Gat06 GATHEN, Joachim von zur (2006). « Who was who in polynomial factorization ». In : *ISSAC'06 : International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*. ACM Press, p. 1–2.

Gat84 — (1984). « Hensel and Newton methods in valuation rings ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 42, n°166, p. 637–661.

Gat85 GATHEN, J. von zur (1985). « Irreducibility of multivariate polynomials ». In : *Journal of Computer and System Sciences*, vol. 31, n°2. Special issue : Twenty-fourth annual symposium on the foundations of computer science (Tucson, Ariz., 1983), p. 225–264.

GG03 GATHEN, Joachim von zur et Jürgen GERHARD (2003). *Modern computer algebra*. 2e éd. Cambridge University Press.

GK85a GATHEN, J. von zur et E. KALTOFEN (1985). « Factorization of multivariate polynomials over finite fields ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 45, n°171, p. 251–261.

GK85b GATHEN, Joachim von zur et Erich KALTOFEN (1985). « Factoring sparse multivariate polynomials ». In : *Journal of Computer and System Sciences*, vol. 31, n°2. Special issue : Twenty-fourth annual symposium on the foundations of computer science (Tucson, Ariz., 1983), p. 265–287.

GL02 GAO, Shuhong et Alan G. B. LAUDER (2002). « Hensel lifting and bivariate polynomial factorisation over finite fields ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 71, n°240, p. 1663–1676.

Hil92 HILBERT, David (1892). « Über die Irreducibilität ganzer rationaler Funktionen mit ganzzahligen Coefficienten ». In : *Journal für die reine und angewandte Mathematik*, vol. 110.

HS81 HEINTZ, Joos et Malte SIEVEKING (1981). « Absolute primality of polynomials is decidable in random polynomial time in the number of variables ». In : *Automata, languages and programming (Akko, 1981)*. Vol. 115. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, p. 16–28.

Kal03 KALTOFEN, Erich (2003). « Polynomial factorization : a success story ». In : *ISSAC'03 : International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*. ACM Press, p. 3–4.

Kal82a KALTOFEN, E. (1982). « A polynomial-time reduction from bivariate to univariate integral polynomial factorization ». In : *23rd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (SFCS '08)*. IEEE, p. 57–64.

Kal82b — (1982). « Polynomial factorization ». In : *Computer algebra. Symbolic and Algebraic Computation*. Éd. par B. BUCHBERGER, G. E. COLLINS et R. LOOS. Springer-Verlag, p. 95–113.

Kal82c KALTOFEN, Erich (1982). « A polynomial reduction from multivariate to bivariate integral polynomial factorization ». In : *STOC'82 : ACM Symposium on Theory of Computing*. ACM Press, p. 261–266.

Kal85a KALTOFEN, E. (1985). « Sparse Hensel lifting ». In : *Proceedings of EUROCAL '85, Vol. 2 (Linz, 1985)*. Vol. 204. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, p. 4–17.

Kal85b KALTOFEN, Erich (1985). « Effective Hilbert irreducibility ». In : *Information and Control*, vol. 66, n°3, p. 123–137.
Kal85c — (1985). « Fast parallel absolute irreducibility testing ». In : *Journal of Symbolic Computation*, vol. 1, n°1, p. 57-67.

Kal85d — (1985). « Polynomial-time reductions from multivariate to bi- and univariate integral polynomial factorization ». In : *SIAM Journal on Computing*, vol. 14, n°2, p. 469-489.

Kal90 — (1990). « Polynomial factorization 1982-1986 ». In : *Computers in mathematics (Stanford, CA, 1986)*. Vol. 125. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Dekker, p. 285-309.

Kal92 — (1992). « Polynomial factorization 1987-1991 ». In : *LATIN '92 (São Paulo, 1992)*. Vol. 583. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, p. 294-313.

Kal95a KALTOFEN, E. (1995). « Effective Noether irreducibility forms and applications ». In : *Journal of Computer and System Sciences*, vol. 50, n°2, p. 274-295.

Lec06 LECERF, Grégoire (2006). « Sharp precision in Hensel lifting for bivariate polynomial factorization ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 75, p. 921-933.

Lec07 — (2007). « Improved dense multivariate polynomial factorization algorithms ». In : *Journal of Symbolic Computation*, vol. 42, n°4, p. 477-494.

Lec08 — (2008). « Fast separable factorization and applications ». In : *Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing*, vol. 19, n°2, p. 135-160.

Lec10 — (2010). « New recombination algorithms for bivariate polynomial factorization based on Hensel lifting ». In : *Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing*, vol. 21, n°2, p. 151-176.

Lec13 — (2013). « Factorisation des polynômes à plusieurs variables (Cours no. II) ». In : *Journées nationales de calcul formel*. Éd. par G. Chèze, P. BOITO, C. PERNET et M. Safey el DIN. Vol. 3. Les cours du CIRM n°1. Cedram, p. 1-85. URL : http://ccirm.cedram.org/ccirm-bin/fitem?id=CCIRM_2013_3_1_A2_0.

MP13 MULLEN, Gary L. et Daniel PANARIO (2013). *Handbook of finite fields*. Discrete Mathematics and Its Applications. Chapman et Hall/CRC.

Mus75 MUSSER, David R. (1975). « Multivariate polynomial factorization ». In : *Journal of the ACM*, vol. 22, p. 291-308.

Rup86 RUPPERT, Wolfgang M. (1986). « Reduzibilität ebener Kurven ». In : *Journal für die reine und angewandte Mathematik*, vol. 369, p. 167-191.

Rup99 — (1999). « Reducibility of polynomials $f(x,y)$ modulo $p$ ». In : *Journal of Number Theory*, vol. 77, n°1, p. 62-70.

Sch00 SCHINZEL, Andrzej (2000). *Polynomials with special regard to reducibility*. Vol. 77. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press.

Sha94 SHAFAREVICH, I. R. (1994). *Basic algebraic geometry. 1 Varieties in projective space*. 2e éd. Springer-Verlag.
Wan78 WANG, Paul S. (1978). « An improved multivariate polynomial factoring algorithm ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 32, n°144, p. 1215-1231.

WR75 WANG, Paul S. et Linda Preiss ROTHSCHILD (1975). « Factoring multivariate polynomials over the integers ». In : *Mathematics of Computation*, vol. 29, p. 935-950.

Zip93 ZIPPEL, Richard (1993). *Effective polynomial computation*. Kluwer Academic Publishers.
V

# Systèmes polynomiaux

<table><tbody><tr><td>23</td><td>Bases standard</td><td>419</td></tr><tr><td>23.1</td><td>Lien entre algèbre et géométrie</td><td></td></tr><tr><td>23.2</td><td>Ordres totaux admissibles sur le monoïde des monômes</td><td></td></tr><tr><td>23.3</td><td>Exposants privilégiés et escaliers</td><td></td></tr><tr><td>23.4</td><td>Noethérianité et bases standard</td><td></td></tr><tr><td>23.5</td><td>Divisions</td><td></td></tr><tr><td>24</td><td>Construction de bases standard</td><td>437</td></tr><tr><td>24.1</td><td>Algorithme naïf par algèbre linéaire</td><td></td></tr><tr><td>24.2</td><td>Polynôme de syzygie</td><td></td></tr><tr><td>24.3</td><td>L'algorithme de construction de Buchberger</td><td></td></tr><tr><td>24.4</td><td>Exemple de calcul</td><td></td></tr><tr><td>24.5</td><td>Propriétés des bases standard pour quelques ordres</td><td></td></tr><tr><td>25</td><td>Nullstellensatz et applications</td><td>447</td></tr><tr><td>25.1</td><td>Nullstellensatz affine</td><td></td></tr><tr><td>25.2</td><td>Idéaux de dimension zéro</td><td></td></tr><tr><td>25.3</td><td>Projection des variétés affines</td><td></td></tr><tr><td>25.4</td><td>Nullstellensatz projectif</td><td></td></tr><tr><td>25.5</td><td>Projection des variétés projectives</td><td></td></tr><tr><td>26</td><td>Fonction et polynôme de Hilbert, dimension, degré</td><td>467</td></tr><tr><td>26.1</td><td>Fonction et polynôme de Hilbert</td><td></td></tr><tr><td>26.2</td><td>Démonstrations et borne supérieure de la régularité</td><td></td></tr><tr><td>26.3</td><td>Dimension et géométrie</td><td></td></tr><tr><td>26.4</td><td>Position de Noether et degré</td><td></td></tr><tr><td>26.5</td><td>Suites régulières</td><td></td></tr><tr><td>26.6</td><td>Bases standard pour les suites régulières en position de Noether</td><td></td></tr><tr><td>27</td><td>Normalisation de Noether</td><td>483</td></tr><tr><td>27.1</td><td>Introduction</td><td></td></tr><tr><td>27.2</td><td>Algorithme de mise en position de Noether</td><td></td></tr><tr><td>27.3</td><td>Utilisations de la position de Noether</td><td></td></tr><tr><td>27.4</td><td>Paramétrisation en dimension quelconque</td><td></td></tr><tr><td>28</td><td>Résolution géométrique</td><td>501</td></tr><tr><td>28.1</td><td>Introduction</td><td></td></tr><tr><td>28.2</td><td>Approche incrémentale</td><td></td></tr><tr><td>28.3</td><td>Remontée d'une paramétrisation</td><td></td></tr><tr><td>28.4</td><td>Algorithme principal</td><td></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_62.png" /></figure>
## 23. Bases standard

### Résumé

Les bases standard de la théorie d'Hironaka pour l'étude de systèmes de fonctions analytiques s'avèrent être un outil central pour rendre effectives les manipulations de systèmes d'équations polynomiales. Elle sont alors le plus souvent connues sous la dénomination de bases de Gröbner.

**Exemple 23.1** Le théorème d'Apollonius (Figure 23.1) affirme que les milieux des côtés d'un triangle rectangle, le sommet de l'angle droit et le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse sont sur un même cercle. C'est une version simplifiée du théorème du cercle des 9 points d'un triangle. Les méthodes présentées dans ce chapitre permettent de prouver automatiquement ce type de résultat.

La première étape consiste à coder ce problème géométrique par des équations polynomiales. Soit donc OAB un triangle rectangle de sommet O. Nous choisissons un système de coordonnées tel que l'origine soit en O, et les deux autres sommets soient $(2a, 0)$ et $(0, 2b)$. Le cercle (C) passant par le sommet et les milieux $(a, 0)$ et $(0, b)$ des côtés a pour équation $C(X, Y) = 0$, avec

$$C(X, Y) = X^2 + Y^2 - aX - bY.$$

Vérifier que le milieu $(a, b)$ de l'hypoténuse appartient à ce cercle revient tester si $C(a, b)$ est nul, ce qui est immédiat. Le pied de la hauteur, $H = (x, y)$, est défini par des relations linéaires exprimant son appartenance à AB et l'orthogonalité entre OH et AB. Il est donc solution du système linéaire $H_1(X, Y) = H_2(X, Y) = 0$, avec

$$H_1(X, Y) = aY + bX - 2ab \text{ et } H_2(X, Y) = bY - aX.$$
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 23.1 – Le théorème d’Apollonius.</figcaption></figure>

Le théorème est donc démontré si nous prouvons que les hypothèses $H_1(x, y) = H_2(x, y) = 0$ impliquent $C(x, y) = 0$, c'est-à-dire que H appartient au cercle (C). En adjoignant les paramètres $a$ et $b$ au corps de base, nous verrons à l'Exemple 23.11 comment les outils présentés dans cette partie permettent d'obtenir automatiquement l'existence de deux polynômes $p(X, Y)$ et $q(X, Y)$ tels que

$$C(X, Y) = p(X, Y)H_1(X, Y) + q(X, Y)H_2(X, Y),$$

ce qui permet de conclure : si $(x, y)$ annule $H_1$ et $H_2$, alors il annule C.

**Exemple 23.2** Dans un autre ordre d'idées, le cercle unité est donné par la paramétrisation classique

$$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad \text{et} \quad y = \frac{2t}{1 + t^2}.$$

Les outils présentés dans cette partie permettent de retrouver l'équation du cercle par recombinaison algorithmique des polynômes

$$(1 + T^2)X - (1 - T^2) \quad \text{et} \quad (1 + T^2)Y - 2T$$

avec des coefficients polynomiaux en $X$, $Y$ et $T$, ce qui correspond à éliminer $T$ entre ces deux polynômes.

Plus généralement, les systèmes d'équations polynomiales sont un outil de modélisation. Par exemple, en robotique, la position de la main d'un robot en fonction de la longueur de ses bras est caractérisée par des équations polynomiales. D'autres domaines d'application sont le traitement du signal, la vision par ordinateur, la cryptologie ainsi que la chimie ou la biologie. Pour ces deux derniers domaines, on imagine
un système dont l'évolution est régie par un ensemble d'équations différentielles à coefficients polynomiaux. Les états d'équilibres, décrits par l'annulation des dérivées, sont donc donnés par des systèmes d'équations polynomiales.

Des cas particuliers importants ont été abordés dans des chapitres précédents. Ainsi, dans le cas du degré 1 (des équations affines), tester si un polynôme est combinaison linéaire à coefficients constants d'autres polynômes se réduit à la résolution d'un système linéaire (voir Chapitre 8). Dans le cas où le degré est arbitraire mais tous les polynômes sont en une seule et même variable, l'application successive de l'algorithme d'Euclide (Chapitre 6) permet de calculer de proche en proche leur plus grand commun diviseur, et ce même problème se réduit ensuite à une division euclidienne.

Ce chapitre présente une généralisation à plusieurs variables, à la fois de l'algorithme d'Euclide et de l'algorithme de Gauss, sous le vocable de « bases standard », plus souvent appelées « bases de Gröbner » dans le cas des algèbres de polynômes.

## 23.1 Lien entre algèbre et géométrie

La manipulation des systèmes d'équations polynomiales prend tout son sens quand elle donne des informations sur l'ensemble des solutions, à savoir le lieu des zéros communs aux équations polynomiales. Ainsi, un des grands intérêts de la combinatoire des anneaux polynomiaux réside dans la description de son substrat géométrique.

### Le cas affine

Soit $n$ le nombre de variables et $R = k[X_1, \dots, X_n]$ l'anneau de polynômes sur un corps effectif $k$ (le plus souvent $\mathbb{Q}$). La notation $A_k^n$, ou $A^n$, représente l'espace affine à $n$ dimensions sur $k$, c'est-à-dire l'ensemble $k^n$. Soient aussi $f_1, \dots, f_s \in R$ des polynômes.

**Définition 23.1** La variété affine $V_k(J)$ de $A_k^n$ associée à un ensemble de polynômes $J \subseteq R$ est l'ensemble des racines dans $k$ communes aux polynômes de $J$ :

$$V_k(J) := \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{A}^n \mid \forall f \in J, f(x_1, \dots, x_n) = 0\}.$$

On appelle « variété algébrique affine » tout sous-ensemble de $\mathbb{A}^n$ obtenu de cette manière. S'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps $k$, nous noterons $V(J) := V_k(J)$. De plus, si $J$ est un ensemble fini $\{f_1, \dots, f_k\}$, nous noterons souvent $V(f_1, \dots, f_k)$ pour $V(J)$.

Dans cet ouvrage, les variétés que nous considérons sont majoritairement algébriques. Donc, lorsque le contexte est clair, nous omettons le qualificatif « algébrique ».

**Exemple 23.3** La variété réelle $V_{\mathbb{R}}(X^2 + Y^2 + 1)$ est vide. Cependant la variété complexe $V_{\mathbb{C}}(X^2 + Y^2 + 1)$ est non vide.
**Définition 23.2** Un idéal I d'un anneau R est un sous-groupe additif de R stable par multiplication par les éléments de R. C'est-à-dire que $I \neq \emptyset$ et $\forall f, g \in I, f - g \in I$ et $\forall f \in I, \forall h \in R, hf \in I$.

L'idéal engendré par une partie $\{f_1, \dots, f_s\}$ de R est l'ensemble $\sum_{i=1}^{s} Rf_i$. Il est noté $(f_1, \dots, f_s)$.

On a $V(\{f_1, \dots, f_s\}) = V(I)$ avec $I = (f_1, \dots, f_s)$, c'est-à-dire que si deux ensembles de polynômes engendrent le même idéal alors ils définissent la même variété. Ainsi l'idéal $(f_1, \dots, f_s)$ est l'objet naturel attaché au système d'équations $f_1 = 0, \dots, f_s = 0$. Le résultat suivant découle de ce que l'opération $V$ met en place une sorte de dualité.

**Lemme 23.1** Pour deux ensembles $J_1$ et $J_2$ de polynômes, si $J_1 \subseteq J_2$, alors $V(J_1) \supseteq V(J_2)$.

De même qu'à tout idéal correspond une variété, à toute variété correspond son idéal annulateur :

**Définition 23.3** L'idéal annulateur $I_k(E)$ associé à un sous-ensemble E de $A_k^n$ est l'ensemble des polynômes de R s'annulant identiquement sur E, c'est-à-dire

$$I_k(E) = \{f \in R \mid \forall x \in E, f(x) = 0\}.$$

Si il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps $k$, nous notons $I(E) := I_k(E)$.

On vérifie facilement que $I(E)$ est un idéal.

**Exemple 23.4** L'hyperbole d'équation $XY = 1$ est la variété $V(XY - 1)$. De même, le cercle d'équation $X^2 + Y^2 = 1$ est une variété.

La dualité évoquée plus haut se prolonge avec les résultats suivants.

**Lemme 23.2** Pour deux sous-ensembles $E_1$ et $E_2$ de $A^n$, si $E_1 \subseteq E_2$, alors $I(E_1) \supseteq I(E_2)$. Si $J$ est un ensemble de polynômes et $E$ une partie de $A^n$, alors $J \subseteq I(V(J))$ et $E \subseteq V(I(E))$.

**Exemple 23.5** Si $R = k[X]$ et $I = (X)$, alors $V(I) = \{0\}$ et $I(V(I)) = I$. Par contre, si $J = (X^2)$ alors $V(J) = V((X))$ et $I(V(J)) = (X)$ n'est pas égal à $J$.

**Exemple 23.6** Si $R = \mathbb{Q}[X, Y]$ et $E = (k \setminus \{0\}) \times \{0\}$, alors $I(E) = (Y)$ et $V(I(E)) = k \times \{0\}$ n'est pas égal à $E$.

Les variétés affines sont des objets géométriques et il est fructueux de les manipuler en suivant une intuition géométrique. La démonstration algébrique traduit souvent
cette intuition.

**Exercice 23.1** Montrer que l'union de deux variétés affines d'un même espace affine est une variété affine. Montrer que $V \subseteq \mathbb{A}^n$ est une variété affine si, et seulement si, on a $V(I(V)) = V$. ■

## Le cas projectif

Le passage à la géométrie projective est motivé par la simplification des énoncés et de certains algorithmes dans ce cadre. Dans le cadre projectif l'anneau des polynômes comporte une variable de plus notée $X_0$, mais nous continuons de noter $R$ l'anneau ambiant de polynômes $k[X_0, \dots, X_n]$.

**Définition 23.4** Nous notons $\mathbb{P}_k^n$, ou $\mathbb{P}^n$, l'espace projectif de dimension $n$ sur le corps $k$, c'est-à-dire l'ensemble défini comme le quotient de $k^{n+1} \setminus \{0\}$ par la relation d'équivalence $(x_0, \dots, x_n) \sim (y_0, \dots, y_n)$ si et seulement si $\exists \lambda \in k, \forall i, x_i = \lambda y_i$.

On note $(x_0 : \cdots : x_n)$ la classe d'équivalence de $(x_0, \dots, x_n)$, que l'on appelle aussi un point (projectif).

Soit $U_i = \{(a_0 : \cdots : a_n) \mid a_i \neq 0\}$ pour $i \in \{0, \dots, n\}$. Les $U_i$ sont des ouverts de $\mathbb{P}^n$ qui sont en bijection avec l'espace affine $\mathbb{A}^n$ via

$$ \begin{array}{ccc} \mathbb{A}^n & \to & U_i \\ (x_1, \dots, x_n) & \mapsto & (x_0 : \dots : x_{i-1} : 1 : x_{i+1} : \dots : x_n) \end{array} $$

Ces $U_i$ recouvrent l'espace projectif. L'ensemble $U_i$ est appelé la *i-ième partie affine* de $\mathbb{P}^n$.

**Définition 23.5** On appelle points à l'infini de $\mathbb{P}^n$ les points de $\mathbb{P}^n \setminus U_0$. Ils correspondent aux directions de droites dans $\mathbb{A}^n$.

Le formalisme ne doit pas faire oublier que l'espace projectif est un objet naturel : c'est l'espace affine auquel on a ajouté des points à l'infini. Ces points à l'infini sont les points $(0 : x_1 : \cdots : x_n)$, alors que les points affines sont de la forme $(1 : x_1 : \cdots : x_n)$. On a donc

$$ \mathbb{P}^n = \{(1 : x_1 : \cdots : x_n) \mid x \in \mathbb{A}^n\} \cup \{(0 : x_1 : \cdots : x_n) \mid x \in \mathbb{A}^n \setminus \{0\}\}. $$

Dans un espace projectif, construire des équations à partir de polynômes est plus délicat que dans le cas affine. Soit $f \in R$ un polynôme homogène, c'est-à-dire tel que tous ses monômes soient de même degré total. Alors $f(x_0 : \cdots : x_n) = 0$ a un sens car $f$ s'annule soit sur tout représentant de $(x_0 : \cdots : x_n)$, soit sur aucun d'entre eux. Ainsi à tout polynôme homogène $f$ de $R$ on peut associer une équation $f = 0$ sur $\mathbb{P}^n$. Il faut bien noter que $R$ est un anneau de polynômes à $n + 1$ variables, alors que $n$ est la dimension de l'espace projectif.
**Définition 23.6** La variété projective $V(J)$ associée à l'ensemble de polynômes homogènes $J \subseteq \mathbb{R}$ est l'ensemble des solutions communes aux équations homogènes, c'est-à-dire $\{(x_0 : \cdots : x_n) \in \mathbb{P}_k^n \mid \forall j \in J, j(x_0 : \cdots : x_n) = 0\}$.

**Définition 23.7** Un idéal de $R$ est dit *homogène* s'il est engendré par des polynômes homogènes.

**Proposition 23.3** Un idéal $I$ de $R$ est homogène si, et seulement si, l'espace vectoriel $I$ est la somme directe $\bigoplus_{d \ge 0} I_d$, où $I_d$ est l'espace vectoriel des polynômes de $I$ homogènes de degré $d$.

*Démonstration.* Supposons que $I$ soit engendré par des polynômes homogènes $f_1, \dots, f_s$ et soit $h$ un polynôme de $I$. Il existe alors des polynômes $g_1, \dots, g_s$ tels que $h = g_1 f_1 + \dots + g_s f_s$. En notant $g_{i,d}$ la composante homogène de degré $d$ de $g_i$, l'égalité précédente se récrit

$$h = \sum_{d \ge 0} g_{1,d} f_1 + \dots + \sum_{d \ge 0} g_{s,d} f_s,$$

et la composante homogène $h_d$ de $h$ s'obtient alors comme

$$h_d = g_{1,d-\deg f_1} f_1 + \dots + g_{s,d-\deg f_s} f_s.$$

Autrement dit, les composantes homogènes de $h$ sont aussi dans $I$, d'où $I = \bigoplus_{d \ge 0} I_d$.

Réciproquement, si $I = \bigoplus_{d \ge 0} I_d$, et si $I$ est engendré par les polynômes $f_1, \dots, f_s$ alors les composantes homogènes des $f_i$ sont dans $I$ et par conséquent l'engendrent.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

L'homogénéisation des polynômes et des idéaux permet de prolonger naturellement une variété affine dans l'espace projectif associé.

**Définition 23.8** L'homogénéisé $f^\sharp \in \mathbb{R}$ d'un polynôme $f \in k[X_1, \dots, X_n]$ est le polynôme $X_0^{\deg(f)} f(X_1/X_0, \dots, X_n/X_0)$. L'idéal homogénéisé $I^\sharp$ d'un idéal $I$ de $k[X_1, \dots, X_n]$ est l'idéal de $R$ engendré par $\{f^\sharp \mid f \in I\}$.

**Exemple 23.7** Le cercle $V_C(X_1^2 + X_2^2 - 1)$ a pour idéal annulateur $I = (X_1^2 + X_2^2 - 1)$. Son homogénéisé est $I^\sharp = (X_1^2 + X_2^2 - X_0^2)$, qui annule la variété projective

$$V_C(I^\sharp) = \{(1 : x : y) \mid (x, y) \in V(I)\} \cup \{(0 : 1 : i), (0 : 1 : -i)\},$$

c'est-à-dire que le prolongement du cercle dans l'espace projectif $\mathbb{P}_C^2$ contient deux points à l'infini, classiquement appelés les points cycliques.
L'opération de déshomogénéisation associe au polynôme $g \in k[X_0, \dots, X_n]$ le polynôme $g^b = g(1, X_1, \dots, X_n) \in k[X_1, \dots, X_n]$. On vérifie facilement que pour $g \in k[X_1, \dots, X_n]$ on a $(g^\#)^b = g$. Cependant, la composition inverse n'est pas l'identité : $(X_0^b)^\# = 1$. La proposition suivante fait le lien entre $(g^b)^\#$ et $g$.

**Proposition 23.4** Soit $g \in k[X_0, \dots, X_n]$ un polynôme homogène, alors il existe $e \in \mathbb{N}$ tel que $X_0^e (g^b)^\# = g$.

*Démonstration.* Soit $d = \deg g$. Voyons $g$ comme un polynôme en $X_0$ et notons $e$ sa valuation en $X_0 : g$ s'écrit $g = \sum_{i=0}^{d-e} g_{d-e-i} X_0^{e+i}$ avec $g_i \in k[X_1, \dots, X_n]$ de degré $i$. Ainsi $g^b = \sum_{i=0}^{d-e} g_{d-e-i}$ et $d = \deg g^b + e$. Finalement $X_0^e (g^b)^\# = X_0^e \sum_{i=0}^{d-e} g_{d-e-i} X_0^i = g$. ■

## 23.2 Ordres totaux admissibles sur le monoïde des monômes

Dans l'algorithme de division d'Euclide, une étape élémentaire consiste à tuer le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur. Afin de concevoir un analogue en plusieurs variables, il faut d'abord définir une relation d'ordre qui permette de généraliser la notion de terme de plus haut degré. Ceci s'obtient assez simplement en considérant les exposants des monômes et des relations d'ordre convenables. Notons $R = k[X_1, \dots, X_n]$. On appelle *monôme* de $R$ un produit de puissances $X = X_1^{a_1} \cdots X_n^{a_n}$ associé à un élément $a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{N}^n$. Selon les cas, il sera commode de considérer soit le monôme, soit le $n$-uplet de ses exposants. Dans les deux cas, la structure sous-jacente est la suivante.

**Définition 23.9** Un monoïde $\mathcal{M}$ est un ensemble qui vérifie les axiomes des groupes à l'exception de l'existence de l'inverse pour un élément quelconque.

Ainsi les monômes de l'anneau $R$ forment un monoïde multiplicatif $M_n$ isomorphe au monoïde additif $\mathbb{N}^n$. Dans cet exemple, l'élément neutre $1 \in M_n$ correspond au point de coordonnées toutes nulles dans $\mathbb{N}^n$.

**Définition 23.10** Un ordre total $<$ sur les monômes est dit *compatible* s'il est compatible avec la structure de monoïde, au sens où la multiplication par un monôme est croissante.

**Définition 23.11** Un ordre compatible est dit être un *ordre admissible* si l'élément neutre est plus petit que tous les autres monômes.

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

R Si l'élément neutre est plus grand que tous les autres monômes, nous obtenons un ordre total adapté à la manipulation des séries. Le substrat géométrique devient alors local et correspond à la théorie originelle de Hironaka, mais cela nous conduirait largement au-delà de cet ouvrage.
**Définition 23.12** Un ordre compatible est dit être un bon ordre si toute suite décroissante de monômes stationne. En résumé, un ordre < sur les monômes est un bon ordre si :

1. c'est un ordre total;

2. pour tous $m, m'$ et $m'', m' < m''$ implique $mm' < mm''$.

3. pour toute suite décroissante de monômes $(m_i)_{i \in \mathbb{N}}$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on ait $m_n = m_N$.

Un bon ordre est toujours admissible car on peut construire une suite infinie stric-
tement décroissante à partir des puissances d'un monôme $m < 1$. Le Corollaire 23.8
ci-dessous montre qu'un ordre admissible est un bon ordre.

**Définition 23.13** Soit $\sigma$ une permutation de $\{1, \dots, n\}$. L'ordre lexicographique induit par l'ordre $X_{\sigma(n)} < X_{\sigma(n-1)} < \dots < X_{\sigma(1)}$ sur les variables est défini par : $X_1^{a_1} \cdots X_n^{a_n} < X_1^{b_1} \cdots X_n^{b_n}$ si

- $a_{\sigma(1)} < b_{\sigma(1)}$, ou

- $a_{\sigma(1)} = b_{\sigma(1)}$ et $a_{\sigma(2)} < b_{\sigma(2)}$, ou

- $a_{\sigma(1)} = b_{\sigma(1)}$, $a_{\sigma(2)} = b_{\sigma(2)}$ et $a_{\sigma(3)} < b_{\sigma(3)}$, ou

- ..., ou

- $a_{\sigma(1)} = b_{\sigma(1)}, \dots, a_{\sigma(n-1)} = b_{\sigma(n-1)}$ et $a_{\sigma(n)} < b_{\sigma(n)}$.

