Sur la réalisation dans l'espace affine
d'une connexion linéaire
sans torsion donnée sur une variété différentiable

par T. HUSKOWSKI (Wrocław)

Soit $V_n$ une variété différentiable de classe $C^3$ avec une connexion linéaire sans torsion. Ce travail est consacré au problème d'existence dans l'espace affine, au nombre des dimensions suffisamment grand, d'une surface, sur laquelle on peut réaliser intégralement, en certain sens, la connexion donnée sur $V_n$.

On peut démontrer l'existence d'une telle surface (Théorème 1) si les conditions I et II données plus loin sont satisfaites. Le même problème est examiné pour la connexion riemanienne (Théorème 2).

1. Soit $E(V_n)$ l'espace fibré principal des repères affines de $V_n$ de groupe structural $GL(n, \mathbb{R})$. Considérons un recouvrement de $V_n$ par les voisinages $U_a$ (a parcourt un ensemble des indices) munis des systèmes de coordonnées locales et au-dessus de chaque voisinage $U_a$ choisissons une section locale de classe $C^2$ de $E(V_n)$ ([1]). Pour chaque point $u \in U_a$ nous avons alors un repère $\mathbb{R}^u$ formé des vecteurs et un corepère dual formé des formes $\omega^i(u, du)$, où $u^i$ (1) désignent les coordonnées locales dans $U_a$. La connexion linéaire sur $V_n$ peut être définie par la donnée pour chaque $U_a$ des matrices des formes $\omega_j^i(u, du)$ de classe $C^2$. Les formes $\omega$ satisfont dans l'intersection de deux voisinages à la condition classique de cohérence

$$ (1) \qquad \omega^{i'} = A_i^{i'} \omega^i, \quad \omega_{j'}^{i'} = A_{j'}^{i'} \omega_j^i A_{j'}^i + A_{j'}^{i'} dA_j^i. $$

La forme de torsion est par hypothèse nulle

$$ (2) \qquad d\omega^i + \omega_j^i \wedge \omega^j = 0. $$

Nous désignerons encore la forme de courbure de la connexion par

$$ (3) \qquad \Omega_j^i = d\omega_j^i + \omega_k^i \wedge \omega_j^k = R_{klj}^i \omega^k \wedge \omega^l. $$

<footnote>(1) Dans tout le travail $i, j, k = 1, \dots, n$, $r, s, t = 1, \dots, n+N$, $\alpha, \beta, \gamma = n+1, \dots, n+N$.</footnote>
Supposons maintenant deux conditions

**CONDITION I.** Il existe un nombre $N$ tel, que chaque voisinage $U_a$ peut être plongé dans l'espace affine $A_{n+N}$. Autrement dit, dans chaque voisinage $U_a$ on peut définir les formes $\omega_i^a, \omega_i^i$ et $\omega_\beta^a$ de classe $C^2$ qui, avec les formes $\omega^i, \omega_j^i$ satisfont aux relations

$$ (4) \qquad \begin{gathered} \omega^j \wedge \omega_j^a = 0, \qquad \omega_j^a \wedge \omega_a^k = \Omega_j^k, \\ d\omega_i^a + \omega_s^a \wedge \omega_i^s = 0, \qquad d\omega_a^i + \omega_s^i \wedge \omega_a^s = 0, \qquad d\omega_\beta^a + \omega_s^a \wedge \omega_\beta^s = 0. \end{gathered} $$

Les équations (2), (3) et (4) se déduisent des équations de structure de l'espace $A_{n+N}$ si l'on y pose $\omega^a = 0$.

Remarque. Si la connexion est analytique, il résulte du travail de M. G. F. Łaptiev [2] qu'il existe un recouvrement de $V_n$ tel, que la condition I est remplie pour $N \ge (n^2+2n-1)/2$.

