* les stratégies développées peuvent être rattachées à des savoirs mathématiques et informatiques (systèmes linéaires, backtracking, structure de pile...) dont la mobilisation nécessite la compréhension d'enjeux de cryptographie asymétrique.

## Jeux de recherche en algorithmique au lycée

Nous avons proposé (dans Meyer et Modeste, 2020, 2022) une famille de situations didactiques, basée sur des jeux asymétriques à deux joueurs relatifs aux concepts de complexité de problème et d'algorithme. La question générale est : étant donné un problème P, existe-t-il un algorithme permettant de résoudre P (pour toute instance), et si oui, peut-on trouver un algorithme optimal pour P (en temps, en mémoire...) ?

Nous avons décrit et expérimenté dans des classes de mathématiques et de NSI une telle situation didactique centrée sur un problème de recherche dans une liste triée : une joueuse (A) doit deviner un nombre dans un intervalle de N entiers, en posant des questions à son adversaire (E). (A) peut seulement proposer des nombres et (E) ne peut répondre que par « c'est moins », « c'est plus » ou « exact ». (E) peut ne pas définir à l'avance le nombre à deviner (ou peut en changer) mais les réponses qu'elle donne au fil de la partie doivent rester cohérentes entre elles. L'objectif de (A) est de déterminer le nombre cherché en posant le moins de questions possibles, celui de (E) est de forcer (A) à en poser le plus possible. La question est de déterminer combien de questions sont nécessaires (ou suffisantes) à (A) pour gagner à coup sûr.

La figure 3 donne deux exemples de stratégies pour (A) prenant en compte toutes les réponses possibles de (E). Une bonne stratégie pour (E) est de toujours donner la réponse qui laisse à (A) le plus grand intervalle à explorer. Ceci garantit que (A) ne peut pas gagner en moins de $log(N)$ questions. Une bonne stratégie pour (A) est la dichotomie, qui permet de gagner en au plus $log(N)$ questions.

Ce type de situations, adaptable à d'autres problèmes, est caractérisé par son asymétrie. La joueuse (A) cherche à résoudre un problème, autrement dit elle joue le rôle d'un algorithme. (E) joue le rôle d'environnement d'exécution. Estimer le nombre de tours de jeu suffisant à (A) pour gagner quelles que soient les réponses de (E) apporte une majoration de la complexité de l'algorithme (et donc du problème). Réciproquement, estimer le nombre de tours que (E) peut imposer à (A) quelle que soit sa stratégie apporte une minoration. Dans certains cas (comme dans l'exemple présenté), on peut trouver un équilibre dans lequel ces deux estimations coïncident. On dit alors que l'algorithme représenté par la stratégie de (A) est optimal.

On voit que la dynamique du jeu, la négociation du nombre de tours par les deux joueuses, l'apparition d'un éventuel équilibre, et son identification sont porteuses des connaissances visées : algorithme vu comme une stratégie, complexité au mieux et au pire, optimalité éventuelle. La TSD s'est avérée très adaptée à l'analyse de cette situation, notamment en identifiant les connaissances à des stratégies et en permettant une analyse fine des variables didactiques.
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Stratégie optimale pour (A) Peu importe les réponses de (E), (A) minimise son nombre de questions</figcaption></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>**Figure 3** – Deux exemples de stratégies pour (A) : dans le premier cas, (A) ne joue pas optimalement, et (E) peut développer une stratégie « la pire pour (A) ». Dans le second cas, (A) joue optimalement, et (E) ne peut pas l'empêcher de gagner en 4 coups. Cet équilibre prouve qu'une stratégie optimale dans ce problème est la dichotomie. [Pour alléger le dessin, on a supposé que (E) ne répond « exact » que si elle n'a pas d'autre choix.]</figcaption></figure>

## CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Dans les ingénieries didactiques ci-dessus, la TSD nous a permis de concevoir et d'analyser finement des situations didactiques et adidactiques en informatique et à l'interface des mathématiques et de l'informatique. En particulier, les notions de variables didactiques, d'organisation du milieu, de situations d'action/formulation/validation se sont avérées très pertinentes. Nous notons en particulier que le point de vue de théorie des jeux, sous-jacent à la TSD (jeux à plusieurs joueurs, antagonisme, hiérarchie et optimalité des stratégies...) semble très adapté à la nature des savoirs mis en jeu. Nous en concluons qu'il faut poursuivre et approfondir l'exploration des apports de la TSD en didactique de l'informatique.

Les trois situations présentées relèvent de l'informatique débranchée (Drot-Delange, 2013, Lecocq Mage et al., 2024). La TSD s'est avérée très appropriée pour l'analyse ce type d'activité. Néanmoins, l'étude de situations didactiques « branchées » serait aussi à explorer, car les environnements de programmation offrent des milieux didactiques riches. La TSD est aussi un cadre idéal pour favoriser une forme de créativité dans la conception de situations originales, en explorant les problèmes de la discipline et en développant des analyses très structurées qui
permettent d'en exploiter le potentiel. Ainsi, l'interaction avec la recherche en informatique, comme c'est le cas dans les recherches présentées ici, nous semble essentielle.

## RÉFÉRENCES

Bartzia, E.-I., Lodi, M., Sbaraglia, M., Modeste, S., Durand-Guerrier, V., & Martini, S. (2024). An Unplugged Didactical Situation on Cryptography between Informatics and Mathematics. *Informatics in Education, 23*(1), 25-56. https://doi.org/10.15388/infedu.2024.06

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

Dowek, G. (2011). Les quatre concepts de l'informatique. In G.-L. Baron, É. Bruillard, & V. Komis (Éds.), *Sciences et technologies de l'information et de la communication en milieu éducatif: Analyse de pratiques et enjeux didactiques*. (p. 21-29). New Technologies Editions. https://edutice.archives-ouvertes.fr/edutice-00676169

Dowek, G. (2015). Les origines de l'informatique. *Cahiers philosophiques, 141*(2), 7-15. https://doi.org/10.3917/caph.141.0007

Drot-Delange, B. (2013). Enseigner l'informatique débranchée : Analyse didactique d'activités. *Actes du congrès de l'Actualité de la Recherche en Éducation et Formation (AREF – AECSE)*, Montpellier. https://archivesic.ccsd.cnrs.fr/sic_00955208

Duchêne, E., & Parreau, A. (2019). *La machine qui apprend à (bien) jouer toute seule*. https://projet.liris.cnrs.fr/lirismed/index.php?id=la-machine-qui-apprend-a-jouer-toute-seule

Esclafit, P., Modeste, S., & Saby, N. (2020). A Nim like game and a machine that plays it : A learning situation at the interface of mathematics and computer science. *Teaching Mathematics and Computer Science, 18*(4), Article 4. https://doi.org/10.5485/TMCS.2020.0481

Fellows, M.R., & Koblitz, N. (1994). Combinatorially based cryptography for children (and adults). *Congressus Numerantium, 99*, 9-41.

Lecocq Mage, J., Modeste, S., Beffara, E., Duchene, E., Parreau, A., & Rafalska, M. (2024). Vers une cartographie des Situations d'Informatique débranchée. In K. Mens & O. Goletti (Éds.), *Colloque Didapro 10 sur la Didactique de l'informatique et des STIC* (p. 99-107). https://hal.science/hal-04482116

Meyer, A., & Modeste, S. (2020). Analyse didactique d'un jeu de recherche : Vers une situation fondamentale pour la complexité d'algorithmes et de problèmes. In P.-A. Caron, C. Fluckiger, P. Marquet, Y. Peter, & Y. Secq (Éds.), *L'informatique, objets d'enseignements – enjeux épistémologiques, didactiques et de formation. Actes du colloque Didapro 8*. (p. 136-147). https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03014372

Meyer, A., & Modeste, S. (2022). Situation didactique autour d'un jeu de recherche : Expérimentation en classes de NSI. In C. Declercq, J. Lehuen, P. Leroux, V. Renault, & A. Sejourne (Éds.), *L'informatique, objets d'enseignement et d'apprentissage. Quelles nouvelles perspectives pour la recherche ? Actes du colloque Didapro 9* (p. 100-112). https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03697943

Modeste, S. (2016). Impact of Informatics on Mathematics and Its Teaching : On the Importance of Epistemological Analysis to Feed Didactical Research. In F. Gadducci & M. Tavosanis (Éds.), *History and Philosophy of Computing* (Vol. 487, p. 243-255). Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-319-47286-7_17
# INTERAGIR AVEC LA MATÉRIALITÉ DU MILIEU : LE RÔLE DU LANGAGE ?

## OVIDE<fnref n="1" /> Aurélien

**Résumé** – Après un bref retour sur la notion de *milieu matériel*, nous questionnons l'apport d'outils théoriques langagiers didactiques dans une articulation avec des modèles issus de la théorie des situations didactiques. Une mise à l'épreuve de ce croisement théorique interrogeant matérialité du milieu et contexte de pertinence sera étudiée à partir d'extraits d'analyses de situations issues d'une ingénierie didactique.

**Mots-clés** : théorie des situations didactiques, langage, milieu, contexte, ingénierie didactique

# MILIEU ADIDACTIQUE ET CONTEXTES (DE PERTINENCE) ?

## *L'adidacticité d'un milieu*

Comme le soulignent Laparra et Margolinas (2010), la notion de milieu et sa structuration ont fait l'objet de nombreux développements, notamment pour mieux comprendre certains phénomènes observés en « classe ordinaire ». Précisons que tel n'est pas notre projet, lequel consiste en la conception et le développement d'une ingénierie didactique. Si l'on revient aux idées fondatrices de la théorie des situations (TSD) (Brousseau, 1997), cette ingénierie explore, « par des moyens mathématiques et expérimentaux » des « conditions optimales de diffusion de connaissances déterminées » (Brousseau, 1997, p.3) : ici, celles associées à la division d'un rationnel par un rationnel. Cette visée « originelle » en TSD nous a conduits à revisiter la notion de milieu, en nous (ré)interrogeant sur ce qui pouvait en fonder l'adidacticité, essentielle dans l'étude des conditions de diffusion de connaissances dans le modèle d'une situation didactique.

Le milieu est défini comme « dénué d'intentions didactiques » (Brousseau, 1986, p. 57), ce qui lui confère son caractère de « système antagoniste » (Brousseau, 1990, p. 321) pour l'élève<fnref n="2" />. Dans ses écrits plus récents, Brousseau insiste sur la façon « autonome » dont l'élève agit ou s'adapte (Brousseau, 1997, 2012), qui semble bel et bien aller de pair avec cette notion de « milieu adidactique », inspirée de l'arrière-plan piagétien de la TSD. Cette autonomie de l'élève, retravaillée au prisme d'un « milieu objectif », plutôt que d'un milieu qualifié de « matériel », se joue au regard de « l'ensemble des objets et relations qui ne dépendent ni de ses actions et connaissances, ni de celles du professeur » (Brousseau, 1997, p. 21). De ce point de vue, ce ne sont pas uniquement des objets matériels stricto sensu qui confèrent au milieu ses propriétés adidactiques mais ce qui peut dans ce milieu, faire matérialité du point de vue de l'élève, de ses connaissances et de ses actions. Cette matérialité s'apprécie aussi au regard d'objets « transparents » du fait de connaissances anciennes, stabilisées et routinisées au point que l'on peut (pré)supposer une forme de naturalisation de ces objets.<fnref n="3" />

<footnote n="1">¹ Université de Bordeaux, Lab-E3D – France – aurelien.ovide@u-bordeaux.fr</footnote>

<footnote n="2">² Lui-même modélisé comme « joueur » ou « actant » dans la TSD, soit au prisme de ses connaissances comme « instruments de contrôle » de ses actions dans une situation.</footnote>

<footnote n="3">³ Ce qui est parfaitement mis en avant par Chevallard cité par Brousseau qui déclare que ce propos précise les fondements anthropologiques de la notion de milieu : des sous-systèmes d'objets qui vont « assumer ... une fonction de MILIEU, celui-ci apparaissant doué d'une objectivité échappant au contrôle et à l'intentionnalité de l'institution » du fait que les objets concernés vont « se naturaliser en devenant transparents aux acteurs de l'institution » (Chevallard, cité dans Brousseau, 1990, p. 321).</footnote>
Dans notre démarche de chercheur-didacticien-ingénieur, nous assumons que ce qui joue ou peut jouer la fonction de milieu(x) matériel(s)<fnref n="1" /> revêt un caractère d'hypothèses associées à un état supposé de systèmes de connaissances naturalisées<fnref n="2" /> d'élèves, dans des modèles de situations adidactiques, conçues pour l'ingénierie didactique. Ces hypothèses sont éprouvées dans des analyses *a priori* et *a posteriori* qui mettent à l'épreuve ces modèles, en vue de déterminer des conditions (optimales) de diffusion des connaissances visées.

## Des milieux renégociés dans et par le langage

Ce point de départ nous conduit par ailleurs à un « pas de côté » par rapport à l'arrière-plan piagétien de la théorie des situations didactiques, en convoquant une autre approche théorique langagière et didactique, d'inspiration vygotskien (Bernié et al., 2008).

Nous faisons l'hypothèse que cette matérialité du (ou des) milieu(x) envisagée *a priori* fait l'objet de négociations ou de renégociations de significations dans et par le langage, au sein d'une communauté discursive disciplinaire ou mathématicienne scolaire (CDDS ou CDMS), prenant en compte les positions énonciatives singulières d'élèves, ancrées dans des contextes (intra- et inter-subjectifs) relevant d'une hétérogénéité d'interprétations possible des objets constitutifs du milieu de la situation. De surcroit, en lien avec l'hypothèse CDDS (Bernié, 2002), l'activité langagière des élèves et de l'enseignant participe pleinement à l'évolution de modes d'agir parler penser propres aux apprentissages scolaires dans une dynamique de secondarisation des pratiques langagières.

Dans le cadre de notre ingénierie et l'articulation envisagée entre ces deux approches théoriques (TSD et CDDS), l'enseignant a un rôle particulier en tant qu'ingénieur-concepteur et expérimentateur des situations didactiques. Sa manière d'orchestrer la CDDS n'est pas exempte de spécificités : il tente de négocier des *contextes de pertinence* des tâches scolaires données aux élèves (Jaubert, 2007), « au plus proche » des milieux matériels des situations adidactiques conçues et analysées *a priori*. Il s'agit pour l'enseignant d'orchestrer l'hétéroglossie initiale, inhérente à toute CDDS, en vue de (re)négocier des significations propres aux objets du milieu. Cette démarche s'appuie sur la mise en œuvre de gestes professionnels langagiers didactiques qui « permettent simultanément d'orchestrer l'hétéroglossie et de reconfigurer objets, sujets et discours en présence » (Jaubert & Rebière, 2021, p. 12).

En résumé, il s'agit, dans le cadre théorique et méthodologique de notre recherche de concevoir et mettre à l'épreuve des modèles élaborés dans le cadre de la TSD (notions de milieux, situations adidactiques et didactiques, analyses *a priori* et *a posteriori*) dans une perspective d'ingénierie. L'approche CDDS nourrit la mise à l'épreuve expérimentale de tels modèles (contexte de pertinence, CDMS, secondarisation des pratiques langagières), ce qui nous permet de rééntégrer le rôle du langage comme une des conditions (optimales) de diffusion des connaissances mathématiques visées.

<footnote n="1">¹ Nous ne reprenons pas la distinction entre milieu matériel et milieu objectif, apparue avec la structuration du milieu mais en retenons l'enjeu de questionnement premier sur « ce qui peut faire ou non matérialité » du point de vue de l'élève et de ses connaissances ou actions.</footnote>

<footnote n="2">² En cela notre usage de la notion de milieu se distingue d'ailleurs de certains de ses développements plus récents, notamment ceux en lien avec son utilisation dans l'étude de situations d'enseignement ordinaires, qui viennent pour certains à même requestionner la possibilité d'une analyse *a priori* de ces situations « du point de vue de l'élève » du fait du rôle joué par des « objets du monde » dans le milieu de ces situations (Margolinas, 2021) qui ne pourraient être requestionnés que *a posteriori*.</footnote>
DEUX EXEMPLES DE MILIEUX MATÉRIELS RENÉGOCIÉS EN CONTEXTES DANS ET PAR LE LANGAGE

Nos travaux s'inspirent de l'ingénierie de l'épaisseur des feuilles de papier (Brousseau & Brousseau, 1987) qui permettaient l'étude des rationnels-fractions dans leur acception commensuration, que nous avons recontextualisée un peu différemment : avec des robots qui réalisent des sauts sur une droite graduée, chaque robot considéré étant caractérisé par une longueur de saut régulière (Fregona & al., 2023). Cette ingénierie expérimentée auprès d'élèves de 4e (13-14 ans) vise une connaissance mathématique inédite du point de vue de l'acceptation commensuration : la division d'un rationnel par un rationnel. À travers l'exemple d'extraits d'analyse de deux situations issues de notre ingénierie, nous illustrons des phénomènes liés à la négociation de la matérialité de milieux adidactiques.

*La matérialité d'un premier milieu « renégociée » dans et par le langage*

La première situation de l'ingénierie vise à introduire un changement d'unités de mesure de la longueur des sauts d'un robot donné. La première situation vise un changement d'unités de mesure de la longueur de sauts d'un robot donné. Les élèves disposent du parcours d'un robot sur une première droite graduée et doivent désigner la longueur de saut de ce robot sur une nouvelle droite graduée.

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

Comment désigner la longueur du saut de notre robot avec cette seconde droite graduée, sachant que 1 unité de la première droite correspond à 2 unités sur la seconde droite ?

<caption>**Figure 1 – Illustration de la première situation**</caption>

La matérialité du milieu prend appui sur la considération d'un unique robot et donc d'une même longueur de saut à désigner à partir de deux droites graduées différemment. Certains élèves comme ALI semblent d'emblée accéder au moins partiellement à la matérialité du milieu en projetant que « *c'est pas les mêmes graduations donc ça peut pas être la même distance entre* » . Toutefois, d'autres élèves comme ELM, pensent que la désignation associée à la longueur d'un saut restera la même quelle que soit la droite (« *5 unités en 3 sauts, il y a marqué la même chose* » ) ou envisagent des robots différents d'une droite à l'autre (« *Euh ben, si le robot A, il parcourt 5 unités en 3 sauts, euh ça veut dire que si le robot B, il parcourt* » ). Ces premières interprétations conduisent l'enseignant à renégocier des significations des objets du milieu, par le biais de réductions de liberté « *c'est le même robot* », de dénivellations « *ça, ce n'est pas la longueur d'un saut. C'est la graduation de l'unité* » et parfois de thématisations qui permettent de gagner en généralité « *C'est ce que je vous dis, on utilise des droites graduées différemment. Et un même robot qui se déplace sur des droites différentes* » . Ces interactions langagières permettent des déplacements progressifs de positions énonciatives d'élèves qui finissent par accéder aux significations présupposées des objets du milieu matériel « *Ah c'est le même robot* », « là, c'est pas les mêmes unités. Là, elles sont beaucoup plus petites » .
La matérialité d'un deuxième milieu « renégocié » dans et par le langage

La troisième situation de l'ingénierie vise également un changement d'unités de mesure de la longueur de saut d'un robot dans une nouvelle configuration. Cette dernière préfigure le jeu adidactique à venir, de la division d'une fraction par une fraction. Les élèves disposent du parcours de deux robots sur deux droites identiquement graduées. Ils doivent désigner la longueur de saut du premier robot en considérant la longueur de saut du deuxième comme nouvelle unité d'une droite graduée qui n'est pas représentée.

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

Comment désigner la longueur du saut du robot A en utilisant une droite
qui est graduée à partir de la longueur des sauts de B (en unités u') ?

<caption>Figure 2 – Illustration de la troisième situation</caption>

La matérialité de la nouvelle droite et de l'unité qui en constitue la graduation s'avèrent des
objets complexes à renégocier pour certains élèves. En particulier, il s'agit de considérer la
longueur de saut du deuxième robot comme graduation de la nouvelle droite pour produire la
nouvelle désignation du premier robot. Par exemple, NIN n'imagine visiblement pas la nouvelle
droite en jeu, « oui la nouvelle droite graduée, elle est où ? Elle est pas là ». D'autres élèves
comme ELM s'engagent dans des interprétations plus aléatoires de l'unité associée, « au lieu
d'être là, du coup, bah... au milieu ». Un levier de négociation de la signification de ces objets
du milieu matériel par l'enseignant s'appuie sur une focalisation « sur cette nouvelle droite
graduée ... 1 unité ça vaudra quoi ? ». Ces interactions favorisent progressivement la
construction d'un contexte de pertinence pour les élèves où les longueurs de chaque saut du
robot B s'interprètent en tant que « une unité, une unité, une unité... », « mais chaque petit saut,
c'est 1 », c'est-à-dire en tant que nouvelle unité de mesure étalon d'une droite non représentée.

CONCLUSION

Notre étude donne à voir des milieux matériels de situation adidactiques parfois complexes à
renégocier dans et par le langage, du fait d'effets de mémoires des situations (brouillage entre
les objets « robot », « parcours de robot » et « longueur d'un saut » supposés stabilisés en
amont) mais aussi de connaissances supposées naturalisées sur la droite graduée. Ces
connaissances en particulier sont apparues comme à « reproblématiser », au moins en partie
pour co-construire des contextes de pertinence du point de vue des élèves de 4e, restant au plus
proches de la matérialité supposée de milieux dans le cadre de notre ingénierie. Qu'elle soit
physiquement présente, décrite ou « à imaginer » à partir d'informations données sur la
graduation (correspondant dans la troisième situation à une longueur de saut d'un robot donné)
qui la définit, cette droite numérique semble assez loin de convoquer des connaissances
mathématiques « naturalisées » à ce niveau scolaire, ce qui au passage, peut en requestionner
les usages (pourtant abondants) qui en sont faits dans le curriculum. Dans le même temps, nous
montrons qu'une fois de nouvelles significations d'objets liés à cette droite numérique renégociées dans et par le langage, la matérialité supposée a pu jouer son rôle et que les élèves ont investi les jeux « adidactiques » envisagés initialement et visant la construction de nouvelles relations multiplicatives entre des nombres rationnels – et ce, même si la division d'un rationnel par un rationnel reste en soi un véritable obstacle épistémologique particulièrement délicat à négocier !

## RÉFÉRENCES

Bernié, J.-P. (2002). L'approche des pratiques langagières scolaires à travers la notion de « communauté discursive » : Un apport à la didactique comparée? *Revue Française de Pédagogie*, 141(1), 77-88. https://doi.org/10.3406/rfp.2002.2917

Bernié, J.-P., Jaubert, M., & Rebière, M. (2008). Du contexte à la construction du sujet cognitif : L'hypothèse énonciative. In M. Brossard, J. Fijalkow, S. Ragano, & L. Pasa (Éds.), *Vygotski et les recherches en éducation et en didactiques* (p. 123-141). Presses Universitaires de Bordeaux. https://doi.org/10.4000/books.pub.48222

Brousseau, G. (1986). La relation didactique : Le milieu. *Actes de la IVème Ecole d'Eté de didactique des mathématiques*, 54-68.

Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique : Le milieu. *Recherches en Didactique des Mathematiques*, 9(9.3), 309-336. https://hal.science/hal-00686012

Brousseau, G. (1997). *La théorie des situations didactiques*.

Brousseau, G. (2012). Des dispositifs Piagétiens... aux situations didactiques. *Éducation et didactique*, 6-2, Article 6-2. https://doi.org/10.4000/educationdidactique.1475

Brousseau, G., & Brousseau, N. (1987). *Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire* (IREM de Bordeaux, Éd.; p. 535). IREM de Bordeaux. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00610769

Jaubert, M. (2007). Chapitre 3. Savoirs scolaires et situations d'enseignement-apprentissage. In *Langage et construction de connaissances à l'école : Un exemple en sciences* (p. 73-96). Presses Universitaires de Bordeaux. https://doi.org/10.4000/books.pub.46683

Jaubert, M., & Rebière, M. (2021). Un modèle pour interpréter le travail du langage au sein des « communautés discursives disciplinaires scolaires ». *Pratiques*, 189-190. https://doi.org/10.4000/pratiques.9680

Margolinas, C. (2021). Le processus de dévolution dans le cadre de la théorie des situations didactiques. In P. Buznic-Bourgeacq (Éd.), *Sujets et objets de la dévolution* (p. 1-14). ISTE Editions Ltd. https://hal.science/hal-03432874
# PROPOSITION DE QUELQUES CONSTRuits ThÉORIQUES FONDÉS SUR LA ThÉORIE DES SITUATIONS, POUR L'INCLUSION DANS L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

PINHEIRO FIGUEROA<fnref n="1" /> Teodora, ALMOULOUD<fnref n="2" /> Saddo Ag

**Résumé** – Face à la problématique de l'inclusion des personnes en situation de handicap dans les établissements d'enseignement supérieur, cette recherche propose un Triangle Didactique pour l'Accessibilité ainsi que la structuration d'un milieu inclusif, fondés sur la Théorie des Situations et ancrés dans les Sept Piliers de l'Éducation Inclusive. L'objectif est de favoriser des discussions et des réflexions sur les pratiques inclusives.

**Mots-clés** : Personnes en situation de handicap, Théorie des Situations, Triangle Didactique pour l'Accessibilité, Milieu Inclusif.

## INTRODUCTION

Ce texte présente une construction théorique qui développe, dans le contexte de l'enseignement inclusif des mathématiques, certains concepts théoriques de la Théorie des situations (TS) de Brousseau (1986, 1995, 1997). Il s'agit du triangle didactique pour l'accessibilité, de la structuration d'un milieu inclusif, tous deux étayés par la TS, et les sept piliers de l'éducation inclusive.

Notre objectif est d'encourager la discussion et la réflexion sur les pratiques inclusives, basées, dans notre cas, sur les construits proposés. Ce texte présente donc les résultats partiels d'une recherche en cours, dont la partie empirique est en train d'être réalisée.

## ÉDUCATION INCLUSIVE

La Déclaration de Salamanque, en Espagne, est une référence importante pour l'inclusion scolaire des Personnes en situation de Handicap (PsH).

Bien que le nombre d'inscriptions d'étudiants PsH dans l'enseignement supérieur soit en hausse (Amin, 2021 ; Silva & Pimentel, 2021 ; Diniz et al., 2024), ces derniers font face à de nombreux obstacles — d'ordre physique, pédagogique et institutionnel — qui affectent directement leurs situations d'apprentissage (Santos et al., 2024 ; Amin et al., 2021).

Face à ces récits de recherches, certaines questions émergent, telles que : Comment changer ce scénario concernant les relations professeur, étudiant et savoir dans le contexte de l'inclusion des étudiants en situation de handicap (PsH) ?

L'objectif de notre travail est de contribuer aux réponses de ces questions à travers la proposition d'un Triangle Didactique pour l'Accessibilité et la structuration d'un milieu inclusif, fondés sur la Théorie des Situations (TS), et ancrés dans les Sept Piliers de l'Éducation Inclusive, que nous présenterons ci-dessous.

### Sept Piliers de l'Éducation Inclusive

Les sept piliers fondamentaux pour garantir l'inclusion dans les établissements d'enseignement sont les suivants : 1) développement d'attitudes positives envers l'inclusion, afin d'installer une culture de l'inclusion dans les espaces d'enseignement et d'apprentissage ; 2) politique et

<footnote n="1">¹ Université Fédérale Technologique du Paraná – Brésil – teodora.pinheiro@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">² Université Fédérale du Pará – Brésil – saddoag@gmail.com</footnote>
leadership de soutien : établir des relations dans les espaces d'enseignement et d'apprentissage fondées sur une culture de l'affection, de la bonté, du respect et du soutien mutuel; 3) processus scolaires et en classe basés sur des pratiques de recherche, favorisant une plus grande interaction et participation collaborative entre les élèves; 4) curriculum et pédagogie flexibles; 5) engagement de la communauté; 6) réflexion significative; 7) formation des enseignants et ressources nécessaires (Loreman, 2007).

Les institutions inclusives nécessitent des éléments de l'Univers Inclusif, qui seront détaillés ci-dessous.

### Univers Inclusif (UI)

L'UI (Univers Inclusif) est composé de différentes régions qui contiennent des artefacts utilisés par les personnes en situation de handicap (PsH) en fonction du type de handicap. Chaque région est caractérisée, par exemple, par une forme de communication différente.

Ainsi, la question suivante se pose : la connaissance de ces régions de l'UI par l'enseignant de mathématiques est-elle une condition nécessaire et suffisante pour la planification d'un cours de mathématiques inclusif ?

La recherche de Leal et al. (2021) apporte des éléments de réponse à cette question en relatant une autre région de l'UI, la région des personnes sourdes. Dans cette région, la forme de communication se fait par la langue des signes brésilienne, la Libras.

Selon Leal et al. (2021), au Brésil, une discipline de Libras existe dans le programme des cours de licence en mathématiques, c'est la seule discipline dans le cadre de l'Éducation Inclusive présente dans les programmes de manière obligatoire, garantie par la législation. De plus, les chercheurs ont montré que cette discipline contribue positivement à la communication entre l'enseignant et l'élève sourd. Cependant, en ce qui concerne l'inclusion dans l'apprentissage des mathématiques, ils affirment qu'« il existe encore une lacune lorsque le sujet est l'inclusion dans l'apprentissage des mathématiques. On parle beaucoup d'Éducation Inclusive et peu d'Éducation Mathématique Inclusive. » (Leal et al., 2021, p.15)

Dans ce cas, nous pouvons conclure que connaître les régions de l'UI est une condition nécessaire, mais non suffisante pour la planification d'un cours de mathématiques inclusif.

Voici un bref exposé des principaux construits théoriques qui soutiendront les discussions de cette recherche.

## THÉORIE DES SITUATIONS

La TS (Théorie des Situations) est une théorie développée par Brousseau (1986) qui se concentre sur la modélisation d'une situation didactique, à travers laquelle on analyse les interactions entre l'enseignant, l'élève et le savoir, dans le cadre du milieu, pièce clé du jeu didactique, lequel, selon Salin (2002), est organisé dans le but de : a) provoquer des contradictions, des difficultés pour les élèves, de manière à ce qu'ils aient besoin d'adapter leurs connaissances; b) permettre qu'ils travaillent de manière autonome; c) les aider à apprendre un contenu mathématique spécifique.

Les recherches dans le domaine de l'Éducation Mathématique Inclusive nous ont amenés à discuter de l'importance de la TS pour éclairer les moyens de contribuer à des situations d'enseignement des mathématiques inclusives, afin de répondre à la question suivante : comment la TS peut-elle contribuer au développement de modèles de situations didactiques inclusives ?

Afin de répondre aux questions présentées, nous proposons d'introduire le modèle du Triangle Didactique pour l'Accessibilité, que nous expliquerons ci-dessous.
## Triangle Didactique pour l'Accessibilité (TDA)

L'insuffisance de la seule connaissance des régions de l'UI pour planifier des situations didactiques inclusives en mathématiques nous conduit à élargir la perspective en mobilisant des construits de la TS, tels que le Triangle Didactique et le milieu, à la lumière des Sept Piliers de l'Éducation Inclusive.

Le **TDA** (Triangle Didactique pour l'Accessibilité), Figure 1, est une extension du TD, Brousseau (1997), qui présente un facteur déterminant pour que les interactions entre l'enseignant (P), l'élève (E), le savoir et le milieu se produisent. Ce facteur, lié à l'inclusion, est mis en évidence par un processus d'approche (flèches bleues à double sens, Figure 1), qui se déroule dans les relations des éléments du triangle interne et s'étend vers le triangle externe. Au cours du processus, l'une des situations d'enseignement, représentée par un triangle didactique, peut être redéfinie, avec un focus sur le développement d'un milieu inclusif.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>**Figure 1 – Triangle Didactique pour l'Accessibilité (TDA)**</figcaption></figure>

Dans le triangle interne, les interactions ont lieu entre l'enseignant, l'élève et le savoir relatif à l'élève en situation de handicap (PsH) et son UI, que nous désignons sous le nom de **UPsH** (Univers du PsH), qui est contenu dans l'UI (Figure 1) (triangle interne). Ce processus vise à resserrer les relations, de manière à permettre à l'élève en situation de handicap d'exposer ses connaissances relatives à son UI. À partir de ces interactions, le triangle du milieu fait référence à l'enseignant se positionnant comme élève (=E), établissant des relations avec le savoir du **UM** (Univers Mathématique) ⇔ **UPsH**, où se produisent des échanges (⇔) entre les savoirs des deux univers grâce à un travail collaboratif soutenu par un réseau de soutien (RAP), constitué de **Noyaux d'Accessibilité**, de professeurs/chercheurs en éducation inclusive, de professionnels que travaillent ou ayant travaillé avec des élèves en situation de handicap en salle de classe, et d'élèves en situation de handicaps pour la planification d'un milieu inclusif.

Le triangle externe fait référence aux interactions entre l'enseignant, armé du savoir de l'UI et des expériences de la RAP, l'élève, le savoir mathématique et le milieu inclusif, afin d'aboutir à l'apprentissage d'un certain savoir.

Ci-dessous, nous expliquerons la structuration du milieu inclusif.
Structuration du Milieu Inclusif

Dans cette recherche, nous avons introduit la notion de *milieu inclusif*, formé par la fusion des éléments de l'UI (Univers Inclusif) et de l'UM (Univers Mathématique), de manière à ce que tous les élèves apprennent en s'adaptant à un milieu accessible à tous.

La structuration de l'environnement inclusif, Figure 2, est une adaptation de la structuration du milieu proposée par Margolinas (1995), dont l'objectif est d'analyser les situations didactiques, les relations et/ou interactions entre les sujets du TDA (Triangle Didactique de l'Accessibilité), les savoirs ou compétences et les situations, ainsi que les relations entre les savoirs eux-mêmes et entre les situations.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 2 – Structure du Milieu Inclusif</figcaption></figure>

Les niveaux +3, +2 et +1 sont des niveaux d'approche (flèches à double sens, Figure 2) entre l'enseignant, l'UI et l'UM, fondés sur un travail collaboratif. Ces niveaux sont déterminants dans la construction d'un milieu inclusif, favorisant des articulations pendant le processus d'apprentissage des élèves, en s'adaptant à un milieu accessible à tous.

**Niveau +3 (Situation noosphérienne - S+3)** : dans cette situation, l'enseignant (P+3) crée son milieu de construction (M+3), où l'activité de l'enseignant se caractérise par le choix du savoir à enseigner et par un processus d'interaction avec la RAP (Réseau de Soutien), établissant une approche (flèche à double sens, Figure 2) entre les univers UI et UM. Cela se fait par un travail collaboratif où les savoirs des deux spécialistes et des membres de la RAP sont partagés. L'objectif est de permettre une fusion des expériences et des artefacts des deux univers, dans une dynamique d'adaptation aux besoins des élèves en situation de handicap (PsH).

**Niveau +2 (Situation de Construction - S+2)** : l'enseignant (P+2), en tant que constructeur, organise ses idées concernant le savoir à enseigner. Cette activité consiste à projeter une activité pédagogique en fonction des choix réalisés au niveau précédent, au sein du milieu de projet (M+2). Il établit une interaction avec les éléments de l'UI pour construire une adaptation des matériaux relatifs au savoir mathématique, rendant le contenu accessible à tous les élèves, y compris ceux en situation de handicap.

**Niveau +1 (Situation de Projet - S+1)**: l'enseignant (P+1), en tant que planificateur, prépare son milieu didactique (M+1) à partir de la situation de construction (S+2). Cela implique la préparation d'une leçon inclusive, prenant en compte les spécificités des élèves et de leurs besoins. L'enseignant planifie cette leçon en vue d'une interaction continue entre les univers UI et UM, réduisant progressivement la distance entre les deux, en fonction des rencontres et échanges entre les spécialistes et la RAP.
Une fois l'approche entre les univers *UI* et *UM* établie, le processus d'apprentissage se déploie.
Les niveaux *M0*, *M-1*, *M-2* et *M-3* correspondent aux étapes où l'élève, dans une situation
adidactique (S-3), entame le processus d'apprentissage jusqu'à la situation didactique (S0). Ces
niveaux représentent l'engagement de l'élève dans les interactions avec l'enseignant, le savoir
et le milieu inclusif, un processus dynamique d'adaptation et de collaboration.

La structuration d'un milieu inclusif repose sur des interactions progressives entre enseignant, élève et savoirs, afin de garantir un apprentissage accessible, adapté aux besoins des élèves et favorisant la collaboration entre les acteurs éducatifs.

L'objectif de la proposition du milieu inclusif est de contribuer à un processus de minimisation des distances (flèches à double sens) entre les univers UI et UM lorsque l'enseignant a un élève *PsH* dans la classe.

DISCUSSION

La proposition des construits théoriques du Triangle Didactique de l'Accessibilité (TDA) et du
Milieu Inclusif, fondés sur la Théorie des Situations (TS), est en cours d'élaboration,
principalement sa phase empirique. Ces construits répondent à la nécessité de favoriser
l'inclusion des étudiants en situation de handicap (PsH), afin de rapprocher les univers UI et
UM, dans une dynamique de renforcement de la collaboration entre les enseignants des deux
univers.

On estime que la proposition des construits TDA et milieu inclusif apporte des
contributions aux réponses aux questions soulevées et établit dans les processus d'enseignement
et d'apprentissage deux éléments-clés : la nécessité de rapprochement entre l'UI, l'univers de
l'élève PsH et l'UM, ainsi que le travail collaboratif par le biais d'un réseau de soutien (RAP).

RÉFÉRENCES

Amin A. S., Sarnon, N., Akhir, N. M., Zakaria, S. M., & Badri, R. N. F. R. Z. (2021). Main challenges of students with visual impairment at higher education institutions. *International Journal of Academic Research in Business and Social Sciences, 10*(1), 734-747.

Brousseau G. (1986). *Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques*. Recherches en Didactiques des Mathématiques, 7(2), 33-115. La Pensée Sauvage-Éditions.

Brousseau G. (1995). Les stratégies de l'enseignant et les phénomènes typiques de l'activités didactiques, Actes de l'École d'Été de Didactique des Mathématiques – Saint-Sauves d'Avergne, 1995, p. 3-45

Brousseau G. (1997). *La théorie des situations didactiques*. (Cours donné lors de l'attribution du titre de Docteur Honoris Causa de l'Université de Montréal). http://www.cfem.asso.fr/actualites/archives/Brousseau.pdf.

Diniz A., Freitas C. G. & Oliveira V. N. S. (2024). The educational context of visually impaired people in two federal public education institutions in Rio Branco/AC: Traces of a narrative in the reflective voice in the western Amazon. *Revista Internacional de Educação Superior, 10*.

Leal R. V. G., Nogueira C. M. I., Borges, F. A. & Simonetti, D. (2021). Special education and Libras in undergraduate mathematics courses: Professional knowledge for inclusive teacher education. *Revista Eletrônica de Educação Matemática – REVEMAT, 16*, 1-20.

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Margolinas C. (1995). La struturation du milieu et ses apports dans l'analyse a posteriori des situations. In : Margolinas, C. Les débats de didactique des mathematiques. Annales, 1993-1994. Grenoble : La Pensée Sauvage, p.89-102.

Salin M. H. (2002). Repères sur l'évolution du concept de milieu en théorie des situations. In Dorier et al. (Eds.), *Actes de la 11ème Ecole d'été de didactique des mathématiques* (Corps, 2001, pp. 111-124). La Pensée Sauvage.

Santos et al. (2024). Access and permanence of people with disabilities in higher education in Brazil. *RAE, 6*. https://doi.org/10.25248/rae.e16992.2024

Silva J. C., & Pimentel A. M. (2021). Educational inclusion for visually impaired persons in higher education. *Cadernos Brasileiros de Terapia Ocupacional*.
RENCONTRE AVEC LA LOI BINOMIALE : UN OBSTACLE ÉPISTÉMOLOGIQUE.

TRUNKENWALD<fnref n="1" /> Jannick

**Résumé** - Certaines difficultés apparaissent lors de la découverte en classe, par des élèves, de la loi binomiale. La réflexion menée s'appuie sur la théorie de l'Espace de Travail Mathématique. Trois tâches expérimentales montrent comment certaines connaissances automatisant la description et l'exploitation d'univers équiprobables, deviennent obsolètes lorsque la situation se complexifie. La notion d'obstacle didactique d'origine épistémologique apporte alors un éclairage particulier à notre étude.

**Mots-clé** : Obstacle épistémologique, loi binomiale, biais d'équiprobabilité, fluctuation d'échantillonnage, genèse instrumentale

INTRODUCTION

Lorsqu'une expérience aléatoire peut être décrite à partir d'un univers fini constitué d'issues possibles, une approche a priori de la probabilité d'un évènement peut en donner la valeur exacte. Lorsque les issues sont toutes de même probabilité, il suffit de procéder à une étape de dénombrement afin de mobiliser la Formule de Laplace<fnref n="2" />. Mais lorsque la situation se complexifie, il devient primordial de pouvoir pratiquer à bon escient un dénombrement en dehors de ce contexte d'équiprobabilité (Batanero, Henry, Parzysz, 2005, pp. 15-37). Nous considérons que toutes ces démarches relèvent d'une *approche combinatoire*. Une deuxième approche a posteriori, dite *fréquentiste*, permet une estimation empirique de cette valeur de probabilité par l'observation de données, en répétant l'expérience aléatoire ou une simulation de celle-ci.

Le programme 2011 de terminale visait à justifier l'intervalle de fluctuation en appui sur les lois à densité et le calcul intégral, avec cependant une exploitation quasi-inexistante de la relation entre analyse et probabilités, y compris d'un point de vue sémiotique (Derouet, 2016, p. 355). Dans le contexte du programme 2019, notre thèse (Trunkenwald, 2023) porte sur la mise en lien en classe de terminale, des *approches fréquentiste et combinatoire*. La loi binomiale<fnref n="3" /> explicite cet aspect dual de la notion de probabilité. Cela permet alors de justifier les bornes de l'intervalle de fluctuation des fréquences de succès.

Nos travaux de recherche portant sur le lien entre fréquence et probabilité, dans le cadre d'une situation d'échantillonnage, nous présentons dans cet article comment une certaine maîtrise par l'élève de l'utilisation de la Formule de Laplace peut paradoxalement le mettre en difficulté lors de sa première rencontre avec la loi binomiale.

Après avoir précisé notre cadre théorique, puis notre méthodologie d'étude, nous présentons des résultats en ce sens, et quelques perspectives permettant de prolonger la réflexion.

<footnote n="1">¹ *Laboratoire Didactique André Revuz (Université Paris Cité) – France – jannick.trunkenwald@ac-paris.fr</footnote>

<footnote n="2">² Dans le contexte d'un univers équiprobable, la Formule de Laplace consiste à obtenir la probabilité d'un évènement donné en calculant le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre d'issues possibles.</footnote>

<footnote n="3">³ Une variable aléatoire X de loi binomiale de paramètres n et p compte les succès obtenus lors de la répétition de n épreuves identiques, de manière indépendante, avec pour chacune la probabilité de succès valant p. Pour un nombre entier k appartenant à [0 ; n], on obtient alors la probabilité de l'évènement (X=k) en effectuant le produit du nombre de combinaisons de k éléments choisis parmi n, par la valeur $p^k (1-p)^{n-k}$.</footnote>
CADRE THEORIQUE

En abordant par une approche combinatoire l'intervalle de fluctuation des fréquences, les élèves sont confrontés à plusieurs *cycles de modélisation* successifs. Les différentes étapes de mathématisation de ce processus amènent les élèves à mobiliser des *signes*, des *artefacts*, ou des propriétés du référentiel théorique.

La théorie de l'Espace de Travail Mathématique (ETM) développée par Kuzniak (2022), permet d'identifier les *genèses* correspondantes de *visualisation*, de *construction*, et de *preuve*. Les ETM spécifiques (Montoya Delgadillo & Vivier, 2014) obtenus par projection au sein des probabilités d'une part, et des statistiques descriptives d'autre part, permettent de rendre compte de l'interaction entre ces deux domaines, et du passage d'un modèle à l'autre. Un atelier CORFEM (Trunkenwald et al, 2021) aborde une certaine complexité liée au concept de *preuve* pour justifier l'intervalle de fluctuation, suivant le point de vue associé à chaque ETM spécifique considéré.

Au cours des différents épisodes enchaînés par chaque élève, nous pouvons alors identifier des *formes élémentaires de travail*, participant chacune de l'approche fréquentiste, ou de l'approche combinatoire. La mise en perspective de certaines *formes de travail* réalisées ou non, lors de différentes phases du processus de modélisation, peut alors nécessiter une interprétation en retour. Notre idée d'identifier des blocages rencontrés par des élèves en raison des connaissances acquises, nous amène alors à prendre en compte la notion d'obstacle (Brousseau, 1998, p.5). Une connaissance ancienne, qui avait son intérêt, et qui se révèle inadaptée à une nouvelle situation, peut en effet résister au rejet, et tenter de s'adapter, mais de manière erronée.

