ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

PHILIPPE DU BOIS

Comparaison des formes de Seifert et des fonctions zêta de Denef-Loeser
des germes de courbe plane à singularité isolée

Tome XX, n° 3 (2011), p. 493-513.

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# Comparaison des formes de Seifert et des fonctions zêta de Denef-Loeser des germes de courbe plane à singularité isolée

PHILIPPE DU BOIS(1)

**RÉSUMÉ.** — Nous démontrons que la donnée de la forme de Seifert entière et de la fonction zêta de Denef-Loeser d'un germe de courbe plane à singularité isolée ne déterminent pas le type topologique de ce germe. De plus, la fonction zêta de Denef-Loeser d'un tel germe ne détermine pas la forme de Seifert entière associée.

**ABSTRACT.** — We show that the topological type of a plane curve germ with isolated singularity is not determined by its integral Seifert form and Denef-Loeser zeta function. Furthermore, the integral Seifert form of such a germ is not determined by its Denef-Loeser zeta function.

## 0. Introduction

Le but de cette note est la comparaison de deux invariants associés aux germes de courbe plane à singularité isolée, la forme de Seifert entière et la fonction zêta de Denef-Loeser.

Soient $f : (\mathbb{C}^{n+1}, 0) \to (\mathbb{C}, 0)$ un germe de fonction analytique à singularité isolée, $F$ la fibre de Milnor de $f$, $h$ une monodromie géométrique de $F$, $h^*$ le morphisme induit par $h$ sur $H_n(F, \mathbb{Z})$. La forme de Seifert entière de $f$, notée $A(f)$, est la forme bilinéaire définie sur le $\mathbb{Z}$-module libre $H_n(F, \mathbb{Z})$ par $A(f)(\alpha, \beta) = \mathcal{L}(i_+(\alpha), \beta)$, où $\mathcal{L}(\cdot, \cdot)$ est le nombre d'enlacement dans la

<footnote>(*) Reçu le 30/09/2010, accepté le 04/08/2011</footnote>

<footnote>(1) LAREMA – UMR 6093 – Faculté des Sciences, Université d'Angers, 2, Boulevard Lavoisier, 49045 Angers – France
philippe.dubois (at) univ-angers.fr</footnote>
sphère $S_{\varepsilon}^{2n+1}$ et $i_+(\alpha)$ est le cycle obtenu en poussant $\alpha$ hors de $F$ dans une direction normale positive induite par l'orientation de $F$. La forme de Seifert entière est un invariant du type topologique de la singularité du germe $f$.

En grande dimension, c'est-à-dire pour $n \ge 3$, la forme de Seifert entière est un invariant complet du type topologique. Dans le cas des germes de courbe plane (le cas $n=1$), l'auteur et F. Michel ont montré que la forme de Seifert entière n'est pas un invariant complet, voir [6].

La fonction zêta topologique (locale) d'un germe de fonction analytique complexe est un invariant introduit par J. Denef et F. Loeser dans [2]. Nous appellerons cette fonction la fonction zêta de Denef-Loeser du germe.

Dans le cas des germes de courbe plane, cette fonction a été étudiée en particulier par W. Veys, voir par exemple [11] et [12]. La formule rappelée dans la proposition 1.1 montre que la fonction zêta de Denef-Loeser est un invariant du type topologique de la singularité du germe de courbe plane $f$.

En revanche, en grande dimension ($n \ge 3$), la fonction zêta de Denef-Loeser n'est pas un invariant topologique de la singularité. Ce résultat est dû à E. Artal, P. Cassou-Noguès, I. Luengo et A. Melle [1]. Pour cela, ils considèrent deux germes de courbes planes dont les formes de Seifert entières sont isomorphes (les germes construits dans [6] mentionnés plus haut). Ils montrent que les fonctions zêta associées sont distinctes et concluent en procédant à une double suspension.

Il est donc naturel de se demander si la donnée de la forme de Seifert entière et de la fonction zêta de Denef-Loeser d'un germe de courbe plane à singularité isolée détermine le type topologique de ce germe. Nous démontrons ici que la réponse à cette question est négative, en construisant des paires de germes de courbe plane $f'$ et $f''$, à singularité isolée, de types topologiques distincts, qui ont la même fonction zêta de Denef-Loeser et dont les formes de Seifert entières sont isomorphes, voir le théorème 3.1.

Nous construisons ensuite des paires de germes de courbe plane $g'$ et $g''$, à singularité isolée, de types topologiques distincts, qui ont la même fonction zêta de Denef-Loeser et dont les formes de Seifert entières ne sont pas isomorphes, voir le théorème 3.3 et la proposition 3.2 pour des énoncés précis. Ainsi, la fonction zêta de Denef-Loeser d'un germe de courbe plane à singularité isolée ne détermine pas la forme de Seifert entière associée.

On établit au passage une formule explicite qui permet le calcul des multiplicités $\nu_i$ intervenant dans le calcul de la fonction zêta, en fonction des paires de Zariski du germe étudié, voir les propositions 1.4 et 1.5.
Les germes $f'$ et $f''$ (resp. $g'$ et $g''$) sont construits en ajoutant des paires de Zariski à un germe $f$ (resp. $g$) que nous définirons dans un premier temps.

# 1. Notations et rappels

Soit $f : (\mathbb{C}^2, 0) \to (\mathbb{C}, 0)$ un germe de courbe plane à singularité isolée. Soit $(X, h)$ la résolution minimale de $f^{-1}(0)$ en 0. Nous notons $E_i, i \in T = T_e \cup T_s$ les composantes irréductibles de $h^{-1}(f^{-1}(0))$, où $E_i$ est une courbe exceptionnelle pour $i \in T_e$ et une composante irréductible de la transformée stricte de $f^{-1}(0)$ pour $i \in T_s$. Pour $i \in T_e$, nous posons $\mathring{E}_i = E_i \setminus \cup_{j \neq i} (E_j \cap E_i)$. Les multiplicités de $E_i$ dans les diviseurs de $f \circ h$ et de $h^*(dx \wedge dy)$ sur $X$ sont notées respectivement $N_i$ et $\nu_i - 1$. On a $N_i \ge 1$, $\nu_i \ge 1$ et $(N_i, \nu_i) = (1, 1)$ pour $i \in T_s$.

Une curvette $\gamma_i$ associée au sommet $i \in T_e$ est un germe de courbe lisse dans $X$ qui intersecte $E_i$ transversalement en un point de $\mathring{E}_i$. Nous noterons $a_i$ la multiplicité de $h(\gamma_i)$ en l'origine $0 \in \mathbb{C}^2$. Le quotient de $E_i$ est le nombre rationnel $N_i/a_i$. Voir ([6], 1.1) pour ces définitions.

