Comme, pour tout z dans J on a $\Psi(z)=z$, il vient

$$ \forall e \in A(\Psi(x)) \exists z \in A(x) \ e \le \Psi(z) $$

ce qui prouve que $\Psi$ est une fonction continue. La paire $\langle \phi, \Psi \rangle$ constitue alors une projection entre J et $\tilde{E}$. En effet

$$ i) \forall x \in J \quad \Psi(\phi(x)) = \Psi(x) = x $$

$$ ii) \forall x \in \tilde{E}, \Psi(x) \le x \quad \text{donc} \quad \phi(\Psi(x)) = \Psi(x) \le x $$

Soient maintenant deux éléments x et y, avec x dans J et y dans $\tilde{E}$.
Si l'on a $y \le \phi(x) = x$, puisque J est un idéal, c'est que y est dans J et par suite $\Psi(y) = y$. Donc aussi $y = \phi(\Psi(y))$. La projection $\langle \phi, \Psi \rangle$ est donc rigide.

**Partie 2 :** Supposons qu'il existe une projection rigide $\langle \phi, \Psi \rangle$ entre D et $\tilde{E}$.
Posons $J = \phi(D)$ et montrons tout d'abord que J est un idéal cohérent de $\tilde{E}$.

i) **J est fermé vers le bas.** Soit y un élément quelconque de $\tilde{E}$ dominé par $\phi(x)$, pour un certain X dans D. Comme $\langle \phi, \Psi \rangle$ est rigide, on a $y = \phi(\Psi(y))$ donc y appartient à $\phi(D)$.

ii) **J est cohérent.** Soient x une partie consistante de $\phi(D)$ et Y l'image inverse de X par $\phi$. L'ensemble Y est consistant.
En effet, si a et b sont deux éléments quelconques de Y, comme $\phi(a)$ et $\phi(b)$ sont compatibles puisque x est consistant, on a

$$ \begin{cases} a = \Psi(\phi(a)) \le \Psi(\phi(a) \vee \phi(b)) \\ b = \Psi(\phi(b)) \le \Psi(\phi(a) \vee \phi(b)) \end{cases} $$

donc a et b sont compatibles. Comme Y est un ensemble consistant il admet une borne supérieure $\eta$. Puisque $\phi$ est croissante,

$$ \forall x \in X \ x \le \phi(n) $$

donc en particulier, comme X est consistant

$$ \bigcup X \le \phi(n) $$

et puisque $\langle \phi, \Psi \rangle$ est rigide

$$ \bigcup X = \phi(\Psi(\bigcup X)) $$

Par conséquent $\bigcup X$ est dans $\phi(D)$. Donc $\phi(D)$ est bien un idéal cohérent.
Finalement si $<\phi, \Psi>$ est une projection entre $D$ et $E$, les ensembles $D$ et $\phi(D)$ sont isomorphes. En conclusion $D$ est isomorphe à un idéal de $E$ lorsque $<\phi, \Psi>$ est rigide. []

**Notation** : Si $D$ et $E$ sont des domaines concrets, nous noterons $D\le E$ lorsque $D$ est isomorphe à un idéal cohérent de $E$ ou, de façon équivalente, lorsqu'il existe une projection rigide entre $D$ et $E$.

**Proposition P-9.3.** Dans la collection des domaines concrets, la relation $\le$ est une relation de préordre.

**Démonstration** : i) Si $D$ est un domaine concret quelconque, $D$ est un idéal cohérent de lui-même.

ii) **Transitivité** : Supposons $D\le E\le F$ c'est à dire qu'il existe deux projections rigides $<\phi_1, \Psi_1>$ et $<\phi_2, \Psi_2>$ avec

$$ egin{cases} \forall x \in D \quad \Psi_1\Psi_2(\phi_2\phi_1(x)) = \Psi_1(\Psi_2\phi_2(\phi_1(x))) = \Psi_1\phi_1(x) = x \\ \forall x \in E \quad \phi_2\phi_1(\Psi_1\Psi_2(x)) \le \phi_2(\Psi_2(x)) \le x \end{cases} $$

Supposons maintenant que l'on ait pour $x$ dans $D$ et $y$ dans $F$

$$ y \le \phi_2 \phi_1 (x) $$

Comme $<\phi_2, \Psi_2>$ est rigide

$$ y = \phi_2(\Psi_2(y)) $$

Or $\Psi_2(y) \le \Psi_2\phi_2\phi_1(x) = \phi_1(x)$. Puisque $<\phi_1, \Psi_1>$ est rigide.

$$ \Psi_2(y) = \phi_1 \Psi_1 \Psi_2 (y) $$

si bien que

$$ y = \phi_2 \phi_1 \Psi_1 \Psi_2 (y) $$

ce qui prouve que la projection $<\phi_2\phi_1, \Psi_1\Psi_2>$ est rigide.

Par conséquent $D$ est isomorphe à un idéal de $F$, c'est à dire
$$ D\le F $$

**Définition D-9.3.** Une suite $\{D_1, D_2, \dots, D_n, \dots\}$ de domaines de calcul est une **suite dirigée** ssi pour tout $i$ ($i \ge 1$), il existe une projection $<\phi_i, i+1, \Psi_{i+1}, i>$ entre $D_i$ et $D_{i+1}$.
Entre deux domaines $D_i$ et $D_j$ d'une suite dirigée $(i<j)$ il existe alors une projection notée $<\phi_{i,j}, \psi_{j,i}>$. Par convention, nous noterons $<\phi_{i,i}, \psi_{i,i}>$ la paire $<I_i, I_i>$ où $I_i$ est la fonction identité sur $D_i$. Si toutes les projections $<\phi_{i,i+1}, \psi_{i+1,i}>$ d'une suite dirigée sont rigides, nous dirons que cette suite est rigide, ce que nous noterons

$$D_1 \le D_2 \le \dots \le D_n \le \dots$$

Par la proposition P-9.3, toutes les projections $<\phi_{i,j}, \psi_{j,i}>$ $(i \le j)$ sont elles aussi rigides.

