Les séquences des figures 5-18 et 5-19 ont le mérite d'être très simple et ne requièrent que la manipulation des états du découleur. Elles ne conduisent cependant pas à une édition (discrimination) complète des quatre types de carbone. Bien que certaines variantes permettent en principe d'atteindre cet objectif, on leur préfère généralement des méthodes multi-impulsionnelles fonctionnant par transfert de cohérence. A cet égard, revenons un instant à la séquence "INEPT refocalisée" de la figure 5-13. En reprenant des schémas similaires à ceux de la figure 5-17 et en tenant compte du caractère antiphase des multiplets, le transfert de cohérence conduit, pour un groupement CH₂, à un doublet antiphase d'écartement 2J, la branche centrale disparaissant. Pour un groupement CH₃, on obtient un quadruplet antiphase tel que les deux branches de gauche sont de signe opposé à celui des deux branches de droite. On peut s'apercevoir qu'il y a effectivement refocalisation pour le groupement CH, alors que le signal issu du transfert de cohérence disparaît dans le cas d'un groupement CH₂ ou d'un groupement CH₃. La séquence DEPT ('Distortionless Enhancement by Polarization Transfer')<fnref n="48" />, qui présente un certain nombre de similitudes avec la séquence INEPT, repose sur un processus de transfert de cohérence différencié en fonction de la multiplicité des carbones du spectre. Elle permet, au moyen de trois expériences différentes, l'édition de trois sous-spectres représentatifs respectivement des carbones CH, CH₂, CH₃. Elle est en outre plus "résistante" quant à la longueur des intervalles de précession vis-à-vis de la valeur exacte de 1/2J<sub>CH</sub> (rappelons qu'en fonction de l'hybridation du carbone, du type de liaisons, ce couplage <sup>1</sup>J<sub>CH</sub> peut varier de 120 à 200 Hz ; on choisit comme valeur de référence 135 Hz, qui correspond à la grande majorité des carbones aliphatiques). La séquence DEPT est schématisée sur la figure 5-20.

<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>**Figure 5-20** Schéma de principe de la séquence DEPT</figcaption></figure>

Un premier point doit être noté : les deux impulsions à $\pi$, intervenant à la fréquence du proton et à la fréquence du carbone-13, ont pour seul but de "refocaliser" les effets de déplacements chimiques. Pour analyser les phénomènes de transfert, on peut donc en faire abstraction et supposer que $A(^1\text{H})$ et $X(^{13}\text{C})$ sont à la résonance. On effectue au moins trois expériences pour trois valeurs différentes de l'angle $\theta$ (généralement $\pi/4$, $\pi/2$ et $3\pi/4$). C'est à partir de combinaisons linéaires appropriées des résultats de ces trois expériences que l'on peut obtenir trois sous-spectres associés aux trois multiplicités CH, CH₂ et CH₃. Enfin, l'alternance de signe de l'impulsion d'angle $\theta$, concomitante à l'alternance de signe de l'acquisition, permet d'éliminer l'aimantation de carbone-13 qui ne résulte pas d'un transfert protonique. Celle-ci pourrait en effet fausser l'édition des trois sous-spectres. Pour un groupement CH (système AX), l'analyse de la séquence est quasi immédiate : à l'issue du premier intervalle de durée 1/2J, le doublet protonique, représenté par $\gamma_A(2I_x^A I_z^X)$, est antiphase. L'impulsion à $\pi/2$ appliquée au carbone-13 convertit ce produit

<footnote n="48">⁴⁸ M.R. Bendall et al., *J. Am. Chem. Soc.*, **103**, 4603 (1981)</footnote>
d'opérateurs en $\gamma_A(2I_x^A I_y^X)$, cohérences à zéro et deux quanta, qui, d'après les considérations du paragraphe 2.2.2, évolue exclusivement selon les déplacements chimiques de A et de X. Comme on suppose être à la résonance à la fois pour A et X, il n'y a aucune évolution durant le deuxième intervalle $1/2J$. L'impulsion d'angle $\theta_{\pm y}$ conduit alors à $2\gamma_A(\cos\theta_x^A \pm \sin\theta_z^A)I_y^X$. Seul le deuxième terme correspond à une quantité observable : un doublet X antiphase au début du troisième intervalle $1/2J$, "refocalisé" en un doublet en phase selon l'axe x à la fin de cet intervalle (d'où la possibilité d'appliquer un découplage protonique pendant l'acquisition, de manière à observer un seul signal). Finalement, pour un groupement CH, on observe un signal proportionnel à $\pm\gamma_A \sin\theta$ (le facteur $\gamma_A$ indique qu'il y a eu transfert de polarisation du proton vers le carbone-13). Le cas de groupements CH₂ et CH₃ est un peu plus délicat et requiert quelques calculs du même type que ceux qui ont été développés au chapitre 2. Ils sont présentés dans l'annexe A5-4 et conduisent à des transferts de polarisation pondérés par $\sin 2\theta$ pour un CH₂ et par $(3/4)(\sin\theta + \sin 3\theta)$ pour un CH₃. La séquence DEPT fournit donc un signal du carbone-13 modulé en fonction de l'angle $\theta$ et dont la sensibilité est augmentée dans le rapport $\gamma_H/\gamma_C \approx 4$, comme cela est indiqué dans le tableau 5-2. La figure 5-21 fournit un exemple d'édition en sous-spectres selon la "multiplicité" des carbones.

<table><caption>**Tableau 5-2.** Amplitudes relatives des signaux de carbone-13 après application de la séquence 5-20 pour trois valeurs particulières de l'impulsion d'angle $\theta$. Les trois sous-spectres CH, CH₂, CH₃ se déduisent de combinaisons linéaires de ces trois expériences.</caption><thead><tr><th></th><th>θ = π/4</th><th>θ = π/2</th><th>θ = 3π/4</th></tr></thead><tbody><tr><td>CH</td><td>√2/2</td><td>1</td><td>-√2/2</td></tr><tr><td>CH₂</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>CH₃</td><td>3√2/4</td><td>0</td><td>3√2/4</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>**Figure 5-21** Edition en fonction de la multiplicité des carbones. Sous-spectres C, CH, CH₂ et CH₃ de la partie aliphatique du spectre ¹³C de la molécule de cholestérol (le sous-spectre "C", correspondant aux carbones non directement liés à des protons, est déduit du spectre conventionnel dont on a soustrait les trois autres sous-spectres)</figcaption></figure>
### 5.2.4 Transfert de cohérence homonucléaire. La séquence COSY

Il s'agit de l'expérience bidimensionnelle la plus simple et la plus utilisée<fnref n="49" />. Elle permet de déterminer les couplages mutuels dans un système homonucléaire. Par conséquent elle remplace à elle seule une série d'expériences de découplage (paragraphe 1.3.4). De façon à appréhender les potentialités de la méthode, nous exposerons en premier lieu une expérience unidimensionnelle qui permettra d'établir les principes de base du transfert de cohérences dans un système homonucléaire (on pourra également se reporter au chapitre 2 et plus particulièrement à la figure 2-14).

#### L'expérience COSY unidimensionnelle

Elle est schématisée sur la figure 5-22. La séquence débute par une impulsion sélective à (π/2) affectant uniquement le spin A ; intervient alors une période d'évolution de durée égale à 1/2J<sub>AX</sub> qui conduit à la création d'un doublet A antiphase représenté par 2I<sub>x</sub><sup>A</sup>I<sub>z</sub><sup>X</sup> (A étant supposé à la résonance, il n'y a aucune évolution due au déplacement chimique). Finalement, une impulsion non-sélective à (π/2) transforme la cohérence antiphase A en une cohérence antiphase X, -2I<sub>z</sub><sup>A</sup>I<sub>x</sub><sup>X</sup>. De façon à éliminer les cohérences indésirables (celles qui ne résultent pas d'un transfert, i.e. le doublet X qui apparaît du fait de l'impulsion non-sélective), on utilise le cyclage de phase du tableau 5-3. Ainsi, le spectre final ne comporte qu'un doublet antiphase centré sur la fréquence de résonance du spin X ce qui permet d'établir une corrélation par couplage J entre A et X.

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>**Figure 5-22** En haut : schéma de la séquence COSY 1D. L'état du système de spin aux étapes 1, 2 et 3 est donné dans le tableau 5-3. En bas : transformation d'un doublet antiphase A en un doublet antiphase X sous l'effet d'une impulsion non-sélective à π/2.</figcaption></figure>

<footnote n="49">⁴⁹ J. Jeener, Ampere Summer School, Basko Polje, Yougoslavie (1971); A. Bax et R. Freeman, *J. Magn. Reson.*, **44**, 542 (1981)</footnote>
<table><caption>**Tableau 5-3** Evolution du système AX (spins 1/2) aux différentes étapes de la séquence de la figure 5-22 et pour les deux pas du cyclage de phase, ce dernier permettant de sélectionner le doublet antiphase X</caption><thead><tr><th>φ<sub>1</sub></th><th>φ<sub>2</sub></th><th>(1)</th><th>(2)</th><th>(3)</th></tr></thead><tbody><tr><td>x</td><td>+</td><td>I<sup>A</sup><sub>y</sub></td><td>2I<sup>A</sup><sub>x</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub></td><td>-2I<sup>A</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>x</sub>;-I<sup>X</sup><sub>x</sub></td></tr><tr><td>-x</td><td>-</td><td>-I<sup>A</sup><sub>y</sub></td><td>-2I<sup>A</sup><sub>x</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub></td><td>-2I<sup>A</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>x</sub>;I<sup>X</sup><sub>x</sub></td></tr></tbody></table>

Il peut arriver (et ce sera la situation usuelle dans le cas d'une expérience bidimensionnelle) que la durée de l'intervalle d'évolution, $t_1$, ne soit pas exactement égale à $1/2J$. Un transfert de cohérence se produira néanmoins du fait de la participation d'une contribution antiphase dans une configuration quelconque du doublet (figure 5-23). La contribution en-phase n'est évidemment pas éliminée par le cyclage de phase et apparaîtra dans le spectre final (figure 5-24).

<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>**Figure 5-23** Décomposition d'un doublet, initialement en phase selon l'axe y du repère tournant et ayant évolué pendant un temps $t_1$, selon une composante en-phase (le long de y) et une composante anti-phase (le long de x)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>**Figure 5-24** L'expérience COSY 1D appliquée à un composé organique. En haut : spectre conventionnel. En bas : séquence de la figure 5-22 avec excitation sélective du multiplet situé le plus à gauche; les réponses proviennent des seuls spins présentant un couplage *J* avec le spin sélectivement excité</figcaption></figure>
L'expérience COSY standard (bidimensionnelle)

Elle se déduit de la précédente en remplaçant l'impulsion initiale (sélective) par une impulsion conventionnelle (non-sélective) et en instaurant, entre les deux impulsions, un temps $t_1$ qui est incrémenté lors d'une série de mesures pour satisfaire aux conditions d'une expérience à deux dimensions (voir paragraphe 3.2). L'évolution du doublet A durant $t_1$ est représentée sur la figure 5-25 sous la forme d'une décomposition en **doublets en-phase** ($I_x^A, I_y^A$) et en **doublets antiphase** ($2I_x^A I_z^x, 2I_y^A I_z^x$). On peut immédiatement noter que, après une double transformée de Fourier par rapport à $t_2$ et $t_1$, **les premiers** ne pourront conduire qu'à des pics diagonaux (modulation en $v_A$ pour les deux périodes $t_1$ et $t_2$) tandis que **les seconds** sont susceptibles d'être transférés vers le spin X donc de conduire à des pics croisés (modulation en $v_A$ pendant $t_1$, et en $v_X$ pendant $t_2$).

