peut pas parler d'orbite ou de position pour l'électron. Selon la mécanique quantique (MQ), le concept correct est celui d'un état, pas de position.

D'autre part, le déterminisme classique et son aspect prédictif nous disent que si nous connaissons l'état initial d'un système, il est possible de prédire son évolution temporelle et son état final. Ceci est modélisé par l'équation différentielle ordinaire (ODE), postulée par Newton. Cette loi est appliquée à la modélisation du mouvement des vagues à l'aide d'un oscillateur harmonique simples (OHS).

Alors, le mouvement vibratoire des molécules est régi par les règles de la MQ selon Schrödinger. Son équation indépendante du temps unidimensionnelle en x, équation (1)

$$H\Psi = K\Psi + V\Psi = E\Psi \quad (1)$$

où K et V sont les opérateurs des énergies cinétique et potentielle de la particule, H est l'opérateur Hamiltonien et Ψ est la fonction d'onde. Ici nous suggérons l'interprétation du potentielle de l'OHS, $V\Psi = E\Psi$, équation (2)

$$E_n = (n + 1/2)\hbar\omega \quad (2)$$

où $\hbar = h/2\pi$ e c'est la constante de Planck ; $\omega$ c'est la fréquence angulaire.

L'étudiant doit s'approprier le chemin déductif des équations (1) et (2) afin de donner un sens aux concepts physiques impliqués. L'enseignant est chargé d'explorer les concepts contre-intuitifs en jeu et d'analyser les obstacles à l'interprétation dominante du phénomène étudié selon la MQ.

En fonction du temps didactique disponible, l'enseignant a proposé une situation fondamentale dans laquelle les participants pouvaient manipuler les opérateurs (en commutation), les concepts et l'épistémologie, en développant leur propre langage - les mathématiques - dans l'interprétation prévue. L'étude a été réalisée en 10 séances de 150 minutes, selon le tableau suivant.

<table><caption>**Tableau 1** – Séances et sujets dans le parcours (Source : les auteurs)</caption><thead><tr><td>Séance</td><td>Objet</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Le modèle de Bohr</td></tr><tr><td>2</td><td>Dualité onde-particule</td></tr><tr><td>3</td><td>Principles de la statistique</td></tr><tr><td>4</td><td>Cinématique versus densité de probabilité</td></tr><tr><td>5</td><td>Algèbre d'opérateurs</td></tr><tr><td>6</td><td>Spectroscopie</td></tr><tr><td>7</td><td>L'atome de Schrödinger</td></tr><tr><td>8</td><td>Principe d'incertitude</td></tr><tr><td>9 et 10</td><td>Modèles OHS</td></tr></tbody></table>

### Question de la recherche

Dans quelles conditions le milieu peut-il aider les professeurs de chimie à développer leurs compétences en matière d'interprétation ?

Notre hypothèse est que ces conditions découlent de l'évolution de ce milieu didactique vers la situation fondamentale.

### 1. Fondements théoriques et procédures méthodologiques

Les principaux outils théoriques utilisés dans la recherche ont été la notion de situation fondamentale, la dialectique de l'action, de la formulation, de la dévolution, de
l'institutionnalisation et de milieu (Brousseau, 2008, Margolinas, 2002). L'ingénierie a apporté à la réflexion ses analyses et expérimentations (Artigue, 1989), ainsi que les notions de noosphère issues de la TAD (Chevallard, 2002).

La notion de milieu a permis de hiérarchiser les situations et d'identifier les symétries et les asymétries par rapport au savoir (Margolinas, 2002). Elle interroge également les positions et situations de l'enseignant par rapport à la situation fondamentale (position d'indice zéro dans le tableau 2). Ainsi, *M*, *E*, *P* et *S* représentent les niveaux correspondant respectivement au milieu, à l'élève, à l'enseignant et à la situation, comme le montre le tableau 2.

<table><caption>Tableau 2 – Structuration du milieu (Margolinas, 2002)</caption><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td><i>M</i><sub>+3</sub><br>Construction</td><td><i>E</i><sub>+3</sub></td><td><i>P</i><sub>+3</sub><br>Noosphérien</td><td><i>S</i><sub>+3</sub><br>Situation noosphérienne</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>+2</sub><br>Projet</td><td><i>E</i><sub>+2</sub></td><td><i>P</i><sub>+2</sub><br>Constructeur</td><td><i>S</i><sub>+2</sub><br>Situation de construction</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>+1</sub><br>Didactique</td><td><i>E</i><sub>+1</sub><br>Réflexif</td><td><i>P</i><sub>+1</sub><br>Projeteur</td><td><i>S</i><sub>+1</sub><br>Situation de projet</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>0</sub><br>Apprentissage</td><td><i>E</i><sub>0</sub><br>Élève</td><td><i>P</i><sub>0</sub><br>Professeur</td><td><i>S</i><sub>0</sub><br>Situation didactique</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>-1</sub><br>Référence</td><td><i>E</i><sub>-1</sub><br>Apprenant</td><td><i>P</i><sub>-1</sub><br>Observateur</td><td><i>S</i><sub>-1</sub><br>Situation d'apprentissage</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>-2</sub><br>Objectif</td><td><i>E</i><sub>-2</sub><br>Agissant</td><td><i>P</i><sub>-2</sub></td><td><i>S</i><sub>-2</sub><br>Situation de référence</td></tr><tr><td><i>M</i><sub>-3</sub><br>Matériel</td><td><i>E</i><sub>-3</sub><br>Objectif</td><td><i>P</i><sub>-3</sub></td><td><i>S</i><sub>-3</sub><br>Situation objectif</td></tr></tbody></table>

Développement de l'étude

L'intention didactique visait à : (i) comprendre comment les étudiants interprètent les mouvements vibratoires des molécules (ii) étudier quelles restrictions défavorisent l'interprétation des phénomènes physiques associés.

ANALYSE A PRIORI

Le milieu généré dans les analyses *a priori* avait pour but d'introduire le sujet de l'algèbre des opérateurs en vue d'une compréhension future du principe d'incertitude. L'approche était basée sur la dialectique de dévolution où les étudiants aient reçu trois vidéos sur le débat autour de l'interprétation en physique, les propriétés des ondes et l'interférence<fnref n="1" />,<fnref n="2" />. La situation fondamentale a été consacrée à l'application de la modélisation OHQ (9ème et 10ème séances), dans laquelle il a été démontré algébriquement que la position et le moment d'une particule sont des variables incompatibles. Pour ce faire, nous avons dû appliquer la propriété de commutation à ces deux variables. L'objectif était ici de déduire mathématiquement le principe d'incertitude.

MÉTHODOLOGIE DE LA RECHERCHE

Le nombre total de participants a été de sept. La recherche est arrivée entre août et décembre 2025. La structuration descendant du milieu vers la situation fondamentale s'est déroulée selon

<footnote n="1">¹ https://www.youtube.com/watch?v=xXM8yXLLxqc</footnote>

<footnote n="2">² PhET: radio-waves_ wave interference_en.jar.</footnote>
les étapes suivantes : les réflexions de $P_{+3}$ des aspects contre-intuitifs des particules tels que la dualité onde-particule. Le cadre théorique des séances a été établi en Griffiths (2011). Dans le processus d'ingénierie la direction a été donnée à travers la médiation du langage au niveau $N_{+2}$. Selon les analyses effectuées en $N_{+1}$ le but a été sur les idées principales de l'école de Copenhague, selon Bohr, Schrödinger, Born et Heisenberg.

Le modèle statistique de l'atome d'hydrogène, dont les concepts serviront à interpréter le phénomène des vibrations des molécules a été essentiel en $S_0$ pour expliquer l'action d'opérateur $H$ sur la fonction d'onde, $\psi_0$, et le principe d'incertitude au niveau fondamental du OHQ.

## RÉSULTATS

L'analyse *a posteriori* a révélé que dans la situation didactique $S_{-2}$, les participants ont pris conscience du problème en regardant les vidéos. Ils ont été invités à tirer leurs premières conclusions sur la dualité onde-particule et sur les points de vue classique et quantique de la physique. Cette action a été répétée trois fois de plus lorsque la même approche a été proposée aux étudiants dans les vidéos sur les ondes et les interférences.

Au niveau $E_{-2}$ le chercheur a observé une difficulté à comprendre la nature ondulatoire et les propriétés corpusculaires des électrons, ce qui est quelque peu contre-intuitif. Alors, $P_{-2}$ a demandé comment une particule peut être une onde et avoir une position définie en même temps. La réponse de $E_{-1}$ a conduit $P_{-2}$ à anticiper, en renvoyant une tâche de médiation de la notion de densité de probabilité $\rho(x)$, dans $S_{-1}$. (Griffiths, 2011). L'intervention précoce de $P_{-1}$ avant la phase didactique du milieu, $S_0$, lui a permis de retrouver l'idée de la non-localité d'une particule lors de l'approche du principe d'incertitude dans la tâche correspondant à $M_0$ :

> Démontrer le principe d'incertitude en appliquant la propriété de commutativité à la paire de variables : position et quantité de mouvement d'une particule. [$\hat{x}, \hat{p} = -i\hbar\frac{d}{dt}$].

Dans cette tâche, 71% des $E_0$ ont exprimé le principe en citant l'impossibilité de déterminer la position et le moment d'une particule avec une précision absolue. Alors, ils n'ont pas démontré algébriquement ce principe à partir des données de l'énoncé.

Les interactions entre $E_0$ et $M_0$ ont révélé que la situation à ce niveau était vraiment fondamentale, car les participants ont cherché des réponses en utilisant différents types de connaissances, telles que l'algèbre des opérateurs dans leurs essais de commutation des opérateurs de $x$ et de moment de la particule $p = -i\hbar\frac{d}{dt}$, ainsi que la connaissance des propriétés ondulatoires implicites dans le modèle OHQ, telles que la fréquence, la longueur d'onde et l'énergie potentielle mécanique, associée aux vibrations des molécules.

Les principales contraintes à la réussite de la situation fondamentale se situent au niveau algébrique :

a) même si $E$ avait déjà commencé le calcul, il y avait de grandes difficultés à appliquer les règles de dérivation, par exemple, étant $y = senx \Rightarrow y' = -cosx$; dans ce genre de tâche, $E_{-1}$ ont échoué.

b) d'autre part, $E_{-1}$ a des restrictions dans l'expression de la formule de l'énergie mécanique totale d'un système, alors qu'ils connaissaient déjà les lois de Newton.
Les manques algébriques suggèrent des difficultés dans l'application de la notion d'opérateur dans la justification des relations d'incertitude. Théoriquement, $E_0$ ont révélé des traces d'un lien fort avec le contrat de reproduction formelle, selon Almouloud (2022), qui limite l'institutionnalisation du savoir parce que $P_{-1}$ avait déjà démontré ce principe en $N_{-1}$.

## ANALYSE A POSTERIORI

Comme prévu dans les analyses *a priori*, l'expérimentation a révélé des difficultés d'interprétation du milieu par les étudiants, mais son application dans la formation était valable, compte tenu des contraintes de temps et des conceptions antérieures des étudiants, qui étaient encore classiques.

Ils ont fait des déclarations correctes mais sans démonstration algébrique. Il serait nécessaire de démontrer algébriquement que la position et la quantité de mouvement d'une particule sont des variables incompatibles selon le langage de la MQ. Cela aurait dû être en appliquant la propriété de commutation entre ces deux variables. C'est l'une des façons de déduire mathématiquement le principe de Heisenberg.

En plus du manque d'algèbre se reflète dans le concept d'énergie du point zéro, qui est crucial pour différencier les interprétations classiques et quantiques du phénomène de la vibration des molécules et des atomes, entre autres. Ces résultats indiquent une faible articulation linguistique qui montre la nécessité d'insister sur l'intégration des aspects formels, conceptuels et épistémologiques dans l'interprétation quantique.

## CONSIDÉRATIONS FINALES ET VALIDATION

Une comparaison entre les analyses *a priori* et *a posteriori* suggère un succès relatif du processus de formation initiale des enseignants. Le modèle didactique a permis au chercheur d'enseigner de manière spécifique un sujet complexe tel que les vibrations moléculaires selon la mécanique quantique. Malgré cela, le milieu adidactique a évolué de manière asymétrique vers la situation fondamentale, en grande partie en raison des lacunes algébriques des étudiants.

Bien que nous n'ayons pas eu le temps de tester la reproductibilité des situations, cette étude propose un nouveau protocole d'investigation sur un sujet très complexe de la MQ, donc nous proposons une nouvelle ingénierie pour éprouver les praxéologies possibles.

Ces résultats nous montrent clairement qu'il est possible de proposer une conception dans laquelle l'ingénierie, soutenue par la TSD dans la formation des professeurs de chimie dans des conditions mathématiquement difficiles. En ce sens, des cadres théoriques se complètent mutuellement en vue d'une économie dans la sélection et la formulation du contenu de l'enseignement aux différents niveaux.

## REFERENCES

* Almouloud S. A. (2022). *Fundamentos da Didática da Matemática*. 2ª ed. revisada e ampliada. Curitiba: Ed. UFPR. 344p. ISBN 978-65-87448-76-3.

* Artigue M. (1989). Ingénierie didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, n.9.3, p.281-308.

* Brousseau G. (2008). Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. Tradução de Camila Bogéa. São Paulo: Ática. ISBN 978 85 08 1966 0.
Chevallard Y. (2002). Organiser l'étude : 1. Structures & fonctions - Cours donné à la XIe école d'été de didactique des mathématiques (Corps, 21-30 août 2001). Paru dans les actes correspondants, *La Pensée Sauvage*, Grenoble, 2002a, p. 3-32.

Griffiths D. J. (2011). Mecânica Quântica. - 2. ed. - São Paulo: Pearson Prentice Hall.

Margolinas C. (2002). Situations, milieux, connaissances : Analyse de l'activité du professeur. J.-L. Dorier, M. Artaud, M.Artigue, R. Berthelot & R.Floris. Actes de la 11ème École d’Été de Didactique des Mathématiques, La pensée sauvage, pp.141-156, 2002. halshs-00421848
# TENSIONS DIDACTIQUES DANS LA FORMATION DES ENSEIGNANTS A MAYOTTE :
## CONTEXTUALISATION CULTURELLE ET STRUCTURATION MATHEMATIQUE A L'EPREUVE DE LA TSD

TCHONANG YOUKAP<fnref n="1" /> Patrick, HERIMANDIMBY<fnref n="2" /> Evixel

**Résumé** – L'analyse des pratiques de deux enseignants en formation initiale à Mayotte, fondée sur la Théorie des Situations Didactiques (TSD), révèle des tensions entre contextualisation culturelle et structuration mathématique. Si l'intégration d'artefacts locaux favorise l'engagement des élèves, des effets de contrat didactique limitent la dévolution et la construction autonome des savoirs. L'étude met en évidence la nécessité d'un accompagnement renforcé pour optimiser la gestion du milieu didactique et assurer un équilibre entre ancrage culturel et exigences épistémologiques.

**Mots-clés** : Situations didactiques, contextualisation, dévolution, contrat didactique, formation des enseignants.

## INTRODUCTION

La formation initiale des enseignants de mathématiques constitue un enjeu majeur pour garantir un enseignement de qualité, particulièrement dans le contexte mahorais qui présente des spécificités territoriales marquées. Depuis 2021, un dispositif innovant de CAPES à affectation locale permet aux titulaires d'une licence en sciences d'accéder à l'enseignement tout en préparant un master MEEF<fnref n="3" /> pendant leur stage de deux ans. Cette initiative, visant à pallier le déficit d'enseignants dans l'académie, soulève des questions crucales sur l'articulation entre formation locale et exigences des programmes nationaux (Ministère de l'Éducation Nationale et de la Jeunesse, 2020).

Les recherches récentes démontrent la pertinence de la TSD dans la formation des enseignants. Hortelano et Prudente (2024) soulignent son impact positif sur la structuration des séquences pédagogiques et l'acquisition des connaissances. Les travaux de Daher et al. (2022) révèlent que les enseignants en formation, guidés par ce cadre théorique, développent des tâches didactiques plus riches intégrant efficacement paradoxes et enjeux cognitifs. L'étude de Tamba, (2022) met en évidence l'apport de la TSD dans l'utilisation d'outils numériques, favorisant l'engagement des élèves et le développement du raisonnement mathématique. Cette approche théorique démontre une adaptabilité particulière aux contextes locaux, permettant d'intégrer les spécificités culturelles dans la conception des situations d'apprentissage. La TSD, développée par Guy Brousseau, modélise l'apprentissage mathématique à travers des situations adidactiques où l'élève interagit avec un milieu antagoniste (Brousseau, 2002). Elle s'appuie sur quatre dialectiques : action, formulation, validation et institutionnalisation, régulées par le contrat didactique. À Mayotte, la mise en œuvre de la TSD pose des défis liés au plurilinguisme et aux pratiques mathématiques informelles. L'adaptation des situations didactiques et du contrat didactique dans la formation des enseignants devient essentielle pour articuler exigences épistémologiques et réalités socioculturelles. D'où la question : comment les enseignants stagiaires élaborent et mettent en œuvre des situations didactiques contextualisées à Mayotte?

<footnote n="1">¹ Laboratoire LIM de la Réunion, Université de Mayotte-France – ptchonangyoukap@univ-mayotte.fr</footnote>

<footnote n="2">² Ecole Normale de Fianarantsoa – Madagascar – eviherimandimby@gmail.com</footnote>

<footnote n="3">³ MEEF est un acronyme qui signifie Métiers de l'Enseignement, de l'Education et de la Formation</footnote>
La présente recherche est une première étape d'une recherche plus large qui vise à examiner la conception et la mise en œuvre des situations didactiques contextualisées par les enseignants de mathématiques en formation initiale à Mayotte. La suite de cet article s'articule autour des points suivants, la description de la méthodologie mise en œuvre, la présentation des principaux résultats et enfin la discussion des résultats qui débouchera sur des recommandations concrètes pour optimiser l'intégration des situations didactiques contextualisées dans la formation des enseignants.

## MÉTHODOLOGIE

Cette recherche s'inscrit dans une approche qualitative basée sur une étude de cas, centrée sur l'analyse des pratiques de deux enseignants de mathématiques en formation initiale à Mayotte. Nous appelons ces participants Ali et Fatima. Le dispositif méthodologique mobilise un cadre d'analyse issu de la TSD pour examiner comment les participants conçoivent et mettent en œuvre une situation didactique contextualisée en arithmétique et en géométrie. Les participants ont à leur actif, 5 années d'expérience comme enseignants contractuels en mathématiques au collège. Le recueil de données s'articule autour de deux axes complémentaires : l'analyse a priori de la fiche d'activité, l'observation des séances, qui inclus l'étude des interactions didactiques. Les fiches d'activités sont analysées grace à l'analyse des contenus.

L'observation en classe est structurée par une grille systématique construite autour des concepts clés de la TSD (dévolution, interactions, effets de contrat) et enrichie d'indicateurs spécifiques aux enjeux culturels du territoire. Cette grille s'articule autour de trois dimensions principales : la dévolution (évaluant l'appropriation du problème par les élèves, le transfert de responsabilité et l'engagement autonome), les interactions didactiques (analysant les échanges entre élèves, la communication avec l'enseignant et les rétroactions du milieu), et les effets de contrat (observant les attentes implicites, les interventions directives et les adaptations des consignes). Chaque dimension est déclinée en indicateurs observables permettant une analyse fine des pratiques enseignantes, avec une attention particulière aux médiateurs culturels employés, à leur intégration dans les situations mathématiques, et aux potentielles ambiguïtés conceptuelles qu'ils peuvent générer dans le contexte spécifique de Mayotte.

## RÉSULTATS

### Analyse de la fiche de la séance de Fatima

La situation proposée par Fatima vise l'acquisition de la comparaison des fractions ayant le même dénominateur. L'intention d'enseigner explicitement ce contenu est clairement dévoilée aux élèves, ce qui contraste avec les caractéristiques d'une situation adidactique, où les savoirs doivent émerger de la résolution du problème par les élèves eux-mêmes. Les images utilisées ont une fonction représentative et sont associées à l'énoncé. Le contexte est bien décrit, et l'utilisation du cocotier comme médiateur culturel favorise l'ancrage du contenu mathématique dans un référent familier aux élèves. Toutefois, certaines expressions ambiguës, telles que « 3/7 de grand cocotier » au lieu de « 3/7 de la superficie du champ », peuvent induire des confusions conceptuelles et générer des effets de contrat car, l'ambiguïté dans la formulation pourrait conduire certains élèves à mal interpréter les fractions des quantités (fraction de surface où fraction d'un ensemble d'objet) en fonction de leur expérience et leur compréhension du problème. Enfin, on observe des indices explicites suggérant le modèle mathématique à utiliser,
ce qui diminue l'autonomie investigatrice des élèves et leur appropriation personnelle des savoirs.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 1-activité proposée par Fatima</figcaption></figure>

L'utilisation des cocotiers comme médiateurs culturels apparaît pertinente pour ancrer l'apprentissage des fractions dans une situation didactique contextualisée. Cependant, l'ambiguïté qui émerge de l'interprétation possibles des quantités pourrait induit un écart entre la tâche mathématiques réelle et ce que l'élève pense devoir faire. Cela pourrait générer des obstacles à l'apprentissage en raison d'une inadéquation entre les savoirs mathématiques en jeu et les significations culturelles attribuées par les élèves.

L'analyse de la séance de Fatima met en évidence des tensions didactiques significatives, notamment en ce qui concerne la gestion de la dévolution et du contrat didactique. Après la distribution de la fiche d'activité, un temps d'appropriation a été laissé aux élèves. Toutefois, ces derniers ont éprouvé des difficultés à s'engager dans la tâche, nécessitant des interventions répétées de l'enseignante pour explicitier l'énoncé et clarifier les attentes. Cette nécessité de ré explication a prolongé la phase de dévolution, réduisant en conséquence le temps dédié aux phases d'action et de communication. Par ailleurs, lors de la mise en commun, Fatima a adopté une posture fortement directive, orientant l'élève au tableau dans la formulation des réponses attendues. Ce mode d'intervention limite l'autonomie des élèves dans la gestion de la situation didactique et restreint leur prise de responsabilité dans l'élaboration des savoirs. Ces éléments traduisent une difficulté à instituer un contrat didactique permettant aux élèves de s'approprier la tâche de manière autonome, ce qui entrave le processus de dévolution et la dynamique d'apprentissage attendue.

## Analyse de la fiche de la séance de Ali

L'objectif de la situation proposée par Ali est de consolider les connaissances sur les symétries, supposées acquises en classe de 5e. Le contexte décrit une pratique sociale locale, et l'artefact servant de médiateur culturel est un jeu traditionnel appelé jeu de Faranoma. Un dessin associé à l'énoncé représente différentes configurations en rouge. Selon Ali, cette représentation vise à soutenir les élèves dans la réalisation de la tâche, jugée trop difficile. La tâche consiste à compléter une figure incomplète en mobilisant les propriétés des symétries et les axes de symétrie.
Un artisan local prépare un plateau de Fanorona, mais une partie des motifs géométriques s'est effacée avec le temps. Il souhaite restaurer le plateau en respectant les règles traditionnelles de la symétrie axiale. À partir de la partie visible du motif du plateau et de l'axe de symétrie tracé :

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

1. Retrouvez les motifs manquants en utilisant la symétrie axiale.

2. Identifiez les éléments du motif qui resteront inchangés apres la symétrie axiale.

Tracez les axes de symétrie possibles sur un plateau de Fanorona.