Notre questionnement mène aussi à distinguer ce qui relève d'une certaine pratique d'enseignement, de ce qui relève de difficultés mathématiques intrinsèques au problème étudié :

> Ces obstacles à l'appropriation par l'élève de certaines notions peuvent être dus à plusieurs causes. Il est difficile d'incriminer seulement un des systèmes en interaction. (...) Toutefois, on peut distinguer des origines des obstacles didactiques : ce sera le système tel, qu'en le modifiant, on pourrait éviter l'obstacle, alors qu'aucune modification des autres systèmes ne permettrait de l'éviter. On trouvera ainsi des obstacles : d'origine ontogénétique, d'origine didactique, d'origine épistémologique. (Brousseau, 1998, p.5)

Aborder la loi binomiale correspond à une difficulté de nature épistémologique, mais l'apprentissage initial des probabilités peut aussi influer sur l'émergence de tels *obstacles didactiques d'origine épistémologique*. En croisant cette typologie avec notre emploi de l'ETM, on peut alors envisager de préciser la nature d'un *obstacle*, en regard du type de *genèse* réalisé. La caractère automatisé d'une *construction* peut permettre l'identification d'un *obstacle didactique*.

Enfin, la notion de *milieu* (Brousseau, 1998, p.5) apporte un éclairage particulier à la description de ces étapes de modélisation qui explicitent peu à peu le lien entre fréquence et probabilité. La confrontation du sujet avec un système antagoniste enrichit progressivement l'environnement, et cela correspond à la circulation entre les *plans épistémologique et cognitif* de l'ETM. La conception de notre méthodologie peut s'interpréter au travers de l'articulation entre ces deux cadres théoriques.
# MÉTHODOLOGIE

## Type de données recueillies

Notre étude portant sur le travail mathématique de l'élève, nous choisissons d'analyser des productions écrites individuelles. Une groupe de 20 élèves de terminale est soumis à l'expérience durant trois séances de classe. Pour focaliser notre attention sur chaque étape du processus de modélisation nous planifions lors de chaque séance deux phases de collecte des données issus des éléments rédigés, et des documents de brouillon, qui précèdent à chaque fois une mise en commun. Celle-ci a pour but de remettre tous les élèves en condition d'aborder l'étape suivante. Notre objectif est ici d'analyser la première rencontre de la loi binomiale par les élèves, en identifiant les difficultés rencontrées en fonction des connaissances identifiées dans l'ETM personnel de chaque élève.

## Méthode d'analyse

Nous implémentons une première phase expérimentale au cours de laquelle les élèves sont amenés à étudier une expérience aléatoire. Une analyse didactique par l'ETM doit alors nous permettre d'identifier différentes *formes de travail mathématique*, dont certaines sont déjà envisagées a priori. Par exemple les élèves *planificateurs* sont ceux mettant en œuvre la Formule de Laplace en adaptant l'univers considéré à bon escient, à l'aide d'une *travail mathématique complet*<fnref n="1" />. Les élèves *égaliseurs* sont ceux commettant l'erreur de réaliser à cette étape un biais d'équiprobabilité.

Une deuxième phase expérimentale confronte les élèves à la même expérience aléatoire, mais en la répétant 5 fois en tant qu'épreuve de Bernoulli. On identifie lors de cette étape les élèves *explorateurs*, qui réalisent une *genèse de preuve* étayée par une seconde *genèse*, avant une première mise en commun. On identifie aussi les élèves *combinateurs*, qui finalisent l'expérimentation avec un travail mathématique *complet et correct* (Kuzniak, 2022).

Une mise en perspective des *formes de travail* observées lors de ces deux phases expérimentales peut alors être effectuée. Cette catégorisation permet alors d'identifier certaines relations entre les approches initialement menées et certaines difficultés ultérieures. Le concept d'*obstacle* peut alors être mobilisé.

## Choix de la tâche

La tâche expérimentale s'organise autour d'une expérience aléatoire basée sur un lancer de deux dés à 6 faces. On gagne au jeu si on obtient au-moins 9 pour la somme des deux valeurs affichées. Le cadre de l'échantillonnage nous amène à soumettre aux élèves des données obtenues a posteriori à l'aide d'une simulation de 80 échantillons de taille 50. Un graphique en nuage de points permet par *approche fréquentiste* de conjecturer la probabilité de gagner au jeu, et d'observer les bornes de l'intervalle de fluctuation (Fig. 1).

Après avoir justifié la valeur de probabilité la deuxième phase de l'expérimentation soumet aux élèves une étude par *approche combinatoire* du jeu des 5 lancers de dés, afin de leur faire découvrir la loi binomiale à partir de petits échantillons. Les élèves sont alors amenés à exploiter un arbre pondéré, ou un raisonnement basé sur un dénombrement à partir de 5-uplets.

<footnote n="1">¹ Un travail mathématique complet au sens de l'ETM réalise les trois genèses avec production d'une visualisation, d'une construction, et d'une preuve (Kuzniak, 2022, p.25).</footnote>
Une troisième phase expérimentale, dont la portée dépasse l'objet de cet article, exploite le concept de *saut informationnel* (Brousseau, 1998, p.14) pour confronter à nouveau les élèves avec les échantillons de taille 50, mais par *approche combinatoire*, en les amenant à instancier la formule de la loi binomiale. Leur effort d'adaptation à ce niveau d'abstraction les contraint alors à mobiliser les coefficients binomiaux pour compter les chemins de l'arbre, ou les 50-uplets, et à intégrer la notation exposant dans l'écriture des produits.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>**Figure 1** – Graphique (sous-tâche 1.1) : fréquences des 80 échantillons de taille 50 (Trunkenwald, 2023)</figcaption></figure>

## QUELQUES RÉSULTATS

Dans l'expérimentation précitée l'une des *formes de travail* mathématique identifiées lors de la phase 1 correspond à la *visualisation* des issues d'un univers équiprobable, puis à la construction d'une description exhaustive pour parvenir à la *preuve* probabiliste. La moitié des élèves sont concernés. Ces 11 élèves sont donc qualifiés de *planificateurs*.

Anticipée a priori, la difficulté dans la tâche 2 d'étudier la loi de probabilité associée au nombre de succès des échantillons de taille 5 correspond alors à une rupture avec l'utilisation directe d'un dénombrement d'issues équiprobables. Mais une difficulté plus spécifique, détectée a posteriori, se manifeste du côté des *planificateurs* :

> Les élèves maîtrisant un usage approfondi de l'approche laplacienne basé sur la visualisation d'issues équiprobables, ont tendance à vouloir reproduire cette stratégie de résolution pour étudier la loi binomiale. Mais celle-ci nécessite un calcul de dénombrement trop avancé, qui ne peut plus être visualisé dans son intégralité à l'aide de signes. Et paradoxalement les élèves moins à l'aise sur la démarche laplacienne, semblent envisager plus aisément d'enchaîner l'usage d'artefacts, tels que le principe multiplicatif, ou un arbre probabiliste, afin de contourner cette difficulté. (Trunkenwald, à paraître)

Ce rôle sous-jacent de la formule de Laplace dans les difficultés liées à une première rencontre avec la loi binomiale est abordé dans notre communication au colloque ETM8 (Trunkenwald, à paraître). Du fait de son « rôle constitutif dans la connaissance visée », la connaissance de la formule de Laplace se présente tout d'abord ici comme un d'obstacle épistémologique sous certaines conditions qui l'activent tout en la mettant en défaut.

Seuls 3 élèves *planificateurs* amorcent la démarche d'investigation liée à la loi binomiale, en s'identifiant alors comme *explorateurs*. Mais les tentatives de décrire de manière exhaustive un univers équiprobable échouent.

Suite à une mise en commun intermédiaire évoquant l'arbre de probabilités les 3 élèves, dits *combinateurs*, qui terminent la phase 2 avec une réponse correcte, ne comptent qu'un seul *planificateur*. L'erreur portant sur l'un des 32 chemins de l'arbre commise par cet élève (Fig. 2) peut en effet être assimilée à une simple étourderie.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>**Figure 2** : Travail de l'élève planificateur combinateur lors de la sous-tâche 2.3 (Trunkenwald, 2023)</figcaption></figure>

Le jeu répété de la phase 2 ressemblant à celui de la phase 1, la formule de Laplace résiste donc encore au rejet pour beaucoup d'élèves. Cette connaissance s'adapte localement, en supposant par erreur une équiprobabilité des branches (ou 5-uplets). Concernant le franchissement de l'obstacle, notre expérimentation semble par ailleurs révéler un impact de la composante didactique de l'apprentissage. Un avantage subtil transparait pour les élèves planificateurs ayant rencontré un biais d'équiprobabilité dès la sous-tâche 1.1 :

> Les élèves à la fois **égaliseurs** et **planificateurs** semblent davantage capables de réaliser ce même travail complet (...) ils ont montré leur capacité à se remettre en question en corrigeant leur biais d'équiprobabilité, et à relancer une nouvelle étape de modélisation, pour revenir sur leur univers probabiliste afin de le redéfinir de manière équiprobable. (Trunkenwald, 2023)

En supposant que les élèves ayant été « conditionnés » au préalable à la recherche d'un univers équiprobable, ne figurent pas parmi ceux, dits les **égaliseurs**, ayant produit un biais d'équiprobabilité au début de la tâche 1, nous identifions là une dimension plus didactique de l'obstacle, dont une étude plus approfondie mènerait à analyser cette piste de franchissement en lien avec les différentes **genèses**.

Appliquée dans la phase 1 après une modification de l'univers probabiliste, suite à une première erreur du type « biais d'équiprobabilité », le principe de partition appliqué à l'univers équiprobable fournit une description de l'univers image par la variable aléatoire « somme des deux dés », avec sa loi de probabilité associée. Ce principe se retrouve ensuite réinvesti dans la phase 2 au niveau de la loi binomiale, et de la variable aléatoire cachée correspondant à la fréquence empirique.
## CONCLUSION ET QUELQUES PERSPECTIVES

Notre étude a mis en évidence comment une connaissance jugée experte — ici, la maîtrise de la Formule de Laplace — peut dans ce contexte d'échantillonnage, constituer un *obstacle épistémologique* pour aborder la loi binomiale.

La théorie des ETM nous offre un cadre structurant pour analyser une telle généralisation inadaptée d'un schème initialement opératoire. Identifier les formes de travail mobilisées (visualisation, construction, preuve) au sein de chaque domaine mathématique permet de caractériser les ruptures entre *approches fréquentiste* et *combinatoire*, et de décrire la manière dont le *milieu* didactique s'enrichit progressivement par circulation entre les plans cognitif et épistémologique. Par ailleurs, le concept de *saut informationnel* apporte une lecture à la complexité croissante des tâches expérimentales, tandis que la typologie proposée des *formes de travail* met en lumière les trajectoires différenciées des élèves.

Ces résultats nous invitent à requestionner la conception de tâches en tant qu'ingénierie du franchissement *d'obstacle*, prenant en compte un certain niveau de complexité épistémologique, et anticipant une forme de résistance cognitive. Un usage raisonné des supports fournis (arbre pondéré, simulation, tables binomiales) permet aux élèves de convoquer des registres de représentation associés, avec leurs opérations de traitements embarquées. Les *artefacts* mobilisables permettent alors de réaliser la transition attendue au sein du *référentiel théorique* de l'élève.

## RÉFÉRENCES

* Batanero, C., Henry, M., & Parzysz, B. (2005). The nature of chance and probability. In S. Lerman (Ed.), *Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning*, pp. 15–37. Springer.

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* Derouet, C., (2016). *La fonction de densité au carrefour entre probabilités et analyse en terminale S. Etude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d'introduction articulant lois à densité et calcul intégral*. *Histoire et perspectives sur les mathématiques*. [Thèse de doctorat, Université Paris Diderot].

* Kuzniak, A., Montoya-Delgadillo, E., Richard, P.R. (2022). *Mathematical Work in Educational Context - The Mathematical Working Space Theory Perspective*. Mathematics Education in the Digital Era, vol 18. Springer, Cham. ISBN 978-3-030-90849-2.

* Montoya-Delgadillo, E., & Vivier, L. (2014). Les changements de domaine de travail dans le cadre des Espaces de Travail Mathématiques. *Annales de didactique et de sciences cognitives*, 19, pp. 73–101.

* Trunkenwald, J., Zorai, M., Benmansour, M. (2021). *L'intervalle de fluctuation d'échantillonnage. Une formation didactique à la notion de preuve*. Cécile Ouvrier-Buffet (Ed.), Texte Actes CORFEM 2021. Strasbourg - France. En ligne hal-03800973.

* Trunkenwald, J., (2023). *Sur les formes de travail mathématique mobilisées par des élèves de lycée autour de la notion de probabilité : approche combinatoire et approche fréquentiste*. [Thèse de doctorat, Université Paris Cité].

* Trunkenwald, J., (à paraître). Description d'issues équiprobables et introduction en classe de la loi binomiale. In *Actes Huitième Symposium des Espaces de Travail Mathématiques*, Castro Urdiales.
DIALECTIQUE DE SITUATIONS D’ACTION, DE FORMULATION, DE VALIDATION ET DE DÉCISION DANS LE DOMAINE DU CALCUL MENTAL MULTIPLICATIF

VIEQUE<fnref n="1" /> Karine

**Résumé** – Notre recherche porte sur l’enseignement et l’apprentissage du calcul mental multiplicatif à l’école élémentaire. L’objectif est d’amener les élèves à argumenter sur la validité des procédures proposées pour restituer un produit. Après avoir défini notre questionnement et nos appuis théoriques, nous présentons notre méthodologie pour créer une dialectique de situations d’action, de formulation, de validation (Brousseau, 1998) et de décision (Balacheff, 1987), ainsi que les premiers résultats obtenus.

**Mots-clés** : calcul mental multiplicatif, situation de décision, validation, argumentation, école élémentaire

OBJETS D’ÉTUDE ET QUESTIONNEMENT

Dans notre travail de thèse (Vieque, 2022), nous avons étudié les schèmes des élèves engagés dans des processus de validation en géométrie à l'école élémentaire. La raison pour laquelle nous avons intégré l'étude des schèmes dans notre questionnement sur les processus de validation est la suivante : pour nous, l'étude des composantes d'un schème permet d'identifier comment envisager la production d'actions et de déclarations validées par leur efficacité à atteindre le but poursuivi. Notre méthodologie a reposé sur l'expérimentation en classes ordinaires d'une séquence composée d'une dialectique de situations d'action, de formulation, de validation (Brousseau, 1998) et de décision (Balacheff, 1987). Notre but était d'amener les élèves à s'interroger et à discuter sur la validité de leurs actions instrumentées dans le contexte de la restauration de figures (Godin et Perrin-Glorian, 2014). Nous avons alors montré que la situation de décision conçue (au sens de Balacheff, 1987) était adaptée pour travailler la question de la validation à l'école élémentaire.

D'où la question suivante à explorer : quelles situations de décision peut-on élaborer dans d'autres domaines mathématiques que la géométrie pour engager les élèves dans des processus d'argumentation et de validation à l'école élémentaire ?

Nous nous proposons de répondre à cette question dans le domaine du calcul mental, plus particulièrement en prenant comme objet d'étude les procédures de calcul mental dans le champ multiplicatif. En effet, Butlen et Pézard (1990) soulèvent que les décompositions multiplicatives restent peu disponibles chez les élèves de l'école élémentaire : pour calculer le produit de deux nombres inférieurs à 100, les élèves du cycle 3 (élèves de 9-11 ans) mobilisent majoritairement des procédures reposant sur la décomposition additive des nombres, proche de la technique opératoire. Ces chercheurs soulignent alors l'importance d'initier, dès le début de l'école élémentaire, l'apprentissage de procédures reposant sur les décompositions multiplicatives.

Nous considérons comme nécessaire l'étude du champ conceptuel des structures multiplicatives (Vergnaud, 1990) avant d'élaborer des situations à usage didactique (Brousseau, 1998). A partir de cette étude, nous nous proposons de contribuer aux travaux menés par Butlen et Pézard (1990) en combinant l'étude des processus de validation et des schèmes (Vergnaud, 1990). Pour cela, nous reprenons la méthodologie mise en œuvre dans notre travail de thèse.

La question que nous aborderons dans cette communication est la suivante :

Comment élaborer une dialectique de situations d'action, de formulation, de validation et de décision pour amener des élèves de l'école élémentaire à s'interroger et à discuter sur la validité

<footnote n="1">¹ LDAR – France – viequekarine@gmail.com</footnote>
des décompositions multiplicatives utilisées pour restituer rapidement le produit de deux nombres ?

Cette communication vise à présenter l'ancrage théorique et la méthodologie que nous avons élaborée pour créer une dialectique de situations d'action, de formulation, de validation (Brousseau, 1998) et de décision (Balacheff, 1987), ainsi que l'analyse des arguments écrits par les élèves pour valider l'équivalence de deux écritures multiplicatives lors d'une première mise en œuvre des situations de décision.

## APPUIS THÉORIQUES

### Étude du champ conceptuel des structures multiplicatives

Nous cherchons à initier l'apprentissage de procédures reposant sur la compréhension des nombres et les propriétés des opérations, ainsi que sur la mobilisation des décompositions multiplicatives des nombres. Vergnaud (1990) souligne que « les connaissances des élèves sont façonnées par les situations qu'ils ont rencontrées et maitrisées progressivement, notamment par les premières situations susceptibles de donner du sens aux concepts et aux procédures qu'on veut leur enseigner » (1990, p.150). C'est ce choix de situations qui permettra d'initier ou non l'apprentissage de procédures reposant sur les propriétés de la multiplication et la mobilisation des décompositions multiplicatives des nombres. Aussi, Vergnaud indique que « toute situation peut être ramenée à une combinaison de relations de bases avec des données connues et inconnues, lesquelles correspondent à autant de questions possibles » (p.151). Son analyse des structures multiplicatives montre que les relations de base ne sont pas ternaires, comme le sont les relations de bases des structures additives, mais quaternaires. En effet, les problèmes les plus simples de multiplication et de division impliquent la proportion simple de deux variables l'une par rapport à l'autre :

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>**Figure 1 :** Classes des problèmes élémentaires des structures multiplicatives</figcaption></figure>

Nous retenons de cette classification l'importance d'initier l'étude des structures multiplicatives au début de l'école élémentaire par les classes de problèmes élémentaires de « multiplication », de « division-partition » et de « division-quotition ». En effet, toute situation de multiplication est également une situation de division et il est important de mettre « l'accent sur la réciprocité des opérations et d'introduire tôt un langage qui donne aux élèves un moyen de le faire » (Artigue et Viennot, 1978, p.44). Pour nous, ces trois classes de problèmes vont nous permettre d'agir sur l'enrichissement des conceptions des élèves sur les nombres, d'initier la construction de procédures reposant sur la mobilisation des décompositions multiplicatives des nombres.

### Étude des différents types de situations permettant d'introduire la multiplication

Dans ce qui suit, au regard des propriétés de la multiplication à construire, nous nous intéressons aux différents types de situations permettant d'introduire le concept de multiplication. Artigue
et Viennot (1978) rappellent que la multiplication permet de mathématiser soit une situation où la multiplication apparaît comme l’écriture réduite d’additions répétées, soit une situation de « mesure-produit ». Elles soulèvent alors l’importance du choix du cadre sémantique dans lequel est présenté le symbole « × ». En effet, la signification sémantique attachée au symbole « × » lors de son introduction va dépendre du type de situation proposé aux élèves. Elles argumentent en faveur d’une situation de « mesure-produit » pour définir la multiplication. Une des raisons est la suivante : dans ce type de situation, les nombres A et B jouent le même rôle puisque A×B sera le nombre de cases d’une grille rectangulaire de A lignes et B colonnes. Une autre raison est que l’usage de configurations rectangulaires favorise la compréhension des propriétés de la multiplication comme la commutativité et la double distributivité.

Dans notre travail, situé au début de l'école élémentaire, les trois classes de problèmes élémentaires que nous avons retenues à savoir « multiplication », « division-partition » et « division-quotition » permettent de mathématiser le premier type de situations : il s'agit de situations de proportionnalité simple entre des nombres entiers où la multiplication apparaît comme l'écriture réduite d'additions répétées. Nous notons néanmoins que l'usage des configurations rectangulaires peut également être mobilisé dans ce type de situations. De fait, au regard des conceptions des élèves à construire, nous faisons le choix d'utiliser des configurations rectangulaires dans l'élaboration de situations à usage didactique (Brousseau, 1998) visant à introduire la multiplication et la division. Ce support matériel nous permettra de faire trouver et reconnaitre par les élèves des écritures multiplicatives équivalentes, ainsi que de favoriser l'apprentissage des propriétés de la multiplication.

DIALECTIQUE DE SITUATIONS D’ACTION, DE FORMULATION, DE VALIDATION
ET DE DECISION : ANCRAGE THEORIQUE ET MÉTHODOLOGIE

Nous faisons cohabiter les mêmes cadres théoriques (Brousseau, 1998 ; Vergnaud, 1990 ; Balacheff, 1987) que dans notre travail de thèse. Cela nous permet d'appréhender le développement conjoint de la conceptualisation des structures multiplicatives et l'usage de procédures de calcul dans le contexte du calcul mental multiplicatif, avec l'objectif complémentaire d'engager les élèves dans un processus de validation des écritures multiplicatives proposées pour restituer efficacement le résultat de la multiplication de deux nombres. Pour cela, nous utilisons des configurations rectangulaires comme support pour la validation de l'équivalence d'écritures multiplicatives.

Pour donner du sens au savoir à enseigner, nous allons jouer sur le choix des valeurs des variables didactiques (Brousseau, 1998). C'est ce choix qui va amener les schèmes des élèves (Vergnaud, 1990) à s'adapter, à faire évoluer leurs représentations sur le sens d'un concept donné et à conduire les élèves à adopter des comportements différents. Nous allons étudier le contenu des composantes d'un schème, et notamment les composantes relatives aux invariants opératoires et aux règles d'action. En effet, la « composante 2 : prises d'informations, règles d'action, contrôles » est en étroite relation avec la « composante 3 : invariants opératoires ». Nous gardons donc l'idée d'analyser un schème en termes de « règles conditionnelles » comme le souligne Vergnaud (2001/2).

Pour élaborer une dialectique de situations dans le but d'intégrer la validation des savoirs et savoir-faire visés, nous soulignons le strict emboitement existant entre les différents échanges produits dans les situations d'action, de formulation et de validation (Brousseau, 1998). Ainsi, les formes de connaissances développées dans l'action vont fonder le contenu des échanges développés dans des situations de formulation. De la même manière, le contenu des formulations d'action va fonder le contenu des énoncés de validité des actions. Nous pointons la possibilité de faire reposer la validation des actions sur les conditions de réussite ou d'échec
d'une action pour agir sur la formation des schèmes et des conceptualisations nécessaires à la réussite. En effet, Vergnaud (2001/2) souligne l'importance de revenir sur les conditions de réussite ou de l'échec pour favoriser l'explicitation des connaissances.

