# Classification des données d'observance d'un traitement de l'apnée du sommeil à l'aide d'un modèle de mélange de régression basé sur une chaîne de Markov

Vincent Brault, Kajal Eybpoosh, Elodie Vernet, Sébastien Bailly, Jean-Louis Pepin, Adeline Samson

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Vincent Brault, Kajal Eybpoosh, Elodie Vernet, Sébastien Bailly, Jean-Louis Pepin, et al. Classification des données d'observance d'un traitement de l'apnée du sommeil à l'aide d'un modèle de mélange de régression basé sur une chaîne de Markov. 56èmes Journées de Statistique, Société Française de Statistique, Jun 2025, Marseille, France. hal-05108470

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Submitted on 12 Jun 2025

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CLASSIFICATION DES DONNÉES D'OBSERVANCE D'UN
TRAITEMENT DE L'APNÉE DU SOMMEIL À L'AIDE D'UN
MODÈLE DE MÉLANGE DE RÉGRESSION BASÉ SUR UNE
CHAÎNE DE MARKOV

Kajal Eybpoosh ¹ & Elodie Vernet ¹ & Sebastien Bailly ² & Jean-Louis Pépin ² & Adeline Samson ¹ & Vincent Brault ³

¹ Univ. Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, LJK, 38000 Grenoble, France

² Univ. Grenoble Alpes, INSERM, HP2, 38000 Grenoble, France ;

³ Univ. Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, LJK, 38000 Grenoble, France ;

vincent.brault@univ-grenoble-alpes.fr

**Résumé.** Le but est d'identifier différents types de profils d'utilisateurs de la ventilation à pression positive continue (PCC) qui est utilisé par les patients souffrant d'apnée obstructive du sommeil (AOS). Deux cent vingt-deux individus ont été équipés d'une PCC prescrite au CHU de Grenoble entre 2016 et 2018. Les profils d'adhésion au traitement sont définis à partir des données de télémédecine, à savoir l'utilisation nocturne de la PPC. Ces séries temporelles contiennent un excès de zéros pour la non-utilisation du dispositif ou le dysfonctionnement de la transmission des données. Nous proposons donc une méthode pour regrouper les profils d'adhésion en fonction de leur comportement temporel et en tenant compte de l'excès de zéros. La méthode associe un modèle de mélange et des chaînes de Markov dont la loi conditionnelle est soit une loi gaussienne soit un Dirac en zéro. Nous développons la méthode d'estimation avec un algorithme EM et discutons de la sélection du nombre de groupes par BIC qui a une forme particulière. Les propriétés sont illustrées sur données simulées.

**Mots-clés.** Classification non supervisée, Modèle de Markov, Excès de zeros, Mélange de régression, Apnée du sommeil, données de la thérapie PCC

**Abstract.** The objective is to identify several types of user profiles of continuous posi-
tive airway pressure (CPAP) used by patients suffering Obstructive Sleep Apnea (OSA). Two
hundred and twenty two subjects were equipped with CPAP prescribed at the Grenoble Uni-
versity Hospital between 2016 and 2018. Patterns of adherence are defined from telemedicine
data, namely their nightly CPAP use. These adherence time series contain an excess of ze-
ros for non-use of the device or data transmission malfunction. We thus propose a method
for clustering the adherence profiles according to their temporal behavior along day taking
into account the excess of zeros. The method combines a mixture model and Markov chains
where the conditional distribution is either Gaussian or a Dirac delta distribution in zero.
We develop the estimation method with an EM algorithm and discuss the selection of the
number of clusters by BIC which is specific for this model. The properties of the estimators
are illustrated on simulated data.

**Keywords.** Clustering, Markov Model, Excess of zeros, Mixture of regression, Sleep apnea, CPAP device data
# 1 Introduction

Un des traitements des patients souffrant d'apnée obstructive du sommeil (AOS) est l'utilisation de la ventilation à pression positive continue (PCC). Ce traitement permet d'éviter nombres d'effets secondaires (hypertension artérielle, insuffisance respiratoire, etc). Cependant, ce traitement est très lourd et beaucoup de patients l'interrompent. Les médecins s'intéressent à identifier différents profils d'adhérence au traitement parmi la population de patients, à partir de mesures quotidiennes d'utilisation de l'appareil PCC.

L'enjeu statistique est de proposer une classification de séries temporelles comportant un nombre important de valeurs nulles (correspondant aux absences d'utilisation) et de valeurs positives. Nous introduisons un modèle statistique de classification sous la forme d'un modèle de mélange de régression. Chaque modèle de régression est défini par une chaîne de Markov latente décrivant la présence de zeros et un modèle de régression linéaire lorsque le patient utilise l'appareil. Ce nouveau modèle pose un certain nombre de questions statistiques, auxquelles nous répondons d'un point de vue théorique : identifiabilité, estimation, consistance, sélection du nombre de composantes dans le modèle de mélange. Enfin, nous illustrerons ces propriétés sur des données simulées.

