambda_2}$. Parce que les données auxiliaires sont modérément ramifiées, le caractère $\lambda_{12}$ est « modérément ramifié » au sens que sa restriction à l'ensemble $G'_{12,\text{tu}}(F)$ est triviale. Remarquons de plus que $\text{Imm}(G'_{1,\text{AD}}) = \text{Imm}(G'_{\text{AD}}) = \text{Imm}(G'_{2,\text{AD}})$. Une facette $\mathcal{F} \in \text{Fac}(G')$ détermine un sous-groupe $K_{\mathcal{F}}^+$ de $G'(F)$ et des sous-groupes similaires dans $G'_1(F)$ et $G'_2(F)$, que l'on note $K_{1,\mathcal{F}}^+$ et $K_{2,\mathcal{F}}^+$. On voit que si $\pi_1$ admet des invariants non nuls par le sous-groupe $K_{1,\mathcal{F}}^+$, alors $\pi_2$ admet des invariants non nuls par le sous-groupe $K_{2,\mathcal{F}}^+$. La bijection envoie donc $\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}^0$ sur $\text{Irr}(G'_2)_{\lambda_2}^0$.

### 7.6. CORRESPONDANCE ENTRE ÉLÉMENTS SEMI-SIMPLES.
Soit $\mathcal{G}' = (\mathcal{G}', \mathcal{G}', s)$ une donnée endoscopique de $G$. Soient $x' \in G'_{\text{reg}}(F)$ et $x \in G_{\text{reg}}(F)$ deux éléments qui se correspondent. Notons $T'$ et $T$ les commutants de $x'$ dans $G'$ et de $x$ dans $G$. Ce sont des tores et il y a un unique isomorphisme $\xi_{T,T'} : T \to T'$ défini sur $F$ de sorte que $\xi_{T,T'}(x) = x'$, cf. [24, I.1.10]. D'où un isomorphisme encore noté $\xi_{T,T'} : t \to t'$.

#### COROLLAIRE

(i) $\text{Six} = \varepsilon \exp(X)$ est une $p$-décomposition de $x$, alors $x' = \xi_{T,T'}(\varepsilon) \exp(\xi_{T,T'}(X))$ est une $p$-décomposition de $x'$.

(ii) Soit $x = \varepsilon \exp(X)$ une $p$-décomposition de $x$. Pour tout $\lambda \in F^\times$ tel que $\lambda X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon,\text{tn}}(F)$, $\xi_{T,T'}(\varepsilon) \exp(\xi_{T,T'}(\lambda X))$ est un élément de $G'_{\text{reg}}(F)$ qui correspond à $\varepsilon \exp(\lambda X)$.
(iii) Supposons $\mathbf{G}'$ elliptique. Alors $x$ est compact mod $Z(G)$ si et seulement si $x'$ est compact mod $Z(G')$.

*Démonstration.* — Puisque $\xi_{T,T'}$ est un isomorphisme, l’élément $\xi_{T,T'}(X)$ est topologiquement nilpotent. Posons $\varepsilon' = \xi_{T,T'}(\varepsilon)$, introduisons le Levi $L[\varepsilon]$ de $G$ et le Levi similaire $L'[\varepsilon']$ de $G'$. Notons $\Sigma$ l’ensemble de racines de $T$ dans $G$, $\Sigma'$ celui des racines de $T'$ dans $G'$ et $\Sigma^{L[\varepsilon]}$ et $\Sigma^{L'[\varepsilon']}$ les sous-ensembles des racines dans $L[\varepsilon]$, resp. $L'[\varepsilon']$. L’isomorphisme $\xi_{T,T'}$ transporte $\Sigma$ en un sous-ensemble de $X^*(T')$ et on sait que $\Sigma' \subset \xi_{T,T'}(\Sigma)$. Il résulte alors des définitions que $\Sigma^{L'[\varepsilon']}$ et $\Sigma' \cap \xi_{T,T'}(\Sigma^{L[\varepsilon]})$. D’où $\xi_{T,T'}(Z(L[\varepsilon])) \subset Z(L'[\varepsilon'])$. Il existe un entier $c \ge 1$ premier à $p$ tel que $\varepsilon^c \in Z(L[\varepsilon])$. Cela entraîne $(\varepsilon')^c \in Z(L'[\varepsilon'])$. Donc $\varepsilon'$ est un $p$-élément dans $G'(F)$. Cela démontre le (i).

Le (ii) est immédiat. Supposons $\mathbf{G}'$ elliptique. Alors $Z(G)(F)$ est un sous-groupe cocompact de $Z(G')(F)$ et (iii) en résulte. $\square$

7.7. FACTEUR DE TRANSFERT. — Soit $\mathbf{G}' = (G', G', s)$ une donnée endoscopique relevante de $G$. Rappelons que le facteur de transfert est une fonction définie sur l’ensemble $\mathbf{D}_1$ des couples $(x'_1, x)$ tels que : $x'_1 \in G'_{1,\mathrm{reg}}(F)$, $x \in G_{\mathrm{reg}}(F)$ et, en notant $x'$ l’image de $x'_1$ dans $G'(F)$, les classes de conjugaison stable de $x'$ et de $x$ se correspondent. Considérons un tel couple et fixons une $p$-décomposition $x = \varepsilon \exp(X)$. Par le (i) du lemme 7.6, on en déduit une $p$-décomposition $x' = \varepsilon' \exp(X')$. L’application $\mathfrak{g}'_{1,\mathrm{tn}}(F) \to \mathfrak{g}'_{\mathrm{tn}}(F)$ est surjective. Fixons $X'_1 \in \mathfrak{g}'_{1,\mathrm{tn}}(F)$ au-dessus de $X'$. Définissons $\varepsilon'_1 \in G'_1(F)$ par l’égalité $x'_1 = \varepsilon'_1 \exp(X'_1)$. On voit que $\varepsilon'_1$ est un $p$-élément, donc que l’égalité $x'_1 = \varepsilon'_1 \exp(X'_1)$ est une $p$-décomposition. Pour $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$, le couple $(\varepsilon'_1 \exp(\lambda X'_1), \varepsilon \exp(\lambda X))$ appartient encore à l’ensemble de définition $\mathbf{D}_1$ du facteur de transfert.

LEMME. — Pour tout $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$, on a l’égalité

$$ \Delta_1(\varepsilon'_1 \exp(\lambda^2 X'_1), \varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = \Delta_1(\varepsilon'_1 \exp(X'_1), \varepsilon \exp(X)). $$

Preuve. Notons $T, T'$ et $T'_1$ les commutants de $x, x'$ et $x'_1$ dans $G, G'$ et $G'_1$. Pour calculer le facteur de transfert, on peut choisir des $\chi$-data modérément ramifiées. Les termes $\Delta_I$ et $\Delta_{III,1}$ de [22] ne dépendent que des tores $T$ et $T'_1$. Le terme $\Delta_{III,2}$ est la valeur en $x'_1$ d’un caractère de $T'_1(F)$. Celui-ci est construit à l’aide des $\chi$-data et est modérément ramifié. Donc $\Delta_{III,2}(\varepsilon'_1 \exp(X'_1), \varepsilon \exp(X))$ ne dépend pas du couple $(X'_1, X)$. Il reste le terme $\Delta_{II}$. Un calcul similaire à celui de [33, Lem. 10.3] montre que, comme fonction de $(X'_1, X)$, $\Delta_{II}(\varepsilon'_1 \exp(X'_1), \varepsilon \exp(X))$ est proportionnel au terme analogue $\Delta_{II}(X', X)$ défini sur les algèbres de Lie. D’après [10, Lem. 3.2.1], la fonction $\lambda \mapsto \Delta_{II}(\lambda X', \lambda X)\Delta_{II}(X', X)^{-1}$ définie sur $F^\times$ est un caractère quadratique. Elle est donc constante sur les carrés. Le lemme en résulte. $\square$

7.8. ACTIONS DES CENTRES. — Soit $\mathbf{G}' = (G', G', s) \in \mathcal{E}(G)$. Puisque cette donnée est elliptique, le groupe $Z(G)(F)$ s’identifie à un sous-groupe cocompact de $Z(G')(F)$. Le sous-groupe $A_G(F) \subset Z(G)(F)$ est égal au sous-groupe $A_{G'}(F) \subset Z(G')(F)$.
Le groupe $A_{G'}(F)$ s'envoie surjectivement sur $A_{G'}(F)$ (parce que $C_1$ est un tore induit). Notons $\mathcal{Z}'_1$ le groupe des $z'_1 \in Z(G'_1)$ dont l'image dans $Z(G')$ appartient à $Z(G)$. Ce groupe contient $C_1$ et $A_{G'}$ et $\mathcal{Z}'_1(F)$ est un sous-groupe cocompact de $Z(G'_1)(F)$. Pour tout couple $(x'_1, x) \in \mathcal{D}_1$ et pour tout $z'_1 \in \mathcal{Z}'_1(F)$, le couple $(z'_1x'_1, zx)$ appartient aussi à $\mathcal{D}_1$, où $z$ est l'image de $z'_1$ dans $Z(G)(F)$. D'après [22, Lem. 4.4.A], il existe un caractère $\zeta_1$ de $\mathcal{Z}'_1(F)$ de sorte que, pour $(x'_1, x) \in \mathcal{D}_1$, on ait l'égalité

$$ \Delta_1(z'_1x'_1, zx) = \zeta(z'_1)\Delta_1(x'_1, x). $$

Ce caractère coïncide avec $\lambda_1^{-1}$ sur $C_1(F)$. Grâce à l'hypothèse (Hyp)$_{endo}(G)$, on a (1) le caractère $\zeta_1$ est trivial sur le sous-ensemble $\mathcal{Z}'_{1,tu}(F)$ de $\mathcal{Z}'_1$.

