# Crédit de trésorerie, risque de défaut et fluctuations. Une modélisation en terme d'équilibre général dynamique

Frédéric Boissay

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Frédéric Boissay. Crédit de trésorerie, risque de défaut et fluctuations. Une modélisation en terme d'équilibre général dynamique. 1997. halshs-04700572

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CAHIERS ECO & MATHS

97.46

CREDIT DE TRESORERIE, RISQUE DE DEFAUT ET FLUCTUATIONS.

Une modélisation en terme d'équilibre général dynamique

Frédéric BOISSAY

MAD
# CREDIT DE TRESORERIE, RISQUE DE DEFAULT ET FLUCTUATIONS.

Une modélisation en terme d'équilibre général dynamique

Frédéric Boissay*†

May 26, 1997

## Abstract

The imperfection of the credit market is in the core of the recent literature about the financial mechanisms of the transmission of shocks. We construct a macroeconomic dynamic model in general equilibrium, where the asymmetric information between lenders and heterogeneous borrowers gives rise to a banking sector, that is at the root of the financial accelerator mechanism, often met in the literature about the large credit channel.

We show how a productivity shock generates different and large changes in the short run creditor and debtor interest rates and how, via the rise in potential borrowers' collaterals, the effects of such a shock are extended by financial intermediaries.

**Keywords :** Credit markets, moral hazard, dynamic general equilibrium.

Nous construisons un modèle macroéconomique dynamique en équilibre général où l'asymétrie d'information entre prêteurs et emprunteurs hétérogènes justifie l'existence d'un secteur bancaire, qui est à la base du mécanisme de multiplicateur financier rencontré dans la littérature sur le canal large du crédit.

Nous montrons comment un choc de productivité peut engendrer des fluctuations importantes et différentes des taux d'intérêt créditeurs et débiteurs, et comment, via l'augmentation des garanties financières des emprunteurs potentiels, les effets d'un tel choc sont prolongés par l'intermédiaire du secteur bancaire.

**Mots-clef :** Marché du crédit, aléa de moralité, équilibre général dynamique.

## 1 INTRODUCTION :

L'objet de ce papier est de modéliser les mécanismes financiers de transmission et d'amplification des chocs économiques sur la sphère réelle en examinant plus particulièrement le rôle des asymétries d'information dans l'explication des cycles conjoncturels, dans un contexte de déréglementation financière comme celui que connaît la France depuis la deuxième moitié des années 80. De nombreux auteurs ont travaillé sur une présentation théorique des canaux financiers de propagation des chocs,

<footnote>*MAD, Université de Paris I. 90, rue de Tolbiac, 75634 Paris Cedex 13. Université de Paris XII-Créteil-Val-de-Marne. E-mail : Boissay@Univ-Paris1.fr</footnote>

<footnote>†Je remercie J-P. Laffargue, A. Direr et J-M. Tallon pour leurs commentaires sur ce papier. Je suis responsable de toutes les erreurs qui subsistent.</footnote>
et à côté du canal monétaire traditionnel, deux nouvelles voies ont été envisagées : le canal du crédit au sens strict et le canal du crédit au sens large<fnref n="1" />.

Le canal strict du crédit est lié à la nature monopolistique du secteur bancaire et n'envisage qu'un choc monétaire : si les banques ne peuvent isoler leur activité de prêteur des chocs de politique monétaire, et si certains emprunteurs ne peuvent substituer à leur emprunt bancaire d'autres formes de financement, alors la politique monétaire, en agissant sur l'offre de fonds bancaires, a une influence sur les décisions de dépense. Ce canal passe donc par deux types de relations : la relation entre le secteur bancaire et les autorités monétaires d'une part et celle entre le secteur bancaire et les agents privés d'autre part. Il a cependant perdu de sa pertinence avec le développement des marchés financiers et l'apparition de nouveaux moyens de refinancement pour les banques commerciales –comme les certificats de dépôt–, qui leur a donné une plus grande autonomie vis-à-vis des autorités monétaires, atténuant ainsi le lien banque de second rang/banque centrale. La déréglementation des marchés financiers à partir de 1985 en France a par ailleurs considérablement renforcé la concurrence à laquelle se trouvent soumis les établissements de crédit et a ce faisant amené ces derniers à modifier leur comportement, atténuant le pouvoir de marché des banques vis-à-vis des agents privés.

Cette déréglementation a d'abord accru la concurrence exercée par les marchés financiers en privant notamment les banques d'une partie de la clientèle des grandes entreprises qui peuvent recourir plus aisément au financement direct. Elle les a ainsi amené à concentrer leur activité de crédit sur des clientèles plus risquées, comme les PME, les professionnels de l'immobilier ou les particuliers pour le crédit à la consommation. Elle a également accru la concurrence entre les établissements de crédits eux-mêmes, du fait du désencadrement du crédit et de la banalisation d'établissements ou de réseaux jusque-là cantonnés sur des marchés spécifiques, qui ont considérablement accru le potentiel d'offre de crédit.

L'une des principales conséquences de ce mouvement de déréglementation a été la contraction des marges d'intermédiation bancaire – le Conseil National du Crédit (95) constate “qu'elles sont aujourd'hui très inférieures en France à ce qu'elles sont dans la plupart des systèmes bancaires étrangers”. Ce phénomène a renforcé le rôle du risque de non-remboursement, ainsi que celui des garanties présentées par les candidats à l'emprunt, dans l'offre de crédit des banques. L'enquête CNC/SGCB de 1993², qui dresse un panorama du risque de crédit sur les entreprises et les particuliers en France depuis 1985, met ainsi en évidence une augmentation de 4,25% à 8% du ratio créances douteuses brutes/crédits bruts entre 1989 et 1993 pour les débiteurs résidents, traduisant la montée des risques privés domestiques. Cette enquête révèle également que les crédits aux sociétés représentent à la fois la part la plus importante des encours de crédits octroyés par les établissements de crédits (51,9%)<fnref n="3" /> et que les sociétés sont les agents économiques les moins solvables.

## Insérer graphique 1

Les trois principaux types de crédits accordés aux sociétés sont les crédits immobiliers, les crédits d'investissement et les crédits trésorerie, et représentent 92% du total des concours consentis. Le

<footnote n="1">¹Voir Mishkin(96), Rosenwald(95), Meltzer(95), Gertler(88), Bernanke & Gertler(95) et Wolfson(96) pour des revues de la littérature.</footnote>

<footnote n="2">²Voir CNC(95).</footnote>

<footnote n="3">³Ces chiffres concernent l'échantillon des établissements de crédits ayant répondu à l'enquête CNC/SGCB sur le risque de crédit en 1995.</footnote>
graphique ci dessous, qui donne la part relative et le degré de risque de chacun d'entre eux, indique
que les prêts de trésorerie représentent à la fois la plus grosse part des prêts aux sociétés et la plus
importante part du risque de non-remboursement<fnref n="4" />.