# 2 Les données d'observance

Le jeu de données utilisé dans ce papier a été étudié par Bottaz-Bosson et al (2021). Il inclut $n = 222$ patients qui ont commencé un traitement PCC. La variable d'intérêt est le nombre d'heures d'utilisation de l'appareil PCC par nuit durant $N = 91$ nuits. La figure 1 montre les séries temporelles de l'observance de la PCC pour 6 individus.

# 3 Le modèle statistique de mélange

On note $Y_{i,j}$ le nombre d'heures d'utilisation de l'appareil pendant la nuit $j$ par l'individu $i$, pour $j = 1, \dots, N$ et $i = 1, \dots, n$.

On suppose que les individus sont regroupés dans $K$ clusters décrivant les différents profils d'observance. On note $Z_{i,k}$, pour $k = 1, \dots, K$, la variable binaire indiquant si l'individu $i$ appartient au cluster $k$ et $P_k = P(Z_{i,k} = 1)$ la probabilité d'appartenir au cluster $k$.

Considérons un individu $i$ appartenant au cluster $k$. Son nombre d'heures $Y_{i,j}$ d'utilisation est strictement positif si l'appareil est utilisé et nul sinon. Nous introduisons un vecteur binaire latent $S_i$, de taille $N$, décrivant si l'appareil a été utilisé ou non. On suppose que le processus $S_i = (S_{i,j}, j = 1, \dots, N)$ est une chaîne de Markov décrite par sa loi initiale :

$$P(S_{i,j} = 1 | Z_{i,k} = 1) = \pi_k$$

et sa matrice de transition, pour $l, l' = 0, 1$,

$$P(S_{i,j} = l' | S_{i,j-1} = l; Z_{i,k} = 1) = A_{k;l,l'}.$$
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Séries temporelles de l'observance de la PCC durant les 91 premières nuits de 6 patients.</figcaption></figure>

On introduit maintenant le modèle décrivant la dynamique du nombre d'heures $Y_{i,j}$. Lorsque l'appareil n'est pas utilisé ($S_{i,j} = 0$), $Y_{i,j} = 0$. Sinon, c'est-à-dire si $S_{i,j} = 1$, et si l'individu est dans le cluster $k$, i.e. $Z_{i,k} = 1$ ; alors $Y_{i,j}$ suit un modèle linéaire (en temps) d'ordonnée à l'origine $a_k$ et de pente $b_k$ :

$$Y_{i,j} | S_{i,j} = 1; Z_{i,k} = 1 = a_k + j b_k + \epsilon_{i,j,k} \quad \text{avec } \epsilon_{i,j,k} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_k^2).$$

Ainsi les paramètres inconnus du modèle sont $\mathbf{P} = (P_1, \dots, P_K)$, $\mathbf{\pi} = (\pi_1, \dots, \pi_K)$, $\mathbf{A} = (A_1, \dots, A_K)$ et $\mathbf{\theta}_k = (a_k, b_k, \sigma_k)$ et on note $\mathbf{\theta} = (\mathbf{P}, \mathbf{\pi}, \mathbf{A}, \mathbf{\theta}_1, \dots, \mathbf{\theta}_K)$.

On peut remarquer que les chaînes de Markov $S_i$ non observés peuvent être facilement retrouvées comme suit :

$$S_{i,j} = 1_{Y_{ij} \neq 0}.$$

Le premier résultat que nous obtenons est l'identifiabilité du modèle, qui n'est pas automatique en raison du modèle de mélange.

**Théorème 3.1 (Identifiabilité)** On suppose que

(C1) pour tout $1 \le k \le K$,
$P_k > 0, 0 < \pi_k < 1, A_{k;1,1} > 0, A_{k;1,0} > 0, A_{k;0,0} > 0, A_{k;0,1} > 0,$

(C2) $N \ge 3$ et les $\sigma_k^2$ sont distincts,
alors le modèle est identifiable à la re-labellisation des clusters près.

# 4 Estimation des paramètres et sélection du nombre de clusters

On considère tout d'abord un nombre de clusters *K* fixé. L'estimateur du maximum de vraisemblance n'est pas explicite et on utilise l'algorithme espérance-maximisation (EM) définit comme suit pour l'approcher.

* **Initialisation** : Choisir une partition $z^{(0)}$ et faire l'étape M pour obtenir $\theta^{(0)}$.

* **Itération c, étant donnée la valeur actuelle $\theta^{(c)}$ :**

- **Étape E** : Calculer les probabilités $r_{i,k}^{(c)}$ avec

$$r_{i,k}^{(c)} = \frac{P_k^{(c)} (\pi_k^{(c)})^{S_{i,1}} (1-\pi_k^{(c)})^{1-S_{i,1}} (\prod_{j=2}^{N} A_{k;S_{i,j-1},S_{i,j}}^{(c)}) \left[ \prod_{j=1}^{N} \varphi(Y_{i,j}; a_k^{(c)} + j b_k^{(c)}, \sigma_k^{(c)})^{S_{i,j}} \right]}{\sum_{k'=1}^{K} P_{k'}^{(c)} (\pi_{k'}^{(c)})^{S_{i,1}} (1-\pi_{k'}^{(c)})^{1-S_{i,1}} (\prod_{j=2}^{N} A_{k';S_{i,j-1},S_{i,j}}^{(c)}) \left[ \prod_{j=1}^{N} \varphi(Y_{i,j}; a_{k'}^{(c)} + j b_{k'}^{(c)}, \sigma_{k'}^{(c)})^{S_{i,j}} \right]},$$

où $\varphi(Y_{i,j}; a_k^{(c)} + j b_k^{(c)}, \sigma_k^{(c)})$ est la densité gaussienne en $Y_{i,j}$ de moyenne $a_k^{(c)} + j b_k^{(c)}$ et d'écart-type $\sigma_k^{(c)}$.

