# Couplage nano-macro dans la propagation dynamique de fissures

Pascal Aubertin, René de Borst

► To cite this version:

Pascal Aubertin, René de Borst. Couplage nano-macro dans la propagation dynamique de fissures. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01492458

HAL Id: hal-01492458

https://hal.science/hal-01492458v1

Submitted on 20 Mar 2017

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC0 1.0 - Universal - International License
# Couplage nano-macro dans la propagation dynamique de fissures

Pascal Aubertin$^{a,b}$, René de Borst$^{a,c}$

<sup>a</sup> Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures
INSA de Lyon - CNRS UMR5259
18-20, rue des Sciences - F69621 Villeurbanne Cedex

<sup>b</sup> pascal.aubertin@insa-lyon.fr

<sup>c</sup> r.deborst@lr.tudelft.nl

RÉSUMÉ. La modélisation de la propagation de fissure repose principalement sur une bonne utilisation de la mécanique de la rupture (dans le cadre élastique linéaire ou bien dans des extensions à la plasticité confinée). Nous proposons ici une approche différente, tant sur la modélisation numérique que physique, qui consiste à coupler une vision atomique en pointe de fissure à une description classique continue. Cet article présente le cadre théorique du couplage ainsi que quelques résultats numériques en dimension 1.

ABSTRACT. Modelling dynamic crack propagation has to take into account a good use of fracture mechanics (in the linear elastic case as well as in extensions to confined plasticity). Here, we propose a different view, based on a coupling between an atomic description at the crack tip and a classical continuous description around. This paper presents the theoretical background and some numerical results in the one dimensional case.

MOTS-CLÉS : dynamique moléculaire, éléments finis, couplage faible, propagation de fissure.

KEYWORDS: molecular dynamics, finite elements, energetical coupling, crack propagation.
# 1. Introduction

Afin de faire la jonction, dans un cadre mécanique, entre le niveau atomique et l'échelle continue, il est nécessaire d'introduire un formalisme de changement d'échelle. Différentes approches existent, tant du point de vue homogénéisation que du couplage de modèles (Wing Kam Liu et al., 2006). Nous présenterons ici les deux descriptions (atomique et continue) puis introduirons un type de couplage basé sur une répartition de l'énergie, avant de parler de la résolution numérique et de quelques résultats en dimension 1.

# 2. Position du problème, cadre de l'étude

Nous considérons deux sous domaines d'un ouvert $\Omega$: la partie $\Omega_m$, décrite par un nombre $N_a$ d'atomes, et un sous domaine macro, $\Omega_m$, décrivant un milieu continu à l'aide d'un comportement élastique. Le critère de séparation des domaines ne sera pas étudié pour le moment; nous fixerons les deux ensembles dans le but d'étudier avant tout le couplage de modèles.

## 2.1. Problème de référence

Nous avons à résoudre deux problèmes, l'un discret au niveau de la modélisation atomique, l'autre continu pour l'échelle macro. Notant **u** et **d** les déplacements dans le domaine continu et discret respectivement, nous aurons les deux problèmes types :

$$ \text{Pour } x \in \Omega_M(t) \text{ et } t \in [0; T], \text{ connaissant } (u(x,0), \dot{u}(x,0)), \\ \text{trouver } (u, \sigma) \in \mathcal{U}^{ad} \times \mathcal{S}^{ad} \text{ tels que :} \tag{1} $$

$$ \rho \cdot \ddot{u} = \mathbf{div} \, \sigma + g_d $$

$$ \text{Pour } 1 \le i \le N_a(t) \text{ et } t \in [0; T], \text{ connaissant } (d(0), \dot{d}(0)), \\ \text{trouver } (d, f) \in \mathcal{D}^{ad} \times \mathcal{F}^{ad} \text{ tels que :} \tag{2} $$

$$ m_i \ddot{d}_i = f_i $$

Les espaces admissibles pour le problème continu sont ceux utilisés classiquement et nous nous plaçons en élasticité linéaire (matrice de rigidité $\mathbb{K}$). Précisons juste le problème dans le cas atomique :

$$ \begin{align} \mathcal{D}^{ad} &= \{ d = (d_i(t))_{1 \le i \le N_a}, \forall t \in [0, T] \} \tag{3} \\ \mathcal{F}^{ad} &= \{ f = (f_i(t) = -\nabla_i W(d(t)))_{1 \le i \le N_a}, \forall t \in [0, T] \} \notag \end{align} $$
Les efforts interatomiques dérivent d'un potentiel : ce choix de potentiel sera crucial pour une bonne description d'un matériau donné. Nous nous contentons dans un premier temps d'utiliser un potentiel type Lennard-Jones ou Morse :

$$E_{L-J} = 4\epsilon \left( \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right) , \quad E_{Morse} = D \left(1 - e^{-a(r-r_e)}\right)^2 \quad [4]$$

Les paramètres $\epsilon$, $\sigma$, $D$ et $a$ sont des paramètres matériau et $r_e$ la distance interatomique à l'équilibre. Notons cependant qu'il existe d'autres potentiels, permettant entre autre de mieux décrire la liaison métallique - potentiel EAM (Daw, 1989).

