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Ouvrages de référence

Le lecteur trouvera ci-après les ouvrages de référence dans le domaine de la détonique, mais aussi dans celui du comportement sous choc ou en compression statique des matériaux énergétiques, ainsi qu’en thermochimie et en thermocinétique. Cette liste ne se veut pas exhaustive, mais permet de balayer les différents domaines abordés dans ce mémoire.

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# Annexe I Fréquences de vibrations internes des explosifs purs

Ces données ont été calculées dans le cadre de [Osmont, 2007] et doivent être corrigées d'un coefficient multiplicatif de 0,9613

<table><thead><tr><th colspan="2">TNT</th><th colspan="2">RDX</th><th colspan="2">ONTA</th></tr><tr><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>51,0728</td><td>1</td><td>37,7286</td><td>1</td><td>85,8476</td></tr><tr><td>2</td><td>53,2639</td><td>2</td><td>41,0116</td><td>2</td><td>143,6208</td></tr><tr><td>3</td><td>57,7236</td><td>3</td><td>67,9554</td><td>3</td><td>202,3071</td></tr><tr><td>4</td><td>95,9761</td><td>4</td><td>70,2397</td><td>4</td><td>300,4848</td></tr><tr><td>5</td><td>121,8785</td><td>5</td><td>103,9252</td><td>5</td><td>407,2408</td></tr><tr><td>6</td><td>150,4964</td><td>6</td><td>105,7523</td><td>6</td><td>462,8292</td></tr><tr><td>7</td><td>177,739</td><td>7</td><td>228,4265</td><td>7</td><td>480,3231</td></tr><tr><td>8</td><td>188,9747</td><td>8</td><td>228,9557</td><td>8</td><td>541,4296</td></tr><tr><td>9</td><td>196,9684</td><td>9</td><td>303,6496</td><td>9</td><td>578,7012</td></tr><tr><td>10</td><td>296,0863</td><td>10</td><td>370,0572</td><td>10</td><td>649,1294</td></tr><tr><td>11</td><td>324,7303</td><td>11</td><td>371,310</td><td>11</td><td>730,2512</td></tr><tr><td>12</td><td>329,1225</td><td>12</td><td>417,6834</td><td>12</td><td>750,1192</td></tr><tr><td>13</td><td>353,6341</td><td>13</td><td>421,2394</td><td>13</td><td>751,1763</td></tr><tr><td>14</td><td>368,4888</td><td>14</td><td>446,885</td><td>14</td><td>832,5991</td></tr><tr><td>15</td><td>388,593</td><td>15</td><td>469,4482</td><td>15</td><td>987,1561</td></tr><tr><td>16</td><td>468,7231</td><td>16</td><td>589,4929</td><td>16</td><td>1012,2635</td></tr><tr><td>17</td><td>479,1945</td><td>17</td><td>590,2579</td><td>17</td><td>1098,9478</td></tr><tr><td>18</td><td>536,3149</td><td>18</td><td>593,558</td><td>18</td><td>1204,8632</td></tr><tr><td>19</td><td>547,1996</td><td>19</td><td>661,8005</td><td>19</td><td>1247,9349</td></tr><tr><td>20</td><td>655,9205</td><td>20</td><td>661,8991</td><td>20</td><td>1388,752</td></tr><tr><td>21</td><td>665,0947</td><td>21</td><td>745,7993</td><td>21</td><td>1395,5107</td></tr><tr><td>22</td><td>710,5377</td><td>22</td><td>755,4344</td><td>22</td><td>1481,8659</td></tr><tr><td>23</td><td>736,2604</td><td>23</td><td>755,5861</td><td>23</td><td>1625,6063</td></tr><tr><td>24</td><td>741,3457</td><td>24</td><td>784,7449</td><td>24</td><td>1664,1917</td></tr><tr><td>25</td><td>780,0315</td><td>25</td><td>861,1344</td><td>25</td><td>1886,5214</td></tr><tr><td>26</td><td>781,7771</td><td>26</td><td>861,4387</td><td>26</td><td>3677,7489</td></tr><tr><td>27</td><td>801,7951</td><td>27</td><td>892,9469</td><td>27</td><td>3683,5746</td></tr><tr><td>28</td><td>835,508</td><td>28</td><td>917,113</td><td></td><td></td></tr><tr><td>29</td><td>917,4227</td><td>29</td><td>918,1044</td><td></td><td></td></tr><tr><td>30</td><td>948,9339</td><td>30</td><td>940,6092</td><td></td><td></td></tr><tr><td>31</td><td>956,8171</td><td>31</td><td>1012,7723</td><td></td><td></td></tr><tr><td>32</td><td>959,5138</td><td>32</td><td>1013,1364</td><td></td><td></td></tr><tr><td>33</td><td>1049,7543</td><td>33</td><td>1148,9334</td><td></td><td></td></tr><tr><td>34</td><td>1053,5781</td><td>34</td><td>1247,9894</td><td></td><td></td></tr><tr><td>35</td><td>1099,6659</td><td>35</td