**CONDITION II.** Soit $U_a \cap U_b \ne 0$. Admettons que dans chaque point $u \in U_a \cap U_b$ existe une matrice non singulière $B_\beta^a(u)$, de classe $C^2$ telle, que les formes $\omega$ dans $U_a$ et les formes $\omega'$ dans $U_b$ sont liées par les relations (1) et les formes $\omega_{i'}^a, \omega_{a'}^i, \omega_{\beta'}^a, \omega_{\beta'}^i$ par les relations

$$ (5) \qquad \omega_{i'}^a = A_{i'}^i \omega_i^a B_a^{a'}, \quad \omega_{a'}^i = B_{a'}^a \omega_a^i A_{i'}, \quad \omega_{\beta'}^a = B_{\beta'}^a \omega_\beta^a B_\beta^{a'} + B_\beta^{a'} dB_a^a. $$

Supposons que $u$ appartient aussi au voisinage $U_c$. Les matrices $B_a^{a'}, B_a^{a''}$, $B_a^{a''}$ au moyen desquelles on exprime les formes $\omega'$ par $\omega$, $\omega''$ par $\omega$ et $\omega''$ par $\omega'$ doivent satisfaire à la relation

$$ (6) \qquad B_a^{a''} = B_{a'}^{a''} B_a^{a'}. $$

Pour faire voir le sens géométrique de la condition II, considérons dans $A_{n+N}$ la surface $\mathcal{R}_a$ qui s'obtient par le plongement de $U_a$. Dans chaque point de $\mathcal{R}_a$ nous avons donc un repère formé de $n$ vecteurs $I_i$ situés dans l'hyperplan tangent à $\mathcal{R}_a$ et $N$ vecteurs $I_a$ situés dans l'hyperplan supplémentaire, qu'on peut nommer l'hyperplan normal à la surface. Les composantes du déplacement infinitésimal de ce repère sont les formes $\omega_n^r$. Soit $S \in \mathcal{R}_a$ l'image du point $u \in U_a \cap U_b$. Faisons dans une voisinage de $S$ les transformations $I_{i'} = A_{i'}^i I_i, I_{a'} = B_{a'}^a I_a$. Les composantes du déplacement infinitésimal du nouveau repère formé des vecteurs $I_{i'}, I_{a'}$ sont les $\omega_s^{r'}$.

Pour chaque voisinage $U_a$ prenons maintenant le produit cartésien $Q_a = U_a \times A_{n+N} \times K$, où $K$ est l'espace des matrices nonsingulières $\|v_s^r\|$ de degré $n+N$. Les coordonnées du point $P \in Q_a$ sont donc $(u^i, x^r, v_s^r)$.

Considérons en $Q_a$ le système des équations

$$ (7) \qquad dx^r = \omega^i v_i^r, \quad dv_s^r = \omega_s^i v_i^r. $$

On peut démontrer le lemme suivant:
**LEMME 1.** Le système des équations (7) est complètement intégrable et pour la surface integrale à n dimensions $\mathfrak{M}_a$ de ce système la projection $\pi$: $(u^i, x^r, v_s^r) \to u^i$ est un homéomorfisme.

**Démonstration.** Considérons d'abord le système (7) dans l'espace $Q'_a = U_a \times A_{n+N} \times K'$, où $K'$ est l'espace de toutes les matrices $\|v_s^r\|$ (même les singulières). Dans $Q'$ le système (7) est complètement intégrable ce qui résulte des formules (2), (3) et (4). Ainsi par le point $P \in Q'_a$ passe la surface intégrale à n-dimension, et au dessous de chaque point $(u^i)$ il y a un seul point de $\mathfrak{M}_a$. Il s'en suit que la projection $\pi$ est un homéomorfisme, car les fonctions $x^s(u^i)$ et $v_s^r(u^i)$ sont sur $\mathfrak{M}_a$ tout au moins de classe $C^1$.

Notons maintenant, que lorsque $v = |v_s^r| \neq 0$ dans le point $P$, alors dans un point quelconque $P_1 \in Q'_a$ on a aussi $v \neq 0$. Pour le démontrer joignons $P$ et $P_1$ par une chemin $u^i(t)$, $x^s(t)$, $v_s^r(t)$ de classe $C^1$ sur $\mathfrak{M}_a$. D'après les equations (7) nous avons $dv = v(t) \cdot \omega_r^r(t, dt) = v(t) \cdot \varphi(t)dt$ et par suite,

$$v = \exp \left( \int_{t(P)}^{t(P_1)} \varphi(t) dt \right).$$

Or, dans $P_1$ il est aussi $v \neq 0$. Nous pouvons donc négliger les points de $Q'$ pour lesquels $|v_s^r| = 0$; nous recevons alors l'ensemble $Q$ et tout ce qu'on a dit ci-dessus sur $\mathfrak{M}_a$ reste valable.