L'ordre lexicographique usuel, noté <₁ₘₓ, est celui induit par Xₙ <₁ₘₓ Xₙ₋₁ <₁ₘₓ ... <₁ₘₓ X₁. Il est noté p₁ₓ(x[1], ..., x[n]) en MAPLE (pour pure lexicographic). Les plus grands monômes sont donc ceux qui ont le plus de X₁, puis le plus de X₂, puis de X₃ etc. Les autres ordres lexicographiques se ramènent à l'ordre usuel en permutant les variables.

**Lemme 23.5** Les ordres lexicographiques sont de bons ordres.

*Démonstration.* Sans perte de généralité nous pouvons considérer l'ordre usuel. La compatibilité de l'ordre lexicographique est facile à établir. Montrons le stationnement de toute suite décroissante par récurrence sur le nombre $n$ de variables. Pour $n = 1$ c'est une propriété fondamentale de $\mathbb{N}$. Soit une suite $(a_j)_{j \in \mathbb{N}}$ décroissante pour $<_{1ex}$ dans $\mathbb{N}^n$. Écrivons chaque $a_j$ sous la forme $(\alpha_j, b_j)$ pour $\alpha_j \in \mathbb{N}$ et $b_j \in \mathbb{N}^{n-1}$. La suite des $\alpha_j$ est alors décroissante et stationne, par le cas $n = 1$. La suite des $b_j$ est donc décroissante à partir d'un certain rang, et donc stationne. En conclusion, la suite $(a_j)_{j \in \mathbb{N}}$ stationne elle aussi.

**Définition 23.14** L'ordre gradué induit par un ordre compatible < est l'ordre noté $a <_d b$ pour $a = (a_1, \dots, a_n)$ et $b = (b_1, \dots, b_n)$ si $\sum a_i < \sum b_i$ ou ($\sum a_i = \sum b_i$ et $a < b$).

**Définition 23.15** L'ordre lexicographique gradué, noté <gr>₁ₘₓ, est l'ordre gradué induit par l'ordre lexicographique usuel.
En MAPLE, ce dernier ordre est noté grlex(x[1], ..., x[n]) (comme abbréviation de la traduction anglaise « graded lexicographic order »). La propriété de bon ordre est triviale pour les ordres gradués, par finitude du nombre de monômes de même degré.

**Définition 23.16** *L'ordre lexicographique renversé, noté $<_{\text{revlex}}$, est l'opposé de l'ordre lexicographique, noté $\text{lex}'$, induit par $X_1 <_{\text{lex}'} X_2 <_{\text{lex}'} \dots <_{\text{lex}'} X_n$.*

Autrement dit, $(a_1, \dots, a_n) <_{\text{revlex}} (b_1, \dots, b_n)$ correspond à $(a_1, \dots, a_n) >_{\text{lex}'} (b_1, \dots, b_n)$. Les plus grands monômes sont donc ceux qui ont le moins de $X_n$, puis le moins de $X_{n-1}$, puis de $X_{n-2}$, etc. Cet ordre n'est pas un bon ordre : la suite des monômes $X_n^i$ est décroissante mais ne stationne pas.

**Définition 23.17** *L'ordre lexicographique renversé gradué, noté $<_{\text{tdeg}}$, est l'ordre gradué induit par l'ordre lexicographique renversé.*

Cet ordre est un bon ordre, puisqu'il est gradué. Ainsi, dans l'espace des exposants, on a $a <_{\text{tdeg}} b$ pour $a = (a_1, \dots, a_n)$ et $b = (b_1, \dots, b_n)$ si $\sum a_i < \sum b_i$ ou ($\sum a_i = \sum b_i$ et $a <_{\text{revlex}} b$). Cela consiste donc à ordonner les monômes par degré total, puis les plus grands sont ceux qui contiennent le moins de $X_n$ puis de $X_{n-1}$ et ainsi de suite. Cet ordre est noté tdeg(x[1], ..., x[n]) en MAPLE. En anglais, il est appelé « graded reverse lexicographic order », et est souvent noté « grevlex » dans la littérature.

**Exemple 23.8** Nous illustrons les différences entre ces ordres sur des exemples :
— pour les ordres $<_{\text{lex}}$ et $<_{\text{revlex}}$, on a

$$X_3 <_{\text{lex}} X_2X_4 <_{\text{lex}} X_1 \quad \text{et} \quad X_2X_4 <_{\text{revlex}} X_3 <_{\text{revlex}} X_1;$$

— pour les ordres $<_{\text{grlex}}$ et $<_{\text{tdeg}}$, on a

$$X_3^3 <_{\text{grlex}} X_2X_3^2 <_{\text{grlex}} X_2^2X_3 <_{\text{grlex}} X_2^3 <_{\text{grlex}} X_1X_3^2 \\ <_{\text{grlex}} X_1X_2X_3 <_{\text{grlex}} X_1X_2^2 <_{\text{grlex}} X_1^2X_3 <_{\text{grlex}} X_1^2X_2 <_{\text{grlex}} X_1^3$$

et

$$X_3^3 <_{\text{tdeg}} X_2X_3^2 <_{\text{tdeg}} X_1X_3^2 <_{\text{tdeg}} X_2^2X_3 <_{\text{tdeg}} X_1X_2X_3 \\ <_{\text{tdeg}} X_1^2X_3 <_{\text{tdeg}} X_2^3 <_{\text{tdeg}} X_1X_2^2 <_{\text{tdeg}} X_1^2X_2 <_{\text{tdeg}} X_1^3.$$

**Exemple 23.9** — Ordre d'élimination. Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. Le i-ième ordre d'élimination $<_i$ de $\mathbb{N}^n$ est l'ordre défini par $a <_i b$ si et seulement si $\sum_{j=1}^i a_j < \sum_{j=1}^i b_j$ ou $(\sum_{j=1}^i a_j = \sum_{j=1}^i b_j \text{ et } a <_{\text{lex}} b)$.

Ces ordres d'élimination sont à mi-chemin entre l'ordre lexicographique usuel
(que l'on retrouve pour $i = 1$) et l'ordre lexicographique gradué (retrouvé pour $i = n$). Ils sont utilisés pour éliminer simultanément plusieurs variables entre des équations polynomiales (voir Chapitre 24).

**Exemple 23.10** Une dernière méthode pour créer des ordres compatibles à partir de l'ordre lexicographique est de prendre une matrice $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ et de poser $a <_M b$ si $Ma <_{1ex} Mb$. Si $M$ est injective alors l'ordre est total. L'hypothèse supplémentaire que toutes les colonnes de $M$ vérifient $0 <_{1ex} C$ est nécessaire pour que l'ordre devienne admissible. Réciproquement, on a le résultat suivant, que nous ne prouverons pas ici : pour tout ordre $< $ admissible sur $\mathbb{N}^n$, il existe $M \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ telle que $a < b \iff Ma <_{1ex} Mb$.

**Exercice 23.2** Expliciter les matrices de l'exemple précédent pour les ordres lex, grlex, et tdeg. ■

## 23.3 Exposants privilégiés et escaliers

Les ordres sur les monômes étant définis, l'étape suivante dans la construction d'une généralisation de la division euclidienne à plusieurs variables est la définition des termes de tête des polynômes, et l'analyse de l'ensemble de ces termes pour tous les polynômes d'un idéal.

**Définition 23.18** À tout polynôme

$$f = \sum_{a \in \mathbb{N}^n} f_a X^a$$

est associé son support $\{a \in \mathbb{N}^n \mid f_a \neq 0\}$ dans $\mathbb{N}^n$.

**Définition 23.19** L'exposant privilégié d'un polynôme $f$ non nul, noté $\exp(f)$ pour un ordre donné $< $ est le plus grand $n$-uplet du support de $f$ pour l'ordre $< $. Le monôme de tête est $\text{mt}(f) := \text{X}^{\exp(f)}$. Le terme de tête de $f$ est $\text{tt}(f) := f_{\exp(f)} \text{X}^{\exp(f)}$ (un terme est le produit d'un monôme par un coefficient, c'est-à-dire est de la forme $c_\alpha X^\alpha$). Le coefficient du terme de tête est noté $\text{ct}(f)$.

La notion d'exposant privilégié et celles qui en découlent ne sont pas définies pour le polynôme nul.

**Définition 23.20** Un idéal de monômes est une partie de $\mathcal{M}_n$ (le monoïde des monômes) stable par multiplication externe : tout multiple d'un élément de cet idéal de monômes par un monôme quelconque appartient encore à cet idéal de monômes.

De manière analogue, une partie stable de $\mathbb{N}^n$ est stable par addition de qua-
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 23.2 – Un exemple d'escalier dans $\mathbb{N}^2$.</figcaption></figure>

drant : tout transléré d'un point de cette partie stable par un élément de $\mathbb{N}^n$ est encore dans cette partie stable.

On fera attention à cette terminologie : au sens de cet ouvrage, un idéal de monômes n'est pas un idéal. Certains auteurs parlent d'ailleurs de « monoïdéal » pour marquer la distinction; d'autres auteurs réservent le vocable d'« idéal de monômes » pour les idéaux (polynomiaux) engendrés par les idéaux de monômes de cet ouvrage. Plutôt que d'idéal de monômes, on parle le plus souvent de manière imagée d'un escalier.

**Définition 23.21** L'escalier E(I) associé à l'idéal I pour un ordre $<$ est la partie stable de $\mathbb{N}^n$ donnée par $\{\exp_{<}(f) | f \in I \setminus \{0\}\}$.

Dans la Figure 23.2, l'escalier est donc la partie hachurée située au-dessus de la ligne qui ressemble à un escalier. Par convention, et bien que le polynôme nul ne possède pas d'exposant privilégié, E(0) est l'ensemble vide $\emptyset$; tandis que plus naturellement E(R) est $\mathbb{N}^n$ tout entier puisque $R = (1)$.

## 23.4 Noethérianité et bases standard

La noethérianité désigne le fait que toute suite croissante est stationnaire à partir d'un certain rang.

**Lemme 23.6** Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. Toute partie stable de $\mathbb{N}^n$ est engendrée par un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire :

$$E = \bigcup_{i=1}^{q} (a_i + \mathbb{N}^n). \qquad (23.1)$$
## 2. Toute suite croissante de parties stables de $\mathbb{N}^n$ stationne.

**Démonstration.** (1) implique (2) : Soit $(E_j)_{j \in \mathbb{N}}$, une suite croissante de parties stables. La réunion $E = \bigcup_{j \in \mathbb{N}} E_j$ est encore stable, donc finiment engendrée sous la forme (23.1). Chacun des générateurs $a_i$ appartient à un membre $E_{j_i}$ de la suite. Soit $\hat{j}$ la valeur maximale des $j_i$. Comme $E_j$ contient tous les $E_j$ précédents, $E = \bigcup_{j=1}^q (a_i + \mathbb{N}^n) \subseteq \sum_{j=1}^q E_j \subseteq E_j \subseteq E$, d'où $E = E_j$. Par suite, pour tout $h \in \mathbb{N}$, $E = E_j \subseteq E_{j+h} \subseteq E$, et la suite stationne donc sur la valeur $E = E_j$.

(2) implique (1) : Supposons que $E$ soit engendré par une suite dénombrable $a_1, a_2, a_3, \dots$. On pose $E_i := \bigcup_{j=1}^i (a_j + \mathbb{N}^n)$, pour tout $i \ge 1$. La suite des $E_i$ est croissante et donc stationne à partir d'un certain entier $\hat{i}$. On en déduit $E = \bigcup_{j \ge 1} E_j = \bigcup_{j=1}^{\hat{i}} E_j$. ■

**Proposition 23.7 — Lemme de Dickson.** Toute partie stable $E$ de $\mathbb{N}^n$ est finiment engendrée, c'est-à-dire qu'il existe une famille $a_1, \dots, a_q$ telle que :

$$E = \bigcup_{i=1}^{q} (a_i + \mathbb{N}^n).$$

**Démonstration.** La démonstration se fait par récurrence sur $n$. L'assertion est immédiate pour $n = 1$. Si l'assertion est vraie pour $n \ge 1$, on introduit $\pi : \mathbb{N}^{n+1} \to \mathbb{N}^n$ la projection canonique sur $\mathbb{N}^n$, identifié à $\mathbb{N}^n \times \{0\}$. Chacune des sections $E_j$ de $E$ par l'hyperplan de coordonnées $X_{n+1} = j$ s'identifie aussi par $\pi$ à une partie stable de $\mathbb{N}^n$, engendrée par une famille finie, par récurrence. Les $\pi(E_j)$ forment une suite croissante de parties stables qui stationne sur une valeur $E_\infty$ à partir d'un certain indice $\eta$, par la proposition précédente. Une famille de générateurs de $E$ est obtenue en prenant la réunion des générateurs des $E_j$ pour $j \le \eta$. ■

**Corollaire 23.8** Tout ordre total admissible est un *bon ordre*, c'est-à-dire que toute chaîne descendante (c'est-à-dire une suite décroissante) stationne.

**Démonstration.** Soit une suite $(a_j)_{j \in \mathbb{N}}$ décroissante de $\mathbb{N}^n$ pour un ordre $<$ admissible vu dans le monoïde des exposants. Soit $E_i := \bigcup_{j=0}^i (a_j + \mathbb{N}^n)$ pour tout $i \ge 0$. La suite des $E_i$ est croissante et donc stationne à partir d'un indice $N$, par le lemme de Dickson. Si $k \ge N$ alors $a_k$ appartient à l'un des $a_j + \mathbb{N}^n$ pour un indice $j \le N$ et donc $a_k \ge a_j \ge a_N$. On en déduit $a_k = a_N$. ■

**Définition 23.22** Une *base standard* ou *base de Gröbner* d'un idéal de l'anneau de polynômes est un ensemble fini de polynômes de l'idéal dont les exposants privilégiés engendrent l'escalier de l'idéal. Elle est dite *minimale* lorsque ces exposants engendrent minimalement l'escalier.
Au niveau des polynômes, cela signifie que tout polynôme de l'idéal a son terme de tête divisible par le monôme de tête d'un des éléments de la base standard.

Le lemme de Dickson donne l'existence d'une base standard pour tout idéal I de R. Notons bien que les éléments doivent appartenir à l'idéal mais que rien pour l'instant hormis la terminologie ne prouve qu'ils l'engendrent. C'est le paragraphe suivant qui va le démontrer, grâce à une généralisation à plusieurs variables de la notion de division.

Notons aussi qu'une base standard ne sera pas une base, mais seulement un système de générateurs : elle ne fournira pas une unicité de l'écriture, au sens où les cofacteurs ne sont pas définis uniquement.

**Exemple 23.11** Les algorithmes du chapitre suivant que l'idéal engendré par les deux polynômes $H_1(X, Y) = aY + bX - 2ab$ et $H_2(X, Y) = bY - aX$ de l'Exemple 23.1 possède la même base standard pour chacun des ordres lex, grlex, et tdeg :

$$ \{(a^2 + b^2)X - 2ab^2, \quad (a^2 + b^2)Y - 2a^2b\}. \qquad (23.2) $$

Dans ce cas linéaire, la base donne ainsi la solution du système. L'escalier est alors très simple : seul le point (0,0) est strictement en dessous.

## 23.5 Divisions

Nous pouvons maintenant étendre la division euclidienne aux polynômes à plusieurs variables une fois choisi un ordre admissible < sur les monômes. Pour ce faire, nous commençons par définir une *division élémentaire faible* (resp. *forte*) d'un polynôme dividende $f$ par un seul diviseur $g$ non nul. Posons $r := \text{tt}(g) - g$ et associons à ce diviseur la règle de récriture $\text{tt}(g) \to_g r$. Elle consiste à remplacer une occurrence éventuelle de $\text{tt}(g)$ comme facteur du monôme privilégié (resp. de tout monôme) du dividende par le polynôme $r$.

Pour être plus explicite, soit un dividende (non nul) exprimé sous la forme $f = c_1 m_1 + \cdots + c_\ell m_\ell$ pour une suite strictement décroissante de monômes $m_i$ et des coefficients non nuls $c_i$. Si le monôme de tête $\text{mt}(g)$ divise $m_1$ pour le cas de la division faible (resp. s'il divise l'un des $m_i$, que l'on choisit être le plus grand possible, pour le cas de la division forte), alors la division consiste à récrire $f$ en le polynôme

$$ f - \frac{\text{tt}(f)}{\text{tt}(g)}g = \frac{\text{tt}(f)}{\text{tt}(g)}r + c_2 m_2 + \cdots + c_\ell m_\ell \qquad (23.3) $$

dans le cas de la division faible (resp. en le polynôme

$$ f - \frac{c_i m_i}{\text{tt}(g)} g = c_1 m_1 + \cdots + c_{i-1} m_{i-1} + \frac{c_i m_i}{\text{tt}(g)} r + c_{i+1} m_{i+1} + c_\ell m_\ell \qquad (23.4) $$

dans le cas de la division forte). Dans toutes ces écritures, chaque quotient est en fait un terme (au sens de la Définition 23.19).

La division faible consiste à appliquer cette règle de récriture à $\text{mt}(f)$ (si possible) et à itérer la récriture au nouveau polynôme tant que possible. La division forte
consiste à appliquer la règle de récriture à tout terme de $f$ et à s'arrêter quand on ne peut plus l'appliquer à aucun terme.

L'itération du processus de division faible (resp. forte) s'arrête (car $<$ est un bon ordre par le Corollaire 23.8) sur un reste dont le monôme privilégié n'est plus divisible par $mt(g)$ (resp. dont aucun monôme n'est divisible par $mt(g)$).

La division faible (resp. forte) par une famille $g_1, \dots, g_s$ consiste à appliquer successivement l'une des règles de récriture $tt(g_i) \to_{g_i} r_i$, $i \in \{1, \dots, s\}$, à un dividende $f$ jusqu'à ce qu'on ne puisse plus l'appliquer au terme de tête $tt(f)$ de $f$ (resp. à aucun terme de $f$).

En rassemblant de façon adéquate les monômes $tt(f)/tt(g_j)$ intervenant dans les étapes (23.3) d'une division faible (resp. les monômes $c_i m_i / tt(g_j)$ dans les étapes (23.4) d'une division forte), on obtient des quotients $q_j$, un reste final $r$, ainsi qu'une écriture de la division sous la forme

$$f = q_1 g_1 + \dots + q_s g_s + r.$$

Cette sortie du processus de division (faible ou forte) dépend de l'ordre dans lequel sont faites les récritures, ce que montre l'exemple suivant.

**Exemple 23.12** La division de $f = YX^2 - X$ par la famille $g_1 = YX - 1, g_2 = X^2$ pour l'ordre lexicographique induit par $X < Y$ peut-être effectuée de deux manières. D'un côté on observe $f \to_{g_1} 0$ et de l'autre $f \to_{g_2} -X$ et on ne peut plus récrire $X$. Au sens de la théorie de la récriture, ceci signifie que les règles ne sont pas complètes.

Le point crucial de cette théorie est que les bases standard permettent de caractériser l'appartenance à un idéal :

**Proposition 23.9** Si un reste par une division, faible ou forte, d'un dividende $f$ quelconque par une base standard $(g_1, \dots, g_s)$ est nul, le reste par toute autre division faible ou forte l'est aussi. De manière plus générale, l'exposant privilégié du reste par division ne dépend ni de l'ordre des récritures ni de la nature faible ou forte de la division.

*Démonstration.* Posons $I = (g_1, \dots, g_s)$. Le procédé de récriture faible ou forte change de représentant mais pas de classe modulo $I$. Soient $r$ et $r'$ deux restes de divisions faibles ou fortes par $(g_1, \dots, g_s)$. On a $f \equiv r$ et $f \equiv r'$ modulo $I$, donc $r - r' \in I$. Si l'un des restes est nul, disons $r'$, alors l'autre, $r$, est dans $I$. Comme il n'est pas réductible, il est lui aussi nul, ce qui prouve la première assertion.

Dans le cas contraire, $rr' \neq 0$. Si $mt(r) \neq mt(r')$, on peut supposer $mt(r) > mt(r')$ auquel cas $mt(r) = mt(r - r') \in E(I)$. Ceci est absurde car on peut alors encore réduire $r$. Ainsi, $r$ et $r'$ ont même exposant privilégié. ■

**Proposition 23.10** Le reste de toute division, faible ou forte, d'un élément $f$ d'un idéal par une base standard de celui-ci est nul.
**Démonstration.** Le reste est dans l'idéal. S'il n'est pas nul, son monôme de tête est multiple d'un des monômes de tête de la base standard, par définition, ce qui contredit que ce soit un reste. ■

**Exemple 23.13** Le théorème d'Apollonius s'obtient par division du polynôme $C = X^2+Y^2-aX-bY$ annulateur du cercle par la base standard (23.2) de l'Exemple 23.11. Comme les polynômes sont de degré 1, le reste de la division est obtenu simplement en remplaçant $X$ par $2ab^2/(a^2+b^2)$ et $Y$ par $2a^2b/(a^2+b^2)$ et il est facile de constater qu'il est nul ; donc $C$ est dans l'idéal engendré par $H_1$ et $H_2$ dans $Q(a,b)[X,Y]$, ce qui conclut la preuve du théorème. (Toute démonstration de théorème de géométrie ne s'obtient pas nécessairement aussi simplement, voir Chapitre 25.)

**Proposition 23.11** Le reste d'une division forte d'un dividende $f$ par une base standard $(g_1, \dots, g_s)$ est unique.

**Démonstration.** Avec les mêmes notations que dans la preuve précédente, si $r-r' \neq 0$ alors $mt(r-r') \in E(I)$ provient de l'un des termes de $r$ ou $r'$. Ceci est absurde car aucun monôme de $r$ ni $r'$ n'est dans $E(I)$ sinon on pourrait le récrire. Donc $r=r'$, ce qui prouve la proposition. ■

**Théorème 23.12 — Théorème de division d'Hironaka.** Soient $I$ un idéal de $R$, < un ordre admissible et $E(I)$ l'escalier de $I$ pour cet ordre. Tout polynôme de $R$ est congru modulo $I$ à un unique polynôme appelé reste de la division par l'idéal qui soit est nul, soit a son support à l'extérieur de $E(I)$, c'est-à-dire (strictement) sous l'escalier.

**Démonstration.** L'opération de division forte par une base standard donne l'existence d'un tel reste. L'unicité est similaire à la preuve de la proposition précédente. ■

La théorie des bases standard permet de prouver ici que tout anneau de polynômes sur un corps possède la propriété de noethérianité, qui consiste à pouvoir engendrer tout idéal par un nombre fini de polynômes.

**Corollaire 23.13 — Noethérianité de l'anneau des polynômes.** Toute base standard d'un idéal engendre cet idéal.

**Démonstration.** Le reste de la division d'un élément $f$ de l'idéal par une base standard $(g_1, \dots, g_s)$ ne peut être que nul puisque sinon, son monôme dominant devrait être à la fois à l'extérieur de $E(I)$ (par construction du reste) et dans $E(I)$ (par définition de ce dernier). Il existe donc des quotients $q_1, \dots, q_s$ tels que $f = q_1g_1 + \dots + q_sg_s$, et $f$ appartient donc à l'idéal engendré par la base standard. ■
**Théorème 23.14 — Décomposition du quotient.** En tant que $k$-espace vectoriel, le quotient $R/I$ est isomorphe au sous-espace vectoriel de $R$ donné comme la somme directe

$$ \bigoplus_{a \in E(I)} kX^a. $$

Plus précisement, pour tout entier $u$, le $k$-espace vectoriel de $R/I$ engendré par les polynômes homogènes de $R$ de degré $u$, et noté $(R/I)_u$, est isomorphe à la somme directe $\bigoplus_{a \in E(I), |a|=u} kX^a$, où $|a|$ représente la somme $a_0 + \cdots + a_n$.

*Démonstration.* Ce quotient est par définition l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation $f \sim g$ quand $f - g \in I$.

D'une part les restes d'une division forte par une base standard ont leurs supports à l'extérieur de l'escalier $E(I)$. D'autre part, la définition de $E(I)$ assure qu'aucune combinaison linéaire non nulle de monômes à l'extérieur de l'escalier ne peut appartenir à $I$. Cela prouve le premier isomorphisme.

La dernière assertion du corollaire provient simplement du fait que les divisions faibles et fortes préservent le degré total, sauf en cas de reste nul. ■

Cette décomposition du quotient $R/I$ jouera un rôle théorique important dans le Chapitre 26 sur la dimension des variétés. Aussi, une conséquence pratique majeure concerne le cas où le complémentaire de l'escalier est fini : les monômes à l'extérieur de l'escalier fournissent un moyen d'effectuer facilement des calculs dans $R/I$ avec des algorithmes d'algèbre linéaire. Nous verrons que cette situation, dans le cadre affine, correspond au cas où la variété $V(I)$ est constituée d'un nombre fini de points.

Finalement, nous avons vu dans ce chapitre que pour effectuer le test à zéro effectivement, il nous suffit de disposer d'une base standard. Le calcul d'une telle base est naturellement le sujet du chapitre suivant.

## Notes

Une introduction très facile d'accès et beaucoup plus détaillée des notions développées dans ce chapitre et les quatre suivants est l'ouvrage de Cox, Little et O'Shea [CLO96]. Le livre de Becker et Weispfenning est également très complet d'un point de vue théorique [BW93], et celui d'Eisenbud [Eis95] aborde en détail les aspects algébriques. On peut aussi consulter le livre de Joux couvrant des aspects algorithmes plus récents, ainsi que des applications à la cryptographie [Jou09]. Le résultat mentionné à la fin de l'Exemple 23.10 est dû à Robbiano [Rob85].

La notion de base standard a été introduite par Hironaka pour calculer des générateurs de l'ensemble des termes initiaux des fonctions analytiques au voisinage d'un point [Hir64]. Dans cet ouvrage, nous parlons de base standard pour suggérer cette forme de généralisation. Cependant nous resterons dans le cadre polynomial, ou la terminologie la plus courante est celle des bases de Gröbner.

La terminologie « récriture » utilisée dans ce chapitre et les suivants pour parler des étapes élémentaires des divisions provient de ce qu'on appelle couramment la
théorie de la réécriture, développée par Knuth et Bendix à la fin des années soixante dans un contexte informatique lié à la théorie des langages [KB70].

Les définitions adoptées dans cet ouvrage pour les variétés affines et projectives sont restrictives car elles forcent ces variétés à appartenir à un espace affine ou projectif. Néanmoins, elles couvrent bien la plupart des besoins rencontrés en calcul formel. D'une façon informelle, la terminologie habituelle de variété algébrique désigne une structure topologique qui s'exprime localement comme une variété affine. Dans ce sens, nos variétés affines et projectives sont des cas particuliers importants de variétés algébriques.

Bibliographie

<table>
  <tr>
    <td>BW93</td>
    <td>BECKER, Thomas et Volker WEISPFENNING (1993). Gröbner bases. A computational approach to commutative algebra. Vol. 141. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>CLO96</td>
    <td>Cox, David, John LITTLE et Donal O'SHEA (1996). Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. 2e éd. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Eis95</td>
    <td>EISENBUD, David (1995). Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Vol. 150. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Hir64</td>
    <td>HIRONAKA, Heisuke (1964). « Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II ». In : Annals of Mathematics. Second Series, vol. 79, p. 205-326.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Jou09</td>
    <td>JOUX, Antoine (2009). Algorithmic cryptanalysis. Chapman & Hall/CRC Cryptography and Network Security Series. Chapman et Hall/CRC.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>KB70</td>
    <td>KNUTH, Donald E. et Peter B. BENDIX (1970). « Computational problems in abstract algebra ». In : éd. par John LEECH. Pergamon Press. Chap. Simple word problems in universal algebras, p. 263-297.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Rob85</td>
    <td>ROBBIANO, Lorenzo (1985). « Term orderings on the polynomial ring ». In : EUROCAL '85. European Conference on Computer Algebra. Linz, Austria, April 1-3, 1985. Proceedings. Volume 2 : Research Contributions. Éd. par Bob F. CAVINESS. Vol. 204. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. 513-517.</td>
  </tr>
</table>
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# 24. Construction de bases standard

## Résumé

Construire une base standard d'un idéal revient à trouver des générateurs de l'idéal monomial de tête de cet idéal. L'étude des relations entre générateurs d'une présentation de l'idéal donne la manière de compléter la présentation de l'idéal monomial correspondant, et par relèvement de compléter le système de générateurs de l'idéal en une base standard.

## 24.1 Algorithmes naïf par algèbre linéaire

Dans le cadre homogène, un algorithme naïf pour la construction de bases standard ramène les calculs à de l'algèbre linéaire dans des espaces vectoriels de dimension finie, généralisant ainsi par exemple les calculs de résultant via la matrice de Sylvester. Soit $I = (f_1, \dots, f_s)$ un idéal homogène de $R = k[X_0, \dots, X_n]$, avec $f_i$ homogène de degré $d_i$, et pour tout $d$ soit $R_d$ l'ensemble des polynômes homogènes de degré $d$ dans $R$, qui est un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Pour $u \in \mathbb{N}$, l'application

$$ \phi_u : \begin{cases} R_{u-d_1} \times \cdots \times R_{u-d_s} & \rightarrow R_u \\ (g_1, \dots, g_s) & \mapsto \sum_i g_i f_i \end{cases} $$

a pour image l'espace vectoriel $I_u$ défini en Proposition 23.3. Pour un ordre admis- sible $<$ donné et pour un degré $v$, soit $B_v$ la base de $R_v$ formée des monômes homogènes de degré $v$ ordonnés par $<$, de sorte que $R_v$ s'identifie à un espace vectoriel de vecteurs colonnes. Les colonnes de la matrice de $\phi_u$ dans ces bases engendrent alors $I_u$ comme $k$-espace vectoriel. Cette matrice s'appelle la *matrice de Macaulay*. Par opérations élé- mentaires sur ses colonnes, on peut la mettre sous forme échelonnée (voir Chapitre 8). Les colonnes de la nouvelle matrice engendrent bien sûr encore $I_u$, et les premiers
coefficients non nuls des colonnes donnent les monômes de tête des polynômes de $I_u$. On en déduit le résultat de complexité suivant.

