# Les ondes longues internes : génération et interaction avec la houle

Katell Guizien

► To cite this version:

Katell Guizien. Les ondes longues internes: génération et interaction avec la houle. Océan, At-mosphère. Université Joseph Fourier (Grenoble 1), 1998. Français. NNT: 1998GRE10227. tel-03893009

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UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER GRENOBLE I
SCIENCES & GÉOGRAPHIE

THÉSE

présentée par

Katell GUIZIEN

pour obtenir le titre de

Docteur

de l'Université Joseph Fourier - Grenoble I

(Arrêtés ministériels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992)

Spécialité : Géophysique

Les ondes longues internes :
génération et interaction avec la
houle

Date de soutenance : 17 novembre 1998

Composition du jury :

M. D. Renouard

Président

M. C. Kharif

Rapporteur

M. T.J. Sherwin

Rapporteur

M. A. Temperville

Examineur

M. E. Barthélemy

Examineur

Thèse préparée au sein du
Laboratoire des Écoulements Géophysiques et Industriels
Résumé :

L'activité économique maritime s'étant éloignée de la côte pour se rapprocher du bord du talus continental, les exploitants se trouvent confrontés à des mouvements baroclines qui peuvent être de grandes amplitudes, les ondes longues internes. Dans ce mémoire, on présente donc deux aspects concernant les ondes longues internes. Dans une première partie, la génération des ces ondes lors de l'interaction de la marée externe avec le talus continental a été étudié. Il a été montré grâce à un modèle linéaire d'ondes longues en bi-couche que l'incidence oblique de la marée ainsi que la rotation terrestre n'étaient pas à négliger. Le modèle a été validé en le comparant à des mesures in-situ réalisées sur le Malin Shelf (Ecosse). Dans la seconde partie, nous nous sommes interessés à l'interaction de ces ondes longues internes avec la houle de surface. En effet, sur les images de SAR, on peut observer la signature des ondes internes laissée en surface. Une première étude expérimentale d'interaction entre une onde solitaire de surface et une onde courte monochromatique barotrope a été menée simulant la différence d'échelle existant entre une onde longue interne et des vagues de vent. Des déphasages importants de l'onde courte ont été mesurés, en bon accord avec ceux prédits par un modèle théorique utilisant la technique WKB également présenté dans ce mémoire. Ce modèle a aussi conduit à estimer les modulations d'amplitude de l'onde courte à travers la conservation de l'action d'onde mais ce point n'a pu être testé expérimentalement. Enfin, des expériences d'interaction entre une onde solitaire interne et une onde courte externe ont été menées en milieu stratifié. Les modulations de la phase se sont avérées trop faibles pour être mesurées, et celles de l'amplitude ne sont pas décrites par la conservation de l'action d'onde établie théoriquement pour le cas de la première série d'expériences.

Mots clés :onde interne; ondes longue; onde de surface; génération; interaction; réfraction; mesure in-situ; WKB; expérience

Summary :

Economical activities at sea have been moving from the coast towards the continental margins where baroclinic motion, sometimes of large amplitude, are to be faced. These are long internal waves of which we present two aspects in this report. In the first part, the generation of long linear internal wave by the external tide interacting with the continental step is examined. Importance of the oblique incidence of the tide and earth rotation have been settled within a two-layer long wave model. This model has been validated bearing the comparison with in-situ data from the Malin Shelf (Scotland). In the second part, the interaction between long internal waves and surface waves has been studied. Indeed, the surface signature of internal waves can be observed on SAR images. Firstly, experiments of interaction between an external solitary wave and short monochromatic surface waves have been carried out, in order to take into account the scale difference that exists between long internal wave and wind waves. Large phase shift have been measured on the short wave train, in good agreement with the predictions of a theoretical model based on WKBJ technique developped in this report. This model also gives short wave amplitude modula-tions through the wave action conservation, but this was not tested experimentally. Lastly, experiments of interaction between an internal solitary wave and short surface waves in a stratified medium revealed that phase shifts were too small to be measured. It also showed that wave action conservation, as obtained theoretically for the first set of experiments, did not apply to describe the short wave amplitude modulations.

Keywords :internal wave; long wave; surface wave; generation; interaction; refraction; field measurements; WKBJ; experiment
Merci à Vous

Voici certainement l'exercice le plus périlleux de l'après-
thèse. Comment n'oublier personne ? Pour la petite histoire,
en DEA, j'ai fait pire. J'avais tout simplement oublier les
remerciements. Alors, pour une fois que j'y pense, si j'oublie
de vous nommer, je remercie en groupe tout ceux qui m'ont
soutenue, aidée, encouragée ... au cours de ces 3 années.

Ceci dit, certaines personnes méritent une mention spéciale.
Evidemment, Eric Barthélemy qui a été pour moi un di-
recteur de thèse idéal, toujours disponible quand cela a été
nécessaire tout en me laissant une liberté d'action tout-à-
fait appréciable. Je le remercie également pour m'avoir in-
citée à effectuer un séjour à l'Université du Pays de Galles à
Bangor et m'avoir bien conseillé pour tous les petits détails
pratiques.

Bien sûr, je remercie chaleureusement Toby Sherwin et Mark
Inall ainsi que toute l'équipe de UCES pour m'avoir si bien
accueilli lors de ce séjour et pour la culture océanographique
de terrain qu'ils ont pu me communiquer au cours des "tea
breaks".

Je remercie également les membres de mon jury de thèse,
Christian Kharif et Toby Sherwin pour le temps qu'ils ont
bien voulu accorder à la lecture attentive de ce manuscrit
pour faire leurs rapports, Dominique Renouard pour avoir
accepté de présider ce jury ainsi qu'André Temperville.

Enfin, je remercie tous les autres, les membres de l'équipe
Houle passés et présents pour leur soutien moral, scienti-
fique et technique : Cristèle, Mathieu, Philippe (Larroudé),
André, Hervé, Nicolas et bien sûr Jean-Marc, mon compère
homme-grenouille pour les manips dans le grand canal.

Plus personnellement, je remercie doudou Philou pour son
soutien, surtout dans les derniers moments après l'arrivée
d'Erwan.

Encore une fois merci à vous tous,

Katell
# Table des matières

1 Introduction 7

I Génération de la marée interne sur les marges continentales 13

2 Génération de la marée interne 13

2.1 Revue bibliographique 13

2.2 Ondes longues 3D 15

2.2.1 Notations et hypothèses 15

2.2.2 Equations linéaires de base et expression des pressions 16

2.2.3 Equations pour les dénivelées d'interface et de surface 17

2.2.4 Equations en modes normaux 18

2.2.5 Solutions générales en milieu infini ou semi-infini et discussion 19

2.2.6 Solutions progressives ou ondes de Poincaré 20

2.2.7 Expression des vitesses et énergies 21

2.3 Incidence normale sur une marche 22

2.4 Incidence quelconque sur une marche 24

2.4.1 Cas général 25

2.4.2 Simplification : faible différence de densité et couche mince 28

2.5 Analyse qualitative des résultats théoriques 29

2.5.1 Influence de la rotation en incidence normale 29

2.5.2 Influence de l'incidence avec ou sans rotation 29

2.5.3 Comparaison avec le modèle de Baines 31

2.6 Conclusion 32

3 Mesures in-situ de la marée interne 33

3.1 Introduction 33

3.2 Description des données in-situ 36

3.2.1 Choix des données, situation géographique et bathymétrie 36

3.2.2 Instrumentation et données disponibles 39

3.3 Méthodes d'analyse 40

3.3.1 Méthode EOF : test de l'hypothèse bi-couche 41

3.3.2 Détermination unique du bi-couche équivalent 42

3.3.3 Analyse harmonique de la marée 44

3.4 Analyse des données 45

3.4.1 Malin Shelf, juillet 1996 45

3.4.2 Malin Shelf, juillet 1983 70

3.4.3 Iberian Shelf, août 1994 71
<table><tr><td>3.5 Conclusion</td><td>72</td></tr></table>

## II Etude expérimentale et théorique de l'interaction entre une houle courte de surface et une onde solitaire
77

### 4 Etude théorique de l'interaction externe-externe
79

4.1 Equations de base non linéaires 81

4.2 Méthode de perturbations : linéarisation et solutions périodiques 82

4.3 Analyse WKB : cas $\delta \ll \mu$ 85

4.3.1 Détermination de la phase à l'ordre 0 86

4.3.2 Détermination de l'amplitude du potentiel à l'ordre 0 88

4.4 Application au cas de l'onde solitaire 88

4.4.1 Ordres de grandeur 90

4.4.2 Détermination de k(X) - Relation de dispersion 91

4.4.3 Conservation de la "wave action" 93

4.5 Calculs pour différentes solutions d'ondes solitaires 93

4.5.1 Variation de la phase de l'onde courte sur l'onde solitaire 94

4.5.2 Variation de l'amplitude de l'onde courte sur l'onde solitaire 96

4.6 Conclusion 97

### 5 Etude expérimentale de l'interaction externe-externe
99

5.1 Dispositif expérimental 99

5.1.1 Description de l'équipement 99

5.1.2 Matériel d'acquisition 100

5.1.3 Génération de la houle courte 102

5.1.4 Génération de l'onde solitaire 107

5.2 Dépouillement des expériences et incertitudes 110

5.2.1 Traitement des enregistrements expérimentaux 110

5.2.2 Erreurs liées à la présence d'une onde dispersive 111

5.2.3 Variabilité du déphasage calculé sur des enregistrements de houle courte seule 113

5.3 Résultats expérimentaux et discussion 116

5.3.1 Convention de présentation et discussion des déphasages expérimentaux de la houle courte 116

5.3.2 Confrontation des déphasages expérimentaux aux prévisions des théories existantes 119

5.3.3 Etude du déferlement de l'onde courte 120

5.4 Conclusion 123

### 6 Expériences d'interaction externe-interne
123

6.1 Introduction 123

6.2 Description du dispositif expérimental 126

6.2.1 Déroulement d'un essai 126

6.2.2 Préparation du milieu stratifié 129

6.2.3 Mesures des niveaux de surface 130

6.2.4 Mesures des niveaux d'interface 134

6.3 Essais d'interaction 135

6.3.1 Qualification du milieu stratifié : bi-couche équivalent 135
<table><tr><td>6.3.2</td><td>Caractérisation des ondes solitaires internes : test de l'hypothèse bi-couche équivalent</td><td>138</td></tr><tr><td>6.3.3</td><td>Dépouillement des essais d'interaction : modulation de la houle de surface</td><td>140</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Conclusion</td><td>148</td></tr><tr><td>7</td><td>Conclusion</td><td>149</td></tr><tr><td>A</td><td>Evolution des ondes longues non-linéaires dispersives</td><td>151</td></tr><tr><td></td><td>A.1 Calcul de la distance de fission</td><td>151</td></tr><tr><td></td><td>A.2 Application au calcul de la distance de fission d'une onde sinusoïdale</td><td>152</td></tr><tr><td>B</td><td>Solutions de type onde solitaire</td><td>153</td></tr><tr><td></td><td>B.1 Solution "onde solitaire" de l'eau peu profonde et de Korteweg & de Vries</td><td>154</td></tr><tr><td></td><td>B.2 Solution "onde solitaire" de Serre</td><td>154</td></tr><tr><td></td><td>B.3 Equation intégrale et solution numérique</td><td>155</td></tr><tr><td></td><td>B.4 Comparaisons des différentes théories</td><td>156</td></tr><tr><td></td><td>B.5 Conclusion</td><td>158</td></tr><tr><td>C</td><td>Génération de l'onde solitaire externe</td><td>161</td></tr><tr><td></td><td>C.1 Solution "onde solitaire" dans l'approximation de l'eau peu profonde</td><td>161</td></tr><tr><td></td><td>C.2 Solution "onde solitaire" de Serre</td><td>164</td></tr><tr><td></td><td>C.2.1 Cas des petits déplacements : intégration analytique</td><td>165</td></tr><tr><td></td><td>C.2.2 Intégration numérique</td><td>165</td></tr><tr><td></td><td>C.3 Expériences</td><td>166</td></tr><tr><td></td><td>C.4 Conclusion</td><td>169</td></tr><tr><td>D</td><td>Modes verticaux d'une stratification continue</td><td>173</td></tr><tr><td></td><td>D.1 Modes verticaux linéaires avec rotation</td><td>173</td></tr><tr><td></td><td>D.2 Approximation KdV sans rotation</td><td>175</td></tr></table>
# Chapitre 1

## Introduction

L'intérêt pour les ondes internes au cours de ce siècle n'a cessé d'augmenter et corrélativement le nombre de travaux sur ce sujet. En effet, ces ondes, bien que difficilement repérables depuis la surface car elles présentent des maxima de déplacements dans la colonne d'eau, au niveau de zones de fort gradient de densité (thermocline, halocline) et non pas en surface. Elles peuvent atteindre des amplitudes très importantes (53 m mesurés sur le Scotian shelf par Sandstrom & Elliott en 1984 [69], 60 m mesurés par Osborne & Burch en 1980 en mer d'Adaman [58]) quand elles dégénèrent en train d'ondes solitaires, ce qui n'est pas rare dans certaines zones de l'océan.

Historiquement, les premiers instigateurs d'études sur les ondes internes furent les militaires motivés par l'intérêt stratégique du développement des sous-marins. A cet égard, les ondes internes représentent à la fois un risque de par le champ de vitesse important qui leur est associé et un avantage. En effet, les chocs que peuvent subir les sous-marins peuvent être important et il est donc préférable pour eux d'éviter les champs d'ondes internes. Par contre, les déplacements d'isothermes associés aux ondes internes peuvent contribuer au brouillage du repérage SONAR des sous-marins par les variations de la vitesse du son qui leur sont associées. Ces motivations ont en particulier conduit les militaires à se constituer des bases de données importantes d'images de la surface de l'océan, photographiques dans un premier temps et plus récemment RADAR. En effet, il est connu depuis 1950 que les ondes internes laissent des signatures en surface. Reste que ces signatures mettent en jeu des mécanismes très variés dont le premier qui fut proposé par Ewing [22] était lié à des variations de tensions superficielles. A l'heure actuelle, l'interprétation des signatures laissées en surface par les ondes internes est plus que jamais un enjeu. Cette préoccupation n'est plus seulement réservée aux militaires mais concerne également l'industrie de la pêche et les pétroliers. En effet, l'étude des mécanismes de génération des ondes internes a mis en évidence un lieu privilégié pour la génération de ces ondes, à savoir le talus des marges continentales (et toutes les zones de fort gradient bathymétrique tels que les détroits, les îles sous-marines ...).

Or, ces zones sont également des zones privilégiées pour une partie de l'activité économique liée au milieu marin. En effet, les profondeurs limitées (de l'ordre de quelques centaines de mètres) en font des zones préférentielles pour la pêche de certaines espèces qui peuvent être amenées à migrer en fonction du déplacement des nutriments dans la colonne d'eau par les ondes internes ou de la turbidité liée au mélange causé par le déferlement d'ondes internes de grande amplitude près des côtes. L'assistance satellite permettrait alors d'augmenter la rentabilité de ce type de pêche.
Par ailleurs, le tarissement des réserves pétrolifères off-shore les plus proches des côtes
impliquent le déplacement de ces structures plus loin des côtes et en particulier, vers le bord de la marge continentale. Or, des structures off-shore près du talus de la marge continentale risquent d'être soumises à de fortes contraintes liées au champ de vitesse des ondes internes. C'est l'évaluation de ce risque qui motive actuellement le financement d'études sur la génération des ondes internes par les pétroliers.

Ainsi, deux types de préoccupation coexistent. Certaines sont davantages intéressées à l'aspect génération des ondes internes et d'autres sont plus concernées par le repérage et la caractérisation de ces ondes au cours de leur propagation. Ces motivations expliquent les deux aspects étudiés dans cette thèse, à savoir dans une première partie, l'étude de la génération de la marée interne (linéaire) au niveau de la marge continentale par la marée externe en incidence oblique quelconque. Puis dans une seconde partie, l'étude se porte sur la caractérisation des signatures laissées en surface par les ondes internes et que l'on peut observer en particulier sur les images SAR (Synthetic Aperture Radar ou Radar à synthèse d'ouverture) dont un exemple, sur lequel on peut observer des trains d'ondes solitaires, est reproduit sur la figure (1.1).

En effet, l'accumulation d'images SAR de l'océan durant les vingt dernières années constitue une formidable base de données somme toute peu exploitée relativement aux ondes internes. Néanmoins, cette somme de données ouvre des perspectives intéressantes, ce qui se traduit par un engouement sur l'interprétation des images SAR. Or, une bonne interprétation suppose à la fois des connaissances sur le rayonnement radar proprement dit et sur le phénomène que l'on souhaite mesurer. Ceci requiert donc pour ce qui est de l'interprétation des images de l'océan des connaissances pluri-disciplinaires qui font l'intérêt du projet européen Mesoscale Ocean Radar Signature Experiment (MORSE) dans lequel se trouve inscrit ce travail de thèse. En effet, le projet MORSE du programme MAST III regroupe à la fois des spécialistes du rayonnement Radar, de l'interprétation des images SAR et des océanographes.

Afin de saisir toute la complexité de l'interprétation de l'imagerie de type SAR, voici quelques repères de l'état de l'art dans ce domaine issus d'un article de synthèse de Rufenach et al. [68]. La technique SAR permet (à la différence de l'altimétrie) d'obtenir des images 2D de la modulation du rayonnement rendu par une surface ou "backsca-terring". Cette modulation peut être de plusieurs natures, soit spéculaires (réflexion-réfraction comme pour la lumière) ou bien basée sur la résonnance de Bragg. Ces mo-dulations conduisent à une image de dégradés de gris comme le montre la figure (1.1) dont l'analyse adéquate, qui consiste à inverser le "backscaterring", permet d'obtenir le spectre directionnel des ondes de surface. L'étape suivante consiste alors à déterminer de quelle façon ce spectre de surface est le produit de la modulation par une onde interne. Jusqu'à présent et encore aujourd'hui, les spécialistes de l'interprétation des images SAR concentrent leurs efforts sur les mécanismes du "backscaterring" comme le montre la revue de Hughes & Dawson [32]. Il est en effet possible de déterminer avec une bonne précision la longueur d'onde de l'onde interne et à l'aide d'un modèle théorique et/ou de mesures complémentaires tels que profils de densité, bathymétrie, d'en estimer l'amplitude à partir de la longueur d'onde.

Cette contribution à l'interprétation des images SAR concerne plus particulièrement l'étude des mécanismes de modulation des ondes de surface au passage d'une onde interne (et plus précisément d'une onde solitaire interne) et leur caractérisation. En effet, différents types d'interaction ondes internes-ondes de surface peuvent se produire, suivant la nature des unes ou des autres. La marée interne ayant souvent tendance à dégénérer sous l'effet des non-linéarités en un train d'ondes solitaires et celles-ci présentant les contraintes les
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1.1 – Image SAR des îles Galapagos</figcaption></figure>

plus dramatiques car pouvant atteindre des amplitudes très importantes, on limite l'étude
au cas des ondes solitaires internes.

Pour ce qui est des ondes de surfaces, par contre, les principales ondes peuvent être de trois natures :

- ondes capillaires ou de gravité très courtes, générées localement par le vent d'où l'appellation d'ondes de vent et dont la longueur d'onde est inférieure à 50 mètres,

- ondes de gravité moyennes générées du coté océan sur des temps très longs que l'on nomme houle ou “swell” et dont la longueur d’onde est comprise entre 50 et 500 mètres en général,

- et des ondes de gravité longues générées par l'attraction des astres que l'on nomme marée et dont la longueur d'onde est supérieure à 1000 km.
Compte-tenu de la surface représentée sur les images SAR de quelques centaines de km au carré, seules les deux premières catégories d'ondes de surface seront considérées. On caractérise a priori la phénoménologie des interactions par la différence d'échelle qui peut exister entre l'onde interne et l'onde externe. En effet, sachant qu'une onde solitaire interne présente une longueur caractéristique de 1 à 2 km, dans l'interaction avec les ondes de vent la différence d'échelle est au moins d'un ordre de grandeur alors que ce n'est pas le cas pour les interactions avec les houles. De même, la vitesse de groupe d'une houle de surface est de l'ordre de grandeur de celle d'une onde solitaire interne alors que celle d'une onde de vent est bien plus faible.

Au laboratoire, il n'est pas facile de reproduire la grande différence d'échelle qui existe dans l'interaction entre des ondes de vent et une onde solitaire interne à cause des limitations de stabilité de l'onde externe qui est de toute façon générée par un batteur dans notre canal. Ainsi, ce premier type d'interaction a été modélisé expérimentalement par l'interaction entre une onde solitaire et une onde courte, toutes deux en surface. Ceci a permis de se rapprocher du cas nature tant sur les différences de longueur d'onde que de vitesses. Bien sûr, cette modélisation n'est pas complètement satisfaisante puisque le paramètre stratification a été éliminé et la dénivelée de surface libre a été introduite. En fait, l'étude théorique montre que ce paramètre est négligeable.

Enfin, l'exposé de ce mémoire de thèse s'achèvera sur la modélisation expérimentale en similitude des interactions entre des houles de surface et une onde solitaire interne. Il s'agit d'expériences originales réalisées en milieu stratifié en densité par un gradient de salinité.
Première partie

Génération de la marée interne
sur les marges continentales
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Chapitre 2

## Étude théorique de la génération
de la marée interne sur le talus
continental avec rotation

### 2.1 Revue bibliographique

On distingue principalement deux approches pour l'étude théorique de la génération de la marée interne linéaire due à l'interaction de la marée barotrope avec les marges continentales et la stratification. La différence d'approche réside dans l'approximation ondes longues ou non. Cette approximation conditionne par la suite les géométries et stratifications envisageables. Dans l'approximation onde longue, la marge est le plus souvent modélisée par une marche, et la stratification est un bi-couche, ne laissant place qu'à un seul mode barocline. Sans cette approximation, toutes les stratifications et géométries sont autorisées ; les plus souvent testées restant la pente constante pour le talus et le gradient de densité constant pour la stratification. En effet, dans ces deux cas, il est possible de faire apparaître des solutions semi-analytiques. En s'affranchissant de l'hypothèse onde longue, les auteurs rajoutent généralement une condition de toit rigide à la surface pour le calcul des modes baroclines.

Historiquement, les premiers travaux théoriques sur la génération des ondes internes sur les marges continentales ont été menés par Rattray et al [64] [65]. Dans la plupart de ses travaux, Rattray considère le cas bidimensionnel d'une marée barotrope de type onde progressive en incidence frontale sur le talus. Ceci exclut en particulier les ondes tridimensionnelles de type Kelvin.

Dans un premier temps, Rattray propose en 1960 [64] un modèle de génération d'ondes interfaciales due à l'interaction de la marée barotrope avec un talus modélisé par une marche dans une stratification de type bi-couche dans l'approximation onde longue. Il modélise la côte, soit par un réflecteur parfait (mur vertical), soit par une plage de pente constante. Les calculs sont développés en tenant compte de la rotation terrestre. Dans les deux cas, il obtient à l'interface un clapotis sur le plateau (superposition de l'onde progressive transmise sur le plateau et de celle réfléchie par le mur ou la plage) et une onde progressive réfléchie du côté haute mer, l'amplitude de ces ondes pouvant devenir très grande.

Dans ce chapitre, nous développons un calcul basé sur des hypothèses similaires, excepté pour la côte que nous supposerons être un absorbeur parfait.
Dans un second temps, Rattray et al. [65] reprennent la géométrie de l'étude précédente, mais pour une stratification linéaire en abandonnant l'hypothèse onde longue. Ils s'intéressent essentiellement dans cet article à la propagation des ondes internes réfléchies du côté haute mer. Ils montrent que l'énergie se propage confinée entre deux rayons émis à la cassure et que l'amplitude de chaque mode interne est sensiblement proportionnelle à l'inverse du nombre d'onde. La largeur de la bande de propagation de l'énergie est deux fois la profondeur d'eau sur le plateau.

Enfin, en 1975, Prinsenberg et Rattray [66] dans le but de se rapprocher du cas océanographique, ajoutent au modèle précédent un talus de pente constante. Les stratifications envisagées sont dans un premier temps, une stratification linéaire puis, une stratification quelconque, typique du Nord-Est de l'Océan Pacifique. L'intérêt se porte à nouveau du côté haute mer. L'effet du talus est d'une part, la réfraction sur la pente qui dissymétrise la répartition d'énergie dans le rayon réfléchie du côté haute mer (plus d'énergie en bas, moins en haut) et d'autre part, l'interférence d'un rayon généré à la cassure de pente au fond, avec le rayon réfléchi sur le fond. Lorsque la fréquence de Brunt-Väisälä n'est pas constante (stratification quelconque), les rayons s'incurvent.

A partir des années 80, pléthore d'auteurs se penche sur la question, que ce soit par une approche analytique ou numérique, certainement motivé par les mesures in-situ se développant au même moment.

Baines fait en 1982 [2] une revue des modèles existants et propose un modèle dans lequel il considère une couche supérieure de densité constante et une couche inférieure de gradient de densité constant avec un saut de densité à l'interface [cf. schéma (2.1)].

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 2.1 – Modèle de génération de Baines (a) géométrie (b) stratification</figcaption></figure>

Son modèle, développé sans l'approximation des ondes longues, prend donc en compte des modes internes dans la couche inférieure, mais aussi un mode barocline interfacial grâce au saut de densité. La formulation de ce modèle bidimensionnel fait intervenir le forçage barotrope sous la forme de l'amplitude du débit barotrope perpendiculaire à la cassure et non plus de dénivelé de surface. Baines suggère dans un travail précédent [1] de déterminer ce débit à partir de l'amplitude à la côte, présentant un exemple pour le cas d'une onde de Kelvin donc tridimensionnelle. Sans autre explication, il est incorrect de forcer le modèle avec un débit perpendiculaire au plateau dérivé d'une onde tridimensionnelle du type onde de Kelvin, si le problème dans lequel il apparaît est bidimensionnel. Ce point est d'ailleurs soulevé par Huthnance [34] dans un article synthétique sur les ondes internes près des marges continentales. En effet, Huthnance donne les équations linéarisées pour un fluide stratifié en rotation dans le cas tridimensionnel et suppose une dépendance le long du plateau de type sinusoïdal, de nombre d'onde $k$. Il précise alors bien que dans le modèle de Baines $k = 0$. Ce point sera rediscuté à la fin de ce chapitre.
Enfin, en s'intéressant à la génération des ondes internes cette fois, Baines introduit un critère pour que des ondes internes d'amplitude non négligeable soit générées :

$$ \frac{\beta - \phi}{\beta + \phi} < \frac{d}{D} $$

où $\beta = \tan \theta$ avec $\theta$ angle de propagation du rayon de l'onde interne par rapport à l'horizontale, $\phi = \tan \alpha$ et les autres notations sont définies sur le schéma (2.1).