<caption>**Figure 2- Activité proposée par Ali**</caption>

L'activité proposée par Ali intègre un artefact culturel en tant que médiateur, ce qui l'inscrit dans une démarche de contextualisation. L'objectif de la situation n'est pas explicitement formulé. Toutefois, la présence de questions intermédiaires introduit des aides susceptibles de générer des effets de contrat didactique. Cela suggère que la situation, en l'état, pourrait ne pas optimiser l'apprentissage des symétries, notamment en ce qui concerne la structuration et la consolidation des connaissances.

L'observation de la séance d'Ali met en évidence une dévolution réussie de la situation didactique, les élèves s'étant immédiatement engagés dans la phase d'action sans nécessiter d'explications supplémentaires. L'organisation en îlots de trois élèves a favorisé les interactions et les confrontations de points de vue, générant ainsi un conflit sociocognitif propice à l'apprentissage. Cependant, malgré cet engagement initial, l'enseignant a dû intervenir à plusieurs reprises pour rappeler les consignes et expliciter l'usage de l'artéfact mentionné dans l'énoncé. Cela suggère que certains éléments du milieu didactique nécessitaient une meilleure description en amont pour éviter ces ajustements en cours de séance. Enfin, la phase de mise en commun a reproduit une dynamique similaire à celle observée chez Fatima, avec une posture directive de l'enseignant qui a guidé l'élève chargé de présenter la réponse au tableau.

## DISCUSSION DES RÉSULTATS

Les résultats obtenus dans cette étude mettent en lumière les tensions didactiques inhérentes à la conception et à la mise en œuvre des situations didactiques contextualisées dans la formation des enseignants à Mayotte. En nous appuyant sur la TSD, nous analysons ici les enjeux liés à la dévolution, à l'institutionnalisation, ainsi qu'aux effets de contrat didactique, tout en interrogeant les implications de ces résultats pour la formation des enseignants.

L'intégration d'objets culturels locaux, comme le cocotier ou le jeu de Faranoma, illustre une volonté d'ancrer l'apprentissage mathématique dans des pratiques signifiantes pour les élèves. Cette approche est conforme aux recommandations de Daher et al. (2022) et Hortelano et
Prudente (2024), qui soulignent les bénéfices de la prise en compte du contexte socioculturel dans l'élaboration des tâches mathématiques. Cependant, l'insuffisance des rétroactions du milieu observé dans la situation mise en œuvre par Fatima met en évidence la nécessité d'une formation approfondie à la conception et à la mise en œuvre de situations contextualisées, assurant une cohérence didactique entre les objectifs d'apprentissage, les représentations des élèves et les interactions avec le milieu.

En particulier, la séance de Fatima montre comment l'emploi d'un médiateur culturel peut générer des **effets de contrat** (Brousseau, 2002), induisant une **superposition des registres de signification** entre la vie quotidienne et le domaine mathématique. Cette observation rejoint les analyses de Vermette et Martin (2017) sur les erreurs liées aux représentations duales des fractions chez les élèves. En conséquence, bien que la contextualisation culturelle favorise l'engagement des élèves, elle doit être rigoureusement pensée pour ne pas entraver la conceptualisation mathématique.

L'analyse des séances révèle une **dévolution incomplète** dans le cas de Fatima, caractérisée par une intervention enseignante fréquente et une posture directive lors de la phase de mise en commun. Cette posture peut être interprétée comme une tentative de compenser l'**incertitude épistémique** des élèves face à une tâche qui ne s'est pas imposée comme un véritable problème (Brousseau, 2002). En effet, l'objectif de la séance, explicité dès l'énoncé, a limité l'émergence d'un **milieu antagoniste**, réduisant ainsi la capacité des élèves à construire leurs propres stratégies.

À l'inverse, la séance d'Ali témoigne d'une meilleure gestion de la dévolution, avec une entrée plus naturelle dans la tâche. La dynamique d'interaction entre élèves a favorisé un **conflit sociocognitif** (Brousseau, 2002), élément clé pour la construction du savoir selon la TSD. Toutefois, les ajustements récurrents de l'enseignant indiquent que certains éléments du **milieu didactique** n'étaient pas suffisamment définis en amont, confirmant ainsi les conclusions de Tamba (2022) sur la nécessité d'une anticipation rigoureuse des variables didactiques, des choix de leurs valeurs et des effets a priori de ces choix.

Enfin, la phase d'institutionnalisation s'est révélée problématique dans les deux cas étudiés. L'intervention magistrale en fin de séance, bien que visant à valider les savoirs émergents, a souvent conduit à une **réduction de l'autonomie des élèves**. Cette observation rejoint les travaux de Hortelano et Prudente (2024), qui soulignent la difficulté, pour les enseignants novices, d'accompagner la formalisation des connaissances sans adopter une posture trop directive.

Les résultats obtenus soulignent plusieurs enjeux cruciaux pour la **formation des enseignants de mathématiques à Mayotte**. D'une part, ils mettent en évidence la nécessité d'un **accompagnement renforcé** dans la conception des situations didactiques, afin d'éviter les dérives sur le plan didactique. D'autre part, l'intégration de la **contextualisation culturelle** doit s'accompagner d'une réflexion approfondie sur le choix des artefacts et des représentations, afin d'éviter les confusions épistémologiques.

Enfin, cette étude ouvre des perspectives de recherche sur les liens entre **contextualisation culturelle, contrat didactique et institutionnalisation des savoirs** dans un contexte de pluralité culturelle. Une perspective serait d'examiner plus en profondeur les effets d'une formation spécifique à la gestion de la dévolution et du milieu didactique dans des environnements multiculturels comme Mayotte.

## RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics. In N. Balacheff, M.
Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield (Eds.), *Theory of Didactical Situations in Mathematics*. Kluwer Academic Publishers. https://doi.org/10.1007/0-306-47211-2

Daher, W., Baya'a, N., & Jaber, O. (2022). Understanding Prospective Teachers' Task Design Considerations through the Lens of the Theory of Didactical Situations. *Mathematics, 10*(3), 417. https://doi.org/10.3390/math10030417

Hortelano, J. C., & Prudente, M. (2024). Effects of the theory of didactical situations application in mathematics education: A metasynthesis. *Journal of Pedagogical Research, 8*(3), 246-262. https://doi.org/10.33902/JPR.202426908

Ministère de l'Éducation Nationale et de la Jeunesse. (2020). Programme du cycle 4. *Boen, 30*(31 juillet 2020), 100-108.

Tamba, K. P. (2022). Digital task design using theory of didactical situation. *International Conference of Mathematics and Mathematics Education, I-CMME 2021. Surakarta: AIP Conference Proceedings*, 2566(1), 020031. https://doi.org/10.1063/5.0114199

Vermette, S., & Martin, V. (2017). Analyse de situations proposées par de futurs enseignants pour enseigner la division de fractions. *Revue de Mathématiques Pour l'école*, 228, 28-35. https://doi.org/10.26034/vd.rm.2017.1792
ATELIERS
# LA SITUATION BANDE-UNITÉ, UNE INTRODUCTION AUX FRACTIONS

ANGLARD<fnref n="1" /> Julien, SEYFRIED<fnref n="2" /> Sven

**Résumé** – La ressource ERMEL en général, et la situation fondamentale "Bande Unité" en particulier, conçue pour introduire les fractions comme mesure d'une longueur, résonne particulièrement avec la théorie des situations didactiques (TSD), en particulier les situations d'action et de formulation, la notion de milieu, de contrat didactique et d'institutionnalisation. Dans cet atelier, nous proposons de faire vivre et analyser la situation "Bande unité" à la lumière de la TSD.

**Mots-clés** : fraction ; institutionnalisation ; ermel

## CADRE THÉORIQUE

La Théorie des Situations Didactiques (TSD), développée par Guy Brousseau dès les années 70 et exposée dans un ouvrage majeur (Brousseau, 1998), s'inspire de l'idée fondamentale que les connaissances se construisent en situation de résolution de problème.

Brousseau décrit trois types de situations d'enseignement dans lesquelles l'élève est plongé alternativement : les situations *d'action*, de *formulation* et de *validation*. Les deux premiers types de situations, dites *d'action* et de *formulation*, nous semblent être un modèle majeur de la situation ERMEL *Bande unité* (Ermel, 2005, 2021) que nous présenterons lors de cet atelier. Ces situations, construites sur le modèle des jeux, sont choisies de façon à permettre à l'enseignant de "se retirer" un moment afin de laisser les élèves en responsabilité de leur apprentissage. Le plus souvent, lorsque ces élèves vivent ce genre de situation pour la première fois, ceci crée une rupture du *contrat didactique*. Cette notion de *contrat didactique* est l'un des concepts fondamentaux de la TSD (Brousseau, 1984a). La rupture de ce contrat est une source de difficultés pour les enseignants. Cela constitue un obstacle à la mise en œuvre réussie de la situation *Bande unité*, obstacle que nous analysons dans notre brochure (Anglard et al., 2024). Le rôle de l'enseignant, qui reprend l'initiative après que le problème ait été résolu ou soit en passe de l'être est fondamental car il est responsable d'un processus incontournable : *l'institutionnalisation* (Brousseau, 1984b), symétrique du processus inverse de *dévolution*. Nous insistons particulièrement sur ce point, autre source de difficulté pour les enseignants, dans notre brochure et lors de cet atelier.

## PRÉSENTATION DE L'ATELIER

### Découverte de la situation

Dans un premier temps, nous proposerons aux participants de vivre une situation émetteur-récepteur introductive à *Bande unité*. Cette modalité de travail proposée par la ressource Ermel, qui nécessite l'écriture d'un message destiné à être lu et compris par un autre apprenant est assez

<footnote n="1">¹ IREM de Strasbourg – France – julien.anglard@ac-strasbourg.fr</footnote>

<footnote n="2">² IREM de Strasbourg – France – sven.seyfried@ac-strasbourg.fr</footnote>
rare dans le vécu des élèves et bouscule donc le contrat didactique établi avec eux. C'est en faisant vivre cette modalité aux participants en petits groupes que nous comptons mettre en lumière les difficultés de celle-ci.

La situation *Bande unité* est un problème à résoudre, elle peut donc avoir pour effet de rompre avec certaines habitudes, de modifier certaines clauses implicites du contrat didactique. Les élèves ont davantage la responsabilité de leurs apprentissages, et doivent accepter de prendre des initiatives.

Préalablement à la rédaction des messages, l'élève est placé dans une situation d'action pour résoudre un problème : il peut jouer, manipuler, effectuer des essais, seul ou à plusieurs, mais en l'absence de toute intervention de l'enseignant, après que celui-ci ait installé le problème.

La rédaction du message plonge l'élève dans une situation de formulation, qui l'amène à expliciter la méthode employée et à la rendre compréhensible à un autre élève.

## Analyse des productions

Dans un second temps, nous proposerons d'étudier collectivement les messages que les participants auront produits précédemment. Cela mettra en lumière les difficultés d'une part pour la rédaction de ces messages et d'autre part pour les notions mathématiques sous-jacentes. Nous proposerons ensuite de réelles productions d'élèves que nous analyserons et comparerons avec les productions des participants.

Dans les classes, ces messages permettent d'élaborer une première synthèse lors de la mise en commun, *étape de validation*, début du processus d'institutionnalisation qui est, rappelons-le, un moment fondamental d'une séance d'enseignement fondée sur la résolution de problèmes, dans le cadre de la Théorie des Situations Didactiques (Brousseau, 1984b).

## Discussion sur les propositions d'institutionnalisation

Nous continuerons en insistant sur le fait que comme l'a montré Brousseau, en l'absence totale d'intervention de l'enseignant, ces connaissances personnelles finissent par se perdre, faute d'avoir été reconnues comme un savoir important à retenir. Elles nécessitent d'être dégagées de la situation qui les a créées, structurées dans un savoir déjà acquis et reconnues comme partagées au sein d'une institution, pour être apprises. Or, l'élève ne peut faire tout cela sans l'intervention de l'enseignant.

Le rôle de l'enseignant est donc fondamental dans cette phase qu'il est seul à pouvoir prendre en charge, et que Brousseau a nommé *institutionnalisation*.

Afin de pouvoir institutionnaliser le concept de fraction, il va falloir le généraliser (aux quarts, huitièmes, ...), le décontextualiser de la situation initiale (les fractions de l'unité ne servent pas uniquement à mesurer des longueurs), l'étudier pour lui-même (certaines de ces fractions sont appelées à devenir à terme des nombres décimaux ; elles sont représentées par une écriture nouvelle ...) et même le dépersonnaliser (Allard, 2015) : les fractions ne sont pas une invention du professeur, mais un objet de savoir appartenant à une institution humaine plus large, dans laquelle il se place parmi d'autres objets.
Conclusion

Nous terminerons notre intervention en proposant plusieurs institutionnalisations réalisées par notre groupe. Ce sera l'occasion d'en discuter ensemble et de les mettre en perspective avec les nouveaux programmes.

RÉFÉRENCES

Allard, C. (2015). *Étude du processus d'institutionnalisation dans les pratiques de fin d'école primaire : le cas de l'enseignement des fractions*. Thèse de doctorat. [Paris : Université Paris Diderot]. En ligne https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01249807/document

Anglard, J., Kieffer, J., Metter, O., Seyfried, S., Urvoy, G. et Thomas, C. (2024). *Introduire les fractions à l'école primaire, ou comment réussir en classe la situation Bande unité de la ressource ERMEL*. IREM de Strasbourg, S 201.

Brousseau G. (1984a). *Le rôle central du contrat didactique dans l'analyse et la construction des situations d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques*. IMAG Grenoble. En ligne : https://ardm.eu/guy-brousseau/guy-brousseau.com/2332/le-role-central-du-contrat-didactique-dans-l'analyse-et-la-construction-des-situations-1984/index.html

Brousseau G. (1984b). *Le rôle du maître et l'institutionnalisation*. En ligne : https://ardm.eu/guy-brousseau/guy-brousseau.com/2376/le-role-du-maitre-et-l'institutionnalisation-1984/index.html

Brousseau, G. (1998). *Théorie des Situations didactiques : didactique des mathématiques 1970-1990*. La pensée Sauvage.

ERMEL (2005). *Apprentissages numériques et résolution de problèmes*. CM1 Cycle 3. Hatier.

ERMEL (2021). *Les essentielles CM1. 15 SITUATIONS pour l'apprentissage de la numération et du calcul*. Hatier.
ADAPTATION D'UNE EXPÉRIENCE STATISTIQUE POUR LA FORMATION DES ENSEIGNANTS : SPÉCIFICITÉS ÉPISTÉMOLOGIQUES À L'ÉCOLE PRIMAIRE ET SECONDAIRE

BARQUERO<fnref n="1" /> Berta, BOSCH<fnref n="2" /> Marianna, VÁSQUEZ<fnref n="3" /> Susana

**Résumé** – Cet atelier aborde la problématique de l'enseignement du hasard et de la statistique à l'école primaire et secondaire dans un paradigme pédagogique qui intègre l'expérimentation et l'enquête. Dans notre travail, nous partons de la situation proposée dans le cadre de la Théorie des Situations Didactiques sur la découverte des lois du hasard à l'école élémentaire (Briand & Brousseau, 1987) et son adaptation sous forme d'un parcours d'étude et de recherche pour la formation des enseignants. Nous étudions le travail de transposition dans le nouveau contexte de formation des enseignants. En particulier, nous nous intéressons à la construction du modèle épistémologique concernant les statistiques qui est nécessaire à la construction d'une démarche statistique et probabiliste.

**Mots-clés** : Théorie des Situations Didactiques, Théorie Anthropologique du Didactique, statistique et probabilités, formation des enseignants, parcours d'étude et de recherche.

INTRODUCTION

Dans ce travail, nous décrivons et analysons deux propositions pour l'enseignement des statistiques dans le contexte de la formation des enseignants. Les deux approches s'appuient sur les travaux pionniers de Guy Brousseau dans les années 1970 sur la composition d'une bouteille opaque contenant billes de différentes couleurs, une expérience sur l'enseignement de la statistique et la probabilité (Brousseau et al., 2002). Bien qu'elle soit initialement axée sur les probabilités à l'école primaire, elle peut être étendue à d'autres situations et niveaux scolaires (Briand, 2005 ; Carranza, 2011 ; Nilsson, 2020).

Nos propositions ont été élaborées dans différents projets d'ingénierie didactique menés à l'Université de Barcelone en Espagne, la première pour la formation des enseignants du primaire et la seconde pour la formation des enseignants du secondaire. Les deux projets ont été réalisés dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (TAD, Chevallard, 1999), en utilisant les *parcours d'études et de recherche* (PER) comme dispositifs de formation. Dans cet atelier, nous présentons à la fois les conceptions des formations et leur mise en œuvre pour comparer leurs développements et les hypothèses qui les soutiennent. Son analyse devrait engendrer des réflexions épistémologiques et méthodologiques sur le rapport dominant aux statistiques dans la formation des enseignants et dans les institutions scolaires et universitaires associées.

LA SITUATION « QU'EST-CE QUI SE CACHE DANS LA BOUTEILLE ? »

Les recherches de Brousseau sur l'enseignement de la statistique et des probabilités remontent aux années 1970 avec la conception et l'expérimentation d'une série de leçons destinées aux élèves de CM2. La proposition visait à étudier les conditions nécessaires pour permettre aux élèves du primaire « de construire par eux-mêmes une véritable compréhension du caractère

<footnote n="1">¹ Universitat de Barcelona – Espagne – bbarquero@ub.edu</footnote>

<footnote n="2">² Universitat de Barcelona – Espagne – marianna.bosch@ub.edu</footnote>

<footnote n="3">³ Universitat de Barcelona – Espagne – susanavasquez@ub.edu</footnote>
aléatoire et de la signification de l'échantillonnage statistique » (Brousseau et al., 2002, p. 364). Le résultat est une séquence de situations basée sur le problème de trouver la couleur de différentes boules cachées à l'intérieur d'une bouteille opaque. Un petit trou dans le bouchon de la bouteille qui ne montre qu'une seule boule à la fois permet de faire des « observations » en secouant la bouteille et en regardant la couleur de la boule à travers le trou. Les données recueillies à partir d'un certain nombre d'observations permettent alors de prédire la composition de la bouteille. Dans les termes de Brousseau (2009, p.6), dans cette situation :

> Les élèves se construisent une expérience (une connaissance non institutionnalisée) des fluctuations des séries statistiques, de la loi des grands nombres, d'une forme de convergence vers une fréquence théorique, d'intervalles de confiance et du test d'hypothèse, de la croissance du coût de la confiance, tout cela sans définitions formelles, mais comme réponse à des préoccupations déterministes, et avec une épistémologie spontanée empiriste caractéristique de leur développement.

Briand (2005) adapte la situation pour la classe de seconde en utilisant une bouteille contenant cinq boules rouges ou blanches. Dans cette situation, le jeu comprend la détermination empirique d'« intervalles de confiance » en considérant trois cas possibles (une, deux ou trois boules rouges) et le risque de prédire une mauvaise combinaison après un nombre donné d'observations. Les élèves se voient amenés à construire un « modèle statistique » (qui peut être une formule mathématique, mais aussi une bouteille construite par les élèves), à transcrire et organiser des données ; à distinguer une observation et une expérience (potentielle) (ou entre les fréquences observées et attendues) ; à analyser la variabilité de l'échantillon et comment sa taille influe sur le degré de certitude des hypothèses émises sur le contenu de la bouteille. La situation montre l'importance de considérer l'incertitude comme objet d'étude – même si les processus de modélisation utilisés à ce niveau éducatif sont plutôt « primitifs » –, pour élargir le concept de « rationalité » diffusé à l'école au-delà de sa conception déterministe.

Dans cet atelier, nous partons de l'hypothèse que ce jeu, qui conduit à la considération d'une situation fondamentale de la statistique inférentielle, constitue aussi une ressource adéquate pour questionner et travailler la statistique et le hasard dans la formation des enseignants. Nous nous appuyons sur un travail récent sur la formation des enseignants du primaire et du secondaire en Espagne et au Japon (Hakamata et al., 2024) pour faire vivre quelques éléments du jeu de la bouteille aux participants. Cela nous permettra d'élaborer conjointement un milieu empirique suffisamment riche pour analyser le potentiel épistémologique et didactique de la situation.

## PROPOSITION POUR LA FORMATION DES ENSEIGNANTS

Dans la première partie de l'atelier, nous expliquerons les décisions particulières qui ont été prises pour la conception du PER pour la formation des enseignants du primaire et du secondaire. Le point de départ est toujours la question génératrice $Q_0$ : « Étant donné une bouteille opaque contenant $b$ boules de $c$ couleurs, comment prédire le nombre de boules de chaque couleur ? ». Cette même $Q_0$ est présentée à travers différents choix des variables didactiques $b$ et $c$. Dans tous les cas, la réponse attendue réside dans la formulation d'hypothèses sur le contenu de la bouteille à partir d'un recueil de données considéré suffisant pour assurer un certain degré de confiance des hypothèses retenus. Ce travail peut se voir enrichi avec des simulations réalisées à partir de bouteilles à contenu connu permettant de contraster certains cas simples considérés ($c = 2$).

L'analyse de la situation mettra en évidence le type de questionnement qui surgit dans l'étude de $Q_0$ (figure 1), les stratégies de travail avec des données et de modélisation du hasard qui apparaissent, ainsi que la forme particulière que prend la dialectique des médias et des milieux dans l'enquête menée. Le déroulement du PER permet aussi de découvrir les limitations des
savoir mathématiques et statistiques disponibles pour décrire et analyser ces stratégies, ce qui situe la notion de situation fondamentale au premier plan en tant qu’outil de questionnement épistémologique et didactique pour la formation et pour la recherche.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>**Figure 1** – Description de la dynamique du questionnement lors d'un PER pour la formation d'enseignants du primaire à l'Université de Barcelone (Hakamata et al., 2024, p.11)</figcaption></figure>

RÉFÉRENCES

Briand, J. (2005). Une expérience statistique et une première approche des lois du hasard au lycée par une confrontation avec une machine simple. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 25*(2), 247-282. https://revue-rdm.com/2005/une-experience-statistique-et-une/

Briand, J., & Brousseau, G. (1987). Premières découvertes des lois du hasard à l'école élémentaire. *Atelier de pédagogie. Maîtres du cycle élémentaire*. https://ardm.eu/guy-brousseau/guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2015/02/2_atelierTV1976.pdf

Brousseau, G. (2009). Alternatives en didactique de la statistique. *41èmes Journées de Statistique, SFdS*, Bordeaux. https://inria.hal.science/inria-00386626/

Brousseau, G., Brousseau, N., & Warfield, V. (2002). An experiment on the teaching of statistics and probability. *The Journal of Mathematical Behavior, 20*(3), 363-411. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(02)00078-0

Carranza, P. (2011). Dualité dans l'enseignement de la probabilité. Apport pour l'enseignement de la statistique. *Recherches En Didactique Des Mathématiques, 31*(2), 229-259. https://revue-rdm.com/2011/dualite-dans-l-enseignement-de-la/

Chevallard, Y. (1999). L'analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 19*(2), 221-266. https://revue-rdm.com/1999/l-analyse-des-pratiques/

Hakamata, R., Fukuda, H., Otani, H., Otaki, K., Barquero, B., & Bosch, M. (2024). Potential of Brousseau's guessing game in teacher education: two complementary cases. *International Journal of Mathematical Education in Science and Technology*. https://doi.org/10.1080/0020739X.2024.2321587

Nilsson, P. (2020). Students' informal hypothesis testing in a probability context with concrete random generators. *Statistics Education Research Journal, 19*(3), 53-73. https://doi.org/10.52041/serj.v19i3.56
CONCEPTS ISSUS DE LA TSD POUR LE FORMATEUR ET EN FORMATION DANS LES
TRAVAUX DE LA COPIRELEM

BLANQUART<fnref n="1" /> Sylvie, GUILLE-BIEL WINDER<fnref n="2" /> Claire, MANGIANTE-ORSOLA<fnref n="3" />
Christine, PETITFOUR<fnref n="4" /> Édith, TEMPIER<fnref n="5" /> Frédérick, TUFFERY-ROCHDI<fnref n="6" /> Chantal

**Résumé** – L’objectif de cet atelier est d’interroger la manière selon laquelle des concepts issus de la théorie des situations didactiques (TSD), plus ou moins développés et explicités, peuvent servir de points d’appui pour la formation des professeurs des écoles. Pour ce faire, nous présentons un cadre d’analyse qui mobilise des concepts de la TSD et nous le mettons en œuvre sur une situation de formation emblématique des situations développées par la COPIRELEM, la situation *Concertum* (Péault et Butlen, 2003).