><td>1257,609</td><td></td><td></td></tr><tr><td>36</td><td>1186,8393</td><td>36</td><td>1259,8008</td><td></td><td></td></tr><tr><td>37</td><td>1215,578</td><td>37</td><td>1272,8292</td><td></td><td></td></tr><tr><td>38</td><td>1222,5608</td><td>38</td><td>1308,1537</td><td></td><td></td></tr><tr><td>39</td><td>1359,603</td><td>39</td><td>1311,4316</td><td></td><td></td></tr><tr><td>40</td><td>1394,0831</td><td>40</td><td>1361,4267</td><td></td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>1396,7298</td><td>41</td><td>1368,9913</td><td></td><td></td></tr><tr><td>42</td><td>1406,8986</td><td>42</td><td>1382,353</td><td></td><td></td></tr><tr><td>43</td><td>1427,7662</td><td>43</td><td>1385,3423</td><td></td><td></td></tr><tr><td>44</td><td>1429,1536</td><td>44</td><td>1407,3151</td><td></td><td></td></tr><tr><td>45</td><td>1480,4502</td><td>45</td><td>1408,3646</td><td></td><td></td></tr><tr><td>46</td><td>1485,4593</td><td>46</td><td>1468,7637</td><td></td><td></td></tr><tr><td>47</td><td>1502,7113</td><td>47</td><td>1470,4394</td><td></td><td></td></tr><tr><td>48</td><td>1615,3598</td><td>48</td><td>1489,6635</td><td></td><td></td></tr><tr><td>49</td><td>1633,5765</td><td>49</td><td>1678,1555</td><td></td><td></td></tr><tr><td>50</td><td>1648,4029</td><td>50</td><td>1705,0364</td><td></td><td></td></tr><tr><td>51</td><td>1676,9955</td><td>51</td><td>1705,8701</td><td></td><td></td></tr><tr><td>52</td><td>1678,108</td><td>52</td><td>3081,7426</td><td></td><td></td></tr><tr><td>53</td><td>3085,1345</td><td>53</td><td>3082,1265</td><td></td><td></td></tr><tr><td>54</td><td>3155,6546</td><td>54</td><td>3087,9068</td><td></td><td></td></tr><tr><td>55</td><td>3189,4068</td><td>55</td><td>3217,5898</td><td></td><td></td></tr><tr><td>56</td><td>3264,456</td><td>56</td><td>3218,6386</td><td></td><td></td></tr><tr><td>57</td><td>3264,5907</td><td>57</td><td>3220,3228</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th colspan="3">HMX</th><th colspan="3">TATB</th></tr><tr><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th><th>N°</th><th>Fréquence (cm<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>28,5398</td><td>67</td><td>1672,0826</td><td>1</td><td>19,3625</td></tr><tr><td>2</td><td>50,1147</td><td>68</td><td>1692,4367</td><td>2</td><td>23,4345</td></tr><tr><td>3</td><td>53,9517</td><td>69</td><td>1695,9390</td><td>3</td><td>35,2111</td></tr><tr><td>4</td><td>54,9202</td><td>70</td><td>1702,6520</td><td>4</td><td>75,8544</td></tr><tr><td>5</td><td>72,3840</td><td>71</td><td>3050,2119</td><td>5</td><td>78,0056</td></tr><tr><td>6</td><td>92,4122</td><td>72</td><td>3050,4491</td><td>6</td><td>79,1281</td></tr><tr><td>7</td><td>97,8062</td><td>73</td><td>3059,9335</td><td>7</td><td>198,3984</td></tr><tr><td>8</td><td>105,9626</td><td>74</td><td>3064,0670</td><td>8</td><td>286,4632</td></tr><tr><td>9</td><td>106,7721</td><td>75</td><td>3191,3770</td><td>9</td><td>286,9555</td></tr><tr><td>10</td><td>129,7398</td><td>76</td><td>3192,4907</td><td>10</td><td>312,7923</td></tr><tr><td>11</td><td>190,6645</td><td>77</td><td>3192,8185</td><td>11</td><td>313,2534</td></tr><tr><td>12</td><td>194,6530</td><td>78</td><td>3194,3977</td><td>12</td><td>355,5014</td></tr><tr><td>13</td><td>216,0837</td><td></td><td></td><td>13</td><td>355,6859</td></tr><tr><td>14</td><td>257,8297</td><td></td><td></td><td>14</td><td>379,0468</td></tr><tr><td>15</td><td>328,2090</td><td></td><td></td><td>15</td><td>391,8523</td></tr><tr><td>16</td><td>369,1637</td><td></td><td></td><td>16</td><td>452,3223</td></tr><tr><td>17</td><td>386,4884</td><td></td><td></td><td>17</td><td>452,5225</td></tr><tr><td>18</td><td>403,4824</td><td></td><td></td><td>18</td><td>501,5292</td></tr><tr><td>19</td><td>408,6923</td><td></td><td></td><td>19</td><td>520,0162</td></tr><tr><td>20</td><td>409,6253</td><td></td><td></td><td>20</td><td>520,0754</td></tr><tr><td>21</td><td>448,6381</