<figure><img src="image_1.png" /></figure>

# Simulations numériques à l'échelle de microstructures hétérogènes pour déterminer des propriétés effectives de propagation ultrasonore

Vincent Dorval<fnref n="1" />*, Nicolas Leymarie<fnref n="1" />, Alexandre Imperiale<fnref n="1" />, Edouard Demaldent<fnref n="1" />, Zakaria Aghenzour<fnref n="2" />, et Pierre-Emile Lhuillier<fnref n="2" />

## Résumé

Les méthodes basées sur les rayons permettent de simuler rapidement la propagation d'ondes ultrasonores sur de grandes distances. Elles peuvent être couplées à des modèles de diffraction pour produire des simulations complètes des contrôles ultrasonores mais ne tiennent pas compte des interactions complexes qui se produisent dans des milieux fortement hétérogènes. Or, ces dernières peuvent avoir un impact significatif sur les performances d'inspection. Par comparaison, les simulations par Eléments Finis (EF) à l'échelle de la microstructure tiennent compte de ces interactions mais requièrent des temps de calcul si importants qu'elles sont retreintes à des Volumes Elémentaires Représentatifs (VER) en trois dimensions. Le travail présenté dans cette communication vise à combiner les avantages de ces deux approches. D'une part, des simulations EF réalisées sur des VER de la microstructure sont utilisées pour déterminer les paramètres macroscopiques effectifs tels que les vitesses, les atténuations et les coefficients de diffusion. D'autre part, un modèle basé sur les rayons exploite ces données pour simuler l'inspection ultrasonore visée où les ondes se propagent sur des distances importantes par rapport aux longueurs d'onde et à la taille caractéristique de la microstructure. Un module de simulation dédié a été implémenté dans une version de développement du logiciel CIVA. Il génère des réalisations aléatoires de microstructures pour un ensemble donné de paramètres, pilote des calculs par éléments finis, et post-traite leurs résultats pour obtenir des estimations des propriétés du milieu effectif macroscopique. Les volumes considérés par le modèle éléments finis sont suffisamment petits pour permettre des calculs rapides en trois dimensions, de l'ordre de quelques minutes. Des résultats ont été obtenus pour différents types de microstructures, décrivant des métaux et des bétons. En particulier, cette communication se concentre sur des applications à l'acier qui ont fait l'objet d'études collaboratives entre le CEA et EDF. Cette approche s'avère prometteuse pour combiner la modélisation à l'échelle de la microstructure et les simulations à plus grande échelle.

## 1. Introduction

La diffusion des ondes ultrasonores dans les matériaux peut fortement affecter les inspections, notamment dans le cas de certains aciers. Les différences d'échelle entre les microstructures, les longueurs d'onde et les distances de propagation des ondes constituent une difficulté pour la simulation de ces phénomènes dans un procédé d'inspection. Une approche courante consiste à ne considérer que la partie cohérente de l'onde ultrasonore, définie comme l'onde ultrasonore moyennée sur le désordre. Elle se comporte comme si elle se propageait dans un milieu effectif homogène qui peut être caractérisé, dans le cas isotrope, par une vitesse et une atténuation pour chaque mode de propagation (longitudinal et transverse). De nombreux modèles analytiques ont été développés dans le but de prédire les propriétés du milieu effectif, dont notamment celui de Stanke et Kino [1] pour les matériaux polycristallins. Ces modèles ont des limites : ils considèrent des descriptions simples de la microstructure, ce qui peut limiter leur applicabilité, et ils s'appuient sur des approximations qui peuvent entraîner des imprécisions. Une approche alternative consiste à effectuer des simulations Eléments Finis (EF) de propagation à travers une description explicite de la microstructure. Les capacités de calcul augmentant, cette approche devient de plus en plus compétitive. Les simulations en trois dimensions d'inspections de pièces entières restent inaccessibles, mais la simulation dans des Volumes Elémentaires Représentatifs (VER) est raisonnable et permet d'analyser le comportement des ondes cohérentes pour estimer leur vitesse de phase comme leur loi d'atténuation en fonction de la fréquence [2]. Ces propriétés peuvent ensuite servir de données d'entrées à d'autres approches qui simulent de manière plus efficace la propagation de l'onde effective sur de grandes distances, comme l'approche de calcul par rayons [3] utilisée dans la plate-forme CIVA [4]. Le travail présenté ici a consisté à ajouter à CIVA des outils dédiés aux simulations ultrasonores par EF dans des VER de microstructures. Un traitement automatique des champs calculés permet alors d'évaluer les propriétés de l'onde effective. Cette communication résume le

