# Pré-Actes - Colloque international en hommage à l'oeuvre de Guy Brousseau

Charlotte Derouet, Viviane Durand-Guerrier, Chloé Lemrich, Anne-Cécile Mathé

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Charlotte Derouet, Viviane Durand-Guerrier, Chloé Lemrich, Anne-Cécile Mathé. Pré-Actes - Colloque international en hommage à l'oeuvre de Guy Brousseau. Colloque international en hommage à l'oeuvre de Guy Brousseau, Jul 2025, Bordeaux, France. IREM d'Aquitaine, pp.331, 2025, 978-2-85633-076-0. hal-05184913

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# Pré-Actes

## COLLOQUE INTERNATIONAL EN HOMMAGE À L'ŒUVRE DE GUY BROUSSEAU

### Juillet 2025

Charlotte Derouet
Viviane Durand-Guerrier
Chloé Lemrich
Anne-Cécile Mathé
## Éditrices

Charlotte Derouet Université de Strasbourg, France (ARDM)

Viviane Durand-Guerrier Université de Montpellier, France

Chloé Lemrich Haute École Pédagogique Lausanne, Suisse (ARDM)

Anne-Cécile Mathé Université de Clermont Auvergne, France (ARDM)

© 2025, IREM d'Aquitaine

ISBN : 978-2-85633-076-0

## Pour citer les pré-actes :

Derouet, C., Durand-Guerrier, V., Lemrich, C., & Mathé, A.-C. (Dir.). (2025). *Pré-actes du Colloque international en hommage à l’œuvre de Guy Brousseau*. IREM d'Aquitaine.

## Pour citer un article des pré-actes :

Nom, P. (2025). *Titre de la communication/Atelier/poster*. Dans C. Derouet, V. Durand-Guerrier, C. Lemrich & A.-C. Mathé (Dir.), *Pré-actes du Colloque international en hommage à l’œuvre de Guy Brousseau* (pp. xx-yy). IREM d'Aquitaine.

Retour à la *table des matières*, au *programme*
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Fondements
Développements,
Evolutions et
Perspectives
de la théorie
des situations
didactiques

Colloque international en
hommage à l'oeuvre
de Guy Brousseau

7-10 JUILLET 2025

BORDEAUX - LA VICTOIRE

université
"BORDEAUX

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Université
Paris Cite

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

LAB-E3D
Laboratoire Étudiants et didactiques des disciplines
Université de Bordeaux

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<figure><img src="image_8.png" /></figure>

HiDiM
RT 2183

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Nouvelle-
Aquitaine

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Institut national
supérieur du professant
du secondaire
Académie de Bordeaux

Unité de formation
Mathématiques
et interactions

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UNIVERSITAT
JAUME I

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Institut Universitari
de Matemàtiques i Aplicacions
de Castelló - IMAC

cnrs
# TABLE DES MATIÈRES

## Préambule .................................................................................. 11

## Introduction .................................................................................. 13

Présentation générale du colloque .................................................................................. 13

Orientations scientifiques .................................................................................................................. 13

Thématiques du colloque .................................................................................................................. 14

Organisé avec le soutien .................................................................................................................. 18

## Programme .................................................................................. 19

Programme général .................................................................................................................. 19

Communications & ateliers .................................................................................................................. 20

Posters .................................................................................................................................................. 21

## Ouverture .................................................................................. 22

Guy Brousseau, un géant de la didactique des mathématiques .................................................. 22

ARTIGUE Michèle .................................................................................................................................................. 22

Enfin Guy Brousseau vint ! Sur une révolution paradigmatique.................................................. 23

CHEVALLARD Yves .................................................................................................................................................. 23

## Thématique 1 .................................................................................. 24

### CONFÉRENCES .................................................................................. 25

Conférence 1 La Théorie des Situations Didactiques, une relation étroite entre la théorie et la pratique.................................................................................................................. 26

BALACHEFF Nicolas, Greslard Nédélec Denise, Orús Pilar

Conférence 2 De l'épistémologie scolaire des mathématiques à la didactique d'une discipline : l'observation des élèves par le COREM, à l'École Jules Michelet.................. 27

MERCIER Alain, QUILIO Serge

Conférence 3 Les spécificités des recherches menées au COREM par des équipes constituées de chercheurs en didactique des mathématiques, d'enseignants et de formateurs : des exemples autour de la géométrie et de la classification. ........................ 29

GRESLARD-NÉDÉLEC Denise, MUSSET Catherine, SALIN Marie-Hélène, BERTHELOT René, ORÚS Pilar, TRESSOL Bernard, ROUX-BONNET Marie-Lise, DARDÈRES Monique.
Conférence 4 Présentation du CRDM-Guy Brousseau..................................................31

GREGORI Pablo, ORÚS Pilar, OVIDE Aurélien, TRAIN Grégory

## Thématique 2 .................................................................................. 33

CONFÉRENCES ..................................................................................................................34

**Conférence 1** La théorie des situations et les mathématiques : un lien à interroger ?... 35

LOMBARD Nathan, RIVIÈRE Olivier, BESSOT Annie, MARGOLINAS Claire

Conférence 2 Logique, démonstration et preuve à la transition secondaire-supérieur : construction de situations et évolutions de la Théorie des Situations Didactiques ........ 37

BARRIER Thomas, BLOCH Isabelle, GIBEL Patrick, OUVRIER-BUFFET Cécile

TABLE RONDE ..................................................................................................................39

Regards croisés sur la théorie des situations................................................................40

JAUBERT Martine, ROGALSKI Janine, SENSEVY Gérard, COULANGE Lalina

COMMUNICATIONS..................................................................................................................41

Co-construction d'un dispositif en classe maternelle en REP+: le rôle fondamental du processus d'institutionnalisation dans la réduction des inégalités scolaires..................42

ALLARD Cécile

Sens, signe, connaissance et reconnaissance................................................................47

ALSON Pedro

Dévolution et engagement dans un dispositif d'aide préventif........................................55

ASSUDE Teresa, MILLON-FAURE Karine, DRACOS Christophe, MARI Émilie

Saut informationnel et impavidité de la professeure ........................................................60

ATHIAS Francine, FOREST Dominique, SENSEVY Gérard, JOURNAL Catherine, MORALES Grace

Des variables didactiques liées aux discours d'enseignants et d'élèves ? ......................65

BARTHÈS-GARNIER Cécile, COULANGE Lalina, HACHE Christophe

Manipulation d'un duo d'artefacts tangible et numérique dans une situation didactique : découverte de la distributivité en 4° ................................................................................70

BIRCKEL-LESPETS Elsa, DELCROIX Antoine, AILINCAI Rodica

La notion de milieu en didactique de la musique et ses variations en TSD, TACD et TAD ................................................................................................................................................75

BOURG Adrien, GUILLOT Gérald, LE PAVEN JARNO Maël

Situation géométrique et médiation sémiotique................................................................81

BULF Caroline, CELI Valentina, GACHASSIN Jean-Marc

Savoirs et situation fondamentale du nombre................................................................86

CHAMBRIS Christine
POSTERS.................................................................................................................. 174

Suivi de cohorte et résolution de problèmes : quel test diagnostique ? .................... 175
FARES Zeina

The Theory of Didactical Situations and Artificial Intelligence: A First Study......... 177
NIEDDU Giorgia, CARRISI Maria Cristina, POLO Maria

Thématique 3 .................................................................................. 179

CONFÉRENCES ........................................................................................................ 180

Conférence 1 Rayonnement de la théorie des situations dans l'enseignement ordinaire en France.................................................................................................................. 181
PERRIN-GLORIAN Marie-Jeanne, DIDIER Guillaume, EMPRIN Fabien

Conférence 2 The role of didactic situations in teacher education: epistemological and didactic models? ........................................................................................................ 182
BOSCH Marianna, STRØMSKAG Heidi

COMMUNICATIONS........................................................................................................ 184

La démarche d'enseignement-apprentissage des mathématiques a l'épreuve de la théorie des situations didactiques en classes primaires ivoiriennes................................................ 185
ATTA Kouadio Yeboua Germain

Ostension des productions des élèves........................................................................ 191
BEZARD-FALGAS Cécile, COULOMBEL Loïc

Le symétriseur : de la conception d'un artefact à l'instrumentation de concepts mathématiques .................................................................................................................. 199
BEZARD-FALGAS Cécile, COULOMBEL Loïc, PETITFOUR Edith

Modélisation des situations de recherche pour la formation professionnelle des enseignants.................................................................................................................. 204
DA RONCH Mickaël, GANDIT Michèle, MILI Ismaïl

La Théorie des Situations, outil d'analyse dans une étude sur la fonction exponentielle avec des stagiaires en licenciatura de mathématiques ................................................................. 210
FREITAS Rita Lobo, ALMOULOUD Saddo Ag

un dispositif à trois niveaux pour la formation en mathématiques et technologies numériques : Apports des concepts de la Théorie des situations didactiques dans l'analyse du dispositif.................................................................................................................. 216
GAU LIN Corinne

Reconcevoir l'ingénierie didactique pour la formation des enseignants brésiliens en chimie quantique introductive ........................................................................................................ 221
NASCIMENTO JÚNIOR José Vieira – FREITAS Rita Lobo – FONSECA¹,² Juliana da Silva Lima – PEREIRA¹ Bruna Lorrane Oliveira
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Tensions didactiques dans la formation des enseignants a Mayotte : contextualisation culturelle et structuration mathematique a l'epreuve de la tsd</td>
      <td>227</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>TCHONANG YOUKAP Patrick, HERIMANDIMBY Evixel</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ATELIERS</td>
      <td>233</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>La situation Bande-unité, une introduction aux fractions</td>
      <td>234</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ANGLARD Julien, SEYFRIED Sven</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Adaptation d'une expérience statistique pour la formation des enseignants : spécificités épistémologiques à l'école primaire et secondaire</td>
      <td>237</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>BARQUERO Berta, BOSCH Marianna, VÁSQUEZ Susana</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Concepts issus de la tsd pour le formateur et en formation dans les travaux de la copirelem</td>
      <td>240</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>BLANQUART Sylvie, GUILLE-BIEL WINDER Claire, MANGIANTE-ORSOLA Christine, PETITFOUR Édith, TEMPIER Frédérick, TUFFERY-ROCHDI Chantal</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Une situation didactique pour favoriser une entrée dans la pensée algébrique en appui sur l'identification d'invariants</td>
      <td>246</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CIAVALDINI Jérôme-Ange, BOULAIS Pascale, DURAND-GUERRIER Viviane, DEMAILLY Marie-Claire, GRAVAS Julien, LE-MEN Karinne, SOFONEA Carmen</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>La TSD au cœur de la formation des professeurs de lycée : deux exemples autour de la notion de dérivée</td>
      <td>250</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>DUBUSSY Christophe, HENRY Valérie</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Choix du formateur et leurs effets potentiels lors de la conception d'un jeu de rôle en formation d'enseignants : vers une définition de la variable didactique de la situation de formation</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FAVIER Stéphane, MILI Ismaël</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Conte et problèmes multiplicatifs : étude des conditions de transfert et des effets d'un dispositif de formation à Mayotte</td>
      <td>259</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>NGUALA Jean Berky</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Situations de restauration de figures : enjeux et perspectives pour la classe de 6e</td>
      <td>264</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ROUX Aurélie, DUPRAT Caroline, FRAISSE Ariane, ROSALBA Claire</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>POSTERS</td>
      <td>269</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A TSD en la formación de maestros: una experiencia en el aula</td>
      <td>270</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CARRILLO-GALLEGO Dolores, IBÁÑEZ-LÓPEZ Francisco Javier, MAURANDI-LÓPEZ Antonio, SAÁ-ROJO María Dolores</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Guy Brousseau et la COPIRELEM</td>
      <td>273</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>PETITFOUR Édith, TEMPIER Frédérick</td>
      <td></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Thématique 4 .................................................................................. 275

CONFERENCES .................................................................................. 276

Co-conférence 1 Bridging the language divide, an often wild and generally joyous ride with Guy Brousseau.................................................................................. 277

WARFIELD Ginger Virginia

Co-conférence 1 Brousseau actual and possible influence on anglophone research in mathematics education.................................................................................. 278

HERBST Patricio

Conférence 2 Entretiens avec Guy Brousseau: convergences et tangences .................... 279

SOTO-ANDRADE Jorge

TABLE RONDE .................................................................................. 280

L'influence de l'œuvre de Guy Brousseau en Amérique latine.................................. 281

AG ALMOULOUD Saddo, ESPINOZA Lorena, ROMO-VAZQUEZ Avenilde, DORIER Jean-Luc

PLANISPHERE .................................................................................. 282

COMMUNICATIONS.................................................................................. 284

La TSD pour penser les réorganisations entre sciences, éducation et politique au Québec .................................................................................. 285

BILODEAU Jeanne, BERGERON Laurie, BARALLOBRES Gustavo

La teoría de situaciones didácticas en latinoamérica: la emergencia de un paradigma y la constitución de una comunidad de investigadores en Buenos Aires ................................ 290

DERIARD Alejandra

La théorie des situations didactiques en Türkiye.................................................... 295

ERDOGAN Abdulkadir, OZDEMİR ERDOGAN Emel

Comment la Théorie des Situations Didactiques aide à caractériser l'approche hongroise « Découverte Guidée » de l'enseignement des mathématiques.................................. 300

GOSZTONYI Katalin

Le chiffrement de César et ses applications didactiques ........................................ 307

PASTICCI Fabio

Codiseño de un recurso didáctico bilingüe, otomí-español, enfocado en el razonamiento espacial.................................................................................. 313

RODRIGUEZ María Gabriela, ROMO-VAZQUEZ Avenilde, QUINTERO Ricardo, SANDOVAL Ivonne

Guy Brousseau et la Didactique de Mathématiques en Allemagne.............................. 320

STRAESSER Rudolf
POSTER.................................................................................................................. 324

Conception de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) et création de l'IREM selon
Guy Brousseau........................................................................................................ 325

CAMPOS Tânia M.M., SANTOS JÚNIOR Valdir B. DIAS Marlene A.

Comités scientifique, de programme et d'organisation............ 328

Comité scientifique.................................................................................................... 329

Comité de programme ................................................................................................ 330

Comité d'organisation................................................................................................ 330
# Préambule

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Chères et chers collègues,

C'est avec émotion et un immense honneur que je prends la parole au nom de l'ARDM, l'Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques, qui a été, avec de nombreuses autres associations ou collectifs, à l'initiative de l'organisation de ce colloque international en hommage à l'œuvre de Guy Brousseau.

Guy Brousseau était le président d'honneur de l'ARDM. Sa production scientifique et son engagement ont clairement été décisifs dans la structuration de notre communauté et dans le développement international de la didactique des mathématiques.

Chercheur visionnaire à la créativité exceptionnelle, Guy Brousseau a dédié sa vie à l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques. Ses apports scientifiques sont dans tous les esprits, et la théorie des situations didactiques qu'il a fondée, irrigue encore aujourd'hui les travaux en didactique des mathématiques de la maternelle au supérieur, inspirant de nombreux chercheurs et chercheuses en France comme à l'étranger.

Sa renommée internationale lui a valu d'obtenir plusieurs fois le titre de Docteur Honoris Causa des Universités de Montréal (Canada, 1997), de Genève (Suisse, 2004), de Cordoba (Argentina, 2006), de Chypre (Chypre, 2007) et de Palermo (Italie, 2007). Son œuvre a été récompensée en 2003 par l'attribution de la première médaille Félix Klein, décernée par la Commission Internationale de l'Enseignement des Mathématiques.

André Rouchier, qui nous a quitté lui aussi au début de l'année 2024, mentionne sur la page *consacrée* à Guy Brousseau sur le site de l'ARDM, le rôle majeur et déterminant qu'il a joué dans la mise en place de nombreuses initiatives collectives pour soutenir la formation des jeunes chercheurs et chercheuses, encourager les débats et faire circuler les idées. Citons parmi eux, la revue Recherche en Didactique des Mathématiques (RDM), notre association, l'ARDM, dont André Rouchier a été le premier président, et aussi les écoles d'été de didactique des mathématiques et le Séminaire National de Didactique des mathématiques.

Je n'ai malheureusement pas eu la chance de pouvoir directement travailler et échanger avec Guy Brousseau mais tous ceux et toutes celles qui l'ont côtoyé se rappelle sa personnalité, sa passion, son appétence pour les débats et sa générosité dans les relations humaines.

L'œuvre laissée par Guy Brousseau nous permet aujourd'hui d'analyser, d'interpréter, de concevoir des situations pour la classe et aussi d'outiller et de former, que ce soit dans le cadre de la formation des enseignants et des enseignantes ou de la formation des jeunes chercheurs et chercheuses, la didactique de demain.
À une époque où prédominait une approche cognitive de l'apprentissage, fortement marquée
par l'épistémologie piagétienne, Guy Brousseau a su affirmer avec conviction que le champ
didactique devait se doter d'un cadre permettant de penser les interactions sociales entre élèves,
enseignant et savoirs mathématiques — interactions constitutives de ce que les élèves
apprennent et de la manière dont ils l'apprennent. A nous de continuer à rendre visible, au-delà
de notre communauté de recherche, l'intérêt et l'apport des travaux de recherche en didactique
pour étudier l'enseignement et de l'apprentissage des mathématiques.

En préparant ce mot d'introduction, j'ai relu l'éditorial du bulletin n°15 de l'ARDM, en 2004,
écrit par Viviane Durand-Guerrier, alors présidente de l'ARDM. Elle exprimait un regret suite
à l'attribution du prix Félix Klein attribué à Guy Brousseau, celui de l'indifférence des médias
français pour ce prix et plus largement pour nos travaux de recherche. Elle mentionnait alors
l'importance de la diffusion et de la valorisation de nos travaux et de leurs contributions à
l'amélioration de l'enseignement des mathématiques. Il me semble que je pourrais aujourd'hui
encore formuler ce regret et affirmer, comme elle l'avait fait, la volonté de l'ARDM de se
mobiliser et de trouver des leviers pour rendre visibles nos travaux de recherche.

L'ARDM soutiendra le processus de conservation et de diffusion du travail de Guy Brousseau, ainsi que de ses archives. Ce soutien a débuté par le financement du transport de ses archives personnelles, de Bordeaux au CRDM à Castellón, en avril 2024, et également par l'hébergement de son site personnel sur le site de l'ARDM. Notre association aidera ainsi à nourrir et perpétuer les valeurs de Guy Brousseau et poursuivra la recherche en didactique des mathématiques. C'est de cette façon que nous lui rendrons le meilleur hommage.

Pour terminer, je souhaite remercier chaleureusement l'ensemble des comités, le comité
scientifique, le comité de programme et le comité local d'organisation, pour tout le travail
effectué, pendant des mois, pour que ce colloque puisse se tenir aujourd'hui.

Je remercie tout particulièrement Anne-Cécile Mathé qui a, au nom de l'ARDM, initié et pris
en charge la responsabilité du comité scientifique, en co-responsabilité avec Viviane Durand-
Guerrier. A l'image de l'œuvre de Guy Brousseau, ce colloque est hors-normes, à bien des
égards. Il fallait relier recherche, formation et enseignement tout en faisant dialoguer plusieurs
générations de chercheurs et chercheuses, avec leurs visions et leurs approches différentes mais
complémentaires, sans oublier les dimensions nationales et internationales. Ce colloque sera
sans aucun doute une réussite scientifique et humaine !

Merci enfin à chacun et chacune d'entre vous d'être présent et présente pour vivre ces moments
d'échange, de souvenir, de partage et de réflexion autour des travaux fondateurs de Guy
Brousseau.

Je vous souhaite à toutes et tous un très bon colloque.

Marie-Line Gardes
Présidente de l'ARDM
# Introduction

## PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU COLLOQUE

Le décès de Guy Brousseau, le 16 février 2024, constitue un événement majeur pour la communauté de recherche en didactique des mathématiques et plus largement pour le monde de l'enseignement des mathématiques et ses acteurs. Ce colloque international veut rendre hommage à son œuvre scientifique, fondatrice de la théorie des situations. Son organisation est permise par un travail collaboratif étroit entre une trentaine de collègues. Elle repose sur le travail d'un comité scientifique, d'un comité de programme et d'un comité d'organisation.

## ORIENTATIONS SCIENTIFIQUES

Cette manifestation scientifique se veut d'abord un lieu de mémoire. Elle donnera à voir le rôle déterminant de Guy Brousseau et de la théorie des situations didactiques dans de nombreuses institutions, associations et actions pour l'école et l'enseignement des mathématiques au niveau local (COREM, IREM de Bordeaux, LADIST, DAEST, Lab-E3D), au niveau de la communauté de recherche nationale (ARDM, ADIREM, CFEM) et international (ERME, ICMI), du côté des enseignants et des formateurs d'enseignants (COPIRELEM, CORFEM). Elle est également pensée comme un moment de partage et de réflexion autour du caractère vivant de la théorie des situations didactiques et de la manière dont ses fondements, ses concepts et ses outils méthodologiques irriguent aujourd'hui encore de nombreuses recherches en didactique des mathématiques, et plus généralement les recherches en éducation, en France et dans le monde. Nous questionnerons les évolutions de ce cadre théorique depuis plus de 50 ans. Une place de choix sera également donnée à la question des liens entre la théorie des situations didactiques et le développement professionnel d'enseignants et de formateurs.

Le colloque s'articulera autour de quatre thématiques :

**Thématique 1** : Du processus de mathématisation à la théorie des situations didactiques : le COREM, instrument méthodologique et épistémologique de la théorie des situations didactiques

**Thématique 2** : La Théorie des Situations Didactiques dans les recherches actuelles : développements et questions vives

**Thématique 3** : Théorie des Situations Didactiques et développement professionnel des enseignants

**Thématique 4** : L'influence internationale de l'œuvre de Guy Brousseau
## THÉMATIQUES DU COLLOQUE

Le colloque sera introduit par les témoignages de Yves Chevallard (résumé) et de Michèle Artigue (résumé). Il s'articulera ensuite autour de quatre thématiques. Le contenu de chacune d'entre elles s'articulera autour de conférences sur invitation, de contributions sur appel à communications et de tables rondes.

Pour chacune de ces thématiques, des responsables ont été désignés. Ceux-ci œuvrent à définir les orientations scientifiques, le contenu, le format et les intervenants de la thématique.

### THEMATIQUE 1 : DU PROCESSUS DE MATHÉMATISATION A LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES : LE COREM, INSTRUMENT MÉTHODOLOGIQUE ET ÉPISTÉMOLOGIQUE DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

Responsables : Nicolas Balacheff, Patrick Gibel, Denise Greslard Nédelec, Pilar Orus
Guy Brousseau souhaitait développer une science expérimentale dans un lieu soumis à la réalité des contraintes, au croisement des nécessités scientifiques et des nécessités du travail concret dans une réalité organisée.

La théorie est pour Brousseau, avant tout un outil pour donner aux enseignants des moyens et des cadres rigoureux en vue d'améliorer la compréhension et l'apprentissage des mathématiques. Il convient de souligner la forme originale du COREM (Centre pour l'Observation et la Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques). C'est en effet un instrument de recherche associant des chercheurs, des enseignants, des ingénieurs ou techniciens préfigurant, dès le milieu des années 70, ce que l'on désignera ensuite par « design-based research ». Dans l'approche de Brousseau, il n'y a pas de rupture entre théorie et pratique, mais une relation étroite construite sur des méthodes scientifiques rigoureuses, de natures quantitatives et qualitatives, contribuant à développer des ingénieries didactiques précises. La théorie des situations didactiques relève de l'épistémologie expérimentale. Le COREM, instrument méthodologique et épistémologique de la théorie des situations didactiques, a été conçu comme le lieu de cette mise à l'épreuve des concepts et des modèles issus de la théorie. La méthodologie de la recherche accorde à l'observation une place essentielle, rendue possible par la « structure » même du COREM telle que Brousseau l'a conçue et mise en place. Le COREM a fonctionné pendant 25 années comme un projet conjoint de l'Université de Bordeaux et de l'Inspection Académique de la Gironde et a permis ainsi d'expérimenter au groupe scolaire Michelet de très nombreuses ingénieries didactiques en vue de conduire des recherches relevant des différents domaines des mathématiques.