La preuve est similaire à celle du lemme précédent.

### 7.9. UN PREMIER RÉSULTAT DE TRANSFERT.
Soit $\mathcal{G}' = (G', \mathcal{G}', s) \in \mathcal{E}(G)$. On note $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)$ la variante de $\text{SI}(G'_1)$ où l'on impose que les fonctions se transforment par translations par $C_1(F)$ selon le caractère $\lambda_1^{-1}$. On définit de façon similaire $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)^*$ (c'est le dual de $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)$). On note $\text{Aut}(\mathcal{G}')$ le groupe d'automorphismes de $\mathcal{G}'$, cf. [24, I.1.5]. Ce groupe agit naturellement sur $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)$ et $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)^*$, cf. [24, I.2.6].

### REMARQUE.
La définition adoptée ici et dans [24] n'est pas celle que l'on trouve dans d'autres références. Elle diffère de la définition adoptée notamment par Arthur par torsion par un caractère de sorte que le facteur $\Delta_1$ soit invariant par cette action. Cela explique la disparition dans nos formules des caractères que l'on trouve dans celles d'Arthur.

On sait définir un transfert $\text{I}(G) \to \text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)$, dont l'image est contenue dans le sous-espace des invariants par $\text{Aut}(\mathcal{G}')$. D'où une application transposée $\text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)^* \to \text{I}(G)^*$ entre les espaces duaux. Arthur démontre dans [3] qu'il existe une unique application linéaire dite de transfert spectral

$$ \text{transfert} : \mathcal{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathcal{C}[\text{Irr}(G)] $$

qui rend le diagramme suivant commutatif

$$ \begin{tikzcd} \mathcal{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \arrow[r, "\text{transfert}"] \arrow[d, "\Theta"] & \mathcal{C}[\text{Irr}(G)] \arrow[d, "\Theta"'] \\ \text{SI}_{\lambda_1}(G'_1)^* \arrow[r, "\sim"] & \text{I}(G)^* \arrow[d, "\Theta"'] \end{tikzcd} $$

Elle est invariante par l'action de $\text{Aut}(\mathcal{G}')$, c'est-à-dire qu'elle se factorise en

$$ \text{transfert} : \mathcal{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathcal{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st,Aut}(\mathcal{G})} \to \mathcal{C}[\text{Irr}(G)], $$

où la première application est la projection naturelle.

### PROPOSITION.
Cette application transfert envoie $\mathcal{C}[\text{Irr}(G'_1)^0_{\lambda_1}]^{\text{st}}$ dans $\mathcal{C}[\text{Irr}(G)^0]$.
Démonstration. — Soit $\pi' \in \mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}^0]^{\mathrm{st}}$, posons $\pi = \mathrm{transfert}(\pi')$. Soit $\varepsilon \in G(F)_p'$ et soit $X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathrm{tn}}(F)$. Posons $x = \varepsilon \exp(X)$ et supposons $x \in G_{\mathrm{reg}}(F)$. Fixons un ensemble de représentants $X^{G'}(x)$ des classes de conjugaison stable dans $G'(F)$ qui correspondent à celle de $x$ dans $G(F)$. Pour tout $x' \in X^{G'}(x)$, on fixe un relèvement $x'_1$ de $x'$ dans $G'_1(F)$. Par définition, on a l'égalité

$$ (1) \qquad \theta_{\pi}(x) D^{G}(x)^{1/2} = \sum_{x' \in X^{G'}(x)} \Delta_{1}(x'_{1}, x) \theta_{\pi'}(x'_{1}) D^{G'}(x')^{1/2}. $$

On note $T$ le commutant de $x$ dans $G$ et, pour tout $x' \in X^{G'}(x)$, on note $T_{x'}$ celui de $x'$ dans $G'$. On a des isomorphismes $\xi_{T,T_{x'}} : T \to T_{x'}$, cf. 7.6. On pose

$$ \varepsilon_{x'} = \xi_{T, T_{x'}}(\varepsilon), \quad X_{x'} = \xi_{T, T_{x'}}(X). $$

Alors $x' = \varepsilon_{x'} \exp(X_{x'})$ est une $p$-décomposition. On fixe un relèvement $X_{1,x'}$ de $X_{x'}$ dans $\mathfrak{g}'_{1,\mathrm{tn}}(F)$ et un relèvement $\varepsilon_{1,x'}$ de $\varepsilon_{x'}$ dans $G'_1(F)$ de sorte que $x'_1 = \varepsilon_{1,x'} \exp(X_{1,x'})$. Soit $\lambda \in F^\times$ tel que $\lambda X \in \mathfrak{g}_{\varepsilon, \mathrm{tn}}(F)$, posons $y = \varepsilon \exp(\lambda X)$. Alors, pour tout $x' \in X^{G'}(x)$, l'élément $\varepsilon_{x'} \exp(\lambda X_{x'})$ correspond à $y$. Montrons que

(3) si $x', x'' \in X^{G'}(x)$ et $x' \neq x''$, alors $\varepsilon_{x'} \exp(\lambda X_{x'})$ n'est pas stablement conjugué à $\varepsilon_{x''} \exp(\lambda X_{x''})$.

Supposons qu'ils sont stablement conjugués. Il existe alors $h \in G'(\bar{F})$ tel que

$$ h^{-1}\varepsilon_{x'} \exp(\lambda X_{x'})h = \varepsilon_{x''} \exp(\lambda X_{x''}). $$

Puisque les éléments en question sont fortement réguliers, l'opérateur de conjugaison par $h$ se restreint en un isomorphisme $\mathrm{Int}_h : T_{x''} \to T_{x'}$. Le composé

$$ \Xi = \xi_{T, T_{x'}}^{-1} \circ \mathrm{Int}_h \circ \xi_{T, T_{x''}} $$

est un automorphisme de $T$ fixant $y$. De plus, par construction des isomorphismes $\xi_{T,T_{x'}}$ et $\xi_{T,T_{x''}}$, $\Xi$ est forcément de la forme $\mathrm{Int}_{h'}$ pour un élément $h' \in \mathrm{Norm}_G(T)(\bar{F})$. Puisqu'il fixe $y$ et que $y$ est fortement régulier, c'est l'identité. Mais alors

$$ \mathrm{Int}_h(\varepsilon_{x''}) = \varepsilon_{x'}, \quad \mathrm{Int}_h(X_{x''}) = X_{x'}, $$

donc $h^{-1}x'h = x''$, ce qui contredit la définition de $X^{G'}(x)$. Cela démontre (3).

Cette assertion entraîne que $X^{G'}(y)$ a au moins autant d'éléments que $X^{G'}(x)$. La situation étant symétrique en $x$ et $y$, ces ensembles ont même nombre d'éléments. Alors (3) entraîne que l'on peut choisir pour $X^{G'}(y)$ l'ensemble des $\varepsilon_{x'} \exp(\lambda X_{x'})$ pour $x' \in X^{G'}(x)$. On applique cela en remplaçant $\lambda$ par $\lambda^2$ pour $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$. L'égalité (1) pour $y = \varepsilon \exp(\lambda^2 X)$ devient

$$ (3) \qquad \theta_{\pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) D^{G}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} \\ = \sum_{x' \in X^{G'}(x)} \Delta_{1}(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon \exp(\lambda^2 X)) \\ \qquad \cdot \theta_{\pi'}(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'})) D^{G'}(\varepsilon_{x'} \exp(\lambda^2 X_{x'}))^{1/2}. $$

On considère ces termes comme des fonctions de $\lambda$. Comme on l'a dit plusieurs fois, les discriminants de Weyl contribuent par des puissances de $|\lambda|_F$. D'après le lemme 7.7, le facteur de transfert est constant. Puisque $\pi'$ est de niveau 0, le théorème 6.7 dit
que $\Theta_{\pi'}$ est un quasi-caractère de niveau 0. Donc les termes $\theta_{\pi'}(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'}))$ appartiennent à $E$. Donc $\lambda \mapsto \theta_{\pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ appartient à $E$, c'est-à-dire que $\Theta_{\pi}$ est un quasi-caractère de niveau 0. D'après le même théorème 6.7, $\pi$ appartient à $\mathbb{C}[\mathrm{Irr}(G)^0]$. $\square$

7.10. UNE RÉCIPROQUE PARTIELLE. — Soit $\mathcal{G}' = (\mathcal{G}', \mathcal{G}', s) \in \mathcal{E}(G)$. L'application transfert se restreint en une application linéaire

$$ \mathrm{transfert}_{\mathrm{ell}} : \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\mathrm{st}} \to \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)]. $$

PROPOSITION. — Soit $\pi \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G)^0]$. Supposons que $\pi$ appartienne à l'image de l'application transfert$_{ell}$. Alors il existe $\pi' \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\mathrm{st}}$ telle que transfert$_{ell}(\pi') = \pi$.