Nous noterons enfin $T(f)$ l'arbre dual de désingularisation de $f$. Les sommets de $T(f)$ sont les points de $T$; dans les figures qui suivent, un sommet est représenté par un • si $i \in T_e$ et par une extrémité de flèche si $i \in T_s$; les sommets $i$ et $j$ sont joints par une arête de $T(f)$ si et seulement si $E_i \cap E_j \neq \emptyset$.

**PROPOSITION 1.1.** — Avec les mêmes notations, la fonction zêta de Denef-Loeser de $f$ est donnée par

$$Z_f(s) = \sum_{i \in T_e} \frac{\chi(\mathring{E}_i)}{\nu_i + sN_i} + \sum_{(i,j) \subset T} \frac{\chi(E_i \cap E_j)}{(\nu_i + sN_i)(\nu_j + sN_j)}.$$

*Démonstration.* — Cette formule est une traduction de la définition générale de Denef et Loeser pour le cas des germes de courbe plane, voir ([11], 2.2). $\square$

**PROPOSITION 1.2.** (RÈGLES DE CALCUL DES $N_i$ ET $\nu_i$). — Les nombres $N_1$ et $\nu_1$ associés au sommet #1 qui apparaît le premier lors de la désingularisation par éclatements successifs sont $N_1 = \text{mult}_0(f)$ (multiplicité de $f$ en 0) et $\nu_1 = 2$. Soit $E_i$ une composante du diviseur exceptionnel obtenue par éclatement d'un point $P_i$. Notons $\mathcal{P}(i)$ l'ensemble des indices $j$ tels que $P_i \in E_j$ avant l'éclatement et $f^{(i)}$ le germe définissant les
composantes de la transformée stricte de $f^{-1}(0)$ qui passent par $P_i$ avant l'éclatement de $P_i$. On a alors, $\text{card}(\mathcal{P}(i)) \le 2$ et

$$N_i = \text{mult}_{P_i}(f^{(i)}) + \sum_{j \in \mathcal{P}(i)} N_j \quad \text{et} \quad \nu_i = 2 + \sum_{j \in \mathcal{P}(i)} (\nu_j - 1)$$

ou encore, si $\mathcal{P}(i) = \{j'(i)\}$, $\nu_i = 1 + \nu_{j'(i)}$ et, si $\mathcal{P}(i) = \{j'(i), j''(i)\}$, $\nu_i = \nu_{j'(i)} + \nu_{j''(i)}$.

*Démonstration*. — Ces égalités proviennent d'un calcul élémentaire en coordonnées locales. $\square$

Nous n'aurons besoin que des valeurs des multiplicités $N_i$ aux sommets de valence 1 ou 3. Celles-ci peuvent être calculées en utilisant la proposition suivante.

**PROPOSITION 1.3. (RÈGLE DE CALCUL DES $N_i$).** — Soient $f : (\mathbb{C}^2, 0) \to (\mathbb{C}, 0)$ un germe de courbe plane à singularité isolée et $T(f)$ l'arbre de désingularisation avec multiplicités de $f$. Soient $i$ un sommet de $T(f)$ et $\gamma_i$ une curvette de $f$ associée à ce sommet. La multiplicité $N_i$ du sommet $i$ est égale au nombre d'intersection en 0 des germes $f$ et $h(\gamma_i)$, c'est-à-dire :

$$N_i = \text{mult}_0(f, h(\gamma_i)).$$

*Démonstration*. — Voir ([6], 1.1).

Les propositions 1.4 et 1.5 ci-dessous sont « bien connues ». Voir ([8], section 5) et ([10], lemme 2.3.1) pour d'autres démonstrations.

**PROPOSITION 1.4. (CALCUL DE $\nu_i$ POUR UNE PREMIÈRE PAIRE DE ZARISKI).** — Soit $f = f_1 \cdots f_k : (\mathbb{C}^2, 0) \to (\mathbb{C}, 0)$ un germe de courbe plane à singularité isolée, où les germes $f_1, \dots, f_k$ sont irréductibles. Soient $p_1/q_1, \dots, p_g/q_g$ les paires de Zariski dans le développement de Puiseux de $f_1$. Soit $i(1) \in T_e$ le sommet (de rupture) de $T(f)$ associé à la paire $p_1/q_1$. On a alors

$$\nu_{i(1)} = p_1 + q_1.$$

*Démonstration*. — Il est facile de voir que le calcul de $\nu_{i(1)}$ ne dépend que de la composante irréductible $f_1$ du germe $f$.

Le début de la désingularisation du germe $f_1$ (jusqu'au diviseur représenté dans $T(f)$ par le sommet de rupture associé à la paire $p_1/q_1$) utilise la suite $(\text{apl}(i))_{i \in \mathbb{N}}$ des approximations lentes du développement en fraction continue de $p_1/q_1$.
Les tableaux suivants donnent successivement les approximations lentes apl(i) (rangées dans l'ordre croissant), les numéros d'apparition #i de la composante $E_i$ du diviseur exceptionnel et les valeurs de $\nu_i$.

Premier cas : $\frac{p_1}{q_1} = [h_0, h_1] := h_0 + \frac{1}{h_1} = \frac{h_0 h_1 + 1}{h_1}$.

apl(i) 1 2 ... $h_0$ $h_0 + \frac{1}{h_1}$ ... $h_0 + \frac{1}{3}$ $h_0 + \frac{1}{2}$ $h_0 + 1$

\#i 1 2 ... $h_0$ $h_0 + h_1$ ... $h_0 + 3$ $h_0 + 2$ $h_0 + 1$

$\nu_i$ 2 3 ... $h_0 + 1$ $h_0 h_1 + h_1 + 1$ ... $3h_0 + 4$ $2h_0 + 3$ $h_0 + 2$

Deuxième cas : $\frac{p_1}{q_1} = [h_0, h_1, h_2] := h_0 + \frac{1}{h_1 + \frac{1}{h_2}} = \frac{h_0 h_1 h_2 + h_0 + h_2}{h_1 h_2 + 1}$.

apl(i) 1 ... $h_0$ $h_0 + \frac{1}{h_1 + 1}$ ... $h_0 + \frac{1}{h_1 + \frac{1}{h_2}}$ $h_0 + \frac{1}{h_1}$ ... $h_0 + 1$

\#i 1 ... $h_0$ $h_0 + h_1 + 1$ ... $h_0 + h_1 + h_2$ $h_0 + h_1$ ... $h_0 + 1$

$\nu_i$ 2 ... $h_0 + 1$ $h_0 + 1 + (h_0 h_1 + h_1 + 1)$ ... $h_0 + 1 + h_2(h_0 h_1 + h_1 + 1)$ $h_0 h_1 + h_1 + 1$ ... $h_0 + 2$