**Proposition 24.1** Étant donnés $f_1, \dots, f_s$ des polynômes homogènes appartenant à $k[X_0, \dots, X_n]$ et un entier $D$, on peut calculer les éléments de degré au plus $D$ d'une base standard de $I = (f_1, \dots, f_s)$ en

$$O\left(sD\binom{n+D}{D}^{\theta}\right)$$

opérations arithmétiques dans $k$, où $\theta$ est un exposant réalisable pour la multipli-cation de matrices.

*Démonstration.* La construction des matrices de Macaulay pour les degrés $u$ de $1$ à $D$ n'utilise pas d'opération arithmétique. La dimension de $R_u$ est égale au nombre de monômes homogènes de degré $u$ en $n+1$ variables, c'est-à-dire $\binom{n+u}{u}$. En degré $u$, la matrice de Macaulay a donc dimensions

$$\left(\binom{n+u-d_1}{u-d_1} + \dots + \binom{n+u-d_s}{u-d_s}\right) \times \binom{n+u}{u}$$

La suite $\binom{n+u}{u}$ est croissante avec $u$, de sorte que le nombre de lignes est borné par $s(\binom{n+u}{u})$. Par les résultats du Chapitre 8, le calcul de la forme échelonnée peut être effectué en

$$O\left(s\binom{n+u}{u}\right)$$

opérations arithmétiques dans $k$. La somme de ces calculs pour $u = 0, \dots, D$ donne le résultat de complexité de la proposition. De ces formes échelonnées, on extrait ensuite la base standard, sans calcul supplémentaire. ■

En effectuant ce calcul pour $D$ assez grand, par noethérianité, la réunion des colonnes obtenues forme une base standard de l'idéal. Pour transformer cette idée en algorithme il faut disposer d'une borne supérieure du degré maximal $D$ à atteindre. Une telle borne existe mais est disproportionnée en général. Les chapitres suivants présentent néanmoins des familles de systèmes pour lesquels les bornes ainsi obtenues sont réalistes, et mènent à un calcul en bonne complexité.

## 24.2 Polynôme de syzygie

Nous revenons au cas général inhomogène. L'algorithme de la section précédente ne considère que la structure d'espace vectoriel de $I$, mais n'exploite pas sa stabilité par produit. Du point de vue des R-modules, le noyau de la même application $\phi_u$ pour $u$ assez grand est par définition le module des relations entre $f_1, \dots, f_s$, ou (premier) module de syzygies. On peut le construire par algèbre linéaire sur $k$ en degré donné.

Il se trouve que le module des relations entre les éléments d'une base standard se construit facilement; en retour ceci conduit à un algorithme de construction d'une base standard à partir d'un système donné de générateurs.
**Définition 24.1** Soit $(f_1, \dots, f_s)$ une famille de polynômes non nuls. Pour $i$ différent de $j$, le polynôme de syzygie, ou S-polynôme, est le polynôme

$$S(f_i, f_j) = \frac{\operatorname{tt}(f_j)f_i - \operatorname{tt}(f_i)f_j}{\operatorname{pgcd}(\operatorname{mt}(f_i), \operatorname{mt}(f_j))} \quad (24.1)$$

Sous l'hypothèse additionnelle que les $f_i$ constituent une base standard, en divisant, faiblement ou fortement, $S(f_i, f_j)$ par $(f_1, \dots, f_s)$, on obtient un reste nul et donc une relation entre les polynômes de la base standard ; nous conviendrons d'appeler une telle relation une relation bilatérale évidente. Elle est de la forme $S(f_i, f_j) = q_1 f_1 + \dots + q_s f_s$, avec pour chaque $\ell$ entre 1 et $s$, $\operatorname{mt}(q_\ell f_\ell) < \operatorname{mt}(\operatorname{mt}(f_j)f_i) = \operatorname{mt}(\operatorname{mt}(f_i)f_j)$.

**Exemple 24.1** La base standard $g_1 = 2XY - XZ$, $g_2 = X^2$, $g_3 = X^2Z$ pour l'ordre 1 ex induit par $Z < Y < X$ donne les relations bilatérales évidentes : $Xg_1 - 2Yg_2 = -g_3$, $XZg_1 - 2Yg_3 = -Zg_3$, $Zg_2 - g_3 = 0$.

Une première remarque est que le choix de normalisation du coefficient dominant du polynôme (24.1) n'a pas d'incidence sur la théorie, vu que seul les espaces vectoriels engendrés comptent. Par ailleurs, une définition équivalente des polynômes de syzygie est

$$S(f_i, f_j) = c_j \frac{\text{ppcm}(\text{mt}(f_i), \text{mt}(f_j))}{\text{mt}(f_i)} f_i - c_i \frac{\text{ppcm}(\text{mt}(f_i), \text{mt}(f_j))}{\text{mt}(f_j)} f_j,$$

après avoir posé $\operatorname{tt}(f_i) = c_i \operatorname{mt}(f_i)$ et $\operatorname{tt}(f_j) = c_j \operatorname{mt}(f_j)$. Cette formulation est le calcul effectué en pratique. L'ensemble des relations bilatérales évidentes n'est pas aussi particulier qu'on pourrait le penser, en raison du théorème suivant.

**Théorème 24.2** Les relations bilatérales évidentes engendrent le module des relations entre les éléments d'une base standard.

*Démonstration.* Si $\sum_{i=1}^s g_i f_i = 0$ est une relation entre les générateurs, soient $m_i = \operatorname{mt}(g_i f_i)$, $m$ le maximum des $m_i$ pour $<$ et $T$ l'ensemble des indices $i$ tels que $m_i$ soit égal à $m$. L'ensemble $T$ ne peut pas être réduit à un seul élément. Soient $r$ et $t$ deux éléments distincts de $T$ ; $m$ est un multiple commun de $\operatorname{mt}(f_r)$ et $\operatorname{mt}(f_t)$, donc du ppcm de ces deux monômes, et à l'aide d'un multiple de la relation bilatérale évidente entre $f_r$ et $f_t$, on peut récrire la relation initiale en une nouvelle pour laquelle soit $T$ contient moins d'éléments, soit le monôme $m$ est plus petit. Il suffit alors de réappliquer le procédé aussi longtemps que possible pour conclure. ■

## 24.3 L'algorithme de construction de Buchberger

L'algorithme de Buchberger, s'inspirant de ce qui précède, construit une base standard de $I$ à partir d'un système donné $F$ de générateurs, en procédant par adjonctions successives de restes non nuls de divisions de polynômes de syzygies. Cette méthode
**Entrée** Un système de générateurs F de l'idéal I.

**Sortie** Une base standard G de l'idéal I.

1. Initialiser G avec F.

2. Répéter :

a. initialiser $G'$ avec G;

b. pour toute paire $p, q$ ($p \neq q$) de $G'$ faire :

i. diviser $S(p, q)$ par $G'$,

ii. si le reste $r$ obtenu est non nul alors remplacer $G$
par $G \cup \{r\}$;

jusqu'à $G = G'$.

Algorithme 24.1 – Calcul d'une base standard par l'algorithme de Buchberger.

est détaillée dans l'Algorithme 24.1, la division utilisée est, au choix, faible ou forte.
La correction de l'algorithme repose sur le résultat suivant.

**Théorème 24.3** Une famille de polynômes $\{g_1, \dots, g_r\}$ est une base standard de l'idéal qu'ils engendrent si, et seulement si, pour tout $1 \le i, j \le r$ le polynôme de syzygie $S(g_i, g_j)$ se réduit à zéro après division faible par $\{g_1, \dots, g_r\}$.

*Démonstration.* L'implication directe est conséquence de la Proposition 23.10 du chapitre précédent. La réciproque est de même nature que la preuve du théorème de Spear-Schreyer : soit $f = \sum_i f_i g_i$ un polynôme non nul de l'idéal, et montrons que son monôme de tête est dans l'idéal monomial engendré par $\mathrm{mt}(g_1), \dots, \mathrm{mt}(g_r)$. Pour cela, soient $m_i = \mathrm{mt}(g_i f_i)$, $m$ le maximum des $m_i$, T l'ensemble des indices $i$ tels que $m_i$ soit égal à $m$. Si $m \neq \mathrm{mt}(f)$, alors T a au moins deux éléments $r$ et $t$, et on utilise la réécriture donnée par $S(g_r, g_t)$ pour diminuer T jusqu'à ce que $m = \mathrm{mt}(f)$ comme suit. Notons $m_{r,t}$ le ppcm de $\mathrm{mt}(g_r)$ et $\mathrm{mt}(g_t)$, de sorte que

$$S(g_r, g_t) = \mathrm{ct}(g_t) \frac{m_{r,t}}{\mathrm{mt}(g_r)} g_r - \mathrm{ct}(g_r) \frac{m_{r,t}}{\mathrm{mt}(g_t)} g_t.$$

On obtient alors l'égalité suivante :

$$f_r g_r + f_t g_t - \frac{\mathrm{ct}(f_r)m}{\mathrm{ct}(g_t)m_{r,t}} S(g_r, g_t) = (f_r - \mathrm{tt}(f_r))g_r + \left( f_t + \frac{\mathrm{ct}(g_r)\mathrm{ct}(f_r)m}{\mathrm{ct}(g_t)\mathrm{mt}(g_t)} \right) g_t.$$

Comme $\frac{\mathrm{ct}(f_r)m}{\mathrm{ct}(g_t)m_{r,t}} S(g_r, g_t)$ est divisible par $g_1, \dots, g_r$ et ne contient que des monômes strictement inférieurs à $m$, alors on obtient une nouvelle écriture de la forme $f = \sum_i f_i g_i$ avec un ensemble T strictement plus petit.

En itérant le procédé, on finit bien par trouver une écriture telle que $\mathrm{mt}(f)$ soit multiple d'un $\mathrm{mt}(g_i)$. Les $\mathrm{mt}(g_i)$ engendrent donc l'escalier de l'idéal. Par la Définition 23.22 du chapitre précédent, $\{g_1, \dots, g_r\}$ est une base standard. ■
**Corollaire 24.4** *L'algorithme de Buchberger termine et est correct.*

*Démonstration.* Pour la terminaison, il suffit de considérer l'idéal monomial mt(G) engendré par mt(g₁),...,mt(g_s). À chaque tour de la boucle l'idéal croît au sens large. Il est constant à partir d'un certain rang par noethrianité. Or, si mt(G) stagne, G stagne. En effet un reste r non nul agrandirait l'idéal monomial. Autrement son monôme de tête serait réductible et la division continuerait après r.

La correction de l'algorithme de Buchberger est un corollaire du théorème précédent : si l'algorithme s'arrête, c'est que tous les polynômes de syzygies se réduisent à zéro. ■

**Exercice 24.1 — Critères de Buchberger.** Les deux critères suivants permettent de déterminer sans calcul que certains S-polynômes se réduisent à zéro, ce qui permet d'accélérer l'algorithme de Buchberger. Soient $R = k[X_1, ..., X_n]$ et $<$ un ordre monomial sur R. Montrer les deux critères suivants :

1. **Premier critère.** Soient $f, g \in R$ tels que leurs monômes de tête n'aient aucune variable en commun. Alors le reste de la division, faible ou forte, de $S(f, g)$ par la famille $\{f, g\}$ est nul.

2. **Second critère.** Soient $F \subset R$ une famille finie de R, $p, f, g, \in R$ des polynômes tels que :

a. $\mathrm{mt}(p) | \mathrm{ppcm}(\mathrm{mt}(f), \mathrm{mt}(g));$

b. les restes de la division forte de $S(f, p)$ et $S(g, p)$ par F sont nuls.

Alors le reste de la division forte de $S(f,g)$ par F est nul.

**24.4 Exemple de calcul**

Nous détaillons ici le calcul de la base standard de l'idéal $(X + Y - Z, X^2 - 2T^2, Y^2 - 5T^2)$ pour l'ordre lexicographique induit par $T < Z < Y < X$. Nous présentons tous les polynômes du calcul par monômes décroissants, en soulignant le monôme de tête. Dans ce qui suit, nous ajoutons une règle de récriture dont le lecteur se convaincra qu'elle ne change rien à la théorie, en se permettant de remplacer un polynôme par tout multiple non nul par un entier, la fonction de cette récriture étant d'éviter l'apparition de dénominateurs. Nous utiliserons le symbole $\sim$ pour une telle récriture vide.

Le point de départ est la famille :

$$p_1 := \underline{X} + Y - Z, \quad p_2 := \underline{X}^2 - 2T^2, \quad p_3 := \underline{Y}^2 - 5T^2.$$

Par le premier critère de Buchberger, $S(p_1, p_3)$ et $S(p_2, p_3)$ vont se réduire à zéro. Il suffit donc de réduire

$$ \begin{align*} S(p_1, p_2) &= Xp_1 - p_2 = \underline{XY} - XZ + 2T^2 \\ &\rightarrow p_1 - \underline{XZ} - Y^2 + YZ + 2T^2 \rightarrow p_1 - \underline{Y^2} + 2YZ - Z^2 + 2T^2 \rightarrow p_3 - 2\underline{YZ} - Z^2 - 3T^2, \end{align*} $$
ce qui introduit un nouveau polynôme dans la base standard en construction :

$$p_4 := 2\underline{YZ} - Z^2 - 3T^2.$$

Comme précédemment, les polynômes de syzygies $S(p_1, p_4)$ et $S(p_2, p_4)$ vont se réduire à zéro, si bien que nous ne considérons que la réduction suivante, qui mène à un nouveau polynôme $p_5$ :

$$S(p_3, p_4) = 2Zp_3 - Yp_4 = \underline{YZ}^2 + 3YT^2 - 10ZT^2 \\ \sim 2\underline{YZ}^2 + 6YT^2 - 20ZT^2 \rightarrow_{p_4} 6YT^2 - 17ZT^2 + Z^3 =: p_5.$$

Ne subsistent ensuite que deux réductions intéressantes, celles de $S(p_3, p_5)$ et $S(p_4, p_5)$ :

$$S(p_3, p_5) = 6T^2p_3 - Yp_5 = -\underline{YZ}^3 + 17YZT^2 - 30T^4 \sim -2\underline{YZ}^3 + 34YZT^2 - 60T^4 \\ \rightarrow_{p_4} 34\underline{YZT}^2 - Z^4 - 3Z^2T^2 + 60T^4 \rightarrow_{p_4} -\underline{Z}^4 + 14Z^2T^2 - 9T^4 := p_6, \\ S(p_4, p_5) = 3T^2p_4 - Zp_5 = -\underline{Z}^4 + 14Z^2T^2 - 9T^4 \rightarrow_{p_6} 0,$$

après lesquelles $p_6$ ne produit que des polynômes de syzygie qui se réduisent à 0.

Ainsi, $G_1 = \{p_1, \dots, p_6\}$ est une base standard de l'idéal considéré. Cette base n'est pas minimale, puisque le monôme de tête de $p_2$ est divisible par celui de $p_1$, mais $G_2 = \{p_1, p_3, \dots, p_6\}$ l'est : en effet, les deux systèmes engendrent le même idéal et comme nous n'avons jamais utilisé $p_2$ dans les divisions ci-dessus, les polynômes de syzygie de $G_2$ se réduisent tous à 0 par $G_2$, qui est donc aussi une base standard.

**Exercice 24.2** 1. Déduire des calculs précédents que $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ est algébrique sur le corps des rationnels $\mathbb{Q}$, en exhibant un polynôme à une variable à coefficients rationnels dont il est racine.

2. Quel est le résultant de $(Y-Z)^2 - 2$ et $Y^2 - 5$ par rapport à Y?

3. Déduire des calculs précédents que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{5}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$. Exprimer $\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$ en fonction de $\sqrt{2} + \sqrt{5}$.

■

## 24.5 Propriétés des bases standard pour quelques ordres

Les ordres $1ex$ et $tdeg$ ont des propriétés distinctes, qui mènent à des usages différents.

### Ordre $1ex$ — Projection et implicitation

Nous rappelons que $1ex$ est l'ordre lexicographique induit par $X_n <_{1ex} X_{n-1} <_{1ex} \dots <_{1ex} X_1$.

**Proposition 24.5** Soit $g \in k[X_1, \dots, X_n]$. Si $X_1$ ne divise pas le monôme de tête pour $1ex$ de $g$ alors $g \in k[X_2, \dots, X_n]$.

*Démonstration.* Le monôme de tête est l'un des monômes qui contient le plus de $X_1$. Si un monôme de $g$ contient du $X_1$ alors son monôme de tête en contient. ■
**Théorème 24.6** Soit $g_1, \dots, g_u, g_{u+1}, \dots, g_s$ une base standard d'un idéal I pour l'ex. Supposons que $X_1$ divise les monômes de tête de $g_1, \dots, g_u$ uniquement. Alors la famille $g_{u+1}, \dots, g_s$ engendre $I \cap k[X_2, \dots, X_n]$ et en forme une base standard.

*Démonstration.* D'après la proposition précédente, $g_{u+1}, \dots, g_s \in k[X_2, \dots, X_n]$ donc $(g_{u+1}, \dots, g_s) \subseteq I \cap k[X_2, \dots, X_n]$. Soit $f \in I \cap k[X_2, \dots, X_n]$. Le terme monôme tête $\mathrm{mt}(f)$ est dans l'escalier engendré par $\mathrm{mt}(g_1), \dots, \mathrm{mt}(g_s)$ donc c'est un multiple d'un $\mathrm{mt}(g_i)$ pour un certain $i \in \{1, \dots, s\}$. On a nécessairement $i \notin \{1, \dots, u\}$ car $X_1$ ne divise pas $\mathrm{mt}(f)$. Nous venons de montrer que $g_{u+1}, \dots, g_s$ est une base standard de $I \cap k[X_2, \dots, X_n]$ et donc que cette famille l'engendre. ■

Le pendant géométrique de l'élimination de $X_1$ dans l'idéal I est une projection selon $X_1$ sur les autres coordonnées. Nous prouverons ce résultat dans le chapitre suivant qui donnera plus d'outils pour faire le lien entre l'algèbre et la géométrie.

Par l'une ou l'autre des interprétations, on observe qu'un polynôme de I qui ne fait pas intervenir $X_1$ fournit une équation vérifiée par les coordonnées $(x_2, \dots, x_n)$ d'un zéro $x$ des polynômes de I quelle que soit la valeur de sa coordonnée $x_1$. L'élimination est donc bien l'outil pour répondre au problème d'implicitation donné en motivation au début du chapitre précédent.

**Exercice 24.3** Soient $I = (f_1, \dots, f_s)$ et $J = (g_1, \dots, g_r)$ deux idéaux de $k[X_1, \dots, X_n]$. Soit $T$ une nouvelle variable et soit

$$K := (T f_1, \dots, T f_s, (1-T)g_1, \dots, (1-T)g_r)$$

vu comme un idéal de $k[T, X_1, \dots, X_n]$.

1. Montrer que $I \cap J = K \cap k[X_1, \dots, X_n]$.

2. En déduire un algorithme pour calculer un ensemble de polynômes générateurs de l'intersection $I \cap J$.

**Exercice 24.4** Montrer que le Théorème 24.6 se généralise au cas des ordres d'élimination introduits à l'Exemple 23.9 : les polynômes d'une base standard de I pour le $i^{\mathrm{e}}$ ordre d'élimination qui ne font pas intervenir les variables $X_1, \dots, X_i$ forment une base standard de $I \cap k[X_{i+1}, \dots, X_n]$.

## Ordre tdeg en homogène — Section par un hyperplan

Nous rappelons que l'ordre tdeg en les variables $X_0, \dots, X_n$ consiste à ordonner les monômes par degré total, puis les plus grands sont ceux qui ont le moins de $X_n$, puis le moins de $X_{n-1}$ et ainsi de suite (Définition 23.17).

**Proposition 24.7** Soit $g$ un polynôme homogène de $k[X_0, \dots, X_n]$. Si $X_n$ divise le monôme de tête de $g$ pour tdeg, alors $X_n$ divise $g$.

*Démonstration.* Comme $g$ est homogène, son monôme de tête est l'un des monômes contenant le moins de $X_n$. S'il y a du $X_n$ dans le monôme de tête de $g$, il y en a dans tous les autres monômes et ainsi $X_n$ divise $g$. ■
**Théorème 24.8** Soit $g_1, \dots, g_u, g_{u+1}, \dots, g_s$ une base standard homogène d'un idéal I pour t deg ordonnée telle que $X_n$ divise uniquement les monômes de tête de $g_{u+1}, \dots, g_s$. Alors la famille $g_1, \dots, g_u, X_n$ engendre $I + (X_n)$ et en forme une base standard.

*Démonstration.* D'après la proposition précédente, $X_n$ divise $g_{u+1}, \dots, g_s$. On en déduit facilement que $(g_1, \dots, g_u, X_n) = I + (X_n)$. Soit $f \in I + (X_n)$. Montrons que son monôme de tête $\mathrm{mt}(f)$ est un multiple de l'un des monômes de tête $\mathrm{mt}(g_1), \dots, \mathrm{mt}(g_u)$, ou de $X_n$. Si $X_n$ divise le monôme de tête $\mathrm{mt}(f)$ de $f$ alors c'est bien le cas. Sinon, soit $h \in (X_n)$ tel que $f-h \in I$. On vérifie que $\mathrm{mt}(f) = \mathrm{mt}(f-h)$ et donc $\mathrm{mt}(f)$ est multiple de l'un des $\mathrm{mt}(g_i)$ pour $i \in \{1, \dots, s\}$. Cependant, $i \notin \{u+1, \dots, s\}$, car $X_n$ ne divise pas $\mathrm{mt}(f)$. Nous venons de montrer que $(g_1, \dots, g_u, X_n)$ est une base standard de l'idéal $I + (X_n)$. ■

L'ajout de l'équation $X_n$ à l'idéal I correspond donc à l'opération d'intersection de $V(I)$ avec l'hyperplan $X_n$.

## Notes

L'Algorithmme 24.1 remonte à la thèse de Buchberger en 1965 [Buc65] qui l'a ex-
primé dans le cas affine, en appelant le résultat *base de Gröbner* (du nom de son
directeur de thèse). Des preuves détaillées de l'algorithme de Buchberger et du Théo-
rème 24.2 se trouvent dans de livre de Cox, Little et O'Shea [CLO96, Section 2.6,
Theorem 6; Section 2.7].

L'étude des propriétés du module des syzygies d'un idéal a été réalisée indépendamment par Spear [Spe78] et Schreyer [Sch80a], et a mené au Théorème 24.2, ainsi qu'à un algorithme de calcul d'un système de générateurs de ce module. Ces résultats trouvent néanmoins leurs racines dans les travaux de Janet [Jan20]. Cette approche algorithmique a pu être ensuite prolongée par Möller et Mora [MM86]. Pour davantage de détails nous renvoyons le lecteur à l'ouvrage de Mora [Mor05, Chapter 23.8].

L'ordre monomial utilisé a une influence capitale sur le coût des calculs en pratique. En général les ordres d'élimination et en particulier l'ordre lexicographique sont les plus coûteux. Il est alors intéressant de calculer une base pour un ordre moins coûteux, puis d'utiliser un algorithme de changement d'ordre. De premiers éléments de comparaison ont été donnés par Lazard [Laz83]. Pour les systèmes admettant un nombre fini de solutions, le changement d'ordre est une question « d'algèbre linéaire », et un algorithme efficace a été proposé par Faugère, Gianni, Lazard et Mora [Fau+93]. Pour la dimension positive, la technique désormais classique des « marches de Gröbner » (Gröbner walk, en anglais) est due à Collart, Kalkbrenner et Mall [CKM97].

Le choix des paires de polynômes $p, q$ de l'Algorithmme 24.1, souvent appelées paires critiques, pour former de nouveaux éléments de la base, est crucial car de nombreuses paires se réduisent en général à zéro. Les critères de Buchberger peuvent être complétés et nous renvoyons à l'ouvrage de Becker et Weispfenning [BW93] pour davantage de précisions. Une stratégie pratique est d'essayer de faire comme si la situation était homogène [Gio+91]. Lorsque le corps de base est celui des nombres rationnels, il est aussi possible de faire les calculs modulo un nombre premier de la
taille d'un mot machine et de conserver la trace du calcul pour prévoir quelles sont les paires critiques qui se réduisent à zéro [Tra89]. Enfin l'algorithme F5 de Faugère permet d'éliminer les réductions à zéro inutiles lorsque la suite de polynômes en entrée est régulière [Fau02].

D'un point de vue pratique les structures de données utilisées pour représenter les polynômes à plusieurs variables jouent un rôle important. Mais depuis l'algorithme F4, proposé par Faugère en 2004, les meilleurs implémentations construisent plutôt des matrices de Macaulay partielles et font appel à des techniques d'algèbre linéaire creuse [Fau99] plutôt que de calculer directement sur les polynômes.

Les questions de complexité du calcul de bases standard sont abordées au Chapitre 26.

## Bibliographie

Buc65 BUCHBERGER, Bruno (1965). « Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomiadeal ». Thèse de doctorat. Mathematical Institute, University of Innsbruck, Austria.

BW93 BECKER, Thomas et Volker WEISPFENNING (1993). *Gröbner bases. A computational approach to commutative algebra*. Vol. 141. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York.

CKM97 COLLART, S., M. KALKBRENER et D. MALL (1997). « Converting bases with the Gröbner walk ». In: *Journal of Symbolic Computation*, vol. 24, n°3-4, p. 465-469.

CLO96 Cox, David, John LITTLE et Donal O'SHEA (1996). *Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra*. 2e éd. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.

Fau+93 FAUGÈRE, J. C., P. GIANNI, D. LAZARD et T. MORA (1993). « Efficient computation of zero-dimensional Gröbner bases by change of ordering ». In: *Journal of Symbolic Computation*, vol. 16, n°4, p. 329-344.

Fau02 FAUGÈRE, Jean-Charles (2002). « A new efficient algorithm for computing Gröbner bases without reduction to zero (F5) ». In: *Proceedings of the 2002 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*. ISSAC'02. New York, NY, USA: ACM, p. 75-83.

Fau99 — (1999). « A new efficient algorithm for computing Gröbner bases (F4) ». In: *Journal of Pure and Applied Algebra*, vol. 139, n°1-3, p. 61-88.

Gio+91 GIOVINI, Alessandro, Teo MORA, Gianfranco NIESI, Lorenzo ROBBIANO et Carlo TRAVERSO (1991). « "One sugar cube, please" or selection strategies in the Buchberger algorithm ». In: *Proceedings of the 1991 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*. ISSAC'91. New York, NY, USA: ACM, p. 49-54.

Jan20 JANET, Maurice (1920). « Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles ». In: *Journal de Mathématiques Pures et Appliquées*, vol. 3, p. 65-151.
Laz83 LAZARD, D. (1983). « Gröbner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations ». In : *Computer Algebra : EUROCAL'83, European Computer Algebra Conference London, England, March 28-30, 1983 Proceedings*. Éd. par J. A. HULZEN. Springer Berlin Heidelberg, p. 146-156.

MM86 MÖLLER, H. Michael et Ferdinando MORA (1986). « New constructive methods in classical ideal theory ». In : *Journal of Algebra*, vol. 100, n°1, p. 138-178.

Mor05 MORA, Teo (2005). *Solving polynomial equation systems II : Macaulay's paradigm and Gröbner technology*. Vol. 99. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press.

Sch80a SCHREYER, Frank-Olaf (1980). « Die Berechnung Syzygien mit dem verallgemeinerten Weierstrasschen Divisionsatz ». Diplomarbeit. Hamburg.

Spe78 SPEAR, D. (1978). « A constructive approach to commutative ring theory ». In : *Processing of the 1977 MACSYMA Users' Conference (NASA)*, p. 369-376.

Tra89 TRAVERSO, Carlo (1989). « Gröbner trace algorithms ». In : *Symbolic and Algebraic Computation : International Symposium ISSAC'88 Rome, Italy, July 4-8, 1988 Proceedings*. Éd. par P. GIANNI. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, p. 125-138.
# 25. Nullstellensatz et applications

## Résumé

Le Nullstellensatz (en allemand, « théorème du lieu des zéros ») est le théorème qui fait le lien entre les variétés algébriques et les idéaux. Il en découle que certaines opérations géométriques se traduisent aisément en algorithmes sur les équations. Ce théorème permet en particulier de caractériser les projections des variétés affines et projectives, et de définir une représentation confortable des variétés affines ayant un nombre fini de points.

## 25.1 Nullstellensatz affine

Le résultat de cette section est un lien explicite entre l'algèbre et la géométrie, à l'aide d'une nouvelle notion : le radical d'un idéal. On continue de noter $\mathbb{R}$ l'anneau de polynômes $k[X_1, \dots, X_n]$.

**Définition 25.1** Soit $I$ un idéal de $\mathbb{R}$. Le *radical* de $I$, noté $\sqrt{I}$, est l'idéal $\{f \in \mathbb{R} \mid \exists e \in \mathbb{N}, f^e \in I\}$; il contient $I$. Un idéal $I$ est dit *radical* si $I = \sqrt{I}$.