Des produits $Q_a$ nous construisons maintenant un autre espace fibré de base $V_n$.

Supposons que $U_a \cap U_b = 0$. Nous allons identifier les deux points $P(u^i, x^r, v_s^r) \in Q_a$ et $P'(u^{i'}, x^{r'}, v_{s'}^{r'}) \in Q_b$ qui sont au dessus d'un point $u \in U_a \cap U_b$ lorsque pour $r' = r$

$$(8) \qquad x^{r'} = x^r, \quad v_{i'}^{r'} = \frac{\partial u^k}{\partial u^{i'}} v_k^r = A_{i'}^k v_k^r, \quad v_{a'}^{r'} = B_{a'}^\beta v_\beta^r.$$

Désignons cette transformation par $T_{ab}$.

Pour trois voisinages $U_a, U_b, U_c$ dont l'intersection est non vide il est évidemment $T_{ac} = T_{cb}T_{ba}$. Or, les produits $Q_a$ donnent l'espace fibré — nous le designons par $E'(V_n)$ — à fibre $A_{n+N} \times K$ et à groupe de structure qui se compose des transformations $T_{ab}$. Dans chaque produit $Q_a \subset E'(V_n)$ le système (7) definit la famille des surfaces integrales $\mathfrak{M}_a$ à n dimensions.

Démontrons maintenant le

**LEMME 2.** Avec l'identification (8) les points de la surface $\mathfrak{M}_a$ au dessus du produit $U_a \cap U_b$ s'identifient avec les points d'une surface $\mathfrak{M}_b$. On peut dire, que les surfaces $\mathfrak{M}_a$ et $\mathfrak{M}_b$ se confondent sur le produit $U_a \cap U_b$.
Démonstration. Les surfaces $\mathfrak{M}_b$ dans $Q_b$ sont des intégrales du système

$$ (9) \qquad dx^{r'} = \omega^{i'} v_{i'}^{r'}, \quad dv_{s'}^{r'} = \omega_{s'}^{i'} v_{i'}^{r'}. $$

Dans $U_a \cap U_b$ les formes $\omega$ et $\omega'$ satisfont aux relations (1) et (5). Il suffit donc de montrer que $dx^{r'}$ et $dv_{s'}^{r'}$ déterminés par (9), sont égales aux différentes $dx^r$ et $dv_s^r$ calculées de (8) sous le condition que $dx^r$ et $dv_s^r$ satisfont (7). Alors $(r = r')$

$$ dx^{r'} = \omega^{i'} v_{i'}^{r'} = A_{i'}^{i'} \omega^j A_{i}^{k'} v_{k'}^{r'} = \omega^k v_k^r = dx^r, $$

$$ \begin{aligned} dv_{i'}^{r'} &= \omega_{i'}^{k'} v_{i'}^{r'} = \omega_{i'}^{k'} v_{k'}^{r'} + \omega_{i'}^{\alpha'} v_{\alpha'}^{r'} \\ &= (A_{i'}^{h} \omega_{h}^{m} A_{m}^{k'} + dA_{i}^{h} A_{h}^{k'}) A_{k'}^{j} v_{j}^{r'} + A_{i'}^{k} \omega_{k}^{\beta} B_{\alpha}^{\alpha'} B_{\alpha'}^{\gamma} v_{\gamma}^{r'} \\ &= A_{i'}^{h} \omega_{h}^{j} v_{j}^{r'} + dA_{i'}^{j} v_{j}^{r'} + A_{j}^{k} \omega_{k}^{\alpha} v_{\alpha}^{r'} = d(A_{i'}^{k} v_{k}^{r'}), \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} dv_{\alpha'}^{r'} &= \omega_{\alpha'}^{i'} v_{i'}^{r'} = \omega_{\alpha'}^{i'} v_{i'}^{r'} + \omega_{\alpha'}^{\beta'} v_{\beta'}^{r'} \\ &= B_{\alpha'}^{\beta'} \omega_{\beta}^{k'} A_{k'}^{i'} A_{i'}^{m'} v_{m'}^{r'} + dB_{\alpha'}^{\beta'} B_{\beta'}^{\gamma'} B_{\gamma'}^{\nu'} v_{\nu'}^{r'} + B_{\alpha'}^{\gamma'} \omega_{\gamma}^{\beta'} B_{\beta}^{\beta'} B_{\beta'}^{\delta'} v_{\delta}^{r'} \\ &= B_{\alpha'}^{\gamma'} \omega_{\gamma}^{k'} v_{k}^{r'} + B_{\alpha'}^{\gamma'} \omega_{\gamma}^{\beta'} v_{\beta}^{r'} + dB_{\alpha'}^{\gamma'} v_{\gamma}^{r'} = d(B_{\alpha'}^{\beta'} v_{\beta}^{r'}), \end{aligned} $$