**Mots-clés** : Théorie des situations didactiques, situation de formation, professeurs des écoles, cadre d’analyse

INTRODUCTION ET ÉLÉMENTS DE CONTEXTE

Depuis sa création en 1973, la COmmission Permanente des IREm pour l'enseignement
ELEMentaire (COPIRELEM), s'est donné un double objectif : regrouper des travaux
présentant des activités de classe pour l'école élémentaire, à destination des enseignants (et des
formateurs) ; réfléchir à la question de la formation des instituteurs puis des professeurs des
écoles, en lien avec les recherches alors naissantes en didactique des mathématiques réalisées
à Bordeaux. À la suite de la création des IUFM (1990), dans un souci de continuité, la
COPIRELEM a souhaité capitaliser les travaux réalisés dans les écoles normales et les IREM
en les revisitant à la lumière des avancées des travaux en didactique des mathématiques. La
commission a ainsi développé de nombreuses situations de formation, qui mettent en œuvre des
stratégies d'homologie, de transposition ou culturelles (Houdement et Kuzniak, 1996), et qui
mobilisent des concepts théoriques, notamment l'analyse *a priori*, les variables didactiques et
les dialectiques action-formulation-validation (Brousseau, 1998).

Depuis les années 2010, la formation est marquée par des changements réguliers et importants :
mastérisation et création des ESPE, puis des INSPE, conduisant à une baisse du nombre
d'heures de formation ; recrutement important de formateurs de profils et de statuts diversifiés
(enseignants du secondaire, enseignants-chercheurs, Professeurs des Écoles Maîtres
Formateurs, Conseillers Pédagogiques de Circonscription) et exerçant plus souvent
qu'auparavant en service partagé entre leur établissement et l'université. Même si les situations
de formation de la COPIRELEM ont continué à se diffuser, le nouveau contexte a semblé rendre
plus difficile leur mise en œuvre en formation. La commission a fait à plusieurs reprises le
constat d'usages très variés de ces situations, parfois très éloignés des intentions des
concepteurs. C'est ce qui l'a amenée, à partir de 2015, à s'engager dans la conception d'un
cadre d'analyse de situations de formation (Masselot et al., 2016 ; Guille-Biel Winder et
Tempier, 2017 ; Guille-Biel Winder et al., 2019 ; Mangiante et al., 2019).

<footnote n="1">¹ COPIRELEM, LAB-E3D, Université de Bordeaux – France – sylvie.blanquart@u-bordeaux.fr</footnote>

<footnote n="2">² COPIRELEM, Aix-Marseille Université – France – claire.winder@univ-amu.fr</footnote>

<footnote n="3">³ COPIRELEM, LML, Université de Lille – France – christine.mangiante@univ-lille.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ COPIRELEM, LDAR, Université de Rouen Normandie – France – edith.petitfour@univ-rouen.fr</footnote>

<footnote n="5">5 COPIRELEM, LDAR, CY Cergy Paris Université – France – frederick.tempier@cyu.fr</footnote>

<footnote n="6">⁶ COPIRELEM, LIRDEF, Université de Montpellier – France – chantal.tuffery-rochdi@umontpellier.fr</footnote>
L'objectif de cet atelier est de présenter la manière selon laquelle des concepts issus de la TSD, plus ou moins développés et explicités, peuvent servir de points d'appui pour la formation des professeurs des écoles. Nous présentons ainsi un cadre d'analyse qui mobilise des concepts de la TSD (partie II), puis nous le mettons en fonctionnement avec l'étude de la situation de formation *Concertum*, emblématique des situations développées par la COPIRELEM (partie III).

CADRE D'ANALYSE DES SITUATIONS DE FORMATION

Le cadre d'analyse développé par la COPIRELEM vise à permettre aux utilisateurs des situations de formation proposées une meilleure appréhension des enjeux et une appropriation des modalités de mise en œuvre. Il donne aussi des moyens d'adapter les ressources en tenant compte du contexte et des contraintes de formation locales. Prenant appui sur la TSD, nous utilisons le mot « situation » au sens de (Brousseau, 2010) :

> Une situation est caractérisée dans une institution par un ensemble de relations et de rôles réciproques d'un ou de plusieurs sujets (élève, professeur, etc.) avec un milieu, visant la transformation de ce milieu selon un projet. Le milieu est constitué des objets (physiques, culturels, sociaux, humains) avec lesquels le sujet interagit dans une situation. Le sujet détermine une certaine évolution parmi des états possibles et autorisés de ce milieu, vers un état terminal qu'il juge conforme à son projet. (Brousseau 2010, p. 2)

Ainsi une « situation de formation » est, pour nous, une situation impliquant des formés (étudiants en formation initiale ou enseignants en formation continue), et des formateurs au sein d'une institution de formation d'enseignants. Elle consiste en un ensemble d'activités proposées par le formateur. Le cadre d'analyse vise à caractériser les activités proposées par le formateur en fonction de leur nature associée à plusieurs indicateurs (figure 1) :

- *le type de connaissances convoquées* : Houdement et Kuzniak (1996) en utilisant une métaphore issue de la théorie des situations didactiques, ont identifié trois types de « savoirs utiles pour enseigner » le savoir mathématique, le savoir didactique et le savoir pédagogique ; dans les différentes activités, nous distinguons alors les connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques, que l'on vise à faire acquérir aux formés ;

- *le degré de décontextualisation de ces connaissances* : selon les moments de la mise en œuvre, les connaissances convoquées peuvent être mobilisées en contexte implicitement (en acte), mobilisées en contexte explicitement ou décontextualisées (pour devenir mobilisables dans d'autres contextes) ;

- *la posture du formé dans l'activité* en référence aux travaux de Sayac (2012) : posture d'élève, d'élève-enseignant (au sens de « élève ingénieur »), d'enseignant, d'élève-chercheur (voire de praticien-chercheur).

Les différents types d'activités se présentent sous forme de paliers (figure 1).
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 1 – Schéma récapitulatif du cadre d'analyse (Celi et al., 2022, p. 13)</figcaption></figure>

## LA SITUATION DE FORMATION CONCERTUM

### Présentation de la situation de formation

Concertum est une situation de formation, issue d'une activité de classe, et qui a été retravaillée à plusieurs reprises lors de colloques ou de stages organisés par la COPIRELEM (Gairin-Calvo, 1987 ; Péault et Butlen, 2003)<fnref n="1" />. Nous avons choisi cette situation pour ses possibilités d'exploitation auprès de différents publics, du niveau Licence à la formation initiale et continuée des enseignants, et parce qu'elle permet d'aborder des éléments aussi bien disciplinaires (résolution de problèmes à l'aide des nombres et du calcul ; algorithmique) que didactiques.

La règle du jeu est la suivante : le groupe est réparti en *n* équipes de *x* joueurs. Chaque joueur dispose de 10 cartons numérotés de 0 à 9. Le formateur donne un nombre *M* entier compris entre 0 et $9x$. Chaque joueur de l'équipe doit lever un seul carton, et la somme des nombres par équipe doit être égale à *M*.

La situation de formation peut se dérouler selon plusieurs phases successives :

<footnote n="1">¹ Concertum est le nom donné à cette activité dans Jeux 2 : Jeux et activités numériques (Publication APMEP n°59, coordonnée par H. Péault, 1985)</footnote>
- *Phase 1* : présentation du jeu accompagnée d'un premier essai.

- *Phase 2* : succession de plusieurs jeux jusqu'à ce que toutes les équipes commencent à fournir des choix corrects.

- *Phase 3* : rédaction, par équipe, d'un message écrit expliquant la stratégie choisie, de la façon la plus claire possible, afin que d'autres soient capables de l'utiliser ; échange de messages entre équipes ; nouveau jeu, chaque équipe devant employer la stratégie décrite sur le message qu'elle a reçue.

- *Phase 4* : identification et formulation des stratégies par les équipes, en appui sur de nouveaux jeux (par équipes, avec des équipes plus grandes, en n'utilisant plus que les cartons de 0 à 7).

- *Phase 5* : analyse de l'activité.

- *Phase 6* : synthèse réalisée par le formateur.

L'analyse (phase 5) et la synthèse (phase 6) peuvent porter sur des connaissances mathématiques (prérequis, enjeux d'apprentissage), ou sur des concepts didactiques comme ceux de variables didactiques, situations d'action, de formulation et de validation, de dévolution et institutionnalisation (Brousseau, 1998).

## Analyse de la situation de formation

L'entrée dans la situation *Concertum* (phase 1) s'effectue au palier 0 (les formés vivent l'activité mathématique en suivant la règle du jeu), et les phases 2 à 4 conduisent au palier 1 (analyse mathématique *via* la recherche de stratégies gagnantes). Suivant l'objectif que s'est fixé le formateur, l'analyse de l'activité (phase 5) pourra se situer à différents paliers (2, 3 ou 4) et porter plus ou moins explicitement sur différents concepts de la TSD, selon le public auquel il s'adresse.

Par exemple, l'analyse peut porter sur la notion de variable didactique. En formation initiale, le formateur peut faire vivre en acte cette notion (en phase 4, on fait varier le nombre de joueurs par équipes, les cartons sont numérotés de 0 à 7) pour ensuite la présenter et amener les étudiants à prendre conscience de l'impact du choix des variables didactiques sur les procédures mises en œuvre et sur les connaissances mathématiques mobilisées (palier 2). En formation continue, les variables didactiques de la situation pourront être mises en évidence avec des finalités supplémentaires (comme organiser la mise en œuvre d'une situation sur plusieurs séances ou gérer la différenciation) et par voie de conséquence, cette notion pourrait être davantage abordée en tant qu'outil pour l'enseignant (palier 3) que concept à théoriser (palier 4).

D'autres notions issues de la TSD, comme les dialectiques d'action-formulation-validation, peuvent être explicitées suite à la mise en œuvre de la situation de formation *Concertum*. Là encore, les objectifs visés pourront impacter la manière dont celles-ci seront abordées lors de la phase 5. Par exemple, dans le cadre de modules d'initiation à la recherche, ces notions pourront être définies, explicitées, exemplifiées et situées dans le champ de recherches en didactique des mathématiques pour être ensuite mobilisées lors d'un mémoire pour la conception d'une ingénierie didactique ou encore pour l'analyse des données recueillies. *A contrario* en formation continue, ces notions peuvent ne pas être évoquées auprès des enseignants et rester en arrière-plan, en tant que connaissances sur lesquelles le formateur s'appuie afin de répondre à des questions professionnelles que se poseraient des enseignants lors de la conception de séances. Dans ce cas, faire vivre la situation *Concertum* aurait pour objectif d'amener les enseignants à questionner les tâches à proposer aux élèves et les conditions de celles-ci, par exemple : aider les enseignants à organiser dans leur classe des modalités de travail favorisant une activité mathématique effective des élèves au-delà de la
« manipulation », favoriser une formulation des procédures et un questionnement sur leur validité, ou encore favoriser le processus de dévolution et mener des temps d'institutionnalisation.

## CONCLUSION

Les situations développées par la COPIRELEM depuis de nombreuses années ont des potentialités d'exploitation du côté des mathématiques et des concepts didactiques, notamment ceux issus de la TSD. Notre cadre d'analyse vise à aider le formateur à identifier ces potentialités et à faire des choix, en termes de scénarios et d'éléments de synthèse à dégager. Pour la situation *Concertum* nous avons analysé comment certains concepts de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) peuvent être mobilisés par le formateur selon son public. Ce cadre nous a permis d'éclairer dans quelles conditions la didactique des mathématiques peut devenir un objet d'enseignement (Gairin-Calvo, 1987), en formation initiale ou continue, et d'identifier les éléments guidant les choix des formateurs à ce sujet.

Des questions demeurent sur l'usage par les formés des concepts abordés qu'ils aient été mobilisés en actes, explicités en contexte ou décontextualisés : les formés perçoivent-ils ces concepts comme des outils pour faire des choix d'enseignement et sont-ils en mesure de les exploiter dans la conception de leurs séances ?

## RÉFÉRENCES

* Brousseau, G. (1998). *La théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

* Brousseau, G. (2010). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques (1998). [En ligne] *Accessible à l'adresse : http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2010/09/Glossaire_V5.pdf*

* Celi, V., Guille-Biel Winder C., Mangiante-Orsola C., Masselot P., Petitfour E., Simard A., & Tempier F. (2022). *Construire une expertise pour la formation à l'enseignement des mathématiques à l'école primaire. Situations – Ressources – Analyses. Tome 2*. ARPEME.

* Gairin-Calvo, S. (1987). Dans quelle mesure la didactique des mathématiques peut-elle devenir un objet d'enseignement en formation initiale ? Dans *Actes du XIVe colloque Inter-IREM des PEN* (Formation en didactique- Didactique et formation) (p. 71-94). IREM de Nantes.

* Guille-Biel Winder C., Mangiante-Orsola C., Masselot P., Petitfour É., & Simard A. (2019). Identification des potentialités d'un jeu de rôles dans le cadre d'une formation de professeurs des écoles. Dans M. Abboud-Blanchard (dir.), *Mathématiques en scène : des ponts entre les disciplines* (p. 171-188). IREM de Paris.

* Guille-Biel Winder C., & Tempier F. (2017). A theoretical framework for analyzing training situations in mathematics teacher education. *Proceedings of 10th Congress of European Research in Mathematical Education*.

* Houdement, C. (1995). *Projets de formation des maîtres du premier degré en mathématiques : programmation et stratégies*. [Thèse de doctorat]. Université Paris 7.

* Houdement C., & Kuzniak A. (1996). Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques, 16*(3), 289-322.

* Mangiante C., Masselot M., Petitfour É., Simard A., Tempier F., & Winder C. (2019). Proposition d'un cadre d'analyse de situations de formation de professeurs des écoles. Dans I. Verscheure, M. Ducrey Monnier, M. Pelissier (dir.), *Enseignement et formation : éclairages de la didactique comparée* (p. 131-142). Presses Universitaires du Midi.
Masselot P., Petitfour É., & Winder C. (2016). Présentation d'un cadre d'analyse de situations de formation des professeurs des Écoles. Dans A. Simard (dir.), *Former et se former... quelles ressources pour enseigner les mathématiques à l'école ?* IREM Franche-Comté.

Péault H., & Butlen D. (2003). La division en formation. Dans *Concertum, dix ans de formation des professeurs des écoles* (p. 277-305). ARPEME.

Sayac, N. (2012). Pratiques de formateurs en mathématiques dans le premier degré. *Recherche et formation, 71*, 115-130.
# UNE SITUATION DIDACTIQUE POUR FAVORISER UNE ENTRÉE DANS LA PENSÉE ALGÉBRIQUE EN APPUI SUR L'IDENTIFICATION D'INVARIANTS

CIAVALDINI Jérôme-Ange<fnref n="1" />, BOULAIS Pascale<fnref n="2" />, DURAND-GUERRIER Viviane<fnref n="3" />, DEMAILLY Marie-Claire<fnref n="4" />, GRAVAS Julien<fnref n="5" />, LE-MEN Karinne<fnref n="6" />, SOFONEA Carmen<fnref n="7" />

**Résumé** – Cet atelier explore les conditions propices à l'émergence de la pensée algébrique dès le début du collège. Il s'ouvre par une réflexion sur les définitions de cette pensée, puis sur les leviers et obstacles à son développement. Une situation, adaptée des travaux de Barallobres (2006) sur la somme de 10 entiers consécutifs servira de support de scénarisation collective. L'analyse mobilisera les variables didactiques et la Théorie des Situations Didactiques. Une mise en œuvre issue de recherches sera présentée et discutée.
**Mots-clés** : pensée algébrique, généralisation, invariants, variables didactiques, Théorie des Situations Didactiques.

## INTRODUCTION

L'organisation didactique de la situation « Calculer le plus rapidement possible la somme de 10 entiers consécutifs » prend appui sur la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998). Elle est issue de la thèse de Gustavo Barallobres et a été présentée lors du congrès EMF 2006 à Sherbrooke (Barallobres et Giroux, 2008). Les membres du groupe de l'IREM de Perpignan (Académie de Montpellier) en France l'ont adaptée pour une implémentation dans des classes ordinaires. Expérimentée à de nombreuses reprises, elle a fait également l'objet d'une publication récente (Boulais, 2022) et constitue aujourd'hui un support de formation inscrit au Plan Académique de Formation (PAF) de l'académie de Montpellier. Cette situation didactique a donc toute sa place dans la thématique 3 de ce colloque.

La didactique a pour rôle de concevoir des situations d'apprentissage en s'appuyant sur des jeux, afin de mobiliser des connaissances mathématiques précises et repérables que ces jeux permettent de travailler. La scénarisation de la situation a pour but de les faire émerger.

L'atelier proposé s'appuie sur nos travaux de recherche en didactique des mathématiques pour explorer une entrée dans la pensée algébrique. C'est parce que l'algèbre est un facteur d'échec au début du collège (élèves entre 12 et 14 ans), y compris pour des élèves ayant été en réussite en mathématiques jusque-là (Coulange et al., 2012), que notre groupe de recherche a souhaité proposer des activités pour les aider à entrer dans la pensée algébrique, comme préalable à l'introduction de l'algèbre au sens propre du terme.

## STRUCTURE DE L'ATELIER

Cet atelier sera structuré en 4 parties :

<footnote n="1">¹ IRES de Montpellier, Collège La Côte Radieuse, jerome-ange.ciavaldini@ac-montpellier.fr</footnote>

<footnote n="2">² IRES de Montpellier</footnote>

<footnote n="3">³ Université de Montpellier, IMAG, CNRS, UM, IRES de Montpellier</footnote>

<footnote n="4">⁴ IRES de Montpellier, Collège Jean Moulin</footnote>

<footnote n="5">⁵ IRES de Montpellier, Collège Alice et Jean Olibo</footnote>

<footnote n="6">⁶ IRES de Montpellier, Collège Paul Langevin</footnote>

<footnote n="7">⁷ IRES de Montpellier, Collège La Garrigole</footnote>
« Pensée algébrique » et « identification des invariants dans l'émergence d'une pensée
algébrique »

L'atelier commence par un tour de table pour identifier les attentes des participants. Un bref apport didactique suit, distinguant algèbre et pensée algébrique, cette dernière étant définie. La généralisation y est centrale, reconnue par plusieurs auteurs comme étant une composante très importante de la pensée algébrique (Squalli, 2015).

Nous proposerons ensuite des exemples illustrant un indicateur d'entrée dans la pensée
algébrique. En accord avec Larguier (2015, p. 327), nous considérons que l'identification
d'invariants en action et leurs formulations est un indicateur d'un début de pensée algébrique.

Organisation didactique de la situation.

Les participants à l'atelier sont invités à effectuer la tâche suivante : « Calculez le plus vite possible la somme des dix entiers. Dès que vous pensez avoir le résultat, levez la main ». Trois séries successives sont proposées.

À l'issue de cette phase ludique, un temps sera consacré à un travail collaboratif portant sur l'analyse a priori et la conception d'un scénario. Une mise en commun permettra ensuite de partager les productions avant une présentation argumentée du scénario retenue par notre groupe de recherche.

L'organisation didactique retenue par le groupe IREM de Perpignan prend appui sur la théorie des situations (Brousseau, 1998) en jouant sur une articulation de phase d'actions et de formulation, de validation et d'institutionnalisation. Son déroulement s'articule en deux temps de travail :

1er temps :

- Dans la *phase d'action*, quatre séries successives sont proposées. Le choix d'une organisation ludique et la situation simple et accessible favorisent l'investissement des élèves et initie la dévolution.

Les expérimentations que nous avons conduites de cette situation permettent d'identifier six stratégies possibles au niveau du collège permettant de répondre rapidement. Ces stratégies peuvent émerger de l'identification d'invariants qui apparaissent au cours des premiers calculs.

- Deux types de situations de *formulation* sont proposées : une première, individuelle, suivie d'une seconde, collective. Chacune présente des enjeux didactiques spécifiques.

La première séance se termine par une mise en commun des méthodes, suivie d'un retour à la situation initiale pour validation par chaque élève, dans une confrontation au « tribunal de l'expérience » (Durand-Guerrier, 2010). Un travail à effectuer à la maison prolonge cette séance : les élèves sont invités à déterminer la somme de trois séries de dix entiers consécutifs en mobilisant la ou les stratégies de leur choix.

2ème temps :

- Pour réinvestir et consolider les procédures explorées en classe, les trois séries laissées en travail à la maison sont corrigées.

- Commence alors la *phase de validation*. Les élèves vont alors se lancer dans une phase de preuve et nous faisons l'hypothèse que c'est dans cette phase que se joue une entrée dans la modélisation algébrique et dans l'utilisation du calcul algébrique comme outil de généralisation et comme outil de preuve.

L'expérimentation joue un rôle clé dans notre situation didactique, car elle permet aux élèves de s'engager dans des formes variées de validation, dites « pragmatiques » selon Balacheff (1982). Celles-ci incluent la vérification empirique, l'épreuve d'un cas critique ou encore
l'usage d'un exemple générique. Ces validations peuvent ouvrir sur des preuves plus intellectuelles, où les élèves s'éloignent du concret pour raisonner sur des classes d'objets de manière plus formalisée. L'exemple générique constitue une passerelle entre ces deux types de validation.

*Une présentation de productions d'élèves portant sur les deux temps de l'organisation.*

Au cours de l'atelier, nous présenterons un corpus de productions d'élèves issues de la mise en œuvre de la situation. Ces productions feront l'objet d'une catégorisation selon deux axes principaux : d'une part, en fonction des invariants identifiés par les élèves lors de la phase initiale d'exploration ; d'autre part, en fonction des types de preuves ou des formes embryonnaires de justification mobilisées dans un second temps.

Cette analyse vise à éclairer les processus cognitifs et didactiques à l'œuvre dans la construction de la pensée algébrique.

*Variables didactiques*

Ici nous analyserons les principales variables didactiques du problème général « Déterminer la somme de $p$ nombres entiers consécutifs commençant à $n$ » afin de déterminer les meilleurs choix possibles en lien avec nos objectifs.

L'explicitation des variables didactiques en jeu permettra, en conclusion, d'envisager les potentialités de cette activité au-delà de l'entrée dans la pensée algébrique. Elle ouvrira ainsi sur des perspectives d'implémentation à différents niveaux d'enseignement et de formation, en fonction des objectifs visés et des connaissances mathématiques mobilisées.

## CONCLUSION

Cette situation didactique engage les élèves dans une entrée progressive vers la pensée algébrique, en s'appuyant sur des phases d'action, de formulation et de validation. À partir d'un problème simple et ludique, les élèves identifient des invariants et généralisent des procédures. La validation permet d'éprouver ces méthodes et amorce un raisonnement abstrait sans recours immédiat au formalisme algébrique. Enfin, le jeu sur les valeurs des variables didactiques offre une souplesse pour adapter la situation aux objectifs et aux contextes de classe.

## RÉFÉRENCES

- Balacheff, N. (1982), Preuve et démonstration en mathématiques au collège. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 3(3), 261-304.

- Barallobres, G. (2006), *Enseignement introductif de l'algèbre et validation*. [Thèse de doctorat, Université de Montréal].