**Théorème 25.1** — Nullstellensatz affine fort. Si $k$ est algébriquement clos, et si $I$ est un idéal de $\mathbb{R}$, alors tout polynôme $g \in \mathbb{R}$ qui s'annule identiquement sur $\mathbf{V}(I)$ appartient au radical $\sqrt{I}$ de $I$.

La preuve de ce théorème choisie ici repose sur l'utilisation de variables particulières.
## Changement des variables

**Proposition 25.2** Si $k$ est infini, alors pour tout $f \in R$ non nul, il existe des éléments $a_1, \dots, a_{n-1}$ dans $k$ tels que le changement de variables inversible

$$ egin{cases} X_1 & \leftarrow & X_1 + a_1 X_n \\ X_2 & \leftarrow & X_2 + a_2 X_n \\ \vdots & \leftarrow & \vdots \\ X_{n-1} & \leftarrow & X_{n-1} + a_{n-1} X_n \end{cases} \qquad (25.1) $$

transforme $f$ en le produit d'un polynôme unitaire en $X_n$ par une constante non nulle de $k$.

*Démonstration.* Soit $d$ le degré de $f$ et $f_d$ la partie de degré $d$ de $f$. Alors le coefficient de tête de $f(X_1 + a_1 X_n, X_2 + a_2 X_n, \dots, X_{n-1} + a_{n-1} X_{n-1}, X_n)$ vu comme polynôme en $X_n$ est $f_d(a_1, \dots, a_{n-1}, 1)$ que l'on peut prendre non nul par le lemme suivant. ■

**Lemme 25.3** Si $k$ est infini et si $f \in R$ est non nul, alors $k^n \setminus V(f)$ est non vide.

*Démonstration.* La preuve s'effectue par récurrence sur le nombre de variables. Si $n=1$ le lemme est vrai. Supposons qu'il soit vrai pour $n \ge 1$. En appliquant l'hypothèse de récurrence, il existe $(a_1, \dots, a_{n-1}) \in k^{n-1}$ qui n'annule pas le terme constant de $f$ vu comme polynôme en $X_n$ à coefficients dans $k[X_1, \dots, X_{n-1}]$. Ainsi $f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)$ est un polynôme non nul. Il a donc un nombre fini de racines. ■

## Nullstellensatz faible

**Théorème 25.4** — Nullstellensatz affine faible. Si $k$ est algébriquement clos, et si $I$ est un idéal de $R$ tel que $V(I) = \emptyset$, alors $I = R$.

**Exemple 25.1** Il est nécessaire de regarder les zéros sur un corps $k$ algébriquement clos. En effet soit $I = (X^2 + 1)$. Alors $V_R(I) = \emptyset$ mais $1 \notin I$. Ceci est cohérent avec le résultat précédent car la variété $V_C(I)$ se réduit aux points complexes $\pm i$.

*Démonstration.* Si $I$ est un idéal de $R$, par noetherianité (Corollaire 23.13), il existe un nombre fini de polynômes $f_1, \dots, f_s$ tels que $I = (f_1, \dots, f_s)$. Si $I \ne (1)$, c'est-à-dire que $I$ est un idéal propre de $R$ alors il s'agit de prouver que $V(I) \ne \emptyset$. La preuve se fait par récurrence sur la dimension $n$ de l'espace ambiant. Si $n=1$, alors comme $k[X_1]$ est principal, $I = (f)$ avec $f \ne 1$, et $f$ a une racine, car $k$ est algébriquement clos.

Supposons le résultat vérifié en dimension $n-1$. Quitte à faire le changement de coordonnées de la Proposition 25.2, on peut supposer $f_1$ unitaire en $X_n$ (un corps algébriquement clos est nécessairement infini). On pose $J = I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}]$. Comme
J ne contient pas 1, il est propre. Par récurrence, il existe donc $(a_1, \dots, a_{n-1}) \in V(J)$. On considère ensuite l'idéal

$$H := \{f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n) \mid f \in I\}$$

de $k[X_n]$. Si cet idéal est propre, alors il y a un zéro dans $V(H)$ et donc un zéro dans $V(I)$. Il ne reste donc plus qu'à montrer que pour tout $f$ non nul de $I$, $f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)$ n'est pas constant. Pour $f \in I$, soit $g := \text{Res}_{X_n}(f_1, f)$. Par la Proposition 6.7, $g$ appartient à $I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}]$ et donc $g(a_1, \dots, a_{n-1}) = 0$. La Proposition 6.8 s'applique parce que $f_1$ est unitaire, et entraîne que

$$g(a_1, \dots, a_{n-1}) = \text{Res}_{X_n}(f_1(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n), f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)),$$

ce qui implique que $f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)$ n'est pas constant.

## Astuce de Rabinowitsch

**Proposition 25.5** Supposons $k$ algébriquement clos, et soient $I = (f_1, \dots, f_s)$ un idéal de $R$ et $g$ un polynôme qui s'annule identiquement sur $V(I)$. Alors la variété de l'idéal $I' := I + (Yg - 1)$ de $k[X_1, \dots, X_n, Y]$ est vide.

*Démonstration.* D'une part, $I \subset I'$ implique $V(I') \subset V(I)$ dans $\mathbb{A}^{n+1}$. Mais d'autre part, puisque $yg(x_1, \dots, x_n) - 1 = 0$ implique $g(x_1, \dots, x_n) \neq 0$, on a alors $V(I') \subset \mathbb{A}^{n+1} \setminus V(g) \subset \mathbb{A}^{n+1} \setminus V(I)$.

## Exercice 25.1 — Test d'appartenance au radical.

1. Montrer que $g$ appartient au radical de $I$ si, et seulement si, 1 appartient à $I'$.

2. En déduire un algorithme pour tester l'appartenance de $g$ au radical de $I$.

## Nullstellensatz fort

Tous les éléments sont maintenant réunis pour conclure la preuve du Nullstellensatz affine fort.

*Preuve du Théorème 25.1.* Avec les notations de la Proposition 25.5, $V(I') = \emptyset$ pour $I' = I + (Yg - 1)$, si bien que $I'$ contient 1 par le Théorème 25.4. Il existe donc des polynômes $p_i$ et un polynôme $p$ dans $k[X_1, \dots, X_n, Y]$ tels que

$$1 = \sum_{i=1}^{s} p_i(X_1, \dots, X_n, Y) f_i(X_1, \dots, X_n) + p(X_1, \dots, X_n, Y) (Yg(X_1, \dots, X_n) - 1).$$

La substitution de $1/g(X_1, \dots, X_n)$ à $Y$ dans cette égalité donne

$$1 = \sum_{i=1}^{s} p_i(X_1, \dots, X_n, 1/g(X_1, \dots, X_n)) f_i(X_1, \dots, X_n).$$
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 25.1 – Liens entre algèbre et géométrie.</figcaption></figure>

Multiplier les deux membres par $g^e$ avec $e = \max_{1 \le i \le s} (\deg_Y p_i)$ mène à

$$g(X_1, \dots, X_n)^e = \sum_{i=1}^{s} g(X_1, \dots, X_n)^e p_i(X_1, \dots, X_n, 1/g(X_1, \dots, X_n)) f_i(X_1, \dots, X_n)$$

avec $g(X_1, \dots, X_n)^e p_i(X_1, \dots, X_n, 1/g(X_1, \dots, X_n)) \in k[X_1, \dots, X_n]$. Ceci prouve que $g^e$ est dans $I$. ■

**Corollaire 25.6** Supposons $k$ algébriquement clos, et soit $I$ un idéal, alors on a
$$I(V(I)) = \sqrt{I}.$$

*Démonstration.* Le Nullstellensatz affine fort donne $I(V(I)) \subseteq \sqrt{I}$. L'inclusion inverse est immédiate. ■

Un résumé des théorèmes précédents est donné par la Figure 25.1. Une conséquence importante de ces résultats est que pour prouver un théorème de géométrie, comme le théorème d'Apollonius présenté dans l'Exemple 23.1 au début de cette partie, il faut tester que les polynômes représentant la conclusion de l'énoncé appartiennent au radical de l'idéal engendré par les polynômes construits à partir des hypothèses.

## 25.2 Idéaux de dimension zéro

Une première application du Nullstellensatz est un lien entre l'escalier et la variété affine de certains idéaux.

**Théorème 25.7** Soit $I$ un idéal propre de $R = k[X_1, \dots, X_n]$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i. le complémentaire de l'escalier $E(I)$ est fini pour tout ordre admissible;

ii. il existe un ordre admissible pour lequel le complémentaire de $E(I)$ est fini;

iii. $\dim_k R/I$ est finie;

iv. la variété affine $V_{\bar{k}}(I)$ contient un nombre fini de points (où $\bar{k}$ représente la clôture algébrique de $k$).

*Démonstration.* Il est clair que (i) implique (ii). Comme $R/I = \bigoplus_{a \in E(I)} kx^a$ (par le Théorème 23.14), la dimension $\dim_k R/I$ est le cardinal du complémentaire de l'escalier, et donc (ii) implique (iii).
Si (iii) est vrai alors notons $\delta = \dim_k \mathbb{R}/\mathbb{I} < \infty$. Pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, la famille $1, X_j, \dots, X_j^\delta$ est liée dans $\mathbb{R}/\mathbb{I}$. Donc il existe $P_j \in k[X_j]$ qui appartient à l'idéal I. Par conséquent on a $V_{\bar{k}}(I) \subset \bigcap_{j=1}^n V_{\bar{k}}(P_j)$, ce qui implique (iv).

Si (iv) est vrai, alors pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, la projection de $V_{\bar{k}}(I)$ sur l'axe porté par $X_j$ est finie. Il existe donc $P_j \in k[X_j]$ qui s'annule sur cette projection. Par le Nullstellensatz affine fort (Théorème 25.1), on déduit de $V_{\bar{k}}(I) \subseteq V_{\bar{k}}(P_j)$ l'existence de $r_j \in \mathbb{N}$ tel que $P_j^{r_j} \in I \cap k[X_j]$. Donc l'escalier touche chaque axe et son complémentaire est fini quel que soit l'ordre admissible considéré, ce qui implique (i). ■

**Définition 25.2** Les idéaux vérifiant la proposition précédente sont appelés les idéaux zéro-dimensionnels, ou de dimension 0.

## Polynômes caractéristique et minimal

Une conséquence du Théorème 25.7 est que certaines propriétés des idéaux de dimension 0 et de leurs variétés peuvent être calculées par des algorithmes d'algèbre linéaire. Un point de départ est fourni par l'énoncé suivant.

**Lemme 25.8** Soit I un idéal de $\mathbb{R}$ de dimension 0. À tout polynôme $f \in \mathbb{R}$ on peut associer un endomorphisme de l'espace vectoriel $B = \mathbb{R}/\mathbb{I}$, qui en multiplie les éléments par $f$ mod $\mathbb{I}$, et que l'on note $m_f$.

Soient $\chi_f(T)$ et $\mu_f(T)$ les polynômes caractéristique et minimal de $m_f$. Alors, $\mu_f(f)$ et $\chi_f(f)$ appartiennent à $\mathbb{I}$, et $\chi_f(T)$ et $\mu_f(T)$ s'annulent aux valeurs que prend $f$ sur $V_{\bar{k}}(\mathbb{I})$, et uniquement en ces valeurs. De plus, si l'idéal I est radical, alors $\mu_f(T)$ est la partie sans carré de $\chi_f(T)$.

*Démonstration.* L'idéal étant de dimension 0, il est différent de (1) et le monôme 1 appartient donc au quotient $B$. Son produit par $f$ est nul dans $B$ si, et seulement si, $f \in \mathbb{I}$, donc aussi si, et seulement si, $m_f$ est nul. Si $r$ est un polynôme de $k[T]$, alors $m_{r(f)} = r(m_f)$ se vérifie en prouvant que multiplication par un scalaire, addition et multiplication sur les matrices produisent les applications souhaitées. Donc le polynôme minimal de la multiplication par $f$ vérifie $\mu_f(m_f) = 0 = m_{\mu_f(f)}$, ce qui montre que $\mu_f(f)$ appartient à $\mathbb{I}$ et donc aussi son multiple $\chi_f(f)$. Ces deux polynômes s'annulent donc sur $V_{\bar{k}}(\mathbb{I})$ et donc $\mu_f$ et $\chi_f$ s'annulent sur les valeurs que prend $f$ sur $V_{\bar{k}}(\mathbb{I})$.

Réciproquement, si $\alpha$ est une racine du polynôme caractéristique $\chi_f$, alors c'est une valeur propre de $m_f$, ce qui signifie qu'il existe $v$ non nul dans $B$ tel que $(f - \alpha)v = 0$. Si $\alpha$ n'est pas une valeur de $f$ sur un élément de $V_{\bar{k}}(\mathbb{I})$, alors par le Nullstellensatz faible (Théorème 25.4), l'idéal engendré par $\mathbb{I}$ et le polynôme $f - \alpha$ contient $1$, ou autrement dit $f - \alpha$ admet un inverse $g$ modulo $\mathbb{I}$. En multipliant $(f - \alpha)v$ par $g$, on obtient $v = 0$, une contradiction.

Si l'idéal I est radical, l'appartenance de $\chi(f)$ à I entraîne celle de $\bar{\chi}(f)$, où $\bar{\chi}$ est la partie sans carré de $f$. Par minimalité, le polynôme minimal est donc égal à $\bar{\chi}$. ■
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 25.2 – Intersection d'un cercle et d'une ellipse.</figcaption></figure>

**Exemple 25.2 Les polynômes**

$$f_1 = X_1^2 + X_2^2 - 1 \quad \text{et} \quad f_2 = 36X_1^2 + 9X_2^2 - 24X_1 - 32$$

décrivent l'intersection d'un cercle et d'une ellipse, représentés en Figure 25.2. Une base standard de l'idéal $(f_1, f_2)$ dans $\mathbb{Q}[X_1, X_2]$ pour l'ordre t deg est fournie par les deux polynômes

$$g_1 = f_2 - 9f_1 = 27X_1^2 - 24X_1 - 23, \quad g_2 = 36f_1 - f_2 = 27X_2^2 + 24X_1 - 4.$$

Ceci fournit d'abord une base du quotient $B = \mathbb{Q}[X_1, X_2]/(f_1, f_2)$ via les monômes sous l'escalier, à savoir $(1, X_1, X_2, X_1X_2)$. Ensuite, les matrices de multiplication par $X_1$ et par $X_2$ dans cette base valent

$$\begin{pmatrix} 0 & \frac{23}{27} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{8}{9} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{23}{27} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{8}{9} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{4}{27} & -\frac{184}{243} \\ 0 & 0 & -\frac{8}{9} & -\frac{52}{81} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Leurs polynômes caractéristiques sont

$$\chi_{X_1}(T) = \frac{1}{729}(27T^2 - 24T - 23)^2, \quad \chi_{X_2}(T) = T^4 + \frac{40}{81}T^2 - \frac{560}{729}.$$

Le premier n'est pas minimal, puisque sa racine carrée $g_1$ est dans l'idéal. Les racines de ce polynôme, $(4 \pm \sqrt{85})/9$ sont les valeurs que prend le polynôme $X_1$ sur les points d'intersection (c'est-à-dire leurs abscisses sur la figure). Seule l'une de ces abscisses est visible sur la figure, les deux autres points d'intersection ayant une ordonnée qui n'est pas réelle. Le polynôme $\chi_{X_2}$ est quant à lui sans carré, donc aussi minimal. Ses quatre racines sont les valeurs des ordonnées des quatre points d'intersection dans $\mathbb{C}^2$. De plus, pour chacune de ces valeurs de $X_2$, on
peut retrouver l'abscisse correspondante grâce à une base standard pour l'ordre lexicographique induit par $X_1 > X_2$, formée de

$$ \chi_{X_2}(X_2), \quad 24X_1 + 27X_2^2 - 4. $$

## Paramétrisation par élément primitif

Des bases de l'espace vectoriel R/I commodes pour le calcul sont obtenues à partir d'éléments primitifs dans le sens suivant :

**Définition 25.3** Si I est un idéal zéro-dimensionnel de R, un élément $u$ de $B := R/I$ est dit *primitif* si ses puissances $1, u, \dots, u^{\dim B-1}$ forment une base de $B$.

**Exemple 25.3** Dans l'exemple précédent, $X_2$ est un élément primitif de $B$, mais $X_1$ n'en est pas un.

**Exemple 25.4** Avec $n = 2$, considérons l'idéal $I = (X_1, X_2)^2$, et soit $u$ un élément de $k[X_1, X_2]$. En écrivant $u$ sous la forme $u_0 + u_1(X_1, X_2)X_1 + u_2(X_1, X_2)X_2$ avec $u_0 \in k$, on observe que $(u - u_0)^2$ appartient à I. L'espace engendré par les puissances de $u$ est donc de dimension 2. Comme $B = k[X_1, X_2]/I$ est de dimension 3, il s'ensuit que I n'admet pas d'élément primitif. Nous allons voir que les idéaux radicaux admettent des éléments primitifs. Il ne s'agit néanmoins pas d'une condition nécessaire car $X_1$ est primitif pour $I = (X_1^2) \subset k[X_1]$.

**Proposition 25.9** Si I est un idéal zéro-dimensionnel de R qui admet un élément primitif $u$, alors il existe d'uniques polynômes $v_1, \dots, v_n$ de $k[T]$ de degrés inférieurs stricts à $\delta = \dim B$ tels que

$$ I = (\mu_u(u), X_1 - v_1(u), \dots, X_n - v_n(u)). $$

*Démonstration.* Puisque $u$ est primitif, les polynômes $1, u, \dots, u^{\delta-1}$ sont linéairement indépendants sur $k$ modulo $I$. Par conséquent le degré de $\mu_u$ est $\delta$. Par ailleurs, pour $i \in \{1, \dots, n\}$, les $\delta+1$ polynômes $X_i, 1, u, \dots, u^{\delta-1}$ sont linéairement dépendants sur $k$ dans $B$ alors que $1, u, \dots, u^{\delta-1}$ ne le sont pas, et donc chaque variable $X_i$ s'exprime de façon unique comme une $k$-combinaison linéaire de $1, u, \dots, u^{\delta-1}$. ■

**Définition 25.4** — **Paramétrisation par élément primitif.** L'élément primitif $u$, son polynôme minimal $\mu_u$, et les polynômes $v_1, \dots, v_n$ de la proposition précédente sont appelés une *paramétrisation par élément primitif* de $I$.

Cette terminologie provient du fait que chaque racine $\alpha$ de $\mu_u$ dans $\bar{k}$ donne la valeur que prend l'élément primitif sur un point de $V_{\bar{k}}(I)$, les coordonnées de ce point étant alors $(v_1(\alpha), \dots, v_n(\alpha))$, et tous les points sont obtenus ainsi.
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 25.3 – Représentation par élément primitif de l’intersection d’une ellipse et d’un cercle (Exemple 25.5).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

Le cas favorable de l'Exemple 25.2 se généralise comme suit. Si I est un idéal
radical zéro-dimensionnel de R et si $X_n$ en est un élément primitif, alors une
base standard de I pour l'ordre 1 ex est de la forme

$$
I = (\mu_{X_n}(X_n), X_1 - v_1(X_n), \dots, X_{n-1} - v_{n-1}(X_n))
$$

où $v_1(X_n), \dots, v_{n-1}(X_n)$ sont des polynômes de $k[X_n]$. En effet, le polynôme
$\mu_{X_n}(X_n)$ appartient à I d'après le Lemme 25.8 et donc à une base standard
pour l'ordre 1 ex. Le complémentaire de l'escalier E(I) est donc donné par les
$\delta = \dim B$ monômes $1, X_n, \dots, X_n^{\delta-1}$ et tout autre monôme $X_i$ ($1 \le i < n$) se réduit
à une combinaison linéaire de ces monômes.

Interprétation géométrique de la paramétrisation par élément primitif

Soit $u, \mu_u(T), v_1(T), \dots, v_n(T)$ une paramétrisation par élément primitif d'un idéal zéro-dimensionnel $I$ de $R$, avec $u$ donné sous la forme $u = \lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n$ pour des $\lambda_i$ dans $k$ et

$$
I = (\mu_u(u), X_1 - v_1(u), \dots, X_n - v_n(u)).
$$

Une interprétation géométrique commode est obtenue en ajoutant une nouvelle
variable U, et en considérant l'idéal $\tilde{I} = I + (U - u)$ de $k[U, X_1, \dots, X_n]$. On a alors

$$
\tilde{I} = (\mu_u(U), U - u, X_1 - v_1(U), \dots, X_n - v_n(U)).
$$

La variété affine $V_k(\bar{I})$ de $\mathbb{A}^{n+1}$ est l'intersection de $k \times V_k(I)$ par l'hyperplan d'équation
$U = \lambda_1 X_1 + \cdots + \lambda_n X_n$. La projection $\pi_U$ de $V_k(\bar{I})$ sur la coordonnée U est exactement
$V_k(\mu_u(U)) \subset \mathbb{A}^1$, c'est-à-dire l'ensemble des racines de $\mu_u$ dans $k$. En effet, chaque point
de $V_k(I)$ donne une valeur dans $k$ à U puisque les $\lambda_i$ sont dans $k$, et donc l'intersection
avec l'hyperplan contient un point pour chaque élément de $V_k(I)$, et réciproquement,
pour chaque racine $\alpha$ de $\mu_u$ dans $k$ l'ensemble $\pi_U^{(-1)}(\alpha)$ est réduit à un seul point, dont
la projection sur les coordonnées $(X_1, \dots, X_n)$ est un point de la variété $V(I)$ initiale,
qui sont ainsi tous obtenus.
**Exemple 25.5** Avec l'idéal I = ($f_1, f_2$) de l'Exemple 25.2, qui décrit l'intersection d'un cercle et d'une ellipse, la forme linéaire $X_2$ est un élément primitif de R/I. Il n'est pas utile d'augmenter la dimension pour donner une interprétation géométrique : la projection de l'intersection sur l'axe des $X_2$ est donnée par les zéros de $\chi_{X_2}$ et chacun d'entre eux correspond à un point dont l'autre coordonnée est donnée par la paramétrisation. Cette interprétation simple s'applique chaque fois que l'élément primitif utilisé pour la paramétrisation est une des coordonnées.

La construction ci-dessus peut être illustrée avec un autre choix d'élément primitif, par exemple $u = X_2 - 3X_1$. La Figure 25.3 montre (à gauche) le cercle et l'ellipse, l'intersection des droites verticales passant par leurs intersections avec le plan d'équation $U = X_2 - 3X_1$, et les projections de ces derniers points sur l'axe des U.

Lorsque le corps $k$ est $\mathbb{R}$, on peut donner une autre interprétation géométrique, qui reste dans $\mathbb{A}^n$, dont on utilise alors la structure euclidienne. Les points de $V(I)$ sont projetés orthogonalement sur la droite $D_u$ passant par l'origine et orthogonale à l'hyperplan d'équation $\lambda_1 X_1 + \cdots + \lambda_n X_n = 0$. Autrement dit, la projection effectuée est

$$ (X_1, \dots, X_n) \mapsto \frac{\lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n}{\lambda_1^2 + \dots + \lambda_n^2} (\lambda_1, \dots, \lambda_n). $$

Les coordonnées sur l'axe des U de la construction précédente deviennent des coordonnées sur la droite $D_u$ et le reste de l'interprétation est identique. La partie droite de la Figure 25.3 illustre cette construction sur l'Exemple 25.5.

## Généricité des éléments primitifs pour les idéaux radicaux

Il n'est pas difficile de trouver des éléments primitifs. Nous commençons par introduire une contrainte technique sur le corps $k$, afin d'éviter la situation de l'exemple suivant.

**Exemple 25.6** Considérons l'idéal I = ($X_1^2 + Z) \subset \mathbb{F}_2(Z)[X_1]$, où $\mathbb{F}_2$ est le corps fini à deux éléments. Il est radical, et $X_1$ en est clairement un élément primitif. En revanche le polynôme minimal $\mu_{X_1}(T) = T^2 + Z$ de $X_1$ n'est pas séparable (Définition 18.1). En particulier, sa dérivée est 0, qui n'est pas inversible modulo $\mu_{X_1}$.

Par le Lemme 25.8, lorsque I est radical, les polynômes minimaux $\mu_u$ sont sans carré. Une condition suffisante pour garantir qu'ils sont de plus séparables est de supposer que la caractéristique du corps de base $k$ est nulle ou bien strictement plus grande que deg $\mu_u$. Il s'agit d'un résultat classique, vu dans le Théorème 18.10 : les factorisations sans carré et séparable coïncident en caractéristique nulle ou bien strictement supérieure au degré du polynôme. D'après la Proposition 18.5, la dérivée $\mu'_u$ est alors inversible modulo $\mu_u$. La proposition suivante caractérise l'ensemble des formes linéaires qui ne sont pas primitives.
**Proposition 25.10** Soit I un idéal radical de dimension 0 de R, et supposons k de caractéristique nulle ou bien $> \delta = \dim R/I$. Alors il existe une variété algébrique propre W de $\mathbb{A}^n$ telle que pour tout $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ à l'extérieur de W, la forme linéaire $u = \lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n$ est primitive pour I.

La preuve de cette proposition passe par la construction d'un polynôme non nul auquel la variété W est associée. Cette construction est algébrique et commence par introduire un *n*-uplet de nouvelles variables $\Lambda_1, \dots, \Lambda_n$, et les corps et anneaux

$$k_{\Lambda} = k(\Lambda_1, \dots, \Lambda_n), \quad R_{\Lambda} = k_{\Lambda}[X_1, \dots, X_n], \quad B_{\Lambda} = R_{\Lambda}/I_{\Lambda},$$

où $I_{\Lambda}$ représente l'extension de I dans $R_{\Lambda}$, c'est-à-dire l'idéal engendré par les éléments de I dans cette anneau, qui se comporte de façon très similaire à I en vertu de la propriété suivante.

**Lemme 25.11** Un idéal I de R et son extension $I_{\Lambda}$ à $R_{\Lambda}$ ont mêmes bases standard. L'extension $I_{\Lambda}$ est donc zéro-dimensionnelle lorsque I l'est.

*Démonstration.* Une base standard de I engendre bien $I_{\Lambda}$ dans $R_{\Lambda}$. De plus, ses $S$-polynômes se réduisent à zéro par la même réduction que dans R, ce qui en fait une base standard de $I_{\Lambda}$ par le Théorème 24.3. Ayant mêmes bases standard, ces idéaux ont les mêmes escaliers, et donc sont zéro-dimensionnels simultanément. ■

**Lemme 25.12** Soit $\mu_{u_{\Lambda}} \in k_{\Lambda}(T)$ le polynôme minimal de la multiplication par $u_{\Lambda} = \Lambda_1 X_1 + \dots + \Lambda_n X_n$ dans $B_{\Lambda}$. Alors pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a

$$\frac{\partial \mu_{u_{\Lambda}}}{\partial T}(u_{\Lambda})X_i + \frac{\partial \mu_{u_{\Lambda}}}{\partial \Lambda_i}(u_{\Lambda}) \in I_{\Lambda}. \qquad (25.2)$$

*Démonstration.* Par noetherianité, on peut supposer l'idéal I engendré par des polynômes $f_1, \dots, f_s$ de R. Par le Lemme 25.8, $\mu_{u_{\Lambda}}(u_{\Lambda})$ appartient à $I_{\Lambda}$, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes $g_1, \dots, g_s$ dans l'anneau $R_{\Lambda}$ tels que $\mu_{u_{\Lambda}}(u_{\Lambda}) = g_1 f_1 + \dots + g_s f_s$, identité qu'il suffit de dériver par rapport à $\Lambda_i$ pour obtenir le résultat. ■

Lorsque le polynôme $\partial \mu_{u_{\Lambda}} / \partial T$ est inversible modulo $\mu_{u_{\Lambda}}(T)$, ce lemme donne une paramétrisation de $V_{\bar{\kappa}_{\Lambda}}(I)$ dont il s'agit maintenant de contrôler les spécialisations des $\Lambda_i$.

**Exemple 25.7** Avec l'idéal $I = (f_1, f_2)$ de l'Exemple 25.2, le polynôme caractéristique de la multiplication par $\Lambda_1 X_1 + \Lambda_2 X_2$ vaut

$$\chi_{u_{\Lambda}}(T) = T^4 - \frac{16}{9} \Lambda_1 T^3 - \frac{1}{81} (74 \Lambda_1^2 - 40 \Lambda_2^2) T^2 + \frac{16}{243} (23 \Lambda_1^2 + 50 \Lambda_2^2) \Lambda_1 T + \frac{1}{729} (529 \Lambda_1^4 - 760 \Lambda_1^2 \Lambda_2^2 - 560 \Lambda_2^4).$$
Il est sans carré, c'est donc aussi le polynôme minimal $\mu_{u_\Lambda}(T)$. En $\Lambda_1 = 1, \Lambda_2 = 0$ (resp. en $\Lambda_1 = 0, \Lambda_2 = 1$), on retrouve le polynôme $\chi_{X_1}$ (reps. $\chi_{X_2}$) de l'Exemple 25.2. Ensuite, la dérivée de $\mu_{u_\Lambda}$ par rapport à $\Lambda_1$, par exemple, vaut $-16T^3/9 + 800T/243$ en $\Lambda_1 = 0, \Lambda_2 = 1$. En multipliant ce polynôme par l'inverse de $\chi'_{X_2}(T)$ modulo $\chi_{X_2}(T)$, on obtient $9T^2/8 - 1/6$, c'est-à-dire qu'on retrouve le dernier polynôme de l'Exemple 25.2.

