opératoire. Il est nécessaire de dépasser une vision iconique pour aller vers une déconstruction dimensionnelle des formes (Duval, 2005) permettant une mise en relation entre les unités figurales de dimension différentes (droites, points, etc. ; cf. Figure 1b) : les côtés du carré (1D) sont vus aussi comme diamètres du cercle (1D) ; les sommets du carré (0D) sont vus aussi comme extrémités des diamètres des cercles, le milieu des côtés du carré (0D) comme centre d'un cercle (0D), le point d'intersection des arcs de cercle (0D) comme centre du carré, etc.
Ce passage n'est pas immédiat et nous avons construit des situations au sein de progression sur plusieurs cycles, qui favorisent ce changement de regard.

Par exemple, le recours à des gabarits transparents d'une même couleur (1 carré et 4 demi-disques, Figure 2) peut être un choix de variable didactique intéressant auprès de jeunes élèves afin de faire basculer ce premier regard iconique vers un chevauchement des formes laissant apparaître de nouvelles relations entre les sous-éléments de la figure.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 2 – Différentes façons d'agir pour reproduire la rosace à quatre branches.</figcaption></figure>

En effet, d'un point de vue *a priori*, la contrainte de « faire entrer les gabarits de demi-disques dans le gabarit carré, sans dépasser » invite les élèves à investir différemment le milieu matériel. Les élèves mettent en œuvre des traitements différents, et potentiellement donnent à voir des nouvelles relations d'incidences (en acte) entre les différentes unités figurales :

- le bord droit de chaque demi-disque (1D/2D) est superposé exactement avec chaque bord droit (côté) du gabarit carré ;

- le gabarit de chaque demi-disque (2D) est placé par-dessus ou par-dessous un autre gabarit de demi-disque et forme une nouvelle forme (2D) identifiable ;

- les bords courbes des gabarits de demi-disques sont tangents (en un seul et même point 0D/2D qui est le centre du carré).

Ces nouveaux traitements (matériels et visuels) mobilisent des connaissances d'action qui se traduisent par une plus grande mobilité du regard en termes d'unités figurales (2D, 1D/2D, 0D/2D) en tenant compte de plusieurs contraintes spatiales. Les gabarits de demi-disque ne sont plus placés de façon aléatoire ou guidés par la reproduction d'une allure globale comme auparavant. Ces connaissances en acte (Vergnaud, 1991), pourraient rester implicites et locales mais nous pensons au contraire qu'elles peuvent (doivent) être décontextualisées, verbalisées avec une portée plus générale en vue de leur transférabilité car elles sont, selon nous, des connaissances implicites « utiles » (Conne, 1992 ; Gobert, 2023 ; Bessot & Margolinas, 2023) de la géométrie des tracés. La question de l'institutionnalisation de ces connaissances se pose alors : comment décrire le rôle, central, de l'enseignant-e dans les processus de médiations sémiotiques et sociales *in situ* impliquant de telles situations ?

## ÉLÉMENTS D'ANALYSE A POSTERIORI ENRICHIS PAR UN POINT DE VUE SÉMIOTIQUE

Voici un extrait de verbatim lors d'une mise en commun de la situation d'action précédemment décrite en classe avec des élèves de 8-9 ans :

Ens. : Vous voyez ? Zoé, tu vois ? Tu vois ? Et du coup [*en prenant un troisième demi-disque et en l'ajoutant aux autres*] voyez j'ai mis, vous voyez bien ? **Qu'est-ce que j'ai fait avec mon troisième morceau** ?

Él. : Tu l'as mis **contre l'autre**

Ens. : Je l'ai mis **contre l'autre** // je l'ai mis comme ça
Él. : Tu l'as mis **dessus l'autre**

Il est intéressant de remarquer que l'enseignante insiste d'abord sur la dimension visuelle. La question de l'enseignante porte ensuite sur la description de ce nouveau mode d'agir dans un registre purement matériel (« J'ai mis » ; « Qu'est-ce que j'ai fait avec mon troisième morceau ? ») à laquelle les élèves répondent sans difficulté en reprenant ce langage de description de l'action évoquée (« Tu l'as mis contre ») renvoyant explicitement au procédé par juxtaposition. L'enseignante répète exactement les propos de l'élève mais complète avec un déictique « comme ça » et agit en conséquence (sans révéler oralement ce qu'elle attend). Ce faisant, sans inviter à reformuler de façon explicite, elle pointe la dissonance entre ce que l'élève DIT « l'un contre l'autre » et l'AGIR correspondant. L'élève reformule aussitôt : « tu l'as mis dessus l'autre », ouvrant ainsi la voie à une nouvelle façon de penser qui sera reprise, nommée et consignée par écrit par la suite par l'enseignante avec le terme de « superposition », nommant ainsi explicitement ces nouveaux traitements possibles du registre matériel.

Nos analyses *a posteriori* se distinguent par le fait qu'elles sont pétries d'outils d'analyse sémiotique, selon Jaubert et Rebière (2021) et Duval (1995). Nous donnons une attention particulière aux « reprises et reformulations » (François, 1990), car nous considérons que toute reprise (ou absence de reprise) indique une focalisation de la part de l'enseignant-e (ou des élèves) de certains traits saillants du discours des élèves et/ou une nouvelle orientation des objets de discours. Ces reprises et reformulations peuvent être aussi interprétées comme des indices de décontextualisation ou recontextualisation, des indices d'élaboration de la pensée en train de se construire par les différentes formes langagières (verbales/non verbales) qui la rendent dicible. L'on accorde une attention particulière aux formes de discours qui semblent premières (quotidiennes), intermédiaires ou plus scientifiques, secondes (Bakhtine, 1984), pour décrire comment les différents points de vue sont orchestrés, dans et par des actions matérielles et langagières.

Notre communication prendra appui sur des éléments d'analyse similaires portant sur cette situation de restauration de la rosace à différents niveaux scolaires afin de mettre en évidence en quoi les outils de la TSD, comme nous venons de le faire de façon rapide, articulés à des outils d'analyse sémiotiques peuvent être des outils puissants pour penser les situations d'enseignement et mieux comprendre l'activité des élèves et des enseignants *in situ*. Nous nous risquerons même à un rapprochement des enjeux portés par la situation dite *des médiatrices d'un triangle aplati* de Brousseau (2000) car c'est bien *via* une orchestration contrôlée des traitements dans le registre graphique<fnref n="1" /> que l'élève perçoit les limites de ce dernier. Un changement de point de vue est nécessaire vers une géométrie théorique qui conduit à reconnaître, dans un registre discursif, que ce signe graphique n'est pas un triangle mais un seul et même point (théorique). L'on peut reconnaître dans cette situation considérée comme fondamentale au sens de la TSD que c'est donc bien dans la recherche d'un *continuum* entre les registres graphique et discursif que l'élève (en dialogue avec lui-même ou avec un pair ou avec l'enseignant) va se construire une interprétation satisfaisante de ce « signe-pivot » (Bartolini-Bussi & Mariotti, 2008) qu'est le dessin (triangle ou point) ; c'est donc bien dans cette polysémie du signe que se trouve la pierre angulaire du développement de la pensée géométrique.

<footnote n="1">¹ Nous évoquons rarement directement « le registre des figures géométriques » (Duval, 1995, p. 173) car ce dernier est un système de signes culturellement stable qui permet des traitements et conversions, en articulation profonde et complexe avec le registre de la langue naturelle. Du point de vue de l'interprétant (l'élève dans notre cas), ce registre n'est pas souvent clairement identifié : l'interprétation des dessins (géométriques) est plurielle et ambiguë (Eco, 1992).</footnote>
RÉFÉRENCES

Bartolini-Bussi, M.-G., Mariotti, M.-A. (2008). *Semiotic mediation in the mathematics classroom: artifacts and signs after a Vygotskian perspective*. In Handbook of International Research in Mathematics Education, second revised edition (pp. 746–783). Routledge / Taylor & Francis Group.

Berthelot, R., & Salin, M.-H. (1992). *L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire*. [Thèse en didactique des mathématiques, Université Sciences et Technologies, Bordeaux I]. https://theses.hal.science/tel-00414065

Bessot, A., & Margolinas, C. (2023). Les savoirs et la théorie des situations. *Caminhos da Educação Matemática em Revista, 13*(4), 39-60.

Bakhtine, M. (1984). *Esthétique de la création verbale*. Gallimard.

Bernié, J.-P. (2002). L'approche des pratiques langagières scolaires à travers la notion de « communauté discursive » : un apport à la didactique comparée ? *Revue française de pédagogie, 14*, 77-88.

Brousseau, G. (1998). *La théorie des situations didactiques*. La pensée sauvage.

Brousseau, G. (2000). Les propriétés didactiques de la géométrie élémentaire, l'étude de l'espace et de la géométrie, *Séminaire de Didactique des Mathématiques, Rethymon*, 67-83.

Bulf, C., & Celi, V. (2016). Essai d'une progression sur le cercle pour l'école primaire. Une transition clé : du gabarit au compas. *Grand N, 97*, 21-58.

Conne, F. (1992). Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 12*(2-3), 221-270.

Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l'apprentissage de la géométrie : développement de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements. *Annales de didactique et de sciences cognitives, 10*, 5-53.

Duval, R. (1995). *Semiosis et pensée humaine : sémiotiques registres et apprentissages intellectuels*. Peter Lang.

Duval, R., & Godin, M. (2005). Le changement de regard nécessaire sur les figures, *Grand N, 76*, 7-27.

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Eco, U. (1992). *La production des signes*. Livre de Poche.

François, F. (1990). *La communication inégale : Heurs et malheurs de l'interaction verbale*. Delachaux et Niestlé.

Gobert, S. (2023) Secondarisation et connaissance utile. *Revue française de pédagogie, 219*(2), 7-28.

Jaubert, M., & Rebiere, M. (2021). Un modèle pour interpréter le travail du langage au sein des « communautés discursives disciplinaires scolaires ». *Pratiques, 189-190*, 1-19.

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Mathé, A.-C., Barrier, T., & Perrin-Glorian, M.-J. (2020). Enseigner la géométrie à l'école élémentaire. *Enjeux, ruptures et continuités*. L'Harmattan.

Perrin-Glorian, M.-J. (2024). Enseigner la géométrie plane en cohérence de 6 à 15 ans. *Revista Matemática, Ensino e Cultura, 48*, 1-22.

Vergnaud, G. (1991). La théorie des champs conceptuels. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 10*(2-3), 133-170.

Vygotski, L.S. (1934). *Pensée et Langage* (3e édition, Trad. F. Sève). La Dispute.
# SAVOIRS ET SITUATION FONDAMENTALE DU NOMBRE

## CHAMBRIS<fnref n="1" /> Christine

**Résumé** – Le texte présente deux analyses a posteriori de ressources inspirées d'une situation fondamentale du nombre élaborée pour la recherche au COREM, adaptée à différents publics d'élèves. La première met au jour des phénomènes inattendus et conduit à introduire une modélisation alternative des savoirs issue de la mathematics education, qui outille pour en réaliser une seconde. Les analyses amènent à une réflexion qui croise épistémologie du nombre, situation fondamentale et transparence des savoirs.

**Mots-clés** : situation fondamentale, épistémologie du nombre, model of the development of numerical discourse (Lavie & Sfard), quantité, transparence des savoirs

Ce texte revient sur une situation fondamentale du nombre élaborée dans un contexte d'ingénierie pour la recherche au COREM. Des ressources inspirées de cette situation fondamentale, y compris avec des adaptations à différents publics d'élèves, sont diffusées dans l'institution scolaire incluant parfois des captations dans des classes. En dépit de limites (notamment la suppression possible au montage d'éléments cruiaux sur les déroulements), ces matériaux permettent de notre point de vue un questionnement par le chercheur de certains contours des conditions d'apprentissage du nombre tel qu'envisagé dans la situation fondamentale.

Nous évoquons d'abord la relation entre savoirs et situation fondamentale puis la situation fondamentale du nombre dans cette perspective. Une première analyse a posteriori du matériau retenu, *Les monstres*<fnref n="2" /> (Hersant & Thomas, 2019) (LM) et *Voitures et garages* (séances 1 et 2 sur 5 disponibles)<fnref n="3" /> (VG) avec des élèves de 3-4 ans, pour y élucider les connaissances met au jour des phénomènes inattendus et conduit à introduire une modélisation alternative des savoirs issue de la mathematics education (Lavie & Sfard, 2019), qui outille pour en réaliser une seconde. Ces analyses amènent à une réflexion qui croise épistémologie du nombre, situation fondamentale et transparence des savoirs.

# SITUATION FONDAMENTALE ET SAVOIRS MATHÉMATIQUES

Brousseau (2000) conjecture que :

l'ensemble des situations qui caractérisent une même notion est structuré et qu'il peut être engendré à partir d'un petit nombre de situations dites fondamentales, par le jeu de variantes, de variables et de bornes sur ces variables. (p.8)

La situation fondamentale est ainsi une classe de situations pour un savoir mathématique. C'est un instrument central dans le projet didactique de reconstruire les savoirs mathématiques (Margolinas & Bessot, 2023).

## *Le cas du nombre entier*

Margolinas et Bessot (2023) considèrent que le savoir sur les entiers est « [d]eux ensembles discrets ont le même cardinal s'il existe une bijection entre ces deux ensembles » (p. 10). Elles définissent la quantité : « deux collections ont la même quantité si l'on peut mettre leurs

<footnote n="1">¹CY Cergy Paris Université, Université Paris Cité, Univ Paris Est Creteil, Univ. Lille, Univ Rouen, LDAR, F-95000 Cergy-Pontoise – France – christine.chambris@cyu.fr</footnote>

<footnote n="2">² https://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/thematiques/mathematiques-en-education-prioritaire/premieres-annees-de-mathernelle-1/situations-de-classe-et-entretien/les-monstres-elisabeth</footnote>

<footnote n="3">³ https://missionmaternelle78.ac-versailles.fr/le-nombre-construction-du-nombre-cardinal/</footnote>
éléments en correspondance terme à terme». Elles introduisent alors une situation fondamentale pour le nombre :

Le milieu et l'enjeu de cette situation fondamentale sont les invariants de toutes les situations représentant des instanciations possibles de la situation fondamentale (par exemple la famille des situations « voiture-garage » est une instanciation) » (p. 10),

famille qu'elles décrivent ainsi :

Chaque élève reçoit une petite collection de voitures (des images de voitures ou bien des petites voitures jouets). La tâche consiste à constituer une collection de garages permettant de poser exactement une voiture et une seule sur chaque garage » (p. 7).

Elles précisent enfin que « [e]n formalisant mathématiquement ce processus, le cardinal apparaît donc comme une classe d'équivalence de la relation « avoir même quantité que » appliquée à des collections » (p. 11). Le *nombre est la désignation du cardinal*. Ce peut être un mot-nombre, issu par exemple du dénombrement de la collection par comptage, ou encore à l'écrit « un représentant symbolique d'une des collections (par exemple quatre traits) » (p.11).

## Les variables

Entre autres auteurs, Margolinas et Bessot (2023) étudient les variables de cette situation. Le tableau 1 résume celles retenues dans LM (fig. 1) et VG (fig. 2).

<table><caption>**Tableau 1 :** variables retenues dans les instanciations LM et VG (séances 1 et 2)</caption><thead><tr><th></th><th>LM</th><th>VG</th></tr></thead><tbody><tr><td>Collection cible</td><td>3 objets discernables (une seule collection pour tous les élèves)</td><td>Séance 1 : selon les élèves, 4 objets ou plus, plus ou moins discernables<br>Séance 2 : de 2 à 5 objets</td></tr><tr><td>Collection équipotente, à créer</td><td>choisir parmi deux collections non déplaçables (2, 3 ou 4)</td><td>construire une collection d'objets plus ou moins discernables</td></tr><tr><td>Collection cible</td><td>visible</td><td>éloignée</td></tr><tr><td>Nombre de voyages</td><td>un</td><td>Séance 1 : non limité<br>Séance 2 : un</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>**Figure 1 :** 3 monstres et tapis à 3 et 4 places</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>**Figure 2 :** des voitures et des garages</figcaption></figure>

Pour conduire les analyses a posteriori de LM et VG, nous observons les actions sur le matériel et les discours, des élèves et de l'enseignante, afin de reconstruire les raisonnements des élèves. Nous faisons alors des hypothèses sur des connaissances que convoquent ces raisonnements chez les élèves, notamment en considérant les changements au fil des interactions enseignante.

## UNE PREMIÈRE ANALYSE A POSTERIORI

Cette analyse s'appuie sur les savoirs indiqués à la section I.1.
Une instanciation « conforme »

Dans LM, l'enseignante enseigne des savoirs sur l'appariement place / monstre : une *place* pour *Grands Yeux*, une *place* pour..., etc. Elle montre plusieurs correspondances terme à terme : entre monstres, doigts et mots-nombres (e.g., monstre 1, pouce, « un » / monstre 2, etc.) puis, sur le tapis, entre places, doigts et mots-nombres, parfois entre monstres, places, doigts, mots-nombre. Elle parle des « trois monstres » et les dénombre en sortant ses doigts un à un. Montrant *pouce*, *index* et *majeur*, elle dit « ça fait tout ça comme places ». Le mot *trois* et les doigts (pouce, index, majeur) sont ainsi deux désignations du cardinal. À la fin du film, VEL, AGE et DAN réussissent et semblent utiliser tout ou partie de ces connaissances, mais pas BAS qui réussit néanmoins dès le début. BER échoue à chaque jeu.

Une instanciation et des savoirs inattendus

Dans VG, les captations des séances 1 et 2 impliquent des élèves différents. Le film de la séance 2 rend partiellement visibles 3 tours de jeu.

Chacun des 6 élèves a une cible fixe. LUC réussit aux deux tours mais ne dit pas comment. L'observation de ses actions suggère des savoirs convoqués sur la correspondance terme à terme (couleurs). Seuls EMM au tour 1 et JUL au tour 3 utilisent des mots-nombres en lien avec leur procédure. À l'exception des échanges avec eux, l'enseignante n'utilise aucun mot-nombre.

À l'issue du tour 1, l'enseignante renvoie à ANA et SAR (qui ont échoué) : tu as *pris trop* ou *pas pris assez* de garages (Fig. 3). Nous observons ensuite que ceux qui avaient pris *trop* au tour 1 prennent moins au tour 2 : *un* (JUL) ou *ce qu'il faut* qu'ils expriment par *plein* (MAX), *pas beaucoup* (ANA). SAR, qui n'avait *pas pris assez*, prend davantage (4 ou plus). Au tour 3, JUL réussit et précise qu'elle a fait 1, 2, 3 (et montre 5 avec la main). Ces modifications de procédures suggèrent que SAR, MAX, ANA et JUL s'adaptent au milieu. Peut-on préciser les connaissances et savoirs convoqués dans les adaptations ?

<table><thead><tr><th></th><th>SAR</th><th>ANA</th><th>MAX</th><th>JUL</th></tr></thead><tbody><tr><th>Tour 1</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>P</th><td>tu n'en as <u>pas pris assez</u></td><td>tu as donc <u>pris trop de garages</u></td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><th>Tour 2</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>E</th><td></td><td>j'en ai <u>pris pas beaucoup</u></td><td>j'en ai <u>pris plein</u></td><td></td></tr></tbody></table>
## Élèves et enseignantes au filtre du modèle de développement

Dans LM, l'enseignante utilise les mots trop et assez du discours Q-nN dans les locutions juste assez (6 fois) et une place en trop (3 fois uniquement dans la gestion du 1er échec, remplacée ensuite par une place vide, 4 fois). Le mot assez seul est utilisé 1 fois. Juste assez (réussite), une place vide (échec avec place vacante) peuvent devenir des connaissances sur l'appariement. Elles sont nN-nQ. Juste assez peut alimenter un discours, rituel, Q-nN.

BAS est le seul à utiliser un discours Q-nN et aussi, spontanément, le nombre 2. Son discours semble alors N-Q (« t'as vu / a pas beaucoup place / deux »). À 5 min 24 s, il examine successivement les monstres et leur bouche éventuelle.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>BAS : ici / regarde / là est sa bouche</figcaption></figure>

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>P : mmm / et oui / lui c'est Grandes dents / il a une grande bouche aussi</figcaption></figure>

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>BAS : oui / et lui / a qu'un nez / et t'as vu l'a <u>pu de place</u> / paque un <u>gros</u> nez</figcaption></figure>

Ce discours Q-nN porte sur l'encombrement spatial. Il est causal (parce que). Il est exploratoire : les quantités de place du nez et de la bouche se compensent (Batton, et al., en préparation).

Dans VG, après la validation du tour 1, l'enseignante apporte à 4 élèves des savoirs langagiers Q-nN : prendre trop ou pas prendre assez font perdre. Avant cela, pour l'élève, le jeu est un appariement (nN-nQ). Le discours Q-nN modélise le jeu par la quantité* (en un sens différent de Margolinas et Bessot).

Au tour 2, les stratégies observables des 4 élèves (fig. 3) suggèrent des connaissances Q-nN (fig. 5) (sens de variation des quantités* prises et degré quantitatif); au tour 3, des connaissances N-Q (JUL).

<table><caption>Figure 5 : Connaissances de SAR, ANA, MAX et JUL, au fil des tours</caption><thead><tr><th></th><th>Prendre<br>pas trop</th><th>Prendre<br>assez</th><th>Repérer un degré quantitatif (dans ce qu'il faut prendre)</th></tr></thead><tbody><tr><th>SAR</th><td></td><td>Tour 2</td><td></td></tr><tr><th>ANA</th><td>Tour 2</td><td></td><td>Tour 2 Q-nN Pas beaucoup (et un peu de chance)</td></tr><tr><th>MAX</th><td>Tour 2</td><td></td><td>Tour 2 Q-nN Plein (et un peu de chance)</td></tr><tr><th>JUL</th><td>Tour 2</td><td></td><td>Tour 3 N-Q 1 2 3</td></tr></tbody></table>

## ÉPISTÉMOLOGIE DU NOMBRE, SITUATION FONDAMENTALE ET TRANSPARENCES

### Quel nombre apprennent les élèves ?

Dans LM et VG, les élèves n'apprennent pas la même chose. Pour résoudre un problème d'appariement, il leur est enseigné dans un cas d'utiliser « trois» dans une correspondance terme à terme mot-nombre / doigt / place, dans l'autre que la quantité* est un bon modèle. Selon toute vraisemblance, dans les deux cas, plusieurs élèves apprennent ce qui leur est enseigné. Que résulte-t-il de cet apprentissage ? Dans les deux cas, les élèves apprennent à résoudre le problème « en comptant ». Dans le premier, le nombre est attaché à des objets matériels, c'est un « nombre-objets », qui nous semble N-nQ. Pour comprendre ce qui se joue dans le second cas, examinons des éléments de l'ingénierie de Lavie et Sfard. Le discours quantitatif s'y
développe en référence à l'encombrement spatial. Le discours N-Q est un discours dans lequel, au début, compter plus loin témoigne d'un encombrement plus grand. Au début, le nombre appris est ainsi une sorte de degré pour l'espace occupé plus ou moins grand, un « nombre-quantitatif ». Ceci résonne avec VG (fig. 3) et pourrait être soutenu par des gestes de l'enseignante, non évoqués ici, et aussi avec BAS, exception de LM.

