$$a_e(X)\phi + b_e(X)\frac{\partial\phi}{\partial X} + c_e(X)\frac{\partial\phi}{\partial z} + d_e(X)\frac{\partial^2\phi}{\partial X\partial z} + e_e(X)\frac{\partial^2\phi}{\partial X^2} + f_e(X)\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} = 0 \quad (4.21)$$

On déduit $\eta(X)$ à l'aide de la relation (4.15).

## 4.3 Analyse WKB : cas $\delta \ll \mu$

On introduit une distorsion de l'échelle horizontale par le changement de variable $X^* = \mu X$ où $\mu$ est un petit paramètre dont nous discuterons l'ordre de grandeur ultérieurement. Cela revient à s'intéresser au voisinage de quelques longueurs d'onde de l'onde courte. Cette distorsion doit être discutée vis-à-vis des développements en série du petit paramètre $\delta$, (4.7) et (4.8). En effet, suivant la grandeur relative de $\delta$ par rapport à $\mu$, le système originel des équations (4.3)-(4.6) ne se simplifie pas de la même façon. En particulier, si $\delta \sim \mu$, les ordres en $\delta$ et $\mu$ ne peuvent être séparés. Le cas où $\delta \gg \mu$ est détaillé par Dingemans dans [16] pour l'étude de la réfraction de la houle sur des courants dont la distribution sur la verticale joue un rôle prépondérant et où les variations horizontales et temporelles sont négligées. Dans le cas qui nous intéresse où $\delta \ll \mu$, le système après changement de variable s'écrit alors :

* pour $-\infty \le X^* \le \infty$ et $-h_0 \le z \le \eta_e^*(X^*)$ :

$$\mu^2 \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial X^{*2}} + \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial z^2} = 0 \quad (4.22)$$

* en $z = -h_0$ :

$$\frac{\partial \phi^*}{\partial z} = 0 \quad (4.23)$$

* en $z = \eta_e^*(X^*)$ :

$$\begin{aligned} a_e^*(X^*)\phi^* + \mu b_e^*(X^*)\frac{\partial\phi^*}{\partial X^*} + c_e^*(X^*)\frac{\partial\phi^*}{\partial z} + \mu d_e^*(X^*)\frac{\partial^2\phi^*}{\partial X^*\partial z} &+ \mu^2 e_e^*(X^*)\frac{\partial^2\phi^*}{\partial X^{*2}} \\ &+ f_e^*(X^*)\frac{\partial^2\phi^*}{\partial z^2} = 0 \end{aligned} \quad (4.24)$$

avec : $\phi^*(X^*, z) = \phi(X, z)$, $a_e^*(X^*) = a_e(X)$, $b_e^*(X^*) = b_e(X)$, ...

On cherche le potentiel perturbé sous la forme suivante traduisant les variations lentes de l'amplitude du potentiel par rapport aux variations rapides de la phase du potentiel :

$$\phi^*(X^*, z) = A^*(X^*, z)e^{\frac{iS^*(X^*, z)}{\mu}} \quad (4.25)$$

avec : $A^*(X^*, z) = A(X, z)$ et $S^*(X^*, z) = \mu S(X, z)$ réels.

On substitue dans (4.22) la forme de $\phi^*$ et on sépare partie réelle et imaginaire :

$$-\frac{A^*}{\mu^2}(S_z^*)^2 + A_{zz}^* - A^*(S_{X^*}^*)^2 + \mu^2 A_{X^*X^*}^* = 0 \quad (4.26)$$

$$\frac{1}{\mu}(A^{*2}S_z^*)_z + \mu(A^{*2}S_{X^*}^*)_{X^*} = 0 \quad (4.27)$$
en utilisant la notation indicielle des dérivations. En séparant parties réelle et imaginaire dans la relation d'imperméabilité au fond (4.23), on obtient en $z = h_0$ :

$$A_z^* = 0 \qquad (4.28)$$

$$A^* S_z^* = 0 \qquad (4.29)$$

La relation (4.27) s'intègre suivant $z$ entre le fond ($z = -h_0$) et la surface ($z = \eta_e^*(X^*)$). En appliquant la règle de Leibniz et en tenant compte de (4.29), cette relation s'écrit :

$$\left[ \int_{z=-h_0}^{z=\eta_e^*(X^*)} S_{X^*}^*(A^*)^2 dz \right]_{X^*} + \frac{1}{\mu^2} (A^{*2} S_z^*)_{z=\eta_e^*(X^*)} - \eta_{eX^*}^*(A^{*2} S_{X^*}^*)_{z=\eta_e^*(X^*)} = 0 \qquad (4.30)$$

La résolution des équations dans la masse à chaque ordre en $\mu$ implique de développer l'amplitude et la phase en série du petit paramètre $\mu$. On choisit les développements en série paire suivants :

$$A^*(X^*, z) = A_0^*(X^*, z) + \mu^2 A_2^*(X^*, z) + \dots + \mathcal{O}(\mu^{2n}) \qquad (4.31)$$

$$S^*(X^*, z) = S_0^*(X^*, z) + \mu^2 S_2^*(X^*, z) + \dots + \mathcal{O}(\mu^{2n}) \qquad (4.32)$$

en s'inspirant de celui obtenu par Dingemans [16] pour l'étude de la réfraction sur fond variable. En effet, Nicolas [57] et Dingemans [16] montre qu'en choisissant un développement en série complexe comme celui préconisé par Mei dans [48] par exemple, on aboutit au même résultat. On résoud ainsi le système à chaque ordre en $\mu$ en décomposant également les coefficients de la relation à la surface libre (4.24), dépendant de l'état de base, en série entière de $\mu$. En particulier, on note :

$$a_e^*(X^*) = a_{e0}^*(X^*) + \mu a_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

$$b_e^*(X^*) = b_{e0}^*(X^*) + \mu b_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

$$c_e^*(X^*) = c_{e0}^*(X^*) + \mu c_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

$$d_e^*(X^*) = d_{e0}^*(X^*) + \mu d_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

$$e_e^*(X^*) = e_{e0}^*(X^*) + \mu e_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

$$f_e^*(X^*) = f_{e0}^*(X^*) + \mu f_{e1}^*(X^*) + \dots + O(\mu^n)$$

### 4.3.1 Détermination de la phase à l'ordre 0

- à l'ordre $0 (\mu^{-2})$ : les conditions limites ne fournissent pas de relation à cet ordre, seule la partie réelle de la condition dans la masse (4.26) nous donne :

$$-(S_{0z}^*)^2 A_0^* = 0 \quad \text{pour } -\infty \le X^* \le \infty \text{ et } -h_0 \le z \le \eta_e^*(X^*) \qquad (4.33)$$

Si on suppose $A_0^*(X^*, z) \neq 0$, on déduit :

$$S_0^* = S_0^*(X^*)$$

- à l'ordre $1 (\mu^{-1})$ : il n'y a que des relations triviales.

- à l'ordre $2 (\mu^0)$ : on obtient trois relations qui permettent de déterminer complétement la phase à l'ordre 0.
• pour $-\infty \le X^* \le \infty$ et $-h_0 \le z \le \eta_e^*(X^*)$ :

$$A_{0zz}^* - k^{*2}A_0^* = 0 \qquad (4.34)$$

• en $z = -h_0$ :

$$A_{0z}^* = 0 \qquad (4.35)$$

• en $z = \eta_e^*(X^*)$ :

$$A_0^*[a_{e0}^*(X^*) + ib_{e0}^*(X^*)k^* - e_{e0}^*(X^*)k^{*2}] + A_{0z}^*[c_{e0}^*(X^*) + id_{e0}^*(X^*)k^*] \\ + f_{e0}^*(X^*)A_{0zz}^* = 0 \qquad (4.36)$$

en notant $k^*(X^*) = S_{0X^*}^*$ (alors si on note $k(X) = S_{0X}$, $k^*(X^*) = k(X)$).

L'équation (4.34) est une équation aux dérivées partielles à variables séparables dont les solutions sont des fonctions hyperboliques pour $k^*$ réel et des fonctions trigo-nométriques pour $k^*$ imaginaire pur. En ayant supposé $k^*$ réel, la solution de (4.34) s'écrit, en tenant compte de la condition au fond (4.35) :

$$A_0^*(X^*, z) = \alpha_0^*(X^*) \cosh(k^*(X^*)(z + h_0)) \qquad (4.37)$$

Il reste alors deux inconnues à déterminer : $k^*(X^*)$ et $\alpha_0^*(X^*)$. A partir de la relation à la surface libre (4.36) dans laquelle on introduit (4.37), il est possible de déterminer $k^*(X^*)$ à cet ordre. Il suffit en effet de résoudre l'équation suivante dans laquelle $\alpha_0^*(X^*)$ n'intervient plus et où $k^*(X^*)$ est la seule inconnue :

$$[a_{e0}^*(X^*) + ib_{e0}^*(X^*)k^*(X^*) + (f_{e0}^*(X^*) - e_{e0}^*(X^*))k^*(X^*)^2] \\ +k^*(X^*)\tanh(k^*(X^*)(\eta_e^*(X^*) + h_0)) [c_{e0}^*(X^*) + id_{e0}^*(X^*)k^*(X^*)] = 0 \qquad (4.38)$$

La relation (4.38) s'écrit en revenant aux variables non distordues $(X, z)$ :

$$[a_{e0}(X) + ib_{e0}(X)k(X) + (f_{e0}(X) - e_{e0}(X))k(X)^2] \\ +k(X)\tanh(k(X)(\eta_e(X) + h_0)) [c_{e0}(X) + id_{e0}(X)k(X)] = 0 \qquad (4.39)$$

Dans le cas général, la relation (4.39) est complexe et il nous faut donc résoudre le système obtenu à partir de ses parties réelle et imaginaire. Si on suppose $k(X)$ réel, le système n'est compatible que si $a_{e0}(X)$, $c_{e0}(X)$, $e_{e0}(X)$ et $f_{e0}(X)$ sont réels ou imaginaires purs et vice-versa pour $b_{e0}(X)$ et $d_{e0}(X)$. Alors la relation (4.39) est réelle ou imaginaire pure.

Si tel n'était pas le cas, il nous faudrait alors considérer $k(X) = k_r(X)+ik_i(X)$ complexe et reprendre la résolution depuis le début car la séparation de l'équation dans la masse en partie réelle et imaginaire ne serait plus licite. Il est important de souligner que dans le cas où $k$ est complexe, une partie de la phase peut être a priori contenue dans $A_0(X, z)$ et qu'il est donc indispensable de déterminer $\alpha_0^*(X^*) = \alpha_0(X)$ pour étudier les variations de la phase, ce qui n'est pas nécessaire avec nos hypothèses si elles s'avèrent valides.

Dans tous les cas, à cet ordre, la fonction $\alpha_0^*(X^*)$ n'est pas déterminée. On développe donc dans le paragraphe suivant les calculs aux ordres supérieurs en supposant l'équation (4.39) réelle.
### 4.3.2 Détermination de l'amplitude du potentiel à l'ordre 0

La partie imaginaire de l'équation dans la masse (4.30) intégrée sur la colonne d'eau nous donne à l'ordre 2 ($\mu^0$):

$$ \left[ \int_{z=-h_0}^{z=\eta_e^*(X^*)} k^*(A_0^*)^2 dz \right]_{X^*} + (A_0^{*2} S_{2z}^*)_{z=\eta_e^*(X^*)} - A_0^{*2} \eta_{eX^*}^* k^* = 0 \quad (4.40) $$

Ainsi, pour déterminer complètement l'amplitude du potentiel, il nous faut connaître les variations verticales de la phase à l'ordre 2 à la surface, soit $(S_{2z}^*)_{z=\eta_e^*(X^*)}$. On obtient $(S_{2z}^*)_{z=\eta_e^*(X^*)}$ en écrivant la partie imaginaire de la relation à la surface libre (4.24) à l'ordre 3 ($\mu^1$). En variables non distordues, celle-ci s'écrit en $z = \eta_e(X)$:

$$ \begin{aligned} \Im(a_{e1})A_0 + \Re(b_{e0})A_{0X} + \Re(c_{e1})A_{0k} + \Re(c_{e1})A_{0z} + \Re(c_{e0})A_0S_{2z} \\ +\Re(d_{e1})A_{0z}k + 2\Re(e_{e0})A_{0X}k + \Re(e_{e0})A_0k_X = 0 \end{aligned} \quad (4.41) $$

Enfin, dans le cas général, on tire $S_{2z}^*$ en $z = \eta_e^*(X^*)$ de (4.41) que l'on introduit dans la relation (4.40) pour déterminer complètement l'amplitude du potentiel à l'ordre 0, $A_0$. L'amplitude de la dénivelée de surface libre à l'ordre 0 est obtenue à partir de l'ordre 0 de la relation (4.15). Or, la relation (4.15) s'écrit après la distorsion WKB :

$$ \eta = \frac{1}{G(X)} \left[ -\frac{i}{\mu} v_e A^* S_z^* + i(\omega - k(u_e - c))A^* - v_e A_z^* - \mu(u_e - c)A_{X^*}^* \right] e^{\frac{iS^*}{\mu}} \quad (4.42) $$

La suite de ce chapitre concerne plus précisément le cas où l'état de base est une onde solitaire.

## 4.4 Application au cas de l'interaction entre une onde solitaire externe et de la houle

Pour appliquer le calcul présenté au cas de l'interaction entre une onde solitaire et de la houle, il nous faudrait disposer d'une solution de type onde solitaire exacte, stationnaire dans un repère en translation, du système d'équations (4.3)-(4.6). Aucune solution explicite n'a jamais été trouvée à ma connaissance. Cependant, plusieurs solutions explicites approchées ont été proposées (eau peu profonde, Korteweg & De Vries ou Serre) avec des domaines de validité théoriques différents. En pratique, ces domaines de validité peuvent être estimés par comparaison soit aux expériences soit à une solution exacte numérique. La validité de l'approximation de Korteweg et De Vries pour l'étude des solutions ondes solitaires des équations (4.3)-(4.6) a été étudiée expérimentalement de façon extensive. Nous citerons en particulier les travaux de Hammack & Segur [28] et plus récemment Temperville [75] qui abouissent à la conclusion d'une bonne description pour les petites amplitudes réduites jusqu'à 0.15 environ. Au-delà de cette valeur, l'accord devient de moins en moins bon particulièrement sur la description de la célérité.

La comparaison de la solution de l'eau peu profonde avec une solution exacte numérique (annexe B) confirme l'écart entre la célérité de l'eau peu profonde et la célérité exacte à partir de 0.15. Pour Serre, l'écart avec la célérité exacte ne devient notable qu'à partir d'une amplitude réduite d'environ 0.35. Par contre, la dénivelée de surface libre de l'onde solitaire exacte est bien mieux décrite par l'eau peu profonde que par
Serre, et ce dès les petites amplitudes réduites. Ainsi, pour le calcul d'interaction, on comparera donc des calculs menés en utilisant un état de base fourni par un calcul exact, par la solution de onde solitaire de l'eau peu profonde et par la solution de Serre.

Il est à noter que la solution onde solitaire mathématique (ainsi que toutes les formu-
lations approchées) présente quelques particularités notables, permettant sans calcul
de tirer des informations sur le potentiel perturbé dans le problème d'interaction.
En effet, notons que :

- $\eta_e(X)$ et $u_e(X, z)$ sont des fonctions paires de $X$ et donc leurs dérivées successives sont alternativement des fonctions impaires et paires de $X$

- $v_e(X, z) = \int \frac{\partial u_e}{\partial X}(X, z) dz$ (continuité) est une fonction impaire de $X$.

De là, on montre que $k(X)$ et $\alpha_0(X)$ sont des fonctions paires.
L'évaluation numérique des fonctions est faite en fonction de la variable $X^*$ pour
laquelle il nous faut définir une boîte de calcul. Celle-ci devrait être théoriquement
infinie puisque l'onde solitaire est infiniment longue. En fait, pratiquement on choi-
sit $X^*$ compris entre −2.5 m et 2.5 m pour une profondeur d'eau de 0.3 m car à
l'extérieur de cette boîte, la vitesse moyenne horizontale $u_e(X^*)$ et la dénivelée de
la surface libre $\eta_e(X^*)$ de l'onde solitaire sont quasiment nuls y compris pour une
amplitude réduite de 0.05 correspondant aux ondes les plus longues. On discrétise
cette boîte de calcul avec un pas de 1/100. Enfin, on ne calcule $k$ que pour $X^*$
compris entre −2.5 m et 0 m, compte-tenu des symétries évoquées ci-dessus.

Dans ce paragraphe, on précise, lorsque l'écoulement de base est une onde solitaire,
le calcul général développé au paragraphe 4.3 compte tenu des ordres de grandeur
des vitesses et accélérations de l'onde solitaire. On montre en effet que la relation de
dispersion (4.1) obtenue par Mei [48] pour la réfraction de la houle sur les courants
et fonds lentement variables est la même que celle obtenue pour l'interaction entre de
la houle et une onde solitaire si l'on tient compte des ordres de grandeur de celle-ci.
Par contre, on montre également que la conservation de l'action d'onde ne s'obtient
pas systématiquement.

Après avoir présenté les ordres de grandeur, les simplifications effectuées pour abou-
tir à ce résultat sont détaillées. Car, bien que le calcul de Mei soit développé suivant
le même principe que notre calcul, les étapes du calcul présenté dans [48] ne sont
pas facilement transposables. En effet, Mei présente un calcul tridimensionnel don-
nant les équations pour la pression alors que nous obtenons des équations sur le
potentiel des vitesses. De plus, le choix de la série entière paire du développement
WKB modifie notablement le développement des calculs. Cependant, la méthode est
similaire, même si l'écoulement de base considéré par Mei n'est pas nécessairement
stationnaire. Dans ce système d'équations ordonnées, Mei néglige les termes d'ordre
$\mu^2$ et supérieur, ce qui équivaut à supposer la vitesse horizontale constante le long
de la verticale. On voit donc que ce calcul est légitime pour le cas de l'onde solitaire
puisque pour cette onde, les variations suivant la verticale de la vitesse horizontale
sont en effet très petites comme on le voit dans l'étude des ordres de grandeur qui
suit.
### 4.4.1 Ordres de grandeur

Précisons tout d'abord les ordres de grandeur de chacun des termes mis en jeu dans les équations de l'interaction. Pour l'onde solitaire, on introduit les échelles de grandeur et les deux paramètres sans dimension suivants :

- $L$, longueur caractéristique de l'onde solitaire

- $h_0$, profondeur d'eau

- $c_0 = \sqrt{gh_0}$, célitérité des ondes longues

- $\epsilon = \frac{A}{h_0}$, amplitude réduite de l'onde solitaire (A amplitude de l'onde solitaire)

- $\sigma = \frac{h_0}{L}$, paramètre de l'eau peu profonde ($\sigma \ll 1$)

Les ordres de grandeur pour l'onde solitaire sont alors les suivants :

- $u_e \sim \epsilon c_0$

- $v_e \sim \epsilon \sigma c_0$

- $\eta_e \sim \epsilon h_0$

- $\frac{\partial u_e}{\partial X} \sim \frac{\partial v_e}{\partial z} \sim \frac{\epsilon \sigma c_0}{h_0}$ (continuité)

- $\frac{\partial u_e}{\partial z} \sim \frac{\partial v_e}{\partial X} \sim \frac{\epsilon \sigma^2 c_0}{h_0}$ (irrotationalité)

Pour la perturbation périodique, les ordres de grandeur sont les suivants :

- $\eta \sim a$

- $u \sim v \sim \frac{agk}{\omega}$

- $\Phi \sim \frac{ag}{\omega}$

avec :

$g$, accélération de la gravité,

$a$, amplitude de l'onde courte,

$k$, nombre d'onde,

$\omega$, pulsation de l'onde courte.

Les opérateurs différentiels sont estimés de la façon suivante lorsqu'ils s'appliquent à :

- l'onde courte : $\frac{\partial}{\partial z} \sim \frac{\partial}{\partial X} \sim k$

- l'onde solitaire : $\frac{\partial}{\partial X} \sim \frac{1}{L}$ et $\frac{\partial}{\partial z} \sim \frac{1}{h_0}$

En s'inspirant de la théorie linéarisée autour du repos, on pose que $\delta = ak$. Or la linéarisation suppose que $\delta \ll \frac{\partial \eta_e}{\partial X}$ à savoir $\delta \ll \epsilon \sigma$.

La distorsion WKB consiste à introduire un petit paramètre $\mu$ pour décrire la variable lente $X^* = \mu X$. Le choix du petit paramètre $\mu$ est ici précisé en imposant que les variations suivant $X^*$ de l'état de base doivent être du même ordre de grandeur que les variations suivant $X$ de la perturbation. Ceci permet d'éliminer la différence d'échelle des variations entre l'écoulement de base et la perturbation et de les décrire dans une même théorie. Mathématiquement, on impose que :

$$ \mu \sim \sigma \quad (4.43) $$
<table><caption>TAB. 4.1 – Deux premiers termes de la décomposition en série entière de μ des coefficients de la relation à la surface libre (4.24) et de l'inverse de la gravité effective G(X)</caption><thead><tr><th></th><th>O(1)</th><th>O(μ)</th></tr></thead><tbody><tr><td>a<sub>e</sub>(X)</td><td>-<sup>ω<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>g</sub></td><td><sup>iω</sup>&frasl;<sub>g</sub> <sup>∂v<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂z</sub></td></tr><tr><td>b<sub>e</sub>(X)</td><td>-<sup>2iω(u<sub>e</sub> - c)</sup>&frasl;<sub>g</sub></td><td>-<sup>∂η<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂X</sub> + <sup>(u<sub>e</sub> - c)</sup>&frasl;<sub>g</sub> (<sup>∂u<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂X</sub> - <sup>∂v<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂z</sub>)</td></tr><tr><td>c<sub>e</sub>(X)</td><td>1</td><td><sup>iω</sup>&frasl;<sub>g</sub> [v<sub>e</sub> + (u<sub>e</sub> - c)<sup>∂η<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂X</sub>]</td></tr><tr><td>d<sub>e</sub>(X)</td><td>0</td><td><sup>(u<sub>e</sub> - c)</sup>&frasl;<sub>g</sub> [v<sub>e</sub> + (u<sub>e</sub> - c)<sup>∂η<sub>e</sub></sup>&frasl;<sub>∂X</sub>]</td></tr><tr><td>e<sub>e</sub>(X)</td><td><sup>(u<sub>e</sub> - c)<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>g</sub></td><td>0</td></tr><tr><td>f<sub>e</sub>(X)</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>G(X)</sub></td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>g</sub></td><td>0</td></tr></tbody></table>

La distorsion WKB impose alors également que $\delta \ll \sigma$. Sachant que $\epsilon \le 1$, la limite de validité la plus contraignante de ce calcul est donc $\delta \ll \epsilon\sigma$ dont nous verrons plus loin si elle est vérifiée pour les expériences. Enfin, en prenant en compte les ordres de grandeur précisés au paragraphe 4.4.1, les deux premiers termes de la décomposition en série entière de μ des coefficients de la relation (4.24) sont consignés dans le tableau (4.1).

A présent, on introduit dans l'équation (4.39), les expressions de l'ordre 0 des coefficients pour l'onde solitaire en remarquant qu'effectivement avec les expressions de $a_{e0}$, $b_{e0}$, $c_{e0}$, $d_{e0}$, $e_{e0}$ et $f_{e0}$ définis à l'ordre 1 dans la deuxième colonne du tableau (4.1), la relation (4.39) est réelle.

### 4.4.2 Détermination de k(X) - Relation de dispersion

La condition à la surface libre (4.39) s'écrit alors plus simplement :

$$ \omega - k(X)(u_e(X) - c) = \pm \sqrt{gk(X) \tanh(k(X)(\eta_e(X) + h_0))} \quad (4.44) $$

Il faut alors résoudre l'équation (4.44) transcendante pour $k$ connaissant $\omega$, $u_e$, $\eta_e$ et $h_0$. On retrouve le résultat classique de la réfraction sur fond et courant stationnaire lentement variable suivant $X$ présenté par Mei [48]. Il introduit les termes de fréquence intrinsèque pour $\Omega = \omega + k(X)(c - u_e(X))$ et absolue pour $\omega$. On calcule $\omega$ en imposant que pour $X \to \infty$, c'est-à-dire loin du pic de l'onde solitaire (pour $u_e = 0$ et $\eta_e = 0$), la longueur d'onde dans le repère en translation et dans le repère fixe est la même. Puis on calcule les variations de $k$ sous l'effet des variations de $u_e(X)$ et $\eta_e(X)$. A ce stade, l'onde courte n'est pas complètement déterminée, il faut encore étudier les variations de l'amplitude $A_0(X)$ ce que nous présentons au paragraphe 4.4.3. Mais auparavant, nous proposons de mener une analyse graphique
92 CHAPITRE 4. ETUDE THÉORIQUE DE L'INTERACTION EXTERNE-EXTERNE

de la relation de dispersion (4.44) ce qui nous donnera des informations qualitatives
sur l'interaction.

On envisage deux cas d'interaction suivant le sens de propagation des ondes.

1<sup>er</sup> cas : interaction co-courant

- $c > 0$ et $u_e > 0$ l'onde solitaire se propage vers les x positifs dans le référentiel du laboratoire.

- On considère les $k$ positifs, l'onde courte se propage vers les x positifs, donc dans le même sens que l'onde solitaire.