Insérer graphique 2

Trois conclusions peuvent être tirées de ce survol rapide du marché du crédit en France depuis 10 ans :

- Le marché du crédit est devenu un marché concurrentiel qui a abouti au resserrement des marges d'intermédiation. Une modélisation des canaux de transmission des chocs en terme de canal strict du crédit, qui suppose implicitement une concurrence monopolistique, doit par conséquent être écartée. Cette première observation justifie notre hypothèse de concurrence dans le secteur bancaire dans notre modélisation.

- Les crédits de trésorerie représentent la principale catégorie de crédits bancaires octroyés aux sociétés et sont les créances les plus risquées pour les banques. En outre, compte tenu des opportunités de financement direct auprès des marchés financiers, en particulier pour les gros projets (i.e. les investissements en capital ou l'immobilier), les crédits de trésorerie sont amenés à occuper une part encore plus importante des crédits bancaires aux sociétés. Cette observation justifiera notre hypothèse -simplificatrice- selon laquelle les prêts bancaires sont exclusivement des crédits de trésorerie aux entreprises, supposées financer leurs investissements en capital uniquement avec leurs fonds propres.

- Le resserrement des marges d'intermédiation donne à la notion de garantie envers les candidats à l'emprunt (ou "nantissement" en droit commercial) un rôle prépondérant dans la détermination de l'offre de crédits bancaires, ce qui plaide en faveur d'une interprétation plus large du canal du crédit.

Le canal du crédit au sens large part de la constatation qu'il existe des imperfections financières sur le marché du crédit (par exemple dues à des problèmes d'information imparfaite). Tous les moyens de financement externe (c'est à dire les crédits bancaires ou les emprunts sur le marché financier) des agents sont alors des substituts imparfaits au financement interne (c'est à dire l'auto-financement) ou à l'émission d'actions. La différence de coût entre ces deux financements dépend de plusieurs facteurs, et notamment de la solvabilité de l'emprunteur ou du montant de ses garanties comme par exemple sa richesse nette. Dès lors, tout événement perturbant ces facteurs doit avoir une influence sur l'offre de crédit et donc l'activité. La différence fondamentale n'est donc plus entre crédit bancaire et crédit non-bancaire, mais plutôt entre financement externe et financement interne. Ce canal fait apparaître le mécanisme d' "accélérateur financier"<fnref n="5" /> souvent rencontré dans la littérature récente : tout choc positif sur le bilan des entreprises (i.e. sur leur richesse nette) augmente le niveau de leurs garanties et améliore leurs conditions de financement externe, ce qui se traduit par une augmentation des emprunts, des investissements, de la production et de la richesse nette, et relance à nouveau la dynamique.

<footnote n="4">⁴Cela peut s'expliquer par le fait qu'une société qui emprunte des liquidités est a priori une société en mauvaise santé ; il n'est donc pas surprenant que ce type de prêt soit risqué.</footnote>

<footnote n="5">⁵Ou "financial accelerator" en anglais.</footnote>
De nombreux travaux empiriques ont évalué la pertinence du canal large du crédit, vis à vis du canal monétaire d'une part et du canal strict du crédit d'autre part. Les économètres examinent pour ce faire l'influence du "spread" de taux d'intérêt, c'est à dire l'écart entre les taux d'intérêt privé et public, sur le PIB ou l'investissement. En effet, le spread correspond à une prime de risque, qui exprime le risque de faillite. Une augmentation du spread signifie que la qualité générale des emprunteurs (i.e. le montant de leurs garanties) diminue et on doit s'attendre, selon le canal large, à une baisse de l'offre de crédits et de l'investissement. Konishi & Ramay (93) mettent ainsi en évidence le caractère contra-cyclique du spread pour les Etats-Unis, et privilégient cette variable par rapport aux variables monétaires pour expliquer les variations du PIB.

Bernanke(89) propose une étude empirique dans laquelle il oppose le canal strict et le canal large. Il garde le spread comme indicateur de ce dernier, prend la pente de la structure des taux d'intérêt (i.e. l'écart entre taux d'intérêt de long et de court terme) comme indicateur du canal strict<fnref n="6" /> et conclut que le spread apporte une information différente que celle de la structure des taux. La proximité des variables de taux d'intérêt pose des problèmes d'identification des deux canaux du crédit l'un par rapport à l'autre. Mais le fait qu'elles soient retenues dans les équations de prévision du PIB, notamment pour les Etats-Unis, valide une interprétation en terme de canal du crédit, au sens large.

Pour la France, le canal strict du crédit semble avoir été un vecteur pertinent de la politique monétaire jusque dans les années 80. Le taux de croissance du PIB et l'écart entre le taux long et le taux court, avancé d'un an, sont connus pour être fortement corrélés (voir graphique 3) et, comme le relèvent Dubois & Janci(94), il ne fait aucun doute que la pente de la structure des taux permet de prévoir les mouvements de l'économie. Ce résultat plaide en faveur de l'interprétation en terme de canal strict du crédit, au moins jusqu'en 1985. Mais Bellando & Pollin(96) qui ont testé l'existence de ce canal depuis la dérèglementation financière, ne concluent pas nettement à l'influence des chocs monétaires sur l'activité par le canal du crédit depuis 1985. Pour Paquier(94), qui est arrivé aux mêmes résultats, ceux-ci sont fragiles car la libéralisation financière est trop récente pour qu'on puisse disposer d'assez de données permettant de conclure de manière satisfaisante.

## Insérer graphique 3

Nous construisons dans la deuxième partie un modèle d'équilibre général dynamique avec incertitude et asymétrie d'information ex-post sur le marché du crédit. Le mécanisme d'accélérateur financier, caractéristique du canal large du crédit, ainsi que les propriétés dynamiques du modèle sont discutés dans la troisième partie.

## 2 LE MODELE :

Notre économie est composée d'une infinité de ménages-travailleurs et de ménages-capitalistes averses au risque et identiques, ainsi que d'une infinité de firmes et de banques neutres face au risque elles

<footnote n="6">⁶En effet, les banques ont pour fonction de transformer des dépôts à court terme en crédits à long terme, et leur marge correspond à la différence entre taux long et taux court.</footnote>

<footnote>Supposons une période de surchauffe dans l'économie, qui pousse les autorités monétaires à resserrer leur politique ; cela renchérit tout d'abord le coût du refinancement des banques commerciales et se traduit par la raréfaction de l'offre de crédits bancaires. Par le jeu de l'offre et la demande, la marge d'intermédiation des banques augmente. A moyen terme, la politique monétaire restrictive atteint son objectif et pèse sur l'économie. Ainsi, la pente de la structure des taux a augmenté pendant la phase de surchauffe et annonce un ralentissement de l'activité à moyen terme. Elle présente donc à la fois un caractère contracyclique et un caractère prédictif.</footnote>
aussi identiques. Chaque ménage-capitaliste possède un continuum de firmes et centralise à la fois des décisions de production et de consommation. Les ménages-travailleurs offrent leur travail de façon inélastique aux entreprises, déposent leur épargne à la banque, et consomment les biens produits par les firmes. Les entreprises demandent du travail aux ménages-travailleurs, empruntent auprès des banques, et offrent les biens de consommation aux ménages. Les banques existent parce que la production des firmes est aléatoire et qu'elles sont les seules à posséder la technologie de vérification des résultats permettant de diminuer le risque de non-remboursement lié à un problème d'aléa de moralité généré par l'imperfection de l'information. Elles interviennent par ailleurs en émettant de la monnaie interne, pour rendre possibles les échanges entre les agents en début de période *t* donnée et est commenté dans la suite.