## Le savoir mathématique et la quantité

Le 19e siècle est un siècle de réorganisation des mathématiques après leur développement foisonnant au 18e. La théorie ensembliste est unificatrice et élimine la « quantité » de la source des mathématiques (Otte & Jahnke, 1981). Elle densifie le cœur de l'oignon mathématique. Même si ses travaux s'inscrivent en psychologie sociale, Sfard est une mathématicienne. Elle a étudié le fonctionnement des mathématiques pour mieux comprendre leur apprentissage. Le modèle de développement du discours numérique s'inscrit dans ses projets de modélisation de ce fonctionnement et d'élucidation des objets mathématiques (considérés comme discursifs). Elle crée des mathématiques qui visent à identifier les couches internes de l'oignon mathématique pour le rendre enseignable. L'ingénierie repose sur l'ébauche d'une théorie mathématique (discursive) de la quantité*. Elle ne s'affranchit pas de la théorie des ensembles mais se situe en amont.

Depuis son origine, le projet de la TSD est celui d'une science qui n'est pas une application notamment de la psychologie. Au-delà du cas de Sfard, d'autres travaux, souvent ancrés en psychologie (e.g., Thompson et al., 2014), mettent au jour des phénomènes que nous interprétons comme des propriétés mathématiques de la quantité* invisibles dans la formulation ensembliste savante (Chambris, et al., 2021).

## Situation fondamentale et transparence des savoirs

S'il est essentiel de « s'assurer que les éléments de connaissance rencontrés en situation sont une transposition possible d'un savoir déterminé » (Margolinas & Bessot, 2023, p.8), nous sommes amenés à poser une question préliminaire : quel est le savoir à transposer ?
En général, de deux quantités*, l'une est plus grande que l'autre ; l'égalité est l'exception. L'ingénierie de Lavie et Sfard repose sur une tâche de comparaison de deux quantités*. Où y a-t-il le plus ? La situation fondamentale du nombre ne porte pas sur la comparaison de quantités (qui serait une comparaison de relations de collections). Des instanciations peuvent néanmoins amener à rendre visible des savoirs sur les quantités* (cf. VG) ou leur comparaison (au-delà de l'égalité) dans des collections non équipotentes. Dans la théorie quantitiste en devenir, la quantité* n'est pas réductible à une relation entre deux collections équipotentes, le nombre n'est ni la classe d'équivalence, ni sa désignation. Le nombre semble être un petit peu, beaucoup, énormément, en plus précis.

Les savoirs sur le nombre semblent ainsi bien peu consensuels. Ce texte donne à voir des savoirs sur les quantités*, ignorés dans la formulation ensembliste de l'arithmétique, qui peuvent ou non être enseignés selon ses transpositions. Tant ces savoirs sur les quantités* sont « évidents » (à tout le moins ceux identifiés dans ce texte), il est raisonnable de croire qu'ils peuvent faire partie de l'intuition de ce qu'il y a à enseigner que des chercheurs, des enseignants peuvent avoir et que cela a été appris au COREM. Il y a néanmoins lieu de faire l'hypothèse d'une grande variabilité des pratiques enseignantes. L'arrière-plan ensembliste des mathématiques scolaires constitue ainsi une source insidieuse de transpareces de savoirs dans un enseignement de masse. S'attaquer à l'élucidation fine des savoirs paraît indispensable.
REMERCIEMENTS

À René Cori, Anna Sfard et Stéphane Vinatier pour nos conversations mathématiques, et à Lalina Coulange, notamment pour sa relecture d'une première version de ce texte.

RÉFÉRENCES

Batton, A., Celi, V., Chambris, C., Constantin, C., & Coulange, L. (en préparation). Point(s) de vue sémiotique(s) sur l'activité d'élèves et d'enseignants en arithmétique scolaire – Apports de deux approches théoriques en didactique: La théorie anthropologique et l'épistémographie. *Ouvrage issu de la 22ᵉ école d'été de didactique des mathématiques.*

Brousseau, G. (2000). Education et didactique des mathématiques (traduction de Educacion y didactica de las matematicas). *Educacion Matematica, 12*(1), 5-39. https://hal.science/hal-00466260/

Chambris, C., Coulange, L., Rinaldi, A.-M., & Train, G. (2021). Unités (relatives) pour les nombres et le calcul à l'école. In H. Chaachoua, A. Bessot, et al. (Eds.), *Perspectives en didactique des mathématiques: Point de vue de l'élève, questions curriculaires, grandeurs et mesures*. (Vol. 2, pp. 373-396). La pensée sauvage.

Hersant, M., & Thomas, Y. (2019). *Maths à grand pas pour les PS-MS*. Retz.

Lavie, I., & Sfard, A. (2019). How Children Individualize Numerical Routines: Elements of a Discursive Theory in Making. *Journal of the Learning Sciences*, 28(4-5), 419-461.
https://doi.org/10.1080/10508406.2019.1646650

Margolinas, C., & Bessot, A. (2023). Les savoirs et la théorie des situations. *CEMeR Caminhos Da Educação Matemática Em Revista*, 13(4), 39-60. https://hal.science/hal-04561450/

Otte, M., & Jahnke, H. N. (1981). Origins of the Program of “Arithmetization of Mathematics.” In H. Mehrtens, H. J. Bos, & I. Schneider (Eds.), *Social history of nineteenth century mathematics* (pp. 21–49). Birkhäuser.

Thompson, P. W., Carlson, M. P., Byerley, C., & Hatfield, N. (2014). Schemes for thinking with magnitudes: A hypothesis about foundational reasoning abilities in algebra. *Epistemic Algebraic Students: Emerging Models of Students’ Algebraic Knowing, 4*, 1–24.
# DÉCRIRE LE CONTRAT DIDACTIQUE : QUELLES MÉTHODOLOGIES ? LE CAS DE LA TRANSITION SECONDAIRE-SUPÉRIEUR

DEROUET<fnref n="1" /> Charlotte, DOUKHAN<fnref n="2" /> Camille, GUEUDET Ghislaine<fnref n="3" />, HELLIO Pauline<fnref n="4" />, TEXIER-PICARD Rozenn<fnref n="5" />

**Résumé** – Cette étude contribue à une réflexion sur le concept de contrat didactique et sur son emploi dans les recherches actuelles. A partir d'un corpus d'articles décrivant des changements de contrat didactique lors de la transition secondaire-supérieur, ou le contrat en première année du supérieur en mathématiques, nous nous centrons sur les méthodologies utilisées par les auteurs et l'interprétation du concept de contrat didactique qu'elles révèlent. Ces différentes interprétations font ressortir des points de tension.

**Mots-clés** : contrat didactique, croyances, institutions, méthodologie, transition secondaire-supérieur.

## INTRODUCTION

Dans le cadre d'un projet de recherche sur l'entrée à l'université<fnref n="6" />, nous examinons des travaux décrivant des changements de contrat didactique lors de la transition secondaire-supérieur, ou le contrat en première année du supérieur en mathématiques. Dans cette communication, nous nous centrons sur les méthodologies utilisées par les auteurs et sur l'interprétation du concept de contrat didactique qu'elles révèlent. Cette étude contribue ainsi à une réflexion sur le concept de contrat et sur son emploi dans les recherches actuelles.

Pour commencer, nous revenons sur différentes définitions du concept de contrat didactique. Nous présentons, ensuite, notre méthodologie de revue de littérature, puis nos résultats, pour en dégager des éléments de discussion, avant de conclure.

## CONTRAT DIDACTIQUE : DÉFINITIONS

Le concept de contrat didactique a évolué au fil des années dans les travaux de Brousseau (Sarrazy, 1995). En voici par exemple une définition récente (en anglais, nous traduisons) :

> « À chaque notion précise à enseigner, les partenaires de l'enseignement [...] associent des attentes, des obligations auxquelles chacun s'engage et dont il bénéficie [...]. Un contrat didactique est, au sens large, une interprétation de l'ensemble de ces attentes et obligations, qu'elles soient compatibles, explicites, acceptées ou non. » (Brousseau & Warfield, 2014, p. 316)

Cette définition souligne qu'un contrat est attaché à une notion précise et qu'il s'agit d'un ensemble d'interprétations faites par l'enseignant et par les élèves. D'autres définitions mentionnent les habitudes ou routines comme façonnant le contrat (Brousseau, 1980), ou évoquent un partage de responsabilités (Brousseau, 1998). Enfin, d'autres auteurs évoquent un contrat au périmètre plus large ; ainsi Chevallard (1988) parle de « contrat institutionnel ».

Les chercheurs utilisant le concept de contrat didactique peuvent se référer à des acceptions diverses, pas toujours explicitées. Nous faisons l'hypothèse que les méthodologies utilisées

<footnote n="1">¹ IRMA UMR 7501, LISEC UR 2310, Université de Strasbourg – France – derouet@unistra.fr</footnote>

<footnote n="2">² LISEC UR 2310, Université de Strasbourg, UL, UHA – France – cdoukhan@unistra.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Etudes sur les Sciences et les Techniques, Université Paris Saclay, Orsay – France – ghislaine.gueudet@universite-paris-saclay.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ Etudes sur les Sciences et les Techniques, Université Paris Saclay, Orsay – France – pauline.hellio@universite-paris-saclay.fr</footnote>

<footnote n="5">⁵ Univ Rennes, INSA, CNRS, IRMAR UMR 6625 – France – Rozenn.Texier-Picard@insa-rennes.fr</footnote>

<footnote n="6">⁶ Projet Entrée à l'Université : Croyances et Contrats - EUS-BC, ANR-24-CE41-0456</footnote>
peuvent éclairer le sens attribué au contrat, et révéler des tensions théoriques. Nous étudions
les questions suivantes :

1. Quelles sont les méthodologies utilisées pour analyser le contrat didactique à la transition secondaire-supérieur ?

2. Quelles tensions théoriques ces méthodologies font-elles apparaître ?

MÉTHODOLOGIE

Cette revue de travaux s'appuie sur un corpus de quarante articles identifié par Gueudet et Doukhan (2025) à partir de revues (ESM, IJMEST, IJRUME, ZDM) et d'actes de conférences (CERME, EMF, INDRUM). Il s'agit de recherches internationales menées entre 2005 et 2024 utilisant le concept de contrat didactique et concernant les deux premières années du supérieur. Dans cette communication, nous nous limitons aux études empiriques portant spécifiquement sur la transition secondaire-supérieur, pour lesquelles le concept de contrat didactique est central dans la recherche. Notre sélection est ainsi restreinte à six articles (Bloch & Ghedamsi, 2005 ; Ghedamsi, 2015 ; Gill & O'Donoghue, 2007 ; Gueudet & Pepin, 2018 ; Hourigan & O'Donoghue, 2007 ; Pepin, 2014). Pour ces articles, nous examinons la méthodologie employée pour le recueil et l'analyse des données.

RÉSULTATS

Nous relevons une variété d'approches méthodologiques pour identifier le contrat didactique à
la transition secondaire-supérieur ; nous les regroupons ci-dessous selon le type de données
utilisées.

Ressources institutionnelles

Certains chercheurs proposent une entrée par les analyses de manuels ou de polycopiés de cours ou travaux dirigés (TD). C'est le cas de Bloch et Ghedamsi (2005), qui cherchent à caractériser le changement de contrat didactique entre le lycée et le supérieur en Tunisie en analyse. À partir d'une grille d'analyse composée de 11 variables macro-didactiques (par exemple, VD1 : « degré de formalisme » ; VD10 : « statut des tâches demandées aux étudiants [...] » (p. 23)), les autrices analysent l'ensemble des exercices d'un manuel de lycée et d'un polycopie de première année d'université pour dégager les éléments caractérisant le contrat didactique de chaque institution. Les différences sont alors interprétées en termes de ruptures de contrat.

Ressources et entretiens

Gueudet et Pepin (2018) analysent le contrat didactique à l'entrée à l'université en France et au Royaume-Uni. En France, dans le cadre d'un module de théorie des nombres, elles s'appuient sur un entretien avec un enseignant et trois de ses étudiants à la suite d'une séance de TD, ainsi que sur les ressources utilisées par chaque étudiant. Les ressources et l'utilisation de celles-ci permettent d'inférer des règles de contrat. L'étude menée au Royaume-Uni s'appuie sur des ressources, des entretiens et des observations de classe. L'étude du contrat se place dans ce cas au niveau de la discipline. Contrairement à Bloch et Ghedamsi (2005), les ressources étudiées par Gueudet et Pepin (2018) incluent, en plus des ressources institutionnelles, les ressources personnelles de l'étudiant.
## Entretiens et observations de classe

D'autres travaux s'appuient sur des observations de classe couplées à des entretiens avec des enseignants et étudiants. C'est le cas de Pepin (2014), dont l'étude combine l'emploi d'entretiens individuels et collectifs d'étudiants, d'enseignants de lycée et d'université, d'observations en classe et en dehors de la classe, entre autres. Le codage des données n'est pas explicité.

Hourigan et O'Donoghue (2007) cherchent à caractériser la nature du contrat didactique en classe de mathématiques ordinaire au lycée pour mieux comprendre la transition secondaire-supérieur. Les données collectées sont des observations de deux classes sur une durée de dix semaines consécutives, un journal de réflexion du chercheur ainsi qu'un entretien individuel semi-formel avec les deux enseignants. Selon ces chercheurs, l'analyse du contrat didactique nécessite « une étude en profondeur des événements routiniers (comportements, interactions et attitudes) » (Hourigan & O'Donoghue, 2007, p. 467, notre traduction). Les critères d'observation relèvent de cinq domaines et portent principalement sur les contenus et la planification de la séance, les attitudes des enseignants, celles des étudiants, et les interactions. Ces critères définis a priori ont évolué au fur et à mesure des observations.

Dans les deux recherches que nous venons de citer, les observations se font sur un temps long (soit plusieurs séances ponctuelles à différents moments de l'année, soit sur dix semaines consécutives). Dans l'étude de Gill et O'Donoghue (2007) en revanche, une seule séance est observée pour chacun des neuf enseignants de mathématiques volontaires, issus de sept universités irlandaises. Ces observations sont complétées par leurs réponses à un questionnaire préalable, et des entretiens. Dans quatre des universités, un entretien individuel a également été mené avec plusieurs étudiants à la fin d'une séance de TD observée (12 étudiants au total). Ces observations et entretiens ont pu mettre en évidence des écarts entre les attentes des étudiants et celles des enseignants.

## Observations de classe

Ghedamsi (2015), quant à elle, étudie le contrat didactique concernant des contenus d'analyse à travers l'observation d'une unique séance de TD en première année d'université. Elle analyse les interventions de l'enseignant, d'une part, et des étudiants, d'autre part. Les catégories des interventions sont construites a priori, en appui sur des outils de la Théorie des Situations Didactiques (action, formulation, validation).

## DISCUSSION

Les méthodologies utilisées témoignent de différentes interprétations possibles du concept de contrat didactique. Plusieurs interprétations peuvent d'ailleurs être présentes dans un même article, les auteurs combinant plusieurs types de données.

L'analyse de supports institutionnels (Bloch & Ghedamsi, 2005) conduit à l'identification de règles de contrat supposées communes à l'institution, concernant des savoirs spécifiques. Les entretiens menés avec des étudiants ou des enseignants mettent au jour quant à elles des croyances (beliefs) interprétées comme des règles de contrat didactique perçues (Pepin, 2014 ; Gill & O'Donoghue, 2007).

Certains auteurs (Ghedamsi, 2015 ; Hourigan & O'Donoghue, 2007) réalisent des observations en classe combinées ou non avec des entretiens. Ces observations doivent permettre d'accéder à des règles implicites, qui ne peuvent pas être identifiées par des entretiens car pouvant être inconscientes. Si, de plus, la définition de contrat retenue inclut une idée d'habitudes, les
observations sont déployées sur le temps long pour assurer la stabilité des règles inférées (Hourigan & O'Donoghue, 2007).

Plusieurs points de tension ressortent de ces diverses interprétations. Ces points sont tous liés entre eux ; nous tentons ci-dessous de les séparer pour clarifier cette situation complexe.

### Attentes institutionnelles vs interprétations par les enseignants et les étudiants

L'analyse de ressources institutionnelles conduit à l'identification d'attentes de l'institution concernant un savoir précis, et des ruptures peuvent être identifiées entre le secondaire et le supérieur (Bloch & Ghedamsi, 2005). L'analyse des croyances des étudiants montre qu'ils perçoivent des écarts entre le secondaire et le supérieur, mais ces écarts se situent plutôt à un niveau général (Pepin, 2014). Le lien entre attentes de l'institution, croyances des enseignants, pratiques enseignantes effectives et croyances des étudiants n'est pas questionné dans les travaux que nous avons examinés.

### Un contrat vs plusieurs contrats

L'interprétation du contrat en termes de croyances remet en cause l'existence d'un contrat unique. Certains articles montrent l'existence de croyances différentes, selon certaines caractéristiques des étudiants (Hourigan & O'Donoghue, 2007), tandis que d'autres considèrent les croyances identifiées comme partagées par l'ensemble des étudiants (Pepin, 2014). Les règles identifiées via des entretiens avec des enseignants sont présentées comme partagées par tous les enseignants. On pourrait s'attendre à des approches quantitatives, visant à évaluer si ces règles sont effectivement partagées, mais nous n'avons trouvé aucun article de ce type. Un des articles considérés (Gill & O'Donoghue, 2007) utilise un questionnaire enseignant, mais seulement neuf collègues y répondent.

### Règles de contrat spécifiques ou non du contenu mathématique

Les travaux analysant des manuels conduisent à identifier des règles de contrat concernant un savoir précis. Certains travaux mobilisant des entretiens mettent plutôt en avant des règles à un niveau très général (« l'enseignant à l'université est moins accessible », Pepin, 2014) ou concernant la discipline (« une plus grande rigueur est attendue en mathématiques à l'université », Pepin, 2014). Des entretiens menés auprès d'étudiants en appui sur des documents (feuilles d'exercices, notes prises par des étudiants) permettent quant à eux de mettre en évidence des règles à différents niveaux.

### Implicites et habitudes

Le recours à des analyses de ressources ou à des observations permet d'accéder à des implicites échappant aux enseignants comme aux étudiants (Gueudet & Pepin, 2018). L'idée que la plupart des règles de contrat sont implicites est présente dans toutes les définitions ; parfois elle est associée à la présence d'habitudes, qui peuvent permettre que ces implicites soient partagés par les enseignants et les étudiants. Pour mettre au jour ces habitudes sans dépendre de déclarations subjectives des acteurs, des observations sur une durée longue sont nécessaires, mais peu de chercheurs peuvent se lancer dans une prise de données de ce type.
Malentendu durable vs processus de négociation

Certains auteurs combinent des entretiens avec les étudiants et avec les enseignants, et montrent des écarts entre les règles de contrat perçues par les étudiants et celles perçues par les enseignants (Gill & O'Donoghue, 2007). Ces auteurs, adoptant une perspective de contrat stable, concluent à un malentendu entre enseignants et étudiants. Est-ce qu'une perspective en termes de processus de négociation permettrait de considérer cet écart comme un état initial, avant que les interactions ne mènent à une convergence ?

CONCLUSION

Cette étude a montré qu'il existe une grande variété de méthodologies pour décrire le contrat didactique à la transition secondaire-supérieur, mettant en évidence des différences d'interprétation de ce concept clé, révélant des points de tension. L'étude du contrat didactique à la transition secondaire-supérieur reste un sujet peu exploré, en attestent les 6 articles retenus dans cette revue. Le projet EUS-BC, dans lequel s'inscrit cette étude, permettra d'apporter de nouveaux éléments à la caractérisation du contrat lors de cette transition.

RÉFÉRENCES

Bloch, I., & Ghedamsi, I. (2005). Comment le cursus secondaire prépare-t-il les élèves aux études universitaires ? *Petit x*, (69), 7-30.

Brousseau, G. (1980). Les échecs électifs dans l'enseignement des mathématiques à l'école élémentaire, *Revue de laryngologie otologie rhinologie*, 101(3-4), 107-131.

Brousseau, G. (1998). *La théorie des situations didactiques*. La pensée sauvage.

Brousseau, G., & Warfield, V. (2014). Didactical Contract and the Teaching and Learning of Science. In R. Gunstone (Éd.), *Encyclopedia of Science Education* (pp. 316-321). Springer. 10.1007/978-94-007-6165-0_93-2

Chevallard, Y. (1988). Esquisse d'une théorie formelle du didactique. In C. Laborde (Éd.), *Actes du premier colloque franco-allemand de didactique des mathématiques* (pp. 97-106). La pensée sauvage.

Ghedamsi, I. (2015). Teacher management of learning calculus : The case of sequences at the first year of university mathematics studies. In K. Krainer & N. Vondrová (Éds.), *Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education* (pp. 2103–2109). Charles University in Prague, Faculty of Education; ERME.

Gill, O., & O'Donoghue, J. (2007). Service Mathematics in Irish Universities : Some Findings from a Recent Study. *Adults Learning Mathematics*, 2(2), 6-19.

Gueudet, G., & Doukhan, C. (2025). Research in undergraduate mathematics education using the concept of didactic contract: results and contradictions? Présentation au *Fourteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education*. Bolzano, Italy.

Gueudet, G., & Pepin, B. (2018). Didactic Contract at the Beginning of University: A Focus on Resources and their Use. *International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 4*(1), 56-73. 10.1007/s40753-018-0069-6

Hourigan, M., & O'Donoghue, J. (2007). Mathematical under-preparedness: The influence of the pre-tertiary mathematics experience on students' ability to make a successful transition to tertiary level mathematics courses in Ireland. *International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38*(4), 461-476. 10.1080/00207390601129279
Pepin, B. (2014). Using the Construct of the Didactic Contract to Understand Student Transition into University Mathematics Education. *Policy Futures in Education, 12*(5), 646–657.
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Sarrazy, B. (1995). Note de synthèse : Le contrat didactique. *Revue française de pédagogie, 112*(1), 85–118. 10.3406/rfp.1995.1229
# OSTENSION ET DÉVOLUTION : LE REGARD D'UNE RECHERCHE EN DIDACTIQUE DE L'HISTOIRE SUR LES COMPÉTENCES CRITIQUES DES ÉLEVÉS

DOUSSOT<fnref n="1" /> Sylvain

**Résumé** – Le concept d'ostension sert d'entrée pour une étude dans le champ de la didactique de l'histoire, à propos de l'apprentissage des compétences critiques documentaires. La comparaison entre des situations collaboratives et expérimentales (recherche ANR CCEH), et les pratiques ordinaires de la discipline est éclairée, sur un cas, par un double jeu de ce qui est caché et montré. L'analyse montre les conditions de dévolution par usage d'une procédure d'enquête qui favorise l'étayage de l'enseignant.