En 1987, Barthélemy [3] reprend dans sa thèse les hypothèses de la première étude de Rattray donc avec l'hypothèse onde longue. A l'exception du choix d'un absorbeur parfait pour la côte, la géométrie et la stratification sont les mêmes que celles choisies par Rattray en 1960. Cependant, il ne prend pas en compte la rotation, ce qui lui permet de montrer l'unicité de l'ensemble de solutions trouvé et ce, quelle que soit la dépendance temporelle du forçage.

Dans ce chapitre, on réintroduit la rotation dans le modèle de Barthélemy. La nouveauté dans le calcul analytique qui suit est l'aspect tridimensionnel du forçage barotrope. En effet, les travaux prenant en compte cet aspect sont rares et incomplets. A ma connaissance, Weigand et al. [77] ont tenté de tester tant l'influence du frottement que de l'incidence oblique d'une onde de Poincaré sur une marche avec un mur à la côte, dans un bi-couche. Si l'influence du frottement est étudié en détail, étayant le calcul théorique avec des expériences, l'étude de l'incidence oblique ne semble guère concluante. En effet, le modèle théorique qu'ils développent dans l'approximation des ondes longues conduit à des solutions où la dépendance le long du plateau n'est pas spécifiée, ce qui contredit les conditions de raccordement à la cassure. C'est ce calcul que nous reprenons dans ce chapitre, en envisageant aussi bien le cas d'une onde de Poincaré que celui d'une onde de Kelvin barotrope incidente.

## 2.2 Ondes longues 3D en bi-couche avec rotation sur fond plat

### 2.2.1 Notations et hypothèses

La figure (2.2) présente un schéma de l'écoulement que l'on se propose d'étudier. Il s'agit de l'écoulement de deux fluides non-miscibles disposés en couche l'un sur l'autre notés avec les indices respectifs 2 en bas et 1 en haut. Les deux fluides ont des densités différentes, le fluide le plus dense se situe dans la couche inférieure notée 2. Les deux fluides sont supposés parfaits ($\nu_1 = \nu_2 = 0$) et incompressibles ($\frac{D\rho_1}{Dt} = \frac{D\rho_2}{Dt} = 0$).

On formule de plus les hypothèses suivantes :

1. La répartition de pression est hydrostatique suivant $z$, ce qui équivaut à supposer la vitesse verticale petite comparée aux vitesses dans un plan horizontal ($w \ll u, v$).

2. Les déplacements de l'interface et de la surface seront supposés petits devant les profondeurs d'eau permettant de linéariser les équations.

3. On suppose de plus que la force de Coriolis (notée $f$) est parallèle à l'axe vertical sur tout le domaine (hypothèse du f-plan, légitime si l'on suppose un petit domaine).

4. Les vitesses dans le plan horizontal ne dépendent pas de la variable verticale $z$ i.e. $u = u(x, y)$ et $v = v(x, y)$.

Les hypothèses [1] et [4] correspondent à l'approximation des ondes longues.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 2.2 – Notations utilisées pour étudier un écoulement tridimensionnel avec rotation en bi-couche</figcaption></figure>

### 2.2.2 Equations linéaires de base et expression des pressions

Les équations gouvernant l'écoulement sur fond horizontal ayant les caractéristiques ci-dessus s'écrivent :

- dans la masse :

★ pour $0 \le z \le h_2$ :

$$u_{2x} + v_{2y} + w_{2z} = 0 \qquad (2.1)$$

$$u_{2t} - fv_{2} = -\frac{p_{2x}}{\rho_{2}} \qquad (2.2)$$

$$v_{2t} + fu_{2} = -\frac{p_{2y}}{\rho_{2}} \qquad (2.3)$$

$$p_{2z} = -\rho_{2}g \qquad (2.4)$$

★ pour $h_2 \le z \le h_1 + h_2$ :

$$u_{1x} + v_{1y} + w_{1z} = 0 \qquad (2.5)$$

$$u_{1t} - fv_{1} = -\frac{p_{1x}}{\rho_{1}} \qquad (2.6)$$

$$v_{1t} + fu_{1} = -\frac{p_{1y}}{\rho_{1}} \qquad (2.7)$$

$$p_{1z} = -\rho_{1}g \qquad (2.8)$$

- imperméabilité du fond ; en $z = 0$

$$w_{2} = 0 \qquad (2.9)$$

- imperméabilité de l'interface ; en $z = h_2$

$$\eta_{2t} = w_{2} = w_{1} \qquad (2.10)$$

- égalité des pressions à l'interface ; en $z = h(x, y, t)$

$$p_{2} = p_{1} \qquad (2.11)$$
- isobarité de la surface libre; en $z = H(x, y, t)$

$$p_1 = 0 \qquad (2.12)$$

si la pression de référence est la pression atmosphérique.

- imperméabilité de la surface libre; en $z = h_1 + h_2$

$$\eta_{1t} = w_1 \qquad (2.13)$$

En utilisant (2.4), (2.8), (2.11) et (2.12), on obtient facilement le champ de pression dans chacune des couches en fonction des niveaux de la surface et de l'interface :

$$p_1 = \rho_1 g [H(x, y, t) - z] \qquad (2.14)$$

$$p_2 = \rho_2 g [h(x, y, t) - z] + \rho_1 g [H(x, y, t) - h(x, y, t)] \qquad (2.15)$$

### 2.2.3 Elimination des vitesses : obtention des équations pour les dénivelées d'interface et de surface

En intégrant les équations décrivant la conservation de la masse (2.1) sur la hauteur de la couche inférieure et (2.5) sur la hauteur de la couche supérieure d'autre part, et en utilisant les relations d'imperméabilité au fond (2.9), à l'interface (2.10) et à la surface libre (2.13), on obtient les équations suivantes pour $\eta_1$ et $\eta_2$ après linéarisation :

$$\eta_{1t} + h_2(u_{2x} + v_{2y}) + h_1(u_{1x} + v_{1y}) = 0 \qquad (2.16)$$

$$\eta_{2t} + h_2(u_{2x} + v_{2y}) = 0 \qquad (2.17)$$

D'autre part, en utilisant les expressions des pressions (2.14) et (2.15) dans chacune des deux couches, on réécrit les équations du mouvement :

* pour $0 \le z \le h(x, y, t)$ :

$$u_{2t} - f v_2 + g \left[ \eta_{2x} + \frac{\rho_1}{\rho_2} (\eta_{1x} - \eta_{2x}) \right] = 0 \qquad (2.18)$$

$$v_{2t} + f u_2 + g \left[ \eta_{2y} + \frac{\rho_1}{\rho_2} (\eta_{1y} - \eta_{2y}) \right] = 0 \qquad (2.19)$$

* pour $h(x, y, t) \le z \le H(x, y, t)$ :

$$u_{1t} - f v_1 + g \eta_{1x} = 0 \qquad (2.20)$$

$$v_{1t} + f u_1 + g \eta_{1y} = 0 \qquad (2.21)$$

Afin d'obtenir les équations décrivant $\eta_1$ et $\eta_2$, on transforme le système d'équations (2.18) à (2.21) par dérivation, et on obtient :

* pour $0 \le z \le h(x, y, t)$ :

$$u_{2ty} - v_{2tx} - f(u_{2x} + v_{2y}) = 0 \qquad (2.22)$$

$$u_{2tx} + v_{2ty} + f(u_{2y} - v_{2x}) = 0 \qquad (2.23)$$

$$+g \left[ \left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right)(\eta_{2xx} + \eta_{2yy}) + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\eta_{1xx} + \eta_{1yy}) \right] = 0 \qquad (2.23)$$
★ pour $h(x, y, t) \le z \le H(x, y, t)$ :

$$u_{1ty} - v_{1tx} - f(u_{1x} + v_{1y}) = 0 \qquad (2.24)$$

$$u_{1tx} + v_{1ty} + f(u_{1y} - v_{1x}) + g(\eta_{1xx} + \eta_{1yy}) = 0 \qquad (2.25)$$

On obtient alors les équations voulues pour $\eta_1$ et $\eta_2$ en substituant (2.22) et (2.24) dérivées par rapport au temps dans (2.23) et (2.25) respectivement, puis enfin en utilisant (2.16) et (2.17). Ces équations s'écrivent :

$$(\eta_{1ttt} - \eta_{2ttt}) + f^2(\eta_{1t} - \eta_{2t}) - gh_1(\eta_{1xxt} + \eta_{1yyt}) = 0 \qquad (2.26)$$

$$\eta_{2ttt} + f^2\eta_{2t} - gh_2 \left[ \left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right)(\eta_{2xxt} + \eta_{2yyt}) + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\eta_{1xxt} + \eta_{1yyt}) \right] = 0 \qquad (2.27)$$

### 2.2.4 Equations en modes normaux

La décomposition en modes normaux, proposée par Leblond et Mysak [43], permet de présenter les équations aux dérivées partielles du problème sous forme séparable et donc d'en donner toute une famille de solutions.

Dans les équations (2.26) et (2.27), on introduit la décomposition en modes normaux dans le but de diagonaliser la matrice des opérateurs dérivées partielles. Pour ce faire, on introduit le vecteur propre noté $\eta = \eta_1 + q\eta_2$ (où $q$ est un vecteur paramètre déterminé plus loin) tel que :

$$\eta_{ttt} + f^2\eta_t - gH(\Delta\eta)_t = 0 \qquad (2.28)$$

où $H$ est un vecteur à déterminer tel que le système des équations (2.26)-(2.27) soit équivalent à (2.28).

Ainsi, $H$ et $q$ vérifient le système :

$$H = h_1 + h_2 \frac{\rho_1}{\rho_2} (1 + q) \qquad (2.29)$$

$$Hq = h_2(1+q) \left[ 1 - \frac{\rho_1}{\rho_2} \right] \qquad (2.30)$$

Ce système admet deux couples solutions (en bi-couche) correspondant aux modes barocline et barotrope, notés $(H^i, q^i)_{i=[0,1]}$ où les $q^i$ sont les solutions de l'équation du second degré (2.31) et les $H^i$ sont donnés par (2.29).

$$q^2 + \left[ \frac{h_1}{h_2} \frac{\rho_2}{\rho_1} - \frac{\rho_2}{\rho_1} + 2 \right] q + \left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right) = 0 \qquad (2.31)$$

Les solutions de (2.31) sont :

$$q^{(0)} = \frac{\rho_2}{2\rho_1} \left(1 - \frac{h_1}{h_2}\right) \left[ 1 - 2\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{h_2}{(h_2 - h_1)} + \sqrt{1 + 4\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{h_1h_2}{(h_2 - h_1)^2}} \right] \qquad (2.32)$$

$$q^{(1)} = \frac{\rho_2}{2\rho_1} \left(1 - \frac{h_1}{h_2}\right) \left[ 1 - 2\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{h_2}{(h_2 - h_1)} - \sqrt{1 + 4\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{h_1h_2}{(h_2 - h_1)^2}} \right] \qquad (2.33)$$
alors :

$$H^{(0)} = \frac{(h_1 + h_2)}{2} \left[ 1 + \sqrt{1 + 4 \frac{h_1 h_2}{(h_2 + h_1)^2} \left( \frac{\rho_1}{\rho_2} - 1 \right)} \right] \quad (2.34)$$

$$H^{(1)} = \frac{(h_1 + h_2)}{2} \left[ 1 - \sqrt{1 + 4 \frac{h_1 h_2}{(h_2 + h_1)^2} \left( \frac{\rho_1}{\rho_2} - 1 \right)} \right] \quad (2.35)$$

L'équation (2.28) est donc un système de deux équations aux dérivées partielles indépendantes. Après une première intégration par rapport au temps, on reconnaît des équations linéaires de type Klein-Gordon :

$$\eta_{tt}^{(i)} + f^2 \eta^{(i)} - gH^{(i)}(\Delta \eta^{(i)}) = C \quad (2.36)$$

où C est une constante que l'on peut choisir nulle.

Avant de donner les solutions de ce type d'équations, précisons d'abord comment l'on obtient les dénivelées de surface et d'interface.

- le mode barotrope est défini en posant $\eta^{(1)} = 0$, alors les déplacements de la surface libre et de l'interface associés sont :

$$\eta_1 = -q^{(1)}\eta_2 \text{ et } \eta_2 = \frac{1}{q^{(0)} - q^{(1)}}\eta^{(0)}$$

- le mode barocline est défini en posant $\eta^{(0)} = 0$, alors les déplacements de la surface libre et de l'interface associés sont :

$$\eta_1 = -q^{(0)}\eta_2 \text{ et } \eta_2 = \frac{1}{q^{(1)} - q^{(0)}}\eta^{(1)}$$

### 2.2.5 Solutions générales en milieu infini ou semi-infini et discussion

Afin de déterminer l'ensemble des solutions du problème, on prend la transformée de Fourier complexe par rapport au temps de chaque équation (i) de (2.36).

Soit $\bar{\eta}_{\omega}(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{t=-\infty}^{t=\infty} \eta(x, y, t)e^{-i\omega t} dt$ alors (2.36) devient :

$$(f^2 - \omega^2)\bar{\eta}_{\omega}^{(i)} - gH^{(i)}(\Delta\bar{\eta}_{\omega}^{(i)}) = 0 \quad (2.37)$$

Puis, on prend la transformée de Fourier complexe par rapport à l'une des variables d'espace, par exemple $x$, de chaque équation (i) de (2.37).

Soit $\tilde{\eta}_{\omega, k_x}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x=-\infty}^{x=\infty} \bar{\eta}_{\omega}(x, y)e^{-ik_x x} dx$ alors (2.37) devient :

$$\left[ \frac{(f^2 - \omega^2)}{gH^{(i)}} + k_x^2 \right] \tilde{\eta}_{\omega, k_x}^{(i)} - \frac{d^2 \tilde{\eta}_{\omega, k_x}^{(i)}}{dy^2} = 0 \quad (2.38)$$

L'équation différentielle (2.38), linéaire d'ordre 2, s'intégre sans difficulté, les solutions étant de la forme :

$$\tilde{\eta}_{\omega, k_x}^{(i)}(y) = A_{\omega, k_x}^{(i)} e^{k_y y} \quad (2.39)$$

avec $A_{\omega, k_x}^{(i)}$ amplitude (constante pour $k_x$ et $\omega$ donnés) et $k_y$ complexe tels que :

$$k_y^2 = k_x^2 + \frac{f^2 - \omega^2}{gH^{(i)}} \quad (2.40)$$
En résumé, les solutions générales de (2.36) s'écrivent :

$$ \eta^{(i)}(x, y, t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\omega=-\infty+i\alpha}^{\omega=\infty+i\alpha} \int_{k_x=-\infty+i\gamma}^{k_x=\infty+i\gamma} A_{\omega,k_x}^{(i)} e^{[i(\omega t + k_x x) + k_y y]} dk_x d\omega \quad (2.41) $$

où $k_y$ vérifie (2.40).

Ainsi, la seule donnée de la fonction $A_{\omega,k_x}^{(i)}$ permet de déterminer la solution. $A_{\omega,k_x}^{(i)}$ est une fonction de deux variables, quelconque, éventuellement une distribution donnant l'amplitude de la solution à la pulsation $\omega$ et de nombre d'onde $k_x$. De ce point de vue, on peut considérer la solution générale comme la superposition de solutions élémentaires :

$$ A_{\omega,k_x}^{(i)} e^{[i(\omega t + k_x x) + k_y y]} $$

Physiquement, les solutions doivent être bornées en temps, ainsi si $Im(\omega) \neq 0$, $A_{\omega,k_x}^{(i)} = 0$.

De plus, supposons que l'ensemble des fréquences temporelles soit discret, (fixé par les fréquences astronomiques par exemple) à savoir si $\omega \notin [\omega_i]_{i \in [1,n]}$, $A_{\omega,k_x}^{(i)} = 0$. Ensuite pour tout $k_x$, $k_y$ est donné par (2.40) et l'on distingue trois cas :

* $\omega^2 = f^2 + k_x^2 g H^{(i)}$ alors $k_y = 0$

* $\omega^2 < f^2 + k_x^2 g H^{(i)}$ alors $k_y^2 > 0$ donc $k_y$ est réel;
  on obtient des ondes de Kelvin si $k_x$ est également réel (existent sur les domaines semi-infinis) et des ondes stationnaires si $k_x$ est imaginaire pur (n'existent que sur des domaines bornés)

* $\omega^2 > f^2 + k_x^2 g H^{(i)}$ alors $k_y^2 < 0$ donc $k_y$ est imaginaire pur;
  on obtient des ondes de Kelvin si $k_x$ est également imaginaire pur (existent sur les domaines semi-infinis) et des ondes de Poincaré (progressives dans les deux directions d'espace $x$ et $y$) si $k_x$ est réel (existent sur les domaines infinis).

### 2.2.6 Solutions progressives ou ondes de Poincaré

La solution élémentaire de type Poincaré pour la dénivelée de l'interface $\eta_2$ s'écrit de la façon suivante :

$$ \eta_2 = NE_{2+}e^{i(\omega t - k_{x+}x - k_{y+}y)} + NE_{2-}e^{i(\omega t - k_{x-}x - k_{y-}y)} \\ +SE_{2+}e^{i(\omega t - k_{x+}x + k_{y+}y)} + SE_{2-}e^{i(\omega t - k_{x-}x + k_{y-}y)} \\ +SO_{2+}e^{i(\omega t + k_{x+}x + k_{y+}y)} + SO_{2-}e^{i(\omega t + k_{x-}x + k_{y-}y)} \\ +NO_{2+}e^{i(\omega t + k_{x+}x - k_{y+}y)} + NO_{2-}e^{i(\omega t + k_{x-}x - k_{y-}y)} $$

avec :

* $k_+ = \sqrt{(k_{x+})^2 + (k_{y+})^2} = \sqrt{\lambda_+}$

* $k_- = \sqrt{(k_{x-})^2 + (k_{y-})^2} = \sqrt{\lambda_-}$

* $NE_+$ amplitude de l'onde barocline se propageant vers les $(x, y)$ positifs (Nord-Est)

* $SE_+$ amplitude de l'onde barocline se propageant vers les $x$ positifs et $y$ négatifs (Sud-Est)
* $SO_+$ amplitude de l'onde barocline se propageant vers les $(x, y)$ négatifs (Sud-Ouest)

* $NO_+$ amplitude de l'onde barocline se propageant vers les $x$ négatifs et $y$ positifs (Nord-Ouest)

Les indices (-) réfèrent aux ondes barotropes.

En notant $\lambda = (k_x)^2 + (k_y)^2$ :

$$ \lambda_{-}^{+} = \frac{\rho_2(\omega^2 - f^2)(h_1 + h_2)}{2gh_1h_2(\rho_2 - \rho_1)} \left[ 1_{-}^{+} \sqrt{1 - \frac{4h_1h_2(\rho_2 - \rho_1)}{(h_1 + h_2)^2 \rho_2}} \right] \quad (2.42) $$

Ces deux solutions correspondent aux modes barocline et barotrope (respectivement lent [$\lambda^+$] et rapide [$\lambda_-$]) d'une onde se propageant à l'interface d'un bi-couche.

On note $\mu_{-}^{+}$ le rapport des amplitudes des déplacements de l'interface et de la surface libre pour chaque onde élémentaire (une direction de propagation donnée) suivant le mode barotrope ou barocline considéré. Par exemple :

$$ \mu_{-}^{+} = \frac{NE_{1\pm}}{NE_{2\pm}} = \frac{SE_{1\pm}}{SE_{2\pm}} = \frac{NO_{1\pm}}{NO_{2\pm}} = \frac{SO_{1\pm}}{SO_{2\pm}} $$

avec :

$$ \mu_{-}^{+} = \left( \frac{\rho_2}{\rho_1} \frac{h_1}{h_2} + 1 \right) - \frac{\rho_2}{2\rho_1} \left( \frac{h_1}{h_2} + 1 \right) \left[ 1_{-}^{+} \sqrt{1 - \frac{4h_1h_2(\rho_2 - \rho_1)}{(h_1 + h_2)^2 \rho_2}} \right] \quad (2.43) $$

On note $C_{-}^{+}$ les célérités de phase associées à chacun des modes barocline et barotrope comme suit :

$$ (C_{-}^{+})^2 = \frac{g\omega^2(h_1 + h_2)}{2(\omega^2 - f^2)} \left[ 1_{+}^{-} \sqrt{1 - \frac{4h_1h_2(\rho_2 - \rho_1)}{(h_1 + h_2)^2 \rho_2}} \right] \quad (2.44) $$

A l'aide de (2.43), on en déduit le niveau de surface $\eta_1$.

### 2.2.7 Expression des vitesses et énergies

Les composantes de la vitesse dans chacune des couches s'obtiennent en éliminant alternativement $u$ ou $v$ entre (2.18) et (2.19) d'une part et (2.20) et (2.21) d'autre part. Les relations exprimant les composantes de la vitesse dans le repère $(O, x, y)$ en fonction des niveaux de surface et d'interface sont :

$$ \bar{u}_1 = \frac{g}{\omega^2 - f^2} [i\omega\bar{\eta}_{1x} + f\bar{\eta}_{1y}] \quad (2.45) $$

$$ \bar{v}_1 = \frac{g}{\omega^2 - f^2} [i\omega\bar{\eta}_{1y} - f\bar{\eta}_{1x}] \quad (2.46) $$

$$ \bar{u}_2 = \frac{g}{\omega^2 - f^2} \left( i\omega \left[ \bar{\eta}_{2x} + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\bar{\eta}_{1x} - \bar{\eta}_{2x}) \right] + f \left[ \bar{\eta}_{2y} + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\bar{\eta}_{1y} - \bar{\eta}_{2y}) \right] \right) \quad (2.47) $$

$$ \bar{v}_2 = \frac{g}{\omega^2 - f^2} \left( i\omega \left[ \bar{\eta}_{2y} + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\bar{\eta}_{1y} - \bar{\eta}_{2y}) \right] - f \left[ \bar{\eta}_{2x} + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\bar{\eta}_{1x} - \bar{\eta}_{2x}) \right] \right) \quad (2.48) $$
en notant $u_i = \bar{u}_i e^{i\omega t}$, $v_i = \bar{v}_i e^{i\omega t}$ et $\eta_i = \bar{\eta}_i e^{i\omega t}$.

L'énergie potentielle instantannée et intégrée sur la profondeur est définie par :

$$PE = \frac{1}{H} \int_{0}^{H} [\rho(z, t) - \rho_{0}(z)] gzdz$$

où $\rho_0(z)$ est le profil de densité au repos, $\rho(z, t)$, le profil de densité à l'instant $t$ et en plaçant le fond à $z = 0$.

Dans le cas d'un bi-couche, l'expression de l'énergie potentielle instantannée calculée en plaçant l'interface à $z = 0$ se résume à :

$$PE = \frac{g}{2(h_1 + h_2)}[(\rho_2 - \rho_1)\eta_2^2 + \rho_1(\eta_1^2 + 2h_1\eta_1)] \quad (2.49)$$

L'énergie potentielle moyennée sur une période s'écrit :

$$\bar{PE} = \frac{g}{4(h_1 + h_2)}[(\rho_2 - \rho_1)\bar{\eta}_2^2 + \rho_1\bar{\eta}_1^2] \quad (2.50)$$

L'énergie cinétique instantannée intégrée sur la profondeur est définie par :

$$KE = \frac{1}{2H} \int_{0}^{H} \rho(u^2 + v^2)dz$$

Dans le cas d'un bi-couche, l'expression de l'énergie cinétique moyennée sur une période s'écrit :

$$K\bar{E} = \frac{1}{4(h_1 + h_2)}[\rho_1 h_1 (\bar{u}_1^2 + \bar{v}_1^2) + \rho_2 h_2 (\bar{u}_2^2 + \bar{v}_2^2)] \quad (2.51)$$

En utilisant les expressions des vitesses (2.45)-(2.48), le rapport des énergies cinétique et potentielle moyennées sur une période et intégrées sur la profondeur s'exprime uniquement en fonction de la fréquence de l'onde et de la fréquence inertielle de Coriolis [26] :

$$\frac{K\bar{E}}{\bar{PE}} = \frac{\omega^2 + f^2}{\omega^2 - f^2} \quad (2.52)$$

## 2.3 Cas bidimensionnel : onde longue barotrope en incidence normale sur une marche

Dans cette partie, on raccorde les solutions du paragraphe précédent 2.2 pour déterminer les caractéristiques des ondes baroclines et barotropes, réfléchies et transmises par une marche, connaissant l'onde barotrope progressive incidente. Le schéma (2.3) sert de support pour les notations du problème que l'on expose.

La marche est une paroi verticale que l'on définit dans le plan $(O, x, y)$ par l'équation suivante $x = 0$ et l'onde barotrope incidente arrive perpendiculairement à cette marche. L'onde barotrope incidente est une onde stationnaire si $\omega^2 < f^2$ et une onde progressive si $\omega^2 > f^2$. Dans cette partie, nous ne considérons que ce dernier cas. Les dénivelées de surface libre et d'interface dans chacun des domaines s'écrivent alors de la façon suivante :
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 2.3 – Notations utilisées pour étudier les ondes transmises et réfléchies par une marche en bi-couche avec rotation</figcaption></figure>

$$ \bar{\eta}_1^I = I_{1-}e^{-ik_-^I x} + R_{1+}e^{ik_+^I x} + R_{1-}e^{ik_-^I x} $$

$$ \bar{\eta}_2^I = I_{2-}e^{-ik_-^I x} + R_{2+}e^{ik_+^I x} + R_{2-}e^{ik_-^I x} $$

$$ \bar{\eta}_1^{II} = T_{1+}e^{-ik_+^{II} x} + T_{1-}e^{-ik_-^{II} x} $$

$$ \bar{\eta}_2^{II} = T_{2+}e^{-ik_+^{II} x} + T_{2-}e^{-ik_-^{II} x} $$

avec :

* $k_-^I = \sqrt{\lambda_-^I}$ nombre d'onde barotrope dans le domaine I

* $k_-^{II} = \sqrt{\lambda_-^I}$ nombre d'onde barotrope dans le domaine II

* $I_{1-}$ amplitude de la dénivellation de surface due à l'onde barotrope incidente dans le domaine I

* $I_{2-}$ amplitude de la dénivellation d'interface due à l'onde barotrope incidente dans le domaine I

* $R_{1-}$ amplitude de la dénivellation de surface due à l'onde barotrope réfléchie dans le domaine I

* $R_{2-}$ amplitude de la dénivellation d'interface due à l'onde barotrope réfléchie dans le domaine I

* $T_{1-}$ amplitude de la dénivellation de surface due à l'onde barotrope transmise dans le domaine II

* $T_{2-}$ amplitude de la dénivellation d'interface due à l'onde barotrope transmise dans le domaine II

les indices (+) réfèrent aux mêmes quantités pour les ondes baroclines.