Soit $k_{\infty}$ le nombre d'onde de l'onde courte loin de l'onde solitaire et :

$$
\omega_{CO} = \sqrt{gk_{\infty} \tanh(k_{\infty}h_0)} - k_{\infty}c
$$

$$
\begin{align*}
(-) f(k) &= \sqrt{gk \tanh(kh_0)}, \quad (-,-) f(k) = \sqrt{gk \tanh(k(\eta_e(X) + h_0))}, \\
(-) f(k) &= \omega_C + kc, \quad (...) f(k) = \omega_C + k(c - u_e)
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIG. 4.2 – Etude graphique de la relation de dispersion en interaction co-courant (a) et contrecourant (b) (exemple pour $h_0 = 30$ cm, $\frac{A}{h_0} = 0.3$ et $k_\infty = 16.09$)</figcaption></figure>

Pour ($X \to -\infty$), $u_e$ est égal à 0, la pente de la droite est maxima et vaut (+c).
Puis en parcourant $X$, $u_e(X)$ augmente jusqu'à $X = 0$ où la pente est minima et
vaut ($c - u_e(0)$).

On obtient le nombre d'onde modifié de la houle à l'intersection avec la courbe

$$
f(k) = \sqrt{gk \tanh(k(\eta_e(X) + h_0))}.
$$

Ainsi, pour $X$ variant de $-\infty$ à 0, $k$ augmente et pour $X = 0$, $k$ est maximum noté $k_{max}$ [cf. figure (4.2.a)].

2<sup>nd</sup> cas : interaction contre-courant

- $c > 0$ et $u_e \ge 0$ l'onde solitaire se propage vers les x positifs dans le repère fixe

- On considère les $k$ négatifs, l'onde courte se propage vers les x négatifs.

On note alors $-k_{\infty}$ le nombre d'onde de l'onde courte loin de l'onde solitaire et :

$$
\omega_{CC} = \sqrt{gk_{\infty} \tanh(k_{\infty}h_0)} + k_{\infty}c
$$
Pour $X \to -\infty$, $u_e$ est égal à 0, la pente de la droite est maxima et vaut $(+c)$. Puis en parcourant $X$, $u_e(X)$ augmente jusqu'à $X = 0$ où la pente est minima et vaut $(c - u_e(0))$. On obtient le nombre d'onde modifié de la houle à l'intersection avec la courbe

$$f(k) = \sqrt{gk \tanh(k(\eta_e(X) + h_0))}.$$

Ainsi, pour $X$ variant de $-\infty$ à 0, $k$ diminue et pour $X = 0$, $k$ est minimum noté $k_{min}$ [cf. figure (4.2.b)].

On peut d'ores et déjà remarquer que le maximum de variation de $k$ en valeur absolue est plus faible en interaction contre-courant qu'en interaction co-courant. D'où la dénomination par la suite d'interaction faible pour contre-courant et forte pour co-courant.

### 4.4.3 Conservation de la “wave action”

En tenant compte des ordres de grandeur des coefficients donnés dans le tableau (4.1) pour le cas de l'onde solitaire dans la partie imaginaire de la relation à la surface libre à l'ordre 3 (4.41), on obtient en $z = \eta_e(X)$ :

$$g [A_0^2 S_{2z} - A_0^2 k \eta_{eX}] = \frac{d}{dX} [A_0^2 U(\omega - kU)] \quad (4.45)$$

en notant : $U = u_e - c$. On en déduit l'équation décrivant les variations d'amplitude du potentiel à la surface libre, en combinant (4.45) et (4.40), soit :

$$[(A_{0|z=\eta_e})^2 (C_g + U)\Omega]_X = 0 \quad (4.46)$$

avec : $C_g = \frac{d\Omega}{dk}$. Par ailleurs, en considérant les ordres de grandeur de l'onde solitaire et après avoir introduit dans (4.42) les développements en série entière de l'amplitude $A$ et de la phase $S$, on obtient l'amplitude à l'ordre 0 de la dénivelée de surface libre soit $a_0$ en fonction de celle du potentiel $A_0$ :

$$a_0 = \frac{\Omega}{g} A_0 \quad (4.47)$$

avec : $||\eta(X)|| = a_0 + \mu a_1 + \mathcal{O}(\mu^2)$ Ainsi, l'équation (4.46) conduit à :

$$\left[ \frac{a_0^2 (C_g + U)}{\Omega} \right]_X = 0 \quad (4.48)$$

L'équation (4.48) traduit la conservation du débit d'énergie rapporté à la pulsation dans le référentiel de l'onde exprimé dans le repère du laboratoire. On retrouve donc la conservation de l'action d'onde (ou "wave action") obtenu par Mei [48] dans le cas de la réfraction sur fond et courant stationnaire lentement variables.

## 4.5 Calculs pour différentes solutions d'ondes solitaires

Nous allons à présent étudier de plus près les variations du nombre d'onde $k$ durant l'interaction et en tirer une interprétation quand à la phase de la houle. Les cas tests choisis correspondent en partie aux expériences réalisées que nous présentons au chapitre suivant. Les paramètres sont les suivants :
- la profondeur d'eau est fixée à 30 cm (profondeur utilisée pour les expériences),

- les ondes solitaires sont de type Serre, Korteweg & de Vries ou issues du calcul numérique, leur amplitude réduite varie de 0.05 à 1 par pas de 0.05, soit $\sigma \sim 0.15$,

- la fréquence de l'onde courte varie de 1 à 5 Hz. Dans les expériences, la fréquence de l'onde courte variait de 1.5 à 2.5 Hz pour des amplitudes de 3 mm à 12 mm, soit $\delta = ak$ compris entre 0.1 et 0.2. Ainsi, dans les expériences, on se trouve au-delà de la limite de validité du calcul soit $\delta \sim \sigma$ et $\delta \ge \epsilon\sigma$.

Les calculs sont effectués sur la boîte de calcul définie au paragraphe 4.4.

### 4.5.1 Variation de la phase de l'onde courte sur l'onde solitaire

$A_0(X, z)$ et $S(X)$ étant réels, la phase de l'onde courte s'écrit simplement :

$$ \delta(X, t) = S(X) - \omega t $$

avec : $S(X) = \int_{-\infty}^{X} k(\xi) d\xi$. La variation de phase (ou déphasage) $\delta\phi$ de l'onde courte de part et d'autre de l'onde solitaire est donc l'intégrale de $(k(X) - k_{\infty})$ entre $X = -\infty$ et $X = \infty$ :

$$ \delta\phi = \delta(+\infty) - \delta(-\infty) = \int_{-\infty}^{\infty} [k(\xi) - k_{\infty}] d\xi \quad (4.49) $$

Sur les figures (4.3), on représente les variations de $(k(X) - k_{\infty})$ le long d'une onde solitaire décrite par Serre pour les deux types d'interaction.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIG. 4.3 – Variations de $(k(X) - k_{\infty})$ (a) interaction forte (b) interaction faible - exemple pour $h_0 = 30$ cm, $k_{\infty} = 16.09$ et $(-, -) \frac{A}{h_0} = 0.1, (-) \frac{A}{h_0} = 0.3, (-, -) \frac{A}{h_0} = 0.5$</figcaption></figure>

Les figures (4.3) mettent clairement en évidence l'augmentation ou la diminution du nombre d'onde suivant le type d'interaction, induisant respectivement un déphasage positif ou un déphasage négatif. Sur ces figures, on peut également observer une différence notable entre interaction forte et interaction faible puisque le maximum de modulation du nombre d'onde qui, en valeur absolue, croit avec l'amplitude de l'onde solitaire, est plus fort en interaction forte que faible.

Pour le cas de l'interaction avec une onde solitaire par opposition avec celle avec un courant, il est légitime de se poser la question de savoir si les modulations du nombre d'onde sont dictés davantage par les variations de profondeur ou par celles du champ de vitesse ou de façon équilibrée par les deux. Il s'avère que l'effet de la
variation du niveau de surface libre est négligeable par rapport à celui du champ de vitesse.

Sur les figures (4.4), on compare pour les 3 types de solutions “onde solitaire” à savoir Serre, Korteweg & de Vries et issue du calcul numérique de Byatt-Smith, les déphasages calculés en fonction de l’amplitude réduite de l’onde solitaire non déferlante ($\frac{A}{h_0}$) et pour une fréquence de houle donnée de 2 Hz en interaction forte et faible.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIG. 4.4 – Déphasages en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire, celle-ci étant décrite par Serre (-), Korteweg & de Vries (- -) ou issue du calcul numérique de Byatt-Smith (-.-) en (a) interaction forte et (b) interaction faible - exemple pour $h_0 = 30$ cm et $k_\infty = 16.09$</figcaption></figure>

Ces figures montrent que pour le calcul du déphasage de l'onde courte en interaction avec une onde solitaire externe, l'onde solitaire modélisée par une loi de Serre donne des résultats très proche de ceux obtenus avec l'onde solitaire issue du calcul exact numérique alors que la description de Korteweg & de Vries conduit systématiquement à une sous estimation du déphasage. Or, dans la relation de dispersion à la surface (4.44), seules interviennent la vitesse horizontale à la surface, la célérité et la dénivelée de surface libre de l'onde solitaire qui sont pour les deux premières mieux décrites par Serre et pour la dernière mieux décrite par Korteweg & de Vries d'après ce que nous avons pu établir en annexe B. En fait, la relation (4.44) n'est quasi pas sensible aux variations de niveau de la surface libre comme nous l'avons vu précédemment. Ceci explique pourquoi malgré une description moins bonne de la surface libre par une loi de Serre, celle-ci donne tout de même les déphasages les plus proches de ceux obtenus par un calcul numérique exact.

Sur la figure (4.5), on compare pour la solution “onde solitaire” de Serre les déphasages calculés en fonction de l’amplitude réduite de l’onde solitaire pour une fréquence de houle variant de 1 Hz à 5 Hz en interaction forte et faible.

Ce graphe met en évidence l’existence d’une courbe asymptotique hautes fréquences dont l’existence avait déjà été montrée par Clamond [15]. En effet, il apparaît que lorsque la fréquence de l’onde courte augmente, le déphasage de l’onde courte en interaction forte et faible avec une onde solitaire d’amplitude réduite donnée tend vers des valeurs limites qui, en valeur absolue, sont très proches en interaction forte et faible. Sachant que la célérité de l’onde courte tend vers 0 lorsque sa fréquence augmente, le temps d’interaction ne dépend alors plus que de la célérité de l’onde solitaire qui est très grande. Ainsi, on se rapproche du cas d’une interaction quasi-
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIG. 4.5 – Déphasages en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire, celle-ci étant décrite par Serre pour des fréquences de l'onde courte de 1 Hz (—), 3 Hz (- -) et 5 Hz (.--): (+) interaction forte et ( ) interaction faible - exemple pour $h_0 = 30$ cm</figcaption></figure>

instantanée où seul le déplacement des particules dû à l'onde solitaire intervient. Ce point sera à nouveau discuté lors de la comparaison avec les données expérimentales.

### 4.5.2 Variation de l'amplitude de l'onde courte sur l'onde solitaire

Sur les figures (4.6), on représente les modulations d'amplitude de la perturbation lors d'une interaction forte et lors d'une interaction faible avec une onde solitaire pour deux amplitudes réduites.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIG. 4.6 – Modulations d'amplitude de la perturbation à la surface libre lors d'une interaction forte (a) et faible (b) avec une onde solitaire décrite par Serre d'amplitudes réduites</figcaption></figure>

$$ \frac{A}{h_0} = 0.1 \text{ (---) et } \frac{A}{h_0} = 0.3 \text{ (- -) - exemple pour } h_0 = 30 \text{ cm et } k_\infty = 16.09 $$

Il est clair que si ces modulations d'amplitude ne sont pas petites dans l'absolu (de 10 à 25 %), elles sont petites si on les compare à l'élévation de la surface libre au passage de l'onde solitaire. En effet, pour une houle d'amplitude 5mm hors interaction, l'amplitude de la houle au pic de l'onde solitaire d'amplitude réduite 0.3 sera de 6.25mm en interaction forte, ce qui est négligeable comparé à une élévation de
surface de 90 mm environ.

## 4.6 Conclusion

Dans ce chapitre, la validité de la relation de dispersion (4.1) et de la conservation de l'action d'onde (4.2) a été établie pour une onde courte barotrope en interaction avec une onde solitaire de surface. De façon plus général, le calcul développé ici s'applique pour toute solution exacte des équations d'Euler dont la vitesse verticale est petite comparée à la vitesse horizontale (i.e. pas nécessairement un courant comme pour Mei [48]). Toutefois, la complexité algébrique peut limiter rapidement les calculs. Le calcul permet également de s'affranchir de l'hypothèse faiblement non-linéaire (petites amplitudes i.e. $\epsilon^2 = \sigma$) de Clamond quand la solution exacte est une onde solitaire. Enfin, l'originalité de ce calcul est d'être présenté avec une formulation en potentiel des vitesses, calcul qui n'avait jamais été mené jusqu'à l'obtention de la conservation de l'action d'onde à ma connaissance. On montre aussi clairement que la conservation de l'action d'onde n'est possible que dans le cadre de l'optique physique. En effet, la phase doit être déterminée à l'ordre 2 ($S_{2z}$) au voisinage de la surface libre.
# Chapitre 5

## Etude expérimentale de l'interaction entre une houle monochromatique courte de surface et une onde solitaire de surface

Cette étude expérimentale fait suite aux expériences menées par Clamond [15] lors de sa thèse. En effet, Clamond propose dans sa thèse un modèle théorique pour étudier l'interaction entre une onde longue et une onde courte dont les grandes lignes ont été rappelées au chapitre 4. Ce modèle a alors été validé en le comparant à quelques essais d'interaction entre une onde solitaire et une houle monochromatique de surface. Cependant, cette étude expérimentale nécessitait d'être complétée. En effet, lors de ces essais, seules les interactions d'ondes se propageant en sens contraire (interactions faibles) avaient été étudiées. De plus, peu d'essais avaient été effectués, ne permettant pas de conclure quant à l'importance de certains paramètres tels que la fréquence ou l'amplitude de l'onde courte. L'intérêt de cette étude expérimentale est donc de combler ces lacunes. Ceci a, en particulier, impliqué d'adapter le dispositif expérimental pour réaliser des essais d'interaction d'onde se propageant dans le même sens (interactions fortes). Par contre, la méthodologie mise au point par Clamond pour le dépouillement des données a été appliquée en l'état car étant très performante.

### 5.1 Dispositif expérimental

#### 5.1.1 Description de l'équipement

Les expériences ont été réalisées dans un canal vitré de 36 m de long par 0.55 m de large et 1.2 m de haut, schématisé sur la figure (5.1). Il est équipé de deux dispositifs de génération de houle.

D'une part, un batteur piston, déplaçant horizontalement toute la colonne d'eau, est fixé à une extrémité du canal. Le piston est mû par un vérin hydraulique asservi de
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIG. 5.1 – Vue d'ensemble de l'installation expérimentale</figcaption></figure>

600 mm de long. La boucle d'asservissement (servovalve, codeur optique, capteur de pression), mise au point au sein du L.E.G.I. par M. Marcelja, est pilotée depuis un micro-ordinateur par l'intermédiaire d'une carte électronique. L'interface avec l'uti-lisateur est un logiciel (gnhoule.pas) développé en Turbo Pascal [78], dédié à l'origine à la génération et à l'absorption d'ondes solitaires, mais qui permet aussi de générer de la houle sinusoïdale. Des modifications de ce logiciel concernant la génération de l'onde solitaire seront présentées au paragraphe 5.1.4.

D'autre part, un batteur plongeant permet de générer de la houle sinusoïdale par les oscillations verticales d'un volume dont la forme sera discutée au paragraphe 5.1.3. On peut faire varier la fréquence du batteur à l'aide d'un potentiomètre entre 1 et 10 Hz. L'amplitude de la houle est ajustable par la profondeur d'immersion du coin ainsi que l'excentricité du débattement. Ce batteur peut être déplacé le long du canal.

On cherche dans les expériences réalisées à caractériser l'interaction entre une onde solitaire et de la houle courte. Or, in situ, la surface libre est la partie de l'écoulement la plus facilement accessible par photos aériennes ou clichés Radar. Dans le but de simplifier la transposition des résultats obtenus, la mesure au laboratoire consiste donc en un relevé de la dénivelée de la surface libre par rapport à son niveau de repos. Elle est réalisée à l'aide de 6 sondes résistives, numérotées comme sur la figure (5.1), formant le "peigne de mesure" que l'on peut déplacer le long du canal. La sonde représentée en pointillé a parfois été séparée du peigne. Les positions relatives des batteurs et des sondes ont pu changer au cours des différents essais afin de répondre au mieux aux différentes contraintes dont l'exposé suit.

### 5.1.2 Matériel d'acquisition

La mesure du niveau de la surface libre est réalisée à l'aide de sondes résistives. Les sondes résistives dont nous disposons ont été réalisées par la société Deltalab. Elles sont constituées de deux tiges inox plongées dans le fluide [cf. fig.( 5.2)]. L'eau ferme le circuit. On délivre une tension constante au circuit. La résistance du circuit étant linéairement proportionnelle à la longueur de fil émergé, l'intensité entre les deux tiges aussi (loi d'Ohm).
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIG. 5.2 – Schéma d’une sonde résistive (unités en mm)</figcaption></figure>

L’intensité est convertie en un signal de tension qui peut être amplifié à l’aide d’un gain réglable (potentiomètre). Il est ensuite digitalisé sur 2048 bits par une carte électronique pour être transmis à l’ordinateur.

Un simple étalonnage permet donc de convertir le niveau d’immersion en tension digitalisée. La mesure de tension fluctue au plus d’une dizaine de digits sur 2000, soit une précision sur l’étalonnage de 0.5%. Cependant, cet appareil présente une dérive relativement importante. En effet, la résistivité de l’eau est très sensible aux fluctuations de température. On observe facilement une dérive de 2% sur 4 heures. Un étalonnage régulier (toutes les heures) est donc nécessaire. Ce point étant assez contraignant, des sondes capacitives qui ne présentent pas cet inconvénient ont été testées. Cependant leurs performances semblent moindre sur la précision de la mesure elle-même.

En effet, la précision de la mesure est directement liée au comportement du ménisque sur les sondes. Pour les sondes résistives, le ménisque ne change pas de sens dans les mouvements oscillants de la surface libre, seule son amplitude varie. Il a le sens représenté sur la figure (5.3-a). Par contre, pour les sondes capacitives, le ménisque bascule comme le montre la figure (5.3) entre la montée et la descente.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIG. 5.3 – Ménisque sur une sonde capacitive</figcaption></figure>

Ceci entraîne un biais sur la mesure des sondes capacitives plus important que sur celles des sondes résistives. Sur la figure (5.4), on représente la consigne sinusoïdale parfaite imposée au batteur et les enregistrements expérimentaux simultanés que l'on a pu obtenir pour chacun des types de sondes, celles-ci étant fixées à la place du volume sur le batteur plongeant. La figure (5.4) est représentative des essais réalisés pour les fréquences 2, 3, 4 et 5 Hz.
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIG. 5.4 – Comparaison du suivi d'une consigne sinusoïdale (—) à la fréquence f = 3 Hz par les sondes résistive (×) et capacitive (○)</figcaption></figure>

Il est particulièrement intéressant de constater la différence de comportement au niveau des creux et des crêtes, qui sont respectivement plus pincés, plus aplaties sur la mesure à l'aide de la sonde capacitive que sur la mesure avec la sonde résistive. On peut par ailleurs estimer sur ces tests que le biais systématique sur une mesure avec une sonde résistive est inférieur à 0.5 mm.

Nous estimons donc l'incertitude maxima sur la mesure de dénivelée à 0.5 mm jusqu'à 5 cm et à 1 mm au-delà de 5 cm (précision de l'étalonnage).

5.1.3 Génération de la houle courte

La profondeur d'eau pour les expériences d'interaction est fixée à 0.3 m, compromis
entre les limites de génération de houle de petite longueur d'onde et d'onde solitaire
de grande amplitude (limitée par la longueur du vérin). Les expériences ont porté
sur des interactions dites fortes (la houle et l'onde solitaire se propagent dans le
même sens) et dites faibles (en sens inverse). Pour les premières, la houle courte est
générée avec le batteur piston, pour les secondes, avec le batteur plongeant.

La houle courte générée dans l'interaction est en fait un train de houle dont un
exemple typique d'enregistrement temporel est représenté sur la figure (5.5).

En général, on distingue trois zones dont seulement deux sont visibles sur la fi-
gure (5.5.a). Tout d'abord, une première zone transitoire, le front du train d'onde
est constitué d'oscillations à la fréquence du batteur dont l'amplitude augmente
progressivement, en s'inscrivant dans une enveloppe qui peut être une onde longue
dispersive ou une onde solitaire. Ce front a donc une célérité de groupe plus impor-
tante que celle de la houle sinusoïdale à la fréquence du batteur. Ensuite, la partie
centrale du train d'onde est de la houle sinusoïdale établie quasi-monochromatique.
L'amplitude du 1<sup>er</sup> harmonique est inférieure à 10 % du fondamental. On a pu
vérifier que la célérité de groupe de cette zone correspond bien à celle prévue par la
théorie linéaire pour la houle sinusoïdale. Enfin, la queue du train d'onde, qui n'est
observée que si l'on arrête le batteur avant la fin de l'acquisition [non visible sur la
figure (5.5.a)], est une zone transitoire vers le repos où la houle perd de l'amplitude
de la même façon que dans la zone de tête.
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIG. 5.5 – *Enregistrement (20 s après la mise en route du batteur) à 10 m du batteur plongeant d'un train de houle courte à la fréquence f = 2 Hz (ak ~ 0.14) (a) enregistrement complet (b) zoom sur la partie établie du train d'onde*</figcaption></figure>

Compte-tenu de l'existence de la zone transitoire de tête, inexploitable pour les essais d'interaction, il faut déterminer pour chaque fréquence de houle expérimentée :

- le délai temporel nécessaire entre le début de génération de la houle courte et celui de l'onde solitaire pour obtenir au niveau du peigne de sondes une houle établie au moment de l'interaction

- la distance minima entre le peigne de sondes et l'extrémité du canal aval (par rapport au sens de propagation de la houle) pour que l'onde la plus rapide du front n'ait pas le temps de revenir dans la zone de mesure avant la fin de l'interaction
Un récapitulatif des configurations expérimentales est donné dans le tableau (5.1).

<table><caption>TAB. 5.1 – *Récapitulatif des configurations expérimentales testées*</caption><thead><tr><th>Type d'interaction</th><th>Fréquence (Hz) de l'onde courte</th><th>Amplitude (mm)</th><th>Loi de génération de l'onde solitaire</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">Faible</td><td>1.5</td><td>8</td><td>KdV</td></tr><tr><td>1.5</td><td>4.5</td><td>Serre</td></tr><tr><td>2</td><td>7</td><td>KdV</td></tr><tr><td>2</td><td>7</td><td>Serre</td></tr><tr><td>2.5</td><td>8</td><td>KdV</td></tr><tr><td>2.5</td><td>6</td><td>Serre</td></tr><tr><td rowspan="6">Forte</td><td>1.5</td><td>9</td><td>KdV</td></tr><tr><td>1.5</td><td>9.5 - 12</td><td>Serre</td></tr><tr><td>2</td><td>6.8 - 8.7</td><td>KdV</td></tr><tr><td>2</td><td>6 - 9</td><td>Serre</td></tr><tr><td>2.5</td><td>3.6</td><td>KdV</td></tr><tr><td>2.5</td><td>3.2</td><td>Serre</td></tr></tbody></table>

Toutes ces données sont disponibles sur CD-ROM.
## Le batteur plongeant

On a utilisé deux types de volume lors de nos expériences : un coin asymétrique et un coin symétrique. Ils sont représentés sur la figure (5.6).

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIG. 5.6 – Géométrie des coins utilisés sur le batteur plongeant</figcaption></figure>

Le coin asymétrique, permettant d'utiliser la totalité de la longueur du canal, est utilisé pour la génération de houle "basses" fréquences (inférieures à 2 Hz soit de longueurs d'onde supérieures à 0.45 m environ). En réalité, on est rapidement limité dans les "basses fréquences" par la longueur du canal (réflexion du front). Dans une profondeur d'eau $h = 0.3$ m, la longueur d'onde de la houle de fréquence 1.5 Hz (notre limite basse fréquence) est déjà 0.7 m, et à 1 Hz, elle est de 1.4 m. Pour des houles de fréquences plus élevées, la dissymétrie du coin entraîne un mouvement de balancier affectant la régularité de la houle. C'est pourquoi, pour des fréquences au-delà de 2 Hz, on utilise le coin symétrique. Ceci nécessite de placer une plage amortisseuse au bout du canal pour absorber la houle émise vers l'aval. La longueur de canal utile est donc réduite à 27 m, distance à laquelle on place le batteur plongeant. Ce point n'est pas en réalité une limite de l'expérience car la célérité de la houle de fréquence supérieure à 2 Hz étant inférieure à 50 cm/s, il est tout-à-fait possible d'obtenir un train de houle établie à une distance réduite du batteur. Cependant, nous avons été limité dans les hautes fréquences par deux phénomènes de nature assez différente.

## Limitations hautes fréquences : instabilités et amortissement

**Instabilités transverses.** Tout d'abord, à partir de 3 Hz, on observe sur la surface du batteur plongeant des ondes transversales (clapotis) dont la longueur d'onde diminue lorsque que la fréquence du batteur augmente jusqu'à 4.4 Hz. Dans le tableau (5.2), on donne les longueurs d'onde et les fréquences correspondantes (calculées à partir de la relation d'Airy) de ces ondes transverses pour différentes fréquences du batteur plongeant. Elles sont estimées par comptage du nombre entier de longueurs d'onde sur la largeur du batteur à partir d'un film vidéo de la montée en fréquence du batteur.

L'estimation ainsi obtenue est entachée d'une erreur assez importante puisque le nombre de longueur d'onde est donné à plus ou moins une demi-longueur d'onde près, ce qui donne un intervalle de variation pour la longueur d'onde ainsi que la
fréquence de l'onde transverse. Ces ondes transverses restent confinées près de la paroi du batteur tant que sa fréquence reste inférieure à une valeur critique que l'on situe expérimentalement autour de 4.5 Hz pour le batteur plongeant. Au-delà, les oscillations transverses s'amplifient brutalement et se développent dans tout le canal. La longueur d'onde de cette instabilité transverse passe alors soudainement de quelques centimètres à une dizaine de centimètres.

