# Méthodes multi-niveaux pour la restauration d'images hyperspectrales

Guillaume Lauga, Elisa Riccietti, Nelly Pustelnik, Paulo Gonçalves

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Guillaume Lauga, Elisa Riccietti, Nelly Pustelnik, Paulo Gonçalves. Méthodes multi-niveaux pour la restauration d'images hyperspectrales. 2023. hal-04067225v2

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Preprint submitted on 28 Jun 2023

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# Méthodes multi-niveaux pour la restauration d'images hyperspectrales

Guillaume LAUGA<fnref n="1" />, Elisa RICCIETTI<fnref n="1" />, Nelly PUSTELNIK<fnref n="2" />, Paulo GONÇALVES<fnref n="1" />,<fnref n="3" />

**Résumé** – Cet article présente un nouvel algorithme proximal multi-niveau dont la construction est spécifique à la restauration d'images hyperspectrales. Deux méthodes d'approximation de la fonction objectif dédiée à ce problème sont proposées. Dans les deux cas, les garanties de convergence associées sont équivalentes à celles de l'état de l'art. Ces deux méthodes sont comparées à FISTA en qualité de reconstruction à temps de calcul équivalent pour un problème d'inpainting démontrant l'intérêt de l'approche proposée pour de très grands volumes de données.

**Abstract** – This paper presents a new multi-level proximal algorithm whose construction is specific to hyperspectral image restoration. Two methods for approximating the objective function associated with this problem are proposed. In both cases, the associated convergence guarantees are equivalent to those of the state of the art. Finally, these two methods are compared to FISTA in terms of reconstruction quality at equivalent computation time on an inpainting problem showing the interest of the proposed approach on high dimensional data.

## 1 Introduction

L'imagerie hyperspectrale est une technique d'acquisition qui capture simultanément des données sur une large gamme de longueurs d'onde proches deux-à-deux. Ce type d'acquisition fournit une multitude d'informations sur la composition de la scène ou de l'objet observé et est largement utilisée dans des domaines tels que l'agriculture [11] ou encore l'analyse d'oeuvres d'art [8, 14].

Cependant cette information fait face à deux limitations principales pouvant impacter son utilisation dans des applications pratiques : un coût mémoire important et des données souvent affectées par différents types de dégradations qui compromettent la qualité des données. La restauration d'images hyperspectrales (IHS) consiste alors à réduire ces facteurs de dégradation afin d'exploiter un maximum de l'information disponible. De par le grand volume de données impliqué, cette restauration est très coûteuse numériquement et motive le développement de méthodes permettant le passage à une telle échelle (voir [16] pour une revue de l'état-de-l'art).

Dans cet article, nous proposons un algorithme proximal multi-niveau adapté à la restauration d'images hyperspectrales. Notre approche basée sur [10] permet de bénéficier d'une part de la vaste littérature dédiée aux algorithmes multi-niveaux en optimisation lisse [13] et de la combiner aux performances de reconstruction d'images reposant sur des algorithmes proximaux [3]. À temps de calcul égal, la restauration obtenue par cet algorithme est significativement meilleure que celle obtenue par les méthodes d'optimisation standards [1]. Dans cet article, la spécificité liée au traitement d'images hyperspectrales se traduira par une étude de l'opérateur de transfert de la résolution

fine à la résolution grossière.

Dans la section 2, nous introduisons le modèle direct et la formulation inverse reposant sur une approche par moindres carrés pénalisés par une régularisation NLTV (variation totale non locale) qui fait partie des pénalisations de l'état-de-l'art [2]. Dans cette section, nous présentons également notre algorithme multi-niveau et ses garanties de convergence. La section 3 se concentre ensuite sur le choix de l'opérateur de transfert des échelles fines aux échelles grossières. Enfin, la section 4 illustre numériquement les performances de la méthode proposée IML FISTA (Inexact MultiLevel fast iterative soft thresholding algorithm) dans le cadre de la restauration d'IHS pour différents choix d'opérateurs de transfert.

