en toute rigueur de couplage entre aimantations mais plutôt de couplage entre polarisations. On passe de la polarisation à l'aimantation en multipliant la première par le rapport gyromagnétique du noyau concerné (voir le paragraphe 2.1.1). Cette distinction est sans objet dans le cas d'un système homonucléaire puisque le facteur de proportionnalité entre polarisation et aimantation est le même pour les deux spins A et X. Par abus de langage, nous continuerons à utiliser le terme *aimantation*, sachant que les quantités $I_z^A$ et $I_z^X$ utilisée ci-dessous ne se réfèrent pas simplement aux opérateurs de spin mais aux polarisations. Par conséquent, dans les équations de Solomon, qui décrivent ce phénomène de couplage et qui sont reproduites ci-dessous pour les polarisations (aimantations) longitudinales (comme nous le verrons plus loin, il n'existe aucun couplage entre aimantations longitudinale et transversale), $I_z^A$ et $I_z^X$ devraient être multipliés par les rapports gyromagnétiques de A et de X, respectivement. En fait, cette incohérence de notation disparaît en incluant implicitement le rapport gyromagnétique dans la polarisation à l'équilibre (voir plus bas).

$$ 
\begin{aligned}
\frac{dI_z^A}{dt} &= -R_1^A (I_z^A - I_{eq}^A) - \sigma (I_z^X - I_{eq}^X) \\
\frac{dI_z^X}{dt} &= -R_1^X (I_z^X - I_{eq}^X) - \sigma (I_z^A - I_{eq}^A)
\end{aligned}
\qquad (4.13)
$$

où $R_1^A (= 1/T_1^A)$ représente la vitesse de relaxation longitudinale spécifique du spin A. $\sigma$ est le terme de couplage entre les deux polarisations (aimantations) appelé généralement *vitesse de relaxation croisée*. $I_{eq}^A$ figurant la polarisation à l'équilibre, on constate que les équations de Solomon ressemblent aux équations de Bloch, auxquelles aurait été ajouté un terme de couplage $\sigma$; celui-ci peut avoir deux origines :

* L'interaction dipolaire entre les noyaux A et X, modulée par les mouvements moléculaires. Cette contribution très importante pour les informations qu'elle recèle sera explicitée au paragraphe 4.2.4. Pour l'instant, il est important de savoir que $\sigma$ est proportionnel à $(r_{AX})^{-6}$ où $r_{AX}$ est la distance séparant les deux noyaux A et X.

* Un échange chimique tel que les spins passent du site A vers le site X et réciproquement. Définissons par $\tau$ le temps de séjour dans chacun des sites, supposé le même pour les sites A et X, ce qui correspond à des concentrations identiques pour les espèces A et X (donc à la situation envisagée ici pour les deux spins A et X). Par suite, $\sigma$ devient égal à l'opposé de la constante de vitesse $k$ ($\sigma = -k = -1/\tau$). Cette constante de vitesse $k$ doit en outre être ajoutée à chacune des vitesses de relaxation spécifiques $R_1^A$ et $R_1^X$. On peut enfin noter qu'ici, il s'agit bel et bien de couplage d'aimantations puisque $\sigma$ n'est pas dû à une interaction entre moments magnétiques. Cependant, comme les spins A et X sont nécessairement de même nature, il y a identité (pour les deux spins) entre polarisation et aimantation et la relation (4.13) s'applique toujours. Des compléments concernant l'intervention des phénomènes d'échange en RMN sont donnés dans l'annexe A4-3.

Nous chercherons tout d'abord à déterminer les trois paramètres impliqués dans les équations (4.13), $R_1^A$, $R_1^X$ et $\sigma$, leur interprétation au niveau moléculaire étant envisagée plus loin (paragraphe 4.2). La façon la plus générale de procéder consiste à examiner les courbes d'évolution de $I_z^A$ et $I_z^X$ sur une plage temporelle aussi large que possible et à en extraire les trois paramètres considérés, au moyen d'un ajustement non linéaire (fondé sur le critère des moindres-carrés). Comme on se trouve en présence de deux équations différentielles simultanées, cette évolution est bi-exponentielle (pour $I_z^A$ et $I_z^X$). Une résolution analytique conduit à

$$ 
\begin{aligned}
\frac{[I_{eq}^A - I_z^A(t)]}{2I_{eq}^A} &= a_1 \exp(\lambda_1 t) + a_2 \exp(\lambda_2 t) \\
\frac{[I_{eq}^X - I_z^X(t)]}{2I_{eq}^X} &= x_1 \exp(\lambda_1 t) + x_2 \exp(\lambda_2 t)
\end{aligned}
\qquad (4.14)
$$

où $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont solutions de l'équation caractéristique associée aux deux équations différentielles simultanées (4.13).

$$ \lambda_{1,2} = (-R_{+} \pm X)/2 \text{ avec } R_{\pm} = R_{1}^{A} \pm R_{1}^{X} \text{ et } X = \sqrt{R_{-}^{2} + 4\sigma^{2}} \qquad (4.15) $$

Les coefficients $a_1, a_2, x_1$ et $x_2$ dépendent non seulement des paramètres de relaxation, mais également des conditions initiales $I_z^A(0)$ et $I_z^X(0)$:
$$
\begin{align}
a_{1,2} &= \left\{ \frac{[I_{eq}^A - I_z^A(0)]}{2I_{eq}^A} \right\} \left\{ \left( \frac{1}{2} \mp \frac{R_-}{2X} \right) \mp \left\{ \frac{[I_{eq}^X - I_z^X(0)]}{2I_{eq}^X} \right\} \left\{ \frac{I_{eq}^X}{I_{eq}^A} \right\} \left( \frac{\sigma}{X} \right) \right\} \tag{4.16} \\
x_{1,2} &= \left\{ \frac{[I_{eq}^X - I_z^X(0)]}{2I_{eq}^X} \right\} \left\{ \left( \frac{1}{2} \pm \frac{R_-}{2X} \right) \mp \left\{ \frac{[I_{eq}^A - I_z^A(0)]}{2I_{eq}^A} \right\} \left\{ \frac{I_{eq}^A}{I_{eq}^X} \right\} \left( \frac{\sigma}{X} \right) \right\}
\end{align}
$$

Ces relations s'accommodent de toutes les conditions initiales que l'on peut imaginer : inversion non-sélective ou inversion sélective de l'une des aimantations (figure 4-14), ou toute situation intermédiaire.

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>**Figure 4-14.** Evolution de deux aimantations nucléaires couplées selon les équations (4.13) après inversion sélective de l'une des aimantations. On note le comportement bi-exponentiel de chacune des aimantations.</figcaption></figure>

La complexité des relations (4.15) et (4.16), ainsi que des effets indésirables se produisant aux temps longs pour des systèmes multi-spins (effets connus sous le nom de diffusion de spin), ont conduit à la mise au point de méthodes plus directes fondées sur le comportement initial des deux aimantations après application d'une perturbation appropriée. A nouveau, il suffit de partir des équations (4.13) et de supposer que, pour un temps $t$ suffisamment petit, un développement au premier ordre est adéquat :

$$
\begin{align}
I_z^A(t) &= I_z^A(0) + t(dI_z^A / dt)_{t=0} \tag{4.17} \\
I_z^X(t) &= I_z^X(0) + t(dI_z^X / dt)_{t=0}
\end{align}
$$

Il est préférable tant d'un point de vue tant conceptuel que pratique d'exprimer les relations (4.13) sous la forme de "pente initiale" des grandeurs réduites introduites dans les relations (4.14) :

$$
\begin{align}
\mathcal{S}_A &= \frac{d}{dt} \left( \frac{I_{eq}^A - I_z^A}{2I_{eq}^A} \right)_{t=0} = -R_1^A \frac{I_{eq}^A - I_z^A(0)}{2I_{eq}^A} - \sigma \frac{I_{eq}^X - I_z^X(0)}{2I_{eq}^A} \nonumber \\
\mathcal{S}_X &= \frac{d}{dt} \left( \frac{I_{eq}^X - I_z^X}{2I_{eq}^X} \right)_{t=0} = -R_1^X \frac{I_{eq}^X - I_z^X(0)}{2I_{eq}^X} - \sigma \frac{I_{eq}^A - I_z^A(0)}{2I_{eq}^X} \tag{4.18}
\end{align}
$$

Ces pentes initiales sont expérimentalement faciles à déterminer puisque, en principe, on peut disposer d'un signal proportionnel à $I_{eq}^A$ (ou à $I_{eq}^X$) et que le facteur de proportionnalité est identique à celui intervenant dans la mesure de $I_z^A$ (ou de $I_z^X$). Ce sont les conditions initiales qui permettent d'isoler (de mesurer séparément) l'un des trois paramètres de relaxation, $R_1^A$, $R_1^X$ ou $\sigma$. L'expérience la plus simple consiste à inverser sélectivement l'une des aimantations. S'il s'agit de l'aimantation A, $I_z^A(0) = -I_{eq}^A$ et $I_z^X(0) = I_{eq}^X$; sachant que $I_{eq}^{eq} / I_{eq}^X = \gamma_A / \gamma_X$, on obtient alors pour les pentes initiales :

$$
\begin{align}
\mathcal{S}_A \text{ (inversion sélective de } A\text{)} &= -R_1^A \nonumber \\
\mathcal{S}_X \text{ (inversion sélective de } A\text{)} &= -\sigma(\gamma_A / \gamma_X) \tag{4.19a}
\end{align}
$$

L'expérience complémentaire, qui consiste à inverser sélectivement X, conduit à
$$
\begin{align}
S_A \text{(inversion sélective de } X\text{)} &= -\sigma(\gamma_X / \gamma_A) \nonumber \\
S_X \text{(inversion sélective de } X\text{)} &= -R_1^X \tag{4.19b}
\end{align}
$$

Une autre méthode très utilisée pour mesurer la vitesse de relaxation croisée $\sigma$ repose sur la procédure de saturation (par irradiation continue) de l'un des deux noyaux, $X$ par exemple. En se référant à nouveau à la première des équations (4.13) avec $I_z^X = 0$ (saturation du spin $X$) et avec $dI_z^A / dt = 0$, ce qui implique qu'un état stationnaire a été atteint donc que l'irradiation du spin $X$ a été appliquée pendant une période suffisamment longue vis-à-vis des temps de relaxation, nous obtenons une nouvelle valeur de l'aimantation longitudinale de $A$ qui sera notée $I_{stat}^A$

$$
I_{stat}^{A} = I_{eq}^{A} [1 + (\gamma_{X} / \gamma_{A}) (\sigma / R_{1}^{A})] \quad (4.20)
$$

Par conséquent, si $I_{eq}^A$ est connue et si $R_1^A$ a été déterminée par ailleurs, $I_{stat}^A$ peut conduire à la détermination de $\sigma$.
Il s'agit de la procédure la plus courante fondée sur l'effet *Overhauser nucléaire* ou nOe d'après l'acronyme utilisé en anglais ('nuclear Overhauser effect'). Overhauser fut le premier a avoir réalisé que, par une méthode de même nature, la polarisation des spins électroniques pouvait être transférée aux spins nucléaires. Cet effet est généralement quantifié par le facteur $\eta$

$$
\eta = (I_{stat}^{A} - I_{eq}^{A}) / I_{eq}^{A} = (\gamma_{X} / \gamma_{A}) (\sigma / R_{1}^{A}) \quad (4.21)
$$

Dans la pratique, $I_{stat}^A$ et $I_{eq}^A$ doivent être déterminées dans des conditions instrumentales identiques. Le canal de découplage du spectromètre est généralement utilisé pour saturer le spin $X$. Les systèmes homonucléaire et hétéronucléaire doivent cependant être distingués. Dans le premier cas, un champ radio-fréquence secondaire, de faible amplitude et centré sur la résonance $X$, est utilisé pour mesurer $I_{stat}^A$ tandis que $I_{eq}^A$ est obtenue au moyen d'une expérience du même type en déplaçant la fréquence d'irradiation vers une zone dépourvue de résonances ; les résultats de ces deux mesures sont stockés dans des blocs de mémoire différents (figure 4-15a). En ce qui concerne les systèmes hétéronucléaires, on a recours à un découplage "large-bande" (ce qui revient à saturer les résonances $X$) pour déterminer $I_{stat}^A$. Comme indiqué plus haut, le découplage doit être appliqué suffisamment longtemps avant la mesure (un temps de l'ordre de $10T_1^A$) pour atteindre réellement un état stationnaire. Il est maintenu durant l'acquisition du signal. La mesure de $I_{eq}^A$ ne requiert l'application du découplage que pendant l'acquisition du signal (figure 4-15b). On peut rappeler que l'effet Overhauser n'affecte pas l'aimantation transversale et que le découplage s'établit instantanément. A nouveau, $I_{stat}^A$ et $I_{eq}^A$ sont stockés dans des blocs de mémoires différents (figure 4-15b). Les deux spectres de la figure 4-16 illustrent cette procédure.
<figure><img src="image_123.png" /></figure>

**Figure 4-15** (a) Détermination du facteur nOe pour un système homonucléaire. La fréquence de l'irradiation sélective est déplacée à une valeur différente de $V_X$ pour la mesure de $I_{eq}^A$. (b) Détermination du facteur nOe pour un système hétéronucléaire. Le découplage "large-bande" est appliqué suffisamment longtemps avant la mesure de $I_{stat}^A$. Pour la mesure de $I_{eq}^A$, le découplage n'est appliqué que pendant l'acquisition du signal.

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

**Figure 4-16** Détermination de l'effet Ovehauser hétéronucléaire dans la molécule de trans-crotonaldéhyde (expérience de la figure 4-15b). Le carbone-13 est observé sous irradiation continue des transitions protoniques (en bas) ou uniquement durant l'acquisition du signal (en haut). La comparaison des intensités dans les spectres conduit au facteur nOe $\eta$ pour chaque carbone.

Il est parfaitement clair que, si enrichissantes que soient ces expériences en vue de la détermination individuelle des vitesses de relaxtion croisée, elles devraient être répétées pour chaque couple de noyaux A et X ; cela impliquerait
autant d'interventions de la part du spectroscopiste accompagnées de réglages de paramètres expérimentaux permettant une inversion sélective de bonne qualité, sachant que ces mesures peuvent s'appliquer aux cas homonucléaires et hétéronucléaires. Une simplification des procédures expérimentales, aussi bien qu'une réduction du temps de mesure allant de pair avec une certaine automatisation, s'appuie sur la mise en œuvre des techniques de spectroscopie à deux dimensions qui vont maintenant être décrites.

## La séquence NOESY

Cette méthode bi-dimensionnelle<fnref n="14" /> fournit en une seule expérience la totalité des vitesses de relaxation croisée. Le sigle (Nuclear Overhauser Effect SpectroscopY) a pour origine les expériences à une dimension décrites plus haut et correspond essentiellement à des systèmes homonucléaires. Comme cela a été expliqué de façon détaillée au chapitre 3, l'analyse du signal $S(t₁, t₂)$ au moyen d'une double transformée de Fourier conduit à une carte à deux dimensions dans le domaine des fréquences ($v₁, v₂$), dont les pics hors-diagonaux contiennent généralement une information traduisant la manière dont sont corrélés deux pics résonnant aux fréquences $v'_1$ et $v'_2$. En ce qui concerne la séquence d'impulsions de la figure 4-17, cette corrélation provient des termes de relaxation croisée ; les taches de corrélation (pics hors-diagonaux) traduisent, soit une interaction dipolaire (donc une certaine proximité spatiale) entre les spins considérés, soit un échange chimique. L'avantage de la technique à deux dimensions réside bien entendu dans une vision globale, au moyen d'une seule expérience, de l'ensemble des corrélations, de nature dipolaire ou liées à un échange, pouvant exister au sein du système moléculaire considéré.

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>**Figure 4-17.** Schéma de principe de la séquence NOESY, conduisant principalement au terme de relaxation croisée homonucléaire, par analyse bidimensionnelle du signal $S(t₁, t₂)$.</figcaption></figure>

La période de préparation permet essentiellement le retour du système de spins à l'équilibre. La période dite d'évolution conduit à un marquage (ou étiquetage) selon la fréquence de résonance de chacun des spins. On effectue en effet *n* expériences, chacune pour une valeur de $t_1$ égale à $k_1 \times D_w$, où l'indice $k_1$ varie de 0 à ($n-1$) et $D_w$ n'est autre que le pas d'échantillonnage (*Dwell Time*) permettant l'exploration de la fenêtre spectrale contenant les signaux auxquels on s'intéresse (chapitre 3). Considérons tout d'abord la situation qui prévaut à l'issue de la première partie de la séquence 4-17, $(\pi/2 - t_1 - \pi/2)$, en admettant que les deux impulsions à $\pi/2$ possèdent la même phase (agissant par exemple selon l'axe *x* du repère tournant). L'amplitude de la composante selon *z* de l'aimantation, correspondant à une fréquence de résonance $v'$ dans le repère tournant, peut être calculée au moyen du schéma de la figure 4-18.

<footnote n="14">¹⁴ J. Jeener et al., J. Chem. Phys., **71**, 4546 (1979)</footnote>
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>**Figure 4-18.** Evolution d'une aimantation correspondant à une fréquence de précession $v'$ durant la première phase de la séquence 4-17.</figcaption></figure>

Si nous nous limitons aux aimantations longitudinales (nous verrons ultérieurement qu'un cyclage de phase approprié permet de faire abstraction des autres composantes de l'aimantation) et si nous considérons deux spins A et X, les conditions initiales, avant la phase de "mélange" $t_m$, peuvent s'écrire

$$ 
\begin{aligned}
I_z^A(0) &= -I_{eq}^A \cos(2\pi\nu_A t_1) \\
I_z^X(0) &= -I_{eq}^X \cos(2\pi\nu_X t_1)
\end{aligned} 
\qquad (4.22) 
$$

$\nu_A$ et $\nu_X$ représentent les fréquences de résonance des deux spins A et X dans le repère tournant. Tous les phénomènes de relaxation et d'atténuation (de défocalisation du signal) pouvant prendre naissance pendant $t_1$ ont été négligés. Durant $t_m$ le système évolue selon les équations de Solomon et nous ferons l'hypothèse que $t_m$ est suffisamment court pour que l'on puisse appliquer les équations (4.17) et (4.18) qui ont trait au "comportement initial". La dernière impulsion à $(\pi/2)$ de la séquence 4-17 est simplement une impulsion de lecture qui permet de convertir les aimantations longitudinales en aimantations transversales dont l'amplitude est expérimentalement détectable au moyen de signaux de précession libre (fid) évoluant durant le temps $t_2$. En laissant de côté les facteurs d'atténuation du type $t_2^*$, le signal composite, en $t_1$ et $t_2$, résultat de la séquence 4-17, est de la forme

$$ 
\begin{aligned}
S(t_1, t_2) = & \{-I_{eq}^A \cos(2\pi\nu_A t_1) + t_m[-R_1^A(-I_{eq}^A \cos(2\pi\nu_A t_1) - I_{eq}^A) - \sigma(-I_{eq}^X \cos(2\pi\nu_X t_1) - I_{eq}^X)]\} \cos(2\pi\nu_A t_2) \\
& + \{-I_{eq}^X \cos(2\pi\nu_X t_1) + t_m[-R_1^X(-I_{eq}^X \cos(2\pi\nu_X t_1) - I_{eq}^X) - \sigma(-I_{eq}^A \cos(2\pi\nu_A t_1) - I_{eq}^A)]\} \cos(2\pi\nu_X t_2)
\end{aligned} 
\qquad (4.23) 
$$

Les expressions entre accolades représentent les aimantations longitudinales des spins A et X immédiatement avant l'impulsion de lecture ; elles précessent ensuite aux fréquences $\nu_A$ et $\nu_X$ respectivement. Cette précession est représentée par les facteurs $\cos(2\pi\nu_A t_2)$ et $\cos(2\pi\nu_X t_2)$. En se contentant de développer le premier terme de (4.23) (on obtient une expression homologue pour le deuxième terme par échange des étiquettes A et X) et en notant $I_{eq}^A = I_{eq}^X = I_0$ ('il s'agit d'un système homonucléaire), on aboutit à

$$ 
\begin{aligned}
S_A(t_1, t_2) = I_0 &[-(-1 + t_m R_1^A) \cos(2\pi\nu_A t_1) \cos(2\pi\nu_A t_2) + \\
& t_m \sigma \cos(2\pi\nu_X t_1) \cos(2\pi\nu_A t_2) + t_m (R_1^A + \sigma) \cos(2\pi\nu_A t_2)]
\end{aligned} 
\qquad (4.24) 
$$

Une double transformée de Fourier par rapport à $t_1$ et $t_2$ conduit aux signaux dont l'amplitude et les fréquences sont indiquées dans le tableau 4-1.
<table><caption>**Tableau 4-1** Caractéristiques et origines des pics obtenus à l'issue d'une double transformée de Fourier de $S_A(t_1, t_2)$ de la relation (4.24) et de son homologue pour le spin $X$, $S_X(t_1, t_2)$</caption><thead><tr><th>Fréquences</th><th>Nature du pic</th><th>Amplitude</th><th>Origine</th></tr></thead><tbody><tr><td>ν<sub>1</sub> = ν<sub>A</sub> ; ν<sub>2</sub> = ν<sub>A</sub></td><td>diagonal</td><td>(-1 + t<sub>m</sub>R<sub>1</sub><sup>A</sup>)I<sub>0</sub></td><td>S<sub>A</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>ν<sub>1</sub> = ν<sub>X</sub> ;<br>ν<sub>2</sub> = ν<sub>A</sub></td><td>croisé</td><td>t<sub>m</sub>σI<sub>0</sub></td><td>S<sub>A</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>ν<sub>1</sub> = 0; ν<sub>2</sub> = ν<sub>A</sub></td><td>axial</td><td>t<sub>m</sub>(R<sub>1</sub><sup>A</sup> + σ)I<sub>0</sub></td><td>S<sub>A</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>ν<sub>1</sub> = ν<sub>X</sub> ;<br>ν<sub>2</sub> = ν<sub>X</sub></td><td>diagonal</td><td>(-1 + t<sub>m</sub>R<sub>1</sub><sup>X</sup>)I<sub>0</sub></td><td>S<sub>X</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>ν<sub>1</sub> = ν<sub>A</sub> ; ν<sub>2</sub> = ν<sub>X</sub></td><td>croisé</td><td>t<sub>m</sub>σI<sub>0</sub></td><td>S<sub>X</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>ν<sub>1</sub> = 0; ν<sub>2</sub> = ν<sub>X</sub></td><td>axial</td><td>t<sub>m</sub>(R<sub>1</sub><sup>X</sup> + σ)I<sub>0</sub></td><td>S<sub>X</sub>(t<sub>1</sub>, t<sub>2</sub>)</td></tr></tbody></table>

Comme l'indique le schéma de la figure 4-19, il apparaît des pics diagonaux dont l'amplitude dépend de la vitesse de relaxation spécifique de chaque noyau $(-1 + t_m R_1^A)$ et $(-1 + t_m R_1^X)$ et deux pics hors-diagonaux ou pics croisés, symétriques, dont l'amplitude fournit directement $\sigma$. Les pics axiaux sont éliminés par un cyclage de phase approprié (explicité plus loin). Comme $t_m R_1^A$ ou $t_m R_1^X$ sont généralement inférieurs à 1, les pics diagonaux et croisés sont de signes opposés si $\sigma$ est positif, temps de corrélation courts (voir paragraphe 4.2.4) et de même signe dans le cas contraire, temps de corrélation longs correspondant à des molécules de taille importante. En tout état de cause, pour une molécule complexe, l'apparition de taches de corrélation (pics croisés) traduit une interaction dipolaire non nulle entre les spins concernés, donc une certaine proximité spatiale (figure 4-20).

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>**Figure 4-19** Schéma de principe d'une carte NOESY. $R_A$ et $R_X$ symbolisent les vitesses de relaxation longitudinale des deux spins.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_128.png" /></figure>

**Figure 4-20** Séquence NOESY appliquée à la molécule de transcrotonaldéhyde, que l'on peut comparer à la carte COSY donnée au chapitre 1 (figure 1-32). Dans ce dernier cas, l'intensité des taches de corrélation provient de l'importance des couplages *J* qui dépendent de la nature des liaisons. Ici, il s'agit simplement de la proximité spatiale de deux atomes d'hydrogène de la molécule. On pourra noter une tache de corrélation entre le proton du groupement aldéhyde et $H_A$, ce qui, ajouté à l'absence d'une telle corrélation avec $H_B$, indique clairement que la conformation de la molécule est celle qui est schématisée en haut à gauche. La tache de corrélation entre le proton du groupement aldéhydique et les protons méthyliques est due à un processus relayé (voir texte) et n'a pas de signification géométrique

Cependant, pour un système comportant un grand nombre de spins, l'apparition de certaines taches de corrélation peut être trompeuse si un temps de mélange trop long a été choisi. En effet, l'approximation du comportement initial cesse d'être valable surtout si les termes de relaxation croisée sont importants (en valeur absolue). Cela est le cas pour les biomolécules qui sont de taille importante et se réorientent, par conséquent, assez lentement. De façon à bien comprendre les conséquences d'une telle situation, considérons trois spins *A*, *M* et *X* et supposons que $\sigma_{AM}$ et $\sigma_{MX}$ sont importants alors que $\sigma_{AX}$ est négligeable (aucune tache de corrélation ne devrait être visible pour le couple AX). Pour un temps de mélange suffisamment long, la perturbation subie par *M* du fait de l'interaction *AM* aura une incidence sur *X* par l'intermédiaire de $\sigma_{MX}$. Au total, tout se passe comme si *A* et *X* interagissaient et on voit apparaître une tache de corrélation entre *A* et *X* qui n'est cependant pas associée à une proximité spatiale mais qui a pour origine un processus relayé via le spin *M*. Ce phénomène est connu dans la littérature sous le vocable de "diffusion de spin". Pour l'éviter, on choisit des temps de mélange de quelques dizaines de millisecondes.

Nous allons maintenant développer, à propos de cette séquence, le concept de cyclage de phase (abordé au paragraphe 3.5) qui consiste à additionner des signaux résultant de séquences qui ne diffèrent que par les phases des impulsions radio-fréquence et, éventuellement, par celle du récepteur. Supposons que les phases des trois impulsions de la séquence de la figure 4-17 sont identiques pour la première expérience,

$$ (\pi/2)_x - t_1 - (\pi/2)_x - t_m - (\pi/2)_x - (Acq)_+ $$

et deviennent pour une deuxième expérience

$$ (\pi/2)_{-x} - t_1 - (\pi/2)_x - t_m - (\pi/2)_x - (Acq)_- $$

où $(Acq)_+$ et $(Acq)_-$ désignent la période de détection $t_2$ et symbolisent le signe (la phase) du récepteur. Il est évident, pour la deuxième expérience, que le signe de $I_z^A(0)$ et $I_z^X(0)$, donné par les équations (4.22), est modifié, ainsi que celui du signal détecté. On peut alors constater que dans (4.23) et (4.24) seul change le signe des pics axiaux. L'addition de ces deux expériences permet donc, de façon extrêmement simple, l'élimination de ces derniers.

