# Les sondages : c'est pas sorcier

Éric Lesage

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Éric Lesage. Les sondages : c'est pas sorcier. Courrier des Statistiques, 2007, 121-122, pp.81-84.
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ce premier chapitre ; il découvrira les
notions de variable aléatoire, d'es-
pérance mathématique, de variance
et de densité de probabilité dans le
cadre spécifique d'une population
finie.

Enfin, on trouve un point très inté-
ressant sur la notion de base de
sondage et sur les différents types
d'erreurs (d'échantillonnage, d'obser-
vation, de défaut de couverture, de
non-réponse).

Deuxième chapitre

Ce chapitre présente les plans de
sondage classiques avec, pour cha-
cun d'eux, les algorithmes de tirage
recommandés, la méthode d'esti-
mation sans biais du total et de la
moyenne et le calcul de précision
associé.

L'auteur commence par présen-
ter le tirage aléatoire simple. Il men-
tionne la possibilité d'utiliser la « Proc
Surveyselect » de SAS pour program-
mer l'algorithme de tirage. On trouve
dans cette même partie une discus-
sion intéressante sur la fiabilité de l'in-
tervalle de confiance (lui-même estimé)
et sur la prise en compte des contrain-
tes budgétaires par le méthodologue.
Le cas particulier de l'estimation de
proportions est traité. Il est rappelé,
pour fixer les idées, qu'une estimation
à 2 points près de la proportion de
femmes dans la population française
nécessite le tirage de 2 500 enquêtés,
mais que la même estimation, à 0,5
point près, requiert 40 000 sondés !

La partie suivante présente la notion
fondamentale de stratification. Cette
méthode, qui nécessite l'utilisation
d'information auxiliaire, apporte un

gain de précision important ; c'est une
technique simple et « tout bénéfice ».

Le sondage à deux degrés pallie
quant à lui deux inconvénients du
sondage aléatoire : le besoin d'une
base de sondage complète et les
coûts de collecte importants engen-
drés par la dispersion géographique
des enquêtés. La contrepartie en est
une perte de précision, bien connue
sous le nom d'effet de grappe.

La partie sur le sondage à proba-
bilités inégales permet de poser un
cadre général théorique en présentant
notamment l'estimateur de Horvitz-
Thompson (le II-estimateur). L'auteur
met en garde ses lecteurs contre les
effets néfastes de ces plans de son-
dage (dont les risques de détériora-
tion de la précision et les difficultés de
calcul de variance). Le cas favorable
du plan à deux degrés auto-pondéré
est étudié, notamment une méthode
d'estimation de la variance appro-
chée (et simplifiée). Dans ce cas,
les unités primaires d'échantillonnage
sont tirées proportionnellement à leur
taille. Cette partie est également l'oc-
casion d'aborder le tirage en deux
phases, le partage des poids, le plan
de sondage à entropie maximum et la
modélisation de la non-réponse.

La cinquième partie présente la
récente technique de l'échantillon-
nage équilibré, qui est en quelque
sorte la version probabiliste des son-
dages par quota. La « méthode du
cube » proposée par J-C. Deville et
Y. Tillé est un algorithme général qui
fonctionne dans un contexte de tirage
à probabilités inégales. À cette occa-
sion, l'auteur attire l'attention des pra-
ticiens sur l'importance de la maîtrise
de la « phase d'atterrissage »<fnref n="2" />. Une
macro SAS appelée « Macro Cube »
effectue ce tirage. Les deux dernières
parties de ce chapitre abordent les
enquêtes par quota et le cas pratique
des enquêtes auprès des ménages
de l'Insee. L'auteur conclut en men-
tionnant que l'information auxiliaire
est un facteur important d'améliora-
tion de la précision des estimateurs,
mais qu'il est de fait impossible de
trouver un plan de sondage « opti-
mum » pour l'ensemble des variables
d'intérêt d'une enquête.