td><td></td><td></td><td>21</td><td>621,2335</td></tr><tr><td>22</td><td>468,7983</td><td></td><td></td><td>22</td><td>622,2669</td></tr><tr><td>23</td><td>586,6555</td><td></td><td></td><td>23</td><td>641,3462</td></tr><tr><td>24</td><td>597,4861</td><td></td><td></td><td>24</td><td>642,9327</td></tr><tr><td>25</td><td>619,9762</td><td></td><td></td><td>25</td><td>658,7699</td></tr><tr><td>26</td><td>638,2329</td><td></td><td></td><td>26</td><td>674,4191</td></tr><tr><td>27</td><td>642,0437</td><td></td><td></td><td>27</td><td>674,5844</td></tr><tr><td>28</td><td>643,6059</td><td></td><td></td><td>28</td><td>722,5179</td></tr><tr><td>29</td><td>715,8340</td><td></td><td></td><td>29</td><td>722,6543</td></tr><tr><td>30</td><td>739,9378</td><td></td><td></td><td>30</td><td>734,7851</td></tr><tr><td>31</td><td>754,0762</td><td></td><td></td><td>31</td><td>739,7595</td></tr><tr><td>32</td><td>756,5948</td><td></td><td></td><td>32</td><td>739,9153</td></tr><tr><td>33</td><td>762,8952</td><td></td><td></td><td>33</td><td>741,8686</td></tr><tr><td>34</td><td>768,1792</td><td></td><td></td><td>34</td><td>792,5009</td></tr><tr><td>35</td><td>849,0503</td><td></td><td></td><td>35</td><td>794,6451</td></tr><tr><td>36</td><td>855,3570</td><td></td><td></td><td>36</td><td>795,5607</td></tr><tr><td>37</td><td>879,7700</td><td></td><td></td><td>37</td><td>847,2323</td></tr><tr><td>38</td><td>885,5687</td><td></td><td></td><td>38</td><td>923,3557</td></tr><tr><td>39</td><td>904,7886</td><td></td><td></td><td>39</td><td>924,1994</td></tr><tr><td>40</td><td>931,6161</td><td></td><td></td><td>40</td><td>1094,4222</td></tr><tr><td>41</td><td>931,8334</td><td></td><td></td><td>41</td><td>1094,6438</td></tr><tr><td>42</td><td>938,8934</td><td></td><td></td><td>42</td><td>1169,5487</td></tr><tr><td>43</td><td>1018,7630</td><td></td><td></td><td>43</td><td>1199,4001</td></tr><tr><td>44</td><td>1091,1217</td><td></td><td></td><td>44</td><td>1230,0791</td></tr><tr><td>45</td><td>1123,7226</td><td></td><td></td><td>45</td><td>1230,3485</td></tr><tr><td>46</td><td>1183,9720</td><td></td><td></td><td>46</td><td>1271,2753</td></tr><tr><td>47</td><td>1241,8483</td><td></td><td></td><td>47</td><td>1309,7664</td></tr><tr><td>48</td><td>1251,4554</td><td></td><td></td><td>48</td><td>1310,4533</td></tr><tr><td>49</td><td>1280,5930</td><td></td><td></td><td>49</td><td>1382,6550</td></tr><tr><td>50</td><td>1286,2320</td><td></td><td></td><td>50</td><td>1382,9909</td></tr><tr><td>51</td><td>1311,3903</td><td></td><td></td><td>51</td><td>1384,5602</td></tr><tr><td>52</td><td>1315,8140</td><td></td><td></td><td>52</td><td>1504,5361</td></tr><tr><td>53</td><td>1336,0015</td><td></td><td></td><td>53</td><td>1520,5295</td></tr><tr><td>54</td><td>1352,7125</td><td></td><td></td><td>54</td><td>1520,8278</td></tr><tr><td>55</td><td>1369,2680</td><td></td><td></td><td>55</td><td>1543,6912</td></tr><tr><td>56</td><td>1370,1865</td><td></td><td></td><td>56</td><td>1606,0689</td></tr><tr><td>57</td><td>1388,7216</td><td></td><td></td><td>57</td><td>1606,6022</td></tr><tr><td>58</td><td>1410,2257</td><td></td><td></td><td>58</td><td>1635,4144</td></tr><tr><td>59</td><td>1413,1420</td><td></td><td></td><td>59</td><td>1635,9792</td></tr><tr><td>60</td><td>1416,7061</td><td></td><td></td><td>60</td><td>1641,2417</td></tr><tr><td>61</td><td>1436,1346</td><td></td><td></td><td>61</td><td>3416,7015</td></tr><tr><td>62</td><td>1456,4275</td><td></td><td></td><td>62</td><td>3417,2258</td></tr><tr><td>63</td><td>1456,8618</td><td></td><td></td><td>63</td><td>3423,9141</td></tr><tr><td>64</td><td>1467,6059</td><td></td><td></td><td>64</td><td>3528,3476</td></tr><tr><td>65</td><td>1481,2905</td><td></td><td></td><td>65</td><td>3545,2581</td></tr><tr><td>66</td><td>1489,1219</td><td></td><td></td><td>66</td><td>3545,8250</td></tr></tbody></table>
Annexe II Calcul de la capacité calorifique à volume constant