Un autre cyclage de phase, qui peut être superposé au précédent, permet l'obtention d'un signal complexe en $t_1$ (quadrature), pourvu que le signal *physiquement* mesuré pendant $t_2$ soit acquis selon le mode de détection en quadrature. Nous le représenterons par $[\cos(2\pi v_2 t_2) + i \sin(2\pi v_2 t_2)]$ et non pas au moyen d'un cosinus (détection
simple) comme nous l'avions fait jusqu'ici pour simplifier les considérations de transfert d'aimantation. Considérons alors les phases des impulsions radio-fréquence dans les deux expériences ci-dessous (la phase du récepteur étant inchangée)

$$ (\pi/2)_x - t_1 - (\pi/2)_x - t_m - (\pi/2)_x - t_2 \\ (\pi/2)_x - t_1 - (\pi/2)_y - t_m - (\pi/2)_y - t_2 $$

Sachant qu'une détection en quadrature prévaut pour la dimension $t_2$, nous pouvons attribuer (arbitrairement) la partie réelle au terme en cosinus, i.e. $\cos(2\pi v'_2 t_2)$, et la partie imaginaire au terme en sinus, i.e. $\sin(2\pi v'_2 t_2)$. L'axe y correspond alors à la partie réelle et l'axe x à la partie imaginaire. La première des deux expériences ci-dessus conduit pour tous les termes de (4.23) (à l'exception des pics axiaux éliminés par le premier cyclage de phase) à

$$ \cos(2\pi v'_1 t_1)[\cos(2\pi v'_2 t_2) + i \sin(2\pi v'_2 t_2)] $$

où $v'_1$ et $v'_2$ représentent $v_A$ ou $v_X$. En ce qui concerne la deuxième expérience, nous obtenons

$$ \sin(2\pi v'_1 t_1)[\sin(2\pi v'_2 t_2) - i \cos(2\pi v'_2 t_2)] $$

Dans ces deux expressions, interviennent les phases des impulsions à $\pi/2$, les signes des projections sur les axes x et y ainsi que la convention retenue pour les parties réelle et imaginaire en $t_2$. La somme de ces deux contributions, conformément aux procédures de cyclage de phase, se traduit par

$$ [\cos(2\pi v'_1 t_1) - i \sin(2\pi v'_1 t_1)][\cos(2\pi v'_2 t_2) + i \sin(2\pi v'_2 t_2)] = \exp(-2i\pi v'_1 t_1) \exp(2i\pi v'_2 t_2) $$

Une "détection en quadrature" en $t_1$ a bel et bien été réalisée. Les signes opposés des arguments des exponentielles sont tels que l'on obtient un résultat final de type $n$ (voir paragraphe 3.4.1). Les deux cyclages de phase explicités ci-dessus peuvent alors être combinés (tableau 4-2) de manière à :

i) supprimer les pics axiaux,

ii) disposer d'une détection en quadrature dans les deux dimensions.

Une double transformée de Fourier *complexe* peut alors être appliquée, le résultat étant présenté en spectre d'amplitude avec les inconvénients que cela implique quant aux formes de raie (paragraphe 3.4.1).

**Tableau 4-2** Cyclage de phase minimal d'une séquence NOESY (figure 4-17) avec détection en quadrature dans les deux dimensions (conduisant à un spectre d'amplitude) et annulation des pics axiaux. $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ sont les phases des trois impulsions à $\pi/2$ alors que $\phi_4$ indique le signe affecté au signal physiquement détecté (en $t_2$, phase du récepteur).

<table><thead><tr><th>φ<sub>1</sub></th><th>φ<sub>2</sub></th><th>φ<sub>3</sub></th><th>φ<sub>4</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>+</td></tr><tr><td>-x</td><td>x</td><td>x</td><td>-</td></tr><tr><td>x</td><td>-y</td><td>y</td><td>+</td></tr><tr><td>-x</td><td>-y</td><td>y</td><td>-</td></tr></tbody></table>

Des *spectres d'absorption pure* peuvent être obtenus grâce à la procédure TPPI (paragraphe 3.4.3) qui, rappelons le, consiste à ajouter $\pi/2$ à la phase $\phi_1$ pour chaque incrément de $t_1$, celui-ci se faisant selon un pas deux fois plus petit que pour $t_2$. Du cyclage de phase du tableau 4-2, on ne retiendra dans ce cas que les pas permettant l'élimination des pics axiaux. En outre, on peut montrer<fnref n="15" /> que les cohérences à un ou plusieurs quanta (ces dernières n'apparaissant durant la période de mélange $t_m$ que s'il existe un couplage *J* entre les spins considérés) sont éliminées en cyclant selon $x,y,-x,-y$ la phase de l'impulsion de lecture (troisième impulsion à $\pi/2$) concomitamment à la phase du récepteur. Ce cyclage de phase, dénommé *CYCLOPS* (paragraphe 3.5), est en outre d'un usage quasi systématique dans la plupart des

<footnote n="15">¹⁵ G. Bodenhausen *et al.*, *J. Magn. Reson.*, **58**, 370 (1984)</footnote>
expériences de RMN car il présente l'avantage de réduire les effets des différentes imperfections instrumentales liées aux phases des circuits d'émission et de réception (il s'agit ici de la détection physique correspondant à la variable temporelle $t_2$). On obtient, en superposant la procédure de suppression de pics axiaux, le cyclage complet qui est donné dans le tableau 4-3, dont le seul inconvénient, par rapport aux procédures du tableau 4-2, réside dans la durée totale de l'expérience. Finalement, on peut noter que des cohérences éventuelles à zéro quantum (paragraphe 2.2.2) ne peuvent pas être détruites en agissant sur les phases $\phi_3$ en $\phi_4$. Elles peuvent donner naissance à des pics croisés (parasites) dus aux couplages $J$. Comme elles évoluent de façon sinusoïdale durant le temps de mélange $t_m$, elles peuvent être atténuées sinon supprimées par une variation aléatoire de faible amplitude de la durée de cet intervalle.

<table><caption>**Tableau 4-3.** Superposition de CYCLOPS au cyclage de phase permettant l'élimination de pics axiaux dans la séquence NOESY. Ce cyclage de phase implique la mise en œuvre de la procédure TPPI conduisant à des spectres d'absorption pure.</caption><thead><tr><th>φ<sub>1</sub></th><th>φ<sub>2</sub></th><th>φ<sub>3</sub></th><th>φ<sub>4</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>-x</td><td>x</td><td>x</td><td>-x</td></tr><tr><td>x</td><td>x</td><td>y</td><td>y</td></tr><tr><td>-x</td><td>x</td><td>y</td><td>-y</td></tr><tr><td>x</td><td>x</td><td>-x</td><td>-x</td></tr><tr><td>-x</td><td>x</td><td>-x</td><td>x</td></tr><tr><td>x</td><td>x</td><td>-y</td><td>-y</td></tr><tr><td>-x</td><td>x</td><td>-y</td><td>y</td></tr></tbody></table>

## La séquence HOESY

Il s'agit d'une adaptation de la séquence NOESY à un système hétéronucléaire AX, A figurant par exemple un proton et X un carbone-13, d'où la dénomination HOESY pour *Heteronuclear Overhauser Effect Spectroscopy*<fnref n="16" />. En ce qui concerne cet exemple, ce sont les résonances du carbone-13 qui sont détectées pour deux raisons :

i) le spectre du carbone-13, sous découplage protonique, est plus simple que celui des protons (dominé, sauf s'il y a enrichissement, par les résonances des molécules dépourvues de carbone-13 (paragraphe 1.3.5)),

ii) l'interaction dipolaire proton-carbone, donnant naissance au terme de relaxation croisée $\sigma$ que l'on souhaite déterminer, représente un mécanisme de relaxation prépondérant pour le carbone-13 alors que ce sont les interactions dipolaires proton-proton qui dominent la relaxation protonique. On peut donc s'attendre à une meilleure sensibilité du carbone-13 vis-à-vis du terme de relaxation croisée hétéronucléaire.

La séquence d'impulsion est schématisée par la figure 4-21. Elle diffère de la séquence NOESY :

i) par l'impulsion de lecture qui ne concerne que le spin X, l'acquisition des signaux de X étant accompagnée d'un découplage des noyaux A,

ii) par une impulsion à 180° appliquée aux noyau X au milieu de la période d'évolution. Cette impulsion permet de «refocaliser» les effets des couplages $J_{AX}$ pendant $t_1$ (paragraphe 2.2.2). Ces couplages sont en effet généralement importants (supérieurs à 100 Hz) et, sans cette précaution, réduiraient l'amplitude de l'aimantation longitudinale de A qui doit exister au début de la période de mélange ($t_m$).

<footnote n="16">¹⁶ P.L. Rinaldi, *J. Am. Chem. Soc.*, **105**, 5167 (1983); C. Yu et G.C. Levy, *J. Am. Chem. Soc.*, **105**, 6994 (1983)</footnote>
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>**Figure 4-21.** Schéma de principe d'une séquence HOESY.</figcaption></figure>

A ces aménagements près, les réponses de la séquence HOESY sont de même nature que celles de la séquence NOESY et un cyclage de phase analogue peut s'appliquer : alterner de 180° la phase de la deuxième impulsion à $\pi/2$ appliquée à A et concomitamment le signe de l'acquisition permet d'éliminer les pics axiaux qui correspondent à l'aimantation longitudinale de spins X n'ayant pas bénéficié de transfert par relaxation croisée. On peut y adjoindre, comme dans le cas de la séquence NOESY, le cyclage de phase CYCLOPS pour faire disparaître les artefacts de l'acquisition en quadrature selon $t_2$, ainsi que l'incrémentation TPPI appliquée à la première impulsion à $\pi/2$ (appliquée au spin A) pour obtenir, in fine, des spectres d'absorption pure.

L'intérêt véritable de cette méthode réside dans la visualisation, à l'issue d'une seule expérience, de tous les protons (selon la dimension $v_1$) apportant une contribution dipolaire non négligeable à un carbone donné (apparaissant dans la dimension $v_2$), indiquant par là même la proximité spatiale de ces deux atomes au sein d'une molécule, ou encore entre deux molécules distinctes (par exemple dans le contexte d'interactions soluté-solvant). Ces effets sont d'autant plus marqués que le carbone-13 considéré n'est pas directement lié à un proton. En effet, dans ce dernier cas, la courte distance carbone-proton rend prééminente la contribution dipolaire correspondante, ce qui contribue à masquer les autres contributions. Pour illustrer simplement cette propriété nous présentons sur la figure 4-22 le diagramme de corrélation HOESY d'un tensio-actif.
<figure><img src="image_130.png" /></figure>

**Figure 4-22.** Diagramme HOESY de l'octanoate de sodium en solution micellaire pour un temps de mélange $t_m = 2s$. Selon $v_1$ (échelle verticale), déplacements chimiques du proton ; selon $v_2$, déplacements chimiques du carbone-13. Les taches de corrélation indiquent une certaine proximité spatiale carbone-proton. On peut constater que, pour les carbones portant un proton, une seule tache de corrélation est réellement visible alors que les différentes interactions dipolaires apparaissent clairement dans le cas d'un carbone qui n'est pas directement lié à un proton ; on remarque ainsi la corrélation du carboxylate avec les protons de l'eau, ce qui permet de visualiser l'approche de l'eau de la tête polaire du tensio-actif.

## La séquence ROESY

On revient ici à un système de spins homonucléaires pour lequel on détermine les termes de relaxation croisée transversale, contrairement aux termes de relaxation croisée longitudinale détectés par la séquence NOESY. Ces derniers peuvent en effet devenir très faibles (et même passer par zéro puisqu'ils peuvent être positifs ou négatifs) dans certaines conditions de mobilité moléculaire comme celles rencontrées pour les molécules d'intérêt biologique (protéines, acides nucléiques). En revanche, les termes de relaxation croisée transversale restent toujours positifs (paragraphe 4.2.4). En ce sens une expérience ROESY<fnref n="17" /> peut être considérée comme complémentaire d'une expérience NOESY.

Pour des raisons exposées plus loin (relation 4.43), les expériences usuelles de relaxation transversale, faisant appel aux techniques d'écho de spin, sont insensibles à la relaxation croisée. En revanche, cette relaxation croisée transversale affecte les mesures dites "dans le repère mobile"(spin lock, voir figure 4-13). De manière à faire apparaître de façon optimale les effets de relaxation croisée, on doit amener en opposition les deux aimantations d'intérêt le long de l'axe selon lequel est appliqué le champ radio-fréquence de verrouillage. Une expérience à une dimension peut donc être conçue de la façon suivante : inversion sélective du spin X, suivie d'une impulsion non- sélective selon l'axe x du repère mobile et application pendant $t_m$ d'un champ radio-fréquence de verrouillage selon l'axe y de ce même repère mobile (figure 4-23).

<footnote n="17">¹⁷ A.A. Bothner-By et al., J. Am. Chem. Soc., **106**, 811 (1984) ; A. Bax et D.G. Davis, J. Magn. Reson., **63**, 207 (1985)</footnote>
<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>**Figure 4-23.** Schéma de principe d'une expérience ROESY unidimensionnelle. « Sélective (X) » figure une impulsion sélective qui amène l'aimantation du noyau X selon $-Z$. Après une impulsion $(\pi/2)_x$, un champ radio-fréquence verrouille les deux aimantations selon la direction y durant le temps de mélange $t_m$.</figcaption></figure>

Durant la période de mélange $t_m$, interviennent les vitesses de relaxation transversale en présence d'un champ de spin-lock, $R_{1\rho}^A$ et $R_{1\rho}^X$ ainsi que le terme de relaxation croisée transversale, noté ici $\sigma_\rho$ (ou $\sigma_\perp$), de la même manière qu'agissaient $R_1^A$, $R_1^X$ et $\sigma$ lorsque les deux aimantations étaient alignées selon $z$ (figure 4-14). On doit donc s'attendre à des phénomènes analogues avec toutefois des expressions différentes pour les vitesses de relaxation si les mouvements moléculaires sont suffisamment lents (paragraphe 4.2.4).

La séquence homologue à deux dimensions (figure 4-24) se déduit de celle de la figure 4-23 en substituant une période d'évolution $\pi/2-t_1$ (étiquetage selon le déplacement chimique) à l'impulsion sélective (Sélective (X) $(\pi/2)_x$). A l'issue de la période d'évolution, les composantes selon $x$ des aimantations de A et de X ont pour valeurs respectives $I_{eq}^A \cos(2\pi\nu_A t_1)$ et $I_{eq}^X \cos(2\pi\nu_X t_1)$, ce qui détermine les conditions initiales relativement à l'axe $x$ selon lequel les aimantations sont verrouillées (premier pas du cyclage de phase). Toutes les autres composantes disparaissent du fait de l'inhomogénéité du champ radio-fréquence (voir la discussion à propos des gradients de champ du paragraphe 2.2.2). Celle-ci produit en effet une nutation différenciée, dépendant de la position spatiale de la molécule considérée, et on conçoit sans peine que la moyenne de ces composants sur l'ensemble de l'échantillon tend vers zéro. Cette constatation étant faite, les aimantations selon $x$ "relaxent" à l'instar des aimantations longitudinales de la séquence NOESY. Formellement, le diagramme 2D est de même nature et fait apparaître des taches de corrélation pour les spins présentant un terme de relaxation croisée transversale non nul. Le cyclage de phase indiqué dans la légende de la figure 4-24 est des plus simples : en plus du cycle des quatre phases classiques x, -x, y, -y, appliqué aussi bien à l'impulsion initiale qu'à la réception, on superpose un cycle à deux pas concernant l'orientation du champ de 'spin-lock' (+x,-x). Les deux orientations seraient strictement équivalentes pour un instrument idéal ; alterner le signe de la polarisation de $B_1$ peut contribuer à éliminer certains artefacts d'origine instrumentale. Finalement l'obtention de spectres d'absorption pure requiert l'adjonction de la procédure TPPI qui porte sur la première impulsion de la séquence.
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>**Figure 4-24.** Schéma de principe d'une expérience ROESY. Un cyclage de phase possible est donné ci-après :</figcaption></figure>

$\varphi_1 = x, x,-x,-x, y, y,-y,-y$ et simultanément $\varphi_2 = x,-x, x,-x, y,-y, y,-y$. La période de 'spin-lock' est généralement encadrée par deux impulsions à $\pi/2$ de forte puissance de manière à réduire certains effets indésirables provenant de la faible amplitude du champ radio-fréquence<fnref n="18" />

## 4.2 Interprétation moléculaire des paramètres de relaxation

### 4.2.1 Le concept des champs locaux (ou champs aléatoires)

Jusqu'ici nous avons rencontré un seul mode susceptible d'agir sur l'aimantation nucléaire : un champ radio-fréquence opérant à une fréquence proche de celle des transitions entre différents niveaux d'énergie. Ce champ radio-fréquence est créé extérieurement à l'échantillon ; par extension, on peut envisager des champs locaux, prenant naissance au sein de l'échantillon, qui joueraient un rôle assez semblable. Ils pourraient induire des transitions dont le but serait de ramener l'aimantation nucléaire vers sa configuration d'équilibre, à l'instar des forces de frottement agissant sur un mobile animé d'un mouvement périodique. Ces champs locaux $\tilde{b}(t)$ doivent mimer l'action d'un champ radio-fréquence (rf), donc:

i) être dépendant du temps pour que, à l'issue d'une décomposition sinusoïdale de cette dépendance temporelle, on puisse trouver une composante non nulle à des fréquences égales aux différences d'énergie des niveaux qui caractérisent le système de spin ;

ii) présenter un certain degré de cohérence, puisque un champ rf est parfaitement cohérent (on peut prévoir sa valeur à tout instant $t$, connaissant sa valeur à l'instant zéro).

$\tilde{b}(t)$ représente par exemple le champ magnétique créé par un autre spin (un spin nucléaire ou le spin d'un électron non apparié). Dans ce cas, il est proportionnel à $1/r^3$ (où $r$ est la distance entre les deux spins). Sa dépendance temporelle, liée aux mouvements moléculaires, provient de l'orientation de $\vec{r}$ et/ou des fluctuations de la distance $r$. Pour l'instant, nous laisserons de côté l'origine de $\tilde{b}(t)$ pour nous intéresser principalement à la nature aléatoire des mouvements moléculaires :

1. Les trois composantes d'un champ magnétique local ne sont pas corrélées

$$ \overline{b_x(t)b_y(t)} = \overline{b_x(t)b_z(t)} = \overline{b_y(t)b_z(t)} = 0 \qquad (4.25) $$

(la barre figure une moyenne d'ensemble).

2. La moyenne de chaque composante est nulle

$$ \overline{b_x(t)} = \overline{b_y(t)} = \overline{b_z(t)} = 0 \qquad (4.26) $$

3. La moyenne du carré de ces trois composantes doit être identique si le milieu est isotrope

<footnote n="18">¹⁸ C. Griesinger et R.R. Ernst, *J. Magn. Reson.*, **75**, 261 (1987)</footnote>
$$ \overline{b_x^2(t)} = \overline{b_y^2(t)} = \overline{b_z^2(t)} = \overline{b^2} \qquad (4.27) $$

Pour comprendre la signification de ces deux derniers points, on peut envisager une quantité dont le module est non nul mais qui peut prendre des valeurs opposées avec la même probabilité. Quant à la cohérence de ces champs magnétiques locaux (on parlera également de champs aléatoires, ca; en anglais, 'random fields'), elle peut être évaluée au moyen d'une fonction de corrélation

$$ \overline{b_x(t)b_x(0)} \neq 0 \qquad (4.28) $$

Cette fonction reflète les propriétés de mémoire des champs locaux ; elle est évidemment nulle si le champ local à l'instant $t$ "ne se souvient pas" de ce qu'il était à l'instant zéro. En milieu isotrope, la fonction de corrélation (4.28) est la même pour les trois composantes du champ local. En se fondant sur l'analogie avec les champs rf, on peut évaluer l'efficacité d'un champ aléatoire à la fréquence $v = \omega/2\pi$ au moyen de la transformée de Fourier de la fonction de corrélation

$$ \mathcal{G}_{ca}(\omega) = \int_{0}^{\infty} \overline{b_x(t)b_x(0)} \exp(-i\omega t) dt \qquad (4.29) $$

De telles quantités sont appelées densités spectrales et interviennent de façon très générale dans les paramètres de relaxation. Très souvent, $\overline{b_x(t)b_x(0)}$ peut s'écrire $\overline{b^2} \exp(-t/\tau_c)$ où $\tau_c$ est un temps de corrélation associé aux mouvements moléculaires. S'agissant de réorientation moléculaire, $\tau_c$ peut être considéré comme le temps nécessaire à une rotation de 1 rad ; dans les liquides, en fonction de la viscosité du milieu et de la taille des molécules, $\tau_c$ s'étend de $10^{-9}$ à $10^{-12}$ s. La transformée de Fourier de (4.29) conduit dans ce cas à une fonction lorentzienne du type $\tau_c / (1 + \omega^2 \tau_c^2)$. Quand la condition $\omega^2 \tau_c^2 \ll 1$ est remplie, les densités spectrales, donc les paramètres de relaxation, deviennent indépendant de la fréquence (ou, ce qui revient au même, du champ $B_0$). Une telle situation est qualifiée de "rétrécissement extrême", ce qui s'avère être le cas pour les mouvements rapides ($\tau_c$ de l'ordre de $10^{-11}$- $10^{-12}$ s), les fréquences de mesure étant inférieures au GHz ($10^9$ Hz).

Comme dans les chapitres précédents, nous évitons un traitement quantique si le système peut être décrit au moyen des trois composantes $M_x$, $M_y$, et $M_z$ de l'aimantation nucléaire. C'est bien le cas si le système est constitué d'un seul spin $1/2$ ou si nous faisons abstraction d'interactions biparticulaires (interaction dipolaire entre deux spins). Nous pouvons tenter de retrouver les équations de Bloch en faisant l'hypothèse que ce sont des champs locaux qui sont à l'origine des phénomènes de relaxation, ce qui nous permettra d'exprimer $T_1$ et $T_2$ selon des fonctions de densité spectrale et de déterminer la fréquence à laquelle celles-ci interviennent.

L'équation de départ est celle qui gouverne l'évolution d'un moment magnétique $\vec{\mu}$ soumis à un champ local (aléatoire) $\vec{b}$

$$ \frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu} \wedge \vec{b} \qquad (4.30) $$

A l'aide de calculs fondés sur la méthode des perturbations dépendant du temps (développés dans l'annexe A4.4), on aboutit à l'équation d'évolution de la composante selon $z$ de l'aimantation nucléaire $M_z$ (en ayant remarqué que $M_z(t) = \overline{\mu(t)}$)

$$ \frac{dM_z}{dt} = -(M_z - M_0)[\gamma^2 \operatorname{Re} \int_0^\infty [\overline{b_x(t)b_x(0)} + \overline{b_y(t)b_y(0)}]e^{-i\omega_0 t} dt] \qquad (4.31) $$

(Re signifiant "partie réelle de") qui n'est autre que l'équation de Bloch (4.1) à condition d'identifier à $(1/T_1)$ la quantité en facteur de $-(M_z - M_0)$ dans (4.31) où $M_0$ représente l'aimantation à l'équilibre et $\omega_0 = 2\pi v_0 (v_0$ étant la fréquence de résonance). La contribution des champs aléatoires à la vitesse de relaxation longitudinale peut donc s'écrire (voir (4.29))

$$ (R_1)_{ca} = (1/T_1)_{ca} = 2\gamma^2 \mathcal{G}_{ca}(\omega_0) \qquad (4.32) $$

Ce même type de calcul (voir annexe A4-4) conduit aux vitesses de relaxation transversale $(1/T_2)$, voir (4.6)) et de relaxation dans le repaire mobile $(1/T_{1\rho})$, voir (4.12))

$$ (R_2)_{ca} = (1/T_2)_{ca} = \gamma^2 [\mathcal{G}_{ca}(\omega_0) + \mathcal{G}_{ca}(0)] \qquad (4.33) $$
$$ (R_{1\rho})_{ca} = (1/T_{1\rho})_{ca} = \gamma^2 [\mathcal{J}_{ca}(\omega_0) + \mathcal{J}_{ca}(\omega_1)] \quad (4.34) $$

On peut remarquer que $R_2$ comporte une densité spectrale à la fréquence zéro qui sera prépondérante si les mouvements moléculaires deviennent lents. Dans (4.34), il s'agit également d'une densité spectrale à basse fréquence puisque $\omega_1 = \gamma B_1 (B_1$ étant l'amplitude du champ de spin-lock).

Dans les figures 4-25 et 4-26, l'évolution de $T_1$ et de $T_2$ est visualisée en fonction du temps de corrélation $\tau_c$ (et/ou de la fréquence de résonance $\nu_0$) et en supposant une densité spectrale de la forme la plus simple qui soit (voir plus haut), on obtient :

$$ \mathcal{J}_{ca}(\omega_0) \propto \frac{\bar{b}^2 \tau_c}{1 + \omega_0^2 \tau_c^2} \quad (4.35) $$

Finalement, bien que cette approche soit utilisée lorsqu'on ne veut (peut) pas spécifier les interactions subies par le système, on peut noter que les situations suivantes relèvent strictement du mécanisme dit de "champs aléatoires":

* interactions dipolaires spin-spin intermoléculaires (entre deux systèmes de spins différents).

* interactions dipolaires (directes et indirectes) entre le spin nucléaire considéré et le spin d'un électron célibataire (systèmes paramagnétiques), encore que ces interactions puissent faire l'objet d'études plus approfondies. Notons à propos de ce mécanisme de relaxation qu'il peut être extrêmement efficace et masquer le(s) mécanisme(s) que l'on peut vouloir exploiter avec précision, notamment le mécanisme dipolaire. C'est la raison pour laquelle, le spectroscopiste qui mesure des temps de relaxation fait la chasse à toutes les impuretés paramagnétiques que pourrait contenir son échantillon, ions paramagnétiques ou oxygène moléculaire dissous. Ce dernier peut être facilement éliminé par dégazage ou en lui substituant de l'azote ou de l'argon (qui eux ne sont pas paramagnétiques) par barbotage.

* interaction de spin-rotation : entre le moment cinétique de spin (du spin nucléaire considéré) et le moment cinétique décrivant la rotation du "nuage électronique" de la molécule. Ce mécanisme est généralement peu important sauf pour les molécules de petite taille ou pour des groupements en rotation rapide (par exemple, des groupements méthyle). La discrimination de ce mécanisme repose sur l'évolution des paramètres de relaxation avec la température. C'est le seul mécanisme pour lequel on observe une augmentation de la vitesse de relaxation, inverse du temps de relaxation, avec la température.
<figure><img src="image_133.png" /></figure>

**Figure 4-25** Evolution des vitesses de relaxation longitudinale et transversale avec la valeur du champ B₀ (ou, ce qui revient au même, avec la fréquence de résonance *v*₀), en supposant que le spin considéré est soumis à des champs aléatoires dont la fonction de corrélation est proportionnelle à e⁻¹/τₑ, τₑ étant le temps de corrélation. Pour τₑ = 1 ps, on s'aperçoit que la condition de rétrécissement extrême prévaut.

