# Utilisation de matrices de pondération lors de l'analyse modale temporelle

Joseph Lardies

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Joseph Lardies. Utilisation de matrices de pondération lors de l'analyse modale temporelle. 17e Congrès Français de Mécanique, 2005, Troyes, France. hal-00019993

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# Utilisation de matrices de pondération lors de l'analyse modale temporelle

Joseph LARDIES

FEMTO - Département LMARC ; UMR 6174
Université de Franche-Comté ; UFRST
Chemin de l'Epitaphe ; 25 000 Besançon
joseph.lardies@univ-fcomte.fr

**Résumé :**

On considère une structure soumise à une excitation ambiante, non mesurée. On se propose de déterminer les fréquences propres et les coefficients d'amortissement de cette structure à partir des sorties des accéléromètres uniquement. L'étude s'effectue dans le domaine temporel. L'algorithme utilisé repose sur le décalage de la matrice bloc de Hankel pondérée. Grâce à cette matrice bloc on peut déterminer la matrice de transition qui contient toute l'information modale. Des matrices de pondération sont obtenues en utilisant le critère de maximisation de l'information mutuelle puis le critère d'efficacité de la prédiction. Des résultats expérimentaux sont présentés.

**Abstract :**

We consider a system excited by unmeasured ambient vibrations. Our purpose is to estimate the natural frequencies and damping coefficients of the system using output data only. In this paper we use a time domain approach. The algorithm proposed uses shifted properties of the weighted block Hankel matrix to estimate the transition matrix which contains all modal information about the system. The weighting matrices are obtained from the maximisation information criterion and from predictive efficiency criterion. Experimental results are presented.

**Mots clés :**

Modèle espace d'état, domaine temporel, paramètres modaux, excitation non mesurée, matrice bloc de Hankel

# 1 Introduction

Toute structure en fonctionnement est sujette à des efforts dynamiques qui causent des vibrations et l'analyse modale est un outil essentiel dans l'étude de ces vibrations. Cette analyse modale peut être utilisée pour la surveillance de telles structures. Elle peut être aussi utilisée pour effectuer un recalage de modèle. La surveillance consiste à prélever, par l'intermédiaire de capteurs, des grandeurs physiques diverses (vibrations, bruit, pression) que l'on sait porteuses d'information sur l'état mécanique de ces systèmes. De l'analyse de ces informations on détecte d'éventuelles anomalies et un diagnostic peut alors être effectué en termes de caractéristiques modales : fréquences propres, coefficients d'amortissement et déformées modales. L'analyse modale est aussi un outil primordial lors des tests d'ajustement et de validation de nouveaux produits dans le domaine de l'aéronautique, de l'automobile, du génie mécanique et du génie civil. En effet, des réglementations imposent une certaine norme aux caractéristiques modales de structures industrielles soumises à des vibrations.

Dans cette étude on considère la structure en fonctionnement naturel, soumise à une excitation aléatoire, inconnue et non mesurée. On se propose de déterminer ses paramètres modaux, à partir uniquement des mesures provenant des sorties de capteurs placés sur la structure. Pour cela nous allons déterminer la matrice de transition du modèle espace d'état discret car elle contient toute l'information modale. Trois méthodes sont présentées pour
déterminer cette matrice de transition. La première méthode consiste à former la matrice bloc de Hankel et à effectuer le décalage d'un bloc ligne ou d'un bloc colonne dans cette matrice. En exploitant les propriétés de décalage de cette matrice bloc nous obtenons la matrice de transition qui contient toute l'information modale de la structure. La deuxième méthode consiste à pondérer la matrice bloc de Hankel avec des matrices obtenues en utilisant le critère de maximisation de l'information mutuelle. La troisième méthode consiste à pondérer la matrice bloc de Hankel avec des matrices obtenues en utilisant le critère de minimisation de la variance de l'erreur de prédiction. Des résultats expérimentaux sur une structure en milieu ambiant sont par la suite présentés.