- Barallobres, G. & Giroux, J. (2008), Différents scénarios de situations d'une phase de validation collective. N. Berdnaz & C. Mary (Éds), *L'enseignement des mathématiques face aux défis de l'école et des communautés - Actes électroniques du colloque EMF 2006* (pp. 27-31). Editions du CRP Sherbrooke.

- Boulais, P. (2022). La somme de 10 entiers consécutifs. *Repères-IREM*, 126, 5-22.

- Brousseau, G. (1998), *La théorie des situations didactiques*. La Pensée sauvage.

- Coulange, L., Drouhard, J.-P., Dorier, J.-L., Robert, A. (2012). *Enseignement de l'algèbre élémentaire – Bilan et perspectives* (Hors série). La Pensée Sauvage.
Durand-Guerrier, V. (2010), La dimension expérimentale en mathématiques. Enjeux épistémologiques et didactiques. G. Aldon, P-Y. Cahuet, V. Durand-Guerrier, M. Front, D. Krieger, M. Mizony, C. Tardy (Éds). *Expérimenter des problèmes innovants en mathématiques à l'école*. INRP, Cédérom.

Larguier M. (2015) Première rencontre avec l'algèbre. In L. Theis (Éd.), *Pluralités culturelles et universalité des mathématiques : enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage – Actes du colloque EMF 2015* (pp. 313-333). Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Société Mathématique d'Algérie Alger.

Squalli, H. (2015). La généralisation algébrique comme abstraction d'invariants essentiels. In L. Theis (Éd.), *Pluralités culturelles et universalité des mathématiques : Enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage – Actes du colloque EMF 2015* (pp. 346-356). Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Société Mathématique d'Algérie Alger.
LA TSD AU CŒUR DE LA FORMATION DES PROFESSEURS DE LYCÉE : DEUX EXEMPLES AUTOUR DE LA NOTION DE DÉRIVÉE

DUBUSSY<fnref n="1" /> Christophe, HENRY<fnref n="2" /> Valérie

**Résumé** – Les étudiants en formation initiale soulignent deux objections quant à la conception de situations didactiques adaptées pour le lycée : la difficulté à développer un milieu « matériel » offrant des rétroactions suffisantes et la quasi-impossibilité de concevoir une situation fondamentale. Pour chacune de ces objections nous leur proposons une situation, conçue par des chercheurs autour de la notion de dérivée, afin d'affiner leurs réflexions a priori. Ces situations seront proposées, étudiées et commentées durant l'atelier.

**Mots-clés** : Formation initiale, lycée, dérivées, problèmes d'optimisation, problèmes d'instantanéité.

MISE EN CONTEXTE

Cet atelier est conçu à partir d'expérimentations de classe, réalisées par les deux auteurs, dans leurs cours de didactique des mathématiques suivis par des étudiants de l'Université de Namur (Belgique). Plus précisément, ces étudiants peuvent suivre deux cours :

* Un cours intitulé « Introduction à la didactique des mathématiques », destiné à un public de mathématiciens en troisième année d'université. Le cours offre une présentation générale de la didactique francophone déclinée en trois chapitres : histoire de l'enseignement des mathématiques, théorie des situations didactiques (TSD) et théorie anthropologique du didactique (TAD). Il permet ainsi aux étudiants d'avoir un avant-goût de cette discipline avant de décider ou non de s'engager dans un master à finalité didactique<fnref n="3" />. Ci-après nous désignerons ce cours par « le cours L3 ».

* Un cours intitulé « Didactique et épistémologie des mathématiques », destiné aux étudiants désirant obtenir le titre requis pour enseigner les mathématiques au lycée. Situé à un niveau master, ce cours admet un public plus éclectique que le premier. On y retrouve en effet des mathématiciens, des physiciens, des ingénieurs civils, des économistes, etc. Puisque ceux-ci n'ont pas nécessairement suivi le cours L3, la théorie des situations didactiques est à nouveau présentée depuis la base. La différence majeure est évidemment la dimension professionnalisante du cours qui est donc accompagné de stages d'observation et de stages actifs. Ci-après nous désignerons ce cours par « le cours M2 ».

Ces deux cours présentent les situations didactiques « originelles » comme, par exemple, « le puzzle » (Brousseau, 1981) ou encore « le jeu de la bouteille » (Brousseau et al., 2002). Comme ces situations historiques concernent l'enseignement primaire ou le début du collège, les étudiants se posent légitimement la question de l'adaptabilité d'une telle théorie au niveau du lycée, notamment concernant des sujets mathématiques sophistiqués comme l'analyse. Certains pensent qu'une telle adaptation est impossible et formulent diverses objections à ce sujet. Les deux plus importantes sont les suivantes :

<footnote n="1">¹ Université de Namur – Belgique – christophe.dubussy@unamur.be</footnote>

<footnote n="2">² Université de Namur – Belgique – valerie.henry@unamur.be</footnote>

<footnote n="3">³ Un master en deux ans, accessible après trois années de formation mathématique, permettant d'obtenir le titre requis pour enseigner au lycée, sans passer par un concours.</footnote>
1) En primaire *le milieu antagoniste* (Brousseau, 1990, p.320) est essentiellement matériel, « palpable » et offre une rétroaction sensorielle (e.g. les pièces du puzzle qui ne s'emboitent pas). Au lycée, les situations sont davantage internalisées. Le conflit aura donc lieu « dans la tête » et non plus nécessairement face à des objets. Dès lors, les rétroactions du milieu seront-elles suffisantes pour plonger les élèves dans une situation authentiquement a-didactique ?

2) Plus les mathématiques deviennent poussées plus il semble illusoire de pouvoir trouver des *situations fondamentales* (Brousseau, 1986, p. 49) en ce sens où le savoir visé y apporterait une solution optimale. La multiplication des liens entre les chapitres entraine de fait une multiplication des techniques de résolution.

Ces objections, très pertinentes venant d'étudiants qui découvrent à peine la didactique, nous ont invités à proposer des situations conçues par des chercheurs pour le niveau « lycée » afin d'aider ces étudiants à nuancer leurs réflexions. Vu les contraintes temporelles, nous avons choisi de présenter une situation particulière vécue au sein du cours M2 (cf. section II.) et une situation vécue au sein du cours L3 (cf. section III.) Durant l'atelier, nous souhaitons permettre aux participants de travailler sur ces situations a priori puis comparer les observations qui en résulteront avec ce que nous avons déjà observé dans nos classes.

## LE PROBLEME DE LA BOITE SANS COUVERCLE

Issu du projet « Math & Manips » (Guissard et al., 2014), ce problème d'optimisation permet d'adresser la première objection des étudiants. Nous citons l'énoncé tel qu'il est écrit dans l'article susmentionné :

> « Chaque élève reçoit quelques feuilles de papier de format A4. On leur indique les dimensions de la feuille, respectivement 21cm et 29,7cm pour la largeur et la longueur, puis on leur demande de découper un carré dans chacun des coins de cette feuille pour construire une boîte parallélépipédique sans couvercle et d'en calculer le volume. Dans un deuxième temps, on leur demandera de construire par ce procédé la boîte dont le volume est le plus grand possible. »

Évidemment, le problème mathématique n'est pas original. Il est par exemple déjà proposé dans le manuel belge « Actimath 5/4h » (Delfeld et al., 2004) dans le chapitre consacré aux problèmes d'optimisation. Dans ce manuel, et dans bien d'autres, l'énoncé se présente comme à la figure 1.

Les auteurs du projet « Math & Manips » (Guissard et al., 2014) ont modifié une grande partie des variables didactiques pour en faire une situation à plus haut potentiel d'a-didacticité (Brousseau, 1986). La première phase d'action (Brousseau, 1986) où les élèves interagissent avec le milieu matériel pour construire une boîte rectangulaire entre en rupture avec le contrat didactique habituellement en vigueur au lycée où les manipulations concrètes sont très peu présentes. Cette rupture facilite grandement la dévolution (Brousseau, 1986) et suscite des questionnements et réactions très intéressantes. Par exemple, plusieurs élèves entreprennent des découpes de carrés sans anticiper que ceux-ci doivent avoir les mêmes dimensions pour que la boîte se construise correctement. C'est par la rétroaction du milieu qu'ils en prennent conscience. Ce questionnement est évidemment totalement absent lorsque le problème est déjà modélisé par un schéma. On voit ensuite apparaître des questionnements sur les « cas limites », ce qui conduit les élèves à formuler que le côté du carré ne peut dépasser 10,5 cm sous peine de ne plus avoir de boîte et que plus on cherche à augmenter la base, plus le côté du carré et donc la hauteur diminue. C'est cette interdépendance entre deux grandeurs variables de la situation qui sera institutionnalisée comme caractéristique d'un problème d'optimisation et qui est l'enjeu d'apprentissage de cette première partie de la séquence. Nous faisons l'hypothèse que cette connaissance est très souvent peu construite chez de nombreux élèves chez qui la conception spontanée est influencée par le modèle croissant : plus la variable indépendante
augmente, plus la variable dépendante augmente. Pour ces élèves, résoudre un problème d'optimisation ne prend aucun sens. Ils se rattachent alors à une procédure algorithmique, quitte à oublier une étape (par exemple, de dériver la fonction objectif).

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d'une plaque en carton carrée de 60 cm de côté dans laquelle on découpe à chaque coin un carré de $x$ cm de côté. On obtient ainsi le patron de cette boîte sans couvercle.

a) À quel intervalle appartient $x$?

b) Déterminer le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$.

c) Étudier le signe du polynôme $V(x) - V(10)$. En déduire que le volume de la boîte est maximal lorsque $x = 10$ cm.

d) Retrouver le résultat en étudiant les variations de $V(x)$.

**Figure 1 :** Problème de la boîte sans couvercle dans (Delfeld et al., 2004)

S'ensuivent plusieurs phases d'action, de formulation et de validation concernant les dimensions de la boîte de volume maximal. Nous détaillerons le déroulement de ces phases lors de l'atelier.

Cette situation a été conçue pour pouvoir être mise en œuvre avec des élèves ayant déjà ou pas encore rencontré la notion de dérivée, l'enjeu essentiel d'apprentissage étant celui du processus d'optimisation. Les phases d'institutionnalisation (Brousseau, 1986) sont adaptées en conséquence.

Cette situation est, dans la séquence proposée, suivie de trois autres ciblant des connaissances plus spécifiques en lien avec le processus d'optimisation : la formulation des contraintes, les différents types d'extremum et le choix de la variable. Toutes se caractérisent par la présence, dans le milieu, d'éléments matériels que les auteurs considèrent comme déterminants pour les apprentissages visés.

Avec les étudiants de M2, cette situation est utilisée en tout début de formation afin de faire vivre à ces futurs enseignants la portée des concepts de la théorie des situations didactiques qui leur seront présentés plus en détail dans toute la suite du cours. Il est à noter que, placés en situation d'apprenant, ces futurs enseignants reproduisent assez fidèlement les réactions et stratégies déjà identifiés lors de l'analyse a priori de la situation. Nous aurons l'occasion d'y revenir lors de l'atelier.
## LE PROBLEME DU VASE CONIQUE

Ce problème a été extensivement étudié dans (Schneider, 1992). Nous citons à nouveau tel quel l'énoncé :

> « Une pompe alimente un vase conique. Elle est réglée de telle manière que le niveau de l'eau y monte régulièrement de 1cm par minute. L'angle au sommet du cône vaut 90°. Jusqu'à quand le débit de la pompe sera-t-il inférieur à 100cm³ par minute ? »

Il est accompagné d'une figure.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>**Figure 2 – Le vase conique alimenté par la pompe**</figcaption></figure>

Les enjeux didactiques et épistémologiques qui gravitent autour de cette situation sont nombreux. Succinctement, nous pouvons mentionner :

* Le fait que les élèves restent bloqués dans une conception empiriste-sensualiste ce qui les empêche de concevoir un débit instantané comme étant une limite de débits moyens.

* Des composantes cognitives et sociales<fnref n="1" /> qui complètent le milieu matériel au sens de (Perrin, 1999).

* Une nécessaire intervention du professeur pour aider les élèves à algébriser l'incrément temporel.

* La non-adhésion de certains élèves à la solution finale formulée en termes de limite.

Le dernier point est celui qui nous intéresse particulièrement. En effet, dans cette situation, le calcul du débit moyen amène à l'égalité $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \pi t^2 + \pi \Delta t + \frac{1}{3} (\Delta t)^3$ et le passage à la limite, ici effectuable en remplaçant $\Delta t$ par 0, permet de trouver la solution une fois le débit instantané égal à 100. Or, bien que certains élèves franchissent ce pas, ils continuent à douter de leur réponse a posteriori. Schneider (1992) mentionne des réactions typiques d'élèves comme

> « Si on avait remplacé $\Delta t$ par 0 plus tôt, on aurait vu un zéro au dénominateur. »

### Ou encore

> « Un débit instantané ça n'existe pas, il n'y a pas moyen de le mesurer, car le temps de regarder sa montre et du temps s'est déjà écoulé. »

Une analyse fine des variables didactiques permet alors de comprendre que la situation a été conçue pour ne pas être fondamentale et qu'une solution alternative a été pensée en amont afin d'apporter une validation supplémentaire au calcul de limite. De fait, comme l'angle à la base du cône est droit, la hauteur $h$ d'une section circulaire du cône est égale au rayon $r$ du cercle en question. De plus, comme le débit est de 1 cm par minute, on a aussi l'égalité $h = t$. Ainsi le débit instantané est donné par $\pi t^2 = \pi h^2 = \pi r^2$ et est en fait égal à la surface de la section

<footnote n="1">¹ La situation est toujours donnée sous la forme d'un travail de groupe.</footnote>
circulaire. Schneider (1992) mentionne que certains élèves ont cette intuition mais n'arrivent pas à la justifier totalement. Cette justification peut dès lors être proposée par le professeur lors de la phase d'institutionnalisation comme suit :

« Posons à côté du vase conique, un vase cylindrique de base 100cm². (Figure 3) Au lieu de considérer une seule pompe, on en prend deux qui alimentent, chacune, un des vases, de telle manière que le niveau de l'eau y monte régulièrement et simultanément de 1cm/min. La pompe qui alimente le cylindre a évidemment un débit constant de 100cm³/min. L'autre pompe devra verser moins vite que la première tant que le côté est plus étroit que le cylindre, et plus vite que celle-ci après. Les deux pompes ont donc un même débit égal à 100cm³/min à l'instant précis où la superficie de l'eau dans le cône vaut 100cm². » (Schneider, 1992, p. 342)

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 3 – Une comparaison cône/cylindre</figcaption></figure>

Schneider (1992) explique que cette nouvelle expérience de pensée convainc définitivement tous les élèves du bien-fondé du calcul précédent. Le débat avec les élèves se solde donc par l'acceptation du « passage à la limite » comme technique permettant de traiter des problèmes relevant de « l'instantané », même chez ceux éprouvant des réticences vis-à-vis de ce concept. En conséquence, cet exemple semble bien indiquer que le caractère non-fondamental d'une situation peut avoir un effet salvateur, adressant ainsi la seconde objection de nos étudiants. Soulignons une dernière chose de première importance. Les étudiants du cours L3 qui ont vécu cette situation « en se mettant dans la peau d'un élève de lycée » n'ont pas tous rencontré les mêmes obstacles que ceux mentionnés dans (Schneider, 1992). Des phénomènes imprévus sont apparus comme, par exemple, une difficulté persistante à passer des entiers aux rationnels ou encore des confusions entre domaine de définition et ensemble image d'une suite réelle. Il sera dès lors intéressant de comparer les données concernant les lycéens et les données concernant les étudiants du cours L3 avec les réactions des participants à l'atelier.

## CONCLUSION

Il nous semble intéressant que constater que des situations didactiques, valides du point de vue de la théorie des situations didactiques mais construites pour l'apprentissage au lycée, ont également un réel potentiel d'apprentissage pour de futurs enseignants.

## RÉFÉRENCES

* Brousseau G. (1981). Problèmes de didactique des décimaux. *Recherches en didactique des mathématiques*, 2(1), 37-127.

* Brousseau G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques*, 7(2), 33-115.

* Brousseau G. (1990). Le contrat didactique : Le milieu. *Recherches en didactique des mathématiques*, 9(3), 309-336.

* Brousseau G., Brousseau N., & Warfield V. (2002). Une expérience sur l'enseignement des statistiques et des probabilités. *Journal of Mathematical Behavior*, 20, 363-441.

* Delfeld H., et al. (2004). *Actimath 5/4h : Mathématiques générales*. Van In.
Guissard M.-F., et al. (2014). Math & Manips pour le secondaire supérieur : problèmes d'optimisation. *Losanges*, 24, 3-12.

Perrin-Glorian M.-J. (1999). Problèmes d'articulation de cadres théoriques : l’exemple du concept de milieu. *Recherches en didactique des mathématiques*, 19(3), 279-321.

Schneider M. (1992). On learning the rate of instantaneous change. *Educational Studies in Mathematics*, 23, 317–350.
CHOIX DU FORMATEUR ET LEURS EFFETS POTENTIELS LORS DE LA CONCEPTION D'UN JEU DE RÔLE EN FORMATION D'ENSEIGNANT·ES : VERS UNE DÉFINITION DE LA VARIABLE DIDACTIQUE DE LA SITUATION DE FORMATION

FAVIER<fnref n="1" /> Stéphane, MILI<fnref n="2" /> Ismaël

**Résumé** – Le jeu de rôle (JDR) est un outil pédagogique utilisé en formation des enseignant·es pour opérationnaliser, entre autres, des concepts de la Théorie des Situations Didactiques (TSD). Dans cet atelier, les participant·es réfléchiront aux choix liés à la conception d'un JDR et à leurs effets potentiels, en lien avec une mise en œuvre en formation initiale à Genève. Ensuite, des liens seront établis entre le JDR et certaines composantes de la TSD avant de mettre en discussion la définition de Variable Didactique de la situation de formation.

**Mots-clés** : Jeu de rôle (JDR), Formation des enseignant·es, Théorie des Situations Didactiques (TSD), Variables didactiques, Système de formation

PRÉSENTATION

Le jeu de rôle (JDR) est un dispositif pédagogique largement utilisé dans divers contextes de formation professionnelle pour faciliter l'appropriation et l'application de concepts théoriques, notamment en formation médicale (voir Patin, 2005 ; Courau, 2014). Au début du millénaire, il s'est développé dans la formation des enseignant·es (voir Lajoie & Pallascio, 2001) et sa structure, reprise de Lajoie et al. (2019), suit généralement un déroulement en quatre étapes dont certaines peuvent être effectuées de manière itérative :

* Une mise en situation qui définit le cadre et le contexte fictif dans lequel évolueront les participant·es.

* Une phase de préparation, dont la durée varie, permettant aux participant·es d'anticiper les éléments nécessaires à leur intervention.

* La mise en scène d'une situation scolaire.

* Une discussion collective sur la mise en scène, suivie d'une présentation des connaissances par le formateur.

Introduit depuis plusieurs années dans certaines institutions suisses romandes de formation des enseignant·es, le jeu de rôle y est utilisé par les formateur·ices notamment pour rendre opérationnels des concepts transposés de la Théorie des Situations Didactiques (Guille-Biel Winder & Mili, 2023 ; Favier et al, 2024). Au-delà de l'incertitude liée aux aléas de la mise en situation, l'une des principales difficultés de ce type de dispositif réside dans le fait, qu'une fois conçu, le formateur dispose de marges de manœuvre très limitées au cours des trois premières phases pour ajuster ou réguler le travail et les échanges des étudiant·es. Ainsi, la conception d'un tel dispositif soulève plusieurs questions quant aux choix opérés par les formateurs et à leurs possibles impacts sur l'expérience des participants ainsi que sur les savoirs mobilisés et leur nature.

Nous formulons l'hypothèse que l'identification des éléments sur lesquels le formateur peut agir afin de calibrer chaque étape du dispositif, des choix possibles et effectués favorise la mobilisation du savoir visé. Nous cherchons à établir ainsi une relation causale plutôt que simplement prédictive (Margolinas, 1992). L'analogie avec la notion de variables dans le cadre

<footnote n="1">¹ Université de Genève – Suisse – stephane.favier@unige.ch</footnote>

<footnote n="2">² Université de Fribourg – Suisse – ismail.mili@unifr.ch</footnote>
de la TSD (Brousseau, 1998) ouvre des perspectives intéressantes pour concevoir un JDR ciblé
sur les objectifs du formateur d'enseignant·es (cette approche pourrait notamment atténuer les
difficultés rencontrées par les formateurs lors des phases de conclusion, Lajoie et al., 2019).
Elle permet également d'interroger, de manière plus générale, le transfert de concepts
fondamentaux de la TSD du système école au système de formation (en référence à Houdement,
2013).

Dans cet atelier, nous inviterons les participant·es à explorer ces enjeux en les confrontant à une situation concrète de conception de JDR. Ils devront proposer des choix, analyser leurs (possibles) implications et les comparer avec ceux d'autres groupes ainsi qu'avec notre propre dispositif.

DÉROULÉ DE L'ATELIER

Le déroulé ira comme suit :

Préparation d'un JDR par les participant·es

Les participant·es réfléchiront aux choix à opérer lors de la conception d'un JDR ayant comme
objectif principal de permettre à des étudiant·es en formation initiale d'appréhender et
d'opérationnaliser l'analyse a priori comme un outil au service de l'enseignant·e pour l'aider à
préparer et à gérer de manière plus efficiente une phase collective. Une tâche mathématique
sera également proposée comme support au jeu de rôles. Cette phase permettra d'explorer les
décisions inhérentes à la conception d'un tel dispositif et d'expliciter les choix possibles.

Mise en perspective des choix effectués

Une mise en commun permettra de comparer les différents choix opérés par les groupes et de
discuter de leurs éventuelles conséquences didactiques.

Présentation de notre dispositif, des choix effectués et de leurs implications

La conception effective du JDR, déployée en formation initiale à l'Université de Genève, sera évoquée tout en explicitant les choix effectués par les formateurs et leurs implications.

Discussion sur la nature des choix du formateur

Cette étape visera à interroger, avec les participant·es, la nature des choix effectués par les
formateurs. Dans quelle mesure peut-on considérer que ces choix s'apparentent à des Variables
Didactiques (VD) ? Cette réflexion collective permettra d'éclairer le rôle et l'impact des
décisions didactiques dans un contexte de formation.

Vers une définition de la Variable Didactique de la Situation de Formation

Nous mettrons en discussion une définition de la Variable Didactique de la Situation de
Formation à l'aune de la définition de la VD dans le cadre de la TSD.
REFERENCES

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

Courau, S. (2014). *Jeux et jeux de rôle en formation*. Éditions Eyrolles.

Favier, S., Mili, I., Coutat, S., De Simone, M., & Vendeira, C. (2024). Un jeu de rôles en formation d'enseignants : la transposition de l'institutionnalisation en question. Dans C. Guille-Biel Winder (dir.) *Mathématiques et diversité à l'école: Aider les élèves, Accompagner les professeurs* (p. 241-256). ARPEME.

Guille-Biel Winder, C. & Mili, I. (2023). Un Jeu de Rôles sur la structuration de l'espace en formation d'enseignants : la transposition de savoirs didactiques en question. Dans F. Wozniak (dir.), *Représenter et modéliser en mathématiques : de l'activité des élèves à la formation des professeurs des écoles* (p. 178-196). ARPEME.

https://www.copirelem.fr/wordpress/wp-content/uploads/2023/06/ACTES-TOULOUSE-Num-de2s51.pdf

Houdement, C. (2013). *Au milieu du gué : entre formation des enseignants et recherche en didactique des mathématiques*. Note pour l'Habilitation à Diriger des Recherches. Paris : Université Paris Diderot.