<figure><img src="image_134.png" /></figure>

**Figure 4-26** Evolution des temps de relaxation longitudinale et transversale en fonction du temps de corrélation τₑ pour une fréquence de résonance *v*₀ fixée à 400 MHz. On peut noter une décroissance continue de *T*₂ alors que *T*₁ passe par un minimum, en conformité avec les relations (4.32), (4.33) et (4.35).
### 4.2.2 Anisotropie de déplacement chimique (CSA : Chemical Shift Anisotropy)

Ce mécanisme de relaxation, qui provient du caractère tensoriel de l'effet d'écran, peut être traité au moyen du concept des champs aléatoires en remarquant que l'induction effective au niveau du noyau a pour composantes dans le repère fixe (paragraphe 1.4.1) :

$$b_X = \sigma_{XZ} B_0$$

$$b_Y = \sigma_{YZ} B_0$$

$$b_Z = (1 - \sigma_{ZZ}) B_0$$

Puisque le passage à un repère moléculaire s'accompagne d'une modulation temporelle des éléments tensoriels $\sigma_{xz}$, $\sigma_{yz}$ et $\sigma_{zz}$, due à la réorientation des molécules, ce mécanisme est actif du point de vue de la relaxation de spin. En se référant à (4.32), nous pouvons écrire que $(R_1)_{csa}$ est la somme des transformées de Fourier des fonctions de corrélation relatives à $\eta b_x$ et $\eta b_y$ ou, en d'autres termes, des fonctions de corrélation des éléments non diagonaux du tenseur d'écran (plus précisément de $\gamma\sigma_{xz}B_0$ et $\gamma\sigma_{yz}B_0$). D'après l'annexe A4-5, la densité spectrale relative à un élément tensoriel non diagonal est de la forme $(3/4)\eta(\omega)$, $\eta(\omega)$ prévalant pour un élément diagonal ; ce qui conduit à

$$(R_1)_{csa} = \left(\frac{3}{2}\right) \gamma^2 B_0^2 \eta_{csa}(\omega_0) \qquad (4.36)$$

$$(R_2)_{csa} = \gamma^2 B_0^2 \left[ \left(\frac{3}{4}\right) \eta_{csa}(\omega_0) + \eta_{csa}(0) \right] \qquad (4.36)$$

Il suffit alors d'expliciter les densités spectrales $\eta_{csa}(\omega)$ en fonction du tenseur d'écran exprimé dans le repère de ses axes principaux (repère moléculaire pour lequel le tenseur est diagonal). Dans ce repère on définit, selon les notations usuelles (voir Annexe A4.5), les quantités suivantes.

$$\Delta\sigma = \sigma_{zz} - (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})/2 \qquad (4.37)$$

$$\eta_{csa} = (3/2)(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}) / \Delta\sigma \qquad (4.37)$$

(avec $|\sigma_{zz}| \ge |\sigma_{yy}| \ge |\sigma_{xx}|$)

On obtient alors dans le cas d'une réorientation isotrope (voir (A4-5.7) de l'annexe A4-5 où sont introduites les densités spectrales normalisées $\tilde{J}(\omega)$)

$$(R_1)_{csa} = \frac{1}{15} (\mathcal{J}_0)^2 (\Delta\sigma)^2 \left(1 + \frac{\eta_{csa}^2}{3}\right) \tilde{J}(\omega_0) \qquad (4.38)$$

$$(R_2)_{csa} = \frac{1}{15} (\mathcal{J}_0)^2 (\Delta\sigma)^2 \left(1 + \frac{\eta_{csa}^2}{3}\right) \left[ \frac{2\tilde{J}(0)}{3} + \frac{\tilde{J}(\omega_0)}{2} \right] \qquad (4.38)$$

Dans le cas d'une réorientation quelconque, les expressions (4.38) s'appliquent à nouveau à condition que le tenseur d'écran soit de symétrie axiale ; dans ces circonstances, $\eta_{csa} = 0$ et, z étant l'axe de symétrie, il n'est plus nécessaire que la condition $|\sigma_{zz}| \ge |\sigma_{xx}|$ soit vérifiée. On constate que, dans tous les cas, les vitesses de relaxation sont directement proportionnelles à $(\Delta\sigma)^2$. $\Delta\sigma$ reflète l'anisotropie du tenseur d'écran ; comme l'effet d'écran est à l'origine du phénomène de déplacement chimique, on parlera d'anisotropie de déplacement chimique. On peut également remarquer que ces vitesses de relaxation dépendent de deux façons de la fréquence de mesure $\omega_0$ : par l'intermédiaire de $\tilde{J}(\omega_0)$, mais également par le facteur $(\gamma\mathcal{J}_0)^2 = \omega_0^2$. En outre pour une fonction de corrélation exponentielle caractérisée par un seul temps de corrélation $\tau_c$ (voir (A4-5.10)), $\tilde{J}(\omega) = \frac{2\tau_c}{1 + \omega^2\tau_c^2}$ se réduit à $2\tau_c$ si $\omega^2\tau_c^2 \ll 1$ (condition de rétrécissement extrême). Même dans ce cas, les deux vitesses de relaxation $R_1$ et $R_2$ sont différentes $(R_2)_{csa} / (R_1)_{csa} = 7/6$.

De manière à disposer de valeurs numériques représentatives, nous considérerons deux exemples pour lequel ce mécanisme de relaxation est particulièrement opérant (anisotropie de déplacement chimique importante) en tenant compte d'une contribution dipolaire réaliste provenant de l'interaction avec un proton relativement éloigné ; ces deux exemples concernant le carbone-13 d'un groupement carbonyle et le phosphore-31 d'un groupement phosphate. On
suppose un mouvement isotrope ($\tilde{J}(\omega) = \frac{2\tau_c}{1 + \omega^2\tau_c^2}$). Les valeurs numériques du temps de relaxation longitudinale pour trois valeurs de $B_0$ (ce sont les fréquences de résonance du proton qui seront indiquées) sont rassemblées dans le tableau 4-4.

<table><caption>**Tableau 4-4.** Temps de relaxation longitudinale du carbone-13 et du phosphore-31, dans des groupements carbonyles et phosphate, en fonction de $B_0$, représenté ici par la fréquence de résonance du proton (i.e 200MHz correspond à $B_0 = 4,7$ T).</caption><thead><tr><th></th><th colspan="3">v(1H)</th></tr><tr><th></th><th>200 MHz</th><th>400 MHz</th><th>600MHz</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">C=0 ; Δσ = 250 ppm</td></tr><tr><td colspan="4">dCH = 1,85 Å</td></tr><tr><td>τ<sub>c</sub> = 5 10<sup>-9</sup> s</td><td>0,61 s</td><td>0,61 s</td><td>0,60 s</td></tr><tr><td>τ<sub>c</sub> = 5 10<sup>-11</sup> s</td><td>11,6 s</td><td>4,75 s</td><td>2,4 s</td></tr><tr><td colspan="4">P=0 ; Δσ = 150 ppm</td></tr><tr><td colspan="4">dPH = 1,85 Å</td></tr><tr><td>τ<sub>c</sub> = 5 10<sup>-9</sup> s</td><td>0,87 s</td><td>1,33 s</td><td>1,5 s</td></tr><tr><td>τ<sub>c</sub> = 5 10<sup>-11</sup> s</td><td>6,5 s</td><td>3,7 s</td><td>2,2 s</td></tr></tbody></table>

### 4.2.3 Relaxation scalaire de deuxième espèce

Ce mécanisme intervient pour un noyau A (généralement de spin 1/2) doté de temps de relaxation assez longs, et présentant un couplage indirect (scalaire) $J_{AX}$ avec un noyau X, lui-même possédant des temps de relaxation très court (X est généralement un noyau quadrupolaire). L'interaction correspondante est de la forme (voir Annexe A1-4)

$$J_{AX}(I_x^A I_x^X + I_y^A I_y^X + I_z^A I_z^X)$$

Comme il s'agit ici de phénomènes de relaxation, on est tenu de considérer l'expression de cette interaction dans son intégralité ; ce n'est pas le cas lorsque l'on calcule (simule) un spectre, les deux derniers termes apportant la plupart du temps une contribution négligeable (approximation séculaire ; spectres au premier ordre). Lorsque l'interaction ciedessus est modulée par de simples phénomènes d'échange chimique, on parlera de *relaxation scalaire de première espèce*. Ici, il s'agit de la relaxation rapide du spin X (qui généralement s'oppose à l'observation d'éclatements provenant du couplage $J_{AX}$ ; voir paragraphe 1.3.5), et $J_{AX} I_x^X$ peut être considéré comme un champ local $\mathfrak{p}_{\chi}$ agissant sur le spin A. Par voie de conséquence, les fonctions de corrélation du type $\overline{I_x^X(t)I_x^X(0)}$ doivent être évaluées. Dans ce cas, le temps de relaxation transversale de X ($T_2^X$) joue le rôle d'un temps de corrélation. Après quelques calculs détaillés dans l'annexe A4-6, on aboutit aux contributions de la relaxation scalaire de deuxième espèce affectant le spin A ($I_\chi$ représentant le nombre de spin du noyau X, $J_{AX}$ devant être exprimé en rad.s⁻¹)
$$ (R_1^A)_{sc} = \frac{2J_{AX}^2}{3} I_X(I_X+1) \frac{T_2^X}{1+(\omega_X - \omega_A)^2 (T_2^X)^2} \quad (4.39) $$

$$ (R_2^A)_{sc} = \frac{J_{AX}^2}{3} I_X(I_X+1) \left[ \frac{T_2^X}{1+(\omega_X - \omega_A)^2 (T_2^X)^2} + T_1^X \right] $$

$(R_1^A)_{sc}$ est généralement négligeable (sauf pour des fréquences de résonance de A et de X très voisines) du fait de l'importance de la quantité $(\omega_X - \omega_A)^2 (T_2^X)^2$; en effet, $T_2^X$ ne peut, sauf circonstances exceptionnelles, être de l'ordre de (ou inférieur à) la microseconde. Par conséquent, le mécanisme de relaxation scalaire de deuxième espèce affecte essentiellement la relaxation transversale du noyau observé. Comme les éclatements dus au couplage $J_{AX}$ disparaissent par un phénomène analogue à l'échange chimique, ce dernier couplage peut, malgré tout, être déterminé grâce à la mesure de $R_2^A$ et de $T_1^X$. Cette possibilité n'existe cependant que si le mécanisme de relaxation scalaire de deuxième espèce peut être considéré comme prépondérant, ce qui conduit à $R_2^A \approx T_1^X I_X(I_X+1)J_{AX}^2/3$. Réciproquement la connaissance de $J_{AX}$ peut permettre la détermination indirecte du temps de relaxation longitudinale du noyau à relaxation rapide (temps de relaxation quadrupolaire dont l'expression est donnée plus bas) : on peut donner comme exemple celui du deutérium (après marquage isotopique) ou de l'azote-14 (tous deux de spin 1) avec de nombreuses applications à l'étude des mouvements locaux dans les biomolécules.

### 4.2.4 Relaxation dipolaire. Equations de Redfield : relaxation croisée

Dès que le système de spin comporte plus de deux états (contrairement à ce qui prévaut pour un seul spin 1/2 avec ses deux états notés $|\alpha\rangle$ et $|\beta\rangle$), les composantes de l'aimantation macroscopique s'avèrent insuffisantes pour appréhender complètement son évolution et on doit alors se tourner vers la mécanique quantique. On rencontre une telle situation pour un système de deux spins 1/2 (avec ses quatre états représentés par $|\alpha\alpha\rangle$, $|\alpha\beta\rangle$, $|\beta\alpha\rangle$, $|\beta\beta\rangle$; voir Annexe A1-4) ou pour un noyau quadrupolaire (trois états pour un spin 1, quatre pour un spin 3/2, etc..). L'outil adapté à une telle situation est l'opérateur-densité (ou la matrice-densité). Bien que ce dernier concept ait été introduit plus haut (paragraphe 2.2), nous répéterons ici quelques définitions et propriétés et nous éviterons les calculs, renvoyant le lecteur à l'annexe A4-7 où il pourra trouver un aperçu de l'utilisation de l'opérateur-densité en vue d'aborder la relaxation de spin.

Soient $|a\rangle$ et $|a'\rangle$ deux états de spin; l'élément $\sigma_{aa'}$ de la matrice-densité est défini par

$$ \sigma_{aa'} = \overline{c_a c_{a'}^*} \quad (4.40) $$

(*: conjugué complexe), $c_a$ représentant la contribution de l'état $|a\rangle$ dans la fonction d'onde représentative du système à l'instant considéré et la barre dans (4.40) se référant, comme à l'accoutumée, à une moyenne sur l'ensemble des systèmes constituant l'échantillon. Les règles de la mécanique quantique stipulent que la quantité $c_a c_a^* = |c_a|^2$ représente la probabilité de trouver le système dans l'état $|a\rangle$. Par conséquent, l'élément diagonal $\sigma_{aa}$ de la matrice-densité n'est autre que la population $P_a$ du niveau d'énergie $E_a$.

$$ P_a = \sigma_{aa} \quad (4.41) $$

qui, à l'équilibre, est égale à $\exp(-E_a/k_B T)$ où $k_B$ est la constante de Boltzmann et T la température absolue. Les éléments diagonaux de la matrice-densité sont donc associés à l'aimantation longitudinale (qui se déduit des différences de population entre niveaux d'énergie). Comme, à l'équilibre, il n'existe aucune aimantaion transversale, les éléments hors-diagonaux $\sigma_{aa'}$ de la matrice-densité sont nuls, indiquant l'absence de toute relation de phase entre les états $|a\rangle$ et $|a'\rangle$. Lorsque $\sigma_{aa'}$ est non nul, on peut en déduire l'apparition d'une aimantation transversale correspondant à la transition $|a\rangle \rightarrow |a'\rangle$, donc à un certain degré de cohérence entre les états $|a\rangle$ et $|a'\rangle$. Pour cette raison, l'élément hors-diagonal $\sigma_{aa'}$ est appelé cohérence.

On peut montrer (annexe A4-7) que l'évolution de la matrice-densité obéit aux équations de Redfield:
$$ \frac{d\sigma_{aa'}}{dt} = i(\omega_a - \omega_{a'})\sigma_{aa'} + \sum_{b,b'} R_{aa'bb'}\sigma_{bb'} \quad (4.42) $$

Le premier terme qui dépend de $(\omega_a - \omega_{a'})$ correspond à la précession $(\omega_a$ et $\omega_a$ représentent l'énergie des états $|a'\rangle$ et $|a\rangle$ exprimés en rad.s⁻¹) tandis que le deuxième terme concerne exclusivement les phénomènes de relaxation (l'entité $R$, qui contient tous les termes $R_{aa'bb'}$, est désigné sous le terme de "matrice de relaxation"). On peut montrer que la quantité $R_{aa'bb'}$ n'est différente de zéro que si

$$ |\omega_a - \omega_{a'}| \approx |\omega_b - \omega_{b'}| \quad (4.43) $$

Les conséquences immédiates de la condition (4.43) peuvent s'énoncer comme suit.

**Relaxation longitudinale (équations générales):**

$$ \frac{d}{dt}\sigma_{aa} = \sum_{b} R_{aabb}\sigma_{bb} \quad (4.44) $$

Cette équation peut se réécrire:

$$ \frac{d}{dt} P_a = \sum_b W_{ab} P_b \quad (4.45) $$

avec $W_{ab} = R_{aabb}$, qui n'est autre que la probabilité d'une transition, induite par relaxation, entre les états $|a\rangle$ et $|b\rangle$.

Comme la condition (4.43) fait que l'évolution d'un élément diagonal de la matrice-densité ne fait intervenir que des éléments diagonaux (voir (4.44)), il s'ensuit qu'il n'existe aucun lien entre la relaxation longitudinale (éléments diagonaux) et la relaxation transversale (éléments hors diagonaux).

**Relaxation transversale (pic isolé):**

Si on suppose que la transition $|a\rangle \rightarrow |a'\rangle$ correspond à un pic raisonnablement séparé des autres, la condition (4.43) fait disparaître la double sommation dans (4.42) et il ne subsiste que

$$ \frac{d}{dt}\sigma_{aa'} = [i(\omega_a - \omega_{a'}) + R_{aa'aa'}]\sigma_{aa'} \quad (4.46) $$

Ce qui correspond à une largeur de raie (à mi-hauteur) égale à $R_{aa'aa'} / \pi$ (si l'inhomogénéité du champ $B_0$ peut être considérée comme négligeable).

**Relaxation d'un système de deux spins 1/2 (faiblement couplés s'il existe un couplage J):**

D'après le diagramme de la figure (4-27), il est apparent que:

$$ \begin{aligned} \langle I_z^A \rangle &\propto (P_1 - P_3) + (P_2 - P_4) \\ \langle I_z^X \rangle &\propto (P_1 - P_2) + (P_3 - P_4) \end{aligned} \quad (4.47) $$
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>**Figure 4-27** Diagramme d'énergie d'un système AX (la numérotation des niveaux d'énergie est conforme aux relations (4.47)). Les flèches pleines correspondent aux transitions à un quantum (1Q; normalement observées) avec un étiquetage indiquant le noyau qui est impliqué. Les flèches en pointillé se réfèrent aux transitions à zéro quantum (ZQ) ou à deux quanta (DQ).</figcaption></figure>

Le calcul de $d(I_z^A)/dt$ et de $d(I_z^X)/dt$ fait donc appel à toutes les probabilités de transition, à zéro quantum (à la pulsation $\omega_A - \omega_X$), à un quantum (aux pulsations $\omega_A$ et $\omega_X$), et à deux quanta (à la pulsation $\omega_A + \omega_X$). On peut se souvenir que les transitions (ou cohérences) à un quantum sont celles qui sont physiquement observées et qu'elles impliquent, pour un spin donné, la transformation de $\alpha$ en $\beta$ (ou de $\beta$ en $\alpha$). Les transitions à deux quanta impliquent les mêmes transformations pour les deux spins. Les équations de Solomon, résultant de tels calculs, ont déjà été mentionnées (paragraphe 4.1.3, équations (4.13)). Elles sont rappelées ci-dessous, les vitesses de relaxation qui y interviennent étant explicitées selon les considérations qui précédent.

$$ 
\begin{aligned}
\frac{dI_z^A}{dt} &= -R_1^A(I_z^A - I_{eq}^A) - \sigma(I_z^X - I_{eq}^X) \\
\frac{dI_z^X}{dt} &= -R_1^X(I_z^X - I_{eq}^X) - \sigma(I_z^A - I_{eq}^A)
\end{aligned}
\qquad (4.48)
$$

$R_1^A$ et $R_1^X$ sont les vitesses de relaxation spécifiques; elles dépendent de façon additive des mécanismes de relaxation qui ont pu être identifiés. Dans le présent contexte, on peut toujours séparer la contribution dipolaire $(R_1^A)_d$, calculée à partir de (4.47), (4.45) et de l'annexe A4-7.

$$ R_1^A = (R_1^A)_d + (R_1^A)_{autres} \qquad (4.49) $$

avec

$$ 
\begin{gathered}
(R_1^A)_d = K_{AX}[6\tilde{J}(\omega_A + \omega_X) + 3\tilde{J}(\omega_A) + \tilde{J}(\omega_A - \omega_X)] \\
\begin{array}{ccc}
\uparrow & \uparrow & \uparrow \\
\text{DQ} & \text{1Q} & \text{ZQ}
\end{array}
\end{gathered}
\qquad (4.50)
$$

La vitesse de relaxation croisée $\sigma$ a une origine purement dipolaire

$$ 
\begin{gathered}
\sigma = K_{AX}[6\tilde{J}(\omega_A + \omega_X) - \tilde{J}(\omega_A - \omega_X)] \\
\begin{array}{ccc}
\uparrow & \uparrow & \\
\text{DQ} & \text{ZQ} &
\end{array}
\end{gathered}
\qquad (4.51)
$$

On a fait à nouveau figurer les densités spectrales normalisées $\tilde{J}(\omega)$ (voir Annexe A4-5) ainsi qu'un coefficient qui reflète la nature de l'interaction dipolaire

$$ K_{AX} = \left(\frac{1}{20}\right) \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right)^2 \left(\frac{\gamma_A \gamma_X \hbar}{r_{AX}^3}\right)^2 \qquad (4.52) $$
De manière à utiliser les expressions ci-dessus, on pourra se référer aux valeurs suivantes de $K_{AX}$ en SI pour $r_{AX} = 1Å$:
$K_{AX} = 28,4654 \ 10^9$ ($A \equiv X \equiv^1 H$) et $K_{AX} = 1,7996 \ 10^9$ ($A \equiv^1 H$; $X \equiv^{13} C$). Les valeurs numériques relatives à d'autres couples de noyaux ou à d'autres distances interatomiques s'en déduisent en fonction des fréquences de résonance et/ou de la quantité $r^6$.

D'après les équations de Solomon, on peut formuler deux conclusions qui revêtent une certaine importance en pratique:

* L'aimantation longitudinale évolue de façon bi-exponentielle à moins que

(a) les transitions du noyau X soient irradiées, il vient alors

$$ \frac{d}{dt} \langle I_z^A \rangle = -R_1^A (\langle I_z^A \rangle - I_{stat}^A) \qquad (4.53) $$

avec

$$ I_{stat}^A = I_{eq}^A \left(1 + \frac{\sigma \lambda_X}{R_1^A \gamma_A}\right) \qquad (4.54) $$

(b) A et X constituent un système homonucléaire ($\omega_A = \omega_X = \omega_0$) soumis à des impulsions non sélectives, auquel cas on doit ajouter $R_1^A$ et $\sigma$ et aboutir ainsi à une évolution monoexponentielle gouvernée par $R_1^{\text{hom o}}$

$$ R_1^{\text{hom o}} = K[12\tilde{J}(2\omega_0) + 3\tilde{J}(\omega_0)] + (R_1)_{\text{autres}} \qquad (4.55) $$

* Si les conditions de rétrécissement extrême s'appliquent, alors

$$ (R_1^A)_d = K_{AX} (20\tau_c) = 2\sigma \qquad (4.56) $$

$$ \text{et } (R_1^{\text{hom o}})_d = K(30\tau_c) = \frac{3(R_1^A)_d}{2} \qquad (4.57) $$

cette propriété est connue sous le nom d'effet "3/2".

Du fait de la condition (4.43), il n'existe pas de terme de relaxation croisée transversale. En revanche, on peut évaluer, selon les mêmes méthodes, la contribution dipolaire à la vitesse de relaxation transversale

$$ (R_2^A)_d = K_{AX} [3\tilde{J}(\omega_A + \omega_X) + 3\tilde{J}(\omega_A)/2 + 3\tilde{J}(\omega_X) + \tilde{J}(\omega_A - \omega_X)/2 + 2\tilde{J}(0)] \qquad (4.58) $$

On peut noter que si les conditions de rétrécissement extrême s'appliquent, alors $(R_2^A)_d = (R_1^A)_d$.

Finalement, pour fixer les idées nous donnons dans les tableaux 4-5 et 4-6 quelques valeurs typiques des temps de relaxation longitudinale (de différents noyaux, à température ambiante) lorsque ceux-ci ont essentiellement une origine dipolaire.

<table><caption>**Tableau 4-5** Temps de relaxation longitudinale du proton de quelques solvants (les temps de relaxation de l'oxygène-17 et du deutérium de l'eau sont également indiqués)</caption><thead><tr><th>Solvant</th><th>Formule</th><th>T<sub>1</sub> (s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>eau</td><td>H<sub>2</sub>O</td><td>3,6<br>0,51 (²H)<br>0,007 (¹⁷O)</td></tr><tr><td>méthanol</td><td>CH<sub>3</sub>OH</td><td>4,2</td></tr><tr><td>acétone</td><td>(CH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>CO</td><td>4,3</td></tr><tr><td>benzène</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>6</sub></td><td>2,2</td></tr><tr><td>DMSO (diméthyl-sulfoxyde)</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>6</sub>SO</td><td>2,2</td></tr><tr><td>chloroforme</td><td>CHCl<sub>3</sub></td><td>5,4</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 4-6** Temps de relaxation longitudinale du carbone-13 de quelques solvants</caption><tr><td rowspan="2">éthanol</td><td>CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>OH</td><td>3,1</td></tr><tr><td>CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>OH</td><td>2,6</td></tr><tr><td>cyclohexane</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>12</sub></td><td>0,8</td></tr><tr><td>dioxane</td><td>C<sub>4</sub>H<sub>8</sub>O<sub>2</sub></td><td>2,0</td></tr><tr><td>dichlorure de méthylène</td><td>CH<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub></td><td>6,0</td></tr><tr><td rowspan="2">diéthyl éther</td><td>(CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>)<sub>2</sub>O</td><td>6,2</td></tr><tr><td>(CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>)<sub>2</sub>O</td><td>6,1</td></tr></table>

<table><thead><tr><th>Solvant</th><th>Formule</th><th>T<sub>1</sub> (s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>méthanol</td><td>CH<sub>3</sub>OH</td><td>15,1</td></tr><tr><td rowspan="2">acétone</td><td>(CH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>CO</td><td>33,1</td></tr><tr><td>(CH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>CO</td><td>23,8</td></tr><tr><td>benzène</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>6</sub></td><td>26,8</td></tr><tr><td>DMSO (diméthyl-sulfoxyde)</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>6</sub>SO</td><td>5,8</td></tr><tr><td>chloroforme</td><td>CHCl<sub>3</sub></td><td>22,6</td></tr><tr><td>disulfure de carbone</td><td>CS<sub>2</sub></td><td>35,8</td></tr><tr><td rowspan="2">éthanol</td><td>CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>OH</td><td>8</td></tr><tr><td>CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>OH</td><td>6,2</td></tr><tr><td>cyclohexane</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>12</sub></td><td>19,7</td></tr><tr><td>dioxane</td><td>C<sub>4</sub>H<sub>8</sub>O<sub>2</sub></td><td>11,2</td></tr><tr><td>dichlorure de méthylène</td><td>CH<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub></td><td>26</td></tr><tr><td rowspan="2">diéthyl éther</td><td>(CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>)<sub>2</sub>O</td><td>15,9</td></tr><tr><td>(CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>)<sub>2</sub>O</td><td>21,5</td></tr></tbody></table>

## L'effet Overhauser nucléaire (nOe)

Pour un système de deux spins 1/2 soumis à une interaction dipolaire mutuelle, la quantité à laquelle on s'intéresse en priorité est évidemment la vitesse de relaxation croisée $\sigma$ du fait de sa dépendance spécifique vis-à-vis de la distance internucléaire et de la réorientation du vecteur internucléaire. D'après (4.51), on peut toujours écrire
$$ \sigma \propto \frac{1}{r^6} \times (\tau_c^{\text{eff}}) \quad (4.59) $$

géométrie propriétés dynamiques

Si $\tau_c^{\text{eff}}$ peut être obtenu à partir d'une autre mesure, on en déduira la distance internucléaire $r$ alors que l'on accédera à une information dynamique si $r$ est connu.

$\sigma$ est souvent déterminé par l'intermédiaire du facteur nOe $\eta$ (voir paragraphe 4.1.3, figure 4-15) dont on rappelle ci-dessous la signification (nOe affectant le noyau $A$, cf. (4.21)) sachant que $R_1^A$ est mesuré indépendamment.

$$ \eta = \frac{\gamma_X}{\gamma_A} \frac{\sigma}{R_1^A} \quad (4.60) $$

Si $R_1^A$ est dominé par le mécanisme dipolaire et dans les conditions de rétrécissement extrême, on atteint la valeur maximale du facteur $\eta$ (voir (4.50) et (4.51))

$$ \eta = \frac{\gamma_X}{\gamma_A} \frac{\sigma}{R_1^A} = \begin{cases} 2 & \text{pour un système } {}^{13}\text{C}-{}^{1}\text{H} ({}^{1}\text{H} \text{irradié}) \\ 1/2 & \text{pour un système homonucléaire} \end{cases} \quad (4.61) $$

Il n'est pas inutile de s'attarder sur le cas d'un système homonucléaire, pour lequel la vitesse de relaxation croisée, notée $\sigma_{\parallel}$ (pour rappeler qu'il s'agit de relaxation longitudinale, le long de l'axe correspondant à $B_0$), est de la forme (voir (4.51), $\omega_0$ étant la pulsation de résonance)

$$ \sigma_{\parallel} = K_{AX} [6\tilde{J}(2\omega_0) - \tilde{J}(0)] \quad (4.62) $$

Dans des conditions de rétrécissement extrême ($\tau_c$ courts), $\sigma_{\parallel}$, égal à $K_{AX} \times 10\tau_c$, est relativement petit et sa mesure peut s'avérer assez difficile. En revanche, pour des molécules se réorientant lentement ($\tau_c$ longs), le terme $\tilde{J}(0)$ peut largement l'emporter sur le terme $6\tilde{J}(2\omega_0)$ du fait de la présence de $4\omega_0^2\tau_c^2$ au dénominateur des densités spectrales normalisées (voir A4-5.10). Dans ce cas, $\sigma_{\parallel}$ est négative mais de module important et conduit à des spectres NOESY relativement intenses comme illustré par la figure 4-28 (relative à une petite protéine).