<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>**Figure 5-25** L'expérience COSY standard et la décomposition en configurations élémentaires de l'état du spin A à l'issue de la période d'évolution $t_1$ pour $\varphi_1 = x$.</figcaption></figure>
Pour être plus précis et en supposant que $\varphi_2 = x$, on obtient, après application de la deuxième impulsion à $(\pi/2)$, le résultat ci-dessous (limité aux quantités observables durant $t_2$)

$$ \left\{ \frac{1}{2} \sin[2\pi(\nu_A + \frac{J}{2})t_1] + \frac{1}{2} \sin[2\pi(\nu_A - \frac{J}{2})t_1] \right\} I_x^A + \left\{ \frac{1}{2} \cos[2\pi(\nu_A + \frac{J}{2})t_1] - \frac{1}{2} \cos[2\pi(\nu_A - \frac{J}{2})t_1] \right\} (2I_z^A I_y^X) \quad (5.2) $$

Le premier terme de (5.2) conduit à un doublet A en-phase dans les deux dimensions, $I_x^A$ correspondant à la quantité observée donc à la dimension $t_2$ avec à nouveau une modulation sinusoïdale en $\nu_A \pm J/2$. Au total on obtient bien, après double transformée de Fourier quatre pics correspondant aux quatre combinaisons possibles de $\nu_1 = \nu_2 = \nu_A \pm J/2$. Nous utiliserons désormais la convention qui consiste à associer à $x$ une modulation en sinus et à $y$ une modulation en cosinus. Cette convention correspond à la précession d'une aimantation initialement selon l'axe $y$ du repère tournant (résultant d'une impulsion $(\pi/2)_x$) : à l'instant $t$, sa projection sur les axes $y$ et $x$ vaut respectivement $\cos(2\pi x)$ et $\sin(2\pi x)$ et en combinant ces deux projections, on obtient le signal usuel en quadrature $y+ix = \exp(2i\pi x)$; on note donc que $x$ représente la partie imaginaire qui, après transformée de Fourier, est associée au spectre en dispersion. Les quatre pics diagonaux mentionnés ci-dessus sont donc en dispersion. Quant au second terme de (5.2), il correspond à des doublets antiphase, l'un en $\nu_1$ centré sur $\nu_A$, l'autre, en $\nu_2$, centré sur $\nu_X$ parce qu'il provient de $2I_z^A I_y^X$. On a donc affaire à des pics croisés en absorption (modulation en cosinus, associée à l'axe $y$ du repère tournant) qui traduisent une corrélation entre A et X par couplage J. L'allure d'un spectre COSY est schématisé par la figure 5-26 où il a été tenu compte de la situation homologue du spin X.

<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>**Figure 5-26** Présentation schématique des pics obtenus à l'issue d'une expérience COSY standard dont les deux impulsions sont de phase identique et appliquée à un système AX de deux spins 1/2 faiblement couplés. Les cercles pleins (pics diagonaux) correspondent à des signaux en dispersion. Les cercles ouverts (pics croisés) correspondent à des signaux en absorption (avec indication de signe; doublets antiphase)</figcaption></figure>

Se pose maintenant le problème d'une "détection en quadrature" en $t_1$, donc du signe de $\nu_1$ qui, d'après (5.2) ne peut être déterminé à l'aide d'une simple mesure où les phases $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont identiques. On pourrait recourir par exemple à la procédure TPPI (voir paragraphe 3.4.3) qui a également le mérite de fournir des spectres sensibles à la phase mais qui implique un nombre de mesures deux fois plus important (le pas d'échantillonnage en $t_1$ étant deux fois plus petit). Il s'avère que le gain en résolution serait illusoire par le fait que les pics diagonaux sont en dispersion et présentent des "ailes" susceptibles de masquer les pics croisés proche de la diagonale. Une telle procédure est plutôt réservée à l'expérience COSY DQF ('Double Quantum Filtered') décrite ci-dessous. En ce qui concerne l'expérience COSY
standard, on s'en tiendra à des spectres d'amplitude, la quadrature en $t_1$ étant réalisée soit par un cyclage de phase, soit au moyen d'impulsions de gradient (figure 5-27; cette dernière méthode étant de nos jours utilisée en routine puisqu'elle permet d'obtenir un spectre COSY en quelques minutes). Ces deux approches sont présentées dans l'annexe A5-5.

<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>**Figure 5-27** L'expérience COSY standard avec une paire d'impulsions de gradient (G) entourant la deuxième impulsion rf. La quadrature en $t_1$ est obtenue sans cyclage de phase (une seule mesure par valeur de $t_1$).</figcaption></figure>

### L'expérience COSY DQF (bidimensionnelle, 'Double Quantum Filtered')

Elle fait intervenir deux impulsions à $(\pi/2)$ de phases différentes au lieu de l'impulsion finale de l'expérience COSY standard, ainsi qu'un cyclage de phase$^{50}$ (figure 5-28).

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>**Figure 5-28** L'expérience COSY DQF avec comme cyclage de phase $\varphi = x, y, -x, -y$. La durée de l'intervalle entre les deux dernières impulsions a été exagérée. Cet intervalle n'a d'autre utilité que de permettre la commutation de phase.</figcaption></figure>

La référence à des cohérences à deux quanta est assez formelle puisque celles-ci n'évoluent pas. Elles interviennent en fait dans des quantités du type $2I_x^A I_y^X$, cette dernière étant créée par la deuxième impulsion à partir de la configuration antiphase $2I_x^A I_z^X$ (elle-même modulée en $t_1$ selon les fréquences du doublet A). Une grandeur comme $2I_x^A I_y^X$ étant inobservable par nature, elle doit être reconverte en cohérence à un quantum par la troisième impulsion, à l'exclusion de toute autre quantité. C'est le but du cyclage de phase indiqué dans la figure 5-28 que l'on désigne par "filtre à deux quanta" (à tort puisque $2I_x^A I_y^X$ comporte une cohérence à deux quanta et une cohérence à zéro quantum). Pour comprendre comment fonctionne ce filtre (constitué de la dernière impulsion à $\pi/2$ et de l'acquisition), reportons-nous au tableau 5-4 dans lequel figure le résultat de chaque pas de phase pour les trois grandeurs fondamentales $I_x$, $I_y$ et $I_z$ (figure 5-28). Est également indiqué le devenir de $2I_x^A I_y^X$, modulée en $t_1$ selon les fréquences du doublet A, ainsi que le type de pic qui en résulte dans le spectre final.

<footnote>$^{50}$ U. Piantini et al., J. Am. Chem. Soc., **104**, 6800 (1982)</footnote>
<table><caption>**Tableau 5-4** Devenir des trois grandeurs fondamentales $I_x$, $I_y$ et $I_z$ pour chaque pas de phase de l'expérience COSY DQF</caption><thead><tr><th>φ</th><th>I<sub>x</sub></th><th>I<sub>y</sub></th><th>I<sub>z</sub></th><th>2I<sub>x</sub><sup>A</sup>I<sub>y</sub><sup>X</sup></th></tr></thead><tbody><tr><th>x</th><td>I<sub>x</sub></td><td>-I<sub>z</sub></td><td>I<sub>y</sub></td><td>-2I<sub>x</sub><sup>A</sup>I<sub>z</sub><sup>X</sup> (diagonal)</td></tr><tr><th>y</th><td>I<sub>z</sub></td><td>-I<sub>x</sub></td><td>-I<sub>y</sub></td><td>-2I<sub>z</sub><sup>A</sup>I<sub>x</sub><sup>X</sup> (croisé)</td></tr><tr><th>-x</th><td>-I<sub>x</sub></td><td>I<sub>z</sub></td><td>I<sub>y</sub></td><td>-2I<sub>x</sub><sup>A</sup>I<sub>z</sub><sup>X</sup> (diagonal)</td></tr><tr><th>-y</th><td>-I<sub>z</sub></td><td>I<sub>x</sub></td><td>-I<sub>y</sub></td><td>-2I<sub>z</sub><sup>A</sup>I<sub>x</sub><sup>X</sup> (croisé)</td></tr></tbody></table>

Ce tableau est établi en recherchant l'effet d'une impulsion $(\pi/2)_φ$ sur chacune de ces grandeurs puis en tenant compte de la phase du récepteur (ainsi, pour la phase y, la grandeur $I_y$ est vue comme $-I_x$ alors que la grandeur $I_x$ est vue comme $I_y$). On constate que tous les opérateurs associés à des cohérences à un quantum doivent disparaître. Parmi toutes les grandeurs de la figure 5-25, la seule qui survit est donc $2I_x^A I_z^X$, par le biais de $2I_x^A I_y^X$ qui apparaît après la deuxième impulsion. Elle conduit, *in fine*, à des doublets antiphase faisant l'un et l'autre intervenir l'opérateur $I_x$. Les pics obtenus dans le spectre bidimensionnel possèdent donc tous la même phase, *ce qui permettra d'obtenir un spectre d'absorption pure* (par exemple, à l'aide de la procédure TPPI; voir paragraphe 3.3.3), donc présentant une résolution optimale et c'est bien là l'intérêt (considérable) de l'expérience COSY DQF.

Bien évidemment, on préférera recourir aux techniques de gradient plutôt qu'à un cyclage de phase. Une séquence comportant trois impulsions de gradient et permettant de sélectionner les cohérences à deux quanta a déjà été présentée figure 2-25. Nous n'y reviendrons pas et nous allons mettre l'accent sur une procédure extrêmement simple utilisant des gradients de champ radio-fréquence (gradients $B_1$; voir paragraphe 4.1.2 et figure 4-7). La séquence de la figure 5-29 ne comporte que deux impulsions de gradients $B_1$, notées $g_1$, de phase et de durée différentes et on montre que, parmi les cohérences présentes à la fin de la période d'évolution $t_1$ (figure 5-25), seule $2I_y^A I_z^X$ survit et conduit à des résultats similaires en tout point à ceux de COSY DQF.

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>**Figure 5-29** L'équivalent de l'expérience COSY DQF avec des gradients $B_1: (g_1)_x$ correspond à une impulsion de gradient suffisamment longue pour provoquer une défocalisation complète dans le plan (y,z), le champ rf agissant selon l'axe x du repère tournant; $(2g_1)_y$ correspond à une impulsion de gradient deux fois plus longue que la précédente et avec un changement de 90° de la phase rf</figcaption></figure>

L'évaluation du devenir des différentes grandeurs fait appel à l'angle de nutation $\theta$ résultant, pour une localisation donnée, des deux impulsions de gradient puis au calcul d'une moyenne sur l'ensemble de l'échantillon avec $\langle \sin \theta \rangle = \langle \cos \theta \rangle = 0$ et $\langle \sin^2 \theta \rangle = \langle \cos^2 \theta \rangle = 1/2$ (on suppose en effet que le gradient est suffisamment intense pour que toutes les valeurs de $\theta$ comprises entre 0 et $2\pi$ soient équiprobables). Il vient
$$ 
\begin{aligned}
& I_x \xrightarrow{(g_1)_x, (2g_1)_y} 0; \quad I_y \xrightarrow{(g_1)_y, (2g_1)_y} 0; \quad 2I_x^A I_z^X \xrightarrow{(g_1)_x, (2g_1)_y} 0 \\
& 2I_y^A I_z^X \xrightarrow{(g_1)_y, (2g_1)_y} (2I_y^A I_z^X)/4 + (2I_z^A I_y^X)/4
\end{aligned} 
\qquad (5.3) 
$$

On constate que, moyennant la permutation (triviale) $x \leftrightarrow y$, on retrouve des résultats semblables en tout point à ceux du tableau 5-4. La figure 5-30 correspond à un spectre COSY haute résolution, obtenu à l'aide de cette méthode. Il existe également une séquence COSY DQF ne faisant intervenir que deux impulsions de gradient $B_0$, et qui peut se déduire de la précédente grâce à l'équivalence formelle entre gradients $B_1$ et $B_0$ (figure 4-7).

<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>Figure 5-30 Détail d'une carte COSY (¹H) du glucose, obtenue avec la séquence de la figure 5-29</figcaption></figure>

## 5.3 Spectroscopie multiquanta. Les expériences INADEQUATE et HMQC

Il existe un grand nombre d'expériences faisant intervenir des cohérences multiquanta lors d'une période d'évolution. Nous nous limiterons ici à deux d'entre elles, particulièrement représentatives et largement utilisées, sachant que toute séquence relevant de ce type de spectroscopie comporte nécessairement une première étape permettant la création de cohérences multiquanta. Celle-ci est constituée de deux impulsions à $\pi/2$ encadrant un intervalle de durée appropriée. La première impulsion crée des cohérences d'ordre 1 (à partir d'une aimantation à l'équilibre). Comme, seule, une impulsion rf est susceptible de modifier l'ordre de cohérence (voir paragraphe 2.2.2), on peut s'attendre, à l'issue de la deuxième impulsion, à l'apparition de cohérences d'ordre 0 ou 2 pour un système de deux spins 1/2 (et d'ordre pouvant aller jusque n pour un système de n spins 1/2). Un filtre à p-quanta et une période d'évolution composent la suite de l'expérience. Celle-ci se termine par la détection des cohérences à un quantum issues des cohérences multiquanta sélectionnées précédemment.

