Sur la nature des fonctions à carré sommable
et des ensembles mesurables.

Par

A. Besikovitch (Petrograde).

§ 1. Au cours de ses recherches sur les conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence presque partout des séries de Fourier-Lebesgue, M. Lusin avait obtenu le théorème suivant:

Quelle que soit une fonction $f(x)$ à carré sommable qu'on suppose
définie aux points de l'intervalle $(0, 1)$ et nulle ailleurs <fnref n="1" />), l'intégrale

$$
q(x) = \int_{0}^{1} \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha
$$

considérée comme $\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1$, est finie presque partout dans (0, 1) et représente une fonction de x à carré sommable.

La démonstration de M. Lusin fait appel aux méthodes des
variables complexes et au théorème de Riesz-Fischer.

Le théorème en question permet de pénétrer très profondemment
dans la nature des fonctions à carré sommable, d'ailleurs l'impor-
tance de ce théorème s'accroit, si l'on remarque qu'il existe bien de
fonctions $f$, telles que l'intégrale (prise au sens de M. Lebesgue)

$$
\int_0^1 \left| \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} \right| d\alpha
$$

est infinie aux points d'un ensemble de mesure non nulle. Ainsi
l'existence de l'intégrale

<footnote n="1">1) Pour déterminer $q(x)$ dans l'intervalle $(0, 1)$, il faut connaître $f(x)$ pour $-1 < x < 2$.</footnote>
$$ \int_0^1 \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} da $$

ne résulte nullement de la petitesse en valeur absolue de l'expression sous le signe $f$, c'est à une certaine interférence des valeurs positives et négatives, que présente l'expression

$$ \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} $$

au voisinage du point $\alpha = 0$, que cette existence est due.

Si l'on fait $f(x) = 1$ quand $x$ appartient à un certain ensemble mesurable $E$, en convenant de poser $f = 0$ ailleurs, le théorème de M Lusin exprime une propriété géométrique remarquable des ensembles mesurables.

Je trouve, dans le présent article, une limite supérieure pour l'intégrale $\int_0^1 [q(x)]^2 dx$, et je donne une démonstration du théorème cité, en me servant d'une méthode des variables réelles qui permet de voir quelles sont les propriétés des fonctions et des ensembles desquelles résulte le théorème en question.

§ 2. Lemme I. Soit $s_i = i - \frac{1}{2}, m_i \ge 0$ pour $i=1,2,...,n$; alors on aura

$$ (1) \qquad \sum_{l=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{s_i - l} \right)^2 < \pi^2 \sum_{i=1}^{n} m_i^2 $$

En effet, on a:

$$ \begin{aligned} \sum_{l=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{s_i - l} \right)^2 &= \sum_{l=1}^{n} \left[ \sum_{i=1}^{n} \frac{m_i^2}{(s_i - l)^2} + 2 \sum_{\substack{l \le i < j \le n \\ 1 \le j \le n}} \frac{m_i}{s_i - l} \cdot \frac{m_j}{s_j - l} \right] = \\ &= \sum_{i=1}^{n} m_i^2 \cdot \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(s_i - l)^2} + 2 \sum_{\substack{l \le i < j \le n \\ 1 \le j \le n}} m_i \cdot m_j \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(s_i - l)(s_j - l)}, \end{aligned} $$

mais

$$ \begin{aligned} \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(s_i - l)^2} &= \frac{1}{(l - \frac{1}{2})^2} + \frac{1}{(l - 1 - \frac{1}{2})^2} + \dots + \frac{1}{(\frac{3}{2})^2} + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \\ &\quad + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{1}{(\frac{3}{2})^2} + \dots + \frac{1}{(n - l - \frac{1}{2})^2} < \\ < 2 & \left[ \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{1}{(\frac{3}{2})^2} + \frac{1}{(\frac{5}{2})^2} + \dots \right] = 8 \left( \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\frac{5}{2}} + \dots \right) = \pi^2, \end{aligned} $$
par conséquent

$$ \sum_{i=1}^{n} m_i^2 \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(s_i - l)^2} < \pi^2 \sum_{i=1}^{n} m_i^2. $$

Ensuite

$$ \frac{1}{(l - s_i)(l - s_j)} + \frac{1}{s_i - s_j} \left( \frac{1}{l - s_i} - \frac{1}{l - s_j} \right), $$

$$ \begin{aligned} \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(l - s_i)(l - s_j)} &= \frac{1}{s_i - s_i} \left[ \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l - s_i} - \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l - s_j} \right] = \\ &= \frac{1}{s_i - s_j} \left[ \sum_{l=1}^{n-s_i} \frac{1}{l} - \sum_{n-s_j < l \le n-s_i} \frac{1}{l} \right] = \frac{1}{s_i - s_j} \left[ \sum_{l=n-s_j+1}^{n-s_i} \frac{1}{l} - \sum_{l=1-(n-s_j)-l \le n-s_i} \frac{1}{l} \right] = \\ &= \frac{1}{s_i - s_j} \left[ \sum_{l=n-s_j+1}^{n-s_i} \frac{1}{l} + \sum_{l=s_i}^{s_j-1} \frac{1}{l} \right] < 0, \\ 2 \sum_{1 \le i < j \le n} m_i m_j \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{(s_i - l)(s_j - l)} < 0, \end{aligned} $$

ce qui démontre le lemme.

Convenons d'appeler *moment* du segment (a — 1, b) l'expression

$$ \sum_{i=a}^{b} m_i^2; \text{ en posant} $$

$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{s_i - l} = \Phi(l) \quad \text{et} \quad \sum_{i=1}^{n} m_i^2 = n M^2, $$

le lemme démontré s'exprime par l'inégalité suivante:

$$ \sum_{i=1}^{n} [\Phi(l)]^2 < n \pi^2 M^2 $$

**Corollaire 1.** L'inégalité

$$ |\Phi(l)| > A $$

ne peut avoir lieu qu'en $\frac{n\pi^2 M^2}{A^2}$ points au plus.

§ 3. Supposons que $l$ puisse prendre toutes les valeurs entières positives de 1 à $n$, $m(l)$ prenant des valeurs entières positives dépendant d'une certaine façon de $n$. Posons:
$$ \Sigma' \frac{m_i}{s_i - p} = \Psi(p, l), \quad \Sigma'' \frac{m_i}{s_i - p} = \Omega(p, l), $$

où $p$ désigne un entier quelconque satisfaisant à la double inégalité

$$ l - m(l) < p < l + m(l), $$

la sommation $\Sigma'$ étant étendue aux valeurs de $i$ telles que

$$ l - m(l) < i \le l + m(l), $$

et la sommation $\Sigma''$ portant sur les autres valeurs de $i$; on a

$$ (2) \qquad \Phi(p) = \Psi(p, l) + \Omega(p, l). $$

On conviendra de prendre $m(l)$ tel que $|\Psi(l, l)|$ soit maximum.