Démonstration. Première étape. — Fixons $\sigma' \in \mathbb{C}[\mathrm{Ell}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\mathrm{st}}$ tel que

$$ \mathrm{transfert}_{\mathrm{ell}}(\sigma') = \pi. $$

Décomposons $\sigma'$ en somme $\sum_{i=1,...,h} \sigma'_i$, où $\sigma'_i$ est une combinaison linéaire de représentations elliptiques de $G'_1(F)$ dont le caractère central se restreint en un même caractère $\xi'_i$ de $A_{G'_1}(F)$. On suppose les $\xi'_i$ distincts. On a introduit un caractère $\zeta_1$ en 7.8. Le caractère $(\zeta_1)|_{A_{G'_1}(F)} \xi'_i$ de $A_{G'_1}(F)$ se factorise par la projection $A_{G'_1}(F) \to A_G(F)$ en un caractère $\xi_i$ de ce dernier groupe et les caractères $\xi_i$ sont tous distincts. On a l'égalité $\pi = \sum_{i=1,...,h} \mathrm{transfert}_{\mathrm{ell}}(\sigma'_i)$ et, puisque $\pi$ est de niveau 0, on en déduit par interpolation que toutes les composantes transfert$_{ell}(\sigma'_i)$ sont de niveau 0. On peut remplacer $\pi$ par chacune de ces composantes et cela ramène le problème au cas où $A_{G'_1}(F)$ agit sur $\sigma'$ selon un caractère $\xi'$. Ensuite, on peut encore tordre $\sigma'$ par un élément de $A_{G'_1}^*$ et supposer que $\xi'$ est unitaire.

Deuxième étape : construction d'un quasi-caractère de niveau 0. — Pour tout élément $\varepsilon_1 \in G'_1(F)$ qui est $p$-compact mod $\mathbb{Z}'_1$, fixons un voisinage $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1}$ de 0 dans $\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1}(F)$ et une famille $(c_{\varepsilon_1, \emptyset})_{\emptyset \in \mathrm{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})}$ de nombres complexes de sorte que, pour tout $X_1 \in \mathfrak{V}_{\varepsilon_1}$ tel que $\varepsilon_1 \exp(X_1) \in G'_{1,\mathrm{reg}}(F)$, on ait l'égalité

$$ (1) \qquad \theta_{\sigma'}(\varepsilon_1 \exp(X_1)) = \sum_{\emptyset \in \mathrm{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})} c_{\varepsilon_1, \emptyset} \hat{j}(\emptyset, X_1). $$

Le voisinage $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1}$ n'est pas uniquement déterminé mais les nombres complexes $c_{\varepsilon_1, \emptyset}$ le sont. Soit $z_1 \in \mathbb{Z}'_{1,tu}(F)$. On peut remplacer $\varepsilon_1$ par $\varepsilon_1 z_1$. Cela ne change pas l'ensemble $\mathrm{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})$. Montrons que :

(2) pour tout $\emptyset \in \mathrm{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})$, la fonction $z_1 \mapsto c_{\varepsilon_1 z_1, \emptyset}$ est localement constante;

(3) on peut choisir les voisinages $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1}$ de sorte que $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1 z_1} = \mathfrak{V}_{\varepsilon_1}$ pour tout $z_1 \in \mathbb{Z}'_{1,tu}(F)$.

En effet, fixons d'abord un voisinage $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1'}$ pour tout $\varepsilon_1' \in \varepsilon_1 \mathbb{Z}'_{1,tu}(F)$. Choisissons un sous-groupe $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1'} \subset \mathfrak{Z}'_{1,tu}(F)$ de sorte que $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1'} + \mathfrak{V}_{\varepsilon_1'} \subset \mathfrak{V}_{\varepsilon_1'}$. On vérifie que, si $z_1 \in \exp(\mathfrak{V}_{\varepsilon_1'})$, on peut choisir $\mathfrak{V}_{\varepsilon_1'} z_1 = \mathfrak{V}_{\varepsilon_1'}$ et que l'on a $c_{\varepsilon_1' z_1, \emptyset} = c_{\varepsilon_1' \emptyset, \emptyset}$ pour
tout $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})$. Cela prouve déjà (2). L'ensemble $\varepsilon_1 \underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F)$ est compact et est réunion des ensembles ouverts $\varepsilon'_1 \exp(\mathfrak{N}\varepsilon'_1)$. On extrait un recouvrement fini

$$ \varepsilon_1 \underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F) = \bigcup_{\varepsilon'_1 \in \mathcal{I}} \varepsilon'_1 \exp(\mathfrak{N}\varepsilon'_1), $$

où $\mathcal{I}$ est un sous-ensemble fini de $\varepsilon_1 \underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F)$. On pose $\mathfrak{N} = \cap_{\varepsilon'_1 \in \mathcal{I}} \mathfrak{N}\varepsilon'_1$. On voit alors que l'on peut remplacer nos $\mathfrak{N}\varepsilon'_1$ initiaux par le voisinage constant $\mathfrak{N}$. Cela démontre (3).

On suppose désormais que la condition (3) est satisfaite. Pour $\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})$, posons

$$ \bar{c}_{\varepsilon_1, \mathcal{O}} = \text{mes}(\underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F))^{-1} \int_{\underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F)} c_{\varepsilon_1 z_1, \mathcal{O}} dz_1. $$

On a $\bar{c}_{\varepsilon_1 z_1, \mathcal{O}} = \bar{c}_{\varepsilon_1, \mathcal{O}}$ pour tout $z_1 \in \underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F)$. On définit une fonction $\tau$ sur $\mathfrak{G}'_{1,\text{reg}}(F)$, à support contenu dans l'ensemble $\mathfrak{G}'_{1,\text{comp}}(F)$ des éléments de $\mathfrak{G}'_1(F)$ qui sont compacts mod $\mathfrak{Z}(\mathfrak{G}'_1)$ de la façon suivante. Pour $x_1 \in \mathfrak{G}'_{1,\text{comp}}(F) \cap \mathfrak{G}'_{1,\text{reg}}(F)$, on choisit une $p$'-décomposition $x_1 = \varepsilon_1 \exp(X_1)$ telle que l'élément $\varepsilon_1$ soit $p$'-compact mod $\underline{\mathfrak{Z}}'_1$, cf. 4.3 (3). On pose

$$ \tau(x_1) = \sum_{\mathcal{O} \in \text{Nil}(\mathfrak{g}'_{1,\varepsilon_1})} \bar{c}_{\varepsilon_1, \mathcal{O}} \hat{j}(\mathcal{O}, X_1). $$

Cela ne dépend pas de la $p$'-décomposition choisie car, d'après 4.3 (3), toute autre décomposition satisfaisant à la même propriété est de la forme

$$ x_1 = (\varepsilon_1 \exp(Z_1)) \exp(X_1 - Z_1), $$

avec $Z_1 \in \mathfrak{h}'_{1,tu}(F)$ et on a fait ce qu'il fallait pour que la formule ci-dessus soit insensible à un tel changement. Il résulte de cette définition que, pour tout élément $\varepsilon_1 \in \mathfrak{G}'_1(F)$ qui est $p$'-compact mod $\underline{\mathfrak{Z}}'_1$ et pour tout $X_1 \in \mathfrak{N}\varepsilon_1$ tel que $\varepsilon_1 \exp(X_1) \in \mathfrak{G}'_{1,\text{reg}}(F)$, on a l'égalité

$$ (4) \quad \tau(\varepsilon_1 \exp(X_1)) = \text{mes}(\underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F))^{-1} \int_{\underline{\mathfrak{Z}}'_{1,tu}(F)} \theta_{\sigma'}(\varepsilon_1 z_1 \exp(X_1)) dz_1. $$

Montrons que

(5) la fonction $\tau$ est constante sur les classes de conjugaison stable.

Soient $x_1, x_2 \in \mathfrak{G}'_{1,\text{reg}}(F)$ que l'on suppose stablement conjugués. On veut prouver que $\tau(x_1) = \tau(x_2)$. Remarquons que, ou bien $x_1$ et $x_2$ sont tous deux compacts mod $\mathfrak{Z}(\mathfrak{G}'_1)$, ou bien aucun d'eux ne l'est. Dans le second cas, on a $\tau(x_1) = \tau(x_2) = 0$. Supposons que $x_1$ et $x_2$ sont compacts mod $\mathfrak{Z}(\mathfrak{G}'_1)$. On fixe $h \in \mathfrak{G}'_{1,\text{reg}}(\bar{F})$ tel que $x_2 = h^{-1}x_1h$. On choisit une $p$'-décomposition $x_1 = \varepsilon_1 \exp(X_1)$ telle que $\varepsilon_1$ soit $p$'-compact mod $\underline{\mathfrak{Z}}'_1$. Posons $\varepsilon_2 = h^{-1}\varepsilon_1h$ et $X_2 = h^{-1}X_1h$. Alors $x_2 = \varepsilon_2 \exp(X_2)$ et cette égalité est une $p$'-décomposition telle que $\varepsilon_2$ soit $p$'-compact mod $\underline{\mathfrak{Z}}'_1$. Pour $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$, les éléments $\varepsilon_1 \exp(\lambda^2 X_1)$ et $\varepsilon_2 \exp(\lambda^2 X_2)$ sont encore stablement conjugués. Si $\text{val}_F(\lambda)$ est assez grand, on a $\lambda^2 X_1 \in \mathfrak{N}\varepsilon_1$ et $\lambda^2 X_2 \in \mathfrak{N}\varepsilon_2$, donc $\tau(\varepsilon_1 \exp(\lambda^2 X_1))$ et $\tau(\varepsilon_2 \exp(\lambda^2 X_2))$ sont calculés par la formule (4). Pour
$z_1 \in \mathbb{Z}'_{1,tu}(F)$, les éléments $\varepsilon_1 z_1 \exp(\lambda^2 X_1)$ et $\varepsilon_2 z_1 \exp(\lambda^2 X_2)$ sont encore stablement conjugués. Puisque $\sigma'$ est stable, on a donc

$$ \theta_{\sigma'}(\varepsilon_1 z_1 \exp(\lambda^2 X_1)) = \theta_{\sigma'}(\varepsilon_2 z_1 \exp(\lambda^2 X_2)). $$

La formule (4) entraîne alors l'égalité $\tau(\varepsilon_1 \exp(\lambda^2 X_1)) = \tau(\varepsilon_2 \exp(\lambda^2 X_2))$. Cela est vrai pour $\text{val}_F(\lambda)$ assez grande. Mais, comme fonctions de $\lambda$, les deux termes de cette égalité appartiennent à $E$. Ils sont donc égaux pour tout $\lambda$. En $\lambda = 1$, cela entraîne l'égalité cherchée $\tau(x_1) = \tau(x_2)$ qui prouve (5).

