Des jauges manganin possédant plusieurs éléments sensibles ont également été développées, notamment au Lawrence Livermore Laboratory [Teipel, 2005]. Constituées de six éléments, ces jauges sont disposées sur un plan incliné lors de tests du coin, comme on peut le voir sur la Figure 114. Ce type de montage, qui est généralement celui utilisé pour calibrer les modèles Lee-Tarver, permet d'obtenir la pression à plusieurs profondeurs, ainsi qu'une chronométrie. Cependant, il est difficile d'évaluer l'influence d'une jauge sur l'autre. Ces jauges demeurent intrusives.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure 114 : Jauge manganin multi-éléments (à gauche [Teipel, 2005]) et exemple de disposition dans un test du coin (à droite [Urtiew, 2008])</figcaption></figure>

Quel que soit le soit le type de jauge utilisé, la principale difficulté de cette métrologie est la détermination du coefficient de piézorésistivité. Nous y consacrerons un paragraphe par la suite.

### III.2.4.2 Mesure de vitesse matérielle

Les jauges électromagnétiques de vitesse matérielle, appelées par la suite jauges multibrins, sont les jauges de mesure à cœur les plus utilisées pour l'étude de la transition choc détonation, par exemple dans [Gustavsen, 1999]. Le principe de fonctionnement d'une jauge multibrins est le même que celui d'un tracker de choc présenté au paragraphe III.2.2.1.4. Le brin est mis en mouvement par le passage du choc. Cette jauge étant placée à l'intérieur d'un champ magnétique uniforme et constant, une force électromotrice est créée aux bornes de la jauge. La mesure de cette grandeur permet de remonter à la vitesse matérielle dans le matériau.

Ce type de jauge a principalement été développé au Los Alamos National Laboratory (LANL), dès les années 1980. Toujours couplées à un ou plusieurs trackers (Figure 115), les jauges multibrins permettent d'obtenir énormément d'informations lors d'un seul essai d'impact plan, comme on peut le voir sur la Figure 116 :

* le diagramme de marche, en utilisant les nombreuses positions des trackers et les temps d'arrivée de la discontinuité à chaque brin,

* un point de l'Hugoniot de l'explosif inerte, grâce à la vitesse du choc au début du phénomène de TCD, ainsi que la vitesse matérielle associée,

* autant de mesures continues de vitesse matérielle qu'il y a de brins dans la jauge,

* la vitesse de détonation établie,
* la profondeur d'amorçage.

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure 115 : Jauge multibrins, exemple de géométrie (à gauche), insertion de la jauge dans l'échantillon (au centre) et configuration globale d'un essai d'impact plan (à droite) [Sheffield, 1999]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure 116 : Résultats obtenus à l'aide d'une jauge multibrins [Gustavsen, 2001]</figcaption></figure>

Cette grande quantité d'informations disponible a permis d'étudier, au cours de la dernière décennie, l'influence de nombreux paramètres sur l'amorçage par choc des explosifs comme la porosité initiale et le vieillissement [Gustavsen, 2002], la désensibilisation par un premier choc [Sollier, 2010] ou le comportement sous l'effet d'un choc non soutenu [Burns, 2012].

A la fin des années 2000, l'exploitation des résultats des jauges multibrins a été poussée plus avant. Aussi, dans le cas d'études sur des explosifs comprimés à base d'octogène ou de TATB, la grande précision des diagrammes de marche obtenus à l'aide des jauges multibrins et des trackers a récemment permis de progresser dans la modélisation des phénomènes de contournement et d'extinction [Souers, 2009].

Cependant, l'intrusivité de ce type de jauge, et l'impossibilité de les utiliser au sein d'un explosif aluminisé, nous ont fait leur préférer les jauges manganin. De plus, on peut noter qu'une étude très complète sur l'utilisation de ces jauges, réalisée au CEG au début des années 1990 [Cau, 1993], a mis en évidence des problèmes qui pouvaient être liés à l'intégration de ce type de jauge dans un échantillon d'explosif. Les auteurs, en réalisant des expérimentations de choc simple, de double choc et de compression par rampe, ont montré que le positionnement même
des jauges multibrins, incliné par rapport à la propagation du choc, pouvait aboutir à des mesures
qui ne correspondaient pas réellement à la configuration unidimensionnelle qui était recherchée.

### III.2.5 Synthèse

A l'issue de ce passage en revue des métrologies, nous avons donc choisi de retenir les
suivantes pour nos expérimentations d'impact plan :

* les aiguilles piézoélectriques pour la chronométrie du diagramme de marche et la mesure de la profondeur de transition à la détonation,

* les jauges manganins (haute ou basse impédance selon les cas) pour le contrôle de la pression de sollicitation,

* les aiguilles piézoélectriques ou à micro-contact pour la mesure de la vitesse et du tilt du projectile à l'impact. Nous verrons que nous nous sommes orientés par la suite vers la vélocimétrie hétérodyne pour la mesure de la vitesse projectile.

En plus de ces métrologies éprouvées, nous avons également souhaité intégrer deux métrologies continues et innovantes dans le cadre de l'étude de la TCD, le radio-interféromètre et les fibres optiques à réseau de Bragg. Le paragraphe suivant présente les différentes configurations expérimentales mises en place pour les essais d'impact plan.

## III.3 Essais d'impact plan soutenu : les essais pop-plot

Ce paragraphe présente dans un premier temps les différentes configurations expérimentales qui ont été retenues pour les essais d'impact plan soutenu. Nous donnerons ensuite les résultats obtenus, puis une discussion sur ces derniers.

### III.3.1 Configurations expérimentales

#### III.3.1.1 Configuration initiale

La première configuration expérimentale est présentée Figure 118. L'échantillon d'explosif soumis à essai est usiné en forme de double coin de 80 mm de diamètre et possédant un angle à sa base de 30°. Cet angle permet de s'assurer que les détentes latérales ne viendront pas perturber le phénomène de TCD. La pression à l'interface entre la plaque de transfert et l'explosif est mesurée à l'aide d'une jauge piézorésistive basse impédance en alliage manganin de résistance 13 mΩ, insérée dans une rainure de 0,3 mm de profondeur et 12 mm de large, que l'on peut voir sur la Figure 117.
<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure 117 : Usinage de la base d'un coin d'explosif</figcaption></figure>

La chronométrie de l'onde de choc transmise dans le massif d'explosif, aussi appelée
diagramme de marche, est mesurée à l'aide de douze aiguilles piézoélectriques placées sur
chaque côté du coin. La position des aiguilles de chronométrie est contrôlée précisément après
assemblage à l'aide d'une machine à mesurer tridimensionnelle. Cette position est définie
comme le point d'intersection entre l'axe du cylindre formé par l'aiguille et la surface du coin.
En prenant en compte le défaut de planéité de cette surface, la position des aiguilles est ainsi
connue avec une incertitude de l'ordre de 0,03 mm [Manlay, 2010].

Une panne du radio-interféromètre ne nous a pas permis d'intégrer cette métrologie sur
cette configuration expérimentale. Le diagnostic du dysfonctionnement, l'identification du
composant défectueux et le suivi des réparations nous ont occupés plusieurs semaines entre juin
2014 et mars 2015. A l'issue de cette période, le RIF a pu être mis en place sur une configuration
améliorée.

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure 118 : Représentation schématique de la première configuration expérimentale (à gauche) et visualisation du montage à la bouche du lanceur (à droite)</figcaption></figure>

La vitesse, le tilt et l'azimut du projectile, définis Figure 119, sont mesurés à l'aide de
six aiguilles à court-circuit placées à l'intérieur de l'enceinte à vide à trois hauteurs différentes,
comme on peut le voir sur la Figure 120.
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure 119 : Définition géométrique du tilt et de l'azimut du projectile au moment de l'impact</figcaption></figure>

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 120 : Positionnement des aiguilles à court-circuit pour les mesures de tilt et de vitesse projectile, vue de la face arrière de l'enceinte à vide (à gauche) et vue de la coupe AA (à droite)</figcaption></figure>

Le principal inconvénient de cette configuration est que l'on mesure de façon couplée l'angle du tilt, son orientation et la vitesse du projectile. En effet, si on mesure indépendamment la vitesse projectile, les temps de déclenchement des différentes aiguilles doivent se trouver sur une sinusoïde définie par l'équation (66). Dans cette équation, $T_n$ est le temps de déclenchement de l'aiguille $n$ et $\theta_n$ sa position angulaire. Les trois autres termes sont des constantes à déterminer à partir des résultats expérimentaux.

$$T_n = A_{cp} + B_{cp}\cos(\theta_n - \phi) \qquad (66)$$

Une fois déterminée, la constante $A_{cp}$ donne le temps d'arrivée moyen du projectile sur la face impactée, $\Phi$ l'azimut du tilt, la valeur du tilt étant donnée par l'équation (67), où $r_{cp}$ est le rayon sur lequel sont placées les aiguilles et $v_{proj}$ la vitesse du projectile.

$$\text{tilt} = \frac{v_{proj}B_{cp}}{r_{cp}} \qquad (67)$$
Dans notre cas, la vitesse du projectile est également un paramètre à déterminer à partir des temps de déclenchement des aiguilles, nous donnant une fonction de deux variables à recaler, comme on peut le voir sur la Figure 121.

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure 121 : Détermination du tilt du projectile lorsque la vitesse projectile est mesurée par ailleurs (à gauche, [De Forge, 1993]) et dans le cas contraire, exemple du tir CA14094 (à droite)</figcaption></figure>

Malheureusement, cette configuration a posé quelques problèmes pour la détermination précise du tilt à l'impact, paramètre qui possède une influence notable sur l'établissement des diagrammes de marche, comme nous le verrons dans le paragraphe III.3.2.3. La configuration expérimentale a donc été modifiée.

### III.3.1.2 Configuration améliorée

Dans cette nouvelle configuration, la vitesse du projectile est mesurée à l'aide de deux têtes optiques reliées à un Interféromètre Doppler Fibré (IDF) ou à une baie de Vélocimétrie Hétérodyne (VH) selon les cas, ce qui nous assure une meilleure incertitude sur la mesure, inférieure à 1 %. Le tilt et son orientation sont alors mesurés de façon indépendante de la vitesse à l'aide de quatre aiguilles piézoélectriques placées sur la surface d'impact comme on peut le voir sur la Figure 122.
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure 122 : Nouvelle implantation pour la mesure du tilt et de la vitesse projectile</figcaption></figure>

Pour cette nouvelle configuration, nous avons également décidé de doubler le nombre d'aiguilles piézoélectriques sur l'une des faces du coin afin d'améliorer la résolution du diagramme de marche et d'intégrer deux métrologies continues, le radio-interféromètre et le BraggFast. Ces deux méthodes de mesures seront traitées en détail dans le paragraphe III.4. Le radio-interféromètre est mis en place sur un méplat de 20 mm de côté, à 17 mm de la base du coin. La fibre optique à réseau de Bragg est insérée dans un trou de 0,8 mm de diamètre, orthogonalement à la base du coin. Une photographie d'un coin d'explosif à l'issue de l'usinage est donnée sur la Figure 123. Il est important de noter que la précision nécessaire pour l'usinage, notamment la planéité des deux plans inclinés, la réalisation du méplat, du perçage, et le contrôle tridimensionnel de la géométrie une fois l'usinage achevé, nécessitent un temps de préparation important, environ une journée par coin.

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure 123 : Coin d'explosif après usinage</figcaption></figure>

La configuration améliorée est présentée Figure 124.
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure 124 : Représentation schématique de la configuration améliorée (à gauche) et exemple d'implantation dans la casemate (à droite)</figcaption></figure>

### III.3.1.3 Intégration de la jauge 50 Ω

Lors des premiers essais, nous nous sommes aperçus que les signaux de pression obtenus avec les jauges 13 mΩ étaient très bruités. Afin d'améliorer cette mesure, nous avons donc choisi d'intégrer des jauges 50 Ω à la place des jauges basse impédance. Conditionnées à l'aide d'un pont de Wheatstone, et possédant un coefficient de piézorésistivité bien défini, les jauges 50 Ω sont normalement utilisables jusqu'à 150 kbar environ, et pouvaient donc être intégrées sur les tirs hexolite. Pour cela, l'usinage des coins a été légèrement modifié, la nouvelle rainure de jauge mesurant 0,1 mm de profondeur et 8 mm de large. Les jauges 50 Ω étant des jauges en M, nous avons pu en intégrer deux têtes bêches dans la rainure, selon la configuration présentée sur la Figure 125, afin d'évaluer la reproductibilité de la mesure. Notons également que, dans cette configuration comme dans les autres, toutes les métrologies sont décalées les unes par rapport aux autres, afin d'éviter les perturbations mutuelles.

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>Figure 125 : Intégration des métrologies dans la configuration améliorée 50 Ω</figcaption></figure>

### III.3.1.4 Synthèse sur les configurations expérimentales

Les tirs sur hexolite ont été réalisés avec un impacteur en aluminium (Al) de 88 mm de diamètre et 15 mm d'épaisseur, la plaque de transfert étant également en aluminium et mesurant 5 mm d'épaisseur. Pour les tirs sur ontalite, l'impacteur est en cuivre (Cu), de 96 mm de
diamètre et 10 mm d'épaisseur alors que la plaque de transfert est en aluminium et mesure 12 mm d'épaisseur. Les vitesses de projectile attendues ont été déterminées par des calculs 1D à partir de données disponibles dans la littérature pour les hexolites [Urtiew, 2008] et des données sur la B2214, un explosif composite à l'ONTA [Baudin, 2014], pour les ontalites. Le résumé des différentes campagnes est donné dans le Tableau 18.

<table><caption>Tableau 18 : Configurations des impacts plans soutenus réalisés</caption><thead><tr><th>Période</th><th>Tir</th><th>Impacteur</th><th>Plaque transfert</th><th>Vitesse projectile attendue (m/s)</th><th>Explosif</th><th>Configuration</th><th>Jauge</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">09/2014</td><td>CA 14094</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1100</td><td>Hexolite 1</td><td>Initiale</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 14101</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1500</td><td>Hexolite 1</td><td>Initiale</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 14102</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>1690</td><td>Ontalite 1</td><td>Initiale</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 14105</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>1850</td><td>Ontalite 1</td><td>Initiale</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td rowspan="2">03/2015</td><td>CA 15022</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1300</td><td>Hexolite 1</td><td>Améliorée</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 15023</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>2050</td><td>Ontalite 1</td><td>Améliorée</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td rowspan="6">11-12 /2015</td><td>CA 15110</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1100</td><td>Hexolite 2</td><td>Améliorée</td><td>50 Ω</td></tr><tr><td>CA 15111</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1500</td><td>Hexolite 2</td><td>Améliorée</td><td>50 Ω</td></tr><tr><td>CA 15116</td><td>Al</td><td>Al</td><td>1300</td><td>Hexolite 2</td><td>Améliorée</td><td>50 Ω</td></tr><tr><td>CA 15092</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>1690</td><td>Ontalite 2</td><td>Améliorée</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 15119</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>1850</td><td>Ontalite 2</td><td>Améliorée</td><td>13 mΩ</td></tr><tr><td>CA 15123</td><td>Cu</td><td>Al</td><td>2050</td><td>Ontalite 2</td><td>Améliorée</td><td>13 mΩ</td></tr></tbody></table>

### III.3.2 Résultats expérimentaux

Ce paragraphe présente les résultats bruts issus de ces campagnes expérimentales, et le traitement des données associées. Une discussion sur ceux-ci sera proposée au paragraphe III.3.3.

#### III.3.2.1 Mesures de pression d'interface

##### III.3.2.1.1 Coefficients de piézorésistivité

Comme cela a été mentionné au paragraphe III.2.4.1.1, une jauge manganin est basée sur le comportement piézorésistif de cet alliage. Lorsqu'une pression lui est appliquée, sa résistance varie, en première approximation linéairement, selon la relation (68) dans laquelle $k$ est le coefficient de piézorésistivité.

$$P - P_0 = k \frac{R - R_0}{R_0} \qquad (68)$$

Il est généralement déterminé en utilisant les jauges dans des essais d'impact plan avec des matériaux aux caractéristiques sous choc parfaitement connues. La mesure de la variation de résistance aux bornes de la jauge et la connaissance théorique de la pression de choc attendue permettent de déterminer ce coefficient. Il peut notamment varier en fonction de la composition chimique précise du manganin, de la géométrie de la jauge ou des traitements thermiques auxquels elle a pu être soumise [Chapman, 2009].
On trouve relativement peu de résultats de calibrage dans la littérature. Au Lawrence Livermore par exemple, le calibrage réalisé en 1980 par Vantine *et al.* [Vantine, 1980-b] est toujours utilisé ([Urtiew, 2008], [Vandersall, 2015]). Concernant les jauges haute impédance, le calibrage de Rosenberg *et al.* [Rosenberg, 1980] est encore couramment utilisé comme dans [Mendes, 2011].

Au CEA Gramat, les jauges 50 Ω ont été calibrées finement au début des années 1980 par M. Perez [Perez, 1980] à l'aide de 28 essais et d'une cinquantaine de points sur la courbe d'étalonnage. Durant la période de la thèse, quatre stages d'apprentissage successifs ont été dédiés à l'amélioration de la mesure de pression. Des tirs de calibrage supplémentaires ont été réalisés sur les jauges 50 Ω [Favarel, 2013] et une étude approfondie des conditions expérimentales a permis de réduire grandement l'incertitude sur le coefficient de piézorésistivité [Peix, 2015]. Les jauges 13 mΩ n'ont quant à elles jamais été calibrées. Cependant, des études réalisées au CEA Gramat ont montré que le coefficient de piézorésistivité dépendait principalement de la nuance de manganin utilisée, et peu de l'impédance initiale ou de la géométrie. C'est pour cette raison que le coefficient de piézorésistivité issu de [Peix, 2015] est également utilisé pour les jauges basse impédance.

Les études de calibrage sont regroupées dans le Tableau 19 ainsi que sur les figures suivantes.

<table><caption>Tableau 19 : Récapitulatif des études de calibrage des jauges manganin</caption><thead><tr><th>Type de jauge</th><th>Référence</th><th>Impédance</th><th>Nuance (Cu, Mn, Ni en %)</th><th>Plage de calibrage</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Basse impédance</td><td>[De Carli, 1976]</td><td>50 mΩ</td><td>86 / 10 / 4</td><td>~ 10 à 800 kbar</td></tr><tr><td>[Erikson, 1979]</td><td>62 mΩ</td><td>85,9 / 9,5 / 4 avec 0,5 Fe et 0,1 Si</td><td>~ 10 à 600 kbar</td></tr><tr><td>[Vantine, 1980-b]</td><td>32 mΩ</td><td>non précisée</td><td>~ 10 à 400 kbar</td></tr><tr><td>[Guillamot, 1981]</td><td>32 mΩ</td><td>84 / 12 / 4</td><td>entre 292 et 760 kbar</td></tr><tr><td rowspan="6">Haute impédance</td><td>[Chartagnac, 1983]</td><td>60 mΩ</td><td>86 / 12 / 2</td><td>~ 100 à 800 kbar</td></tr><tr><td>[Duan, 2011]</td><td>100 -200 mΩ</td><td>non précisée</td><td>~ 10 à 530 kbar</td></tr><tr><td>[Perez, 1980]</td><td>50 Ω</td><td>84 / 12 / 4</td><td>~ 20 à 200 kbar</td></tr><tr><td>[Rosenberg, 1980]</td><td>48 Ω</td><td>84 / 12 / 4</td><td>~ 0 à 180 kbar</td></tr><tr><td>[Duan, 2011]</td><td>50 Ω</td><td>non précisée</td><td>~ 10 à 120 kbar</td></tr><tr><td>[Favarel, 2013]</td><td>50 Ω</td><td>84 / 12 / 4</td><td>~ 40 à 90 kbar</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>Figure 126 : Courbes de calibrage pour les jauges manganin basse impédance</figcaption></figure>

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>Figure 127 : Courbes de calibrage pour les jauges manganin haute impédance</figcaption></figure>

### III.3.2.1.2 Acquisitions

Les jauges basse impédance sont utilisées dans un montage potentiométrique. Elles sont alimentées à l'aide d'une source impulsionnelle en courant, qui délivre 20 A, pendant quelques centaines de microsecondes lors de la mesure, afin d'éviter tout échauffement de la jauge. Des mesures de courant, réalisées sur plusieurs expérimentations, ont montré que l'intensité au niveau de la branche de la jauge était constante au cours de l'essai, même au moment du choc.
Ainsi, la mesure de la tension aux bornes de la jauge permet de déterminer la variation de sa résistance par simple application de la loi d'Ohm. Les études réalisées ont permis d'établir pour chaque tir deux courbes enveloppes représentant les incertitudes positive et négative de la mesure. Elles sont déterminées à partir de la connaissance des incertitudes sur le coefficient de piézorésistivité et de celles liées aux différents appareils de mesures.

Des exemples de résultats sont donnés sur la Figure 128 pour un tir sur hexolite et sur la Figure 129 pour un tir sur ontalite. On note que les acquisitions expérimentales sont très bruitées. Cela est principalement lié au montage électrique potentiométrique. Nous avons cependant extrait une valeur de pression de plateau pour chaque tir en faisant une moyenne sur environ 300 ns. L'incertitude de mesure que nous avons retenue est la valeur moyenne de la courbe d'incertitude positive, prise sur la même plage temporelle.

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>Figure 128 : Signal de pression mesuré sur un tir hexolite, exemple du tir CA 14101</figcaption></figure>

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>Figure 129 : Signal de pression mesuré sur un tir ontalite, exemple du tir CA 14105</figcaption></figure>

Afin d'améliorer les acquisitions des signaux de pression, nous avons remplacé les jauges basse impédance par des jauges 50 Ω pour les tirs sur hexolite 2. Ces jauges sont intégrées dans
un montage en pont de Wheatstone présenté sur la Figure 130. La jauge est située sur l'une des branches du pont, une résistance variable R1 permettant d'équilibrer le pont au repos. Les résistances R2 et R3 sont fixes et de valeur égale. Lors d'un essai, où d'un étalonnage électrique, les deux tensions d'alimentation $V^+$ et $V^-$, et la tension de mesure au milieu du pont $V_{mes}$, sont enregistrées.

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>Figure 130 : Représentation schématique de l'implantation d'une jauge 50 Ω [Peix, 2015]</figcaption></figure>

Contrairement aux jauges 13 mΩ, l'obtention de la variation de résistance de la jauge ne s'obtient pas directement par la loi d'Ohm. Il est nécessaire de réaliser un calibrage de chaque pont de Wheatstone avant tir. Pour cela, une résistance variable remplace la jauge. On choisit différentes valeurs pour cette résistance et on effectue un déclenchement de l'alimentation impulsionnelle en mesurant les tensions $V^+$, $V^-$ et $V_{mes}$. Le calibrage électrique du pont est obtenu en traçant la relation :

$$ \frac{R - R_0}{R_0} = f\left(\frac{V_{mes}}{V^+ - V^-}\right). \qquad (69) $$

Ainsi, la mesure des différentes tensions permet de calculer la variation de résistance de la jauge, et donc la pression. Ce type de montage, et les études menées sur la caractérisation des incertitudes ont permis d'obtenir des mesures de pression à cœur d'explosifs soumis à des chocs plans soutenus avec une incertitude de 6 à 9 % [Lefrançois, 2015].

Nous avons intégré ces jauges sur trois expérimentations, définies dans le Tableau 18. Malheureusement, aucun de ces tirés n'a donné de résultat exploitable au niveau de la mesure de pression. Ce problème, représenté sur la Figure 131, est lié à la trop grande désadaptation d'impédance entre la plaque transfert en aluminium et l'explosif. En effet, si on cherche à mesurer une pression d'interface équilibrée de l'ordre de 6 GPa, la pression dans la plaque transfert avant le débouché du choc dans l'explosif est d'environ 10 GPa. Or, la jauge « voit » cette pression au moment du débouché du choc, le temps d'équilibrage de la pression dans la jauge étant de l'ordre de 200 ns. Ainsi, même si la plage d'utilisation est respectée, ces jauges n'ont pas résisté et ont cassé environ 100 ns après le débouché du choc.
<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>Figure 131 : Mise en évidence du problème lié à la désadaptation d'impédance</figcaption></figure>

### III.3.2.2 Shock polar matching

Grâce à ces mesures de pression d'interface, et en supposant que nous connaissons avec une bonne précision les polaires de choc des matériaux constituant l'impacteur et la plaque de transfert, nous pouvons calculer un état d'Hugoniot non réagi pour chaque expérimentation par la méthode classique appelée « *shock polar matching* ». Cette méthode a, par exemple, été utilisée récemment par P. Urtiew *et al*. pour déterminer une polaire de choc de la Composition B-3 [Urtiew, 2008]. En symétrisant la polaire de choc de l'impacteur et en lui imposant comme origine la vitesse du projectile, le niveau de pression mesuré nous permet de déterminer un niveau de vitesse matérielle correspondant. Dans le cas où l'impacteur et la plaque transfert sont constitués de deux matériaux différents, une étape supplémentaire est nécessaire, comme on peut le voir sur la Figure 132.