### 5.3.1 L'expérience INADEQUATE

Comme on vient de le voir à propos de la séquence COSY DQF, la configuration d'un système de deux spins 1/2 représentée par $(2I_x^A I_y^X)$ ou $(2I_y^A I_x^X)$, qui dans cette dernière méthode ne sert que d'intermédiaire, est constituée de cohérences non observables, puisque d'un ordre différent de $\pm 1$ (on rappelle que seules les cohérences à un quantum sont physiquement détectables). Nous allons montrer qu'une séquence d'impulsions telle que celle schématisée sur la figure 5-31 est capable d'engendrer ces quantités (qui comporte en fait des cohérences à deux quanta et à zéro quantum) pour deux spins couplés A et X et d'exclure, donc de filtrer, les cohérences à un quantum d'un spin Y isolé (dépourvu de couplage avec tout autre noyau). Cette propriété a pu être mise à profit pour conserver dans un spectre ¹³C les doublets (antiphase) des molécules contenant deux carbones-13 consécutifs (en abondance naturelle, une molécule sur
10 000 !) en excluant le singulet correspondant aux molécules contenant un seul carbone-13 (en abondance naturelle, une molécule sur 100). Cette séquence, dénommée INADEQUATE ('Incredible Natural Abundance Double Quantum Transfer Experiment'<fnref n="51" />) peut être étendue en une version bidimensionnelle<fnref n="52" /> (figure 5-32), qui s'appuie sur l'évolution des cohérences à deux quanta.

<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>**Figure 5-31** Principe de l'expérience INADEQUATE. Le cyclage de phase ($\varphi = x, y, -x, -y$) est identique à celui du filtre à deux quanta de la figure 5-28</figcaption></figure>

Comme la séquence de base (figure 5-31) est censée être appliquée à un système homonucléaire, il apparaît, à l'issue du deuxième intervalle $1/4J_{AX}$, deux doublets antiphase représentés par $2I_x^A I_y^X$ et $2I_z^A I_x^X$ (voir paragraphe 2.2.2 et figure 2-18) alors que l'aimantation d'un spin isolé est refocalisée selon y et est donc représentée par $I_y$. La deuxième impulsion à $\pi/2$ transforme les quantités ci-dessus en $2I_x^A I_y^X$, $2I_y^A I_x^X$ et $-I_z$, respectivement. La troisième impulsion ainsi que l'acquisition du signal sont soumises au cyclage de phase indiqué sur la figure 5-31 qui n'est autre que celui d'un filtre "à deux quanta" et qui relève par conséquent du tableau 5-4. On s'aperçoit que les seules quantités qui survivent sont celles qui sont issues de $2I_x^A I_y^X$ et $2I_y^A I_x^X$, résultant en deux doublets antiphase, centrés respectivement sur les fréquences de résonance de A et de X représentées par $-2I_x^A I_z^X$ et $-2I_z^A I_x^X$ (voir tableau 5-4). Le filtre a donc permis d'éliminer toute contribution des spins isolés pour ne retenir que celles provenant d'un système de spins couplés. Dans la pratique, cela se traduit par l'apparition de doublets antiphase pour deux carbone-13 contigus (qui présentent un couplage J, généralement de l'ordre de 35 Hz), avec disparition des signaux associés à un seul carbone-13 par molécule et qui étaient environ 200 fois plus intenses que les précédents. En fait, c'est la version bidimensionnelle qui va réellement présenter un intérêt puisqu'elle permet d'établir des corrélations carbone-carbone et d'aboutir ainsi à l'attribution des résonances représentatives du squelette carboné d'une molécule. Cette séquence est schématisée par la figure 5-32 et fait appel à un intervalle $t_1$ situé entre la deuxième et la troisième impulsion.

<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>**Figure 5-32** Principe de l'expérience INADEQUATE bidimensionnelle. Le cyclage de phase ($\varphi = x, y, -x, -y$), filtre à deux quanta de la figure 5-28), qui porte ici sur la première partie de la séquence, est formellement équivalent à celui de la figure 5-31. Il permet cependant une meilleure compensation des différentes imperfections, donc une meilleure élimination des signaux provenant de spins isolés.</figcaption></figure>

<footnote n="51">⁵¹ A.Bax et al., *J. Magn. Reson.*, **41**, 349 (1980)</footnote>

<footnote n="52">⁵² A.Bax et al., *J. Magn. Reson.*, **43**, 478 (1981)</footnote>
Durant cet intervalle, incrémenté d'une mesure à l'autre selon les conditions habituelles d'une expérience à deux dimensions, les cohérences $2I_x^A I_y^X$ et $2I_y^A I_x^X$ vont évoluer selon les déplacements chimiques de A et de X et conduire, dans le spectre final, aux corrélations recherchées. Plus précisément, et conformément au paragraphe 2.2.2, l'évolution de la quantité $2I_x^A I_y^X$ peut être vue comme la rotation d'un vecteur A, initialement selon l'axe x du repère tournant, et d'un vecteur X, initialement selon y, respectivement aux fréquences $v_A$ et $v_X$ (figure 5-33).

<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>**Figure 5-33** Représentation vectorielle du devenir de $2I_x^A I_y^X$ durant un intervalle d'évolution $t_1$</figcaption></figure>

A la fin de l'intervalle $t_1$, la nouvelle configuration peut être représentée par

$$2[I_x^A \cos(2\pi v_A t_1) - I_y^A \sin(2\pi v_A t_1)][I_y^X \cos(2\pi v_X t_1) + I_x^X \sin(2\pi v_X t_1)]$$

En effectuant un calcul similaire pour $2I_y^A I_x^X$ et en retenant que les quantités observables à l'issue de la dernière impulsion $(\pi/2)_x$, on aboutit à

$$(2I_x^A I_z^X + 2I_z^A I_x^X) \cos[2\pi(v_A + v_X)t_1] \quad (5.4)$$

La cohérence antiphase A (i.e. $2I_x^A I_z^X$) évolue en $t_2$ selon $v_A$, alors que la cohérence antiphase X (i.e. $2I_z^A I_x^X$) évolue en $t_2$ selon $v_X$. Dans le spectre à deux dimensions, deux signaux apparaissent aux fréquences $(v_1 = v_A + v_X; v_2 = v_A)$ et $(v_1 = v_A + v_X; v_2 = v_X)$, respectivement. Ces deux signaux représentent la corrélation recherchée entre A et X qui n'existe que si ces deux spins interagissent par un couplage J. Une variante<fnref n="53" /> conduit, au moyen d'un délai supplémentaire égal à $t_1$, à un spectre bidimensionnel du type COSY (figure 5-34), donc plus facilement interprétable, avec des pics croisés aux fréquences $(v_1 = v_A; v_2 = v_X)$ et $(v_1 = v_X; v_2 = v_A)$.

<footnote n="53">⁵³ D.L. Turner, *J. Magn. Reson.*, **49**, 175 (1982)</footnote>
<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>**Figure 5-34** Spectre INADEQUATE bidimensionnel du tanscrotonaldéhyde avec une présentation du type COSY permettant une attribution immédiate des corrélations carbone-carbone fondées sur les couplages $J_{CC}^1$</figcaption></figure>

Bien que très attractive, l'expérience INADEQUATE souffre encore d'un manque notoire de sensibilité qui limite son application. Il est vraisemblable qu'avec les progrès technologiques actuels (notamment les 'cryoprobes', sondes pour lesquelles les bobines de détection sont placées dans des conditions de basse température qui limitent le bruit de fond), cette méthode devrait connaître une certaine embellie.

### 5.3.2 L'expérience HMQC

Il s'agit d'une version hétéronucléaire de l'évolution des cohérences à "deux quanta" avec un objectif similaire à celui de la séquence HSQC (paragraphe 5.2.2), i.e. une spectroscopie de corrélation dans le mode "inverse" qui bénéficie totalement de la haute sensibilité du proton. Elle est plus simple dans son principe mais implique l'évolution de cohérences à "deux quanta" dont la relaxation transversale est plus rapide que celles des cohérences à "un quantum" (qui seules, interviennent dans HSQC). Par voie de conséquence, lorsque le système étudié comporte des mouvements lents (biomolécules de taille importante) on préférera, pour des raisons de sensibilité, l'expérience HSQC. Dans la pratique, on réservera donc HMQC aux molécules de taille moyenne. Il s'agit à nouveau de corrélations établies via un couplage $J_{XA}$ ($A \equiv H$ et $X \equiv C$ ou $N$) hétéronucléaire avec l'obligation d'éliminer les résonances (intenses en l'absence d'enrichissement isotopique) des protons qui ne sont pas couplés au noyau X et la nécessité de préserver les satellites qui correspondent aux rares protons couplés à X (paragraphe 1.3.5). On parlera ainsi de "filtre X" dont la séquence de base est schématisée sur la figure 5-35⁵⁴.

<footnote n="54">⁵⁴ R. Freeman et al., *J. Magn. Reson.*, **42**, 341 (1981)</footnote>
<figure><img src="image_182.png" /></figure>

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

<figure><img src="image_184.png" /></figure>

<figure><img src="image_185.png" /></figure>

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

<figure><img src="image_189.png" /><figcaption>**Figure 5-35** La séquence de base pour éliminer les signaux des protons (A) qui ne sont pas couplés à X. $A_1$ et $A_2$ sont associés aux deux raies du doublet protonique, leur évolution étant schématisée pour les deux pas du cycle de phase</figcaption></figure>

Après le premier intervalle dont la durée est égale à $1/2J_{XH}$, le doublet protonique est antiphase et peut être représenté par $-2I_x^H I_z^X$. Grâce à l'impulsion $(\pi)_y$ qui annihilera tout effet de déplacement chimique, ce doublet antiphase peut être considéré comme apparaissant le long de l'axe $x$. Si aucune impulsion n'est appliquée à X (i.e. pour le pas $(\pi/2)_x(\pi/2)_-$, cette dernière quantité devient $2I_x^H I_z^X$ après l'impulsion centrale $(\pi)_y$ et est refocalisée en un doublet en phase le long de $y$ à la fin du deuxième intervalle de durée $1/2J_{XH}$. En revanche, pour l'autre pas du cyclage de phase $((\pi/2)_x(\pi/2)_x)$, une impulsion $\pi$ est effectivement appliquée à X, ce qui conduit à une refocalisation du doublet le long de $-y$. Comme le signe de l'acquisition est alternée en même temps que le cyclage de phase $(\pi/2)_x(\pi/2)_{\pm x}$, les signaux des satellites s'ajoutent à chaque pas alors que les signaux des protons non couplés à X s'annulent par soustraction (figure 5-36). Cette séquence est optimale du point de vue de la sensibilité puisque, d'un bout à l'autre, c'est l'aimantation des protons qui a été manipulée. De plus, comme c'est un doublet en phase qui intervient *in fine*, un découplage $X$ peut être appliqué de manière à rassembler les deux branches du doublet. On peut
noter qu'une variante de cette séquence, connue sous le nom de BIRD<fnref n="55" /> et que l'on peut schématiser par $(\pi/2)_x^H - 1/2 J_{xH} - \pi^x(\pi)_y^H - 1/2 J_{xH} - (\pi/2)_x^H$ permet d'inverser (sélectivement) les aimantations longitudinales de tous les protons isolés alors que celles des protons couplés à X sont maintenues selon +z.

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>**Figure 5-36** En haut : le spectre conventionnel (¹H) de l'éthanol. En bas : application de la séquence de la figure 5-35 pour sélectionner les satellites du carbone-13 (avec, en principe, l'élimination de tous les autres signaux)</figcaption></figure>

L'extension de la séquence de la figure 5-35 à une version bidimensionnelle est immédiate et conduit à l'expérience HMQC ('Hetero MultiQuanta Correlation')<fnref n="56" /> qui est schématisée figure 5-37; elle peut être analysée comme suit. Au début de l'intervalle d'évolution $t_1$, l'état du système de spin peut être représenté par $-2I_x^H I_y^X$, qui est à nouveau une combinaison de cohérences à deux quanta et à zéro quantum, comme dans l'expérience COSY DQF ou INADEQUATE. Du fait de l'impulsion centrale à $\pi$ appliquée aux seuls protons, l'évolution durant l'intervalle $t_1$ ne concerne que le spin X de sorte que, à la fin de cet intervalle, l'état du système devient

$$ -2I_x^H [I_y^X \cos(2\pi v_x t_1) + I_x^X \sin(2\pi v_x t_1)] \quad (5.5) $$

La dernière impulsion, $(\pi/2)_{\pm x}$, conduit à un doublet ¹H antiphase, selon y ou -y, et modulé en cos(2$\pi v_x t_1$). Par conséquent, une double transformée de Fourier appliquée au résultat final (i.e. après un dernier intervalle de durée $1/2 J_{xH}$ qui permet au doublet antiphase de se convertir en un doublet en phase auquel on peut appliquer un découplage X) produit un pic aux fréquences $v_1 = v_x$ et $v_2 = v_A$. Le signe dans la dimension $v_1$ est, comme à l'accoutumée, obtenu grâce à la procédure TTPI. Reste le problème de l'élimination des signaux de protons non couplés au noyau X (qui sont évidemment très intenses si on a affaire au carbone-13 ou à l'azote-15 en abondance naturelle). Le cyclage de phase ne permet qu'une élimination imparfaite du fait des diverses imperfections instrumentales et on a donc généralement recours à des impulsions de gradient de champ statique telles que celles du canal $g_0$ de la figure 5-37. Comme les deux impulsions de gradient notées $G_1$ encadrent une impulsion à $\pi$ appliquée aux protons, elles n'affectent en rien les quantités qui leur sont associées (i.e. $I_x^H$ dans la situation présente) mais défocalisent les quantités associées au spin X de telle sorte que $2I_x^H I_y^X$ et $2I_x^H I_x^X$ de l'expression (5.5) deviennent respectivement $2I_x^H (I_y^X \cos2\theta + I_x^X \sin2\theta)$ et $2I_x^H (I_x^X \cos2\theta - I_y^X \sin2\theta)$ où $\theta$ est l'angle de précession (à une position donnée dans l'échantillon) dû à l'impulsion de gradient $G_1$. Ces quantités étant converties en cohérences protoniques, elles ne pourront être refocalisées que par une impulsion de gradient produisant un angle de précession égal à $2\theta$ afin qu'interviennent les moyennes $\langle \cos^2 \theta \rangle$ et $\langle \sin^2 \theta \rangle$, égales l'une et l'autre à $1/2$ (d'où une perte de sensibilité par un facteur deux). C'est le but de la troisième impulsion de gradient ($G_2$) dont l'amplitude doit donc être réduite par le