c. q. f. d.

Revenons au système (7) qui est défini sur tout l'espace $E'(V_n)$. Considérons la surface intégrale maxima $\mathfrak{M}$ de ce système qui passe par un point $P \in E'(V_n)$ (c'est-à-dire la surface intégrale qui passe par $P$ et qui contient chaque surface intégrale de ce système passant par $P$). On peut montrer facilement que $\mathfrak{M}$ est l'espace de recouvrement de la variété $V_n$.

Maintenant nous allons définir une projection $f$ de la surface $\mathfrak{M}$ dans l'espace affine $A_{n+N}$.

Soit $\mathfrak{M}_a$ une surface contenue dans $\mathfrak{M}$. Les coordonnées d'un point $P \in \mathfrak{M}_a$ sont $u^i, x^r(u), v_s^r(u)$. Dans le point $P$ l'un au moins des jacobiens $J = \left|\frac{\partial x^r}{\partial u^i}\right|$ est différent de zéro (l'indice $p$ parcourt $n$ valeurs choisies parmi les nombres $1, ..., n+N$). En effet, posons $\omega^i = a_k^i du^k$ dans les équations (7) ($|a_k^i| \neq 0$). Nous obtiendrons ainsi

$$ \left| \frac{\partial x^p}{\partial u^i} \right| = |a_i^j v_j^p| = |a_i^j| \cdot |v_j^p|. $$

Si $|v_s^r| \neq 0$, il sera $|v_j^p| \neq 0$ pour un au moins système de valeurs $p$, de même $J \neq 0$. Soit $\Omega$ un voisinage du point $P$ dans lequel $J \neq 0$. La projection

$$ f: (u^i, x^r, v_s^r) \to x^r $$

du voisinage $\Omega$ dans l'espace $A_{n+N}$ donne une feuille de surface dans $A_{n+N}$. Ainsi $f(\mathfrak{M}_a) = \mathfrak{M}_a$ c'est une surface dans $A$ définie sur $U_a$.
Prenons maintenant dans le point $S \in \mathbb{R}_a$ le système des vecteurs $I_s$ aux coordonnées $v_s^r(u)$. D'après les formules (7) les vecteurs $I_t$ sont tangents à la surface $\mathbb{R}_a$ et les vecteurs $I_a$ sont situé dans l'hyperplan normal. Les formes de la connexion induite sur $\mathbb{R}_a$ sont donc les $\omega_j^i$.

Considérons la projection $f$ pour toute la surface $\mathcal{M}$. Nous obtenons ainsi dans l'espace $\mathcal{A}_{n+N}$ la surface $\mathbb{R}$ sur laquelle les formes de connexion induite sont les formes de connexion $\omega_j^i$ de la variété $V_n$.

Nous pouvons donc énoncer le

**THÉORÈME 1.** Si pour la variété differentiable $V_n$ de classe $C^3$, sans torsion, les conditions I et II sont satisfaites, il existe dans l'espace affine $\mathcal{A}_{n+N}$ une surface $\mathbb{R}$ définie sur $V_n$ et telle que dans le point $S \in \mathbb{R}$ qui correspond au point $u \in V_n$ les formes de connexion sur $\mathbb{R}$ sont les formes de connexion de la variété $V_n$ dans le point $u$. Autrement dit, l'objet de connexion dans le point $S$ est égal au l'objet de connexion de la variété $V_n$ dans le point $u$.