## 2 Algorithme multi-niveau

**Modèle direct** – Notre objectif est de retrouver une IHS à L-bandes de bonne qualité notée $\hat{x} \in \mathbb{R}^N$ (où $N = N_b \times L$) à partir d'une version corrompue $z$ de l'IHS vraie $\bar{x}$, dégradée par un opérateur linéaire déterministe et du bruit de mesure, formellement $z = A\hat{x} + \epsilon$, où $A \in \mathbb{R}^{M \times N}$ modélise l'opérateur de dégradation linéaire, et $\epsilon$ le bruit additif gaussien. Dans cette étude, nous nous concentrons sur un opérateur linéaire de dégradation qui modélise un sous-échantillonnage aléatoire dans la dimension spatiale des IHS (i.e., $M \ll N$).

**Notations** – On note $x^{(i,b)} = x^{(i_1,i_2,b)}$ le pixel $i = (i_1, i_2) \in \{1, \dots, N_r\} \times \{1, \dots, N_c\}$ de la bande $b \in \{1, \dots, L\}$ de l'IHS $x$. Chaque bande est de taille $N_b = N_r \times N_c$, $x$ peut donc être représentée sous la forme d'un hypercube (voir Figure 1). On note $\lambda^{(b)}$ la longueur d'onde associée à la bande $b$. On note aussi $\mu(\lambda)$ la moyenne des écarts $\lambda^{(b+1)} - \lambda^{(b)}$ pour tous $b$ et $\sigma(\lambda)$ l'écart type associé.

Les variables aux niveaux fin et grossier seront respectivement indexées par $h$ ($F_h := F$, $x_h := x$, etc.) et par $H$.

**Approche variationnelle** – Ce problème est connu pour être mal posé. Nous proposons de le résoudre par formulation des

<footnote n="1">¹Univ Lyon, Ens de Lyon, Univ Lyon 1, CNRS, Inria, LIP, Lyon, France.</footnote>

<footnote n="2">²Univ Lyon, Ens de Lyon, Univ Claude Bernard, CNRS, Laboratoire de Physique, Lyon, France.</footnote>

<footnote n="3">³CPE Lyon, Villeurbanne, France.</footnote>

<footnote>Ce travail est financé par l'ANR (Agence Nationale de la Recherche) à travers le projet ANR-19-CE48-0009 Multisc'In et par le GdR ISIS à travers le projet MOMIGS. Les auteurs remercient le Centre Blaise Pascal à l'ENS de Lyon (Lyon, France) pour les moyens de calcul. La plateforme exploite la solution SIDUS [15] développée par Emmanuel Quemener.</footnote>
moindres carrés régularisés, avec la fonction de régularisation
nous permettant de choisir les propriétés que nous souhaitons
imposer à la solution. Formellement, nous estimons

$$
\hat{x} \in \underset{x \in \mathbb{R}^{N_h}}{\operatorname{Argmin}} F_h(x) := f_h(A_h x) + g_h(D_h x), \quad (1)
$$

où $f_h : \mathbb{R}^{M_h} \to [-\infty, +\infty]$ et $g_h : \mathbb{R}^{N_h \times \tilde{K} \times L_h} \to [-\infty, +\infty]$ sont convexes, semi-continues inférieurement et propres. De plus, $f_h \circ A_h$ est supposée différentiable de gradient $\beta_{f_h}$-Lipschitz et on prendra dans la suite $f_h(\cdot) = \| \cdot - z_h \|_2^2$.

Un choix classique pour la régularisation est de construire
l'opérateur D_h à partir de différences finies entre les pixels
d'une même image ou entre les pixels de plusieurs bandes [2].
Ainsi pour tout x ∈ ℝ^{N_h},

$$
(D_h x)^{(i)} = [\omega^{(i,j)}(x^{(i,b)} - x^{(j,b)})]_{j \in \mathcal{N}_i, 1 \le b \le L_h} \in \mathbb{R}^{\tilde{K} \times L_h}
$$

où $\mathcal{N}_i$ est l'ensemble des indices des pixels considérés comme
similaires à $x^{(i,b)}$ tel que $|\mathcal{N}_i| = \tilde{K}$ et où $\omega^{(i,j)}$ mesure cette
similarité [2] et est calculé a priori. La fonction $g_h$ est séparable et s'écrit

$$
(\forall x \in \mathbb{R}^{N_h}) \quad g_h(D_h x) = \sum_{i=1}^{N_h} \|(D_h x)^i\|_* , \quad (2)
$$

où la norme nucléaire $\| \cdot \|_*$ nous permet de prendre en compte
la forte corrélation entre les bandes pour améliorer la recon-
struction.