# 2 Modélisation du comportement dynamique d'une structure

## 2.1 Le modèle espace d'état discret

Le comportement dynamique d'une structure linéaire à n' degrés de liberté modélisée par un ensemble de masses, ressorts et amortisseurs est décrit par l'équation différentielle suivante :

$$M_o \ddot{\zeta}(t) + C_o \dot{\zeta}(t) + K_o \zeta(t) = f(t) \quad (1)$$

Avec $M_o$, $C_o$ et $K_o$ les matrices (n'xn') masse, amortissement et raideur; $\zeta(t)$ le vecteur déplacement des n' d.d.l. et $f(t)$ le vecteur excitation aléatoire et non mesuré. Le vecteur des mesures temporelles, appelé vecteur observation et provenant des capteurs placés sur la structure, se met sous la forme :

$$y(t) = C_a \ddot{\zeta}(t) + C_v \dot{\zeta}(t) + C_d \zeta(t) \quad (2)$$

avec $C_a$, $C_v$ et $C_d$ les matrices (mxn') de positionnement des accéléromètres, des capteurs de vitesse et des capteurs de déplacement. Expérimentalement nous n'utiliserons que les accéléromètres. On transforme les équations différentielles du second ordre en équations différentielles du premier ordre en utilisant une représentation dans un espace de dimension n=2n'. On discrétise dans le domaine temporel les équations obtenues (voir [2, 4, 5]) pour former le modèle espace d'état stochastique :

$$x_{k+1} = A x_k + w_k \quad (3)$$

$$y_k = C x_k + v_k \quad (4)$$

avec $x_k$ vecteur d'état discret (nx1) qui est dans la pratique inconnu; $A$ matrice de transition (nxn) qui est aussi inconnue; $y_k$ vecteur (mx1) discrétisé des mesures bruitées ou encore vecteur observation discrétisé, qui est connu. L'unique information disponible est celle qui provient des capteurs placés sur la structure et qui fournissent $y_k$. Les bruits $w_k$ et $v_k$ (inconnus) sont considérés comme stationnaires, à moyenne nulle et blancs [1]. Si l'hypothèse bruit blanc n'est pas vérifiée, c'est à dire si l'excitation (ou le signal d'entrée) contient en plus du bruit blanc des fréquences dominantes, ces fréquences seront retrouvées sur le diagramme de stabilité et ne pourront pas être différentiées des fréquences propres de la structure. $C$ est la matrice (mxn) des sorties ou encore des observations. Elle représente la façon dont l'état interne du système est transféré aux sorties de ce même système.

La diagonalisation de $A$ conduit à $A = \Psi\Lambda\Psi^{-1}$, où $\Psi$ est la matrice (nxn) des vecteurs propres et $\Lambda = \text{diag}(\lambda_i)$, $i = 1,2,...,n$, la matrice diagonale (nxn) des valeurs propres qui sont
complexes conjuguées. Les fréquences propres $f_i$ et les coefficients d'amortissement $\zeta_i$ sont obtenus à partir des relations suivantes :

$$f_i = \frac{1}{2\pi\Delta t} \sqrt{ \frac{[\ln(\lambda_i \lambda_i^*)]^2}{4} + [\cos^{-1}(\frac{\lambda_i + \lambda_i^*}{2\sqrt{\lambda_i \lambda_i^*}})]^2 } ; \quad \zeta_i = \sqrt{ \frac{[\ln(\lambda_i \lambda_i^*)]^2}{[\ln(\lambda_i \lambda_i^*)]^2 + 4[\cos^{-1}(\frac{\lambda_i + \lambda_i^*}{2\sqrt{\lambda_i \lambda_i^*}})]^2} } \quad (5)$$

pour i=1, 2, ..., n'

Les déformées modales sont obtenues à partir de la relation $\Phi = C\Psi$; ces vecteurs décrivent comment chaque fréquence propre contribue à la forme globale de la structure en vibration. Notre but est donc de déterminer la matrice de transition A qui contient toute l'information modale : ses valeurs propres sont reliées directement aux fréquences propres et aux coefficients d'amortissement de la structure analysée; ses vecteurs propres sont reliés aux déformées modales. Nous allons aussi déterminer la matrice d'observation C qui nous permettra de d'estimer les déformées modales.

## 2.2 Estimation des matrices A et C par la méthode de décalage de la matrice bloc de Hankel

On définit le vecteur futur des observations (mfx1) et le vecteur passé des observations (mpx1) respectivement par $y_k^+ = [y'_{k}, y'_{k+1}, ..., y'_{k+f-1}]'$ et $y_{k-1}^- = [y'_{k-1}, y'_{k-2}, ..., y'_{k-p}]'$, où le symbole ' indique le transposé. La matrice de covariance (mxm) des signaux est définie par $R_i = E[y_{k+i} y_{k'}] = C A^i G$ où E est l'opérateur espérance mathématique et $G = E[x_{k+1} y_k]$ la matrice de covariance de l'état et du signal. En considérant le vecteur passé des observations $y_{k-1}^- \text{ et le vecteur futur des observations } y_k^+$, on construit la matrice bloc de Hankel de dimension (mfxmp) [4, 5] :