Lajoie, C., & Pallascio, R. (2001). Role-play by pre-service elementary teachers as a means to develop professional competencies in teaching mathematics. Dans J. Novotná & M. Hejný (dir.), *Proceedings of SEMT '01 - International Symposium Elementary Mathematics Teaching* (p. 104-109). Prague: Université Charles.

Lajoie, C., Mangiante-Orsola, C., Masselot, P., Tempier, F., & Winder Guille-Biel, C. (2019). Former à aider un élève en mathématiques. Une étude des potentialités d'un scénario de formation basé sur un jeu de rôles. *Revue canadienne de l'enseignement des sciences, des mathématiques et de la technologie/Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education* (numéro spécial Dispositifs de formation à l'enseignement des mathématiques), 19(2), 168-188. https://doi.org/10.4000/adsc.1553

Margolinas, C. (1992). Éléments pour l'analyse du rôle du maître : les phases de conclusion. *Recherches en didactique des mathématiques*, 12(1), 113-158. https://revue-rdm.com/1992/elements-pour-l-analyse-du-role-du/

Patin, B. (2005). Le jeu de rôles : pratique de formation pour un public d'adultes. *Les Cahiers Internationaux de Psychologie Sociale*, 67-68(3), 163-178.
# CONTE ET PROBLÈMES MULTIPLICATIFS : ÉTUDE DES CONDITIONS DE TRANSFERT ET DES EFFETS D'UN DISPOSITIF DE FORMATION À MAYOTTE

NGUALA<fnref n="1" /> Jean Berky

**Résumé** – Un dispositif de formation en résolution de problèmes multiplicatifs est proposé aux étudiants stagiaires à Mayotte. Il combine un travail sur un conte traditionnel incluant des énigmes et des ateliers de productions de problèmes ressemblants à partir d'un problème cible du conte. Étudier les conditions de transfert des connaissances sur l'invariance de la structure mathématique est notre objectif de recherche. Les premiers résultats sont encourageants.

**Mots-Clés** : Contexte sémantique évoque, problème ressemblant, médiation au savoir, représentation.

## CONTEXTE D'ÉTUDE, PROBLEMATIQUE ET DISPOSITIF EN JEU

### Contexte d'étude

Le territoire de Mayotte concentre des inégalités scolaires comme les plus faibles résultats aux évaluations nationales (Andreu, 2021), à l'instar des scores très faibles en résolution des problèmes multiplicatifs (Vergnaud, 1990) à une étape. Dans ce domaine, en générale, l'enseignement/apprentissage/formation pose des difficultés aux apprenants, c'est ce qui est souvent observé en formation initiale des enseignants : nombreux défauts de représentation et difficultés du passage *au symbolisme du langage mathématique* et de la double *tâche spécifique* (la résolution d'une part et l'identification de l'objet mathématique de l'autre). Pour enrichir cette représentation, une hypothèse concerne le stockage des données déjà traitées en mémoire qui permettraient de savoir résoudre un nouveau problème proche : c'est le *schéma de problèmes, une mémoire des problèmes réussis* (Julo, 2002). Aussi, il évoque des *processus interactifs* d'une représentation d'un problème : *sélection et d'interprétation des données, structuration* dans un tout cohérent et *opérationnalisation*. De plus, ce chercheur a défini une courte ingénierie au collège et avec les apprentis visant à enrichir cette représentation et permettre la résolution. Plutôt que donner un seul problème à résoudre à l'élève, il propose d'en donner plusieurs simultanément, problèmes présentant de fortes ressemblances entre eux, de façon qu'il y ait aussi un traitement similaire. Les ressemblances proposées sont les données numériques et la structure mathématique (la réponse numérique est donc la même dans tous les problèmes) : *la multi-présentation*. Nguala (2005, 2023) l'a étudiée et l'a adaptée avec un public plus jeune de l'école primaire en renforçant les ressemblances de problèmes allant jusqu'à l'ordre d'arrivée des informations, avec la même organisation énonciative, les mêmes structures syntaxiques (la substitution des mots par d'autres d'une même classe grammaticale). Ce dernier a ensuite appelé ces problèmes *ressemblants*. Les deux chercheurs questionnent l'impact de ces présentations organisées, groupées et simultanées des problèmes isomorphes. D'autres recherches sur la confrontation de l'apprenant à des actions effectives sur le contexte sémantique évoqué sont également menées (Edmonds-Wathen et al., 2016 ; Durand-Guerrier et al., 2024). Ces derniers étudient l'impact des variations des éléments de la langue notamment celles de grammaire sur la réussite. Sander (2018) a travaillé sur le rôle des analogies en

<footnote n="1">¹ Laboratoire Informatique Mathématique
Université de la Réunion : EA2525, Université de la Réunion – France – jean-berky.nguala@univ-mayotte.fr</footnote>
résolution des problèmes à énoncés. Dans sa typologie, en analogies de substitution, la notion mathématique est interprétée à travers une *connaissance familière* issue du *langage ordinaire comme une perte renvoie à la soustraction*. Quant aux analogies de scénario, des objets présents dans l'énoncé évoquent des situations du quotidien influençant l'interprétation. Par exemple, une collection d'éléments comparables oriente naturellement vers une addition ou soustraction, des contenus et des contenants évoquant une répartition juste induisent une division /multiplication. La troisième analogie de simulation produit mentalement une situation reformulée en partant du problème posé. L'étude menée pointe la mobilisation des compétences langagières aux côtés des compétences mathématiques pour dépasser les analogies intuitives de l'expérience quotidienne. Dans cette optique, Fagnant (2022) évoque des stratégies superficielles des élèves à la suite d'un raisonnement basé sur un repérage des mots-clés sur la base d'une analyse très sommaire de l'énoncé inférant une opération et des calculs, ce qui rejoint d'autres travaux en cours sur la place du processus de modélisation. Toutes ces études montrent que le contexte sémantique évoqué dans l'énoncé n'est pas un simple décor ; souvent, il faut le comprendre pour mieux représenter et modéliser l'invariant de la situation à résoudre. De ce fait, amener les apprenants à construire une représentation appropriée (à l'esprit et à retranscrire sur un support physique) d'un problème posé peut s'appuyer sur une variété des textes d'une étude langagière. Notre choix s'est porté sur le conte traditionnel support du patrimoine immatériel pour éventuellement aider les apprenants à comprendre les implicites mathématiques d'un problème multiplicatif élémentaire à énoncé.

## Problématique et hypothèse de recherche

Comme objectif de recherche, nous voulons décrire un modèle qui pourrait expliquer :

1) les conditions permettant de déclencher les transferts inférés au savoir visé ;

2) les moyens susceptibles de provoquer ces acquisitions ;

3) le rôle joué par des rapports sociaux-interactions sur cet objet d'enseignement/de formation en résolution de problème multiplicatif élémentaire. Pour répondre à cette problématique, nous avons émis deux hypothèses de recherche.

Nous émettons l'hypothèse de travail que la bonne compréhension de quatre structures multiplicatives générées par la proportionnalité simple (recherche de produit, recherche d'un quotient valeur d'une part, recherche d'un quotient nombre de parts, recherche de la quatrième proportionnelle) faciliterait aussi celle de la production de problèmes d'une structure donnée, ainsi qu'une modification en une autre structure multiplicative. De ce fait, la première hypothèse de recherche est que l'implication des apprenants dans le dispositif leur permettrait de considérer le contexte sémantique évoqué dans l'énoncé comme un support pouvant intégrer plusieurs structures mathématiques, ce qui les aiderait à dépasser des mots inducteurs. Par ailleurs, le dispositif favoriserait l'engagement pour réaliser la tâche : c'est notre deuxième hypothèse de recherche.

## Le dispositif mis en place

À partir d'un problème « énigme » d'un conte conçu pour l'occasion, nous avons mis en place un dispositif qui associe des situations d'action, de formulation et de validation. Commençant
avec un diagnostic sous forme de résolution des problèmes arithmétiques multiplicatifs et finissant par un bilan final similaire à l’évaluation du départ, cette ingénierie vise une action auprès des apprenants notamment pendant le processus de représentation et de modélisation.
Lors de la première séance, les tâches à faire réaliser sont :

- lire individuellement le conte avec une identification de la structure du schéma narratif ;

- identifier les énigmes supports de résolution de problèmes ;

- les résoudre et comparer sa réponse avec celle donnée dans le texte et celle du voisin ;

- justifier en explicitant sa technique au voisin ;

- produire un autre énoncé qui lui est ressemblant (évolution par la suite) en continuant l'histoire du conte (et/ou en rédigeant un autre conte).

Nous précisons qu’à chaque fois, une rétroaction est toujours possible en comparant la proposition de réponse à retrouver à la suite de l’histoire. Étant donné un énoncé, *la situation de formulation* (du binôme émetteur qui connait la *structure mathématique* vers le binôme récepteur puis inversion de rôle) de la séance suivante consiste à :

- produire un problème *ressemblant* et/ou un problème de *structure mathématique* différente avec le même contexte ;

- échanger sur la réponse attendue, les réussites, les difficultés rencontrées et des tentatives éventuelles d’*action* avec de nouveaux indices, ce qu’on a appris de nouveau.

## LIENS AVEC LA THEORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

S’appuyant sur la *Théorie des situations didactiques* (Brousseau, 1998), nous proposons d’établir une connexion entre les observations (interactions facilitant l’identification d’invariants, interprétation et/ou des réactions des/aux consignes, etc.) pendant le dispositif et la formalisation de concepts clés en partant des *situations d’action*. Nous exploitons également *les situations de formulation* où l’objet d’échange est le savoir visé (l’invariant opératoire au niveau de la *structure mathématique*) à la suite de production d’un problème *ressemblant* à un problème cible issu du conte ou non, par exemple en justifiant les choix opérés et en comparant. Les modèles étudiés permettent une description globale des mécanismes intervenant dans une situation d’apprentissage en résolution de problèmes d’énigme de conte traditionnel dans l’Océan Indien. Des rétroactions sont aussi possibles avec ces problèmes *ressemblants* produits. De plus, a posteriori, les analyses menées exploitent les positions des apprenants en structuration des milieux, incluant aussi les différentes interactions, ce qui enrichit la construction active du savoir par l’apprenant lui-même. Nous rappelons que Brousseau définit le milieu didactique comme étant l’ensemble des éléments (*antagonistes à l’actant*) avec lesquels l’élève interagit. Cela peut-être les outils, les ressources institutionnelles, pédagogiques et didactiques, les problèmes du dispositif, les contraintes, les consignes spécifiques, les retours faits à l’élève pendant l’*action*, les connaissances stabilisées, *la mémoire des problèmes réussis*, etc. Par ailleurs, ce dispositif serait également une source d’adaptation de nos apprenants à ces différents éléments décrits ci-dessus. Ces adaptations pourraient être induites par l’idée de *contrat didactique* (accords implicites entre l’apprenant et le formateur sur les attentes mutuelles en formation). Une autre notion qui pourrait avoir des échos dans le dispositif mené est la *dévolution*, ce processus permettant de transférer les responsabilités de l’apprentissage du formateur au formé. Dans notre étude, pour réunir les conditions de sa réussite, bien avant la mise en place de la séquence de l’expérience, nous organisons une journée conte à l’Université en lien avec les journées de lutte contre l’illettrisme avec un conteur co-auteur de quelques contes traditionnels de cette région.
Dans la continuité, les analyses s'appuient sur la structuration du milieu que Margolinas (1994) a reconstitué pour comprendre la complexité que vit l'élève qui découvre et résout un problème. À l'instar de Houdement (2017), nous explorons les connaissances des apprenants singulièrement au niveau de l'articulation entre *le milieu objectif* et *le milieu de référence* dans leur reproduction des réponses. Nous y détaillons les positions de l'apprenant en résolution des problèmes *ressemblants*. De ce fait, pour un même problème à résoudre, ces positions ne placent pas forcément tout le monde au même niveau, au même moment. Elles décrivent les comportements réflexifs de l'apprenant, c'est-à-dire ce que cette activité génère effectivement comme situation pour lui, les raisonnements inférés. Au cours de l'avancée dans l'*action*, nous sommes attentifs aussi aux difficultés rencontrées (l'interprétation, connaissances, compréhension des consignes, ...) qui diffèrent d'un *actant* à un autre. Ceci nous laisse dire avec Perrin-Glorian (1999) que des élèves différents se retrouvent dans des situations différentes à propos du même problème. Toujours dans ces analyses en structuration du milieu, nous reprenons le modèle de Gibel (2015) sur les raisonnements que nous avons adapté pour une situation didactique de résolution de problème arithmétique élémentaire multiplicatif en y ajoutant un axe d'appui utilisant les éléments du patrimoine de l'élève (de contextualisation). Avec nos 186 apprenants, nous exploitons la méthodologie d'ingénierie (Artigue 1988) avec une confrontation des analyses a priori et a posteriori en étude cas par cas et une exploitation en macro des statistiques. Les résultats sont encourageants.

## DEROULEMENT DE L'ATELIER

Lors de l'atelier du colloque, dans un premier temps, nous décrirons le dispositif de formation mis en place pour en définir nos objectifs et hypothèses de recherche. Puis en lien avec cela, des justificatifs du dispositif d'un point de vue mathématique et didactique, ainsi que son ancrage en *Théorie des situations didactiques* seront développés. Dans un deuxième temps, les participants à l'atelier seront invités à manipuler des problèmes en partant d'un conte. À la fin, un temps d'échange sera offert entre participants sur des conditions favorables, des effets de transfert des connaissances, etc. Est-ce que le fait de créer un lien avec l'enseignement en résolution de problèmes sur un support conte/outil didactique contextualisé construit par un enseignant pour certains élèves spécifiques de leurs classes, les aiderait-il à faire apprendre ?

## RÉFÉRENCES

- Andreu, S., et al (2021). *Évaluations 2021 Point d'étape CP : premiers résultats*.

- Ministère de l'Éducation nationale, de la jeunesse et des sports.

- Artigue, M., (1988). Ingénierie didactique, *Recherches en didactique des mathématiques* 9 (3), 281-308.

- Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

- Durand-Guerrier, V., Chesnais, A., Robo, É., Salone, J-J., Nguala, J-B., Augier, N., et al. (2024), *Translation and grammatical issues in the PISA items. Potential biases in the interpretation of students' answers*, communication ICMI July 2024, Sydney, Australia.

- Edmonds-Wathen, C., Trinick, T., Durand-Guerrier, V. (2016). Impact of differing grammatical structures in mathematics teaching and learning. Dans R. Barwell (dir), *Mathematics education and linguistic diversity*. (pp. 23–46). Springer.
Fagnant, A. (2008). Résoudre et symboliser des problèmes additifs et soustractifs en début d'enseignement primaire. In *Enseignement et apprentissage des mathématiques* (Vol. 2, pp. 131-150). De Boeck Supérieur.

Gibel, P. (2015). Mise en œuvre d'un modèle d'analyse des raisonnements en classe de mathématiques à l'école primaire. *Éducation et Didactique*, 9(2), 51-72.

Houdement, C. (2017). Résolution de problèmes arithmétiques à l'école, *Grand N* n°100 p.59-78, IREM de Grenoble.

Julo, J. (2002). Des apprentissages spécifiques pour la résolution des problèmes, *Grand N*, 69.31-52.

Margolinas, C. (1994) La structuration du milieu et ses apports dans l'analyse a posteriori des situations. Dans Margolinas C. (dir.). *Les débats de didactique des mathématiques*, (p.89-102). La Pensée Sauvage.

Nguala, J.B. (2005). La multiprésentation, un dispositif d'aide à la résolution de problèmes, *Grand N*, 76, 45-63.

Nguala, J.-B. (2023). Contextes sémantiques et dispositifs de multi-représentation de problèmes : enjeux, structuration du milieu didactique, portée et limites. Dans P. Bourdier et S. Pesce (dir), *Les pratiques d'enseignement et de formation à l'épreuve des contextes : Questions épistémologiques et méthodologiques* (p.179-199). Téraêdre.

Sander E. (2018). Une perspective interorétative sur la résolution de problèmes arithmétiques : le cadre A-S 3. *Pré-Actes du séminaire de didactique des mathématiques de l'ARDM*.

Perrin-Glorian M.J. (1999). Problèmes d'articulation des cadres théoriques : l'exemple du concept de milieu, *Recherches en Didactique des Mathématiques*, La pensée Sauvage.

Vergnaud, G. (1990), La théorie des champs conceptuels, *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 10 (2-3), 133-170.
# SITUATIONS DE RESTAURATION DE FIGURES : ENJEUX ET PERSPECTIVES POUR LA CLASSE DE 6e

ROUX<fnref n="1" /> Aurélie, DUPRAT<fnref n="2" /> Caroline, FRAISSE<fnref n="3" /> Ariane, ROSALBA<fnref n="4" /> Claire

**Résumé** – Le groupe « Situations-problèmes au collège » de l’IREM de Clermont-Ferrand présente un ensemble de séquences d’enseignement utilisant les problèmes de restauration de figures en classe de 6e, articulant situations d’action, de formulation et de validation, émanant de la rencontre entre des problématiques d’enseignement formulées par des professeurs de mathématiques et des problématiques de recherche en didactique des mathématiques.

**Mots-clés** : géométrie, instruments, restauration, perpendiculaire, cercle

## QUEL USAGE POSSIBLE DE PROBLÈMES DE RESTAURATION DE FIGURES EN CLASSE DE 6E ?

### Point de départ des réflexions

Notre groupe IREM s’intéresse depuis longtemps à l’enseignement de la géométrie au collège. Ses précédentes publications portant sur l’enseignement des quadrilatères, des angles, de la géométrie dans l’espace jouaient déjà sur les variables didactiques telles que des contraintes instrumentales, le choix du support (papier uni, pointé, logiciel de géométrie), les propriétés des figures ou solides à reproduire. Il y 9 ans, nous décidions de tenter de répondre à deux questions vives que se posaient les enseignants de collège du groupe :

- Comment construire une progression en géométrie en classe de 6e qui soit cohérente d’un point de vue mathématique ?

- Les objets étudiés dans le programme de 6e semblent les mêmes que ceux de CM2, quels peuvent être les enjeux d’apprentissage spécifiques à la classe de 6e ?

La rencontre avec Anne Cécile Mathé, enseignante chercheuse, nous a alors outillé. Les recherches en didactique de la géométrie dans lesquelles se situe son travail, ancrées en Théorie des Situations Didactiques, ont fortement influencé nos réflexions.

### Appuis sur la recherche en didactique de la géométrie

Le cycle 4 est le lieu d'une géométrie théorique au sein de laquelle les raisonnements hypothético-déductifs conduisent à des démonstrations. La géométrie de l'école est quant à elle une géométrie matérielle ; les savoirs et connaissances qui la fondent sont en prise directe avec l'usage d'instruments, dans des problèmes de construction, de reproduction, de description de figures. Perrin-Glorian et Godin (2014) puis Mathé et al (2020) ont cherché à spécifier ce qui peut caractériser cette géométrie matérielle de l'école et les enjeux de son enseignement, de son apprentissage (Mathé & al., 2020). Ils considèrent le problème générique de reproduction de figures comme une situation fondamentale de cette géométrie et accordent une place centrale

<footnote n="1">¹ IREM de Clermont-Ferrand, INSPE Clermont Auvergne, LDAR Université Paris Cité – France – aurelie roux@uca.fr</footnote>

<footnote n="2">² IREM de Clermont-Ferrand, Collège Diderot à Aigueperse – France – Caroline.Duprat@ac-clermont.fr</footnote>

<footnote n="3">³ IREM de Clermont-Ferrand, Collège Albert Camus à Clermont-Ferrand – France – ariane.fraisse@ac-clermont.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ IREM de Clermont-Ferrand, INSPE Clermont Auvergne, Collège Mortaix à Pont du Chateau – France – claire.gaonac-h@ac-clermont.fr</footnote>
aux instruments dans cette pratique. Chaque usage géométrique d'instrument est porteur d'une propriété géométrique qui lui est propre. L'analyse géométrique de la figure à reproduire, de ses propriétés et des relations entre les objets qui la composent est alors étroitement liée aux propriétés des instruments autorisés. On peut ainsi construire un corpus de savoirs en lien direct avec l'usage d'instruments dans des situations de reproduction. L'on parle de géométrie des tracés.

Nous considérons la classe de 6e comme une classe charnière dans les apprentissages géométriques. La géométrie qui y est enseignée prend encore appui sur une géométrie matérielle s'intéressant aux problèmes de reproduction de figures avec des modes de validation empiriques. Pour interroger les spécificités de l'enseignement de la géométrie en classe de 6e et sa place dans une continuité de l'enseignement, nous avons retenu les résultats de recherche suivants :

- Pour produire des démonstrations en géométrie, Duval et Godin (2005) considèrent nécessaire de développer les capacités à voir mathématiquement les figures, c'est-à-dire savoir décomposer/recomposer une figure en sous unités figurales (lignes et points) et analyser les relations géométriques entre elles.

- Un usage géométrique des instruments permettrait de faire évoluer les conceptions des objets géométriques (par exemple construire un rectangle à l'aide d'une équerre non graduée mobilise la définition du rectangle en appui sur les angles droits, construire un rectangle à l'aide d'une règle graduée mobilise une propriété caractéristique concernant ses diagonales), ce n'est pas un tracé précis qui nous intéresse mais un tracé juste (Petitfour, 2015).

- Mathé (Mathé & al., 2020, Mathé & Perrin-Glorian, 2023) a cherché à transposer la situation fondamentale de reproduction de figures en déclinant des situations autour de différents objets de savoirs de la géométrie, de la maternelle au CM2. Ces travaux pointent les potentialités d'une instanciation de la dialectique de l'action, de la formulation et de la validation (Brousseau, 1998) à la restauration de figures. Dans les situations d'action, lors de la reproduction d'une figure modèle à partir d'une amorce de cette figure, les connaissances géométriques mobilisées en acte ne sont pas nécessairement explicitées. Les situations de formulation consistent alors à produire un message écrit ou oral permettant de reproduire une figure modèle sans la voir et ont pour objectif de rendre nécessaire la formulation explicite des connaissances mathématiques.

- Les situations de formulation visent à développer des connaissances langagières géométriques (Petitfour, 2017). Elles sont le lieu possible d'un passage d'un langage technique à un langage géométrique (« Je pique sur A, j'écarte le compas de 5 cm et je trace » devient « Trace le cercle de centre A de rayon 5 cm »). Il ne s'agit pas seulement d'une question de vocabulaire (Mathé & al., 2021).

- Les situations de validation cherchent à poser la question de la validité des constructions instrumentées et peuvent mobiliser de premières démarches de preuve.

*Projet du groupe IREM « situations problèmes au collège » :*

En Auvergne, un travail de structuration didactique des savoirs géométriques de l'école, de construction de progressions et de suites de situations de restauration de figures a été produit et expérimenté prenant appui sur les résultats précédents. Le groupe « Enseigner la géométrie à l'école », animé par Anne-Cécile Mathé depuis 2016, centre essentiellement ses réflexions sur l'école élémentaire. Notre groupe, piloté par Aurélie Roux, formatrice INSPE et doctorante en didactique des mathématiques, est actuellement constitué de professeurs de mathématiques
enseignant dans des collèges de profils variés et de formatrices. Il s'intéresse plus particulièrement à l'enseignement de la géométrie au collège et a orienté ses travaux vers l'instanciation et le prolongement possible de ces résultats en classe 6e.

Nous avons cherché à spécifier les enjeux de l'enseignement et de l'apprentissage de la géométrie en classe de 6e. Les objets géométriques étudiés au cycle 3 sont majoritairement communs à ceux des cycles d'apprentissage précédents. Il s'agit, au cours du cycle 3, de faire évoluer leurs conceptions et d'engager peu à peu les élèves à considérer non plus les dessins matériels comme objets d'étude mais comme des représentants de figures dont on cherche à examiner les propriétés. De ce point de vue, la classe de 6e nous semble constituer une classe charnière.

