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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

# Etude de la contrôlabilité d'équations paraboliques d'ordre supérieur à 2 et de systèmes d'équations paraboliques

M. Henry

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°135
Octobre 1975
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# ÉTUDE DE LA CONTROLABILITÉ D'ÉQUATIONS PARABOLIQUES D'ORDRE SUPÉRIEUR A 2 ET DE SYSTEMES D'ÉQUATIONS PARABOLIQUES

## M. Henry

### RÉSUMÉ

On étudie la contrôlabilité d'un système d'équations paraboliques lorsque l'on n'agit que sur une variable d'état. Les résultats dépendent du mode de contrôle et de l'observation. Pour un contrôle frontière et une observation finale, on donne une condition suffisante de contrôlabilité reliée à l'étude des spectres des opérateurs intervenant dans les équations d'états. Par les mêmes méthodes, on étudie la contrôlabilité d'équations paraboliques d'ordre 2m (m > 1) pour un contrôle n'agissant que sur une condition aux limites.

### ABSTRACT

We study the controllability of a system of parabolic equations when we are only acting on one state variable. The results depend on control and observation. For a boundary control and a final observation, we give a sufficient condition for controllability related to the spectra of operators involved in the state equations. By the same methods we study the controllability of some parabolic equations of order 2m (m > 1) with a control variable acting only on one boundary condition.
## ETUDE DE LA CONTROLABILITE D'EQUATIONS PARABOLIQUES D'ORDRE SUPERIEUR A 2 ET DE SYSTEMES D'EQUATIONS PARABOLIQUES

Un système gouverné par des équations aux dérivées partielles est dit contrôlable si en faisant varier le contrôle on peut amener l'observation du système aussi près que l'on veut d'une observation désirée. Pour des équations paraboliques, la contrôlabilité est étudiée dans LIONS [1] pour des contrôles distribué, frontière ou initial et avec observation distribuée, frontière ou finale. En utilisant la théorie spectrale H.O. FATTORINI [1],[2] a montré que dans certains cas on peut avoir contrôlabilité en n'utilisant qu'un nombre fini de paramètres de contrôle. Nous nous proposons d'étudier la contrôlabilité d'un système d'équations paraboliques lorsque le contrôle n'agit que sur une seule des variables d'état. Pour un contrôle frontière et une observation finale on utilise des théorèmes d'unicité qui sont démontrés sous des hypothèses assez restrictives. Pour la simplicité d'écriture on n'étudie que des systèmes de deux équations. Par des méthodes semblables on étudie ensuite la contrôlabilité pour des équations paraboliques d'ordre supérieur à 2 pour lesquelles le contrôle n'intervient pas dans toutes les conditions aux limites.
# I - SYSTEMES D'EQUATIONS PARABOLIQUES.

## 1. - Hypothèses générales.

On considère un système de deux équations paraboliques d'ordre 2m en espace sur l'ouvert $Q = \Omega \times ]0,T[$ $\Omega$ est un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ de frontière $\Gamma$ ;
$\Sigma = \Gamma \times ]0,T[$ soit

$$ (1.1) \quad \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial y_1}{\partial t} + a_1 y_1 + \beta_1 y_2 &= f_1 \\ \frac{\partial y_2}{\partial t} + a_2 y_2 + \beta_2 y_1 &= f_2 \end{aligned} \right. $$

avec les conditions aux limites :

$$ (1.2) \quad c_i^1 y_1|_{\Sigma} = 0 \qquad c_i^2 y_2|_{\Sigma} = 0 \qquad i = 1, \dots, m $$

et les conditions initiales :

$$ (1.3) \quad y_1|_{t=0} = y_{1,0} \qquad y_2|_{t=0} = y_{2,0} $$

On suppose que le problème admet la formulation variationnelle :

$$ \begin{gathered} (1.4) \quad \left(\frac{\partial y_1}{\partial t}, z_1\right) + \left(\frac{\partial y_2}{\partial t}, z_2\right) + a_1(t; y_1, z_1) + b_1(t; y_2, z_1) + a_2(t; y_2, z_2) \\ \phantom{(1.4) \quad \left(\frac{\partial y_1}{\partial t}, z_1\right) + \left(\frac{\partial y_2}{\partial t}, z_2\right) +} + b_2(t; y_1, z_2) = (F_1(t), z_1) + (F_2(t), z_2) \\ \forall z_1 \in V_1, \quad \forall z_2 \in V_2 \end{gathered} $$

ou $V_1, V_2, H$ sont des espaces de Hilbert. On identifie $H$ et son dual $H'$. Et on a les schémas (les injections étant continues) :

$$ V_1 \subset H \subset V_1' $$

$$ V_2 \subset H \subset V_2' $$
avec $V_1$ et $V_2$ denses dans H.

( , ) est le produit scalaire dans H ou bien la dualité entre $V_1$ et $V'_1$ ou $V_2$ et $V'_2$. On note $| \cdot |$ (resp. $|| \cdot ||_1, || \cdot ||_2$) la norme de H (resp. $V_1, V_2$).

On suppose que les applications $t \to a_i(t;y_i,z_i)$ et $t \to b_i(t;y_i,z_i)$ sont mesurables en t, et que l'on a les inégalités suivantes :

$$
(1.5) \quad \begin{aligned}[t]
|a_1(t;y_1,z_1) + b_1(t;y_2,z_2)| &+ |a_2(t;y_2,z_2) + b_2(t;y_1,z_1)| \\
&\le C(\|y_1\|_1^2 + \|y_2\|_2^2)^{\frac{1}{2}} (\|z_1\|_1^2 + \|z_2\|_2^2)^{\frac{1}{2}} \quad \forall y_1, z_1 \in V_1, \forall y_2, z_2 \in V_2
\end{aligned}
$$

$$
(1.6) \quad a_1(t;y_1,y_1) + b_1(t;y_2,y_1) + a_2(t;y_2,y_2) + b_2(t;y_1,y_2) \\
\geq \alpha (\|y_1\|_1^2 + \|y_2\|_2^2) \quad \forall y_1 \in V_1 \quad \forall y_2 \in V_2
$$

(On a éventuellement fait un changement de variable $y_i \to y_i e^{\lambda t}$ au préalable)

Alors on sait que pour $y_{1,0}, y_{2,0} \in H$ et $F_1 \in L^2(0,T;V_1')$ et $F_2 \in L^2(0,T;V_2')$ on a une solution unique de (1.3) (1.4) dans $W_1(0,T) \times W_2(0,T)$, avec :

$$
W_1(0,T) = \{y_i \mid y_i \in L^2(0,T;V_i) ; \frac{\partial y_i}{\partial t} \in L^2(0,T;V_i')\} \quad i = 1,2 .
$$

2. - Contrôlabilité pour un contrôle distribué.

Nous nous plaçons dans le cas où le contrôle n'intervient que dans le
second membre de la première équation (1.1). Envisageons d'abord l'hypothèse d'une
observation répartie de $y_1$ ou $y_2$ dans $L^2(0,T;H)$. Par translation on peut se rame-
ner à un problème homogène en v :

$$
(1.7) \quad \begin{cases} \frac{\partial y_1}{\partial t} + a_1 y_1 + \beta_1 y_2 = D v \\ \frac{\partial y_2}{\partial t} + a_2 y_2 + \beta_2 y_1 = 0 \end{cases}
$$
avec les conditions aux limites (1.2) et les conditions initiales :

$$
(1.8) \quad y_1|_{t=0} = y_2|_{t=0} = 0
$$

v appartient à un espace de Hilbert u ; et D est une application linéaire
continue de u dans L²(0,T;V₁') et D u est dense dans L²(0,T;V₁').

On définit les fonctions coût :

$$
(1.9) \quad J_1(v) = \int_0^T |y_1(t,v) - y_d(t)|^2 dt ;
$$

$$
(1.10) \quad J_2(v) = \int_0^T |y_2(t,v) - y_d(t)|^2 dt .
$$

On dit que $b_2$ a la propriété (1.11) si :

$$
b_2(t; z_1, p_2) = 0 \quad \forall z_1 \in V_1 \quad \text{entraine} \quad p_2 = 0 .
$$

Le système (1.7) est dit contrôlable pour l'observation de $y_i$ dans
$L^2(0,T;H)$ si :

$$
\begin{gather*}
\inf J_i(v) = 0 \\
v \in \mathcal{U}
\end{gather*}
$$

Théorème 1.

Le système (1.7) est contrôlable pour l'observation de $y_1$. Il l'est aussi
pour l'observation de $y_2$ si $b_2$ a la propriété (1.11).