IML FISTA – L’algorithme IML FISTA que nous propo-
sons combine les méthodes d’accélération inertielles de type
FISTA [1] et multi-niveau [10] pour construire les itérations
de minimisation suivantes :

$$
\begin{align}
\bar{y}_{h,k} &= \text{ML}(y_{h,k}) \nonumber \\
x_{h,k+1} &\approx_{\epsilon_{h,k}} \text{prox}_{\tau g_h (D_h \cdot)} (\bar{y}_{h,k} - \tau \nabla (f_h \circ A_h) (\bar{y}_{h,k})), \nonumber \\
y_{h,k+1} &= x_{h,k+1} + \alpha_{h,k} (x_{h,k+1} - x_{h,k}), \tag{3}
\end{align}
$$

où $\tau > 0$ et $\alpha_{h,k}$ sont fixés de manière classique pour garan-
tir la convergence (voir [1, 10]) et les erreurs commises en
calculant l'opérateur proximal sont sommables [1, 10]. Pour
$x \in \mathbb{R}^{N_h}$, prox$_{g_h \circ D_h}$ ($x = x - D_h \hat{u}$ où $\hat{u}$ est estimé avec une
erreur $\epsilon_{h,k}$ via :

$$
\hat{u} \in \underset{u \in \mathbb{R}^{K_h}}{\operatorname{Argmin}} \frac{1}{2} \|\mathbf{D}_h^* u - x\|^2 + g_h^*(u). \quad (4)
$$

où $g_h^*$ est la conjuguée de Fenchel de $g_h$ [3]. Une étape multi-
niveau (ML) consiste à mettre à jour la variable $y_{h,k}$ à certaines
itérations avec une correction issue de modèles grossiers qui
approximent la fonction objectif $F_h$ pour obtenir une meilleure
variable $\bar{y}_{h,k}$. La version détaillée de cette étape ainsi que les
variables en jeu sont présentées dans l'Algorithme 1. Elle
repose sur quelques points clés :

* la construction de la fonction objectif au niveau grossier $F_H$ et le design des itérations $\Phi_{H,m-1} \circ \dots \circ \Phi_{H,0}$ afin de permettre une minimisation utile au niveau fin.

* le design de l'opérateur de transfert du niveau fin (resp. grossier) au niveau grossier (resp. fin) $I_h^H$ (resp. $I_H^h$).

La construction des modèles grossiers repose sur un lissage
de la fonction $g_h \circ D_h$ à travers l'enveloppe de Moreau de

**Algorithm 1 : ML (MultiLevel)**

1 if r < p then

2 $r = r + 1$

3 $x_{H,k,0} = I_h^H y_{h,k}$

4 $x_{H,k,m} = \Phi_{H,m-1} \circ \dots \circ \Phi_{H,0}(x_{H,k,0})$

5 Set $\bar{\tau}_{h,k} > 0$

6 $\bar{y}_{h,k} = y_{h,k} + \bar{\tau}_{h,k} I_H^h (x_{H,k,m} - x_{H,k,0})$

7 end

8 else

9 $| \bar{y}_{h,k} = y_{h,k} $

10 end

$g_h$ (notée $\gamma_h g_h$ [3]) qui permet d’en exprimer explicitement
son gradient. Ainsi à l’itération $k$ de l’algorithme le modèle
grossier est :

$$
F_H = f_H \circ A_H + \gamma^H g_H \circ D_H + \langle v_{H,k}, \cdot \rangle, \quad (5)
$$

avec :

$$
v_{H,k} = I_h^H [(\nabla(f_h \circ A_h) + \nabla(\gamma_h g_h \circ D_h) (y_{h,k})) \\
\qquad - (\nabla(f_H \circ A_H) + \nabla(\gamma^H g_H \circ D_H))(I_h^H y_{h,k})]. \quad (6)
$$

où $\nabla^{\gamma_h} g_h = \gamma_h^{-1}(\mathrm{Id} - \mathrm{prox}_{\gamma_h g_h})$.