**Définition D-9.4.** Soit $\{D_1, D_2, \dots, D_n\}$ une suite dirigée de domaines de calcul. On appelle limite inverse de cette suite l'ordre partiel $\langle D; \le \rangle$ dans lequel

i) D est l'ensemble des suites $\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle$ avec

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{ll} 
\forall i \ge 1 & x_i \in D_i \\ 
\forall j \ge i & x_i = \psi_{j,i}(x_j) 
\end{array} 
\right. 
$$

ii) $\le$ est l'ordre partiel défini composante par composante,

$$x_D \le y \Leftrightarrow \forall i \ge 1, x_i \le y_i$$

**Théorème T-9.1.** La limite inverse d'une suite rigide de domaines concrets est un domaine concret.

**Démonstration :** Soit $D$ la limite inverse de la suite rigide

$$D_1 \le D_2 \le D_3 \le \dots \le D_n \le \dots$$

1. **L'ordre $D$ est cohérent.** Soit $X$ une partie consistante de $D$ et, pour tout $i$ $(i \ge 1)$, $X_i$ l'ensemble des $i$-èmes composantes des éléments de $X$. Chaque ensemble $X_i$ est consistant dans $D_i$ et par conséquent admet une borne supérieure $\bigcup X_i$. Montrons que la suite $\langle \bigcup X_1, \bigcup X_2, \dots, \bigcup X_i, \dots \rangle$ est un élément de $D$. Comme $X$ est une partie de $D$ :

$$\forall x \in X, \quad x_i = \psi_{j,i}(x_j) \quad (i \le j)$$

donc

$$\bigcup X_i = \bigcup_{j} \psi_{j,i}(x_j)$$
Soit $X_j^i$ l'ensemble dirigé obtenu à partir de $X_j$ en rajoutant les bornes supérieures de toutes ses parties finies. Par continuité :

$$ \bigcup_{j \in X_j} \Psi_{j,i}^{i}(x_j) = \bigcup_{j \in X_j'} \Psi_{j,i}^{i}(x_j) = \Psi(\bigcup_{j \in X_j} x_j) = \Psi(\bigcup_{j} x_j). $$

$$ \text{donc} \quad (\bigcup X)_i = \bigcup X_i = \Psi_{j,i} (\bigcup X_j) = \Psi_{j,i} [(\bigcup X)_j] $$

2. L'ordre partiel D est séparable. Il nous faut maintenant exhiber les points isolés de D. A cette fin, définissons deux collections de fonctions $\{\phi_{i,\infty}\}$ et $\{\Psi_{i,\infty}\}$ de $D_i$ dans D et de D dans $D_i$ respectivement de la manière suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{a) } \forall e \in D_i \ [\phi_{i,\infty}(e)]_j = \begin{cases} \phi_{i,j}^{(e)} & \text{pour } j \ge i \\ \Psi_{i,j}^{(e)} & \text{pour } j < i \end{cases} & \\ \text{b) } \forall x \in D \ \Psi_{\infty,i}^{(x)} = x_i & \text{(la i-ème composante de x).} \end{array} \right. $$

Pour que cette définition ait un sens, nous devons nous assurer que

$$ \forall i \ge 1, \ \forall e \in D_i \ \phi_{i,\infty}^{(e)} \in D $$

Posons $x=\phi_{i,\infty}^{(e)}$. Pour tout $k$, il est immédiat que $x_k$ appartient à $D_k$. Vérifions maintenant la seconde condition :

$$ \forall n \ge m \quad x_m = \Psi_{n,m}(x_n) $$

Il faut distinguer trois cas :

**Cas 1.** $m \ge i$. Alors $x_m = \phi_{i,m}^{(e)}$ et $x_n = \phi_{i,n}^{(e)}$. Calculons $\Psi_{n,m}^{(x_n)}$

$$ \Psi_{n,m}^{(x_n)} = \Psi_{n,m}^{(\phi_{i,n}^{(e)})} = \Psi_{n,m}^{(\phi_{m,n}^{(\phi_{i,m}^{(e)})})} = \Psi_{n,m}^{(\phi_{m,n}^{(x_n)})} = x_n $$

**Cas 2.** $n < i$. Alors $x_m = \Psi_{i,m}^{(e)}$ et $x_n = \Psi_{i,n}^{(e)}$. Par conséquent

$$ \Psi_{n,m}^{(x_n)} = \Psi_{n,m}^{(\Psi_{i,n}^{(e)})} = \Psi_{i,m}^{(e)} = x_m $$

**Cas 3.** $n \ge i \ge m$. Alors $x_m = \Psi_{i,m}^{(e)}$ et $x_n = \phi_{i,n}^{(e)}$

Par suite

$$ \Psi_{n,m}^{(x_n)} = \Psi_{n,m}^{(\phi_{i,n}^{(e)})} = \Psi_{i,m}^{(\Psi_{n,i}^{(\phi_{i,n}^{(e)})})} = \Psi_{i,m}^{(e)} $$

donc là encore $x_m = \Psi_{n,m}^{(x_n)}$.
Il est immédiat que, pour tout i les fonctions $\phi_{i,\infty}$ et $\Psi_{\infty,i}$ sont continues. Montrons maintenant que les paires $\langle \phi_{i,\infty}, \Psi_{\infty,i} \rangle$ sont des projections de $D_i$ dans D. Tout d'abord

$$ \forall i \ge 1, \forall e \in D_i, \Psi_{\infty,i}(\phi_{i,\infty}(e)) = [\phi_{i,\infty}(e)]_i = \phi_{i,i}(e) = e $$