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>Figure 132 : *Shock polar matching* pour l'hexolite 1 (à gauche) et exemple pour l'ontalite 1 (à droite)</figcaption></figure>
### III.3.2.3 Chronométrie, détermination du diagramme de marche

Pour toutes les expérimentations, le signal de chaque aiguille piézoélectrique est enregistré sur un numériseur Agilent modèle Acqiris DC 271. Ces enregistrements permettent de mesurer le temps de déclenchement des aiguilles avec une précision de l'ordre de la ns.

Cependant, comme cela a déjà été mentionné dans le paragraphe III.3.1, le tilt du projectile peut avoir une influence importante sur la détermination du diagramme de marche dans le coin d'explosif. Ainsi Gustavsen et al. [Gustavsen, 2002] expliquent qu'un tilt à l'impact de quelques milliradians, typiquement l'ordre de grandeur que l'on peut obtenir avec le lanceur ARES, peut induire un écart de plus de 5 % sur la vitesse de choc initiale mesurée entre les deux faces du coin. Nous avons donc mis en place une méthode de correction du tilt basée sur celle proposée dans [Gustavsen, 2002]. En décrivant la position de chaque aiguille piézoélectrique par ses coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ et sachant que le plan de l'impact est défini par l'équation $z=0$, le temps de déclenchement de chaque aiguille peut être corrigé grâce à l'équation (70).

$$t_{corrigé} = t - \frac{\alpha x}{V} - \frac{\beta y}{V} \qquad (70)$$

Dans cette expression, $V$ est la vitesse du projectile, $\alpha$ l'angle que fait le projectile avec l'axe $x$ et $\beta$ celui avec l'axe $y$. Une représentation schématique de la configuration ainsi qu'un exemple de correction du tilt sont donnés sur la Figure 133. Dans ce dernier, les vitesses non corrigées se situent entre 5563 et 5831 m/s, suivant le côté considéré, alors que la vitesse déterminée à partir des données corrigées est de 5705 m/s, soit un écart d'environ 5 %.

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>Figure 133 : Représentation schématique des paramètres nécessaires à la correction du tilt (à gauche) et exemple de correction pour le tir CA14102 (à droite)</figcaption></figure>

### III.3.2.4 Détermination de la profondeur de transition à la détonation par la méthode de la fonction d'accélération

Le dernier point essentiel à aborder est la détermination de la profondeur de transition à la détonation, en anglais « run-distance to detonation ». Nous avons cherché à établir une méthode la moins « opérateur-dépendante » possible. Par le passé, les diagrammes de marche des essais Pop-plot étaient dépouillés en traçant une droite partant du point d'impact correspondant à la célérité du choc inerte se propageant dans l'échantillon et une seconde droite sur les derniers points du diagramme, correspondant à la vitesse de détonation établie. La profondeur
d'amorçage était alors définie comme le point d'intersection de ces deux droites. Cette méthode présente deux inconvénients majeurs :

* tracer une droite de choc inerte n'a pas de sens physique puisque, comme on peut le voir sur les mesures continues du diagramme de marche présentées dans le paragraphe III.4, le choc accélère dès les premiers millimètres, au moins pour les niveaux de pression considérés dans nos expérimentations ;

* pour un diagramme de marche comprenant une douzaine de points, comme c'est le cas ici, le choix des droites à tracer peut être très dépendant de l'opérateur.

Nous avons donc choisi d'utiliser la méthode proposée par L. Hill et R. Gustavsen au début des années 2000 [Hill, 2002], dans laquelle les points du diagramme de marche sont interpolés par l'équation différentielle du second ordre (71), établie à partir des travaux de J. Yao et D. Stewart [Yao, 1996].

$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = a \left[ \frac{dx}{dt} \right], \frac{dx}{dt}(0) = U_0, x(0) = x_0 \quad (71) $$

Dans cette équation, $x_0$ est la position initiale du choc, $U_0$ sa vitesse initiale et $a$ une fonction décrivant l'accélération du choc lors de la phase de transition. La fonction $a(t)$ est établie par J. Yao et D. Stewart en faisant des hypothèses fortes :

* l'équation d'état de l'explosif non réagi est une équation d'état polytropique définie par un unique paramètre $\gamma$ ;

* la cinétique de la réaction est écrite sous la forme d'une loi d'Arrhenius ;

* la propagation de l'onde de choc est monodimensionnelle et plane.

A partir de ces hypothèses, L. Hill et R. Gustavsen écrivent une fonction d'accélération sous la forme de l'équation (72), où $D_{CJ}$ est la vitesse de détonation stationnaire atteinte lors du processus de TCD, correspondant en théorie à la vitesse de Chapman-Jouguet, et où $a_m$ et $U_m$ sont des paramètres à déterminer.

$$ a(t) = a_m \left( \frac{D_{CJ} - \frac{dx}{dt}}{D_{CJ} - U_m} \right) \exp \left( \frac{dx}{dt} - U_m \right) \quad (72) $$

L. Hill et R. Gustavsen ont également proposé une forme plus élaborée pour la fonction d'accélération, introduisant un paramètre supplémentaire $U_c$, sorte de « vitesse de coupure », en dessous de laquelle l'accélération du choc est nulle, et donc il n'y a aucune réactivité. Cette forme, donnée par l'équation (73) permet d'obtenir des relations accélération-vitesse telles que présentées sur la Figure 134.

$$ a(t) = a_m \left( \frac{D_{CJ} - \frac{dx}{dt}}{D_{CJ} - U_m} \right) \left[ \exp \left( \frac{dx}{dt} - U_m \right) - \exp \left( \frac{U_c - U_m}{D_{CJ} - U_m} \right) \right] \quad (73) $$
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>Figure 134 : Exemple de relations accélération-vitesse obtenues à partir de l'équation (73) pour deux explosifs comprimés, le PBX 9501 (à gauche) et le PBX9502 (à droite) [Hill, 2002]</figcaption></figure>

Etant donnés les niveaux de pression considérés lors de nos expérimentations, le choc est réactif dès le début du phénomène, ce qui ne nous permet pas de déterminer cette vitesse de coupure. Plusieurs tests ont été réalisés afin de comparer ces deux fonctions d'accélération et il est apparu que l'utilisation de la deuxième forme n'apportait aucune plus-value. Nous avons donc choisi de conserver la première forme (72). Une routine de calcul a été mise en place à l'aide du logiciel Mathematica, permettant de déterminer les paramètres $U_0$, $a_m$ et $U_m$, la valeur de $D_{CJ}$ étant mesurée à partir des dernières aiguilles de l'édifice. La Figure 135 donne un exemple de ce type de calcul. A partir de ce diagramme de marche, nous pouvons calculer, par dérivation, la vitesse du choc en tout point du coin. La profondeur de transition à la détonation $x^*$ et le temps de transition à la détonation $t^*$, position et temps auxquels la vitesse du choc atteint 99 % de la vitesse de détonation établie, sont alors définis par les relations (74). Les résidus indiqués sur la Figure 135 sont la différence entre les points de mesure et la position déterminée à partir de la relation (72).

$$ \frac{dx}{dt}(t^*) = 0,99 D_{CJ} \qquad x^* = x(t^*) \qquad (74) $$

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>Figure 135 : Tir CA15022, diagramme de marche déterminé à partir de l'équation (72) et résidus</figcaption></figure>

En plus de n'être pratiquement pas dépendante de l'opérateur, cette méthode de dépouillement présente un intérêt majeur, elle est utilisée pour dépouiller les essais Pop-plot dans la plupart des laboratoires effectuant ce type d'expérimentations : au CEA DAM Ile de France (DIF) [Sollier, 2010], au LANL aux Etats-Unis [Gustavsen, 2002], à l'AWE en Angleterre
[Burns, 2012] et au VNIEFF en Russie [Smirnov, 2013]. Utiliser une méthode de dépouillement identique favorise la comparaison entre les données expérimentales.

### III.3.2.5 Synthèse sur les résultats expérimentaux

Le Tableau 20 compile tous les résultats expérimentaux des différentes campagnes d'impact plan soutenu. Le paragraphe suivant propose une exploitation de ces résultats, ainsi que des discussions sur leur interprétation.

<table><caption>Tableau 20 : Résumé des états d'Hugoniot non réagis et des profondeurs/temps de transition à la détonation déterminés à partir d'impacts plans</caption><thead><tr><th>Explosif</th><th>Tir</th><th>Vitesse du projectile (m/s)</th><th>Pression d'interface (GPa)</th><th>Vitesse matérielle initiale<sup>d</sup> (m/s)</th><th>Vitesse de détonation stationnaire<sup>e</sup> (m/s)</th><th>x*(mm)</th><th>t*(µs)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Hexolite 1</td><td>CA 14094</td><td>1134 ± 8<sup>a</sup></td><td>5,5 ± 0,30</td><td>783 ± 26</td><td>8861 ± 162</td><td>14,23</td><td>3,11</td></tr><tr><td>CA 14101</td><td>1473 ± 12<sup>a</sup></td><td>7,9 ± 0,39</td><td>985 ± 34</td><td>7925 ± 72</td><td>8,60</td><td>1,62</td></tr><tr><td>CA 15022</td><td>1284 ± 13<sup>b</sup></td><td>6,7 ± 0,33</td><td>864 ± 32</td><td>7952 ± 167</td><td>10,96</td><td>2,16</td></tr><tr><td rowspan="3">Hexolite 2</td><td>CA 15110</td><td>1116 ± 12<sup>b</sup></td><td>-</td><td>-</td><td>8233 ± 128</td><td>8,08</td><td>1,81</td></tr><tr><td>CA 15111</td><td>1493 ± 15<sup>b</sup></td><td>-</td><td>-</td><td>7988 ± 21</td><td>4,59</td><td>0,83</td></tr><tr><td>CA 15116</td><td>1333 ± 14<sup>b</sup></td><td>-</td><td>-</td><td>8104 ± 73</td><td>6,81</td><td>1,33</td></tr><tr><td rowspan="3">Ontalite 1</td><td>CA 14102</td><td>1685 ± 17<sup>b</sup></td><td>14,5 ± 0,73</td><td>1503 ± 59</td><td>7572 ± 94</td><td>12,84</td><td>2,13</td></tr><tr><td>CA 14105</td><td>1845 ± 18<sup>b</sup></td><td>16,5 ± 0,83</td><td>1625 ± 64</td><td>7584 ± 28</td><td>11,39</td><td>1,78</td></tr><tr><td>CA 15023</td><td>2050 ± 31<sup>c</sup></td><td>19,7 ± 0,99</td><td>1756 ± 87</td><td>7530 ± 75</td><td>6,31</td><td>0,95</td></tr><tr><td rowspan="3">Ontalite 2</td><td>CA 15092</td><td>1690 ± 26<sup>c</sup></td><td>-</td><td>-</td><td>7474 ± 111</td><td>11,96</td><td>1,98</td></tr><tr><td>CA 15119</td><td>1839 ± 19<sup>b</sup></td><td>16,3 ± 0,74</td><td>1627 ± 60</td><td>7577 ± 56</td><td>10,77</td><td>1,61</td></tr><tr><td>CA 15123</td><td>2020 ± 21<sup>b</sup></td><td>18,3 ± 0,83</td><td>1779 ± 66</td><td>7378 ± 43</td><td>6,12</td><td>0,97</td></tr></tbody></table>

### III.3.3 Exploitation et discussions

#### III.3.3.1 Validation des polaires de choc de mélange

A l'aide des états d'Hugoniot non réagis mesurés au paragraphe précédent, nous pouvons évaluer la validité des polaires de choc de mélange établies au paragraphe II.7.3. Les trois points déterminés pour l'hexolite 1, ainsi que les incertitudes associées, ont été placés dans le plan pression-vitesse matérielle (P-u) et comparés avec les différentes données disponibles dans la littérature. Ces comparaisons sont présentées sur la Figure 136. On peut noter que nos points expérimentaux sont en bon accord avec les résultats obtenus pour d'autres hexolites coulées-fondues en présence de cire, notamment les résultats les plus récents de [Dattelbaum, 2014]. Comme nous l'avons noté dans le paragraphe II.7.3.3, c'est la polaire du TNT en présence de cire que nous avons reconstruite qui permet de retranscrire les résultats expérimentaux, et pas la polaire expérimentale du TNT sans cire. Ces observations valident notre approche pour l'hexolite.

<footnote><sup>a</sup> Mesurée par les aiguilles à court-circuit, l'incertitude est l'écart-type du fit de la vitesse et du tilt</footnote>

<footnote><sup>b</sup> Mesurée par VH, l'incertitude typique de ce type de métrologie dans cette configuration est de ± 1 %</footnote>

<footnote><sup>c</sup> Non mesurée, l'incertitude donnée à ± 1,5 % est liée à la connaissance et au calibrage du lanceur</footnote>

<footnote><sup>d</sup> L'incertitude prend en compte l'incertitude sur la mesure de pression et celle sur la mesure de la vitesse du projectile</footnote>

<footnote><sup>e</sup> L'incertitude est l'écart-type de la régression linéaire sur les dernières aiguilles</footnote>
<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>Figure 136 : Données de polaires de choc pour différentes hexolites représentées dans le plan P-u</figcaption></figure>

Les cinq points d'Hugoniot non réagis mesurés pour les ontalites 1 et 2, ainsi que les incertitudes associées, ont été placés dans le plan pression-vitesse matérielle (P-u) et comparés avec l'unique jeu de données disponible dans la littérature pour une ontalite légèrement plus chargée en ONTA [Moulard, 1995]. Ces comparaisons sont présentées sur la Figure 137. Une nouvelle fois, dans les deux cas, on note que la polaire de mélange qui permet de représenter les données expérimentales avec la meilleure précision est celle construite à partir de la polaire du TNT en présence de cire. Ces observations valident également notre approche pour les ontalites, notamment la construction de la polaire de choc de l'ONTA, explosif pour lequel il n'existait aucune donnée de polaire de choc disponible dans la littérature.

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>Figure 137 : Données de polaires de choc pour différentes ontalites représentées dans le plan P-u</figcaption></figure>
### III.3.3.2 Sur la vitesse de détonation établie

Les vitesses de détonation établies mesurées à partir des données des dernières aiguilles de chaque essai pop-plot ont été données dans le Tableau 20. Pour l'hexolite 1, on note que la valeur mesurée sur le tir CA14094 est très nettement supérieure aux deux autres. Pour l'hexolite 2, les valeurs de vitesse de détonation peuvent sembler dispersées. Cependant, une telle dispersion est courante lorsque l'on considère des vitesses de détonation mesurées sur de très faibles distances. En effet, il faut garder en mémoire que ces vitesses sont obtenues sur des distances de l'ordre de 5 à 10 mm, en considérant les résultats d'au maximum une dizaine d'aiguilles de chronométrie. Des mesures sur une configuration similaire, mais obtenues à l'aide de trackers de choc, donc plus résolues spatialement, aboutissent à des vitesses de détonation variant de 7556 à 8134 m/s, sur une même Composition B [Dattelbaum, 2014].

La Figure 138 présente les vitesses de détonation disponibles dans la littérature pour des hexolites 60/40 de différentes masses volumiques initiales. A partir de certaines de ces données, Anderson a proposé une relation linéaire reliant la vitesse de détonation plane en fonction de la masse volumique [Anderson, 1993]. Nous avons également représenté sur cette figure les vitesses moyennes obtenues pour nos deux hexolites, en retirant la valeur du tir CA14094 pour l'hexolite 1 qui semble aberrante. On note un très bon accord entre nos résultats et la relation d'Anderson, avec un écart quasi nul pour l'hexolite 1 et d'environ 1% pour l'hexolite 2.

Nous avons ajouté les calculs de vitesse de détonation issus du code de thermochimie SIAME, réalisés à l'aide de la base BKW-C du code Cheetah v.2. On note un excellent accord entre les résultats expérimentaux et le calcul thermochimique, puisqu'on aboutit à un écart de 0,4 % pour l'hexolite 1 et de 1,2 % pour l'hexolite 2.

<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>Figure 138 : Vitesse de détonation de différentes hexolites 60/40 en fonction de leur masse volumique</figcaption></figure>
Les vitesses de détonation mesurées et calculées sont compilées dans le Tableau 21.

<table><caption>Tableau 21 : Vitesse de détonation plane établie mesurée et calculée pour chaque hexolite</caption><thead><tr><th>Explosif</th><th>Hexolite 1</th><th>Hexolite 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Vitesse de détonation moyenne<br>mesurée (m/s)</td><td>7938 (2 tirs)</td><td>8108 (3 tirs)</td></tr><tr><td>Vitesse de détonation calculée (m/s)<br>– SIAME BKW-C</td><td>7908</td><td>8011</td></tr></tbody></table>

Il reste à analyser le résultat du tir CA14094. La valeur de vitesse de détonation obtenue (8861 m/s), est très proche de celle du RDX pur à sa densité théorique maximale qui est de l'ordre de 8950 m/s [Anderson, 1993]. Dès lors, on peut se demander si l'échantillon de ce tir ne présentait pas une hétérogénéité, un amas local de grains de RDX au niveau des dernières aiguilles de chronométrie, qui aurait eu pour conséquence la mesure de la vitesse de détonation du RDX, et non celle de l'hexolite. Afin d'évaluer la possibilité de présence de tels amas, nous avons réalisé des observations microscopiques sur un échantillon d'hexolite 1 et un second d'hexolite 2 qui étaient destinés à des essais d'impact plan non soutenu qui seront présentés au paragraphe III.5. Elles ont été effectuées à l'aide d'un microscope numérique Keyence. Des exemples pour les deux hexolites sont présentés sur les figures suivantes. Etant donné que les échantillons étaient destinés ensuite à être utilisés pour des tirs, les surfaces n'ont pas été préparées par polissage chimique ou mécanique, et les visualisations sont celles des surfaces brutes issues de l'usinage. C'est pourquoi seule la lumière polarisée par la structure cristalline des grains de RDX peut être distinguée. Il est malgré tout difficile d'identifier de potentiels amas sur ces échantillons. Nous avons cependant reporté sur ces figures, à des fins de mise en perspective, la surface projetée de deux aiguilles de chronométrie successives dans la configuration expérimentale initiale. On note que pour l'hexolite 1, le diamètre d'une aiguille est pratiquement de l'ordre de grandeur des plus gros grains de RDX. Il paraît dès lors concevable qu'il puisse exister très localement des amas de grains, qui peuvent expliquer la vitesse élevée du tir CA14094.

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>Figure 139 : Observation microscopique de l'hexolite 1</figcaption></figure>
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>Figure 140 : Observation microscopique de l'hexolite 2</figcaption></figure>

En ce qui concerne les ontalites, les vitesses de l'ontalite 1 sont très peu dispersées, alors que celles relevées pour l'ontalite 2 le sont légèrement plus. Sans en tirer des conclusions quantitatives, ce résultat est cohérent avec les observations microtomographiques présentées au paragraphe II.9.2.2. L'ontalite 2 présentait en effet une microstructure plus hétérogène que l'ontalite 1, avec une présence de très gros grains d'ONTA par endroit, qui pourrait être contrebalancée par des zones riches en TNT et expliquant une vitesse légèrement plus faible.

Il n'existe qu'une seule donnée de vitesse de détonation pour une ontalite 60/40 dans la littérature. Néanmoins, des données sont disponibles pour des ontalites 50/50 ou 65/35. Tous ces résultats sont présentés sur la Figure 141, où sont également indiqués les noms des différentes compositions, qui varient selon les pays. Selon une approche similaire à celle retenue pour les hexolites, nous avons déterminé pour chaque composition la relation linéaire reliant la vitesse de détonation à la masse volumique. On note une bonne cohérence entre les différents jeux de données, observant bien une vitesse de détonation croissante avec la proportion d'ONTA dans la composition.

Nous avons ajouté les calculs de la vitesse de détonation issus du code de thermochimie SIAME, réalisés à l'aide de la base BKW-C du code Cheetah v.2. On note un bon accord entre les résultats expérimentaux et le calcul thermochimique, puisqu'on aboutit à un écart de 1,4 % pour l'ontalite 1 et de 2,6 % pour l'ontalite 2. Les vitesses de détonation mesurées et calculées sont compilées dans le Tableau 22.

<table><caption>Tableau 22 : Vitesse de détonation plane établie mesurée et calculée pour chaque ontalite</caption><thead><tr><td>Explosif</td><td>Ontalite 1</td><td>Ontalite 2</td></tr></thead><tbody><tr><td>Vitesse de détonation moyenne mesurée (m/s)</td><td>7562 (3 tirs)</td><td>7476 (3 tirs)</td></tr><tr><td>Vitesse de détonation calculée (m/s)</td><td>7671</td><td>7671</td></tr><tr><td>SIAME BKW-C</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>Figure 141 : Vitesse de détonation de différentes ontalites en fonction de leur masse volumique</figcaption></figure>

### III.3.3.3 Sur les courbes pop-plots

Les distances de transition à la détonation, obtenues grâce à la méthode présentée au paragraphe III.3.2.4, nous permettent d'établir les classiques courbes pop-plot. Ce type de relation, proposée initialement par J. Ramsay et A. Popolato [Ramsay, 1965], représente la profondeur de transition à la détonation en fonction de la pression de sollicitation dans une échelle log-log. Malheureusement, les jauges de pression n'ayant pas fonctionné pour les expérimentations sur l'hexolite 2, nous ne disposons pas de pression d'interface mesurée pour cet explosif. Néanmoins, nous avons vu au paragraphe III.3.3.1 que les mesures réalisées sur les trois autres explosifs d'étude semblaient valider les polaires de choc de mélange établies au paragraphe II.7.3. Aussi, pour garder une cohérence entre les dépouillements, nous avons choisi, pour les quatre explosifs, de considérer la pression d'impact théorique obtenue par un calcul d'hydrodynamique rapide à partir de l'équation d'état, construite à partir des polaires de choc de mélange, qui est présentée au paragraphe IV.2.3. L'incertitude associée à la pression d'impact provient de l'incertitude sur la connaissance de la vitesse du projectile, donnée d'entrée du calcul.

En ce qui concerne la profondeur de transition à la détonation, l'incertitude prépondérante provient de celle sur la vitesse de détonation établie, qui est un paramètre d'entrée de l'algorithme de détermination. Ainsi, nous avons calculé les profondeurs de transition correspondant aux bornes inférieures et supérieures de la vitesse de détonation établie pour chaque tir.

L'ensemble des dépouillements des diagrammes de marche est donné dans l'Annexe III. Les résultats de pression d'impact $P_i$, des profondeurs de transition à la détonation $x^*$ et les incertitudes associées sont synthétisés dans les tableaux suivants.
## Essais d'impact plan soutenu : les essais pop-plot

<table><caption>Tableau 23 : Récapitulatif des données du Pop-plot pour les hexolites</caption><thead><tr><th colspan="3">Hexolite 1</th><th colspan="3">Hexolite 2</th></tr><tr><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>5,59 ± 0,05</td><td>14,23</td><td>- 0,45<br/>+ 0,25</td><td>5,54 ± 0,08</td><td>8,08</td><td>- 0,21<br/>+ 1,7</td></tr><tr><td>7,87 ± 0,08</td><td>8,60</td><td>- 0,46<br/>+ 0,46</td><td>8,10 ± 0,11</td><td>4,60</td><td>- 0,05<br/>+ 0,18</td></tr><tr><td>6,57 ± 0,09</td><td>10,96</td><td>- 0,82<br/>+ 1,53</td><td>6,98 ± 0,10</td><td>6,81</td><td>- 1,33<br/>+ 0,81</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 24 : Récapitulatif des données du Pop-plot pour les ontalites</caption><thead><tr><th colspan="3">Ontalite 1</th><th colspan="3">Ontalite 2</th></tr><tr><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th><th>P<sub>i</sub> (GPa)</th><th>x* (mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>14,80 ± 0,20</td><td>12,84</td><td>- 0,91<br/>+ 1,28</td><td>14,86 ± 0,31</td><td>11,96</td><td>- 1,75<br/>+ 2,59</td></tr><tr><td>16,76 ± 0,21</td><td>11,39</td><td>- 0,74<br/>+ 0,85</td><td>16,69 ± 0,24</td><td>10,77</td><td>- 1,19<br/>+ 1,60</td></tr><tr><td>19,40 ± 0,41</td><td>6,31</td><td>- 1,83<br/>+ 3,11</td><td>19,00 ± 0,28</td><td>6,12</td><td>- 1,31<br/>+ 1,54</td></tr></tbody></table>

### III.3.3.3.1 Hexolites

La Figure 142 présente les résultats pour les hexolites et les comparaisons avec les données disponibles dans la littérature. Y sont également indiquées les compositions exactes et les masses volumiques initiales.