<footnote n="55">⁵⁵ J.R. Garbow et al., *Chem. Phys. Lett.*, **93**, 504 (1982)</footnote>

<footnote n="56">⁵⁶ A. Bax et al., *J. Magn. Reson.*, **55**, 301 (1983)</footnote>
facteur $2\gamma_X / \gamma_H$ (par rapport à $G_1$, puisqu'il s'agira ici de précession des protons). En retour, cette impulsion de gradient défocalise complètement (détruit) les aimantations des protons qui ne sont pas couplés à X, ce qui permet d'atteindre l'objectif recherché. Il existe des versions plus élaborées de l'expérience HMQC, permettant, entre autres, d'éviter les effets de précession durant l'application des impulsions de gradient.

<figure><img src="image_191.png" /><figcaption>**Figure 5-37** Version de base de l'expérience HMQC avec impulsions de gradient $B_0(g_0)$. Les amplitudes de ces impulsions sont dans le rapport $(\gamma_H / 2\gamma_X):(\gamma_H / 2\gamma_X):1$</figcaption></figure>

### 5.3.3 L'expérience HMBC

Le sigle signifie *Heteronuclear Multiple bond Correlation*<fnref n="57" />, l'objectif étant d'établir des corrélations entre protons et un noyau X via des couplages à plus d'une liaison (par exemple ²J<sub>CH</sub> ou ³J<sub>CH</sub>, notés nJ<sub>XH</sub>) tout en évitant celles dues aux couplages à une liaison (¹J<sub>XH</sub>, toujours beaucoup plus importants que les couplages à plusieurs liaisons). Ceci est réalisé par la première partie de la séquence (figure 5-38), i.e. jusqu'à la première impulsion appliquée à X, qui, grâce à sa phase alternée, $(\pi/2)_{\pm x}$ constitue une sorte de filtre vis-à-vis des aimantations relevant du couplage ¹J<sub>XH</sub>. En fait, en ce point, l'aimantation des protons peut être décomposée :

i) en partie, en une configuration antiphase pour les protons directement liés à X, celle-ci étant transformée en une cohérence à "deux quanta - zéro quantum" par la première impulsion agissant sur X et devant par conséquent disparaître du résultat final (son annulation est parachevée par le filtre décrit ci-dessus),

<footnote n="57">⁵⁷ A.Bax et M.F. Summers, *J. Am. Chem. Soc.*, **108**, 2093 (1986)</footnote>
ii) en partie, en une configuration en phase pour les protons non directement liés à X (du fait que $ ^nJ_{XH} \ll ^{1}J_{XH} $). Cette configuration en phase va ensuite évoluer durant un intervalle assez long, noté $ 1/(2^{^nJ_{XH}} $), ajusté selon une valeur moyenne des couplages à plus d'une liaison ce qui permet un développement partiel de chaque doublet vers une configuration antiphase. Ces configurations antiphase sont ensuite converties en cohérences du type $ -2I_x^H I_y^X $ qui évoluent alors durant $ t_1 $ comme dans l'expérience HMQC (avec la différence qu'elles ont ici pour origine des couplages à plus d'une liaison). Ces cohérences sont finalement converties en configurations protoniques antiphase par la dernière impulsion (π/2)X et détectées. Les impulsions de gradient (analogues à celles de l'expérience HMQC, figure 5-37) concourent à l'annulation des signaux intenses provenant des protons qui ne sont pas liés au noyau X.

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

**Figure 5-38** L'expérience HMBC avec élimination des réponses provenant : i) des protons liés à X par une liaison (premier intervalle de durée égale à 1/2 $ ^1J_{XH} $ et cyclage de phase de la première impulsion X : $ \varphi_1 $); ii) des protons des molécules ne comportant le noyau X (grâce aux impulsions de gradient et du cyclage de phase de la dernière impulsion X : $ \varphi_2 $, comme dans l'expérience HMQC). Le cyclage de phase global, compte tenu des prescriptions données ci-dessus, se décline comme suit : $ \varphi_1=x, x, -x, -x; \varphi_2=x, -x, x, -x; \varphi_3=+, -, +, -. $ Par ailleurs, et ceci est également valable pour l'expérience HMQC, on choisit généralement une combinaison d'amplitudes des impulsions de gradient qui soit en accord avec la sélection du chemin de cohérence (relation (2.26)) mais avec une dernière impulsion intense (de manière à rendre plus efficace l'élimination des résonances des protons non couplés à X). C'est ainsi que, si le noyau X est le carbone-13, les amplitudes des impulsions de gradient sont dans le rapport 5:3:4

Deux points méritent d'être mentionnés :

i) du fait de la longueur de l'intervalle $ 1/(2^{^nJ_{XH}} ) $ les multiplets provenant des couplages homonucléaires proton-proton auront tendance à se développer et abaisser ainsi la sensibilité de l'expérience,
ii) dans le même ordre d'idée, il apparaît également difficile de refocaliser le doublet antiphase (ce qui nécessiterait un intervalle supplémentaire de durée $1/(2^n|J_{XH}|)$ ; il est ainsi exclus de procéder à un découplage du noyau X durant la période de détection et de produire des spectres en absorption.

Les spectres HMBC sont donc présentés selon le mode d'amplitude. Un exemple est donné figure 5-39.

<figure><img src="image_193.png" /><figcaption>**Figure 5-39** Spectre HMBC d'une molécule de taille moyenne (un triterpène dont la formule est donnée dans l'encadré en bas à gauche). Les pics de corrélation, provenant des couplages à plus d'une liaison (dont on pourra apprécier le nombre ainsi que la richesse de l'information qu'ils apportent), apparaissent en gras et s'avèrent essentiels pour l'attribution des résonances des protons et des carbones-13 (en abondance naturelle). Les pics en "grisé" sont des reliquats des corrélations dues aux couplages à une liaison</figcaption></figure>

## 5.4 Les séquences de base de l'imagerie par résonance magnétique

Il s'agit d'un sujet extrêmement vaste, qui a connu des développements et des innovations importantes ces dernières années et qui est en évolution constante. Parmi ces avancées, on peut citer par exemple l'imagerie fonctionnelle qui permet de visualiser l'activité cérébrale. Nous traiterons ici cet aspect de la RMN dans le cadre des expériences multidimensionnelles. En effet, tout bien considéré, la production d'une image relève essentiellement de
l'approche qui préside à la production de diagrammes, à deux ou trois dimensions, tels que ceux décrits (à des fins purement spectroscopiques) dans les paragraphes précédents.

### 5.4.1 Détermination de la densité de spin selon une dimension spatiale

Le principe fondamental de l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM), qui a été suggéré dès le paragraphe 1.3.1, va maintenant être explicité et précisé, tant du point de vue instrumental que du point de vue mathématique, au moyen de la description de l'expérience (hypothétique) la plus simple qui soit ; celle-ci permet d'accéder à la distribution des spins nucléaires selon une direction donnée que nous désignerons par *X*. C'est précisément selon cette direction que nous faisons en sorte que l'induction statique $B_0$ varie linéairement autrement dit $B_0(X) = B_{00} + g_0 X$ (figure 5-40).

<figure><img src="image_194.png" /><figcaption>**Figure 5-40** Variation linéaire de l'induction $B_0$ selon la direction $X$.</figcaption></figure>

On supposera que $B_{00} = B_0(0)$ correspond à un point appartenant à l'objet sous investigation. Dans l'expression précédente, $g_0$ est appelé gradient de champ (considéré ici comme uniforme) ; il est réalisé au moyen de bobines de géométrie appropriée qui engendrent une induction additionnelle, superposée à une induction $B_{00}$, supposée parfaitement homogène, dans le volume occupé par l'échantillon. Pour bien comprendre de quelle façon un tel gradient conduit à une représentation de la densité de spins, il suffit de se reporter à la relation fondamentale de Larmor $v_0 = \frac{\gamma B_0}{2\pi}$, de laquelle nous avons volontairement écarté l'effet d'écran (que l'on peut considérer comme étant intégré à $\gamma$) en supposant que l'échantillon comporte une seule espèce chimique, dont le signal RMN est détectable, par exemple l'eau comme cela est généralement le cas dans les systèmes biologiques.

Supposons alors qu'on applique au système de spin une impulsion radio-fréquence qui bascule l'aimantation dans le plan de mesure *x*,*y* (($x,y$) désigne le repère tournant et *X*,*Y*,*Z* le repère fixe; autrement dit *X*,*Y*,*Z* représentent les trois directions spatiales). Immédiatement après cette impulsion, un gradient $g_0$, selon *X*, est mis en œuvre (figure 5-41a).
<figure><img src="image_195.png" /><figcaption>**Figure 5-41** Séquences pour obtenir le profil en densité de spin selon la direction spatiale X, au moyen d'un gradient de champ statique $g_X$ (agissant selon cette direction). (a) Observation directe du fid; (b) par écho de spin; (c) par écho de gradient</figcaption></figure>

La fréquence de résonance, donc la fréquence de précession dans le repère tournant, devient alors dépendante de la direction X. Si on désigne en outre par $\rho(X)$ la densité de spin selon cette direction (i.e. intégrée sur les deux autres directions de l'espace, Y et Z), le signal recueilli, s'il est détecté en quadrature, s'exprime selon

$$S(t) = \int_{\text{objet}} \rho(X) \exp[2i\pi v'(X)t] \exp(-t/T_2^*) dX \quad (5.6)$$

avec $v'(X) = \gamma g_0 X / (2\pi)$ si nous supposons qu'en l'absence de gradient, la fréquence de la porteuse, $v_{ref}$ (c'est-à-dire la fréquence zéro dans le repère tournant), a été positionnée à la fréquence de résonance des spins utilisés pour produire l'image (qui se traduira par le profil en densité de spin), i.e. $v_{ref} = \gamma B_{00} / (2\pi)$. On peut noter que $v'$ présente une dépendance linéaire vis-à-vis de X, autrement dit que la fréquence est codée selon la variable spatiale X. Formellement, on peut introduire l'espace réciproque, $k$, en définissant la variable $k_X$ par

$$k_x = (2\pi)^{-1} \gamma g_x t \quad (5.7)$$

où $g_X$ représente le gradient agissant selon la dimension spatiale X. Si on ignore le facteur d'amortissement (terme en $T_2^*$), l'équation (5.6) peut s'écrire

$$S(k_x) = \int \rho(X) \exp(2i\pi k_x X) dX \quad (5.8)$$

Cette dernière intégrale démontre la relation de Fourier qui existe entre le signal RMN $S(k_x)$ et la densité de spin $\rho(X)$; elle peut être rapprochée de la relation entre les diagrammes de diffraction X (radiocristallographie) et la structure spatiale de monocristaux. De fait, la densité de spin se déduit de la transformée de Fourier inverse de (5.8)

$$\rho(X) = \int S(k_x) \exp(-2i\pi k_x X) dk_x \quad (5.9)$$

On dispose ainsi d'une méthode directe permettant de passer du signal RMN (acquis en présence d'un gradient de champ) à la densité de spin, c'est-à-dire à l'image d'un objet en termes de la distribution des composantes mobiles à l'intérieur de cet objet (par exemple, l'eau existant au sein d'un tissu biologique). De manière à illustrer cette propriété et à la rendre moins abstraite, considérons l'objet de la figure 5-42, constitué de tranches discrètes et désignons par $\rho_l$ la densité de spin de la $l^{ème}$ tranche. Cette approche revient à convertir l'intégrale de Fourier en une sommation discrète. Le signal $S(t)$ peut se mettre sous la forme

$$S(t) = \sum_{l=1}^{N} \rho_l \exp(i\gamma g_X X_l t) \exp(-t/T_2^*) \quad (5.10)$$
(5.10) représente simplement un fid constitué de N signaux d'amplitude $ρ_l$ à la fréquence $γg_X X_l / 2π$. La transformée de Fourier de $S(t)$ conduit donc à un spectre (ou plutôt un profil) représentatif de la densité de spin pour chaque valeur de l'abscisse $X$ donc de la distribution de la substance considérée à l'intérieur de l'objet (figure 5-42).