Pour démontrer la seconde condition, à savoir

$$ \forall i \ge 1, \forall d \in D, \phi_{i,\infty}(\Psi_{\infty,i}(d)) \le d $$

procédons composante par composante en distinguant deux cas

$$ \text{Cas 1 } j < i. \text{ Alors } [\phi_{i,\infty}(\Psi_{\infty,i}(d))]_j = [\phi_{i,\infty}(d_j)]_j = \Psi_{i,j}(d_i) $$

Or d est un élément de D donc, si $j < i$

$$ \Psi_{i,j}(d_i) = d_j $$

On a bien l'inégalité recherchée pour toutes les composantes de rang inférieur à i.

$$ \text{Cas 2 } j \ge i. \text{ Alors } [\phi_{i,\infty}(\Psi_{\infty,i}(d))] = [\phi_{i,\infty}(d_i)] = \phi_{i,j}(d_j). $$

Or, puisque d est un élément de D, lorsqu'on a $j \ge i$ on peut écrire

$$ d_i = \Psi_{j,i}(d_j) $$

$$ \text{D'où } [\phi_{i,\infty}(\Psi_{\infty,i}(d))]_j = \phi_{i,j}(\Psi_{j,i}(d_j)) \le d_j $$
puisque la paire $\langle \phi_{i,j}, \Psi_{j,i} \rangle$ est une projection.

L'inégalité est établie à nouveau dans ce cas.

Montrons pour conclure 2. que les éléments isolés de D sont exactement les $\phi_{i,\infty}(e)$ pour i quelconque ($i \ge 1$) et e isolé dans $D_i$. Considérons d'abord un élément d avec $d = \phi_{i,\infty}(e)$ et e isolé dans $D_i$. Soit X une partie dirigée quelconque de D avec

$$ d \le \bigcup X_i $$

En projetant sur la i-ème coordonnée on obtient

$$ d_i = [\phi_{i,\infty}(e)]_i = \phi_{i,i}(e) = e \le (\bigcup X_i) = \bigcup X_i $$

Comme e est isolé et $X_i$ dirigé, il existe un élément x dans X avec

$$ e \le x_i $$

Par monotonicité de $\phi_{i,\infty}$

$$ \phi_{i,\infty}(e) = d \le \phi_{i,\infty}(x_i). $$
Montrons pour finir¹ que $\phi_{i,\infty}(x_i) \le x$.

$$i) \quad \underline{j<i} : [\phi_{i,\infty}(x_i)]_j = \psi_{i,j}(x_i) = x_j$$

$$ii) \quad \underline{j \ge i} : [\phi_{i,\infty}(x_i)]_j = \phi_{i,j}(x_i) = \phi_{i,j}(\psi_{j,i}(x_j)) \le x_j$$

Nous en concluons donc

$$d \le x \text{ avec } x \in D$$

donc que d est isolé dans D. On montre de même

$$\forall_{i,k} \quad i \le k \quad \phi_{i,k}(e) \in A(D_k)$$

On en déduit aisément que l'ensemble

$$\{z \mid z \le x \text{ et } z = \phi_{i,\infty}(e)\}$$

est dirigé et admet comme borne supérieure x. Par suite

$$A(D) = \{\phi_{i,\infty}(e) \mid i \ge 1 \text{ et } e \in D_i\}$$

donc D est séparable.

### 3. Les paires $\langle \phi_{i,\infty}, \psi_{\infty,i} \rangle$ sont rigides.
Supposons en effet que l'on ait $y \le \phi_{i,\infty}(x)$ pour un certain y dans D et x dans $D_i$. Il faut montrer $y = \phi_{i,\infty}(\psi_{\infty,i}(y))$.

i) $\underline{j<i}$ : Alors $y_j = \psi_{i,j}(y_i)$ donc

$$y_j = [\psi_{i,\infty}(y_i)]_j = [\phi_{i,\infty}(\psi_{\infty,i}(y))]_j$$

ii) $\underline{j \ge i}$ : Alors $[\phi_{i,\infty}(x)]_j = \phi_{i,j}(x)$. Comme les paires $\langle \phi_{i,j}, \psi_{j,i} \rangle$ sont rigides, de $y_j \le \phi_{i,j}(x)$ on déduit

$$y_j = \phi_{i,j}(\psi_{j,i}(y_j))$$

Or $\psi_{j,i}(y_j) = y_i$ si bien que l'on obtient

$$y_i = \phi_{i,j}(y_i) = [\phi_{i,\infty}(y_i)]_j = [\phi_{i,\infty}(\psi_{\infty,i}(y))]_j$$

Dans ces deux cas on a donc l'égalité souhaitée. Les paires $\langle \phi_{i,\infty}, \psi_{\infty,i} \rangle$ sont donc rigides et par conséquent tous les domaines $D_i$ sont isomorphes à des idéaux cohérents de D.