The main relationships between individuals within the period t

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

## 2.1 LE MENAGE-CAPITALISTE REPRESENTATIF :

L'objectif du ménage-capitaliste représentatif *i* est de maximiser la somme intertemporelle actualisée des flux d'utilité futurs, sous une contrainte de ressources. Il possède un continuum de firmes indicées par *ω*, uniformément réparties sur [0, 1] et toutes identiques ex-ante, dont seule une proportion *θ*<sub>g</sub> donnent une production de *q*<sub>iwt</sub> biens de consommation ; les autres échouent totalement et donnent une production nulle. Cette proportion est connue de tous. Les profits des firmes vont au ménage-capitaliste, dont le revenu global est certain, par application de la loi des grands nombres. Les
décisions du ménage-capitaliste et des firmes qu'il possède sont intégrées : le propriétaire détermine les quantités optimales de facteurs, c'est à dire la demande de travail, le montant de capital et le montant de l'emprunt de chaque firme (cf. infra).

Notre modèle correspondrait à un modèle de Ramsey standard si l'information était parfaite. Mais nous supposons l'information asymétrique parce que le ménage-capitaliste et les firmes qu'il possède sont les seuls à pouvoir distinguer sans coût les bonnes des mauvaises entreprises ex-post.

Nous supposons par ailleurs que les fonds placés dans une firme $\omega$ ne peuvent pas servir de garantie pour un prêt contracté par une autre firme $\omega'$. Cela signifie simplement que les firmes d'un même actionnaire ne sont pas financièrement solidaires entre elles<fnref n="7" />.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Sous ces hypothèses, une firme qui emprunte auprès d'une multitude d'agents a la possibilité de cacher ses bons résultats, et ainsi d'éviter de rembourser l'intégralité de ses emprunts<fnref n="8" />. En effet, les créanciers savent que, dans l'ensemble, une proportion $\theta_g$ des firmes ont réussis, mais ils ne peuvent pas les distinguer ; celles-ci peuvent donc a priori toutes invoquer avoir fait moins bien que la moyenne, même lorsque ce n'est pas vrai. Dans ce contexte, à la Akerlof, les échanges sur le marché du crédit sont impossibles. L'existence de banques qui possèdent la technologie d'audit est donc justifiée dans la mesure où celles-ci pourront obliger les emprunteurs à révéler les vrais résultats. Prêteurs et emprunteurs ne se rencontreront donc pas directement sur le marché du crédit, mais indirectement via le secteur bancaire.

La technologie de production nécessite trois facteurs : le capital, le travail et le bien final (qui est donc aussi un bien de consommation intermédiaire), qui se déprécie totalement au cours du processus de production. Elle est définie, pour un projet $\omega$ donné, par la fonction de Cobb-Douglas suivante :

$$ 
\begin{align} 
q_{i\omega t} &= \rho A_t K_{i\omega t}^{\alpha_k} L_{i\omega t}^{\alpha_l} B_{i\omega t}^{\alpha_b} \quad \text{avec une probabilité } \theta_g \notag \\ 
q_{i\omega t} &= 0 \quad \text{avec une probabilité } (1 - \theta_g) \tag{1} \\ 
\alpha_l + \alpha_k + \alpha_b &= 1 \notag 
\end{align} 
$$

où $A_t^9$ est un choc technologique macroéconomique, $K_{i\omega t}$ est le stock de capital, $L_{i\omega t}$ est la quantité de travail et $B_{i\omega t}$ est la quantité de biens finals utilisés dans le projet $\omega$.

Nous supposons que les firmes n'ont pas les moyens de stocker les biens de consommation finale, sans lesquel elles ne peuvent cependant pas produire<fnref n="10" />. Cela fait apparaître une contrainte de

<footnote n="7">⁷En droit commercial, le législateur prévoit que les créanciers nantis ont sur le fonds de commerce un droit de préférence : si le débiteur ne paie pas sa dette à l'échéance, les créanciers peuvent demander au tribunal de faire vendre le fonds aux enchères et seront désintéressés les premiers.</footnote>

<footnote>Mais les différents fonds de commerce détenus par un même individu restent des entités juridiques distinctes, dont rien ne justifie a priori la solidarité financière en cas de faillite, comme c'est le cas ici.</footnote>

<footnote n="8">⁸Nous supposerons qu'en cas de faillite d'un de ses projets, un entrepreneur n'a pas la capacité de rembourser l'emprunt associé à ce projet. Si bien que sur l'ensemble de ses projets, s'il n'annonce que des échecs, il ne lui sera demandé de verser que ce qui lui aurait effectivement été demandé s'il n'avait vraiment subi que des échecs.</footnote>

<footnote n="9">⁹$\ln A_t = \phi \ln A_{t-1} + \ln \xi_t$, $\ln \xi_t \sim bb(0)$.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰Cette hypothèse correspond au fait qu'il est coûteux pour une entreprise d'internaliser -ici de stocker- sa consommation intermédiaire. On pourrait s'en dispenser en mettant un coût de stockage des biens finals prohibitif pour les entreprises.</footnote>
cash-in-advance dans leur programme parce qu'elles doivent alors disposer de liquidités en début de
période pour se procurer ces inputs auprès des ménages-travailleurs –voir dans le paragraphe suivant–.
Autrement dit, elles doivent emprunter au début de chaque période le montant $B_{it} = \int_{0}^{1} B_{i\omega t} d\omega$ pour
financer l'achat de ces inputs.

Lorsqu'une firme $\omega$ a réussi, ses ressources sont le stock de capital utilisé (moins sa dépréciation), $(1-\delta)K_{i\omega t}$ et le montant de la production tirée du projet, $q_{i\omega t}$, moins le coût de l'emprunt, $(1+r_{gt})B_{i\omega t}$ et le coût de la main d'oeuvre, $w_t L_{i\omega t}$.

A contrario, lorsqu'une firme $\omega$ a échoué, ses ressources sont le stock de capital utilisé (moins sa dépréciation), $(1-\delta)K_{i\omega t}$, moins le coût de la main d'oeuvre, $w_t L_{i\omega t}$ et le remboursement de l'emprunt.

Nous nous plaçons dans le cas le plus intéressant, où une firme $\omega$ ne peut jamais son emprunt lorsque son projet échoue, même en tenant compte des ses garanties (c'est à dire de son stock de capital)$^{11}$ :

$$0 \le (1 - \delta - \gamma) K_{i\omega t} - w_t L_{i\omega t} < (1 + r_{gt}) B_{i\omega t}, \forall \omega, t$$

Le terme $\gamma$ correspond à la dépréciation du capital au moment où celui-ci est versé à la banque pour rembourser le prêt$^{12}$. Cette condition sous-tend l'imperfection de l'information dans notre modèle, et un calibrage adéquat nous garantira qu'elle est toujours vérifiée ; nous ne considérerons donc pas le changement de régime qui intervient lorsque le stock de capital devient assez élevé pour garantir le prêt entièrement. Par ailleurs, cette écriture suppose que les salariés sont prioritaires parmi les créanciers de la firme et qu'ils sont toujours rémunérés.