Le terme $v_{H,k}$ impose la cohérence du premier ordre entre les versions lissées des fonctions au niveau fin et au niveau grossier. La version lissée au niveau grossier peut être décruée pour $\ell = 0, \dots, m-1$ :

$$
\Phi_{H,\ell} = \nabla(f_H \circ A_H) + \nabla(\gamma^H g_H \circ D_H)(x_{H,\cdot,\ell}) \quad (7)
$$

Sous l'hypothèse que le modèle grossier décroît avec les itéra-
tions $\Phi_{H,m-1} \circ \dots \circ \Phi_{H,0}$ alors nous avons les résultats suivants
qui garantissent une décroissance de la fonction objectif au
niveau fin :

**Lemme 1** (Direction de descente pour la fonction objectif lissée [10]). Soit $I_h^H = \nu(I_H^h)^T$ pour $\nu > 0$ et soit $x_{H,k,m}$ tel que $F_H$ définie en (5) vérifie $F_H(x_{H,k,m}) \le F_H(x_{H,k,0})$. Alors $I_H^h(x_{H,k,m} - x_{H,k,0})$ est une direction de descente pour $f_h \circ A_h + \gamma_h g_h \circ D_h$ en $y_{h,k}$.

Une recherche de pas linéaire sur $\bar{\tau}_{h,k}$ permet d'assurer que :

$$
(f_h \circ A_h + \gamma_h g_h \circ D_h)(\bar{y}_{h,k}) \le (f_h \circ A_h + \gamma_h g_h \circ D_h)(y_{h,k}), \\
\text{avec } \bar{y}_{h,k} = y_{h,k} + \bar{\tau}_{h,k} I_H^h (x_{H,k,m} - x_{H,k,0}).
$$

**Lemme 2 (Décroissance au niveau fin [10].)** *Sous les hypothèses du Lemme 1 nous obtenons :*

$$
F_h(y_h + \bar{\tau}_{h,k} I_H^h (s_{H,m} - s_{H,0})) \leq F_h(y_h) + O(\gamma_h). \quad (8)
$$

Tel que construit, et dans les deux configurations de réduction
de la dimension du problème que nous présentons section 3,
notre algorithme garantit que chaque correction grossière va
faire décroître la fonction objectif au niveau fin à $O(\gamma_h)$ près.

**Théorème 1 (Convergence [10].)** *Considérons la suite (x_{h,k})_{k \in \mathbb{N}} générée par les itérations de FISTA (3) et l'Algorithmme 1. Sous l'hypothèse qu'un nombre fini de corrections grossières a été utilisé et que les erreurs commises en calculant l'opérateur proximal de g_h ◦ D_h sont sommables, alors :*

* La suite $(x_{h,k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers un minimeur $x^*$ de $F_h$.

* La suite $(k^2 (F_h(x_{h,k}) - F_h(x^*)))_{k \in \mathbb{N}}$ appartient à $\ell_\infty(\mathbb{N})$.
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FIGURE 1 : Description des deux méthodes de réduction de la dimension pour l'imagerie hyperspectrale. En haut la fusion de bandes proches dans le plan spectral. En bas la réduction de la résolution bande par bande.

## 3 Diminution de la résolution spectrale ou de la résolution spatiale

Les IHS présentent naturellement une redondance de l'information spatiale et/ou spectrale [9, 7, 6]. Nous proposons dans cette contribution d'exploiter ces deux corrélations pour définir des approximations grossières du problème (1).