Il n'est pas acquis *a priori* que l'évaluation du polynôme minimal $\mu_{u_\Lambda}$ en des valeurs données $\lambda_i$ des $\Lambda_i$ donne le polynôme minimal de la multiplication par la forme linéaire spécialisée $u = \lambda_1 X_1 + \cdots + \lambda_n X_n$. C'est en revanche le cas pour le polynôme caractéristique.

**Lemme 25.13** Soient $\chi_{u_\Lambda}$ et $\mu_{u_\Lambda}$ les polynômes caractéristique et minimal de la multiplication par $u_\Lambda = \Lambda_1 X_1 + \cdots + \Lambda_n X_n$ dans $B_\Lambda$. Alors $\chi_{u_\Lambda}$ et $\mu_{u_\Lambda}$ appartiennent à $k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n][T]$, et pour tout $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in k^n$, le polynôme caractéristique de la multiplication par $u = \lambda_1 X_1 + \cdots + \lambda_n X_n$ dans B est égal à l'évaluation de $\chi_{u_\Lambda}$ en $\Lambda_1 = \lambda_1, \dots, \Lambda_n = \lambda_n$.

*Démonstration.* On choisit une base de B formée de monômes sous l'escalier d'une base standard de I. Cette base est aussi base de $B_\Lambda$ par le Lemme 25.11, et la matrice $M_{u_\Lambda}$ de multiplication par $u_\Lambda$ dans cette base a donc ses coefficients dans $k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n]$. Il s'ensuit que $\chi_{u_\Lambda}$ et $\mu_{u_\Lambda}$ appartiennent tout deux à $k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n][T]$. La matrice $M_{u_\Lambda}$ se spécialise donc en la matrice M de multiplication par u lorsque qu'on remplace les $\Lambda_i$ par les $\lambda_i$. Par conséquent, les polynômes caractéristiques de $M_{u_\Lambda}$ et M sont bien spécialisations l'un de l'autre. $\blacksquare$

Dans le cas où I est radical, la situation se simplifie. D'abord, le fait d'être radical résiste à l'extension.

**Lemme 25.14** Soit I un idéal radical de R. Alors son extension $I_\Lambda$ à $R_\Lambda$ est aussi un idéal radical.

*Démonstration.* Soit $f \in R_\Lambda$ tel que $f^e \in I_\Lambda$ pour un entier $e \ge 2$. Il existe un polynôme $a \in k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n]$ tel que $g := af$ appartienne à $k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n, X_1, \dots, X_n]$, et il suffit de prouver que $g$ appartient à $I_\Lambda$. D'abord, $g^e$ étant un polynôme de $I_\Lambda \cap k[\Lambda_1, \dots, \Lambda_n, X_1, \dots, X_n]$, sa réduction par une base standard de I permet de déduire qu'il s'écrit comme une combinaison linéaire à coefficients polynomiaux de générateurs I.

Soit $\mathfrak{I}$ un ordre monomial sur les monômes en les seules variables $\Lambda_1, \dots, \Lambda_n$. Si $g$ est non nul, alors il se récrit sous la forme $g = \text{ct}_<(g) + (g - \text{ct}_<(g))$ et en extrayant les coefficients des monômes appropriés en les $\Lambda_i$ dans la décomposition de $g^e$ ci-dessus, on vérifie que $\text{ct}_<(g)^e$ est dans I, ce qui conduit à $\text{ct}(g) \in I$, puis à $(g - \text{ct}_<(g))^e \in I_\Lambda$. En itérant cet argument, il s'ensuit que tous les coefficients de $g$ dans R se trouvent dans I et donc que $g$ est dans $I_\Lambda$. $\blacksquare$
**Proposition 25.15** Soit I un idéal radical de R de dimension 0, et supposons $k$ de caractéristique nulle ou $> \delta = \dim R/I$. Alors, $\chi_{u_\Lambda}$ est sans carré, égal à $\mu_{u_\Lambda}$, et les équations (25.2) fournissent une paramétrisation par élément primitif de $I_\Lambda$.

*Démonstration.* D'après le lemme précédent, $I_\Lambda$ est radical ce qui entraîne, d'après le Lemme 25.8, que le polynôme $\mu_{u_\Lambda}$ est sans carré. Grâce à l'hypothèse sur $k$, on obtient que $\mu_{u_\Lambda}$ est premier avec sa dérivée et les équations (25.2) se récrivent $X_i - v_{\Lambda,i}(u_\Lambda) \in I_\Lambda$, avec $v_i = -\frac{\partial \mu_{u_\Lambda}}{\partial \Lambda_i} / \frac{\partial \mu_{u_\Lambda}}{\partial T} \bmod \mu_{u_\Lambda}$. Ceci montre que tout monôme en les $X_i$ se récrit comme combinaison linéaire de $1, u_\Lambda, \dots, u_\Lambda^{\deg \mu_{u_\Lambda} - 1}$, ce qui donne donc une borne sur la dimension de l'espace vectoriel $B_\Lambda$ et donc sur le degré de $\chi_{u_\Lambda}$. Par conséquent, $\chi_{u_\Lambda}$ coïncide avec son diviseur $\mu_{u_\Lambda}$. ■

**Corollaire 25.16** Soit I un idéal radical de R de dimension 0, et supposons $k$ de caractéristique nulle ou $> \delta = \dim R/I$. Soit $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ un point de $k^n$ qui n'annule pas le discriminant de $\mu_{u_\Lambda}(T)$, et posons $u = \lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n$. Alors, le polynôme minimal $\mu_u(T)$ est la spécialisation de $\chi_{u_\Lambda}$ en $\Lambda_1 = \lambda_1, \dots, \Lambda_n = \lambda_n$, et cette spécialisation, appliquée sur les équations (25.2), induit une paramétrisation de I par l'élément primitif $u$.

*Démonstration.* D'après la proposition précédente, $\chi_{u_\Lambda} = \mu_{u_\Lambda}$ est sans carré. Cette propriété est donc préservée par l'évaluation des $\Lambda_i$ en les $\lambda_i$ qui n'annulent pas son discriminant. Le Lemme 25.13 montre que le polynôme ainsi obtenu est le polynôme caractéristique $\chi_u$ de la multiplication par $u$, qui est donc son polynôme minimal $\mu_u$, puisqu'il est sans carré. L'hypothèse sur $k$ entraine que $\mu'_u(T)$ et $\mu_u(T)$ sont premiers entre eux, et donc les polynômes de l'Équation (25.2) se spécialisent puis se récrivent sous la forme $X_i - v_i(u) \in I$ après inversion de $\mu'_u$ modulo $\mu_u$. Ceci montre que $1, u, \dots, u^{\deg \mu_u - 1}$ engendrent bien $R/I$. ■

*Fin de la démonstration de la Proposition 25.10.* L'ensemble des zéros du discriminant de $\mu_{u_\Lambda}$ fournit donc une variété W ayant la propriété requise. ■

**Exercice 25.2** Soit I un idéal radical de dimension 0. En supposant $k$ de caractéristique nulle ou strictement plus grande que $\dim R/I$, montrer qu'un polynôme $u$ est primitif pour $I$ si, et seulement, s'il prend des valeurs distinctes en des points distincts de $V_k(I)$. ■

La construction de paramétrisations que nous venons de voir, motive naturellement la définition suivante.

**Définition 25.5** — Paramétrisation sous forme de Kronecker. Une paramétrisation d'un idéal $I$ de dimension 0 sous forme de Kronecker est la donnée d'un élément primitif $u$, de son polynôme minimal $\mu_u$, et de polynômes $w_1, \dots, w_n$ tels que

$$I = (\mu_u(u), \mu'_u(u)X_1 - w_1(u), \dots, \mu'_u(u)X_n - w_n(u)).$$
Une telle paramétrisation est bien entendu équivalente à celle de la Définition 25.5, dans la mesure où on peut aisément passer de l'une à l'autre par les formules suivantes :

$$v_i = (\mu_u')^{-1} w_i \quad \text{mod} \quad \mu_u, \quad w_i = \mu_u' v_i \quad \text{mod} \quad \mu_u.$$

Néanmoins, en général, quand vient la question pratique de la taille des coefficients de ces paramétrisations, il est intéressant de constater que la forme de Kronecker est plus compacte. D'abord, compte-tenu de la construction des $w_i$ que nous venons de voir, il est naturel de s'attendre à ce que les tailles des coefficients des $w_i$ et de $\mu_u$ soient du même ordre de grandeur. Ensuite, inverser $\mu_u'$ modulo $\mu$ fait en général croître significativement la taille des coefficients. Nous ne formaliserons pas ces assertions ici, mais nous contenterons de les appuyer sur l'exemple suivant :

**Exemple 25.8** Avec $k = \mathbb{Q}$, $n = 2$, on prend pour $f_1$ et $f_2$ des polynômes de degrés partIELS 3 à la fois en $X_1$ et $X_2$, avec des coefficients pris au hasard entre -99 et 99. Un calcul de base standard pour l'ordre 1 ex nous donne une paramétrisation pour $u = X_2$. Les coefficients de $\mu_u$ sont des fractions rationnelles composées d'entiers d'environ 15 chiffres. Les coefficients de $v_1$ font intervenir des entiers de plus de 130 chiffres. Ceux de $w_1$ ont moins de 30 chiffres. Ici le degré de $\mu_u$ est 18.

Dans le chapitre suivant nous étudierons un cas très spécial de paramétrisation, lorsque $k$ est un corps de fractions rationnelles. Nous verrons que les degrés totaux des polynômes d'une paramétrisation sous forme de Kronecker sont bornés par la même quantité. Cette borne est au cœur de l'analyse de complexité de l'algorithme de **résolution géométrique** du Chapitre 28.

## 25.3 Projection des variétés affines

Nous allons voir maintenant que le pendant géométrique de l'élimination de la variable $X_n$ correspond à la projection

$$\pi: \begin{array}{ccc} \mathbb{A}^n & \to & \mathbb{A}^{n-1} \\ (x_1, \dots, x_n) & \mapsto & (x_1, \dots, x_{n-1}). \end{array}$$

**Théorème 25.17** Soit $I$ un idéal de $R$. La projection $\pi(\mathbf{V}(I))$ de la variété affine $\mathbf{V}(I)$ est contenue dans la variété affine $\mathbf{V}(I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}])$.

De plus, si $k$ est algébriquement clos, alors $\mathbf{V}(I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}])$ est la plus petite variété contenant $\pi(\mathbf{V}(I))$. On dit que c'est la clôture de Zariski de $\pi(\mathbf{V}(I))$.

*Démonstration.* Soient $x = (x_1, \dots, x_{n-1}) \in \pi(\mathbf{V}(I))$ et $f \in I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}]$. Il existe $x_n \in k$ tel que $x' = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{V}(I)$ donc $f(x') = 0$. Comme on peut aussi voir $f$ comme un polynôme de $k[X_1, \dots, X_{n-1}]$, on peut écrire $f(x) = 0$. Par conséquent, $\pi(\mathbf{V}(I)) \subseteq \mathbf{V}(I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}])$.

Soit $f \in k[X_1, \dots, X_{n-1}]$ s'annulant identiquement sur tout $\pi(\mathbf{V}(I)) \subseteq \mathbb{A}^{n-1}$. Puisque $f$ ne dépend pas de $X_n$ alors $f$, vu comme un polynôme de $R$, s'annule identiquement
sur $\pi(\mathbf{V}(I)) \times k \subseteq \mathbb{A}^n$. Comme $\mathbf{V}(I) \subseteq \pi(\mathbf{V}(I)) \times k$, le Nullstellensatz fort (Théorème 25.1) nous donne $f \in \sqrt{I}$. Finalement $f$ s'annule bien sur $\mathbf{V}(I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}])$, ce qui prouve que cette dernière est bien la plus petite variété contenant $\pi(\mathbf{V}(I))$. ■

**Exemple 25.9** Soit la variété d'équation $X_1X_2 - 1 = 0$. Alors la projection de l'hyperbole sur l'axe des $X_1$ est toute la droite privée de l'origine. La plus petite variété la contenant est bien $\mathbf{V}((0))$ car $(X_1X_2 - 1) \cap k[X_1] = (0)$. On voit qu'il peut manquer des points lorsque l'on projette des variétés affines.

On peut préciser le théorème précédent en étudiant le lieu des points qui n'appartiennent pas à la projection.

**Proposition 25.18** Supposons $k$ algébriquement clos, et soit $I = (f_1, \dots, f_s)$ et $I' = I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}]$ son premier idéal éliminant. Considérons les polynômes $f_i$ comme des polynômes en $X_n$ à coefficients dans $k[X_1, \dots, X_{n-1}]$ et notons $g_i \in k[X_1, \dots, X_{n-1}]$ le terme de tête de $f_i$. Alors

$$ \mathbf{V}(I') = \pi(\mathbf{V}(I)) \cup (\mathbf{V}(g_1, \dots, g_s) \cap \mathbf{V}(I')). $$

En d'autres termes, tout point de $\mathbf{V}(I')$ qui n'annule pas tous les termes de tête est la projection d'un point de $\mathbf{V}(I)$.

*Démonstration.* Il suffit de montrer que $\mathbf{V}(I') \setminus \mathbf{V}(g_1, \dots, g_s) \subseteq \pi(\mathbf{V}(I))$. Soit un point $a = (a_1, \dots, a_{n-1}) \in \mathbf{V}(I')$. Sans perte de généralité on peut supposer que $g_1(a) \neq 0$. Soit $f \in I$ et considérons $g := \text{Res}_{X_n}(f_1, f)$. Par la Proposition 6.7 on a $g \in I'$ et donc $g(a_1, \dots, a_{n-1}) = 0$. Par ailleurs, comme $g_1(a_1, \dots, a_{n-1}) \neq 0$, on peut rendre $f_1$ unitaire en $X_n$ en le voyant comme un polynôme à coefficients dans les séries formelles $k[[X_1 - a_1, \dots, X_{n-1} - a_{n-1}]]$. La Proposition 6.8 montre alors que $g(a_1, \dots, a_{n-1})$ est proportionnel sur $k$ à

$$ \text{Res}_{X_n}(f_1(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n), f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)), $$

ce qui implique que $f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n)$ n'est pas constant. Finalement l'idéal

$$ H := \{f(a_1, \dots, a_{n-1}, X_n) \mid f \in I\} $$

de $k[X_n]$ est propre, ce qui nous permet de conclure que $\pi^{-1}(a) \cap \mathbf{V}(I)$ est non vide. ■

**Corollaire 25.19** S'il existe un polynôme unitaire en $X_n$ dans $I$, alors $\mathbf{V}(I') = \pi(\mathbf{V}(I))$.

**Exemple 25.10** Dans l'exemple précédent, l'hyperbole décrite par $X_1X_2 - 1 = 0$ est projetée sur l'axe des $X_1$ et seul le point $0$ de l'axe des $X_1$ n'est pas un projeté. Après le changement de variables $X_1 \leftarrow X_1 + X_2$, $f$ devient $X_2^2 + X_1X_2 - 1$, et on se trouve dans la situation du corollaire, où la projection est bien surjective. Cette
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 25.4 – Les projections de l’hyperbole.</figcaption></figure>

situation est illustrée dans la Figure 25.4.

## 25.4 Nullstellensatz projectif

Dans cette section et la suivante, nous revenons au cas projectif, et $\mathbb{R}$ représente à partir de maintenant l’anneau $k[X_0, \dots, X_n]$.

**Définition 25.6** Le cône affine $\tilde{V}$ d'une variété projective $V$ est l'ensemble des représentants des éléments de $V$, augmenté de 0 :

$$ \tilde{V} := \{(x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{A}^{n+1} \mid (x_0, \dots, x_n) = (0, \dots, 0) \text{ ou } (x_0 : \dots : x_n) \in V\}. $$

Ainsi, si $I$ est un idéal homogène de $k[X_0, \dots, X_n]$ alors le cône affine de la variété projective de $I$ est égal à la variété affine de $I$.

**Théorème 25.20 — Nullstellensatz projectif faible.** Si $k$ est algébriquement clos, si $I$ est un idéal homogène de $\mathbb{R}$ tel que $V(I) = \emptyset$, alors il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que $J^r \subseteq I$, où $J$ est l'idéal $(X_0, \dots, X_n)$ des polynômes s'annulant à l'origine.

*Démonstration.* Le cône affine $\tilde{V}(I)$ de $V(I)$ est réduit au point $(0, \dots, 0)$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, le polynôme $X_i$ s'annule identiquement sur $\tilde{V}(I)$. Par le Nullstellensatz affine fort (Théorème 25.1), il existe $r_i \in \mathbb{N}$ tel que $X_i^{r_i} \in I$. Soient $m = \max_{1 \le i \le n}(r_i)$ et $r = (n+1)(m-1)+1$. Alors, l'idéal $J^r$ est l'idéal engendré par les monômes de degré $r$. Si $X^\alpha$ est un tel monôme avec $\alpha = (\alpha_0, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{N}^{n+1}$ et $|\alpha| = \sum_i \alpha_i = r$, alors il existe $i$ tel que $\alpha_i \ge m$ donc $X^\alpha = X_i^r X^\beta \in I$ pour un certain $\beta \in \mathbb{N}^{n+1}$. Ainsi chaque générateur de $J^r$ est dans $I$ et $J^r \subseteq I$. ■

**Théorème 25.21 — Nullstellensatz projectif fort.** Si $k$ est algébriquement clos et si $I$ est un idéal homogène de $\mathbb{R}$, alors tout polynôme $g \in \mathbb{R}$ homogène qui s'annule
identiquement sur $V(I)$ appartient à $\sqrt{I}$.

*Démonstration.* Comme dans la démonstration précédente, nous nous ramenons au cas affine en considérant le cône affine $\bar{V}(I)$ dans $\mathbb{A}^{n+1}$ défini par $I$. Le polynôme $g$ s'annule alors identiquement sur $\bar{V}(I)$, ce qui implique par le Nullstellensatz fort que $g \in \sqrt{I}$. ■

**Corollaire 25.22** Si $k$ est algébriquement clos et si $I$ est un idéal homogène, alors $I(\bar{V}(I)) = \sqrt{I}$. En conséquence, $\sqrt{I}$ est un idéal homogène.

## 25.5 Projection des variétés projectives

Avant de pouvoir définir une projection dans un contexte projectif, commençons par quelques définitions et propriétés élémentaires sur les espaces linéaires projectifs.

**Définition 25.7** Un espace linéaire projectif E est un sous-ensemble de points $(x_0 : \cdots : x_n)$ de l'espace projectif $\mathbb{P}^n$ vérifiant un système d'équations linéaires homogènes

$$ egin{cases} a_{1,0}x_0 + \cdots + a_{1,n}x_n = 0, \\ \vdots \\ a_{s,0}x_0 + \cdots + a_{s,n}x_n = 0. \end{cases} $$

Un hyperplan projectif est un espace linéaire projectif donné par une seule équation non triviale.

Autrement dit, un espace linéaire projectif F est l'image dans le quotient $\mathbb{P}^n$ d'un espace vectoriel $\bar{F}$, privé de 0. Alors $\bar{F}$ est le cône affine de F.

**Définition 25.8** La somme $E + F$ de deux sous-espaces linéaires projectifs de $\mathbb{P}^n$ est l'image dans $\mathbb{P}^n$ de la somme de leurs cônes affines.

La notion de dimension s'étend naturellement aux espaces linéaires projectifs.

**Définition 25.9** La dimension de l'espace linéaire projectif E, noté $\dim E$, est $\dim \bar{E} - 1$.

On vérifie facilement que $\mathbb{P}^n$ est de dimension $n$, que les hyperplans sont de dimension $n-1$ et ainsi de suite. Une propriété voulue du plan projectif est que deux droites se coupent toujours. Ceci est une conséquence de la proposition suivante en dimension quelconque.
**Proposition 25.23** Soient E et F deux sous-espaces linéaires de $\mathbb{P}^n$. Alors

$$ \dim(E + F) + \dim(E \cap F) = \dim E + \dim F. $$

*Démonstration.* Les espaces vectoriels associés $\tilde{E}$ et $\tilde{F}$ sont respectivement de dimension $\dim E + 1$ et $\dim F + 1$. Ainsi on a $\dim(\tilde{E} \cap \tilde{F}) + \dim(\tilde{E} + \tilde{F}) = \dim \tilde{E} + \dim \tilde{F}$. Comme $\tilde{E} \cap \tilde{F} = \tilde{E} \cap \tilde{F}$ et $\tilde{E} + \tilde{F} = \tilde{E} + \tilde{F}$, on déduit $\dim(E + F) + \dim(E \cap F) = \dim E + \dim F$. ■

**Corollaire 25.24** Soient E et F deux sous-espaces linéaires de $\mathbb{P}^n$ tels que $\dim E + \dim F \ge n$. Alors $E \cap F \ne \emptyset$.

*Démonstration.* Par la proposition précédente, $\dim E \cap F \ge 0$. Donc $E \cap F$ n'est pas vide. ■

Nous allons définir les projections de l'espace projectif et vérifier que cela généralise la notion affine habituelle.

**Définition 25.10** Soient L et B deux sous-espaces linéaires propres de $\mathbb{P}^n$ qui ne coupent pas et tels que $\dim L + \dim B = n - 1$. Alors la projection de base B avec L comme centre de projection est l'application

$$ \pi : \begin{cases} \mathbb{P}^n \setminus L & \rightarrow \mathbb{P}^n \\ x & \mapsto (L+x) \cap B. \end{cases} $$

Le fait que l'application de projection $\pi$ soit bien définie découle du Corollaire 25.24. Remarquons que cette définition généralise bien les projections affines usuelles. En effet soit la projection affine

$$ \pi_n : \begin{cases} \mathbb{A}^n & \rightarrow \mathbb{A}^{n-1} \\ (x_1, \dots, x_n) & \mapsto (x_1, \dots, x_{n-1}). \end{cases} $$

Considérons l'espace affine $\mathbb{A}^n$ comme une partie de $\mathbb{P}^n$ via l'inclusion

$$ \begin{cases} \mathbb{A}^n & \hookrightarrow \mathbb{P}^n \\ (x_1, \dots, x_n) & \mapsto (1 : x_1 : \dots : x_n). \end{cases} $$

On vérifie que la projection affine $\pi_n$ est la restriction à $\mathbb{A}^n$ de la projection sur la base $B = V(X_n)$ et de centre à l'infini $L = (0 : \dots : 0 : 1)$ : en effet $(L + (1 : x_1 : \dots : x_n)) \cap B$ n'est autre que $(1 : x_1 : \dots : x_{n-1} : 0)$.

Contrairement au cas affine, le résultat suivant assure que les variétés projectives sont stables par projection.

**Proposition 25.25** Supposons $k$ algébriquement clos, et soient L et B deux sous-espaces linéaires propres de $\mathbb{P}^n$ qui ne se coupent pas et tels que $\dim L + \dim B = n - 1$. Le projeté d'une variété projective disjointe de L par la projection de base B et de
centre de projection L est encore une variété projective.

*Démonstration.* Supposons que B soit de dimension *r* engendré par les points $l_0, \dots, l_r$
de $\mathbb{P}^n$, et que L soit engendré par $l_{r+1}, \dots, l_n$. Pour tout $i \in \{r, \dots, n-1\}$, on pose $B_i :=$
$\langle l_0, \dots, l_i \rangle$ et $L_i := \langle l_{i+1}, \dots, l_n \rangle$. Comme dim $L_i = n-i-1$ et dim $B_i = i$ et que $B_i$ et $L_i$ ne
se coupent pas alors on peut considérer la projection $\pi_i$ de base $B_i$ et de centre $L_i$.

$\pi_{n-1}$ est la projection sur l'hyperplan $B_{n-1}$ de centre $l_n$. La restriction de $\pi_{n-2}$ à $B_{n-1}$ est la projection de base $B_{n-2}$ et de centre $l_{n-1}$. Plus généralement, la restriction de $\pi_{n-i}$ à $B_{n-i+1}$ est la projection de base $B_{n-i}$ et de centre $l_{n-i+1}$. Comme $\pi_r = \pi_r \circ \cdots \circ \pi_{n-1}$, il suffit de prouver le théorème lorsque $r = n-1$, ce que nous supposons désormais.

Sans perte de généralité nous pouvons effectuer un changement de variables linéaires pour nous ramener au cas où $B = V(X_n)$ et $L = (0 : \cdots : 0 : 1)$. On note $\pi$ la projection correspondante. Comme $L$ n'est pas dans $V(I)$, il existe un polynôme homogène $f_1 \in I$ ne s'annulant pas sur $L$. On pose $I' = I \cap k[X_0, \dots, X_{n-1}]$ et on considère un point $(a_0 : \cdots : a_{n-1}) \in V(I')$.

Soit $f \in I$ et considérons $g := \text{Res}_{X_n}(f_1, f)$. Par la Proposition 6.7 on a $g \in I'$ et donc $g(a_0, \dots, a_{n-1}) = 0$. Par ailleurs, comme $f_1(L) \neq 0$, le degré partiel de $f_1$ en $X_n$ coïncide avec son degré total et la Proposition 6.8 nous donne alors que $g(a_0, \dots, a_{n-1})$ est proportionnel sur $k$ à

$$
\operatorname{Res}_{X_n}(f_1(a_0, \dots, a_{n-1}, X_n), f(a_0, \dots, a_{n-1}, X_n)),
$$

ce qui implique que $f(a_0, \dots, a_{n-1}, X_n)$ n'est pas constant. Finalement l'idéal

$$
H := \{f(a_0, \dots, a_{n-1}, X_n) \mid f \in I\}
$$

de $k[X_n]$ est propre, ce qui nous permet de conclure que $\pi^{-1}(a) \cap V(I)$ est non vide.

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Notes

Notre preuve du Théorème 25.4 est adaptée de l'article d'Arrondo [Arr06]. La
forme particulière de la base standard décrite dans la remarque qui suit la Défini-
tion 25.4 a été appelée *shape lemma* par Gianni et Mora [GM89].

L'existence de paramétrisations des idéaux radicaux I de dimension 0 est souvent
montrée via la décomposition de R/I en sous-algèbres locales. L'approche utilisée
dans ce chapitre avec les éléments primitifs « génériques » remonte aux travaux de
Kronecker [Kro82].

L'intérêt pratique des paramétrisations compactes sous forme de Kronecker a été souligné en calcul formel par Rouillier [Rou99]. Son algorithme, appelé RUR (pour Rational Univariate Representation en anglais), procède par modules multiples pour reconstruire des paramétrisations à partir de bases standard pour l'ordre tdeg. Une amélioration a été proposée par Bostan, Salvy et Schost [BSS03], en utilisant les méthodes de transposition d'algorithmes linéaires du Chapitre 12.

Bibliographie

Arr06 ARRONDO, Enrique (2006). « Another elementary proof of the Nullstellensatz ». In : *The American Mathematical Monthly*, vol. 113, n°2, p. 169–171.
BSS03 BOSTAN, Alin, Bruno SALVY et Éric SCHOST (2003). « Fast algorithms for zero-dimensional polynomial systems using duality ». In : *Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing*, vol. 14, n°4, p. 239-272.

GM89 GIANNI, Patrizia et Teo MORA (1989). « Algebraic solution of systems of polynomial equations using Groebner bases ». In : *Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. 5th International Conference, AAECC-5, Menorca, Spain, June 15-19, 1987. Proceedings*. Éd. par Llorenç HUGUET et Alain POLI. Vol. 356. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. 247-257.

Kro82 KRONECKER, Leopold (1882). « Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen ». In : *Journal für die Reine und Angewandte Mathematik*, vol. 92, p. 1-122.

Rou99 ROUILLIER, Fabrice (1999). « Solving zero-dimensional systems through the rational univariate representation ». In : *Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing*, vol. 9, n°5, p. 433-461.
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# 26. Fonction et polynôme de Hilbert, dimension, degré

## Résumé

Le polynôme de Hilbert est un objet combinatoire associé à un idéal. On peut lire sur ce polynôme des informations géométriques sur la variété correspondant à l'idéal comme sa dimension et son degré. L'étude de ce polynôme permet aussi d'obtenir une borne de complexité pour les bases standard pour une grande famille de systèmes polynomiaux.

Sauf indication contraire, ce chapitre est placé dans le contexte projectif. L'anneau $R$ est donc $k[X_0, \dots, X_n]$.

## 26.1 Fonction et polynôme de Hilbert

Le degré d'un point $a = (a_0, \dots, a_n)$ de $\mathbb{N}^{n+1}$ est l'entier $|a|= a_0 + \dots + a_n$.

**Définition 26.1 — Fonction de Hilbert.** Soit $E$ une partie stable de $\mathbb{N}^{n+1}$ ; la fonction $\text{HF}_E$, qui associe à tout entier $u$ le nombre de points de degré $u$ n'appartenant pas à $E$, est appelée *fonction de Hilbert* de $E$ :

$$ \text{HF}_E(u) = \#\{a \in \mathbb{N}^{n+1} \mid a \notin E, |a| = u\}. $$

On étend $\text{HF}_E$ aux entiers négatifs par la valeur 0.

Un résultat remarquable, dû à Hilbert, exprime la grande régularité de cette fonction.
**Théorème 26.1** — Hilbert. Pour $u$ assez grand, la fonction $HF_E$ est égale à un polynôme. Celui-ci est le polynôme de Hilbert $HP_E$, et il s'écrit

$$HP_E(u) = \sum_{i=0}^{d} c_i \binom{u}{d-i}$$

pour des entiers $c_0, \dots, c_d$ avec $c_0 \neq 0$, où $\binom{u}{r} := \frac{u(u-1)(u-2)\cdots(u-r+1)}{r!}$ est la fonction binomiale.