L'emprunt est remboursé à hauteur de ce qu'une firme peut payer compte tenu du stock de capital qu'elle a engagé, soit $grep_{i\omega t}$. On montre que, dans ce cas, le contrat de dette optimal prévoit que le remboursement $grep_{i\omega t}$ est égal au maximum de ce que la firme $i$ peut rembourser, c'est à dire $grep_{i\omega t} = (1 - \delta)K_{i\omega t} - w_t L_{i\omega t}$ ; le ménage capitaliste ne gagne donc rien avec une firme qui échoue. En l'occurence, il perd même le capital qu'il y a investi, mais pas plus, parce-que, comme nous l'avons expliqué plus haut, les firmes ne sont pas solidaires entre elles.

Ces ressources permettent au ménage capitaliste $i$ de stocker $K_{it+1}$ unités de bien de capital et de consommer $c_{it}^e$ biens de consommation finale à la fin de la période $t$ et, sur l'ensemble des projets entrepris, la contrainte budgétaire du ménage capitaliste représentatif est :

$$K_{it+1} + c_{it}^e \le \int_{0}^{\theta_g} [(1 - \delta)K_{i\omega t} + q_{i\omega t} - (1 + r_{gt})B_{i\omega t} - w_t L_{i\omega t}] d\omega \quad (2)$$

Comme toutes les firmes sont identiques ex-ante, cette contrainte peut se réécrire$^{13}$ :

$$K_{it+1} + c_{it}^e \le \theta_g [(1 - \delta)K_{it} + q_{it} - (1 + r_{gt})B_{it} - w_t L_{it}] \quad (3)$$

Il convient enfin de remarquer que l'investissement physique des firmes est uniquement financé par les fonds propres du ménage capitaliste et jamais par l'emprunt, qui s'interprète donc bien ici comme un crédit de trésorerie, servant uniquement à financer l'achat de biens intermédiaires, lesquels

<footnote>$^{11}$Si tel n'était pas le cas, alors les prêteurs seraient toujours remboursés quoi qu'il arrive et il n'y aurait plus de problème d'aléa moral.</footnote>

<footnote>$^{12}$Cela correspond simplement au fait que lorsqu'une firme est mise en liquidation, elle ne vend pas son capital à sa vraie valeur, et sa banque doit compter avec une dépréciation des garanties. Techniquement, un $\gamma$ positif nous donnera plus de souplesse pour la calibration du modèle.</footnote>

<footnote>$^{13}$La contrainte budgétaire exprime bien le fait que la production a lieu en fin de période, les salaires sont payés en fin de période, les biens intermédiaires sont payés en début de période, le remboursement de l'emprunt a lieu en fin de période.</footnote>
disparaissent totalement dans le processus de production à chaque période. La fonction d'utilité du ménage-capitaliste *i* est $u(c_{it}^e) = \ln c_{it}^e$, d'où son programme :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \max_{c_{it}^e, B_{it}, L_{it}} E_0 \sum_{t=0}^{t=+\infty} \beta_e^t \ln c_{it}^e \\ \text{s.c. (3), } \forall t \end{array} \right. \qquad (4) $$

$$ \Rightarrow c_{it}^e = 1/\lambda_{it} \qquad (5) $$

$$ \Rightarrow \alpha_l q_{it} = w_t L_{it} \qquad (6) $$

$$ \Rightarrow \alpha_b q_{it} = (1 + r_{gt}) B_{it} \qquad (7) $$

$$ \Rightarrow \lambda_{it} = \beta_e \theta_g E_t \left( \left( 1 - \delta + \alpha_k \frac{q_{it+1}}{K_{it+1}} \right) \lambda_{it+1} \right) \qquad (8) $$

où $\lambda_{it}$ est le prix implicite (ou le rendement marginal) d'une unité supplémentaire de bien de capital accumulée en $t$. $\beta_e$ est le facteur d'escompte du ménage-capitaliste ; il n'est pas forcément égal à celui, $\beta_m$, du ménage-travailleur représentatif<fnref n="14" />.

## 2.2 LE MENAGE-TRAVAILLEUR REPRESENTATIF :

L'objectif du ménage-travailleur représentatif est de maximiser la somme intertemporelle actualisée des flux d'utilité futurs, sous une contrainte de ressources. Ils offrent également $L_0$ unités de travail en contrepartie d'un salaire $w_t$, qu'ils reçoivent sous forme de biens de consommation finale. A chaque période, les ménages-travailleurs épargnent une partie de leur salaire sous forme de biens pour un montant $D_t$.

Au début de la période $t$, le ménage-travailleur représentatif dispose du stock de biens $D_t$ hérité de la période précédente. Il offre de façon inélastique cette quantité de biens finals aux firmes, dont on a vu qu'elles en avaient besoin pour produire.

Cela permet au ménage-travailleur d'obtenir de la monnaie interne, qu'il peut placer à la banque en début de période $t$ au taux d'intérêt certain $r_t$. A la fin de la période $t$, il récupère le montant $D_t$ de biens intermédiaires, le rendement associé, $r_t D_t$, et son salaire $w_t L_0$. Cela lui permet de consommer $c_t^m$ et de stocker à nouveau $D_{t+1}$ pour la période suivante. La fonction d'utilité du ménage-travailleur est $u(c_t^m) = \ln c_t^m$ ; le programme du ménage-travailleur est donc :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \max_{c_t^m} E_0 \sum_{t=0}^{t=+\infty} \beta_m^t \ln c_t^m \\ c_t^m + D_{t+1} \le w_t L_0 + (1+r_t)D_t, \quad \forall t \end{array} \right. \qquad (9) $$

<footnote n="14">¹⁴Les entrepreneurs peuvent alternativement placer leur capital à la banque, afin d'obtenir un taux de rendement de $r_t$. Mais avec l'hypothèse que le désengagement du capital de la production entraîne une dépréciation supplémentaire au taux $\gamma$, le rendement net du placement alternatif pour les firmes est de $r_t - \gamma$. Ces dernières actualisent donc avec un facteur d'escompte $\beta_e$ supérieur à celui des ménages $\beta_e > \beta_m$.</footnote>
$$ \Rightarrow c_t^m = 1/\mu_t \qquad (10) $$

$$ \Rightarrow \mu_t = \beta_m E_t((1+r_{t+1})\mu_{t+1}) \qquad (11) $$

où $E_t$ est l'opérateur d'espérance conditionnelle à l'information disponible à la date $t$, et où $\mu_t$ est le prix implicite (ou le rendement marginal) d'une unité supplémentaire de bien thésaurisée en $t$. On impose par ailleurs que la créance envers les autres agents ne peut pas augmenter à l'infini, soit :

$$ \lim_{t \to +\infty} \frac{D_t}{\prod_{k=0}^{k=t} (1+r_k)} = 0 \qquad (12) $$

## 2.3 LA BANQUE REPRESENTATIVE :

### 2.3.1 Cas où l'information est asymétrique :

Les banques détiennent la technologie d'audit, ce qui leur permet de vérifier ex-post la réalisation des projets et justifie leur existence. Le système bancaire permet également aux échanges d'avoir lieu en transformant des titres de dette risqués en titres de dette non risqués.