1. =
4. **Le domaine D est concret.** Vérifions d'abord la propriété I.
Si $\phi_{i,\infty}(e)$ et $\phi_{j,\infty}(f)$ sont deux éléments isolés de D avec $\phi_{i,\infty}(e) \le \phi_{j,\infty}(f)$,
c'est que $\phi_{i,\infty}(e)$ est un élément de $\phi_{j,\infty}(D_j)$ puisque $\phi_{j,\infty}(D_j)$ est un idéal de D. Comme $\phi_{j,\infty}(D_j)$ est isomorphe à $D_j$ qui possède la propriété I, il ne peut y avoir de chaîne infinie entre $\phi_{i,\infty}(e)$ et $\phi_{j,\infty}(f)$. Les autres propriétés C,Q et R sont exprimées en termes d'un nombre fini d'éléments finis de D. Il existe toujours un idéal cohérent $\phi_{k,\infty}(D_k)$ qui contient tous ces éléments et les propriétés C,Q,R sont donc valides dans D puisqu'elles le sont dans $D_k$.

**Proposition P-9.4.** Tout domaine concret est la limite inverse d'une suite rigide de certains de ses idéaux cohérents finis.

**Démonstration :** Soit $\{c_1, c_2, \dots, c_n, \dots\}$ une énumération des éléments finis d'un domaine concret $D$. Cette énumération existe puisque $D$ est séparable.
Construisons une suite $J_1, J_2, \dots, J_n, \dots$ d'idéaux définis par

$$J_i = \text{idéal cohérent engendré par } \{c_1, c_2, \dots, c_i\}$$

D'après le lemme L-8.1. chacun de ces idéaux est fini et, par la proposition P-8.6 chacun d'entre eux est concret. Comme pour tout i, le domaine $J_i$ est un idéal cohérent de $J_{i+1}$, la suite $\{J_i\}$ est une suite rigide de domaines concrets, dont la limite inverse $J$ est donc un domaine concret. Il nous reste encore à montrer que $J$ est isomorphe à $D$.

D'après la proposition P-9.2, si $J_i$ est un idéal cohérent de $J_j$ la paire $\langle\phi_{i,j}, \Psi_{j,i}\rangle$ avec $i \le j$ et

$$\begin{cases} \forall x \in J_i \quad \phi_{i,j}(x) = x \\ \forall x \in J_j \quad \Psi_{j,i}(x) = \bigcup \{z \mid z \in A(x) \cap J_i\} \end{cases}$$

est une projection rigide entre $J_i$ et $J_j$. Si $x = \langle x_1, \dots, x_n, \dots \rangle$ est un élément de $J$, de $x_i = \Psi_{j,i}(x_j)$ on déduit

$$\forall i, j \ge i \quad x_i \le x_j$$

La suite $\{x_1, \dots, x_n, \dots\}$ est donc croissante et admet une borne supérieure. Soit $\phi(x)$ cette borne. Il est immédiat que $\phi$ est une fonction
croissante de J dans D.

1. $\phi$ est *surjective*. Soit d un élément quelconque de D.

Posons $d_i = \bigcup \{z \mid z \in A(d) \cap J_i\}$. La suite

$$ \delta = \langle d_1, \dots, d_n, \dots \rangle $$

est un élément de la limite inverse J puisque si $i \le j$ on a $J_i \subset J_j$
décou
$$ d_i = \bigcup \{z \mid z \in A(x) \cap J_i\} = \bigcup \{z \mid z \in A(x) \cap J_j \cap J_i\} \quad (i \le j) $$

$$
\begin{align*}
d_i &= \bigcup \{z \mid z \in A(x) \cap J_i\} \\
&= \bigcup \{z \mid z \in A(d_j) \cap J_i\} \\
&= \psi_{j,i} (d_j)
\end{align*}
$$

Comme la famille $\{J_i\}_{i \ge 1}$ couvre $A(D)$ on a bien $\phi(\delta)=d$.

2. $\phi$ est *injective*. Soient $x = \langle x_1, \dots, x_n \rangle$ et $x' = \langle x'_1, \dots, x'_n \rangle$ deux éléments distincts de J et k le premier indice tel que $x_k \neq x'_k$. On doit avoir $x_k = x'_k \vee c_k$ ou l'égalité symétrique. Etudions

ce cas seulement, sans perte de généralité. De l'égalité
$$ \forall l \ge k \quad x_k = \bigcup \{z \mid z \in A(D_l) \cap J_k\} $$

$$
\forall l \geq k \quad x_k = \bigcup \{z \mid z \in A(D_l) \cap J_k\}
$$

on déduit

$$
\forall l \geq k \quad x_l \neq c_k
$$

et par suite $\phi(x) = \bigcup_{i \ge 1} x_i \neq c_k$. Or $\phi(x') \ge x'_1 \ge c_k$.
décou
$$ \phi(x) \neq \phi(x'). $$

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Signalons au passage un résultat qui justifie que nous ayons systè-
matiquement exprimé toutes nos propriétés en termes d’éléments isolés.

**Théorème T-9.2. (Complétion par idéaux)**. Soit $<L; \leq>$ un ordre partiel dans lequel L est dénombrable et

i) Toute partie finie consistante de L admet une borne supérieure.

ii) Entre deux éléments quelconques de L toutes les chaines sont finies.

iii) L satisfait les propriétés C,Q et R.

