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BLAISE PASCAL

MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUIS

Un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les
géométries de Hilbert

Volume 20, n° 2 (2013), p. 363-376.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert

MICKAËL CRAMPON
LUDOVIC MARQUIS

## Résumé

On montre un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert. Plus précisément, en toute dimension $n$, il existe une constante $\varepsilon_n > 0$ telle que, pour tout ouvert proprement convexe $\Omega$, pour tout point $x \in \Omega$, tout groupe discret engendré par un nombre fini d'automorphismes de $\Omega$ qui déplacent le point $x$ de moins de $\varepsilon_n$ est virtuellement nilpotent.

## *A Kazhdan-Margulis-Zassenhaus lemma for Hilbert geometry*

### Abstract

We prove a Kazhdan-Margulis-Zassenhaus lemma for Hilbert geometries. More precisely, in every dimension $n$ there exists a constant $\varepsilon_n > 0$ such that, for any properly convex open set $\Omega$ and any point $x \in \Omega$, any discrete group generated by a finite number of automorphisms of $\Omega$, which displace $x$ at a distance less than $\varepsilon_n$, is virtually nilpotent.

## Introduction

Beaucoup d'attention a été portée jusqu'ici aux quotients compacts des géométries de Hilbert, plus connus sous le nom de *convexes divisibles*. Suite aux premiers travaux de Victor Kac et Èrnest Vinberg [27], Jacques Vey [38] et Jean-Paul Benzécri [8], on peut citer entre autres ceux de William Goldman [22], Suhyoung Choi [12, 13, 15], Choi-Goldman [17, 18], et plus récemment d'Yves Benoist [2, 3, 4, 5, 6, 7] et Misha Kapovich [28].

<footnote>Les auteurs remercient le rapporteur anonyme pour sa relecture efficace du texte et ses commentaires.</footnote>

<footnote>*Mots-clés*: Géométrie de Hilbert, lemme de Margulis, action géométriquement finie.</footnote>

<footnote>*Classification math.* : 22E40, 22F50, 57M99.</footnote>
En revanche, l'étude géométrique des quotients non compacts n'a été en-
core que peu abordée, si ce n'est dans les contributions récentes du second
auteur et de Choï. Dans [34] et [32], ce sont les surfaces de volume fini
qui sont à l'honneur ; dans [33], des exemples de quotients de volume fini
sont construits en toute dimension, suivant une idée de [26] ; dans [16],
Choï se donne une variété différentielle et étudie ses possibles structures
projectives convexes. Dans l'article [21] qui suivra celui-ci, nous introdui-
rons et décrirons la notion de finitude géométrique pour les quotients de
certaines géométries de Hilbert. Ainsi, notre point de vue sera opposé à
celui de Choï : nous partirons d'une géométrie de Hilbert (Ω, dΩ) donnée
et il s'agira de comprendre la géométrie de ses éventuels quotients.
En fait, l'article présent ne devait être qu'une partie du suivant, mais nous
avons décidé de l'écrire à part, d'abord pour l'intérêt intrinsèque de son
résultat mais aussi pour raccourcir l'autre (ou l'inverse).

L'étude des géométries de Hilbert tire nombre de ses inspirations de la
géométrie riemannienne hyperbolique ou de courbure négative. Le lemme
de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus est un résultat essentiel dans la compré-
hension des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle. Le but
de cet article est de montrer un tel lemme pour les géométries de Hilbert :

**Théorème A.** *En toute dimension $n$, il existe une constante $\varepsilon_n > 0$ et un entier $m_n$ tels que, pour tout ouvert proprement convexe $\Omega$, pour tout sous-groupe discret $\Gamma$ de $Aut(\Omega)$, pour tout point $x \in \Omega$, le groupe $\Gamma_{\varepsilon_n}$ engendré par l'ensemble $\{\gamma \in \Gamma, d_{\Omega}(x, \gamma \cdot x) \le \varepsilon_n\}$ est virtuellement nilpotent. De plus, on peut trouver un sous-groupe nilpotent de $\Gamma_{\varepsilon_n}$ d'indice inférieur ou égal à $m_n$.*

Le lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les espaces symétriques
a été démontré par David Kazhdan et Gregory Margulis dans [29] en uti-
lisant un résultat de Hans Julius Zassenhaus publié dans [39], que nous
utiliserons sous la forme du lemme 3.1. Il a été montré pour les espaces de
Hadamard par Margulis ; on pourra trouver dans [31] quelques remarques,
Margulis n'ayant pas publié de preuve complète. La page 150 du livre [24]
de Misha Gromov fournit un bref rappel historique de ce lemme.