En particulier, $\tau$ est invariante par conjugaison. D'après le lemme 5.3, $\tau$ est la fonction associée à un quasi-caractère $D_1$ sur $G'_1(F)$ de niveau 0. Comme $\Theta_{\sigma'}$, ce quasi-caractère se transforme par $A_{G'_1}(F)$ selon le caractère $\xi$ et par $C_1(F)$ selon $\lambda_1$.

*Troisième étape, fin de la preuve de la proposition.* — On vient de construire un quasi-caractère $D_1$ sur $G'_1(F)$. D'après le théorème 5.10, il existe un élément $d_1 \in \mathcal{D}_{\text{comp}}(G'_1)$ tel que $D_1 = D_{G'_1}^*[d_1]$. Notons $d_{1,\text{cusp}}$ la composante cuspidale de $d_1$. Cet élément conserve les mêmes propriétés que $D_1$ de transformation par $A_{G'_1}(F)$ et $C_1(F)$. On note $\pi'$ l'élément de $\mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)^0_{\xi'}]$ tel que $\Delta_{\text{cusp}}(\pi') = d_{1,\text{cusp}}$, cf. le (ii) du lemme 6.4. Par définition, $\theta_{\pi'}$ coïncide avec $\tau$ sur $G'_{1,\text{ell}}(F)$ et cette fonction est invariante par conjugaison stable. Parce que $\pi'$ est elliptique, cela entraîne que $\pi'$ est stable, c'est-à-dire $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)^0_{\xi'}]^{\text{st}}$, cf. [3, Th. 6.1]. Il est clair que la restriction à $C_1(F)$ du caractère central de $\pi'$ est $\lambda_1$.

Pour prouver la proposition, il suffit de prouver que $\text{transfert}_{\text{ell}}(\pi') = \pi$. Or $\pi$ et $\pi'$ sont elliptiques. D'après [3, Th. 6.2], il suffit de prouver que $\text{transfert}_{\text{ell}}(\pi')$ et $\pi$ coïncident sur $G_{\text{ell}}(F)$. C'est-à-dire qu'en posant $\Pi = \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi')$, il suffit de prouver

(6) pour tout $x \in G_{\text{ell}}(F)$, on a l'égalité $\theta_{\Pi}(x) = \theta_{\pi}(x)$.

On fixe une $p'$-décomposition $x = \varepsilon \exp(X)$. Soit $\lambda \in \mathfrak{o}_F \setminus \{0\}$. L'égalité (3) de 7.9 dit que

$$ \theta_{\Pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} = \sum_{x' \in X G'(x)} \Delta_1(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon \exp(\lambda^2 X)) \cdot \theta_{\pi'}(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'})) D^{G'}(\varepsilon_{x'} \exp(\lambda^2 X_{x'}))^{1/2}. $$

Les éléments intervenant à droite sont elliptiques, on peut remplacer la fonction $\theta_{\pi'}$ par $\tau$. Puisque $\varepsilon$ est $p'$-compact mod $Z(G)$, les $\varepsilon_{1,x'}$ sont $p'$-compacts mod $\mathbb{Z}'_1$. Si $\text{val}_F(\lambda)$ est assez grand, on utilise (4) et on obtient

$$ \theta_{\Pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} = \text{mes}(\mathbb{Z}'_{1,tu}(F))^{-1} \int_{\mathbb{Z}'_{1,tu}(F)} \sum_{x' \in X G'(x)} \Delta_1(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon \exp(\lambda^2 X)) \cdot \theta_{\sigma'}(\varepsilon_{1,x'} z_1 \exp(\lambda^2 X_{1,x'})) D^{G'}(\varepsilon_{x'} \exp(\lambda^2 X_{x'}))^{1/2} dz_1. $$
Notons $z$ et $z'$ les images de $z_1$ dans $Z(G)_{\text{tu}}(F)$ et $Z(G')_{\text{tu}}(F)$. D'après 7.8 (1), on peut remplacer ci-dessus $\Delta_1(\varepsilon_{1,x'} \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon \exp(\lambda^2 X))$ par

$$ \Delta_1(\varepsilon_{1,x'} z_1 \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon z \exp(\lambda^2 X)). $$

On peut aussi remplacer $D^{G'}(\varepsilon_{x'} \exp(\lambda^2 X_{x'}))$ par $D^{G'}(\varepsilon_{x'} z' \exp(\lambda^2 X_{x'}))$. On obtient

$$ (7) \quad \theta_{\Pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2} = \text{mes}(\underline{Z}'_{1,\text{tu}}(F))^{-1} \int_{\underline{Z}'_{1,\text{tu}}(F)} B(z_1) dz_1, $$

où

$$ B(z_1) = \sum_{x' \in X^{G'}(x)} \Delta_1(\varepsilon_{1,x'} z_1 \exp(\lambda^2 X_{1,x'}), \varepsilon z \exp(\lambda^2 X)) \cdot \theta_{\sigma'}(\varepsilon_{1,x'} z_1 \exp(\lambda^2 X_{1,x'})) D^{G'}(\varepsilon_{x'} z' \exp(\lambda^2 X_{x'}))^{1/2}. $$

Il est clair que $B(z_1)$ est le membre de droite de la formule (3) de 7.9 appliquée à la représentation $\sigma'$, pour le point $\varepsilon z \exp(\lambda^2 X)$ de $G(F)$. Puisque $\pi = \text{transfert}_{\text{ell}}(\sigma')$, on obtient

$$ B(z_1) = \theta_{\pi}(\varepsilon z \exp(\lambda^2 X)) D^G(\varepsilon z \exp(\lambda^2 X))^{1/2}. $$

Le $z$ disparaît du discriminant de Weyl. Il disparaît aussi du premier terme car $\pi$ est de niveau 0 par hypothèse. D'où

$$ B(z_1) = \theta_{\pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) D^G(\varepsilon \exp(\lambda^2 X))^{1/2}, $$

puis, d'après (7),

$$ \theta_{\Pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)) = \theta_{\pi}(\varepsilon \exp(\lambda^2 X)). $$

On a supposé $\text{val}_F(\lambda)$ assez grande. Mais, puisque $\pi'$ est de niveau 0, $\Pi$ l'est aussi d'après la proposition 7.9. Il en est de même pour $\pi$ par hypothèse. Les deux membres de la formule ci-dessus appartiennent donc à $E$. Étant égaux pour $\text{val}_F(\lambda)$ assez grande, ils sont égaux pour tout $\lambda$. En $\lambda = 1$, cela prouve (6) et la proposition 7.10. $\square$

7.11. **LE THÉORÈME PRINCIPAL.** — Soit $\mathcal{G}' = (G', \mathcal{G}', s) \in \mathcal{E}(G)$. Rappelons que l'on impose l'hypothèse $(\text{Hyp})_{\text{endo}}(G)$.

**THÉORÈME.** — *L'application*

$$ \text{transfert} : \mathbb{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathbb{C}[\text{Irr}(G)] $$

$$ \text{satisfait à l'égalité } p^0 \circ \text{transfert} = \text{transfert} \circ p^0. $$

**REMARQUE.** — Les deux $p^0$ de l'égalité ne sont pas les mêmes : le premier vit sur le groupe $G$ et le second sur $G'_1$.