Dans le premier cas, on trouve que $\nu_{i(1)} = h_0 h_1 + h_1 + 1 = p_1 + q_1$, en se rappelant que les deux écritures de la fraction $p_1/q_1$ sont irréductibles. Dans le deuxième cas, pour la même raison, $\nu_{i(1)} = h_0 + 1 + h_2(h_0 h_1 + h_1 + 1) = h_0 h_1 h_2 + h_0 + h_2 + h_1 h_2 + 1 = p_1 + q_1$. Dans le cas général, on a

$$ \frac{p_1}{q_1} = [h_0, h_1, h_2, \dots, h_g] := h_0 + \frac{1}{h_1 + \frac{1}{h_2 + \frac{1}{h_{g-1} + \frac{1}{h_g}}}} $$

Introduisons les approximations rapides de la fraction continue $p_1/q_1$:

$$ \frac{p_{1,0}}{q_{1,0}} = [h_0], \quad \frac{p_{1,1}}{q_{1,1}} = [h_0, h_1], \quad \frac{p_{1,2}}{q_{1,2}} = [h_0, h_1, h_2], \dots, $$

$$ \frac{p_{1,g-1}}{q_{1,g-1}} = [h_0, h_1, h_2, \dots, h_{g-1}], $$

et notons $\nu_{h_0}$, $\nu_{h_0+h_1}$, $\nu_{h_0+h_1+h_2}$, ..., $\nu_{i(1)} = \nu_{h_0+\dots+h_g}$ les valeurs de $\nu_i$ associées aux approximations rapides de $p_1/q_1$ (comme ci-dessus, les indices
sont les numéros d'apparition des composantes du diviseur exceptionnel). Les calculs précédents montrent que les premières valeurs de $\nu_i$ sont successivement :

$$\nu_{h_0} = h_0 + 1 = p_{1,0} + q_{1,0}, \quad \nu_{h_0+h_1} = h_0h_1 + h_1 + 1 = p_{1,1} + q_{1,1},$$

$$\nu_{h_0+h_1+h_2} = h_0 + 1 + h_2(h_0h_1 + h_1 + 1) = p_{1,2} + q_{1,2},$$

et que, pour tout $j$, $2 \le j \le g$, on a :

$$\nu_{h_0+\cdots+h_j} = \nu_{h_0+\cdots+h_{j-2}} + h_j\nu_{h_0+\cdots+h_{j-1}}.$$

Mais les numérateurs et dénominateurs des approximations rapides de $p_1/q_1$ vérifient les relations de récurrence suivantes, pour tout $j$, $2 \le j \le g$,

$$p_{1,j} = p_{1,j-2} + h_j p_{1,j-1} \quad \text{et} \quad q_{1,j} = q_{1,j-2} + h_j q_{1,j-1},$$

ceci montre que, pour tout $j$, $2 \le j \le g$, $\nu_{h_0+\cdots+h_j} = p_{1,j} + q_{1,j}$ et, en particulier, $\nu_{i(1)} = p_1 + q_1$. $\square$

**PROPOSITION 1.5. (CALCUL DE $\nu_i$ POUR UN SOMMET DE RUPTURE DE $T(f)$).** — Soit $f_1$ une branche du germe $f$, soient $p_1/q_1, \dots, p_{r-1}/q_{r-1}, p_r/q_r, \dots, p_g/q_g$ les paires de Zariski de $f_1$. Soient $i(r)$ le sommet de rupture de $T(f)$ associé à la paire de Zariski $p_r/q_r$, $r > 1$, de la branche $f_1$ de $f$ et $\nu_{i(r-1)}$ le nombre $\nu$ associé à la paire de Zariski $p_{r-1}/q_{r-1}$ de la branche $f_1$. On a alors

$$\nu_{i(r)} = p_r + q_r \nu_{i(r-1)}.$$

*Démonstration.* — Posons $\nu' = \nu_{i(r-1)}$, $p_r/q_r = [h_0, h_1, \dots, h_s] = h_0 + \frac{1}{h_1 + \frac{\dots}{h_{s-1} + \frac{1}{h_s}}}$ et $\bar{p}_r/q_r = [h_0 + (\nu' - 1), h_1, \dots, h_s] = h_0 + (\nu' - 1) + \frac{1}{h_1 + \frac{\dots}{h_{s-1} + \frac{1}{h_s}}}$.

Le calcul des nombres $\nu$ associés aux sommets de l'arbre de désingularisation de $f_1$, au-delà du sommet de rupture $i(r-1)$ coïncide avec le calcul des nombres $\nu$ associés aux sommets de l'arbre de désingularisation d'un germe irréductible $\bar{f}$ dont les paires de Zariski sont $\bar{p}_r/q_r, \dots, p_g/q_g$, au-delà du sommet dont le nombre $\nu$ est $\nu'$. Nous trouvons donc la formule indiquée :

$$\nu_{i(r)} = \bar{p}_r + q_r = p_r + (\nu' - 1)q_r + q_r = p_r + q_r \nu' = p_r + q_r \nu_{i(r-1)}.$$

$\square$
## 2. Construction des germes $f, f', f'', g, g', g''$

### 2.1. Les germes $f$

Nous considérons les germes de courbe plane à singularité isolée $f$ à deux branches transverses dont la première branche a pour paires de Zariski 3/2 et $p/q$ et la seconde 5/2 et $r/s$, où $p, q, r, s$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $\text{pgcd}(p, q) = \text{pgcd}(r, s) = 1$. Par exemple, on peut prendre pour $f$ le germe dont les branches ont pour développements de Zariski

$$ \varphi_1(x) = x^{3/2}(1 + x^{p/2q}) \quad \text{et} \quad \varphi_2(x) = x + x^{5/2}(1 + x^{r/2s}), $$

L'arbre de désingularisation $T(f)$ du germe $f$ a la forme indiquée Figure 1 (les sommets de valence un ou trois sont notés respectivement $B_i$ ou $A_i$, les sommets de valence deux ne sont pas représentés en général).