L'accès aux ressources produites (vidéos, productions des élèves, fiches didactiques, notes d'observation, analyses de données recueillies, etc...) dans le cadre des expérimentations réalisées au COREM est effectif ; elles sont mises à la disposition des chercheurs grâce à des
structures telles que VISA<fnref n="1" />, ou le CRDM Guy Brousseau<fnref n="2" /> au sein de l'Université de Castellón,
ce qui permet ainsi l'accès aux données matérielles issues du COREM et constitue un fond
particulièrement riche pour permettre aux chercheurs de réaliser de nouvelles recherches en
didactique des mathématiques. Les contributions de cet axe aborderont ces différents thèmes :
le processus d'élaboration du projet de Guy Brousseau, la création du COREM comme
instrument méthodologique et épistémologique, la spécificité des recherches menées et la
présentation des ressources créées au service de la recherche.

Conférence 1 : La Théorie des Situations, une relation étroite entre la théorie et la pratique.
Nicolas Balacheff, Denise Greslard Nédélec & Pilar Orus (résumé)

Conférence 2 : De l'épistémologie scolaire des mathématiques à la didactique d'une discipline : l'observation des élèves par le COREM, à l'École Jules Michelet. Alain Mercier & Serge Quilio (résumé)

Conférence 3 : Les spécificités des recherches menées au COREM par des équipes constituées de chercheurs en DDM/enseignants/formateurs: des exemples autour de la géométrie et de la classification. René Berthelot, Denise Greslard Nédélec, Pilar Orus & Marie-Hélène Salin (résumé)

Conférence 4 : Présentation du CRDM-Guy Brousseau. Pablo Gregori, Pilar Orús, Aurélien Ovide & Gregory Train (résumé)

## THÉMATIQUE 2 : LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES DANS LES RECHERCHES ACTUELLES : DÉVELOPPEMENTS ET QUESTIONS VIVES

Responsables : Lalina Coulange, Mickaël Da Ronch, Anne-Cécile Mathé

La théorie des situations repose sur un positionnement épistémologique fort sur les
mathématiques et leur transmission. À travers elle, dès les années 60, Guy Brousseau lance le
défi d'une structuration nouvelle des savoirs mathématiques, à visée d'enseignement et
d'apprentissage. Appréhendant les mathématiques comme une activité humaine et son
apprentissage comme une entrée dans une pratique, il initie le projet d'une identification de
connaissances fondatrices de pratiques mathématiques, de l'exploration de conditions de
nécessité de ces connaissances, de la modélisation de ces conditions en situation. Cette
entreprise a rendu nécessaire l'émergence de concepts théoriques fondateurs (milieu, contrat
didactique, variables didactiques, situation didactique/adidactique, situation fondamentale ou
mathématique à usage didactique...) et/ou d'outils méthodologiques (ingénierie didactique,
analyse a priori, a posteriori). Ces journées seront l'occasion d'un retour réflexif sur ces
principes et outils fondateurs d'une partie de notre champ de recherche, sur leurs
développements tout au long de ces cinquante dernières années et sur leur(s) « vie(s) » dans les
recherches actuelles, en didactique des mathématiques (et pas seulement...). Il pourra en

<footnote n="1">¹ https://visa.ens-lyon.fr/presentation-de-la-federation-visa</footnote>

<footnote n="2">² https://www.uji.es/institucional/estructura/instituts/imac/base/crdm/presentacio/?urlRedirect=https://www.uji.es/institucional/estructura/instituts/imac/base/crdm/presentacio/&url=/institucional/estructura/instituts/imac/base/crdm/presentacio/</footnote>
particulier être intéressant de visiter la manière dont ces concepts et outils ont pu évoluer, selon
plusieurs dynamiques :

* Des évolutions parfois liées à des usages ou des fonctions données à ces concepts ou outils dans l'étude de thématiques « nouvelles » (rôle du professeur, inégalités d'apprentissage, formation d'enseignants, etc.)

* Des évolutions liées à l'investigation de contextes/niveaux scolaires « variés » (de la maternelle à l'université, publics d'élèves en difficulté, à besoins spécifiques, phénomènes hors classe etc.)

* Des évolutions liées à la mise en discussion, à des croisements, à des enrichissements d'autres approches théoriques et méthodologiques en didactique des mathématiques, didactique d'autres disciplines ou dans d'autres champs de recherche en éducation.

Conférence 1 : La théorie des situations et les mathématiques : un lien à interroger ? Annie Bessot, Nathan Lombard, Claire Margolinas & Olivier Rivière (résumé)

Conférence 2 : Logique, démonstration et preuve à la transition secondaire-supérieur :
construction de situations et évolutions de la Théorie des Situations Didactiques. Thomas Barrier, Isabelle Bloch, Patrick Gibel & Cécile Ouvrier-Buffet (résumé)

Table ronde. Maryse Jaubert, Gérard Sensevy & Janine Rogalki, animée par Lalina Coulange
(résumé)

THÉMATIQUE 3 : THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES ET
DÉVELOPPEMENT PROFESSIONNEL DES ENSEIGNANTS

Responsables : Anne Cortella, Edith Petitfour

Brousseau définit la didactique comme « une théorie fondamentale de la communication des connaissances mathématiques [...] qui établit avec la pratique un rapport sain de science à technique et non de prescription à reproduction» (Brousseau, 1989, p.67)<fnref n="1" />. Selon lui, l'ingénierie didactique produite en recherche n'est pas une proposition pour l'enseignement, cependant, il pense aussi que les recherches en didactique doivent contribuer à améliorer l'enseignement.

Depuis les années 70, la théorie des situations s'est toutefois largement diffusée dans la
formation des enseignants et cette diffusion se poursuit aujourd'hui, en France au travers de
différentes commissions inter-IREM, les formations et les ressources qu'elles produisent,
notamment la COPIRELEM (Commission Permanente des IREM sur l'Enseignement
Élémentaire) pour le 1er degré, la CORFEM (Commission de recherche sur la formation des
enseignants de mathématiques) pour le 2nd degré, la Commission inter-IREM didactique et plus
largement par les travaux et les membres des groupes IREM, ainsi que dans les INSPE (Instituts
nationaux supérieurs du professorat et de l'éducation) et à l'IFE (Institut français pour
l'éducation). Elle a également une influence en formation dans différents pays (Espagne,

<footnote n="1">¹ Brousseau, G. (1989). Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège. *Petit x*, 21, 47-68. Article accessible à https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/medias/fichier/21x6_1570439602958-pdf</footnote>
Colombie, Mexique, Argentine, Brésil, ...). On peut aussi repérer son influence dans certains manuels, en particulier quand il y a des didacticiens parmi les auteurs, et dans de nombreuses ressources pour les enseignants.

La thématique 3 du colloque vise à mettre en lumière la manière dont la théorie des situations didactiques a pu contribuer au développement professionnel des enseignants et des formateurs d'enseignants.

Quels concepts de la théorie des situations ont été repris et utilisés par les enseignants pour préparer leur classe ? Comment sont-ils utilisés dans des ressources pour les enseignants ? Comment penser des modalités, une progressivité, les conditions de la transposition de concepts de la théorie des situations didactiques pour outiller les pratiques ? Quelle transposition d'éléments issus de la théorie des situations pour la formation ? Quels concepts sont repris ? Comment sont-ils transposés ? Comment les étudiants et les enseignants en formation s'emparent-ils des concepts ainsi transposés ?

Conférence 1 : Rayonnement de la théorie des situations dans l'enseignement ordinaire en France. Marie-Jeanne Perrin-Glorian, Guillaume Didier & Fabien Emprin (résumé)

Conférence 2 : The role of didactic situations in teacher education: epistemological and didactic models. Mariana Bosch & Heidi Strømskag (résumé)

## THÉMATIQUE 4 : L'INFLUENCE INTERNATIONALE DE L'ŒUVRE DE GUY BROUSSEAU

Responsables : Michèle Artigue, Jean-Luc Dorier

Très tôt, les travaux de Guy Brousseau ont attiré l'attention de chercheurs, formateurs et enseignants concernés par l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques et cherchant à l'améliorer, bien au-delà de la France. Plusieurs facteurs ont favorisé cette visibilité à l'international : les connexions internationales du réseau des IREM, l'implication de Guy Brousseau dans des institutions comme la CIEAEM (Commission Internationale pour l'Étude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques) dès la fin des années 60, les écoles d'été de didactique des mathématiques, les nombreux chercheurs étrangers accueillis au COREM, les thèses encadrées, etc.

Dans cet axe du colloque dédié à l'influence internationale des travaux de Guy Brousseau, il s'agit de croiser les regards et contributions de didacticiens de cultures et pays variés, ainsi que de différentes générations.

Co-conférence 1 : Bridging the language divide, an often wild and generally joyous ride with guy brousseau. Virginia Warfield (résumé)

Co-conférence 1 : Brousseau actual and possible influence on anglophone research in mathematics education. Patricio Herbst (résumé)

Conférence 2 : Entretiens avec Guy Brousseau : convergences et tangences. Jorge Soto Andrade (résumé)

Table ronde. Interactions avec l'Amérique latine. Saddo Ag Almouloud, Lorena Espinoza & Avenilde Romo Vázquez (résumé)
ORGANISÉ AVEC LE SOUTIEN

université
de BORDEAUX

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

RÉGION
Nouvelle-
Aquitaine

Unité de formation
Mathématiques
et interactions /

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Université
Paris Cité

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<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Institut national
supérieur du professorat
e de l'éducation
Académie de Bordeaux

LAB-E3D
Laboratoire Epistémologie
et didactiques des disciplines
Université de Bordeaux

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ARDM

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

HiDiM
RT 2183

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

UNIVERSITAT
JAUME I

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Institut Universitari
de Matemàtiques i Aplicacions
de Castelló · IMAC

Cfem)

Merci à elles et eux !
# Programme

## PROGRAMME GÉNÉRAL

<table><thead><tr><th>Lundi 7 juillet</th><th>Mardi 8 juillet</th><th>Mercredi 9 juillet</th><th>Jeudi 10 juillet</th></tr></thead><tbody><tr><td>Accueil<br><u>Ouverture officielle</u></td><td><strong>Thème 2 - Conférence 1</strong><br>A. Bessot, N. Lombard, C. Margolinas, O.Rivière</td><td><strong>Thème 3 - Conférence 1</strong><br>MJ. Perrin-Glorian, G. Didier, F. Emprin</td><td><strong>Thème 1 Conférence 4</strong><br>P. Gregori, P. Orús, A. Ovide, G. Train</td></tr><tr><td><strong>Témoignage</strong><br>M. Artigue</td><td>Pause</td><td>Pause</td><td>Pause</td></tr><tr><td><strong>Thème 1 - Conférence 1</strong><br>N. Balacheff, D. Greslard-Nédélec, P. Orús</td><td><strong>Thème 1 - Conférence 3</strong><br>A.Mercier, S.Quilio</td><td><strong>Communications & ateliers (2)</strong></td><td><strong>Thème 2 - Table ronde</strong><br>(Animée par L.Coulange)<br>M. Jaubert, J. Rogalski, G. Sensevy</td></tr><tr><td>Pause repas</td><td>Pause repas</td><td>Pause repas</td><td>Clôture</td></tr><tr><td></td><td><u>Posters</u></td><td><u>Posters</u></td><td></td></tr><tr><td><strong>Thème 1 - Conférence 2</strong><br>R.Berthelot, C.Musset, D.Greslard Nédélec, P. Orús, MH. Salin, B. Tressol, M.-L. Roux-Bonnet, M. Dardères</td><td><strong>Thème 2 - Conférence 2</strong><br>T. Barrier, I.Bloch, P. Gibel, C. Ouvrier-Buffet</td><td><strong>Thème 3 - Conférence 2</strong><br>M.Bosch, H.Strømskag</td><td></td></tr><tr><td>Pause</td><td>Pause</td><td>Pause</td><td></td></tr><tr><td><strong>Thème 4 - Conférence 1</strong><br>V. Warfield, P. Herbst</td><td><strong>Communications & ateliers (1)</strong></td><td><strong>Communications & ateliers (3)</strong></td><td></td></tr><tr><td><strong>Hommage</strong><br>(Ouverture grand public)<br>D. Greslard Nédélec, M. H. Salin</td><td>Pause</td><td>Pause</td><td></td></tr><tr><td>Apéritif</td><td><strong>Thème 4 - Conférence 2</strong><br>J. Soto Andrade</td><td><strong>Thème 4 - Table ronde</strong><br>(Animée par JL. Dorier)<br>S. Ag Almouloud, L. Espinoza, A. Romo Vásquez</td><td></td></tr></tbody></table>
COMMUNICATIONS & ATELIERS

Mardi 8 juillet (16h-17h)

<table><thead><tr><th>Salle 1</th><th>Salle 2</th><th>Salle 3</th><th>Salle 4</th><th>Salle 5</th><th>Salle 6</th><th>Salle 7</th><th>Salle 8</th></tr></thead><tbody><tr><td>Atelier</td><td>Atelier</td><td></td><td>Comm. T3</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T2</td><td>Comm.T4</td></tr><tr><td rowspan="3">J. Ciavaldini</td><td rowspan="3">S. Blanquart<br>et al.<br>(COPIRELEM )</td><td rowspan="3">Témoignage<br>COREM</td><td>R. L. Freitas<br>&<br>S.Almouloud</td><td>F. Athias</td><td>T. Assude</td><td>S. Gravier &<br>T. Trouvé</td><td>R. Straesser</td></tr><tr><td>J. Vieira Do<br>Nascimento<br>J. et al.</td><td>Y. Matheron</td><td>C. Allard</td><td>V. Durand-<br>Guerrier</td><td>A. Erdogan<br>& E.<br>Ozdemir<br>Erdogan</td></tr><tr><td></td><td>J.<br>Trunkelwald</td><td>T. Pinheiro<br>Figueroa &<br>S Almouloud</td><td>C. Barthes<br>et al.</td><td>A. Deriard</td></tr></tbody></table>

Mercredi 9 juillet (11h-12h)

<table><thead><tr><th>Salle 1</th><th>Salle 2</th><th>Salle 3</th><th>Salle 4</th><th>Salle 5</th><th>Salle 6</th><th>Salle 7</th><th>Salle 8</th></tr></thead><tbody><tr><td>Atelier</td><td>Atelier</td><td>Atelier</td><td>Comm. T3</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T4</td></tr><tr><td rowspan="3">J. Aglard &<br>S. Seyfried</td><td rowspan="3">S. Favier & I.<br>Mili</td><td rowspan="3">B. Barquero<br>et al.</td><td>P. Tchonang<br>Youkap</td><td>A. Bourg et<br>al.</td><td>C. Bulf et al.</td><td>K. Vièque</td><td>F. Pasticci</td></tr><tr><td>G. Atta<br>Kouadio<br>Yeboua</td><td>S. Modeste</td><td>C. Guille-<br>Biel Winder</td><td>A. Ovide</td><td>M. G.<br>Rodriguez et<br>al.</td></tr><tr><td>C. Bézard-<br>Falagas et<br>L.<br>Coulombel</td><td>S. Doussot</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Mercredi 9 juillet (16h-17h)

<table><thead><tr><th>Salle 1</th><th>Salle 2</th><th>Salle 3</th><th>Salle 4</th><th>Salle 5</th><th>Salle 6</th><th>Salle 7</th><th>Salle 8</th></tr></thead><tbody><tr><td>Atelier</td><td>Atelier</td><td>Atelier</td><td>Comm. T3</td><td>Comm. T2</td><td>Comm. T2</td><td></td><td>Comm. T4</td></tr><tr><td rowspan="3">A. Roux et<br>al.</td><td rowspan="3">J.P. Nguala</td><td rowspan="3">C. Dubussy<br>& V.Henry</td><td>C. Bézard-<br>Falgas et al.</td><td>A. Kuzniak &<br>B. Masselin</td><td>C. Chambris</td><td rowspan="3">Témoignage<br>COREM</td><td>J. Bilodeau<br>et al.</td></tr><tr><td>M. Da<br>Ronch et al.</td><td>C. Derouet<br>et al.</td><td>S. Gobert</td><td>K. Gosztonyi</td></tr><tr><td>C. Gau Lin</td><td>E. Birckel-<br>Lespets</td><td>P. Alson</td><td></td></tr></tbody></table>
POSTERS

Thématique 2

* Suivi de cohorte et résolution de problèmes : quel test diagnostique ?
FARES Zeina (résumé)

* The Theory of Didactical Situations and Artificial Intelligence: A First Study
NIEDDU Giorgia, CARRISI Maria Cristina, POLO Maria (résumé)

Thématique 3

* A TSD en la formación de maestros: una experiencia en el aula
CARRILLO-GALLEGO Dolores, IBÁÑEZ-LÓPEZ Francisco Javier, MAURANDI-LÓPEZ Antonio, SAÁ-ROJO María Dolores (résumé)

* Guy Brousseau et la COPIRELEM
PETITFOUR Édith, TEMPIER Frédérick (résumé)

Thématique 4

* Conception de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) et création de l'IREM selon Guy Brousseau
CAMPOS Tânia M.M., SANTOS JÚNIOR Valdir B. DIAS Marlene A. (résumé)
# Ouverture

GUY BROUSSEAU, UN GÉANT DE LA DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES

ARTIGUE<fnref n="1" /> Michèle

Je commencerai cette conférence par une note personnelle, évoquant ma rencentre avec les travaux de Guy Brousseau, au milieu des années 70, une rencontre qui a été décisive pour mon engagement dans le champ de la didactique des mathématiques alors émergent. Je m'interrogerai ensuite sur ce qui a fait de Guy Brousseau, un chercheur aujourd'hui internationalement reconnu comme un géant de ce champ scientifique, comme en témoigne le fait que lui ait été attribuée la première médaille Felix Klein décernée par l'ICMI (International Commission on Mathematical Instruction), et de la théorie des situations didactiques une œuvre majeure de ce champ.

## RÉFÉRENCES

* Brousseau, G. (1997). *The theory of didactical situations in mathematics. 1970–1990*. Kluwer Academic Press.

* Brousseau, G., Brousseau, N., & Warfield, V. (2014). *Teaching fractions through situations: A fundamental experiment*. Springer.

* CFEM (2016). Entretien avec Guy Brousseau. http://www.cfem.asso.fr/cfem/ICME-13-didactique-francaise

* ICMI (2013). The 2003 Felix Klein Award. https://www.mathunion.org/icmi/awards/past-receipients/2003-felix-klein-award

* ICMI AMOR (2024). GuyBrousseau Unit. https://www.mathunion.org/icmi/awards/amor/guy-brousseau-unit

<footnote n="1">¹ Université Paris Cité (France)</footnote>
ENFIN GUY BROUSSEAU VINT !
SUR UNE RÉVOLUTION PARADIGMATIQUE

CHEVALLARD<fnref n="1" /> Yves

Pour nombre d'observateurs, Guy Brousseau est apparu d'abord, dans le paysage de ce qu'on nomme aujourd'hui la recherche en didactique des mathématiques, comme une force pensante et agissante mal identifiée. Il n'a cessé, durant des décennies, de parler, d'écrire, d'expérimenter, de théoriser, d'enseigner, d' interpeller. Il est, à mes yeux, un éternel rebelle, à la créativité hors norme, qui a ouvert une large brèche dans un monde clos sur lui-même – et qui, hélas !, le demeure encore très largement. Il y avait le pédagogique. Grâce à Guy, il y a aujourd'hui aussi *le didactique*, dont trop peu encore se soucient. Cette percée fut le fruit d'un geste essentiel, qui a engendré une nouvelle écologie et une épistémologie renouvelée de ce que d'aucuns regardent encore, à tort, comme une réalité figée, et en tout cas toujours très assurée : le mathématique lui-même. C'est ce qui pourrait advenir demain de ce jeu entre ces trois pôles – le pédagogique, le didactique, le mathématique – que je m'efforcerai d'esquisser dans ma contribution.

FINALLY GUY BROUSSEAU CAME!
ON A PARADIGMATIC REVOLUTION

CHEVALLARD² Yves

For many observers, Guy Brousseau first appeared in the landscape of what is now known as mathematics education research as an ill-identified thinking and acting force. For decades, he never stopped speaking, writing, experimenting, theorising, teaching and critiquing. In my eyes, he is an eternal rebel, with extraordinary creativity, who opened up a wide breach in a world that was closed in on itself—and which, alas, still remains largely so. There was the pedagogic. Today, thanks to Guy, there is also *the didactic*, that still so few people care about. This breakthrough was the fruit of an essential gesture, which engendered a new ecology and a renewed epistemology of what some still regard, wrongly, as a preordained reality, and in any case always a very secure one: the mathematical itself. In my contribution, I will try to sketch out the potential future of the interplay between these three poles—the pedagogic, the didactic, and the mathematical.

<footnote n="1">¹ Université Aix-Marseille</footnote>
# Thématique 1

DU PROCESSUS DE MATHÉMATISATION À LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES : LE COREM, INSTRUMENT MÉTHODOLOGIQUE ET ÉPISTÉMOLOGIQUE DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

RESPONSABLES: NICOLAS BALACHEFF, PATRICK GIBEL, DENISE GRESLARD NÉDELEC, PILAR ORUS
CONFÉRENCES
CONFÉRENCE 1

LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES, UNE RELATION ÉTROITE ENTRE LA
THÉORIE ET LA PRATIQUE

BALACHEFF<fnref n="1" /> Nicolas, Greslard Nédélec<fnref n="2" /> Denise, Orús<fnref n="3" /> Pilar

André Lichnérowicz propose à Guy Brousseau, en 1964, un sujet d'étude : « Conditions limites d'une expérience en pédagogie des mathématiques ». Pour cela, il crée le CREM en 1966. Sa réflexion sur ce sujet d'étude est à l'origine de la création d'un volet recherche dans le projet des IREM qu'il présente lors d'un colloque de l'APMEP en 1968 à Amiens. Pour ces recherches « la didactique des mathématiques doit évidemment recourir à la méthode expérimentale » (Brousseau, 1973). Dans une publication dans laquelle il préfigure ce que serait « une école pour l'observation », Guy Brousseau précise que « [cette méthode] consiste à observer les phénomènes, à étudier, à appréhender les objets pertinents, à construire des théories qui précisent les relations prévisibles entre ces objets, à organiser des expériences où ces relations peuvent se voir vérifiées ou non, à en tirer des lois, ou une typologie, ou une théorie nouvelle et à réitérer le processus. » (op.cité). Le Centre d'Observation et de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques (COREM), rattaché à l'IREM de Bordeaux, est construit dans l'enceinte de l'école Michelet à Talence en 1971.

Dans une première partie Nicolas Balacheff reviendra sur les liens entre théorie et observation, et introduira le concept de modèle qui est en germe dans la conception des situations. Cette esquisse d'une relecture au plus près de l'œuvre de Guy Brousseau, permettra de revenir sur le problème des données de l'observation et de leur traitement, et de mettre en évidence les résultats théoriques et d'interroger leurs significations pratiques, notamment à la lumière des principes de fonctionnement du COREM qui était aussi le lieu d'une mise à l'épreuve de la relation entre théorie et pratique.

Dans une seconde partie, Denise Greslard Nédélec exposera l'organisation particulière à Michelet qui permettait la collaboration chercheur-enseignant et évoquera le rôle particulier de Nadine Brousseau avec qui elle a travaillé étroitement pendant près de 20 ans.

Puis Pilar Orús présentera d'une façon générale quelles sont les données des archives produites par le COREM, leur nature, ce qui peut en être fait, ce qui a été fait déjà et ce qu'elles recèlent de leçons et de résultats pour les recherches futures. Deux exemples de recherches actuelles avec ces données, seront exposés plus en détail à la conférence 4 de cette thématique 1.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (1973). Pourquoi les IREM ont-ils besoin d'écoles pour l'observation ? *Bulletin de l'APMEP*, 89, p.395-414. https://bibnum.publimath.fr/AAA/AAA73097.pdf

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques* (Didactique des mathématiques 1970-1990). La Pensée Sauvage.