Les lecteurs intéressés par une preuve complète peuvent consulter [36]
pour les espaces symétriques et [1] pour les variétés de Hadamard.
# UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

Suhyoung Choï [14] avait obtenu un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert divisibles en dimension 2 et notre démonstration du théorème A s'inspire d'une de ses idées. Une démonstration indépendante, bien qu'assez proche de la nôtre, du théorème A apparaît également dans un travail récent de Daryl Cooper, Darren Long, et Stephan Tillmann [20] sur les variétés projectives convexes non compactes.

Pour terminer cette introduction, disons brièvement comment nous utiliserons ce résultat dans [21]. Soient $\Omega$ un ouvert proprement convexe de $\mathbb{P}^n$, $\Gamma$ un sous-groupe discret de Aut($\Omega$) et $M = \Omega/\Gamma$ le quotient correspondant.

Fixons un réel $\varepsilon > 0$ pour lequel le théorème A s'applique. On note :

- pour $x \in \Omega$, $\Gamma_\varepsilon(x)$ le groupe engendré par les éléments $\gamma \in \Gamma$ tels que $d_\Omega(x, \gamma \cdot x) < \varepsilon$;

- $\Omega_\varepsilon = \{x \in \Omega \mid \Gamma_\varepsilon(x) \text{ est infini}\}$;

- $M_\varepsilon = \Omega_\varepsilon/\Gamma$ la projection de cet ensemble sur $M = \Omega/\Gamma$.

La partie $M_\varepsilon$ est la partie fine de $M$. Dans le cas où $M$ est une variété, autrement dit quand $\Gamma$ est sans torsion, c'est l'ouvert des points de $M$ dont le rayon d'injectivité est strictement inférieur à $\varepsilon/2$. Son complémentaire $M^\varepsilon$ est la partie épaisse de $M$.

Le théorème A permet de voir que le groupe fondamental de toute composante connexe de $M_\varepsilon$ est virtuellement nilpotent. Or, dans le cas où $\Omega$ est strictement convexe et à bord $C^1$, il n'est pas très difficile de classifier les sous-groupes discrets nilpotents de Aut($\Omega$). Ce sont les premiers pas pour décrire la topologie et la géométrie de la partie fine.

## 1. Géométrie de Hilbert

Cette partie constitue une introduction très rapide à la géométrie de Hilbert. Pour une introduction beaucoup plus complète, on pourra lire [37] ou le livre [11].

Une carte affine A de l'espace projectif réel $\mathbb{P}^n(\mathbb{R}) = \mathbb{P}^n$ est le complémentaire d'un hyperplan projectif. Une carte affine possède une structure naturelle d'espace affine. Un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{P}^n$ différent de $\mathbb{P}^n$ est convexe lorsqu'il est inclus dans une carte affine et qu'il est convexe dans cette carte. Un ouvert convexe $\Omega$ de $\mathbb{P}^n$ est dit proprement convexe lorsqu'il
existe une carte affine contenant son adhérence $\bar{\Omega}$. Autrement dit, un ouvert convexe est proprement convexe lorsqu'il ne contient pas de droite affine.

Sur un ouvert proprement convexe $\Omega$ de $\mathbb{P}^n$, la distance de Hilbert est définie de la façon suivante. Soient $x, y$ deux points distincts de $\Omega$; on note $a, b$ les points d'intersection de la droite $(xy)$ et du bord $\partial\Omega$ de $\Omega$ tels que $x$ soit entre $b$ et $y$ et $y$ entre $x$ et $a$ (voir figure 1.1). La distance entre $x$ et $y$ est définie par la formule

$$d_{\Omega}(x, y) = \frac{1}{2} \ln[a : b : x : y],$$

où $[a : b : x : y] = \frac{\|a - x\| \cdot \|b - y\|}{\|a - y\| \cdot \|b - x\|}$ désigne le birapport des points $a, b, x, y$; $\| \cdot \|$ est une norme euclidienne quelconque sur une carte affine qui contient l'adhérence $\bar{\Omega}$ de $\Omega$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1.1. La distance de Hilbert</figcaption></figure>

Il est clair que $d_{\Omega}$ ne dépend ni du choix de la carte, ni du choix de la norme euclidienne sur cette carte.