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>**Figure 4-28** Spectre NOESY (400 MHz) du lysozyme à une concentration de 2mM dans H₂O (avec suppression de la résonance de l'eau). On notera l'abondance des informations que recèle un tel spectre (en termes de proximité géométrique)</figcaption></figure>

Dans certaines circonstances, il peut arriver que $\tilde{J}(0)$ soit très proche de $6\tilde{J}(2\omega_0)$ et que $\sigma_{\parallel}$ devienne de ce fait difficilement mesurable. Fort heureusement, on peut dans ce cas s'appuyer sur la vitesse de relaxation croisée dans le repère mobile. Comme mentionné plus haut, il n'existe pas de vitesse de relaxation croisée transversale du fait de la condition (4.43) qui stipule que tout terme de couplage disparaît si les fréquences de résonance ne sont pas voisines. Cette contrainte est évidemment levée si les deux aimantations transversales sont verrouillées selon un champ radio-fréquence (expérience de "spin-lock", dénommée encore ROESY; voir paragraphe 4.1.3). On peut alors montrer (selon
les méthodes développées dans l'annexe A4-7) qu'il existe une vitesse de relaxation croisée transversale notée $\sigma_{\rho}$ (par référence au temps de relaxation dans le repère mobile $T_{1}^{\rho}$) ou encore $\sigma_{\perp}$ dont l'expression est donnée ci-dessous

$$ \sigma_{\rho} = \sigma_{\perp} = K_{AX}[3\tilde{J}(\omega_0) + 2\tilde{J}(\omega)] \quad (4.63) $$

où $\omega_1 = \mathcal{J}B_1$ reste très petit du fait de l'amplitude du champ radio-fréquence $B_1$, et en tout cas inférieur de plusieurs ordres de grandeur à $\omega_0$. L'intérêt de (4.63) provient du fait que $\sigma_{\rho}$ ne s'annule pas et reste toujours détectable. Cette propriété est illustrée par la figure 4-29.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>**Figure 4-29** Comparaison des vitesses de relaxation croisée parallèle et perpendiculaire en fonction de la fréquence de mesure $\nu_0$ pour un couple de protons et une densité spectrale de la forme $2\tau_c/(1 + \omega^2\tau_c^2)$.</figcaption></figure>

### 4.2.5 Relaxation par corrélation croisée: Interférence CSA-dipolaire

Jusqu'ici nous avons rencontré des densités spectrales qui étaient les transformées de Fourier de fonctions d'auto-corrélation, qui, comme leur nom l'indique, implique un seul mécanisme (interaction) de relaxation : une fonction d'auto-corrélation est la moyenne d'ensemble du produit de la partie d'espace (de l'interaction) au temps $t$ par cette même partie d'espace au temps zéro. Si nous calculons le même type de fonction pour deux mécanismes différents, nous aurons affaire à une fonction de corrélation croisée. On peut montrer que le résultat est différent de zéro dans la mesure où les deux fonctions d'espace sont de rang identique (par exemple deux harmoniques sphériques correspondant à une même valeur de $l$, généralement de rang 2). Cette dernière propriété s'applique par exemple i) si l'une des interactions est l'interaction dipolaire et l'autre concerne l'anisotropie de déplacement chimique (CSA); ii) si les deux interactions considérées sont dipolaires mais concernant deux couples de noyaux différents. La première de ces situations est traitée en détail ci-dessous.

A une époque où le champ $B_0$ utilisé dans les expériences de RMN devient de plus en plus important (900 MHz pour la résonance du proton au début des années 2000), l'interaction par CSA s'accroît et les effets de ce terme d'interférence (considéré comme une curiosité par le passé) ne peuvent plus être négligés. En fait, dans le cas de biomolécules de grande taille, la vitesse de corrélation croisée qui lui est associé (notée ci-dessous $\sigma_{CSA,d}$) peut être mesurée avec précision et apporter une information moléculaire supplémentaire. Nous nous intéresserons en premier lieu à l'incidence de ce terme sur la relaxation longitudinale d'un système de deux spins 1/2. Jusqu'ici, deux quantités ont été invoquées, $\langle I_z^A \rangle$ et $\langle I_z^X \rangle$. Comme un tel système comporte quatre niveaux d'énergie, quatre quantités sont nécessaires à une description complète de la relaxation longitudinale (incluant l'identité qui, évidemment, n'évolue pas et n'a pas à être prise en compte dans les équations d'évolution). Il reste donc à définir une troisième grandeur qui, d'après les considérations du paragraphe 2.2.1, se trouve être l'ordre longitudinal représenté par le produit d'opérateurs $2I_z^A I_z^X$. A l'équilibre, cette quantité n'existe pas. Elle peut être créée à partir d'une configuration antiphase s'il existe un couplage $J$ ou (ce qui va être envisagé ici) par l'intermédiaire d'un terme d'interférence CSA-dipolaire qui assure un "couplage"
entre l'aimantation (polarisation) longitudinale et l'ordre longitudinal. En utilisant les méthodes de l'annexe A4-7¹⁹, on aboutit aux équations de Solomon étendues (voir (4.48))

$$
\begin{align}
\frac{d}{dt} \langle I_z^A \rangle &:= -R_1^A (\langle I_z^A \rangle - \langle I_{eq}^A \rangle) - \sigma_{AX} (\langle I_z^X \rangle - \langle I_{eq}^X \rangle) - \sigma_{CSA(A),d} \langle 2I_z^A I_z^X \rangle \nonumber \\
\frac{d}{dt} \langle I_z^X \rangle &:= -R_1^X (\langle I_z^X \rangle - \langle I_{eq}^X \rangle) - \sigma_{AX} (\langle I_z^A \rangle - \langle I_{eq}^A \rangle) - \sigma_{CSA(X),d} \langle 2I_z^A I_z^X \rangle \tag{4.64} \\
\frac{d}{dt} \langle 2I_z^A I_z^X \rangle &:= -R_1^{A,X} \langle 2I_z^A I_z^X \rangle - \sigma_{CSA(A),d} (\langle I_z^A \rangle - \langle I_{eq}^A \rangle) - \sigma_{CSA(X),d} (\langle I_z^X \rangle - \langle I_{eq}^X \rangle) \nonumber
\end{align}
$$

Les grandeurs et symboles apparaissant dans (4.64) ont la même signification que dans (4.48), avec, en plus, $R_1^{A,X}$ (qui est la vitesse de relaxation spécifique de l'ordre longitudinal) ainsi que les deux termes d'interférence donnés par (le symbole // indiquant qu'il s'agit de relaxation longitudinale)

$$
\sigma_{CSA(A),d}^{II} = - \left(\frac{1}{5}\right) (\gamma_A B_0) (\Delta\sigma_A) \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \left(\frac{\gamma_{AY} x^\hbar}{r_{AX}^\hbar}\right) \tilde{J}_{CSA,d}(\omega_A) \quad (4.65)
$$

On retrouve bien évidemment la racine carrée des amplitudes des deux mécanismes de relaxation, CSA (relations (4.38)) et dipolaire (expression (4.52)). Quant à la densité spectrale normalisée $\tilde{J}_{CSAd}(\omega_A)$, elle doit être évaluée en prenant en compte la corrélation de réorientation des deux vecteurs de relaxation, le vecteur joignant les deux noyaux A et X et l'axe de symétrie du tenseur d'écran (supposé ici de symétrie axiale). Ce point sera traité plus en détail dans le paragraphe 4.2.8. On pourra remarquer que dans (4.65) l'interaction dipolaire se manifeste par un terme en $1/r^3$ et intervient donc de façon plus importante que dans les vitesses d'autorelaxation ou de relaxation croisée (où elle intervient par un terme en $1/r^6$). La figure 4-30 constitue une illustration de l'incidence du terme d'interférence CSA-dipolaire sur une expérience conventionnelle d'inversion-récupération.

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>**Figure 4-30** Création de l'ordre longitudinal par corrélation-croisée CSA-dipolaire lors de la période d'évolution ($t_m$) suivant l'inversion d'un doublet. L'impulsion de lecture transforme l'aimantation longitudinale en un doublet "en phase" et l'ordre longitudinal en un doublet "antiphase". Ces deux doublets en se superposant conduisent à un doublet asymétrique.</figcaption></figure>

En ce qui concerne la relaxation transversale d'un doublet, on peut montrer<fnref n="20" /> que chacune des branches évolue selon une vitesse de relaxation différente dans la mesure où le terme d'interférence CSA-dipolaire n'est pas négligeable. Ces deux vitesses de relaxation sont de la forme $1/T_2 + \sigma_{CSA(A),d}^{\perp}$ et $1/T_2 - \sigma_{CSA(A),d}^{\perp}$, où apparaît la vitesse de corrélation croisée

<footnote n="19">¹⁹ voir également M. Goldman, *J. Magn. Reson.*, **60**, 437 (1984)</footnote>

<footnote n="20">²⁰ M. Goldman, *J. Magn. Reson.*, **60**, 437 (1984)</footnote>
$$ \sigma_{CSA(A),d}^{\perp} = \left(\frac{1}{30}\right) (\gamma_A B_0) (\Delta\sigma_A) \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \left(\frac{\gamma_A \chi \hbar}{r_{AX}^3}\right) [4\tilde{J}_{CSA,d}(0) - 3\tilde{J}_{CSA,d}(\omega_A)] \quad (4.66) $$

Cette vitesse de corrélation croisée transversale se mesure très facilement, en calculant la différence soit des largeurs de raie, soit des vitesses effectives de relaxation transversale de chacune des composantes du doublet (figure 4-31). S'agissant d'une différence, il n'est évidemment plus nécessaire de se préoccuper des différentes contingences expérimentales affectant les mesures de relaxation transversale.

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>**Figure 4-31** Exemple typique de l'effet de corrélation croisée CSA-dipolaire sur la relaxation transversale des deux composantes d'un doublet *J* (on fera abstraction du doublet secondaire dû à un couplage lointain): la différence de hauteur due en fait à une différence de largeur de raie, s'accompagnant d'une décroissance plus rapide (pour la composante de gauche) lors d'une expérience de type CPMG.</figcaption></figure>

Cette propriété a été mise à profit lors de l'étude de biomolécules de grande taille (protéines) puisqu'elle conduit, pour l'une des branches du doublet, à une diminution de la largeur de raie compensant ainsi l'effet indésirable d'une réorientation lente et restaurant une résolution inespérée<fnref n="21" />. Finalement, on pourra remarquer que le rapport

$\sigma_{CSA(A),d}^{\perp} / \sigma_{CSA(A),d}^{\parallel}$ est égal à 7/6 dans des conditions de rétrécissement extrême; réciproquement, en dehors de ces conditions, il permet d'accéder aux paramètres dynamiques (temps de corrélation) indépendamment des grandeurs moléculaires.

### 4.2.6 Relaxation quadrupolaire

Compte tenu de la nature de l'Hamiltonien quadrupolaire (équation (A4-7.2) et tableau A4-7.1), l'équation d'évolution (A4-7.5) doit être retenue pour traiter des aimantations longitudinale et transversale d'un seul noyau dont le nombre de spin *l* est supérieur ou égal à 1. Il n'existe pas de solution analytique simple, applicable à tout noyau quadrupolaire. Nous allons mentionner ici sans développer les calculs correspondants toutes les situations particulières qui permettent de mettre en avant des expressions utilisables des vitesses de relaxation. Tout comme la distance interatomique intervenait dans le facteur d'amplitude de la relaxation dipolaire, nous nous appuierons ici sur la valeur de la constante de couplage quadrupolaire $\chi$, exprimée en Hz et définie par

$$ \chi = eQV_{zz}/h \quad (4.67) $$

où les quantités qui figurent dans (4.67) ont la signification suivante : *e*, charge de l'électron; *h*, constante de Planck; *Q*, moment quadrupolaire nucléaire, qui ne dépend que de l'isotope considéré; $V_{zz}$, élément le plus important

<footnote n="21">²¹ expérience TROSY, K. Pervushin et al., Proc. Natl. Acad. Sci., USA, **94**, 12366 (1997)</footnote>
du tenseur de gradient de champ électrique, supposé sous forme diagonale (donc exprimé dans le repère moléculaire de ses axes principaux) ou élément selon l'axe de symétrie si le tenseur est de symétrie axiale.

Rappelons que le tenseur de gradient de champ électrique a essentiellement pour origine la distribution des charges électroniques et qu'il s'agit d'une propriété moléculaire, dépendant très fortement de la symétrie éventuelle de cette distribution électronique. C'est ainsi qu'en l'absence de toute symétrie, le mécanisme de relaxation quadrupolaire est prédominant, généralement d'une amplitude tellement importante que l'élargissement des raies qui s'ensuit rend le spectre inobservable. A contrario, pour une distribution électronique de symétrie sphérique, le gradient de champ électrique est nul, ce qui a pour conséquence une disparition du mécanisme de relaxation quadrupolaire. C'est, en première approximation, le cas pour un ion solvate par des molécules d'eau (ion sodium par exemple, l(Na) = 3/2) ; il n'en va plus de même dès que cet ion est plus ou moins lié à une structure moléculaire ou supramoléculaire, d'où un intérêt considérable pour la RMN du sodium dans le domaine biomédical.

La première situation que nous allons envisager est celle du rétrécissement extrême, pour laquelle un temps de corrélation effectif $\tau_c$ est tel que $\omega_0 \tau_c \ll 1$ où $\omega_0 / 2\pi$ représente la fréquence de mesure. L'évolution des aimantations longitudinale et transversale est alors exponentielle, les vitesses de relaxation quadrupolaire sont identiques et données par l'expression ci-dessous :

$$ (R_1)_q = (R_2)_q = \frac{3\pi^2}{10} \frac{2l+3}{l^2(2l-1)} \chi^2(1+\eta_q^2/3)\tau_c \quad (4.68) $$

où $\eta_q = (V_{xx} - V_{yy}) / V_{zz}$ définit le paramètre d'asymétrie du gradient de champ électrique (toujours dans le système moléculaire des axes principaux de ce tenseur avec $|V_{zz}| \ge |V_{yy}| \ge |V_{xx}|$).

En dehors des conditions du rétrécissement extrême, l'évolution des aimantations longitudinale et transversale cesse d'être monoexponentielle (à l'exception des noyaux de spin $l=1$, deutérium ou azote-14), ce qui signifie que le calcul des commutateurs dans (A4-7.5) ne donne pas exclusivement $I_z$ pour $G=I_z$ ou $I_x$ pour $G=I_x$. Il s'avère cependant que, dans la pratique, une évolution quasi exponentielle est souvent observée. Dans ce cas, les vitesses de relaxation apparente peuvent être interprétées par les approximations données ci-dessous<fnref n="22" />

$$ \begin{aligned} (R_1)_q^{\text{app}} &= [(2l+3)/5][8\mathcal{G}^q(2\omega_0) + 2\mathcal{G}^q(\omega_0)] \\ (R_2)_q^{\text{app}} &= [(2l+3)/5][2\mathcal{G}^q(2\omega_0) + 5\mathcal{G}^q(\omega_0) + 3\mathcal{G}^q(0)] \end{aligned} \quad (4.69) $$

$\mathcal{G}^q(\omega)$ est une densité spectrale quadrupolaire qui peut, comme à l'accoutumée, s'exprimer en fonction de la densité spectrale normalisée (voir plus haut ou annexe A-4.5) si on a affaire soit à un tenseur axial ($\eta_q = 0$) et un mouvement quelconque, soit à un tenseur quelconque et un mouvement isotrope :

$$ \mathcal{G}^q(\omega) = \left(\frac{3\pi^2}{40}\right) \left[ \frac{1}{l^2(2l-1)} \right] \chi^2\left(1 + \frac{\eta_q^2}{3}\right) \tilde{J}(\omega) \quad (4.70) $$

Il faut finalement mentionner que les équations (4.69) sont strictement valides pour un spin $l=1$.

### 4.2.7 Relaxation paramagnétique

Un spin nucléaire proche d'un électron non apparié est soumis : (i) à une interaction dipolaire de la part du moment magnétique associé au spin de cet électron (on parlera ici de mécanisme de pseudo-contact); (ii) éventuellement à l'interaction hyperfine (s'il existe un couplage hyperfin A, de même nature qu'un couplage J, entre noyau et électron; ce couplage a pour origine la participation d'une orbitale atomique s à l'orbitale moléculaire décrivant le comportement de l'électron non apparié). Le mécanisme de relaxation (mécanisme de contact) est alors du type "relaxation scalaire de deuxième espèce". Dans de telles circonstances, ces contributions à la relaxation nucléaire deviennent prédominantes du fait du rapport gyromagnétique élevé de l'électron et des temps de relaxation électronique, $T_{1e}$ et $T_{2e}$, généralement extrêmement courts.

<footnote n="22">²² B. Halle et H. Wennerström, *J. Magn. Reson.*, **44**, 89, (1989)</footnote>
Dans le cadre d'une théorie simplifiée, on est ainsi conduit à définir deux temps de corrélation effectifs, $\tau_{c1}$ et $\tau_{c2}$, qui apparaîtront dans l'expression des contributions dipolaires, $(R_1)_d$ et $(R_2)_d$, aux vitesses de relaxation nucléaire. Ces temps de corrélation effectifs font appel à l'ensemble des phénomènes susceptibles de moduler l'interaction dipolaire subie par le noyau (incluant la relaxation rapide de l'électron).

$$ 
\begin{aligned}
1/\tau_{c1} &= 1/T_{1e} + 1/\tau_R + 1/\tau_e + 1/\tau_M \\
1/\tau_{c2} &= 1/T_{2e} + 1/\tau_R + 1/\tau_e + 1/\tau_M
\end{aligned}
\qquad (4.71) $$

$\tau_R$ est le temps de corrélation rotationnel (dénoté plus haut par $\tau_c$ dans l'hypothèse d'une réorientation isotrope). $\tau_e$ et $\tau_M$ sont les temps de résidence de l'électron et du noyau, respectivement, dans la mesure où interviennent des phénomènes d'échange. Dans les expressions ci-dessous, les fréquences de résonance de l'électron et du noyau sont désignées respectivement par $\omega_e/2\pi$ et $\omega_0/2\pi$ ($\omega_e \gg \omega_0$) alors que $K_d$ représente l'amplitude du mécanisme dipolaire électron-noyau (voir (4.52)).

$$ 
\begin{aligned}
(R_1)_d &= K_d \left( \frac{6\tau_{c1}}{1 + \omega_0^2 \tau_{c1}^2} + \frac{14\tau_{c2}}{1 + \omega_e^2 \tau_{c2}^2} \right) \\
(R_2)_d &= K_d \left( 4\tau_{c1} + \frac{3\tau_{c1}}{1 + \omega_0^2 \tau_{c1}^2} + \frac{13\tau_{c2}}{1 + \omega_e^2 \tau_{c2}^2} \right)
\end{aligned}
\qquad (4.72) $$

Il est relativement aisé de discerner l'origine des différents termes de (4.72) en se référant à (4.50) et (4.58). Le premier terme de $(R_1)_d$ provient de $3\tilde{J}(\omega_A)$ (dans (4.50)) et correspond à une probabilité de transition nucléaire à un quantum, ce qui implique que l'aimantation électronique reste longitudinale d'où la dépendance vis-à-vis de $\tau_{c1}$ (donc de $T_{1e}$). Les deux termes suivants ont pour origine $6\tilde{J}(\omega_A + \omega_X)$ et $\tilde{J}(\omega_A - \omega_X)$ (toujours dans (4.50)), qui se réduisent ici à $7\tilde{J}(\omega_e)$ ($\omega_e \gg \omega_0$). S'agissant de probabilités de transition à deux quanta et zéro quantum, elles font intervenir des composantes transversales de l'aimantation électronique et c'est bien $\tau_{c2}$ (qui dépend de $T_{2e}$) qui doit y figurer.

En ce qui concerne le mécanisme de contact, on doit faire appel aux relaxations scalaires de première (provenant de l'échange) et deuxième espèce (provenant d'une relaxation électronique très rapide). Après avoir défini (d'après le paragraphe 4.2.3) le facteur d'amplitude $K_{sc} = (1/3)A^2S(S+1)$ (où A est la constante de couplage hyperfin exprimée en rad s⁻¹ et S le nombre de spin du système électronique) et désigné par $\tau_{e1}$ et $\tau_{e2}$ les temps de corrélation $\tau_{c1}$ et $\tau_{c2}$ dont on a retiré la contribution rotationnelle ($\tau_R$; puisqu'il s'agit ici exclusivement d'échange et/ou de relaxation électronique rapide), on obtient les contributions scalaires aux vitesses de relaxation longitudinale et transversale (voir expressions (4.39))

$$ 
\begin{aligned}
(R_1)_{sc} &= K_{sc} \frac{2\tau_{e2}}{1 + \omega_e^2 \tau_{e2}^2} \\
(R_2)_{sc} &= K_{sc} \left( \tau_{e1} + \frac{\tau_{e2}}{1 + \omega_e^2 \tau_{e2}^2} \right)
\end{aligned}
\qquad (4.73) $$

Les domaines d'application de la relaxation paramagnétique sont nombreux et variés. Parmi eux, on peut citer les agents de contraste utilisés en IRM. Il s'agit généralement de chélates de Gd³¹. Les temps de relaxation des protons des molécules d'eau en contact avec le complexe de gadolinium sont abaissés, ce qui permet une visualisation plus contrastée de la région où se trouve le complexe (par exemple, les vaisseaux sanguins après injection d'une solution appropriée). L'interprétation des vitesses de relaxation fait appel entre autres aux expressions (4.71) et (4.72) avec un temps de résidence $\tau_e$ infini (l'ion paramagnétique ne subissant pas d'échange) et avec $1/\tau_M$ représentant la constante d'échange entre la molécule d'eau incluse dans le complexe et les molécules d'eau de la solution (figure 4-32). L'élucidation de ces phénomènes a fait l'objet de plusieurs développements théoriques<fnref n="23" />.

<footnote n="23">²³ J.H. Freed, *J. Chem. Phys.*, **68**, 4034 (1978); J.P. Albrand et al., *J. Chem. Phys.*, **78**, 5809 (1983)</footnote>
<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>**Figure 4-32** Représentation schématique de l'action d'un complexe paramagnétique sur la relaxation des molécules d'eau d'une solution aqueuse par interaction dipolaire</figcaption></figure>

### 4.2.8 Introduction à l'interprétation dynamique des densités spectrales réduites

Nous nous contenterons de traiter le problème de la modélisation d'une fonction de corrélation de la forme $(3\cos^2\beta'(t)-1)(3\cos^2\beta(0)-1)$ où $\beta$ et $\beta'$ sont les angles entre deux axes moléculaires et la direction Z du repère fixe. Il s'agit, à un facteur près, de la fonction de corrélation intervenant dans la densité spectrale normalisée $\tilde{J}(\omega)$ (avec $\beta = \beta'$ pour les densités spectrales d'auto-corrélation; $\beta \neq \beta'$ pour les densités spectrales de corrélation croisée) qui se retrouve dans l'expression des paramètres de relaxation directement exploitables. Malgré la forme apparemment simple de cette fonction de corrélation, le problème posé est loin d'être trivial.

Nous n'allons envisager que trois modèles, en nous limitant d'ailleurs aux phénomènes de réorientation moléculaire, ce qui signifie que, dans cette analyse, nous laissons de côté les contributions dues aux translations. Nous ferons, en outre, l'hypothèse que ces mouvements de rotation sont de nature diffusionnelle et donc obéissent formellement à une équation aux dérivées partielles du type $\frac{\partial\psi}{\partial t} = \Lambda\Psi$. $\Lambda$ est le Laplacien angulaire et la fonction $\Psi$ est liée à une probabilité orientationnelle. Le coefficient de diffusion rotationnelle $D_r$, dans l'hypothèse du mouvement brownien le plus simple, dépend de la viscosité $\eta$ du milieu, d'un rayon moléculaire effectif $a$ que l'on définit en assimilant la molécule à une sphère

$$D_r = \frac{k_B T}{8\pi a^3 \eta} \qquad (4.74)$$

où $k_B$ est la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue.

Cette expression du coefficient de diffusion rotationnelle est à mettre en parallèle avec celle du coefficient de diffusion translationnelle $D_t$ qui peut être mesuré selon les méthodes expérimentales précisées au paragraphe 4.1.2 :

$$D_t = \frac{k_B T}{6\pi a \eta} \qquad (4.75)$$

#### Réorientation isotrope

Quelle que soit la direction moléculaire envisagée, la rotation moléculaire s'effectue selon le même coefficient de diffusion qui peut être défini par (4.74). En tout état de cause, moyennant la définition d'un temps de corrélation $\tau_c = 1/6D_r$, on obtient une expression très simple pour la densité spectrale d'auto-corrélation normalisée:

$$\tilde{J}(\omega) = \frac{2\tau_c}{1 + \omega^2\tau_c^2} \qquad (4.76)$$
La densité spectrale de corrélation croisée est de la forme

$$ \tilde{J}^{rr'}(\omega) = \frac{1}{2} (3\cos^2 \theta_{rr'} - 1) \frac{2\tau_c}{1 + \omega^2 \tau_c^2} \quad (4.77) $$

où $\theta_{rr'}$ est l'angle entre les deux vecteurs de relaxation associés aux deux mécanisme intervenant dans une telle densité spectrale. On peut rappeler ce que l'on entend par vecteur de relaxation. Il s'agit

i) du vecteur internucléaire dans le cas de la relaxation dipolaire,

ii) de l'axe de symétrie axiale du tenseur pour d'autres mécanismes tels que le CSA ou la relaxation quadrupolaire,

iii) de la direction correspondant à l'élément le plus important dans un tenseur diagonal dépourvu de symétrie axiale.

L'évolution de $\tilde{J}(\omega)$ avec la fréquence de mesure $\nu = \omega/2\pi$ peut être visualisée au moyen de la figure 4-33 pour différentes valeurs de $\tau_c$, qui permettent d'apprécier la notion de rétrécissement extrême : $\tilde{J}(\omega)$ quasiment indépendant de $\omega$ pour $\omega^2 \tau_c^2 \ll 1$.

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>**Figure 4-33** $\tilde{J}(\omega)$ selon (4.76), normée à 1 pour $\omega = 0$, en fonction de $\nu = \omega/2\pi$ pour différentes valeurs du temps de corrélation $\tau$ (en s).</figcaption></figure>

## Réorientation d'ensemble anisotrope

La situation précédente s'applique à une molécule dont la forme est assimilable à une sphère. Si cela n'est pas le cas, au lieu d'un seul coefficient de diffusion, on peut envisager un tenseur de diffusion dont les axes principaux coïncident, en première approximation, avec les axes principaux du tenseur d'inertie de la molécule. Pour ne pas alourdir l'exposé, on se limitera ici à un tenseur de diffusion de symétrie axiale, défini par $D_z$ et $D_x = D_y$. Nous désignerons par $\theta$ l'angle entre le vecteur de relaxation et la direction moléculaire $z$ (correspondant à l'axe de symétrie du tenseur de diffusion). La densité spectrale normalisée d'autocorrélation peut alors se mettre sous la forme

$$ \tilde{J}(\omega) = \frac{3}{4} \sin^4 \theta \frac{2\tau_1}{1 + \omega^2 \tau_1^2} + \frac{3}{4} \sin^2(2\theta) \frac{2\tau_2}{1 + \omega^2 \tau_2^2} + \frac{1}{4} (3\cos^2 \theta - 1)^2 \frac{2\tau_3}{1 + \omega^2 \tau_3^2} \quad (4.78) $$

avec $1/\tau_1 = 2D_x + 4D_z$; $1/\tau_2 = 5D_x + D_z$; $1/\tau_3 = 6D_x$. L'expression homologue pour une densité spectrale de corrélation croisée fait intervenir les angles polaires $(\theta_r, \varphi_r)$ et $(\theta_{r'}, \varphi_{r'})$ des deux vecteurs de relaxation (l'angle $\varphi$ définit l'orientation de la projection du vecteur de relaxation dans le plan perpendiculaire à $z$).

$$ \begin{aligned} \tilde{J}_{rr'}(\omega) = & \frac{3}{4} \sin^2 \theta_r \sin^2 \theta_{r'} \cos 2(\varphi_r - \varphi_{r'}) \frac{2\tau_1}{1 + \omega^2 \tau_1^2} \\ & + \frac{3}{4} \sin(2\theta_r) \sin(2\theta_{r'}) \cos(\varphi_r - \varphi_{r'}) \frac{2\tau_2}{1 + \omega^2 \tau_2^2} \\ & + \frac{1}{4} (3\cos^2 \theta_r - 1)(3\cos^2 \theta_{r'} - 1) \frac{2\tau_3}{1 + \omega^2 \tau_3^2} \end{aligned} \quad (4.79) $$
On peut noter que si le mouvement de réorientation par rapport aux directions *x* et *y* est lent vis-à-vis de celui par rapport à *z* ($D_x = D_y \ll D_z$), seul le temps de corrélation $\tau_3$ dépend du mouvement lent. La contribution de ce dernier terme est modulée par $(3\cos^2\theta - 1)^2$ et peut disparaître si $\theta$ est égal à l'angle magique.