- **Étape M** :

$$P_k^{(c+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)}}{n}, \quad \pi_k^{(c+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} S_{i,1}}{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)}},$$

$$A_{k;0,1}^{(c+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=2}^{N} r_{i,k}^{(c)} (1 - S_{i,j-1}) S_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} (N - 1 - \sum_{j=1}^{N-1} S_{i,j})}, \quad A_{k;1,1}^{(c+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=2}^{N} r_{i,k}^{(c)} S_{i,j-1} S_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N-1} S_{i,j}},$$

$$a_k^{(c+1)} = \frac{(\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} j^2 S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} S_{i',j'} Y_{i',j'}) - (\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} j S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} S_{i',j'} Y_{i',j'})}{(\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} j^2 S_{i',j'}) - (\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} j S_{i,j})^2},$$

$$b_k^{(c+1)} = \frac{(\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} j' S_{i',j'} Y_{i',j'}) - (\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} j S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} S_{i',j'} Y_{i',j'})}{(\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} S_{i,j}) \times (\sum_{i'=1}^{n} r_{i',k}^{(c)} \sum_{j'=1}^{N} j' S_{i',j'}) - (\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} j S_{i,j})^2},$$

$$\text{et } \sigma_k^{2(c+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} S_{i,j} (Y_{i,j} - a_k^{(c+1)} - j b_k^{(c+1)})^2}{\sum_{i=1}^{n} r_{i,k}^{(c)} \sum_{j=1}^{N} S_{i,j}}.$$

Lorsque $N \ge 3$ est fixé, on peut prouver la consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance sur un compact à la re-labellisation des clusters près.

Pour sélectionner le nombre optimal *K* de clusters, on utilise le critère d'information Bayésien (BIC) introduit par Schwarz (1978). La démarche de Lebarbier et Mary-Huard (2006) donne le critère suivant.
**Théorème 4.1 (BIC)** Supposons qu'il existe $c > 0$ tel que pour tout $k \in \{1, \dots, K\}$ et $\ell, \ell' \in \{0, 1\}$, nous avons $\pi_k \ge c$, $\pi_{k,\ell} \ge c$ and $A_{k,\ell\ell'} \ge c$. Le critère BIC est le suivant :

$$BIC(K) = - \max_{\boldsymbol{\theta} \in \Theta_K} \log p(Y, S; \boldsymbol{\theta}) + \frac{7K - 1}{2} \log(n) + 5K \log(N).$$

avec $\Theta_K$ l'espace des paramètres lorsque le nombre de clusters est égal à K et $p(Y, S; \boldsymbol{\theta})$ la vraisemblance.

# 5 Simulations

On simule des données selon le modèle décrit précédemment et selon le même modèle mais avec un bruit de Laplace au lieu de Gaussien avec des paramètres quelconques (scenario 1) et avec des paramètres estimés avec les données réels lorsqu'on choisit 3 clusters (scenario 2). Le vrai nombre de clusters est de 3. Le but est de comparer deux critères de sélection du nombre de clusters. Pour le premier (nommé “sans N”) on minimise :

$$CRIT(K) = - \max_{\boldsymbol{\theta} \in \Theta_K} \log p(Y, S; \boldsymbol{\theta}) + \frac{7K - 1}{2} \log(n)$$

Le second critère (nommé “avec N”) minimise le critère BIC du Théorème 4.1.

Les résultats de la sélection de modèle sont visibles dans la Figure 2. Dans le cas Gaussien, les deux critères sélectionnent le bon nombre de clusters (3) dans le différents scenari et pour tous les nombres d'initialisations. Dans le cas du bruit de Laplace, le critère BIC “avec N” a tendance à mieux sélectionner le nombre de clusters dans tous les scenari et pour tous les nombres d'initialisations.

# Bibliographie

Bottaz-Bosson G., Hamon A., Pépin J-L, Bailly S. et Samson A. (2021) Continuous positive airway pressure adherence trajectories in sleep apnea: Clustering with summed discrete Fréchet and dynamic time warping dissimilarities, *Statistics in Medicine* 40(24): 5373–5396.

Lebarbier É et Mary-Huard T. (2006) Une introduction au critère BIC: fondements théoriques et interprétation. *Journal de la Société française de statistique* 147(1): 39–57.

Schwarz G. (1978) Estimating the dimension of a model. *Annals of Statistics* 6: 461-464.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Estimation du nombre de clusters selon 2 scénarii avec des variances identiques et différentes (colonnes) et selon deux bruits (lignes) en fonction du nombre d'initialisations (axe des abscisses) et du critère de sélection (couleur).</figcaption></figure>