Tout d'abord, concernant les incertitudes expérimentales, on note que dans les hypothèses retenues, les vitesses des projectiles étant connues avec une bonne précision, les incertitudes résultantes sur la pression d'impact sont faibles, de l'ordre de 1,5 %. Par contre, pour les profondeurs d'amorçage, la méthode de dépouillement peut conduire à des incertitudes élevées, notamment lorsque l'incertitude sur la vitesse de détonation établie l'est aussi. Néanmoins, les différents résultats sont cohérents, et mettent en évidence la relation linéaire qu'il existe entre la pression d'impact et la profondeur de transition, en échelle log-log, pour chaque composition. Nous pouvons comparer les résultats obtenus pour nos hexolites 60/40 coulées-fondues avec celles de la littérature [Ramsay, 1965], [Dattelbaum, 2014] et avec deux autres types d'hexolite différents : une coulée, légèrement plus chargée en RDX [Urtiew, 2008], et une comprimée [Vandersall, 2015]. Au-delà de leur sensibilité respective, on note que chaque type d'hexolite présente un comportement caractéristique, mis en lumière par la pente du pop-plot. En effet, les quatre hexolites 60/40 coulées présentent des pentes identiques, ce qui dénote un comportement similaire. A contrario, l'hexolite plus chargée en RDX présente une pente légèrement plus importante, ce qui signifie que la profondeur de transition décroît plus vite lorsque la pression d'impact augmente. Cette observation est logique avec la présence du RDX, qui est l'explosif le plus sensible du mélange, en plus grande quantité dans ce dernier. Enfin les deux hexolites comprimées dites « sous-dense », car ayant été formulées à environ 60 et 86 % de leur densité théorique maximale, présentent également des pentes similaires. Il semble donc que chaque composition présente un « comportement », une pente de pop-plot, différent, contrairement à ce qui avait été proposé par P. Cooper [Cooper, 1993], d'où le besoin de disposer de plusieurs points pour établir un pop-plot pour un explosif. Compte tenu de la dispersion des résultats expérimentaux parfois observée, un ensemble de trois points semble être un minimum.
<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>Figure 142 : Données des pop-plots pour les hexolites et comparaisons avec les données de la littérature</figcaption></figure>

Si on se focalise sur les différentes hexolites 60/40 coulées, on note que, bien que formulées de la même manière, et possédant des répartitions massiques de RDX et de TNT identiques, elles présentent des écarts de sensibilités notables. La première explication que l'on peut donner est l'influence de la granulométrie. En effet, la Composition B étudiée récemment par Dattelbaum *et al.* possède une taille moyenne de grains de RDX de 100 µm alors que, comme nous l'avons vu au paragraphe II.9, la taille moyenne des grains se situe plutôt aux alentours de 700 µm pour l'hexolite 1 et de 180 µm pour l'hexolite 2. Ces observations semblent montrer que plus la granulométrie est fine, plus la composition est sensible, ce qui est en accord avec les hypothèses de modélisation que nous présenterons au chapitre suivant.

Il n'existe pas, à notre connaissance, d'étude spécifique sur l'influence de la granulométrie vis-à-vis de la sensibilité des explosifs coulés-fondus. Néanmoins, cette baisse de sensibilité pour les granulométries les plus élevées est à mettre en relation avec ce qui avait été observé pour des explosifs composites RDX/ liant élastomère à l'ISL [Moulard, 1986]. Dans cette étude, H. Moulard a caractérisé une inversion de sensibilité aux alentours de 80 kbar, sur trois granulométries monomodales. En dessous de ce seuil, les compositions avec une granulométrie plus petite sont les moins sensibles et au-delà la tendance s'inverse. Trois ans plus tard, Moulard propose une interprétation approfondie de ces résultats [Moulard, 1989], en reliant ces observations à la vision en deux étapes de la TCD (initiation et croissance), citant notamment le modèle Lee-Tarver. Il explique qu'à bas niveau de sollicitation, c'est la phase d'initiation qui est prépondérante. Or à ces niveaux de pression, les petits grains sont moins « efficaces » pour former des points chauds, car ils dissipent leur énergie dans le liant inerte connexe. *A contrario*, des points chauds formés au niveau de gros grains sont plus efficaces, ce qui explique la plus grande sensibilité des compositions présentant une grosse granulométrie. A haut niveau de pression de choc, la phase d'initiation est dans tous les cas complète, et c'est alors la phase de
croissance qui pilote la réactivité. Or, de nombreux petits grains présentent une surface spécifique à brûler plus importante que des gros grains peu nombreux, ce qui explique l'inversion de sensibilité au-delà d'un certain seuil. Une représentation de ce phénomène est donnée sur la Figure 143.

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>Figure 143 : Pop-plots de trois formulations monomodales RDX liant 70/30 (F : fins, C : grosses, VC : très grosses) : mise en évidence de l'inversion de sensibilité [Moulard, 1989]</figcaption></figure>

Ces observations sont également cohérentes avec celles réalisées sur des compositions bimodales [Hudson, 2012]. Il a en effet été montré, toujours sur des compositions à liant élastomère contenant entre 70 et 85 % de RDX, qu'en conservant les proportions de grosses et de fines, la diminution de la taille moyenne des fines provoquait une augmentation de sensibilité. De la même manière, en conservant la taille des fines, l'augmentation de leur proportion et de la sensibilité de la composition sont également liées. Ces deux observations, réalisées entre 4 et 9 GPa, peuvent être associées à la plus grande surface à brûler des granulométries fines.

L'inversion de sensibilité ne semble pas être observée avec nos compositions coulées-fondues. On peut supposer que le seuil de pression pour lequel la sensibilité s'inverse n'est pas atteint. Néanmoins c'est peu probable, Moulard ayant observé cette inversion pour des profondeurs de transition à la détonation situées entre 5 et 15 mm, typiquement de l'ordre de celles que nous avons relevées pour nos compositions. De plus, le parallélisme *quasi* parfait des quatre hexolites différentes ne laisse pas présager d'une inversion de sensibilité. Dès lors, on peut proposer une autre explication à l'absence de ce phénomène : la présence du TNT. En effet dans le cas des coulés fondus, le liant étant actif, il est possible que les points chauds formés au niveau des petits grains soient aussi efficaces que ceux formés au niveau des gros, car ils dissipent leur énergie dans un matériau connexe qui est réactif et qui donc permet la croissance de la réaction quelle que soit l'origine des points chauds. Il serait intéressant de réaliser des expérimentations supplémentaires sur les deux hexolites pour des niveaux de pression inférieurs afin d'évaluer la véracité de cette hypothèse.

Néanmoins, il est très difficile de faire appel à une seule cause pour expliquer ces écarts de sensibilité. On peut évoquer également les points suivants.
* L'influence de présence de HMX dans le RDX

Il existe deux procédés de fabrication différents, le procédé Bachmann, notamment utilisé par Chemring, qui peut aboutir à un hexogène pouvant contenir entre 5 et 17 % d'impuretés d'octogène. Le procédé Woolwich, utilisé par Eurenco, permet d'éviter la formation d'octogène lors de la synthèse. Le RDX de la Composition B étudiée dans [Dattelbaum, 2014] contenait environ 6 % de HMX, ce qui peut également influer sur la sensibilité. Ce paramètre est à garder en mémoire pour exploiter les résultats, même si des études ont été réalisées pour évaluer quantitativement l'influence de la présence de HMX dans le RDX sur la sensibilité au choc, sans parvenir à établir de corrélations satisfaisantes dans le cas de tests croisés [Borne, 2006], [Doherty, 2008], [Bellitto, 2010], sur des impacts plans ou des essais de type Gap test. L'hypothèse est que d'autres paramètres, comme la granulométrie ou les défauts de surface, ont une influence plus importante que la présence de HMX. Cependant, dans des configurations où une très grande quantité de HMX, de l'ordre de 8 %, était présente dans le RDX, des écarts de sensibilité de l'ordre de 25 % ont pu être observés [Hudson, 2012]. La sensibilité thermique quant à elle, notamment la température de décomposition déterminée par DSC, est influencée par le taux d'impuretés [Bellitto, 2010].

* L'influence de la morphologie des grains

Il est connu que certains processus de contrôle de la cristallisation du RDX permettent de minimiser les défauts de grains obtenus, notamment la présence de porosité intra-granulaire ou les inclusions de solvant de cristallisation, ainsi que d'améliorer l'état de surface. Un vaste programme a été lancé en 2003 pour évaluer l'apport des différents RDX à sensibilité réduite, ou RS-RDX, pour *Reduced Sensitivity RDX*: le programme RS-RDX Round Robin (R4). Les particules de RS-RDX présentent des états de surface plus propres que celles de RDX standard, comme on peut le voir sur la Figure 144.

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>Figure 144 : Morphologie du RDX standard (à gauche) et du RS-RDX (à droite) [Suzuki, 2007]</figcaption></figure>

L'objet n'est pas ici de rapporter tous les résultats issus de ce programme qui a duré plusieurs années et fait l'objet de nombreuses publications. On pourra se rapporter à la thèse de R.J. Hudson qui a effectué une revue très complète de ces essais [Hudson, 2012]. On peut néanmoins noter les points principaux concernant la sensibilité au choc, principalement évaluée par des essais de type Gap test ou des essais d'impact plan. La principale difficulté concernant l'étude de l'apport du RS-RDX est qu'il est très difficile de comparer uniquement l'influence de la forme des grains ou des défauts intra-granulaires, sur des lots de RDX à autres paramètres égaux par ailleurs (granulométrie, taux de HMX, etc.). La plupart des expérimentations du programme R4 ont été réalisées sur du PBXN-109, un explosif composite contenant du RDX, de l'aluminium et un liant plastique.
Dès 2004, Lecume et al. [Lecume, 2004] notent que la sensibilité au choc, issue d'expérimentations de type *Large Scale Gap Test* (LSGT), décroît fortement lorsque la présence de porosité intra-granulaire décroît également. Concernant l'état de surface des grains, la diminution de la sensibilité au choc avec son amélioration a été mis en évidence sur différentes configurations expérimentales : sur des essais LSGT [Suzuki, 2007] et sur des essais au lanceur de 20 mm à l'ISL [Borne, 2007], mais sur des répartitions granulométriques qui n'étaient pas forcément identiques. En 2011, Min-Jun et al. ont représenté des mesures de LSGT sur des PBXN-109 formulés avec des RDX standard et des RS-RDX de répartitions granulométriques quasiment identiques [Min-Jun, 2011]. Une fois de plus, ils notent la plus faible sensibilité des compositions au RS-RDX.

Des travaux sont en cours pour encore réduire la sensibilité du RDX, par exemple en retraitant le RS-RDX pour rendre les particules plus sphériques, ce qui améliore encore l'insensibilité des compositions formulées d'une dizaine de pourcents [Min-Jun, 2011]. On peut noter également tous les travaux sur le VI-RDX (*Very Insensitive RDX*) menés par l'ISL et Eurenco qui ont permis d'améliorer encore l'insensibilité [Eck, 2015], [Corbel, 2015].

Dans le cas de nos hexolites, le RS-RDX utilisé pour l'hexolite 1 semble présenter des états de surface des grains légèrement plus « propres » que le RDX de l'hexolite 2, ce qui pourrait expliquer également en partie la plus faible sensibilité de l'hexolite 1, même si l'influence du RS-RDX a toujours été évaluée dans des compositions composites à liant plastique, et jamais pour des coulés-fondus.

* L'influence du vieillissement

En effet, la Composition B étudiée dans [Dattelbaum, 2014] a été fabriquée dans le milieu des années 1980. Après un stockage de plus de 30 ans, la sensibilité des compositions a pu évoluer. Il n'existe pas, à notre connaissance, d'étude concernant l'influence du vieillissement des hexolites sur leur sensibilité au choc. Néanmoins, des études ont été réalisées sur des compositions composites à base de RDX. Ces dernières ont montré que le vieillissement pouvait avoir une influence pour les RDX contenant un taux important de HMX, typiquement supérieur à 5 % [Hudson, 2012].

### III.3.3.3.2 Ontalites

La Figure 145 présente les résultats pour les ontalites et les comparaisons avec les données disponibles dans la littérature. Y sont également indiquées les compositions exactes et les masses volumiques initiales. Nous avons ajouté également, à titre de comparaison, les résultats de deux explosifs composites à base d'ONTA, la B2214 (ONTA-HMX-liant) et l'explosif insensible américain IMX-101 (DNAN-NQ-ONTA).

Concernant les incertitudes expérimentales, on note que dans les hypothèses retenues, une moins bonne connaissance sur la vitesse du projectile (tirs CA 15023 et CA 15092 pour lesquels les mesures n'ont pas fonctionné), entraîne une incertitude plus élevée, de l'ordre de 3 %, sur les pressions d'impact. Il est donc important de mesurer les vitesses projectile avec la meilleure précision possible. Pour les profondeurs d'amorçage, les incertitudes peuvent être élevées et ce, principalement à cause de l'insensibilité des compositions. De ce fait, il est nécessaire de solliciter les ontalites sous des pressions très importantes afin de pouvoir obtenir des profondeurs de transition à la détonation. Il en résulte des vitesses initiales de l'onde de choc de l'ordre de 5500 m/s, relativement proches de la vitesse de détonation établie qui est de l'ordre de 7500 m/s. Ainsi, les transitions sont beaucoup moins marquées, et donc plus difficiles à déterminer. On le
remarque très clairement sur les différents dépouillements présentés dans l'Annexe III, pour lesquels il est parfois difficile de déceler un changement de pente à l'œil nu. Néanmoins, les différents résultats sont cohérents et mettent en évidence l'insensibilité des ontalites.

Si on se focalise sur les ontalites, on note une nouvelle fois que nos compositions d'étude présentent un comportement similaire à celles étudiées dans [Morand, 1995] et [Moulard, 1995] au milieu des années 1990. On observe en effet des pentes du Pop-plot très similaires, même si ces observations demeurent ici assez qualitatives, les différentes ontalites ne présentant pas exactement le même taux de chargement. Si on compare les sensibilités respectives des différentes ontalites, on note que les ontalites 1 et 2 sont beaucoup moins sensibles que celles étudiées dans les années 1990, ce qui peut paraître paradoxal car ces dernières sont légèrement plus chargées en ONTA, qui est le composant le plus insensible. On peut néanmoins proposer deux explications à ce phénomène :

* l'influence de la granulométrie. En effet, l'ontalite étudiée par P. Morand présentait une granulométrie très fine, avec un diamètre de grain moyen de l'ordre de 45 µm. Les écarts observés semblent alors décrire une tendance similaire à celle relevée pour les hexolites, à savoir que des grains plus petits entrainent une sensibilité au choc plus grande ;

* l'influence de la qualité de l'ONTA utilisé dans les compositions. En effet, les deux références de comparaison datent du début des années 1990, époque correspondant aux débuts de l'industrialisation du procédé de fabrication de l'ONTA. Les techniques ont pu évoluer, pour aujourd'hui donner des ONTA avec moins de défauts et donc moins sensibles. On peut d'ailleurs noter que, dans une approche similaire à celle empruntée pour le RS-RDX, des travaux sont aujourd'hui menés, notamment par la société Eurenco, afin d'améliorer la qualité de surface des grains d'ONTA synthétisés [Eck, 2015].

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>Figure 145 : Données des pop-plots pour les ontalites et comparaisons avec les données de la littérature</figcaption></figure>
Si l'on compare cette fois-ci nos deux compositions d'étude entre elles, il est difficile, à
la vue des incertitudes de mesure des profondeurs de transition, de dire avec certitude que l'une
est plus sensible que l'autre. Il semble néanmoins se dégager une tendance montrant que
l'ontalite 2 est légèrement plus sensible que l'ontalite 1. Cela peut sembler contradictoire si on
ne considère que l'influence de la granulométrie, car l'ONTA 2 présentait une granulométrie
légèrement plus grosse que l'ONTA 1. Cependant, comme pour le cas des hexolites, il est
hasardeux de se focaliser sur ce seul paramètre. En effet, si on se reporte aux observations
microtomographiques présentées dans le paragraphe II.9.2.2, on note les deux points suivants :

* les grains d'ONTA 2 sont beaucoup plus anguleux et irréguliers que les grains d'ONTA 1. Or, il est communément admis que de tels grains sont plus susceptibles de créer des accumulations de chocs locales et donc de former des points chauds. C'est d'ailleurs en partie pour cela que les travaux sur l'amélioration des processus de recristallisation sont menés [Eck, 2015],

* les grains d'ONTA 2 semblent également présenter plus de porosités intra-granulaires, également susceptibles d'être le lieu de formation de points chauds, ou des sites préférentiels d'amorçage de fissures, qui peuvent jouer un rôle important, comme nous le verrons au chapitre suivant.

Ces deux paramètres pourraient expliquer la sensibilité légèrement plus grande de
l'ontalite 2.

Un dernier point important à noter est le changement de pente observé dans les relations
des différents pop-plots présentés sur la Figure 145. En effet, si les relations pression/profondeur
de transitions semblaient clairement linéaires, en échelle log-log, pour les hexolites, il semble
que ce ne soit pas le cas ici, les différentes ontalites présentant un changement de pente assez
marqué, entre 10 et 12 mm de profondeur de transition. Plus surprenant, on observe ce
phénomène également sur les autres compositions à base d'ONTA, à savoir la B2214 et l'IMX-
101. Il est cependant difficile de dire si ce phénomène est caractéristique de la présence d'ONTA
ou s'il ne s'agit que d'un effet des incertitudes expérimentales. Il serait intéressant d'approfondir
cette question, notamment en réalisant de nouveaux tirs pour des pressions d'impact plus faibles,
par exemple autour de 12 GPa. On peut d'ailleurs noter que la relation linéaire du Pop-plot n'a
pas à proprement parler de sens physique et est couramment utilisée car elle a été observée sur de
très nombreuses compositions. Néanmoins, des « cassures » dans les pentes du pop-plot ont déjà
été observées, par exemple pour les explosifs comprimés à base de HMX, comme on peut le voir
sur la Figure 146.
<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>Figure 146 : Mise en évidence de la variation non linéaire du Pop-plot pour différents explosifs comprimés au HMX, données issues de [Vandersall, 2010]</figcaption></figure>

### III.3.3.3.3 Synthèse

Ces résultats nous ont permis de définir une relation du pop-plot, dans la forme classique donnée par la relation (75), où *P* est exprimé en GPa et *x*\* en mm. Les données des coefficients sont regroupées dans le Tableau 25.

$$ \log(P) = a - b \cdot \log(x^*) \quad (75) $$

<table><caption>Tableau 25 : Récapitulatif des coefficients du pop-plot pour les hexolites et les ontalites</caption><thead><tr><th>Explosif</th><th>a</th><th>b</th></tr></thead><tbody><tr><td>Hexolite 1</td><td>1,54 ± 0,04</td><td>0,69 ± 0,04</td></tr><tr><td>Hexolite 2</td><td>1,30 ± 0,16</td><td>0,59 ± 0,20</td></tr><tr><td>Ontalite 1</td><td>1,55 ± 0,10</td><td>0,33 ± 0,10</td></tr><tr><td>Ontalite 2</td><td>1,53 ± 0,10</td><td>0,31 ± 0,10</td></tr></tbody></table>

### III.3.3.4 Courbe unique d'amorçage

Le principe de courbe unique d'amorçage a été présenté au paragraphe I.3.2.1.1. Les figures suivantes présentent les résultats des diagrammes de marche des hexolites et des ontalites lorsqu'on les replace dans le repère ayant pour origine le temps et la profondeur de transition à la détonation.
<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>Figure 147 : Mise en évidence de la courbe unique d'amorçage pour l'hexolite 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>Figure 148 : Mise en évidence de la courbe unique d'amorçage pour l'hexolite 2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>Figure 149 : Mise en évidence de la courbe unique d'amorçage pour l'ontalite 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>Figure 150 : Mise en évidence de la courbe unique d'amorçage pour l'ontalite 2</figcaption></figure>

Comme cela avait déjà été remarqué par Lindstrom [Lindstrom, 1966], il est très difficile d'affirmer ou d'infirmer avec certitude l'existence d'une courbe unique d'amorçage. Néanmoins, au vu de nos résultats expérimentaux, l'hypothèse de l'existence de cette courbe unique pour les compositions d'étude peut être faite. Nous verrons également dans le paragraphe suivant que cette hypothèse est confirmée par le radio-interféromètre, du moins dans la zone proche de la transition.
### III.4 Utilisation de métrologies continues

Comme nous l'avons vu dans le paragraphe III.2, les meilleures résolutions de diagrammes de marche dans les essais pop-plot sont classiquement obtenues à l'aide de caméras mécano-optiques à balayage de fente. Cependant, ces caméras sont difficilement utilisables sur des expérimentations mettant en œuvre un lanceur. A l'opposé, les aiguilles de chronométrie sont des métrologies discrètes qui ne peuvent retranscrire la totalité des phénomènes locaux de la TCD. Dans le but d'améliorer notre connaissance sur ces aspects, nous avons choisi d'intégrer des métrologies continues innovantes sur nos expérimentations d'impact plan : la radio-interférométrie et les fibres optiques à réseau de Bragg.

#### III.4.1 Radio-interférométrie à 94 GHz

##### III.4.1.1 Généralités

La radio-interférométrie à l'usage de la détonique a été décrite dans le paragraphe III.2.2.2.2, nous nous contenterons ici de présenter les spécificités du radio-interféromètre (RIF) utilisé au CEA Gramat. La radio-interférométrie permet de mesurer de façon continue le déplacement d'une discontinuité à l'intérieur d'un matériau radio-transparent. Un signal en bande W (75-110 GHz) est transmis à l'intérieur du matériau à l'aide d'un guide d'onde associé à une antenne conique en téflon. Une partie de ce signal est réfléchie par l'onde de discontinuité se propageant à contrecourant et est renvoyée vers l'antenne avec un effet Doppler, ce qui génère un décalage de sa fréquence *f* et de sa phase *Ω*. Le signal reçu, portant une information d'effet Doppler de l'ordre du MHz dans un signal porteur de 94 GHz, doit être mélangé avec un signal de référence. Ce signal est enfin traité pour en tirer deux signaux en quadrature dont on prendra la tangente inverse afin de remonter à *Ω*. Le principe de fonctionnement est présenté sur la Figure 151 et un exemple d'intégration de l'antenne en téflon sur un essai pop-plot est donné sur la Figure 152.

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>Figure 151 : Principe de fonctionnement du RIF [Bel'skii, 2011]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>Figure 152 : Présentation du RIF (à gauche) et intégration de l'antenne en téflon sur un double coin (à droite)</figcaption></figure>
Les interférogrammes pour les tirs CA 15022 sur l'hexolite 1 et CA 15023 sur l'ontalite 1 sont donnés, à titre d'exemple, respectivement sur la Figure 153 et la Figure 154. Si l'on note que dans le cas de l'ontalite, l'ensemble du phénomène de TCD est exploitable, avec un bruit de mesure très faible, le début du signal dans l'hexolite est beaucoup plus bruité. Ce faible retour peut être lié à l'absorption du signal plus importante par le RDX que par l'ONTA, mais aussi au fait que l'hexogène présente un comportement piézoélectrique sous choc qui pourrait perturber la mesure. Cette tendance a été observée sur l'ensemble des tirs réalisés.

<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>Figure 153 : Signal RIF pour le tir CA15022 sur l'hexolite 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>Figure 154 : Signal RIF pour le tir CA15023 sur l'ontalite 1</figcaption></figure>

Afin d'exploiter les signaux présentés ci-dessus, et d'en déduire le déplacement et la vitesse de l'onde réactive pendant la TCD, il nous faut connaître la permittivité diélectrique relative $ε_r$ des explosifs étudiés à 94 GHz. Ce point est l'objet du paragraphe suivant.

### III.4.1.2 Permittivité diélectrique des explosifs

#### III.4.1.2.1 Données disponibles et méthodes de mesure

On trouve quelques études de mesure de permittivité diélectrique des explosifs dans la littérature. La motivation de ces études est en général la connaissance de ce paramètre pour des mesures de radio-interférométrie [Cawsey, 1958], ou des caractérisations diélectriques des explosifs pour des applications de détection par radiographie [Barber, 2010]. Cependant, ce paramètre dépendant à la fois de la masse volumique de l'échantillon étudié (Figure 155) et de la fréquence considérée (Figure 156), il est difficile de trouver des valeurs de permittivités satisfaisantes dans la littérature pour un cas d'étude précis.
<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>Figure 155 : Evolution de la permittivité diélectrique relative du TNT à 34 GHz en fonction de sa masse volumique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>Figure 156 : Evolution de la permittivité diélectrique relative du TNT en fonction de la fréquence pour une masse volumique de 1,6 g/cm³</figcaption></figure>

On peut citer quelques exemples de mesures de la permittivité diélectrique des explosifs tirés de la littérature :

* la mesure directe dans un résonateur ou méthode de Courtney [Weatherall, 2011], [Daily, 2013], [Duque, 2013]. La permittivité est mesurée en détectant les résonances électromagnétiques dans un échantillon cylindrique. Celui-ci est placé entre deux plaques conductrices pour "piéger" les modes électromagnétiques. Cette méthode semble donner des résultats précis, mais est limitée à des fréquences inférieures à 50 GHz. Ce type de mesure permet
d'obtenir les parties réelles et imaginaires de la permittivité diélectrique, mais
n'est pas applicable pour nos fréquences ;

* la mesure par laser [Barber, 2010]. L'échantillon est illuminé par un laser femtoseconde et le signal transmis est analysé par un spectromètre. Le traitement de ce signal permet de remonter à la permittivité. Cette méthode est notamment adaptée pour mesurer des permittivités à très hautes fréquences (> 100 GHz) ;

* la mesure en champ libre [Barber, 2010]. Il s'agit d'un montage réalisé à partir de composants "sur étagère" de la société Agilent (émetteur, analyseur de réseaux, antennes émettrice et réceptrice). Cette méthode est particulièrement adaptée pour les mesures de permittivité autour de 100 GHz, mais nécessite la conception d'un banc de mesure complet et d'appareils de mesure très onéreux. Nous reviendrons sur ce type de mesure par la suite ;

* la mesure par sonde coaxiale [Batailler, 2013], [Tringe, 2014]. Là encore il s'agit d'une mesure directe permettant d'obtenir les parties réelles et imaginaires de la permittivité diélectrique. Cependant cette méthode de mesure est limitée à des fréquences inférieures à 50 GHz ;

* la mesure dynamique [Tringe, 2014]. Il s'agit de coupler, lors d'un tir de mesure de vitesse de détonation, la mesure de radio-interférométrie avec une autre mesure de référence (caméra à balayage de fente, sondes de chronométrie, etc.). La valeur de la permittivité diélectrique de l'explosif est alors ajustée pour que les deux métrologies donnent des résultats identiques. C'est cette méthode que nous avons retenue pour déterminer la permittivité diélectrique de nos compositions d'étude.