Les vitesses se déduisent des dénivelées de surface et d'interface à l'aide des formules (2.45) à (2.48).

Pour déterminer les amplitudes des ondes réfléchies et transmises, il faut raccorder les solutions au niveau de la marche. Les conditions de raccord sur la marche sont
les suivantes; en $x = 0$ :

- continuité des niveaux de surface :

$$ \bar{\eta}_1^I = \bar{\eta}_1^{II} \qquad (2.53) $$

- continuité des niveaux d'interface :

$$ \bar{\eta}_2^I = \bar{\eta}_2^{II} \qquad (2.54) $$

- continuité des débits dans la couche supérieure :

$$ \bar{u}_1^I = \bar{u}_1^{II} \qquad (2.55) $$

- continuité des débits dans la couche inférieure :

$$ \bar{u}_2^I h_2 = \bar{u}_2^{II} (h_2 - b) \qquad (2.56) $$

Ces quatre relations constituent un sytème linéaire pour le calcul des amplitudes que nous présentons sous forme matricielle :

$$ [\mathcal{M}] \cdot \begin{bmatrix} r_{2+} \\ r_{2-} \\ t_{2+} \\ t_{2-} \end{bmatrix} = [\mathcal{B}] \qquad (2.57) $$

avec $R_{2+} = r_{2+}I_{2-}$, $R_{2-} = r_{2-}I_{2-}$, $T_{2+} = t_{2+}I_{2-}$, $T_{2-} = t_{2-}I_{2-}$ et :

$$ [\mathcal{M}] = \begin{bmatrix} -\mu_{+}^{I} & -\mu_{-}^{I} & \mu_{+}^{II} & \mu_{-}^{II} \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ k_{+}^{I} \mu_{+}^{I} & k_{-}^{I} \mu_{-}^{I} & k_{+}^{II} \mu_{+}^{II} & k_{-}^{II} \mu_{-}^{II} \\ k_{+}^{I} \nu_{+}^{I} & k_{-}^{I} \nu_{-}^{I} & k_{+}^{II} \nu_{+}^{II} & k_{-}^{II} \nu_{-}^{II} \end{bmatrix} ; [\mathcal{B}] = \begin{bmatrix} \mu_{-}^{I} \\ 1 \\ k_{-}^{I} \mu_{-}^{I} \\ k_{-}^{I} \nu_{-}^{I} \end{bmatrix} $$

où :

$$ \nu_{+}^{I} = 1 + \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}(\mu_{+}^{I} - 1) \qquad \nu_{-}^{I} = 1 + \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}(\mu_{-}^{I} - 1) $$

$$ \nu_{+}^{II} = \frac{h_2 - b}{h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_{+}^{II} - 1) \right] \qquad \nu_{-}^{II} = \frac{h_2 - b}{h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_{-}^{II} - 1) \right] $$

## 2.4 Cas tridimensionnel : onde barotrope en incidence quelconque sur une marche

Dans cette partie, on va utiliser les résultats du paragraphe précédent 2.57 pour déterminer les caractéristiques des ondes baroclines et barotropes, réfléchies et transmises par une marche connaissant l'onde barotrope incidente. Les notations du problème que l'on se propose d'étudier sont les mêmes qu'au paragraphe précédent et sont celles de la figure (2.3).
### 2.4.1 Cas général

La marche est une paroi verticale que l'on définit dans le plan $(O, x, y)$ par l'équation suivante $x = 0$ et est représentée sur la figure (2.4) vue de dessus. Sur la figure (2.4), on représente la direction de propagation de l'onde barotrope incidente de Poincaré repérée par l'angle $(\alpha_−)$ qu'elle fait avec l'axe des $x$.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 2.4 – Vue de dessus de la marche</figcaption></figure>

Pour le choix d'une marée barotrope se propageant vers le Nord-Est tel qu'elle est représentée sur la figure (2.4), on en déduit les directions de propagation des ondes progressives réfléchies et transmises en utilisant les lois de l'optique géométrique. Les ondes réfléchies se propagent donc vers le Nord-Ouest en faisant un angle avec l'axe des $x$ respectivement $(-\alpha_−)$ pour l'onde barotrope et $(-\alpha_+)$ pour l'onde barocline. Les ondes transmises suivent un rayon de propagation dirigé vers le Nord-Est réfracté par le changement de profondeur. Le rayon de propagation pour l'onde barotrope forme un angle $(\beta_−)$ avec l'axe des $x$ et celui de l'onde barocline forme un angle $(\beta_+)$ avec l'axe des $x$. On détermine $(\alpha_+)$, $(\beta_−)$ et $(\beta_+)$ à l'aide des conditions de raccordement sur la marche.

Les conditions de raccordement ne conduisent à une solution non triviale que si les nombres d'onde dans la direction de la cassure sont égaux pour toutes les ondes (creux et crêtes se correspondent) et sont imposés par l'onde de Poincaré barotrope incidente i.e. :

$$k_{y-}^{I} = k_{y-}^{II} = k_{y+}^{I} = k_{y+}^{II} = k_{y} \qquad (2.58)$$
Les angles $(\alpha_+)$, $(\beta_+)$ et $(\beta_-)$ sont alors déterminés et vérifient :

$$ (\tan \alpha_+)^2 = \frac{1}{\left[ \frac{1}{(\tan \alpha_-)^2} + 1 \right] \left( \frac{\lambda_+^I}{\lambda_-^I} \right)^2 - 1} \quad (2.59) $$

$$ (\tan \beta_-)^2 = \frac{1}{\left[ \frac{1}{(\tan \alpha_-)^2} + 1 \right] \left( \frac{\lambda_-^{II}}{\lambda_+^I} \right)^2 - 1} \quad (2.60) $$

$$ (\tan \beta_+)^2 = \frac{1}{\left[ \frac{1}{(\tan \alpha_-)^2} + 1 \right] \left( \frac{\lambda_+^{II}}{\lambda_-^I} \right)^2 - 1} \quad (2.61) $$

Conséquences :

- dans la région I, il ne peut alors exister aucune onde de Kelvin barotrope.

- de même, sachant que dans une région donnée, $H^{(1)} < H^{(0)}$ :

$$ \text{si } \omega^2 > f^2 + k_y^2 g H^{(0)} \text{ alors } \omega^2 > f^2 + k_y^2 g H^{(1)} $$

ainsi, si l'onde barotrope est de type Poincaré dans une région, l'onde barocline l'est aussi dans cette région.

- enfin, compte-tenu de la diminution de profondeur du domaine I au domaine II, $H^{(0)II} < H^{(0)I}$ donc l'onde barotrope dans le domaine II est également de type Poincaré.

Les niveaux de surface et d'interface s'écrivent alors comme suit :

$$ \bar{\eta}_1^I = I_{1-}e^{-i(k_{x-}^I x + k_y y)} + R_{1+}e^{i(k_{x+}^I x - k_y y)} + R_{1-}e^{i(k_{x-}^I x - k_y y)} $$

$$ \bar{\eta}_2^I = I_{2-}e^{-i(k_{x-}^I x + k_y y)} + R_{2+}e^{i(k_{x+}^I x - k_y y)} + R_{2-}e^{i(k_{x-}^I x - k_y y)} $$

$$ \bar{\eta}_1^{II} = T_{1+}e^{-i(k_{x+}^{II} x + k_y y)} + T_{1-}e^{-i(k_{x-}^{II} x + k_y y)} $$

$$ \bar{\eta}_2^{II} = T_{2+}e^{-i(k_{x+}^{II} x + k_y y)} + T_{2-}e^{-i(k_{x-}^{II} x + k_y y)} $$

avec :

- $k_{x-}^I$ nombre d'onde barotrope dans le domaine I suivant la direction $x$

- $k_y$ nombre d'onde suivant la direction $y$ imposé par l'onde incidente barotrope dans le domaine I

- $k_{x-}^{II}$ nombre d'onde barotrope dans le domaine II suivant la direction $x$ les indices (+) réfèrent aux mêmes quantités pour les ondes baroclines et les autres notations sont les mêmes que celles du paragraphe 2.57.

Les conditions de raccord sur la marche sont les mêmes qu'au paragraphe 2.57 et s'écrivent ; en $x = 0, \forall y$ :

- continuité des niveaux de surface :

$$ I_{1-} + R_{1+} + R_{1-} = T_{1+} + T_{1-} \quad (2.62) $$

- continuité des niveaux d'interface :

$$ I_{2-} + R_{2+} + R_{2-} = T_{2+} + T_{2-} \quad (2.63) $$
- continuité des débits dans la couche supérieure :

$$ (i\omega k_{x-}^I + f k_y) I_{1-} - \kappa_+^I R_{1+} - \kappa_-^I R_{1-} = \kappa_+^{II} T_{1+} + \kappa_-^{II} T_{1-} \quad (2.64) $$

- continuité des débits dans la couche inférieure :

$$ (i\omega k_{x-}^I + f k_y) \nu_-^I I_{2-} - \kappa_+^I \nu_+^I R_{2+} - \kappa_-^I \nu_-^I R_{2-} = \kappa_+^{II} \nu_+^{II} T_{2+} + \kappa_-^{II} \nu_-^{II} T_{2-} \quad (2.65) $$

où :

$$ \kappa_+^I = i\omega k_{x+}^I - f k_y $$

$$ \kappa_-^I = i\omega k_{x-}^I - f k_y $$

$$ \kappa_+^{II} = i\omega k_{x+}^{II} + f k_y $$

$$ \kappa_-^{II} = i\omega k_{x-}^{II} + f k_y $$

$$ \nu_+^I = 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_+^I - 1) $$

$$ \nu_-^I = 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_-^I - 1) $$

$$ \nu_+^{II} = \frac{h_2 - b}{h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_+^{II} - 1) \right] \quad \nu_-^{II} = \frac{h_2 - b}{h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_-^{II} - 1) \right] $$

Les relations (2.62), (2.63), (2.64) et (2.65) constituent alors un sytème linéaire indépendant de $y$ pour le calcul des constantes $R_{1+}$, $R_{1-}$, $T_{1+}$, $T_{1-}$ ... que nous présentons sous forme matricielle comme au paragraphe 2.57 :

$$ [\mathcal{M}'] \cdot \begin{bmatrix} r_{2+} \\ r_{2-} \\ t_{2+} \\ t_{2-} \end{bmatrix} = [\mathcal{B}'] \quad (2.66) $$

avec $R_{2+} = r_{2+}I_{2-}$, $R_{2-} = r_{2-}I_{2-}$, $T_{2+} = t_{2+}I_{2-}$, $T_{2-} = t_{2-}I_{2-}$ et :

$$ [\mathcal{M}'] = \begin{bmatrix} -\mu_{+}^{I} & -\mu_{-}^{I} & \mu_{+}^{II} & \mu_{-}^{II} \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ k_{x+}^{I} \mu_{+}^{I} & k_{x-}^{I} \mu_{-}^{I} & k_{x+}^{II} \mu_{+}^{II} & k_{x-}^{II} \mu_{-}^{II} \\ k_{x+}^{I} \nu_{+}^{I} & k_{x-}^{I} \nu_{-}^{I} & k_{x+}^{II} \nu_{+}^{II} - k_y \pi_{+}^{II} & k_{x-}^{II} \nu_{-}^{II} - k_y \pi_{-}^{II} \end{bmatrix} ; [\mathcal{B}'] = \begin{bmatrix} \mu_{-}^{I} \\ 1 \\ k_{x-}^{I} \mu_{-}^{I} \\ k_{x-}^{I} \nu_{-}^{I} \end{bmatrix} $$

avec :

$$ \pi_+^{II} = i \frac{f b}{\omega h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_+^{II} - 1) \right] \quad \pi_-^{II} = i \frac{f b}{\omega h_2} \left[ 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2}(\mu_-^{II} - 1) \right] $$

et les notations précédemment définies.

Les solutions de ce système sont à valeurs complexes. Les modules et les arguments des solutions sont respectivement les amplitudes et les phases à l'origine des ondes transmises et réfléchies. On peut d'ores et déjà remarquer que l'on retrouve le système obtenu en incidence normale pour $k_y = 0$.
## 2.4.2 Simplification : faible différence de densité et couche mince

Dans ce paragraphe, on cherche une solution analytique dans l'hypothèse d'une faible différence de densité ($\rho_1 \sim \rho_2$) et d'une couche supérieure peu épaisse par rapport aux profondeurs totales côté océan ($h_1 \ll h_2$) et côté plateau ($h_1 \ll h_2 - b$).
On introduit les trois paramètres adimensionnels suivants :

$$ \beta = \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1}; \quad \delta = \frac{h_1}{h_2}; \quad m = \frac{h_2}{h_2 - b}. $$

En supposant $\beta \ll 1$ et $\delta \ll 1$ comme cela est souvent le cas en nature, on en déduit les simplifications suivantes :

$$ \begin{aligned} \mu_+^I &\sim \mu_+^{II} \sim -\beta; & \mu_-^I &\sim \mu_-^{II} \sim 1; \\ \nu_+^I &\sim \beta^2; & \nu_-^I &\sim 1; & \nu_+^{II} &\sim \frac{\beta^2}{m}; & \nu_-^{II} &\sim \frac{1}{m}. \end{aligned} $$

En notant :

$$ \begin{aligned} t\alpha_+ &= \tan \alpha_+; & t\alpha_- &= \tan \alpha_-; \\ t\beta_+ &= \tan \beta_+; & t\beta_- &= \tan \beta_-; \end{aligned} $$

le système pour le calcul des amplitudes se simplifie tel que :

$$ [\mathcal{M}'] = \begin{bmatrix} \beta & -1 & \beta & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ \beta \frac{t\alpha_-}{t\alpha_+} & 1 & -\beta \frac{t\alpha_-}{t\beta_+} & \frac{t\alpha_-}{t\beta_-} \\ \beta^2 \frac{t\alpha_-}{t\alpha_+} & 1 & \frac{\beta^2 t\alpha_-}{m} \left[ \frac{1}{t\beta_+} - i \frac{f(m-1)}{\omega} \right] & \frac{t\alpha_-}{m} \left[ \frac{1}{t\beta_+} - i \frac{f(m-1)}{\omega} \right] \end{bmatrix}; [\mathcal{B}'] = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$

En inversant ce système linéaire, on obtient des solutions explicites pour le calcul des amplitudes, à savoir :

$$ r_{2+} = 2i \frac{f(m-1)}{\omega m \beta} \frac{t_{\alpha-}}{B+C} = t_{2+} $$

$$ t_{2-} = 2 \frac{B}{(1 + \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta-}})B + C} $$

$$ r_{2-} = \frac{(1 - \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta-}})B - C}{(1 + \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta-}})B + C} $$

avec :

$$ B = \left(1 + \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta-}}\right) \left[ \left(\beta + 1\right) \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta+}} + \left(\beta - 1\right) \frac{t_{\alpha-}}{t_{\alpha+}} \right] - i\beta t_{\alpha-} \frac{f(m-1)}{\omega m} $$

$$ C = it_{\alpha-} \frac{f(m-1)}{\omega m} \left( \frac{t_{\alpha-}}{t_{\alpha+}} - \frac{t_{\alpha-}}{t_{\beta+}} \right) $$
En particulier, il est intéressant de remarquer que sous l'approximation faible différence de densité et couche mince, les amplitudes des ondes baroclines réfléchie et transmise sont égales, quel que soit l'angle d'incidence.

## 2.5 Analyse qualitative des résultats théoriques pour les ondes de Poincaré

### 2.5.1 Influence de la rotation en incidence normale

D'après la formule (2.42), la rotation a une influence très forte sur le calcul des nombres d'onde. En effet, on a la relation suivante :

$$ \frac{k_{avec\ rotation}}{k_{sans\ rotation}} = \sqrt{1 - \frac{f^2}{\omega^2}} \qquad (2.67) $$

Dans le tableau (2.1), on présente en fonction de la latitude les coefficients amplificateurs de la longueur d'onde pour les différentes composantes de marée usuelles pour les ondes de Poincaré.

<table><caption>TAB. 2.1 – Rapport de la longueur d'onde à une latitude donnée à la longueur d'onde à l'équateur pour les différentes composantes de marée usuelles (X signifie qu'il n'y a pas d'onde libre de cette fréquence à cette latitude; en particulier, il n'existe pas d'onde de Poincaré M2 au delà de 74.45° de latitude</caption><thead><tr><th>latitude (°)</th><th>10</th><th>30</th><th>45</th><th>60</th><th>80</th></tr></thead><tbody><tr><td>S2 (12<sup>-1</sup> cph)</td><td>1.0154</td><td>1.1547</td><td>1.4142</td><td>2.0000</td><td>5.7588</td></tr><tr><td>M2 (12.42<sup>-1</sup> cph)</td><td>1.0165</td><td>1.1680</td><td>1.4647</td><td>2.2407</td><td>X</td></tr><tr><td>K1 (23.93<sup>-1</sup> cph)</td><td>1.0660</td><td>13.1026</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td></tr></tbody></table>

Par contre, la rotation ne joue absolument aucun rôle dans le calcul des amplitudes en incidence normale. En effet, compte-tenu de la relation (2.67), les deux dernières équations du système (2.57) seront les mêmes si l'on tient compte ou non de la rotation dans le calcul.

### 2.5.2 Influence de l'incidence avec ou sans rotation

Le long de la cassure, la continuité des niveaux de surface et d'interface impose que les ondes de chaque région soient toutes en phases à tout instant à la cassure, les creux et les crêtes se correspondent. Analytiquement, cette condition se traduit par l'égalité des nombres d'ondes le long du plateau $k_y$ et pour les ondes progressives, cette condition définit les angles de transmission et de réflexion. En utilisant les notations de la figure (2.5), on retrouve géométriquement les conditions (2.59)-(2.61) par la correspondance des lignes de phases sur chaque domaine à savoir :

$$ \sin \beta = \frac{k^I}{k^{II}} \sin \alpha \qquad (2.68) $$

Le rapport des nombres d'onde étant indépendant de la rotation, les angles de transmission et réflexion ne dépendent pas de ce paramètre. La relation (2.68) a déjà été
établie, sans rotation, par Pinettes et al. [62] du point de vue théorique pour l'étude d'une onde solitaire donc non linéaire en incidence oblique sur un plateau en bicouche. Cependant, expérimentalement, ils vérifient cette relation dans le cas sans rotation mais la mettent en défaut dans les cas avec rotation. Cette différence nous semble liée à la non-linéarité de l'onde solitaire. En effet, pour l'onde solitaire, longueur d'onde et amplitude ne sont plus des paramètres indépendants comme pour les ondes linéaires.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

FIG. 2.5 – (a) Angles incident et réfracté (b) Amplitudes des ondes baroclines réfléchies et transmises à différentes latitudes en fonction de l'angle d'incidence de la marée barotrope, adimensionnalisées par les amplitudes pour une incidence frontale : (- -) à l'équateur i.e. $f = 0$ (—) $56^\circ 28'$ i.e. Malin Shelf (-.-) $74^\circ$ i.e. à la latitude maximum d'existence des ondes de Poincaré [$\rho_1 = 1026 \text{ kg/m}^3$, $\rho_2 = 1027 \text{ kg/m}^3$, $h_1 = 50 \text{ m}$, $h_2 = 1450 \text{ m}$ et $b = 1350 \text{ m}$]

Ainsi, compte-tenu que $k^I < k^{II}$ pour les ondes barotropes à cause de la diminution de profondeur, $\sin \beta < \sin \alpha$ : la direction de propagation de l'onde barotrope transmise sur le plateau se rapproche de la normale à la cassure et ce d'autant plus que la variation de profondeur sur le plateau est grande.

De même, pour l'onde barocline, $k_{\text{barocline}} \gg k_{\text{barotrope}}$ ainsi les ondes baroclines se propagent dans les deux régions quasiment perpendiculairement à la cassure.

L'amplitude des ondes générées dans l'interaction avec la marche est elle aussi affectée par l'angle d'incidence. En particulier, l'amplitude des ondes baroclines générées diminue quand l'angle d'incidence augmente et ce d'autant plus, que l'angle est fort comme le montre la figure (2.5.b) pour une stratification et une géométrie proche de celle observée sur le Malin Shelf, pour différentes latitudes.

De plus, pour une incidence donnée non nulle, la rotation joue elle aussi un rôle comme le montre la sensibilité à la latitude. Quand la latitude augmente (ce qui est équivalent à augmenter la rotation), l'amplitude de l'onde barocline transmise sur le plateau diminue pour une incidence donnée. Rappelons que la rotation ne joue aucun rôle dans le calcul des amplitudes en incidence normale ainsi la référence d'amplitude en incidence normale est la même pour toutes les latitudes sur le graphe (2.5.b). La représentation choisie traduit donc bien toute l'influence de la rotation.
2.5.3 Comparaison avec le modèle de Baines

Le modèle proposé par Baines [2] pour l'étude de la génération de la marée et des
ondes internes a déjà été introduit au début de ce chapitre. Dans ce paragraphe, on
se propose de comparer notre modèle à celui de Baines restreint au bi-couche.

En effet, Baines présente son modèle de telle façon qu’il superpose deux solutions ;
l’une décrivant les mouvements de l’interface dans un cas bi-couche (saut de densité
à l’interface), l’autre décrivant les ondes internes (gradient de densité constant dans
la couche inférieure).

Les potentiels décrivant les mouvements dans le cas bi-couche s’écrivent de la façon
suivante dans chaque domaine :

$$
\Phi^I = R_R + D_1 e^{\frac{ix}{\sqrt{1-R_R}}} \quad (2.69)
$$

$$
\Phi^{II} = R + D_0 e^{\frac{-ix}{\sqrt{1-R}}} \quad (2.70)
$$

et le déplacement de l'interface s'en déduit :

$$
\eta_i = \frac{Q}{\omega L} \Phi_x \tag{2.71}
$$

$$
\text{avec : } D_0 = - \frac{R - R_R}{1 + \sqrt{\frac{1 - R_R}{1 - R}}}, \quad D_1 = - \sqrt{\frac{1 - R}{1 - R_R}} D_0, \quad R = \frac{h_1}{h_2 + h_1 - b},
$$

$R_R = \frac{h_1}{h_2 + h_1}$ et $L = \frac{gh_1(\rho_2 - \rho_1)}{\rho_1(\omega^2 - f^2)}$ en utilisant les notations de la figure (2.3). $Q$
l'amplitude du flux barotrope allant et venant sur le plateau à chaque période.

Dans le cas de l'incidence frontale, la détermination de Q ne présente pas d'am-
biguïté :

$$
Q = u_{\text{barotrope}}^{\text{II}} (h_2 + h_1 - b) \quad (2.72)
$$

Lorsque l'incidence n'est plus frontale, Baines suggère, sans justification, dans [1] de toujours forcer son modèle avec le flux barotrope allant et venant perpendiculairement à la cassure du plateau, en définissant $Q = a_0\omega d$ pour une onde de Kelvin où $a_0$ est l'amplitude à la côte de la marée externe, $d$ la largeur du plateau et $\omega$ la pulsation de la marée. Sur ce point, il nous semble que pour une onde de Kelvin double se propageant le long de la la cassure et parallèlement à la côte, le débit perpendiculairement à la côte est nul.

De plus, il est incorrect a priori de forcer le modèle 2D de Baines avec un débit
barotrope dérivé d’une onde 3D. Pourtant, notre modèle 3D est en bon accord avec
celui de Baines pour le déplacement de l’interface en fonction de l’angle d’incidence
d’une onde de Poincaré, le débit de forçage étant déterminé par (2.72) à partir des
résultats du modèle 3D.

Sur la figure (2.6), on représente un exemple de cette comparaison pour deux bi-
couches.

En fait, ce bon accord s'explique par l'approximation suivante dans le calcul tridi-
mensionnel. D'après Huthnance [34], l'équation pour la pression p par exemple d'un
fluide stratifié en rotation dans le cas 3D s'écrivent :

$$
p_{xx} + p_{yy} + f^2 p + p_{tt} = 0 \quad (2.73)
$$
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

FIG. 2.6 – (a) Débit de forçage barotrope déterminé à partir de la vitesse perpendiculaire au plateau barotrope calculée avec mon modèle sur le plateau en fonction de l'angle d'incidence pour (◦) [ρ₁ = 1026 kg/m³, ρ₂ = 1027 kg/m³, h₁ = 50 m, h₂ = 1450 m et b = 1350 m] et (⋆) [ρ₁ = 1026 kg/m³, ρ₂ = 1027 kg/m³, h₁ = 50 m, h₂ = 3950 m et b = 3850 m]; Amplitude des ondes baroclines réfléchies (...) et transmises (—) calculées par mon modèle et amplitude du déplacement d'interface sur le plateau et côté haute mer donné par le modèle de Baines (- -) en fonction de l'angle d'incidence de la marée barotrope (b) Q donné par (◦) (c) Q donné par (⋆)

Ainsi, lorsque : $p_{xx} \gg p_{yy}$, ce qui est le cas si la topographie est bidimensionnelle i.e. ne présente pas de variation brusque suivant y, le modèle de Baines est valable pour une onde 3D se propageant sur cette topographie.

Il reste néanmoins que le modèle de Baines ne fait apparaître aucune différence d'amplitude entre côté haute mer et plateau pour les ondes interfaciales à la différence de notre modèle 3D.

De plus, ni la nature des ondes interfaciales, ni leurs autres caractéristiques ne sont décrites.

## 2.6 Conclusion

Dans ce chapitre, les équations des ondes longues tridimensionnelles en bi-couche sont utilisées pour étudier la génération de la marée interne sur les marges continentales avec rotation. Pour une onde de Poincaré 3D barotrope en incidence oblique sur une marche, les directions de propagation, nombres d'onde et amplitudes des ondes de Poincaré, barotropes et baroclines, transmises et réfléchies sont déterminées. Ce sont aussi les seules ondes générées. Les amplitudes obtenues sont en bon accord avec celles prédites par Baines [2] en incidence normale, et en incidence oblique si le débit barotrope perpendiculaire à la marche (forçage du modèle) est déterminé à partir de notre modèle.
# Chapitre 3

## Comparaison du modèle de génération de la marée interne aux mesures in-situ

### 3.1 Introduction

Si beaucoup d'auteurs se sont penchés sur la question théorique de la génération de la marée interne, peu d'entre eux ont confronté leur modèle à des mesures in-situ. Par chance, quelques théoriciens ont trouvé un écho favorable auprès d'expérimentateurs, donnant quelques comparaisons modèle-mesure dont la revue suit. On se limite ici aux articles s'intéressant aux ondes internes linéaires, laissant de côté le champ largement investigué des ondes non-linéaires telles que les ondes solitaires. On ne cherche pas non plus à se montrer exhaustif sur le terrain des ondes linéaires, en n'abordant pas les comparaisons de mesures à des modèles numériques "faits maison" et en ne conservant que les apports nous paraissant les plus significatifs.