**Réduction selon la dimension spectrale et construction de $I_h^H$ associée** – Cette méthode vise à réduire la dimension d'une IHS en réduisant le nombre de bandes. La faible différence de longueur d'onde entre deux bandes successives suggère une forte corrélation entre celles-ci. Cette similarité peut être difficile à mesurer dans notre cas (pour une revue des méthodes voir [7]) car l'IHS observée est très dégradée. Nous avons donc fait le choix d'une heuristique simple pour inférer cette corrélation, indépendante du contenu des bandes. Pour deux bandes $b$ et $b+1$, si

$$ \mu(\lambda) - \sigma(\lambda) \le \lambda^{(b+1)} - \lambda^{(b)} \le \mu(\lambda) + \sigma(\lambda) \quad (9) $$

alors ces deux bandes sont a priori corrélées et seront agrégées au niveau grossier. Les bandes "éloignées" en longueur d'onde sont conservées telles quelles au niveau grossier. Il y aura donc $L_H$ bandes au niveau grossier, de taille $N_{h,r} \times N_{h,c}$, avec $L_H \le L_h$. L'Algorithme 2 détaille ce processus (voir aussi la partie haute de la Figure 1).

<caption>**Algorithme 2 : Agrégation des bandes**</caption>

1. $b, \ell = 1$
2. **while** $b \le L_h - 1$ **do**
3. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**if** $\mu(\lambda) - \sigma(\lambda) \le \lambda^{(b+1)} - \lambda^{(b)} \le \mu(\lambda) + \sigma(\lambda)$ **then**
4. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ x_H^{(\cdot, \ell)} = \frac{1}{2}(x_h^{(\cdot, b)} + x_h^{(\cdot, b+1)}), $$
5. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ \ell = \ell + 1 $$
6. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**end**
7. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**else**
8. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ x_H^{(\cdot, \ell)} = x_h^{(\cdot, b)}, $$
9. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ x_H^{(\cdot, \ell+1)} = x_h^{(\cdot, b+1)}, $$
10. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ \ell = \ell + 2 $$
11. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**end**
12. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$$ b = b + 2 $$
13. **end**

**Réduction selon la dimension spatiale et construction de $I_h^H$ associée** – Cette méthode vise à réduire la dimension d'une IHS en réduisant la taille des bandes, avec la procédure

employée dans le cadre de la restauration d'images en couleur. La réduction de la dimension est réalisée canal par canal :

$$ (\forall b = \{1, \dots, L_h\}) \quad x_H^{(\cdot, b)} = I_h^H(x_h^{(\cdot, b)}) \quad (10) $$

où le filtre $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_f)$, e.g., associé à une ondelette de type « Symmlet 10 » de longueur $f = 20$, engendre :

$$ I_h^H := (T_{N_{H,c}}^{\text{dec}}(\mathbf{q}) \otimes T_{N_{H,r}}^{\text{dec}}(\mathbf{q})) $$

avec $T_{N_{H,c}}^{\text{dec}}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{N_{H,c} \times 2N_{H,c}}$ la matrice de Toeplitz engendrée par le vecteur $\mathbf{q}$ et décimée d'un facteur 2 selon les lignes. De la même façon $T_{N_{H,r}}^{\text{dec}}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{N_{H,r} \times 2N_{H,r}}$. Ce processus est illustré en bas de la Figure 1. Cette formulation permet de ne conserver en mémoire qu'une seule paire de matrices de même taille qu'une bande (plutôt qu'une seule matrice de la taille de la bande au carré), et d'effectuer en parallèle le transfert d'information sur les $L_h$-bandes.

## 4 Résultats numériques

**Données** - Les expériences numériques sont effectuées sur trois IHS : une du Washington DC Mall<fnref n="1" />, une du delta de l'Okavango au Botswana<fnref n="2" /> (Figure 1) et une d'une gravure de St Christopher<fnref n="3" />. L'opérateur A modélise les pixels manquants : 50 % des pixels de chaque bande sont aléatoirement mis à 0. Un bruit gaussien de variance $\sigma = 0.01$ est ensuite ajouté sur chaque bande. $A_h$ est donc une matrice de $L_h$ blocs diagonaux où chaque bloc est un masque associé aux pixels d'une bande.

**Paramètres de l'algorithme** - Pour toutes nos expériences, nous utilisons une hiérarchie à 5 niveaux (voir ci-dessous). Nous imposons toujours $p = 2$ corrections grossières en début de l'optimisation, chacune avec $m = 5$ itérations de minimisation par niveau, car cette configuration a été identifiée comme étant bonne pour différents niveaux de dégradation [10].