Les figures suivantes présentent les calculs de la capacité calorifique à volume constant réalisés selon la méthode présentée dans le paragraphe II.5.3.

<figure><img src="image_254.png" /><figcaption>TNT</figcaption></figure>

<figure><img src="image_255.png" /><figcaption>RDX</figcaption></figure>
<figure><img src="image_256.png" /><figcaption>ONTA</figcaption></figure>

<figure><img src="image_257.png" /><figcaption>HMX</figcaption></figure>
Calcul de la capacité calorifique à volume constant

<figure><img src="image_258.png" /></figure>
# Annexe III Dépouillements des diagrammes de marche des expérimentations d'impact plan soutenu

## Hexolite 1

<figure><img src="image_259.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA14094, hexolite 1, pression de sollicitation 5,59 GPa</figcaption></figure>

<figure><img src="image_260.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA14101, hexolite 1, pression de sollicitation 7,87 GPa</figcaption></figure>
<figure><img src="image_261.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15022, hexolite 1, pression de sollicitation 6,57 GPa</figcaption></figure>

## Hexolite 2

<figure><img src="image_262.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15110, hexolite 2, pression de sollicitation 5,54 GPa</figcaption></figure>
<figure><img src="image_263.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15111, hexolite 2, pression de sollicitation 8,10 GPa</figcaption></figure>