**Mots-clés** : histoire, critique, procédure, ostension, dévolution

## INTRODUCTION

La communication propose de mettre en discussion certaines dimensions des apports de G. Brousseau au champ de la didactique des disciplines en faisant un pas de côté, dans le champ de la recherche en didactique de l'histoire et à propos de l'apprentissage de compétences disciplinaires (Doussot, 2024). Elle s'appuie sur les résultats d'une recherche en cours de finalisation (ANR CCEH : compétences critiques et enseignement de l'histoire<fnref n="2" />). En entrant par le concept d'ostension et l'apprentissage des compétences de critique documentaire en histoire, il s'agira d'examiner comment les expérimentations collaboratives (enseignants et chercheurs) de situations d'enseignement documentent les rapports entre les discours enseignants et les activités de classe (des enseignants et des élèves), à propos du savoir en jeu. Pour cela je propose de mobiliser le concept d'ostension à la fois pour les textes de savoir historique, et pour les textes de savoir sur les activités de production du savoir historique. Je questionnerai ainsi les relations entre l'ostension des savoirs sur le passé dans les documents fournis aux élèves, et l'ostension des tâches dans les consignes, et la manière dont elles tendent à masquer les activités intellectuelles de critique documentaires nécessaires à l'appropriation de savoirs proprement historiques (faits et concepts). Je discuterai en particulier comment la stabilisation de tâches récurrentes sous forme d'une procédure favorise une dévolution croissante du travail d'enquête critique (donc problématique), et le rôle de format (Bruner, 1983) que joue alors la procédure. Le contrôle épistémologique de la production de cette dernière garantissant que se développent alors des compétences critiques disciplinaires par son usage répété.

## UNE RECHERCHE COLLABORATIVE EXPÉRIMENTALE

### Pratiques ordinaires et séquences forcées

En s'inscrivant dans l'« enracinement expérimental et méthodologique [des] concepts » (Brousseau, 2012, p.115), notre recherche construit une série de situations expérimentales qui s'établissent aux limites des pratiques ordinaires en produisant des phénomènes didactiques inhabituels. Ceux-ci s'établissent en fonction des hypothèses de recherche, par négociation avec les enseignants partenaires, dans des situations de classe normales, selon la modalité des « séquences forcées » (Orange, 2010). L'examen de ce qui peut se faire mais ne se fait pas

<footnote n="1">¹ Nantes Université, France, sylvain.doussot@univ-nantes.fr</footnote>

<footnote n="2">² https://cceh.hypotheses.org/presentation</footnote>
ordinairement en classe d'histoire offre alors un regard approfondi aussi bien sur les situations possibles – mais qui ne sont pas des modèles pour la pratique – que sur les situations ordinaires (Audigier, 2005; Braxmeyer, 2007; Tutiaux-Guillon, 2008). La communication propose de mettre en discussion les écarts ainsi révélés entre les pratiques ordinaires et celles des expérimentations par le biais du concept d'ostension. Ce choix théorique permet en effet de mettre en évidence les variations possibles de ce qui est montré et ce qui est caché aux élèves dans les situations de classe.

Il est didactiquement intéressant d'observer ces variations par comparaison entre ce qui est montré des savoirs historiques en jeu, et ce qui est montré des savoir-faire susceptibles de faire accéder les élèves à une compréhension des premiers. Car si l'on considère que le savoir historique sur le passé diffère du savoir de sens commun sur le passé – l'histoire par rapport à la mémoire – alors il faut considérer ensemble la transposition des savoirs et savoir-faire disciplinaires. Or en histoire scolaire, l'enseignement tend à rendre très ostensibles les savoirs (faits et concepts) visés (il faut les trouver dans les documents), et peu visibles les savoir-faire (la recherche des savoirs se fait en répondant à des questions, sans méthode explicite (Stodolsky, 1988). Si, « dans toutes les situations didactiques, le professeur tente de faire savoir à l'élèves ce qu'il veut qu'il fasse » (Brousseau, 1998, p.61), en histoire ce que communique ainsi le professeur (les consignes, les aides) est éloigné d'une méthode disciplinaire explicite et épistémologiquement fondée : la « position épistémologique » du professeur est « difficile à identifier, à assumer, et à contrôler », alors qu'elle « semble jouer un rôle important dans la qualité des connaissances acquises » (Brousseau, 1998, p.314). En outre, l'exercice des manières de faire disciplinaires est également censé permettre le développement de compétences historiennes.

## Ostension problématique des méthodes de critique documentaire

Le développement attendu des compétences disciplinaires telles que : « identifier le document et son point de vue particulier » et « confronter un document à ce qu'on peut connaitre par ailleurs du sujet étudié » (cycle 4), passe ordinairement par l'usage professoral de trois types de questions : de présentation du document (souvent appuyé sur des moyens mnémotechnique qui listent ce qui est attendu : auteur, nature, date, destinataires... du document), d'examen du contenu du document par recherche d'informations (souvent une série de questions factuelles), et de synthèse de ce qu'il enseigne sur l'évènement (qui doit s'appuyer sur les réponses aux questions précédentes). Deux effets se cumulent pour empêcher les élèves d'identifier cette logique qui constitue pourtant le savoir méthodologique en jeu du point de vue des enseignants. D'une part, les élèves ne voient pas le sens de cette catégorisation en trois types de question, qui est masquée par la variété des contenus historiques d'une séance à l'autre (Doussot 2024). Ainsi, les trois types de question se confondent dans leur appréhension du travail parce que chaque question porte avant tout sur un document et un évènement inédit ou mal connu. D'autre part, cette catégorisation masque le sens critique de l'activité visée, qui est en général « furtivement » (Brousseau 2011, p.7) exposé lors de la correction (Cariou, 2022; Doussot, 2018). Ce n'est qu'en passant, lorsqu'il s'agit d'arbitrer entre des réponses d'élèves, que l'enseignant évoque l'enjeu de méthode : les élèves se focalisent d'abord sur la valeur de leur réponse (vraie ou fausse), c'est-à-dire son contenu historique. Ce double jeu d'ostension, entre ce qui est montré (la singularité des faits historiques) et ce qui est caché (la méthode pour les construire historiquement), est un puissant instrument d'analyse pour déployer des variations expérimentales dans les activités susceptibles de favoriser le développement des activités et des compétences considérées.
Ces constats ont commandé la conception de nos hypothèses d'expérimentations avec des enseignants, pour élaborer et mettre en œuvre des modalités d'enseignement faisant varier ce qui est montré de la méthode de travail en histoire. Plusieurs séries d'expérimentations ont permis de répondre progressivement à la question des rapports entre ce qu'il y aurait à rendre ostensible en classe, de la méthode critique ou des savoirs épistémologiques qui la fondent. Cette question est traitée par celle des formes possibles d'ostension de la méthode, et celle de leur effet sur le développement des compétences critiques afférentes. A ainsi émergé la forme procédurale d'une méthode d'enquête stabilisée qui se substitue à la variété des consignes.

## Étude de cas : critique d'un journal télévisé par une procédure d'enquête

J'exposerai le cas d'une situation d'étude d'un évènement d'actualité – la crise politique en Nouvelle-Calédonie en mai 2024 – que des lycéens (âgés de 16-17 ans) appréhendent par une source médiatique (un extrait de journal télévisé) dont l'examen critique repose sur une procédure d'enquête déjà mise en œuvre dans deux séquences du programme d'histoire plus tôt dans l'année scolaire. Le concept d'ostension permet de mieux saisir la nature et le rôle formateur des opérations de recherche menées par l'enseignant et les élèves, si on les inscrit dans les enjeux épistémologiques de la discipline. La procédure d'enquête historienne scolaire qui est fournie en tant que méthode et consignes aux élèves de cette classe, a en effet été élaborée au fil des expérimentations dans plusieurs classes avec plusieurs enseignants. Elle répond à une double exigence didactique : elle est accessible aux élèves, qui savent comment se lancer dans les tâches des 3 étapes de cette procédure (voir infra) ; elle tient les principes épistémologiques de la critique historienne de référence. Autrement dit, ce qui est ostensible ce sont des tâches qui ont à la fois du sens pour les élèves encore peu aguerris à la logique critique, et du sens du point de vue de la discipline.

Dans le cas qui sera exposé, les élèves, sous le cadrage de l'enseignant et de la procédure qu'il leur fait utiliser, entrent dans un processus d'amélioration progressive de leurs premières idées pour expliquer l'évènement : le déclenchement des émeutes. Ces idées explicitées selon les deux premières étapes de la procédure (1/ Rechercher des explications ; 2/ Formuler les idées explicatives correspondantes) sont le fruit d'un premier examen des sources disponibles : les images, les commentaires des journalistes et les divers témoins interrogés. Une fois ces idées collectivement partagées, chacun retourne à la source pour identifier les informations qui les confirment ou les infirment (3e étape). Ces dernières conditionnent la validité des idées initiales et conduisent à les reformuler (retour à la 2e étape) de manière à tenir compte de toute information disponible, ce qui constitue un des principes épistémologiques de la discipline (l'exhaustivité : aucune information sur l'évènement ne peut être négligée [Ginzburg, 1983]). Puis, de manière cyclique, ces nouvelles idées explicatives sont à nouveau soumises aux informations disponibles (3e étape) ; ce qui constitue un processus d'adaptation de la situation didactique et soutient une progression possible.

Ce cas permet de reconstruire le problème didactique éclairé par le concept d'ostension, celui de l'impossibilité pour l'enseignant de montrer une activité inédite pour les élèves, alors même qu'il s'agit d'en faire développer la maitrise. La procédure symboliserait ici une « ingénierie de dévolution » à propos du savoir-agir de manière critique avec le passé.

## RÉSULTATS : LA PROCÉDURE OSTENSIBLE SUPPORT D'ÉTAYAGE

Dans nos expérimentations, le savoir épistémologique de la critique documentaire en histoire n'est pas énoncé, et constitue « ce qui est d'essence adidactique » (Brousseau, 1998, p.60) dans les situations produites et analysées. Il y est mis en jeu de manière indirecte selon deux
modalités d'interaction qui caractérisent le type de situation didactique expérimenté. Il passe d'abord par l'artefact que constitue la procédure d'enquête explicite, affichée et régulièrement convoquée dans les débats écrits et oraux de la classe ; le texte de cette procédure constitue l'ostension d'une méthode. Cette procédure est plus visible que les catégories de questions habituelles, et plus fondée épistémologiquement sur des principes de l'enquête historienne de référence. L'étape 3 de la procédure, qui réclame des élèves qu'ils identifient et argumentent les informations qui confirment ou infirment l'explication hypothétique en jeu, leur montre une tâche qui a du sens, même s'ils ne la maitrisent pas parfaitement sur tout contenu historique. Cette tâche fait faire aux élèves l'expérience, entre autres, du principe d'exhaustivité de l'enquête historienne, sans que ce savoir épistémologique soit explicité : ils font des choix parmi les idées explicatives possibles qui se développent dans la situation. La procédure constitue alors le support matériel et textuel d'un jeu qui sert de « format » au sens de (Bruner 1983). L'enseignant rappelle l'étape dans laquelle la classe se trouve, dévoluant la responsabilité aux élèves de l'interpréter, et d'interpréter le sens des relations entre les étapes. Cette dévolution est possible parce que les activités des 3 étapes sont accessibles aux élèves, et qu'il est le gardien du format que constitue cette procédure : il « accepte la responsabilité des résultats [du problème dévolué] » (Brousseau, 1998, p.62) parce qu'il sait la valeur épistémologique de la procédure. Ainsi, il peut intervenir en rappelant l'énoncé de l'étape en cours s'il juge qu'un élève s'en écarte. On peut qualifier son activité d'étayage méthodologique de l'usage de la procédure par les élèves.

Le savoir épistémologique de la critique historienne passe ensuite indirectement par l'activité d'étayage disciplinaire de l'enseignant : disciplinaire dans le sens où il fait littéralement de l'histoire avec ses élèves. Il le peut parce que ce qu'il donne à voir de son activité s'inscrit dans le cadre explicite et restreint de la procédure qui formate l'interaction sur le passé. L'ostension fonctionne alors comme un type d'étayage particulier, d'imitation réciproque : l'enseignant imite en mieux ce que vient de faire un élève de manière imparfaite, pour que les élèves l'imitent en retour (Bruner, 1983, p.279). Ce faisant, la dévolution du travail d'interprétation de la procédure est rendue possible par sa participation, au côté des élèves, au jeu formaté par la procédure. Ce qui est une des dimensions essentielles du concept de format chez Bruner : la réversibilité des rôles, qui se construit progressivement.

Ces résultats semblent propices à la mise en discussion de la notion de compétence par certaines dimensions de la théorie des situations de Brousseau. Je prends ici la notion de compétence au sens de (Rey, 2014), c'est-à-dire comme l'articulation de savoirs et de maitrise technique (procédurale notamment), les savoirs servant à identifier les techniques pertinentes. Dans notre expérimentation l'ostension d'une procédure risque de s'imposer de manière « abusive » (Brousseau, 2011, p. 5) : la procédure comme texte de savoir d'épistémologie scolaire à fonction méthodologique pourrait se confondre avec le savoir épistémologique de la compétence visée. Autrement dit, maitrise technique et savoir visés seraient confondus dans la procédure, au détriment de l'apprentissage. Inversement, il est impossible d'envisager l'ostension du savoir épistémologique visé (l'explication du sens de la procédure), qui réduirait la compétence à un texte de savoir, pour lequel un processus de dévolution est impensable dans le cadre scolaire : la compétence critique historienne en jeu représente le tout d'une problématisation dans la discipline.

Il faut, pour échapper à ce dilemme, en passer par l'interdisciplinarité (psychologie et didactique) à laquelle incite Brousseau (2012, p. 103-108). Avec les concepts d'étayage et de format de Bruner on peut reconsidérer ce qu'est une situation de dévolution lorsqu'il s'agit de développer une compétence, un savoir-agir, d'ordre épistémologique. Le cas étudié manifeste l'appropriation progressive par les élèves de la signification épistémologique des étapes de la
procédure qui, initialement, avaient des significations inscrites dans le quotidien de la classe d'histoire comme discipline scolaire peu propice à la critique historienne (Audigier, 1995).

## RÉFÉRENCES

Audigier F. (1995). Des savoirs scolaires en question entre les définitions officielles et les constructions des élèves. *Spirale* (15), 61-89.

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# SUR DIVERS USAGES DU CONCEPT DE VARIABLES DIDACTIQUES

## DURAND-GUERRIER Viviane<fnref n="1" />

**Résumé** – L'identification de variables didactiques est un outil efficace pour rendre visible et orienter les choix dans l'élaboration d'activités d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques. Dans cette communication, je présenterai divers usages des variables didactiques en appui sur des exemples issus de travaux de recherche en didactique des mathématiques, ainsi que d'activités d'enseignement et/ou de formation d'enseignants. Les exemples abordés relèvent de différents domaines mathématiques.

**Mots-clés** : didactique des mathématiques, variables didactiques, analyse a priori, milieu, analyse a posteriori

## INTRODUCTION

Le concept de *variables didactiques* a été introduit par Guy Brousseau dès le début des années 1980 comme cas particulier des *variables de situation*. Les variables didactiques sont des variables pertinentes pour une situation donnée pour lesquelles les valeurs prises peuvent modifier les stratégies de résolution (coût, validité, complexité) et leur hiérarchie et sur lesquelles le professeur peut agir en fonction de ses objectifs d'apprentissage (Brousseau, 1997). La course à 20 et l'agrandissement du Puzzle sont deux exemples classiques illustrant l'usage des variables didactiques dans l'élaboration de situations didactiques (Bessot, 2004). Au-delà de ses usages en recherche, l'identification de variables didactiques et des choix possibles pour leurs valeurs en lien avec les objectifs d'apprentissages visés est un outil efficace pour rendre visible et orienter les choix dans l'élaboration d'activités d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques. Ceci constitue une part importante de l'analyse a priori et de la constitution du milieu des situations et de la mise en regard avec l'analyse a posteriori. Parmi les divers usages de ce concept, on peut citer : 1/ engendrer une famille de situations ; 2/ développer une situation didactique ; 3/ élaborer un questionnaire ; 4/ faire émerger des questions épistémologiques ; 5/ développer du matériel éducatif ; 6/ analyser des curricula et des ressources ; 7/ analyser a priori et a posteriori des évaluations. Dans ce qui suit, je développe trois exemples des types 2, 3 et 4.

## IMPACT DES CHOIX DE VALEURS DE VARIABLES DIDACTIQUES SUR L'ACTIVITÉ DES ÉLÈVES

Dans cette section, je discute l'impact des choix de valeurs de variables didactiques sur l'activité des élèves en appui sur un problème tiré de Barallobres et Giroux (2008) et repris et analysé dans Durand-Guerrier (2010). La forme générale du problème consiste à déterminer le plus rapidement possible la somme de *p* nombres consécutifs commençant à *n*. Dans les expérimentations conduites par Barallobres, le choix a été de commencer en donnant à *p* la valeur 10. L'intérêt ce choix tient à ce que de nombreuses méthodes permettent de trouver rapidement la somme de dix nombres consécutifs. Certaines de ces méthodes s'appuient sur les règles de calcul dans le système de numération décimale qui peuvent faire apparaître rapidement des invariants. Par exemple en posant l'addition en colonne, on observe que la somme des unités est toujours 45 et que la somme des dizaines est toujours égale au premier

<footnote n="1">¹ Université de Montpellier, Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, CNRS-UM – France – viviane.durand-guerrier@umontpellier.fr</footnote>
nombre, ce qui peut conduire à l'identification de la méthode de calcul : multiplier par 10 le premier nombre et ajouter 45 ; ou encore : mettre 5 à droite du 5ème nombre de la liste. D'autres méthodes s'appuient sur la notion de successeur. Une méthode classique consiste à écrire les nombres sous la forme p+1, p+2, ..., p+9 et d'en déduire la formule 10p+45 ; d'autres méthodes s'appuient sur la compensation des écarts comme multiplier la médiane par 10, ou faire le calcul à la manière de Gauss en inversant l'ordre des termes de la liste. En donnant à p une valeur autre que 10, par exemple 8, les méthodes s'appuyant sur les propriétés du système de numération décimale ne permettent plus de faire apparaître des invariants, si bien qu'elles ne conduisent plus à des méthodes rapides. Ainsi, les valeurs pertinentes de la variable didactique « Valeur de p » sont 10, un nombre différent de 10 et non multiple de 10 ; un multiple de 10. Commencer en donnant à p la valeur 10 favorise l'engagement des élèves dans les calculs et la recherche de méthodes rapides dès le début du secondaire et jusqu'en début d'université.
Cette situation didactique développée pour une introduction au calcul littéral et à l'algèbre peut être utilisée également comme support de situation de formation visant l'appropriation de la notion de variable didactique.

## RÔLE DES VARIABLES DIDACTIQUES DANS L'ÉLABORATION D'UN QUESTIONNAIRE

Le contenu de cette section s'appuie sur mes travaux de thèse dans lesquels j'avais élaboré un questionnaire qui visait à explorer la manière dont des étudiants et étudiantes arrivant à l'université reconnaissaient ou non les règles d'inférence valides dans le cas d'énoncés conditionnels universellement quantifiés vrais dont l'énoncé réciproque n'était pas vrai, en relation avec les informations et les connaissances dont ils disposaient pour répondre aux questions (Durand-Guerrier, 2003).

En logique classique, en présence d'un énoncé conditionnel universellement quantifié vrai, dont la réciproque n'est pas un énoncé vrai, il y a seulement deux règles de déduction valides.

Règle n°1 - De $∀x (P(x) \Rightarrow Q(x)) & P(a)$ Vrai, on déduit Q(a) Vrai (Modus Ponens)

Règle n°2 - De $∀x (P(x) \Rightarrow Q(x)) & non Q(a)$ Vrai, on déduit non P(a) Vrai (Modus Tollens)

Dans les deux autres cas, on ne peut pas conclure ; autrement dit, on ne peut rien déduire de $∀x (P(x) \Rightarrow Q(x)) & nonP(a)$ Vrai, ni de $∀x (P(x) \Rightarrow Q(x)) & Q(a)$ Vrai.

Les règles d'inférences mises en œuvre dans les raisonnements sont des invariants opératoires au sens de Vergnaud (1990). La reconnaissance des cas où l'on peut faire une inférence et des cas où on ne peut pas le faire sans investigation supplémentaire est essentielle en situation de résolution de problèmes.

Dans le questionnaire, nous nous intéressions au fonctionnement opératoire de l'implication, autrement dit aux conduites inférentielles. Pour son élaboration, nous avons retenu huit variables didactiques que nous détaillons ci-dessous :

* V1 – Le domaine dans lequel l'énoncé à un sens (domaine non mathématique, algèbre, géométrie, arithmétique, analyse, ...)

* V2 – Le degré supposé de familiarité des étudiants avec l'énoncé (connu dès le collège, introduit au début du lycée, première rencontre en terminale scientifique, première rencontre à l'université)

* V3 – La formulation de l'énoncé

* V4 – La formulation des questions relatives aux énoncés

* V5 – Le nombre de cas envisagés pour les questions relatives aux énoncés parmi les quatre cas possibles
V6 – La possibilité ou non de conclure ou de répondre par oui ou par non

V7 – La forme prise par la quantification (universelle, existentielle, implicite, explicite)

V8 – La complexité de l'énoncé obtenu en formalisant dans le calcul des prédicats (nombre de quantificateurs et de connecteurs et leurs portées respectives)

Nous présentons ci-dessous l'énoncé de l'item 4 et les choix faits pour sa construction.

Dans ce qui suit, (u_n) désigne une suite définie par récurrence sous la forme « u_{n+1} = f(u_n) » où f est une fonction continue sur R. On a alors le résultat suivant :

Énoncé 4 : Si la suite (u_n) converge vers le réel L, alors L est solution de l'équation (E) :

f(x) = x.

Questions

Que peut-on dire au sujet de la convergence de la suite (u_n) si :

a) l'équation E n'a pas de solution ?

b) l'équation E a au moins une solution ?

Que peut-on dire des solutions éventuelles de l'équation E si :

c) la suite (u_n) converge ?

d) la suite (u_n) ne converge pas ?

<caption>Figure 1 – L’item 4 du questionnaire</caption>

V1 – Cet item se situe dans le domaine de l’analyse.

V2 – L'énoncé proposé est rencontré pour la première fois soit en dernière année de lycée, soit en première année d'université.

V3 – La formulation correspond à celle que l’on trouve classiquement dans les polycopiés de première année d’université, avec l’introduction en amont d’une suite et d’une fonction permettant de définir une relation de récurrence. Dans l’énoncé lui-même, on introduit en outre une lettre pour désigner un nombre réel et une lettre pour désigner une équation – un autre choix possible aurait été de formuler l’énoncé sous la forme « si la suite (u_n) converge, alors la fonction f a un point fixe ».

V4, V5 et V6 – Il y a quatre questions pour cet item, correspondant aux quatre cas possibles de valeur de vérité pour le couple (antécédant, conséquent) de l’implication. La réponse « la suite ne converge pas » à la question 4.a) est obtenue par application du Modus Tollens ; la réponse « l’équation a au moins une solution » à la question 4.c est obtenue par application du Modus Ponens ; dans les deux autres cas, on ne peut pas conclure.