Ainsi, au début de la période $t$, les entreprises échangent avec la banque un titre de dette risqué (nominatif) d'un montant de $B_t$ ouvrant droit à un taux d'intérêt incertain $r_{gt}$ contre la monnaie interne (créance non-nominative) ouvrant droit à un taux d'intérêt certain de $r_t$. Les entreprises échangent avec les ménages travailleurs la monnaie interne contre le montant de biens intermédiaires $B_t$ dont elles ont besoin pour mettre en oeuvre leur projet<fnref n="15" />.

Les contrats se délient à la fin de la période $t$: les banques obtiennent de l'ensemble des entreprises le remboursement de leur dette (nominative) plus les intérêts, soit $\theta_g(1+r_{gt})B_t + (1-\theta_g)rep_t^{16}$, ce qui leur permet de rembourser avec les intérêts la dette (non-nominative) contractée sous forme de monnaie interne, maintenant détenue par les ménages travailleurs, soit $(1+r_t)B_t$. Au total, le système bancaire prélève une "commission" de $\theta_g(1+r_{gt})B_t+(1-\theta_g)rep_t-(1+r_t)B_t$ de biens de consommation, qui lui permet juste de financer l'audit puisque l'hypothèse de concurrence implique un profit nul.

L'objectif d'une banque consiste à maximiser son profit, tout en dissuadant les firmes de mentir sur leur résultat. On considère que les banques sont en concurrence sur les dépôts, et en concurrence en prix sur les crédits. Elles prennent le taux créditeur $r_t$ comme donné, et fixent le taux créditeur $r_{gt}$. Leur décision consiste également à choisir le montant du remboursement demandé en cas d'annonce de la faillite ($rep_t$), la probabilité $\varphi_t$ d'auditer les firmes pour les dissuader de cacher la réussite de leurs projets, et le taux d'intérêt créditeurs, $r_{gt}$. Le coût unitaire de l'audit est $\tau$, et la vérification ex-post des projets coûte donc $\tau\varphi_t$ à la banque.

Le programme de la banque représentative à la date $t$, le programme de la banque est<fnref n="17" /> :

$$ \max_{rep_t, \varphi_t, r_{gt}} \theta_g(1+r_{gt})B_t + (1-\theta_g)rep_t - (1+r_t)B_t - \tau\varphi_t \qquad (13) $$

s.c.

$$ (1 - \delta)K_t + q_t - (1 + r_{gt})B_t - w_t L_t \geq (1 - \varphi_t)[(1 - \delta)K_t + q_t - rep_t - w_t L_t] + \varphi_t[(1 - \delta)K_t - grep_t - w_t L_t] \qquad (14) $$

<footnote n="15">¹⁵A l'équilibre, on a $B_t = D_t$.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶$rep_t$ est le montant de remboursement net obtenu par la banque lorsque la firme annonce l'échec d'un projet. Il n'est pas égal au remboursement brut ($grep_t$) que la firme lui a versée car le capital se déprécie au taux $\gamma$ lorsqu'il est liquidé, en cas d'échec, pour payer une dette.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷Nous avons enlevé les indices $\omega$ et $i$, qui ne sont pas nécessaires ici.</footnote>
$$ grep_t \leq (1 - \delta)K_t - w_t L_t \quad (15) $$

Le terme $grep_t$ est le remboursement brut d'une firme lorsque celle-ci annonce la faillite. Ce terme dépend du stock de capital offert en garantie par la firme ; on a donc : $grep_t = Grep(K_t, w_t)$. On montre facilement qu'à l'optimum de second rang, on a $Grep(K_t, w_t) = (1 - \delta)K_t - w_t L_t$. Puisque nous avons fait l'hypothèse, réaliste, que le stock de capital se déprécie au taux $\gamma$ lorsqu'il est liquidé, nous avons la relation :

$$ rep_t = Grep(K_t, w_t) - \gamma K_t \quad (16) $$

qui correspond au remboursement net obtenu par la banque quand une firme annonce la faillite. Ce programme correspond à un problème Principal-Agent avec aléa moral, lorsque le Principal est en situation de concurrence<fnref n="18" />. La contrainte (14) est la contrainte d'incitation et signifie que les firmes n'ont jamais intérêt à mentir à propos de leur résultat.

Considérons en effet qu'une firme annonce l'échec alors que son projet a rapporté une production de $q_t$. Si elle n'est pas auditée (avec une probabilité $1 - \varphi_t$), elle doit rembourser le montant $rep_t$ à la banque, soit $(1 - \delta - \gamma)K_t - w_t L_t$<fnref n="19" />, qui est par hypothèse inférieur à $(1 + r_{gt})B_t$, c'est à dire à ce qu'elle aurait dû rembourser si elle n'avait pas menti. En revanche, si elle est auditée, la banque la punit en lui retirant la quantité maximale de biens qu'elle peut payer, soit toute sa production et son capital.

Par ailleurs, la contrainte de profit nul implique que :

$$ \theta_g(1 + r_{gt})B_t + (1 - \theta_g)rep_t - (1 + r_t)B_t - \tau\varphi_t = 0 \quad (17) $$

Enfin, la banque a toujours intérêt à appliquer une probabilité d'audit minimale, puisque celle-ci a un coût, mais tout en s'assurant cependant que la contrainte (14) est satisfaite. La probabilité d'audit optimale est donc :

$$ \varphi_t = \frac{(1 + r_{gt})B_t + w_t L_t - (1 - \delta - \gamma)K_t}{q_t + \gamma K_t} \quad (18) $$

La probabilité d'audit, endogène, est une fonction décroissante du stock de capital, qui constitue par hypothèse une garantie de remboursement. En revanche, c'est une fonction croissante de la masse salariale et du montant de l'emprunt. Enfin, lorsque la production augmente à quantités de facteurs inchangées, la probabilité d'audit diminue parce que le risque de non-remboursement diminue.

### 2.3.2 Cas où l'information est symétrique :

Le cas d'information symétrique est défini par un coût de vérification nul ($\tau = 0$). En effet, tous les agents observent alors parfaitement les réalisations des projets, qui restent néanmoins aléatoires. Le rôle de la banque se borne à émettre de la monnaie interne pour faciliter les échanges de début de période<fnref n="20" />. Dans ce contexte, la contrainte d'incitation (14) n'a plus lieu d'être et la probabilité d'audit est nulle. Cependant, le capital joue toujours le rôle de garantie puisqu'en cas de faillite, les créanciers s'accaparent toujours le stock de capital moins la masse salariale.