<figure><img src="image_264.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15116, hexolite 2, pression de sollicitation 6,98 GPa</figcaption></figure>

Ontalite 1
<figure><img src="image_265.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA14102, ontalite 1, pression de sollicitation 14,80 GPa</figcaption></figure>

<figure><img src="image_266.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA14105, ontalite 1, pression de sollicitation 16,76 GPa</figcaption></figure>
<figure><img src="image_267.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15023, ontalite 1, pression de sollicitation 19,40 GPa</figcaption></figure>

Ontalite 2

<figure><img src="image_268.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15092, ontalite 2, pression de sollicitation 14,86 GPa</figcaption></figure>
<figure><img src="image_269.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15119, ontalite 2, pression de sollicitation 16,69 GPa</figcaption></figure>

<figure><img src="image_270.png" /><figcaption>Diagramme de marche du tir CA15123, ontalite 2, pression de sollicitation 19,00 GPa</figcaption></figure>
# Annexe IV Résultats des dépouillements issus du RIF

## Hexolite 1

<figure><img src="image_271.png" /></figure>

Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15022

## Hexolite 2

<figure><img src="image_272.png" /></figure>

Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15110
<figure><img src="image_273.png" /><figcaption>Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15111</figcaption></figure>

<figure><img src="image_274.png" /><figcaption>Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15116</figcaption></figure>
Ontalite 1

<figure><img src="image_275.png" /></figure>

Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15023

Ontalite 2

<figure><img src="image_276.png" /></figure>

Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15119
<figure><img src="image_277.png" /><figcaption>Evolution de la vitesse de choc pour le tir CA 15123</figcaption></figure>
# Annexe V Représentation de la cinétique de réaction 1ère approche

Si on considère que les fronts de déflagration se déplacent depuis la frontière des grains effectifs, vers l'intérieur de ces derniers, et que l'on néglige le mouvement d'expansion globale de la matière (après le pic ZND), on peut représenter une vue en coupe de l'explosif à l'aide de la figure suivante :

<figure><img src="image_278.png" /></figure>

Si on note $A_f$ l'aire par unité de masse d'explosif de la frontière $\Sigma_f$ délimitant les deux phases de la réaction, $r_{eff}$ le rayon effectif des grains et $r$ le rayon de la sphère délimitée par $\Sigma_f$ à l'instant $t$, on peut écrire la diminution de la fraction massique d'explosif non réagi $Y_r$, représentée par un indice $r$ pour indiquer la phase des réactifs :

$$dY_r = -\frac{A_f}{v} D_f(P, T_f) dt \quad \text{avec} \quad r = r_0 - \int_0^t D_f(P, T_f) dt.$$

Si on note $N/v$ le nombre de grains par unité de volume, on a :

$$\frac{A_f}{v} = \frac{N}{v} 4\pi r^2$$

Or, à tout instant, $r$ peut être exprimé à partir de la fraction volumique $\alpha_s$ :

$$r = \alpha_r^{\frac{1}{3}} \left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{N}{v}\right)^{-\frac{1}{3}}$$

En reportant $r$ dans l'expression de l'évolution de la fraction massique de solide il vient :

$$\frac{dY_r}{dt} = -(36\pi)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{N}{v}\right)^{\frac{1}{3}} \alpha_r^{\frac{2}{3}} D_f(P, T_f)$$

On peut ensuite exprimer le rapport $N/v$ en considérant que chaque interface est un site d'initiation créé au passage du choc et qu'il n'y a pas de fracturation par la suite :

$$\frac{N}{v} = \frac{3}{4\pi} \frac{1}{r_{eff}^3}.$$

L'avancement de la réaction s'exprime à partir de $Y_p$, la fraction massique d'explosif consommé. On aboutit donc à l'avancement de la réaction défini par :

$$\frac{dY_p}{dt} = -\frac{dY_r}{dt} = \frac{3}{r_{eff}} \alpha_r^{\frac{2}{3}} D_f(P, T_f) = \frac{3}{r_{eff}} \left[ (1 - Y_p) \frac{\rho}{\rho_r} \right]^{\frac{2}{3}} D_f(P, T_f)$$
# Annexe VI Représentation de la cinétique de réaction, 2ème approche

Si on considère que la microstructure de l'explosif coulé-fondu juste après le passage du choc peut être représentée par des grains tous identiques dans une matrice de TNT, on peut choisir un volume élémentaire représentatif (VER) de contôle sphérique défini par deux termes :

* $r_0$, le rayon des grains après choc,

* $\beta$, le rayon du VER après choc, défini pour obtenir la bonne répartition massique grains/liant.