Troisième chapitre

Ce chapitre traite du redressement
des poids de sondage effectué dans
le but de construire des estimateurs
qui estiment sans erreur (en particu-
lier avec variance nulle) le total d'une
ou de plusieurs variables auxiliaires.
Le redressement renvoie à l'utilisation
d'information auxiliaire au moment
de l'estimation (après collecte) par
opposition à l'utilisation d'information
auxiliaire au moment de l'échantillon-
nage. Le redressement n'est avan-
tageux que si la variable d'intérêt
est bien expliquée par les variables
auxiliaires.

L'auteur passe en revue plusieurs
méthodes de redressement, en précis-
sant pour chacune d'entre elles quels
sont les nouveaux poids, si l'estima-
teur est biaisé et si la précision est
meilleure que dans le cas où l'on ne
redresse pas. On est souvent dans le
cas simplifié d'un plan de sondage
aléatoire simple ou d'un sondage de
taille fixe à probabilités égales. Est
d'abord présentée la post-stratifica-
tion « univariée », qui conduit à un
estimateur légèrement biaisé mais
toujours plus précis que l'estimateur
non redressé dans le cas du sondage
aléatoire simple. Le raking-ratio est
ensuite introduit comme une version
multidimensionnelle de la post-stra-
tification.

L'estimateur par le ratio est faible-
ment biaisé, mais peut être moins
précis que le Π-estimateur si la cor-
rélation entre la variable auxiliaire et
la variable d'intérêt est insuffisante. Il
est intéressant en particulier dans le
cas des tirages à deux phases ou à
deux degrés.

L'estimateur par la régression est
l'estimateur vedette qui généralise
les estimateurs par le ratio et post-
stratifié. Dans le cas d'un sondage
aléatoire simple, cet estimateur est
toujours plus précis que l'estimateur
non redressé. Il faut noter la « faci-
lité » de mise en œuvre du calcul de
la précision en utilisant les formules
de variance des estimateurs « classi-
ques » non redressés (HT) dans les-
quelles on remplace la variable d'in-
térêt par les résidus de la régression

<footnote n="2">2. Dans la plupart des cas, les marges qui sont imposées ne peuvent pas être rigoureusement égalées. On distingue alors deux phases dans l'algorithme de tirage. La première est la phase de « vol » : les individus sélectionnés un par un laissent présager que l'échantillon final redon- nera les bonnes marges. La seconde phase survient lorsque la phase de vol est interrompue avant que l'échantillon complet ne soit tiré, c'est-à-dire quand l'algorithme ne trouve plus, parmi les individus restants, un groupe qui per- mette de respecter les marges. La méthode du cube offre alors trois options pour finir le tirage de l'échantillon. Cet échantillon ne redonnera qu'approximativement les marges imposées.</footnote>
linéaire de la variable d'intérêt sur les variables auxiliaires. La précision de l'estimateur par la régression est également celle que l'on obtient pour les sondages équilibrés ou lorsqu'on procède à un redressement, d'où son importance.

La cinquième partie de ce troisième chapitre traite du calage généralisé, qui constitue une approche globale du problème du redressement. Le calage nécessite que l'on s'intéresse aux poids : l'objectif est de déterminer une nouvelle variable de poids (« pas trop loin » de la variable de poids initiale) qui permette de bien estimer le vrai total, connu, de l'information auxiliaire. Les différentes fonctions de distance utilisables en option sont étudiées, ainsi que le cas particulier du calage simultané aux niveaux du ménage et de l'individu (ou aux niveaux de l'entreprise et de l'établissement). Des mises en œuvre avec la macro SAS de calage (Calmar) sont présentées.