<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>**Figure 5-42** A gauche : objet cylindrique comportant des tranches perpendiculaires à la direction X. A droite : la transformée de Fourier du fid obtenu en présence d'un gradient appliqué selon la direction X.</figcaption></figure>

Le pas d'échantillonnage (ou 'Dwell time', $D_w$) d'un tel fid doit satisfaire à la condition $D_w \le 1/2\nu_{max}$ (voir Annexe A3-3) avec ici $\nu_{max} = \gamma g_X X_{max} / 2\pi$. Cette dernière condition détermine ce que l'on appelle généralement le "champ de vision" (en anglais, 'field of view' ou $fov$). Comme, d'après la relation ci-dessus, la fenêtre spectrale est proportionnelle à $g_X$ et que la résolution spectrale (proportionnelle à l'inverse de $T_2^*$) est exprimée en unités de fréquence, il est évident que la résolution spatiale dépend directement de l'amplitude du gradient. La résolution digitale (i.e. le nombre de points dans la dimension spectrale ou spatiale) ne doit pas se situer en dessous de la résolution spatiale et, si nécessaire, on aura recours à la technique du 'zero filling' (voir à nouveau l'annexe A3-3).

En pratique, la structure des bobines qui entourent l'objet sous investigation n'autorise que des champs rf relativement faibles ne convenant pas aux fenêtres spectrales très larges qui prévalent en présence d'un gradient (ceux-ci étant de l'ordre de plusieurs gauss par centimètre, voire plusieurs dizaines de gauss par centimètre). Par conséquent, les gradients sont appliqués sous forme d'impulsions durant des intervalles ne comprenant pas d'impulsions de champ rf (sauf lors des procédures de sélection de tranche, voir plus bas). On peut également rappeler que, à la différence des bobines rf qui sont accordées et adaptées en impédance, les bobines de gradient de champ statique sont directement connectées au générateur de courant; il en résulte des temps de montée et de descente non négligeables qui peuvent être partiellement compensés par des mises en forme appropriées des impulsions. Au surplus, la commutation des gradients provoquent dans les matériaux métalliques de la sonde et de l'aimant des courants de Foucault qui perturbent la détection du signal RMN. L'effet de ces courants de Foucault (en anglais 'eddy currents'), bien que très atténués par la technologie des blindages actifs, ajouté aux temps de montée et descente des gradients, demeure assez pénalisant et on recourt à une procédure d'écho de spin pour retarder le moment où l'acquisition du signal est déclenchée (figure 5-41b). Généralement, on acquerra la quasi-totalité de l'écho (ce qui signifie que l'acquisition du signal débute bien avant le maximum de l'écho lors d'une séquence du type $(\pi/2 - \tau - \pi - \tau)$) de façon à pouvoir bénéficier du fait que le spectre d'amplitude résultant de la transformée de Fourier d'un écho complet ne nécessite aucune correction de phase (paragraphe 3.3.1). Comme alternative, on peut envisager la technique dite de l'écho de gradient, qui évite toute impulsion rf et ne fait appel qu'à deux impulsions de gradient de polarité opposée (figure 5-41c). Bien qu'une telle procédure ne permette pas de refocaliser l'effet des inhomogénéités intrinsèques du champ $B_0$ (du fait de l'absence d'une impulsion rf), elle fonctionne essentiellement à la manière d'une séquence d'écho classique. Un gradient $g_X = -g_0$ est appliqué pendant un temps $\tau$ provoquant une précession d'angle $-\gamma g_0 X \tau$ (pour des spins localisés à l'abscisse $X$). A la fin de cet intervalle $\tau$, le gradient est commuté de $-g_0$ à $kg_0$; le sens de la précession est ainsi inversé et, après un temps $\tau' = \tau/k$, chaque aimantation élémentaire est de retour à sa position initiale, ce qui se traduit par la formation d'un écho (dont le maximum se situe à $\tau'$). Comme précédemment, on s'efforcera de traiter la totalité de l'écho par transformée de Fourier. $k$ doit donc être petit pour permettre l'acquisition effective d'un écho mais sans exagération de manière à éviter les effets d'éventuelles instabilités instrumentales.
### 5.4.2 Imagerie bi-dimensionnelle

Les méthodes du paragraphe précédent conduisent à la projection de la densité de spin sur une direction spatiale, celle du gradient. Ce paragraphe est consacré aux méthodes d'imagerie bi-dimensionnelle (permettant d'obtenir la densité de spin dans un plan, *XY* par exemple) et pour des raisons de simplicité nous ignorerons ici la dimension *Z* en supposant que l'objet est approximativement homogène dans cette direction (tout du moins dans le volume perçu par la bobine de détection; figure 5-43).

<figure><img src="image_197.png" /><figcaption>**Figure 5-43** Objet homogène selon la direction *Z* mais ne présentant pas la même distribution selon *X* et *Y*. La bobine de détection entourant l'échantillon définit en fait la partie de l'objet effectivement perçue</figcaption></figure>

Une première approche consiste à "faire tourner" le gradient de manière à explorer le plan *XY*. C'est en fait cette méthode, inspirée du scanner X, qui a été utilisée par P.C. Lauterbur<fnref n="58" /> pour obtenir la première image RMN. Dans la pratique, on utilise deux gradients agissant dans les directions *X* et *Y*, leurs amplitudes étant ajustées de telle sorte que, pour chaque nouvelle mesure, la combinaison des deux gradients se traduisent par un gradient agissant selon la direction souhaitée (figure 5-44). Une transformée de Fourier appliqué au fid obtenu pour chacune de ces mesures conduit au profil (ou plutôt à la projection) relatif à la direction correspondante et on parlera de *codage polaire*. Un algorithme spécifique (dit de "projection-reconstruction") permet alors de reconstituer l'image bi-dimensionnelle à partir de l'ensemble des projections.

<figure><img src="image_198.png" /><figcaption>**Figure 5-44** Vue schématique des directions polaires successives obtenues en faisant varier les amplitudes $g_X$ et $g_Y$ des deux gradients agissant dans les directions *X* et *Y*, respectivement. La direction en gras correspond à la combinaison des gradients de la partie gauche de la figure.</figcaption></figure>

<footnote n="58">⁵⁸ *Nature*, **242**, 190 (1973)</footnote>
L'autre approche relève d'un codage cartésien; elle est due à R.R. Ernst et coll.<fnref n="59" /> et peut être vue comme une extension des méthodes spectroscopiques à deux dimensions (figure 5-45). Elle consiste à appliquer deux gradients d'amplitude identique, l'un $g_Y$ durant l'intervalle $t_1$ (incrémenté d'une expérience à l'autre, selon les conditions habituelles de la RMN à deux dimensions), l'autre $g_X$ durant l'intervalle $t_2$ correspondant à l'acquisition physique du signal. Une double transformée de Fourier, par rapport à $t_1$ et à $t_2$, conduit à un diagramme à deux dimensions dont les "pics croisés" reflètent la densité de spin aux coordonnées (Y, X), c'est-à-dire à l'image de la densité de spin dans le plan (X,Y).

<figure><img src="image_199.png" /><figcaption>**Figure 5-45** Principe de l'imagerie par codage cartésien, encore appelée 2D FT</figcaption></figure>

Une variante de la méthode précédente, appelée 'spin warp'<fnref n="60" />, est utilisée de façon quasi universelle; elle revient à maintenir l'intervalle $t_1$ constant (noté ici $\tau$) et à incrémenter l'amplitude du gradient $g_y$ d'une expérience à l'autre (figure 5.46). Cette procédure présente deux avantages:

i) le gradient $g_y$ pouvant être positif ou négatif, les valeurs positives ou négatives de la variable spatiale Y pourront être examinées sans ambiguïté de signe,

ii) le gradient $g_y$ étant toujours appliqué pendant le même laps de temps, l'effet de $T_2^*$ est constant d'une expérience à l'autre, évitant tout élargissement additionnel des raies de résonance et permettant ainsi une résolution spatiale optimale.

<figure><img src="image_200.png" /><figcaption>**Figure 5-46** Principe de la méthode 'spin warp'. Au lieu de faire varier le temps d'application du gradient $g_y$, celui-ci est maintenu constant, l'amplitude du gradient étant incrémentée entre ses deux valeurs extrêmes $-g_{max}$ et $g_{max}$ (ce qui est schématisé par la série de barres horizontales)</figcaption></figure>

<footnote n="59">⁵⁹ A. Kumar et al., J. Magn. Reson., **18**, 69 (1975)</footnote>

<footnote n="60">⁶⁰ W.A. Eldenstein et al., Med. Biol., **25**, 748 (1980)</footnote>
On parlera, à propos du gradient $g_y$, de codage de phase puisque l'aimantation transversale subi une rotation (un déphasage) d'un angle égal à $\gamma g_y Y \tau$. La méthode spin warp peut, bien entendu, être combinée avec le mode de détection par écho de spin ou écho de gradient (figure 5-47).

<figure><img src="image_201.png" /><figcaption>**Figure 5-47** Combinaison d'un gradient de phase (codage selon la direction spatiale *Y*), avec, pour la direction spatiale *X*, une séquence d'écho de spin (a) ou une séquence d'écho de gradient (b). Une double transformée de Fourier de l'écho conduit à une image en densité de spin.</figcaption></figure>

### 5.4.3 La troisième dimension spatiale. Séquences complètes d'imagerie

De façon à prendre en compte la troisième dimension (Z selon les notations utilisées ici), il est toujours possible de mettre en œuvre un deuxième gradient de phase ($g_Z$ en l'occurrence), incrémenté comme l'est $g_y$ dans
l'expérience de la figure 5-46, et d'appliquer aux données une triple transformée de Fourier. Bien que de telles procédures soient utilisées, elles représentent un temps de mesure qui peut devenir inacceptable dans le cadre d'applications biomédicales. On préfère limiter l'examen de la direction Z en sélectionnant une tranche ('slice selection') au moyen d'une procédure mettant en jeu un gradient dans la direction Z et une impulsion sélective en fréquence. Cette procédure est suivie de l'une des séquences de figure 5-47 qui fournit alors l'image bi-dimensionnelle d'une coupe, et être répétée pour un nombre limité de tranches, éventuellement en entrelaçant les expériences de manière à effectuer la mesure pour une tranche pendant que l'aimantation d'une autre tranche retourne vers sa valeur d'équilibre. De tels protocoles expérimentaux amènent le temps de mesure à quelques minutes, voire à quelques secondes. L'impulsion sélective (voir paragraphe 5.1.1) est généralement du type "sinus cardinal". Ce choix provient du fait que la transformée de Fourier d'un sinus cardinal est un créneau, résultat que l'on souhaite atteindre. Il faut cependant se souvenir que le phénomène de résonance magnétique n'est pas linéaire et que cette correspondance ne s'applique pas *stricto sensu*, d'où la recherche de formes d'impulsion plus élaborées conduisant à une tranche dont les flancs soient aussi raides que possible. Pour des raisons de simplicité, nous nous limiterons ici au sinus cardinal, c'est-à-dire à une impulsion radio-fréquence de faible amplitude dont l'enveloppe est définie par la fonction sin $x/x$, limitée généralement au deuxième lobe (figure 5-48). Comme le gradient $g_z$ est actif au moment de l'application de l'impulsion rf, la cote Z de la tranche sélectionnée est telle que $\gamma g_z Z / 2\pi$ soit égal à la différence entre la fréquence rf choisie et la fréquence de résonance en l'absence de gradient. On applique cette impulsion sélective pour que l'aimantation correspondant à la tranche sélectionnée soit basculée de 90°. Compte tenu de la durée non négligeable de l'impulsion, l'aimantation, qui est devenue transversale, a tendance à se défocaliser (puisque le gradient est actif durant l'application de l'impulsion rf). Pour des raisons de sensibilité, on commute la polarité du gradient immédiatement après l'impulsion rf de manière à refocaliser l'aimantation sélectionnée (procédure d'écho de gradient, la durée de la deuxième partie de la séquence devant être ajustée en fonction de la manière dont agit l'impulsion rf). Cette séquence, ainsi que le résultat d'une simulation permettant d'apprécier les caractéristiques de la tanche sélectionnée, sont représentées sur la figure 5-48.