**Démonstration.** — On a l'égalité

$$ (1) \quad \mathbb{C}[\text{Irr}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} = \bigoplus_{M' \in \mathcal{L}_{\min}^{G'}} \text{Ind}_{M'_1}^{G'} (\mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\mathbb{R},\lambda_1}]^{\text{st},W^{G'}(M')}), $$

cf. 7.3 (1), dont on a adapté les notations de façon que l'on espère compréhensible. En particulier, chaque Levi $M'$ de $G'$ détermine un unique Levi $M'_1$ de $G'_1$ (son image réciproque dans ce groupe). Notons $\mathcal{L}_{\min,G'}^{G'}$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}_{\min}^{G'}$ qui sont « relevants » pour $G$ (dans le cas où $G$ est quasi-déployé, tout élément
de $\mathcal{L}_{\min}^{G'}$ est relevant). Il y a une application naturelle de $\mathcal{L}_{\min,G-\text{rel}}^{G'}$ dans $\mathcal{L}_{\min}^{G'}$, cf. [24, 1.3.4]. Si $M' \mapsto M$ par cette application, il se déduit de $G'$ une donnée endoscopique $M' = (M', \mathcal{M}', s^M)$ de $M$, qui est elliptique. Soit $M' \in \mathcal{L}_{\min}^{G'}$, notons $M \in \mathcal{L}_{\min}^{G'}$ le Levi qui lui correspond. On a l'égalité $\mathcal{A}_M = \mathcal{A}_{M'}$. L'application transfert$_{ell}$ : $\mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathbb{C}[\text{Ell}(M)]$ se prolonge en une application linéaire $\mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\mathbb{R},\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathbb{C}[\text{Ell}(M)_{\mathbb{R}}]$ compatible aux opérateurs de torsion par des éléments $\chi \in \mathcal{A}_M^* = \mathcal{A}_{M'}^*$. On la compose avec la projection naturelle sur les invariants par $W^G(M)$ et on obtient par restriction une application linéaire

$$ \mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\mathbb{R},\lambda_1}]^{\text{st},W^{G'}(M')} \to \mathbb{C}[\text{Ell}(M)_{\mathbb{R}}]^{W^G(M)}. $$

Le transfert commute à l'induction et on en déduit une application linéaire de l'espace

$$ \text{Ind}_{M'_1}^{G'}(\mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\mathbb{R},\lambda_1}]^{\text{st},W^{G'}(M')}) $$

dans le membre de droite de la relation (1) de 6.2, c'est-à-dire dans $\mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$. Si maintenant $M' \in \mathcal{L}_{\min}^{G'} - \mathcal{L}_{\min,G-\text{rel}}^{G'}$, on envoie l'espace

$$ \text{Ind}_{M'_1}^{G'}(\mathbb{C}[\text{Ell}(M'_1)_{\mathbb{R},\lambda_1}]^{\text{st},W^{G'}(M')}) $$

dans $\mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$ par l'application nulle. La somme des applications ainsi définies sur tout $M' \in \mathcal{L}_{\min}^{G'}$ est une application linéaire du membre de droite de (1) ci-dessus dans $\mathbb{C}[\text{Irr}(G)]$. C'est l'application transfert. Il résulte de ces considérations que, pour démontrer le théorème, il suffit de prouver l'égalité analogue pour les applications transfert$_{ell}$ associés aux différents Levi de $G'$ qui sont relevants pour $G$. On ne perd rien à considérer seulement l'application transfert$_{ell}$ associée à $G'$ lui-même. C'est-à-dire qu'il suffit de prouver

(2) on a l'égalité $p^0 \circ \text{transfert}_{\text{ell}} = \text{transfert}_{\text{ell}} \circ p^0$.

Comme dans le corollaire 7.3, cela équivaut aux deux assertions

(3) si $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}}$, on a $\text{transfert}_{\text{ell}}(\pi') \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)^0]$;

(4) si $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}}$ satisfait à $p^0(\pi') = 0$, alors $p^0 \circ \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi') = 0$.

La proposition 7.9 est justement l'assertion (3). Démontrons (4). Comme toujours, on peut décomposer $\pi'$ en $\sum_{i=1,...,h} \pi'_i$ où $\pi'_i$ est une combinaison linéaire de représentations elliptiques de $G'_1(F)$ dont le caractère central se restreint en un même caractère unitaire $\xi'_i$ de $A_{G'_1}(F)$. Ces représentations satisfont aux mêmes hypothèses que $\pi'$ et il suffit de prouver que $p^0 \circ \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi'_i) = 0$ pour tout $i$. En oubliant cette construction, on peut fixer un caractère unitaire $\xi'$ de $A_{G'_1}(F)$ et supposer que $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi',\lambda_1}]^{\text{st}}$. Le caractère $\xi'$ détermine un caractère $\xi$ de $A_G(F)$ comme on l'a vu dans la preuve de 7.10 et l'application transfert$_{ell}$ envoie $\mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi',\lambda_1}]^{\text{st}}$ dans $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]$. L'action du groupe $\text{Aut}(G)$ conserve le premier espace : elle préserve le caractère $\xi'$ car celui-ci est uniquement déterminé par $\xi$. On peut remplacer $\pi'$ par sa projection sur le sous-espace des invariants, cela ne change pas transfert$_{ell}(\pi')$. Cela ne modifie pas non plus la condition $p^0(\pi') = 0$ car l'action de $\text{Aut}(G')$ conserve le sous-espace $\mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi',\lambda_1}]^{\text{st}}$. Bref, on peut supposer $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi',\lambda_1}]^{\text{st},\text{Aut}(G')}.
On pose $\pi = \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi')$. Il faut maintenant se rappeler la décomposition (1) de 7.2. L'application transfert$_{\text{ell}}$ se restreint en un isomorphisme

$$ \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi', \lambda_1}]^{\text{st,Aut}(G')} \to \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]_{G'} $$

qui est une similitude pour les produits scalaires elliptiques. On note $c$ le rapport de similitude. En particulier, $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]_{G'}$. Il résulte de la proposition 7.2 que $p^0(\pi)$ appartient aussi à $\mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}]_{G'}$, donc appartient à l'image de transfert$_{\text{ell}}$. D'après la proposition 7.10, il existe $\pi'^0 \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G_1)_{\lambda_1}^0]^{\text{st}}$ telle que transfert$_{\text{ell}}(\pi'^0) = p^0(\pi)$. Les mêmes arguments que ci-dessus permettent de supposer que $\pi'^0 \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\xi', \lambda_1}^0]^{\text{st,Aut}(G')}$. Parce que $p^0$ est une projection orthogonale, on a $\langle p^0(\pi), p^0(\pi) \rangle_{\text{ell}} = \langle p^0(\pi), \pi \rangle_{\text{ell}}$. Donc

$$ \begin{aligned} \langle p^0(\pi), p^0(\pi) \rangle_{\text{ell}} &= \langle \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi'^0), \text{transfert}_{\text{ell}}(\pi') \rangle_{\text{ell}} \\ &= c^{-1} \langle \pi'^0, \pi' \rangle_{\text{ell}} = c^{-1} \langle \pi'^0, p^0(\pi') \rangle_{\text{ell}}, \end{aligned} $$

toujours parce que $p^0$ est une projection orthogonale. Puisque $p^0(\pi') = 0$, cela entraîne $\langle p^0(\pi), p^0(\pi) \rangle_{\text{ell}} = 0$, d'où $p^0(\pi) = 0$. Cela achève la preuve de (4) et du théorème. $\square$

# 8. QUELQUES CONSÉQUENCES

## 8.1. LE CAS QUASI-DÉPLOYÉ DERECHÉF. — Supposons $G$ quasi-déployé.

**COROLLAIRE.** — La projection de Bernstein $p^0$ de $I(G)$ se quotiente en une projection $p^0$ de $SI(G)$.

**Démonstration.** — Notons $I^{\text{inst}}(G)$ le noyau de la projection $I(G) \to SI(G)$. On doit prouver que $p^0$ conserve ce sous-espace. C'est-à-dire, soit $f \in I^{\text{inst}}(G)$, on doit prouver que $p^0(f) \in I^{\text{inst}}(G)$. Il suffit pour cela de prouver que, pour tout $\pi^{\text{st}} \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]^{\text{st}}$, on a $\Theta_{\pi^{\text{st}}}(p^0(f)) = 0$, cf. [24, Cor. XI.5.2(i)]. D'après les propriétés des projecteurs de Bernstein, on a

$$ \Theta_{\pi^{\text{st}}}(p^0(f)) = \Theta_{p^0(\pi^{\text{st}})}(f). $$

D'après le (ii) du corollaire 7.3, on a $p^0(\pi^{\text{st}}) = p^0 \circ p^{\text{st}}(\pi^{\text{st}}) = p^{\text{st}} \circ p^0(\pi^{\text{st}})$. Donc $p^0(\pi^{\text{st}}) \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G)]^{\text{st}}$. Alors $\Theta_{p^0(\pi^{\text{st}})}(f) = 0$ puisque $f \in I^{\text{inst}}(G)$. $\square$

## 8.2. TRANSFERT DE FONCTIONS. — Soit $G' = (G', G', s) \in \mathcal{E}(G)$.

**COROLLAIRE.** — On suppose (Hyp)$_{\text{endo}}(G)$ satisfaite. L'application transfert : $I(G) \to SI_{\lambda_1}(G'_1)$ satisfait à l'égalité $p^0 \circ \text{transfert} = \text{transfert} \circ p^0$.

Cela se déduit du théorème 7.11 comme le corollaire précédent se déuisait du corollaire 7.3.
### 8.3. STABILITÉ DANS L'ESPACE $\mathcal{D}_{\text{cusp}}$.
Supposons $G$ quasi-déployé. Disons qu'un élément $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ est stable si la distribution $D^G[d]$ l'est et qu'il est stable sur les elliptiques si la distribution $D^G[d]$ l'est, c'est-à-dire si $\theta_{D^G[d]}$ est constante sur les classes de conjugaison stable contenues dans $G_{\text{ell}}(F)$. On note $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^{\text{st}}$ le sous-espace des éléments stables dans $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$.

**PROPOSITION.** — Soit $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$. Alors $d$ est stable si et seulement si $d$ est stable sur les elliptiques.