L'espace $(\Omega, d_{\Omega})$ ainsi construit est un espace métrique complet dont la topologie coïncide avec celle induite par $\mathbb{P}^n$. Le groupe Aut$(\Omega)$ des
UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

transformations projectives de $\text{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$ qui préservent $\Omega$ est un sous-groupe fermé de $\text{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$ qui agit par isométrie sur $(\Omega, d_{\Omega})$ ; il agit donc proprement sur $\Omega$.

*Remarque 1.1.* Le groupe *Isom*(Ω, dΩ) des isométries de l'espace métrique (Ω, dΩ) n'est pas à priori réduit à *Aut*(Ω). C'est toutefois le cas si le convexe Ω est strictement convexe, ou un polytope, en écartant le cas du simplexe pour lequel *Aut*(Ω) est d'indice 2 dans le groupe *Isom*(Ω, dΩ) (voir [25] et [30]). Dans d'autres cas bien particuliers, qui correspondent aux convexes homogènes, auto-duaux et non strictement convexes, le groupe *Aut*(Ω) est aussi d'indice 2 dans le groupe *Isom*(Ω, dΩ) (voir [9]). On pense qu'en général *Aut*(Ω) est d'indice au plus 2 dans *Isom*(Ω, dΩ).

Le théorème A concerne le groupe Aut(Ω). Notre méthode utilise le groupe SL<sub>n+1</sub>(ℝ) et son action sur l'espace projectif ℙ<sup>n</sup>, et elle ne s'applique pas au groupe Isom(Ω, d<sub>Ω</sub>). Le théorème A reste toutefois vrai, comme conséquence d'un travail bien plus général d'Emmanuel Breuillard, Ben Green et Terence Tao [10]. Ils montrent en effet que le lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus est vrai dans tout espace métrique qui sa-tisfait la propriété suivante : il existe K ∈ N tel que toute boule de rayon 4 est recouverte par au plus K boules de rayon 1. Voyons que les géométries de Hilbert ont cette propriété. Pour tout R > 0, il existe des constantes 0 < v(R) < V(R) telles que le volume de toute boule de rayon R d'une quelconque géométrie de Hilbert est compris entre v(R) et V(R) (c'est une conséquence du théorème de Benzécri 2.1 ; un résultat plus précis a été montré dans [19]). Si B est une boule de rayon 4, le cardinal d'une partie {x<sub>i</sub>} 1/2-séparée maximale de B est alors majoré par un certain K (indépendant du convexe et de la boule choisie), puisque les boules de rayon 1/4 centrées en les x<sub>i</sub> sont disjointes. Par maximalité, les boules de rayon 1 centrées en les x<sub>i</sub> recouvrent B.

L'intérêt du travail présenté ici est bien de donner une preuve plus élémentaire que celle de [10] pour le groupe Aut(Ω).

2. Le théorème de Benzécri

Pour montrer le théorème A, nous aurons besoin d'un résultat de Benzécri ainsi que de certains lemmes intermédiaires de sa démonstration, que nous rappelons ici. Toutes les démonstrations de ces résultats se trouvent
dans les notes de cours de Goldman [23].

On définit l'espace $\mathcal{E}$ des convexes marqués comme l'ensemble
$\mathcal{E} = \{(\Omega, x) \mid \Omega \text{ est un ouvert proprement convexe de } \mathbb{P}^n \text{ et } x \in \Omega\}$,
muni de la topologie de Hausdorff héritée de la distance canonique sur $\mathbb{P}^n$.

**Théorème 2.1** (Benzécri [8]). *L'action de SL$_{n+1}$(R) sur E est propre et cocompacte.*

Un bon exemple d'ouvert proprement convexe est le suivant. Soit

$$
q(x) = x_1^2 + \dots + x_n^2 - x_{n+1}^2
$$

une forme quadratique de signature (n, 1) sur $\mathbb{R}^{n+1}$. L'ensemble $\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid q(x) < 0\}$ est un cône ouvert convexe de $\mathbb{R}^{n+1}$ et la projection de $\mathcal{C}$ sur $\mathbb{P}^n$ sera noté $\mathcal{E}_0$. Un *ellipsoïde* de $\mathbb{P}^n$ est l'image de $\mathcal{E}_0$ par un élément de $\text{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$.