V7 et V8 – Cet item ne comporte aucune quantification explicite. L’énoncé lui-même met en jeu quatre objets. Les deux éléments introduits en amont de l’énoncé lui-même ont le statut d’éléments génériques, ce qui permet d’introduire deux quantificateurs universels en tête de formule. La lettre E qui désigne l’équation est parfaitement définie par la donnée de f. Pour ce qui concerne la lettre L, il s’agit d’une variable muette qui peut être considérée soit dans le champ d’un quantificateur universel en tête de formule :

Pour toute suite *u*, toute fonction continue *f*, tout réel *z* [(si $s(u) = f \circ u^l$ et *u* converge vers *z*), alors $f(z) = z$)].

Soit dans le champ de deux quantificateurs existentiels, un dans l'antécédent, l'autre dans le conséquent :

<footnote n="1">¹ s(u) = f o u traduit le fait que « u est définie par récurrence sous la forme « u_{n+1} = f(u_n) ».</footnote>
Pour toute suite $u$, toute fonction continue $f$, [si $s(u) = f \circ u$ et il existe $z$ tel que $u$ converge vers $z$), alors il existe $z$ tel que $f(z) = z]$

Notons que la manière de poser les questions, qui ne font pas référence à la lettre L, renverrait plutôt à la paraphrase 2 ; nous avions fait l'hypothèse que ces quantifications existentielles pourraient ne pas être reconnues par certains étudiants et étudiantes, ce qui a effectivement été le cas.

L'ensemble du questionnaire visait notamment à interroger l'idée commune selon laquelle la plupart des étudiants et étudiantes confondaient les implications avec les équivalences. Il a été soumis à 273 étudiants et étudiantes de première année d'université en France à la rentrée 1992. Pour l'item 4 que nous avons analysé ci-dessus, environ 50% des réponses à l'item 4.b (resp. 4.d) correspondent à la mise en œuvre erronée du Modus Ponens (resp. Modus Tollens) ; cependant, seul un quart des réponses correspondent au fait de traiter l'énoncé comme une équivalence. En outre, sur l'ensemble du questionnaire, seuls trois réponses correspondent à un traitement systématique des énoncés comme des équivalences. Ceci soutient l'hypothèse d'une dépendance des conduites inférentielles à la connaissance ou à l'interprétation du contexte (mathématique ou non), plutôt qu'à une confusion systématique entre implication et équivalence.

## DES CHOIX DE VARIABLES DIDACTIQUES FAISANT ÉMERGER UN QUESTIONNEMENT DE NATURE ÉPISTÉMOLOGIQUE

L'exemple que je développe dans cette section est un problème de point fixe qui a été initialement proposé dans le cadre de MATH.en.JEANS à Lyon en 1994. Il s'agit de résoudre le problème suivant :

1. On considère une application $f$ de $\{1, 2, ..., n\}$ dans $\{1, 2, ..., n\}$ où $n$ est un entier naturel non nul. On suppose $f$ croissante, montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $f(k) = k$ ; un tel élément $k$ est appelé point fixe.

2. Étudier de possibles généralisations aux cas suivants, avec $f$ croissante :

2.a $f: \mathbb{D} \cap [0, 1] \to \mathbb{D} \cap 0, 1]$ $\mathbb{D}$ est l'ensemble des nombres décimaux

2.b $f: \mathbb{Q} \cap [0, 1] \to \mathbb{Q} \cap 0, 1]$ $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres rationnels

2.c $f: [0, 1] \to [0, 1]$ On travaille dans l'ensemble des nombres réels ou tout autre généralisation

<caption>**Figure 2 – L'énoncé du problème de point fixe**</caption>

Pontille et al. (1996) rend compte du travail au long cours d'un binôme d'élèves de l'ère scientifique. Ce compte-rendu met en évidence l'émergence chez les élèves d'un questionnement de nature épistémologique sur les propriétés des nombres, et sur les possibilités de les représenter. La principale variable didactique ayant un impact sur l'émergence d'un questionnement épistémologique est l'ordre dans lequel on propose les domaines de résolution. Commencer par le cas entier en affirmant l'existence du point fixe introduit dans le milieu de la situation le rôle du successeur dans une preuve par récurrence. Ceci peut avoir pour effet de chercher à généraliser cette preuve dans le passage aux décimaux, et donc à se poser la question de l'existence d'un successeur dans $\mathbb{D}$, ce que font les élèves de l'ère, les étudiants de début d'université et certains étudiants de master. Ceci conduit les élèves et les étudiants à envisager en acte l'incomplétude de $\mathbb{D}$ : est-ce que la représentation graphique de la fonction peut traverser la première bissectrice sans la couper ? Ayant répondu oui à cette question, s'engage alors la recherche d'un contre-exemple dans $\mathbb{D}$, puis dans $\mathbb{Q}$. La généralisation à l'intervalle $[0,
1] de l'ensemble des nombres réels soulève une autre question : la continuité de la fonction, qui est une condition suffisante pour l'existence d'un point fixe grâce au théorème des valeurs intermédiaires, est-elle une condition nécessaire ? Ce n'est pas le cas ; la preuve s'appuie sur la construction d'une coupure au sens de Dedekind qui admet une borne supérieure en raison de la complétude de $\mathbb{R}$. Cette borne supérieure est un candidat point fixe. La preuve qu'il s'agit bien d'un point fixe s'appuie sur la définition de la borne supérieure et sur la croissance de la fonction. C'est un cas particulier d'une preuve établie dans les treillis complets (Tarski, 1955). Un autre choix possible consiste à traiter d'abord le cas des réels ; la preuve introduit alors dans le milieu de la situation un axiome de complétude. La question de l'adaptation éventuelle de la preuve aux cas des rationnels et des décimaux conduit à identifier leur incomplétude. Le cas des entiers peut se traiter comme le cas des réels. En effet, les sections commençantes de $\mathbb{N}$, comme les intervalles fermés bornés de $\mathbb{R}$, sont des treillis complets.
J'ai personnellement utilisé pendant de nombreuses années cette situation dans le cadre d'un module de formation des enseignants du secondaire visant à travailler les relations entre le discret, le dense et le continu (Durand-Guerrier, 2016, 2018).

## CONCLUSION

Dans cette communication, j'ai proposé trois exemples d'utilisation de l'outil méthodologique « identification de variables didactiques pertinentes et de leur choix de valeurs ». D'une manière générale, au-delà de son rôle central dans l'analyse a priori des situations didactiques, cet outil méthodologique permet d'expliciter des choix qui restent parfois inaperçus par les enseignants et les formateurs. Ceci contribue par là-même à contrôler l'adéquation et la progressivité des activités proposées aux élèves ou aux étudiants avec les objectifs d'apprentissage visés. L'identification de variables didactiques et des valeurs pertinentes en termes de complexité peut également être un outil efficace pour le choix des items dans les évaluations ; elle peut également permettre d'interpréter a posteriori un échec massif à un item pensé a priori comme proche d'activités traitées en cours. On peut aussi rencontrer d'autres usages en recherche-développement : par exemple, le développement du jeu didactique et ludique l'Atelier des Potions s'est appuyé sur l'identification de variables didactiques et ludiques (Boissière & Pelay, 2019).

## BIBLIOGRAPHIE

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Tarski, A. (1955). A lattice theoretical fixpoint theorem and its application. *Pacific Journal of Mathematics*, **5**, 285–309.

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CONNAISSANCE UTILE, UN GRAIN DE SABLE ENTRE CONNAISSANCE ET SAVOIR

GOBERT<fnref n="1" /> Sophie

**Résumé** – La communication donne un aperçu de la manière dont François Conne a commenté la distinction connaissances/savoirs proposée par Guy Brousseau (1988) et explicite ce qui différencie l’approche qu’il propose à la même période (Conne, 1992) de celle constituant par la suite un des fondements de la Théorie des situations didactiques.

**Mots-clés** – Distinction savoir/connaissance, connaissance utile.

Je propose de donner un aperçu de la manière dont François Conne a commenté la distinction connaissances/savoirs proposée par Guy Brousseau (1988) et d'expliciter ce qui différencie l'approche qu'il propose à la même période (Conne, 1992) de celle constituant par la suite un des fondements de la Théorie des situations didactiques.

« CONNAISSANCES ET SAVOIRS » EN THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES<fnref n="2" />

Dans l'article de Guy Brousseau (1988) « Le contrat didactique : le milieu », le didacticien définit ainsi la distinction « Connaissances et savoirs » (je copie l'entièreté du paragraphe 5 (Partie I)) :

A propos d'une même notion mathématique, on peut donc envisager une famille de situations où cette notion fonctionne comme une connaissance (situations d'action), une famille de situations où elle figure comme savoir (par exemple situations de validation), une famille de situations où apparaît l'identification d'un besoin de connaissances et de la possibilité de le satisfaire par la communication du savoir correspondant.

Dans une approche anthropologique, Y. Chevallard montre que les types d'institutions fondamentales qui déterminent le fonctionnement, la reconnaissance et l'étude, et enfin la communication des savoirs, sont consubstantiellement liés et doivent être définis ensemble.

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Ces différentes sortes de fonctionnement des connaissances déterminent les différents niveaux de contrôle utilisés par un joueur en situation. Le passage d'un état du jeu au suivant peut être conditionné partiellement ou entièrement

- par la situation ou par la règle du jeu (le jeu n'a qu'une issue, le joueur n'a pas de choix),

- par les savoirs du joueur, connaissances culturelles liées au langage utilisé, aux algorithmes appris,

- par ses connaissances personnelles, privées mais anciennes, régulières,

- par la décision prise dans l'instant, de façon aléatoire ou nouvellement organisée.

Savoirs et connaissances forment la compétence du sujet, la décision constitue sa performance. (Brousseau, 1988, p. 316).

<footnote n="1">¹ Université Paris Cité, Laboratoire EDA – France – sophie.gobert@u-paris.fr</footnote>

<footnote n="2">² Notée TSD par la suite.</footnote>
Comme on le sait et comme on le lit dans la citation, la distinction entre connaissances et savoirs faite par Brousseau constitue un élément d'un système complexe fédérant « un modèle général d'interaction », des « types de jeux », des « types de situations », et par ailleurs des manières spécifiques de modéliser la relation didactique avec les notions de situation, milieu, contrat, dont Marie-Jeanne Perrin-Glorian, ayant largement contribué au développement de la TSD, rappelle les évolutions dans un texte bilan en 1994 (Perrin-Glorian, 1994).

Claire Margolinas, actrice également majeure du développement et de la diffusion de la TSD fait de la distinction entre connaissances et savoirs une pierre angulaire de la TSD comme concept didactique permettant de discuter avec nos collègues sociologues et plus largement au sein des sciences de l'éducation et de la formation (Margolinas, 2014). Voici comment elle la synthétise et la schématise :

> [...] une connaissance est ce qui réalise l'équilibre entre le sujet et le milieu, ce que le sujet met en jeu quand il investit une situation [...]. Un savoir est une construction sociale et culturelle, qui vit dans une institution [...] et qui est par nature un texte (ce qui ne veut pas dire qu'il soit toujours matériellement écrit). Le savoir est dépersonnalisé, décontextualisé, détemporalisé. Il est formulé, formalisé, validé et mémorisé. (Margolinas, 2014, p.15)

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 1 – Schéma de la distinction connaissance/savoir en TSD (Margolinas, 2014)</figcaption></figure>

Pour une plus ample présentation et analyse de la distinction connaissance/savoirs en TSD, le lecteur pourra se reporter au texte de André Rouchier (1996).

## « SAVOIR ET CONNAISSANCE DANS LA PERSPECTIVE DE LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE »

François Conne, au début des années 1990, ne cherche pas, quant à lui, à créer un système ou une théorie mais à poser quelques jalons d'une approche pragmatiste de la transposition didactique qui partage avec la TSD les paradigmes épistémologiques et retient l'apport majeur (d'influence piagétienne) autour de la notion de « situation ». Ce qui l'intéresse porte sur les articulations entre le didactique et le cognitif.

> [...] une question qui se pose d'emblée à la didactique des mathématiques : étant donné que les mathématiques constituent un ensemble de savoirs culturels, mis en des formes très strictes, comment peut-on alors tenir compte des mécaniques cognitifs d'un sujet, autant ceux du fonctionnement que ceux du développement cognitif, dans le projet d'enseignement ? Nous savons d'expérience que cette prise en compte est possible [...] la question du comment reste, aujourd'hui encore, largement ouverte. (Conne, 1992, p. 224)

Le résumé de son essai de 1992 (Conne, 1992) contient l'idée qu'il développera tout au long de ses travaux :

> Ayant montré dans ma thèse que les élèves pouvaient être agents dans le processus de transposition didactique (par le jeu des régulations en classe), il devenait important de bien comprendre les relations entre le cognitif et le didactique. Je pense que c'est au niveau du concept de situation que réside la jonction. En 1942, H. Wallon écrivait déjà : « L'objet de la psychologie peut être, au lieu de l'individu, une situation ». Mais prendre en compte en plus du sujet la situation, nous oblige à définir leurs rapports. Cet objet particulier qu'est la connaissance relève bien entendu d'une interaction entre un sujet et une situation. [...]
C'est pourquoi je propose que l'on distingue le cas où le contrôle de la relation sujet/situation se trouve du côté de la situation, ce sera l'ordre de la connaissance, du cas où ce contrôle se trouve du côté du sujet (et de la représentation), ce sera alors l'ordre du savoir. Si les processus cognitifs relèvent de l'adaptation du sujet à la situation et de l'équilibration des structures cognitives, le savoir est de l'ordre de l'utilité des connaissances pour transformer les situations. On dira par exemple, que l'enjeu de toute dévolution didactique est d'instaurer, pour l'élève, un rapport de savoir à la situation.

Ainsi, la thèse développée dans cet essai théorique est que l'ordre de la connaissance n'est pas identique à l'ordre du savoir. (Conne, 1992, p. 222-223)

Citons alors quelques extraits où il distingue son positionnement et sa proposition d'introduire le critère d'utilité pour distinguer l'ordre de la connaissance de l'ordre du savoir.

Dans les conceptions actuelles la connaissance est généralement considérée comme un fonctionnement. G. Brousseau et Y. Chevallard reprennent cette idée pour le savoir-lui-même. Brousseau écrit :

> « A propos d'une même notion mathématique, on peut donc envisager une famille de situations où cette notion fonctionne comme une connaissance (situations d'action), une famille de situations où elle figure comme savoir (par exemple situations de validation), une famille de situations où apparaît l'identification d'un besoin de connaissances et de la possibilité de le satisfaire par la communication du savoir correspondant. » (Brousseau, 1988, p. 316).

Quant à lui, Chevallard parle de régime de savoir ou de fonctionnement savant. L'idée de fonctionnement renvoie, elle, à l'idée de système. Que ces idées soient partagées ne veut pas dire que chacun les traite de la même manière. Et c'est justement ce qui est intéressant dans les différentes propositions faites actuellement en didactique. Grosso modo on peut dire que ce qui fait problème actuellement, c'est la question de l'identification (l'individuation dirait R. Thom) de ce ou de ces systèmes. En l'état de nos travaux, ce problème est largement ouvert. Ma définition du savoir porte justement sur l'articulation entre ce que je nomme deux ordres de choses (entités plus vagues et larges que des systèmes). [...] L'utilité à laquelle je fais référence pour distinguer le savoir de la connaissance est alors contenue, toute entière dans la définition : *Lorsque le sujet reconnait le rôle actif d'une connaissance sur la situation, pour lui, le lien inducteur de la situation sur cette connaissance devient inversible, il sait. Une connaissance ainsi identifiée est un savoir, c'est une connaissance utile, utilisable, dans ce sens qu'elle permet au sujet d'agir sur la représentation.* (Conne, 1992, p. 224-225, en italique par l'auteur.)

Plus loin dans le texte :

[...] dans les acceptations les plus courantes le savoir est opposé à la connaissance selon que le premier serait décontextualisé, dépersonnalisé, voire socio-culturellement institué, or je soutiens ici que *les distinctions, contextuel ou non, individuel ou non, portent déjà sur le savoir et ne sont pas constitutifs de la distinction savoir/connaissance*. Ici je fais mienne cette proposition majeure de Piaget selon laquelle il convient de traiter les problèmes cognitifs sous l'angle des *processus* et des *mécanismes cognitifs* plutôt que sous l'angle des *contenus* et des *formes* qu'elle revêt. [...] Ma thèse considère qu'il y a bien deux ordres de réalité très distincts. Avec les sciences cognitives et la transposition dont elles procèdent, *c'est la signification même du mot connaissance qui a changé*. Le langage courant lorsqu'il fait ses propres distinctions (connaissance, savoir, etc.) n'entend en fait que des distinctions au sein de l'ordre des savoirs. Il en est de même semble-t-il chez beaucoup de chercheurs contemporains. Ainsi [...] on voit qu'il [Guy Brousseau] fait correspondre à la distinction connaissance/savoirs, celle de situation d'action/situation de validation. Ici les mots de connaissance et de savoir sont utilisés dans leur acceptation du langage courant. Certes le propos de G. Brousseau justifie pleinement ce recours et sa façon de voir n'est pas étrangère, loin de là, à ma définition du savoir, qui est cependant plus générale. Pour moi, la distinction que fait G. Brousseau est une distinction entre savoirs, et plus particulièrement entre savoir pragmatique et savoir-savant. (Conne, 1992, p. 226-227).

En conséquence, dans le schéma de la TSD (figure 1) ce qui est nommé savoir en lien avec une institution est déjà savoir institué. Or tous les savoirs reconnus dans une communauté de travail ne sont pas nécessairement des savoirs institués, ceux-ci ne sont donc pas les seuls savoirs à permettre l'action et les reports des connaissances d'un sujet (ou d'un groupe de sujets) dans d'autres situations de travail. Dans le sens de Conne, savoir recouvre quelque chose qui donne au sujet un pouvoir d'action sur la situation dans laquelle il est engagé, en amont de son institution et en aval de savoirs institués, voire des savoirs savants, qu'ils soient mathématiques, épistémologiques, didactiques, etc., en aval des savoirs afférant à la construction, au développement et à la diffusion des connaissances.
## UN NOUVEL ÉCLAIRAGE

Organisant depuis plusieurs années mon travail de recherche autour de la conception pragmatiste de la distinction savoir et connaissance de François Conne d'une part (Gobert, 2023a), et sur le cadre développé par Martine Jaubert et Maryse Rebière autour de la secondarisation des pratiques langagières d'autre part (Jaubert & Rebière, 2002), j'ai réalisé une mise en perspective des deux approches (Gobert, 2023b) permettant de formaliser le résultat suivant : « les signes de secondarisation des pratiques langagières et sémiotiques des élèves, secondarisation au sens théorique et méthodologique de Jaubert et Rebière, sont des indices de conversion connaissance/savoir avec savoir défini comme connaissance utile au sens théorique et méthodologique de Conne. Et réciproquement. » Une des conséquences de ce résultat est d'éclairer le schéma de Conne sur la distinction savoir/connaissance en proposant une image (figure 2) qui permet également de lire (en superposition) les déplacements opérés par rapport au schéma en Théorie des situations didactiques (figure 1).

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>**Figure 2** – Schéma de la distinction connaissance/savoir dans l'approche pragmatiste de Conne (Gobert, 2023b)</figcaption></figure>

Dans ce schéma les bulles sont ouvertes et connectées par « connaissance utile ». La ligne courbée correspond au processus de secondarisation analogue aux conversions « connaissance – connaissance utile » ou « connaissance utile – savoir institué ». Au regard de la question des signes et du langage, cette ligne précise que les signes et le langage font office de relais dans les sémioses où les connaissances se développent, elle indique le paradigme commun entre l'approche de Jaubert et Rebière et celle de Conne : signes et langage sont les lieux où « ça » se passe, le « ça » étant un « là » de l'apprentissage. Elle correspond au mouvement bouclé et récursif des sémioses et des transformations des positions énonciatives. La flèche linéaire marque quant à elle le temps didactique.

## RÉFÉRENCES

* Brousseau, G. (1988). Le contrat didactique, le milieu. *Recherches en didactique des mathématiques*, 9(3), 309-336.

* Conne, F. (1992). Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique. *Recherches en didactique des mathématiques*, 12(2/3), 221-270.

* Gobert, S. (2023a). François Conne, une conception pragmatiste de la distinction savoir et connaissance, morceaux choisis. Inédit. https://shs.hal.science/halshs-04098502
Gobert, S. (2023b). Secondarisation et connaissance utile. *Revue française de pédagogie*, 219, 7-28.

Jaubert, M., & Rebière, M. (2002). « Parler et débattre pour apprendre : comment caractériser un "oral réflexif" ? ». In J.-C. Chabanne & D. Bucheton (dir.), *Parler et écrire pour penser, apprendre et se construire* (p. 163-186). PUF.

Margolinas, C. (2014). Connaissance et savoir. Concepts didactiques et perspectives sociologiques. *Revue française de pédagogie*, 188, 13-22.

Perrin-Glorian, M.-J. (1994). Théorie des situations didactiques : naissance, développements, perspectives. In M. Artigue, R. Gras, C. Laborde & P. Tavignot (Éds.), *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (p.97-147). La pensée sauvage.

Rouchier, A. (1996). Connaissances et savoirs dans le système didactique. *Recherches en didactique des mathématiques*, 16(2), 177-196.
# LES VARIABLES DE RECHERCHE : UN OUTIL POUR TRANSPOSER LA DIALECTIQUE PARTICULIER-GÉNÉRAL

GRAVIER<fnref n="1" /> Sylvain, TROUVÉ<fnref n="2" /> Thibaut

**Résumé** – Dans cette communication, on présente un type de variable didactique : la *variable de recherche*. Il s'agit d'une variable du problème dont l'enseignant dévolue à l'élève la responsabilité de faire évoluer la valeur. Leur introduction dans une situation didactique permet de transposer à la classe la dialectique particulier-général constamment mise en œuvre dans la recherche professionnelle.

**Mots-clés** : activité de recherche, résolution de problème, variable de recherche, dialectique particulier-général, généralisation.

À travers la Théorie des Situations Didactiques, Brousseau a rappelé l'importance des analyses épistémologique et mathématique en amont de la conception d'une situation d'apprentissage. Notre contribution s'inscrit dans cette perspective : il s'agit d'abord d'enrichir le modèle épistémologique proposé par Mason *et al.* (2010) décrivant la dialectique particulier-général. Notamment, on identifie les savoirs mathématiques en jeu dans cette dialectique. Enfin, on montre comment les variables de recherche permettent la transposition didactique de ces savoirs. Notre objectif est de fournir des outils pour mettre en place des analyses *a priori* de situations permettant aux élèves d'appréhender cette dialectique.

Dans la recherche professionnelle, la production de savoirs mathématiques nouveaux passe par la résolution de problèmes. Pour progresser dans la résolution d'un problème, le chercheur en mathématiques fait dialoguer le particulier et le général. En pratique, cela se traduit par l'étude de cas particuliers et la généralisation des résultats partiels obtenus. Cette *dialectique particulier-général* (abrégée *DPG* dans la suite) constitue une composante importante du *mathematical thinking* (Mason *et al.*, 2010). Dans les recherches en didactique des mathématiques le concept de *problème* n'est jamais défini. Dans cette communication, on réserve le terme problème pour désigner un *problème mathématique*. D'un point de vue syntaxique, un problème est décrit par une question portant sur un ensemble d'instances (Garey et Johnson, 1979).