Ainsi, De Witt et al. [81] choisissent de comparer le modèle de Prinsenberg et Rattray [66] à des mesures dans le Rockall Channel, à 300 km à l'ouest de l'Ecosse, côté océan. A partir de mesures de vitesses en trois points, ils déterminent le spectre directionnel des ondes internes et identifient le Rockall Bank, un haut fond, comme source de leur génération, en s'appuyant sur le fait que quelque soit l'angle d'incidence de la marée externe, les ondes internes se propagent perpendiculairement au plateau [77]. La topographie étant très abrupte autour de ce haut-fond, la modélisation par une marche semble adaptée. Le modèle, résolu numériquement avec 10 modes internes, prédit correctement les déplacements verticaux côté océan pour une amplitude de marée barotrope de 1 m et une largeur de plateau de 350 km. Cette largeur n'est pas réaliste puisque le Rockall Bank de géométrie circulaire ne présente pas de côte. En fait, la largeur est ajustée pour obtenir le meilleur accord. Il est assez surprenant de voir appliquer le modèle 2D de Prinsenberg et Rattray à ce site où la topographie est clairement 3D, axisymétrique et où Huthnance a mesuré une marée barotrope piégée par le haut fond, se propageant dans le sens des aiguilles d'une montre. Reste que la variance des vitesses est elle aussi correctement prédite par le modèle. De même, la distribution de l'énergie dans la colonne d'eau en fonction de la distance au talus est en bon accord avec le modèle, révélant un 1<sup>er</sup> mode majoritairement dominant, excepté à quelques profondeurs. Ironiquement, ils soulèvent le point délicat de com-
parer un modèle décrivant des variations dans l'espace à des mesures clairsemées. On préférera la démarche de New [56] qui avant d'appliquer un modèle en discute les hypothèses. Ainsi, pour comparer des mesures réalisées dans le Golfe de Gascogne, son choix se porte sur le modèle de Prinsenberg et Rattray, approprié pour les stratifications complexes (été, hiver) et la géométrie simple de ce site (à l'inverse de Baines). Il change cependant la condition de réflexion totale à la côte pour une condition de radiation plus adaptée. Il prend en compte 30 modes internes dans sa version modifiée du modèle et compare avec succès les amplitudes, longueurs d'onde, énergie et célérité mesurées côté eau profonde aux résultats du modèle pour une marée externe de 0.75 m en mortes eaux et 2 m en vives eaux. Ce bon accord nous semble tout à fait légitime sachant que dans cette région la marée externe est en incidence frontale par rapport au talus.

Le bon accord mesure modèle étant établi, il détaille les résultats du modèle et montre en particulier que si du point de vue énergétique, le mode 1 est toujours prédominant sur le plateau et côté océan, sur les déplacements verticaux, le mode 1 domine sur le plateau mais c'est le mode 3 qui l'emporte dans l'océan. Enfin, le modèle prédit un nombre de Richardson inférieur à 1/4 à deux niveaux dans l'océan (à 50 m et à 900 m), repérant deux zones de mélange. New fait remarquer au passage que cette valeur est sensible aux nombres de modes utilisés dans la résolution numérique, et vaut effectivement 2 si l'on se limite à 10 modes internes comme De Witt et al.

Au même moment, Sherwin [73] choisit lui d'appliquer le modèle de Baines [2] pour le comparer à des mesures réalisées sur le Malin Shelf, au Nord de l'Irlande. Cette fois, il ne s'agit plus de mesures côté océan mais sur le plateau. D'après les travaux précédents, le mode 1 est en général prépondérant sur le plateau ce qui est effectivement le cas sur le Malin Shelf.

Les mesures de températures et de vitesses sont réalisées à deux stations situées sur un axe normal à la cassure et révèlent des déplacements verticaux de 6.2 m près de la cassure et 4.2 m à 55 km à l'Est. Le seul point de comparaison avec le modèle de Baines repose sur le flux d'énergie totale, celui mesuré (104 W/m) valant le double de celui prédit par le modèle, ce qui objectivement ne peut être qualifié de bon accord. Cependant, les mesures sont bien détaillées et il nous paraît possible de comparer de façon plus complète ces mesures à notre modèle.

Pour finir cette revue des comparaisons les plus marquantes modèle-mesure sur la génération des ondes internes linéaires, récemment, Largier [41] compare un modèle dérivé de celui de Baines à des mesures réalisées dans une toute autre région du monde, en Afrique du Sud. Les amplitudes de la marée interne semi-diurne sont comprises entre 5 et 10 m sur le plateau. Le flux d'énergie transporté par cette marée interne sur le plateau est estimé à 40 W/m.

Dans ce chapitre, on se propose de comparer le modèle théorique développé au chapitre 2 à des données provenant de différentes campagnes de mesures en mer réalisées par Sherwin et al. au sein de Unit for Coastal and Estuarine Studies (UCES, University of NorthWales, Bangor). Les données que Dr. T.J. Sherwin m'a gracieusement permis d'utiliser lors d'un séjour de 3 mois que j'ai effectué à UCES, proviennent des campagnes de mesures suivantes :

- Malin Shelf, 10 juillet - 10 août 1983, Dr. T.J. Sherwin,

- Malin Shelf, 10 juillet - 8 août 1996, croisière 128/26 (SES7), projet UK LOIS/SES 189 Grant GST/02/0764, Dr. M. Inall,
- Iberian Shelf, 9 août - 17 août 1994, croisière MORENA 3B, projet MASTII/MAS2-CT93-0065, Dr. D.R.G. Jeans.

Pour les deux campagnes de mesure récentes (1994 et 1996), le traitement et l'analyse des données nature ont été refaits dans l'optique de l'étude de la marée interne. Ainsi, j'ai pu extraire de ces données toutes les informations qui m'ont paru intéressantes pour la comparaison avec le modèle de génération. Par contre, pour la campagne de mesure de 1983, compte-tenu qu'il existait une étude très complète des données du point de vue de la marée interne dans la thèse de Sherwin [72], aucun traitement n'a été repris. Ainsi, la comparaison avec le modèle pour cette campagne de mesure est faite sur les données bibliographiques, en s'intéressant particulièrement à donner une lecture critique des modèles utilisés à l'époque.

Dans une première partie, les motivations pour le choix de ces campagnes de mesures sont exposées ainsi que le type de données in-situ dont je disposais et les méthodes d'analyse retenues pour extraire de ces données des informations quant à la marée interne. Les résultats de ces analyses comparés au modèle théorique du chapitre 2 sont présentés séparément pour chaque campagne de mesure dans une seconde partie. Il est bon de souligner en préambule que le choix du modèle forcé par une onde de Poincaré barotrope pourra choquer certains, sachant que la marée externe est en général décrite comme une onde de Kelvin. En effet, lorsqu'il s'agit de calculer la marée externe dans l'océan mondial, on ne peut négliger l'existence des parois constituées par les terres émergées. Ainsi, le calcul consiste à évaluer la résonnance de bassins interconnectés au forçage dû à l'attraction des astres. Comme on le voit sur la figure (3.1) tiré de la thèse de Genco [25], ce calcul fait apparaîtres des points amphidromiques (amplitude nulle) caractéristiques de la superposition d'ondes de Kelvin.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 3.1 – *Calcul numérique de la marée externe M2 pour l'océan mondial* [25]</figcaption></figure>

Il ne s'agit ici nullement de remettre en cause cette description de la marée mais au contraire de justifier notre approximation. En effet, nous considérons le cas où localement la direction de propagation de l'onde de marée n'est pas parallèle au
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 3.2 – *Iso-phases et iso-amplitudes de la marée M2 sur le Malin Shelf d'après (a) calcul numérique de Xing & Davies [82] (b) Howarth & Pugh [30]*</figcaption></figure>

contour bathymétrique de la marge continentale comme c'est le cas sur le Malin Shelf. En effet, comme on le voit sur les figures (3.2) représentant les iso-phases et iso-amplitudes de la marée M2 d'après deux sources différentes, la marée M2 sur le Malin Shelf arrive en incidence par rapport à la normale à la cassure du talus.

Dans ce cas, on suggère de décrire la marée comme la superposition de deux ondes. L'une est une onde de Kelvin piégée par le talus et qui n'apporte aucune contribution à la marée interne puisque le débit perpendiculaire à la cassure est nul pour cette onde. L'autre onde est une onde de Poincaré en incidence sur la marche qui donne lieu à la génération de deux ondes internes, une transmise et une réfléchie par la marche. Cette vision est confortée par la simulation numérique de Xing & Davies [82]. On voit clairement sur les figures (3.3) tirées de [82] des ellipses de vitesse caractéristiques de la réfraction sur la marche d'une onde progressive en incidence (type Poincaré) mais également un flux d'énergie important piégé le long du talus caractéristique d'une onde de Kelvin.

## 3.2 Description des données in-situ

### 3.2.1 Choix des données, situation géographique et bathymétrie

Outre le fait que ces données ont été gracieusement mises à ma disposition, les sites retenus présentent a priori les caractéristiques nécessaires pour tester le modèle bi-couche de génération de la marée interne sur une marche.

En effet, le modèle théorique comporte plusieurs hypothèses, en particulier l'inexistence de modes internes d'ordre supérieur à 1. Cela signifie que toute l'énergie se propage ou bien en surface ou bien à l'interface, mais toujours horizontalement et jamais verticalement. Cette hypothèse justifie à la fois le choix d'un bi-couche et la modélisation du talus continental par une marche.

Par ailleurs, le choix de la marche implique qu'il n'y a pas de réfraction sur le talus liée à la variation de profondeur. Cela suppose donc que la largeur du talus est petite comparée aux longueurs d'onde des ondes en présence. La validité de cette hypothèse est assez facile à apprécier sur les profils bathymétriques correspondant à chacune
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 3.3 – La marée barotrope M2 sur le Malin Shelf d’après le calcul numérique de Xing & Davies [82] (a) axes principaux des ellipses de vitesse en surface (b) flux d’énergie</figcaption></figure>

des campagnes de mesures reproduits sur la fig. (3.5).

Pour la marée barotrope dont la longueur d'onde est de l'ordre de 1000 km, l'hypothèse est donc tout-à-fait vérifiée mais pour la marée barocline dont la longueur d'onde typique est de l'ordre de 30 à 40 km, cette hypothèse est plus contestable, particulièrement sur le Malin Shelf. Cependant, en l'absence d'onde barocline inci-dente (qui est une hypothèse du modèle), cette réfraction ne joue pas de rôle pour les ondes transmises sur le plateau.

Pour ce qui est de l'hypothèse d'absence de modes verticaux, les principaux argu-ments avancés en faveur de cette hypothèse concernent la stratification. C'est-à-dire que lorsque la stratification présente une pycnocline très marquée, et que l'analyse en composantes principales (ou Empirical Orthogonal Function analysis) du champ de vitesses mesurées met en évidence une forte prédominance du 1er mode, il semble raisonnable d'envisager une hypothèse bi-couche. Nous serons donc amené à effectuer ce test.

Enfin, dans le modèle, on fait l'hypothèse d'une seule onde barotrope incidente, ce qui nous conduit à étudier la propagation des ondes internes venant de l'océan sur le plateau. En effet, les ondes internes se propagent suivant des rayons formant un angle sur l'horizontale, dépendant du rapport du nombre d'onde vertical au nombre d'onde horizontal.

Dans le cas général (stratification quelconque), ces rayons sont des courbes car le nombre d'onde vertical varie avec la profondeur. Pour simplifier l'argumentaire, pre-nons le cas simple de la stratification linéaire (gradient de densité constant). Dans ce cas, l'angle de propagation des modes verticaux est constant et vaut (Munk, [54]):

$$ \theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{\omega^2 - f^2}{N^2 - \omega^2}} \qquad (3.1) $$

où $\theta$ est l'angle du rayon avec l'horizontale, $N$ la fréquence de Brünt-Väisälä ($N_{max} \sim 0.01$ au niveau de la thermocline sur le Malin Shelf), $\omega$ la fréquence de l'onde et
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 3.4 – Carte de la frontière atlantique de l'Europe : les 3 sites de mesure sont les zones grisées et les mouillages de mesure sont repérés par les points noirs</figcaption></figure>

f la fréquence inertielle de Coriolis. On introduit alors, pour tout obstacle à la propagation de ces ondes internes, les termes de pente sub-critique (resp. super-critique) signifiant que l'onde sera transmise (resp. réfléchie) sur la pente. Pour les 2 campagnes récentes, à partir des profils CTD effectués sur le talus, on détermine l'angle $\theta$ que l'on compare à la pente du talus.

Les pentes des talus pour chaque campagne de mesure ont donc la caractérisité suivante :

- Malin Shelf, 1983 : sub-critique entre 200 m et 1200 m selon [72]

- Malin Shelf, 1996 : super-critique entre 200 m et 1000 m

- Iberian Shelf, 1994 : sub-critique jusqu'à 2000m de profondeur (à 9°41' N, $\theta = 2.82°$ pour une pente du talus $\alpha = 2.11°$), super-critique entre 200 m et 2000 m (à 9°24' N, $\theta = 2.1°$ pour une pente du talus $\alpha = 6.3°$)

Ainsi, sur les trois sites, les talus sont jugés super-critiques, suggérant l'impossibilité à des rayons incidents de franchir le seuil.

## 3.2.2 Instrumentation et données disponibles

Les appareils de mesure utilisés lors des 3 campagnes sont les appareils classiquement utilisés pour les mesures en océanographie physique, à savoir :
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 3.5 – *Profils bathymétriques et hydrologiques : (a) campagne Malin Shelf 1996 (section à 56°28′N) (b) campagne Iberian Shelf 1994 (section à 41°N) [z = 0 représente le niveau moyen de la surface libre]*</figcaption></figure>

- mesure de la température sur la verticale : des chaînes thermistives (TC) fournissent des mesures de la température in-situ aux différentes altitudes des capteurs sur la chaîne. Les chaînes thermistives utilisées lors des campagnes mesurent 76 mètres de long et sont fixées à des balises flottantes 6 m sous la surface.

- mesure du champ de vitesse : en 1983, cette mesure était effectuée avec des courantomètres fournissant les deux composantes horizontales de la vitesse, alors que depuis 1994, cette mesure est effectuée avec une nouvelle génération de courantomètres à effet Doppler (dit ADCP) permettant de mesurer en plus la vitesse verticale, et ce, de 2 manières différentes. De plus, en 1983, Sherwin ne disposait de la mesure de vitesse qu'en 4 points le long de la verticale alors que sur les données récentes, la verticale est discrétisée avec un pas de 2 m.
Les courantomètres sont en général couplés à des chaînes thermistives et déposés en mouillage pour un certain temps.

- mesure de la densité : en fait, il ne s'agit pas exactement d'une mesure de la densité mais des 3 grandeurs permettant de la calculer. Les capteurs utilisés (dit Conductivity Temperature Depth) permettent de réaliser une mesure continue de la conductivité (après calibration, fournit la salinité), de la température et de la pression le long de la verticale. Ce matériel est en général embarqué et fournit des profils quasi-instantanés (une mesure dure environ 3mn).

A l'aide de ces données, nous voulons obtenir des informations sur la marée interne afin de les comparer à notre modèle. La marée interne est caractérisée par deux gran-
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 3.6 – Angles θ de propagation des modes verticaux d'après la formule (3.1) (- -) et pente α du talus (—) pour la campagne Malin Shelf 1996</figcaption></figure>

deurs, son amplitude et sa longueur d'onde, pour chaque fréquence. Dans un premier temps, on s'intéresse exclusivement à la marée interne semi-diurne de période 12.42 h.

Compte tenu de la grande période du phénomène étudié, ce sont surtout les données provenant du matériel en mouillage qui sont intéressantes. Pour déterminer les caractéristiques de la marée interne, on étudie les déplacements des isothermes au cours du temps fourni par les chaînes thermistives. Cependant, pour vérifier la validité de l'hypothèse bi-couche et pour déterminer le bi-couche équivalent comme entrée du modèle, nous aurons recours aux mesures de vitesses horizontales et surtout aux profils CTD réalisés lors des passages du bateau près des points de mouillage.

Notre modèle ne prend pas en compte la dissipation ni l'évolution non linéaire de la marée interne lors de sa propagation sur le plateau donc pour avoir la meilleure estimation de l'amplitude de la marée générée, il nous fallait des points de mouillages proches du point de génération c'est-à-dire au bord du talus. C'est le cas pour les 3 sites considérés.

Par ailleurs, la mesure au cours du temps en un seul point de la marée interne n'est pas suffisante pour déterminer sa longueur d'onde sans recours à une hypothèse théorique. C'est pourquoi les deux campagnes de mesures sur le Malin Shelf sont très précieuses car on dispose de 2 points de mesures fixes simultanés. Ceci permet d'estimer la longueur d'onde in-situ sous couvert de la seule hypothèse que la longueur d'onde ne varie pas entre ces 2 points. Compte-tenu de la bathymétrie très plate du plateau, il y a peu de chance pour que la marée soit notablement réfractée. De plus, la distance entre les 2 stations est relativement petite (de l'ordre de 1 à 2 longueurs d'onde théorique). On peut donc espérer que l'hypothèse de longueur d'onde constante soit vérifiée.

## 3.3 Méthodes d'analyse

Dans ce paragraphe, on présente une méthodologie succinte pour déterminer les informations principales dont nous avons besoin pour comparer le modèle de génération de la marée interne aux données natures. Cette méthodologie me paraît être le minimum nécessaire pour mener cette comparaison de façon consistante. Cependant, d'autres techniques peuvent être utilisées permettant d'obtenir des informations plus fines sur la marée interne. Pour plus de détail sur l'ensemble de ces techniques, on peut se référer à la thèse de T.J. Sherwin [72].
### 3.3.1 Méthode EOF : test de l'hypothèse bi-couche

Pour un milieu continuement stratifié, il a été montré par plusieurs auteurs dont Philipps [60], l'existence de modes verticaux linéaires permettant à l'énergie de se propager, non plus uniquement le long de l'interface comme dans le cas bi-couche, mais aussi verticalement. Ainsi, l'existence du bi-couche équivalent suppose qu'il existe un mode vertical prépondérant, le $1^{er}$ mode. Ceci est le plus souvent montré par une analyse en composantes principales (ou Empirical Orthogonal Function analysis) sur le champ de vitesses mesurées en complément du profil de densité.

La méthode EOF, introduite en 1943 par Kosambi [39], permet de décomposer une série temporelle d'un champ spatial sur une base de vecteurs propres orthogonaux au sens discret. Cette méthode a été appliquée avec succès par Kundu et al [40] sur des champs de vitesses mesurés dans l'océan afin de déterminer les modes internes. Les modes internes ainsi calculés sont qualifiés d'empiriques car ils n'ont a priori aucun sens dynamique, ils constituent simplement une base orthogonale statistique pour la série temporelle considérée. Cependant, Kundu montre que si les modes internes dynamiques ne sont pas corrélés les uns aux autres, et si la série temporelle considérée est suffisamment longue et ergodique, les modes empiriques fournissent une bonne statistique des modes internes dynamiques. Nous reprenons ici les grandes lignes de la méthode EOF telle qu'ils la présentent dans [40].

Soit la matrice $V_k(z_i)$ de vitesses mesurées aux temps $t_{k,k \in [1,K]}$ et aux altitudes $z_{i,i \in [1,P]}$ et $R = \frac{VV^T}{K}$, la matrice des coefficients de corrélation de $V$.

Les modes empiriques orthogonaux sont alors les vecteurs propres ($P_{n,n \in [1,P]}$) de la matrice $R$. Kundu montre que chaque valeur propre ($\lambda_{n,n \in [1,P]}$) représente la moyenne temporelle de l'énergie contenue dans le mode propre $P_n$.

La somme des valeurs propres représente donc l'énergie moyenne totale. Ainsi pour tester l'importance de chaque mode, il suffit de calculer le pourcentage de variance associé à chaque vecteur propre, ce qui correspond exactement au pourcentage de l'énergie totale contenue dans chaque mode, à savoir : $\frac{\lambda_n}{\sum_{n=1}^{P} \lambda_n}$. Les vecteurs propres obtenus sont normés et pour effectivement retrouver le champ de vitesse associé à chaque mode, il faut projeter la série temporelle du champ de vitesse sur chaque mode empirique orthogonal :

$$V_k(z_i) = \sum_{n=1}^{P} E_{kn} P_n(z_i) \qquad (3.2)$$

avec :

$$E_{kn} = \sum_{i=1}^{P} V_k(z_i) P_n(z_i) \qquad (3.3)$$

L'équation (3.2) traduit la décomposition de la vitesse à chaque instant $t_k$ sur la base orthogonale des vecteurs propres $P_{n,n \in [1,P]}$. Par exemple, la composante de la vitesse à l'instant $t_k$ sur le mode $P_n$ est $E_{kn}$ défini par la relation (3.3). Ainsi, on peut reconstituer la série temporelle de chaque composante de la vitesse sur chaque mode.

Les vitesses verticales associées à la marée interne ne sont pas très fortes (environ 0.07 cm/s ce qui correspond à 30 m/12.42 h) et ne sont donc pas mesurables par les
ADCP avec une précision acceptable.

Mais cette méthode peut être appliquée sur le champ de vitesse horizontale ce qui a déjà été fait auparavant par Sherwin [72] pour également étudier la marée interne.

### 3.3.2 Détermination unique du bi-couche équivalent

Connaissant le profil de densité le long de la verticale d'un milieu stratifié donné, et lorsque le 1er mode barocline est bien plus marqué que les modes suivants, il est fondé de rechercher le bi-couche équivalent.

La figure (3.7) sert de support pour les notations utilisées dans ce paragraphe.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 3.7 – Stratification continue de densité $\rho(z)$ et bi-couche équivalent ($\rho_1$ densité de la couche supérieure et $\rho_2$ densité de la couche inférieure)</figcaption></figure>

Le bi-couche équivalent peut être déterminé de deux façons.

#### 1re méthode

Cette méthode, présentée dans la thèse de Sherwin [72], assure l'unicité du bi-couche équivalent déterminé.

Les conditions sont donc :

- conservation de la masse de part et d'autre de l'interface entre le bi-couche et le milieu stratifié

- une onde d'une fréquence donnée se propageant à l'interface du bi-couche équivalent doit avoir la même vitesse de phase que le premier mode vertical du milieu stratifié.

Ces contraintes conduisent aux relations suivantes définissant les densités des couches inférieure et supérieure (respectivement $\rho_2$ et $\rho_1$) et la position de l'interface h :

$$h - \int_{-h}^{0} \frac{\rho(z)}{\bar{\rho}} dz = \frac{c^2}{g} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \quad (3.4)$$

$$\rho_1 = \frac{1}{h} \int_{-h}^{0} \rho(z) dz \quad (3.5)$$

$$\rho_2 = \frac{1}{d-h} \int_{-d}^{-h} \rho(z) dz \quad (3.6)$$
avec :

$\rho(z)$ profil de densité du milieu stratifié

$f$ fréquence inertielle de Coriolis

$\omega$ fréquence de l'onde

$c$ célérité du 1er mode vertical de fréquence $\omega$ dans le milieu stratifié.

L'équation (3.4) est résolue numériquement afin de déterminer $h$ puis on détermine les densités des deux couches du bi-couche équivalent à l'aide des formules (3.5) et (3.6). Il est à noter que dans la relation (3.4), Sherwin utilise une formule simplifiée pour la célérité du bi-couche, en supposant une faible différence de densité entre les deux couches. Il est cependant possible de résoudre le problème avec l'expression complète de la célérité donnée au paragraphe 2.2.6, l'issue numérique étant alors bien plus lourde.

La relation (3.4) s'écrit alors :

$$h - \int_{-h}^{0} \frac{\rho(z)}{\bar{\rho}} dz = \frac{c^2}{g} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \left( 1 - \frac{c^2}{gd} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \right) \frac{1}{d-h} \int_{-d}^{-h} \frac{\rho(z)}{\bar{\rho}} dz \quad (3.7)$$

L'inconvénient de cette méthode est que rien n'assure de situer l'interface au niveau du zéro de vitesse horizontale, ce qui serait le plus physique. C'est pourquoi on propose une seconde méthode pour calculer le bi-couche équivalent.

## 2e méthode

Les conditions requises sont :

- l'interface se situe au niveau du maximum de vitesse verticale du 1er mode barocline, qui est aussi le niveau du zéro de vitesse horizontale

- une onde d'une fréquence donnée se propageant à l'interface du bi-couche équivalent doit avoir la même vitesse de phase que le premier mode vertical du milieu stratifié

- les masses totales des deux systèmes sont égales.

Le niveau de l'interface $h$ étant fixé par le calcul des modes propres du profil de densité, les contraintes ci-dessus conduisent aux relations suivantes définissant les densités des couches inférieure et supérieure (respectivement $\rho_2$ et $\rho_1$) :

$$\rho_1 = \left( 1 - \frac{c^2}{gh} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \right) \bar{\rho} \quad (3.8)$$

$$\rho_2 = \frac{\bar{\rho}d - \rho_1h_1}{h_2} \quad (3.9)$$

avec :

$\bar{\rho}$ densité moyennée sur la verticale

$f$ fréquence inertielle de Coriolis

$\omega$ fréquence de l'onde

$c$ célérité du 1er mode vertical de fréquence $\omega$ dans le milieu stratifié.

Il est toujours possible de résoudre le problème avec l'expression complète de la célérité donnée au paragraphe 2.2.6.

La relation (3.8) s'écrit alors :

$$\bar{\rho} - \rho_1 = \frac{c^2}{gh} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \left( 1 - \frac{c^2}{gd} \left[ 1 - \frac{f^2}{\omega^2} \right] \right) \left( \bar{\rho} \frac{d}{d-h} - \rho_1 \frac{h}{d-h} \right) \quad (3.10)$$
### 3.3.3 Analyse harmonique de la marée

En supposant que la marée soit la superposition linéaire de différentes fréquences, décomposer la marée consiste à déterminer les amplitudes et phases de ces différentes fréquences. La méthode la plus couramment utilisée pour déterminer les composantes de la marée sur un enregistrement expérimental est de minimiser l'écart quadratique entre le signal expérimental et le signal simulé dont les paramètres sont les fréquences et les inconnues, les amplitudes et phases. La clé d'une bonne analyse de la marée réside dans le choix des fréquences. Un guide utile est constitué par les fréquences calculées pour la marée à l'équilibre, c'est-à-dire en ne tenant compte que des forces d'attraction des planètes (soleil, lune ...) sur une sphère couverte d'une hauteur d'eau constante sans tenir compte de la bathymétrie ni des terres émergées. Les 17 fréquences principales sont répertoriées dans la table (3.1).