Soit alors $\tilde{L}$ l'ordre partiel constitué par les idéaux dirigés de $L$ *ordonnés par inclusion*. L'ordre partiel $\tilde{L}$ est un domaine concret et $L$ est isomorphe à $A(\tilde{L})$.
**Démonstration :** 1. $\hat{L}$ est cohérent. Soit X une famille consistante d'idéaux dirigés. Si deux éléments $J_1$ et $J_2$ de X sont compatibles alors

$$ \forall a \in J_1, b \in J_2 \quad \text{atb} $$

En effet si $J_1$ et $J_2$ sont compatibles, il existe un idéal dirigé $J_3$ avec

$$ J_1 \subset J_3 \text{ et } J_2 \subset J_3 $$

donc $a \in J_3$ et $b \in J_3$. Comme $J_3$ est dirigé on a bien atb. Soit alors $X'$ l'ensemble réunion de tous les idéaux appartenant à X et J l'ensemble obtenu à partir de $X'$ en adjoignant les bornes supérieures de toutes les parties finies de $X'$, qui existent en vertu de l'hypothèse i) du théorème et les minorants de toutes ces bornes supérieures. Il est immédiat que J est un idéal dirigé. Comme tout idéal dirigé contenant les éléments de X doit contenir J, on en déduit

$$ J = \bigcup_{\hat{L}} X $$

et $\hat{L}$ est cohérent.

2. $\hat{L}$ est séparable. Montrons que les idéaux principaux de $L$, c'est à dire les ensembles de la forme $J_a$ avec

$$ J_a = \{z | z \le a\} \quad (a \in L) $$

sont exactement les éléments isolés de $\hat{L}$. Soit X une partie dirigée de $\hat{L}$ avec

$$ a \le \bigcup_{\hat{L}} (\bigcup X) $$

Or dans $L$, tous les éléments $a$ sont isolés puisque toutes les chaines de $\mathbb{1}$ à $a$ sont finies par l'hypothèse ii). Donc il existe dans l'idéal dirigé $\bigcup X$ un élément $x$ avec

$$ a \le x $$

et donc nécessairement un idéal $\Xi$ dans X qui contient x. Alors on obtient

$$ J_a \subset \Xi $$

ce qui montre que $J_a$ est isolé.
Soit J un élément quelconque de $\hat{L}$.

Trivialement on a

$$J = \bigcup_{a \in J} J_a$$

Or $\bigcup_{a \in J} J_a \subset \bigcup_{a \in J} J_a \subset \bigcup_{a \in J} J_a$ donc $\bigcup_{a \in J} J_a = \bigcup_{a \in J} J_a$.

Par conséquent $$J = \bigcup_{a \in J} J_a$$

ce qui prouve que $\hat{L}$ est algébrique et que les idéaux principaux de $L$ sont les éléments isolés de $\hat{L}$. Puisque $L$ est décombrable $\hat{L}$ est séparable.

Notons enfin que $A(\hat{L})$ est isomorphe à $L$. Par conséquent les propriétés C,Q et R sont valides dans $A(\hat{L})$ donc dans $\hat{L}$ ce qui conclut la preuve que $\hat{L}$ est un domaine concret. □
## I.10 Domaines concrets distributifs

Nous allons maintenant étudier un cas particulier important pour les applications, celui des domaines concrets dans lesquels il n'existe qu'un seul intervalle premier minimal dans chaque classe d'intervalles premiers projectifs (d'après la proposition P-6.4, il existe toujours au moins un intervalle minimal dans chaque classe de projectivité). Nous appellerons cette propriété d'unicité la propriété U: Elle se définit formellement de la manière suivante :

### Propriété U :

Si $[a,a']$ et $[b,b']$ sont deux intervalles premiers projectifs minimaux, alors $[a,a'] = [b,b']$.

**Proposition P-10.1** La propriété U est équivalente à la propriété U' suivante :

### Propriété U' :

Si $[a,a']$ et $[b,b']$ sont deux intervalles premiers projectifs minimaux, s'il existe un intervalle premier $o$ avec

$$[a, a'] \le o \ge [b, b']$$

alors $[a,a'] = [b,b']$.

**Démonstration :** Il est immédiat que la propriété U entraine la propriété U'. Supposons réciproquement la propriété U' valide et considérons une suite en zig-zag d'intervalles premiers transposés entre deux intervalles minimaux $[a,a']$ et $[b,b']$

$$([a, a'], [x_1, x'_1], \dots, [x_{n-1}, x'_{n-1}], [b, b'])$$

comme $[a,a']$ et $[b,b']$ sont des intervalles premiers minimaux, on a nécessairement

$$[a, a'] \le [x_1, x'_1] \text{ et } [b, b'] \le [x_{n-1}, x'_{n-1}]$$

donc $n$ est un nombre pair. Posons donc $n=2p$ et raisonnons par récurrence sur $p$. Si $p=1$, c'est le cas de la propriété U', on a donc nécessairement $[a,a'] = [b,b']$. Si $p$ est plus grand que $1$, deux cas sont possibles :
**Cas 1** : $x_2'$ est sup-irréductible. Par U', on a donc $[a,a'] = [x_2,x_2']$. Il existe alors une chaîne alternée d'intervalle premiers de longueur $2(p-1)$ entre $[a,a']$ et $[b,b']$. Par hypothèse de récurrence on a donc $[a,a'] = [b,b']$.

**Cas 2** : $x_2'$ n'est pas sup-irréductible. Il existe alors un intervalle premier minimal $[\bar{x}_2, \bar{x}_2']$ avec $[\bar{x}_2, \bar{x}_2'] \le [x_2, x_2']$. Mais alors $[a,a'] \le [x_1, x_1'] \ge [x_2, x_2'] \ge [\bar{x}_2, \bar{x}_2']$ et, par la propriété U', on obtient donc $[a,a'] = [\bar{x}_2, \bar{x}_2']$. Mais la suite $[ [\bar{x}_2, \bar{x}_2'], [x_3, x_3'], \dots, [b, b'] ]$ est une suite en zig-zag de longueur $2(p-1)$.
Donc $[\bar{x}_2, \bar{x}_2'] = [\bar{b}, \bar{b}']$ par hypothèse de récurrence. Finalement on a bien $[a,a'] = [\bar{x}_2, \bar{x}_2'] = [b, b']$. $\square$