Enfin, depuis la fin des années 2000, certains auteurs ont développé une approche purement calculatoire basée sur la théorie DFT [Huang, 2012]. Les permittivités de divers explosifs (HMX, RDX, PETN, etc.) ont été calculées à l'échelle moléculaire à l'aide du logiciel GAUSSIAN. Ces calculs font apparaître d'importantes variations de la permittivité diélectrique liées aux modes de vibration internes des molécules et ne permettent pas pour l'instant de remonter à une permittivité à l'échelle macromoléculaire. Huang *et al.* expliquent cependant qu'il serait logique de retrouver ces phénomènes de résonance, avec une amplitude inférieure, à l'échelle macromoléculaire, notamment dans les cas où les molécules d'explosifs sont noyées dans un liant, typiquement pour les explosifs composites, ce qui réduit les interactions intermoléculaires. Ces études n'ont pour l'instant été menées que dans le domaine THz, domaine pour lequel l'objectif premier est l'identification des bandes d'absorptions des différentes molécules énergétiques, bandes utilisées notamment pour faire de la détection d'explosif.

Il est également intéressant de noter que certains auteurs ont mené des études sur la permittivité diélectrique des mélanges, et que ces études ont été reprises dans le domaine des explosifs avec deux objectifs principaux :

* déterminer la permittivité d'un mélange d'explosifs ou d'un mélange explosif/inerte connaissant les permittivités des matériaux constitutifs [Daily, 2013] ;

* connaissant la permittivité d'un explosif à une masse volumique donnée, déterminer la permittivité pour une autre valeur de masse volumique, le mélange considéré étant alors explosif/air [Tringe, 2014] ;

* "créer" un matériau avec une valeur de permittivité cible en jouant sur la proportion des éléments constitutifs [Barber, 2010].
Il existe divers modèles de mélange qui ont été établis de manière théorique, quels que soient les matériaux constitutifs, puis validés par des mesures. Les plus utilisés sont :

* la formule dite de Looyenga [Looyenga, 1965] (parfois appelée formule de Landau et Lifchitz). L'avantage de cette formule, par exemple utilisée dans [Krall, 1993] et [Barber, 2010], est qu'elle ne suppose pas forcément que les inclusions soient sphériques. Elle s'écrit sous la forme (76), où $f_1$ et $f_2$ sont les fractions volumiques des matériaux constitutifs,

$$ \varepsilon_{mélange}^{1/3} = f_1 \varepsilon_1^{1/3} + f_2 \varepsilon_2^{1/3}; \qquad (76) $$

* la formule de Maxwell-Garnett, utilisée dans [Daily, 2013] et [Tringe, 2014], et donnée par la relation (77), où l'indice « e » est associé au matériau principal et « i » à l'inclusion, f étant la fraction volumique de l'inclusion. Cette formule est surtout valable dans les cas où f est proche de 0 ou de 1,

$$ \varepsilon_{mélange} = \varepsilon_e + 3f\varepsilon_e \frac{\varepsilon_i - \varepsilon_e}{\varepsilon_i + 2\varepsilon_e - f(\varepsilon_i - \varepsilon_e)}; \qquad (77) $$

* on peut enfin citer la formule générale UMT (Unified Mixing Theory). Elle se présente sous la forme (78) et où v est un paramètre sans dimension. Si v=0, on retrouve la formule de Maxwell-Garnett. En 2001, Kärkkäinen et al. [Kärkkäinen, 2001] ont réalisé des simulations numériques pour obtenir une valeur du paramètre v, valable sur une grande plage de fractions volumiques d'inclusion f.

$$ \frac{\varepsilon_{mélange} - \varepsilon_e}{\varepsilon_{mélange} + 2\varepsilon_e - v(\varepsilon_{mélange} - \varepsilon_e)} = f \frac{\varepsilon_i - \varepsilon_e}{\varepsilon_i + 2\varepsilon_e + v(\varepsilon_{mélange} - \varepsilon_e)}. \qquad (78) $$

Malheureusement, en plus du fait que les permittivités des matériaux constitutifs de nos compositions d'étude ne soient pas connues, ces approches de mélange demeurent assez peu adaptées aux explosifs conventionnels, dont la composition est complexe (charges explosives, matrice, cire, porosité) et pour lesquels les propriétés comme la masse volumique peuvent varier, pour une même composition, selon le processus de fabrication et la granulométrie, comme c'est le cas pour nos deux hexolites par exemple. C'est pourquoi, il était indispensable de mettre au point une configuration expérimentale permettant de mesurer la permittivité diélectrique de nos compositions.

### III.4.1.2.2 Détermination dynamique de la permittivité diélectrique, configuration expérimentale

Ce type de configuration a déjà été utilisé au LLNL, mais pour des dimensions d'échantillons beaucoup plus faibles [Tringe, 2014]. Dans notre cas, elle consiste en une cartouche d'explosif cylindrique de 80 mm de diamètre et 240 mm de hauteur. Cet édifice est amorcé à l'aide d'un relais en V401, un explosif comprimé constitué de 94 % de HMX et d'un liant Viton, de 80 mm de diamètre et 50 mm de hauteur, lui-même initié par un détonateur de type RP80 (80 mg PETN + 120 mg RDX). La vitesse de détonation est mesurée le long de deux génératrices du cylindre à l'aide de douze aiguilles à court-circuit. Le radio-interféromètre est placé à l'extrémité de la cartouche, au centre de la face opposée au relais. Ainsi, en mesurant à la fois la vitesse de détonation établie à l'aide des aiguilles de chronométrie et avec le RIF, et en égalant ces deux vitesses, nous pouvons déterminer la valeur de la permittivité diélectrique
relative recherchée. Nous avons également positionné une fibre optique à réseau de Bragg avec un réseau de 100 mm de longueur, le long d'une troisième génératrice à la périphérie de la cartouche. Enfin, nous avons disposé deux croisillons, de douze aiguilles à court-circuit chacun, à l'extrémité de la cartouche afin de mesurer la courbure de l'onde de détonation. Cette configuration, qui a été utilisée pour les mesures sur l'hexolite 1 et l'ontalite 1, est présentée de façon schématique sur la Figure 157 et une photographie de l'édifice assemblé est donnée sur la Figure 158. La position des aiguilles de chronométrie a été mesurée à l'aide d'une machine à mesurer tridimensionnelle. La position exacte de la fibre optique à réseau de Bragg a quant à elle été déterminée à l'aide d'une méthode de mesure optique.

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>Figure 157 : Représentation schématique du tir de cartouche nue dans la configuration initiale. Vue de côté (à gauche) et vue de la face inférieure (à droite)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>Figure 158 : Vue de l'édifice dans la casemate, vue globale (à gauche) et de la face inférieure (à droite)</figcaption></figure>

Les résultats des deux premières expérimentations, détaillés au paragraphe suivant, ont montré que la vitesse de détonation n'était établie qu'à partir du troisième tiers de la cartouche. Aussi, afin d'améliorer la résolution spatiale de la vitesse de détonation, nous avons légèrement modifié la configuration expérimentale pour l'ontalite 2. Nous avons conservé le même nombre d'aiguilles de chronométrie, soit douze de chaque côté, mais nous les avons placées cette fois-ci uniquement sur la deuxième moitié de l'édifice. Une photographie de cette seconde configuration est donnée sur la Figure 159.
<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>Figure 159 : Vue de l'édifice de mesure dynamique de la permittivité diélectrique dans la seconde configuration</figcaption></figure>

Enfin pour la cartouche d'hexolite 2, nous avons collé ensemble deux cylindres de 80 mm de diamètre, afin de l'allonger et d'être certains de nous trouver dans la zone de détonation établie, la position des aiguilles de chronométrie demeurant inchangée. La longueur totale de la cartouche est de 320 mm. Cette zone de collage nous a également permis d'insérer une fibre optique à réseau de Bragg orthogonalement à la direction de propagation du front de détonation, à 80 mm de la base de la cartouche, dans l'objectif de mesurer la courbure du front à cœur. Les résultats de courbure à cœur seront présentés dans le paragraphe III.4.2, dédié aux fibres optique à réseau de Bragg. La configuration expérimentale de la cartouche d'hexolite 2 est présentée sur la Figure 160.

<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>Figure 160 : Vue de l'édifice de mesure dynamique de la permittivité diélectrique pour l'hexolite 2 (à gauche), et détail du positionnement de la fibre optique à réseau de Bragg à cœur pour la mesure de courbure (à droite).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_172.png" /></figure>
### III.4.1.2.3 Résultats expérimentaux concernant la mesure dynamique de la permittivité diélectrique

Afin de pouvoir comparer les résultats issus des aiguilles de chronométrie et ceux issus du RIF, il est nécessaire d'effectuer un recalage temporel entre les deux chaînes de mesure. Deux points sont à prendre en compte :

* le décalage lié à la chaîne de mesure elle-même (temps de fonctionnement intrinsèque des appareils, longueurs des câbles...). Ce temps est de 135 ns pour les tirs ontalites et le tir hexolite 1 et de 48 ns pour le tir hexolite 2 ;

* le décalage lié à la courbure de l'onde de détonation. En effet, étant donné que le RIF mesure la vitesse de détonation au centre de la cartouche et les aiguilles sur la périphérie, un décalage est induit par la courbure de l'onde de détonation. Ce temps est déduit des mesures de courbure en bout de cartouche présentées sur la Figure 161 pour les hexolites et la Figure 162 pour les ontalites. Ces mesures de courbure sont approximées par l'équation de la chaînette, forme couramment utilisée au CEA Gramat pour représenter un front de détonation courbe. On retrouve également sur la Figure 161 les mesures de courbure disponibles dans la littérature pour les hexolites. Ces mesures pourraient servir de validation au modèle de TCD dans un calcul 2D.

<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>Figure 161 : Mesure de la courbure en bout de cartouche pour les hexolites 1 et 2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>Figure 162 : Mesure de la courbure en bout de cartouche pour les ontalites 1 et 2</figcaption></figure>

Une fois les bases temporelles recalées, nous pouvons comparer les résultats des deux métrologies en déplacement et en vitesse.

La Figure 163 présente la vitesse de détonation des hexolites déduite des résultats des aiguilles à court-circuit par une moyenne glissante sur trois points. Ce résultat qualitatif permet de visualiser l'influence du relais et le temps d'atteinte de la détonation établie. Le signal du RIF apparaît assez bruité, ce qui est normal, car cet appareil mesure directement un déplacement, puis le résultat est dérivé pour obtenir la vitesse. Cette opération induit un bruit important, d'autant plus que le signal est échantillonné à une fréquence importante comme c'est le cas ici (1 point/100 ps). Cependant, de la même manière que pour les aiguilles de chronométrie, ce signal de vitesse nous permet de définir la zone de la détonation établie, que l'on utilisera pour déterminer la permittivité diélectrique relative. La plage retenue pour l'hexolite 1 se situe à partir de 37 µs, de même que pour l'hexolite 2.

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>Figure 163 : Mesure de la vitesse de détonation dans les cartouches d'hexolite 1 (à gauche) et d'hexolite 2 (à droite)</figcaption></figure>
A partir de ces observations, nous calculons la vitesse de détonation établie donnée par les aiguilles de chronométrie et son incertitude non élargie, donnée par l'écart-type de la régression linéaire. Nous effectuons la même démarche avec les données du RIF et nous en déduisons une valeur de permittivité diélectrique relative et l'incertitude associée. Les résultats sont donnés dans le Tableau 26.

Nous avons procédé de la même manière pour les cartouches d'ontalite 1 et 2. Les signaux de vitesse sont présentés sur la Figure 164. La plage de vitesse établie utilisée pour le RIF est choisie à partir de 38 µs pour l'ontalite 1 et de 24 µs pour l'ontalite 2. On peut noter que la profondeur de visée du RIF est plus importante dans l'ontalite que dans l'hexolite, phénomène qui avait déjà été mis en évidence sur les tirs de Pop-plot.

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>Figure 164 : Mesure de la vitesse de détonation dans les cartouches d'ontalite 1 (à gauche) et d'ontalite 2 (à droite)</figcaption></figure>

Les données des permittivités diélectriques ainsi déduites sont compilées dans le Tableau 26. L'incertitude associée est de l'ordre de 1 % sur l'hexolite 1 et inférieure à 0,2 % pour l'hexolite 2 et les ontalites. La comparaison des diagrammes de marche obtenus est donnée sur la Figure 165 pour les hexolites et sur la Figure 166 pour les ontalites.

<table><caption>Tableau 26 : Détermination de la permittivité diélectrique relative des hexolites et des ontalites</caption><thead><tr><th>Explosif</th><th>Vitesse de détonation mesurée par les aiguilles V<sub>det</sub> (m/s)</th><th>Ecart type sur la vitesse mesurée par les aiguilles σ (m/s)</th><th>ε<sub>r</sub> permettant d'obtenir V<sub>det</sub></th><th>ε<sub>r</sub> permettant d'obtenir V<sub>det</sub>+σ</th><th>ε<sub>r</sub> permettant d'obtenir V<sub>det</sub>-σ</th></tr></thead><tbody><tr><td>Hexolite 1</td><td>7971</td><td>44</td><td>3,226</td><td>3,195</td><td>3,262</td></tr><tr><td>Hexolite 2</td><td>8133</td><td>8</td><td>3,274</td><td>3,268</td><td>3,280</td></tr><tr><td>Ontalite 1</td><td>7480</td><td>5</td><td>3,173</td><td>3,169</td><td>3,177</td></tr><tr><td>Ontalite 2</td><td>7534</td><td>6</td><td>3,173</td><td>3,168</td><td>3,178</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>Figure 165 : Diagrammes de marche de l'onde de détonation dans la cartouche d'hexolite 1 (à gauche) et d'hexolite 2 (à droite)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>Figure 166 : Diagrammes de marche de l'onde de détonation dans les cartouches d'ontalite 1 (à gauche) et d'ontalite 2 (à droite)</figcaption></figure>

En ce qui concerne les vitesses de détonation établies mesurées lors de ces expérimentations, on peut noter les points suivants. Pour l'hexolite 1, la valeur de 7971 m/s est cohérente avec la valeur moyenne de 7939 m/s qui avait été déterminée à partir de deux essais Pop-plot. De la même manière, la valeur de 8133 m/s est parfaitement cohérente avec la moyenne de 8108 m/s issue de la moyenne des trois essais Pop-plot. Considérant le faible diamètre critique de l'hexolite qui est d'environ 4 mm [Campbell, 1976] et que la mesure est donc ici effectuée sur une cartouche de presque 20 fois ce diamètre critique, il est logique que la vitesse que nous avons mesurée soit proche de celle de la détonation plane. Ce résultat est d'ailleurs en bon accord avec les relations célérité-diamètre qui sont disponibles dans la littérature, comme on peut le voir sur la Figure 167.
<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>Figure 167 : Variation de la vitesse de détonation de l'hexolite en fonction du rayon de la charge</figcaption></figure>

Pour les ontalites, les valeurs de 7480 et 7534 m/s sont également en accord avec les valeurs moyennes établies à partir de trois essais Pop-plot, respectivement de 7562 m/s pour l'ontalite 1 et 7476 pour l'ontalite 2. Comme pour l'hexolite 1, les valeurs mesurées en cartouche sont pratiquement égales à celles mesurées en configuration plane. Il n'existe, à notre connaissance, ni mesure de diamètre critique, ni mesure de relation célérité-diamètre pour l'ontalite 60/40, mais un diamètre critique de 16 mm a été mesuré pour une ontalite 50/50 [Smith, 1999]. On peut supposer que, vu le diamètre de la cartouche de notre configuration expérimentale, il ne soit pas illogique que la vitesse mesurée soit très proche de la vitesse de détonation plane.

Concernant les valeurs de permittivité diélectrique, comme nous l'avons déjà mentionné, il n'existe aucune donnée disponible à 94 GHz. Néanmoins, la valeur obtenue pour les hexolites sont proches des données disponibles dans la littérature à plus faible fréquence : $\epsilon_r_{3GHz} = 3,25$ [Dobratz, 1985], $\epsilon_r_{1-18GHz} = 3,48$ [Higginbotham, 2013] ou $\epsilon_r_{8-12GHz} = 3,292$ [Daily, 2013].

### III.4.1.3 Utilisation du RIF sur les essais Pop-plot

Suite à une panne du RIF, l'appareil n'a pu être mis en œuvre sur les deux premières expérimentations sur hexolite 1 et sur ontalite 1. L'analyse de l'appareil, le diagnostic du composant défectueux et la réparation de ce dernier ont pris plusieurs mois, mais le moyen a pu être réparé juste à temps pour les derniers tirs sur ces compositions. La principale difficulté dans l'utilisation du RIF sur des expérimentations où l'on cherche à observer un phénomène de transition, est le recalage spatial. En effet, la mesure par radio-interférométrie permet de mesurer un déplacement, et non une position absolue. Ainsi, pour pouvoir identifier la profondeur de transition à la détonation, il est nécessaire de se fixer un point de repère dans l'espace. Or, comme nous l'avons vu au paragraphe III.4.1.1, il est très difficile d'identifier le début du phénomène. A l'analyse des toutes premières expériences, nous avons d'abord pensé que l'hexolite et l'ontalite étaient trop « absorbantes » dans le domaine des radiofréquences (RF).
pour nous permettre de déceler une onde au-delà d'une quinzaine de mm de profondeur. Néanmoins, les expérimentations de mesure dynamique de la permittivité diélectrique présentées précédemment ont montré qu'il était possible de déceler le déplacement d'une onde de détonation sur une profondeur de plus de 125 mm pour l'ontalite et presque 100 mm pour l'hexolite. De plus, des expérimentations menées dans le cadre d'une autre thèse en cours au CEA Gramat ont permis la mesure de la détonation dans l'hexolite 2 sans aucun problème sur 60 mm de profondeur [Poeuf, 2016].

Les difficultés de mesurer le début du phénomène de TCD sont donc plus certainement liées aux phénomènes responsables de la réflexion RF sur l'onde en mouvement, qui comme nous l'avons expliqué au paragraphe III.2.2.2.2, sont encore mal maîtrisés. Au vu des résultats du VNIIEF, nous avons d'abord pensé que l'onde de choc transitant initialement dans l'échantillon n'était pas, ou peu, réfléchissante pour les RF. Lors des seuls essais Pop-plot associés à un RIF, les équipes russes n'avaient perçu un signal exploitable qu'à partir du moment où la détonation était quasi établie. C'est d'ailleurs ce critère qui leur a permis de détecter la profondeur de transition d'un explosif comprimé à base de HMX [Smirnov, 2013]. Néanmoins, des expériences réalisées au CEA Gramat sur un explosif comprimé à base de TATB ont permis de mesurer avec une très bonne précision le déplacement d'une onde de choc quasi inerte lors d'expérimentations de recherche du seuil de réaction [Lefrançois, 2015]. Dès lors, on peut supposer que les phénomènes responsables de la réflexion RF, en plus de dépendre du niveau de sollicitation, dépendent également de l'explosif étudié.

Quoi qu'il en soit, le débouché de l'onde de choc dans l'échantillon ne pouvait être un point de repère spatial. Nous nous sommes donc servis de l'autre extrémité de l'échantillon. En effet, comme nous pouvons le voir sur les figures du paragraphe III.4.1.1, le passage de l'onde de choc de l'explosif à l'antenne en téflon est nettement visible sur les interférogrammes. Or, la position de l'antenne est connue avec précision, car la hauteur du méplat sur lequel elle est positionnée, a été obtenue précisément sur une machine à mesurer tridimensionnelle lors de l'usinage des échantillons. Ainsi, nous nous sommes servis de ce point de repère spatial pour positionner nos mesures de déplacement. Un recalage temporel des différentes chaînes de mesure nous a ensuite permis de comparer les résultats du RIF et des aiguilles de chronométrie.

### III.4.1.3.1 Hexolites

Les résultats des dépouillements sont donnés en Annexe IV. On note globalement un très bon accord entre les résultats issus du RIF et ceux des aiguilles de chronométrie associées à la formule de dépouillement présentée au paragraphe III.3.2.4, même si le RIF détecte des phénomènes non décelables pour les aiguilles, et qui demeurent pour l'instant difficiles à expliquer. On peut donner en exemple le tir CA 15110, dont les résultats sont présentés sur la Figure 168 :

* le pic de vitesse observé aux alentours de 95,5 µs. Ce pic de vitesse résulte d'un saut brusque dans le diagramme de marche, qui est difficilement explicable. On peut émettre l'hypothèse que ce phénomène est plus lié à la méthode de mesure qu'à la réactivité de la composition. En effet, nous avons vu que le début du phénomène de TCD était difficilement mesurable, car très bruité. Dans ce cas, il est possible que le saut de vitesse soit lié à un « changement de surface réfléchissante » : avant 95,5 µs, l'onde de choc n'est pas assez « forte » pour causer une réflexion, le signal RF est donc renvoyé par les zones de réactions se développant légèrement en aval du front de choc. Au-delà de 95,5 µs, l'onde de choc devient suffisamment réfléchissante pour causer le renvoi du signal RF. Ceci
n'est qu'une hypothèse, difficilement démontrable en l'état actuel. Une nouvelle
thèse a été lancée au CEA Gramat, afin d'approfondir tous les phénomènes
associés à la mesure RIF ;

* la légère surdétonation au moment de la transition vers l'état établi. On remarque en effet que la vitesse de l'onde de choc présente un léger pic de vitesse, supérieur d'environ 3 % à la vitesse de détonation établie. Là encore, ce phénomène ne peut nullement être mesuré par une métrologie discrète. Néanmoins, ce phénomène n'a pas été observé sur le tir sur l'hexolite 1, c'est pourquoi il est difficile de dire s'il s'agit d'une spécificité de l'hexolite 2 ou d'un artéfact du traitement des inteférogrammes du RIF.

<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>Figure 168 : Evolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA 15110</figcaption></figure>

Quoi qu'il en soit, le RIF nous a permis de mesurer le phénomène de TCD, et notamment
la zone dans laquelle l'accélération est maximale, avec une résolution spatiale inédite. La Figure
169 regroupe la totalité des tirs réalisés sur les hexolites 1 et 2, pour lesquels nous n'avons
conservé que les parties exploitables des signaux RIF. On note que les profondeurs d'amorçage,
déterminées à partir des aiguilles de chronométrie et de la méthode de dépouillement décrite
dans ce mémoire, sont en accord avec les mesures continues obtenues à l'aide du RIF. Cela
valide d'ailleurs cette approche, qui reste à l'heure actuelle la seule possible dans les cas où le
RIF ne sera pas utilisable, par exemple en présence d'aluminium dans les compositions. Nous
verrons, au paragraphe III.4.2, que les fibres optiques à réseau de Bragg sont développées
notamment pour pallier à ce problème.
<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>Figure 169 : Compilation des résultats RIF sur les hexolites 1 et 2</figcaption></figure>

Enfin, la Figure 170 présente les résultats RIF des trois tirs sur hexolite 2 pour lesquels nous avons effectué un changement de repère temporel, plaçant le 0 au niveau de la profondeur de transition à la détonation. On y note que la phase d'accélération précédant la transition est très similaire sur les trois tirs, ce qui signifie que, quel que soit le niveau de sollicitation initial, la transition vers la détonation établie se fait de la même manière. Cela valide l'hypothèse de courbe unique d'amorçage que nous avons présenté au paragraphe III.3.3.4.