La proposition suivante définit la notion d'ellipsoïde d'inertie d'un con-
vexe borné d'un espace affine (si l'énoncé nécessite une métrique eucli-
dienne "accessoire", l'ellipsoïde d'inertie ne dépend pas de cette métrique).

**Proposition 2.2.** *Soit Ω un convexe borné de l'espace Rⁿ euclidien, de centre de gravité O. Alors il existe un unique ellipsoïde E, appelé ellipsoïde d'inertie de Ω, tel que, pour toute application affine ψ : Rⁿ → R telle que ψ(O) = 0, les moments d'inertie de Ω et E par rapport à O de l'application affine ψ sont égaux, c'est à dire que l'on a l'égalité suivante :*

$$
\int_{\Omega} \psi^2(x) \, dx = \int_{\mathcal{E}} \psi^2(x) \, dx.
$$

Cette proposition est très classique en mécanique du solide. Le lecteur
intéressé pourra trouver une démonstration, des références, et une des-
cription beaucoup plus complète de l'ellipsoïde d'inertie dans [35]. Nous
nous contenterons d'utiliser l'existence d'un tel ellipsoïde et la proposition
2.4 ci-dessous, que l'on trouve dans [23]. Les deux propositions qui suivent
peuvent être vues comme les étapes principales qui mènent au théorème
de Benzécri.

**Proposition 2.3** ([23]). *Soit $(\Omega, x) \in \mathcal{E}$. Il existe une unique carte affine de $\mathbb{P}^n$ dans laquelle l'ouvert $\Omega$ est borné et le point $x$ est le centre de gravité de $\Omega$.*
UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

**Proposition 2.4 ([23]).** Pour $n \ge 1$, il existe des constantes $R_n > r_n > 0$ telles que, pour tout ouvert convexe borné $\Omega$ de l'espace $\mathbb{R}^n$ euclidien dont le centre de gravité est l'origine $O$ et l'ellipsoïde d'inertie la boule unité, on ait

$B_{r_n}(O) \subset \Omega \subset B_{R_n}(O)$,
où $B_r(O)$ représente la boule de centre $O$ et de rayon $r \ge 0$.

**Définition 2.5.** La carte affine définie par l'hyperplan $\{x_{n+1} = 1\}$ est appelée la *carte standard* de $\mathbb{P}^n$. On munit cette carte du produit scalaire euclidien canonique. On note $O$ le point de coordonnée $[0:0:\cdots:1]$ que l'on choisit comme origine de cette carte.

On dira qu'un couple $(\Omega, x)$ est *standard* lorsque :

(1) le convexe $\Omega$ est borné dans la carte standard de $\mathbb{P}^n$;

(2) le point $x$ est le centre de gravité de $\Omega$ dans la carte standard;

(3) le point $x$ est l'origine $O$ de la carte standard;

(4) l'ellipsoïde d'inertie de $\Omega$ est la boule unité centrée en $x$ dans la carte standard.

On note $\mathcal{E}_s$ l'ensemble des couples standards de $\mathcal{E}$.

**Remarque 2.6.** On remarquera que si $(\Omega, x)$ est un couple standard et si l'élément $\gamma \in \text{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$ est un automorphisme $\Omega$ qui fixe $x$, alors $\gamma$ préserve l'ellipsoïde d'inertie de $\Omega$, c'est-à-dire la boule unité de la carte standard. Par conséquent, les stabilisateurs $\text{Stab}_{\text{Aut}(\Omega)}(x)$ de $x$ dans $\text{Aut}(\Omega)$, pour $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$, sont *tous* inclus dans le groupe $\text{SO}_n(\mathbb{R})$.