**T-10.1** Dans un domaine de calcul concret $D$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. **Propriété U**

2. **Distributivité conditionnelle** :

$$ \forall a,b,c \in D \qquad b \uparrow c \Rightarrow a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) $$

3. **Modularité conditionnelle** :

$$ \forall a,b,c \in D \qquad a \uparrow b, a \le c \Rightarrow a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c $$

4. $\forall x,y \in D$

$$ \Delta(x \wedge y) = \Delta(x) \cap \Delta(y) $$

5. **La hauteur est une valuation, c.à.d.**

$$ \forall x,y \in \mathcal{A}(D) \qquad x \uparrow y \Rightarrow h(x)+h(y) = h(x \vee y)+h(x \wedge y) $$

**Démonstration** :

a) **1 implique 4.** Nous savons déjà (Proposition P-6.2) que $\Delta(x \wedge y) \subset \Delta(x)$ et $\Delta(x \wedge y) \subset \Delta(y)$ et donc que $\Delta(x \wedge y) \subset \Delta(x) \cap \Delta(y)$. Soit maintenant d'une décision appartenant à $\Delta(x)$ et $\Delta(y)$. Soient $[u,u']$ et $[v,v']$ deux intervalles premiers inclus respectivement dans les intervalles $[1,x]$ et $[1,y]$ et appartenant à la classe d. Par la proposition P-6.4, on peut trouver
deux intervalles minimaux

$[\bar{u},\bar{u}']$ et $[\bar{v},\bar{v}']$ satisfaisant à

$[\bar{u},\bar{u}'] \leq [\bar{v},\bar{v}']$

et

$[\bar{v},\bar{v}'] \leq [\bar{v},\bar{v}']$

Comme on a $[\bar{u},\bar{u}'] \sim [\bar{v},\bar{v}']$, la propriété U permet de conclure
$[\bar{u},\bar{u'}] = [\bar{v},\bar{v'}]$

Comme $\bar{u}'$ et $\bar{v}'$ sont dominés respectivement par x et y,
$u' = v' \leq x \land y$

Par suite, la décision d appartient à Δ(x∧y). Nous avons donc
montré, l'inégalité

$\Delta(x) \cap \Delta(y) \subset \Delta(x \land y)$

ce qui permet de conclure

$\Delta(x \land y) = \Delta(x) \cap \Delta(y)$

b) **4 implique 5** : Dans le treillis des parties finies d'un ensemble quelconque, nous avons l'équation aux cardinaux

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Soient x et y deux éléments finis compatibles de D. Par la proposition VI.6.2, on a
$\Delta(x \lor y) = \Delta(x) \lor \Delta(y)$

Donc
$$
\begin{aligned}
|\Delta(x \lor y)| &= |\Delta(x) \lor \Delta(y)| \\
&= |\Delta(x)| + |\Delta(y)| - |\Delta(x) \cap \Delta(y)| \\
&= |\Delta(x)| + |\Delta(y)| - |\Delta(x \land y)| \quad \text{par l'hypothèse 4.}
\end{aligned}
$$

En appliquant maintenant le résultat de la proposition P-6.4,
on obtient

$x \lor y \Rightarrow h(x)+h(y) = h(x \lor y)+h(x \land y)$

c) **5 implique 1**: Montrons que 5 implique la propriété U', ce qui suffit puisque U' est équivalent à U par la proposition P-12.1. Supposons que l'on ait $[a,a'] \leq [z,z'] \leq [b,b']$ avec $[a,a']$ et $[b,b']$ minimaux.

Montrons d'abord que l'on a :

$$
\begin{cases}
\text{ou bien } [a, a'] = [b, b'] \\
\text{ou bien } a \land b = a' \land b'
\end{cases}
$$
En effet supposons $a^b < a'^b$. Par atomicité relative il existe alors un élément $t$ avec

$$a^b < t \le a'^b$$

L'élément $t$ domine $a^b$ donc ou bien $t \le a$ ou bien $t \le b$.

Supposons sans perte de généralité $t \le a$. Alors $t^a = a^b$ et par la propriété C

$$a < a^b \le a'$$

Comme on a aussi $a < a'$, il vient $a^b = a^b < a'$. Par conséquent

$$[a^b, t] \le [a, a']$$

Or $[a, a']$ est minimal donc $a^b = a$ et $t = a'$.

Puisque $[a, a']$ et $[b, b']$ sont projectifs par le théorème T-5.1, on peut avoir $a' \le b$. Par conséquent $[a, a'] \le [b, b']$.

Mais $[b, b']$ est aussi minimal donc $[a, a'] = [b, b']$.

Par conséquent si $[a, a']$ et $[b, b']$ sont distincts on a l'égalité

$$a'^b = a^b$$

Or la proposition P-6.5, permet d'écrire :

$$[a, a'] \le [a^b, a'^b] \ge [b, b']$$

Par hypothèse $h$ est une valuation donc

$$h(a') + h(b') = h(a'^b) + h(a'^b)$$

Or $h(a') = 1+h(a)$, $h(b') = 1+h(b)$ et $h(a'^b) = 1+h(a^b)$.

Par suite $1+h(a)+h(b) = h(a^b)+h(a'^b)$.

Comme $h$ est une valuation on a aussi

$$h(a^b) = h(a) + h(b) - h(a^b)$$

$$d'où \qquad 1+h(a^b) = h(a'^b)$$

et cette égalité est en contradiction avec $a^b = a'^b$.