Si $u$ est strictement négatif, alors on a

$$\binom{u}{r} := (-1)^r \frac{(-u)(-u+1)(-u+2)\cdots(-u+r-1)}{r!} = (-1)^r \binom{-u+r-1}{r}.$$

Par conséquent $(\binom{u}{r}) \in \mathbb{Z}$, et donc $HP_E(u) \in \mathbb{Z}$ dès que $u \in \mathbb{Z}$. Le coefficient de tête du polynôme $HP_E$ est $c_0/d!$. Avant de prouver ce théorème, nous introduisons deux notions qui permettront de relier algèbre et géométrie.

**Définition 26.2** Avec les notations précédentes, $d$ est la dimension de $E$, et $c_0$ son degré. Par convention, le degré du polynôme nul sera $-1$, c'est-à-dire qu'une partie stable de $\mathbb{N}^{n+1}$ qui touche tous les axes de coordonnées a dimension $-1$.

**Définition 26.3** — Régularité et degré maximum. La régularité $H(E)$ de la fonction de Hilbert $HF_E$ est le plus petit entier à partir duquel la fonction de Hilbert coïncide avec le polynôme de Hilbert $HP_E$. Si $E$ est non vide, nous notons $D(E)$ le degré maximum des éléments engendrant minimalement $E$.

Toutes ces définitions s'étendent directement aux idéaux homogènes :

**Définition 26.4** Soient $R = k[X_0, \dots, X_n]$, et $< \cdot, \cdot>$ un ordre monomial admissible sur $R$. On définit alors la fonction de Hilbert, la dimension, le degré et la régularité de l'idéal homogène $I$ comme étant ceux de $E_<(I)$.

La fonction de Hilbert d'un idéal homogène $I$ est aisément calculable à partir d'une base de Gröbner de $I$. Par ailleurs, nous avons vu au Théorème 23.14, que pour tout entier $u$, le $k$-espace vectoriel de $R/I$, noté $(R/I)_u$, engendré par les polynômes homogènes de $R$ de degré $u$ est isomorphe à $\bigoplus_{a \in E(I), |a| = u} kX^a$. Il s'ensuit que $HF_{R/I}(u)$ n'est autre que $\dim(R/I)_u$.

Une autre observation simple est que si $I \subset J$ sont deux idéaux de $R$, alors $E_<(I) \subset E_<(J)$ et donc $HF_{E_<(I)}(u) \ge HF_{E_<(J)}(u)$ pour tout $u$, ce qui entraîne la même inégalité pour leur polynômes de Hilbert et finalement $\dim I \ge \dim J$.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

L'hypothèse d'homogénéité est importante pour cette définition : l'escalier $E_<(I)$ dépend de l'ordre admissible, mais sa fonction de Hilbert n'en dépend pas, par le
Théorème 23.14 et la Proposition 23.3. Les mêmes notions peuvent être définies dans le cas affine, et alors il faut de plus supposer que l'ordre monomial est gradué, c'est-à-dire que deux monômes de degré total différents sont ordonnés par leur degré. Une autre façon de procéder est de définir la fonction de Hilbert affine d'un idéal comme celle de son homogénéisé.

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Les idéaux de dimension zéro définis au chapitre précédent sans référence à la notion de dimension sont ceux dont le complémentaire de l'escalier est un ensemble de monômes $\{m_1, ..., m_d\}$ fini. En homogénéisant l'idéal et quitte à choisir un ordre admissible adapté, pour $u$ plus grand que le degré des monômes $m_i$, les monômes de degré $u$ dans le complémentaire de l'idéal homogénéisé sont les produits $\{m_1 X_0^{u-\deg m_1}, ..., m_d X_0^{u-\deg m_d}\}$, de sorte que la fonction de Hilbert de l'idéal homogénéisé est constante à partir d'un tel $u$, et donc que l'idéal homogénéisé est de dimension zéro au sens de la définition ci-dessus.

## 26.2 Démonstrations et borne supérieure de la régularité

Dans cette section, pour simplifier les notations, on pose $e := D(E)$, et nous prouvons le Théorème 26.1, ainsi que la borne supérieure suivante par récurrence sur $n$ :

$$H(E) \le (n+1)(e-1) + 1. \quad (26.1)$$

**Exemple 26.1** Étant donnés $n+1$ entiers positifs $a_0, ..., a_n$, l'idéal $(X_0^{a_0}, ..., X_n^{a_n})$ a ces générateurs monomiaux comme base standard. La partie stable associée $E$ est le complément d'un parallélépipède dont l'élément de degré maximal est $(a_0 - 1, ..., a_n - 1)$. La régularité est donc $1 + \sum_{i=0}^{n} (a_i - 1)$; dans le cas où tous les $a_i$ sont égaux, ceci prouve que la borne (26.1) peut être atteinte.

*Démonstration du Théorème 26.1.* Pour $n=0$, une partie stable $E$ de $\mathbb{N}$ est de la forme $m + \mathbb{N}$, et $HF_E(u)$ vaut alors $1$ si $u < m$ et $0$ sinon, c'est-à-dire que $HP_E(u) = 0$. Le degré $D(E)$ vaut alors $m$, qui coïncide avec la régularité, et donc l'inégalité (26.1) est bien satisfaite.

Supposons l'hypothèse de récurrence satisfaite jusqu'à $n-1$. Elle s'applique donc aux sections $E_i$ de $E$ par les hyperplans $\{x_n = i\}$. Ces sections sont constantes dès que $i \ge e$. La fonction de Hilbert s'écrit comme somme de ces sections :

$$HF_E(u) = \sum_{i=0}^{u} HF_{E_i}(u-i).$$

Cette somme se décompose en trois termes de la façon suivante :

$$ 
\begin{align*}
HF_E(u) &= \sum_{0 \le i \le e-1} HF_{E_i}(u-i) + \sum_{e \le i \le u-H(E_e)} HF_{E_e}(u-i) + \sum_{u-H(E_e)+1 \le i \le u} HF_{E_e}(u-i) \\
&= \sum_{0 \le i \le e-1} HF_{E_i}(u-i) + \sum_{H(E_e) \le i \le u-e} HF_{E_e}(i) + \sum_{0 \le i \le H(E_e)-1} HF_{E_e}(i)
\end{align*}
$$
$$= \sum_{0 \le i \le e-1} \mathrm{HF}_{E_i}(u-i) + \sum_{H(E_e) \le i \le u-e} \mathrm{HP}_{E_e}(i) + \sum_{0 \le i \le H(E_e)-1} \mathrm{HF}_{E_e}(i),$$

où dans la dernière égalité $\mathrm{HF}_{E_e}(i)$ est devenu $\mathrm{HP}_{E_e}(i)$ dans la deuxième somme puisque $H(E_e) \le i$. La troisième somme ne dépend pas de $u$ et se comporte donc comme une constante. Il suffit alors d'analyser le comportement des deux premières.

L'hypothèse de récurrence implique $H(E_i) \le n(e-1)+1$. Par conséquent, dès que $u \ge (n+1)(e-1)+1 \ge \max\{i + H(E_i) \mid 0 \le i \le e-1\}$, on a $\mathrm{HF}_{E_i}(u-i) = \mathrm{HP}_{E_i}(u-i)$, et donc la première somme coïncide avec le polynôme $\sum_{0 \le i \le e-1} \mathrm{HP}_{E_i}(u-i)$, qui envoie $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$.

Par ailleurs, le Lemme 26.2 ci-dessous nous assure que la deuxième somme est un polynôme qui envoie $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$. On en déduit que $\mathrm{HF}_E(u)$ coïncide avec une fonction polynomiale dès que $u \ge (n+1)(e-1)+1$, ce qui conclut la preuve de l'inégalité (26.1).

**Lemme 26.2** Soit $f$ un polynôme de $k[X]$ de degré $d \ge 0$. La fonction $F$ de $\mathbb{Z}$ dans $k$ définie par $F(i) := \sum_{j=0}^{i} f(j)$ si $i \ge 0$, et $F(i) := -\sum_{j=i+1}^{-1} f(j)$ si $i < 0$, coïncide avec un polynôme de degré $d+1$.

*Démonstration.* La preuve peut se faire par récurrence sur $d$. Si $d=0$ alors $f$ est une constante et le lemme est vrai. Supposons le lemme vrai jusqu'un degré $d-1 \ge 0$. On peut supposer que $f$ est le monôme $X^d$. Comme

$$F(i) - \frac{(i+1)^{d+1}}{d+1} = \sum_{j=0}^{i} \left( j^d - \frac{(j+1)^{d+1}}{d+1} + \frac{j^{d+1}}{d+1} \right), \text{ si } i \ge 0, \text{ et}$$

$$F(i) - \frac{(i+1)^{d+1}}{d+1} = - \sum_{j=i+1}^{-1} \left( j^d - \frac{(j+1)^{d+1}}{d+1} + \frac{j^{d+1}}{d+1} \right), \text{ si } i < 0,$$

et comme $j^d - \frac{(j+1)^{d+1}}{d+1} + \frac{j^{d+1}}{d+1}$ est un polynôme en $j$ de degré au plus $d-1$, l'hypothèse de récurrence implique que les membres droits des précédentes égalités coïncident avec un même polynôme de degré au plus $d$. Par conséquent $F$ coïncide bien avec un polynôme de degré $d+1$. ■

Pour conclure la preuve du Théorème 26.1, il ne reste plus qu'à montrer que les coefficients $c_i$ sont des entiers. À nouveau, il suffit de procéder par récurrence, sur $u$. Comme $\mathrm{HP}_E(0) = c_d$, alors $c_d$ est entier. Ensuite, si $i$ est un entier inférieur ou égal à $d$ on a $\mathrm{HP}_E(i) = \sum_{j=d-i+1}^{d} c_j \binom{i}{d-j} + c_{d-i}$, et donc, comme différence d'entiers, $c_{d-i}$ est un entier aussi. ■

## 26.3 Dimension et géométrie

Si $V = V(I)$ est une variété projective alors sa dimension et son degré sont définis comme étant ceux de $I$. Dans cette section, nous supposons que $k$ est algébriquement clos, et nous montrons que cette notion de dimension coïncide alors avec plusieurs
interprétations de la dimension en termes géométriques, et que cette dimension se lit aussi sur des escaliers associés à l'idéal.

**Définition 26.5 — Dimension de section et de projection.** La dimension de section est le plus petit entier $\sigma$ tel qu'il existe un sous-espace linéaire de codimension $\sigma + 1$ n'intersectant pas $V(I)$. La dimension de projection est le plus grand entier $\pi$ tel qu'il existe une projection envoyant surjectivement $V(I)$ sur un espace de dimension $\pi$.

**Définition 26.6 — Dimension lexicographique inférieure (resp. supérieure).** Soit $x$ un système de coordonnées de $\mathbb{P}^n$. Nous appellerons $\text{linf}_x$ (resp. $\text{lsup}_x$) le plus petit (resp. le plus grand) entier $e$ tel que $E_x(I)$ relativement à l'ordre $\text{deg}(\text{lex})$ rencontre les derniers $n-e$ axes de coordonnées de $\mathbb{N}^{n+1}$ (resp. ne rencontre pas le plan des $e+1$ premières coordonnées).

Le minimum $\text{linf}_x$ des $\text{linf}_x$ (resp. le maximum $\text{lsup}_x$ des $\text{lsup}_x$) pris sur tous les systèmes de coordonnées est appelé la dimension lexicographique inférieure (resp. supérieure) de $I$.

**Théorème 26.3 — Dimension.** Pour tout idéal homogène $I$ de $R = k[X_0, \dots, X_n]$ avec $k$ algébriquement clos, la dimension de $I$ coïncide avec sa dimension de section, sa dimension de projection, sa dimension lexicographique inférieure, et sa dimension lexicographique supérieure.

Remarquons que le théorème peut-être vérifié aisément lorsque $I$ est engendré par des polynômes de degré 1, par des techniques classiques d'algèbre linéaire, telles que rappelées au début du prochain chapitre. Par ailleurs, le Théorème 25.7 implique le théorème lorsque $I$ est zéro-dimensionnel.

*Démonstration.* Notons $r$ la dimension de $I$, nous allons prouver la suite d'inégalités

$$r \geq \text{lsup} \geq \pi \geq \sigma \geq \text{linf} \geq r.$$

Tout d'abord pour prouver que $r \geq \text{lsup}$, nous supposons qu'il existe des coordonnées de $\mathbb{P}^n$ pour lesquelles, relativement à un ordre monomial admissible, par exemple l'ordre lexicographique, $E(I)$ ne rencontre pas le plan des $e+1$ premières coordonnées. Alors la fonction de Hilbert $\text{HF}_{R/I}(u)$ est minorée par le nombre de monômes de degré $u$ en $e+1$ variables, qui est équivalent à $u^e/e!$ quand $u$ tend vers l'infini.

Prouvons maintenant que $\text{lsup} \geq \pi$. Supposons que $V(I)$ puisse être projetée surjectivement sur une base $B$ de dimension $b$. Nous pouvons choisir des coordonnées telles que $B$ soit définie par les équations $X_{b+1} = \dots = X_n = 0$. Ainsi l'idéal $I \cap k[X_0, \dots, X_b]$ se réduit à 0; car sinon il existerait un polynôme non nul $f(X_0, \dots, X_b)$ dans $I$ qui ne s'annulerait pas sur tout $B$, et $V(I)$ ne pourrait pas se projeter surjectivement sur $B$. Par rapport à de telles coordonnées, la partie stable $E(I)$ relativement à l'ordre $\text{lex}$ ne peut rencontrer le plan des $b+1$ premières variables d'après le Théorème 24.6.

Montrons maintenant que $\pi \geq \sigma$. Par définition de $\sigma$, il existe un sous-espace linéaire $L$ de codimension $\sigma + 1$ évitant $V(I)$. Par ailleurs nous pouvons choisir un
sous-espace linéaire B de dimension $\sigma$ évitant L. La projection de centre L envoie surjectivement $V(I)$ sur B, puisque $\sigma$ est minimal; car si $b$ est un point de B, le sous-espace linéaire qu'il engendre avec L est de codimension $\sigma$, donc coupe $V(I)$ en au moins un point qui se projette sur $b$.

Montrons maintenant que $\sigma \ge \text{linf}$. Par définition de $\sigma$, il existe un sous-espace linéaire L de codimension $\sigma + 1$ évitant $V(I)$. Nous pouvons choisir des coordonnées telles que L soit définie par les équations $X_0 = \cdots = X_\sigma = 0$. L'idéal $J = I + (X_0, \ldots, X_\sigma)$ définit la variété projective vide, donc il contient une puissance de l'idéal maximal $(X_0, \ldots, X_n)$ par le Théorème 25.20. Quelque soit l'ordre, en particulier l'ordre t deg, l'escalier $E(J)$ coupe tous les axes de coordonnées. Considérons un polynôme dont le monôme dominant est sur un des axes $X_{\sigma+1}, \ldots, X_n$ ; il est congru modulo $(X_0, \ldots, X_\sigma)$ à un polynôme de I, non nul et de même monôme dominant. Par conséquent la section de $E(I)$ par le plan des $n-\sigma$ dernières coordonnées recoupe tous les axes.

Montrons maintenant que $\text{linf} \ge r$. Supposons qu'il y ait des coordonnées de $\mathbb{P}^n$ telles que, relativement à l'ordre t deg, l'escalier $E(I)$ rencontre les derniers $n - \text{linf}$ axes. En degré $u$ suffisamment grand, le complémentaire de $E(I)$ ne contient que des monômes dont les $n - \text{linf}$ derniers exposants sont majorés par un entier fixé. À une constante multiplicative près, la fonction de Hilbert $HF(u)$ est donc majorée par le nombre de monômes en $\text{linf} + 1$ variables, soit par $O(u^{\text{linf}})$ quand $u$ tend vers l'infini. ■

**Corollaire 26.4** Pour tout idéal homogène de R, sa dimension et celle de son radical coïncident.

*Démonstration.* C'est une conséquence du Nullstellensatz : $V(\sqrt{I}) = V(I)$ et donc leurs dimensions de section ou de projection sont identiques. ■

## 26.4 Position de Noether et degré

Le degré défini à partir du polynôme de Hilbert possède également des interprétations algébriques et géométriques. Le pendant géométrique sera présenté au chapitre suivant ; le point de vue algébrique développé ici repose sur une analyse de bases monomiales des $k$-espaces vectoriels $(R/I)_u$ (Théorème 23.14), à l'aide de bases standard.

**Exemple 26.2** Prenons $n = 2$, et $I = (X_1X_2 - X_0^2)$, et munissons le monoïde des monômes de l'ordre lexicographique induit par $X_0 < X_1 < X_2$. La base standard de $I$ contient l'unique polynôme $X_1X_2 - X_0^2$. En utilisant le Théorème 23.14, on vérifie que $\{X_0, X_1, X_2\}$ est une base de $(R/I)_1$, puis que $\{X_0^2, X_0X_1, X_1^2, X_0X_2, X_2^2\}$ est une base de $(R/I)_2$ (il s'agit de tous les monômes de degré 2 sauf $X_1X_2$). Lorsque $u \ge 3$, l'espace $(R/I)_u$ est engendré par tous les monômes de degré $u$ qui ne sont pas des multiples de $X_1X_2$, c'est-à-dire $X_0^u$, les $X_0^{u-i}X_1^i$ pour $1 \le i \le u$, et les $X_0^{u-i}X_2^i$ pour $1 \le i \le u$. La fonction de Hilbert vaut alors $2u + 1$. La dimension de $I$ est 1 et son degré 2.
Dans cette section nous allons montrer que des bases des $(\mathbb{R}/\mathbb{I})_u$ peuvent être décrites aisément, lorsque $u$ est assez grand et que les variables $X_0, \dots, X_n$ satisfont certaines propriétés pour $I$, qui motivent les prochaines définitions.

**Définition 26.7** Soient $A \subseteq B$ deux anneaux. On dit que $b \in B$ est *entier* sur $A$ s'il existe $P \in A[X]$ unitaire tel que $P(b) = 0$. Un tel polynôme $P$ est appelé une *relation de dépendance entière* pour $b$. L'extension $A \subseteq B$ est *entière* si tout $b \in B$ est entier sur $A$.

**Exemple 26.3** L'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \mathbb{Z}[X]/(X^2 - 2)$ est une extension entière de $\mathbb{Z}$ : tout élément de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ s'écrit $a\sqrt{2} + b$ pour deux entiers $a$ et $b$, et un polynôme annulant ce nombre est donné par le résultant de $X - (aT + b)$ et $T^2 - 2$, qui vaut $X^2 - 2bX + b^2 - 2a^2$ et est unitaire.

**Définition 26.8** Un idéal $I$ homogène de $R$ est dit en *position de Noether* s'il existe $r \in \{0, \dots, n\}$ tel que $I \cap k[X_0, \dots, X_r] = (0)$, et $R/I$ est une extension entière de $k[X_0, \dots, X_r]$.

Ainsi, en position de Noether, chacune des variables $X_{r+1}, \dots, X_n$ est entière sur $k[X_0, \dots, X_r]$ modulo $I$, ou plus explicitement, pour chaque $i \in \{r+1, \dots, n\}$, il existe dans $I$ un polynôme unitaire en $X_i$ et ne faisant pas intervenir les autres variables de $\{X_{r+1}, \dots, X_n\}$.

**Exemple 26.4** L'idéal $(X_2^2 - X_0X_1)$ de $k[X_0, X_1, X_2]$ est en position de Noether avec $r=1$. En revanche, l'idéal $(X_1X_2 - X_0^2)$ ne l'est pas : s'il l'était il contiendrait un polynôme unitaire en $X_2$ à coefficients dans $k[X_0, X_1]$, mais l'évaluation en $X_0 = 1, X_1 = 0$ de ce polynôme mène à une contradiction.

**Exemple 26.5** Prenons $n = 2$, et $I = (X_2^2 - X_0X_1)$, et munissons à nouveau le monoïde des monômes de l'ordre lexicographique induit par $X_0 < X_1 < X_2$. La base standard de $I$ contient l'unique polynôme $X_2^2 - X_0X_1$. En utilisant à nouveau le Théorème 23.14, on vérifie que $\{X_0, X_1, X_2\}$ est une base de $(\mathbb{R}/\mathbb{I})_1$, puis que $\{X_0^2, X_0X_1, X_1^2, X_0X_2, X_1X_2\}$ est une base de $(\mathbb{R}/\mathbb{I})_2$ (il s'agit de tous les monômes de degré 2 sauf $X_2^2$). Lorsque $u \ge 3$, l'espace $(\mathbb{R}/\mathbb{I})_u$ est engendré par tous les monômes de degré $u$ qui ont un degré partiel en $X_2$ qui vaut 0 ou 1, c'est-à-dire les $X_0^{u-i}X_1^i$ pour $0 \le i \le u$, et les $X_0^{u-1-i}X_1^iX_2$ pour $0 \le i \le u-1$. La fonction de Hilbert vaut alors $2u+1$. La dimension de $I$ est 1 et son degré 2.

**Théorème 26.5** Soit $I$ un idéal homogène de $R = k[X_0, \dots, X_n]$ en position de Noether. On note $K_r = k(X_0, \dots, X_r)$ et $I'$ l'extension de $I$ dans $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]$. Alors, $I'$ est un idéal non homogène de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]$ qui est de dimension zéro au sens de la Définition 25.2. De plus, la dimension de $I$ est $r$, et la dimension de la $K_r$-algèbre $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$ est égale à deg $I$.
*Démonstration.* On pose $A_r = k[X_0, \dots, X_r]$. Pour la première assertion, il suffit de vérifier la condition (i) du Théorème 25.7 sur les idéaux de dimension 0. Tout d'abord I' est propre. Autrement il contiendrait 1, ce qui impliquerait l'existence d'un polynôme non nul dans $I \cap A_r$, ce qui est impossible du fait de la position de Noether. D'autre part, l'existence de relations de dépendance entière pour chaque variable $X_{r+1}, \dots, X_n$ garantit que le complémentaire de l'escalier de I' est fini pour tout ordre admissible sur les variables $X_{r+1}, \dots, X_n$.

On munit le monoïde des monômes de l'ordre lexicographique induit par $X_0 < X_1 < \dots < X_n$, et on note juste E l'escalier de I pour cet ordre. On introduit la projection $\pi$ de $\mathbb{N}^{n+1}$ vers $\mathbb{N}^{n-r}$ qui ne conserve que les $(n-r)$-ièmes dernières coordonnées, c'est-à-dire :

$$ \pi: \mathbb{N}^{n+1} \to \mathbb{N}^{n-r} \\ (a_0, \dots, a_n) \mapsto (a_{r+1}, \dots, a_n). $$

L'image $\pi(E)$ est une partie stable de $\mathbb{N}^{n-r}$. Le fait que les variables $X_{r+1}, \dots, X_n$ soient entières sur $k[X_0, \dots, X_r]$ modulo I et que l'on utilise l'ordre lexicographique, implique que le complémentaire de $\pi(E)$ dans $\mathbb{N}^{n-r}$ est un ensemble fini noté $\{e_1, \dots, e_\delta\}$. Nous allons montrer que ce nombre $\delta$ est d'une part le degré de I, et d'autre part la dimension de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$. Le monôme correspondant à $e_i = (e_{i,r+1}, \dots, e_{i,n})$ sera noté $m_i = X_{r+1}^{e_{i,r+1}} \dots X_n^{e_{i,n}}$. Remarquons que pour tout $i \in \{1, \dots, \delta\}$ et pour tout $(a_0, \dots, a_r) \in \mathbb{N}^r$, l'exposant $(a_0, \dots, a_r, e_{i,r+1}, \dots, e_{i,n})$ n'est pas dans E.

Notons $\tilde{E} = \mathbb{N}^{n+1} \setminus E$ l'ensemble des monômes sous l'escalier, et examinons sa projection $\pi(\tilde{E})$. La position de Noether garantit à nouveau qu'il s'agit d'un ensemble fini. Comme E est une partie stable, un exposant $(a_{r+1}, \dots, a_n)$ appartient à cette projection si, et seulement si, $(0, \dots, 0, a_{r+1}, \dots, a_n)$ est dans $\tilde{E}$. Cela donne l'inclusion

$$ \mathbb{N}^{r+1} \setminus \pi(E) \subseteq \pi(\tilde{E}). \qquad (26.2) $$

L'Exemple 26.6 ci-après montre que cette inclusion peut être stricte. Les exposants de $\pi(\tilde{E})$ hors de $\mathbb{N}^{r+1} \setminus \pi(E)$ seront notés $\tilde{e}_i = (\tilde{e}_{i,r+1}, \dots, \tilde{e}_{i,n})$ pour $i$ de 1 à $s$. Le monôme correspondant sera noté $\tilde{m}_i = X_{r+1}^{\tilde{e}_{i,r+1}} \dots X_n^{\tilde{e}_{i,n}}$. Par construction, pour chaque $\tilde{e}_i$, il existe $\dot{e}_i = (\dot{e}_{i,0}, \dots, \dot{e}_{i,r})$ tel que $(\dot{e}_{i,0}, \dots, \dot{e}_{i,r}, \tilde{e}_{i,r+1}, \dots, \tilde{e}_{i,n})$ appartienne à E. Le monôme correspondant sera noté $\dot{m}_i = X_0^{\dot{e}_{i,0}} \dots X_r^{\dot{e}_{i,r}}$.

La valeur en $u \in \mathbb{N}$ de la fonction de Hilbert de E est le cardinal de $C_u = \{a \in \tilde{E} | |a| = u\}$, la partie de degré $u$ du complémentaire de E. En posant $B_u$ l'ensemble des vecteurs de la forme $(a_0, \dots, a_r, e_{i,r+1}, \dots, e_{i,n})$ avec $i \in \{1, \dots, \delta\}$ et $a_0 + \dots + a_r + |e_i| = u$, nous allons montrer que le cardinal de $C_u$ est équivalent à celui de $B_u$ lorsque $u$ tend vers l'infini. La remarque suivant la définition de $m_i$ montre que $B_u$ est inclus dans $C_u$, et on a

$$ \mathrm{card}(B_u) = \sum_{i=1}^{\delta} \binom{u - \deg m_i + r}{r} = \delta \frac{u^r}{r!} + O(u^{r-1}), $$

lorsque $u$ est suffisamment grand. La projection d'un exposant $e$ de $C_u \setminus B_u$ est par construction l'un des $\tilde{e}_i$ pour $i \in \{1, \dots, s\}$. Pour $i \in \{1, \dots, s\}$, notons

$$ \tilde{M}_{i,u} = \{(a_0, \dots, a_r, \tilde{e}_{i,r+1}, \dots, \tilde{e}_{i,n}) \mid (a_0, \dots, a_r) \in \mathbb{N}^{r+1}, a_0 + \dots + a_r + |\tilde{e}_i| = u\}. $$
Nous avons

$$
C_u \setminus B_u = \cup_{i=1}^{s} (\tilde{M}_{i,u} \cap C_u).
$$

Par ailleurs, pour tout $i \in \{1, \dots, s\}$, on a

$$
\tilde{M}_{i,u} \cap C_u \subseteq \tilde{M}_{i,u} \setminus \tilde{N}_{i,u},
$$

où

$$
\tilde{N}_{i,u} = \{(\dot{e}_{i,0} + a_0, \dots, \dot{e}_{i,r} + a_r, \tilde{e}_{i,r+1}, \dots, \tilde{e}_{i,n}) \mid (a_0, \dots, a_r) \in \mathbb{N}^{r+1}, a_0 + \dots + a_r + |\dot{e}_i| + |\tilde{e}_i| = u\}.
$$

En utilisant card(\tilde{M}_{i,u}) = u^r/r! + O(u^{r-1}) et card(\tilde{N}_{i,u}) = u^r/r! + O(u^{r-1}), on obtient card(\tilde{M}_{i,u} \cap C_u) = O(u^{r-1}), et enfin card(C_u) = card(B_u) + O(u^{r-1}). Nous venons donc de prouver

$$
\mathrm{HF}_{\mathrm{E}}(u) = \delta \frac{u^r}{r!} + O(u^{r-1}).
$$

Par le Théorème 26.1, il s'ensuit que $r$ est la dimension de $I$, et que $\delta$ en est son degré.

Pour conclure la preuve, nous allons montrer que $m_1, \dots, m_\delta$ est une base de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$. On suppose maintenant les $\tilde{m}_i$ ordonnés de façon croissante $\tilde{m}_1 < \dots < \tilde{m}_s$. Tout élément de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$ s'écrit sous la forme $P/p$ avec $P \in \mathbb{R}$ et $p \in \mathbb{A}_r$. Par le Théorème 23.14, $P$ se récrit modulo $I$ sous la forme d'un polynôme de $\sum_{i=1}^\delta A_r m_i + \sum_{i=1}^s A_r \tilde{m}_i$. En particulier, chaque monôme $\tilde{m}_i$ $\tilde{m}_i$ est le monôme de tête d'un polynôme $P_i$ de $I$ qui appartient à $\sum_{i=1}^\delta A_r m_i + \sum_{j=1}^i A_r \tilde{m}_j$. Autrement dit, modulo $I'$ chaque monôme $\tilde{m}_i$ se récrit en un polynôme de $\sum_{i=1}^\delta K_r m_i + \sum_{j=1}^{i-1} K_r \tilde{m}_j$. Cela montre que les $m_i$ forment une famille génératrice de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$.

Soit maintenant une relation $\sum_{i=1}^{\delta} c_i m_i \in I'$, avec les $c_i$ dans $K_r$. Il existe un polynôme non nul $p \in A_r$ tel que tous les $pc_i$ soient dans $A_r$ et $P = \sum_{i=1}^{\delta} pc_i m_i$ soit dans $I$. Tous les monômes de $P$ sont dans le complémentaire de $E$ et donc $P$ est nul. Il s'ensuit que les $c_i$ sont tous nuls. Finalement les $m_i$ forment une famille libre de $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]/I'$.