Nous avons ensuite construit des situations d'apprentissage portant sur chacun des objets géométriques étudiés au programme officiel actuel, tout en questionnant la place possible des situations de restauration de figures et les potentialités d'imbrications de situations d'action, de formulation et de validation. Portant notre attention sur un ensemble de variables didactiques, ces conceptions de situations ont été un travail de longue haleine. Le choix des figures à reproduire, de leurs propriétés, des instruments autorisés a été expérimenté de nombreuses fois dans les classes avant la rédaction de ressources à destination des enseignants.

## SITUATIONS D'ACTION, DE FORMULATION ET DE VALIDATION EN GÉOMÉTRIE : DEUX EXEMPLES EN CLASSE DE 6E

Nous expliciterons rapidement certains choix dans la progression annuelle puis décrirons deux exemples de séquences, l'un portant sur la relation de perpendicularité entre deux droites, l'autre sur la notion de cercle. Certaines de ces situations d'apprentissage seront travaillées avec les participants de l'atelier.

### Relation de perpendicularité en classe de 6e

La relation de perpendicularité entre deux droites, introduite dès le début du cycle 3, n'est pas nouvelle en classe de 6e. Toutefois, des difficultés perdurent. Le passage du concept d'angle droit en cycle 2 à celui de droites perpendiculaires au début du cycle 3 ne va pas de soi. Il nécessite de passer d'une vision en termes de surface (un angle dont la propriété est d'être droit) à une vision en termes de lignes (deux droites) et de relation binaire entre ces deux lignes (être perpendiculaire) voire en termes de relation ternaire entre deux lignes et un point (une droite est perpendiculaire à une autre en passant par un point donné) (Barrier & al, 2014).

Nous proposons une imbrication de situations en appui sur les situations de restauration de figure. Le tableau ci-dessous (tableau 1) montre les choix retenus concernant les figures modèles et amorces dans les situations d'action et de formulation.
<table><caption>**Tableau 1 – Figures et amorces retenues**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Type de situation</th><th rowspan="2">Action</th><th colspan="2">Formulation</th></tr><tr><th>Émetteurs A</th><th>Émetteurs B</th></tr></thead><tbody><tr><td>Figure modèle</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Amorce</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Nous montrerons comment le jeu sur nos variables didactiques vise deux objectifs : aider les élèves à passer de la vision d'angle droit à celles de droites perpendiculaires, percevoir comment caractériser une droite perpendiculaire à une droite donnée c'est-à-dire comprendre la nécessité d'indiquer la droite à laquelle elle est perpendiculaire et un point par lequel elle passe. La situation de formulation et celle de validation jouent ici un rôle fondamental, rendant nécessaire la formulation de la relation ternaire entre deux lignes et un point, et mettant à l'épreuve certaines formulations faire émerger les conditions nécessaires et suffisantes.

Nous expliciterons en particulier comment les analyses de productions d'élèves, d'enregistrements vidéo de séances nous ont conduits à modifier certaines variables didactiques telles que les instruments autorisés, avec un passage progressif d'un gabarit d'angle droit, fabriqué par pliage d'une feuille de papier non symétrique, à l'usage d'une équerre non graduée.

### Cercle en classe de 6ᵉ

Le cercle n'est pas un objet géométrique nouveau en classe de 6ᵉ mais des conceptions différentes de ce dernier apparaissent dans le cursus scolaire des élèves (Artigue et Robinet, 1982). Certaines situations adoptent un point de vue ponctuel sur le cercle, s'intéressant par exemple aux relations d'appartenance d'un point au cercle, quand d'autres portent un point de vue global envisageant par exemple le cercle comme une figure de courbure constante. Un second critère concerne la différence entre des conceptions du cercle tantôt dynamiques (le cercle perçu comme une trajectoire), tantôt statiques. Bulf et Celi (2016) puis Mathé et al (2021) proposent des situations d'apprentissage en géométrie des tracés s'attachant au cercle en tant que ligne, considérant que sa définition en tant qu'ensemble de points équidistants de son centre n'est pas accessible aux élèves de l'école. Notre travail a consisté à analyser les attentes institutionnelles de la classe de 6ᵉ au sujet du cercle puis à élaborer et articuler des situations d'apprentissage mobilisant des conceptions différentes de celui-ci. Nous montrerons les choix retenus.

À travers les deux exemples choisis, nous expliquerons comment ce travail collaboratif a influé progressivement sur les pratiques enseignantes des membres du groupe, comment les enseignants articulent situations d'action, de formulation, de validation dans leurs classes, proposent de nouvelles formes de traces écrites et évaluent les capacités des élèves à voir mathématiquement les figures.

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Les problèmes de restauration de figures montrent toutefois certaines limites pour envisager le passage en géométrie théorique. Ils n'engagent en effet pas les élèves vers la nécessité de produire une preuve théorique. Ce point ne sera pas développé dans l'atelier mais il fait l'objet de questionnements au sein de notre groupe et dans le cadre du travail de recherche de thèse d'Aurélie Roux.

RÉFÉRENCES

Artigue, M. & Robinet, J. (1982). Conceptions du cercle chez des enfants de l'école élémentaire. *Recherche en didactique des mathématiques, 3*(1), 5-64.

Barrier T., Chesnais A., Hache C. (2014). Décrire les activités des élèves en géométrie et leur articulation avec celle de l'enseignant. *Spirale, 54*, 175-193.

Brousseau G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Bulf C., Celi V. (2016). Essai d'une progression sur le cercle pour l'école primaire – une articulation clé : gabarit-compas. *Grand N, 97*, 21-58.

Duval R., & Godin M. (2005). Les changements de regard nécessaires sur les figures. *Grand N, 76*, 7-27.

Mathé A.-C., Barrier, T. & Perrin-Glorian M.-J. (2020). *Enseigner la géométrie élémentaire, enjeux, ruptures et continuités*. Collection Les Sciences de l'éducation aujourd'hui, éditions Academia – L'Harmattan.

Mathé A.-C., Maillot V. & Ribennes J. (2021). Enjeux langagiers, situations de formulation et de validation en géométrie – un exemple de travail autour du cercle en CE2. *Grand N, 108*, 27-57.

Mathé, A.-C., & Perrin-Glorian, M.-J. (2023). La géométrie des tracés, lien possible entre le dessin géométrique et la géométrie d'Euclide ? In C. G.-B. Winder & T. Assude (Eds.), *Articulations entre les espaces sensible, graphique et géométrique : Ressources, pratiques et formation* (pp. 7–36). ISTE Group.

Perrin-Glorian M.-J., & Godin M. (2014). De la reproduction de figures géométriques avec des instruments vers leur caractérisation par des énoncés. *Math-école, 222*, 26-36.

Petitfour E. (2015). *Enseignement de la géométrie à des élèves en difficulté d'apprentissage : étude du processus d'accès à la géométrie d'élèves dyspraxiques visuo-spatiaux lors de la transition CM2-6ème*. Thèse de doctorat, Université Paris Diderot. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01228248

Petitfour E. (2017). Enseignement de la géométrie en fin de cycle 3. Proposition d'un dispositif de travail en dyade. *Petit x, 103*, 5-31.
POSTERS
# A TSD EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS: UNA EXPERIENCIA EN EL AULA

CARRILLO-GALLEGO Dolores<fnref n="1" />, IBÁÑEZ-LÓPEZ Francisco Javier<fnref n="2" />, MAURANDI-LÓPEZ Antonio<fnref n="3" />, SAÁ-ROJO María Dolores<fnref n="4" />

**Resumen** – Este póster presenta la opinión de 168 estudiantes futuros maestros de Educación Infantil sobre una actividad práctica implementada bajo el enfoque de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) dentro de la asignatura de matemáticas. Tras su realización, se les administró una encuesta tipo escala Likert. Los resultados mostraron que una mayoría de los participantes confirmó que este tipo de actividades ayudan a la adquisición de los contenidos y las competencias transversales y de materia.

**Palabras clave:** didáctica, matemáticas, TSD, formación de profesores, Educación Infantil.

**Résumé** – Ce poster présente l'opinion de 168 futurs enseignants de éducation maternella sur une activité pratique mise en œuvre dans le cadre de l'approche de la Théorie des Situations Didactiques dans le domaine des mathématiques. Après l'activité, une enquête à l'échelle de Likert a été administrée aux étudiants. Les résultats ont montré que la majorité des participants ont confirmé que ce type d'activité contribue à l'acquisition du contenu et des compétences transversales et disciplinaires.

**Mots-clés** : didactique, mathématiques, TSD, formation des professeurs, éducation maternelle.

## INTRODUCCIÓN

En las asignaturas de matemáticas del título de Maestro de Educación Infantil de la Universidad de Murcia se plantean varias actividades basadas en la TSD (Brousseau, 1998). Los objetivos de este trabajo fueron (i) analizar la percepción del alumnado sobre la implementación de este tipo de actividades y (ii) valorar la comprensión de la actividad y su potencial aplicación en su futura labor como docentes.

## METODOLOGÍA

Se presenta una actividad desarrollada sobre conocimientos lógicos que está descrita detalladamente en Saá-Rojo et al. (2023). En una primera fase, en grupos, bajo la guía y supervisión del profesorado, el alumnado debía completar todas las piezas del material lógico de referencia en el aula de Infantil. Se pretendía que los futuros docentes individualizaran gráficamente las propiedades del material lógico, construyendo así un nuevo conocimiento. La actividad se planteó en forma de retos que iban evolucionando, dando lugar a situaciones de acción, formulación, validación, así como a un momento general de institucionalización. En una segunda fase, por medio de un debate, se pretendía que los participantes identificaran y analizaran tanto los aprendizajes de la primera fase como la forma de adquirirlos. Posteriormente, se administró un cuestionario tipo escala Likert, con ítems con cinco valores de respuesta (diseñado y validado ad hoc para esta investigación) a los 168 estudiantes matriculados en la asignatura de *Didáctica de la Matemática en la Educación Infantil* (159 mujeres, 94.64%, y 9 hombres, 5.36%, con una edad media de 19.7 años).

<footnote n="1">¹ Universidad de Murcia – España – carrillo@um.es</footnote>

<footnote n="2">² Universidad de Murcia – España – fjil@um.es</footnote>

<footnote n="3">³ Universidad de Murcia – España – amaurandi@um.es</footnote>

<footnote n="4">⁴ Universidad de Murcia – España – saa@um.es</footnote>
RESULTADOS

Los resultados (Figuras 1 y 2) muestran que el alumnado percibió que, con este tipo de actividades, se lograba una mejor adquisición de las competencias y los contenidos de la asignatura de matemáticas. El 78% de los participantes afirmó que les gustaría que se realizaran más actividades de este tipo y un 73.2% confirmó haber aprendido mucho con su realización.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figura 1 – Cuestiones de percepción sobre la actividad</figcaption></figure>

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
**Figura 2** – Cuestiones de comprensión y futura aplicación

Más del 90% de los informantes reconoció que la construcción del conocimiento no es algo inmediato y requiere tiempo. Además, indicaron que para lograr ese nuevo conocimiento es necesario que el profesor plantee nuevos retos durante la ejecución de la actividad.
Finalmente, una gran mayoría confirmó que estas actividades ayudan a los futuros docentes de Educación Infantil a pensar y construir ideas sobre el proceso de enseñanza y la actuación docente.

## CONCLUSIONES

Los futuros maestros estimaron que la actividad realizada (en la que se han utilizado metodologías basadas en la TSD) podría adaptarse al aula de Educación Infantil (estrategia de homología, Houdement y Kuzniak, 1996). La reflexión realizada por los maestros en formación sobre el desarrollo de las sesiones, les permitió mejorar su actitud hacia las matemáticas. Además, consideraron y valoraron cómo las actividades de este tipo (planificadas y gestionadas por los docentes, planteadas como retos sucesivos, con momentos de acción, de formulación, de validación y de institucionalización, y que requieren el uso de diferentes instrumentos) contribuyen a la construcción de los nuevos conocimientos pretendidos. También pudieron apreciar cómo se pueden implementar los saberes de referencia de la Didáctica de las Matemáticas (como la TSD) en la actuación del profesorado de matemáticas en el aula (estrategia de transposición, Houdement y Kuzniak, 1996).

## REFERENCIAS

- Brousseau, G. (1998). *La Théorie des Situations Didactiques*. La Pensée Sauvage.

- Houdement, C. y Kuzniak, A. (1996). Autour des stratégies utilisées pour former les maitrês du premier degré en mathématiques. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 16*(3), 282-233). https://revue-rdm.com/2008/autour-des-strategies-utilisees/

- Saá-Rojo, M. D., Carrillo-Gallego, D., Dólera-Almaidá, J., Ibáñez-López, F. J., Maurandi-López, A. y Sánchez-Jiménez, E. (2023). Estrategias en la formación matemático-didáctica de los estudiantes del Grado en Educación Infantil. *Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 114*(julio), 23-42. https://sinewton.es/publicacion-numeros/articulo-2-114/
# GUY BROUSSEAU ET LA COPIRELEM

PETITFOUR<fnref n="1" /> Édith, TEMPIER<fnref n="2" /> Frédérick

**Résumé** – Ce poster, à visée informative, explique le rôle et l'influence de Guy Brousseau et de ses travaux sur les activités de la COPIRELEM.

**Mots-clés** : COPIRELEM, Brousseau, théorie des situations didactiques, colloques, situations de formation

Dans le contexte des mathématiques modernes au début des années 70 et à la suite de la création des premiers IREM, Guy Brousseau lance l'idée d'une commission nationale inter IREM pour la recherche sur l'enseignement des mathématiques à l'école élémentaire. Cette commission voit le jour en 1973, présidée par Guy Brousseau, puis François Colmez. L'assemblée de Directeurs d'IREM décide alors « au cours de l'année scolaire 74-75 la création d'une COMmission Permanente des IREm pour l'enseignement ELEMentaire (désignée par le sigle de COPIRELEM), chargée de prendre en charge les activités des IREM dans le domaine de l'enseignement élémentaire. » (COPIRELEM, 1978, p. 4).

Guy Brousseau avait le souci de développer la concertation et la coopération entre les principaux partenaires de l'enseignement des mathématiques à l'école. Comme il le rappelait à l'occasion des 30 ans de la COPIRELEM (COPIRELEM, 2003), il a mené, au sein de la commission, un travail constant pour promouvoir des recherches et les discuter, mais aussi pour lutter contre l'émiettement, les synthétiser et leur donner un cadre théorique pour en tirer des éléments de formation utilisables. Sous son impulsion, la COPIRELEM a ainsi investi le champ des recherches et des expérimentations pour contribuer à la formation des instituteurs, puis des professeurs des écoles.

La participation de Guy Brousseau est signalée dans douze actes de colloques parus entre 1973 et 2003 : Nice (1976, 1991), Bombannes (1979, 1989, 2008), Confolant (1980), Blois (1982), Angers (1987), Rouen (1988), Besançon (1992), Saint-Etienne (1997) et Avignon (2003). Ses conférences portent sur différents aspects de la TSD, comme sur les rôles du maître et le contrat didactique (Brousseau, 1987, 1998) ou sur l'ingénierie didactique (Brousseau et Greslard, 1989). Les concepts de la TSD présentés par Guy Brousseau en séances plénières et discutés lors de travaux de groupes au cours des colloques sont des éléments qui ont contribué à constituer progressivement une culture commune partagée par le collectif des formateurs.

L'influence de la TSD se manifeste parfois directement dans le cas de situations développées au COREM et reprises comme situations de formation, comme « la course à 20 ». Mais elle apparaît plus généralement dans la conception de nombreuses situations de formation par homologie (COPIRELEM, 2003) partageant des caractéristiques avec celles développées au COREM et permettant de dégager certains concepts de la théorie des situations en formation des enseignants. Enfin les connaissances scientifiques sur l'apprentissage des différentes domaines mathématiques de l'école primaire apportées par Guy Brousseau et ses collègues, ont aussi nourri la conception de ces situations de formation, comme sur la géométrie (Berthelot & Salin, 1992) ou la construction du nombre (Briand et al., 2004).

Guy Brousseau et certains de ses collègues (Joël Briand, Alain Duval et Gérard Vinrich) ont aussi été à l'origine de la rédaction d'annales du concours de recrutement des professeurs des

<footnote n="1">¹ COPIRELEM, LDAR, Université de Rouen Normandie – France – edith.petitfour@univ-rouen.fr</footnote>

<footnote n="2">² COPIRELEM, LDAR, CY Cergy Paris Université – France – frederick.tempier@cyu.fr</footnote>
écoles (CRPE) à partir de 1992. Ils les ont conçues pour être à la fois utiles aux étudiants et aux formateurs avec de nombreux apports sur des aspects mathématiques et didactiques de l'enseignement dans le premier degré, comme le rappelait Joël Briand à l'occasion du 50e colloque de la COPIRELEM (Petitfour et al., 2025). C'est dans cet esprit que la commission poursuit encore aujourd'hui la rédaction des annales du CRPE.

Enfin, l'influence de Guy Brousseau se manifeste dans les travaux plus récents de la commission visant à élaborer un cadre d'analyse de situations de formation. L'objectif est de permettre aux formateurs de s'approprier les enjeux de situations de formation, de comprendre les choix de mise en œuvre et de les modifier en tenant compte du contexte et des contraintes de formation locales. Cet outil sera présenté au cours d'un atelier de ce colloque.

## RÉFÉRENCES

* Berthelot, R., Salin, M.-H. (1992). *L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire*. Thèse de doctorat de l'Université de Bordeaux 1.

* Briand, J., Loubet, M., Salin, M.-H. (2004). *Apprentissages mathématiques en maternelle*. Hatier pédagogie.

* Brousseau, G. (1987). Les différents rôles du maître. Dans *Actes du XIVe colloque INTER-IREM des PEN* (pp.37-67). IREM de Nantes.

* Brousseau, G. (1998). Intégration des savoirs de formation, la régulation didactique. Dans *Actes du XXIVe colloque des formateurs et professeurs de mathématiques chargés de la formation des maîtres* (pp.4-17). IREM Université – Paris VII – Denis Diderot.

* Brousseau, G., Greslard, D. (1989). La régulation d'un curriculum : problèmes pratiques et théoriques. Dans *Actes du colloque inter IREM des PEN* (pp.207-228). IREM de Rouen.

* COPIRELEM (1978). Présentation de la COPIRELEM. *Bulletin inter-IREM Spécial COPIRELEM, 16* (4-8). IREM de Lyon.

* COPIRELEM (2003). *Carnets de route de la COPIRELEM. Concertum. Dix ans de formation des professeurs des écoles en mathématiques*. ARPEME.

* Petitfour, E., Bilgot, A., & Billy, C. (2025). Rétrospective à l'occasion du cinquantième colloque de la COPIRELEM. Dans *Actes du 50e Colloque COPIRELEM*. ARPEME.
# Thématique 4

L'INFLUENCE INTERNATIONALE DE L'ŒUVRE DE GUY BROUSSEAU

RESPONSABLES : MICHÈLE ARTIGUE, JEAN-LUC DORIER
CONFERENCES
CO-CONFÉRENCE 1

BRIDGING THE LANGUAGE DIVIDE, AN OFTEN WILD AND GENERALLY JOYOUS RIDE
WITH GUY BROUSSEAU

WARFIELD<fnref n="1" /> Ginger Virginia

In the 1980’s English-speaking researchers were in the frustrating situation of knowing exciting things were going on in France with titles like “didactical contract” and “didactical situations”, but only in the French language. Nicolas Balacheff of France and Martin Cooper of Australia decided to remedy this by producing a translation of a compendium of the works with which Guy Brousseau had launched the field starting in the 1960’s. The task proved to be Herculean, and I had the good fortune to join in it, first as a “first reader” and eventually as a translator and editor, a position also occupied by Rosamund Sutherland of England. That time and effort launched me (with Balacheff’s help) into a decades-long, description-defying working and personal relationship with Guy Brousseau and his wife, Nadine. I will attempt to convey some of the insights this gave me into this man brimming with brilliance, generosity and very strong opinions.

Version française

Dans les années 1980, les chercheurs anglophones se trouvaient dans la situation frustrante de savoir qu'il se passait des choses passionnantes en France avec des titres tels que « contrat didactique » et « situations didactiques », mais seulement en français. Nicolas Balacheff (France) et Martin Cooper (Australie) ont décidé de remédier à cette situation en produisant une traduction d'un recueil des travaux avec lesquels Guy Brousseau avait lancé le domaine à partir des années 1960. La tâche s'est avérée herculéenne et j'ai eu la chance d'y participer, d'abord en tant que « première lectrice », puis en tant que traductrice et éditrice, une position également occupée en Angleterre par Rosamund Sutherland. Ce temps et ces efforts m'ont permis (avec l'aide de Balacheff) d'entamer une relation de travail et personnelle de plusieurs décennies avec Guy Brousseau et sa femme Nadine, qui défie toute description. J'essaierai de vous faire part de quelques-unes des idées que cela m'a permis d'acquérir sur cet homme brillant, généreux, et aux convictions bien arrêtées.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (1997). *The theory of didactical situations in mathematics*. 1970–1990. Kluwer Academic Press.

Brousseau, G., & Warfield, V. (1999). The Case of Gaël. *The Journal of Mathematical Behavior, 18*(1), 7–52.

Brousseau, G., Brousseau, N., & Warfield, V. (2001). An Experiment on the teaching of probability and statistics. *Journal of Mathematical Behavior, 20*(3), 363–411

Brousseau, G., Brousseau, N. and Warfield, V. (2014). *Teaching fractions through situations: A fundamental experiment*. Springer.

McShane Warfield, V.(2014). *Invitation to Didactique*. Springer Briefs in Education.

<footnote n="1">¹ University of Washington – USA – warfield@uw.edu</footnote>
CO-CONFÉRENCE 1

BROUSSEAU ACTUAL AND POSSIBLE INFLUENCE ON ANGLOPHONE RESEARCH IN
MATHEMATICS EDUCATION

HERBST<fnref n="1" /> Patricio

I will elaborate on how the English speaking community of researchers in mathematics education received and related to Brousseau's contributions. I will note, in particular, how different historical circumstances and distinct conceptions of the work of instruction, the role of theory, and the nature of education research made it hard for English-speaking researchers to relate to the theory of didactical situations as a research program. I will show examples of how some selected elements of the theory have, however, made an impact in the English-speaking literature. And I will describe how Brousseau's vision of a science of the communication of knowledge remains a valuable, viable, and vital possibility for the development of research in mathematics education across the globe.

Version française

Je développerai la manière dont la communauté anglophone des chercheurs en éducation mathématique a reçu les contributions de Brousseau et s'y est intéressée. Je préciserai, en particulier, comment des circonstances historiques différentes et des conceptions distinctes du métier d'enseignant, du rôle de la théorie et de la nature de la recherche en éducation ont rendu difficile pour les chercheurs anglophones de faire un lien entre leurs travaux et la théorie des situations didactiques en tant que programme de recherche. Je montrerai des exemples de la façon dont certains éléments de la théorie ont cependant eu un impact dans la littérature anglophone. Et je décrirai comment la vision de Brousseau d'une science de la communication des connaissances reste une possibilité précieuse, viable et vitale pour le développement de la recherche en éducation mathématique à travers le monde.

RÉFÉRENCES

Herbst, P. (2024). Editorial: Stewarding the legacy of our elders: A reflection on the impact of Guy Brousseau. *Journal for Research in Mathematics Education, 55*(5), 210–218.