### Lemme 2. Si $k > 516$, l'inégalité

$$ |\Psi(l, l)| > \pi Mk $$

ne peut être vérifiée que par un nombre inférieur à $nk^{-1}$ des valeurs de $l$.

Supposons remplies simultanément les inégalités suivantes:

$$ (3) \qquad \Psi(l, l) > \pi Mk \quad \text{et} \quad |\Phi(l)| < \frac{1}{2}\pi Mk $$

alors on aura:

$$ \Omega(l, l) < -\frac{1}{2}\pi Mk; $$

mais $\Omega(p, l)$ étant une fonction croissante en $p$, on a aussi

$$ (4) \qquad \Omega(p, l) < -\frac{1}{2}\pi Mk $$

avec $p < l$; d'où l'on tire, en vertu de l'égalité (2), que pour $l - m(l) < p < l$ on aura, soit

$$ (5) \qquad |\Phi(p)| > \frac{1}{4}\pi Mk, $$

soit

$$ (6) \qquad \Psi(p, l) > \frac{1}{4}\pi Mk. $$

A tout point $l$, donnant lieu aux inégalités (3), faisons correspondre l'intervalle $C(l)$: $(l-m(l), l+m(l))$; convenons de dire que les points de la suite 1, 2, 3, ..., $n$ appartenant (au sens étroit) à l'un au moins des intervalles $C(l)$, forment le système $C$.

Prenons parmis les intervalles $C(l)$ celui dont l'extrémité inférieure est le plus à la gauche; s'il y a plusieurs de tels intervalles, prenons parmis eux le plus petit; désignons cet intervalle par $D_1$.
S'il y a, parmis les intervalles restants, des intervalles dont les extrémités gauches sont sur $D_1$, prenons parmis ceux-là l'intervalle à l'étrémité gauche le plus à la droite; s'il y a plusieurs de tels intervalles, choisisons parmis eux le plus grand; l'intervalle qu'on vient de déterminer sera désigné par $D_2$. S'il n'y a pas d'intervalles ayant leurs extrémités gauches sur $D_1$, l'intervalle $D_2$ sera celui des intervalles situés à la droite de $D_1$, qui a son extrémité gauche le plus à la gauche, et s'il y en a plusieurs, ce sera le plus petit d'entre eux. En procédant de cette sorte on déterminera des intervalles $D_1, D_2, \dots$, recouvrant tous les points du système $C$. Il n'y a pas de points appartenants à la fois aux trois intervalles consécutifs $D_i, D_{i+1}, D_{i+2}$ quelconques. Le système formé d'intervalles

$$D_1, D_2, D_3, \dots$$

n'empiétants pas, sera désigné par $D'$; celui des intervalles

$$D_2, D_3, D_4, \dots$$

étant désigné par $D''$.

Partageons les intervalles $D'$ en deux groupes $A'$ et $B'$, et les intervalles $D''$ en deux groupes $A''$, $B''$ de la façon suivante: l'intervalle $D_i$ appartient au groupe $A$ ou $B$, suivant que l'inégalité (5) est vérifiée en un nombre de points de cet intervalle non inférieur à $\frac{m(l)}{2}$, ou bien en un nombre inférieur à cette quantité.

L'inégalité (5) ne pouvant être remplie, en vertu du corollaire 1, qu'en $16nk^{-2}$ points au plus, cette même inégalité étant vérifiée dans tout intervalle du groupe $A'$ en un nombre de ses points surpassant un quart du nombre de tous les points $c$ appartenants à cet intervalle, on voit que le groupe $A'$ ne peut contenir que $64nk^{-2}$ points au plus. Même remarque relative au groupe $A''$.

Dans tout intervalle $[l - m(l), l + m(l)]$ du groupe $B'$, l'inégalité (6) se trouve vérifiée en un nombre $\ge \frac{m(l)}{2}$ de points, parsuite le moment de cet intervalle ne peut être inférieur à

$$\frac{\frac{m(l)}{2} \cdot \frac{1}{16} \pi^2 M^2 k^2}{\pi^2} = \frac{m(l)}{32} M^2 k^2;$$

ainsi, le moment d'un intervalle appartenant au groupe $B'$ et de
longueur $2m(l)$ n'est pas inférieur à $\frac{m(l)}{32} M^2 k^2$; la somme des moments de tous les intervalles du groupe $B'$ ne peut évidemment surpasser le moment de l'intervalle $(0, n)$, qui vaut $n M^2$, par conséquent l'étendue de tous les intervalles du groupe $B'$, aussi bien que le nombre des points qu'ils recouvrent, ne surpassera pas $64 nk^{-2}$; remarque analogue relativement au groupe $B''$.

Ainsi, le système $C$ ne contient que $256 nk^{-2}$ points au plus; et il est évident, alors, que les inégalités (3) ne peuvent avoir lieu qu'en $256 nk^{-2}$ points au plus.

De même, les inégalités

$$ (7) \qquad \Psi(l, \ell) < -\pi Mk \quad \text{et} \quad |\Phi(l)| < \frac{1}{2} \pi Mk $$

n'auront lieu qu'en $256 nk^{-2}$ points tout au plus; les inégalités

$$ (8) \qquad |\Psi(l, \ell)| > \pi Mk, \quad |\Phi(l)| < \frac{1}{2}\pi Mk $$

ne seront satisfaites qu'en $512 nk^{-2}$ points au plus.

Ensuite, en vertu du corollaire 1, l'inégalité

$$ |\Phi(l)| \ge \frac{1}{2}\pi Mk $$

n'a lieu qu'en $4 nk^{-2}$ points au plus, d'où il résulte que le système d'inégalités

$$ |\Psi(l, \ell)| > \pi Mk \quad \text{et} \quad |\Phi(l)| \ge \frac{1}{2}\pi Mk $$

ne sera vérifié qu'en $4 nk^{-2}$ points au plus, et l'inégalité

$$ |\Psi(l, \ell)| > \pi Mk $$

n'aura lieu, à son tour, qu'en $516 nk^{-2} < nk^{-1}$ points au plus, ce qui achève la démonstration du lemme.