<footnote n="1">¹ Directeur de Recherche CNRS émérite (France)</footnote>

<footnote n="2">² Ex-directrice de l'école primaire J. Michelet (France)</footnote>

<footnote n="3">³ Professor. Senior de l'Universitat Jaume-I, Castelló (Espagne)</footnote>
CONFÉRENCE 2

DE L'ÉPISTÉMOLOGIE SCOLAIRE DES MATHÉMATIQUES À LA DIDACTIQUE D'UNE
DISCIPLINE : L'OBSERVATION DES ÉLÈVES PAR LE COREM, À L'ÉCOLE JULES
MICHELET

MERCIER<fnref n="1" /> Alain, QUILIO<fnref n="2" /> Serge

Nous montrons comment les observations produites par le COREM ont conduit à la TSDM (théorie des situations didactiques en mathématiques).

L'intérêt de (Bachelard, 1949), (Bourbaki, 1961) puis (Piaget, 1969) pour ce que chacun d'eux nomme l'épistémologie dans des acceptations diverses, conduit Guy Brousseau à l'idée d'une épistémologie scolaire des élèves. Elle doit être étudiée par un travail expérimental, sur le lieu même de sa production, car elle dépend de comment ils sont enseignés. Il obtient le moyen nécessaire : l'école Jules Michelet sera un Centre pour la Recherche et l'Observation.

Brousseau (1973) évalue le coût d'une action par le taux d'erreurs, et le coût d'apprentissage par le temps nécessaire à la diminution de ce taux : un modèle « économique » limité aux acquisitions « techniques ». Il définit alors l'objet d'une action enseignante expérimentale : produire des faits observables, relatifs aux connaissances mobilisables par les élèves. Comme le savoir ne se voit que comme manière d'agir, Brousseau (1978) provoque et observe au COREM l'action en situation.

Le rapport usuel des élèves aux objets scolaires (leur épistémologie) dépend des actions à conduire pour démontrer qu'ils savent à des professeurs qui l'évaluent selon leur « épistémologie spontanée ». Brousseau (1986) expérimente la production intentionnelle d'une épistémologie scolaire sous le contrôle d'une théorie des interactions didactiques entre deux actants, le professeur et les élèves. La théorie a d'abord une dimension phénoménotéchnique : les élèves forment un acteur collectif (Artigue, 1984) qui coopère avec le professeur dans le cadre d'une « action dans/avec/contre un milieu qui fait problème ».

Le professeur agit dans la situation proposée aux élèves, pour que l'action commune réussisse ; la situation, adidactique du point de vue les élèves, est didactique pour le professeur. Ce que Brousseau observe alors est le rapport entre ces deux instances de l'action, qui s'avère fondé sur un système d'attentes réciproques.

Les situations d'action sont donc comprises comme porteuses d'un contenu à apprendre (1989), et la notion de contrat didactique nomme les phénomènes transactionnels observés (2002). Les travaux sur les listes, le dénombrement et la numération, la mesure des grandeurs, la géométrie plane les probabilités ou la construction des rationnels et décimaux, la proportionnalité, montrent des situations permettant aux élèves d'inventer des représentations pertinentes et prouvent qu'ils peuvent s'approprier collectivement des systèmes symboliques évolués (2012). La didactique montre dorénavant des phénomènes anthropologiques.

Face aux défis éducatifs contemporains, les travaux de Brousseau invitent à repenser les conditions de l'action d'enseigner. L'étude et la reproduction des observations du COREM que permet la conservation des archives dans la base ViSA (ENS-Lyon) et au Centre Documentaire de l'Universidad Jaume I sont le fondement du travail anthropologique qui est ouvert.

<footnote n="1">¹ Institut Français de l'Éducation, ENS-Lyon (France).</footnote>

<footnote n="2">² LINE, Université Côte d'Azur (France)</footnote>
RÉFÉRENCES

Bibliographie limitée aux auteurs cités, les références à Brousseau renvoient à son site.

Artigue, M. (1984). *Contribution à l'étude de la reproductibilité des situations didactiques : Divers travaux de mathématiques et de didactique des mathématiques*. Thèse. Université Paris VII.

Bachelard, G. (1949). *Le Rationalisme appliqué*. Presses Universitaires de France.

Bourbaki, N. (1961). Mode d'emploi du traité. Encart à la seconde édition des Éléments de Mathématique. In *Éléments de Mathématique (Vol. 4)*. Hermann.

Piaget, J. (1969). L'initiation aux mathématiques ; les mathématiques modernes et la psychologie de l'enfant. *Bulletin de l'AMQ, 5*, 5-8.
CONFÉRENCE 3

LES SPÉCIFICITÉS DES RECHERCHES MENÉES AU COREM PAR DES ÉQUIPES
CONSTITUÉES DE CHERCHEURS EN DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES,
D'ENSEIGNANTS ET DE FORMATEURS : DES EXEMPLES AUTOUR DE LA GÉOMÉTRIE
ET DE LA CLASSIFICATION.

GRESLARD-NÉDÉLEC<fnref n="1" /> Denise, MUSSET<fnref n="2" /> Catherine, SALIN<fnref n="3" /> Marie-Hélène, BERTHELOT<fnref n="4" /> René, ORÚS<fnref n="5" /> Pilar, TRESSOL<fnref n="6" /> Bernard, ROUX-BONNET<fnref n="7" /> Marie-Lise, DARDÈRES<fnref n="8" /> Monique.

Une première équipe, (D. Greslard et C. Musset), présentera ce que signifiait pour les écoles publiques, maternelle et élémentaire, J. Michelet, d'être le support essentiel du COREM, pour la recherche. Deux autres équipes, évoqueront des recherches menées au COREM : l'une sur « l'enseignement de l'espace et de la géométrie » (Marie-Hélène Salin, René Berthelot et Bernard Tressol), l'autre sur « Le raisonnement des élèves dans la relation didactique », (Pilar Orús, Marie-Lise Roux-Bonnet, Monique Dardères).

L'objectif de cette conférence est de présenter le COREM, comme un écosystème de recherche, avec différents acteurs, où chacun d'eux pouvait jouer des rôles différents, ce qui constituait l'une des spécificités des recherches menées dans ce dispositif unique.

Tous et toutes étaient observateurs, avec des connotations diverses : les enseignants pouvaient être observés/es et observants/es ; le PEN/PIUFM d'un niveau scolaire déterminé était aussi observateur/trice d'autres niveaux ; les chercheurs/euses menaient leur recherche dans un domaine et à un niveau déterminé et à d'autres moments observaient d'autres niveaux et /ou domaines de recherche.

L'apprentissage des connaissances spatiales ne figure pas dans le curriculum d'enseignement, Il est confondu avec celui de la géométrie, alors que l'appui sur des connaissances spontanées conduit à des difficultés et à des échecs. De la même façon, l'apprentissage des connaissances logiques de base, sur lesquelles pourtant s'appuient les raisonnements des connaissances mathématiques du curriculum, de la maternelle à l'université, ne figure pas dans le curriculum. Dans les deux cas, la non prise en compte des connaissances spontanées des élèves constitue un obstacle pour l'acquisition des connaissances spatiaux-géométriques et mathématiques ultérieures. Ce sujet, qui a fait l'objet de nombreuses observations au COREM, constituait une préoccupation constante dans les travaux de recherche dirigés par G. Brousseau.

On montrera quelques exemples d'ingénierie didactique qui ont permis d'observer et de mettre en évidence la nature des erreurs des élèves, ainsi que les difficultés de ces élèves et des enseignants à les gérer ; et comment ces mêmes ingénieries fournissent à l'enseignant un instrument de gestion des connaissances spontanées, en créant des situations permettant aux

<footnote n="1">¹ Ex-directrices de l'école primaire, J. Michelet (France)</footnote>

<footnote n="2">² Ex-directrices de l'école primaire, J. Michelet (France)</footnote>

<footnote n="3">³ Enseignante-chercheure, membres du COREM (France)</footnote>

<footnote n="4">⁴ Enseignant-chercheur, membres du COREM (France)</footnote>

<footnote n="5">⁵ Professor. Senior de l'Universitat Jaume-I, Castelló (Espagne)</footnote>

<footnote n="6">⁶ Enseignant de l'école primaire J. Michelet (France)</footnote>

<footnote n="7">⁷ Enseignante de l'école primaire J. Michelet (France)</footnote>

<footnote n="8">⁸ Enseignante de l'école primaire J. Michelet (France)</footnote>
élèves de les surmonter ou de les modifier par eux-mêmes en interaction avec le «milieu» proposé, sans avoir besoin d'être « corrigés » par l'enseignant ».

## RÉFÉRENCES

* Orus Baguena, P. (1992). *Place de la logique spontanée des élèves dans le contrat didactique : rôle possible d'un enseignement en analyse typologique dans la scolarité*. Thèse de l'Université Bordeaux 1.

* Berthelot, R., Salin, M.H. (1992). *L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire*. Thèse de l'Université Bordeaux 1.

* Salin M.H., Greslard D. (1998) La collaboration entre chercheurs et enseignants dans un dispositif original d'observation de classes : le Centre d'Observation et de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (COREM), *Actes de la 50 ième Rencontre de la CIEAM*.
CONFÉRENCE 4

PRÉSENTATION DU CRDM-GUY BROUSSEAU

GREGORI<fnref n="1" /> Pablo, ORÚS<fnref n="2" /> Pilar, OVIDE<fnref n="3" /> Aurélien, TRAIN<fnref n="4" /> Grégory

Le Centre de Ressources de Didactique des Mathématiques – Guy Brousseau (CRDM – Guy Brousseau) constitue un fonds documentaire de référence, regroupant des ressources issues des ingénieries de recherche développées dans les années 1980-1990 au sein du Centre d'Observation et de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques (COREM). Ce fonds unique, hébergé à l'Université Jaume I (UJI) de Castellón, incarne la vision de Guy Brousseau, qui souhaitait mettre à la disposition de la communauté des chercheurs en didactique des mathématiques un ensemble de ressources précieuses au sein d'un véritable laboratoire de recherche.

L'utilisation de ce fonds dans deux études récentes, ainsi que l'opportunité qu'il offre encore aujourd'hui pour enrichir le questionnement sur les curricula contemporains d'enseignement et/ou de formation d'enseignants, constitueront le fil d'Ariane de cette conférence à quatre voix. Pablo Gregori et Pilar Orus montreront comment, dans le cadre d'une recherche sur les éléments de la géométrie enseignée à l'École Michelet susceptibles de structurer la géométrie au collège, l'exploration d'un ensemble de situations liées à la construction de figures planes dans des situations de communication permet d'appréhender deux dimensions essentielles : la cohérence des connaissances géométriques abordées successivement par les élèves et la pertinence des décisions « didactiques » prises à chaque étape dans la formulation et l'institutionnalisation de ces connaissances.

Aurélien Ovide et Grégory Train présenteront, quant à eux, comment l'identification de phénomènes spécifiques liés à l'aspect commensuration des fractions dans l'ingénierie « Rationnels et Décimaux », étudiée au COREM, permet, dans un travail de thèse en cours, d'étoffer un questionnement sur la reproductibilité de situations didactiques apparentées et d'envisager des prolongements explorant notamment le quotient d'un rationnel par un rationnel. Ils montreront comment les premiers résultats de cette recherche offre des pistes pour requestionner la place des fractions dans le curriculum français actuel.

RÉFÉRENCES

Fregona, D., Orús Báguena, P., Coulange, L., & Train, G. (2023). Le CRDM Guy Brousseau, un bon outil pour ressourcer l'activité du chercheur en didactique des mathématiques. In A. Chesnais & H. Sabra, *Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2021*, 65-92. IREM de Paris.

Fregona, D., Petich, A., Porras, M., & Orús Báguena, P. (2024). Para revitalizar la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la multiplicación en la escuela primaria. *RDM, 44(1)*, 55-89.

Fregona, D., Gregori, P., & Orús Báguena, P. (2018). Quelques aspects de la géométrie enseignée et apprise au COREM (CM1-CM2) – Perspectives pour le cycle 3. *Communication au XXVe colloque de la CORFEM. Bordeaux*, 11-12 juin 2018.

<footnote n="1">¹ Universitat Jaume-I, Castelló (Espagne</footnote>

<footnote n="2">² Universitat Jaume-I, Castelló (Espagne)</footnote>

<footnote n="3">³ LAB-E3D Université de Bordeaux (France)</footnote>

<footnote n="4">⁴ LAB-E3D Université de Bordeaux (France)</footnote>
Coulange, L., Ovide, A., &Train, G. (2022). Multiplicative comparison of fractions: potentials and limits of commensuration meaning. Dans J. Hodgen, E. et al. (Dir), *Proceedings of the Twelfth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 12)*, 354–361.
# Thématique 2

LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES DANS LES RECHERCHES ACTUELLES :
DÉVELOPPEMENTS ET QUESTIONS VIVES

RESPONSABLES : LALINA COULANGE, MICKAËL DA RONCH, ANNE-CÉCILE MATHÉ
CONFÉRENCES
# CONFÉRENCE 1

## LA THÉORIE DES SITUATIONS ET LES MATHÉMATIQUES : UN LIEN À INTERROGER ?

LOMBARD<fnref n="1" /> Nathan, RIVIÈRE<fnref n="2" /> Olivier, BESSOT<fnref n="3" /> Annie, MARGOLINAS<fnref n="4" /> Claire

En (1972) dans "Processus de mathématisation", Guy Brousseau renvoie explicitement aux mathématiques. Les principaux éléments de ce qui s'appellera ensuite la Théorie des Situations Didactiques (TSD) y sont en germe. Cette théorie « prend comme objet d'étude l'ensemble des interactions entre le système éducatif, l'élève et le milieu et qui sont spécifiques d'une connaissance donnée » (Brousseau, 1979, p. 18). Cette « connaissance donnée » est-elle pour autant « mathématique » ?

Au cours des années 2000 (Voir Brousseau, 2011), des distinctions apparaissent entre Théorie des Situations (TS), Théorie des Situations Mathématiques (TSM), Théorie des Situations Didactiques (TSD) et Théorie des Situations Didactiques en Mathématiques (TSDM). Les liens entre ces aspects de la théorie et les mathématiques sont-ils liés seulement au contexte historique ? Y a-t-il des liens profonds entre la TS et les mathématiques ? Peut-on envisager une TS pour d'autres savoirs ?

En effet, ce qui est appelé mathématiques change en fonction des institutions et des époques. Est-il possible de fonder un champ scientifique sur une base changeante au gré d'institutions externes ?

La TS a été élaborée et mise à l'épreuve en interactions avec le COREM : quelle a été l'importance du rôle joué par les mathématiques ?

Quelques pistes de réflexion seront développées :

* La TS cherche à organiser les savoirs en fonction des situations dans lesquelles des connaissances sont utiles, sans nécessairement accepter le découpage externe (Bessot & Margolinas, 2024).

* Les mathématiciens ne reconnaissent pas tous les savoirs qui pourtant interviennent comme connaissances utiles dans des situations considérées comme mathématiques.

* La TS peut-elle être pertinente quand on s'intéresse à l'enseignement de savoirs qui ne sont pas considérés comme mathématiques ?

Notre fréquentation d'univers de recherche variés (anthropologie de l'écrit, métiers du bâtiment, énumération et mécanique quantique) s'inscrit dans ce questionnement du lien entre la théorie des situations et les mathématiques.

## RÉFÉRENCES

* Bessot, A., & Margolinas, C. (2024). *Les situations fondamentales au cœur de la théorie des situations mathématiques* [Chapitre d'ouvrage à paraître]. https://hal.science/hal-04752165

* Brousseau, G. (1972). *Processus de mathématisation*. *Bulletin de l'APMEP*, 282 (La mathématique à l'École Élémentaire), 57-84.

* Brousseau, G. (1979). *L'évaluation et les théories de l'apprentissage en situation scolaire*. (IAC-ME) Inter-American Committee on Mathematics Education, Campesinas, Brésil.

<footnote n="1">¹ Université de Montpellier</footnote>

<footnote n="2">² Université Clermont Auvergne</footnote>

<footnote n="3">³ Université Grenoble Alpes</footnote>

<footnote n="4">⁴ Université Clermont Auvergne</footnote>
<https://ardm.eu/guy-brousseau/guy-brousseau.com/1673/l%e2%80%99evaluation-et-les-theories-de-l%e2%80%99apprentissage-en-situations-scolaires-1979/index.html>

Brousseau, G. (2011). La théorie des situations didactiques en mathématiques. *Éducation et didactique, 5*(1), 101-104. https://doi.org/10.4000/educationdidactique.1005
CONFÉRENCE 2

LOGIQUE, DÉMONSTRATION ET PREUVE À LA TRANSITION SECONDAIRE-SUPÉRIEUR : CONSTRUCTION DE SITUATIONS ET ÉVOLUTIONS DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

BARRIER<fnref n="1" /> Thomas, BLOCH<fnref n="2" /> Isabelle, GIBEL<fnref n="3" /> Patrick, OUVRIER-BUFFET<fnref n="4" /> Cécile

Nous présenterons une conférence sur les fondements mathématiques en jeu dans la TSD (Théorie des Situations Didactiques) et sur les évolutions de la TSD ; nous nous intéresserons aux évolutions des concepts théoriques en rapport avec ces fondements et en lien avec le niveau d'enseignement étudié ; ces évolutions engagent la nature des situations, leur mise en œuvre et la formulation des savoirs, ainsi que leur symbolique. Ces questions interrogent la place dans ces situations de la logique, des niveaux de preuve, et cela pose la question de la place consacrée aux raisonnements des élèves et étudiants, et à l'évolution de ces raisonnements vers des raisonnements mathématiques formels idoines. Cette évolution a aussi pour finalité d'engager les étudiants à appréhender voire élaborer de nouveaux concepts mathématiques visés, avec leurs symboles et une étude de leurs usages en mathématiques.

Thomas Barrier présentera des éléments sur la logique et son importance dans la construction des situations de validation, en lien avec la logique dialogique de Lorenzen.

Cécile Ouvrier-Buffet interviendra sur l'étude de Situations de Recherche pour la Classe (SiRC) outillée par la TSD conduisant à la construction de différents types de preuves, en mathématiques discrètes, avec une visée plus large que la transition secondaire-supérieure.

Isabelle Bloch et Patrick Gibel présenteront les dimensions prédictives et explicatives du modèle d'analyse des raisonnements en lien avec les adaptations de la TSD au secondaire et au supérieur.

La conférence se conclura par des éléments sur la sémiotique des mathématiques, et la façon dont cette dimension sémiotique fait partie des connaissances et apparaît dans les situations. Une discussion sera engagée sur la question de l'institutionnalisation (de connaissances, de compétences, de différentes natures) dans l'enseignement et l'apprentissage de la preuve et de la démonstration à l'université.

RÉFÉRENCES

Barrier, T. (2016). Les exemples dans l'élaboration des démonstrations mathématiques : une approche sémantique et dialogique. *Recherches en éducation, 27, 94-117*.

Bloch, I., & Gibel, P. (2024). Construction de modèles en didactique. L'exemple de la TSD et des études sémiotiques. *Revue Caminhos da Educacao Matematica, Instituto Federal de Sergipe, Brasil*.

Bloch, I., & Gibel, P. (2022). Situations de recherche pour l'accès aux concepts mathématiques à l'entrée à l'université. *Revue EPIDEMES*.

Grenier, D., & Payan, C. (2003). Situations de recherche en "classe", essai de caractérisation et proposition de modélisation. In *V. Durand-Guerrier & C. Tisseron (Eds.), Actes du Séminaire National de didactique des mathématiques* (p. 189-205). IREM, ARDM.

<footnote n="1">¹ Service des Sciences de l'Éducation, Université Libre de Bruxelles (Belgique)</footnote>

<footnote n="2">² LAB-E3D, Université de Bordeaux (France)</footnote>

<footnote n="3">³ LAB-E3D, Université de Bordeaux (France)</footnote>

<footnote n="4">⁴ LDAR, Université Paris-Est Créteil (France)</footnote>
Gravier, S. & Ouvrier-Buffet, C. (2022). The mathematical background of proving processes in discrete optimization – exemplification with Research-Situations for the Classroom. *ZDM – Mathematics Education, 54, 925–940*.
TABLE RONDE
REGARDS CROISÉS SUR LA THÉORIE DES SITUATIONS

JAUBERT<fnref n="1" /> Martine, ROGALSKI<fnref n="2" /> Janine, SENSEVY<fnref n="3" /> Gérard, COULANGE<fnref n="4" /> Lalina

La table ronde permettra un retour réflexif sur certains termes primitifs de la théorie des situations didactiques (comme "situation", "activité de l'élève", "milieu", etc.), qui pourront être remis en discussion au regard de différentes approches théoriques en didactiques des disciplines ou en éducation (théorie des champs conceptuels, théorie de l'action conjointe, communautés discursives disciplinaires scolaires).

<footnote n="1">¹ Lab-E3D, Université de Bordeaux</footnote>

<footnote n="2">² LDAR, Université Paris Cité</footnote>

<footnote n="3">³ CREAD, Université de Bretagne Occidentale</footnote>

<footnote n="4">⁴ Lab-E3D, Université de Bordeaux</footnote>
COMMUNICATIONS
CO-CONSTRUCTION D'UN DISPOSITIF EN CLASSE MATERNELLE EN REP+ : LE RÔLE FONDAMENTAL DU PROCESSUS D'INSTITUTIONNALISATION DANS LA RÉDUCTION DES INÉGALITÉS SCOLAIRES.

ALLARD<fnref n="1" /> Cécile

**Résumé** – Nos travaux s'inscrivent dans des recherches collaboratives en réseau d'éducation renforcée et portent sur la réduction des inégalités scolaires à l'école maternelle en GS en mathématiques. Depuis 2019, nous avons créé un « jeu » et repris les situations développées au COREM en cherchant à développer des situations de formulations et d'institutionnalisation à l'école maternelle. Ce travail contribue à ce que des élèves de REP+ aient les mêmes résultats aux évaluations standardisées que ceux en zone banale

**Mots-clés** : nombre, maternelle, réduction des inégalités, institutionnalisation

INTRODUCTION

L'objectif de cette communication est d'identifier les conditions favorables au processus d'institutionnalisation en classe maternelle (5-6 ans) et son rôle dans la réduction des inégalités scolaires. Le travail au sein du LéA ECRAINUM (2023-2026) se développe avec une équipe de 20 enseignants d'école primaire exerçant en Réseau d'Éducation Prioritaire Renforcée (REP+), dont six enseignantes de maternelle.

Notre recherche vise la réduction des inégalités scolaires selon une première hypothèse : le processus d'institutionnalisation en mettant à jour les connaissances lèvent des implicites, des malentendus et évitent que la compréhension des enjeux d'une situation soit à la charge des élèves. La seconde hypothèse est que pour réduire les inégalités les contenus proposés doivent être consistants. La Théorie des Situations Didactiques (TSD) développée par Brousseau, (1998) est un cadre qui nous semble approprié pour montrer cela.

La TSD a développé cinq situations pour assurer des conditions favorables à l'émergence et l'apprentissage de nouveaux savoirs (la dévolution, l'action, la formulation, la validation, l'institutionnalisation). Afin d'acculturer les enseignants à ces cinq situations, nous avons d'abord repris et analysé des situations d'apprentissage proposées par l'équipe d'enseignants et de chercheurs du COREM (1973-1998) pour des élèves de Grande Section (5-6 ans) (Allard & Mamede, 2024).