<u>DEM</u> : Montrons que l'espace vectoriel parcouru par $y_i(t,v)$ ($i=1$ ou $2$) lorsque $v$ décrit $u$, est dense dans $L^2(0,T;H)$.

S'il n'en était pas ainsi il existerait $\xi \in L^2(0,T;H)$ tel que :

$$
(1.12) \quad \int_0^T (\xi(t), y_i(t;v)) dt = 0 \quad \forall v \in \mathcal{U} \quad i = 1 \text{ ou } 2
$$
Dans chacun des cas introduisons l'état adjoint $p_1, p_2$ défini sous forme variationnelle par :

$$ (1.13) \quad -\left(\frac{\partial p_1}{\partial t}, z_1\right) - \left(\frac{\partial p_2}{\partial t}, z_2\right) + a_1(t; z_1, p_1) + a_2(t; z_2, p_2) + b_2(t; z_1, p_2) + b_1(t; z_2, p_1) = (\xi(t), z_i) \quad i = 1 \text{ ou } 2 $$

$$ \forall z_1 \in V_1, \forall z_2 \in V_2 $$

$$ (1.14) \quad P_1|_{t=T} = P_2|_{t=T} = 0 $$

On fait dans (1.13) $z_i = y_i(t,v)$ ; par transposition et en utilisant (1.4), (1.12) s'écrit :

$$ (1.15) \quad \int_0^T (Dv, p_1)dt = 0 \quad \forall v \in U $$

$$ \text{d'où } p_1 \equiv 0 $$

- si $i=1$, on déduit de (1.13) :

$$ -\left(\frac{\partial p_2}{\partial t}, z_2\right) + a_2(t; z_2, p_2) = 0 \quad p_2(T) = 0 $$

$$ \text{d'ou } p_2 \equiv 0 \quad \text{et donc } \xi = 0 $$

- si $i=2$ en faisant $z_2 = 0$ dans (1.13) :

$$ b_2(t; z_1, p_2) = 0 \quad \forall z_1 \in V_1 $$

d'après (1.11) $p_2 = 0$ et donc $\xi = 0$
Examinons le cas d'une observation portant sur les deux variables $y_1$ et $y_2$. On définit la fonction coût :

$$ (1.16) \quad J(v) = \int_0^T (|y_1(t,v) - y_{1,d}(t)|^2 + |y_2(t,v) - y_{2,d}(t)|^2)dt $$

Par (1.5) (1.6) on peut définir les applications $A_i(t) \in \mathcal{L}(V_i, V_i')$ et $B_i(t) \in \mathcal{L}(V_j, V_j')$, $i = 1,2, j \neq i$, telles que :

$$ (1.17) \quad a_i(t;y_i,z_i) = (A_i(t)y_i,z_i) \quad \forall y_i, z_i \in V_i $$

$$ (1.18) \quad b_i(t;y_j,z_i) = (B_i(t)y_j,z_i) \quad \forall y_j \in V_j \quad \forall y_i \in V_i $$

On appelle $\mathcal{M}$ le sous espace vectoriel fermé de $(L^2(0,T;H))^2$ formé des couples $[y_1,y_2]$ vérifiant :

$$ (1.19) \quad \int_0^T y_2 \left(-\frac{\partial z}{\partial t} + A_2^* z\right) dt + \int_0^T y_1 B_2^* z dt = 0 \quad \forall z \in X_2 $$

$$ \text{où } X_j = \{y \in L^2(0,T;H^{2m}(\Omega)), \frac{\partial y}{\partial t} \in L^2(\Omega), c_i^j * y = 0 \quad i = 1,m \quad y|_{t=T} = 0\} $$

(1.19) est une forme affaiblie de la seconde équation (1.7). On suppose que l'on a des propriétés de régularité pour que $\frac{\partial}{\partial t} + A_2$ définisse un isomorphisme de $X_2$ sur $L^2(0,T;H)$ et que $B_2^*$ ait une restriction continue de $X_2$ dans $L^2(0,T;H)$.

### Théorème 2.

Une condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse trouver des $v \in u$ rendant $J(v)$ aussi petit que l'on veut, est que $[y_{1,d},y_{2,d}] \in \mathcal{M}$.

### Démonstration :

Supposons d'abord que $[y_{1,d},y_{2,d}]$ n'appartienne pas à $\mathcal{M}$. Alors il existe $F \in X_2'$ tel que :

$$ (1.20) \quad \int_0^T y_{2,d} \left(-\frac{\partial y}{\partial t} + A_2^* z\right) dt + \int_0^T y_{1,d} B_2^* z dt = \langle F,z \rangle \quad \forall z \in X_2 $$
où < , > désigne la dualité entre $X_2$ et $X'_2$ et $F \neq \{0\}$

Or en utilisant la seconde équation (1.7) et par soustraction on obtient :

$$
(1.21) \quad \int_0^T (y_{2,d} - y_2(v)) \left( \frac{\partial z}{\partial t} + A_2^* z \right) dt + \int_0^T (y_{1,d} - y_1(v)) B_2^* z dt = \langle F, z \rangle \\
\forall z \in X_2.
$$

S'il existait une suite $v_n$ telle que $J(v_n) \to 0$ alors le premier membre de (1.21) tendrait vers 0 et il y aurait contradiction avec $F \neq \{0\}$.

Soit donc $[y_1,d,y_2,d] \in \mathcal{M}$. Si l'espace vectoriel parcouru $p$ $[y_1(v),y_2(v)]$ n'était pas dense dans $\mathcal{M}$, il existerait $[\xi,\eta] \in \mathcal{M}$ tel que :

$$
(1.22) \quad \int_0^T (\xi, y_1(t,v)) dt + \int_0^T (\eta, y_2(t,v)) dt = 0 \quad \forall v \in \mathcal{U}
$$

On introduit des états adjoints correspondants sous forme forte :

$$
(1.23) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \frac{\partial p_1}{\partial t} + A_1^* p_1 + B_2^* p_2 = \xi & p_1|_{t=T} = 0 \\[1em]
- \frac{\partial p_2}{\partial t} + A_2^* p_2 + B_1^* p_1 = \eta & p_2|_{t=T} = 0
\end{array}
\right.
$$

ce qui définit $p_1$ dans $X_1$ et $p_2$ dans $X_2$.

De la même façon qu'au Théorème 1 on en déduit :

$$
(1.24) \quad b_1 = 0
$$

donc :

$$
(1.25) \quad \int_0^T z_2(t) \left( \frac{\partial p_2}{\partial t} + A_2^* \rho_2 \right) dt + \int_c^T z_1(t) B_2^* \rho_2 = \int_0^T [(\xi, z_1) + (\eta, z_2)] dt \\
\forall z_1, z_2 \in L^2(0,T,H)
$$
En particulier si l'on prend $[z_1, z_2] \in \mathcal{M}$, d'après (1.19) :

$$ (1.26) \quad \int_0^T [(\xi, z_1) + (\eta, z_2)] dt = 0 \quad \forall [z_1, z_2] \in \mathcal{M} $$

$$ \text{donc} \quad \xi = \eta = 0 $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Montrons maintenant que la situation est différente dans le cas d'une observation finale du système.

### Théorème 3 :

Le système (1.7) est contrôlable pour une observation finale, que cette observation porte sur $y_1$, sur $y_2$ ou sur le couple $[y_1, y_2]$ (dans ces deux derniers cas il faut que (1.11) soit vérifié).

### Démonstration :

Faisons la démonstration dans le cas d'une observation sur le couple $[y_1(T,v); y_2(T,v)]$, les autres cas se traitant de façon identique. Soit donc $[\xi, \eta] \in (H)^2$ tel que :

$$ (1.27) \quad (\xi, y_1(T,v) + (\eta, y_2(T,v))) = 0 \quad \forall v \in \mathcal{U} $$

On pose :

$$ (1.28) \quad -(\frac{\partial p_1}{\partial t}, z_1) - (\frac{\partial p_2}{\partial t}, z_2) + a_1(t; z_1, p_1) + a_2(t; z_2, p_2) + b_2(t; z_1, p_2) \\ \qquad + b_1(t; z_2, p_1) = 0 \quad \forall z_1 \in V_1, \forall z_2 \in V_2 $$

avec :

$$ (1.29) \quad p_1(T) = \xi \quad p_2(T) = \eta $$
De la même façon qu'au Théorème 1, on en déduit :

$$ (1.30) \qquad p_1 = 0 \qquad \text{p.p. dans } Q $$

et donc

$$ b_2(t; z_1, p_2) = 0 \quad \forall z_1 \in V_1 $$

$$ \text{donc d'après (1.11) } p_2 \equiv 0 \quad \text{p.p. dans } Q. $$

$$ \text{Mais } p_1 \text{ et } p_2 \text{ appartiennent à } C([0,T];H) $$

donc

$$ c_1(t) - \xi = 0 \quad \text{et} \quad p_2(t) = \eta = 0. $$

■

**Remarque :**

Le Théorème 3 est encore valable pour une observation frontière.