<footnote n="18">¹⁸Dans ce cas, la contrainte de participation traditionnelle des modèles Principal-Agent avec monopole n'est plus serrée, et seules subsistent les contraintes d'incitation et de faisabilité. En l'occurrence, on a : $\theta_g [(1 - \delta)K_t + q_t - (1 + r_{gt})B_t - w_t L_t] - (1 + r_t - \gamma)K_t > 0$ comme rente informationnelle.</footnote>

<footnote n="19">¹⁹Dans le bon état de la nature, la firme peut verser le montant $rep_t$ de biens de consommation à la banque sans avoir à liquider son appareil productif et donc sans avoir à subir la dépréciation du capital au taux $\gamma$, puisqu'elle a produit $q_t$. Elle paye donc moins que s'il avait vraiment été dans le mauvais état.</footnote>

<footnote n="20">²⁰On pourrait tout aussi bien envisager une économie sans banque.</footnote>
## 3 LA DYNAMIQUE DU MODELE :

Dans cette partie, nous simulons l'effet d'un accroissement non-anticipé de la productivité globale des facteurs ($A_t$) de 1%<fnref n="21" /> au voisinage de son état stationnaire. Nous travaillons sur la linéarisation<fnref n="22" /> du modèle détaillé en annexe. Les paramètres du modèle ainsi que les valeurs des états stationnaires<fnref n="23" /> de notre économie avec et sans asymétrie d'information figurent dans les tableaux suivants :

<table><thead><tr><th colspan="12">Paramètres du modèle</th></tr><tr><th>g</th><th>ρ</th><th>β<sub>e</sub></th><th>β<sub>m</sub></th><th>α<sub>l</sub></th><th>α<sub>k</sub></th><th>α<sub>b</sub></th><th>L<sub>0</sub></th><th>γ</th><th>δ</th><th>φ</th><th>θ<sub>g</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>0,0067</td><td>0,65</td><td>0,996</td><td>0,991</td><td>0,7</td><td>0.225</td><td>0.075</td><td>13.21</td><td>0.005</td><td>0,01131</td><td>0,95</td><td>0.79</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="12">Valeurs de l'état stationnaire avec asymétrie d'information (cas τ = 5.5)</th></tr><tr><th>q</th><th>B</th><th>K</th><th>C<sup>e</sup></th><th>C<sup>m</sup></th><th>φ</th><th>r<sub>g</sub></th><th>r</th><th>I</th><th>τφ</th><th>w</th></tr></thead><tbody><tr><td>4.85</td><td>0.28</td><td>3.76</td><td>0.012</td><td>3.39</td><td>0,011</td><td>0.29</td><td>0,015</td><td>0.06</td><td>0.067</td><td>0.25</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="12">Valeurs de l'état stationnaire avec asymétrie d'information (cas τ = 4)</th></tr><tr><th>q</th><th>B</th><th>K</th><th>C<sup>e</sup></th><th>C<sup>m</sup></th><th>φ</th><th>r<sub>g</sub></th><th>r</th><th>I</th><th>τφ</th><th>w</th></tr></thead><tbody><tr><td>4.89</td><td>0.30</td><td>3.79</td><td>0.012</td><td>3.42</td><td>0,011</td><td>0.19</td><td>0,015</td><td>0.06</td><td>0.044</td><td>0.25</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="12">Valeurs de l'état stationnaire sans asymétrie d'information (cas τ = 0)</th></tr><tr><th>q</th><th>B</th><th>K</th><th>C<sup>e</sup></th><th>C<sup>m</sup></th><th>φ</th><th>r<sub>g</sub></th><th>r</th><th>I</th><th>w</th></tr></thead><tbody><tr><td>4.96</td><td>0.355</td><td>3.85</td><td>0.012</td><td>3.47</td><td>0</td><td>0.047</td><td>0,015</td><td>0.06</td><td>0,264</td></tr></tbody></table>

L'état stationnaire avec asymétrie d'information est caractérisé par un niveau des variables réelles plus bas que dans le cas où il n'y a pas d'asymétrie. Cela est dû au coût d'audit ($τφ$) qui représente une perte sèche pour l'économie, et qui implique en outre que le taux d'intérêt débiteur ($r_g$) se fixe à un niveau de long terme plus élevé lorsqu'il y a de l'asymétrie d'information.

Insérer les graphiques : "Comparison between the responses when information is complete and when it is not"

* A la date du choc, l'accroissement de 1% de la productivité globale des facteurs se traduit par un accroissement de 1% du niveau de la production, parce que les offres de facteurs, prédéterminées, ne bougent pas. En revanche, les demandes de facteur travail et de biens intermédiaires augmentent, ce qui se traduit par l'accroissement du salaire réel<fnref n="24" /> et des taux d'intérêt débiteurs. Avec l'augmentation de la masse salariale, l'espérance de gain des banques diminue, ce qui se répercute sur leur demande de dépôts — qui baisse— et sur les taux de rendement de dépôts — qui baissent également—. Ainsi, suite à un choc de productivité positif, on observe dans un premier temps (c'est à dire avant l'ajustement des quantités) un ajustement par les prix qui consiste en la

<footnote n="21">²¹Ce choc de productivité suit un AR(1).</footnote>

<footnote n="22">²²Cette linéarisation nous permettra, dans une prochaine étape, de calculer les moments des séries simulées, afin de comparer les propriétés dynamiques du modèle avec information parfaite avec celle du modèle où l'information est imparfaite.</footnote>

<footnote n="23">²³Nous avons calibré le modèle sur des données trimestrielles, à partir du travail de Pujol, Laffargue et Malgrange(92).</footnote>

<footnote n="24">²⁴Le salaire réel n'est pas représenté sur les graphiques parce que sa réponse est exactement la même que celle de la production. Cela vient de ce que l'offre de travail est inélastique et de la rémunération de ce facteur au coût marginal.</footnote>
hausse des taux débiteurs et la baisse des taux créditeurs. On peut remarquer par ailleurs que ces fluctuations des taux d'intérêt sont amplifiées lorsque l'information est asymétrique parce-que les banques doivent en plus accroître la menace d'audit. En effet, étant donné que les entrepreneurs ont plus à gagner s'ils mentent, les banques doivent relever le degré de dissuasion, ce qui a un maintenant coût compensé par une augmentation plus importante du spread de taux d'intérêt.

* A la seconde période suivant le choc, les variables de stock ($B_t$ et $K_t$) commencent à s'ajuster. Les prêts diminuent plus fortement quand l'information est incomplète à cause du coût de l'audit, qui constitue une fuite de l'économie et qui traduit un rationnement du crédit par les banques. Dans le même temps le niveau de production décroît dans l'économie avec asymétrie d'information pour reprendre ensuite une phase de croissance ; ce surajustement est dû à la viscosité du stock de capital –c'est à dire des collatéraux qui jouent un rôle important dans l'offre de crédit des banques lorsque $\tau > 0$– alors que les prix des facteurs ont varié. Enfin, la seconde période est marquée par la forte variation positive des taux créditeurs qui est relativement plus forte dans l'économie avec information incomplète.