La sixième partie aborde le sujet compliqué du traitement de la non-réponse qui nécessite de se pencher sur le comportement des personnes interrogées. La non-réponse introduit du biais (qui ne diminue pas avec la taille de l'échantillon) et une perte de précision. L'auteur présente les deux grandes familles de traitement : les méthodes de repondération et les méthodes d'imputation. Il insiste sur le fait que l'absence de biais repose sur l'hypothèse forte que le modèle de réponse est exact ; il souligne aussi que le cas dangereux est celui où le mécanisme de non-réponse est lié à la variable d'intérêt (cas dit « non ignorable »).

Pour appliquer les méthodes de repondération, on peut utiliser selon les circonstances le calage généralisé ou le calage que l'auteur dénomme « super généralisé », qui traitent la non-réponse et effectuent le redressement en même temps.

L'imputation repose sur la prédiction des valeurs manquantes à l'aide d'un modèle de comportement. Il existe deux familles de méthodes d'imputation : les méthodes déterministes (imputation par la régression et méthode des plus proches voisins) et les méthodes aléatoires (hot-deck, méthode des résidus simulés, imputation de variables qualitatives par modélisation explicite et imputation multiple). On trouve ensuite une comparaison de l'efficacité respective des imputations par la moyenne et par hot-deck, un exemple de méthode utilisable pour traiter le cas de non-réponse « non-ignorable » et un calcul de variance qui prend en compte, en plus de l'aléa d'échantillonnage, l'aléa du mécanisme de non-réponse et éventuellement du modèle aléatoire d'imputation.

Cette partie se conclut par une très bonne synthèse dans laquelle on trouve notamment les taux de réponse de certaines grandes enquêtes de l'Insee et leur évolution dans le temps. Le chapitre finit par un cas pratique.

## Quatrième chapitre

Ce chapitre aborde quelques aspects particuliers des sondages. Le premier concerne l'estimation sur un domaine (c'est-à-dire une sous-population). Dans ce cas de figure très couvrant, la taille aléatoire de l'échantillon recoupant le domaine d'étude entraîne des difficultés techniques de calcul de biais et de précision. L'auteur passe ensuite en revue les principaux estimateurs utilisés dans le cadre des « petits domaines » : estimateurs synthétiques, par la prédiction, estimateurs composites et estimateurs reposant sur une modélisation « explicite » (en particulier une modélisation linéaire mixte). Le deuxième aspect particulier concerne les questions pratiques et le calcul de précision dans le cas du tirage d'individus dans un ménage.

La troisième partie aborde l'échantillonnage dans le temps en distinguant l'approche longitudinale et l'approche transversale. Dans chaque cas de figure, on peut envisager essentiellement trois types d'échantillonnage : un panel pur, un échantillonnage rotatif combinant différents panels ou encore un système d'échantillons tirés indépendamment à chaque date.

Pour des études longitudinales, le panel permet d'accroître la précision des mesures d'évolution. Dans le cas de l'approche transversale, il faut en revanche tenir compte des « naissances ». En présence de panélisation, une des méthodes dédiées à ce problème difficile est la « méthode généralisée du partage des poids ».

La fin de cette partie aborde l'échantillonnage de dates d'enquête et les enquêtes par vague.

Ce chapitre se termine sur une partie très intéressante consacrée à « l'approche modèle » qui, dans l'univers des sondages, fait référence au concept de modèle de « superpopulation ». En sondage, le nombre de paramètres inconnus est N, c'est-à-dire la taille du vecteur de la variable d'intérêt observée sur la population. L'approche modèle permet de passer de ces N inconnues à un nombre de paramètres inconnus considérablement plus petit. Les variables d'intérêt relatives aux N individus de la population sont alors considérées comme des variables aléatoires dont les lois dépendent d'un petit nombre de paramètres. Cette approche permet de construire des estimateurs optimaux et de comparer les précisions de différents plans de sondage complexes.

## Cinquième chapitre

Ce chapitre traite de l'estimation de variance dans le cas de plans de sondage complexes. Il existe deux approches principales permettant d'estimer des variances : une approche analytique et une approche par des méthodes de réplication d'échantillon. Une troisième approche utilisant le « Design effect » (effet de plan) est mentionnée.