Modèle à deux paliers ('Model-free approach', ou 'Two-step model', ou encore 'Lipari-Szabo')

Il s'agit d'une vision simplifiée, quoique très opérationnelle, des mouvements rotationnels qui peuvent affecter un vecteur de relaxation au sein d'un édifice moléculaire, macromoléculaire (par exemple, une protéine) ou supramoléculaire (par exemple un agrégat de molécules tensioactives). On suppose que la réorientation d'ensemble de l'édifice moléculaire en question peut être décrite au moyen d'un temps de corrélation $\tau_s$ (*s* pour 'slow', mouvement lent) qui se situe en dehors du rétrécissement extrême ($\omega\tau_s$ n'est plus négligeable devant 1). Ce temps de corrélation $\tau_s$ s'applique à un directeur local *D*, solidaire de l'édifice moléculaire, par rapport auquel peut se produire un mouvement local (rotations internes, mouvements segmentaires...). On rend compte globalement du mouvement local, qui peut être très compliqué, par un seul temps de corrélation noté $\tau_f$ (*f* pour 'fast', mouvement rapide) puisqu'il s'agit généralement de mouvements plus rapides que la réorientation d'ensemble. Il s'avère qu'il peut exister une restriction d'orientation du vecteur de relaxation, par exemple un rayon vecteur C-H, si l'on considère l'interaction dipolaire subie par un carbone-13 de la part d'un proton, vis-à-vis d'un directeur local *D* (figure 4-34); autrement dit, toutes les valeurs de l'angle $\theta$ ne sont pas équiprobables. Cela nous conduit à définir, pour chaque vecteur de relaxation, un paramètre d'ordre (qui a une signification locale) comme cela a été fait dans le cas d'un milieu anisotrope (paragraphe 1.4.2)

$$S = \frac{1}{2} \overline{(3\cos^2\theta - 1)} \qquad (4.80)$$

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>**Figure 4-34** Orientation (définie par l'angle $\theta$) d'un vecteur de relaxation (CH) se réorientant selon un temps de corrélation $\tau_f$ par rapport à un directeur local *D* dont la mobilité est décrite par un temps de corrélation $\tau_s$ ($\tau_s \gg \tau_f$).</figcaption></figure>

En utilisant un modèle diffusionnel, on aboutit à une densité spectrale normalisée d'autocorrélation de la forme<fnref n="24" />:

$$\tilde{J}(\omega) = (1 - S^2)2\tau_f + S^2 \frac{2\tau_s}{1 + \omega^2\tau_s^2} \qquad (4.81)$$

<footnote n="24">²⁴ H. Wennerström et al., J. Am. Chem. Soc., **101**, 6860 (1979); G. Lipari et A. Szabo, J. Am. Chem. Soc., **104**, 5146 (1982)</footnote>
Une densité spectrale de corrélation croisée implique en outre la définition de paramètres d'ordre pour chacun des mécanismes ($S_r$ et $S_{r'}$) et de l'angle $\theta_{rr'}$ entre les deux vecteurs de relaxation. Il vient

$$ \tilde{J}^{rr'}(\omega) = \left[ \frac{1}{2}(3\cos^2 \theta_{rr'} - 1) - S_r S_{r'} \right] 2\tau_f + S_r S_{r'} \frac{2\tau_s}{1 + \omega^2 \tau_s^2} \quad (4.82) $$

Dans (4.81) et (4.82), on a supposé que $\tau_f$ relève des conditions de rétrécissement extrême ($\omega^2 \tau_f^2 \ll 1$ pour toute fréquence intervenant dans les densités spectrales des paramètres de relaxation considérés). Si ce n'est pas le cas, il suffit de remplacer $2\tau_f$ par $2\tau_f / (1 + \omega^2 \tau_f^2)$. L'évolution de $\tilde{J}(\omega)$ (expression (4.81)) en fonction de la fréquence $\omega/2\pi$ est représentée sur la figure 4-35.

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>**Figure 4-35** Evolution de la densité spectrale normalisée (donnée par (4.81)) en fonction de la fréquence de mesure (ou, ce qui est équivalent, en fonction de la valeur du champ magnétique $B_0$). On remarquera l'existence des deux paliers associés aux deux régimes de mouvement.</figcaption></figure>

L'exploitation de telles densités spectrales implique une série de mesures à différentes fréquences, qui en retour fournissent deux paramètres dynamiques $\tau_s$ et $\tau_f$ ainsi que le paramètre structural S. L'interprétation des paramètres de relaxation de spin à l'aide de cette approche s'avère généralement très satisfaisante dans le cas des biomolécules (peptides, protéines, acides nucléiques) ou de systèmes organisés en milieu isotrope (micelles, microémulsions). Les résultats expérimentaux des figures 4-36 et 4-37 en démontrent la validité, aussi bien que la sensibilité de la relaxation de spin à la forme des édifices moléculaires.
<figure><img src="image_144.png" /></figure>

**Figure 4-36** Inverse du temps de relaxation des protons de molécules de tensio-actifs engagées dans une micelle en fonction de la fréquence de mesure (entre 3 et 200 MHz). Il s'agit de micelles sphériques avec deux paliers clairement visibles correspondant à un temps de corrélation long (basses fréquences, réorientation lente de la micelle) et à un temps de corrélation court (hautes fréquences, mouvement local rapide).

<figure><img src="image_145.png" /></figure>

**Figure 4-37** Inverse du temps de relaxation des protons de molécules de tensio-actifs engagées dans une micelle en fonction de la fréquence de mesure (entre 3 et 200 MHz). Il s'agit de micelles ellipsoïdales : on retrouve le temps de corrélation court correspondant au mouvement local ; on constate que deux temps de corrélation sont nécessaires pour décrire le mouvement de l'agrégat non sphérique (nécessité d'introduire un troisième palier).

Références bibliographiques

A. Abragam : *The principles of Nuclear Magnetism*, Clarendon Press, Oxford, 1961, chapitre 8

A.G. Redfield : The theory of relaxation processes, *Adv. Magn. Reson.*, **1**, 1 (1965)

M.E. Rose : *Elementary theory of angular momentum*, Wiley, New York, 1967

W.T. Huntress, Jr. : The study of anisotropic rotation of molecules in liquids by NMR quadrupolar relaxation, *Adv. Magn. Reson.*, **4**, 2 (1970)
J.H. Noggle et R.E. Schirmer : *The Nuclear Overhauser Effect*, Academic Press, New York, 1971

R. Lenk : *Brownian Motion and spin relaxation*, Elsevier, Amsterdam, 1977

L. G. Werbelow et D.M. Grant : Intramolecular dipolar relaxation in multispin systems, *Adv. Magn. Reson.*, **9**, 189 (1977)

H.W. Spiess : Rotation of molecules and nuclear spin relaxation, *NMR:Basic Princ. Prog.*, **15**, 55 (1978)

R.L. Vold et R.R. Vold : Nuclear magnetic relaxation in coupled spin systems, *Prog. NMR Spectrosc.*, **12**, 79 (1979)

J. Mc Connell : *Nuclear magnetic relaxation in liquids*, Cambridge University Press, Cambridge, 1987

R.R. Ernst, G. Bodenhausen, A. Wokaun, *Principles of Nuclear Magnetic Resonance in one and two dimensions*, Clarendon Press, Oxford, 1987, Chapitre 6

D. Neuhaus et M.P. Williamson : *The nuclear Overhauser Effect in structural and conformational analysis*, VCH Publishers, New York, 1989

D. Canet : Construction, evolution and detection of magnetization modes designed for treating longitudinal relaxation of weakly coupled spin 1/2 systems with magnetic equivalence, *Prog. NMR Spectrosc.*, **21**, 237 (1989)

D. Canet et J.B. Robert : Behaviour of the NMR relaxation parameters at high fields, *NMR:Basic Princ. Prog.*, **25**, 45 (1990)

J. Kowalewski et L. Mäler : *Nuclear spin relaxation in liquids: theory, experiments and applications*, Taylor ad Francis, New York, 2006

D.M. Grant, C.L. Mayne, F. Lin, T.X. Xiang : Spin-lattice relaxation of coupled nuclear spins with applications to molecular motion in liquids, *Chem. Rev.*, **91**, 1591 (1991)

L. Banci, I. Bertini, C. Luchinat : *Nuclear and electron relaxation*, VCH, Weinheim, 1991

L.G. Werbelow : Relaxation-induced transfer of nuclear spin polarization as a probe of molecular structure and dynamics in mobile phase, in *Nuclear magnetic resonance probes of molecular dynamics*, R. Tycko, ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 223-263, 1994

J.-J. Delpuech, ed., *Dynamics of solutions and fluid mixtures by NMR*, Wiley, Chichester, 1995

R. Kimmich, *Tomography, diffusometry, relaxometry*, Springer, Berlin, 1997, Chapitres 15 et 16

M.H. Levitt, *Spin Dynamics*, Wiley, Chichester, 2001, Chapitres 15 et 16

Annexe 4-1 : Effet de l'auto-diffusion sur l'évolution de l'aimantation transversale

Toute propriété ψ soumise aux effets d'auto-diffusion (diffusion translationnelle) obéit à l'équation classique ci-dessous

$$ \partial \psi / \partial t = D \partial^2 \psi / \partial X^2 \qquad (A4-1.1) $$

où D est le coefficient d'auto-diffusion, celle-ci étant supposée intervenir selon la direction spatiale X (sans que cela nuise à la généralité du traitement, les autres directions spatiales conduisant à un résultat similaire). De manière à formaliser plus précisément ce phénomène dans le contexte de la résonance magnétique, nous aurons recours à l'aimantation transversale complexe en se souvenant que x et y se référent au repère tournant (voir paragraphe 2.1.3)

$$ M_t(X,t) = M_x(X,t) + iM_y(X,t) \qquad (A4-1.2) $$

On peut séparer, par l'intermédiaire de la quantité ψ, les effets attribuables au gradient du champ statique de ceux relevant de la précession et de la relaxation transversale :

$$ M_t(X,t) = \psi \exp[-(2i\pi v_0 + 1/T_2)t] \qquad (A4-1.3) $$

où $v_0$ représente la fréquence de précession pour une induction $B_0$.

La fonction ψ doit contenir la modification de la fréquence de précession provenant du gradient $g_0$ donc (A4-1.1) doit être modifié comme suit

$$ \partial \psi / \partial t = -i\gamma g_0 X \psi + D \partial^2 \psi / \partial X^2 \qquad (A4-1.4) $$

Selon une méthode mathématique couramment utilisée pour la résolution des équations aux dérivées partielles, on choisit une solution de la forme

$$ \psi(t) = A(t) \exp(-i\gamma g_0 X t) $$

où $A(t)$ est indépendant de la variable d'espace. Après insertion de $\psi(t)$ dans (A4-1.4) et résolution de cette équation, il vient
$$ \psi(t) = A(0) \exp(-i\gamma g_0 X t) \exp(-D\gamma^2 g_0^2 t^3 / 3) \qquad (A4-1.5) $$

En appliquant ce résultat à chacune des moitiés de la séquence d'écho ce qui rend compte, entre autres, du processus de "refocalisation" (annihilation de tout effet de précession), nous obtenons pour $M_t$

$$ M_t(2\tau) = M_0 \exp(-2\tau/T_2) \exp\left[-\left(D\gamma^2 g_0^2/3\right)(2\tau^3)\right] \qquad (A4-1.6) $$

Annexe 4-2 : Mesure du coefficient d'auto-diffusion par gradient $B_1$

On se référera à la séquence de la figure 4-8 en supposant que, pour les deux impulsions, le gradient $B_1$ agit selon la direction $x$ du repère tournant. $\theta$ représente l'angle de nutation résultant d'une impulsion de gradient de durée $\delta$ pour des molécules situées à l'abscisse spatiale $X$.

$$ \theta = \gamma g_1 X \delta = 2\pi q X \qquad \text{avec} \qquad q = \gamma g_1 \delta / 2\pi \qquad (A4-2.1) $$

Si, à l'instant initial, l'aimantation était à l'équilibre ($M_0$), les trois composantes de l'aimantation nucléaire dans le repère tournant ont pour expression

$$ M_x = 0; \quad M_y = M_0 \sin \theta; \quad M_z = M_0 \cos \theta $$

Dans un premier temps, on fera abstraction des phénomènes de diffusion durant $\Delta$ de telle sorte que seules interviennent la précession et la relaxation. $\chi$ dénotant l'angle de précession, $E_1$ et $E_2$ les quantités $\exp(-\Delta/T_1)$ et $\exp(-\Delta/T_2^*)$, respectivement, nous obtenons à la fin de l'intervalle $\Delta$

$$ M_x = M_0 \sin \theta \cos \chi; \quad M_y = M_0 \sin \theta \sin \chi; \quad M_z = M_0(1 - E_1) + M_0 E_1 \cos \theta $$

La deuxième impulsion de gradient entraîne une nutation des composantes $y$ et $z$ de l'aimantation par un angle $\theta'$ (qui sera égalé à $\theta$ à la fin des calculs). Pour une phase $+x$ de cette impulsion de gradient, il vient

$$ \begin{aligned} M_x &= M_0 E_2 \sin \theta \sin \chi \\ M_y &= (M_0 E_2 \sin \theta \sin \chi) \cos \theta' + [M_0(1-E_1)] \sin \theta' + (M_0 E_1 \cos \theta) \sin \theta' \qquad (A4-2.2) \\ M_z &= -(M_0 E_2 \sin \theta \cos \chi) \sin \theta' + [M_0(1-E_1)] \cos \theta' + (M_0 E_1 \cos \theta) \cos \theta' \end{aligned} $$

Dans un premier temps, nous supposerons $\theta' = \theta$ et nous effectuerons une moyenne sur tout l'échantillon, ce qui revient à effectuer une moyenne sur l'angle $\theta$ avec (voir tableau 2-1)

$$ \langle \cos \theta \rangle = \langle \sin \theta \rangle = \langle \cos 2\theta \rangle = \langle \sin 2\theta \rangle = 0 ; \quad \langle \cos^2 \theta \rangle = \langle \sin^2 \theta \rangle = 1/2 $$

Ces relations impliquent que les impulsions de gradient sont d'une amplitude et d'une durée telles qu'elles produisent une défocalisation complète. En insérant ces moyennes dans (A4-2.2), nous obtenons

$$ \langle M_x \rangle = 0 ; \quad \langle M_y \rangle = 0 ; \quad \langle M_z \rangle = -\left(\frac{M_0}{2}\right) E_2 \cos \chi + \left(\frac{M_0}{2}\right) E_1 $$

Des calculs similaires pour une phase $-x$ de la deuxième de gradient conduisent à

$$ \langle M_x \rangle = 0 ; \quad \langle M_y \rangle = 0 ; \quad \langle M_z \rangle = \left(\frac{M_0}{2}\right) E_2 \cos \chi + \left(\frac{M_0}{2}\right) E_1 $$

Ainsi, après les deux pas du cyclage de phase, il ne subsiste que la composante selon $z$, pondérée par $E_1$. Il nous faut maintenant prendre en compte les phénomènes de diffusion translationnelle. Il est raisonnable de les négliger durant les impulsions de gradient et de considérer qu'ils modifient l'angle de nutation de $\theta'$ en $\theta + \varphi$. Cet angle supplémentaire $\varphi$ provient des mouvements de diffusion translationnelle durant $\Delta^{25}$. En prenant en compte l'angle $\varphi$ dans (A4-2.2), on obtient

$$ \begin{aligned} M_x &= M_0 E_2 \sin \theta \sin \chi \\ M_y &= (M_0 E_2 \sin \theta \sin \chi) \cos(\theta + \varphi) + [M_0(1 - E_1)] \sin \theta + (M_0 E_1 \cos \theta) \sin(\theta + \varphi) \end{aligned} $$

<footnote n="25">25 G.S. Karczmar et al., Magn. Reson. Med., 7, 111 (1988)</footnote>
$$M_z = -(M_0 E_2 \sin \theta \cos \chi) \sin(\theta + \varphi) + [M_0(1 - E_1)] \cos \theta + (M_0 E_1 \cos \theta) \cos(\theta + \varphi)$$

On peut noter que les termes $[M_0(1 - E_1)] \sin \theta$ et $[M_0(1 - E_1)] \cos \theta$ dans $M_y$ et $M_z$ proviennent de la reconstruction de l'aimantation longitudinale par $T_1$ (reconstruction débutant après la première impulsion de gradient). Ces termes ne sont évidemment pas marqués spatialement et ne peuvent donc être affectés par la diffusion translationnelle. En plus du calcul de moyenne effectué sur $\theta$, on doit effectuer un calcul de moyenne sur les fonctions trigonométriques impliquant l'angle $\varphi$ (ce calcul de moyenne est indiqué ci-dessous par une barre horizontale). En prenant en compte le cyclage de phase, le résultat final peut être exprimé comme suit

$$ 
\begin{align*}
\langle \overline{M}_x \rangle &= 0 \\
\langle \overline{M}_y \rangle &= -M_0 E_2 \cos \psi \sin \varphi \tag{A4-2.3} \\
\langle \overline{M}_z \rangle &= M_0 E_1 \cos \varphi
\end{align*}
$$

Ces relations ont été obtenues moyennant l'hypothèse raisonnable que les deux calculs de moyenne, sur l'espace $(\theta)$ et sur le temps $(\varphi)$, peuvent être séparés. Il reste à évaluer $\overline{\sin \varphi}$ et $\overline{\cos \varphi}$ qui dépendent de la diffusion le long de l'axe du gradient. L'angle $\varphi$ peut s'écrire $2\pi qr$, où $r$ représente le déplacement pendant l'intervalle $\Delta$. Il est évident que les probabilités de déplacement dans une direction et dans la direction opposée sont identiques. Par conséquent $\overline{\sin \varphi} = 0$ ; la seule composante non nulle de l'aimantation est $\langle \overline{M}_z \rangle$ ; il s'ensuit que l'on mesure exclusivement l'évolution de la composante longitudinale de l'aimantation par l'intermédiaire de $\overline{\cos \varphi}$. L'évaluation de cette dernière quantité repose sur la fonction de distribution de $r$ qui est gaussienne, $(1/\sqrt{4\pi D\Delta})\exp(-r^2/4D\Delta)$, distribution qui résulte directement de l'équation de la diffusion (A4-1.1). Il vient (en prenant en compte une fonction gaussienne ainsi que sa transformée de Fourier)

$$\overline{\cos \varphi} = \frac{1}{\sqrt{4\pi D\Delta}} \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(2\pi qr) \exp(-\frac{r^2}{4D\Delta}) dr = \exp(-4\pi^2 q^2 D\Delta)$$

ce qui conduit, pour le signal observé, à

$$S(\delta) = M_0 \exp(-\Delta/T_1) \exp(-4\pi^2 D\Delta q^2) \quad (A4-2.4)$$

## Annexe 4-3 : Notes complémentaires à propos de l'échange chimique

### Observation expérimentale

Imaginons une réaction chimique équilibrée, où un noyau ne reste pas dans un site magnétique déterminé, mais peut s'échanger entre deux (ou plusieurs) sites. Ces types d'échange peuvent être intermoléculaires (par exemple échange des protons de l'eau avec le proton hydroxyle d'un alcool) ou intramoléculaires (échange entre différentes conformations d'une même molécule). Dans tous les cas, le résultat observable en RMN sera toujours un transfert équilibré d'aimantation entre les différents sites nucléaires.

Plaçons-nous dans le cas d'un échange à deux sites notés A et B. Le transfert d'aimantation est défini par deux temps moyens de résidence $\tau_A$ et $\tau_B$ d'un noyau dans le site A et le site B. La réaction étant équilibrée, $\tau_A$ et $\tau_B$ sont reliés par la relation $\tau_A/P_A = \tau_B/P_B$, où $P_A$ et $P_B$ sont les populations relatives des deux sites A et B ($1/\tau_A$ et $1/\tau_B$ représentent alors les vitesses d'échanges).

En supposant que l'on puisse faire varier la vitesse de cet échange (dans la pratique, on joue sur des paramètres physiques ou chimiques tels que températures, pH, concentrations...), on observera une évolution des spectres RMN comme indiqué figure A4-3.1 (pour laquelle $\tau_A = \tau_B$, i.e. $P_A = P_B$).
<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>**Figure A4-3.1** Spectres théoriques obtenus pour diverses valeurs de la vitesse d'échange $\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_A} + \frac{1}{\tau_B}$ ($P_A = P_B$) avec $\nu_A - \nu_B = 20$ Hz et, pour chacune des deux résonances, une largeur de raie à mi-hauteur de 2 Hz en l'absence d'échange. On peut noter que la coalescence est obtenue pour $1/\tau \approx 90$ s$^{-1}$ en accord avec la relation $1/\tau_{coalescence} = \pi\sqrt{2}(\nu_A - \nu_B)$.</figcaption></figure>

* En l'absence d'échange chimique entre A et B, chaque raie garde son individualité : deux signaux apparaissent aux fréquences $\nu_A$ et $\nu_B$ avec une largeur à mi-hauteur donnée par $\Delta\nu_{AouB} = \frac{1}{\pi T_{2(AouB)}}$

* En échange lent, les 2 raies gardent leur individualité à la fréquence $\nu_A$ et $\nu_B$ mais elles s'élargissent progressivement.

* Si la vitesse augmente, les raies élargies commencent à empiéter l'une sur l'autre et les maximums d'absorptions ne correspondent plus aux fréquences $\nu_A$ et $\nu_B$ mais se rapprochent de la fréquence moyenne $P_A\nu_A + P_B\nu_B$.

* La vitesse augmentant encore, on obtient un cas limite où les maximums d'absorption se confondent en une seule raie large unique (à la fréquence moyenne notée précédemment) : on dit alors qu'il y a "coalescence" des raies (on dit aussi "être à la coalescence").
* Finalement, pour une vitesse d'échange encore plus rapide, cette raie unique s'affine jusqu'à atteindre une largeur égale à celles des raies individuelles observées en absence d'échange. Au-delà, l'aspect du spectre reste inchangé quelle que soit l'augmentation de cette vitesse d'échange.

## Etude quantitative

Les équations de Bloch étendues (pour tenir compte de l'échange) permettent de calculer l'expression analytique (en fonction de la fréquence) du spectre d'absorption. Il est souvent d'usage d'utiliser ces équations sous une forme complexe en posant $M_t = M_x + iM_y$ où $M_x$ et $M_y$ sont les composantes transversales de l'aimantation macroscopique (voir paragraphe 2.1.4). Dans le cas d'un échange entre deux sites A et B, celui-ci introduit, pour A, une augmentation d'aimantation venant de B à la vitesse $M_{tB} / \tau_B$ et une disparition d'aimantation à la vitesse $M_{tA} / \tau_A$. (Il en va de même pour le site B). L'aimantation totale $M_t$ est égale à $M_t = M_{tA} + M_{tB}$. La solution des équations de Bloch étendues<fnref n="26" /> est la suivante :

$$M_t = M_0 \frac{1 + \tau(\alpha_A P_B + \alpha_B P_A)}{\alpha_A P_A + \alpha_B P_B + \tau \alpha_A \alpha_B}$$

Avec $\tau = \tau_A \tau_B / (\tau_A + \tau_B)$, $\alpha_A = 1/T_{2A} - 2i\pi(\nu_A - \nu_B)$ et une expression similaire pour $\alpha_B$, et $M_0 = M_{0A} + M_{0B}$ (aimantation macroscopique à l'équilibre).

Cette équation permet de recalculer un spectre théorique et comporte comme seule inconnue $\tau$ qui peut être évaluée par comparaison entre spectres expérimental et calculé. Remarquons également que cette équation permet de traiter facilement le cas de la coalescence (voir figure A4-3.1).

## Annexe 4-4 : Méthodes de perturbation dépendant du temps conduisant à l'évolution des composantes de l'aimantation nucléaire sous l'effet de champs locaux

Comme indiqué dans le corps du texte, on peut initialiser ce calcul en se fondant sur l'équation (très générale) d'évolution d'un moment magnétique $\vec{\mu}$ en présence d'un champ magnétique $\vec{b}$ (qui sera ici un champ local dont le caractère aléatoire a pour origine les mouvements moléculaires)

$$\frac{d}{dt} \vec{\mu} = \gamma \vec{\mu} \wedge \vec{b}$$

Cette équation peut être explicitée pour chacune des composantes du moment magnétique en se plaçant dans le repère mobile (repère tournant par rapport à z à la vitesse angulaire $\omega_0 = 2\pi v_0$, $v_0$ représentant la fréquence de résonance) de manière à éliminer tout effet de précession et ne retenir que l'action des champs locaux :

$$d\mu_{x'} / dt = \gamma(\mu_y b_z - \mu_z b_y)$$

$$d\mu_{y'} / dt = \gamma(\mu_z b_x - \mu_x b_z)$$

(A4-4.1)

$$d\mu_z / dt = \gamma(\mu_x b_y - \mu_y b_x)$$

Les "primes" indiquent que l'on opère dans le repère mobile, les composantes du champ local s'exprimant par

$$b_{x'} = b_x \cos(\omega_0 t) - b_y \sin(\omega_0 t)$$

(A4-4.2)

$$b_{y'} = b_x \sin(\omega_0 t) + b_y \cos(\omega_0 t)$$

On s'intéressera en premier lieu à l'évolution de $\mu_z$ dans la perspective d'établir l'équation d'évolution de $M_z$, composante selon z de l'aimantation nucléaire qui est égale à la moyenne d'ensemble de $\mu_z$ ($M_z(t) = \overline{\mu_z(t)}$). On peut toujours écrire

<footnote n="26">²⁶ H.S. Gutowsky et al., J. Chem. Phys., **28**, 430 (1958)</footnote>
$$ \mu_z(t) = \mu_z(0) + \int_0^t \frac{d\mu_z}{dt'} dt' \qquad (A4-4.3) $$

et procéder par les méthodes classiques de perturbation en fonction du temps. Dans ce but, on utilisera l'expression de $d\mu_z / dt'$ donnée par (A4-4.1)

$$ \mu_z(t) = \mu_z(0) + \gamma \int_0^t [\mu_x(t')b_{y'}(t') - \mu_y(t')b_{x'}(t')] dt' \qquad (A4-4.4) $$

$\mu_x(t')$ et $\mu_y(t')$ peuvent s'écrire de la même manière que (A4.4.3)

$$ \mu_x'(t') = \mu_x'(0) + \int_0^t \frac{d\mu_x}{dt''} dt'' $$

$$ \mu_y'(t') = \mu_y'(0) + \int_0^t \frac{d\mu_y}{dt''} dt'' $$

Nous ferons alors les hypothèses (réalistes) suivantes :

i) $t$ est relativement petit,

ii) $\bar{\mu}$ évolue plus lentement que $\bar{b}$.