$$H = E[y_k^+ y_{k-1}^-] = O K \quad (6)$$

Avec $O = [C' (CA)'...(CA^{f-1})']$ la matrice d'observabilité (mfxn) et $K=[G AG...A^{p-1}]$ la matrice de contrôlabilité (nxmp). Elles sont de rang n. La décomposition en valeurs singulières de H conduit à :

$$H = USV' = [U_n \ U_0] \begin{bmatrix} S_n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V'_n \\ V'_0 \end{bmatrix} = U_n S_n V'_n = (U_n S_n^{1/2}) (S_n^{1/2} V'_n) \quad (7)$$

avec $U_n$ matrice (mfxn), $S_n$ (nxn) et $V_n$ (mpxn). Par identification on obtient : $O = (U_n S_n^{1/2})$ et $K = (S_n^{1/2} V'_n)$ dont les pseudo-inverses sont $O^+ = (O' O)^{-1} O' = S_n^{-1/2} U'_n$ et $K^+ = K^{-1} (K' K)^{-1} = V_n S_n^{-1/2}$. Pour estimer la matrice de transition A on introduit la matrice bloc de Hankel décalée d'un bloc ligne (ou bloc colonne), matrice notée $\tilde{H}$. On obtient :

$$\tilde{H} = OAK \Rightarrow A = O^{+} \tilde{H} K^{+} = S_{n}^{-1/2} U'_{n} \tilde{H} V_{n} S_{n}^{-1/2} \quad (8)$$

Soit $H_{1L}$ le premier bloc ligne de la matrice bloc de Hankel. Nous avons :

$$H_{1L} = C K \Rightarrow C = H_{1L} K^{+} = H_{1L} V_n S_n^{-1/2} \quad (9)$$

Soient deux matrices de pondération $W_1$ (mfxmf) et $W_2$ (mpxmp) et considérons la décomposition en valeurs singulières :

$$W_1 H W_2 = \tilde{U} \tilde{S} \tilde{V}' = [ \tilde{U}_n \tilde{U}_0 ] \begin{bmatrix} \tilde{S}_n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{V}'_n \\ \tilde{V}'_0 \end{bmatrix} = (\tilde{U}_n \tilde{S}_n^{1/2}) (\tilde{S}_n^{1/2} \tilde{V}'_n) \quad (10)$$
D'autre part $W_1HW_2 = W_1OKW_2$ et par identification avec (10) nous obtenons :

$$O = W_1^{-1} \tilde{U}_n \tilde{S}_n^{1/2} \Rightarrow O^+ = \tilde{S}_n^{-1/2} \tilde{U}_n' W_1 \text{ et } K = \tilde{S}_n^{1/2} \tilde{V}_n' W_2^{-1} \Rightarrow K^+ = W_2 \tilde{V}_n \tilde{S}_n^{-1/2} \quad (11)$$

La matrice de transition A pondérée avec $W_1$ et $W_2$ est obtenue à partir de la relation (8) et la matrice d'observabilité pondérée à partir de la relation (9) :

$$A = \tilde{S}_n^{-1/2} \tilde{U}_n' W_1 \tilde{H} W_2 \tilde{V}_n \tilde{S}_n^{-1/2} \quad ; \quad C = H_{IL} W_2 \tilde{V}_n \tilde{S}_n^{-1/2} \quad (12)$$

Notre propos est de déterminer les matrices de pondération $W_1$ et $W_2$. Pour cela deux méthodes sont proposées. La première méthode utilise le critère de maximisation de l'information mutuelle, la deuxième méthode utilise la minimisation de l'erreur de prédiction.

## 2.3 Détermination des matrices de pondération par maximisation de l'information mutuelle

On transforme le modèle espace d'état (3-4) en modèle des innovations [1]

$$\begin{aligned} z_{k+1} &= A z_k + B e_k \\ y_k &= C z_k + e_k \end{aligned} \quad (13)$$

où $z_k$ est le vecteur d'état des innovations et correspond à la projection orthogonale du vecteur d'état $x_k$ sur le vecteur passé des observations $\tilde{y}_{k-1}^-$, $B$ est le gain de Kalman et $e_k$ la composante innovante de $y_k$. Le vecteur d'état $z_k$, qui est inconnu, est une combinaison linéaire du vecteur passé des observations $\tilde{y}_{k-1}^-$ et se met sous la forme $z_k = S_0 \tilde{y}_{k-1}^-$. Ce vecteur d'état, qui constitue une interface d'information entre $\tilde{y}_k^+$ et $\tilde{y}_{k-1}^-$, doit résumer toute l'information passée pour prédire de façon optimale, au sens de la maximisation de l'information mutuelle, l'espace du futur des observations. Le problème revient à déterminer la matrice $S_0$ qui maximise l'information mutuelle entre $\tilde{y}_k^+$ et $z_k$ [3]