Nous allons, dans une première partie, présenter notre cadre théorique. Puis, nous montrerons comment le travail collaboratif a contribué à la création d'une nouvelle situation d'enseignement-apprentissage déclinée sur un temps long en jouant sur des variables didactiques. Enfin nous présenterons le dispositif qui favorise le tissage entre situation de formulation et d'institutionnalisation

APPUIS THÉORIQUES

Réduire les inégalités en appui sur des situations d'apprentissages robustes

Nous rappelons que la TSD s'est construite selon l'hypothèse que l'élève construit des connaissances en se confrontant à des situations au potentiel a-didactique, l'élève apprend par adaptation de ses connaissances au fur et à mesure qu'il fréquente des situations ; ainsi il adapte ses connaissances et ses actions pour les situations ultérieures (Hersant, 2022, p. 5).

<footnote n="1">¹ LDAR – France– cecile.allard@u-pec.fr</footnote>
La dévolution et l'institutionnalisation étant davantage du côté de l'enseignant qui choisit les situations, pense et prépare le milieu dans lequel les élèves vont agir, chercher, formuler et organise son enseignement pour exposer les connaissances et faire les liens entre connaissances anciennes et nouvelles. Margolinas (2021) à ce propos explique « Par exemple, à l'école maternelle, le professeur qui souhaite construire le savoir « cardinal d'une collection finie montrée » en s'appuyant sur une séquence de situations que nous appellerons « séquence voiture-garage » (Briand et al., 2004) doit d'abord construire avec les élèves un enjeu relatif à une collection de voitures et une collection de garages : pouvoir faire la correspondance terme à terme entre une collection de voitures et une collection de garages sans qu'il reste une voiture sans garage ou un garage sans voiture. Ce faisant il construit un milieu matériel et un enjeu qui pourront rester stables alors que les situations vont changer (situations d'action, de formulation, de validation et divers changements de variables), ce qui va produire une évolution des connaissances ». La TSD s'est construite en tenant compte de la dimension collective et culturelle des apprentissages en ciblant un élève type dit « générique » ce qui est souvent source de difficultés lors de la mise en place des cinq situations dans les classes dites ordinaires.

> Les trois premières années de notre travail collaboratif nous avons mis en place ces situations dont nous faisions l'hypothèse qu'elles sont des conditions indispensables pour assurer des apprentissages en mathématiques et par conséquent améliorer les résultats des évaluations nationales. Nous avons particulièrement insisté sur les phases de validation de formulation et d'institutionnalisation.

> Institutionnaliser en maternelle : distinguer la quantité des caractéristiques de la collection à dénombrer

D'après (Briand, 1999, p12) construire les entiers naturels, « c'est mesurer cet objet "collection", mais "la collection" n'est pas un objet matériel. C'est en soi un objet de la structure mathématique et le domaine de ces objets est ce qui permet d'assigner une structure d'espace mesurable. Nous dirons que si le sujet ne dispose pas de moyen de déterminer l'objet "collection", il ne peut en concevoir un mesurage ». C'est pourquoi des tensions vont exister entre la compréhension du concept et les moyens matériels mis en œuvre.

Le processus d'institutionnalisation est défini comme un processus qui décontextualise et dépersonnalise les connaissances construites dans l'action. Les travaux de Allard (2015), Butlen et al. (2003), Rochex et al. (2011) Coulange (2012), montrent qu'assurer l'institutionnalisation dans les classes est une question de la profession et que son absence participe à la construction des inégalités scolaires en laissant à la charge des élèves d'identifier les savoirs en jeu dans les tâches proposées. En appui sur ces résultats, nous prenons en considération les difficultés à formuler des savoirs à l'issue de tâches réalisées avec du matériel : la décontextualisation est alors très difficile à cause de la matérialité des apprentissages et du jeune âge des élèves. Cependant, nous comprenons le besoin des enseignants de choisir des situations concrètes, car elles semblent faciliter les formulations des actions, même si elles sont souvent trop contextualisées. Des phrases comme « tu as mis trois voitures bleues et trois voitures jaunes, il y a autant de voitures sur chaque parking, il y a la même chose, la même quantité, c'est pareil ! » semblent plus faciles à formuler, plus proche du langage « naturel » que « tu as mis la même quantité, le même nombre d'objets dans chaque collection ». Pour autant la seconde phrase dévoile davantage ce qui caractérise la mesure d'une quantité.
## CO-CONSTRUIRE UNE NOUVELLE SITUATION D'APPRENTISSAGE

La nouvelle situation d'apprentissage ainsi que la réflexion sur comment conduire le processus d'institutionnalisation s'est réalisée selon des cycles itératifs. Nous avons fait le choix d'épurer le contexte choisi au départ par les enseignants « Trois bancs et des élèves à répartir pour qu'il y ait autant d'élèves sur chaque banc ». Cette trop grande contextualisation est surement une des raisons explicatives à la difficulté déclarée par les enseignants de produire des énoncés plus génériques. Nous avons donc changé les énoncés des consignes et épuré le matériel.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>**Figure 1** – Évolution des consignes et du choix du matériel dans le jeu des trois bandes</figcaption></figure>

Du point de vue des apprentissages mathématiques, nous voyons des potentialités offertes par ce jeu pour la construction du nombre. En effet, pour partager équitablement une collection en trois sous-collections, deux procédures sont envisageables :

* Une procédure de distribution puis une comparaison terme à terme de tous les éléments des sous-collections ;

* Une procédure de dénombrement en complément ou non de la première procédure et de comparaison des cardinaux. Cette procédure est associée à une démarche d'essais-ajustements pour équilibrer les trois sous-collections.

Après une telle situation quelle signification les élèves vont-ils donner à la formulation "autant de pions sur chaque bande". L'année 1, nous avions compris que les élèves assimilaient le mot autant à "pareil" qui renvoyait alors à des caractéristiques du matériel.

Nous avons donc changé la consigne et avons décidé de proposer des situations de formulation à distance de la situation d'action. Une exposition des connaissances est prévue à la suite de la situation de formulation. La somme de ces expositions de connaissances participe au processus d'institutionnalisation.

## DISPOSITIF QUI CONDUIT À LA DÉCONTEXTUALISATION ET À LA DÉPERSONNALISATION DES CONNAISSANCES.

Nous avons alors mis au point un dispositif tissant situation de formulation et institutionnalisation en utilisant un vidéo projecteur pour soutenir la mémoire didactique des élèves. Les enseignants filment ou photographient des moments pendant la situation d'action.

L'un des enjeux du processus d'institutionnalisation est de s'appuyer sur l'activité des élèves, mise à distance, pour produire des textes contribuant à une formulation des connaissances.

Alors, le processus d'institutionnalisation peut être décrit selon les étapes suivantes : les élèves
produisent des connaissances en acte, l'enseignant pointe les connaissances visées, les élèves identifient les savoirs qui seront alors réinvestis dans une tâche sans matériel et les reformulent. C'est ainsi que Luca est amené à commenter la production d'un de ses camarades et de la corriger sans pour autant déplacer des pions. Lors de la situation de formulation, Luca reprend des termes utilisés lors des différentes phases d'institutionnalisation.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 2 – Luca au tableau</figcaption></figure>

Dans l'extrait suivant, nous avons noté en gras tous les mots que Luca reprenait de phases antérieures. Luca dénombre les pions de chaque bande, mémorise les quantités et les compare. Il est ensuite capable, avec le soutien de son enseignante, de mettre des mots sur ses procédures. Il avait également noté que son enseignante proposait plusieurs formulations « 5 c'est plus que 6 et 6 c'est moins que 5, 6 c'est un de plus que 5. », il est probable qu'il utilise ces formulations qui correspondent au déroulement de sa pensée. Enfin, il valide son résultat en rappelant qu'après le déplacement, il y a la même quantité sur chaque bande. Ainsi, la mise à distance de la situation facilite la dépersonnalisation et la décontextualisation.

**Florence** : A-t-on autant de pions sur chaque bande ?

**Luca** : (dénombre les pions) Un, deux, trois quatre cinq (bande de droite). Un deux trois quatre (bande du haut) Un deux trois quatre cinq six (bande de gauche).

**Florence** : donc il y en a 5, 4 et 6. La question est « est ce qu'il y en a assez sur chaque bande »

**Luca** : non,

**Florence** : fais-moi une phrase

**Luca** : Non il n'y **en a pas autant sur chaque bande.**

Il y en six ici, moins ici, et moins ici (en montrant les bandes), **cinq c'est moins que six.**

**Florence** : Alors comment vas-tu faire ?

**Luca** Attends ce n'est pas ce que je voulais dire 5 **c'est plus petit que 6**, 4 **c'est plus petit que 6** et 6 **c'est plus grand que 4.**

**Florence** : Alors qu'est-ce qu'on pourrait faire pour en avoir autant sur chaque bande ?

**Luca** : On enlève n'importe lequel de ces pions (en montrant la bande 6).

On le met sur cette bande (en montrant la bande du 4) et ça fera **autant** sur chaque bande. 5 ici, 5 ici et 5 ici.

<caption>Figure 3 : échanges entre Luca et son enseignante lors d'une situation de formulation.</caption>

## CONCLUSION

Un travail sur le rôle de l'écrit a été parallèlement effectué. En conjuguant situations robustes, introduction de l'écrit comme outil pour la pensée et systématisation des moments d'expositions de connaissances, nous avons plusieurs années de suite obtenue des résultats aux évaluations nationales d'entrée en CP supérieures à ceux de la REP+, équivalente aux zones banales et le pourcentage d'élèves en difficultés et en deçà du national (figure 4). Des pistes prometteuses se dessinent alors pour réduire les inégalités scolaires.
Elèves en grande difficulté : 2024
LéA-IFÉ – REP+ national – National hors EP

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>**Figure 4 :** diagramme illustrant la réduction significative des difficultés sur 4 Items</figcaption></figure>

RÉFÉRENCES

Allard, C. (2015). *Étude du processus d'institutionnalisation dans les pratiques de fin d'école primaire : le cas de l'enseignement des fractions* [Thèse de doctorat, Université Paris Diderot - Paris 7]. HAL. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01249807/document

Allard, C., & Mamede, M. (2024). Approche socio-didactique d'un travail collaboratif. *Diversité*, 205. [En ligne], https://dx.doi.org/10.35562/diversite.4729

Briand, J. (1999). Contribution à la réorganisation des savoirs pré-numériques et numériques. *Étude et réalisation d'une situation d'enseignement de l'énumération dans le domaine pré-numérique. Recherches en Didactique des Mathématiques*, 19(1), 41–76. https://revue-rdm.com/1999/contribution-a-la-reorganisation/

Briand, J., Loubet, M., & Salin, M. H. (2004). *Apprentissages mathématiques en maternelle*. Hatier.

Brousseau, G. (1998). *La théorie des situations didactiques*. La Pensée sauvage.

Butlen, D., & Pézard, M. (2003). Étapes intermédiaires dans le processus de conceptualisation en mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques*, 23(1), 41–78.

Coulange, L. (2012). *L'ordinaire dans l'enseignement des mathématiques. Les pratiques enseignantes et leurs effets sur les apprentissages des élèves* [Thèse de doctorat, Université Paris-Diderot - Paris VII]. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00801863

Hersant, M. (2022). Faire des mathématiques à l'école maternelle. À quelles conditions ? *Grand N*, 110, 5–19.

Margolinas, C. (2021). Construire des points de vue d'élèves : Des défis théoriques et méthodologiques pour la recherche en didactique des mathématiques. In H. Chaachoua, A. Bessot, B. Barquero, L. Coulange, G. Cirade, P. Job, A.-C. Mathé, A. Pressiat, M. Schneider, & F. Vandebrouck (Eds.), *Nouvelles perspectives en didactique : Le point de vue de l'élève, questions curriculaires, grandeur et mesure* (Vol. XXe école d'été de didactique des mathématiques, pp. 19–48). La Pensée Sauvage.

Robert, M. (1972). La mathématique à l'école élémentaire. *Bulletin de l'APMEP*, (243), 267–243.

Rochex, J. Y., & Crinon, J. (2011). *La construction des inégalités scolaires. Au cœur des pratiques et des dispositifs d'enseignement*. Presses universitaires de Rennes.
# SENS, SIGNE, CONNAISSANCE ET RECONNAISSANCE.

## ALSON<fnref n="1" /> Pedro

**Résumé** – Nous proposons un modèle d'analyse sémio-sémantique des situations de production didactique. Nous utilisons les notions d'environnement sémiotique, paire ordonnée généralisée, sens et signe pour préciser les actes de connaissance et reconnaissance, dans le contexte des situations de production. Un modèle de la structure du théorème et de la démonstration, est présenté. Nous montrons, à l'aide de cette structure comment un savoir précédent est utilisé, dans la démonstration, pour produire le nouveau savoir.

**Mots-clés:** signe, sens, connaître et reconnaitre, paire ordonnée généralisée, situation de production.

Le signe et le sens ne sont pas des concepts didactiques de plein droit. Établir leur pleine citoyenneté dans la didactique, sans les rattacher à la théorie des situations (Brousseau, 1998) nous parait peu probable. Les situations de production, définies dans (Alson, 2000), thèse réalisée sous la direction de Guy Brousseau, offrent certains avantages pour cette tâche. Environnement sémiotique (ES) et paire ordonnée généralisée (POG) sont présentés dans la première partie de l'article. La seconde partie traite des relations entre signe, sens, situation de production, ES et POG. La troisième partie montre des POG et leur articulation pour faire une démonstration d'un "théorème" du type 4 + -5 = -1, et propose une modélisation avec des POG, de l'utilisation d'un savoir existant dans la construction d'un nouveau savoir.

## L'INGÉNIERIE DIDACTIQUE TYPE A (IDA)

### Origine d'IDA

Métodos de Graficación (Alson, 1987) est le premier d'une série de textes qui abordent différents niveaux scolaires, du début de l'université jusqu'au niveau des enfants de douze et cinq ans (Alson, 2008, 2023). Ils ont été utilisés dans plusieurs pays, mais surtout, au Venezuela. La partie concernant l'initiation à l'analyse a fait l'objet d'une thèse (Bloch, 2000), d'autres parties ont été étudiées dans des mémoires et thèses de maitrise. Dans *editorialauna.com* quelques-uns de ces textes peuvent être lus librement.

Il est légitime de considérer l'ensemble de ces livres comme faisant partie d'une ingénierie didactique au sens défini par Artigue (Artigue, 1989), même si leur conception fut faite sans une analyse a priori explicite. Nous dénotons cette ingénierie par IDA. Les résultats obtenus avec l'application d'IDA, dans les différentes conditions et niveaux scolaires, ont coïncidé grosso modo, avec ce qui était espéré.

### *Les situations didactiques de production ou "situations de production".*

Sous IDA, l'objet de communication entre l'apprenant et l'enseignant est une forme : la "trace" que laisse l'apprenant sur le papier, conséquence des actions qu'il réalise en faisant les exercices proposés. La trace est "produite" par l'élève. La trace sert à mesurer son adaptation à la situation. A posteriori, en suivant le parcours des élèves au long de leur cursus, nous avons pu constater que les apprentissages fondamentaux, nécessaires pour poursuivre leurs études, espérés en appliquant IDA, s'étaient produits. Le nom de situation didactique de production, nous a paru approprié pour désigner les exercices des textes. La notion de situation didactique

<footnote n="1">¹ UCV – Venezuela – *pedro.alson.h@gmail.com*</footnote>
est plus ample et libre que celle de situation didactique de production. Une situation didactique peut impliquer, souvent, plusieurs situations de production. Nous considérons les situations didactiques de production comme un type spécifique de situation didactique.

La formalisation de la notion de situation de production, faite a posteriori de la publication (Alson, 1987) et dans le cadre de la thèse (Alson, 2000), s'est orientée vers l'idée de procédure que l'élève doit « apprendre » et « réalise » au moyen d'actions. La procédure est schématisée avec la notation flèche : $A \to B$. La notation que nous avons adoptée pour représenter une situation de production prend en compte plusieurs éléments.

Dans l'exemple, ($A \to B$), que nous appelons situation algorithmique, la forme $A \to$ représente l'objet $A$ auquel une procédure spécifique, représenté par la flèche $\to$, doit être appliquée. Le symbole $\vdash$ représente l'action de l'apprenant sur $A$ quand la procédure est appliquée et $B$ représente la « trace » : le produit de l'action. Le $B$ de $A \to B$, méconnu de l'élève, devrait coïncider avec le $B$ produit quand $(A \to) \vdash B$ est réalisée. Un autre exemple de situation de production associée à la flèche $A \to B$ est $(\to B) \vdash A$, nous l'appelons signifiante. Le choix du nom "signifiante" vient du fait que dans la l'expression $A \to B$, $A \to$ est interprété comme signifiant et $B$ comme signe. Dans cette situation la trace $A^*$ définit un signifiant. La forme (sens) $\to B$ représente l'objet $B$ qui a été produit à partir d'un objet $A$ avec la procédure spécifique associée à la flèche $\to$. Le symbole $\vdash$ représente l'action et les pensées de l'apprenant à partir du sens $\to B$, pour "deviner ou déduire" un $A^*$. Il faut prendre en compte qu'en général $A^*$ n'est pas unique. Si $A^*$ est un de ces objets possibles, pour le valider il faut résoudre $(A^* \to) \vdash B^*$ et si $B^* = B$, $A^*$ est une trace valide. Pour simplifier l'exposition, nous assumons que la flèche est toujours orientée de gauche à droite.

## Éléments sémiotiques structurels

Deux formes récurrentes que nous appelons « environnement sémiotique » et « paire ordonnée généralisée » apparaissent quand nous jetons un regard sémiotique sur *IDA*.

### L'environnement sémiotique (ES)

Un environnement sémiotique *ES* est une partie de la surface de la "feuille", signalée par une frontière visible, qui entoure cette partie de la surface. En principe, les formes contenues dans un *ES* et leur positions, dépendent des fonctions sémantiques que l'on veut faire jouer à *ES* dans une situation d'apprentissage.

Une des fonctions des *ES* est de fixer des contraintes sémiotiques (visibles), qui encadrent les actions des apprenants. Ils définissent le milieu et le contexte des situations d'apprentissage.

### Le paire ordonnée généralisée (POG)

L'opération sémiotique principale avec des *ES* est leur "concaténation", qui se fait au moyen d'une flèche $\to$. $ES_1 \to ES_2$, constitue une POG représentée par $(ES_1, ES_2)$.

La POG apparaît à l'œil nu comme une paire d'environnements sémiotiques, $A$ et $B$, qui sont "placés" côte à côte. Une POG peut être dans trois états principaux: $(A, B)$, $(A,)$ et $(, B)$. Les parenthèses soulignent le fait qu'il s'agit d'un tout, d'une unité. L'unité provient d'une relation entre $A$ et $B$, métaphorique (ou non), symbolisée par une flèche $\to$. Cette relation métaphorique est souvent explicitée, dans les applications, au moyen d'une procédure. Dans l'exemple qui suit, la procédure est une transcription de l'information visuelle d'un dessin à l'information symbolique ("algébrique") du second *SE*.
Pour la forme *B* : le sens "*B* désignant" est la forme → *B*, *A* est désigné par → *B*.

En résumant :

L'expression $A \rightarrow B$ est à l'origine, sémiotique, de deux formes symboliques que l'on associe aux objets que $\rightarrow$ met en relation.

<table><thead><tr><th colspan="2">Sens</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>A</i> signifiant</td><td><i>A</i> →</td></tr><tr><td><i>B</i> désignant</td><td>→ <i>B</i></td></tr></tbody></table>

Réaliser une situation de production en utilisant une POG, attribue un signifiant ou un désignant à l'objet qui devrait "occuper" l'environnement vide.

<table><thead><tr><th>Situation</th><th>Sens</th><th>Attribution</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td></td><td>Un signifiant<br>est attribué à (4 + -5)</td></tr><tr><td></td><td>$\rightarrow$ (4 + -5)</td><td>Un désignant $\rightarrow$ (4 + -5) est attribué à</td></tr></tbody></table>

Nous utiliserons :

$(\stackrel{1}{\rightarrow} O, \stackrel{2}{\rightarrow} O)$

pour représenter une "charge sémantique de O". Les flèches des deux sens ne représentent pas nécessairement la même procédure.

## Les situations de production

La situation $(A \rightarrow) \vdash A$

Dans l'exemple que nous traitons *A* est le dessin. Et la procédure est "Copier" le dessin.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

La situation $(A \rightarrow) \vdash B$

Ici *A* est toujours le dessin. Mais la procédure est "Transcription".

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Le dispositif

<table><tr><td>Pars de</td><td>4</td></tr><tr><td>Regarde a</td><td>+</td></tr><tr><td>Marche en a rebours</td><td>-</td></tr><tr><td>Pas à marcher</td><td>5</td></tr></table>

est utile.
<table><caption>**Tableau 1.** Attribution de charge sémantique d'objets liés à la réalisation de (A →) ⊢ B</caption><thead><tr><th colspan="2">Avant (A →) ⊢ B</th><th colspan="2">Après (A →) ⊢ B</th></tr><tr><th>Objets</th><th>Charge sémantique</th><th>Objets</th><th>Charge sémantique</th></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td>(→ A,)</td><td>A</td><td>(→ A, A →)</td></tr><tr><td>(A,)</td><td></td><td>(A,)</td><td>(, (A, ) →)</td></tr><tr><td>(A, B)</td><td>(, (A, B) →)</td><td>(A, B)</td><td>(→ (A, B), (A, B) →)</td></tr></tbody></table>

Note :

Le sens désignant $→ A$ est préalable à la situation de transcription. C'est un sens nécessaire pour que la procédure de transcription et par là, la situation algorithmique $(A →) ⊢ B$, puissent être réalisées par l'apprenant. La charge sémantique partielle $(→ A,)$ est obtenue avec la situation de copie: $(A →) ⊢ A$.

$(A, ) → (A, B)$ est la transformation sémantique définie par la situation de production algorithmique. Le signifiant est $(A, ) →$. Le désignant est $→ (A, B)$.

$(A, B) → (, B)$ peut être vue comme une transformation sémiotique parce que $(, B)$ est une forme présente en $(A, B)$. Le signifiant de cette transformation est $(A, B) →$.

On peut lire dans le Tableau 1 que la réalisation de la situation de production algorithmique $(A →) ⊢ B$ a pour effet d'attribuer aux objets $A, (A, )$ et $(A, B)$ une charge sémantique.

*Simultanéité d'attribution de Signifié et de Connaissance.*

"Lorsqu'on parle de connaissance de l'objet et d'attribution d'un signifié, on vise la même situation, seulement perçue de points de vue différents" (citation de Husserl dans Eco, 1988, p. 219). Nous considérons que cette affirmation est importante pour la didactique, par sa référence au signe et à la connaissance. Nous l'analyserons à partir d'une situation de production algorithmique $(A →) ⊢ B$.

Nous "marquons", au moyen d'une question et des deux états $(A, )$ et $(A, B)$, "l'instant" où l'acte d'attribution d'un signifié est "réalisé" :

<table><thead><tr><th>Etat</th><th>Le didacticien peut-il "dire", sans réfléchir</th><th>Réponse</th></tr></thead><tbody><tr><td>(A, )</td><td>$B$ est un signifié de $A$?</td><td>Oui ☐ Non ☐</td></tr><tr><td>(A, B)</td><td>$B$ est un signifié de $A$?</td><td>Oui ☐ Non ☐</td></tr></tbody></table>

La réponse à la première question est non, du fait que $B$ n'a pas encore été "produit". Par contre quand l'état est $(A, B)$, la réponse est oui.

En résumant, l'instant d'attribution de signifié à $B$, (parce que $A →$ est son signifiant) coïncide avec celui du changement d'état $(A, ) → (A, B)$.

Nous prenons comme un axiome qu'un acte de connaissance d'un objet $A$ se fait uniquement moyennant la production d'un signe à partir de $A$. Utilisant la formalisation du signe faite par Saussure, $A$ "est connu" (un acte de connaissance de $A$ est réalisé) au même instant où $B$ devient
## LE MODÈLE DE DÉMONSTRATION ET THÉORÈME

Les trois POG, en état (A, B)

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

peuvent être concaténés parce qu'ils se recouvrent en partie. Et l'on obtient :

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Ceci peut être interprété comme la démonstration du théorème $4 + -5 = -1$. Nous n'insistons pas sur les problèmes d'apprentissage liés au passage de l'arithmétique à l'algèbre, travaillés par exemple dans (Cid, 2015). Notre intérêt est surtout d'approfondir le fonctionnement des savoirs, dans un contexte sémiotique défini par les POG's.

