<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Page du Codex Leicester de Léonard de Vinci décrivant l’impact d’une goutte. CC BY</figcaption></figure>

L’impact d’une goutte sur une surface a toujours fasciné les hommes ; déjà Léonard de Vinci dans le codex Leicester en 1501, reportait les figures délicates de digitation des éclaboussures et c’est au XIXe siècle que Worthington publia la première étude exhaustive sur les formes adoptées par des gouttes de liquides tombant verticalement sur une plaque horizontale.

Le développement des caméras ultra-rapides qui permettent d’enregistrer 10 000 images par secondes, il y a une quinzaine d’années, a permis des progrès considérables dans la description spatio-temporelle d’une très grande variété de phénomènes d’impact invisibles à l’œil nu tant leurs durées sont courtes (typiquement un centième de seconde), et le nombre de publications scientifiques dans ce domaine a explosé ces dernières années, poussées par la variété des situations naturelles ou industrielles où ce phénomène se rencontre. Paradoxalement, l’étude de l’impact de billes de gels ou plus généralement de petits objets mous ou de gouttes de fluides viscoélastiques et déformables a suscité beaucoup moins de travaux.

Nous avons choisi récemment de revisiter l’impact de différents objets millimétriques sur une surface solide et montré que ce phénomène obéit à un comportement unifié très simple quelle que soit la nature de l’objet impactant.

En recouvrant la surface d’impact d’une très fine couche d’azote liquide (très froide) qui se vaporise au contact de l’objet au moment du choc, formant un petit coussin de vapeur d’azote, les pertes énergétiques dues au frottements solides ou visqueux fortement dépendantes du couple objet/surface d’impact peuvent être éliminées. On parle d’effet Leidenfrost inverse. On peut ainsi filmer l’expansion puis la rétractation de l’objet déformé dans des conditions idéales de dissipation minimale, à différentes vitesses d’impact.

En tombant en chute libre d’une hauteur de 1m, le petit objet sphérique millimétrique incompressible acquiert ainsi une énergie cinétique proportionnelle à sa masse et au carré de la vitesse d’impact et s’écrase à une vitesse typique de l’ordre de 4m/s. Au moment du choc, l’objet stoppé se déforme violemment : il s’aplatit et forme une crêpe dont le diamètre croît jusqu’à une valeur maximale qui peut atteindre six fois le diamètre initial. Puis celle-ci se rétracte pour reformer la bille ou la goutte initiale qui rebondit. La séquence dure un centième de seconde environ. Le choc est élastique et l’énergie de la bille doit se conserver : son énergie cinétique diminue pour être progressivement transformée en énergie élastique de déformation qui est stockée au fur et à mesure dans la crêpe en expansion jusqu’à sa taille maximale où la conversion est complète. Puis le processus s’inverse au cours de la rétractation.

## L’énergie élastique

Mais quelle la nature de cette énergie élastique de déformation ? Pour les liquides simples, pour lesquels il n’existe pas de liaisons intermoléculaires, il s’agit de l’énergie de surface qui est proportionnelle à l’aire de l’objet.

Le coefficient de proportionnalité s’appelle la tension superficielle et a la dimension d’une énergie par unité d’aire : à la surface d’un milieu dense, les molécules qui constituent la matière ne sont pas rigoureusement dans le même état qu’à l’intérieur, puisqu’elles interagissent avec moins de voisines.

Ce nouvel état local se traduit par une petite augmentation de l’énergie de chaque molécule en surface. À la surface d’un milieu est donc associée une énergie par unité de surface ou tension superficielle dont l’origine est la force de cohésion entre molécules identiques. C’est elle qui est par exemple est responsable de la forme sphérique d’une goutte au repos (qui correspond à l’aire minimale pour un volume fixé), ou qui permet à des petits insectes de marcher sur l’eau comme les gerris.

## Et pour les solides ?

Pour les solides, il existe en plus une énergie élastique de déformation volumique ; elle provient de la déformation des liens du réseau moléculaire qui constitue le solide et elle est caractérisée par un module élastique de déformation, qui a la dimension d’une énergie par unité de volume (ou pression).

Par construction le rapport entre la tension superficielle d’un matériau et son module élastique a la dimension d’une longueur appelée longueur élastocapillaire, caractéristique d’un matériau (elle est infinie pour un liquide simple).

Pour les objets de taille bien inférieure à leur longueur élastocapillaire, c’est l’énergie superficielle qui contrôle la déformation de l’objet ; au contraire pour des objets de taille bien supérieure à cette longueur capillaire, c’est l’énergie élastique volumique qui l’emporte.

Pour des objets de taille comparable à la longueur élastocapillaire ; les deux modes de déformation élastique sont à prendre en compte. Pour la plupart des solides usuels (solides cristallins, métaux., verres) le module élastique est très élevé et varie tandis que la tension superficielle varie peu de sorte que la tension superficielle ne joue un rôle seulement significatif dans la déformation que pour des objets de taille colloïdale (<1 micromètre) ou même nanométrique.

Pour les gels, qui sont constitués d’un réseau réticulé de chaînes polymériques baignant dans l’eau, l’élasticité volumique est de nature différente (on parle d’élasticité caoutchoutique), avec des modules élastiques qui peuvent être très faibles entre 1 et 10 000 J/m3 ; on peut ainsi formuler des solides ultra-mous. Si les liens du réseau sont transitoires : on a à faire à un fluide viscoélastique qui se comportera comme un solide sur des temps plus courts que son temps de relaxation et comme un liquide au-delà. Pour ces objets, la longueur élastocapillaire peut varier entre 1mm et 10 cm, exactement dans le domaine d’observation de l’impact de gouttes ou billes, et les deux énergies élastiques jouent un rôle !

La dynamique d’impact de ces objets : billes de gel, gouttes viscoélastiques, gouttes de liquide simple est décrite en l’absence de dissipation par des lois d’échelle très simples en fonction de la vitesse d’impact, et identiques quelle que soit la nature de l’objet.

Tout se passe comme si la nappe en train de se déformer se comportait comme un simple ressort sur lequel on tire, et dont la constante de raideur s’exprime simplement en fonction de grandeurs physiques qui caractérisent les propriétés mécaniques de l’objet : sa taille, sa tension superficielle, son module élastique de déformation et sa densité.

Une nouvelle vitesse caractéristique de déformation élastique généralisée associée à l’impact de chaque objet apparaît naturellement dans cette description, combinaison de la vitesse de propagation des ondes sonores transversales dans le milieu (c’est la composante solide) et de la vitesse de Rayleigh associée à la vibration dune goutte liquide sphérique (c’est la composante liquide). Les situations d’impact d’une goutte de liquide simple ou d’une bille élastique « dure » apparaissent alors simplement comme les limites d’un comportement unifié.