### III - CONTROLE FRONTIERE.

L'étude de la controlabilité nécessite l'utilisation de théorèmes d'unité.

#### 1. - Théorèmes d'unicité

Nous supposons dorénavant le système symétrique : $B_1 = B_2 = B$.
$a_1, a_2$ et $B$ sont symétriques et indépendants du temps. $B$ est elliptique et d'ordre $2p$ ($p \le m$). Les conditions aux limites (1.2) sont telles que :

$$ c_i^1 = c_i^2 = c_i \quad \text{pour } i=1, \dots, p \quad \text{avec ordre } c_i < 2. $$

$$ V_1 \subset H^m(\Omega) , \quad V_2 \subset H^m(\Omega) $$
$H = L^2(\Omega)$ : donc les injections de $V_1$ et $V_2$ dans H sont compactes.

$$ (1.31) \quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial y_1}{\partial t} + a_1 y_1 + \beta y_2 = 0 \\ \\ \frac{\partial y_2}{\partial t} + a_2 y_2 + \beta y_1 = 0 \end{array} \right. $$

Γ et les coefficients de $a_1, a_2, \beta$ sont assez réguliers.

Supposons que, de plus, $y_1$ vérifie :

$$ (1.32) \quad D y_1 \Big|_{\Sigma_1} = 0 $$

où $\Sigma_1 = \Gamma_1 \times \text{jo,T}$[, $\Gamma_1$ étant une partie de Γ de mesure non nulle et D un opérateur frontière.

Considérons l'opérateur A défini sur $D(A) \subset (H)^2$ à valeurs dans $(H)^2$ qui au couple $[y_1, y_2] \in D(A)$ fait correspondre :

$$ [A_1 y_1 + B y_2, A_2 y_2 + C y_1] \in (H)^2 . $$

C'est un opérateur autoadjoint. Par (1.5) (1.6) on sait qu'il est inver-
sible. L'opérateur de Green $G_A$ correspondant, de $(H)^2$ dans $(H)^2$ est donc compact
autoadjoint.

Soit alors $v_n$ les valeurs propres distinctes de A et $[z_{n,p}^1, z_{n,p}^2]$ une base hilbertienne orthonormale dans $(H)^2$ de vecteurs propres de A (on note $[z_{n,p}^1, z_{n,p}^2]$ $\rho = 1, \dots, p_n$ les vecteurs propres correspondant à la valeur propre $v_n$).

Dans la formulation variationnelle correspondant à (1.31) faisons :

$z_1 = z_{n,p}^1 \text{ et } z_2 = z_{n,p}^2 :$

$$ (1.33) \quad \begin{aligned} & \left(\frac{\partial y_1}{\partial t}, z_{n,p}^1\right) + \left(\frac{\partial y_2}{\partial t}, z_{n,p}^2\right) + a_1(y_1, z_{n,p}^1) + a_2(y_2, z_{n,p}^2) + b(y_2, z_{n,p}^1) \\ & \qquad + b(y_1, z_{n,p}^2) = 0 \quad \forall n \quad \forall \rho \end{aligned} $$
On note $\xi_n, (t)$ le produit scalaire :

$$
(1.34) \quad \xi_{n,p}(t) = (y_1(t), z_{n,p}^1) + (y_2(t), z_{n,p}^2)
$$

(1.33) s'écrit :

$$
(1.34) \quad \frac{d\xi_{n,p}}{dt} + v_n \xi_{n,p} = 0
$$

et en posant :

$$
(1.35) \quad \xi_{n,p}^{\circ} = (y_{1,0}, z_{n,p}^{1}) + (y_{2,0}, z_{n,p}^{2})
$$

on a :

$$
(1.36) \quad \xi_{n,p}^{\circ}(0) = \xi_{n,p}^{0}
$$

d'où

$$
(1.37) \quad \xi_{n,p}(t) = e^{-\nu_n t} \xi_{n,p}^{\circ}
$$

Et l'on a

$$
(1.38) \quad [y_1, y_2] = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{p_n} \xi_{n,p} [z_{n,p}^1, z_{n,p}^2]
$$

la série convergeant dans $L^2(0,T;V_1 \times V_2)$. Etudions la convergence de la série :

$$
(1.39) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{p_n} \xi_{n,p} \cdot D z_{n,p}^{1}
$$

Supposons d'abord que $D y_1 = 0$ soit une condition aux limites stable (c'est à dire ordre $D < m$). Par la continuité des applications traces on a convergence de (1.39) vers $D y_1$ dans $L^2(\sum_1^2)$. Si $D y_1 = 0$ est une condition aux limites naturelle (ordre $D \ge m$) on utilisera la propriété de régularité de $A$ suivante pour définir $y_1$ et $y_2$ dans $L^2(0,T;H^{2m}(\Omega)) : A$ admet un opérateur de Green $G_A$ continu sur $(H)^2$ à valeurs dans $(H^{2m}(\Omega))^2$. On suppose :
La condition (3.11) s'écrit :

$$ - \alpha < \lambda_n < \alpha \quad (3.20) $$

$$ \text{ch } \varphi_n = \cos \varphi'_n $$

$$ \alpha < \lambda_n \quad (3.21) $$

$$ \cos \varphi_n = \cos \varphi'_n $$

ce qui donne :

$$ \varphi_n = \pm \varphi'_n + 2k\Pi $$

et avec (3.16) :

$$ \varphi_n = p_n \Pi $$

$$ \varphi'_n = p'_n \Pi $$

$$ p_n, p'_n \in \mathbb{N} $$

avec $p'_n - p_n$ pair et donc :

$$ (3.22) \qquad 2\alpha = (p_n^2 - p_n^2) \Pi^2 $$

Donc (3.22) est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un vecteur propre du problème stationnaire associé à (3.2) qui vérifie (3.1). Ainsi si (3.22) n'est pas vérifié avec $p'_n - p_n$ pair, on est dans les conditions d'application de la proposition 4.
$$
(1.40) \quad [y_{1,0}, y_{2,0}] \in V_1 \times V_2
$$

Alors, en multipliant (1.33) par $\frac{d \xi_{n,\rho}}{dt}$ et en sommant, on constate
que :

$$
(1.41) \quad \frac{\partial y_1}{\partial t} \in L^2(\Omega) \quad \text{et} \quad \frac{\partial y_2}{\partial t} \in L^2(\Omega)
$$

et d'après la régularité de A on a bien :

$$
(1.42) \quad y_1 \in L^2(0,T; H^{2m}(\Omega)) \quad y_2 \in L^2(0,T; H^{2m}(\Omega)).
$$

Le lemme suivant donne un critère de régularité de A dans le cas ou
$\mathcal{E}$ est un opérateur d'ordre 2m.

Lemme 1 :

Si $A_1$ et $A_2$ possèdent des opérateurs de Green $G_{A_1}$ et $G_{A_2}$ continus de
$L^2(\Omega)$ dans $H^{2m}(\Omega)$, si $\mathcal{E}$ est un opérateur continu de $X$ dans $L^2(\Omega)$
$(X = \{y \in H^{2m}(\Omega) \, , \, C_i \ y = 0 \ \ i=1,m\}$ muni de la topologie de $H^{2m}(\Omega)$) et si l'on
a :

$$
(1.43) \quad 1 \ge \| G \|_{A_1} \| \mathcal{L}(L^2(\Omega), X) \| B \| \mathcal{L}(X, L^2(\Omega)) \quad i=1,2
$$

Alors A admet un opérateur de Green $G_A$ continu de $(H)^2$ dans $(H^{2m}(\Omega))^2$.