**Proposition 2.7.** *L'ensemble $\mathcal{E}_s$ est compact et pour tout couple $(\Omega, x) \in \mathcal{E}$, il existe un élément $g \in \text{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$ tel que $g \cdot (\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$.*

**Démonstration.** Une limite d'ensembles convexes pour la topologie de Hausdorff est encore un ensemble convexe. La proposition 2.4 montre que l'ensemble $\mathcal{E}_s$ s'identifie à un ensemble $H$ d'ouverts convexes coincés entre les boules $B_{r_n}(O)$ et $B_{R_n}(O)$. Par suite, toute partie de $\mathbb{P}^n$ adhérente à $H$ est convexe, proprement convexe et l'ensemble $\mathcal{E}_s$ est donc fermé et finalement compact. La proposition 2.3 montre la seconde partie de cette proposition. $\square$

**Remarque 2.8.** Le deuxième point de la proposition 2.7 montre qu'il suffit de prouver le théorème A pour tout couple standard et c'est ce que nous ferons.
### 3. Démonstration du théorème A

#### 3.1. Le lemme de Zassenhaus

Comme annoncé, nous allons avoir besoin du lemme de Zassenhaus.

**Lemme 3.1** (Zassenhaus [39] ou le théorème 8.16 de [36]). Soit $G$ un groupe de Lie. Il existe un voisinage de l'identité $U$ tel que tout groupe discret engendré par des éléments de $U$ est nilpotent.

#### 3.2. Trois lemmes techniques de théorie des groupes

**Lemme 3.2.** Soient $G$ un groupe de Lie, $K$ un sous-groupe compact de $G$ et $m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Pour tout voisinage ouvert relativement compact $V$ de $K$, il existe un voisinage ouvert relativement compact $W$ de $K$ tel que :

$$ (1) \quad W = W^{-1}; $$

$$ (2) \quad W^m \subset V. $$

*Démonstration.* C'est une simple conséquence du fait que la multiplication est continue. $\square$

**Lemme 3.3.** Soient $G$ un groupe compact métrisable et $\mathcal{V}$ un voisinage ouvert de l'identité dans $G$. Il existe $m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ tel que tout sous-groupe fermé $K$ de $G$ est inclus dans la réunion de $m$ translatisés de $\mathcal{V}$ par des éléments de $K$.

*Démonstration.* Tout sous-groupe fermé $K$ de $G$ est compact et recouvert par $\bigcup_{k \in K} k \mathcal{V}$, puisque $\mathcal{V}$ contient l'identité ; tout sous-groupe fermé $K$ de $G$ est donc recouvert par un nombre fini de translatisés de $\mathcal{V}$ par des éléments de $K$.

Supposons maintenant, en raisonnant par l'absurde, qu'il existe une suite $(K_m)_{m \in \mathbb{N}}$ de sous-groupes fermés de $G$ telle que toute réunion de $m$ translatisés de $\mathcal{V}$ par des éléments de $K_m$ ne contienne pas tout $K_m$.

La distance de Hausdorff fait de l'ensemble des fermés de $G$ un espace compact, la topologie induite sur l'ensemble fermé des sous-groupes fermés de $G$ en fait un ensemble compact. On peut donc supposer que la suite $(K_m)_{m \in \mathbb{N}}$ converge pour cette topologie vers un sous-groupe fermé $K$ de $G$. Ce groupe $K$ n'est, par définition de la suite $(K_m)_{m \in \mathbb{N}}$, inclus dans aucune réunion finie de translatisés de $\mathcal{V}$ par des éléments de $K$. D'où une contradiction. $\square$
UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

Nous aurons besoin du lemme suivant pour "gérer l'indice fini".

**Lemme 3.4.** Soient $m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, $\Gamma$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $E$, de cardinal $|E| > m$, et $S$ un ensemble de générateurs de $\Gamma$, tel que si $g \in S$, alors $g^{-1} \in S$. Si $e$ est un élément de $E$, il existe des éléments $\gamma_1, \dots, \gamma_{m+1} \in S^m$ qui envoient $e$ sur $m+1$ points distincts de $E$.

*Démonstration.* On pose $S_*=S\cup\{1\}$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $N_n$ le cardinal de la partie $S_n^* \cdot e$ de l'orbite $\Gamma \cdot e = E$ ; l'énoncé revient à montrer que $N_m > m$. Or, la suite $(N_n)$ est strictement croissante jusqu'à un certain rang $i \in \mathbb{N}$ pour lequel elle devient stationnaire : pour $n \ge i$, $N_n = N_i$. Comme $\Gamma$ agit transitivement sur $E$, on a forcément $N_i = |E| > m$. Ainsi, si $i \le m$, alors $N_m > m$ ; sinon, le fait que $N_0 = 1$ et que $(N_n)$ est strictement croissante entre 0 et $m$ implique aussi $N_m > m$. $\square$

3.3. Lemmes clés de géométrie de Hilbert

On munit le groupe $SL_{n+1}(\mathbb{R})$ d'une distance $d_{SL}$ invariante à gauche
et propre, c'est-à-dire que les boules fermées sont compactes.