<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>Figure 170 : Vitesse de choc au cours de la TCD pour les trois tirs sur hexolite 2</figcaption></figure>
### III.4.1.3.2 Ontalites

Un tir a été réalisé avec le RIF sur l'ontalite 1, alors que l'appareil a été mis en œuvre pour les trois tirs sur l'ontalite 2, dont un pour lequel la mesure n'a malheureusement pas fonctionné. Dans tous les cas, nous avons utilisé, pour le dépouillement, les valeurs de permittivités mesurées par la méthode dynamique. Les résultats des dépouillements sont donnés en Annexe IV. On note que s'il existe un excellent accord entre les résultats issus du RIF et ceux issus des aiguilles de chronométrie pour le tir CA 15023 sur l'ontalite 1, les deux résultats des tirs sur ontalite 2 présentent eux des écarts bien plus notables. Cependant, comme nous l'avons vu au paragraphe III.3.3.3.2, les profondeurs de transition à la détonation mesurée pour les ontalites sont associées à des incertitudes élevées. Afin d'exploiter au maximum l'apport des résultats du RIF, nous avons procédé de la manière suivante :

* les signaux RIF pour les tirs CA 15119 et CA 15123 permettent de mesurer une vitesse de détonation établie. Elle est de 7520 m/s pour le tir CA 15119, ce qui demeure dans la plage d'incertitude de la vitesse mesurée avec les aiguilles de chronométrie. Pour le tir CA 15123, la valeur obtenue avec le RIF est de 7521 m/s, assez éloignée des 7378 m/s mesurés à partir des aiguilles,

* à partir de ces valeurs de vitesse de détonation établie, nous pouvons, toujours à partir des signaux RIF, définir un temps de transition pour lequel la vitesse atteint 99 % de la vitesse établie, puis une profondeur de transition à la détonation correspondant à ce temps. Ces données sont compilées dans le Tableau 27, où sont également rappelées les valeurs qui avaient été obtenues à partir des aiguilles de chronométrie.

<table><caption>Tableau 27 : Détermination de nouvelles profondeurs de transition pour l'ontalite 2 à l'aide du RIF</caption><thead><tr><th rowspan="2">Tir</th><th colspan="2">Dépouillement avec les aiguilles de chronométrie</th><th colspan="2">Dépouillement avec le RIF</th></tr><tr><th>Vitesse de détonation établie (m/s)</th><th>x* (mm)</th><th>Vitesse de détonation établie (m/s)</th><th>x* (mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>CA 15119</td><td>7577 ± 56</td><td>10,77</td><td>7520 ± 19</td><td>9,92</td></tr><tr><td>CA 15123</td><td>7378 ± 43</td><td>6,12</td><td>7521 ± 19</td><td>7,48</td></tr></tbody></table>

Nous avons également redépouillé les mesures données par les aiguilles de chronométrie avec la vitesse de détonation mesurée à l'aide du RIF. Si les résultats pour le tir CA 15119 sont cohérents avec ceux du RIF, nous ne sommes pas parvenus à déterminer une profondeur de transition pour le tir CA 15123 de cette manière, car la vitesse de détonation établie est trop éloignée de celle qui avait été déterminée avec les aiguilles et la méthode de fit n'est pas adaptée. La Figure 171 présente les différents résultats ainsi obtenus pour les tirs sur les ontalites 1 et 2.

De la même manière que pour l'hexolite 2, la Figure 172 présente les résultats RIF des deux tirs sur ontalite 2, pour lesquels nous avons effectué un changement de repère temporel, plaçant le 0 au niveau de la profondeur de transition à la détonation, déterminée à partir des résultats du RIF. On y note que la phase d'accélération précédant la transition est très similaire sur les trois tirs, ce qui signifie que quel que soit le niveau de sollicitation initiale, la transition vers la détonation établie se fait de la même manière. Cela tend à valider l'hypothèse de courbe unique d'amorçage pour l'ontalite.
<figure><img src="image_183.png" /><figcaption>Figure 171 : Compilation des résultats RIF sur les ontalites 1 et 2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>Figure 172 : Vitesse de choc au cours de la TCD pour les deux tirs sur ontalite 2, basée sur les profondeurs de transition déterminées avec le RIF</figcaption></figure>

Enfin, nous avons reporté les profondeurs de transition à la détonation déterminées à l'aide du RIF pour les tirs CA 15119 et CA 15123 sur le diagramme pop-plot des ontalites, présenté sur la Figure 173. On note que, si les nouveaux points demeurent dans les incertitudes expérimentales des anciens, il semble se dégager une tendance différente, plutôt linéaire, à la manière de ce qui est classiquement attendu pour un diagramme pop-plot. A l'heure actuelle, nous n'avons pas suffisamment de recul sur l'utilisation du RIF ; les aiguilles de chronométrie demeurent la métrologie de référence.

Néanmoins, on voit, à partir des différents résultats présentés dans ce paragraphe, que le RIF, en plus d'apporter des informations essentielles sur les phases d'accélération inaccessibles
par des métrologies discrètes, peut être une alternative quasi indispensable pour l'étude des explosifs très insensibles, pour lesquels les phases de transitions sont très peu marquées. Il est cependant important de rappeler que le RIF n'est utilisable que pour les matériaux radio-transparents, ce qui n'est par exemple pas le cas des explosifs contenant des particules d'aluminium. C'est notamment pour cette raison qu'est développé le système BraggFast au CEA Gramat, une métrologie continue alternative au RIF.

<figure><img src="image_185.png" /><figcaption>Figure 173 : Intégration des données issues du RIF sur les Pop-plots des ontalites</figcaption></figure>

### III.4.2 Le BraggFast

#### III.4.2.1 Etalonnage et intégration

Le BraggFast est un équipement de mesure développé au CEA Gramat, en collaboration avec le CEA Saclay, et basé sur l'utilisation d'une fibre optique à réseau de Bragg à pas variable, décrite au paragraphe III.2.2.2.1. Comme nous l'avons mentionné dans ce même paragraphe, afin de pouvoir relier la décroissance de l'intensité lumineuse reçue à la longueur du réseau, et donc à la position de l'onde de choc, il est nécessaire de caractériser les fibres utilisées. Deux méthodes ont été mises en place et réalisées, soit par polissage, soit par réflectométrie optique.

* Méthode par polissage

Il s'agit d'une méthode destructive que l'on applique sur une fibre d'un lot à caractériser. La fibre est noyée à l'intérieur d'un bloc de PMMA que l'on va polir par pas successifs d'environ 200 à 400 µm. A chaque pas, la hauteur du bloc, et donc de la fibre, est mesurée et un spectre du réseau est enregistré. Le dispositif est présenté sur la Figure 174.
<figure><img src="image_186.png" /><figcaption>Figure 174 : Intégration de la fibre dans le bloc PMMA (à gauche) et mise en place sur la polisseuse (à droite)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

Au total, 53 spectres sont enregistrés. La méthode de traitement permettant d'établir la relation réponse de la photodiode du BraggFast/longueur du réseau a été détaillée dans [Barbarin, 2015]. Pour exemple, les spectres et la relation obtenue sont présentés sur la Figure 175.

<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>Figure 175 : Spectres successifs enregistrés lors de l'étalonnage par polissage (à gauche) et relation de calibration obtenue (à droite)</figcaption></figure>

Le principal inconvénient de cette méthode de calibrage est que, étant destructive, elle est réalisée sur une seule fibre que l'on suppose représentative du lot. De plus, des problèmes de changement d'indice de la fibre avec la température de l'eau de lubrification de la polisseuse peuvent être rencontrés. C'est pourquoi une seconde méthode de calibrage a été mise en place, à la suite de l'achat d'un réflectomètre optique.

• La mesure directe par réflectométrie optique :

Cette méthode est basée sur l'utilisation d'un réflectomètre de type Luna Technologies, modèle OBR 4600. Au moment de leur réception, chacune des fibres est caractérisée par cinq mesures de spectre successives. Ces mesures permettent d'établir la relation longueur d'onde/distance de manière non destructive. Un exemple de mesure et de relation obtenue est donné sur la Figure 176.
<figure><img src="image_189.png" /><figcaption>Figure 176 : Exemple de mesure LUNA pour un réseau de Bragg de 20 mm (à gauche) et relation de calibrage obtenue à partir de 5 mesures (à droite)</figcaption></figure>

Le principal avantage de cette méthode est qu'elle peut être réalisée sur chaque fibre utilisée. De plus, cinq mesures sont également réalisées sur le site d'expérimentations, une fois la fibre insérée dans l'explosif, afin de disposer d'un calibrage dans la configuration la plus proche possible de celle du tir. Il arrive cependant que les conditions expérimentales ne permettent pas de réaliser des mesures de réflectométrie exploitables au moment du tir (vent, mouvement de la rallonge de fibre optique, ...), c'est pourquoi les mesures réalisées avant insertion de la fibre dans l'édifice sont importantes. C'est cette méthode de calibrage qui a été retenue pour les dépouillements présentés par la suite.

### III.4.2.2 Résultats en détonation établie

Des réseaux de Bragg de 100 mm de longueur ont été intégrés sur les cartouches servant à mesurer la permittivité diélectrique des compositions d'étude. Les deux premiers tirs, réalisés sur l'hexolite 1 et l'ontalite 1, n'ont pas donné de résultats satisfaisants. En effet, au lieu de présenter une décroissance continue correspondant à la réduction progressive du réseau, l'intensité lumineuse mesurée en sortie du BraggFast présentait une croissance inhabituelle, comme on peut le voir sur la Figure 177.

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>Figure 177 : Signal enregistré par la BraggFast sur la cartouche d'ontalite 1</figcaption></figure>
Or, les fibres optiques utilisées sur ces expérimentations étaient des fibres de 200 µm de diamètre, insérées dans une surgaine de 800 µm de diamètre externe. Après diagnostic, il est apparu que l'air présent entre la fibre optique et sa gaine était certainement responsable de l'augmentation de l'intensité lumineuse observée. En effet, l'air choqué à une pression suffisante s'ionise et provoque un flash lumineux ; c'est d'ailleurs sur ce principe que sont basées les fibres optiques à capuchon présentées au paragraphe III.2.2.1.1. Sur le troisième tir, celui sur l'ontalite 2, la surgaine a donc été retirée avec précaution avant le montage. La position de la fibre optique a été précisément mesurée par une méthode optique à l'aide d'une machine à mesurer tridimensionnelle. La position de huit points a été relevée et a mis en évidence un décalage de la fibre constant d'environ 1,55° par rapport à la génératrice de la cartouche. Si on considère une mesure de vitesse établie le long de 80 mm du réseau de Bragg, ce décalage angulaire provoque une modification de la vitesse mesurée inférieure à 0,05 % et n'a donc pas été pris en compte. Le diagramme de marche obtenu à l'aide du BraggFast, et la comparaison avec le RIF et les aiguilles de chronométrie, sont donnés sur la Figure 178. On note un excellent accord entre ces métrologies, l'écart de position maximum sur ce diagramme de marche étant inférieur à 1 %. Si, comme pour le dépouillement effectué avec le RIF, on considère que la vitesse de détonation est établie à partir de 24 µs et que l'on effectue une régression linéaire du diagramme de marche, on obtient une vitesse de détonation de 7423 m/s à l'aide du BraggFast, soit un écart de 1,4 % par rapport à celle obtenue à l'aide des aiguilles de chronométrie. Ces résultats sont présentés sur la Figure 179. Le BraggFast est donc un excellent moyen de mesurer une vitesse de détonation établie, sur une longueur dépendant du réseau de Bragg disponible, et qui a été porté dans notre étude à environ 90 mm. Nous verrons dans le paragraphe suivant si cette métrologie peut également être adaptée à la mesure de phénomènes transitoires.

<figure><img src="image_191.png" /><figcaption>Figure 178 : Diagramme de marche dans la cartouche d'ontalite 2, comparaison des différentes métrologies</figcaption></figure>
<figure><img src="image_192.png" /><figcaption>Figure 179 : Vitesse de détonation de l'ontalite 2, comparaison des différentes métrologies</figcaption></figure>

Une fibre de Bragg a également été mise en place le long de la cartouche d'hexolite 2. Les résultats sont présentés sur la Figure 180. On note, comme dans le cas de l'ontalite 2, un excellent accord entre les différentes métrologies. La vitesse de détonation moyenne sur toute la longueur de la fibre est de 8036 m/s, soit un écart de l'ordre de 1 % avec celle obtenue par les aiguilles de chronométrie.

<figure><img src="image_193.png" /><figcaption>Figure 180 : Diagramme de marche dans la cartouche d'hexolite 2, comparaison des différentes métrologies</figcaption></figure>

### III.4.2.3 Résultats en TCD

Des fibres optiques à réseau de Bragg, présentant des réseaux de 20 mm, ont été intégrées sur chaque essai d'impact plan soutenu et non soutenu dans la configuration dite « améliorée »
définie au paragraphe III.3.1.2. Les tous premiers résultats ont été obtenus sur le tir CA 15022, réalisé sur l'hexolite 1 et sont présentés sur la Figure 181.

<figure><img src="image_194.png" /><figcaption>Figure 181 : Comparaison entre les mesures par aiguilles piézoélectriques, RIF et BraggFast pour le tir CA 15022</figcaption></figure>

Si les différents résultats sont qualitativement en bon accord, on peut noter un léger retard du diagramme de marche obtenu avec le BraggFast par rapport aux autres métrologies au niveau de la zone de transition. Plusieurs hypothèses peuvent être proposées pour expliquer ce phénomène :

* le RIF mesure un déplacement du front « moyen », étant donné que le cône de l'antenne mesure 16 mm de diamètre. Ainsi, il n'est pas capable de détecter d'éventuelles fluctuations locales de la vitesse. La fibre optique, dans sa gaine de 0,8 mm de diamètre, pourrait éventuellement capter, si elles existent, des fluctuations locales ;

* l'intégration de la fibre à l'intérieur de l'explosif, telle qu'elle a été réalisée, peut présenter des couches d'air non souhaitées, comme cela est représenté sur la Figure 182. Ces dernières ont pu perturber la mesure ;

* le temps de réponse de la fibre. L'accélération brusque de l'onde de choc au moment de la transition vers la détonation peut être « vue » avec un retard par la fibre optique, le temps que l'information passe dans la gaine et la colle.

<figure><img src="image_195.png" /><figcaption>Figure 182 : Représentation schématique de l'intégration de la fibre optique à réseau de Bragg à l'intérieur du massif d'explosif</figcaption></figure>
A la suite de ces premiers résultats, et à la lumière des problèmes d'augmentation de flux lumineux rencontrés sur les cartouches et évoqués au paragraphe précédent, nous avons établi une matrice d'implantation des fibres pour les essais suivants, dans le but d'évaluer l'influence de l'intégration, ainsi que du type de fibre, sur les résultats. Cette matrice, ainsi que les résultats obtenus vis-à-vis du problème de flux, sont donnés dans le Tableau 28. Un coefficient 1 signifie que le problème de flux était présent et que le tir n'était pas exploitable, un 0 est associé à une absence d'augmentation du flux lumineux.

<table><caption>Tableau 28 : Matrice d'implantation des fibres optiques à réseau de Bragg pour les essais d'impact plan soutenu et non soutenu</caption><thead><tr><th>Tir</th><th>Explosif</th><th>Configuration</th><th>Pression d'impact (GPa)</th><th>Fabricant de la fibre</th><th>Configuration d'intégration de la fibre</th><th>Condition de dégazage de la colle</th><th>Problème de flux</th></tr></thead><tbody><tr><td>CA15022</td><td>Hexolite 1</td><td></td><td>6,57</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>30 min</td><td>0</td></tr><tr><td>CA15023</td><td>Ontalite 1</td><td></td><td>19,40</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>30 min</td><td>0</td></tr><tr><td>CA15110</td><td>Hexolite 2</td><td></td><td>5,54</td><td>1</td><td>Pas de gaine, trou rempli de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA15111</td><td>Hexolite 2</td><td>Soutenu</td><td>8,10</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA15116</td><td>Hexolite 2</td><td></td><td>6,98</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA15092</td><td>Ontalite 2</td><td></td><td>14,86</td><td>2</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>0</td></tr><tr><td>CA15119</td><td>Ontalite 2</td><td></td><td>16,69</td><td>2</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA15123</td><td>Ontalite 2</td><td></td><td>19,00</td><td>2</td><td>Pas de gaine, trou rempli de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA15028</td><td>Hexolite 1</td><td></td><td>11,6</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>30 min</td><td>0</td></tr><tr><td>CA16029</td><td>Hexolite 1</td><td>Non soutenu</td><td>16,8</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr><tr><td>CA16031</td><td>Hexolite 2</td><td></td><td>16,8</td><td>1</td><td>Gaine remplie de colle</td><td>5 min</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Il est difficile d'établir, à la seule lumière de ces résultats, une corrélation satisfaisante entre les problèmes d'augmentation de flux lumineux rencontrés et un des paramètres d'intégration. Néanmoins, il semble qu'un temps de dégazage plus long, de l'ordre de 30 minutes, pour la colle utilisée pour intégrer la fibre soit favorable à l'élimination du problème de flux. Les résultats du tir non soutenu CA 15028 seront présentés au paragraphe III.5.1.2. Ceux des tirs CA 15023 et CA 15092 sont donnés sur la Figure 183. On peut y noter que, bien que les résultats du BraggFast soient qualitativement en accord avec ceux issus des autres métrologies, ils mettent en évidence une oscillation du diagramme de marche. Ce comportement n'a pu être expliqué à l'heure actuelle. Intégrer les fibres optiques à réseau de Bragg sur des essais d'impact plan sur d'autres explosifs permettra d'évaluer si ce phénomène est spécifique à l'ontalite ou non.
<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>Figure 183 : Diagrammes de marches des tirs CA 15023 et CA 15092</figcaption></figure>

Des travaux sont également en cours pour améliorer le système BraggFast, notamment en y ajoutant des filtres optiques très sélectifs qui permettront d'au moins diminuer les problèmes d'augmentation de flux parasite, sinon de s'en affranchir. Quoi qu'il en soit, ces premiers résultats sont encourageants, sachant qu'il s'agit des tous premiers résultats publiés concernant l'utilisation de cette technologie pour la mesure des phénomènes transitoires.

### III.4.2.4 Résultat en courbure

Comme cela a été présenté au paragraphe III.4.1.2.2, une fibre de Bragg a été insérée au cœur de la cartouche d'hexolite 2, orthogonalement à la propagation de l'onde de détonation, dans le but de mesurer la courbure du front de façon continue. Les résultats sont présentés sur la Figure 184 et comparés avec la courbure en bout de cartouche mesurée à l'aide des aiguilles de chronométrie. On note une excellente correspondance entre les deux métrologies. Ce résultat est une première mondiale pour l'utilisation des fibres de Bragg en mesure de courbue. Il montre une fois de plus la robustesse du BraggFast pour obtenir des mesures continues de déplacement ou de forme de front de détonation. Cela ouvre beaucoup de perspectives pour obtenir des mesures de courbure à cœur en cartouches qui permettront notamment de valider les modèles de TCD.

<figure><img src="image_197.png" /><figcaption>Figure 184 : Mesure de la courbure du front de détonation à cœur avec le BraggFast</figcaption></figure>
### III.5 Essais d'impact plan non soutenu

#### III.5.1 Premières tentatives

##### III.5.1.1 Configuration expérimentale

Afin d'évaluer le modèle de TCD qui sera présenté au chapitre suivant, il est nécessaire de réaliser des expérimentations sur une configuration complémentaire. Nous avons dimensionné pour cela un essai d'impact plan non soutenu à l'aide de l'approche existante pour les explosifs composites (voir paragraphe I.3.2.2.4) et des résultats des essais d'impact plan soutenu. Le but est de soumettre l'échantillon d'explosif à une sollicitation plus représentative d'un amorçage nominal par un relais, à savoir un profil de pression triangulaire. Afin d'obtenir une telle sollicitation, nous utilisons un impacteur très fin de 1 mm d'épaisseur, en acier, collé sur une mousse PVC de masse volumique 90 kg/m³, permettant une désadaptation d'impédance importante entre elle et l'impacteur. La configuration est présentée schématiquement sur la Figure 185.

<figure><img src="image_198.png" /><figcaption>Figure 185 : Représentation schématique de la configuration initiale de l'impact plan non soutenu</figcaption></figure>

Avec une telle implantation, le choc réfléchi dans l'impacteur revient très rapidement à l'interface mousse/impacteur et est à nouveau réfléchi sous la forme d'un faisceau de détentes. Ces dernières, plus rapides que le choc transmis dans la plaque transfert au moment de l'impact, vont rattraper celui-ci avant son émergence dans l'explosif. Ainsi, le profil de pression à l'interface plaque transfert/explosif sera de forme triangulaire. Cette configuration a été dimensionnée par des simulations numériques 1D à l'aide du logiciel GODLAG, dont on peut voir un exemple de résultats sur la Figure 186.

Deux premières expérimentations ont été réalisées sur l'hexolite 1 et sont résumées dans le Tableau 29, dans lequel les appellations des configurations « initiale » et « améliorée » sont les mêmes que celles du paragraphe III.3.1.
<figure><img src="image_199.png" /><figcaption>Figure 186 : Représentation schématique du phénomène d'atténuation du choc (à gauche) et exemple de calcul de dimensionnement avec GODLAG (à droite)</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 29 : Configurations de la première campagne d'impact plan non soutenu</caption><thead><tr><td>Tir</td><td>Impacteur</td><td>Plaque transfert</td><td>Vitesse projectile attendue (m/s)</td><td>Explosif</td><td>Configuration</td></tr></thead><tbody><tr><td>CA 14098</td><td>Acier</td><td>Acier</td><td>1700</td><td>Hexolite 1</td><td>Initiale</td></tr><tr><td>CA 15023</td><td>Acier</td><td>Acier</td><td>2250</td><td>Hexolite 1</td><td>Améliorée</td></tr></tbody></table>

### III.5.1.2 Résultats

La première expérimentation d'impact plan non soutenu a été réalisée sur l'hexolite 1 avec une vitesse projectile attendue de 1700 m/s. Pour cette expérimentation, les résultats des aiguilles à court-circuit mesurant le tilt et la vitesse projectile étaient très dispersés. Ils ont permis de déterminer une vitesse projectile de l'ordre de 1720 m/s, mais pas un tilt. Le signal de pression est présenté sur la Figure 187. On peut noter que le pic de pression d'entrée mesuré est proche de celui attendu, obtenu par le pré-calcul de dimensionnement, environ 116 kbar. Il est important de noter que cette valeur de pic est à considérer avec précaution. En effet, le temps d'équilibrage dans ce type de jauge est de l'ordre de 200 ns [Perez, 1980], temps caractéristique proche du phénomène que l'on souhaite mesurer. Il y a donc un risque que le pic mesuré soit « écrêté ». Des travaux sont en cours dans le cadre d'une autre thèse réalisée au CEA Gramat pour améliorer le traitement de ces phénomènes brefs.

Pour la phase suivant le choc initial, étant donné que les jauges manganin basse impédance disponibles n'ont jamais été calibrées en détente, nous avons choisi de comparer un dépouillement obtenu avec le coefficient piézorésistif utilisé au CEA Gramat et celui de H. Vantine [Vantine, 1980], déterminé en prenant en compte le phénomène d'hystérésis en détente. Ce calibrage intègre un terme irréversible, défini par l'équation (79) à partir de la variation de résistance maximale mesurée au niveau du choc. Ce terme est ensuite introduit dans l'équation (80), qui est l'équation de calibrage complète. On peut noter que ce type d'étude en détente a également été réalisé au CEA Gramat, mais uniquement avec les jauges 50 Ω, pour des valeurs de choc plus faibles [Perez, 1980].

$$ \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_{ir} = 0,1 \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_{choc} - 0,04 \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_{choc}^2 \quad (79) $$
$$
\begin{gather*}
\Delta\sigma(\text{GPa}) = 0,42 + 39,12 \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_s + 14,08 \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_s^2 - 7,59 \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_s^3 \tag{80} \\
\text{avec } \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_s = \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right) - \left(\frac{\Delta R}{R_0}\right)_{ir}
\end{gather*}
$$

<figure><img src="image_200.png" /><figcaption>Figure 187 : Signal de pression d'interface pour le tir CA14098</figcaption></figure>

L'utilisation quantitative du calibrage de Vantine est hasardeuse, car la nuance du
manganin utilisé pour son étude n'est pas précisée. Cependant, qualitativement, on peut noter
que l'effet d'hystérésis n'est pas notable aux pressions considérées. En complément des
remarques faites sur la validité des coefficients piézorésistifs, l'utilisation des jauges manganin
basse impédance nécessiterait également une campagne d'étalonnage en détente.

Le diagramme de marche du tir CA14098 est présenté sur la Figure 188. On peut noter
que les temps de déclenchement sont très différents entre les aiguilles des deux faces du coin, ce
qui implique que le tilt à l'impact était très important. Pour corriger ce tilt, et faire coïncider les
deux séries de mesures, il est nécessaire d'appliquer un tilt de l'ordre de 30 mrad, une valeur dix
fois supérieure à ce que l'on observe habituellement pour les expérimentations sur le lanceur
ARES. Ceci est lié à la tenue mécanique de la mousse, qui est moins bonne que celle du sabot en
matière plastique utilisé dans les configurations d'impact classiques.