Démonstration :

Considérons l'application de $X^2$ dans $X^2$ qui à $[z_1,z_2]$ fait correspondre
$[y_1,y_2]$ par :

$$
\begin{align*}
(1.44) \quad A_1 y_1 + B z_2 &= f_1 \\
A_2 y_2 + B z_1 &= f_2
\end{align*}
\[
[f_1, f_2] \in (L^2(\Omega))^2
\]
$$
Cette application est contractante. En effet :

$$
\begin{equation} \tag{1.45}
\begin{aligned}
|A_1(y_1 - \bar{y}_1)| &= |B(z_2 - \bar{z}_2)| \\
|A_2(y_2 - \bar{y}_2)| &= |B(z_1 - \bar{z}_1)|
\end{aligned}
\end{equation}
$$

et donc

$$
(1.46) \quad \|y_1 - \bar{y}_1\|_X \le \|G\|_{A_1} \|\ell(L^2(\Omega), X)\| B \|\ell(X, L^2(\Omega))\| z_2 - \bar{z}_2 \|_X
$$

d'où l'affirmation d'après (1.43). Il existe donc un point fixe qui vérifie :

$$
(1.47) \quad A[y_1, y_2] = [f_1, f_2] \qquad [f_1, f_2] \in (L^2(\Omega))^2
$$

et

$$
(1.48) \quad \|y_1\|_X \le \|G\|_{A_1} \|\ell(L^2(\Omega), X)\| (|f_1| + \|B\|_{\ell(X, L^2(\Omega))} \|y_2\|_X)
$$

d'ou

$$
\begin{equation} \tag{1.49}
\begin{aligned}
& \|y_1\|_X (1 - \|B\|_{\ell(X,L^2(\Omega))}) \|G\|_{A_2} \|\ell(L^2(\Omega))\| + \|y_2\|_X \\
& \qquad (1 - \|B\|_{\ell(X,L^2(\Omega))}) \|G\|_{A_1} \|\ell(L^2(\Omega),X)\) \le \|G\|_{A_1} \|\ell(L^2(\Omega),X)\| |f_1| + \\
& \qquad \qquad \|G\|_{A_2} \|\ell(L^2(\Omega),X)\| |f_2|
\end{aligned}
\end{equation}
$$

■

Montrons que sous ces hypothèses de régularité, (1.38) converge dans
$(H^{2m}(\Omega))^2$ presque partout en t. En effet :

$$
(1.50) \quad A\left(\sum_{n=1}^{N} \sum_{p=1}^{pn} \xi_n, p \left[ z_n^1, p \cdot z_n^2, p \cdot q \right] \right) = \sum_{n=1}^{N} \sum_{p=1}^{pn} v_n \xi_n, p \left[ z_n^1, p \cdot z_n^2, p \cdot q \right]
$$
or :

$$
\begin{align*}
v_n \xi_{n,p} &= (y_1, A_1 z_{n,p}^1 + B z_{n,p}^2) + (y_2, A_2 z_{n,p}^2 + B z_{n,p}^1) \\
&= (A_1 y_1 + B y_2, z_{n,p}^1) + (A_2 y_2 + B y_1, z_{n,p}^2)
\end{align*}
$$

Donc les coefficients de (1.50) sont ceux du développement de $A[y_1,y_2]$, qui appartient à $(L^2(\Omega))^2$ d'après (1.42), sur la base $\{[z_{n,p}^1,z_{n,p}^2]\}$. Donc (1.50) converge dans $(L^2(\Omega))^2$ vers $A[y_1,y_2]$, d'ou le résultat grâce à la régularité de A.

Ainsi la condition supplémentaire (1.32) s'écrit :

$$
(1.51) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} e^{-v_n t} \xi_{n,p}^{o} D z_{n,p}^{1} = 0 \quad \text{dans } L^2(\Gamma_1)
$$

Lemme 2 :

Soit {$v_n$} une suite croissante de nombres non négatifs n'ayant pas de
point d'accumulation, et soit {$c_n$} une suite de R telle que :

$$
(1.52) \quad \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-v_n t} = 0 \quad \forall t \in ]0, T],
$$

la série (1.52) étant uniformément convergente, alors : $c_n = 0 \quad \forall n$

Démonstration :

Soit la distribution $T = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \delta_{v_n}$. Sa transformée de Laplace est :

$$
\mathcal{L} T = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-v_n \tau}
$$

où $\tau = t + i\epsilon$.

$\mathcal{L} T$ est holomorphe sur $\{t > 0\}$. (1.52) montre que $\mathcal{L} T = 0$. Donc :

$$
T = 0 \quad \text{et} \quad c_n = 0 \quad \forall n.
$$
(1.51) est équivalent à :

$$ (1.53) \quad \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\nu_n t} \sum_{p=1}^{pn} \xi_{n,p}^{\circ} (Dz_{n,p}^{1}, \varphi) L^{2}(\Gamma_{1}) = 0 \quad \forall \varphi \in L^{2}(\Gamma_{1}) $$

Le lemme 2 nous donne :

$$ (1.54) \quad \sum_{p=1}^{pn} \xi_{n,p}^{\circ} (Dz_{n,p}^{1}, \varphi) L^{2}(\Gamma_{1}) = 0 \quad \forall \varphi \in L^{2}(\Gamma_{1}) $$

et donc

$$ (1.55) \quad \sum_{p=1}^{pn} \xi_{n,p}^{\circ} Dz_{n,p}^{1} = 0 $$

Faisons maintenant l'hypothèse suivante sur les fonctions $z_{n,p}^{1}$ :

$$ (1.56) \quad \forall n, \text{les } Dz_{n,p}^{1} \quad p=1, \dots, p_n $$

sont des fonctions linéairement indépendantes de $L^2(\Gamma_1)$. Alors (1.55) entraîne

$$ \xi_{n,p}^{\circ} = 0 \quad \forall n,p $$

et donc

$$ (1.57) \quad y_1 = y_2 = 0. $$

Réciproquement supposons que (1.56) ne soit pas vérifié. Alors :

$$ \exists N \text{ et } \exists \xi_{N,p}^{\circ} \quad p=1, \dots, N $$

non tous nuls tels que :

$$ \sum_{p=1}^{pn} \xi_{N,p}^{\circ} Dz_{N,p}^{1} = 0 $$
et l'on choisit $\xi_{n,p}^o = 0$ pour $n \neq N$. Soir alors

$$y_1 = e^{-\nu N t} \sum_{p=1}^{p=N} \xi_{N,p}^o z_{N,p}^1, \quad y_2 = e^{-\nu N t} \sum_{p=1}^{p=N} \xi_{N,p}^o z_{N,p}^2$$

Alors $y_1$ et $y_2$ vérifient (1.31) et les conditions aux limites.

On a $Dy_1|_{\Sigma_1} = 0$, et $y_1$ et $y_2$ ne sont pas tous deux nuls car les fonctions $[z_{N,p}^1, z_{N,p}^2]$ $p=1, \dots, p_N$ sont linéairement indépendantes. On a démontré la proposition :

**Proposition 4 :**

Soit $y_1$ et $y_2$ vérifiant (1.31) et les conditions aux limites (1.2). D'étant un opérateur frontière sur un morceau $\Gamma_1$ de la frontière, on suppose les données assez régulières pour que l'on puisse définir $Dy_1(t)$ dans $L^2(\Gamma_1)$. Alors (1.56) est une condition nécessaire et suffisante pour que $Dy_1|_{\Sigma_1} = 0$ entraîne $y_1 \equiv y_2 \equiv 0$.

**Remarque :**

La condition (1.56) est de même nature que celles obtenues par H.O. FATTORINI [1].

Nous allons sous des hypothèses plus fortes, chercher des conditions suffisantes sur les spectres de $A_1, A_2, B$ et $A$ pour que (1.56) soit vérifiée.

On se restreint dorénavant au cas $m=1$. B est un opérateur elliptique d'ordre 2 (et $b(y,z)$ coercif) ou bien c'est une multiplication par une constante.

$y_1$ et $y_2$ vérifient :

$$ (1.58) \quad C y_1 = 0 ; \quad C y_2 = 0 \quad (V_1 = V_2 = V) ; \quad C \text{ et } D \text{ forment un système de} $$

Dirichlet d'ordre 2 sur $\Gamma_1$.
On suppose en outre que $A_1,A_2,B$ commutent en tant qu'opérateurs non bornés dans $H$ (en particulier $D(A_1A_2) = D(A_2A_1)$ ; $D(A_iB) = D(B,A_i)$ $i=1,2$). Enfin, les coefficients de $a_1,a_2,\beta$ sont des fonctions analytiques de $x$ et $\Gamma$ est analytique.