<table><caption>TAB. 3.1 – Fréquences principales de la marée à l'équilibre (Source : Doodson & Warburg [17])</caption><thead><tr><th>nom</th><th>période (heure)</th><th>amplitude relative à l'équilibre (m)</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="3">Composantes diurnes</td></tr><tr><td>Q1</td><td>25.87</td><td>0.072</td></tr><tr><td>O1</td><td>25.82</td><td>0.377</td></tr><tr><td>M1</td><td>24.86</td><td>0.04</td></tr><tr><td>P1</td><td>24.07</td><td>0.176</td></tr><tr><td>K1</td><td>23.93</td><td>0.531</td></tr><tr><td>J1</td><td>23.1</td><td>0.03</td></tr><tr><td colspan="3">Composantes semi-diurnes</td></tr><tr><td>2 N2</td><td>12.91</td><td>0.023</td></tr><tr><td>μ2</td><td>12.87</td><td>0.028</td></tr><tr><td>N2</td><td>12.66</td><td>0.174</td></tr><tr><td>M2</td><td>12.42</td><td>0.908</td></tr><tr><td>L2</td><td>12.19</td><td>0.026</td></tr><tr><td>S2</td><td>12.00</td><td>0.423</td></tr><tr><td>K2</td><td>11.97</td><td>0.115</td></tr><tr><td colspan="3">Composantes quart-diurnes</td></tr><tr><td>MN4</td><td>6.27</td><td>0.158</td></tr><tr><td>M4</td><td>6.21</td><td>0.412</td></tr><tr><td>SN4</td><td>6.16</td><td>0.384</td></tr><tr><td>MS4</td><td>6.1</td><td>0.384</td></tr></tbody></table>

Ces fréquences sont classées par espèces à savoir diurne, semi-diurne ... En fait, seules les espèces diurne et semi-diurne sont effectivement des fréquences naturelles liées à l'attraction des astres. L'espèce quart-diurne découle de l'interaction de 2 espèces semi-diurnes d'où son nom composé (ex : MN4 vient de M2 X N2).

L'amplitude relative de chaque fréquence décrit l'importance relative de chaque fréquence au sein d'une même espèce. Ainsi, la table (3.1) ne donne absolument aucune indication sur l'importance relative d'une fréquence diurne à une fréquence semi-diurne. La seule indication de cette table est que :

- parmi les fréquences diurnes, la composante K1 (période 23.93 h) est prépondérante
sur les autres

- parmi les fréquences semi-diurnes, la composante M2 (période 12.42 h) est prépondérante sur les autres

- les fréquences quart-diurnes ont des importances relatives similaires.

## 3.4 Analyse des données, comparaison avec le modèle théorique

### 3.4.1 Malin Shelf, juillet 1996

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

FIG. 3.8 – Bathymétrie (isobathes en mètres) en vue de dessus pour la campagne Malin Shelf 1996 : les mesures précises de la bathymétrie se trouvent dans la zone grisée ; à l’Est, le plateau est plat avec des profondeurs comprises entre 140 m et 150 m. Les deux stations de mouillages S140 et S140E sont repérées.

Les positions précises des deux stations de mesures fixes sur ce site sont données dans le tableau (3.2).

<table><caption>TAB. 3.2 – Positions des mouillages fixes pour le campagne Malin Shelf 1996</caption><thead><tr><th>nom</th><th>latitude<br>(en degré)</th><th>longitude<br>(en degré)</th><th>profondeur<br>d'eau (m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>S140</td><td>56.46 N</td><td>8.96 W</td><td>147</td></tr><tr><td>S140E</td><td>56.46 N</td><td>8.19 W</td><td>149</td></tr></tbody></table>

La distance séparant les 2 stations est de 47.5 km.

### Mesures de la stratification

A partir des profils verticaux quasi-instantanés de température in-situ et de salinité fournis par les CTD, on déduit les profils de température et densité potentielles (Gill, [26]). Le choix des profils CTD comme étant représentatifs de la stratification est critiquable. En effet, ils ne fournissent qu'une mesure instantanée de la stratification et sont donc biaisés tant par le passage éventuel d'une onde haute fréquence que par
les mouvements baroclines basse fréquence tels que la marée interne semi-diurne ou le cycle jour-nuit d'échanges thermiques.

Cependant, les profils CTD présentent 2 intérêts majeurs. Tout d'abord, la stratification est mesurée de la surface au fond avec une bonne discrétisation (tous les 2 mètres). De plus, la position de la mesure est très précise.

Par ailleurs, on peut aussi obtenir à partir des TC des profils de température dans les 82 mètres près de la surface. Ainsi, en supposant une salinité constante sur la verticale ou en utilisant les profils de salinité des CTD, on peut en déduire la densité.

Les chaînes thermistives fournissent donc la stratification à n'importe quel instant de la campagne de mesures dans les 82 mètres près de la surface. Mais la discrétisation suivant la verticale n'est pas très fine (environ tous les 6 m) et la position de la mesure est moins fiable (dérive des mouillages).

Pour les stations S140 et S140E qui nous intéresssent, on dispose d'une dizaine de profils environ sur chaque site, réalisés à différents moments au cours de la campagne de mesure. Ces profils nous sont utiles pour évaluer l'hypothèse bi-couche et surtout pour déterminer le bi-couche équivalent. On peut comparer les mesures de températures in-situ des CTD à des moyennes des températures mesurées à l'aide des chaînes thermistives dans les 76 mètres près de la surface. Cette comparaison permet de discuter de la représentativité des données CTD. En effet, les profils CTD ont été réalisés de façon impromptue au cours de la campagne et on peut espérer que la dispersion des profils CTD suffise à décrire l'erreur commise sur la mesure de la stratification, c'est-à-dire les stratifications les plus extrêmes au cours de la campagne.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIG. 3.9 – Profils verticaux diurnes à S140 de : (a) $\sigma_{\theta}$ (b) température potentielle $\theta$ (c) salinité S, (—) le 14/07/96 à 12h49 et (- -) le 23/07/96 à 13h17</figcaption></figure>

Pour la station S140, on distingue 2 types de stratification très différentes, caractérisées l'une par une pycnocline peu épaisse entre deux couches de densité quasi-constante, l'autre par une pycnocline plus épaisse, depuis la surface. Sur la figure (3.9), on présente deux exemples typiques de ces stratifications. Le premier type [fig. (3.9) en trait plein] correspond aux premiers jours de la campagne (13/07 au 15/07). Pour cette période, on note une couche de densité homogène dans les 40 mètres proche de la surface. Le second type [fig. (3.9) en tiret] correspond au reste de la campagne (17/07 au 25/07). Pour cette période par contre, la densité augmente quasiment jusqu'à la surface.

Dans les deux cas, le profil de $\sigma_{\theta}$ est dicté par le profil de température potentielle $\theta$ car la salinité est quasi-constante sur la verticale. Rappelons que $\sigma_{\theta}$ est définie par
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIG. 3.10 – Profils verticaux nocturnes à S140 de : (a) $\sigma_{\theta}$ (b) température potentielle $\theta$ (c) salinité S, (—) le 14/07/96 à 3h21 et (- -) le 23/07/96 à 1h35</figcaption></figure>

la relation suivante :

$$ \sigma_{\theta}(z) = \rho(z, Pr = 1) - \rho_{\infty} \qquad (3.11) $$

où $\rho_{\infty}$ est la masse volumique de l'eau à 4°C et $\rho(z, Pr = 1)$ est la densité potentielle i.e. la densité qu'aurait le fluide déplacé adiabatiquement jusqu'à la pression de référence $Pr = 1$ bar.

Par ailleurs, les deux profils (pris à peu près au même moment de la journée mais à plusieurs jours d'intervalle) ne diffèrent franchement que dans les 40 mètres près de la surface. En se référant aux données météorologiques durant la campagne de mesure (cf. carnet de bord), on peut tenter d'expliquer ces différences. En effet, le temps était plutôt calme, avec un vent faible pendant la plus grande partie de la croisière, avec un très fort ensoleillement du 21/07/96 au 25/07/96. Ceci explique le réchauffement de la couche supérieure noté à partir du 17/07/96.

Le 13/07/96, par contre, il y eut une tempête avec un vent fort et une mer agitée. Cela explique la zone supérieure mélangée (densité constante) dans les tout premiers jours de la campagne.

Les profils nocturnes représentés sur la figure (3.10) correspondant à chaque période présentent les mêmes caractéristiques que les profils diurnes.

On peut comparer les profils CTD de température in-situ à une moyenne sur 3 jours des températures mesurées avec les chaînes thermistives pour chaque période.

Il semble donc d'après la figure (3.11) que les profils CTD donne une bonne représentation de la stratification pour chacune des deux périodes isolées puisque le profil moyen se trouve encadré par les profils CTD pour les deux périodes et surtout, les profils moyens présentent les mêmes différences entre les deux périodes que l'on avait observées sur les profils CTD. On peut de plus noter que les profils CTD du 14/07 à 03h21 et du 15/07 à 11h41 (respectivement du 23/07 à 01h35) représentent très bien le profil moyen obtenu sur les TC pour la première période (respectivement la seconde période).

Pour la station S140E [figure (3.12)], les profils de densité sont du même type sur toute la période et révèlent une couche supérieure très stratifiée. Cela est essentiellement dû à la stratification thermique, mais est renforcé par une stratification saline près de la surface.

Aux vues de ces profils de densité, il paraîtrait davantage justifié d'envisager l'hypothèse bi-couche au début de la campagne de mesure que par la suite, et en S140 plutôt qu'en S140E. Dans le paragraphe suivant, nous investigons cette hypothèse pour la station S140.
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

FIG. 3.11 – Profils verticaux de température in-situ à S140. (a) 1<sup>re</sup> période : (—) moyenne sur 3 jours (du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00) des mesures TC, (- -) profil CTD le 14/07 à 03h21, (-.-) profil CTD le 15/07 à 11h41 et (...) profil CTD le 15/07 à 01h49 (b) 2<sup>e</sup> période : (—) moyenne sur 3 jours (du 21/07 à 00h00 au 24/07 à 00h00) des mesures TC (- -) profil CTD le 22/07 à 19h38, (-.-) profil CTD le 23/07 à 01h35 et (...) profil CTD le 23/07 à 13h17

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

FIG. 3.12 – Profils verticaux diurnes à S140E de : (a) $\sigma_{\theta}$ (b) température potentielle $\theta$ (c) salinité S, (—) le 15/07/96 à 18h20 et (- -) le 23/07/96 à 17h19

## Calculs des modes orthogonaux empiriques

Pour tester cette hypothèse, on se propose de calculer par la méthode EOF, les modes baroclines empiriques sur le champ de vitesse horizontale afin de déterminer l'importance statistique du 1<sup>er</sup> mode barocline. La durée de la campagne de mesures est divisée en 3 périodes de 3 jours pour chacune desquelles on calcule les modes empiriques des composantes EST et NORD du champ de vitesse horizontale. Celles-ci sont au préalable filtrées par une moyenne glissante sur 3 heures afin d'éliminer les hautes fréquences parasites (bruit de mesure, onde solitaire). Il faut absolument remarquer que cette méthode fournit la proportion de mouvement sur chaque mode, mais sans tenir compte de la fréquence de ces mouvements.

Sur les figures (3.13.a) et (3.14.a), on présente les 4 premiers modes empiriques normés calculés sur les composantes EST et NORD de la vitesse en S140 pour une période de 3 jours au début de la campagne de mesure (couche supérieure mélangée).

Sur les figures (3.13.b) et (3.14.b), on présente la projection de la série temporelle sur les 4 premiers modes, c'est-à-dire, l'évolution temporelle de chaque mode empirique.

Sur les figures (3.15.a et .b) et (3.16.a et .b), on présente les mêmes grandeurs pour une période de 3 jours plus tard au cours de la campagne de mesure (couche
<figure><img src="image_22.png" /></figure>

FIG. 3.13 – (a) Distribution sur la colonne d'eau des modes empiriques $P_n$ calculés sur la composante EST du champ de vitesse horizontale pour la période du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 en S140. (b) projection de la vitesse horizontale sur le : (–) 1<sup>er</sup> mode barocline, (–-) 2<sup>e</sup> mode barocline (...) 3<sup>e</sup> mode barocline, (– -) mode barotrope

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

FIG. 3.14 – (a) Distribution sur la colonne d'eau des modes empiriques $P_n$ calculés sur la composante NORD du champ de vitesse horizontale pour la période du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 en S140. (b) projection de la vitesse horizontale sur le : (–) 1<sup>er</sup> mode barocline, (–-) 2<sup>e</sup> mode barocline (...) 3<sup>e</sup> mode barocline, (– -) mode barotrope

supérieure stratifiée).

Les modes sont classés dans l'ordre d'importance des variances, c'est-à-dire que le 1<sup>er</sup> mode est celui expliquant la plus grande partie de la variance et ainsi de suite.

Validité de l'hypothèse bi-couche

Dans le tableau (3.3), on récapitule pour chaque période de 3 jours les pourcentages de variance associés à chaque mode. Le pourcentage de variance est calculé relativement à l'énergie restante après avoir enlevé l'énergie du mode barotrope. Le pourcentage d'énergie du mode barotrope sur l'énergie totale est également précisé.

Sur les deux périodes, il s'avère que l'importance du 1<sup>er</sup> mode barocline est à peu près similaire par rapport à l'ensemble de modes baroclines, soit 50 %. Donc bien que la stratification ait évoluée au cours de la campagne, il semble légitime de formuler l'hypothèse bi-couche sur toute la période.
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIG. 3.15 – (a) Distribution sur la colonne d'eau des modes empiriques $P_n$ calculés sur la composante EST du champ de vitesse horizontale pour la période 3 (du 21/07 à 00h00 au 24/07 à 00h00) en S140. (b) projection de la vitesse horizontale sur le : (–) 1er mode barocline, (–-) 2e mode barocline (...) 3e mode barocline, (– -) mode barotrope</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIG. 3.16 – (a) Distribution sur la colonne d'eau des modes empiriques calculés $P_n$ sur la composante NORD du champ de vitesse horizontale pour la période 3 (du 21/07 à 00h00 au 24/07 à 00h00) en S140. (b) projection de la vitesse horizontale sur le : (–) 1er mode barocline, (–-) 2e mode barocline (...) 3e mode barocline, (– -) mode barotrope</figcaption></figure>

## Champs de vitesse associés aux modes empiriques ; étude de la marée barotrope

Le mode le plus énergétique est, bien entendu, celui correspondant à la marée barotrope, avec une vitesse horizontale quasi-constante sur la verticale [représenté en trait tiret sur les figures (3.13), (3.14), (3.15) et (3.16)].

On peut à partir des projections des composantes de la vitesse horizontale sur chaque mode, reconstituer la distribution verticale des composantes de la vitesse pour chaque mode en unités nature. Pour chaque composante, il suffit donc de multiplier le profil adimensionnel de vitesse (a) par la projection correspondante (b). La projection nous donne l'évolution au cours du temps de chaque composante et comme il a déjà été signalé auparavant, toutes les périodes au-dessus de 3 h peuvent être présentes. Ainsi, sur les projections, on peut tenter d'isoler les mouvements de marée. En particulier, sur la composante barotrope, on observe très nettement des mouvements
<table><caption>TAB. 3.3 – Pourcentage d'énergie contenue dans le mode barotrope relativement à l'énergie totale. Pourcentage d'énergie contenue dans les 3 premiers modes baroclines relativement à l'énergie barocline pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours (la période 2 s'étend du 17/07/96 à 00h00 au 20/07/96 à 00h00)</caption><thead><tr><th rowspan="2">période</th><th colspan="2">mode barotrope</th><th colspan="2">1<sup>er</sup> mode barocline</th><th colspan="2">2<sup>e</sup> mode barocline</th><th colspan="2">3<sup>e</sup> mode barocline</th></tr><tr><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>90 %</td><td>86 %</td><td>46 %</td><td>57 %</td><td>27 %</td><td>19 %</td><td>13 %</td><td>8 %</td></tr><tr><td>2</td><td>89 %</td><td>86 %</td><td>60 %</td><td>66 %</td><td>22 %</td><td>17 %</td><td>9 %</td><td>9 %</td></tr><tr><td>3</td><td>88 %</td><td>84 %</td><td>61 %</td><td>63 %</td><td>18 %</td><td>16 %</td><td>10 %</td><td>9 %</td></tr></tbody></table>

ments diurne et semi-diurne. En effectuant une décomposition des projections des composantes EST et NORD sur 3 "harmoniques" de la marée (de périodes respectives 23.93 h, 12.42 h et 6.21 h), on obtient les amplitudes de chaque harmonique avec un très bon ajustement pour la composante EST comme le montre la figure (3.17.a). L'ajustement sur la composante NORD est un peu moins bon [figure (3.17.b)] mais reste acceptable.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 3.17 – Décomposition sur 3 harmoniques de la projection de la marée sur le mode barotrope empirique (a) de la composante EST (b) de la composante NORD pour la période 1 (du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00) en S140</figcaption></figure>

Dans le tableau (3.4), on reporte les amplitudes et phases des cosinus ajustés sur les composantes EST et NORD des vitesses barotropes (i.e. $E_{k1}N_1$) diurne et semi-diurne, ainsi que la moyenne.

<table><caption>TAB. 3.4 – Moyennes, amplitudes et phases diurne et semi-diurne en cm/s des composantes EST et NORD de la vitesse barotrope pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">période 1</th><th colspan="2">période 2</th><th colspan="2">période 3</th></tr><tr><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th></tr></thead><tbody><tr><td>moyenne (cm/s)</td><td>0.4</td><td>2.1</td><td>0.2</td><td>0.9</td><td>0.4</td><td>4.1</td></tr><tr><td>a<sub>T</sub>=23.93h (cm/s)</td><td>10.2</td><td>12.8</td><td>11.9</td><td>14.7</td><td>11.3</td><td>14.6</td></tr><tr><td>a<sub>T</sub>=12.42h (cm/s)</td><td>18.8</td><td>10.0</td><td>19.7</td><td>11.3</td><td>13.6</td><td>7.9</td></tr><tr><td>φ<sub>T</sub>=23.93h (°)</td><td>-138.95</td><td>-53.25</td><td>-152.24</td><td>-50.83</td><td>-172.05</td><td>-82.49</td></tr><tr><td>φ<sub>T</sub>=12.42h (°)</td><td>-90.90</td><td>-19.87</td><td>-137.53</td><td>-63.14</td><td>153.40</td><td>-124.76</td></tr></tbody></table>

Il est intéressant de remarquer que la composante NORD n'est pas centrée autour
de 0, révélant l'existence d'un courant variant de 1 cm/s à 4 cm/s, dirigé vers le N-NE.

De cette décomposition “harmonique” des composantes de la vitesse barotrope dans le repère orthogonal constitué des directions Est et Nord, on peut déterminer les ellipses des vitesses des marées barotropes diurne et semi-diurne sur chaque période de 3 jours, à savoir la direction de propagation (orientation du grand axe de l'ellipse) et les demi-axes.

<table><caption>TAB. 3.5 – Description des ellipses de vitesse pour la projection de la vitesse barotrope à la station S140 sur 3 périodes de 3 jours</caption><thead><tr><th></th><th colspan="3">Orientation<br>(°)</th><th colspan="3">demi-grand axe<br>(cm/s)</th><th colspan="3">demi-petit axe<br>(cm/s)</th><th colspan="3">majeur/mineur</th></tr></thead><tbody><tr><td>T = 12.42h</td><td>12.9</td><td>12.3</td><td>7.0</td><td>19.2</td><td>20.0</td><td>13.7</td><td>9.3</td><td>10.7</td><td>7.8</td><td>0.48</td><td>0.53</td><td>0.57</td></tr><tr><td>T = 23.93h</td><td>80.9</td><td>83</td><td>89.1</td><td>12.9</td><td>14.8</td><td>14.6</td><td>10.12</td><td>11.9</td><td>11.3</td><td>0.79</td><td>0.79</td><td>0.78</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 3.18 – Ellipses de vitesse de la vitesse barotrope pour la station S140 (a) T=12.42 h (b) T=23.93 h : (—) période 1, (- -) période 2 (-.-) période 3. $U_{\text{nord}}$ est la composante Nord de la vitesse et $U_{\text{est}}$ est la composante Est de la vitesse au même instant</figcaption></figure>

De cette analyse, il ressort que la marée diurne ne présente en fait pas de direction prépondérante de propagation. En effet, les ellipses sont quasiment circulaires, le rapport mineur/majeur est proche de l'unité. Par contre, pour la composante semi-diurne, il existe une direction principale de propagation, quasi-constante sur les 3 périodes, dont l'orientation est comprise entre 7° et 12° dans le sens trigonométrique par rapport à l'est. Compte tenu de la précision sur cette mesure qui est de l'ordre de quelques degrés (due à la très grande sensibilité de la phase dans la décomposition harmonique), cette mesure est en bon accord avec les estimations de la direction de propagation de la composante M2 faites précédemment sur ce site. Dans [72], cette direction est estimée à 24° et en 1995, lors d'une campagne de mesure du programme LOIS en S140, M. Inall estime cette angle à -10° dans le sens trigonométrique par rapport à l'est.

Sachant que la cassure du talus (contour bathymétrique à 150 m) est inclinée par rapport au nord de -13° dans le sens trigonométrique entre les latitudes 55.5° N et 57° N, l'angle de propagation de la marée barotrope semi-diurne transmise sur le plateau est donc de 23° à peu près dans le sens trigonométrique par rapport à la normale à la cassure. Cette information est précieuse car elle fournit un point de comparaison supplémentaire avec le modèle. On a également chercher à déterminer
l'orientation des ellipses de vitesse de la marée M2 barocline en décomposant sur les harmoniques de la marée les projections temporelles du premier mode barocline empirique. Sur la figure (3.19), on représente l'orientation des ellipses de vitesses baroclines en fonction de la profondeur sur les périodes 1 et 3.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

orientation °
(dans le sens trigonométrique depuis l'Est)

FIG. 3.19 – Distribution sur la colonne d'eau de l'orientation (en degré dans le sens tri-gonométrique depuis l'Est) des ellipses de vitesses baroclines M2 en S140 : (—) période 1 (- -) période 2

Tout d'abord, il est clair que l'orientation n'est pas constante sur la verticale, avec
des variations d'autant plus fortes sur la période 3. Sur la période 1, néanmoins,
dans la partie centrale de la colonne d'eau, cette orientation varie peu. La tendance
à une rotation vers la gauche des ellipses de vitesses près de la surface et près du
fond (que l'on retrouve sur la période 3), est en accord avec l'existence de couche
d'Ekman. En effet, l'épaisseur de la couche d'Ekman ($2\sqrt{\frac{\nu}{\omega}}$ avec $\nu \sim 10^{-3}m^2.s^{-1}$
viscosité de l'eau turbulente et $\omega \sim 7.10^{-5}rad.s^{-1}$ vitesse de rotation terrestre) est
estimée grossièrement à environ 10 mètres. Reste que si sur la période 1, l'orientation
des ellipses baroclines peut être estimée en moyenne à −11° de façon relativement
satisfaisante, sur la période 3 par contre, l'orientation des ellipses baroclines varie
bien plus sur la verticale, ce que l'on peut imputer à une inadéquation de la des-
cription du champ de vitesse barocline par des ellipses diurne et semi-diurne. En
effet, contrairement aux mouvements barotropes, les mouvements baroclines ne se
limitent pas uniquement aux périodes diurne et semi-diurne, et une décomposition
sur les harmoniques de la marée ne donnent pas de très bons résultats. En effet, les
projections de la vitesse ($E_{kn}$) sont non-linéaires. Sur les figures (3.20), on représente
les spectres des projections des composantes Est et Nord barotropes (a) et barocline
(b).

Ces spectres montrent clairement la présence sur les vitesses baroclines de fréquences
autres que celles présentes sur les vitesses barotropes (à savoir naturellement M2 et
K1). En effet, on observe des pics d'énergie à des fréquences plus fortes que M2.
Ainsi, ces spectres auraient tendance à montrer que le transfert d'énergie barotrope
vers les modes baroclines est non linéaire. Ceci pose un problème de taille pour une
comparaison pertinente avec notre modèle qui prédit des ondes longues linéaires.
Nous proposons donc une vision segmentée du problème de la génération des ondes
internes, en deux étapes. Dans un premier temps, l'onde barotrope interagit de
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIG. 3.20 – Spectres d'énergies des projections des composantes de vitesses Est (–) et Nord (- -) obtenues par la méthode EOF pour le mode (a) barotrope et (b) barocline sur la période 1 en S140 (le signal a été filtré par une moyenne glissante sur 3 heures)</figcaption></figure>

façon linéaire avec la topographie et la stratification pour créer une onde barocline linéaire, ce qui est l'objet de notre modèle. Dans un second temps, l'onde interne va se propager sur le plateau. Cette deuxième partie consiste donc à étudier l'évolution d'une onde longue interne générée par un batteur virtuel à la cassure du talus. L'évolution non-linéaire de l'onde longue interne au cours de sa propagation n'est alors pas surprenant. En effet, Santos [70] a montré expérimentalement dans sa thèse que les ondes longues linéaires en milieu homogène ne sont pas toujours stables. Après une certaine distance de propagation qu'il estime à environ 200 fois la profondeur d'eau, les ondes longues linéaires à fort nombre d'Ursell ont évolué pour devenir des ondes non linéaires. Théoriquement, cette évolution est due à la compétition entre les effets dispersifs et les effets non linéaires. Ces derniers ont tendance à produire des harmoniques qui ne sont plus négligeables après une distance de propagation donnée dite distance de fission. Les mêmes mécanismes existent en bi-couche avec rotation, et donc il nous faudrait estimer la distance à laquelle les ondes linéaires sont devenues non linéaires. En première approche, on peut estimer cette distance en étudiant la stabilité de l'équation des ondes longues non linéaires non dispersives (cf. annexe A). Cela conduit à estimer la distance de fission à environ 10 km. Notre point de mesure se situant à environ 5 km de la cassure supposée être le point de génération de l'onde linéaire (batteur virtuel), il est normal que les non-linéarités ne soient plus négligeables. De plus, la faible distance à la cassure permet également d'expliquer pourquoi les non-linéarités ne sont pas complètement développées, laissant encore apparaître sur les spectres de la figure (3.20.b) des pics séparés et non pas un spectre continu.