On peut alors considérer qu'à l'échelle locale, les fronts de déflagration se propagent depuis la surface des grains, à la fois vers l'intérieur de ces derniers et vers l'extérieur, dans le liant TNT, comme cela est représenté sur la figure suivante.

<figure><img src="image_279.png" /></figure>

On notera par la suite :

* $N$, le nombre de grains activés à partir de la surface grain/liant,

* $N_0$, le nombre total de grains,

* $r_X$, le rayon de la flamme dans le grain,

* $r_L$, le rayon de la flamme dans le liant,

* $r$, le rayon des grains non activés,

* les grandeurs associées aux grains d'explosif seront indicées $x$, celles relatives au liant TNT $L$, les produits de réaction seront identifiés par un $p$ et les grandeurs sans indice seront associées au mélange phase solide + produits gazeux.

La démarche consiste à exprimer les dérivées temporelles des fractions massiques $Y_X$ et $Y_L$. On peut écrire la fraction massique de grains :

$$Y_X = \frac{m_{\text{grains activés}} + m_{\text{grains non activés}}}{m_{\text{tot}}} = \frac{N\rho_X r_X^3 + (N_0 - N)\rho_X r^3}{N_0\rho\beta^3}$$

La masse des grains non activés et la masse totale ne dépendent pas du temps. On peut donc écrire :

$$\frac{dY_X}{dt} = \frac{3N}{\beta N_0} \frac{\rho_X}{\rho} \left(\frac{r_X}{\beta}\right)^2 \dot{r}_X + \frac{N}{N_0} \left(\frac{r_X}{\beta}\right)^3 \frac{\dot{\rho}_X}{\rho} + \frac{\dot{N}}{N_0} \left(\frac{r_X}{\beta}\right)^3 \frac{\rho_X}{\rho}$$

A partir de l'expression de la fraction massique, on peut exprimer le rapport :
$$ \frac{r_X}{\beta} = \left[ \left(\frac{N_0}{N}\right) \left(\frac{\rho}{\rho_X}\right) Y_X - \left(\frac{N_0 - N}{N}\right) \left(\frac{r}{\beta}\right)^3 \right]^{\frac{1}{3}} $$

En substituant alors les expressions de la vitesse de déflagration et de la fraction volumique :

$$ \dot{r}_X = -Df_X(P) \quad \text{et} \quad \alpha_X = \frac{Y_X \rho}{\rho_X} $$

On peut alors écrire :

$$ \frac{dY_X}{dt} = -\frac{3}{\beta} \frac{N}{N_0} \frac{\rho_X}{\rho} \left( \left(\frac{N_0}{N}\right) \alpha_X - \left(\frac{N_0 - N}{N}\right) \left(\frac{r}{\beta}\right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} Df_X + \left( \frac{N}{N_0} \frac{\dot{\rho}_X}{\rho} + \frac{\dot{N}}{N_0} \frac{\rho_X}{\rho} \right) \left( \left(\frac{N_0}{N}\right) \alpha_X - \left(\frac{N_0 - N}{N}\right) \left(\frac{r}{\beta}\right)^3 \right) $$

De la même manière, on peut écrire pour le liant TNT :

$$ Y_L = \frac{m_{\text{liant autour des grains activés}} + m_{\text{liant autour des grains non activés}}}{\frac{m_{\text{tot}}}{N \rho_L (\beta^3 - r_L^3) + (N_0 - N) \rho_L (\beta^3 - r_L^3)}} = \frac{m_{\text{liant autour des grains activés}}}{N_0 \rho_L (\beta^3 - r_L^3)} $$