Remarque. La surface $\mathbb{R}$ est le $f$-image de la surface $\mathcal{M}$ qui est un espace de recouvrement de $V_n$. Si la variété $V_n$ est simplement connexé elle est homéomorphe de $\mathcal{M}$. Si en outre la surface $\mathbb{R}$ n'a pas des points d'autosection ou d'autocontact elle est un plongement de la variété $V_n$.

Ajoutons encore que la surface $\mathbb{R}$ est déterminée jusqu'à sa position dans $\mathcal{A}_{n+N}$. En effet, le système (7) étant complètement intégrable la surface $\mathcal{M}$ est déterminée par le point $P(u_0^i, x_0^r, v_{s,0}^r)$ c'est-à-dire la surface $\mathbb{R}$ est déterminée par le point $(x_0^r)$ et le repère formé des vecteurs $I_s(v_{s,0}^r)$.

**2.** On peut appliquer les raisonnements du n°1 à la variété riemannienne $V_n$ à métrique $ds^2$ de classe $C^3$. Dans ce cas, les repères $R^u$ sur $V_n$ étant orthonormales, on a $\omega_i^j = -\omega_j^i$ et les matrices $\|A_j^j\|$ dans (1) sont orthogonales. Conditions I et II prennent alors la forme suivante:

**CONDITION I'.** Il existe un nombre $N$ tel que chaque voisinage $U_a$ peut être plongé dans l'espace euclidien $E_{n+N}$. Autrement dit, dans chaque voisinage $U_a$ on peut définir les formes $\omega_a^i = -\omega_i^a$ et $\omega_\beta^a = -\omega_a^\beta$ de classe $C^2$ qui avec les formes $\omega^i$ et $\omega_j^i$ satisfont aux relations (4) (on peut omettre la quatrième de ces equations).

Il résulte du théorème de Schlaefli que si la métrique dans $V_n$ est analytique la condition I' est remplie pour $N \ge n(n+1)/2$.

**Condition II'** se confond avec II. Il faut seulement ajouter que les matrices $\|B_\beta^a\|$ sont orthogonales.

On définit maintenant les produits $Q_a = U_a \times E_{n+N} \times K$, où $K$ est l'espace des matrices orthogonales $\|v_s^r\|$. Toutes les constructions et les démonstrations du n° 1 restant valables, il ne faut que compléter la démonstration du lemme 1. Nous devons démontrer que si la matrice $\|v_s^r\|$
est orthogonale dans un point $P_1 \in \mathfrak{M}_a$, elle est aussi orthogonale dans un point quelconque $P_1 \in \mathfrak{M}_a$. Joignons dans ce but les points $P$ et $P_1$ par une courbe $u^i(t), x^i(t), v_s^i(t)$ sur $\mathfrak{M}_a$ et considérons les fonctions $\varphi_{sr}(t) = \sum_p v_s^p(t)v_r^p(t)$. Il résulte des equations (7) que

$$ (10) \qquad \frac{d\varphi_{sr}}{dt} = \omega_s^u(t, dt)\varphi_{ur} + \omega_r^u(t, dt)\varphi_{sr}. $$

Dans le point $P$, c'est-à-dire pour $t = t_0$, on a $\varphi(t_0)_{sr} = \delta_{sr}$. Les équations (10) ont les seules solutions qui prennent les valeurs $\delta_{sr}$ pour $t = t_0$, à savoir les $\varphi(t)_{sr} \equiv \delta_{sr}$. Par suite, dans le point $P_1$ la matrice $\|v_s^i\|$ est orthogonale.

Dans le cas envisagé la surface $\mathfrak{R} = f(\mathfrak{M})$ est à métrique $ds^2 = \sum (\omega^i)^2$ et par suite, le tenseur métrique est le même que celui de $V_n$. Nous obtenons ainsi

**THÉORÈME 2.** Si pour la variété riemannienne $V_n$ de classe $C^3$ les conditions I' et II' sont satisfaites, il existe dans l'espace euclidien $E_{n+N}$ une surface $\mathfrak{R}$, définie sur $V_n$ et telle que dans le point $S \in \mathfrak{R}$ qui correspond au point $u \in V_n$ le tenseur métrique est égal au tenseur métrique de $V_n$ dans $u$.