Enfin, s'il l'on suppose que la dissipation est faible sur la distance qui sépare le point de génération de l'onde supposée linéaire (à savoir la cassure) et le point de mesure, l'énergie contenue dans l'onde non-linéaire mesurée devrait être égale à celle contenue dans l'onde linéaire prédite par le modèle. On propose alors de comparer les vitesses et énergies baroclines mesurées à celle du modèle. Pour déterminer les vitesses baroclines sur site, on estime l'amplitude de la composante M2 barocline par l'écart type de la projection $E_{k2}$. Puis pour obtenir les vitesses baroclines dans les deux couches, on moyenne le profil empirique dans chaque couche. Pour chaque période de 3 jours, on obtient les vitesses baroclines reportées dans le tableau (3.6).
<table><caption>TAB. 3.6 – *Moyennes et écart-types en cm/s des composantes EST et NORD de la vitesse barocline pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours*</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">période 1</th><th colspan="2">période 2</th><th colspan="2">période 3</th></tr><tr><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th><th>Est</th><th>Nord</th></tr></thead><tbody><tr><td>moyenne (cm/s)<br>(couche supérieure)</td><td>0.7</td><td>3.4</td><td>1.7</td><td>4.7</td><td>1.4</td><td>4.2</td></tr><tr><td>moyenne (cm/s)<br>(couche inférieure)</td><td>-0.4</td><td>-1.5</td><td>-0.7</td><td>-1.0</td><td>-0.5</td><td>-1.0</td></tr><tr><td>écart type (cm/s)<br>(couche supérieure)</td><td>3.6</td><td>2.9</td><td>5.4</td><td>5.4</td><td>5.0</td><td>6.0</td></tr><tr><td>écart type (cm/s)<br>(couche inférieure)</td><td>-1.8</td><td>-1.3</td><td>-2.3</td><td>-1.1</td><td>-1.7</td><td>-1.4</td></tr></tbody></table>

Notons d'ores et déjà qu'il existe également un courant dirigé vers le Nord sur les vitesses baroclines, ce courant n'est pas pris en compte dans le modèle.

## Calcul des modes normaux dynamiques et bi-couche équivalent

A présent, on peut comparer les modes empiriques aux modes dynamiques pour tester la représentativité physique des modes empiriques.

Pour le calcul des modes dynamiques, on applique la méthode présentée en annexe D avec la condition complète à la surface.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIG. 3.21 – *Distribution verticale des modes internes dynamiques* pour une onde M2 (12.42h) à partir du profil de densité du 13/07/96 à 20h41 (—) 1er mode (- -) 2e mode (-.-) 3e mode (...) 4e mode : (a) $\sigma_{\theta}$ (b) fréquence de Brünt-Väisälä $N^2$ (c) vitesse verticale $W$ (d) vitesse horizontale $U$</figcaption></figure>

Sur la figure (3.21), on présente un exemple des différentes étapes de ce calcul. Du profil de densité potentielle [figure (3.21.a)], on déduit le profil de fréquence de Brünt-Väisälä [figure (3.21.b)]. Puis, on calcule les profils de vitesse verticale de chaque mode [figure (3.21.c)]. Ce sont les vecteurs propres solutions du problème aux valeurs propres décrit dans l'annexe D pour une période de 12.42 h. On en déduit les profils de vitesse horizontale [figure (3.21.d)] associés à chaque mode dynamique. Le profil de vitesse verticale correspondant à chaque mode dynamique est normé, il n'est donc pas représentatif des vitesses verticales effectives dans les mesures in-situ. Cependant, une unité est précisée pour situer l'ordre de grandeur entre les vitesses
verticales et horizontales. En effet, les profils de vitesse horizontale calculés ne correspondent pas davantage à des vitesses effectives sur site, mais ils correspondent effectivement aux vitesses horizontales qui seraient associées aux vitesses verticales exprimées dans les unités précisées sous chaque graphe.

Sur la figure (3.22), on présente 2 comparaisons des modes empiriques aux modes dynamiques pour le premier mode barocline. Les vecteurs sont normés pour faciliter la comparaison.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIG. 3.22 – Profils verticaux normés de la composante EST de la vitesse horizontale du 1er mode barocline : (a) mode empirique calculé sur la période 1 (—); mode dynamique CTD 2 (- -); mode dynamique CTD 3 (...); mode dynamique CTD 4 (-.-); mode dynamique CTD 5 (ooo); (b) mode empirique calculé sur la période 3 (—); mode dynamique CTD 8 (- -); mode dynamique CTD 9 (...); mode dynamique CTD 10 (-.-); mode dynamique CTD 11 (ooo)</figcaption></figure>

Le mode empirique est calculé sur les périodes de 3 jours notées 1 et 3 précédemment. On représente sur le même graphe le mode dynamique est calculé pour différents profils CTD mesurés durant chaque période.

Il est important de remarquer à nouveau que le mode empirique est déterminé sans tenir compte de la période des mouvements alors que le mode dynamique n'est calculé que pour une période de 12.42 h. L'écart entre les 2 modes montre donc ou bien que des mouvements sur le 1er mode barocline ont lieu pour d'autres périodes que la période semi-diurne ou bien que les différents modes baroclines sont corrélés. Du calcul des modes internes dynamiques, on a obtenu la célérité associée du 1er mode barocline. On calcule alors le bi-couche équivalent [tableau (3.7) et (3.8)] en suivant les deux méthodes présentées au paragraphe 3.3.2 avec les notations suivantes :

avec :

- H, profondeur d'eau totale

- h, position de l'interface depuis la surface

- $\sigma_1 = \rho_1 - 1000$, densité potentielle de la couche supérieure

- $\sigma_2 = \rho_2 - 1000$, densité potentielle de la couche inférieure

- $T_{CTD}$, température in-situ au niveau de l'interface sur le profil CTD

- $c_0$, célérité de phase du 1er mode barocline

- L, longueur d'onde du 1er mode barocline

Il est intéressant de noter que la formule simplifiée (3.4) de la célérité pour les faibles différences de densité est tout à fait utilisable ici. En effet, les résultats sont absolu-
Méthode 1

<table><caption>TAB. 3.7 – Méthode 1 de calcul du bi-couche équivalent aux profils instantanés (CTD) de densité mesurés en S140 (la condition à la surface utilisée pour le calcul des modes verticaux est la condition complète)</caption><thead><tr><th>no</th><th>date (jj/mm)</th><th>heure (hh :mn)</th><th>H (m)</th><th>h (m)</th><th>σ<sub>1</sub> (kg/m3)</th><th>σ<sub>2</sub> (kg/m3)</th><th>T<sub>CTD</sub> (° C)</th><th>c<sub>0</sub> (m/s)</th><th>L (km)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>13/07</td><td>20 :41</td><td>147</td><td>48</td><td>26.77</td><td>27.16</td><td>12.4</td><td>0.690</td><td>30.85</td></tr><tr><td>2</td><td>14/07</td><td>03 :21</td><td>147</td><td>39.8</td><td>26.79</td><td>27.15</td><td>12.0</td><td>0.628</td><td>28.05</td></tr><tr><td>3</td><td>14/07</td><td>12 :18</td><td>147</td><td>43.3</td><td>26.78</td><td>27.15</td><td>12.4</td><td>0.657</td><td>29.39</td></tr><tr><td>4</td><td>15/07</td><td>01 :49</td><td>145</td><td>54.8</td><td>26.80</td><td>27.15</td><td>12.2</td><td>0.680</td><td>30.39</td></tr><tr><td>5</td><td>15/07</td><td>11 :41</td><td>146</td><td>42.6</td><td>26.77</td><td>27.18</td><td>12.3</td><td>0.681</td><td>30.45</td></tr><tr><td>6</td><td>17/07</td><td>20 :51</td><td>146</td><td>32.2</td><td>26.60</td><td>27.15</td><td>12.6</td><td>0.728</td><td>32.54</td></tr><tr><td>7</td><td>18/07</td><td>21 :37</td><td>148</td><td>25.1</td><td>26.63</td><td>27.17</td><td>12.8</td><td>0.652</td><td>29.15</td></tr><tr><td>8</td><td>22/07</td><td>19 :38</td><td>147</td><td>22.6</td><td>26.53</td><td>27.17</td><td>13.1</td><td>0.683</td><td>30.54</td></tr><tr><td>9</td><td>23/07</td><td>01 :35</td><td>148</td><td>34.7</td><td>26.56</td><td>27.13</td><td>13.0</td><td>0.762</td><td>34.06</td></tr><tr><td>10</td><td>23/07</td><td>06 :54</td><td>147</td><td>31.2</td><td>26.60</td><td>27.13</td><td>12.5</td><td>0.704</td><td>31.46</td></tr><tr><td>11</td><td>23/07</td><td>13 :17</td><td>147</td><td>38.5</td><td>26.49</td><td>27.13</td><td>13.3</td><td>0.830</td><td>37.1</td></tr><tr><td>12</td><td>25/07</td><td>06 :24</td><td>158</td><td>26.5</td><td>26.60</td><td>27.14</td><td>12.4</td><td>0.673</td><td>30.1</td></tr></tbody></table>

ment identiques à ceux issus de la formule complète (3.10) pour la précision voulue sur la position de l'interface (10 cm près). Par contre, on obtient des écarts de 1 à 2 mètres sur la position de l'interface suivant que dans le calcul des modes dynamiques, on utilise la condition simplifiée ou complète à la surface. C'est pourquoi, on préfère ici utiliser la condition complète.

La 1<sup>ere</sup> méthode de détermination du bi-couche équivalent donne toujours des positions d'interface plus proche de la surface que le maximum de vitesses verticales. Cet écart est d'autant plus flagrant sur la 2<sup>e</sup> période. Cela aurait tendance à montrer que plus la forme du profil de densité est éloignée du profil bi-couche, moins la 1<sup>ere</sup> méthode est appropriée.

Par ailleurs, d'après le zéro de vitesse horizontale des modes empiriques, la position de l'interface est à mi-chemin entre les positions déterminées par les deux méthodes, à savoir environ 45 mètres sous la surface pour les 2 périodes. Dans le tableau (3.9), on reporte la moyenne des niveaux d'interface déterminés sur chaque période et la position du zéro de vitesse horizontale des modes empiriques. On reporte également la température in-situ associée à chacune de ces positions sur le profil moyen de température obtenu sur les mesures des TC.

En fait, sur la période 1, la méthode 1 fournit des positions d'interface les plus proches de celle donnée par les modes empiriques alors que pour la période 3, c'est la méthode 2.

Nous utiliserons donc pour forcer le modèle, les deux séries de bi-couches équivalents.

Signature des mouvements baroclines sur les isothermes

Sur la figure (3.23.a), on présente les positions des isothermes au cours du temps en S140 durant la 1<sup>ere</sup> période de la campagne de mesure (du 14/07/96 à 00h00 au
Méthode 2

<table><caption>TAB. 3.8 – Méthode 2 de calcul du bi-couche équivalent aux profils instantanés (CTD) de densité mesurés en S140 (la condition à la surface utilisée pour le calcul des modes verticaux est la condition complète)</caption><thead><tr><th>n°</th><th>date (jj/mm)</th><th>heure (hh :mn)</th><th>H (m)</th><th>h (m)</th><th>σ<sub>1</sub> (kg/m3)</th><th>σ<sub>2</sub> (kg/m3)</th><th>T<sub>CTD</sub> (°C)</th><th>c<sub>0</sub> (m/s)</th><th>L (km)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>13/07</td><td>20 :41</td><td>147</td><td>59</td><td>26.82</td><td>27.17</td><td>11.2</td><td>0.690</td><td>30.85</td></tr><tr><td>2</td><td>14/07</td><td>03 :21</td><td>147</td><td>55</td><td>26.86</td><td>27.16</td><td>11.1</td><td>0.628</td><td>28.05</td></tr><tr><td>3</td><td>14/07</td><td>12 :18</td><td>147</td><td>59</td><td>26.86</td><td>27.18</td><td>11.1</td><td>0.657</td><td>29.39</td></tr><tr><td>4</td><td>15/07</td><td>01 :49</td><td>145</td><td>67</td><td>26.84</td><td>27.17</td><td>11.2</td><td>0.680</td><td>30.39</td></tr><tr><td>5</td><td>15/07</td><td>11 :41</td><td>146</td><td>55</td><td>26.84</td><td>27.20</td><td>10.9</td><td>0.681</td><td>30.45</td></tr><tr><td>6</td><td>17/07</td><td>20 :51</td><td>146</td><td>55</td><td>26.79</td><td>27.20</td><td>10.9</td><td>0.728</td><td>32.54</td></tr><tr><td>7</td><td>18/07</td><td>21 :37</td><td>148</td><td>43</td><td>26.82</td><td>27.19</td><td>10.8</td><td>0.652</td><td>29.15</td></tr><tr><td>8</td><td>22/07</td><td>19 :38</td><td>147</td><td>39</td><td>26.76</td><td>27.19</td><td>10.9</td><td>0.683</td><td>30.54</td></tr><tr><td>9</td><td>23/07</td><td>01 :35</td><td>148</td><td>57</td><td>26.74</td><td>27.17</td><td>11.1</td><td>0.762</td><td>34.06</td></tr><tr><td>10</td><td>23/07</td><td>06 :54</td><td>147</td><td>55</td><td>26.78</td><td>27.16</td><td>11.0</td><td>0.704</td><td>31.46</td></tr><tr><td>11</td><td>23/07</td><td>13 :17</td><td>147</td><td>55</td><td>26.64</td><td>27.17</td><td>11.4</td><td>0.830</td><td>37.1</td></tr><tr><td>12</td><td>25/07</td><td>06 :24</td><td>158</td><td>59</td><td>26.85</td><td>27.18</td><td>11.0</td><td>0.673</td><td>30.1</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TAB. 3.9 – Niveaux d'interface moyens et température in-situ associée avec les mêmes notations que pour les tableaux (3.7) et (3.8)</caption><thead><tr><th rowspan="2">période</th><th colspan="2">Méthode 1</th><th colspan="2">Méthode 2</th><th colspan="2">Modes empiriques</th></tr><tr><th>h (m)</th><th>T<sub>CTD</sub> (°C)</th><th>h (m)</th><th>T<sub>CTD</sub> (°C)</th><th>h (m)</th><th>T<sub>CTD</sub> (°C)</th></tr></thead><tbody><tr><td>du 13/07/96 au 17/07/96</td><td>45.7</td><td>12</td><td>59</td><td>11</td><td>45</td><td>12</td></tr><tr><td>du 17/07/96 au 25/07/96</td><td>30.1</td><td>12.5</td><td>51.8</td><td>11.5</td><td>45</td><td>11.7</td></tr></tbody></table>

17/07/96 à 00h00). Sur la figure (3.23.b), on présente les positions des isothermes au cours du temps en S140 sur 3 jours durant la 2e période de la campagne de mesure (du 20/07/96 à 00h00 au 23/07/96 à 00h00). Ces signaux expérimentaux ont été filtrés par une moyenne glissante sur 3 h afin d'éliminer le bruit de mesure et d'éventuelles ondes haute fréquence.

Ces contours d'isothermes sont caractéristiques de l'existence d'un mouvement barocline. En effet, les déplacements des isothermes sont maximaux dans la masse et s'atténuent jusqu'à disparaître en surface et au fond. De plus, il est intéressant de remarquer que les déplacements des isothermes semblent relativement en phase sur la zone de mesure des TC. Cela signifie que jusqu'à 82 mètres sous la surface, le milieu se comporte comme un bi-couche.

Sur chaque période de 3 jours, on isole l'isotherme la plus proche du niveau de l'interface déterminé par chacune des deux méthodes de calcul du bi-couche équivalent. L'isotherme est prise sur le profil de température moyen obtenu sur les mesures des
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIG. 3.23 – Position des isothermes en S140 (a) du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 (b) du 20/07 à 00h00 au 23/07 à 00h00</figcaption></figure>

TC. On considère donc d'une part les isothermes 12°C et 12.5°C respectivement sur les périodes 1 et 3 [figure (3.24)], et les isothermes 11°C et 11.5°C respectivement sur les mêmes périodes [figure (3.25)]. On propose de déterminer les amplitudes et phases de la marée interne semi-diurne sur ces isothermes.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIG. 3.24 – Analyse harmonique des déplacements d'isothermes en S140 (a) 12°C du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 (b) 12.5°C du 21/07 à 00h00 au 24/07 à 00h00 : (–) signal expérimental (- -) signal ajusté avec les périodes 23.93h, 12.42 h et 6.21 h.</figcaption></figure>

Pour ce faire, il nous faut choisir les fréquences à utiliser dans notre décomposition car la période semi-diurne de 12.42 heures seule n'est pas suffisante. La durée des signaux n'étant que de 3 jours, il n'est possible que de choisir une fréquence diurne, une fréquence semi-diurne et une fréquence quart-diurne.

Une FFT sur un signal si court n'est pas consistante pour déterminer avec précision les fréquences à utiliser. Ainsi, on choisit les fréquences dont l'amplitude relative dans chaque espèce est la plus forte dans le calcul de la marée d'équilibre du tableau (3.1), à savoir les périodes de 23.93h, 12.42 h et 6.21 h.

Sur les figures (3.24) et (3.25), on présente les enregistrements expérimentaux et le signal ajusté contenant les périodes ci-dessus. De cette décomposition de la marée, on consigne les amplitudes obtenues pour chaque fréquence dans le tableau (3.10). Quelques commentaires sur la décomposition du signal s'imposent. En effet, il est
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIG. 3.25 – Analyse harmonique des déplacements d’isothermes en S140 (a) sur l’isotherme 11°C du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 (b) sur l’isotherme 11.5°C du 21/07 à 00h00 au 24/07 à 00h00 : (—) signal expérimental (- -) signal ajusté avec les périodes 23.93h, 12.42 h et 6.21 h.</figcaption></figure>

<table><caption>TAB. 3.10 – Amplitudes des composantes issues de l’analyse harmonique de la marée barocline (identifiée aux déplacements de l’isotherme proche du niveau de l’interface du bi-couche équivalent) en S140</caption><thead><tr><th>période</th><th>a<sub>T=23.93h</sub><br>(m)</th><th>a<sub>T=12.42h</sub><br>(m)</th><th>a<sub>T=6.21h</sub><br>(m)</th><th>écart type<br>(m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>14/07 au 17/07 (1)</td><td>3.3</td><td>8.8</td><td>5.6</td><td>9.2</td></tr><tr><td>14/07 au 17/07 (2)</td><td>3.7</td><td>7.3</td><td>5.3</td><td>8.1</td></tr><tr><td>21/07 au 24/07 (1)</td><td>3.0</td><td>9.8</td><td>2.9</td><td>8.2</td></tr><tr><td>21/07 au 24/07 (2)</td><td>3.2</td><td>9.5</td><td>2.6</td><td>8.2</td></tr></tbody></table>

notable que l’ajustement n’est pas très bon. La décomposition conduit à une sous-estimation de l’amplitude du signal mesuré. En fait, le signal mesuré présente des non-linéarités et donc une décomposition linéaire n’est pas adaptée.

Par ailleurs, on peut être surpris par l’amplitude non négligeable des composantes diurne et quart-diurne obtenue par la décomposition linéaire. Tout d’abord, le forçage diurne barotrope ne peut générer aucune onde barocline diurne car $\omega \le f$. Ensuite, en supposant que la composante quart-diurne barocline est générée sur le talus par la composante quart-diurne barotrope, la rapport d’amplitude des composantes semi-diurne et quart-diurne devrait être à peu près le même que dans la marée externe. En effet, le rapport de l’amplitude de l’onde barocline à l’amplitude de l’onde barotrope de même fréquence ne dépend pas de cette fréquence, mais uniquement de la stratification et de la géométrie, en incidence normale.

En conclusion, il s’agit plus certainement de non-linéarités apparues au cours de la propagation de la marée interne semi-diurne. Nous avons déjà signalé plus haut l’instabilité d’une telle onde longue linéaire et le fait qu’après une distance relativement petite de propagation, elle soit devenue non-linéaire. Ainsi, il me semble que pour mener une comparaison sensée des données et du modèle, vu que le modèle prévoit que la composante semi-diurne de période 12.42 h est de loin la plus énergétique, il faut attribuer toute l’énergie du signal expérimental à cette composante. C’est pourquoi je propose d’estimer l’amplitude de la composante semi-diurne sur le signal mesuré in-situ par l’écart-type du déplacement de l’isotherme par rapport à la position moyenne supposée être la position au repos [dernière colonne du tableau (3.10)].
Sur la figure (3.26), on présente la décomposition “harmonique” de l’isotherme 12°C mesurée simultanément sur les 2 stations. De cette décomposition, on obtient les phases de la composante semi-diurne à chaque station. Ceci nous permet d’obtenir une estimation de la longueur d’onde de la composante semi-diurne.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIG. 3.26 – Analyse harmonique des déplacements de l'isotherme 12°C aux stations S140 (a) et S140E (b) du 14/07 à 00h00 au 16/07 à 00h00 : (—) signal expérimental (- -) signal ajusté avec les périodes 23.93h, 12.42 h et 6.21 h.</figcaption></figure>

En effet, le déphasage entre les deux stations de la composante semi-diurne M2 est de $\pm$ 3.69 rad, c'est-à-dire, $\pm$ 0.59 période ou longueur d'onde.

On a donc en 47.5 km, un nombre entier de longueur d'onde $\pm$ 0.59 longueur d'onde. La longueur d'onde la plus probable projetée sur l'axe Est-Ouest est donc ou bien 29.9 km ou bien 33.7 km. La position des stations permet donc d'obtenir une très bonne estimation de cette projection à 4 km près. On en déduit la longueur d'onde dans la direction normale à la cassure, soit entre 28 km et 31.7 km. Or, 75 % des longueurs théoriques déduites des profils CTD [tableau (3.8)] se situent dans cet intervalle, les autres longueurs d'onde déduites des profils CTD restant très proche de ces estimations.

Pour finir, on compare sur la figure 3.27 les spectres obtenus sur les déplacements de l'isotherme 12°C sur toute la durée de la campagne de mesure aux deux stations. Outre la signature évidente de la fréquence M4 par exemple, cette figure met clairement en évidence une perte d'énergie non négligeable, de plus de 80 % à la fréquence M2 entre les deux stations. Ceci exclut toute comparaison du modèle avec des mesures en S140E, la dissipation d'énergie n'étant pas prise en compte dans le modèle.

## Comparaison des mesures aux modèles

La comparaison du modèle aux mesures est menée sur les deux périodes de 3 jours notées précédemment 1 et 3.

On présente dans les tableaux (3.11) les résultats obtenus avec le modèle de calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence normale avec les notations suivantes :

- $A$, amplitude de l'onde barotrope incidente côté haute mer

- $L_e^I$, longueur d'onde de l'onde barotrope côté haute mer à l'interface

- $a_e^I$, amplitude de l'onde barotrope réfléchie côté haute mer

- $L_i^I$, longueur d'onde de l'onde barocline côté haute mer

- $a_i^I$, amplitude de l'onde barocline réfléchie côté haute mer
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

FIG. 3.27 – Spectre d'énergie des déplacements de l'isotherme 12°C mesurés du 13/07 au 28/07 en : (—) S140 et (- -) S140E (signal a été filtré par une moyenne glissante sur une heure). La barre verticale indique la limite $\frac{1}{f}$ de l'existence des ondes de Poincaré.

- $L_e^{II}$, longueur d'onde de l'onde barotrope côté plateau

- $a_e^{II}$, amplitude de l'onde barotrope transmise côté plateau à l'interface

- $L_i^{II}$, longueur d'onde de l'onde barocline côté plateau

- $a_i^{II}$, amplitude de l'onde barocline transmise côté plateau

- $u_e^{I}$, composante normale au talus de la vitesse barotrope sur le plateau

- $u_i^{I}$, composante normale au talus de la vitesse barocline dans la couche supérieure sur le plateau

- (1) correspond aux bi-couches équivalents déterminés par la méthode 1

- (2) correspond aux bi-couches équivalents déterminés par la méthode 2

Les données d'entrées du modèle sont les bi-couches équivalents calculés pour chaque profil CTD par les deux méthodes [tableau (3.7) et (3.8)].

On suppose que les caractéristiques du bi-couche obtenues sur le plateau sont les mêmes du côté haute mer, ce qui d'après les profils CTD effectués sur le talus semble une hypothèse raisonnable. La hauteur d'eau totale du côté haute mer est choisie égale à 1500 mètres, compte tenu de la bathymétrie [figure (3.8)] et la période du forçage barotrope est de 12.42 h. Rappelons que quelle que soit la fréquence du forçage barotrope, en incidence normale, le rapport des amplitudes à l'amplitude de l'onde barotrope est toujours le même. Par contre, les longueurs d'onde présentées dans le tableau (3.11) ne sont valables que pour une période de 12.42 h.

En incidence normale, toutes les grandeurs sur le plateau sont surestimées quel que soit le bi-couche considéré. En fait, la marée barotrope est en incidence sur la Malin Shelf. Or, pour forcer notre modèle, nous devons connaître avec précision les caractéristiques de la marée barotrope sur les deux périodes retenues.