<figure><img src="image_202.png" /></figure>
**Figure 5-48** La procédure de sélection de tranche (perpendiculaire à la direction Z) qui implique une impulsion rf sélective en présence d'un gradient positif dans la direction Z. La polarité du gradient est ensuite commutée de façon à refocaliser l'aimantation transversale selon une procédure de type "écho de gradient". En bas, une simulation montrant les caractéristiques de la tranche sélectionnée en utilisant une impulsion sélective à $\pi/2$ de forme sinus cardinal limitée au deuxième lobe (durée totale: 3ms) pour un gradient $g_Z$ égal à 5 G/cm

La séquence complète pour produire une image bidimensionnelle de la tranche sélectionnée peut être réalisée en combinant les séquences de la figure 5-48 et de la figure 5-47a, comme schématisé sur la figure 5-49.

<figure><img src="image_203.png" /></figure>

**Figure 5-49** L'expérience standard d'imagerie "2D FT". TE: temps d'écho; les deux impulsions radio-fréquence (rf) sont sélectives (et, par exemple, de forme sinus cardinal). La totalité de l'écho est acquise; incrémenter $g_Y$ ('spin warp') est équivalent à incrémenter $t_1$ dans une expérience classique à deux dimensions. Une double transformée de Fourier, par rapport à $t_1$ et $t_2$, fournit une image montrant les variations de densité de spin dans le plan XY.

La méthode décrite ci-dessus requiert un temps de mesure relativement long (de l'ordre de plusieurs minutes) puisqu'il est en principe nécessaire d'attendre le retour à l'équilibre (de l'aimantation nucléaire) entre deux expériences consécutives. Ce problème peut être surmonté grâce à la séquence FLASH ('Fast Low Angle SHot')<fnref n="61" />. Cette séquence peut être considérée comme une variante de celle décrite figure 5-49, faisant appel à un écho de gradient avec une

<footnote n="61">⁶¹ A. Haase et al., J. Magn. Reson., **67**, 258 (1986)</footnote>
seule impulsion rf correspondant à un petit angle de basculement. Ainsi la répétition de l'expérience peut être beaucoup plus rapide et la production d'une image ne nécessite plus que quelques dizaines de secondes (figure 5-50).

<figure><img src="image_204.png" /><figcaption>**Figure 5-50** La séquence FLASH avec un écho de gradient et une impulsion sélective de petit angle</figcaption></figure>

A titre d'exemple, on peut mentionner une combinaison de la séquence FLASH et d'un agent de contraste paramagnétique (paragraphe 4.2.7) qui permet l'examen des vaisseaux sanguins en IRM (technique d'angiographie par résonance magnétique; Figure 5-51).
<figure><img src="image_205.png" /></figure>

**Figure 5-51** Angiographie par Résonance Magnétique d'un anévrysme de l'aorte thoracique avec une séquence 3D écho de gradient rapide (séquence FLASH) et les paramètres d'acquisition suivants : TR/TE= 4.6/1.8 ms (TR : temps de répétition entre deux expériences consécutives); $\alpha$ = 30° ; voxel (volume élémentaire) = 0.76x0.76x1 mm³ ; temps d'acquisition : 22 sec). Une première série est acquise avant l'injection de produit de contraste et une seconde au moment du passage du produit de contraste (injection intraveineuse rapide d'un chélate de gadolinium). Après soustraction des deux séries, l'aorte est visualisée à l'écran sous différentes projections (représentation en 3 dimensions; ici une vue de face)

Une autre méthode permettant d'obtenir des images dans un laps de temps très court est due à Mansfield<fnref n="62" />. Connue sous l'appellation d'Echo Planar Imaging' (EPI), elle jouit d'un intérêt certain, étant couramment utilisée en imagerie clinique avec comme avantage un temps de mesure de l'ordre de la seconde. Les caractéristiques essentielles de cette expérience relèvent d'un balayage rapide de l'espace réciproque ($k_x$ et $k_y$) par le biais d'une série d'impulsions de gradient $g_y$ (gradient de phase), avec simultanément des échos récurrents de gradient $g_x$ (gradient de lecture), le signal RMN étant acquis, point par point et en une fois ('single shot'), à chaque maximum d'écho. Après l'Echo Planar, d'autres méthodes d'acquisition "single-shot" ont été imaginées. Une impulsion à 90° suivie d'un train d'impulsions à 180° permet d'acquérir l'ensemble de l'espace réciproque : ce sont les séquences 'Turbo Spin Echo' ou 'RARE'<fnref n="63" /> et leurs variantes.

D'autres exemples de la richesse des informations recueillies en imagerie et ayant un grand potentiel pour l'application médicale proviennent d'imagerie non protonique comme l'imagerie des gaz rares hyperpolarisés Hélium-3 et Xénon-129 (qui permettent un gain de sensibilité de cinq ordres de grandeur supérieur à l'imagerie protonique) et l'imagerie du Sodium-23 (elle permet d'évaluer les échanges dynamiques de sodium entre le milieu intra-cellulaire et le milieu extra-cellulaire et d'évaluer ainsi le fonctionnement de la membrane de la cellule et son métabolisme). L'imagerie de ces noyaux nécessitent des stratégies d'acquisition bien spécifiques (en relation avec les $T_2$ très courts et, pour les gaz rares, avec la perte de polarisation; figure 5-52).

<footnote n="62">⁶² P. Mansfield et I.L. Pykett, *J. Magn. Reson.*, **29**, 335 (1978)</footnote>

<footnote n="63">⁶³ J. Hennig et al., *Magn. Reson. Med.*, **3**, 823 (1986)</footnote>
<figure><img src="image_206.png" /></figure>

**Figure 5-52** : Imagerie dynamique (Hélium-3) de la ventilation pulmonaire chez le rat. Une image est acquise toutes les 15 ms. Ces acquisitions permettent de suivre l'arrivée du gaz dans la trachée et les bronches (1 et 2), puis dans les poumons et la dynamique du remplissage alvéolaire (3 à 6). (7) : reconstruction en 3 dimensions des poumons<fnref n="64" />.

Il est bien évident que les images RMN peuvent bénéficier de contrastes spécifiques basés sur des paramètres purement spectroscopiques ($T_1$, $T_2$, déplacements chimiques, coefficients d'auto-diffusion, vitesses d'écoulement). Par exemple, dans le cas de la méthode standard (figure 5-49), on peut obtenir un contraste en $T_2$ en jouant sur le temps d'écho TE, alors que l'ajustement du temps de répétition conduit à un contraste en $T_1$. Un examen clinique couramment pratiqué consiste à mesurer le spectre protonique (MRS, 'Magnetic Resonance Spectroscopy') d'un "voxel" (volume élémentaire d'une image) en combinant trois sélections de tranche (dans les trois dimensions) de manière à sélectionner un voxel particulier. L'exemple de la figure 5-53 démontre la finesse des informations que l'on peut extraire au moyen de tels protocoles expérimentaux.

<footnote n="64">⁶⁴ d'après Y. Cremillieux et al., Magn. Reson. Med., **41**, 645 (1999)</footnote>
<figure><img src="image_207.png" /><figcaption>**Figure 5-53** IRM coronal (l'astérisque indique la présence d'un abcès) et spectres protoniques (in vivo) de la région où se situe l'abcès. Par rapport à un spectre normal, il manque les pics du N-acétylaspartate, de la choline et de la créatine. Les résonances suivantes ont pu être identifiées : succinate (SUC), acétate (AC), alanine (Ala), lactate (Lac), acides aminés (AA)<fnref n="65" />.</figcaption></figure>

### 5.4.4 Imagerie par gradients de champ radiofréquence (gradients $B_1$)

Des gradients $B_1$ peuvent permettre à eux seuls de réaliser des images RMN. La méthode repose sur une sorte de transposition des procédures utilisant des gradients $B_0$. Si on prend en compte les avantages et inconvénients de ce type de gradients, on aboutit à la conclusion qu'ils s'avèrent actuellement surtout utiles dans le domaine de la microscopie avec de nombreuses applications en science des matériaux, leur intérêt principal résidant dans leur immunité aux variations de susceptibilité magnétique au sein de l'échantillon. De manière à apprécier cet avantage des gradients $B_1$, revenons un instant sur les gradients $B_0$ appliqués à un échantillon hétérogène comportant deux composantes de susceptibilités magnétiques différentes. A l'interface entre ces deux composantes, apparaît un gradient de champ statique (dû à cette différence de susceptibilité magnétique) qui est proportionnel au champ $B_0$ appliqué. Ce gradient indésirable va évidemment se superposer aux gradients mis en œuvre dans le but de réaliser des expériences d'imagerie et/ou de mesurer des grandeurs associées aux phénomènes de transport (auto-diffusion ou flux) et fausser ainsi ce type de mesure. Comme le champ radio-fréquence est inférieur au champ statique par plusieurs ordres de grandeur, le gradient de champ radio-fréquence provenant de la différence de susceptibilité magnétique est très petit; il ne risque donc pas d'interférer avec les gradients $B_1$ mis en œuvre dans le cadre des mesures de RMN.

Le schéma de base d'une expérience d'imagerie bi-dimensionnelle par gradients $B_1$<fnref n="66" /> implique nécessairement une procédure de sélection de tranche, réalisée dans ce cas à l'aide de l'inhomogénéité naturelle (selon la direction Z) de la bobine (généralement du type "selle de cheval") utilisée pour les opérations conventionnelles de spectroscopie (émission-réception). Le gradient $B_1$ destiné à examiner le plan XY (gradient de lecture) est produit par une spire orthogonale à la bobine en selle de cheval (figure 4-7). Comme l'orthogonalité de ces deux bobines ne peut être parfaite et pour éviter les effets de couplage résiduel, le signal RMN (représentant la projection de la densité de spin par rapport à la direction du gradient) est acquis, durant l'application d'un train d'impulsions de gradient $B_1$, dans les fenêtres séparant deux impulsions consécutives. On répétera l'expérience (incluant la sélection de tranche) pour différentes orientations du gradient par rapport à l'objet sous investigation. Dans la pratique, on fera subir à l'échantillon une rotation pas-à-pas, chaque pas correspondant à une nouvelle orientation. Pour une orientation donnée, définie par l'angle $\varphi$ qui spécifie la position de l'objet par rapport à ce qu'il était initialement, le signal RMN est donné par la nutation produite par le gradient de lecture et peut être exprimé par

$$S(k, \varphi) = \iint \rho(X, Y) \cos[2\pi k(X \cos\varphi + Y \sin\varphi + D)]dXdY$$

où X et Y représentent les coordonnées de l'aimantation élémentaire considérée, D la distance entre l'axe de rotation et le point (virtuel) où $B_1$ est nul, et k la variable habituelle de l'espace réciproque $k = (2\pi)^{-1} \gamma_{g_1} t$, $g_1$ étant l'amplitude

<footnote n="65">⁶⁵ d'après S. Grand et al., *Neurobiology*, **213**, 785 (1999)</footnote>

<footnote n="66">⁶⁶ P. Maffei et al., *J. Magn. Reson.*, **A107**, 40 (1994)</footnote>
du gradient et t sa durée d'application. L'ensemble des données (projections) peut être traité à l'aide de méthodes de projection-reconstruction.