Un des objectifs majeurs de Maths à Modeler<fnref n="3" /> est de déterminer des conditions favorables à la transposition, dans la classe, de l'activité du chercheur et, en particulier, la dialectique particulier-général, en se plaçant dans le cadre de la Théorie des Situations Didactiques. Dans sa thèse, Godot (2005) introduit le concept de *variable de recherche* permettant aux élèves d'appréhender en partie cette dialectique.

Dans la première partie de cette communication, on élargit et précise la définition de variable de recherche. Ceci nous amène à détailler les savoirs en jeu dans la DPG. En particulier, on revisite, par le biais de la dialectique outil-objet (Douady, 1986), le processus de généralisation décrit par Mason *et al.* (2010) et on raffine ce que ces auteurs nomment *généralisation théorique*. En conclusion, on donne des éléments de gestion permettant de mettre en œuvre les variables de recherche en classe.

<footnote n="1">¹ Institut Fourier & Maths à Modeler, Université Grenoble Alpes, CNRS – France – sylvain.gravier@univ-grenoble-alpes.fr</footnote>

<footnote n="2">² Institut Fourier & Maths à Modeler, Université Grenoble Alpes – France – thibaut.trouve@univ-grenoble-alpes.fr</footnote>

<footnote n="3">³ https://mathsamodeler.ujf-grenoble.fr/.</footnote>
LES VARIABLES DE RECHERCHE : UN OUTIL DE TRANSPOSITION

Si l'on reconnaît le DPG comme un objectif d'apprentissage, on peut se questionner sur l'existence et les caractéristiques de situations permettant à un élève de se l'approprier. Comme cette dialectique apparaît lors de l'activité de recherche en mathématiques, il est naturel de s'orienter vers des dispositifs permettant de la mettre en œuvre. Dans sa thèse, Georget (2009) fait un état des lieux des dispositifs récemment développés en France visant à transposer l'activité du mathématicien à la sphère scolaire. Il mentionne notamment les *Situations de Recherche pour la Classe* (SiRC) (Grenier et Payan, 2006), le *débat scientifique* (Legrand, 1988), les *problèmes ouverts* (Arsac et Mante, 2007) et bien d'autres... À l'internationale, de tels dispositifs sont développés dans le cadre du *problem solving* avec la perspective d'appréhender le *mathematical thinking* (Mason *et al.*, 2010 ; Pólya, 2004 ; Shoenfeld, 1985). Dans le cadre des SiRC, Godot (2005) introduit le concept de *variable de recherche*. Il s'agit des variables du problème dont l'élève a à sa charge le choix des valeurs. Selon elle, ce type de variable « définit les différents sous-problèmes qui sont rattachés au problème ouvert et amène à des phases d'action et de formulation différentes » (ibid., 2005, p. 133). Plus généralement, la DPG s'exprime, dans la phase de recherche, à travers les changements de valeurs des variables du problème que l'on peut classer selon deux types :

* restriction des valeurs possibles ou spécification de la valeur pour s'intéresser à un cas particulier du problème considéré, ou

* extension des valeurs possibles pour envisager le problème considéré comme un sous problème d'un problème plus général.

Donc, pour favoriser l'émergence en classe de cette dialectique, l'enseignant peut, pour chaque variable du problème :

* laisser à la charge des élèves le choix de ses valeurs, on parlera de *variable non fixée*, ou bien

* autoriser les élèves à modifier sa valeur initialement fixée dans l'énoncé<fnref n="1" />, on la qualifiera alors de *variable fixée modifiable*.

Bien sûr, certaines variables du problème peuvent être fixées par l'enseignant qui ne souhaite pas que leur valeur soit modifiée par les élèves. Cela correspond à l'usage classique des variables didactiques liées au problème.

On propose d'étendre la définition de variable de recherche, initialement restreinte aux variables non fixées, au cas des variables fixées modifiables. Cela permet de considérer un problème plus général que celui proposé dans l'énoncé. De plus, l'enseignant peut proposer une valeur initiale qui aide, par exemple à la compréhension du problème, la dévolution de la situation, ou encore l'émergence de certaines stratégies de résolution.

On remarque que cette définition de variable de recherche est indépendante du cadre des SiRC. De plus, si l'on peut *a priori* penser que « les variables de recherche ne sont pas des variables didactiques » (Godot, 2005, p. 134), leur mise à disposition des élèves traduit bien une intentionnalité didactique : l'enseignant fait en sorte, lors du choix de l'énoncé à proposer, qu'il soit nécessaire que les élèves s'emparent de cette variable pour progresser dans la résolution du problème. Il s'agit précisément de la définition de *variable didactique* que l'on rappelle ici :

> un champ de problèmes peut être engendré à partir d'une situation par la modification des valeurs de certaines variables qui, à leur tour, font changer les caractéristiques des stratégies de solution (cout, validité, complexité... etc.) [...] Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont

<footnote n="1">¹ Étant donné un problème, un énoncé est une formulation d'un sous-problème proposé aux élèves. En particulier, deux énoncés peuvent relever du même problème.</footnote>
à considérer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler un
professeur sont particulièrement intéressantes : ce sont les variables didactiques (Brousseau, 1982,
p. 23).

DES SAVOIRS SPÉCIFIQUES EN JEU DANS LA DPG

Selon Mason et al. (2010), dans l'activité de recherche, la DPG est propre à la pensée mathématique et s'articule autour de deux processus :

SPECIALIZING [which] means choosing examples

* randomly, to get a feel for the question;

* systematically, to prepare the ground for generalizing;

* artfully, to test a generalization (ibid., p. 21)

et

GENERALIZING [which] means detecting a pattern leading to:

* WHAT seems likely to be true (a conjecture);

* WHY is it likely to be true (a justification); and

* WHERE it is likely to be true, that is a more general setting of the questions (another question!) (ibid., p. 22)

La DPG rend compte de démarches de recherche mathématique. Parmi ces démarches, on trouve notamment le traitement de cas particuliers dans la perspective de formulation de conjectures. Pour pouvoir formuler une conjecture suite au traitement d'exemples, il convient de repérer des éléments communs aux exemples examinés (WHAT). Ce type de raisonnement inductif produit des généralisations empiriques (ibid., p. 232).

Seule la validation par la *preuve* fournit une justification (WHY) de la conjecture formulée. La résolution de cas particuliers peut aboutir à la résolution complète du problème si l'ensemble des cas particuliers recouvre toutes les instances possibles du problème. Ainsi, cette stratégie peut conduire à des *raisonnements par exhaustion de cas*. Inversement, un exemple particulier peut s'avérer être un *contre-exemple* d'une conjecture formulée précédemment (WHY). Lors de ces phases de recherche, la preuve est traitée comme un *outil* (Douady, 1986) de validation de conjecture.

La généralisation théorique (ibid., p. 232) est produite suite à des raisonnements déductifs (WHERE). La définition de problème comme un couple instance-question permet de préciser ce point. En effet, on identifie deux modalités de généralisation théorique.

La première est obtenue en répondant à la question suivante : quelles sont les instances pour lesquelles la preuve reste effective ? On procède ici à une généralisation du problème résolu avec la même preuve. Un moyen de répondre à cette question est de déterminer les propriétés de l'instance utilisées dans la preuve.

On approche ainsi un point de vue plus abstrait qui consiste à s'interroger sur la portée des arguments utilisés dans la preuve : quels sont les problèmes résolus par ce type de preuve ? On considère ici la preuve comme modèle de résolution d'une famille de problèmes. On parlera de modèle de preuve.

Par exemple, pour les problèmes d'optimisation combinatoire, la dualité entre deux problèmes permet d'obtenir des encadrements sur les valeurs optimales (Gravier et Ouvrier-Buffet, 2022) et constitue donc un modèle de preuve pour traiter ce type de problèmes.

Ces questions caractéristiques de la généralisation théorique portent sur l'objet (Douady, 1986) preuve.

On décrit maintenant comment l'utilisation de variables de recherche favorise la transposition, dans la classe, de la DPG.

La présence d'une variable non fixée impose à l'élève de répondre à la question du problème pour toutes les valeurs possibles de cette variable. Cela constitue un moyen d'apprentissage du quantificateur universel. Or, on sait que l'usage d'un élément générique (soit x...) constitue
une source de difficulté lors de l'apprentissage de la preuve (Durand-Guerrier et Arsac, 2003). Notamment, lorsque la variable n'est pas numérique, déterminer les propriétés d'un élément générique peut s'avérer difficile. L'élève est alors amené à étudier des cas particuliers. Si l'ensemble des valeurs possibles est petit, une preuve par exhaustion de cas peut être envisagée. En revanche, si cet ensemble est grand ou non fini, l'élève doit privilégier des exemples qui paraissent pertinents ou facilement résolubles. À ce stade, l'élève peut produire des conjectures. Il peut aussi essayer de déterminer dans quelle mesure les arguments utilisés pour traiter ces exemples sont applicables à d'autres valeurs, voire à toutes. Ici, c'est la généralisation du problème qui est en jeu, elle constitue un premier pas vers l'identification d'un modèle de preuve. S'il échoue à recouvrir l'ensemble des valeurs possibles, il peut entreprendre une étude ad-hoc des valeurs restantes.

La variable fixée et modifiable invite l'élève à considérer, dans un premier temps, un cas particulier pertinent en vue d'une généralisation. L'aspect modifiable de la variable n'a de sens que si les élèves ont accès au problème général que l'enseignant peut avoir exposé au préalable. C'est l'enseignant qui leur met à disposition un cas particulier pertinent du problème, choisi parce que son étude fait émerger une preuve qui peut être utilisée pour d'autres instances, voire qui repose sur un modèle permettant de résoudre d'autres problèmes. On retrouve ici les aspects formulés plus haut pour les variables non fixées. La différence majeure est que la recherche de cas particuliers pertinents est prise en charge par l'enseignant au lieu de l'élève, ce qui est intéressant notamment pour des problèmes pour lesquels ces valeurs sont difficiles à déterminer.

## CONCLUSION : UN POINT SUR LE CONTRAT DIDACTIQUE

L'introduction de variables de recherche dans une situation didactique constitue une rupture avec le contrat didactique ordinaire de la classe. Lorsqu'ils expérimentent une telle mise en situation pour la première fois, les élèves rencontrent des difficultés à s'emparer de ces variables. Il s'avère donc nécessaire de les désigner pour que les élèves fassent évoluer leur valeur au cours de la résolution. Ceci implique que les variables du problème qui ne sont pas désignées comme variables de recherche, sont les variables non modifiables.

De plus, il y a un véritable enjeu de gestion de la situation lié aux variables de recherche pour amener les élèves à faire évoluer par eux-mêmes leurs valeurs. Pour conclure, on propose quelques possibilités de gestion, sans détailler leurs modalités qui restent propres à chaque dispositif.

D'une part, il semble nécessaire d'exposer un problème général aux élèves avant de proposer l'énoncé sur lequel il est demandé de travailler. Cela leur permet d'identifier les variables fixées (dans l'énoncé) et modifiables (selon le problème général donné).

D'autre part, les énoncés comportant des variables non fixées peuvent être difficiles à appréhender. L'enseignant amènera alors les élèves à voir la nécessité de spécifier la valeur de ces variables pour progresser dans la résolution. Certains choix s'avéreront pertinents alors que d'autres mèneront à des sous-problèmes difficiles voire insolubles, ce qui remettra en cause ces choix. En pratique, les élèves ont tendance à choisir des valeurs pour lesquelles la résolution n'est pas évidente. Il s'agit d'un effet de contrat : ils rejettent les exemples simples qui ne leur paraissent pas conforme à la demande de l'enseignant. Ainsi, ils sont souvent confrontés à un problème encore trop difficile. L'enseignant pourra alors les inciter à étudier des exemples plus simples (souvent les petits cas).

Après ces phases d'appropriation des variables de recherche, il est important de pointer l'intérêt de leur utilisation dans la résolution du problème. Par exemple, l'enseignant interrogera l'intérêt
de l'étude des cas particuliers abordés pour résoudre le problème. Il incitera ainsi à la généralisation empirique et/ou théorique.

Après plusieurs expériences, les élèves s'approprient plus spontanément les variables de recherche ce qui témoigne d'une acquisition de la DPG pour la résolution de problème.

## RÉFÉRENCES

Arsac, G., & Mante, M. (2007). *Les pratiques du problème ouvert*. CRDP de l'académie de Lyon.

Brousseau, G. (1982). Les objets de la Didactique des Mathématiques. *Contributions à la seconde école d'été de didactique des mathématiques*, 10-60.

Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 7(2), 5-31.

Durand-Guerrier, V., & Arsac, G. (2003). Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. Spécificité de l'analyse. Quelles implications didactiques? *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 23(3), 295-342.

Garey, M. R., & Johnson, D. S. (1979). *Computers and intracability: a guide to the theory of NP-completeness*. Freeman.

Georget, J.-P. (2009). *Activités de recherche et de preuve entre pairs à l'école élémentaire : Perspectives ouvertes par les communautés de pratique d'enseignants* [Thèse de doctorat]. Université Paris Diderot.

Godot, K. (2005). *Situations recherche et jeux mathématiques pour la formation et la vulgarisation. Exemple de la roue aux couleurs* [Thèse de doctorat]. Université Joseph-Fourier -- Grenoble I.

Gravier, S., & Ouvrier-Buffet, C. (2022). The mathematical background of proving processes in discrete optimization – Exemplification with Research Situations for the Classroom. *ZDM – Mathematics Education*, 54, 925-940. https://doi.org/10.1007/s11858-022-01400-3

Grenier, D., & Payan, C. (2006). Des « situations recherche » pour l'apprentissage des savoirs transversaux. In N. Bednarz & C. Mary (Éds.), *L'enseignement des mathématiques face aux défis de l'école et des communautés*.

Legrand, M. (1988). Rationalité et démonstration mathématiques, le rapport de la classe à une communauté scientifique. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 9(3), 365-406.

Mason, J., Burton, L., & Stacey, K. (2010). *Thinking mathematically*. Pearson Education Limited.

Pólya, G. (2004). *How to solve it: a new aspect of mathematical method*. Princeton University Press.

Schoenfeld, A. H. (1985). *Mathematical Problem Solving*. Academic Press.
# PROPOSITION D'UN ENRICHISSEMENT DU MODÈLE DE LA STRUCTURATION DU MILIEU EN GÉOMÉTRIE

GUILLE-BIEL WINDER<fnref n="1" /> Claire

**Résumé**– Dans le cadre du développement d'une ingénierie didactique portant des situations de reproductions de figures par pliage, nous proposons un enrichissement de la structuration du milieu relative à ces situations en adoptant un triple point de vue didactique, cognitif et sémiotique.

**Mots-clés** : structuration du milieu, appréhension d'une figure, reproduction de figures, pliage

Cette communication a pour objectif la présentation de l'enrichissement du modèle de la structuration en niveaux de milieu (Brousseau, 1986 ; Margolinas, 2004) dans le cadre de la géométrie – et plus précisément relativement à des situations de reproduction de figures particulières – ainsi que de résultats issus de la mise en fonctionnement de cet outil.

Après avoir explicité les principaux éléments contextuels (partie I), nous revenons sur les points d'appuis théoriques complémentaires relatifs aux enjeux géométriques (partie II). Nous sommes alors en mesure de présenter le modèle enrichi de la structuration du milieu (partie III).

Les résultats auxquels nous a conduit l'usage de cet outil théorique sont ensuite exposés (partie IV).

## CONTEXTE DE LA RECHERCHE

Les problèmes de construction et de reproduction de figures constituent un champ privilégié du développement de la géométrie (Mathé et al., 2020). Notre ingénierie porte sur des situations de reproduction de figures par pliage d'un Pliox, artefact (Rabardel, 1995) qui consiste en un carré de papier présentant sur une face quatre zones carrées et colorées en rouge, bleu, vert et jaune (figure 1a), dont le verso n'est pas coloré (1b), et qu'il est possible de plier selon les lignes de pli correspondant aux axes de symétrie (médianes et diagonales) du grand carré quadricolore et des carrés monochromes qui le composent (1c).

À l'aide d'un Pliox, il est possible de réaliser des formes planes colorées selon des pliages autorisés. Un ensemble de situations didactiques de reproduction de figures modèles s'actualise alors (exemple figure 1d).

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>**Figure 1** – Recto (a) et verso (b) du Pliox ; lignes de pli (c) ; une figure modèle (d)</figcaption></figure>

La modalité de reproduction (le pliage) permet de proposer des figures complexes à analyser et difficiles à reproduire en début de scolarité (élèves de 7 à 9 ans) avec les instruments usuels de géométrie (règle, équerre). Elle permet une validation plus facile qu'une reproduction dans un environnement papier-crayon (rétroaction du milieu).

<footnote n="1">¹ AMPIRIC, Université d'Aix-Marseille – France – claire.winder@univ-amu.fr</footnote>
Ces situations mettent en jeu des connaissances géométriques sur des polygones (carré, rectangle, triangle, rectangle isocèle, trapèzes ...), sur des droites ou des points spécifiques (diagonale, médiane du carré, côtés, sommets), sur des relations entre figures géométriques (par exemple un « demi-carré » peut être un rectangle ou un triangle), ainsi que des connaissances spatiales (Berthelot, & Salin, 1999-2000) liées à l'orientation et à la position des différentes figures dans les modèles. Elles visent à faire évoluer le regard que les élèves portent sur les figures.

Cette communication présente alors un modèle d'analyse de ces situations particulières de reproduction de figures, basé sur la structuration en niveaux de milieu (Brousseau, 1986 ; Margolinas, 2004) et qui prend en compte les enjeux géométriques et cognitifs. À cet effet, nous apportons d'abord dans ce qui suit des éléments théoriques complémentaires.

## POINTS D'APPUI THÉORIQUES COMPLÉMENTAIRES

Nous prenons en effet appui sur les travaux de Duval (1994, 1995, 2005, 2018) que nous réorganisons afin d'interroger le regard porté sur les figures (Guille-Biel Winder, 2025).
La notion d'unité figurale (Duval, 1995) désigne une unité élémentaire du registre sémiotique des figures géométriques mise en relation avec sa dimension : le point (0D), les lignes et courbes ouvertes ou fermées (1D), zones (2D) (surfaces, formes ouvertes et intersections de lignes).

Le développement du « regard mathématique » (Duval, 1994) sur les figures s'opère par le dépassement de l'appréhension perceptive, le traitement d'une situation géométrique nécessitant en effet d'opérer un « changement de dimension » en se restreignant aux unités figurales 0D et 1D (déconstruction dimensionnelle). Le développement du « regard heuristique » (Duval, 2018) passe quant à lui par des modifications des unités 2D. Nous considérons alors les appréhensions des figures géométriques, que nous mettons en relation avec des opérations sur la figure (Guille-Biel Winder, 2025).

Nous associons l'appréhension opératoire aux modifications figurales (physiques, graphiques ou mentales) d'une figure mettant en jeu des unités figurales de même dimension (2D), et qui sont de trois types : décompositions/recompositions figurales (partage de la figure en plusieurs sous-figures ou réorganisation en plusieurs figures ou sous-figures afin d'en réaliser une nouvelle, ou encore inclusion dans une sur-figure) ; modifications positionnelles (déplacement ou rotation) ; modifications optiques (agrandissement, réduction, ou déformation). L'appréhension discursive, relative à une dénomination ou aux propriétés données comme hypothèses (Duval, 2005) est rapprochée de la déconstruction/reconstruction<fnref n="1" /> dimensionnelle. L'appréhension séquentielle est mise en lien avec l'ordre de construction d'une figure avec des instruments, et à ce titre est apparentée à la déconstruction instrumentale (Mathé & Mithalal, 2019).

## ENRICHISSEMENT DU MODÈLE DE LA STRUCTURATION DU MILIEU

La structuration emboîtée « en oignon » des niveaux de milieu permet une analyse d'une situation à dimension adidactique donnée (variables didactiques fixées), à un grain très fin autorisant le repérage des différentes appréhensions d'une figure en jeu dans la situation.

<footnote n="1">¹ Reconnaissance de toutes les formes 2D pouvant être reconnues dans un réseau de droites où elles ne sont pas d'emblée visibles.</footnote>
Or l'identification de la position des élèves dans les niveaux de milieux peut être facilitée, dans le cadre de la géométrie plane, par la caractérisation de fonctions spécifiques de raisonnements (Blanquart, 2023). Nous prenons donc appui sur certaines fonctions du raisonnement pour réaliser l'analyse<fnref n="1" />.

Le milieu matériel (M-3) contient les éléments extérieurs au professeur et à l'élève (qualifié d'objectif), nécessaires à l'entrée dans la question. Les connaissances associées correspondent à celles nécessaires à la compréhension de la consigne.

Le milieu objectif (M-2) doit permettre à l'élève de se poser des questions. Dans une phase d'action, le milieu fournit une rétroaction immédiate essentiellement perceptive. Les appréhensions perceptive et opératoire (modification positionnelle due au changement de plan front-parallèle et peut-être modifications figurales) sont en jeu. L'appréhension séquentielle, incluse dans le raisonnement d'organisation<fnref n="2" /> (Blanquart, 2023), est en germe et reste implicite. Par son action sur le milieu, l'élève (agissant) mobilise des connaissances et développe des stratégies, validées ou invalidées par les rétroactions qu'il est amené à interpréter. Le milieu M-2, enrichi des actions de l'élève et des rétroactions, offre des conditions favorables à l'émergence du milieu de référence.

M-1 est le milieu où les connaissances de l'élève se transforment en savoirs (on parle d'élève apprenant). Il est constitué des actions construites dans M-2, des énoncés issus de ces actions et des stratégies développées par les élèves, ainsi que des validations théoriques que ceux-ci peuvent recevoir. Une partie de M-1 existe déjà, à la suite de la réalisation du Pliox et des reproductions de figures antérieures, mais M-1 continue à s'enrichir par les interactions des élèves. Il est constitué par les pliages (validés ou non), les formulations des méthodes de pliage, l'identification des éléments figuraux 2D apparaissant sur le Pliox ou obtenus par pliage, des éléments figuraux 1D mis en évidence sur le verso, l'explication des propriétés utilisées. L'appréhension séquentielle est alors explicitée voire justifiée, des modifications figurales (appréhension opératoire) peuvent s'exprimer et l'appréhension discursive peut émerger (notamment en lien avec la dénomination des objets ou l'explicitation de leurs propriétés). La formulation d'énoncés de savoir est possible mais pas nécessaire dans une situation d'action (Bosch & Perrin-Glorian, 2013) : elle doit donc être prise en charge par l'enseignant. Par ailleurs, le milieu M-1 d'une situation de reproduction de figures par pliage d'un Pliox ne possède pas de potentiel de rétroaction adidactique, ce qui laisse la validation à la charge de l'enseignant.