Le modèle graphique permet d'énoncer le "résultat" de $4 + -5$ comme "le point où aboutit la flèche". Cet énoncé est "local" : il dépend du modèle dont $4 + -5$ est la transcription. Le choix du modèle graphique est fondamental pour l'énonciation du résultat en forme de référence locale. L'énoncé local est représenté dans POG 2 par la présence du cercle sous le point où aboutit la flèche.

POG 3 dans l'état ( , ) est:

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Si $ES_1$ dénote la première composante de POG 3 et $S( )$ le savoir qui permet d'assigner, au moyen d'une sériation, les noms aux points qui commencent en 4 et finissent où aboutit la flèche de $ES_1$ (où est le cercle), après application de $S( )$, nous avons $(S(ES_1), ES_2)$ :

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

D'après la sériation, $-1$ est "le nom du point final", où aboutit la flèche de $ES_1$. Notons que $-1$ est une référence globale (ne dépend pas du contexte graphique) du point final. Donc $-1$ doit apparaître dans $ES_2$ et l'on obtient :

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

La présence de POG's du type $(S(ES_1), ES_2)$ est indispensable pour la création de nouveaux savoirs à partir de savoirs précédents. Nous avons constaté la présence de ce type de POG's dans des démonstrations de géométrie et d'analyse.
Une des fonctions essentielles du savoir est celui de faire le passage d'une référence locale à une référence globale, en permettant que le théorème soit un énoncé transmissible, indépendamment du contexte particulier défini par l'ES₂ de POG 1 utilisé pour la démonstration. Mais, simultanément, dans notre exemple, le savoir joue le rôle d'interprétant dans la relation de signe entre le point final et le nombre -1. Et de ce fait -1 devient signe signifié du point final ou, dans le formalisme de Peirce, référence de l'objet point final. Tenant compte de sa position dans la POG 3, le nombre -1 est thèse du théorème et aussi un signe. La thèse du théorème peut ainsi être interprétée comme signe.

La structure de la démonstration que nous avons exposé, a été travaillée avec sept élèves de cinq ans pour l'apprentissage de l'addition et la soustraction restreinte aux nombres naturels qui ne dépassent pas 9. Elle a été aussi travaillée avec des élèves de 12 ans avec des nombres entiers (positifs ou négatifs). Les résultats montrent que les élèves comprennent et s'adaptent au langage utilisé.

## CONCLUSION

Dans le modèle présenté, la dénotation du sens lié aux objets qu'une flèche met en relation, est une opération de l'ordre du sémiotique, mais l'attribution du sens est de l'ordre du sémantique. L'acquisition par l'apprenant des sens, des signes et la connaissance ou reconnaissance même, relève du sémantique et est liée aux actions réalisées par lui dans les situations didactiques de production. La production du signe ou du désigne, moyennant une situation didactique de production, algorithmique ou signifiante, apparaît comme nécessaire pour connaître ou reconnaitre la forme utilisée comme référence dans le modèle du signe de Saussure ou de Peirce.

## REMERCIEMENTS

Michèle Artigue m'a encouragé et orienté dans l'écriture de l'article. Je lui en suis très reconnaissant.

## RÉFÉRENCES

Alson P. (1987). *Métodos de Graficación*. Fondo Editorial Acta Científica. Venezuela.

Alson P. (2000). *Eléments pour une théorie de la signification en didactique des mathématiques*. [Thèse de doctorat, Université de Bordeaux].

Alson P. (2008). *Número y variable*. Editorial Auna. Venezuela.

Alson P. (2023). *1.Koaderno egituratua*. https://www.amazon.com/Koaderno-egituratua-Basque-Pedro-Alson/dp/B0BCSCYR7Y

Artigue M. (1989) Ingénierie didactique. *Recherches en Didactique des Mathématiques*. 9/3, 281-308.

Bloch I. (2000). *L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée/université. Savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation*. [Thèse de doctorat, Université de Bordeaux].

Brousseau G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

Cid M.E. (2015). *Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos*. [Thèse de doctorat, Université de Zaragoza].

Eco U. (1988). *Le signe*. Editions Labor.

Foucault M. (1966). *Les Mots et les Choses. Une archéologie des sciences humaines*.

Gallimard.
# DÉVOLUTION ET ENGAGEMENT DANS UN DISPOSITIF D'AIDE PRÉVENTIF

ASSUDE<fnref n="1" /> Teresa, MILLON-FAURE Karine<fnref n="2" />, DRACOS Christophe<fnref n="3" />, MARI Émilie<fnref n="4" />

**Résumé** – Notre communication, à visée réflexive s’appuyant sur des résultats empiriques, se place dans la thématique 2 du colloque. Nous abordons la dévolution dans le contexte particulier des mises en œuvre du dispositif d’aide préventif en France et au Québec. Ce contexte nous permet de questionner le processus de la dévolution, pas seulement du point de vue du transfert de responsabilité entre le professeur et l’élève en lien avec l’institutionnalisation, mais aussi sur celui des conditions liées à l’engagement du sujet-élève.

**Mots-clés** : dispositif d’aide préventif, dévolution, engagement, mathématiques

## INTRODUCTION

Depuis une dizaine d'années, nous participons à des projets de recherche franco-québécois sur les « dispositifs d'aide préventifs » pour l'étude des mathématiques. Nous adoptons une perspective quelque peu différente de celle observée dans les séances habituelles où, face aux difficultés rencontrées par leurs élèves en classe ou lors des évaluations, les enseignants proposent des aides dans une logique de remédiation. Dans le cas des dispositifs d'aide préventifs, il s'agit de proposer un accompagnement avant et après le travail en classe pour que ces élèves puissent s'engager plus facilement lors de la résolution de problèmes mathématiques. En utilisant des notions telles que les systèmes didactiques principaux et auxiliaires (Chevallard 2010), la structure de ce type de dispositifs préventifs est la suivante :

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Les nombreux travaux menés (Theis at al., 2014 ; Assude et al. 2006 ; Millon-Faure et al. 2018 ; Marchand et al. 2021 ; Guille-Biel Winder et al. 2023) montrent différentes fonctions de ce type de dispositif, entre lesquelles : des fonctions mesogénétiques en lien avec le milieu du problème ; des fonctions chronogénétiques présentant l'importance de la synchronisation des élèves en difficulté avec le temps didactique de la classe ; des fonctions topogénétiques sur la prise de position des élèves en difficulté dans la place de l'élève, ce qui peut s'avérer assez rare dans des cours traditionnels.

Nous nous posons des questions récurrentes sur le choix de ce qu'on propose dans ce type de dispositif (en particulier dans le SDA-pré) : que propose-t-on effectivement dans le SDA-pré pour que les élèves avancent un peu mais pas trop, et pour qu'ils ne résolvent pas le problème avant les autres ? Comment les élèves investissent ces aides préventives ? Peut-on parler de processus de dévolution dans ce cas particulier d'un petit groupe d'élèves ?

Notre communication, à visée réflexive mais s’appuyant sur des recherches empiriques, se place dans la thématique 2 car elle a comme objectif de réfléchir à l’évolution de ces questions en lien avec la dévolution lorsqu’on met en œuvre un contexte particulier qui est celui des

<footnote n="1">¹ Aix-Marseille Université – France – teresa.dos-reis-assude@univ-amu.fr</footnote>

<footnote n="2">² Aix-Marseille Université – France – karine.millon-faure@univ-amu.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Aix-Marseille Université – France – christophe.dracos@ac-aix-marseille.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ Aix-Marseille Université – France –emilie.mari@univ-amu.fr</footnote>
dispositifs d'aide préventifs. Nous présentons d'abord quelques éléments théoriques sur la dévolution, puis nous indiquerons les questions que la mise en œuvre de ce dispositif pose à ce propos. Ces questions et réflexions sont issues de nos recherches empiriques qui ne seront pas détaillées ici.

## QUESTIONNER LA DÉVOLUTION

Brousseau (1998) définit la dévolution comme :

> « l'acte par lequel l'enseignant fait accepter à l'élève la responsabilité d'une situation d'apprentissage (adidactique) ou d'un problème et accepte lui-même les conséquences de ce transfert » (p.303)

Cette notion est associée au transfert de responsabilité de l'enseignant vers l'élève, ce qui permet à ce dernier de devenir autonome dans les apprentissages. Le processus de dévolution n'est pas un :

> « moment fugitif de l'activité du professeur, [mais] englobe à la fois ce qui permet l'acceptation du problème par l'élève, ce qui permet que cette prise en charge continue, mais également ce qui permet à l'élève de produire sa réponse, et de reconnaitre les effets de cette production. » (Margolinas, 2006, p.331).

La dévolution est intrinsèquement liée à l'institutionnalisation et à la distinction connaissance et savoir comme l'indique Margolinas (2021) dans l'ouvrage consacré aux « sujets et objets de la dévolution » (Buznic-Bourgeacq 2021) qui fait un point sur cette notion dans plusieurs champs disciplinaires et/ou professionnels. En effet, les objets de la dévolution, identifiés dès le début des travaux de Brousseau, sont multiples : la dévolution des règles du jeu, de la production de la réponse, etc. Buznic-Bourgeacq (2021) indique trois dimensions dans les études sur la dévolution :

> « la matérialité – des objets physiques plus ou moins manipulables –, l'étendue – une ampleur spatiale et temporelle plus ou moins grande – et la didacticité – une intention didactique plus ou moins forte lors de leur création. » (p.22)

Une extension de la TSD concerne son usage pour l'analyse de situations ordinaires de classe, celles qui ne sont pas issues d'une ingénierie didactique, et qui ne sont pas forcément didactiques. Dans le cas de la dévolution, Margolinas (2021) précise que :

> « Dans les conditions ordinaires, le processus de dévolution se complique car il faut non seulement maintenir l'engagement des élèves dans une situation entièrement déterminée à l'avance, mais aussi réguler, voire modifier la situation elle-même pour qu'elle continue à correspondre au projet didactique du professeur. » (p.6)

Nous soulignons dans cette citation le fait qu'il ne s'agit pas seulement d'un transfert de responsabilité mais qu'il s'agit aussi d'un engagement du sujet dans la situation proposée par l'enseignant. Brousseau (2006) parlait déjà de l'importance de l'engagement :

> « On ne voit pas comment on pourrait convoquer le sujet. Le professeur a devant lui Gaël et Gaël n'est pas là. Il faut qu'il s'engage personnellement par rapport à ce qu'il sait ou ne sait pas [...]. Il faut le décoquiller de cette attitude, et ça, ça doit dépendre des conditions et de la situation, pas seulement d'une évolution personnelle. » (p.410)

Il s'agit en effet pour le sujet-élève de pouvoir se rendre compte de ce qu'il sait ou ignore, d'accepter ou non le problème et de s'investir dans la situation. Ce n'est pas seulement une question de prise de responsabilité en s'engageant dans la production de la réponse et des effets de cette réponse. La focalisation sur l'engagement met l'accent sur la place et le rôle du sujet-élève dans le processus de dévolution. Margolinas (2021) parle du rôle de l'élève pour « accepter de faire confiance au professeur » qui choisit les situations proposées. Cette confiance nous semble un des éléments pour que l'élève puisse s'engager mais n'est pas le seul. Quelles sont ces conditions pour que l'élève puisse être « décoquillé » autres que son évolution personnelle ? Nous voulons en montrer maintenant quelques-unes rendues visibles dans nos recherches sur les dispositifs d'aide préventifs.
ENGAGEMENT ET DÉVOLUTION DANS LE DISPOSITIF D'AIDE PRÉVENTIF

Nous avons montré que le système didactique auxiliaire pré (SDA-Pré) peut créer des conditions favorables à la dévolution en permettant l'engagement des élèves dans des situations associées au problème proposé en classe (Assude, Millon-Faure 2021 ; Assude et al. 2023 ; Millon-Faure et al. 2024). L'une de ces conditions est l'exploration du milieu matériel avant le travail en classe, par la manipulation, le langage ou les connaissances-savoirs anciens des élèves. La reprise de savoirs anciens qui ne sont pas forcément acquis par les élèves leur permettra de s'investir plus rapidement lors du travail en classe. D'autant plus que le reste de la classe n'a pas forcément besoin de cette reprise. Cette fonction mesogénétique du dispositif n'est pas la seule à être présente.

L'une des difficultés des élèves est de s'autoriser à s'engager dans l'étude du problème, c'est-
à-dire de réussir à prendre leur place d'élève. Dans les classes, nous avons observé des élèves
en difficulté qui restent passifs en attendant que les réponses arrivent (Gaël était là sans être là).
Or l'une des fonctions du SDA-pré est de créer les conditions d'adhésion de l'élève au projet
didactique de l'enseignant sans que pour autant on aille jusqu'à l'investissement dans la
production d'une réponse. Cette adhésion est provoquée par le fait que l'élève est rassuré et
valorisé par l'intervenant (professeur de la classe ou orthopédagogue). La valorisation ne se fait
pas seulement par des discours mais par le travail sur le milieu matériel, sur les connaissances
anciennes et/ou sur l'énoncé du problème. En effet, la lecture de l'énoncé du problème
mathématique peut être encore une difficulté pour certains élèves : pouvoir revenir sur les mots
ou expressions qu'on ne connait pas en dehors de la classe, ou sur le contexte permet de gagner
du temps et de commencer à se représenter les enjeux de la situation.

Dans l'une des mises en œuvre du dispositif préventif dans une classe de sixième au Collège
en France, l'enseignante a mis en place des conditions permettant l'engagement des élèves
(Assude et al. 2023). Elle a sollicité tous les élèves de la classe pour que chacun puisse se
positionner dans le groupe auquel il estimait appartenir : le groupe des élèves bénéficiant du
dispositif préventif et le groupe travaillant en autonomie sur un autre problème. L'auto-
désignation a permis de valoriser les deux groupes et de ne pas stigmatiser celui des élèves en
difficulté. L'adhésion de tous les élèves de la classe était une condition de réussite du dispositif
préventif puisque le groupe en autonomie ne devait pas solliciter l'enseignante pendant ce
temps de travail. L'explicitation des règles du fonctionnement était un élément de légitimation
du dispositif. Nous avons parlé alors d'un contrat d'adhésion didactique pour « qualifier
l'ensemble de ces règles relatives au fonctionnement de dispositifs didactiques en tant que
conditions de travail des élèves [autre que les situations] auxquelles ils pourront adhérer pour
prendre position dans leur place d'élève » (p.48)

ÉLÉMENTS CONCLUSIFS: ENGAGEMENT ET DÉVOLUTION

La distinction entre dévolution et engagement nous semble nécessaire à faire pour rendre compte de ce qui se passe lors de la mise en place de SDA-pré où il ne s'agit pas encore de résoudre le problème, ce qui sera fait en classe (SDP). Le processus de dévolution permet un transfert de responsabilité du professeur à l'élève en ce qui concerne la production de réponses au problème, la mise en œuvre de connaissances, puis de leur institutionnalisation en termes de savoirs. La responsabilité est une « obligation faite à une personne de répondre de ses actes du fait du rôle, des charges qu'elle doit assumer et d'en supporter toutes les conséquences » (CNRTL). Le transfert de responsabilités implique que l'élève assume le rôle d'apprenant, les charges et les conséquences qui vont avec. Ce processus implique tout d'abord l'engagement de l'élève, ou comme le dit Matheron (2011), les élèves doivent accepter et reconnaître le
problème proposé comme étant celui auquel ils doivent apporter des réponses plus tard. L'engagement étant « l'action de s'engager par une promesse, une convention, une obligation en vue d'une action précise ou d'une situation donnée » (CNRTL), il s'agit en effet que l'élève accepte de faire quelque chose, de rentrer dans un contrat didactique, dans une promesse future de résolution du problème, dans un système d'attentes réciproques. Le dispositif d'aide préventif, et en particulier le SDA-pré, vise à créer les conditions pour que l'élève s'engage dans la situation sans qu'il produise une réponse. Cet engagement montre tout d'abord la manière dont l'élève investit la situation par la confrontation entre ses expériences scolaires et cognitives antérieures et ce qu'il doit faire par la suite. La reprise de savoirs anciens, la confrontation avec le milieu matériel ou les règles du jeu didactique peuvent être quelques-unes des modalités pour l'adhésion de l'élève, pour la mise en place d'un contrat d'adhésion didactique (Assude et al. 2023). Des modalités plus génériques en lien avec les modalités spécifiques de la situation, comme la relation avec l'intervenant ou dans le petit groupe (relation de confiance, être rassuré), ou certaines formes d'étayage (Bruner 1983), comme l'enrôlement, peuvent aussi aider l'élève à s'engager.

Être responsable et être engagé ne se superposent pas : on peut être engagé sans prendre la responsabilité de la production de réponse. L'engagement de l'élève est l'une des conditions qui permettent la dévolution de la situation, c'est l'une des premières étapes du processus de dévolution : être engagé pour devenir responsable. Les formes d'engagement des élèves peuvent être diverses, implicites ou explicites, et toutes n'aboutissent pas forcément à se responsabiliser. Le processus de dévolution implique un double transfert : un engagement dans une promesse d'agir dans telle situation ou dans tel contrat d'adhésion didactique ; mais aussi une responsabilité, une obligation de s'investir dans la production d'une réponse et des conséquences de cette production en termes de connaissances et savoirs.

## RÉFÉRENCES

Assude T., Millon-Fauré K., & Tambone J. (2023). Contrat d'adhésion didactique lors de la mise en place d'un dispositif d'aide « préventif ». *Revue de mathématiques pour l'école*, 240, 46-54.

Assude T. & Millon-Fauré K. (2021). Mise en œuvre d'un dispositif d'aide « préventif » : quelles fonctions et transformations ? Dans G. Pelgrims, T. Assude & J.-M. Perez (dir.), *Transitions et transformations sur les chemins de l'éducation inclusive* (pp.151-167). Éditions CSPS.

Assude T., Koudogbo J., Millon-Fauré K., Tambone J., Theis L. & Morin M.-P. (2016). Mise à l'épreuve d'un dispositif d'aide aux difficultés d'un système didactique. *Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education*, 16(1), 1-35.

Brousseau G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

Brousseau G. (2006). Extrait d'entretien issu de Terrisse A., Léziart Y., Genèse d'un outil d'analyse : le contrat didactique. In M-H. Salin, P. Clanché, B. Sarrazy (dir.), *Sur la théorie des situations didactiques* (p.407-416). La Pensée Sauvage.

Bruner, J. S. (1983). *Le développement de l'enfant : savoir faire, savoir dire*. P.U.F.

Buznic-Bourgeacq P. (2021). Sujets, objets et dévolution : variations didactiques sur l'institution de l'autonomie. In P. Buznic-Bourgeacq (dir.), *Sujets et objets de la dévolution*. (p.15-31). ISTE éditions.

Chevallard Y. (2010). *Le sujet apprenant entre espace et dispositif. Commentaires depuis la théorie anthropologique du didactique*. Communication présentée aux journées du Lisec Gérardmer.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Commentaires_depuis_la_TAD_YC_.pdf
CNRTL (en ligne) : https://www.cnrtl.fr

Guille-Biel Winder C., Assude T., Theis L., Millon-Fauré K., Koudogbo J., Thibault M. & Marchand P. (2023). Analyse du continuum d'un dispositif d'aide préventif - le cas de l'enseignement du concept de fraction au primaire. *Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education*, 23, 96-119.

Marchand P., Guille-Biel Winder C., Theis L. & Assude T. (2021). Difficultés d'un système didactique à propos de l'enseignement du volume au primaire. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives*, 26 (en ligne) URL : http://journals.openedition.org/adsc/1004

Margolinas C. (2006). La dévolution et le travail du professeur. In M.-H. Salin, P. Clanché & B. Sarrazy (dir.), *Sur la théorie des situations didactiques* (p.329-334). La Pensée Sauvage.

Margolinas C. (2021). Le processus de dévolution dans le cadre de la théorie de situations didactiques. In P. Buznic-Bourgeacq (dir.), *Sujets et objets de la dévolution*. (p.1-14). ISTE éditions.

Matheron Y. (2011). Le travail du professeur de mathématiques relatif à la conception et la réalisation des phases de dévolution. *Éducation et didactique*, 5-3, 81-100.

Millon-Fauré K., Theis L., Assude T., Koudogbo J., Tambone J. & Morin M.-P. (2018 b). Comparaison des mises en œuvre d'un même dispositif d'aide dans des contextes différents. *Éducation et didactique*, 12, 43-64.

Millon-Fauré K., Theis L. Koudogbo J., Morin M.-P., Assude T., Guille-Biel Winder C., Tambone J., & Marchand P. (2024). *Dispositifs d'aide préventifs : quels apports pour l'éducation inclusive? Communication lors du colloque du réseau OPHRIS*. Université de Sherbrooke.

Theis L., Assude T., Tambone J., Morin M.-P., Koudogbo J. & Marchand P. (2014). Quelles fonctions potentielles d'un dispositif d'aide pour soutenir la résolution d'une situation-problème mathématique chez des élèves en difficulté du primaire ? *Éducation et Francophonie*, 42(2), 160-174.
# SAUT INFORMATIONNEL ET IMPAVIDITÉ DE LA PROFESSEURE

ATHIAS<fnref n="1" /> Francine, FOREST<fnref n="2" /> Dominique, SENSEVY<fnref n="3" /> Gérard, JOURNAL<fnref n="4" /> Catherine, MORALES<fnref n="5" /> Grace

**Résumé** – Nous retravaillons l'héritage de Brousseau, en cherchant à mettre en relation la situation fondamentale, le jeu des trésors, et la pratique effective dans la classe par plusieurs professeures. Nous choisissons d'analyser un moment de cette situation, le saut informationnel, dont nous pensons qu'il permet d'interroger la place de la professeure. L'impavidité de la professeure ne va pas de soi : elle est soumise à une tension forte entre dire et taire, modélisée par la dialectique réticence et expression6.

**Mots-clés** : saut informationnel, impavidité, dialectique réticence-expression, jeu des trésors, liste.

## INTRODUCTION

Dans cette communication, nous retravaillons l'héritage de Brousseau, en cherchant à mettre en relation la situation fondamentale, le jeu des trésors (Brousseau, 2004), et la pratique effective dans la classe par plusieurs professeures7. Nous choisissons d'analyser un moment de cette situation, à savoir le *saut informationnel*, dont nous pensons qu'il permet d'interroger la place de la professeure. Dans une première partie, nous proposons de décrire rapidement certains enjeux théoriques d'une situation fondamentale en théorie des situations didactiques. Nous présentons ensuite le jeu des trésors comme situation fondamentale spécifique de la fonction de représentation, et nous montrons plus spécifiquement le rôle que joue le saut informationnel introduit dans la deuxième phase de cette situation, à savoir le jeu des listes. Puis, nous envisageons deux exemples de mise en œuvre (Forest et al, 2024 ; Jousson et al., 1980). Ces deux exemples mettent en évidence l'importance de la compréhension de ce moment-clé par les professeures. Nous les analysons, en appui sur la théorie des situations didactiques (TSD, Brousseau, 2004) et la théorie de l'action conjointe en didactique (TACD, Sensevy, 2011 ; CDpE, 2019 ; 2024) pour rendre compte spécifiquement de l'action conjointe professeure-élèves dans le savoir et de la manière dont les professeures jouent le jeu didactique. Enfin, dans une troisième partie conclusive, nous montrerons en quoi les analyses produites permettent à la fois de témoigner de la force de la TSD, et de la manière dont elle a pu inspirer la TACD pour le travail spécifique des problèmes que cette théorie se pose.