Enfin, nous prenons appui sur la possibilité de mettre en œuvre des situations de décision pour engager les élèves dans un processus d'argumentation et de validation à l'école élémentaire (Balacheff, 1987). Ce type de situation demande la mobilisation de moyens de décision et de moyens de validation. Pour nous, ces moyens sont constitués des connaissances et compétences préalablement construites dans un processus d'apprentissage. L'enjeu est donc de construire un lien entre connaitre et prouver, entre une suite de situations d'action, de formulation, de validation avec une situation de décision. Cela fonde notre méthodologie.

## EXPÉRIMENTATION, MISE EN ŒUVRE ET PREMIERS RÉSULTATS

Notre méthodologie repose sur l'expérimentation d'une dialectique de situations d'action, de formulation, de validation et de décision, dans deux classes d'une école élémentaire : une classe de CM1 et une classe de CE1. Les séances ont été menées entre octobre 2024 et juin 2025. Les données se composent des fiches « productions des élèves ».

Nos choix pour créer une situation de décision (Balacheff, 1987) en dialectique avec une suite de situations d'action, de formulation, de validation (Brousseau, 1998) reposent sur l'articulation présentée dans la figure 2 :

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 2 : Choix effectués pour créer la dialectique de situations</figcaption></figure>

Notre intention est de mettre en évidence que les situations de décision vont permettre d'observer les élèves mobiliser leurs conceptions sur les nombres en jeu comme moyen de décision.

Nous présentons ici brièvement la situation de décision relative à l'une des situations d'action conçue : une situation de multiplication du type $A×B = C$, avec recherche de la valeur de C, A et B étant deux nombres entiers. La figure 3 illustre le matériel et le vocabulaire utilisés :

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 3 : vocabulaire relatif aux configurations rectangulaires utilisées</figcaption></figure>

Dans la situation de décision, l'élève reçoit une proposition d'écriture multiplicative susceptible de restituer rapidement le résultat de la multiplication de deux nombres. L'écriture
multiplicative à valider repose sur la validation de la décomposition du nombre multiplicateur réalisée.

Il s'agit d'observer si l'élève s'interroge et se positionne sur l'adéquation de la décomposition d'un nombre. Il s'agit aussi d'identifier les contrôles portés sur la règle d'action mise en œuvre, ainsi que les arguments produits par l'élève pour décider de la validité de l'équivalence des deux écritures multiplicatives (cf figure 4).

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>**Figure 4 :** Exemples de productions d'élèves dans la mise en œuvre des situations de décision (cas où $A = 4$)</figcaption></figure>

Pour analyser les arguments écrits par les élèves, nous prenons appui sur les composantes d'un schème. Nous différencions deux types d'arguments :

* **Arg-RègleAction :** cas où l'argument mobilisé par l'élève prend appui sur des règles d'action partagées et acceptées lors de la mise en œuvre de la situation de validation.

Par exemple, l'argument de l'élève 1 : « Oui, parce que 2×2 fois le nombre est la méthode de la table de 4 ».

* **Arg-Concept :** cas où l'argument mobilisé par l'élève prend appui sur des conceptions des nombres en jeu.

Par exemple, l'argument de l'élève 3 : « 4 = 2×2 et non 2×2×2 ».

Ainsi, notre travail montre que la méthodologie élaborée a permis de concevoir une dialectique de situations adaptée pour observer des élèves de l'école élémentaire s'interroger et discuter sur la validité des décompositions multiplicatives utilisées pour restituer rapidement le produit de deux nombres, lors de la mise en œuvre des situations de décision.

## RÉFÉRENCES

* Artigue, M., & Viennot, J. (1978). Quelques réflexions à propos de la multiplication. *Grand N, 15*, 43-68.

* Balacheff N. (1987). Processus de preuve et situation de validation. *Educational Studies in Mathematics, 18*(2), 147-176.

* Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

* Butlen, D. & Pézard, M. (1990). Calcul mental, calcul rapide. *Grand N, 47*, 35-59.

* Godin, M., & Perrin-Glorian, M.J. (2014). De la reproduction de figures géométriques avec des instruments à leur caractérisation par énoncés. *Math-Ecole 222*, 26-36.
Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. *Recherche en Didactique des Mathématiques, 10* (2.3), 133-170.

Vergnaud, G. (2001/2). Piaget visité par la didactique. *Intellica, Revue de l'Association pour la recherche Cognitive, 33* (2), p.107-123.

Vieque, K. (2022). *La restauration de figures : une ingénierie didactique au début de l'école élémentaire. Étude des schèmes et des processus de validation*. [Thèse de doctorat, Université de Paris].
POSTERS
# SUIVI DE COHORTE ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES : QUEL TEST DIAGNOSTIQUE ?

FARES Zeina<fnref n="1" />

**Résumé** – La recherche présentée ici se déroule au sein de l'académie de Créteil, une académie reconnue pour ses résultats relativement faibles en mathématiques, selon les indicateurs issus des évaluations nationales externes. L'un des enjeux majeurs de cette thèse consiste à mieux comprendre et documenter les facteurs expliquant ces performances décevantes. Pour ce faire, nous avons la possibilité de suivre des cohortes d'élèves, de la classe de CM2 jusqu'à la 5ème, ce qui nous permettra d'analyser leur parcours et d'identifier les éléments déterminants de leur progression en mathématiques. Les premiers résultats mettent en lumière les obstacles rencontrés par les élèves, les effets du contrat didactique, ainsi que les demandes par les enseignants d'un accompagnement personnalisé à leur contexte d'exercice.

**Mots-clés** : Résolution de problèmes arithmétiques, contrat didactique, inégalités scolaires, TSD, évaluation diagnostique.

## CONTEXTE

Dans l'académie de Créteil, les écarts en mathématiques à l'entrée en 6ème (11 ans) sont plus marqués qu'au niveau national, en particulier en résolution de problèmes arithmétiques : 33 % des élèves présentent une maîtrise fragile ou insuffisante, contre 27 % en moyenne. Ces difficultés, accentuées par le contexte REP/REP+, ne sont pas suffisamment éclairées par les évaluations existantes (CEDRE, TIMSS, PISA), qui ne permettent ni d'analyser les pratiques pédagogiques ni de suivre les apprentissages.

À ce jour, aucun suivi longitudinal n'a permis de documenter l'évolution des compétences en résolution de problèmes arithmétiques entre le CM2-6ème-5ème (10-11-12 ans).

Cette recherche s'inscrit dans la *Thématique 2 du colloque Guy Brousseau : La Théorie des Situations Didactiques dans les recherches actuelles : développements et questions vives*, en mobilisant particulièrement le concept de contrat didactique Brousseau (1986). Elle propose un suivi de cohorte sur deux ans, avec la mise en place d'un test diagnostique centré sur la résolution de problèmes arithmétiques.

Questions de recherche :

* Quels obstacles rencontrent les élèves dans la résolution de problèmes à la transition école-collège ?

* Comment les effets de contrat didactique se manifestent-ils dans les stratégies et erreurs des élèves ?

## MÉTHODOLOGIE

Depuis septembre 2024, des réunions régulières ont été organisées avec les enseignants par les chercheures<fnref n="2" />. Ces premiers échanges ont permis de dégager les difficultés exprimées par les enseignants concernant l'enseignement de la résolution de problèmes arithmétiques.

Afin de diagnostiquer les connaissances initiales des élèves, un test, élaboré selon la typologie de Vergnaud (1990) et les travaux de Houdement (2017) a été passé en janvier 2025 par près de 360 élèves avec pour but d'identifier les obstacles conceptuels, les erreurs récurrentes et les stratégies utilisées.

<footnote n="1">¹ LDAR, Université Paris Cité, France – zeina.fares@etu.u-paris.fr</footnote>

<footnote n="2">² Zeina Fares, Cécile Ouvrier Buffet, Cécile Allard</footnote>
Le premier problème porte sur une comparaison additive avec recherche d'un des états. Les deux problèmes suivants portent sur des transformations d'état et la recherche d'une composante ou d'un état initial. Enfin, les trois derniers problèmes relèvent de la comparaison multiplicative, avec une recherche du résultat ou du rapport.

L'analyse des réponses permet d'identifier les erreurs fréquentes, les stratégies utilisées et les éléments du contrat didactique présents en classe.

Parallèlement, des entretiens semi-directifs avec les enseignants, des observations de séances et l'analyse des résultats du test permettent d'identifier des éléments du contrat instauré en classe (attentes implicites, formes attendues de réponses, guidage, etc.) et de nous orienter dans le choix des indicateurs en vue d'une analyse statistique approfondie.

## CONTENU DU POSTER :

Ainsi, le poster présentera les premiers résultats issus des tests diagnostiques : les types d'erreurs observées et les zones de blocage ; une typologie des profils d'élèves fondée sur leurs réponses ; l'analyse des effets de contrat à la lumière de la TSD ainsi qu'une analyse des processus mentaux et stratégies adoptées par les élèves Butlen (2004). Ces premières conclusions seront mises en regard avec le travail d'accompagnement conduit avec les enseignants des classes concernées.

Les premiers résultats révèlent une grande hétérogénéité entre classes, non seulement dans les performances, mais aussi dans la manière dont les élèves interprètent ce qu'on attend d'eux. Exemple : Certains adoptent une **démarche par essais-erreurs**, en posant plusieurs calculs avant d'en sélectionner un. D'autres s'appuient sur des **mots-clés** sans analyser la situation : par exemple, en lisant « moins que », ils posent automatiquement une soustraction, même si le problème nécessite une addition. Face à « fois plus », certains posent une multiplication sans réfléchir à la structure du problème. On observe aussi des élèves qui **écrivent une réponse au hasard**, simplement pour ne pas laisser le cadre vide, ce qui interroge sur les attentes implicites de « devoir répondre quoi qu'il arrive ».

Ces réponses donnent à voir l'influence du contrat didactique dans les classes Brousseau (1986). Pour le colloque, nous montrerons en quoi la transition entre le CM2 et la 6ème s'accompagne d'une modification du contrat didactique qui a des effets sur les résultats des élèves.

## RÉFÉRENCES

* Brousseau, G. (1986). *Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques*. Recherches en Didactique des Mathématiques.

* Butlen, D. (2004). *Apprentissages mathématiques à l'école élémentaire. Des difficultés des élèves de milieux populaires aux stratégies de formation des professeurs des écoles*.

* Habilitation à Diriger des Recherches en Sciences - Université Paris 8.

* DEPP (2021) *Évaluations de début de sixième en 2021*. Note d'information n° 22.04 – Février 2022.

* Houdement, C. (2017). *Résolution de problèmes arithmétiques à l'école*. Grand N, 100, 59-78.

* Vergnaud, G. (1990). *La théorie des champs conceptuels*. Recherches en didactique des mathématiques, 10 (2-3), 133-170
# THE THEORY OF DIDACTICAL SITUATIONS AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE: A FIRST STUDY

NIEDDU<fnref n="1" /> Giorgia, CARRISI<fnref n="2" /> Maria Cristina, POLO<fnref n="3" /> Maria

**Abstract** – We explore AI-powered chatbots as milieux in didactical situations, focusing on formulation and validation in TDS. We raise questions and perspectives for future research on the structuring of the milieu to better understand their role in learning environments.

**Keywords:** AI, Chatbot, TDS, Milieu

**Résumé** – Nous explorons les chatbots IA comme milieux en situations didactiques, en nous concentrant sur la formulation et la validation dans la TSD. Nous soulevons des questions et perspectives pour des travaux futurs sur la *structuration des milieux* afin de mieux comprendre leur rôle dans les environnements d'apprentissage.

**Mots-clés** : IA, Chatbot, TSD, Milieu

## KEY ELEMENTS

The emergence of chatbots has led to their spontaneous and often unstructured use in classrooms, raising questions about their integration in mathematics education. Since we neither know nor can generally intervene in how they produce their responses, which are moreover not guaranteed to be valid, chatbots are often referred to as black boxes (Emprin & Richard, 2023). Their unpredictability is likely to create unexpected situations when used in the classroom, requiring teachers to make micro-decisions (Comiti et al., 2009). Our initial study (Nieddu et al., 2024) also noted that chatbots appear to adapt to the context and user's requests, showing a dynamic similar to a didactical contract between the user and the chatbot. Finally, they are not specifically designed for mathematical or educational purposes.

## AI AND STRUCTURING OF THE MILIEU

According to Brousseau's TSD, a didactical situation should include elements that constitute an adidactical *milieu*, devoid of didactical intentions, which acts as an antagonist to the students, modifying their knowledge in ways beyond their direct control. The interaction with the milieu can trigger, through a process of devolution, a situation that is perceived as adidactical by the student. We ask whether an AI-powered chatbot, not specifically designed for education or mathematics and inherently unpredictable, could serve as (part of) an adidactical *milieu* in a didactical situation. In a pilot experiment with undergraduate students, we observed students' deep engagement in dialogue with a chatbot, which we analyzed employing the *analyse ascendante a posteriori* as described by Comiti and colleagues (1995). The interaction with the chatbot seemed to have triggered sequences of unfinalised questions by students as their first, natural reaction, as a devolution of the problem to the chatbot, that we identified as S-3 phases. When students regained ownership, reflecting critically on the chatbot's responses, the

<footnote n="1">¹ Università degli Studi di Macerata – Italy – g.nieddu@unimc.it</footnote>

<footnote n="2">² Università degli Studi di Cagliari – Italy – mariacri.carrisi@unica.it</footnote>

<footnote n="3">³ Università degli Studi di Cagliari – Italy – mpolo@unica.it</footnote>
devolution was restored (in this case without teacher's intervention), and formulation processes at S-2 level followed. Formulation, which requires students to articulate their actions through interaction with a *milieu* that provides feedback, is defined by Brousseau as the exchange of information coded into a language (Brousseau, 2002). We observed in the students' groups rapid and repeated shifts between the phases S-3 and S-2 described above, and therefore defined this alternation as a double devolution dialectic, in which responsibility shifts at different moments from the chatbot to the student—who reclaims it—and vice versa. To fully control these processes, teachers need to establish macro-decisions during *a priori* curriculum design (*analyse descendante*), while also making micro-decisions to restore devolution in real time.

## FUTURE PERSPECTIVES

An didactical situation needs a validation (at least empirical) *milieu*, which shows whether the goal has been achieved, without teacher intervention; since we noticed, in our pilot experiment, that students tried to use the chatbot as a milieu for validation, while at the same time not fully trusting its answers—leading to frustration and moments of impasse—we believe it is important to explore the use of chatbots in combination with a dedicated (empirical) validation tool and to address other settings relevant to classroom activity design. We also intend to explore double devolution dialectics; we believe that changes in how devolution is activated will lead teachers to make different kinds of demands on students, with significant implications for the didactical contract. The growing presence of chatbots in schools requires teachers and researchers' reflection on macro-decisions in curriculum planning for the emerging AI era.

## REFERENCES

Brousseau, G. (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield, Eds.; Vol. 19). Kluwer Academic Publishers. https://doi.org/10.1007/0-306-47211-2

Comiti, C., Grenier, D., & Margolinas, C. (1995). Niveaux de connaissances en jeu lors d'interactions en situation de classe et modélisation de phénomènes didactiques. In G. Arsac, J. Gréa, D. Grenier & A. Tiberghien (Eds.), Différents types de savoirs et leur articulation (pp. 92-113). Grenoble La Pensée Sauvage.

Emprin, F., & Richard, P. R. (2023). Intelligence artificielle et didactique des mathématiques: État des lieux et questionnements. Annales de didactique et de sciences cognitives, 28, 131–181.

Nieddu, G., Carrisi, M. C., Polo, M., & Zurru, A. L. (2024). Analysis of GPT-4's responses: An unconventional student. In Faggiano E., Clark-Wilson A., Tabach M., Weigand H.G. (Eds.), *MEDA4* (p. 440-441), Università di Bari Aldo Moro.
# Thématique 3

THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES ET DÉVELOPPEMENT PROFESSIONNEL DES ENSEIGNANTS

RESPONSABLES : ANNE CORTELLA, EDITH PETITFOUR
CONFÉRENCES
CONFÉRENCE 1

RAYONNEMENT DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DANS L'ENSEIGNEMENT
ORDINAIRE EN FRANCE

PERRIN-GLORIAN<fnref n="1" /> Marie-Jeanne, DIDIER<fnref n="2" /> Guillaume, EMPRIN<fnref n="3" /> Fabien

Selon Guy Brousseau, l'ingénierie didactique n'est pas une proposition pour l'enseignement
ordinaire. Cependant la théorie des situations aide à comprendre et améliorer l'enseignement.
Dès 1973, Guy Brousseau organise avec François Colmez le premier colloque des professeurs
d'école normale qui sera à l'origine de la création de la COPIRELEM qui a joué et continue à
jouer un rôle important dans la formation des enseignants du premier degré. Son pendant pour
le second degré, la CORFEM, s'est créé une vingtaine d'années plus tard. Des concepts de la
théorie des situations comme ceux de variable didactique, contrat didactique,
institutionnalisation ont influencé l'enseignement ordinaire en France, notamment en primaire
et au collège, via la formation dans les IUFM, les ESPE, les INSPE ou les groupes IREM et les
ressources produites en direction des enseignants ou des formateurs. Il faudrait des recherches
pour mesurer l'impact de la théorie des situations sur l'enseignement en France et dans le
monde. Notre conférence sera plutôt de l'ordre du témoignage. Nous reviendrons sur ce que
Guy Brousseau (1989) lui-même a dit sur l'utilité de la théorie des situations pour un professeur
de collège et aussi sur le rôle des professeurs dans les expérimentations du COREM tel qu'il
apparaît dans le livre de Guy et Nadine Brousseau et Virginia Warfield (Brousseau, Brousseau
et Warfield, 2014). Nous illustrerons cette utilité pour créer des situations pour l'enseignement
ordinaire et les gérer, à travers un exemple au collège et à travers l'aventure Ermel qui dure
depuis cinquante ans.

Cependant, les situations produites pour les recherches diffusent plus vite dans l'enseignement que les concepts qui ont aidé à leur production et à leur usage dans ces recherches. Or, la gestion d'une situation adidactique est très exigeante pour les enseignants et pose la question de leur formation et de celle des formateurs. Au-delà des exemples, nous nous demanderons quelle transposition didactique de concepts et de résultats de la théorie des situations pourrait éclairer les enseignants dans leurs pratiques ordinaires. Travailler cette question nécessite une collaboration étroite entre chercheurs, enseignants et formateurs, ce qui a toujours été au principe des IREM. Il y a en effet un risque de glissement métadidactique, repéré dès le début de ses travaux par Guy Brousseau, quand des moyens d'enseignement créés pour la recherche diffusent dans l'enseignement sans contrôle des conditions qui permettent l'apprentissage par les élèves des mathématiques visées.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (2009). Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège. *Petit x*, 21, 47-68.

Brousseau, G., Brousseau, N. & Warfield, V. (2014). *Teaching Fractions through Situations: A Fundamental Experiment*. Springer.

<footnote n="1">¹ LDAR, Université Paris-Cité (France)</footnote>

<footnote n="2">² Collège Danton (Levallois Perret), INSPE de Paris et IREMs de Paris (France)</footnote>

<footnote n="3">³ CEREP, Université de Reims Champagne-Ardenne (France)</footnote>
CONFÉRENCE 2

THE ROLE OF DIDACTIC SITUATIONS IN TEACHER EDUCATION: EPISTEMOLOGICAL
AND DIDACTIC MODELS?

BOSCH<fnref n="1" /> Marianna, STRØMSKAG<fnref n="2" /> Heidi

This talk pays tribute to Guy Brousseau's transformative contributions to didactics as a science by exploring two uses of the Theory of Didactic Situations (TDS) in mathematics teacher education. Drawing from our research and teaching practices, we present how TDS serves as both a theoretical lens and a practical tool in preparing future mathematics teachers to deal with school mathematics and navigate the intricate dynamics of didactic processes.

The first part will exemplify how fundamental situations have been used to provide future teachers with adapted mathematical infrastructures to deconstruct and reconstruct some areas of school mathematics. The epistemological rupture created by the notion of fundamental situation finds here a genuine function by providing alternative definitions of mathematical knowledge for an educational purpose.

An analysis of two didactic phenomena, the Topaze effect and the funnel pattern, will be presented in the second part (Strømskag, 2024). TDS tools are used in a systemic analysis to understand why the phenomena occurred, complementing a psychological analysis using social interactionist theory. It is further highlighted how TDS is used to guide student teachers in designing, implementing, and analysing classroom experiments (Strømskag, 2018). By comparing a priori and a posteriori analyses of their instructional designs, student teachers gain insights into how the didactic milieu and the didactic contract shape pupils' engagement with the target knowledge.

Our presentation celebrates Guy Brousseau's enduring legacy, illustrating how TDS continues to contribute to the development of mathematics education as a scientific discipline and, in doing so, advances mathematics teaching as a full profession.

LE RÔLE DES SITUATIONS DIDACTIQUES EN FORMATION DES ENSEIGNANTS :
MODÈLES ÉPISTÉMOLOGIQUES OU DIDACTIQUES?

BOSCH<fnref n="1" /> Marianna, STRØMSKAG<fnref n="2" /> Heidi

Cette conférence à deux voix rend hommage aux contributions révolutionnaires de Guy Brousseau à la didactique en tant que science en explorant deux utilisations de la théorie des situations didactiques (TDS) dans la formation des enseignants de mathématiques. En nous appuyant sur nos recherches et nos pratiques d'enseignement, nous présentons comment la TDS sert à la fois d'objectif théorique et d'outil pratique pour préparer les futurs enseignants à traiter les mathématiques scolaires et à naviguer dans la dynamique complexe des processus didactiques.

La première partie illustrera comment les situations fondamentales sont utilisées pour fournir aux futurs enseignants des infrastructures mathématiques adaptées pour déconstruire et reconstruire certains domaines des mathématiques scolaires. La rupture épistémologique créée

<footnote n="1">¹ Université de Barcelone, Espagne</footnote>

<footnote n="2">² Université norvégienne des sciences et de la technologie, Trondheim</footnote>
par la notion de situation fondamentale trouve ici une véritable fonction en apportant des définitions alternatives des mathématiques scolaires à des fins éducatives.

Une analyse de deux phénomènes didactiques, l'effet Topaze et le funnel pattern (modèle entonnoir), sera présentée dans la deuxième partie (Strømskag, 2024). Les outils de la TSD sont utilisés dans le cadre d'une analyse systémique pour comprendre pourquoi les phénomènes se sont produits, en complément d'une analyse psychologique utilisant la théorie de l'interactionnisme social. Cela illustrera comment la TDS est utilisée pour guider les enseignants en formation dans la conception, la mise en œuvre et l'analyse d'expériences en classe (Strømskag, 2018). En comparant les analyses a priori et a posteriori de leurs conceptions didactiques, les enseignants en formation comprennent mieux comment le milieu adidactique et le contrat didactique façonnent le rapport des élèves aux connaissances en jeu.