<table><caption>TAB. 5.2 – Longueurs d'onde et fréquences des ondes transverses observées pour des houles hautes fréquences ($\geq 3Hz$)</caption><thead><tr><th>Fréquence<br>du batteur plongeant<br>f<sub>b</sub> (Hz)</th><th>Longueur d'onde<br>de l'onde transverse<br>λ comprise entre (cm)</th><th>Fréquence<br>l'onde transverse<br>f<sub>i</sub> comprise entre (Hz)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3.25</td><td>15.5 - 21.5</td><td>2.7 - 3.1</td></tr><tr><td>3.45</td><td>12 - 15.5</td><td>3.1 - 3.6</td></tr><tr><td>3.75</td><td>9.8 - 12</td><td>3.6 - 4</td></tr><tr><td>4</td><td>8.3 - 9.8</td><td>4 - 4.3</td></tr><tr><td>≥ 4.4</td><td>36</td><td>2.2 (instable)</td></tr></tbody></table>

Nous suggérons que l'instabilité que nous observons est celle découverte par Faraday pour des oscillations verticales d'une interface [18] dans un bassin carré. En 1954, Benjamin & Ursell [9] apporte une contribution théorique complète à la description de ces instabilités. Cette théorie conduit à l'équation de Mathieu [19] dont l'étude montre des zones de stabilité et d'instabilité. En appliquant ces résultats au cas du canal (bassin de longueur infinie), on retrouve théoriquement ce que l'on observe expérimentalement à savoir que le premier mode instable qui a la fréquence moitié de celle du batteur n'apparaît qu'au-delà de la fréquence 4.4 Hz. Jusque là, la fréquence de l'onde transverse stable est la même que celle de l'onde longitudinale. On interprète l'étude de l'équation de Mathieu de la façon suivante : pour des fréquences comprises entre 3 et 4.5 Hz, la longueur d'onde des modes instables est trop importante pour la largeur du canal qui les confine donc et les empêche de se développer. Par contre, au-delà de 4.5 Hz, le mode instable peut s'établir dans la largeur du canal puisqu'il a une longueur d'onde inférieure à la largeur du canal. Sur le batteur piston, des instabilités transverses apparaissent également mais pour des fréquences de houle beaucoup plus faibles, dès 3 Hz, avec des longueurs d'onde beaucoup plus petites (comprises entre 3 et 7 cm) et la fréquence de développement de l'instabilité est plus basse, entre 3.3 Hz et 4 Hz. Ce type d'instabilités tridimensionnelles nous semble s'apparenter à celles de type fer à cheval observées par Melville [49] pour des cambrures de l'onde $ak \geq 0.31$ ($a$ étant l'amplitude de l'onde monochromatique et $k$ son nombre d'onde). Du fait de la moindre maniabilité du batteur piston, en particulier sur l'amplitude minima, il semble que la cambrure limite de Melville est vite atteinte pour le batteur piston. Les limites de 4.5 Hz pour le batteur plongeant et de 3.5 Hz pour le batteur piston, nous semblent donc difficiles à franchir.

Contrairement à Melville, les trains d'onde utilisés pour les essais d'interaction sont assez courts (20 s environ), ce qui ne permet pas d'observer le développement complet de l'instabilité bidimensionnelle de Benjamin-Feir [8], et ce d'autant plus qu'au-delà de 3 Hz, la houle s'amortit rapidement. Cependant à 3 Hz exactement ($k = 36.2$; $ak = 0.29$), les trains d'onde à environ 4 mètres du batteur ($xk = 145$) semblent
modulés de façon périodique, comme sur l'enregistrement présenté par Melville [50] caractéristique du début de développement de l'instabilité résonnante de Benjamin-Feir [8] et mesuré à $xk = 155$.

**Amortissement.** Néanmoins, pour nos expériences, la limite haute fréquence sur le batteur plongeant a été encore plus basse et ce, pour une autre raison. En effet, à partir de 3 Hz, on observe un amortissement important du train de houle progressive. A titre d'exemple, pour une fréquence de batteur de 3.5 Hz, la partie établie du train de houle ne se propage pas au-delà de 2.5 mètres du batteur, ce qui ne s'explique en aucun cas par la célitérité de groupe théorique d'une houle progressive à cette fréquence qui vaut encore 22 cm/s (la longueur d'onde de cette onde est de 12 cm). De plus, en comparant les spectres de la dénivelée de surface mesurée à 1 mètre et 4 mètres du batteur représentés sur la figure (5.7), on note une nette diminution de l'énergie à la fréquence du batteur sans report d'énergie ni vers des fréquences harmoniques de celle du batteur ni vers des fréquences plus basses. Il ne s'agit pas d'une dissipation de l'onde par la viscosité puisque à titre d'exemple, d'après Lighthill [45], il faut 250 périodes pour diminuer d'un facteur e l'énergie d'une onde de longueur d'onde 10 cm.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIG. 5.7 – Spectre de la dénivelée de surface mesurée à 1 m (—) et à 4 m (- -) du batteur pour une fréquence de (a) $f = 3.25$ Hz et (b) $f = 3.7$ Hz</figcaption></figure>

Pour compléter les observations de la houle que l'on a pu faire pour la plage de fréquences comprises entre 3 et 4.5 Hz, il est à noter l'apparition de rides capillaires tridimensionnelles (de longueur d'onde inférieure au cm, soit des fréquences supérieures à 12 Hz), disposées en chevrons et formant un genre de tissu "écossais" sur la houle. Ces rides à l'inverse de la houle établie ne s'amortissent pas vers l'aval. L'énergie contenue dans les rides n'apparaît pas sur les spectres, celles-ci ayant une amplitude trop faible pour être détectées par les sondes de mesure. De plus, l'amortissement vers l'aval de la houle nous a paru corrélé à la contamination de la surface libre puisque lorsque l'eau du canal vient d'être renouvellée, cet amortissement est moins important. Cependant, aucun dispositif de protection de la surface libre du canal n'a pu être mis en place. Ces rides pourrait être lié à des gradients de tension superficielle le long de la surface. Ces gradients peuvent avoir des causes très variées sachant que les expériences ne sont pas réalisées dans un milieu complètement vierge. La suface libre est contaminée de multiples manières, et en particulier par des poussières.
D'après Lucassen-Reynders & Lucassen [47], une cause de l'atténuation des ondes de gravité est liée à l'interaction avec des rides capillaires sur une interface dont la rhéologie présente une élasticité non infinie.

Compte-tenu de ces limitations, les essais d'interactions ont été réalisés pour 3 fréquences de houle courte, soit à 1.5 Hz, 2 Hz et 2.5 Hz. Une série a été réalisée à 3 Hz en interaction faible, mais les incertitudes liées au traitement sur un train de houle modulé dont nous parlerons au paragraphe 5.2.3, sont déjà beaucoup plus importantes.

### 5.1.4 Génération de l'onde solitaire

L'onde solitaire est générée à l'aide du batteur piston équipant le grand canal à houle. Ce type de batteur est particulièrement adapté à la génération d'onde solitaire ou soliton puisqu'il permet de déplacer toute la colonne d'eau. Il reste cependant à lui imposer une loi de mouvement adéquate.

Dans le logiciel Gnhoule original, la loi de génération proposée pour l'onde solitaire est issue d'un calcul analytique dans l'approximation de l'eau peu profonde développée au 1<sup>er</sup> ordre [75] (cf. annexe B). Les solitons générés à l'aide de cette loi de mouvement présentent tous la même caractérisique : ils sont suivis d'une onde longue dispersive caractéristique comme le montre la figure (5.8). L'amplitude de cette "queue" dispersive augmente avec l'amplitude du soliton tout en n'excédant pas 10% de cette dernière.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIG. 5.8 – Onde solitaire d'amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.3$ ($h = 0.3$ m) générée par une loi de mouvement issue de calcul dans l'approximation de l'eau peu profonde développée au 1<sup>er</sup> ordre – enregistrement de la dénivelée de la surface libre à 21 m environ du batteur</figcaption></figure>

L'onde solitaire et l'onde dispersive qui la suit étant générées simultanément, on peut facilement, à partir de la figure (5.8), déterminer les célérités de chacune, soit 2.2 m/s pour l'onde solitaire et 1.7 m/s pour le creux de l'onde dispersive. La différence de célérité n'étant pas très importante (comparée à la célérité de l'onde solitaire), il faut une certaine distance pour que les deux ondes se séparent. Afin d'estimer cette distance, on réalise des enregistrements de solitons le long du canal tous les 5 mètres qui montrent clairement sur la figure (5.9) que dans les 15 premiers mètres, les deux ondes ne sont pas séparées.
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIG. 5.9 – Evolution d'un soliton d'amplitude réduite $\frac{\Delta}{h} = 0.2$ ($h = 0.3$ m) généré par une loi de mouvement KdV développé au 1er ordre - enregistrement de la dénivelée de la surface libre à 5 m, 10 m, 15 m, 20 m et 25 m du batteur</figcaption></figure>

En effet, l'amplitude du soliton diminue significativement entre 0 m et 15 m alors qu'entre 15 m et 25 m, elle est presque constante. Ce point impose de placer le peigne de mesure au minimum à 15 m du batteur piston pour que le profil de l'onde solitaire soit établi lors de l'interaction. Par ailleurs, connaissant la célité de l'onde solitaire, on peut estimer la distance minima entre le peigne de mesure et le batteur plongeant cette fois, telle que l'onde solitaire réfléchie sur le batteur ne revienne pas sur le peigne de mesure avant la fin de l'interaction. On estime cette distance à 5 m. Dans le but de diminuer l'amplitude de l'onde dispersive voire de s'en libérer, on a cherché à tester d'autres lois de mouvement pour le batteur. Le logiciel a donc été modifié de façon à comparer les 3 autres lois de génération suivantes.

Tout d'abord, il semblait intéressant de tester un développement à un ordre supérieur, le 2nd ordre, de la solution onde solitaire dans l'approximation de l'eau peu profonde [75] (cf. annexe B).

Ensuite, on a cherché le déplacement à imposer au batteur correspondant à une onde solitaire solution de Serre. En effet, dans ce cas, on connaît une solution analytique exacte pour la vitesse moyenne en fonction de l'abscisse, il reste alors à résoudre le problème de condition limite sur le batteur. Pour cela, il faut résoudre l'équation différentielle non linéaire suivante traduisant la condition d'imperméabilité sur la surface du batteur :

$$ \frac{dX}{dt} = \bar{u}(X, t) \qquad (5.1) $$

où X est la variable lagrangienne d'espace qui repère la position de la particule et t le temps. L'équation différentielle exprime que la vitesse de la particule attachée au batteur $\frac{dX}{dt}$ est égale à la vitesse du batteur $\bar{u}$. On peut noter que dans le cas d'un batteur piston, la vitesse sur la paroi du batteur ne dépend pas de la coordonnée verticale et est donc moyennée sur la verticale.

Les deux dernières lois testées sont deux résolutions différentes de cette équation où $\bar{u}$ est la vitesse moyenne de Serre. La première consiste à linéariser l'équation en faisant l'hypothèse de petits déplacements c'est-à-dire $X \ll 1$. Cette méthode conduit
à une solution analytique (cf. annexe B). La seconde consiste en une intégration numérique de l'équation donnant la position du batteur en fonction du temps, sur laquelle on ajuste au sens des moindres carrés une courbe de forme tangente hyperbolique (cette forme de courbe a été choisie en s'inspirant de la 1ère loi envisagée). On obtient ainsi une série de coefficients numériques ajustés (cf. annexe B). Notons tout de suite que ces 3 lois imposent des déplacements du batteur plus importants que la première. La longueur du vérin limite donc l'amplitude réduite des solitons que l'on peut générer à 0.35 pour une profondeur d'eau $h = 0.3$ m pour les lois de mouvement calculées à partir de la solution de Serre, alors que pour celles obtenues dans l'approximation de l'eau peu profonde au 1er ordre, on pouvait générer des solitons d'amplitude réduite allant jusqu'à 0.5.

La figure (5.10) représente un exemple typique des ondes solitaires générées à partir de ces 4 lois. Tout d'abord, sur l'amplitude des solitons, il est à noter que la théorie de l'eau peu profonde développée au 2nd ordre conduit toujours, pour une profondeur d'eau $h = 0.3$ m, à des solitons d'amplitude plus grande que toutes les autres lois testées. Cet écart augmente avec l'amplitude du soliton. Ensuite, pour les 2 lois de l'eau peu profonde, l'onde solitaire est immédiatement suivie d'un creux d'amplitude presque identique et assez important. Par contre, pour les 2 lois issues de la solution onde solitaire de Serre, le soliton est suivi d'une bosse dont l'amplitude augmente avec l'amplitude du soliton, mais qui est toujours beaucoup plus faible que celle du creux observé pour les lois issues de l'approximation de l'eau peu profonde. Les oscillations qui suivent sont aussi beaucoup plus faibles.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIG. 5.10 – Exemple de solitons générés par les 4 lois de mouvement testées pour une amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.2$ et une profondeur d'eau $h = 0.3$ m [même légende que figure (C.2)] – enregistrement de la dénivelée de la surface libre à 20 m environ du batteur piston</figcaption></figure>

S'il est clair que le creux est une onde dispersive, il est légitime de se poser la question de savoir si la bosse ne serait pas un deuxième soliton. Pour cela, il faudrait pouvoir déterminer la célérité de cette bosse, ce qui compte-tenu de sa petite amplitude et de son étalement n'est pas suffisamment probant à notre avis, aux vues des incertitudes que l'on a sur sa détermination. Enfin, les deux lois issues de la solution onde solitaire de Serre étant très similaires, elles aboutissent à des solitons peu différents. Une étude plus détaillée de ces 4 lois figure en annexe C, ainsi que l'ensemble des résultats
expérimentaux pour 2 profondeurs d'eau $h = 0.3$ m et $h = 0.2$ m.

Dans la suite, pour les essais d'interaction, on utilise 2 lois de génération : la loi dans l'approximation de l'eau peu profonde développée au 1er ordre et celle de l'ajustement sur l'intégration numérique de Serre (pour des raisons de simplicité de modification du logiciel). On espère ainsi pouvoir tester l'influence de l'onde dispersive.

## 5.2 Dépouillement des expériences et incertitudes

### 5.2.1 Traitement des enregistrements expérimentaux

Les enregistrements expérimentaux d'interaction sont des enregistrements du mouvement de la surface libre en fonction du temps (sur 15 à 25 secondes) en un point de l'axe longitudinal du canal, ceci afin de s'affranchir des perturbations tridimensionnelles que peuvent apporter le frottement sur les parois latérales du canal. Dans toute la suite, on raisonne donc dans le domaine temporel, mais il est toujours possible de se ramener au domaine spatial par l'intermédiaire des célérités de la houle et du soliton, ces dernières pouvant être déterminées expérimentalement ou théoriquement. Un exemple typique d'enregistrement d'interaction est représenté sur la figure (5.11).

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIG. 5.11 – Dénivelée de la surface libre à 19.42 m en fonction du temps au cours d'une interaction entre une onde solitaire d'amplitude réduite $A/h = 0.3$ et une houle de fréquence $f = 2.5$ Hz et d'amplitude $a = 5.7$ mm</figcaption></figure>

On distingue sur la figure (5.11) 4 zones caractéristiques de l'interaction faible :

- la zone A est l'enregistrement de la houle avant le passage de l'onde solitaire

- la zone B est l'enregistrement de l'interaction proprement dite

- la zone C est l'enregistrement de la houle après le passage de l'onde solitaire

- la zone D est l'enregistrement d'une interaction secondaire entre l'onde solitaire partiellement réfléchie sur le batteur plongeant et la houle (dans le cas des interactions fortes, on n'observe pas cette dernière zone).

Le traitement appliqué aux enregistrements expérimentaux pour déterminer le déphasage subi par la houle courte lors du passage du soliton repose sur l'analyse harmonique du relevé de surface libre. En effet, en décomposant une zone du signal sur les cinq premiers harmoniques de la houle (ceci est suffisant puisque l'amplitude du premier harmonique est déjà dix fois plus faible que l'amplitude à la fréquence fondamen-
tale), on détermine sa phase à l'origine.

Ainsi, par simple soustraction des phases à l'origine des zones d'analyse A et C, on obtient le déphasage subi par l'onde courte. Par convention, on définit le déphasage $\Delta\phi$ par :

$$ \Delta\phi = ( \text{phase à } t = 0 \text{ de A} ) - ( \text{phase à } t = 0 \text{ de C} ) $$

Dans ce cas, un déphasage positif correspond à un retard de phase.

Mais avant de décomposer le signal en harmoniques, il est impératif de déterminer avec précision la pulsation fondamentale du signal sur la zone d'analyse. Pour cela, on peut envisager deux possibilités : une analyse fréquentielle par transformée de Fourier ou une analyse temporelle par minimisation des écarts quadratiques entre un signal harmonique parfait et le signal expérimental. Cette analyse temporelle est celle retenue par Clamond [15] et consiste à déterminer par dichotomie la pulsation qui minimise l'écart quadratique moyen entre les deux signaux. Cette dernière option nous semblait a priori la meilleure pour des durées d'analyse relativement courtes sachant que la transformée de Fourier discrète présente une résolution liée à l'échantillonnage du Dirac en sinus cardinal, qui est inversement proportionnelle à la durée de la zone d'analyse dans l'espace temporel. Les zones A et C durent en général respectivement 5 et 3 à 4 secondes. Ce point sera rediscuté au paragraphe 5.2.3.

En préliminaire des tests effectués pour estimer les erreurs sur le déphasage déterminé sur des signaux expérimentaux, la méthode de traitement a, bien entendu, été testée sur des signaux parfaitement sinusoïdaux générés numériquement et échantillonnés à 50 Hz. Il résulte de ces pré-tests que l'erreur numérique sur le déphasage est de l'ordre de $10^{-20}$ radians, ce qui est négligeable par rapport à d'autres sources d'erreurs dont la revue suit.

### 5.2.2 Erreurs liées à la présence d'une onde dispersive

Dans un premier temps, on teste la modulation de la houle courte par l'onde dispersive qui suit l'onde solitaire. Rappelons que celle-ci apparaît lors de la génération et a pu être fortement diminuée en passant d'une loi de génération KdV au $1^{er}$ ordre à une loi obtenue par ajustement d'une tangente hyperbolique sur l'intégration numérique de l'équation de Serre.

Il ne s'agit pas pour l'instant d'estimer un déphasage physique effectif de la houle courte par l'onde dispersive (celui-ci sera étudié au paragraphe 5.3.1), mais de déterminer l'incidence sur le déphasage d'une moins bonne détermination du signal harmonique interpolant l'onde courte portée par l'onde dispersive. Pour cela, on analyse des signaux simulés par superposition de signaux sinusoïdaux numériques et d'enregistrements d'ondes solitaires générées pour les deux lois citées précédemment. Sur la figure (5.12), on représente les déphasages entre deux zones s'étendant sur 10 périodes situées de part et d'autre du soliton en fonction de l'amplitude réduite des solitons. Ces déphasages étant théoriquement nuls, on a donc une estimation du biais qu'apporte l'onde dispersive en fonction de la fréquence du signal sinusoïdal, la situation de la 2ᵉ zone d'analyse (repérée par son point de départ) et de la loi de génération.

Il est intéressant de noter que pour les deux lois de génération, cette erreur est assez faible, comprise entre $10^{-4}$ rad et $10^{-1}$ rad pour des solitons d'amplitudes réduites comprises entre 0.05 et 0.35 et des fréquences variant de 2 à 4 Hz. Cela correspond à la plage de fréquence de la houle courte.
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIG. 5.12 – Déphasages induits par la présence de l'onde dispersive pour différents débuts de zones d'analyse : (+) t=11s ; (o) t=12s ; (x) t=13s ; (*) t=14s ; (.) t=15s</figcaption></figure>

Par ailleurs, il ne paraît pas y avoir de corrélation évidente du déphasage ni avec l'amplitude relative du soliton ni avec le début de la zone d'analyse. On peut par contre noter que le déphasage est un peu plus important pour la loi de génération KdV 1<sup>er</sup> ordre que pour celle de Serre.

Enfin, il semblerait que le déphasage diminue quand la fréquence de la houle courte augmente, ce que l'on peut comprendre dans la mesure où la durée de la zone d'analyse est adimensionnelle. En effet, cette dernière est de 10 périodes, soit une durée deux fois plus courte à 4 Hz qu'à 2 Hz, ce qui correspond à une longueur de perturbation plus courte sur le soliton.
### 5.2.3 Variabilité du déphasage calculé sur des enregistrements de houle courte seule

Si la houle générée par le batteur était parfaitement sinusoïdale et si les sondes de mesures restitaient une image fidèle de la surface libre, le déphasage entre deux parties d'un relevé de surface libre au cours du temps devrait être nul (à l'erreur numérique près dont on a déjà vu qu'elle était négligeable).

Or, il se trouve que l'analyse de signaux expérimentaux de houle seule fournit des déphasages non négligeables et très variables suivant la situation des zones d'analyse et leur durée. Les premiers déphasages calculés peuvent varier entre 0 et $2\pi$, fourchette d'incertitude inadmissible pour les résultats recherchés.

Afin d'essayer de se donner un critère fiable pour valider les mesures, différents tests ont été réalisés. Après avoir noté que les déphasages importants interviennent pour des déterminations de pulsations assez différentes sur les deux parties du signal entre lesquelles on calcule le déphasage, il est intéressant de regarder plus précisément la variabilité de la détermination de la pulsation.

#### Variations de la pulsation de la houle

En particulier, s'agit-il d'une variation effective de la pulsation du batteur ou bien de différentes possibilités d'ajustement d'un signal harmonique sur le signal expérimental avec la précision demandée ?

Ce premier point nous a conduit à enregistrer le mouvement du batteur pour différentes fréquences de houles courtes comprises entre 2 et 5 Hz. Pour cela, on remplace le coin fixé sur le batteur par une sonde de mesure. Ainsi, on n'intégre dans ces enregistrements que les erreurs liées au type de sonde et au mouvement du batteur. On s'intéresse sur ces enregistrements, à la détermination de la fréquence du mouvement et pour cela, il est possible de mener une analyse de Fourier ou une analyse harmonique. Disposant pour ces tests d'enregistrements suffisamment longs en temps pour que la résolution de la transformée de Fourier discrète soit bonne, il est intéressant de comparer ces deux types d'analyse.

Sur la figure (5.13.a), on représente un exemple typique de comparaison de ces deux méthodes d'analyse pour la détermination de la fréquence en fonction de la durée de la zone d'analyse. Cet exemple à la fréquence 1.97 Hz, montre clairement que l'analyse harmonique fournit une plus mauvaise détermination de la fréquence que la transformée de Fourier sur de longues durées d'analyse. Par contre, sur des durées plus courtes, elle est adaptée. Ce résultat est confirmé sur la figure (5.13.b) qui présente l'écart type des fréquences déterminées sur différentes durées d'analyse supérieures à 10 périodes par les deux méthodes en fonction de la fréquence moyenne. Sur cette même figure, on représente également l'écart type des fréquences déterminées sur plusieurs zones de durée 10 périodes et 5 périodes par la méthode d'analyse harmonique.

Pour des durées d'analyse supérieures à 10 périodes, l'écart type des fréquences déterminées par l'analyse harmonique est bien plus grand que celui obtenu par une FFT sur les mêmes durées. Par contre, en découpant les signaux en 6 durées courtes de 5 ou 10 périodes, l'écart type sur les fréquences fournies par l'analyse harmonique est alors tout-à-fait comparable à celui de la FFT sur de longues durées, à savoir inférieure à $5.10^{-3}$ Hz (soit 0.03 rad/s) dans la plupart des cas.

Par ailleurs, on peut en déduire un résultat quant à la fréquence du batteur. En effet,
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIG. 5.13 – Comparaison des méthodes d’analyse harmonique et FFT : (a) fréquences déterminées sur un enregistrement à 1.97 Hz par (o) analyse harmonique et (+) FFT sur 65536 points en fonction de la durée de la zone d’analyse ; (b) écart type des fréquences déterminées sur plusieurs zones par : (o) analyse harmonique sur des durées de plus de 10 périodes (précision demandée = $10^{-5}$ rad/s); (*) analyse harmonique sur des durées de 10 périodes (précision demandée = $10^{-5}$ rad/s) ; (x) analyse harmonique sur des durées de 5 périodes (précision demandée = $10^{-5}$ rad/s) ; (+) FFT sur 65536 points</figcaption></figure>

pour une résolution de la transformée de Fourier de $2 \cdot 10^{-1}$ à $10^{-2}$ Hz (correspondant respectivement à des longueurs de zones d'analyse de 5 à 100 secondes), cette méthode ne permet pas de dire que la pulsation du batteur a effectivement variée puisque que toutes les fréquences déterminées se situent dans un intervalle plus petit que la résolution, environ $5 \cdot 10^{-3}$ Hz [cf figure (5.13.b)]. On peut à ce stade conclure que la pulsation du mouvement du batteur varie très peu (résultat de l'analyse de Fourier) effectivement. Enfin, par la méthode d'analyse harmonique par minimisation des écarts quadratiques, la précision demandée sur la détermination de la pulsation de $10^{-5}$ rad/s n'est pas atteinte, puisque l'écart type sur la détermination de la pulsation, y compris sur de courtes durées est supérieur à $10^{-2}$ rad/s. Pour conclure, on a vérifié que le batteur délivre bien une fréquence constante à $5 \cdot 10^{-3}$ Hz près d'après les résultats de la FFT. Cette précision est également atteinte par l'analyse harmonique sur un nombre de périodes limitées, compris entre 5 et 10 périodes.