**Démonstration.** — Utilisons la décomposition $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G) = \prod_{\nu \in \mathcal{N}} \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^{\nu}$. Il est clair que $d$ est stable, resp. stable sur les elliptiques, si et seulement si chaque composante $d^{\nu}$ est stable, resp. stable sur les elliptiques. On peut donc fixer $\nu \in \mathcal{N}$ et supposer $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^{\nu}$. Notons $\mathcal{X}$ l'ensemble des restrictions à $A_G(F)_c$ de caractères modérément ramifiés de $A_G(F)$. Pour $\xi \in \mathcal{X}$, posons

$$d_{\xi} = \text{mes}(A_G(F)_c)^{-1} \int_{A_G(F)_c} \xi(a)^{-1} d^a a.$$

Alors $d = \sum_{\xi \in \mathcal{X}} d_{\xi}$. De nouveau, $d$ est stable, resp. stable sur les elliptiques, si et seulement si chaque composante $d_{\xi}$ est stable, resp. stable sur les elliptiques. On peut fixer $\xi \in \mathcal{X}$ et supposer que $d$ se transforme par $A_G(F)_c$ selon $\xi$. Prolongeons $\xi$ en un caractère unitaire de $A_G(F)$. Alors il existe un unique $\mathbf{d} \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ tel que :

- $\mathbf{d} \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$, c'est-à-dire $\mathbf{d}$ se transforme par $A_G(F)$ selon $\xi$;

- pour $\nu' \in \mathcal{N}$, la composante $\mathbf{d}^{\nu'}$ est nulle si $\nu' \notin \nu + w_G(A_G(F))$;

- $\mathbf{d}^{\nu'} = d^{\nu'}$.

On voit que $d$ est stable, resp. stable sur les elliptiques, si et seulement si $\mathbf{d}$ l'est. En oubliant cette construction, on peut fixer un caractère unitaire $\xi$ de $A_G(F)$ et supposer $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$. D'après le (ii) du lemme 6.4, il existe une unique $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)^0]_\xi$ telle que $\Delta_{\text{cusp}}(\pi) = d$. Alors, d'après 6.3 (1), $\Theta_\pi$ est stable sur les elliptiques. D'après [3, Th. 6.1], $\pi$ est stable. Soient $M \in \mathcal{L}_{\text{min}}$ et $P \in \mathcal{P}(M)$. Puisque $\pi$ est stable, il en est de même du module de Jacquet $\pi_P$. D'après 6.3 (1), $\Delta_{\pi_P, \text{cusp}}^M$ est stable sur les elliptiques. A fortiori, sa projection $\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M$ dans $\mathcal{D}_{\text{cusp}, G-\text{comp}}(M)$ est stable sur les elliptiques (cette projection consiste à restreindre le support à un sous-ensemble invariant par conjugaison stable). Supposons que $M$ est un Levi propre. On peut raisonner par récurrence et supposer notre proposition déjà démontrée pour $M$. Donc $\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M$ est stable. C'est-à-dire que $D^M(\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M)$ est une distribution stable sur $M(F)$. La stabilité se conserve par induction donc $D^G(\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M)$ est une distribution stable sur $G(F)$. La formule 6.3 (1) exprime alors $D^G[d]$ comme la différence entre $\Theta_\pi$ qui est stable et la somme sur les $M \neq G$ de distributions stables. Donc $D^G[d]$ est stable et $d$ l'est alors par définition. $\square$

### 8.4. TRANSFERT ET MODULE DE JACQUET.
Soit $G' = (G', G', s) \in \mathcal{E}(G)$. On a rappelé dans la preuve du théorème 7.11 l'existence d'une application

$$ (1) \qquad \underline{\mathcal{L}}_{\text{min},G-\text{rel}}^{G'} \to \underline{\mathcal{L}}_{\text{min}}^{G}. $$
Notons-la j. Rappelons quelques-unes de ses propriétés. Soit $M' \in \mathcal{L}_{\min,G\text{-rel}}^{G'}$, posons $M = j(M')$. Alors $M'$ se complète en une donnée endoscopique $M' = (M', \mathcal{M}', s^M)$ de $M$, qui est elliptique. On sait définir une correspondance entre classes de conjugaison stable dans $G'_{\text{reg}}(F)$ et dans $G_{\text{reg}}(F)$. On définit de même à l'aide de $M'$ une correspondance entre classes de conjugaison stable dans $M'_{\text{reg}}(F)$ et dans $M_{\text{reg}}(F)$. Appelons correspondance pour $G'$ la première et correspondance pour $M'$ la seconde.
On a :

(2) soient $x' \in M'(F)$ et $x \in M(F) \cap G_{\text{reg}}(F)$ ; supposons que $x$ et $x'$ se correspondent pour $M'$ ; alors ils se correspondent pour $G'$.

Signalons que la réciproque est fausse. Des données auxiliaires que l'on a fixées pour $G'$ se déduisent des données pour $M'$. En particulier $M'_1$ est l'image réciproque de $M'$ dans $G'_1$. On a fixé un facteur de transfert pour la donnée $G'$, notons-le plus précisément $\Delta_1^{G'}$. Il y a un unique facteur de transfert $\Delta_1^{M'}$ pour la donnée $M'$ de sorte que

(3) pour $x, x'$ comme en (2) et pour $x'_1 \in M'_1(F)$ au-dessus de $x'$, on ait $\Delta_1^{M'}(x'_1, x) = \Delta_1^{G'}(x'_1, x)$.

À l'aide de ce facteur de transfert, on définit comme en 7.9 l'application

$$ \text{transfert} : \mathbb{C}[\text{Irr}(M'_1)_{\lambda_1}]^{\text{st}} \to \mathbb{C}[\text{Irr}(M)]. $$

Puisque $M'$ est une donnée endoscopique elliptique de $M$, il y a un isomorphisme $A_{M'} \simeq A_M$. Pour un Levi $L$ de $G$ contenant $M$, on identifie $A_L \subset A_M$ à un sous-ensemble de $A_{M'}$ et on peut définir le commutant $Z_{G'}(A_L)$ de $A_L$ dans $G'$. C'est un Levi de $G'$ contenant $M'$. Notons $J(M')$ l'ensemble des Levi $L$ de $G$ contenant $M$ tels que $Z_{G'}(A_L) = M'$. Les racines de $A_{M'}$ dans $G'$ sont aussi des racines de $A_M$ dans $G$. La condition $Z_{G'}(A_L) = M'$ équivaut à ce que la restriction à $A_L$ de toute racine de $A_{M'}$ dans $G$ soit non nulle. Soit $L \in J(M')$ et soit $Q \in \mathcal{P}(L)$. À $Q$ est associée une chambre dans $\mathcal{A}_L$. L'hyperplan de $\mathcal{A}_M$ annulé par une racine de $A_M$ dans $G$ ne coupe cette chambre que si cette racine s'annule sur $\mathcal{A}_L$. Ainsi l'hyperplan associé à une racine de $A_{M'}$ dans $G'$ ne coupe pas cette chambre. Celle-ci est donc incluse dans la chambre de $\mathcal{A}_{M'}$ associée à un unique sous-groupe parabolique $P' \in \mathcal{P}(M')$, que l'on note $P'_Q$.

Soit $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Irr}(G')_{\lambda_1}]^{\text{st}}$, posons $\pi = \text{transfert}(\pi')$. Soient $M \in \mathcal{L}_{\min}$ et $P \in \mathcal{P}(M)$. Notons $\pi_P$ le module de Jacquet normalisé de $\pi$ relatif à $P$ et $\Theta_{\pi_P|\text{ell}}$ la restriction de $\Theta_{\pi_P}$ à $M_{\text{ell}}(F)$.

**PROPOSITION.** — *Sous ces hypothèses, on a les égalités*

$$ \Theta_{\pi_P} = \sum_{M' \in \mathcal{L}_{\min,G\text{-rel}}^{G'}} |W^{G'}(M')|^{-1} \sum_{\substack{w \in W^G / W^M \\ w(M) \in J(M')}} \text{Ind}_{w^{-1}(j(M'))}^{M} (w^{-1} \circ \text{transfert}(\Theta_{\pi'_{P'w(P)}})); $$

$$ \Theta_{\pi_P|\text{ell}} = \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min,G\text{-rel}}^{G'} \\ j(M')=M}} |W^{G'}(M')|^{-1} \sum_{w \in W^G(M)} w^{-1} \circ \text{transfert}(\Theta_{\pi'_{P'w(P)}}|_{\text{ell}}). $$
**Démonstration.** — La première égalité est une autre formulation de [14, Th. 5.6]. Déduisons-en la seconde. Considérons une représentation induite intervenant dans le membre de droite de la première. S'il s'agit d'une induite propre, la restriction de son caractère à $M_{\text{ell}}(F)$ est nulle. Ces induites disparaissent et la sommation en $w$ se limite aux $w$ tels que $w^{-1}(j(M')) = M$. Mais $M$ et $j(M')$ appartiennent tous deux à notre ensemble de représentants $\underline{\mathcal{L}}_{\text{min}}$ des classes de conjugaison de Levi. Ils sont conjugués si et seulement s'ils sont égaux. La somme en $w$ est donc vide si $j(M') \neq M$. Si $j(M') = M$, elle devient une somme sur les $w \in W^G/W^M$ tels que $w(M) = M$, c'est-à-dire $w \in W^G(M)$. Enfin, si $j(M') = M$ et $w \in W^G(M)$, puisque $M'$ est une donnée endoscopique elliptique de $M$, un élément de $M'(F)$ qui se transfère en un élément de $M_{\text{ell}}(F)$ appartient lui-même à $M'_{\text{ell}}(F)$. Autrement dit, on a dans ce cas $(w^{-1} \circ \text{transfert}(\Theta_{\pi'_{P'_w(P)}}))|_{\text{ell}} = w^{-1} \circ \text{transfert}(\Theta_{\pi'_{P'_w(P)}})|_{\text{ell}}$. On obtient alors la deuxième égalité de l'énoncé. $\square$