## LE JEU DES TRÉSORS

### Situation fondamentale

La notion de situation fondamentale repose chez Brousseau sur une hypothèse épistémologique : « il existe pour tout savoir une famille de situations susceptibles de lui donner

<footnote n="1">¹ Université Marie et Louis Pasteur – France – francine.athias@univ-fcomte.fr</footnote>

<footnote n="2">² CREAD – France – dforest@laposte.net</footnote>

<footnote n="3">³ Université de Bretagne Occidentale – France – gerard.sensevy@inspe-bretagne.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ LINE – France – journal.catherine@orange.fr</footnote>

<footnote n="5">⁵ Pontifica Universidad Catolica de Valparaiso – Chili – grace.morales@pucv.cl</footnote>

<footnote n="6">⁶ Merci à Anne Garrec et Marie-Paule Pirot, deux professeures des écoles, Rennes.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Nous faisons le choix de mettre professeur au féminin dans le texte. Nous privilégions le terme de « professeure » en tant que personne qui a une intention de transmission, indépendamment de sa fonction, institutrice, professeure des écoles, maîtresse de conférences.</footnote>
un sens correct » (Brousseau, 1986, in Bessot, 2003). Bessot précise qu'une situation fondamentale d'une connaissance est une modélisation de cette famille de situations non didactiques spécifiques du savoir visé. Brousseau propose cette modélisation en termes de jeu, dans une théorisation des jeux que nous n'aborderons pas ici. En quoi une situation, modélisée en termes de jeux, est-elle fondamentale ? Au regard de la connaissance, chaque jeu identifié dans la situation « doit être tel que la connaissance apparaisse sous la forme choisie comme la solution, ou comme le moyen d'établir la stratégie optimale » (Brousseau, 1998, p. 80). Brousseau (2004) présente le jeu des trésors comme la situation fondamentale qui permet d'accéder à la fonction de représentation.

## Le jeu des trésors

Dans le jeu des trésors, il est attendu que chaque élève voie la production de représentations, progressivement construites et partagées dans la construction d'un système de codes communs, comme une stratégie optimale pour se souvenir, et communiquer à propos d'un nombre important d'objets placés dans une boite. Suivant la description qu'en fait Brousseau (2004), la situation comporte quatre phases. Elle se déroule sur une année scolaire. Elle est prévue pour des élèves de Grande section de maternelle (élèves ayant 5 ans).

La première phase (préparatoire) consiste en la collecte d'objets. La professeure fait apparaître lentement les uns après les autres, trois à six objets. Les élèves les observent et les font passer de mains en mains. La professeure les amène à s'accorder sur une dénomination commune. La professeure présente chaque matin la boite et les élèves doivent rappeler les objets déjà présents. Elle les sort. Quand la boite est vide, alors les élèves ont gagné. Puis, comme en récompense la professeure introduit deux ou trois objets nouveaux. Le jeu s'effectue tous les matins, de nouveaux objets étant ajoutés dans la boîte au fur et à mesure des progrès dans la dénomination et le rappel, jusqu'à obtenir une collection de 40 objets collectivement nommés, et rappelés.

La deuxième phase porte d'abord sur le « jeu de la mémoire » puis sur le « saut informationnel ». Les objets étant connus et oralement dénommés, la professeure sollicite de la part de chaque élève un rappel, cette fois-ci individuel. Le « jeu de la mémoire » porte sur le rappel oral de deux ou trois objets, présentés le matin et rappelés le soir. Au bout de quelques séances, tous les élèves ont compris le jeu, et sont capables de gagner. L'objectif fixé est que tous les élèves puissent gagner, en ayant ainsi le sentiment de maîtriser la situation. Puis arrive le moment du « saut informationnel ». Un matin, la professeure passe à la nouvelle phase, le jeu de la liste à proprement parler, en proposant le rappel d'un « trésor » maintenant constitué de dix de ces objets. Tout en indiquant l'impossibilité d'un tel rappel, Brousseau insiste sur la nécessité d'une certaine impavidité de la professeure. La tension vécue à ce moment-là par les professeures avait déjà été notée par Brousseau. La signification même du mot « impavidité » et son usage dans l'article de 2004 posent donc question. C'est ce moment que nous développerons dans la partie 2, où nous verrons comment des professeures l'éprouvent et en approfondissent pratiquement les conditions. Cette phase d'action de la situation fondamentale débute ainsi au moment où les élèves vont construire de premières listes de désignation des objets, pour pouvoir retrouver les objets de la boite. Remarquons que conformément à l'hypothèse princeps de Brousseau, dans cette phase d'action indispensable au déroulement de la situation, aucune stratégie nouvelle n'est proposée par les professeures. Elle doit apparaître comme solution à ce nouveau problème. Les élèves en viennent au bout de plusieurs séances à dessiner et à proposer des listes, et à se confronter ainsi aux multiples difficultés posées par ce genre de pratique.

Dans les deux dernières phases, il s'agit de faire une liste de désignation d'objets contenus dans la boite et d'élaborer un code commun, partagé et mis à jour régulièrement.
## La place de la professeure

Comme nous venons de le voir, ces situations fondamentales sont choisies par la professeure. En appui sur ces situations fondamentales, la professeure simule dans la classe une microsociété scientifique (Brousseau, 1986, p. 49), de manière que les connaissances deviennent des moyens économiques pour résoudre des problèmes, pour poser de bonnes questions et pour trancher dans des débats. La professeure cherche à faire dévolution d'une telle situation qui provoque alors chez l'élève l'interaction avec le savoir visé, indépendamment de la professeure. Pour obtenir cela, la professeure communique ou au contraire s'abstient de communiquer (Brousseau, 1998, p.60). À la suite de Sensevy (2011), le Collectif Didactique pour Enseigner (CDpE, 2024) modélise ce geste par la dialectique réticence-expression. Réticence et expression définissent toute production ou usage de signes dans une transaction didactique. Nous pouvons manifester de la réticence lorsqu'on tait ou cache quelque chose que l'on sait ou de l'expression lorsqu'on dit ou montre ce que l'on sait. Si nous parlons de dialectique, c'est pour rendre compte que réticence et expression sont à la fois opposées et complémentaires. « Tout énoncé réticent peut se décrire dans ce qu'il exprime/montre. Tout énoncé expressif peut se décrire dans ce qu'il cache/tait » (CDpE, 2024, p. 444). Le geste de la professeure consiste à tenir ensemble, en fonction de la situation, la nécessité d'expression et la nécessité de réticence tout en permettant à chaque élève une interaction avec le savoir visé.

## Questionnement et méthode

Au cours de la phase d'action, dans le jeu des listes, le but est d'amener les élèves à concevoir la nécessité de construire des symboles iconiques des objets de la boite. La professeure fait subir à la situation « un saut informationnel » en passant de trois objets à dix objets. Les stratégies précédentes faisant appel à la mémoire sont inopérantes. « La professeure impavide constate les échecs, mais reste encourageante » (Brousseau, 2004, p.256). Comment la professeure met-elle en œuvre cette impavidité tout en permettant aux élèves d'accéder au savoir visé, dans une dialectique réticence-expression ? Il s'agit donc d'enquêter, nous avons commencé de le préciser ci-dessus, sur la gestion subtile d'un équilibre entre réticence et expression (CDpE, 2019), qui permette l'avancée du temps didactique sans dénaturer la situation. Pour tenter de donner des éléments de réponse à cette question, nous nous appuyons sur différents corpus, inégaux en quantité ou en qualité. Il s'agit de la chronique écrite de la phase d'action proposée par Jousson et al. (1980, p.27 à 29) et de l'article de Forest et al. (2024, p.). Nous nous appuierons également sur l'article de Brousseau (2004).

## DES MISES EN ŒUVRE EN CLASSE

### Recherches à l'école Michelet

Dans la chronique de la phase d'action, il est précisé que les « enfants vont construire des listes de désignation afin de pouvoir retrouver à coup sûr (...) la composition exacte de la boite. Mais cette stratégie n'est pas proposée par la maîtresse, elle doit apparaître chez les élèves » (Jousson et al, 1980, p. 27). Dans le déroulement de la séance, la professeure prend les objets et les place un à un dans la boîte en les nommant, comme elle en a l'habitude. Malgré les inquiétudes des élèves (« On va perdre » ou « ça fait trop »), la professeure « imperturbable, continue » (p. 28). Autrement dit, elle est ici réticente : elle n'exprime rien directement, même si elle entend les inquiétudes des élèves. Lorsque tous les objets sont placés dans la boîte et que les élèves proposent d'écrire (« moi, je vais dessiner » ou « moi, il faudrait un crayon »), la professeure
confirme que les élèves disposent de matériel et peuvent aller aux ateliers. Autrement dit, elle exprime un acquiescement, certes sans valider la question de l'écriture. Quelques années plus tard, Brousseau (2004, p. 256) précise « l'enseignante impavide constate les échecs, mais reste encourageante ». Ce que nous pouvons dire ici, c'est que la mise en œuvre concrète par les professeurs, n'est pas envisagée dans la recherche mise en œuvre par Brousseau. Pourtant, il semble difficile pour la professeure de laisser « échouer » les élèves.

## Recherches à l'école rennaise

Dans la description de ce même moment, en appui sur le film d'étude, Forest et al. (2024) rendent compte des difficultés auxquelles est confrontée la professeure dans la mise en œuvre effective : « C'est bien la professeure, en feignant de ne pas savoir, qui oriente et soutient l'attention des élèves » (p. 315). Cependant, malgré les sollicitations nombreuses de la professeure (« Il faut que je marque tous les enfants qui ont fait le trésor », « J'ai une liste »), aucune suggestion des élèves ne semble émerger. De plus, une incompréhension s'instaure : la professeure attend une solution (proposer une liste) et les élèves attendent la sortie des objets de la boite. Interrogée sur ce moment sur la base du film (une année après), la professeure explique comment elle a triché pour faire basculer l'idée de « liste pour elle » (la liste des présent.e.s dans la classe) à l'idée de liste pour les élèves (la liste des « objets du trésor »). Autrement dit, cette professeure a compris la nécessité d'écrire la liste des objets et la nécessité de la faire vivre aux élèves. Cette compréhension transparaît dans ses propos ainsi que dans ses gestes profensoraux au moment de l'action. Elle fait preuve d'une certaine réticence : elle ne dira jamais aux élèves que la liste est la solution au problème. Elle fait également preuve de plus en plus d'expression, d'abord en disant « j'ai une liste », en puis en s'appuyant sur les propos d'une élève, qui, réagit en réponse à cette remarque et permet donc à la professeure d'insister sur la nécessité d'écrire une liste.

## CONCLUSION ET PERSPECTIVES

La mise en œuvre en 1980 de la situation fondamentale le « jeu des trésors » est considérée comme une première étape, dans une visée d'amélioration par des mises en œuvre successives. Dans une telle démarche itérative, portée par le COREM, le rôle des professeures s'est révélé important, quant à leur compréhension profonde de la situation et quant à leur posture dans le feu de la pratique : que peut-on dire ? Et quand ? Elles laissent les élèves découvrir la solution au problème, (presque) à la manière d'un mathématicien confronté à un problème. Notre analyse des mises en œuvre met en valeur la puissance d'agir des professeures. Elles savent occuper une place adéquate pour permettre ce cheminement. Pour les professeures du COREM, la question ne se pose pas, ou tout du moins elle n'est pas documentée : elles savent. Pour d'autres professeures, et en particulier celles des groupes de recherche de Rennes, il apparaît clairement que cette place adéquate ne va pas de soi. Ce sont précisément les échanges au sein du groupe de recherche qui permettent aux différentes professeures d'accepter de se placer en retrait (contre l'idée initiale de « je ne peux pas les laisser échouer ») ou d'organiser des modifications (Forest et al., 2019)<fnref n="1" />. C'est dans une telle perspective que l'organisation du travail entre les professeures et les chercheurs, telle que mise en place à Rennes, est maintenant modélisée dans la TACD comme ingénierie coopérative (CDpE, 2024), dans la perspective

<footnote n="1">¹ On peut faire l'hypothèse que le professeur du COREM avaient pu travailler ces savoirs, à travers les réunions régulières et les échanges formels et informels ainsi permis.</footnote>
d'une compréhension partagée par des professeurs devenus *professeurs-chercheurs* et des chercheurs des enjeux de la situation et de sa mise en œuvre effective. Cette compréhension partagée prend la forme d'une documentation spécifique de la pratique, dont il est possible de consulter un exemple par l'intermédiaire de ce QR-code<fnref n="1" /> :

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

## REFERENCES

Bessot, A. (2003). Une introduction à la théorie des situation didactiques. *Les cahiers du laboratoire Leibniz, 91*, 1-28.

Brousseau, G. (1986). *Théorisation des phénomènes d'enseignement des mathématiques* [PhD Thesis]. Université Sciences et Technologies-Bordeaux I.

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques: Didactique des mathématiques 1970-1990*. In N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield (Éds.). La pensée sauvage.

Brousseau, G. (2004). Les représentations : Étude en théorie des situations didactiques. *Revue des sciences de l'éducation, 30*(2), 241-277. https://doi.org/10.7202/012669ar

Collectif Didactique pour enseigner. (2019). *Didactique pour enseigner*. Presses universitaires de Rennes.

Collectif Didactique pour enseigner. (2024). *Un art de faire ensemble*. Presses Universitaires de Rennes.

Forest, D., Morales-Ibarra, G., Sensevy, G., Athias, F., Garrec, A., & Pirot, M.-P. (2024). De la création collective d'un système de signes. *L'ingénierie du jeu du trésor*. In *Collectif Didactique pour Enseigner* (Éd.), *Un art de faire ensemble* (p. 301-338). Presses Universitaires de Rennes.

Jousson, G., Peres, J., & Remy, A. (1980). *Compte-rendu des recherches à l'école maternelle Jules Michelet, année 1979-1980* [Études en didactique des mathématiques].

Sensevy, G. (2011). *Le sens du savoir : Éléments pour une théorie de l'action conjointe en didactique*. De Boeck.

<footnote n="1">¹ Lien : https://api.nakala.fr/data/10.34847/nkl.96197twu/c4631dbcbf0aa22f541a7d514558a707c842db9b</footnote>
# DES VARIABLES DIDACTIQUES LIÉES AUX DISCOURS D'ENSEIGNANTS ET D'ÉLÈVES ?

BARTHÈS-GARNIER<fnref n="1" /> Cécile, COULANGE<fnref n="2" /> Lalina, HACHE Christophe<fnref n="3" />

**Résumé** – Partant d’une recherche sur le rôle du langage dans l’enseignement et l’apprentissage du calcul algébrique au collège, notre contribution vise à réinterroger des caractéristiques langagières de tâches scolaires de développement/factorisation d’expressions algébriques, au prisme de la notion de variable didactique dans la théorie des situations didactiques.

**Mots-clés** : variables didactiques, calcul algébrique, collège

## VARIABLES DIDACTIQUES ET CARACTÉRISTIQUES LANGAGIÈRES DE TÂCHES SCOLAIRES ?

### 1. La notion de variable didactique dans la théorie des situations didactiques

Dans le cadre de la théorie des situations, la notion de variable didactique se caractérise par le fait que de telles variables sont associées à des « modifications qui affectent la hiérarchie de procédures [d'élèves] (...) que peut manipuler le professeur » (Brousseau, 1983a) et qu'en « agissant sur elles, on pourra provoquer des adaptations et des régulations : des apprentissages » (Brousseau, 1983b). Cette notion émerge en lien avec une des visées premières de la théorie, celle de déterminer des conditions des connaissances mathématiques visées, elles-mêmes considérées comme des « instruments de contrôle (des dispositifs) donc des situations » (Brousseau, 1997). Il paraît important de souligner qu'initialement, la notion de variable didactique est d'ailleurs étroitement reliée au modèle de situation fondamentale ou mathématique à usage didactique ou comme permettant de participer à la conception et à l'étude de situations adidactiques dans une perspective d'ingénierie didactique.<fnref n="4" /> Pour ces raisons, on peut penser que sa reprise dans le contexte de l'étude de pratiques plus ordinaires d'enseignement, ne va pas de soi, et a fortiori quand on s'intéresse aux pratiques langagières d'enseignants et d'élèves. On peut même se demander s'il n'y a pas là, une forme de contradiction possible à la fois méthodologique et théorique, du fait que Brousseau (1997) en parlant du « contrat d'ostension », mentionne que le professeur « montre un objet et l'élève est supposé le « voir » comme le représentant d'une classe dont il devra reconnaître les éléments dans d'autres circonstances [...] sous-entendu que cet objet est l'élément générique d'une classe que l'élève doit imaginer par le jeu de certaines variables souvent implicites » (Brousseau 1997, p. 50), sans toutefois qualifier ces « variables souvent implicites » de didactiques.

Dans le cadre de notre propre travail, nous avons emprunté cette notion pour désigner des caractéristiques de tâches de calcul à même d'influencer des discours d'enseignant (Barthès-Garnier et al., 2022). En effet nous postulons que ces derniers participent en retour à influencer des discours, mais aussi des manières d'agir et même de penser des élèves. Nous souhaitons réinterroger ces mises en relations entre de telles caractéristiques initialement envisagées au

<footnote n="1">¹ Université Paris Cité, LDAR – France – cecilebarthesgarnier@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">² Université de Bordeaux, Lab-E3D – France – lalina.coulange@u-bordeaux.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Université Paris Cité, LDAR – France – christophe.hache@u-paris.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ Quand on examine un des premiers textes où il est fait mention de la notion de variable didactique, c'est d'ailleurs bien en lien avec l'ingénierie quasi-fondatrice de la théorie des situations, *Rationnels et décimaux* (Brousseau, 1981).</footnote>
prisme du rôle du langage dans l'enseignement et l'apprentissage du calcul algébrique, et des variables didactiques telles qu'envisagées initialement dans le cadre de la théorie des situations.

## 1. Des caractéristiques de tâches liées aux pratiques langagières d'enseignants et d'élèves

Nous nous plaçons dans la continuité des travaux de Rebière (2013) en considérant le langage comme « outil de construction, de négociation et de transformation des significations ». Nous nous sommes intéressés, alors, aux « objets de discours possibles d'enseignants et d'élèves » (Jaubert, Rebière, 2012) sur des tâches de calcul algébrique. S'agissant des tâches de développement d'expressions algébriques<fnref n="1" />, nous avons identifié *a priori* trois objets de discours enseignant au regard de spécificités des notions mathématiques en jeu : les verbalisations du produit (« fois », « multiplié », « facteur de », « produit » ...), les verbalisations des aspects structural et/ou procédural d'une expression algébrique (Sfard, 1991) et les verbalisations associées à des « transformations de mouvement » (Drouhard, 1992 ; Drouhard et Panizza, 2012) permettant des réécritures d'expressions en prise d'appui sur la distributivité. Ce dernier objet de discours réfère d'ailleurs aux aspects sémio-linguistiques d'écritures symboliques (Drouhard, 1992), dont nous avons également tenu compte dans nos analyses : par exemple, nous avons pris en compte la possibilité d'« omettre » le signe × (y compris du point des verbalisations associées) (Drouhard et Panizza, 2012) ou nous sommes intéressés à ce qui pouvait être dit au sujet du signe « délimitant » des parenthèses « (...) » (Serfati, 1998). Nous postulons que ces aspects sémio-linguistiques des écritures symboliques ne sont d'ailleurs pas sans lien avec la façon dont des significations d'expressions algébriques peuvent se co-construire, dans et par le langage, au fil de tâches de calcul algébrique prescrites aux élèves.

La méthodologie de cette recherche se fait en plusieurs temps. Nous en exposerons trois dans cette présentation. Tout d'abord, nous avons cherché à voir si certaines caractéristiques de tâches influencent les discours des enseignants. Ensuite, nous avons testé à l'écrit ces mêmes tâches sur des élèves de seconde afin de confirmer l'influence de ces caractéristiques langagières retenues sur la justesse des résultats. Pour finir, nous avons mis des élèves de 3e face à des expressions à « réduire » afin d'observer une co-construction des objets de discours lors d'un temps de correction avec l'enseignante.

## DES CARACTÉRISTIQUES QUI INFLUENCENT DES DISCOURS ENSEIGNANTS ET ... DES « MANIÈRES D'AGIR-PARLER-PENSER » D'ÉLÈVES

### 2. Des caractéristiques de tâches qui influencent des discours enseignants de collège et qui semblent avoir des effets sur les réussites/échecs d'élèves de début lycée

Un premier empan expérimental de notre recherche visait à mieux cerner les discours d'enseignants dans des tâches de développement d'expressions algébriques possiblement données à des élèves de collège (13-15 ans). S'agissant du développement, nous avons retenu un ensemble de caractéristiques de ces tâches à même d'influencer le discours enseignant : la place du « facteur *k* » (à gauche ou à droite de la somme) ; la présence du signe × (« *k* × (...) » ou « *k* (...) »), la nature et l'écriture du « facteur *k* » (nombre entier, monôme de degré 1 avec ou sans signe × apparent). Au-delà d'une certaine variabilité des discours tenus d'un enseignant

<footnote n="1">¹ Précisons que si un travail similaire a été fait au sujet de la factorisation, nous n'évoquerons ici que des tâches de type « développement d'une expression algébrique » ou apparentées – nous analyses concernant les discours tenus (par élèves et enseignants) sur la factorisation étant encore en cours actuellement.</footnote>
à l'autre et recueillis par le biais d'une première expérimentation (Barthes et al., 2022), nous avons pu constater que ces caractéristiques pouvaient également influer sur les discours tenus d'une expression algébrique donnée à l'autre. À titre d'exemple, développer l'expression « $3×n×(2–4n)$ » a déstabilisé les cinq enseignants de collège interrogés.<fnref n="1" /> Un seul enseignant, et après une assez longue hésitation, considère d'emblée « 3 fois N comme facteur » quand les autres passent soit par un développement en deux étapes (en distribuant d'abord n puis 3) soit par des réécritures qu'ils semblent peiner à justifier : « 3 fois N fois 2 moins 4 N. Pour développer, en fait, on repère ce qui multiplie la parenthèse. On pourrait croire qu'il n'y a que N, mais en fait, ce qui multiplie la parenthèse, c'est tout ce qui multiplie la parenthèse. Ce qu'on peut faire aussi avant de commencer, c'est l'écrire plus simplement en enlevant les fois... inutiles, ça nous permet d'y voir plus clair. Donc ici le nombre qui multiplie la parenthèse, c'est 3N ». Par ailleurs, comme l'illustre l'exemple cité, en l'absence d'objet de discours portant sur l'aspect structural, le discours des enseignants tend majoritairement à se focaliser sur la présence ou l'absence d'un signe en particulier, les parenthèses, qui semble plus que la structure de l'expression algébrique donnée, motiver le développement de celle-ci, et ce, quelle que soit l'expression donnée au départ.

A l'issue des premiers résultats obtenus sur ces discours enseignants, un questionnaire posé à une centaine d'élèves de seconde<fnref n="2" /> avec les mêmes tâches que celles proposées aux enseignants a semblé confirmer l'influence des caractéristiques langagières des tâches retenues en termes de réussites et d'échecs d'élèves. Ainsi une grande majorité des élèves interrogés<fnref n="3" /> échoue dans le développement de l'expression « $3×n×(2–4n)$ ». Par ailleurs, la seule présence d'un facteur (nombre, ou monôme de degré 1, avec ou non omission du signe ×) « à gauche ou à droite » de la somme se traduit par des différentiels importants de réussite qui ont résonné avec l'effacement de l'aspect structural d'expressions algébriques dans le discours d'une majorité d'enseignants interrogés.

Ces résultats tant du côté des enseignants que des élèves, nous ont conduit à envisager ces caractéristiques langagières comme de possibles variables didactiques influençant potentiellement des manières de parler des enseignants et des élèves mais aussi « d'agir et de penser » le développement d'une expression algébrique. De surcroit, ces résultats nous ont inspiré de nouvelles caractéristiques sur lesquelles jouer pour permettre la co-construction de nouveaux genres de discours sur le calcul algébrique. Ainsi, le rôle problématique des parenthèses ou les difficultés apparues dans les réarrangements de produits au sein des discours des enseignant nous ont conduits à envisager de nouvelles tâches à proposer aux élèves.