**Lemme 3.5.** *Pour tout* ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout couple standard (Ω, x) ∈ E_s et tout élément γ ∈ Aut(Ω), on ait

$$
d_{\Omega}(x, \gamma \cdot x) \le \varepsilon \implies d_{SL}(1, \gamma) \le \delta.
$$

*Démonstration.* On note $x(\Omega)$ le centre de gravité d'un convexe $\Omega$ borné dans la carte standard. Pour tout $\varepsilon > 0$, l'ensemble

$$
K = \{(\Omega, x) \in \mathcal{E} \mid \Omega \text{ borné dans la carte standard et } d_{\Omega}(x, x(\Omega)) \le \varepsilon\},
$$
est un voisinage compact de $\mathcal{E}_s$. Le théorème 2.1 affirme que l'action de $SL_{n+1}(\mathbb{R})$ sur $\mathcal{E}$ est propre. Par conséquent, l'ensemble des éléments de $SL_{n+1}(\mathbb{R})$ qui envoient un élément de $\mathcal{E}_s$ sur un élément de $K$ est compact, donc borné. $\square$

Si $x$ est un point d'un ouvert proprement convexe $\Omega$ de $\mathbb{P}^n$, on notera $\text{Stab}_\Omega(x)$ le stabilisateur de $x$ dans $\text{Aut}(\Omega)$.

**Lemme 3.6.** *Pour tout* ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout couple
standard (Ω, x) ∈ E_s, pour tout γ ∈ Aut(Ω), on ait

$$
d_{\Omega}(x, \gamma \cdot x) \le \delta \implies d_{SL}(\mathrm{Stab}_{\Omega}(x), \gamma) \le \varepsilon.
$$
Démonstration. On démontre ce lemme par l'absurde. Supposons qu'il existe une constante $\varepsilon_0 > 0$, une suite de couples standards $(\Omega_n, x_n) \in \mathcal{E}_s$ et une suite d'éléments $\gamma_n \in \mathrm{Aut}(\Omega_n)$ tels que

$$ - d_{\Omega_n}(x_n, \gamma_n \cdot x_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0; $$

$$ - d_{\mathrm{SL}}(\mathrm{Stab}_{\Omega_n}(x_n), \gamma_n) \geq \varepsilon_0. $$

L'espace $\mathcal{E}_s$ est compact. Le lemme 3.5 montre que la suite $(\gamma_n)_{n \in \mathbb{N}}$ reste dans un compact de $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$. On peut donc supposer que toutes ces suites convergent. Les limites, notées sans indice, vérifient les points suivants :

$$ - (\Omega, x) \in \mathcal{E}_s; $$

$$ - \gamma \in \mathrm{Aut}(\Omega); $$

$$ - \gamma \cdot x = x; $$

$$ - d_{\mathrm{SL}}(\mathrm{Stab}_{\Omega}(x), \gamma) \geq \varepsilon_0. $$

Les trois premiers points montrent que $\gamma \in \mathrm{Stab}_{\Omega}(x)$ et le dernier montre que c'est absurde. $\square$

## 3.4. Démonstration du théorème A

On peut maintenant donner une

Démonstration du théorème A. Le lemme 3.1 montre qu'il existe un voisinage ouvert $\mathcal{U}$ de l'identité dans $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$ tel que tout groupe discret engendré par des éléments de $\mathcal{U}$ est nilpotent.

Pour tout couple standard $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$, le stabilisateur $K$ de $x$ dans $\mathrm{Aut}(\Omega)$ est un groupe compact inclus dans le groupe compact $G = \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ (remarque 2.6). Le lemme 3.3 montre alors qu'il existe $m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ tel que $K$ est recouvert par $m$ translatés de $\mathcal{U}$ par $K$; de plus, $m$ peut être choisi indépendamment du couple standard $(\Omega, x)$.