## Influence d'une variation de pulsation sur la détermination de la phase à l'origine

On peut calculer analytiquement l'écart sur la détermination de la phase à l'origine d'un signal parfaitement sinusoïdal de pulsation $\omega$ (généré numériquement) dont on effectue la décomposition en harmoniques d'une fréquence un peu différente de sa fréquence réelle ($\omega + \delta\omega$). Ce calcul a été mené par Barthélémy et al. [4]. Ainsi, la phase à l'origine effective $\phi_n$ du $n^{\text{e}}$ harmonique s'exprime en fonction de la phase à l'origine estimée $\phi'_n$ et du temps $t$ par :

$$ \tan \phi_n \sim \tan \phi'_n \left[ 1 - \left( \frac{1}{\tan \phi'_n} + \tan \phi'_n \right) n \delta\omega t \right] \quad (5.2) $$

Comme on le voit dans le tableau (5.3), la phase à l'origine est très sensible à une variation de pulsation. Or, il a été montré au paragraphe précédent que la pulsation du batteur ne variait pas effectivement mais que suivant la méthode d'analyse, sa
<table><caption>TAB. 5.3 – *Erreur sur la détermination de la phase à l'origine (pour une phase à l'origine effective nulle) en fonction de l'erreur sur la détermination de la pulsation pour un signal de durée 10 s pour le fondamental (n = 1)*</caption><thead><tr><th>δω (rad/s)</th><th>δφ (rad)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.01</td><td>0.1</td></tr><tr><td>0.03</td><td>0.32</td></tr><tr><td>0.05</td><td>π/4</td></tr></tbody></table>

détermination n’était pas très précise. Aussi, minimiser l’erreur sur la détermination de la phase passe par une détermination très précise de la pulsation comme cela est souligné par Clamond et Barthélémy dans [21]. Or compte-tenu de la durée d’analyse à disposition (10 secondes au max), la méthode la plus adaptée sur une durée si courte reste l’analyse harmonique même si l’on a vu que l’erreur sur la détermination de la pulsation du batteur pouvait atteindre 0.03 rad/s. L’erreur sur la détermination de la phase à l’origine peut alors atteindre 0.3 rad si l’on ne considère que les variations de pulsation qui peuvent être induites par la méthode d’analyse harmonique.

### Déphasages calculés sur des enregistrements expérimentaux de houle

Dans la pratique, la transformation du mouvement du batteur dont la fréquence est quasiment parfaitement constante en onde de surface peut s’accompagner de modulations en amplitude et en fréquence. Ces modulations induisent des erreurs dans la détermination de la pulsation et donc des déphasages entre deux parties d’un même signal qui n’ont pas lieu d’être. Les essais présentant de fortes modulations en amplitude (à partir de 3 Hz) ont donc été écartés car les erreurs sur la détermination de la pulsation par la méthode d’analyse harmonique sont trop importantes. Ensuite, l’analyse harmonique est testée sur des mesures de houle seule sur 5 sondes. Sur les figures (5.14), on représente en fonction de la fréquence moyenne de la houle, le déphasage moyen entre deux zones de 5 secondes du train de houle établi [fig. (5.14.a)] et l’écart type sur les déterminations fournies par les 5 sondes [fig. (5.14.b)].

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIG. 5.14 – *Déphasages mesurés sur un train de houle établi (a) moyenne (b) écart-type*</figcaption></figure>

Le déphasage moyen est compris entre -1 rad et +1 rad avec un écart type inférieur à 0.5 rad dans la plupart des cas pour les fréquences de 1.5 Hz et 2 Hz. A 2.5 Hz,
en revanche, le déphasage moyen ainsi que les écart-types entre 5 sondes peuvent être plus importants. Pourtant, l'erreur relative est plus faible car les déphasages mesurés pour une fréquence de 2.5 Hz sont bien plus grands que ceux mesurés pour des houles de fréquence 2 Hz ou 1.5 Hz. On obtient donc en répétant la mesure sur 5 sondes une précision acceptable sur la mesure du déphasage.

Ainsi, la conclusion de cet argumentaire sur l'étude des incertitudes sur la détermination des déphasages est qu'une bonne estimation de ces incertitudes est obtenue en répétant la mesure sur plusieurs sondes et que l'erreur admissible est de l'ordre de 0.5 rad pour les fréquences de 1.5 Hz et 2 Hz.

## 5.3 Résultats expérimentaux et discussion

### 5.3.1 Convention de présentation et discussion des déphasages expérimentaux de la houle courte

Sur la figure (5.15), on présente sur trois graphes correspondant aux différentes fréquences de la houle courte testées, le déphasage de la houle au passage de l'onde solitaire (adimensionné par le produit du nombre d'onde et de la profondeur d'eau). Le déphasage adimensionnel est représenté en fonction de la racine carrée de l'amplitude réduite de l'onde solitaire. En effet, dans cette représentation adimensionnelle, un modèle simple d'interaction linéaire et instantanée dit également heuristique [27] conduit à une droite indépendante de la fréquence de la houle dont l'équation est :

$$ \frac{\delta\phi}{kh_0} = \frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{A}{h_0}} \qquad (5.3) $$

pour une onde solitaire de type KdV. Celle-ci est représentée en trait plein sur chacun des graphes. En effet, d'après ce modèle, le déphasage consiste simplement à rapporter le déplacement net des particules par l'onde solitaire à une longueur d'onde de la houle. Il est à noter que suivant le choix de description de l'onde solitaire, le modèle heuristique conduit à des expressions du déphasage différentes. Pour une onde solitaire de type Serre, par exemple, le déphasage adimensionnel en fonction de la racine carrée de l'amplitude réduite n'est plus une droite mais reste toujours indépendante de la fréquence de la houle. Il est donné par :

$$ \frac{\delta\phi}{kh_0} = \frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{A}{h_0}\left(1+\frac{A}{h_0}\right)} \qquad (5.4) $$

Sur chaque graphe, donc pour chaque fréquence, on représente par des croix les interactions dites fortes (les ondes se propagent dans le même sens) et par des croix cerclées les interactions dites faibles (les ondes se propagent en sens inverse). Les étoiles correspondent aux cas où l'on observe le déferlement de l'onde courte même partiel.

Il est à noter que pour simplifier la comparaison des interactions fortes et faibles, le signe du déphasage n'est pas respecté sur ces graphes; il est représenté en valeur absolue. Avec la convention définie au paragraphe 5.2.1, le signe se rétablit de la façon suivante :

- pour les interactions fortes, le déphasage est négatif : la houle subit une avance de phase,
– pour les interactions faibles, le déphasage est positif : la houle subit un retard de phase.

De plus, les déphasages déterminés expérimentalement sont toujours compris entre 0 et $2\pi$, compte tenu de la périodicité de la fonction tangente. Mais en fait le déphasage est une fonction monotone de l'amplitude de l'onde solitaire jusqu'à la limite du déferlement. Ainsi, les valeurs de déphasages brutes ont été corrigées pour une clarté de représentation en incrémentant d'un multiple de $2\pi$ à chaque retour à zéro. Enfin, en tirets pointillés, on représente la droite de régression des déphasages en fonction des racines carrées des amplitudes pour chaque série.

Tout d'abord, avec ces conventions de présentation, le déphasage est effectivement une fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire et même peut être une fonction linéaire de la racine carrée de l'amplitude réduite, mais pas uniquement. En effet, il apparaît clairement que les deux types d'interaction dites forte et faible sont bien différenciées. L'interaction forte conduit toujours à des déphasages plus grand que le modèle d'interaction linéaire et instantanée, alors que l'interaction faible conduit à des déphasages plus faibles que le modèle. De plus, l'écart au modèle linéaire est plus grand pour les interactions fortes que pour les interactions faibles, et diminue quand la fréquence augmente. Toutes ces constatations concourent à la même constatation à savoir que l'hypothèse d'instantanéité du modèle heuristique (temps d'interaction nul) est une hypothèse grossière au moins pour les interactions fortes. En effet, en interaction forte, l'écart des célérités des ondes est plus petit qu'en interaction faible et donc le temps d'interaction est plus long, toutes choses restant égales par ailleurs. Ce point explique pourquoi en interaction forte, les déphasages mesurés sont plus grands qu'en interaction faible. De plus, lorsque la fréquence de l'onde courte augmente, sa célérité diminue également et donc en interaction forte, la différence de célérité entre l'onde solitaire et la houle augmente, diminuant le temps d'interaction. Ceci éclaire pourquoi lorsque la fréquence augmente, les déphasages mesurés lors d'interactions fortes se rapprochent de l'heuristique. Il est à noter que pour les interactions faibles, cette argument montre l'inverse : le temps d'interaction augmente quand la fréquence augmente. Cependant, les expériences ne permettent pas de valider assurément cette explication puisque les déphasages n'augmente pas franchement avec la fréquence lors des interactions faibles. En fait, il semble qu'en interaction faible, le temps d'interaction soit toujours suffisamment petit pour l'hypothèse d'instantanéité du modèle heuristique soit valide. Enfin, ce raisonnement nous amène à la conclusion que dans la limite hautes fréquences (célérité de l'onde courte quasi-nulle), le déphasage en valeur absolue devrait être le même en interaction forte et faible (le temps d'interaction ne dépendant plus que de la célérité de l'onde solitaire), ce qui n'est pas contredit par l'expérience. Hors ce cas limite, le déphasage même adimensionnel dépend de la fréquence et du type d'interaction.

Par ailleurs, on a testé pour chaque type d'interaction, les essais d'interaction avec des solitons avec ou sans queue dispersive (loi de génération KdV ou Serre). Ils n'ont pas été séparés sur les figures (5.15) car il n'est effectivement pas possible de les différencier, le déphasage éventuellement induit par la queue dispersive restant dans la fourchette d'incertitude fixée par l'écart type entre sondes. Enfin, exceptée la limite de déferlement qui varie en fonction de l'amplitude de la houle, le déphasage n'est apparemment pas fonction de cette amplitude puisque comme précédemment, les déphasages mesurés sur des essais réalisés pour des amplitudes différentes, toutes choses étant égales par ailleurs, restent dans la fourchette d'incertitude fixée par
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIG. 5.15 – Déphasages adimensionnels de la houle déterminés expérimentalement en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire ; (—) modèle linéaire et instantané (5.3) ; (- · -) droite de régression pour les interactions dites faibles ; (---) droite de régression pour les interactions dites fortes ; (*) déferlement de l'onde courte ; $h_0 = 0.3$ m ; (a) $f = 1.5$ Hz ; (b) $f = 2.0$ Hz ; (c) $f = 2.5$ Hz.</figcaption></figure>

l'écart type entre sondes. Nous reviendrons sur la limite de déferlement au paragraphe 5.3.3.
5.3.2 Confrontation des déphasages expérimentaux aux prévisions des théories existantes

On compare les déphasages mesurés expérimentalement à ceux prédits par différentes théories en interaction faible sur la figure (5.16) et en interaction forte sur la figure (5.17). Les modèles théoriques auxquels nous confrontons les résultats expérimentaux sont le modèle heuristique (linéaire et instantanée) que nous avons déjà critiqué au paragraphe précédent, le modèle de type WKB développé par Clamond dans le cadre de l'approximation de l'eau peu profonde [15] et le modèle WKB inspiré de la réfraction sur courants lentement variables développé au chapitre 4 et appliqué ici pour un soliton décrit par Serre. On rappelle que Clamond aboutit à une formulation analytique du déphasage de l'onde courte $\Delta\phi$, à savoir :

$$ \Delta\phi = \frac{4kh}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{gh} - c_g + \frac{\omega}{2k} A}{\sqrt{gh} + c_g} \frac{A}{h} \quad (5.5) $$

avec : $\frac{\omega^2}{g} = k \tanh kh$, $c_g = \frac{\omega}{k} \left( \frac{1}{2} + \frac{kh}{\sinh kh} \right)$ où $\omega$ est la pulsation, $k$ le nombre d'onde de l'onde courte, $A$ l'amplitude de l'onde solitaire et $h$ la profondeur d'eau. Tout d'abord, il est intéressant de noter que les deux modèles WKB présentent une tendance commune, c'est-à-dire qu'ils prévoient des déphasages plus faibles que le modèle heuristique en interaction faible et plus forts en interaction forte, l'écart au modèle heuristique étant d'autant plus grand que la fréquence est faible. Cette tendance est en accord avec ce qui avait été mis en évidence sur les résultats expérimentaux. En d'autres termes, on retrouve le modèle heuristique à la limite haute fréquence dans les théories WKB, comme le suggéraient les résultats expérimentaux en interaction forte et la discussion de l'instantanéité de l'interaction. En effet, si les courbes heuristiques sont des droites dans cette représentation, cela vient du choix de la description de l'onde solitaire par une forme KdV, alors que le nouveau modèle WKB est ici présenté pour une loi de Serre. En utilisant l'expression de Serre du déplacement net des particules dans le modèle heuristique [formule (5.4)], on retrouve avec le modèle heuristique la limite haute fréquence du nouveau modèle WKB comme le montre la figure (5.18).

Il faut également remarquer dans le modèle WKB de Clamond, la forme KdV pour l'onde solitaire n'est pas un choix mais est imposé par les hypothèses du calcul. Ceci limite par ailleurs le domaine de validité de son modèle aux ondes solitaires de petites amplitudes (hypothèse faiblement non linéaire). En effet, les deux modèles théoriques ne se différencient nettement que pour des amplitudes réduites supérieures à 0.2 environ ($\sqrt{\frac{A}{h}} \ge 0.4$). On peut montrer que le calcul de Clamond est un cas limite du nouveau calcul pour les petites amplitudes. Ainsi, les expériences s'accorde bien avec les deux modèles WKB pour les petites amplitudes mais pour les grandes amplitudes, le nouveau modèle WKB est en meilleur accord. En effet, en interaction forte, la dépendance du déphasage en fonction de la racine carrée de l'amplitude réduite n'est pas linéaire. En interaction faible, cette tendance quoi qu'existant aussi, n'est pas aussi claire. Ceci confirme la supériorité de la solution onde solitaire de Serre sur celle de KdV pour les fortes amplitudes et la nécessité du nouveau modèle pour prendre en compte une description de l'onde solitaire plus adaptée.
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIG. 5.16 – *Interaction faible : comparaison des résultats expérimentaux (+) à différentes théories : (–) modèle heuristique ; (...) modèle WKB développé par Clamond [15] ; (-) nouveau modèle WKB* $h_0 = 0.3$ m (a) $f=1.5$ Hz (b) $f=2$ Hz (c) $f=2.5$ Hz</figcaption></figure>

5.3.3 Etude du déferlement de l'onde courte

En marge de l'étude du déphasage induit par le passage d'une onde solitaire dans un
train de houle, on a pu observer des cas où la houle déferlait. Parmi les études sur le
déferlement dû à des interactions d'onde, celles concernant le déferlement des ondes
de vent sont particulièrement intéressantes. Les premiers travaux expérimentaux
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIG. 5.17 – *Interaction forte* : même légende que la fig. (5.16)</figcaption></figure>

remontent à 1974 avec Philipps & Banner [61] qui s'intéressent au déferlement des
ondes de vent en présence de houle. Le résultat principal de cette étude est la mise
en évidence du déferlement précoce des ondes de vent, i.e. avant la limite de Stokes.
Ce déferlement est attribué à la rotationalité de l'écoulement. En effet, ils expliquent
que la limite de déferlement est déplacée proportionnellement au courant-dérive de
surface dû au vent. Plus récemment, l'étude expérimentale de Chu et al. [13] en
1992 sur l'interaction entre des ondes de vent et de la houle basse fréquence a mis
en évidence le déroulement de l'interaction en 4 étapes. Tout d'abord, les ondes
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIG. 5.18 – Limite haute fréquence du modèle WKB du chapitre 4 comparé au modèle heuristique pour une onde solitaire décrite par Serre (—) : déphasage calculé à l'aide du modèle WKB : en interaction forte pour une fréquence de 1 Hz (o) et 5 Hz (...) en interaction faible pour une fréquence de 1 Hz (- -) et 5 Hz (--)</figcaption></figure>

de vent déferlent puis se régénèrent. Mais la régénération est interrompu par le passage d'un front d'énergie dont l'origine est discutée. Enfin, bien après le passage de l'onde longue, les ondes de vent relaxent vers l'état initial. Cette étude reste donc très éloignée du problème que nous envisageons, puisque dans notre cas, il ne peut y avoir régénération. L'intérêt réside dans l'étude de l'étape du déferlement proprement dit. En effet, les modulations de nombre d'onde et d'amplitude que l'on peut prévoir par une théorie de type réfraction sur des ondes longues sont comparées aux mesures, mais les auteurs ne s'intéressent pas tant à la limite d'apparition du déferlement mais au taux global de déferlement.

Sur la figure (5.19), on présente un exemple de la dénivelée de surface libre au cours du temps lors d'une interaction où l'onde courte déferle.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIG. 5.19 – Dénivelée de la surface libre en fonction du temps au cours d'une interaction avec déferlement entre une onde solitaire d'amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.5$ et une houle de fréquence $f = 2$ Hz et d'amplitude $a = 12$ mm avant l'interaction ($\alpha k = 0.19$)</figcaption></figure>
Ce déferlement de l'onde courte se produit pour certaines amplitudes de l'onde solitaire, suivant la fréquence de la houle et suivant le type d'interaction. Il peut également être plus ou moins important. On observe parfois le déferlement uniquement dans les premiers mètres du canal.

Ayant pu vérifier que l'amplitude de l'onde solitaire n'était pas modifiée par le déferlement, on en déduit que le déferlement est bien celui de l'onde courte, d'autant plus que celle-ci montre une forte diminution d'amplitude comme sur la figure (5.19) après le passage de l'onde solitaire. En supposant que le déferlement se produit lorsque l'onde courte atteint une cambrure limite, on paramètre les cas de déferlement par leur cambrure maxima. Cette cambrure maxima est calculée à partir des modulations du nombre d'onde et de l'amplitude données par la théorie WKB du chapitre 4. Cette suggestion de paramètre determinant le déferlement permet d'expliquer pourquoi pour une même amplitude réduite de l'onde solitaire, une onde d'une fréquence donnée peut ne pas déferler alors qu'une autre onde de même amplitude mais de fréquence différente ou de même fréquence mais d'amplitude différente déferlera. De même, ce point explique pourquoi suivant les cas, le déferlement est plus ou moins fort. En effet, l'importance du déferlement c'est-à-dire la diminution d'amplitude de l'onde courte associée au déferlement dépend de la longueur du train de houle sur laquelle la cambrure aura dépassé la valeur critique du déferlement. Enfin, si parfois on a pu observer le déferlement uniquement dans les premiers mètres du canal, on suggère que cela soit dû au fait que l'amplitude de l'onde solitaire diminue au cours de sa propagation et en particulier, pour la loi de génération de type KdV (qui a été la seule utilisée pour ces tests), cette diminution d'amplitude est très marquée [cf. annexe C]. Expérimentalement, on observe un déferlement marqué de l'onde courte (diminution de l'amplitude de l'onde courte de plus de 50 %) lorsque la cambrure maxima prédite par le modèle WKB est supérieure à 0.23, ce qui ne s'est produit que dans le cas de certaines interactions fortes. Cette valeur est plus basse que la limite déterminée théoriquement par Stokes en eau profonde pour une onde se propageant dans un milieu initialement au repos, correspondant à un angle de la crête de 120° soit $ak \ge 0.4461$ où a est l'amplitude de la houle et k le nombre d'onde.

Ainsi, on observe le déferlement pour des cambrures maxima prédites significativement plus basses que cette valeur. Dans notre cas, la houle courte étant une onde de gravité en principe irrotationnelle, l'argument de Philipps & Banner sur le déferlement précoce lié à la rotationalité ne s'applique pas. Ceci nous conduirait donc à remettre en cause l'estimation de la cambrure maxima donnée par le modèle à moins que ce ne soit la dissymétrie des crêtes de l'onde courte qui n'explique ce déferlement précoce.

Cette étude du déferlement a simplement permis de montrer l'existence du phénomène mais demande à être complétée afin d'en donner une interprétation concluante.

## 5.4 Conclusion

Ce travail expérimental a permis de compléter les expériences réalisées par Clamond lors de sa thèse. En effet, des expériences originales d'interaction forte entre une onde solitaire, dont les caractéristiques ont été améliorées, et une onde courte monochromatique ont été menées. De plus, en interaction forte comme en interaction faible, les paramètres tels que la fréquence et l'amplitude de l'onde courte ont été testés. Dans
un premier temps, l'étude du déphasage de l'onde courte a montré que le modèle heuristique ne décrivait pas qualitativement l'effet de la fréquence sur les résultats des expériences, ce que les modèles WKB de Clamond et du chapitre 4 réussissent. En effet, l'hypothèse d'instantanéité dans le modèle heuristique s'est révélée trop grossière surtout dans le cas de l'interaction forte. Reste que seul le dernier modèle franchit le pas quantitatif sur la prévision des déphasages. Dans un second temps, un étude succinte du déferlement de l'onde courte a permis de déterminer une partie du filtrage opéré par l'onde solitaire sur la houle, en montrant en particulier que non seulement les modulations du nombre d'onde de l'onde courte mais également de l'amplitude de celle-ci sont à prendre en compte, le paramètre du déferlement étant la cambrure de l'onde. Cette étude rapide laisse entrevoir des perspectives d'études expérimentales complémentaires sur des houles irrégulières.
# Chapitre 6

## Expériences d'interaction externe-interne

### 6.1 Introduction

A partir d'expériences d'interaction entre une houle monochromatique de surface et une onde solitaire barocline, on espère synthétiser au laboratoire un des phénomènes présentés en introduction dont la signature est observée sur les photos aériennes ou sur les images SAR (Synthetic Aperture Radar). Compte tenu des différences d'échelles entre les longueurs d'onde de l'onde barocline et de l'onde de surface au laboratoire (soit 3 pour 1 environ), ces expériences tendent à reproduire des interactions entre des houles longues ("swell" de 500 m de longueur d'onde) et des ondes solitaires internes (1 km à 2 km de longueur caractéristique) que l'on peut observer dans l'océan. Ce type d'interaction est très rarement pris en compte pour l'interprétation des images SAR, contrairement à celle mettant en jeu des ondes de vent (de quelques mètres de longueur d'onde) et des ondes solitaires internes qui a été bien plus étudiée. Une meilleure description des modulations de l'onde de surface en interaction avec l'onde barocline devrait permettre de tirer davantage d'informations quant aux caractéristiques de l'onde barocline.

En effet, les premières interprétations de photos aériennes de la surface de la mer remonte à Ewing en 1950 [22] qui suggère que les zones lisses et rugueuses observées sur ces photos seraient dues aux variations de la tension superficielle créées par un film organique en surface comprimé ou détendu sous l'effet du champ de vitesse de l'onde interne. Or la tension superficielle affecte principalement les ondes capillaires (de petites longueurs d'onde comme les ondes de vent) mais peu ou pas du tout les houles établies (telles que les "swell").

En se penchant sur l'interprétation de photos aériennes du Georgia Strait, Gargett & Hughes proposent un autre point de vue en 1972 [24]. Ils observent des trains d'onde de gravité dont la direction de propagation est modifiée par l'onde interne, les crêtes de l'onde de surface s'alignant sur celle de l'onde interne. Or, ceci ne peut s'expliquer par un mécanisme mettant en jeu la tension superficielle et les auteurs proposent alors une explication basée sur l'interaction oblique entre l'onde de surface (supposée monochromatique) et une onde interne périodique longue, dont la dénivelée de surface associée est négligée. Cette étude théorique s'inspire largement des résultats de Longuet-Higgins & Stewart en 1960 [46] concernant les interactions
entre deux ondes de surface de nombre d'onde très différents. En imposant les 3 conditions suivantes obtenues par analogie avec la méthode de Longuet-Higgins & Stewart [46] : l'onde de surface est courte (hypothèse de l'eau profonde), le nombre d'onde de l'onde courte dans la direction perpendiculaire se conserve ainsi que la pulsation apparente de l'onde courte dans le repère stationnaire de l'onde interne, ils déterminent la célérité, le nombre d'onde et la direction de propagation de l'onde de surface au cours de l'interaction. L'énergie de l'onde courte est également étudiée, révélant des singularités ou positions critiques hors lesquelles l"action d'onde" se conserve. Ainsi, il est montré en particulier que lorsque l'onde de surface se propage plus rapidement que l'onde interne, la longueur d'onde de l'onde de surface augmente sur le creux de l'onde interne et diminue sur les crêtes alors que pour l'amplitude, c'est l'inverse. Sur les photos aériennes, ceci devrait résulter en l'apparition de zones lisses sur les creux et rugueuses sur les crêtes. De plus, ce mécanisme est tout-à-fait réversible, contrairement à celui mettant en jeu la tension surperficielle qui implique la dissipation de l'énergie de l'onde. Enfin, excepté des observations qualitatives en faveur du mécanisme d'interaction, aucune mesure quantitative ne vient l'appuyer. A la suite des remarques de Gargett & Hughes, une étude expérimentale détaillée de l'interaction entre une onde interne et une onde de surface, toutes deux monochromatiques, mais se propageant dans le même sens a été menée par Lewis et al. en 1974 [44]. Certes, cette étude en bi-couche eau/fréon-kérozen ne prend pas en compte l'oblicité de l'incidence, mais des mesures précises de l'amplitude des ondes interne et externe et des pentes de la surface libre sont effectuées le long du canal à l'aide de sondes résistives et d'un système optique respectivement. Le rapport de couche étant fixé à 1/30 (couche mince en bas), deux rapports de densité sont expérimentés pour des fréquences de l'onde interne variant de 0.21 Hz à 0.26 Hz et de l'onde de surface variant de 2.18 Hz à 4.45 Hz. Une attention particulière a été portée pour limiter la contamination de la surface libre (l'eau est filtrée à 5 µm) et une plage absorbante est disposée à l'extrémité du canal, limitant la réflexion à 5 % de l'amplitude de l'onde incidente. Les mesures des modulations d'amplitudes et de pentes de la surface libre sont comparées à une théorie de type réfraction sur courant variable, transposée par simple analogie au cas d'une onde interne qui est supposée présenter des variations lentes dans l'espace et dans le temps. Les modulations d'amplitude sont obtenues en appliquant le concept de contrainte de radiation introduit par Longuet-Higgins & Stewart en 1960 [46]. Les deux équations de conservation de l'énergie et des variations du nombre d'onde sont intégrées dans le cas 1D. De façon générale, l'intégration est numérique mais pour certains champs de vitesse de l'onde interne, cette intégration peut être menée analytiquement. L'intégration analytique est effectivement menée pour un champ de vitesse de l'onde interne particulier. Ces résultats théoriques sont comparés aux mesures expérimentales et montrent que les modulations d'amplitude et de pente de la surface libre sont sinusoïdales et de même fréquence que l'onde interne. Ces modulations sont maxima quand les vitesses de groupe de l'onde interne et de l'onde de surface sont égales (cas résonnant). En fixant l'égalité des vitesses de groupe, l'accord théorie-expérience est excellent que ce soit sur le niveau de la modulation de pente de surface libre et sa dépendance avec la distance d'interaction. D'autre part, en fixant la distance d'interaction, ils représentent la modulation de la pente de surface libre en fonction du rapport de la vitesse de groupe de l'onde interne à celle de l'onde de surface. Ils confirment ainsi que cette modulation est maxima dans le cas résonnant et décroît plus vite quand la
vitesse de l'onde interne est plus petite que la vitesse de l'onde de surface que dans le cas inverse. De plus, quand la distance d'interaction augmente, le pic du maximum de modulation (pouvant atteindre 30 %) de la pente de surface libre devient plus étroit. Enfin, l'accord avec la théorie "linéaire" dérivée de l'analogie de l'interaction entre une onde longue et une onde courte de surface est très bon.