<footnote n="1">¹Université Paris-Saclay, CEA, List, France</footnote>

<footnote n="2">²EDF, France</footnote>

<footnote>*corresponding author, E-mail: vincent.dorval@cea.fr</footnote>
fonctionnement de ces outils et présente des premiers résultats obtenus.

## 2. Simulation de la propagation à travers un Volume Elémentaire Représentatif

Des approches similaires à celle présentée ici ont été étudiée par d'autres auteurs, dont notamment Van Pamel et al. [2] et Ryzy et al. [5]. Cette section en présente l'idée générale ainsi que certaines spécificités de nos travaux.

### 2.1. Description de la microstructure

Les domaines de calcul utilisés sont définis comme des grilles 3D décrivant les propriétés élastiques d'un polycristal. Celui-ci peut être composé d'une ou deux phases. Il est supposé que la diffraction des ondes est entièrement due à l'inhomogénéité des propriétés élastiques. Dans le cas d'une microstructure à une seule phase, seules les orientations du repère cristallographique varient, les constantes élastiques du monocristal dans ce référentiel étant considérées invariantes. Si une deuxième phase est présente, la valeur des constantes élastiques et celle de la masse volumique peuvent également varier d'une phase à l'autre. La microstructure est donc décrite par une cartographie d'orientations cristallographique et, de manière optionnelle, d'indices de phase. Ces données peuvent être importées via des fichiers au format vtk qui peuvent être générés par différents logiciels de simulation de microstructures, tels que Neper [6] et DREAM.3D [7]. La Figure 1 montre un exemple de microstructure complexe importée.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Microstructure importée depuis un fichier vtk et affiché dans l'IHM CIVA.</figcaption></figure>

Il est également possible de générer aléatoirement des microstructures de manière paramétrique directement dans l'outil de simulation. Les microstructures sont basées sur des diagrammes de Voronoi calculés pour un ensemble de points aléatoires. Une orientation cristallographique aléatoire est affectée à chaque cellule du diagramme. Ces diagrammes peuvent être au choix équiaux ou allongés.

Ils sont dans les deux cas périodiques selon deux directions normales à la direction de propagation. La Figure 2 en montre des exemples.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Exemples de microstructures équiaxes et allongées générées affiché dans l'IHM CIVA.</figcaption></figure>

### 2.2. Simulation par éléments finis

Les simulations sont effectuées pour une source uniforme sur une des faces (matérialisée en jaune à l'IHM CIVA, comme visible Figure 1 et Figure 2). Des conditions de bord libre sont imposées sur cette face ainsi que sur celle qui lui est opposée. Les conditions sont périodiques dans les deux autres directions, en cohérence avec la périodicité imposée aux microstructures générées par diagramme de Voronoi. Cette périodicité, associée au chargement uniforme, permet à des ondes planes longitudinales ou transverses de se propager sans effets de bord.

Le noyau de calcul éléments finis utilisé repose sur une grille régulière et un schéma d'ordre bas. Il a été développé spécifiquement pour le cas des microstructures polycristallines. Il diffère d'un autre noyau de calcul éléments finis utilisé dans CIVA, qui repose sur des maillages et un schéma d'ordre élevé.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Exemple d'affichage de champ calculé dans l'IHM CIVA.</figcaption></figure>
Le champ calculé pour une microstructure donnée peut être visualisé dans l'IHM CIVA (Figure 3).