Par conséquent on doit avoir $[a, a'] = [b, b']$ ce qui prouve la propriété U'.

d) **4 implique 2** : Soient $a, b$ et $c$ trois éléments de $D$ avec $b \prec c$

$$ \begin{align*} \Delta(a^b(b^c)) &= \Delta(a) \cap \Delta(b^c) && \text{par 4.} \\ &= \Delta(a) \cap (\Delta(b) \cup \Delta(c)) && \text{(Proposition P-6.2).} \\ &= (\Delta(a) \cap \Delta(b)) \cup (\Delta(a) \cap \Delta(c)) && \text{(théorie des ensembles)} \\ &= \Delta(a^b) \cup \Delta(a^c) && \text{par 4 à nouveau.} \\ &= \Delta((a^b)^c \cup (a^c)^b) && \text{(Proposition P-6.2).} \end{align*} $$

Donc, par le théorème T-6.1

$$a^b(b^c) = (a^b)^c \cup (a^c)^b$$
e) **2 implique 3** : (Preuve standard en théorie des treillis).

Supposons $a \uparrow b$ et $a \leq c$. Alors, par distributivité

$$ 
\begin{align*}
(avb) \land (avc) &= [(avb) \land a] \lor [(avb) \land c] \\
&= av[(avb) \land c] \\
&= av[(a \land c) \lor (b \land c)] \quad \text{par distributivité} \\
&= ava \lor (b \land c) \quad \text{puisque } a \leq c
\end{align*}
$$
Dorc $(avb) \land c = av(b \land c)$ la loi de modularité recherchée.

f) **3 implique 1** : Supposons que la loi modulaire soit valide.
Si alors
$[a,a'] \leq [avb,a'vb'] \geq [b,b']$ avec $[a,a']$ et $[b,b']$ intervalles premiers minimaux, comme :

$$avb' = a'vb = a'vb'$$

puisque $b \leq b'$, on obtient par modularité

$$b' = (a'vb) \land b' = b \lor (a' \land b')$$

Or si $[a,a']$ et $[b,b']$ sont distincts, nous avons vu que $a \land b' = a \land b$
donc $b' = b \lor (a \land b) = b$ ce qui est une contradiction.

Puisque $[a,a'] = [b,b']$ la propriété $U'$ est valide. Résumons
sur la figure F-10.1, les relations prouvées

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>figure F-10.1</figcaption></figure>

□

Le résultat ci-dessus justifie que l'on appelle un domaine de calcul qui vérifie la propriété $U$, indifféremment, *modulaire* ou *distributif* ou encore *métrique*.

**Proposition P-10.2** Un domaine de calcul $D$ est distributif ssi il est isomorphe à l'ensemble des configurations d'une matrice $\langle \Gamma, V, U, E \rangle$ avec

$$\forall \gamma \in \Gamma |E(\gamma)| = 1.$$

Autrement dit $D$ est isomorphe à une matrice d'information sans disjonction.
**Démonstration** : Dans le sens direct, le résultat est une conséquence immédiate de la construction utilisée dans le théorème de représentation et de la propriété U.

Considérons réciproquement une matrice $M = <\Gamma, V, U, \bar{E}>$ vérifiant la condition

$$ \forall \gamma \in \Gamma |E(\gamma)|=1 $$

Pour toute décision d soit alors $p(d)$ l'unique ensemble de décisions qui rend accessible la cellule de d. Montrons que dans une telle matrice d'information, si une décision d admet une preuve elle admet une preuve non redondante unique. On procède par récurrence sur la longueur $l(d)$ de la preuve de d.

**Cas de base** : $l(d)=1$ c'est à dire que d est initiale, ou encore $p(d)=\emptyset$. Dans ce cas la preuve $\{d\}$ est irredondante et toute autre preuve de d la contient, donc elle est unique.

**Pas de récurrence** : $l(d)=n(n>1)$. Alors d admet une preuve $d_1, d_2, \dots, d_{n-1}, d$

Puisque d n'est rendue accessible que par $p(d)$ on doit avoir
$$ p(d) = \{d_1, \dots, d_{n-1}\} $$

Par suite toutes les décisions de $p(d)$ admettent une preuve de longueur inférieure à n, donc une preuve non redondante unique par hypothèse de récurrence. Soit alors $\Delta(d)$ la réunion de toutes les preuves non redondantes uniques des éléments de $p(d)$. L'ensemble $\Delta(d) \cup \{d\}$ est une preuve de d. Toute preuve de d contient d et les preuves irredondantes des éléments de $p(d)$. Donc $\Delta(d) \cup \{d\}$ est l'unique preuve non redondante de d.

Soient alors $\sigma_1$ et $\sigma_2$ deux configurations finies compatibles de $M$. Puisque $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont compatibles, l'ensemble de décisions $\sigma_1 \cap \sigma_2$ ne comporte pas deux décisions distinctes concernant la même cellule puisque $\sigma_1 \cap \sigma_2 \subsetneq \sigma_1 \cup \sigma_2$. Si d est une décision quelconque de $\sigma_1 \cap \sigma_2$, cette décision admet une preuve non redondante unique $\pi$. Puisque $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont connectés :

$$ \pi \subsetneq \sigma_1 \\ \pi \subsetneq \sigma_2 $$

Par conséquent $\pi \subsetneq \sigma_1 \cap \sigma_2$ et l'ensemble $\sigma_1 \cap \sigma_2$ est donc connecté. Par suite $\sigma_1 \cap \sigma_2$ est une configuration et $\sigma_1 \cap \sigma_2 = \sigma_1 \cap \sigma_2$. Mais alors $|\sigma_1| + |\sigma_2| = |\sigma_1 \cap \sigma_2| + |\sigma_1 \cup \sigma_2|$ et la hauteur des éléments de $\Sigma_M$ est une valuation. Par le lemme L-10.1 le domaine concret $<\Sigma_M; c>$ est donc distributif.[
**Remarque** : Le résultat précédent indique que si $<\Sigma_M; c>$ est distributif, alors il existe une matrice M' avec

$$<\Sigma_M; c> = <\Sigma_{M'}; c>$$

telle que la matrice M' ne contient pas de disjonction. Il se peut cependant que M contienne des disjonctions.