Pour boucler cette série de travaux, Hughes apporte avec Grant dans un groupe de deux articles en 1978 [33] [31] sa contribution à la compréhension des mécanismes de modulations des ondes de vent par les ondes internes, dans le but de tirer des photos aériennes des informations utiles pour décrire les ondes internes. Cette fois, contrairement au premier article de 1972, des données quantitatives obtenues en mer sont présentées dans une première partie. Puis, ces données sont interprétées à la lumière d'une analyse théorique détaillée en seconde partie. Les mesures en mer sont menées dans le Georgia Strait et le Bute Inlet. Il s'agit d'expériences semi-pilotées puisque une onde interne régulière est générée par le sillage d'un bateau dans la stratification de surface. Simultanément à des photos aériennes, des mesures de la cambrure de surface et du champ de vitesse interne ont permis de montrer la proportionnalité des variations de la cambrure de l'onde de vent à l'amplitude du courant de surface, mais avec des déphasages. Dans son analyse théorique, Hughes exclut d'office le mécanisme du type compression d'un film organique, en ne s'intéressant qu'à l'aspect interaction dynamique d'ondes en incidence oblique. L'approche théorique consiste, comme dans son article de 1972 avec Gargett [24], à reprendre les résultats de Longuet-Higgins & Stewart [46] sur les modulations de nombre d'onde et d'amplitude en établissant une analogie entre l'interaction d'une onde de surface courte avec une onde interne longue et celle étudiée par Longuet-Higgins & Stewart entre deux ondes de longueur d'onde très différentes. Mais cette fois, Hughes va plus loin et considère une onde de surface non plus monochromatique mais présentant un spectre continu comme c'est le cas des ondes de vent en général. Les spectres mesurés dans les zones rugueuses et lisses sont comparés à ceux prédits par le modèle. Dans la zone du spectre correspondant à des longueurs d'onde comprise entre 63 cm et 2 m (pic du spectre), l'accord théorie-mesures dans la zone rugueuse est excellent alors que dans la zone lisse, la théorie prédit une coupure totale de ces longueurs d'onde, ce qui n'apparaît pas dans les mesures. Cet écart est attribué à l'existence d'une singularité dans le modèle théorique. D'autre part, pour les très petites longueurs d'onde (centimétriques), les mesures montrent un écart entre les spectres des zones rugueuses et lisses que l'on ne retrouve pas dans la théorie. Cette différence est attribuée par les auteurs à l'importance des non-linéarités (qui ne sont pas modélisées) dans les hautes fréquences. La principale conclusion de cette étude reste que la "sensitivité" (définie comme la dérivé du logarithme de la variance de la cambrure de l'onde de vent par rapport au courant) est bien prédite par le modèle alors que la phase est mal prédite.

A côté de ces travaux qui confrontent tous des expériences à une théorie basée sur l'analogie avec l'étude de l'interaction entre deux ondes de surface de longueur d'onde très différentes, une étude théorique de l'interaction entre une onde interne longue et une onde courte de surface se distingue. Il s'agit de l'analyse de Rizk & Ko en 1978 [67] qui établit dans un cas bi-couche avec faible différence de densité des équations décrivant cette interaction par une technique de perturbation avec double échelle de temps. L'intérêt de cette étude réside dans le détail des différentes échelles de grandeur en jeu et la mise en évidence de façon claire des approximations faites par
d'autres auteurs pour l'étude d'interaction entre deux ondes barotropes. En particulier, il est montré que les approximations de Whitham [80] et Chu & Mei [14] ne conduisent qu'à la partie linéaire de l'équation de l'énergie alors que Longuet-Higgins & Stewart [46] prennent aussi en compte la partie réfraction sur le courant, en négligeant les effets non linéaires et dispersifs dûs aux variations lentes des propriétés de surface. Pour leur part, Rizk & Ko ne négligent pas ces deux derniers termes et obtiennent donc une relation de dispersion et une équation pour l'énergie générales. Ils appliquent ces résultats au cas de l'interaction entre une onde de surface sinusoïdale de courte longueur d'onde et une onde interne également sinusoïdale mais de grande longueur d'onde, dans le cas résonnant (égalité des vitesses de groupe). Ils montrent alors que l'onde interne n'est pas affectée par l'onde de surface et surtout que sur des échelles de temps de l'ordre de la période de l'onde interne, l'approche de Lewis et al. (transposition du résultat de Longuet-Higgins & Stewart) est adéquate. En marge de ces travaux qui sont les plus proches du problème qui nous intéresse, les études récentes sont davantage orientées sur les questions d'interactions "cohérentes" (i.e. créant une 3e onde), ce qui constitue une approche théorique complètement différente de celle présentée dans tous les travaux cités plus haut de type réfraction (interaction modulationelle). En particulier, Dysthe & Das en 1981 [20] proposent dans un modèle tri-couche un mécanisme de génération pour une onde interne par l'interaction entre une onde de surface et l'instabilité modulationnelle qui lui est associée.

Dans ce chapitre, nous reprenons donc l'étude de l'interaction modulationnelle entre une onde interne et une onde de surface mais à la différence des travaux cités plus haut, seule l'onde de surface est périodique monochromatique, l'onde interne étant une onde solitaire. De plus, la très grande différence de longueurs d'onde imposée dans tous les travaux passés en revue n'est plus maintenue. En résumé, cette étude s'intéresse donc à modéliser des interactions observées en mer d'ondes internes avec non plus des ondes de vent de quelques mètres de longueur d'onde (préoccupations des années 1970) mais des houles établies de plusieurs centaines de mètres de longueur d'onde. De plus, afin de simplifier l'interprétation des expériences, on a tenté au laboratoire de s'approcher au plus près du cas bi-couche pour lequel les caractéristiques de l'onde solitaire barocline sont mieux connues [51]. Cette précaution devrait permettre une meilleure lisibilité des résultats en réduisant le nombre de paramètres décrivant le milieu, même s'il n'est pas aisé de réaliser un bi-couche dans une stratification saline.

Ainsi, après avoir présenté le dispositif expérimental et les précautions relatives à ce type d'expériences, le milieu stratifié a donc été qualifié sous forme d'un bi-couche équivalent. Puis, les grandeurs mesurables sur les essais d'interactions sont analysées et discutées face aux théories d'interaction existantes.

## 6.2 Description du dispositif expérimental

### 6.2.1 Déroulement d'un essai

Dans cette série d'expériences, on désire réaliser des essais d'interaction entre une onde solitaire interfaciale et de la houle de surface haute fréquence. Ces expériences sont menées sur une partie du grand canal à houle du LEGI comme schématisé sur la figure (6.1).
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIG. 6.1 – Vue schématique du dispositif expérimental</figcaption></figure>

Contrairement aux interactions avec l'onde solitaire externe, il n'est plus nécessaire de disposer de toute la longueur du canal puisque la différence de célitété houle-onde solitaire n'est plus aussi grande. Ainsi, 14 mètres de milieu stratifié (dont le détail de préparation est présenté au paragraphe 6.2.2) suffisent pour réaliser les deux types d'interactions, forte et faible.

Une zone de réserve d'eau douce est ménagée à une extrémité du canal pour la génération de l'onde solitaire à volume constant.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIG. 6.2 – Génération de l'onde solitaire</figcaption></figure>

La houle de surface est quant à elle toujours générée avec le batteur coin et les limitations hautes fréquences sont donc les mêmes que pour les interactions avec l'onde solitaire externe. La fréquence de l'onde courte est donc pour ces essais de 2 Hz ou 2.5 Hz.

Le peigne de sondes est constitué de 6 sondes capacitives et 6 sondes à ultra-sons en parallèle, chaque couple étant espacé du suivant de 20 cm. On mesure ainsi à chaque position simultanément le niveau de surface et d'interface. Le peigne est placé d'un coté ou de l'autre du batteur suivant le type d'interaction étudié.

Les essais d'interactions fortes et faibles n'étant pas simultanés, et afin de connaître avec précision les conditions des essais, des mesures du profil de densité sont réalisées régulièrement entre les essais à l'aide d'une sonde à ultra-sons disposée horizontalement et déplacée verticalement à une vitesse constante de 0.5 mm/s.
Les signaux analogiques des sondes sont numérisés, convertis en unités physiques à partir des données d'étalonnage et enregistrés sur un PC en temps réel. La fréquence d'échantillonnage des profils de densité est de 1 Hz, soit une discrétisation du profil de densité tous les 0.5 mm. Celle des essais d'interactions est de 50 Hz.

Afin d'illustrer cette description du déroulement d'un essai, voici quelques photos des expériences montrant la génération de l'onde solitaire, ainsi qu'un moment de l'interaction (on distingue également les sondes de mesure sur cette photo).

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIG. 6.3 – Photo de la génération de l'onde interne, la bande noire correspond à l'interface</figcaption></figure>

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIG. 6.4 – Photo d'une onde solitaire établie, on peut également observer les sondes de mesures (à ultrasons et résistives) ainsi que sur la droite, le profileur de densité</figcaption></figure>
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIG. 6.5 – *Photo d'un moment de l'interaction*</figcaption></figure>

### 6.2.2 Préparation du milieu stratifié

L'enjeu de la réalisation du milieu stratifié est de s'approcher le plus près du couche idéal, c'est-à-dire deux couches de densité constante séparées par une interface la plus fine possible (théoriquement d'épaisseur nulle). Pour ce faire, un protocole expérimental précis est suivi.

Tout d'abord, il faut réaliser la couche inférieure d'eau salée de densité constante. Compte tenu du grand volume nécessaire, cette opération est d'autant plus délicate. On utilise une cuve annexe tarée de 300 litres dans laquelle on ajoute un poids de sel connu avec précision (pouvant varier suivant le rapport de densité voulu). Après une demi-heure de brassage, le mélange est transvasé dans le canal et une autre cuve est préparée. On procède ainsi de suite jusqu'à ce que l'épaisseur de couche inférieure voulue soit atteinte. Avant de poursuivre, la densité de l'eau salée est vérifiée en différents points du canal à l'aide d'un densimètre de précision 0.5 g/l. La précision minima requise pour poursuivre le remplissage est de 0.02 %.

Ensuite, il faut ajouter l'eau douce de telle façon que les deux fluides miscibles se mélangent le moins possible. Ceci est réalisé en faisant percoler l'eau douce à travers des tamis de mousse préalablement humectés, flottant en surface comme présentés sur la figure (6.6). Le remplissage d'eau douce est très lent et dure environ une dizaine d'heures. Lorsque le remplissage est achevé, les tamis sont retirés, encore gorgés d'eau, avec précaution pour éviter de provoquer des ondes dans le milieu au moment du décollement du tamis, mais rapidement pour limiter la vidange du tamis.

Les étapes les plus pénalisantes de ce protocole ont été étudiées par des mesures régulières du profil de densité. Il s'agit de la première heure de remplissage et du retrait des tamis. Il a aussi été noté que les variations de température diurne-nocturne augmentaient notablement l'épaisseur de l'interface. Le gradient de la pycnocline est typiquement de 1 cm par % de différence de densité soit 6 cm pour une différence
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIG. 6.6 – Remplissage du canal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIG. 6.7 – Profil de densité à la fin du remplissage</figcaption></figure>

de densité de 6 % comme le montre le profil de densité mesuré en fin de remplissage sur la figure (6.7).

On définit le rapport de couche initial comme étant la hauteur d'eau salée mesurée avant l'ajout d'eau douce divisée par la hauteur d'eau totale à la fin du remplissage. Les expériences sont dans la plupart des cas réalisées dans une profondeur totale de 30 ou 45 cm, les rapports de couche initiaux expérimentés sont de 0.7, 0.8 et 0.875. Le rapport de densité initial est compris entre 2 et 3 % pour tous les essais d'interaction que nous présentons dans ce chapitre. Des essais ont été réalisés avec un rapport de densité initial compris entre 5 et 6 %, mais ils restent marginaux et ne sont pas présentés.

### 6.2.3 Mesures des niveaux de surface : comportement des sondes résistives et capacitives en présence d'eau salée

On souhaite mesurer des niveaux de surface d'un milieu stratifié en salinité. En eau douce, on utilise couramment deux types de sondes pour mesurer des niveaux de surface : résistives et capacitives. Leur principe de fonctionnement qui ne sera pas rappelé ici dans le détail met en jeu les propriétés électriques des matériaux qui les constituent et/ou du milieu. Or, en présence d'eau salée, les propriétés électriques du milieu sont modifiées. La question était donc de savoir si ces modifications influençaient la mesure de niveau ou non.
### Essai statique : étalonnage des sondes

Sur la figure (6.8), on représente plusieurs exemples d'étalonnage des sondes capacitives et résisitives quand l'interface eau douce/eau salée se trouve assez proche de la surface (jusqu'à 10 cm environ). L'étalonnage consiste à mesurer la tension délivrée par la sonde à étalonner pour 4 niveaux d'immersion repérés par rapport à un niveau zéro. La tension est fixée à zéro pour le niveau zéro de référence. Théoriquement, la tension est proportionnelle au niveau d'immersion et pratiquement, en présence d'eau douce, elle l'est pour les deux types de sondes. En milieu stratifié, pour les sondes résistives, elle ne l'est plus.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIG. 6.8 – Comparaison des étalonnages de : (a) sondes résistives (b) sondes capacitives à différentes dates (—); (- -); (-.-)</figcaption></figure>

### 1er essai dynamique : mesures du remplissage

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIG. 6.9 – Schéma du 1er test dynamique</figcaption></figure>

On ajoute de l'eau douce du côté repéré A sur la figure (6.9) d'une barrière étanche. Ce surplus d'eau douce chasse l'eau salée sous la barrière. Le niveau de l'interface baisse du côté A de la barrière et monte légèrement du côté repéré B. Le déversoir de trop plein permet de conserver un niveau de surface constant. Cependant, comptement de la différence de densité entre l'eau douce et l'eau salée, le niveau monte du côté A de la barrière.

On mesure pendant le remplissage le niveau de surface du côté A de la barrière. On visualise la descente effective de l'interface grâce au colorant disposé à l'interface. Plusieurs essais éloignés dans le temps ont été réalisés avec une sonde résistive et une sonde capacitive. Pour être bien sûr de n'observer aucun phénomène parasite de type interaction électro-magnétique entre les sondes, les sondes n'ont pas été mises
en duo et les mesures correspondent à des essais différents.

Dans tous les essais, on ajoute suffisamment d'eau douce de telle façon à abaisser notablement le niveau de l'interface (de 10 cm environ). Les mesures sont représentées sur la figure (6.10.a) pour les sondes résistives et sur la figure (6.10.b) pour les sondes capacitives.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIG. 6.10 – Comparaison de mesures de la variation de niveau de la surface lors du remplissage d'eau douce ; l'interface s'éloigne de la sonde : (a) sondes résistives (b) sondes capacitives pour deux essais réalisés à plusieurs mois d'intervalle (–);(o)</figcaption></figure>

Sur les figures (6.10), les variations de niveaux sont représentées en cm, ce qui signifie que les tensions brutes ont été converties à l'aide d'un étalonnage. Or, vu la non-linéarité de l'étalonnage des sondes résistives, il est évident que l'amplitude du déplacement représentée sur la figure (6.10) n'est pas exacte. Pour les sondes capacitives, par contre, ce point ne pose pas de difficulté.

Il reste que les deux types de sondes présentent des mesures contradictoires puisque l'une indique une baisse du niveau de surface et l'autre une montée. Il est clair que les sondes résistives ne sont pas adaptées aux mesures de niveau de surface en présence de gradient de salinité car effectivement, le niveau de surface monte lors du remplissage.

La question est donc à présent de savoir si les sondes capacitives sont fiables. Les deux essais présentés montrent une élévation du niveau de surface de 8 mm, ce qui est cohérent avec l'estimation que l'on a pu faire en la mesurant à la paroi du canal à l'aide d'un mètre (résolution de 1 mm). En effet, on mesure une montée du niveau comprise entre 5 mm et 10 mm.

En équilibre hydrostatique, on montre que la montée de niveau $\Delta h$ du côté A s'exprime en fonction des densités des deux couches et de la différence de niveau des interfaces $\Delta H$ de part et d'autre de la barrière : $\Delta h = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0} \Delta H$ avec les notations de la figure (6.9). Pour les essais représentés sur les figures (6.10), les densités des deux couches sont $\rho = 1.056$ et $\rho_0 = 0.998$, soit un rapport de densité de 1.058. Dans le tableau (6.1), on donne pour ce rapport de densité quelques valeurs calculées de la montée du niveau de surface en fonction de la différence de niveau des interfaces correspondant aux essais des figures (6.10).

Il semble donc que les sondes capacitives soient adaptées au suivi de niveau de surface en milieu stratifié en salinité puisque les valeurs mesurées sont en accord à 0.5 mm près (précision observée de la sonde en eau douce [53]) avec les valeurs calculées théoriquement.
<table><caption>TAB. 6.1 – Montée du niveau de surface Δh en fonction de l'abaissement de l'interface ΔH pour un rapport de densité de 1.058</caption><thead><tr><td>ΔH (cm)</td><td>Δh (cm)</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0.06</td></tr><tr><td>5</td><td>0.29</td></tr><tr><td>7</td><td>0.40</td></tr><tr><td>10</td><td>0.58</td></tr><tr><td>13</td><td>0.75</td></tr></tbody></table>

### 2ᵉ essai dynamique : mesures du niveau de surface au passage d'une onde interne

Dans ce paragraphe, on présente un enregistrement des niveaux de surface et d'interface au passage d'une onde solitaire interne. Le signal à l'interface est malheureusement écrété sur cet enregistrement.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIG. 6.11 – Mesures de la variation de niveau de la surface [(-); sonde capacitive] et de l'interface [(- -); sonde ultra-sonore] lors du passage d'une onde interne</figcaption></figure>

Cet essai renforce notre confiance envers les sondes capacitives pour la mesure des niveaux de surface en présence de gradient de salinité. En effet, on mesure une élévation de niveau de surface au passage de l'onde interne (dépression de l'interface) dont l'amplitude (de 1 à 2 mm) est comparable à celle que l'on estime à l'aide d'une théorie KdV en bi-couche pour cette condition d'onde interne [51]. En effet, cette théorie prévoit une élévation du niveau de surface $H_2$ donnée par :

$$ \epsilon H_2 = \frac{H_0 - H'}{h_c - H'} h_2 \quad (6.1) $$

en respectant les notations de la figure (6.12) et de [51], et avec :

$$ \begin{gathered} H' = H_0 - \frac{C_0^2}{g} \\ \frac{h_c^2(H_0 - h_c)}{(H' - h_c)^3} = \frac{\rho}{\rho_0} \\ C_0 = \frac{gH_0}{2} \left[ 1 - \sqrt{1 + \frac{4h_c(h_c - H_0)(\rho - \rho_0)}{\rho H_0^2}} \right] \end{gathered} $$
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIG. 6.12 – *Notations correspondant à la formule (6.1)*</figcaption></figure>

Pour un déplacement de l'interface $h_2 \ge 5$ cm, le déplacement de surface, pour un rapport de densité de 5 % et une profondeur totale de 40 cm, est $\epsilon H_2 \ge 12$ mm, en accord avec celui mesuré lors de l'essai représenté sur la figure 6.11.

## 6.2.4 Mesures des niveaux d'interface

Les mesures de niveaux d'interface sont menées à l'aide de sondes ultra-sonores. La première utilisation de ce type de sonde a été décrite par Fleury et al. [23] pour une application à la mesure d'une épaisseur d'interface d'une stratification saline. Une description détaillée des sondes et de leur principe de fonctionnement est donnée par Michallet et Barthélémy [52] dans une application à la mesure des déplacements de l'interface de deux fluides non miscibles.

Dans le cas d'une stratification saline, la mesure des déplacements de la pycnocline est un peu plus délicate et suppose quelques hypothèses.

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIG. 6.13 – *Schéma de principe des sondes à ultra-sons en milieu stratifié*</figcaption></figure>

Le temps de parcours aller-retour d'un pulse ultra-sonore dans le milieu représenté sur la figure (6.13) est noté $\tau$ avec $\tau = 2(\tau_1 + \tau_2 + \tau_3)$ où $\tau_i$ est le temps de parcours du pulse dans la couche $i$. Dans les couches supérieure et inférieure, la salinité est constante, donc la célérité du son dans l'eau salée qui est proportionnelle à la salinité, l'est également. Ainsi, le temps de parcours du pulse dans chacune des couches est proportionnel à l'épaisseur de cette couche, soit : $\tau_1 = \frac{h_1}{C_{S1}}$ et $\tau_3 = \frac{h_2}{C_{S2}}$.

Par contre, dans la couche intermédiaire (pycnocline) où la salinité varie (a priori de façon quelconque), ce n'est pas le cas. Cependant, si l'on suppose que lors de son déplacement, la pycnocline reste inchangée tant en épaisseur qu'en répartition de densité, pour un déplacement de $\delta h$ donné (positif vers le bas), la variation du
temps de parcours du pulse $\delta\tau$ est :

$$ \delta\tau = 2\delta h \frac{C_{S2} - C_{S1}}{C_{S2}C_{S1}} \qquad (6.2) $$

La tension délivrée par le suiveur des ultra-sons étant directement proportionnelle à ce retard ou cette avance temporel, la tension délivrée par le suiveur est donc directement proportionnelle au déplacement de la pycnocline. Il est à noter que pratiquement, la pycnocline ne se déplace pas “en masse”. En conséquence, le temps de parcours du pulse dans la pycnocline $\tau_2$ n’est pas constant. Néanmoins, la variation du temps de parcours due à cette modification est négligeable pour les différences de densité considérées.

## 6.3 Essais d'interaction

### 6.3.1 Qualification du milieu stratifié : bi-couche équivalent

Les essais d'interaction ont tous été réalisés en juillet 1997, durant une période de forte chaleur. Cela s'est traduit par une évaporation intense, entraînant d'une part une baisse de la hauteur d'eau totale (3 mm sur 2 jours) et d'autre part, des profils de densité caractéristiques. Sur la figure (6.14), l'évolution sur 2 jours de la stratification est représentée.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIG. 6.14 – Evolution de la stratification sur 2 jours pour un rapport de couche initial de 0.8 et un rapport de densité initial de 2.7 % : le 08/07/1997 à 10h10 (a), à 14h20 (b) et à 18h (c) ; le 09/07/1997 à 10h30 (d), à 14h30 (e) et à 19h30 (f)</figcaption></figure>
On observe le matin jusqu'à 11 heures une stratification statiquement stable, composée de 2 couches de densité constante séparées par une pycnocline marquée. Puis le reste de la journée jusqu'en soirée, cette stratification évolue vers un profil statiquement instable, avec près de la surface, une couche de quelques mm plus lourde. Cette anomalie n'est pas liée à des vitesses résiduelles d'un essai, puisqu'elle se retrouve même après des temps longs de repos. De plus, cette anomalie est stationnaire car elle se retrouve tout au long de l'après-midi. On l'explique par l'existence d'une forte évaporation sur la période, tendant à refroidir les couches supérieures. Ce phénomène est dynamiquement stable si le taux d'évaporation est constant et n'engendre qu'une vitesse en surface liée au débit évaporant. En particulier, la stratification n'est pas stable en fin de journée lorsque le taux d'évaporation diminue et en début de journée, lorsqu'il augmente.

Dans la tentative de classification des profils de densité que l'on a essayé de mettre au point, on choisit de ne prendre en compte que la diminution de hauteur totale due à l'évaporation et de négliger la variation de densité en surface, qui est somme toute assez faible. Ainsi, on corrige les profils de densité en les interpolant par une fonction tanh. Ce choix d'interpolation est tout à fait adapté aux stratifications mesurées au cours de cette campagne d'essais (excepté près de la surface bien sûr) comme le montre la figure (6.15).