Le tilt à l'impact étant très important, il est difficile de tirer des conclusions sur cette
expérimentation. On peut cependant noter un point important ; contrairement à ce qui était prévu,
l'hexolite 1 n'a pas transité en détonation, la vitesse du choc obtenue en effectuant une
régression linéaire sur les trois derniers doublets d'aiguilles n'étant que de l'ordre de 5200 m/s.
Un second tir a donc été réalisé sur l'hexolite 1 à une vitesse d'impact supérieure.
Essais d'impact plan non soutenu

<figure><img src="image_201.png" /><figcaption>Figure 188 : Diagramme de marche du tir non soutenu CA14098</figcaption></figure>

Pour cette seconde expérimentation, l'architecture du projectile était identique à celle du tir CA14098. La vitesse d'impact visée était de l'ordre de 2250 m/s. La valeur mesurée lors du tir est de 2265 m/s. Le signal de pression n'étant pas exploitable, il est difficile de savoir exactement quelle sollicitation nous avons imposée au massif d'explosif. Comme dans le cas précédent, la mesure du tilt n'est pas exploitable, mais on peut faire coïncider les deux rangées d'aiguilles en corrigeant avec un tilt d'environ 25 mrad. De plus, les aiguilles piézoélectriques présentent, pour la plupart, deux temps de déclenchements distincts, comme on peut le voir sur la Figure 189. Ces premiers signaux faibles semblent se propager dans le massif d'explosif avant l'onde de choc induisant la TCD, à une vitesse de l'ordre de 1500 m/s, proche de la célebrité du son dans l'hexolite.

On peut supposer que, sous l'effet de l'accélération initiale du projectile, la mousse se soit écrasée et soit légèrement entrée à l'intérieur du projectile. Ainsi, les bords du projectile auraient impacté la plaque de transfert en premier, transmettant une perturbation du type acoustique dans le massif, puis l'impacteur en acier serait venu dans un second temps au contact de la plaque transfert. On peut représenter ce scénario par la Figure 190.
<figure><img src="image_202.png" /><figcaption>Figure 189 : Diagramme de marche du tir non soutenu CA15028</figcaption></figure>

<figure><img src="image_203.png" /><figcaption>Figure 190 : Scénario du tir CA15028. 1) Pellet initial, 2) Ecrasement de la mousse lié à l'accélération 3) Impact des bords du pellet et transmission d'une faible perturbation, 4) Contact de l'impacteur en acier</figcaption></figure>

Si on se focalise sur la partie du phénomène lié à la TCD, les résultats du radio-interféromètre et, dans une moindre mesure, de la fibre optique à réseau de Bragg sont cohérents avec cette interprétation en termes de chronologie et de correction du tilt, comme on peut le voir sur la Figure 191. De plus, il semble que cette fois-ci la composition ait bien transité en
détonation, la vitesse mesurée sur les dernières aiguilles de chronométrie étant de l'ordre de
7250 m/s.

<figure><img src="image_204.png" /><figcaption>Figure 191 : Diagramme de marche du tir non soutenu CA15028, zoom sur le phénomène de TCD</figcaption></figure>

D'un point de vue qualitatif, si on suppose que la pression du pic de sollicitation correspond à la valeur attendue, soit environ 155 kbar, on note une nette différence entre le comportement de l'hexolite 1 en sollicitation soutenue et non-soutenue. En effet, la profondeur de transition à la détonation mesurée ici pour une sollicitation triangulaire est de l'ordre de 7 mm alors qu'en sollicitation soutenue, la profondeur de transition pour une telle pression serait de l'ordre de 3 mm. Il est cependant difficile de tirer des conclusions à partir de cette expérimentation étant donné que l'impact plan n'a pas été réalisé de façon nominale, à cause du tilt important et du précurseur transmis dans le massif qui peuvent tous deux influer. La configuration des impacts plans non soutenus a donc été modifiée afin de s'affranchir du problème de la tenue mécanique de la mousse.

### III.5.2 Secondes tentatives

#### III.5.2.1 Configuration expérimentale

Dans le but de résoudre les problèmes présentés dans le paragraphe précédent, la configuration expérimentale de l'impact plan non soutenu a été légèrement modifiée. Nous avons supprimé la mousse, choisissant ainsi de coller l'impacteur directement sur le projectile en matière plastique. Cependant dans cette configuration, la désadaptation d'impédance entre le projectile et l'impacteur n'est plus suffisante pour permettre au faisceau de détentes de rattraper l'onde de choc avant son débouché dans l'explosif. Nous avons donc remplacé l'acier par du tantale, d'impédance plus élevée. La configuration retenue est donc constituée d'un impacteur de 0,6 mm d'épaisseur et 94 mm de diamètre, directement collé sur le projectile, et d'une plaque transfert, elle aussi en tantale de 5 mm d'épaisseur et 94 mm de diamètre. Les dimensions du coin d'explosif n'ont, quant à elles, pas été modifiées.
En comparaison des configurations des essais d'impact plan soutenu et des premiers impacts plans non soutenus, d'autres modifications légères ont été apportées sur la mise en place de la métrologie, afin de faciliter le contrôle tridimensionnel des édifices une fois assemblés et d'assurer des bons niveaux de vide lors de la mise en place de l'édifice à la bouche du lanceur, de l'ordre de $10^{-2}$ mbar. Une photographie d'un montage dans cette nouvelle configuration est donnée sur la Figure 192, alors que le Tableau 30 synthétise la configuration des essais réalisés.

<figure><img src="image_205.png" /><figcaption>Figure 192 : Impact plan non soutenu, deuxième configuration</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 30 : Configurations de la seconde campagne d'impacts plans non soutenus</caption><thead><tr><td>Tir</td><td>Impacteur</td><td>Plaque transfert</td><td>Vitesse projectile attendue (m/s)</td><td>Explosif</td></tr></thead><tbody><tr><td>CA16029</td><td>Tantale</td><td>Tantale</td><td>1950</td><td>Hexolite 1</td></tr><tr><td>CA16031</td><td>Tantale</td><td>Tantale</td><td>1950</td><td>Hexolite 2</td></tr></tbody></table>

### III.5.2.2 Résultats

Comme on peut le voir sur la Figure 193, les signaux de pression sont très difficilement exploitables, car excessivement bruités. Comme cela a déjà été mentionné au paragraphe III.5.1.2, la mesure du pic de pression est très compliquée car le temps caractéristique du phénomène est du même ordre de grandeur que le temps d'équilibre mécanique intrinsèque de la jauge. La seule donnée qui pourrait être exploitable est la valeur du palier de pression qui semble être atteint environ 500 ns après le choc. Ce palier est d'environ 110 kbar pour l'hexolite 1 et de 140 kbar pour l'hexolite 2.
Essais d'impact plan non soutenu

<figure><img src="image_206.png" /><figcaption>Figure 193 : Signaux de pression pour les tirs non soutenus sur hexolites 1 et 2</figcaption></figure>

Pour des raisons de coûts et de délais d'approvisionnement, les pièces en tantale ont été usinées à partir d'un cylindre de 96 mm de diamètre. Malheureusement, cette méthode d'usinage n'a pas permis d'atteindre les planéités normalement souhaitées pour ce type de pièce. En effet, les tolérances de planéité et de perpendicularité sont normalement fixées à 0,025 mm, voire 0,050 mm. Dans notre cas, les contrôles tridimensionnels réalisés après le montage des impacteurs sur les projectiles ont révélé des défauts de planéité de l'ordre de 0,300 mm. Ces défauts ont probablement entraîné des problèmes lors du dépouillement des aiguilles de chronométrie, comme nous le verrons par la suite. Pour simplifier, l'impacteur du tir CA 16029 présentait une surface « bosselée », faite de creux et de bosses répartis aléatoirement alors que celui du tir CA 16131 présentait une sorte de creux en son centre.

Les diagrammes de marche déduits des aiguilles de chronométrie pour ces deux tirs sont donnés sur la Figure 194. Les données brutes ont été corrigées de l'influence du tilt, de l'ordre de 10 mrad pour le premier tir et de 2 mrad pour le second. Pour le tir CA 16029, on note que les données de chronométrie sont très dispersées, et que la correction de l'influence du tilt ne suffit pas à obtenir des valeurs cohérentes. Pour le tir CA 16031, on retrouve nettement l'influence du « creux » présent au centre de l'impacteur. On a en effet l'impression que la vitesse de choc ralentit de façon continue entre 52 et 53,5 µs, temps qui correspondent aux aiguilles centrales. Il est extrêmement difficile d'appréhender une profondeur de transition à la détonation à partir de ces valeurs.

<figure><img src="image_207.png" /><figcaption>Figure 194 : Diagrammes de marches des tirs CA 16029 (à gauche) et CA 16031 (à droite)</figcaption></figure>
Néanmoins sur ces deux tirs, l'emploi du radio-interféromètre nous a permis d'obtenir des résultats probants. En effet, l'appareil visant une direction fixe, il n'est que peu influencé par d'éventuels défauts de planéité de l'impacteur. Les diagrammes de marche obtenus à partir des signaux du RIF sont donnés sur la Figure 195. Ces derniers sont cohérents avec les résultats des aiguilles de chronométrie et permettent d'établir un diagramme de marche précis.

<figure><img src="image_208.png" /><figcaption>Figure 195 : Diagrammes de marches des tirs CA 16029 (à gauche) et CA 16031 (à droite), ajout des résultats du RIF</figcaption></figure>

L'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour ces deux tirs est donnée sur la Figure 196. Les vitesses de détonation établie sont de 8000 m/s pour l'hexolite 1 et de 8150 m/s pour l'hexolite 2. Ces valeurs sont cohérentes avec les résultats obtenus précédemment, en plan et en cartouche pour l'hexolite 1 et seulement en plan pour l'hexolite 2. On retrouve également la plus grande sensibilité de l'hexolite 2 puisque pour des niveaux de pression équivalents, la profondeur de transition est le l'ordre de 4,8 mm pour l'hexolite 1 et de 3,5 mm pour l'hexolite 2. Ces résultats de mesure d'un diagramme de marche pour une sollicitation non soutenue sont inédits, d'autant plus qu'ils sont associés à l'utilisation de la radio-interférométrie. Ils serviront notamment à évaluer la validité des modèles de TCD.

<figure><img src="image_209.png" /><figcaption>Figure 196 : Evolution de la vitesse de l'onde de choc lors d'un impact non soutenu pour les hexolites</figcaption></figure>
### III.6 Synthèse sur les expérimentations

Les différentes campagnes expérimentales présentées dans ce chapitre ont fait l'objet de dépouillements les plus complets possibles. D'importants efforts ont été réalisés à la fois sur les mesures de pression et sur la chronométrie. Les travaux de différents stages d'apprentissage successifs ont permis de caractériser avec précision les incertitudes expérimentales liées à la fois à la chaîne de mesure et au principe même de l'acquisition : la piézorésistivité. Concernant les mesures de chronométrie, nous avons tenté de prendre en compte l'influence du plus de facteurs possible sur l'établissement des diagrammes de marche : mesure du tilt, influence de ce dernier, détermination de la profondeur de transition à la détonation. Ces données ont permis à la fois de valider certains points de caractérisation abordés au chapitre II, comme les polaires de choc de mélange des compositions d'étude, et d'établir les relations de pop-plot de ces dernières.

Nous avons ainsi mis en évidence les écarts de sensibilité importants existant entre les hexolites 1 et 2. Une discussion sur les paramètres pouvant influencer cette sensibilité a été proposée, et nous verrons dans la suite de ce mémoire que l'influence de la répartition granulométrique peut être intégrée dans la modélisation de la TCD. Concernant les ontalites, les campagnes expérimentales d'impact plan soutenu nous ont permis d'obtenir les toutes premières données sur ces compositions qui sont très peu étudiées dans la littérature. Ces premiers résultats ont semble-t-il mis en évidence des changements de sensibilité, caractérisés par les changements de pente dans la relation du pop-plot. Ces phénomènes peuvent notamment être mis en parallèle de ceux observés sur le TATB et présentés au paragraphe II.8.

Ces campagnes expérimentales ont également permis d'intégrer les deux métrologies particulièrement innovantes que sont le RIF et le BraggFast. Ces dernières ont permis de mesurer la chronométrie du phénomène de TCD avec une résolution spatiale inédite, et si leur intégration ou les méthodes de dépouillements doivent encore être améliorées, ces premiers résultats sont particulièrement encourageants. Un dispositif expérimental a également été proposé afin de mesurer la permittivité diélectrique relative des explosifs à la fréquence d'utilisation du RIF. Cette méthode permet de mesurer ce paramètre indispensable à l'utilisation du RIF avec une très bonne précision.

Enfin, des premiers essais d'impact plan non soutenu ont été réalisés sur les hexolites. Différentes configurations expérimentales ont été mises en œuvre, avant d'aboutir à un dispositif permettant de mesurer une profondeur de transition à la détonation sous ce type de sollicitation. Encore une fois, ces résultats sont inédits sur des explosifs de type coulé-fondu. Tous ces résultats serviront à alimenter et à valider la modélisation qui sera proposée au chapitre suivant.

Nous pouvons enfin noter que ces résultats expérimentaux ont fait l'objet de trois communications dans des congrès internationaux, deux en tant qu'auteur principal, dont l'une a fait l'objet d'une publication dans un journal [Chuzeville, 2015], [Chuzeville, 2015-b], et l'une comme co-auteur [Lefrançois, 2015]. Les travaux sur les fibres optiques à réseau de Bragg ont également été intégrés dans une publication [Barbarin, 2015].
# IV. Modélisation de la transition choc-détonation

> « L'onde de choc est un phénomène qui présente la particularité assez rare d'avoir été découvert au bout de la plume des mathématiciens, de Riemann d'abord, d'Hugoniot ensuite. Les expériences ne sont venues qu'après ». [Jouguet, 1934]

> Emile Jouguet (1871-1943), thermodynamicien, mécanicien et en quelques sortes « père » des détoniciens. Propose, parallèlement à Chapman, la première théorie de l'onde explosive qui porte aujourd'hui son nom.

## IV.1 Introduction

Les différentes approches de modélisation de la TCD ont été présentées en détail dans le chapitre I. Suite à l'étude des différents modèles proposés dans la littérature, nous avons choisi de nous orienter vers un modèle devant présenter les caractéristiques suivantes :

* une prise en compte au maximum des caractéristiques physico-chimiques de l'explosif. Comme nous l'avons vu, l'écueil à éviter est de proposer un modèle présentant un trop grand nombre de paramètres empiriques à déterminer en se recalant sur des résultats expérimentaux ;

* point lié au précédent : pouvoir calibrer le modèle avec le moins de résultats expérimentaux possibles, les campagnes expérimentales sur matériaux énergétiques étant généralement coûteuses et longues à mettre en place ;

* une prise en compte de l'influence de la microstructure. Nous avons vu dans le chapitre précédent que les sensibilités au choc des hexolites 1 et 2 étaient très différentes, alors que ces explosifs présentent des formulations équivalentes. La prise en compte, dans une première étape de la répartition granulométrique des charges explosives, est donc un point indispensable à la création d'un modèle de TCD pour ce type d'explosif.

Nous présenterons donc dans ce chapitre le processus général de modélisation de la TCD, en spécifiant notamment les équations d'état que nous avons retenues. Dans un second temps, nous détaillerons la première approche de modélisation que nous avons testée, basée sur le modèle KRAKATOA présenté au paragraphe I.3.2.2.4. Ces premières observations nous ont orientés vers une nouvelle voie de modélisation que nous présenterons par la suite. Enfin, comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, les modèles de TCD sont très souvent définis par plusieurs étapes : éventuellement une étape d'initiation, une étape de croissance et enfin une étape de terminaison. Nous proposerons donc une première approche de définition de l'étape de terminaison à partir de calculs thermocinétiques.

L'objectif est de proposer un modèle intégrable dans un code d'hydrodynamique rapide existant. Pour cela, nous nous sommes orientés vers le code Ouranos, développé par le CEA [Jourdren, 1995]. Le choix du code est essentiel car il impose en grande partie la physique intégrable dans la modélisation. Ouranos est un code permettant de résoudre les équations de la mécanique des milieux continus solides et fluides. Les fluides sont traités sans transfert thermique, sans effets visqueux et sans diffusion massique. Le code dispose d'un schéma numérique lagrangien et de trois schémas eulériens, à l'ordre 2 à la fois en espace et en temps. En eulérien, un schéma du type Godounov [Godunov, 1959] permet d'effectuer des calculs purement hydrodynamiques, alors qu'un schéma de type BBC [Woodward, 1982] autorise le
couplage du comportement hydrodynamique et du traitement élastoplastique, par exemple pour
simuler les expérimentations de relèvement de cylindre. Une évolution du schéma BBC a
également été implémentée par la suite.

IV.2 Démarche globale

IV.2.1 Mise en équation

IV.2.1.1 Equations du mouvement

Comme nous l'avons déjà mentionné en conclusion du premier chapitre, nous avons choisi de nous orienter vers un formalisme de type Zeldovich, Von Neumann, Döring (ZND), proposé initialement par P. Vieille en 1900 [Vieille, 1900] et mis en équations quarante ans plus tard par quatre auteurs [Grib, 1940], [Zeldovich, 1940], [Von Neumann, 1942] et [Döring, 1943]. Dans cette approche, nous considérons que l'onde de détonation se compose d'une onde de choc inerte qui initie les réactions chimiques en son aval. Pour décrire ce système, nous avons besoin de cinq briques élémentaires : les équations d'Euler réactives, des équations d'état (EOS) pour l'explosif inerte et les produits de détonation, une expression de la vitesse de réaction permettant de décrire la cinétique de décomposition et une loi de mélange décrivant les échanges dans la zone de réaction. Cette approche peut être représentée de façon schématique par la Figure 197.

<figure><img src="image_210.png" /><figcaption>Figure 197 : Représentation schématique de l'approche de modélisation retenue</figcaption></figure>

Nous avons évoqué les différentes méthodes d'obtention des équations d'Euler réactives, que ce soit par une approche multiphasique ou par une approche de thermodynamique étendue, dans le paragraphe I.4. Nous avons retenu une approche multiphasique que nous rappellerons ici. En 1986, M. Baer et J. Nunziato [Baer, 1986] développent cette approche amorcée par D.A. Drew et résumée dans [Drew, 1999], en appliquant les équations d'Euler à chacune des phases d'un système diphasique, en les identifiant à l'aide d'une fonction indicatrice et en effectuant des opérations de moyenne volumique. A deux phases, les auteurs obtiennent ainsi un système de sept équations en déséquilibre de pression, de température et de quantité de mouvement, permettant de s'affranchir d'une loi de mélange. On aboutit ainsi à un modèle faisant intervenir des termes d'interaction entre phases qu'il faut modéliser et des termes de fluctuation qui sont négligés en détonique. Devant la complexité du système obtenu, A. Kapila et al. [Kapila, 2001] proposent un développement asymptotique de ce modèle en équilibre mécanique. Quelques années plus tard, Petitpas et al. établissent les équations de la mécanique des fluides multiphasiques en équilibre mécanique pour n phases, en présence d'échange de chaleur Qk et de transferts de masse Ŷk, sous la forme suivante :
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial \alpha_k}{\partial t} + \vec{u} \cdot \text{grad} \alpha_k ={}& \alpha_k \left( \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} - 1 \right) \text{div} \vec{u} + \left( \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{Q_j \Gamma_j}{\rho_j c_j^2} \right) \\
& + \left( \frac{\rho \dot{Y}_k}{\rho_k} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{\rho \dot{Y}_j}{\rho_j} \right)
\end{split}
\tag{81}
\end{equation}
$$

$$
\frac{\partial \alpha_k \rho_k}{\partial t} + \text{div}(\alpha_k \rho_k \vec{u}) = \rho \dot{Y}_k \quad (82)
$$

$$
\frac{\partial \rho \bar{u}}{\partial t} + \mathrm{d} \bar{v}(\rho \bar{u} \otimes \bar{u}) + \mathrm{grad} P = 0 \quad (83)
$$

$$
\frac{\partial \rho E}{\partial t} + \text{div}((\rho E + P)\vec{u}) = 0 \qquad (84)
$$

La relation (81) est une équation supplémentaire sur la fraction volumique de chaque
phase, alors que les relations (82) à (84) sont respectivement les équations de conservation de la
masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale. αₖ et ρₖ représentent la fraction
volumique et la masse volumique de la phase k. ρ, E, e, P et u̅ sont respectivement la masse
volumique du mélange ρ = ∑ₖ αₖρₖ, l'énergie totale du mélange E = e + u̅²/2, l'énergie
interne du mélange e = ∑ₖ Yₖeₖ, la pression et le vecteur vitesse matérielle. La fraction
massique Yₖ est reliée à la fraction volumique par ρYₖ=αₖρₖ. Sa dérivée par rapport au temps est
le terme de production ȳₖ(P, ρ, Yₖ). Toutes ces grandeurs sont des moyennes massiques sur un
volume élémentaire de contrôle, exceptées la pression et la masse volumique qui sont des
moyennes volumiques. Sans échange de chaleur, ce modèle sous-tend implicitement un équilibre
isenthalpique entre les phases. Si les transferts de chaleurs sont pris en compte, ces derniers sont
reliés aux écarts de températures entre phases par la relation :

$$
Q_k = \sum_{j \neq k} H_{kj} (T_j - T_k). \tag{85}
$$

La célérité du son du mélange, issue de l'analyse de l'hyperbolicité des équations du mouvement, se met sous la forme :

$$
\frac{1}{\rho c^2} = \sum_k \frac{\alpha_k}{\rho_k c_k^2}. \tag{86}
$$

Les célérités du son $c_k$ et les coefficients de Gruneisen $\Gamma_k$ de chaque phase sont donnés respectivement par les relations (87) et (88).

$$
c_k^2 = \left( \frac{\partial P}{\partial \rho_k} \right)_{S_k} = \frac{\frac{P}{\rho_k^2} - \left( \frac{\partial e_k}{\partial \rho_k} \right)_P}{\left( \frac{\partial e_k}{\partial P} \right)_{\rho_k}} \quad (87)
$$

$$
\Gamma_k \rho_k = \left( \frac{\partial P}{\partial e_k} \right)_{\rho_k} \qquad (88)
$$
Ce système d'équations est similaire aux équations d'Euler réactives avec une relation de fermeture supplémentaire portant sur la fraction volumique de chaque phase. Il vérifie le second principe de la thermodynamique des phénomènes irréversibles.

### IV.2.1.2 Relations de saut

En négligeant les transferts de chaleur dans les discontinuités, les relations de saut multiphasiques pour un choc non réactif ont été établies par Saurel et al. [Saurel, 2007] et intégrées dans l'outil MUPHINS, comme cela a été évoqué au paragraphe II.7.3.2. A la limite des chocs faibles, elles s'écrivent sous la forme suivante :

$$Y_k = Y_{0,k} \qquad (89)$$

$$\rho(D-u) = \rho_0 D = m \qquad (90)$$

$$P - P_0 = \frac{m^2}{\rho\rho_0}(\rho_0 - \rho) \qquad (91)$$

$$e_k - e_{0,k} + \frac{P + P_0}{2\rho_k \rho_{0,k}} (\rho_{0,k} - \rho_k) = 0 \qquad (92)$$

L'indice 0 représente l'état initial. Ces relations ont été validées sur un grand nombre de données sous choc établies pour divers mélanges, jusqu'à des pressions de l'ordre de 50 GPa. A la limite des chocs faibles, elles sont compatibles avec l'expression de la célérité du son dans le mélange donnée par la relation (86).

## IV.2.2 Calcul de la vitesse de réaction au choc

### IV.2.2.1 Etude des effets dynamiques d'un front de détonation courbe :
le problème de Cauchy-Riemann

Le problème de Cauchy-Riemann [Hadamard, 1932] consiste à prouver l'existence et l'unicité de la solution du système d'équations de conservation au voisinage d'une surface de discontinuité, qui peut être matérielle ou un choc. Ce problème a par exemple été adapté pour traiter l'initiation par choc dans les explosifs homogènes [Vidal, 1999]. D'un point de vue pratique, il s'agit de calculer les dérivées des variables de ce système d'équations au voisinage de la discontinuité, et d'étudier leur comportement selon la dynamique de la discontinuité : vitesse-accélération-courbure.