**Réduction spatiale** - Pour la gravure de St Christopher, le premier niveau correspond à une IHS de taille $(512)^2 \times 33$, et le cinquième niveau à une IHS de taille $(32)^2 \times 33$ [10]. Le facteur de réduction est le même pour les autres IHS, soit un facteur global de réduction de 256.

L'opérateur $A_H$ est construit en prenant une colonne sur deux et une ligne sur deux de $A_h$.

**Réduction spectrale** - Pour le Washington DC Mall, le premier niveau correspond à une IHS de taille $(256)^2 \times 191$, et

<footnote n="1">¹Washington DC Mall : acquisition par HYDICE [12].</footnote>

<footnote n="2">²Delta de l'Okavango : acquisition par le satellite NASA EO-1 [4].</footnote>

<footnote n="3">³St Christopher : acquisition par les auteurs de [5].</footnote>
le cinquième niveau à une IHS de taille (256)$^2 \times 23$. Pour l'IHS du delta de l'Okavango, le premier niveau correspond à une IHS de taille (256)$^2 \times 145$, et le cinquième niveau à une IHS de taille (256)$^2 \times 12$. Pour l'IHS de St Christopher, le premier niveau correspond à une IHS de taille (512)$^2 \times 33$, et le cinquième niveau à une IHS de taille (512)$^2 \times 3$.

L'opérateur $A_H$ est construit selon la procédure de l'algorithme 2 : les blocs de $A_h$ sont fusionnés ou conservés pour définir $A_H$.

Pour les deux méthodes de transfert d'information, l'opérateur $D_H$ est une version d'ordre réduite de $D_H : D_H \in \mathbb{R}^{KL_H N_H \times N_H}$.

**Impact du transfert d'information** - La réduction de dimension étant plus faible pour le transfert d'information spectral, le coût d'une correction grossière est plus élevé. Ces corrections vont toutefois apporter une plus importante décroissance de la fonction objectif et améliorer la suite de l'optimisation.

**Performance par rapport à FISTA** - Dans les deux cas IML FISTA est bien meilleur que FISTA à temps de calcul équivalent : on peut observer des gains de plusieurs décibels sur le SNR des reconstructions (voir Table 1). Nous représentons en Figure 2 les courbes d'évolution des fonctions objectifs et une comparaison d'un canal de l'IHS de Washington DC, des courbes similaires ont été obtenues pour les autres IHS testées. IML FISTA Spec permet d'atteindre des restaurations de bonne qualité sur des problèmes d'inpainting en quelques dizaines de minutes pour une image de taille (512)$^2 \times 33$ au lieu de plusieurs heures de calcul avec FISTA.

<table><caption>TABLE 1 : Résultats de restauration à temps de calcul égal (environ 50 itérations) autour de la convergence pour les trois IHS en SNR (dB).</caption><thead><tr><th></th><th>z</th><th>FISTA</th><th>IML Spat</th><th>IML Spec</th></tr></thead><tbody><tr><td>Washington DC</td><td>4.8</td><td>15.8</td><td>18.6</td><td><strong>19.5</strong></td></tr><tr><td>Delta de l'Okavango</td><td>5.4</td><td>18.7</td><td>23.0</td><td><strong>24.8</strong></td></tr><tr><td>St Christopher</td><td>5.4</td><td>21.7</td><td>32.7</td><td><strong>35.5</strong></td></tr></tbody></table>

## 5 Conclusion

Nous avons proposé un algorithme IML FISTA qui repose sur deux manières de réduire simplement la dimension des images hyperspectrales pour construire des approximations grossières de la fonction à minimiser. Cette procédure algorithmique multi-niveau permet d'accélérer la minimisation par rapport aux méthodes de l'état-de-l'art. Dans le contexte de l'inpainting les approximations spectrales permettent d'obtenir un gain bien plus significatif que celui des approximations spatiales bien que le facteur de réduction de la dimension soit moins important.

## Références

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<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 : Résultats pour l'IHS de St Christopher. En haut : évolution de la fonction objectif en fonction du temps de calcul (en secondes). En bas : reconstruction pour $b = 15$ après 2 itérations (milieu) obtenues par FISTA et IML FISTA Spectral et à temps de calcul égal ($\approx 50000$ secondes), (droite).</figcaption></figure>

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