L'institutionnalisation par le professeur se déroule dans le milieu d'apprentissage M0, donnant lieu à des énoncés dépersonnalisés et décontextualisés. L'appréhension discursive se concrétise à ce niveau (mais formulation et validation restent à la charge de l'enseignant).

La figure 2 illustre cette analyse dans le cas de la reproduction de la figure modèle (1d), en reprenant et complétant la schématisation des différents niveaux de milieu proposée par Bulf et al. (2015) et adaptée de Margolinas (2004).

La partie suivante est alors consacrée à la présentation de résultats obtenus en mettant en fonctionnement ce modèle enrichi.

<footnote n="1">¹ Merci à Sylvie Blanquart pour son aide précieuse.</footnote>

<footnote n="2">² En lien avec l'« organisation de la succession d'actions élémentaires pour permettre la reproduction, l'ordre des tracés pouvant conditionner la réussite ». (Blanquart, 2023, p. 17)</footnote>
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>**Figure 2** – Analyse a priori de l'articulation des différents niveaux de milieu en lien avec les appréhensions figurales (Guille-Biel Winder, 2025, p. 21)</figcaption></figure>

## RÉSULTATS ISSUS DE LA MISE EN FONCTIONNEMENT DU MODÈLE

Afin d'étudier le rôle du langage de l'enseignant dans l'évolution du regard que les élèves portent sur les figures, nous faisons l'hypothèse que « les interactions langagières mêlent étroitement le contenu mathématique visé, le milieu de la situation et le rapport supposé ou effectif des élèves à ce contenu et à ce milieu » (Bosch & Perrin-Glorian, 2013, p. 282). Cette hypothèse justifie l'usage du modèle développé.

Nous ne reprenons pas ici les analyses réalisées à partir de mises en œuvre filmées réalisées dans des classes de CP (élèves de 6-7 ans), mais en pointons certains résultats<fnref n="1" />.

Les verbes d'action employés par les enseignants des expérimentations (« regardez-bien ! », « vous devez plier », « qu'est-ce qu'il faut faire ? ») placent les élèves en position d'élèves agissants ou les incitent à passer d'élèves objectifs à élèves agissants. L'appréhension perceptive est alors convoquée.

D'autres formulations langagières, comme celles associées à la demande d'explicitation de procédure au cours de moments collectifs (« comment vous avez réalisé la même figure qu'au tableau ? », « donne-moi des indications pour me dire [comment tu as fait] »), favorisent le passage d'élèves agissants à élèves apprenants, permettant la convocation de l'appréhension opératoire, voire de l'appréhension séquentielle (dans l'une des classes, cette dernière est associée à une mise en lien avec l'usage du lexique géométrique).

Le langage de validation employé par l'enseignant peut également maintenir les élèves dans cette position d'apprenants (par exemple « Très bien Moris, le jaune et le rouge, ce sont des rectangles »). D'autres formulations incitent le passage au positionnement d'élève : il s'agit des formulations relatives à la justification de l'identification des figures – reliées aux appréhensions opératoire et discursive – (« Alors on en profite pour rappeler comment on reconnaît un triangle »), ou de celles relatives aux procédures employées – reliées à l'appréhension séquentielle – (« Et donc, quand on plie un carré par rapport à sa diagonale (...) on obtient (...) un triangle »). A contrario, l'absence de certains marqueurs langagiers relatifs

<footnote n="1">¹ Pour plus de détail concernant la méthodologie retenue, voir (Guille-Biel Winder, 2021).</footnote>
à l'exposition de connaissances a pour conséquence l'absence de positionnement élève ainsi que la non-construction du milieu d'apprentissage.

Ces éléments révèlent le fait que le langage de l'enseignant peut forcer le passage d'un niveau de milieu à un autre ou *a contrario* maintenir les élèves dans un niveau de milieu – rejoignant en cela les résultats de Bulf et al. (2015) – mais également soulignent son impact sur les appréhensions des figures que les élèves sont amenés à développer. De plus, les analyses révèlent des opportunités de changement de niveau de milieu, comme de travail sur d'autres appréhensions figurales, en même temps qu'un dysfonctionnement possible consistant à privilégier l'activité au détriment des connaissances en jeu (absence de construction d'un milieu d'apprentissage) (Margolinas & Laparra, 2008). L'une des études (Guille-Biel Winder, 2021) met enfin en évidence que ce dysfonctionnement se double d'une absence de prise en considération des différents traitements d'une figure géométrique dans le registre figural.

## CONCLUSION

Le modèle de structuration du milieu articulé avec les appréhensions d'une figure se situe à la fois du côté des analyses *a priori* et *a posteriori* : il permet d'envisager les différentes positions possibles des élèves par rapport aux savoirs en jeu dans l'activité mise en place par l'enseignant ainsi que les éléments potentiels dont les milieux sont constitués et avec lesquels les élèves interagissent (Bulf et al., 2015). En ce sens ce modèle est contextualisé aux situations de reproduction de figures par pliage d'un Pliox.

Cependant, l'articulation des appréhensions possibles d'une figure avec la structuration du milieu semble avoir une portée plus générale puisqu'elle met en évidence que l'appréhension perceptive relève du seul milieu objectif, que l'appréhension opératoire, en jeu dans M-2, s'exprime dans le milieu de référence, que l'appréhension séquentielle en germe dans M-2 est explicitée dans M-1, et enfin que l'appréhension discursive peut émerger dans M-1 mais se concrétise dans le milieu d'apprentissage M0.

## RÉFÉRENCES

* Berthelot, R. & Salin, M-H. (1999-2000). L'enseignement de l'espace à l'école primaire. *Grand N*, 65, 37-59.

* Blanquart, S. (2023). Activité mathématique des élèves et construction des apprentissages en géométrie plane. *Revue québécoise de didactique des mathématiques, numéro thématique 1*(2), 5-37

* Bosch, M., & Perrin-Glorian, M.-J. (2013). Le langage dans les situations et les institutions. In A. Bronner et al. (Ed.), *Questions vives en didactique des mathématiques : problèmes de la profession d'enseignant, rôle du langage* (p. 267-302). La Pensée Sauvage.

* Brousseau, G. (1986). La relation didactique : le milieu. *Recherches en didactique des mathématiques*, 9(3), 309-336.

* Bulf C., Mathé A.-C., & Mithalal J. (2015). Langage et construction de connaissances dans une situation de résolution de problème en géométrie. *Recherches en didactique des mathématiques*, 35(1), 7-36.

* Duval, R. (1994). Les différents fonctionnements d'une figure dans une démarche géométrique. *Repères IREM*, 17, 121-138.

* Duval, R. (1995). *Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels*. Peter Lang.
Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l'apprentissage de la géométrie : développement de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 10*, 5-53.

Duval, R. (2018). Figures et visualisation géométrique: « voir » en géométrie. In R. Duval (Ed.), *Figure : du mot au concept* (p. 147-182). Presses Universitaires de Grenoble.

Guille-Biel Winder, C. (2014). Étude d'une situation de reproduction de figures par pliage en cycle 2 : le PLIOX. *Annales de didactique et de sciences cognitives, 19*, 103-128.

Guille-Biel Winder, C. (2021). Impact du langage de l'enseignant sur les relations entre les élèves et le milieu dans une situation d'action en géométrie. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 41*(1), 55-96.

Guille-Biel Winder, C. (2025). *Point de vue systémique sur l'enseignement et la formation des professeurs des écoles en mathématiques : modélisations, analyses, développement de ressources*. [Note de synthèse, Université d'Aix-Marseille]

Margolinas, C. (2004). *Points de vue de l'élève et du professeur. Essai de développement de la Théorie des situations didactiques*. [Note de synthèse, Université de Provence]

Margolinas, C., & Laparra, M. (2008). Quand la dévolution prend le pas sur l'institutionnalisation. In *Actes du colloque Les didactiques et leur rapport à l'enseignement et à la formation 2008*.

Mathé, A.-C., Barrier, T., & Perrin-Glorian, M.-J. (2020). *Enseigner la géométrie élémentaire. Enjeux, ruptures et continuités*. Académia-L'Harmattan.

Mathé, A-C., & Mithalal, J. (2019). L'usage des dessins et le rôle du langage en géométrie: quelques enjeux pour l'enseignement. In S. Coppé et al. (Eds.), *Nouvelles perspectives en didactique; géométrie, évaluation des apprentissages mathématiques* (p. 47-85). La Pensée Sauvage.

Rabardel P. (1995). *Les hommes et les technologies. Approche cognitive des instruments contemporains*. Armand Colin.
# CONTRATS FORTEMENT DIDACTIQUES ET RÉALITÉ DU TRAVAIL MATHÉMATIQUE

KUZNIAK<fnref n="1" /> Alain, MASSELIN<fnref n="2" /> Blandine

**Résumé** – Cette communication étudie la réalité du travail mathématique des élèves et des professeurs à travers le prisme des contrats fortement didactiques. En combinant des éléments de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) et de la Théorie des Espaces de Travail Mathématique (ThETM), elle identifie des contrats maïeutiques (fermés) et constructivistes (ouverts). Elle illustre la diversité du travail des élèves et la complexité de l'institutionnalisation dans les situations ouvertes. La pertinence de l'approche et ses implications pour la formation des enseignants sont discutées.

**Mots-clés** : Contrat fortement didactique, circulation du travail mathématique, contrats maïeutiques et constructivistes

Cette communication est proposée dans la Thématique 2 du colloque consacré à l'œuvre scientifique de Guy Brousseau. Elle s'inscrit, plus particulièrement, dans la perspective des évolutions ou des questionnements sur la Théorie des Situations Didactiques en relation avec d'autres approches théoriques et méthodologiques en didactique des mathématiques.

## INTRODUCTION

Nos recherches actuelles portent sur la réalité du travail mathématique produit par les élèves et les professeurs dans le cadre de l'enseignement. Pour étudier cette question, nous avons utilisé la notion de contrats fortement didactiques introduite par Brousseau (1997) comme une forme particulière de contrat didactique (Brousseau, 1986). Il s'agit de contrats associés à des stratégies d'enseignement dans lesquelles l'enseignant a véritablement l'intention de faire apprendre les mathématiques à ses élèves. Brousseau propose une catégorisation *a priori* de ces contrats, basée sur son expérience de l'enseignement élémentaire.

Dans Kuzniak et Masselin (2024), nous avons proposé une nouvelle catégorisation des contrats fortement didactiques en distinguant les contrats potentiels et les contrats effectifs observés lors de séances de classe construites et implémentées dans le cadre de Lesson Studies Adaptées (Masselin et al., 2022). Cette catégorisation précise également les formes de travail mathématique privilégiées qui rendent compte de l'effectivité et de la nature du travail mathématique accompli.

Ces recherches s'appuient sur différents outils et sur une méthodologie spécifique développés pour décrire les itinéraires et chemins qui apparaissent quand un enseignant (ou un collectif d'enseignants) planifie puis met en place une situation didactique basée sur une tâche riche. L'objet de cette communication est de présenter notre méthodologie et un certain nombre des résultats que nous avons obtenus.

## UN USAGE COMBINÉ DE LA TSD ET DE LA THETM

### Vers un codage des séances

L'étude est fondée sur l'observation et l'analyse de plusieurs préparations et mises en œuvre de deux tâches emblématiques. La première, le lièvre et la tortue (Masselin, 2020), propose une simulation d'une expérience aléatoire et elle met en jeu des modèles probabilistes (loi

<footnote n="1">¹ LDAR, Université Paris Cité – France – alain.kuzniak@u-paris.fr</footnote>

<footnote n="2">² LDAR, Université Paris Cité et IREM de Rouen – France – blandine.masselin@wanadoo.fr</footnote>
géométrique, loi binomiale). La seconde est consacrée à l'optimisation d'une aire de baignade et elle permet d'envisager des modèles géométriques variés. Pour son étude, des manuels scolaires proposant cette situation ont été analysés et différentes mises en œuvre ont pu être observées.

Grâce à l'utilisation combinée de la Théorie des Situations Didactiques et de la Théorie des Espaces de Travail Mathématique (ThETM) (Kuzniak et al., 2022), nous avons développé un codage (Figure 1) des séances observées. Il a ainsi été possible de coder les itinéraires prévus lors de la préparation des séances et les chemins réalisés lors de la mise en œuvre de ces situations. De cette façon, nous avons pu spécifier le type de travail mathématique potentiel et effectif mis en jeu.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 1 – Le codage</figcaption></figure>

En particulier, nous avons utilisé les notions d'institutionnalisation et de dévolution pour étudier la circulation du travail mathématique à travers les différentes composantes de l'ETM (voir le diagramme des ETM en annexe 1). La dévolution et l'institutionnalisation donnent des informations sur les responsabilités des enseignants au cours du travail effectué. La circulation du travail indique les genèses et plans de l'ETM privilégiés par les élèves et les professeurs. Nous utilisons également le contraste entre les phases d'actions des élèves (sans l'intervention de l'enseignant) et les phases de formulation de leurs résultats par les élèves (soit des formulations privées, soit celles soumises à l'enseignant).

Sur la base de ce codage, qui confère à chaque session un rythme et une identité spécifiques (Lefebvre, 1992), différentes formes d'enseignement ont émergé. Il a ainsi été possible de reconnaître et de caractériser différents contrats fortement didactiques. Dans ces contrats, l'intention du professeur d'enseigner les mathématiques et de développer un travail mathématique se montre clairement mais notre étude va plus loin en interrogeant la réalité et la nature du travail produit par les élèves.

## Vers une catégorisation des contrats fortement didactiques

La catégorisation obtenue (Figure 2) fait apparaître deux grands types de contrats fortement didactiques : les contrats maïeutiques (ou fermés) et les contrats constructivistes (ou ouverts). Les contrats maïeutiques sont basés sur une décomposition de la tâche initiale en une série de sous-tâches gérées par les professeurs grâce à une succession de dévolutions et d'institutionnalisations partielles. L'identification des genèses et des plans privilégiés dans la circulation du travail permet de distinguer différentes formes de contrats maïeutiques et de contrats constructivistes.
Le contrat socratique, ou maïeutique, repose sur une redécouverte guidée des connaissances. Les enseignants divisent la tâche principale en sous-tâches. Le contrat socratique peut être multilinéaire ou linéaire selon le degré de liberté accordé aux élèves. Nous avons observé une succession de schémas qui imposent fortement le rythme de la séance et caractérisent un contrat oscillant entre l'enseignant et l'élève : l'enseignant organise et dirige la séance, tandis que les élèves suivent et appliquent les directives de l'enseignant.

Les contrats constructivistes (ou ouverts) sont basés sur une dévolution ouverte et, généralement, sur une organisation des élèves en groupe. Le contrat constructif fait référence à une approche sociale et constructiviste de l'apprentissage, et nous avons observé une différence entre les contrats potentiel et effectif. Le contrat potentiel est conçu pour être ouvert et encourager les élèves à trouver leurs propres solutions, ce qui devrait idéalement les amener à construire ou identifier les connaissances ciblées. Cependant, le contrat didactique effectif proposé par le même professeur est un contrat constructif que nous qualifions de monitoré, où l'enseignant supervise et oriente le travail des élèves en choisissant par exemple un modèle qu'il impose progressivement à tous les groupes d'élèves. La diversité des modèles et la variété des preuves initialement possibles sont progressivement et strictement limitées à une simulation basée sur un seul modèle avec un seul artefact.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 2 – Les différents contrats fortement didactiques</figcaption></figure>

Selon le choix de l'enseignant, le code couleur du contrat peut changer. Il peut privilégier la dimension sémiotique et être basé sur la visualisation. Dans une autre forme, basée sur la leçon, l'enseignant privilégie la dimension discursive et insiste sur la preuve formelle. Enfin, il existe une forme de contrat centré sur la dimension instrumentale avec des dimensions de construction et de calcul.

Nos analyses ont aussi fait apparaître la place problématique et incertaine de l'institutionnalisation finale dans ce type de situations ouvertes. Elles nous conduisent à considérer cette institutionnalisation comme une situation d'enseignement particulière, associée à un contrat didactique spécifique.

## Sur une étude fine du travail de groupe des élèves

Comme le montre la Figure 3, nos analyses ont également permis une étude fine du travail produit par les différents groupes d'élèves. Ces analyses sont rendues possibles par la méthodologie mise en place lors des Lesson Studies Adaptées (Masselin, 2020).

Dans la classe observée, l'enseignant a proposé la tâche de l'aire de baignade sans orienter le travail mathématique mais en ajoutant une condition sur la loi que doit respecter une aire de baignade publique (annexe 2). Un groupe d'élèves (Figure 3) a utilisé les contraintes de l'énoncé pour déterminer l'aire minimale (80m²) et ensuite opté pour une zone de baignade en forme de carré, initiant un travail dans le plan sémiotico-discursif. Il conclut que le problème
est impossible et propose sa solution à l'observateur du groupe. Celui-ci relance l'activité de manière ouverte en disant : « Il n'y a pas que des carrés comme zone. »

Dans l'épisode 2, le groupe a envisagé des rectangles dont la somme des trois dimensions faisait 25m (celle de la ligne d'eau), calculé leurs aires et observé que l'aire était maximale pour une largeur du rectangle entre 7m et 8m. Dans l'épisode 3, les élèves utilisent internet et découvre l'intérêt de mettre le problème en équation mais ils restent bloqués pour le résoudre.

Dans le dernier épisode, l'observateur suggère d'utiliser Geogebra et oriente ainsi le travail dans la dimension instrumentale. Grâce à la construction d'un fichier Geogebra, en saisissant la fonction aire, et en étudiant la position de la courbe par rapport à la droite d'équation y = 80, le groupe conclut que la loi ne peut pas être respectée en choisissant une zone rectangulaire.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>**Figure 3 –** Codage du travail effectué par un groupe d'élèves</figcaption></figure>

Les sept groupes observés ont tous produit des solutions différentes. Le codage global de la séance révèle des circulations du travail très variées. Nous considérons le contrat fortement didactique observé de cette séance comme un contrat ouvert monitoré de manière différencié en fonction des groupes. L'harmonisation ne s'est faite qu'au moment de clore la séance, où le travail du groupe 4 a été montré comme modèle à tous les élèves.

## DISCUSSION ET PERSPECTIVES

Nous discuterons de nos résultats et, plus largement, de la pertinence de notre approche, qui combine deux théories, ainsi que de son impact sur l'évolution du sens donné à différents concepts de la TSD et de la ThETM, contrats didactiques, dévolution et institutionnalisation, circulation du travail, etc. Nous nous interrogerons sur la portée et la légitimité de ces évolutions.

Nous discuterons également de la classification des contrats fortement didactiques que nous avons obtenue et développerons certaines questions qui sont apparues lors de cette recherche. En particulier, nous reviendrons sur les contrats constructivistes (ou ouverts) en montrant la diversité et la sensibilité de ces contrats en fonction du type de monitorage utilisé par les
professeurs. Nous envisagerons également la place particulière des contrats basés sur des
situations a-didactiques construites sur les rétroactions du milieu et la prédominance de la
dimension instrumentale.

Nous nous intéresserons également aux contrats maïeutiques (ou fermés), qui sont les plus
fréquemment observés dans les classes ordinaires (Perrin-Glorian & Hersant, 2003). Pour finir,
nous envisagerons avec les participants les usages possibles des différents outils développés
lors de cette recherche (en particulier le codage et la classification) pour la recherche et la
formation des enseignants.

RÉFÉRENCES

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques*, 7(2), 33-115.

Brousseau, G. (1997). Théorie des situations didactiques, le cours de Montréal. https://guy-brousseau.com/1694/la-theorie-des-situations-didactiques-le-cours-de-montreal-1997/

Kuzniak, A., Montoya Delgadillo, E., & Richard, P. (2022). *Le travail mathématique en contexte éducatif : la perspective de la théorie des espaces de travail mathématiques*. Springer. https://10.1007/978-3-030-90850-8

Kuzniak, A. & Masselin, B. (2024). Strongly didactic contracts and mathematical work. *Educational Studies in Mathematics*. *Educational Studies in Mathematics*, *115*(2), 289–312.
https://doi.org/10.1007/s10649-023-10286-1

Lefebvre, H. (1992). *Eléments de rythmanalyse. Introduction à la connaissance des rythmes*. *Syllapses*.

Masselin, B. (2020). Dynamique du travail mathématique en classe entre un enseignant et des groupes d'élèves sur la simulation en probabilités : une étude de cas. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives*, *25*, 49-88. https://doi.org/10.4000/adsc.529

Masselin, B., Hartmann, F. & Artigue, M. (2022). Étude du rôle des facilitateurs dans un dispositif de Lesson Study adapté. *Annales de didactique et de sciences cognitives, numéro thématique « Les pratiques de formation à l'enseignement des mathématiques. Une approche par la recherche en didactique* », 1, 213-260. https://doi.org/10.4000/adsc.1816

Perrin-Glorian, M. J., & Hersant, M. (2003). Milieu et contrat didactique, outils pour l'analyse de séquences ordinaires. *Recherches en didactique des mathématiques*, 23(2), 217-276.

ANNEXES

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Annexe 1 : Diagramme des Espaces de Travail Mathématique (Kuzniak & Masselin, 2024)</figcaption></figure>
Annexe 2 : Situation « aire de baignade » donnée dans la Lesson Study adaptée observée

Les moniteurs d'une colonie de vacances souhaitent amener 120 enfants se baigner tous ensemble dans un lac. Pour délimiter une aire de baignade, ils disposent d'une ligne d'eau de longueur 25m.

Article D1332-10 Transféré par Décret n°2008-990 du 18 septembre 2008 - art. 1 Modifié par Décret n°2006-676 du 8 juin 2006 - art. 2 () JORF 10 juin 2006 (extrait)

La fréquentation maximale instantanée en baigneurs présents dans l'établissement ne doit pas dépasser trois personnes pour 2 mètres carrés de plan d'eau en plein air et une personne par mètre carré de plan d'eau couvert.

Pourront-ils respecter la législation ?
(SE) RESPONSABILISER DANS L'ACTION CONJOINTE : CONTRIBUTION D'UNE DIDACTIQUE DES AJUSTEMENTS DANS L'ACTION CONJOINTE AU TRAVAIL SUR LA DÉVOLUTION

LE PAVEN JARNO Maël<fnref n="1" />

**Résumé/Abstract/Resumen** – Cette communication explore comment les ajustements conjoints entre professeurs et élèves favorisent leur responsabilisation dans leurs apprentissages. À travers des études de cas en éducation musicale (trompette) et en éducation physique et sportive (EPS – lancer du disque), il analyse les ajustements sémiotiques, épistémiques et transactionnels qui favorisent la dévolution. Les résultats montrent que ces ajustements permettent une appropriation progressive des savoirs et une autonomie accrue des élèves./ This presentation explores how joint adjustments between teachers and students foster their empowerment in learning. Through case studies in music education (trumpet) and physical education and sports (discus throw), it analyzes the semiotic, epistemic, and transactional adjustments that support devolution. The results show that these adjustments enable a progressive appropriation of knowledge and increased student autonomy./ Esta presentación explora cómo los ajustes conjuntos entre profesores y alumnos favorecen su responsabilización en el aprendizaje. A través de estudios de caso en educación musical (trompeta) y en educación física y deportiva (lanzamiento de disco), analiza los ajustes semióticos, epistémicos y transaccionales que favorecen la devolución. Los resultados muestran que estos ajustes permiten una apropiación progresiva de los conocimientos y una mayor autonomía de los alumnos.