### 3. Des caractéristiques permettant la conception de nouvelles tâches visant à co-construire de nouveaux objets de discours

Dans la continuité méthodologique de notre recherche, nous avons mené une expérimentation collaborative avec une enseignante.<fnref n="4" /> Nous avons proposé un ensemble de tâches à ses élèves de 3ᵉ, leur demandant de « réduire » un ensemble d'expressions données, dont certaines motivant potentiellement un développement. Si cette consigne liée à la réduction peut d'ailleurs

<footnote n="1">¹ à qui nous avions demandé de produire un discours correctif des différentes tâches de développement proposées « comme devant la classe</footnote>

<footnote n="2">² Ce questionnaire a été proposé amont de la reprise d'étude du calcul algébrique à ce niveau scolaire, ces élèves ne disposant donc que de leurs connaissances « anciennes » d'ex-collégiens en la matière.</footnote>

<footnote n="3">³ 47 % produisent des réponses erronées et 11% ne produisent pas de réponse.</footnote>

<footnote n="4">⁴ Qui n'est autre que celle dont le propos est assez longuement cité dans la section précédente.</footnote>
poser question au regard de son ambigüité potentielle signalée par Ferraton et Chaachoua (2013), elle nous a paru intéressante à retenir, d'une part au regard de sa proximité avec les pratiques ordinaires d'enseignement mais aussi parce qu'elle ouvrait à de nouvelles tâches que nous pensions propices à la co-construction de nouveaux discours sur le calcul algébrique dans la classe de mathématiques. Ainsi demander aux élèves de « réduire » des expressions algébriques « $7 \times (2+n)$ » mais aussi « $7 + (2+n)$ » ou « $7 \times (2 \times n)$ » a permis à l'enseignante et aux élèves de co-construire de nouveaux objets de discours plus proches de ceux visés. Par là-même, les interactions langagières observées font montre d'une secondarisation des genres de discours favorisant l'émergence de nouveaux modes d'agir-parler-penser pertinents pour le calcul algébrique. L'extrait de transcription d'un épisode de correction sur l'expression « $7 \times (2+n)$ » illustre cette dynamique de secondarisation des discours :

E : J'ai commencé par développer et après j'ai réduit.

P : oui. Pourquoi tu as développé ? Quelle information te permet de savoir que tu peux développer ?

E : parce que j'ai sept fois la parenthèse.

P : D'accord. Il suffit d'avoir sept fois la parenthèse ? c'est suffisant ? (...)

E : oui !

P : Et si j'ai ça : (Elle écrit « $7 \times (2 \times n)$ ») Sept fois, deux fois N. Est-ce que tu peux développer ?

E : oui oui.

P : tu développes aussi cette expression ?

E : oui ! sept fois deux et sept fois N (...)

Classe : non

P : Pourquoi ? Il y a un signe multiplié devant les parenthèses pourtant.

E2 : On peut réduire directement car il y a un signe multiplié.

P : on réduit comment ?

E2 : on fait la multiplication entre parenthèses puis fois 7

P : (...) Qu'est que qui te permet de savoir qu'on peut développer ? Ce n'est pas que le fois avec les parenthèses ? C'est quoi aussi ?

E : Il faut que je regarde le signe dans les parenthèses.

P : c'est-à-dire ?

E : le plus, c'est une somme.

P : oui ! il faut aussi avoir une somme. Donc ? Qu'est que qui te permet de savoir qu'on peut développer ?

E : une multiplication d'un nombre par une somme.

## CONCLUSION : DES CARACTÉRISTIQUES LANGAGIÈRES, « NOUVELLES » VARIABLES DIDACTIQUES ?

Initialement, nous nous sommes intéressés au rôle du langage pour l'enseignement et l'apprentissage du calcul algébrique, ce qui peut paraître assez éloigné d'une modélisation par des situations mathématiques à usage didactique dans une perspective d'ingénierie. Il nous semble néanmoins que certaines des caractéristiques langagières des tâches scolaires mises en exergue dans notre recherche peuvent être appréhendées comme des variables didactiques. D'une part, certaines de ces caractéristiques influencent des comportements d'élèves dans le domaine calcul algébrique, ces comportements faisant parfois écho à des éléments des discours tenus par les enseignants. D'autre part, certains de nos résultats de recherche nous ont permis
d'envisager de nouvelles conditions de diffusion des connaissances mathématiques visées : certaines des caractéristiques sur lesquelles nous avons joué dans la conception de nouvelles tâches ayant permis une secondarisation des genres de discours d'élèves et d'enseignants tenus sur le calcul algébrique. Ainsi, si notre projet de recherche comporte des « pas de côté » par rapport à l'ancrage initial de la notion de variable didactique en théorie des situations, du fait de l'absence de perspective d'ambition d'élaborations de situations mathématiques à usage didactique, il nous paraît néanmoins s'en rapprocher au final. En partant de l'ordinaire des pratiques d'enseignement, nous pensons avoir identifié des variables pertinentes pour l'apprentissage du calcul algébrique, permettant l'enrichissement de discours d'enseignants et d'élèves et l'émergence de nouveaux modes d'agir-parler-penser pertinents en algèbre. En cela, ces « nouvelles » variables, même si d'inspiration langagière, ne nous paraissent pas incompatibles avec le projet porté initialement par la théorie des situations didactiques.

## RÉFÉRENCES

* Barthès-Garnier C., Coulange L., Hache C (2022). Développer une expression numérique ou algébrique : quel(s) discours enseignant(s) ? *Repères* IREM, 128, 71-90.

* Brousseau G. (1997). *La théorie des situations didactiques*. Cours donné lors de l'attribution de Guy Brousseau du titre de Docteur d'Honoris Causa de l'Université de Montréal. cfem.asso.fr. https://publimath.fr/ibo97003

* Brousseau G. (1983a). Les objets de la didactique des mathématiques. Dans Rouchier A. (éd.), *Contributions à la seconde école d'été de didactique des mathématiques*, Olivet 5-17 juillet 1982. IREM d'Orléans. 10-60 https://publimath.fr/IWD83002

* Brousseau G. (1983b). D'un problème à l'étude a priori d'une situation didactique. In A. Rouchier (Éd.), *Actes de la Deuxième école d'été de didactique des mathématiques*, 5-17 juillet 1982, Olivet. IREM d'Orléans. 39-60. https://publimath.fr/IWD83012

* Drouhard JP. (1992). *Les écritures symboliques de l'algèbre élémentaire*. Thèse de doctorat, Université Paris Diderot (Paris 7). https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00925358/

* Drouhard JP., Panizza M. (2012). Hansel et Gretel et l'implicite sémio-linguistique en algèbre élémentaire. In L. Coulange, J.P. Drouhard, J.-P. (Éds.), *Enseignement de l'algèbre élémentaire. Bilan et perspectives. Numéro spécial hors-série, Revue Recherches en didactique des mathématiques*, 209-235.

* Ferraton D., Chachoua A. (2013). *Rapport institutionnel au calcul littéral au collège. État des lieux et perspectives*. IREM de l'Université Grenoble Alpes.

* Jaubert M., Rebière M. (2012). *Communautés discursives disciplinaires scolaires et construction de savoirs : l'hypothèse énonciative*. https://www.leseforum.ch/myUploadData/files/2012_3_Jaubert-Rebière_Bernier.pdf

* Rebière M. (2013). S'intéresser au langage dans l'enseignement des Mathématiques, pour quoi faire ? In Bronner A. (Éd.) *Questions vives en didactique des mathématiques : problèmes de la profession d'enseignant, rôle du langage, vol.1*, 219-232. La pensée sauvage.

* Serfati M. (1998). Descartes et la constitution de l'écriture symbolique mathématique. *Revue d'histoire des sciences, tome 51*, 2-3, 237-290.

* Sfard A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions : Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. *Educational Studies in Mathematics*, 22, 1-36.
MANIPULATION D'UN DUO D'ARTEFACTS TANGIBLE ET NUMÉRIQUE DANS UNE
SITUATION DIDACTIQUE : DÉCOUVERTE DE LA DISTRIBUTIVITÉ EN 4°

BIRCKEL-LESPETS<fnref n="1" /> Elsa, DELCROIX<fnref n="2" /> Antoine, AILINCAI<fnref n="3" /> Rodica

**Résumé** – Cette communication orale présente une recherche-action menée en Polynésie française sur l'impact de l'utilisation conjointe d'artefacts tangible et numérique dans l'introduction de la distributivité en classe de 4° (élèves de 13-14 ans). S'appuyant sur la Théorie des Situations Didactiques, l'Approche Instrumentale, la médiation sémiotique et la Cognition Incarnée, cette étude analyse comment ce duo d'artefacts influence et favorise les acquisitions et l'engagement des élèves.

**Mots-clés** : manipulation de matériel, duos d'artefacts, programmes de calcul, cognition incarnée, situation didactique.

**Abstract** – This oral communication presents an action-research study carried out in French Polynesia on the impact of the joint use of tangible and digital artifacts in the introduction of distributivity in the 4th grade (students aged 13–14). Drawing on the Theory of Didactic Situations, the Instrumental Approach, semiotic mediation and Embodied Cognition, this study analyzes how this duo of artifacts influences and promotes student's acquisitions and engagement.

**Keywords:** manipulatives, duo of artifacts, calculation programs, embodied cognition, didactic situation.

CONTEXTE ET MÉTHODOLOGIE

Cette recherche-action s'intéresse à la plus-value potentielle de l'utilisation d'artefacts
manipulables dans l'enseignement des mathématiques en classe de 4° (élèves de 13 à 14 ans).
Bien que cette approche soit recommandée (Villani & Torossian, 2018), elle reste encore peu
evaluée quant à son efficacité à ce niveau d'enseignement. L'objectif est d'analyser dans quelle
mesure sa mise en œuvre à travers une situation didactique visant l'apprentissage de savoirs
mathématiques favorise l'abstraction de notions mathématiques, et soutient l'engagement des
élèves dans un raisonnement structuré pour la résolution de problèmes.

Le projet a débuté par une étude de la portée (scoping review), permettant d'identifier les
recherches existantes sur l'usage des artefacts en didactique des mathématiques, ainsi que les
concepts et méthodologies d'analyse les plus pertinents. À partir de cette analyse, un duo
d'artefacts inédit a été conçu pour cette étude, constitué d'un support tangible et de sa réplique
numérique sur tablette tactile, aligné avec les exigences du programme du cycle 4, et portant
sur l'introduction de l'algèbre (MENESR, 2016).

L'expérimentation s'est déroulée dans des classes de 4e, à Tahiti et sur une île isolée de
l'archipel polynésien, au cours de trois à quatre séances filmées. Ces séances ont été complétées
par des entretiens avec les élèves et les enseignants, menés en octobre 2024 et janvier 2025.
L'analyse des données, qui se poursuit, porte sur l'observation fine des discours et des gestes
significatifs en classe, ainsi que sur les retours issus des entretiens.

ANCRAGE THÉORIQUE

Quatre cadres théoriques principaux soutiennent cette recherche.

La Théorie des Situations Didactiques (Brousseau, 1997) constitue le fondement du dispositif
expérimental, structuré autour des phases d'action, de formulation, de validation et

<footnote n="1">1 École doctorale du Pacifique – Unité de recherche EASTCO (UR 4241) – Université de la Polynésie française –
France - [elsa.birckel@doctorant.upf.pf](mailto:elsa.birckel@doctorant.upf.pf)</footnote>

<footnote n="2">2 Unité de recherche CRREF - Université des Antilles - France - [antoine.delcroix@univ-antilles.fr](mailto:antoine.delcroix@univ-antilles.fr)</footnote>

<footnote n="3">3 Unité de recherche EASTCO (UR 4241) – Université de la Polynésie française – France – [rodica.ailincai@upf.pf](mailto:rodica.ailincai@upf.pf)</footnote>
d'institutionnalisation. La situation didactique proposée aux élèves leur permet de s'approprier
le problème à résoudre, médiatisée de façon instrumentale par la manipulation de deux artefacts,
qui font partie intégrante du milieu des phases a-didactiques de cette situation.

L'Approche Instrumentale (Rabardel, 1995) sert de cadre pour analyser la prise en main et l'appropriation des deux artefacts par les élèves, et mesure l'impact qu'elle pourrait avoir sur la conceptualisation des savoirs visés, et leurs réutilisations dans la résolution de problème.

La médiation sémiotique a soutenu la conception de ces deux artefacts dans une perspective d'« outils de médiation sémiotique »: “any artifact will be referred to as tool of semiotic mediation as long as it is (or it is conceived to be) intentionally used by the teacher to mediate a mathematical content through a designed didactical intervention” (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008, p. 754). Ils forment ensemble un duo d'artefacts par leur complémentarité, leurs redondances et leurs antagonismes selon la définition de Soury-Lavergne (2017).

Enfin, l'approche incarnée et située de la cognition complète cet ancrage théorique : en considérant la cognition comme le processus d'acquisition de la connaissance, Varela et ses collègues soutiennent qu'elle « dépend des types d'expérience qui découlent du fait d'avoir un corps doté de diverses capacités sensori-motrices ; les capacités individuelles sensori-motrices de ce corps s'inscrivent elles-mêmes dans un contexte biologique, psychologique et culturel plus large. » (Varela et al., 1993, p. 234). C'est dans cette perspective de Cognition Incarnée que nous examinons comment l'interaction physique avec les artefacts et le corps qui se met en action durant l'activité facilitent la conceptualisation des savoirs mathématiques.

L'usage des artefacts tangibles en mathématiques demeure peu documenté au cycle 4, en particulier dans une perspective de Cognition Incarnée. La littérature existante permet néanmoins d'éclairer les notions qui méritent d'être approfondies dans cette étude et d'anticiper des pistes de discussion sur les résultats futurs (Artigue et al., 2013 ; Mariotti & Maracci, 2010).

## PRÉSENTATION DE NOTRE SITUATION DIDACTIQUE : DÉCOUVERTE DE LA DISTRIBUTIVITÉ PAR L'ÉQUIVALENCE DE DEUX PROGRAMMES DE CALCUL

L'expérimentation menée s'appuie sur une situation didactique visant à introduire la notion de la distributivité par l'équivalence de deux programmes de calcul. Sachant que les attendus de fin de 5° en mathématiques préconisent une première utilisation de la distributivité (MENJ, 2019), c'est seulement en 4° qu'est préconisée l'introduction de la lettre considérée comme une variable, entre autres dans cette règle de distributivité (MENJS, 2015, p. 104). L'objectif didactique est de confronter les élèves à la nécessité de prouver l'équivalence de deux programmes de calculs en utilisant une variable pour généraliser leurs résultats, et ainsi découvrir la règle de la distributivité généralisée avec des variables numériques.

L'artefact tangible (Figure 1) est constitué de plusieurs éléments amovibles qui assemblés entre eux représentent un programme de calcul : des jetons en bois carrés de deux couleurs différentes (orange et violet) représentant des nombres relatifs, ainsi que des jetons de couleur bois naturel représentant un nombre quelconque ; des récipients carrés pouvant recevoir ces jetons de nombres ; des cartes « étapes de calcul » agrémentés d'aimants, pouvant s'attacher aux récipients munis eux de petits bouts de métal, sur lesquelles on peut insérer une carte « opération » (« Ajouter +5 » ; « multiplier par 2 »...). Mis bout à bout, les récipients et les étapes de calculs portant une carte opération forment un programme de calcul avec lequel on fait circuler des nombres jetons de récipients en récipients.
L'artefact numérique (Figure 1) quant à lui fonctionne avec le logiciel de manipulation virtuelle Polypad d'Amplify<fnref n="1" /> (accès gratuit) sur tablette tactile. Les récipients, les étapes de calcul et les jetons de nombres ont un aspect visuel similaire à l'artefact tangible (redondances). A la différence de l'artefact tangible, on peut déposer toutes sortes de nombres dans le récipient de départ (fractions, nombres décimaux, ...), ensuite les étapes de calcul fonctionnent de manière automatique (antagonismes). Leur utilisation est complémentaire car on les utilise à des étapes différentes de l'activité. Ces deux artefacts forment donc bien un duo d'artefacts.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>**Figure 1** : Utilisation en classe du duo d'artefacts tangible et numérique représentants des programmes de calculs.</figcaption></figure>

Quatre phases structurent cette situation didactique au sens de Brousseau (1997). Dans un premier temps, la phase d'action : les élèves travaillent par binôme, ils reproduisent deux programmes de calculs avec l'artefact tangible (programme A : choisir un nombre, ajouter +5, multiplier par 2 ; programme B : choisir un nombre, doubler, ajouter +10). Ils doivent ensuite tester ces deux programmes de calculs en choisissant des nombres formés avec les jetons de bois (les mêmes nombres de départ pour les deux programmes), ici ce sont des petits nombres entiers relatifs. Puis ils testent ensuite ces deux programmes de calcul sur la tablette tactile, afin de plus varier le choix des nombres de départ (nombres décimaux, fractions, grands nombres...). La question qui leur est posée est : qu'observe-t-on et est-ce vrai pour n'importe quel nombre choisi au départ ? Cette phase d'action est un acte de dévolution car les élèves s'approprient le problème en cherchant, par des essais numériques choisis par eux-mêmes, des régularités dans ces deux programmes de calculs. Le duo d'artefacts est un élément essentiel du milieu permettant la dévolution de cette situation qui devient alors a-didactique.

Vient ensuite la phase de formulation qui les amène à énoncer la conjecture suivante : les deux programmes de calculs conduisent toujours aux mêmes résultats. D'abord énoncée au sein des binômes, elle est reprise de manière collective avant de revenir de nouveau à un travail par binôme à la phase suivante.

Lors de la phase de validation, les élèves ont pour consigne d'expliquer, en utilisant l'artefact tangible, pourquoi on obtient toujours les mêmes résultats, quel que soit le nombre choisi au départ (on rappelle identiques pour les deux programmes). L'enseignant étaye ce début de preuve en leur donnant en supplément un jeton beige qui représente n'importe quel nombre. Ils doivent ensuite approfondir leur explication en utilisant le langage mathématique. Afin de les

<footnote n="1">¹ https://polypad.amplify.com/</footnote>
accompagner dans la transition sémiotique entre les « signes-artefacts » et les « signes-
mathématiques », les élèves disposent de petits carrés plastifiés sur lesquels ils peuvent écrire
au feutre effaçable, qu'ils disposent au fond des récipients à la place des jetons en bois. Pour
finir, l'enseignant assure l'institutionnalisation du savoir en introduisant de manière formelle la
démarche de l'équivalence de ces deux programmes de calculs, puis en introduisant
explicitement la règle de la distributivité. C'est le moment de la trace écrite dans le cahier.

L'analyse *a priori* de cette situation didactique montre que les connaissances mathématiques visées sont atteintes : révision des calculs avec les nombres relatifs, revisités par la manipulation des artefacts tangibles ; initiation à la preuve dans la généralisation d'un phénomène observable ; introduction de la notion de variable pour accompagner cette preuve ; règle de la distributivité généralisée avec des variables numériques. On s'attend à ce que les élèves se contentent de quelques essais numériques pour valider leur conjecture, et à la difficulté de produire des expressions littérales lors du passage au symbolisme mathématique.
L'intervention de l'enseignant sera déterminante pour les aider à surmonter ces obstacles.

Les premiers résultats de l'analyse *a posteriori* des séances et des entretiens mettent en évidence
plusieurs éléments. L'un des obstacles majeurs rencontrés par les élèves réside effectivement
dans leur tendance à multiplier les exemples pour justifier une généralité. L'utilisation des
artefacts a néanmoins permis à beaucoup élèves de donner plus de sens à la notion de variable,
vue alors comme une nécessité pour généraliser une régularité.

Du point de vue de l'Approche Instrumentale et de la Cognition Incarnée, l'analyse des gestes
accompagnée des discours au sein des binômes révèle une prise en main des artefacts dans le
but de résoudre le problème posé. Ainsi, beaucoup d'élèves semblent aidés dans la
conceptualisation de la distributivité médiatisée par ce duo d'artefacts, mais aussi à travers le
corps mis en action et les interactions sociales durant les activités. Néanmoins, tous les élèves
ne tirent pas nécessairement profit de ces artefacts de la même manière : certains préfèrent
l'utiliser à d'autres fins (jeu), ou d'autres préfèrent aborder dès le début des activités les
concepts de manière abstraite.

Ces premiers résultats suggèrent des perspectives prometteuses pour l'intégration d'artefacts
tangibles et numériques dans l'enseignement des mathématiques au cycle 4, et ouvrent la voie
à une réflexion plus approfondie sur leur rôle dans les processus d'apprentissage.

RÉFÉRENCES

Artigue, M., Cazes, C., Haspekian, M., Khanfour-Armale, R., & Lagrange, J. B. (2013). Gestes, cognition incarnée et artefacts : Une analyse bibliographique pour une nouvelle dimension dans les travaux didactiques au LDAR. *Cahiers du laboratoire de didactique André Revuz*, 8.

Bartolini Bussi, M. G., & Mariotti, M. A. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom. Dans L. D. English (dir.), *Handbook of International Research in Mathematics Education* (p. 746-783). Routledge. https://doi.org/10.4324/9780203930236.ch28

Brousseau, G. (1997). *La théorie des situations didactiques Le cours de Montréal 1997*. http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2011/06/MONTREAL-archives-GB1.pdf

Mariotti, M. A., & Maracci, M. (2010). Un artefact comme outils de médiation sémiotique : Une ressource pour l'enseignant. In *Ressources vives. Le travail documentaire des professeurs en mathématiques* (p. 91-110). Presses Universitaires de Rennes et INRP. https://usiena-air.unisi.it/handle/11365/14031

MENESR (2016). *Utiliser le calcul littéral, Mathématiques, Nombres et calculs, cycle 4*. https://eduscol.education.fr/document/17263/download
MENJ (2019). *Attendus de fin d'année, mathématiques, 5°. (n° Annexe 14)*. https://eduscol.education.fr/document/14044/download

MENJS (2015). *Programme d'enseignement du cycle des approfondissements (cycle 4) (n° B.O.)*. n°11). https://cache.media.education.gouv.fr/file/MEN_SPE_11/76/0/Programme_cycle_4_pour_B.O._1424760.pdf

Rabardel, P. (1995). Qu'est-ce qu'un instrument ? Appropriation, conceptualisation, mises en situation. *Les dossiers de l'Ingénierie éducative*, 19, 6165.

Soury-Lavergne, S. (2017). *Duos d'artefacts tangibles et numériques et objets connectés pour apprendre et faire apprendre les mathématiques* [Mémoire d'HDR, École Normale Supérieure de Lyon ; Institut Français de l'Éducation]. https://hal.science/tel-01610658/

Varela, F., Thompson, E., & Rosch, E. (1993). *L'inscription corporelle de l'esprit : Sciences cognitives et expérience humaine* (Points).

Villani, C., & Torossian, C. (2018). *21 mesures pour l'enseignement des mathématiques* [Ministère de l'Éducation Nationale et de la Jeunesse]. https://www.education.gouv.fr/media/11072/download
# LA NOTION DE MILIEU EN DIDACTIQUE DE LA MUSIQUE ET SES VARIATIONS EN TSD, TACD ET TAD

BOURG Adrien<fnref n="1" />, GUILLOT Gérald<fnref n="2" />, LE PAVEN JARNO Maël<fnref n="3" />

**Résumé** – L’enjeu de cette contribution est de montrer la portée de la notion de *milieu* telle qu’elle est utilisée dans des travaux en didactique de la musique. Nous illustrons sa pertinence à partir de son opérationnalisation dans trois cadres théoriques différents : la Théorie des situations didactiques (Adrien Bourg), la Théorie de l’action conjointe en didactique (Maël Le Paven Jarno), et enfin la Théorie anthropologique du didactique (Gérald Guillot).

**Mots-clés** : didactique de la musique, savoirs musicaux, milieu didactique, milieu a-didactique, situation didactique

## INTRODUCTION

Cette contribution vise à illustrer la pertinence et les possibilités de fonctionnement de la notion de *milieu* en didactique de la musique. Elle s’appuie sur les différentes (re)conceptualisations de la notion : d’un milieu comme système antagoniste (TSD), à un milieu comme contexte cognitif de l’action (TACD), à un milieu institutionnel (TAD). Il s’agit de témoigner et de discuter, à partir de chacun de ces cadres, de ses qualités heuristiques pour le domaine de la didactique de la musique.