Remarque. si $m_i = m_{i+1} = \dots = m_{k-1} = 0$, la somme $\Phi(p)$ est comprise entre les limites

$$ \Phi(k) \le \Phi(p) \le \Phi(i), $$

quelle que soit la valeur réelle de $p$ dans l'intervalle $(i, k)$; dans ces mêmes conditions la fonction $|\Psi(p, p)|$ ne saura surpasser le plus grand des deux nombres $|\Psi(i, i)|$ et $|\Psi(k, k)|$.

§ 4. Soit $E$ un ensemble mesurable quelconque situé sur $(0, 1)$; définissons une fonction $f(x)$ en convenant de poser $f=1$ en tout point de $E$ et $f=0$ ailleurs.
Théorème 1. L'intégrale

$$ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da, $$
considérée comme $\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1$, est finie presque partout dans (0, 1).

Soit $m$ la mesure de l'ensemble $E$; le théorème est évident aux cas $m=0$ et $m=3^1$); considérons un système $L'$ d'intervalles n'empiétant pas, enfermant l'ensemble $E$, ce système étant encore assujetti à cette condition que la somme des longueurs de tous ses intervalles ne surpasse $m + \frac{\epsilon}{6}$, $\epsilon$ positif, aussi petit que l'on veut, étant donné d'avance.

Donnons nous un nombre positif $k$ supérieur à 518; retranchons du système $L$ un nombre fini d'intervalles $L'_0$ de façon à avoir <fnref n="2" />) $L' - L'_0 < \frac{1}{k^4}$; parmis les intervalles restants prenons en un nombre fini, soient $L'$, ces intervalles, de façon à avoir $L' - L'_0 - L'_1 < \frac{1}{k^8}$; de même on choisira parmis les intervalles, restants après cette opération, des intervalles $L_2$ de façon à avoir $L' - L'_0 - L'_1 - L'_2 < \frac{1}{k^{12}}$ et ainsi de suite.

On obtient alors

$$ L' = L'_{0} + L'_{1} + L'_{2} + \dots, $$

où $L'_i < \frac{1}{k^{4i}}$, tout système $L'_i$ ne contenant qu'un nombre fini d'intervalle. Les portions de l'ensemble $E$ qui sont recouvertes par les intervalles du système $L'_i$, seront désignées par $E'_i$; ce qui donne

$$ E = E_0 + E_1 + E_2 + \dots; $$

$f_i(x)$ étant une fonction nulle hors de l'ensemble $E_i$ et ayant la valeur un aux points de cet ensemble, on a évidemment:

$$ f(x) = f_0(x) + f_1(x) + f_2(x) + \dots $$

Soit $j_i$ le nombre d'intervalle formant le système $L'_i$; élargissons

<footnote n="1">¹) Cf. note d'en bas de la page 1.</footnote>

<footnote n="2">²) Nous écrirons pour abréger: „$L'$“ au lieu de: „longueur totale des intervalles formant $L'$“ ou „mesure de $L'$“.</footnote>
chaque intervalle du système $L'_i$ de $\varepsilon_i$ de chaque côté, de façon
que $L'_i + 2j_i \varepsilon_i$ ne surpasse pas $\frac{1}{4^k}$ et que

$$
2j_0 \varepsilon_0 + 2j_1 \varepsilon_1 + 2j_2 \varepsilon_2 + \dots < \frac{\varepsilon}{6}.
$$

En désignant par $L_i$ le système d'intervalleslargis qui appara-
tenaient à $L'_i$, on a évidemment l'inégalité :

$$
(9) \qquad L_0 + L_1 + L_2 + \dots < m + \frac{\epsilon}{3}.
$$

Soit $a$ un nombre positif quelconque ne surpassant pas 1. Quelle que
soit la valeur de $x$ dans le système $L_\mu$, l'intégrale

$$
\int_0^a \frac{f_\mu(x+\alpha) - f_\mu(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha
$$

est finie. Il s'agit maintenant d'évaluer sa grandeur; à cet effet
procédons de la façon suivante: partageons l'intervalle (0, 1) en n_μ
intervalles partiels égaux de telle sorte que chacun d'eux soit de
longueur < ε_μ / (k_μ^2 + 2); en désignant par h la longueur d'un tel inter-
valle, posons h = 1 / n_μ. Remarquons maintenant que, pour les valeurs
considérées de x, on a:

$$
(10) \quad \int_0^a \frac{f_\mu(x+\alpha) - f_\mu(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha = \int_{x-a}^{x+a} \frac{f_\mu(\alpha)}{\alpha-x} d\alpha = \\
\qquad \sum_{(i-1)h}^{ih} \int_{\alpha-x}^{\alpha+x} \frac{f_\mu(\alpha)}{\alpha-x} d\alpha + \eta_1,
$$

la sommation Σ' étant étendue à tous les intervalles appartenants
à l'intervalle de l'intégration (x—a, x+a) le terme η₁ désignant
la partie restante de l'intégrale, étendue aux intervalles partiels
empiétant sur (x—a, a+x) sans y être contenus complètement,
s'il en existe de tels intervalles, bien entendu Donc

$$
(11) \qquad |\eta_1| < \frac{2}{k^\mu}.
$$

Remarquons encore qu'on a

$$
(12) \quad \sum'_{(i-1)h} \int_{\alpha-x}^{ih} f_{\mu}(\alpha) d\alpha = \sum'_{\sigma_i-x} \frac{e_i}{\sigma_i-x} = \sum'_{\frac{n_{\mu} e_i}{n_{\mu}\sigma_i - n_{\mu}x}}
$$
$e_i$ étant le mesure de la partie de l'ensemble $E_\mu$ contenue dans le i-ème intervalle ($e_i \le h$) et $\sigma_i$ désignant une quantité satisfaisant à l'inégalité

$$ (i-1)h < \sigma_i < ih. $$

En posant

$$ n_{\mu} l_i = m_i, n_{\mu} \sigma_i = s'_2, n_{\mu} x = l $$

on aura $i-1 < s'_i < i$; $l$ peut différer de l'indice de l'intervalle partiel contenant $x$, d'une quantité négative inférieure en valeur absolue à 1; puis $m_i \le 1$.

On tire de l'égalité (12) la relation

$$ (13) \quad \sum'_{(i-1)n} \int_{a-x}^{a} \frac{f(\alpha)}{\alpha-x} d\alpha = \sum'_{s'_i-l} \frac{m_i}{s'_i-l} = \sum'_{s'_i-l} \frac{m_i}{s'_i-l} + \eta_2 $$

où l'on a posé

$$ s_i = i - \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \eta_2 = \sum'_{(s'_i - l)(s_i - l)} \frac{m_i(s_i - s'_i)}{(s'_i - l)(s_i - l)} $$

Faisons maintenant les remarques suivantes: $x$ étant étranger à $L_\mu$, la distance de $x$ à l'ensemble $E_\mu$ surpasse $\varepsilon_\mu > (k^\mu + 2)h$; dans $k^\mu + 1$ intervalles au moins, voisins à l'intervalle contenant $x$, on a $m_i = 0$; ensuite, $|s_i - s'_i| < \frac{1}{2}$ et, enfin, $s_i - l$ et $s'_i - l$ surpassent en modules le nombre des intervalles entre le i-ème et celui qui contient le point $x$.