$$\left\{ \begin{array}{l} \text{Max } I(\tilde{y}_k^+, z_k) \\ z_k = S_0 \tilde{y}_{k-1}^- \end{array} \right. \quad (14)$$

où $I(\tilde{y}_k^+, z_k)$ est l'information mutuelle entre $\tilde{y}_k^+$ et $z_k$. En notant $R_+ = E(\tilde{y}_k^+ \tilde{y}_k^+)$ la matrice de covariance (mfxmf) et $R_- = E[\tilde{y}_{k-1}^- \tilde{y}_{k-1}^-]$ la matrice de covariance (mpxmp), l'expression de la matrice $S_0$ est $S_0 = T \tilde{V}_n^- R_-^{-1/2}$ où $T$ est une matrice (nxn) inversible et $\tilde{V}_n$ la matrice (mpxn) obtenue par décomposition en valeurs singulières du produit des matrices $R_+^{-1/2} H R_-^{-1/2}$ :

$$R_+^{-1/2} H R_-^{-1/2} = \tilde{U} \tilde{S} \tilde{V}' = [\tilde{U}_n \tilde{U}_0] \begin{bmatrix} \tilde{S}_n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{V}_n' \\ \tilde{V}_0' \end{bmatrix} \quad (15)$$

Une fois que la matrice $S_0$ a été déterminée, nous pouvons exprimer la matrice d'observabilité par projection orthogonale du futur et du passé des observations. Nous obtenons [3]

$$O = R_+^{1/2} \tilde{U}_n \tilde{S}_n T^{-1} \quad (16)$$

En prenant $T = \tilde{S}_n^{1/2}$ la matrice d'observabilité devient $O = R_+^{1/2} \tilde{U}_n \tilde{S}_n^{1/2}$ qui est la même que celle obtenue en (11) en considérant $W_1 = R_+^{-1/2}$; d'autre part, en considérant la décomposition
en valeurs singulières (15) et en la comparant avec (10) on déduit $W_2=R_{-}^{-1/2}$. Par conséquent, le choix des matrices de pondération $W_1=R_{+}^{-1/2}$ et $W_2=R_{-}^{-1/2}$ conduit à des paramètres qui maximisent l'information mutuelle.

## 2.4 Détermination des matrices de pondération par la méthode du critère d'efficacité de la prédiction

Le critère d'efficacité de la prédiction consiste à déterminer la matrice $S_o$ qui minimise la variance de l'erreur de prédiction du futur des observations [3]

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Min } \text{tr}[\text{Cov}(y_k^+ - y_k^+ | z_k)] \\ z_k = S_o y_{k-1} \end{array} \right. \qquad (17) $$

Ce problème d'optimisation conduit à l'expression de la matrice $S_o = T \bar{V}'_n R_{-}^{-1/2}$ où T est une matrice (nxn) inversible et $V_n$ la matrice (mpxn) obtenue par décomposition en valeurs singulières du produit des deux matrices $HR_{-}^{-1/2}$ :

$$ HR_{-}^{-1/2} = \bar{U} S \bar{V}' = [ \bar{U}_n \bar{U}_0 ] \begin{bmatrix} S_n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V'_n \\ V'_0 \end{bmatrix} \qquad (18) $$

Avec cette valeur de $S_o$ la matrice d'observabilité s'écrit :

$$ O = \bar{U}_n \bar{S}_n T^{-1} \qquad (19) $$

En prenant toujours $T = S_n^{1/2}$ la matrice d'observabilité devient $O = \bar{U}_n S_n^{1/2}$ qui est la même que celle obtenue en (11) en considérant $W_1=I_{mf}$; d'autre part, en considérant la décomposition en valeurs singulières (18) et en la comparant avec (10) on déduit $W_2=R_{-}^{-1/2}$. Par conséquent, le choix des matrices de pondération $W_1=I_{mf}$ et $W_2=R_{-}^{-1/2}$ conduit à des paramètres qui minimisent la variance de l'erreur de prédiction du futur des observations.