Nous allons expliciter les fonctions propres $[z_n^1,p,z_n^2,p]$ du système à l'aide des fonctions propres de $A_1,A_2,B$. Par la suite nous nous plaçons dans le cas où $\beta$ est d'ordre 2, le cas $\beta$ d'ordre 0 se traitant de façon analogue et plus simple. D'après les hypothèses, les opérateurs de Green $G_{A_1},G_{A_2},G_B$ correspondent à $A_1,A_2,B$ sont autoadjoints compacts dans $H$ et ils commutent. Donc il existe une base hilbertienne orthonormale $\{z_n\}$ de $H$ pour laquelle $G_{A_1},G_{A_2},G_B$ sont diagonaux et donc $A_1,A_2,B$ aussi :

$$ (1.59) \qquad \begin{aligned} A_1 z_n &= \lambda_n^1 z_n \\ A_2 z_n &= \lambda_n^2 z_n \\ B z_n &= |\mu_n z_n| \end{aligned} $$

**Lemme 3 :**

A tout vecteur propre $z_n$ de $A_1,A_2,B$ on peut faire correspondre deux éléments de $(V)^2$ de la forme $[\alpha z_n, \beta z_n]$ qui sont vecteurs propres de $A$, et ces éléments forment une base hilbertienne orthonormale de $(H)^2$.

**Démonstration :**

Les $\{z_n\}$ formant une base hilbertienne de $H$, tout élément $[y_1,y_2]$ de $(H)^2$ peut s'écrire :

$$ (1.60) \qquad [y_1,y_2] = \sum_{n=1}^{\infty} \begin{pmatrix} \xi_n^1 \\ \xi_n^2 \end{pmatrix} z_n . $$

La matrice $M_n \begin{bmatrix} \lambda_n^1 & \mu_n \\ \mu_n & \lambda_n^2 \end{bmatrix}$ étant symétrique, elle possède une base orthonormée de vecteurs propres $\vec{\eta}_n$ et $\vec{\xi}_n \in \mathbb{R}^2$ correspondant aux valeurs propres $v_n$ et $\bar{v}_n$. Montrons que $\vec{\eta}_n z_n$ et $\vec{\xi}_n z_n$ sont vecteurs propres de $A$ correspondant
aux valeurs propres $v_n$ et $\bar{v}_n$: $$ \vec{\eta}_n = \begin{pmatrix} \eta_n^1 \\ \eta_n^2 \end{pmatrix} $$

$$ (1.61) \qquad \eta_n^1 A_1 z_n + \eta_n^2 B z_n = (\lambda_n^1 \eta_n^1 + \mu_n \eta_n^2) = v_n \eta_n^1 z_n $$

$$ \eta_n^2 A_2 z_n + \eta_n^1 B z_n = (\mu_n \eta_n^1 + \lambda_n^2 \eta_n^2) = v_n \eta_n^2 z_n $$

$$ \text{et} \quad \begin{pmatrix} \xi_n^1 \\ \xi_n^2 \end{pmatrix} = x_n \begin{pmatrix} \eta_n^1 \\ \eta_n^2 \end{pmatrix} + \bar{x}_n \begin{pmatrix} \xi_n^1 \\ \xi_n^2 \end{pmatrix} $$

d'ou

$$ (1.62) \quad \forall [y_1, y_2] \in (H)^2 \quad [y_1, y_2] = \sum_{n=1}^{\infty} (x_n \vec{\eta}_n + \bar{x}_n \bar{\xi}_n) z_n $$

■

En ne comptant qu'une fois chaque valeur propre, on réécrit (1.62) avec les notations de (1.38) :

$$ (1.63) \quad [y_1, y_2] = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{p \le n} \xi_{n,p} [\epsilon_{n,p}^1 z_{n,p}, \epsilon_{n,p}^2 z_{n,p}] $$

Nous faisons l'hypothèse que le sous-espace engendré par les $z_{n,p}$ $p = 1, \dots, p_n$ est un sous espace propre pour l'un au moins des opérateurs $A_1, A_2, \dots, A_p$ c'est à dire on a :

$$ (1.64) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Soit } \lambda_{n,1}^i = \lambda_{n,2}^i = \dots = \lambda_{n,p_n}^i \quad \text{i=1 ou 2} \\ \text{Soit } \mu_{n,1} = \mu_{n,2} = \dots = \mu_{n,p_n} \end{array} \right. $$

Supposons qu'il existe des $\xi_{N,p}$ non tous nuls tels que

$$ (1.65) \quad \sum_{p=1}^{p \le N} \xi_{N,p} \epsilon_{N,p}^1 D z_{N,p} = 0 \quad \text{pour un N.} $$
Soit alors

$$
Z_N = \sum_{p=1}^{p^N} \xi_{N,p} \epsilon_{N,p}^1 z_{N,p}
$$

D'après (1.64) Z_N est fonction propre pour l'un des opérateurs
A_1,A_2,B ; soit par exemple A_1 :

$$
A_1 Z_N = \lambda_N^1 Z_N
$$

et

$$
CZ_N|_{\Gamma} = 0 \quad DZ_N|_{\Gamma_1} = 0 .
$$

Z_N étant une fonction analytique on a Z_N ≡ 0 . Montrons que l'on ne peut pas
avoir εN,p = 0 : en effet dans ce cas on pourrait choisir y1,0 = 0 et

y_{2,0} = \epsilon_{N,p}^2 z_N \text{ et la première équation (1.31) entrainerait :}

$$
B \epsilon_{N,p}^2 z_N = 0 \Rightarrow \epsilon_{N,p}^2 z_N = 0
$$

qui est impossible.

On en déduit $\xi_{N,p} = 0$ $p = 1, \dots, p_N$, c'est-à-dire (1.56).

Proposition 5 :

Sous les hypothèses faites sur A₁,A₂,B,C,D (1.64) est une condition
suffisante pour avoir (1.56).

Remarque :

La propriété (1.64) est trivialement vérifiée dans le cas où le système
n'a que des valeurs propres simples.

Exemple :

On considère en dimension 1 l'ouvert $\Omega = ]0,L[$.
Soit le système :

$$
(1.66) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y_1}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 y_1}{\partial x^2} + \beta y_2 = 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial y_2}{\partial t} - \gamma \frac{\partial^2 y_2}{\partial x^2} + \beta y_1 = 0
\end{array}
\right.
\qquad \alpha, \beta, \gamma, \text{ sont des constantes}
$$

On a sur $y_1, y_2$ des conditions de Dirichlet homogènes en 0,L.
Les valeurs propres de $A_1$ et $A_2$ sont :

$$
\lambda_n = \frac{n^2 \Pi^2}{L^2}
$$

Les valeurs propres du système sont celles des matrices :

$$
a_n = \begin{pmatrix}
\alpha & \frac{n^2 \Pi^2}{L^2} & \beta \\
& \beta & \\
\beta & & \gamma \frac{n^2 \Pi^2}{L^2}
\end{pmatrix}
$$

La condition (1.64) s'exprime en écrivant que le résultant des polynomes
caractéristiques de $\mathcal{A}_n$ et $\mathcal{A}_{n'}$ ($n \neq n'$) est différent de 0, soit :

$$
\frac{\Pi^4}{L^4} \alpha^2 \gamma^2 (n^2 + n'^2)^2 \neq (\alpha + \gamma)^2 \left(\alpha \gamma \frac{\Pi^4}{L^4} n^2 n'^2 + \beta^2\right)
$$

quels que soient n et n' entiers.

Si $\alpha = \gamma$ il est facile de voir qu'il suffit de prendre $|\beta| < \frac{\alpha \Pi^2}{2L^2}$.
## 2. Contrôlabilité pour un contrôle frontière.

Le contrôle est frontière et porte sur la variable y₁.

On observe y₁ et y₂ à l'instant T. Les opérateurs $a_1$ et $a_2$ sont d'ordre 2. On suppose que les hypothèses des propositions 4 ou 5 sont vérifiées. Nous allons distinguer quatre cas suivant les conditions aux limites que l'on impose à y₁ et y₂.

**1er cas :**

Condition de Neumann sur y₁ et y₂.

On considère le système sous formulation variationnelle :

$$ (1.67) \quad \begin{aligned} & \left(\frac{\partial y_1}{\partial t}, z_1 \right) + \left(\frac{\partial y_2}{\partial t}, z_2 \right) + a_1(y_1, z_1) + a_2(y_2, z_2) + b(y_1, z_1) + b(y_2, z_2) \\ & = \int_{\Gamma_1} v z_1 \, d\Gamma \qquad \forall z_1, z_2 \in H^1(\Omega) \quad v \in L^2(\Sigma_1) \\ & \qquad \qquad \Gamma_1 \subset \Gamma \end{aligned} $$

$$ (1.68) \quad y_{1,o} = y_{2,o} = 0 $$

Pour montrer la controlabilité on procède comme au § 2.