Donc

$$ |\eta_2| < \frac{1}{(k^\mu + 1)^2} + \frac{1}{(k^\mu + 2)^2} + \dots < \frac{1}{k^\mu} $$

et aussi:

$$ (14) \qquad |\eta_1 + \eta_2| < \frac{3}{k^\mu}. $$

Remarquons maintenant que l'expression

$$ \sum'_{s_i - l} \frac{m_i}{s_i - l} $$

n'est autre chose que l'expression que nous avons désigné au § 3 par $\Psi(l, l)$. La valeur de $m(l)$ dans le cas actuel est entièrement déterminée par celles de $a$ et de $x$. $a$ ne rendant pas ici $\Psi(l, l)$ maximum, ce qui avait lieu au paragraphe cité.
Quant au moment de l'intervalle $(0, n_\mu)$, on remarquera que de l'inégalité:

$$n_{\mu} M^2 = \sum' m_i^2 \le \sum m_i' < \frac{n_{\mu}}{k^{2\mu}}$$

on tire

$$ (15) \qquad M < \frac{1}{k^{2\mu}} $$

Donc, en vertu de (10), (12), (13) et (14), on a

$$ (16) \quad \int_0^a \frac{f_\mu(x+\alpha) - f_\mu(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha = \Psi(l, \alpha) + \frac{3\theta}{k^{2\mu}}, \quad \text{avec } -1 < \theta < +1 $$

En vertu du lemme 2, l'inégalité

$$ |\Psi(l, \alpha)| > \pi M k^{2\mu} $$

ne peut être satisfaite qu'en $n_\mu k^{-\mu}$ points au plus, et en vertu de (15) l'inégalité

$$ (17) \qquad |\Psi(l, \alpha)| > \pi k^{-\mu} $$

n'est vérifiée qu'en $n_\mu k^{-\mu}$ points au plus.

Remarquons maintenant qu'en vertu de la remarque qui termine le § 3, l'inégalité (17), quand $x$ est étranger à $L_\mu$, ne saurait être vérifiée par des valeurs fractionnaires de $l=n_\mu x$ qu'au seul cas où cette inégalité serait satisfaite par l'un au moins des entiers les plus voisins de $x$. De là on conclut que les valeurs de $x$ étrangers à $L_\mu$ et satisfaisantes à l'inégalité (17) appartiennent à $2n_\mu k^{-\mu}$ intervalles partiels au plus, donc la mesure de l'ensemble de ces valeurs de $x$ ne saurait surpasser $2n_\mu k^{-\mu}h = 2k^{-\mu}$. Par conséquent, en vertu de (16), l'inégalité

$$ (18) \quad \left| \int_0^a \frac{f_\mu(x+\alpha) - f_\mu(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| > (\pi+3)k^{-\mu} $$

pour $x$ étranger à $L_\mu$, n'est vérifiée que dans un ensemble de mesure $< 2k^{-\mu}$; parsuite l'ensemble des valeurs de $x$ étrangères à $L=L_0+L_1+...$ et satisfaisantes à l'inégalité (18), pour une valeur $\mu \ge \mu_0$ au moins, est de mesure inférieure à la somme:

$$ 2k^{-\mu_0} + 2k^{-\mu_0-1} + 2k^{-\mu_0-2} + \dots $$
Prenons $\mu_0$ tel que l'on ait:

$$ (19) \qquad 2k^{-\mu_0} + 2k^{-\mu_0-1} + 2k^{-\mu_0-2} + \dots < \frac{\epsilon}{6}. $$

En vertu de (9) et (19) on voit qu'on peut déterminer dans l'ensemble des valeurs de $x$, $F = (0, 1) - E$, un autre ensemble, soit $A$, de mesure $> 1 - m - \frac{\epsilon}{2}$, tel que la série

$$ \int_0^a \frac{f_0(x+\alpha) - f_0(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \int_0^a \frac{f_1(x+\alpha) - f_1(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \\ + \int_0^a \frac{f_2(x+\alpha) - f_2(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \dots $$

y soit convergente et que l'on ait:

$$ (20) \qquad \left| \int_0^a \frac{f_\mu(x+\alpha) - f_\mu(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| \le (\pi+3)k^{-\mu} \quad \text{pour } \mu \ge \mu_0 $$

Posons, maintenant:

$$ \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} = \varphi(x, \alpha) \quad \text{et} \quad \frac{f_1(x+\alpha) - f_1(x-\alpha)}{\alpha} = \varphi_1(x, \alpha). $$

Soit $x$ un point quelconque de l'ensemble $G$ et $\beta$ un nombre positif inférieur à $\alpha$; remarquons l'égalité suivante:

$$ (21) \qquad \int_{\beta}^{\alpha} \varphi(x, \alpha) d\alpha = \int_{\beta}^{\alpha} \left[ \sum_{\mu=0}^{\mu=\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) \right] d\alpha = \\ = \sum_{\mu=0}^{\mu=\mu} \int_{\beta}^{\alpha} \varphi_{\mu}(x, \alpha) d\alpha + \int_{\beta}^{\alpha} \left[ \sum_{\mu=\mu+1}^{\mu=\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) \right] d\alpha. $$

L'expression

$$ (22) \qquad \varphi_{\mu}(x, \alpha) = \frac{f_{\mu}(x+\alpha) - f_{\mu}(x-\alpha)}{\alpha}, $$