## 2.3. Post-traitement

Les champs calculés sont post-traités automatiquement afin d'estimer la vitesse et l'atténuation de l'onde cohérente selon la fréquence. La méthode utilisée est similaire à celles appliquées par Ryzy et al. [5] pour des métaux et Yu et al. [8] pour des bétons. La moyenne du champ est calculée en une série de plans perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde. Il en résulte une série de signaux montrant l'évolution de l'onde en fonction de la profondeur (Figure 4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : Exemples de plans et de signaux exploités par le post-traitement automatique</figcaption></figure>

Une transformée de Fourier est appliquée à l'ensemble de ces signaux. L'atténuation et la vitesse pour chaque fréquence sont ensuite calculées. L'atténuation est obtenue par une régression linéaire du logarithme de l'amplitude en fonction de la profondeur. La vitesse est obtenue à partir de l'évolution de la phase en fonction de la profondeur.

L'onde cohérente est définie comme la moyenne sur l'ensemble des réalisations possibles. La moyenne de l'onde se propageant dans un VER de microstructure généré aléatoirement n'est qu'une approximation de l'onde cohérente. Plus le volume considéré est grand, plus l'approximation sera précise. Une autre manière d'améliorer l'estimation de l'onde cohérente est de réaliser plusieurs calculs sur une série de tirages, et de moyenner les champs obtenus sur l'ensemble. A fréquence fixe et pour des VER de petite taille, les deux solutions ont des coûts en temps de calcul similaire. Pour des plus grands VER, quand la génération de microstructure à un cout significatif et/ou quand des problèmes d'espace mémoire se posent, la seconde solution devient pertinente.

Le post-traitement automatique peut s'appliquer également à chaque VER d'une série de tirages. La moyenne de ces résultats sur l'ensemble des VER devrait avoir tendance à converger vers les caractéristiques de l'onde cohérente. Cette approche présente l'avantage de permettre d'évaluer la variabilité d'un tirage à l'autre et d'estimer une incertitude sur le résultat final, ce qui laisse envisager la mise en place d'un critère d'arrêt sur le nombre de simulations réalisées pour atteindre la précision souhaitée. L'outil développé propose de réaliser des moyennes sur des séries de tirages de diagramme de Voronoi ou sur une liste de microstructure importées au format vtk. Le post-

traitement est alors effectué pour chaque tirage et pour la moyenne des tirages.

# 3. Exemples de propriétés de milieux effectifs

## 3.1. Tirages multiples

La Figure 5 compare des résultats obtenus en traitant la moyenne des signaux sur l'ensemble des tirages, et en moyennant les résultats sur chaque tirage. Les deux approches donnent des résultats similaires.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 : Exemples de vitesses et atténuations obtenues pour 50 tirages</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 1 : Paramètres de simulations</caption><thead><tr><td>Quantité</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre de tirages</td><td>50</td></tr><tr><td>Volume</td><td>10*10*30 (en mm)</td></tr><tr><td>Densité de grains</td><td>1 grain/mm³</td></tr><tr><td>Masse volumique</td><td>8 g/cm</td></tr><tr><td>Constantes élastiques (cubiques) en GPa</td><td>C<sub>11</sub>=220, C<sub>12</sub>=135, C<sub>44</sub>=110</td></tr><tr><td>Onde incidente</td><td>Longitudinale</td></tr><tr><td>Fréquence centrale</td><td>1 MHz</td></tr><tr><td>Temps de propagation</td><td>5 µs</td></tr><tr><td>Pas de grille</td><td>0,16 mm</td></tr></tbody></table>

Ces simulations (réalisées sur un ordinateur portable) ont pris un temps inférieur à une minute pour chaque tirage. Leurs paramètres sont donnés dans le Tableau 1.
## 3.2. Résultats adimensionnés

Il est possible d'adimensionner la dépendance de l'atténuation à travers une microstructure en s'intéressant à $\alpha D$ en fonction de $kD$, $\alpha$ étant le coefficient d'atténuation, $k$ le nombre d'onde à la fréquence courante dans un milieu homogène de référence, et $D$ un paramètre de taille de grain. Dans le cas des diagrammes de Voronoi nous utiliserons $D=n^{-1/3}$, $n$ étant le nombre de grains par unité de volume. Après adimensionnement, l'atténuation pour un matériau donné ne dépend plus que de $kD$. Des résultats obtenus pour une fréquence et taille de grain donnée peuvent donc être transposés à d'autres. Cela permet de tabuler de manière moins coûteuse des lois de comportement de matériaux.