La masse de liant autour des grains non activés et la masse totale ne dépendent pas du temps. En négligeant la variation temporelle, on peut donc écrire :

$$ \frac{dY_L}{dt} = -\frac{3}{\beta} \frac{\rho_L}{\rho} \frac{N}{N_0} \left( \dot{r}_L \left(\frac{r_L}{\beta}\right)^2 - \frac{\dot{\beta}}{\beta} \right) + \frac{N}{N_0} \frac{\dot{\rho}_L}{\rho} \left( 1 - \left(\frac{r_L}{\beta}\right)^3 \right) + \frac{\dot{N}}{N_0} \frac{\rho_L}{\rho} \left( 1 - \left(\frac{r_L}{\beta}\right)^3 \right) $$

A partir de l'expression de la fraction massique, on peut exprimer les rapports :

$$ 1 - \left(\frac{r_L}{\beta}\right)^3 = \frac{N_0}{N} Y_L \frac{\rho}{\rho_L} - \left(\frac{N_0 - N}{N}\right) \left(1 - \left(\frac{r}{\beta}\right)^3\right) $$

$$ \frac{r_L}{\beta} = \left[ 1 - \frac{N_0}{N} Y_L \frac{\rho}{\rho_L} + \left( \frac{N_0 - N}{N} \right) \left( 1 - \left( \frac{r}{\beta} \right)^3 \right) \right]^{\frac{1}{3}} $$

En substituant alors les expressions de la vitesse de déflagration et de la fraction volumique :

$$ \dot{r}_L = Df_L(P) \quad \text{et} \quad \alpha_L = \frac{Y_L \rho}{\rho_L} $$

On peut alors écrire :
$$
\frac{dY_L}{dt} = -\frac{3}{\beta} \frac{\rho_L}{\rho} \frac{N}{N_0} \left( D f_L \left( 1 - \frac{N_0}{N} \alpha_L + \left( \frac{N_0 - N}{N} \right) \left( 1 - \left( \frac{r}{\beta} \right)^3 \right) \right)^{\frac{2}{3}} - \frac{\dot{\beta}}{\beta} \right) \\
+ \left( \frac{N}{N_0} \frac{\dot{\rho}_L}{\rho} + \frac{\dot{N}}{N_0} \frac{\rho_L}{\rho} \right) \left( \frac{N_0}{N} \alpha_L - \left( \frac{N_0 - N}{N} \right) \left( 1 - \left( \frac{r}{\beta} \right)^3 \right) \right)
$$

A partir de ces relations relativement complexes, il est possible de faire plusieurs
hyptohèses simplificatrices :

* nous supposerons tout d'abord que nous sommes dans l'hypothèse d'un taux de nucléation fort et donc que toutes les interfaces grains/liant sont activées. Il en résulte que N=N₀ et dot = 0,

* nous négligerons la dérivée temporelle du rayon du VER, soit $\dot{\beta} = 0$.

L'évolution des fractions massique peut alors être définie par le système suivant :

$$
\frac{dY_X}{dt} = -\frac{3}{\beta} \frac{\rho_X}{\rho} \alpha_X^{\frac{2}{3}} D f_X + \frac{\dot{\rho}_X}{\rho} \alpha_X
$$

$$
\frac{dY_L}{dt} = -\frac{3}{\beta} \frac{\rho_L}{\rho} D f_L \left(1 - \alpha_L\right)^{\frac{2}{3}} + \frac{\dot{\rho}_L}{\rho} \alpha_L
$$

Dans les codes d'hydrodynamique rapide comme Ouranos, il est classique de suive
l'évolution de la fraction massique de produits formés. Or on peut écrire :

$$
Y_X + Y_L + Y_P = 1 \quad \text{et} \quad \alpha_X + \alpha_L + \alpha_P = 1
$$

Il vient alors :

$$
\frac{dY_P}{dt} = \frac{3}{\beta} \left( \frac{\rho_X}{\rho} \alpha_X^{\frac{2}{3}} D f_X + \frac{\rho_L}{\rho} D f_L (1 - \alpha_L)^{\frac{2}{3}} \right) + \frac{\dot{\rho}_X}{\rho} \alpha_X + \frac{\dot{\rho}_L}{\rho} \alpha_L
$$