$x$ étant donné et $\alpha$ variable, est différente de zéro dans un ensemble de mesure qui ne saurait surpasses celle de $E_\mu$; parsuite, l'expression

$$ (23) \qquad \sum_{\mu=\mu+1}^{\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) $$
diffère de zéro dans un ensemble de mesure $\leq$ mesure de $E_\mu + E_{\mu+1} + E_{\mu+2} + ...$, c'est-à-dire de mesure $< k^{-4(\mu+1)}$; or, $\alpha$ étant fixé, l'expression (22) peut différer de zéro pour deux valeurs de $\mu$ au plus, puisque parmis toutes les valeurs $f_\mu(x + \alpha)$ ce n'est qu'une au plus qui peut différer de zéro, même remarque étant applicable à $f_\mu(x - x)$. $\alpha$ donné appartenant à l'intervalle $(\beta, \alpha)$ et $\varphi_\mu(x, \alpha) \neq 0$, on a

$$|\varphi_{\mu}(x, \alpha)| < \frac{1}{\beta};$$

donc, si l'expression (23) est non nulle, nous aurons

$$(24) \qquad \left| \sum_{\mu=\mu_1+1}^{\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) \right| < \frac{2}{\beta},$$

ce qui donne

$$(25) \qquad \left| \int_{\beta}^{\alpha} \left[ \sum_{\mu=\mu_1+1}^{\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) \right] d\alpha \right| < \frac{2k^{-4(\mu_1+1)}}{\beta},$$

d'où l'on tire:

$$\lim_{\mu_1=\infty} \int_{\beta}^{\alpha} \left[ \sum_{\mu=\mu_1+1}^{\infty} \varphi_{\mu}(x, \alpha) \right] d\alpha = 0,$$

c'est-à-dire que

$$(26) \quad \int_{\beta}^{\alpha} \varphi(x, \alpha) d\alpha = \int_{\beta}^{\alpha} \varphi_{0}(x, \alpha) d\alpha + \int_{\beta}^{\alpha} \varphi_{1}(x, \alpha) d\alpha + \int_{\beta}^{\alpha} \varphi_{2}(x, \alpha) d\alpha + \dots$$

Montrous maintenant que l'expression

$$(27) \quad \left| \int_{\beta}^{\alpha} \varphi(x, \alpha) d\alpha - \int_{0}^{\alpha} \varphi_{0}(x, \alpha) d\alpha - \int_{0}^{\alpha} \varphi_{1}(x, \alpha) d\alpha - \dots \right| = \\ = \left| \int_{0}^{\beta} \varphi_{0} d\alpha + \int_{0}^{\beta} \varphi_{1} d\alpha + \int_{0}^{\beta} \varphi_{2} d\alpha + \dots \right|$$

peut être rendue inférieure à tout nombre positif donné $\gamma$ aussi petit que l'on veut, à condition de prendre $\beta$ assez petit. En effet, en vertu de (20), nous avons

$$(28) \quad \left| \int_{0}^{\beta} \varphi_{\mu} d\alpha + \int_{0}^{\beta} \varphi_{\mu+1} dx + \dots \right| \leq (\pi + 3)(k^{-\mu} + k^{-\mu-1} + k^{-\mu-2} + \dots)$$
pour $\mu > \mu_0$: choisissons alors $\mu$ assez grand pour que l'expression (28) soit inférieure à $\frac{1}{2}\gamma$ et prenons ensuite $\beta$ assez petit pour que l'on ait:

$$ \left| \int_0^\beta \varphi_i(x, \alpha) dx \right| < \frac{\gamma}{2\mu} \quad \text{pour } i=0, 1, 2, \dots, \mu-1; $$

un $\beta$ satisfaisant à ce choix rend bien l'expression (28) plus petit que $\gamma$, donc cette expression tend vers zéro, c'est-à-dire l'intégrale

$$ \int_0^\alpha \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha $$

existe au sens expliqué et est égale à la somme de la série

$$ \int_0^\alpha \varphi_0(x, \alpha) dx + \int_0^\alpha \varphi_1(x, \alpha) dx + \int_0^\alpha \varphi_2(x, \alpha) dx + \dots $$

Considérons maintenant la fonction

$$ H'(x) = f(x) - 1. $$

On démontrera pour cette fonction, d'une façon tout-à-fait analogue à celle qui nous a servi à cette fin quand il s'agissait de $f(x)$, ce fait qu'il est possible de déterminer dans l'ensemble $\mathcal{L}$ un ensemble $H$ de mesure supérieure à $m - \frac{\varepsilon}{2}$ et dans lequel l'intégrale

$$ (29) \qquad \int_0^\alpha \frac{F(x + \alpha) - F(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha $$

existe au sens admis. Mais l'intégrale (29) est égale à l'intégrale

$$ (30) \qquad \int_0^\alpha \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} dx, $$

donc cette dernière existe dans l'ensemble $G+H$ de mesure $> 1 - \varepsilon$, $\varepsilon > 0$ étant aussi petit que l'on veut.

Le théorème est donc démontré.

## § 5. Théorème 1 généralisé.

Soit $f(x)$ une fonction mesurable, nulle aux points étrangers à l'intervalle $(0, 1)$ et ne prenant que des valeurs $0, 1, 2, \dots$, p dans cet intervalle; l'intégrale
$$ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da $$

considérée comme $\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1$ existe et est fini pour presque toutes les valeurs de $x$.

En effet, désignons par $E_i$ l'ensemble des points de l'intervalle $(0, 1)$ caractérisé par l'égalité $f(x) = i$ (pour $i=0, 1, 2, ..., p$); définissons ensuite une fonction $f_i(x)$, en posant:

$$ f_i(x) = i \quad \text{pour } x \text{ dans } E_i $$

$$ f_i(x) = 0 \quad \text{ailleurs.} $$

Alors, on a

$$ f(x) = f_0(x) + f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_p(x); $$

mais chacune des intégrales

$$ \int_0^1 \frac{f_i(x+\alpha) - f_i(x-\alpha)}{\alpha} da \quad \text{pour } i = 0, 1, \dots, p $$

existe et est finie presque partout, ce qui démontre la proposition en question.

**§ 6. Théorème 2.** Soit $f(x)$ la fonction définie au paragraphe précédent, l'intégrale

$$ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da $$

représente une fonction de $x$ à carré sommable et l'on a

$$ \int_0^1 dx \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da \right]^2 \le \pi^2 \int_0^1 [f(x)]^2 dx. $$

Attribuons à $\epsilon$ une suite infinie de valeurs positives décroissantes et tendant vers zéro

$$ (31) \qquad \epsilon_1 > \epsilon_2 > \epsilon_3 > \dots > \epsilon_n > \dots $$

Soit $E$ un ensemble mesurable quelconque et $b$ un point de cet ensemble; désignons par $\delta$ un nombre positif quelconque et par $E(b, \delta)$ la partie de l'ensemble $E$ comprise dans l'intervalle $(b - \delta, b + \delta)$; soit $e(b, \delta)$ la mesure de $E(b, \delta)$.
Les points $b$ de l'ensemble $E$ satisfaisants à cette condition que

$$ \lim_{\delta \to 0} \frac{e(b, \delta)}{2\delta} = 1 $$

sont dits points de densité de $E$.