## 8.5. L'ESPACE $\mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ ET LE TRANSFERT

**PROPOSITION.** — On suppose (Hyp)$_{\text{endo}}(G)$ satisfaite. Soient $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)$ et, pour tout $\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)$, soit $d^{\mathbf{G}'}$ $\in \mathcal{D}_{\text{cusp},\lambda_1}(G'_1)^{\text{st}}$. Supposons que $D^G[d]$ coïncide avec $\sum_{\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)} \text{transfert}(D^{G'_1}[d^{\mathbf{G}'}])$ sur $M_{\text{ell}}(F)$. Alors

$$D^G[d] = \sum_{\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)} \text{transfert}(D^{G'_1}[d^{\mathbf{G}'}]).$$

**Démonstration.** — Soit $\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)$. Des injections naturelles $Z(\hat{G}) \to Z(\hat{G}') \to Z(\hat{G}'_1)$ se déduisent des homomorphismes

$$(1) \qquad \mathcal{N}^{G'_1} \to \mathcal{N}^{G'} \to \mathcal{N}.$$

Pour $\nu \in \mathcal{N}$, on définit la composante $d^\nu$ de $d$ comme dans le paragraphe précédent. On définit $d^{G',\nu}$ comme le produit des composantes $d^{G',\nu'}$ sur les $\nu' \in \mathcal{N}^{G'_1}$ qui s'envoient sur $\nu$ par la suite ci-dessus. La famille $((d^{G'})_{G' \in \mathcal{E}(G)}, d)$ satisfait à l'hypothèse ou la conclusion de la proposition si et seulement si chaque famille $((d^{G',\nu})_{G' \in \mathcal{E}(G)}, d^\nu)$ les satisfait. On peut donc fixer $\nu \in \mathcal{N}$ et supposer $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp}}(G)^\nu$. Notons $\mathcal{X}$ l'ensemble des restrictions à $A_G(F)_c$ de caractères modérément ramifiés de $A_G(F)$. Pour $\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)$, cet ensemble s'identifie à celui des restrictions à $A_{G'_1}(F)_c$ de caractères modérément ramifiés de $A_{G'_1}(F)$ qui coïncident avec $\lambda_1$ sur $A_{G'_1}(F) \cap C_1(F)$ : à $\xi \in \mathcal{X}$, on associe d'abord l'image réciproque de $\xi$ par la surjection $A_{G'_1}(F)_c \to A_G(F)_c$, puis le produit $\xi^{\mathbf{G}'}$ de ce caractère par la restriction de $\zeta_1$ à $A_{G'_1}(F)_c$. Ainsi, comme dans le paragraphe 8.3, on associe à $d$, resp. $d^{\mathbf{G}'}$, des composantes $d_\xi$, resp. $d_{\xi^{\mathbf{G}'}}$, pour $\xi \in \mathcal{X}$. La famille $((d^{\mathbf{G}'})_{\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)}, d)$ satisfait à l'hypothèse ou la conclusion de la proposition si et seulement si chaque famille $((d_{\xi^{\mathbf{G}'}})_{\mathbf{G}' \in \mathcal{E}(G)}, d_\xi)$ y satisfait. On peut fixer $\xi \in \mathcal{X}$ et supposer que $d = d_\xi$ et $d^{\mathbf{G}'} = d_{\xi^{\mathbf{G}'}}^{\mathbf{G}'}$ pour tout $\mathbf{G}'$. Prolongeons $\xi$ en un caractère unitaire de $A_G(F)$, qui s'identifie comme ci-dessus pour tout $\mathbf{G}'$ à un caractère $\xi^{\mathbf{G}'}$ de $A_{G'_1}(F)$ dont la restriction à $A_{G'_1}(F) \cap C_1(F)$ coïncide avec la restriction de $\lambda_1$. On construit un élément $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ comme en 8.3 et de façon similaire
des éléments $d^{G'} \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\lambda_1,\xi G'}(G'_1)$. La famille $((d^{G'})_{G' \in \mathcal{E}(G)}, d)$ satisfait à l'hypothèse ou la conclusion de la proposition si et seulement si la famille $((d^{G'})_{G' \in \mathcal{E}(G)}, d)$ y satisfait. En résumé, on peut fixer un caractère unitaire $\xi$ de $A_G(F)$, qui détermine pour tout $G'$ un tel caractère $\xi G'$ de $A_{G'_1}(F)$, et supposer $d \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ et $d^{G'} \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\lambda_1,\xi G'}(G'_1)$ pour tout $G'$.

À ce point, on peut simplifier le problème en se ramenant au cas où une unique donnée $G'$ intervient. Pour cela, on introduit la représentation $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}^0]$ telle que $\Delta_{\pi,\text{cusp}} = d$. On utilise la décomposition (1) de 7.2 et on écrit conformément $\pi = \sum_{G' \in \mathcal{E}(G)} \pi_{G'}$. On sait que $\pi_{G'}$ satisfait aux les mêmes propriétés que $\pi$ d'après la proposition 7.2. On note $d_{G'} = \Delta_{\text{cusp}}(\pi_{G'})$. On a $d = \sum_{G'} d_{G'}$. On voit que si $((d^{G'})_{G' \in \mathcal{E}(G)}, d)$ satisfait à l'hypothèse de l'énoncé, alors, pour tout $G' \in \mathcal{E}(G)$, $D^G[d_{G'}]$ coïncide sur $G_{\text{ell}}(F)$ avec transfert$(D^{G'}_1[d^{G'}])$. Inversement, si $D^G[d_{G'}] = \text{transfert}(D^{G'}_1[d^{G'}])$ pour tout $G'$, la conclusion de l'énoncé est satisfaite. Cela nous ramène au cas où la famille $(d^{G'})_{G' \in \mathcal{E}(G)}$ a au plus une composante non nulle. On note désormais $G'$ l'indice de cette composante et on note $(d', d) \in \mathcal{D}_{\text{cusp},\lambda_1;\xi'}(G'_1)^{\text{st}} \times \mathcal{D}_{\text{cusp},\xi}(G)$ le couple auquel se réduisent les données de départ.

On introduit la représentation $\pi \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G)_{\xi}^0]$ telle que $\Delta_{\pi,\text{cusp}} = d$ et la représentation $\pi' \in \mathbb{C}[\text{Ell}(G'_1)_{\lambda_1,\xi'}^{0}]^{\text{st}}$ telle que $\Delta_{\pi',\text{cusp}}^{G'_1} = d'$. Alors, d'après 6.3 (1), $\Theta_{\pi}$ coïncide avec $\Theta_{\text{transfert}(\pi')}$ sur les elliptiques. D'après [3, Th. 6.2], $\pi = \text{transfert}(\pi')$. Soient $M \in \mathcal{L}_{\min}$ et $P \in \mathcal{P}(M)$. D'après 6.3 (1) appliqué en remplaçant $G$ par $M$, la deuxième égalité de la proposition 8.4 nous dit que $D^M[\Delta_{\pi_P,\text{cusp}}^M]$ coïncide sur $M_{\text{ell}}(F)$ avec

$$ (3) \quad \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'} \\ j(M') = M}} |W^{G'}(M')|^{-1} \sum_{w \in W^G(M)} w^{-1} \circ \text{transfert}(D^{M'_1}[\Delta_{\pi'_{P', w(P)}}^{M'_1}, \text{cusp}]). $$

Remarquons que, pour $M'$ et $w$ intervenant ci-dessus, on peut transformer la donnée endoscopique $M'$ de $M$ en une donnée $w^{-1}(M')$. Le terme que l'on somme peut se récrire transfert$(D^{w^{-1}(M'_1)}[d^{w^{-1}(M'_1)}])$ pour un élément convenable $d^{w^{-1}(M'_1)} \in \mathcal{D}_{\text{cusp},w^{-1}(\lambda_1)}(w^{-1}(M'_1))$. C'est-à-dire que la somme (3) est de la même forme que celle qui intervient dans l'énoncé de la proposition. Supposons $M \neq G$. En raisonnant par récurrence, on suppose notre proposition prouvée pour $M$. Alors $D^M[\Delta_{\pi_P,\text{cusp}}^M]$ est égal à (3). Pour un couple $(x'_1, x) \in G'_{1,\text{reg}}(F) \times G_{\text{reg}}(F)$ d'éléments qui se correspondent, $x$ est compact mod $Z(G)$ si et seulement si $x'_1$ est compact mod $Z(G'_1)$ : cela parce que $Z(G)(F)$ est un sous-groupe cocompact de $Z(G')(F)$. Restreindre $D^M[\Delta_{\pi_P,\text{cusp}}^M]$ à $M(F) \cap G_{\text{comp}}(F)$ équivaut à restreindre chaque terme de (3) indexé par $M'$ à $M'_1(F) \cap G'_{1,\text{comp}}(F)$. Après restriction à $M(F) \cap G_{\text{comp}}(F)$, on sait que le terme $\Delta_{\pi_P,\text{cusp}}^M$ ne dépend plus de $P$. Il en est de même des termes intervenant dans (3). On obtient que $D^M[\Delta_{\pi_M,\text{cusp},G-\text{comp}}^M]$ est égal à

$$ \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'} \\ j(M') = M}} |W^{G'}(M')|^{-1} \sum_{w \in W^G(M)} w^{-1} \circ \text{transfert}(D^{M'_1}[\Delta_{\pi'_{M'}, \text{cusp}, G'_1-\text{comp}}^{M'_1}]). $$
Induisons à G. Évidemment, l'induction est insensible à la torsion par un élément de $W^G$. Les w disparaissent de la formule et la somme en w est remplacée par la multiplication par $|W^G(M)|$. D'autre part, l'induction commute au transfert. On obtient

$$ (4) \quad D^G[\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M] = \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'} \\ j(M') = M}} |W^{G'}(M')|^{-1} |W^G(M)| \text{transfert}(D_{\pi_{M'}, \text{cusp}, G_1'-\text{comp}}^{M_1}). $$