Dans le cadre de cette étude, nous négligerons les termes $\frac{\dot{\rho}_X}{\rho} \alpha_X$ et $\frac{\dot{\rho}_L}{\rho} \alpha_L$, hypothèse qui est justifiable dans le cas de chocs soutenus, mais qu'il conviendrait de vérifier plus avant de le cas de chocs non soutenus. De plus, étant donné que la vitesse de réaction au choc est calculée à l'aide de la méthode présentée dans le paragraphe IV.2.2.3, il est difficile de discriminer la contribution de la vitesse de déflagration du liant de celle des grains. Nous supposerons donc ici que $Df_X=Df_L=Df$. Les vitesses de déflagration mesurées expérimentalement présentées au paragraphe II.8 nous permettent d'ettayer cette hypothèse pour nos explosifs coulés-fondus. En effet, les vitesses mesurées pour la Composition B et pour le RDX sont quasiment égales, ce qui montre que la vitesse de déflagration du TNT doit être proche de celle du RDX, ou qu'au moins le RDX « entraîne » le TNT. De même, considérant les vitesses mesurées pour le TATB, on peut supposer que la vitesse de déflagration de l'ONTA est également du même ordre de grandeur.

Enfin, étant donné qu'Ouranos ne peut traiter que deux phases, il nous est impossible de distinguer le liant et les grains au sein de la phase solide. Nous ferons donc l'hypothèse que sous choc nous avons :

$$
\rho_X = \rho_L = \rho_r \text{ indice } r \text{ pour « réactif ».}
$$
La vitesse de réaction s'écrit alors :

$$ \frac{dY_P}{dt} = \frac{3}{\beta} Df \left( \frac{\rho_r}{\rho} \alpha_x^{\frac{2}{3}} + \frac{\rho_r}{\rho} (1 - \alpha_L)^{\frac{2}{3}} \right) $$

Il reste à déterminer une expression reliant les fractions volumiques afin de palier le fait que le code ne nous donne pas accès à la répartition de liant et de grains au sein de la phase solide. Dans notre approche, nous avons fait l'hypothèse que la vitesse de déflagration des grains et celle du liant étaient égales que cette vitesse ne dépendait que de la pression. Dès lors, à chaque instant t, on peut considérer une vitesse de déflagration moyenne $D_{moy}$ qui permet d'exprimer les rayons suivants :

$$ r_X = r_0 - Df.t \quad \text{et} \quad r_L = r_0 + Df.t $$

A partir de l'expression des fractions volumiques, on peut également écrire :

$$ \alpha_X = \left(\frac{r_X}{\beta}\right)^3 = \left(\frac{r_0 - Df.t}{\beta}\right)^3 \quad \text{et} \quad \alpha_L = 1 - \left(\frac{r_L}{\beta}\right)^3 = 1 - \left(\frac{r_0 + Df.t}{\beta}\right)^3 $$

En sommant ces deux expression, on élimine le terme temporel et on établie une relation entre les fractions volumiques, sous condition que le liant et les grains soient encore présents dans la phase solide :

$$ \alpha_X^{\frac{1}{3}} + (\alpha_X + \alpha_P)^{\frac{1}{3}} = \frac{2r_0}{\beta} $$
# Annexe VII Comparaisons expérience-calcul avec le modèle complet implanté dans Ouranos

## Hexolite 1

<figure><img src="image_280.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA14094</figcaption></figure>

<figure><img src="image_281.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA14101</figcaption></figure>
<figure><img src="image_282.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15022

## Hexolite 2

<figure><img src="image_283.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15110
<figure><img src="image_284.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15111</figcaption></figure>

<figure><img src="image_285.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15116</figcaption></figure>
Ontalite 1

<figure><img src="image_286.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA14102

<figure><img src="image_287.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA14105
<figure><img src="image_288.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15023</figcaption></figure>

<figure><img src="image_289.png" /><figcaption>Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15092</figcaption></figure>
<figure><img src="image_290.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15119

<figure><img src="image_291.png" /></figure>

Comparaisons expérience-calcul de l'évolution de la vitesse de l'onde de choc pour le tir CA15123