Nous noterons à partir de maintenant $D_n = \vec{D} \cdot \vec{n}$ la célérité normale de la discontinuité et $u_n = \vec{u} \cdot \vec{n}$ la vitesse matérielle normale à cette discontinuité. Les gradients normaux à la surface de discontinuité seront notés $\frac{\partial \vec{u}}{\partial n} = \vec{n} \cdot \overrightarrow{grad}(\cdot)$. Chaque quantité au front $f = (P, \rho, e, u_n)$ est une fonction unique de l'état en amont de la discontinuité, noté 0, et de sa célérité :

$$f = f(P_0, \rho_0, e_0, D_n) \qquad (93)$$

Leurs variations temporelles le long de la trajectoire de la discontinuité suivent la relation (94). Par la suite, nous n'indiquerons plus les indices $S$ pour une meilleure lisibilité.
$$ \frac{d^s f}{dt} = \left( \frac{df}{dD_n} \right)_s \frac{d^s D_n}{dt} = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_s + D_n \frac{\partial f}{\partial n} = \left( \frac{df}{dt} \right)_s + (D_n - u_n) \frac{\partial f}{\partial n} \quad (94) $$

Au front de détonation, les dérivées $d/dt$ et $\partial/\partial n$ appliquées aux différentes variables $f$ doivent être compatibles avec l'écoulement aval décrit par les équations (81) à (84). Ces dernières, issues des travaux de Petitpas et al., sont écrites sous forme conservatives. Nous les utiliserons par la suite plutôt sous leur forme non conservative :

$$ \frac{d\alpha_k}{dt} = \alpha_k \left( \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} - 1 \right) \mathrm{div} \bar{u} + \left( \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{Q_j \Gamma_j}{\rho_j c_j^2} \right) + \left( \frac{\rho \dot{Y}_k}{\rho_k} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{\rho \dot{Y}_j}{\rho_j} \right) \quad (95) $$

$$ \frac{dY_k}{dt} = \dot{Y}_k \quad (96) $$

$$ \frac{d\rho}{dt} + \rho \mathrm{div} \bar{u} = 0 \quad (97) $$

$$ \frac{d\bar{u}}{dt} + \frac{1}{\rho} \mathrm{grad} P = 0 \quad (98) $$

$$ \frac{dP}{dt} - c^2 \frac{d\rho}{dt} = \rho c^2 \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \rho c^2 \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k \quad (99) $$

La relation (99) est la forme non conservative de l'équation de conservation de l'énergie (84), réécrite en intégrant la définition de la célérité du son (87) et du coefficient de Gruneisen (88). En spécialisant ces relations au choc, et en intégrant la définition de la courbure définie par la relation (100), on obtient les relations (101) à (105).

$$ C = \frac{1}{2} \mathrm{div} \bar{n} \quad (100) $$

$$ \begin{aligned} \frac{d\alpha_k}{dt} = & \alpha_k \left( \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} - 1 \right) \left( 2u_n C + \frac{\partial u_n}{\partial n} \right) + \left( \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{Q_j \Gamma_j}{\rho_j c_j^2} \right) \\ & + \left( \frac{\rho \dot{Y}_k}{\rho_k} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{\rho \dot{Y}_j}{\rho_j} \right) \end{aligned} \quad (101) $$

$$ \frac{dY_k}{dt} = \dot{Y}_k \quad (102) $$

$$ \frac{d\rho}{dt} + \rho \left( 2u_n C + \frac{\partial u_n}{\partial n} \right) = 0 \quad (103) $$

$$ \frac{du_n}{dt} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial n} = 0 \quad (104) $$

$$ \frac{dP}{dt} - c^2 \frac{d\rho}{dt} = \rho c^2 \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \rho c^2 \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k \quad (105) $$

Or, le long de la trajectoire du choc, les dérivées $d/dt$ et les gradients $\partial/\partial n$ suivent la relation (94). On obtient ainsi 5 équations qui, associées aux 5 équations du mouvement spécialisées au choc, constituent un système linéaire non homogène de 10 équations pour les expressions des 10 dérivées $d/dt$ ($P$, $\rho$, $u_n$, $Y_k$, $\alpha_k$) et $\partial/\partial n$ ($P$, $\rho$, $u_n$, $Y_k$, $\alpha_k$) au choc. Ce système
est compatible avec la célérité et l'accélération de la discontinuité, ainsi qu'avec les relations de saut, d'où le terme de « problème de Cauchy-Riemann ».

La résolution de ce système conduit aux expressions suivantes pour les gradients dans l'écoulement aval au front de choc :

$$ \frac{\partial \alpha_k}{\partial n} = \frac{1}{D_n - u_n} \frac{d\alpha_k}{dD_n} \frac{dD_n}{dt} - \frac{\alpha_k}{(1 - M^2)(D_n - u_n)} \left( \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} - 1 \right) \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - M^2 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (106) $$

$$ -\frac{1}{D_n - u_n} \left( \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{Q_j \Gamma_j}{\rho_j c_j^2} \right) - \frac{1}{D_n - u_n} \left( \frac{\rho \dot{Y}_k}{\rho_k} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{\rho_j \dot{Y}_j}{\rho_j} \right) $$

$$ \frac{\partial \rho}{\partial n} = \frac{\rho}{(D_n - u_n)(1 - M^2)} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - M^2 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] + \frac{1}{D_n - u_n} \frac{d\rho}{dD_n} \frac{dD_n}{dt} \quad (107) $$

$$ \frac{\partial P}{\partial n} = \frac{\rho(D_n - u_n)}{1 - M^2} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] - \rho \frac{du_n}{dD_n} \frac{dD_n}{dt} \quad (108) $$

$$ \frac{\partial u_n}{\partial n} = \frac{1}{1 - M^2} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (109) $$

où M est le nombre de Mach, défini par la relation (110), et F est une fonction de la célérité du choc donnée par la formule (111).

$$ M = \frac{D_n - u_n}{c} \quad (110) $$

$$ F(D_n) = \frac{\rho c^2}{dP/dD_n + \rho(D_n - u_n)du_n/dD_n} \quad (111) $$

Les dérivées sont déterminées à partir des équations du mouvement spécialisées au front de choc, en substituant les gradients par leur expression ci-dessus :

$$ \frac{d\alpha_k}{dt} = \alpha_k \left( \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} - 1 \right) \left[ 2u_n C + \frac{1}{1 - M^2} \left( \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k \right) - 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (112) $$

$$ + \left( \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{Q_j \Gamma_j}{\rho_j c_j^2} \right) + \left( \frac{\rho \dot{Y}_k}{\rho_k} - \alpha_k \frac{\rho c^2}{\rho_k c_k^2} \sum_j \frac{\rho_j \dot{Y}_j}{\rho_j} \right) $$

$$ \frac{dY_k}{dt} = \dot{Y}_k \quad (113) $$
$$ \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt} = - \frac{1}{1-M^2} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - M^2 2u_n C - \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (114) $$

$$ \frac{1}{\rho_0 D_n^2} \frac{dP}{dt} = - \frac{\rho_0}{\rho} \frac{1}{1-M^2} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - 2u_n C - \frac{1}{M^2} \frac{1}{F(D_n)} \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (115) $$

$$ \frac{1}{D_n} \frac{du_n}{dt} = - \frac{\rho_0}{\rho} \frac{1}{1-M^2} \left[ \sum_k \frac{Q_k \Gamma_k}{\rho_k c_k^2} + \sum_k \left( \frac{1}{\rho_k} - \frac{\Gamma h_k}{\rho c^2} \right) \dot{Y}_k - 2u_n C - \left( \frac{1}{F(D_n)} + \frac{1-M^2}{D_n - u_n} \frac{du_n}{dD_n} \right) \frac{dD_n}{dt} \right] \quad (116) $$

Ces relations sont écrites à n phases. Dans notre approche, nous faisons l'hypothèse que l'explosif se décompose globalement en une étape pour donner les produits de réactions. Considérons maintenant uniquement 2 phases, la phase réactive solide r non réagie et la phase gazeuse p des produits de réactions. Dans ce cas, en réécrivant l'équation sur la fraction volumique sous une forme plus propice à sa résolution dans un code d'hydrodynamique classique, en faisant apparaître les variations des volumes spécifiques, le système complet se met sous la forme :

$$ Y_p \left[ \left( \frac{c_p}{v_p} \right)^2 \dot{v}_p - \left( \frac{c_r}{v_r} \right)^2 \dot{v}_r \right] = - \left[ Y_p \left( \frac{\partial P}{\partial e_r} \right)_{v_r} + (1 - Y_p) \left( \frac{\partial P}{\partial e_p} \right)_{v_p} \right] Q_r; \quad \text{(équation sur la fraction volumique)} \quad (117) $$

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \vec{u}) = 0 \quad \text{(conservation de la masse)} \quad (118) $$

$$ \frac{\partial(\rho \vec{u})}{\partial t} + \text{div}(\rho \vec{u} \otimes \vec{u}) = -\overrightarrow{\text{grad}} P \quad \text{(conservation de la quantité de mouvement)} \quad (119) $$

$$ \frac{\partial \left( \rho \left[ e + \frac{u^2}{2} \right] \right)}{\partial x} + \text{div} \left( \rho \left[ e + \frac{u^2}{2} \right] \vec{u} \right) = - \text{div}(P \vec{u}) \quad \text{(conservation de l'énergie totale)} \quad (120) $$

$$ \frac{\partial \rho Y_p}{\partial t} + \text{div}(\rho Y_p \vec{u}) = \rho R(P, \rho, Y_p) \quad \text{(évolution de la composition)} \quad (121) $$

$$ v = Y_p v_p(P, T_p) + (1 - Y_p) v_r(P, T_r) \quad \text{(additivité des volumes spécifiques)} \quad (122) $$

$$ e = Y_p e_p(P, T_p) + (1 - Y_p) e_r(P, T_r) \quad \text{(additivité des énergies spécifiques)} \quad (123) $$

$$ s = Y_p s_p(P, T_p) + (1 - Y_p) s_r(P, T_r) \quad \text{(additivité des entropies spécifiques)} \quad (124) $$

A ce stade, nous pouvons noter un point important. Le modèle de Petitpas, écrit à deux phases, est apparenté au modèle de Kapila dans lequel aucune hypothèse particulaire n'est faite, hormis celle de l'équilibre mécanique. Dans l'approche de Kapila, la fonction sur la fraction volumique s'écrit sous la forme (125) où apparaît un terme lié à la différence d'enthalpie, qui n'est pas dans le modèle de Petitpas.
$$
\begin{align}
& Y_p \left[ \left( \frac{c_p}{v_p} \right)^2 \dot{v}_p - \left( \frac{c_r}{v_r} \right)^2 \dot{v}_r \right] \nonumber \\
&= -\dot{Y}_p \left( \frac{\partial P}{\partial e_p} \right)_{v_p} (h_p - h_r) - \left[ Y_p \left( \frac{\partial P}{\partial e_r} \right)_{v_r} + (1 - Y_p) \left( \frac{\partial P}{\partial e_p} \right)_{v_p} \right] Q_r ; \tag{125}
\end{align}
$$

Dans notre étude, nous ferons l'hypothèse qu'il n'y a pas d'échange de chaleur entre les phases : $Q_r = 0$. Comme nous l'avons déjà évoqué, cette hypothèse est justifiable pour les échanges de chaleur par conduction, mais moins pour ceux par rayonnement. En effet, les grains d'explosif solide étant généralement semi-transparents [Baudin, 2015], le transfert radiatif des produits de détonation vers la phase solide non réagie serait certainement à prendre en compte.

A la petite échelle, les déflagrations se propagent à faible vitesse (quelques m/s à quelques dizaines de m/s) et se traduisent par une faible déplétion de pression. Les ondes acoustiques générées en amont de la déflagration tendent à équilibrer la pression entre les deux phases. La transformation de l'explosif solide en produits de réaction s'effectue donc à pression quasi constante, de sorte que l'on peut négliger le terme de différence d'enthalpies. Dans ces conditions, le modèle de Petitpas et celui de Kapila sont identiques.

Dans les deux hypothèses précédentes, l'équation sur la fraction volumique se met sous la forme (126).

$$
\left(\frac{c_p}{v_p}\right)^2 \dot{v}_p - \left(\frac{c_r}{v_r}\right)^2 \dot{v}_r = 0. \tag{126}
$$

Dans un code d'hydrodynamique, il est équivalent de résoudre cette équation, ou
d'imposer l'équilibre enthalpique $h_p(P, T_p) = h_r(P, T_r)$.

En intégrant la thermicité $\sigma$, définie par la relation (127), l'expression (108), faisant intervenir les gradients de pression, peut se mettre sous la forme (128).

$$
\sigma = \frac{1}{\rho c^2} \left(\frac{\partial P}{\partial Y_p}\right)_{\rho,e} \qquad (127)
$$

$$
\frac{dDn}{dt} = \frac{\rho c^2 M^2}{\left(\frac{dP}{dD_n}\right)_H \left[M^2 + \rho_0 D_n \left(\frac{du_n}{dP}\right)_H\right]} \left[ \left(\sigma \frac{dY_p}{dt} - 2u_n C\right) - \frac{1-M^2}{\rho_0 D_n} \frac{\partial P}{\partial n} \right] \quad (128)
$$

Dans cette expression, l'indice *H* représente l'état sur l'Hugoniot. Cette forme de l'équation d'évolution du choc est intéressante car, toutes les grandeurs au choc pouvant être exprimées uniquement en fonction de la vitesse de ce dernier *D*<sub>n</sub>, elle permet de voir qu'à tout instant, lors de la TCD, l'accélération du choc peut s'exprimer comme une fonction de *D*<sub>n</sub>, d'un terme lié à la courbure de l'onde et d'un terme piloté par les gradients de pression.

IV.2.2.2 Retour sur la courbe unique d'amorçage

Une analyse des ordres de grandeur montre que le terme associé au gradient de pression est de l'ordre de 0,01 à 0,1 fois les deux autres termes de l'équation. De plus, les mesures de pression à cœur réalisées sur une large gamme de compositions montrent que cette hypothèse est
généralement vérifiée dans la zone de transition jusqu'à ce que le choc atteigne environ 90 % de la vitesse de détonation établie. Ces observations peuvent également être faites sur les très nombreuses mesures de vitesse matérielle à cœur disponibles dans la littérature, réalisées à l'aide des jauges multibrins présentées au paragraphe III.2.4.2.

En considérant alors le terme de gradient négligeable, l'équation d'évolution du choc peut s'écrire comme une relation accélération-célérité du choc-cinétique chimique en aval du choc, donnée par l'équation (129), le terme de courbure étant nul dans le cas des impacts plans considérés. Il s'agit d'un cas particulier du modèle proposé par L. Brun [Brun, 1989] pour décrire des détonations instationnaires courbes.

$$ \frac{dD_n}{dt} = F(D_n)\sigma \frac{dY_p}{dt} \qquad (129) $$

Des calculs ont été réalisés afin d'évaluer la validité de cette hypothèse sur le TNT. Un modèle de TCD a été obtenu à partir du Pop-plot de l'explosif selon la méthode classiquement utilisée au CEA Gramat et présentée au paragraphe I.3.2.2.4. Les calculs d'impact plan pour différentes pressions de choc ont été effectués à l'aide du code Ouranos et les diagrammes de marche ont été relevés. A partir de ces diagrammes de marche, la vitesse de l'onde de choc, puis son accélération ont été relevées. L'accélération est présentée sur la Figure 198 en fonction de la vitesse de choc. On peut noter que quelle que soit la sollicitation initiale, la relation accélération-vitesse est quasi identique, les écarts n'excédant pas 5 à 10 % dans la zone où l'accélération est maximale. Cela appuie l'hypothèse de courbe unique d'amorçage proposée précédemment.

<figure><img src="image_211.png" /><figcaption>Figure 198 : Relation accélération-vitesse du choc pour le TNT lors de la TCD</figcaption></figure>

On peut rappeler qu'il s'agit là de l'hypothèse de base du modèle Forest-Fire, présenté dans le paragraphe I.3.2.1.2, et largement discuté dans [Menikoff, 2007]. Or, dans cette étude, Menikoff propose d'améliorer cette approche en intégrant l'influence des gradients de pression par une méthode itérative. La vitesse de réaction peut être déterminée en négligent les gradients, puis des calculs de TCD sont réalisés et les gradients de pression sont relevés. Ces derniers sont ensuite intégrés dans le calcul de la vitesse de réaction, et ainsi de suite jusqu'à convergence des résultats. Dans le cas du TNT, les gradients de pression ont été relevés, puis tracés en fonction de l'accélération de l'onde de choc sur la Figure 199. On remarque que, quelle que soit la sollicitation initiale, les gradients de pression semblent suivre une loi identique, fonction de l'accélération. Cette observation importante pourrait être une piste pour modéliser ces gradients et les intégrer dans le calcul de la vitesse de réaction.
<figure><img src="image_212.png" /><figcaption>Figure 199 : Evolution du gradient de pression au choc en fonction de l'accélération pour le TNT</figcaption></figure>

#### IV.2.2.3 Calcul de la vitesse de réaction

Une fois ces différentes observations faites, on peut calculer la vitesse de réaction au choc par une méthode inverse. A l'heure actuelle, cette vitesse de réaction est déterminée à partir des coefficients du Pop-plot écrit sous la forme $log(P)=a-b.log(x*)$. En reprenant la relation (128), en intégrant la dérivée de la pression $\frac{dP}{dt} = (\frac{dP}{dD_n})_H \frac{dD_n}{dt}$ et en rappelant que nous faisons l'hypothèse que les gradients de pression au choc sont négligeables, on peut écrire la relation :

$$ \left(\frac{dY_p}{dt}\right) = \left(\frac{\partial P}{\partial t}\right) \frac{M^2 + \rho_0 D_n \left(\frac{du_n}{dP}\right)_H}{\rho c^2 M^2 \sigma} \quad (130) $$

Or, en dérivant l'expression du pop-plot, on peut écrire :

$$ \frac{dP}{dx^*} = -\frac{1}{D_n}\left(\frac{\partial P}{\partial t}\right) = -b10^{-\frac{a}{b}P^{\frac{1+b}{b}}} \quad (131) $$

La vitesse de réaction se déduit alors de l'équation (132), où le calcul des termes $\rho, P, c, u, D_n$ et $\sigma$ dépend des équations d'état et du modèle de mélange choisis.

$$ \left(\frac{dY_p}{dt}\right) = \frac{D_n b P^{\frac{1+b}{b}}}{10^{\frac{b}{a}}} \frac{1 + \left(\frac{\rho c}{\rho_0 D_n}\right)^2 \left(\frac{du_n}{dP}\right)_H}{\rho c^2 \sigma} \quad (132) $$

Suite aux observations qui ont été faites au paragraphe IV.2.2.2 sur la courbe unique d'amorçage, il est légitime d'envisager le calcul de la vitesse de réaction au choc à partir d'un seul diagramme de marche et de la relation accélération – vitesse du choc déterminée expérimentalement. Nous évaluerons cette possibilité au paragraphe IV.4.

### IV.2.3 Equation d'état pour l'explosif inerte

Pour rappel, toutes les équations d'état que nous avons choisies sont basées sur le modèle de Mie-Gruneisen défini au paragraphe I.4.2.2. par la relation (32). Pour définir complètement
une équation d'état, il faut se donner une courbe de référence $P^*(v)$, un coefficient de Gruneisen $\Gamma(v)$ et une capacité calorifique à volume constant $c_v(s)$. Dans le paragraphe II.7, nous avons défini l'EOS dite « de Menikoff » qui a montré sa capacité à retranscrire à la fois les états de compression isotherme et les états sous choc des explosifs purs. Malheureusement, cette EOS n'est, à l'heure actuelle, pas disponible dans les codes d'hydrodynamique rapide que nous utilisons au CEA Gramat. De plus, elle doit être calibrée à partir de données de compression isotherme, données qui ne sont généralement pas disponibles pour des mélanges tels que l'hexolite ou l'ontalite. L'utilisation de cette équation d'état nécessiterait donc d'établir une relation de mélange à partir des composants purs, ce qui n'est pas trivial.

Nous avons donc choisi une équation d'état que nous pourrons calibrer à partir des polaires de choc de mélange que nous avons déterminées grâce aux polaires de choc universelles définies au paragraphe II.7.3 via l'équation de Menikoff. Il s'agit de l'équation d'état de Cochran-Chan (CC). Proposée pour la première fois par S. Cochran et J. Chan dans leur modèle de TCD [Cochran, 1979], sa formulation est établie dans le cadre d'un coefficient de Gruneisen $\Gamma$ constant et d'un $c_v$ constant lui aussi. Elle est mise sous la forme du système (133), où $P_{0K}(v)$ et $e_{0K}(v)$ sont les courbes de compression isotherme à 0 K.

$$ 
\begin{aligned}
& e = e_{0K}(v) + c_v T \\
& P = P_{0K}(v) + T\eta(v) = -\frac{de_{0K}(v)}{dv} + T\eta(v) \\
& s = c_v \log T + \Gamma c_v \log v + \text{constante} \\
& \eta(v) = \frac{\Gamma c_v}{v}
\end{aligned} 
\quad (133) $$

L'isotherme 0 K est déduite de la somme de forces interatomiques répulsive et attractive de résultante égale à $-\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n}$, $r$ représentant la distance interatomique. La pression froide s'en déduit :

$$ P_{0K}(v) = \frac{3K_0}{n-m} \left[ \left( \frac{v_{0K}}{v} \right)^{\frac{n}{3}+1} - \frac{a}{b} \left( \frac{v_{0K}}{v} \right)^{\frac{m}{3}-1} \right] \quad (134) $$

où $K_0$ représente le module de compression isotherme à $v=v_{0K}$ et $T=0$ K, point thermodynamique où s'annule la pression le long de cette isotherme. Cochran et Chan mettent cette relation sous la forme (135)

$$ P_{0K}(v) = A_1 \left(\frac{v_0}{v}\right)^{E_1} - A_2 \left(\frac{v_0}{v}\right)^{E_2} \quad (135) $$

où $A_1, A_2, E_1$ et $E_2$ sont déterminés à partir d'une polaire de choc linéaire dans le plan vitesse de l'onde de choc-vitesse matérielle. L'énergie froide s'en déduit par intégration :

$$ e_{0K}(v) = \frac{A_1 v_0}{E_1 - 1} \left[ \left( \frac{v_0}{v} \right)^{E_1 - 1} \right] - \frac{A_2 v_0}{E_2 - 1} \left[ \left( \frac{v_0}{v} \right)^{E_2 - 1} \right] + e_0 - c_v T_0 \quad (136) $$

où $e_0$ représente l'énergie interne dans l'état $v=v_0$ et $T=T_0$.
Dans la référence initiale de Cochran et Chan, les constantes sont déterminées à partir des paramètres $c_0$ et $s$ de la polaire de choc du matériau considéré, à l'aide des relations du système (137).

$$
\begin{align}
A_1 &= \frac{c_0^2 + 2s\Gamma c_v T_0}{v_0} \nonumber \\
A_2 &= A_1 + \frac{\Gamma c_v T_0}{v_0} \tag{137} \\
E_1 &= 2s \nonumber \\
E_2 &= E_1 - 1 \nonumber
\end{align}
$$

Néanmoins, cette méthode ne permet pas toujours de déterminer les coefficients de manière satisfaisante, surtout pour des pressions élevées. C'est pourquoi le CEA Gramat a proposé une méthode de détermination alternative. Les coefficients sont toujours calculés à partir des paramètres de la polaire de choc, mais de façon à respecter les dérivées première, seconde, troisième et quatrième de la pression et de l'énergie en fonction du volume massique. Le système d'équations à respecter est présenté ci-après. Cette méthode impose notamment que la pression à l'état ($v_0, T_0$) doit être égale à $P_0$, ce qui n'est pas le cas dans la méthode initiale. Une meilleure représentation de la courbe d'Hugoniot est obtenue en multipliant le coefficient $E_1$ par une constante $\kappa$ et en recherchant sa valeur par minimisation de l'écart à la courbe d'Hugoniot du mélange explosif.

$$
\begin{align*}
P_{th0} &= \rho_0 \Gamma c_v T_0 \\
k_0 &= P_0 - P_{th0} \\
k_1 &= \rho_0 c_0^2 - (\Gamma + 1) P_{th0} \\
k_2 &= \rho_0 c_0^2 (4s - 1) - (\Gamma + 1)^2 P_{th0} \\
k_3 &= \rho_0 c_0^2 (1 - 2\Gamma s - 12s + 18s^2) - (\Gamma + 1)^3 P_{th0} \\
\Sigma &= \frac{k_1 k_2 - k_0 k_3}{k_1^2 - k_0 k_2} \\
\Pi &= \frac{k_2^2 - k_1 k_3}{k_1^2 - k_0 k_2} \\
\Delta &= \sqrt{\Sigma^2 - 4\Pi} \\
E_1 &= \frac{\Sigma + \Delta}{2} \\
E_2 &= \frac{\Sigma - \Delta}{2} \\
A_1 &= \frac{k_1 - k_0 E_2}{\Delta} \\
A_2 &= \frac{k_1 - k_0 E_1}{\Delta}
\end{align*}
\tag{138}
$$

Les paramètres de l'équation d'état Cochran-Chan ont été déterminés pour les compositions d'étude à l'aide de la méthode décrite précédemment. Ils sont donnés dans le Tableau 31.
# Démarche globale

<table><caption>Tableau 31 : Paramètres de l'équation d'état Cochran-Chan pour les compositions d'étude</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Hexolite 1</th><th>Hexolite 2</th><th>Ontalites 1 et 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>ρ0 (kg/m³)</td><td>1700</td><td>1731</td><td>1762</td></tr><tr><td>Γ</td><td>1,07</td><td>1,09</td><td>0,46</td></tr><tr><td>c<sub>v</sub> (J/K/kg)</td><td>1016,23</td><td>1016,23</td><td>1034,6</td></tr><tr><td>E<sub>1</sub></td><td>8,1446</td><td>8,1330</td><td>8,4358</td></tr><tr><td>E<sub>2</sub></td><td>0,7790</td><td>0,7959</td><td>0,3004</td></tr><tr><td>A<sub>1</sub> (GPa)</td><td>1,2433</td><td>1,2689</td><td>1,1430</td></tr><tr><td>A<sub>2</sub> (GPa)</td><td>1,7978</td><td>1,8439</td><td>1,3945</td></tr></tbody></table>

Il est important de garder un point à l'esprit. Nous avons vu que l'équation d'état de Menikoff permettait de retranscrire les données sous choc avec une bonne précision. L'équation d'état Cochran-Chan, de par sa construction, permet aussi de retrouver ces états d'Hugoniot non réagis. Néanmoins, il y a une grandeur qui peut varier d'une équation d'état à l'autre : la température. Afin d'évaluer l'influence de l'équation d'état sur le calcul de la température sous choc, nous avons également calculé une équation Cochran-Chan pour les explosifs purs présentés au chapitre II. Pour l'ONTA, nous nous contenterons ici de donner les paramètres obtenus à partir de la polaire de choc dite « haute pression », définie dans le Tableau 13. Les coefficients sont donnés dans le Tableau 32.