Dans le cadre de l'approche analytique, l'auteur donne des estimateurs approchés et simplifiés de calcul de variance dans le cas (problématique) du tirage à probabilités inégales. À cette occasion, il revient sur la notion de plan de sondage à entropie maximale. Pour ce qui concerne les estimateurs non linéaires, il propose l'utilisation de technique de linéarisation
afin de construire des expressions
analytiques approchées de variance.

Les techniques de réplication d'échantillon sont bien maîtrisées pour les cas simples, mais leur extension aux plans complexes est difficile à formaliser. L'auteur présente les deux méthodes générales du Jackknife et du bootstrap puis la méthode particulière des demi-échantillons.

Ce chapitre se termine sur quatre
cas d'application, dont un traite de
la mise en œuvre du logiciel Poulpe

de l'Insee dans le cadre de l'enquête
Emploi.

L'ouvrage se termine par une bibli-
graphie d'ouvrages de référence
commentés et classés en cinq rubri-
ques et par un lexique dans lequel les
différents termes techniques ont leur
traduction en anglais.

Mon avis

Ce manuel est un formidable état de
l'art vulgarisé, très précis, très clair,
avec des explications bien rédigées
et sans digressions.

Je recommande ce livre aux méthodologues d'enquête de l'Insee (et au-delà, de la statistique publique), à ceux des instituts d'enquêtes de marketing et aux chercheurs qui travaillent sur les sondages et leurs applications.

Les concepteurs d'enquêtes et les
chargés d'études y trouveront éga-
lement des informations utiles. Enfin,
j' invite les statisticiens et les écono-
mistes à lire les parties sur l'approche
modèle et l'estimation de « vraies
valeurs ».

Table des matières

Avant-propos

I. Aspects universels, principes de base

1. Généralités

2. Formalisation et vocabulaire de base

3. Loi d'un estimateur et intervalle de confiance

4. Principe des estimateurs « en chaîne »

5. Bases de sondage

6. Différents types d'erreurs rencontrés dans les enquêtes

7. Principales étapes d'une enquête

II. Présentation des plans de sondage classiques

1. Sondage aléatoire simple

2. Sondage stratifié

3. Sondage à plusieurs degrés

4. Sondage à probabilités inégales

5. Échantillonnage équilibré

6. Sondages empiriques

7. Cas pratique : l'échantillonnage des enquêtes-ménages de l'Insee dans les échantillons-maîtres 90 et 99

8. Synthèse

III. Amélioration des estimateurs
(redressements, correction de
non-réponse)

1. Post-stratification simple

2. Post-stratification sur plusieurs critères

3. Estimateur par le ratio (ou par le quotient)

4. Estimateur par la régression

5. Une approche générale du problème : calage généralisé et application « Calmar »

6. Traitement des non-réponses

7. Cas pratique : l'enquête biens durables – ameublement

IV. Quelques aspects particuliers des
sondages

1. Estimation sur des domaines

2. Tirage d'individus dans un ménage

3. Échantillonnage dans le temps

4. Introduction à l'approche modèle

V. Plans de sondages complexes :
éléments pour estimer les précisions

1. Problèmes posés et généralités sur les types de traitements

2. Deux méthodes générales d'estimation de précision : le bootstrap et le jackknife

3. Une méthode particulière d'estimation de précision : les demi-échantillons

4. Cas d'application 1 : mise en œuvre du logiciel Poulpe dans le cadre de l'enquête emploi de l'Insee

5. Cas d'application 2 : méthode de calcul de précision des enquêtes-ménages tirées dans l'échantillon-maître 82

6. Cas d'application 3 : précision de l'indice trimestriel des loyers

7. Cas d'application 4 : précision « anticipée » des enquêtes-ménages tirées dans l'échantillon-maître 90

Conclusion

Bibliographie

Lexique

Index