Références bibliographiques

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Annexe 5-1 : Bases théoriques de l'expérience TOCSY

Lorsque les aimantations sont verrouillées selon un axe du repère mobile, l'effet Zeeman disparaît et l'Hamiltonien (exprimé ci-dessous en Hz) se limite aux termes de couplage qui interviennent ici dans leur totalité (et non pas au premier ordre comme cela peut se faire lorsque les termes Zeeman sont présents)

$$ \hat{H} = J_{AX} \vec{I}_A \vec{I}_X = J_{AX} (I_X^A I_X^X + I_Y^A I_Y^X + I_Z^A I_Z^X) \qquad (A5-1.1) $$

On fera abstraction des phénomènes de relaxation de sorte que l'équation d'évolution de toute grandeur G s'écrit (voir l'annexe A2-1)

$$ \frac{d}{dt} = 2i\pi\text{Tr}([\hat{H}, \hat{G}]\hat{\sigma}) \qquad (A5-1.2) $$

La résolution de (A5-1.2) repose sur le calcul du commutateur du second membre pour les quantités auxquelles on s'intéresse. En notant $x$ l'axe du repère tournant selon lequel agit le champ de verrouillage, on peut aisément montrer que $\langle I_x^A \rangle$, $\langle I_x^X \rangle$, $\langle 2I_y^A I_z^X \rangle$ et $\langle 2I_z^A I_y^X \rangle$ (doublets en phase selon $x$ et doublets antiphase selon $y$) sont les seules quantités qui ne sont pas détruites (défocalisées) du fait de l'inhomogénéité du champ radio-fréquence. Pour des raisons de commodité, on peut définir la somme et la différence de ces deux types de doublets:
$$
\begin{align*}
S_{en} &= \langle I_x^A + I_x^X \rangle \\
D_{en} &= \langle I_x^A - I_x^X \rangle \\
S_{anti} &= \langle 2I_y^A I_z^X + 2I_z^A I_y^X \rangle \\
D_{anti} &= \langle 2I_y^A I_z^X - 2I_z^A I_y^X \rangle \tag{A5-1.3}
\end{align*}
$$

Après avoir évalué les commutateurs de (A5-1.2), on aboutit aux quatre équations différentielles ci-dessous

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt} S_{en} &= 0 \\
\frac{d}{dt} D_{en} &= -2\pi J_{AX} D_{anti} \\
\frac{d}{dt} S_{anti} &= 0 \\
\frac{d}{dt} D_{anti} &= 2\pi J_{AX} D_{en}
\end{align*}
$$

Ces équations indiquent que les sommes des doublets en phase et antiphase sont constantes, alors que la quantité qui importe (la différence des deux doublets en phase) obéit à l'équation différentielle ci-dessous

$$
\frac{d^2}{dt^2} D_{en} = -(2\pi J_{AX})^2 D_{en}
$$

En supposant qu'aucune cohérence antiphase n'existe au début de la période de verrouillage, il vient

$$
D_{en}(t) = D_{en}(0) \cos(2\pi J_{AX} t) \quad (A5-1.4)
$$

On en déduit l'évolution des composantes des aimantations *A* et *X* le long de la direction de spin-lock

$$
\begin{align}
\langle I_x^A(t) \rangle &= (1/2) \langle I_x^A(0) \rangle [1 + \cos(2\pi J_{AX} t)] + (1/2) \langle I_x^X(0) \rangle [1 - \cos(2\pi J_{AX} t)] \nonumber \\
\langle I_x^X(t) \rangle &= (1/2) \langle I_x^A(0) \rangle [1 - \cos(2\pi J_{AX} t)] + (1/2) \langle I_x^X(0) \rangle [1 + \cos(2\pi J_{AX} t)] \tag{A5-1.5}
\end{align}
$$

En utilisant comme conditions initiales $\langle I_x^A(0) \rangle = I_{eq}$ et $\langle I_x^X(0) \rangle = 0$, on obtient pour $t = 1/2 J_{AX}$

$$
\langle I_x^A(0) \rangle = 0 \text{ et } \langle I_x^X(0) \rangle = I_{eq}
$$

La polarisation du spin *A* a été totalement transférée au spin *X*. D'autres conditions initiales, conformes à l'expérience unidimensionnelle décrite dans le corps du texte, i.e. $\langle I_x^A(0) \rangle = I_{eq}$ et $\langle I_x^X(0) \rangle = -I_{eq}$, conduisent, pour $t = 1/2 J_{AX}$, à un renversement complet de la situation initiale, i.e. $\langle I_x^A(0) \rangle = -I_{eq}$ et $\langle I_x^X(0) \rangle = I_{eq}$. Une autre situation concerne des champs de spin-lock agissant simultanément sur deux spins hétéronucléaires. Dans ce cas, l'Hamiltonien de couplage se réduit à $J_{AX} I_z^A I_z^X$ et le temps caractéristique pour un transfert maximum devient $1/J_{AX}$ au lieu de $1/2J_{AX}$<fnref n="67" />.

**Annexe 5-2 : Le cycle d'impulsions MLEV-17 (période de mélange de l'expérience TOCSY)**

L'étape, dite de mélange (qui suit la période d'évolution ($t_1$)), s'avère décisive en vue du succès d'une expérience TOCSY (qui procède par transferts relayés). Une procédure efficace, très largement utilisée et dénommée MLEV-17, fait appel à une succession ininterrompue d'impulsions à $\pi/2$ et à $\pi$, à la façon des impulsions composites (voir figure 4-3) également employées pour améliorer les performances du découplage hétéronucléaire. Compte tenu de la durée des temps de mélange (de l'ordre de la centaine de ms, ou plus), ces impulsions rf doivent être de basse puissance de manière à ne pas endommager la sonde. MLEV-17 est constituée de 16 impulsions composites à 180°

<footnote n="67">⁶⁷ R. Konrat et al., J. Am. Chem. Soc., **113**, 9135 (1991)</footnote>
(MLEV-16) auxquelles s'ajoutent une impulsion à 60° (de phase identique à celle de l'impulsion initiale de la séquence TOCSY) destinée à atténuer les diverses imperfections. Le cycle MLEV-17 est répété autant de fois que nécessaire de façon à atteindre la durée souhaitée pour le temps de mélange. L'ensemble des cycles MLEV-17 est encadré de deux 'trim pulses' (impulsions d'équilibrage), à nouveau de phase identique à celle de l'impulsion initiale, dont la durée doit être ajustée par l'utilisateur de manière à maximiser l'intensité des pics de corrélation. Les phases des 16 pas de MLEV-16 sont données dans le tableau A5-2.1.

<table><caption>**Tableau A5-2.1** Phases des 16 impulsions composites (chacune d'elles étant de la forme $(\pi/2)_{\phi_1}(\pi)_{\phi_2}(\pi/2)_{\phi_1}$) constituant le cycle MLEV-16. On suppose que la phase de l'impulsion initiale de la séquence TOCSY est $x$.</caption><thead><tr><th>n</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th><th>11</th><th>12</th><th>13</th><th>14</th><th>15</th><th>16</th></tr></thead><tbody><tr><td>φ<sub>1</sub></td><td>-y</td><td>y</td><td>y</td><td>-y</td><td>y</td><td>y</td><td>-y</td><td>-y</td><td>y</td><td>-y</td><td>-y</td><td>y</td><td>-y</td><td>-y</td><td>y</td><td>y</td></tr><tr><td>φ<sub>2</sub></td><td>x</td><td>-x</td><td>-x</td><td>x</td><td>-x</td><td>-x</td><td>x</td><td>x</td><td>-x</td><td>x</td><td>x</td><td>-x</td><td>x</td><td>x</td><td>-x</td><td>-x</td></tr></tbody></table>

## Annexe 5-3 : Mise en œuvre de l'expérience HSQC en vue de la mesure de $T_1$ de l'hétéronoyau

La séquence présentée ci-dessous (figure A5-3.1) est représentative des possibilités de la RMN multiimpulsionelle appliquées à la détermination fiable d'un paramètre moléculaire ($T_1$ de l'azote-15 ou du carbone-13) dans des biomolécules de grande taille en faible concentration. Deux critères doivent être satisfaits : i) détection inverse par l'intermédiaire du proton de façon à opérer avec une sensibilité optimale; ii) élimination des résonances indésirables à l'aide d'impulsions de gradient de champ (il s'agira ici d'un gradient de champ statique $g_0$).

Nous nous contenterons d'analyser les caractéristiques essentielles de cette séquence, sachant que certains raffinements peuvent être apportés à cette expérience dans le but d'en améliorer les performances (cyclage de phase, suppression des effets de relaxation et corrélations croisées, ...).

<figure><img src="image_208.png" /></figure>
**Figure A5-3.1** Une séquence bi-dimensionnelle permettant de déterminer le temps de relaxation longitudinale $T_1$ du noyau $X$ au moyen de deux procédures HSQC ($^1H \to X$, marquage selon le déplacement chimique de $X$, puis $X \to ^1H$) avec élimination de toutes les résonances indésirables (notamment celle du solvant, généralement l'eau, supposée à la résonance et à laquelle s'applique l'impulsion sélective). J' figure la constante de couplage entre $X$ et le proton qui lui est directement lié. Les barres verticales étroites et larges correspondent respectivement à des impulsions rf à 90° et 180°; la phase est indiquée au-dessus de chaque impulsion. $\tau$ représente le temps d'évolution nécessaire à la mesure de $T_1$. $t_1$ et $t_2$ sont les variables temporelles habituelles d'une expérience à deux dimensions. Les impulsions de gradient schématisées avec deux "grisés" différents correspondent à la procédure écho-antiécho ("quadrature" en $t_1$). L'amplitude $G_4$ doit être égale à $2G_3(\gamma_X / \gamma_H)$

Les étapes essentielles de l'expérience (figure A5-3.1) sont indiquées ci-dessous avec quelques commentaires d'ordre pratique.

* étape 1 : création d'un doublet antiphase protonique puis d'un ordre longitudinal $H,X$.

* étape 2 : première suppression du pic des protons non liés à $X$ par défocalisation au moyen du gradient $G_1$ et basculement de l'aimantation du solvant vers l'axe $z$ (de façon à éviter tout phénomène de relaxation croisée).

* étape 3 : transfert de polarisation du proton vers $X$ et conversion du doublet antiphase $X$ en aimantation longitudinale selon $-z$.

* étape 4 : évolution de l'aimantation longitudinale $X$ selon $T_1(X)$ et défocalisation de l'aimantation du solvant au moyen du gradient $G_2$.

* étape 5 : évolution d'un doublet antiphase $X$ selon le déplacement chimique de $X$ pendant le temps $t_1$. L'impulsion protonique à $\pi$ (centrée sur l'intervalle $t_1$) joue le rôle de découplage vis-à-vis de $J_{XH}$ mais intervient également comme dans une séquence INEPT pour permettre la formation d'un doublet $X$ antiphase au début de l'étape 6. Les deux impulsions de gradient $G_3$ (encadrant une impulsion à $\pi$ appliquée au noyau $X$) permettent le marquage de l'aimantation transversale de $X$; appliquées d'une expérience à l'autre avec des polarités opposées (écho-antiécho), elles se substituent au cyclage de phase du mode States-TPPI (voir paragraphes 2.2.2 et 3.3.3).

* étape 6 : reconversion des deux doublets antiphase $X$ (quadrature selon $t_1$; voir étape 5 ci-dessus et Annexe A5-5) en aimantation transversale protonique.

* étape 7 : refocalisation des cohérences "marquées" par les gradients $G_3$ et défocalisation finale des cohérences indésirables au moyen du gradient $G_4$ ($G_4 = 2G_3(\gamma_X / \gamma_H)$). La refocalisation s'accompagne d'une perte de sensibilité par un facteur 2 (voir paragraphe 2.2.2) alors que l'acquisition des deux cohérences antiphase représente un gain par un facteur $\sqrt{2}$. Cette impulsion de gradient, du fait de sa durée non négligeable, est insérée dans la deuxième moitié d'une séquence d'écho de manière à annihiler les effets d'inhomogénéité du champ statique $B_0$.

Le devenir de l'aimantation des différents protons d'intérêt (protons lié et non lié à $X$; proton du solvant) est détaillé dans le tableau A5-3.1. On notera que, s'il doit exister une relation entre $G_4$ et $G_3$, les amplitudes $G_1$ et $G_2$ doivent être choisies de manière à éviter toute refocalisation indésirable (voir paragraphe 2.2.2).