Avec ces hypothèses et comme $t'' \le t' \le t$, nous pouvons assimiler, dans les relations du type (A4-1.1), $\mu_x(t'')$, $\mu_y(t'')$ et $\mu_z(t'')$ à $\mu_x(0)$, $\mu_y(0)$ et $\mu_z(0)$, respectivement. Par conséquent, on peut écrire

$$ \mu_x'(t') = \mu_x'(0) + \gamma \int_0^t [\mu_y'(0)b_z(t'') - \mu_z(0)b_y(t'')] dt'' $$

$$ \mu_y'(t') = \mu_y'(0) + \gamma \int_0^t [\mu_z(0)b_x'(t'') - \mu_x(0)b_z(t'')] dt'' $$

Ces deux dernières expressions peuvent être insérées dans (A4-4.4), quantité à laquelle on appliquera une moyenne d'ensemble de façon à obtenir $M_z(t)$

$$ \begin{aligned} M_z(t) = M_z(0) &+ \gamma^2 \int_0^t \int_0^t [\overline{\mu_y'(0)b_z(t'')b_{y'}(t')} - \overline{\mu_z(0)b_{y'}(t'')b_{y'}(t')}] dt' dt'' \\ &- \gamma^2 \int_0^t \int_0^t [\overline{\mu_z(0)b_x'(t'')b_{x'}(t')} - \overline{\mu_x(0)b_z(t'')b_{x'}(t')}] dt' dt'' \end{aligned} $$

Il est certain qu'un moment magnétique élémentaire au temps zéro ne dépend pas des champs aléatoires qui existeront aux temps $t'$ et $t''$. Au surplus, deux composantes distinctes des champs aléatoires ne sont pas corrélées. Par conséquent le premier terme de la relation ci-dessus peut être décomposé selon

$$ \overline{\mu_{y'}(0)b_z(t'')b_{y'}(t')} = \overline{\mu_{y'}(0)b_z(t'')b_{y'}(t')} = M_{y'}(0)\overline{b_z(t'')b_{y'}(t')} = 0 $$

Des décompositions similaires peuvent être mises en œuvre pour les autres termes. Deux d'entre eux conduisent à des résultats non nuls et on obtient en fin de compte

$$ M_z(t) = M_z(0) - \gamma^2 M_z(0) \int_0^t f(t') dt' $$

$$ \text{avec} \quad f(t') = \int_0^t [\overline{b_{y'}(t'')b_{y'}(t')} + \overline{b_x'(t'')b_x'(t')}] dt'' \qquad (A4-4.5) $$

De façon à retrouver l'équation de Bloch relative à l'aimantation longitudinale, on peut différencier (A4-4.5) ; il vient

$$ \frac{dM_z}{dt} = -\gamma^2 M_z(0) \frac{d}{dt} \int_0^t f(t') dt' $$

En notant $F$ la primitive de $f$, on aboutit à

$$ \frac{d}{dt} \int_0^t f(t') dt' = \frac{d}{dt} [F(t) - F(0)] = \frac{dF(t)}{dt} = f(t) $$

On peut alors exprimer $dM_z / dt$ selon

$$ \frac{dM_z}{dt} = -\gamma^2 M_z(0) \int_0^t [\overline{b_{y'}(t'')b_{y'}(t')} + \overline{b_x'(t'')b_x'(t')}] dt'' $$
En remplaçant la variable $t''$ par $\tau = t - t''$ et en supposant qu'une fonction de corrélation dépend uniquement de la différence entre les deux valeurs de la variable temps qui y figurent (autrement dit, $\overline{b_y'(t)b_y'(t'')} = b_y'(t-t'')b_y'(0)$), on peut écrire la relation précédente sous la forme

$$ \frac{dM_z}{dt} = -\gamma^2 M_z(0) \int_0^t [\overline{b_y'(\tau)b_y'(0)} + \overline{b_x'(\tau)b_x'(0)}] d\tau \quad (A4-4.6) $$

Il est alors judicieux de revenir au repère fixe grâce aux relations (A4-4.2). On peut également noter que $b_x'(0) = b_x(0)$ et que $b_y'(0) = b_y(0)$. Comme $b_x$ et $b_y$ ne sont pas corrélées, (A4-4.6) devient

$$ \frac{dM_z}{dt} = -\gamma^2 M_z(0) \int_0^t [\overline{b_x'(\tau)b_x'(0)} + \overline{b_y'(\tau)b_y'(0)}] \cos(\omega_0 \tau) d\tau $$

A ce stade, il faut prendre en compte le fait que l'évolution de $M_z$ est gouvernée par des champs aléatoires qui contribuent au retour de l'aimantation longitudinale vers sa valeur d'équilibre. On doit donc considérer plutôt l'écart de $M_z$ par rapport à sa valeur d'équilibre, c'est-à-dire $M_z - M_0$. Par ailleurs, $t$ a été choisi de telle sorte que l'aimantation nucléaire évolue lentement alors que les champs locaux fluctuent selon une échelle dynamique beaucoup plus rapide. Par voie de conséquence, $M_z(0)$ peut être raisonnablement remplacé dans l'équation ci-dessus par $[M_z(t) - M_0]$. De plus, la limite supérieure de l'intégrale peut être remplacée par l'infini par le fait que les fonctions de corrélation tendent rapidement vers zéro. Finalement, l'équation d'évolution de $M_z$ s'écrit

$$ \frac{dM_z}{dt} = -(M_z - M_0)[\gamma^2 \operatorname{Re} \int_0^\infty [\overline{b_x(t)b_x(0)} + \overline{b_y(t)b_y(0)}]e^{-i\omega t} dt] \quad (A4-4.7) $$

où Re signifie "partie réelle de".

Une approche similaire s'applique aux composantes transversales de l'aimantation nucléaire. Les calculs correspondants feront intervenir des quantités du type $\int_0^t \int_0^t \overline{b_y'(t'')b_y'(t')dt'dt''}$ qui relèvent du traitement ci-dessus, mais également $\int_0^t \int_0^t \overline{b_z(t'')b_z(t')dt'dt''}$ qui ne nécessite pas de passer dans le repère mobile et qui conduira à une densité spectrale à la fréquence zéro (voir (4.33)).

## Annexe 4-5 : Densités spectrales associées à des quantités tensorielles

Bien souvent, on pourra spécifier la nature de l'interaction (mécanisme) et substituer au champ local de l'annexe précédente une quantité tensorielle. Nous désignerons par $T_{uv}$ (avec $u, v = X, Y$ ou $Z$) les éléments du tenseur cartésien correspondant à l'interaction considérée. Nous allons montrer qu'il est possible de les exprimer en fonction de tenseurs irréductibles de rang 2 (notés $F^{(m)}$, la "projection" m pouvant prendre les valeurs -2, -1, 0, 1, 2). De façon générale les tenseurs irréductibles, contrairement aux tenseurs cartésiens, se transforment facilement lors d'un changement de repère. En outre, les fonctions de corrélation des tenseurs irréductibles de rang 2 ne dépendent pas de la projection, dans la mesure où le milieu est isotrope (cette propriété cesse d'être vraie pour un solide ou un cristal liquide) :

$$ \begin{align} \int_0^\infty \overline{F^{(m')}(t)F^{(m)}(0)} \exp(-i\omega t) dt &= (-1)^m \delta_{mm'} \int_0^\infty \overline{F^{(0)}(t)F^{(0)}(0)} \exp(-i\omega t) dt \tag{A4-5.1} \\ &= (-1)^m \delta_{mm'} \mathcal{J}(\omega) \nonumber \end{align} $$

où $\mathcal{J}(\omega)$ est une densité spectrale possédant des propriétés similaires aux densités spectrales déjà rencontrées (voir (4.29) et (4.35)).

De façon à exprimer un tenseur cartésien en fonction de tenseurs irréductibles, on peut s'inspirer de la forme des harmoniques sphériques de rang 2, qui sont elles-mêmes une réalisation des tenseurs irréductibles de rang 2. On peut rappeler que ces fonctions constituent la partie angulaire des orbitales atomiques d et s'expriment en fonction des angles polaires $\theta$ et $\varphi$ (figure A4-5.1) :
$$
\begin{align*}
Y_2^{(\pm 2)} &= \sqrt{15/8\pi} (1/2) \sin^2 \theta \exp(\pm 2i\varphi) \\
Y_2^{(\pm 1)} &= \mp \sqrt{15/8\pi} \sin \theta \cos \theta \exp(\pm i\varphi) \tag{A4-5.2} \\
Y_2^{(0)} &= \sqrt{15/8\pi} (\sqrt{3}/2) (\cos^2 \theta - 1/3)
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>**Figure A4-5.1** Définition des angles polaires intervenant dans les coordonnées sphériques</figcaption></figure>

On peut remarquer que $Y_2^{(0)}$ comporte la quantité $\cos^2 \theta$, qui est proportionnelle à $Z^2$, alors que $T_{zz}$ se comporte (se transforme) comme $Z^2$. Par conséquent, on peut écrire

$$
\sqrt{15/8\pi}(\sqrt{3}/2)\cos^2 \theta = kT_{zz}
$$

où le facteur de proportionnalité $k$ rend compte de la spécificité du tenseur cartésien considéré. Avec le même facteur $k$, il vient

$$
\sqrt{15/8\pi}(\sqrt{3}/2)\sin^2 \theta \cos^2 \varphi = kT_{xx}
$$

$$
\sqrt{15/8\pi}(\sqrt{3}/2)\sin^2 \theta \sin^2 \varphi = kT_{yy}
$$

En sommant les trois relations précédentes, nous obtenons

$$
\sqrt{15/8\pi}(\sqrt{3}/2) = 3kT_0
$$

où $T_0$ est le tiers de la trace du tenseur : $T_0 = (T_{XX} + T_{YY} + T_{ZZ})/3$. On peut rappeler que cet invariant gouverne les spectres RMN en milieu isotrope (paragraphe 1.4.2). D'autre part, comme $F^{(0)}$, un des éléments du tenseur irréductible associé au tenseur cartésien considéré, est homologue à $Y_2^{(0)}$, nous pouvons établir la correspondance suivante (en considérant les deux termes de $Y_2^{(0)}$)

$$
F^{(0)} = T_{ZZ} - T_0 \tag{A4-5.3}
$$

Le coefficient spécifique du tenseur considéré (en d'autres termes, son amplitude) est bien entendu intégré dans $F^{(0)}$.

En utilisant des considérations géométriques similaires et en tenant compte des coefficients intervenant dans les harmoniques sphériques de rang 2, nous sommes en mesure d'établir les relations complémentaires ci-dessous

$$
\begin{align*}
F^{(-1)} - F^{(1)} &= \sqrt{8/3} T_{XZ} \\
F^{(-1)} + F^{(1)} &= -i \sqrt{8/3} T_{YZ} \tag{A4-5.4} \\
F^{(-2)} - F^{(2)} &= -i \sqrt{8/3} T_{XY} \\
F^{(-2)} + F^{(2)} &= \sqrt{2/3} (T_{XX} - T_{YY})
\end{align*}
$$

En inversant (A4.5.3) et (A4.5.4), il devient possible d'exprimer chaque élément du tenseur cartésien en fonction des éléments du tenseur irréductible de rang 2 qui lui est associé
$$
\begin{align*}
T_{XX} &= T_0 - (1/2)F^{(0)} + \sqrt{3/8}(F^{(2)} + F^{(-2)}) \\
T_{YY} &= T_0 - (1/2)F^{(0)} - \sqrt{3/8}(F^{(2)} + F^{(-2)}) \\
T_{ZZ} &= T_0 + F^{(0)} \tag{A4-5.5} \\
T_{XY} &= i\sqrt{3/8}(F^{(-2)} - F^{(2)}) \\
T_{XZ} &= \sqrt{3/8}(F^{(-1)} - F^{(1)}) \\
T_{YZ} &= i\sqrt{3/8}(F^{(1)} + F^{(-1)})
\end{align*}
$$

Ces dernières relations permettent d'exprimer selon (A4-5.1) les transformées de Fourier des fonctions de corrélation relatives à tous les éléments du tenseur cartésien (on se souviendra que la transformée de Fourier d'une constante est égale à zéro)

$$
\begin{align}
\int_0^\infty \overline{T_{XX}(t)T_{XX}(0)} \exp(-i\omega t)dt &= \int_0^\infty \overline{T_{YY}(t)T_{YY}(0)} \exp(-i\omega t)dt \tag{A4-5.6a} \\
&= \int_0^\infty \overline{T_{ZZ}(t)T_{ZZ}(0)} \exp(-i\omega t)dt = \varrho(\omega) \nonumber
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
& \int_0^\infty \overline{T_{XY}(t)T_{XY}(0)} \exp(-i\omega t)dt = \int_0^\infty \overline{T_{XZ}(t)T_{XZ}(0)} \exp(-i\omega t)dt \tag{A.4-5.6b} \\
& = \int_0^\infty \overline{T_{YZ}(t)T_{YZ}(0)} \exp(-i\omega t)dt = (3/4)\varrho(\omega) \nonumber
\end{align}
$$

L'étape suivante consiste à exprimer ces quantités tensorielles dans un repère moléculaire grâce auquel on pourra
réellement accéder à l'information utile (dynamique ou structurale). Les développements ci-dessous concernent un
milieu isotrope et seules deux situations seront envisagées i) un tenseur de symétrie axiale et un mouvement de
réorientation anisotrope; ii) un tenseur quelconque (ne possédant aucun élément de symétrie) et un mouvement de
réorientation isotrope (chaque direction moléculaire se réorientant de façon identique).

Soit $x, y, z$ le système d'axes pour lequel le tenseur est diagonal ; les axes $x, y, z$ sont appelés "axes principaux" du tenseur et leur étiquetage est tel que $|T_{zz}| \ge |T_{yy}| \ge |T_{xx}|$. Dans ce qui suit, on substituera aux trois éléments diagonaux du tenseur $T_z = T_{zz}$, l'invariant $T_0 = (T_{xx} + T_{yy} + T_{zz})/3$ et le paramètre d'asymétrie $\eta = (T_{xx} - T_{yy})/T_{zz}$ ($\eta$ est évidemment égal à zéro si le tenseur est de symétrie axiale). De manière à calculer les densités spectrales, nous devons revenir aux tenseurs irréductibles, notés $f^{(m)}$ dans le repère moléculaire $x, y, z$ et qui peuvent être construits selon les mêmes procédures que pour $F^{(m)}$ dans le repère fixe (voir (A4.5.3) et (A4.5.4)). Comme dans le repère $x, y, z$, le tenseur cartésien est diagonal, il vient

$$
\begin{align*}
f^{(0)} &= T_z - T_0 \\
f^{(1)} &= f^{(-1)} = 0 \\
f^{(2)} &= f^{(-2)} = (1/\sqrt{6})\eta T_z
\end{align*}
$$

En fin de compte, nous devrons calculer $\varrho(\omega) = \int_0^\infty \overline{F^{(0)}(t)F^{(0)}(0)} \exp(-i\omega t)dt$, ce qui implique que l'on exprime $F^{(0)}$ en fonction de $f^{(0)}$, $f^{(2)}$ et $f^{(-2)}$. S'agissant de tenseurs irréductibles, il faut faire appel aux matrices de Wigner qui, dans ce cas particulier, se réduisent à des harmoniques sphériques.

$$
F^{(0)} = \sqrt{4\pi/5}[Y_2^{(2)}(\beta)f^{(0)} + Y_2^{(2)}(\alpha, \beta)f^{(2)} + Y_2^{(-2)}(\alpha, \beta)f^{(-2)}]
$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont les angles qui définissent le repère moléculaire par rapport au repère fixe, $\beta$ étant l'angle entre les
axes $z$ et $Z$ (comme à l'accoutumée, $Z$ correspond à la direction du champ statique $B_0$). L'angle $\alpha$, quant à lui,
n'intervient pas dans les deux cas envisagés ci-dessus (qui correspondent à la grande majorité des situations rencontrées
dans la pratique):

* si la réorientation est isotrope, les transformées de Fourier impliquant $Y_2^{(2)}$, $Y_2^{(-2)}$ ou $Y_2^{(0)}$ sont égales (on retiendra bien sûr $Y_2^{(0)}$ qui ne dépend pas de $\alpha$)

$$
\varrho(\omega) = (1/10)[(T_z - T_0)^2 + \eta^2 T_z^2 / 3] \tilde{J}(\omega) \quad (A4-5.7)
$$
* si le tenseur est de symétrie axiale, $f^{(2)}$ et $f^{(-2)}$ sont évidemment nuls et, à nouveau, il n'y a pas à se préoccuper de l'angle $\alpha$

$$ g(\omega) = (1/10)[(T_z - T_0)^2] \tilde{J}(\omega) \qquad (A4-5.8) $$

On peut remarquer que l'on passe de (A4.5.7) à (A4.5.8) en égalant $\eta$ à zéro. Dans les deux cas, nous avons introduit une densité spectrale normalisée, $\tilde{J}(\omega)$, qui ne fait intervenir que l'harmonique sphérique $Y_2^{(0)}(\beta) = \sqrt{5/16\pi}(3\cos^2\beta - 1)$ et qui contient exclusivement l'information dynamique (l'information structurale figurant, de façon séparée, dans le premier facteur de (A4-5.7) et (A4-5.8))

$$ \tilde{J}(\omega) = 4\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{Y_2^0[\beta(t)]Y_2^0[\beta(0)]} \exp(-i\omega t) dt \qquad (A4-5.9) $$

Si la fonction de corrélation ci-dessus obéit à une loi exponentielle de constant de temps $\tau_c$ (comme cela est très souvent le cas, tout du moins en première approximation), la partie réelle de la densité spectrale normalisée (qui intervient de fait dans les paramètres de relaxation) se présente sous une forme très simple

$$ \tilde{J}(\omega) = \frac{2\tau_c}{1 + \omega^2 \tau_c^2} \qquad (A4-5.10) $$

## Annexe 4-6 : Relaxation scalaire de deuxième espèce

Partant de l'expression de l'interaction par couplage $J$ entre un noyau de spin $1/2$ (A) et un noyau quadrupolaire ($X$, ayant généralement des temps de relaxation beaucoup plus courts que $A$, condition sine qua non pour que ce mécanisme de relaxation soit actif)

$$ J_{AX}(I_x^A I_x^X + I_y^A I_y^X + I_z^A I_z^X), $$

On peut concevoir que les quantités évoluant rapidement dans le temps sont $I_x^X$, $I_y^X$ et $I_z^X$ (selon les temps de relaxation $T_2^X$ pour les composantes transversales, et $T_1^X$ pour la composante longitudinale). Formellement, les grandeurs $J_{AX}I_x^X$, $J_{AX}I_y^X$ et $J_{AX}I_z^X$ peuvent être considérées comme les composantes d'un champ local $\gamma b_x$, $\gamma b_y$ et $\gamma b_z$, respectivement. Par voie de conséquence, $J_{AX}$ doit être exprimée en rad s⁻¹ (puisque les opérateurs de spin sont sans dimension) et on doit évaluer les fonctions de corrélation suivantes

$$ \overline{I_x^X(t)I_x^X(0)}, \overline{I_y^X(t)I_y^X(0)}, \overline{I_z^X(t)I_z^X(0)} $$

On ne retiendra dans ces fonctions de corrélation que les termes dépendant du temps par le biais de la relaxation rapide de $X$. Ainsi, $I_z^X(t)$ sera simplement remplacé par $I_z^X(0) \exp(-t/T_1^X)$. En outre, les fonctions de corrélation impliquant les opérateurs $I_x^X$, $I_y^X$ et $I_z^X$, les identités ci-dessous interviendront dans le résultat final

$$ \overline{I_x^X(0)^2} = \overline{I_y^X(0)^2} = \overline{I_z^X(0)^2} = \frac{1}{3} (I^X)^2 = \frac{I_x(I_x+1)}{3} \qquad (A4-6.1) $$

$I_X$ étant le nombre de spin du noyau $X$. Nous pouvons donc substituer à $\gamma^2 \int_0^\infty \overline{b_z(t)b_z(0)} dt$ (figurant dans l'expression de $(R_2)_{ca}$, voir (4.33)) l'intégrale suivante

$$ J_{AX}^2 \int_0^\infty \overline{I_z^X(t)I_z^X(0)} dt = (J_{AX}^2 / 3) I_X (I_X + 1) T_1^X \qquad (A4-6.2) $$

Les deux autres fonctions de corrélation, impliquant $I_x^X$ et $I_y^X$, requièrent la prise en compte de la précession. Les calculs s'effectuent plus facilement à l'aide des opérateurs de montée et de descente $I_+^X = I_x^X + iI_y^X$ et $I_-^X = I_x^X - iI_y^X$. On
peut noter que l'évaluation de $\overline{I_x^X(t)I_x^X(0)} + \overline{I_y^X(t)I_y^X(0)}$ se ramène à celle de $\overline{I_+^X(t)I_-^X(0)}$ car, pour des raisons de symétrie, $\overline{I_+^X(t)I_-^X(0)} = \overline{I_-^X(t)I_+^X(0)}$. L'évolution de $I_+^X$ peut s'exprimer comme suit

$$I_+^X(t) = I_+^X(0) \exp(-t/T_2^X) \exp(i\omega_X t)$$

où $\omega_X / 2\pi$ est la fréquence de précession du noyau X. On est alors en mesure de calculer les densités spectrales relatives aux composantes transversales (par référence à (4.32), $\omega_0$ doit être remplacé par $\omega_A$, A étant le noyau observé)

$$ \begin{aligned} \frac{J_{AX}^2}{2} \int_0^\infty \overline{I_+^X(t)I_-^X(0)} e^{-i\omega_X t} dt &= \frac{J_{AX}^2}{2} \overline{I_+^X(0)I_-^X(0)} \int_0^\infty e^{-t/T_2^X} e^{-i(\omega_A - \omega_X)t} dt \\ &= \frac{J_{AX}^2}{3} I_X(I_X + 1) \frac{T_2^X}{1 + (\omega_A - \omega_X)^2 (T_2^X)^2} \end{aligned} \quad \text{(A4-6.3)} $$

A l'aide de (A4-6.2) et (A4-6.3) et en utilisant la formulation générale de la relaxation par champs aléatoires ((4.32) et (4.33)), on aboutit aux expressions de $(R_1^A)_{sc}$ et $(R_2^A)_{sc}$ donnés par (4.39).

## Annexe 4-7 : Approche quantique des phénomènes de relaxation

Lorsque le système de spin comporte plus de deux niveaux d'énergie, l'évolution temporelle des grandeurs qui le caractérisent requièrent l'utilisation de l'opérateur-densité $\hat{\sigma}$ introduit au paragraphe 2.2. Celui-ci obéit à l'équation de Liouville- von Neumann rappelée ci-dessous

$$ \frac{d\hat{\sigma}}{dt} = 2i\pi[\hat{\sigma}, \hat{H}(t)] \quad \text{(A4-7.1)} $$

où $[\hat{A}, \hat{B}]$ représente le commutateur des deux opérateurs $\hat{A}$ et $\hat{B}$ et où $\hat{H}(t)$, exprimé en Hz, représente l'hamiltonien régissant le système. Ce dernier comprend

* l'Hamiltonien $\hat{H}_0$, qui gouverne la position et l'intensité des raies du spectre RMN, et, de façon générale, les phénomènes de précession.

* l'Hamiltonien $\hat{H}_1(t)$, responsable des phénomènes de relaxation, et qui inclut toutes les interactions dépendant du temps. Dans tous les cas envisagés ici, il peut se mettre sous la forme

$$ \hat{H}_1(t) = \sum_r \sum_{m=-2}^{m=2} (\hat{A}_r^m)^+ F_r^m(t) \quad \text{(A4-7.2)} $$

où $r$ désigne un mécanisme de relaxation (interaction) et où le symbole $( )^+$ signifie "transposé conjugué complexe". A la fois, $\hat{A}_r^m$ (qui ne comporte que des opérateurs de spin) et $F_r^m$ (qui ne dépend que des propriétés moléculaires) sont des tenseurs irréductibles et de ce fait obéissent aux relations ci-dessous

$$ \begin{aligned} (\hat{A}_r^m)^+ &= (-1)^m \hat{A}_r^{-m} \\ F_r^{-m} &= (-1)^m (F_r^m)^* \end{aligned} \quad \text{(A4-7.3)} $$

$( )^*$: conjugué complexe.

Il s'avère que pour i) une interaction dipolaire intramoléculaire (on ne considérera ici que la réorientation de molécules rigides) ou ii) une interaction quadrupolaire avec gradient de champ électrique de symétrie axiale, les fonctions moléculaires $F_r^m$ sont proportionnelles aux harmoniques sphériques de rang 2 (voir (A4-5.2))

$$ F_r^m = K_{D,Q} Y_2^m(\theta, \varphi) \quad \text{(A4-7.4)} $$

$K_D = -(\mu_0 / 4\pi)\sqrt{6/5\pi} \hbar \gamma_A \gamma_X / r_{AX}^3$ est le coefficient relatif à l'interaction dipolaire, $r_{AX}$ représentant la distance internucléaire, $\mu_0$ la perméabilité du vide, les autres symboles ayant leur signification habituelle.

$K_Q = \sqrt{6/5\pi} e Q V_{zz} / [4\hbar l(2l-1)]$ est le coefficient relatif à l'interaction quadrupolaire, $eQ$ représentant le moment
quadrupolaire nucléaire (spécifique du noyau considéré), $V_{zz}$ étant l'élément du tenseur de gradient de champ associé à l'axe moléculaire de symétrie axiale (symétrie postulée dans le présent contexte) et $I$ le nombre de spin. $\theta$ et $\varphi$ sont les angles polaires qui définissent l'orientation d'une direction moléculaire par rapport au repère fixe (l'hamiltonien (A4-7.2) dépend du temps exclusivement par l'intermédiaire de ces deux angles polaires): il s'agit de $r_{AX}$ dans le cas de l'interaction dipolaire et de $z$ (axe de symétrie du tenseur de gradient de champ électrique) dans le cas de l'interaction quadrupolaire. La forme de l'hamiltonien (A4-7.2) est issue des expressions données dans l'annexe A1-5 auxquelles ont été ajoutées les termes non séculaires. Quant aux opérateurs $\hat{A}_r^m$, donnés dans le tableau A4-7.1, on pourra remarquer qu'ils présentent, pour les deux mécanismes, une structure similaire.

<table><caption>**Tableau A4-7.1** Opérateurs de spin $\hat{A}_r^m$ relatifs aux mécanismes dipolaire et quadrupolaire</caption><thead><tr><th></th><th>Interaction dipolaire</th><th>Interaction quadrupolaire</th></tr></thead><tbody><tr><td>$\hat{A}_r^{\pm 2}$</td><td>$(\hat{I}_{\pm}^A \hat{I}_{\pm}^X)/2$</td><td>$\hat{I}_{\pm}^2/2$</td></tr><tr><td>$\hat{A}_r^{\pm 1}$</td><td>$\mp (\hat{I}_{\pm}^A \hat{I}_z^X + \hat{I}_z^A \hat{I}_{\pm}^X)/2$</td><td>$\mp (\hat{I}_{\pm} \hat{I}_z + \hat{I}_z \hat{I}_{\pm})/2$</td></tr><tr><td>$\hat{A}_r^0$</td><td>$[4\hat{I}_z^A \hat{I}_z^A - (\hat{I}_+^A \hat{I}_-^X + \hat{I}_-^A \hat{I}_+^X)]/\sqrt{24}$</td><td>$[4\hat{I}_z^2 - (\hat{I}_+ \hat{I}_- + \hat{I}_- \hat{I}_+)]/\sqrt{24}$</td></tr></tbody></table>

L'équation (A4-7.1) peut être résolue selon les méthodes des annexes A4-4 et A4-5 et en utilisant le fait que la valeur de toute grandeur $G$ se déduit de la relation $<G>=\text{Tr}(\hat{\sigma}\hat{G})$ (voir (A2-1.5), trace du produit de l'opérateur-densité et de l'opérateur associé à la grandeur considérée). On aboutit à

$$ \frac{d}{dt} \langle G \rangle = -i \text{Tr} \{\hat{\sigma}[\hat{H}_0, \hat{G}]\} - \sum_{r,r'} \sum_{m=-2}^{m=2} \text{Tr} \{ (\hat{\sigma} - \hat{\sigma}_{eq}) [\hat{A}_r^{m'}, [(\hat{A}_r^m)^+, \hat{G}]] \} \mathcal{G}^{r'r'}(m\omega_0) \quad (A4-7.5) $$

Le premier terme a trait aux phénomènes de précession et ne sera pas considéré plus avant. Le second terme, en revanche, concerne exclusivement les phénomènes de relaxation. Si $r=r'$, on a affaire au même mécanisme de relaxation (situation la plus courante), les termes correspondants interviennent dans les vitesses de relaxation spécifique ($R_1$ ou $R_2$) ou dans les vitesses de relaxation croisée. Si au contraire $r$ et $r'$ symbolisent deux mécanismes de relaxation différents (il peut s'agir d'une interaction dipolaire et de l'anisotropie de déplacement chimique, de deux interactions dipolaires différentes...), on parlera de vitesses de corrélation croisée dont la détermination requiert généralement des conditions expérimentales (ou des circonstances) particulières. Dans tous les cas, et à condition que les commutateurs du second terme de (A4-7.5) ne soient pas nuls, il faudra évaluer la densité spectrale $\mathcal{G}^{\text{w}}(m\omega_0)$ (voir (4.29) et (A4-5.1))

$$ \mathcal{G}^{\text{w}}(\omega) = \int_{0}^{\infty} \overline{F_{r}^{0}(t) F_{r'}^{0}(0)} \exp(-i\omega t) dt \quad (A4-7.6) $$

On peut en effet montrer qu'en milieu isotrope (ce qui est ici supposé) les fonctions de corrélation ne dépendent pas de la projection $m$. La pulsation $m\omega_0$ dans (A4-7.5) doit être en fait considérée comme égale à $\omega_{ij}$ qui correspond à la différence d'énergie (en rad s⁻¹) de deux états $i$ et $j$ tels que $\langle i|\hat{A}_r^m|j \rangle \neq 0$. Comme cela sera le cas très souvent, les $F_r^m$ sont identiques, à un facteur près, aux harmoniques sphériques. Dès lors, il devient possible d'exprimer (A4-7.6) selon les densités spectrales normalisées (voir (A4-5.9)).