**Mots-clés/Keywords/Palabras clave:** dévolution, ajustements, responsabilisation, action conjointe, sémiose/ devolution, adjustments, empowerment, joint action, semiosis/ devolución, ajustes, responsabilización, acción conjunta, semiosis

INTRODUCTION

L'enseignement-apprentissage repose sur des ajustements conjoints (Le Paven Jarno, 2025) entre professeurs et élèves, essentiels à l'acquisition des savoirs. La théorie de l'action conjointe en didactique (e.g., Sensevy, 2011) modélise ces interactions comme un jeu où les actions de l'un influencent celles de l'autre. Dans cette conception, la dévolution (Brousseau, 1998) apparaît comme la capacité du professeur à amener l'élève à assumer la résolution d'un problème par lui-même en acceptant ce jeu et ses conséquences. À travers ce jeu, la confrontation au milieu est source de (ré)ajustements multiples, touchant notamment aux stratégies d'enseignement et d'apprentissage, aux savoirs, contenus, signes, attentes et objets en jeu dans les transactions didactiques ... Le milieu fait lui aussi l'objet d'ajustements de manière à assurer une dévolution réussie au vu des apprentissages attendus. Cette communication explore comment la responsabilisation des élèves dans leurs apprentissages émerge de ces ajustements dans l'action conjointe avec leur professeur. À travers deux études de cas, l'étude interroge la manière dont ces ajustements favorisent la dévolution pour responsabiliser graduellement les élèves dans leurs apprentissages. Nous nous concentrons sur les dimensions épistémiques (savoirs et connaissances en jeu), sémiotiques (signes produits par le professeur et les élèves) et transactionnelles (stratégies mises en œuvre dans les interactions didactiques), touchant alors aux ajustements du milieu en lien avec ceux du contrat.

<footnote n="1">¹ Centre de Recherche sur l'Education, les Apprentissages et la Didactique, Université de Bretagne Occidentale – France – mael.lepavenjarno@univ-brest.fr</footnote>
CADRAGE THÉORIQUE

Cette communication aborde la responsabilisation des élèves dans leurs apprentissages au
prisme de la dévolution, travaillée par la théorie des situations didactiques, en soulignant la
nécessité d'une responsabilisation progressive dans ces apprentissages pour favoriser
l'autonomie des élèves (Louis et al., 2025). La responsabilisation passe par un engagement actif
des élèves dans l'exploration de nouvelles opportunités d'apprentissage (Sensevy, 2011). Le
professeur doit jouer sur la rétroactivité du milieu (Brousseau, 1998) pour orienter les stratégies
par lesquelles les élèves l'explorent et se l'approprient. Les (ré)ajustements du milieu
(mésogenèse), des rôles (topogenèse) et de l'avancée des savoirs (chronogenèse) (triplet de
genèses – Sensevy, 2011) construisent dans l'action conjointe une relation de confiance et de
co-responsabilisation épistémiques et transactionnelles (Collectif Didactique pour Enseigner
[CDpE], 2019). Cette relation rend assumable et exigible le fait de rendre compte de ce qui est
ou doit être pris en compte pour agir, de la manière de le prendre en compte et de tenir compte
des conséquences occasionnées. La sémiose, vue comme la production réciproque de signes
relatifs à ces dimensions (ibid.), permet d'évoluer dans la compréhension et le travail des
problèmes. Dans cette conception, le processus de dévolution s'appuie sur trois types
d'ajustements interdépendants : sémiotiques, épistémiques et transactionnels (Le Paven Jarno,
2025). Comment ces ajustements, dans l'action conjointe entre enseignants et élèves, favorisent-
ils la responsabilisation des élèves dans leurs apprentissages ? De quelle manière participent-
ils à une dévolution réussie dans des contextes éducatifs en EPS et en éducation musicale, où
la dimension corporelle et sensible des savoirs est centrale ?

MÉTHODOLOGIE

Nous analysons la manière dont ces ajustements traduisent une progression des transactions au
fil du processus de définition, de dévolution, de régulation et d'institutionnalisation (quadruplet
structurant l'action professorale d'après Sensevy, 2011) de manière à responsabiliser les élèves
dans l'apprentissage de la trompette en CM1 (Dispositif d'Education Musicale et Orchestrale à
vocation Sociale – DÉMOS) et du lancer du disque en terminale. Les données ont été recueillies
par des captations vidéo (plans large et rapproché) sur six séances consécutives et des entretiens
avec les enseignants et les élèves. L'analyse a suivi plusieurs étapes : indexation chronologique,
sélection d'épisodes critiques révélant des moments-clés de dévolution, transcription
multimodale intégrant verbalisations et actions corporelles et organisation en synopsis
didactique (Schneuwly, Dolz & Ronveaux, 2006).

Les ajustements ont été étudiés selon trois indicateurs : sémiotiques (modalités de
communication verbale et gestuelle), épistémiques (savoirs et connaissances en jeu) et
transactionnels (évolution des interactions professeurs-élèves et élèves-élèves). Nous avons
examiné leurs déclencheurs spécifiques (difficultés et obstacles rencontrés), modalités
d'expression (dans les interventions professorales et les interactions) et effets, notamment sur
la dévolution et la responsabilisation. Les ajustements épistémiques se manifestent dans les
variations techniques des pratiques des élèves examinées à travers des indicateurs de
performance (amplitude des mouvements, qualité sonore), les ajustements transactionnels dans
les objets et modalités de prise en compte des éléments utiles pour (inter)agir, et les ajustements
sémiotiques dans les signes de (mise en) compréhension et d'orientation de la pratique,
observés à travers la transformation des systèmes de représentation partagés.
# RÉSULTATS

## *Apprentissage de la trompette*

L'étude porte sur une séquence d'apprentissage axée sur la maîtrise du souffle. L'analyse révèle une progression des ajustements sémiotiques, épistémiques et transactionnels qui soutiennent la construction d'une responsabilisation conjointe entre la professeure et ses élèves. Lors de la troisième séance, la professeure, Louise, constate que la plupart des élèves manquent de souffle pour terminer une phrase musicale. Cette phrase, composée de huit notes, requiert un contrôle précis des expirations successives. Louise décide alors de mettre en place une situation pour remédier à cette difficulté, en s'appuyant sur des éléments susceptibles de générer des rétroactions permettant aux élèves d'ajuster leur jeu à la trompette. La séance débute par une identification partagée de la difficulté des élèves à moduler la quantité d'air à expirer pour réussir à terminer la phrase musicale. Louise introduit alors un geste technique, celui du « service-cuiller » au tennis, qu'elle mime face aux élèves afin de leur apprendre à contrôler leurs expirations sur les huit temps expiratoires consécutifs correspondant aux notes à jouer selon un rythme accéléré. Elle associe pour cela ces huit temps à ceux du lever ascensionnel de son bras droit, qui mime le geste de service en insistant sur le lien entre la modulation du rythme et des quantités d'air à expirer sur chaque temps selon ce rythme. Cette stratégie sémiotique favorise la structuration d'un milieu reposant sur des contraintes perceptives et rythmiques, permettant d'appréhender les modalités de contrôle des expirations. Les rétroactions internes (ressentis des mouvements corporels) et externes (écoute de la justesse et de la tenue des sons émiss) participent à construire les conditions de nécessité du savoir visé : la gestion fine du souffle selon des temps musicaux donnés.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>**Figure 1 – Le « service-cuiller » pour travailler le contrôle des temps expiratoires**</figcaption></figure>

Légende : i. vignettes : 1. engagement du mouvement et inspiration ; 2. amorce de la remontée du bras droit et de l'extension du corps (en apnée) ; 3. extension du corps et élévation du bras droit en huit temps, associés aux temps d'expiration correspondant à ceux de la phrase musicale ; ii. flèche horizontale orangée : déplacement de la main gauche de la professeure le long du ventre ; iii. flèches courbes bleues : déplacement du bras droit ; iv. flèches verticales rouges : flexion-extension du corps ; numéros 1 à 8 (en bleu) : hauteurs des notes associées aux huit temps correspondants
Ce mime met en œuvre des ajustements sémiotiques fondamentaux, dans une démonstration visant à faire comprendre aux élèves les nécessités à intégrer pour souffler selon des niveaux d'intensité adaptés à chaque expiration. Les élèves s'engagent dans le jeu didactique, mais la diversité des signes produits par Louise rend le milieu opaque pour une compréhension suffisamment profonde du jeu d'imitation (CdPE, 2019) qu'elle tente de mettre en place. Certains élèves lèvent brusquement leur bras droit en apnée, faisant signe de leur attention à ce qu'il y a à faire, sans pour autant saisir la subtilité du problème et de la manière de le résoudre. En réponse à cette difficulté, Louise enrichit le milieu en intégrant le chant des notes et en invitant les élèves à synchroniser souffle et geste. Les élèves commencent alors à moduler l'amplitude de leurs gestes en fonction de l'intensité de l'expiration. Louise ajuste sa manière de réguler la pratique des élèves pour leur faire comprendre les relations entre gestes, souffle et production sonore. Les vidéos montrent une réduction progressive de ses interventions, favorisant l'observation et des retours ciblés. L'évolution des ajustements sémiotiques se manifeste par une dynamique contractuelle non verbale entre élèves et avec leur professeure, qui rejaillit sur la manière dont les élèves s'observent et s'aident en régulant la pratique de leurs camarades.

L'institutionnalisation des ajustements dans une culture partagée se reflète à travers les interactions entre élèves, qui justifient leurs choix et partagent une compréhension fine des conditions de réussite. En fin de séquence, tous les élèves terminent la phrase musicale avec un souffle maîtrisé et précisément ajusté. Cet exemple illustre les étapes par lesquelles les élèves cherchent à signifier leur pratique et sa compréhension, reflétant l'intégration progressive des conditions nécessaires aux appropriations attendues, dans une logique de co-responsabilisation croissante.

## *Apprentissage du lancer du disque*

L'analyse des données sur l'apprentissage du lancer du disque révèle également une évolution des ajustements sémiotiques, épistémiques et transactionnels, menant à une responsabilisation conjointe entre le professeur et les élèves. Lors d'une leçon sur la coordination des actions du bas et du haut du corps, le professeur, Éric, remarque que les élèves les moins expérimentés lancent le disque prématurément avec leurs bras. Il leur rappelle qu'il faut attendre la fin de l'action des jambes avant de déclencher le geste final avec les bras. Éric compare l'éloignement du bras au lancer du disque à la propulsion d'une pierre avec une fronde, mais cette analogie ne fonctionne pas pour les élèves qui ne parviennent pas à faire pivoter leur pied droit, dont la pose à plat au sol bloque l'avancée de la hanche droite, empêchant le bassin de se tourner face à la direction du lancer. Pour compenser ce problème d'avancée, ils basculent leurs épaules vers leur gauche, ce qui raccourcit le rayon de rotation du disque. Ce mouvement compensatoire, appelé « tirage », empêche l'appropriation du principe d'éloignement nécessaire à l'accélération attendue.

Éric organise sa classe par trinômes pour enquêter sur la cause de cette « bascule » des épaules, collectivement identifiée. Cependant, les élèves ne parviennent pas à identifier cette cause. Le professeur associe alors la consigne d'éloignement du disque à un mime du mouvement de poussée-rotation du pied droit le talon décollé du sol, mais ce mime ne porte pas ses fruits. Certains élèves ne perçoivent pas cette action du pied droit et d'autres ne l'intègrent pas aux régulations de la pratique de leurs camarades au sein des trinômes.

Suite à cet échec, le professeur introduit une métaphore inédite : celle du « cormoran séchant ses ailes ». Cette image, familière (les élèves, qui vivent en bord de mer, connaissent l'attitude typique de cet oiseau marin aux ailes non étanches), est utilisée pour faire signe du contraste entre le relâchement du haut du corps avec les bras écartés et la « solidité » des appuis sur les
plantes de pied, nécessaires à leur action de « pivot-soulevé ». L'introduction de cette image génère une réorganisation du milieu didactique basée sur la sémiose de ce contraste et des contraintes de réalisation à prendre en compte pour réussir l'imitation. L'efficacité de cet ajustement, par la mise au travail de l'analogie entre le cormoran et le discobole, devient rapidement visible. Même les élèves ayant le plus de difficultés s'approprient le geste dans un jeu d'imitation dirigé par Éric. L'utilisation de pressions manuelles sur les épaules des élèves contribue à l'assimilation des principes d'action en jeu, en faisant ressentir aux élèves la manière dont la mise en pression des appuis plantaires contribue à améliorer la transmission étagée des forces du bas vers le haut du corps et l'arrière vers l'avant, pour pousser et orienter correctement le bassin afin d'éviter le « tirage ». L'ajustement du geste par les élèves repose alors sur leur capacité à intégrer la forme globale du cormoran à des actions locales, également pointées par Éric. Comme dans l'enseignement de la trompette, le jeu d'imitation devient efficace grâce à l'enrichissement sémiotique et épistémique de la forme-représentation mise en scène par le professeur.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>**Figure 2** – Comparaison de l'écartement des bras du discobole à celui des ailes d'un cormoran</figcaption></figure>

Légende : i. en jaune orangé : posture d'« écartement » du disque calquée sur la position du cormoran ; ii. en vert : représentation du disque tenu par le bras droit du lanceur

Le travail du professeur, en interaction avec les essais des élèves, conduit à une explicitation collective des éléments pertinents du geste, lesquels sont progressivement validés et stabilisés au sein de la classe. Ce processus de clarification partagée des conditions d'efficacité de la réalisation du geste, et de sa verbalisation sous forme de principes d'action, relève d'un moment d'institutionnalisation au sens de la TSD, dans la mesure où le professeur reprend à son compte certains savoirs construits dans l'action pour en assurer la reconnaissance, la mise en mots et l'inscription dans un cadre de référence commun. Cette progression, déclenchée par l'identification d'un obstacle à l'apprentissage, montre comment Éric réajuste son enseignement et comment les élèves réajustent leur geste dans l'action conjointe avec leur professeur. La métaphore du cormoran agit ainsi comme un milieu restructurant la pratique et les interactions, ce qui permet la construction d'une grammaire des transactions didactiques ajustée à la situation. L'institutionnalisation relève alors d'un processus dynamique et co-construit dans
l'articulation entre une manière partagée de « dire ce qu'on fait » et de « faire ce qu'on dit » (Le Paven Jarno, 2025).

## DISCUSSION ET CONCLUSION

L'étude met en évidence la construction de la responsabilisation des élèves à travers l'action conjointe avec leur professeur et leurs pairs. Elle souligne le rôle des références communes dans les ajustements sémiotiques, épistémiques et transactionnels, enrichissant le rapport aux savoirs et à l'autre dans le savoir (Sensevy, 2011). La co-responsabilisation se traduit par une autorégulation entre pairs, soutenue par l'ajustement de la dévolution aux capacités des élèves et aux problèmes rencontrés.

L'institutionnalisation prépare à de nouveaux apprentissages en articulant progression individuelle et construction collective des savoirs. Les résultats approfondissent ainsi la compréhension de la dévolution dans l'action conjointe, en montrant comment la responsabilisation progresse par une série d'ajustements transformant les pratiques des élèves et l'intervention professorale. Cette approche conduit à questionner le concept de milieu au-delà d'un système antagoniste produisant des rétroactions nécessitant la mobilisation de connaissances spécifiques. Elle pointe les reconfigurations du milieu par les ajustements sémiotiques et épistémiques. Les métaphores n'agissent pas comme des milieux antagonistes prédéfinis, mais comme des ressources enrichissant progressivement les conditions de nécessité des savoirs visés.

Leur prise en compte offre des perspectives pour la formation des enseignants, dans un contexte de post-vérité où la responsabilisation devient un défi majeur. Pour le relever, requestionner les conditions de la dévolution des apprentissages comme processus ajusté et ajustable, devient particulièrement prégnant.

## RÉFÉRENCES

- Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage.

- Collectif Didactique pour Enseigner (2019). *Didactique pour enseigner*. Presses universitaires de Rennes.

- Le Paven Jarno, M. (2025, à paraître). Explorer la dimension (trans)actionnelle du contrat didactique : contribution d'une didactique des ajustements dans l'action conjointe. *Didactique. Apprentissage et enseignement, 6*(1). [en ligne] https://revuedidactique.uqam.ca/revuedid

- Louis, F., Jambois, N., Boiron, M., [auteur], Pescara, S., Le Guennec, G., Merle, A.-L., Ollivier, H., & Gélébart, G. (2025). *La responsabilisation des élèves au sein du LéA RECAL*. Rencontre internationale des LéA, Lyon, 21 mai 2025.

- Schneuwly, B., Dolz, J., et Ronveaux, C. (2006). Le synopsis : un outil pour analyser les objets enseignés. Dans M.-J. Perrin-Glorian & Y. Reuter (Ed.), *Les méthodes de recherche en didactiques* (pp. 175-189). Presses universitaires du Septentrion.

- Sensevy, G. (2011). *Le sens du savoir. Éléments pour une théorie de l'action conjointe en didactique*. De Boeck.
# SOUVENIR DE LA MÉMOIRE DIDACTIQUE DE L'ENSEIGNANT

MATHERON Yves<fnref n="1" />

**Résumé** – Partant d'un travail fondateur en TSD (Centeno et Brousseau), ce texte revient sur le thème de la mémoire didactique du professeur de mathématiques. Il interroge les concepts sous-jacents et les relie, d'un point de vue anthropologique, aux travaux menés conjointement avec Andrea Araya sur des classes « ordinaires ». Il recense enfin quelques questions restées vives en TSD, pouvant être abordées depuis le thème de la mémoire.

**Mots-clés** : mémoires, enseignant, gestion, milieu, mathématiques.

## MÉMOIRE DE L'ENSEIGNANT ET D'AUTRES INSTANCES

### Bref retour sur le travail de Julia Centeno

En théorie des situations didactiques (TSD), bien que le thème ait été travaillé très tôt par G. Brousseau (1981/1998), puis dans un article de 1991 co-signé avec Julia Centeno, les recherches sur la mémoire didactique, dont M-J. Perrin-Glorian (1994) donne une synthèse, sont principalement attachées au nom de Julia Centeno. Sa thèse posthume inachevée, éditée en 1995, porte sur *La mémoire didactique de l'enseignant*. Son projet était sans doute plus vaste, au-delà du seul cas de l'enseignant, puisqu'elle écrivait, p. 196 : « On pourrait traiter toute la didactique sous ce terme de mémoire. »

Dès l'abord du thème, l'enseignant joue un rôle central. « Le maître est la mémoire de référence de la classe. Il se souvient des conventions, des accords et des faits pertinents. Il les rappelle à bon escient. C'est par ce rôle qu'il commande et contrôle les apprentissages », écrit Guy Brousseau dans l'un des premiers numéros de RDM (1981/1998).

La fonction assignée à la mémoire – réguler le système –, est donnée par J. Centeno, p. 154 : « Un système à mémoire est caractérisé pas sa capacité à régler l'intervention du passé dans le présent ». L'enseignant, qui « commande et contrôle les apprentissages », joue ce rôle régulateur en tant que « mémoire de référence de la classe ». Les observations empiriques faites par J. Centeno sur l'enseignement des fractions se déroulent à Talence, au COREM, et à Logroño, en Espagne, dans des classes ordinaires. A Talence la proposition, issue de *Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire*, est bâtie sur des analyses à la fois mathématiques – décimaux, rationnels, grandeurs, etc. – et didactiques : situations fondamentales, didactiques et adidactiques. A Logroño les maîtresses s'appuient sur « des manuels, des fiches » ; autrement dit sur des propositions venues des noosphères, qu'elles ont adaptées. D'où une question : existe-t-il des techniques communes de gestion enseignante de la mémoire dans des situations didactiques si dissemblables, et si oui pourquoi ?

### La mémoire didactique au-delà de celle de l'enseignant

Les sciences humaines ont montré que les institutions façonnent les pensées et les mémoires des personnes : on se souvient en « se replaçant au point du vue du groupe » écrivait Halbwachs (1925/1994). Elles conditionnent aussi les outils mémoriels que l'on y rencontre. Suivant cette direction, dans une institution didactique où le travail se répartit schématiquement en enseignement et étude, les mémoires devraient se spécifier selon les fonctions différenciées

<footnote n="1">¹ Département IRES Aix-Marseille Université – France – yves.matheron@gmail.com</footnote>
propres au professeur, à l'élève, au milieu, aux connaissances, au savoir, etc. Aussi, avons-nous proposé un modèle de la mémoire plus général, dans un cadre anthropologique, pouvant embrasser un large pan des activités auxquelles s'adonnent les Hommes (Matheron, 2009), au-delà de celles d'enseignement, mais se spécifiant pour le didactique. On distingue ainsi trois catégories mémorielles.

Tout d'abord une mémoire institutionnelle qui est *mémoire d'un savoir*. Les mathématiques didactiquement transposées transportent avec elles les questions dont elles sont historiquement des réponses et les outils pour ces réponses. La transposition didactique en contient des traces parfois oubliées. Ainsi, par exemple, de l'expression « produit des extrêmes et des moyens », associée à l'écriture *a : b :: c : d* qui n'a plus cours, ou du terme *dérivée* en lycée, venu de Lagrange et des développements en série, non enseignés. Les propositions d'ingénieries didactiques soucieuses de l'épistémologie des mathématiques, conservent et actualisent la mémoire de certaines questions auxquelles répond la notion mathématique considérée.

Puis une *mémoire pratique*, de nature variable, car mobilisée par la personne qui s'engage dans une tâche, reconnue ou nouvelle, au sein d'une activité quelle qu'elle soit. Elle recourt pour cela à des techniques plus ou moins bien mémorisées et maîtrisées, mais qu'il lui faut solliciter. Enfin une mémoire d'objets ou de pratiques délibérément *donnée à voir* à d'autres par des gestes et des moyens appropriés dans une institution : c'est une *mémoire ostensive*.

La gestion mémorielle de l'enseignant, visant « l'intervention du passé dans le présent », relève de ces trois catégories : qu'il « prépare son cours » en poursuivant la transposition didactique, ou qu'il enseigne. Suivant l'étymologie *d'enseigner* – faire connaître par un signe, une indication –, et parce qu'un geste mémoriel consiste aussi à « montrer », l'enseignant use davantage en classe de la mémoire ostensive.

## RETOUR SUR LA MÉMOIRE DIDACTIQUE DE L'ENSEIGNANT

### *Des mémoires externes au système pour des situations sur-didactiques*

Dans la structuration du milieu, étendue aux niveaux sur-didactiques par Margolinas (1995), les milieux sont constitués de situations de niveau inférieur ($M_n = S_{n-1}$). Les situations $S_n$ peuvent référer à l'amont, à l'aval ou au temps de la classe. L'intervention de $S_{n-1}$ pour le milieu $M_n$ de la situation $S_n$ nécessite une mémoire.