Pour cela, on dispose de données bibliographiques pour la marée barotrope sur ce site. Ces données proviennent ou bien de mesures sur des temps très longs ou bien de modèles de marée. Toutes ces données ont été obtenues dans le but de construire des cartes précises de la marée semi-diurne essentiellement. Parmi cette bibliographie abondante, nous nous référons ici à A.M. Davies et J. Xing [82] dans lequel on trouve une comparaison de leur modèle de calcul de la composante M2 de la marée
<table><caption>TAB. 3.11 – Calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence normale</caption><thead><tr><th rowspan="2">CTD</th><th colspan="4">Haute mer</th><th colspan="4">Plateau</th></tr><tr><th>L<sup>I</sup><sub>e</sub><br>(km)</th><th>a<sup>I</sup><sub>e</sub><br>A</th><th>L<sup>I</sup><sub>i</sub><br>(km)</th><th>a<sup>I</sup><sub>i</sub><br>A</th><th>L<sup>II</sup><sub>e</sub><br>(km)</th><th>a<sup>II</sup><sub>e</sub><br>A</th><th>L<sup>II</sup><sub>i</sub><br>(km)</th><th>a<sup>II</sup><sub>i</sub><br>A<br>(10<sup>-2</sup> /s)</th><th>u<sup>II</sup><sub>e</sub><br>A<br>(10<sup>-2</sup> /s)</th><th>u<sup>II</sup><sub>i</sub><br>A<br>(10<sup>-2</sup> /s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>37.04</td><td>23.6<br>28.8</td><td>3381</td><td>1.1<br>1.0</td><td>30.89</td><td>24<br>29.4</td><td>83.5<br>84.8</td><td>34.6<br>34.1</td></tr><tr><td>2<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10793</td><td>0.5</td><td>32.47</td><td>21.7<br>29.6</td><td>3379</td><td>1.2<br>1.0</td><td>28.11</td><td>22.1<br>30.2</td><td>82.6<br>84.3</td><td>34.9<br>34.3</td></tr><tr><td>3<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10806</td><td>0.5</td><td>34.34</td><td>22.6<br>30.1</td><td>3383</td><td>1.1<br>1.0</td><td>29.27</td><td>23.0<br>30.7</td><td>83.0<br>84.8</td><td>34.8<br>34.1</td></tr><tr><td>4<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>37.40</td><td>27.6<br>33.1</td><td>3357</td><td>1.0<br>0.9</td><td>30.05</td><td>28.2<br>33.8</td><td>85.0<br>86.4</td><td>34.9<br>33.9</td></tr><tr><td>5<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>35.84</td><td>21.3<br>27.2</td><td>3369</td><td>1.1<br>1.0</td><td>30.6</td><td>21.8<br>27.7</td><td>83.3<br>84.7</td><td>35.0<br>34.5</td></tr><tr><td>6<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>36.21</td><td>15.4<br>25.4</td><td>3369</td><td>1.2<br>1.0</td><td>32.33</td><td>15.7<br>26.0</td><td>82.1<br>84.7</td><td>35.3<br>34.5</td></tr><tr><td>7<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10806</td><td>0.5</td><td>31.78</td><td>13.2<br>22.4</td><td>3394</td><td>1.3<br>1.1</td><td>29.2</td><td>13.5<br>22.8</td><td>80.7<br>82.7</td><td>35.1<br>34.7</td></tr><tr><td>8<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>32.84</td><td>11.5<br>19.6</td><td>3380</td><td>1.3<br>1.2</td><td>30.44</td><td>11.7<br>20.0</td><td>80.7<br>82.5</td><td>35.4<br>35.0</td></tr><tr><td>9<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>38.24</td><td>15.7<br>25.2</td><td>3392</td><td>1.2<br>1.0</td><td>33.86</td><td>16.0<br>25.7</td><td>81.7<br>84.2</td><td>35.0<br>34.1</td></tr><tr><td>10<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>35.01</td><td>15.3<br>26.3</td><td>3380</td><td>1.2<br>1.0</td><td>31.40</td><td>15.6<br>26.8</td><td>81.7<br>84.3</td><td>35.2<br>34.3</td></tr><tr><td>11<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10799</td><td>0.5</td><td>42.63</td><td>15.9<br>22.2</td><td>3380</td><td>1.2<br>1.0</td><td>37.1</td><td>16.2<br>22.7</td><td>82.4<br>84.3</td><td>35.0<br>34.4</td></tr><tr><td>12<sup>(1)</sup><br>(2)</td><td>10806</td><td>0.5</td><td>32.64</td><td>13.0<br>27.9</td><td>3507</td><td>1.3<br>1.0</td><td>30.04</td><td>13.2<br>28.4</td><td>77.7<br>81.1</td><td>33.6<br>32.8</td></tr></tbody></table>

barotrope à des mesures in-situ.

Pour ce qui est de l'amplitude de la marée semi-diurne, un mètre semble être une valeur très robuste.

L'orientation de propagation est par contre plus variable suivant la situation géographique.

Nous avons sélectionné les 2 sites suivants [tableau (3.12)].

Compte tenu de l'inclinaison du talus par rapport au Nord de -13°, l'angle d'incidence de la composante M2 barotrope est donc de 80° par rapport à la normale au talus sur les mesures et 90° sur les calculs [figure (3.28)]. Ce dernier angle paraît peu probable car alors aucune onde interne ne se propagerait sur le talus.

Compte tenu de la faible robustesse de l'angle d'incidence, nous présentons les résultats du modèle pour les incidences de 70° et 80°, répertoriés dans les tableaux (3.13) et (3.14) avec les notations suivantes :

- $\beta_i^I$, angle de propagation de l'onde barocline réfléchie côté haute mer

- $\alpha_e^{II}$, angle de propagation de l'onde barotrope transmise côté plateau

- $\beta_i^{II}$, angle de propagation de l'onde barocline transmise côté plateau.

Les autres notations sont les mêmes que pour le tableau (3.11).
<table><caption>TAB. 3.12 – Composante M2 de la marée barotrope</caption><thead><tr><th>latitude (°)</th><th>longitude (°)</th><th>a<sub>m</sub> (m)</th><th>α<sub>m</sub> (°)</th><th>a<sub>c</sub> (m)</th><th>α<sub>c</sub> (°)</th></tr></thead><tbody><tr><td>55.7 N</td><td>10.8 W</td><td>1.04</td><td>159</td><td>1.00</td><td>166</td></tr><tr><td>55.3 N</td><td>10.7 W</td><td>1.07</td><td>157</td><td>1.02</td><td>164</td></tr></tbody></table>

avec :

- $a_m$, amplitude mesurée

- $α_m$, angle mesuré repéré dans le sens trigonométrique depuis le Nord, l'indice c se réfère aux mêmes grandeurs calculées.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIG. 3.28 – Angles incident et réfracté de la marée barotrope</figcaption></figure>

D'après ces résultats, il est clair que l'incidence joue un rôle très important. En effet, en diminuant le forçage barotrope normal au plateau, toutes les grandeurs sur le plateau sont diminuées. Pour la composante M2 barotrope sur le plateau, l'angle de transmission varie très peu entre l'incidence à 70° ou à 80° et vaut environ 17.5°, ce qui est en assez bon accord avec l'angle estimé sur les mesures, à 23° (précision sur la mesure de quelques degrés). Par contre, les vitesses barotropes dépendent fortement de l'angle d'incidence puisqu'elles sont quasiment doublées entre une incidence à 80° et à 70°. En comparant ces vitesses aux vitesses mesurées, il est clair que c'est l'incidence à 80° qui fournit le meilleure accord à 20 % près. Pour ce qui est de la direction de propagation de l'onde interne, le modèle prévoit toujours une direction de propagation suivant la normale au talus quel que soit l'angle d'incidence de l'onde barotrope. Cette direction de propagation est en bon accord avec celle mesurée sur la période 1, à savoir environ 2°.

Dans le tableau (3.15), on reporte les moyennes des amplitudes de la marée barocline sur le plateau calculées par le modèle sur chaque période et l'écart type mesuré sur les déplacements d'isothermes.

Pour cette angle de 80°, il nous faut à présent discuter de la validité du modèle pour décrire les ondes baroclines. En fait, il s'avère que si l'on considère les bi-couches déterminés en positionnant l'interface au niveau du maximum de vitesse verticale plutôt qu'en ajustant la masse dans les deux couches, les amplitudes des déplacements d'isothermes sont bien mieux décrites. Cependant, rappelons que si sur la période 3, ce positionnement de l'interface est en accord avec la position de l'interface donnée par les profils des modes empiriques, sur la période 1, la méthode 1 de calcul du bi-couche équivalent semblait donner un meilleur résultat sur ce point. En tenant compte de cet argument, l'écart mesure-modèle sur l'amplitude de la marée interne est d'environ 30 %, ce qui n'est somme toute pas si mauvais si l'on considère la simplicité d'utilisation du modèle. On note également que le modèle
<table><caption>TAB. 3.13 – Calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence α = 70°</caption><thead><tr><th rowspan="3">CTD</th><th colspan="3">Haute mer</th><th colspan="6">Plateau</th></tr><tr><th>a<sup>I</sup><sub>e</sub></th><th>α<sup>I</sup><sub>i</sub></th><th>a<sup>I</sup><sub>i</sub></th><th>β<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>a<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>β<sup>II</sup><sub>i</sub></th><th>a<sup>II</sup><sub>i</sub></th><th>u<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>u<sup>II</sup><sub>i</sub></th></tr><tr><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(10<sup>-2</sup> /s)</th><th>(10<sup>-2</sup> /s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.18<br>0.19</td><td>10.7<br>13.1</td><td>17.1</td><td>0.5</td><td>0.15</td><td>11.0<br>13.4</td><td>38.5<br>39.1</td><td>15.8<br>15.6</td></tr><tr><td>2 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.16<br>0.17</td><td>9.9<br>13.5</td><td>17.1</td><td>0.5</td><td>0.14</td><td>10.0<br>13.7</td><td>38.1<br>38.9</td><td>15.9<br>15.6</td></tr><tr><td>3 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.17<br>0.18</td><td>10.3<br>13.7</td><td>17.1</td><td>0.5</td><td>0.15</td><td>10.5<br>14.0</td><td>38.3<br>39.1</td><td>15.9<br>15.6</td></tr><tr><td>4 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.19<br>0.20</td><td>12.6<br>15.1</td><td>17.0</td><td>0.5</td><td>0.15</td><td>12.8<br>15.4</td><td>39.1<br>39.8</td><td>15.8<br>15.4</td></tr><tr><td>5 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.18<br>0.19</td><td>9.7<br>12.4</td><td>17.0</td><td>0.5</td><td>0.15</td><td>9.9<br>12.6</td><td>38.4<br>39.0</td><td>15.9<br>15.7</td></tr><tr><td>6 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.18<br>0.20</td><td>7.0<br>11.6</td><td>17.0</td><td>0.6</td><td>0.16</td><td>7.2<br>11.8</td><td>37.8<br>39.0</td><td>16.1<br>15.7</td></tr><tr><td>7 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.16<br>0.17</td><td>6.0<br>10.2</td><td>17.2</td><td>0.6</td><td>0.15</td><td>6.2<br>10.4</td><td>37.2<br>38.1</td><td>16.0<br>15.8</td></tr><tr><td>8 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.16<br>0.17</td><td>5.25<br>8.9</td><td>17.1</td><td>0.6</td><td>0.15</td><td>5.4<br>9.1</td><td>37.2<br>38.0</td><td>16.1<br>15.9</td></tr><tr><td>9 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.19<br>0.21</td><td>7.2<br>11.5</td><td>17.2</td><td>0.6</td><td>0.17</td><td>7.3<br>11.7</td><td>37.7<br>38.8</td><td>15.9<br>15.6</td></tr><tr><td>10 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.17<br>0.19</td><td>7.0<br>12</td><td>17.1</td><td>0.6</td><td>0.16</td><td>7.1<br>12.2</td><td>37.7<br>38.9</td><td>16.0<br>15.6</td></tr><tr><td>11 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.21<br>0.23</td><td>7.2<br>10.1</td><td>17.1</td><td>0.5</td><td>0.18</td><td>7.4<br>10.4</td><td>38.0<br>38.9</td><td>16.0<br>15.7</td></tr><tr><td>12 (1)<br>(2)</td><td>0.8</td><td>0.16<br>0.19</td><td>6.0<br>12.8</td><td>17.8</td><td>0.6</td><td>0.15</td><td>6.1<br>13.0</td><td>36.0<br>37.6</td><td>15.4<br>15.0</td></tr></tbody></table>

sous-estime toujours l'amplitude, ce qui peut s'expliquer par le fait que sur site, les ondes sont non-linéaires, et qu'une onde non-linéaire a une amplitude plus grande qu'une onde linéaire de même masse.

Dans le tableau (3.16), on reporte les vitesses baroclines mesurées sur chaque période et les moyennes sur chaque période des vitesses baroclines calculées pour l'angle d'incidence à 80°.

Sur les vitesses baroclines, il est notable que le modèle surestime les vitesses mais là encore, compte tenu de ce que ni la dissipation turbulente à l'interface ni le frottement sur le fond ne sont pas prise en compte, un modèle si simple n'est pas à négliger. De plus, les vitesses mesurées présentes une structure verticale assez éloignée de celle d'un bi-couche et il n'est alors pas équivalent de comparer des vitesses moyennées sur chaque couche, comme le montre le calcul de l'énergie cinétique dans lequel la stratification intervient.

Pour finir, les énergies cinétiques et potentielles données par le modèle sont comparées à celles mesurées. Toutes les énergies sont intégrées sur la profondeur et moyennées dans le temps, pour chaque période de 3 jours sur lesquelles la stratification a pu être repérée comme stable. L'énergie cinétique est estimée pour chaque
<table><caption>TAB. 3.14 – Calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence α = 80°</caption><thead><tr><th rowspan="3">CTD</th><th colspan="3">Haute mer</th><th colspan="6">Plateau</th></tr><tr><th>a<sup>I</sup><sub>e</sub></th><th>α<sup>I</sup><sub>i</sub></th><th>a<sup>I</sup><sub>i</sub></th><th>β<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>a<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>β<sup>II</sup><sub>i</sub></th><th>a<sup>II</sup><sub>i</sub></th><th>u<sup>II</sup><sub>e</sub></th><th>u<sup>II</sup><sub>i</sub></th></tr><tr><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(°)</th><th>A</th><th>(10<sup>-2</sup> /s)</th><th>A</th><th>(10<sup>-2</sup> /s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 (1)</td><td>0.9</td><td>0.19</td><td>5.9</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>6.0</td><td>21.1</td><td>8.6</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.20</td><td>7.2</td><td></td><td>0.2</td><td></td><td>7.3</td><td>21.4</td><td>8.5</td></tr><tr><td>2 (1)</td><td>0.9</td><td>0.17</td><td>5.4</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>5.5</td><td>20.9</td><td>8.7</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.18</td><td>7.4</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>7.5</td><td>21.3</td><td>8.6</td></tr><tr><td>3 (1)</td><td>0.9</td><td>0.18</td><td>5.6</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>5.8</td><td>21.0</td><td>8.7</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.19</td><td>7.5</td><td></td><td>0.2</td><td></td><td>7.7</td><td>21.4</td><td>8.5</td></tr><tr><td>4 (1)</td><td>0.9</td><td>0.19</td><td>6.9</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>7.0</td><td>21.5</td><td>8.6</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.21</td><td>8.2</td><td></td><td>0.2</td><td></td><td>8.4</td><td>21.8</td><td>8.4</td></tr><tr><td>5 (1)</td><td>0.9</td><td>0.19</td><td>5.3</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>5.4</td><td>21.0</td><td>8.7</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.20</td><td>6.8</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>6.9</td><td>21.4</td><td>8.6</td></tr><tr><td>6 (1)</td><td>0.9</td><td>0.19</td><td>3.8</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>3.9</td><td>20.7</td><td>8.8</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.21</td><td>6.3</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>6.5</td><td>21.4</td><td>8.6</td></tr><tr><td>7 (1)</td><td>0.9</td><td>0.17</td><td>3.3</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>3.4</td><td>20.4</td><td>8.8</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.18</td><td>5.6</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>5.7</td><td>20.9</td><td>8.7</td></tr><tr><td>8 (1)</td><td>0.9</td><td>0.17</td><td>2.9</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>2.9</td><td>20.4</td><td>8.8</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.18</td><td>4.9</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>5.0</td><td>20.9</td><td>8.7</td></tr><tr><td>9 (1)</td><td>0.9</td><td>0.20</td><td>3.9</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>4.0</td><td>20.7</td><td>8.7</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.22</td><td>6.3</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>6.4</td><td>21.3</td><td>8.5</td></tr><tr><td>10 (1)</td><td>0.9</td><td>0.18</td><td>3.8</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>3.9</td><td>20.7</td><td>8.8</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.20</td><td>6.6</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>6.7</td><td>21.3</td><td>8.6</td></tr><tr><td>11 (1)</td><td>0.9</td><td>0.22</td><td>4.0</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>4.0</td><td>20.8</td><td>8.7</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.24</td><td>5.5</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>5.7</td><td>21.3</td><td>8.6</td></tr><tr><td>12 (1)</td><td>0.9</td><td>0.17</td><td>3.3</td><td>18.0</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>3.3</td><td>19.8</td><td>8.5</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td>0.20</td><td>7.0</td><td></td><td>0.3</td><td></td><td>7.2</td><td>20.7</td><td>8.3</td></tr></tbody></table>

mode à partir de la décomposition EOF des mesures de vitesses des ADCP, et ce pour différents profils de densité de référence choisis parmi les profils CTD disponibles sur chaque période [tableau (3.17)].

Sur les deux périodes, tout d'abord, l'énergie cinétique du forçage barotrope est assez bien modélisée à 30 % près. Ensuite, sur la première période, l'énergie cinétique barocline fournie par le modèle est très proche de celle contenue au total dans tous les modes baroclines. Rappelons que les vitesses baroclines intégrées sur chaque couche étaient par contre nettement surestimées par le modèle. En fait, l'énergie me semble une grandeur plus appropriée à la comparaison. En effet, dans la mesure où l'on introduit un bi-couche équivalent, il n'est plus question de décrire avec acuité la distribution verticale mais de qualifier globalement la réponse du système topographie-stratification. Sur la deuxième période, en revanche, l'énergie cinétique barocline fournie par le modèle sous estime nettement celle mesurée, de plus de 50 %. Le calcul de l'énergie potentielle est par contre plus délicat. Par définition, celle-ci s'écrit :

$$ \bar{PE} = < \frac{1}{h} \int_{z=z_{min}}^{z=z_{max}} [\rho(z) - <\rho(z)>] gzdz > \quad (3.12) $$
<table><caption>TAB. 3.15 – Amplitude de la composante M2 de la marée barocline sur le plateau : comparaison du modèle aux mesures (a_m)</caption><thead><tr><th>période</th><th>a<sub>0°</sub> (m)</th><th>a<sub>70°</sub> (m)</th><th>a<sub>80°</sub> (m)</th><th>a<sub>m</sub> (m)</th><th>(a<sub>m</sub> - a<sub>80°</sub>) / a<sub>m</sub> (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 (1)</td><td>23.8</td><td>10.8</td><td>6</td><td>9.2</td><td>36</td></tr><tr><td>(2)</td><td>30.4</td><td>13.8</td><td>7.6</td><td>8.1</td><td>6</td></tr><tr><td>3 (1)</td><td>14.6</td><td>6.7</td><td>3.6</td><td>8.2</td><td>56</td></tr><tr><td>(2)</td><td>24.6</td><td>11.2</td><td>6.2</td><td>8.2</td><td>25</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TAB. 3.16 – Vitesse associée à la composante M2 de la marée barocline sur le plateau : comparaison de la composante EST du modèle aux mesures</caption><thead><tr><th rowspan="2">période</th><th colspan="2">Mesures</th><th colspan="2">Modèle</th></tr><tr><th>u<sub>sup</sub> (cm/s)</th><th>u<sub>inf</sub> (cm/s)</th><th>u<sub>sup</sub> (cm/s)</th><th>u<sub>inf</sub> (cm/s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 (1)</td><td>3.6</td><td>-1.8</td><td>8.7</td><td>-5.8</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td></td><td>8.5</td><td>-4.0</td></tr><tr><td>3 (1)</td><td>5.0</td><td>-1.7</td><td>8.7</td><td>-4.6</td></tr><tr><td>(2)</td><td></td><td></td><td>8.6</td><td>-2.2</td></tr></tbody></table>

où < > signifie moyenne temporelle.

Elle doit être estimée à partir des mesures de chaînes thermistives, mal discrétisées (tous les 6 mètres environ).

Or, il s'avère que bien qu'ayant discerné des périodes durant lesquelles la stratification avait peu varié, cette estimation de l'énergie n'est pas très bonne. D'autre part, l'énergie potentielle ainsi estimée correspondrait à tout ou partie de l'énergie potentielle barocline. En effet, les chaînes thermistives ne fournissent pas de mesures dans les 6 mètres près de la surface, lieu de l'énergie potentielle barotrope, ni dans les 70 mètres près du fond, lieu d'une partie de l'énergie potentielle barocline. En fait, cette estimation de l'énergie potentielle contiendrait la majeure partie de l'énergie potentielle du 1er mode barocline et une partie des énergies potentielles des autres modes, d'après les profils verticaux des modes dynamiques calculés sur les mesures CTD.

Pour palier à ces deux difficultés, l'énergie potentielle du nᵉ mode barocline est le plus souvent estimée par la formule suivante établie pour de faibles différences de densité :

$$ \bar{PE}_n = \left< \frac{1}{2h} \int_{z=z_{min}}^{z=z_{max}} \rho N^2 \eta^2 dz \right> \quad (3.13) $$

avec : $N^2(z, t) = - \frac{g}{\rho(z, t)} \frac{\partial \rho(z, t)}{\partial z}$, fréquence de Brünt-Väisälä instantanée,

et où < > signifie moyenne temporelle et η est le déplacement associé au nᵉ mode barocline à l'altitude z obtenu par une décomposition EOF des déplacements d'isothermes.

En effet, avec un choix judicieux des isothermes, les déplacements de ces isothermes autour du niveau moyen sur une période homogène du point de vue de la stratification peuvent être décomposés par une méthode EOF. Celle-ci fournit la distribution verticale normée de chaque mode [fig. (3.29.a)] et l'évolution temporelle de la pro-
<table><caption>TAB. 3.17 – Energies cinétiques : comparaison du modèle aux mesures en fonction de la période de mesure et du profil CTD</caption><thead><tr><th rowspan="2">période</th><th rowspan="2">CTD</th><th colspan="4">Mesures</th><th colspan="2">Modèle</th></tr><tr><th>mode<br>barotrope</th><th>1<sup>er</sup> mode<br>barocline</th><th>2<sup>e</sup> mode<br>barocline</th><th>3<sup>e</sup> mode<br>barocline</th><th>mode<br>barotrope</th><th>mode<br>barocline</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">1</td><td>1</td><td>17.8</td><td>1.0</td><td>0.60</td><td>0.25</td><td>20.0 (1)</td><td>2.21 (1)</td></tr><tr><td>3</td><td>17.3</td><td>1.0</td><td>0.55</td><td>0.23</td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>17.6</td><td>1.0</td><td>0.60</td><td>0.25</td><td>20.7 (2)</td><td>1.8 (2)</td></tr><tr><td rowspan="4">3</td><td>6</td><td>15.2</td><td>1.77</td><td>0.53</td><td>0.2</td><td>18.9 (1)</td><td>1.54 (1)</td></tr><tr><td>8</td><td>15.0</td><td>1.76</td><td>0.53</td><td>0.22</td><td></td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>15.4</td><td>1.77</td><td>0.53</td><td>0.23</td><td>20.0 (2)</td><td>0.9 (2)</td></tr><tr><td>12</td><td>15.0</td><td>1.76</td><td>0.53</td><td>0.21</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

jection des déplacements sur chaque mode [fig. (3.29.b) et (3.29.c)].

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIG. 3.29 – Décomposition EOF des isothermes à la station S140 du 14/07 à 00h00 au 17/07 à 00h00 : (a) distribution verticale normée de chaque mode (—) mode 1 (- -) mode 2 (...) mode 3 (b) projection temporelle du mode 1 (c) projection temporelle du mode 2</figcaption></figure>

De plus, les pourcentages de variance expliqués par chaque mode montre bien l'in-
existence de la contribution barotrope et la prépondérance de l'énergie potentielle du
1er mode barocline (environ 90 % sur les deux périodes contre 5 % pour le 2e mode
barocline).

La formule (3.13) est aussi souvent remplacée par :

$$
\bar{P}E_n = \frac{1}{2h} \int_{z=z_{\min}}^{z=z_{\max}} \bar{\rho} \bar{N}^2 < \eta^2 > dz \quad (3.14)
$$

avec : $\bar{N}^2(z) = - \frac{g}{\bar{\rho}(z)} \frac{\partial \bar{\rho}(z)}{\partial z}$, fréquence de Brünt-Väisälä moyennée.

Cette nouvelle formule (3.14) n’est a priori pas fondée mais elle présente l’avantage
de pouvoir compenser les fluctuations temporelles par une meilleure discrétisation
spatiale en estimant la fréquence de Brünt-Väisälä moyennée sur un profil CTD qui
présente une résolution verticale de 2 m, donc 4 fois plus petite que celle des TC.
Sur la figure (3.30), on présente une comparaison des profils verticaux de fréquence
de Brünt-Väisälä moyennés obtenus à partir des mesures CTD et TC. L'écart est flagrant.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIG. 3.30 – Profils verticaux de fréquence de Brünt-Väisälä obtenus à partir des mesures (- -) TC (—) CTD complet (o) CTD interpolé aux points de mesures des TC</figcaption></figure>

Pourtant, malgré cet écart, la formule (3.14) appliquée aux données CTD ou TC donne des résultats équivalents et les deux formules (3.13) et (3.14) conduisent à des énergies potentielles comparables à celles obtenues sur le modèle théorique alors que la formule (3.12) donne un bien piètre résultat [cf. tableau (3.18)].

<table><caption>TAB. 3.18 – Energies potentielles baroclines : comparaison du modèle aux mesures</caption><thead><tr><th rowspan="2">période</th><th rowspan="2">Mesures (3.12)</th><th rowspan="2">Mesures (3.13)</th><th colspan="2">Mesures (3.14)</th><th rowspan="2">Modèle</th></tr><tr><th>CTD</th><th>TC</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 (1)<br>(2)</td><td>2 10<sup>-11</sup></td><td>0.57</td><td>0.60</td><td>0.66</td><td>0.31<br>0.26</td></tr><tr><td>2 (1)<br>(2)</td><td>-2.5 10<sup>-11</sup></td><td>0.47</td><td>0.59</td><td>0.56</td><td>0.22<br>0.13</td></tr></tbody></table>

Cette contre-performance de la formule (3.12) nous semble devoir s'expliquer par le fait que cette formule ne donne de bons résultats que lorsque les différences de densité sont importantes, c'est-à-dire lorsque l'erreur sur la mesure de densité est petite devant les variations de densité au cours du temps.

Enfin, les deux formules (3.13) et (3.14) donnent un résultat proche du double de celui prédit par le modèle et contrediraient la formule théorique (2.52) du rapport de l'énergie cinétique à l'énergie potentielle. En fait, vue la précision des mesures, il est vraisemblable que cet écart soit dans la fourchette d'incertitude sur la valeur de l'énergie potentielle mesurée.

### 3.4.2 Malin Shelf, juillet 1983

L'analyse que nous venons de détailler pour la campagne Malin Shelf 1996 a déjà été faite sur les données de la campagne Malin Shelf 1983 par Sherwin [72]. Nous ne reprenons ici que les principaux résultats qui nous intéressent pour les comparer au modèle.

Rappelons tout d'abord bien que les deux sites soient très proches, le talus n'a pas exactement la même bathymétrie.
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIG. 3.31 – *Bathymétrie approximative en vue de dessus de la campagne Malin Shelf 1983* (source : base de données Gebco)</figcaption></figure>

En 1983, Sherwin ne disposait pas de mesures de la stratification du côté haute mer, et en s'appuyant sur une stratification tirée de la bibliographie, il juge le talus subcritique entre 1200 m et 200 m. Si on considère la stratification mesurée en 1996, le talus aurait également été jugé sub-critique entre 1600 m et 300 m.