Soit $[\xi, \eta] \in (L^2(\Omega))^2$ tel que :

$$ (1.69) \quad (\xi, y_1(T;v)) + (\eta, y_2(T;v)) = 0 \qquad \forall v \in L^2(\Sigma_1) $$

On introduit l'état adjoint :

$$ (1.70) \quad \begin{aligned} & -\left(\frac{\partial p_1}{\partial t}, z_1 \right) - \left(\frac{\partial p_2}{\partial t}, z_2 \right) + a_1(p_1, z_1) + a_2(p_2, z_2) + b(p_1, z_2) + b(p_2, z_1) \\ & = 0 \qquad \forall z_1, z_2 \in H^1(\Omega) \end{aligned} $$
avec les conditions initiales :

$$
(1.71) \quad p_1(T) = \xi \quad p_2(T) = \eta
$$

En reportant (1.70), (1.71) dans (1.69) on obtient :

$$
(1.72) \quad \int_{\Sigma_1} v p_1 \, d\Sigma = 0 \qquad \forall v \in L^2(\Sigma_1)
$$

Donc $p_1|_{\Sigma_1} = 0$

Si l'on a (1.56) (ou (1.64) avec les hypothèses supplémentaires de la
proposition 5) on en déduit :

$$
p_1 = p_2 \equiv 0 \quad \text{et donc} \quad \xi = \eta = 0.
$$

2ème cas :

conditions aux limites de Dirichlet sur y₁ et y₂.

Le système est défini sous forme faible par :

$$
\begin{align*}
& (1.73) \quad \int_Q y_1 \left( \frac{\partial z_1}{\partial t} + a_1 z_1 + \beta z_2 \right) dx dt + \int_Q y_2 \left( \frac{\partial z_2}{\partial t} + a_2 z_2 + \beta z_1 \right) dx dt \\
&= - \int_{\Sigma_1} v \frac{\partial z_1}{\partial v} d\Gamma dt \quad \forall z_1, z_2 \in X \\
& \phantom{= -} v \in L^2(\Sigma_1) \\
& X = \{ z \in L^2(0,T; H^2(\Omega)) \, , \quad \frac{\partial z}{\partial t} \in L^2(Q) \, , \quad z|_{\Sigma} = 0, \ z(T) = 0 \}
\end{align*}
$$

$$
X = \{ z \in L^2(0,T; H^2(\Omega)) , \frac{\partial z}{\partial t} \in L^2(Q) , z|_{\Sigma} = 0 , z(T) = 0 \}
$$

c'est-à-dire que l'on a en un sens faible :

$$
y_1|_{\Sigma_1} = v, \quad y_1|_{\Sigma - \Sigma_1} = 0, \quad y_2|_{\Sigma} = 0.
$$

(Il faut pour définir z₁ et z₂ dans X que a₁, a₂, β aient des propriétés de ré-
gularité suffisante cf. par exemple lemme 1). On a alors y₁ et y₂ dans L²(Q) et
l'observation en T est définie dans $H^{-1}(\Omega)$. Si l'on n'avait pas controlabilité de (1.73) au sens de la norme de $H^{-1}(\Omega)$, il existerait $\xi$ et $\eta \in H_0^1(\Omega)$ tels que (1.69) ait lieu. L'état adjoint est défini sous forme forte par :

$$ (1.74) \quad \begin{cases} -\frac{\partial p_1}{\partial t} + A_1 p_1 + B p_2 = 0 \\ -\frac{\partial p_2}{\partial t} + A_2 p_2 + B p_1 = 0 \end{cases} $$

$$ (1.75) \quad \begin{gathered} p_1(T) = \xi \qquad p_2(T) = \eta \Rightarrow p_1, p_2 \in Y; \quad Y \in \{z \in L^2(0,T; H^2(\Omega), H_0^1(\Omega)) \\ \frac{\partial z}{\partial t} \in L^2(Q) \} \end{gathered} $$

Or $y_1(T)$ et $y_2(T)$ sont définis par :

$$ (1.76) \quad \begin{gathered} \langle y_1(T), z_1(T) \rangle_{H_0^1(\Omega), H^{-1}(\Omega)} + \langle y_2(T), z_2(T) \rangle_{H_0^1(\Omega), H^{-1}(\Omega)} \\ = \int_Q [y_1(\frac{\partial z_1}{\partial t} - a_1 z_1 - \beta z_2) \\ + y_2(\frac{\partial z_2}{\partial t} - a_2 z_2 - \beta z_1)] dx dt - \int_{\Sigma_1} v \frac{\partial z_1}{\partial v} a_1 d\Gamma dt \end{gathered} $$

$$ \forall z_1, z_2 \in Y $$

En faisant $z_1 = p_1$, $z_2 = p_2$ dans (1.76), on obtient :

$$ (1.77) \quad \int_{\Sigma_1} v \frac{\partial p_1}{\partial v} d\Gamma dt = 0 \quad \forall v \in L^2(\Sigma_1) $$

$$ \frac{\partial p_1}{\partial v a_1} = 0 \quad \text{et grâce à la proposition 4, } \xi = \eta = 0 $$
### 3ème cas :

Condition de Neumann sur $y_1$ et Dirichlet sur $y_2$.

Le contrôle est exercé sur $y_1$ à l'aide d'une condition de Neumann.

Pour avoir une formulation variationnelle symétrique du problème on doit avoir :

$$ \beta = \beta(x) I $$

$$ (1.78) \quad \left( \frac{\partial y_1}{\partial t} , z_1 \right) + \left( \frac{\partial y_2}{\partial t} , z_2 \right) + a_1(y_1, z_1) + a_2(y_2, z_2) + \beta(x) \left[ (y_1, z_2) + (y_2, z_1) \right] \\ = \int_{\Gamma} v z_1 \, d\Gamma \qquad \forall z_1 \in H^1(\Omega), \forall z_2 \in H^0(\Omega) $$

On définit $p_1$ et $p_2$ de façon analogue à (1.70) ($z_1 \in H^1(\Omega)$, $z_2 \in H^0(\Omega)$) et (1.69) donne $p_1|_{\Sigma} = 0$ donc $p_1 \in H^1(\Omega)$, et l'on conclut en utilisant le proposition 4.

### Remarque.

Si l'on veut utiliser le critère (1.64) et la proposition 5 il faut utiliser l'opérateur $A_1$ relatif à $a_1$ et à la condition de Dirichlet. En particulier la proposition 5 ne permet pas de conclure lorsque le contrôle est appliqué sur une partie $\Gamma_1$ de $\Gamma$. Un exemple simple de ce cas est étudié en annexe.

### 4ème cas :

Condition de Dirichlet sur $y_1$ et Neumann sur $y_2$.

Soit le système défini sous forme faible :

$$ (1.79) \quad \int_Q y_1 \left( \frac{\partial z_1}{\partial t} + a_1 z_1 + \beta z_2 \right) dx dt + \int_Q \left( \frac{\partial z_2}{\partial t} + a_2 z_2 + \beta z_1 \right) dx dt \\ = - \int_{\Sigma} v \frac{\partial z_1}{\partial v} \, d\Gamma dt \qquad \forall z_1 \in X \qquad \forall z_2 \in \bar{X} $$

$$ \bar{X} = \{ z | z \in L^2(0,T; H^2(\Omega)) \} ; \quad \frac{\partial z}{\partial t} \in L^2(\Omega) ; \quad \frac{\partial z}{\partial a_2} = 0 ; \quad z(T) = 0 \} $$
On définit $p_1$ et $p_2$ de façon analogue à (1.74). (1.69) donne alors
$$ \frac{\partial p_1}{\partial v} = 0 \quad \text{et par application de la proposition 4 : } \xi = \eta = 0. $$

On peut faire la même remarque que précédemment.

**Théorème 6 :**

Sous l'hypothèse (1.56) (ou (1.64) si l'on est dans les conditions d'application de la proposition 5) les systèmes (1.67), (1.73), (1.78), (1.79) sont controlables relativement à l'observation de $y_1$ et $y_2$ à l'instant $T$.

**Remarque :**

On peut étudier la controlabilité des systèmes précédents pour une
observation repartie ou pour une observation frontière. On montre par les
mêmes méthodes qu'il y a controlabilité sous la condition (1.19) dans le pre-
mier cas et inconditionnellement dans le second cas.