Notre présentation célèbre l'héritage durable de Guy Brousseau, en illustrant comment la TSD continue de contribuer au développement de la didactique en tant que discipline scientifique et, ce faisant, fait progresser l'enseignement des mathématiques en tant que profession de plein droit.

## RÉFÉRENCES

Strømskag, H. (2018). A model for instructional design in mathematics implemented in teacher education. In V. Durand-Guerrier, R. Hochmuth, S. Goodchild, & N. M. Hogstad (Eds.), *Proceedings of INDRUM2018* (pp. 422–428). University of Agder and INDRUM. https://hal.science/hal-01849924

Strømskag, H. (2024). Complementary dimensions between the Theory of Didactic Situations in Mathematics and the Theory of Social Interactionism: Synthesizing the Topaze effect and the funnel pattern. *The Journal of Mathematical Behavior*, 76. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2024.101194
COMMUNICATIONS
LA DÉMARCHE D'ENSEIGNEMENT-APPRENTISSAGE DES MATHÉMATIQUES A
L'ÉPREUVE DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES EN CLASSES PRIMAIRES
IVOIRIENNES

ATTA<fnref n="1" /> Kouadio Yeboua Germain

**Résumé** – La Côte d’Ivoire a fait un changement curriculaire qui a entrainé des choix didactiques innovants tels que la prise en compte des principes de la théorie des situations didactiques. La collecte des données de l’étude est faite à l’aide de grilles d’analyse et d’observation. Les résultats montrent que les pratiques d’enseignants indiquent des difficultés d’ordre didactique et pédagogique. La tendance élevée du côté didactique trouve ses raisons dans le manque de formation des enseignants en didactique.

**Mots-clés** : Démarche d’enseignement-apprentissage, théorie des situations didactiques, Didactique, difficultés d’apprentissage, classes primaires.

# INTRODUCTION

## *Du contexte à l'ancrage théorique*

En 2004, l’enseignement primaire ivoirien a basculé de la PPO<fnref n="2" /> à l’APC<fnref n="3" />. Ce changement a occasionné de nouveaux paradigmes dans les situations de classe au primaire. Brousseau (1987) présente la situation comme un minimum de conditions dans lesquelles une connaissance mathématique peut se manifester par des décisions liées aux actions d’un sujet sur un milieu à travers des possibilités. En situation didactique, l’enseignant est modérateur et médiateur. La théorie des situations didactiques classe les situations en fonction de l’action, la formulation et la validation. A ces niveaux, s’ajoute l’institutionnalisation. Ces niveaux favorisent des formes de langages bâties sur des modèles implicites d’action (Brousseau, 1987). Ces modèles s’apparentent aux visées des théorèmes en acte (Vergnaud, 1991). Le sujet récupère le projet du maître à son compte pour en faire un projet personnel à travers le processus de dévolution. En action, il manifeste sa connaissance en entrant en interaction avec le milieu selon des règles, des consignes pour agir afin de choisir la solution adaptée. Cette action relève de plusieurs opérations. L’élève est placé devant un problème. Il réalise des actions pour s’y adapter par essai-erreur. La formulation permet de mettre en place un langage de reconnaissance, d’identification, de reconstruction, d’explication et de justification. L’apprenant formule des stratégies pour justifier ses choix. Cette formulation fait naître diverses opinions de soutien ou de rejet basées sur des schémas de corrections empiriques ou culturelles utilisant des théorèmes en actes. C’est la validation ou situation de preuve. L’émetteur n’est plus un simple informateur mais un producteur d’idées et le récepteur, a l’obligation de coopérer. L’analyse de ces niveaux montre l’implication du sujet dans la construction des savoirs. Elle ne sera convaincante que lorsque l’enseignant lui donne un statut institutionnel. C’est le niveau d’institutionnalisation. Les théorèmes en acte sont remplacés par des théorèmes dont les fondements sont connus et démontrés sur les plans scientifique et institutionnel. Dans ce domaine de validité, ils conduisent au succès de l’action. Lorsqu’ils sont en dehors de ce domaine de validité, ils conduisent à l’échec. L’enjeu est de donner du sens au savoir.

<footnote n="1">¹* Ecole Normale Supérieure (ENS) d'Abidjan – Côte d'Ivoire – leroiyeb@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">2 Pédagogie Par Objectifs</footnote>

<footnote n="3">3 Approche Par Compétences</footnote>
En classe, l'enseignant use de la consigne scolaire pour conduire chaque situation de la démarche de l'enseignement des mathématiques. En contexte ivoirien, il s'agit des situations du prérequis, de la présentation de la situation d'apprentissage, de la recherche, de la présentation des productions, de la validation, de la fixation, de la synthèse et de l'évaluation. La présentation de la situation d'apprentissage consiste à poser un problème dont le support est un texte, une image ou un conte. L'activité de recherche voit les apprenants discuter pour trouver la solution. Un groupe est choisi pour présenter les réponses de son groupe. L'élève représentant le groupe est invité à formuler des stratégies utilisées pour résoudre le problème. Les autres groupes se prononcent sur la validité des réponses du premier groupe. La notion validée est fixée par chaque apprenant avant qu'une synthèse ne soit faite comme l'essentiel à retenir. La consigne scolaire devient alors un outil opérationnel de la construction des savoirs. Ces activités de recherche semblent épouser les fondements de Brousseau (1987) lorsqu'il parle d'action. Chaque sujet développe sa stratégie qu'il met au service du groupe à travers les échanges. C'est à cette étape que l'apprenant fait sien le problème à l'issue d'un processus de dévolution (Kuzniak, 2005). Les activités de présentation des productions et l'étape des échanges entre les groupes s'apparentent respectivement aux étapes de formulation et de validation telles qu'envisagées par Brousseau (1987). Par l'implication graduelle de l'apprenant dans la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques, cette dernière semble s'inspirer des principes de la théorie des situations didactiques. Cette démarche se configure en trois grandes phases didactiques comprenant sept niveaux comme indiqué sur la figure 1.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>**Figure 1** – Cartographie de la démarche d'enseignement des mathématiques en classe primaire</figcaption></figure>

Pour Zakhartchouk (2007), la consigne est une injonction donnée à un élève pour réaliser une tâche. Elle doit être claire et précise (Nebout Arkhurst, 2007). Archer (2009) distingue deux types de consignes que sont les consignes simples ou doubles. Les consignes simples demandent une seule tâche. Les consignes doubles visent les tâches dépendantes ou indépendantes. La mise en route des activités s'inscrit dans une dimension sociale en mode tutelle telle que proposée par Bruner (1983). Les interactions deviennent des outils du tutorat didactique. Les individualités sont mises au service du groupe. Vygotsky (1998) souligne l'aspect social dans le développement cognitif de l'apprenant à travers le socioconstructisme. La réussite de cette démarche dépend des qualités professionnelles de l'enseignant. Il faut s'interroger alors sur la capacité des enseignants du primaire non formés aux grands principes de la théorie des situations didactiques à prendre en compte les exigences didactiques de cette théorie. Quels types de difficultés peuvent alors découler des pratiques en classe mathématique au primaire ivoirien ?
MÉTHODOLOGIE ET RÉSULTATS

Dispositif méthodologique

La population de l'étude est composée de soixante enseignants titulaires de dix écoles tenant des classes de CP1 au CM2. Leur expérience professionnelle varie de quatre à vingt-deux ans. Les diplômes de base sont le BEPC, le BAC, le BTS et la L2. Les outils de collecte de données sont constitués de grilles d'analyse et d'observation pour faire une comparaison entre les activités instituées aux différents niveaux de la théorie des situations didactiques et celles prescrites dans la démarche officielle de l'enseignement-apprentissage des mathématiques en classes primaires ivoiriennes (CE1 et CE2). Il est question de dégager les éléments de forme et de fond entre les situations conventionnelles de la théorie des situations didactiques et celles de la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques. La grille d'observation dégage les difficultés des situations d'enseignement - apprentissage. L'identification des valeurs de position des chiffres dans un nombre de trois chiffres au CE1 et de quatre chiffres au CE2 est l'objet mathématique abordé dans les séances observées. Au CE1, trente séances de trente-cinq minutes chacune ont été observées. Au CE2, il s'agit du même nombre de séances pour une durée de quarante-cinq minutes chacune. La grille utilisée est un tableau à quatre colonnes. La première colonne répertorie les différentes étapes de la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques. La deuxième décrit les difficultés observées et la troisième dégage leurs fréquences d'apparition. La quatrième colonne précise la nature didactique ou pédagogique de la difficulté observée. L'analyse consiste à observer la mise œuvre de chaque étape de la démarche d'enseignement-apprentissage, à répertorier les difficultés rencontrées (didactiques ou pédagogiques), à les quantifier en fréquences d'apparition. Cette analyse qualitative et quantitative vise à dégager la tendance ou la prévalence des types de difficultés lors de la mise en œuvre de la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques.

Résultats relatifs aux invariants et aux différences au niveau des tâches attendues

<table><thead><tr><th>Entités analysées<br>Etapes</th><th>Théorie des situations didactiques</th><th>Démarche d'enseignement-apprentissage</th><th>Remarques</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td></td><td>Prérequis</td><td>La mise en œuvre du prérequis reste implicite dans la théorie des situations didactiques et explicite dans la démarche d'enseignement des mathématiques au primaire.</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td>Présentation de la situation</td><td>Elle est explicite dans la démarche d'enseignement des mathématiques au primaire.</td></tr><tr><td>3</td><td>Action</td><td>Recherche</td><td>La situation d'action correspond à la recherche dans la démarche d'enseignement des mathématiques. Sans porter les mêmes noms, elles ont la même visée didactique : résoudre une situation-problème.</td></tr></tbody></table>

Retour à la table des matières, au programme
<table><caption>**Tableau 1 – Invariants et différences au niveau des tâches attendues**</caption><tr><td>4</td><td>Formulation</td><td>Présentation des productions</td><td>Avec des noms différents, ces deux niveaux servent à verbaliser les actions produites</td></tr><tr><td>5</td><td>Validation</td><td>Validation</td><td>Avec des noms identiques, ces deux niveaux convoquent la même intention didactique : apporter les preuves des déclarations dans la verbalisation.</td></tr><tr><td>6</td><td>Institutionnalisation</td><td>Fixation/Synthèse</td><td>Avec des noms différents, ces niveaux ont la même visée : formaliser le savoir scolaire à retenir.</td></tr><tr><td></td><td>Transfert</td><td>Exercice d'application</td><td>Avec des noms différents, ces niveaux servent à évaluer dans des contextes didactiques spécifiques.</td></tr></table>

Globalement, la démarche d'enseignement des mathématiques comporte plus de rubriques que la théorie des situations didactiques. Seule une rubrique se signale comme un invariant dans la dénomination. Il s'agit de celle de la « validation » qui reste constante dans sa dénomination, aussi bien dans la démarche d'enseignement des mathématiques au primaire ivoirien qu'au niveau de la théorie des situations didactiques. La théorie des situations didactiques dans sa structure ne prévoit pas explicitement de situation d'amorce dans la conduite d'une séance d'enseignement-apprentissage en mathématiques. Elle se réfère plutôt à des connaissances antérieures qui sont des leviers potentiels pour aborder les opérations de la situation d'action dans le processus de dévolution. Une différence notable reste à signaler dans les situations d'évaluation. La théorie des situations didactiques propose un exercice décontextualisé en évaluation. Les prescriptions officielles de la démarche d'enseignement des mathématiques prévoient un simple exercice d'application proche des modèles initiés lors des apprentissages.

Résultats de l'analyse des difficultés issues de l'observation de séance

<table><thead><tr><th>Etapes de la démarche observées</th><th>Descriptif des difficultés observées</th><th>Fréquences absolues</th><th>Qualification des difficultés observées</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Prérequis</td><td>Contenus de prérequis inadaptés</td><td>31</td><td>Didactique</td></tr><tr><td>Prérequis administrés et exécutés collectivement avec réponses orales</td><td>35</td><td></td></tr><tr><td>Prérequis exécutés sur ardoises sans contrôle, sans correction.</td><td>17</td><td rowspan="2">Pédagogique</td></tr><tr><td>Prérequis exécutés sur ardoises sans contrôle.</td><td>08</td></tr><tr><td></td><td>Mode de présentation non conforme aux prescriptions officielles.</td><td>40</td><td></td></tr><tr><td></td><td>Situations d'apprentissage présentées sans questions de compréhension.</td><td>33</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 2 – Fréquences des types de difficultés</caption><tbody><tr><td rowspan="3">Présentation de la situation</td><td>Caractéristiques attendues (circonstance, contexte, tâches) inadaptées, non conformes.</td><td>44</td><td rowspan="3">Didactique</td></tr><tr><td>Outils de résolution non indiqués dans les situations d'apprentissage.</td><td>38</td></tr><tr><td>Découverte précoce du titre de la séance avant l'étape de validation</td><td>22</td></tr><tr><td rowspan="5">Recherche</td><td>Consigne de travail non expliquée</td><td>15</td><td rowspan="5">Pédagogique</td></tr><tr><td>Absence de médiation dans les groupes</td><td>30</td></tr><tr><td>Fort guidage du maître dans les groupes avec réponses aux questions</td><td>31</td></tr><tr><td>Temps de recherche insuffisant</td><td>26</td></tr><tr><td>Activités de recherche menées collectivement avec implication active du maître (pas de travail de groupe)</td><td>11</td></tr><tr><td rowspan="3">Présentation des productions</td><td>Difficultés de verbalisation des actions présentées</td><td>18</td><td rowspan="3">Didactique</td></tr><tr><td>Productions présentées sans verbalisation</td><td>37</td></tr><tr><td>Absence de félicitations des bonnes réponses et justifications</td><td>25</td></tr><tr><td rowspan="5">Validation</td><td>Difficultés de verbalisation des contre-propositions et des contre-justifications des autres groupes</td><td>30</td><td rowspan="5">Didactique</td></tr><tr><td>Tendance de certains enseignants à valider des réponses et des justifications correctes sans référence aux autres élèves</td><td>23</td></tr><tr><td>Absence de félicitations des bonnes réponses et justifications</td><td>34</td></tr><tr><td>Position fixe de l'enseignant dans la classe au moment de la validation.</td><td>22</td></tr><tr><td>Titre de séance non découvert à l'étape de la validation</td><td>25</td></tr><tr><td rowspan="5">Fixation / Synthèse</td><td>Titre porté au tableau non fixé à l'oral et à l'écrit</td><td>23</td><td rowspan="5">Didactique</td></tr><tr><td>Synthèse faite par l'enseignant uniquement</td><td>31</td></tr><tr><td>Hésitation dans la formulation de phrases correctes</td><td>36</td></tr><tr><td>Trace écrite au tableau non lue</td><td>11</td></tr><tr><td>Activités de fixation non variées</td><td>25</td></tr><tr><td rowspan="3">Exercice d'application</td><td>Exercice d'application non cohérente</td><td>8</td><td rowspan="3">Pédagogique</td></tr><tr><td>Explicitation de la consigne d'évaluation</td><td>13</td></tr><tr><td>Utilisation non conforme du PLM1 pour évaluer</td><td>42</td></tr></tbody></table>

<footnote n="1">¹ Procédé Lamartinière : utilisation de l'ardoise en situation de contrôle</footnote>
Deux types de difficultés (didactiques et pédagogiques) émergent. Chacune d'elles a des caractéristiques plurielles. Sur les trente exemples de difficultés relevées, ceux de type didactique représentent les 2/3. Les exemples de difficultés en didactique concernent la non-conformité des caractéristiques des situations d'apprentissage (circonstance, contexte, tâches), l'absence des outils de résolution dans les situations d'apprentissage et la non-verbalisation des productions présentées. Les exemples de difficultés en pédagogie concernent l'utilisation non conforme du PLM pour contrôler les acquis, le mode inadapté de présentation de la situation d'apprentissage et les prérequis administrés et exécutés collectivement à l'oral.

## CONCLUSION

L'enseignement-apprentissage des mathématiques au primaire ivoirien obéit à une démarche dont les caractéristiques sont empruntées de la théorie des situations didactiques. Les terminologies dédiées aux différentes situations de la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques diffèrent des noms des niveaux de la théorie des situations didactiques à l'exception de l'étape de la validation perçue comme un invariant. Les pratiques de mise en œuvre de cette démarche génèrent deux types de difficultés (didactique et pédagogique) avec une prédominance du premier type. Les résultats trouvent du sens dans l'insuffisance de formation des concepteurs des programmes et des enseignants sur les théories de didactique des mathématiques, en particulier la théorie des situations didactiques. Un outillage en termes de formation sur la prise en compte des principes des grandes théories de la didactique aiderait à mieux implémenter la démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques en classes primaires ivoiriennes.

## RÉFÉRENCES

* Archer M. (2009). *Les verbes de consigne dans l'évaluation*. [Thèse de Doctorat, Université Alassane Ouattara de Bouaké].

* Brousseau G. (1987). *Etudes en didactique des mathématiques*. Université de Bordeaux-IREM.

* Bruner J. (1983). *Le développement de l'enfant : savoir-faire, savoir-dire*. PUF.

* Kuzniak, A. (2005). La théorie des situations didactiques de Brousseau, *Repères – Irem*, 61, 19-35.

* Nebout Arkhurst P. (2007). Consigne et contrat didactique : pour quelles stratégies didactiques en situation d'enseignement/apprentissage. *Revue ivoirienne d'anthropologie et de sociologie Kasa Bya Kasa*, 12, 96-110.

* Vergnaud G. (1991). La théorie des champs conceptuels. *Recherches en didactiques des mathématiques*, 2-3 (10), 133-169.

* Vygotsky S. (1998). *Pensée et langage*, (3e édition). La Dispute.

* Zakhartchouk J.M. (1999). *Comprendre énoncés et consignes*. CRDP.
# OSTENSION DES PRODUCTIONS DES ÉLÈVES

BEZARD-FALGAS<fnref n="1" /> Cécile, COULOMBEL<fnref n="2" /> Loïc

**Résumé** – Lorsque le professeur propose une situation a-didactique à ses élèves, ceux-ci vont produire des écrits. Ces écrits, que nous nommerons productions des élèves, vont devenir la pierre angulaire de l'enseignement par le jeu de leur ostension en classe. Ce texte a pour objectif de montrer que cette pratique développée au sein du groupe Didactique de l'IREM de Caen utilise certains concepts de la Théorie des Situations Didactiques.

**Mots-clés** : situation a-didactique, situation didactique, production des élèves, formulation, validation.

Dans son article « Le contrat didactique : le milieu », Guy Brousseau définit « l'objectif principal de l'enseignement comme le fonctionnement de la connaissance en tant que production libre dans ses rapports avec un milieu a-didactique » (Brousseau, 1990, p.324).
Cette définition donne à l'enseignant des directions fortes sur lesquelles il peut s'appuyer pour construire ses parcours d'enseignement-apprentissage.

Proposer une situation a-didactique permettant aux élèves de produire un écrit au regard de leurs connaissances et de leurs compétences devrait selon les membres de notre groupe IREM devenir un des objectifs de l'enseignant. D'autre part, cette situation devra s'accompagner d'un contrat didactique suffisamment clair pour proposer aux élèves cet espace de liberté nécessaire afin que la dévolution puisse se produire. La liberté des élèves dépendra de la capacité de l'enseignant à maintenir une topogénèse faible (Chevallard, 1999).

Les productions écrites des élèves vont révéler leurs connaissances sur lesquelles l'enseignant pourra s'appuyer pour les amener à intégrer un nouveau savoir, celui qui est la clé pour la résolution de la situation et qui doit devenir nouvelle connaissance. L'enseignant pourra aussi repérer certains obstacles didactiques ou cognitifs chez les élèves qu'il a en responsabilité.

Les productions vont montrer des niveaux de connaissances et de compétences hétérogènes qui vont permettre à l'enseignant de définir des paliers de connaissances et de compétences, au regard des programmes. C'est la gestion de ses productions que nous souhaitons développer dans cette présentation pour montrer que leur ostension participe à la construction du savoir chez les élèves.

# SITUATIONS ET PRODUCTIONS DES ÉLÈVES DANS LE CADRE DE LA TSD.

Dans notre groupe didactique de l'IREM de Caen, nous développons l'idée que les productions des élèves doivent venir enrichir le milieu initial d'une situation a-didactique dans laquelle ils ont été placés. Ainsi, les élèves sont invités à produire des écrits rendant compte de leur travail dans une situation d'action. Le contrat didactique mis en place en début d'année qui demande aux élèves d'écrire au stylo, de ne pas effacer et de ne pas utiliser de « blanco » favorise la compréhension des différentes stratégies des élèves.

Les productions doivent à notre sens être individuelles pour répondre à nos attentes. Guy Brousseau définit une production libre : « réponse au milieu gérée par le sens, c'est dire par ce que l'élève est capable d'interposer entre ses conditionnements, externes ou internes, et ses

<footnote n="1">¹ IREM de CAEN – FRANCE – cecile.bezard-falgas@ac-normandie.fr</footnote>

<footnote n="2">² IREM de CAEN – FRANCE – loic.coulombel@ac-normandie.fr</footnote>
décisions ; cela implique pour lui la possibilité actuelle, et non pas seulement potentielle, de
choisir entre plusieurs voies, pour des raisons « intellectuelles » ; cela implique aussi une
production personnelle » (Brousseau, 1990).

Le temps de production et le temps d'analyse doivent être bien différenciés.

Les productions sont ramassées et analysées. Certaines d'entre elles sont choisies par l'enseignant pour devenir des productions significatives qui seront ensuite projetées et proposées en analyse aux élèves de la classe.

Nous appelons productions significatives celles qui vont aider à construire le savoir mis en jeu ou bien reconstruire des connaissances antérieures insuffisamment intégrées. Ces productions correspondent en général à des paliers de connaissances et de compétences.

Les commentaires oraux des élèves, éléments de formulation et de validation explicite, syntaxique et sémantique, vont enrichir une nouvelle fois le milieu. La situation d'action, et cette situation de formulation et de validation forment une situation a-didactique durant laquelle les élèves pourront garder leur liberté de production.

Par expérience, ces débats en classe autour de productions d'élèves significatives et bien choisies favorisent la construction du savoir par les élèves.

Mais pour que cette construction soit pleine et complète, l'enseignant pourra proposer à la suite une nouvelle situation, didactique cette fois-ci, et sœur de la situation précédente. Cette nouvelle situation sera didactique car les productions des élèves doivent avoir permis de déceler et construire le savoir en jeu. Pour que le savoir devienne connaissance, le milieu doit peu évoluer. Un jeu sur les différentes variables didactiques du milieu permet de nouvelles situations de travail dans lesquelles les élèves devraient avoir plus de facilité à repérer le modèle en construction.

L'institutionnalisation pourra être installée à la suite de ces diverses situations proposées dans le milieu. Les changements de cadre (Douady, 1986) pourront alors être proposés pour consolider encore davantage le savoir mis en jeu.