* A partir de la seconde période, le capital continue de s'ajuster à la hausse, ce qui fait baisser la probabilité d'audit et les taux d'intérêt. Néanmoins, la probabilité d'audit reste au dessus de son niveau de long terme et la réponse des prêts croît mais reste beaucoup plus bas dans l'économie avec asymétrie. La réponse plus faible de l'output montre également comment le secteur bancaire contribue à amortir la reprise lorsque $\tau > 0$.

* Une fois le stock de capital assez élevé pour compenser l'augmentation du coût de production, la probabilité d'audit diminue en deçà de son niveau de long terme, ce qui diminue les fuites du circuit économique et a un effet de relance. On observe alors une augmentation du crédit plus forte que dans l'économie sans asymétrie d'information et l'on peut mettre en évidence le mécanisme d'accélérateur financier, qui prolonge la phase de croissance : le niveau plus élevé du stock de capital correspond à une augmentation des garanties des entrepreneurs, donc à une augmentation de l'espérance de gain du secteur bancaire. Les banques augmentent leur offre de crédits ce qui, dans un contexte de concurrence, implique une baisse des taux débiteurs. Cette offre de crédit à moindre coût permet aux entrepreneurs d'augmenter leur production et leur investissement, ce qui accroît à nouveau le stock de capital.

## Insérer les graphiques : "Response of the spread and the output growth"

* Enfin, on peut remarquer les profils similaires du taux de croissance et du spread de taux d'intérêt<fnref n="25" />, qui commence à baisser deux périodes avant le produit, en particulier dans le cas d'information incomplète. Accessoirement, notre modèle semble ainsi donner une explication à la fois au caractère contra-cyclique et au pouvoir prédictif du spread, sans pour autant spécifier d'anticipations. Ce phénomène vient du fait que le stock de capital est plus lent à s'ajuster que les variables financières.

Ainsi, suite à un choc de productivité positif, l'économie réagit tout d'abord par l'augmentation du prix des facteurs, ce qui fait augmenter le risque de non-remboursement, à garanties financières données. Le secteur bancaire augmente alors sa prime de risque pour se protéger contre le risque

<footnote n="25">²⁵Les deux derniers graphes donnés en annexe représentent les taux de croissance du niveau de l'output et le spread, et non pas les écarts au steady state. Cela permet de faire la rapprochement avec le graphique 3.</footnote>
de non-remboursement, ce qui amortit la reprise. En revanche, on a montré que le secteur bancaire prolonge l'effet positif de ce choc<fnref n="26" />.

## 4 CONCLUSION :

Ce papier est une tentative de construction théorique d'un modèle d'équilibre général dynamique avec une asymétrie d'information ex-post sur le marché du crédit, afin de mettre en évidence l'effet d'accélérateur financier souvent rencontré dans la littérature récente sur les mécanismes financiers de transmission des chocs économiques.

Nous avons analysé l'impact d'un choc de productivité sur l'économie dans un contexte de concurrence dans le secteur bancaire et comparé les effets selon le degré d'asymétrie entre prêteurs et emprunteurs, que l'on peut interpréter plus généralement comme le degré d'efficacité du secteur financier<fnref n="27" />. Dans notre modèle, un choc positif a un effet de relance relativement moins important mais engendre des fluctuations plus amples à court terme lorsque l'asymétrie est grande. En revanche, une fois l'ajustement du stock de capital réalisé, le modèle permet d'isoler l'effet d'accélérateur financier, qui correspond à l'amplification du mouvement de croissance par rapport à l'économie sans asymétrie. Cet effet est dû au rôle important joué par les collatéraux dans l'offre de crédit des banques lorsqu'il y a des problèmes d'information. Notre modèle rend également compte du caractère contra-cyclique et prédictif du spread de taux d'intérêt –souvent cité comme indicateur du canal large du crédit.

Le coût d'agence, c'est à dire le paramètre $\tau$, est difficilement interprétable dans notre modèle. Il y représente le coût de vérification des résultats ex-post, mais il semblerait plus réaliste de l'interpréter de façon générale comme un coût de fonctionnement du système bancaire. Par exemple, à niveaux de richesse et d'emprunt donnés dans l'économie (et donc à $\varphi$ donné) une augmentation exogène de la proportion d'emprunteurs risqués dans les clients du secteur bancaire doit augmenter les coûts de fonctionnement ($\tau\varphi$). En outre, la déréglementation financière récente a modifié de façon exogène le profil de clientèle des banques (composée de relativement plus de PME), et cela peut-être vu, dans notre modèle, comme une augmentation du paramètre $\tau$.

Notre modèle conclut ainsi que l'évolution récente du système bancaire a modifié l'impact de ce dernier sur le cycle économique. Un choc de productivité positif a des effets amortis par le secteur bancaire parce-qu'il engendre dans un premier temps une augmentation de risques de non remboursement, mais il a un effet prolongé dans le temps. Cette conclusion est conforme à l'intuition récente de "frilosité" des banques à l'égard des emprunteurs, au moment des reprises conjoncturelles.

<footnote n="26">²⁶La réponse de l'économie tout de suite après le choc est fortement dépendante de l'hypothèse faite de flexibilité des salaires et donc, du coût du travail, puisqu'alors tout choc positif augmente fortement les coûts de production et donc le risque de faillite dans un premier temps.</footnote>

<footnote n="27">²⁷On peut en effet penser que plus le secteur financier est libéral, plus les intermédiaires améliorent leurs techniques d'audit (ou de screening pour une asymétrie ex-ante), ce qui en diminue le coût.</footnote>
REFERENCES :

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Bernanke, B. : On the predictive power of interest rates and the interest rate spread. *New England Economic Review*, november-december, 1990.

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Dubois, E. & Janci, P. : Prévision du PIB par la courbe des taux : une évidence empirique en quête de théorie. *XIèmes journées internationales d'économie monétaire et bancaire*, juin, 1994.

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Laffargue, J-P., Malgrange, P. & Pujol, T. : Une maquette trimestrielle de l'économie française avec anticipations rationnelles et concurrence monopolistique. *L'Actualité Economique*, 68, 225-261, 1992.

Meltzer, A. : Monetary, Credit and (other) transmission processes : a monetary perspective. *Journal of Economic Perspectives*, 9, 49-72, 1995.

Mishkin, F. : Les canaux de transmission monétaire : leçons pour la politique monétaire. *Bulletin de la Banque de France*, Mars, 1996.

Rosenwald, F. : L'influence de la sphère financière sur la sphère réelle : les canaux du crédit. *Bulletin de la Banque de France*, premier trimestre, 1995.