Une fois la matrice de transition déterminée nous pouvons extraire les paramètres modaux. Pour cela on augmente progressivement l'ordre n du processus et on établit le diagramme de stabilité en fréquence et en amortissement. Les fréquences, les coefficients d'amortissement et les vecteurs propres associés, utilisés par l'intermédiaire du MAC, correspondant à un certain ordre sont comparés avec ceux d'un ordre inférieur. Les critères de comparaison, c'est à dire les critères choisis pour différentier les modes de la structure des modes parasites sont : 100%(f(n)-f(n+1))/f(n)<2%; 100%(ξ(n)-ξ(n+1))/ξ(n)<5%; 100%(1-MAC(n,n+1))<2% où

$$ \text{MAC}(n,n+1) = \frac{|v^{(n)H} v^{(n+1)}|^2}{(v^{(n)H} v^{(n)})(v^{(n+1)H} v^{(n+1)})} \quad \text{avec } v^{(n)} \text{ un vecteur propre à l'ordre n.} $$

Un autre MAC utilisant les matrices d'observabilité et de contrôlabilité mesurées et estimées a été proposé par Lardiès, Coine (2001). Dans les diagrammes de stabilité on identifie les amortissements de la façon suivante : bleu * : amort < 0,5%; rouge x : 0,5%<amort<2%.

## 3 Application : paramètres modaux d'un câble de haubanage

Les câbles de haubanage sont des éléments structuraux de certains ponts, fournissant une conception économique, esthétique et permettant d'assurer la stabilité de l'ouvrage. Cependant les câbles sont flexibles et peuvent être sujets à de nombreuses mises en vibrations conduisant à des endommagements par fatigue. La détermination des paramètres modaux de
tels câbles est essentielle pour évaluer les instabilités, les tensions et prévoir l'éventuelle modification structurale à apporter, comme un ajout d'amortisseur. La figure 1 ci dessous montre le pont suspendu de Jimma en Chine. C'est un pont comprenant un ensemble de 28x4 = 112 câbles tendus. Ces câbles sont essentiellement soumis à l'action du vent, des intempéries et de la circulation.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure1. Vue du pont Jimma et diagramme de stabilité</figcaption></figure>

En utilisant la sortie de l'accéléromètre placé sur un câble, et en traitant les données par l'algorithme (12) et le critère du maximum d'information, nous obtenons le diagramme de stabilité représenté sur la figure 1. Les six premières fréquences propres identifiées à partir de ce diagramme sont : F₁ = 1,96 Hz ; F₂ = 3,93 Hz ; F₃ = 5, 90 Hz ; F₄ = 7,89 Hz ; F₅ = 9,86 Hz et F₆ = 11,84 Hz. Elles sont obtenues en effectuant la moyenne sur les 70 ordres considérés. Les coefficients d'amortissement sont aussi indiqués sur ce diagramme. Après avoir isolé chaque mode, et fait la moyenne sur les 70 ordres du diagramme de stabilité, les coefficients d'amortissement identifiés sont : ζ₁=0,24% ; ζ₂=0,04% ; ζ₃ = 0,17% ; ζ₄=0,22% ; ζ₅ = 0,18% ; ζ₆ = 0,17%. Les paramètres modaux peuvent être estimés à partir d'une autre technique basée sur la transformée en ondelettes. Des résultats et des comparaisons seront présentés lors de la conférence.

**4. Conclusion**

L'ensemble des algorithmes basés sur l'estimation de la matrice de transition du modèle espace d'état donne toute satisfaction sur les points suivants : bonne précision et bon pouvoir séparateur pour distinguer des modes associés à des fréquences très voisines, robustesse de la méthode vis à vis de non stationnarités de l'excitation ; la comparaison des résultats obtenus pour différents ordres du modèle est essentielle et se fait automatiquement grâce aux indicateurs de cohérence modale. L'un des inconvénients de la méthode est le temps important de calcul de la matrice de transition et de sa diagonalisation lors des ordres élevés.

**Références**

[1] Aoki M. 1990, *State space modeling of time series*, Springer-Verlag, Berlin.

[2] Juang J. N. 1994, *Applied system identification*, Prentice Hall, N.J.

[3] Lardiès J. 2000, Estimation of parameters and model order in state space innovation forms, *Inverse Problems in Engineering*, **8**, pp. 75-92.

[4] Lardiès J. et Coine D. 2001, Différentes approches de l'analyse modale temporelle, *1er Colloque d'Analyse Modale Expérimentale, Val de Loire*

[5] Lardiès J. 2003, Algorithmes d'identification des paramètres modaux dans le domaine temporel, *XVIème Congrès Français de Mécanique, Nice*