L'opérateur $\hat{G}$ pourrait être l'un des opérateurs-produits (introduits dans l'annexe A2-2). Ceux-ci constituant une base, la transposition de (A4-7.5) à chacun des opérateurs-produits $\hat{V}_i$ (ou à des combinaisons linéaires de ces opérateurs-produits) conduit à un nombre nécessairement fini d'équations (ce nombre est égal à la dimension de l'espace des états du système, soit $2^{2n}$ pour un système de $n$ spins 1/2). Ces opérateurs peuvent donner naissance aux modes d'aimantation définis par

$$ v_i(t) = \langle \hat{V}_i - \hat{V}_{i,eq} \rangle \quad (A4-7.7) $$
où $\hat{V}_i$ est l'un des opérateurs définis ci-dessus. A titre d'exemple, les opérateurs $\hat{V}_1 = \hat{I}_z^A$, $\hat{V}_2 = \hat{I}_z^X$ et $\hat{V}_3 = 2\hat{I}_z^A \hat{I}_z^X$ constituent la base permettant de traiter la relaxation longitudinale d'un système de deux spins 1/2. A partir de (A4-7.5), on peut montrer que, de façon générale, les modes d'aimantation obéissent à un ensemble d'équations cinétiques au premier ordre (les effets de précession étant exclus) donnés par

$$ \frac{d}{dt} v_i(t) = \sum_j \Gamma_{ij} v_j(t) \qquad (A4-7.8) $$

avec

$$ \Gamma_{ij} = \sum_{r,r'} \sum_{m=-2}^{2} \mathrm{Tr}[(\hat{A}_r^{-m}, \hat{V}_i)[(\hat{A}_{r'}^m, \hat{V}_j)] \not{\sigma}^{\pi'}(m\omega_0) \qquad (A4-7.9) $$

A l'aide des éléments $\Gamma_{ij}$, on peut construire une matrice dite *matrice de relaxation*. On peut montrer que cette matrice est symétrique. Sa construction nécessite le calcul des commutateurs figurant dans (A4-7.9) et il s'avère que les éléments $\Gamma_{ij}$ sont nuls si les modes $v_i$ et $v_j$ sont de nature différente (i.e. s'il s'agit de populations et de cohérences). Cette propriété explique pourquoi la relaxation longitudinale est disjointe de la relaxation transversale. La méthode détaillée ci-dessus permet d'aboutir facilement aux équations de Solomon.
Une méthode alternative (et équivalente, utilisée dans le corps du texte) consiste à traiter l'équation (A4-7.1) sous forme matricielle. On aboutit ainsi aux équations de Redfield qui font intervenir les éléments de la *matrice-densité* (l'équivalent matriciel de l'opérateur-densité)

$$ \frac{d}{dt} \sigma_{aa'} = i(\omega_a - \omega_{a'}) \sigma_{aa'}(t) + \sum_{b,b'} R_{aa'bb} \sigma_{bb'}(t) \qquad (A4-7.10) $$

La matrice-densité est construite sur la base des vecteurs propres de $\hat{H}_0$, de telle sorte que $\omega_a$ et $\omega_{a'}$ représentent l'énergie (exprimée en rad s⁻¹) des états propres $|a\rangle$ et $|a'\rangle$. On reconnaît la même structure que dans (A4-7.5), le premier terme se référant à la précession et le second à la relaxation. Un aspect intéressant de la théorie de Redfield réside dans la forme symétrique des éléments de la matrice de relaxation

$$ R_{aa'bb'} = J_{aba'b'}(\omega_a' - \omega_{b'}) + J_{aba'b'}(\omega_a - \omega_{b'}) - \delta_{a'b'} \sum_c J_{cba}(\omega_c - \omega_{b'}) - \delta_{ab} \sum_c J_{ca'cb'}(\omega_c - \omega_{b'}) \qquad (A4-7.11) $$

$\delta$ étant le symbole de Kronecker et les densités spectrales de (A4-7.11) étant de la forme

$$ J_{aba'b'}(\omega_a' - \omega_{b'}) = \sum_{r,r'} (-1)^m \mathcal{G}_{mm'}^{\pi'}(\omega_a' - \omega_{b'})(\hat{A}_r^{-m})_{ab} (\hat{A}_{r'}^{m'})_{b'a'} \qquad (A4-7.12) $$

et où, $F_z$ étant la valeur de la projection selon $z$ du moment total de spin, $m = F_z(b) - F_z(a)$ et $m' = F_z(b') - F_z(a')$. Au surplus, $R_{aa'bb'}$ n'est différent de zéro que si $|\omega_a - \omega_{a'}| \approx |\omega_b - \omega_{b'}|$. Une conséquence immédiate est qu'il n'existe aucun couplage entre les cohérences ($|a\rangle \neq |a'\rangle$, composantes transversales) et les populations ($|b\rangle \neq |b'\rangle$, composantes longitudinales). L'équation d'évolution d'une cohérence est particulièrement simple

$$ \frac{d}{dt} \sigma_{aa'} = [i(\omega_a' - \omega_a) + R_{aa'aa'}] \sigma_{aa'} \qquad (A4-7.13) $$

avec $R_{aa'aa'} = 2J_{aaa'a'}(0) - \sum_c [J_{caca}(\omega_c - \omega_a) - J_{ca'aca}(\omega_c - \omega_{a'})]$. Le terme $i(\omega_a' - \omega_a)$ correspond à la précession alors que $R_{aa'aa'}$ représente la relaxation propre de la cohérence considérée et est reliée à sa largeur de raie, pourvu que l'inhomogénéité du champ statique soit négligeable. On peut noter que (A4-7.13) implique une relaxation transversale de nature monoexponentielle, à condition que la cohérence $\sigma_{aa'}$ soit isolée. Dans le cas contraire, s'il existe une cohérence $\sigma_{bb'}$ dont la fréquence est proche de celle de $\sigma_{aa'}$, le terme $R_{aa'bb'}$ est responsable d'un couplage entre les deux cohérences.

Les équations de Redfield sont également très utiles pour traiter de la relaxation longitudinale. On peut en effet noter que $\sigma_{aa'}$ est identifiable à l'écart entre la population $P_a$ de l'état $|a\rangle$ et sa valeur d'équilibre; il vient

$$ \frac{d}{dt} P_a = \sum_b W_{ab} P_b \qquad (A4-7.14) $$

où les probabilités de transition $W_{ab}$ ont été introduites:
$$ W_{ab} = 2J_{abab}(\omega_a - \omega_b) \text{ pour } a \neq b $$
$$ W_{aa} = -\sum_{b \neq a} W_{ab} \qquad (A4-7.15) $$
5

RMN Multi-impulsionnelle et
Multidimensionnelle

Cet aspect de la résonance magnétique nucléaire recouvre un ensemble d'expériences typiques, acceptées de
tous et devenues d'une utilisation routinière. On se limitera ici aux principes de base de ces méthodes sachant que de
nombreuses améliorations et sophistications ont été apportées depuis la rédaction initiale de ce chapitre. Ces
expériences sont généralement assez élaborées tant du point de vue de l'instrumentation que du traitement des données.
Elles se justifient par la nécessité

i) d'extraire une information spécifique à partir de spectres compliqués,

ii) d'établir des corrélations avec comme corollaire l'identification ou l'attribution de résonances,

iii) de visualiser certaines propriétés physiques telles que la densité de spin (imagerie).

Les corrélations fondées sur les paramètres dynamiques (relaxation croisée ou échange chimique) ont été traitées en détail au chapitre précédent et ne seront reprises ici qu'incidemment. Au surplus, les méthodes complexes à trois (ou même quatre) dimensions couramment utilisées pour les déterminations structurales de biomolécules de grande taille ne seront pas décrites. Cependant, celles-ci sont constituées d'unités de base (chacune d'elles jouant un rôle parfaitement défini lors du déroulement de l'expérience), qui relèvent de l'approche générale présentée dans ce chapitre. La plupart des objectifs mentionnés ci-dessus requiert une certaine forme de sélectivité spectrale suivie d'une procédure de transfert. La sélectivité peut être obtenue par une excitation adéquate qui affecte exclusivement un spin, un groupe de spins ou même une seule transition. Une autre façon de procéder consiste à suivre l'évolution du système de spins durant un temps incrémentable $t_1$ et à effectuer une transformée de Fourier ($t_1 \xrightarrow{TF} v_1$). Il s'agit évidemment des méthodes de spectroscopie à deux dimensions (décrites en détail au paragraphe 3.4); dans ce cas, la sélectivité spectrale est réalisée dans le domaine $v_1$, chaque point correspondant à une zone de fréquences définie par la résolution en $v_1$ (figure 5-1).

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>**Figure 5-1** Comparaison de deux modes de sélectivité : (a) spectre conventionnel; (b) excitation sélective appliquée à un multiplet (indiqué par la flèche) avec les réponses émanant d'autres spins; (c) coupe (à la fréquence du multiplet de (b)) provenant d'un spectre à deux dimensions avec le même type de réponses qu'en (b)</figcaption></figure>
# 5.1 Excitation sélective

## 5.1.1 Impulsions de faible amplitude ('soft pulses')

Pour comprendre comment fonctionne une impulsion correspondant à un champ radio-fréquence (champ rf), de faible amplitude $B_1$ et agissant à la fréquence $v_r = \omega_r / (2\pi)$ (fréquence d'émission), on doit se référer au concept du champ effectif $B_1^{\text{eff}}$ (figure 2-5; relation (2.8)), l'aimantation nucléaire étant animée d'un mouvement de nutation par rapport à ce dernier. Il est évident que si $B_1$ devient négligeable par rapport à $(B_0 - \omega_r / \gamma)$, le champ effectif coïncide avec l'axe z et, dès lors, n'agit pas sur l'aimantation nucléaire. On obtient ainsi une certaine sélectivité, ce qui signifie que les résonances éloignées de la fréquence d'excitation ne sont pas affectées par le champ radio-fréquence. Formellement, une transition à la fréquence $v_0 = (\gamma B_0 / (2\pi))(1 - \sigma)$, où $\sigma$ représente la constante d'écran (responsable des différentes fréquences de résonance dans le spectre considéré), n'est pas excitée pourvu que la condition suivante soit vérifiée: $|v_0 - v_r| \gg \frac{\gamma B_1}{2\pi}$. En revanche, le champ rf agit pleinement sur une résonance dont la fréquence de Larmor est très proche, sinon identique, à la fréquence d'émission. Dans ces conditions, $B_1^{\text{eff}}$ coïncide quasiment avec l'axe x (en supposant que le champ rf est dirigé selon l'axe x du repère mobile) et son application pendant un temps $\tau$ provoque une nutation d'angle $\alpha: \gamma B_1 \tau = \alpha$. Comme nous venons de le voir, la sélectivité étant gouvernée par l'amplitude $B_1$, on pourrait sélectionner une zone de fréquence aussi étroite qu'on le souhaite. La réalité physique est assez différente : d'une part les phénomènes de relaxation contrecarrent le mouvement de nutation si $\tau$ devient trop long, donc si $B_1$ est trop faible, d'autre part une impulsion sélective n'agit pas selon un processus binaire : excitation complète pour la zone de fréquence sélectionnée et absence d'excitation en dehors de cette zone (la formule (2.8) permet de s'en convaincre). Dans le meilleur des cas, même si les phénomènes de relaxation n'entravent que peu la nutation, ce profil d'excitation n'est pas un pic (ou une bande plus ou moins large), mais plutôt une figure du type sinus cardinal, avec des oscillations, ou lobes latéraux, de part et d'autre de la fréquence d'excitation (figure 5-2(a)). On peut penser que cette observation est à mettre en relation avec la transformée de Fourier d'un créneau qui est précisément un sinus cardinal (Annexe A3-1). Malheureusement, le concept de transformée de Fourier ne s'applique pas strictement ici parce qu'il ne s'agit pas de phénomènes linéaires (cette dernière propriété ne pouvant être invoquée que pour des angles de nutations faibles, tels que $\sin\alpha \approx \alpha$). Il n'en reste pas moins que la transformée de Fourier d'une forme d'impulsion (qui est une fonction du temps) fournit une première indication sur ce que pourrait être le profil en fréquence et peut servir de guide pour concevoir une fonction de modulation des impulsions rf en amplitude (et/ou en phase). Considérons comme premier exemple une impulsion rf de faible puissance et de forme gaussienne; en notant que la transformée de Fourier d'une gaussienne est également une gaussienne (Annexe A3-1), on s'attend à obtenir une réponse dans le domaine des fréquences dépourvue de lobes latéraux. Cela n'est pas tout à fait vrai puisque deux lobes négatifs sont observés (figure 5-2(b)) de part et d'autre de la zone devant être sélectionnée. De plus, tout comme pour une impulsion de forme rectangulaire, une composante dispersive ($M_x$) est excitée en même temps que la composante d'absorption attendue ($M_y$), toujours en supposant que le champ rf est orienté selon l'axe x du repère mobile). Dans la pratique, il en résulte ce que l'on appelle un "gradient de phase" (les diverses résonances apparaissent avec un déphasage proportionnel à leur fréquence). Les impulsions gaussiennes sont très largement utilisées et une façon de s'affranchir des composantes dispersives est de refocaliser l'aimantation (sous forme d'un écho) au moyen d'une impulsion à $\pi$ non-sélective ('hard pulse'). Une méthode alternative pour supprimer les composantes dispersives est d'appliquer une impulsion non-sélective à $\pi/2$ avec un cyclage de phase de deux pas : $(\pi/2)_{\pm y}$. Le problème des lobes latéraux peut être atténué grâce à une forme demi-gaussienne (figure 5-2(c)) qui ne résout pas pour autant celui des composantes dispersives. En fait, un moyen simple de minimiser à la fois les lobes latéraux et les composantes dispersives est de recourir à une impulsion gaussienne à $3\pi/2$ (figure 5-2(d))<fnref n="27" />). Par rapport à une impulsion gaussienne à $\pi/2$, l'impulsion additionnelle à $\pi$ peut être considérée comme jouant un rôle de refocalisation (on parlera ainsi d'impulsion "autorefocalisée").

<footnote n="27">²⁷ L. Emsley et G. Bodenhausen, *J. Magn. Reson.*, **81**, 211 (1989)</footnote>
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>**Figure 5-2** Profils d'excitation (la valeur de l'aimantation est indiquée en % relativement à l'aimantation d'équilibre) pour des impulsions sélectives de durées identiques (20 ms), correspondant à un angle de basculement de 90° à la fréquence zéro (dans le repère tournant) mais de formes différentes (schématisées dans le coin supérieur droit de chaque figure): (a) rectangulaire; (b) gaussienne (tronquée, ainsi que pour les deux impulsions suivantes, à 95 % de son aire totale); (c) demi-gaussienne; (d) gaussienne à $3\pi/2$; (e) E-BURP-2 (voir texte). Chaque impulsion est supposée être appliquée le long de l'axe x du repère tournant de sorte que la composante d'absorption est $M_x$ (représentée en trait plein) alors que la composante dispersive (indésirable) est $M_y$ (traits interrompus).</figcaption></figure>

En matière d'impulsions sélectives, l'état-de-l'art (à l'époque) a trouvé son aboutissement avec la famille BURP ('Band-selective Uniform Response Pure-Phase')<fnref n="28" />. La modulation d'amplitude de ces impulsions a été optimisée par des méthodes numériques de manière à obtenir un profil d'absorption en forme de "chapeau" et des composantes dispersives négligeables (figure 5-2(e)). La fonction de modulation en amplitude $S(t)$ peut être décomposée en série de Fourier

$$S(t) = \sum_{n} [A_{n} \cos(2\pi nt / \tau) + B_{n} \sin(2\pi nt / \tau)] \quad (5.1)$$

<footnote n="28">²⁸ H. Geen et R. Freeman, *J. Magn. Reson.*, **93**, 93 (1991)</footnote>
où $\tau$ représente la durée totale de l'impulsion et où les coefficients $A_n$ et $B_n$ sont optimisés numériquement selon la fonction que doit assurer cette impulsion (excitation, inversion, refocalisation...). Un exemple est donné dans le tableau 5-1.

<table><caption>**Tableau 5-1** Coefficients définissant la forme d'une impulsion sélective de la famille BURP (voir relation (5.1); ici E-BURP-2, E signifiant 'excitation', voir figure (5-2(e))</caption><thead><tr><th>n</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><th>A<sub>n</sub></th><td>0,26</td><td>0,91</td><td>0,45</td><td>-1,31</td><td>-0,12</td><td>0,03</td><td>0,01</td><td>0,06</td><td>0,01</td><td>-0,02</td><td>-0,01</td></tr><tr><th>B<sub>n</sub></th><td>0,00</td><td>-0,12</td><td>-1,79</td><td>0,01</td><td>0,41</td><td>0,08</td><td>0,07</td><td>0,01</td><td>-0,04</td><td>0,01</td><td>0,00</td></tr></tbody></table>

De façon générale, une excitation sélective est utilisée pour réduire la quantité d'information à un niveau tel que les résultats expérimentaux deviennent directement interprétables. On pourra par exemple sélectionner une zone restreinte dans le domaine des fréquences de manière à réduire la quantité de données et/ou la durée de la mesure (s'il s'agit d'une expérience multidimensionnelle).

Une autre catégorie d'applications a trait à la suppression du signal du solvant (l'eau généralement) dans les spectres de biomolécules qui ne sont présentes qu'à faible concentration. Cette élimination (dans le domaine des temps) s'avère indispensable pour éviter que les signaux d'intérêt soient occultés par le bruit du convertisseur analogique-numérique, les possibilités de ce dernier (donc sa résolution ou son aptitude à numériser de petits signaux) étant calées sur l'amplitude du signal le plus intense. Une première méthode (qui relève de la sélectivité) consiste à appliquer, avant la mesure elle-même, un champ rf de faible amplitude à la fréquence de résonance du solvant. Cette procédure est appelée "présaturation" car la nutation produite par le champ rf s'accompagne d'une décroissance selon un temps de relaxation $T_{1,2}$ qui, d'après les équations de Bloch, est tel que $1/T_{1,2} = (1/2)(1/T_1 + 1/T_2)$. Ainsi, l'élimination du signal du solvant requiert l'application d'un champ rf pendant un laps de temps de l'ordre de $3T_{1,2} - 5T_{1,2}$. Cette méthode, bien que très largement utilisée, souffre de deux inconvénients :

i) les corrections d'inhomogénéité de $B_0$ doivent être optimales de sorte que la résonance du solvant couvre une zone de fréquence minimale,

ii) les résonances des protons en échange avec ceux de l'eau (certains protons amides dans les protéines) sont également saturées (supprimées).

Pour éviter ce désagrément, on peut recourir à la méthode dite J-R ('Jump and Return<sup>29</sup>) qui consiste à ramener l'aimantation du solvant vers l'axe $z$, tandis que les autres aimantations restent dans le plan $x, y$ où elles sont détectées. Cet objectif est réalisé par la séquence $(\pi/2)_x - \tau - (\pi/2)_x$ qui fait appel à des impulsions non-sélectives ('hard pulses') et pour laquelle le solvant est supposé à la résonance, de telle sorte que son aimantation n'évolue pas pendant le temps $\tau$ et est par conséquent redirigée en totalité vers $z$; en ce qui concerne les autres aimantations, leur mouvement de précession fait qu'il subsistera la composante selon $x$ (elles seront donc en partie préservées). Des améliorations ont été apportées au moyen de séquences plus élaborées<sup>30</sup>; celles-ci conduisent :

i) à une zone de suppression plus large autour de la résonance du solvant;

ii) à un profil de sélectivité plus favorable, d'un point de vue quantitatif, aux autres résonances.

Finalement, comme déjà mentionné au paragraphe 2.2.2 (figures 2-20 et 2-21), les procédures les plus couramment utilisées font appel à une combinaison d'impulsions de gradient $B_0$ (notées $g_0$ ci-dessous) et d'une impulsion rf sélective<sup>31</sup>. Ainsi, la séquence WATERGATE<sup>32</sup> est employée en routine; elle peut être schématisée comme suit: $(\pi/2)_x(g_0)(\pi^{comp})(g_0)Acq$ où l'impulsion composite $\pi^{comp}$ agit sur les résonances autres que celle du solvant. $\pi^{comp}$

<footnote n="29"><sup>29</sup> P. Plateau et M. Guéron, *J. Magn. Reson.*, **104**, 7310 (1982)</footnote>

<footnote n="30"><sup>30</sup> P.J. Hore, *J. Magn. Reson.*, **54**, 539 (1983)</footnote>

<footnote n="31"><sup>31</sup> M. von Kienlin et al., *J. Magn. Reson.*, **76**, 169 (1988)</footnote>

<footnote n="32"><sup>32</sup> M. Piotto et al., *J. Biomol. NMR*, **2**, 661 (1992)</footnote>
est de la forme $(\frac{\pi}{2})_{-x}^{sel}(\pi)_x(\frac{\pi}{2})_{-x}^{sel}$ où $(\frac{\pi}{2})_{-x}^{sel}$ agit sélectivement à la fréquence de résonance du solvant. L'analyse d'une telle séquence est immédiate et montre que, seule, l'aimantation du solvant est défocalisée (figure 5-3).

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>**Figure 5-3** Profil de sélectivité obtenu avec une procédure d'élimination du solvant du type WATERGATE (les résultats expérimentaux et ceux d'une simulation sont affichés respectivement dans les parties supérieure et inférieure de la figure)</figcaption></figure>

La séquence "inverse" $(\pi/2)_x(g_0)(\pi^{sel})_x(g_0)Acq$ permet de réaliser une excitation sélective à condition de faire agir $(\pi^{sel})_x$ sur la zone à sélectionner. En dupliquant ce dernier motif (avec cependant des amplitudes de gradient différentes de manière à éviter toute refocalisation indésirable) $(\pi/2)_x(g_{01})(\pi^{sel})_x(g_{01})(g_{02})(\pi^{sel})_x(g_{02})Acq$, on aboutit à une procédure de sélectivité particulièrement efficace et robuste connue sous le nom de 'excitation sculpting'<fnref n="33" />.

### 5.1.2 La séquence DANTE

Cette méthode<fnref n="34" /> fait appel à un train d'impulsions non-sélectives ('hard pulses'), séparées par un intervalle $\tau$ et correspondant à un petit angle de basculement $\alpha$. Dans sa version de base, qui peut être schématisée par $[(\alpha)_x - \tau]'_n$, elle est équivalente à une impulsion sélective rectangulaire ('soft pulse') avec l'avantage considérable de pouvoir utiliser un seul émetteur et d'éviter ainsi :

i) la commutation d'un canal d'émission à un autre canal d'émission;

ii) les réglages de phase et d'amplitude relatives entre deux canaux différents.

Pour comprendre comment fonctionne cette séquence, considérons un train DANTE qui conduit à un angle de basculement total de 90°, c'est-à-dire tel que $n\alpha=\pi/2$. Pendant le temps $\tau$, une aimantation de fréquence $\nu$ (exprimée dans le repère tournant) va être animée d'un mouvement de précession d'angle $2\pi\nu\tau$ (figure 5-4). L'impulsion $\alpha$ suivante n'agit que sur la composante située dans le plan $yz$ et n'a par conséquent que peu d'effet si celle-ci est réduite (du fait de la précession).

<footnote n="33">³³ T.L. Hwang et A.J. Shaka, *J. Magn. Reson.*, **A112**, 275 (1995)</footnote>

<footnote n="34">³⁴ G.A. Morris et R. Freeman, *J. Magn. Reson.*, **29**, 433 5 (1978)</footnote>
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>**Figure 5-4** A gauche: nutation sous l'effet d'une impulsion d'angle $\alpha$. A droite: précession durant l'intervalle $\tau'$ pour une aimantation qui n'est pas à la résonance ($\nu \neq 0$).</figcaption></figure>

Réciproquement, si $\nu = 0$ ou $\nu = \pm k/\tau'$ ($k$ étant un entier), l'aimantation reste toujours dans le plan $yz$ et l'impulsion $\alpha$ agit pleinement. Par conséquent, les impulsions $rf$ ont un effet cumulatif aux fréquences $\pm k/\tau'$ (avec $k=0, 1, 2, 3...$). Les autres aimantations restent localisées à proximité de l'axe $z$ et la sélectivité se manifeste sous forme d'une bande centrale ($k=0, \nu=0$) et de bandes latérales ($k \neq 0$). Dans la pratique, on choisira $\tau'$ de telle sorte que la première bande latérale soit située en dehors du spectre étudié de manière à sélectionner une zone autour de la fréquence zéro. Par ailleurs, on peut montrer (au moyen de simulations numériques, ou même analytiquement) qu'il existe une équivalence formelle entre un train DANTE et une impulsion sélective rectangulaire. Par voie de conséquence, on aboutira à des profils d'excitation similaires à ceux des figures 5-2 à condition que la durée des impulsions soit modulée de la même manière que l'amplitude d'une impulsion sélective (figure 5-5).

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>**Figure 5-5** En haut: impulsion sélective gaussienne (de faible puissance, modulée en amplitude). En bas: l'équivalent dans le mode DANTE (impulsions d'amplitude constante mais de durée variable, séparées par un intervalle de précession constant)</figcaption></figure>

Une caractéristique intéressante, commune à une impulsion sélective rectangulaire d'angle $\pi$ (ou au train DANTE classique avec $n\alpha=\pi$), provient du profil d'inversion qui présente beaucoup moins de lobes latéraux (figure 5-6) que le profil d'excitation (figure 5-2(a)).

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>**Figure 5-6.** Profil d'inversion d'une séquence DANTE (ou résultant d'une impulsion sélective rectangulaire équivalente)</figcaption></figure>
Cette propriété a pu être mise à profit dans la séquence DANTE-Z<fnref n="35" /> de manière à obtenir des profils de sélectivité peu affectés par les lobes latéraux et dépourvus de gradient de phase : [($\alpha$)$_x$ - $\tau$' - ($\alpha$)$_{\pm x}$ - $\tau$']$_n$ ($\pi/2$)(Acq)$_\pm$. *n* obéit à la relation $2n\alpha = \pi$, de sorte que, pour le premier pas du cycle de phase, il s'agit d'un train DANTE d'inversion alors que le deuxième pas conduit à un profil essentiellement plat (toute aimantation, quelle que soit sa fréquence, reste selon $+z$). La soustraction des deux signaux, après une impulsion de lecture, conduit à une aimantation transversale dont le profil de sélectivité présente les caractéristiques indiquées ci-dessus (figure 5-7).