<footnote n="1">¹ University of Michigan (USA)</footnote>
CONFÉRENCE 2

ENTRETIENS AVEC GUY BROUSSEAU: CONVERGENCES ET TANGENCES

SOTO-ANDRADE<fnref n="1" /> Jorge

Dans cette conférence, je préciserai d'abord les circonstances de mes rencontres présentielles et entretiens téléphoniques avec Guy Brousseau, qui se sont étalés sur plus de 15 ans, jusqu'à peu avant son décès. J'évoquerai ensuite plusieurs sujets d'intérêt commun que nous avons discutés et qui ont révélé des convergences et des tangences entre nos approches respectives, notamment : l'abus cognitif inhérent à l'enseignement traditionnel des mathématiques, qui a motivé son épistémologie expérimentale des mathématiques, conçue en même temps que l'épistémologie expérimentale de Maturana et Varela, son énigmatique « petit livre bleu » dont il voulait révéler les clés, son approche existentielle de l'enseignement des mathématiques, qui me semble proche de courants anglo-saxons contemporains (inclusive and relational materialism, agential realism, phenomenology of things...), les rapports entre les situations didactiques et la didactique énactiviste au sens de Varela, et le rôle de la métaphore, qu'il appelait souvent "suggestion" et dont il a progressivement reconnu l'importance dans l'enseignement des mathématiques.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (1965). *Les mathématiques du cours élémentaire*. Dunod.

Soto-Andrade, J. (2013). Metaphors and didactical situations. In A. M. Lindmeier, & A. Heinze (Eds.), *Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME37), Vol. 5.*, (p.169). Kiel, Germany: PME

Soto-Andrade, J., & Diaz-Rojas, D. (2023). Experimental epistemology of mathematics revisited, in the light of inclusive materialism and agential realism. In P. Drijvers, C. Csapodi, H. Palmér, K. Gosztonyi, & E. Kónya (Eds.), *Proceedings of the Thirteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME13)* (pp. 5163–5172). Budapest: Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ERME.

<footnote n="1">¹ Universidad de Chile – Chili – sotoandrade@gmail.com</footnote>
TABLE RONDE
L'INFLUENCE DE L'ŒUVRE DE GUY BROUSSEAU EN AMÉRIQUE LATINE

AG ALMOULOUD<fnref n="1" /> Saddo, ESPINOZA<fnref n="2" /> Lorena, ROMO-VAZQUEZ Avenilde<fnref n="3" />, DORIER<fnref n="4" />
Jean-Luc

Les travaux de Guy Brousseau ont eu très tôt un retentissement international, notamment en Amérique latine. Dans cette table ronde, nous reviendrons de façon réflexive sur l'influence des travaux de Guy Brousseau dans cette région du monde, son histoire, les formes qu'elle a prises et ses effets sur la recherche, l'enseignement et la formation des enseignants. Pour cela, nous croiserons trois regards de pays d'Amérique Latine : Brésil, Chili et Mexique, avec respectivement les didacticiens et didacticiennes Saddo Ag Almouloud de l'Universidade Federal do Pará au Brésil, Lorena Espinoza de l'Universidad de Santiago de Chile, au Chili et Avenilde Romo Vázquez, du CINVESTAV au Mexique. La table ronde sera modérée par Jean-Luc Dorier de l'Université de Genève, co-responsable de l'axe 4.

<footnote n="1">¹ Universidade Federal do Pará – Brésil – saddoag@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">² Département de mathématiques et CC, Université de Santiago du Chili – Chili – lorena.espinoza@usach.cl</footnote>

<footnote n="3">³ Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional – Mexique –
avenilde.romo@cinvestav.mx</footnote>

<footnote n="4">⁴ Université de Genève – Suisse – Jean-Luc.Dorier@unige.ch</footnote>
PLANISPHERE

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

**Fondements**, développements, évolutions et **perspectives** de la théorie des situations didactiques
Colloque international en l'hommage à l'œuvre de Guy Brousseau

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Planisphère

Guy
Brousseau

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

Les travaux de thèse, un grand nombre
encadrés par Guy Brousseau lui-même,
ont largement contribué à la diffusion
de la Théorie des Situations et de son
œuvre plus largement : témoignages
d'auteurs et autrices.

@ : https://view.genially.com/6818e5c57898ac34ca31a38b/interactive-content-theses-brousseau

Guy Brousseau a encadré 39 thèses dont 21 de doctorants et doctorantes étrangers. Dans ce planisphère, pour visualiser la dimension internationale de ce travail d'encadrement, nous avons situé ces 21 thèses. Nous avons complété avec quelques thèses de chercheurs et chercheuses de 6 pays dans lesquels, même s'il n'a pas lui-même encadré des thèses, son influence a été grande.

En se promenant sur les 5 continents (tous sauf l'Océanie) on découvrira, positionnée sur son pays et sa ville d'origine, une fiche pour chaque doctorant et doctorante. Elle contient des informations sur la thèse (date de soutenance, direction et titre) et, quand cela a été possible, un lien permettant de la télécharger en ligne et une vidéo de 5 minutes environ dans laquelle l'ancien thésard ou thésarde témoigne de ce que Guy Brousseau et la théorie des situations didactiques lui ont apporté.

Au total 30 fiches sont documentées dont 23 avec des vidéos de témoignage.

Source :

https://view.genially.com/6818e5c57898ac34ca31a38b/interactive-content-theses-brousseau

© Ce planisphère a été réalisé sous la supervision de Michèle Artigue et Jean-Luc Dorier avec les aides précieuses de Sylvia Coutat, Nathan Lombard et Gregory Train.
COMMUNICATIONS
# LA TSD POUR PENSER LES RÉORGANISATIONS ENTRE SCIENCES, ÉDUCATION ET POLITIQUE AU QUÉBEC

BIODEAU<fnref n="1" /> Jeanne, BERGERON<fnref n="2" /> Laurie, BARALLOBRES<fnref n="3" /> Gustavo

**Résumé** – La proposition vise à mettre en évidence la manière dont la TSD peut être mobilisée en tant qu’outil d’analyse de certaines propositions pédagogiques dans le contexte de réorganisations importantes des rapports entre science, politique et éducation au Québec. Nous analysons plus spécifiquement certaines implications théoriques et pratiques du modèle d’enseignement explicite, en tant que pratique pédagogique particulièrement mise en avant par les instances politiques et par certains courants scientifiques québécois.

**Mots-clés** : théorie des situations didactiques ; enseignement explicite ; émancipation.

## INTRODUCTION

Développées d'abord dans le monde anglo-saxon, des politiques de gestion axée sur les résultats ont été mises en place dans les écoles primaires et secondaires du Québec dans les deux dernières décennies. Dans le contexte québécois, l'implantation d'une gestion axée sur les résultats a contribué à la mise en place d'une « gestion de la pédagogie » visant à rationaliser le travail d'enseignement dans le but d'améliorer les seuils de réussite des élèves (Maroy, 2017). En 2023, un projet de loi (PL.23) visant à instaurer un institut national d'excellence en éducation a été adopté. L'institut est responsable d'identifier les meilleures pratiques et de favoriser leur mise en application dans les écoles.

Parmi les pratiques identifiées comme efficaces, le modèle d'enseignement explicite est particulièrement mis en avant. Gauthier et al. (2007), dont les travaux constituent des références au Québec sur la question de l'efficacité des pratiques éducatives et des établissements d'enseignement, affirment même « qu'à un enseignement efficace correspond une démarche d'enseignement explicite et systématique » (p. 109).

Dans ce modèle, inspiré du béhaviorisme et de la théorie de l'expertise, le savoir est modélisé avant d'être appliqué par l'élève (Rosenshine & Stevens, 1986). Ce modèle repose sur une structuration de la séquence en quatre phases : la démonstration magistrale, d'abord, l'illustration par des exemples, ensuite, l'application des connaissances par les élèves, subséquemment, et la répétition en vue de l'évaluation, finalement (Talbot, 2012).

Le contexte québécois actuel est marqué par des réorganisations importantes des rapports entre sciences, politique et éducation. Partant de l'influence des travaux de Brousseau sur notre parcours de jeunes chercheuses, la réflexion qui suit mobilise les hypothèses et les concepts de la TSD pour analyser certaines propositions pédagogiques qui émergent de ces réorganisations.

## LA TSD EN TANT QU'OUTIL POUR COMPRENDRE UN COURANT PÉDAGOGIQUE ET SON IMPLANTATION AU SEIN DE LA CLASSE

Dans cette section, nous présentons d'abord certains concepts de la théorie des situations didactiques à propos du processus d'enseignement-apprentissage. Nous mettons ensuite en rapport ces concepts avec certains présupposés contenus implicitement dans le modèle

<footnote n="1">¹ Université du Québec à Trois-Rivières–Canada – jeanne.bilodeau@uqtr.ca</footnote>

<footnote n="2">² Université du Québec à Montréal – Canada – bergeron.laurie.2@uqam.ca</footnote>

<footnote n="3">³ Université du Québec à Montréal – Canada – barallobres.gustavo@uqam.ca</footnote>
d'enseignement explicite. Puis, nous adressons les implications effectives de ces présupposés dans la relation didactique, à partir du cas des orthopédagogues<fnref n="1" /> intervenant en mathématiques en contexte québécois.

### Exemples à propos des présupposés

Il y a, dans le projet scientifique de la théorie des situations, un contenu éminemment politique qui concerne une gestion démocratique de la production, de la diffusion et de l'usage des savoirs (Brousseau, 1994). Le partage du contrôle des institutions humaines est une exigence de notre époque, pour Brousseau.

Ce partage prend une forme spécifique dans l'institution de la classe. C'est celui d'un enseignement qui a pour objectif le fonctionnement de la connaissance comme production libre de l'élève dans ses rapports avec un milieu adidactique (Brousseau, 1990). Dans la dévolution, la position attendue de l'élève est celle d'un certain niveau d'émancipation par rapport au discours et à l'action de la personne enseignante. Cette émancipation concerne tout à la fois le rapport de domination où le sujet est privé de la création de sens en même temps que le contenu du discours lui-même dans un nécessaire moment de personnalisation (Brousseau, 1986). La dialectique dévolution-institutionnalisation est un processus de constitution d'un sujet épistémique autonome. Elle relie l'histoire particulière de la classe à une histoire et à une culture collective. On peut alors envisager la TSD comme une proposition radicale d'autonomie à l'école, contre l'autonomisation et la dominance des institutions relativement au groupe, fondements de l'aliénation (Castoriadis, 1975). Elle permet de regarder l'apprentissage comme le partage du contrôle des productions de l'institution mathématique de la classe par les sujets formant son collectif, rendant les élèves « *instituants* au sein de l'institution » (Sensevy, 1998, p. 233).

Une contribution majeure de la TSD aux sciences de l'éducation en général est cette mise en évidence de la nécessité de la mise en place d'une certaine adidacticité comme condition de l'étude. Il nous semble essentiel de rappeler cette contribution dans les débats qui ont lieu au Québec et ailleurs concernant les prescriptions formulées à propos de l'enseignement explicite puisque les conceptions sur la nature des apprentissages, implicites aux discours de promotion des bonnes pratiques, contribuent à construire, d'une part, un certain rapport aux savoirs et, d'autre part, un certain rapport à soi pour les élèves, sujets des institutions didactiques.

Les travaux de Bissonnette et al. (2005) constituent des références concernant les pratiques et les écoles efficaces dans le contexte québécois. Or, leurs écrits sur l'enseignement explicite supposent une conception de l'apprentissage comme application et reproduction de savoirs directement transmissibles.

Rosenshine (1986) indique qu'au départ, en enseignement explicite, l'enseignant modèlera ce qu'il faut faire devant les élèves, pour ensuite les accompagner en pratique dirigée afin qu'ils s'exercent à leur tour. Ils seront alors capables, en bout de course, d'accomplir la tâche, seuls, en pratique autonome. (Bissonnette et al., 2005, p. 109)

Cette organisation linéaire en trois étapes présume de faibles transformations entre le moment de la présentation du modèle par la personne enseignante et le moment du travail individuel par les élèves.

[L']'enseignant peut s'assurer que les élèves ne mettront pas en application des apprentissages mal compris, pouvant les conduire à développer des connaissances erronées. (Bissonnette et al., 2005, p. 111)

<footnote n="1">¹ Au Québec, les orthopédagogues sont des personnes enseignantes qui interviennent auprès des élèves identifiés en difficulté en français et en mathématiques.</footnote>
L'espace d'interprétation par les élèves semble alors réduit à une compréhension juste ou erronée de ce que dicte la personne enseignante. Le temps de travail individuel est uniquement reconnu comme perfectionnement, par la réalisation d'un nombre élevé d'exercices.

L'enseignant délaisse la pratique guidée pour la pratique autonome (exercices individuels) lorsqu'il est assuré que les élèves ont atteint un niveau de maîtrise élevé de la matière à apprendre. (Bissonnette, 2008, p. 88)

Sans nier l'importance de moments d'exercisation dans l'apprentissage des mathématiques, la TSD montre, en distinguant différents types de situations adidactiques (action, formulation, validation) que l'action des élèves ne peut être réduite à ce type de travail (Brousseau, 1986). Par ailleurs, le travail individuel implique un partage de l'intention d'enseignement entre le professeur et les élèves (Mercier, 1992). Or, dans les écrits scientifiques sur l'enseignement explicite, les productions des élèves ne sont envisagées que par rapport à leur conformité au modèle préalablement présenté.

Devant la popularité grandissante du modèle d'enseignement explicite, nous voudrions rappeler l'exigence d'autonomie que suppose la TSD. La pensée de Brousseau peut-elle donc être un rempart contre une forme spécifique de l'aliénation que nous pourrions nommer *aliénation didactique* qui empêche les sujets des institutions didactiques de reconnaître les connaissances mathématiques qui y sont élaborées comme le produit de leur propre travail. La TSD nous permet alors d'analyser les propositions théoriques du modèle d'enseignement explicite relativement à l'espace réduit qu'il suppose pour l'action des élèves, laquelle est envisagée essentiellement comme reproduction.

## Exemples à propos de la redéfinition de la relation didactique imposée

Si l'étude des présupposés de l'enseignement explicite au regard des objets de la TSD nous amène à questionner le rapport au savoir qu'induit ce modèle pédagogique pour les élèves, l'analyse, sous l'angle du contrat didactique, de son application effective en classe, nous permet de constater l'importante réduction de possibilité d'une éducation émancipatrice.

C'est ce que montre les analyses conduites dans le cadre d'un projet doctoral s'intéressant au travail d'intervention de deux orthopédagogues en mathématiques. Dans le cadre de ce projet, des analyses didactiques ont été menées à partir d'observations de séances, d'entretiens post-leçons et d'entretiens de co-analyse. Ces analyses montrent que le modèle d'enseignement explicite influence le travail des orthopédagogues dans la conduite des séances avec les élèves. La mise en place de ce modèle favorise non seulement un milieu propice au foisonnement d'effets de contrats, mais, plus encore, induit une forme de simulacre de jeu d'apprentissage.

Au cœur des interactions, il s'installe un contrat où les élèves deviennent témoins passifs d'un processus visant à transformer leur état au nom de l'efficacité. Puisque la majeure partie du travail sur les contenus épistémiques est assumée par la personne enseignante, les élèves se trouvent dans une posture où ils doivent s'en remettre à sa parole, ne pouvant participer que de façon superficielle à l'avancée des savoirs.

Dans l'ensemble des séances observées, la dévolution des problèmes est constamment interrompue par les orthopédagogues qui segmentent la résolution en étapes prédéfinies afin de favoriser une résolution qui se conforme au modèle prévu. Par exemple, dès la lecture du problème, les orthopédagogues suspendent le travail de recherche des élèves en posant des questions visant à diriger l'attention vers les informations qu'elles considèrent déterminantes (Combien de triangles voyez-vous ? D'après-vous, quelle formule utiliserons-nous ?). Néanmoins, ces questions ne sont pertinentes que pour quelqu'un qui a déjà l'expérience d'avoir résolu le problème soumis, ce que les élèves n'ont évidemment pas fait. De manière générale, c'est le rapport de connaissances des orthopédagogues qui rythme l'avancée dans la tâche.
Ne pouvant entrer dans la tâche par leur rapport de connaissance personnel, les élèves se retrouvent suspendus aux comportements de la personne enseignante et sont peu en mesure de produire des comportements signifiants sur le plan didactique. Il s'installe ainsi un simulacre de jeu d'apprentissage où la personne enseignante, devant « la nécessité impérieuse de maintenir le lien contractuel qui les lie aux élèves » (Mercier, 1999, p. 12), pose de fausses questions et où les élèves, par complaisance, tentent de trouver dans leur discours les indices de la réponse attendue. Les propos suivants d'une des participantes illustrent la dépendance des élèves au discours de l'orthopédagogue :

> Là, j'essaie de leur faire prendre conscience qu'on va décomposer la figure et ils ne le voient pas du tout !
> [...] Je voulais que ça vienne d'eux et ça ne vient pas et là je patine ! Je pose des questions aux élèves pour
> les amener à voir par où on va passer pour éventuellement faire ce qu'on a dit qu'on ferait, appliquer la loi
> des sinus, pour trouver l'angle. Je leur demande de faire des liens avec les formes qu'ils voient, je reviens
> sur les notions d'angle droit et de voir si nous pouvions les transposer ailleurs [...] Donc, je suis passé par
> ok, vu qu'ils ne le voient pas avec les angles droits, je vais poser ma question avec les triangles. [...] J'essaie
> de formuler la réponse en question, mais j'aimerais que ça vienne d'eux (Extrait d'un entretien de co-
> analyse avec Amélie).

Ainsi, la médiation des rapports entre les élèves et le savoir passe par le discours de l'orthopédagogue qui cherche à diriger le regard des élèves vers les bonnes caractéristiques des problèmes afin qu'ils puissent éventuellement les résoudre seuls. La démarche d'enseignement explicite conduit alors à une économie de travail épistémique co-élaboré. Or, ce que semble nier ou ignorer la méthode d'enseignement explicite, c'est que :

> ce que l'on observe chez l'expert est la résultante d'un long chemin composé d'expériences diverses liées
> aux pratiques mathématiques lui permettant d'effectuer le modelage de son raisonnement. L'enseignement
> explicite semble présupposer qu'il est possible d'épargner ces expériences aux élèves et par le fait même,
> réduire la pratique mathématicienne à l'ensemble de gestes identifiés par l'expert. (Bergeron, 2023, p. 380)

Alors que les personnes enseignantes mettent en place l'enseignement explicite, elles en sont également captives et ne sont pas nécessairement dupes des effets et phénomènes qu'entraine l'usage de cette méthode. Par ailleurs, il leur en coûte au regard de leur propre conception de l'enseignement/apprentissage des mathématiques où elles souhaitent ardemment mettre en place un milieu favorisant la dévolution. Dans ces conditions, s'il s'opère une forme d'aliénation didactique pour les élèves, les personnes enseignantes semblent également vivre une forme d'aliénation face à l'institution, contraintes par des impératifs de performance. Nous le repérons dans le cynisme et l'impuissance de certaines remarques qui dénotent une perte de confiance en l'institution puisque l'emploi de ces méthodes reconnues efficaces concourt plutôt à réduire leur champ d'action, à les déposséder d'une certaine expertise, les transformant en exécutantes d'une autorité autre que celle occupée au quotidien et les enfermant dans une vision techniciste de leur travail (Demers, 2019).

La contribution de la TSD à ces analyses est essentielle afin de mettre en saillance la manière dont l'enseignement explicite déplace les enjeux de la relation didactique vers des logiques de réussite la dépouillant, par le fait même, de sa dimension collective et émancipatrice.

## CONCLUSION

Dans un contexte où l'efficacité des systèmes d'enseignement devient un enjeu central au sein de certains discours scientifiques, politiques et pédagogiques, il nous semble primordial de garder vivante la pensée de Brousseau et son fort ancrage épistémologique. Notre contribution vise à montrer la pertinence des outils développés par la TSD pour analyser certaines implications, épistémologiques et pratiques, du modèle de l'enseignement explicite dans le contexte de sa popularité grandissante et avec l'espoir de nourrir le débat au sein de la noosphère éducative.
RÉFÉRENCES

Bergeron. L. (2023). *Entre les contraintes de la relation d'aide et les impératifs de la diplomation : une étude de la dynamique du travail des orthopédagogues au secondaire dans leurs interventions en mathématiques* [Thèse de doctorat, Université du Québec à Montréal]. Archipel. https://archipel.uqam.ca/16747/

Bissonnette, S. (2008). *Réforme éducative et stratégies d'enseignement : synthèse de recherches sur l'efficacité de l'enseignement et des écoles* [Thèse de doctorat, Université Laval]. http://hdl.handle.net/20.500.11794/19958

Bissonnette, S., Richard, M. & Gauthier, C. (2005). Interventions pédagogiques efficaces et réussite scolaire des élèves provenant de milieux défavorisés. *Revue française de pédagogie*, 150, 87-141. https://doi.org/10.3406/rfp.2005.3229

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques*, 7(2), 33-115. https://revuerdm.com/1986/fondements-et-methodes-de-la/

Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique : le milieu. Recherches en didactique des mathématiques, 9(9.3), 309-336. https://revue-rdm.com/1988/le-contrat-didactique-le-milieu/

Brousseau, G. (1994). Perspectives pour la didactique des mathématiques. Dans M. Artigue, R. Gras, C. Laborde & P. Tavignot (Dir.), *Vingt ans de didactique des mathématiques en France. Hommage à Guy Brousseau et Gérard Vergnaud* (p. 51-66). La pensée sauvage. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00567259

Castoriadis, C. (1975). *L'institution imaginaire de la société*. Éditions du Seuil.

Demers, S. (2019). *La guerre contre l'école publique et ses enseignants*. M. Éditeur.

Gauthier, C., Bissonnette, S., & Richard, M. (2007). L'enseignement explicite. Dans V. Dupriez & G. Chapelle (Dir.), *Enseigner* (p. 107-109). Presses universitaires de France.

Maroy, C. (2017). La nouvelle gestion publique de l'école au Québec : vers une gestion de la pédagogie. *Sociologie du travail*, 59(4). https://journals.openedition.org/sdt/1353

Mercier, A. (1992). L'élève et les contraintes temporelles de l'enseignement, un cas en calcul algébrique [thèse de doctorat, Université Sciences et Technologies - Bordeaux I]. https://theses.hal.science/tel-00278299

Mercier, A. (1999). Le contrat didactique dans la théorie des situations didactiques en mathématiques. Dans G. Lemoyne (Dir.), *Premières Journées Québécoises de Didactique des Mathématiques* (s.p.). Université de Montréal, Canada. https://hal.science/hal-01991644v1

Rosenshine, B. V. & Stevens, R. (1986). Teaching functions. Dans M. C. Wittrock (Dir.), *Handbook of research on teaching* (3e éd., p. 376-391). Macmillan.

Talbot, L. (2012). Les recherches sur les pratiques enseignantes efficaces, *Questions Vives*, 6(18), 129-140. https://doi.org/10.4000/questionsvives.1234

Sensevy, G. (1998). *Institutions didactiques : étude et autonomie à l'école élémentaire*. Presses universitaires de France.
# LA TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS EN LATINOAMÉRICA: LA EMERGENCIA DE UN PARADIGMA Y LA CONSTITUCIÓN DE UNA COMUNIDAD DE INVESTIGADORES EN BUENOS AIRES

## DERIARD1 Alejandra

**Resumen** – Este trabajo analiza la apropiación de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) en Argentina entre 1988 y 2004 como un paradigma científico en Educación Matemática. A través de un enfoque metateórico e historiográfico, se reconstruye la conformación de una comunidad académica que adoptó la Teoría de Situaciones Didácticas en la elaboración de documentos curriculares y programas de formación docente, consolidando una matriz disciplinar de alcance regional.