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1. — $T(f)$.</figcaption></figure>

**PROPOSITION 2.1.** — Notons $m_i$ les multiplicités des composantes du diviseur exceptionnel et $\nu_i$ les nombres associés aux sommets $A_i$ de l'arbre $T(f)$. On a alors $m_3 = m_4$ et $\nu_3 = \nu_4$ si et seulement si $p, q, r, s$ vérifient les égalités

$$ \left\{ \begin{array}{lcl} q(6q + 4s + p) & = & s(4q + 10s + r) \\ 5q + p & = & 7s + r \end{array} \right. $$

Ces égalités et les conditions $\text{pgcd}(p, q) = \text{pgcd}(r, s) = 1$ sont vérifiées par $(p, q, r, s) = (24, 7, 17, 6)$. On a alors $m_3 = m_4 = 630$ et $\nu_3 = \nu_4 = 59$. Plus généralement, ces égalités et les conditions $\text{pgcd}(p, q) = \text{pgcd}(r, s) = 1$ sont vérifiées pour tout $s, s > 5$ et $s \not\equiv 2 \pmod 3$, par

$$ (p, q, r, s) = (2s^2 - 7s - 6, s + 1, 2s^2 - 9s - 1, s). $$
*Démonstration*. — Pour calculer les $m_i$, on peut prendre pour curvettes associées aux sommets $A_i$, $1 \le i \le 4$, les germes $\gamma_i$ suivants :

$$ 
\begin{align*}
\gamma_1(x) &= 2x^{3/2}, \quad \gamma_2(x) = 2x^{5/2}, \quad \gamma_3(x) = x^{3/2}(1 + 2x^{p/2q}), \\
\gamma_4(x) &= x + x^{5/2}(1 + 2x^{r/2s}).
\end{align*}
$$

On trouve alors, en utilisant les propositions **1.3**, **1.4** et **1.5**, que les multiplicités $m_i$ des composantes du diviseur exceptionnel et les nombres $\nu_i$ associés aux sommets $A_i$ de l'arbre $T(f)$ sont donnés par le tableau suivant :

$$ 
\begin{array}{lllll}
A_i & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 \\
m_i & 6q + 4s & 4q + 10s & q(6q + 4s + p) & s(4q + 10s + r) \\
\nu_i & 5 & 7 & 5q + p & 7s + r
\end{array}
$$

Ceci donne le résultat indiqué. $\square$

## 2.2 Les germes $f'$ et $f''$ et leurs arbres de désingularisation

Nous considérons les germes $f'$ et $f''$ dont les branches ont les développements de Puiseux $\varphi'_1, \varphi'_2$ et $\varphi''_1, \varphi''_2$ suivants :

$$ 
\begin{align*}
\varphi'_1(x) &= x^{3/2}(1+x^{p/2q}(1+x^{1/4q})), & \varphi'_2(x) &= x+x^{5/2}(1+x^{r/2s}(1+x^{3/4s})), \\
\varphi''_1(x) &= x^{3/2}(1+x^{p/2q}(1+x^{3/4q})), & \varphi''_2(x) &= x+x^{5/2}(1+x^{r/2s}(1+x^{1/4s})).
\end{align*}
$$

Les arbres de désingularisation $T(f')$ et $T(f'')$ des germes $f'$ et $f''$ ont la forme indiquée Figure 2. Les germes $f'$ et $f''$ ont donc, par construction, des types topologiques distincts.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>
**PROPOSITION 2.2.** — Avec les notations de la proposition **2.1**, les multi-
plicités $N_i$ des composantes du diviseur exceptionnel et les nombres $\nu_i$ sont
donnés par les tableaux suivants, successivement pour $f'$ et pour $f''$ :

<table><thead><tr><th></th><th>A<sub>3</sub></th><th>B<sub>5</sub></th><th>A<sub>5</sub></th><th>A<sub>4</sub></th><th>C''</th><th>B<sub>6</sub></th><th>A<sub>6</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>N<sub>i</sub>(f')</th><td>2m<sub>3</sub></td><td>2m<sub>3</sub> + 1</td><td>4m<sub>3</sub> + 2</td><td>2m<sub>4</sub></td><td>2m<sub>4</sub> + 2</td><td>2m<sub>4</sub> + 3</td><td>4m<sub>4</sub> + 6</td></tr><tr><th>ν<sub>i</sub>(f')</th><td>ν<sub>3</sub></td><td>ν<sub>3</sub> + 1</td><td>2ν<sub>3</sub> + 1</td><td>ν<sub>4</sub></td><td>ν<sub>4</sub> + 1</td><td>ν<sub>4</sub> + 2</td><td>2ν<sub>4</sub> + 3</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th></th><th>A<sub>3</sub></th><th>C''</th><th>B<sub>5</sub></th><th>A<sub>5</sub></th><th>A<sub>4</sub></th><th>B<sub>6</sub></th><th>A<sub>6</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>N<sub>i</sub>(f'')</th><td>2m<sub>3</sub></td><td>2m<sub>3</sub> + 2</td><td>2m<sub>3</sub> + 3</td><td>4m<sub>3</sub> + 6</td><td>2m<sub>4</sub></td><td>2m<sub>4</sub> + 1</td><td>4m<sub>4</sub> + 2</td></tr><tr><th>ν<sub>i</sub>(f'')</th><td>ν<sub>3</sub></td><td>ν<sub>3</sub> + 1</td><td>ν<sub>3</sub> + 2</td><td>2ν<sub>3</sub> + 3</td><td>ν<sub>4</sub></td><td>ν<sub>4</sub> + 1</td><td>2ν<sub>4</sub> + 1</td></tr></tbody></table>

On passe de $T(f)$ à $T(f')$ et $T(f'')$ en remplaçant les flèches portées par $A_3$ et $A_4$ par ce qui est indiqué par les figures. Les multiplicités des composantes du diviseur exceptionnel dans la partie de $T(f')$ ou $T(f'')$ reprise de $T(f)$ sont obtenues en multipliant par 2 celles des sommets correspondants de $T(f)$. Les nombres $\nu_i$ associés aux composantes du diviseur exceptionnel dans la partie de $T(f')$ ou $T(f'')$ reprise de $T(f)$ sont égaux à ceux des sommets correspondants de $T(f)$.

**2.3. Les germes g**

Nous considérons les germes de courbe plane à singularité isolée $g$ définis par

$$g(x, y) = (x^a - y^b)(x^c - y^d)((y - x)^e - x^f),$$

où $a, b, c, d, e, f$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que

$$\frac{e}{f} < 1 < \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \quad \text{et} \quad \text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(c, d) = \text{pgcd}(e, f) = 1.$$

L'arbre de désingularisation $T(g)$ du germe de courbe plane $g$ a la forme indiquée Figure 3 (les sommets de valence trois ou un sont notés respectivement $A_i$ ou $B_i$, les sommets de valence deux ne sont pas représentés en général).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3. — $T(g)$.</figcaption></figure>
**PROPOSITION 2.3.** — Notons $n_0$ la multiplicité du germe $g$, $n_1$, $n_2$ et $n_3$ les multiplicités des composantes de valence 3 du diviseur exceptionnel de la désingularisation du germe $g$ rencontrant respectivement les transformées strictes des composantes $x^a - y^b$, $(y-x)^e - x^f$ et $x^c - y^d$. On a

$$n_0 = b+d+e, \quad n_1 = ab+ad+be, \quad n_2 = e(b+d+f), \quad n_3 = d(a+c+e).$$

De plus, les nombres $\nu_i$ associés aux sommets de rupture $A_1, A_2, A_3$ sont respectivement

$$\nu_1 = a+b, \quad \nu_2 = e+f, \quad \nu_3 = c+d.$$

*Démonstration.* — Voir les propositions **1.3** et **1.4**. $\square$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**2.4 Les germes $g'$ et $g''$ et leurs arbres de désingularisation**

Nous supposerons à partir d'ici que $(a, b, c, d, e, f)$ vérifient les conditions données en **2.3** et les égalités $n_2 = n_3$ et $\nu_2 = \nu_3$. Pour simplifier les calculs des formes de Seifert, nous imposerons de plus que les pgcd des multiplicités le long des arêtes de l'arbre $T(g)$ soient égaux à 1. Toutes ces conditions sont vérifiées par $(a, b, c, d, e, f) = (11, 3, 14, 3, 5, 12)$.