## II - EQUATIONS PARABOLIQUES D'ORDRE SUPERIEUR A 2.

En utilisant des théorèmes d'unicité semblables aux propositions 4 et 5 nous nous proposons d'étudier des cas de "super controlabilité" c'est-à-dire des cas où il y a controlabilité alors que l'on ne contrôle pas toutes les conditions aux limites. Pour la commodité d'écriture nous ne considérons que les opérateurs d'ordre 4, les résultats pouvant s'étendre aux opérateurs d'ordre 2 en généralisant convenablement les hypothèses.

### 1. - Théorèmes d'unicité.

Soit l'équation parabolique :

$$ (2,1) \quad \frac{\partial y}{\partial t} + a y = 0 \quad \text{sur } Q = \Omega \times ]0,T[ $$

avec les conditions aux limites :
$$
(2.2) \quad B_1 y |_{\Gamma} = 0 \quad , \quad B_2 y |_{\Gamma} = 0
$$

et la condition initiale

$$
(2.3) \quad y(0) = y_0
$$

A est un opérateur elliptique du 4ème ordre indépendant de t et l'opé-
rateur A associé à A et aux conditions (2.2) est auto-adjoint. On supposoe le
problème bien posé (en particulier y_o vérifie les relations de compatibilité)
et a une solution unique dans L²(0,T;H⁴(Ω)). Soit {z_n,p} une base hilbertienne
de L²(Ω) de vecteurs propres de A(z_n,p p = 1,...,p_n correspondant à la valeur
propre λ_n). Soit C un opérateur frontière (avec ordre de C ≤ 3), et soit Γ₁ ⊂ Γ
mes(Γ₁) > 0.

Proposition 7 :

On suppose que :

$$
(2.4) \quad \forall n \quad C \ z_{n,p} \ |_{\Gamma_1} \ p = 1, \dots, p_n \quad \text{sont des fonctions linéairement indépendantes de } L^2(\Gamma_1).
$$

alors si :

$$
(2.5) \quad Cy \mid_{\Sigma_1} = 0 \qquad \Sigma_1 = \Gamma_1 \times ]0,T[
$$

on a $y \equiv 0$.

Démonstration :

La démonstration s'effectue de façon analogue à celle de la proposition
4.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

La propriété (2.4) étant en général difficilement vérifiable nous allons
donner, comme à la proposition 5, de conditions suffisantes pour que (2.4) soit
vraie sous les hypothèses suivantes : on suppose que $\mathcal{A}$, $\beta_1$, $\beta_2$ sont tels que
l'on puisse décomposer le problème aux limites du 4ème ordre en deux problèmes
du 2ème ordre :

$$
(2.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\partial_y = f \\
\beta_1 y \Big|_{\Gamma} = 0 \\
\beta_2 y \Big|_{\Gamma} = 0
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\partial_1 y = z \\
\beta_1 y \Big|_{\Gamma} = 0 \\
\\
\partial_2 z = f \\
\beta_3 z \Big|_{\Gamma} = 0
\end{array}
\right.
\quad (2.7) \quad (2.8)
$$

$$
(\text{et donc } \partial_2 \partial_1 = \partial \text{ et } \beta_3 \partial_1 = \beta_2)
$$

Nous supposons que (2.7), (2.8) peuvent s'écrire sous forme faible rela-
tivement au même espace V :

$$
(2.7) \quad \Rightarrow \quad (2.9) \quad a_1 (y, \varphi) = (z, \varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$

$$
(2.8) \quad \Rightarrow \quad (2.10) \quad a_2 (z, \varphi) = (f, \varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$

$$
V \subset L^2(\Omega) ; \quad a_1 \text{ et } a_2 \text{ étant continues et coercives.}
$$

Soient $A_1, A_2$ les opérateurs associés aux formes bilinéaires $a_1$ et $a_2$ et aux espaces $V$ et $H$, définis comme opérateurs non bornés de $D(A) (=D(A_1)=D(A_2))$ dans $L^2(\Omega)$. on suppose que $A_1$ et $A_2$ sont autoadjoints et qu'ils commutent. (Ces hypothèses entrainent en particulier que l'on a soit $B_1$ d'ordre 0 et $B_2$ d'ordre 2, soit $B_1$ d'ordre 1 et $B_2$ d'ordre 3, ce qui permet d'écrire le problème (2.6) sous formulation variationnelle dans $L^2(\Omega)$). On ap-pelle $A$ l'opérateur associé à $\mathcal{A}$ et à la formulation variationnelle de (2.6).

Si $C$ est un opérateur frontière d'ordre 0 ou 1, on suppose qu'avec $B_1$
il forme un système de Dirichlet sur $\Gamma_1$ ; si c'est un opérateur d'ordre 2 ou 3,
on suppose qu'il est de la forme $C = \bar{C} a_2$ et que $B_3$ et $\bar{C}$ forment un système de
Dirichlet sur $\Gamma_1$.
**Proposition 8 :**

Sous les hypothèses précédentes, soit la propriété (2.1) :

(2.11) A une valeur propre $v_n$ de A il ne correspond qu'une seule valeur propre $\lambda_n^1$ de $A_1$ et une seule valeur propre $\lambda_n^2$ de $A_2$ (la correspondance étant précisée dans la démonstration).

Alors (2.11) est une condition suffisante pour que l'on ait (2.4).

**Démonstration :**

D'après les hypothèses, il existe une base hilbertienne de $L^2(\Omega) \{z_n\}$ qui diagonalise $A_1$ et $A_2$ (les valeurs propres étant respectivement $\lambda_1^1$ et $\lambda_2^1$).

Alors :

$$ (2.12) \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{A}_1 z_n = \lambda_n^1 z_n \\ \beta_1 z_n |_\Gamma = 0 \end{array} \right. \qquad (2.13) \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{A}_2 z_n = \lambda_n^2 z_n \\ \beta_3 z_n |_\Gamma = 0 \end{array} \right. $$

et donc :

$$ (2.14) \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{A} \, z_n = \lambda_n^1 \lambda_n^2 \, z_n \\ \beta_1 \, z_n |_\Gamma = 0 \\ \beta_2 \, z_n |_\Gamma = 0 \end{array} \right. $$

Don A a pour vecteurs propres $z_n$ de n-1 relativement aux valeurs propres $\lambda_n^1$ et $\lambda_n^2$. (2.11) peut aussi s'énoncer : un sous espace propre de A relatif à $v_n$ est aussi sous espace propre de $A_1$ et $A_2$ (on ne peut pas avoir $\lambda_n^1 \lambda_n^2 = \lambda_n^1, \lambda_n^2$).

Modifions les notations: on écrit $z_{n,p} = 1, \dots, p_n$ les vecteurs propres relatifs à $v_n$. Soit alors $N$ et $\alpha_p, p = 1, \dots, p_N$ tels que :

$$ (2.15) \quad \sum_{p=1}^{p_N} \alpha_p \, C \, z_{N,p} = 0 $$
Posons :

$$
(2.16) \quad Z = \sum_{p=1}^{pN} \alpha_p z_{N,p}
$$

D'après (2.11) on a :

$$
(2.17) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\partial_1 Z = \lambda_N^1 Z \\
\partial_1 Z|_{\Gamma} = 0 \\
C Z|_{\Gamma_1} = 0
\end{array}
\right.
$$

Donc $Z \equiv 0$ et $\alpha_p = 0 \ p = 1, \dots, p_N$ ce qui est (2.4).

■

Remarque :

Pour un opérateur $\mathcal{A}$ d'ordre 2m, la condition (2.11) s'écrit :

∀ n ∈ i ∈ {1,...,m} tel que, λ̂ᵢₙₚ p = 1,...,pₙ étant les valeurs propres de Aᵢ relatives aux zₙₚ :

$$
\lambda_{n,1}^{i} = \lambda_{n,2}^{i} = \dots = \lambda_{n,p_n}^{i} .
$$

Exemple :

Soit sur $Q = \Omega \times ]0,T[$ le problème :

$$
(2.18) \quad \frac{\partial y}{\partial t} + \Delta^2 y = 0
$$

avec les conditions aux limites :

$$
(2.19) \quad y|_{\Sigma} = 0 \quad \Delta y|_{\Sigma} = 0
$$
si y vérifie aussi :

$$ (2.20) \quad \left. \frac{\partial y}{\partial v} \right|_{\Sigma_1} = 0 $$

ou

$$ (2.21) \quad \left. \frac{\partial}{\partial v} (\Delta y) \right|_{\Sigma_1} = 0 $$

alors $y \equiv 0$.