## UN MILIEU ANTAGONISTE EN THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

### Introduction

Cette première étude interroge, dans le cadre d’un enseignement de Formation Musicale en conservatoire, le modèle d’un milieu antagoniste tel que le définit Guy Brousseau dans la théorie des situations à usage didactique (Brousseau, 1972 ; Salin, 2002). Ce modèle pose le problème de la construction de situations adidactiques à des fins de production de savoirs. Dans le cadre d’une ingénierie didactique, nous montrons comment les rétroactions du milieu (*milieu-son*) sont conçues afin que les procédures spontanées des élèves relativement à une tâche de transposition tonale ne puissent pas fonctionner, au profit de procédures plus opérationnelles qui les oblige à construire des éléments de savoirs se rapportant à ce qu’on appelle communément le « système tonal ».

### Cadrage théorique

Dans la théorie des situations à usage didactique, l’élève apprend en s’adaptant à un milieu, ce dernier étant défini par Guy Brousseau comme un système antagoniste du sujet. L’étude a pour but de montrer des éléments d’une analyse *a priori* où il s’agit de transformer le savoir en problèmes, de déterminer des milieux et situations qui permettent de faire fonctionner le savoir

<footnote n="1">¹ Institut de Recherche en Musicologie (IReMus – UMR 8223), Sorbonne Université – France –
adrien.bourg@sorbonne-universite.fr</footnote>

<footnote n="2">² Laboratoire des arts (ARTES – UR 24141), Université Bordeaux Montaigne – France – gerald.guillot@ubordeaux-montaigne.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Centre de Recherche sur l'Education, les Apprentissages et la Didactique (CREAD – EA 3875), Université de Bretagne Occidentale – France – mael.lepavenjarno@univ-brest.fr</footnote>
visé comme connaissance. Les situations (action, formulation, validation, institutionnalisation) reposent sur une tâche de transposition tonale : il s'agit de noter, à l'écrit, la même mélodie, plus haut ou plus bas, en préservant les structures d'intervalles des mélodies fondées sur l'échelle diatonique. La tâche proposée aux élèves fait suite à une situation initiale où ils doivent jouer ensemble, à l'instrument (après un déchiffrage vocal) et à l'unisson, un fragment musical. La présence d'instruments transpositeurs au sein de la classe, une clarinette en *sib* et un saxophone alto en *mib*, empêche une réalisation sonore instantanée de la pièce musicale. Les élèves sont alors confrontés à un problème de transposition tonale qu'ils doivent résoudre. Le milieu (dans la situation d'action) est lié à la rétroaction sonore que l'élève reçoit de sa production écrite en écoutant l'exécution simultanée au piano et à l'instrument transpositeur de la ligne mélodique, exécution qui ne doit pas sortir de l'unisson.

## Méthodologie

La recherche s'inscrit dans le paradigme de l'ingénierie didactique. Elle repose sur une méthodologie basée sur un schéma expérimental qui confronte analyse *a priori* et analyse *a posteriori*, à partir d'une expérimentation des situations menées sur le terrain (classe de Formation Musicale, 4e année, cycle 1). Le corpus comprend les productions écrites individuelles des élèves (n=12) lors des situations d'action et les productions écrites collectives de quatre groupes d'élèves (n=4) réalisées lors des situations de formulation.

## Résultats

Les analyses permettent de décrire les procédures que peuvent mobiliser des élèves — procédures qui traduisent certaines de leurs conceptions du « système tonal » — et comment les rétroactions sonores agissent comme milieu et comme principe de validation de la connaissance engagée par l'élève. Nous montrons comment la tâche, telle qu'elle a été aménagée (variables didactiques : tonalité initiale, intervalle de transposition, notes conjointes ou disjointes de la ligne mélodique...) à travers les différentes situations, oblige les élèves à penser les rapports d'intervalles au sein d'une échelle (l'échelle diatonique), et contribue ainsi à la construction d'éléments du système tonal et à celui de ton (et de tonalité) en particulier.

## Discussion

Dans les situations aménagées, les rétroactions s'effectuent par la perception sonore, ce qui constitue une priorité dans toute éducation musicale. Si nous précisons cet aspect, c'est que la rétroaction (nous prenons ici un exemple) dans la situation d'agrandissement d'un puzzle de Brousseau est de l'ordre de la perception visuelle (les pièces s'assemblent ou non) ; elle est plutôt donc éloignée des savoirs mathématiques visés, ce qui implique d'amener les élèves dans un second temps à passer d'un argument perceptif à un argument formalisé (par la symbolique numérique et par les opérations mathématiques). La rétroaction sonore que nous proposons s'inscrit en revanche entièrement dans les enjeux de la discipline et est partie prenante du savoir en construction. Dans notre expérimentation, elle permet au sujet de construire une image sonore de ce qu'il écrit ou du moins de travailler sur la mise en rapport du codage graphique et du phénomène sonore, alors que beaucoup d'activités pédagogiques qui relèvent d'un travail d'écriture non seulement ne travaillent pas sur cette mise en relation, mais peuvent tout à fait permettre au sujet de l'ignorer.

Nous discutons comment l'élaboration d'une représentation de la connaissance en jeu pour les élèves intègre des savoirs qui ne sont pas seulement d'ordre logique, mais qui sont issus d'expériences sensorielles, motrices et affectives. En effet, même sur le plan perceptif les élèves
ne perçoivent pas seulement des distances entre hauteurs, des intervalles successifs, mais plutôt une hiérarchie tonale qui s'inscrit dans une temporalité et un vécu affectif. Ces spécificités participent de certaines limites du modèle : la difficulté d'accès aux expériences de perception et à leur évocation ont pour conséquence, dans le cadre de la situation de formulation, puis dans celle de validation, que les élèves privilégient des procédures énonçables et partageables, ce qui limite une assise (dans la construction des connaissances) sur la pluralité des registres d'intégration du musical.

# DES MILIEUX EN THÉORIE DE L'ACTION CONJOINTE EN DIDACTIQUE

## Introduction

Cette seconde étude présente une analyse sur les ajustements en jeu dans l'apprentissage de la trompette au sein du dispositif DEMOS (Dispositif d'Education Musicale et Orchestrale à vocation Sociale). Nous interrogeons ces dynamiques d'ajustement au prisme des concepts de milieu-soi, milieu-corps et milieu-son (Le Paven et Nillès, 2021, suite à Batézat-Batellier, 2017), dans le cadre d'un programme de recherche en théorie de l'action conjointe en didactique (TACD) sur les ajustements dans l'action conjointe (Le Paven Jarno, 2023). L'exemple de l'usage métaphorique du service-cuiller en tennis par une professeure de trompette, sert ici de point d'ancrage pour analyser comment ces ajustements participent de la (re) structuration du milieu.

## Cadrage théorique

L'analyse prolonge en TACD le travail de Guy Brousseau sur le concept de milieu en s'intéressant aux ajustements successifs entre ce que le milieu offre aux élèves et la manière dont ils l'abordent pour travailler un problème (en écho au contrat). Nous situons cette *dialectique contrat-milieu* (Sensevy, 2011) au cœur des transactions entre professeur, élèves et savoirs. Dans les pratiques corporelles, l'ajustement à l'autre dans le savoir (ibid.) s'opère à travers et sur le corps, considéré comme source et moyen d'exploration de nouveaux *possibles* et nécessaires pour (trans) agir (ibid.). Ainsi, dans les pratiques musicales, ajuster son souffle sur un instrument à vent engage un rapport au milieu-son, source d'exploration médiée par le milieu-corps exploré comme milieu-soi (Batézat-Batellier, 2017), dont la mise en jeu est requestionnée et réajustée par l'élève dans l'action conjointe avec le professeur. Celui-ci peut, par exemple, ajuster sa gestuelle pour sémiotiser le milieu (CDpE, 2019) dans sa dialectique avec le contrat, soutenant ainsi l'apprentissage et l'enseignement dans un jeu d'imitation (ibid.) illustré par l'exemple ci-dessous.

## Méthodologie

L'étude repose sur l'observation d'une séance de trompette où une professeure de musique mobilise la métaphore du service-cuiller en travaillant le mime de ce geste typique de la pratique du tennis, à travers un jeu d'imitation qui se réajuste dans l'action conjointe avec ses élèves. Les données recueillies comprennent des enregistrements vidéo de la séance et des entretiens semi-directifs avec les enseignants et les élèves. L'analyse porte sur les ajustements opérés dans l'action conjointe, touchant aux manières de faire signe des éléments à prendre en compte dans le milieu, ainsi que de la manière de les prendre en compte, selon différentes dimensions (sonores, sensorielles, motrices) en jeu dans sa restructuration.
## Résultats

Les résultats s'intéresseront plus particulièrement aux ajustements par lesquels la professeure réoriente l'enquête des élèves dans le milieu (milieu-corps, milieu-soi, milieu-son) tout en l'ajustant de manière à les faire passer d'une imitation réplicative « en surface » du mime mis à l'étude à une imitation créatrice (CDpE, 2019), par laquelle les élèves intègrent les conditions d'appropriation des savoirs en jeu dans la situation : intégration du geste de « service » à la modulation du souffle pour produire la phrase musicale travaillée en respectant le rythme et les hauteurs des notes à jouer.

## Discussion

Ces résultats montrent comment une métaphore corporelle agit sur la restructuration d'un milieu pourvoyeur de nouveaux éléments pour progresser dans la pratique. L'exemple présenté illustre une forme de transposition où un geste technique (ici, sportif) reconfigure les interactions élève-instrument-son dans l'action conjointe avec leur professeure. Cette analyse s'inscrit dans le mouvement actionnel des recherches en didactique qui, selon Amade-Escot (2019), explorent les liens évolutifs entre dimensions épistémiques (savoirs en jeu) et transactionnelles (stratégies de transmission-appropriation) des interactions didactiques, prolongeant ainsi l'héritage des travaux de Guy Brousseau sur les dynamiques d'enseignement-apprentissage à l'œuvre dans les situations.

# MILIEU DIDACTIQUE ET THÉORIE ANTHROPOLOGIQUE DU DIDACTIQUE

## Introduction

Brousseau (1988) précise que la définition donnée par Chevallard du milieu didactique ne contredit pas la sienne mais « tend à en préciser le fondement anthropologique » (p. 321) en posant que des « sous-systèmes d'objets [institutionnels] vont assumer, pour les acteurs de l'institution, une fonction de MILIEU, celui-ci apparaissant doué d'une objectivité échappant au contrôle et à l'intentionnalité de l'institution » (Chevallard, 1989, p. 5).

Cette troisième étude propose une synthèse croisée des résultats de travaux en lien avec le milieu didactique, selon une perspective intra et interculturelle, dans une articulation avec quelques concepts issus de la Théorie anthropologique du didactique et l'approche anthropo-didactique adoptée par Clanché et Sarrazy (2002).

## Cadrage théorique

Selon Sensevy (2011), l'arrière-plan (Searle, 1982 inspiré de Wittgenstein) d'une situation didactique permet d'en « produire une description pertinente (dans un projet donné, pour une communauté donnée) » (p. 20). Véritable système didactique, une institution constitue une communauté spécifique organisée sous la forme d'un univers culturel (Chevallard, 1988). Un domaine de réalité institutionnel peut donc être considéré comme un domaine de réalité culturel (Chevallard, 1988), dans lequel se forment des arrière-plans spécifiques. Basé sur l'idée que « l'agencement du milieu didactique et les régulations dont il fait l'objet sont des outils d'analyse pertinents pour saisir la dynamique évolutive du système didactique » (Amade-Escot et al., 2002, p. 89), ce travail interroge l'influence croisée du domaine de réalité institutionnel et du différentiel entre les arrière-plans culturels respectifs des enseignants et des apprenants sur trois types de processus didactiques : la forme de transposition didactique interne opérée par l'enseignant, les régulations didactiques à l'œuvre et l'aménagement du milieu didactique.
## Méthodologie

La présente étude consiste en l'articulation et l'enrichissement de résultats produits par trois études en lien avec l'enseignement des musiques afro-brésiliennes dans trois institutions différentes, au Brésil et en France. La première concerne une double étude de cas à caractère ethnodidactique de transmission musicale informelle au sein d'une école de samba de Rio de Janeiro ayant fait l'objet d'un travail ethnographique en 2002. La deuxième a fait l'objet d'une double étude de cas par observation et entretien portant sur l'enseignement-apprentissage formel de musiques afro-brésiliennes en collège français par des professeurs d'éducation musicale. Enfin, la troisième est une expérimentation menée dans une école de musiques actuelles où des enseignants acculturés à la musique afro-brésilienne avaient pour tâche d'enseigner le « swing brésilien » à des élèves batteurs, et cela dans le temps d'un cours de type maître-élève au format « conservatoire ».

## Résultats

Chaque type de situation didactique est analysé au travers de quatre variables : le type d'institution (ou domaine de réalité institutionnel), les types et niveaux d'expertise propres à l'enseignant et à l'apprenant, le degré de similarité entre leurs arrière-plans respectifs et la variabilité dans l'agencement du milieu didactique opéré par l'enseignant. Ils sont mis en perspective par l'intermédiaire d'un tableau :

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>**Tableau 1** – Synthèse comparative de variables choisies en lien avec chaque type de situation didactique et leur influence combinée sur la variabilité dans l'agencement du milieu didactique.</figcaption></figure>

## Discussion

La variabilité dans l'agencement du milieu didactique dépend à la fois du degré d'expertise de l'élève en relation avec les savoirs en jeu, mais également du différentiel entre les arrière-plans de l'enseignant et de l'apprenant. Sur ce dernier aspect émerge un résultat plus spécifique : une grande différence entre les arrière-plans de l'enseignant et de l'apprenant induit une grande variabilité dans l'agencement du milieu didactique.
## CONCLUSION

Les études présentées témoignent des différents usages de la notion de milieu. Ils dépendent des cadres théoriques mobilisés, notamment des modélisations qui lient sujet et objets. Elles témoignent également de la dimension générique et transversale de la notion lorsqu'on souhaite la mettre à l'épreuve de situations d'enseignement-apprentissage de la musique. Dans les exemples étudiés, nous mettons cependant en relief la spécificité des savoirs musicaux au sein des processus didactiques. La démarche nous permet en effet d'engager une discussion sur certaines limites de la notion, ou encore de participer à certaines de ses spécifications par l'intégration des dimensions sonores, corporelles, sensorielles ou affectives, tout en prenant en charge le poids des formes d'enculturation musicale.

## RÉFÉRENCES

* Amade-Escot, C. (2019). Épistémologies pratiques et action didactique conjointe du professeur et des élèves. *Éducation & didactique*, **13**(1), 109-114.

* Amade-Escot, C., Verscheure, I., & Devos, O. (2002). « Milieu didactique » et « régulations » comme outils d'analyse de l'activité du professeur en éducation physique. *Les dossiers des sciences de l'éducation*, **8**, 87-97

* Batézat-Batellier, P. (2017). *Analyse des pratiques effectives de l'enseignement apprentissage d'un instrument de musique à l'école : entre individuel et collectif* [Thèse de doctorat]. Université de Bretagne Occidentale & Université de Genève.

* Brousseau, G. (1972). Processus de mathématisation. *Bulletin de l'A.P.M.E.P.*, 428-457.

* Brousseau, G. (1988). Le contrat didactique : le milieu. *Recherches en Didactique des mathématiques*, **9**(3), 309-336.

* Clanché, P., & Sarrazy, B. (2002). Approche anthropo-didactique de l'enseignement d'une structure additive dans un cours préparatoire kanak. *Recherches en didactique des mathématiques*, **22**(1), 7-29.

* Chevallard, Y. (1988). Esquisse d'une théorie formelle du didactique. In C. Laborde (Éd.), *Actes du Premier colloque franco-allemand de didactique des mathématiques et de l'informatique* (p. 97-106). La Pensée sauvage.

* Chevallard, Y. (1989). *Le concept de rapport au savoir : rapport personnel, rapport institutionnel, rapport officiel*. Document interne IREM Aix-Marseille : Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques.

* Collectif Didactique pour Enseigner (2019). *Didactique pour enseigner*. Presses universitaires de Rennes.

* Le Paven Jarno, M. (2023). *Vers une didactique des ajustements dans l'action conjointe. Contribution d'un parcours de recherche en théorie de l'action conjointe en didactique sur les pratiques corporelles, sportives et artistiques* [Note de Synthèse en vue de l'obtention de l'Habilitation à Diriger des Recherches]. Université de Bretagne Occidentale.

* Le Paven, M., & Nillès, M. (2021). Le corps au cœur de la sémiose dans l'action didactique conjointe. Illustration en éducation musicale à l'École Primaire au sein du dispositif DEMOS. *Recherches en Education*, **43**, 29-45. https://journals.openedition.org/ree/3187

* Salin, M.-H. (2002). Repères sur l'évolution du concept de milieu en théorie des situations. In J.-L. Dorier, M. Artaud, M. Artigue, R. Berthelot et R. Floris (Éds.), *Actes de la 11e École d'été de Didactique des mathématiques* (p. 111-124). La Pensée Sauvage.

* Sensevy, G. (2011). *Le sens du savoir. Éléments pour une théorie de l'action conjointe en didactique*. De Boeck.
# SITUATION GÉOMÉTRIQUE ET MÉDIATION SÉMIOTIQUE

BULF<fnref n="1" /> Caroline, CELI<fnref n="2" /> Valentina, GACHASSIN<fnref n="3" /> Jean-Marc

**Résumé** – En nous appuyant sur une situation géométrique dite de restauration de figures, nous montrons ici comment nous exploitons des outils théoriques issus de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) dans un ancrage théorique vygotskien afin de concevoir des situations mathématiques à usage didactique, puis de comprendre les phénomènes observés lors de leur mise en œuvre en classe.

**Mots-clés** : situation, géométrie, langage, médiation.

Notre communication, qui s'inscrit dans la thématique 2 du colloque, a comme objectif de de montrer comment nous articulons des outils théoriques issus de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) avec des aspects liés au langage et à la médiation sémiotique, dans le but de concevoir des situations mathématiques à usage didactique, puis de comprendre les phénomènes observés lors de leur mise en œuvre en classe.

# PROBLÉMATIQUE GÉNÉRALE ATTACHÉE À L'ENSEIGNEMENT ET L'APPRENTISSAGE DE LA GÉOMÉTRIE À L'ÉCOLE OBLIGATOIRE

Depuis les années 1990, de nombreux travaux ont décrit différentes géométries qui coexistent à l'école obligatoire, dont découlent des contrats didactiques (Brousseau, 1998) différents pouvant générer des malentendus ou difficultés scolaires (Berthelot & Salin, 1992 ; Houdement & Kuzniak, 2006 ; Perrin-Glorian, 2024). D'après Perrin-Glorian (ibid.), on peut distinguer la « géométrie physique » de la « géométrie théorique » car ces deux géométries recouvrent deux pratiques aux fondements épistémologiques et modes de validation profondément différents :

- la géométrie physique concerne des problèmes pratiques portant sur des objets de l'espace sensible ; la validation repose sur un contrôle dont l'approximation est parfois subjective ;

- la géométrie théorique concerne plutôt des problèmes mettant en jeu des objets théoriques, idéaux ; la validation s'appuie sur un raisonnement hypothétique-déductif.

Ces deux manières de penser la géométrie entretiennent des liens étroits à travers ce que Perrin-Glorian (ibid.) nomme la « géométrie de tracés » dans laquelle la reproduction instrumentée de figures géométriques peut contribuer à la conceptualisation des objets de la géométrie dans un développement mutuel entre techniques de construction avec un usage raisonné des instruments (basé sur les propriétés géométriques qu'ils transportent, sans le recours à la mesure) et concepts géométriques théoriques.

Le « groupe de Lille », fondé autour de Marc Godin, Raymond Duval et Marie-Jeanne Perrin-Glorian il y a près de 30 ans, a défini les caractéristiques d'une classe de situations d'enseignement à partir de l'hypothèse fondamentale selon laquelle les appréhensions perceptives et opératoires des dessins en termes de surfaces, lignes, points et les relations entre ces unités figurales (Duval, 2005) dépendent des instruments mis à disposition et réciproquement. Cette classe de situations correspond dans la TSD à la situation fondamentale de la géométrie des tracés car elle est caractérisée selon un problème et ses règles du jeu, un

<footnote n="1">¹ LaB-E3D (Laboratoire Épistémologie et Didactiques des Disciplines) – EA 7441, Université de Bordeaux, IREM d'Aquitaine – France – caroline.bulf@u-bordeaux.fr</footnote>

<footnote n="2">² LaB-E3D (Laboratoire Épistémologie et Didactiques des Disciplines) – EA 7441, Université de Bordeaux, IREM d'Aquitaine – France – valentina.celi@u-bordeaux.fr</footnote>

<footnote n="3">³ IREM d'Aquitaine – Jean-Marc.Gachassin@ac-bordeaux.fr</footnote>
milieu et ses variables didactiques, et permet « d'engendrer toutes les situations à usage didactique de cette géométrie » (Perrin-Glorian, *ibid.*, p. 13). Le groupe de Lille s'est intéressé plus particulièrement aux situations dites de « restauration » (Duval et al., 2004; Mathé et al., 2020) dont les variables didactiques sont :

- le dessin-modèle et ses propriétés caractéristiques ;

- l'amorce (partie de la figure-modèle à partir de laquelle l'élève doit « restaurer » la figure) ;

- les tailles du dessin-modèle et de l'amorce ;

- la position relative du dessin-modèle par rapport à l'amorce et par rapport aux bords de la feuille ;

- des jeux potentiels de couleurs (facilitant une vision par juxtaposition ou superposition) ;

- le support (feuille blanche, quadrillée, *etc*.);

- les contraintes sur les instruments.

Toute situation de reproduction a donc un potentiel susceptible de faire émerger des connaissances propres à la géométrie des tracés qui sont généralement peu prises en charge par l'enseignement obligatoire alors qu'elles sont consubstantielles de toute construction de signification géométrique. Nous en formulons quelques-unes :

« - Un segment est porté par une droite. Une droite peut se prolonger autant que l'on veut de chaque côté : dès qu'on en connaît un segment, on la connaît tout entière.

- Il faut deux points pour définir une droite.

- Un point s'obtient par l'intersection de deux lignes. » (Perrin-Glorian, 2024, p. 15)

Notre communication a pour objectif de revenir sur des éléments d'analyse relatifs à la conception et au déploiement d'une situation de restauration dite de la « rosace à quatre branches » (Bulf & Celi, 2016) en articulant des outils théoriques de la TSD, des sciences du langage (Bernié, 2002; Jaubert & Rebière, 2021) et un point de vue sémiotique (Duval, 1995; Vygotski, 1934). En effet, notre approche théorique se caractérise en ce qu'elle accorde au langage, comme une activité humaine dialogique située, un rôle tout aussi important que celui des contraintes portées sur la situation, dans le processus de construction de signification géométrique chez les élèves.

## ÉLÉMENTS D'ANALYSE A PRIORI POUR PENSER UNE ÉVOLUTION DU REGARD

« La géométrie ne consiste pas à décrire ce qu'on voit mais à établir ce qui « doit » être vu » (Brousseau, 2000, p. 9). En nous intéressant à l'évolution des problèmes de reproduction de figures planes dans des manuels scolaires français de cycle 3 (8-11 ans) sur une période de 30 ans (entre les années 1980 et 2010), nous constations qu'un dessin revenait de façon récurrente quel que soit le niveau scolaire : la rosace à quatre branches (Figure 1).

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>**Figure 1a et b –** Différentes façons de « voir » la rosace à quatre branches.</figcaption></figure>

D'après les travaux de Duval et Godin (2005), nous pouvons reconnaître ce dessin comme un assemblage par superposition ou par juxtaposition. Dans une perspective de reproduction instrumentée (compas et une règle non graduée), la perception par juxtaposition n'est pas