**Exemple** :

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>figure F-10.2</figcaption></figure>

La proposition suivante présente un cas fréquent où l'on peut conclure immédiatement à la distributivité du domaine considéré.

**Proposition P-10.3.** Un domaine concret est distributif ssi ce domaine est l'ensemble des configurations d'une matrice d'information $M = \langle \Gamma, \nu, \nu', \mathcal{E} \rangle$ dans laquelle toute cellule est rendue accessible par des ensembles de décisions qui occupent tous le même ensemble de cellules.

**Démonstration** : La démonstration est calquée sur la démonstration de la proposition précédente. La propriété est immédiate dans le sens direct. Pour toute cellule d, soit $q(d)$ l'ensemble commun de cellules occupées par tous les ensembles de décisions rendant accessible la cellule de d. Montrons que dans une telle matrice d'information, si une décision d admet une preuve, alors toutes les preuves non redondantes de d occupent un même ensemble de cellules. Procédons là encore par récurrence sur la longueur $l(d)$ de la preuve de d.
Cas de base: $\ell(d)=1$. Alors l'ensemble vide est le seul à rendre accessible d. Donc la cellule de d est occupée par toute preuve de d.

Pas de récurrence : $\ell(d)=n(n>1)$. Alors d admet une preuve

$$d_1, d_2, \dots, d_{n-1} \vdash d$$

Soit $O(\{d_1, d_2, \dots, d_{n-1}\})$ l'ensemble des cellules occupées par les décisions de $\Gamma(d_1, \dots, d_{n-1})$. Puisque tout ensemble $\Delta$ de décisions rendant accessible d occupe $q(d)$ on doit avoir

$$q(d) \in O(\{d_1, d_2, \dots, d_{n-1}\})$$

Soit $\Delta$ un élément de $E(d)$ inclus dans $\{d_1, \dots, d_{n-1}\}$. Par hypothèse de récurrence toutes les preuves non redondantes des éléments de $\Delta$ occupent le même ensemble de cellules. Soit $\gamma$ la cellule occupée. par d. En faisant l'union de tous ces ensembles de cellules avec $\{\gamma\}$ on obtient un ensemble de cellules $\Gamma(d)$ et tout autre preuve non redondante de d contient $\Gamma(d)$. Soient alors $\sigma_1$ et $\sigma_2$ deux configurations finies et compatibles de $M$, et d une décision quelconque de $\sigma_1 \cap \sigma_2$. Toute preuve non redondante de d occupe $\Gamma(d)$. Donc $\sigma_1$ et $\sigma_2$ occupent $\Gamma(d)$. Par conséquent d admet une preuve dans $\sigma_1 \cap \sigma_2$ et cet ensemble de décisions est connecté. Par suite $\sigma_1 \wedge \sigma_2 = \sigma_1 \vee \sigma_2$ et $\Sigma_M$ est un domaine distributif. $\square$
**Proposition P-10.4.** La somme séparée d'un nombre fini ou dénombrable de domaines distributifs, le produit cartésien d'un nombre fini ou dénombrable de domaines distributifs, la limite inverse de toute suite rigide de domaines concrets distributifs est un domaine concret distributif.

**Démonstration** : Il est immédiat que la somme et la juxtaposition d'un nombre quelconque de matrices d'informations dans lesquelles toutes celles-lule est rendue accessible par un ensemble unique de décisions sont elles aussi des matrices de ce type. Soit $D$ la limite inverse d'une suite rigide de domaines concrets distributifs

$$D_1 \le D_2 \le \dots \le D_n \dots$$

Si $[x,x']$ et $[y,y']$ sont deux intervalles premiers minimaux dans avec

$$[x,x'] \le [xvy,x'vy'] \ge [y,y']$$

considérons l'idéal cohérent $J$ engendré par les éléments isolés $x'$ et $y'$. L'idéal $J$ est fini donc il existe un certain $k$ avec

$$J \le D_k$$

Comme $D_k$ est distributif, par la propriété $U'$ on obtient

$$[x,x'] = [y,y']$$

ce qui prouve la propriété $U'$ dans $D$.

□

**Proposition P-10.5.** Si $D$ et $E$ sont deux domaines concrets distributifs et si $\emptyset$ est un ouvert tel que

$$\forall d, e \in \emptyset \text{ minimaux } \Gamma(d) = \Gamma(e)$$

alors $D^0 E$ est un domaine concret distributif.

**Démonstration** : Par construction de la matrice associée à $D^0 E$, il est immédiat que celle-ci vérifie l'hypothèse de la proposition P-12.3. Par suite $D^0 E$ est un domaine concret distributif. □

**Exemple** : On vérifie bien, sur la figure F-8.4 que seul le domaine $F_4$ n'est pas distributif.
Note historique : L'essentiel de cette recherche a été effectué en automne 1975 à l'Université d'Edimbourg. Des versions préliminaires de ce texte ont été distribuées à titre privé aux séminaires de Sémantique à Sophia Antipolis en Automne 1977 et sur la Théorie des Treillis Continus en Juillet 1978 à Darmstadt.
Bibliographie

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[12] Graetzer, G. *Universal Algebra*