## 2.2. Formulations faibles

Nous écrivons les formes faibles en déplacement des problèmes énoncés précédemment afin de nous placer dans un cadre énergétique :

$$\int_{\Omega_M} \rho \cdot \ddot{u} \cdot v^* d\Omega + \int_{\Omega_M} \mathbb{K} \cdot \varepsilon(u) : \varepsilon(v^*) d\Omega = \int_{\partial_2 \Omega} F_d \cdot v^* dS + \int_{\Omega_M} g_d \cdot v^* d\Omega \quad [5]$$

$$\sum_{i=1}^{N_d} m_i \ddot{d}_i \cdot w_i^* + \sum_{i=1}^{N_d} \nabla_i W(d) \cdot w_i^* = 0 \quad [6]$$

Ce problème sera noté de manière plus concise :

$$\left\{ \begin{array}{l} a_M(u, v^*) = l_M(v^*) \\ a_m(d, w^*) = 0 \end{array} \right. \qquad [7]$$

# 3. Couplage des modèles

## 3.1. Principe de la méthode : distribution de l'énergie

Nous choisissons d'écrire un couplage faible sur une zone de recouvrement des domaines. Ce type de couplage a pour but de considérer l'énergie mécanique comme quantité d'intérêt primordiale. Le fait de dualiser les formulations et de les écrire de manière faible permet d'obtenir une description globale conservant les propriétés descriptives de chaque modèle tout en mettant en exergue la quantité d'intérêt, l'énergie, qui ne doit pas dépendre du modèle utilisé (Dhia *et al.*, 2005). Sur une zone de recouvrement $\Omega_c = \Omega_M \cap \Omega_m$, l'énergie va être distribuée via une partition de l'unité.

$$\alpha \cdot a_M(u, v^*) + \beta \cdot a_m(d, w^*) = \alpha \cdot l_M(v^*) \quad [8]$$

Cette écriture distribue l'énergie entre les deux modèles mais n'établit pas encore à proprement parler un couplage de modèles. Pour ce faire, nous allons introduire une condition de couplage et l'intégrer dans la formulation au moyen de multiplicateurs de Lagrange.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** *Partition de l'unité*</figcaption></figure>

**3.2. Condition de couplage - Espace médiateur de Lagrange**

Une condition de couplage faible en vitesse sur la zone de collage $\Omega_c$ va être formulée. Ceci nous amène à construire un nouvel espace, que nous noterons $\mathcal{M}$ et qui sera désigné comme étant l'espace médiateur, sur lequel nous projeterons les champs $\dot{u}$ et $\dot{d}$ afin de pouvoir les comparer. Concrètement, nous projeterons les vitesses au moyen d'un opérateur de projection $\Pi$ sur un sous-ensemble discret $\overline{\Omega}_c$ des positions atomiques incluses dans $\Omega_c$. Nous introduisons un produit scalaire que nous noterons $c$ de $\mathcal{M} \times \mathcal{M}$ dans $\mathbb{R}$. Grâce à ces outils, nous écrivons maintenant un terme de couplage faible en vitesses :

$$ \forall \mu^* \in \mathcal{M}, \quad c(\mu^*, \Pi\dot{u} - \Pi\dot{d}) = \langle \mu^*, \Pi\dot{u} - \Pi\dot{d} \rangle_{\mathcal{M}} = 0 \quad [9] $$

Cette construction nous permet d'écrire finalement la formulation couplée au moyen de multiplicateurs de Lagrange :

$$ \alpha \cdot a_M(u, v^*) + \beta \cdot a_m(d, w^*) + c(\lambda, \Pi v^* - \Pi w^*) = \alpha \cdot l_M(v^*) \\ c(\mu^*, \Pi \dot{u} - \Pi \dot{d}) = 0 \quad [10] $$

**4. Résolution numérique - Résultats en dimension 1**

**4.1. Schéma de résolution**

Les équations continues sont discrétisées classiquement par la méthode des éléments finis et l'on introduit le vecteur inconnu supplémentaire $\Lambda$ correspondant aux multiplicateurs, ainsi que les matrices de couplage $C_M$ et $C_m$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} M\ddot{U} + KU = F_M - C_M\Lambda \\ m\ddot{d} = f + C_m\Lambda \\ C_M^T\dot{U} = C_m^T\dot{d} \end{array} \right. \quad [11] $$