On fixe maintenant un couple standard $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$ et on note $K$ le stabilisateur de $x$ dans $\mathrm{Aut}(\Omega)$. On note

$$ V = \bigcup_{i=1}^{m} k_i \mathcal{U} \qquad (3.1) $$

la réunion recouvrant $K$ des translatés de $\mathcal{U}$ par les éléments $k_1, \dots, k_m \in K$; $V$ est un voisinage ouvert relativement compact de $K$.

Pour $\eta > 0$, on note $W_{(\Omega,x,\eta)} = \{\gamma \in \mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{R}) \mid d_{\mathrm{SL}}(\mathrm{Stab}_{\Omega}(x), \gamma) \leq \eta\}$ le voisinage compact de $K$ de taille $\eta$. Le lemme 3.2 montre que pour tout couple $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$, il existe un nombre $\eta_{(\Omega,x)} > 0$ tel que $W_{(\Omega,x,\eta_{(\Omega,x)})}^m \subset V$.
UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

L'espace $\mathcal{E}_s$ est compact et un raisonnement par l'absurde montre que l'on
peut choisir $\eta_{(\Omega,x)}$ indépendamment du couple $(\Omega, x)$. Autrement dit, il
existe un $\eta > 0$ tel que $W_{(\Omega,x,\eta)}^m \subset V$ pour tout couple standard $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$.
Par la suite, on abrègera la notation en $W = W_{(\Omega,x,\eta)}$.

Le lemme 3.6 montre qu’il existe $\varepsilon_n > 0$ tel que, pour tout couple $(\Omega, x) \in \mathcal{E}_s$, l’ensemble $F_{\varepsilon_n}(x) = \{\gamma \in \operatorname{Aut}(\Omega) \mid d_{\Omega}(x, \gamma \cdot x) \le \varepsilon_n\}$ est inclus dans $W$. On va montrer qu’un groupe discret $\Gamma$ engendré par des éléments de $F_{\varepsilon_n}(x)$ est virtuellement nilpotent.

Le lemme 3.1 montre que le groupe $\Lambda$ engendré par $\Gamma \cap \mathcal{U}$ est nilpotent.
On va voir que $\Lambda$ est d’indice fini dans $\Gamma$ inférieur à $m$.

Le groupe $\Gamma$ agit transitivement sur l'ensemble $E = \Gamma/\Lambda$. Supposons que cet ensemble contienne strictement plus de $m$ éléments. Le lemme 3.4 montre qu'il existe des éléments $\gamma_1, \dots, \gamma_{m+1} \in \Gamma$, produits d'au plus $m$ éléments de $F_{\varepsilon_n}(x)$, qui envoient $\Lambda$ sur $m+1$ classes à gauche distinctes de $E$.

Comme $F_{\varepsilon_n}(x) \subset W$ et $W^m \subset V$, les éléments $\gamma_1, \dots, \gamma_{m+1}$ sont dans $V$. Or, le voisinage $V$ est recouvert par $m$ traduisés de $\mathcal{U}$ via des éléments de $K$ ; il existe donc deux éléments distincts parmi $\gamma_1, \dots, \gamma_{m+1}$ qui appartiennent à un même tradaté de $\mathcal{U}$ dans la réunion (3.1). On peut supposer que ce sont les éléments $\gamma_1$ et $\gamma_2$ qui sont dans $k_1\mathcal{U}$ ; ainsi, on peut écrire $\gamma_1 = k_1u_1$, $\gamma_2 = k_1u_2$ avec $u_1, u_2 \in \Gamma \cap \mathcal{U}$. Il vient que $\gamma_1^{-1}\gamma_2 = u_1^{-1}k_1^{-1}k_1u_2$ et donc $\gamma_1^{-1}\gamma_2 \in \Lambda$. On en déduit que les éléments $\gamma_1$ et $\gamma_2$ envoient $\Lambda$ sur la même classe à gauche de $E$, d'où une contradiction. $\square$

Références

[1] W. BALLMANN, M. GROMOV & V. SCHROEDER – *Manifolds of non-positive curvature*, Progress in Mathematics, vol. 61, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1985.

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UN LEMME DE MARGULIS POUR LES GÉOMÉTRIES DE HILBERT

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MICKAËL CRAMPON
Universidad de Santiago de Chile,
Departamento de Matemática y Ciencia
de la Computación,
Av. Las Sophoras 173 - Estación Central,
Santiago de Chile
Chile
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LUDOVIC MARQUIS
IRMAR
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