Cette structure didactique dans laquelle nous retrouvons la situation d'action, la formulation, la validation et l'institutionnalisation, prend appui sur les productions des élèves.
Nous présentons maintenant une situation élaborée suivant la méthode décrite.

## UN EXEMPLE : UNE ENTRÉE DANS L'ALGÈBRE EN CLASSE DE 3ÈME

Afin d'aborder le travail algébrique, la situation suivante a été proposée à une classe de 3ème (14-15 ans) dans un collège de la banlieue de Caen au mois de novembre 2024. Les classes de ce collège sont hétérogènes au regard des indicateurs de positions sociales.

*La situation d'action*

La situation d'action suivante est donnée :
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 1 – Situation d'action</figcaption></figure>

La situation ne comporte pas de difficultés de compréhension, si ce n'est l'interprétation libre que chacun peut faire de la question posée. La situation d'action présentée appartient bien à une situation a-didactique : les attentes de l'enseignant ne sont clairement pas lisibles et la situation permet aux élèves de nombreuses prises d'initiatives.

Comme expliqué dans la partie I, les productions des élèves sont ramassées puis analysées par le professeur.

## L'analyse des productions

Que nous racontent ces productions ? C'est ce que nous pouvons maintenant voir dans l'analyse des productions sélectionnées et hiérarchisées par le professeur. Les productions présentées ci-dessous se distinguent par des différences d'écritures mathématiques et par l'existence d'un lien avec l'algèbre.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 2 – Production 1.</figcaption></figure>

Dans cette production 1, l'élève choisit un nombre (10) et fait fonctionner les deux programmes. Les calculs sont dissociés et l'élève conclut « si on choisit le même nombre les deux programmes donnent le même résultat ».
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 3 – Production 2.</figcaption></figure>

Dans cette production 2, les programmes sont présentés sous une forme schématique. Le nombre 4 est choisi comme nombre de départ. L'élève arrive à la même conclusion que la production précédente.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 4 – Production 3.</figcaption></figure>

Dans cette production 3, l'élève choisit le nombre 2 comme nombre de départ mais les calculs sont présentés en une seule expression numérique. La conclusion est identique aux productions précédentes.
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 5 – Production 4.</figcaption></figure>

Dans cette production 4, plusieurs nombres sont choisis et les calculs sont présentés sous la forme d'une seule expression numérique. Nous retrouvons la même conclusion.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 6 – Production 5.</figcaption></figure>

Dans cette production 5, des expressions algébriques expriment chacune des étapes du programme. L'élève ne semble pas pouvoir conclure à partir de ces écritures. Il choisit donc de prendre 5 comme exemple. Sa conclusion a été écrite en deux temps. On peut lire la conclusion identique aux productions précédentes mais barrée : « le même nombre » est remplacé par « 5 ».
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 7 – Production 6.</figcaption></figure>

Cette production 6 peut être considérée comme une production experte. On y retrouve les expressions algébriques correspondant aux deux programmes mais aussi l'utilisation de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition pour transformer la première expression afin de retrouver la deuxième expression.

L'analyse de ces productions montre bien l'existence de différents paliers de connaissances et compétences dans la classe.

### L'ostension des productions : situation de formulation et de validation

Après analyse par l'enseignant, ces productions ont été montrées successivement aux élèves quelques jours plus tard afin d'être commentées. Différer l'ostension des productions nous semble important. Les élèves ont un peu oublié ce qu'ils ont pu écrire, ils peuvent avoir un regard neuf sur les propositions mises en discussion.

Les cinq premières productions ont donc été proposées en débat de classe dans ce même ordre. Les élèves sont invités à faire des commentaires sur les productions et d'expliciter ce qu'ils en comprennent. La comparaison des différentes productions suivant les paliers permet aux élèves de retravailler certaines écritures puis de se poser la question de la preuve dans ce cas précis. La différenciation entre « expressions numériques » et « expressions algébriques » est faite. L'utilisation d'une lettre est discutée en classe. Elle prend son sens dans cette situation, ce qui permet à certains élèves de pouvoir comprendre ce qu'il n'avait pas réussi à faire les années antérieures.

Après la production 5, dans laquelle apparaissent les premières expressions algébriques, le professeur revient sur la situation et demande à tous les élèves d'écrire les expressions algébriques correspondantes à chacun des programmes. En interrogeant la classe sur les expressions obtenues et ce que l'on peut en dire, le groupe classe peut comprendre qu'il y a nécessité de transformer une de ces expressions. Un élève, peut-être celui de la production 6, propose d'utiliser la distributivité et de réduire la nouvelle expression. La production 6 peut alors être montrée à la classe.

Nous pouvons considérer que ce travail sur l'ostension des productions des élèves correspond à une situation de formulation et de validation à la suite de laquelle des temps d'institutionnalisation vont pouvoir aussi être placés (Ouvrier-Buffet,2024).
Des « situations sœurs »

Ces ostensions de productions ont permis à certains élèves de prendre connaissance des paliers d'apprentissage. Mais pour pouvoir se hisser au niveau de compétences attendu, nous avons proposé aux élèves des « situations sœurs ». Brousseau (1972) parle de situations comparables : « Lorsqu'un enfant dans une suite de situations comparables (qui réalisent une même structure) a une suite de comportements comparables (qui relèvent d'une même conduite), on est fondé à estimer qu'il a perçu un certain nombre d'éléments et de relations de cette structure. Il a donc au moins un certain modèle mental de cette situation. » (Brousseau, 1972, p. 429).

Voici les situations qui ont été proposées à la classe dans le prolongement.

Pour chacune des situations, les programmes A et B doivent se correspondre.

<table><caption>Figure 8 – Des situations sœurs.</caption><thead><tr><th>Situations sœurs</th><th>Programme A</th><th>Programme B</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Choisir un nombre.<br>Lui retrancher 6.<br>Multiplier le résultat obtenu par 5.<br>Ajouter le triple du nombre choisi au départ.</td><td>Choisir un nombre.<br>Le multiplier par 8.<br>Retrancher 30 au résultat.</td></tr><tr><td>2</td><td>Choisir un nombre.<br>Lui ajouter 3.<br>Multiplier le résultat par le nombre de départ.</td><td>Choisir un nombre.<br>Le mettre au carré.<br>Ajouter le triple du nombre choisi au départ.</td></tr><tr><td>3</td><td>Choisir un nombre.<br>Lui ajouter 7.<br>Multiplier le résultat obtenu par 4.<br>Ajouter le double du nombre choisi au départ.</td><td>Choisir un nombre.<br>Le multiplier par « ? ».<br>Ajouter « ? » au résultat.</td></tr><tr><td>4</td><td>Choisir un nombre.<br>Lui ajouter 5.<br>Multiplier le résultat par 3.<br>Ajouter le double du nombre choisi au départ.</td><td>?</td></tr><tr><td>5</td><td>?</td><td>Choisir un nombre.<br>Le multiplier par 6.<br>Ajouter 15 au résultat.</td></tr></tbody></table>

Les situations 4 et 5 (figure 8) travaillent une forme de réversibilité. Dans la situation 4, les élèves doivent écrire le programme correspondant à l'expression qu'ils ont obtenue après transformation. Dans la situation 5, les élèves doivent trouver une expression algébrique plus complexe, nécessaire à une transformation, écrire le programme de calculs correspondant.
## Les changements de cadre

Suite à ce travail, un premier changement de cadre est proposé, en passant d'un cadre numérique à un cadre algébrique.

Deux expressions algébriques A et B sont données aux élèves, et il leur est demandé si l'on peut dire que $A(x) = B(x)$ pour toutes les valeurs de $x$.

$$1. A(x) = 4(x + 3) + 2(x + 5) \text{ et } B(x) = 6x + 22$$

$$2. A(x) = 5(2x + 2) + 6(3x + 4) \text{ et } B(x) = 28x + 17$$

$$3. A(x) = (x + 3)(x + 2) \text{ et } B(x) = x^2 + 5x + 6$$

Les deux premiers cas permettent de retravailler la distributivité simple déjà revue en classe et le troisième cas permettra de commencer à voir la distributivité double.

D'autres changement cadre sont alors effectués. Un travail spécifique sur les distributivités est aussi proposé dans la continuité.

## CONCLUSION

Nous avons cherché à montrer à travers un exemple comment, à partir d'une situation d'action bien choisie, l'ostension des productions des élèves constitue une situation de formulation et de validation pour former au final une situation a-didactique.

Nous proposons de développer ces pratiques professionnelles qui s'appuient sur certains concepts didactiques de la TSD. à travers d'autres exemples dans une communication.

Ce travail d'ostension des productions nous semble crucial pour la construction des savoirs fondamentaux. Il permet une gestion de l'hétérogénéité des classes. Il se place dans les paradigmes psychologiques du constructivisme et du socio-constructivisme. Il est source de motivation pour tous les élèves et va à rebours des groupes de niveaux ou de besoins actuellement en vogue.

Nous proposons aussi de montrer comment ces pratiques ont pu être sujet de formation dans le cadre des formations continues avec un travail spécifique sur les notions de situations didactiques ou a-didactiques, l'analyse des productions des élèves et la construction d'un parcours-enseignement qui pourrait en découler.

## RÉFÉRENCES

* Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique : le milieu. *Recherches en didactique des mathématiques*, 9 (3), 309-336.

* Brousseau, G. (1972). Processus de mathématisation. *Bulletin de l'A.P.M.E.P.*, 282, 57-84.

* Chevallard, Y. (1999). L'analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. *Recherches en didactique des mathématiques*, 19 (2), 221-266.

* Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. *Recherches en didactique des mathématiques*, 7 (2), 5-31.

* Ouvrier-Buffet, C. (2024). Théorie des Situations Didactiques et situations de preuve : étude de deux exemples, *epiDEMES*, 3, 1-23.
# LE SYMÉTRISEUR : DE LA CONCEPTION D'UN ARTEFACT À L'INSTRUMENTATION DE CONCEPTS MATHÉMATIQUES

BEZARD-FALGAS<fnref n="1" /> Cécile, COULOMBEL<fnref n="2" /> Loïc, PETITFOUR<fnref n="3" /> Edith

**Résumé** – Notre contribution porte sur la présentation d'une situation d'enseignement, *le symétriseur*, élaborée dans le cadre d'un groupe de travail académique sur les élèves à besoins éducatifs particuliers. Nous donnons à voir de quelles façons des concepts de la théorie des situations ont outillé professeurs, inspectrices et chercheurs dans la conception d'une situation inclusive pour enseigner les mathématiques.

**Mots-clés** : symétriseur, instrumentation, situation inclusive, variables didactiques, analyse *a priori*

Notre contribution porte sur la présentation d'une situation d'enseignement, conçue au sein d'un groupe de travail<fnref n="4" /> académique œuvrant à la production de ressources pour aider les enseignants à la prise en compte des élèves à besoins éducatifs particuliers en cours de mathématiques. Nous donnons à voir de quelles façons des concepts de la théorie des situations (Brousseau, 1998) ont été utilisés dans le processus d'élaboration de ressources répondant au projet du groupe, en présentant d'abord notre méthode de travail, puis l'une des ressources en cours d'élaboration : *le symétriseur*.

## MÉTHODE D'ÉLABORATION DE « SITUATIONS INCLUSIVES »

La première année de travail en vue de la production de ressources s'est déroulée de la façon suivante. Les enseignants sont d'abord invités, par binôme, à penser une « situation inclusive » d'enseignement sur un thème mathématique de leur choix, c'est-à-dire une situation telle que tous les élèves, quelles que soient leurs difficultés, puissent s'impliquer et apprendre. La situation est mise en œuvre dans une classe d'un des enseignants concepteurs, tandis que l'autre participe, avec les chercheurs, aux captations vidéo, entretiens avec des élèves et analyses « à chaud » de la séance menée. Par la suite, les deux enseignants et les chercheurs visionnent individuellement un extrait filmé portant sur un groupe d'élèves qui intéresse plus particulièrement l'enseignant de la classe et chacun sélectionne des épisodes remarquables en lien avec l'objectif poursuivi pour la ressource.

Suite à une découverte des tâches données aux élèves par une mise en situation, le groupe de travail mène une analyse *a priori* (Brousseau, 1998) de la situation d'enseignement-apprentissage expérimentée : il identifie les variables didactiques choisies, les procédures possibles et connaissances mathématiques en jeu associées dans la résolution des tâches ; il repère les éléments du milieu et les rétroactions possibles ; il envisage les difficultés ou obstacles potentiels. En appui sur cette première analyse didactique, l'analyse *a posteriori* est réalisée avec des outils d'analyse sémiotique (Petitfour et al., 2022) à partir de visionnages des épisodes choisis. Les analyses permettent d'approfondir la compréhension et l'interprétation des actions des élèves, de leurs productions et interactions au sein de la classe, et de déceler des

<footnote n="1">¹ IREM de Caen – France – cecile.bezard-falgas@ac-normandie.fr</footnote>

<footnote n="2">² IREM de Caen – France – loic.coulombel@ac-normandie.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Laboratoire de Didactique André Revuz – France – edith.petitfour@univ-rouen.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ En 2022-2023, le groupe formé de six professeurs de mathématiques et deux inspectrices a été accompagné par des chercheurs et le projet soutenu par l'Institut National Supérieur du Professorat et de l'Éducation Normandie Rouen-Le Havre.</footnote>
leviers ou des obstacles aux apprentissages visés. La situation est alors expérimentée par le
second enseignant concepteur. Les données sont recueillies et analysées suivant la même
démarche que celle adoptée pour la première mise en œuvre. Cela permet d'enrichir l'analyse
a priori de la situation. Pour finir, un moment de présentation de la situation à des enseignants
qui la découvrent et qui sont volontaires pour l'expérimenter permet de discuter des choix de
valeurs de variables didactiques et d'expliciter des conditions repérées comme favorisant une
accessibilité aux savoirs enseignés.

Nous présentons maintenant une situation élaborée suivant la méthode décrite.

LE SYMÉTRISEUR

Le symétriseur est la situation proposée par les premiers auteurs de ce texte, membres du groupe didactique de l'IREM de Caen, qui souhaitaient faire vivre une activité pensée par leur ancien collègue de l'IREM Jacques Duval. Cette activité leur semblait appropriée pour répondre à la commande de « situation inclusive » en mathématiques faite par la chercheure, troisième auteure de ce texte. L'activité consiste à placer des élèves de niveau sixième en action, par groupe de trois, pour qu'ils produisent un instrument permettant de placer le plus précisément possible le symétrique d'un point donné par rapport à une droite donnée. Au préalable, les élèves ont travaillé sur la reconnaissance de figures symétriques avec l'utilisation d'un calque pour s'auto-corriger et ils ont appris à repérer visuellement des points symétriques. L'originalité de la situation, par rapport à la recherche conduite par Régis Gras (1983) autour de « l'instrumentation de la symétrie avec l'usage d'une machine », réside dans le fait que la conception de l'instrument (Rabardel, 1995) est à la charge des élèves : de la fabrication de l'artefact à l'élaboration de ses schèmes d'utilisation.

Nous exposons d'abord des éléments curriculaires sur l'enseignement de la symétrie axiale, ainsi que des obstacles inhérents à l'enseignement de cette notion identifiés par la recherche. Nous présentons ensuite la situation et des éléments issus de nos analyses.

Symétrie axiale : programmes scolaires et obstacles

La symétrie axiale est abordée dès l'école primaire. Les élèves apprennent à reconnaître si une figure admet un (ou des) axe(s) de symétrie visuellement, par pliage ou avec du calque. Ils complètent une figure par symétrie ou construisent le symétrique d'une figure par rapport à un axe d'abord par pliage ou usage de calque, puis ces procédures deviennent au cycle 3 (9-11 ans) un moyen de valider leurs tracés ou de corriger des erreurs. Au début le travail est mené sur papier quadrillé, avec un axe vertical ou horizontal, puis avec des axes obliques. La symétrie axiale comme une transformation ponctuelle est un objet d'apprentissage de la classe de sixième. La construction à la règle et à l'équerre est mise en lien avec la médiatrice d'un segment. Les élèves utilisent aussi la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment pour tracer à la règle et au compas la figure symétrique d'une figure par rapport à une droite. Les propriétés de conservation de la symétrie axiale sont également abordées.

Différents types d'obstacles peuvent apparaître en lien avec l'enseignement de la symétrie. Bautier (1996) mentionne l'existence d'un *obstacle perceptif* lorsque l'élève analyse des figures en termes de surfaces et non pas de segments, ou de segments et non pas de points. Par exemple l'élève évite de superposer deux figures (effet de surface), il prend en compte les directions horizontales et verticales du support (effet de bord), il ne s'autorise pas de constructions auxiliaires ou ne prend pas en compte l'alignement entre trois points. En appui sur les travaux d'Ernst Mach, Rouche (2001) précise qu'une configuration symétrique est plus difficile à
percevoir quand l'axe de symétrie n'est pas vertical, l'observateur ne pouvant plus réaliser une correspondance immédiate entre ses parties gauche et droite. Jahn (1998) pointe un *obstacle épistémologique* à la conception ponctuelle de la symétrie avec une rupture conceptuelle difficile pour les élèves lorsque les figures considérées comme des objets pris dans leur globalité (forme, dimension, position) doivent être vues comme un ensemble de points. Par ailleurs, lorsque la symétrie opère sur des figures, Bautier (1986) évoque un *obstacle épistémologique des figures* pointant le risque d'une conception hétérogène du plan : le plan semble être « un réceptacle neutre des figures », « indifférent à la transformation ». Des *obstacles didactiques* enfin sont liés aux instruments utilisés pour les constructions. Ourahay (1991) donne l'exemple du pliage et du quadrillage qui ne permettent pas de conceptualiser la relation d'orthogonalité associée à la symétrie, il souligne que le pliage conduit à caractériser la symétrie comme une ressemblance de deux parties séparées par l'axe de symétrie. Concernant le papier quadrillé, Grenier (1985) précise que son usage semble renforcer les procédures erronées s'appuyant sur une direction privilégiée (procédure de rappel horizontal ou vertical) : l'élève procède par comptage de carreaux sur une ligne du quadrillage de part et d'autre de l'axe, sans tenir compte de l'orientation de l'axe.

### Objectifs visés par les concepteurs de la situation d'enseignement et prérequis

La reconnaissance de figures symétriques avec un ou plusieurs axes n'est pas en général une difficulté pour nos élèves lorsqu'ils arrivent en sixième. L'utilisation du quadrillage au primaire les amène à positionner des points symétriques sans l'utilisation des instruments et à privilégier la définition de la médiatrice (droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu) comme savoir-outil. Dans ce cadre, la difficulté principale observée est l'utilisation correcte de l'instrument équerre.

L'objet d'enseignement en sixième porte sur les liens entre la représentation de la symétrie axiale et les savoirs liés à la médiatrice travaillés en amont. L'objectif principal d'enseignement devient alors de créer le lien entre la symétrie axiale et les propriétés de la médiatrice, orthogonalité et points équidistants. Il nous a semblé intéressant de proposer une situation de recherche dans laquelle le professeur peut lire les représentations des élèves sur la connaissance visée et utiliser leurs productions pour construire de nouvelles procédures instrumentées associées à cette connaissance. La situation proposée, situation d'action a-didactique, vise ainsi à donner du sens au choix et à l'usage des instruments associés au concept de symétrie axiale pour construire le symétrique d'un point par rapport à une droite, plutôt que s'appuyer sur un contrat d'ostension (Brousseau, 1998), comme illustré dans Matheron et al. (2002, p. 59). Enfin, la situation nous semble inclusive, notamment parce qu'elle permet une implication de chaque élève dans la recherche, chacun selon ses compétences : le problème à résoudre est consistant (sans solution immédiate) et accessible tant pour les élèves performants que pour les élèves habituellement en difficulté en mathématiques (Lesnes et al., à paraître).

### Construction d'un symétriseur et premiers usages

Les élèves sont placés par trois en groupes hétérogènes. Chaque groupe dispose d'une enveloppe dans laquelle se trouvent des bandes de papier uni (trouées ou pas), des bandes de papier millimétré, des barres métalliques trouées avec vis et écrous ou des barres en plastique, des attaches parisiennes, un élastique, des trombones et un bout de ficelle (figure 1). En plus de cette enveloppe ne sont autorisés qu'un crayon à papier, une gomme, de la colle et une paire de ciseaux. Une feuille blanche sur laquelle est tracée une droite oblique et placé un point A n'appartenant pas à la droite est distribuée à chaque groupe. Les élèves doivent construire à
l'aide du matériel à disposition un instrument qui permet de placer le plus précisément possible le symétrique du point A par rapport à la droite.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>**Figure 1 – Matériel et consignes pour chacune des deux classes**</figcaption></figure>

Une fois l'instrument construit, chaque élève du groupe doit placer des symétriques de trois points B, C et D où seul le point D appartient à la droite. Afin de valider la pertinence et l'efficacité de l'instrument conçu, un calque leur est distribué pour s'auto-contrôler.

Nous justifions pour terminer quelques choix de variables de la situation.

Des consignes écrites différentes ont été données dans les deux classes (figure 1). Elles ont été rédigées de façon indépendante par chacun des enseignants, suite à un échange sur la tâche à proposer aux élèves. Pour parler de l'instrument à construire et utiliser, le terme générique d'« outil » a été employé pour ouvrir le champ des possibles, ne pas laisser penser aux élèves que l'on attendait d'eux un objet existant qu'ils ne connaissaient pas. Le terme de « symétriseur » a été utilisé pour orienter vers la fabrication d'un objet unique dont le nom, probablement inconnu des élèves, les conduirait à une invention répondant à la fonction de « symétriser ». Dans les deux cas, le but était de convoquer la créativité des élèves.

Concernant l'organisation pédagogique, les élèves travaillent en groupe hétérogène du point de vue de leurs compétences en mathématiques et de leur profil (à besoins éducatifs particuliers ou non) : leurs idées peuvent être ainsi confrontées, discutées ; la manipulation en jeu participe à la dévolution, elle peut aussi bousculer les statuts des élèves dans le groupe classe. Un effectif de trois élèves par groupe contribue à ce qu'un tiers intervienne pour (in)valider les propos des deux autres. Une feuille commune pour le groupe impose des échanges autour de la manipulation, des développements d'idées en acte des uns par les autres.

Concernant les variables didactiques, l'orientation de l'axe sur le support, oblique, permet de mettre en défaut les constructions par rappel horizontal ou vertical et rend plus difficile la réussite de construction par perception visuelle. Le choix du matériel est déterminant pour la mise en jeu de propriétés de la symétrie axiale. Par exemple, les barres et les vis (ou bandes de papier et colle) permettent la construction d'un gabarit d'angle droit, puis d'une droite perpendiculaire à l'axe de symétrie. Bande de papier ou ficelle permet un report de longueur. Un dispositif mobile (cerf-volant ou losange) avec les barres en plastique ou les bandes de papier perforées reliées par des attaches parisiennes permet la mise en jeu de l'équidistance.