Rappellons qu'on a le théorème suivant:
presque tous les points d'un ensemble mesurable quelconque sont ses points de densité.

Désignons par $Q_t$ l'ensemble de points $b$ de densité de $E$ lui appartenants et pour lesquels on a:

$$ (32) \qquad \frac{\text{mesure } E_t(b, \delta)}{2\delta} > 1 - \frac{\epsilon}{4} $$

sous la seule condition de prendre $\delta \leq \eta$.

La mesure de $Q_t$ diffère de celle de $E_t$ d'une quantité aussi petite que l'on veut à condition de prendre $\eta$ assez petit; on choisisra $\eta$ tel que l'on ait

$$ (33) \qquad \text{mesure } (Q_0 + Q_1 + \dots + Q_p) > 1 - \frac{\epsilon}{2} $$

Divisons l'intervalle $(0, 1)$ en intervalles partiels égales de longueurs $h \leq \eta$, et supposons qu'un certain intervalle $h$ contient un point $b$ de l'ensemble $Q_t$; alors, en vertu de l'inégalité (32), on a:

$$ \frac{\text{mesure } E_t(b, h)}{2h} > 1 - \frac{\epsilon}{4}, $$

par suite l'ensemble des points de l'intervalle $(b-h, b+h)$ étrangers à $E$ est de mesure inférieure à $\frac{\epsilon h}{2}$; donc, à fortiori, les points de l'intervalle $h$ en question n'appartenant pas à l'ensemble $E$, forment un ensemble de mesure $< \frac{\epsilon h}{2}$. De là on conclut, en particulier, qu'un même intervalle partiel ne peut contenir simultanément de points de deux ensembles $Q$ distincts.

Définissons maintenant une fonction $\theta_s(x)$ en convenant de poser:

1. $\theta_s(x) = 1$ en tout point d'un intervalle partiel $h$, à condition que celui-ci contienne des points de l'ensemble $Q_t$.

2. $\theta_s(x) = 0$ en tout point de l'intervalle $h$ s'il ne contient de points d'aucun des ensembles $Q_t$.
En vertu de ce qui a été dit sur la contribution des intervalles partiels contenant des points des ensembles $Q_i$ et en vertu de (33) on conclut que les points, où la fonction $\theta_e(x)$ diffère de $f(x)$, forment un ensemble $H$ de mesure inférieure à $\varepsilon$. Et, en remarquant ensuite que

$$|\theta_e(x) - f(x)| \le p,$$

on obtient

$$(34) \qquad \left| \int_0^1 [\theta_e(x)]^2 dx - \int_0^1 [f(x)]^2 dx \right| < \varepsilon p^2.$$

Recouvrons l'ensemble $H$ par un système d'intervalles $L'$ dont la somme des longueurs soit encore inférieure à $\varepsilon$; retranchons du système $L'$ un système d'un nombre fini d'intervalles, soit $L'_1$, de telle sorte que l'on ait: mesure de $L' - L'_1$ est inférieure à $\varepsilon^2$; retranchons du système $L' - L'_1$ un système fini d'intervalles, soit $L'_2$, de façon que la mesure de $L' - L'_1 - L'_2$ soit inférieure à $\varepsilon^3$ et ainsi de suite:

$$L' = L'_1 + L'_2 + L'_3 + \dots$$

On désignera par $H_i$ l'ensemble des points de $H$ recouverts par les intervalles du système $L'_i$; on obtient ainsi:

$$H = H_1 + H_2 + H_3 + \dots$$

De même que nous avons eu déjà l'occasion de le faire au § 4, élargissons les intervalles des systèmes $L'_1, L'_2, L'_3, \dots$ d'une certaine façon et désignons par $L_\mu$ le système d'intervalles élargis du système $L'_\mu$; on supposera dans la suite que la mesure de $L_\mu + L_{\mu+1} + \dots$ soit inférieure à $\varepsilon^\mu$; on posera encore $L = L_1 + L_2 + \dots$.

Cela étant, définissons une suite de fonctions $f_1(x), f_2(x), \dots$, en posant:

1. $f_i(x) = f(x) + \theta_e(x)$ aux points de l'ensemble $H_i$

2. $f_i(x) = 0$ aux points étrangers à l'ensemble $H_i$.

Posons, ensuite

$$f_i(x) = \sum_{j=-p}^{j=p} f_{i,j}(x),$$

la sommation étant étendue à toutes les valeurs entières de $j$ depuis $-p$ jusqu'à $+p$, sauf $j=0$, et où l'on a posé

$$f_{i,j}(x) = f_i(x) \quad \text{si} \quad f_i(x) = j \quad \text{et}$$

$f_{i,j}(x) = 0$ dans le cas contraire.
Comme au § 4, on voit que les points étrangers à Lᵢ et satisfaisant, α étant déterminé d'une certaine façon, à l'inégalité

$$ (35) \quad \left| \int_0^\alpha \frac{f_{i,j}(x+\alpha) - f_{i,j}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| \ge (\pi+3) |j| \epsilon^{1/4} $$

forment un ensemble de mesure < 2ε¹/₄; parsuite, hors d'un certain ensemble de mesure inférieure à

$$ 4p\epsilon^{1/4} + 4p\epsilon^{3/4} + 4p\epsilon^{5/4} + \dots + \epsilon = 4p \frac{\epsilon^{1/4}}{1-\epsilon^{1/4}} + \epsilon $$

l'inégalité (35) n'est vérifiée pour aucune valeur de i et de j. Donc en tout point étranger à un ensemble de mesure inférieure à

$$ (36) \quad 4p \frac{\epsilon^{1/4}}{1-\epsilon^{1/4}} + \epsilon = \omega $$

se trouve vérifiée l'inégalité suivante:

$$ (37) \quad \left| \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha - \int_0^1 \frac{\theta_\epsilon(x+\alpha) - \theta_\epsilon(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| = \\ = \left| \sum_{\substack{1 \le i < \infty \\ -p < j \le p}} \int_0^1 \frac{f_{i,j}(x+\alpha) - f_{i,j}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| < \\ < \sum_{\substack{1 \le i \le \infty \\ -p \le j \le p}} (\pi+3) |j| \epsilon^{1/4} < (\pi+3) 2p^2 \frac{\epsilon^{1/4}}{1-\epsilon^{1/4}}. $$

Dans l'expression (37) on fait la première transformation (avec signe d'égalité) en vertu de la possibilité, démontrée au § 4, d'intégration terme à terme.

En désignant par I l'ensemble de valeurs de x satisfaisant à l'inégalité (37) on aura évidemment: mesure I > 1 - ω.