Nous considérons les germes $g'$ et $g''$ dont les branches ont les développements de Puiseux $\gamma'_1, \gamma'_2, \gamma'_3$ et $\gamma''_1, \gamma''_2, \gamma''_3$ suivants :

$$\gamma'_1(x) = x^{a/b}(1+x^{1/2b}), \quad \gamma'_2(x) = x+x^{f/e}(1+x^{3/2e}), \quad \gamma'_3(x) = x^{c/d}(1+x^{1/2d}),$$

$$\gamma_1''(x) = x^{a/b}(1+x^{1/2b}), \quad \gamma_2''(x) = x+x^{f/e}(1+x^{1/2e}), \quad \gamma_3''(x) = x^{c/d}(1+x^{3/2d}).$$

Nous avons donc ajouté à chaque branche de $g$ une paire de Zariski de la façon suivante : dans le cas de $g'$, les paires de Zariski ajoutées sont $1/2$, $1/2$ et $3/2$ pour les branches associées respectivement à $a/b$, $c/d$ et $f/e$ ; dans le cas de $g''$, les paires de Zariski ajoutées sont $1/2$, $3/2$ et $1/2$ pour les branches associées respectivement à $a/b$, $c/d$ et $f/e$. Les germes $g'$ et $g''$ ont donc, par construction, des types topologiques distincts.

Les arbres de désingularisation $T(g°)$, où $° ='$ ou $''$, des germes $g'$ et $g''$ ont la forme indiquée Figure 4 (les sommets de valence un ou trois sont notés respectivement $B_i$ ou $A_i$, les sommets de valence deux sont omis en général). On passe de $T(g)$ à $T(g')$ et $T(g'')$ en remplaçant les flèches portées par $A_1, A_2$ et $A_3$ par ce qui est indiqué par la figure. Les multiplicités des composantes du diviseur exceptionnel dans la partie de $T(g')$ ou $T(g'')$ reprise de $T(g)$ sont obtenues en multipliant par 2 celles des sommets correspondants de $T(g)$. Les nombres $\nu_i$ associés aux composantes du
diviseur exceptionnel dans la partie de $T(g')$ ou $T(g'')$ reprise de $T(g)$ sont égaux à ceux des sommets correspondants de $T(g)$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

Rappelons que le pgcd des multiplicités $N_i$ et $N_{i+1}$ de deux sommets consécutifs sur une branche morte ou sur un segment géodésique (entre deux sommets de rupture) est constant le long de la branche morte ou du segment géodésique, voir par exemple ([7], proposition 2.1). Ces pgcd sont tous égaux à 2 le long des segments géodésiques de $T(g^°)$.

Rappelons d'autre part que si le sommet $i$ est un sommet de rupture ou le sommet #1, si celui-ci est de valence 2, le quotient $N_i/a_i$ introduit en **1** est un quotient polaire pour le germe de courbe plane étudié, voir ([9], théorème C) ou ([6], 2).

**PROPOSITION 2.4.** — Les tableaux suivants donnent les multiplicités $N_i$ des composantes du diviseur exceptionnel, les quotients polaires $N_i/a_i$ et les nombres $\nu_i$ successivement pour le germe $g'$ et pour le germe $g''$. Comme ci-dessus, $n_0 = b+d+e$, $n_1 = ab+ad+be$, $n_2 = e(b+d+f) = d(a+c+e) = n_3$, $\nu_1 = a+b$, $\nu_2 = e+f = c+d = \nu_3$.

<table><thead><tr><th>$i$</th><th>$A_4$</th><th>$A_2$</th><th>$\#1$</th><th>$A_1$</th><th>$A_3$</th><th>$A_5$</th><th>$A_6$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$N_i(g')$</td><td>$4n_2 + 6$</td><td>$2n_2$</td><td>$2n_0$</td><td>$2n_1$</td><td>$2n_3$</td><td>$4n_3 + 2$</td><td>$4n_1 + 2$</td></tr><tr><td>$N_i(g')/a_i$</td><td>$(2n_2 + 3)/e$</td><td>$2n_2/e$</td><td>$2n_0$</td><td>$2n_1/b$</td><td>$2n_3/d$</td><td>$(2n_3 + 1)/d$</td><td>$(2n_1 + 1)/b$</td></tr><tr><td>$\nu_i$</td><td>$2\nu_2 + 3$</td><td>$\nu_2$</td><td>$2$</td><td>$\nu_1$</td><td>$\nu_3$</td><td>$2\nu_3 + 1$</td><td>$2\nu_1 + 1$</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>$i$</th><th>$A_4$</th><th>$A_2$</th><th>$\#1$</th><th>$A_1$</th><th>$A_3$</th><th>$A_5$</th><th>$A_6$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$N_i(g'')$</td><td>$4n_2 + 2$</td><td>$2n_2$</td><td>$2n_0$</td><td>$2n_1$</td><td>$2n_3$</td><td>$4n_3 + 6$</td><td>$4n_1 + 2$</td></tr><tr><td>$N_i(g'')/a_i$</td><td>$(2n_2 + 1)/e$</td><td>$2n_2/e$</td><td>$2n_0$</td><td>$2n_1/b$</td><td>$2n_3/d$</td><td>$(2n_3 + 3)/d$</td><td>$(2n_1 + 1)/b$</td></tr><tr><td>$\nu_i(g'')$</td><td>$2\nu_2 + 1$</td><td>$\nu_2$</td><td>$2$</td><td>$\nu_1$</td><td>$\nu_3$</td><td>$2\nu_3 + 3$</td><td>$2\nu_1 + 1$</td></tr></tbody></table>
### 3. Les résultats

THÉORÈME 3.1. — Soient $p, q, r, s$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $\text{pgcd}(p, q) = \text{pgcd}(r, s) = 1$, $q(6q + 4s + p) = s(4q + 10s + r)$ et $5q + p = 7s + r$. Rappelons que ces conditions sont vérifiées par $(p, q, r, s) = (24, 7, 17, 6)$ ou, plus généralement, pour tout $s$, $s > 5$ et $s \not\equiv 2 \pmod 3$, par

$$ (p, q, r, s) = (2s^2 - 7s - 6, s + 1, 2s^2 - 9s - 1, s). $$

Alors, les germes $f'$ et $f''$ ont des types topologiques distincts et

1. les formes de Seifert entières des germes $f'$ et $f''$ sont isomorphes et

2. les fonctions zêta de Denef-Loeser de ces germes sont égales.