L'usage du calque (par retournement) ou la possibilité de plier le support permet de contrôler la production du point obtenu suite à l'utilisation du symétriseur construit et de tester ainsi la validité de l'instrument.
L'étude de situations de formulation et de validation associées à la situation d'action présentée est une perspective de recherche. Nous expérimentons actuellement la situation en formation initiale dans le but de construire et renforcer les connaissances des étudiants sur l'enseignement de la notion de symétrie axiale (Grenier-Boley et al., 2024). Cela nous permet de poursuivre l'étude des potentialités de la situation et d'enrichir l'éventail des modèles de symétriseurs associés aux connaissances mathématiques qu'ils mettent en jeu.

## RÉFÉRENCES

Bautier T. (1986) Les activités expérimentales introductives à la symétrie orthogonale en collège, *Actes de la 4e école d'été de didactique des mathématiques*, IREM de Paris VII.

Bautier T. (1996). La symétrie orthogonale à l'école obligatoire. *Actes du 22e colloque COPIRELEM*, 103-129.

Brousseau G. (1998). *La théorie des situations didactiques*. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Gras R. (1983). Instrumentation de notions mathématiques : un exemple, la symétrie. *Petit x*, 1, 7-39.

Grenier D. (1985). Quelques aspects de la symétrie orthogonale pour des élèves de classes de 4e et 3e. *Petit x*, 7, 57-69.

Grenier-Boley, N., Lesnes, E., & Petitfour, E. (2024). Solving techniques of future mathematics teachers: the case of reflection. In A. S. González-Martín, G. Gueudet, I. Florensa and N. Lombard (eds.), *Proceedings of the Fifth Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics* (p. 707–708). Escola Universtària Salesiana de Sarrià – Univ. Autònoma de Barcelona and INDRUM.

Jahn A-P. (1998). Des transformations des figures aux transformations ponctuelles : étude didactique d'une séquence d'enseignement avec Cabri-Géomètre. Relations des aspects fonctionnels et géométrique en classe de seconde. Thèse de doctorat, UJF (Grenoble 1).

Lesnes, E., Petitfour, E., & Grenier-Boley, N. (à paraître). Étude des leviers d'accessibilité d'une situation d'enseignement sur la symétrie axiale. Dans I. Mayeur et L. Leduc (dir.), *Supports didactiques, ressources pédagogiques. Formes, (in-)égalités, autorités et pratiques*. Presses Universitaires de Liège.

Matheron Y., & Salin M.-H. (2002). Les pratiques ostensives comme travail de construction d'une mémoire officielle de la classe dans l'action enseignante, *Revue Française de Pédagogie*, 141, 57-66.

Ourahay M. (1991). La construction géométrique et les instruments classiques de construction. Bulletin AMQ, 21-26.

Petitfour E., & Houdement C. (2022). Des effets didactiques de microphénomènes sémiotiques en mathématiques. In C. Houdement, C. de Hosson et C. Hache (dir.), *Approches sémiotiques en didactique des sciences* (p. 209-244). ISTE Editions.

Rabardel P. (1995). Qu'est-ce qu'un instrument ? Appropriation, conceptualisation, mises en situation. CNDP-DIE, 61-65.

Rouche N. (2001). La géométrie et la nature des choses, *Repères IREM*, 43, 21-53.
# MODÉLISATION DES SITUATIONS DE RECHERCHE POUR LA FORMATION PROFESSIONNELLE DES ENSEIGNANTS

DA RONCH<fnref n="1" /> Mickaël, GANDIT<fnref n="2" /> Michèle, MILI<fnref n="3" /> Ismaël

**Résumé** – Ce texte décline les Situations de Recherche en Classe pour la formation des enseignants. Il met en avant leur rôle dans l'acquisition de savoirs mathématiques, didactiques ou à visée professionnalisante issus de deux systèmes enchâssés : celui de l'école et celui de la formation. La modélisation de ces systèmes met en évidence une double boucle de dévolution-institutionnalisation visant l'acquisition de ces différents types de savoirs.

**Mots-clés** : Situations de Recherche en Classe (SiRC), Situations de Recherche en formation des enseignants (SiRfe), savoirs mathématiques de types I et II.

## INTRODUCTION

Les Situations de Recherche dont il est question dans ce texte sont issues du modèle des Situations de Recherche en Classe (SiRC) proposé par Grenier et Payan (2002). L'objectif de ces SiRC, lorsqu'elles sont présentées à un public, quel qu'il soit, est de développer une activité qui se rapproche, à des degrés divers suivant la culture initiale des personnes, de celle du chercheur en mathématiques confronté à un problème mathématique. Les SiRC reposent sur des problèmes portant sur des objets mathématiques appréhendables par des représentations matérielles tangibles – les objets des mathématiques discrètes – et riches sur le plan épistémologique. Les stratégies initiales de résolution nécessitent peu de connaissances.

Lorsqu'elles sont utilisées en classe, dans le cadre d'ateliers Maths à Modeler (Gandit, 2014), les SiRC favorisent la mise en œuvre d'actions scientifiques (Chanudet et al., 2019, p. 456) de la part des élèves. L'institutionnalisation porte sur les résultats obtenus, la formulation du problème et des questions induites, les cheminements vécus dans la recherche, mais d'autres savoirs en jeu restent implicites, comme, par exemple, savoir que l'étude organisée de différents cas particuliers, en commençant par des cas simples, permet de comprendre un problème<fnref n="4" />. Nous les désignons par savoirs de type II. Par une mise en avant de ces savoirs de type II, nous montrons dans le paragraphe II comment les SiRC peuvent s'inscrire dans le cadre de la Théorie des Situations Didactiques (Brousseau, 1998) en jouant notamment sur deux plans : l'institutionnalisation et le contrat didactique.

Lorsqu'elles sont utilisées en formation, les SiRC permettent aux enseignants de s'interroger sur la nature de l'activité mathématique (Da Ronch & Mili, 2024a). L'institutionnalisation peut alors s'enrichir de connaissances didactiques et professionnelles. Ainsi, la partie III développe et précise les caractéristiques de ce que nous désignerons comme des Situations de Recherche en formation des enseignants (SiRfe).

<footnote n="1">¹ Haute École Pédagogique du Valais (HEP-VS) – Suisse – [mickael.daronch@hepvs.ch](mailto:mickael.daronch@hepvs.ch)</footnote>

<footnote n="2">² Université Grenoble Alpes – France – [michele.gandit@univ-grenoble-alpes.fr](mailto:michele.gandit@univ-grenoble-alpes.fr)</footnote>

<footnote n="3">³ Université de Fribourg– Suisse – [ismail.mili@unifr.ch](mailto:ismail.mili@unifr.ch)</footnote>

<footnote n="4">⁴ « réduction [...] de la complexité du problème », comme mentionné dans le Plan d'Études Romand</footnote>
INSCRIPTION DES SIRC DANS LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

Depuis les années 2000, les ateliers Maths à Modeler constituent le format dans lequel les SiRC sont mises en œuvre en classe, à raison d'une séance par semaine, sur six semaines. Ces ateliers aboutissent à un séminaire, à l'université, où les élèves présentent le problème, les résultats obtenus, les questions restées ouvertes et répondent aux questions posées. Ces présentations, outre qu'elles contribuent à l'objectif de simulation de l'activité du chercheur, constituent des preuves que les élèves ont acquis des connaissances.

Celles-ci relèvent de savoirs de deux types (Sackur et al., 2005). Le type I recouvre des définitions et des théorèmes concernant les objets en jeu dans la résolution du problème. Pour le type II, nous renvoyons à cette expression des auteurs (ibid., p. 67), « ce qu'il y a de plus à apprendre que les définitions et les théorèmes pour faire des mathématiques », mais nous en enrichissons la signification. Pour les auteurs, elle recouvre en effet les savoirs de la logique, ceux qui sont liés à la validité en mathématiques et à la sémiosis. Nous y ajoutons « les savoirs pratiques et heuristiques », ainsi désignés par Castela (2011, p. 38). Ces savoirs, de type II, dont la présence dans les SiRC est prépondérante par rapport aux savoirs de type I, restent néanmoins le plus souvent transparents. Aussi envisageons-nous (Deloustal-Jorrand et al., 2024) d'enrichir la définition initiale des SiRC afin de donner de la visibilité aux savoirs de type II et de garantir leur adidacticité par un contrat didactique spécifique (Brousseau, 1990 ; 1998). Nous ajoutons ainsi deux critères.

Le premier porte sur la mise en exergue de savoirs de type II en jeu dans l'instance du problème telle qu'elle est proposée aux élèves, par exemple, savoir prouver une impossibilité par un raisonnement par forçage ou encore savoir réduire la complexité du problème par l'étude systématique de cas particuliers de petite taille<fnref n="1" />. Le second critère porte sur le contrat didactique, fondé sur le débat scientifique en classe (Legrand, 1993). Ce type de contrat assure en effet la réalité des processus de dévolution et d'institutionnalisation (Brousseau, 1998) des savoirs de type II fixés au départ.

Ces SiRC enrichies de ces deux critères ont ainsi les caractéristiques d'une situation fondamentale au sens de Brousseau (1998) pour l'apprentissage de connaissances de type II. Elles peuvent vivre dans la formation des enseignants où l'institutionnalisation peut prendre en charge, en plus des savoirs mathématiques de type II, des savoirs didactiques, ainsi que d'autres savoirs à visée professionnalisante, permettant de rendre visibles certains savoirs transparents. La figure 1 résume les positions relatives des SiRC par rapport à la version enrichie décrite ci-dessus et par rapport à leur utilisation dans la formation professionnelle. Nous lui donnons le nom de *Situation de Recherche en formation professionnelle (SiRfp)*, où le vocable « professionnel » pourrait être décliné à travers différentes composantes : enseignants, ingénieurs, etc. Ce texte développe seulement dans la suite les *Situations de Recherche en formation des enseignants (SiRfe)*.

<footnote n="1">¹ Ce que des programmes ou des Plans d'Etudes mentionnent pourtant explicitement, à l'instar du Plan d'Etudes Romand (Suisse) qui stipule que les élèves doivent travailler la « réduction [...] de la complexité du problème ».</footnote>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>**Figure 1** – Situation de Recherche en Classe, Situation de Recherche en Classe enrichie, Situation de Recherche en formation des enseignants</figcaption></figure>

## LES SIRFE : UNE MODÉLISATION DES SYSTÈMES

### *Un changement d'institution*

Dans un premier temps, les formés se placent en posture d'élèves lorsqu'ils réfléchissent à la résolution du problème proposé dans la SiRC Ils rencontrent ainsi des savoirs S mathématiques de types I et II. Cette rencontre avec les savoirs S est susceptible de modifier leurs conceptions de l'activité mathématique.

Par ailleurs, les formés adoptent aussi une posture de futurs professionnels lorsqu'ils discutent et analysent les choix et les stratégies du formateur. Ils sont alors confrontés à des savoirs (Σ), relatifs à l'activité professionnelle, dont certains sont de nature didactique ou mathématique tels que l'adaptation des postures (Bucheton et Soulé, 2009) du formateur aux différentes phases, la structuration d'un milieu fortement antagoniste, etc. Au travers des discussions, de l'identification des choix et de leurs conséquences effectuées par le formateur dans une situation de formation, la rencontre avec ces savoirs professionnels cherche à transformer leurs conceptions du pilotage des situations didactiques.

### *Enchâssement de deux systèmes*

Afin d'illustrer cet enchâssement, nous proposons un modèle inspiré du schéma de Houdement (2013), qui distingue les systèmes « École » et « Formation ».
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>**Figure 2** – Enchâssement des systèmes école et formation selon Houdement (2013, p. 11)</figcaption></figure>

Ainsi les formés se situent à l'interface de deux systèmes didactiques différents.

* Lorsqu'ils s'engagent dans la résolution mathématique, ils évoluent au sein du système école (SE), dans lequel, en tant qu'élèves (E), ils rencontrent des savoirs S, légitimés par l'institution scolaire à travers une situation didactique aménagée par un enseignant (M).

* Lorsqu'ils analysent le pilotage de la situation, ils évoluent dans le système de formation (SF), encadrés par un formateur (F). En tant que groupe de formés (G), ils rencontrent des savoirs (Σ), légitimés par l'institution de formation.

## Double boucle « dévolution-institutionnalisation »

Ces deux systèmes, porteurs de types de savoirs différents, génèrent chacun une boucle distincte de dévolution et institutionnalisation (au sens de Margolinas, 1995). Les élèves (E) doivent accepter la responsabilité scientifique qui leur est dévoluée et l'enseignant doit accepter la conséquence de ce transfert propre au système école (SE). Il en va de même pour les formés dans le système de formation (SF).

La description et l'analyse d'une **Situation de Recherche en formation des enseignants (SiRfe)** nécessite donc de distinguer deux niveaux de boucles :

* une boucle de dévolution-institutionnalisation du système école ;

* une boucle de dévolution-institutionnalisation du système de formation.

Pour faire émerger les savoirs Σ visés, dans le système de formation, il nous paraît essentiel que la situation vécue dans le SE soit le plus possible adidactique, possédant un milieu fortement antagoniste et gérée sous un contrat didactique, fondé sur le débat scientifique où la responsabilité scientifique par rapport à un problème donné est laissée à la charge de l'élève. A contrario, dans le système SF, la rationalité mathématique liée à la valeur de vérité et à la nécessité d'en faire une preuve n'est pas la référence visée. Par conséquent, le débat scientifique, tel qu'il est vécu dans le SE n'existe pas dans le SF, il est remplacé par un débat
dont le domaine de référence est, en partie, la didactique des mathématiques, visant la
construction des pratiques des futurs enseignants. Ainsi, coexistent deux contrats didactiques,
un pour chaque système.

Ainsi, notre intentionnalité didactique à travers la mise en œuvre de cette double boucle
dévolution-institutionnalisation dans les deux systèmes SE et SF est de faire évoluer le rapport
personnel des formés sur leurs croyances, à la fois au niveau des mathématiques et de l'activité
mathématique, mais aussi de leur enseignement et apprentissage (Da Ronch & Mili, 2024a ;
2024b). Nous espérons que cette évolution des croyances dépasse le contexte de la formation
des formés, et c'est donc dans ce but qu'il nous semble important d'inscrire cette double boucle
à travers un dispositif de formation (Da Ronch & Mili, 2024a) basé sur une stratégie proche de
l'homologie (Houdement & Kuzniak, 1996). Notre objectif est que les futurs enseignants soient
capables, dans un contexte de classe ordinaire, de mettre en œuvre des SiRC enrichies, à partir
des SiRfe qu'ils ont vécues.

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Les Situations de Recherche en Classe (SiRC) adaptées à la formation des enseignants ont le potentiel de favoriser l'acquisition de savoirs mathématiques de type II (et I) et de savoirs didactiques ou à visée professionnalisante. Leur mise en œuvre dans le contexte de la formation des enseignants demande au formateur d'intégrer une double boucle de dévolution-institutionnalisation qui permet alors de rendre visibles des savoirs, souvent transparents, aussi bien mathématiques que didactiques. La mise en place des Situations de Recherche en formation des enseignants (SiRfe) contribue ainsi également, pensons-nous, à l'évolution des croyances des étudiants sur l'activité mathématique, sur l'enseignement et l'apprentissage de cette discipline. L'évolution des rapports personnels liés à ces croyances pourrait faire l'objet d'une recherche future, visant à identifier si les SiRfe permettent aussi de modifier les pratiques professionnelles après la formation. Plus largement, une réflexion est à mener sur la mise en œuvre des Situations de Recherche en formation professionnelle dans d'autres milieux professionnels.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique : le milieu. *Recherche en Didactique des Mathématiques*, 9(3), 309-336. https://hal.science/hal-00686012/

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : la Pensée Sauvage.

Bucheton, D., & Soulé, Y. (2009). Les gestes professionnels et le jeu des postures de l'enseignant dans la classe : un multi-agenda de préoccupations enchâssées. *Éducation et didactique*, 3(3), 29-48. https://doi.org/10.4000/educationdidactique.543

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LA THÉORIE DES SITUATIONS, OUTIL D'ANALYSE DANS UNE ÉTUDE SUR LA
FONCTION EXPONENTIELLE AVEC DES STAGIAIRES EN LICENCIATURA DE
MATHÉMATIQUES

FREITAS<fnref n="1" /> Rita Lobo, ALMOULOUD<fnref n="2" /> Saddo Ag

**Résumé** – Cet article présente les principaux résultats d'une recherche menée au Brésil, dont le choix de la Théorie des Situations, comme apport théorique, a été déterminant pour produire des résultats significatifs dans le cadre de la formation initiale des futurs professeurs, engagés dans un stage encadré de *licenciatura*<fnref n="3" /> de Mathématiques, ainsi que pour déclencher d'autres recherches en Didactique des Mathématiques.

**Mots-clés** : Théorie des situations, Fonction exponentielle, Stage encadré, Licenciatura en mathématiques

CONTEXTE ET PROBLEME DE RECHERCHE

Cet article présente et discute les principaux résultats obtenus dans le cadre d'un projet de recherche de master avec des étudiants de *licenciatura* en mathématiques (Freitas, 2015), qui s'est déroulé entre 2013 et 2015 dans une université brésilienne, et qui était basé sur la Théorie des Situations – TS (Brousseau, 1997).

Les étudiants concernés ont pris part à la recherche pendant leur stage encadré, une composante curriculaire obligatoire du programme de *licenciatura*. Ce stage comprend des activités pratiques, également appelées enseignement en classe.

Dans le cadre de la recherche, de nombreuses problématiques liées au stage encadré en *licenciatura* ont été mises en évidence, problématiques qui, même neuf ans après la réalisation de la recherche, constituent toujours un défi pour la formation des futurs enseignants de mathématiques. L'objectif de cette recherche était de répondre à la question suivante : comment les organisations didactiques (Chevallard, 1999) interfèrent-elles dans la construction des savoirs/savoir-faire des étudiants de *licenciatura* en mathématiques sur le concept de fonction exponentielle ?

De façon générale, le stage encadré dans les cours de *licenciatura*, en tant que composante curriculaire obligatoire, est beaucoup plus centré sur la partie pédagogique générale, la gestion de la classe, la planification des objectifs, l'évaluation de l'apprentissage, mais, déconnecté de l'étude mathématique et didactique des objets à enseigner.

Dans ce contexte, nous avons fait une étude dans laquelle les étudiants pouvaient
construire ou re-signifier des concepts mathématiques relatifs à la fonction exponentielle, et en
même temps contribuer à la construction de savoirs didactiques sur ces concepts. L'objectif était
de vérifier, lors de l'élaboration des activités et de leur expérimentation, quels savoirs
mathématiques et didactiques seraient mobilisés par ces sujets dans le cadre d'activité prévue
pour des classes de lycée.

<footnote n="1">¹ Universidade do Estado da Bahia (UNEB) – Brésil – e-mail : <rlobo@uneb.br></footnote>

<footnote n="2">² Universidade Federal do Pará (UFPA) – Brésil – e-mail:<saddoag@gmail.com></footnote>

<footnote n="3">³ La *Licenciatura* est un diplôme universitaire destiné à former des enseignants. Elle dure généralement quatre à cinq ans et est orientée vers le domaine de l'enseignement. L'objectif est de former des professionnels dotés de compétences pédagogiques pour travailler dans l'éducation de base et l'enseignement supérieur.</footnote>
ASPECTS METHODOLOGIQUES

La méthodologie adoptée dans cette recherche est l'ingénierie didactique qui, selon Artigue (1988), est une méthodologie de recherche, qui se caractérise, tout d'abord, par un schéma expérimental basé sur des "réalisations didactiques" en salle de classe, c'est-à-dire, la construction, la réalisation, l'observation et l'analyse de séances d'enseignement. Elle se définit également comme recherche expérimentale par le registre dans lequel elle se situe et des modes de validation qui lui sont associés : la comparaison entre l'analyse a priori et l'analyse a posteriori. Dans le cas de notre expérimentation, les analyses préalables comprenaient une étude mathématique et didactique sur la fonction exponentielle.

Outre les expériences en classe, le dispositif expérimental comprenait la construction, la mise en œuvre et l'analyse de séances d'enseignement. De plus, la comparaison entre l'analyse a priori et l'analyse a posteriori a permis le processus de validation interne.

Un ensemble d'activités basées sur les principes de la TS et en appui sur des situations problèmes visant à favoriser la construction et la consolidation des savoirs et connaissance liés à la fonction exponentielle, a été élaboré.

La phase expérimentale a été développée en deux temps : en premier lieu, les élèves devaient travailler avec des activités portant sur la fonction exponentielle afin de (re)construire des connaissances mathématiques relatives à cet objet ; dans un second temps, les situations proposées devraient permettre à l'étudiant d'élaborer un ensemble d'activités qui pourraient être proposée à une classe de Lycée brésilien (1ère année)

En ce qui concerne les concepts mathématiques construits par les étudiants, il était intéressant de comprendre le travail cognitif effectué pendant le processus d'apprentissage ainsi que la construction des organisations mathématiques. L'analyse de ces processus s'est appuyée sur les constructions mathématiques mises en évidence dans les activités réalisées par les étudiants, à travers les techniques utilisées pour résoudre les tâches proposées, les comportements observés (et enregistrés), les traces écrites ainsi que les expressions orales et les dialogues des étudiants au cours de l'expérience.

L'objectif principal des analyses était de voir si les étudiants avaient appris les concepts en jeu au cours des différentes dialectiques. Brousseau (1997) affirme que les dialectiques - action, validation, formulation, institutionnalisation - se combinent pour favoriser l'apprentissage de nouvelles connaissances. Ces dialectiques révèlent les connaissances des étudiants et la manière dont ils s'engagent dans la construction de nouvelles connaissances en jeu dans les situations auxquelles ils sont confrontés.

Les activités ont été expérimentées au cours de quatre sessions, réalisées en deux étapes : au cours de la première étape, il y a eu trois sessions d'enseignement, chacune d'une durée de trois heures. Au cours de cette étape, l'accent a été mis sur l'étude du concept de fonction exponentielle. La deuxième étape, de même durée, a été consacrée à l'activité de construction de connaissances liées au concept de fonction exponentielle par les étudiants.

Huit étudiants ont participé à cette phase expérimentale. Ils ont été répartis en quatre groupes de deux étudiants et, en plus de ces huit étudiants, un étudiant diplômé du cours de mathématiques a participé en tant qu'observateur, en s'occupant de l'enregistrement des sessions d'enseignement.