La Figure 6 combine des résultats de simulations obtenus pour plusieurs jeux de paramètres. Le traitement réalisé pour chaque simulation permet d'obtenir des valeurs d'atténuation dans une plage de fréquence limitée à la bande passante du signal émis. La combinaison entre des simulations réalisées pour différentes fréquences et tailles de grain permet de couvrir une large plage de valeurs de $kD$. Les valeurs de fréquence centrale $Fc$ et de densité de grains $n$ sont données dans la légende, les autres paramètres sont ceux du Tableau 1. Le milieu homogène de référence définissant $k$ est donné par la moyenne de Voigt des orientations des constantes d'élasticité.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6: Variations du coefficient d'atténuation adimensionné (représentation logarithmique) obtenues en combinant plusieurs simulations appliquées aux ondes L dans l'acier</figcaption></figure>

Les résultats obtenus avec différents paramètres sont cohérents les uns avec les autres. Ils reproduisent les trois régimes prédits notamment par Stanke et Kino [1] :

- Le régime de Rayleigh ($kD<<1$), où $\alpha D \propto (kD)^4$,

- Le régime stochastique ($kD \approx 1$), où $\alpha D \propto (kD)^2$,

- Le régime géométrique ($kD >> 1$), où $\alpha D$ est constant.

Malgré un comportement similaire, les valeurs obtenues ne sont pas directement comparables à celles issues du modèle de Stanke et Kino qui suppose des distributions de grains différentes d'un diagramme de Voronoi.

Atteindre des $kD$ élevés suppose d'augmenter la fréquence ou la taille de grain. Le domaine de calcul devant contenir

des grains en assez grand nombre pour être représentatif de la microstructure, les simulations à $kD$ élevés supposent nécessairement des configurations où les domaines sont de grande taille par rapport aux longueurs d'ondes. Cela implique des coûts de calculs élevés. Pour obtenir les résultats à 6 MHz de la Figure 6, le critère de pas de maillage en fonction de la longueur d'onde a été relâché. Le domaine de calcul a par ailleurs été élargi pour contenir un nombre de grains significatifs. Les résultats de cette simulation deviennent irréguliers pour des plus hauts $kD$ (non représentés ici), probablement du fait du relâchement du maillage. Il pourrait être intéressant d'un point de vue théorique de confirmer avec des calculs plus précis et couteux que le comportement caractéristique du domaine géométrique est bien retrouvé à des $kD$ plus élevés. Cependant, d'un point de vue pratique, les valeurs d'atténuation à $kD$ élevés ont un intérêt limité pour des applications au contrôle non destructif. Pour des grains de très grande taille, les contrôles ont tendance à exploiter un champ incohérent perturbé par la microstructure, qui n'est pas décrit de manière pertinente par une onde cohérente atténuée.

Inversement, pour des $kD$ très faibles il peut devenir nécessaire de raffiner le maillage afin d'avoir assez de maille par grain. Les $kD$ faibles correspondent cependant au régime de Rayleigh dans lequel les atténuations se comportent de manière simple et peuvent être extrapolées. La méthode présentée ici est donc principalement intéressante pour évaluer les propriétés de l'onde cohérente aux $kD$ intermédiaires

## 4. Calculs rapides avec milieux effectifs

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Géométrie et B-scan (taille de grain d'origine)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Echodynamique</figcaption></figure>

Figure 7: Calcul d'écho pour un milieu homogène effectif

Les propriétés du milieu effectif identifié (vitesses et atténuations) peuvent être utilisées en entrée de calculs semi-analytiques rapides. La Figure 7 montre un exemple
de simulations CIVA. Il s'agit d'une simulation d'un écho d'entaille débouchante avec un balayage sur 50 positions pour un transducteur émettant une onde transversale de fréquence centrale 1 MHz, et se propageant pendant plus de 100 µs dans une pièce de 100 mm d'épaisseur. Le calcul a été réalisé pour les paramètres du Tableau 1, et pour une taille de grains augmentée de 10%.

Pour des grains de plus grande taille, l'atténuation est plus importante et l'amplitude de l'écho d'entaille est réduite, comme attendu. Ce calcul, limité à la réponse de l'onde cohérente, ne prend que quelques secondes sur un ordinateur portable. Une simulation éléments finis à la même échelle serait plus complète mais demanderait plusieurs jours de calcul.