Pour discrétiser dans le temps le système dynamique couplé, nous utiliserons un schéma aux différences centrées avec prédicteur-correcteur en vitesses. Une résolution explicite est utilisée : on calcule tout d'abord les déplacements et accélérations
en négligeant le couplage, puis l'on obtient des vitesses prédictives sur le schéma
aux différences centrées. Ces prédicteurs sont alors corrigés grâce à l'évaluation des
termes de couplage et au calcul des multiplicateurs. L'approche multi-échelle spatiale

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** *Déplacements à t = 0.109ps*</figcaption></figure>

est prise en compte : le lien entre les différents ordres de grandeurs spatiaux sera fait
dans l'espace médiateur. Quant à l'aspect multi-échelle temporel, on peut parfaite-
ment assurer une résolution fine sur l'espace atomique et effectuer une résolution plus
grossière pour tout le problème continu (Xiao *et al.*, 2004).

**4.2. Application à un cas unidimensionnel**

On considère maintenant un cas unidimensionnel : une poutre d'éléments finis contient une chaîne d'atomes et est sollicitée en traction-compression. Une déformée initiale est appliquée sur $L_i = 10$ éléments à l'extrémité gauche de la poutre tandis que l'autre extrémité est fixée. Le domaine complet a une longueur de 88.1563nm et l'on dispose de 160 atomes dans le domaine nano. La distance interatomique est de $r_e = 0.3253$nm et les éléments finis ont une taille $h = 4r_e$. Enfin, on applique un modèle de potentiel de type Lennard-Jones, avec $\epsilon = 43.306zJ$ et une masse $m = 0.00448$yg. Ces paramètres correspondent à un Aluminium CFC et les données matériau pour le domaine EF sont extrapolées à partir des propriétés atomiques. La figure 2 montre le déplacement à $t = 0.109$ps. Le transfert d'énergie mécanique s'effectue au passage de l'onde du milieu continu au milieu atomique. Dans un premier exemple (figure 3(a)), la longueur de couplage $L_c$ correspond à 4 éléments : l'onde passe bien d'un milieu à l'autre mais au niveau énergétique, on perd de l'information. En revanche, lorsque $L_c = L_i$, deuxième exemple (figure 3(b)), l'énergie mécanique est bien transférée. On converge rapidement vers un bon transfert lorsque $\gamma \to 1$ et on a alors des pertes négligeables (< 1%). A contrario, on vérifie également que lorsque la zone de couplage est trop réduite, une partie de l'onde se réfléchit dans le milieu EF, et par conséquent, de l'énergie est conservée dans ce milieu.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** *Transfert d'énergie mécanique du milieu EF au milieu atomique*</figcaption></figure>

**5. Conclusion**

Nous avons donné les bases théoriques d'un couplage entre deux modèles physiquement et numériquement distincts. La formulation est écrite de manière faible de manière à conserver à la fois les qualités fines de chaque modèle et la quantité d'intérêt globale qu'est l'énergie. Nous avons appliqué cette méthode à un cas 1D et observé le transfert d'énergie d'un milieu à l'autre : le passage d'informations se fait d'autant mieux que la longueur de couplage est adaptée à l'onde de traction. Nous présenterons prochainement d'autres aspects de cette méthode, en particulier le rôle de filtre haute fréquence qu'a la zone de couplage (utile pour une description thermodynamique de la température). Enfin, un modèle 2D de cette méthode est en cours : nous allons donc pouvoir décrire, dans le cadre de la fissuration, la pointe de fissure de manière atomique, et relier ce modèle à un environnement XFEM (N. Moës *et al.*, 1999).

**6. Bibliographie**

Daw M. S., « Model of metallic cohesion : the embedded-atom method », *Physical Review B*, vol. 39, n° 11, p. 7441-7452, 1989.

Dhia H. B., Rateau G., « The Arlequin Method as a flexible engineering design tool », *International journal for numerical methods in engineering*, vol. 62, p. 1442-1462, 2005.

N. Moës J. D., Belytschko T., « A finite element method for crack growth without remeshing », *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, vol. 46, p. 131-150, 1999.

Wing Kam Liu E. G. K., Park H. S., *Nano Mechanics and Materials*, Wiley, 2006.

Xiao S. P., Belytschko T., « A bridging method for coupling continua with molecular dynamics », *Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.*, vol. 193, p. 1645-1669, 2004.