On peut répéter ici la remarque du n°1.

3. Pour formuler nos considérations en langue tensorielle posons $\omega_i^a = h_{ij}^a \omega^j, \omega_a^i = b_{aj}^i \omega^j, \omega_\beta^a = c_{\beta j}^a \omega^j$ (dans le cas de la variété riemannienne $b_{aj}^i = -h_{ij}^a$). La condition I prend alors la forme suivante: il existe un nombre $N$ tel que dans chaque voisinage $U_a$ on peut définir les champs de $N$ tenseurs $h_{ij}^a$, de $N$ tenseurs $b_{aj}^i$ et de $N^2$ vecteurs $c_{\beta j}^a$ tous de classe $C^2$, de telle façon qu'ils satisfassent aux équations

$$ h_{ij}^a = h_{ji}^a, \quad h_{jk}^a b_{am}^i - h_{jm}^a b_{ak}^i = R_{kmj}^i, $$

$$ \nabla_m h_{jk}^a - \nabla_k h_{jm}^a = h_{jk}^\beta c_{\beta m}^a - h_{jm} c_{\beta k}^a, $$

$$ \nabla_m b_{ak}^i - \nabla_k b_{am}^i = b_{jk}^i c_{am}^\beta - b_{\beta m}^i c_{ak}^\beta, $$

$$ \nabla_m c_{\beta k}^a - \nabla_k c_{\beta m}^a = c_{\beta k}^\gamma c_{\gamma m}^a - c_{\beta m}^\gamma c_{\gamma k}^a + b_{\beta k}^i h_{im}^a - b_{\beta m}^i h_{ik}^a. $$

Ce sont évidement les équations de Gauss-Codazzi-Ricci pour la surface qui est un plongement de $U_a$.

Les formules (5) de la condition II prennent alors la forme

$$ h_{i'j'}^{a'} = B_{\beta}^{a'} h_{km}^{\beta} A_{i'}^{k} A_{j'}^{m}, \quad b_{aj'}^{k'} = A_{i}^{k'} b_{\beta m}^{i} B_{a}^{\beta} A_{j'}^{m}, $$

$$ c_{\beta'j'}^{a'} = B_{\gamma}^{a'} c_{\beta k}^{\gamma} B_{\beta'}^{\beta'} A_{j'}^{k} + B_{\gamma}^{a'} \frac{\partial B_{\beta'}^{\gamma}}{\partial u^{k}} A_{j'}^{k}. $$

En réconfortant la condition I on peut supposer que les champs des tenseurs $h_{ij}^a, b_{aj}^i, c_{\beta j}^a$ sont définis dans toute la variété $V_n$. La condition II est alors inutile ($B_{\beta}^{a} = \delta_{\beta}^{a}$).
Des théorèmes 1 et 2 nous obtenons des théorèmes qui peuvent être regardés comme la généralisation globale des théorèmes fondamentaux de la géométrie différentielle affine ou euclidienne, pour les surfaces à $n$ dimensions dans l'espace à $n+N$ dimensions.

Citons comme exemple le théorème suivant (N = 1).

Si l'on a sur la variété differentiable $V_n$ de classe $O^s$ le tenseur métrique $g_{ij}$ et le tenseur symétrique $h_{ij}$ qui satisfont aux équations de Gauss-Codazzi, il existe dans l'espace euclidien $E_{n+1}$ une surface à $n$ dimensions, définie sur $V_n$, dont les tenseurs de la première et de deuxième forme quadratique sont exactement $g_{ij}$ et $h_{ij}$.

Ce théorème généralise pour $n$ quelconque le théorème de M. Sasaki [3].

## Travaux cités

[1] A. Lichnerowicz, *Théorie globale des connexions et des groupes d'holonomie*, Roma 1955.

[2] Г. Ф. Лаптев (G. F. Łaptiev), *О погружении пространства аффинной связи* в аффинное пространство, ДАН 41 (1943), p. 329.

[3] S. Sasaki, *A global formulation of the fundamental theorem of the theory of surfaces in three dimensional Euclidean space*, Nagoya Math. Journ. 13 (1958), pp. 69-82.

Reçu par la Rédaction le 6. 3. 1963