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>**Figure 5-7** Spectre conventionnel d'une petite protéine (en haut) et comparaison de la sélectivité (protons amides) obtenue avec la séquence DANTE classique (au centre) et avec DANTE-Z (en bas).</figcaption></figure>

## 5.2 Transfert d'aimantation, transfert de polarisation et transfert de cohérence

Les transferts d'aimantation relèvent de phénomènes décrits au chapitre précédent (où on a vu qu'il s'agissait en fait de transferts de polarisation) et proviennent d'un terme de relaxation croisée permettant le couplage de deux aimantations de même nature isotopique (transfert homonucléaire) ou de nature différente (transfert hétéronucléaire). La relaxation de spin ayant pour origine des phénomènes aléatoires, on parle parfois de transfert *incohérent*. Nous nous intéresserons ici à des transferts de nature *cohérente* qui ne peuvent intervenir que grâce à l'existence d'une interaction qui provoque un éclatement de raies de résonance (en d'autres termes, une structure fine, comme celle due au couplage indirect *J*). Nous allons nous apercevoir que cette propriété permet de transférer non pas une aimantation, mais plutôt une polarisation $\Delta$, définie comme la différence de populations entre deux niveaux d'énergie consécutifs (dont les valeurs propres de l'opérateur $I_Z$ diffèrent par une unité). L'ambiguïté est entretenue par la terminologie "transfert de cohérence", qui relève en fait d'un phénomène physique de nature similaire mais qui tire plutôt son origine d'une configuration particulière de l'aimantation transversale.

Nous allons étudier ce problème d'un double point de vue :

<footnote n="35">³⁵ D. Boudot et al., *J. Magn. Reson.*, **83**, 428 (1989)</footnote>
* inversion sélective d'une transition et modification des populations de niveau d'énergie (transfert de polarisation) ;

* création d'une configuration antiphase pour l'un des doublets d'un système de deux spins 1/2 (transfert de cohérence déjà abordée au paragraphe 2.2.2) ;

et nous verrons que ces deux points de vue procèdent en fait de la même démarche.

### 5.2.1 Quelques exemples de transfert de polarisation

Comme premier exemple, considérons un système hétéronucléaire de deux spins 1/2, noté AX, A étant le noyau de rapport gyromagnétique le plus élevé. Nous allons chercher ce que sont les conséquences de l'inversion sélective de l'une des transitions du doublet A. Dans ce but, nous reproduisons, figure 5-8, le diagramme d'énergie de la figure A2-1.1.

<figure><img src="image_155.png" /></figure>

**Figure 5-8** Diagramme d'énergie d'un système de deux spins 1/2 (AX, avec $γ_A > γ_X$). A gauche, populations à l'équilibre. A droite, populations après inversion de la transition A indiquée par des pointillés. Le doublet X a été schématisé pour chacune de ces deux situations.

Initialement l'intensité de chacune des transitions X, calculée en tenant compte de la seule polarisation, et en laissant de côté le mode de détection, est $Δ_X$ (polarisation de X) donc au total $2Δ_X$ ou 2 en unités de $Δ_X$. Après inversion de la transition A, indiquée par des pointillés sur la figure 5-4, les transitions $X$ ($αα \rightarrow αβ$ et $βα \rightarrow ββ$) ont respectivement pour intensité $-Δ_A + Δ_X$ et $Δ_A + Δ_X$, ou -3 et +5 pour le couple $^{13}$C-$^1$H ($Δ_A \approx 4Δ_X$). Si on tient compte du signe (par exemple en irradiant les transitions protoniques de façon à faire disparaître tout effet de couplage), il n'y a donc aucune augmentation nette d'intensité du fait de l'inversion sélective d'une transition A. En revanche, si au moyen d'une période de précession, on peut refocaliser les deux branches de ce doublet (d'intensités respectives -3 et +5), c'est-à-dire les amener en phase, on se trouve gratifié d'une intensité globale égale à 8, soit 4 fois l'intensité globale du doublet X tel qu'il est observé sans perturbation du spin A. Le facteur 4 n'est autre que le rapport $γ_A/γ_X$ : il y a eu transfert de polarisation de A vers X. Les expériences de type SPT ('Selective Population Transfer'<fnref n="36" /> s'apparentent aux considérations ci-dessus et peuvent être également explicitées à l'aide du formalisme des opérateurs-produits : partant d'un état d'équilibre représenté par $γ_A I_z^A + γ_X I_z^X$ (paragraphe 2.2.2), une impulsion d'observation polarisée selon la direction x du repère tournant et agissant uniquement sur X conduit à $γ_A I_z^A + γ_X I_y^X$, donc à un doublet dont l'intensité globale est proportionnelle à $γ_X$. Si l'une des transitions A a été inversée, l'état de départ peut être représenté par $(γ_A(2I_z^A I_z^X) + γ_X I_z^X)$ ; la même impulsion d'observation conduit alors à $γ_A(2I_z^A I_y^X) + γ_X I_y^X$. Le premier terme est un doublet antiphase dont l'intensité est proportionnelle à $γ_A$ (paragraphe

<footnote n="36">³⁶ K.G.R. Pachler et P.L. Wessels, *J. Magn. Reson.*, **12**, 337 (1973)</footnote>
2.2.2), le deuxième terme n'est autre que le doublet en phase décrit précédemment. En superposant ces deux doublets, on aboutit bien à la situation évaluée au moyen des populations des niveaux d'énergie.

Le deuxième exemple de transfert de polarisation, que nous allons maintenant présenter, relève d'une toute autre procédure puisqu'il s'effectue dans le repère tournant grâce à un champ radio-fréquence de 'spin-lock' qui verrouille les aimantations des deux noyaux. Ce mode de transfert est très largement utilisé en phase solide pour augmenter la sensibilité d'un spin de faible rapport gyromagnétique (le carbone-13 par exemple) ; il consiste à amener "en contact" l'aimantation protonique et l'aimantation du carbone-13 par le biais de deux champs de 'spin-lock' appliqués simultanément au proton et au carbone et qui doivent satisfaire à la condition de Hartmann-Hahn<fnref n="37" /> ($γ_H B_1^H = γ_X B_1^X$, $B_1^H$ et $B_1^X$ étant les amplitudes de champ de 'spin-lock'). Grâce à l'existence d'un couplage dipolaire entre ces deux noyaux, il y a transfert de l'aimantation protonique (importante) vers le carbone-13, d'où une augmentation de l'intensité de ses résonances. Cette méthode, connue également sous le nom de polarisation croisée (CP), relève d'une analyse assez complexe. Nous nous contenterons de la mettre en parallèle avec son homologue en phase liquide pour un système homonucléaire, les sigles HOHAHA (pour 'Homonuclear Hartman Hahn'<fnref n="38" /> et TOCSY<fnref n="39" /> sont mis en avant pour de telles expériences. On peut en effet montrer (Annexe A5-1) que si on amène tête-bêche les deux aimantations A et X le long de la direction d'un champ de verrouillage ('spin-lock'), il y a échange incessant de polarisation entre A et X selon une fonction sinusoïdale de fréquence J, où J représente le couplage indirect entre A et X. Ce transfert est donc maximum pour $t = 1/2J$ et on peut noter que s'agissant d'un système homonucléaire, la condition de Hatmann-Hahn est ipso facto satisfaite à moins que l'amplitude du champ de verrouillage ne soit pas suffisante et que les effets de décalage ('offset') ne puissent être négligés. Par ailleurs, durant la période de 'spin-lock', on doit éviter les phénomènes de relaxation qui sont exploités dans la séquence ROESY qui possède exactement la même structure (voir paragraphe 4.1.3 et figure 4-23). Une façon de remédier à ces deux problèmes consiste à utiliser une succession (ininterrompue) d'impulsions comme celles qui sont utilisées pour rendre plus efficace le découplage hétéronucléaire (paragraphe 1.3.5) (par exemple la séquence MLEV-17, détaillée dans l'annexe A5-2). Celle-ci est constituée de sous-ensembles d'impulsions, chacun d'eux représentant une "impulsion composite" à 180°, donc peu sensible aux effets "d'offset". Les impulsions successives ramènent l'aimantation de façon incessante vers sa direction d'équilibre, de sorte que les phénomènes de relaxation s'en trouvent annihilés. Ces trains d'impulsions ont en outre la propriété d'atténuer l'inhomogénéité du champ radio-fréquence. Dans ces conditions, le transfert entre noyaux couplés devient particulièrement efficace et peut être relayé dans tout le réseau de couplage (A couplé à X, lui-même couplé à Y, etc..) pourvu que la période de spin-lock soit suffisamment longue (dans la pratique, de l'ordre de la centaine de ms). On édite ainsi le sous-spectre de l'ensemble des spins appartenant à ce réseau de couplage (d'où l'appellation "corrélation totale"; figure 5.9).

<figure><img src="image_156.png" /></figure>

**Figure 5-9** En haut : spectre protonique conventionnel d'un composé organique. En bas : le spectre TOCSY obtenu en appliquant en premier lieu une impulsion sélective au multiplet marqué par une flèche de telle sorte que son aimantation soit amenée selon l'axe de 'spin-lock', dans une direction opposée à celle des autres aimantations. Le sous-spectre obtenu après une période de verrouillage est constitué du sous-système des protons couplés (de proche en proche) à celui qui a subi l'impulsion sélective initiale.

<footnote n="37">³⁷ S.R. Hartmann et E.L. Hahn, *Phys. Rev.*, **128**, 337 (1973)</footnote>

<footnote n="38">³⁸ D.G. Davis et A. Bax, *J. Am. Chem. Soc.*, **107**, 2821 (1985)</footnote>

<footnote n="39">³⁹ L. Brauschweiler et R.R. Ernst, *J. Magn. Reson.*, **53**, 521 (1983)</footnote>
La version bidimensionnelle est schématisée sur la figure 5-10, en même temps qu'un diagramme 2D correspondant à une petite protéine. $t_1$ permet, comme à l'accoutumée, l'étiquetage selon le déplacement chimique ; durant la période de 'spin-lock' (SL), il y a transfert de polarisation comme indiqué ci-dessus avec relais au sein du réseau de couplage. Un avantage additionnel de cette méthode réside dans le fait que les réponses (pics croisés) ont un aspect conventionnel et ne sont pas antiphase comme dans les diagrammes de type COSY.

<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>**Figure 5-10** Schéma de principe de la séquence HOHAHA ou TOCSY (SL, période de 'spin-lock') et son application à une petite protéine. Chaque colonne correspond à tous les protons du résidu identifié par la résonance de son proton amide (selon $V_2$)</figcaption></figure>

Le troisième exemple de transfert de polarisation est celui des gaz rares hyperpolarisés tels que l’Hélium-3 et le Xénon-129 qui sont obtenus soit par pompage optique indirect (méthode par échange de spins), i.e. par l’irradiation lumineuse des atomes à l’aide d’un faisceau laser polarisé circulairement<fnref n="40" />, soit pour l’Hélium-3, par une méthode directe fondée sur les échanges de spin produits par collision entre atomes dont l’énergie correspond à des niveaux métastables et atomes dans l’état fondamental<fnref n="41" />. En ce qui concerne la méthode indirecte, une cellule contenant sous haute pression des atomes de rubidium et un mélange à base de gaz rares est chauffée et placée dans un champ magnétique homogène. Les atomes de rubidium sont excités par l’irradiation laser, leur polarisation électronique est alors transférée par collisions aux noyaux de l’atome de gaz rare par mécanisme d’échange de spin pour une polarisation finale de l’ordre de 15 à 30%. Les gaz rares hyperpolarisés peuvent ensuite être utilisés avec un gain de sensibilité d’un facteur 100 000 par rapport à un spectre protonique. Leur application intervient dans deux domaines :

i) l'étude des surfaces;

ii) l'imagerie<fnref n="42" /> pour laquelle un exemple sera donné au paragraphe 5.4.3.

<footnote n="40">⁴⁰ M.A. Bouchiat *et al.*, *Phys. Rev. Lett.*, **5**, 373 (1960)</footnote>

<footnote n="41">⁴¹ F.D. Colegrove *et al.*, *Phys. Rev.*, **132**, 2561 (1963)</footnote>

<footnote n="42">⁴² M.S. Albert *et al.*, *Nature*, **370**, 199 (1994)</footnote>
### 5.2.2 Transferts de cohérence dans les systèmes hétéronucléaires. Les séquences INEPT, HETCOR et HSQC

On considère ici la création d'un doublet antiphase A par l'intermédiaire d'une impulsion à $\pi/2$ appliquée au seul noyau A, suivie d'une période de précession égale à $1/(2J_{AX})$. C'est la raison pour laquelle nous allons nous intéresser à un système hétéronucléaire, avec, pour fixer les idées, $A=^1H$ et $X=^3C$. Supposons dans un premier temps que A est à la résonance, c'est-à-dire que sa fréquence de résonance est égale à la fréquence de l'émetteur. A l'issue de cette période égale à $1/(2J_{AX})$, l'état du système (doublet A antiphase le long de l'axe x du repère tournant alors que le spin X n'est en rien affecté) est représenté par $\gamma_A(2I_x^A I_z^X) + \gamma_X I_z^X$. On applique alors une impulsion à $\pi/2$, à la fois à A et X (figure 5-11). Elle doit impérativement être appliquée selon l'axe y pour A et selon un axe arbitraire pour X (nous supposerons qu'il s'agit de l'axe x du repère tournant associé à X). Le premier terme, $\gamma_A(2I_x^A I_z^X)$, se transforme en $\gamma_A(2I_z^A I_y^X)$ et le second terme en $\gamma_X I_y^X$. On aboutit donc à un doublet X antiphase mais affecté du facteur $\gamma_A$ et à un doublet X en phase affecté du facteur $\gamma_X$, situation parfaitement comparable à celle de la figure 5-8 mais obtenue ici par transfert de cohérence (la quantité $2I_z^A I_y^X$ correspond en effet à des éléments hors-diagonaux de la matrice densité, associés à une aimantation transversale (Annexe A2-1). Nous constatons donc que ces deux concepts, transfert de polarisation et transfert de cohérence, sont très proches, au moins en ce qui concerne leurs effets.

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>**Figure 5-11** Effet de deux impulsions simultanées à $\pi/2$ appliquées aux spins A et X après une période d'évolution $1/(2J_{AX})$ qui transforme l'aimantation transversale A en un doublet antiphase. Le diagramme en haut et à droite schématise le doublet A antiphase qui est converti en un doublet X antiphase par les deux impulsions à $\pi/2$ (diagramme en bas et à droite)</figcaption></figure>

La séquence INEPT ('Insensitive Nuclei Enhanced by Polarization Transfer'), due à Morris et Freeman<fnref n="43" />, n'implique pas que A soit à la résonance. Elle permet, au moyen d'impulsions à $\pi$ appliquées aussi bien à A qu'à X, au milieu de l'intervalle $1/(2J_{AX})$, de "refocaliser" les déplacements chimiques des noyaux A (figure 5-12) tout en maintenant le déploiement du doublet vers sa configuration antiphase. La justification de cette procédure a été donnée au paragraphe 2.2.2 et ne sera pas reprise ici. Disposant d'un ordre de grandeur du couplage hétéronucléaire (si l'intervalle total n'est pas exactement égal à $1/(2J_{AX})$, l'efficacité du transfert est légèrement affaiblie), on dispose donc d'une méthode, très simple à mettre en œuvre, pour accroître la sensibilité du noyau X par le facteur $\gamma_A / \gamma_X$, résultat identique à celui d'un transfert de polarisation.

<footnote n="43">⁴³ G.A. Morris et R.Freeman, *J. Am. Chem. Soc.*, **101**, 760 (1979)</footnote>
<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>**Figure 5-12** Schéma de base de l'expérience INEPT et application à l'acide formique: a) spectre conventionnel du carbone-13; b) spectre INEPT</figcaption></figure>

Il subsiste cependant un problème qui est celui du découplage protonique. Si on l'applique durant l'acquisition des signaux X, les deux branches du doublet antiphase s'annihilent partiellement, on retrouve l'intensité normale du spectre X et le gain de sensibilité disparaît. Si le découplage doit être utilisé pour des raisons de lisibilité (ainsi que pour améliorer la sensibilité de l'expérience en regroupant toutes les raies qui constituaient le multiplet initial), il convient donc d'appliquer une nouvelle séquence de refocalisation qui permet au doublet antiphase de retrouver une configuration en phase (cela implique une nouvelle période d'évolution de $1/(2J_{AX})$ avec "refocalisation" des déplacements chimiques de X). La séquence complète, "INEPT refocalisée", autorisant un découplage protonique sans hypothéquer le gain de sensibilité dû au transfert de cohérence, est schématisée sur la figure 5-13.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>**Figure 5-13** Séquence « INEPT refocalisée ». Chaque intervalle est égal à $1/4J_{AX}$.</figcaption></figure>
La version bidimensionnelle de la séquence INEPT se déduit des considérations précédentes et conduit à l'établissement des corrélations hétéronucléaires, entre déplacements chimiques du proton et du carbone-13. L'échelle de déplacement chimique du proton correspond à la dimension $v_1$ et celle du carbone à la dimension $v_2$, puisque c'est, en dernier ressort, les signaux de précession libre du carbone qui sont détectés. Cette séquence, notée HETCOR ('HETeronuclear CORrelation'), ou H,X-COSY, est schématisée sur la figure 5-14. L'intervalle $t_1$ permet le marquage selon le déplacement chimique du proton A. La composante de l'aimantation protonique selon l'axe y est affectée du facteur $\cos(2\pi v_A t_1)$ avant l'étape qui permet la création d'un doublet antiphase. L'impulsion $\pi(X)$ qui se situe au milieu de l'intervalle $t_1$ permet simplement la "refocalisation" de tout couplage AX (tout caractère antiphase dû aux couplages hétéronucléaires est ramené en phase à la fin de l'intervalle $t_1$ (paragraphe 2.2.2)). On dit qu'il y a découplage de X vis-à-vis de A pendant $t_1$ (ce qui se traduit, dans la dimension $v_1$, par un spectre A découplé de X. Le transfert de cohérence est réalisé par les deux impulsions à $\pi/2$ et conduit à un doublet antiphase X, modulé par $\cos(2\pi v_A t_1)$. L'étape de refocalisation du doublet antiphase X, pour permettre le découplage, est ici simplifiée par le fait qu'on applique une double transformée de Fourier complexe et que le résultat final est présenté en spectre d'amplitude, donc insensible à la phase (cela nécessite un cyclage de phase similaire à celui décrit pour la séquence NOESY ou pour la séquence COSY (paragraphe 5.2.4)). En effet, la durée de ce dernier intervalle de $1/2J_{AX}$ permet bien la remise en phase du doublet X mais entraîne un déphasage dû au déplacement chimique de X. Celui-ci était refocalisé, dans la séquence INEPT unidimensionnelle, au moyen des impulsions $\pi$.

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>Figure 5-14 Séquence HETCOR.</figcaption></figure>

Toute cette discussion a porté sur un système de deux spins A et X. Dans la pratique, on a également affaire à des systèmes $A_n X$ ($A_2 X$ pour un fragment CH₂ et $A_3 X$ pour un fragment CH₃). En ce qui concerne la séquence INEPT, l'étape de transfert n'est pas affectée par la "multiplicité" des protons (nombre de protons directement liés à un carbone), ce qui n'est plus le cas pour l'étape de refocalisation (INEPT refocalisée). Ce problème est abordé dans le paragraphe suivant où nous verrons qu'il est possible d'utiliser les effets de multiplicité afin de faciliter l'attribution des résonances X dans un spectre découplé du proton.

Nous abordons maintenant une expérience fondée sur la séquence INEPT qui permet d'établir des corrélations A-X avec détection de A (dans la pratique, détection du proton), donc avec une sensibilité optimale. Une première sous-séquence INEPT permet de transférer une cohérence A vers le spin X ; après une période d'évolution ($t_1$, qui est incrémenté lors d'une série de mesures pour satisfaire aux conditions d'une expérience à deux dimensions (voir
paragraphe 3.2), une deuxième sous-séquence INEPT transmet cette information vers A (rétro-INEPT) avec détection physique de A (variable temporelle $t_2$). Le signal ainsi obtenu comporte une double modulation en $t_1$ et $t_2$, qui est fonction des déplacements chimiques de X et A, respectivement, pourvu qu'il existe un couplage J entre A et X. Une double transformée de Fourier par rapport à $t_1$ et $t_2$ fournit donc les corrélations (par couplage J) entre les deux spins. Cette expérience est identifiée par le sigle HSQC ('Heteronuclear Single Quantum Correlation')<sup>44</sup> par référence à l'expérience HMQC ('Heteronuclear Multi-Quantum Correlation') qui sera décrite plus loin. L'intérêt de telles séquences est qu'elles font intervenir, tout au long de leur déroulement, l'aimantation du noyau de rapport gyromagnétique le plus élevé (le proton en l'occurrence); le gain en sensibilité, par rapport à l'observation du noyau de rapport gyromagnétique le plus faible, est donc égal à ($\gamma_A / \gamma_X$)<sup>3</sup>, cette propriété provenant du fait que la sensibilité d'une expérience de RMN est égale à $\gamma^3 B_0^2$ (voir paragraphe 3.1). Ces méthodes sont donc qualifiées d'inverse et ont permis l'observation indirecte du carbone-13 ou de l'azote-15 (avec un gain de sensibilité de 1000 !) dans des biomolécules de grande taille (protéines ou acides nucléiques) qui, au surplus, ont été enrichies en carbone-13 et/ou azote-15. L'expérience HSQC de base est schématisée figure 5-15 et peut être analysée comme suit.

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>**Figure 5-15** L'expérience HSQC de base avec son cyclage de phase minimal (l'impulsion $(\pi/2)_{\pm x}$ appliquée au spin X avec, simultanément une alternance du signe de l'acquisition). L'intervalle $\Delta$ est approximativement ajusté à la valeur de $1/(4J_{AX})$.</figcaption></figure>

A l'issue de la première sous-séquence INEPT, on aboutit à une configuration antiphase X représentée par $\pm\gamma_A(2I_z^A I_y^X)$ qui va évoluer pendant le temps $t_1$ sous l'effet du seul déplacement chimique de X, l'impulsion $\pi(A)$ au centre de cet intervalle d'évolution annihilant tout effet dû au couplage $J_{AX}$ (on dit que X évolue sous découplage de A). Les deux premières impulsions de la sous-séquence rétro-INEPT conduisent à une configuration A antiphase $\mp\gamma_A(2I_x^A I_z^X)$ refocalisée en $\gamma_A I_x^A$ à la fin de cette sous-séquence. Il est dès lors possible d'irradier X durant l'acquisition de A pendant $t_2$. Le signal détecté physiquement correspond donc au spectre de A modulé par le déplacement chimique de X qui a agi durant l'intervalle $t_1$ dans la mesure où un doublet antiphase a été créé, i.e. dans la mesure où il existe un couplage J entre A et X. L'irradiation de X durant $t_2$ doit couvrir une zone spectrale étendue et on a généralement recours à un schéma de modulation adapté à cette situation, connu sous le nom de GARP<sup>45</sup>. Le cyclage de phase permet (en principe) l'élimination des signaux A qui ne présentent pas de couplage J avec X (par exemple, les protons liés à un carbone-12) puisque l'impulsion $(\pi/2)_{\pm x}$ n'est compensée (au niveau de

<footnote n="44"><sup>44</sup> G. Bodenhausen et D.J. Ruben, *Chem. Phys. Lett.*, **69**, 185 (1980)</footnote>

<footnote n="45"><sup>45</sup> A.J. Shaka et al., *J. Magn. Reson.*, **64**, 547 (1985)</footnote>
l'acquisition) que pour les spins A couplés à X. Cette élimination peut être grandement améliorée par l'utilisation d'impulsions de gradient (voir l'annexe A5-3 où la séquence HSQC est utilisée en vue de la mesure du temps de relaxation $T_1$ de l'hétéronoyau). L'utilisation de la séquence HSQC est illustrée par l'exemple de la figure 5-16.

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>**Figure 5-16** L'expérience HSQC appliquée à une petite protéine (enrichie en azote-15) montrant les corrélations ¹H-¹⁵N du groupement amide des différents résidus (identifiés). Les pics non attribués correspondent à des groupements NH₂ de résidus asparagine et glutamine</figcaption></figure>

### 5.2.3 Edition spectrale en fonction de la multiplicité. La séquence DEPT

L'objectif des expériences qui vont être décrites dans ce paragraphe est essentiellement la discrimination des carbones appartenant aux groupements CH₃, CH₂, CH et C (nous entendons par C un carbone qui n'est lié directement à aucun proton). La plus simple de ces expériences ne procède pas d'un transfert de cohérence ou d'un transfert de polarisation mais s'appuie sur la précession différentielle des différents multiplets associés à ces quatre groupements. Pour une telle analyse, le modèle vectoriel est adéquat puisqu'il s'agit d'une période d'évolution (voir paragraphe 2.2.2). Supposons, dans un premier temps, que le carbone considéré est à la résonance et laissons son aimantation transversale évoluer sous l'effet des seuls couplages $J_{CH}$ pendant un intervalle de durée égale à $1/J_{CH}$ (figure 5-17).
<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>**Figure 5-17** Evolution des multiplets du carbone-13 C, CH, CH₂, CH₃, à l'issue d'une période de précession libre de durée 1/JCH.</figcaption></figure>

Les résultats de la figure 5-17 sont aisément obtenus en constatant qu'une branche située à *J/2* ou *3J/2* de la fréquence centrale effectue une rotation de *2π(J/2)(1/J) = π** ou de *2π(3J/2)(1/J) = 3π** alors qu'une branche située à *J* de la fréquence centrale tourne d'un angle de *2π* , la fréquence centrale étant stationnaire puisqu'on suppose être "à la résonance". Tous ces multiplets étant "refocalisés", on peut appliquer un découplage protonique durant l'acquisition, de sorte que leurs amplitudes ne sont pas modifiées ; le signe des pics est fonction de la multiplicité : multiplicité paire (C, CH₂), signaux positifs ; multiplicité impaire (CH, CH₃), signaux négatifs. De manière à pouvoir appliquer cette procédure à la totalité des carbones du spectre, il faut s'affranchir de leur déplacement chimique, donc utiliser une séquence d'écho<fnref n="46" /> qui est schématisée sur la figure 5-18. L'application du découplage protonique durant la première partie de la séquence d'écho évite toute évolution due aux couplages *J*CH, celui-ci ayant lieu durant la deuxième partie conformément à ce qui est prévu par les diagrammes de la figure 5-17.

<footnote n="46">⁴⁶ C. Le Cocq et J.Y. Lalemand, *J. Chem. Soc. Chem. Comm.*, 150 (1981)</footnote>
<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>**Figure 5-18** Séquence permettant de distinguer les carbones en fonction de leur multiplicité. (C, CH₂), signaux positifs ; (CH, CH₃), signaux négatifs et exemple de l'éthylbenzène.</figcaption></figure>

Une variante de la méthode a été introduite dans le but de réduire le temps d'attente (en principe nécessaire, pour permettre un retour complet de l'aimantation vers sa valeur d'équilibre). Cette expérience est connue sous le sigle APT ('Attached Proton Test<fnref n="47" />'); elle fait appel à une impulsion d'angle (α) au lieu de l'impulsion initiale à (π/2) de manière à laisser selon z une proportion importante de l'aimantation (cette procédure est à mettre en parallèle avec le choix d'un angle optimal de basculement dans une mesure standard ne faisant intervenir qu'une seule impulsion; voir paragraphe 3.1). Cependant, l'aimantation est inversée par l'impulsion centrale à π et doit être ramenée vers +z par une séquence d'écho additionnelle (figure 5-19).

<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>**Figure 5-19** La séquence APT qui permet une réduction du temps de mesure par rapport à la séquence de la figure 5.18. Δ est fixé à la valeur du temps de récupération du récepteur</figcaption></figure>

<footnote n="47">⁴⁷ S.L. Patt et J.N. Shoolery, *J. Magn. Reson.*, **46**, 535 (1982)</footnote>