Donner une définition générale des milieux sur-didactiques nécessite de les considérer en partie faits de rapports personnels épars du professeur, établis lors de sa trajectoire interinstitutionnelle, qui constituent son « épistémologie spontanée » (Brousseau, 1998). Il s'est assujetti à des institutions diverses. Il a pu y enseigner, vivre des épisodes de classe marquants ou routiniers, participer à des formations, des conseils pédagogiques, des conversations, etc. Ses rapports personnels peuvent être faits de souvenirs de positions occupées, observées, évaluées dans des systèmes didactiques ou non, à l'occasion de situations adidactiques, didactiques ou pas. Les situations au sein desquelles des rapports ont été établis, et qui le constituent comme personne occupant la position d'enseignant, sont temporellement éloignées, souvent oubliées. Seules subsistent des composantes d'organisations mathématiques et didactiques plusieurs fois rencontrées.

Début 2000, observant en classe un professeur de Terminale S sur le logarithme népérien, celui-ci propose aux élèves un assortiment d'équations du type $\ln A(x) + \ln B(x) = \ln C(x)$ et $\ln[A(x) \times B(x)] = \ln C(x)$, avec A, B et C binômes du 1er degré. En entretien, il justifie son choix par le souvenir d'un « vieux » baccalauréat qu'il avait corrigé : des élèves « avaient oublié » les ensembles de définition des logarithmiques. Sa volonté de faire travailler ce point par des élèves est alors portée par la mémoire qu'il conserve d'un épisode passé. Sur cet exemple, en
position sur-didactique, l'expression de ses rapports s'est faite *mémoire pratique* et *mémoire d'un savoir*. Il recourt à une *mémoire pratique* pour le type de tâches « choix d'exercices ». Mais c'est aussi la *mémoire d'un savoir* didactique, si l'on considère qu'enseigner s'appuie sur un savoir ou, à défaut, sur des connaissances.

La mémoire de l'enseignant est ainsi à indexer sur des positions institutionnelles en partie externes, mais importées dans le système didactique lui-même. L'étude de l'enseignant doit alors prendre en compte les conversions didactiques d'assujettissements extérieurs au système. La didactique, en intégrant une dimension macrodidactique, rejoint en ce point la sociologie et l'anthropologie, tout en conservant sa spécificité propre à l'étude d'un savoir.

## Divers types de gestes mémoriels de l'enseignant

Nous avons observé et analysé, avec Andrea Araya, des séquences d'enseignement secondaire « ordinaire » des mathématiques en France et au Costa Rica. La méthodologie utilisée est de type clinique (Leutenegger, 2009) : la transcription de séances permet de repérer des traces de faits qui font signe après confrontation au cadre théorique. En retour, ils permettent de l'enrichir.

Les principales fonctions des appels mémoriels par l'enseignant sont relatives au milieu (construction, délimitation, dévolution, maintien de l'action des élèves, prise en compte des rétroactions) et à l'institutionnalisation (ce dont il faut se souvenir et oublier, résultant d'une étude). Le milieu est en grande partie constitué de l'appel à des rapports personnels supposés stabilisés (Chevallard, 1992). L'institutionnalisation est portée par « le cours » écrit ou oralisé. S'il existe une généricité des gestes mémoriels de l'enseignant de mathématiques, elle est néanmoins conditionnée par la forme socialement attendue de l'enseignement et par les assujettissements extérieurs des professeurs. Dans ce cadre, à partir d'observations des « maîtres à mémoire », nous avons pu définir un système institutionnel de repérage du passé didactique contractuellement supposé commun ; en réalité différencié selon les positions antérieurement occupées dans le système (Araya & Matheron, 2015). Deux grandes catégories de gestes mémoriels ont été identifiées. D'une part ceux en lien direct avec les éléments d'organisations mathématiques, les ostensifs et « la taille » de ces organisations : sujet, thème, secteur, domaine. D'autre part ceux qui évoquent le passé didactique ou non, réel ou non, de la classe : une situation, un événement. Sont sommairement mentionnés ci-dessous quelques-uns de ces gestes mémoriels, ainsi que leur fonction.

Dans la première catégorie on trouve des gestes techniques (qui appellent une mémoire pratique), technologiques (un théorème évoque l'environnement des types de tâches et techniques qu'il justifie et produit), producteurs d'ostensifs « détonateurs » (car à forte valeur sémiotique, comme un triangle coupé par une parallèle à la base), les marqueurs chronologiques (souvent fictifs, propres au temps didactique, du type « l'an dernier on vous a dit ceci sur cette notion... »).

Dans la deuxième catégorie on trouve les gestes de fixation (identifier ce qui est censé être connu : un milieu, une situation, une institutionnalisation), de replacement (évoquer l'histoire de classe pour se replacer dans des positions en rapport avec une situation ou une organisation mathématique antérieures, cf. exemple ci-dessous).
## *Un exemple*

Nous avons construit à l'IREM d'Aix-Marseille<fnref n="1" /> une ingénierie didactique sur l'enseignement des nombres relatifs. Dans un premier temps, ils sont rencontrés comme opérateurs additifs facilitant des calculs, puis deviennent des nombres sur et grâce auxquels opérer. Tout d'abord les élèves de 5e (élèves de 12-13 ans) calculent « mentalement », sans rien écrire que le résultat, des expressions comme $114 + 17 - 15$ ; $1802 + 319 - 315$ ; $4374 + 62 - 61$. Ils s'aperçoivent que le plus simple consiste à calculer la différence des deux derniers nombres et à l'ajouter au premier. Arrive alors le calcul : $4374 + 61 - 62$.

Des élèves énoncent qu'il faut soustraire 1 à 4374. Mais utiliser la technique précédente revient à calculer en priorité 61 – 62, type de soutractions que, contractuellement, les élèves « ne savent pas » effectuer, puisque l'apprendre est l'un des objectifs d'enseignement. La professeure demande de justifier la soustraction de 1 qui pose donc problème. La classe se lance dans la recherche. C'est alors que la professeure intervient. Se trouve ci-dessous la retranscription de l'épisode, filmé à l'automne 2014 :

P : « On pourrait peut-être pour essayer de valider ce résultat, de remettre en œuvre là, une méthode que vous avez déjà utilisée quand vous étiez petits, en calcul mental... enfin petits, vous le faites peut-être encore, attention !... C'est une méthode que vous avez déjà utilisée... »
Son propos constitue un geste de replacement. Il vise à faire se remémorer par les élèves deux techniques : de décomposition additive d'un nombre, enseignée au CP (élèves de 6-7 ans), et « d'emprunt » en CE1 & CE2 (élèves de 7-9 ans). Au CE, dans l'algorithme de soustraction avec retenue, la technique est appelée « méthode par emprunt » car on « emprunte » une unité des dizaines d'ordre supérieur pour rendre la soustraction d'ordre inférieur possible. P attend dans le cas présent :

$$4374 + 61 - 62 = 4373 + (1 + 61) - 62 = 4373 + (62 - 62) = 4373.$$

Il ne s'agit pas de replacer les élèves dans des situations rencontrées cinq à sept ans plus tôt, « quand vous étiez petits, en calcul mental », que beaucoup ont logiquement oubliées. Le « replacement » consiste plutôt à se remémorer une organisation mathématique autour des soutractions, comme « vous le faites peut-être encore ». Le « replacement » indique ici le recours à l'élément technique d'une organisation mathématique afin de résoudre une tâche nouvelle et problématique.

## QUESTIONS... À REVIVIFIER !

### *Un thème peu travaillé*

Au cours des années qui ont suivi le travail de J. Centeno, et au sein de diverses approches théoriques en didactique, l'étude du système didactique s'est, bien entendu, développée. Mais à ma connaissance, hormis le travail que j'ai pu mener et certaines des thèses que j'ai dirigées, peu de travaux ont rencontré le thème de la mémoire didactique. On peut citer la reprise par G. Sensevy, dans divers articles, d'une partie de sa thèse (Sensevy, 1994) consacrée à l'analyse d'un dispositif d'ingénierie grâce auquel la fonction mémorielle est dévolue aux élèves. Ou encore l'article de A. Fluckiger et A. Mercier de 2002 sur la mémoire didactique à laquelle font appel les élèves. Plus récemment, Le Guen (2019) étudie la construction de fiches par des élèves de Terminale afin de construire une mémoire didactique personnelle utilisée en devoir surveillé.

<footnote n="1">¹ Parcours d'Etude et de Recherche sur l'enseignement des relatifs au collège. PDF - 1.44 Mo - 30/5/2023 PDF - 1.44 Mo - 30/5/2023</footnote>
Au-delà du travail initial sur la mémoire de l'enseignant initié en TSD, la prise en compte du thème pourrait alimenter un ensemble de questions en développement de concepts existants.

Questions demeurées vives en TSD

Ainsi, depuis la TSD, des études pourraient porter sur la mémoire :

- propre à l'élève étudiant les mathématiques, ce qui permettrait de développer la notion de répertoire de connaissances,

- propre au milieu dans sa relation au curriculum, pour établir a priori et en situation quel jeu de l'actant avec le milieu ; en particulier développer l'étude de l'élève du point de vue de sa mémoire pour identifier ou pas des composantes du milieu dont dépendent les actions possibles sur celui-ci, l'engagement dans des jeux, gagnants ou perdants,

- propre aux raisons d'être historiques et transposées, spécifiques du savoir, présentes ou oubliées, nécessaires pour la recherche de situations fondamentales,

- propre aux gestes mémoriels accomplis par l'enseignant afin d'étudier plus précisément leurs fonctions au sein du contrat, en relation avec l'adidacticité de situations.

Le thème de la mémoire didactique, celle de l'enseignant et aussi celle des autres instances du système didactique – savoir transposé, milieu, personne étudiant ou travaillant des mathématiques, notamment l'élève – demeure, depuis un abord recourant aux concepts forgés en TSD, mais aussi plus largement en didactique, une question vive peu traitée. Etudier la mémoire didactique, au-delà de celle de l'enseignant, reste, trente ans après, un thème loin d'être épuisé qui demanderait à sortir de l'oubli...

RÉFÉRENCES

Araya, A., & Matheron, Y. (2015). Un modèle pour l'évocation des connaissances en classe de mathématiques. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 35(1), 37-67.

Brousseau, G. (1981). Problèmes de didactique des décimaux. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 2(3), 37-127.

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques*. La Pensée Sauvage éditions.

Brousseau, G., & Centeno, J. (1991). Rôle de la mémoire didactique de l'enseignant. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 11(2-3), 167-210.

Centeno, J. (1995). *La mémoire didactique de l'enseignant*. [Thèse posthume inachevée, Université de Bordeaux I].

Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique, *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 12(1), 73-112.

Fluckiger, A., & Mercier, A. (2002). Le rôle d'une mémoire didactique des élèves, sa gestion par le professeur, *Revue Française de Pédagogie*, 141, 27-35.

Halbwachs, M. (1925/1994). *Les cadres sociaux de la mémoire*. Albin Michel.

Le Guen, P. (2019). La construction de la mémoire didactique chez l'élève de Terminale. L'exemple de l'antisèche légale, *Petit x*, 110-111, 103-127.

Leutenegger, F. (2009). *Le temps d'instruire. Approche clinique et expérimentale du didactique ordinaire en mathématique*. Peter Lang.

Margolinas, C. (1995). La structuration du milieu et ses apports dans l'analyse a posteriori des situations. *Les débats de didactique des mathématiques*. La Pensée Sauvage éditions. 89-102.
Matheron, Y. (2009). *Mémoire et étude des mathématiques. Une approche didactique à caractère anthropologique*. Presses Universitaires de Rennes.

Perrin-Glorian, M.-J. (1994). Théorie des situations didactiques : naissance, développements et perspectives. In M. Artigue, R. Gras, C. Laborde, P. Tavignot (Éds), *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (p. 97-147). La Pensée Sauvage éditions.

Sensevy, G. (1994). *Institutions didactiques, régulation, autonomie. Une étude des fractions au cours moyen*. Thèse de l'Université d'Aix-Marseille I.
# LA TSD POUR DES SITUATIONS D'APPRENTISSAGE EN INFORMATIQUE ET À L'INTERFACE MATHÉMATIQUES-INFORMATIQUE

MODESTE<fnref n="1" /> Simon, BARTZIA<fnref n="2" /> Evmorfia Iro, ESCLAFIT<fnref n="3" /> Pierre, MEYER<fnref n="4" /> Antoine

**Résumé** – Nous discutons des apports de la TSD pour des ingénieries didactiques en informatique et à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Nous nous appuyons pour cela sur trois recherches développées par des auteur.rices de cette communication : l'étude d'une machine qui apprend à gagner au jeu de Nim, l'étude d'un cryptosystème, et l'étude d'un jeu de recherche en algorithmique. Nous montrons l'intérêt et les apports de la TSD dans ce cadre, et les perspectives pour la didactique de l'informatique.

**Mots-clés** : situations didactiques, ingénieries didactiques, didactique de l'informatique, interactions mathématiques-informatique, informatique débranchée

## INTRODUCTION ET ÉLÉMENTS THÉORIQUES

Depuis quelques années, au sein de divers projets<fnref n="5" />, en lien avec l'équipe DEMa de l'IMAG, nous étudions des questions didactiques en informatique et à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Une de nos hypothèses est que la proximité épistémologique entre mathématiques et informatique est favorable à l'usage d'outils, cadres et théories de la didactique des mathématiques pour des analyses en didactique de l'informatique.

En effet, les cadres de la didactique des mathématiques (et des sciences) s'appuient fortement sur l'épistémologie, ce qui fait leur pertinence et leur adéquation aux objets d'apprentissage, mais nécessite des re-questionnements et des adaptations lorsqu'on s'intéresse à d'autres disciplines. C'est le cas de la Théorie des Situations Didactiques (Brousseau, 1998), TSD dans la suite, dont les concepts et outils ont été construits pour les questions d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques du premier degré, et dont les usages se sont étendus à d'autres contextes, à d'autres disciplines, et à d'autres questions que celles qui ont porté les premiers travaux de Brousseau. Nous souhaitons aborder ici la question suivante : Quels peuvent être les apports de la TSD pour la conception et l'analyse de situations didactiques, et le développement d'ingénieries didactiques, en informatique et à l'interface mathématiques-informatique ?

Revenons d'abord sur la TSD et son ancrage mathématique pour étayer notre hypothèse, en mettant en lumière certains liens épistémologiques entre mathématiques et informatique, qui peuvent faire écho aux arrière-plans épistémologiques de la TSD.

L'informatique est aujourd'hui considérée comme une discipline à part entière, à la fois science et technique (Dowek, 2011, 2015) née au carrefour des mathématiques, de la logique, de l'électronique et de l'ingénierie. Dans son travail d'épistémologie, Dowek identifie 4 « piliers » de l'informatique : les concepts d'algorithme, de machine, de langage, et d'information, et souligne les liens aux mathématiques, ainsi que la singularité de l'informatique, non réductible aux disciplines qui la précèdent. Dans une perspective didactique, Modeste (2016) identifie plusieurs proximités entre mathématiques et informatique : (1) les fondements théoriques communs, en lien avec la logique, et la place de la preuve comme mode de validation ; (2) la continuité entre les domaines des mathématiques et ceux de l'informatique, et l'existence de

<footnote n="1">¹ IMAG, Université de Montpellier, CNRS, France, simon.modeste@umontpellier.fr</footnote>

<footnote n="2">² Laboratoire de Didactique André Revuz, UR 4434, Université Paris Cité, evmorfia-iro.bartzia@u-paris.fr</footnote>

<footnote n="3">³ LIG, CNRS, Université Grenoble Alpes, Grenoble, France, pierre.esclafit@univ-grenoble-alpes.fr</footnote>

<footnote n="4">⁴ LIGM, CNRS, Univ Gustave Eiffel, F77454 Marne-la-Vallée, France, antoine.meyer@univ-eiffel.fr</footnote>

<footnote n="5">⁵ ANR DEMaIn https://anr.fr/Projet-ANR-16-CE38-0006, Erasmus+ IDENTITIES https://identitiesproject.eu/fr/</footnote>
nombreux champs à leur interface ; (3) les apports de l'informatique aux mathématiques et notamment la place des algorithmes et de la programmation ; (4) leur rapport au langage formel (qui leur vaut parfois la qualification de sciences formelles). Tout ceci pousse à interroger la portée didactique de tels liens épistémologiques.

La TSD est construite sur le concept de situation (didactique ou adidactique) considérée comme correspondant à un savoir, savoir que va construire l'élève dans une confrontation (de ses connaissances) avec un milieu antagoniste organisé par l'enseignant. L'influence de la théorie des jeux dans l'inspiration de Brousseau et dans la construction de la TSD est importante : une stratégie correspondant à la mise en œuvre d'une connaissance. En informatique, le point de vue de la théorie des jeux a une place fondamentale, et certains savoirs sont explicitement (re)formulés en terme de stratégies optimales, d'actants et d'opposants. En permettant de jouer sur la hiérarchie des stratégies, la notion de variable didactique est centrale. En mathématiques, une partie des variables didactiques est à chercher au sein des variables mathématiques du problème, et cela contribue certainement à l'efficience de la TSD en didactique des mathématiques. De ce point de vue, il nous semble qu'un potentiel similaire existe pour les variables didactiques en informatique. Le triptyque Action-Formulation-Validation est lui très adapté à la nature de la discipline mathématiques et de ses savoirs, mais les proximités à l'informatique (nature de l'action, rôle du langage et du formalisme, nature de la preuve) nous semblent aussi propices à un usage de ces concepts pour l'informatique.

Nous présentons maintenant trois recherches de type ingénieries didactiques, où nous avons utilisé la TSD. Pour chacune, nous nous concentrons sur un ou deux éléments d'apports spécifiques de la TSD. Nous en tirerons des observations qui vont dans le sens d'une forte adéquation de la TSD aux enjeux didactiques en informatique.

## TROIS EXEMPLES D'ÉTUDES DE SITUATIONS DIDACTIQUES

### Jeux de type Nim : une machine qui apprend à gagner

La situation au cœur de cette ingénierie (Esclafit et al., 2020) se base sur un dispositif issu de la communauté d'informatique débranchée française<fnref n="1" />, conçu par Duchêne et Parreau (2019). Ce dispositif repose sur un jeu combinatoire, où huit bâtonnets sont disposés devant deux joueurs. À son tour de jeu, chaque joueur doit retirer 1, 3 ou 4 bâtonnets. Le joueur qui prend le ou les derniers bâtonnets remporte la partie.

Une « machine » capable d'apprendre à gagner à ce jeu est introduite (figure 1) :

* Cette machine, qui joue contre un joueur humain, est constituée de casiers remplis de billes de couleurs (vertes, rouges et bleues). Chaque casier correspond à une position spécifique du jeu, c'est-à-dire à un nombre de bâtonnets restants.

* Lorsque c'est à la machine de jouer, une bille est piochée au hasard dans le casier correspondant à la position. En fonction de la couleur tirée, on retire pour la machine un certain nombre de bâtonnets (vert : 1 bâtonnet, rouge : 3, bleu : 4).

* À la fin de chaque partie, selon le résultat (la machine a gagné ou perdu), la machine est soit renforcée, soit pénalisée, par l'ajout ou le retrait de billes dans les casiers utilisés durant la partie (la figure 1 présente deux parties possibles et les renforcements/pénalisations associés).

<footnote n="1">¹ ISO, Informatique Sans Ordinateur, https://www.infosansordi.fr/</footnote>
* L'intérêt est de multiplier les parties afin d'étudier l'évolution de l'« apprentissage » de la machine.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 1 – Deux parties possibles contre la machine.</figcaption></figure>

L'objectif principal de cette situation est la compréhension des grands principes d'apprentissage par renforcement en intelligence artificielle (IA), sans viser la maîtrise de son paramétrage, afin de contribuer à démystifier l'IA.

Pour garantir le fait que les élèves se questionnent sur les apprentissages de la machine, il est nécessaire que la stratégie gagnante du jeu combinatoire ne soit pas immédiatement disponible pour eux. En effet, cela évite que cette connaissance serve de référence pour valider ou invalider les états de la machine. Ainsi, l'identification des variables didactiques a été cruciale. L'originalité de nos choix repose sur la non-consécutivité de l'ensemble de soustraction : les élèves ne peuvent retirer que 1, 3 ou 4 billes. Ce « paramétrage », et l'organisation en phases d'actions (jeu entre élèves et contre la machine), de formulation (description du comportement de la machine) et de validation (justification de la stratégie gagnante, et du comportement de la machine) structurent un milieu riche qui permet aux élèves d'interagir avec le jeu et avec la machine : par exemple, « laisser la machine gagner » en pensant, à tort, que cela va faciliter son apprentissage. Cela permet aussi aux élèves de formuler et tester des hypothèses : « le casier n°2 se vide car on perd tout le temps », « quand il en reste 3, pour gagner, on peut choisir [de jouer] -3 mais aussi -1 ».
Une situation débranchée en cryptographie

La situation étudiée par Bartzia et al. (2024) porte sur la cryptographie (messages clairs et chiffrés, clés publiques et privées, cryptosystème, attaque...). La cryptographie, avec les activités de chiffrement et déchiffrement de messages et les rétroactions que cela permet, présente un potentiel inhérent d'adidacticité. La situation que nous avons étudiée se base sur un cryptosystème asymétrique « jouet » (voir figure 2) proposé par Fellows et Koblitz (1994), qui s'appuie sur le problème (NP-complet) de recherche d'un code parfait dans un graphe.
En fait, ce cryptosystème admet une faille importante, et son intérêt est avant tout éducatif. Dans les ressources existantes, ce cryptosystème est présenté et manipulé sans qu'un problème ne soit posé aux élèves. Notre contribution principale est la construction d'une situation didactique à partir de ce cryptosystème, notamment en organisant un milieu didactique, et en identifiant des variables didactiques.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 2 – Principe d'un cryptosystème asymétrique et éléments du cryptosystème étudié.</figcaption></figure>

La problématisation (qui permet la dévolution de la situation) repose sur le déchiffrement d'un message secret, inconnu des élèves, qui sont répartis en groupes qui n'ont pas accès aux même informations. On présente à tous les groupes la méthode de chiffrement, et tous reçoivent un même message chiffré. Puis chaque groupe est mis dans l'une des trois positions :

* « Ingénieurs en cryptographie » : doivent retrouver la méthode de déchiffrement et déchiffrer le message, connaissant la clé privée du récepteur.

* « Attaquants 1 » : doivent retrouver le message clair échangé par les « interlocuteurs », connaissant l'ensemble du protocole mais pas la clé privée.

* « Attaquants 2 » : doivent retrouver le message clair échangé par les « interlocuteurs », sans plus d'information.

La confrontation des réponses et des stratégies développées par les différents groupes contribue ensuite à l'institutionnalisation des éléments de cryptographie mis en jeu et à la compréhension de la notion d'information, centrale en cryptographie.

Nos analyses a priori et a posteriori montrent que :

* Les trois positions, en combinaison avec d'autres choix de variables didactiques contrôlés (notamment du graphe) permettent de piloter les différentes stratégies mises en place ;

* le milieu ainsi structuré offre des rétroactions qui permettent une dimension adidactique ;