Démonstration. — Les germes $f'$ et $f''$ sont des germes à deux branches. La condition $q(6q + 4s + p) = s(4q + 10s + r)$ implique que ces germes sont isomères, c'est-à-dire que l'on passe de $T_N(f')$ à $T_N(f'')$ en échangeant les extrémités de ces arbres pondérés, voir [3] ou [6] pour une définition précise. Les formes de Seifert entières associées sont alors isomorphes, d'après ([3], th. 2).

D'après la proposition 1.1, la fonction zêta de Denef-Loeser du germe $f^{\circ}$, où $^{\circ} = {}'$ ou $^{\circ''}$, est donnée par

$$ Z_{f^{\circ}}(s) = \sum_{\{i|\nu(i)=1\}} \frac{1}{\nu_i(f^{\circ}) + sN_i(f^{\circ})} + \sum_{\{i|\nu(i)=3\}} \frac{-1}{\nu_i(f^{\circ}) + sN_i(f^{\circ})} + \sum \frac{1}{(1+s)(\nu_i(f^{\circ}) + sN_i(f^{\circ}))} + \sum \frac{1}{(\nu_i(f^{\circ}) + sN_i(f^{\circ}))(\nu_j(f^{\circ}) + sN_j(f^{\circ}))}, $$

où la première somme est étendue aux sommets $B_1, \dots, B_6$, de valence 1, la deuxième aux sommets $A_1, \dots, A_6$, de valence 3, la troisième aux sommets portant des flèches, $A_5, A_6$ et la quatrième aux arêtes $(i, j)$ de l'arbre $T(f^{\circ})$. La comparaison des arbres $T_N(f')$ et $T_N(f'')$ d'une part, et $T_{\nu}(f')$ et $T_{\nu}(f'')$ d'autre part, montre immédiatement que $Z_{f'}(s) = Z_{f''}(s)$. $\square$

PROPOSITION 3.2. — Soient $a, b, c, d, e, f$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que

$$ \frac{e}{f} < 1 < \frac{a}{b} < \frac{c}{d}, \quad \text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(c, d) = \text{pgcd}(e, f) = 1, $$

$$ e(b+d+f) = d(a+c+e) \quad \text{et} \quad c+d=e+f. $$

Alors les fonctions zêta de Denef-Loeser des germes $g'$ et $g''$ sont égales.
*Démonstration.* — D’après la proposition **1.1**, la fonction zêta de Denef-Loeser du germe $g^{\circ}$, où $^{\circ} = {}'$ ou $^{''}$, est donnée par

$$
Z_{g^{\circ}}(s) = \sum_{\{i|v(i)=1\}} \frac{1}{\nu_i(g^{\circ}) + sN_i(g^{\circ})} + \sum_{\{i|v(i)=3\}} \frac{-1}{\nu_i(g^{\circ}) + sN_i(g^{\circ})} \\
+ \sum \frac{1}{(1+s)(\nu_i(g^{\circ}) + sN_i(g^{\circ}))} + \sum_{(i,j)} \frac{1}{(\nu_i(g^{\circ}) + sN_i^{\circ})(\nu_j(g^{\circ}) + sN_j(g^{\circ}))},
$$

où la première somme est étendue aux sommets $B_2, \dots, B_6$, de valence 1, la
deuxième aux sommets $A_1, \dots, A_6$, de valence 3, la troisième aux sommets
portant des flèches, $A_4, A_5, A_6$ et la quatrième aux arêtes $(i, j)$ de l'arbre
$T(g^\circ)$. La comparaison des arbres $T_N(g')$ et $T_N(g'')$ d'une part, et $T_\nu(g')$ et
$T_\nu(g'')$ d'autre part, montre immédiatement que $Z_{g'}(s) = Z_{g''}(s)$. $\square$

THÉORÈME 3.3. — Soient $a, b, c, d, e, f$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $\text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(c, d) = \text{pgcd}(e, f) = 1$, $e(b+d+g) = d(a+c+e)$ et $c+d = e+f$, supposons de plus que les $\text{pgcd}$ des multiplicités le long des arêtes de l'arbre $T(g)$ valent 1 (ceci équivaut à supposer que la monodromie du germe $g$ est d'ordre fini) et que l'on a l'inégalité

$$
d(ab + ad + be) \neq e(b^2 + 2bd).
$$

Toutes ces conditions sont vérifiées par $(a, b, c, d, e, f) = (11, 3, 14, 3, 5, 12)$.
Alors, d'une part, les formes de Seifert entières des germes $g'$ et $g''$ ne sont
pas isomorphes et, d'autre part, les formes de Seifert rationnelles de $g'$ et
$g''$ sont Witt-équivalentes.

*Démonstration.* — On considère la filtration par le poids *M* sur l'homologie $H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z})$ de la fibre de Milnor $F(g^\circ)$ du germe $g^\circ$, définie dans [5] et utilisée dans [6] et [4], par les formules suivantes, où la monodromie homologique est notée comme la multiplication par $t$, et $\varepsilon$ désigne un exposant de la monodromie.

$$
\begin{align*}
M_0(H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z})) &= H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z}), \quad M_{-1}(H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z})) = \text{Ker}(t^\epsilon - 1), \\
M_{-2}(H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z})) &= \left( (\text{Ker}(t-1) + \text{Im}(t^\epsilon - 1)) \otimes \mathbf{Q} \right) \cap H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z}).
\end{align*}
$$

L’article [5] définit de plus une décomposition de $F(g^\circ)$, associée à l’arbre
de désingularisation $T(g^\circ)$, $F(g^\circ) = \cup_{i \in T_e} F_i(g^\circ)$, voir aussi [6] pour ces
définitions. Un calcul élémentaire utilisant [5] donne l’isomorphisme de
$\mathbf{Z}[t, t^{-1}]$-modules suivant

$$
\mathrm{Gr}_0^M H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z}) \simeq \mathbf{Z}[t, t^{-1}]/(t+1) \oplus \mathbf{Z}[t, t^{-1}]/(t+1).
$$
Nous utilisons ensuite ([6], th. 2.21) et enfin ([4], th. 1.7 et th. 1.12).