**Exemple 26.6** Avec $n=2$, l'idéal $I = (X_2^2, X_1X_2) \subseteq k[X_0, X_1, X_2]$ est en position de Noether. On vérifie dim $I = 1$ et deg $I = 1$ en calculant son polynôme de Hilbert. Avec les notations de la preuve on a : $I' = (X_2)$, $\pi(E)$ est la partie engendrée par $(1)$ (l'exposant du monôme $X_2$), et $\pi(\tilde{E})$ est l'ensemble des deux vecteurs $\{(0), (1)\}$ (les exposants des monômes 1 et $X_2$).

Le chapitre suivant est consacré à l'étude et au calcul des positions de Noether, des points de vue de l'algèbre et de la géométrie. Nous y verrons en particulier une interprétation géométrique du degré d'une variété projective.

26.5 Suites régulières

Les suites régulières fournissent une classe très importante de systèmes polyno-
miaux qui sont très communs en pratique, sur lesquels les calculs de bases standard
se déroulent bien et pour lesquels on dispose d'une formule explicite pour la série de
Hilbert.
**Définition 26.9** Soit R un anneau. On dit qu’un élément $a \in R$ est un diviseur de zéro dans R s’il existe $b \in R \setminus \{0\}$ tel que $ab = 0$. Ceci est équivalent au fait que l’endomorphisme de multiplication par $a$ dans R ne soit pas injectif.

L'impact sur la fonction de Hilbert de l'ajout d'un polynôme $f$ à un idéal $I$ dépend de son caractère diviseur de zéro ou non : si $J$ est l'idéal $I + (f) \supset I$, de sorte que $R/J$ est un sous-espace vectoriel de $R/I$, soit $\phi_j$ l'application linéaire de $(R/I)_{j-d}$ dans $(R/I)_j$ qui associe à un élément de degré $j-d$ de $R/I$ son produit par $f$. Son image est formée des éléments de $(R/I)_j$ qui sont équivalents à 0 dans $(R/J)_j$. Elle a donc dimension $\dim(R/I)_j - \dim(R/J)_j$, qui vaut par ailleurs $\dim(R/I)_{j-d} - \dim \ker \phi_j$. Les dimensions de ces espaces satisfont donc $\dim(R/J)_j = \dim(R/I)_j - \dim(R/I)_{j-d} + \dim \ker \phi_j$ ou encore

$$ \mathrm{HF}_{R/J}(u) = \mathrm{HF}_{R/I}(u) - \mathrm{HF}_{R/I}(u-d) + \dim \ker \phi_j. \quad (26.3) $$

Pour $d$ assez grand, $\mathrm{HF}_{R/I}(u)$ est un polynôme $\mathrm{HP}_{R/I}(u)$ et $\dim \ker \phi_j$ est quant à lui borné par $\dim(R/I)_{j-d} = \mathrm{HP}_{R/I}(u-d)$. Si les premiers coefficients du polynôme $\mathrm{HP}_{R/I}$ s'écrivent $\mathrm{HP}_{R/I}(u) = \delta \frac{u^r}{r!} + cu^{r-1} + \dots$, où $r$ est la dimension, $\delta$ le degré, et $c \in \mathbb{Q}$, alors

$$ \begin{aligned} \mathrm{HP}_{R/I}(u) - \mathrm{HP}_{R/I}(u-d) &= \frac{\delta}{r!} (u^r - (u-d)^r) + c(u^{r-1} - (u-d)^{r-1}) + \dots \\ &= d\delta \frac{u^{r-1}}{(r-1)!} + c'u^{r-2} + \dots. \end{aligned} \quad (26.4) $$

Une première observation est donc que la dimension chute d'au plus un.

**Lemme 26.6** Soit $I$ un idéal homogène de $R$ de dimension $r$ et $f$ un polynôme de $R$. Alors la dimension de $I + (f)$ est $r-1$ ou $r$.

On obtient un résultat plus précis dans le cas où $f$ n'est pas diviseur de zéro dans $R/I$.

**Théorème 26.7** Soit $I$ un idéal homogène de dimension $r$, de degré $\delta$, et de régularité $e$. Soit $f$ un polynôme homogène de degré $d$ non diviseur de zéro dans $R/I$. Alors $I + (f)$ a pour dimension $r-1$, pour degré $d\delta$, et sa régularité est bornée par $e+d$.

*Démonstration.* Comme $f$ n'est pas diviseur de 0, l'application $\phi_j$ est injective, l'équation (26.3) montre que la régularité de $R/J$ est bornée par $e+d$, et l'équation (26.4) donne le polynôme de Hilbert de $R/J$, ce qui conclut la preuve. ■

**Définition 26.10** Une suite $f_1, \dots, f_s$ de polynômes est dite régulière si pour tout $i \in \{1, \dots, s\}$, la classe de $f_i$ dans $R/(f_1, \dots, f_{i-1})$ n'est pas un diviseur de zéro.
**Corollaire 26.8 — Borne de Macaulay.** Soit I un idéal homogène engendré par une suite régulière homogène $f_1, \dots, f_s$ de degrés respectifs $d_1, \dots, d_s$. Alors I a pour dimension $n-s$, pour degré $\prod_{i=1}^s d_i$ et une régularité majorée par $(\sum_{i=1}^s d_i) - n$.

*Démonstration.* Si $s=0$ alors $R/I = R$ et

$$ \mathrm{HF}_R(u) = \begin{cases} \binom{u+n}{n} & \text{pour } u \text{ positif} \\ 0 & \text{pour } u \text{ négatif.} \end{cases} $$

La dimension de $R$ est donc $n$, son degré est 1, et sa régularité est $-n$ car $\mathrm{HF}_R$ coïncide avec $\mathrm{HP}_R(u) = \binom{u+n}{n}$ si, et seulement si, $u \ge -n$. Le résultat est finalement une conséquence du théorème précédent. ■

**Exercice 26.1** On appelle série de Hilbert la série génératrice $\sum_{u \ge 0} \mathrm{HF}_E(u)t^u$. Avec les mêmes hypothèses que dans ce corollaire, calculer la série de Hilbert de l'idéal à l'aide de la récurrence (26.3). ■

Un premier résultat de complexité découle de ces considérations, et sert de base à un résultat plus général au chapitre suivant.

**Corollaire 26.9** Si I est un idéal engendré par $f_0, \dots, f_n$ une suite régulière de polynômes homogènes de R avec $f_i$ de degré $d_i$ pour $i \in \{0, \dots, n\}$, alors il admet une base standard minimale dont le degré des éléments est majoré par $(\sum_{i=0}^n d_i) - n$.

*Démonstration.* D'après le résultat précédent, la dimension de I est $-1$, ce qui signifie que son polynôme de Hilbert est nul, et donc que pour $d$ plus grand que la régularité, tous les polynômes sont dans l'idéal. ■

En termes informels, un système polynomial « bien posé » est une suite régulière. Plus précisément, cette propriété s'énonce comme une réciproque partielle du Corollaire 26.8, dont la preuve dépasse légèrement le cadre de cet ouvrage.

**Théorème 26.10** Si $f_1, \dots, f_s$ (avec $1 \le s \le n+1$) est une suite de polynômes homogènes de R tels que la dimension de $(f_1, \dots, f_s)$ est $n-s$, alors c'est une suite régulière.

Nous finissons ce chapitre en montrant que, dans un anneau de polynômes, une suite régulière, non nécessairement homogène, reste régulière lorsqu'on étend le corps des coefficients. Il est aisé de vérifier cette propriété à partir des définitions si on étend le corps de base avec une ou plusieurs nouvelles variables. En général, la preuve est un peu moins aisée.

**Proposition 26.11** Soient I un idéal de R, et $f$ un non diviseur de zéro dans $R/I$. Soit K une extension de $k$, et notons $I'$ l'extension de I dans $K[X_0, \dots, X_n]$. Alors, $f$ est non diviseur de zéro dans $K[X_0, \dots, X_n]/I'$.
*Démonstration.* Pour tester si un polynôme non nul $f$ est diviseur de zéro dans R/I, on considère l'ensemble $J = \{g/f \mid g \in I \cap (f)\}$, qui est en fait un idéal qui contient I. Supposons que $J$ coïncide avec $I$, et soit $g \in R$ tel que $gf \in I$. Alors, $g$ appartient à $J$ et donc à $I$. Il s'ensuit que $f$ est non diviseur de zéro dans R/I. Inversement, supposons que $f$ n'est pas un diviseur de zéro dans R/I, et soit $g$ un élément de $J$. Par construction on a $gf \in I$ et donc $g \in I$. Finalement on vient de montrer que $J$ coïncide avec $I$ si, et seulement si, $f$ est non diviseur de zéro dans R/I.

Une fois fixé un ensemble de polynômes générateurs $f_1, \dots, f_s$ de $I$, une base standard $g_1, \dots, g_r$ de $I \cap (f)$ s'obtient par l'algorithme de l'Exercice 24.3. Les polynômes $g_1/f, \dots, g_r/f$ engendrent $J$, et un nouveau calcul de base standard permet de tester si $J$ est contenu dans $I$. Par conséquent, tester si $f$ divise zéro dans R/I peut se faire avec un algorithme qui n'effectue des opérations que dans le corps engendré par les coefficients de $f_1, \dots, f_s$ et $f$. Étendre le corps $k$ dans lequel ces coefficients sont donnés ne change donc rien au calcul et à son résultat. $\blacksquare$

**Corollaire 26.12** Soit $f_1, \dots, f_s$ une suite régulière de $R$. Si $K$ est une extension de $k$, alors $f_1, \dots, f_s$ est régulière dans $K[X_0, \dots, X_n]$.

*Démonstration.* C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente, par récurrence. $\blacksquare$

## 26.6 Bases standard pour les suites régulières en position de Noether

Dans la situation fréquente d'idéaux engendrés par une suite régulière en position de Noether, la complexité du calcul de bases standard pour l'ordre $t \deg$ est maîtrisée. Le chapitre suivant montrera comment se ramener à la position de Noether si besoin.

**Lemme 26.13** Si les polynômes homogènes $f_1, \dots, f_s$ de $R$ forment une suite régulière en position de Noether, alors $f_1, \dots, f_s, X_{n-s}, \dots, X_0$ est également une suite régulière.

*Démonstration.* La preuve repose sur le Théorème 26.10, que nous venons d'admettre. Les variables $X_{n-s+1}, \dots, X_n$ étant entières modulo $I := (f_1, \dots, f_s)$, pour chaque $i \in \{n-s+1, \dots, n\}$, il existe dans $I$ un polynôme $g_i$ unitaire en $X_i$, et ne faisant pas intervenir les autres variables de $\{X_{n-s+1}, \dots, X_n\}$. L'idéal étant homogène, on peut supposer ces polynômes homogènes aussi. La spécialisation du polynôme $g_i$ en $X_{n-s} = \cdots = X_0 = 0$ est donc un monôme $X_i^{m_i}$ et il s'ensuit que la dimension de $(f_1, \dots, f_s, X_{n-s}, \dots, X_0)$ est $-1$. La conclusion découle du Théorème 26.10. $\blacksquare$

Nous considérons l'ordre noté $t \deg(X_n, \dots, X_0)$, variante de l'ordre lexicographique renversé gradué de la Définition 23.17, mais sur les variables permutées $X_0 > X_1 > \dots > X_n$. Autrement dit, à même degré, les plus grands monômes sont ceux qui ont le moins de $X_0$, puis le moins de $X_1$ et ainsi de suite. Par exemple, pour cet ordre, on a

$$X_3^3 > X_3^2 X_2 > X_3 X_2^2 > X_2^3 > X_3^2 X_1 > X_3 X_2 X_1 > X_2^2 X_1 > X_3 X_1^2 > X_2 X_1^2 > X_1^3.$$
**Lemme 26.14** Si I est un idéal engendré par des polynômes homogènes $f_1, \dots, f_s$ de $R$, qui forment une suite régulière en position de Noether, alors les monômes de tête de toute base standard minimale pour l'ordre $\text{deg}(X_n, \dots, X_0)$ ne sont divisibles par aucune des variables $X_0, \dots, X_{n-s}$.

Nous pouvons visualiser ce résultat en disant d'une manière imagée que l'escalier de l'idéal est *cylindrique* le long des variables $X_0, \dots, X_{n-s}$. Autrement dit l'escalier est engendré par des monômes vivant dans sa section par les variables $X_0, \dots, X_{n-s}$.

*Démonstration.* Il suffit de montrer que si $f \in I := (f_1, \dots, f_s)$ a un monôme de tête $M$ divisible par l'un des $X_i$, $i \in \{0, \dots, n-s\}$, alors il existe $g \in I$ dont le monôme de tête divise $M$ et ne dépend pas de $X_0, \dots, X_{n-s}$. Sans perte de généralité on peut supposer $f$ homogène (Proposition 23.3). Soit $\ell$ minimal tel que $X_\ell$ divise $M$ et soit $\alpha_\ell \ge 1$ l'exposant maximal tel que $X_\ell^{\alpha_\ell}$ divise $M$. Pour cet ordre, si $m$ est un monôme de degré inférieur à $\alpha_\ell$ en $X_\ell$ tel que $m < M$, alors il est divisible par un $X_i$ avec $i < \ell$. Il existe donc des polynômes homogènes $g_0, \dots, g_\ell$ tels que

$$f = X_{\ell}^{\alpha_{\ell}} g_{\ell} + X_{\ell-1} g_{\ell-1} + \dots + X_0 g_0,$$

$g_\ell$ appartenant à $k[X_\ell, \dots, X_n]$ et ayant pour monôme de tête $M/X_\ell^{\alpha_\ell} \in k[X_{\ell+1}, \dots, X_n]$.

À ce stade, $X_\ell^{\alpha_\ell} g_\ell \in \tilde{I} := (f_1, \dots, f_s, X_{\ell-1}, \dots, X_0)$. Si $\ell > n-s$, $M$ n'est divisible par aucune des variables $X_0, \dots, X_{n-s}$. Sinon, par le lemme précédent, $X_\ell$ n'est pas diviseur de 0 modulo I et donc $g_\ell$ appartient à la fois à l'idéal $\tilde{I}$ et à l'anneau $k[X_\ell, \dots, X_n]$, et donc à I. La conclusion découle d'une récurrence sur $\ell$, puisque $\text{tt}(g)$ divise $\text{tt}(f)$, $g \in I$ et $\text{tt}(g)$ ne fait plus intervenir $X_0, \dots, X_\ell$. ■

**Théorème 26.15** Si I est un idéal homogène de R engendré par une suite régulière $f_1, \dots, f_s$ en position de Noether, alors I admet une base standard minimale pour l'ordre $\text{deg}(X_n, \dots, X_0)$ dont les éléments ont degré borné par $D := \sum_{i=1}^s (d_i - 1) + 1$ et qui peut être calculée en

$$O\left(sD\binom{n+D}{D}\right)^{\theta}$$

opérations arithmétiques dans $k$, où $\theta$ est un exposant réalisable pour la multipli-cation de matrices.

*Démonstration.* D'après le lemme précédent, l'idéal I admet une base standard mi-nimale $g_1, \dots, g_u$ pour l'ordre $\text{deg}(X_n, \dots, X_0)$ dont les monômes de tête ne sont pas divisibles par $X_0, \dots, X_{n-s}$. Le Théorème 24.8 montre qu'alors $g_1, \dots, g_u, X_{n-s}, \dots, X_0$ est une base standard de l'idéal engendré par la suite $f_1, \dots, f_s, X_{n-s}, \dots, X_0$, qui est néces-sairement minimale, et qui est régulière d'après le Lemme 26.13. Le Corollaire 26.9 montre que l'idéal qu'elle engendre admet une base standard minimale dont les éléments ont degré au plus $d_1 + \dots + d_s - s + 1$. Le résultat de complexité découle alors de l'algorithme naïf par algèbre linéaire sur la matrice de Macaulay (présentée en Section 24.1), et sa complexité est donnée par la Proposition 24.1. ■
Pour mieux apprécier le comportement asymptotique de la borne du théorème ci-dessus, il suffit d'utiliser la formule de Stirling

$$ \log N! = N \log N - N + \frac{1}{2} \log N + O(1), \quad N \to \infty. $$

Si D et n tendent tous deux vers l'infini, le logarithme du coefficient binomial devient

$$ (D+n)\log(D+n) - D\log D - n\log n + \frac{1}{2}\log\frac{D+n}{nD} + O(1). $$

En posant $n = \lambda s$ avec $\lambda \ge 1$ et en notant $\delta$ la moyenne arithmétique des degrés $d_i$, le degré maximum D devient $s(\delta - 1) + 1$, et le comportement du logarithme ci-dessus se simplifie : les termes dominants en $n \log n$ ou $s \log s$ disparaissent et il reste

$$ s((\lambda + \delta - 1)\log(\lambda + \delta - 1) - \lambda \log \lambda - (\delta - 1)\log(\delta - 1)) - \frac{1}{2}\log s + O(1). $$

Ainsi le comportement de la complexité est simplement exponentiel, et nous avons obtenu.

**Corollaire 26.16** Dans les conditions du théorème précédent, si $\delta > 1$ borné est la moyenne arithmétique des degrés $d_i$ et $\lambda = n/s \ge 1$, alors la complexité du théorème devient

$$ O\left(\left(\frac{(\lambda + \delta - 1)^{\lambda + \delta - 1}}{\lambda^{\lambda}(\delta - 1)^{\delta - 1}}\right)^{\theta_s} s^{2-\theta/2}\right), \quad s \to \infty. $$

Ce résultat ne s'applique pas lorsque $\delta = 1$, qui correspond à un système linéaire, et où la complexité n'est pas exponentielle.

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

R Le calcul de bases standard en homogène est mieux compris car le degré des polynômes dans l'algorithme est croissant. Dans le cas affine, l'évolution du degré des polynômes dans l'algorithme est erratique. Cependant, les résultats de complexité de cette section s'appliquent sur la version homogénéisée d'un système inhomogène, si elle reste une suite régulière en position de Noether.

## Notes

Ce que nous appelons fonction de Hilbert de I est souvent appelé plutôt fonction de Hilbert de R/I, mais nous suivons l'usage plus simple d'emploi de l'ouvrage de Cox, Little, O'Shea [CLO96].

L'interprétation du degré d'un idéal en termes géométriques dépasse un peu le cadre de cet ouvrage. Pour un idéal de dimension zéro, il s'agit du nombre de points qui annulent l'idéal, en comptant leurs multiplicités. Dans le cas d'un idéal homogène I engendré par une suite régulière $f_1, \dots, f_n$, et en l'absence de multiplicités, nous verrons dans le Chapitre 28 que le produit des degrés $\deg(f_1) \cdots \deg(f_n)$ majore le nombre de points de $V(I)$. Ce produit des degrés est appelé une borne de Bézout du nombre de solutions du système $f_1 = \cdots = f_n = 0$.
Le Théorème 26.10 est dû à Macaulay [Mac94]. Une preuve dans le langage moderne s'obtient en utilisant la notion de décomposition primaire des idéaux [Lej84, Chap. III, Prop. 2.4].

L'étude des bases standard a conduit à une vaste littérature concernant leurs propriétés et les algorithmes pour les calculer. Il a été prouvé que les degrés des polynômes d'une base standard minimale de $(f_1, \dots, f_s) \subseteq k[X_1, \dots, X_n]$ sont au plus $2(d^2/2+d)^{2n-1}$ lorsque deg $f_i \le d$ pour tout $i$. Cette borne est doublement exponentielle dans le nombre de variables. En outre, il existe des idéaux pour lesquels les bases standard contiennent au moins $2^{2cn}$ éléments et des éléments de degré au moins $2^{2cn}$ pour une certaine constante réelle $c$ [Dem87; Huŷ86; MM82]. Un résumé des pires cas se trouve dans le livre de von zur Gathen et Gerhard [GG03, Chapitre 21].

La borne de complexité dans le pire cas n'est heureusement pas atteinte de façon systématique. De plus, il est difficile de prévoir le temps de calcul d'une base standard. Néanmoins, pour les systèmes en $n$ variables admettant un nombre fini de solutions (dans une clôture algébrique du corps de base), alors Giusti, Lazard et Lakshman ont conçu des algorithmes de coût $d^{O(n)}$, où $d$ est une borne sur le degré total des équations [Giu84; Lak90; Lak91; Laz83; LL91].

Le Théorème 26.15 montre que ce type de complexité simplement exponentielle est accessible pour une large classe de systèmes. Sa présentation provient d'idées dues à Lejeune-Jalabert [Lej84]. Ce théorème repose uniquement sur le degré maximal des éléments de la base et l'algèbre linéaire sur la matrice de Macaulay. Bardet, Faugère et Salvy [BFS15] ont donné une description plus précise de la forme de la base en explicitant le nombre d'éléments de chaque degré. Ils ont aussi conçu un algorithme (une variante de l'algorithme F5 [Fau02]) qui tire parti de la structure de cette matrice pour atteindre une complexité inférieure à celle du Théorème 26.15.

Bibliographie

BFS15 BARDET, Magali, Jean-Charles FAUGÈRE et Bruno SALVY (2015). « On the complexity of the $F_5$ Gröbner basis algorithm ». In : *Journal of Symbolic Computation*, vol. 70, p. 49-70.

CLO96 COX, David, John LITTLE et Donal O'SHEA (1996). *Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra*. 2e éd. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.

Dem87 DEMAZURE, M. (1987). « Le théorème de complexité de Mayr et Meyer ». In : *Géométrie algébrique et applications, I (La Rábida, 1984)*. Vol. 22. Travaux en Cours. Paris : Hermann, p. 35-58.

Fau02 FAUGÈRE, Jean-Charles (2002). « A new efficient algorithm for computing Gröbner bases without reduction to zero (F5) ». In : *Proceedings of the 2002 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*. ISSAC'02. New York, NY, USA : ACM, p. 75-83.

GG03 GATHEN, Joachim von zur et Jürgen GERHARD (2003). *Modern computer algebra*. 2e éd. Cambridge University Press.

Giu84 GIUSTI, M. (1984). « Some effectivity problems in polynomial ideal theory ». In : *EUROSAM 84 : International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation*, vol. 84, p. 1-10.
Computation Cambridge, England, July 9–11, 1984. Éd. par John FITCH. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, p. 159–171.

Huỳ86
HUỲNH, DÙNG T. (1986). « A superexponential lower bound for Gröbner bases and Church-Rosser commutative Thue systems ». In : *Information and Control*, vol. 68, n°1-3, p. 196–206.

Lak90
LAKSHMAN, Y. N. (1990). « On the complexity of computing a Gröbner basis for the radical of a zero dimensional ideal ». In : *Proceedings of the Twenty-second Annual ACM Symposium on Theory of Computing*. STOC '90. New York, NY, USA : ACM, p. 555–563.

Lak91
— (1991). « A single exponential bound on the complexity of computing Gröbner bases of zero dimensional ideals ». In : *Effective Methods in Algebraic Geometry*. Éd. par Teo MORA et Carlo TRAVERSO. Boston, MA : Birkhäuser Boston, p. 227–234.

Laz83
LAZARD, D. (1983). « Gröbner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations ». In : *Computer Algebra : EUROCAL'83, European Computer Algebra Conference London, England, March 28–30, 1983 Proceedings*. Éd. par J. A. HULZEN. Springer Berlin Heidelberg, p. 146–156.

Lej84
LEJEUNE-JALABERT, Monique (1984). *Effectivité de calculs polynomiaux*. Vol. 19. Cours de l'Institut Fourier. Cours de DEA 84–85. Université de Grenoble I. URL : http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=CIF_1984-1985_19_.

LL91
LAKSHMAN, Y. N. et Daniel LAZARD (1991). « On the complexity of zero-dimensional algebraic systems ». In : *Effective Methods in Algebraic Geometry*. Éd. par Teo MORA et Carlo TRAVERSO. Boston, MA : Birkhäuser Boston, p. 217–225.

Mac94
MACAULAY, F. S. (1994). *The algebraic theory of modular systems*. Cambridge Mathematical Library. Revised reprint of the 1916 original, With an introduction by Paul Roberts. Cambridge University Press.

MM82
MAYR, Ernst W. et Albert R. MEYER (1982). « The complexity of the word problems for commutative semigroups and polynomial ideals ». In : *Advances in Mathematics*, vol. 46, n°3, p. 305–329.
# 27. Normalisation de Noether

## Résumé

Étant donné un système d'équations linéaires homogènes, les formules de Cramer permettent de paramétrer les solutions en fonction de certaines des variables. Le lemme de normalisation de Noether fournit un résultat analogue pour des systèmes d'équations polynomiales. Il permet d'amener le système dans une forme où les calculs se déroulent bien et ou les ensembles solutions de dimensions quelconques peuvent être représentés efficacement comme en dimension zéro.

## 27.1 Introduction

Nous commençons par examiner la situation des systèmes d'équations linéaires sous-déterminés. Le but de ce chapitre est d'étendre aux systèmes algébriques les concepts habituels, rappelés dans les paragraphes qui suivent. Soient $f_1, \dots, f_s$ des formes linéaires homogènes à $n+1$ variables $X_0, \dots, X_n$, à coefficients dans un corps $k$ :

$$f_i(X_0, \dots, X_n) = \sum_{j=0}^{n} f_{ij} X_j.$$

### Point de vue de l'algèbre

On peut supposer, quitte à en enlever certaines, que les formes linéaires $f_1, \dots, f_s$ sont linéairement indépendantes (et donc forment une suite régulière). Comme la matrice F de dimension $s \times (n+1)$ qui leur est associée est de rang $s$, il existe un
mineur M non nul de taille s. Quitte à renuméroter les variables, F s'écrit donc

$$F = \begin{pmatrix} 0 \dots r & r+1 \dots n \\ N & M \\ \vdots & \vdots \\ s & \end{pmatrix}$$

avec $r = n - s$ et $\det M \neq 0$. Alors nous avons l'équivalence

$$F \begin{pmatrix} X_0 \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix} = 0 \iff M \begin{pmatrix} X_{r+1} \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix} = -N \begin{pmatrix} X_0 \\ \vdots \\ X_r \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} X_{r+1} \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix} = -M^{-1} N \begin{pmatrix} X_0 \\ \vdots \\ X_r \end{pmatrix}.$$

Ainsi, les $n-r$ dernières coordonnées, que nous appellerons *variables liées*, sont données en fonction des $r+1$ premières, que nous appellerons *variables libres*. L'espace vectoriel des solutions devient ainsi le graphe d'une application linéaire de $k^{r+1}$ dans $k^s$.

### Point de vue de la géométrie

L'interprétation géométrique des formules de Cramer est la suivante : si le rang de la matrice F est $s$, nous pouvons partitionner l'ensemble des variables en deux paquets, $X_0, \dots, X_r$ et $X_{r+1}, \dots, X_n$ après renumérotation. Définissons les deux sous-espaces linéaires projectifs B d'équations $X_{r+1} = \dots = X_n = 0$ et L d'équations $X_0 = \dots = X_r = 0$. Le sous-espace linéaire d'équations $f_1 = \dots = f_s = 0$ ne coupe pas L dans $\mathbb{P}^n$, et la projection de centre L l'envoie surjectivement sur B (cf. Définition 25.10).

### Point de vue de l'algorithmique

À partir de la matrice F, l'algorithme du pivot de Gauss permet d'exhiber un mineur non nul de taille maximale, avec un nombre d'opérations arithmétiques polynomial en $s$ et $n$. Ce calcul a été abordé au Chapitre 8.

## 27.2 Algorithme de mise en position de Noether

Notons $R := k[X_0, \dots, X_n]$, et soient $f_1, \dots, f_s$ des polynômes homogènes de $R$ de degrés respectifs $d_1, \dots, d_s$ :

$$f_i(X_0, \dots, X_n) = \sum_{|a|=d_i} f_{i,a} X_0^{a_0} \cdots X_n^{a_n}$$

où $a = (a_0, \dots, a_n)$ représente un élément de $\mathbb{N}^{n+1}$ de degré $|a| = a_0 + \dots + a_n$.

### Point de vue de l'algèbre

Au chapitre précédent, un idéal $I$ homogène de $R$ a été défini comme en *position de Noether* (Définition 26.8) s'il existe $r \in \{0, \dots, n\}$ tel que $I \cap k[X_0, \dots, X_r] = (0)$, et $R/I$ est une extension entière de $k[X_0, \dots, X_r]$. Cette position partitionne les variables en variables dites *libres* ($X_0, \dots, X_r$) et variables *liées* ($X_{r+1}, \dots, X_n$). Lorsque $k$ est infini, il
est toujours possible de s'y ramener, grâce à une méthode appelée normalisation de Noether, que nous allons décrire.

Si M est une matrice carrée de taille $n+1$ à coefficients dans $k$, et si $f \in k[X_0, \dots, X_n]$, on définit $f \circ M(X_0, \dots, X_n) := f(M \cdot^t (X_0, \dots, X_n))$. Si I est un idéal alors on note $I \circ M$ l'idéal engendré par les $f \circ M$ pour $f \in I$.

**Proposition 27.1** — Version algébrique du lemme de normalisation de Noether. Soit I un idéal homogène de $R = k[X_0, \dots, X_n]$. Si $k$ est infini, alors il existe un entier $r$ et une matrice $M$ inversible telle que $I \circ M$ soit en position de Noether.