Pour la phase d'expérimentation, le laboratoire informatique et l'environnement d'apprentissage virtuel (EAV) de l'université ont été mis à notre disposition pour enregistrer et numériser les activités proposées.
Lors de la deuxième session, les élèves devaient étudier la fonction définie par
$f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. L'objectif de cette activité 3 était de les amener à généraliser un chemin pour
une redécouverte de la constante de Neper, dont une valeur approchée est 2,718281828459.
Notre objectif est que les élèves réalisent ce qui résulte de la loi de formation de cette fonction
lorsque la valeur de x augmente, c'est-à-dire qu'ils réalisent que : $e = \lim_{x \to \infty} 1+1xx$. En cours de
route, on espérait que les étudiants développeraient également, à un certain niveau, la notion
intuitive de limite.

Il est important de souligner que, pour les besoins de ce texte, nous nous focalisons sur l'analyse
de l'activité 3 et les situations problèmes proposées par les étudiants pour introduire la fonction
exponentielle au lycée.

## ANALYSES A PRIORI ET A POSTERIORI DE L'ACTIVITÉ 3

Dans l'analyse mathématique, on présente les possibilités d'action, d'organisation et de
structuration d'une organisation mathématique pour résoudre le problème. Dans l'analyse
didactique, on étudie les comportements possibles des étudiants stagiaires par rapport à chaque
activité et leurs choix à chaque moment des différentes dialectiques.

Après l'analyse *a priori* de l'activité 3, nous présentons l'analyse *a posteriori* de cette
activité. Cette analyse est basée sur l'exploitation de l'ensemble des données collectées lors de
la phase expérimentale. - L'analyse *a posteriori* a été réalisée à la lumière de l'analyse *a priori*,
des fondements théoriques, de la problématique et des hypothèses de recherche.

### Analyse *a priori* de l'activité 3

#### Énoncé de l'activité

Soit $f(t) = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t$. Supposons que t soit une variable temporelle pour la croissance d'un certain organisme vivant y (mesuré en cm), qui s'est développé il y a 100 millions d'années jusqu'à ce qu'il atteigne sa forme actuelle en 2013. Utilisez le logiciel Excel pour résoudre ce problème.

La situation proposée place l'apprenant dans le contexte de la définition du nombre irrationnel *e*, ce qui est important pour l'appropriation de divers aspects mathématiques, y compris les fonctions. Ce parcours contribue à donner un nouveau sens à ce nombre - celui qu'il était souhaitable que les étudiants construisent - celui de la fonction exponentielle. Pour une telle situation, il serait nécessaire que l'étudiant ait, dans son répertoire cognitif, les compétences pour effectuer des calculs approchés, des substitutions de variables et, enfin, la notion intuitive de limite. En outre, les sujets devraient avoir une certaine connaissance des outils informatiques de base, tels que, dans le cas présent, *Excel*.

Nous avons identifié cinq variables didactiques, que nous présentons ainsi que nos choix de valeurs associés

Le contexte de la situation problème : pour cette activité, un problème de croissance d'un certain organisme vivant a été choisi dans le contexte de la biologie, ce contexte s'articule avec le contexte mathématique de la fonction définie par $f(t) = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t$. Ce choix de deux contextes articulés s'explique par le fait de permettre aux étudiants de approfondir les compétences liée l'appropriation de la fonction exponentielle, en l'occurrence : lire et interpréter une situation-problème en langue naturelle, impliquant la fonction exponentielle ; modéliser un problème issu de la biologie par une fonction mathématique.
Les valeurs numériques choisies sont proches des valeurs réelles, c'est-à-dire que le temps d'évolution biologique d'une espèce donnée d'organisme vivant se compte en millions d'années.

L'objet mathématique étudié est la fonction exponentielle définie par $f(t) = (1 + \frac{1}{t})^t$, en particulier, la relation entre la base, t et la représentation graphique.

Les questions de la situation problème sont partiellement fermées. Pour la question A, la réponse est fermée, mais pour la question B, les étudiants de licenciatura (stagiaires) pourront développer différentes stratégies à l'aide d'un logiciel pour trouver les résultats cherchés.

Pour l'utilisation des TIC, nous avons fait le choix d'indiquer le logiciel Excel, parce qu'il est disponible à l'utilisation et qu'il est gratuit. Bien qu'elle n'ait pas été retenue comme valeur possible de cette variable, la calculatrice scientifique de l'ordinateur pourrait également être utilisée. L'utilisation du papier et du crayon est une ressource insuffisante pour le calcul des puissances, c'est la raison pour laquelle elle n'a pas été retenue comme variable.

## Analyse a posteriori de l'activité 3

L'analyse des productions des élèves stagiaires montre qu'un groupe a demandé à utiliser une calculatrice. Ce groupe a essayé de faire les calculs manuellement et a ensuite saisi les données dans la feuille de calcul. Réalisant que cette technique serait trop laborieuse, le binôme a décidé de revenir à la construction de la feuille de calcul dans Excel. Poursuivant la résolution de la tâche, les élèves ont présenté le résultat suivant (Figure 1).

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 1- Fiche technique pour la question A de l'activité 3 - binôme A</figcaption></figure>

Au cours de l'institutionnalisation, les réponses fournies par les élèves ont été discutées, en mettant l'accent sur la relation entre le concept mathématique de fonction exponentielle et le nombre e.

Le choix des variables didactiques s'est avéré fondamental dans le processus d'apprentissage des élèves pour : la représentation tabulaire d'une fonction exponentielle ; la perception que le type de tâche avait pour point fondamental l'utilisation des technologies disponibles, étant donné que l'utilisation du crayon et du papier dans la tâche rendait sa résolution pratiquement impossible.

D'un point de vue épistémologique, dans la tâche, nous avons réussi à reproduire une construction historique qui a directement corroboré le concept de fonction exponentielle, l'importance la constante de Neper (e) pour l'étude de la fonction exponentielle. D'autre part, la technologie numérique se présente comme un outil nécessaire au développement d'une technique de résolution de la tâche.

D'un point de vue social et culturel, la tâche amène les sujets à prendre conscience de l'importance des mathématiques, de l'étude de la fonction exponentielle et d'autres fonctions pour la compréhension du processus évolutif des êtres vivants.

En termes de validation des concepts par les sujets, nous soulignons que le choix didactique avait pour point fort de leur permettre de comprendre le comportement de la fonction exponentielle, mais aussi de percevoir que les résultats obtenus tendaient vers la constante e, en ce sens que la représentation tabulaire permettait l'utilisation d'une technique de
construction de valeurs qui explicite le comportement de la fonction. L'atteinte ou non de ses objectifs n'a pu être évaluée qu'à partir de l'observation et de l'enregistrement de l'exposé oral de chaque binôme lors des étapes didactiques, en particulier lors de l'institutionnalisation locale.

Dans la deuxième phase de la formation (session 05), les étudiants étaient appelés à proposer un ensemble de situations-problèmes à expérimenter dans une classe de 1ère de lycée, en s'appuyant sur l'étude développée pendant la phase de formation. Les étudiants devaient, avant la construction des situations-problèmes, élaborer une carte conceptuelle (Figure 2) de ce qui pourrait être enseigné sur la fonction exponentielle dans une classe de 1ère (Lycée brésilien).

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 2- Carte conceptuelle d'un binôme</figcaption></figure>

Pour notre analyse, nous avons retenu le travail du binôme ayant réalisé la carte conceptuelle reproduite ci-dessus (figure 2). Suivant ce binôme, les objectifs étaient de reconnaître une fonction exponentielle à partir de sa base, de réviser les concepts de puissance et de radicaux, de déterminer le domaine et l'image de la fonction, de tracer le graphique et classer la croissance de la fonction. Ce binôme a indiqué que les activités et les situations-problèmes étaient un élément constitutif de leur proposition. En suivant (sur la carte de la figure 2) les flèches tracées par le binôme, on observe que l'objectif principal était de résoudre des situations contextuelles, impliquant la fonction exponentielle, ainsi que la représentation graphique et tabulaire, mais aussi de résoudre des exercices impliquant la fonction exponentielle.

Ce qui ressort de la production de ce binôme, c'est l'absence d'organisations mathématiques cohérentes avec les objectifs affichés. La carte montre une vision générale du travail en classe et de sa gestion, ainsi que des connaissances pédagogiques, sans établir de relations didactiques profondes avec l'objet d'étude mathématique. Lorsque la résolution de problèmes était indiquée, aucune activité mathématique n'était présentée, et cela, alors même qu'ils avaient à leur disposition des manuels scolaires.
## QUELQUES REFLEXIONS

Dans l'ensemble, il semble que les étudiants s'étaient approprié le concept de fonction exponentielle. Cependant, cette possible appropriation ne semble pas avoir influencé la construction de situations-problèmes pour l'enseignement et l'apprentissage du concept de fonction exponentielle. Lors des travaux réalisés pendant la deuxième étape (session 5) les étudiants stagiaires n'ont pas mobilisé les aspects didactiques travaillés lors des sessions de la première étape. Ces constatations n'ont pu être élucidées Cela signifie qu'il existe un besoin de formation intégrant des connaissances didactiques, mathématiques, pédagogiques, et celles liées aux technologies de l'information et de la communication adaptées à l'enseignement des mathématiques.

## RÉFÉRENCES

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UN DISPOSITIF À TROIS NIVEAUX POUR LA FORMATION EN MATHÉMATIQUES ET TECHNOLOGIES NUMÉRIQUES : APPORTS DES CONCEPTS DE LA THEORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES DANS L'ANALYSE DU DISPOSITIF.

GAU LIN<fnref n="1" /> Corinne

**Résumé** – Cette communication propose une analyse croisée entre la Théorie des Situations Didactiques (TSD) et le cadre original DAaT-DP (Double Approche Adaptée aux Technologies pour le Développement Professionnel) à partir d'un dispositif de formation structuré en trois niveaux articulant formateur, enseignant et élève. Utilisant une tâche géométrique et inspiré du modèle des Lesson Study, ce dispositif de formation permet d'observer la circulation des savoirs, des postures et des tensions dans des milieux didactiques emboîtés. L'étude montre comment les concepts de la TSD peuvent être réinvestis dans la formation à enseigner et à former.

**Mots-clés** : Théorie des Situations Didactiques, formation curriculaire, développement professionnel, Double Approche Adaptée aux Technologies pour le Développement Professionnel, technologies numériques

INTRODUCTION

Dans cette communication, nous mobilisons les concepts de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) (Brousseau, 1998) pour analyser un dispositif curriculaire<fnref n="2" /> de formation structuré en trois niveaux : formateurs (N1), enseignants (N2) et élèves (N3). Conçu dans le cadre de notre thèse (Gau, 2025), ce dispositif repose sur une tâche géométrique pivotante – le rectangle incomplet (Athias, 2014) – reprise à chaque niveau. Il permet d'étudier la circulation ascendante et descendante des savoirs disciplinaires et transversaux (Sayac, 2012, adapté par Gau, 2025), des postures professionnelles et épistémologiques (Sayac, 2011 ; Bailleul & Thémines, 2013), et des tensions (Abboud & Rogalski, 2017). À travers une ingénierie de type Lesson Study (Clivaz, 2015), nous mettons en évidence les mécanismes de construction, de transfert et d'institutionnalisation des savoirs. L'analyse croisée avec le cadre théorique de la Double Approche Adaptée aux Technologies pour le Développement Professionnel (DAaT-DP) conçu dans le cadre de notre thèse de doctorat (Gau, 2025) nous permet de proposer ainsi une lecture originale des concepts de la TSD en formation.

UN CADRE D'ANALYSE : DAAT-DP ET TSD EN INTERACTION

La Double Approche Adaptée aux Technologies pour le Développement Professionnel (DAaT-DP), issue d'un prolongement de la DAaT<fnref n="3" /> (Abboud, 2024), nous permet de modéliser le développement professionnel dans un système curriculaire à trois niveaux. Il intègre notamment les postures (professionnelles et épistémologiques), ainsi que les savoirs disciplinaires et transversaux. Nous articulons deux lectures systémiques : l'une par indicateur (I1 à I5) s'appuie sur le modèle de Guskey (2002) pour analyser la progression du développement professionnel

<footnote n="1">¹ CY Cergy Paris Université – France – lincorinne7@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">² Par « curriculaire », nous entendons ici une structuration de la formation en plusieurs niveaux interdépendants, où les savoirs, les postures et les milieux circulent, se transforment et s'institutionnalisent progressivement, du formateur vers l'enseignant, puis de l'enseignant vers l'élève mais aussi dans le sens inverse, à partir des effets observés en classe, réinjectés dans les niveaux supérieurs par régulation et révision.</footnote>

<footnote n="3">³ Double Approche adaptée aux Technologies (DAaT)</footnote>
l'autre par niveau suit la trajectoire des acteurs (formateurs ou enseignants) et les effets de transfert, régulation ou résistance.

La TSD nous apporte une lecture didactique complémentaire. Elle nous permet d'interpréter les situations proposées à chaque niveau comme potentiellement adidactiques, où les savoirs se construisent dans l'interaction avec un milieu. Elle éclaire aussi les liens entre les phases didactiques : une validation au niveau 3 peut nourrir une formulation au niveau 2, ou une révision au niveau 1. L'articulation TSD-DAaT-DP propose ainsi une lecture curriculaire du développement professionnel, articulant formation, enseignement et apprentissage dans un même système.

## UNE TÂCHE « PIVOTANTE » POUR STRUCTURER LE DISPOSITIF

La tâche du rectangle incomplet (Athias, 2014) permet de travailler des propriétés géométriques (cercle, rectangle, robustesse), ainsi que des dimensions didactiques (dialectique dessin-figure). Déclinée en environnement papier-crayon et GéoGébra, elle révèle les effets du milieu sur les savoirs. Les formateurs (N1) la résolvent d'abord, puis élaborent un scénario de formation (LSE1) incluant une analyse a priori des savoirs visés, des postures attendues, des tensions anticipées et des modalités de validation. Les enseignants (N2) conçoivent ensuite une séquence d'enseignement en lien avec cette tâche, qu'ils mettent en œuvre au niveau 3 sous forme de leçons de recherche (LR¹¹ à LR3). Ce va-et-vient soutenu entre les niveaux fonde une dynamique curriculaire ascendante et descendante, fondée sur l'observation et la régulation.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>**Figure 1** – Tâche « rectangle incomplet » (Athias, 2014) : il s'agit de reproduire cette figure en recourant à un LGD</figcaption></figure>

## CIRCULATION DES SAVOIRS ET TRANSFORMATION DES MILIEUX

Le dispositif de formation LSFoE<fnref n="2" /> que nous avons conçu repose sur une structuration curriculaire ascendante et descendante, où les milieux didactiques évoluent à travers les niveaux. La tâche pivotante en initie la dynamique, mais ce sont les circulations de savoirs, postures et tensions entre milieux successifs qui assurent sa cohérence systémique.

<footnote n="1">¹ Leçon de Recherche</footnote>

<footnote n="2">² Lesson Study de Formateurs et d'Enseignants</footnote>
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>**Figure 2 -** *Structure de la formation LSFOE (Lesson Study de Formateurs et d'Enseignants) (Gau, 2025)*</figcaption></figure>

Entre les leçons de recherche (LR1 à LR3), enseignants et formateurs ajustent collectivement la séquence. Les observations de classe nourrissent des ajustements progressifs et partagés, donnant lieu à formulation, validation, institutionnalisation. À l'issue de la dernière leçon, les formateurs révisent le scénario initial, la Lesson Study d'Enseignants, (LSE1), pour en élaborer un nouveau (LSE2). Ce cycle, évolutif, rend visible la transformation des milieux selon les concepts de la TSD. La dévolution, amorcée dès le niveau 1, s'accompagne d'une mission de conception confiée aux formateurs par la formatrice-chercheuse.

## DES MILIEUX EMBOÎTÉS, CONSTRuits ET TRANSFORMÉS

À chaque niveau, le milieu didactique joue un rôle évolutif. Au niveau 1, les formateurs résolvent la tâche, analysent les savoirs (disciplinaires, transversaux), anticipent les tensions (pragmatiques, cognitives, temporelles), et conçoivent le scénario (LSE1). Ce milieu méta-didactique devient levier de formation. Au niveau 2, les enseignants passent de la posture d'élève à celle d'enseignant-collaborateur en concevant une séquence. Le milieu, structuré par les formateurs, se stabilise par les allers-retours entre tâche, scénario et leçons de recherche. Les tensions locales façonnent les trajectoires posturales et cognitives des acteurs. Au niveau 3, la séquence est mise en œuvre avec les élèves. Le milieu devient épistémique : les élèves interagissent avec les objets mathématiques. Les observations réinjectées vers les niveaux supérieurs permettent une régulation ascendante et descendante, assurant la cohérence curriculaire et systémique du dispositif.

## UNE DYNAMIQUE SYSTÉMIQUE : RÉGULATION, CIRCULATION ET CO-CONSTRUCTION

La mise en œuvre successive de la tâche dans les trois milieux produit une dynamique curriculaire régulée. Chaque niveau construit un milieu spécifique, et les effets observés génèrent des ajustements rétroactifs : les leçons du niveau 3 conduisent à réviser les séquences au niveau 2, puis le scénario au niveau 1 (LSE2).
L'organisation en milieux emboîtés forme un système adidactique : les apprentissages émergent des interactions, sans transmission verticale directe. La structure ouverte, la redondance contrôlée et la réflexivité collective favorisent la dévolution, la validation et l'institutionnalisation progressive.

## POSTURES, TENSIONS ET DÉVELOPPEMENT PROFESSIONNEL

Le cadre DAaT-DP distingue postures professionnelles (formation, niveaux 1 et 2) et postures épistémologiques (transmission, niveaux 2 et 3). Les premières – élève, étudiant, enseignant/formateur, collaborateur – révèlent les trajectoires de développement ; les secondes – technicien, didacticien, épistémologue, accompagnateur – traduisent les modalités de mobilisation des savoirs.

Les tensions locales (cognitives, pragmatiques, temporelles) agissent comme leviers de transformation. Elles induisent des déplacements posturaux, notamment vers des formes collaboratives (enseignant-collaborateur, accompagnateur), observables lors des conceptions et révisions de scénarios. Postures et tensions interagissent ainsi dans la structuration des milieux et le développement professionnel.

## UNE ADIDACTICITÉ CURRICULAIRE ET SYSTÉMIQUE

Le dispositif articule trois milieux emboîtés : méta-didactique (N1), didactique (N2), épistémique (N3). Chacun prépare le suivant sans en contrôler les effets. La tâche circule librement, se transforme, et se valide a posteriori. La régulation est assurée par la réflexivité des acteurs, non par un contrôle hiérarchique. Ce fonctionnement en boucle prolonge l'adidacticité définie par Brousseau. Ici, la situation initiale ne vise pas l'élève, mais l'enseignant ou le formateur, dans une logique de recherche autonome, de validation différée et d'institutionnalisation partagée. Cette adidacticité élargie soutient un modèle de formation curriculaire où les savoirs se construisent collectivement.

## CONCLUSION

En croisant la Théorie des Situations Didactiques (TSD) avec le cadre DAaT-DP, nous avons cherché à proposer une lecture renouvelée de la formation des formateurs et enseignants en mathématiques avec les technologies numériques. Nous montrons que les concepts de la TSD peuvent s'appliquer à des dispositifs curriculaires complexes, où la circulation des savoirs, postures et milieux entre niveaux constitue une adidacticité élargie.

Ici, la situation ne vise pas directement l'élève, mais le formateur ou l'enseignant, dans une logique de recherche autonome, de validation différée et d'institutionnalisation déléguée à un autre niveau. Ce déplacement met en lumière la puissance des concepts de la TSD – dévolution, institutionnalisation, validation, variables, milieux – pour penser des systèmes de formation articulés, évolutifs et réflexifs. Il prolonge ainsi l'héritage de Brousseau en esquissant les contours d'une TSD curriculaire, systémique et adaptée aux défis actuels de la professionnalisation.

## RÉFÉRENCES

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RECONCEVOIR L'INGÉNIERIE DIDACTIQUE POUR LA FORMATION DES ENSEIGNANTS
BRÉSILIENS EN CHIMIE QUANTIQUE INTRODUCTIVE

NASCIMENTO JÚNIOR<fnref n="1" /> José Vieira – FREITAS<fnref n="2" /> Rita Lobo – FONSECA<fnref n="1" />,<fnref n="2" /> Juliana da Silva Lima – PEREIRA<fnref n="1" /> Bruna Lorrane Oliveira

**Résumé** – Cette étude rapporte la formation des enseignants en chimie au Brésil sur le thème des vibrations moléculaires, en s'appuyant sur les contributions de Brousseau, Artigue et Chevallard. L'objectif était de développer la capacité à interpréter les phénomènes physiques. Il est apparu clairement que l'action des opérateurs sur les états quantiques peut intégrer implicitement, autour des situations, les dimensions conceptuelle, formelle-mathématique et épistémologique.

**Mots-clés** : Ingénierie didactique, spectroscopie, formation des enseignants

INTRODUCTION

Cet article propose une application des concepts de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) (Brousseau, 2008) dans la formation des enseignants de chimie à l'Université d'État de Feira de Santana, Brésil, au 2ème semestre 2024. Le sujet appliqué était la spectroscopie moléculaire, dans le cadre de l'introduction à la chimie quantique. Tout d'abord, nous avons élaboré un plan de recherche centré sur la méthodologie de l'ingénierie didactique (Artigue, 1989) et des réflexions d'Almouloud (2022).

La modélisation appartient ici au domaine de la chimie quantique, et notre choix didactique a été de permettre des situations dans lesquelles le futur enseignant pourrait développer une capacité d'interpréter le mouvement vibratoire des molécules.

ANALYSES PRÉALABLES

En analysant le programme d'enseignement au lycée au Brésil il est clair que l'organisation autour du sujet des vibrations des liaisons chimiques est distribuée dans d'autres disciplines. C'est dans ce contexte que l'objet modèles atomiques est abordé.

Actuellement, l'enseignement de cet objet en chimie s'en tient à son histoire. Ses aspects formels et conceptuels sont peu étudiés, ce qui induit des obstacles épistémologiques dus à l'usage abusif des analogies, tant dans les manuels que dans les cours. Par exemple, parfois des concepts purement classiques sont utilisés dans la phénoménologie microscopique. Cela empêche une interprétation physique plus proche de la réalité du monde microscopique. Ces aspects montrent qu'il est nécessaire de repenser le modèle d'enseignement de la physique et de la chimie.

Cependant, dans le lycée et dans la formation d'enseignants, le modèle atomique de Bohr prédomine. Il présente certains obstacles épistémologiques, comme l'idée d'une trajectoire de l'électron, incompatible avec le principe d'incertitude de Heisenberg. Selon ce principe, on ne

<footnote n="1">¹ Universidade Estadual de Feira de Santana – Brasil – jvnjunior@hotmail.com, jsfonseca@uefs.br, brunalorraneuefs@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">² Universidade do Estado da Bahia – Brasil – rlobo@uneb.br</footnote>