Sur la figure (3.31), on présente une vue de dessus de la bathymétrie et les positions des stations de mesure pour la campagne Malin Shelf 1983. Les positions précises deux stations de mesures fixes sur ce site sont données dans le tableau (3.19).

<table><caption>TAB. 3.19 – *Positions des mouillages fixes pour le campagne Malin Shelf 1983*</caption><thead><tr><td>nom</td><td>latitude (en degré)</td><td>longitude (en degré)</td><td>profondeur d'eau (m)</td></tr></thead><tbody><tr><td>IW2</td><td>55.89 N</td><td>8.34 W</td><td>165</td></tr><tr><td>IW3</td><td>55.89 N</td><td>9.22 W</td><td>190</td></tr></tbody></table>

La distance séparant les 2 stations est de 55 km.

Durant la campagne de mesure de 1983, la stratification présente une couche supérieure très stratifiée jusqu'en surface, du même type que celle observée entre le 18/07/1996 et le 25/07/1996. Le temps était également calme et ensoleillé. Les densités potentielles au fond et en surface sont respectivement 1027.2 kg/m3 et 1026.1 kg/m3.

Le bi-couche équivalent déterminé par Sherwin a les caractéristiques suivantes : $\Delta\rho = 0.841$, $h_1 = 28.1$ m, pour une profondeur totale de 190 mètres en IW3.

Par contre, tant d'après les modes dynamiques que les modes empiriques, l'interface devrait plutôt se situer à 60 mètres sous la surface. La profondeur d'eau du côté haute mer est de 2000 mètres d'après (3.31).

La validité de l'hypothèse bi-couche a été confirmée par le calcul des modes verticaux par la méthode EOF sur les mesures de vitesse. En effet, 65 % de la variance barocline sont expliqués par le 1er mode.

Les caractéristiques de la marée barotrope sur le plateau ont été mesurées, et l'orientation de propagation de la composante M2 barotrope est de 1º par rapport à l'Est.
Durant cette campagne de mesure, aucune mesure n'a été faite du côté haute mer. Nous nous reportons donc également à la bibliographie pour l'orientation de la composante M2 barotrope incidente, à savoir 160° par rapport au Nord. L'orientation étant également de -13°, l'angle d'incidence sur la normale au talus est donc comme précédemment d'environ 80°.

Le modèle prévoit avec les paramètres de forçage de Sherwin une amplitude de 2.5 mètres pour la composante M2 barocline alors que l'écart type du déplacement de l'interface prise à 28.5 mètres est 4.3 mètres.

En plaçant l'interface sous la surface comme le suggère le maximum de déplacement du 1<sup>er</sup> mode barocline dynamique calculé sur le profil de densité, l'amplitude prévue par le modèle est alors de 4 mètres (plus proche des mesures) avec une vitesse barocline dans la couche supérieure de 7.6 cm/s et dans la couche inférieure de 3.5 cm/s. La vitesse barotrope donnée par le modèle est de 18.3 cm/s sur le plateau dans la direction de propagation, à savoir 4.5° par rapport à l'Est.

3.4.3 Iberian Shelf, août 1994

Lors de cette campagne de mesure, Jeans mesure des paquets d'ondes solitaires de très grande amplitude (jusqu'à 60 mètres), générés à chaque période de marée semi-diurne. Ces mesures sont également confirmées par des images SAR de la région montrant très nettement ces paquets d'ondes solitaires. Cependant, jusqu'à présent aucun modèle n'a permis d'expliquer quel(s) mécanisme(s) pouvait(ent) donner lieu à des ondes solitaires de telles amplitudes.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIG. 3.32 – *Bathymétrie approximative en vue de dessus de la campagne Iberian Shelf 1994*  
(source : base de données Gebco)</figcaption></figure>

La station de mesure se trouve en 41°N, -9.°W. Le modèle présenté au chapitre 2 ne donne guère de meilleur résultat que les autres modèles appliqués précédemment. L'amplitude de la marée interne prédite par le modèle est 11 fois l'amplitude de la marée externe en incidence normale et 3 fois l'amplitude de la marée externe en incidence à 80°.

Les paramètres d'entrée sont les suivants :
- profondeur de l'océan : 2000 m

- profondeur du plateau : 150 m

- épaisseur de la couche supérieure : 30 m

- densité de la couche supérieure : 1025.9 kg/m3

- densité de la couche inférieure : 1027 kg/m3.

D'après les cartes de calcul de marée externe, l'incidence est en effet plus proche de 80° par rapport à la normale au plateau que de 0°. De plus, d'après la bathymétrie et les profils de densité mesurés sur le site, il paraît tout à fait légitime de conserver tant l'hypothèse bi-couche que l'hypothèse d'une marche verticale. Par contre, la ligne de côte se trouvant à moins de 50 km du talus, on peut critiquer l'hypothèse d'absorption totale à la côte. En fait, le plateau a davantage les caractérisques d'une plage, avec un mur à la côte.

Ainsi, le premier modèle de Rattray [64] qui considère cette géométrie serait à adapter en y incluant l'incidence de la marée barotrope. D'après ce modèle, on sait que la marée interne linéaire sur le plateau est un clapotis, le même clapotis existe pour les ondes non linéaires. Reste que d'autres mécanismes sont peut être à envisager. En effet, en se basant sur le modèle de Rattray [64] et compte-tenu de ce que l'incidence tend à diminuer le forçage, il est probable que les amplitudes observées ne seront pas prédites par le modèle modifié.

## 3.5 Conclusion

Dans ce chapitre, on a montré deux exemples d'application du modèle de génération d'ondes longues internes linéaires par une onde de Poincaré barotrope en incidence sur une marche rectiligne. Tout d'abord, sur le Malin Shelf, on a vérifié dans un premier temps la cohérence du forçage par une onde de Poincaré d'amplitude 1 métre et en incidence à 80° compte tenu du bon accord entre modèle et mesures sur l'énergie cinétique et l'orientation de la marée semi-diurne M2 externe transmise sur le plateau. En effet, il était légitime de doûter de la validité du choix de la description de la marée externe par une onde de Poincaré qui ne serait pas affectée par le confinement de la côte. Ceci dit dans un modèle aussi simplifié que celui considéré, on ne peut traduire la réfraction des rayons dans le plan horizontal par le talus (comme on l'observe sur les ellipses de la marée M2 barotrope dans la simulation numérique de Davies & Xing [82]) que si l'on considère une onde de Poincaré en incidence. En effet, une onde de Kelvin serait piégée par le talus. Ainsi, avec ce forçage cohérent, le modèle bien que très simple, donne d'assez bons résultats tant sur la prédiction de l'amplitude de la marée interne que sur son énergie lorsque la stratification est proche du cas idéal bi-couche (période 1, au début de la campagne de mesure). En effet, sur la période 3 où la stratification près de la surface tend vers une stratification linéaire, l'accord est moins bon. Sur l'importance de la stratification, il faut également se souvenir que dans le modèle est formulée l'hypothèse qu'aucune onde barocline ne vient du plein océan, ce qui est validé sur le cas Malin Shelf en comparant la direction de propagation sur la verticale des rayons des ondes internes à la pente du talus. Le talus est en effet qualifié de super-critique sur sa plus grande partie. Pour finir, compte-tenu du bon accord du modèle aux mesures tant sur l'onde barotrope que sur l'onde barocline transmises sur le plateau, il me semble que ce modèle (qui suppose que la côte est un absorbeur parfait) est adapté au cas Malin Shelf avec les réserves mentionnées.
Par contre, sur l'Iberian Shelf, le modèle tel qu'il est présenté ne donne pas de bons résultats et il est vraisemblable que même en adaptant une condition de réflexion totale à la côte, on n'améliore pas les résultats. D'autre part, l'intérêt particulier de ce modèle est sa souplesse d'utilisation en océanographie puisque qu'à partir de mesures en surface (par exemple à partir d'image SAR) on obtient des enseignements sur une onde barocline.
Deuxième partie

Etude expérimentale et
théorique de l'interaction entre
une houle courte de surface et
une onde solitaire
<figure><img src="image_42.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Etude théorique de l'interaction entre une onde solitaire externe et une houle monochromatique

On s'intéresse à l'étude théorique de l'interaction entre une onde solitaire de surface et une houle barotrope. La houle est supposée monochromatique et de petite longueur d'onde comparée à la longueur caractéristique de l'onde solitaire. Ce problème a déjà été étudié du point de vue théorique par Clamond [15] dans le cadre de l'approximation des ondes longues de petites amplitudes. Il effectue un développement du potentiel de l'écoulement irrotationnel d'un fluide parfait dans le cadre de l'eau peu profonde en introduisant une distorsion WKB pour décrire les variations rapides de la phase. Cela l'a conduit à mettre en évidence des variations de la phase de l'onde courte et de l'onde solitaire.

On propose ici une lecture différente du problème de l'interaction, davantage axée sur la description de l'onde courte. Elle repose sur l'analogie que l'on peut supposer entre l'interaction et la réfraction de la houle sous l'effet d'une variation de profondeur et d'un courant, problème étudié par de nombreux auteurs. En particulier Mei [48] synthétise plusieurs calculs épars et obtient, par une méthode de perturbation autour d'un écoulement de base connu dont les variations sur la verticale sont très faibles et les vitesses verticales sont faibles, une équation sur la pression perturbée. En développant la perturbation par une méthode WKB, il décrit tout d'abord la cinématique de l'onde à l'aide de la relation de dispersion :

$$ \Omega^2 = gk \tanh kh \quad (4.1) $$

avec :

$\Omega = \omega - k_i U_i$, “fréquence intrinsèque” c'est-à-dire fréquence apparente de l'onde dans un référentiel galiléen pour lequel le milieu peut être considéré au repos, $\omega$, pulsation de la perturbation, $k_i$, composante du nombre d'onde de la perturbation dans la direction $i$, $k^2 = k_1^2 + k_2^2$, $U_i$, composante de la vitesse horizontale du courant dans la direction $i$, $h$, profondeur du fluide variable.

Peregrine [59] retrouve dans le cadre de l'optique géométrique ce résultat en intégrant analytiquement l'équation d'un rayon d'onde, l'onde se propageant sur différents
## 80CHAPITRE 4. ETUDE THÉORIQUE DE L'INTERACTION EXTERNE-EXTERNE

écoulements (courant constant, courant stationnaire variable dans le plan horizontal pour différents angles d'incidence, ...). Il suggère en particulier la validité de la relation de dispersion (4.1) pour le cas d'un écoulement présentant une accélération verticale significative en remplaçant la gravité par la “gravité effective” :

$$g^* = g + \frac{dV}{dt}.$$

Plus récemment, dans le cadre de l'optique géométrique, Ramamonjiarisoa [63] étudie l'interaction entre deux ondes périodiques longues et une onde courte. En s'inspirant des travaux de Basovich et al. [7] [5] [6], il intègre numériquement dans le cas bidimensionnel les équations de Hamilton (équation d'un rayon) sur l'interaction entre une onde périodique de gravité et une onde capillaire d'une part et une onde longue d'autre part. Il retrouve ainsi une relation de dispersion similaire à (4.1) mais intégrant l'effet de la tension superficielle puisqu'il s'agit des modifications du nombre d'onde d'une onde gravitaire-capillaire. Contrairement à Mei [48], ces deux derniers auteurs ainsi que Clamond d'ailleurs ne se sont intéressés qu'à l'aspect cinématique de l'onde. Or, l'amplitude de l'onde est également modifiée. Pour les modulations de l'amplitude, Mei rappelle que l"action d'onde" se conserve, soit :

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{E(U + C_g)}{\Omega} \right) = 0 \qquad (4.2)$$

avec :

$E = \rho g a^2$, énergie de l'onde contenue dans une période et moyennée sur une période temporelle,

$a$, amplitude de l'onde,

$\rho$, masse volumique du fluide,

$U$, vitesse du courant,

$C_g = \frac{d\Omega}{dk}$, célerité de groupe de l'onde dans le référentiel où le courant est stationnaire.

Cette conservation de l'action d'onde avait été mis en évidence par Longuet-Higgins & Stewart [46] en étudiant l'interaction entre deux ondes progressives de nombres d'onde très différents. En effet, les auteurs reprennent de façon plus rigoureuse le calcul de l'interaction entre une onde courte et une onde longue toutes deux monochromatiques et corrigent le résultat intuitif obtenu par Unna en 1947 [76] sur les modulations d'amplitude. Ils aboutissent alors à la conservation de l'action d'onde en introduisant le concept de contrainte de radiation, concept largement utilisé depuis dans la mécanique des ondes.

Cette conservation de l'action d'onde a par la suite été généralisée à la propagation de train d'onde dans des milieux aux propriétés variables par Bretherton & Garrett [10] en utilisant un Lagrangien moyenné. La conservation de l'action d'onde est ainsi montrée pour une onde de surface se propageant sur un courant uniforme sur la verticale, pour une onde de gravité interne se propageant sur un écoulement cisaillé, pour une onde de Alfvèn se propageant dans un fluide compressible ou incompressible avec un champ magnétique figé... Tous ces exemples montrent la grande généralité de la conservation de l'action d'onde. Ces résultats ont été établis en s'appuyant sur un article de fond de Whitham [79] qui établit que si les équations décrivant un système dynamique dérivent d'un certain principe variationnel, alors
les variations d'amplitude dans un train d'onde sont gouvernées par une équation de conservation. Il est également à noter, plus récemment, la contribution de Kharif [37] sur ce problème. Il retrouve numériquement en analysant la stabilité d'une perturbation superharmonique autour d'une onde longue non linéaire en profondeur infinie, des modulations de nombre d'onde et d'amplitude très proches de celles décrites par la conservation de l'action d'onde et l'intégration des équations des rayons.

Enfin, Naciri & Mei [55] aboutissent à une description analytique de l'interaction entre une onde courte irrotationnelle et infinitésimale et une onde longue rotationnelle de Gerstner. Cela est possible dans la mesure où l'onde longue est donnée de façon explicite. Pour le cas de l'onde solitaire irrotationnelle, on ne connaît pas de solution explicite des équations exactes ce qui ouvre un point de discussion, à savoir le choix de la description de l'onde solitaire.

Notre calcul suit une démarche proche de celle de Mei [48] mais dans un premier temps, on ne fait pas d'hypothèses simplificatrices sur les ordres de grandeurs de l'écoulement de base. En partant des équations de base non linéaires qui régissent l'écoulement irrotationnel d'un fluide parfait, on cherche une solution du problème de l'interaction entre une onde solitaire de surface et une houle courte barotrope.

Sachant que l'on connaît des solutions exactes de type onde solitaire des équations de base, on cherchera une solution proche de cette solution exacte par une méthode de perturbation. Ainsi, après avoir écrit les équations vérifiées par la perturbation sous la forme d'une onde périodique au paragraphe 4.2, on cherchera la perturbation en menant une analyse WKB au paragraphe 4.3.

## 4.1 Equations de base non linéaires

Considérons un fluide incompressible, de densité constante et homogène pour une profondeur d'eau au repos $h_0$. On étudie un écoulement bidimensionnel et irrotationnel, le champ de vitesse dérive donc d'un potentiel de vitesse $\Phi(x, z, t)$ et est donné par les relations :

$$u(x, z, t) = \frac{\partial \Phi}{\partial x} \quad \text{et} \quad v(x, z, t) = \frac{\partial \Phi}{\partial z}$$

où $u(x, z, t)$ et $v(x, z, t)$ sont respectivement les composantes horizontales et verticales de la vitesse. On note $\eta(x, t)$ la dénivellation de la surface libre par rapport au niveau de repos.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIG. 4.1 – Schéma de définition des notations théoriques</figcaption></figure>
$\eta(x, t)$ et $\Phi(x, z, t)$ vérifient le système d'équations suivant :

- conservation de la masse, pour $-\infty \le x \le \infty$ et $-h_0 \le z \le \eta(x, t)$ :

$$ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 0 \qquad (4.3) $$

- imperméabilité du fond, en $z = -h_0$ :

$$ \frac{\partial \Phi}{\partial z} = 0 \qquad (4.4) $$

- imperméabilité de la surface libre, en $z = \eta(x, t)$ :

$$ \frac{\partial \Phi}{\partial z} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial \Phi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial x} \qquad (4.5) $$

- Bernoulli à la surface libre, en $z = \eta(x, t)$ :

$$ \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial z} \right)^2 + g\eta = 0 \qquad (4.6) $$

Ce système admet des solutions exactes non périodiques ou ondes solitaires (Lavrentiev, [42]). En se plaçant dans le repère en translation à la célérité $c$ de l'onde solitaire solution exacte, celle-ci est alors une solution exacte stationnaire du système. On sait donc qu'il existe une solution exacte stationnaire du système d'équations (4.3)-(4.6) dans un repère en translation. On se place dans un repère en translation à la célérité $c$ comme proposé par Peregrine [59] pour l'étude de l'interaction de la houle avec la marée ou les ondes internes. Avec les nouvelles variables $X = x - ct$ et $\tau = t$, les opérations de dérivation s'écrivent alors :

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial X} \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial \tau} - c \frac{\partial f}{\partial X} $$

## 4.2 Méthode de perturbations : linéarisation et solutions périodiques

On note respectivement $\Phi_e(X, z)$ et $\eta_e(X)$ le potentiel des vitesses et la dénivelée de la surface libre de la solution exacte connue, stationnaire dans le repère en translation. Pour l'instant, il n'est pas nécessaire de préciser la forme de la solution exacte. Ceci permet de généraliser le calcul qui suit à toute solution exacte stationnaire dans un repère en translation à la célérité $c$, celle-ci pouvant être nulle. On cherche alors une solution proche de cette solution exacte par une méthode de perturbations, c'est-à-dire que le potentiel des vitesses et la dénivelée de la surface libre sont cherchés sous la forme d'une série d'un petit paramètre $\delta$ inconnu a priori, soit :

$$ \Phi(X, z, \tau) = \Phi_e(X, z) + \delta\Phi_1(X, z, \tau) + \delta^2\Phi_2(X, z, \tau) + \mathcal{O}(\delta^3) \qquad (4.7) $$

$$ \eta(X, \tau) = \eta_e(X) + \delta\eta_1(X, \tau) + \delta^2\eta_2(X, \tau) + \mathcal{O}(\delta^3) \qquad (4.8) $$

On réécrit le système (4.3)-(4.6) à l'ordre 1 en $\delta$ après changement de variables, substitution de $\Phi$ et $\eta$ par leurs expressions (4.7) et (4.8) et en effectuant des développements de Taylor de (4.5) et (4.6) autour de $z = \eta_e(X, \tau)$.
• pour $-\infty \le X \le \infty$ et $-h_0 \le z \le \eta_e(x, t)$ :

$$ \frac{\partial^2 \Phi_1}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 \Phi_1}{\partial z^2} = 0 \qquad (4.9) $$

• en $z = -h_0$ :

$$ \frac{\partial \Phi_1}{\partial z} = 0 \qquad (4.10) $$

• en $z = \eta_e(X)$ :

$$ \frac{\partial \Phi_1}{\partial z} + \eta_1 \frac{\partial^2 \Phi_e}{\partial z^2} = \frac{\partial \eta_1}{\partial \tau} - c \frac{\partial \eta_1}{\partial X} + \eta_1 \frac{\partial^2 \Phi_e}{\partial X \partial z} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial \Phi_1}{\partial X} + \frac{\partial \eta_1}{\partial X} \frac{\partial \Phi_e}{\partial X} \qquad (4.11) $$

$$ \frac{\partial \Phi_1}{\partial \tau} - c \left( \frac{\partial \Phi_1}{\partial X} + \eta_1 \frac{\partial^2 \Phi_e}{\partial X \partial z} \right) + g\eta_1 + \frac{\partial \Phi_e}{\partial X} \frac{\partial \Phi_1}{\partial X} + \frac{\partial \Phi_e}{\partial z} \frac{\partial \Phi_1}{\partial z} + \eta_1 \left( \frac{\partial \Phi_e}{\partial X} \frac{\partial^2 \Phi_e}{\partial X \partial z} + \frac{\partial \Phi_e}{\partial z} \frac{\partial^2 \Phi_e}{\partial z^2} \right) = 0 \qquad (4.12) $$

Nous abandonnons à présent l'indice 1 pour distinguer la perturbation et nous cherchons celle-ci sous forme périodique :

$$ \Phi_1(X, z, t) = e^{-i\omega\tau}\phi(X, z) \quad \text{et} \quad \eta_1(X, t) = e^{-i\omega\tau}\eta(X) $$

Il est à noter ici que la pulsation $\omega$ dépend du changement de repère effectué. Elle correspond donc à une pulsation apparente dans le repère stationnaire de l'onde solitaire qu'il faudra déterminer.

Les conditions (4.11) et (4.12) en $z = \eta_e(X)$ s'écrivent alors :

$$ \frac{\partial \phi}{\partial z} + \eta \frac{\partial v_e}{\partial z} + i\omega\eta - \eta \frac{\partial u_e}{\partial z} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} - \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial \phi}{\partial X} - (u_e - c) \frac{\partial \eta}{\partial X} = 0 \qquad (4.13) $$

$$ -i\omega\phi + (u_e - c)\frac{\partial\phi}{\partial X} + v_e\frac{\partial\phi}{\partial z} + \eta \left( g + (u_e - c)\frac{\partial u_e}{\partial z} + v_e\frac{\partial v_e}{\partial z} \right) = 0 \qquad (4.14) $$

A partir de (4.14), on exprime $\eta$ en fonction de la valeur de $\phi$ et de ses dérivées en $z = \eta_e(X)$ :

$$ \eta = \frac{\left( i\omega\phi - (u_e - c)\frac{\partial\phi}{\partial X} - v_e\frac{\partial\phi}{\partial z} \right)}{G(X, z = \eta_e(X))} \qquad (4.15) $$

avec :

$$ G(X, z) = g + (u_e - c) \frac{\partial u_e}{\partial z} + v_e \frac{\partial v_e}{\partial z} \qquad (4.16) $$

Les dérivées sont prises avant de poser $z = \eta_e(X)$. $G(X, z = \eta_e(X))$ est la somme de la gravité et de l'accélération verticale des particules à la surface. On reconnaît la gravité effective mise en évidence par Peregrine [59] dans son étude de l'interaction des ondes courtes et longues de petites amplitudes. En effet, dans ce cas, l'onde longue présente des accélérations verticales significatives qui interviennent dans l'interaction.

De façon standard, nous allons réduire le jeu d'équations (4.13)-(4.14) à une seule condition pour $\phi$ en $z = \eta_e(X)$. Rappelons que :

$$ \frac{\partial}{\partial X} [F(X, z = \eta_e(X))] = \frac{\partial F}{\partial X}(X, z = \eta_e(X)) + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial z}(X, z = \eta_e(X)) $$
84CHAPITRE 4. ETUDE THÉORIQUE DE L'INTERACTION EXTERNE-EXTERNE

On en déduit en dérivant (4.15), l'expression de la dérivée $\frac{\partial \eta}{\partial X}$ en $z = \eta_e(X)$ :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial \eta}{\partial X} = & \left( -i\omega\phi + (u_e - c)\frac{\partial \phi}{\partial X} + v_e\frac{\partial \phi}{\partial z} \right) \left( \frac{1}{G^2} \left[ \frac{\partial G}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial G}{\partial z} \right] \right) + i\frac{\omega}{G} \left[ \frac{\partial \phi}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial \phi}{\partial z} \right] \\
& - \frac{(u_e - c)}{G} \left[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial^2 \phi}{\partial X \partial z} \right] - \frac{1}{G} \frac{\partial \phi}{\partial X} \left[ \frac{\partial u_e}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial u_e}{\partial z} \right] - \frac{v_e}{G} \left[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial X \partial z} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \right] \\
& - \frac{1}{G} \frac{\partial \phi}{\partial z} \left[ \frac{\partial v_e}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial v_e}{\partial z} \right]
\end{aligned}
\quad (4.17) $$

où les dérivées sont prises avant de poser $z = \eta_e(X)$. En substituant (4.15) et (4.17) dans (4.13), on obtient l'équation aux dérivées partielles pour le potentiel perturbé $\phi(X, z)$ à la surface libre ($z = \eta_e(X)$) suivante :

$$ a_e(X)\phi + b_e(X)\frac{\partial \phi}{\partial X} + c_e(X)\frac{\partial \phi}{\partial z} + d_e(X)\frac{\partial^2 \phi}{\partial X \partial z} + e_e(X)\frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2} + f_e(X)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 \quad (4.18) $$

où :

$$ a_e(X) = -\frac{\omega^2}{G(X)} - \frac{i\omega}{G(X)} \left( \frac{\partial u_e}{\partial z} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} - \frac{\partial v_e}{\partial z} - \frac{(u_e - c)}{G(X)} \left[ \frac{\partial G}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial G}{\partial z} \right] \right) $$

$$ b_e(X) = -\frac{\partial \eta_e}{\partial X} + \frac{(u_e - c)}{G(X)} \left( \frac{\partial u_e}{\partial X} - \frac{\partial v_e}{\partial z} + 2 \frac{\partial u_e}{\partial z} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} - \frac{(u_e - c)}{G(X)} \left[ \frac{\partial G}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial G}{\partial z} \right] \right) \\ - \frac{2i\omega(u_e - c)}{G(X)} $$

$$ c_e(X) = 1 - \frac{v_e}{G(X)} \left( \frac{\partial v_e}{\partial z} - \frac{\partial u_e}{\partial z} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \right) - \frac{(u_e - c)}{G(X)} \left( \frac{v_e}{G(X)} \left[ \frac{\partial G}{\partial X} + \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial G}{\partial z} \right] - \frac{\partial v_e}{\partial X} - \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \frac{\partial v_e}{\partial z} \right) \\ - \frac{i\omega}{G(X)} \left[ v_e + (u_e - c) \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \right] $$

$$ d_e(X) = \frac{(u_e - c)}{G(X)} \left[ v_e + (u_e - c) \frac{\partial \eta_e}{\partial X} \right] $$

$$ e_e(X) = \frac{(u_e - c)^2}{G(X)} $$

$$ f_e(X) = \frac{v_e(u_e - c)}{G(X)} \frac{\partial \eta_e}{\partial X} $$

Le système vérifié par $\phi(X, z)$ se résume donc ainsi :

* pour $-\infty \le X \le \infty$ et $-h_0 \le z \le \eta(x, t)$ :

$$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 \quad (4.19) $$

* en $z = -h_0$ :

$$ \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0 \quad (4.20) $$

* en $z = \eta_e(X)$ :