Nous avons donc pu calculer l'évolution de la température sous choc des différents explosifs purs. Ces résultats sont présentés sur la Figure 200. On note que la tendance est toujours la même. Pour les basses pressions de choc, la température calculée à partir de l'équation d'état de Menikoff est supérieure à celle calculée à partir de la CC. Au-delà d'un certain seuil, cette tendance s'inverse. Malheureusement, si on peut supposer que la formulation de Menikoff permet de calculer les températures sous choc plus précisément, il n'existe pas de données permettant de valider l'une ou l'autre de ces approches. En effet, les mesures de température sous choc sont très difficiles à réaliser, bien que des premiers résultats encourageants aient été obtenus au CEA Gramat à partir de mesures de pyrométrie visible et infra-rouge. Dans certaines approches, comme le modèles WSD(T) présenté au paragraphe I.3.2.2.7, les températures sous choc ont été obtenues à l'aide de calculs de dynamique moléculaire. Ces dernières servent ensuite à valider celles déterminées à l'aide de l'équation d'état. Néanmoins, dans ces approches non plus, il n'existe aucune validation expérimentale.

On peut noter que le choix de l'équation d'état peut avoir une grande influence sur la température calculée, puisqu'on observe des écarts de l'ordre de 8 à 10 % pour le TNT, le RDX et le HMX, écarts qui peuvent monter jusqu'à 20 % pour l'ONTA. Ces différences peuvent avoir une influence notable sur un modèle de TCD, notamment dans le cas où la cinétique de décomposition est pilotée en température, comme dans le modèle WSD(T), mais également lorsque la température intervient dans la loi de mélange, comme c'est le cas dans l'équilibre isobare-isotherme retenu dans une grande partie des modèles. Cependant, l'influence de l'EOS sur le calcul de la température que nous avons mise en évidence ici est très certainement « gommée » dans les approches telles que les modèles Lee-Tarver, le nombre de paramètres de calage important permettant de retranscrire les résultats expérimentaux même si la température calculée n'est pas la bonne.
<table><caption>Tableau 32 : Paramètres de l'équation d'état Cochran-Chan pour les explosifs purs</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>TNT comprimé</th><th>RDX</th><th>ONTA haute</th><th>HMX</th></tr></thead><tbody><tr><td>ρ₀ (kg/m³)</td><td>1654</td><td>1806</td><td>1910</td><td>1905</td></tr><tr><td>Γ</td><td>1,20</td><td>1,05</td><td>0,35</td><td>1,28</td></tr><tr><td>c_v (J/K/kg)</td><td>1039,76</td><td>1000,39</td><td>1031.43</td><td>963,44</td></tr><tr><td>E₁</td><td>6,1048</td><td>4,5707</td><td>5,5427</td><td>6,4993</td></tr><tr><td>E₂</td><td>1,0004</td><td>1,1065</td><td>0,5102</td><td>1,0083</td></tr><tr><td>A₁ (GPa)</td><td>2,2890</td><td>3,9089</td><td>1,5745</td><td>2,6153</td></tr><tr><td>A₂ (GPa)</td><td>2,9080</td><td>4,4779</td><td>1,7813</td><td>3,3200</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_213.png" /><figcaption>Figure 200 : Température sous choc calculée pour différents explosifs purs ; influence du choix de l'équation d'état</figcaption></figure>

### IV.2.4 Equation d'état des produits de détonation

Dans l'immense majorité des cas, les équations d'état des produits de détonation utilisées dans les modèles de TCD sont établies à partir de la détente isentropique de ces produits depuis le point CJ. On peut noter également l'utilisation d'EOS tabulées, calculées à partir de codes thermochimiques, comme le code CARTE utilisé pour alimenter le modèle WSD(T) [Desbiens, 2015]. En ce qui concerne la description de la détente isentropique des produits de détonation, on trouve plusieurs formes disponibles dans la littérature [Wescott, 2005], [Menikoff, 2012], mais la plus répandue reste l'EOS JWL. Elle a été proposée pour la première fois en 1968 par E. Lee et al. [Lee, 1968], suite aux travaux de H. Jones et M. Wilkins. La forme habituelle de l'équation d'état JWL se présente sous une forme incomplète, où la pression est un développement autour de la détente isentropique des produits de détonation d'un explosif, issue de l'état de Chapman-Jouguet (CJ). Les évolutions de l'énergie interne volumique et de la pression le long de cette détente isentropique sont représentées par le système suivant :

$$e^*(V) = \frac{A}{R_1}e^{-R_1V} + \frac{B}{R_2}e^{-R_2V} + \frac{C}{\omega V^{\omega}} + \text{constante} \quad (139)$$

$$P^*(V) = A e^{-R_1 V} + B e^{-R_2 V} + \frac{C}{V^{\omega+1}} \quad (140)$$

où V est le taux d'expansion des produits de détonation $V=v/v_0$, et $\omega$ le coefficient de Gruneisen de ces produits, supposé constant. Une formulation complète de l'EOS JWL en fonction de la température peut être établie en faisant, en plus, l'hypothèse que la capacité calorifique est constante. Sa valeur est alors calculée à l'état CJ et conservée tout au long de la détente des
produits de détonation. Les paramètres de l'EOS JWL ont été calculés à l'aide du code de thermochimie SIAME, développé au CEA Gramat. Nous avons retenu la base de données BKW-C issue du code Cheetah v.2.0, qui est classiquement celle utilisée pour les explosifs ne contenant que les atomes C, H, O et N. Les paramètres obtenus sont donnés dans le Tableau 33. On peut noter que le nombre de chiffres significatifs de ces données est bien entendu impossible à atteindre expérimentalement, mais est nécessaire numériquement pour assurer la tangence entre l'isentrope, la courbe de Crussard et la droite de Rayleigh au point CJ.

<table><caption>Tableau 33 : Paramètres de l'équation d'état JWL pour les produits de détonation des compositions d'étude</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Hexolite 1</td><td>Hexolite 2</td><td>Ontalites 1 et 2</td></tr></thead><tbody><tr><td>ρ0 (kg/m³)</td><td>1700</td><td>1731</td><td>1762</td></tr><tr><td>D<sub>cj</sub> (m/s)</td><td>7907,8</td><td>8010,8</td><td>7670,9</td></tr><tr><td>P<sub>cj</sub> (GPa)</td><td>26,4630</td><td>27,6471</td><td>24,511</td></tr><tr><td>T<sub>cj</sub> (K)</td><td>4051,7</td><td>4041,1</td><td>3483,9</td></tr><tr><td>c<sub>v</sub> (J/K/kg)</td><td>2518,99</td><td>2525,55</td><td>2231,23</td></tr><tr><td>A (GPa)</td><td>912,2244</td><td>934,1830</td><td>1073,5979</td></tr><tr><td>B (GPa)</td><td>20,5749</td><td>20,9805</td><td>22,2977</td></tr><tr><td>R<sub>1</sub></td><td>5,2625</td><td>5,2199</td><td>5,4864</td></tr><tr><td>R<sub>2</sub></td><td>1,5191</td><td>1,5206</td><td>1,7323</td></tr><tr><td>ω</td><td>0,3066</td><td>0,3129</td><td>0,3669</td></tr></tbody></table>

Nous avons vu dans le paragraphe III.3.3.2 que les résultats expérimentaux de vitesse de détonation établie étaient en très bon accord avec ces calculs thermochimiques. Au-delà de ces configurations, il est difficile d'évaluer la validité de ces équations d'état sans campagne expérimentale dédiée (relèvement de cylindre, projection frontale, relèvement double symétrique, etc).

Bien que très largement utilisée dans la littérature, l'équation d'état JWL présente des hypothèses restrictives, notamment le fait de considérer le coefficient de Gruneisen constant. Des calculs thermochimiques réalisés au CEA Gramat montrent en effet que ce paramètre peut varier de façon importante, notamment pour des forts taux d'expansion des produits de détonation. En 2010, G. Baudin et R. Serradeill proposent une refonte de la JWL dans laquelle le coefficient de Gruneisen dépend du volume et la capacité calorifique de l'entropie [Baudin, 2010-b]. Néanmoins, cette nouvelle forme n'est pas implémentée dans tous les codes d'hydrodynamique rapide.

Afin de s'affranchir de la description des produits de détonation par une équation d'état, il a été envisagé de coupler les codes d'hydrodynamique rapide avec le code de thermochimie SIAME. Cette option, toujours envisagée à l'heure actuelle, n'a pu être mise en place dans les délais de cette étude, mais des premiers calculs de vitesse de réaction couplés à SIAME ont mis en lumière l'influence non négligeable de l'hypothèse de mélange sur laquelle nous reviendrons dans le paragraphe suivant.

## IV.2.5 Comparaison du modèle diphasique aux autres modèles de mélange

Dans les figures suivantes, le modèle diphasique sera référencé « modèle HP ». Nous pouvons présenter les résultats suivants sur la comparaison entre cette approche diphasique et les modèles de mélange classiques présentés dans le paragraphe I.4.1. Comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent, la méthode actuelle de calcul de la vitesse de réaction au choc est basée sur l'utilisation de l'équation d'état JWL pour la description des produits de détonation. Une première tentative de calcul de cette vitesse de réaction couplée avec le code de thermochimie
SIAME a été réalisée selon la méthode présentée au paragraphe IV.2.2 à partir d'une
Composition B de la littérature [Urtiew, 2008]. Les résultats sont présentés sur la Figure 201. On
note des écarts extrêmement importants sur la vitesse de réaction au choc suivant la méthode de
description des produits de détonation. Notamment pour les modèles de mélange (P-T) et (v-T).
Ces écarts sont dus au fait que les équilibres imposés par le modèle de mélange « emmènent » le
calcul thermochimique très loin de l'isentrope CJ sur laquelle est basée l'équation d'état JWL.
Néanmoins, il est difficile d'évaluer la validité du calcul thermochimique pour ces points, étant
donné que la majorité des données d'entrée utilisées dans celui-ci ont été définies pour
retranscrire des expérimentations de relèvement de cylindre par exemple, au cours desquelles les
produits de détonation sont dans des états proches de la détente isentropique CJ. La validation
des codes de thermochimie dans des états très différents de cette isentrope est très mal connue,
c'est pourquoi elle fait l'objet d'une thèse spécifique, en cours au CEA Gramat.

<figure><img src="image_214.png" /><figcaption>Figure 201 : Calcul de la vitesse de réaction au choc pour la Composition B</figcaption></figure>

Tous les points que nous avons présentés dans ce paragraphe permettent de calculer la
vitesse de réaction au choc. A partir de cette grandeur, il est nécessaire de proposer un modèle
permettant de la calculer dans toute la zone de réaction. Nous présenterons une première
approche de modélisation dite « globale », puis nous verrons dans un second temps que, pour
proposer une approche plus détaillée d'un point vue topologique, il est indispensable de passer à
une approche multiphasique à plus de deux phases.

## IV.3 Approche globale

### IV.3.1 Vitesse de réaction

Dans une première approche, nous avons choisi de reprendre le modèle développé au
CEA Gramat pour les explosifs composites à partir du modèle KRAKATOA, tous deux abordés
au paragraphe I.3.2.2.4. Le développement de cette approche, sans hypothèse particulière sur la
loi de mélange, est donné ci-après.

En se basant sur les travaux réalisés dans le cadre de la cinétique de cristallisation
[Kolmogorov, 1937], [Johnson, 1939], [Avrami, 1940], approche couramment appelée JMAK,
du nom des différents auteurs, et supposant que les réactions sont initiées par l'onde de choc
autour de points chauds, Damamme démontre que la vitesse de réaction peut s'écrire sous la
forme factorisée donnée par l'équation (141),
$$R(Y_p, P, \rho) = \frac{dY_p}{dt} = N(P_{choc})^{\frac{1}{3}}h(\alpha)D_f(P, T_f) \quad (141)$$

où N est le nombre de sites d'initiation par unité de volume générés par le passage de l'onde de choc, $h(\alpha)$ une fonction de la fraction volumique décrivant la topologie de croissance des fronts de réaction, et $D_f$ la vitesse de la déflagration locale qui se développe à partir de ces points chauds.

Pour une initiation à partir de points chauds répartis aléatoirement sans corrélation, Damamme a établi la fonction $h(\alpha)$ [Damamme, 1987]. Cette approche a ensuite été reprise par A.L. Nichols et C.M. Tarver dans ce qui a ensuite pris le nom de Statistical Hot Spot Model (SHSM) [Nichols, 2002]. Développée quelques années plus tard [Hill, 2009], cette fonction topologique est la base du modèle SURF de Menikoff. D'autres améliorations ont été proposées ultérieurement, mais sans être intégrées dans un modèle de TCD complet à notre connaissance [Hill, 2011]. Cependant, le principal inconvénient de ces approches est qu'elles ont été développées essentiellement pour les explosifs comprimés, qui contiennent une fraction massique de liant très faible, de l'ordre de 4 à 6 %. Ainsi, en négligeant le liant, la fonction de la fraction volumique de gaz formés s'obtient directement comme complément de la fraction volumique de solide consommé.

Récemment, une approche plus générale a été proposée par B. Rouet-Leduc et al. du CEA DIF [Rouet-Leduc, 2014]. L'objectif de cette étude était de réconcilier l'approche JMAK, représentant une nucléation homogène, et l'approche hétérogène proposée par J.W. Cahn, dans laquelle les joints des grains sont des zones préférentielles de nucléation [Cahn, 1995]. Les auteurs aboutissent à un modèle basé sur la taille des grains, d'où son nom : Grain Explicit Model (GEM). Cette approche possède deux limites suivant la vitesse de nucléation : pour une vitesse faible, le modèle tend vers la description homogène JMAK, alors que pour une vitesse de nucléation élevée, ce qui signifie que toutes les interfaces sont des sites de nucléation, on retrouve une description granulaire de la croissance, comme on peut le voir sur la Figure 202.

<figure><img src="image_215.png" /><figcaption>Figure 202 : Modèle GEM, évolution pour un taux de nucléation faible (en haut, équivalent JMAK) et un taux de nucléation fort (en bas) [Maillet, 2013]</figcaption></figure>
Le cas des explosifs coulés-fondus est plus complexe. En effet, le liant TNT représente 40 % de la fraction massique initiale. Ainsi, si l'on considère des fronts de déflagration se propageant à l'échelle locale, il est légitime de penser que ces derniers consomment à la fois les grains d'explosif mais aussi la matrice TNT. Or, décrire cela de façon topologique nécessite une représentation multiphasique du problème à au moins trois phases, comme nous le verrons dans le paragraphe IV.7.1. Dans notre cas, nous ferons l'hypothèse suivante : dans le cas de l'hexolite, par exemple, l'explosif est constitué d'un agrégat de grains de RDX, entourés par une couche de TNT. En considérant des grains sphériques de diamètre moyen $d_m$, l'épaisseur de la couche de TNT $e_{TNT}$ peut être calculée pour obtenir un grain effectif, de diamètre $d_{eff}=d_m+2.e_{TNT}$, dont la masse volumique correspond à la masse volumique macroscopique du mélange. Ces diamètres effectifs sont donnés dans le Tableau 37 pour les différentes compositions d'étude.

<table><caption>Tableau 34 : Diamètres effectifs retenus pour l'approche de modélisation globale</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Hexolite 1</th><th>Hexolite 2</th><th>Ontalite 1</th><th>Ontalite 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>ρ<sub>0</sub> (kg/m<sup>3</sup>)</td><td>1700</td><td>1731</td><td>1762</td><td>1762</td></tr><tr><td>d<sub>m</sub> (μm)</td><td>700</td><td>180</td><td>400</td><td>450</td></tr><tr><td>e<sub>TNT</sub> (μm)</td><td>170</td><td>23</td><td>67</td><td>75</td></tr><tr><td>d<sub>eff</sub> (μm)</td><td>1040</td><td>226</td><td>534</td><td>600</td></tr></tbody></table>

En faisant l'hypothèse que les frontières des grains effectifs sont des sites d'initiation surfaciques, que les fronts de déflagration se propagent uniquement vers l'intérieur des grains, et en considérant des grains sphériques de diamètre $d_{eff}$, on peut exprimer les fonctions N et $h(α)$. Le développement permettant d'aboutir à la relation (142) est donné en Annexe V. Cette approche, uniquement basée sur des considérations topologiques à la manière de [Damamme, 1987], permet de retrouver une formulation équivalente à celle de [Rouet-Leduc, 2014], si l'on considère qu'il n'y a pas d'écart de masse volumique entre les deux phases.

$$ \frac{dY_p}{dt} = \frac{6}{d_{eff}} \left[ (1 - Y_p) \frac{\rho}{\rho_r} \right]^{\frac{2}{3}} D_f(P, T_f) \quad (142) $$

Dans l'approche initiale du modèle KRAKATOA, G. Damamme se base sur les méthodes de développement asymptotique en fonction de l'énergie d'activation de la réaction, utilisées en théorie des flammes laminaires ([Williams, 1965], [Ludford, 1977]) afin de préciser l'expression de la célebrité de propagation $D_f$ d'un front de flamme dont la structure est quasi stationnaire :

$$ D_f(P, T_f) = \text{constante} P^n \sqrt{T_f} e^{-T_{act}/T_f}. \quad (143) $$

En première approche, en considérant que la température de flamme dépend peu de la pression, on peut simplifier cette relation sous la forme (144) où A et n sont des constantes.

$$ D_f(P) = AP^n \quad (144) $$

Afin d'accéder à la vitesse de réaction partout dans la zone de réaction, et non plus seulement au niveau du front de choc, il nous faut connaître l'expression de $D_f(P)$. Elle est obtenue par inversion des équations hydro-réactives spécialisées juste derrière le choc, dans un état indicé S, où la fraction volumique de solide vaut 1 ($\rho/\rho_r=1$) et où les réactions n'ont pas débuté ($Y_p=0$). Ainsi, dans cet état, la vitesse de déflagration peut s'exprimer directement à partir de la vitesse de réaction à l'état S :
$$D_f(P) = \frac{d_{eff}}{6} \left(\frac{dY_p}{dt}\right). \qquad (145)$$

Or, nous avons vu au paragraphe IV.2.2.3 que la vitesse de réaction au choc pouvait être calculée à l'aide des coefficients du Pop-plot grâce à la relation (132).

On peut enfin noter une approche, à la fois complémentaire et novatrice, développée récemment pour évaluer la fonction $h(\alpha)$ [Basset, 2016]. Ces auteurs ont mis en place un dispositif expérimental complexe constitué de 186 « puits » de $3.10^{-5}$ cm$^{-3}$, remplis chacun d'environ 18 µg de HMX micronisé possédant un diamètre moyen de 4 µm. Un laser permet de propulser des flyers en aluminium pouvant faire jusqu'à 75 µm d'épaisseur, et ainsi créer des chocs d'une durée de quelques ns dans les échantillons de HMX. Un spectromètre à 32 voies permet de mesurer l'évolution du flux thermique émis par rayonnement des produits de réaction pendant une centaine de µs avec une résolution de 2 ns, déterminée à l'aide d'un laser impulsionnel femto seconde. Une représentation schématique du dispositif expérimental est donnée sur la Figure 203. Dans l'hypothèse de corps gris, où l'émissivité est indépendante de la longueur d'onde, les auteurs peuvent remonter à la fraction volumique de la phase émissive, ici les produits de réaction. Ce type d'expérimentation pourrait être adapté, par exemple sur le lanceur à poudre ARES, afin de remonter à la fonction $h(\alpha)$. De plus, le modèle d'émissivité pourrait être amélioré via une approche de diffusion Rayleigh des particules de carbone, les gaz n'étant pas émissifs dans le domaine visible.

<figure><img src="image_216.png" /><figcaption>Figure 203 : Représentation schématique de la cible et du spectromètre de l'étude de [Basset, 2016]</figcaption></figure>

## IV.3.2 Résultats

A titre d'illustration, nous avons tracé sur la Figure 204, la fonction $h(\alpha)$ dans l'hypothèse où $v_p=v_r$ afin de simplifier la représentation ; on a donc $h(\alpha)=h(Y_p)$. Nous avons également ajouté la fonction topologique correspondant à des fronts de déflagration se propageant vers l'extérieur à partir de sites d'initiation ponctuels, ainsi que celle issue d'une modélisation de type Lee-Tarver établie pour de la Composition B-3 [Urtiew, 2008]. Rappelons que la fonction de croissance définie dans cette approche est associée à une fraction seuil, ici 0,7, au-delà de laquelle le terme de croissance est « désactivé ». On note que la fonction issue de la modélisation Lee-Tarver correspond plus à une représentation de croissance à partir de porosités ponctuelles. Ainsi la fonction $h(\alpha)$ est croissante au départ jusqu'à ce que les sphères se rejoignent. La surface de combustion décroît alors pour tendre vers 0. Dans notre représentation de croissance de fronts à partir de la surface de grains, la fonction $h(\alpha)$ est maximale au départ et décroît de façon
continue. On voit ainsi que la modélisation Lee-Tarver, dont les coefficients de la fonction topologique sont très souvent fixés, ne convient pas à représenter des déflagrations granulaires. Ces résultats montrent également l'intérêt d'identifier la fonction $h(\alpha)$ à partir d'expérimentations dédiées, comme celle de Basset.

<figure><img src="image_217.png" /><figcaption>Figure 204 : Fonctions topologiques pour différentes approches de modélisation</figcaption></figure>

Les vitesses de réaction au choc ont été calculées pour les compositions d'étude à partir de la méthode présentée dans le paragraphe IV.2.2.3, des données des équations d'état regroupées dans le Tableau 31 et le Tableau 33, ainsi qu'avec les coefficients des Pop-plots regroupés dans le Tableau 25. Ces résultats sont présentés sur la Figure 205. Nous avons également calculé, selon la même méthode, la vitesse de réaction au choc de la Composition B du LANL avec les données issues de [Dattelbaum, 2014]. Les calculs ont été réalisés jusqu'à des pressions de choc correspondant à des vitesses de l'onde de choc de 80 % de la vitesse de détonation établie. On peut noter les points suivants :

* concernant les hexolites, on retrouve bien les sensibilités respectives observées sur les diagrammes Pop-plot. La composition B du LANL présente une vitesse de réaction plus grande que celle de l'hexolite 2, elle-même supérieure à celle de l'hexolite 1. Quantitativement, si on regarde les valeurs à 6 GPa, pression de sollicitation représentative des différents essais Pop-plots réalisés sur ces différentes hexolites, la vitesse de réaction de la Composition B du LANL est 140 % supérieure à celle de l'hexolite 1 et celle de l'hexolite 2, 30 % plus grande que celle de cette même hexolite 1 ;

* concernant les ontalites, les vitesses de réaction au choc calculées pour les ontalites 1 et 2 sont très proches, celle de l'ontalite 2 étant très légèrement supérieure, observation qui est concordante avec la plus grande sensibilité de cette dernière ;

* si on compare enfin les hexolites et les ontalites, on retrouve les très grands écarts de sensibilité qui existent entre ces deux familles d'explosifs coulés-fondus. Pour des pressions de l'ordre de 12 GPa, les vitesses de réaction au choc des hexolites sont de l'ordre $1 \mu s^{-1}$ alors que pour les ontalites elles sont quasi nulles pour de telles pressions.
## Approche globale

<figure><img src="image_218.png" /><figcaption>Figure 205 : Vitesse de réaction au choc pour les compositions d'étude</figcaption></figure>

Une fois les vitesses de réaction au choc calculées, et connaissant la taille des grains effectifs dans les différents explosifs coulés-fondus, nous pouvons déterminer les vitesses de déflagration effectives dans l'hexolite et l'ontalite, à partir de la relation (145). Celle de l'hexolite est présentée sur la Figure 206, sur laquelle sont également données les vitesses de déflagration du RDX et de la Composition B mesurées en cellule à enclumes de diamant présentées au paragraphe II.8.

<figure><img src="image_219.png" /><figcaption>Figure 206 : Vitesse de déflagration calculée dans les hexolites et comparaison avec des données expérimentales</figcaption></figure>

Si on considère les résultats du calcul, on note que si les vitesses de déflagration calculées pour l'hexolite 2 et la Composition B du LANL sont assez proches, il existe un écart très