## 5. Conclusions

L'association de simulations éléments finis sur des volumes élémentaires représentatifs à des simulations semi-analytiques à grande échelle permet des calculs précis et rapides de propagation à travers des microstructures inhomogènes.

L'outil que nous avons développé permet de traiter des microstructures paramétriques simples, mais aussi des microstructures plus complexes produites par des logiciels spécialisés. Une méthodologie a été mise en œuvre et automatisée afin d'identifier les caractéristiques du front d'onde cohérent par le biais de la mesure de son nombre d'onde complexe en fonction de la fréquence. De premiers résultats de caractérisation de microstructures sont présentés et commentés.

Notons enfin que ces résultats se limitent ici au champ cohérent. L'ajout d'un champ incohérent permettrait des simulations plus riches de contrôles ultrasonores. Cela passerait notamment par la caractérisation du bruit de structure dans des petits volumes, afin de l'inclure dans un générateur de bruit approché tel que celui proposé dans CIVA [9].

Les résultats obtenus grâce à cette méthode pourraient être utilisés pour constituer une base de données, qui à son tour pourrait servir à élaborer un méta-modèle de caractéristiques pour les microstructures polycristallines. Une intégration de ces outils à la version commerciale de CIVA est envisagée à moyen terme.

## References

[1] F. E. Stanke and G. S. Kino, 'A unified theory for elastic wave propagation in polycrystalline materials', *The Journal of the Acoustical Society of America*, vol. 75, no. 3, Art. no. 3, Mar. 1984, doi: 10.1121/1.390577.

[2] A. Van Pamel, C. R. Brett, P. Huthwaite, and M. J. S. Lowe, 'Finite element modelling of elastic wave scattering within a polycrystalline material in two and three dimensions', *The Journal of the Acoustical Society of America*, vol. 138, no. 4, pp. 2326-2336, Oct. 2015, doi: 10.1121/1.4931445.

[3] N. Gengembre and A. Lhémery, 'Pencil method in elastodynamics: application to ultrasonic field computation', *Ultrasonics*, vol. 38, no. 1-8, pp. 495-499, Mar. 2000, doi: 10.1016/S0041-624X(99)00068-2.

[4] 'CIVA'. https://list.cea.fr/fr/page/civa-la-simulation-et-lanalyse-au-service-du-controle-non-destructif/

[5] M. Ryzy, T. Grabec, P. Sedlák, and I. A. Veres, 'Influence of grain morphology on ultrasonic wave attenuation in polycrystalline media with statistically equiaxed grains', *The Journal of the Acoustical Society of America*, vol. 143, no. 1, pp. 219-229, Jan. 2018, doi: 10.1121/1.5020785.

[6] R. Quey and M. Kasemer, 'The Neper/FEPX Project: Free / Open-source Polycrystal Generation, Deformation Simulation, and Post-processing', *IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng.*, vol. 1249, no. 1, p. 012021, Jul. 2022, doi: 10.1088/1757-899X/1249/1/012021.

[7] M. A. Groeber and M. A. Jackson, 'DREAM.3D: A Digital Representation Environment for the Analysis of Microstructure in 3D', *Integr Mater Manuf Innov*, vol. 3, no. 1, pp. 56-72, Dec. 2014, doi: 10.1186/2193-9772-3-5.

[8] T. Yu, J.-F. Chaix, L. Audibert, D. Komatitsch, V. Garnier, and J.-M. Hénault, 'Simulations of ultrasonic wave propagation in concrete based on a two-dimensional numerical model validated analytically and experimentally', *Ultrasonics*, vol. 92, pp. 21-34, Feb. 2019, doi: 10.1016/j.ultras.2018.07.018.

[9] V. Dorval, L. Ducousso-Ganjehi, S. Chatillon, and F. Jenson, 'Modeling Ultrasonic Structural Noise Based on the Microstructural Properties of Metals in the Context of Non Destructive Evaluation', presented at the 13th International Symposium on Nondestructive Characterization of Materials (NDCM-XIII), Le Mans, France, Le Mans, France, 2013. [Online]. Available: https://www.ndt.net/article/ndcm2013/content/papers/24_Dorval_Rev1.pdf