En considérant l'expression de ω (36) et l'inégalité (37) et en supposant une convergence suffisammeut rapide vers zéro de la suite de valeurs de ε (31) (en posant, par exemple, εᵢ ≤ εᵢ¹), on voit sans peine que presque partout dans (0, 1) se trouve vérifié o l'égalité:

$$ (38) \quad \lim_{\alpha \to 0} \int_0^1 \frac{\theta_{\epsilon}(x+\alpha) - \theta_{\epsilon}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha = \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha. $$
Partageons maintenant l'intervalle (0, 1) en n intervalles égaux de longueur $\frac{1}{n} = \gamma$; posons

$$m_i = n \int_{(i-1)\gamma}^{i\gamma} \theta_e(x) dx$$

et formons l'expression

$$\Phi_e(l) = \sum_{i=1}^{i=n} \frac{m_i}{s_i - l}$$

où $s_i = i - \frac{1}{2}$.

La fonction $\theta_e(x)$ présentant un nombre fini de points de discontinuité, désignons par $K$ l'ensemble de points de l'intervalle (0, 1) qu'on obtient en enlevant de cet intervalle un système d'intervalles de petitesse arbitraire enfermant les points de discontinuite de $\theta_e(x)$; on peut donc supposer la mesure de $K$ aussi voisine de 1 qu'on le voudra.

Si peu que diffère la mesure de $K$ de 1 et si petit que soit $\beta > 0$, on pourra toujours, en fractionnant l'intervalle (0, 1) en un nombre suffisamment grand d'intervalles $\gamma$, s'arranger de telle façon que l'inégalité

$$39) \quad \left| \left[ \int_{0}^{1} \frac{\theta_{\varepsilon}(x+\alpha) - \theta_{\varepsilon}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^{2} - [\Phi_{\varepsilon}(l)]^{2} \right| < \beta,$$

où $l$ désigne l'indice d'intervalle $\gamma$ contenant le point $x$, soit vérifié par tous les points de l'ensemble $K$.

En remarquant, ensuite, que l'expression

$$\left[ \int_{0}^{1} \frac{\theta_{\varepsilon}(x+\alpha) - \theta_{\varepsilon}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^{2}$$

est une fonction continue en tout point de l'ensemble $K$, en intégrant (39) on obtient

$$(40) \quad \int_{K} \left[ \int_{0}^{1} \frac{\theta_{\varepsilon}(x+\alpha) - \theta_{\varepsilon}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 dx < \sum_{l=1}^{l=n} [\Phi_{\varepsilon}(l)]^2 \gamma + \beta$$

et en vertu du lemme 1, on peut écrire:

$$(41) \quad \int_{A} \left[ \int_{0}^{1} \frac{\theta_{\varepsilon}(x+\alpha) - \theta_{\varepsilon}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 dx < \pi^2 \sum_{i=1}^{i=n} m_i^2 \gamma + \beta.$$
Ensuite, il est aisé de voir que

$$ \lim_{\gamma \to 0} \sum_{i=1}^{n} m_i^2 \gamma = \int_{0}^{1} [\theta_c(x)]^2 dx, $$

et en remarquant que l'inégalité (41) demeure vérifiée si peu que
diffère la mesure de $K$ de 1 et quel petit que soit $\beta$, à condition
de prendre $\gamma$ suffisemment petit, on passe à l'inégalité suivante

$$ (42) \quad \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{\theta_c(x+\alpha) - \theta_c(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 dx \le \pi^2 \int_0^1 [\theta_c(x)]^2 dx. $$

Enfin, en tenant compte de (34) et de (38), et en passant dans (42) à la limite, on obtient

$$ (43) \quad \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 dx \le \pi^2 \int_0^1 [f(x)]^2 dx \quad \text{c. q. f. d} $$

§ 7. Corollaire analogue au lemme 2. Posons

$$ \int_0^1 [f(x)]^2 dx = M^2; $$

supposons qu'on définit $\alpha$, dépendant de $x$, de telle sorte que l'in-
tégrale

$$ \int_0^\alpha \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha $$

atteint, en valeur absolue, son maximum. Moyennant ces conditions
un raisonnement tout-à-fait analogue à celui qui nous a permis de
légitimer le lemme 2, nous conduit au résultat suivant:

Les valeurs de x vérifiant l'inégalité

$$ \left| \int_0^\alpha \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right| > \pi M k $$

forment, pour $k < 516$, un ensemble de mesure $< \frac{516}{k^2} < k^{-1}$.

§ 8. Théorème 3. $f(x)$ étant une fonction à carré sommable, l'intégrale
$$ \int_0^\alpha \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} da, $$

considérée comme $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\alpha}$ est finie pour presque toutes les valeurs de $x$.

Supposons d'abord $f(x)$ non négative pour toutes les valeurs de $x$. Définissons une fonction $f(x, a)$, en posant:

$$ f(x, a) = f(x) - a, \text{ si } f(x) - a \ge 0 $$

$$ f(x, a) = 0, \text{ si } f(x) - a < 0, $$

et donnons nous une suite de nombres positifs croissants indifiniment:

$a_0, a_1, a_2, \dots$

sous la condition

$$ (44) \quad \int_0^1 [f(x, a_{\mu-1})]^2 dx < \frac{1}{2k^{4\mu}} \quad \text{pour } k > 516 \text{ et } \mu = 1, 2, 3, \dots $$

On définira maintenant une fonction $f_0(x)$ de la façon suivante: on divise l'intervalle $(0, a_0)$ en $n_0$ intervalles partiels de longueur

$h_0 < \frac{1}{k^2\sqrt{2}}$ chacun:

$$ 0, h_0, 2h_0, \dots, n_0h_0 = a_0 $$

et l'on pose

$$ f_0(x) = ih_0, \text{ si } ih_0 \le f(x) < (i+1)h_0 $$

$$ f_0(x) = a_0, \text{ si } a_0 \le f(x). $$

Considérons l'intégrale

$$ \int_0^1 [f(x) - f_0(x)]^2 dx; $$

la fonction sous le signe $\int$ est soit inférieure à $h^2$, soit égale à $[f(x, a_0)]^2$; donc

$$ (45) \quad \int_0^1 [f(x) - f_0(x)]^2 dx < h_0^2 + \frac{1}{2k^4} < \frac{1}{k^4} $$
On divise l'intervalle $(0, a_1)$ en $n_1$ intervalles partiels de longueurs
$h_1 < \frac{1}{k^4\sqrt{2}}:

$0, h_1, 2h_1, \dots, n_1h_1 = a_1,$

et l'on pose

$$
\begin{align*}
f_1(x) &= ih_1, \quad \text{si} \quad ih_1 \le f(x) - f_0(x) < (i+1)h_1 \\
f_1(x) &= a_1, \quad \text{si} \quad a_1 \le f(x) - f_0(x);
\end{align*}
$$

on obtient alors :

$$
(46) \quad \int_0^1 [f(x) - f_0(x) - f_1(x)]^2 dx < h_1^2 + \frac{1}{2k^8} < \frac{1}{k^8}
$$

D'une façon analogue, pour l'intervalle $(0, a_2)$ on définira une
fonction $f_2(x)$ sur $n_2$ intervalles partiels de longueurs $h_2 < \frac{1}{k^6\sqrt{2}}$:
$0, h_2, 2h_2, \dots, n_2h_2 = a_2$, en posant

$$
\begin{align*}
f_2(x) &= ih_2 \quad \text{sous la condition} \quad ih_2 \le f(x) - f_0(x) - f_1(x) < (i+1)h_2 \\
f_2(x) &= a_2 \quad \text{sous la condition} \quad a_2 \le f(x) - f_0(x) - f_1(x),
\end{align*}
$$

et l'on aura

$$
(47) \quad \int_0^1 [f(x) - f_0(x) - f_1(x) - f_2(x)]^2 dx < \frac{1}{k^{12}}
$$

et ainsi de suite.

On a alors

$$
(48) \qquad f(x) = f_0(x) + f_1(x) + f_2(x) + \dots
$$

avec

$$
(49) \quad \int_0^1 [f_\mu(x)]^2 dx < \frac{1}{k^{4\mu}} \quad \text{pour } \mu = 1, 2, 3, \dots
$$

A la manière de § 4, l'inégalité (49) permet d'établir, d'abord, la
relation

$$
\begin{align*}
\int_{\beta}^{a} \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha &= \int_{\beta}^{a} \frac{f_{0}(x+\alpha) - f_{0}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \\
&\quad + \int_{\beta}^{a} \frac{f_{1}(x+\alpha) - f_{1}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \int_{\beta}^{a} \frac{f_{2}(x+\alpha) - f_{2}(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \dots
\end{align*}
$$
puis, elle permet d'établir la convergence presque partout de la série

$$ (50) \qquad \int_0^a \frac{f_0(x+\alpha) - f_0(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \\ \qquad + \int_0^a \frac{f_1(x+\alpha) - f_1(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \int_0^a \frac{f_2(x+\alpha) - f_2(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha + \dots $$

et, enfin, on vera que l'intégrale

$$ \int_0^a \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha $$

existe au sens expliqué et est égale à la somme de la série (50).

Donc le théorème 3 est démontré dans le cas où $f(x) \ge 0$. Au cas général, c'est à dire quand $f(x)$ puisse recevoir des valeurs aussi bien positives que négatives, posons

$$ f(x) = \varphi(x) + \psi(x) $$

ayant défini $\varphi$ et $\psi$ par les conventions suivantes:

$$ \begin{array}{l@{\qquad}l} \varphi(x) = f(x) & \text{là où } f(x) \ge 0 \\ \varphi(x) = 0 & \text{si } f(x) < 0 \\ \psi(x) = f(x) & \text{là où } f(x) \le 0 \\ \psi(x) = 0 & \text{si } f(x) > 0. \end{array} $$

Le théorème en question étant vrai pour chacune des fonctions $\varphi$ et $\psi$, il le sera aussi pour leur somme, c'est-à-dire pour $f$, ce qui achève la démonstration.

§ 9. Soit $f(x)$ une fonction à carré sommable.

**Théorème 4.** *L'intégrale*

$$ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha $$

est une fonction de $x$ à carré sommable et l'on a

$$ \int_0^1 dx \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da \right]^2 \le 2\pi^2 \int_0^1 [f(x)]^2 dx. $$

Supposons, d'abord, que $f(x) \ge 0$ partout dans $(0, 1)$ et que $f(x) = 0$ ailleurs. Considérons le développement de $f(x)$ en série (48); posons

$$ F_n(x) = f_0(x) + f_1(x) + \dots + f_n(x); $$
$F_n(x)$ étant une fonction du type de celles considérées aux §§ 5 et 6
le théorème 2 lui est alors applicable, c'est-à-dire qu'on a

$$
(51) \quad \int_0^1 x \left[ \int_0^1 \frac{F_n(x+\alpha) - F_n(x-\alpha)}{\alpha} dx \right]^2 \le \pi^2 \int_0^1 [F_n(x)]^2 dx.
$$

D'autre part, aux paragraphes précédents on a démontré que l'égalité

$$
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{F_n(x + \alpha) - F_n(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha = \int_0^1 \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha
$$

est vérifiée presque partout; en passant à la limite dans (51) pour $n$
infini, nous avons:

$$
(52) \quad \int_0^1 dx \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha)-f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 \le \pi^2 \int_0^1 [f(x)]^2 dx
$$

Débarassons nous maintenant de cette hypothèse que $f$ ne soit jamais
négative dans $(0, 1)$ et posons, comme au § 8:

$f(x) = \varphi(x) + \psi(x)$

Nous avons :

$$
\begin{align*}
& \int_0^1 \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha \\
&= \int_0^1 \frac{\varphi(x + \alpha) - \varphi(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha + \int_0^1 \frac{\psi(x + \alpha) - \psi(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha, \\
& \left[ \int_0^1 \frac{f(x + \alpha) - f(x - \alpha)}{\alpha} \right]^2 \le 2 \left[ \int_0^1 \frac{\varphi(x + \alpha) - \varphi(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 + \\
& \qquad + 2 \left[ \int_0^1 \frac{\psi(x + \alpha) - \psi(x - \alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2
\end{align*}
$$

et en vertu de (52):

$$
(53) \quad \int_0^1 dx \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha)-f(x-\alpha)}{\alpha} d\alpha \right]^2 \le 2\pi^2 \int_0^1 \{[\varphi(x)]^2 + [\psi(x)]^2\} dx,
$$
mais l'une des fonction $\psi, \varphi$ s'annulant en $x$ quelconque, on a:

$$[\psi(x)]^2 + [\varphi(x)]^2 = [f(x)]^2$$

donc, en vertu de (53), on écrira:

$$(54) \quad \int_0^1 dx \left[ \int_0^1 \frac{f(x+\alpha) - f(x-\alpha)}{\alpha} da \right]^2 \le 2\pi^2 \int_0^1 [f(x)]^2 dx.$$

C. Q. F. D.

27 — VI — 1921.