On utilise l'égalité 6.3 (2) qui peut se récrire

$$ D^G[d] = \Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)} - \sum_{\substack{M \in \mathcal{L}_{\min} \\ M \neq G}} |W^G(M)|^{-1} D^G[\Delta_{\pi_M, \text{cusp}, G-\text{comp}}^M], $$

où $\Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)}$ est la restriction de $\Theta_{\pi}$ à $G_{\text{comp}}(F)$. En utilisant (4), on obtient

$$ \begin{aligned} D^G[d] &= \Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)} - \sum_{\substack{M \in \mathcal{L}_{\min} \\ M \neq G}} \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'} \\ j(M') = M}} |W^{G'}(M')|^{-1} \text{transfert}(D_{\pi_{M'}, \text{cusp}, G_1'-\text{comp}}^{M_1}) \\ &= \Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)} - \sum_{\substack{M' \in \mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'} \\ M' \neq G'}} |W^{G'}(M')|^{-1} \text{transfert}(D_{\pi_{M'}, \text{cusp}, G_1'-\text{comp}}^{M_1}). \end{aligned} $$

On peut remplacer l'ensemble de sommation $\mathcal{L}_{\min, G-\text{rel}}^{G'}$ par $\mathcal{L}_{\min}^{G'}$ : pour un Levi non relevant, le terme que l'on somme est nul. En utilisant de nouveau 6.3 (2) cette fois dans $G_1'$, on obtient

$$ D^G[d] = \Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)} + \text{transfert}(D_{\pi_1|G_{\text{comp}}(F)}^{G_1}[d'] - \Theta_{\pi'|G_{1, \text{comp}}(F)}). $$

On a déjà dit que, grâce à Arthur, on avait $\pi = \text{transfert}(\pi')$ donc les termes $\Theta_{\pi|G_{\text{comp}}(F)}$ et transfert($\Theta_{\pi'|G_{1, \text{comp}}(F)}$) disparaissent. D'où

$$ D^G[d] = \text{transfert}(D_{\pi_1|G_{\text{comp}}(F)}^{G_1}[d]), $$

ce qu'il fallait démontrer.

□

## RÉFÉRENCES

[1] J. ARTHUR – « The local behaviour of weighted orbital integrals », Duke Math. J. 56 (1988), no. 2, p. 223–293.

[2] ———, « On elliptic tempered characters », Acta Math. 171 (1993), no. 1, p. 73–138.

[3] ———, « On local character relations », Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), no. 4, p. 501–579.

[4] A.-M. AUBERT – « Séries de Harish-Chandra de modules et correspondance de Howe modulaire », J. Algebra 165 (1994), no. 3, p. 576–601.

[5] J. N. BERNSTEIN – « Le “centre” de Bernstein », in Representations of reductive groups over a local field (J. N. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan & M.-F. Vignéras, éds.), Travaux en Cours, Hermann, Paris, 1984, rédigé par P. Deligne, p. 1–32.

[6] F. BRUHAT & J. TITS – « Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 41 (1972), p. 5–251.

[7] W. CASSELMAN – « Characters and Jacquet modules », Math. Ann. 230 (1977), no. 2, p. 101–105.
[8] S. DeBacker – « Homogeneity results for invariant distributions of a reductive *p*-adic group », *Ann. Sci. École Norm. Sup.* **(4)** 35 (2002), no. 3, p. 391–422.

[9] S. DeBacker & M. Reeder – « Depth-zero supercuspidal *L*-packets and their stability », *Ann. of Math.* **(2)** 169 (2009), no. 3, p. 795–901.

[10] A. Ferrari – « Théorème de l'indice et formule des traces », *Manuscripta Math.* **124** (2007), no. 3, p. 363–390.

[11] T. Haines & M. Rapoport – « On parahoric subgroups », appendice à [28].

[12] Harish-Chandra – *Admissible invariant distributions on reductive $p$-adic groups*, University Lecture Series, vol. 16, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, rédigé par S. DeBacker et P. Sally.

[13] G. Hennart & M.-F. Vignéras – « A Satake isomorphism for representations modulo $p$ of reductive groups over local fields », *J. reine angew. Math.* **701** (2015), p. 33–75.

[14] K. Hiraga – « On functoriality of Zelevinski involutions », *Compositio Math.* **140** (2004), no. 6, p. 1625–1656.

[15] D. Kazhdan – « Cuspidal geometry of $p$-adic groups », *J. Analyse Math.* **47** (1986), p. 1–36.

[16] D. Kazhdan & Y. Varshavsky – « Endoscopic decomposition of certain depth zero representations », in *Studies in Lie theory*, Progress in Math., vol. 243, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2006, p. 223–301.

[17] J.-L. Kim & F. Murnaghan – « Character expansions and unrefined minimal $K$-types », *Amer. J. Math.* **125** (2003), no. 6, p. 1199–1234.

[18] R. E. Kottwitz – « Isocrystals with additional structure. II », *Compositio Math.* **109** (1997), no. 3, p. 255–339.

[19] T. Lannard – « Sur les $\ell$-blocs de niveau zéro des groupes $p$-adiques », *Compositio Math.* **154** (2018), no. 7, p. 1473–1507.

[20] – – – « Sur les $\ell$-blocs de niveau zéro des groupes $p$-adiques II », 2018, arXiv:1806.09543.

[21] R. P. Langlands – « Stable conjugacy : definitions and lemmas », *Canad. J. Math.* **31** (1979), no. 4, p. 700–725.

[22] R. P. Langlands & D. Shelstad – « On the definition of transfer factors », *Math. Ann.* **278** (1987), no. 1-4, p. 219–271.

[23] G. Lusztig – « Classification of unipotent representations of simple $p$-adic groups », *Internat. Math. Res. Notices* (1995), no. 11, p. 517–589.

[24] C. Moecklin & J.-L. Waldsburger – *Stabilisation de la formule des traces tordue*, Progress in Math., vol. 316 & 317, Birkhäuser/Springer, Cham, 2016.

[25] A. Moy & G. Prasad – « Unrefined minimal $K$-types for $p$-adic groups », *Invent. Math.* **116** (1994), no. 1-3, p. 393–408.

[26] – – – « Jacquet functors and unrefined minimal $K$-types », *Comment. Math. Helv.* **71** (1996), no. 1, p. 98–121.

[27] M. Oi – « Depth preserving property of the local Langlands correspondence for quasi-split classical groups in a large residual characteristic », 2018, arXiv:1804.10901.

[28] G. Pappas & M. Rapoport – « Twisted loop groups and their affine flag varieties », *Adv. Math.* **219** (2008), no. 1, p. 118–198.

[29] G. Prasad – « Finite group actions on reductive groups and buildings and tamely-ramified descent in Bruhat-Tits theory », *Amer. J. Math.* **142** (2020), no. 4, p. 1239–1267.

[30] G. Prasad & J.-K. Yu – « On finite group actions on reductive groups and buildings », *Invent. Math.* **147** (2002), no. 3, p. 545–560.

[31] M. Solleveld – « On unipotent representations of ramified $p$-adic groups », 2019, arXiv:1912.08451.

[32] J. Tits – « Reductive groups over local fields », in *Automorphic forms, representations and $L$-functions (Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1*, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXXIII, American Mathematical Society, Providence, RI, 1979, p. 29–69.

[33] J.-L. Waldsburger – *L'endoscopie tordue n'est pas si tordue*, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 194 no. 908, American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.

[34] – – – « Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad », *Compositio Math.* **146** (2010), no. 5, p. 1180–1290.
[35] ————, « Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad, 2e partie : extension aux représentations tempérées », in *Sur les conjectures de Gross et Prasad. I*, Astérisque, vol. 346, Société Mathématique de France, Paris, 2012, p. 171–312.

[36] ————, « Caractères de représentations de niveau 0 », *Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6)* **27** (2018), no. 5, p. 925–984.

Manuscrit reçu le 25 juin 2019
accepté le 12 janvier 2021

JEAN-LOUP WALDSPURGER, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche
4 place Jussieu, Boîte courrier 247, 75252 Paris Cedex 05, France
E-mail : jean-loup.waldspurger@imj-prg.fr
Url : https://webusers.imj-prg.fr/~jean-loup.waldspurger/