Wolfson, M. : A post keynesian theory of credit rationing. *Journal of Post Keynesian Economics*, 18, 443-470, 1996.
# ANNEXE

## LES EQUATIONS DU MODELE AVEC ASYMETRIE D'INFORMATION:

Notre économie croît au taux *g*. On peut donc écrire toutes les équations en variables réduites :

$$q_t = \theta_g \rho A_t K_t^{\alpha_k} L_0^{\alpha_l} B_t^{\alpha_b}$$

$$(1+g)K_{t+1} + c_t^e = \theta_g(1-\delta)K_t + q_t - (1+r_{gt})B_t - w_t L_0$$

$$c_t^e = 1/\lambda_t$$

$$\alpha_l q_t = w_t L_0$$

$$\alpha_b q_t = (1+r_{gt})B_t$$

$$(1+g)\lambda_t = \beta_e \theta_g E_t \left( \left(1-\delta+\alpha_k \frac{q_{t+1}}{K_{t+1}}\right) \lambda_{t+1} \right)$$

$$c_t^m + (1+g)B_{t+1} \le w_t L_0 + (1+r_t)B_t$$

$$c_t^m = 1/\mu_t$$

$$(1+g)\mu_t = \beta_m E_t \left( (1+r_{t+1})\mu_{t+1} \right)$$

$$(1-\delta)K_t + q_t - (1+r_{gt})B_t - w_t L_0 = (1-\varphi_t)[(1-\delta)K_t + q_t - \text{rept}_t - w_t L_0] + \varphi_t[(1-\delta)K_t - \text{grep}_t - w_t L_0]$$

$$\text{grep}(K_t, w_t) = (1-\delta)K_t - w_t L_0$$

$$\text{rept}_t = (1 - \delta - \gamma)K_t - w_t L_0$$

$$\theta_g(1+r_{gt})B_t + (1-\theta_g)\text{rept}_t - (1+r_t)B_t - \tau\varphi_t = 0$$

Notre modèle contient 2 variables de co-état : $\lambda_t$ et $\mu_t$ ainsi que 3 variables d'état : $A_t$, $K_t$ et $B_t$. Nous aurons donc 3 valeurs propres strictement inférieures à 1 et 2 autres valeurs propres strictement supérieures à 1. Les valeurs propres du modèle sont :

Valeurs propres du modèle ($\tau = 5.5$)
$$ \begin{array}{c} 28,27 \ 1,003 \ 0,95 \ 0,93 \ 0,02 \end{array} $$

Valeurs propres du modèle ($\tau = 4$)
$$ \begin{array}{c} 21,36 \ 1,003 \ 0,95 \ 0,91 \ 0,01 \end{array} $$

Valeurs propres du modèle ($\tau = 0$)
$$ \begin{array}{c} 12,16 \ 1,003 \ 0,95 \ 0,85 \ 0,04 \end{array} $$

## LE MODELE LINEARISE :

$$\hat{\lambda}_t + \hat{c}_t^e = 0$$

$$\hat{\mu}_t + \hat{c}_t^m = 0$$

$$\hat{q}_t = \hat{w}_t$$

$$\alpha_b \bar{q} \hat{q}_t = (1 + \bar{r}_g) \bar{B} \hat{B}_t + \bar{r}_g \bar{B} \hat{r}_{gt}$$

$$(1+g)\hat{\lambda}_t = \beta^e \theta_g (1 - \delta + \alpha_k \bar{K}/\bar{q}) \hat{\lambda}_{t+1} + \beta^e \alpha_k (\bar{K}/\bar{q}) (\hat{q}_{t+1} - \hat{K}_{t+1})$$
$$ \theta_g \alpha_k \bar{q} \hat{q}_t = \bar{I} \hat{I}_t + (1 - \theta_g)(1 - \delta) \overline{K} \widehat{K}_t + \bar{c}^e \widehat{c}_t^e $$

$$ (1 - \delta) \overline{K} \widehat{K}_t + \alpha_k \bar{q} \hat{q}_t + \gamma \bar{\varphi} \overline{K} \widehat{\varphi}_t = (1 - \bar{\varphi}) \bar{q} \hat{q}_t - \bar{\varphi} \bar{q} \widehat{\varphi}_t + (1 - \bar{\varphi}) \gamma \overline{K} \widehat{K}_t $$

$$ \bar{I} \hat{I}_t = (1 + g) \overline{K} \widehat{K}_{t+1} - (1 - \delta) \overline{K} \widehat{K}_t $$

$$ (\theta_g(1 + \bar{r}_g) - 1 - \bar{r}) \overline{B} \hat{B}_t + \theta_g \bar{r}_g \overline{B} \hat{r}_{gt} - \bar{r} \overline{B} \hat{r}_t + (1 - \theta_g) \left( (1 - \delta - \gamma) \overline{K} \widehat{K}_t - \overline{w} L_0 \hat{w}_t \right) - \tau \bar{\varphi} \widehat{\varphi}_t = 0 $$

$$ (1 + g) \hat{\mu}_t = \beta^m (1 + \bar{r}) \hat{\mu}_{t+1} + \beta^m \bar{r} \hat{r}_{t+1} $$

$$ \overline{S} \hat{S}_t = (1 + g) \overline{B} \hat{B}_{t+1} - \overline{B} \hat{B}_t $$

$$ \overline{S} \hat{S}_t = \bar{r} \overline{B} \hat{B}_t + \bar{r} \overline{B} \hat{r}_t + \overline{w} L_0 \hat{w}_t - \bar{c}^m \widehat{c}_t^m $$

$$ \hat{q}_t = \hat{A}_t + \alpha_k \widehat{K}_t + \alpha_b \hat{B}_t $$

$$ \hat{A}_{t+1} = \phi \hat{A}_t $$

## LA RESOLUTION DU PROGRAMME DE LA BANQUE :

Le lagrangien associé au programme est :

$$ \mathcal{L} = \max_{grep_t, \varphi_t} \theta_g (1 + r_{gt}) B_t + (1 - \theta_g) (grep(K_t, w_t) - \gamma K_t) - (1 + r_t) B_t - \tau \varphi_t $$

$$ + \lambda_1 ((1 - \delta)K_t + q_t - (1 + r_{gt})B_t - w_t L_t - (1 - \varphi_t)[(1 - \delta)K_t + q_t - grep(K_t, w_t) + \gamma K_t - w_t L_t] - \varphi_t[(1 - \delta)K_t - grep_t - w_t L_t]) $$

$$ + \lambda_2 (w_t L_t - (1 - \delta) K_t - grep_t) $$

On a triviallement grep_t = (1 - δ)K_t - w_t L_t, ce qui implique que la condition du premier ordre est :

$$ \lambda_1 = \frac{\tau}{q_t + \gamma K_t} \Rightarrow \lambda_1 \neq 0. $$

La contrainte d'incitation est donc serrée.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Graph 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Graph 2

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
GAUSS Mon Apr 14 10:29:23 1997

Term structure of interest rates
and growth in France (*)

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

(*) Series are smoothed by a second order moving average.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Response of the debtor rate(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Response of the interest rate spread(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Response of the creditor rate(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Response of capital(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Response of investment(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Response of loans(B)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Response of the audit(φ)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Response of output(Y)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Response of the debtor rate(rg)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Response of the creditor rate(r)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Response of investment(I)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Response of output(Y)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Response of loans(B)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Response of the debtor rate(rg)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Response of the creditor rate(r)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Response of investment(I)
to the technological shock(%)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Response of the spread and output growth when $τ=0$

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Response of the spread and output growth when $τ=4$