**Exemple 27.1** Avec $n=2$, en changeant $X_1$ en $X_1+X_2$ dans $I = (X_1X_2-X_0^2)$, l'idéal devient $(X_2^2+X_1X_2-X_0^2)$ qui est bien en position de Noether, avec $r=1$. La situation affine correspondante avait été illustrée en Exemple 25.10.

La preuve de la proposition repose sur un lemme technique.

**Lemme 27.2** Soient $A \subseteq B$ une extension d'anneaux, et $b, c \in B$. Si $b$ est entier sur $A$ et $c$ est entier sur l'anneau $A[b]$, alors $c$ est entier sur $A$.

*Démonstration.* Écrivons les relations de dépendance entière sous la forme

$$P(b) = b^q + \sum_{i=0}^{q-1} a_i b^i = 0 \quad \text{et} \quad Q(c) = c^t + \sum_{j=0}^{t-1} A_j(b)c^j = 0,$$

avec $a_i \in A$ et $A_j \in A[X]$. Considérons ces relations comme des polynômes à coefficients dans $A[c]$ évalués en $b$. Leur résultant $\mathrm{Res}(P, Q)$ est nul car ils ont $b$ comme racine commune. Dans le développement du déterminant de la matrice de Sylvester, la diagonale produit le terme de plus grand degré, en l'occurrence $tq$, en $c$. Ce résultant est donc une relation unitaire à coefficients dans $A$. ■

En appliquant ce lemme à $d$ entier sur $A[b, c]$ on obtient que $d$ est entier sur $A$. Les cas particuliers $d = b+c$ et $d = bc$ montrent que la somme et le produit d'entiers sont entiers, et ainsi plus généralement les évaluations en des entiers sur $A$ de polynômes à coefficients dans $A$.

*Démonstration de la Proposition 27.1.* La preuve construit la matrice $M$ par produit de matrices carrées de dimension $n+1$ dont la forme par blocs est

$$M_i := \begin{pmatrix} B_i & 0 \\ 0 & I_{n-i} \end{pmatrix}, \qquad (27.1)$$
le bloc $B_i$ étant donné par

$$ B_i := \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{i,0} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_{i,1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_{i,i-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (27.2) $$

pour des coefficients $a_{i,0}, \dots, a_{i,i-1}$ que nous allons choisir.

Soit $A_i := k[X_0, \dots, X_i]$, et $J_i := I \circ M \cap A_i$. La preuve effectue une récurrence descendante sur $i$, à partir de $i = n$, en montrant qu'il existe une matrice $M$ inversible, de la forme $M_n \cdots M_{i+1}$ qui rend $X_{i+1}, \dots, X_n$ entiers sur $A_i$ modulo $I \circ M$. La construction s'arrête avec le premier incide $i$ rencontré tel que $J_i = (0)$.

Cette hypothèse est triviale avec $i = n$ (M étant la matrice identité). On suppose donc cette hypothèse vérifiée pour $i \le n$. Si $J_i = (0)$, alors, par construction, $M$ rend les variables $X_{i+1}, \dots, X_n$ entières sur $A_i$ et on trouve $r = i$. Cette construction donne bien une position de Noether.

Sinon, il existe un polynôme homogène $f$ non nul dans $J_i$. La Proposition 25.2 donne alors un changement de variables $^t(X_0, \dots, X_i) \mapsto B_i^t(X_0, \dots, X_i)$ qui permet de supposer $f$ unitaire en $X_i$. Après le changement de variables $M := M_n \cdots M_i$, $X_i$ devient entière sur $A_{i-1}$ modulo $I \circ M$, et les $X_j$ pour $j > i$ sont inchangés, et sont donc entiers sur $A_{i-1}$ modulo $I \circ M$ par le Lemme 27.2. L'hypothèse de récurrence est alors aussi bien satisfaite pour $i-1$.

## Point de vue de la géométrie

La version géométrique du lemme de normalisation de Noether dans le cadre projectif est la suivante :

**Proposition 27.3** — Version géométrique du lemme de normalisation de Noether. Supposons $k$ algébriquement clos. Pour tout idéal homogène $I$ de dimension $r$, il existe deux sous-espaces linéaires $L$ de codimension $r+1$ et $B$ de dimension $r$ telles que :

- $V(I)$ et $L$ ne se coupent pas,

- la restriction à $V(I)$ de la projection $\pi$ de centre $L$ et de base $B$ est surjective et finie, c'est-à-dire que pour tout point $b$ de $B$, la fibre $\pi^{-1}(b)$ est constituée d'un nombre fini non nul de points.

**Exemple 27.2** L'idéal $(X_1X_2 - X_0^2)$ des exemples précédents est une version homogénéisée de l'équation d'une hyperbole $X_1X_2 - 1 = 0$. La projection de l'hyperbole sur l'axe des $X_1$ d'équation $X_2 = 0$ rencontre tous les points sauf $X_1 = 0$, les fibres contiennent toutes exactement un point. Le changement de $X_1$ en $X_1 + X_2$ revient à considérer la droite $X_1 + X_2 = 0$ sur laquelle la projection devient surjective, et où chaque point a exactement un antécédent.

*Démonstration.* Par le Théorème 26.3, il existe un sous-espace linéaire $L$ disjoint de
V(I) de codimension minimale égale à $r + 1$. Soit B un espace de dimension $r$ ne coupant pas L et soit $\pi$ la projection de centre L et de base B.

La restriction de $\pi$ à V(I) est surjective : si un point $b \in B$ n'est pas une projection alors l'espace linéaire projectif $L + b$ ne coupe pas V(I); cet espace est de codimension $r$ ce qui contredit le Théorème 26.3.

Montrons maintenant que la fibre $\pi^{-1}(b) = V(I) \cap (L + b)$ est finie, c'est-à-dire de dimension zéro. La variété $W := \pi^{-1}(b) \subset L + b$ n'intersecte par L, et comme L est de codimension 1 dans $L + b$, le Théorème 26.3 implique que la dimension de $W$ est au plus zéro. ■

La proposition suivante montre que la version algébrique de la normalisation de Noether implique la version géométrique. D'une manière indépendante du Théorème 26.5, on retrouve que $r$ est la dimension de l'idéal, et qu'il est donc indépendant du procédé de calcul.

**Proposition 27.4** Supposons $k$ algébriquement clos. Soient I un idéal homogène de R et $r$ un entier, tels que $I \cap k[X_0, \dots, X_r] = (0)$ et R/I est une extension entière de $k[X_0, \dots, X_r]$. Soient $L := V(X_0, \dots, X_r)$, $B := V(X_{r+1}, \dots, X_n)$, et $\pi$ la projection de centre L et de base B. Alors V(I) n'intersecte pas L, la restriction de $\pi$ à V(I) est surjective, et $r$ est égal à la dimension de I.

*Démonstration.* Comme R/I est entier sur $k[X_0, \dots, X_r]$, pour tout $j \ge r + 1$, il existe un entier $m_j$ tel que $X_j^{m_j} \in I + (X_0, \dots, X_r)$. Par conséquent V(I) n'intersecte pas L. Comme $X_0, \dots, X_r$ forment une suite régulière, la dimension de L est $n - r - 1$ par le Corollaire 26.8. Le Théorème 26.3 implique que I est de dimension au plus $r$.

Afin de montrer que $\pi$ envoie V(I) surjectivement sur B nous pouvons nous restreindre à prouver que $\pi^{-1}(b)$ est non vide pour $b = (0 : \dots : 0 : 1) \in \mathbb{P}^r$ (le 1 est la valeur de la coordonnée $X_r$), quitte à effectuer un changement de variables linéaire inversible à $X_0, \dots, X_r$. Soit J l'idéal de $V(I) \cap (L+b)$, et soit $f$ un polynôme de J. Notons $f_j$ une relation entière pour l'image de $X_j$ dans R/I, à coefficients dans $k[X_0, \dots, X_{j-1}]$, pour chaque $j \ge r + 1$, et considérons

$$g := \mathrm{Res}_{X_{r+1}}(f_{r+1}, \mathrm{Res}_{X_{r+2}}(f_{r+2}, \mathrm{Res}_{X_{r+3}}(\dots, \mathrm{Res}_{X_n}(f_n, f)))).$$

En appliquant plusieurs fois la Proposition 6.7, on obtient $g \in J \cap k[X_0, \dots, X_r]$, ce qui implique que $g(0, \dots, 0, 1, X_{r+1}, \dots, X_n)$ est nul. Ensuite, en appliquant plusieurs fois la Proposition 6.8, on déduit que $f(0, \dots, 0, 1, X_{r+1}, \dots, X_n)$ ne peut pas être constant. En particulier une puissance de $X_r$ ne peut pas appartenir à J, et le Théorème 25.20 implique que $V(J) \ne \emptyset$. La restriction de $\pi$ à V(I) est donc bien surjective et le Théorème 26.3 implique que I est de dimension au moins $r$. ■

## Point de vue de l'algorithmique

En suivant la preuve de la Proposition 27.1 on obtient l'Algorithmme 27.1, où $T_{n+1}(k)$ représente l'ensemble des matrices carrées de taille $n+1$ sur $k$ qui sont triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale.
**Entrée** Un idéal I donné par un ensemble fini de générateurs homogènes.

**Sortie** Une matrice $M \in \mathcal{T}_{n+1}(k)$ telle que $I \circ M$ est en position de Noether, ainsi que la dimension $r$ de $I$.

1. Initialiser $i$ à $n$ et $M$ à la matrice identité.

2. Tant que $(I \circ M) \cap k[X_0, \dots, X_i] \neq (0)$ répéter :

a. choisir $f \in (I \circ M) \cap k[X_0, \dots, X_i]$ non nul;

b. trouver $(a_{0,i}, \dots, a_{i-1,i}) \in k^i \setminus \{0\}$ qui n'annule pas $f$;

c. remplacer $M$ par $M \cdot M_i$ ($M_i$ définie par l'équation (27.1)) et $i$ par $i-1$.

3. Renvoyer $M$ et $i$.

**Algorithme 27.1** – Algorithme de mise en position de Noether.

**Proposition 27.5** Si $k$ est infini, l'Algorithme 27.1 termine et le résultat renvoyé est correct.

*Démonstration.* L'algorithme est calqué sur la preuve de la Proposition 27.1. Si $k$ est infini alors il termine et renvoie bien un changement de variables qui met l'idéal $I$ en position de Noether. Le fait que l'entier $i$ est égal à la dimension de $I$ vient de la Proposition 27.4. ■

La partie calculatoire coûteuse de l'algorithme de mise en position de Noether est le test $(I \circ M) \cap k[X_0, \dots, X_i] \neq (0)$. Ce test peut être réalisé par un calcul de base standard en utilisant le Théorème 24.8, mais ceci peut s'avérer coûteux. Une autre façon d'aborder la mise en position de Noether est d'adopter un point de vue probabiliste, à partir de la proposition suivante :

**Proposition 27.6** Soit $I$ un idéal homogène de $R$. Il existe une variété affine propre $W$ de $\mathcal{T}_{n+1}(k)$ telle que pour toute matrice $M \in W$, l'idéal $I \circ M$ est en position de Noether.

*Démonstration.* Le changement de variables $M$ renvoyé par l'Algorithme 27.1 est $M = M_n M_{n-1} \cdots M_{r+1}$, en reprenant les notations de la preuve de la Proposition 27.1. Quelles que soient les valeurs $a_{n,0}, \dots, a_{n,n-1}$ n'annulant pas un polynôme homogène non nul de $I$, les valeurs $a_{n-1,0}, \dots, a_{n-1,n-2}$ n'annulant pas un polynôme homogène non nul de $I \cap k[X_1, \dots, X_{n-1}]$, ..., les valeurs $a_{r+1,0}, \dots, a_{r+1,r}$ n'annulant pas un polynôme homogène non nul de $I \cap k[X_1, \dots, X_{r+1}]$, l'idéal $I \circ M$ est en position de Noether. Ensuite, il suffit de remarquer que pour de telles valeurs et pour n'importe quelles valeurs de $a_{r,0}, \dots, a_{r,r-1}, \dots, a_{2,0}, a_{2,1}, a_{1,0}$ de $k$, l'idéal $I \circ M_n M_{n-1} \cdots M_1$ est toujours en position de Noether. ■

**Corollaire 27.7** Soit $I$ un idéal homogène de $R$. Il existe une variété affine propre $W$ de $M_{n+1}(k)$ telle que pour toute matrice $M \in W$, $M$ est inversible et l'idéal $I \circ M$
est en position de Noether.

**Démonstration.** L'ensemble des matrices carrées de taille $n+1$ ayant un mineur principal nul est contenu dans une variété propre de $M_{n+1}(k)$, définie par l'annulation de l'un de ces mineurs principaux. Par ailleurs, il est classique que toute matrice M en dehors de cette dernière variété peut se décomposer en $M = LU$, où L est une matrice triangulaire inférieure et U est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Comme $I \circ L$ est en position de Noether si, et seulement si, I l'est, la conclusion provient de la proposition précédente. ■

Si $k$ est infini, ou en tout cas suffisamment grand, on peut donc tirer au hasard un changement de variables qui met I en position de Noether avec une forte probabilité.

## 27.3 Utilisations de la position de Noether

Une application importante de la position de Noether est la représentation des variétés projectives de dimensions quelconques comme des variétés affines de dimension 0, pour lesquelles nous disposons de paramétrisations par éléments primitifs (Définition 25.4).

### Notation

Dans ce chapitre et le suivant, nous allons souvent considérer un idéal homogène I de $R = k[X_0, ..., X_n]$ de dimension $r$ en position de Noether, et certaines de ses extensions. Pour bien distinguer les anneaux et corps utilisés dans les constructions, nous posons :

$$A_r := k[X_0, ..., X_r], \quad B_r := R/I, \quad K_r := k(X_0, ..., X_r), \quad E_r := K_r[X_{r+1}, ..., X_n]/I', \quad (27.3)$$

où $I'$ est l'extension de I dans $K_r[X_{r+1}, ..., X_n]$. Le quotient $B_r$ ne dépend pas de $r$, mais cette notation rappelle qu'il s'agit d'une extension entière de $A_r$.

### Réduction au cas affine de dimension 0

Informellement, il suffit d'étendre le corps de base $k$ avec les variables libres. Cette construction a déjà été abordée dans la Section 26.4. du chapitre précédent.

**Proposition 27.8** Soit I un idéal homogène de $R$ de dimension $r \ge 0$ en position de Noether, et $I'$ l'extension de I dans $K_r[X_{r+1}, ..., X_n]$. Alors $I'$ est un idéal non homogène de dimension 0 (dans le cadre affine de la Définition 25.2). De plus, si I est radical alors $I'$ l'est aussi.

**Démonstration.** La première partie a déjà été vue au Théorème 26.5. Considérons un élément $g \in K_r[X_{r+1}, ..., X_n]$ et un entier $e \ge 1$ tels que $g^e$ appartienne à $I'$. Par définition de $I'$, il existe $a \in A_r$ non nul tel que $ag^e$, et donc $(ag)^e$, soient dans I. Si I est radical, alors $ag$ appartient lui aussi à I et donc $g$ à $I'$. Cela prouve que $I'$ est aussi radical. ■
**Exemple 27.3** On considère l’ideal $(f_1, f_2)$ dans $R = k[X_0, X_1, X_2, X_3]$, avec

$$f_1 := X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 - 2X_0^2, \quad f_2 := X_1^2 + X_2^2 - X_0^2.$$

L'idéal $I'$ engendré par $(f_1, f_2)$ dans $K_1[X_2, X_3]$ est de dimension 0, le quotient $E_1 = K_1[X_2, X_3]/I'$ admet $u = X_1 + 2X_2 - 3X_3$ comme élément primitif, et on obtient une paramétrisation de $I'$ sous forme de Kronecker (Définition 25.5)

$$\begin{align*}
q(T) &= T^4 - 4X_1 T^3 + (14X_1^2 - 26X_0^2)T^2 + \\
      &\qquad (52X_0^2 X_1 - 20X_1^3)T + 25X_0^4 + 14X_0^2 X_1^2 + 25X_1^4, \\
w_2(T) &= 8(X_0^2 - X_1^2)(T^2 - 2X_1 T + 5X_0^2 + 5X_1^2), \\
w_3(T) &= -12X_0^2(T^2 - 2X_1 T - 5X_0^2 - 3X_1^2),
\end{align*}$$

de sorte que $I' = (q(u), q'(u)X_2 - w_2(u), q'(u)X_3 - w_3(u))$. Rappelons que le polynôme $q$ n'est autre que le polynôme minimal de la multiplication par $u$ modulo $I'$. Le reste de cette section montre comment relier une telle paramétrisation de $I'$ à la variété $V_{\bar{k}}(I)$.

## Polynômes caractéristique et minimal

En Section 25.2, nous avons étudié les polynômes caractéristiques et minimaux des endomorphismes de multiplication pour construire les paramétrisations par élément primitif des idéaux radicaux de dimension 0. Nous allons reprendre cette approche en dimension quelconque dans le cadre projectif en exploitant la position de Noether.

Si $f$ est un polynôme homogène de $R$, alors on note $\mu_f$ (resp. $\chi_f$) le polynôme minimal (resp. caractéristique) de l'endomorphisme de multiplication par $f$ dans $E_r$. Ces objets sont bien définis puisque la proposition précédente assure que $E_r$ est une $K_r$-algèbre de dimension finie, dimension que nous noterons $\delta$ par la suite.

**Exemple 27.4** Dans l'exemple précédent, on considère la multiplication par $f_3 = X_1 - 3X_2 + X_3$ dans $E_1 = \mathbb{Q}(X_0, X_1)[X_2, X_3]/(f_1, f_2)$. Une base standard de l'idéal engendré par les polynômes $(f_1, f_2)$ dans $\mathbb{Q}(X_0, X_1)[X_2, X_3]$ pour l'ordre $\text{deg}(X_3, X_2)$ (c'est-à-dire induit par $X_3 > X_2$) est donnée par $g_1 = f_2 = X_2^2 + X_1^2 - X_0^2$, $g_2 = f_1 - f_2 = X_3^2 - X_0^2$. Ceci fournit d'abord une base du quotient $E_1$ via les monômes sous l'escalier, à savoir $(1, X_2, X_3, X_2X_3)$. Ensuite, la matrice de multiplication par $f_3$ dans cette base vaut

$$\begin{pmatrix}
X_1 & -3(X_0^2 - X_1^2) & X_0^2 & 0 \\
-3 & X_1 & 0 & X_0^2 \\
1 & 0 & -3X_1 & -3(X_0^2 - X_1^2) \\
0 & 1 & -3 & X_1
\end{pmatrix},$$

et son polynôme caractéristique est

$$\chi_{f_3}(T) = T^4 - 4X_1 T^3 + 4(6X_1^2 - 5X_0^2)T^2 + 40X_1(X_0^2 - X_1^2)T + 4(X_0^2 - X_1^2)(16X_0^2 - 25X_1^2).$$
Ce polynôme est sans carré, il est donc aussi minimal.

A priori, les coefficients de ces polynômes $\chi_f$ et $\mu_f$ sont dans $K_r$, mais nous allons montrer que, comme dans cet exemple, il s'agit en fait de polynômes en les variables libres $X_0, \dots, X_r$, dont les degrés sont maîtrisés.

**Définition 27.1** Un polynôme $q \in A_r[T]$ est dit quasi-homogène pour le poids $d$ pour $T$ et 1 pour $X_0, \dots, X_r$ si $q(X_0, \dots, X_r, T^d)$ est homogène. Le quasi-degré d'un tel polynôme $q$ pour ces poids est le degré de $q(X_0, \dots, X_r, T^d)$.

**Proposition 27.9** Soit I un idéal homogène de dimension $r \ge 0$ en position de Noether, et soit $f$ un polynôme homogène de degré $d \ge 1$ de $k[X_0, \dots, X_n]$. Alors, le polynôme minimal $\mu_f(T)$ et le polynôme caractéristique $\chi_f(T)$ de l'endomorphisme de multiplication par $f$ dans $E_r$ appartiennent à $A_r[T]$, et sont quasi-homogènes si on associe le poids $d$ à la variable $T$, et 1 aux variables $X_0, \dots, X_r$.

*Démonstration.* Puisque I est en position de Noether, $f$ mod $I$ est entier sur l'anosseau $A_r$, et donc il existe un polynôme unitaire $q \in A_r[T]$ de degré $m$ tel que $q(f) = 0$ dans $E_r$. Écrivons $q(f)$ sous la forme $\sum_{i=0}^m q_i f^i$, avec $q_i \in A_r$ et $q_m = 1$. Comme $f$ est homogène, la composante homogène de degré $dm$ de $q(f)$ s'écrit sous la forme $\sum_{i=0}^m q_{i,m-i} f^i$, où $q_{i,m-i}$ est la composante homogène de degré $m-di$ de $q_i$. Comme I est homogène, la Proposition 23.3 assure que le polynôme $\sum_{i=0}^m q_{i,m-i} f^i$ est dans I.

Par conséquent, le polynôme $Q(T) = \sum_{i=0}^{m} q_{i,m-i} T^i$ est une relation de dépendance entière pour $f$, qui est quasi-homogène. Par le lemme de Gauss (Théorème 21.2) tous les facteurs irréductibles de $Q$ ont leurs coefficients dans $A_r$. Ils sont aussi quasi-homogènes : on peut écrire chaque facteur comme somme de ses composantes de quasi-degrés distincts, et dans le produit, seul demeure le produit des composantes de plus haut quasi-degré. Tout produit de puissances de ces facteurs irréductibles est quasi-homogène. C'est le cas de $\mu_f$, qui est unitaire et qui divise $Q$ (puisqu'il annule $f$), et de $\chi_f$, qui a les mêmes facteurs irréductibles que $\mu_f$. ■

## Position de Noether simultanée

Pour développer des algorithmes incrémentaux dans la suite de cette partie, il est commode d'exiger une propriété un peu plus forte que la position de Noether.

**Définition 27.2** Une suite régulière de polynômes homogènes $f_1, \dots, f_s$ de $R$ est en position de Noether simultanée si chacun des idéaux intermédiaires ($f_1, \dots, f_i$), pour $i \in \{1, \dots, s\}$, est lui-même en position de Noether.

**Exemple 27.5** L'idéal $(f_1, f_2) := (X_2^2 + X_1^2 - X_0^2, X_1X_2 - X_0^2)$ de $R = k[X_0, X_1, X_2]$ est en position de Noether simultanée : $f_1$ est unitaire en $X_2$, et l'idéal contient le polynôme $X_1^2 f_1 - (X_0^2 + X_1X_2)f_2 = X_1^4 - X_1^2X_0^2 + X_0^4 \in k[X_0, X_1]$ qui est unitaire en $X_1$. En revanche l'idéal $(f_2, f_1)$ n'est pas en position de Noether simultanée, comme le
montre l'Exemple 26.4.

Si un idéal I est engendré par une suite régulière de polynômes homogènes $f_1, \dots, f_s$ de R, alors pour chaque valeur de $i$, le Corollaire 27.7 donne l'existence d'une variété propre $W_i$ dans l'espace des changements de variables linéaires telle que tout changement de variables choisi en dehors de $W_i$ soit inversible et mette l'idéal intermédiaire $I_i = (f_1, \dots, f_i)$ en position de Noether. Donc quitte à appliquer un changement de variables linéaire pris à l'extérieur de $W_1 \cup \dots \cup W_s$, à partir de maintenant nous pourrons librement supposer que $f_1, \dots, f_s$ est en position de Noether simultanée.

### Absence de torsion

La proposition précédente montre que les polynômes $\mu_f(f)$ et $\chi_f(f)$, qui appartiennent à $I'$ par le Lemme 25.8, sont des polynômes de R. Dans les prochains paragraphes nous montrons que l'inclusion $I \subseteq I' \cap R$ devient une égalité sous certaines « conditions de généricité », ce qui implique que $\mu_f(f)$ et $\chi_f(f)$ appartiennent aussi à I. Cette propriété est la clé pour montrer qu'une paramétrisation par élément primitif de $I'$ constitue une bonne représentation de $V_{\bar{k}}(I)$.

**Exemple 27.6** L'idéal $I = (X_2) \cap (X_2, X_1)^2$ de $R = A_2 = k[X_0, X_1, X_2]$ est en position de Noether, de dimension 1, et on vérifie que $I'$ vaut $(X_2)$. Par conséquent l'inclusion $I \subseteq I' \cap R$ est en général stricte.

Si $b$ est un élément de $I' \cap R$, alors il existe $a$ non nul dans $A_r$ tel que $ab$ appartienne à I. Ainsi, pour prouver l'égalité $I = I' \cap R$, la définition suivante sera utile, appliquée au $A_r$-module $B_r = R/I$ :

**Définition 27.3** Soit $A$ un anneau intègre, et soit $M$ un $A$-module. Un élément $b \in M$ est de torsion s'il existe un élément $a \in A$ non nul tel que $ab = 0$. Le module $M$ est dit sans torsion si zéro est son seul élément de torsion.

**Exemple 27.7** Considérons $n = 2$, et $I = (X_2) \cap (X_1, X_2)^2$. L'idéal I est de dimension 1 et en position de Noether. L'image de $X_2$ dans $B_1 = R/I$ est non nulle, alors que celle de $X_1X_2$ l'est. Le $A_1$-module $B_1$ a donc de la torsion. En termes géométriques, $V_{\bar{k}}(I)$ est une droite d'idéal annulateur $(X_2)$. C'est le point $V_{\bar{k}}((X_1, X_2)^2)$, que l'on peut considérer comme « multiple » sur la droite, qui est responsable de la torsion ici.

**Exemple 27.8** Considérons $n = 2$, et $I = (X_2) \cap (X_2 - X_0, X_1)$. L'idéal I est de dimension 1 et en position de Noether. L'image de $X_2$ dans $B_1 = R/I$ est non nulle, alors que celle de $X_1X_2$ l'est. Le $A_1$-module $B_1$ a donc de la torsion. En termes géométriques, $V_{\bar{k}}(I)$ est l'union d'une droite et d'un point, et c'est ce point qui est responsable de la torsion ici.

Nous allons maintenant prouver le résultat suivant, qui donne des conditions suffisantes pour que $B_r$ soit sans torsion. Les notations sont celles de l'Équation (27.3).
**Théorème 27.10** Soit I un idéal de R, homogène, radical et engendré par une suite régulière $f_1, \dots, f_{n-r}$ en position de Noether simultanée. Alors $B_r$ est un $A_r$-module sans torsion. En particulier, on a $I = I' \cap R$, où $I'$ est l'extension de I dans $K_r[X_{r+1}, \dots, X_n]$.

La preuve utilise un raisonnement par récurrence sur le nombre d'éléments de la suite régulière. Un des arguments de l'étape de récurrence est fourni par le lemme suivant qui permet d'exhiber un polynôme unitaire en la nouvelle variable liée.

**Lemme 27.11** Soit I un idéal homogène radical de dimension $r > 0$ en position de Noether, et soit $f$ un polynôme homogène de R qui n'est pas diviseur de zéro dans $B_r$. Si $B_r$ est un $A_r$-module sans torsion, et si $I + (f)$ est en position de Noether, alors le polynôme $\mu_f(0)$ est non nul et unitaire en $X_r$.

*Démonstration.* D'après le Théorème 26.7, la dimension de $I + (f)$ est $r-1$. Comme I et $I + (f)$ sont supposés en position de Noether, il existe un polynôme homogène non nul $a \in (I + (f)) \cap A_r$ qui est unitaire en $X_r$. Ensuite, il existe un polynôme homogène $g \in R$ tel que $a$ s'écrive $gf$ dans $B_r$. Écrivons le polynôme minimal de $f$ dans $E_r$ sous la forme

$$ \mu_f(T) = T^m + \mu_{f,m-1} T^{m-1} + \dots + \mu_{f,0}. $$

L'absence de torsion de $B_r$ implique $\mu_f(f) \in I$. Si $\mu_{f,0} = \mu_f(0)$ était nul, alors on aurait $v(f)f \in I$, avec $v(T) = \mu_f(T)/T$. Comme $f$ est non diviseur de zéro dans $E_r$, le polynôme $v(f)$ appartiendrait à I et serait un annulateur de $f$ dans $E_r$ qui divise strictement $\mu_f$, ce qui est impossible de par la minimalité de $\mu_f$.

Les polynômes $a$ et $\mu_{f,0}$ étant non nuls dans $K_r$, le polynôme minimal de $g$ dans $E_r$ n'est autre que $T^m \mu_f(a/T)/\mu_{f,0}$, qui s'écrit

$$ \mu_g(T) = T^m + \dots + \frac{\mu_{f,m-1} a^{m-1}}{\mu_{f,0}} T + \frac{a^m}{\mu_{f,0}}. $$

Par la Proposition 27.9, les coefficients de $\mu_g$ sont dans $A_r$, et en particulier son coefficient constant. Par conséquent $\mu_{f,0}$ divise $a^m$ dans $A_{r-1}[X_r]$. Ceci montre bien que $\mu_f(0)$ est unitaire en $X_r$. ■

Le raisonnement sur l'ajout d'un nouveau polynôme $f$ passe par une étape intermédiaire :

**Lemme 27.12** Soit I un idéal homogène radical de dimension $r > 0$ en position de Noether tel que $B_r$ est un $A_r$-module sans torsion, et soit $f$ un polynôme homogène de R qui n'est pas diviseur de zéro dans $B_r$ et tel que $I + (f)$ est en position de Noether. En posant $R_Y = A_r[Y, X_{r+1}, \dots, X_n]$ et $I_Y = I + (Y - f)$, on a les propriétés suivantes :

i. $I_Y \cap A_{r-1}[Y] = (0)$;

ii. $R_Y/I_Y$ est une extension entière de l'anneau $A_{r-1}[Y]$;