Pour $^{\circ} ='$ ou $^{''}$, soient $y^{\circ}$ et $z^{\circ}$ des longs cycles tracés sur $F(g^{\circ})$ joignant respectivement d'une part les zones $F_4(g^{\circ})$ et $F_6(g^{\circ})$ (associées aux sommets $A_4$ et $A_6$ de $T(g^{\circ})$) et d'autre part les zones $F_5(g^{\circ})$ et $F_6(g^{\circ})$ (associées aux sommets $A_5$ et $A_6$ de $T(g^{\circ})$) de la fibre de Milnor de $g^{\circ}$, de telle sorte que

$$
\mathrm{Gr}_0^M H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z}) = \mathbf{Z}[t, t^{-1}]/(t+1) \cdot \tilde{y}^\circ \oplus \mathbf{Z}[t, t^{-1}]/(t+1) \cdot \tilde{z}^\circ.
$$

Soit $\varepsilon^{\circ}$ le plus petit exposant de la monodromie du germe $g^{\circ}$. On rappelle que $\varepsilon^{\circ}$ est le ppcm des multiplicités $N_i^{\circ}$ des sommets de rupture dans l'arbre $T_N(g^{\circ})$, c'est-à-dire que, par construction,

$$
\epsilon' = \text{ppcm}(N'_1, N'_2, N'_3, N'_4, N'_5, N'_6) = \text{ppcm}(N''_1, N''_2, N''_3, N''_4, N''_5, N''_6) = \epsilon''.
$$

Nous noterons donc $\epsilon = \epsilon' = \epsilon''$. Notons $\text{ar}_1^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant \#1 et $A_1$, $\text{ar}_2^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant \#1 et $A_2$, $\text{ar}_3^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant $A_1$ et $A_3$, $\text{ar}_4^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant $A_2$ et $A_4$, $\text{ar}_5^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant $A_3$ et $A_5$, $\text{ar}_6^\circ$ la longue arête de $T(g^\circ)$ joignant $A_1$ et $A_6$. Les arêtes portent donc le numéro du sommet de rupture qui en est l'extrémité la plus éloignée du sommet \#1.

La formule du twist ([6], th. 2.21) permet de calculer $(t^{\epsilon} - 1)y^{\circ}$ et $(t^{\epsilon} - 1)z^{\circ}$ en calculant les contributions de chacune des longues arêtes. Vu que $y^{\circ}$ parcourt les arêtes $\text{ar}_1^{\circ}$, $\text{ar}_2^{\circ}$, $\text{ar}_4^{\circ}$, $\text{ar}_6^{\circ}$ et $z^{\circ}$ les arêtes $\text{ar}_3^{\circ}$, $\text{ar}_5^{\circ}$ et $\text{ar}_6^{\circ}$, on trouve

$$
(t^{\epsilon} - 1)y^{\circ} = \sum_{i \in \{1,2,4,6\}} \sum_{k=1}^{2} S(t^k x_i, y^{\circ}) \frac{2\epsilon}{\delta_i} \left( \frac{a_{j(i)}}{N_{j(i)}^{\circ}} - \frac{a_i}{N_i^{\circ}} \right) t^k x_i,
$$

$$
(t^{\epsilon} - 1)z^{\circ} = \sum_{i \in \{3,5,6\}} \sum_{k=1}^{2} S(t^k x_i, z^{\circ}) \frac{2\epsilon}{\delta_i} \left( \frac{a_{j(i)}}{N_{j(i)}^{\circ}} - \frac{a_i}{N_i^{\circ}} \right) t^k x_i,
$$

où $S$ est la forme d'intersection sur $H_1(F(g^\circ), \mathbf{Z})$, $x_i$ est un cycle de rec-
ollement associé à la longue arête $a_i$, $\delta_i$ est la somme des multiplicités des
composantes de $g^\circ$ dont la géodésique passe par $a_i$ (voir ([6], 2.18), où cet
entier est noté $\nu_i$) et $j(i)$ est l'indice du sommet de rupture ou du sommet
\#1 qui précède $i$ dans $T(g^\circ)$.

Les arbres $T_N(g')$ et $T_N(g'')$ permettent de choisir les $x_i$ de telle sorte
que $x_1 = x_2 = x_4$, $x_3 = x_5$ et $x_1 = x_3 + x_6$. Les valeurs des $\delta_i$ sont ici,
dans $T_N(g')$ ou dans $T_N(g'')$, $\delta_1 = 2(b+d)$, $\delta_2 = \delta_4 = 2e$, $\delta_3 = \delta_5 = 2d$ et
$\delta_6 = 2b$.
Notons $\mathrm{Tw}_i^\circ = \frac{2\varepsilon}{\delta_i} \left( \frac{a_{j(i)}}{N_{j(i)}^\circ} - \frac{a_i}{N_i^\circ} \right)$ le coefficient de twist le long de $\mathrm{ar}_i^\circ$, où
$\circ = \text{'}$ ou $\text{''}$ ou absence d'exposant, on trouve donc :

$$
\frac{\mathrm{Tw}_1}{\varepsilon} = \frac{1}{b+d} \left( \frac{1}{2n_0} - \frac{b}{2n_1} \right), \quad \frac{\mathrm{Tw}_2}{\varepsilon} = \frac{1}{e} \left( \frac{1}{2n_0} - \frac{e}{2n_2} \right), \quad \frac{\mathrm{Tw}_3}{\varepsilon} = \frac{1}{d} \left( \frac{b}{2n_1} - \frac{d}{2n_3} \right),
$$

$$
\frac{\mathrm{Tw}'_4}{\varepsilon} = \left(\frac{1}{2n_2} - \frac{1}{2n_2 + 3}\right), \quad \frac{\mathrm{Tw}'_5}{\varepsilon} = \left(\frac{1}{2n_3} - \frac{1}{2n_3 + 1}\right), \quad \frac{\mathrm{Tw}'_6}{\varepsilon} = \left(\frac{1}{2n_1} - \frac{1}{2n_1 + 1}\right),
$$

$$
\frac{\mathrm{Tw}_4''}{\varepsilon} = \left( \frac{1}{2n_2} - \frac{1}{2n_2 + 1} \right), \quad \frac{\mathrm{Tw}_5''}{\varepsilon} = \left( \frac{1}{2n_3} - \frac{1}{2n_3 + 3} \right), \quad \frac{\mathrm{Tw}_6''}{\varepsilon} = \left( \frac{1}{2n_1} - \frac{1}{2n_1 + 1} \right).
$$

Afin de comparer les valeurs ainsi trouvées, rappelons que, par construction,
$n_2 = n_3$.