Même résultat en remplaçant (2.19) par :

$$ (2.21) \quad \left. \frac{\partial y}{\partial v} \right|_{\Sigma} = 0 \quad \left. \frac{\partial}{\partial v} \Delta y \right|_{\Sigma} = 0 $$

et avec par exemple la condition supplémentaire $y|_{\Sigma_1} = 0$.

## 2. - Contrôlabilité.

Nous étudions la contrôlabilité pour un contrôle frontière et une observation finale. Pour utiliser la proposition 8 sans compliquer l'écriture, nous raisonnons sur l'exemple du n° précédent.

On considère :

$$ (2.22) \quad \frac{\partial y}{\partial t} + \Delta^2 y = 0 $$

avec les conditions aux limites :

$$ (2.23) \quad y|_{\Sigma} = 0 \quad \left. \frac{\partial y}{\partial v} \right|_{\Sigma} = v \in L^2(\Sigma) \quad \text{et} \quad y|_{t=0} = 0 $$

y est défini sous forme faible par :

$$ (2.24) \quad \int_Q y \left( -\frac{\partial z}{\partial t} + \Delta^2 z \right) dx dt = - \int_{\Sigma} v \Delta z \, d\Sigma \quad \forall z \in \mathbb{Z} $$
$$
Z = \{ z/z \in L^2(0,T; H^4(\Omega) \cap H_0^2(\Omega)) , z(T) = 0 \}
$$

et l'observation y(T) est définie dans H⁻²(Ω).

Supposons qu'il existe ξ dans H₀²(Ω) tel que :

$$
(2.25) \quad (\xi, y(T,0)) = 0 \quad \forall v \in L^2(\Sigma)
$$

on pose :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(2.26) \quad \displaystyle\frac{\partial p}{\partial t} + \Delta^2 p = 0 \\[1.5ex]
(2.27) \quad p|_{\Sigma} = 0 \quad \left.\frac{\partial p}{\partial v}\right|_{\Sigma} = 0 \\[1.5ex]
(2.28) \quad p(T) = \xi .
\end{array}
\right.
$$

(2.26), (2.27), (2.28) définissent p dans L²(0,T,H²(Ω)).

En utilisant la définition de y(T) et (2.25) on en déduit :

$$
(2.29) \quad \int_{\Sigma} \Delta p \cdot v \, d\Sigma = 0 \quad \forall v \in L^2(\Sigma).
$$

d'ou $\Delta p|_{\Sigma} = 0$ et en utilisant la proposition 8 $\xi = 0$.

Remarque :

Pour l'utilisation de la proposition 8 on est obligé de supposer que
le contrôle est exercé sur la totalité de la frontière. Le cas suivant présen-
te une situation différente.

On considère (2.22) avec les conditions aux limites :

$$
(2.30) \quad y|_{\Sigma} = 0 \quad \Delta y|_{\Sigma_1} = v \in L^2(\Sigma_1) \quad \Delta y|_{\Sigma-\Sigma_1} = 0
$$
Alors en utilisant (2.25) on obtient :

$$
(2.31) \quad \int_{\Sigma_1} \frac{\partial p}{\partial v} v \, d\Sigma = 0 \quad \forall v \in L^2(\Sigma_1)
$$

Donc p vérifie (2.26), (2.28) avec les conditions :

$$
(2.32) \quad p|_{\Sigma} = 0 \quad \left. \frac{\partial p}{\partial v} \right|_{\Sigma_1} = 0 \quad \Delta p|_{\Sigma} = 0
$$

d'où p = 0 $\Rightarrow$ ξ = 0 .

■
REFERENCES

[1] J.L. LIONS
Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles.
DUNOD - GAUTHIER VILLARS

[1] H.O. FATTORINI
Boundary control systems.
SIAM J. Control Vol 6 N° 3 (1968) pp. 349-384.

[2] H.O. FATTORINI
Some remarks on complete controllability.
SIAM J. Control Vol 4 N° 4 (1966) pp. 686-694.
# ANNEXE

Nous donnons les conclusions de la proposition 4 sur un exemple élémentaire pour lequel on ne peut pas appliquer le théorème 5. Nous nous plaçons en dimension d'espace égale à 1 : $\Omega = ]0,1[$.

On cherche à montrer que la solution du problème suivant est nulle sa-
chant que :

$$
(3.1) \quad y_2(t,0) = 0
$$

$$
(3.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y_1}{\partial t} - \frac{\partial^2 y_1}{\partial x^2} + \alpha y_2 = 0 & \alpha > 0 \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial y_2}{\partial t} - \frac{\partial^2 y_2}{\partial x^2} + \alpha y_1 = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.3) \quad y_1(t,0) = y_1(t,1) = 0
$$

$$
(3.4) \quad \frac{\partial y_2(t,0)}{\partial x} = \frac{\partial y_2(t,1)}{\partial x} = 0
$$

Par le changement d'inconnues : $Y_1 = y_1 + y_2$ $Y_2 = y_1 - y_2$ , on obtient :

$$
(3.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial Y_1}{\partial t} - \frac{\partial^2 Y_1}{\partial x^2} + \alpha Y_1 = 0 \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial Y_2}{\partial t} - \frac{\partial^2 Y_2}{\partial x^2} - \alpha Y_2 = 0
\end{array}
\right.
$$
et

$$
(3.6) \quad Y_1(t,0) + Y_2(t,0) = 0 \qquad Y_1(t,1) + Y_2(t,1) = 0
$$

$$
(3.7) \quad \frac{\partial Y_1}{\partial X}(t,0) = \frac{\partial Y_2}{\partial X}(t,0) \qquad \frac{\partial Y_1}{\partial X}(t,1) = \frac{\partial Y_2}{\partial X}(t,1)
$$

et (3.1) donne :

$$
(3.8) \quad Y_1(t,0) = Y_2(t,0) = 0.
$$

On définit $Y(t,x)$ sur $]0,2[$ de la façon suivante :

$$
\text{sur } ]0,1[ \quad Y(t,x) = Y_1(t,x)
$$

$$
\text{sur } ]0,2[ \quad Y(t,x) = - Y_2(t,1-x)
$$

On peut interpréter les conditions (3.6), (3.7) en x = 1 comme des
conditions de transmission et Y(t,x) vérifie sur ]0,2[

$$
(3.9) \quad \frac{\partial Y}{\partial t} - \frac{\partial^2 Y}{\partial X^2} + \varepsilon \alpha Y = 0 \qquad \varepsilon = 1 \quad \text{sur } ]0,1[ \, , \quad \varepsilon = -1 \quad \text{sur } ]1,2[
$$

$$
(3.10) \quad Y(0) = Y(2) = 0
$$

et la condition supplémentaire :

$$
(3.11) \quad \frac{\partial Y}{\partial X}(0) = \frac{\partial Y}{\partial X}(2)
$$

Les valeurs propres $\lambda_n$ de l'opérateur $(\frac{d^2}{dx^2} + \varepsilon \alpha)$ muni des conditions
aux limites de Dirichlet sont simples et elles sont données par :
- si $-\alpha < \lambda_n < \alpha$

$$ (3.12) \quad \frac{1}{\varphi_n} \operatorname{th} \varphi_n = - \frac{1}{\varphi'_n} \operatorname{tg} \varphi'_n $$

avec

$$ (3.13) \quad \varphi_n = \sqrt{\alpha - \lambda_n} \qquad \varphi'_n = \sqrt{\lambda_n + \alpha} $$

Le vecteur propre correspondant étant :

$$ (3.14) \quad \left\{ \begin{array}{ll} Y_n(x) = \operatorname{sh} \varphi_n x & 0 < x < 1 \\ Y_n(x) = \zeta \sin \varphi'_n (2-x) & 1 < x < 2 \end{array} \right. $$

où $\zeta$ est donné par :

$$ (3.15) \quad \operatorname{sh} \varphi_n = \zeta \sin \varphi'_n . $$

- si $\alpha < \lambda_n$

$$ (3.16) \quad \frac{1}{\varphi_n} \operatorname{tg} \varphi_n = - \frac{1}{\varphi'_n} \operatorname{tg} \varphi'_n $$

avec

$$ (3.17) \quad \varphi_n = \sqrt{\lambda_n - \alpha} \qquad \varphi'_n = \sqrt{\lambda_n + \alpha} $$

et

$$ (3.18) \quad \left\{ \begin{array}{ll} Y_n(x) = \sin \varphi_n x & 0 < x < 1 \\ Y_n(x) = \zeta' \sin \varphi'_n (2-x) & 1 < x < 2 \end{array} \right. $$

$$ (3.19) \quad \sin \varphi_n = \zeta' \sin \varphi'_n . $$