**Palabras clave:** Paradigma, Teoría de Situaciones, comunidad científica, historia, filosofía de la ciencia

**Résumé** – Ce travail analyse l'appropriation de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) en Argentine entre 1988 et 2004 en tant que paradigme scientifique en éducation mathématique. À travers une approche métathéorique et historiographique, il reconstruit la formation d'une communauté académique ayant adopté la Théorie des Situations Didactiques dans l'élaboration de documents curriculaires et de programmes de formation, consolidant ainsi une matrice disciplinaire à portée régionale.

**Mots-clés:** : Paradigme, théorie des situations, communauté scientifique, histoire, philosophie des sciences

## INTRODUCCIÓN

Este trabajo se propone analizar el proceso de emergencia y consolidación de un paradigma en la Educación Matemática, con especial atención al caso argentino. A través de un enfoque metateórico basado en la obra de Kuhn (1969), se examina la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau como una matriz disciplinar. Asimismo, desde una perspectiva historiográfica, basada en la Historia Presente (Arostegui, 2004), se reconstruye la trayectoria de una comunidad académica que, entre 1988 y 2004, asumió la TSD como marco teórico, epistémico y metodológico en la elaboración de políticas curriculares y programas de formación docente en la Ciudad de Buenos Aires.

En Deriard y Federico (2022) y Deriard (2025), se caracteriza a la TSD como un paradigma. A partir de sus escritos, asumiéndolos válidos, esta investigación busca responder al interrogante: ¿Qué tipo de comunidad científica se estructuró en torno a esta teoría en el contexto educativo argentino? El abordaje de esta pregunta se sustenta en fuentes primarias: documentos curriculares oficiales, materiales de formación docente y publicaciones; se analizan además entrevistas a los actores mencionados.

## ENFOQUE METATEÓRICO

Thomas Kuhn (1969) define paradigma como una constelación de creencias, valores y técnicas compartidas por una comunidad científica.

La TSD, desarrollada por Brousseau en el contexto de la Didáctica de la Matemática Francesa, plantea una reorganización radical del proceso de enseñanza-aprendizaje mediante situaciones didácticas que activan interacciones entre alumno, conocimiento y medio (*milieu*) y, de acuerdo a Deriard y Federico (2022), se comporta como un paradigma.

<footnote n="1">¹UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO – Argentina – alejandraderiard@gmail.com</footnote>
Desde una mirada metateórica, el presente estudio se centra en la capacidad de la TSD de generar una práctica científica estable, sistemática y compartida por una comunidad de especialistas, más allá de su lugar de origen, en este caso, Buenos Aires.

## TRANSFERENCIA Y APROPIACIÓN: LA LLEGADA DE LA TSD A BUENOS AIRES

La introducción de la TSD en Argentina se inicia en 1988 con el encuentro entre Irma Saiz y Cecilia Parra, quienes, en articulación con el Ministerio de Educación de la Nación y la Secretaría de Educación de la Ciudad de Buenos Aires, comienzan un proceso de transferencia y apropiación de esta teoría, vía México (Deriard, 2021). A partir de este momento se conforma un primer equipo que, además de Saiz y Parra, incluye a investigadoras como Sadovsky, Mosciaro, Castro, Broitman e Itzcovich. Esta comunidad académica construyó un corpus que produjo los documentos curriculares y de formación docente entre 1991 y 2004.

Este proceso se tradujo en la producción de materiales originales, el diseño de propuestas didácticas y la elaboración de un nuevo currículum para la enseñanza de la matemática para el nivel primario.

## GENERALIZACIÓN SIMBÓLICA DE LA TSD EN LOS DOCUMENTOS OFICIALES

Los procesos y factores señalados en Deriard (2021) son primordiales para determinar el ingreso de la TSD a Buenos Aires, vía México, de la mano de Irma Saiz, y, por tanto, el modo en que se comienza a consolidar una comunidad científica, a la Kuhn, de didactas de la matemática bajo este paradigma, conformada, en este caso:

* por quienes se dedican a cierta especialidad científica hasta un alto grado de complejidad, comparten un mismo tipo de formación y educación, además de bibliografía técnica, y han aprendido con idénticos ejemplares paradigmáticos para llegar a iguales conclusiones (Kuhn, 1969, p. 272).

Para comprender a esta comunidad científica, y su modo de investigar, es que se escogió analizar las huellas o fuentes primarias primordiales de este estudio:

* Los documentos emanados del Programa para la Transformación de la Formación Docente (PTFD), del Ministerio de Educación de la Nación (1994-1995).

* Los documentos curriculares surgidos de la Municipalidad/Ciudad de Buenos Aires, dirigidos a los docentes en ejercicio de dicha jurisdicción, con el fin de capacitarlos en las nuevas propuestas didácticas (1991-2004).

Si bien no es parte de este escrito el análisis metateórico kuhniano de la TSD, es oportuno identificar a partir de los escritos de Deriard y Federico (2022) y Deriard (2025), cual es la noción necesaria que utilizan las autoras para demostrar que la TSD constituye un paradigma en sentido fuerte y que por tanto puede ser reconocible en cualquier periodo temporal: la noción de generalización simbólica. Según Kuhn (1969), las generalizaciones simbólicas son elementos formales o susceptibles de formalización que forman parte de la estructura de una disciplina científica. Estas expresiones, que pueden estar representadas mediante símbolos o formuladas en lenguaje común, son utilizadas por los integrantes de una comunidad científica para expresar ideas abstractas y generales. Su función principal es ofrecer un marco de comprensión de los fenómenos empíricos, orientando así el trabajo investigativo dentro del campo en cuestión.

Las autoras (2022, p. 119), expresan que:

La TSD identifica que el aprendizaje de los sujetos estudiantes, en la institución educativa, es intencionalmente provocado por el maestro mediante la construcción de una situación didáctica. Así la generalización simbólica de la TSD propone que:
El aprendizaje de la matemática escolar, aquella matemática traspuesta didácticamente, de los matemáticos institucionalmente establecidos, se construye en el milieu según dos procesos que se entrecruzan entre sí:
- aquel proceso, parte de la situación adidáctica, de carácter contextualizada y particularizada, donde las interacciones (como las dialécticas de acción, formulación y validación) serán generadas entre los conceptos matemáticos transpuestos y el/los estudiantes;

- aquel proceso, parte de la situación didáctica, de carácter generalizada, donde las interacciones (devolución, institucionalización) serán generadas entre el docente y los estudiantes.

En este sentido, cada vez que se genere un proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula, cada vez que el docente genere un milieu, ambas situaciones o partes de la generalización simbólica se pondrán en marcha.

Ahora bien, además de la ley, la matriz se nutre y hasta puede definirse por los ejemplares paradigmáticos, pensados por el autor para la enseñanza de la ley. Obsérvese que desde una perspectiva kuhniana, se podría considerar que el concepto de situación fundamental, que no se incluye en los escritos mencionados explícitamente, cumple la función de **ejemplar paradigmático** dentro del marco teórico de la Teoría de Situaciones Didácticas, en tanto que representa una instancia concreta, reproductible y formadora de nuevas prácticas en el campo de la Didáctica de la Matemática (Deriard, 2025).

El conjunto de documentos curriculares producidos por la comunidad científica de Buenos Aires excede ampliamente el análisis posible de ser realizado en este escrito. A *Los niños, los maestros y los números* (Castro et al., 1992), se suman una serie de documentos de actualización y transformación curricular para maestros, redactados entre 1991 y 2004 por la Secretaría de Educación de la Municipalidad/Ciudad de Buenos Aires. Además, se agregan los textos del *Programa para la Transformación de la Formación Docente* (PTFD) (Parra et al., 1994), y finalmente el *Diseño Curricular de Matemática para la Educación Primaria* (Parra et al., 2004).

En esta investigación, la Generalización Simbólica y los ejemplos compartidos, fueron los analizados en todos los documentos arriba mencionados. En ellos se evidencian rasgos constitutivos de la TSD y de los ejemplares que reproducen la ley. En algunos casos, estos ejemplares serán los textuales de Brousseau, tales como ROMPECABEZAS (Brousseau, 1987), en otros casos, serán ejemplares adaptados a la comunidad local.

Estos documentos no solo incorporan principios de la TSD, sino que evidencian una apropiación profunda de su lógica metodológica. En todos ellos se reconocen las estructuras teóricas propuestas por Brousseau: el diseño de situaciones didácticas, la presencia del milieu, la secuencia adidáctica, y las dialécticas de acción, formulación, validación, además de los procesos de devolución e institucionalización.

A modo de ejemplo, se reproduce un fragmento del análisis realizado del documento *Los niños, los maestros y los números*, extraído del texto de Deriard (2025, p. 132):

> En este primer documento de desarrollo curricular (...), se explicita el modo de investigación de la comunidad científica y los resultados de uno de sus trabajos de investigación denominado Proyecto de Investigación Didáctica Focalizada. Matemática para primero y segundo grado. Es importante destacar la magnitud del trabajo investigativo a gran escala, pues involucró el trabajo conjunto del grupo de didactas conformado por Saiz, Parra, Mosciaro y Castro, de supervisores, directivos, 22 maestros y 10 escuelas primarias, durante, al menos, un período escolar.

> La metodología de trabajo es la propuesta por la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1995) y el abordaje desde el paradigma de la TSD es muy evidente desde la página 4 a la página 15.

> En las páginas 16 y 17 del escrito es posible observar algunos indicios de la GS de la TSD. (...) En la página 45, se hace clara alusión a Brousseau, con referencia al sentido de un conocimiento matemático y su intervención en la resolución de problemas.
## CONSOLIDACIÓN DE UNA COMUNIDAD CIENTÍFICA

La comunidad de investigadores que adoptó la TSD como matriz disciplinar se consolidó institucionalmente a través de programas oficiales. Su trabajo impactó directamente en la formación de docentes, en la escritura de materiales, y en la transformación del currículum. Esta comunidad funcionó como un colectivo epistémico al estilo kuhniano: compartía métodos, lenguaje técnico, referentes teóricos y formas comunes de validación (Deriard, 2025).

La incorporación progresiva de la TSD a documentos oficiales, inicialmente mediante la investigación e implementación en aulas de la escuela pública, y la formación docente basada en sus principios, constituyen evidencias empíricas de su institucionalización. Esta comunidad, además, produjo textos escolares y textos académicos afines a la TSD, mediante los cuales se enseñó y se reprodujo la teoría (Deriard, 2025).

## CONCLUSIONES

La Teoría de Situaciones Didácticas puede considerarse un paradigma en el sentido kuhniano dentro del campo de la didáctica de la matemática, tanto por su estructura interna como por su adopción sostenida por una comunidad científica, tal como se detalla en Deriard y Federico (2022) y Deriard (2025). En este trabajo se asume la veracidad de dichas propuestas. El caso de Buenos Aires entre 1988 y 2004 muestra cómo esta teoría fue apropiada, traducida y reproducida en un nuevo contexto cultural y educativo, generando prácticas innovadoras y transformaciones sustantivas en la enseñanza de la matemática, adaptadas a la comunidad educativa local. Esto se tradujo, además, en la producción de textos escolares utilizados por los alumnos de todo el territorio nacional, además de los documentos oficiales mencionados (Deriard, 2025).

Este estudio permite sentar bases para investigaciones comparativas en América Latina, en particular en países como México y Brasil, donde han existido comunidades académicas que podrían haber transitado procesos similares.

## REFERENCIAS

* Arostegui, J. (2004). La historia del presente ¿una cuestión de método? En IV Simposio de Historia Actual (pp. 41-76). Logroño: Instituto de Estudios Riojanos. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?code=1036594

* Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 7(2), 33-115. https://revue-rdm.com/1986/fondements-et-methodes-de-la/

* Brousseau, G. (1987). Problemas de la enseñanza de los decimales. (Trad. D. Fregona, & R. Soto). In L. M. Iparraguirre & L. Buteler (Eds.), *Cuandernos de Enseñanza. FAMAF*. https://www.famaf.unc.edu.ar/documents/879/BEns03.pdf

* Castro, A., Mosciaro, H., Parra, C., & Saiz, I. (1992). *Los niños, los maestros y los números. 1º y 2º grado*. Secretaría de Educación, Dirección de Currículo.

* Deriard, A. (2021). Llegada de las ideas de la Didáctica de la Matemática Francesa a los documentos oficiales de la Municipalidad de Buenos Aires. *Historia de la Educación, 39*, 157-176.

* Deriard, A., & Federico, L. (2022). Los procesos de transferencia educativa entre países y su impacto en el surgimiento de una comunidad de especialistas en educación matemática: el
caso de la construcción del currículo para la enseñanza básica de la ciudad de Buenos Aires.
*Perspectiva*, 40(2), 01-23

Deriard. (2025). La Didáctica de la Matemática Francesa: La emergencia de un paradigma y la constitución de una comunidad de investigadores en Buenos Aires [Tesis de doctorado, Universidad Nacional de Tres de Febrero]. (En prensa).

Kuhn, T. (1969). *La estructura de las revoluciones científicas* (2. ed.). Fondo de Cultura Económica.

Parra, C., Sadovsky, P., & Saiz, I. (1994). PTFD Didáctica de la Matemática, una disciplina que postula su autonomía para abordar un objeto específico. Matemática y su Enseñanza. Ministerio de Cultura y Educación, Argentina.

Parra, C., Sadovsky, P., Broitman, C., & Itzcovich, H. (2004). *Diseño Curricular de Matemática para la educación primaria*. Secretaría de Educación.
# LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES EN TÜRKİYE

ERDOGAN<fnref n="1" /> Abdulkadir, OZDEMİR ERDOGAN<fnref n="2" /> Emel

**Résumé** – Dans cette communication, nous étudions l'apport et l'impact de la théorie des situations didactique en Türkiye. A cet effet, nous analysons les projets et les publications en turc utilisant cette théorie. Les résultats des analyses montrent qu'alors que l'usage de la théorie reste limité, une tentative de l'intégrer dans divers aspects de l'enseignement des mathématiques, notamment dans une perspective socio-constructiviste, est observée.

**Mots-clés** : Théorie des situations didactiques, didactique des mathématiques, Türkiye

Des approches didactiques françaises dans le domaine de l'enseignement des mathématiques ont commencé à être connues et utilisées en Türkiye à partir des années 2000, lorsqu'un groupe d'une vingtaine d'étudiants dont nous faisions partie, boursiers du gouvernement turc, a été envoyé en France pour faire leurs DEA et thèses en didactique. Ces étudiants, parmi lesquels six étaient mathématiciens, ont été acceptés par les laboratoires didactiques des universités de Paris, Lyon et Grenoble. Ces étudiants, qui ne connaissaient rien sur la didactique, ont fini leurs études avec succès et, une fois retournés dans leur pays d'origine, ont commencé à travailler dans les facultés d'éducation et à contribuer à la diffusion des notions et des approches didactiques. Cependant un groupe beaucoup plus large d'étudiants avait été envoyé dans les universités anglophones. A partir des années 2005, tous ces étudiants boursiers ont commencé à interagir et contribuer à des projets communs. Notre groupe francophone avait unanimement rencontré pour la première fois la théorie des situations didactiques (TSD) dans les cours de DEA, en tant que première approche théorique. Alors qu'aucun d'entre nous n'a mobilisé la théorie dans son DEA ou dans sa thèse, ces cours ont constitué une base pour nos études didactiques lorsque nous sommes rentrés et avons commencé à travailler dans les universités turques. Ainsi, ces cours nous ont permis de lancer un projet important de vulgarisation des mathématiques et de la didactique (EME: École Mathématique d'Eskisehir) au début de notre carrière.

Dans cette communication, nous tenterons de révéler comment la TSD a été incluse dans la recherche sur l'enseignement des mathématiques en Tükiye. Tout d'abord, EME, qui était notre premier projet didactique, sera présenté. Ensuite, les études publiées en turc au cours des 15 dernières années seront examinées. A la fin, nous allons tenter de faire un bilan de la diffusion de la théorie en Türkiye, tout en prenant en compte le contexte culturel et éducationnel du pays.

## LE PROJET D'ÉCOLE DE MATHÉMATIQUES D'ESKISEHIR-EME (2007-2009)

En 2007, en Türkiye, comme dans de nombreux autres pays, le manque d'intérêt des élèves pour les sciences et les mathématiques a commencé à être considéré comme un problème majeur. Les rapports d'évaluation internationaux tels que ceux de l'OCDE et de PISA indiquaient que les expériences des élèves étaient loin de leur permettre de développer des opinions et des attitudes positives à l'égard de ces domaines et que, par conséquent, ils s'en éloignaient dramatiquement. Le changement des programmes scolaires en 2005, de nombreux ouvrages scientifiques, périodiques et événements organisés par TUBITAK (Le Centre de

<footnote n="1">¹ Université Anadolu- Faculté d'Education - Türkiye - abdulkadirerdogan@anadolu.edu.tr</footnote>

<footnote n="2">² Université Anadolu- Faculté d'Education - Türkiye - eoerdogan@anadolu.edu.tr</footnote>
Recherche Scientifique et Technologique de Türkiye) comprenaient de nombreuses méthodes et contenus susceptibles de contribuer à changer l'opinion des élèves envers les sciences et les mathématiques, et donc de populariser ces domaines auprès des élèves. Malgré tous ces développements positifs, il a été constaté que les établissements d'enseignement, sous la pression du système d'examen national sélectif, avaient tendance à dispenser un enseignement basé sur la performance, la technique et l'apprentissage par cœur, que les enseignants ne disposaient pas de l'équipement et du matériel requis par le programme scolaire et que les élèves continuaient à développer des attitudes négatives à l'égard des sciences et des mathématiques similaires à celles constatées dans d'autres pays.

Sur la base de ces résultats, nous avons soumis un projet de vulgarisation, appelé École Mathématique d'Eskisehir-EME (Eskisehir est la ville anatolienne où le projet a été réalisé) comme réponse à l'appel à projet du TUBITAK pour la vulgarisation des sciences et des mathématiques. Notre projet qui s'adressait aux élèves entre 12-15 ans a été accepté par TUBITAK pour être subventionné pendant deux ans.

Les deux principaux objectifs du projet EME étaient les suivants :

- Veiller à ce que les élèves développent des attitudes positives à l'égard des mathématiques,

- Permettre aux élèves de connaître les processus mathématiques.

En d'autres termes, dans le cadre du projet EME, l'objectif était de créer un environnement éducatif extraordinaire qui permette aux élèves d'apprendre les mathématiques par la pratique et l'expérience. Cet environnement a été construit sur la base de deux paramètres fondamentaux: la conception du contenu et la conception de l'environnement physique.

La conception du contenu du projet a consisté à sélectionner et scénariser des problèmes mathématiques, incluant de nombreux processus mathématiques et sur lesquels les élèves pouvaient travailler sans s'ennuyer ou abandonner. Le cadre théorique et les résultats à atteindre étaient prédéterminés. Pour ce faire, le modèle déterminé par la TSD (Brousseau, 1998) et le modèle d'acquisition de connaissances transversales développé à travers le concept de situation de recherche en classe-SRC (Grenier & Payan, 2003) ont été adoptés. La TSD nous a permis de concevoir un environnement collectif et interactif selon les phases d'action, formulation et validation. De la même manière, la conception des séances autour de SRC avait pour but de permettre aux élèves de rencontrer et d'étudier des problèmes de mathématiques peu ordinaires, tant sur le plan de l'énoncé que sur le plan du contenu et du processus de résolution.

Deux types de sessions ont été organisées : des sessions courtes d'environ 3 heures étaient organisées autour d'une activité principale conçue selon la TSD tandis que les sessions à long terme, de 2 à 3 heures par semaine pendant 4 ou 5 semaines, étaient conçues sur la base d'une SRC. Chaque session comprenait des activités de vulgarisation supplémentaires telles que des jeux informatiques ou origamis.

Dans cette communication, nous nous limiterons à évoquer les sessions courtes du projet et les résultats des enquêtes que nous avions conduites au long du projet (Erdoğan et al., 2012)
Au total 3721 élèves de 75 écoles ont participé aux sessions courtes pendant deux ans.

<table><caption>Tableau 1- Nombre d'étudiants participant à des sessions de courte durée</caption><thead><tr><th>Périodes</th><th>Application pilote<br>(I. Période)</th><th>2007-2008<br>Printemps<br>(II. Période)</th><th>2008-2009<br>Automne<br>(III. Période)</th><th>2008-2009<br>Printemps<br>(IV. Période)</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre d'élèves</td><td>278</td><td>1484</td><td>1196</td><td>763</td><td>3721</td></tr></tbody></table>

Les résultats du questionnaire auprès des élèves ont montré que 56% des élèves ont trouvé les activités très intéressantes et 27% les ont trouvées intéressantes. Étant donné que la plupart des
activités organisées à l'EME étaient présentées sous forme de jeux, l'objectif était de déterminer si les élèves avaient aussi l'impression de faire quelque chose en rapport avec les mathématiques lorsqu'ils pratiquaient ces activités. On a constaté que 80 % des élèves ont répondu "bien sûr" ou "certainement", ce qui signifie qu'une très grande partie des élèves associaient ces activités à un effort mathématique. Nous avons également essayé de déterminer quel était le moment préféré des élèves pendant leur séjour à l'EME. On a constaté que le moment préféré d'un tiers des élèves était lié au déroulement des activités didactiques de base ou à un moment particulier dans ces activités. Les résultats de l'enquête ont également montré que 94 % des élèves aimeraient y participer à nouveau.

Ces résultats nous ont permis de repenser le potentiel de la TSD pour la vulgarisation des mathématiques et d'appréhender l'apport de la didactique dans le contexte éducationnel du pays.

## PUBLICATIONS EN TURC UTILISANT LA THÉORE DES SITUATIONS DIDACTIQUES

Dans cette section, l'impact de la théorie en Türkiye sera analysé à travers des publications en turc.

### Ouvrage sur les théories de l'enseignement des mathématiques (2016)

Un ouvrage de 52 chapitres (Bingölbali, Arslan & Zembat, 2016) a vu le jour avec l'idée de soutenir le développement de l'enseignement des mathématiques en Türkiye en fournissant une synthèse en turc des théories du domaine. Il comprend la majorité des théories françaises. Deux chapitres sont consacrés à la TSD, rédigés par le premier auteur de cette communication. Le premier qui est le 25ᵉ de l'ouvrage (p. 413-430) traite l'origine, les principes et les concepts de base, ainsi que l'apport de la théorie au domaine alors que le second qui est le 34ᵉ (p. 565-580) est uniquement centré sur le contrat didactique (Erdoğan, 2016a ; 2016b).

On sait que l'ouvrage en question est utilisé comme manuel, en particulier dans les programmes d'enseignement supérieur en mathématiques, qu'il s'agisse de programmes de maîtrise ou de doctorat. De ce point de vue, on peut facilement dire qu'il s'agit d'une source importante pour l'introduction de la théorie en Türkiye.

### Publications universitaires (depuis 2010)

Avec une recherche sur DergiPark (la plateforme qui inclut les revues académiques publiées en Türkiye), le centre national des thèses et Google Scholar avec les correspondants en turc des mots "théorie des situations didactiques", "situation didactique", "adidactique" et "Brousseau", nous avons trouvé 27 publications académiques.

Ce résultat montre que l'usage académique de la théorie n'est pas très répandu mais il faut tenir compte du fait qu'il s'agit uniquement des publications en langue turque, à l'exclusion des publications internationales des chercheurs turcs.

<table><thead><tr><th colspan="2">Thèse</th><th rowspan="2">Article</th><th rowspan="2">Communication orale</th><th rowspan="2">Section de livre</th></tr><tr><th>Master</th><th>Doctorat</th></tr></thead><tbody><tr><td>6</td><td>1</td><td>17</td><td>2</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_99.png" /></figure>