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIG. 6.15 – (a) Profil de densité mesuré le 29/07/97 à 11h (–) et profil de densité de la forme tanh ajusté sur le profil mesuré (- -) (b) même chose pour le 29/07/97 à 17h15</figcaption></figure>

Pour chaque profil tanh ajusté sur un profil mesuré, on calcule ensuite les modes verticaux dans l'approximation de Korteweg-De Vries comme présenté en annexe D. Plutôt que les modes verticaux linéaires, on préfère l'approximation de Korteweg-De Vries, l'onde interne étudiée étant du type onde solitaire. Ce calcul permet en effet de déterminer la célerité critique linéaire $c_0$ associé au $1^{er}$ mode (à savoir le mode interfacial) et le profil de la fonction de courant propre $\phi$ associé à ce mode. On en déduira ainsi les coefficients de l'équation KdV stratifié donnée par Kao et al. [35] ou E-KdV donnée par Helfrich et Melville [29].

Cependant, avant de s'intéresser à l'onde solitaire, le calcul des modes verticaux va nous permettre de caractériser les stratifications à l'aide d'un bi-couche équivalent. Sur la figure (6.16), on présente un profil en tanh ajusté, le profil de fréquence de Brunt-Vaïsälä associé ainsi que la fonction propre associée au $1^{er}$ mode, le plus rapide.

Sont également représentés les bi-couches équivalents que l'on peut définir de manière
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIG. 6.16 – (a) Profil en tanh ajusté sur le profil mesuré le 05/07/97 à 12h15 (–) et bi-couche équivalent calculé par la méthode 1 (- -) et par la méthode 2 (...); (b) distribution verticale de fréquence de Brunt-Vaïsälä associée; (c) fonction propre (déplacement) associée au 1er mode</figcaption></figure>

unique par les deux méthodes suivantes. Dans les deux cas, le niveau de l'interface est placé au maximum de vitesse verticale. Puis, les conventions des deux méthodes sont :

- méthode 1 : les densités dans chaque couche sont calculées en égalant les masses du bi-couche et de la stratification continue de part et d'autre de l'interface

- méthode 2 : on égale d'une part les célérités linéaires ondes longues du bi-couche et du 1er mode de la stratification continue et d'autre part, la masse totale du bi-couche et de la stratification.

Sur la figure (6.17), on représente les bi-couches équivalents, obtenus pour chaque stratification mesurée par les deux méthodes. Ils sont caractérisés par un rapport de couche en abscisse et un de rapport de densité en ordonnée. Les deux conventions permettent de distinguer les bi-couches seulement par leur rapport de densité. En effet, un même stratification produit un rapport de couche et deux rapports de densité suivant la convention choisie.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIG. 6.17 – Caractéristiques du bi-couche équivalent calculé par : (a) méthode 1 (b) méthode 2</figcaption></figure>

On arrive ainsi à distinguer 3 groupes relativement homogènes de bi-couches équivalents, dont nous reportons les caractéristiques dans le tableau (6.2).
<table><caption>TAB. 6.2 – Caractéristiques des 3 groupes de bi-couches équivalents obtenues par les 2 méthodes proposées pour la détermination du bi-couche équivalent</caption><thead><tr><th rowspan="2">groupe</th><th colspan="2">méthode 1</th><th colspan="2">méthode 2</th></tr><tr><th>R<sub>c</sub> = (H<sub>0</sub> - z<sub>i</sub>) / H<sub>0</sub></th><th>R<sub>d</sub> = (ρ<sub>inf</sub> - ρ<sub>sup</sub>) / ρ<sub>inf</sub> (%)</th><th>R<sub>d</sub> = (ρ<sub>inf</sub> - ρ<sub>sup</sub>) / ρ<sub>inf</sub> (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0.832</td><td>1.95</td><td>1.71</td></tr><tr><td>2</td><td>0.764</td><td>2.07</td><td>1.87</td></tr><tr><td>3</td><td>0.685</td><td>2.16</td><td>2.02</td></tr></tbody></table>

Les rapports de couche sont représentatifs à moins de 2 % près et les rapports de densité à moins de 10 % près.

### 6.3.2 Caractérisation des ondes solitaires internes : test de l'hy-pothèse bi-couche équivalent

Notons tout d'abord que les rapports de couche obtenus lors de la détermination des bi-couches équivalents placent l'interface plus près de la surface que du niveau critique pour les groupes 1 et 2 de bi-couches équivalents alors que pour le groupe 3, c'est l'inverse. Or d'après Michallet [51], quand l'interface est proche de la surface, les ondes solitaires sont bien décrites par l'équation de KdV alors que lorsque l'interface est proche du niveau critique, l'équation m-KdV est mieux adaptée. Afin de ne pas compliquer l'argumentaire autour de l'hypothèse bi-couche, on se contente de comparer les lois KdV en bi-couche et en milieu stratifié. On laisse donc de côté les lois m-KdV en bi-couche et leur équivalent en milieu stratifié EKdV proposé par Helfrich et Melville [29]. Sur les figures (6.18), on compare les célérités prévues par KdV en milieu stratifié à celles obtenues par KdV en bi-couche pour les bi-couches équivalents déterminés par les 2 méthodes présentées au paragraphe précédent. La courbe célérité $c$ en fonction de l'amplitude réduite $A/H_0$ de KdV stratifié est décrite par :

$$c = c_0 \left( 1 + \frac{2}{3} r \frac{A}{H_0} \right) \qquad (6.3)$$

L'équation (6.3) dépend de deux paramètres $r$ et $c_0$, déterminés à partir de la décomposition en modes propres verticaux de chaque profil de densité mesuré. $c_0$ est la célérité du $1^{er}$ mode propre du problème aux valeurs propres dans l'approximation de Korteweg-De Vries décrite en annexe D. Le paramètre $r$ est alors défini comme suit :

$$r = -\frac{3}{4} \frac{\int_{0}^{1} \rho(\phi')^3 dz}{\int_{0}^{1} \rho(\phi')^2 dz} \qquad (6.4)$$

où $\phi'$ est la dérivée par rapport à $z$ de la fonction propre $\phi$ associée à $c_0$.

Sur chaque figure (6.18), la courbe en trait plein centrale est la courbe KdV stratifiée obtenue pour la moyenne des paramètres $r$ et $c_0$ dans chaque groupe de bi-couche équivalent. Les courbes en trait plein qui l'encadrent sont déduites de l'écart-type des paramètres $r$ et $c_0$.
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIG. 6.18 – Célérité en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire obtenue par une loi : (—) KdV stratifié et son intervalle de confiance ; (- -) KdV bi-couche [méthode 1] ; (–-) KdV bi-couche [méthode 2] pour différents rapports de couche initiaux : (a) groupe 1 (b) groupe 2 (c) groupe 3</figcaption></figure>

Cette comparaison entre les théories KdV stratifié et KdV bi-couche montre que ces théories ne sont pas équivalentes pour les bi-couches équivalents déterminés, et ce d'autant plus que la couche la plus mince est mince. En effet, pour le rapport de couche de l'ordre de 0.68, les deux théories sont très proches alors que pour le rapport de couche de l'ordre de 0.83, elles sont très éloignées. Reste que c'est la 2ᵉ méthode de détermination du bi-couche équivalent qui donne le meilleur accord, en particulier parce que la célitété minima est conservée. On peut penser à la suite de cette comparaison que lorsque la distance interface-surface est de l'ordre de l'épaisseur de l'interface, l'hypothèse bi-couche n'est pas adéquate. A l'inverse, lorsque l'épaisseur de l'interface est plus petite que la distance interface-surface, c'est-à-dire lorsque l'interface sépare de façon nette deux couches de densité constante, la 2ᵉ méthode de détermination du bi-couche équivalent donne de meilleurs résultats que la première. Pour chaque essai d'interaction, on mesure l'amplitude et la célitété de l'onde solitaire. L'amplitude est la moyenne des maxima de dénivelées d'interface mesurées sur le peigne de sonde. La célitété est la moyenne des célitéités déduites de la distance entre la sonde amont et chaque sonde du peigne rapportée au temps séparant les maxima des déplacements d'interface. Ce choix permet théoriquement d'obtenir la célitété avec une précision de moins de 1 % alors que si la célitété était estimée entre 2 sondes du peigne, l'incertitude serait de 10 % environ. Cependant, l'estimation de la célitété retenue n'est pratiquement valable que pour les interactions faibles où l'onde solitaire n'est pas ralentie dans sa propagation par le passage sous le batteur plongeant. De plus, ces estimations étant faites sur des essais d'interaction, cela suppose également que la houle ne modifie pas la célitété de l'onde solitaire. Sur les figures (6.19), on compare la célitété mesurée à celle prédite par KdV stratifié en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire et pour les paramètres déterminés sur les profils de densité réalisés en parallèle des essais d'interactions.

Il est clair que le passage sous le coin ralentit l'onde solitaire interne et ce d'autant plus que l'interface se trouve près de la surface comme le montre les célitéités mesurées sur les essais d'interaction forte. Par contre, il semble que la houle ne modifie pas la célitété de l'onde solitaire puisqu'au moins pour les rapports de couches initiaux de 0.875 et 0.8, la célitété mesurée est en assez bon accord à 5 % près avec celle prédite par KdV stratifié pour les essais d'interaction faible.

Pour les rapports de couche initiaux de 0.7, les célitéités mesurées en interaction
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIG. 6.19 – Célérité en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire obtenue par une loi KdV stratifié (—) comparée aux célérités expérimentales mesurées en interaction forte (+) et faible (○) pour différents rapports de couche initiaux : (a) groupe 1 (b) groupe 2 (c) groupe 3 [(- -) célérité en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire obtenue par une loi m-KdV pour le bi-couche équivalent]</figcaption></figure>

faible présentent une tendance à suivre une loi m-KdV plutôt que KdV. Ceci est conforme aux conclusions de Michallet puisque l'interface est alors plus proche du niveau critique que de la surface. Enfin, compte-tenu du bon accord trouvé en interaction faible entre les célérités mesurées et prédites par KdV stratifié dans la majorité des cas, la célérité prédite par KdV stratifié sera utilisée comme paramètre de l'interaction dans la suite.

### 6.3.3 Dépouillement des essais d'interaction : modulation de la houle de surface

Deux exemples représentatifs des essais d'interactions forte [figure 6.20] et faible [figure 6.21] sont représentés.

Sur chaque groupe de figures, la dénivelée d'interface est présentée en trait tireté et la dénivelée de surface est présentée en trait plein. Sur les figures (a) est représentée l'onde solitaire avant l'interaction (mesure à l'amont) et sur les figures (b) à (f), est mesurée l'interaction. On s'intéresse particulièrement sur ces mesures à la signature de l'interaction visible sur la houle de surface.

Pour ce faire, en s'inspirant des résultats obtenus expérimentalement pour l'interaction entre une houle de surface et une onde solitaire de surface, on s'est intéressé dans un premier temps aux variations de nombre d'onde de l'onde de surface. Il s'est rapidement avéré que ces variations n'étaient pas suffisamment importantes pour être mesurables avec une bonne précision, ce qui est en accord avec ce que prévoit le calcul de réfraction sur courants variables de Mei [48] transposé au cas de l'onde solitaire interne en bi-couche. Sur la figure (6.22), on représente le déphasage dimensionnel $\delta\phi$ d'une houle de surface de fréquence 2 Hz en fonction de l'amplitude de l'onde interne A en interaction forte et faible pour un rapport de couche de 0.8 et un rapport de densité de 0.03 %.

Ces modulations sont calculées en utilisant la relation de dispersion (4.1) où le champ de vitesse réfractant $U$ est celui associé à l'onde interne dans le repère lié à l'onde dans la couche supérieure et s'écrit :

$$U = c_0 \left( \frac{A}{H_0 - h_0 \cosh^2(\lambda X)} - 1 \right) \quad (6.5)$$
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIG. 6.20 – Mesures des dénivelées de surface (–) et d'interface (- -) lors d'une interaction forte entre de la houle de surface de fréquence 2.5 Hz (ak ~ 0.15) et une onde solitaire interne à différentes distances repérées depuis l'extrémité du canal où est générée l'onde solitaire : (a) x=7.05 m ; (b) x=10 m ; (c) x=10.2 ; (d) x=10.4 ; (e) x=10.6 ; (f) x=10.8</figcaption></figure>
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIG. 6.21 – Mesures des dénivelées de surface (—) et d'interface (- -) lors d'une interaction faible entre de la houle de surface de fréquence 2.5 Hz (ak ~ 0.15) et une onde solitaire interne à différentes distances repérées depuis l'extrémité du canal où est générée l'onde solitaire : (a) x=4.7 m ; (b) x=8.7 m ; (c) x=8.5 m ; (d) x=8.3 m ; (e) x=8.1 m ; (f) x=7.9 m</figcaption></figure>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIG. 6.22 – Valeur absolue du déphasage dimensionnel $||\delta\phi||$ d'une houle de surface de fréquence 2 Hz en fonction de l'amplitude de l'onde solitaire interne A en bi-couche, le bi-couche est caractérisé par le rapport de densité $\frac{\rho - \rho_0}{\rho_0} = 0.03$ et le rapport de couche $R = \frac{H_0 - h_0}{H_0} = 0.8 : (-) interaction forte (- -) interaction faible$</figcaption></figure>

avec $c_0^2 = \frac{g(\rho - \rho_0)}{\frac{\rho}{h_0} + \frac{\rho_0}{H_0 - h_0}}$ la célérité de groupe des ondes solitaires de petites ampli-

tudes par une loi KdV en bi-couche et avec toit rigide (Michallet, [51]), A l'ampli-
tude de l'onde solitaire, $H_0$ la profondeur totale d'eau, $h_0$ l'épaisseur de la couche
inférieure, g l'accélération de la gravité, ρ et ρ₀ les densités respectives des couches
inférieure et supérieure. On observe sur la figure (6.22) que la valeur absolue du
déphasage dimensionnel ne dépasse 2π que pour les ondes solitaires de grandes ampli-
tudes, ondes solitaires que nous n'avons pas pu obtenir expérimentalement. Dans la
plupart des cas, la théorie prévoit donc que le déphasage dimensionnel varie dans une
fourchette restreinte entre 0 et 2π, ce qui est également observé expérimentalement.
Ceci s'explique par le fait que le champ de vitesse associé à l'onde interne est trés
faible et donc ralentit ou accélère peu le houle. Ainsi, il est difficile d'obtenir une
courbe expérimentale du déphasage avec une bonne précision, compte-tenu de l'er-
reur de détermination sur le déphasage et des faibles variations du déphasage avec
l'amplitude de l'onde solitaire.

Par contre, il apparaît visiblement sur les essais que l'amplitude de la houle de surface est modulée au cours de l'interaction. Cette modulation, qui à l'inverse n'était pas "extractable" sur les essais d'interaction avec une onde solitaire externe, est mise en évidence théoriquement sous la forme de la conservation de l'action d'onde présentée par Mei [48] dans l'étude de la réfraction sur des courants lentement variables. On voit donc ici tout l'intérêt qu'il y avait à effectivement mener des essais d'interaction avec une onde solitaire interne.

Sur l'ensemble des essais d'interaction réalisés, on observe une diminution d'ampli-
tude dans le cas des interactions fortes (co-courant) et une augmentation d'amplitude
dans le cas des interactions faibles (contre-courant), et ce quels que soient l'ampli-
tude de l'onde solitaire, le rapport de couche et la fréquence de la houle de surface.
Ces modulations se présentent sous forme d'une modulation lente de l'amplitude et
donc présentent une enveloppe. Il faut également remarquer que l'enveloppe n'est
pas symétrique par rapport au niveau au repos de la surface libre. Il nous semble que cette dissymétrie est attribuable à l'élévation du niveau de surface au passage de l'onde solitaire mentionnée au paragraphe 6.2.3. Ainsi cette élévation de grande longueur caractéristique se superpose aux modulations du train d'onde dont la longueur caractéristique semble être la même. En effet, comme on peut l'observer sur les exemples des figures (6.23), en interaction faible, l'enveloppe supérieure présente une déformation bien plus accentuée que l'enveloppe inférieure pour laquelle l'effet du soulèvement du niveau de surface compense l'effet de l'augmentation d'amplitude. Pour l'interaction forte, c'est l'inverse.

Afin de corriger l'effet du soulèvement de la surface due à l'onde solitaire dans l'estimation de la modulation d'amplitude liée à l'interaction, on soustrait l'enveloppe inférieure à l'enveloppe supérieure. La modulation maxima $a_{max}$ est ensuite relevée sur la différence des deux enveloppes comme elle est représentée sur les figures (6.23). Cette modulation maxima correspondant au pic de l'onde solitaire se situe vers $t = 82$ s sur la figure (6.23.a) et vers $t = 79$ s sur la figure (6.23.b). L'amplitude de la houle hors interaction $a_0$ est mesuré de préférence avant l'interaction lorsque le décalage entre le train de houle de surface et l'onde solitaire le permet. Pour les interactions fortes, ce point ne pose pas de difficulté, mais pour les interactions faibles, il n'est parfois pas possible de mesurer l'amplitude de la houle hors interaction sur la partie amont. Or l'estimation de l'amplitude de la houle sur la partie avale soulève une question, à savoir si la houle n'est pas modulée par les perturbations éventuelles qui suivent l'onde solitaire. Sur les exemples représentés sur les figures (6.20) et (6.21), l'onde solitaire n'est pas suivie de perturbations importantes, ce qui est quasiment toujours le cas pour le rapport de couche initial de 0.8. Par contre, pour les rapports de couches initiaux de 0.7 et 0.875, les ondes solitaires obtenues sont suivies de perturbations bien plus importantes voire d'une seconde onde solitaire. Dans ces cas, la modulation d'amplitude n'a pu être estimée avec fiabilité et les essais n'ont donc pas été conservés.

Le carré des modulations maxima d'amplitude mesurées sur les essais considérés comme fiables sont représentés sur la figure (6.24) en fonction du rapport de la différence de célérité de la houle et de l'onde solitaire dans le repère stationnaire de l'onde solitaire prise au pic de l'onde solitaire et loin à l'amont ou à l'aval.

Cette représentation est inspirée de la conservation de l'action d'onde (ou "wave action") que l'on a obtenu au chapitre 4. Cette conservation entre le pic de l'onde solitaire et loin à l'amont s'écrit en effet :

$$ \left( \frac{a_{max}}{a_0} \right)^2 = \frac{\sigma}{\sigma_0} \frac{c_g - c}{c_g - c + u_{max}} \quad (6.6) $$

avec :

- $a_0$, l'amplitude de l'onde courte hors interaction,

- $a_{max}$, l'amplitude de l'onde courte au pic de l'onde solitaire i.e. au maximum de modulation,

- $\sigma_0$, la fréquence intrinsèque de l'onde courte hors interaction,

- $\sigma$, la fréquence intrinsèque de l'onde courte au pic de l'onde solitaire i.e. au maximum de modulation,
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIG. 6.23 – Enveloppes inférieure (- -), supérieure (·-·) et différence (—) d'un enregistrement de houle de surface en interaction forte (a) et faible (b) avec une onde solitaire interne</figcaption></figure>
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIG. 6.24 – Carré du maximum de modulation d'amplitude de la houle courte en fonction du rapport de la différence de célérité de la houle et de l'onde solitaire dans le repère stationnaire de l'onde solitaire prise au pic de l'onde solitaire et loin à l'amont ou à l'aval : (○) expériences pour f=2 Hz et (+) expériences pour f=2.5 Hz ; (—) conservation de l'action d'onde pour f=2 Hz et (- -) conservation de l'action d'onde pour f=2.5 Hz</figcaption></figure>

- $c_g$, la célérité de groupe de l'onde courte hors interaction,

- $c$, la célérité de groupe de l'onde solitaire d'amplitude $A$ pour une loi KdV stratifié définie par (6.3),

- $A$, l'amplitude de l'onde solitaire,

- $H_0$, la profondeur totale d'eau,

- $u_{max} = c_0 \frac{A}{H_0 - h_0}$, la vitesse horizontale maximum au-dessus de la pycnocline d'après Kao et al. [35],

- $h_0$ est défini par $\rho(h_0) = \frac{\rho(z = H_0) + \rho(z = 0)}{2}$, avec $z = 0$ au fond et $z = H_0$ à la surface libre.

En effet, dans la représentation choisie, l'équation (6.6) est celle d'une hyperbole, à savoir :

$$Y = \frac{\sigma}{\sigma_0} \frac{1}{X} \qquad (6.7)$$

Sur la figure (6.24), la conservation de l'action d'onde (6.6) est représentée en trait plein pour $f=2$ Hz et en trait tiret pour $f=2.5$ Hz en calculant la célérité de l'onde solitaire interne par une loi KdV stratifié. Il est à noter que dans la représentation
de la figure (6.24), les deux courbes théoriques se distinguent peu en fonction de la fréquence, tout comme les résultats expérimentaux. Ceci confirme que la modulation de la fréquence intrinsèque est faible ($\frac{\sigma}{\sigma_0} \sim 1$) au cours de l'interaction (ce que nous avons vu à travers l'étude du déphasage).

Dans les deux séries d'essais d'interactions faible et forte, les tendances des modulations (augmentation ou diminution) sont en accord avec la conservation de l'action d'onde. Cependant, quantitativement, les expériences montrent des modulations plus accentuées que ne le prédit la conservation de l'action d'onde. Sur ce point, il nous faut revenir sur les hypothèses qui permettent d'obtenir la conservation de l'action d'onde à savoir $\delta \ll \mu$. En effet, il n'est pas simple d'exprimer chacun de ces petits paramètres en fonction des ordres de grandeurs des deux ondes en présence. Il est même légitime de doûter que dans le cas de l'interaction entre une onde solitaire interne et de la houle de surface, le calcul du chapitre 4 s'applique.

Sur la figure (6.25), on représente les modulations d'amplitude $\frac{a_{max}}{a_0}$ en fonction de $\frac{c_g - c}{c_g - c + u_{max}}$ sous forme logarithmique ce qui permet de tester l'hypothèse d'une loi puissance entre X et Y.

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIG. 6.25 – Logarithme du maximum de modulation d'amplitude de la houle courte en fonction du logarithme du rapport de la différence de célérité de la houle et de l'onde solitaire dans le repère stationnaire de l'onde solitaire prise au pic de l'onde solitaire et loin à l'amont ou à l'aval : (○) expériences pour f=2 Hz et (+) expériences pour f=2.5 Hz</figcaption></figure>

Il semble que la loi reliant X et Y ne soit pas si simple et qu'un ajustement par une fonction puissance n'est pas suffisant.
## 6.4 Conclusion

Un série d'expériences originales d'interaction entre une onde solitaire interne se propageant dans un milieu stratifié en salinité proche d'un bi-couche et une onde de surface monochromatique de longueur caractéristique 2 à 3 fois plus faible que l'onde interne a été menée. Ces expériences ont dans un premier temps mis en évidence la difficulté que l'on peut rencontrer à réduire le nombre de paramètre en écoulement stratifié, et en particulier à réduire une stratification à un bi-couche équivalent.

Le résultat principal qui ressort de ces expériences reside dans les modulations de l'onde de surface que l'on a pu mesurer, et plus précisément les modulations d'amplitude. En interaction forte, on observe des diminutions d'amplitude alors qu'en interaction faible, l'amplitude augmente. Représenté en fonction du rapport de la différence de célérité de la houle et de l'onde solitaire dans le repère stationnaire de l'onde solitaire prise au pic de l'onde solitaire et loin à l'amont ou à l'aval, le carré de la modulation d'amplitude ne suit pas l'hyperbole de la conservation de l'action d'onde. Enfin, la loi liant la modulation maxima d'amplitude au rapport de la différence de célérité de la houle et de l'onde solitaire dans le repère stationnaire de l'onde solitaire prise au pic de l'onde solitaire et loin à l'amont ou à l'aval ne semble pas être une loi puissance. Des essais complémentaires pour d'autres conditions expérimentales sont à réalisés pour espérer dégager une loi décrivant les modulations d'amplitude. Théoriquement, le problème de l'interaction est à reprendre en tenant compte des différents ordres de grandeur, sachant que le calcul ne peut être mené analytiquement dans le cas général (Rizk & Ko [67]).
# Chapitre 7

# Conclusion

Qu'avons-nous appris sur les ondes longues internes ? Tout d'abord, relativement à leur génération, en introduisant la rotation et l'incidence oblique de la marée barotrope sur une marche en bi-couche dans un modèle d'ondes longues, il a été montré que :

- si la rotation joue un rôle sur le calcul des longueurs d'onde, elle ne joue aucun rôle dans le calcul des amplitudes des ondes internes générées à la marche lorsque la marée barotrope arrive en incidence normale sur la marche,

- l'incidence oblique de la marée barotrope joue un rôle non négligeable sur le calcul des amplitudes des ondes internes générées, ce paramètre n'est donc pas à négliger,

- les amplitudes prédites par le modèle de Baines [2] sont retrouvées en utilisant comme débit de forçage dans le modèle de Baines, le débit barotrope perpendiculaire à la marche calculé dans notre modèle,

- enfin, comparé à des mesures in-situ sur le Malin Shelf, ce modèle a été validé tant sur l'amplitude que sur les énergies de l'onde interne transmise sur la marche. Ceci montre la pertinence des paramètres physiques inclus dans le modèle.

La limite du modèle a été atteinte en tentant de le comparer à des mesures réalisées sur l'Iberian Shelf, site pour lequel aucun modèle à ce jour n'arrive à reproduire les ondes internes de trés grandes amplitudes observées, le mécanisme de génération n'étant pas bien cerné.