On trouve donc

$$
(t^{\epsilon}-1)y^{\circ} = (\mathrm{Tw}_1+\mathrm{Tw}_2+\mathrm{Tw}_4^{\circ})S(x_1,y^{\circ})(x_1-tx_1)+\mathrm{Tw}_6S(x_6,y^{\circ})(x_6-tx_6),
$$

$$
(t^{\epsilon} - 1)z^{\circ} = (\mathrm{Tw}_3 + \mathrm{Tw}_5^{\circ})S(x_3, z^{\circ})(x_3 - tx_3) + \mathrm{Tw}_6 S(x_6, z^{\circ})(x_6 - tx_6).
$$

Suivant [4], nous noterons $S_2$ la forme bilinéaire symétrique sur $\mathrm{Gr}_0^M H_1(F, \mathbb{Z})$ définie par $S_2(u, v) = S((t^\epsilon - 1)u, v)$. Quitte à remplacer $y^\circ$ ou $z^\circ$ par leurs opposés et vu que, par construction, $x_1 = x_3 + x_6$, on peut supposer que

$$
S(x_1, y^\circ) = -S(tx_1, y^\circ) = S(x_6, y^\circ) = -S(tx_6, y^\circ) = 1,
$$

$$
S(x_3, y^{\circ}) = -S(tx_3, y^{\circ}) = 0,
$$

$$
S(x_3, z^{\circ}) = -S(tx_3, z^{\circ}) = -S(x_6, z^{\circ}) = S(tx_6, z^{\circ}) = 1,
$$

$$
S(x_1, z^{\circ}) = -S(tx_1, z^{\circ}) = 0.
$$

La forme $S_2$ vérifie donc les égalités suivantes

$$
S_2(y^\circ, y^\circ) = 2(\mathrm{Tw}_1 + \mathrm{Tw}_2 + \mathrm{Tw}_4^\circ + \mathrm{Tw}_6),
$$

$$
S_2(z^\circ, z^\circ) = 2(\mathrm{Tw}_3 + \mathrm{Tw}_5^\circ + \mathrm{Tw}_6),
$$

$$
S_2(y^\circ, z^\circ) = -2\mathrm{Tw}_6.
$$

Pour démontrer que les conditions sur (a, b, c, d, e, f) entraînent que les
formes de Seifert entières associées aux germes $f'$ et $f''$ ne sont pas iso-
morphes, il suffit de vérifier que

$$
\det \begin{pmatrix} S_2(y', y') & S_2(y', z') \\ S_2(z', y') & S_2(z', z') \end{pmatrix} \neq \det \begin{pmatrix} S_2(y'', y'') & S_2(y'', z'') \\ S_2(z'', y'') & S_2(z'', z'') \end{pmatrix}
$$
ou encore, vu que $Tw'_4 = Tw''_5$ et $Tw''_4 = Tw'_5$, il suffit de vérifier l'inégalité suivante entre déterminants

$$ \left| \begin{array}{cc} \mathrm{Tw}_1 + \mathrm{Tw}_2 + \mathrm{Tw}'_4 + \mathrm{Tw}_6 & -\mathrm{Tw}_6 \\ -\mathrm{Tw}_6 & \mathrm{Tw}_3 + \mathrm{Tw}'_5 + \mathrm{Tw}_6 \end{array} \right| \neq 0 $$ $$ \left| \begin{array}{cc} \mathrm{Tw}_1 + \mathrm{Tw}_2 + \mathrm{Tw}'_5 + \mathrm{Tw}_6 & -\mathrm{Tw}_6 \\ -\mathrm{Tw}_6 & \mathrm{Tw}_3 + \mathrm{Tw}'_4 + \mathrm{Tw}_6 \end{array} \right| = 0 $$

On a, par construction, $Tw'_4 \neq Tw'_5$, l'inégalité entre déterminants équivaut donc à l'inégalité

$$ (\mathrm{Tw}_1 + \mathrm{Tw}_2 - \mathrm{Tw}_3)(\mathrm{Tw}'_4 - \mathrm{Tw}'_5) \neq 0 \quad \text{ou} \quad \mathrm{Tw}_1 + \mathrm{Tw}_2 \neq \mathrm{Tw}_3, $$

qui donne après simplification

$$ d(ab + ad + be) \neq e(b^2 + 2bd), $$

et cette condition est vérifiée par hypothèse.

Il reste à démontrer que les formes de Seifert rationnelles de $g'$ et $g''$ sont Witt-équivalentes. Ce point est une application immédiate de ([4], th. 1.12), vu que, d'une part, les arbres $T_N(g')$ et $T_N(g'')$ présentent les mêmes halos et que, d'autre part, les multiplicités d'intersection des branches de $g'$ sont, par construction, égales aux multiplicités d'intersection des branches correspondantes de $g''$. $\square$

### 3.4. Exemples numériques

D'après la proposition 2.1, les conditions sur $(p, q, r, s)$, $m_3 = m_4$, $\nu_3 = \nu_4$ et $\text{pgcd}(p, q) = \text{pgcd}(r, s) = 1$ sont vérifiées par $(p, q, r, s) = (24, 7, 17, 6)$. Nous noterons $f_0, f'_0, f''_0$ les germes $f, f', f''$ associés à cette valeur de $(p, q, r, s)$. Les arbres de désingularisation avec multiplicités de $f_0, f'_0, f''_0$, notés respectivement $T_N(f_0), T_N(f'_0), T_N(f''_0)$ et les arbres de ces germes pondérés par les nombres $\nu_i$, notés respectivement $T_\nu(f_0), T_\nu(f'_0), T_\nu(f''_0)$ sont donnés Figures 5 à 9.

Les conditions $n_2 = n_3$ et $\nu_2 = \nu_3$ vues en 2.3 sont satisfaites par $(a, b, c, d, e, f) = (11, 3, 14, 3, 5, 12)$. Nous noterons $g_0, g'_0, g''_0$ les germes $g, g', g''$ associés à cette valeur de $(a, b, c, d, e, f)$. Les arbres de désingularisation avec multiplicités de $g_0, g'_0, g''_0$, notés respectivement $T_N(g_0), T_N(g'_0), T_N(g''_0)$ et les arbres de ces germes pondérés par les nombres $\nu_i$, notés respectivement $T_\nu(g_0), T_\nu(g'_0), T_\nu(g''_0)$ sont donnés Figures 10 à 13.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5. — $T_N(f_0)$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6. — $T_N(f'_0)$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7. — $T_N(f_0'')$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8. — $T_\nu(f_0)$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10.</figcaption></figure>
Comparaison des formes de Seifert et des fonctions zêta de Denef-Loeser

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11. — $T_N(g_0')$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 12. — $T_N(g_0'')$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 13</figcaption></figure>

Bibliographie

[1] Enrique Artal BARTOLO, Pierrette CASSOU-NOGUÈS, Ignacio LUENGO, and Alejandro MELLE HERNÁNDEZ. — The Denef-Loeser zeta function is not a topological invariant. Journal of the London Mathematical Society, 65:45-54 (2002).

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Comparaison des formes de Seifert et des fonctions zêta de Denef-Loeser

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