**Tableau A5-3.1** Devenir des états de spin des différents types de protons impliqués dans la présente expérience. Les "marquages" sont indiqués entre parenthèses : impulsions de gradient ($G_1^H$ indique le déphasage subi par les protons du fait de l'impulsion de gradient $G_1$), temps de relaxation longitudinale de $X$ ($T_1$), et temps d'évolution $t_1$ (cos $t_1$ et sin$t_1$ pour les deux types de doublet antiphase $X$)
<table><thead><tr><th>étape</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td><b>H-X</b></td><td>2I<sup>H</sup><sub>x</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub></td><td>2I<sup>H</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub></td><td>-I<sup>X</sup><sub>z</sub></td><td>-I<sup>X</sup><sub>z</sub>(T<sub>1</sub>)</td><td>2I<sup>H</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>y</sub>(T<sub>1</sub>, cos t<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>)<br>2I<sup>H</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>x</sub>(T<sub>1</sub>, sin t<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>)</td></tr><tr><td><b>H isolé</b></td><td>-I<sub>y</sub></td><td>-I<sub>y</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>)</td><td>I<sub>z</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>)</td><td>I<sub>z</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>)</td><td>I<sub>y</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>)</td></tr><tr><td><b>H solvant</b></td><td>-I<sub>y</sub></td><td>I<sub>z</sub></td><td>I<sub>y</sub></td><td>I<sub>y</sub>(G<sup>H</sup><sub>2</sub>)</td><td>-I<sub>z</sub>(G<sup>H</sup><sub>2</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>)</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>étape</th><th>6</th><th>7</th></tr></thead><tbody><tr><td><b>H-X</b></td><td>2I<sup>H</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>y</sub> &rarr; -2I<sup>H</sup><sub>y</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub> &rarr; I<sup>H</sup><sub>x</sub> &rarr; I<sup>H</sup><sub>z</sub> &rarr; I<sup>H</sup><sub>y</sub>(T<sub>1</sub>, cost<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>)<br>2I<sup>H</sup><sub>z</sub>I<sup>X</sup><sub>x</sub> &rarr; 2I<sup>H</sup><sub>y</sub>I<sup>X</sup><sub>x</sub> &rarr; 2I<sup>H</sup><sub>y</sub>I<sup>X</sup><sub>z</sub> &rarr; -I<sup>H</sup><sub>x</sub> &rarr; -I<sup>H</sup><sub>z</sub> &rarr; -I<sup>H</sup><sub>y</sub>(T<sub>1</sub>, sin t<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>)</td><td>I<sup>H</sup><sub>y</sub>(T<sub>1</sub>, cost<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>, G<sup>H</sup><sub>4</sub>)<br>-I<sup>H</sup><sub>y</sub>(T<sub>1</sub>, sin t<sub>1</sub>, &plusmn;2G<sup>X</sup><sub>3</sub>, G<sup>H</sup><sub>4</sub>)</td></tr><tr><td><b>H isolé</b></td><td>I<sub>y</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>)</td><td>-I<sub>z</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>)</td></tr><tr><td><b>H solvant</b></td><td>I<sub>x</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>)</td><td>I<sub>x</sub>(G<sup>H</sup><sub>1</sub>, &plusmn;G<sup>H</sup><sub>3</sub>, G<sup>H</sup><sub>4</sub>)</td></tr></tbody></table>

Annexe 5-4 : Evolution des cohérences d'un groupement CH₂ et d'un groupement CH₃ lors d'une séquence DEPT

En ce qui concerne le groupement CH₂, nous désignerons par A et A' les deux protons. La configuration antiphase du doublet protonique, à la fin du premier intervalle, peut être représentée $2\gamma_A(I_x^A + I_x^{A'})I_z^X$ ; elle est transformée en $2\gamma_A(I_x^A I_y^X + I_x^{A'} I_y^X)$ par l'impulsion à $\pi/2$ agissant sur X.

Du fait des deux impulsions à $\pi$, l'Hamiltonien qui gouverne l'évolution du système se réduit au seul terme relatif au couplage entre A et X :

$$H_J = J(I_z^A + I_z^{A'})I_z^X$$

de sorte que l'évolution de l'opérateur-densité peut se déduire de

$$\sigma(t) = \exp[-2i\pi Jt(I_z^A + I_z^{A'})I_z^X]\sigma(0)\exp[2i\pi Jt(I_z^A + I_z^{A'})I_z^X]$$

Pour déterminer de quelle façon évolue le système durant le deuxième intervalle $1/2J$, il suffit de substituer à $\sigma(0)$ la quantité $2\gamma_A(I_x^A I_y^X + I_x^{A'} I_y^X)$ qui prévaut au début de cet intervalle. L'équation ci-dessus se décompose en deux termes, et nous allons détailler les calculs relatifs au premier d'entre eux, avec $t = 1/2J$. Il vient

$$\exp[-2i\pi Jt(I_z^A + I_z^{A'})I_z^X](2\gamma_A I_x^A I_y^X)\exp[2i\pi Jt(I_z^A + I_z^{A'})I_z^X]$$

Comme $I_z^A I_z^X$ et $I_z^{A'} I_z^X$ commutent, l'expression ci-dessus peut être développée en

$$\exp(-i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)\{\exp(-i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)(2\gamma_A I_x^A I_y^X)\exp(i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)\}\exp(i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)$$

Le terme entre accolades n'est autre que celui qui interviendrait pour rendre compte de l'évolution d'un système de deux spins A et X et nous avons vu (Annexe A2-3) qu'il se réduit à $2\gamma_A I_x^A I_y^X$. Il reste donc à calculer

$$\exp(-i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)(2\gamma_A I_x^A I_y^X)\exp(i\pi\vec{d}_z^A I_z^X)$$

A' peut être considéré comme un spin passif et $I_z^{A'}$ comme une "constante" dans l'argument des exponentielles; ces dernières agissent donc en opérateurs de rotation vis-à-vis du spin X et on obtient

$$2\gamma_A I_x^A [-I_x^X \sin(\pi\vec{d}_z^A) + I_y^X \cos(\pi\vec{d}_z^A)]$$
En faisant appel aux relations (A2-3.6) qui fournissent le sinus et le cosinus d'un opérateur $I_z$ (dans le cas d'un spin 1/2), on obtient finalement $-4\gamma_A I_x^A I_z^{A'} I_x^X$. Le deuxième terme de l'expression initiale, par raison de symétrie, conduit à $-4\gamma_A I_z^A I_x^{A'} I_x^X$. Ces deux termes, après l'impulsion d'angle $\theta$, donnent naissance à une quantité observable (en plus des cohérences d'ordre différent de 1 que nous laissons de côté puisque inobservables). Il vient, en tenant compte du cyclage de phase

$$ \pm 4\gamma_A I_z^A I_z^{A'} I_x^X \sin 2\theta $$

ce qui correspond à une configuration antiphase pour $X$, triplet dont la branche centrale est de signe opposé aux deux branches externes, refocalisé durant le dernier intervalle $1/2J$. A nouveau on observe un transfert de polarisation de $A$ vers $X$, mais pondéré cette fois par $\sin(2\theta)$.

Une analyse similaire pour un groupement $CH_3$ conduit, après l'impulsion d'angle $\theta$, à $\pm 24\gamma_A I_z^A I_z^{A'} I_z^{A''} I_y^X \sin\theta \cos^2\theta$. L'examen du diagramme des énergies d'un système $A_3X$ indique que cette quantité représente une configuration antiphase telle qu'il y ait alternance de signe d'une extrémité à l'autre du quadruplet. A l'issue du dernier intervalle $1/2J$, il y a de refocalisation selon $x$ (et annulation selon $y$) si bien que le signal observé a pour intensité $(3\gamma_A/4)(\sin\theta + \sin 3\theta)$, maximum pour $\theta = 35,26^\circ$ avec un gain d'intensité égal à $1,15\gamma_A/\gamma_X$.

## Annexe 5-5 : Détection en quadrature dans une expérience COSY standard

On suppose que, dans la dimension $t_2$, la détection en quadrature est réalisée physiquement (fonctionnement habituel d'un spectromètre RMN), avec comme convention qu'une composante selon $y$ représente la partie réelle (et selon $x$ la partie imaginaire). Ainsi une quantité de type $I_y$ à l'instant où débute l'acquisition conduit, compte tenu de la précession, à un signal de la forme $\exp(2i\pi\nu_2 t_2)$, alors qu'une quantité de même amplitude, mais initialement selon $x$, aura pour partie réelle $-\sin(\pi\nu_2 t_2)$ et pour partie imaginaire $\cos(\pi\nu_2 t_2)$, ce qui se traduit par $i \exp(2i\pi\nu_2 t_2)$. Ces propriétés seront symbolisées par

$$ \begin{aligned} y_2 &\leftrightarrow \exp(2i\pi\nu_2 t_2) \\ x_2 &\leftrightarrow i \exp(2i\pi\nu_2 t_2) \end{aligned} \qquad (A5-5.1) $$

Il n'existe évidemment aucune détection physique en quadrature dans la dimension $t_1$ ; compte tenu du sens de la précession, on peut donc définir des relations homologues à (A5-5.1) ne faisant intervenir que des quantités réelles

$$ \begin{aligned} y_1 &\leftrightarrow \cos(2\pi\nu_1 t_1) \\ x_1 &\leftrightarrow \sin(2\pi\nu_1 t_1) \end{aligned} \qquad (A5-5.2) $$

En nous référant à la figure 5-25, nous allons chercher à établir l'expression du signal pour les deux phases, $x$ et $y$, de la deuxième impulsion de la séquence sachant que l'on a fixé la phase de la première impulsion à $\varphi_1 = x$.

Pour $\varphi_2 = x : I_x^A \rightarrow I_x^A; I_y^A \rightarrow -I_z^A; 2I_x^A I_z^X \rightarrow 2I_x^A I_y^X; 2I_y^A I_z^X \rightarrow -2I_z^A I_y^X$. Comme on ne s'intéresse qu'aux cohérences observables après cette deuxième impulsion, nous n'aurons à nous préoccuper que des quantités dont elles tirent leur origine : $I_x^A$ est évidemment observable et a pour origine une expression en sinus (voir figure 5-25), donc cette quantité peut être identifiée par $x_1(A)x_2(A)$ qui représente un pic diagonal; $I_z^A$ n'est pas observable pas plus que $2I_x^A I_y^X$ (cohérences à zéro quantum et à deux quanta); reste $-2I_z^A I_y^X$, doublet antiphase (selon l'axe $y$ du repère tournant) provenant d'un transfert de $A$ vers $X$ et ayant pour origine une modulation en cosinus (facteur de $2I_y^A I_z^X$). Le signal correspondant peut être identifié par $-y_1(A)y_2(X)$ qui représente un pic croisé. A l'aide d'un raisonnement similaire pour le cas où $\varphi_2 = y$, nous pouvons établir la forme du signal résultant de ce cyclage de phase minimal ($\varphi_1 = x$,
$\varphi_2 = x, y$; tableau A5-5.1). Le résultat final (dernière ligne du tableau) est obtenu en faisant la somme des signaux obtenus lors de chacun des pas du cyclage de phase et en utilisant les relations (A5-5.1) et (A5-5.2). On constate que, dans la dimension $t_1$, on est passé d'une fonction sinus ou cosinus à une exponentielle d'argument imaginaire qui permet d'accéder au signe de la fréquence (ce qui est l'équivalent d'une détection physique en quadrature).

<table><caption>**Tableau A5-5.1** Cyclage de phase minimal d'une expérience COSY standard permettant d'obtenir un signal en quadrature en $t_1$. L'acquisition du deuxième pas est affectée d'un signe moins de manière à obtenir un signal final de type n (paragraphe 3.4.1)</caption><thead><tr><th>pas</th><th>phase</th><th>pic diagonal</th><th>pic croisé</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>$\varphi_2 = x$</td><td>$x_1(A)x_2(A)$</td><td>$-y_1(A)y_2(X)$</td></tr><tr><td>2</td><td>$\varphi_2 = y$</td><td>$y_1(A)y_2(A)$</td><td>$x_1(A)x_2(X)$</td></tr><tr><td></td><td>$Acq(1) - Acq(2)$</td><td>$-\exp(-2i\pi\nu_A t_1)\exp(2i\pi\nu_A t_2)$</td><td>$\exp(-2i\pi\nu_A t_1)\exp(2i\pi\nu_A t_2)$</td></tr></tbody></table>

Dans la pratique, et dans le but d'éliminer certains artefacts, on peut superposer au cyclage de phase ci-dessus une procédure de type CYCLOPS (paragraphe 3.5) ainsi qu'une alternance du signe de $\varphi_2$. En outre, comme ces données hypercomplexes ne peuvent être traitées qu'en spectres d'amplitude (avec comme résultat des pics positifs et, en principe, symétriques par rapport à la diagonale principale), on pourra également avoir recours à une procédure de symétrisation par rapport à celle-ci. Finalement, on peut montrer que l'utilisation d'une deuxième impulsion d'angle de basculement égal à 45° (au lieu de 90°, d'où la dénomination 'COSY-45') a pour effet de réduire les pics diagonaux par rapport aux pics croisés, ces derniers représentant le seul intérêt d'une expérience COSY (pics de corrélation).

L'expérience COSY standard avec deux impulsions identiques de gradient de part et d'autre de la deuxième impulsion à $\pi/2$ (figure 5-27) évite tout cyclage de phase et élimine *ipso facto* les artefacts liés aux différentes imperfections de nature expérimentale. En se fondant sur les considérations du paragraphe 2.2.2 et sur la formule (2.23), nous pouvons aisément déterminer le devenir des quantités présentes à l'issue de la période d'évolution $t_1$ comme nous venons de le faire pour l'expérience COSY avec cyclage de phase: $I_x^A \rightarrow I_x^A/2$; $I_y^A \rightarrow -I_y^A/2$; $2I_x^A I_z^X \rightarrow (2I_z^A I_x^X)/2$; $2I_y^A I_z^X \rightarrow -(2I_z^A I_y^X)/2$. Nous pouvons constater que, mis à part le facteur 1/2 inhérent à l'utilisation d'impulsions de gradient (d'où une perte de sensibilité par un facteur 2 généralement tolérable), on retrouve tous les éléments des deux lignes $\varphi_2 = x$ et $\varphi_2 = y$ du tableau A5-5.1, ce qui démontre qu'en une seule mesure (pour chaque valeur de $t_1$) on aboutit à un résultat similaire à ce qui était obtenu par cyclage de phase.