Ensuite, dans le but de mieux comprendre l'interaction entre la houle de surface et les ondes longues internes, deux séries d'expériences ont été réalisées. Dans la première série, en faisant interagir une onde solitaire de surface et de la houle monochromatique barotrope, on a pu établir la validité de la relation de dispersion (4.1) lorsque les différences de longueurs d'onde des ondes en présence étaient suffisamment importantes (1 pour 5). Cette validation a été effectuée en comparant les déphasages de l'onde courte obtenus expérimentalement à ceux calculés à partir de la relation (4.1) pour des interactions dites fortes (les ondes se propagent dans la même direction) et dites faibles (les ondes se propagent en sens inverse). La relation de dispersion (4.1) ainsi que la conservation de l'action d'onde (4.2) ont été établies théoriquement pour le cas de l'interaction entre une onde solitaire de surface et une houle barotrope, moyennant certaines hypothèses sur les ordres de grandeur relatifs des deux ondes. Cependant, cette première série d'expériences n'a pas permis de valider la conservation de l'action d'onde, la mesure de la modulation d'amplitude n'étant pas possible.
Dans la seconde série d'expériences qui concerne des interactions entre de la houle de surface et une onde solitaire interne, ni la relation de dispersion ni la conservation de l'action d'onde n'ont pu être validées. D'une part, les déphasages induits par l'onde interne sont trop faibles pour être utilisés pour différencier deux ondes internes d'amplitudes différentes). D'autre part, on a pu effectivement mesurer des modulations d'amplitude notables, et même bien plus importantes que ne le prédirait la conservation de l'action d'onde. Aucune loi expérimentale n'a pu être établie et des expériences complémentaires nous semblent nécessaires pour arriver à une conclusion plus aboutie.

Enfin, relativement à la question de retrouver des informations sur les ondes internes à partir des images SAR, il ressort de ces résultats qu'il y a peu d'espoir d'observer des modulations significatives de longueurs d'onde des “swell” de surface, vu que le champ de vitesse associé aux ondes internes est faible (de l'ordre de quelques dizaines de cm/s). Les modulations d'amplitude quant à elles ne sont pas directement mesurables sur les images SAR, un radar altimétrique serait plus approprié. Par contre, l'étude du déferlement des ondes de surface sur une onde interne nous semble une piste à envisager.
# Annexe A

## Evolution d'une onde sinusoïdale dans l'équation des ondes longues non-linéaires dispersives

### A.1 Calcul de la distance de fission

L'équation des ondes longues non-linéaires dispersives en bi-couche s'écrit :

$$ \eta_t + c_0\eta_x + c_1\frac{3(h_2-h_1)}{2h_1h_2}\eta\eta_x = 0 \quad (A.1) $$

où $\eta$ est la dénivelée de l'interface, $c_0 = \sqrt{gh_1}$ la célérité de l'onde, $h_1$ et $h_2$ les épaisseurs respectives des couches supérieure et inférieure et en utilisant la notation indicielle des dériva tions.

On effectue le changement de variable :

$$ \theta = x - c_0t $$

$$ \tau = t $$

L'équation (A.1) devient :

$$ \eta_{\tau} + c_{0}\frac{3(h_{2}-h_{1})}{2h_{1}h_{2}}\eta\eta_{\theta} = 0 \quad (A.2) $$

Il s'agit donc d'un problème aux caractéristiques dont les caractéristiques sont définies par :

$$ \frac{d\theta}{d\tau} = c_0 \frac{3(h_2 - h_1)}{2h_1 h_2} \eta \quad (A.3) $$

Le long des caractéristiques $\frac{d\eta}{dt} = 0$ donc $\eta(\tau, \theta) = \eta(0, \xi) = \eta_0(\xi)$ le long de la caractéristique passant par $(0, \xi)$.
Les caractéristiques sont donc des droites d'équation :

$$ \theta = \xi + c_0 \frac{3(h_2 - h_1)}{2h_1h_2} \eta_0(\xi)\tau \quad (A.4) $$

Ainsi, connaissant $\xi$ et $\eta_0(\xi)$, on connaît en tout point du plan $(\tau, \theta)$ la solution $\eta(\tau, \theta)$.

On s'intéresse à présent à déterminer la limite où l'onde n'est plus stable qui apparaît en étudiant les variations de $\eta_\theta$. En effet, en différenciant par rapport à $\theta$ et $\tau$ l'équation (A.4), on obtient l'expression de $\eta_\theta$, soit :

$$ \eta_{\theta} = \eta_{0\tau}\xi_{\theta} = \frac{\eta_{0\tau}}{1 + c_0 \frac{3(h_2 - h_1)}{2h_1h_2}\eta_{0\tau\tau}} \quad (A.5) $$

On en déduit que $\eta_\theta$ devient infini quand :

$$ \tau_F = - \frac{2h_1h_2}{3c_0(h_2 - h_1)\eta'_0} \quad (A.6) $$

Ainsi, la distance de fission d'une onde donnée à $\tau = 0$ (décrite par $\eta_0(\xi)$) est :

$$ \theta_F = -c_0\tau_F = \frac{2h_1h_2}{3(h_2 - h_1)\eta'_0} \quad (A.7) $$

## A.2 Application au calcul de la distance de fission d'une onde sinusoïdale

Soit une onde sinusoïdale donnée à l'instant $\tau = 0$ par :

$$ \eta_0(\xi) = A\sin(k\xi) \quad (A.8) $$

On en déduit que : $\eta'_0(\xi) = Ak\cos(k\xi)$. Ainsi, la distance de fission minimum est donc :

$$ X_F = \frac{2h_1h_2}{3(h_2 - h_1)Ak} \quad (A.9) $$
# Annexe B

## L'onde solitaire en milieu homogène : solution exacte, solutions approchées et expériences

L'onde solitaire, observée par Russel en canal (1837, 1844), est une solution stationnaire exacte des équations d'Euler bidimensionnelles, c'est-à-dire, les équations décrivant un écoulement incompressible, non-visqueux, irrotationnel et stationnaire. Or, si mathématiquement, Boussinesq (1877), Rayleigh (1876), Korteweg & De Vries (1895) et enfin, Lavrentiev [42] ont montré l'existence d'une solution de type onde solitaire stationnaire, ainsi que certaines de ses propriétés (parité par exemple), ils n'en n'ont pas explicité la forme.

De nombreux auteurs ont pourtant proposé, moyennant certaines approximations, des solutions explicites approchées. C'est le cas des solutions très exploitées de l'eau peu profonde, de Korteweg & De Vries ou beaucoup moins connue de Serre, et ce bien qu'ayant un domaine de validité théoriquement plus large. Korteweg et De Vries [38] propose une solution onde solitaire valable pour les petites amplitudes en eau peu profonde sous la forme d'une série du petit paramètre "amplitude réduite".

Serre [71] s'affranchit de l'hypothèse petites amplitudes dans le cadre de l'eau peu profonde et présente une solution où la dénivelée de surface libre ainsi que la vitesse horizontale moyennée sur la verticale sont explicitées, mais le champ de vitesse reste développé en série du petit paramètre de l'eau peu profonde.

Avec la motivation de décrire des ondes solitaires de grandes amplitudes mal décrites par Korteweg et De Vries et dans le but de déterminer l'amplitude limite, plusieurs auteurs se sont trouvés confrontés à des solutions sous forme intégrale nécessitant une issue numérique. Nous retiendrons la solution proposée par Byatt-Smith [11].

Le but de cette annexe est de discuter de la pertinence des solutions explicites très maniables (de Serre, de l'eau peu profonde et de Korteweg & De Vries) en les comparant à cette solution exacte obtenue numériquement.
## B.1 Solution “onde solitaire” de l’eau peu profonde et de Korteweg & de Vries

L'exposé détaillé de la résolution des équations de la dynamique des ondes de gravité en eau peu profonde est présenté par A. Temperville dans son mémoire de thèse [75]. On ne rappelle ici que les expressions des solutions obtenues en variables eulériennes :
- solution de l'eau peu profonde au 1er ordre ou de Korteweg & de Vries (KdV)

$$ \eta_0(x, t) = \frac{A}{\cosh^2[\lambda(x - ct)]} \qquad (B.1) $$

avec :

$$ \lambda = \sqrt{\frac{3A}{4h_0^3}} \\ c = \sqrt{gh_0} \left[ 1 + \frac{A}{2h_0} \right] $$

- solution de l'eau peu profonde au 2e ordre

$$ \eta_0(x, t) = \frac{A}{\cosh^2[\lambda(x - ct)]} + \frac{3A^2}{4h_0 \cosh^2[\lambda(x - ct)]} \left( \frac{1}{\cosh^2[\lambda(x - ct)]} - 1 \right) \quad (B.2) $$

avec :

$$ \lambda = \sqrt{\frac{3A'}{4h_0^3}} \\ c = \sqrt{gh_0} \left[ 1 + \frac{A'}{2h_0} + \frac{19}{40} \left( \frac{A'}{h_0} \right)^2 \right] \\ \frac{A}{h_0} = \frac{A'}{h_0} \left( 1 + \frac{5A'}{4h_0} \right) $$

et :

A amplitude de l'onde solitaire,

$h_0$ profondeur d'eau au repos,

$\eta_0(x, t)$ dénivelée de la surface par rapport au niveau de repos,

$u_0(x, \eta_0, t) = c\eta_0(x, t)$ vitesse horizontale à la surface,

$v_0(x, \eta_0, t) = u_{0x}(x, \eta_0, t)(h_0 + \eta_0)$ vitesse verticale à la surface.

## B.2 Solution “onde solitaire” de Serre

Serre [71] propose en 1953 une solution analytique exacte de type onde solitaire des équations du mouvement sous l'hypothèse d'échelles de grandeur horizontales bien plus grandes que les échelles de longueur verticales, c'est-à-dire quand les ondes sont longues devant la profondeur. Serre, contrairement à la distorsion de
l'eau peu profonde, résoud des équations dans lesquelles on tolère les grandes amplitudes [27].

La solution de Serre s'exprime sous la forme suivante :

$$ \eta_0(x, t) = \frac{A}{\cosh^2[\lambda(x - ct)]} \qquad (B.3) $$

avec :

$$ \lambda = \sqrt{\frac{3A}{4h_0^2(h_0 + A)}} \\ c = \sqrt{g(h_0 + A)} $$

et :

A amplitude de l'onde solitaire,

$h_0$ profondeur d'eau au repos,

$\eta_0(x, t)$ dénivelée de la surface par rapport au niveau de repos,

$\overline{u_0}(x, t) = c \left( 1 - \frac{h_0}{h_0 + \eta_0(x, t)} \right)$ vitesse horizontale moyennée sur la verticale,

$u_0(x, z, t) = \overline{u_0} + \frac{h_0^2}{6} \overline{u_{0xx}} - \frac{(z + h_0)^2}{2} \overline{u_{0xx}}$ vitesse horizontale,

$v_0(x, z, t) = -\overline{u_{0x}}(h_0 + z)$ vitesse verticale.

## B.3 Equation intégrale et solution numérique

En 1970, Byatt-Smith [11] cherche à décrire un écoulement irrotationnel et stationnaire dans un repère se déplaçant à une célérité $c$ et obtient une équation intégrale pour la dénivelée de surface libre adimensionnelle par rapport au repos soit $\eta(\phi)$ où $\phi$ est le potentiel de vitesse.

Cette équation s'écrit :

$$ 1 + \eta(\phi) + \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{F^2}{F^2 - 2\eta(\xi)} - [\eta'(\xi)]^2} \ln \left( \tanh \frac{\pi}{4} \|\phi - \xi\| \right) d\xi = 0 \qquad (B.4) $$

L'écoulement décrit par cette équation est une onde solitaire paramétrée par le nombre de Froude $F = \frac{c}{\sqrt{gh_0}}$. Le traitement numérique de l'équation (B.4) est détaillé dans [12]. Il est également montré dans [12] que le nombre de Froude n'est pas un paramètre indépendant pour les grandes amplitudes.

L'abscisse physique $X$ correspondant à $\phi$ à la surface libre est donnée par :

$$ X(\phi) = \int_{0}^{\phi} \sqrt{\frac{F^2}{F^2 - 2\eta(\xi)} - [\eta'(\xi)]^2} d\xi \qquad (B.5) $$

Ne nous intéressant pas particulièrement aux grandes amplitudes, nous nous contenons du Froude comme unique paramètre dans la gamme d'amplitude réduite allant jusqu'à 0.6 environ, le Froude étant sur cette gamme univoque. Le nombre de
points de discrétisation est fixé à 100 pour tous les calculs, la longueur de boîte adimensionnelle variant de 15 pour les plus petites amplitudes à 5 pour les amplitudes supérieures à 0.3. Cette longueur de boîte a été déterminée de telle façon que la dénivelée de surface libre extrapolée en dehors de la boîte se superpose à celle que l'on calcule sur une boîte de longueur double. Le critère de convergence, tel qu'il est défini dans [12] comme la somme des résidus, est fixé à $5 \cdot 10^{-5}$ afin de limiter le nombre d'itérations (moins d'une dizaine), chaque itération durant environ 4 heures. On peut noter que la convergence est plus lente chez nous que dans [12] car nous n'itérons pas sur le paramètre indépendant $\omega = 2\frac{a}{h} - F^2 + 1$.

On calcule également les vitesses horizontale $u_s$ et verticale $v_s$ en surface. En utilisant la relation de Bernoulli en surface :

$$q_s^2 = u_s^2 + v_s^2 = gh_0 [F^2 - 2\eta(X_s)] \quad (B.6)$$

et sachant que : $\frac{v_s}{u_s} = \frac{dy}{dx}|_s$ , on en déduit $u_s$ puis $v_s$ :

$$u_s^2 = gh \frac{[F^2 - 2\eta(X_s)]}{1 + \left(\frac{dy}{dx}|_s}\right)^2} \quad (B.7)$$

## B.4 Comparaisons des différentes théories à la solution numérique et aux expériences

Sur la figure (B.1), on représente le nombre de Froude en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire pour les différentes solutions théoriques, la solution numérique et les expériences.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIG. B.1 – Nombre de Froude en fonction de l'amplitude réduite : (—) solution numérique de Byatt-Smith ; (- -) solution de Serre ; (–.–) solution de KdV et de l'eau peu profonde au 1er ordre ; (...) solution de l'eau peu profonde au 2e ordre (○) expériences</figcaption></figure>

On constate que célèrités numérique et expérimentale sont en bon accord, et se différencient bien des théories eau peu profonde au 1er et au 2e ordre à partir
d'amplitudes réduites de l'ordre de 0.15. Par contre, la célité de Serre est assez proche de la célité numérique jusqu'à une amplitude réduite de 0.3.

Sur les figures (B.2), on représente la dénivelée de surface libre adimensionnelle en fonction de l'abscisse adimensionnelle du repère stationnaire pour les différentes solutions théoriques et la solution numérique.

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIG. B.2 – Dénivelée adimensionnelle de la surface libre dans le repère stationnaire pour deux amplitudes réduites (a) $\frac{A}{h} = 0.2$ (b) $\frac{A}{h} = 0.4$; (–) solution numérique de Byatt-Smith; (- –) solution de Serre; (- – –) solution de KdV et de l'eau peu profonde au 1er ordre; (...) solution de l'eau peu profonde au 2e ordre</figcaption></figure>

Force est de constater que la surface libre obtenue numériquement est mieux décrite pour Korteweg & De Vries ou l'eau peu profonde au 1er ordre près du pic de l'onde solitaire alors que Serre ou l'eau peu profonde au 2e ordre décrivent mieux la queue (c'est-à-dire que le paramètre de tendance $2\lambda$ est mieux approché par Serre). Ceci est d'ailleurs facile à examiner et a déjà été étudié par Barthélemy [3]. En effet, il a été montré par Stokes que le paramètre de tendance exact $\beta$ d'une onde solitaire est solution de l'équation suivante, utilisée par Byatt-Smith :

$$ \frac{\tan \beta}{\beta} = F^2 \qquad (B.8) $$

Sur la figure (B.3), on représente le paramètre de tendance en fonction du nombre de Froude pour les différentes solutions.

Reste à savoir si la solution numérique est elle-même la plus proche du profil expérimental. Pour mener la comparaison, il faut représenter sur un même graphe un profil expérimental et un profil numérique. Cet exercice demande une manipulation puisque le premier est mesuré à une abscisse donnée en fonction du temps et le deuxième est calculé dans le repère stationnaire en fonction de la variable adimensionnelle d'espace. En particulier, connaissant les écarts sur les célitéris précédemment étudiées, il n'est pas équivalent de transformer le temps en espace des mesures et l'espace en temps pour le calcul. Ainsi, sur la figure (B.4), on représente pour les deux variables "naturelles" l'autre profil obtenu après conversion.

Il est clair alors que le profil numérique est effectivement le plus proche du profil expérimental. Cependant, on voit également apparaître la prévalence de la solution
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIG. B.3 – *Paramètre de tendance en fonction du nombre de Froude : (—) solution exacte dite de Stokes ; (- -) solution de Serre ; (.-) solution de KdV et de l'eau peu profonde au 1er ordre ; (...) solution de l'eau peu profonde au 2e ordre*</figcaption></figure>

de Serre pour laquelle la forme de la surface libre avait été jugée moins bonne que celle de KdV près du pic. En effet, l'écart est compensé dans le repère du laboratoire par la meilleure description de la célité. Cela n'est par contre pas le cas pour la solution KdV.

Il est également intéressant de comparer les vitesses horizontale et verticale à la surface [cf figure (B.5)] des différentes théories au calcul exacte, puisque que celles-ci interviennent en particulier dans le problème d'interaction.

La vitesse horizontale à la surface obtenue numériquement est mieux décrite par KdV que par Serre, alors que sur la vitesse verticale, c'est l'inverse. Malgré tout, la vitesse verticale n'est jamais vraiment bien approchée par aucune théorie. Ainsi, on verra que dans le problème d'interaction il y a compétition entre célité et vitesse horizontale pour le choix des solutions Serre ou KdV.

## B.5 Conclusion

Il est à noter que la comparaison des théories de l'eau peu profonde développées aux différents ordres avec la solution de Byatt-Smith avait déjà été menée par celui-ci dans [11]. L'intérêt était ici de situer la solution de Serre dans cet ensemble, et surtout de montrer en quoi tel ou tel accord est exploitable. En particulier, pour ce qui nous intéresse, ces résultats permettent de nous guider dans le choix de telle ou telle solution pour la simulation d'interactions ondes solitaires-houle courte et la génération expérimentale des ondes solitaires. Pour ce dernier problème pourtant, le plus flagrant eût été de comparer les vitesses moyennées sur la verticale, ce qui n'est pas possible pour la solution exacte.

Ainsi, cette étude comparative, après avoir placée la solution numérique très proche des ondes observées expérimentalement, pourra servir de guide pour choisir telle ou telle approximation mathématique pour traiter tel ou tel problème.
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIG. B.4 – Dénivelée adimensionnelle de la surface libre dans le repère stationnaire (a) et en un point de l'espace en fonction du temps (b) pour une amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.25$; (—) solution numérique de Byatt-Smith; (- -) solution de Serre; (-.-) solution de KdV et de l'eau peu profonde au 1<sup>er</sup> ordre; (o) expériences</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIG. B.5 – Vitesse horizontale (a) et verticale (b) adimensionnelles à la surface libre dans le repère fixe pour une amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.4$; (—) solution numérique de Byatt-Smith; (- -) solution de Serre; (-.-) solution de KdV et de l'eau peu profonde au 1<sup>er</sup> ordre</figcaption></figure>
# Annexe C

## Génération de l'onde solitaire externe

Pour créer une onde solitaire en surface ou onde solitaire externe, on dispose au laboratoire d'un batteur piston mû par un verin hydraulique. Un codeur optique permet de repérer sa position, l'information étant renvoyée à un ordinateur équipé d'une carte électronique. Le déplacement du vérin est piloté par une servovalve reliée à un boitier de commande électronique. Cette installation a été réalisée par M. Marcelja en collaboration avec F. Welt [78] qui a développé le programme original de commande du batteur. Depuis 1989, on dispose donc d'un batteur dont la consigne de déplacement est numérique (auparavant, celle-ci était imposée manuellement à l'aide de pièces mécaniques et ne permettait de réaliser que des ondes solitaires). Les consignes numériques jusqu'à présent étaient :

- pour générer des ondes périodiques : une loi sinusoïdale paramétrée par l'amplitude, la période et le nombre de périodes à effectuer

- pour générer des ondes solitaires : une loi en tangente hyperbolique paramétrée par l'amplitude réduite et la profondeur d'eau. Il s'agit d'une loi développée dans l'approximation de l'eau peu profonde au 1<sup>er</sup> ordre.

Cette loi permet effectivement de créer une onde solitaire. Mais cette dernière est imparfaite puisqu'elle est suivie d'une onde dispersive dont l'amplitude représente environ 10% de celle du pic de l'onde solitaire.

Afin d'améliorer la forme de l'onde et plus particulièrement de diminuer, voire d'éliminer, la queue dispersive, on a testé d'autres lois de génération qui ont été introduites dans le programme de commande du batteur et dont voici l'exposé.

### C.1 Solution “onde solitaire” dans l’approximation de l’eau peu profonde

On rappelle ici les principales hypothèses et étapes du calcul qui permettent d'aboutir à la solution "onde solitaire" en eau peu profonde dans son développement au 2<sup>nd</sup> ordre en variables lagrangiennes afin d'obtenir la loi de mouvement du batteur.

Le problème est étudié en variables lagrangiennes de Miche (α, β) qui transforment de façon bi-univoque, bicontinue et différentiable, le domaine physique (a, b) avec surface libre ondulée en une bande où l'image du fond $b = -h$ est définie par
$\beta = -h$ et l'image de la surface libre $b = f(a)$ est définie par $\beta = 0$ (voir figure C.1).

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIG. C.1 – Domaine physique (a, b) et domaine des variables de Miche (α, β)</figcaption></figure>

On introduit une différence d'échelle entre les variables de Miche horizontales et verticales au moyen de la distorsion suivante :

$$ \bar{\alpha} = \epsilon\alpha \text{ et } \bar{\beta} = \beta $$

avec : $\epsilon = \frac{h}{L} \ll 1$ où h est la profondeur d'eau et L la longueur d'onde.

Les ondes étudiées ayant une célérité voisine de la célérité critique $\sqrt{gh}$, on effectue aussi une distorsion du temps :

$$ \tau = \epsilon\sqrt{gh} $$

Le sytème d'équations est constitué des conditions

- d'imperméabilité du fond et de la surface libre,

- de continuité dans la masse,

- et de Bernoulli à la surface libre.

La distorsion de variables choisie conduit alors à montrer que les ondes cherchées ne sont fonctions que de $\bar{\beta}$, $(\bar{\alpha} + \tau)$ et $(\bar{\alpha} - \tau)$. Aussi, on introduit la variable générale $\theta = \epsilon(\alpha - p(\epsilon)\sqrt{gh})$ qui remplace les variables $(\alpha, t)$.

Enfin, en variables de Miche distordues, développées à l'ordre 3, les déplacements (écarts de position des particules initialement situées en $(\alpha, \beta)$) dans le plan $(\alpha, \beta)$ s'écrivent :

$$ \begin{cases} X = \epsilon X_1(\theta, \beta) + \epsilon^3 X_3(\theta, \beta) + O(\epsilon^5) \\ Y = \epsilon Y_1(\theta, \beta) + \epsilon^3 Y_3(\theta, \beta) + O(\epsilon^5) \end{cases} $$

avec :

$$ \begin{aligned} \theta &= \epsilon(\alpha - p(\epsilon)\sqrt{gh}) \\ p(\epsilon) &= 1 + a_2\epsilon^2 + a_4\epsilon^4 \\ c &= p(\epsilon)\sqrt{gh} \end{aligned} $$

où c la célérité de l'onde.

La résolution du système en variables distordues conduit alors à la solution apériodique (onde solitaire) suivante à l'ordre 2 :

$$ \begin{cases} \epsilon X_1(\theta, \beta) = \epsilon f_1(\theta) \\ \epsilon^3 X_3(\theta, \beta) = \epsilon^3 \frac{(\beta + h)^2}{6} f_1''(\theta) + 2(a_2 \epsilon^2) \epsilon f_1(\theta) \end{cases} $$
avec :

$$
\begin{align*}
a_2 \epsilon^2 &= \frac{A}{2h} \\
a_4 \epsilon^4 &= \frac{19}{40} \left(\frac{A}{h}\right)^2 \\
\omega &= \frac{1}{\epsilon h} \sqrt{\frac{3A}{4h}} \\
\epsilon f_1(\theta) &= -2 \sqrt{\frac{Ah}{3}} \tanh(\omega\theta) + C
\end{align*}
$$

où $\frac{A}{h}$, l'amplitude réduite au 1<sup>er</sup> ordre est reliée à l'amplitude réduite au 2<sup>nd</sup> ordre
notée $\frac{\bar{A}}{h}$ par : $\frac{\bar{A}}{h} = \frac{A}{h} + \frac{5}{4} \left(\frac{A}{h}\right)^2$.

Remarque : on note $\sigma = \frac{A}{h}$. Dans l'approximation eau peu profonde, $\sigma \sim \epsilon^2$, ce qui implique que l'on ne tolère que les petites amplitudes.
Soient les dérivées successives de $f_1(\theta)$ :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\epsilon^2 f_1'(\theta) &= -\frac{A}{h \cosh^2(\omega\theta)} \\
\epsilon^3 f_1''(\theta) &= -\frac{2A}{h^2} \sqrt{\frac{3A}{4h}} \frac{\tanh(\omega\theta)}{\cosh^2(\omega\theta)}
\end{aligned}
\right.
$$

Et finalement, le déplacement noté $x(t)$ des particules se situant sur la surface libre ($\beta = 0$) par rapport à l'origine du repère s'écrit :

$$
x(t) = \alpha - 2\sqrt{\frac{Ah}{3}} \tanh(\omega\theta) + C + \frac{A}{3}\sqrt{\frac{3A}{4h}} \frac{\tanh(\omega\theta)}{\cosh^2(\omega\theta)} - 2\frac{A}{h}\sqrt{\frac{Ah}{3}} \tanh(\omega\theta) + C'
$$

Les constantes *C* et *C'* apparaissent car la résolution du système conduit en fait à déterminer *f*'<sub>1</sub>(*θ*). On les détermine en imposant que l'onde solitaire est générée (les particules étant immobiles) en *t* = −∞, à savoir *x* = *α* en *t* = −∞, ce qui conduit à :

$$
C + C' = 2\sqrt{\frac{Ah}{3}}\left(1 + \frac{A}{h}\right)
$$

Si on s'intéresse à la génération de l'onde solitaire, on cherche le mouvement des particules qui se situent sur la face du batteur. Compte tenu de la condition d'imperméabilité, les particules se situant sur la surface du batteur à l'instant initial y restent. Ainsi, le mouvement à imposer au batteur est celui calculé pour les particules situées à l'instant initial en $\alpha = 0$, soit en résumé :

$$
x(t) = 2\sqrt{\frac{Ah}{3}}\left(1 + \frac{A}{h}\right)(1 + \tanh(\Omega)) + \frac{A}{3}\sqrt{\frac{3A}{4h}}\frac{\tanh(\Omega)}{\cosh^2(\Omega)}
$$
avec :

$$
\begin{align*}
\Omega &= p(\epsilon) \sqrt{\frac{3A}{4h}} \sqrt{\frac{g}{h}} t \\
p(\epsilon) &= 1 + a_2 \epsilon^2 + a_4 \epsilon^4 \\
\frac{\bar{A}}{h} &= \frac{A}{h} + \frac{5}{4} \left(\frac{A}{h}\right)^2
\end{align*}
$$

Il s'agit du mouvement développé à l'ordre 2 qui a été introduit dans le pro-
gramme de commmande du batteur. Il s'avère que le dernier terme en $\frac{\tanh(\Omega)}{\cosh^2(\Omega)}$
est négligeable devant $\tanh(\Omega)$. Ainsi, on utilise de préférence (moins de calcul)
pour le développement à l'ordre 2 en eau peu profonde, la consigne de mouvement
suivante (avec les mêmes notations que précédemment) :

$$
x(t) = 2\sqrt{\frac{Ah}{3}} \left(1 + \frac{A}{h}\right) \left(1 + \tanh(\Omega)\right)
$$

Initialement, rappelons que la consigne de mouvement était donnée à l'ordre 1 par
l'expression suivante :

$$
x(t) = 2\sqrt{\frac{Ah}{3}} \left(1 + \tanh(\Omega')\right)
$$

$$
\text{avec : } \Omega' = \sqrt{\frac{3A}{4h}} \sqrt{\frac{g}{h}} t
$$

où $\frac{A}{h}$ est l'amplitude réduite au 1<sup>er</sup> ordre.

C.2 Solution “onde solitaire” de Serre

Pour déterminer le mouvement à imposer du batteur afin de générer une onde solitaire de type Serre, il faut intégrer la relation suivante décrivant de façon Lagrangienne le mouvement des particules sur la face du batteur, soit :

$$
\frac{dX}{dt} = \bar{u}(X, t) \tag{C.1}
$$

où X est la variable lagrangienne d'espace donnant la position du batteur et t le temps.

La vitesse moyenne horizontale $\bar{u}$ de Serre s'écrit de la façon suivante :

$$
\bar{u}(x, t) = \frac{\epsilon \cosh^2(\lambda(x - ct))}{1 + \epsilon \cosh^2(\lambda(x - ct))} \quad (C.2)
$$

avec :

$$
\begin{align*}
\lambda &= \sqrt{\frac{3\epsilon}{4h_0^2(1 + \epsilon)}} \\
c &= \sqrt{gh_0(1 + \epsilon)}
\end{align*}
$$

L'intégration analytique de l'équation différentielle non linéaire (C.1) n'étant pas
aisée, on propose deux méthodes pour connaître le mouvement à donner au bat-
teur :
- intégration analytique de l'équation linéarisée autour de X=0, c'est-à-dire pour des petits déplacements [74],

- intégration numérique de l'équation différentielle non linéaire.

### C.2.1 Cas des petits déplacements : intégration analytique

On effectue le changement de variable suivant :

$$ (X, t) \rightarrow (X, \theta = \lambda(X - ct)) $$

L'équation différentielle à résoudre s'écrit alors avec les nouvelles variables :

$$ \frac{dX}{d\theta} = -\frac{\epsilon}{\lambda}\mathrm{sech}^2(\theta) $$

Cette équation différentielle s'intègre alors sans difficulté et X doit être solution de :

$$ X = -\frac{\epsilon}{\lambda}\tanh(\lambda(X - ct)). \quad (C.3) $$

Cette équation reste cependant peu aisée à résoudre, puisqu'il s'agit d'une équation transcendante pour X. Sans approximation, il est en fait équivalent d'intégrer directement l'équation différentielle non linéaire (C.1) et de résoudre l'équation transcendante (C.3), c'est pourquoi on ne retient que la première possibilité, à savoir l'intégration numérique.

Cependant, pour des petits déplacements de batteur c'est-à-dire pour $X \ll 1$, il est possible d'obtenir une loi de mouvement analytique en linéarisant (C.3). Soit à résoudre :

$$ X = -\frac{\epsilon \tanh(\lambda X) - \tanh(\lambda ct)}{\lambda (1 - \tanh(\lambda X) \tanh(\lambda ct))} \quad (C.4) $$

En substituant le développement limité près de 0 à l'ordre 2 :

$$ \tanh(\lambda X) = \lambda X + o((\lambda X)^2) $$

dans (C.4), on obtient après simplification :

$$ X(t) = \frac{\epsilon \tanh(\lambda ct)}{\lambda (1 + \epsilon(1 - \tanh^2(\lambda ct)))} $$

### C.2.2 Intégration numérique

Sans faire l'hypothèse de petits déplacements, on intègre numériquement l'équation différentielle non linéaire (C.1) du mouvement du batteur par une méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 en temps et 5 en espace. Les conditions initiales devraient être le repos à $t = -\infty$ car on cherche une onde de longueur infinie. Mais ici, pour initialiser le problème, il nous faut la position du batteur (et non sa vi- tesse!) pour les temps infinis. Aussi, la première étape est de résoudre l'équation différentielle (C.1) pour $\bar{u}(X = 0, t)$ c'est-à-dire en supposant le batteur immobile mais accéléré au cours du temps. On obtient ainsi une position initiale approchée $X_0$ du batteur pour $t = -t_0$ avec $t_0$ très grand.
Enfin, afin de donner une consigne analytique à l'ordinateur pilotant le mouvement du batteur, on propose d'interpoler le déplacement du batteur calculé numériquement par rapport à sa position initiale par une fonction du type :

$$X(t) = \alpha \tanh(\beta t)$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont déterminés en minimisant les écarts quadratiques entre la fonction interpolante et le déplacement $X(t)$ issu de l'intégration numérique.

On calcule ainsi une série de couples de coefficients $\alpha$ et $\beta$ donnés dans le tableau ci-après pour deux profondeurs d'eau en fonction de l'amplitude réduite de l'onde solitaire.

<table><caption>TAB. C.1 – *Coefficients issus de l'interpolation par $\alpha \tanh(\beta t)$ du déplacement $X(t)$ du batteur calculé numériquement*</caption><thead><tr><th rowspan="2">A/h</th><th colspan="2">h=20 cm</th><th colspan="2">h=30 cm</th></tr><tr><th>α</th><th>β</th><th>α</th><th>β</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.05</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0795</td><td>1.0622</td></tr><tr><td>0.1</td><td>0.0768</td><td>1.7675</td><td>0.1152</td><td>1.4432</td></tr><tr><td>0.15</td><td>-</td><td>-</td><td>0.1446</td><td>1.7000</td></tr><tr><td>0.2</td><td>0.1139</td><td>2.3147</td><td>0.1708</td><td>1.8899</td></tr><tr><td>0.25</td><td>-</td><td>-</td><td>0.1952</td><td>2.0364</td></tr><tr><td>0.3</td><td>0.1457</td><td>2.6349</td><td>0.2185</td><td>2.1513</td></tr><tr><td>0.35</td><td>-</td><td>-</td><td>0.2409</td><td>2.2427</td></tr><tr><td>0.4</td><td>0.1752</td><td>2.8356</td><td>0.2628</td><td>2.3152</td></tr><tr><td>0.45</td><td>-</td><td>-</td><td>0.2843</td><td>2.3726</td></tr><tr><td>0.5</td><td>0.2036</td><td>2.9607</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>0.6</td><td>0.2314</td><td>3.0337</td><td>-</td><td>-</td></tr></tbody></table>

## C.3 Expériences

On présente sur la figure (C.2) le déplacement du batteur en fonction du temps pour chacune de ces lois.

Il est important de remarquer que ces lois sont toutes tronquées puisque théoriquement les ondes étant infiniment longues, la loi de génération devrait l'être aussi. Cependant, elles sont toutes tronquées de la même façon, à savoir que l'on impose le mouvement pour les temps tels que, l'écart entre la fonction $\tanh(\alpha t)$ et 1, soit inférieur à une erreur paramétrable. On note que les nouvelles lois imposent toutes des déplacements du batteur plus importants, ce qui sur l'installation expérimentale constitue une limite. En effet, la course du vérin est au maximum de 600 mm, ce qui permet avec la loi en eau peu profonde à l'ordre 1 de générer des ondes solitaires jusqu'à une amplitude réduite de 0.5 alors qu'avec les 3 autres lois, on est borné à des amplitudes réduites de 0.35.

Ensuite, si on compare les lois entre elles, on s'aperçoit que les deux façons de traiter la génération de l'"onde solitaire" de Serre conduisent à des lois de déplacement très proche, alors que les lois en eau peu profonde sont assez éloignées l'une de l'autre et de celles de Serre. De plus, cet écart augmente avec l'amplitude réduite
<figure><img src="image_99.png" /></figure>

- eau peu profonde au 1er ordre
- eau peu profonde au 2ème ordre
- ajustement Tanh sur l'intégration numérique de Serre
- intégration analytique de Serre pour $X \ll 1$

FIG. C.2 – Représentation des 4 lois de mouvement testées pour une amplitude réduite $\frac{A}{h} = 0.2$ et une profondeur d'eau $h = 0.3$ m

des ondes solitaires. Ceci est tout à fait compréhensible sachant qu'en eau peu profonde, on se limite aux petites amplitudes ce qui n'est pas le cas avec Serre. Observons à présent les ondes que l'on génère à l'aide de ces lois. Sur les figures (C.6), on présente des enregistrements de dénivelé de surface libre au cours du temps à environ 20 mètres du batteur comparant les 4 lois de mouvement sur une gamme d'onde solitaire d'amplitude réduite allant de 0.05 à 0.35 pour une profondeur d'eau de 30 cm.

Pour cette profondeur d'eau, on retrouve, pour la loi en eau peu profonde développée à l'ordre 2, la queue dispersive (creux) que l'on obtenait à l'ordre 1. Par contre, pour les lois issues de la solution “onde solitaire” de Serre, on constate que les ondes sont suivies d'une bosse (d'amplitude bien moins importante que le creux dispersif) et les oscillations suivantes sont elles aussi bien moindres que pour les lois en eau peu profonde. Sur les figures (C.3.a) et (C.3.b), on représente en fonction de l'amplitude réduite, l'amplitude du creux ou de la bosse secondaire adimensionnalisée par l'amplitude de l'onde solitaire pour deux profondeurs d'eau. L'amplitude des creux est d'environ 4 à 6 % alors que l'amplitude des bosses n'est que de 2 à 3 %, soit la moitié pour les deux profondeurs d'eau. Les ondes solitaires d'amplitude réduite supérieure ou égale à 0.5 déferlent à la génération.

D'autre part, il est intéressant de relever que suivant la loi de génération, la diminution de l'amplitude entre 6.5 m du batteur et 20 m varie également du simple au double, valant environ 3 % pour les lois Serre et 5 % pour les lois de l'eau peu profonde, pour une profondeur d'eau de 30 cm [cf fig. (C.4.a)]. Pour une profondeur d'eau de 20 cm [cf fig. (C.4.b)], les lois de génération se différencient moins bien sur ce point.

L'écart entre les lois de Serre et de l'eau peu profonde sur la diminution d'amplitude de l'onde solitaire sur 14 m de parcours tend à montrer que cette diminution ne serait pas tant due à une dissipation de l'onde solitaire mais aussi à son
– *w*, la largeur du canal (ce terme traduit la dissipation sur les parois),

– *g*, accélération de la gravité.

En appliquant la formule de Keulegan (C.5) pour une onde solitaire d'amplitude réduite initiale $\frac{A_0}{h_0} = 0.3$ par exemple, la diminution d'amplitude de cette onde sur $x = 13.5 \text{ m}$ dûe à la dissipation pour une profondeur d'eau $h_0 = 0.3 \text{ m}$ est de 3.3 %, valeur inférieure à la diminution d'amplitude effectivement observée pour les lois de génération de l'eau peu profonde. En fait, comme le suggère Santos [70], cette formule ne serait pas valide dans les premiers temps de la propagation, pour $\frac{x}{h_0} \le 50$ soit dans notre cas, pour $x \le 15 \text{ m}$, car l'onde n'est pas établie. Enfin, on peut penser que pour la loi de génération de Serre, l'onde est quasi-établie à 6 m du batteur et que la diminution d'amplitude serait effectivement dûe à la dissipation. Par contre, pour les lois de génération de l'eau peu profonde, il est clair qu'à 6 m du batteur, l'onde n'est pas établie, ce qui montre que la loi de génération est imparfaite.

On peut également comparer l'amplitude de l'onde prescrite à celle effectivement mesurée pour juger de la qualité de la loi de génération. On représente sur les figures (C.5.a) et (C.5.b) l'amplitude réduite obtenue à 20 m en fonction de celle prescrite pour deux profondeurs d'eau $h = 30 \text{ cm}$ et $h = 20 \text{ cm}$.

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIG. C.5 – Amplitude réduite de l'onde solitaire à 20 m en fonction de l'amplitude réduite prescrite pour une profondeur d'eau de : (a) $h_0 = 30 \text{ cm}$ (b) $h_0 = 20 \text{ cm}$; (+) loi Serre analytique (○) loi Serre numérique (×) loi eau peu profonde 1<sup>er</sup> ordre (*) loi eau peu profonde 2<sup>e</sup> ordre</figcaption></figure>

Il est ainsi intéressant de noter que l'amplitude de l'onde est variable suivant la loi de mouvement. En particulier, la loi en eau peu profonde développée au 2<sup>nd</sup> ordre conduit à des amplitudes systématiquement plus élevées que celles prescrites, celle du 1<sup>er</sup> ordre à des amplitudes plus faibles. Les lois Serre fournissent quant à elles des ondes dont l'amplitude est sensiblement égale à celles requises sur les gammes considérées.

C.4 Conclusion

Fort de ces tests, il semble clair que les lois de génération obtenues à partir de la
solution "onde solitaire" de Serre (qui s'avèrent d'ailleurs équivalentes) permettent
d'obtenir des ondes plus "stables", plus tôt et d'amplitudes fiables, ce que nous recherchions pour les problèmes d'interaction.

L'explication de cette prédominance de la solution de Serre vient du fait que la loi de mouvement du batteur est essentiellement fonction de la célérité de l'onde, particulièrement mieux décrite chez Serre dès les amplitudes réduites de 0.15 [cf annexe B].
même légende que
la figure C.2

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIG. C.6 – Ondes solitaires générées pour les 4 lois de mouvement testées - Enregistrement du dénivelé de la surface libre a à 20 m environ du batteur piston</figcaption></figure>
# Annexe D

## Modes verticaux d'une stratification continue

### D.1 Modes verticaux linéaires avec rotation

On écrit les équations du mouvement avec rotation pour des perturbations de très petites amplitudes dans un fluide dont la densité varie suivant la verticale $\rho(z)$. On suppose de plus que la vitesse verticale des perturbations s'écrit :

$$w = W(z)e^{i(kx-\omega t)}$$

où $k$ est le nombre d'onde horizontal et $\omega$ la fréquence de l'onde. Avec ces hypothèses, on obtient pour $W(z)$ l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants suivante :

$$W_{zz} - \frac{N^2 - \omega^2}{f^2 - \omega^2} k^2 W = 0 \qquad (D.1)$$

avec :

- la fréquence de Brünt-Väisälä,

$$N^2(z) = -\frac{g}{\rho(z)} \frac{\partial \rho}{\partial z} \qquad (D.2)$$

- la fréquence inertielle de Coriolis, $f$

et les conditions limites suivantes :

- imperméabilité de la surface libre ; en $z = 0$ :

$$(\omega^2 - f^2)W_z - gk^2W = 0 \qquad (D.3)$$

Cependant, dans la plupart des cas océanographiques, la condition à la surface libre (D.3) est simplifiée et devient simplement :

$$W_{(z=0)} = 0 \qquad (D.4)$$

- imperméabilité du fond ; en $z = -d$ :

$$W = 0 \qquad (D.5)$$
Le détail des caluls permettant d'aboutir à l'équation (D.1) est présenté par Philipps [60] pour le cas sans rotation et par Gill [26] pour le cas avec rotation.
La vitesse horizontale dans le cas bidimensionnel se déduit de la vitesse verticale en utilisant l'équation de la continuité. En supposant que la vitesse horizontale s'écrit sous la forme suivante : $u(x, z) = U(z)e^{i(kx-\omega t)}$, la continuité fournit la relation suivante :

$$U(z) = \frac{W_z}{ik} \qquad (D.6)$$

L'équation (D.1) est un problème différentiel aux valeurs propres dont il est possible de trouver les solutions analytiquement dans des cas très restreints. Par exemple, dans le cas où la fréquence de Brünt-Väisälä est constante, ce qui correspond au cas d'une stratification linéaire, les valeurs et vecteurs propres solutions sont les couples ($k_i = \frac{i\pi}{d}$, $\sin(\lambda_i z)$) où $i$ est entier.

En général, l'équation (D.1) admet une infinité de valeurs propres solutions discrètes. On présente dans ce paragraphe la résolution numérique pratique de l'équation (D.1) pour une distribution $N(z)$ donnée.

Supposons que l'on dispose d'un profil de densité le long de la verticale, discrétisé avec un pas régulier, soit : $\rho_i = \rho(idz)$, $i \in [0, n]$.

On détermine la fréquence de Brünt-Väisälä associée en discrétisant (D.2) :

$$N_i = -\sqrt{\frac{g \rho_{i+1} - \rho_{i-1}}{\rho_i 2dz}} \quad , \quad i \in [0, n] \qquad (D.7)$$

avec :

$$\rho_{-1} = 2\rho_0 - \rho_1$$

$\rho_{n+1} = 2\rho_n - \rho_{n-1}$, en imposant $\rho_{zz} = 0$ à la surface et au fond.

On discrétise (D.1) en utilisant un schéma centré en différences finies :

$$\frac{f^2 - \omega^2}{N_i^2 - \omega^2} \frac{W_{i-1} - 2W_i + W_{i+1}}{(dz)^2} = k^2 W_i \quad , \quad i \in [1, n-1] \qquad (D.8)$$

et les conditions limites suivantes :

$$\frac{(\omega^2 - f^2)}{gdz}(W_1 - W_0) - k^2 W_0 = 0$$
$$W_n = 0$$

Le problème discret est donc un problème aux valeurs propres où il nous faut déterminer les couples $(k_j^2, W_{ij})_{i \in [0, n-1]}$, $j \in [0, n-1]$ respectivement valeurs propres et vecteurs propres de la matrice $M$ suivante :

$$[M] = \begin{bmatrix}
-\nu_0 & \nu_0 & 0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 \\
-2\nu_1 & \nu_1 & \nu_1 & 0 & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 \\
0 & \nu_2 & -2\nu_2 & \nu_2 & 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \\
0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 \\
0 & \dots & \dots & 0 & \nu_i & -2\nu_i & \nu_i & 0 & \dots \\
0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 \\
0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 & \nu_{n-2} & -2\nu_{n-2} \\
0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 & \nu_{n-1} - 2\nu_{n-1}
\end{bmatrix}$$
avec : $\nu_i = \frac{f^2 - \omega^2}{(N_i^2 - \omega^2)(dz)^2}$, $i \in [1, n-1]$ et $\nu_0 = \frac{(\omega^2 - f^2)}{gdz}$.

Les vecteurs propres $W = [W_{ij}, 0]$ sont les vitesses verticales associées à chaque mode interne vertical et leur nombre dépend du nombre de points de discrétisation du profil de densité.

Ce problème aux valeurs propres est facilement résolu par Matlab.

## D.2 Approximation KdV sans rotation

En appliquant la distorsion KdV à une fonction de courant $\phi$ dans les équations du mouvement, on obtient à l'ordre zéro un problème de Sturm-Liouville comme précédemment. Il s'écrit d'après [35] :

$$ (\bar{\rho}\phi_z)_z - \frac{g\bar{\rho}z}{c_0^2}\phi = 0 \qquad (D.9) $$

avec les conditions limites suivantes :

$$ \phi_{fond} = \phi_{surface} = 0 $$

où :

$g$ est l'accélération de la pesanteur

$\bar{\rho}(z)$ est la densité au repos

$c_0$ est la célérité au $1^{er}$ ordre (i.e. linéaire).

Pour la vitesse verticale, l'équation correspondante à (D.9) s'écrit :

$$ W_{zz} - \frac{N^2}{g}W_z + \frac{N^2}{c_0^2}W = 0 \qquad (D.10) $$

avec $N^2$ fréquence de Brünt-Väisälä et $W$ la vitesse verticale. Les conditions limites étant :

$$ W_{fond} = W_{surface} = 0 $$

Ce problème est en fait la limite ondes longues (i.e. $\omega = 0$) du problème des modes verticaux linéaires, sans rotation.

La méthode employée pour la résolution numérique pratique de ce problème aux valeurs propres est trés similaire à celle du paragraphe D.1. Une complication supplémentaire apparaît cependant couramment. En effet, dans le cas de profil de densité constante, la fréquence de Brünt-Väisälä est nulle et le problème de Sturm-Liouville dégénère en une simple équation différentielle :

$$ W_{zz} = 0 $$

En particulier, dans le cas d'un profil de densité en tanh, la fréquence de Brünt-Väisälä est quasi-nulle près du fond et de la surface et est maximum au niveau de la pycnocline. Dans ce cas, la résolution numérique pratique se déroule de la façon suivante. On discrétise l'axe des $z$ en $n$ points, soit $z_{i, i \in [1, n]}$. On distingue une zone médiane repérée par $[z_m, z_p]$ où la fréquence de Brünt-Väisälä est strictement
supérieure à zéro (pratiquement cette limite est un critére). Dans cette zone, on
résoud le problème discret suivant :

$$
\frac{2W_i - W_{i+1} - W_{i-1}}{(dz)^2 N_i^2} + \frac{W_{i+1} - W_{i-1}}{2gdz} = \frac{1}{c_0^2} W_i, \quad i \in [m+1, p-1] \quad (D.11)
$$

avec les conditions limites suivantes :

$$
\frac{W_m \left[ 2 - \frac{z_{m-1} - z_0}{z_m - z_0} \right] - W_{m+1}}{(dz)^2 N_m^2} + \frac{W_{m+1} - W_m \frac{z_{m-1} - z_0}{z_m - z_0}}{2gdz} = \frac{1}{c_0^2} W_m \quad (\text{D.12})
$$

$$
\frac{W_p \left[ 2 - \frac{z_n - z_{p+1}}{z_n - z_p} \right] - W_{p-1}}{(dz)^2 N_p^2} - \frac{W_{p-1} - W_p \frac{z_n - z_{p+1}}{z_n - z_p}}{2gdz} = \frac{1}{c_0^2} W_p \quad (\text{D.13})
$$

Ces conditions limites traduisent les conditions limites en z₀ et zₙ et les équations différentielles W<sub>zz</sub> = 0 dans les deux zones extrêmes (z ∈ [z₀, z<sub>m−1</sub>] et z ∈ [z<sub>p+1</sub>, zₙ]), en supposant également la continuité de W et sa dérivée.
Liste des tableaux

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>Rapport de la longueur d'onde à une latitude donnée à la longueur d'onde à l'équateur pour les différentes composantes de marée usuelles (X signifie qu'il n'y a pas d'onde libre de cette fréquence à cette latitude; en particulier, il n'existe pas d'onde de Poincaré M2 au delà de 74.45° de latitude</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Fréquences principales de la marée à l'équilibre (Source : Doodson &amp; Warburg [17])</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Positions des mouillages fixes pour le campagne Malin Shelf 1996</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Pourcentage d'énergie contenue dans le mode barotrope relativement à l'énergie totale. Pourcentage d'énergie contenue dans les 3 premiers modes baroclines relativement à l'énergie barocline pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours (la période 2 s'étend du 17/07/96 à 00h00 au 20/07/96 à 00h00)</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Moyennes, amplitudes et phases diurne et semi-diurne en cm/s des composantes EST et NORD de la vitesse barotrope pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Description des ellipses de vitesse pour la projection de la vitesse barotrope à la station S140 sur 3 périodes de 3 jours</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6</td>
      <td>Moyennes et écart-types en cm/s des composantes EST et NORD de la vitesse barocline pour la station S140 sur 3 périodes de 3 jours</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.7</td>
      <td>Méthode 1 de calcul du bi-couche équivalent aux profils instantanés (CTD) de densité mesurés en S140 (la condition à la surface utilisée pour le calcul des modes verticaux est la condition complète)</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.8</td>
      <td>Méthode 2 de calcul du bi-couche équivalent aux profils instantanés (CTD) de densité mesurés en S140 (la condition à la surface utilisée pour le calcul des modes verticaux est la condition complète)</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.9</td>
      <td>Niveaux d'interface moyens et température in-situ associée avec les mêmes notations que pour les tableaux (3.7) et (3.8)</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.10</td>
      <td>Amplitudes des composantes issues de l'analyse harmonique de la marée barocline (identifiée aux déplacements de l'isotherme proche du niveau de l'interface du bi-couche équivalent) en S140</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.11</td>
      <td>Calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence normale</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.12</td>
      <td>Composante M2 de la marée barotrope</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.13</td>
      <td>Calcul de la marée interne pour une marée barotrope en incidence α = 70°</td>
      <td>65</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>